1. Unidad I
Fundamentos de ingeniería económica, valor del dinero a través
del tiempo y frecuencia de capitalización de interés.
Subtemas
1.1 Importancia de la ingeniería económica.
Prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las opciones que s
cambian la vida de las personas poco y algunas veces considerablemente. Por ejemplo, la
en efectivo de una nueva camisa aumenta la selección de ropa del comprador cuando se v
día y reduce la suma de dinero que lleva consigo en el momento. Por otra parte, el com
nuevo automóvil y suponer que un préstamo para automóvil nos da opciones nuevas de tra
puede causar una reducción significativa en el efectivo disponible a medida que se efec
pagos mensuales. En ambos casos, los factores económicos y no económicos, lo mismo
factores tangibles e intangibles son importantes en la decisión de comprar la camisa o el au
Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los presidentes de grandes corporaci
dirigentes de agencias gubernamentales se enfrentan rutinariamente al desafío d
decisiones significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Éstas son decisiones
invertir en la mejor forma los fondos, o el capital, de la compañía y sus propietarios. El m
capital siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado el efectivo d
de un individuo. Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro
esperanza de que sea para mejorar. Por lo normal, los factores considerados pueden ser,
más, económicos y no económicos, lo mismo que tangibles e intangibles. Sin embargo, cu
corporaciones y agencias públicas seleccionan una alternativa sobre otra, los aspectos fin
el retorno del capital invertido, las consideraciones sociales y los marcos de tiempo con fr
adquieren mayor importancia que los aspectos correspondientes a una selección individua
Fuente: http://ingenieriaeconomicaapuntes.blogspot.mx/2009/01/importancia-de-la-ingen
econmica.html consultado el 3 de Septiembre del 2012.
1.1.1
La ingeniería económica en la toma de decisiones.
Un procedimiento muy popular utilizado para considerar el desarrollo y selección de alte
es el denominado enfoque de solución de problemas o proceso de toma de decisiones. L
habituales en el enfoque son los siguientes:
PASOS EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. Entender el problema y la meta.

2. 2. Reunir información relevante.
3. Definir las soluciones alternativas.
4. Evaluar cada alternativa.
5. Seleccionar la mejor alternativa utilizando algunos criterios.
6. Implementar la solución y hacer seguimiento a los resultados.
La ingeniería económica tiene un papel importante en los pasos 2, 3 y 5, y es la técnica prin
el paso 4 para realizar el análisis de tipo económico de cada alternativa. Los pasos 2 y 3 es
las alternativas y la ingeniería económica ayuda a estructurar las estimaciones de cada
paso 4 utiliza uno o más modelos de la ingeniería económica para completar el análisis ec
sobre el cual se toma una decisión.
Fuente: http://ingenieriaeconomicaapuntes.blogspot.mx/2009/01/cual-es-el-papel-de-laingenieria_28.html consultado el 3 de Septiembre del 2012.
1.1.2
Tasa de interés y tasa de rendimiento.
La tasa de interés es el rendimiento producido por la unidad de capital en la unidad de tie
Cuando la definición anterior habla de unidad de capital, se refiere a la unidad de
moneda; esto significa que si la unidad de moneda es el dólar, la tasa de interés es el int
dólar expresado también en esa moneda; y si la unidad de moneda es el peso, la tasa d
será el interés de 1 peso.
Cabe aclarar que el capital está referido al momento inicial de la operación y el interés al m
final.
En la práctica de las operaciones bancarias y financieras es corriente mencionar
como tasa de interés, el rendimiento de 100 unidades de capital, y se dice tasa de interés
ciento”; cuando por definición de tasa, corresponde decir “tanto por uno”.
La segunda parte de la definición expresa “... en la unidad de tiempo”. Al
respecto corresponde analizar cuál es la unidad de tiempo y cómo se determina.
En las operaciones financieras, los intereses se suman al capital al final de cada pe
capitalización. Por lo tanto la unidad de tiempo, es el período al final del cual los int
capitalizan.
