introducción al álgebra vectorial

1. INTRODUCCION AL CALCULO
VECTORIAL
PRECENTADO POR :JAIMEALBERTO GAITAN DIAZ
DAYANA ACEVEDO
ANGELA AMAYA
NELSON ANDRES PUENTES
VENESSA ERNANDES
UNIVERSIDAD COOPERTARIVA DE COLOMBIA
SEDE NEIVA
2016

2. PLANOS EN R2 Y R3
Vectores en R2 y R3
Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemático con dirección y
magnitud. La palabra “vectores” se refiere a los elementos de cualquier Rn. En R1 = R
el vector es un punto, que llamamos escalar. En R2 el vector es de la forma (x1, x2) y
en R3 el vector es de la forma (x1, x2, x3).
En R2:
1. la suma de dos vectores se define por: sean a y b vectores en R2, entonces a
+ b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2).
2. el producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R2 , entonces αa
= α(a1, a2) = (α a1, α a2).
Veamos el significado geométrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.
Observa que si a = (a1, a2) y b = (b1, b2), entonces la suma de los vectores
a + b = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2). El cual se obtiene trasladando la
representación de los vectores a y b. De manera, que se puede obtener a + b
dibujando un paralelogramo. A esta regla de suma se le llama la regla
del paralelogramo.

3. Para el producto escalar αa, se puede observar que si α > 0 se alarga o se acorta el
vector a por un factor α. Si α < 0 se invierte la dirección del vector a.
En R3:
1. la suma de vectores se define por: sean a, b Є R3, entonces a + b
= (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3).
2. el producto escalar se define por: sea α Є R y a un vector en R3 , entonces αa
= α(a1, a2, a3) = (α a1, α a2, αa3).
Definición: Sean a y b vectores en Rn, tal que a = (a1, a2, a3, …, an) y b = (b1,
b2, b3, …, bn). El producto interno de a y b representado por a ∙ b ó <a, b>, es el
escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores
y sumando luego los productos resultantes, esto es:
a ∙ b = <a ∙ b> = (a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 + … + an · bn).
Los vectores a y b se llaman ortogonales si su producto interno es igual a cero.

4. DISTANCIA ENTRE DOS VECTOORES R2 Y R3
La distancia entre dos puntos es igual al modulo del vector que tiene de extremos
dichos puntos
𝐴(𝑋1, 𝑋2) 𝐵(𝑋1, 𝑋2)
La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El
siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René
Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este
trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar
los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría
analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas.
Con la geometría analítica se puede encontrar y determinar figuras geométricas planas
por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Uno muy importante y
fundamentales: la distancia entre dos puntos. Cuando los puntos se encuentran
ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos
corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este
eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus
ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:

5. PRODUCTO ESCALAR
Definición: sea u= (a,b) y v=(c,d), entonces el producto escalar de u y v, que se denota
u.v, es:
u.v = ac+bd
De esto ultimo, se tiene que u.v = v.u (debido a las propiedadesde campo de los numeros
reales).
De la definición se tiene además que:
u.u = (a,b).(a,b) = (a)(a)+(b)(b) = a2
+b2
Por lo tanto
u = √𝑎2 + 𝑏2
u 2
= a2
+b2
De lo que podemos escribir que:
u 2
= u.u o u = √ 𝑢. 𝑢
INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DEL PRODUCTO ESCALAR
Consideremos los vectores u= (a,b) y v=(c,d)
Y tenemos el vector w = v-u (podría emplearse naturalmente, u-v), ahora encontremos a
la norma de u y
u = √𝑎2 + 𝑏2
u 2
= a2
+b2
v = √𝑐2 + 𝑑2
v 2
= c2
+d2

6. 𝜃 es el angulo entre los vectores u y v, para hallar 𝜃, note que conocemos los lados que
lo conforman, por lo que podemos acudir al teorema de coseno.
a2
= b2
+ c2
– 2bc cos A
Para nuestro caso tenemos:
v-u 2
= u 2
+v 2
- 2uv cos 𝜃
Despejando
cos 𝜃 =
 𝑣−𝑢 2−  𝑢 2− 𝑣 2
− 2 𝑢 𝑣
(1)
Ahora encontramos v-u 2

7. Sustituyendo en (1)
El numerador es precisamente u.v = ac+bd, por lo tanto
cos 𝜃 =
𝑢.𝑣
 𝑢 𝑣
Para encontrar el angulo hacemos:
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1
[
𝑢.𝑣
 𝑢 𝑣
]
El angulo 𝜃 esta definido como el angulo no negativo mas pequeño. Este siempre es
posible elegirlo de manera que 0 𝜃 𝜋
Note que todas las representaciones nos permiten elegir siempre un angulo positivo.

8. Definición: dos vectores u y v se dicen paralelos si el angulo entre ellos es de 0° o de
180°, cuando el angulo es de 0° los dos vectores apuntan a la misma dirección y en el
caso de 180° apuntan en direcciones opuestas.
Ahora de la formula del angulo
cos 𝜃 =
𝑢.𝑣
 𝑢 𝑣
(2)
 Si 𝜃 = 0°, entonces cos 𝜃=1 y nos queda
1 =
𝑢.𝑣
 𝑢 𝑣
 Si 𝜃 = 180°, entonces cos 𝜃= -1 y nos queda
−1 =
𝑢.𝑣
 𝑢 𝑣
Es decir si dos vectores son paralelos el lado derecho de la ecuación (2) será 1 ó -1
Definición: dos vectores u y v, ≠0 se dicen ortogonales o perpendiculares si el angulo
entre ellos es de 90°.
De la formula del angulo:
cos 𝜃 =
𝑢.𝑣
 𝑢 𝑣
Cos 𝜃= 90°
Cos 90° = 0
Por lo tanto
𝑢.𝑣
 𝑢 𝑣
= 0 ó lo que se equivales u.v = 0

9. PRODUCTO VECRORIAL
Existen tres tipos de un producto en los vectores, y en cada uno de ellos de un tipo de
magnitud vectorial o escalar.
El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los
dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de U a V.
DETERMINANTE DE UN PRODUCTO VECTORIAL
Se resuelve de una forma compacta por medio de un determinante que para el caso de
dimensión 3*3 tiene un desarrollo matemático conveniente.

10. PROPIEDADES DE UN PRODUCTO VECTORIAL
ANTICONMUTATIVIDAD: Es anti conmutatividad si y solo si a*b = -- (a*b) para todo a,
b, donde (*) representa a un operador matemático binario.
Ejemplo:

11. PROPIEDAD HOMOGENEA
Es compatible con el producto por escalares
 Para vectores no nulos, si dos vectores son paralelos su producto vectorial da
igual a cero.
 Distribuida con respecto a la suma
 La regla de expulsión.
 Identidad de jacobi.
 El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores a y b.

13. ANGULOS DIRECTOS
se llaman Cosenos directores del vector Å a los cosenos de los ángulos que forman
cada uno de los ejes coordenados. En un plano tridimensional se representan:
Se identifican 3 ángulos en la imagen (Alpha = α, Beta = β, Gamma = γ) Y sus formulas
para saber el tamaño del ángulo son:
Coseno de Alpha = Vector Ax / Modulo del vector |A|
Coseno de Beta = Vector Ay / Modulo del vector |A|
Coseno de Gamma = Vector Az / Modulo del vector |A|
Para saber el modulo del vector A se usa la formula: