1. Clases de simetrías Cristalinas
Lic. Carlos Quiñones Monteverde

2. CLASE DE SIMETRÍA CRISTALINA 1/2
Una clase de simetría cristalina es una combinación
de operaciones de simetría en las que se han
derivado todos los elementos de simetría
resultantes.
Todos los cristales cuya forma exterior tenga una
simetría de un mismo tipo constituyen una clase.
Las clases de simetría cristalinas tienen
denominaciones definidas y notaciones que difieren
de unos autores a otros.
Las clases de simetría cristalinas han sido deducidas por diferentes autores:
Hessel Fedorov Gadolin
Bravais Curie Wulff
P
L2
P
Ejemplo: L22P
Ejemplo: L22P es la clase Planar del sistema Ortorrómbico y se denota
como:
C2V (Schoenflies); mm (Hermann-Mauguin) y 2.m ( Shubnikov)

3. CLASE DE SIMETRÍA CRISTALINA 2/2
Para describir la deducción de Gadolin tomaremos en cuenta los
siguientes elementos de simetría para los cristales:
 Plano de simetría: P
 Ejes de simetría: L1, L2, L3, L4 y L6
 Ejes de rotoreflexión: L1
2= C, L2
4 y L3
6
 Centro de simetría: C
Para deducir todas las posibles combinaciones de los elementos de
simetría consideraremos dos grupos:
 Grupo A: incluirá las clases de simetría cristalinas en las que después
de derivar los elementos de simetría existirá un sólo eje de simetría del
más alto orden.
Ejemplos: L22P, L33L2, L66L27PC, L2
42L22P.
 Grupo B: incluirá las clases de simetría cristalinas que tengan varios
ejes de simetría de la forma Ln (n>2).
Ejemplos: 3L44L36L2, 4L33L23PC.

4. CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO A 1/4
Primera serie:
Si toda la simetría del cristal consiste de un solo eje de simetría de cualquier
orden de la forma Ln, entonces en los cristales se podrán encontrar las
siguientes clases de simetrías: L1, L2, L3, L4 y L6.
Segunda serie:
Si se adiciona un eje binario L2 perpendicular al eje
Ln, la acción de este eje dará lugar a la aparición de
otros ejes L2, según el valor de n. Se tendrán las
siguientes clases de simetrías: L1L2 = L2, L22L2 = 3L2,
L33L2, L44L2 y L66L2.
L3
L2
L2
L2
Ejemplo: eje L3
Clase: L33L2
Observar que un eje binario L2 que corte al eje Ln en
ángulo oblicuo, trasladará al eje Ln a una nueva
posición, obteniéndose 2Ln, lo que contradice la
condición establecida.
Ln
Ln
L2

5. CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO A 2/4
Tercera serie:
Si se adiciona un plano de simetría P perpendicular
al eje Ln, se podrán encontrar las siguientes clases
de simetrías: L1P = P, L2PC, L3P, L4PC y L6PC.
Cuarta serie:
Si se adiciona un plano de simetría P paralelo al eje
Ln, la acción de este eje dará lugar a la aparición de
n – 1 planos más, según el valor de n. Se tendrán las
siguientes clases de simetrías: L1P = P, L22P, L33P,
L44P y L66P.
Ejemplo: eje L3
Clase: L33P
Ln
L3
Quinta serie:
Si se adicionan simultáneamente dos planos de
simetría P uno perpendicular y otro paralelo al eje Ln,
esto dará lugar a la aparición de n ejes binarios L2.
Se tendrán las siguientes clases de simetrías: L1L22P
= L22P, 3L23PC, L33L24P, L44L25PC y L66L27PC.

