Aplicaciones de la integral

Capitulo 6
-
Aplicaciones de la integral
r = nx)
y
[J
/
I~
./"
f(xn - g(xt)
~
~
...--.
,
1: 1 .:~ I
r=g(x)
En este capitulo Aunque en la secci6n 6.2 se volvera al problema de encontrar areas por
integraci6n definida, en las secciones posteriores de este capitulo veremos que la integral
definida tiene muchas otras interpretaciones, ademas del area.
EI capitulo empieza con una aplicaci6n de la integral indefinida.
6.1 Otro repaso al movimiento rectilineo
6.2 Otro repaso al area
6.3 Volumenes de s6lidos: metoda de las rebanadas
6.4 Volumenes de s6lidos: metoda de los cascarones
6.5 Longitud de una gratica
6.6 Area de una superficie de revoluci6n
6.7 Valor promedio de una funci6n
6.8 Trabajo
6.9 Presi6n y fuerza del fluido
6.1 0 Centros de masa y centroides
Revisi6n del capitulo 6
321

322 CAPITULO 6 Aplicaciones de la integral
v(O»O
s(O) = 0
0)
FIGURA 6.1 .1
iniciales
lITv(O) < 0
s(O) = II
b)
Condiciones
Cuando se ignora la rcsistencia
del ai re, la Illagnitud de la velu-
eidad de impaclu (rapidez) es la
misma que la vcloeidad inicial
hacia arriba desde el nivcl del
suclo. Yea el problema 32 en
Ius ejcrcicios 6. I . Esto no es
cierto cuando tOJ11<lIllOS en
considcraciCln la resistcncia del
<lire.
6.1 Otro repaso al movimiento rectiHneo
I Introduccion EI capitulo 4, Aplicaciones de La derivada, empez6 con el concepto de l1lovi-
miento rectilfneo. Si s =f(t) es la funci6n de posici6n de un objeto que se mueve en Ifnea recta
entonces sabemos que '
ds
velocidad = v(t) = dt y I . , ( ) dv
ace eraclOn = {( t = dr'
Como una consecuencia inmediata de la definici6n de la antiderivada, las cantidades s y v pue-
den escribirse como integrales indefinidas
set) = Ivet) dr y v (t) = Ia(t) dr. ( I)
Si se conocen la posicion inicial s(O) y la velocidad inicial v(O), es posible encontrar valores
especfficos de las constantes de integraci6n usadas en (1).
Recuerde que cuando el cuerpo se mueve horizontalmente sobre una recta, la direcci6n posi-
tiva es hacia la derecha. Para movimiento en una recta vertical, tomamos la direcci6n positiva
hacia arriba. Como se ll1uestra en la FIGURA 6.1.1 , si una flecha se dispara hacia arriba desde elnivel
del suelo, entonces las condiciones iniciales son s(O) = 0, v(O) > 0, mientras que si la f1echa
se dispara hacia abajo desde una altura inicial, por ejell1plo h metros del suelo, entonces las con-
diciones iniciales son s(O) = h, v(O) < O. Sobre un cuerpo que se ll1ueve en una recta vertical
cerca de la superficie terrestre, como la flecha disparada hacia arriba, actua la fuerza de grave-
dad. Esta fuerza provoca la aceleraci6n de los cuerpos. Cerca de la supelficie de la Tierra se
supone que la aceleraci6n debida a la gravedad, aCt) = -g, es una constante. La magnitud g de
esta aceleraci6n es aproximadamente
32 pies/s2
, 9.8 m/s2
0 bien, 980 cm/s2
.
U!ihi4!.I' Movimiento de un proyectil
Un proyectil se dispara vertical mente bacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad ini-
cial de 49 m/s. l,CmU es la velocidad en t = 2 s? (,CmU es la altura maxima que alcanza el pro-
yectil? l,Cuanto tiempo perll1anece en el aire el proyectil? (,Cual es la velocidad de impacto?
Solucion Si se empieza con aCt) = -9.8, por integraci6n indefinida obtenemos
vet) = I(-9.8) dt = -9.8t + Ct· (2)
A partir de la condici6n inicial dada v(O) = 49, vemos que (2) implica Ct = 49. Por tanto,
vet) = -9.8t + 49,
y asi v(2) = -9.8(2) + 49 = 29.4 m/s. Observe que v(2) > 0 implica que el proyectil se des-
plaza bacia arriba.
Luego, la altitud del proyectil, medida a partir del nivel del suelo, es la integral indefinida
de la funci6n velocidad,
set) = fvet) dt = f(-9.8t + 49) dt = -4.9t2
+ 49t + C2· (3)
Puesto que el proyectil inicia su movimiento a partir del nivel del suelo, s(O) = 0 y (3) propor-
cionan C2 = O. Por tanto,
s(t) = - 4.9t2
+ 49t. (4)
Cuando el proyectil alcanza su altura maxima, v(t) = O. Luego, al resolver - 9.8t + 49 = 0 obte-
nemos t = 5. Por (4) encontramos que la altura correspondiente es s(5) = 122.5 m.
Finalmente, para encontrar el instante en que el proyectil choca contra el suelo, resolvemos
set) = 0 0 -4.9t2
+ 49t = O. Cuando la ultima ecuaci6n se esclibe como -4.9t(t - 10) == 0,
~ vemos que el proyectil permanece en el aire lOs. La velocidad de impacto es v( I0) =- 49 m/s. •

