CXCXCXC

1. Página
MATEMÁTICA FINANCIERA APLICADA
VALOR ACTUAL
VALOR FUTURO
TASAS DE INTERES
Julio Quispe Salguero
1

2. Página
Definición de valor del dinero.
Línea de tiempo
Diagrama de flujo de caja
Costo del dinero: Definición del interés
Valor presente
Valor futuro
Capitalización de intereses. Interés simple y compuesto
Tasas de interés: nominal y efectiva,
Equivalencia entre tasas, periodos diferentes y monedas diferentes
La Inflación, la Tasa de interés corriente y real
Tasas interés de diferentes monedas
2

3. Página 3
El valor del dinero en el tiempo, expresa que un agente prefiere el
consumo presente al consumo futuro (preferencia intertemporal)
Ahorro (A)
Consumo (C)
Inversión (I)
Dividendos (D)
Presente Futuro
La expresión cuantitativa del Valor del dinero en el tiempo es el
precio del dinero, el cual se denomina Tasa de interés. En otras
palabras, la tasa de interés es el precio que permite elegir entre
el consumo presente y el consumo futuro.
Consumo futuro (C)
Dividendos futuros
(D)

4. Página
Herramienta de análisis del valor del dinero en el tiempo.
Permite visualizar gráficamente lo que sucede en una situación
particular para plantear la solución de un problema.
Ejemplos
0 1 2 3 4
Un año dividido en trimestres
0 1 2 3 4
Un año dividido en bimestres
5 6
0 1 2
Un año dividido en semestres
4

5. Página
Ejemplo:
Un año dividido en semestres.
0 1 2
El momento
cero “0” es hoy.
Es el inicio del
periodo de
evaluación o
análisis
El momento 1
señala el término
del primer
semestre y el
inicio del segundo
semestre
El momento 2
señala el término del
segundo semestre y
el término del
periodo de análisis
de 1 año
•1 semestre
•1er periodo
5

6. Página
Flujos de efectivo positivos son ingresos para la
empresa.
• Ingresos por venta de productos.
• Ingresos por venta de servicios.
• Ingresos por venta de activos.
• Ingresos financieros.
• Prestamos bancarios.
• Cobros a clientes, etc.
Flujos de efectivo negativo son egresos para la
empresa
• Pago a proveedores.
• Pago de intereses y servicio de deuda, etc.
• Pago de dividendos.
• Pago por compra de activos (inversiones)
0 1 2
ENCIMA DE LA LÍNEA
•Flujo de ingresos
•Recepción de ingresos
•Desembolsos de préstamos
DEBAJO DE LA LÍNEA
•Flujo de egresos
•Inversiones
•Cuotas de una deuda
6
FLUJO DE CAJA:
Flujos de dinero (efectivo) positivos o negativos (ingresos o salidas) ciertos o esperados, que
se reciben o entregan en un determinado momento.
Ej. Un año dividido en semestres.

7. Página
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
i = x%
i = x%
Finanza
s

8. Página
8
0 1 2 3 4
P = 100
INTERÉS COMPUESTO: GENERALIDADES
i = 10%
10
110
11 12.1 13.31
121
133.1
146.41
F= 146.41
F = P*(1+i)n
P = F / (1+i)n
Función = VF
Función = VA

9. Página 9
0 1 2 3
10,000
5,000
Años
 Alejandro López depositará en
el Banco América al final de
cada uno de los próximos 3
años los siguientes montos.
¿Cuánto tendrá acumulado al
final del año 3? Considere que
el banco ofrece una tasa anual
de 6.5%.
 Alejandro espera depositar al
final de cada uno de los
próximos 3 meses en el Banco
América los siguientes
montos. ¿Cuánto tendrá
acumulado al final del mes 4?
Considere una tasa mensual
de 0.54%.
0 1 2 3
$600
meses
$600 $600
5,000

10. Página
0 1 2 3 4
F0
F1
F2
F3
n
Fn-1
…
Ej. “n” FLUJOS ( F1, F2,…, Fn)
10
F4
n-1
VF = F0 (1+i)n + F1 (1+i)n-1 + F2 (1+i)n-2 + F3 (1+i)n-3 + … + Fn-1 (1+i)
¿Qué pasaría si las tasas de interés en cada periodo no es igual?

