Tema_1.1_LOGICA.pdf

ALGEBRA
LÓGICA MATEMÁTICA
ÁREA DE ALGEBRA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS
1
Tema # 1
Índice Pág.
1.1. Proposiciones 2
1.2. Funciones proposicionales 21
1.3. Reglas de inferencia 27
Recursos complementarios 41
Bibliografía 42
Actividad de aprendizaje autónomo 43

2
Tema # 1
1.1. Proposiciones
La lógica le proporciona a las matemáticas un lenguaje claro y un método preciso para
demostrar teoremas a partir de axiomas.
Sin la lógica los axiomas serian un montón de verdades aceptadas, pero nada más. La lógica, sin
embargo, les da sentido y permite concluir nuevas verdades (teoremas) que antes no
conocíamos. Un ejemplo de teorema: la suma de los ´ángulos interiores de cualquier triangulo
siempre es de 180°.
Al ser la lógica el punto de partida de las matemáticas, en ella se deben introducir nociones
primarias tales como proposición, valor de verdad, conectivo lógico.
PROPOSICIONES LÓGICAS
ENUNCIADO.- Es toda frase u oración que se utiliza en nuestro lenguaje
PROPOSICIÓN.- Es todo enunciado, respecto de la cual se puede decir si es verdadera (V) o
falsa (F)
Notación.- Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde
la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc.
Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad:
Proposición Valor de verdad
q: Manta es la capital de la provincia de Manabí (V)
r: El número 15 es divisible por 3. (V)
s: El perro es un ave. (F)

3
Tema # 1
t: Todos los triángulos tienen cuatro lados (F)
u: ¿Qué día es hoy? No es una proposición
p: ¡Viva Loja! No es una proposición
EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES
a) ¡Levántate temprano!
b) ¿Has entendido lo que es una proposición?
c) ¡Estudia esta lección!
d) ¿Cuál es tu nombre l?
e) Prohibido pasar
f) Borra el pizarrón
No son proposiciones por no poder ser evaluadas como verdaderas ni falsas. Las exclamaciones,
órdenes ni las preguntas son proposiciones
ENUNCIADOS ABIERTOS.- son aquellos enunciados que constan de variables. Se convierte en
una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable".
Ejemplos:
p: x es la capital del Perú
Sí x: Lima, Quito…
Para p (Lima): Lima es la capital del Ecuador es falso (F)
Para p (Quito): Quito es la capital del Ecuador es verdadero (V)

4
Tema # 1
b) q: y + 4 = 11 , y es número natural
y: 0; 1; 2; 3; 4;…..
Para q (1): 1 + 4 = 11 , es falso (F)
q (7): 7 + 4 = 11 , es verdadero (V)
CLASE DE PROPOSICIONES
A) Proposición Simple o Atómicas.- Son aquellas proposiciones que constan de un solo
enunciado proposicional .
Por ejemplo, sea la proposición p: 3 + 6 = 9
B) Proposición Compuesta o molecular.- Son aquellas proposiciones que constan de dos o más
proposiciones simples.
Ejemplo 1: r: Pitágoras era griego y era geómetra
p q
Encontramos dos enunciados, el primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q)
que Pitágoras era geómetra.
Ejemplo 2: p: Juan es profesor o Manuel es arquitecto
Donde podemos observar que la proposición p, se divide en dos proposiciones simples:
r: Juan es profesor y
s : Manuel es arquitecto
Es decir , p : r o s

5
Tema # 1
Conectores lógicos
Enlazan proposiciones simples, o a partir de proporciones simples es posible generar otras,
simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan
ciertos símbolos llamados conectivos lógicos
OPERACIONES PROPOSICIONALES
Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más
proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición
resultante a través de su valor de verdad.
NEGACIÓN
Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por p
 (se
lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo:
p: Diego estudia matemática p
 : Diego no estudia matemática
Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:
p p

V
F
F
V
Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su
negación.

6
Tema # 1
Ejemplo.
La negación de p: todos los alumnos estudian matemática es
p
 :no todos los alumnos estudian matemática
CONJUNCIÓN
Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción (o producto lógico) de estas
proposiciones a la proposición p  q (se lee "p y q")
Ejemplo:
Sea la declaración: 5 es un número impar y 6 es un número par
p  q
Vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son
p: 5 es un número impar
q: 6 es un número par
Y por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera.

7
Tema # 1
Tabla de verdad
La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las
dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.
Ejemplo:
Si p: 3 es mayor que 7
q: Todo número par es múltiplo de dos
Entonces: p  q: 3 es mayor que 7 y todo número par es múltiplo de dos
Por ser ambas verdaderas la conjunción de ellas es verdadera
DISYUNCIÓN
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción (o suma lógica) de las proposiciones p y q es la
proposición p  q, se lee “p o q“
Ejemplo 1. Tiro las cosas viejas o que no me sirven
La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el
caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F

8
Tema # 1
Tabla de verdad
Ejemplo.
Si p: Hace frio en invierno , o q: Napoleón invadió Lima
p  q: Hace frio en invierno o Napoleón invadió Quito
Por ser al menos una de las proposiciones verdadera la conjunción es verdadera
IMPLICACIÓN O CONDICIONAL
Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p → q (si p entonces q). La proposición
p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional.
Ejemplo.
Supongamos la implicación
i) Si apruebo, ENTONCES te presto el libro
p → q
La implicación está compuesta de las proposiciones: p: apruebo, q: te presto el libro
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F

9
Tema # 1
Tabla de verdad
p q p → q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el
consecuente es falso.
1.5.- DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL
Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p ↔ q (se lee "p si y sólo si q")
Ejemplo:
p: Karina ingresa a la universidad
q: Karina estudia mucho
Entonces:
p q: Karina ingresa a la universidad si y sólo si estudia mucho.
Ejemplo:
Sea i) a = b si y sólo si a² = b²

10
Tema # 1
El enunciado está compuesto por las proposiciones:
p: a = b
q: a² = b²
Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V. En los demás casos es V.
Tabla de verdad
La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo
valor de verdad. La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su
recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p  q puede obtenerse mediante la
tabla de (p  q)  (q  p), como vemos:
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
p q p → q q → p (p → q)  (q → p)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V

11
Tema # 1
DIFERENCIA SIMÉTRICA
Diferencia simétrica o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la
proposición p  q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es:
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
V
F
La verdad de p  q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones
componentes.
Ejemplo.
Sea i) o vamos a Quito o vamos a Manta
Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el
enunciado i) es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de
no ir a ninguna, el enunciado es Falso.
CONJUNCIÓN NEGATIVA
La conjunción negativa de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee "ni p ni q") cuya
tabla de valores de verdad es:

12
Tema # 1
p q p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
El resultado es verdadero únicamente cuando las dos proposiciones son falsas (ni p ni q), en
cualquier otro caso es falsa.
Ejemplo.
A partir de las siguientes proposiciones, determine la proposición resultante de efectuar la
conjunción negativa.
a. Tengo caramelos
b. Tengo un helado
Sea i) a  b: Ni tengo caramelos, ni tengo un helado.
Queda claro que las dos proposiciones deben ser falsas. Es decir que el enunciado i) es
verdadero sólo si las dos son falsas. En caso de tener ambas, o de no tener una de las dos, el
enunciado es Falso.

13
Tema # 1
TABLAS DE VERDAD
Utilizando los conectivos lógicos, se pueden combinar cualquier número finito de proposiciones
simples, para obtener otras proposiciones cuyos valores de verdad pueden ser conocidos
construyendo sus tablas de verdad.
Para efectuar el número de combinaciones de los valores de las proposiciones, recurrimos a la
relación 2n
, donde n representa el número de proposiciones.
Ejemplos.
Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:
1.- ( )
  q
p
q
p 
→

→

Solución: 2n
= 22
= 4 combinaciones posibles.
p q  p
 → ( )
p
q  → q

V V F V V F F
V F F V F V V
F V V F F V F
F F V F F V V
2.- ( )
  ( )
 
q
r
p
r
q
p 





Solución: 2n
= 23
= 8 combinaciones posibles.

