Este documento presenta conceptos básicos de lógica. Explica que la lógica estudia la forma del razonamiento y se aplica en diversas áreas como la filosofía, matemática y vida cotidiana. Define una proposición como una oración que puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez. Luego introduce los conectivos lógicos como la negación, conjunción, disyunción e implicación, los cuales permiten formar proposiciones compuestas a partir de proposiciones simples. Finalmente, explica las t
The document contains examples and exercises on classifying statements as true or false based on diagrams of line segments, rays, and their intersections. It also contains examples of finding distances between points on a number line, coordinates of midpoints, values of variables that satisfy given conditions about line segments.
12. Angle of Elevation & Depression.pptxBebeannBuar1
This document discusses angles of elevation and depression. It defines an angle of elevation as the angle formed between a horizontal line and the line of sight to an object located above the horizontal line. An angle of depression is defined as the angle formed between a horizontal line and the line of sight to an object located below the horizontal line. The document provides examples of solving problems involving angles of elevation and depression using trigonometric functions like tangent, sine, and the Pythagorean theorem. It emphasizes drawing a diagram, identifying if it is an angle of elevation or depression, and using the appropriate trigonometric ratio to solve for missing lengths.
The document provides an overview of various geometry concepts including:
- Solid shapes such as cubes, cylinders, and cones and their defining characteristics
- Lines, angles, and their classifications
- Circles and their components such as diameters and radii
- Polygons defined by their number of sides
- Properties of triangles, quadrilaterals, and other shapes
- Symmetry, congruence, transformations, and tessellations
* Write equations of ellipses in standard form.
* Graph ellipses centered at the origin.
* Graph ellipses not centered at the origin.
* Solve applied problems involving ellipses.
The document discusses how to factor "unfactorable" quadratic trinomials using the technique of completing the square. It explains that completing the square involves changing the trinomial into a perfect square trinomial form (x + p)2 by first dividing by the leading coefficient, rewriting in standard form, taking half the coefficient of x and squaring it and adding it to both sides, and then extracting the square root to reveal the factored form. The document provides step-by-step instructions for using this technique to factor quadratic trinomials.
The document discusses factoring the difference of two squares through examples such as (x+5)(x-5)=x^2 - 25. It explains that to factor a difference of two squares, we write the expression as the difference of two terms squared, then group the terms with the same bases and opposite signs inside parentheses. Several practice problems are provided to reinforce this technique for factoring completely the difference of two squares.
This document discusses solving inequalities. It defines inequalities and explains that they are relationships where two quantities may not be equal. It describes how to solve inequalities by treating them like equations, except reversing the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number. The document also discusses compound inequalities containing "and" or "or" and how to solve them.
Determining the center and the radius of a circleHilda Dragon
This document provides instruction on determining the center and radius of a circle given its equation in standard form and vice versa. It begins with stating the objectives of identifying the standard form of a circle equation and using it to determine center and radius or write the equation given one of those. Several examples are worked through, including transforming equations to standard form and finding center and radius. Short exercises are provided for students to practice these skills.
The document contains examples and exercises on classifying statements as true or false based on diagrams of line segments, rays, and their intersections. It also contains examples of finding distances between points on a number line, coordinates of midpoints, values of variables that satisfy given conditions about line segments.
12. Angle of Elevation & Depression.pptxBebeannBuar1
This document discusses angles of elevation and depression. It defines an angle of elevation as the angle formed between a horizontal line and the line of sight to an object located above the horizontal line. An angle of depression is defined as the angle formed between a horizontal line and the line of sight to an object located below the horizontal line. The document provides examples of solving problems involving angles of elevation and depression using trigonometric functions like tangent, sine, and the Pythagorean theorem. It emphasizes drawing a diagram, identifying if it is an angle of elevation or depression, and using the appropriate trigonometric ratio to solve for missing lengths.
The document provides an overview of various geometry concepts including:
- Solid shapes such as cubes, cylinders, and cones and their defining characteristics
- Lines, angles, and their classifications
- Circles and their components such as diameters and radii
- Polygons defined by their number of sides
- Properties of triangles, quadrilaterals, and other shapes
- Symmetry, congruence, transformations, and tessellations
* Write equations of ellipses in standard form.
* Graph ellipses centered at the origin.
* Graph ellipses not centered at the origin.
* Solve applied problems involving ellipses.
The document discusses how to factor "unfactorable" quadratic trinomials using the technique of completing the square. It explains that completing the square involves changing the trinomial into a perfect square trinomial form (x + p)2 by first dividing by the leading coefficient, rewriting in standard form, taking half the coefficient of x and squaring it and adding it to both sides, and then extracting the square root to reveal the factored form. The document provides step-by-step instructions for using this technique to factor quadratic trinomials.
The document discusses factoring the difference of two squares through examples such as (x+5)(x-5)=x^2 - 25. It explains that to factor a difference of two squares, we write the expression as the difference of two terms squared, then group the terms with the same bases and opposite signs inside parentheses. Several practice problems are provided to reinforce this technique for factoring completely the difference of two squares.
This document discusses solving inequalities. It defines inequalities and explains that they are relationships where two quantities may not be equal. It describes how to solve inequalities by treating them like equations, except reversing the inequality sign when multiplying or dividing by a negative number. The document also discusses compound inequalities containing "and" or "or" and how to solve them.
Determining the center and the radius of a circleHilda Dragon
This document provides instruction on determining the center and radius of a circle given its equation in standard form and vice versa. It begins with stating the objectives of identifying the standard form of a circle equation and using it to determine center and radius or write the equation given one of those. Several examples are worked through, including transforming equations to standard form and finding center and radius. Short exercises are provided for students to practice these skills.
- A linear inequality describes a region of the coordinate plane bounded by a line. Any point in the shaded region is a solution to the inequality.
- To graph a linear inequality, first solve it for y and graph the resulting equation as a line. Then, test a point not on the line to determine which side of the line to shade based on whether it satisfies the inequality.
- The line is drawn solid for ≤ or ≥ and dashed for < or >. Shading the correct side of the line indicates the full solution set of the inequality.
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Reference:
Nivera, G. C. (2013), Grade 7 Mathematics: Pattern and Practicalities. Don Bosco Press Inc. Makati City, Philippines.
The document discusses conditional statements, also known as if-then statements. It defines conditional statements as having two parts: a hypothesis and a conclusion. The hypothesis is the if part and the conclusion is the then part. It provides examples of writing conditional statements based on given inputs and outputs. It also discusses determining the converse, inverse, and contrapositive of a conditional statement by changing or negating the hypothesis and conclusion.
A linear inequality is similar to a linear equation but uses inequality symbols like < or > instead of =. A solution to a linear inequality is any coordinate pair that makes the inequality true. A linear inequality describes a half-plane region on a coordinate plane where all points in the region satisfy the inequality, with the boundary line given by the related equation. To graph a linear inequality, you solve it for y, graph the boundary line as solid or dotted, and shade the correct half-plane above or below the line.
1. Factoring the difference of two squares involves writing an expression in the form a2 - b2 as the product of the sum and difference of two binomials.
2. To factor an expression using this method, take the square root of the first and last terms and write them as the sum and difference of two binomials that have the same first and last terms.
3. The key characteristics for an expression to be factorable as the difference of two squares are: it has two terms, the first term is a perfect square, it uses subtraction, and the last term is a perfect square.
The document discusses factoring the difference of two squares. It states that the factors of the difference between two squares are the product of the sum and difference of the two numbers. It then provides examples of factoring different expressions involving the difference of two squares in three steps: 1) take the square root of each term, 2) use the results to form the sum and difference of the numbers, and 3) write the factored expression as the product of the sum and difference.
The document provides examples and explanations for writing linear equations in point-slope and slope-intercept form given the slope and a point, or two points on the line. It includes warm-up questions, examples with step-by-step solutions for writing equations from graphical and numerical information, and a problem applying the concepts to a real-world situation. Practice problems assess understanding of writing linear equations from geometric or tabular data.
The document discusses sequences and series, including arithmetic and geometric sequences and series. It provides examples and formulas to find terms of sequences and the sums of finite and infinite series. It also gives exercises with solutions to apply these concepts, such as finding specific terms, determining sums, and solving application problems involving sequences and series.
This document is a daily lesson log for a Grade 8 mathematics class covering rational algebraic expressions. The objectives are to perform operations on rational algebraic expressions, specifically division. Five examples of dividing rational expressions are provided. The lesson procedures involve reviewing previous concepts, presenting examples, group work and discussion, and a group contest to develop mastery. Formative assessment involves dividing additional rational expressions. The log does not provide any information in the reflection section to evaluate the lesson's effectiveness.
This document provides examples and explanations for adding and subtracting radical expressions. It begins with examples of simplifying individual radical expressions and combining like radicals. It then demonstrates how to add or subtract similar radicals by combining like terms. For dissimilar radicals, it explains to factor the radicands using perfect squares before applying the product property of radicals and simplifying. Several practice problems are provided for adding, subtracting, and evaluating radical expressions, as well as finding the perimeter of shapes using radicals.
This document discusses congruent and similar triangles. It defines that congruent triangles have all sides and angles equal, while similar triangles have the same shape but not necessarily the same size. It explains that two figures can be similar but not congruent, but not the other way around. It then discusses how to determine if triangles are similar using corresponding sides, angles, ratios, and proportions. Specifically, it states that if two triangles have two congruent angles or all sides proportional, then the triangles are similar.
The document defines key probability terms like union, intersection, mutually exclusive events, and complement. It provides examples of calculating probabilities of compound events, such as the probability of event A or B. It explains that if events are mutually exclusive, the probability of their union is the sum of their individual probabilities. The document ends with practice problems calculating probabilities of compound events using these concepts.
This document discusses geometry postulates, which are basic statements accepted as true without proof. It provides four postulates:
1) Two points determine a unique line.
2) If two lines intersect, their intersection is a point.
3) Three noncollinear points determine a unique plane.
4) If two planes intersect, their intersection is a line.
The document then provides examples of applying these postulates to identify lines and planes given certain points.
This document provides a history of non-Euclidean geometry, beginning with Euclid's fifth postulate and early attempts to prove it from the other four postulates. In the early 19th century, Bolyai, Lobachevsky, and Gauss independently developed hyperbolic geometry by replacing the fifth postulate. However, their work was initially rejected by the mathematical community. Later, Riemann generalized the concept of geometry and Beltrami provided a model showing the consistency of non-Euclidean geometry. Klein classified the three types of geometry as hyperbolic, elliptic and Euclidean. Non-Euclidean geometry has since found applications in Einstein's theory of relativity and GPS systems.
The document discusses classifying and calculating volumes of prisms and cylinders. It defines key terms like face, edge, and vertex. Prisms have two parallel congruent polygon bases connected by faces that are parallelograms, while cylinders have two parallel congruent circular bases. The volume of any prism or cylinder can be calculated as V=Bh, where B is the area of the base and h is the height or altitude. Examples calculate the volumes of different prisms and cylinders.
The document contains instructions and questions for identifying angles and properties of triangles. It asks the reader to name angles, classify them as acute, right, obtuse or straight, and find missing angle measures using properties of angle sums in triangles. It emphasizes drawing diagrams for each problem and setting up equations to solve for unknown angle measures.
This document discusses different types of quadrilaterals including trapezoids, kites, parallelograms, rectangles, rhombuses, and squares. It provides definitions and properties for each shape. Key properties include:
1) A trapezoid has one pair of parallel sides, leg angles are supplementary, and the midsegment is half the sum of the bases.
2) A kite has two pairs of consecutive congruent sides, diagonals are perpendicular, and one pair of opposite angles are congruent.
3) Parallelograms have opposite sides parallel and opposite angles congruent. Rectangles and squares are types of parallelograms with right angles or all sides congruent,
A quadratic inequality is an inequality involving a quadratic expression, such as ax^2 + bx + c < 0. To solve a quadratic inequality, we first find the solutions to the corresponding equation (set the inequality equal to 0) and then test values on either side of those solutions in the original inequality to determine the solutions to the inequality. The solutions to the inequality will be all values of the variable that satisfy the given relationship.
This document discusses finding the slope of a line from two points or an equation. It provides the slope formula and explains how to calculate slope given two points on a line. It also discusses horizontal and vertical lines, which have slopes of 0 and undefined, respectively. The document shows how to find the slope of a line from its equation by solving for y and taking the coefficient of x. It concludes by explaining how to determine if two lines are parallel, perpendicular, or neither based on the equality or product of their slopes. Examples are provided to demonstrate these concepts.
Graphs of the Sine and Cosine Functions LectureFroyd Wess
More: www.PinoyBIX.org
Lesson Objectives
Able to plot the different Trigonometric Graphs
Graph of Sine Function (y = f(x) = sinx)
Graph of Cosine Function (y = f(x) = cosx)
Define the Maximum and Minimum value in a graph
Generalized Trigonometric Functions
Graphs of y = sinbx
Graphs of y = sin(bx + c)
Could find the Period of Trigonometric Functions
Could find the Amplitude of Trigonometric Functions
Variations in the Trigonometric Functions
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad y equivalencias lógicas. Explica qué es una proposición y cómo se representan, introduce los conectivos negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional, y muestra sus tablas de verdad respectivas. Además, cubre conceptos como tautologías, contradicciones y proposiciones contingentes.
Este documento presenta un trabajo de lógica matemática que incluye conceptos como preposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad, proposiciones condicionales y bicondicionales. Explica métodos de demostración lógica como tautologías, equivalencias y contradicciones. Finalmente, resume leyes notables de la lógica como la doble negación y las leyes distributivas.
- A linear inequality describes a region of the coordinate plane bounded by a line. Any point in the shaded region is a solution to the inequality.
- To graph a linear inequality, first solve it for y and graph the resulting equation as a line. Then, test a point not on the line to determine which side of the line to shade based on whether it satisfies the inequality.
- The line is drawn solid for ≤ or ≥ and dashed for < or >. Shading the correct side of the line indicates the full solution set of the inequality.
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Reference:
Nivera, G. C. (2013), Grade 7 Mathematics: Pattern and Practicalities. Don Bosco Press Inc. Makati City, Philippines.
The document discusses conditional statements, also known as if-then statements. It defines conditional statements as having two parts: a hypothesis and a conclusion. The hypothesis is the if part and the conclusion is the then part. It provides examples of writing conditional statements based on given inputs and outputs. It also discusses determining the converse, inverse, and contrapositive of a conditional statement by changing or negating the hypothesis and conclusion.
A linear inequality is similar to a linear equation but uses inequality symbols like < or > instead of =. A solution to a linear inequality is any coordinate pair that makes the inequality true. A linear inequality describes a half-plane region on a coordinate plane where all points in the region satisfy the inequality, with the boundary line given by the related equation. To graph a linear inequality, you solve it for y, graph the boundary line as solid or dotted, and shade the correct half-plane above or below the line.
1. Factoring the difference of two squares involves writing an expression in the form a2 - b2 as the product of the sum and difference of two binomials.
2. To factor an expression using this method, take the square root of the first and last terms and write them as the sum and difference of two binomials that have the same first and last terms.
3. The key characteristics for an expression to be factorable as the difference of two squares are: it has two terms, the first term is a perfect square, it uses subtraction, and the last term is a perfect square.
The document discusses factoring the difference of two squares. It states that the factors of the difference between two squares are the product of the sum and difference of the two numbers. It then provides examples of factoring different expressions involving the difference of two squares in three steps: 1) take the square root of each term, 2) use the results to form the sum and difference of the numbers, and 3) write the factored expression as the product of the sum and difference.
The document provides examples and explanations for writing linear equations in point-slope and slope-intercept form given the slope and a point, or two points on the line. It includes warm-up questions, examples with step-by-step solutions for writing equations from graphical and numerical information, and a problem applying the concepts to a real-world situation. Practice problems assess understanding of writing linear equations from geometric or tabular data.
The document discusses sequences and series, including arithmetic and geometric sequences and series. It provides examples and formulas to find terms of sequences and the sums of finite and infinite series. It also gives exercises with solutions to apply these concepts, such as finding specific terms, determining sums, and solving application problems involving sequences and series.
This document is a daily lesson log for a Grade 8 mathematics class covering rational algebraic expressions. The objectives are to perform operations on rational algebraic expressions, specifically division. Five examples of dividing rational expressions are provided. The lesson procedures involve reviewing previous concepts, presenting examples, group work and discussion, and a group contest to develop mastery. Formative assessment involves dividing additional rational expressions. The log does not provide any information in the reflection section to evaluate the lesson's effectiveness.
This document provides examples and explanations for adding and subtracting radical expressions. It begins with examples of simplifying individual radical expressions and combining like radicals. It then demonstrates how to add or subtract similar radicals by combining like terms. For dissimilar radicals, it explains to factor the radicands using perfect squares before applying the product property of radicals and simplifying. Several practice problems are provided for adding, subtracting, and evaluating radical expressions, as well as finding the perimeter of shapes using radicals.
This document discusses congruent and similar triangles. It defines that congruent triangles have all sides and angles equal, while similar triangles have the same shape but not necessarily the same size. It explains that two figures can be similar but not congruent, but not the other way around. It then discusses how to determine if triangles are similar using corresponding sides, angles, ratios, and proportions. Specifically, it states that if two triangles have two congruent angles or all sides proportional, then the triangles are similar.
The document defines key probability terms like union, intersection, mutually exclusive events, and complement. It provides examples of calculating probabilities of compound events, such as the probability of event A or B. It explains that if events are mutually exclusive, the probability of their union is the sum of their individual probabilities. The document ends with practice problems calculating probabilities of compound events using these concepts.
This document discusses geometry postulates, which are basic statements accepted as true without proof. It provides four postulates:
1) Two points determine a unique line.
2) If two lines intersect, their intersection is a point.
3) Three noncollinear points determine a unique plane.
4) If two planes intersect, their intersection is a line.
The document then provides examples of applying these postulates to identify lines and planes given certain points.