6.1 Dtro repaso al movimiento rectilineo 323
1!J3mr.~lfI Movimiento de un proyectil
Una pclota de tenis se lanza verticalmente hacia abajo desde una altura de 54 pies con una velo-
cidad inicial de S pies/so (,Cwil es la velocidad de impacto si la pelota golpea en la cabeza a una
persona de 6 pies de estatura? Yea la FIGURA 6.1.2.
Solucion En este caso aCt) = -32, s(O) = 54 y, puesto que la pelota se lanza hacia abajo,
v(O) == -S. Luego,
vet) = I(-32) dt = - 32t + C1 •
AI usar la velocidad inicial v(O) = -S encontramos C1 = - S. En consecuencia,
vet) = -32t - S.
AI continuar encontramos
set) = I( - 32t - S) dt = -16t2
- St + C2·
Cuando t = 0, sabemos que s = 54 y as! la ultima ecuaci6n implica C2 = 54. Entonces
set) = - 16t2
- St + 54.
Para determinar el instante que corresponde as = 6, resolvemos
-16t2
- St + 54 = 6.
AI simplificar obtenemos -S(2t - 3)(t + 2) = 0 Y t = ~. Entonces, la velocidad de la pelota
cuando golpea a la persona es vG) = -56 pies/so •
I Distancia La distancia total que un objeto recone rectilfneamente en un intervalo de tiem-
po [tI. t2] esta dada por la integral definida
distancia total = f lv(t)1 dt. (5)
11
En (5) se requiere el valor absolllto pOl'que el objeto pllede moverse ala izquierda, de modo que
durante algun tiempo tiene velocidad negativa.
'+13&1#'.' Distancia recorrida
La funci6n de posici6n de un objeto que se mueve sobre una recta de coordenadas es set) = t2
- 6t,
donde s se mide en cent!metros y t en segundos. Encuentre la distancia recorrida en el intervalo
de tiempo [0, 9].
Solncion La funci6n velocidad vCt) = ds/dt = 2t - 6 = 2(t - 3) muestra que el movimiento
es como se indica en la FIGURA 6.1.3; a saber: v < 0 para 0 :S: t < 3 (movimiento ala izquierda) y
v 2: 0 para 3 :S: t :S: 9 (movimiento a la derecha). Entonces, por (5) la distancia reconida es
f
9 f3 (9
o12t - 61dt = 0 12t - 61dt + J
3
12t - 61 dt
= r-(2t - 6) dt + r(2t - 6) dt
= (-t2
+ 6t)]3 + (t2
- 6t)]9 = 45 cm.
a 3
Por supuesto, el ultimo resultado debe ser consistente con la cifra obtenida al simplemente con-
tar las unidades en la figura 6.1.3 entre s(O) y s(3), y entre s(3) y s(9). •
Ejercicios 6.1 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-20.
54
,1
1
1
1
Y1
Suelo
FIGURA 6.1.2 Lanzal1liento de la
pelota en el ejel1lplo 2
t = 3 ~--~--l~_-e. t = 9
'-- t=O
I I I I I ~ s
- 10 0 10 20 30
FIGURA 6.1.3 Representaci6n
del l1lovil1liento del objeto en
el ejel1lplo 3
=Fundamentos 2. v(t)=2t+ l;s=Ocuandot=
En los problemas 1-6, un cuerpo se mueve en Ifnea recta con
velocidad vCt). Encuentre la funci6n posici6n sCt).
1. vCt) = 6; s = 5 cuando t = 2
3. vet) = t2
- 4t; s = 6 cuando t = 3
4. vet) = V4t+5; s = 2 cuando t =

324 CAPiTULO 6 Aplicaciones de la integral
5. vet) = -10 cos(4t + 7T/6); s = ~ cuando t = 0
6. vet) = 2 sen 3t; s = 0 cuando t = 7T
En los problemas 7-12, un cuerpo se mueve en ]fnea recta con
aceleraci6n aCt). Encuentre vet) y set).
7. aCt) = - 5; v = 4 y s = 2 cuando t = I
8. aCt) = 6t; v = 0 y s = - 5 cuando t = 2
9. aCt) = 3t2
- 4t + 5; v = - 3 y s = 10 cuando t = 0
10. aCt) = (t - I)2; v = 4 y s = 6 cuando t = 1
11. aCt) = 7t1
/
3
- 1; v = 50 y s = 0 cuando t = 8
12. aCt) = 100 cos 5t; v = -20 y s = 15 cuando t = 7T/2
En los problemas 13-18, un objeto se mueve en lfnea recta
segun la funci6n posici6n dada. Si s se mide en centfmetros,
encuentre la distancia total recorrida por el objeto en el ins-
tante de tiempo indicado.
13. set) = t2
- 2t; [0, 5]
14. s(t) = - t2
+ 4t + 7; [0,6]
15. set) = t3
- 3t2
- 9t; [0,4]
16. s(t) = t4
- 32t2
; [1,5]
17. s(t)=6sen7Tt; [1,3]
18. s(t) = (t - 3f; [2, 7]
=Aplicaciones
19. El conductor de un autom6vil que se desplaza en lfnea
recta a velocidad constante de 60 mi/h aparta por 2 s la
vista de la carretera. i.,Cmintos pies recorre el autom6vil
en este instante?
20. Una pelota se deja caer (a partir del reposo) desde una
altura de 144 pies. i.,En cuanto tiempo la pelota llega al
suelo? i.,A que velocidad choca contra el suelo?
21. Un huevo se suelta desde la parte superior de un edificio
y choca contra el suelo despues de 4 s desde que fue sol-
tado. i.,CuaI es la altura del edificio?
22. Una piedra se deja caer en un pozo y el choque de esta
con el agua se escucha 2 s despues. Si la velocidad del
sonido en el aire es 1 080 pies/s, encuentre la profundi-
dad del pozo.
23. Una flecha se proyecta verticalmente hacia arriba desde
el nivel del suelo con una velocidad inicial de 24.5 m/s.
i.,A que altura llega?
24. i.,Cuan alto llegarfa la flecha en el problema 23 en el pIa-
neta Marte, donde g = 3.6 m/s?
25. Una pelota de golf se lanza verticalmente hacia arriba
desde el borde del techo de un edificio de 384 pies de
altura con una velocidad inicial de 32 pies/so i.,En que ins-
tante golpea la pelota el suelo?
26. En el problema 25, i.,cual es la velocidad de la pelota de
golf cuando pasa frente a un observador situado en una
ventana situada a 256 pies del suelo?
27. Una persona arroja un malvavisco hacia abajo con una
velocidad inicial de 16 pies/s desde una ventana que esta
a 102 pies del nivel del suelo. Si el malvavisco golpea la
cabeza de lIna persona de 6 pies de estatura, i.,cllUI es la
velocidad de impacto?
28. La persona cllya cabeza fue golpeada en el problema 27
sube hasta la parte superior de una escalera de 22 pies de
altura y arroja una roca verticalmente con una velocidad
inicial de 96 pies/so Si la roca choca contra el culpable en
el piso a 102 pies, i.,cual es la velocidad de impacto?
=Piense en ello
29. En marzo de 1979, la sonda espacial Voyager 1 fotogra_
fi6 la erupci6n de un volcan activo en 10, lIna de las lunas
de Jupiter. Encuentre la velocidad de lanzamiento de una
roca desde el volcan Loki si la roca alcanza una altitud de
200 km por arriba de la cima del volcano En 10, la acele-
raci6n debida a la gravedad es g = 1.8 m/s2
.
30. Como se muestra en la FIGURA 6.1.4, desde un punto a
30 pies de un poste de 25 pies de altura se arroja vertical-
mente hacia abajo una pelota desde una altura de 25 pies
con una velocidad inicial de 2 pies/so
a) Encuentre la raz6n en que la sombra de la pelota se
mueve hacia la base del poste.
b) Encuentre la raz6n en que Ia sombra de la pelota se
mueve hacia Ia base del poste en t = i.
f25 pies
,-,Pelota en
'(' t = 0
y
I
I
I
I
I
+I-+--30 pies ~ Sombra
FIGURA 6.1.4 Poste en el problema 30
31. Si un cllerpo se mueve rectilfneamente con aceleraci6n
constante a y v = Vo cuando s = 0, demuestre que
2 _ 2 [ . . dv _ dv ds _ dv ]
v - Vo + 2as. Sugerencza. dt - ds dt - ds V.
32. Demuestre que, cuando se ignora la resistencia del aire,
un proyectil disparado verticalmente hacia arriba desde el
nivel del suelo choca de nuevo contra el suelo con una
velocidad igual a la velocidad inicial Vo.
33. Suponga que la aceleraci6n debida a la gravedad en un
planeta es igual a Ia mitad de la aceleraci6n en la Tierra.
Demuestre que una pelota lanzada verticalmente hacia
arriba desde la superficie del planeta alcanza una altura
maxima que es igual al doble de la altura en la Tierra
cuando se aplica la misma velocidad inicial.
34. En el problema 33, suponga que la velocidad inicial de la
pelota sobre el planeta es Vo Yque la velocidad inicial de
la pelota sobre la Tierra es 2vo. Compare las alturas maxi-
mas aJcanzadas. Determine la velocidad inicial de la pelo-
ta sobre la Tierra (en terminos de vo) de modo que la maxi-
ma altura aJcanzada sea la misma que sobre el planeta.

