Descargar para leer sin conexión
3. Dinámica.pdf
- 1. DINÁMICA | ING.ADRIÁN ESPRIELLA JUÁREZ 3. DINÁMICA Si quieres cambiar algo de lugar, por ejemplo una cama, tienes que empujarla. Si quieres recoger un objeto que está en el piso, tienes que cargarlo para ponerlo sobre una mesa. Si quieres que tu bicicleta camine, tienes que pedalear. Si deseas meter un gol desde media cancha, hay que patear fuerte el balón para que llegue a la portería. En todos los casos anteriores, y en general, siempre que desees que un cuerpo se ponga en movimiento, debes aplicarle una fuerza Las fuerzas son necesarias para que las cosas puedan moverse o detenerse. Por ejemplo, si quieres que se detenga un automóvil, se deben aplicar los frenos para que la fuerza de fricción entre las balatas y el tambor lo detenga; cuando un avión aterriza, el piloto echa a andar los motores al revés para que la fuerza que éstos producen lo detenga. Una fuerza puede también causar la deformación o formación de objetos, por ejemplo si se golpea una piedra con fuerza ésta puede perder su forma, si choca un automóvil contra otro los dos pueden deformarse. Pero las fuerzas pueden tener además de comenzar o detener un movimiento, otro efecto sobre las cosas, que es el de desviarlas, es decir, causar que un cuerpo en movimiento describa cierta trayectoria. Por ejemplo, si un automóvil va viajando por una carretera en línea recta y es golpeado por una vaca, el auto se va de lado, desviándose de su trayectoria original. Los planetas giran alrededor del Sol en trayectorias elípticas debido a la fuerza de gravedad con la que éste los jala. Al lanzar un objeto hacia arriba de manera inclinada, la trayectoria que describe es una parábola, debido a la fuerza de gravedad que la Tierra atrae el objeto hacia el centro. Fuerza: es aquello capaz de cambiar el estado de movimiento de un objeto o deformarlo.
- 2. DINÁMICA | ING.ADRIÁN ESPRIELLA JUÁREZ 3.1 Leyes de Newton Para explicar las leyes del movimiento de Newton, debemos tener claridad en algunas connotaciones importantes consideradas. Newton postula en su primera ley que un cuerpo no cambia por sí solo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme (MRU), a menos que se aplique un conjunto de fuerzas sobre éste. Con esta ley considera que los cuerpos en movimiento están en constante fricción, que los frena progresivamente. Esto resultaba totalmente nuevo respecto a otros paradigmas que entendían que el reposo o movimiento de un cuerpo se debía solamente a una fuerza aplicada pero no a una fricción. Para el caso del movimiento rectilíneo uniforme, no hay una fuerza externa neta, es decir, no se detiene naturalmente si no se le aplica una fuerza. Para el caso de los cuerpos que están en reposo, se toma su velocidad como cero y si ésta cambia es porque una fuerza neta ha sido aplicada sobre éste. En su segunda ley, Newton habla de la relación entre fuerza y aceleración. Cuando una fuerza neta actúa en un cuerpo en movimiento (cuya masa puede cambiar); la fuerza modificará su estado, velocidad o dirección. Los cambios experimentados serán proporcionales a la dirección, es decir, provocan aceleración en los cuerpos. En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación: 𝐹 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑎 Donde: 𝐹 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 (medida en N – Newtons) 𝑚𝑎 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 (medida en kg) Cantidad de materia que existe en un cuerpo 𝑎 = 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ón (m/s2 ) De aquí se define que 𝑁 = 𝑘𝑔𝑚/𝑠2 La tercera ley expone que cuando un cuerpo ejerce fuerza sobre otro, el segundo ejerce siempre sobre el primero una fuerza de igual magnitud pero de sentido contrario, por eso a cada fuerza de acción le corresponde una fuerza de reacción. Por ejemplo, la acción que produce la fuerza que aplicamos cuando pateamos una pelota, ocasiona una fuerza de reacción que se manifiesta sobre nuestro pie. Un imán atrae unos clavos con la misma fuerza con las que éstos atraen al imán.
