Este documento describe tres métodos para encontrar las raíces de una ecuación: el método de punto fijo, el método de Newton-Raphson y el método de la secante. Cada método usa una fórmula iterativa diferente para aproximarse más a la raíz con cada cálculo. El documento también proporciona ejemplos resueltos de cada método para la función f(x) = e^-x - x y comparte algunas desventajas de los métodos.

1. Métodos abiertos
Se necesita un valor a la izquierda
de la raíz.
Dirigirse de 𝑥𝑖 a 𝑥𝑖+1 con un sistema
iterativo.
Los métodos pueden ser
convergentes o divergentes con las
iteraciones.
Un método es convergente si se
dirige más rápidamente a la raíz a
medida que se avanza con el
cálculo.
RAICES DE ECUACIONES

2. • Método Iteración simple de punto fijo
𝒙𝒊+𝟏 = 𝒈(𝒙𝒊)
También llamada iteración de un punto,
sustitución sucesiva o método de punto
fijo.
Pasos:
1) 𝑓 𝑥 = 0
2) Despejar una 𝑥 de las que tenga la
ecuación para formar 𝑥 = 𝑔 𝑥 , de
esta forma 𝑥𝑖+1 = 𝑔 𝑥𝑖 .
3) Aplicar formula iterativa, hasta
obtener el error aproximado deseado
𝜺𝒂 =
𝒙𝒊+𝟏 − 𝒙𝒊
𝒙𝒊+𝟏
∗ 𝟏𝟎𝟎
Ejercicio: Determine el valor de una raíz para la
función 𝒇 𝒙 = 𝒆−𝒙
− 𝒙con un error de aproximación
de 0.01%

3. • Método de Newton-Raphson
𝒇´ 𝒙𝒊 =
𝒇 𝒙𝒊 − 𝟎
𝒙𝒊 − 𝒙𝒊+𝟏
Formula más ampliamente utilizada.
Extrapola una tangente a la función en 𝒙𝒊(esto es,
𝒇´
(𝒙𝒊)) hasta el eje 𝒙 para obtener una estimación
de 𝒙𝒊+𝟏
Ejercicio resuelto en excel
Ejercicio: Determine el valor de una raíz para la
función 𝒇 𝒙 = 𝒆−𝒙 − 𝒙 con un error de
aproximación de 0.01%
Paso 1: Elija el valor inicial inferior 𝑥𝑖
Paso 2: Determine la primera derivada de la
función.
Paso 3: Una aproximación de la raíz 𝑥𝑖+1 se
determina mediante:
𝒙𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊 −
𝒇(𝒙𝒊)
𝒇´(𝒙𝒊)
Paso 4: La raíz es igual a 𝑥𝑖+1 cuando 𝑓 𝑥𝑖 = 0;
termina el cálculo.

4. Desventajas
Punto de inflexión ocurre en la vecindad de una
raíz. Iteraciones divergen progresivamente.
Mínimo o máximo en la vecindad. Iteraciones
divergen progresivamente. Se alcanza una
pendiente iguala a cero, después de lo cual la
solución se aleja del área de interés.
Pendientes cercanas a cero. División entre cero.
Pendientes cercanas a cero, se genera recta
horizontal y nunc toca al eje x.
Otra…. Hay que derivar!

5. Ejercicio resuelto en excel
• Método de la secante
Usa la diferencia finita dividida hacia atrás.
𝒇´ 𝒙𝒊 ≅
𝒇 𝒙𝒊−𝟏 − 𝒇(𝒙𝒊)
𝒙𝒊−𝟏 − 𝒙𝒊
Ejercicio: Determine el valor de una raíz para la
función 𝒇 𝒙 = 𝒆−𝒙
− 𝒙 con un error de
aproximación de 0.01%
Paso 1: Elija el valor inicial inferior 𝑥𝑖
Paso 2: Una aproximación de la raíz 𝑥𝑖+1 se
determina mediante:
𝒙𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊 −
𝒇(𝒙𝒊)(𝒙𝒊−𝟏 − 𝒙𝒊)
𝒇 𝒙𝒊−𝟏 − 𝒇(𝒙𝒊)
Paso 3: La raíz es igual a 𝑥𝑖+1 cuando 𝑓 𝑥𝑖 = 0;
termina el cálculo.

6. Tarea 3
Fecha límite de entrega: 05 marzo 2023 a las 23:50 horas
Ponderación: 2.5 puntos
Determine la raíz real de 𝒇 𝒙 =
𝟎.𝟖−𝟎.𝟑𝒙
𝒙
, empleando el método de punto fijo, Newton-Raphson y
Secante, hasta obtener un error aproximado menor a 0.01%. Nota: Queda a su criterio, el valor
Xi con el que inicia.
• Realizar el gráfico de f(x) y pegarlo a la par de cada cuadro
• Realizar la tarea en un solo archivo Excel (hoja 1: método de punto fijo, hoja 2: método de
Newton Raphson, Hoja 3: Método de la secante )
• Enviar el archivo en formato Excel (.xlsx)