Este documento presenta varios ejemplos sobre planos en 3D. Explica cómo encontrar la ecuación de un plano dado un punto y un vector normal, y cómo hallar los interceptos de un plano con los ejes. También muestra cómo calcular la distancia entre puntos y planos, y entre planos paralelos.

1. Planos en 3D
Dr. Gustavo Rodríguez Zurita

2. R1 plano,
Planos en 3D.
0P
Punto por el que sabemos pasa el plano
Punto cualquiera sobre nuestro plano
Resta vectorial contenida en el plano
Coordenadas de punto en recta cumplen
P
0r

r

R1 plano,
n
( )
0)()()(
0
,,),,(
,,),,(
000
0
00000000
=−+−+−
=−•
−
=→
=→
zzcyybxxa
rrn
rr
zyxrzyxP
zyxrzyxP




Resta perpendicular a normal al plano n
cban ,,=


3. Ecuación escalar del plano pasando
por P0(x0,y0,z0).
cban ,,=
( )0000 ,, zyxP
0)()()( 000 =−+−+− zzcyybxxa
)(
0
0)(
0
000
000
000
czbyaxd
con
dczbyax
czbyaxczbyax
czczbybyaxax
++−=
=+++
=++−++
=−+−+−
Ecuación Lineal

4. Ejemplo 4.
Encontrar la ecuación del plano pasando por P(2,4,-1)
con normal <2,3,4>. Hallar los interceptos.
0)()()( 000 =−+−+− zzcyybxxa
Usando la ecuación del plano
432
142 000
===
−===
cba
zyx
y por los datos, se identifica que
substituyendo
0)1()4(3)2(2 =++−+− zcyx

5. Ejemplo 4
12432
012432
0416432
04124432
04412342
=++
=−++
=+−++
=+−−++
=++−+−
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
Distribuyendo los factores y simplificando La intersección con el eje x sale de y=z=0,
2x=12, o x=6
La intersección con el eje y sale de x=z=0,
3y=12, o y=4
La intersección con el eje z sale de x=y=0,
4z=12, o z=3
plano plano

6. Ejemplo 5
Encontrar la ecuación del plano pasando por
los puntos P(1,3,2) Q(3,-1,6) y R(5,2,0)
2,1,42,3,10,2,5
4,4,22,3,16,1,3
−−=−=−=
−=−−=−=
PRPR
PQPQ


Los siguientes vectores se encuentran sobre el plano inspeccionado
Se requieren dos vectores independientes en el plano para encontrar un
vector normal usando su producto CRUZ, o vectorial.
( ) ( ) ( ) ( )
kji
kjikji
kji
kji
n
ˆ14ˆ20ˆ12
14ˆ)20(ˆ)12(ˆ162ˆ164ˆ48ˆ
14
42ˆ
24
42
ˆ
21
44
ˆ
214
442
ˆˆˆ
2,1,44,4,2
⋅+⋅+⋅=
+−−=+−+−−−+=
−
−
+
−
−
−−
−
=
−−
−=−−×−=

Usando los vectores se encuentra n con producto X

7. Ejemplo 5
507106
0100142012
0286012142012
0)2(14)3(20)1(12
=++
=−++
=−−−++
=−+−+−
zyx
zyx
zyx
zyx
Utilizando el vector P y las componentes de n
La intersección con el eje x sale de y=z=0,
6x=50, o x=8.33
La intersección con el eje y sale de x=z=0,
10y=50, o y=5
La intersección con el eje z sale de x=y=0,
7z=50, o z=7.14
plano plano

8. Ejemplo 5
R1 R2, R3, plano, R1 R2, R3, plano, R1 R2, R3, plano,
Visualizando los puntos P(1,3,2) Q(3,-1,6) y R(5,2,0)

9. Ejemplo 6
tztytx +=⋅−=⋅+= 5432
18254 =−+ zyx
2
2010
18210
1810822012
1821020128
18)5(2)4(5)32(4
−=
=−
=−−
=−+−−
=−−−+
=+−−++
t
t
t
ttt
ttt
ttt
Encontrar el punto de intersección entre la recta de
ecuaciones paramétricas
y el plano con ecuación
Como el punto buscado debe cumplir con ambas expresiones, se sustituyen las
paramétricas en la ecuación del plano para hallar t.
3)2(5)2(
8)2(4)2(
462)2(32)2(
=−+=−
=−−=−
−=−=−+=−
z
y
x
Regresando a las ecuaciones paramétricas para
encontrar las coordenadas correspondientes a
t = -2…
…indicando que las coordenadas buscadas son
3,8,4−

