1. Apuntes de Ingeniería Financiera
TEMA 4: Opciones II: Límites
en los precios de las opciones
© CARLOS FORNER RODRÍGUEZ
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad, UNIVERSIDAD DE ALICANTE
En este tema estudiaremos qué límites y qué relaciones deben cumplir
las primas de las opciones para que no existan oportunidades de arbitraje en el
mercado. Concretamente aprenderemos que (i) las primas de las opciones
deben moverse dentro de una horquilla, es decir, tienen un límite inferior y
superior; (ii) las primas de opciones que sólo se diferencian en uno de sus
términos (por ejemplo, dos opciones call idénticas pero con distinto precio de
ejercicio) deben cumplir cierta relación; y (iii) la relación que debe existir entre
las primas de una call y una put idénticas en todos sus términos (paridad put-
call)
También estudiaremos cómo explotar las oportunidades de arbitraje en
caso de que no se cumplan estos límites y relaciones. Una oportunidad de
arbitraje es la posibilidad de obtener una ganancia segura y autofinanciada, en
otras palabras, supone una imperfección del mercado por la cual ¡el mercado
regala dinero! La explotación de dicha oportunidad de arbitraje por numerosos
inversores hace que las primas de las opciones se ajusten rápidamente hasta
que se cumplan los límites y relaciones estudiados.
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2. Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner
Apuntes de
Ingeniería Financiera
TEMA 4: OPCIONES II: LÍMITES
EN LOS PRECIOS DE LAS
OPCIONES
© Carlos Forner Rodríguez
Universidad de Alicante
Departamento de Economía Financiera y Contabilidad
Apuntes de Ingeniería Financiera
Ingenierí Carlos Forner
Tema 4: Opciones II:
Índice
Límites
1. Introducción
2. Límites en los precios de las CALLs
3. Límites en los precios de las PUTs
4. Paridad PUT-CALL
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3. Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner
Apuntes de Ingeniería Financiera
Ingenierí Carlos Forner
Tema 4: Opciones II:
1. Introducción
Límites
¿Call?t CallT =max ( PT – K , 0)
¿Putt? PutT = max ( K - PT , 0)
t T
Principio de ausencia de arbitraje (precio único) ⇒ Límites y
relaciones que deben de cumplir los precios (primas) de las opciones:
Callt y Putt
Supuestos:
Opciones Europeas
El subyacente no genera rendimientos a lo largo de la vida de la
opción (no se reparten dividendos).
opció
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Ingenierí Carlos Forner
Tema 4: Opciones II:
2. Límites en las CALLS
Límites
LÍMITE 1: El precio de una opción de compra nunca puede ser mayor que
opció
la cotización del activo subyacente:
cotizació
Callt < Pt, suby
⇒ Nadie va a estar dispuesto a pagar por un derecho de compra más de lo
má
que vale el activo que te da derecho a comprar.
Si no se cumpliese este límite: Callt ≥ Pt, suby ⇒ Op. Arbitraje:
lí Op.
Flujo caja final (T)
Flujo Caja inicial (t)
PT < K K < PT
vender CALL Callt 0 -(PT – K)
Comprar subyacente - Pt PT PT
Total (Callt – Pt) ≥ 0 PT ≥ 0 K>0
⇒ ↑ oferta de Calls ⇒ ↓ Callt
⇒ ↑ demanda del subyacente ⇒ ↑ Pt Hasta que Callt < Pt, suby
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Apuntes de Ingeniería Financiera
Ingenierí Carlos Forner
Tema 4: Opciones II:
2. Límites en las CALLS
Límites
LÍMITE 2:
Callt > max [0, Pt – K(1+i)-(T-t)]
(T-
⇒ Nadie va a estar dispuesto a adquirir una obligación (vender una call) a
obligació call)
cambio de nada ⇒ Callt > 0
⇒ Si Callt ≤ Pt – K(1+i)-(T-t) ⇒ Op. Arbitraje:
(T- Op.
Flujo de Caja final (T)
Flujo de Caja inicial (t)
PT < K K < PT
comprar CALL -Callt 0 (PT – K)
Vender subyacente Pt - PT - PT
Comprar bono cupón
– K(1+i)-(T-t)
(T- K K
cero, Nominal= K
Total (Pt - K(1+i)-(T-t) – Callt ) ≥ 0
(T- (K – PT) > 0 0
⇒ ↑ demanda de Calls ⇒ ↑ Callt
Hasta que Callt > Pt – K(1+i)-(T-t)
(T-
⇒ ↑ oferta del subyacente ⇒ ↓ Pt
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Tema 4: Opciones II:
2. Límites en las CALLS
Límites
LÍMITE 3:
Si KB < KA ⇒ Callt (KB) > Callt (KA)
⇒ Una call tiene mayor valor cuando más barato nos de derecho a comprar
má
⇒ Si Callt (KB) ≤ Callt (KA) ⇒ Op. Arbitraje:
Op.
