2. Análisis no lineal Tiempo-
Historia
El análisis Tiempo-Historia, es un análisis paso a paso de la
respuesta dinámica de una estructura a una carga especificada que
puede variar con el tiempo. El análisis puede ser lineal o no lineal.
Nos vamos a enfocar al Análisis No lineal.
Temas avanzados
• Descripción general
• No linealidad
• Carga
• Condiciones iniciales
• Pasos Tiempo
• Análisis modal no lineal Tiempo-Historia (FNA)
• Análisis directa-Integración no lineal Tiempo-Historia.

3. Descripción general
El análisis Tiempo Historia se utiliza para determinar la respuesta
dinámica de la estructura a la carga arbitraria. Las ecuaciones de
equilibrio dinámico a resolver están dados por:
donde
K: Es la matriz de rigidez;
C: Es la matriz de amortiguamiento; M es la matriz de masa
diagonal;
u, ú y ü: Son los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de
la estructura
r: Es la carga aplicada. Si la carga incluye aceleración del terreno,
los desplazamientos, velocidades y aceleraciones son relativos a
este movimiento del suelo.

4. Hay varias opciones que determinan el tipo de su análisis Tiempo-
Historia de a realizar:
- Linear vs no lineal.
Modal vs Integración directa.- Se trata de dos métodos de
solución diferentes, cada uno con ventajas y desventajas. En
circunstancias ideales, los dos métodos debe producir los mismos
resultados para un problema dado.
- Transitorio vs Periódico: Análisis transitorio considera la carga
aplicada como una evento único, con un principio y un final. El
análisis periódico considera la carga repitiéndose indefinidamente,
con todas las respuestas transitorias con amortiguamiento.
En un análisis no lineal, la rigidez, la amortiguación, y carga en
todo puede depender de la desplazamientos, velocidades y tiempo.
Esto requiere una solución iterativa para las ecuaciones de
movimiento.

5. No linealidad
Los siguientes tipos de no linealidad están disponibles en SAP2000:
• No linealidad del Material
- Diferentes tipos de propiedades no lineales de elementos de
unión / Soporte
- La tensión y / o límites de compresión en los elementos Frame.
Articulaciones plásticas en los elementos FRAME
• La no linealidad geométrica
- Efectos P-delta
- Los efectos gran desplazamiento

6. Para los análisis Tiempo-Historia no lineal modal, sólo el
comportamiento no lineal de los elementos de enlace /
Soporte está incluido. Si los modos utilizados para este
análisis se calcularon utilizando la rigidez del extremo de
un análisis no lineal, todos los otros tipos de linealidades
están encerrados en el estado que tenían en el extremo de
que el análisis no lineal.
Carga.-
La aplicación de la carga no lineal para el análisis Tiempo-
Historia es idéntico al utilizado para el análisis lineal
Tiempo-Historia.

7. Condiciones iniciales
Las condiciones iniciales describen el estado de la
estructura al comienzo de un
tiempo-historia del caso. Estos incluiyen:
• Desplazamientos y velocidades
• Las fuerzas internas y tensiones
• Variables de estado internas de elementos no lineales
• Los valores de energía para la estructura
• Las cargas externas
Las aceleraciones no se consideran las condiciones
iniciales, pero se calcula a partir de la
ecuación de equilibrio.

8. Para análisis no lineales puede especificar las condiciones
iniciales al comienzo de la
análisis. Usted tiene dos opciones:
Condiciones iniciales nulas: la estructura ha cero
desplazamiento y velocidad, todos los elementos están
sin tensión, y no hay ninguna suceso de deformación no
lineal.
Continúe desde un previo análisis no lineal: los
desplazamientos, velocidades,
tensiones, cargas, energías, y los estados de sucesos no
lineales, se llevan a cabo a partir del final de un análisis
previo.

9. Hay algunas restricciones cuando continúan de un caso no
lineal anterior.
Casos no lineales estáticos y de integración directa pueden ser
relacionados en cualquier combinación, es decir, los dos tipos
de análisis son compatibles el uno con el otro.
Los casos Modales Tiempo-Historia sólo puede continuar
desde otros casos FNA, que utilizan modos de análisis modal
del mismo caso.
Cuando se continúa desde casos anteriores, todas las cargas
aplicadas especificada para el presente análisis de casos son
incrementales, es decir, que se añaden a las cargas que actúan
al preparado en el extremo del caso anterior.

10.  Historia del Análisis Modal no lineal (FNA)
El método de análisis No lineal Tiempo Historia es
utilizado en SAP2000 es una extensión de el rápido
análisis no lineal (FNA) método desarrollado por Wilson
(Ibrahimbegovic y Wilson, 1989; Wilson, 1993). El
método es extremadamente eficiente y está diseñado para
ser utilizado para los sistemas estructurales que son
principalmente elásticos lineales, pero
que tienen un número limitado de elementos pre
definidos no lineales. Para el método FNA, todo se vuelve
no lineal y restringidos.

11. donde KL, es la matriz de rigidez de los elementos
lineales elásticos (todos los elementos excepto las
uniones / apoyo),
C es la matriz de amortiguamiento proporcional,
M es la masa diagonal matriz
rN es el vector de fuerzas de los grados de libertad no
lineales en los elementos unión / apoyo;
u, ú y ü son los desplazamientos relativos,
velocidades, aceleraciones con respecto al suelo, y
r es el vector de cargas aplicadas.

12. Unión / Apoyo rigidez efectiva
Para los fines del análisis, una rigidez efectiva lineal se
define para cada grado de libertad de los elementos no
lineales. La rigidez efectiva en los grados de libertad no
lineales es arbitraria, pero generalmente varía entre cero y
la máxima rigidez no lineal de ese grado de libertad.
La ecuación de equilibrio, entonces se puede reescribir
como:

13. Amortiguamiento modal
 El amortiguamiento modal se define como el cociente
de amortiguamiento crítico para cada modo. El
amortiguamiento crítico es la menor cantidad de
amortiguamiento que produce que un sistema vuelva a
su posición de equilibrio sin oscilar.
Nota importante:
 Para el análisis modal lineal, el amortiguamiento lineal
eficaz para los elementos de conexión / Soporte
también se utiliza. Sin embargo, no se utiliza para el
análisis modal no lineal

14. Casos de Análisis del Amortiguamiento
Modal
 Para cada caso de análisis modal no lineal, es posible
especificar las relaciones de amortiguamiento modal que
son:
1. Constante para todos los modos
2. linealmente interpolada por período o frecuencia. Se
especifica el factor de amortiguamiento en una serie de
puntos de frecuencia o período. Entre los puntos
específicos de la amortiguación se interpola linealmente.
Fuera del rango especificado, el coeficiente de
amortiguamiento es constante en el valor dado por el
punto más cercano especificado.
3. Masa y la rigidez proporcional. Esto imita la
amortiguación proporcional utilizado para la integración
directa, excepto que el valor de amortiguación no se le
permite exceder a la unidad.

15.  También es importante señalar que la suposición de
amortiguamiento modal se realiza con respecto a la matriz
de rigidez total, K, que incluye la rigidez efectiva de los
elementos no lineales. Si el amortiguamiento modal no es
cero se utilizará, la rigidez efectiva especifica para estos
elementos . La rigidez efectiva se debe seleccionar de tal
manera que los modos para los cuales los valores reales de
amortiguación se encuentren especificados.
 En general, se recomienda que, la rigidez inicial del
elemento de ser utilizado como la rigidez efectiva o la
rigidez secante que son obtenidos de ensayos en el valor
esperado del desplazamiento máximo utilizarse.
Inicialmente al abrir espacios y gancho en los elementos y
todos los elementos amortiguadores en general se
especifican con rigidez efectiva cero .

16. Amortiguación modal compuestos de
los Materiales
 Si hay relaciones modales de amortiguamiento, que
han sido especificadas para los materiales se
convierten automáticamente a compuestos de
amortiguamiento modal. Cualquier acoplamiento
cruzado entre los modos se ignora. Estos valores de
amortiguación modal-será generalmente diferente
para cada modo, dependiendo de la cantidad de
deformación en cada modo esto hace que los
elementos compuestos de los materiales sean
diferentes.

