Este documento presenta los métodos de iteración del punto fijo y bisección para aproximar las raíces de ecuaciones. Explica que el método de iteración del punto fijo converge si la derivada de la función es menor que 1, mientras que el método de bisección involucra dividir repetidamente un intervalo que contiene una raíz hasta que el error deseado se alcanza. Luego, proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los pasos de ambos métodos. Finalmente, formula preguntas sobre los detalles de los ejemplos.

1. 17,5 de 25
Act 4: Lección Evaluativa Unidad No. 1
Revisión del intento 1
Comenzado el: viernes, 14 de septiembre de 2012, 10:46
Completado el: viernes, 14 de septiembre de 2012, 11:33
Tiempo empleado: 46 minutos 14 segundos
1
MÉTODO DE ITERACIÓN DEL PUNTO FIJO
Este método se aplica para resolver ecuaciones de la forma
x= g(x)
Si la ecuación es f(x) = 0, entonces puede despejarse x ó bien sumar x en ambos lados
de la ecuación para ponerla en la forma adecuada.
Ejemplos :
1) La ecuación cos x - x = 0 se puede transformar en cos x = x.
2) La ecuación tan x – e-x
= 0 se puede transformar en x - tan x – e-x
= x.
Dada la aproximación xi, la siguiente iteración se calcula con la fórmula:
xi+1 = g(xi)
Supongamos que la raíz verdadera es xr, es decir,
xr = g(xr)
Restando las últimas ecuaciones obtenemos:
xr - xi+1 = g(xr) - g(xi)
Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si g(x) es continua en [a,
b] y diferenciable en (a, b) entonces existe ? Î (a, b) tal que .
En nuestro caso, existe € en el intervalo determinado por xi y xr tal que:

2. De aquí tenemos que:
g(xr) – g(xi) = g’ (€) . ( xr – xi)
O bien,
xr – xi+1 = g’ (€) . ( xr – xi)
Tomando valor absoluto en ambos lados,
|xr – xi+1|=|g’(€) ||xr – xi|
Observe que el término |xr – xi+1| es precisamente el error absoluto en la (i +1)-ésima
iteración, mientras que el término |xr – xi|corresponde al error absoluto en la i- ésima
iteración.
Por lo tanto, solamente si |g’ (€) |< 1, entonces se disminuirá el error en la siguiente
iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.
En resumen, el método de iteración del punto fijo converge a la raíz si |g’(x)|<1 para x
en un intervalo [a, b] que contiene a la raíz y donde g(x) es continua y diferenciable,
pero diverge si |g’(x)| >1 en dicho intervalo.
Analicemos nuestros ejemplos anteriores :
· En el ejemplo 1, g(x) = cos x y claramente se cumple la condición de que
|g’ (x)|<1 . Por lo tanto el método sí converge a la raíz.
· En el ejemplo 2, g(x)=x+tanx–e-x
y en este caso, |g’(x)|=|1+sec2
x + e-x
| > 1. Por lo
tanto, el método no converge a la raíz.
Para aclarar el uso de la fórmula veamos dos ejemplos:
Ejemplo
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = cosx - x,
comenzando con x0=0 y hasta que |€a|< 1%.
Solución
Como ya aclaramos anteriormente, el método sí converge a la raíz.
Aplicando la fórmula iterativa tenemos,
x1 = g(x0) = cos 0 = 1
Con un error aproximado de 100%
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa tenemos,
x2 = g(x1) = cos 1 = 0,540302305

3. Y un error aproximado de 85,08%.
Intuimos que el error aproximado se irá reduciendo muy lentamente. En efecto, se
necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El
resultado final que se obtiene es:
x13 = 0,7414250866
Con un error aproximado igual al 0,78%.
Ejemplo
Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = x2
– 5x - ex
,
comenzando con x0 = 0 y hasta que |€a|< 1%.
Solución
Si despejamos la x del término lineal, vemos que la ecuación equivale a
de donde,
En este caso, tenemos que . Un vistazo a la gráfica,
<>
nos convence que |g’(x)|<1, para x Î [-1; 1], lo que es suficiente para deducir que el
método sí converge a la raíz buscada.
Aplicando la fórmula iterativa, tenemos:
x1 = g(x0) = -0,2