Flujo de Caja Flujo de Caja final (T)
inicial (t) PT < KB< KA KB < PT < KA KB < KA < PT
Comprar CALL(KB) -Callt (KB) 0 (PT – KB) (PT – KB)
Vender CALL(KA) Callt (KA) 0 0 - (PT – KA)
(Callt (KA) -Callt (KB))
)
Total 0 (PT – KB) > 0 (KA –KB) > 0
≥0
⇒ ↑ demanda de Calls (KB) ⇒ ↑ Callt (KB)
Hasta que Callt (KB) > Callt (KA)
⇒ ↑ oferta de Calls (KA) ⇒ ↓ Callt (KA)
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Tema 4: Opciones II:
2. Límites en las CALLS
Límites
LÍMITE 4:
Si T1 < T2 ⇒ Callt (T2) > Callt (T1)
⇒ Una call tiene mayor valor cuando más tiempo queda hasta vencimiento
má
⇒ Si Callt (T2) ≤ Callt (T1) ⇒ Op. Arbitraje:
Op.
Flujo de Caja inicial Flujo de Caja final (T1)
(t) PT1 < K K < PT1
vender CALL (T1) Callt (T1) 0 -(PT1 – K)
comprar CALL (T2) - Callt (T2) >0 > (PT1 – K(1+i) -(T2-T1))
(T2-
(Callt (T1) - Callt (T2))
Total >0 > (K – K(1+i) -(T2-T1)) > 0
(T2-
≥0
⇒ ↑ oferta de Calls (T1) ⇒ ↓ Callt (T1)
Hasta que Callt (T2) > Callt (T1)
⇒ ↑ demanda Calls (T2) ⇒ ↑ Callt (T2)
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Tema 4: Opciones II:
2. Límites en las CALLS
Límites
LÍMITE 5:
Si KB < KA ⇒ Callt (KB) - Callt (KA) < [KA-KB](1+i)-(T-t)
(T-
⇒ Si Callt (KB) - Callt (KA) ≥ [KA-KB](1+i)-(T-t) ⇒ Op. Arbitraje:
(T- Op.
Flujo de Caja Flujo de Caja final (T)
inicial (t) PT < KB< KA KB < PT < KA KB < KA < PT
Vender CALL(KB) Callt (KB) 0 -(PT – KB) -(PT – KB)
Comprar CALL(KA) -Callt (KA) 0 0 (PT – KA)
Comprar Bono
-[KA-KB](1+i)-(T-t)
(T- [KA-KB] [KA-KB] [KA-KB]
Nominal = KA -KB
Total ≥0 [KA-KB] (KA – PT) > 0 0
⇒ ↑ oferta Calls (KB) ⇒ ↓ Callt (KB) Hasta que:
⇒ ↑ demanda Calls (KA) ⇒ ↑ Callt (KA) Callt(KB)-Callt(KA)<[KA-KB](1+i)-(T-t)
(T-
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Apuntes de Ingeniería Financiera
Ingenierí Carlos Forner
Tema 4: Opciones II:
2. Límites en las CALLS
Límites
LÍMITE 6: El precio de una opción es una función convexa del precio de
opció funció
ejercicio:
Si KM = ПKB +(1-П)KA con 0<П<1 ⇒
+(1- 0<П
Callt (KM)< ПCallt (KB) + (1-П)Callt (KA)
(1-
⇒ Si Callt (KM)≥ ПCallt (KB) + (1-П)Callt (KA) ⇒ Op. Arbitraje:
(1- Op.