14
Tema # 1
p q r  p
  ( )
r
q   ( )
 r
p   
q
V V V F F V F V V V
V V F F F V F V V V
V F V F F V V V F F
V F F F F F V V F F
F V V V V V V V V V
F V F V V V F F F V
F F V V V V F V F F
F F F V F F V F F F
EQUIVALENCIAS LÓGICAS
Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así
se denota: q
p 
Ejemplo.
Sea p: p  q, recordamos su tabla de verdad
p q q
p →
V V V
V F F
F V V
F F F
Ahora bien, si analizamos la proposición q: p
  q, su tabla de verdad resulta:

15
Tema # 1
p q q
p 

V V V
V F F
F V V
F F F
Como vemos, luego de realizar las tablas de valores de verdad, encontramos que ambas
proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son
lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos:
( ) ( )
q
p
q
p 


→
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA
Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos
fórmula lógica.
Por ejemplo:
( ) ( )
 
t
s
q
p 

→

TAUTOLOGÍA
Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre
V para cualquier combinación de sus valores de verdad, decimos que dicha fórmula es una
Tautología o Ley lógica.

16
Tema # 1
Ejemplo.
Si analizamos la proposición t: p  p
 realizando su tabla de verdad:
Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación p
 , la proposición p
 p
 es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología.
Ejemplo.
Analicemos ahora la fórmula lógica { ( p → q )  p } → q
En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de
verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí
también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica.
p p
 p  p

V
F
F
V
V
V
p q p → q q → p { ( p → q )  p } → q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V

17
Tema # 1
CONTRADICCIÓN
Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para
cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es
siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción.
Ejemplo
Analicemos la fórmula lógica p  p

p p
 p  p

V
F
F
V
F
F
Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción.
CONTINGENCIA
p q p → q (p  ~q) ~(p  ~q) p → q ↔ ~(p  ~q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V

18
Tema # 1
Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un
valor V y otro F) es una contingencia.
La fórmula (p → q)  p es una tautología, ya que todas sus interpretaciones son verdaderas.
p q q
p → ( ) p
q
p 
→
V V V V
V F F V
F V V V
F F V V
Un ejemplo de equivalencias lógicas son las denominadas Leyes del álgebra proposicional, las
cuales nos permiten simplificar un problema y expresarlo en forma más sencilla y como bien
dijimos arriba, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la
combinación de los valores de verdad de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas.
En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración
se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber, las principales leyes
son:
Tercio excluido: p  ~p  V
p  ~p  F
Involución ~ (~p)  p
Idempotencia (p  p)  p
(p  p)  p
Conmutatividad p  q  q  p
p  q  q  p

19
Tema # 1
p ↔ q  q ↔ p
Asociativa (p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)
Distributiva (p  q)  r  (p  r)  (q  r)
(p  q)  r  (p  r)  (q  r)
De Identidad V  V  V
F  F  F
p  V  V
p  F  p
p  V  p
p  F  F
Del Complemento p  ~ p  V
p  ~ p  F
Por definición (p → q)  ~p  q
~ (p → q)  (p  ~q)
(p ↔ q)  (p → q)  (q → p)
(p ↔ q)  (p  q)  (~p  ~q)
(p  q)  (p  q)  ~ (p  q)
De Absorción p  (p  q)  p
p  (p  q)  p

20
Tema # 1
De Morgan ~ (p  q)  ~p  ~q
~ (p  q)  ~p  ~q
Ejemplos:
Simplificar las siguientes proposiciones aplicando las leyes: del álgebra proposicional
1. ~ (p  ~ q) → (p  q)
~ [~ (p  ~ q)]  (p  q) ……………… Ley condicional
(p  ~ q)  (p  q) ……………… Ley de doble negación
p  (~ q  q) ……………… Ley distributiva
p  V ……………… Ley del complemento
p ……………… Ley de identidad
2. ~ {[(~p)  (~q)]  ~q ]}
 ~{[ ~p  (~q  ~q)] } ……………… Asociativa
 ~[~p  ~q] ……………… Idempotencia
 ~~p  ~(~q) ……………… Morgan
 p  q ……………… Doble Negación
3. [(p ˄ q) → ~r] v [p → (q→ ~r)]
[~ (p ˄ q) v ~r] v [~p v (~q v ~r)] Condicional