This document provides a history of non-Euclidean geometry, beginning with Euclid's fifth postulate and early attempts to prove it from the other four postulates. In the early 19th century, Bolyai, Lobachevsky, and Gauss independently developed hyperbolic geometry by replacing the fifth postulate. However, their work was initially rejected by the mathematical community. Later, Riemann generalized the concept of geometry and Beltrami provided a model showing the consistency of non-Euclidean geometry. Klein classified the three types of geometry as hyperbolic, elliptic and Euclidean. Non-Euclidean geometry has since found applications in Einstein's theory of relativity and GPS systems.
The document discusses classifying and calculating volumes of prisms and cylinders. It defines key terms like face, edge, and vertex. Prisms have two parallel congruent polygon bases connected by faces that are parallelograms, while cylinders have two parallel congruent circular bases. The volume of any prism or cylinder can be calculated as V=Bh, where B is the area of the base and h is the height or altitude. Examples calculate the volumes of different prisms and cylinders.
The document contains instructions and questions for identifying angles and properties of triangles. It asks the reader to name angles, classify them as acute, right, obtuse or straight, and find missing angle measures using properties of angle sums in triangles. It emphasizes drawing diagrams for each problem and setting up equations to solve for unknown angle measures.
This document discusses different types of quadrilaterals including trapezoids, kites, parallelograms, rectangles, rhombuses, and squares. It provides definitions and properties for each shape. Key properties include:
1) A trapezoid has one pair of parallel sides, leg angles are supplementary, and the midsegment is half the sum of the bases.
2) A kite has two pairs of consecutive congruent sides, diagonals are perpendicular, and one pair of opposite angles are congruent.
3) Parallelograms have opposite sides parallel and opposite angles congruent. Rectangles and squares are types of parallelograms with right angles or all sides congruent,
A quadratic inequality is an inequality involving a quadratic expression, such as ax^2 + bx + c < 0. To solve a quadratic inequality, we first find the solutions to the corresponding equation (set the inequality equal to 0) and then test values on either side of those solutions in the original inequality to determine the solutions to the inequality. The solutions to the inequality will be all values of the variable that satisfy the given relationship.
This document discusses finding the slope of a line from two points or an equation. It provides the slope formula and explains how to calculate slope given two points on a line. It also discusses horizontal and vertical lines, which have slopes of 0 and undefined, respectively. The document shows how to find the slope of a line from its equation by solving for y and taking the coefficient of x. It concludes by explaining how to determine if two lines are parallel, perpendicular, or neither based on the equality or product of their slopes. Examples are provided to demonstrate these concepts.
Graphs of the Sine and Cosine Functions LectureFroyd Wess
More: www.PinoyBIX.org
Lesson Objectives
Able to plot the different Trigonometric Graphs
Graph of Sine Function (y = f(x) = sinx)
Graph of Cosine Function (y = f(x) = cosx)
Define the Maximum and Minimum value in a graph
Generalized Trigonometric Functions
Graphs of y = sinbx
Graphs of y = sin(bx + c)
Could find the Period of Trigonometric Functions
Could find the Amplitude of Trigonometric Functions
Variations in the Trigonometric Functions
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad y equivalencias lógicas. Explica qué es una proposición y cómo se representan, introduce los conectivos negación, conjunción, disyunción, implicación y bicondicional, y muestra sus tablas de verdad respectivas. Además, cubre conceptos como tautologías, contradicciones y proposiciones contingentes.
Este documento presenta un trabajo de lógica matemática que incluye conceptos como preposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad, proposiciones condicionales y bicondicionales. Explica métodos de demostración lógica como tautologías, equivalencias y contradicciones. Finalmente, resume leyes notables de la lógica como la doble negación y las leyes distributivas.
Este documento trata sobre lógica proposicional, teoremas y demostraciones. Introduce conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, proposiciones condicionales y bicondicionales. Explica las tablas de verdad de los conectivos lógicos y y, o, no, implica y bicondicional. También cubre definiciones, equivalencia lógica y las leyes de Morgan.
La lógica estudia la forma del razonamiento y determina si un argumento es válido. Se aplica en filosofía, matemáticas, computación, física y en la vida cotidiana para resolver problemas de manera ordenada. La lógica matemática trata métodos de razonamiento y proporciona reglas para determinar la validez de un argumento. Se usa en ciencias de la computación y en la vida diaria.
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica proposicional. Explica que las proposiciones son frases que son verdaderas o falsas, y que se pueden componer usando conectores lógicos como "y", "o", "no", "implica", y "equivalente". Luego define las tablas de verdad de cada conector lógico y presenta equivalencias lógicas importantes entre expresiones. Finalmente, muestra cómo simplificar expresiones lógicas complejas usando reglas como las leyes de De Morgan y la absor
El documento presenta una introducción a la lógica matemática. Explica conceptos como proposiciones, tablas de verdad, conectivos lógicos como AND, OR, condicionales y bicondicionales. También define tipos de proposiciones como tautologías, contradicciones y leyes notables de la lógica como la doble negación y las leyes de asociatividad.
El documento habla sobre la lógica matemática. Explica que la lógica estudia la forma del razonamiento y determina si un argumento es válido mediante reglas y técnicas. También se aplica ampliamente en filosofía, matemáticas y computación. Describe los diferentes tipos de proposiciones como simples y compuestas, y los operadores lógicos como AND, OR, condicionales y bicondicionales. Finalmente, presenta conceptos como tautologías, contradicciones, leyes de la ló
Trabajo de logica matematica modalidad.olave_julian
El documento habla sobre la lógica matemática. Explica que la lógica estudia la forma del razonamiento y determina si un argumento es válido mediante reglas y técnicas. También se aplica ampliamente en filosofía, matemáticas y computación. Describe conceptos como proposiciones, proposiciones compuestas, tablas de verdad, leyes lógicas y métodos de demostración.
El documento habla sobre la lógica matemática. Explica que la lógica estudia la forma del razonamiento y determina si un argumento es válido mediante reglas y técnicas. También se aplica ampliamente en filosofía, matemáticas y computación. Describe los diferentes tipos de proposiciones como simples y compuestas, y los operadores lógicos como AND, OR, condicionales y bicondicionales. Finalmente, presenta conceptos como tautologías, contradicciones, leyes de la ló
Este documento presenta una introducción a la lógica matemática. Define conceptos clave como proposiciones, proposiciones compuestas, operadores lógicos como conjunción, disyunción, negación, condicional y bicondicional. Explica las tablas de verdad para cada operador lógico y cómo determinar si una fórmula es una tautología, contradicción o indeterminada.
