Finanzas

1. ECONOMÍA
FINANCIERA
Tema 2: El valor del dinero en el tiempo y la ecuación básica de valoración
Vídeo Sesión 2
Profesor: Javier Gómez Biscarri

2. ÍNDICE
1. El valor del dinero en el tiempo: tipos de
interés y coste de oportunidad
2. Representación de secuencias de flujos de caja
3. La ecuación básica de valoración: el valor de
un activo
4. La ecuación básica y elVAN
5. Algunas simplificaciones útiles de la ecuación
básica de valoración: perpetuidades y
anualidades

3. El valor del dinero en el tiempo
Vimos en la anterior sesión que las decisiones financieras tienen dos
componentes comunes:
1.Tienen implicaciones que se extienden durante varios periodos de tiempo
2.El concepto de rentabilidad está siempre presente: el uso de fondos en un
empleo determinado siempre implica renunciar a una ganancia (en el mejor
empleo alternativo: un coste de oportunidad).
Estos dos componentes nos llevan a considerar el principal concepto del análisis
financiero: el valor del dinero en el tiempo.

4. El valor del dinero en el tiempo
No es lo mismo recibir un dólar hoy que un dólar dentro de un año; un dólar hoy
es más valioso: lo normal es que puedas invertir el dólar y al cabo de un año
tener ese dólar más lo que hayas ganado al invertirlo (una rentabilidad).
Por ello, generalmente un dólar hoy equivale a más de un dólar dentro de un
año. ¿Cuánta cantidad nos tendrían que dar dentro de un año para estar
dispuestos a renunciar a un dólar hoy?
La respuesta a esta pregunta depende de la disponibilidad que tengamos de
invertir ese dólar hoy y obtener una rentabilidad futura.

5. El valor del dinero en el tiempo
Imaginemos que podemos invertir el dinero y ganar un 10% anual. Un dólar
invertido a este tipo de interés se convertiría en $1 × (1+10%) = $1.1 dentro de un
año.
Por lo tanto, para nosotros tener $1.1 dentro de un año sí sería equivalente a
tener un dólar hoy.Y la clave de esta comparación de valores en el tiempo es,
precisamente, la rentabilidad potencial que podemos obtener, ese 10%.
Podemos entender esta equivalencia también al revés: si necesitas $1 hoy (para
consumir) puedes pedirlo prestado, pero entonces tendrás que devolver $1.1
dentro de un año.

6. El valor del dinero en el tiempo
Por supuesto, si vamos más allá de un año la conclusión es la misma: $1
invertido hoy al 10% generaría $1 × (1+10%)² =$1.21 dentro de dos años, y por lo
tanto esos dos valores deberían ser equivalentes para nosotros.
En general, una cantidad C hoy es equivalente a C × (1+i)T dentro deT años (a
esto lo llamamos componer C para hallar su valor futuro) y, al revés, una cantidad
C dentro deT años es equivalente a C/(1+i)T hoy (a esto lo llamamos actualizar o
descontar el flujo de caja C, para hallar su valor actual o descontado).

7. El valor del dinero en el tiempo
Practiquemos un poco. Si el tipo de interés es del 5%, ¿cuál es la cantidad
equivalente a $200 hoy dentro de un año? ¿Y dentro de tres años? ¿Y dentro de
cinco?
El equivalente a $200 hoy dentro de un año será: C1 año = $200 × (1.05) = $210
El equivalente a $200 hoy dentro de tres años será: C3 años = $200 × (1.05)3 =
$231.525
El equivalente a $200 hoy dentro de cinco años será: C5 años = $200 × (1.05)5 =
$255.26