- 3. DINÁMICA | ING.ADRIÁN ESPRIELLA JUÁREZ 3.2 Fuerza En su segunda ley, Newton habla de la relación entre fuerza y aceleración. Cuando una fuerza neta actúa en un cuerpo en movimiento (cuya masa puede cambiar); la fuerza modificará su estado, velocidad o dirección. Los cambios experimentados serán proporcionales a la dirección, es decir, provocan aceleración en los cuerpos. Ejemplos 1. Determina la fuerza que se necesita aplicar a un auto de 800 kg para que éste se acelere 4 m/s2 . Datos Fórmula Sustitución y operación 𝐹 = ? 𝑚𝑎 = 800 𝑘𝑔 𝑎 = 4 𝑚 𝑠2 𝐹 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑎 𝐹 = 800 𝑘𝑔 (4 𝑚 𝑠2 ) 𝐹 = 3200 𝑘𝑔 𝑚 /𝑠2 𝑭 = 𝟑𝟐𝟎𝟎 𝑵 2. El resultado de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo cuya masa vale 40 kg, es de 85 N. ¿Cuál es el valor de la aceleración que posee este cuerpo? Datos Fórmula Sustitución y operación 𝐹 = 85 𝑁 𝑚𝑎 = 40 𝑘𝑔 𝑎 = ? 𝐹 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑎 𝐹 𝑚𝑎 = 𝑎 𝑎 = 𝐹 𝑚𝑎 𝑎 = 85 𝑘𝑔 𝑚 𝑠2 40 𝑘𝑔 𝒂 = 𝟐. 𝟏𝟐𝟓 𝒎 𝒔𝟐 3. ¿Qué fuerza debe ejercer el motor de un automóvil cuya masa es de 1,500 kg para aumentar su velocidad de 4.5 km/h a 40 km/h en 8 s? Datos Fórmula Sustitución y operación 𝐹 = ? 𝑚𝑎 = 1500 𝑘𝑔 𝑣𝑖 = 4.5 𝑘𝑚 ℎ 𝑣𝑓 = 40 𝑘𝑚 ℎ 𝑡 = 8 𝑠𝑒𝑔 𝐹 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑎 𝑎 = 𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 𝑡 4.5 𝑘𝑚 ℎ ( 1000 𝑚 1 𝑘𝑚 )( 1 ℎ 3600 𝑠 ) = 1.25 𝑚 𝑠 40 𝑘𝑚 ℎ ( 1000 𝑚 1 𝑘𝑚 ) ( 1 ℎ 3600 𝑠 ) = 11.11 𝑚 𝑠 𝑎 = 11.11 𝑚 𝑠 − 1.25 𝑚 𝑠 8 𝑠 𝑎 = 1.2325 𝑚 𝑠2 𝐹 = 1500 𝑘𝑔 (1.2325 𝑚 𝑠2 ) 𝑭 = 𝟏𝟖𝟒𝟕. 𝟕𝟓 𝑵 F a ma
- 4. DINÁMICA | ING.ADRIÁN ESPRIELLA JUÁREZ 3.3 Fuerza Normal y Peso Si se considera un objeto en reposo sobre una superficie horizontal, sabemos que el centro de la Tierra ejerce sobre él la fuerza gravitacional, a pesar de no tener aceleración (𝑎 = 0). De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza neta que actúa sobre el objeto es cero, por lo tanto, debe existir una fuerza que se oponga a la fuerza gravitacional y que actúe sobre el objeto para impedir que éste se hunda a esto se le conoce como fuerza normal (Fn). Ahora bien el peso es fuerza gravitatoria que un objeto grande (como la Tierra) ejerce sobre otro. Es una magnitud vectorial ya que la dirección está orientada hacia el cuerpo más grande. Se representa con la letra 𝒘. Cuando un cuerpo cae libremente hacia la superficie de la Tierra, este se acelera debido a la gravedad que la Tierra ejerce sobre él. Por la segunda ley de Newton tenemos: ∑ 𝐹𝑦 = 0 Ejemplos 1. Determina el peso que ejerce un alumno de 55 kg sentado sobre la superficie de un mesabanco. Datos Fórmula Sustitución y operación 𝑤 = ? 