Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con los conceptos de espacio vectorial, subespacio y dependencia lineal en álgebra lineal. Se piden determinar si ciertos conjuntos de vectores son espacios vectoriales, subespacios o bases, y expresar vectores como combinaciones lineales de otros.

1. U.P.B
TALLER ÁLGEBRA LÍNEAL
1. Determine si el conjunto dado V es un espacio vectorial.
a) V es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales (x, y), donde
x > 0 e y > 0; (x, y) ⊕ (x´, y´) = (x + x´, y + y´) y c⊙(x, y)= (cx, cy).
b) V es el conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales de la forma
(0, y, z); (0, y, z) ⊕ (0, y´, z´) = (0, y + y´, z + z´) y c⊙(x, y) = (cx, cy).
c) V es el conjunto de todos los polinomios de la forma a𝑡2
+ bt + c, donde a, b y c son
números reales y b = a + 1;
(a1 𝑡2
+ b1t + c1) ⊕ (a2 𝑡2
+ b2t + c2) = (a1 + a2)𝑡2
+ (b1 + b2) t + (c1 + c2) y
r⊙ (a𝑡2
+ bt + c) = (ra)𝑡2
+ (rb) t + rc.
d) V es el conjunto de todos los pares ordenados de números reales (x, y), donde x ≤
0, con las operaciones usuales en 𝑅2
.
e) V es el conjunto de todas las matrices de 2 x 2 [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
], donde a = d, ⊕ es la suma
matricial y ⊙ es la multiplicación por un escalar.
2. El conjunto W formado por todos los puntos de 𝑅2
que tienen la forma (x,x) es una
línea recta. ¿Es W un subespacio de 𝑅2
? Justifique.
3. En el plano xy, considere el círculo centrado en el origen y cuya ecuación es 𝑥2
+𝑦2
=1.
Sea W el conjunto de todos los vectores cuya cola está en el origen y cuya cabeza es
un punto interior a la, o en la circunferencia. ¿Es W un subespacio de 𝑅2
? Justifique.
4. Sea W el conjunto de todos los vectores de la forma (x,y) , donde 0<x<1, 0<y<1. ¿es
W un subespacio de 𝑅2
? Justifique.
5. Cuáles de los siguientes subconjuntos de 𝑅3
son subespacios de 𝑅3
? El conjunto de
todos los vectores de la forma
a) (a,b,2)
b) (a,b,c), donde c > 0
6. Cuáles de los siguientes subconjuntos de 𝑅4
son subespacios de 𝑅4
? El conjunto de
todos los vectores de la forma
a) (a,b,c,d), donde a – b = 2
b) (a,b,c,d), donde a = 0 y b = -d
7. Cuáles de los siguientes subconjuntos de P2 son subespacios de P2? El conjunto de
todos los polinomios de la forma
a) a2 𝑡2
+ a1t + ao, donde ao = 0
b) a2 𝑡2
+ a1t + ao, donde ao = 2
8. Cuáles de los siguientes subconjuntos de M 23 son subespacios de M 23 ?El conjunto
de todos las matrices de la forma
a) [
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
], donde a = 2c + 1
b) [
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
], donde a + c = 0 y b + d + f= 0

2. 9. Determine, en cada parte, si el vector dado v pertenece a gen {v1 , v2 , v3}, donde v1 =
(1, 0, 0, 1), v2 = (1,-1, 0, 0) y v3 = (0, 1, 2, 1)
a) V = (-1, 4 2, 2)
b) V = ( 0. 1. 1. 0)
10.¿Cuáles de los siguientes vectores son combinaciones lineales de A1 = [
1 −1
0 3
] A2 =
[
1 1
0 2
] y A3 = [
2 2
−1 1
]?
a) [
5 1
−1 9
]
b) [
−3 −1
3 2
]
11.Determine, en cada parte, si el vector dado p(t) pertenece a gen {p1(t) , p2(t) , p3(t)},
donde p1 (t) = 𝑡2
− 𝑡, p2(t) = 𝑡2
− 2𝑡 + 1 y p3(t) = −𝑡2
+ 1
a) p(t) = 3𝑡2
− 3𝑡 + 1
b) p(t) = 2𝑡2
− 𝑡 − 1
12.Sea S = {(0, 0,1), (1, 0,1), (0, 1,1)}, Determine si u = (1, 1,1) pertenece a gen S.
13.¿Cuáles de los siguientes vectores generan a 𝑅2
?
a) (1,2), (-1,1)
b) (0,0), (1,1), (-2, -2)
14.¿Cuáles de los siguientes vectores generan a 𝑅3
?
a) (1, -1, 2), (0, 1,1)
b) (1, 2, -1), (6, 3, 0), (4, .1, 2), (2, -5, 4)
15.¿Cuáles de los siguientes vectores generan a 𝑅4
?
a) (1, 0, 0, 1) , (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0)
b) (6, 4, -2, 4), (2, 0, 0, 1), (3, 2, -1, 2), (5, 6, -3, 2), (0,4, -2, -1)
16.¿Generan los polinomios 𝑡3
+ 2𝑡 + 1, 𝑡2
− 𝑡 + 2, 𝑡3
+ 2,−𝑡3
+ 𝑡2
− 5𝑡 + 2 P3 ?
17.Determine un conjunto de vectores que genere el espacio nulo de A =
1 1 2 -1
2 3 6 -2
-2 1 2 2
0 -2 -4 0
18.Sean
e
elementos del espacio nulo de A. ¿Es el conjunto {x1, x2 , x3 }
linealmente independiente?
19.Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en el espacio indicado son linealmente
dependientes? Cuando lo sean, exprese un vector del conjunto como combinación
lineal de los demás.
a) {(1,2, -1) , (3,2,59} en 𝑅3
x1 =
1
2
0
1
x2 =
1
0
-1
1
x3 =
1
6
2
0