8. El valor del dinero en el tiempo
Practiquemos un poco. Si el tipo de interés es del 12%, ¿cuál es la cantidad de
hoy equivalente a $2,000 dentro de un año? ¿Y a $2,000 dentro de cuatro años?
¿Y a $2,000 dentro de seis?
El equivalente hoy a $2,000 dentro de un año será: CHOY = $2,000 / (1.12) =
$1,785.71
El equivalente hoy a $2,000 dentro de cuatro años será: CHOY = $2,000 / (1.12)4
= $1,271.04
El equivalente hoy a $2,000 dentro de seis años será: CHOY = $2,000 / (1.12)6 =
$1,013.26

9. El valor del dinero en el tiempo
La clave para entender el valor del dinero en el tiempo y, por lo tanto, para
poder comparar y poner en medidas equivalentes, cantidades que se
reciben/pagan en distintos periodos es
La rentabilidad a la que renunciamos en un uso alternativo comparable
Este concepto (equivalente al concepto económico de un coste de oportunidad)
será el centro del análisis del valor de cualquier activo / inversión.

10. El valor del dinero en el tiempo
Por ahora, a este 10% lo llamaremos tipo de interés (i) por ser la forma más
sencilla de entenderlo. Posteriormente lo llamaremos tipo de descuento,
rentabilidad o retorno exigido, coste del capital Hallar este tipo de descuento
para poder valorar una inversión es uno de los principales contenidos del análisis
de economía financiera.
Nótese la segunda parte de la definición de la pagina anterior: tenemos que
hablar de usos alternativos comparables. Esto será la clave cuando, a lo largo
del curso, hablemos del efecto de factores como el riesgo o la liquidez.

11. El valor del dinero en el tiempo
en periodos distintos, sólo tenemos que expresarlos en unidades comparables,
esto es, en dólares del mismo periodo.
Normalmente lo que haremos será actualizar los flujos de caja y ponerlos en
unidades de hoy, ya que es HOY cuando estaremos tomando las decisiones de
inversión.

12. Las consecuencias de una decisión financiera
Cualquier decisión financiera implica consecuencias de efectivo (a partir de
ahora usaremos el termino cash-flow para hablar de cualquier movimiento de
efectivo) que suceden a lo largo de diversos periodos:
Si pedimos un préstamo bancario, obtenemos HOY el dinero (cash-flow
positivo) pero tendremos que ir pagando al banco periódicamente (cash-
flows negativos) para devolver el préstamo.
Si invertimos en un bono, pagamos HOY su precio (cash-flow negativo) pero
recibiremos los cupones del bono y el valor del bono a lo largo de la vida del
bono (cash-flows positivos).
Una empresa paga hoy por inversiones necesarias para un proyecto (cash-
flow negativo) pero a cambio recibirá los cash-flows positivos que el
proyecto generara en el futuro.

13. Las consecuencias de una decisión financiera
En este curso nos centraremos en el análisis de decisiones financieras muy
simples: la compra de activos financieros (bonos y acciones) esto nos
permitirá entender el precio de estos activos y saber si están bien o mal
valorados y si representan buenas oportunidades de inversión.
Otras decisiones más complejas (p.e., inversión en proyectos productivos, la
compra de una empresa, etc.) se estudiarán en cursos más avanzados, aunque
haremos algunos comentarios a lo largo de nuestro curso para enfatizar el
enlace de economía financiera con las finanzas corporativas.

14. Perfiles de cash-flows
Un perfil o secuencia de cash-flows representa la forma en que un activo
producirá cash-flows a lo largo de su vida.
Es una manera gráfica de mostrar cuánto dinero genera el activo en cada
periodo: estos flujos de caja pueden ser positivos (recibes dinero) o negativos
(pagas dinero).
La distribución temporal de los flujos de caja es muy importante: el dinero tiene
un valor en el tiempo, por lo que no es lo mismo recibir los flujos de caja dentro
de un año que dentro de cien años.