De manera, que si los intereses se capitalizan mensualmente, la unidad de tiempo es el me
ello ocurre anualmente, la unidad de tiempo es el año.

3. Fuente: http://www.economicasunp.edu.ar/02EGrado/materias/ushuaia/matematica%20financiera/informacion/latasadeinteres.pdf co
el 3 de Septiembre del 2012.
1.1.3
Introducción a las soluciones por computadora.
Muchas personas creen que la programación es simplemente teclear palabras
computadora. Eso es una parte, pero de ninguna manera todo.
La programación también llamada “Desarrollo de software”, es un procedimiento de s
para la creación de esa lista de instrucciones. Sólo uno de esos pasos consiste en teclear en
en una computadora.
Los seis pasos son los siguientes:
1. Especificación del programa
2. Diseño del programa
3. Codificación del programa
4. Prueba del programa
5. Documentación del programa
6. Mantenimiento del programa
Fuente: http://www.buenastareas.com/ensayos/Introducci%C3%B3n-a-La-Programaci%C3%
Por-Computadora/746722.html consultado el 3 de Septiembre del 2012.
1.1.4
Flujos de efectivo: estimación y diagramación.
Uno de los elementos fundamentales de la Ingeniería Económica son los flujos de efect
constituyen la base para evaluar proyectos, equipo y alternativas de inversión.
El flujo de efectivo es la diferencia entre el total de efectivo que se recibe (ingresos) y el
desembolsos (egresos) para un periodo dado (generalmente un año).
La manera más usual de representar el flujo de efectivo es mediante un diagrama de
efectivo, en el que cada flujo individual se representa con una flecha vertical a lo largo
escala de tiempo horizontal.
Los flujos positivos (ingresos netos), se representa convencionalmente con flechas hacia ar
flujos negativos (egresos netos) con flechas hacia abajo. La longitud de una flecha es propo
la magnitud del flujo correspondiente.
Se supone que cada flujo de efectivo ocurre al final del periodo respectivo
Esquemas de flujos de efectivo.
· Para evaluar las alternativas de gastos de capital, se deben determinar las entradas y s
efectivo.
· Para la información financiera se prefiere utilizar los flujos de efectivo en lugar de
contables, debido a que estos son los que reflejan la capacidad de la empresa para pagar c
comprar activos.
Los esquemas de flujo de efectivo se clasifican en:

4. ·
·
·
·
Ordinarios
No ordinarios
Anualidad
Flujo mixto
FLUJOS DE EFECTIVO ORDINARIOS: Consiste en una salida seguida por una serie de ent
efectivo.
FLUJOS DE EFECTIVO NO ORDINARIOS: Se dan entradas y salidas alternadas. Por ejemplo la
de un activo genera un desembolso inicial y una serie de entradas, se repara y vuelve a
flujos de efectivo positivos durante varios años.
ANUALIDAD (A): Es una serie de flujos de efectivo iguales de fin de periodo (generalmente a
cada año). Se da en los flujos de tipo ordinario.
FLUJO MIXTO: Serie de flujos de efectivos no iguales cada año, y pueden ser del tipo ordin
ordinario.
Fuente: http://www.slideshare.net/sergio_ayup/unidad-1-6739129 consultado el 3 de Sep
del 2012.
1.2
El valor del dinero a través del tiempo.
El valor del dinero en el tiempo (en inglés, Time Value of Money, abreviado usualmente co
es un concepto basado en la premisa de que un inversor prefiere recibir un pago de una s
de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo monto en una fecha futura pero queda igua
tocas ni lo usas ni pides prestado.
En particular, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede obtener interés sobre ese
Adicionalmente, debido al efecto de inflación (si esta es positiva), en el futuro esa misma
dinero perderá poder de compra.
Todas las fórmulas relacionadas con este concepto están basadas en la misma fórmula b
valor presente de una suma futura de dinero, descontada al presente. Por ejemplo, una su
ser recibida dentro de un año debe ser descontada (a una tasa apropiada r) para obtene
presente, PV.
