Este documento presenta los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo las definiciones de proposiciones, variables, constantes lógicas, tablas de verdad, y métodos de demostración. Explica que una proposición es una oración declarativa que puede ser verdadera o falsa, y que las proposiciones se pueden combinar usando conectores lógicos como "y", "o", "no", para formar proposiciones compuestas. También resume los principales métodos de demostración en lóg

1. Universidad Fermín Toro
Estructura Discreta I
Unidad 1
Estudiante:
Javier Colmenares
Profesor:
Méndez Domingo
sección: SAIA A

2. Proposiciones o Enunciados
La lógica de enunciados o de
proposiciones es el nivel más básico
de análisis lógico. Se analizan las
relaciones que se dan entre los
enunciados o las proposiciones; es,
pues, una lógica interproposicional,
no interproposicional. En este nivel
se simboliza de la misma manera
proposiciones o enunciados de
contenido tan diferente como: "ahora
llueve", "algunos días llueve" o
"todos los días llueve".

3. ¿Qué es uno enunciando o una proposición?
Una oración declarativa que
puede ser verdadera o falsa.
Los enunciados dicen de las
cosas y, consecuentemente,
pueden ser verdaderos o
falsos. No son enunciados las
expresiones lingüísticas
interrogativas, exclamativas o
imperativas.
Los enunciados o
proposiciones pueden ser
atómicos o simples, los que no
se pueden descomponer en
otros; y moleculares o
complejos, los que sí se
pueden descomponer.

4. A continuación se tienen algunos ejemplos de enunciados que son
proposiciones y algunos que no lo son, se explica el porqué algunos
de estos enunciados no son, como tal, proposiciones. Las
proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos
puntos y la proposición propiamente dicha. Por ejemplo.
O p: La tierra es plana.
O q: -12 + 28 = 21
O r: x > y + 1
O s: Talleres será campeón en la presente
temporada de Fútbol Argentino.
O t: Hola ¿Qué tal?
O v: Resistencia es la capital del Chaco
O w: Lava el coche, por favor.

5. Los incisos p y q sabemos que
pueden tomar un valor de falso o
verdadero; por lo tanto son
proposiciones validas. El inciso r
también es una proposición valida,
aunque el valor de falso o
verdadero depende del valor
asignado a las variables x y y en
determinado momento y v es una
proposición verdadera. La
proposición del inciso s también
esta perfectamente expresada
aunque para decir si es falsa o
verdadera se tendría que esperar a
que terminara la temporada de
fútbol. Sin embargo los enunciados
t y w no son válidos, ya que no
pueden tomar un valor de falso o
verdadero, uno de ellos es un
saludo y el otro es una orden.

6. CONECTORES LÓGICOS Y
PROPOSICIONES COMPUESTAS.
Las proposiciones anteriores son todas,
proposiciones simples. Para obtener
proposiciones compuestas se deben ligar o
combinar más de una proposición simple.
Existen conectores u operadores lógicos que
permiten formar proposiciones compuestas
(formadas por varias proposiciones simples).
Los operadores o conectores básicos son: y, o,
no, no o, no y, o exclusiva, no o exclusiva

7. Operador and (y) - Operación Conjunción
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben
cumplir(ser verdaderas) para que se pueda obtener un resultado
verdadero. Su símbolo es: {Ù , un punto (.), un paréntesis, o
también, Ç }. Se le conoce como la multiplicación lógica(en la
matemática booleana):
Algunos ejemplos son:
1. La proposición "El coche enciende cuando tiene gasolina en el
tanque y tiene corriente la batería" está formada por dos
proposiciones simples: q y r
q: Tiene gasolina el tanque.
r: Tiene corriente la batería.
Con p: El coche enciende.
De tal manera que la representación del enunciado anterior
usando simbología lógica es como sigue:
p = q Ù r

8. Su tabla de verdad es como
sigue:
Donde: 1 = verdadero 0 = falso

9. Elementos de la lógica de enunciados o proposicional
El lenguaje o vocabulario de la lógica proposicional o de enunciados
consta de tres clases de elementos o símbolos: variables,
constantes y auxiliares.
• Variables
Variables o variables proposicionales son los símbolos que
sustituyen las proposiciones o enunciados. Se llaman variables
porque su significado va cambiando en las diferentes
argumentaciones o expresiones.
Se han acordado cinco variables o letras como símbolos: p, q, r, s,
t. Si hacen falta más variables, se recorre a subíndices:
Una variable como por ejemplo p puede simbolizar "La Tierra es un
planeta" o "Todos los planetas giran entorno all Sol" o cualquier otra
proposición. Por ello, siempre es preciso indicar la proposición que
se simboliza con la variable. Así, p = La Tierra es un planeta.