15. Perfiles de cash-flows
Las siguientes son distintas maneras de representar el perfil de cash-flows de un
activo:
Hay flexibilidad para representar los perfiles de cash-flows, con tal de que en
todo momento esté claro el periodo de tiempo en que cada flujo se realiza y el
signo y valor del flujo.
CF0
CF1 CF2 CF3 CF4
CF0
CF1 CF2 CF3 CF4 t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
-CF0 CF1 CF2 CF3 CF4
t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4
-CF0 CF1 CF2 CF3 CF4

16. Perfiles de cash-flows: una nota
El primer flujo de caja (periodo 0) lo hemos representado como negativo, y los
siguientes como positivos.
En nuestro curso esto es lo normal: estamos pensando en comprar hoy un activo
(pagar el precio) que nos dará rentabilidad (cash-flows) en el futuro.
Pero esto no tiene por qué ser siempre así: un perfil de flujos de caja puede tener
flujos negativos o positivos en cualquier momento. Esto no implica ninguna
complicación, y en el curso de finanzas corporativas se abandona esta
simplificación.

17. Perfiles de cash-flows: los periodos
El periodo de tiempo que marca la distancia entre cash-flows puede ser años,
trimestres, meses, etc.
El tipo de descuento utilizado deberá reflejar el coste de oportunidad en ese
periodo: si los cash-flows son trimestrales, habrá que descontar a un tipo
trimestral; si son años, habrá que descontar a un tipo anual.
Si los cash-flows son irregulares, siempre podemos tomar como referencia un
año (ya que estamos acostumbrados a hablar de tipos de interés anuales) y
utilizar fracciones de año (p.e., un semestre son 0.5 años, etc.).

18. Perfiles de cash-flows: los periodos
Por ejemplo, si el tipo de interés es de 10%, $1 hoy es equivalente a $1 ×
(1+10%)0.5 = $1.049 dentro de seis meses.
Alternativamente, podemos hallar el tipo de interés semestral que sea
equivalente a un 10% anual: este tipo se compone dos periodos (semestres)
para conseguir un año, por lo que
(1+i6m)2 = (1+10%) i6m = 4.9%
Y las dos alternativas son equivalentes: dependiendo de la situación, podemos
usar cualquiera de las dos (periodos fraccionales o tipos de interés de periodos
menor que un año).

19. Perfiles de cash-flows: los periodos
Practiquemos un poco. Dado un tipo de interés del 4% anual ¿cuál es la cantidad
equivalente a $200 hoy dentro de tres meses? ¿Y dentro de seis meses? ¿Y
dentro de año y medio?
El equivalente a $200 hoy dentro de tres meses será: C3 meses = $200 ×
(1.04)3/12 = $201.97
Alternativamente, el tipo de interés trimestral equivalente sería
(1+i3m)4=(1+4%) i3m=0.985% C3 meses = $200 × (1.00985) = $201.97
El equivalente a $200 hoy dentro de seis meses será: C6 meses = $200 ×
(1.04)6/12 = $203.96
Alternativamente, el tipo de interés semestral equivalente sería
(1+i6m)2=(1+4%) i6m=1.98% C6 meses = $200 × (1.0198) = $203.96

20. Perfiles de cash-flows: los periodos
Practiquemos un poco. Dado un tipo de interés del 4% anual ¿cuál es la cantidad
equivalente a $200 hoy dentro de tres meses? ¿Y dentro de seis meses? ¿Y
dentro de año y medio?
El equivalente a $200 hoy dentro de año y medio será: C18 meses = $200 ×
(1.04)18/12 = $212.12
(1+i18m)12/18=(1+4%) i18m=6.06% C18 meses = $200 × (1.0606) = $212.12

21. Valorando un perfil de cash-flows
Una vez que tenemos el perfil de cash-flows de un activo y el tipo de interés
relevante para convertir todos los flujos en dinero de un mismo periodo,
podemos hallar una valoración global del activo.
La clave es que poseer el activo hoy (comprarlo) te da derecho a recibir los cash-
flows futuros del activo.
Por lo tanto, el valor que hoy debería tener este activo (el precio que estaríamos
dispuestos a pagar por adquirirlo) debe ser la suma de los valores actuales de los
cash-flows que el activo genera.

