Análisis estadístico de datos cuantitativos con MINITAB.pptx

APLICACIONES
ESTADÍSTICAS CON
MINITAB® PARA
LABORATORIOS DE
ENSAYOS
Mtr. Lic. Víctor A. Huamaní León
CQP 1165

ÍNDICE
MÓDULO I: ELEMENTOS DE MINITAB® Y ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
o Introducción
o Menú de Minitab®
o Entrada, grabación y recuperación de datos
o Hoja de trabajo
o Opciones del menú Calc
o Opciones del menú Data
o Parámetros estadísticos que estiman el valor de tendencia central: Media, Mediana y Moda
o Parámetros estadísticos que estiman la dispersión: Rango, Desviación estándar, Varianza,
Desviación estándar relativa.

ÍNDICE
MÓDULO II: ENSAYOS DE HIPÓTESIS
o Tipos de errores I y II: Nivel de significancia, P-valor, intervalo y límites de confianza
o Pruebas paramétricas y no paramétricas
o Pruebas de Normalidad (bondad de ajuste): Prueba de Anderson – Darling, Prueba de Kolmogorov-
Smirnorv, Prueba de Shapiro – Wilks
o Datos atípicos: Prueba Z-score, Prueba Q de Dixon, Prueba de Grubbs, Prueba Z-score Robusto
o Comparación de resultados con los resultados de hipótesis:
 Comparación de una media con un valor de referencia: Prueba paramétrica: t-student / Prueba no
paramétrica: Wilcoxon
 Comparación de dos medias: Prueba paramétrica: t-student de dos muestras/ Prueba no paramétrica:
Mann-Whitney
 Comparación de dos varianzas: Prueba paramétrica: Test F/ Prueba no paramétrica: Levene
 Comparación de más de dos varianzas: Prueba paramétrica: Bartlett/ Prueba no paramétrica: Levene
 Comparación de más de dos medias: Prueba paramétrica: ANOVA de uno y dos factores/ Prueba no
paramétrica: Kruskal – Wallis / Test de Friedman

ÍNDICE
MÓDULO III: ANÁLISIS DE REGRESIÓN
o Modelo de regresión lineal simple
o Requisitos para la regresión lineal simple
o Validación del modelo lineal simple
o Regresión lineal múltiple
o Línea resistente en Excel ®
MÓDULO IV: CARTAS CONTROL
o Construcción de los gráficos de control: Fase I Etapa preliminar, Fase II: Etapa de control
o Cartas control por variables: Gráficos I-MR, Casos de causas asignables, Gráficos de sumas
acumuladas (CUSUM)
o Cartas control por atributos: Gráficos P, Gráficos NP, Gráficos C, Gráficos U

ÍNDICE
MÓDULO V: DISEÑO DE EXPERIMENTOS (DOE)
o Diseño Cribado
o Diseño Factorial completo y fraccionado
o Diseño de Superficie respuesta
o Diseño Mezclas
o Diseño de Taguchi.

MÓDULO I: ELEMENTOS DE
MINITAB® Y ESTADÍSTICA
DESCRIPTIVA

MÓDULO I: INTRODUCCIÓN
“Es mejor tener una respuesta aproximada a la pregunta correcta que una
respuesta exacta a la pregunta equivocada”.
— John W. Tukey
Fuente: https://citas.in/autores/john-w-tukey/

Definición Estadística:
“Rama de las matemáticas que trata de la recopilación, el análisis,
la interpretación y la presentación de una gran cantidad de datos
numéricos”.
New Collegiate Dictionary

Estadística
Estadística
descriptiva
Estadística
Inferencial
Estadística
Paramétrica
Estadística
no
Paramétrica

Estadística
descriptiva
Se describe las
características
fundamentales de
los datos y para
ellos se suelen
utilizar indicadores,
gráficas y tablas.

Estadística
inferencial
Métodos utilizados para
poder hacer
predicciones,
generalizaciones y
obtener conclusiones a
partir de datos
analizados teniendo en
cuenta el grado de
incertidumbre existente.

Tipos de Análisis
Estadísticos
Análisis
Univariante
Análisis
Bivariante
Análisis
Multivariante

Análisis
Univariante
Herramientas empleadas para el análisis de los
cambios de una variable por cada observación
dada.
Análisis
Bivariante
Herramientas empleadas para el análisis
simultaneo de los cambios de dos variables por
cada observación dada.
Análisis
Multivariante
Herramientas empleadas para el análisis
simultaneo de los cambios de diversas variables
por cada observación dada.

Asociación Relación entre dos variables
Estimación
Operación de asignar, a partir de las
observaciones en una muestra, valores numéricos
a los parámetros de una distribución elegida como
el modelo estadístico de la población de la cual se
extrae esta muestra.
Probabilidad
Número real, en la escala de 0 a 1, relacionado
con un evento aleatorio.

Tendencia
Inclinación hacia arriba o hacia abajo, después de
la exclusión del error al azar y de los efectos
cíclicos cuando los valores observados son
graficados en el orden de las observaciones.
Prueba
estadística
Procedimiento estadístico para decidir si una
hipótesis nula debería ser rechazada en favor de la
hipótesis alternativa o no.
Muestra
Una o más unidades de muestreo tomadas de una
población y destinadas a proveer información de la
población.

Correlación
Relación entre dos a varias variables aleatorias
dentro de una distribución con dos o más variables
aleatorias.
Variable
aleatoria
Variable que puede tomar cualquier valor dentro de
un conjunto de valores determinados, y a la cual se
le asocia una distribución de probabilidades.
Parámetro Valor utilizado para describir la distribución de
probabilidades de una variable aleatoria.

MÓDULO I: MENÚ DE MINITAB®
1
2
3

MÓDULO I: MENÚ DE MINITAB®
Texto
Fecha/Hora Numérico

MÓDULO I: GRABACIÓN Y RECUPERACIÓN DE
DATOS
 GUARDAR HOJA DE TRABAJO

DATOS
 GUARDAR PROYECTO

DATOS
 OPCIONES

MÓDULO I: OPCIONES DEL MENÚ “DATA”
 APILAR DATOS

MÓDULO I: OPCIONES DEL MENÚ “DATA”
 TRANSPONER DATOS

MÓDULO I: OPCIONES DEL MENÚ “CALC”
 CALCULADORA

MÓDULO I: MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Media
aritmética
Suma de valores dividido por el número de valores.
Nota.- El término “media” se usa generalmente cuando
es referido a un parámetro de población y el término
“promedio” cuando es referido a resultados de un
cálculo sobre los datos obtenidos en una muestra.
Moda
Valor que se presenta con más frecuencia en una serie
de mediciones.

MÓDULO I: MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Mediana
Valor que queda en el centro tras la división de una
serie de valores ordenados en dos partes iguales, una
superior y una inferior.

MÓDULO I: MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Rango
Diferencia entre el mayor y el menor valor observado
de una medición.
Varianza
Medida de la dispersión, que es la suma del cuadrado
de las desviaciones de las observaciones y sus
promedios, dividida por el número de observaciones
menos uno.
Desviación
estándar
Raíz cuadrada positiva de la varianza.