6. L2
L2
4
CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO A 3/4
Ejemplo: eje L2
L2
L2
L2
c
Clase: 3L23PC
Sexta serie:
Si la simetría del cristal consiste sólo de un eje
de rotoreflexión Ln
2n, aparece un centro de
simetría C si n es impar, entonces se podrán
encontrar las siguientes clases de simetrías: L1
2
= C, L2
4 y L3
6C.
Sétima serie:
Si se adiciona un eje binario L2 perpendicular al
eje de rotoreflexión Ln
2n, se obtienen n planos
verticales. Se tendrán las siguientes clases de
simetrías: L1
2L2P = L2PC, L2
42L22P y L3
63L23PC.
L2
Ejemplo: eje L2
4
Clase: L2
42L22P

7. Nº
Fórmula
General
Simetrías
n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 6
1 Ln L1 L2 L3 L4 L6
2 LnnL2 L1L2 = L2 (*) L22L2 = 3L2 L33L2 L44L2 L66L2
3 LnP(C) L1P = P L2PC L3P L4PC L6PC
4 LnnPI I L1P = P (*) L22P L33P L44P L66P
5 LnnL2(n+1)P(C)
L1L22P =
L22P (*)
L22L23PC =
3L23PC
L33L24P L44L25PC L66L27PC
6 Ln
2n(C) L1
2 = C L2
4 L3
6C
7 Ln
2nnL2nP(C)
L1
2L2P =
L2PC (*)
L2
42L22P L3
63L23PC
CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO A 4/4
El grupo A contiene 27 clases de simetría cristalina diferentes.

8. L3
L3
¿Es un número finito el número de
ejes resultantes de la combinación de
ejes de simetría de más alto orden?
CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO B 1/9
L3
L3
L4
L4
L4
La aparición de cada uno de los nuevos
ejes es seguida por un número
interminable de nuevos ejes. ¿Se puede
detener la aparición de los nuevos
ejes? ¿Si es así, cómo?
El número de ejes crece infinitamente y
llegamos a la simetría de una esfera
LPC, o los nuevos ejes resultantes
coinciden con los deducidos y así el
número de ejes será finito.
De otra forma: asumiremos que el problema ya se ha resuelto, y que en
base a dos ejes de orden mayor a 2, hemos obtenido un número finito de
ejes de simetría que se cortan en un cierto punto. ¿Cómo determinamos su
número, orden, y posible disposición en el espacio?

9.  




 
Tracemos una esfera cuyo centro se
ubica en el punto de intersección de
los ejes que corte a los ejes en
puntos.
Si trazamos un plano diametral a
través de cada par de puntos, toda la
superficie esférica quedará dividida en
triángulos esféricos.
Consideremos un número finito de ejes
de orden mayor a 2.
CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO B 2/9
Como cada eje es la intersección de
dos planos de simetría, el ángulo
entre los planos será la mitad del
ángulo elemental de rotación del eje.
Se puede determinar el valor de los ángulos posibles de estos triángulos.
Los ejes pueden ser: L6, L4, L3 y L2 y la mitad de los ángulos elementales de
rotación de estos ejes serán: 30º, 45º, 60º y 90º, respectivamente.

10. CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO B 3/9
Como la suma (S) de los ángulos de un triángulo esférico: 180º <S <540º:
Las combinaciones de los ángulos de un triángulo esférico a través de cuyos
dos vértices deben pasar los ejes de simetría del más alto orden:
L6 + L6 + L2
30º + 30º + 90º = 150º
L6 + L4 + L2
30º + 45º + 90º = 165º
L6 + L3 + L2
30º + 60º + 90º = 180º
L4 + L4 + L2
45º + 45º + 90º = 180º
L4 + L3 + L2
45º + 60º + 90º = 195º
L3 + L3 + L2
60º + 60º + 90º = 210º
• Un eje L6 no puede pasar a través de cualquier ángulo de un triángulo
esférico; es decir, no puede estar presente en las simetrías del grupo B.
• Los triángulos esféricos posibles son aquellos donde S = 195º y 210º. Los
ejes L4, L3 y L2 ó los ejes L3, L3 y L2 pasan por sus vértices.

11.  