El documento presenta una introducción a la lógica matemática, definiendo conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad y leyes notables. Explica que una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez, y que los conectivos lógicos como la conjunción, disyunción y negación permiten formar proposiciones compuestas. También describe términos como tautología, equivalencia y contradicción en relación a las tabl
Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo las definiciones de proposiciones, variables, constantes lógicas, tablas de verdad, y métodos de demostración. Explica que una proposición es una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa, y que las proposiciones se pueden combinar usando conectores lógicos como "y", "o", "no", para formar proposiciones compuestas. También resume los principales métodos de demostración en lóg
Este documento introduce conceptos básicos de lógica matemática, incluyendo proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad y métodos de demostración. Define una proposición como una oración que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Explica los conectivos lógicos de conjunción, disyunción y negación y cómo se usan para formar proposiciones compuestas. También cubre proposiciones condicionales y bicondicionales con sus tablas de verdad correspond
Este documento introduce conceptos básicos de lógica matemática, incluyendo proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad y métodos de demostración. Define una proposición como una oración que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Explica los conectivos lógicos de conjunción, disyunción y negación y cómo se usan para formar proposiciones compuestas. También cubre proposiciones condicionales y bicondicionales con sus tablas de verdad correspond
Este documento presenta una introducción a la lógica matemática. Explica que la lógica estudia la forma del razonamiento y define conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, tablas de verdad, tautologías y contradicciones. También describe métodos de demostración en lógica matemática.
Este documento introduce los conceptos básicos de la lógica. Explica que la lógica estudia las formas del pensamiento humano y las proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas. Describe las proposiciones atómicas y compuestas, y las conectivas lógicas como la conjunción, disyunción, implicación y equivalencia. También presenta las tablas de verdad y las leyes del álgebra de proposiciones.
Parte de la filosofía que estudia las formas y principios generales que rigen el conocimiento y el pensamiento humano, considerado puramente en sí mismo, sin referencia a los objetos.
El documento presenta una introducción a la lógica matemática. Explica que la lógica estudia la forma del pensamiento racional y no su contenido. También describe cómo Aristóteles desarrolló métodos sistemáticos para analizar argumentos y estableció procedimientos para determinar la verdad de proposiciones compuestas. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de la lógica en filosofía, matemáticas, computación y la vida diaria.
El documento resume los conceptos básicos de la lógica. Explica que la lógica estudia la forma del pensamiento racional y no su contenido. Aristóteles es considerado el padre de la lógica por haber desarrollado métodos para analizar argumentos. La lógica determina si un argumento es válido a través de reglas y técnicas. Se aplica en diversas áreas como la filosofía, matemáticas y computación.
1. IES ESTANISLAO MALDONES PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA
ÁLGEBRA I - Prof. Lucía Micaela Cuello Año Lectivo 2014
Unidad Nº 1 Página 1
UNIDAD Nº 1: NOCIONES DE LÓGICA
1. Importancia del uso de la Lógica
La Lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y
técnicas determina si un argumento es válido.
La Lógica es ampliamente aplicada en la Filosofía, la Computación, la Física, las Ciencias
Naturales, las Ciencias Sociales, la Matemática y en la vida cotidiana, ciertamente se usa en forma
constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
En Filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener
diferentes interpretaciones, sin embargo la Lógica permite saber el significado correcto. En
Computación para verificar si son o no correctos los programas. En Física y en Ciencias Naturales para
sacar conclusiones de experimentos. En Ciencias Sociales para resolver varias cuestiones analíticas.
En Matemática para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticos que puedan ser aplicados en
investigaciones.
En general la Lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un
procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado un ama de casa tiene que
realizar cierto procedimiento lógico que le permita hacer dicha tarea. Si una persona desea pintar una
pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura,
o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya
tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de
derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la Lógica.
La Lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca
se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos
conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o
simplemente utilización de los mismos.
Es importante mencionar que en las demostraciones, donde la Matemática hace uso de la
Lógica, no hay un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser más largo o más corto
dependiendo de las reglas de inferencia y equivalencias que se seleccione, pero definitivamente se
deberá llegar al resultado. Para comprender claramente este proceso es que se debe prestar atención y
estudiar los temas tratados en esta unidad.
2. Proposición
La proposición es un elemento fundamental de la Lógica. Una proposición o enunciado es una
oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. Es decir, proposición es toda oración
declarativa. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición
propiamente dicha.
Ejemplos: m: Lava el auto, por favor
n: Juan ama la música
o: Hola, ¿cómo estas?
p: -21 + 18 = 3
q: El calor dilata los cuerpos
r: x > y - 6
s: La música es amada por Juan
t: María toca el piano
De las oraciones m y o, no se puede decir si son verdaderas o falsas, por lo que no son
proposiciones, si son proposiciones las expresiones n, p, q, r, s y t.
Las expresiones n y s son diferentes desde el punto de vista gramatical, pero ambas tienen el
mismo significado por lo que se consideran como la misma proposición. Se dice entonces que
proposición es el significado de cada oración declarativa.
2. IES ESTANISLAO MALDONES PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA
ÁLGEBRA I - Prof. Lucía Micaela Cuello Año Lectivo 2014
Unidad Nº 1 Página 2
3. Conectivos lógicos y operaciones proposicionales
A partir de proposiciones simples es posible generar proposiciones compuestas.
Proposición compuesta: proposición formada por varias proposiciones simples.
Ejemplo: n y t: Juan ama la música y María toca el piano
Donde: n: Juan ama la música
t: María toca el piano
Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas, es
decir se puede operar con proposiciones, y según sean tales operaciones se utilizan ciertos símbolos,
llamados conectivos lógicos, esto se presenta a continuación.