Flujo Caja Flujo de Caja final (T)
inicial (t) PT<KB KB<PT<KM KM<PT<KA KA<PT
Vender CALL(KM) Callt (KM) 0 0 -(PT-KM) -(PT-KM)
Comprar П CALL(KB) - ПCallt(KB) 0 П(PT-KB)
(P П(PT-KB)
(P П(PT-KB)
(P
Comprar
-(1-П)Callt(KA) 0 0 0 (1-П)(PT-KA)
(P
(1-П) CALL(KA)
Total ≥0 0 >0 A>0 B=0
A ⇒ -PT+KM+ПPT-ПKB = -(1-П)PT+ ПKB+(1-П)KA-ПKB = (1-П)(KA-PT) >0
P K (1- P K
B ⇒ -PT+KM+ПPT- ПKB+ PT-ПPT+ (1-П)KA=0
P K P (1- K
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Tema 4: Opciones II:
3. Límites en las PUTS
Límites
LÍMITE 1: El precio de una opción de venta nunca puede ser mayor que el
opció
valor actual de su precio de ejercicio:
Putt < K(1+i)-(T-t)
(T-
Si no se cumpliese este límite: Putt ≥ K(1+i)-(T-t) ⇒ Op. Arbitraje:
lí (T- Op.
Flujo de Caja final (T)
Flujo de Caja inicial (t)
PT < K K < PT
vender PUT Putt -(K – PT) 0
Comprar Bono cupón
-K(1+i)-(T-t) K K
cero con Nominal = K
Total (Putt–K(1+i)-(T-t))≥ 0 PT ≥ 0 K>0
⇒ ↑ oferta de Puts ⇒ ↓ Putt ⇒ Hasta que Putt < K(1+i)-(T-t)
(T-
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7. Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner
Apuntes de Ingeniería Financiera
Ingenierí Carlos Forner
Tema 4: Opciones II:
3. Límites en las PUTS
Límites
LÍMITE 2:
Putt > max [0, K(1+i)-(T-t) – Pt]
(T-
⇒ Nadie va a estar dispuesto a adquirir una obligación (vender una put) a
obligació put)
cambio de nada ⇒ Putt > 0
⇒ Si Putt ≤ K(1+i)-(T-t) – Pt ⇒ Op. Arbitraje:
(T- Op.
Flujo de Caja final (T)
Flujo de Caja inicial (t)
PT < K K < PT
comprar PUT -Putt (K-PT)
(K- 0
Comprar subyacente -Pt PT PT
Vender bono cupón
K(1+i)-(T-t)
(T- -K -K
cero, Nominal= K
Total (K(1+i)-(T-t) – Pt - Putt ) ≥ 0
(T- 0 (PT – K) > 0
⇒ ↑ demanda de Puts ⇒ ↑ Putt
Hasta que Putt > K(1+i)-(T-t) – Pt
(T-
⇒ ↑ demanda subyacente ⇒ ↑ Pt
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Apuntes de Ingeniería Financiera
Ingenierí Carlos Forner
Tema 4: Opciones II:
3. Límites en las PUTS
Límites
LÍMITE 3:
Si KB < KA ⇒ Putt (KB) < Putt (KA)
⇒ Una put tiene mayor valor cuando más caro nos de derecho a vender
má
⇒ Si Putt (KB) ≥ Putt (KA) ⇒ Op. Arbitraje:
Op.
Flujo de Caja Flujo de Caja final (T)
inicial (t) PT < KB< KA KB < PT < KA KB < KA < PT
Vender PUT(KB) Putt (KB) -(KB – PT) 0 0
Comprar PUT(KA) -Putt (KA) (KA – PT) (KA – PT) 0
(Putt (KB) -Putt (KA))
)
Total (KA –KB) > 0 (KA – PT) > 0 0
≥0
⇒ ↑ oferta de Puts (KB) ⇒ ↓ Putt (KB)
Hasta que Putt (KB) < Putt (KA)
⇒ ↑ demanda de Puts (KA) ⇒ ↑ Putt (KA)
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8. Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner
Apuntes de Ingeniería Financiera
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Tema 4: Opciones II:
3. Límites en las PUTS
Límites
LÍMITE 4: NO EXISTE
Si T1 < T2 ⇒ Putt (T2) >=< Putt (T1)
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Apuntes de Ingeniería Financiera
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Tema 4: Opciones II:
3. Límites en las PUTS
Límites
LÍMITE 5:
Si KB < KA ⇒ Putt (KA) - Putt (KB) < [KA-KB](1+i)-(T-t)
(T-
⇒ Si Putt (KA) - Putt (KB) ≥ [KA-KB](1+i)-(T-t) ⇒ Op. Arbitraje:
(T- Op.