Algunos de los cálculos comunes basados en el valor tiempo del dinero son:
Valor presente (PV) de una suma de dinero que será recibida en el futuro.
Valor presente de una anualidad (PVA) es el valor presente de un flujo de pagos futuros
como los pagos que se hacen sobre una hipoteca.
Valor presente de una perpetuidad es el valor de un flujo de pagos perpetuos, o que se e
serán interrumpidos ni modificados nunca.
Valor futuro (FV) de un monto invertido (por ejemplo, en una cuenta de depósito) a una ci
de interés.

5. Valor futuro de una anualidad (FVA) es el valor futuro de un flujo de pagos (anualidades),
asume que los pagos se reinvierten a una determinada tasa de interés.
Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_tiempo_del_dinero consultado el 3 de Septiem
2012-
1.2.1
Interés simple e interés compuesto.
Interés simple
En un contrato de préstamo el deudor se compromete a devolver al acreedor la cantidad
(la cual se denomina principal) más un porcentaje sobre la misma. Este porcentaje repr
interés del crédito y se suele cargar anualmente, aunque también es frecuente que se ref
periodo más cortos de tiempo, tales como un semestre o un mes. Dicho porcentaje se llam
tipo de interés. Si el reembolso del principal más los intereses debe realizarse al cabo de n
dice que el horizonte temporal de la operación es n años.
En términos generales, el interés simple se puede definir como una operación financiera e
la tasa o porcentaje de interés se aplica sobre el principal en cada unidad de tiempo,
efectos acumulativos. el interés compuesto implica efectos acumulativos.
Formula matemática del interés simple. Si la tasa de interés se refiere a un año:1 = r x C
Donde:
r simboliza la tasa de interés anual.
C simboliza la cantidad inicialmente prestada, que recibe el nombre de principal.
1 simboliza la cuantía del interés que el deudor deberá pagar anualmente al prestamista.
Interés compuesto
Implica efectos acumulativos.
Para el interés compuesto, el interés acumulado para cada periodo de interés se calcula
principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Por lo
interés compuesto significa un interés sobre el interés, es decir, refleja el efecto del valor d
en el tiempo también sobre el interés
Utilizaremos la siguiente notación:
C0= Capital que el inversor posee inicialmente.
C1= capital acumulado por el inversor al final del año 1
C2= capital acumulado por el inversor al final del año 3.
C3= capital acumulado por el inversor al final del año 3.
Fuente: Técnicas financieras y sus aplicaciones a la empresa

6. Escrito por Inmaculada BartualSanfeliu.
1.2.2
Concepto de equivalencia.
La equivalencia implica que el valor del dinero depende del momento en que se considera
que un peso hoy, es diferente a un peso dentro de un mes o dentro de un año.
El concepto de equivalencia es relativo dado que las expectativas de rendimiento del d
cada persona es diferente.
Fuente: Matemáticas Financieras Aplicadas
Escrito por Jhonny de Jesús Meza Orozco
1.2.3
Factores de pago único.
La relación de pago único se debe a que dadas unas variables en el tiempo, específicament
(i) y número de periodos (n), una persona recibe capital una sola vez, realizando un s
durante el periodo determinado posteriormente. Para hallar estas relaciones únicas, sólo
los parámetros de valores presentes y valores futuros, cuyos valores se descuentan en e
mediante la tasa de interés. A continuación se presentan los significados de los sím
utilizaren las fórmulas financieras de pagos únicos:,
P: Valor presente de algo que se recibe o que se paga en el momento cero.
F: Valor futuro de algo que se recibirá o se pagará al final del periodo evaluado.
n: Número de períodos (meses, trimestres, años, entre otros) transcurridos entre lo que se r
que se paga, o lo contrario; es decir, período de tiempo necesario para realizar una transa
de anotar, que n se puede o no presentar en forma continua según la situación que se evalu
i : Tasa de interés reconocida por período, ya sea sobre la inversión o la financiación obt
interés que se considera en las relaciones de pago único es compuesto.
