Este documento introduce los conceptos de razón de cambio y derivada. Explica que las razones de cambio media y la pendiente de una secante no pueden responder preguntas sobre puntos específicos, mientras que el concepto de derivada como un límite cuando el incremento se acerca a cero sí puede hacerlo. También define la función derivada como el modelo matemático que representa el conjunto de puntos formados por las derivadas de una función en cada punto de su dominio.

1. 1
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional San Rafael
SISTEMAS DINÁMICOS I
Comisiones 3 y 4
2010
Razones de cambio y derivadas
Introducción: dos problemas, una solución
Podemos introducirnos al tema a plantear a través de un análisis de dos situaciones distintas
pero con una misma solución.
En primer lugar analicemos el problema de la recta tangente a una curva en un punto. Si la
curva es regular, como por ejemplo una circunferencia, el problema admite soluciones geométricas.
Si la curva responde a un modelo cualquiera, no es tan sencillo.
En segundo lugar analicemos el problema del desplazamiento o cambio de posición en el
tiempo de un objeto. Supongamos que se desea analizar con que velocidad se movió para recorrer
una cierta distancia. Si conocemos la distancia y el tiempo empleado, plateamos el cociente
d
v
t
Δ
=
Δ
,
obtendremos nuestro resultado. Sin embargo si deseamos conocer con que velocidad se desplazaba
en cada instante del intervalo de tiempo analizado, nos encontramos con la situación que nuestro ∆t
debiera ser 0, y en ese caso tendríamos una división por cero.
¿Qué solución aporta la matemática en este caso? Un recurso ya conocido por nosotros, que
es el límite. ¿Cómo aplicar el concepto?. Esto es lo que analizaremos en los desarrollos siguientes.
Incrementos
En el estudio que proponemos el
concepto de incrementos resulta fundamental
para comenzar a plantear las soluciones a los
problemas que se han planteado.
Los incrementos son variaciones en las
variables. Los incrementos generalmente se
indican con la letra griega ∆. Así ∆x es la
variación que se produce en la variable
independiente “x” y ∆y el incremento
resultante en el valor de función.
Si partimos de un punto perteneciente
a la función de coordenadas (a, f(a)), y
1 2 3 4
2
3
4
5
-1 1 2 3
0.5
1.5
2
2.5
∆y
∆x = h
a a+h
f(a)
f(a+h)
x
y
f(x)

2. 2
aplicamos incremento de variable, “h” , se obtendrá un punto (a+h, f(a+h)).
O sea:
∆x = (a+h) − a= h
∆y = f(a+h) − f(a)
En algunos casos nos referiremos al incremento de variable “x” como ∆x y en otros casos lo
llamamos “h”, según la necesidad, pero son conceptos equivalentes. Cuando se desea hacer
referencia a un incremento genérico se suele usar ∆x, y cuando se analiza a partir de un valor
determinado, “a” en este caso es frecuente llamarlo “h”.
Así, dada
f(x)= x2
+ 2x
Si se desea incrementar la función a partir de un valor x=a, será:
∆x = h
f(a)=a2
+ 2 a
f(a+h)= (a+h)2
+ 2 (a+h)= a2
+2 a h +h2
+2 a+2 h
∆y = f(a+h) − f(a)= a2
+ 2 a h +h2
+2 a+2 h− ( a2
+ 2 a)=
∆y = a2
+ 2 a h + h2
+ 2 a + 2 h − a2
− 2 a = 2 a h + h2
+2 h
En Math sería:
f@x_D = x2
+ 2x;
∆y= f@a+ hD − f@aD
−2 a − a2
+ 2 Ha + hL+ Ha + hL2
Simplify@∆yD
h H2+ 2 a + hL
Cociente de incrementos o cociente incremental
Llamamos cociente de incrementos al cociente
y
x
Δ
Δ
. Su interpretación básica es que
representa la variación de la función con respecto a una variación de la variable. En cada aplicación
tendrá una interpretación distinta.
y f(a h) f(a)
x h
Δ + −
=
Δ
a) Pendiente de una recta secante
Si analizamos una f(x) cualquiera, y tomamos dos puntos sobre ella, al trazar una secante que
une a los dos puntos, vemos que el
cociente de incrementos representa el
valor de la pendiente de la recta
secante:
sec ante
y f(a h) f(a)
m
x h
Δ + −
= =
Δ
∆y
∆x
a+ha
f(a+h)
f(a)