6.2 Otro repaso al area
I Introduccion Si f es una funcion que asume valores tanto positivos como negativos sobre
la. /JI. entonces la integral definida f~f(x) dx no representa el area bajo la grafica de f sobre el
intervalo. Como vio en la seccion 5.4, el valor de f;:f(x) dx puede interpretarse como al area
Ileta ('011 signa entre la grafica defy el eje x sobre el intervalo [a, b]. En esta seccion investiga-
mos dos problemas de area:
• Encontrar el area total de una region acotada por la grafica def y el eje x sobre un
illtervalo [a, b].
• Encontrar el area de la region acotada entre dos graficas sobre un intervalo [a, b] .
Veremos que el primer problema es justo un caso especial del segundo problema.
I Areatotal Suponga que la funcion y =f(x) es continua sobre el intervalo [a, b] y quef(x) < 0
sobre [a, c) y quef(x) 2:: 0 sobre [c, b] . EI area total es el area de la region acotada por la gra-
fica det, el eje x y las rectas verticales x = a y x = b. Para encontrar esta area se emplea el valor
absollito de la funcion y = If(x) I,que es no negativa para toda x en [a, b]. Recuerde que If(x) I
esta definida por partes. Para la funcionfque se muestra en la FIGURA 6.2.1a),f(x) < 0 sobre el inter-
valo [0, c) yf(x) 2:: 0 sobre el intervalo [c, b]. Por tanto,
paraf(x) < 0
para f(x) 2:: O.
(1)
Como se muestra en la figura 6.2.lb), la grafica de y = If(x) I sobre el intervalo [a, c) se obtie-
ne al reflejar esa porcion de la grafica de y =f(x) en el eje x. Sobre el intervalo [c, b], dondef(x)
2: 0, las graficas de y =f(x) y y = If(x) I son las mismas. Para encontrar el area total A = A I +
6.2 Dtro repaso al area 325
y
y = f(x)
--~-,----,L----~~x
b
y
c
a) La integral definida de .f
sabre la, bJ no es area
y = If(x)1
--~~a~--~cL-----~b~X
b) La integral definida
de IfI sabre la, b] es area
FIGURA 6.2.1 EI area total
es A = AI + A2
A2 mostradas en la figura 6.2.lb) usamos la propiedad aditiva del intervalo de la integral defini- ... Yea el teoreilla 5.4.5.
dajllnto con (1):
f lfCX)1 dx = flf(x) I dx + flf(X) I dx
a a c
= f(-f(x» dx + fi(X) dx
= A I + A 2·
Las ideas del analisis precedente se resumen en la siguiente definicion.
Definicion 6.2.1 Area total
Si y = f(x) es continua sobre [a, b], entonces el area total A acotada por su grafica y el eje x
sabre el intervalo esta dada por
f
b
A = If(x) I dx.
a
D!§MI4!.I' Area total
Encuentre el area total acotada por la grafica de y = x 3
y el eje x sobre [-2, 1].
Solucion Por (2) se tiene
A = f 21x31 dx.
(2)
En la FIGURA 6.2.2 comparamos la grafica de y = x3
y la grafica de y = Ix3
1. Puesto que x3
< 0 para
x < 0, se tiene sobre [-2, 1] ,
If(x) I
-2 S x < 0
Osxs l.
y
y = x
3
2
- 2
x
- 2
a)
y
b)
FIGURA 6.2.2 Gnifica de la
funci6n y area en el ejemplo I

Y
8
y=x2
+ 2x
6
4
2
x
2
a)
y
8
Y = Ix2
+ 2xl
6
4
2
A
x
-2 2
b)
FIGURA 6.2.3 Gnifica y area
en el ejemplo 2
Entonces, por (2) de la definici6n 6.2.1, el area que se busca es
I¥IM@!••J Area total
A= f 21x31dx
f 21x31 dx + [llx31 dx
f2
(-X3) dx + [I X3dx
_l.x4 ]O + 1.x4]I
4 - 2 4 0
= 0 - (_.li)+ 1. - 0 = .!24 4 4' •
Encuentre el area total acotada por la gr:ifica de y = x2
+ 2x y el eje x sobre [- 2, 2] .
Solncion Las graficas de y =I(x) y y = I/(x) Ise muestran en la FIGURA 6.2.3. Luego, por la figu-
ra 6.2.3a), vemos que sobre [ - 2,2],
I/(x) I = {--,(X2+ 2x), -2:S x < 0
x- + 2x, 0 :S x :S 2.
En consecuencia, el area total acotada por la grafica deI sobre el intervalo [ - 2, 2] Yel eje x es
A= f21x2 + 2xl dx
f 21x2+ 2xldx + f1x2+ 2xl dx
f
o r2
= _2 - (X
2
+ 2x) dx + J
o
(x
2
+ 2x) dx
= 0- (~ -4) + (~ + 4) -0= 8. •
I Area acotada por dos grcificas EI analisis anterior es un caso especial del problema
mas general de encontrar el area de la region acotada entre la grafica de dos funciones I y g y
las rectas verticales x =a y x =b. Yea la FIGURA 6.2.4a). El area bajo la gr:ifica de una funci6n con-
tinua no negativa y =I(x) sobre un intervalo [a, b] puede interpretarse como el area de la region
y
I
I
y = .f(x)
L-----r-Y= g(x)
~--~a-------------I~' ~x
a) .f(x) 2: g(x) sobre [a, b]
FIGURA 6.2.4 Area A acotada entre dos gnificas
y
y = .f(x)
~
I
* 1Xk I
I
I
J(xf)- g(xk')
_ y=g(x)
~--~a --------~~~--~b~ X
!1xk
b) Constrllccion de n rectanglilos
entre dos gnificas