10. O Constantes
Constantes o conectores proposicionales son las partículas de significado no
variable que tienen la función de alterar, relacionar o conectar enunciados
atómicos haciéndolos complejos. Los más frecuentes son la negación, la
conjunción, la disyunción, el condicional y el bicondicional.
Negación: ¬. (También: -, ~ )
Representa la partícula lingüística no o cualquiera otras partículas que incluyan
la idea de negación. Por ejemplo: no es el caso que, no pasa que, ni, etc.
También prefijos que indican esta idea como imposible.
Así, la formalización de "La luna no tiene satélites", será ¬p ; habiendo definido
"La luna tiene satélites" con la letra p.
Conjunción:  . (También: ·, & )
Representa la partícula lingüística y o cualquier otra que indique la idea de
unió, como también, igualmente, pero.
Así, la formalización de "Marte tiene satélites y Júpiter también", considerando
"Marte tiene satélites" = p y "Júpiter tiene satélites" = q, será p  q .

11. O Disyunción: Ú .
Representa la partícula lingüística o. Es preciso advertir que esta partícula
tiene dos sentidos: un inclusivo y otro exclusivo. En sentido inclusivo
equivale a y/o, o sea, que incluye la verdad de los dos enunciados de la
disyunción o bien sólo la de uno de los dos. El sentido exclusivo expresa
la idea que la verdad de un miembro es incompatible con la verdad del
otro: o uno o el otro, pero no los dos. El sentido inclusivo es lo que, en
general, se adopta a lógica. Así, la formalización de "Se aprende lógica
escuchando a clase o estudiando", siendo "Se aprende lógica escuchando
a clase" = p y "Se aprende lógica estudiante" = q, será p Ú q .
O Condicional: ® . (También: É )
Representa las partículas lingüísticas si … entonces ... o cualquiera otros
que indiquen la idea de condición, como cuando … entonces... , entonces
o una simple "coma". La partícula entonces o equivalente separa el
antecedente del consecuente. Así, la formalización de "Si llueve, entonces
la tierra se moja", con p simbolizando "Llueve" y q, "La tierra se moja",
será p ® q .
O Bicondicional : « . (También: º )
Representa las partículas lingüísticas si y sólo si … o cualquier otra que
indique doble condición, como equivale, cuando y sólo cuando,
únicamente. Se trata de una condición necesaria y suficiente. Así, la
formalización de "Es de noche si y sólo si se ha post el sol", con p
simbolizando "Es de noche" y q "Se ha post el sol", será p « q.

12. LEYES DEL ALGEBRA DE
PROPOSICIONES
Leyes del Algebra de Proposiciones
Las leyes de la algebra de proposiciones
son equivalencias lógicas que se pueden
demostrar con el desarrollo de las tablas de
verdad del bicondicional. Las leyes del
algebra de proposiciones son las siguientes:

14. MÉTODOS DE
DEMOSTRACIÓN
· Demostración por el método directo
El método de demostración directa parte de la
proposición p, que se supone verdadera, y deducir de
ella
una nueva proposición q que se pueda ver que es
verdadera como resultado de que p lo es. Es
importante resaltar que las proposiciones deducidas de
p no deben ser hechas de cualquier modo, deben
estar enfocadas hacia la última proposición obtenida.
El camino que se debe seguir para llevar a cabo una
demostración formal usando el método directo
significa que si se sabe que p1 es verdadera, p2 es
verdadera,..., y pn también es verdadera, entonces se
sabe que q es verdadera.

15. O El método de demostración indirecta
El método de demostración indirecta consiste en
proceder al revés. Se fija la atención
primeramente en
q, es decir en la afirmación a la que se quiere
llegar.
Ubicada la premisa p, se va tratando de buscar
situaciones intermedias p1, p2, p3, ××× pn de las
que q se
podría deducir. Se identifica si alguna de estas
podría estar relacionada con la situación p, se
podría
deducir de ella. Cuando se encuentra, se verifica
que el camino inverso que se ha encontrado,
ahora de
p a q, es correcto.

16. O Método de demostración por reducción al absurdo
En el método de demostración de reducción al absurdo, se debe
empezar suponiendo que p es
verdadera, al igual que se hacía en el método de demostración
directa. Ahora, sin embargo, para llegar a
la conclusión buscada, a saber, que q es verdadera se puede
proceder haciendo una pregunta muy
simple: “¿Por qué no puede q ser falsa?”. Después de todo, si q
tiene que ser verdadera, debe haber
alguna razón por la que no pueda ser falsa. El objetivo del método
de demostración por reducción al
absurdo es, precisamente, descubrir esa razón. La idea es
suponer que p es verdadera y q falsa y ver
que no puede ocurrir esto.
En la práctica la demostración por reducción al absurdo inicia
considerando como hipótesis q’ y finaliza
cuando el proceso de demostración obtiene dos proposiciones que
se contradicen una a la otra.

17. O La demostración por contraposición
El método de la demostración por contraposición,
tiene la ventaja de que se va a dirigir hacia una
contradicción concreta. En la demostración por
contraposición, al igual que la demostración por
reducción
al absurdo, se supone que tanto p como q’ son
verdaderas. En el método por contraposición, sin
embargo, no se parte de p y q’, sino que se empieza
a trabajar solamente con q’ y el objetivo es llegar a
que p es falsa, con lo que ya se ha llegado a una
contradicción ¿qué mejor contradicción? ¿cómo
puede
ser p a la vez verdadera y falsa?

18. bibliografía
http://www.xtec.cat
http://wikispaces.com
http://lgicaepn.blogspot.com
http://matematica1.com