𝑚𝑎 = 55 𝑘𝑔 𝑔 = 9.81 𝑚 𝑠2 𝑤 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑔 𝑤 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑔 𝑤 = 55 𝑘𝑔 (9.81 𝑚 𝑠2 ) 𝑤 = 539.55 𝑁 2. ¿Cuál es la masa de un objeto cuyo peso en la tierra es 2570 N? Datos Fórmula Sustitución y operación 𝑤 = 2570 𝑁 𝑚𝑎 = ? 𝑔 = 9.81 𝑚 𝑠2 𝑤 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑔 𝑤 𝑔 = 𝑚𝑎 𝑚𝑎 = 𝑤 𝑔 𝑚𝑎 = 𝑤 𝑔 𝑚𝑎 = 2570 𝑘𝑔 𝑚 𝑠2 9.81 𝑚 𝑠2 𝑚𝑎 = 261.97 𝑘𝑔. 𝐹𝑛 − 𝑤 = 0 𝐹𝑛 = 𝑤 𝑤 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑔 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑔
- 5. DINÁMICA | ING.ADRIÁN ESPRIELLA JUÁREZ 3.4 Plano Inclinado y Fricción Si un objeto descansa sobre un plano inclinado, actúan sobre él la fuerza gravitacional (el peso) y la fuerza normal, como se puede observar en el dibujo. Si establecemos un sistema de coordenadas donde el eje 𝑥 es paralelo al plano inclinado, y el eje 𝑦 perpendicular al mismo, se puede descomponer el vector peso en sus componentes rectangulares 𝑤𝑥 y 𝑤𝑦 como se puede observar: Para poder aplicar la descomposición rectangular necesitamos conocer el ángulo que se forma con el vector 𝑤𝑦 el cual llamaremos 𝑥 por el momento. 𝑤 𝑥 90° Encontramos el valor de 𝑥 aplicando propiedades de los ángulos de un triángulo. 𝛼 + 𝛽 + 90 = 180 𝛼 + 𝛽 = 180 − 90 𝜶 = 𝟗𝟎 − 𝜷 𝛽 + 𝑥 = 90 𝒙 = 𝟗𝟎 − 𝜷 Como 𝟗𝟎 − 𝜷 es igual a 𝟗𝟎 − 𝜷 quiere decir que 𝛼 = 𝑥 𝐹𝑛 𝐹𝑟 = 𝜇 ∙ 𝐹𝑛
- 6. DINÁMICA | ING.ADRIÁN ESPRIELLA JUÁREZ Continuando con la descomposición rectangular del peso 𝑤 aplicamos funciones trigonométricas para conocer sus respectivos valores en 𝑤𝑥 y 𝑤𝑦 Aplicando la primera ley de Newton la cual dice que “Si el objeto está en equilibrio, entonces la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre él es igual a cero” ∑ 𝑭 = 𝟎 Como hay fuerzas en el eje x (𝑤𝑥) y en el eje y (𝑤𝑦) ∑ 𝐹𝑥 = 0 𝜇 ∙ 𝐹𝑛 − 𝑤𝑥 = 0 𝜇 ∙ 𝐹𝑛 = 𝑤𝑥 𝝁 ∙ 𝑭𝒏 = 𝒘 ∙ 𝑺𝒆𝒏 𝜶 ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑛 − 𝑤𝑦 = 0 𝐹𝑛 = 𝑤𝑦 𝑭𝒏 = 𝒘 ∙ 𝑪𝒐𝒔 𝜶 𝜇 ∙ 𝐹𝑛 = 𝑤 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝜇(𝑤 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝛼) = 𝑤 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝜇 = 𝑤 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑤 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝜇 = 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑤𝑜𝑠 𝛼 𝝁 = 𝒕𝒂𝒏 𝜶 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 𝐶𝑂 ℎ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 𝑤𝑥 𝑤 𝑤 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 = 𝑤𝑥 𝑾𝒙 = 𝒘 ∙ 𝑺𝒆𝒏 𝜶 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 𝐶𝐴 ℎ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 𝑤𝑦 𝑤 𝑤 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 = 𝑤𝑦 𝑾𝒚 = 𝒘 ∙ 𝑪𝒐𝒔 𝜶 𝑤 𝛼 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐹𝑟 = 𝜇 ∙ 𝐹𝑛 𝑁