21
Tema # 1
[(~p v ~q) v ~r] v [~p v (~q v ~r)] Morgan
~p v ~q v ~r v ~p v ~q v ~r Elimino signos de agrupación
(~p v ~p) v (~q v ~q) v (~r v ~r) Asociativa
~p v ~q v ~r Idempotencia
~ (p ˄ q ˄ r) Morgan
1.2. Funciones Proposicionales
Considere una proposición:
Gustavo es ingeniero
Pedro es ingeniero
Mario es ingeniero
Estas proposiciones tienen algo en común y es el predicado. Esto se puede expresar utilizando
una variable individual ( )
x .
“ x es ingeniero”
Esta expresión no es una proposición puesto que no es verdad ni falsedad . x es una variable que
toma valores dentro de un conjunto (referencial), estas expresiones reciben el nombre de
funciones preposicionales.
La notación que se empleará para cualquier Proposición Simple serán las letras ,...
,
, r
q
p etc.,
mientras que una función proposicional la representamos por ,...
,
, x
x
x R
Q
P etc.

22
Tema # 1
Ejemplo: “ x es un numero racional y z es un numero entero”
En símbolos: z
x E
R 
CUANTIFICADORES
Las expresiones:
“Todo hombre es mortal”
“Algunos hombres son ignorantes”
Pueden traducirse:
Para todo x , si x es hombre entonces es mortal
Existe un x , tal que x es hombre y x es sabio.
Estos cuantificadores se dividen en:
CUANTIFICADOR UNIVERSAL
Símbolo: x

Significa: “Para todo x ”
Todo x
Cualquier x
Cada x

23
Tema # 1
CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
Símbolo: x

Significa: Hay x
Existe un x , tal que
Algún x
Algunos x
Existen tres formas de convertir una función proposicional X
P en una proposición a saber:
Haciendo la sustitución de las variables por un término especifico
Anteponiendo la expresión “Para todo x ”
Anteponiendo la expresión “Existe un x ”
( )( )
X
x P
 : Existe un x tal que X
P
( )( )
X
x P
 : Para todo x , X
P
Al anteponerle a la función proposicional X
P un cuantificador, x pasa a ser una variable ligada.
Una proposición ( )( )
X
x P
 es V , cuando todas las sustituciones de la variable x por elementos
del conjunto de referencia convierte a X
P en verdadera.
Una proposición ( )( )
X
x P
 es V , cuando toda las sustituciones de la variable x por al menos un
elemento del conjunto de referencia.

24
Tema # 1
Ejemplo:
Decir si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas
a. ( )( )
14
4
7
3 +
−
=
−

 x
x
Z
x
b. ( )( )
0
1
2

−

 x
Z
x
c. ( )( )
0
1
2
=
+

 x
Z
x
d. ( )( )
( )
1
2
1 2
2
+
+
=
+

 x
x
x
Z
x
Solución:
a. ( )( )
14
4
7
3 +
−
=
−

 x
x
Z
x
Como ( ) ( ) 14
3
4
7
3
3 +
−
=
− , entonces el conjunto solución es  
3 , que no es vacío y, por tanto, la
proposición es verdadera.
b. ( )( )
0
1
2

−

 x
Z
x
Como esta proposición se debe cumplir para todo entero y Z

0 y 0
1
1
02

−
=
− , entonces la
proposición es falsa.
c. ( )( )
0
1
2
=
+

 x
Z
x
No es posible encontrar un entero tal que 0
1
2
=
+
x , por tanto la proposición es falsa.