3. b) {(1, 1, 2, 1), (1, 0, 0, 2), (4, 6, 8, 6), (0, 3, 2, 1)} en 𝑅4
c) { 𝑡2
+ 1, t - 2,𝑡 + 3 } en P2
d) { [
1 1
1 2
] , [
1 0
0 2
] , [
0 3
1 2
], [
2 6
4 6
]} en M22
e) {(1, 1, 0), (0, 2, 3), (1, 2, 3), (3, 6, 6)} en 𝑅3
f) {(4, 2, -1, 3), (6, 5, -5, 1), (2, -1, 3, 5)} en 𝑅4
g) {𝑡2
− 4, 5𝑡2
− 5𝑡 − 6,3𝑡2
− 5𝑡 + 2 } en P2
h) { [
1 1
1 1
] , [
2 3
1 2
] , [
3 1
2 1
], [
2 2
1 1
]} en M22
20.¿Para qué valores de c son los vectores (-1, 0, -1), (2, 1, 2) y (1,1, c) en 𝑅3
linealmente
dependientes?
21.¿Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son bases para el espacio indicado?
a) {(1, 3), (1, 1)}, 𝑅2
b) {(1, 1, -1), (2, 3, 4), (4, 1, -1), (0, 1, -1)}, 𝑅3
c) {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1,1)}, 𝑅4
d) {−𝑡2
+ 𝑡 − 1, 2𝑡2
+ 3𝑡 − 2} , P2
e) {𝑡3
+ 𝑡2
+ 𝑡 + 1, 𝑡3
+ 2𝑡2
+ 𝑡 + 3, 2𝑡3
+ 𝑡2
+ 3𝑡 + 2,𝑡3
+ 𝑡2
+ 2𝑡 + 2}, P3
f) { [
1 1
0 0
] , [
0 0
1 1
] , [
1 0
0 1
], [
0 1
1 1
]} , M22
22.Sea S = {v1 , v2 , v3, v4 }, donde v1 = (1, 2, 2), v2 = (3, 2, 1), v3 = (11, 10, 7) y v4 = (7, 6,
4), Determine una base para el subespacio de 𝑅3
, W = gen S. ¿Cuál es la dim W?
23.Considere el siguiente subconjunto de P3 : S = {𝑡3
+ 𝑡2
− 2𝑡 + 1, 𝑡2
+ 1, 𝑡3
−
2𝑡, 2𝑡3
+ 3𝑡2
− 4𝑡 + 3}. Determine una base para el subespacio W = gen S. ¿Cuál es
dim W?
24.Sea S = { [
1 0
0 1
] , [
0 1
1 0
] , [
1 1
1 1
], [
−1 1
1 −1
]}. Determine una base para el subespacio
W = gen S de M22
25.Determine una base para los subespacios dados de 𝑅3
.
a) Todos los vectores de la forma (a, b, c), donde b = a + c.
b) Todos los vectores de la forma (a, b, c) donde a – b + 5c = 0
26.Determine una base para 𝑅4
que incluya los vectores (1, 0, 1, 0) y (0,1, -1, 0)
27.Determine una base para el plano 2x – 3y + 4z = 0
28.Determine las dimensiones de los subespacios generados por los vectores de los
ejercicios del punto 21.
29.Determine las dimensiones de los subespacios dados de 𝑅4
a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) donde d = a + b
b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) donde a = b
REFERENCIA: Kolman, B. y Hill, D. Algebra Lineal. Octava edición. Pearson Prentice Hall.
“Pregúntate si lo que estás haciendohoy te acerca al lugar en el que quieres
estar mañana” Jackson Brown. Músico Estadounidense.