MÓDULO I: MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Coeficiente
de variación
Equivale a la desviación típica expresada en porcentaje
respecto de la media aritmética.
Diagrama
de cajas
Es un rectángulo que abarca el
recorrido (o rango, o intervalo)
intercuartílico (RIC) de la
distribución; o sea, el tramo de
la escala que va desde el
primer cuartil (C1) al tercer
cuartil (C3). Esto incluye el 50
% de las observaciones
centrales.

MÓDULO II: ENSAYOS DE
HIPÓTESIS

MÓDULO II: TIPOS DE ERRORES
Error
Resultado del ensayo menos el valor de referencia
aceptado. El error es la suma de los errores
aleatorios y los sistemáticos.
E. Aleatorio
Componente del error que, en el curso de un
número de resultados de ensayo, varía de forma
impredecible. No es posible corregir un error
aleatorio.
E.
Sistemático
Componente del error, en el curso de un número
de resultados de ensayo, permanece constante o
varía de forma predecible. Los E.S y sus causas
pueden ser conocidos o desconocidos.

Prueba de
hipótesis
Propuesta que puede ser formalmente
comprobada mediante estudios estadísticos.
Error I o α
Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando
esta es verdadera.
Error II o β Probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando
esta es falsa.

Hipótesis nula
(Ho) e Hipótesis
alterna (Ha)
Afirmación acerca de uno o más parámetros o
acerca de una distribución que va a ser ensayada
por medio de una prueba estadística.
Nota.- La hipótesis nula (Ho) se relaciona con la
afirmación que está siendo probada mientras que
la hipótesis alternativa (Ha) se relaciona con la
afirmación que sería aceptada cuando la hipótesis
nula es rechazada.

Nivel de
confianza
Probabilidad de que la diferencia observada entre dos
mediciones de una variable no se debe al azar (1-α), o
probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando esta es
verdadera.
Nivel de
significancia
Valor dado correspondiente al límite superior de una
probabilidad de error del tipo I. El N.S es usualmente
designado como alfa.
P-value
El valor p es una medida de la fuerza de la evidencia en sus
datos en contra de Ho. Por lo general, mientras más pequeño
sea el valor p, más fuerte será la evidencia de la muestra para
rechazar Ho.

MÓDULO II: INTERVALO DE CONFIANZA
Intervalo de
confianza
Intervalo dentro del cual se pueda suponer de manera
razonable que se encuentra el valor verdadero. El término
“confianza” implica que podemos afirmar con un grado de
confianza dado, es decir, con una cierta probabilidad, que el
intervalo sí incluye al valor verdadero.
Líimtes de
confianza
Son los valores extremos del intervalo de confianza.

 Para muestras grandes, los límites de confianza de la media están dadas por:
𝜇 ± 𝑧
𝑠
𝑛

 Para muestras pequeñas, los límites de confianza de la media están dadas por:
𝑥 ± 𝑡𝑛−1
𝑠
𝑛

MÓDULO II: PRUEBAS PARAMÉTRICAS Y
NO PARAMÉTRICAS
Estadística Paramétrica
Pruebas estadísticas aplicadas cuando se supone que los datos se
distribuyen normalmente.

MÓDULO II: PRUEBAS PARAMÉTRICAS Y
NO PARAMÉTRICAS
Estadística no Paramétrica
Pruebas estadísticas aplicadas cuando se supone que los datos no se
distribuyen normalmente.

MÓDULO II: PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE
Distribución Normal
La distribución normal es una
distribución con forma de campana
donde las desviaciones estándar
sucesivas con respecto a la media
establecen valores de referencia para
estimar el porcentaje de observaciones
de los datos.

Distribución Normal
La distribución de la variable es importante para poder conocer el
comportamiento, paramétrico o no paramétrico, para de acuerdo a
eso elegir las herramientas adecuadas.

Normalidad de los Datos
o La mayoría de las distribuciones
asumidas en las pruebas estadísticas
son normales.
o Para verificar la distribución de una
variable, debemos utilizar las pruebas
de bondad de ajuste, la más utilizada
en nuestro medio es la prueba de
Anderson – Darling.

o Se recomienda para una cantidad de datos grandes (n>30).
Conviene tener en cuenta que la prueba KS es más sensible
a los valores cercanos a la mediana que a los extremos de la
distribución.
MÓDULO II: PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE –
KOLMOGOROV-SMIRNOV (KS)

MÓDULO II: PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE –
RYAN-JOINER (RJ)

ANDERSON-DARLING (AD)
Prueba de Anderson – Darling
El estadístico Anderson-Darling mide qué tan bien siguen los datos
una distribución específica. Para un conjunto de datos y distribución
en particular, mientras mejor se ajuste la distribución a los datos,
menor será este estadístico.

Estadístico de prueba :
𝐴𝐷 =
𝑖=1
𝑛
1 − 2𝑖
𝑛
ln 𝐹 𝑧𝑖 + ln 1 − 𝐹 𝑧𝑛+1−𝑖 − 𝑛

Estadístico de contraste :
𝐶𝑉 =
0.752
1 +
0.75
𝑛
+
2.25
𝑛2
• Si AD > CV los datos no se distribuyen normalmente al 95% de confianza, caso contrario
estos se distribuyen normalmente.
• Otra forma de evaluar es con el P-Value, si el P-Value es menor que el nivel de
significancia () los datos no se distribuyen normalmente.
Decisión:

Ejemplo 1:
Se realizaron 15 lecturas de Cobre
por Absorción atómica en matriz de
agua residual en unidades de mg/L,
¿ Estos resultados provienen de esa
muestra con distribución normal?

Decisión:
El P-value (0.150) es mayor que el nivel de significancia (0.05) por lo
cual los datos se distribuyen normalmente.

Ejemplo 2:
Se realizaron 15 recuentos de Bacterias
Heterotróficas para la matriz de agua
superficial en UFC, ¿ Estos resultados
provienen de esa muestra con
distribución normal?

Decisión:
El P-value (0.014) es menor que el nivel de significancia (0.05) por lo
cual los datos no se distribuyen normalmente.

