1. Una función F es una antiderivada de f en un intervalo I si F'(x) = f(x) para toda x en I. La antiderivada más general de f en I es F(x) + C, donde C es una constante arbitraria. 2. Se resuelve un problema de valor inicial para determinar el tiempo que tarda un paquete en caer desde una altura inicial de 80 pies hasta llegar al suelo, considerando una aceleración constante debida a la gravedad de -32 pies/segundo2. 3. La colección de todas las antider

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Antiderivadas

2. 2
Definición
Una función F es una antiderivada de f en un intervalo I si F’(x) = f(x) para toda x
en I.
Teorema
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces la antiderivada más
general de f en I es
F(x) + C
donde C es una constante arbitraria.

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Las curvas y = x³ + C cubren el plano de
coordenadas sin traslaparse. En el ejemplo
identificamos la curva y = x³ - 2 como
aquella que pasó por el punto dado (1, -1).

4. 4
Fórmulas para antiderivadas; k es una constante diferente de cero

5. 5
Reglas de linealidad para antiderivadas

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Un globo de aire caliente asciende a una velocidad de 12 𝑓𝑡
𝑠𝑒𝑔
está a una altura de 80𝑓𝑡
por encima del suelo cuando se suelta un paquete. ¿Cuánto tarda el paquete en llegar al
suelo?
Sea 𝑣(𝑡) la velocidad del paquete en el instante t y con s(t) su altura con
respecto al suelo. La aceleración debida a la gravedad cerca de la superficie
terrestre es de 32 𝑓𝑡
𝑠𝑒𝑔2. Suponiendo que no hay fuerzas que actúen sobre el
paquete que se soltó, se tiene
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −32 negativo porque la gravedad actúa en la dirección en que disminuye
Por lo tanto se tiene un problema de valor inicial
Ecuación diferencial:
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −32
Condición inicial: 𝑣 0 = 12
Modelo matemático para el movimiento del paquete.
Se resuelve el problema para obtener la velocidad,

7. Resolviendo la ecuación diferencial
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −32 se tiene que
𝑣 𝑡 = −32𝑡 + 𝐶
Por lo tanto como 𝑣 0 = 12 se tiene que
12 = −32 0 + 𝐶
𝐶 = 12
Luego la velocidad del globo tiene como función
𝑣 𝑡 = −32𝑡 + 12
Como la velocidad es la derivada de la altura y la altura del paquete es de
80 ft en el instante t=0 entonces tenemos un problema de valor inicial
𝑣 𝑡 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= −12𝑡 + 12; 𝑠 0 = 80

8. Resolviendo la ecuación diferencial
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= −32𝑡 + 12se tiene que
𝑠 𝑡 = −16𝑡2
+ 12𝑡 + 𝐶
Como 𝑠 0 = 80 se tiene que
80 = −16 0 + 12 0 + 𝐶
𝐶 = 80
Luego la altura en cualquier instante t está dada por la función
𝑠 𝑡 = −16𝑡2
+ 12𝑡 + 80
Se necesita resolver la ecuación pata t=0 y poder determinar el tiempo que tarda en llegar
al suelo
−16𝑡2 + 12𝑡 + 80 = 0
−4𝑡2 + 3𝑟 + 20 = 0
𝑡 =
−3 ± 329
−8
𝑡 ≈ −1.89 𝑡 ≈ 2.64
Luego el paquete toca el suelo aproximadamente a los 𝑡 ≈ 2.64 𝑠𝑒𝑔

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Definición
La colección de todas las antiderivadas de f se denomina la integral indefinida de f
con respecto a x, la cual se denota mediante
 f(x)dx.
El símbolo  es un signo de integral. La función f es el integrando de la integral, y
x es la variable de integración.
INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

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Teorema 6. Regla de sustitución
Si u = g(x) es una función derivable cuyo rango es un intervalo I, y f es continua en I,
entonces