10. Ejemplo 6
tztytx +=⋅−=⋅+= 5432 18254 =−+ zyx
3,8,4−
R plano,
R plano, R plano,

11. Ejemplo 7
Encontrar el ángulo entre los dos planos descritos por
las ecuaciones
1321 =+−=++ zyxzyx
Encontrar las ecuaciones simétricas para la recta de
intersección L.
Los ángulos entre los planos son los ángulos entre sus respectivas normales
n1 y n2.
3,2,11,1,1 21 −== nn

Por los coeficientes de las ecuaciones:
ba
ba
baba 

⋅
•
=⇒⋅⋅=• )cos()cos( θθDe:
21
21
)cos(
nn
nn


⋅
•
=θ

12. Ejemplo 7
42
2
143
321
321111
3,2,11,1,1
)cos(
222222
21
21
=
⋅
+−
=
++⋅++
−•
=
⋅
•
=
nn
nn


θ
Substituyendo para el coseno:
Tomando el arco coseno de 2/√(42) se obtiene un ángulo entre planos de valor
1.257 rad o 72.025°
plano_1 plano_2

13. Ejemplo 7
plano_1 plano_2
Se requiere además un punto de cada plano. Puede buscarse uno cualquiera pero
común a ambos, el cual pertenecerá a la recta de intersección L.
Tomando z = 0 en las ecuaciones de ambos planos, se simplifican éstas.
Resolviendo
0
1
33
12
222
12
1
=⇒
=
=
=−
=+
=−
=+
y
x
x
yx
yx
yx
yx
El punto tiene coordenadas <1,0,0>
Con ese punto y con los números directores
de las normales, las gráficas de los planos,
por separado primero, son
plano_1 plano_2,

14. Ejemplo 7
Para hallar la ecuación de L, notamos que debe ser perpendicular a los dos
vectores normales “simultáneamente”.
Un vector perpendicular a las dos normales puede encontrarse con su producto
vectorial o CRUZ (X):
kji
kji
kji
kji
nnv
ˆ3ˆ2ˆ5
)12(ˆ)13(ˆ)23(ˆ
21
11ˆ
31
11
ˆ
32
11
ˆ
321
111
ˆˆˆ
21
−−=
−−+−−+=
−
+−
−
=
−
=×=

Así, los números directores que pueden
usarse para L son a = 5, b = -2 y c = -3.
Las ecuaciones simétricas se pueden
escribir entonces como
325
1
−
=
−
=
− zyx
plano_1 plano_2, R1,

15. Ejemplo 8
Encontrar la distancia D entre el punto P1(x1,y1,z1) y el plano
ax+by+cz+d = 0. Use P0(x0,y0,z0).
plano_zero R, Raux,
P1
D
P0
b

n

222
111
222
111
222
000111
222
010101
010101
)(
)(
)()()(
,,
cba
dczbyax
cba
dczbyax
cba
czbyaxczbyax
cba
zzcyybxxa
n
nb
D
zzyyxxb
++
+++
=
++
−−++
=
++
++−++
=
++
−+−+−
=
•
=
−−−=




16. Ejemplo 9
Encontrar la distancia D entre los planos paralelos
10x+2y-2z = 5 y 5x+y-z = 1.
Los planos son paralelos porque sus normales <10,2,-2> y <5,1,-1> lo son.
Tomamos cualquier punto de un plano y calculamos su distancia al otro plano.







==
⋅
==
++
−
=
−++
−−+
=
=
=
==
6
3
32
1
33
2
3
39
2
3
27
2
3
1125
1
2
5
)1(15
1)0(1)0(1)
2
1
(5
0,0,2/1
2/1
510
0
222
D
x
x
zy
Se toma un punto con coordenadas y=0 y z=0
La coordenada x faltante resulta
Usando la fórmula de distancia D, por substitución
plano_1 plano_2,
52210
1005
=−+
=−+
zyx
zyx

17. Ejemplo 9 bis
Encontrar la distancia D entre los planos paralelos
10x+2y-2z = 5 y 5x+y-z = 1.
Los planos son paralelos porque sus normales <10,2,-2> y <5,1,-1> lo son.
Tomamos cualquier punto de un plano y calculamos su distancia al otro plano.
Se toma un punto con coordenadas x=0 y z=0
La coordenada y faltante resulta
Usando la fórmula de distancia D, por substitución
plano_1 plano_2,
52210
1005
=−+
=−+
zyx
zyx
6
3
27
12/5
27
1)0(1)2/5(1)0(5
0,2/5,0
2/5
52
0
=
−
=
−++
=
=
=
==
D
y
y
zx

18. Ejemplo 10
Encontrar la distancia D entre las líneas rectas oblicuas
del ejemplo 3.
Puede considerarse que las rectas están en
planos paralelos. La distancia entre esos planos
es la distancia entre las rectas.
RA RB,

19. Conclusiones