aco(;lda poria gratica defy la grrifica de la funcion y = a(el eje x) y las rectas verticales x = (/
y.r == /).
6.2 atro repaso al area 327
I Construccion de una integral Suponga que y =f(x) y y = g(x) son continuas sobre [a, b] y LIllip,)lL,i, de 'Iue I CI) "" g l.l)
quc/Cr ) 2 g(x) pm'atoda X en el intervalo, Sea P un~ partici6n d~1 intervalo [a, b] en n subin- ... s(lhrL' c l illkrva l(l si!,'lli fic l qUL'
tervalos I .rk- I, xd , S{escogemos un punto muestra xli en cada subll1tervalo, es pos{ble constnllr 1'1, !,'r,;licI' dL'f) .~ PU.::dl'll
/I rectanglilos correspondientes que tengan el area {(ll'"r,,, jJl~r(l Ill) crUlar,.::
llluIU"IllCIlIL'.
Yea la figura 6,2.4b). El area A de la regi6n acotada por las dos graficas sobre el intervalo [a, b]
cs aprox imada porIa suma de Riemann
II /I
2'>k= ~ [f(xt) - g(xt) ] 6.x"
k= ( k = I
10 clial a su vez sugiere que el area es
/I
A = Ifm ~ [f(xi') - g(xt} ]6.Xk'
IIPil->O k = (
Puesto que fy g son continuas, tambien 10 esf- g. Entonces, el limite anterior existe y, por defi-
nicion, la integral definida
J
"A = [f(x) - g(x)] dx.
(/
(3)
Tambien (3) es valida para las regiones en que una 0 ambas funcionesfy g tienen valores nega-
tivos. Yea la FIGURA 6.2.5. Sin embargo, (3) no es valida sobre un intervalo [a, b] donde las grafi-
cas def y g se cruzan en el intervalo. Observe en la FIGURA 6.2.6 que g es la grafica superior sobre
los intervalos (a, CI) y (C2, b), mientras quefes la grafica superior sobre el intervalo (CI, C2)' En
el caso mas general, tenemos la siguiente definici6n.
la IOllgitud delrectangulo es
I(.r/J + (- g(xt))
= I(r1) - g(xi)
~
y
(/ ·'1 b
--+---.----.....---,-~x
1
1a longitud es f(xn
I puesto que I(xZ') > 0
I
-t--- -;:T- --::HI!t----;,-+ x
(I, xt Ib }
I·· la longitud es - g(xtJ
]
la longitud del rectangulo es
-gIrt) - (- fext))
= .t(xt) - g(xj')
~==~-- y
r =g (r) _ ___ puesto que g(xf') < 0
a) fIx) > 0 y g(x) < 0 sobre la, bl b) f(x) < 0 y g(x)< Osobre [a , bl
FIGURA 6.2.5 Las gniticas de f y g pueden estar por abajo del eje x
Definicion 6.2.2 .Area acotada POI' dos crraficas
Si fy g son funciones continuas sobre un intervalo [a, b], entonces el area A de la region aco-
tada por sus graficas sobre el intervalo esta dada por
f
"A = If(x) - g(x) Idx.
II
(4)
Observe que (4) se reduce a (2) cuando g(x) = 0 para toda x en [a, b] . Antes de usaI' las f6r-
l11ulas (3) 0 (4), se Ie pide trazar las graticas necesarias. Si las CUI'vas se cruzan sobre el interva-
FIGURA 6.2.6 Las graficas de f y
g se cOI·tan entre sf sobre [a , bI

(0, 0)
FIGURA 6.2.7 Area en el
ejemplo 3
: y? =~x +4
, -
~ 4 2
FIGURA 6.2.8 Area en el
ejemplo 4
10, entonces como hemos visto en la figura 6.2.6, la posici6n relativa de las curvas cambia. En
cualquier caso, sobre cualquier subintervalo de [a , b], el integrando id6neo siempre es
(grafica superior) - (gr:ifica inferior).
As! como en (I), el valor absoluto del integrando esta dado por
If(x) - g(x) I = {-(f(X) - g(x»,
f(x) - g(x),
paraf(x) - g(x) < 0
paraf(x) - g(x) 2: O. (5)
Una manera mas practica de interpretar (5) consiste en trazar las gr:ificas defy g con precision
y determinar visualmente que:
{
g(X) - f(x),
If(x) - g(x) I = f(x) - g(x),
siempre que g es la grMica superior
siempre quef es la grMica superior
En la figura 6.2.6, el area A acotada por las gn'ificas de f y g sobre [a, b1es
A = fIf(x) - g(x) I d.x
(/
r lf(X) - g(x) I dx + f r(x) - g(x) I dx + f lf(X) - g(x) I dx
(/ c) ('2
{C, {C, (b
J [g(x) - f(x)] d.x + J [f(x) - g(x)] dx + J [g(x) - f(x)] dx.
1I 1 c, t c, t
g es la gra rica superi or ,t: es Ia grafic l ~ lI J1eri or
'ii@I3M4*.W' Area acotada por dos grMicas
Encuentre el area acotada por las graficas de y = Yx y y = x2
.
Solucion Como se muestra en la FIGURA 6.2.7, la regi6n en cuesti6n se 10caliza en el primer clIa-
drante. Puesto que 0 y I son las soluciones de la ecuaci6n x2
= Yx, las graficas se cortan en los
puntos (0, 0) y (1, 1). En otras palabras, la regi6n se encuentra entre las rectas verticales x =0 y
x = 1. Puesto que y = Yx es la grMica superior sobre el intervalo (0, 1), se concluye que
A = f(Yx - x2
) dx
= (~x3/2 - ±X3)]~
2 1 1
="3-"3 - 0 ="3" •
'ii@I3M4*.*' Area acotada por dos griificas
Encuentre el area de la regi6n acotada por las gr:ificas de y = x2
+ 2x YY =-x + 4 sobre el inter-
valo [-4,2] .
Solucion Las funciones dadas se denotan por
y Y2 = - x + 4.
Como se muestra en la FIGURA 6.2.8, las grMicas se cOltan sobre el intervalo [-4, 2].
Para encontrar los puntos de intersecci6n resolvemos la ecuaci6n x2
+ 2x = -x + 4 0
x2
+ 3x - 4 = 0 y encontramos que x =-4 Yx =1. El area en cuesti6n es la suma de las areas
A = At + A2:
A = I2
1Y2 - )'11 dx = JI 1)'2 - )'11 dx + I2
1)'2 - )'11 dx.
- 4 -4 I

