breve introducción a la solución de ecuaciones no lienales

1. 1
UNIVERSIDAD DE CUENCA
FACULTAD DE INGENIERÍA
MÉTODOS NUMÉRICOS – SOLUCIÓN DE
ECUACIONES NO LINEALES
Ing. Walter Dután
Septiembre 2022 - Febrero 2023

2. 2
Solución de ecuaciones no lineales
1. Presentación
2. Método de Bisección
3. Método de Newton-Raphson
4. Método de la secante
5. Método de falsa posición
6. Método de punto fijo
7. Método de Brent
0

3. 3
Presentación
1
 En general, no es posible determinar los ceros de una función, es
decir, valores x* tal que f (x*) = 0, en un número finito de pasos.
 Tenemos que usar métodos de aproximación.
 Los métodos son usualmente iterativos y tienen la forma:
 Iniciando con una aproximación inicial x0 (o un intervalo [a, b]),
se calculan aproximaciones sucesivas x1, x2, ... y elegimos xn
como aproximación de x* cuando se cumpla un criterio de parada
dado.
 A los ceros de un polinomio se les conoce también como raíces.

4. 4
Método de bisección
2
 Teorema: Una ecuación f(x)=0, donde f(x) es una función real
continua, tiene al menos una raíz entre xl y xu si f(xl) f(xu) < 0.

5. 5
Método de bisección
2
 Si la función f(x), no cambia de signo entre dos puntos, aun pueden
existir raíces de la ecuación f(x) = 0 entre los dos puntos.

6. 6
Método de bisección
2
 Si la función f(x), no cambia de signo entre dos puntos, puede que no
exista ninguna raíz para la ecuación f(x) = 0 entre los dos puntos.

7. 7
Método de bisección
2
 Si la función f(x), cambia de signo entre dos puntos, pueden existir
más de una raíz de la ecuación f(x) = 0 entre los dos puntos.

8. 8
Método de bisección
2
 Algoritmo
1. Escoger xl y xu supuestos para la raíz, tales que f(xl) f(xu) < 0, o en
otras palabras, f(x) cambia de signo entre xl y xu.
2. Estimar la raíz, xm, de la ecuación f(x) = 0, como el punto medio
entre xl y xu:
3. Comprobar
a) Si f(xl) f(xm) ˂ 0, la raíz se encuentra entre xl y xm; entonces
xl=xl y xu=xm.
b) Si f(xl) f(xm) ˃ 0, la raíz se encuentra entre xm y xu; entonces
xl=xm y xu=xu.
c) Si f(xl) f(xm) = 0, la raíz es xm; entonces parar el algoritmo.
𝒎
𝒍 𝒖

9. 9
Método de bisección
2
 Algoritmo
4. Encontrar la nueva estimación de la raíz:
5. Encontrar el error:
6. Comparar el error con el valor pre especificado 𝒔. Si 𝒂 𝒔,
entonces ir al paso 3, caso contrario parar el algoritmo.
• Es importante, además, comprobar si el número de iteraciones
es mayor que el número máximo permitido. Si es así, hay que
detener el algoritmo y notificar.
 Ejercicios
𝒂
𝒎
𝒏𝒆𝒘
𝒎
𝒐𝒍𝒅
𝒎
𝒏𝒆𝒘
𝒎
𝒍 𝒖

10. 10
Método de Newton-Raphson
3
 Principio: Si la estimación inicial de f(x)=0 , está en xi , entonces si
se dibuja la tangente a la curva en f(xi), el punto xi+1 donde la
tangente cruza el eje X es una estimación mejorada de la raíz.

11. 11
Método de Newton-Raphson
3
 Usando la definición de pendiente de una función, en x=xi :
 Lo que resulta en la fórmula de Newton-Raphson para resolver
ecuaciones no lineales de la forma f(x)=0:
𝒊 𝟏 𝒊
𝒊
𝒊
 Iniciando con un valor inicial supuesto, xi , se puede encontrar el
siguiente valor xi+1 . Se repite el proceso hasta encontrar la raíz
dentro de la tolerancia especificada.

12. 12
Método de Newton-Raphson
3
 Algoritmo:
1. Evaluar f’(x) simbólicamente.
2. Usar un valor supuesto inicial de la raíz, xi , para estimar el nuevo
valor de la raíz, xi+1 , como:
3. Encontrar el error:
4. Comparar el error con el valor pre especificado 𝒔. Si 𝒂 𝒔,
entonces ir al paso 2, caso contrario parar el algoritmo.
• Es importante, además, comprobar si el número de iteraciones
es mayor que el número máximo permitido. Si es así, hay que
detener el algoritmo y notificar.
 Ejercicios
𝒊 𝟏 𝒊
𝒊
𝒊

13. 13
Método de Newton-Raphson
3
 Incovenientes del método de Newton-Raphson
1. Divergencia en los puntos de inflexión.
2. División por cero.
3. Oscilaciones cerca del máximo o mínimo local.
4. Salto de raíz.
• Es importante, además, comprobar si el número de iteraciones
es mayor que el número máximo permitido. Si es así, hay que
detener el algoritmo y notificar.
 Ejercicios
con