3. 3
Sea por ejemplo f(x)= x2
− 3 x. Deseamos trazar una secante que pase por (2,f(2)), (4,f(4)).
La pendiente de la recta secante será:
4 2 4 2
3
4 2 2
sec ante
y f(a h) f(a) f( ) f( )
m
x h
Δ + − − +
= = = = =
Δ −
La ecuación de la secante será:
r(x)= 3 (x−2) + f(2)= 3 x − 8
b) Velocidad media
El concepto de velocidad media es bastante intuitivo para la mayoría de las personas. Si un
móvil recorre 45 km en 0,5 horas, es común decir que su velocidad media es:
45
90
0 5
m
d km
v km /h
t , h
Δ
= = =
Δ
Para dar mayor precisión sobre la expresión correspondiente, supongamos llamar a la posición
en función del tiempo y(t). Entonces la razón de cambio media será:
0 0 45 0
90
0 5 0
m
y(t t) y(t )y
v km /h
t t ,
+ Δ −Δ −
= = = =
Δ Δ −
Supongamos que el objeto se desplaza, desde 10 km hasta los 23 km en el tiempo
transcurrido entre 5 seg y 6,5 seg. La velocidad media será:
23 10 13
8 6
6 5 5 1 5
m
y
v , km /h
t , ,
Δ −
= = = =
Δ −
Razones de cambio cuando h→ 0
Si bien los conceptos de velocidad media y pendiente de una secante son importantes, hay
preguntas que estos cocientes no pueden responder.
• ¿Cuál es la pendiente de una recta tangente en un punto?
• ¿Qué velocidad exactamente tiene un móvil en un cierto t0?
Estas preguntas requieren en realidad posicionarnos en un h = 0, o un ∆t = 0. Esto
obviamente no tienen respuesta a menos que introduzcamos otro concepto, que es el de límite. Así
podremos decir que:
0 0
tangente
x h
y f(a h) f(a)
m lim lim
x hΔ → →
Δ + −
= =
Δ
0 0
0 0instantánea t t
y(t t) y(t )y
v lim lim
t tΔ → Δ →
+ Δ −Δ
= =
Δ Δ
A continuación analizamos el comportamiento de la función f(x)= x2
. Supongamos que se
desea calcular la pendiente de una recta tangente trazada a la curva por el punto (1, f(1)) o sea
(1,1). Utilizaremos distintas aproximaciones, a través de valores diferentes de h (incremento).
En un primer intento usaremos un h variando de 1 a 0,1, en intervalos de 0,1. Luego lo
repetiremos para h variando entre 0,1 y 0,01, con intervalos de 0,01. Se construirán sendas tablas
en las que se calcula el valor de la pendiente de las secantes, sec
f(1 h) f(1)
m
h
+ −
= .
2 4-2
4

4. 4
In[4]:= TableB:1+ h,
f@1 + hD − f@1D
h
>, 8h, 1, 0.1, −0.1<F êê TableForm
Out[4]//TableForm=
2. 3.
1.9 2.9
1.8 2.8
1.7 2.7
1.6 2.6
1.5 2.5
1.4 2.4
1.3 2.3
1.2 2.2
1.1 2.1
Se advierte que hay una aproximación al valor 2, que se notará más en la siguiente tabla.
In[5]:= TableB:1+ h,
f@1 + hD − f@1D
h
>, 8h, 0.1, 0.01, −0.01<F êê TableForm
Out[5]//TableForm=
1.1 2.1
1.09 2.09
1.08 2.08
1.07 2.07
1.06 2.06
1.05 2.05
1.04 2.04
1.03 2.03
1.02 2.02
1.01 2.01
Tal como decíamos los valores de la pendiente de la secante se aproxima a 2. Este valor es el
límite al cual tiende la pendiente. La recta secante tiene también un límite, que es la tangente.
En el caso de la pendiente de la recta tangente, la idea que analizamos es que la secante se
comienza a trazar entre el punto dado y uno cada vez más cercano, que es lo que matemáticamente
decimos h→0. Así, la secante se transforma en tangente.
In[11]:= LimitB
f@1+ hD − f@1D
h
, h → 0F
Out[11]= 2
En cuanto a la velocidad, al hacer que ∆t→0, hacemos que la velocidad pase a medirse en t0.
Sería la velocidad que el conductor del móvil vería en su velocímetro.
1 2 3 4
-4
-2
2
4