Conectivo Operación asociada Notación simbólica Significado
Negación p “No p” o “no es cierto p”
Conjunción qp “p y q” o “p también q”
Exclusión qp “Ni p ni q” o “no se cumple p ni q”
Disyunción qp “p ó q”
Alternativa qp “O bien p o bien q”
Implicación qp “p implica q” o “si p, entonces q”
Doble implicación qp “p si y solo si q”
Las operaciones entre proposiciones se definen en el sentido siguiente: dadas una o dos
proposiciones, cuyos valores de verdad se conocen, se trata de caracterizar la proposición resultante a
través de su valor de verdad.
I. Negación
La negación de la proposición p es la proposición p (no p). Se trata de una operación unitaria,
pues a partir de una proposición se obtiene otra. La tabla de valores de verdad es:
Ejemplo: p : todos los números son pares (Falso)
p : no todo número es par (Resulta Verdadero)
II. Conjunción
La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición qp (p y q). La tabla de valores de
verdad es:
Ejemplo: p : 3 es un número impar (Verdadero)
q : 2 es un número primo (Verdadero)
qp : 3 es un número impar y 2 es un número primo
(Resulta Verdadero)
III. Exclusión
La exclusión de las proposiciones p y q es la proposición qp (ni p ni q). La tabla de valores de
verdad es:
Ejemplo: p: 1/3 es un número entero (Falso)
q : 1/3 es un número natural (Falso)
qp : ni 1/3 es un número entero ni es número natural
(Resulta Verdadero)
p p
V
F
F
V
p q qp
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
p q qp
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
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IV. Disyunción
La disyunción de las proposiciones p y q es la proposición qp (p ó q). La tabla de valores de
verdad es:
Ejemplo: p : una resta de números naturales no siempre tiene
solución natural (Verdadero)
q : una resta de números naturales resulta siempre
positiva (Falso)
qp : una resta de números naturales no siempre tiene
solución natural o resulta siempre positiva
(Resulta verdadero)
V. Alternativa
Esta operación se conoce también con el nombre de Diferencia simétrica, es la disyunción
excluyente de las proposiciones p y q, es la proposición qp (o bien p o bien q). La tabla de valores de
verdad es:
Ejemplo: p: un triángulo equilátero tiene los tres lados iguales
(Verdadero)
q : un triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales
(Verdadero)
qp : un triángulo equilátero tiene los tres lados iguales ó
bien tiene los tres ángulos iguales (Resulta Falso)
VI. Implicación o condicional
La implicación de las proposiciones p y q es la proposición qp (si p, entonces q). La tabla de
valores de verdad es:
Ejemplo: p : 16 es un número par (Verdadero)
q : 16 es divisible en 2 (Verdadero)
qp : Si 16 es un número par, entonces es divisible en 2
o bien qp : 16 es un número par implica que 16 es
divisible en 2 (Resulta Verdadero)
En la implicación qp , la proposición p recibe el nombre de antecedente y la proposición
q se llama consecuente.
VII. Doble Implicación o bicondicional
El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición qp (p si y sólo si q). La tabla de
valores de verdad es:
Ejemplo: p : el 125 es múltiplo de 5 (Verdadero)
q : el 125 es divisible en 5 (Verdadero)
qp : el 125 es múltiplo de 5 si y sólo si es divisible en 5
(Resulta Verdadero)
p q qp
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
p q qp
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
p q qp
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
p q qp
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
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4. Condiciones necesarias y suficientes
Considerando la tabla de valores de verdad de la implicación, se ve que hay tres casos en que
qp es V, y entre ellos hay uno en que p es V, en el que resulta q V. Es obvio que se hace referencia
al primer renglón de la tabla, y se tiene que si qp y p son V, entonces q es V. Se dice entonces que
el antecedente p es condición suficiente para el consecuente q.
Por el contrario si p es F, nada se puede decir de q, puesto que puede ser V o F.
Por otra parte, cuando qp es V, si q es V, entonces p puede ser V o F y si q es F, entonces p
es F; más para que p sea V se necesita que q lo sea. Se dice entonces q es condición necesaria para p.
Resumiendo, si qp es V, entonces p es condición suficiente para q y q es condición
necesaria para p.
Ejemplo: la siguiente implicación es V:
“si el triángulo
abc es equilátero, entonces es isósceles”
p: el triángulo
abc es equilátero
q: el triángulo
abc es isósceles
p es condición suficiente para q, es decir que un triángulo sea equilátero es condición suficiente
para decir que es isósceles.
q es condición necesaria para p, es decir que un triángulo sea isósceles es necesario para que
sea equilátero.
Si tenemos en cuenta que la doble implicación qp es equivalente a pqqp , si
ambas implicaciones son verdaderas se puede decir que el antecedente p es condición necesaria y
suficiente para el consecuente q.
Ejemplo: p: el triángulo
abc es equilátero
q: el triángulo
abc es equiángulo
qp : El triángulo
abc es equilátero si y sólo si es equiángulo
Es decir que para que un triángulo sea equiángulo es condición necesaria y suficiente que sea
equilátero.
5. Implicaciones asociadas
Sea la proposición qp , a la que se llama condicional directo, en conexión con el se
presentan otros tres condicionales que resultan de permutaciones o negaciones del antecedente y
consecuente del condicional directo:
pq condicional recíproco
qp condicional contrario
pq condicional contrarecíproco
Las cuatro implicaciones se llaman conjungadas, en el siguiente esquema se muestra la relación
que las vincula:
qp pq
qp pq
Contrarios Contrarecíprocos
Recíprocos
Recíprocos
a
b c
a
b c
Contrarios
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6. Tablas de verdad
Las tablas de verdad de las proposiciones compuestas son importantes, puesto que dan
información muy útil, presentan el valor de verdad de la proposición compuesta para todos los casos
que se pueden presentar teniendo en cuenta los valores de verdad de las proposiciones simples que la
componen. Es necesario prestar mucha atención en su construcción.
Lo primero es determinar la cantidad de casos que se pueden presentar combinado los valores
de verdad de las proposiciones simples, es decir la cantidad de filas que tiene la tabla, esto se calcula
con la expresión n
2 , donde n es la cantidad de proposiciones simples que forman la proposición
compuesta de la que se va a hacer la tabla.
Luego se indican los valores de verdad de las proposiciones simples, para la primera
proposición se divide la cantidad de filas en dos y se asigna a la primera mitad el valor V y a la segunda
mitad el valor F. Para la segunda proposición se divide la cantidad de filas en 4 y se asigna al primer
cuarto el valor V, al segundo cuarto el valor F, al tercer cuarto el valor V y al último cuarto el valor F.