25
Tema # 1
d. ( )( )
( )
1
2
1 2
2
+
+
=
+

 x
x
x
Z
x
Del algebra se sabe que ( ) 1
2
1 2
2
+
+
=
+ x
x
x , entonces la proporción es verdadera.
NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CUANTIFICADAS
Las proposiciones universales pueden negarse como en el enunciado:
“No todos los ingenieros”.
Y se simboliza: ( )( )
X
x M


También se puede utilizar: “Ninguno, ningún, nada, nadie “.
La proposición “Ninguno es mecánico” no equivales a “No todos son mecánicos”, sino a la
expresión: Para todo x , x no es mecánico
( )( )
X
x M


Las proposiciones anteriores pueden ser negadas como por ejemplo:
“No es cierto que hay mecánicos”. En símbolos: ( )( )
X
x M


“Alguien no es mecánico”. En símbolos: ( )( )
X
x M



26
Tema # 1
Para estudiar la negación de funciones proposicionales, es conveniente fijar nuestra atención en
el diagrama dado. Veamos las cuatro formas de proposiciones generales que hay
tradicionalmente en la lógica:
A: Todo S es P: Todos los hombres son mortales.
E: Ningún S es P: Ningún hombre es mortal.
I: Algún S es P: Algún hombrees mortal.
O: Algún S no es P: Algún hombre no es mortal.
En las formas anteriores, S significa un sujeto del cual se afirma o niega algo, y P es el predicado,
o sea lo que se dice del sujeto.
Observe que las dos primeras proposiciones son universales, la primera afirmativa y la segunda
negativa; las dos últimas son particulares, la primera afirmativa y la segunda negativa.
A continuación se presentan las equivalencias, usando funciones proposicionales con
cuantificadores:
A: Todo S es P: ( )( )
x
P
x
 Universal afirmativa
E: Ningún S es P: ( )( )
x
P
x 
 Universal negativa
I: Algún S es P: ( )( )
x
P
x
 Particular afirmativa
O: Algún S no es P: ( )( )
x
P
x 
 Particular negativa
En Conclusión:
La negación de una función proposicional con un cuantificador universal es equivalente a la
negación de la misma función proposicional, precedida por el cuantificador existencial y viceversa.
Es decir:

27
Tema # 1
( )( ) ( )( )
x
x P
S
x
P
S
x 





 ó ( )( ) ( )( )
x
x P
S
x
P
S
x 






Ejemplo:
Encontrar la negación de las siguientes proposiciones:
a. ( )( )
10
3 
+


 x
x
Solución:
( )( ) ( )( )
10
3
10
3 =
+





+



 x
x
x
x
b. ( )( )
7
3 
+


 x
x
Solución:
( )( ) ( )( )
7
3
7
3 
+





+



 x
x
x
x
1.3. Reglas de inferencia
Se llama inferencia lógica o argumento lógico a toda condicional de la forma:
(p1  p2  … pk ) → q donde las proposiciones p1, p2, … pk son llamadas premisas, y originan
como consecuencia otra proposición denotada por q llamada conclusión.
Una inferencia puede ser tautología, contingencia o contradicción. Si la condicional es una
tautología, es decir si es una implicación entonces recibe el nombre de argumento válido o

28
Tema # 1
inferencia válida. Si la condicional no es una tautología entonces se denomina falacia o
simplemente argumento no válido.
Ejemplo:
Validar el argumento (p → q) → p
Solución
Aplicando las leyes del álgebra proposicional
~ (~ p v q) v p …………….. Ley condicional
(p  ~ q) v p …………….. Ley de De Morgan
p …………….. Ley de absorción
REGLAS DE INFERENCIA
A partir de las Reglas de Inferencia Fundamentales que fueron presentadas anteriormente se
derivan una serie de reglas que son muy útiles y que le permiten a nuestra mente alcanzar las
conclusiones de una manera más rápida.
Modus Ponendo Ponens (MPP)
q
p
q
p