Fuente. http://es.scribd.com/doc/52770434/Factores-de-Pago-Unico consultado el 3 de Sep
del 2012.
1.2.4
Factores de Valor Presente y recuperación de capital.
Capitalización es el valor de mercado de la empresa, esto es, la cotización de cad
multiplicada por el número de acciones. El aumento de la capitalización en una a
capitalización al final de dicho año menos la capitalización al final del año anterior.
Fuente: Creación de valor para los accionistas
Escrito por Pablo Fernández
1.2.5
Factor de fondo de amortización y cantidad compuesta.
Factor de Fondo de Amortización de una Serie Uniforme i
Ø A/F = (F/A) −1 = i / (1 + i ) n – 1→ ( A/F, i%, n)

7. Factor de Cantidad Compuesta de Una Serie Uniforme
Ø F/A = (1 + i ) n – 1/ i → ( F/A, i%, n)
Método de fondo de amortización de salvamento
Cuando un activo tiene un valor de salvamento terminal (VS), hay muchas formas de ca
VA.
En el método del fondo de amortización de salvamento, el costo inicial P se convierte pr
una cantidad anual uniforme equivalente utilizando el factor A/P. Dado normalmente, su
de flujo de efectivo positivo, después de su conversión a una cantidad uniforme equiv
través del factor A/F, el valor de salvamento se agrega al equivalente anual del costo inicial
Estos cálculos pueden estar representados por la ecuación general:
VA = -P(A/P,i,n) + VS(A/F,i,n) ; naturalmente, si la alternativa tiene cualquier otro flujo de
éste debe ser incluido en el cálculo completo de VA.
1.3
Frecuencia de capitalización de interés.
Frecuencia de capitalización.
En un sistema de capitalización, se define la frecuencia como el número de veces que los
producidos se acumulan al capital para producir nuevos intereses, durante un período de
Es decir, si consideramos un período de tiempo anual (n = 12 meses), la frecuencia ser
intereses se capitalizan semestralmente, 3 si se capitalizan cuatrimestralmente, 4 si se cap
trimestralmente, 12 si se capitalizan mensualmente. Generalizando la frecue
capitalización m, se dará cuando los intereses se capitalicen n/m.
Las transacciones financieras generalmente requieren que el interés se capitalice
frecuencia que una vez al año (por ejemplo, semestral, trimestral, bimestral, m
diariamente, etc. Por ello se tienen dos expresiones para la tasa de interés: Tasa de interés
y tasa de interés efectiva.
1.3.1
Tasa de interés nominal y efectiva.
La tasa de interés nominal es la tasa de interés anual que se capitaliza m veces en
convenida en una operación financiera y queda estipulada en los contratos; por es
también se llama tasa contractual.
La tasa efectiva se define como la tasa de interés capitalizable una vez al año que equiva
tasa nominal. Es la tasa de rendimiento que se obtiene al cabo de un año debido a la capita
de los intereses; esto es, la tasa efectiva refleja el efecto de la inversión. A la tasa efectiva ta
le llama rendimiento anual efectivo.
Fuente: Matemáticas financieras
Escrito por Aguirre Héctor Manuel Vidaurri
1.3.2
Cuando los periodos de interés coinciden con los periodos de pago.

8. Cuando los periodos de interés y los periodos de pago coinciden, es posible usar enforna
tanto las fórmulas de interés compuesto desarrolladas anteriormente, así como las t
interés compuesto que se encuentran en todos los libros de Ingeniería Económica, siemp
tasa de interés i se tome como la tasa de interés efectiva para ese periodo de interés. Aún
número de años n debe remplazarse por el número total de periodos de interés mn.
Las fórmulas del interés continuo simplifican frecuentemente la solución de modelos mat
complejos. En todas las fórmulas anteriores hemos utilizado el convenio de fin de perío
pagos globales a interés discreto. A partir de ahora, en la solución de los ejemplos y/o e
utilizaremos cualquiera de estos dos métodos según el requerimiento de cada caso.