- 7. DINÁMICA | ING.ADRIÁN ESPRIELLA JUÁREZ Ejemplos 1. A un cuerpo de 10 kg. de masa se le aplican 130 N de fuerza mientras es jalado sobre un plano inclinado de 30o con respecto a la horizontal en el cual no existe un coeficiente de rozamiento. Calcula: a) La fuerza resultante del eje 𝑥 e 𝑦 b) La aceleración con la que sube el cuerpo c) La velocidad que tiene cuando ha recorrido 20 m. Datos Fórmula Sustitución y operación 𝑚𝑎 = 10 𝑘𝑔 𝐹 = 130 𝑁 𝛼 = 30° 𝑔 = 9.81 𝑚 𝑠2 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 = ? 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑦 = ? 𝑎 = ? 𝑣20 𝑚 = 𝑣𝑓 = ? 𝑤 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑔 𝑊 𝑥 = 𝑤 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑊 𝑦 = 𝑤 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝐹𝑟𝑒𝑠 = ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝐹𝑛 = 𝑤𝑦 𝑎 = 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 𝑚𝑎 𝑣𝑓 = √2(𝑔)(ℎ) + 𝑣𝑖 2 𝑤 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑔 𝑤 = 10 𝑘𝑔 (9.81 𝑚 𝑠2 ) 𝒘 = 𝟗𝟖. 𝟏 𝑵 𝑊 𝑥 = 𝑤 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑊 𝑥 = 98.1 𝑁 (𝑆𝑒𝑛 30°) 𝑾𝒙 = 𝟒𝟗. 𝟎𝟓 𝑵 𝑊 𝑦 = 𝑤 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑊 𝑦 = 98.1 𝑁 (𝐶𝑜𝑠 30°) 𝑾𝒚 = 𝟖𝟒. 𝟗𝟓 𝑵 𝐹𝑟𝑒𝑠 = ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 = 𝐹 − 𝑊 𝑥 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 = 130 𝑁 − 49.08 𝑁 𝑭𝒓𝒆𝒔 𝒙 = 𝟖𝟎. 𝟗𝟐 𝑵 𝐹𝑟𝑒𝑠 = ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑦 = 𝐹𝑛 − 𝑊 𝑦 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑦 = 𝑊 𝑦 − 𝑊 𝑦 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑦 = 84.95 𝑁 − 84.95 𝑁 𝑭𝒓𝒆𝒔 𝒚 = 𝟎 𝑎 = 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 𝑚𝑎 𝑎 = 80.92 𝑁 10 𝑘𝑔 𝒂 = 𝟖. 𝟎𝟗𝟐 𝒎 𝒔𝟐 𝑣𝑓 = √2(𝑔)(ℎ) + 𝑣𝑖 2 𝑣𝑓 = √2 (9.81 𝑚 𝑠2 ) (20 𝑚) + (0 𝑚 𝑠 ) 2 𝒗𝒇 = 𝟏𝟗. 𝟖𝟎 𝒎 𝒔 Diagrama de cuerpo libre 𝛼 = 30° 𝑚𝑎 = 10 𝑘𝑔 𝑤𝑦 30° 𝐹 = 130 𝑁 𝐹𝑛 𝑤 a b c 2. Se calculan todas las fuerzas que intervienen 1. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre 3. Calculamos la aceleración 4. Calculamos la velocidad final
- 8. DINÁMICA | ING.ADRIÁN ESPRIELLA JUÁREZ 2. Un objeto de masa de 25 kg. tarda en bajar 14 segundos sobre la superficie de un plano el cual está inclinado con 20o , si se sabe que el coeficiente de fricción es de 0.1 y que al inicio llevaba una velocidad de 1.5 m/s. Determina: a) La fuerza resultante del eje x e y b) Aceleración del objeto c) Desplazamiento d) Velocidad final Datos Fórmula Sustitución y operación 𝑚𝑎 = 25 𝑘𝑔 𝑡 = 14 𝑠𝑒𝑔 𝛼 = 20° 𝜇 = 0.1 𝑣𝑖 = 1.5 𝑚 𝑠 𝑔 = 9.81 𝑚 𝑠2 𝑎 = ? 𝑑 = ? 𝑣𝑓 = ? 