q
p
q
p
~
~

→
q
p
q
p

→
~
~

29
Tema # 1
Modus Tollendo Tollens (MTT)
p
q
q
p
~
~

→
Contra positiva (CP)
p
q
q
p


→

Silogismo Hipotético (SH)
r
p
r
q
q
p


→
→
Inferencia Alternativa (IA) ó Tollendo Ponens (TP)
p
q
q
p


~
o
q
p
q
p


~
Introducción de la Doble negación (IDN)
)
( p
p



30
Tema # 1
Adjunción y simplificación
Adjunción (ADJ)
q
p
)
premisa
(
q
)
premisa
(
p


Simplificación (SIM)
q
p
q
p



Ley de la adición (LA)
q
p
)
premisa
(
p


Silogismo Disyuntivo (SILD)
s
r
s
q
r
p
q
p


→
→


31
Tema # 1
Simplificación Disyuntiva (SIMD)
r
r
q
r
p
q
p

→
→

Dilema Destructivo (DILD)
r
q
r
p
r
q
p


→
→



REGLAS DE LA FALACIA
Las dos falacias que presentamos a continuación son muy comunes y es importante reconocerlas
y evitar caer en ellas.
FALACIA DE LA AFIRMACIÓN DEL ANTECEDENTE (AA)
p
q
q
p



32
Tema # 1
FALACIA DE LA NEGACIÓN DEL CONSECUENTE (NC)
q
p
q
p




DEDUCCIÓN PROPOSICIONAL
Con el manejo de unas pocas reglas empezamos a aprender el método de las deducciones
formales. Es decir se ha aprendido el camino preciso de demostrar que los razonamientos son
válidos. Un razonamiento es simplemente un conjunto de proposiciones dadas como premisas y
una conclusión deducida de estas premisas.
La deducción puede hacerse teniendo un argumento en forma simbólica o en forma oracional.
Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1: Dado el siguiente argumento simbólico deducir s
t 
j
e
)
j
t
)
s
e
)


→

→
3
2
1

33
Tema # 1
Demostración
A
s
t
TT
t
S
j
PP
s
S
e
j
e
j
t
s
e
7
,
5
)
8
6
,
2
)
7
.
3
)
6
4
,
1
)
5
.
3
)
4
)
3
)
2
)
1




→

→
Ejemplo 2: Deducir t
t
s
p
s
r
q
r
q
p
→

→

→

)
4
)
3
)
(
)
2
)
(
)
1
Demostración

34
Tema # 1
PP
,
t
)
TP
,
s
)
TT
,
p
)
Exp
.
)
r
q
(
p
)
________
t
s
)
p
s
)
)
r
q
(
)
r
)
q
p
(
)
7
4
8
6
3
7
5
2
6
1
5
4
3
2
1

→
→
→

→

→

Ejemplo 3: Deducir el Silogismo Hipotético
Demostración
Ejemplo 4:

35
Tema # 1
Si la ballena es un mamífero, entonces toma oxigeno del aire. Si toma su oxigeno del aire,
entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el océano. Por lo tanto no
necesita branquias.
Lo primero que hay que hacer es identificar cada una de las proposiciones simples
p: La ballena es un mamífero
q: La ballena toma su oxigeno del aire
r: La ballena necesita branquias
s: La ballena habita en el océano
Se simboliza ahora el argumento
q
p → (Primera premisa)
r
q 
→ (Segunda premisa)
s
p  (Tercera premisa)
r
 (Conclusión)
Pero veamos el procedimiento lógico para llegar a esta conclusión, es decir, la deducción
proposicional
q
p →
r
q 
→
s
p 
p 3.S

36
Tema # 1
q 1,4 PP
r
 2,5 PP
Ejemplo 5:
Si sigue lloviendo, entonces el río crecerá. Si sigue lloviendo. Si sigue lloviendo y el río crece,
entonces el puente será arrastrado por las aguas. Si la continuación de la lluvia hace que el
puente sea arrastrado por las aguas, entonces no será suficiente un solo camino para toda la
ciudad. O bien un solo camino es suficiente para toda la ciudad o bien los ingenieros han
cometido un error. Por tanto, los ingenieros han cometido un error.
Simbolizando las proposiciones
c: continúa lloviendo
r: el río crece
p: el puente es arrastrado por las aguas
s: un solo camino es suficiente para toda la ciudad
e: los ingenieros han cometido un error
La prueba formal de validez es:
1) r
c → (Primera premisa)
2) p
)
r
c
( →
 (segunda premisa)
3) s
)
p
c
( 
→
→ (Tercera premisa)
4) e
s  (cuarta premisa)