22. Valorando un perfil de cash-flows
Para poder sumar estos cash-flows, deben estar en unidades comparables, esto
es, en unidades de un mismo periodo.
Como la valoración del activo nos interesa hoy, lo que tenemos que hacer es
expresar todos los cash-flows en valores actuales, descontándolos con el tipo de
interés relevante. P.e., el valor actual del CF1 será
CF1/(1+i)
y el valor actual del CFN de un periodo cualquiera será
CFN/(1+i)N

23. La ecuación básica de valoración
CF1 CF2 CF3 CFT
Por ejemplo, el siguiente activo (muy general)
Tendría un valor de:

24. La ecuación básica de valoración
Este valorVA es el precio (máximo) que pagaríamos por el activo hoy y, por lo
suma correctamente los valores de los cash-flows que el activo te da derecho a
percibir, ya que utiliza el tipo de interés para descontar (y, por lo tanto,
homogeneizar) los cash-flows de distintos periodos.
Esta es la ecuación básica de valoración: todo el análisis de economía
financiera se centra en esta ecuación, ya que toda decisión financiera se puede
expresar en función de sus consecuencias en términos de cash-flows.

25. La ecuación básica de valoración
Estimar de forma correcta los cash-flows del activo: un proyecto de
inversión empresarial genera cash-flows que son difíciles de estimar.
Incorporar el riesgo de los cash-flows: los cash-flows son siempre futuros
-flows futuros que generan una
rentabilidad) y, por ello, pueden ser inciertos habrá que estudiar cómo
-flow.
Decidir el tipo de descuento: ¿cuál es el coste de oportunidad relevante para
valorar cada activo?
acciones), y hablaremos de estos tres problemas en el contexto de cada activo.

26. La ecuación básica de valoración y elVAN
El concepto deValor Actual Neto (VAN) es un componente importante del
análisis financiero: por ejemplo, las finanzas corporativas se basan
fundamentalmente en la aplicación de este concepto a los proyectos de
inversión.
Nosotros vamos a definir ahora el concepto, y en la siguiente sesión lo
utilizaremos para hablar de los mercados competitivos de activos financieros y
de las diferencias entre inversión en activos financieros e inversión en proyectos
productivos.

27. La ecuación básica de valoración y elVAN
Imaginemos que estamos analizando el valor de un activo que cotiza en un
mercado financiero, con lo que podemos observar el precio al que podríamos
adquirir el activo.
Vamos a llamar a ese precio CF0: si compráramos hoy el activo, pagaríamos su
precio, con lo que tendríamos un cash-flow (negativo) en el momento actual
Si incluimos este primer pago dentro de la secuencia de cash-flows del activo,
aplicando la fórmula de valoración tendríamos una estimación del valor actual
del activo neto (descontado) del precio de adquisición.

28. La ecuación básica de valoración y elVAN
Así, podemos definir elVAN de la compra de un activo como:
Donde la única diferencia con la ecuación básica es que ahora incluimos el
precio del activo (CF0, que será negativo) como parte de la ecuación.
por la compra del activo, y hablaremos de cómo se puede utilizar para analizar
decisiones de inversión.

29. La ecuación básica de valoración y elVAN
En cierta forma, podemos entender elVAN como la diferencia entre el valor
actual de los cash-flows positivos y el valor actual de los cash-flows negativos:
En el caso de un activo, típicamente solo CF0 es negativo y el resto de cash-
flows son positivos.
En el caso de un proyecto productivo, CF0 también será normalmente
negativo (inversiones iniciales del proyecto) pero luego podrá haber
periodos en que el proyecto genere cash-flows positivos (ingresos > gastos)
y periodos en que genere cash-flows negativos (gastos > ingresos)
podemos expresarVAN =VA(ingresos) VA(gastos).

30. La ecuación básica de valoración y elVAN
Practiquemos un poco. Dado un tipo de interés del 4% anual ¿cuál es el valor de
un activo que paga $100, $100 y $100 en los próximos tres años? Si su precio en
el mercado es de $300, ¿cuál es elVAN de comprar el activo?
ElValor del activo viene de que, al comprarlo, obtenemos el derecho a los
tres cash-flows. Por lo tanto,VA = $100/1.04 + $100 / 1.042 + $100 / 1.043 =
$277.51.
Si el activo lo compramos por $300, elVAN de comprar el activo es:VAN = -
$300 + $100/1.04 + $100 / 1.042 + $100 / 1.043 = -$22.49. Es negativo,

31. La ecuación básica de valoración y elVAN
Practiquemos un poco. Dado un tipo de interés del 6% anual ¿cuál es el valor de
un activo que paga $1,500 dentro de un año y $3,000 dentro de tres años? Si su
precio en el mercado es de $3,800, ¿cuál es elVAN de comprar el activo?
El valor del activo viene de que, al comprarlo, obtenemos el derecho a los
dos cash-flows. Por lo tanto,VA = $1,500/1.06 + $3,000 / 1.063 = $3,933.95.
Si el activo lo compramos por $3,800, el VAN de comprar el activo es: VAN = -
$3,800 + $1,500/1.06 + $3,000 / 1.063 = $133.95. Es positivo, expresando que
el precio del activo es menor que su con lo que al
comprarlo.

32. La ecuación básica de valoración y laTIR
Un concepto final que utilizaremos con frecuencia (en este curso, en la unidad 3
-Valoración de activos de renta fija-, pero también en el futuro en finanzas
corporativas) es el concepto de la Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) de una
inversión.

33. La ecuación básica de valoración y laTIR
rentabilidad
media anual que obtenemos de una inversión si recibimos toda la secuencia de
cash-flows.
Cuando la inversión es sencilla (compramos un activo, recibimos sus cash-flows)
esta interpretación intuitiva de laTIR como una rentabilidad media siempre es
válida.
Cuando la inversión es más compleja (p.e. en proyectos productivos que pueden
tener cash-flows positivos o negativos) esta interpretación puede no ser válida
esto se estudiará en finanzas corporativas.

34. La ecuación básica de valoración y laTIR
El ejemplo más sencillo de laTIR es aplicarla a una inversión de un periodo.
Imaginemos un activo financiero cuyo precio de mercado hoy es de $100. Dentro
de un año el activo devuelve $110 y se cancela. ¿Cuál es laTIR de esta inversión?
La secuencia de cash-flows de esta inversión es CF0=-$100 y CF1=$110, con lo
que 0 = -100 + 110/(1+TIR) TIR = (110-100)/100 = 10%
Intuitivamente, si pagamos $100 hoy y dentro de un periodo conseguimos
Si compramos activos que duran más de un periodo laTIR es complicada de
hallar (ver el siguiente ejemplo), pero su interpretación intuitiva es la misma.

35. La ecuación básica de valoración y laTIR
Practiquemos un poco. El precio de mercado de un activo es de $3,800. Este
activo paga $1,500 dentro de un año y $3,000 dentro de tres años. ¿Cuál es laTIR
de comprar el activo y mantenerlo hasta dentro de tres años?
La secuencia de cash-flows del activo es: CF0= -$3,800 CF1 = $1,500 CF2
= $0 CF3 =$3,000. LaTIR es el valor que resuelve:
VAN = -$3,800 + $1,500/(1+TIR) + $3,000/(1+TIR)3 = 0
TIR = 7.63%

36. La ecuación básica de valoración y laTIR
Hallar estaTIR no parece sencillo: ¡se necesita resolver una ecuación de tercer
grado! En la práctica, esto se puede hacer:
a) Por tanteo: probando distintos valores hasta que elVAN sea cero.
b) Gráficamente: representando el valor delVAN para distintos valores del
tipo de descuento y visualmente localizando el valor del tipo que hace el
VAN = 0.
c) Utilizando una calculadora con funciones financieras o Excel.

