Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

1. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 1
Capítulo II: Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Orden Superior.
Sesión 2.1: Teoría Preliminar de Ecuaciones Lineales.
Definición 2.1.1: (Problema de Valor Inicial)
Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial lineal general de
orden n es:
(*)











10
)1(
1000
011
1
1
)(,...,)(',)(
)()()(...)()(
n
n
n
n
nn
n
n
yxyyxyyxy
xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
Recordar que se desea buscar una función definida en un intervalo que contenga
a 0x y satisfaga la ecuación diferencial y las n condiciones iniciales.
Teorema 2.1.2: (Existencia de una solución única)
Sean )(),(),...,(),( 011 xaxaxaxa nn  y )(xg continuas en un intervalo I y
sea 0)( xan para toda x en el intervalo. Si 0xx  es cualquier punto del intervalo,
existe una solución )(xy del PVI (*) en el intervalo que es única.
Ejemplos:
1. Comprobar que xeey xx
3.3 22
 
es una solución del PVI y ver si es
única.





1)0(',4)0(
124''
yy
xyy
xeey xx
3.3 22
 
32.6' 22
  xx
eey xx
eey 22
4.12'' 

Así, )3.3(44.124'' 2222
xeeeeyy xxxx
 
xeeeeyy xxxx
124.124.124'' 2222
 
xyy 124'' 
Por otro lado, 01)(2 xa , 4)(0 xa y xxg 12)(  son todas
continuas en 0x . Luego, la solución es única.

2. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 2
Observación: Si no se cumple que Ixxan  ,0)( , entonces no necesariamente el
PVI tiene solución única.
2. Comprobar que 3. 2
 xxcy es una solución del PVI y ver si es única.





1)0(',3)0(
62'.2''.2
yy
yyxyx
3. 2
 xxcy 1.2'  xcy cy 2'' 
Así, )3.(2)12.(2)2.(2'.2''. 222
 xcxcxxcxyyxyx
6222422'.2''. 2222
 xcxxcxcxyyxyx
62'.2''.2
 yyxyx
Pero,
2
2 )( xxa  y para 0x se tiene que 00)0( 2
2 a
Por lo tanto, no necesariamente la solución del PVI es única.
Definición 2.1.3: (Problema de Valor de Frontera)
Un problema de valor de frontera representa una ecuación diferencial en término
a las siguientes condiciones iniciales:






10
012
2
2
)(,)(
)()()()(
ybyyay
xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
La solución debe pasar por los puntos ),( 0ya y ),( 1yb
Observación: La condiciones de frontera ó de borde se definen para ecuaciones de
orden dos o más.
0y
a b
1y

3. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 3
Ejemplos: Se sabe que )4(.)4cos(.)( 21 tsenctctx  es una solución de
016''  xx . Hallar la solución del PVF para las condiciones de frontera siguientes:
a) 0)(,0)0( 2  xx
)0.4(.)0.4cos(.0 21 sencc  )0(.)0cos(.0 21 sencc 
0.1.0 21 cc  01  c
Así, )4(.)( 2 tsenctx 
).4(.0 22
senc )2(.0 2 senc 0.0 2c
Luego, 2c toma cualquier valor
Por lo tanto, )4(.)( 2 tsenctx  es la solución del PVF.
b) 0)(,0)0( 8  xx
)0.4(.)0.4cos(.0 21 sencc  )0(.)0cos(.0 21 sencc 
0.1.0 21 cc  01  c
Así, )4(.)( 2 tsenctx 
).4(.0 82
senc )(.0 22
senc 1.0 2c 02  c
Por lo tanto, 0)( tx es la solución del PVF.
c) 1)(,0)0( 2  xx
)0.4(.)0.4cos(.0 21 sencc  )0(.)0cos(.0 21 sencc 
0.1.0 21 cc  01  c
Así, )4(.)( 2 tsenctx 
)2(.1 2 senc 0.1 2c ?01
Por lo tanto, el PVF no tiene solución.
Observación: Un PVF puede tener:
a) varias soluciones
b) una sola solución
c) no tener solución.

4. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 4
Definición 2.1.4: (Ecuación Homogénea)
Una Ecuación Lineal de orden n de la forma:
0)()()(...)()( 012
2
21
1
1  

 yxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa n
n
nn
n
n
Se llama Homogénea, mientras que:
)()()()(...)()( 012
2
21
1
1 xgyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa n
n
nn
n
n  


Se llama No-Homogénea.
Ejemplos:
a) 05'3''2  yyy es Homogénea
b)
x
eyyyx  10'6''3
es no-homogénea
Definición 2.1.5: (Operador Diferencial)
1. La derivada se denota como Dy
dx
dy
 , donde D: operador diferencial
2. Las derivadas de orden Superior se expresan como:
yDDyD
dx
dy
dx
d
dx
yd 2
2
2
)( 






3. En General, yD
dx
yd n
n
n

4. El operador diferencial de orden n, se define como:
)()()(...)()(: 01
2
2
1
1 xaDxayDxayDxayDxaL n
n
n
n  

Observación: La derivada es Lineal, es decir que:
))((.))((.))(.)(.( xgDxfDxgxfD   .
Luego, el operador diferencial de orden n también lo es.
Así, ))((.))((.))(.)(.( xgLxfLxgxfL  

5. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 5
Teorema 2.1.6: (Superposición)
Sean nyyy ,...,, 21 soluciones de (*). La combinación lineal
nn ycycycy  ...2211 es también solución de (*) si Ix
Ejemplos:
1.
2
1 xy  y xxy ln2
2  son soluciones de 04'2'''3
 yxyyx . Verificar
si 2211 ycycy  es solución de la ecuación
2211 ycycy  xxcxcy ln2
2
2
1 
xcxxcxcy 221 ln22'  2221 2ln22'' ccxccy 
221 3ln22'' cxccy 
x
cy
1
.2''' 2
Así, yxyyx 4'2'''3

)ln(4)ln22.(2).2( 2
2
2
1221
1
2
3
xxcxcxcxxcxcxcx x 
xxcxcxcxxcxcxc ln442ln44.2 2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2 
0
2. Si
x
ey 7
1  es solución de 014'9''  yyy , entonces por teorema de
superposición
x
ecy 7
. también lo es. En efecto:
x
ecy 7
. x
ecy 7
.7' x
ecy 7
.49'' 
Así,
xx
ecxececyyy 77
..147.7.9.4914'9'' 
xx
ecxececyyy 77
..147.63.4914'9'' 
xececyyy x
7.63.6314'9'' 7

014'9''  yyy

6. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 6
Definición 2.1.7:
1) Se dice que un conjunto de funciones )(),...,(),( 21 xfxfxf n es Linealmente
Dependiente (LD) en I, si existen constantes nccc ,...,. 21 no todas nulas, tales que:
0)(....)(.)(. 2211  xfcxfcxfc nn .
2) Se dice que un conjunto de funciones es Linealmente Independiente (L. I.) si no es
L. D.
Ejemplo: )(cos)( 2
1 xxf  , )()( 2
2 xsenxf  , )(sec)( 2
3 xxf  y
)()( 2
4 xtgxf  son L. D. en  22 , , ya que:
0)(.)(sec.)(.)(cos. 2
4
2
3
2
2
2
1  xtgcxcxsencxc , donde
1,1,1,1 4321  cccc .
Así, 0)()(sec)()(cos 2222
 xtgxxsenx , ya que:
)()(sec1)()(sec)()(cos 222222
xtgxxtgxxsenx 
)())(1(1 22
xtgxtg  0)()(11 22
 xtgxtg
Por lo tanto, el conjunto )(),(),(),( 4321 xfxfxfxf es LD.
Definición 2.1.8: (Wronskiano)
Supóngase que )(),...,(),( 21 xfxfxf n tienen derivadas al menos de orden
)1( n . Se denomina Wronskiano de las funciones )(),...,(),( 21 xfxfxf n al
determinante:
)1()1(
2
)1(
1
21
21
21
'''
),...,,(


n
n
nn
n
n
n
fff
fff
fff
fffW





7. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 7
Teorema 2.1.9: (Criterio para soluciones L. I.)
Sean nyyy ,...,, 21 n soluciones de:
0)(').('').().().( 012
)1(
1
)(
 