Es frecuente encontrarse con la situación en que uno (o posiblemente
más) de los resultados que se obtienen de un conjunto de medidas
difiera del resto de forma inexplicable. Por esta razón estas medidas
se denominan resultados anómalos, datos atípicos o “outliers”. En
algunos casos estos se pueden atribuir al error humano.
MÓDULO II: DETECCIÓN DE DATOS ATÍPICOS

Se pude cuantificar datos no usuales de una observación cuando se
sigue una distribución normal.
Z-score son el número de desviaciones estándar por encima o por
debajo de la media de cada valor.
Por ejemplo un “Score” Z de 2 indica que una observación es dos
desviaciones estándares por encima del promedio, mientras que un
“Score” Z de -2 significa que es dos desviaciones estándares por
debajo de la media. Un “Score” Z de 0 representa un valor que es
igual a la media.
Z - SCORE

1. ESTADÍSTICO DE PRUEBA
𝑍 − 𝑠𝑐𝑜𝑟𝑒 =
𝑥𝑖 − 𝑥
𝑠
2. REGLA DE DECISIÓN
𝑍𝑖 ≤ 2 , 𝑆𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜
2< 𝑍𝑖 ≤3, 𝐷𝑢𝑑𝑜𝑠𝑜
𝑍𝑖 > 3 , 𝐴𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑜
Z - SCORE

Z - SCORE

Ejemplo
Se realizaron 30 lecturas de Dióxido de
Azufre, si los datos presentan
distribución normal, aplicando el Z-
Score ¿ Se encuentra algún dato atípico
en las lecturas?
Z - SCORE

Decisión:
El valor (Zi) supera el valor de referencia de 𝑍𝑖 > 3, por ende se
considera un dato atípico.
Z - SCORE

Es un contraste para datos anómalos, siendo su cálculo sencillo. Para
pequeñas muestras el contraste evalúa una medida sospechosa
comparando la diferencia entre ella y la medida más próxima en
tamaño, con el intervalo de las medidas.
Q-DIXON

Q =
𝑥𝑠𝑜𝑠𝑝𝑒𝑐ℎ𝑜𝑠𝑜−𝑋𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑋𝑚á𝑥.−𝑋𝑚í𝑛.
𝑄 ≤ 𝑄𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎, no es atípico
𝑄 > 𝑄𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎, es atípico
Ho: Todos los valores de los datos provienen de la misma población
normal
Ha: El valor más pequeño o más grande de los datos es un valor
atípico
Nivel de significancia = 0.05
Q-DIXON

Ejemplo
Se realizaron 7 lecturas de Nitritos en la
matriz de agua residual, si los datos
presentan distribución normal, aplicando
Q-Dixon ¿ Se encuentra algún dato
atípico en las lecturas?
Nitrito (mg/L)
0.403
0.410
0.401
0.380
0.400
0.413
0.411
Q-DIXON

Utilizando Excel ®
El valor crítico de la Q para un tamaño
muestral de 7 es 0.568, por lo que se
acepta el dato de 0.380 como anómalo
a un nivel de confianza del 95%.
Q-DIXON

Utilizando Minitab ®
El valor 0.380 es un valor
atípico, debido a que el p-
value (0.031) es menor al
nivel de significancia (0.05),
a un 95% de nivel de
confianza.
Q-DIXON

Otro contraste utilizado frecuentemente para datos anómalos es el
contraste de Grubbs, que compara la desviación entre el valor
sospechoso y la media muestral, con la desviación estándar de la
muestra. Este contraste es referenciado por la ISO 5725-2
preferentemente al de Dixon.
G - GRUBBS

G =
𝑥𝑠𝑜𝑠𝑝𝑒𝑐ℎ𝑜𝑠𝑜−𝑋
𝑆
Ho: Todos los valores de los datos provienen de la misma población
normal
Ha: El valor más pequeño o más grande de los datos es un valor
atípico
Nivel de significancia = 0.05
G≤ 𝐺5%, Aceptado
𝐺5%<G≤ 𝐺1%, 𝐷𝑢𝑑𝑜𝑠𝑜
G> 𝐺1% , 𝐴𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑜
G - GRUBBS

Ejemplo
Se realizaron 7 lecturas de Nitritos en la
matriz de agua residual, si los datos
presentan distribución normal, aplicando
G-Grubbs ¿ Se encuentra algún dato
atípico en las lecturas?
Nitrito (mg/L)
0.403
0.410
0.401
0.380
0.400
0.413
0.411
G - GRUBBS

Utilizando Excel ®
El valor crítico de la G para un tamaño
muestral de 7 es 2.02, por lo que se
rechaza el dato de 0.380 como anómalo
a un nivel de confianza del 95%.
G - GRUBBS

Utilizando Minitab ®
El valor 0.380 no es un valor
atípico, debido a que el p-
value (0.053) es mayor al
nivel de significancia (0.05),
a un 95% de nivel de
confianza.
G - GRUBBS

Se pude cuantificar datos no usuales de una observación cuando se
sigue una distribución no normal, utilizando una modificación no
paramétrica del Z-score clásico.
Z – SCORE ROBUSTO

𝑍𝑅𝑖 =
𝑥𝑖 − 𝑀𝑒𝑧
𝑠𝑧
𝑍𝑅𝑖 ≤ 2 , 𝑆𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜
2< 𝑍𝑅𝑖 ≤3, 𝐷𝑢𝑑𝑜𝑠𝑜
𝑍𝑅𝑖 > 3 , 𝐴𝑡í𝑝𝑖𝑐𝑜
𝑆𝑍 = 1.483 ∗ 𝑀𝐴𝐷𝑒 MADe= 𝑀𝑒 𝑥𝑖 − 𝑀𝑒𝑧
Z – SCORE ROBUSTO

Ejemplo
Conclusión:
El conjunto de datos no posee distribución normal, debido a que el p-
value (0.018) es menor al nivel de significancia (0.05) a un 95% de
nivel de confianza.
Z – SCORE ROBUSTO

Ejemplo
Conclusiones:
• Según el test de Z-score Robusto, el valor de 39 mg/L es un dato
atípico, por superar el valor 𝑍𝑅𝑖 > 3 .
• Según el test de Z-score Robusto, el valor de 35 mg/L es un dato
cuestionable por encontrarse 2< 𝑍𝑅𝑖 ≤3.
Z – SCORE ROBUSTO

MÓDULO II: COMPARACIÓN DE UN GRUPO DE DATOS Y UN
VALOR RESPECTO A SU MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL
PRUEBA T-STUDENT (1 muestra)
La prueba t-student se utiliza para contrastar hipótesis sobre medias
en poblaciones con distribución normal.

1. PLANTEAMIENTO DE HIPÓTESIS
CASO 1
0
0
:
:




x
H
x
H
a
o
0
0
:
:




x
H
x
H
a
o
CASO 2
0
0
:
:




x
H
x
H
a
o
CASO 3
2. NIVEL DE CONFIANZA DE LA PRUEBA


1
n
S
x
t 




 
 0


4. P-Value
5. REGIÓN DE DECISIÓN
6. CONCLUSIÓN
Probabilidad asociada a los datos experimentales, bajo la
condición de que la Ho es verdadera.
Ho


1 
Ha
Si :
P-value ≥ α
Ho es aceptado, caso contrario Ho es rechazado.

t-tabla : Se determina de la siguiente manera:
𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎=𝑡 1−
𝛼
2
,𝑛−1
2 colas
1 cola
No existen
diferencias
significativas
tabla
erimental t
t 
exp
𝑡𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎=𝑡 1−α,𝑛−1

No existen
diferencias
significativas
tabla
erimental t
t 
exp

Ejemplo
Se realizaron 15 lecturas de un Patrón
de Mercurio en lodos, con una
concentración de 5 mg/Kg, ¿Los
resultados son consistentes con el
Patrón?

Conclusión:
El conjunto de datos posee distribución normal, debido a que el p-
value (0.737) es mayor al nivel de significancia (0.05) a un 95% de
nivel de confianza.

Conclusión:
No existe diferencia significativa
entre la media de los resultados y
el patrón, debido a que el p-
value(0.342) es mayor al valor de
significancia (0.05) con un 95% de
nivel de confianza.