4. Con un error aproximado del 100%.
Aplicando nuevamente la fórmula iterativa, tenemos:
x2 = g(x1) = -0,1557461506
Con un error aproximado igual al 28.41%.
En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al
1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
<>
Aprox. a la raíz Error aprox.
0
-0.2 100%
-0.1557461506 28.41%
-0.1663039075 6.34%
-0.163826372 1.51%
-0.164410064 0.35%
De donde vemos que la aproximación buscada es:
x5 = -0,164410064
PREGUNTA:
Al usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de f(x) = x2
– 5x - ex
,
comenzando con x0 = 0 y hasta que |a|< 1%. , se encontró que el valor de la iteración x1
= g(x0) es igual a:
Seleccione una respuesta.
a. 0,1557461506
b. 0,2
c. -0,1557461506
d. -0,2
2
El método de iteración del punto fijo converge a la raíz si:
Seleccione una respuesta.
a. |g(x)|<1 para x en un intervalo [a, b]
b. |g(x)|>1 para x en un intervalo [a, b]
c. |g’(x)|<1 para x en un intervalo [a, b]
d. |g’(x)|>1 para x en un intervalo [a, b]

5. 3
MÉTODO DE LA BISECCIÓN
El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo:
Teorema del Valor Intermedio
Sea f(x) continua en un intervalo [a,b] y supongamos que f(a)<f(b). Entonces para cada
z tal que f(a) < z < f(b), existe un x0 Î (a,b) tal que f(x) = z. La misma conclusión se
obtiene para el caso que f(a)>f(b).
Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continua en un
intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo,
entonces debe alcanzar todos los valores intermedios.
En particular, si f(a) y f (b) tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es
precisamente z=0 , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que
debe existir x0 Î (a,b) tal que f(x0)=0 , es decir, debe haber por lo menos una raíz de f(x)
en el intervalo (a,b).
El método de bisección sigue los siguientes pasos:
Sea f(x) continua,
i) i) Encontrar valores iníciales xa, xb tales que f(xa) y f(xb) tienen signos opuestos, es
decir,
f(xa) . f(xb) < 0
ii) ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre xay xb :
iii) iii) Evaluar f(xr) . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:
f(xa) . f(xr) < 0
En este caso, tenemos que f(xa) y f(xr) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se
encuentra en el intervalo [xa , xr] .
· f(xa) . f(xr) > 0
En este caso, tenemos que f(xa) y f(xr) tienen el mismo signo, y de aquí que f(xr) y f(xb)
tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo [xr , xb] .
· f(xa) . f(xr) = 0

6. · En este caso se tiene que. f(xr) = 0 y por lo tanto ya localizamos la raíz.
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
|E a|<|Es|
es decir,
Ejemplo
Aproximar la raíz de f(x) = e-x
– ln x hasta que |Ea|< 1%
. Solución
Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de f(x) se
localiza en el intervalo [1; 1,5]. Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin
embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos checar que f(1) y f(1,5)
tengan signos opuestos.
En efecto, tenemos que
f(1) = e-1
– ln 1 = e-1
> 0
mientras que
f(1,5) = e-1
ln (1,5) = - 0,18233 < 0
Cabe mencionar que la función f(x) sí es continua en el intervalo [1; 1,5]. Así pues,
tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección.
Comenzamos:
i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz):
ii) Evaluamos f(1,25) = e-1,25
– ln ( 1,25) = 0,0636 > 0
iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la
siguiente tabla:
Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1,25; 1,5].

7. En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto
que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo
intervalo [1,25; 1,5] .
Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):
Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la
aproximación actual y la aproximación previa:
Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.
Evaluamos f(1,375) = e-1,375
– ln (1,375) = -0,06561 < 0,
y hacemos la tabla:
Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1,25; 1,375] .
Calculamos el punto medio,
Y calculamos el nuevo error aproximado:
El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo.
Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:
<>
<>
Aprox. a la raíz Error aprox.

8. 1.25
1.375 9.09%
1.3125 4.76%
1.28125 2.43%
1.296875 1.20%
1.3046875 0.59%
Así, obtenemos como aproximación a la raíz
PREGUNTA:
Utilizando el método de Bisección para la funcion f(x)= x2
- 10x + 22, se encontrara que la
tercera iteración entre los valores x= 6 y x = 8 de la función f(x) es:
Seleccione una respuesta.
a. 6,5
b. 6
c. 7
d. 6,75
4
El numero x= -7/5 es la solución de:
Seleccione una respuesta.
a. 2X-5(1-3X) = 1-3(1+4X)
b. 2X-5(1-3X) = 1-3(1-4X)
c. 2X + 5(1+3X) = 1-3(1-4X)
d. 2X+5(1-3X) = 1-3(1-4X)
5
"Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones
algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad “=”.
Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones"
De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones.
Seleccione una respuesta.
a. x –100 = x
b. 3K/(1- T) = S
c. – 5y = 6 – 4y
d. sen(2x-3)