Para la tercera proposición se divide la cantidad de filas en 8 y se asigna al primer octavo el valor V, al
segundo octavo el valor F, al tercer octavo el valor V, ... , al último octavo el valor F. Para la cuarta
proposición se divide en 16, para la quinta en 32, etc, hasta la última proposición en la que los valores V
y F se alternan de uno en uno.
Lego se analiza cada uno de los términos que componen la proposición compuesta aplicando
las reglas de verdad de las operaciones que relacionan a las proposiciones.
Ejemplo: Sea la siguiente proposición compuesta: qpsppr
En esta composición intervienen 4 proposiciones simples, entonces la tabla de verdad tiene
1624
filas. La tabla de verdad se presenta a continuación.
p Q r s r pr sp sppr q qp qpsppr
V V V V F F V V F F V
V V V F F F F F F F V
V V F V V V V F F F V
V V F F V V F V F F V
V F V V F F V V V V V
V F V F F F F F V V V
V F F V V V V F V V V
V F F F V V F V V V V
F V V V F F F F F V F
F V V F F F F F F V F
F V F V V F F F F V F
F V F F V F F F F V F
F F V V F F F F V V V
F F V F F F F F V V V
F F F V V F F F V V V
F F F F V F F F V V V
Se muestra otra forma de presentar una tabla de verdad de una proposición compuesta. El
ejmeplo anterior, también se puede hacer de esta forma.
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1 2 4 3 7 6 5
p q r s qpsppr
V V V V F F V V V F F
V V V F F F F F V F F
V V F V V V F V V F F
V V F F V V V F V F F
V F V V F F V V V V V
V F V F F F F F V V V
V F F V V V F V V V V
V F F F V V V F V V V
F V V V F F F F F V F
F V V F F F F F F V F
F V F V V F F F F V F
F V F F V F F F F V F
F F V V F F F F V V V
F F V F F F F F V V V
F F F V V F F F V V V
F F F F V F F F V V V
7. Tautología
Tautología es aquella proposición compuesta que es verdadera para todas las composiciones de
valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.
Ejemplo: rpqp es una tautología, la tabla de valores de verdad es la siguiente:
p q r qp r rp rpqp
V V V V F V V
V V F V V V V
V F V F F V V
V F F F V V V
F V V F F F V
F V F F V V V
F F V F F F V
F F F F V V V
8. Contradicción
Contradicción es aquella proposición compuesta que es falsa para todas las composiciones de
valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.
Ejemplo: qpqp es una contradicción, la tabla de valores de verdad es la
siguiente:
p q p q qp qp qpqp
V V F F F V F
V F F V V F F
F V V F F V F
F F V V F V F
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9. Contingencia
Contingencia es aquella proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falsa en
los otros casos de las composiciones de valores de verdad de las proposiciones simples que la
componen
Ejemplo: qpqp es una contingencia, la tabla de valores de verdad es la siguiente:
p q qp qp qp qpqp
V V V V F F
V F F V F F
F V F V F F
F F F F V V
10.Proposiciones equivalentes
Dos proposiciones simples son equivalentes cuando tienen el mismo valor de verdad.
Dos proposiciones compuestas son equivalentes cuando en la tabla de verdad la columna final
tiene los mismos valores de verdad.
Ejemplo: las proposiciones qp y qp son equivalentes, las tablas de valores de
verdad son las siguientes:
p q qp p Q p q qp qp
V V V V V F F F V
V F V V F F V F V
F V V F V V F F V
F F F F F V V V F
Simbolización: qpqp
También se puede expresar como qpqp
11.Leyes lógicas
En las tautologías sucede que para todas las composiciones de valores de verdad de las
proposiciones simples que la componen, el resultado de la proposición compuesta es siempre
verdadero, por ello es que las tautologías son muy importantes, ya que se consideran leyes, que se
utilizan para realizar demostraciones.
A continuación se mencionan como ejemplo algunas leyes lógicas:
1.- Doble negación: pp
2.- Leyes de idempotencia: pppa )
pppb )
3.- Leyes conmutativas: pqqpdisyunciónladea :)
pqqpconjunciónladeb :)
4.- Leyes asociativas: rqprqpdisyunciónladea :)
rqprqpconjunciónladeb :)
5.- Leyes distributivas:
rqrprqp
disyunciónladerespectoconjunciónladea
:)
rqrprqp
conjunciónladerespectodisyunciónladeb
:)
6.- Leyes de Morgan: qpqpa )
qpqpb )
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12.Razonamiento deductivo
Un razonamiento es un conjunto de proposiciones donde una de ellas se pretende que esté
basada o se siga de las otras.
La proposición afirmada basándose en las otras se denomina Conclusión.
Las proposiciones que son el soporte o evidencia para la conclusión se denominan Premisas.
La estructura de un razonamiento es
Conclusión
emisas
Pr Pueden ser 1, 2, 3, … ó n
Una sola
En todo razonamiento se tiene las llamadas expresiones derivativas, son las que sirven para
ubicar la conclusión, las más usuales son:
- Antes de la conclusión: luego, por lo tanto, por consiguiente, en consecuencia, por
esa razón, entonces, etc.
- Después de la conclusión: dado que, puesto que, ya que, pues, debido a que,
porque, se deduce de, etc.
Ejemplo: El número h no es par o es divisible en 2. Si h es múltiplo de 4, entonces es par. Por lo
tanto si h es múltiplo de 4, entonces es divisible en 2.
La expresión derivativa es: Por lo tanto
La conclusión es: si h es múltiplo de 4, entonces es divisible en 2
Se tienen dos premisas, ellas son: El número h no es par o es divisible en 2
Si h es múltiplo de 4, entonces es par
La validez de los razonamientos no depende de su contenido, sino de su forma, es decir que un
razonamiento es válido cuando su forma es válida.
La forma de un razonamiento es válida cuando no es posible deducir de premisas verdaderas
una conclusión falsa.
La afirmación premisas verdaderas obliga a que todas las premisas sean verdaderas, ya que
existiendo al menos una falsa, todo el conjunto de premisas se transforma en falso.