𝐻𝑜: 𝑑 = 0
𝐻𝑎: 𝑑 ≠ 0


1
Frecuentemente se comparan dos métodos de análisis estudiando
muestras de ensayo que contienen sustancialmente diferentes
cantidades de analito.
PRUEBA T-STUDENT (Prueba por parejas)

𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝑥𝑑*
𝑛
𝑆𝑑
Donde:
𝑥𝑑; 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑦 𝑆𝑑; Desv. Estándar de las diferencias

4. P-Value
6. CONCLUSIÓN
Ho


1 
Ha
Si :
P-value ≥ α

Ejemplo
Se realizaron 10 lecturas de un analito
por dos técnicas analíticas distintas,
¿Los resultados son consistentes entre
ambas técnicas?

Conclusión:
• El conjunto de datos para la técnica UV/VIS
posee distribución normal, debido a que el p-
value (0.845) es mayor al nivel de significancia
(0.05) a un 95% de nivel de confianza.
• El conjunto de datos para la técnica NIR posee
distribución normal, debido a que el p-value
(0.255) es mayor al nivel de significancia (0.05) a
un 95% de nivel de confianza.

Conclusión:
entre ambas técnicas analíticas,
debido a que el p-value(0.401) es
mayor al valor de significancia
(0.05) con un 95% de nivel de
confianza.



1




)
(
:
)
(
:
i
a
i
o
x
Me
H
x
Me
H
)
1
,
0
(
48
)
(
24
)
1
2
)(
1
(
)
1
2
)(
1
(
)
4
)
1
(
)
1
(
(
1
3
0
N
v
v
v
v
v
n
n
n
v
v
n
n
T
Z
e
q
q
q
o
o
o
o




















 












PRUEBA DE WILCOXON (Prueba no paramétrica)

4. P-Value
6. CONCLUSIÓN
Ho


1 
Ha
Si :
P-value ≥ α

Ejemplo
Se hicieron lecturas de un patrón
de nivel bajo preparado para DBO
de 20 mg/L, ¿ Los datos son
consistentes con el patrón?

Conclusión:
El conjunto de datos no posee distribución normal, debido a que el p-
value (0.018) es menor al nivel de significancia (0.05) a un 95% de
nivel de confianza.

Conclusión:
entre la mediana del conjunto de
resultados frente al patrón, debido
a que el p-value(0.345) es mayor
al valor de significancia (0.05) con

MÓDULO II: COMPARACIÓN DE DOS GRUPOS DE DATOS
RESPECTO A SU MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL
PRUEBA T-STUDENT (t de 2 muestras)
𝐻𝑜: 𝑥1 = 𝑥2
𝐻𝑎: 𝑥1 ≠ 𝑥2


1
Comparación de las medias de dos muestras.
El modelo t-student también se puede usar cuando se desea
comparar dos muestras entre si, para detectar si hay diferencia
significativa entre ellas, debido a algún factor analizado
























2
1
2
1
exp
1
1
n
n
S
x
x
t
Donde :
2
)
1
(
)
1
(
2
1
2
2
2
2
1
1
2






n
n
S
n
S
n
S
El valor de t de tabla es obtenido a partir de la distribución de t-student
Para (n1 + n2 - 2) grados de libertad.
Suponiendo igualdad de varianzas

Suponiendo varianzas distintas























2
2
2
1
2
1
2
1
exp
n
S
n
S
x
x
t

2
1
1 2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1




















































n
n
S
n
n
S
n
S
n
S
v
Donde los grados de
libertad de t de tabla seria:

Ejemplo
Se requiere dar la competencia
técnica al practicante (pre-analista),
para esto se realizaron corridas de
estándares junto con el entrenador
autorizado. ¿Los datos entre ellos
son consistentes?

Conclusión:
• El conjunto de datos para el entrenador posee
• El conjunto de datos para el practicante posee

Conclusión:
No existe diferencia significativa entre las varianzas del
entrenador y el practicante, debido a que el p-value(0.818)
es mayor al valor de significancia (0.05) con un 95% de
nivel de confianza.

Conclusión:
entre las lecturas del Entrenador y
el practicante, debido a que el p-
nivel de confianza.



1
)
(
)
(
:
)
(
)
(
:
j
i
a
j
i
o
x
Me
x
Me
H
x
Me
x
Me
H


)
1
,
0
(
12
)
1
(
2
2
1
2
1
2
1
1
N
n
n
n
n
n
n
K
Z 








 


PRUEBA MANN-WHITNEY (Prueba no paramétrica)

4. P-Value
6. CONCLUSIÓN
Ho


1 
Ha
Si :
P-value ≥ α

Ejemplo
Se requiere dar la competencia
técnica al practicante (pre-analista),
para esto se realizaron corridas de
estándares junto con el entrenador
autorizado. ¿Los datos entre ellos
son consistentes?

Conclusión:
• El conjunto de datos para el entrenador posee
• El conjunto de datos para el practicante posee
distribución no normal, debido a que el p-value
(<0.05) es menor al nivel de significancia (0.05) a

Conclusión:
entrenador y el practicante, debido a que el p-value(0.243)
es mayor al valor de significancia (0.05) con un 95% de
nivel de confianza.

Conclusión:
entre las lecturas del Entrenador y
el practicante, debido a que el p-
nivel de confianza.

𝐻𝑜: 𝜎1
2
= 𝜎2
2
𝐻𝑎: 𝜎1
2
≠ 𝜎2
2


1
En la mayoría de casos es también importante comprobar la
precisión; por ejemplo aplican para 2: analistas, métodos, laboratorios
difieren en precisión.
La prueba F se considera la razón de las dos varianzas.
RESPECTO A SU MEDIDA DE DISPERSIÓN
PRUEBA F (Comparación de dos varianzas)

 
 
2
2
2
1
2
2
2
1
,
min
,
max





F
4. P-Value
Ho


1 
Ha

6. CONCLUSIÓN
Si :
P-value ≥ α
El valor de F se compara con el valor tabular de la
distribución F con (m-1; n-1) grados de libertad.
Donde m es la cantidad de datos del numerador y
n la cantidad de datos del denominador. Con un
nivel de significancia de α.

𝐻𝑜: 𝜎1
2
= 𝜎2
2
=…= 𝜎𝑡
2
𝐻𝑎: 𝜎𝑖
2
≠ 𝜎𝑗
2
, ∃𝑖 ≠ 𝑗


1
Esta prueba determina si las varianzas de 3 a más grupos son
iguales estadísticamente. Se aplica también cuando la cantidad de
repeticiones de cada grupo no es la misma. La condición es que los
datos sean normales y aleatorios.
MÓDULO II: COMPARACIÓN DE GRUPOS DE DATOS
TEST DE BARTLETT (Comparación de 3 a más varianzas)

𝑥exp
2
=
1
𝑘
𝑁 − 𝑡 𝑙𝑛 𝑆𝑑
2
−
𝑖=1
𝑡
𝑙𝑛 𝑆𝑖
2
𝑘 = 1 +
1
3 𝑡 − 1
𝑖=1
𝑡
1
𝑛𝑖 − 1
−
1
𝑁 − 𝑡
Donde:
N; total de ensayos realizados
t; Número de grupos
Si^2; Varianza de cada grupo
Sd^2; Varianza general

4. P-Value
Ho


1 
Ha

6. CONCLUSIÓN
Si :
P-value ≥ α
Estadístico de Tabla
𝚾𝒆𝒙𝒑
𝟐
> 𝚾(α,𝒕−𝟏)
𝟐
Podemos afirmar que al menos uno de los
grupos presenta distinta precisión.