𝑤 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑔 𝑊 𝑥 = 𝑤 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑊 𝑦 = 𝑤 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝐹𝑛 = 𝑤𝑦 𝐹𝑟 = 𝜇 ∙ 𝐹𝑛 𝐹𝑟𝑒𝑠 = ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑎 = 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 𝑚𝑎 𝑑 = 𝑣𝑖(𝑡) + 𝑎(𝑡)2 2 𝑣𝑓 = √2(𝑔)(ℎ) + 𝑣𝑖 2 𝑤 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑔 𝑤 = 25 𝑘𝑔 (9.81 𝑚 𝑠2 ) 𝒘 = 𝟐𝟒𝟓. 𝟐𝟓 𝑵 𝑊 𝑥 = 𝑤 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑊 𝑥 = 245.25 𝑁 (𝑆𝑒𝑛 20°) 𝑾𝒙 = 𝟖𝟑. 𝟖𝟖 𝑵 𝑊 𝑦 = 𝑤 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑊 𝑦 = 245.25 𝑁 (𝐶𝑜𝑠 20°) 𝑾𝒚 = 𝟐𝟑𝟎. 𝟒𝟓 𝑵 𝐹𝑛 = 𝑤𝑦 𝑭𝒏 = 𝟐𝟑𝟎. 𝟒𝟓 𝑵 𝐹𝑟 = 𝜇 ∙ 𝐹𝑛 𝐹𝑟 = 0.1(230.45 𝑁) 𝑭𝒓 = 𝟐𝟑. 𝟎𝟒 𝑵 𝐹𝑟𝑒𝑠 = ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 = 𝑊 𝑥 − 𝐹𝑟 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 = 245.25 𝑁 − 23.04 𝑁 𝑭𝒓𝒆𝒔 𝒙 = 𝟐𝟐𝟐. 𝟐𝟏 𝑵 𝐹𝑟𝑒𝑠 = ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑦 = 𝑊 𝑦 − 𝐹𝑛 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑦 = 𝑊 𝑦 − 𝑊 𝑦 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑦 = 230.45 𝑁 − 230.45 𝑁 𝑭𝒓𝒆𝒔 𝒚 = 𝟎 𝑎 = 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 𝑚𝑎 𝑎 = 222.21 𝑁 25 𝑘𝑔 𝒂 = 𝟖. 𝟖𝟖 𝒎 𝒔𝟐 Diagrama de cuerpo libre 𝛼 = 20° 𝑤𝑦 20° 𝐹𝑛 𝑤 b d 2. Se calculan todas las fuerzas que intervienen. Nota: como hay fricción entonces interviene una fuerza de rozamiento que hay que calcular 1. Se dibuja el diagrama de cuerpo libre 3. Calculamos la aceleración a c 𝐹𝑟
- 9. DINÁMICA | ING.ADRIÁN ESPRIELLA JUÁREZ 𝑑 = 𝑣𝑖(𝑡) + 𝑎(𝑡)2 2 𝑑 = 1.5 𝑚 𝑠 (14 𝑠) + 8.88 𝑚 𝑠2 (14 𝑠)2 2 𝑑 = 1.5 𝑚 𝑠 (14 𝑠) + 8.88 𝑚 𝑠2 (192 𝑠2 ) 2 𝑑 = 21 𝑚 + 870.24 𝑚 𝒅 = 𝟖𝟗𝟏. 𝟐𝟒 𝒎 𝑣𝑓 = √2(𝑔)(ℎ) + 𝑣𝑖 2 𝑣𝑓 = √2 (9.81 𝑚 𝑠2 ) (891.24 𝑚) + (1.5 𝑚 𝑠 ) 2 𝑣𝑓 = √17486.1288 𝑚2 𝑠2 + 2.25 𝑚2 𝑠2 𝒗𝒇 = 𝟏𝟑𝟐. 𝟐𝟒 𝒎 𝒔 5. Calculamos la velocidad final 4. Calculamos el desplazamiento
- 10. DINÁMICA | ING.ADRIÁN ESPRIELLA JUÁREZ 3. Un automóvil de 1200 kg. es remolcado por una grúa la cual lo jala por la rampa que está inclinada 33o con respecto el suelo. ¿Cuál será la tensión que soporta la cadena que sostiene el automóvil? (toma en cuenta que no los frenos están desactivados) Datos Fórmula Sustitución y operación 𝑚𝑎 = 1200 𝑘𝑔 𝛼 = 33° 𝑔 = 9.81 𝑚 𝑠2 𝑇 = ? 𝑤 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑔 𝑊 𝑥 = 𝑤 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑊 𝑦 = 𝑤 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 ∑ 𝐹𝑥 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑤 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑔 𝑤 = 1200 𝑘𝑔 (9.81 𝑚 𝑠2 ) 𝒘 = 𝟏𝟏𝟕𝟕𝟐 𝑵 𝑊 𝑥 = 𝑤 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑊 𝑥 = 11772 𝑁 (𝑆𝑒𝑛 33°) 𝑾𝒙 = 𝟔𝟒𝟏𝟏. 𝟒𝟗 𝑵 𝑊 𝑦 = 𝑤 ∙ 𝐶𝑜𝑠 𝛼 𝑊 𝑦 = 11772 𝑁 (𝐶𝑜𝑠 33°) 𝑾𝒚 = 𝟗𝟖𝟕𝟐. 𝟖𝟐 𝑵 ∑ 𝐹𝑥 = 0 𝑇 − 𝑊 𝑥 = 0 𝑇 = 𝑊 𝑥 𝑻 = 𝟔𝟒𝟏𝟏. 𝟒𝟗 𝑵 ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑛 − 𝑊 𝑦 = 0 𝐹𝑛 = 𝑊 𝑦 𝑭𝒏 = 𝟗𝟖𝟕𝟐. 𝟖𝟐 𝑵 33° 𝑤 𝑤𝑦 𝑤 𝑇 𝐹𝑛