17. Solución iterativa
 Las ecuaciones no lineales modales se resuelven iterativamente
en cada paso de tiempo. El programa supone que los lados
derechos de las ecuaciones varían linealmente durante un
intervalo de tiempo, de forma cerrada para resolver estas
ecuaciones de integración en cada iteración. Las iteraciones se
llevan a cabo hasta que converge la solución. Si la convergencia
no puede ser alcanzada, el programa divide el paso de tiempo en
pequeños pasos secundarios y lo intenta de nuevo.
 En general, el uso de los valores por defecto se recomienda ya que
esto va a resolver la mayoría de los problemas. Si la convergencia
no puede ser alcanzada, se obtienen resultados imprecisos, o la
solución llevará demasiado tiempo, el cambio de estos
parámetros de control puede ayudar. Sin embargo, primero debe
verificar que las cargas razonables y vínculos apropiados se han
especificado, y que los modos apropiados han sido obtenidos,
utilizando preferentemente el método de vectores Ritz.

18. Los parámetros que están disponibles para el control de
la iteración paso a paso son:
1. La fuerza de tolerancia relativa de conversión, ftol
2. La energía de tolerancia relativa de conversión, Etol
3. El máximo tamaño permitido subetapa, dtmax
4. La subetapa mínimo tamaño permitido, dtmin
5. El número máximo de iteraciones permitidas por la
fuerza subpasos pequeños itmax
6. El número máximo de iteraciones permitidas por la
fuerza subpasos grandes, itmin
7. El factor de conver gencia, cf
 Estos parámetros se utilizan en la iteración paso a paso .

19. Verificación de la Fuerza de Convergencia
 Cada paso de tiempo dt de longitud se divide en
subetapas como sea necesario para lograr la
convergencia. En cada subetapa, la solución se itera
hasta que el cambio en el lado derecho de las
ecuaciones modales, expresado como una fracción de
la parte derecha, se hace menor que la fuerza de
tolerancia, ftol. Si esto no se produce en el número de
iteraciones por cometidos, el tamaño de la subetapa se
redujo a la mitad y la iteración se intentó de nuevo.
 El valor por defecto es ftol 10^-5. Debe satisfacer ftol>
0.

20. Comprobación de la Energía de
convergencia
 Si la convergencia fuerza se produce en el número
permitido de iteraciones, el trabajo realizado por las
fuerzas no lineales se compara con el trabajo realizado
por todos los términos de otra fuerza en las ecuaciones
de equilibrio modal. Si la diferencia, expresada como
una fracción del trabajo total realizado, es mayor que
la energía de tolerancia relativa, etol, el tamaño de la
subetapa se redujo a la mitad y la iteración se intenta
de nuevo.

21.  Esta comprobación lineal de energía esencialmente mide
cuán cerca es la variación de la fuerza lineal sobre el paso
del tiempo.
 Es particularmente útil para detectar cambios repentinos
en el comportamiento no lineal, tales como la apertura y
cierre de los ganchos o la aparición de la fluencia o
deslizamiento. Establecer etol mayor que la unidad hace
que esta comprobación de energía se apague.
 El valor por defecto es etol 10^-5. Debe satisfacer etol > 0.

22. Máximas y Mínimas Tamaños
subetapas
 Si la subetapa cumple los criterios de convergencia tanto de la fuerza
y ​energía, los resultados de la subetapa son aceptadas, por consiguiente
se intenta utilizar el doble de la longitud de la subetapa anterior. El
tamaño de la subetapa nunca se incrementa más allá dtmax
 Cuando el tamaño de la subetapa se redujo a la mitad a causa de
incumplimiento de cualquiera de los dos criterios de la fuerza o energía
de convergencia, el tamaño de la subetapa resultante nunca se
encuentra a menos de dtmin.
 si el tamaño de la subetapa no es ya dtmin el resultado de los pasos de
tiempo restante se ponen a cero y un mensaje de advertencia se emite.
 El valor por defecto dtmax es dt. El valor por defecto dtmin es dtmax
· 10^-9. Deben cumplir 0 < dtmin dtmax dt.


23. Número máximo de iteraciones
 El número máximo de iteraciones permitidas para la
iteración fuerza varía entre itmin y itmax. El número
real permitido para una subetapa dado se elige
automacamente por el programa para lograr un
equilibrio entre la iteración y subiteración . El número
de iteración permitido tiende a ser mayor para
subiteración más pequeña.
 Los valores predeterminados para itmin y itmax son 2
y 100, respectivamente. Deben cumplir 2 itmin y
itmax.