Pen) COIll O -"2 = - X + 4 es la grafica superior sobre el intervalo (- 4, I) Y VI = X 2 + 2x es la
'til" superior sobre el intervalo (1,2), es posible escribir
gm ~ ~ [ I(- X+ 4) _ (x' + 2x)1 dx + fl(X' + il) - (- x + 4)1 dx
fI ( - Xl - 3x + 4) dx + fXl + 3x - 4) dx
- ~ I
(
I 1 3 ? )] I (1 1 3 ? )]2= -- X ' - ?x- + 4x + - X ' + - x- - 4x
3 _ -4 3 2 I
= (-t-~ + 4) - (634- 24 - 16) + (~ + 6- 8) - (t + ~ - 4) = 731. •
l!IMMA!'¥J Area acatada par das graticas
Encuenlre el area de las cuatro regiones acotadas por las grMicas de y = sen X y Y = cos x que se
illueslran en la FIGURA 6.2.9.
Soluci6n Hay una infinidad de regiones acotadas por las grc'ificas de y = sen x y Y = cos x y el
area de cada region es la misma. En consecuencia, solo es necesario encontrar el area de la region
sobre el intervalo correspondiente a las dos primeras soluciones positivas de la ecuaci6n sen
x = cos x. AI dividir entre cos x, una forma mas util de la ultima ecuacion es tan x = I. La pri-
mera soluci6n positiva es x = tan- I I = 17/4. Luego, como tan x tiene periodo 17, la siguiente
soluci6n positiva es x = 17 + 17/ 4 = 517/ 4. Sobre el intervalo (17/ 4, 517/4), y = sen x es la gra-
fica superior, de modo que el area de las cuatro regiones es
I
57T/4
A = 4 (sen x - cos x) dx
Tf/4
]
5",/4
= 4( -cos x - sen x)
",/4
= 4(212) = 812. •
AI encontrar el area acotada por dos graficas, no siempre es conveniente integral' con res-
peclo a la variable x.
i,i@i4!"ij Area acatada par das graticas
Encuentre el area acotada por las graficas i = I - x Y2y = x + 2.
Soluci6n Observamos que la ecuacion i = I - x define de manera implfcita dos funciones,
'2 = VJ--=-x y YI = - VJ--=-x para x :s I. Si definimos Y3 = ~x + I , por la FIGURA 6.2.10 vemos
que la altura de un elemento de area sobre el intervalo (-8, 0) es Y3 - )' 1, mientras la altura de
un elemento sobre el intervalo (0, 1) es )'2 - YI' Por tanto, si se integra con respecto a x, el area
deseada es la suma de
y
y
FIGURA 6.2.10 En el ejel11plo 6, y, es la gralica superior sobre el
intervalo (- 8, 0): )'2 es la gnHica superior sobre el intcrvalo (0, I)
6.2 Otro repaso at area 329
-'--I-+--+--+--+--+--+-+-:-'~ X
y = cosx
FIGURA 6.2.9 Cada una de las
cuatro regiones tiene la l11isl11a
area en cl ejcl11plo 5

330 CAPrTULO 6 Aplicaciones de la integral
Por tanto, el area de la region es la suma de las areas A = A I + A2 ; es decir,
fs(~X + 1 + vT=X) dx + 2 fa I vT=Xdx
= -x2 + X - -(1 - x)3/2 - -(1 - X)3/2
(
1 2 )]0 4 ] I4 3 -8 3 °
= -~. 13/ 2 - (16 - 8 - ~ . 93/ 2) - ±.0 + ±.13/ 2 = 32
3 3 3 3 3· •
t:!IjMR!'.' Soluci6n alterna del ejemplo 6
La necesidad de usar dos integrales en el ejemplo 6 para encontrar el area se evita al construir
rectangulos horizontales y usar a y como variable independiente. Si definimos X2 = I - i Y
XI = 2y - 2, entonces, como se muestra en la FIGURA 6.2.11, el area del elemento horizontal es
Ak = [grMica derecha - grafica izquierda] . aneho.
y
XI = 2y - 2
FIGURA 6.2.11 Uso de y como la variable de integraci6n en el ejemplo 7
Al sumar los rectangulos en la direccion de y positiva obtenemos
11
A = Ifm 2: [xi(y) - x'I'(y)] ~Yh
II~I""'O k = I
donde II PII es la norma de una partieion Pdel intervalo sobre el eje y definida por - 3 ::; y ::; I.
En otras palabras,
A = f 3(X2 - XI) dy,
donde elIfmite inferior -3 y elIfmite superior 1 son las coordenadas y de los puntos de intersee-
cion (-8, -3) Y (0, 1), respectivamente. Luego, al sustituir por X2 y XI obtenemos
A = fI [(1 - i) - (2y - 2)] dy
-3
= fI (-i - 2y + 3) dy
-3
= (-±l -l + 3Y) I3
= (-±-1 + 3) - (23
7
- 9 - 9) = 33
2
. •