14. 14
Método de la secante
4
 Uno de los inconvenientes del método de Newton-Raphson es que se
tiene que evaluar la derivada de la función. Para superar este
inconveniente, se aproxima la derivada de la función.
𝒊 𝟏 𝒊
𝒊 𝒊 𝒊 𝟏
𝒊 𝒊 𝟏
Sustituyendo en:
Resulta en el método
de la secante:

15. 15
Método de la secante
4
 Algoritmo:
1. Usar los valores supuestos iniciales de la raíz, xi y xi-1 para estimar
el nuevo valor de la raíz, xi+1 , como:
2. Encontrar el error:
3. Comparar el error con el valor pre especificado 𝒔. Si 𝒂 𝒔,
entonces ir al paso 1, caso contrario parar el algoritmo.
• Es importante, además, comprobar si el número de iteraciones
es mayor que el número máximo permitido. Si es así, hay que
detener el algoritmo y notificar.
 Ejercicios
𝒊 𝟏 𝒊
𝒊 𝒊 𝒊 𝟏
𝒊 𝒊 𝟏

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Método de falsa posición
5
 En el método de bisección identificamos los valores inferior y superior
del intervalo cerrado (xl y xu), tales que f(xl) f(xu) < 0.
 El método de falsa posición dibuja una secante desde f(xl) hasta f(xu)
y estima la raíz en el punto de cruce de la secante con el eje x.
𝒓
𝒖 𝒍 𝒍 𝒖
𝒍 𝒖
De la semejanza de
triángulos de la figura
Esta ecuación puede ser
solucionada para obtener
la nueva aproximación a la
raíz

17. 17
Método de falsa posición
5
 Algoritmo:
1. Escoger xl y xu supuestos para la raíz, tales que f(xl) f(xu) < 0:
2. Estimar la raíz, xr, de la ecuación f(x) = 0, como :
3. Comprobar
a) Si f(xl) f(xr) ˂ 0, la raíz se encuentra entre xl y xr; entonces xl=xl y
xu=xr.
b) Si f(xl) f(xr) > 0, la raíz se encuentra entre xr y xu; entonces xl=xr y
xu=xu.
c) Si f(xl) f(xr) = 0, la raíz es xr; entonces parar el algoritmo.
4. Comparar el error con el valor pre especificado 𝒔. Si 𝒂 𝒔, entonces ir
al paso 1, caso contrario parar el algoritmo.
• Es importante, además, comprobar si el número de iteraciones es mayor
que el número máximo permitido. Si es así, hay que detener el algoritmo
y notificar.
𝒓
𝒖 𝒍 𝒍 𝒖
𝒍 𝒖

18. 18
Método de punto fijo
6
 Un punto fijo para una función es un número en el que el valor de la
función no cambia cuando se aplica la función.
 El número p es un punto fijo para una función dada g si g(p) = p
 Si la función g tiene un punto fijo en p, entonces la función definida
por f(x) = x-g(x) tiene un cero en p.
 Ejercicio: determinar los puntos fijos de:
𝟐
Un punto fijo para g ocurre
precisamente cuando el gráfico de
y=g(x) interseca el gráfico de y=x.

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Método de punto fijo
6
 La iteración de punto fijo es un método para resolver una ecuación de
la forma:
f(x) = 0
 El método se lleva a cabo reescribiendo la ecuación en la forma:
x = g(x)
 Obviamente, cuando x es la solución de f(x) = 0, el lado izquierdo y el
lado derecho de la ecuación x = g(x) son iguales. Esto se ilustra
gráficamente trazando y = x e y = g(x), como se muestra en la figura.
El punto de intersección de las dos graficas, llamado punto fijo, es la
solución.

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Método de punto fijo
6
 Iteración de punto fijo
1. Dado f(x), convertir en f(x) = x-g(x)
2. Asumir el valor inicial x0
3. Estimar el nuevo valor de la raíz, xi+1
4. Comparar el error con el valor pre especificado 𝒔. Si 𝒂 𝒔,
entonces ir al paso 3, caso contrario parar el algoritmo.
Ejercicio:
𝒊 𝟏 𝒊

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Método de punto fijo
6
 El método de iteración de punto fijo converge si, en la vecindad del
punto fijo, la derivada de g(x) tiene un valor absoluto que es menor
que 1:

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Método de Brent
7
 Richard Brent vislumbró una rutina que combinaba la confiabilidad del
método de bisección con la velocidad del método de la secante, y
añadió otro método que puede ser más rápido. La idea es que se
comienza con un cambio de signo en el intervalo, del cual no se sale.
Entonces se tiene tres alternativas para realizar el siguiente paso:
• El paso de bisección (lento);
• El paso de la secante (mediano);
• El paso "cuadrático inverso" (rápido).
 Para problemas unidimensionales, el método de Brent es un método
híbrido que toma en cuenta la naturaleza de la función asegurando
una convergencia lenta y uniforme para valores iniciales pobres, y
una convergencia rápida cerca del óptimo.