 
CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO B 4/9
L3
L2 L4
54º 44’ 8”
45º
35º 15’ 52”
En el primer triángulo tendremos:
Clase de simetría: 3L44L36L2
Proyección estereográfica:

12. CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO B 5/9
En la proyección esférica:
Correspondencia con los ejes de
simetría L2, L3 y L4 de un cristal
cúbico.
Clase de simetría: 3L44L36L2
Proyección estereográfica:

13. Clase de simetría: 3L44L36L29PCClase de simetría: 3L44L36L2
Si a la clase de simetría 3L44L36L2, se adiciona un plano de simetría de
manera que no origine nuevos ejes, se obtiene la clase de simetría:
3L44L36L29PC.
CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO B 6/9

14. CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO B 7/9
70º 3l’ 44”
54º 44’ 8”

 


 


L3
L3
L2
En el segundo triángulo tendremos:
54º 44’ 8”
Clase de simetría: 3L24L3
Proyección estereográfica:

15. Clase de simetría: 3L24L36P
Si a la clase de simetría 3L24L3, se adiciona un plano de simetría que pase
por los ejes L3 y L2, se obtiene la clase de simetría: 3L24L36P
Clase de simetría: 3L24L3
CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO B 8/9

16. CLASES DE SIMETRÍAS DEL GRUPO B 9/9
Si a la clase de simetría 3L24L3, se adiciona un plano de simetría que pase
sólo por los ejes L2, se obtiene la clase de simetría: 3L24L33PC.
Proyección estereográfica
Representación de los
elementos de simetría

17. Ejercicio 1
(a) Representar los elementos de
simetría de la clase 3L24L3 para
un cristal que pertenece al
sistema cúbico.
(b) ¿A qué grupo pertenece esta
clase de simetría?
Solución (a)
L3L2
L2
L2
L3
L3
L3
Solución (b)
Grupo B

18. (a) Representar los elementos
de simetría de la clase
L33L24P para un cristal
que pertenece al sistema
hexagonal.
(b) ¿A qué grupo pertenece
esta clase de simetría?
Ejercicio 2
L3
L2
L2
L2
Solución (a)
Solución (b)
Grupo A

19. El piritoedro de la Figura es un sólido cristalino
limitado por caras pentagonales con una arista A de
mayor longitud que las cuatro aristas similares C.
Considerando la simetría del cristal, identificar y
representar todos sus elementos de simetría
indicando la fórmula de la clase de simetría
cristalina.
Ejercicio 3
L2
Solución
Se identifican:
L2
L2
3 ejes binarios L2
L3
L3L3
L3
4 ejes ternarios L3
2 planos verticales P
1 plano horizontal P
C1 centro de simetría C
Fórmula de la clase de simetría:
3L24L33PC

20. El piritoedro es un sólido cristalino que
pertenece a la clase de simetría cristalina
3L24L33PC, cuyos elementos de simetría
son mostrados en la Figura. Representar
gráficamente estos elementos de simetría
en una proyección estereográfica (001)
que contenga, además, las caras del
cristal.
Ejercicio 4
Solución
Mirando a lo largo del eje L2 (eje I), en la
dirección del observador, obtenemos la
proyección estereográfica que se muestra.
3 ejes binarios L2
4 ejes ternarios L3
2 planos verticales P
1 plano horizontal P
L2
L2
L2
L3
L3L3
L3
C
1 centro de simetría C
Se identifican:
(001)
L2
L2
L2
L3
L3
L3
L3
P
P
P
C
polos (102) y (102)
_


(102)
(102)
_
polos (210) y (210)
_

_
(210) (210)

21. Determinar la medida de los lados del triángulo
esférico mostrado en la porción de proyección
estereográfica de la Figura.
Ejercicio 5
45º
60º
90º
a
b
c
B(L4)
C(L3)
A(L2)
Solución
De la Ley de los cosenos tenemos:
acossenCsenBCcosBcosAcos 
5773502,0
3
3
2
3
2
2
2
1
2
2
0
º60senº45sen
º60cosº45cosº90cos
CsenBsen
CcosBcosAcos
acos 




































"08'44º54º7356,54LLa 34


22.  
 
707106,0
2
2
1
2
2
0
2
2
2
1
º90senº45sen
º90cosº45cosº60cos
AsenBsen
AcosBcosCcos
ccos 






















º45LLc 24

 
 
8164965,0
3
2
2
3
1
2
1
0
2
2
º60senº90sen
º60cosº90cosº45cos
CsenAsen
CcosAcosBcos
bcos 




















"52'15º35º2644,35LLb 32

ccosAsenBsenAcosBcosCcos 
bcosCsenAsenCcosAcosBcos 