6.2 Dtro repaso al area 331
~I OTAS DESDE EL AULA
Como se menciono en la introduccion, en este capftulo veremos diferentes interpretacio-
nes de la integral definida. En cada secci6n veremos una variedad de la integral definida,
dentro del parrafo Construyendo una integral. Antes de memorizar estas f6rmulas de inte-
!!rales, usted debe estar al tanto de que el resultado obtenido en general no es aplicable a
;ocla situaci6n geometrica 0 ffsica concebible. POl' ejemplo, como vimos en el ejemplo 7,
para encontrar el area de una regi6n en el plano puede resultar mas conveniente integral'
can respecto a y y asf poder construir una integral totalmente diferente. En lugar de apli-
car a ciegas una f6rmula, usted debe tratar de comprender el proceso y la practica de cons-
truir integrales al analizar la geometrfa de cada problema.
== Fundamentos
En los problemas 1-22, encuent:re el area total acotada poria
onifica de la funci6n dada y el eje x en el intervalo dado.t>
l.y =x2- 1; [-1 ,1 ] 2. y=x2-1; [0,2 ]
3. Y = x3
; [-3,0] 4. Y = I - x3
; [0,2 ]
5. .' = x2
- 3x; [0, 3]
6. Y = -(x + 1)2; [-1 , 0] 7. Y = x3
- 6x; [ - 1, I]
8..' = x3
- 3x2
+ 2; [0,2]
9. .' = (x - 1)(x - 2)(x - 3); [0,3 ]
10. y = x(x + I )(x - I); [ -j, 1]
0
1 x2
- 1
11.
r-
[1,3] 12.Y = --2- ; y = - -0-;
x x-
13. y = Vx - 1; [0,4] 14. Y = 2 - Vx;
15. v = Vx; [ -2,3] 16. y = 2 - Vx;
17. y = sen x; [-1T, 1T]
18. y = I + cos x; [0,31T]
19. ' = -1 + sen x; [-31T12, 1T12 ]
20. Y = sec2
x; [0, 1T13]
{
X -2:5 x < 0
21.y = ; [-2,1]
X-, 0 :5 x :5 j ,
22. Y = {x + 2,
2 - x2
,
-3:5x<0
0:5x:52'
[-3,2]
[ 1, 2]
[0,9]
[-1,8]
En los problemas 23-50, encuentre el area de la regi6n acota-
da porIa grafica de las funciones dadas.
23. y = x, y = - 2x, x = 3 24. Y = x, Y = 4x, x = 2
25. y = x2
, Y = 4 26. y = x2
, Y = x
27. y = x3
, y = 8, x = - 1
28. y = x3
, Y = Vx, primer cuadrante
29. y = 4(1 - x2
), y = 1 - x2
30. y = 2(1 - x2), y = x2 - 1
31. y = x,y = l/x2
,x = 3
32. -" = x2
, Y = l/x2
, Y = 9, primer cuadrante
33. ' = - x2
+ 6, y = x2
+ 4x 34. y = x2
, Y = - x2
+ 3x
35. .' = X
2
/
3
,y = 4
36. y = 1 - x 2
/
3
, Y = x 2
/
3
-
37. y = x2
- 2x - 3, y = 2x + 2, sobre [- 1, 6]
38. y = - x2
+ 4x, y = 1x
39. y = x3
, Y = X + 6, Y = -1x
40. x = l, x = 0, y = 1
41. x = - y, x = 2 - l
42. x = l,x = 6-l
43. x = yZ + 2y + 2, x = -yZ - 2y + 2
44. x = l- 6y + l , x = -yZ + 2y + I
45. y = x3
- x, Y = x + 4, x = -1, x = 1
46. x = y" - y, x = 0
47. y = cosx,y = senx,x = O,x = 1T12
48. Y = 2 sen x, y = -x, x = 1T12
49. y = 4senx,y = 2, sobre[1T16,51T16]
50. y = 2 cos x, y = -cos x, sobre [-1T12, 1T12]
En los problemas 51 y 52, interprete la integral definida dada
como el area de la region acotada poria grafica de dos funciones.
Trace las dos regiones que tienen el area dada poria integral.
51. 1Vx + x) dx 52. r(~X2 + 3 - x) dx
En los problemas 53 y 54, interprete la integral definida dada
como el area de la region acotada por la grafica de dos fllncio-
nes sobre un intervalo. Evalue la integral dada y trace la region.
53. fix ~ 1 - 4xl dx 54. [lex - 2e-
x
ldx
En los problemas 55-58, use el hecho de que el area de un
cfrculo de radio res 1Tr2para evaluar la integral definida dada.
Trace una regi6n cllya area este dada por la integral definida.
55. r3~ dx 56. f 5_.125 - x2
dx
Jo -)
57. fy + Y4 - x
2
)dx
58. [px + 3 - ~)dx

59.
60.
61.
62.
Establezca una integral definida que represente el area de
una elipse x2
/ a2
+ l /b2
= 1, a > b > O. Use la idea
que se utilizo en los problemas 55-58 para evaluar la inte-
gral definida.
Encuentre el area del tTiangulo con vertices en ( I, I),
(2, 4) Y (3, 2).
Considere la region acotada por las graficas de l =
- x - 2, y = 2, y = - 2 YY = 2ex - I). Calcule el area
de la region al integrar con respecto ax.
Calcule el area de la region dada en el problema 61 al
integrar con respecto a y.
63. Considere la region acotada por las graficas de y =
2e
x
- 1, Y=eX Yy =2 mostradas en la FIGURA 6.2.12. Exprese
el area de la region como integrales definidas primero
usando integracion con respecto a x y luego usando inte-
gracion con respecto a y. Escoja una de estas integrales
para encontrar el area.
y y= 2eX
- 1
--...,<---.-+-- .' = 2
-t-------+~x
FIGURA 6.2.12 Graficas para el problema 63
=Problemas con calculadora/SAC
64. Use una calculadora 0 un SAC para aproximar las coor-
denadas x de los puntos de interseccion de las gr:ificas
mostradas en Ja FIGURA 6.2.13. Encuentre un valor aproxi-
mado del area de 1a region.
FIGURA 6.2.13 Gnlficas para el problema 64
=Piense en ello
65. EI segmento de recta entre Q y R mostrado en la FIGURA
6.2.14 es tangente a la gr:ifica de y = 1/ x en el punto P.
Demuestre que el area del triangulo QOR es independien-
te de las coordenadas de P.
y
Q
p
-+--------">--~x
o R
FIGURA 6.2.14 Triangulo en el problema 65
66.
67.
Un trapezoide esta acotado por las graficas de fer) ~
Ax + B, x = a, x = by x = O. Muestre que el area del trape_
. f(a) + feb)
zolde es 2 (b - a).
Exprese el area de la region sombreada mostrada en la
FIGURA 6.2.15 en tenninos del numero a. Trate de ser un
poco perspicaz.
y y = cos x
(0 , a)
y = cos- I
X
-t--------t-~ x
I
FIGURA 6.2.15 Graficas para el problema 67
68. Suponga que los dos brochazos de pintura mostrados en
la FIGURA 6.2.16 se hacen de una sola pasada usando una
brocha de ancho k, k > 0, sobre el intervalo [a, b]. En la
figura 6.2.16b) se supone que la region pintada en rojo es
paralela al eje x. ~Cual brochazo tiene mayor area? Argu-
mente su respuesta con una demostracion matematica
solida. ~Puede plantear un principio general?
) x
a b
0) b)
FIGURA 6.2.16 Brochazos de pintura en el problema 68
=Proyectos
69. EI area mas grande Los puntos A y B estan sobre una
recta y los puntos C y D estan sobre una recta pat'alela a la
primera recta. Los puntos en la FIGURA 6.2.17a) forman un rec-
tangu10 ABCD. Los puntos C y D se mueven a la izquierda
como se muestra en la figura 6.2.17b) de modo que ABC'D'
forme un paralelogramo. Analice: ~cual tiene mayor area,
eI rectangulo ABCD 0 el parale10gramo ABC'D'?
D C
A B A B
a) b)
FIGURA 6.2.17 Rectllngulo y paralelogramo en el problema 69
70. Principio de Cavalieri Escriba un reporte breve acerca
del principio de Cavalieri. Analice los problemas 68 y 69
en su reporte.

