Abastecimientos

1. 2 EJERCICIOS RESUELTOS DE REDES DE TUBERÍAS (MÉTODO MATRICIAL, MÉTODO DE LA
LÍNEA DE GRADIENTE HIDRÁULICO Y USO DE EPANET) – HIDRÁULICA BÁSICA
Autor: J. Esteban Rodríguez – Estudiante de la Universidad Nacional de Colombia
Atención: Documento provisto únicamente como material de estudio, se prohíbe su reproducción y/o uso
inadecuado.
1) En la figura se ilustra un sistema de tuberías con tres embalses. Determine el caudal en
cada tubería usando el método de línea de gradiente hidráulico en los nodos y el método
matricial. Para cada tubería, los diámetros y longitudes están en unidades de metros.
Figura 1. Representación esquemática (No a escala) del sistema
1.1) Desarrollo por el método de la línea de gradiente hidráulico en el nodo
1.1.a) Direcciones del flujo
Para este problema en particular, las direcciones del flujo son conocidas, por lo cual no se
hace necesario recurrir a suposiciones iniciales.
1.1.b) Análisis del Nodo y su valor de LGH
Antes de especificar las ecuaciones que rigen el sistema dado, se hará una suposición
sencilla que consiste en imaginar un piezómetro en el nodo, el cual permite leer el valor
de la línea de gradiente hidráulico LGH en dicha parte del sistema. La dirección del flujo en
cada tubería (Que ya es conocida) permite deducir inequívocamente entre qué rangos
posibles debe encontrarse tal valor de LGH en el nodo.

2. Figura 2. Suposición de un piezómetro imaginario en el nodo del sistema
Considerando el hecho de que el fluido siempre viajara desde el punto de mayor energía a
un punto de menor energía y de que las condiciones en los embalses son conocidas,
resulta evidente que el valor de LGH debe ser menor a 85 metros (Ya que el agua desde el
embalse 2 viaja hacia abajo), pero mayor a 60 metros (por la misma razón respecto al
embalse 3), así:
1.1.c) Aplicación de las ecuaciones de continuidad y energía en el sistema
Inicialmente se puede hacer un análisis para encontrar la expresión que cumple la
ecuación de continuidad en el nodo (La masa de fluido debe conservarse), de esta forma,
de acuerdo a las direcciones del flujo se cumple que (Considérese la nomenclatura de la
figura 2):
Donde:
El siguiente paso es aplicar las ecuaciones de energía para cada tubería en la dirección que
corresponda, estas resultan particularmente sencillas dada la ausencia de equipos de
bombeo u condiciones especiales en los embalses, por lo tanto se tiene:

3. Para la tubería 1 →
Para la tubería 2 →
Para la tubería 3 →
Donde:
Ahora bien, sabemos por definición que las pérdidas de energía se pueden representar de
la forma: de acuerdo al modelo de Darcy-Weisbach, por lo tanto,
reemplazando en las ecuaciones (2), (3) y (4):
→ ( )
→ ( )
→ ( )
Las ecuaciones (5), (6) y (7) expresan explícitamente los caudales Q1, Q2 y Q3 que son
precisamente aquellos que se desea conocer. Si reemplazamos estas expresiones en la
ecuación (1) se obtiene la ecuación que rige al sistema en función de LGHn y los
coeficientes de resistencia “k”:
( ) ( ) ( )
1.1d) Primera estimación de los coeficientes de resistencia “k” para cada tubería
Antes de analizar más a fondo la ecuación (8), hay que hacer una primera suposición que
permita estimar un valor inicial de los “k”, el primer paso es suponer un factor de fricción
rugoso para cada tubería y calcular el resto de sus propiedades con base en los datos
conocidos y esta suposición inicial, para esto es importante listar primero ordenadamente
en tablas cada una de las propiedades conocidas de cada tubería de acuerdo a la
nomenclatura seleccionada:

4. Tabla 1. Propiedades conocidas de las tuberías del sistema
Demandas Viscosidad
q (m3
/s) 0,06  (m2
/s) 1,31E-06
Elevaciones Longitudes
Z1 (m) 100 L1 (m) 2000
Z2 (m) 85 L2 (m) 1500
Z3 (m) 60 L3 (m) 3000
Diámetros Rugosidades
D1 (m) 0,3 Ks1 (m) 0,0005
D2 (m) 0,25 Ks2 (m) 0,0005
D3 (m) 0,25 Ks3 (m) 0,0005
Suponemos entonces para las 3 tuberías un factor de fricción inicial “f” de 0,03, de lo cual
se puede calcular cada uno de los “k” de acuerdo a la ecuación:
Donde:
Por lo tanto se tiene:
Tabla 2. Estimaciones de coeficiente de rugosidad para la primera iteración
Tubería Ks/D f turb K (m5
/s2
)-1
1 0,0017 0,03000 2040,2
2 0,0020 0,03000 3807,4
3 0,0020 0,03000 7614,9
1.1.e) Aplicación del método numérico de Newton-Raphson para estimar LGHn
Si analizamos la ecuación (8) nos encontramos con un inconveniente importante, el valor
de LGHn es desconocido, y a pesar de que sabemos con certeza los rangos en los que se
debe encontrar no tenemos el valor preciso para que se cumpla la continuidad, por lo cual
se recurre al método de Newton-Raphson para estimarlo, así que en primera medida se
adoptará un valor que corresponde al promedio de los límites tiene, en este caso, será:

5. De acuerdo al método de Newton-Raphson, con un valor supuesto, debe generarse un
error, que esta define a la ecuación (8) como una función de error E (LGHn):
( ) ( ) ( )
Para aplicar el método de Newton se debe calcular la derivada de la función de error,
respecto a la variable que se está estimando:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Luego, se calcula el cambio en el valor de LGHn, el, cual en teoría al ser sumado al primer
valor de LGHn supuesto, debe acercarse a un mejor valor de LGHn que disminuya el error
progresivamente hasta prácticamente cero, aplicamos:
( )
Donde:
Para nuestro caso y con los primeros valores de “k” encontrados se tiene que:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Entonces:
De lo que se deduce de acuerdo a la ecuación (13) que un LGH más acertado para el nodo
debe ser:

6. Ahora bien, usando este nuevo LGHn, calculamos los caudales para esta iteración
haciendo uso de las ecuaciones (5), (6) y (7), al mismo tiempo se puede obtener la
velocidad del flujo, dividiendo dichos caudales por el área de la sección transversal de
cada tubería y consecuentemente se puede calcular el número de Reynolds de acuerdo a
la expresión:
Donde:
Además con este número de Reynolds y la relación ks/D explícita en la tabla (2) para cada
tubería, se puede aplicar la ecuación implícita de Colebrook-White para determinar un
nuevo factor “f” para cada tubería que se ajustará mejor a las condiciones del sistema y
pondrá fin a la iteración 1:
√
(
⁄
√
)
Tabla 3. Factores de fricción nuevos luego de la primera iteración
Q (m3
/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)
0,087 0,07068583 1,23 281480,33215 0,0231 15,4
0,010 0,04908739 0,21 39859,91258 0,0271 0,4
0,057 0,04908739 1,16 220969,58224 0,0242 24,6
Desde este punto se inicia una segunda iteración adoptando ahora los factores de fricción
nuevos, el procedimiento se repite exactamente igual desde la tabla (2):
Tabla 4. Estimación de “k” para la segunda iteración
Suposición
LGH N1 (m) 84,60
Tubería Ks/D f turb K (m5
/s2
)-1
1 0,0017 0,02305 1567,7
2 0,0020 0,02714 3444,7
3 0,0020 0,02423 6150,0

7. Hallamos entonces la función de error, su derivada y el delta en la estimación de LGHn, tal
cual las ecuaciones (10) y (11):
Recalculando los caudales y demás variables, se tiene:
Tabla 5. Factores de fricción nuevos luego de la segunda iteración
Q (m3
/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)
0,101 0,07068583 1,44 328759,64938 0,0230 16,1
0,018 0,04908739 0,37 70829,74422 0,0257 1,1
0,062 0,04908739 1,27 242138,78829 0,0242 23,9
Las iteraciones deben detenerse cuando el cambio entre los factores de fricción antiguos y
los nuevos sea despreciable, en este caso a pesar de que resultaron similares, aún hubo
cambios notables, por lo cual la solución exige más iteraciones:
Tabla 6. Estimación de “k” para la tercera iteración
Suposición
LGH N1 (m) 83,86
Tubería Ks/D f turb K (m5
/s2
)-1
1 0,0017 0,02295 1560,9
2 0,0020 0,02571 3263,0
3 0,0020 0,02416 6133,0
Hallamos de nuevo la función de error, su derivada y el delta en la estimación de LGHn, tal
cual las ecuaciones (10) y (11):