9. 6
Error absoluto, error relativo y cifras significativas .
Sea p el valor exacto de una cantidad y sea p* su valor aproximado. Se define error
absoluto como:
El error absoluto mide la diferencia entre el valor exacto de una cantidad y su valor
aproximado. De esta manera se puede afirmar que alguien ha medido la longitud de un
campo de futbol o la longitud de un bolígrafo con un error de un centímetro. Sin
embargo, dicho error no tiene la misma importancia en ambos casos. Para cuantificar la
importancia del error respecto del valor exacto de una cierta cantidad p se introduce el
concepto de error relativo, que se define como:
Se puede notar que el error relativo no está definido para p=0. La ecuación anterior
muestra que el error relativo es una cantidad adimensional, que habitualmente se
expresa en porcentaje (%).
Lo importante a resaltar es que generalmente no se conoce el valor exacto de la cantidad
p. En consecuencia, tampoco se puede conocer ni el error absoluto ni el error relativo
cometido, por tanto hay que conformarse con el cálculo de una cota del error.
Ya conocido la definición cuantitativa del error relativo, se puede plantear cual es la
cota de error de redondeo cometido al almacenar un número. Como se es conocido, los
números reales se almacenan en coma flotante. Por ejemplo, los números ±23,487 se
guardan como ±0,23487x102
.
El ultimo numero escrito simbólicamente se puede representar por
±m x10b
Donde 0 < m < 1 y representa la mantisa y b es un numero entero que indica el
exponente. Por ejemplo si tenemos un número t de digitas destinados a la representación
de la mantisa (se supone que t no incluye la posición del signo). Por consiguiente, si una
persona realiza unos cálculos trabajando en base diez, coma flotante y utilizando cinco
dígitos para la mantisa (t=5), puede representar los siguientes números: 0,23754x102
,
0,10000x105
, 0,19875x10-3
, etc.
PREGUNTA:
El numero 0,3352x103
tiene como mantisa a:
Seleccione una respuesta.

10. a. 0,334
b. 0,3352
c. 3352
d. 3
7
Un valor de una variable que haga que la ecuación sea una proposición verdadera se
denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable
satisface la ecuación.
Así por ejemplo x=5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2
De manera similar y = -2 es la solución de la ecuación y2
+ 3y=6 + 4y
En álgebra elemental se enseña a resolver este tipo de ecuaciones en especial las
ecuaciones lineales y cuadráticas.
La solución de la siguiente ecuación 3(x - 3)2
= 3(3x - 9) es:
Seleccione una respuesta.
a. x = 5
b. x = 6
c. x = -5
d. x = - 6
8
El error absoluto entre p=0,253 y p*=0,532 es
Seleccione una respuesta.
a. 0,524
b. 0,729
c. 0,785
d. 0,279
9
Dígitos Significativos:
Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda
a derecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que
permitan las celdas que guardan la mantisa.
Exactitud:
Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone
representa.

11. Precisión:
Se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad, a esto se
refiere cuando se habla de doble precisión, dependiendo de la máquina que estemos
utilizando.
Errores Inherentes o Heredados:
Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a dos
causas: sistemáticos o accidentales.
Errores Sistemáticos:
Debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.
Errores Accidentales:
Debidos a la apreciación del observador y otras causas.
Errores de Truncamiento:
Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Sucede
cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un
número finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando
una calculadora poco sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la
pantalla y no analiza el primer dígito perdido.
Error de Redondeo:
Se ocasiona debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades
que requieren un gran número de dígitos.
Dependiendo de cómo se redondea puede ser de dos formas.
Error de Redondeo Inferior:
Se desprecian los dígitos que no pueden conservarse dentro de la localización de
memoria correspondiente (pensando de una manera estricta, este caso puede
considerarse como un error de truncamiento).
Error de Redondeo Superior:
Este caso tiene dos alternativas, según el signo del número en particular.
a) Para números positivos, el último que puede conservarse en la localización de
memoria se incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es > 5.
b) Para números negativos, el último dígito que puede conservarse en la localización de
memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es < 5.

12. PREGUNTA:
1. Las definiciones:
A. “ Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de
izquierda a derecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el
tamaño que permitan las celdas que guardan la mantisa”
B. “ Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación.
Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma
sólo un número finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre
cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la
pantalla y no analiza el primer dígito perdido.”
Son definiciones de:
1. Error de Redondeo
2. Error de Truncamiento
3. Dígitos Significativos
4. Error relativo
La respuesta correcta es
Seleccione una respuesta.
a. Los items 1 y 4
b. Los items 1 y 3
c. Los items 2 y 4
d. Los items 2 y 3
10
De acuerdo a los siguientes enunciados el más apropiado al concepto de EXACTITUD
deberá ser
Seleccione una respuesta.
a. Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a
dos causas: sistemáticos o accidentales
b. Errores debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.
c. Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se
supone representa
d. Errores debidos a la apreciación del observador y otras causas