6.3 Volumenes de s61idos metodo de las rebanadas 333
6.3 Volumenes de s6lidos: metoda de las rebanadas
I Introduccion La forma que indiscutiblemente viene a la mente al evocar las palabras cHin-
dro recto es el cilindro circular recto; es decir, la conocida forma de una lata de aluminio. Sin
t:J11bargo, un cilindro recto no necesita ser circular. Por geometrfa, un cilindro recto se define
cOJ11O un solido acotado por dos regiones planas congruentes, en pIanos paralelos y una superfi-
cie lateral que es generada por un segmento de recta perpendicular a ambos pIanos y cuyos extre-
mos constituyen los Ifmites de las regiones planas. Cuando las regiones son cfrculos, obtenemos
el cilindro circular recto. Si las regiones son rectangulos, el cilindro es un paralelepipedo rectan-
(TLilar. Algo comun a todos los cilindros, como los cinco 11l0strados en la FIGURA 6.3.1, es que su
~()ILlJ1len Vesta dado por la formula
V = B· h, (I)
dOllce B denota el area de una base (es decir, el area de una de las regiones planas) y h denota la
altura del cilindro (es decir, la distancia perpendicular entre las regiones planas).
~I Ih
/ B !1h
I V
h
FIGURA 6.3.1 Cinco cilindros rectos diferentes
En esta seccion se demostrara como es posible usar la integral definida para calcular volU-
menes de ciertos tipos de solidos, especfficamente solidos con seccion transversal conocida. La
formula (1) es especialmente importante en el siguiente analisis.
I Metodo de las rebanadas Suponga que Ves el volumen del solido mostrado en la FIGURA 6.3.2
acotado por pIanos que son perpendiculares al eje x en x = a y x = b. Ademas, suponga que cono-
ce una funcion continua A(x) que proporciona el area de una region de seccion transversal que
se forma al rebanar el solido por un plano perpendicular al eje x; en otras palabras, una rebana-
da es la interseccion del solido y un plano. Por ejemplo, para a < XI < X2 < b las areas de las
secciones transversales mostradas en la figura 6.3.2 sonA(xl) y A(X2)' Con esto en mente, supon-
ga que rebana al solido en cortes delgados por pianos paralelos (semejantes a rebanadas de pan
ele caja comercial) de modo que el grosor 0 ancho de una rebanada es t:.Xk' Al usar cilindros rec-
tos para aproximar los volumenes de estas rebanadas es posible construir una integral definida
que proporcione el volumen V del solido.
I Construccion de una integral Ahora considere rebanar el solido en n rodajas. Si Pes la par-
pianos pcrpt!ndiculares
/,,1 eje x
FIGURA 6.3.2 Las regiones 0 las
secciones transversales tienen
areas conocidas
tici6n ~~______
a = Xo < XI < X2 < . . . < x" = b
del intervalo [a, b) y x2' es un punto muestra en el k-esimo subintervalo [Xk- I, Xk ], entonces una
aproximacion al volumen del solido sobre este subintervalo, 0 rebanada, es el volumen Vk del cilin-
elro recto, que se muestra en la ampliacion de la FIGURA 6.3.3. EI area B de la base del cilindro recto
es el area A(xD de la seccion transversal y su altura h es t:.Xk de modo que por (l) su volumen es
Vk = area de la base· altura = A(xD(Xk - Xk-I) = A(xk') t:.Xk' (2)
Se concluye que la suma de Riemann de los volUmenes Vk = A(xt') t:.Xk de los n cilindros rectos,
1/ /I
22 Vk = 22A(xk') t:.Xk,
k= I k = I
es una aproximacion al volumen V del solido sobre [a, b]. Usamos la integral definida
"
lim 22A(xi') t:.Xk =
II~I---+O k= I
COillO definicion del volumen V del solido.
f
"A(x) dx
a
Una pieza de pan es una rodaja
formada pOl' dos rebanadas
/~~""'
,hea de {
una secci6n
Iransversal
A(x%,> ----J-.
I
I
I

• • J: X
xk - I xi.' xk
-I D. Xk 1-
FIGURA 6.3.3 EI volumen de un
cilindro recto es una aproximaci6n
al volumen de una rebanada

a) Un plano perpendicular al eje x
corIa al solido en un cuadrado
base de In secci6n
-r-----r~~-+~ x
b) Base circular del solido
FIGURA 6.3.4 Solido en el
ejemplo I
~JL
eje de revolucion
a) Region
__--------L
b) Solido
FIGURA 6.3.5 Un solido de
revolucion se forma al girar
una region plana R alrededor
de un eje L
y
y = f(x)
~-L----------~x
a b
FIGURA 6.3.6 Region a girar
alrededor del eje x
--Definicion 6.3.1 Volumen por rebanadas
~
Sea V el volumen de un solido acotado pOl' pianos perpendiculares al eje x en x = a y x == h.
Si A(x) es una funcion continua que proporciona el area de una seccion transversal deJ solido
formado por un plano perpendicular al eje x en cualquier punto en el intervalo [a, b], entonces
el volumen del solido es
J
"V = A (x) dx.
"
(3)
Tenga presente que no hay nada especial sobre la variable x en (3); dependiendo de la geo-
metrfa y el analisis del problema tambien es posible terminal' con una integral J;'A(y ) dy.
1ii@!@iQi.I' S61ido can secciones transversales cuadradas
Para el solido en la FIGURA 6.3.4a}, las secciones transversales perpendiculares a un diametro de una
base circular son cuadradas. Dado que el radio de la base es 4 pies, encuentre el volumen del
solido.
Soluci6n Sean x y y ejes como se muestra en la figura 6.3.4a); a saber: el origen esta en el cen-
tro de la base circular del solido. En esta figura, una seccion transversal cuadrada se muestra per-
pendicular al eje x. Puesto que la base del solido es un cfrculo, tenemos x2
+ l = 42
. En la figu-
ra 6.3.4b), la Ifnea discontinua en x2' representa la seccion transversal del solido perpendicular al
eje x en el subintervalo [Xk - I , xd en una particion del intervalo [- 4, 4]. A partir de esto vemos
que la longitud de un lado de la seccion transversal cuadrada es 2yk' = 2'116 - (x%'f. Por tanto,
el area de una seccion transversal cuadrada es
A(xk') = (2V16 - (x%')? = 64 - 4(x~f
EI volumen del cilindro recto que aproxima el volumen del solido 0 rebanada en el subintervalo
[ Xk- " xd es
Vk = A(xi') ~Xk = (64 - 4(xl)2) ~Xk'
Al formar la suma L~ = I Vk Ytomar el lfmite cuando IIP II ----+ 0 obtenemos la integral definida
V = f 4(64 - 4x2)dx = 64x _ '±X3J4 = 512 _ (_ 512) = 1024.
- 4 3 -4 3 3 3 •
• Solidos de revolucion Si una region R en el plano xy se hace girar alrededor de un eje L, se
genera un solido denominado solido de revolucion. Vea la FIGURA 6.3.5.
• Metodo del disco Como acaba de analizarse, el volumen V de un solido puede encontrarse
por medio de una integral definida siempre que se conoce una funcion A(x) que proporciona el
area de una seccion transversal formada al hacer pasar un plano por el solido de fonna perpen-
dicular a un eje. En el caso de encontrar el volumen de un solido de revoluci6n, siempre es posi-
ble encontrar A(x); el eje en cuestion es el eje de revolucion L. Vemos que al rebanar el solido
por medio de dos pIanos paralelos perpendiculares al eje de revolucion, el volumen de las reba-
nadas resultantes del solido pueden aproximarse por cilindros circulares rectos que son discos a
arandelas. A continuacion se ilustrara la construccion de una integral de volumen usando discos.
• Construccion de una integral Sea R la region acotada por la grafica de una funcion continua
no negativa y = f(x) , el eje x y las rectas verticales x = a y x = b, como se muestra en la FIGURA
6.3.6. Si esta region se hace girar alrededor del eje x, encontramos el volumen V del solido de
revolucion resultante.
Sea Puna particion de [a, b] y sea xk' cualquier numero en el k-esimo subintervalo [xk_".td
como se muestra en la FIGURA 6.3.7a}. A medida que el elemento rectangular de ancho ~Xk y altu-
raf(x~') gira alrededor del eje x, genera un disco solido. Luego, la seccion transversal del solido
determinada por un plano que corta la superficie en x2' es un cfrculo de radio r = f(xk'), y asf el