37
Tema # 1
∴ e (conclusión)
Veamos cómo se llega a la conclusión
1) r
c →
2) p
)
r
c
( →

3) s
)
p
c
( 
→
→
4) e
s 
5) c → (c ∧ r) 1, Abs.
6) c → p 5,2, S.H.
7) ∼ s 3,6, P P.
8) e 4,7, TP.
Métodos de demostración:
Demostraciones directas
Conocido como “Marcha Adelante” consiste en examinar los elementos.
Ejemplo: Demostración Directa
Demostrar la Ley del MODUS PONENDO PONENS (pq)pq utilizando el método de demostración
directa.
Desarrollo:

38
Tema # 1
Con lo cual queda demostrado que la forma proporcional es tautológica, independientemente del
valor de verdad que tomen las variables proposicionales.
Demostraciones por contraposición o contrarrecíprocas
CONOCIDO COMO “Supongamos que no” basada en la equivalencia entre y
Ejemplo:
“Demuéstrese que todos los números primos mayores que 2 son impares”
Aquí la proposición p es “n es un numero primo mayor que 2” y la proposición q es “n es un
número impar”.
Demostrar “Si todo numero primo es mayor que 2, entonces es impar es lo mismo que
demostrar que “si todo entero a negativo no es impar, entonces no es un numero primo o es
menor o igual que 2”
Desarrollo:
Numero par n=2 x k donde k es mayor o igual a 1 (números naturales).
Si K=1 tenemos n = 2, es un numero primo. Por lo tanto todos los números primos mayores que 2
son impares.

39
Tema # 1
Demostraciones por contraejemplo
Consiste en dar un ejemplo y demostrar el hecho que la proposición sea falsa, aportando por lo
menos un ejemplo. El contraejemplo pone en evidencia que existe al menos un caso en el cual la
proposición no es verdadera.
Ejemplo:
Verifique si la siguiente proposición es verdadera:
“Las ciudades del Ecuador son capitales de provincias”
Desarrollo
Haciendo una lectura rápida podemos concluir que su valor de verdad es verdadero, ya que en
Guayaquil, Portoviejo, Machala, Quito entre otras, son ciudades y capitales de provincias.
Mientras que Quevedo es una ciudad y no es capital de provincia alguna de nuestro país, lo
mismo ocurre con ciudades como Manta, Atacames y Milagro, constituyendo por ende
contraejemplos para la proposición objeto de estudio, la cual definitivamente es falsa.
Demostraciones por reducción al absurdo
En este método el operador principal de un razonamiento es la implicación , la estructura no
es tautológica si existe al menos un caso 10. Tomando como conclusión que la hipótesis es falso.
Ejemplo:
Determine la validez del razonamiento: “si llueve, hay producción; si hay granizo, no hay
producción; hay granizo o no hay nevada. Por lo tanto, no llueve”
Desarrollo
Identificando las proposiciones simples tenemos:
p: Llueve
q: Hay producción

40
Tema # 1
r: Hay granizo
s: Hay nevada
La forma proposicional queda:
Si quisiéramos construir su tabla de verdad tendríamos que elaborar 16 combinaciones por las
variables p, q, r y s. Pero usando el método de reducción al absurdo, determinaremos los valores
de verdad, comenzando con el consecuente del razonamiento, el cual se supone es falso; y y
para que el antecedente sea verdadero, debe cumplirse que sea verdadera.
Si a partir del supuesto valor de verdad de la conclusión, que es falso, se determinó que el valor
de verdad del antecedente es verdadero, la forma proposicional no es tautológica. Por lo tanto, el
razonamiento no es válido.

