2.  En teoría de números, el último teorema de
Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, es uno
de los teoremas más famosos en la historia
de la matemática. Utilizando la notación
moderna, se puede enunciar de la siguiente
manera:
Si n es un número entero mayor que
2, entonces no existen números enteros
positivos x, y y z, tales que se cumpla la
igualdad:

3.  El teorema fue conjeturado por Pierre de
Fermat en 1637, pero no fue demostrado
hasta 1995 por Andrew Wiles ayudado por el
matemático Richard Taylor. La búsqueda de
una demostración estimuló el desarrollo de
la teoría algebraica de números en el siglo
XIX y la demostración del teorema de la
modularidad en el siglo XX.

4.  El siguiente mayor paso fue hecho por la
matemática Sophie Germain. Un caso especial dice
que si p y 2p + 1 son ambos primos, entonces la
expresión de la conjetura de Fermat para la potencia
p implica que uno de los x, y ó z es divisible por p. En
consecuencia la conjetura se divide en dos casos:
 Caso 1: Ninguno de los x, y, z es divisible por p.
 Caso 2: Uno y sólo uno de x, y, z es divisible
por p.Sophie Germain probó el caso 1 para
todo p menor que 100 y Adrien-Marie
Legendre extendió sus métodos a todos los números
menores que 197. Aquí se encontró que el caso 2 no
estaba demostrado ni siquiera para p = 5, por lo que
fue evidente que era en el caso 2 en el que había que
concentrarse. Este caso también se dividía entre
varios casos posibles.

5.  Leonhard Euler demostró el caso n = 3. El 4 de
agosto de 1735 Euler escribió a Goldbach
reclamando tener una demostración para el
caso n = 3. En Álgebra (1770) se encontró una
falacia en la demostración de Euler. Corregirla
directamente era demasiado difícil, pero otros
aportes anteriores de Euler permitían encontrar
una solución correcta por medios más simples.
Por esto se consideró que Euler había
demostrado ese caso. Del análisis de la
demostración fallida de Euler surgió la
evidencia de que ciertos conjuntos de números
complejos no se comportaban de igual manera
que los enteros.

6.  No fue hasta 1825 que Peter Gustav Lejeune
Dirichlet y Legendre generalizaron para n=5 la
demostración de Euler. Lamé demostró el caso n=7 en
1839.
 Entre 1844 y 1846 Ernst Kummer demostró que la
factorización no única podía ser salvada mediante la
introducción de números complejos ideales. Un año
después Kummer afirma que el número 37 no es
un primo regular (Ver: Números de Bernoulli). Luego
se encuentra que tampoco 59 y 67 lo son.
Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwänger, Vandiver
y otros extienden la investigación a números más
grandes. En 1915 Jensen demuestra que existen
infinitos primos irregulares. La investigación se
estanca por esta vía de la divisibilidad, a pesar de
que se logran comprobaciones para n menor o igual a
4.000.000.