5. 5
Derivada de una función en un punto (valor de la derivada en un punto)
A partir de los cocientes antes definidos, que representaban en realidad razones de cambio
medias, a través del concento de límite se pueden transformar en razones de cambio
instantáneas, que se llaman se llaman derivada de la función en un punto, siempre y cuando el
incremento se produzca a partir de un valor x= a determinado, perteneciente al dominio de f(x).
O sea:
0 0x h
y f(a h) f(a)
f '(a) lim lim
x hΔ → →
Δ + −
= =
Δ
siempre que ese límite exista.
Este valor obtenido representa el de la pendiente de la recta tangente a la curva en x=a. Una
función será “derivable” en un punto si en un valor de x perteneciente al dominio de la función
admite el trazado de una tangente no vertical, ya que en ese caso el límite arriba expuesto no
existiría.
En el caso de estar analizando una función posición, la derivada de la función para un t =t0
será la velocidad instantánea.
Función derivada o derivada de una función
Al analizar una función y sus derivadas en cada punto en que exista, podemos obtener un
conjunto infinito de puntos de la forma (a, f’(a)). Por ejemplo si f(x)= x2
, podemos, haciendo uso de
Mathematica hacer una tabla de valores de los límites del cociente incremental para distintos valores
de a, siempre con respecto a la función f(x)= x2
. También hemos realizado una tabla con los valores
de las derivadas en los mismos puntos a través del comando específico de Mathematica.
f@x_D = x2
;
In[24]:= TableBLimitB
f@a+ hD − f@aD
h
, h → 0F, 8a, 0, 4<F
Out[24]= 80, 2, 4, 6, 8<
In[25]:= Table@f'@aD, 8a, 0, 4<D
Out[25]= 80, 2, 4, 6, 8<
Este conjunto de valores muestra cuales son las derivadas de la función para cada valor
elegido, en este caso de 0 a 4, en intervalos de 0,5.
Vamos a formar una tabla en la que el primer elemento es un valor del dominio de f (x) y el
segundo el valor correspondiente a la derivada para el mismo.
In[21]:= t1 = Table@8a, f'@aD<, 8a, 0, 4, 0.5<D
Out[21]= 880., 0.<, 80.5, 1.<, 81., 2.<, 81.5, 3.<,
82., 4.<, 82.5, 5.<, 83., 6.<, 83.5, 7.<, 84., 8.<<
En el gráfico siguiente representa la tabla de valores ordenados. Se advierte que forman un
lugar geométrico, que seguramente responde a un modelo matemático.

6. 6
In[22]:= g1 = ListPlot@t1, PlotStyle → PointSize@0.02DD
Out[22]=
1 2 3 4
2
4
6
8
En el siguiente gráfico vemos la función,
Si definimos a través de Mathematica una función llamada FUNCIÓN DERIVADA, y la
graficamos:
In[19]:= g3 = Plot@f'@xD, 8x, 0, 4<D
Out[19]=
1 2 3 4
2
4
6
8
Si vemos en un mismo gráfico el conjunto de puntos que representan las derivadas, la función
y la que llamamos función derivada:

7. 7
In[23]:= Show@g1, g2, g3D
Out[23]=
1 2 3 4
5
10
15
Se ve que la gráfica de la función derivada contiene al conjunto de puntos, por lo tanto el
modelo representativo de la misma también incluirá a todos los pares ordenados de las derivadas en
cada punto del dominio.
El modelo capaz de representar al conjunto de puntos se llama “función derivada”.
Definimos derivada de una función o función derivada al siguiente límite, si existe.
0 0x x
y f(x x) f(x)
f '(x) lim lim
x xΔ → Δ →
Δ + Δ −
= =
Δ Δ
El límite anterior no existe para aquellos valores para los que f’(a) no existe. Queremos decir
que una función puede admitir una expresión general para su derivada, aunque esta no exista para
todos los valores del dominio de f(x). El dominio de f’(x) representa el conjunto de valores reales para
el que la función es derivable (o diferenciable).
Téngase en cuenta que cuando decimos que x 0Δ → estamos excluyendo el valor x 0Δ = . En
caso de que pudiese tomar este valor, resultaría un y 0Δ = y estaríamos frente a una indeterminación
del tipo
0
0
.
Notación de la función derivada
Existen distintos tipos de nomenclatura para designar a una función derivada:
f´(x); y’ ; Dy; Dxy;
dy
dx
(notación de Leibnitz)
Procedimiento para el cálculo de función derivada (o derivada en un punto)
Procedimiento Derivada en un punto Función derivada
1 Se incrementa la función f (a +h) f(x + ∆x)
2
Se plantea el incremento de
función
∆y= f (a +h)−f(a) ∆y= f (x +∆x)−f(x)
3
Se forma el cociente de
incrementos
y f(a h) f(a)
x h
Δ + −
=
Δ
y f(x x) f(x)
x x
Δ + Δ −
=
Δ Δ
4
Se lleva el cociente de
incrementos al límite cuando
∆x→0
0 0x h
y f(a h) f(a)
lim lim
x hΔ → →
Δ + −
=
Δ 0 0x x
y f(x x) f(x)
lim lim
x xΔ → Δ →
Δ + Δ −
=
Δ Δ
5 Al resolver el límite, se obtiene:
dy
f´(x)
dx
= f ’(a)
En cualquier procedimiento para obtener la derivada de la función en un punto o la
función derivada, encontraremos el inconveniente ya mencionado del
0
0
.

8. 8
Esto se sortea utilizando recursos algebraicos, consistentes normalmente en escribir el
cociente incremental de otra forma.
Ejemplos
Sea f(x)= x2
+ x
1. Derivada de f(x) en x = 1, o sea f ‘(1):
• f(1+h)= (1 +h)2
+ (1 + h) = 1 + 2 h + h2
+ 1 + h
• ∆y= f(1 +h) − f(1)= 1 + 2 h + h2
+ 1 + h −(1 +1)=
=3 h + h2
•
2
0 0 0 0 0
1 1 3 3
3 3
x h h h h
y f( h) f( ) h h h( h)
f '(x) lim lim lim lim lim( h)
x h h hΔ → → → → →
Δ + − + +
= = = = = + =
Δ
• f ‘(1)=3
2. Función derivada de f(x), o sea f ‘ (x).
• 2 2 2
2f(x x) (x x) (x x) x x x x x x+ Δ = + Δ + + Δ = + Δ + Δ + + Δ
• ( ) ( )2 2 2
2y f(x x) f(x) x x x x x x x xΔ = + Δ − = + Δ + Δ + + Δ − + =
• 2
2y x x x xΔ = Δ + Δ + Δ
• ( )
2
0 0 0
2
2 1 2 1
x x x
y x x x x
f '(x) lim lim lim x x x
x xΔ → Δ → Δ →
Δ Δ + Δ + Δ
= = = + Δ + = +
Δ Δ
• f ‘(x) = 2 x + 1
Obviamente si en f ‘(x) hacemos x = 1 será:
f ‘ (1)=2.1 +1 = 3 que coincide con lo que hallamos en 1.
Reglas básicas de derivación
1. Derivada de una función constante
Sea f(x)= k
Hallemos ∆y:
∆y= f(x +∆x) − f(x)= k − k = 0
0 0
0
0
x x
y
lim lim
x xΔ → Δ →
Δ
= =
Δ Δ
Entonces si f(x)= k ⇒f ‘(x) =0
En notación de Leibnitz:
0
d(k)
dx
=
La función derivada de una constante es 0