11. Página
0 1 2 3 4 5
10,000
5,000
9,000
6,000
Años
 Alejandro López depositará al
final de cada uno de los
próximos 5 años los siguientes
montos en el Banco de Crédito
¿A cuanto ascenderá el monto
total acumulado al final del año
5?
Considerando que la tasa de interés del primer año será 12% y cada año ira creciendo en
1.5% hasta el 5to año.
11

12. Página
Existen situaciones en las que recibiremos cantidades o valores en el
futuro. Por ejemplo.
Se compra una acción preferente de una
empresa que cotiza en Bolsa. Con ello
tenemos que por un periodo de tiempo
recibiremos determinados flujos.
Se acepta la firma de letras por la venta
de bienes o servicios.
Iniciamos un negocio y pronosticamos
un flujo de caja a futuro.
Hoy Futuro
S/.
S/. S/.
. . .
Letras
S/.
Hoy Futuro
S/. S/. S/.
. . .
12
Acción
$
Hoy Futuro
$ $
$
. . .

13. Página
En las situaciones mencionadas conocemos
que recibiremos determinadas cantidades. Es
decir se tienen flujos futuros conocidos o
estimados.
El responder ambas preguntas estamos
buscando saber cual es el valor, en este
momento , de los flujos o cantidades que
recibiremos en el futuro. Nos estamos refiriendo
al VALOR ACTUAL del flujo futuro o de los flujos
futuros.
Cabe preguntarse: si tuviera la oportunidad de
cambiar los flujos futuros por una cantidad en este
momento, es decir, hoy:
i. ¿Cómo determinaría dicha cantidad?
ii. ¿A cuánto ascendería dicha cantidad?
Flujos
Futuros
Conocidos
Estimados
HOY
¿Cómo?
¿Cuánto?
Flujos
Futuros
VALOR
ACTUAL
Flujos
Futuros
13

14. Página
Los flujos de caja futuros, que se esperan recibir al realizar una inversión,
descontados al costo del dinero apropiado para dicha inversión (tasa de
interés o descuento apropiada) permiten obtener el valor presente de cada
uno de dichos flujos de caja futuros, que sumados deben ser igual a, la
inversión que se realizó.
14

15. Página
Aplicaciones
Activos reales (Decisiones de inversión, presupuesto de capital)
Deuda bancaria (Decisiones de financiamiento)
Bonos (Decisiones de financiamiento)
Acciones e inversiones en empresas (Decisiones de financiamiento,,
valorización de empresas para adquisiciones, fusiones, escisiones)
Característica común
Las aplicaciones señaladas tienen por característica común, la de invertir
una suma (flujo) de dinero hoy (presente) con la esperanza de recibir
sumas (flujos) de dinero en el futuro. Dichos flujos a recibir generalmente se
encuentra sujetos a una variabilidad (riesgo).
15

16. Página
Ejemplo:
 Alejandro desearía tener al final del año un monto de S/15 mil para poder dar la inicial
para un auto. Se pregunta cuanto debería depositar en su cuenta de ahorro al inicio del
año para conseguir su objetivo. La tasa de ahorro que el banco le ofrece es 7% al año.
16
0 1 12
¿P?
7%
15
2
F = 15 = P*(1+i)
P = ¿?
i = 7%
P = F/(1+i)
P = 14,01
. . . Meses

17. Página
Valor Actual en caso los flujos sean iguales
Valor Actual = - VA(tasa, nper, pago, [vf], [tipo])
0 1
400
Mes
i = 10%
tasa : i = 10%
nper : 1 mes
pago : 400 (valores iguales)
VA = VA(10%,1,400)
17
0 1 2
400 400
Meses
i = 10% i
tasa : i = 10%
nper : 2 meses
pago : 400 (valores iguales)
VA = VA(10%,2,400)
0 1 2 3
400 400 400
Meses
i = 10% i i
tasa : i = 10%
nper : 3 meses
pago : 400 (valores iguales)
VA = VA(10%,3,400)

18. Página
0 1
200
Mes
Valor Actual, en caso los flujos sean diferentes (valor1 ≠ valor2 ≠ valor3,…)
Valor Actual = VNA(tasa, valor1, [valor2], [valor3],…)
tasa : i
valor1 : 200
VA = VNA(10%, 200)
i = 10%
18
0 1 2
200
400
Meses
tasa : i
valor1 : 200
valor2 : 400
VA = VNA(10%, 200, 400)
i
i = 10%
0 1 2 3
200
400
300
Meses
tasa : i
valor1 : 200
valor2 : 400
valor3 : 300
VA = VNA(10%, 200, 400, 300)
i i
i = 10%

19. Página
 Alejandro espera recibir al final de cada uno de los próximos 3
meses los siguientes ingresos (letras). Sin embargo, requiere el
dinero en estos momentos (0). Para ello acude al banco y este le
indica que podría entregarle el dinero pero descontando cada flujo a
una tasa mensual de 2.4%.¿Cuanto recibirá por ello?
0 1 2 3
5,000 5,000 6,500
meses
19

