El documento proporciona información biográfica y sobre las principales contribuciones matemáticas de Pierre de Fermat, incluyendo sus trabajos sobre números amigos, números de Fermat, teoremas sobre la suma de cuadrados y el último teorema de Fermat. Fermat fue un destacado matemático francés del siglo XVII que realizó importantes descubrimientos a pesar de no dedicarse profesionalmente a las matemáticas.

1. Jorge Chamorro
Ignacio Blanco
Guillermo Lahoz

2. UN POCO DE INFORMACIÓN
• Pierre de Fermat matemático francés denominado “príncipe de los
aficionados”.
• Fermat fue junto con René Descartes y Johannes Kepler uno de los
principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII.
• Fermat vivió 63 años. Nació el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-
de-Lomagne, una pequeña localidad al sur del país, cerca de
Toulouse; y murió el 12 de enero de 1665 en Castres, a 80 km de
Toulouse.
• Se graduó en Leyes en la Antigua Universidad de Orleans. Es
decir, que también trabajó de abogado en el Parlamento de
Toulouse desde 1638.

3. BIOGRAFÍA
• Como hemos dicho, Fermat nació a inicios del siglo XVII
en el sur de Francia. Estudio Leyes en Orleans, cuya
universidad era una de las más prestigiosas del país, y
desde 1630 trabajó en el Parlamento de Toulouse como
abogado y juez tras comprar una oficina de un concejal.
• Pero fue unos años antes, hacia 1626 en Burdeos,
cuando comenzó con sus primeras investigaciones
matemáticas serias. Allí, Fermat realizó una producción
importante sobre los extremos de una función. Además,
se dice que Fermat se vio muy influenciado por el trabajo
de François Viète.

4. BIOGRAFÍA
• Fermat además hablaba fluidamente hasta seis idiomas: francés, español,
latín, occitano, griego clásico e italiano. Fermat fue elogiado por sus versos
escritos en varios idiomas y su consejo fue frecuentemente requerido respecto
a la revisión de textos griegos.
• Comunicó la mayor parte de su trabajo en cartas a amigos, a menudo con
poca o ninguna prueba de sus teoremas. En algunas de estas cartas a sus
amigos, exploró muchas de las ideas fundamentales del cálculo antes que
Newton o Leibniz. Fermat era un experto abogado que hacía de las
matemáticas más un pasatiempo que una profesión.
• Finalmente, fallecía con 63 años en Castres, a inicios de 1665.

5. OBRAS MATEMÁTICAS
• Fermat elaboro numerosos descubrimientos para las matemáticas.
• Comenzó en 1626 con sus primeras investigaciones sobre las matemáticas en
la ciudad de Burdeos, y a lo largo de su vida, sus principales aportaciones a la
ciencia de las matemáticas, que ahora veremos con más detalle, han sido:
 Espiral de Fermat
 Números amigos
 Números de Fermat
 Teorema sobre la suma de cuadrados
 Pequeño teorema de Fermat
 Último teorema de Fermat

6. ESPIRAL DE FERMAT
• La espiral de Fermat, que se conoce así en honor a este matemático,
simplemente es una espiral parabólica, cuya ecuación matemática
corresponde a:
𝒓 = ±𝜽𝟏/𝟐
• Realmente se trata de un caso particular de la espiral de Arquímedes. La
espiral de Arquímedes se define como el lugar geométrico de un punto
moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de
origen fijo a velocidad angular constante. Puede ser descrita por la ecuación
siguiente:
𝒓 = 𝒂 + 𝒃𝜽, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ.
Cuando el parámetro 𝑎 cambia, la espiral se desplaza en el eje X, mientras que
𝑏 controla la distancia entre giros sucesivos.

7. NÚMEROS AMIGOS
• Dos números amigos son dos números enteros positivos 𝑎 y 𝑏 tales que la
suma de los divisores propios de uno es igual al otro número y viceversa. Es
decir, σ(𝑎) = 𝑏 y σ(𝑏) = 𝑎, donde 𝜎(𝑛) es igual a la suma de los divisores de 𝑛,
sin incluir a 𝑛.
• Aquí tenemos un ejemplo en el que podemos entender este concepto.
Veamos el par de naturales 220 y 284:
los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, que suman 284;
los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, que suman 220.
• Además, si un número es amigo de sí mismo (es igual a la suma de sus
divisores propios), recibe entonces el nombre de número perfecto.

8. NÚMEROS DE FERMAT
• Se dice de un número de Fermat, que se conoce así en honor a este
matemático por ser quien formuló e investigó sobre estos números, a un
número natural de la forma:
𝑭𝒏 = 𝟐𝟐𝒏
+ 𝟏, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ∈ ℕ
• Sobre estos números, Fermat concluyó que todos los números de esta forma
eran primos. Se ve que los cinco primeros números de Fermat lo son: 3, 5, 17,
257 y 65537. Sin embargo, el físico-matemático Leonard Euler demostró años
después que aquello no era cierto, ya que se encontró que con que el sexto
número de Fermat no era primo, sino que era un número compuesto. Veamos:
𝑭𝟓 = 𝟐𝟐𝟓
+ 𝟏 = 𝟐𝟑𝟐 + 𝟏 = 𝟒𝟐𝟗𝟒𝟗𝟔𝟕𝟐𝟗𝟕 = 𝟔𝟒𝟏 ∙ 𝟔𝟕𝟎𝟎𝟒𝟏𝟕

9. NÚMEROS DE FERMAT
• Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los
que ya se conocían en tiempos del propio Fermat, los cinco primeros.
• Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:
¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?
¿Existen infinitos primos de Fermat?

10. TEOREMA SOBRE LA SUMA DE
CUADRADOS
• El teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados establece la relación
que hay entre los números primos representables como suma de dos
cuadrados. En concreto, el teorema dice lo siguiente:
Un número primo 𝒑 es expresable como suma de dos cuadrados si y sólo si 𝒑 = 𝟐 o 𝒑 ≡
𝟏 (𝒎𝒐𝒅 𝟒).
O sea, 𝑝 = 𝑥2 + 𝑦2, donde 𝑥 e 𝑦 son números enteros si 𝑝 = 4𝑘 + 1 para algún
𝑘 entero.
• Por ejemplo, los números primos 5, 13, 41, 61 son de la forma 4𝑘 + 1, y por el
teorema pueden ser escritos como suma de dos cuadrados de la siguiente
manera:
5 = 12
+ 22
= 4 · 1 + 1
13 = 22 + 32 = 4 · 3 + 1

11. PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT
• El pequeño teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de teoría de
números relacionado con la divisibilidad. Se formula de la siguiente manera:
Si 𝒑 es un número primo, entonces, para cada número natural 𝒂, con 𝒂 > 𝟎 , 𝒂𝒑 ≡ 𝒂 (𝒎𝒐𝒅 𝒑)
que es lo mismo que decir que:
Si 𝒑 es un número primo, entonces, para cada número natural 𝒂, con 𝒂 > 𝟎 , coprimo con 𝒑,
𝒂𝒑−𝟏
≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝒑
• Esto quiere decir que, si se eleva un número 𝑎 a la 𝑝-ésima potencia y al
resultado se le resta 𝑎, lo que queda es divisible por 𝑝.
• A continuación se muestran algunos ejemplos del teorema:
53 − 5 = 120 es divisible por 3
72 − 7 = 42 es divisible por 2

12. ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
• El último teorema de Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, es uno de los teoremas
más famosos e importantes en la historia de las matemáticas. Se enuncia como:
Si 𝒏 es un número entero mayor o igual que 3, entonces no existen números enteros positivos 𝒙, 𝒚 y 𝒛,
tales que se cumpla la igualdad: 𝒙𝒏
+ 𝒚𝒏
= 𝒛𝒏
• Este teorema se conoce también como Fermat-Wiles por el hecho de que Pierre
Fermat lo enunció en 1637, pero sin embargo, no fue demostrado hasta 1995 por el
inglés Andrew Wiles.
• No se sabe si Fermat halló realmente la demostración, ya que no dejó rastro de ella
para que otros matemáticos pudiesen verificarla. Este problema matemático mantuvo
en vilo a los matemáticos durante más de tres siglos.
• Sin embargo, a lo largo de la historia algunos matemáticos han conseguido ir
demostrando el teorema para algunos números naturales, como Euler o Legendre que
lo demostraron para 𝑛 = 3 y 𝑛 = 5 respectivamente.

13. BIBLIOGRAFÍA
• Algunas de las páginas web utilizadas han sido:
https://www.wikiprimes.com/primos-de-fermat/
https://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat
https://www.bbvaopenmind.com/ciencia/grandes-personajes/fermat-y-el-mayor-problema-de-la-historia-de-las-
matematicas/
http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=1351&Itemid=1
http://sauce.pntic.mec.es/~rmarti9/WebBabilonia/Biografias/Fermat
https://blogs.elconfidencial.com/tecnologia/relatos-relativos/2016-03-19/el-ultimo-teorema-de-fermat-un-enigma-sin-
solucion-durante-358-anos_1171160/