24. Factor de Convergencia
 bajo el descanso de la iteración fuerza puede ser
utilizado por el ajuste del factor de convergencia, cf, a
un valor menor que la unidad.
 Los valores más pequeños aumentan la estabilidad de
la iteración, pero requieren más iteraciones para lograr
la convergencia.
 . Si cf es mayor que la unidad puede reducir el número
de iteraciones necesarias para ciertos tipos de
problemas, pero puede causar inestabilidad en la
iteración y no se recomienda.
 El valor por defecto cf es 1. Debe satisfacer cf> 0.

25. Periodo Estático
 Normalmente todos los modos se tratan como dinámica. La
respuesta de un modo dinámico tiene dos partes:
 • respuesta forzada, que es directamente proporcional a la carga
modal
 • Respuesta transitoria, que es oscilatorio, y que depende de los
desplazamientos y las velocidades de la estructura al comienzo
del paso de tiempo
 Opcionalmente, puede especificar que los modos de alta
frecuencia (período corto) se trata como estática, de modo que
siga la carga sin ninguna respuesta transitoria. Esto se realiza
especificando un periodo estático, tstat de tal manera que todos
los modos con períodos de menos de tstat se consideran modos
estáticos. El valor predeterminado para tstat es cero, lo que
significa que todos los modos se considera que son dinámicos.


26.  Aunque tstat puede ser utilizado para cualquier historia de
tiempo no lineal de análisis, es el mas usado para análisis
estático. Si los parámetros de iteración por defecto no funcionan
para este tipo de análisis, se puede probar con los siguientes
parámetros como punto de partida:
 • tstat mayor que el período más largo de la estructura
 • itmax = itmin 1000
 • dtmax DTmin = dt =
 • ftol 10^ -6
 • cf = 0,1
 Esto provoca que todos los modos al ser tratados como estática,
utilise la iteración en lugar de subiteración para encontrar una
solución. La elección de los parámetros para lograr la
convergencia es muy dependiente del problema, y se debe
experimentar para encontrar los mejores valores a utilizar para
cada modelo diferente.

27. Análisis Directa de Integración no
lineal
 Este análisis está disponible en SAP2000. con las siguientes ventajas:
 Amortiguación completa que las parejas de los modos se pueden considerar
 Los problemas de propagación de impacto y de onda que podría surgir un gran
número de modos puede ser resuelto de manera más eficiente por integración
directa
 • Todos los tipos de no lineales disponible en SAP2000 se pueden incluir en un
análisis de la integración directa no lineal.
 Los resultados directos de integración son extremadamente sensibles al
tamaño de paso de tiempo de una manera que no es cierto para superposición
modal. Siempre se debe trabajar en el análisis de la integración directa con la
disminución de intervalos de tiempo hasta que el tamaño de tamaño de paso es
tan pequeño que resultados ya no son afectados por ella.

28. Parámetros de tiempo de
integración
 . Se aplican las mismas consideraciones como para el
análisis lineal. (Revisar pag 117)
 Si el análisis no lineal tiene problemas de
convergencia, es posible que desee utilizar el método
HHT con alfa = -1 / 3 para obtener una solución
inicial, a continuación, se vuelve a ejecutar el análisis
con la disminución del tamaño de paso de tiempo y
valores alfa para obtener resultados más precisos.

29. La No linealidad
 Todo material no lineal que se ha definido en el modelo, se
considera en una relación de integración directa no lineal
en el tiempo de ciclo de análisis.
 La no linealidad geométrica que se debe tener en cuenta:
 • Ninguno
 • Efectos delta P
 • Efectos de grandes desplazamientos
 Si se va a proseguir a partir de un análisis no lineal anterior,
se recomienda seleccionar los mismos parámetros
geométricos no lineales para el caso actual como en el caso
anterior. (page307)

30. Condiciones iniciales
 Usted puede continuar una relación de integración no
lineal directa en el tiempo de ciclo de análisis a partir
de un análisis estático no lineal u otra integración
directa en tiempo de ciclo de análisis no lineal.
 Se recomienda que seleccione los mismos parámetros
geométricos no linealidad para el caso actual como en
el caso anterior.