Flujo de Caja Flujo de Caja final (T)
inicial (t) PT < KB< KA KB < PT < KA KB < KA < PT
Vender PUT(KA) Putt (KA) -(KA – PT) -(KA – PT) 0
Comprar PUT(KB) -Putt (KB) (KB – PT) 0 0
Comprar Bono
-[KA-KB](1+i)-(T-t)
(T- [KA-KB] [KA-KB] [KA-KB]
Nominal = KA -KB
Total ≥0 0 (PT – KB) > 0 [KA-KB]>0
⇒ ↑ oferta Puts (KA) ⇒ ↓ Putt (KA) Hasta que:
⇒ ↑ demanda Puts (KB) ⇒ ↑ Putt (KB) Putt(KA)-Putt(KB)<[KA-KB](1+i)-(T-t)
(T-
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9. Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner
Apuntes de Ingeniería Financiera
Ingenierí Carlos Forner
Tema 4: Opciones II:
3. Límites en las PUTS
Límites
LÍMITE 6: El precio de una opción es una función convexa del precio de
opció funció
ejercicio:
Si KM = ПKB +(1-П)KA con 0<П<1 ⇒
+(1- 0<П
Putt (KM)< ПPutt (KB) + (1-П)Putt (KA)
(1-
⇒ Si Putt (KM)≥ ПPutt (KB) + (1-П)Putt (KA) ⇒ Op. Arbitraje:
(1- Op.
Flujo Caja Flujo de Caja final (T)
inicial (t) PT<KB KB<PT<KM KM<PT<KA KA<PT
Vender PUT(KM) Putt (KM) -(KM-PT) -(KM-PT) 0 0
Comprar П PUT(KB) - ПPutt(KB) П(KB-PT)
(K 0 0 0
Comprar
-(1-П)Putt(KA) (1-П)(KA-PT)
(K (1-П)(KA-PT)
(K (1-П)(KA-PT)
(K 0
(1-П) PUT(KA)
Total ≥0 B=0 A>0 >0 0
A ⇒ PT-KM+KA-PT – ПKA+ ПPT = -ПKB-(1-П)KA+(1-П)KA + ПPT = П(PT-KB) >0
K
B ⇒ PT-KM-ПPT+ ПKB- PT+ПPT+ (1-П)KA=0
P K P (1- K
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Apuntes de Ingeniería Financiera
Ingenierí Carlos Forner
Tema 4: Opciones II:
4. Paridad PUT-CALL
Límites
Callt = Putt + Pt - K(1+i)-(T-t)
(T-
Si no se cumple este límite: Callt >< Putt + Pt - K(1+i)-(T-t) ⇒ Arbitraje
lí (T-
Por ejemplo: si Callt < Putt + Pt - K(1+i)-(T-t)
(T-
Flujo de Caja final (T)
Flujo de Caja inicial (t)
PT < K K < PT
Comprar CALL -Callt 0 (PT – K)
Vender PUT Putt -(K – PT) 0
Vender subyacente Pt -PT -PT
Comprar Bono cupón
-K(1+i)-(T-t) K K
cero con Nominal = K
Total (Putt+Pt–K(1+i)-(T-t)-Callt)> 0 0 0
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10. Apuntes de Ingeniería Financiera Carlos Forner
Apuntes de Ingeniería Financiera
Ingenierí Carlos Forner
Tema 4: Opciones II:
4. Paridad PUT-CALL
Límites
¿Qué ocurre si el subyacente reparte dividendos?
Callt = Putt + Pt - K(1+i)-(T-t) -d(1+i)-(td-t)
(T- td-
Por ejemplo: si Callt < Putt + Pt - K(1+i)-(T-t) -d(1+i)-(td-t)
(T- td-
Flujo Caja Pago Flujo de Caja final (T)
inicial (t) dividendos (td) PT < K K < PT
Comprar CALL -Callt - 0 (PT – K)
Vender PUT Putt - -(K – PT) 0
Vender subyacente Pt -d -PT -PT
Comprar Bono cupón --
-K(1+i)-(T-t) K K
cero con Nominal = K
Comprar Bono cupón
-d(1+i)-(td-t) d - -
cero con Nominal = d
Total >0 0 0 0
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11. APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA CARLOS FORNER
EJERCICIOS
Ejercicio 4.1
Analice si existió alguna oportunidad de arbitraje entre las cotizaciones de las
OPCIONES sobre acciones de SACYR-VALLE el 26/02/2010 y en el caso de encontrar
alguna explique de forma detallada como se llevaría a cabo.
0,65 0,70
Fuente: www.meff.es (NOTA: Algunas cotizaciones están falseadas)
Fuente: www.infobolsa.com
Fuente: www.meff.es
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