20. Página
Interés simple
Interés compuesto
Tasa de interés nominal
Tasa de interés efectiva
Tasa de interés corriente
Tasa de interés real
Tasa de interés
Plazo
(Periodo de tiempo)
1 mes : mensual
2 meses : bimensual o
bimestral
3 meses : trimestral
6 meses : semestral
1 año : anual
2 años
3 años
5 años
…
Etc.
Asociación
Tasa de interés soles
Tasa de interés dólares
20

21. Página
Es una tasa de interés enunciativa que no refleja el verdadero interés que se obtiene por
el capital. Se presenta con fines nominativos. Esta tasa debe estar acompañada de los
periodos de capitalización compuesta.
Ejemplos
Tasa nominal de 12% anual con capitalización semestral.
Tasa nominal de 18% anual con capitalización bimestral.
Tasa nominal de 21% anual con capitalización trimestral.
16% nominal anual con capitalización quincenal.
10% nominal anual con capitalización diaria.
32% nominal anual con capitalización semestral.
i m = r/m m : Número de periodos de capitalización en un año
im : Tasa de interés del periodo “m”
21

22. Página
El periodo acordado para convertir el interés en capital se llama Periodo de Capitalización
o Periodo de Conversión. Puede ser, anual, semestral, mensual, semanal, diaria entre
otros
22
El número de veces que el interés se capitaliza en un año se conoce como Frecuencia de
Capitalización o Frecuencia de Conversión
Ejemplos:
La frecuencia de capitalización para una inversión que se realiza a una tasa de
interés con capitalización mensual será de 12 y para una inversión con una tasa de
interés con capitalización trimestral será de 4

23. Página
El Banco Atlántico ofrece una tasa de 10% nominal anual con capitalización semestral .
¿Cuál es la tasa semestral correspondiente?
23
0 1 2
10% nominal
0 1 2
5% semestral
r = 10%
m = 2 (semestral)
im = r/m
im = 10%/2
isemestral = 5%
5% semestral

24. Página
Es una tasa de interés que refleja el interés que verdaderamente se obtendrá por el
capital. La tasa de interés efectiva emplea el concepto del interés compuesto.
La tasa de interés efectiva se suele expresar en términos anual recibiendo el nombre de
Tasa Efectiva Anual o TEA.
La tasa de interés efectiva es la empleada entre otros en:
Préstamos concedidos por los bancos a empresas.
Compras de bienes de consumo a plazos.
Créditos hipotecarios.
Créditos vehiculares.
Prestamos de consumo.
Valuación de activos.
Evaluación de inversiones.
24

25. Página 25
i = (1 + r/m)m - 1
Relación entre la Tasa de interés nominal (r) y la Tasa de interés efectiva ( i )
i m = r/m
m : Número de periodos de capitalización en un año
im : Tasa de interés efectiva del periodo “m”
i : Tasa de interés efectiva correspondiente al periodo de
la Tasa de interés nominal “r”
r = [(1 + i)1/m – 1] m
r : Tasa de interés nominal correspondiente al periodo de
la Tasa de interés efectiva “i”

26. Página
El Atlántico ofrece una tasa de 10% nominal anual con capitalización semestral . ¿Cuál es
la tasa efectiva anual correspondiente?
26
0 1 2
10% nominal
0 1 2
5% semestral
r = 10%
m = 2 (dos capitalizaciones al año)
im = r/m
im = 10%/2
isemestral = 5%
5% semestral
i = (1+ r/m)m - 1
i = (1+ 5%)2 -1
i = 10.25%
0 1 2
10.25% efectivo

27. Página
i = (1 + r/m)m - 1
27

28. Página 28
Cual es la tasa efectiva anual del dinero invertido a la tasa nominal anual de 25%
capitalizable en forma semestral?
El Banco continental cobra por sus prestamos vehiculares el 18% capitalizable
mensualmente. Cual es la tasa efectiva anual?
En cual banco invertiría usted su dinero, si banco X le ofrece un 28.5% con capitalización
diaria o el banco Y, que le ofrece 30% capitalizable semestralmente
Cual es el interés nominal que produce un rendimiento de 16.1292% anual efectivo si el
interés se capitaliza cada quincena

29. Página
96
Tasa de interés nominal
=TASA.NOMINAL(tasa_efect, núm_per_año)
Tasa de interés efectiva anual(TEA)
=INT.EFECTIVO(tasa_nominal, núm_per_año)
29

30. Página
Dos o más tasas son equivalentes cuando capitalizándose en periodos distintos
generalmente menores a 1 año, el monto final obtenido en igual plazo es el mismo.
30
x,y: en días
iy : Tasa conocida
ix : Tasa incógnita
ix = (1+iy)(x/y) - 1
Tasa equivalente para interés efectivo