1
La prueba de Levene modificada utiliza la desviación absoluta de las
observaciones en cada tratamiento de la mediana del tratamiento.
Luego evalúa si la media de estas desviaciones son o no iguales para
todos los tratamientos. Si las desviaciones medias son iguales, las
varianzas de las observaciones en todos los tratamientos serán
iguales.
𝐻𝑜: 𝜎1
2
= 𝜎2
2
=. . . = 𝜎𝑘
2
𝐻𝑎: 𝜎𝑖
2
≠ 𝜎𝑗
2
, ∃𝑖 ≠ 𝑗
PRUEBA DE LEVENE (Prueba no paramétrica)

𝑊 =
(𝑁 − 𝑘)
𝑘 − 1
𝑖=1
𝑘
𝑁𝑖(𝑧𝑖. − 𝑧..)2
𝑖=1
𝑘
𝑗=1
𝑁𝑖
𝑧𝑖𝑗 − 𝑧𝑖.
2 ≈ 𝐹(𝛼, 𝑘 − 1, 𝑁 − 𝑘)
4. P-Value

Ho


1 
Ha
6. CONCLUSIÓN
Si :
P-value ≥ α

El nombre "análisis de varianza" se basa en el enfoque en el cual el
procedimiento utiliza las varianzas para determinar si las medias son
diferentes. El procedimiento funciona comparando la varianza entre
las medias de los grupos y la varianza dentro de los grupos como una
manera de determinar si los grupos son todos parte de una población
más grande o poblaciones separadas con características diferentes.
j
i
x
x
H
x
x
x
H
j
i
a
k
o






;
:
...
: 2
1
MÓDULO II: COMPARACIÓN DE 3 A MÁS GRUPOS DE DATOS
ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA)



1
CME
CMT
F 
4. P-Value

Ho


1 
Ha
6. CONCLUSIÓN
Si :
P-value ≥ α

Una vía o factor significa que tenemos una única variable explicativa o
predictor, también llamada variable independiente.
Modelo:
𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + Τ𝑖 + 𝜀𝑖𝑗
Donde:
𝑌𝑖𝑗: Valor observado
𝜇: Valor poblacional (media)
Τ𝑖: Efecto del factor (entre grupos)
𝜀𝑖𝑗: Error aleatorio(dentro de los grupos)
ANOVA (1 FACTOR)

Cuadro de ANOVA (1 Factor)
Fuentes G.L SC CM F
Factor
(tratamientos)
a-1 SCF CM(factor) CM(factor)
/CME(error)
Error
(residual)
ab-a SCE CM(error)
Total ab-1 --- ---
ANOVA (1 FACTOR)

Ejemplo
Comparar las medias para el
siguiente experimento. Tres
lecturas de muestras con
Fluorescencia en cuatro
condiciones de almacenamiento
diferente.
ANOVA (1 FACTOR)

1. Calcular la
normalidad de los
residuales
Conclusión:
Los residuales del experimento poseen distribución normal, debido a
que el p-value (0.189) es mayor al nivel de significancia (0.05) a un
95% de nivel de confianza.
ANOVA (1 FACTOR)

2. Calcular la
Homogeneidad de
varianzas
Conclusión:
experimento, debido a que el p-value(0.834) es mayor al
valor de significancia (0.05) con un 95% de nivel de
confianza.
ANOVA (1 FACTOR)

3. Calcular la
ANOVA
Conclusión:
Existen diferencias significativas
entre las medias de las lecturas
bajo la condiciones del
experimento, debido a que el p-
value(<0.005) es menor al valor de
nivel de confianza.
ANOVA (1 FACTOR)

¿Cómo saber que condición (según el ejemplo)
es diferente al resto?
Se utiliza una prueba post-hoc, llamada Prueba de
Tukey.
ANOVA (1 FACTOR)

ANOVA (1 FACTOR)

Dos vías o factores significa que tenemos dos variables explicativas o
predictoras, también llamada variable independiente.
ANOVA 2
FACTORES
Caso 1
n = 1
Caso 2
n ≥ 2
ANOVA (2 FACTORES)

Modelo:
𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + Τ𝑖 + 𝛽𝑗 + 𝜀𝑖𝑗
Donde:
𝑌𝑖𝑗: Valor observado
Τ𝑖: Efecto del primer factor
𝛽𝑗: Efecto del segundo factor
𝜀𝑖𝑗: Error aleatorio
Caso 1
n = 1
ANOVA (2 FACTORES)

Cuadro de ANOVA (2 Factores)
Fuentes G.L SC CM F
Factor 1 a-1 SCF1 CM(factor1) CM(factor1)
/CME(error)
Factor 2 b-1 SCF2 CM(factor2) CM(factor2)
/CME(error)
Error (a-1)(b-1) SCE CM(error) ---
Total ab-1 --- --- ---
ANOVA (2 FACTORES)

1. Calcular la
normalidad de los
residuales
Conclusión:
Los residuales del experimento poseen distribución normal, debido a
que el p-value (0.910) es mayor al nivel de significancia (0.05) a un
95% de nivel de confianza.
ANOVA (2 FACTORES)

2. Calcular la Homogeneidad de varianzas
Conclusión:
No existe diferencia significativa entre las varianzas del experimento
para el factor agente quelante, debido a que el p-value(0.390) es
mayor al valor de significancia (0.05) con un 95% de nivel de
confianza.
Conclusión:
No existe diferencia significativa entre las varianzas del experimento
para el factor días, debido a que el p-value(0.558) es mayor al valor
de significancia (0.05) con un 95% de nivel de confianza.
ANOVA (2 FACTORES)

3. Calcular la
ANOVA para dos
factores
Conclusiones:
• Para el factor “Agente
quelante”, existe diferencia
significativa entre su media,
debido a que el p-value (0.033)
es menor al valor de
significancia(0.05) al 95% de
confianza.
• Para el factor “Días”, no existe
diferencia significativa entre su
media, debido a que el p-value
(0.058) es mayor al valor de
significancia(0.05) al 95% de
confianza.
ANOVA (2 FACTORES)

Modelo:
𝑌𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + Τ𝑖 + 𝛽𝑗 + (Τ𝛽)𝑖𝑗+𝜀𝑖𝑗𝑘
Donde:
𝑌𝑖𝑗𝑘: Valor observado
Τ𝑖: Efecto del primer factor
𝛽𝑗: Efecto del segundo factor
(Τ𝛽)𝑖𝑗: Interacción entre los factores
𝜀𝑖𝑗𝑘: Error aleatorio
Caso 2
n ≥ 2
ANOVA (2 FACTORES)