De lo expresado anteriormente se deduce que un razonamiento es inválido cuando su forma es
inválida, esto significa que partiendo de premisas verdaderas se llega a una conclusión falsa.
Cuando se simboliza un razonamiento utilizando proposiciones y conectivos se dice que se ha
obtenido la forma proposicional del razonamiento. Para analizar la validez de un razonamiento se debe
expresarlo en forma proposicional.
Ejemplo: La forma proposiconal del razonamiento planteado anteriormente es la siguiente:
p: el número h es par
q: el número h es divisible en 2
r: el número h es múltiplo de 4
13.Métodos de demostración
A continuación se presentan dos métodos para demostrar la validez de un razonamiento, en los
dos casos se trabaja con el razonamiento proposicional. Para una buena comprensión se considera un
razonamiento proposicional general expresado a continuación:
CPn
P
P
P
n /.
.3
.2
.1
3
2
1
I. Tabla de valores de verdad del condicional asociado
Un razonamiento proposicional es válido si, el condicional que tiene como antecedente la
conjunción de las premisas y como consecuente la conclusión, es una tautología. Este condicional se
llama condicional asociado y tiene la forma CPPPP n 321 .
qrpr
qp
/.2
.1
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Los pasos de este método son los siguientes:
1. Dado el razonamiento identificar premisas y conclusión
2. Expresar el razonamiento proposicional
3. Construir el condicional asociado
4. Hacer la tabla de valores de verdad del condicional asociado
Ejemplo: Se analizará la validez del razonamiento planteado anteriormente.
El primer paso y segundo se realizaron anteriormente.
El condicional asociado es )()]()[( qrprqp
La tabla de valores de verdad de este condicional es la siguiente:
p q r p qp pr prqp qr )()]()[( qrprqp
V V V F V V V V V
V V F F V V V V V
V F V F F V F V V
V F F F F V F V V
F V V V V F F F V
F V F V V V V V V
F F V V V F F F V
F F F V V V V V V
Como resulta tautología el razonamiento es válido.
Este método se complica cuando un razonamiento tiene varias proposiciones simples, porque la
cantidad de filas de la tabla depende de la cantidad de proposiciones simples, por ejemplo si el
razonamiento tiene 5 proposiciones simples la tabla tiene 32 filas, con lo que la tabla resulta extensa y
complicada de realizar.
II. Demostración directa
Este método consiste en trabajar con las premisas, transformarlas aplicando las leyes lógicas
con el fin de llegar a la conclusión.
Para facilitar la aplicación se expresan a las leyes lógicas como reglas de inferencia o como
equivalencias, esto se presenta en el cuadro desarrollado a continuación, las leyes expresadas en ese
cuadro son ejemplos, no las únicas.
Las reglas de inferencia corresponden a las leyes expresadas con condicionales y las
equivalencias a las leyes expresadas con bicondicionales.
Simbolización Regla de Inferencia Equivalencia
Definición de Disyunción qpqp
qp
qp
Definición de Condicional qpqp
qp
qp
Ley de
Modus Ponens (M.P.)
qpqp
q
p
qp
Ley de
Modus Tollens (M.T.)
pqqp
p
q
qp
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Ejemplo: Se demostrará la validez del razonamiento planteado anteriormente.
14.Funciones proporcionales
El símbolo xP es la presentación de un predicado o propiedad relativos al objeto
indeterminado x, perteneciente a cierto universo o conjunto. Si nos referimos a los números enteros y
estamos interesados en la propiedad de ser par, entonces la traducción de xP consiste en x es par, y
se escribe xP : x es par.
Es claro que el enunciado “x es par” no es una proposición, ya que a menos que se especifique a
x no podemos decir nada acerca de su verdad o falsedad. Ocurre sin embargo, que para cada
asignación dada al sujeto x dicho enunciado es una proposición. A expresiones de este tipo se las llama
funciones proporcionales.
Definición: función proporcional en una variable o indeterminada x, es toda oración en la que
figura x como sujeto u objeto directo, la cual se convierte en proposición para cada especificación de x.
En nuestro ejemplo resultan proposiciones como: P(-5): -5 es par (Falso)
P(6): 6 es par (Verdadero)
Se presentan también funciones proporcionales en dos variables o indeterminadas. Sea por
ejemplo P(x, y): x es divisor de y. Lo mismo que en el caso anterior, si x e y son enteros, P(x, y) no es
proporción, ya que no podemos afirmar la verdad o falsedad de la expresión. Mas para cada
particularización de valores se tiene una proposición, por ejemplo: P(-2, 6): -2 es divisor de 6 (V)
P(3, 34): 3 es divisor de 34 (F)
15.Cuantificación
A partir de las funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante
un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos :x y
x , llamados cuantificadores universal y existencial en x respectivamente. Con estos cuantificadores
se obtienen las siguientes expresiones: Para todo x, se verifica xP se denota mediante: xPx :
Existe x, tal que se verifica xP se denota por: xPx
Corresponden a una función proposicional xP cuantificada universalmente en el primer caso, y
existencialmente en el segundo. Una función proposicional cuantificada adquiere el carácter de
proposición. En efecto retomando el primer ejemplo, si decimos xPx : , es decir “todos los números
enteros son pares”, es claro que hemos enunciado una proposición general y relativa a todos los
números enteros, cuyo valor de verdad es falso. Si cuantificamos existencialmente la misma función
proposicional se tiene xPx , es decir “existen enteros que son pares”, el valor de verdad es
Verdadero. El cuantificador existencial se refiere a por lo menos un x.
Es obvio que una función proposicional cuantificada universalmente es verdadera sólo si son
verdaderas todas las proposiciones particulares asociadas a ella. Para asegurar la verdad de una
función cuantificada existencialmente, es suficiente que sea verdadera algunas de las proposiciones
asociadas a la función de proposicional.
hipotéticoSilogismo.3,2.4
lcondicionadeDefinición.1.3
/.2
.1
qr
qp
qrpr
qp
Del trabajo realizado en las premisas,
aplicando las leyes lógicas, se pudo
llegar a la conclusión, por ello el
razonamiento es válido.