- 11. DINÁMICA | ING.ADRIÁN ESPRIELLA JUÁREZ 4. Del siguiente diagrama determina lo que se te pide: a) ¿Hacia dónde se moverá el sistema cuando las cajas se suelten del reposo? b) ¿Qué aceleración tendrán las cajas? c) ¿Cuál es la tensión del cable que las sujeta? NOTA: para resolver este ejercicio hay que suponer para dónde se moverá el sistema. El signo de la aceleración, por ser un vector, nos indicará hacia dónde se mueve. Si es positivo supusimos bien, si es negativo supusimos mal y sería el sentido contrario. Datos Fórmula Sustitución y operación 𝑚𝑎1 = 100 𝑘𝑔 𝛼 = 30° 𝑔 = 9.81 𝑚 𝑠2 𝑚𝑎2 = 50 𝑘𝑔 𝛼 = 53.1° 𝑔 = 9.81 𝑚 𝑠2 𝑎 = ? 𝑤 = 𝑚𝑎 ∙ 𝑔 𝑊 𝑥 = 𝑤 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝐹𝑟𝑒𝑠 = ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑎 = 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 𝑚𝑎 𝑚𝑎(𝑎) = 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 = 𝑚𝑎(𝑎) 𝑤1 = 𝑚𝑎1 ∙ 𝑔 𝑤1 = 100 𝑘𝑔 (9.81 𝑚 𝑠2 ) 𝒘𝟏 = 𝟗𝟖𝟏 𝑵 𝑊1𝑥 = 𝑤1 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑊1𝑥 = 981 𝑁 (𝑆𝑒𝑛 30°) 𝑾𝟏𝒙 = 𝟒𝟗𝟎. 𝟓 𝑵 𝐹𝑟𝑒𝑠 = ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 = 𝑇1 − 𝑊1𝑥 𝑇1 = 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 + 𝑊1𝑥 𝑇1 = 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 + 490.5 𝑁 𝑻𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝒌𝒈(𝒂) + 𝟒𝟗𝟎. 𝟓 𝑵 𝑤2 = 𝑚𝑎2 ∙ 𝑔 𝑤2 = 50 𝑘𝑔 (9.81 𝑚 𝑠2 ) 𝒘𝟐 = 𝟒𝟗𝟎. 𝟓 𝑵 𝑊2𝑥 = 𝑤2 ∙ 𝑆𝑒𝑛 𝛼 𝑊2𝑥 = 490.5 𝑁 (𝑆𝑒𝑛 53.1°) 𝑾𝟐𝒙 = 𝟑𝟗𝟐. 𝟐𝟒 𝑵 𝐹𝑟𝑒𝑠 = ∑ 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 = 𝑊2𝑥 − 𝑇2 𝑇2 = 𝑊2𝑥 − 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 𝑇2 = 392.24 𝑁 − 𝐹𝑟𝑒𝑠 𝑥 𝑻𝟐 = 𝟑𝟗𝟐. 𝟐𝟒 𝑵 − 𝟓𝟎𝒌𝒈(𝒂) Como los cuerpos son sujetados por la misma cuerda entonces las tenciones son iguales: 𝑇1 = 𝑇2 100𝑘𝑔(𝑎) + 490.5 𝑁 = 392.24 𝑁 − 50𝑘𝑔(𝑎) 100𝑘𝑔(𝑎) + 50𝑘𝑔(𝑎) = 392.24 𝑁 − 490.5𝑁 150𝑘𝑔(𝑎) = −9.83 𝑁 𝑎 = −98.26 𝑁 150𝑘𝑔 𝒂 = −𝟎. 𝟔𝟓𝟓𝟎 𝒎 𝒔𝟐 30° 53.1° 𝑤1 𝑤2
- 12. DINÁMICA | ING.ADRIÁN ESPRIELLA JUÁREZ Respuestas: a) ¿Hacia dónde se moverá el sistema cuando las cajas se suelten del reposo? Como habíamos establecido que el sistema se movería de izquierda a derecha el signo negativo de la aceleración indica que el sistema se mueve contrario a los que supusimos. Es decir, el sistema se mueve de derecha a izquierda. b) ¿Qué aceleración tendrán las cajas? 𝑎 = 0.6550 𝑚 𝑠2 c) ¿Cuál es la tensión del cable que las sujeta? 𝑇1 = 100𝑘𝑔(𝑎) + 490.5 𝑁 𝑇1 = 100𝑘𝑔(−0.6550 𝑚 𝑠2 ) + 490.5 𝑁 𝑇1 = 425 𝑁 = 𝑇2 Ejercicios 1. Dalay se puso a hacer el aseo y empezó a quitar todos los bancos del salón arrastrándolos. Calcula la fuerza que necesitó para mover cada mesabanco de 15 kg. para que pudieran acelerar a una velocidad de 2 m/s2 . 