37. Algunas simplificaciones útiles
En el resto de la sesión vamos a repasar unas simplificaciones de la fórmula
básica de valoración que nos serán de utilidad en el futuro: estas
simplificaciones están basadas en supuestos muy utilizados a la hora de valorar
activos.
Algunas de las derivaciones de las fórmulas se encuentran con más detalle en el
Sesion 2 - Pruebas de las expresiones simplificadas

38. Algunas simplificaciones útiles
Imaginemos un activo que paga una cantidad constante C de forma perpetua,
comenzando a partir del próximo periodo. La secuencia de cash-flows es:
Dado un tipo de interés i, el valor actual de esta perpetuidad es:

39. Algunas simplificaciones útiles
Imaginemos un activo que paga a perpetuidad una cantidad C que crece a una
tasa g (con lo que el pago en el periodo 2 es C(1+g), en el periodo 3 es C(1+g)2,
-flows es:
Dado un tipo de interés i, el valor actual de esta perpetuidad creciente es:
C C(1+g) C(1+g)2

40. Algunas simplificaciones útiles
Practiquemos un poco.
¿Cuál es el valor actual de una renta perpetua de $2,000 si el tipo de interés es
del 4%? (la renta comienza dentro de un periodo)
VA = $2,000 / 0.04 = $50,000
¿Cuál es el valor actual de una renta perpetua de $1,500 si el tipo de interés es
del 8%? (la renta comienza dentro de un periodo y a partir de entonces crecerá
un 2% anual)
VA = $1,500 / (0.08-0.02) = $25,000

41. Algunas simplificaciones útiles
Practiquemos un poco.
¿Cuál es el valor actual de una renta perpetua de $2,000 si el tipo de interés es
del 4%? (la renta comienza dentro de tres periodos)
Vaño 2 = $2,000 / 0.04 = $50,000 VA =Vaño 2 / (1.04)2 = $46,227.81
¿Cuál es el valor actual de una renta perpetua de $1,500 si el tipo de interés es
del 8%? (la renta comienza dentro de cuatro periodos y a partir de entonces
crecerá un 2% anual)
Vaño 3 = $1,500 / (0.08-0.02) = $25,000 VA =Vaño 3 / (1.08)3 = $19,845.81

42. Algunas simplificaciones útiles
Imaginemos un activo que paga una cantidad constante C durante un
numero finito de periodosT, comenzando a partir del próximo periodo.
Dado un tipo de interés i, el valor actual de esta anualidad deT
periodos es:
Si la cantidad constante C crece a una tasa g (con lo que el pago en el
periodo 2 es C(1+g), en el periodo 3 es C(1+g)2
actual de esta anualidad creciente es:

43. Algunas simplificaciones útiles
Practiquemos un poco.
¿Cuál es el valor actual de una anualidad de $2,000 que paga durante cinco años
si el tipo de interés es del 4%? (la anualidad comienza dentro de un periodo)
VA = ($2,000/0.04) × (1-(1/1.04)5)= $8,903.64
¿Cuál es el valor actual de una anualidad de $1,500 que paga durante cinco años
si el tipo de interés es del 8%? (la renta comienza dentro de un periodo y a partir
de entonces crecerá un 2% anual)
VA = ($1,500/ (0.08-0.02)) × (1-(1.02/1.08)5)= $6,214.53

44. Algunas simplificaciones útiles
Imaginemos un activo que paga una anualidad C que crece a una tasa g. La
anualidad empieza a pagar en el periodo H y paga durante j años. El valor de esa
anualidad en el periodo k (k>0, siendo t=0 hoy) :
Esta fórmula no la aplicaremos casi nunca (y, de hecho, es más fácil aplicar la
interesante!