41
Tema # 1
Recursos complementarios / Videos
• Proposiciones: https://www.youtube.com/watch?v=erXWr0dQ6tI
• Conectores lógicos: https://www.youtube.com/watch?v=zBOJYcAZoaw
• Tablas de verdad: https://www.youtube.com/watch?v=a5cEaETtTNo
• Equivalencias lógicas: https://www.youtube.com/watch?v=v_o9YMjfcQM
• Funciones proposicionales y cuantificadores:
https://www.youtube.com/watch?v=WwKsSBhPn1I
• Reglas de inferencia: https://www.youtube.com/watch?v=EZl50krCSJM
• Métodos de demostración: https://www.youtube.com/watch?v=O7LOh4Sa5qE

42
Tema # 1
Bibliografía
1. Castillo, C., Navas , F., & Toro, J. L. (2016). Fundamentos de Matemática. Quito: EPN.
2. Espinoza Ramos, E. (2004). Álgebra Pre Universitaria. Lima-Perú: Servicios Gráficos J.J.
3. Flores P., M. (2018). Álgebra. Teoría y Práctica. Lima: San Marcos.
4. Gamarra Morales, H. (2016). Arimética. Teoría y Práctica. Lima: San Marcos.
5. González, H. (s.f.). Matemática General. Santiago de Chile.
6. Mena Cervantes, V. (2011). Precálculo. México: I.P.N.
7. Rojo, A. (1996). Álgebra I. Buenos Aires.

43
Tema # 1
Actividades de aprendizaje autónomo
1. Construya la tabla de verdad para la siguiente proposición compuesta
(𝑝 → 𝑞) ⟷ (𝑝 ∧ (∼ 𝑞))
2. Sin usar tablas de verdad, demuestre que la siguiente proposición es una tautología.
(𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑝 ↔ 𝑞)
3. Sean 𝑝, 𝑞, 𝑟 proposiciones, supongamos que 𝑝 es verdadera, 𝑞 es falsa y 𝑟 es verdadera;
determine el valor de verdad de la siguiente proposición:
[𝑝 ∨ (∼ 𝑞)] ⇔ [𝑞 ∧ 𝑟].
4. Si 𝑝 es falsa, 𝑞 es verdadera y (𝑝 ∧ 𝑞) ⇔ [𝑞 ∧ (∼ 𝑟)] es verdadera; determine el valor de verdad
de la proposición 𝑟.
5. Sean 𝑝, 𝑞, 𝑟 proposiciones. Obtenga la negación de la proposición siguiente. Exprese el resultado
solo con los tres conectores fundamentales
(𝑝 ⇒ 𝑞) ⇔ (∼ 𝑞 ∧ 𝑟)
6. Demuestre la siguiente equivalencia lógica, no use tablas de verdad.
𝑝 → (𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 → 𝑞) ∨ (𝑝 → 𝑟)
7. Simplifique las siguientes proposiciones a su mínima expresión.
[∼ (𝑝 → 𝑞) ∧ (∼ 𝑝)] ⟷ [𝑞 ∨ (𝑞 → (∼ 𝑝))]
8. Utilizando las leyes del algebra de proposiciones, demuestre:
[(~𝑝 ∧ 𝑞) → (𝑞 → 𝑝)] ∧ 𝑝 ≡ 𝑝
9. Determine el valor de 𝑝, si se sabe que ∼ 𝑞 es una contradicción de la siguiente tauitología:
(𝑝 ∨ (∼ 𝑞)) ∧ (∼ 𝑝 → 𝑞)

44
Tema # 1
10. Demuestre la validez de los siguientes razonamientos
a) 𝑝 → 𝑞
b) ∼ (𝑟 ∧ (∼ 𝑠))
c) ∼ 𝑟 → 𝑝
d) ∼ 𝑠
Conclusión: 𝑞
11. ¿Qué conclusión se deduce de la siguiente premisa?
a) Si el Ecuador explotara su propio petróleo, entonces el Ecuador tendría mayores ingresos
económicos.
El Ecuador explota su propio petróleo.
12. Simbolice el siguiente razonamiento y de una deducción completa de la conclusión
a) Cada número divisible por dos es par
b) Cuatro o es impar o es un número divisible
por dos
c) Cuatro no es impar
Conclusión: cuatro es par
13. Determine el valor de verdad de la siguiente proposición, y luego desarrolle su negación
(∀𝑥 ∈ ℝ)(𝑥 + 4 ≥ 0) → (∃𝑥 ∈ ℝ)(2𝑥 − 5 < 0)
14. Demuestre que la siguiente proposición es falsa. Luego niegue la proposición
(∀𝑥 ∈ ℝ)(6𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0 → 𝑥 > 0)

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