8. Recalculando los caudales y demás variables, se tiene:
Tabla 7. Factores de fricción nuevos luego de la tercera iteración
Q (m3
/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)
0,102 0,07068583 1,45 331047,87114 0,0229 16,3
0,020 0,04908739 0,41 77536,69959 0,0255 1,3
0,062 0,04908739 1,27 241687,85676 0,0242 23,7
Para la siguiente iteración se tiene:
Tabla 8. Estimación de “k” para la cuarta iteración
Tubería Ks/D f turb K (m5
/s2
)-1
1 0,0017 0,02295 1560,7
2 0,0020 0,02554 3240,9
3 0,0020 0,02416 6133,3
Hallamos de nuevo la función de error, su derivada y el delta en la estimación de LGHn, tal
cual las ecuaciones (10) y (11):
Recalculando los caudales y demás variables, se tiene:
Tabla 9. Factores de fricción nuevos luego de la cuarta iteración
Q (m3
/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)
0,102 0,07068583 1,45 331045,69202 0,0229 16,3
0,020 0,04908739 0,41 77708,80360 0,0255 1,3
0,062 0,04908739 1,27 241698,42910 0,0242 23,7

9. Como en este caso los cambios en los nuevos factores de fricción respecto a los anteriores
no son significativos podemos aceptar que se ha llegado a la solución del problema. Los
caudales de cada tubería son los siguientes:
Se puede verificar que las respuestas encontradas cumplen con las ecuaciones de
continuidad: (1) y las de energía (5), (6) y (7):
→
→
→
1.2) Desarrollo por el método matricial
1.1.a) Nomenclatura y Direcciones del flujo
Para el problema propuesto, no hay inconvenientes con las direcciones de flujo (Pues son
conocidas) ni con la nomenclatura (Pues solo se tiene un nodo).
1.1.b) Definición de circuitos
Debemos considerar el problema analizado en función de circuitos abiertos, es decir,
series de tuberías mediantes las cuales una línea de corriente puede existir en la realidad,
en este caso, asumiremos los únicos 2 circuitos posibles de acuerdos a las direcciones de
flujo que abarcan toda las tuberías del sistema:
Figura 3. Definición de
circuitos en el sistema

10. 1.1.c) Chequeo de las pérdidas de energía
A diferencia del método del gradiente hidráulico en el Nodo, en este caso no se toma en
cuenta el nodo explícitamente. En primer lugar para resolver el problema por el método
matricial, es aconsejable realizar un chequeo de las pérdidas y para esto, recurrimos a la
ecuación de Darcy-Weisbach y aplicamos unos valores bastante redondeados para f (Por
ejemplo 0,02) y la velocidad (1 m/s) a cada uno de los circuitos:
Para el circuito 1:
( )
( )
( )
( )
Al comparar esto con la diferencia de alturas entre los puntos 1 y 3 (Energía disponible):
Se obtiene aproximadamente el 50%, lo cual es aconsejable y se puede decir que le da “luz
verde” al sistema.
Similarmente para el circuito 2:
( )
( )
( )
( )
Al comparar esto con la diferencia de alturas entre los puntos 2 y 3 (Energía disponible):
Las pérdidas son significativas, pero no sobrepasan a la energía disponible para gastar, por
lo cual el sistema funciona.
1.1.d) Aplicación de las ecuaciones de conservación de masa y energía
Inicialmente se hace explícita la ecuación de conservación de masa en el nodo del sistema:
Luego, analizamos los grados de libertad del sistema, en este caso son 3 (Q1, Q2 y Q3) por
lo tanto se requieren 2 ecuaciones adicionales a (16) para resolver el problema

11. (Corresponde a los 2 circuitos definidos) cada uno genera una ecuación de conservación
de energía:
Circuito 1 ( :
Circuito 2 ( :
1.1.e) Primera estimación de los coeficientes de resistencia “k”
Similarmente a como se trabajó en el método de LGH en el nodo, se adoptan en principio
unos valores de “f” para las tuberías; tomaremos 0,03 en este caso para las 3, luego
podemos calcular el “k” de acuerdo a la ecuación (9):
Tabla 10. Coeficiente de resistencia para los “f” supuestos
Tubería Ks/D f turb K (m5
/s2
)-1
1 0,0017 0,03000 2040,2
2 0,0020 0,03000 3807,4
3 0,0020 0,03000 7614,9
1.1.f) Definición de funciones de error
Idealmente se quiere lograr un cumplimiento perfecto de las ecuaciones (16), (17) y (18),
sin embargo, en el método matricial se inicia suponiendo los caudales por lo que la
probabilidad de que se cumplan dichas ecuaciones simultáneamente con caudales
supuestos es casi nula, así que se genera un error en cada una ellas. Por esta razón
podemos definir:
Y de forma similar (No igual) al método de Newton, es válido afirmar que se puede
obtener una función con un error menor aplicando:

12. En notación matricial:
[ ] [ ] [ ][ ]
Donde: [ ] [ ] [ ]
Y si [ ] tiende a ser cero, la ecuación 22 puede simplificarse como:
[ ][ ] [ ]
1.1.g) Montaje de las matrices
Para expresar la matriz [ ] hay que derivar parcialmente las ecuaciones (19), (20) y (21)
cada una respecto a Q1, Q2 y Q3 para un total de 9 términos que conforman dicha matriz:
[ ] [ ]
El vector [ ] es simplemente un vector columna que contiene los términos que
deseamos encontrar de la ecuación matricial, mientras que el vector [ ] también es
un vector columna que contiene a las funciones de error definidas en (19), (20) y (21), por
lo tanto:
[ ] [ ]
Y en consecuencia la ecuación matricial a resolver es:
[ ] [ ] [ ]

13. Como se mencionó anteriormente, este método exige suponer unos caudales iniciales,
para este caso, se supone una velocidad inicial de 1 m/s en la tubería 1, y a partir de su
área (Que es conocida) se obtiene el caudal:
( )
( )
Ahora bien, de la ecuación de continuidad (16) podemos deducir que:
Así que aplicando estos caudales supuestos (Que cumplen la ecuación de continuidad) y
los “k” de la tabla 8 en la ecuación matricial (24) se tiene:
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
De (25) se obtiene:
[ ] [ ]
Con el vector de correcciones para los caudales, podemos estimar unos nuevos que se
aproximan mejor a las exigencias del sistema, y a partir de estos de forma análoga al
método de LGH en el nodo, se puede obtener la velocidad del flujo, dividiendo dichos
caudales por el área de la sección transversal de cada tubería, consecuentemente se
puede calcular el número de Reynolds y ayuda de la ecuación implícita de Colebrook-
White es posible determinar un nuevo factor “f” para cada tubería poniendo fin a la
iteración 1.

14. Tabla 11. Factores de fricción nuevos luego de la iteración 1
Q (m3
/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)
0,090 0,07068583 1,27 291141,033986 0,0230 16,5
0,027 0,04908739 0,55 104039,928124 0,0250 2,7
0,057 0,04908739 1,15 220143,908802 0,0242 24,4
Con los nuevos valores de “f” se estiman los “k” de la nueva iteración:
Tabla 12. Coeficiente de resistencia para los “f” en la segunda iteración
Tubería Ks/D f turb K (m5
/s2
)-1
1 0,0017 0,03000 2040,2
2 0,0020 0,03000 3807,4
3 0,0020 0,03000 7614,9
Realizando exactamente el mismo procedimiento de la iteración anterior, se obtiene la
siguiente ecuación matricial:
[ ] [ ] [ ]
De (26) se obtiene:
[ ] [ ]
Por lo tanto para los nuevos caudales tenemos:
Tabla 13. Factores de fricción nuevos luego de la iteración 2
Q (m3
/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)
0,102 0,07068583 1,45 331563,126046 0,0229 16,4
0,020 0,04908739 0,41 78519,546775 0,0255 1,3
0,063 0,04908739 1,27 243130,037926 0,0242 24,1
El método exige realizar más iteraciones, de tal forma que el cambio en los factores de
fricción llegue a ser despreciable:

15. Tabla 14. Coeficiente de resistencia para los “f” en la tercera iteración
Tubería Ks/D f turb K (m5
/s2
)-1
1 0,0017 0,02295 1560,6
2 0,0020 0,02551 3237,9
3 0,0020 0,02416 6132,3
La ecuación matricial resultante es:
[ ] [ ] [ ]
De (26) se obtiene:
[ ] [ ]
Por lo tanto para los nuevos caudales tenemos:
Tabla 15. Factores de fricción nuevos luego de la iteración 3
Q (m3
/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)
0,102 0,07068583 1,45 331047,828297 0,0229 16,3
0,020 0,04908739 0,41 77733,134487 0,0255 1,3
0,062 0,04908739 1,27 241725,268339 0,0242 23,7
Como en este caso los cambios en los nuevos factores de fricción respecto a los anteriores
no son significativos podemos aceptar que se ha llegado a la solución del problema. Los
caudales de cada tubería son los siguientes:
La solución es exactamente la misma a la que se llegó por el método del LGH en el nodo
del sistema.

16. 2) En la figura se muestra el predimensionamiento de un sistema distribución de agua
potable (ks = 0.02 mm para todas las tuberías). Se estima que al tanque elevado llegue al
menos un caudal de 3.7 l/s. Presente una solución usando el esquema de solución
matricial y compare la solución usando el modelo EPANET. Describa las características del
equipo de bombeo (circulo azul) necesario (curva característica, eficiencia, potencia,
CNSP, diámetro de la tubería de succión y de descarga, accesorios) para impulsar agua a
la red de distribución (del tanque con elevación 80 m al nodo 4). Longitudes de tuberías y
diámetros en metros.
Figura 4. Esquema del problema 2
2.1) Solución por el método matricial
2.1.a) Estimación de las pérdidas de energía para selección de la bomba
Antes de iniciar con la resolución del problema, es necesario tener clara la ecuación del
equipo de bombeo que se debe utilizar; como en este caso no se cuenta con dicha
ecuación, se debe hacer su selección estimando las pérdidas de energía que se
necesitarían compensar para transportar el fluido en la dirección especificada. Para que la
estimación sea efectiva, se supondrá el camino más largo desde el tanque a 80 m hasta el
tanque a 100 m y se asumirá un valor típico de velocidad para un red de distribución, para
efectos de esta estimación: V= 1 m/s.

17. Figura 5. Trayecto más largo (De mayores pérdidas) desde el tanque de succión hasta el de descarga
Al aplicar la ecuación de Darcy-Weisbach suponiendo una velocidad y un coeficiente de
fricción rugoso, se obtienen las siguientes pérdidas redondeadas:
Por lo tanto se requerirá una bomba que supla una pérdida de no menos de 40 m para un
caudal mínimo que debe corresponder a la suma de las demandas de los nodos y al
mínimo caudal que se exige en el tanque de descarga, dicho caudal es:
Para encontrar una bomba con estas características se debe recurrir a un catálogo de
bombas, y fijarse en aquellas que para el caudal estimado puedan aportar la carga
hidráulica necesaria. Al revisar el catálogo técnico “Barnes de Colombia” encontramos que
para cada bomba se describe una serie de gráficas de “H (m)” contra el caudal el Litros por
minuto (LPM). En el caso de nuestra red, el caudal mínimo a transportar será:

18. Sin embargo, en este catálogo ni siquiera con la proyección de las curvas de las bombas
más potentes se encuentra alguna que si quiera considere este caudal (Los valores
máximos de caudal llegan a 22400 LPM)
Figura 6. Curva característica de la Bomba con mayor capacidad encontrada en el catálogo, el caudal
máximo graficado llega hasta 15000 LPM muy lejos de 34000 LPM (Fuente: Barnes de Colombia S.A Catálogo
técnico)
Al revisar otro catálogo técnico correspondiente a una empresa española conocida como
“Bombas Omega” se encontraron solo 2 bombas que podrían ajustarse a la red estudiada,
en este caso, el caudal está expresado en LPS:
Las curvas de las bombas más potentes de dicho catálogo se muestran a continuación:

19. Figura 7. Curvas características de las Bombas con mayor capacidad encontradas en el catálogo, estas
bombas cumplen con los requerimientos del problema (Fuente: Bombas OMEGA. Catálogo técnico)
Para el problema se adoptará la bomba de 960 RPM correspondiente a la figura 7, siendo
la que, mejor se ajusta a la red en términos de los valores de H y Q presentes, y sobre todo
en eficiencia. Para estimar la ecuación de la curva característica se puede seleccionar 3
puntos y realizar el ajuste potencial a una curva de la forma (Q= A – B*Q^2), aunque
claramente se aprecia que la gráfica no corresponde perfectamente a una función de esta
forma se puede hacer una aproximación:
[ ] [ ] [ ⁄ ]
La ecuación (27) corresponde a la ecuación de la bomba que se utilizará para realizar la
solución del problema, corresponde a la Bomba de referencia C-400/500 de 960 RPM del
catálogo español Omega.

20. 2.1.b) Nomenclatura y direcciones de flujo
La nomenclatura de tuberías y circuitos viene explícita en el esquema del problema; y
respecto a las direcciones de flujo, se pueden adoptar criterios de gravedad y máquinas
Hidráulicas presentes para suponerlas, en este caso, dichas suposiciones se muestran en la
siguiente figura:
Figura 8. Direcciones de flujo supuestas
2.1.c) Análisis del sistema y definición de los circuitos
Previamente al planteamiento de las ecuaciones del sistema, hay que cuantificar el
número de nodos y tuberías para establecer la cantidad de circuitos que se hará necesario
definir, en este caso:
De lo que deducimos que el número de ecuaciones de energía faltantes debe ser:
Por lo tanto, 3 circuitos que abarcan todas las tuberías del sistema son los siguientes:

21. Figura 9. 3 Circuitos posibles que abarcan todas las tuberías del sistema
En este caso, se optó por utilizar 2 circuitos cerrados (C1 y C2) y uno abierto (CA) puesto
que los primeros simplifican levemente las ecuaciones a plantear.
2.1.d) Aplicación de las ecuaciones de conservación de masa y energía
Inicialmente se hacen explícitas las ecuaciones de conservación de masa (o continuidad)
en los nodos del sistema:
⁄
⁄
⁄
⁄
Las ecuaciones de energía se obtienen a partir de los circuitos previamente definidos:
Para el circuito 1, si se toma como punto de partida el Nodo 1, todos los términos
(Excepto las pérdidas de energía) se anulan puesto que la línea de corriente parte y llega
al mismo punto, en esto consiste la simplificación de un circuito cerrado:
∑ ∑

22. En la ecuación (32) el término para la tubería 5 toma signo negativo porque en el circuito
adoptado, la dirección del flujo se opone a la que lleva la línea de corriente. El
procedimiento anterior se repite para el circuito 2:
∑ ∑
El circuito abierto es el más importante ya que es el que contiene a la bomba, por lo tanto
hay que prestar especial atención a la definición de su ecuación de energía; en este caso
los puntos extremos son las reservas de agua:
∑
( ) ( )
Es importante notar que se tiene otro dato muy importante del sistema, en este caso, el
caudal mínimo que debe abastecer a la reserva 1: ⁄
2.1.e) Primera estimación de los coeficientes de resistencia “k”
En este paso se adoptan en principio unos valores de “f” para las tuberías; tomaremos
0,03 en este caso para todas, luego podemos calcular el “k” de acuerdo a la ecuación (9)
(Usada en el problema anterior), es necesario tener tabuladas ordenadamente todas las
características de cada tubería:
Tabla 16. Características de cada una de las tuberías
Demandas Viscosidad
q1 (m3
/s) 0,1  (m2
/s) 1,31E-06
q2 (m3
/s) 0,15
q3 (m3
/s) 0,18
q4 (m3
/s) 0,1

23. Elevaciones Longitudes
Z1 (m) 100 L1 (m) 500
Z2 (m) 80 L2 (m) 1500
L3 (m) 1400
L4 (m) 1600
L5 (m) 900
L6 (m) 1800
L7 (m) 900
Diámetros Rugosidades
D1 (m) 0,40 Ks1 (m) 0,00002
D2 (m) 0,50 Ks2 (m) 0,00002
D3 (m) 0,25 Ks3 (m) 0,00002
D4 (m) 0,45 Ks4 (m) 0,00002
D5 (m) 0,40 Ks5 (m) 0,00002
D6 (m) 0,50 Ks6 (m) 0,00002
D7 (m) 0,60 Ks7 (m) 0,00002
Los resultados de la ecuación (9) para los “f” supuestos se muestran a continuación:
Tabla 17. Primera estimación de los coeficientes de resistencia “k”
Tubería Ks/D f turb K (m5
/s2
)-1
1 0,000050 0,03000 121,0
2 0,000040 0,03000 119,0
3 0,000080 0,03000 3553,6
4 0,000044 0,03000 214,9
5 0,000050 0,03000 217,9
6 0,000040 0,03000 142,8
7 0,000033 0,03000 28,7
2.1.f) Aplicación de la ecuación matricial
De acuerdo a la teoría ya estudiada en el primer problema, se debe armar una ecuación
matricial que cumpla:
[ ][ ] [ ]

24. Donde: [ ]
[ ]
[ ]
Para este problema las 7 funciones de error a considerar son:
⁄
⁄
⁄
⁄
Por lo tanto, su matriz de derivadas parciales es la siguiente:
[ ]
Y la ecuación matricial en cuestión:

25. [ ] [ ]
[
⁄
⁄
⁄
⁄
]
2.1.g) Primera iteración
Las ecuaciones anteriores nos llevan a plantear los caudales supuestos, para que cumplan
las ecuaciones de continuidad desde un principio:
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
Aplicando la ecuación (42) se tiene el siguiente resultado para el vector de delta de
caudal:
[ ] [
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄ ]

26. Aplicando esta corrección a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su número de
Reynolds y el coeficiente de fricción de acuerdo a la ecuación de Colebrook, se tiene:
Tabla 18. Resultados de Q y f para la primera iteración
Tubería Q (m3
/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)
1 0,0326 0,1257 0,26 79093,6 0,0191 0,13
2 0,0370 0,1963 0,19 71988,2 0,0195 0,16
3 0,0271 0,0491 0,55 105263,3 0,0182 2,61
4 0,1529 0,1590 0,96 330295,8 0,0147 5,03
5 0,1130 0,1257 0,90 274491,7 0,0152 2,78
6 0,1967 0,1963 1,00 382282,4 0,0143 5,52
7 0,5626 0,2827 1,99 911274,8 0,0125 9,08
De la tabla 18 podemos observar que al final de la iteración 1, el caudal en 1 es menor a
0,0037 el cual es el requerido, por lo tanto para las siguientes iteraciones se espera un
positivo para que de acuerdo a las estimaciones 1 la condición se cumpla.
2.1.h) Segunda iteración
De acuerdo a los nuevos caudales y coeficientes de fricción obtenidos, los valores de “k”
se modifican así:
Tabla 19. Valores de “K” para la segunda iteración
Tubería Ks/D f turb K (m5
/s2
)-1
1 0,000050 0,01914 77,2
2 0,000040 0,01946 77,2
3 0,000080 0,01823 2159,8
4 0,000044 0,01468 105,2
5 0,000050 0,01519 110,3
6 0,000040 0,01429 68,0
7 0,000033 0,01250 11,9
Por lo tanto de la ecuación matricial con estos nuevos valores de “K” y “Q” resulta el
siguiente vector solución:
[ ] [
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄ ]