Cuadro de ANOVA (2 Factores)
Fuentes G.L SC CM F
Factor 1 a-1 SCF1 CM(factor1) CM(factor1)
/CME(error)
Factor 2 b-1 SCF2 CM(factor2) CM(factor2)
/CME(error)
Interacción (a-1)(b-1) SCF12 CM(interacción) CM(interacción)
/CME(error)
Error ab(n-1) SCE CM(error) ---
Total abn-1 SCT --- ---
ANOVA (2 FACTORES)

Utilice la Prueba de Kruskal-Wallis para determinar si las medianas
de dos o más grupos difieren, incluso cuando las poblaciones son
normales, este contraste funciona bien.
j
i
x
Me
x
Me
H
x
Me
x
Me
x
Me
H
j
i
a
k
o






);
(
)
(
:
)
(
...
)
(
)
(
: 2
1


1
PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS (Prueba no paramétrica)

4. P-Value
)
1
(
3
)
1
(
(
12
1
2
1











 

N
N
R
N
N
H
k
i i

Ho


1 
Ha
6. CONCLUSIÓN
Si :
P-value ≥ α

Equivale a la prueba ANOVA con repeticiones, pero para contrastes NO
PARAMÉTRICOS.
Se utilizan en diseños en bloques aleatorios con variable ordinal o cuando no se
cumplen los supuestos de la ANOVA.
Procedimiento:
• Asignar rangos dentro de cada bloque
• Sumar los rangos para cada tratamiento (Rj)
• Calcular de acuerdo a:
• 𝑸 =
𝟏𝟐
𝒏𝑲 𝑲+𝟏 𝒋=𝟏
𝑲
𝑹𝒋
𝟐
-𝟑𝒏(𝑲 + 𝟏)
TEST DE FRIEDMAN (Prueba no paramétrica)

Se comparar con:
Q>𝚾 𝟏−𝜶;𝒌−𝟏
𝟐
; Se rechaza la Hipótesis alterna (Ha)
TEST DE FRIEDMAN (Prueba no paramétrica)

MÓDULO III: ANÁLISIS DE
REGRESIÓN LINEAL.

MÓDULO III: ANÁLISIS DE REGRESIÓN
MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Análisis de Regresión:
Es una técnica estadística para investigar y modelar la relación entre
variables.
Modelo de regresión:
Ecuación que representa la relación entre las variables.

Modelo de Regresión Lineal Simple
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋 + 𝜀𝑖
𝛽0 = 𝑦 − 𝛽1𝑋
Intercepto Pendiente
𝛽1=
𝑆𝑋𝑌
𝑆𝑋𝑋

La pendiente 𝛽1
Indica el cambio promedio en la variable de la respuesta
cuando la variable predictora aumenta en una unidad.
El intercepto 𝛽0
Indica el valor promedio de la variable de respuesta cuando
la variable predictora vale 0. Sin embargo carece de
interpretación práctica si es irrazonable pensar que el rango
de valores de X incluye a cero.

El coeficiente de Determinación 𝑹𝟐
Indica la proporción de la variación total en la variable
dependiente (Y), que es explicada por el modelo de regresión
estimado, es decir, mide la capacidad explicativa del modelo
estimado.
𝑅2
=
𝑆𝑆𝑅
𝑆𝑆𝑇
𝑥100%

REQUISITOS PARA LA REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
REQUISITOS PARA LA
REGRESIÓN LINEAL
SIMPLE
Residuales normales
1
2 Asociación estadística
3 ANOVA de regresión

Modelo de Regresión Lineal Múltiple
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑘 + 𝜀
Estimador de los regresores
𝛽= 𝑋′𝑋 −1𝑋′𝑌
MODELO DE REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE
𝑌 = 𝑋β + ε

REQUISITOS PARA LA
REGRESIÓN LINEAL
MÚLTIPLE
Residuales normales
1
2 Asociación estadística
3 ANOVA de regresión

MÓDULO IV: CARTAS CONTROL
INTRODUCCIÓN
Walter Shewhart, físico y estadístico,
el cual trabajaba para los Laboratorios
Bell de Telecomunicaciones desarrollo
el concepto de Cartas Control
alrededor de 1920, fundando la base
del SPC.
Tiempo después durante la segunda
guerra mundial, W. Edwards Deming
aplicó los métodos del SPC para
optimizar productos armamentistas.

INTRODUCCIÓN
CAUSAS ASIGNABLES
VS.
CAUSAS ALEATORIAS

INTRODUCCIÓN
Dr. Shewhart observó que los procesos muestran
una variación, algunos procesos muestran
variaciones controladas naturales, mientras otros
muestran variaciones descontroladas.
SHEWHART
DEFINIÓ
Causas Fortuitas
Causas Asignables

INTRODUCCIÓN
Tipos de Variabilidad
V. Aleatoria
V. Sistemática
Material
Método
Mano de obra
Máquina
Medio
5 M´s
RESULTADO

INTRODUCCIÓN
Y= Yexp. + B+ e

INTRODUCCIÓN
PARTES DE UNA CARTA CONTROL

INTRODUCCIÓN
La mayor parte
de los puntos
están muy cerca
del promedio
3S
3S
2S
2S
Lejos del
promedio hay
menos
Más afuera casi no
hay puntos

CARTA X-R

CARTA X-R
1. Tomar 𝑘 (al menos 20) muestras de tamaño 𝑛 de forma consecutiva y a intervalos de
tiempo iguales, calculando la media y el rango de cada muestra:
𝑋𝑖 =
𝑥𝑖1 + 𝑥𝑖2 + ⋯ + 𝑥𝑖𝑛
𝑛
𝑅𝑖 = 𝑚𝑎𝑥 𝑥𝑖𝑗 − 𝑚𝑖𝑛 𝑥𝑖𝑗
𝑖 = 1, 2, …, k
𝑗=1, 2, …, n

CARTA X-R
2. Calcular la media de las 𝑘 medias muestrales y la media de los 𝑘 rangos:
𝑋 =
𝑖=1
𝑘
𝑋𝑖
𝑘
𝑅 =
𝑖=1
𝑘
𝑅𝑖
𝑘

CARTA X-R
3. Calcular los límites de control del gráfico, como no se conocen los parámetros:
media poblacional (𝜇) y desviación estándar poblacional (𝜎), estos deben estimarse a
partir de los datos y se llega a los siguientes límites de control:
Para Medias
Limite Superior 𝑋 + 𝐴2𝑅
Gráfico 𝑋 Limite Central 𝑋
Limite inferior 𝑋 − 𝐴2𝑅

CARTA X-R
Para Rangos
Limite Superior 𝐷4𝑅
Gráfico 𝑅 Limite Central 𝑅
Limite inferior 𝐷3𝑅
Donde los valores 𝐴2, 𝐷3 y 𝐷4 se pueden encontrar, para diferentes tamaños de
muestra, en la tabla: “Factores para la Construcción de Gráficas de Control”.

CARTA X-R
4. Llevar los valores de las medias y los rangos de las muestras obtenidas a los gráficos
y comprobar que no hay ningún tipo de comportamiento anómalo en ninguno de ellos.
En tal caso pasar a 5.
Si existe evidencia de que durante la construcción del gráfico el proceso no ha estado
bajo control, se han de buscar las causas asignables y actuar sobre ellas.
Sólo en este caso se reconstruirá el gráfico eliminando las anomalías y comenzando en
el paso 2.
En aquellos casos en que haya variado notablemente las características del proceso,
debe comenzarse desde el principio.

CARTA X-R
5. Mantener los límites de control calculados en el apartado 3 y establecer un plan de
control para el futuro con el objetivo de realizar un seguimiento del proceso.
Para ello, dependiendo de las características del proceso (costo de inspección,
producción diaria, costo de producir fuera de especificaciones) se toman muestras de
tamaño 𝑛 en intervalos de tiempo determinado y se lleva la media muestral 𝑋 y el
rango 𝑅 a los gráficos correspondientes.

CARTA X-S
1. Tomar k (al menos 20) muestras de tamaño 𝑛 de forma consecutiva y a intervalos de
tiempo iguales, calculando la media y la desviación estándar de cada muestra:
𝑋𝑖 =
𝑥𝑖1 + 𝑥𝑖2 + ⋯ + 𝑥𝑖𝑛
𝑛
𝑆𝑖 =
𝑗=1
𝑛
𝑥𝑖
2
− 𝑛𝑋𝑖
2
𝑛 − 1
𝑗=1, 2, …, n

CARTA X-S
2. Calcular la media de las 𝑘 medias muestrales y la media de las 𝑘 desviaciones
estándar:
𝑋 =
𝑖=1
𝑘
𝑋𝑖
𝑘
𝑆 =
𝑖=1
𝑘
𝑆𝑖
𝑘

CARTA X-S
3. Calcular los límites de control del gráfico mediante las expresiones siguiente:
A. Si so se conocen los parámetros: media poblacional (𝜇) y desviación estándar
poblacional (𝜎), estos pueden usarse para calcular los límites de control:
Para Medias
Límite Superior 𝜇 + 3
𝜎
𝑛
Gráfico 𝑋 Límite Central 𝜇
Límite inferior 𝜇 − 3
𝜎
𝑛

CARTA X-S
Para Desviaciones Estándar
Límite Superior
𝑐4𝜎 + 3𝜎 1 − 𝑐4
2
Gráfico 𝑆 Límite Central 𝑐4𝜎
Límite inferior
𝑐4𝜎 − 3𝜎 1 − 𝑐4
2
Donde el valor 𝑐4 se puede encontrar, para diferentes tamaños de muestra, en la tabla:
“Factores para la Construcción de Gráficas de Control”.

CARTA X-S
B. Si no se conocen los parámetros: media poblacional (𝜇) y desviación estándar
poblacional (𝜎), siendo esto lo más común, estos deben estimarse a partir de los datos
y se llega a los siguientes límites de control:
Para Medias
Límite Superior 𝑋 + 𝐴3𝑆
Gráfico 𝑋 Límite Central 𝑋
Límite inferior 𝑋 − 𝐴3𝑆

CARTA X-S
Para Desviaciones Estándar
Límite Superior 𝐵4𝑆
Gráfico 𝑆 Límite Central 𝑆
Límite inferior 𝐵3𝑆
Donde los valores 𝐴3, 𝐵3 y 𝐵4 se pueden encontrar, para diferentes tamaños de
muestra, en la tabla: “Factores para la Construcción de Gráficas de Control”.

CARTA X-S
4. Llevar los valores de las medias y las desviaciones estándar de las muestras
obtenidas a los gráficos y comprobar que no hay ningún tipo de comportamiento
anómalo en ninguno de ellos. En tal caso pasar a 5.
el paso 2.

CARTA X-S

CARTA I-MR

CARTA I-MR
Es una gráfica para variables de tipo cuantitativo continuo que se puede ver como un
caso particular de la gráfica 𝑋 − 𝑅 cuando el tamaño de muestra es 𝑛 = 1.
Este gráfico, se utiliza en los siguientes casos:
• Solo pueden obtenerse una observación por lote o partida de material.
• En procesos continuos o de batch en los cuales no tiene sentido hablar de
“individuos”.
• Se quiere comparar cada producto con la especificación (se producen pocos y son
caros).
• Procesos muy lentos.
• Resulta costoso inspeccionar y medir más de un artículo (pruebas destructivas).

CARTA I-MR
El problema radica en que con una única medida no es posible estimar la desviación
típica poblacional que, por otra parte puede ser nula.
Si disponemos de un método de medida automática que permite medir cada una de
las piezas fabricadas, la desviación típica de la población no es nula pero el tamaño
unitario de la muestra no permite efectuar su estimación.
Existen dos métodos para estimar la desviación típica:
• Rangos Móviles.
• Agrupación por Bloques.

CARTA I-MR
El método de Rangos Móviles consiste en agrupar “ 𝑛 ” medidas individuales
consecutivas para formar un grupo de datos que permita medir el Rango o Recorrido.
Una vez tomado el primer grupo constituido por las primeras “𝑛” medidas individuales,
se forma un nuevo grupo de datos incorporando al grupo anterior una nueva medición
y eliminando la más antigua.
De esta forma se configura cada grupo a partir del anterior.

CARTA I-MR
El método de Agrupación por Bloques se puede aplicar cuando existe alguna razón
lógica para agrupar los datos.
Por ejemplo, las medidas individuales obtenidas en un turno.
En el ejemplo de la industria cervecera que envasa la producción de dos tanques en un
día, se podrían agrupar los dos datos individuales diarios.

CARTA I-MR
El cálculo de los límites de control se efectúa como en el gráfico de la media sin más
que tener en cuenta que 𝑛 = 1.
Por cualquiera de los dos métodos anteriores se agrupan los datos en conjuntos de “𝑛”
medidas individuales. En cada uno de ellos se determina el Rango y, a partir de los
rangos de varias agrupaciones, se calcula el Rango medio. Del conjunto de las medidas
individuales se determina la media aritmética, la cual será 𝑋.

CARTA I-MR
1. Tomar k (al menos 20) muestras de tamaño 𝑛 = 1 de forma consecutiva y a
intervalos de tiempo iguales, calculando la media y la desviación estándar de cada
muestra:
𝑋 =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛

CARTA I-MR
2. El rango medio se obtiene promediando los rangos móviles obtenidos al hacer
muestras de tamaño “w” de la siguiente manera:
• Para obtener 𝑅𝑖 se toman las primeras “𝑤” observaciones (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑤) y se calcula
el rango 𝑅1.
• El rango 𝑅2 se obtiene a partir de (𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑤+1), y así sucesivamente. Así, se
obtiene la media de rangos:
Donde:
𝑘: Número total de observaciones.
𝑤: Número de observaciones utilizadas para el calculo en
el cálculo del rango móvil (usualmente se suele tomar
𝑤 = 2 por simplicidad).
𝑅𝑖: Rango del grupo móvil (𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1, … , 𝑥𝑖+𝑤−1)
𝑅: Media de rangos móviles.
𝑅 =
𝑖=1
𝑘−𝑤+1
𝑅𝑖
𝑘 − 𝑤 + 1

CARTA I-MR
3. Calcular los límites de control del gráfico mediante las siguientes expresiones:
Para Medias
Limite Superior
𝑋 + 3
𝑅
𝑑2
Gráfico 𝑋 Limite Central 𝑋
Limite inferior
𝑋 − 3
𝑅
𝑑2

CARTA I-MR
Para Rangos
Limite Superior 𝐷4𝑅
Gráfico 𝑅 Limite Central 𝑅
Limite inferior 𝐷3𝑅
Donde los valores 𝑑2, 𝐷3 y 𝐷4 se pueden encontrar, para 𝑛 = 2, en la tabla: “Factores
para la Construcción de Gráficas de Control”.