 yxayxayxayxayxa n
n
n
n  en I.
Entonces, el conjunto de soluciones es L. I. si y solo si 0),...,,( 21 nfffW
Definición 2.1.10: (Conjunto fundamental)
Todo conjunto de n soluciones L. I. de la ecuación diferencial Homogénea de
orden n 0)(').('').().().( 012
)1(
1
)(
 
 yxayxayxayxayxa n
n
n
n  en I,
se denomina Conjunto Fundamental.
Teorema 2.1.11:
Sea nyyy ,...,, 21 un conjunto fundamental de soluciones de
0)(').('').().().( 012
)1(
1
)(
 
 yxayxayxayxayxa n
n
n
n  en I. La
solución general de la ecuación en I, es:  inn cycycycy ;... 2211 
Ejemplos:
1. Las funciones
x
ey 3
1  ,
x
ey 3
2

 son soluciones de 09''  yy
0633
33''
),( 00
33
33
21
21
21 

 

ee
ee
ee
yy
yy
yyW xx
xx
Así,  21, yy es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación
diferencial. Por lo tanto, la solución está dada por:
xx
ececy 3
2
3
1 .. 

2. Las funciones
x
ey 1 ,
x
ey 2
2  ,
x
ey 3
3  son soluciones de la ecuación
06116 2
2
3
3
 y
dx
dy
dx
yd
dx
yd
xxx
xxx
xxx
eee
eee
eee
yyy
yyy
yyy
yyyW
32
32
32
321
321
321
321
94
32
''''''
'''),,( 

8. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 8
xx
xx
x
xx
xx
x
xx
xx
x
ee
ee
e
ee
ee
e
ee
ee
eyyyW 2
2
3
3
3
2
32
32
321
4
2
.
9
3
.
94
32
.),,( 
)24.()39.()1218.( 33344255 xxxxxxxxx
eeeeeeeee 
0.2.2.6.62.6.6. 666633425
 xxxxxxxxxx
eeeeeeeeee
Así,  321 ,, yyy es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación
dada. Por lo tanto, la solución de la ecuación deferencial está dada por:
xxx
ecececy 3
3
2
21 ... 
Ecuación no-homogénea
)()(').('').().().( 012
)1(
1
)(
xgyxayxayxayxayxa n
n
n
n  
  (I)
Definición 2.1.12:
Una Solución de (I) que no depende de parámetros, se denomina Solución
Particular.
Teorema 2.1.13: (Solución General, Ecuación Homogénea)
Sea py una solución particular de (I) y sean  nyyy ,,, 21  un conjunto
fundamental de soluciones de la ecuación homogénea. Entonces, la Solución General de
la ecuación es: pnn yycycycy  ... 2211 
Definición 2.1.14: Se denomina función complementaria a:
nnc ycycycy ... 2211   . Así, pc yyy 
Ejemplo: del ejemplo anterior se tiene que
xxx
c ecececy 3
3
2
21 ...  es solución
complementaria de la ecuación 06'11''6'''  yyyy . Si se supone que
xyp 2
1
12
11  es una solución particular de xyyyy 36'11''6'''  , entonces
la solución general de la ecuación no-homogénea es:
pc yyy  xecececy xxx
2
1
12
113
3
2
21 ... 

9. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 9
Teorema 2.1.15: (Superposición, ecuación no-homogénea)
Sean  kppp yyy ,,, 21
 soluciones particulares de (I) en donde )(xg es
kgg ,,1  respectivamente, es decir: ipy es solución particular de
)()(').('').().().( 012
)1(
1
)(
xgyxayxayxayxayxa i
n
n
n
n  
 
Entonces, kpkppp ycycycy ... 21 21   es solución particular de:
)()()(').('').().().( 1012
)1(
1
)(
xgxgyxayxayxayxayxa k
n
n
n
n  
 
Ejemplo: Supóngase que:
2
41
xyp  Es solución de: 824164'3'' 2
 xxyyy
x
p ey 2
2
 Es solución de:
x
eyyy 2
24'3'' 
x
p xey 3
Es solución de:
xx
exeyyy  24'3''
Así, por el teorema anterior:
xx
pppp xeexyyyy  22
4321
Es solución particular de:
)2()2()82416(4'3'' 22 xxx
exeexxyyy 

10. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 10
Ejercicios Propuestos 2.1:
Compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de
la ecuación diferencial dada, forme la solución general.
1.
xx
eeyyy 43
,;012''' 

2. )2(),2cos(;05'2'' xsenexeyyy xx

3. 22
,;0'4''4
xx
xeeyyy 
4.
432
,;012'6'' xxyxyyx 
5. )(ln),(ln;0'''2
xsenxcoxyxyyx 
6. xxxxyxyyxyx ln,,;04'4''6''' 2223 

7. )(),cos(,,1;0'')4(
xsenxxyy 
Compruebe que la familia biparamétrica de funciones dadas es solución general de la
ecuación no-homogénea dada
8. ;2410'7'' x
eyyy 
xxx
eececy .6.. 5
2
2
1 
9. );sec('' xyy 
)cos(ln)cos()()()cos( 21 xxxxsenxsencxcy 
10. ;12424'4'' 2
 xeyyy x
2... 222
2
2
1  xexxececy xxx
11. ;'5''2 22
xxyxyyx 
xxxcxcy 6
12
15
11
21 .. 2
1
 
12. (a) Compruebe que
x
p ey 2
31
 y xxyp 32
2
 son, respectivamente
soluciones de
x
eyyy 2
95'6''  y 16355'6'' 2
 xxyyy
(b) Use la parte (a) para determinar soluciones particulares de
x
exxyyy 22
916355'6''  y
x
exxyyy 22
326105'6'' 

11. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 11
Sesión 2.2: Reducción de Orden.
Supóngase que se tiene: 0)(').('').( 012  yxayxayxa (*)
Se desea formar una solución de )(2 xy de (*) a partir de una solución )(1 xy
conocida de (*). Si )(1 xy y )(2 xy son soluciones L. I. de (*), entonces
)(/)( 12 xyxy es no constante (Variable), esto es: )(
)(
)(
1
2
xu
xy
xy
 ó
)().()( 12 xuxyxy  .
La idea es determinar )(xu sustituyendo )().()( 12 xuxyxy  en (*)
Ejemplo: Si
x
exy )(1 es solución de 0'' yy , determinar )(2 xy
)().()( 12 xyxuxy  x
exuxy ).()(2 
'.'2 ueeuy xx
 '''2.''2 ueueeuy xxx

Así, 0.'''2.0'' 22  xxxx
euueueeuyy
0'''2  ueue xx
0)'''2.(  uuex
0'2''  uu
Sea 'uw  , entonces: 02'  ww (Ecuación Linear de Primer Orden)
2)( xP xdxdxxP
eee 2.2)(

Así,
xx
ewwe 22
.0)2'.(  02'. 22
 wewe xx
0).( 2
 we
dx
d x
1
2
. cwe x
 x
ecw 2
1. 

x
ecu 2
1.' 
 2
2
1 cdxecu x
 

2
21
.
2
ce
c
u x
 
Luego,
xx
ece
c
xy ..
2
)( 2
21
2 





  xx
ece
c
xy ..
2
)( 2
1
2  

12. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 12
Si 21 c y 12 c , entonces
xx
eexy  
)(2
x
exy )(1 y
xx
eexy  
)(2 son L. I. En efecto:
xxx
xxx
eee
eee
yy
yy
yyW


 

''
),(
21
21
21
02).().( 2020
  xxxxxxxx
eeeeeeeeee
Así, )(.)(.)( 2211 xycxycxy 
).(.)( 21
xxx
eececxy  
Método de Solución en General
Si 0)(').('').( 012  yxayxayxa (*), se estandariza, es decir:
0
)(
)(
'
)(
)(
''
2
0
2
1
 y
xa
xa
y
xa
xa
y
0)(')(''  yxQyxPy ;
)(
)(
)(
2
1
xa
xa
xP  y
)(
)(
)(
2
0
xa
xa
xQ 
Si )(1 xy es solución de (*), se determina )().()( 12 xyxuxy 
'.'.)(' 112 uyyuxy  ''.''2'')('' 1112 uyuyuyxy 
Así, 0)(')('' 222  yxQyxPy
0).).(()'.'.).(()''.''2''( 111111  yuxQuyyuxPuyuyuy
0')(''.''2)(')('' 111111  uyxPuyuyyxuQyxuPuy
0')(''.''2))(')(''.( 111111  uyxPuyuyyxQyxPyu
0').)('2('' 111  uyxPyuy

13. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 13
Sea 'uw  , entonces: 0).)('2(' 111  wyxPywy
wyxPy
dx
dw
y ).)('2(. 111  dxxPdx
y
y
dw
w
)(
'21
1
1



cdxxPyw   )(ln2ln 1 cdxxPyw   )(lnln
2
1
cdxxP
eyw 
 )(2
1. dxxP
ecyw 
 )(
1
2
1 .. 2
1
)(
1.
y
ec
w
dxxP

2
1
)(
1.
'
y
ec
u
dxxP
 22
1
)(
1 cdx
y
e
cu
dxxP
 

; si 0,1 21  cc
Así, 

 dx
xy
e
xyxy
dxxP
)(
).()( 2
1
)(
12 (I)
)(.)(.)( 2211 xycxycxy 
Ejemplo: Si
2
1 )( xxy  es una solución de 04'.3''.2
 yyxyx . Determinar la
solución general de la ecuación diferencial.
0
4
'
3
'' 2
 y
x
y
x
y
x
xP
3
)( 
3lnln3
33
)( 3
xeeeee xx
dx
x
dx
x
dxxP




 
Así,    xxdx
x
xdx
x
x
xxy ln.
1
.
)(
.)( 22
22
3
2
2
Luego, )(.)(.)( 2211 xycxycxy 
xxcxcxy ln...)( 2
2
2
1  es la solución general de la ecuación.
Observación: Ahora se resolverá el ejercicio sin utilizar la formula (I) sino el
procedimiento general descrito anteriormente.

14. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 14
Ejemplo: Si
2
1 )( xxy  es una solución de 04'.3''.2
 yyxyx . Determinar la
solución general de la ecuación diferencial.
2
2 .xuy  '.2.' 2
2 uxxuy  ''.'42'' 2
2 uxxuuy 
Así, 04'.3''. 222
2
 yyxyx
0).(4)'.2..(3)''.'42.( 2222
 uxuxxuxuxxuux
04'36'''42 232432
 uxuxuxuxuxux
0''' 34
 uxux 0)'''.(3
 uxux 0'''  uxu
Sea 'uw  , entonces: 0' wxw 0
1
'  w
x
w
w
xdx
dw 1
 dx
x
dw
w
11
 1lnln cxw 
1.ln cxw  1
. c
exw  1
1
1
; c
ek
x
k
w 
x
k
u 1
' 21
1
. kdx
x
ku   21 ln. kxku 
Tomando 0,1 21  kk , se tiene que: xxu ln)(  xxxy ln)( 2
2 
xxcxcxy ln...)( 2
2
2
1  Representa la Solución General de la Ecuación
Diferencial.

15. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 15
Ejercicios Propuestos 2.2:
Sabiendo que )(1 xy es solución de la ecuación dada, determinar la solución general
por reducción de Orden.
1.
x
exyyyy 2
1 )(;04'4'' 
2.
x
xexyyyy 
 )(;0'2'' 1
3. )4cos()(;016'' 1 xxyyy 
4. )3()(;09'' 1 xsenxyyy 
5.
x
exyyy 5
1 )(;025'' 
6.
3/2
1 )(;04'12''9 x
exyyyy 
7.
3/
1 )(;0'''6 x
exyyyy 
8.
4
1
2
)(;016'7'' xxyyxyyx 
9.
2
1
2
)(;06'2'' xxyyxyyx 
10. xxyyxy ln)(;0''' 1 
11. xxxyyx ln.)(;0''4 1
2

12. )(ln)(;02''' 1
2
xxsenxyyxyyx 
13. )cos(ln)(;05'3'' 2
1
2
xxxyyxyyx 
14. 1)(;02')1(2'')21( 1
2
 xxyyyxyxx
15. 1)(;0'2'')1( 1
2
 xyxyyx

16. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 16
Sesión 2.3: Ecuaciones Lineales Homogéneas con Coeficientes Constantes.
Se ha evidenciado que la ecuación diferencial: 0' ayy tiene solución
ax
ecy 
 .1 en ),( I . Entonces, si se tiene la ecuación:
0'.''... 012
)1(
1
)(
 
 yayayayaya n
n
n
n  (1) con ia constante
“Todas las soluciones de (1) son funciones exponenciales o están formadas a partir
de funciones exponenciales”
Método de Solución.
Para el caso de segundo orden, se tiene: 0'''  cybyay (2)
mx
ey  mx
emy .' mx
emy .'' 2

Así, (2) se transforma en: 0..... 2
 mxmxmx
ecembema
0)...( 2
 mx
ecmbma
0.. 2
 cmbma (3)
Esta última ecuación se denomina Ecuación Auxiliar ó Ecuación
Característica
Ahora, se estudiarán los casos que puede tomar la Ecuación Auxiliar (3).
 Caso #1: Raíces Reales Diferentes
1m y 2m son raíces reales y 21 mm 
Así,
xm
exy 1
)(1  y
xm
exy 2
)(2  son Soluciones L. I. de (2).
Por lo tanto,
xmxm
ececxy 21
..)( 21  representa la solución general de la
ecuación (2)
 Caso #2: Raíces Reales Iguales
1m y 2m son raíces reales y 21 mm  ( abmacb 2/04 1
2
 )

17. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 17
Así,
xm
exy 1
)(1  y aplicando la fórmula del método de Reducción de orden,
se tiene:


 dx
xy
e
xyxy
dxxP
)(
).()( 2
1
)(
12  dx
e
e
exy xm
xm
xm
2
2
2
)(
.)( 1
1
1
 dxexy xm
.)( 1
2
xm
xexy 1
)(2 
Luego,
xm
exy 1
)(1  y
xm
xexy 1
)(2  son Soluciones L. I. de (2).
Por lo tanto,
xmxm
xececxy 11
..)( 21  representa la solución general de la
ecuación (2)
 Caso #1: Raíces Complejas Conjugadas.
Cmm 21, :  im 1 ,  im 2 ;

, y 1i
Luego, como en el caso 1, se tiene:
xixi
ececxy )(
2
)(
1 ..)(  

En la práctica, se prefiere trabajar con funciones reales. Así, consideremos la
ecuación de Euler )()cos( 
isenei

)()cos( xisenxe xi

 y )()cos( xisenxe xi


)()cos( xisenxe xi

 y )()cos( xisenxe xi


)(2)cos(2 xiseneexee xixixixi
 
 
Como
xixi
ececxy )(
2
)(
1 ..)(  
 , tomando 121  cc y
luego tomando 1,1 21  cc , se tiene:
xixixixi
eexyeexy )()(
2
)()(
1 )()(  

).()().()( 21
xixixxixix
eeexyeeexy  

)(2.)()cos(2.)( 21 xisenexyxexy xx
 

Por lo tanto, )(.),cos( xsenexe xx
 
son soluciones L. I. de (2)
Así, ))(.)cos(..()( 21 xsencxcexy x

 representa la solución
general de la ecuación (2)

18. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 18
Ejemplos: En cada caso, hallar la solución general de la ecuación homogénea.
1. 03'5''2  yyy
mx
ey  mx
emy .' mx
emy .'' 2

Así, 0.3..5..2 2
 mxmxmx
eemem
0).3.5.2( 2
 mx
emm 03.5.2 2
 mm
0)3).(12(  mm
3
2
1
21  mm
Luego,
xx
ececxy 3
2
2
1
1 ..)( 

es la solución general.
2. 025'10''  yyy
mx
ey  mx
emy .' mx
emy .'' 2

Así, 0.25..10.2
 mxmxmx
eemem
0).25.10( 2
 mx
emm 05.5.2 22
 mm
0)5( 2
 m 521  mm
Luego,
xx
xececxy 5
2
5
1 ..)(  es la solución general.
3. 0'''  yyy
mx
ey  mx
emy .' mx
emy .'' 2

Así, 0..2
 mxmxmx
eemem
0).1( 2
 mx
emm
012
 mm
im
2
3
2
1
2
31
1.2
1.1.411 2





imim
2
3
2
1
2
3
2
1
21 
Por lo tanto, ))(.)cos(..()( 2
3
22
3
1
2
1
xsencxcexy
x



19. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 19
4. Resolver el siguiente P. V. I.





