Este documento presenta una introducción a la lógica matemática. Define conceptos clave como proposiciones, proposiciones compuestas, operadores lógicos como conjunción, disyunción, negación, condicional y bicondicional. Explica las tablas de verdad para cada operador lógico y cómo determinar si una fórmula es una tautología, contradicción o indeterminada.

1. MATERIA: ALGEBRA
TEMA:
LOGICA MATEMÁTICA (proposicional)
OPERADORES:
 CONJUNCIÓN
 DISYUNCIÓN
 NEGACIÓN
 CONDICIONAL
 BICONDICONAL

2. Unidad de aprendizaje 1
LOGICA MATEMÁTICA
2x+3(4x-5)

3. Introducción a la lógica matemática
La verdad y la mentira, palabras opuestas que utilizamos a diario para tomar
decisiones, sean estas correctas o no. Debemos valorar cada cosa; pero es razonable
que no todas las expresiones se pueden valorar, o...¿Alguien se atrevería a
contradecir a quien pregunte por la hora?, por supuesto que no, y aunque a usted no
le guste algún color ¿significa que por ello a nadie mas le gustará?.¡Claro que no! En
este caso podemos decir que es una situación subjetiva o dependiente del individuo
que lo exprese. También hay expresiones que para la mayoría de las personas tiene
un valor único, por ejemplo .la rosa es una flor, en algunas tendremos que ser bien
explícitos para evitar malos entendidos, por ejemplo: «Jesús tiene cinco letras". ¿a
quien nos referimos al hombre llamado Jesús ó a la palabra Jesús?.

4. Por lo tanto una proposición es una afirmación de la
cual se puede afirmar que es cierta o que es falsa. Para
expresarnos con claridad utilizamos conjuntos de palabras
con sentido «lógico», sin embargo, ¿qué es en realidad
lógica? Cuando escuchamos expresiones como:
Su respuesta fue lógica
Es ilógico pensar que no lo notará
Lógicamente...
En realidad estamos expresando lo que la mayoría de las
personas haría o escogería como correcto, o dicho de otra
forma, el sentido común.
¿será cierto que el sentido común es el menos común de los
sentidos?

5. Proposiciones
La lógica es toda una disciplina en la que las reflexiones y
el razonamiento son fundamentales. Es estudiada también
por la filosofía, pero, aquí nos referiremos por lógica a la
Lógica matemática. El elemento básico sobre el que se
desarrolla toda esta teoría se llama proposición.
De todo lo anterior una proposición es una afirmación con
sentido completo de la cual se puede afirmar que es cierta
o que es falsa.

6. Ejemplos de proposiciones
1. La sal es un compuesto químico.
2. 10 < 14
3. 13 es un número impar
4. El sol sale de noche
5. 45 + 5 = 30
6. ¿De que color es la pared?
Las afirmaciones 1, 2, 3, 4 y 5. son proposiciones aunque
no todas son verdaderas siguen siendo proposiciones.
A esta propiedad de las proposiciones de ser verdadera o
falsa se le llama valor de verdad.
Las proposiciones se representan con letras minúsculas,
usualmente p, q, r, s, t,..

7. Ejemplos que no son proposiciones.
Existen casos donde el sujeto del que se habla en
la proposición no está definido o no se conoce, por
lo que tiene una incógnita.
A estos casos les llamamos frases proposicionales.
(Suele llamarles proposiciones abiertas), por
ejemplo:
1. x + 12 = 20
2. Alguien es un ingeniero famoso
3. Mi nombre es "fulano de tal"
4. Tengo x dinero en el banco

8. Clases de proposiciones

9. 1. Proposiciones simples o atómicas:
Son aquellas que no se pueden fragmentar
en proposiciones menores. ejemplos
a) La luna es un satélite natural
b) Los dígitos son nueve
c) 4 es un número par
d) Todos los números impares son
primos
e) Los pingüinos son aves

10. 2. Proposiciones compuestas o
moleculares:
«Las proposiciones simples se pueden conectar, y construir
proposiciones llamadas compuestas». Ésta operación puede
hacer que cambie su valor de verdad. Ejemplo:
 Las rosas son rojas y las violetas azules, es un enunciado
compuesto por los subenunciados «Las rosas son rojas»,
«Las violetas son azules».
 El es inteligente o estudia todas las noches es, implícitamente,
un enunciado compuesto por los subenunciados «El es
inteligente» y «estudia todas las noches».

11. La propiedad fundamental de un enunciado
compuesto es que su valor de verdad está
completamente determinado por los valores de
verdad de sus subenunciados junto con la manera
como están conectados para formar el enunciado
compuesto.
Además una proposición puede tomar el valor de 1
si es verdadera, 0 si es falsa, esto también se
espera que ocurra en las proposiciones compuestas,
por esto es necesario una tabla que de la
oportunidad de verificar todas las posibles
combinaciones, la llamaremos Tablas de verdad

12. Proposiciones conjuntivas : p ^ q
Dos enunciados cualesquiera se pueden
combinar con la palabra y "para formar un
enunciado compuesto llamado la
conjunción de los enunciados originales.
Simbólicamente, p ^ q denota la conjunción
de los enunciados p y q, que se lee "p y q".
«El valor de esta proposición conjuntiva
dependerá de que las dos proposiciones
que la conforman sean verdaderas»

13. Ejemplos de proposiciones compuestas
1. p : El dos es un número par ( V )
2. q : Siete es un número primo ( V )
3. r : El ocho es un número primo ( F )
así que :
p ^ q : El dos es un número par y siete es un
número primo ( V )
En caso de que una de las dos sea falsa
entonces toda la proposición conjuntiva lo será.
r ^ q : El ocho es un número primo y siete es un
número primo ( F )

14. La tabla de verdad del enunciado compuesto
p ^ q está dada por la siguiente tabla:
Telmex ofrece empleo en una sucursal de Puebla
México; pero la compañía exige que el aspirante:
p: tenga por lo menos 18 años de edad.
q: haya terminado el bachillerato

15. Proposiciones disyuntivas, p v q
Dos enunciados se combinan con la palabra «o» para formar un
enunciado compuesto llamado la disyunción de los enunciados
originales. Simbólicamente, p v q denota la disyunción de los
enunciados p y q, que se lee "p o q".
Las expresiones siguientes:
“Pedro vendrá el lunes o el martes”, “O bien me
quedo en casa o bien voy al cine”, “Tal vez escuche esa canción o
tal vez me vaya a pasear al río , las simbolizamos con p ∨ q .
.

16. El valor de verdad de esta proposición conjuntiva dependerá
de que las dos proposiciones que la conforman no sean
falsas.
La tabla de verdad del enunciado compuesto p v q está dada
por la siguiente tabla:
El disyuntor es aquella
conectiva que sólo es falsa
si las dos proposiciones que
une son ambas falsas, y
verdadera en los demás casos.
Existen dos tablas de verdad para una disyunción, la más
usual es la inclusiva, en la cual basta que una proposición sea
verdadera para que p o q lo sea, como se observa en la tabla
anterior.

17. Proposiciones negativas: ~p
Aunque no es un conectivo lógico, genera
nuevas proposiciones con solo cambiarle el
valor de verdad y se simboliza anteponiendo
«~» a la letra de la proposición:
Ejemplos:
p : todo número impar es primo
~p : no todo número impar es primo
q : 9 es menor que 6
~q : 9 no es menor que 6

18. La tabla de verdad de la negación de p :
~ p está dada por la siguiente tabla
La tabla expresa el hecho que si p es
verdadera, entonces ~p es falsa y si p es
falsa, entonces ~p es verdadera.

19. Ejemplos de negación.
Las expresiones siguientes:
P: No podremos ir de excursión a la Sierra
Negra”.
P: Pedro ni siquiera me escuchó”.
Las simbolizamos como:
~ p , o en su defecto como ¬ p.

