Solución parte II

1. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II)
Texto guía Calculo II Versión 2010 - Taller 1
1. lim z cot z
z 0
cos 0 1
lim z cot z lim 0 cot 0 = 0 =0 = 0
z 0 z 0 sen 0 0
Reescribiendo la funcion, tenemos:
z z 0
lim z cot z lim lim
z 0 1
z 0 z 0 tan z 0
cot z
Entonces, por l´Hôpital:
z 11 1
lim lim 1
z 0 1
tan z z 0 sec2 z 1
cos2 (0) 1
____________________________________________________
1 7z 8
3. lim ln
z 0 z 4z 8
1 7z 8 1 7(0) 8
lim ln ln ln(1) 0
z 0 z 4z 8 0 4(0) 8
Reescribiendo la funcion, tenemos:
7z 8 7z 8 7(0) 8
ln ln ln
1 7z 8 4z 8 4z 8 4(0) 8 ln(1) 0
lim ln lim lim
z 0 z 4z 8 z 0 1 z 0 z 0 0 0
1
z
Entonces, por l´Hôpital:
1 ((4 z 8)(7)) ((7z 8)(4))
7z 8 7z 8 (4 z 8)2 7(4 z 8) 4(7z 8)
ln
4z 8 4z 8 (7z 8)(4 z 8)
lim lim lim
z 0 z z 0 1 z 0 1
28 z 56 28 z 32 24 24 24
(7z 8)(4 z 8) (7z 8)(4 z 8) (7(0) 8)(4(0) 8) 64 3
lim lim
z 0 1 z 0 1 1 1 8
Orlando Correa Martínez – 1010346 -3745 Calculo II

2. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II)
5. lim z (e1 z 1)
z 0
lim z (e1 z 1) = lim 0 (e1 0 1) 0 (e 1) = 0
z 0 z 0
Reescribiendo la funcion, tenemos:
(e1 z 1) (e1 0 1)
lim z (e1 z 1) = lim
z 0 z 0 1 1
z 0
Entonces, por l´Hôpital:
1
1z (e1 z )
(e 1) z 2
lim lim lim (e1 z ) e1 0 e
z 0 1 z 0 1 z 0
z z2
____________________________________________________
1 1
9. lim
x 2 x 2 ln(x -1)
1 1 1 1 1 1 1 1
lim
x 2 x 2 ln(x -1) 2 2 ln(2 -1) 0 ln(1) 0 0
Reescribiendo la funcion, tenemos:
11 ln(x -1) ( x 2) ln(2 -1) (2 2) ln(1) 0 0 0 0
lim lim
x 2 x 2 ln(x -1) x 2 (x 2)(ln(x -1)) (2 2)(ln(2 -1)) (0)(ln(1)) 0 0 0
Entonces, por l´Hôpital:
1 1
1 1
ln(x -1) (x 2) (x -1) (x -1)
lim lim lim
x 2 (x 2)(ln(x -1)) x 2 1 x 2 x 2
(1)(ln(x -1)) ( x 2) ln(x -1)
(x -1) (x -1)
1
1
(2 -1) 1 1 0 0
, Con la primera derivada aún se conserva la expresion ,
2 2 0 0 0
ln(2 -1) 0
(2 -1) 1
por esta razón se debe derivar de nuevo cada función.
Entonces, por l´Hôpital:
1 (0)(x 1) (1)(1) 1 1
1
(x -1) (x -1)2 (x -1)2 (2 -1)2
lim lim lim
x 2 x 2 x 2 1 (1)(x 1) (x 2)(1) x 2 1 3 1 3
ln(x -1)
(x -1) x -1 (x -1)2 x -1 (x - 1)2 2 -1 (2 -1)2
1
1 1 1 1
1 3 1 3 2 2
1 1
Orlando Correa Martínez – 1010346 -3745 Calculo II

3. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II)
1 1
14. lim
t 0 t sen t
1 1 1 1
lim = =
t 0 t sen t 0 sen 0
Reescribiendo la funcion, tenemos:
1 1 sen t t sen 0 0 0
lim lim
t 0 t sen t t 0 sen t t sen 0 0 0
Entonces, por l´Hôpital:
1 2 t cos t 1
cos t
sen t t 2 t 2 t 2 t cos t 1
lim lim lim lim
t 0 sen t t t 0 sen t t 0 2t cos t sen t t 0 2t cos t sen t
t cos t
2 t 2 t
2 0 cos (0) 1 2(0)(1) 1 1
2(0) cos (0) sen (0) 2(0)(1) 0 0
____________________________________________________
21. lim z z
z 0
lim z z 00
z 0
Reescribiendo la funcion, tenemos:
lim z ln(z) 0 ( )
z 0
ln(z) ln(0)
lim z ln(z) lim lim
z 0 z 0 1 z 0 1
z 0
Entonces, por l´Hôpital:
1
ln(z) z2
lim lim z lim - lim -z 0
z 0 1 z 0 1 z 0 z z 0
2
z z
Ahora, reemplanzando en eL :
lim z z e0 1
z 0
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4. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II)
22. lim z sen z
z 0
sen z
lim z 00
z 0
Reescribiendo la funcion, tenemos:
lim sen z ln(z) 0 ( )
z 0
ln(z) ln(0)
lim sen z ln(z) lim lim
z 0 z 0 1 z 0 1
sen z 0
Entonces, por l´Hôpital:
1
ln(z) ln(z) z 1 1 tan z 0
lim lim lim lim lim
z 0 1 z 0 csc z z 0 csc z cot z z 0 (z)csc z cot z z 0 (z)csc z 0
sen z
tan z tan z 0 tan z tan 0 0 0
lim lim lim 0
z 0 (z) z 0 ( z) 0 z 0 1 1 1 1
1 sen z 0 cos z cos 0 1
csc z
Ahora, reemplanzando en eL :
lim z sen z e0 1
z 0
___________________________________________________________________________
Orlando Correa Martínez – 1010346 -3745 Calculo II

5. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II)
t
1
23. lim 1
t t
t
1 1
lim 1 1 (1 0) 1
t t
Reescribiendo la funcion, tenemos:
1
t ln 1
1 1 1 t
lim 1 lim t ln 1 0 lim t ln 1 lim
t t t t t t t 1
t
Entonces, por l´Hôpital:
1 t 1 11 t (t 1) t t 1
ln 1 ln
t t ln(t 1) ln(t) t (t 1) t (t 1)
lim lim lim lim t 1 t lim lim
t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1
2 2 2
t t t t t t
2
t t
lim lim , Se debe derivar de nuevo.
t t (t 1) t (t 1)
t 1
lim lim 1
t (t 1) t 1
Ahora, reemplanzando en eL :
t
1
lim 1 e1 e
t t
_____________________________________________________________________________
27. lim (1 2z)1 3 z
z
lim (1 2z)1 3 z 0
z
Reescribiendo la funcion, tenemos:
1
lim (1 2z)1 3 z lim
ln(1 2 z) 0
z 3z z
1 ln(1 2z)
lim ln(1 2z) lim
z 3z z 3z
Entonces, por l´Hôpital:
1 2 2 2
2
ln(1 2z) (1 2z) (1 2z) 1 2( ) 0
lim lim lim 0
z 3z z 3 z 3 3 3 3
L
Ahora, reemplanzando en e :
lim (1 2z)1 3 z e0 1
z
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6. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II)
t
1
25. lim 1 2
t t
t
1 1
lim 2
1 1 (1 0) 1
t t
Reescribiendo la funcion, tenemos:
t
1 1
lim 1 lim t ln 1 0
t t2 t t2
1
ln 1
1 t2
lim t ln 1 lim
t t2 t 1
t
Entonces, por l´Hôpital:
1 t2 1 1 2 2t 2 2(t 2 1)
ln 1 ln 2t
t2 t2 ln(t 2 1) 2ln(t) t2 1 t t (t 2 1)
lim lim lim lim lim
t 1 t 1 t 1 t 1 t 1
2 2
t t t t t
2 2
2t 2t 2
t (t 2
1) 2t 2 2t 2
lim lim lim , Se debe derivar de nuevo.
t 1 t 2
t (t 1) t (1 t 2 ) (1 2
)
t2
2t 2 1 1
lim 2
lim lim 0
t (t 1) t 2t t t
Ahora, reemplanzando en eL :
t
1
lim 1 2 e0 1
t t
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7. Solución Taller 10. Regla de L´Hôpital (Parte II)
Bibliografía
Edwards C.H, Penney D.1994. Calculo con geometría analítica. Cuarta edición. Pág. 458-468
Orlando Correa Martínez – 1010346 -3745 Calculo II