Cuando el interés capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito, la fórmula puede e
de forma diferente. Pero antes es necesario, definir el valor de la constante de Neper (e) o l
natural que viene pre programada en la mayoría de calculadoras representado por ex.
1.3.3 Cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago.
Cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago, entonces el inter
capitalizarse varias veces entre los pagos. Una manera de resolver problemas de est
determinar la tasa de interés efectiva para los periodos de interés dados y después ana
pagos por separado.
Esta parte corresponde a la relación 3, de la sección 2.3.2. Caso en que el período de pago
al período de capitalización (PP < PC). El cálculo del valor actual o futuro depend
condiciones establecidas para la capitalización entre períodos. Específicamente nos refe
manejo de los pagos efectuados entre los períodos de capitalización. Esto puede conduc
posibilidades:
1.
No pagamos intereses sobre el dinero depositado (o retirado) entre los perí
capitalización.
2.
Los abonos (o retiros) de dinero entre los períodos de capitalización ganan interés simp
3.
Finalmente, todas las operaciones entre los períodos ganan interés compuesto.
De las tres posibilidades la primera corresponde al mundo real de los negocios. Esto quie
sobre cualquier dinero depositado o retirado entre los períodos de capitalización no
intereses, en consecuencia estos retiros o depósitos corresponden al principio o al final de
de capitalización. Esta es la forma en que operan las instituciones del sistema financiero y
empresas de crédito.
1.3.3
Cuando los periodos de interés son mayores que los periodos de pago.
Si los periodos de interés son mayores que los periodos de pago, puede ocurrir que algunos
hayan quedado en depósito durante un periodo de interés completo. Estos pagos no gana
durante ese periodo. En otras palabras, sólo ganan interés aquellos pagos que han sido dep
o invertidos durante un periodo de interés completo. Las situaciones de este tipo pueden m
según el siguiente algoritmo:
Ø Considérense todos los depósitos hechos durante el periodo de interés como si se hubiera

9. al final del periodo (por lo tanto no habrán ganado interés en ese periodo)
Ø Considérese que los retiros hechos durante el periodo de interés se hicieron al prin
periodo (de nuevo sin ganar interés)
Ø Después procédase como si los periodos de pago y de interés coincidieran.
En los casos en que el período de capitalización de un préstamo o inversión no coincide
pago, necesariamente debemos manipular adecuadamente la tasa de interés y/o el pago
de establecer la cantidad correcta de dinero acumulado o pagado en diversos momentos
no hay coincidencia entre los períodos de capitalización y pago no es posible utilizar las t
interés en tanto efectuemos las correcciones respectivas.
Si consideramos como ejemplo, que el período de pago (un año) es igual o mayor que el pe
capitalización (un mes); pueden darse dos condiciones:
1.
Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar los factores del 1º Grupo de problemas
de pago único (VA/VF, VF/VA).
2.
Que en los flujos de efectivo debemos de utilizar series uniformes (2º y 3º Grupo de prob
factores de gradientes.
1.3.5 Tasa de interés efectiva para capitalización continúa.
Podemos definir que la capitalización continua es el caso límite de la situación de capita
múltiple de cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago. Al fijar l
interés nominal anual como r y haciendo que el número de periodos de interés tienda a
mientras que la duración de cada periodo de interés se vuelve infinitamente pequeña.
De la ecuación
i = (1 + r / m ) m − 1
Se obtiene la tasa de interés efectiva anual con capitalización continua
A medida que el periodo de capitalización disminuye el valor de m, número de per
capitalización por periodo de interés, aumenta. Cuando el interés se capitaliza en forma c
m se acerca al infinito.
Se utiliza la siguiente fórmula:
Ejemplo:
Cambiar tasa efectiva anual de 10 % a capitalización continua
i = 20,10 - 1
i = 0,10517
i = 10,51 %
Bibliografía
Ø Libro: Fundamentos de ingeniería Económica
Ø Autor: Baca, Urbina Gabriel,
Ø Editorial: McGraw Hill.