20. Conectivo negación: ⌐ o ~
El negador es aquella conectiva que al
aplicarse a una proposición
cualquiera, sea simple o compleja, la
convierte en falsa si es verdadera y en
verdadera si es falsa.

21. Proposiciones condicionales, p → q
Las expresiones:
“Si llueve, las calles se mojan”
“Si vienes mañana, iremos a casa de
Luis”
“Si supieras lo que me ha dicho Pedro
quedarías perplejo”.
Las simbolizamos como ‘p → q’.

22. Proposiciones condicionales, p → q
Cuando se unen dos proposiciones con el
conectivo → (entonces), se forma una
proposición que solo es falsa si la primera
es verdadera y la segunda es falsa (solo
en este orden). Ejemplo:
Shakira dice «si el clima es agradable p,
entonces iré a la playa q.
¿ Cuando Shakira no cumple su palabra?

23. La tabla de la verdad expresa el hecho de
que la proposición condicional:
«si p entonces q» es falsa solo cuando p es
verdadera y q es falsa, si ocurre lo
contrario, es verdadera.
Analiza la siguiente tabla.
Tabla de proposición condicional.

24. Proposiciones disyuntivas exclusivas p ↔ q
(Equivalencia o bicondicional).
Decimos que la proposición p es equivalente con la
proposición q (o que “p si y sólo si q”), y escribimos
p ↔ q, cuando basta con conocer el valor de verdad
de una para saber el valor de verdad de la otra ya
que éste siempre es el mismo. Por ejemplo:
“el paralelogramo dibujado en la pared tiene todos
sus ángulos iguales”
es equivalente con la proposición
“las diagonales del paralelogramo dibujado en la
pared miden lo mismo”. O bien ambas son
verdaderas o bien ambas son falsas.

25. Paralelogramos:

26. EJEMPLO 2:
« Si Belinda es mujer, entonces Belinda es del
sexo femenino y si Belinda es del sexo femenino,
entonces Belinda es mujer ».
En esta situación la condicional se emplea dos
veces, por ello tales proposiciones reciben en
nombre de BICONDICIONALES y se simbolizan
con (p↔q), cuya lectura es «p si y solo si q»
para determinar su valor de verdad es empleada
la siguiente tabla

27.  p: el paralelogramo dibujado en la pared tiene todos
sus ángulos iguales.
 q: las diagonales del paralelogramo dibujado en la
pared miden lo mismo.
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V

28. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN E INDETERMINACIÓN
Al hacer la tabla de verdad de cualquier
fórmula nos podemos encontrar con tres
casos:
que la tabla de verdad de la fórmula
sólo tenga: V ó 1.
que sólo tenga: F ó 0
que tenga: V y 0, ó 1 y 0.

29. Definición de Tautología.
TAUTOLOGÍA:
Es una fórmula siempre válida, sean cuales
sean los valores de verdad de las
proposiciones que la integran. Es decir, es una
fórmula cuya tabla de verdad final sólo tiene
verdaderos o unos ( V ) o ( 1 ).

30. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN E INDETERMINACIÓN
CONTRADICCIÓN: Es una fórmula no
válida nunca, sean cuales sean los valores
de verdad de las proposiciones que la
integran. Es decir, es una fórmula cuya tabla
de verdad final sólo tiene falsos o ceros
( V ) ó ( 0 ).

31. INDETERMINACIÓN O CONTINGENCIA:
Es una fórmula que puede ser válida o
no, en función de los valores de verdad
de las proposiciones que la integran. Es
decir, es una fórmula cuya tabla de
verdad final tiene unos ( 1 ) y ceros ( 0 )
no importa en qué proporción.

32. Los siguientes enunciados son ejemplos
de proposiciones
• Ricardo Arjona es un artista del género
masculino.
• Tres es impar y menor que siete.