CARTA I-MR
4. Llevar los valores de las medias y los rangos de las muestras obtenidas a los gráficos
y comprobar que no hay ningún tipo de comportamiento anómalo en ninguno de ellos.
En tal caso pasar a 5.
el paso 2.

CARTA I-MR

CAUSAS ASIGNABLES (ISO 7870-2:2013)
LCS
TEST 1: Un punto fuera de la zona A.
LCI

x
A
A
B
B
C
C
X
X

LCS
TEST 2: Nueve puntos consecutivos en la zona C ó a un lado de la línea
central.
LCI

x
A
A
B
B
C
C
X

LCS
TEST 3: Seis puntos consecutivos con tendencia creciente o decreciente.
LCI

x
A
A
B
B
C
C
X
X

LCS
TEST 4: Catorce puntos en una fila alternadas de arriba y abajo.
LCI

x
A
A
B
B
C
C X

LCS
TEST 5: Dos de cada tres puntos en una fila en la zona A o más allá de un
lado de la línea central.
.
LCI

x
A
A
B
B
C
C
X
X
X

LCS
TEST 6: Cuatro de Cinco puntos fuera de la zona B o más allá del lado de
la línea central.
.
LCI

x
A
A
B
B
C
C
X
X

LCS
TEST 7: Quince puntos en una fila en la zona C por encima o por debajo
de la línea central.
.
LCI

x
A
A
B
B
C
C
X

LCS
TEST 8: Ocho puntos en una fila en ambos lados de la línea central con
ningún punto en la zona C.
.
LCI

x
A
A
B
B
C
C
X

MÓDULO IV: DISEÑOS DE
EXPERIMENTOS (DOE)

MÓDULO V: DISEÑO DE EXPERIMENTOS (DOE)
INTRODUCCIÓN
Un diseño experimental es una prueba o serie de pruebas en las
cuales existen cambios deliberados en las variables de entrada
de un proceso o sistema, de tal manera que sea posible observar
e identificar las causas de los cambios que se producen en la
respuesta de salida.

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN
• El propósito de cualquier DOE es
proporcionar una cantidad
máxima de información al
problema que se está
investigando, ajustando el diseño
a lo más simple y rentable
económicamente
(horas/hombre).

INTRODUCCIÓN
DEFINICIONES BÁSICAS
a) Diseño: Consiste en planificar la forma de hacer el
experimento, materiales y métodos a usar, etc.
b) Experimento: Conjunto de pruebas o ensayos cuyo objetivo es
obtener información, que permita mejorar el producto en
estudio.
c) Tratamiento: Es un conjunto particular de condiciones
experimentales definidas por el investigador.
d) Factor: Es un grupo específico de tratamientos (Ejemplo:
tiempo, Temperatura, concentración, etc.)

INTRODUCCIÓN
e) Niveles del factor: Son diversas categorías de un factor. (Por
ejemplo, los niveles de temperatura 25°C y 15°C, etc.)
f) Réplica: Son las repeticiones que se realizan del experimento
básico.
g) Unidad experimental: Es el elemento que se está estudiando.
h) Factores controlables: Son aquellos parámetros del producto o
proceso, para los cuales se prueban distintas variables o valores
con el fin de estudiar cómo influyen sobre los resultados.

INTRODUCCIÓN
i) Factores incontrolables: Son aquellos parámetros del producto
o proceso, que es imposible de controlar al momento de
desarrollar el experimento.

INTRODUCCIÓN
DOE
(Principales
modelos)
1. DISEÑO CRIBADO
2. DISEÑO FACTORIAL
3. SUPERFICIE RESPUESTA
4. DISEÑO DE MEZCLAS
5. DISEÑO TAGUCHI

DISEÑO CRIBADO
Este método permite
diseñar experimentos
separando los factores
esenciales que tienen un
efecto significativo en la
respuesta (importantes) de
las que no (triviales).
Cribar
Seleccionar entre varias cosas lo
que se considera bueno (similar a
Pareto).

DISEÑO FACTORIAL
Un diseño factorial es un tipo de experimento
diseñado que permite estudiar los efectos que
varios factores pueden tener en una respuesta. Al
realizar un experimento, variar los niveles de
todos los factores al mismo tiempo en lugar de
uno a la vez, permite estudiar las interacciones
entre los factores.

DISEÑO FACTORIAL

SUPERFICIE RESPUESTA
Este método se utiliza cuando en un problema la respuesta de
interés recibe una influencia de diversas variables, donde el
objetivo es optimizar la respuesta y determinar el modelo
matemático que mejor se ajusta a los datos obtenidos.
En estos problemas la forma de relación entre la respuesta
y las variables independientes suele ser desconocida, por
lo que el primer paso es encontrar una próxima a la verdadera
relación funcional entre la respuesta y elconjunto de variables
independientes.

SUPERFICIE RESPUESTA

DISEÑO DE MEZCLA
Los experimentos de mezclas son una clase especial de experimentos de superficie de respuesta en
los que el producto objeto de investigación se compone de varios componentes o ingredientes. Los
diseños para estos experimentos resultan útiles, porque muchas actividades de diseño y desarrollo
de productos en situaciones industriales implican fórmulas o mezclas. En estas situaciones, la
respuesta depende de las proporciones de los diferentes ingredientes incluidos en la mezcla. Por
ejemplo, usted podría estar desarrollando una mezcla para panqueques hecha de harina, polvo para
hornear, leche, huevos y aceite. También podría estar desarrollando un insecticida que combina
cuatro ingredientes químicos.

DISEÑO DE MEZCLA

DISEÑO DE TAGUCHI (Diseño ortogonal)
Un diseño de Taguchi es un experimento diseñado que permite elegir un producto o proceso que funciona
con mayor consistencia en el entorno operativo. Los diseños de Taguchi reconocen que no todos los
factores que causan variabilidad pueden ser controlados. Estos factores que no se pueden controlar se
denominan factores de ruido. Los diseños de Taguchi intentan identificar factores controlables (factores de
control) que minimicen el efecto de los factores de ruido. Durante el experimento, usted manipula los
factores de ruido para hacer que haya variabilidad y luego determina la configuración óptima de los
factores de control para que el proceso o producto sea robusto o resistente ante la variación causada por
los factores de ruido. Un proceso diseñado con esta meta producirá una salida más consistente. Un
producto diseñado con esta meta tendrá un rendimiento más consistente, independientemente del
entorno en el que se utilice.

DISEÑO DE TAGUCHI (Diseño ortogonal)

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