2. Después de la cita que Yussele y Alejandro tuvieron en Mante, de regreso, se les ponchó la motocicleta por lo que tuvieron que jalarla hasta una vulcanizadora. La fuerza que aplicaron para poder moverla fue de 25 N cada uno. Si se sabe que la masa de la moto es de 250 kg. ¿Cuál fue la aceleración que con la que se desplazó la moto? 3. En un juego de carreras Diana y Sheila compiten para ver quien llega primero a la meta. Están a punto de terminar y solo quedan x metros de distancia. Diana ve que Sheila va delantera y le pisa al acelerador hasta el fondo ¿Qué fuerza deberá ejercer el motor del carro de Diana cuya masa es de 1,300 kg para aumentar su velocidad de 90 km/h a 120 km/h en 10 s? 4. Calcula el peso que ejercen los alumnos de primer semestre sobre la superficie del piso del salón sabiendo que la masa promedio de cada alumno es de 65 kg. y hay un total de 18 alumnos. 5. ¿Cuál será la masa del nuevo salón cuyo peso sobre la superficie del terreno será de 3000 N? 6. Josué lanzó una pelota de béisbol hacia arriba en línea recta. La masa de la pelota es de 800 g. ¿Cuál serpa la fuerza normal que ejerció? 7. A un cuerpo de 300 kg. de masa se le aplican 89 N de fuerza mientras es jalado sobre un plano inclinado de 40o con respecto a la horizontal en el cual no existe un coeficiente de rozamiento. Calcula: 1. La fuerza resultante del eje 𝑥 e 𝑦 2. La aceleración con la que sube el cuerpo 3. La velocidad que tiene cuando ha recorrido 20 m
- 13. DINÁMICA | ING.ADRIÁN ESPRIELLA JUÁREZ 8. Un niño con masa de 42 kg. tarda en bajar 4 segundos de una resbaladilla la cual tiene una inclinación de 38o , si conocemos que el coeficiente de fricción es de 0.12 y que se impulsó con una velocidad de 0.68 m/s. Calcula: e) La fuerza resultante del eje x e y f) Aceleración del niño g) Desplazamiento h) Velocidad final 9. El profe Adrián; el más guapo, inteligente y fuerte de todos, fue al gimnasio a hacer pierna. Como andaba bien motivado le puso 10 discos de 20 kg de masa cada uno. La inclinación de la prensa es de 40° con respecto al suelo. Calcula la tensión que se ejerce sobre las piernas del profesor cada que empuja la prensa. (toma en cuenta que empujar la prensa es igual que si la estuviera jalando) 10. El siguiente dibujo representa dos bloques de concreto que se encuentran sujetos y suspendidos por medio de una cadena. Determina lo que se te pide: a) ¿Hacia dónde se moverá el sistema cuando los bloques se suelten del reposo? b) ¿Qué aceleración tendrán los bloques? c) ¿Cuál es la tensión de la cadena que los sujeta? 40° 38°