31. Amortiguación
 El análisis de la amortiguación de la estructura es
modelada utilizando una matriz de amortiguación
completa.
 A diferencia de amortiguamiento modal, esto permite
que el acoplamiento entre los modos sean
considerados.
 Nota importante: Para la integración directa lineal en
el ciclo de análisis, el amortiguamiento lineal eficaces
para los elementos de conexión / Soporte también se
utiliza. Sin embargo, no se utiliza para el análisis no
lineal

32. Amortiguación proporcional a partir
del caso de análisis
 La matriz de amortiguamiento se calcula como una
combinación lineal de la matriz de rigidez reducido por un
coeficiente especificado, y la matriz de masa a escala por un
segundo coeficiente que especifique que :
 Pueden calcularse mediante la especificación de fracciones
equivalentes de amortiguamiento modal críticos en dos
períodos o frecuencias diferentes.
 La rigidez de amortiguación es linealmente proporcional a
la frecuencia. Se relaciona con las deformaciones de la
estructura. L rigidez de amortiguación amortiguación
excesivamente puede amortiguar las componentes de alta
frecuencia.

33.  La Rigidez-proporcional de amortiguación utiliza la
rigidez actual, tangente de la estructura en cada paso de
tiempo. Así, un elemento de rendimiento tendrá menos
amortiguación que uno que sea elástica. Del mismo modo,
un elemento hueco sólo tendrá proporcionales de rigidez
de amortiguación cuando el gancho se cierra.

 La Masa de amortiguación proporcional es linealmente
proporcional a período. Se relaciona con el movimiento de
la estructura, como si la estructura se mueve a través de un
fluido viscoso . El exceso de esta masa puede amortiguar
los componentes de periodo largo.

34. Amortiguación proporcional de los
Materiales
 Puede especificar los coeficientes de amortiguamiento
de la rigidez y la masa proporcional para materiales
particulares. Por ejemplo, es posible que desee utilizar
coeficientes mayores para los materiales del suelo que
para el acero o el hormigón.

35. Solución iterativa
 Las ecuaciones no lineales se resuelven iterativamente
en cada paso de tiempo. Esto puede requerir volver a
formar y re-solucionar las matrices de la rigidez y la
amortiguación. Las iteraciones se llevan a cabo hasta
que converge la solución. Si la convergencia no puede
ser alcanzado, el programa divide el paso de tiempo en
pequeños pasos secundarios y lo intenta de nuevo.
 Varios parámetros están disponibles para controlar el
proceso de iteración y subiteración. Estos se describen
a continuación.

36. Máximo Subpaso Tamaño
 El análisis siempre se parará en cada paso de tiempo de
salida, y en cada paso de tiempo, donde una de las
entradas en el historial de tiempo de funciones se
define. Es posible, además, establecer un límite
superior en el tamaño de paso usado para la
integración.
 El programa automáticamente puede utilizar incluso
subetapas más pequeñas si es necesario para lograr la
convergencia cuando se repite.

37. Tamaño mínimo Subpaso
 Cuando la iteración no lineal no puede converger en el
número máximo especificado de iteraciones, el
programa automáticamente reduce el tamaño y lo
intenta de nuevo.
 Se puede limitar el tamaño mas pequeño de la
subetapa dentro del programa pero si el programa
trata de reducir el tamaño de paso por debajo de este
límite, se detendrá el análisis e indican que la
convergencia había fracasado.

38. Iteraciones máximas por Paso
 La iteración se utiliza para asegurarse de que el
equilibrio se alcanza en cada etapa del análisis. Se
puede controlar el número de iteraciones permitidas
en un paso antes de que el programa intenta utilizar un
subpaso más pequeño. El valor por defecto de 10
funciona bien en muchas situaciones.

39. Tolerancia de Iteración de
Convergencia
 La iteración se utiliza para asegurarse de que el equilibrio
se alcanza en cada etapa del análisis. Se puede establecer la
tolerancia de convergencia relativa que se utiliza para
comparar la magnitud del error de la fuerza con la
magnitud de la fuerza que actúa sobre la estructura.
 Puede que tenga que utilizar valores significativamente
menores de tolerancia de convergencia para obtener
buenos resultados para los grandes problemas de los
desplazamientos para otro tipo de no linealidad.
 Trate de disminuir los valores hasta que se obtenga
resultados consistentes.