9. 9
2. Derivada de un múltiplo constante de una función
Sea f(x) = k u(x)
Hallemos ∆y:
∆y= f(x +∆x) − f(x)= k . u(x+∆x )− k .u(x) = k. (u(x+∆x )− u(x))
0 0 0x x x
y k. (u(x+ x ) u(x)) u(x+ x ) u(x)
lim lim k. lim k.u'(x)
x x xΔ → Δ → Δ →
Δ Δ − Δ −
= = =
Δ Δ Δ
Entonces si f(x)= k u(x)⇒f ‘(x) =k.u’(x)
En notación de Leibnitz:
d(k.u)
k.u'(x)
dx
=
La función derivada de un múltiplo constante de una función es igual a la constante por la
derivada de la función.
3. Derivada de una suma de funciones
Sea f(x)= u(x) + v(x)
Hallemos ∆y:
∆y= f(x +∆x) − f(x)= u(x+∆x )+v(x+∆x) − (u(x)+ v(x))
0 0 0x x x
y (u(x+ x)+v(x+ x) ) (u(x)+v(x)) (u(x+ x) u(x))+ (v(x+ x) v(x))
lim lim lim
x x xΔ → Δ → Δ →
Δ Δ Δ − Δ − Δ −
= = =
Δ Δ Δ
0 0x x
u(x+ x) u(x) v(x+ x) v(x)
lim lim u'(x) v '(x)
x xΔ → Δ →
Δ − Δ −
= + = +
Δ Δ
Entonces si f(x)= u(x)+v(x)⇒f ‘(x) =u’(x)+v’(x)
En notación de Leibnitz:
d(u(x) v(x))
u'(x) v '(x)
dx
+
= +
La función derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las funciones derivadas.
4. Derivada de una potencia
Sea f(x)= xn
Hallemos ∆y:
∆y= f (x+∆x) − f(x)=(x + ∆x)n
− xn
Desarrollando por Binomio de Newton (ver al final):
1 2 2 1
0 1 2 1
n n n n n n n nn n n n n
f(x x) f(x) (x x) x x x x x x ... x x b x
n n
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ Δ − = + Δ − = + Δ + Δ + + Δ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 2 2 1
0 0
0 1 2 1
n n n n n n
x x
n n n n n
x x x x x ... x x x x
n ny
f '(x) lim lim
x x
− − −
Δ → Δ →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ Δ + Δ + + Δ + Δ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =
Δ Δ
=

10. 10
1 2 2 1
0 0
1 2 2 1
0
1 2
0
1 2 1
2 1
2 1
n n n n n n
x x
n n n n
x
n n
x
n n n
x x x x x ... x x x x
ny
f '(x) lim lim
x x
n n
n.x x x x ... x x x
n
lim
x
n n
x n.x x x ... x
n
lim
− − −
Δ → Δ →
− − −
Δ →
− −
Δ →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ Δ + Δ + + Δ + Δ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =
Δ Δ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Δ + Δ + + Δ + Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =
Δ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
Δ + Δ + + Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
2 1
1 2 2 1 1
0 2 1
n n
n n n n n
x
x x
x
n n
lim n.x x x ... x x x n.x
n
− −
− − − − −
Δ →
⎛ ⎞
+ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ =
Δ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + Δ + + Δ + Δ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Entonces si f(x)= xn
⇒f ‘(x) =n xn−1
En notación de Leibnitz:
1
n
nd(x )
n.x
dx
−
=
5. Derivada de un producto de dos funciones
Sea una función formada por el producto de dos funciones:
y = f(x) = u(x). v(x)
El incremento de función será entonces:
y f(x x) f(x) u(x x).v(x x) u(x).v(x)Δ = + Δ − = + Δ + Δ −
Y el cociente incremental por lo tanto:
y f(x x) f(x) u(x x).v(x x) u(x).v(x)
x x x
Δ + Δ − + Δ + Δ −
= =
Δ Δ Δ
Como vemos no quedan determinados claramente los incrementos de ambas funciones. Para lograrlo
se recurre a sumar y restar un término a fin de formarlos.
y u(x x).v(x x) u(x).v(x)
x x
Reagrupando y extrayendo factores comunes:
y u(x x).(v(x x) v(x)) v(x)(u(x x) u(x)
x x x
y (v(x x) v(x)) (u(x x) u(x)
u(x x). v(x).
x x x
Δ + Δ + Δ −
=
Δ Δ
Δ + Δ + Δ − + Δ −
= +
Δ Δ Δ
Δ + Δ − + Δ −
= + Δ +
Δ Δ Δ
- u(x + Δx).v(x)+u(x + Δx).v(x)
Ahora se ve que han quedado los dos cocientes incrementales definidos. Por lo tanto se puede llevar
al límite:

11. 11
x 0 x 0
x 0 x 0 x 0
x 0
y (v(x x) v(x)) (u(x x) u(x)
lim lim u(x x). v(x).
x x x
Aplicando propiedades de límites:
y (v(x x) v(x)) (u(x x) u(x)
lim lim u(x x). lim v(x).
x x x
y
lim li
x
Δ → Δ →
Δ → Δ → Δ →
Δ →
Δ + Δ − + Δ −⎛ ⎞
= + Δ +⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠
Δ + Δ − + Δ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + Δ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Δ
=
Δ x 0 x 0 x 0 x 0
(v(x x) v(x)) (u(x x) u(x)
m u(x x). lim lim v(x). lim
x xΔ → Δ → Δ → Δ →
+ Δ − + Δ −
+ Δ +
Δ Δ
Analizando un poco cada límite:
x 0
lim u(x x) u(x) ya que no depende del valor de x
Δ →
+ Δ = Δ
x 0
(v(x x) v(x))
lim
xΔ →
+ Δ −
Δ
=v’(x)
x 0
lim v(x) v(x) ya que tampoco depende del valor de x
Δ →
= Δ
x 0
(u(x x) u(x)
lim u'(x)
xΔ →
+ Δ −
=
Δ
Por lo tanto:
x 0
y
lim u(x).v '(x) u'(x).v(x) f '(x)
xΔ →
Δ
= + =
Δ
Entonces:
⇒Si f(x) = u(x).v(x) f'(x) = u'(x).v(x)+u(x).v'(x)
En notación de Leibnitz será
d(u.v) du dv
.v(x) .u(x)
dx dx dx
= +
“La función derivada de un producto de dos funciones es igual a otra función, igual al producto de la
función derivada de la primera, por la segunda función sin derivar, más la primera sin derivar por la
función derivada de la segunda”
6. Derivada de un cociente de dos funciones
Sea una función formada por el cociente de dos funciones:
u(x)
y f(x)
v(x)
= =
El incremento de función será entonces:
u(x x) u(x)
y f(x x) f(x) =
v(x x) v(x)
+ Δ
Δ = + Δ − −
+ Δ
Y el cociente de incrementos será:
u(x x) u(x)
y f(x x) f(x) v(x x) v(x)
x x x
+ Δ
−
Δ + Δ − + Δ
= =
Δ Δ Δ

