1. Producto punto
El producto punto o producto escalar d e dos vectores es un
número real que res ulta al multiplicar el producto de sus módulos
por el coseno del ángulo que forman .
Expresión analítica del producto punto
Ejemplo
Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en
una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).
(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · ( −4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3
= 5
Expresión analítica del módulo de un vector
Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas =
(−3, 2, 5) en una base ortonormal.
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
2. Determinar el ángulo que forman los vectores = (1, 2, −3) y
= (−2, 4, 1).
Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.
Ejemplo
Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea
ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2, 1, −1).
Propiedades del producto punto
1Conmutativa
2 Asociativa
3. 3 Distributiva
4
El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo
siempre es positivo.
Interpretación geométrica del producto punto
El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de
uno de ellos por la proyección del otro sobre él.
OA' es la proyección escalar de sobre el vec tor .
El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar
por un vector unitario de , de modo que obtenemos otro vector con la
misma dirección.
4. Ejercicio
Dados los vectores y hallar:
1. Los módulos de y ·
2. El producto escalar de y ·
3. El ángulo que form an.
4. El valor de m para que los vectores y
sean ortogonales.
Aaapaarteeee
Producto escalar
De Wikipedia, la enciclopedia libre
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5. En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno,
interior o punto (en inglés, dot product), es una aplicación externa bilineal definida
sobre un espacio vectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o
número.
Formalmente, un producto escalar es una aplicación de la forma:
donde para dos vectores cualesquiera del espacio vectorial , se obtendrá un
escalar (denotado por , o más corrientemente ), del cuerpo o campo de
escalares .
En el caso de espacios vectoriales reales (sobre ) dotados de una base ortonormal
(p.e., la base canónica de ), el producto escalar de dos vectores y con
componentes y puede calcularse
sumando los productos de las componentes de los vectores dos a dos:
= =
=
Nótese que el producto escalar de un vector por sí mismo, por componentes,
corresponde a:
= =
=
Apaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaarte
Producto escalar
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En matemáticas, el producto escalar, también conocido como producto interno,
interior o punto (en inglés, dot product), es una aplicación externa bilineal definida
sobre un espacio vectorial, cuyo resultado al operar entre sí dos vectores, es un escalar o
número.
6. Formalmente, un producto escalar es una aplicación de la forma:
donde para dos vectores cualesquiera del espacio vectorial , se obtendrá un
escalar (denotado por , o más corrientemente ), del cuerpo o campo de
escalares .
En el caso de espacios vectoriales reales (sobre ) dotados de una base ortonormal
(p.e., la base canónica de ), el producto escalar de dos vectores y con
componentes y puede calcularse
sumando los productos de las componentes de los vectores dos a dos:
= =
=
Nótese que el producto escalar de un vector por sí mismo, por componentes,
corresponde a:
= =
=
Apaaaarte
Definición
7. Relaciones entre los vectores.
Sean dos vectores y en el espacio vectorial ℝ3
. El producto vectorial entre y da
como resultado un nuevo vector, . Para definir este nuevo vector es necesario
especificar su módulo y dirección:
El módulo de está dado por
donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.
La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla
de la mano derecha.
El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también
producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x, es
frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente
manera:
donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada
por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de
la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.
[editar] Producto vectorial de dos vectores
8. Sean y dos vectores concurrentes
de , el espacio afín tridimensional según la base anterior.
Se define el producto , y se escribe , como el vector:
En el que
, es el determinante de orden 2.
O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo de un determinante de
orden 3 por la primera fila, también decimos:
Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el
primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de es el
de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
Con la notación matricial esto se puede escribir:
[editar] Ejemplo
El producto vectorial de los vectores y se calcula del
siguiente modo:
Expandiendo el determinante:
9. Puede verificarse fácilmente que a × b es ortogonal al vector a y al vector b efectuando
el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de
vectores).
[editar] Propiedades
Cualesquiera que sean los vectores , y :
1. , (anticonmutatividad)
2. Si y , entonces implica que ; esto es, la anulación
del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
3. .
4. , conocida como regla de la expulsión.
5. , conocida como
identidad de Jacobi.
6. , siendo θ el ángulo menor entre los vectores y ; esta
expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen
ambos vectores.
7. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y
.
[editar] Bases ortonormales y producto vectorial
Sea un sistema de referencia en el espacio vectorial ℝ3
. Se dice que
S es una base ortonormal derecha si cumple con las siguientes tres condiciones:
1. ; es decir, los tres vectores son ortogonales entre sí.
2. ; es decir, los vectores son vectores unitarios (y por lo tanto,
dada la propiedad anterior, son ortonormales).
3. , , ; es decir, cumplen la regla de la mano
derecha.
[editar] Vectores axiales
Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra
mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto
a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se
llaman pseudovectores o vectores axiales. Esas anomalías se deben a que no todo ente
formado de tres componentes es un vector físico.
[editar] Dual de Hodge
Artículo principal: Dual de Hodge
10. En el formalismo de la geometría diferencial de las variedades riemannianas la noción
de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto
de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto
vectorial es simplemente:
Donde denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.
[editar] Generalización
Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede
generalizarse a n dimensiones, con y sólo tendrá sentido si se usan n − 1
vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos
dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y
el resultado es un vector ortogonal.
Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de n vectores vendrá dado
por:
Producto cruz
El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro
vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su
sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su
módulo es igual a:
11. El producto cruz se puede expresar median te un determinante :
Ejemplos
Calcular el producto cruz de los vectores = (1, 2, 3) y =
(−1, 1, 2).
Dados los vectores y , hallar el
producto cruz de dic hos vectores. Comprobar que el vector hallado es
ortogonal a y .
12. El producto vectorial de es ortogonal a los vectores y .
Área del parale logramo
Geométricamente, el módulo del producto cruz de dos vectores
coincide con el áre a del paralelogramo que tiene por lados a esos
vectores.
Ejemplo
Dados los vectores y , hallar el área
del paralelog ramo que tiene por lados los vectores y ·
Área de un triángulo
13. Ejemplo
Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos
A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).
Propiedades del producto cruz
1. Anticonmutativa
14. x = − x
2. Homogénea
λ ( x ) = (λ ) x = x (λ )
3. Distribut iva
x ( + ) = x + x ·
4. El producto vectorial de dos vectores paralelos es igual al
vector nulo.
x =
5. El producto vectorial x es perpendicular a y a .
Apaaaaaatre
17. Vectores. Producto escalar. Ejercicios
1Hallar el simétrico del punto A(4, - 2) respecto de M(3, - 11).
2Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro
G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.
3Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) hal la un punto C, alineado con A y
B, de manera que se obtenga
4Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A( -1,
-2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
5 Si { , } forma una base ortonormal, calcular:
1 ·
2 ·
3 ·
4 ·
6 Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los
vectores y sean:
1 Perpendiculares.
2 Paralelos.
3 Formen un ángulo de 60°.
7 Calcular el valor de k sabiendo que
8 Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los
vectores tienen como expresiones:
