El documento resume las contribuciones de varios matemáticos al desarrollo del cálculo integral desde la antigua Grecia hasta el siglo XVII. Zenón de Elea planteó problemas sobre el infinito en el siglo V a.C. que influyeron en el desarrollo posterior. Arquímedes en el siglo III a.C. realizó algunas de las primeras integraciones y aproximaciones de áreas y volúmenes. En el siglo XVII, Fermat, Roberval, Cavalieri y Descartes sentaron las bases del cálculo riguro

1. COLEGIO DE BACHILLERES DE CHIAPAS
PLANTEL 32 “SAN PEDRO BUENAVISTA”
CÁLCULO DIFERENCIAL
APORTACIONES AL CÁLCULO INTEGRAL
PRESENTA:
MORALES COUTIÑO LUCERO YOSELIN
SAN PEDRO BUENAVISTA,
VILLACORZO, CHIAPAS.
OCTUBRE DEL 2016

2. Zenón de Elea
Alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas
que estaban basados en el infinito. Por ejemplo,
argumentó que el movimiento es imposible:
Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes
de llegar a B pasa por el punto medio, B1, de AB.
Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar
por el punto medio B2 de AB1. Continuando con este
argumento se puede ver que A debe moverse a
través de un número infinito de distancias y por lo
tanto no puede moverse.

3. Leucipo, Demócrito y Antifon
Hicieron
contribuciones al
método exhaustivo
griego al que
Eudoxo dio una
base científica
alrededor de 370 a.
C. El método se
llama exhaustivo ya
que considera las
áreas medidas como
expandiéndolas de
tal manera que
cubran más y más
del área requerida.
Leucipo de Mileto
Demócrito de Abdera
Antifon de Atenas

4. Arquímedes de Siracusa
Alrededor de 225 a. C. hizo uno de las
contribuciones griegas más significativas.
Su primer avance importante fue demostrar que el
área de un segmento de parábola es4/3 del área
del triángulo con los mismos base y vértice y es
igual a 2/3 del área del paralelogramo
circunscrito.
Arquímedes construyó una secuencia infinita de
triángulos empezando con uno de área A y
añadiendo continuamente más triángulos entre los
existentes y la parábola para obtener áreas.
A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/6
4,...
El área del segmento de la parábola es, por lo
tanto:
A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.
Este es el primer ejemplo conocido de suma de una
serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo
para encontrar la aproximación al área de un
círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo
temprano de integración que llevo a valores
aproximados de π.
Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban
el volumen y la superficie de una esfera, el
volumen y área de un cono, el área de una elipse,
el volumen de cualquier segmento de un
paraboloide de revolución y un segmente de un
hiperboloide de revolución.

5. Luca Valerio
Publicó De quadratura
parabolae en Roma (1606)
que continuaba los métodos
griegos para atacar este
tipo de problemas de
calcular áreas.
Kepler
En su trabajo sobre
movimientos planetarios,
tenía que encontrar el área
de sectores de una elipse.
Su método consistía en
pensar en las áreas como
sumas de líneas, otra forma
rudimentaria de integración.
Kepler tenía poco tiempo
para el rigor griego y más
bien tuvo suerte de obtener
la respuesta correcta ya que
cometió dos errores que se
cancelaron uno al otro en su
trabajo.

6. Fermat, Roberval y Cavalieri
Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los
intentos de integración de kepler. No fue riguroso en su
acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le
ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área
como formada por componentes que eran líneas y luego
sumó su número infinito de 'indivisibles'.
Demostró, usando estos métodos, que la integral
de xn entre 0 y a era an+1/(n+1) mostrando el resultado
para ciertos valores de n e infiriendo resultado general.
Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue
mucho más riguroso que Cavalieri, Roberval se fijó en el
área entre una curva y una línea como formada por un
número infinito de rectángulos infinitamente delgados.
Aplicó esto a la integral de xm entre 0 y 1 y demostró que
tenía un valor aproximado de Le escribió a Descartes
dando el método esencialmente como se usa hoy, es
decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando
dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a
este trabajo Lagrange afirmó claramente que él
consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.
(0m + 1m + 2m +...+ (n-1) m)/nm+1.
Fermat también fue más riguroso en su acercamiento
pero no dio demostraciones. Generalizó la parábola y la
hipérbola:
Parábola: y/a = (x/b)² generalizada como (x/a)n =
(y/b)m.Hipérbola: y/a = (b/x)² generalizada como (y/a)n =
(b/x)m.
Al estar examinando y/a = (x/b)p, Fermat calculó la suma
de rp para r entre 1 y n.
Fermat también investigó máximos y mínimos
considerando dónde la tangente a la curva es paralela al
eje X.
Pierre de Fermat
Gilles Personne
de Roberval
Bonaventura
Cavalieri

7. René Descartes
Produjo un importante
método para deteminar
normales en La
Géometria en 1637 basado
en la doble intersección. De
Beaune extendió sus
métodos y los aplicó a las
tangentes; en este caso la
doble intesección se traduce
en raíces dobles. Hudde
descubrió un método más
sencillo, llamado la Regla de
Hudde, que básicamente
involucra a la derivada. El
método de Descartes y la
Regla de Hudde tuvieron
una influencia importante
sobre Newton
Huygens
Criticó las pruebas de
Cavalieri diciendo que lo
que se necesita es una
demostración que al
menos convenza de que
puede construirse una
prueba
rigurosa. Huygens tuvo
gran influencia sobre y
por lo tanto jugó un
papel importante en la
producción de un
acercamiento más
satisfactorio al
cálculo.Leibniz

8. Torricelli y Barrow
El segundo dio un método de tangentes a
una curva en el que la tangente está dada
como el límite de una cuerda cuando los
puntos se acercan uno a otro y que es
conocido como el triángulo diferencial de
Barrow.
Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el
problema del movimiento con velocidad
variable. La derivada de la distancia es la
velocidad y la operación inversa nos lleva
de la velocidad a la distancia. De aquí
empezó a evolucionar naturalmente una
concienciación de la inversa de la
diferenciación y que Barrow estuviera
familiarizado con la idea de que integral y
derivada son inversas una de otra. De
hecho, aunque Barrow nunca afirmó
explícitamente el teorema fundamental del
cálculo, estaba trabajando hacia el
resultado y Newton continuaría en esta
dirección y daría explícitamente el Teorema
Fundamental del Cálculo. El trabajo de
Torricelli fue continuado en Italia por
Mengoli y Angeli.
Evangelista Torricelli
Barrow

9. Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz pensaba que las variables x, y variaban sobre
secuencias de valores infinitamente cercanos.
Introdujo a dx y dy como las diferencias entre
valores consecutivos de esas
secuencias. Leibniz sabía que dx/dy da la tangente
pero no la usó como una propiedad que defina.
Leibniz usaba la integral como una suma, de forma
muy similar a la de Cavalieri. También estaba
contento con el uso de las 'infinitesimales' dx y dy.
La notación d y ∫ de Leibniz destacaban el aspecto
de operadores que probaría ser importante más
adelante. Para 1675, Leibniz se había quedado con la
notación ∫y dy = y²/2
escrita exactamente como se hace hoy. Sus
resultados sobre cálculo integral fueron publicados
en 1864 y 1686 con el nombre de calculus
summatorius; el término 'cálculo integral' fue
sugerido por Jacobo Bernoulli en 1690.

10. Newton
Escribió un tratado sobre fluxiones en octubre
de 1666. Esta obra no sería publicada en ese
momento pero fue revisada por muchos
matemáticos y tuvo gran influencia sobre la
dirección que tomaría el cálculo. Newton pensó
en una partícula que dibuja una curva con dos
líneas que se mueven que eran las
coordenadas. La velocidad horizontal x' y la
velocidad vertical y' eran las fluxiones
de x y y asociadas con el flujo del tiempo. Los
fluentes o cantidades
flotantes eran x y y mismas. Con esta notación
de fluxión, y' / x' era la tangente a ƒ( x,y) = 0.
En su tratado de 1666, Newton discute el
problema inverso: encontrar y dada la relación
entre x y y'/x'. Por lo tanto la pendiente de la
tangente estaba dada para cada x y
cuando y'/x' = ƒ(x) entonces Newton resuelve
el problema mediante la antidiferenciación.
También calculó áreas mediante este método y
su obra contiene el primer enunciado claro
del Teorema Fundamental del Cálculo.