12. 12
Reduciendo a común denominador:
u(x x) u(x) u(x x).v(x) v(x x).u(x)
y v(x x) v(x) v(x x).v(x)
x x x
y u(x x).v(x) u(x).v(x x)
x v(x x).v(x). x
+ Δ + Δ − + Δ
−
Δ + Δ + Δ
= =
Δ Δ Δ
Δ + Δ − + Δ
=
Δ + Δ Δ
Nuevamente se ve que no quedan determinados los incrementos de la función. Por lo tanto, igual que
para el caso del producto, se recurre a sumar y restar un término.
( ) ( )
( ) ( )
y u(x x).v(x) u(x).v(x x)
x v(x x).v(x). x
Reagrupando:
v(x). u(x x) u(x) u(x). v(x x) v(x)y
x v(x x).v(x). x
v(x). u(x x) u(x) u(x). v(x x) v(x) u(x x) u
v(x)
y x
x v(x x).v(x)
Δ + Δ − + Δ
=
Δ + Δ Δ
+ Δ − − + Δ −Δ
=
Δ + Δ Δ
+ Δ − − + Δ − + Δ −
Δ Δ= =
Δ + Δ
+u(x).v(x) - u(x).v(x)
(x) v(x x) v(x)
u(x)
x x
v(x x).v(x)
+ Δ −
−
Δ Δ
+ Δ
Llevando la expresión anterior al límite para obtener la función derivada:
x 0 x 0 x 0 x 0
x 0
x 0 x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
x 0
u(x x) u(x) v(x x) v(x)
lim v(x) lim lim u(x) lim
y x xlim
x lim v(x x). lim v(x)
Pero
lim v(x) v(x)
u(x x) u(x)
lim u'(x)
x
lim u(x) u(x)
v(x x) v(x)
lim v '(x)
x
lim
Δ → Δ → Δ → Δ →
Δ →
Δ → Δ →
Δ →
Δ →
Δ →
Δ →
Δ →
+ Δ − + Δ −
−
Δ Δ Δ=
Δ + Δ
=
+ Δ −
=
Δ
=
+ Δ −
=
Δ
x 0
v(x x) v(x)
lim v(x) v(x)
Δ →
+ Δ =
=
Entonces:
x 0
y u´(x).v(x) u(x).v '(x)
lim f '(x)
x v(x).v(x)Δ →
Δ −
= =
Δ
O sea:
⇒ 2
u(x) u'(x).v(x) - u(x).v'(x)
Si f(x) = f'(x) =
v(x) v(x)
“La función derivada de un cociente de funciones es igual a un cociente. El numerador del mismo se
obtiene derivando el numerador, multiplicado por el denominador sin derivar, menos la función

13. 13
derivada del denominador multiplicada por el numerador sin derivar. El denominador del cociente
resultante al derivar es el cuadrado de la función denominador.”
7. Derivada de una función compuesta (regla de la cadena)
Es frecuente encontrar en el cálculo funciones compuestas para resolver problemas. Es decir
encontrarnos algo como:
y = f(x) = (v o u)(x) = v(u(x))
Si ambas funciones son derivables el resultado será:
f '(x) = v'(u(x)).u'(x)
En notación de Leibnitz sería:
d(v(u)) dv du
.
dx du dx
=
Esto significa que se deriva la función f con respecto a u, considerando ésta como variable, y
se multiplica por la derivada de u con respecto a x. Se deriva de “afuera” hacia “adentro”.
Veamos un ejemplo:
3
3
f(x) x 1
O sea
v(x)= x
u(x) x 1
= −
= −
1
2
f(x) v(u(x)) u(x)= =
Aplicando la regla antes enunciada:
1
2
1
f '(x) v '(u).u'(x) u(x) .u'(x)
2
−
= =
Pero siendo u(x) = x3
–1, u’(x)= 3.x2
. Por lo tanto:
( )
1 1 2
3 22 2
3
1 1 3x
f '(x) v '(u).u'(x) u(x) .u'(x) x 1 .3x
2 2 2 x 1
− −
= = = − =
−
Sea f(x) = (x3
–2x)5
Significa que la función ”externa”, v(x) es la potencia, y la “interna” u(x) es el polinomio.
Por lo tanto:
f ‘ (x) = v’(u).u ‘(x) = 5.(u(x))4
.u’(x); u’(x)= 3x2
–2
f ’ (x) = 5.( x3
–2x )4
. (3x2
–2)
8. Derivada de la potencia en una función compuesta
y= f(x) = u(x)n
⇒ f ‘(x) = n. (u(x))n–1
. u’(x)