31. Página
• La tasa efectiva anual que paga un Banco por una cuenta a plazo fijo es de 25%. ¿Cuál
será la tasa efectiva mensual?
• Una entidad financiera cobra por préstamo una tasa efectiva mensual de 5%.¿Cuál será
la Tasa Efectiva anual que cobra el Banco por préstamo?
• Cual es la tasa efectiva equivalente bimestral de una tasa efectiva del 25% semestral
• La tasa efectiva que se cobra por la compra de un artefacto es 12% trimestral cual será la
tasa efectiva semestral que cobra la tienda de artefactos?
31

32. Página
La Inflación es el incremento continuo o generalizado de los precios de los bienes o
servicios en una economía.
La inflación ocasiona que el poder adquisitivo o poder de compra del dinero disminuya .
La inflación tiene efectos nocivos en:
Daña el poder adquisitivo de la moneda
Crecimiento económico, al hacer mas riesgosos los proyectos de inversión y elevar las tasas
de interés
Dificulta la demanda y otorgamiento de crédito
La inflación se origina por lo general por el aumento del circulante sin un aumento
equivalente de la producción.
Una inflación menor no implica que el nivel de precios haya disminuido si no que el
incremento es menor
La disminución de los precios en los bienes y servicios se llama deflación
32
La Inflación

33. Página
La Inflación también incluye un efecto compuesto
33
P2 = P1 + (λ)P1
λ = P2 -1
P1
P1= Precio en Periodo 1
P2= Precio en periodo 2
λ = inflación del periodo
Si el índice de precios de diciembre 2000 fue de 93.2482 y en diciembre 2002
fue 102. 9084. Calcule la inflación ocurrida en esos dos años
La Inflación

34. Página 34
INTERÉS CORRIENTE Y REAL
(i + 1) = (1 + iReal) * (1+ inflación) i corriente i real Inflación
Mensual Mensual Mensual
Anual Anual Anual
Trimestral Trimestral Trimestral
Etc. Etc. Etc.
Por ejemplo, un banco indica que paga por los depósitos una
TES 2.5%%. Por otro lado, el BCR ha proyectado una inflación
anual del 3%. ¿Cuál será el interés real mensual que ganen los
clientes del banco?
1 año = 360 días
1 mes = 30 días
1 sem = 180 días
Y así sucesivamente
iReal = mensual iCorriente = mensual
Inflación anual = 3%
iReal = [(1 + i) / (1+ inflación)] - 1
iCorriente sem.= 2.5% iCorriente mens.= ???
inflación = mensual
Inflación mens = ???
iReal mensual = ???.... Ver excel

35. Página 35
INTERÉS SOLES Y DÓLARES
(1 + iPEN) = (1 + iUSD) * (1+ devaluación) i soles i dólares devaluación
Mensual Mensual Mensual
Anual Anual Anual
Trimestral Trimestral Trimestral
Etc. Etc. Etc.
Por ejemplo, un banco indica que paga por los depósitos en
soles una TES 2.5%%. Por otro lado, el BCR ha proyectado una
devaluación anual del 3%. ¿Cuál sería la TEM que ganen los
clientes del banco en dólares?
1 año = 360 días
1 mes = 30 días
1 sem = 180 días
Y así sucesivamente
iUSD = mensual iPEN = mensual
Devaluación anual = 3%
iUSD = [(1 + iPEN) / (1+ inflación)]
- 1
iPEN sem.= 2.5% iPEN mens.= ???
inflación = mensual
Devaluación mens = ???
iUSD mensual = ???.... Ver excel

36. Página
La tasa de interés corriente es aquella que incorpora la inflación esperada.
La tasa de interés real es aquella que resulta de deducir la inflación esperada. Mide el
incremento (decremento ) en la capacidad de consumo.
Tasa de interés corriente
“icorr”
Tasa de interés real
“iR”
icorr = (1 + iR)*(1+inflación)-1
“ inflación" expresada en los términos de la
moneda de las tasas de interés y plazos
correspondiente
36

37. Página
La Paridad de Tasas de Interés (PTI) es la identidad básica que relaciona las tasas de
interés en distintas monedas y los tipos de cambio entre las mismas.
La determinación de la tasa de interés doméstica respecto a una extranjera dependerá de
la devaluación esperada del tipo de cambio entre ambas monedas.
Tasa de interés en soles
“iS/.”
Tasa de interés en dólares
“i$”
iS/. = (1 + i$)*(1+dev)-1
“ inflación" expresada en los términos de la
moneda de las tasas de interés y plazos
correspondiente
37

38. Página
1. ¿Que tasa de interés trimestral es equivalente a una tasa anual efectiva de 6%?
2. Se tiene una tasa efectiva anual de 35%, cuál es su equivalente diario?
3. Se tiene una tasa efectiva mensual de 6%, cuál es su equivalente anual?
38