2)0(',1)0(
013'4''
yy
yyy
mx
ey  mx
emy .' mx
emy .'' 2

Así, 0.13..4.2
 mxmxmx
eemem
0).134( 2
 mx
emm 01342
 mm
imim 3232 21 
Por lo tanto, ))3(.)3cos(..()( 21
2
xsencxcexy x

Como 1)0( y : )))0(3(.))0(3cos(..(1 21
)0(2
sencce 
)0.1..(11 21 cc  11  c
Por otro lado, 2)0(' y : ).30()0.(22 21 cc 
21 .322 cc  2.322 c 2.34 c 3
4
2  c
))3(.)3cos(.()( 3
42
xsenxexy x

Ecuaciones de Orden Superior
En general, 0'.''... 012
)1(
1
)(
 
 yayayayaya n
n
n
n  (4)
Se debe resolver la ecuación característica:
0'.''... 012
1
1  
 amamamama n
n
n
n  (5)
 Si todas las raíces de (5) son reales y distintas, la solución general de (4) es:
xm
n
xmxm n
ecececxy ...)( 21
21  
 Si 1m es una raíz de multiplicidad k, las soluciones L. I. que posee son:
xmkxmxmxmxm
exexexxee 11111 132
,,,,, 
 y la solución general contiene al
término
xmk
k
xmxmxmxm
excexcexcxecec 11111 13
4
2
321. 
 
 Las raíces complejas de una ecuación característica siempre aparecer en pares
conjugados.

20. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 20
Ejemplos:
5. 04''3'''  yyy
mx
ey  mx
emy .' mx
emy .'' 2
 mx
emy .''' 3

Así, 04.3. 23
 mxmxmx
eemem
0).43( 23
 mx
emm
043 23
 mm
0)44).(1( 2
 mmm
0)2).(1( 2
 mm
2,1 321  mmm
Luego,
xxx
xecececxy 2
3
2
21 ...)( 

6. 0''2)4(
 yyy
mx
ey  mx
emy .' mx
emy .'' 2

mx
emy .''' 3
 mx
emy .4)4(

Así, 0.2. 24
 mxmxmx
eemem
0.2. 24
 mxmxmx
eemem 0).12( 24
 mx
emm
012 24
 mm 0)1( 22
 m
immimm  4231
Luego, ))()cos(.()()cos()( 4321 xsencxcxxsencxcxy 

21. Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo II Página 21
Ejercicios Propuestos 2.3:
Determine la solución general de las siguientes ecuaciones de Segundo Orden
1. 06'''  yyy 2. 02'3''  yyy
3. 016'8''  yyy 4. 02'5''12  yyy
5. 09''  yy 6. 0''3 yy
7. 05'4''  yyy 8. 0'2''2  yyy
9. 0'2''3  yyy 10. 04'3''2  yyy
Determinar la solución general de las siguientes ecuaciones de orden superior
11. 0'5''4'''  yyy 12. 0''' yy
13. 09'3''5'''  yyyy 14. 012'4''3'''  yyyy
15. 02''2'''  yyy 16. 04'''''  yyy
17. 0'3''3'''  yyyy 18. 08'12''6'''  yyyy
19. 0''''')4(
 yyy 20. 0''2)4(
 yyy
21. 09''2416 )4(
 yyy 22. 018''7)4(
 yyy
23. 05'''10'''25 )4()5(
 yyyyyy
24. 0''8'''1272 )4()5(
 yyyy
Resolver cada P. V. I.
25. 2)0(',2)0(;016''  yyyy
26. 2)(',0)(;0'' 33   yyyy
27. 2)1(',0)1(;05'4''  yyyyy
28. 5)0(',1)0(;03'4''4  yyyyy
29. 7)0('',1)0(',0)0(;0'36''12'''  yyyyyy
30. 1)0('',0)0(')0(;06'5''2'''  yyyyyyy