27. Aplicando esta corrección a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su número de
Reynolds y el coeficiente de fricción de acuerdo a la ecuación de Colebrook, se tiene:
Tabla 20. Resultados de Q y f para la segunda iteración
Tubería Q (m3
/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)
1 0,0403 0,1257 0,320 97848,9 0,0183 0,13
2 0,0138 0,1963 0,070 26885,1 0,0242 0,01
3 0,0195 0,0491 0,396 75641,9 0,0194 0,82
4 0,1605 0,1590 1,009 346752,2 0,0146 2,71
5 0,1362 0,1257 1,084 330870,6 0,0147 2,05
6 0,1736 0,1963 0,884 337372,9 0,0146 2,05
7 0,5703 0,2827 2,017 923778,4 0,0125 3,89
2.1.i) Tercera iteración
De acuerdo a los nuevos caudales y coeficientes de fricción obtenidos, los valores de “k”
se modifican así:
Tabla 21. Valores de “K” para la tercera iteración
Tubería Ks/D f turb K (m5
/s2
)-1
1 0,000050 0,01833 74,0
2 0,000040 0,02420 96,0
3 0,000080 0,01944 2303,2
4 0,000044 0,01457 104,4
5 0,000050 0,01473 107,0
6 0,000040 0,01458 69,4
7 0,000033 0,01247 11,9
Por lo tanto de la ecuación matricial con estos nuevos valores de “K” y “Q” resulta el
siguiente vector solución:
[ ] [
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄ ]
Aplicando esta corrección a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su número de
Reynolds y el coeficiente de fricción de acuerdo a la ecuación de Colebrook, se tiene:

28. Tabla 21. Resultados de Q y f para la tercera iteración
Tubería Q (m3
/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)
1 0,0403 0,1257 0,321 97912,7 0,0183 0,12
2 0,0123 0,1963 0,062 23851,6 0,0249 0,01
3 0,0179 0,0491 0,364 69411,1 0,0198 0,73
4 0,1621 0,1590 1,020 350213,7 0,0145 2,74
5 0,1377 0,1257 1,096 334662,5 0,0147 2,03
6 0,1704 0,1963 0,868 331275,0 0,0146 2,02
7 0,5703 0,2827 2,017 923820,9 0,0125 3,88
2.1.j) Cuarta iteración
De acuerdo a los nuevos caudales y coeficientes de fricción obtenidos, los valores de “k”
se modifican así:
Tabla 22. Valores de “K” para la cuarta iteración
Tubería Ks/D f turb K (m5
/s2
)-1
1 0,0000500 0,01833 74,0
2 0,0000400 0,02490 98,7
3 0,0000800 0,01978 2343,4
4 0,0000444 0,01454 104,2
5 0,0000500 0,01471 106,8
6 0,0000400 0,01463 69,6
7 0,0000333 0,01247 11,9
Por lo tanto de la ecuación matricial con estos nuevos valores de “K” y “Q” resulta el
siguiente vector solución:
[ ] [
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄ ]
Aplicando esta corrección a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su número de
Reynolds y el coeficiente de fricción de acuerdo a la ecuación de Colebrook, se tiene:

29. Tabla 23. Resultados de Q y f para la cuarta iteración
Tubería Q (m3
/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)
1 0,0403 0,1257 0,321 97927,4 0,0183 0,12
2 0,0122 0,1963 0,062 23627,4 0,0250 0,01
3 0,0177 0,0491 0,360 68668,6 0,0198 0,73
4 0,1623 0,1590 1,021 350626,2 0,0145 2,75
5 0,1378 0,1257 1,097 334942,8 0,0147 2,03
6 0,1701 0,1963 0,866 330691,4 0,0146 2,01
7 0,5703 0,2827 2,017 923830,7 0,0125 3,88
2.1.j) Quinta iteración
De acuerdo a los nuevos caudales y coeficientes de fricción obtenidos, los valores de “k”
se modifican así:
Tabla 24. Valores de “K” para la quinta iteración
Tubería Ks/D f turb K (m5
/s2
)-1
1 0,0000500 0,01833 74,0
2 0,0000400 0,02495 99,0
3 0,0000800 0,01983 2348,5
4 0,0000444 0,01454 104,2
5 0,0000500 0,01470 106,8
6 0,0000400 0,01463 69,6
7 0,0000333 0,01247 11,9
Por lo tanto de la ecuación matricial con estos nuevos valores de “K” y “Q” resulta el
siguiente vector solución:
[ ] [
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄ ]
Aplicando esta corrección a los caudales y obteniendo la velocidad del flujo, su número de
Reynolds y el coeficiente de fricción de acuerdo a la ecuación de Colebrook, se tiene:

30. Tabla 25. Resultados de Q y f para la quinta iteración
Tubería Q (m3
/s) A (m^2) V (m/s) Re f c-w hf (m)
1 0,0403 0,1257 0,321 97930,7 0,0183 0,12
2 0,0121 0,1963 0,062 23606,7 0,0250 0,01
3 0,0176 0,0491 0,359 68592,9 0,0198 0,73
4 0,1624 0,1590 1,021 350668,3 0,0145 2,75
5 0,1379 0,1257 1,097 334968,6 0,0147 2,03
6 0,1701 0,1963 0,866 330635,4 0,0146 2,01
7 0,5703 0,2827 2,017 923832,9 0,0125 3,88
Como los deltas de caudales son nulos así como los cambios en el coeficiente de fricción,
podemos aceptar que hemos encontrado la solución del problema que cumple todos los
requerimientos, incluyendo que Q1 debe ser mayor a 37 litros por segundo.
⁄ ⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
2.2) Verificación del modelo con el software EPANET
El siguiente es el esquema de la red de distribución representada en EPANET:
Figura 10. Dibujo del esquema del problema en EPANET
Todas las opciones fueron verificadas previamente a la ejecución del programa, se
verificó:

31.  Utilización del Modelo de Darcy-Weisbach (D-W)
 Unidades en Litros por segundo “LPS”; esto implica que las demandas se ingresan
en litros por segundo; las longitudes de las tuberías en metros, mientras que los
diámetros y las rugosidades en milímetros.
 La curva de la bomba se ajustó a unidades lps
 Las dimensiones de todos los elementos (L en metros, D en mm y Rugosidad en
mm)
Para la bomba se especificaron los siguientes puntos de acuerdo a la ecuación 27:
Figura 11. Curva característica de la bomba seleccionada ingresada en EPANET
Al ejecutar el programa con el botón “Run” , el programa confirma que el sistema está
bien representado y no hubo dificultades para realizar los cálculos (“Run was successful”),
los resultados se muestran para cada tubería de acuerdo a la ruta: Table  Network links
 OK. El resumen se presenta en la siguiente tabla:

32. Figura 12 Resultados de caudales y factores de fricción según EPANET
Se puede comprobar que EPANET obtiene los resultados en aproximación iguales a los que
se encontraron con el método matricial (Tabla 25) y se confirma además que las
direcciones de flujo supuestas eran las correctas para cada tubería. Nótese que en esta
tabla aparece una tubería 8, la cual fue tuvo que ser añadida como tubería de succión
(Con propiedades iguales a la tubería 7 excepto su longitud a la cual se le dio un valor por
defecto) para poder definir a la bomba en el Software, su inclusión no afectó
significativamente el cálculo del sistema.
2.3) Características del equipo de Bombeo
Se seleccionó la bomba de catálogo de Bombas OMEGA con curva característica de
acuerdo a la imagen izquierda de la figura 7.
2.3.1) Curva característica
La curva característica de la bomba se tomó del catálogo técnico puesto a disposición del
público y se muestra a continuación:

33. Figura 13 Curva característica de la bomba seleccionada
2.3.2) Potencia y eficiencia
De acuerdo a la curva seleccionada, para el caudal que maneja la bomba (Q7= 570 LPS) se
tendría una eficiencia del 77% aproximadamente

34. Figura 14 Eficiencia para la bomba
Respecto a la potencia y recordando su definición, se tiene:
Donde:
⁄ ⁄
2.3.3) Carga neta de succión positiva
Para realizar el análisis de CNSP, hay que considerar una línea de corriente entre el tanque
y la succión de la bomba, para este caso es:

35. En el problema no se especifican propiedades de la tubería de succión, mediante la cual se
puede calcular , sin embargo, podemos hacer una estimación con que la longitud
de esa Tubería es 50 m. Podemos despejar :
En términos de la elevación de la bomba (No especificada en el problema):
[ ] [ ] [ ] [ ]
2.3.4) Diámetros de succión y descarga, accesorios
De acuerdo a las especificaciones del catálogo se tienen los siguientes diámetros de
impulsión y descarga:
Figura 15 Diámetros de impulsión y descarga
En este caso para la curva 3 (La seleccionada), se tiene:
Como el diámetro de la tubería es 0.6 m, se requerirá un accesorio para la transición de
diámetro al de la bomba.