14. 14
9. Derivada de un cociente de dos funciones (otra forma de deducir)
Consideremos al cociente como un producto:
1u(x)
f(x) u(x).v (x)
v(x)
−
= =
Derivando como producto, y teniendo en cuenta la regla de la cadena será:
f ’(x)=u´(x).v−1
(x)+ u(x) (−1) v−2
(x). v ’ (x)=
-1 2
2
u'(x) u(x).v '(x)
f '(x) u'(x) v (x) u(x).v (x).v '(x)
v(x) v (x)
−
= − = −
Esta es otra forma de plantear la derivada de un cociente, que obviamente es equivalente a la
otra, reduciendo a común denominador. Veamos en Mathematica:
DA
u@xD
v@xD
, xE
u @xD
v@xD
−
u@xD v @xD
v@xD2
DA
u@xD
v@xD
, xE êê Together
v@xD u @xD− u@xD v @xD
v@xD2
10. Notación de Leibniz para derivadas de funciones compuestas
La regla de la cadena en notación de Leibnitz se enunciaría así:
(x)
dy dv du
y f(x) v(u ) .
dx du dx
= = ⇒ =
Cómo se ve es más fácil interpretar el orden de derivación.
Binomio de Newton
El binomio de Newton es un procedimiento para el desarrollo de la potencia enésima de un
binomio. Para llegar al mismo, vamos a inferir el comportamiento a partir de algunas potencias
realizadas con Mathematica.
ExpandAHa+ bL2
E
a2
+ 2 a b+ b2
ExpandAHa+ bL3
E
a3
+ 3 a2
b + 3 a b2
+ b3
ExpandAHa+ bL5
E
a5
+ 5 a4
b + 10 a3
b2
+ 10 a2
b3
+ 5 a b4
+ b5
ExpandAHa+ bL10
E
a10
+ 10 a9
b + 45 a8
b2
+ 120 a7
b3
+ 210 a6
b4
+ 252 a5
b5
+ 210 a4
b6
+ 120 a3
b7
+ 45 a2
b8
+ 10 a b9
+ b10
Como se puede ver, el exponente de cada término del binomio va cambiando en una
unidad por cada uno de ellos, es decir “a” comienza en el mayor valor, y “b” comienza en 0,
terminando en el mayor valor. Es decir “a” comienza por ejemplo en a5
y “b” termina en b5
. Cada

15. 15
término tiene un coeficiente numérico. En el desarrollo original, estos coeficientes se calculan
mediante los llamados “números combinatorios”. Estos se expresan de la siguiente manera:
n
m
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
, que significa la combinación de “n “ elementos agrupados de “m” en “m”. Se calculan de la
siguiente manera:
n n!
m!(n m)!m
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
−⎝ ⎠
donde los factoriales significan que se multiplica cada número por todos los naturales menores que
él, hasta llegar a 1. Así:
4! = 4.3.2.1= 24
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1.
Trasladados estos conceptos al binomio de Newton, es:
5 5 4 3 2 2 3 4 55 5 5 5 5 5
0 1 2 3 4 5
(a b) a a b a b a b ab b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Calculando los números combinatorios serán:
5 5
1
0 5 00
5 5 5
5
1 5 1 41
5 5 5 4 3 2 1
10
2 5 2 2 1 3 2 12
5 5 5 4 3 2 1
10
3 5 3 3 2 1 2 13
5 5 5 4 3 2 1
5
4 5 4 4 3 2 1 14
5 5
1
5 5 55
!
!( )!
! !
!( )! !
! . . . .
!( )! . . .
! . . . .
!( )! . . .
! . . . .
!( )! . . .
!
!( )!
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
−⎝ ⎠
⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟
−⎝ ⎠
⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟
−⎝ ⎠
⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟
−⎝ ⎠
⎛ ⎞
= = =⎜ ⎟
−⎝ ⎠
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
−⎝ ⎠
5 5 4 3 2 2 3 4 5
5 10 10 5(a b) a a b a b a b ab b+ = + + + + +
Si vemos el resultado del Mathematica vemos que es igual:
ExpandAHa+ bL5
E
a5
+ 5 a4
b + 10 a3
b2
+10 a2
b3
+ 5 a b4
+ b5
En general será:
1 2 2 3 3
0 1 2 3
n n n n n nn n n n n
(a b) a a b a b a b ... b
n
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ = + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Debemos recordar que
0
n⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=1 ; 1
n
n
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
y
1
n
n
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