33. Los siguientes enunciados son ejemplos
de no proposiciones
• Cierra la puerta
• ¡Hola amor!
• ¿Que hora es?

34. Las siguientes son proposiciones Simples o Atómicas:
• El mini cooper es muy pequeño.
• Alicia es una niña linda.
• El perro de Juan corre muy rápido.

35. Ejemplos de proposiciones compuestas o
complejas
• Alicia es una niña muy linda y estudia
matemáticas.
• El perro de Juan corre muy rápido y ladra
fuerte.
• El mini cooper es muy pequeño y atractivo
por su diseño.

36. EJEMPLOS DE NEGACIÓN DE LA
PROPOSICIÓN:
1. Todos los animales domésticos son
mamíferos.
2. Todos los estudiantes reprobaron el curso.
3. Dos es mayor que tres.
4. No todos los animales domésticos son
mamíferos.
5. Ningún estudiante reprobó el curso.
6. No es cierto que dos sea mayor que tres.

37. ¿CÓMO FORMALIZAR EN LA LÓGICA
PROPOSICIONAL CUALQUIER EXPRESIÓN DEL
LENGUAJE NATURAL?
Formalizar una expresión del lenguaje
natural consiste en destacar la « forma »
en que se relacionan las proposiciones de
esa expresión, prescindiendo del
contenido o significado de éstas. Dicho de
otro modo: consiste en “traducir” al
lenguaje artificial de la lógica las
expresiones del lenguaje natural.
Ejemplos:

38. Lenguaje natural a lenguaje
proposicional.
• La comida no le supo bien: ¬ p
• Mañana es sábado y nos iremos a la playa: p ∧ q
• Aunque tú no me quieras, yo te amo: ¬ p ∧ q
• O bien te lo comes o no verás la tele: p ∨ ¬ q
• O lo recoges todo o no vas de excursión y no te regalo el
vestido: p ∨ ( ¬ q ∧ ¬ r )
• Si vienes, no te olvides de la casa : p → ¬ q
• Si no estuvo aquí el asesino, entonces no llegó a verle o lo
supo demasiado tarde: ¬ p → ( ¬ q ∨ r )
• No por mucho madrugar amanece más temprano:
¬ ( p→ q )

39. Algunos ejemplos más:
-Sólo en el caso de que no sepas hacer el dibujo y haya dos preguntas
en la 2ª casilla del examen, deberás contestar únicamente a la primera
de ellas: ( ¬ p ∧ q ) ↔ r
- Si Pedro sabe hablar inglés, entonces no habla francés, aunque si no
supiese hablar inglés, tampoco hablaría francés: ( p → ¬ q ) ∧ ( ¬ p →
¬q)
- Si llegas después de las 10, te encontrarás con la puerta cerrada y no
podrás cenar: p → ( q ∧ ¬ r )
- Juan abrirá la puerta y saldrá a la calle, sólo en el caso de que, si viene
María con el coche, no venga con ella Pedro:
(p∧q)↔(r→¬s)
- No es verdad que si Antonio estudia, entonces María no trabaje: ¬ ( p
→¬q)

40. Seguimos con más ejemplo:
- Sólo si tú no lo has matado, te dejaremos libre:
¬p↔q
- Si no crees que lo que te digo ni lo que te dice Juan, nunca
sabrás lo que pasó:
(¬ p ∧ ¬ q ) → ¬ r
- No es cierto que Fernando esté en Madrid y Juan no esté en
Ávila : ¬ ( p ∧ ¬ q )
- Si eres licenciado, no puede ser cierto que no sepas leer ni
escribir : p → ¬ (¬ q ∧ ¬ r )
- Sólo si conoces Oviedo, podrás disfrutar a fondo leyendo La
Regenta y no perderte entre sus tumultuosas páginas: p ↔ (
q∧ ¬r)

41. SIMBOLOSUTILIZADOS EN LOGICA
MATEMATICA
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42. FIN DE PRESENTACIÓN