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Vectores
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- 3. MagnitudesMagnitudes físicasfísicas Escalares Vectoriales Asociadas a propiedades que pueden ser caracterizadas a través de una cantidad Asociadas a propiedades que se caracterizan no sólo por su cantidad sino por su dirección y su sentido
- 4. MagnitudesMagnitudes físicasfísicas Masa, densidad, temperatura, energía, trabajo, etc Velocidad, fuerza, cantidad de movimiento, aceleración, torque, etc. Escalares Vectoriales
- 5. SR: Cuerpos que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio. Bases para el estudio delBases para el estudio del movimiento mecánicomovimiento mecánico x(t)x(t) y(t)y(t) z(t)z(t) Se le asociaSe le asocia • ObservadorObservador • Sistema deSistema de CoordenadasCoordenadas y x z • RelojReloj
- 6. Movimiento planoMovimiento plano Coordenadas Cartesianas y (m) x (m) O origen abcisa ordenada (x,y) Q (-2,2) P (8,3)
- 8. Relacion entre (x,y) y (r,θ) y (m) x (m) O origen abcisa ordenada (x,y) θ r θcosrx = θrseny = θtan= x y22 yxr +=
- 9. VectoresVectores Notación A Módulo A > 0 A Dirección ϕθ, x y z θ ϕ Ap ϕ x y
- 10. PropiedadesPropiedades de Vectoresde Vectores • Dados A y B, si A = B entonces A = B • Todo vector se puede desplazar paralelamente a si mismo A B C CBA ==
- 11. Suma deSuma de VectoresVectores B A R B A C C Ley del polígono
- 12. El vector resultante es aquel que vector que va desde el origen del primer vector hasta el extremo del ultimo
- 13. A B C D Entonces si se tiene los siguientes vectores El vector resultante de la suma de todos ellos será:
- 15. PropiedadesPropiedades de Vectoresde Vectores A Opuesto -A Nulo 0 = A + ( )-A Vector unitario A A =μ µ µ= ˆAA
- 16. PropiedadesPropiedades de la suma dede la suma de VectoresVectores Ley Conmutativa ABBAR +=+= Ley Asociativa C)BA)CBAR ++=++= (( Diferencia B-AR = )B(-AR += A B A -B R
- 17. Ley conmutativa ¿Como se explica esta regla? Los vectores A y B pueden ser desplazados paralelamente para encontrar el vector suma B R = A+B A B R = B+A (Método paralelogramo) B R = A+B
- 18. Multiplicación de un vector por un escalar Dado dos vectores ByA Se dicen que son paralelos si BA α= BAsi ↑↑> 0α BAsi ↑↓< 0α BAsi ==1α
- 20. Ejemplo 8: Hallar el vector resultante de la suma de los siguientes vectores A B C A B CR = 2
- 21. Vectores unitarios en el plano iˆjˆ x y iˆ Vector unitario en la dirección del eje x+ jˆ Vector unitario en la dirección del eje y+
- 22. Vectores unitarios en el espacio x y z iˆ jˆ kˆ
- 23. RepresentaciónRepresentación de un vectorde un vector x y z θ ϕ A Ax Ay Az θsenAAx ϕcos= θsenAsenAy ϕ= θcosAAz = 222 zyx AAAAA ++== kAjAiAA zyx ++=
- 24. Observaciones: Las componentes rectangulares de un vector dependen del sistema coordenado elegido. La magnitud del vector no cambia. Permanece invariante en cualquier sistema coordenado
- 25. Determínese la resultante de los siguientes vectores + A 4u 3u B BAR += 7u
- 27. Observamos que, cuando los vectores están en la misma dirección podemos determinar fácilmente su magnitud ¿Que sucede si los vectores no están en la misma dirección ? , ¿ podremos determinar directamente su magnitud ?
- 28. 4u 3u A B La magnitud en este caso no puede determinarse directamente , por lo que debemos tratar de buscar otra forma de determinarla BAR +=
- 31. yy BA + xx BA + 10u 5u yyxx BABAR +++= Por pitagoras podemos ahora determinar la magnitud del vector resultante uR 55510 22 =+=
- 34. x y z (x1,y1,z1) (x2,y2,z2) A Dados los puntos indicados el vector que los une esta representado por
- 36. ProductoProducto escalar de dosescalar de dos vectoresvectores θABBA cos=⋅ cosθAAB = Proyección de A sobre B cosθBBA = Proyección de B sobre A
- 37. 1ˆˆ =⋅ii 1ˆˆ =⋅ jj 0ˆˆ =⋅ ji 0ˆˆ =⋅kj 0ˆˆ =⋅ki xAiA =⋅ ˆ 1ˆˆ =⋅kk yAjA =⋅ ˆ zAkA =⋅ ˆ ZZYYXX BABABABA ++=⋅
- 38. ProductoProducto vectorial de dosvectorial de dos vectoresvectores BAC ×= θABC sen= 0iˆiˆ =× 0ˆˆ =× jj 0ˆˆ =×kk kji ˆˆˆ =× ikj ˆˆˆ =× jik ˆˆˆ =×
- 39. )kˆBjˆBiˆB()kˆAjˆAiˆA(BAC zyxzyx ++×++=×= YZZYX BABAC −= zxxzy BABAC −= xyyxz BABAC −= Demostrar:
- 40. Determinese la suma de los siguientes vectores: Ejemplo 1: k5j8i3A ˆˆˆ ++= kji-5B ˆ3ˆ2ˆ −+= kji4C ˆ2ˆ7ˆ −−=
- 41. Ejemplo 2: 8m 10m 5m A B C Determine la suma de los vectores indicados x y z
- 42. Ejemplo 9 Dados los vectores: kˆ3jˆ5iˆ4B kˆ5jˆ3iˆ3A −+= −+= Determine : a) El producto escalar entre ellos. b)el producto vectorial entre ambos e) el ángulo que forman entre sí. Tarea 9c, 9d y 10