6.3 Volumenes de solidos metoda de las rebanadas 335
area de la secci6n transversal es A(xt) = 7T [f(xD] 2. El volumen del cilindro circular recto, 0
disco solido, de radio r = I(x%,) y altura h = ,1Xk es 7Tr
2
h 0
Vk = A(xk') ,1 Xk = 7T [f(x%') f ,1 Xk'
La Slima de Riemann
1/ 11 II
,LVk = ,LA (x%') ,1Xk = ,L7T[f(X%')] 2
,1Xk
k~' k ~ ' k~ '
representa una aproximaci6n al volumen del s6lido mostrado en la figura 6.3 .7d). Esto sugiere
que el volumen Vdel s6lido de revoluci6n esta dado por
o bien,
y
II
V = lim ,L 7T[f(X%')]2 ,1Xk
II~I--->O k~ '
V = f7T[f(X)] 2dX.
(/
y
-+-.---t-H>-t--x
--.j 1--
Ll Xk = Xk - Xk _ ,
(4)
y
x x
0) Region b) Disco c) It discos cf) Solido de revolucion
FIGURA 6.3.7 Cuando el elemento rectangular rojo en a) gira alrededor del eje x se genera el disco circular rojo en b)
Si una regi6n R se hace girar alrededor de algun otro eje, entonces (4) puede simplemente
no ser aplicable al problema de encontrar el volumen del s6lido resultante. En lugar de aplicar
una f6rmula a ciegas, usted debe establecer una integral con sumo cuidado por medio del anali-
sis de la geometrfa de cada problema. Un caso as! se analizara en el ejemplo 6.
1,IM!i4(,.j Metoda del disco
Encuentre el volumen V del s6lido farmado al girar alrededor del eje x la regi6n acotada por las
graficas de y =0, y = 0 y x = 4.
Solucion En la FIGURA 6.3.8a) se muestra la regi6n en cuesti6n. Luego, el area de una rebanada
de la secci6n transversal xt es
A(xt) = 7T[f(xDf = 7T[(xD'/2]2 = 7TX2',
Yasf el volumen del disco correspondiente mostrado en la figura 6.3.8b) es
Vk = A (x%') ,1Xk = 7TX%' ,1Xk'
Por tanto, el volumen del s61ido es
V = 7T xcix = 7T- X2 = 87T.
J
4 1]4
o 2 0
y
y ={;
(4,2)
">---r~_---,- __ J
y
f(x,[)
a) Region b) Disco
FIGURA 6.3.8 Region y solido de revolucion en el ejemplo 2
x
y
c) Solido de revolucion
x
•

y y = ~r2 _ xl
a) Region
-r
b) Esfera
FIGURA 6.3.9 Sel11icfrculo y
esfera en el ejel11plo 3
x
1,I#MQ!.w. Volumen de una esfera
Demuestre que el volumen V de una esfera de radio res V = ~7TI). --Solucion Una esfera de radio rpuede generarse al girar un semicfrculof(x) = Vr1 - x"alre-
dedor del eje x. Por la FIGURA 6.3.9 vemos que el area de una regi6n de la secci6n transversal del
s61ido perpendicular al eje x en xi es
A (xt) = 7T [f(xZ')] 2 = 7T( Vr2 - (xt)1)2 = 7T(r2 - (xt)2)
y por tanto, el volumen de un disco es
Vk = A(xi ) D.Xk = 7T(r2 - (x2')2) D.Xk'
Al usaI' (4) observamos que el volumen de la esfera es
•
I Metodo de la arandela Sea R la regi6n acotada por las graficas de las funciones continllas
y =f(x), y =g(x) y las rectas x = a y x = b, como se mllestra en la FIGURA 6.3.10a), que se hace girar
alrededor del eje x. Entonces una rebanada perpendicular al eje x del s6lido de revoluci6n en xt
es una circular 0 anillo anular. Cuando el elemento rectangular de ancho D. Xk que se muestra en
la figura 6.3.1Oa) gira alrededor del eje x, genera una arandela. El area del anillo es
A (x%') = area del cfrculo - area del orificio
= 7T[f(xk')] 2 - 7T[g(Xk')] 2
= 7T([f(xk')]2 - [g(x2')]2)
y el volumen Vk de la arandela representativa mostrada en la figura 6.3.1Ob) es
Vk = A (xn D.Xk =7T( [f(xt) ] 2 - [g (xt) ] 2) D.Xk'
En consecuencia, el volumen del s6lido es
V = r7T( [f(x)] 2 - [g(x) J2) dx.
l/
Observe que la integral en (5) se reduce a (4) cuando g(x) = o.
y
y
x
a) Region b) Arandela c) Solido de revolucion
FIGURA 6.3.10 Cuando el elel11ento rectangular rojo en a) gira alrededor del eje x se genera la
arandela circular raja en b)
I,IM@!.II Metodo de la arandela
(5)
x
Encuentre el volumen V del s6lido formado al girar alrededor del eje x la regi6n acotada pOl' las
graficas de y = x + 2, y = x, x = 0 y x = 3.
Solucion En la FIGURA 6.3.11 a) se muestra la regi6n en cuesti6n. Luego, el area de una secci6n
transversal del s61ido correspondiente al plano perpendicular al eje x en x%, es
A(x%') = 7T(Xk' + 2)2 - (xD2 = 7T(4xi + 4).

6.3 Volumenes de s61idos metoda de las rebanadas 337
CoI1l0 sc ve en la figura 6:3.1Ia) y b), un elemento rectangular vertical de ancho LlXk, cuando se
I
·c "ir,]r alrededor del eJe x, produce una arandela cuyo volumen eslaC 2
Vk = A (xt) LlXk = 1T(4x%' + 4) LlXk.
EI proceso usual de sumas y lfmites acostumbrado lleva a la integral definida para el volumen V
del s61ido de revolucion:
J
3 ]3
V = 1T 0 (4x + 4) elx = 1T(2x2
+ 4x) 0 = 301T.
y y
x
x
x
a) Region b) Arandela c) Solido de revoilicion
FIGURA 6.3.11 Region y solido de revoilicion en el ejemplo 4
•
"Iij~ly!."j Integracion can respecto a V
Encuentre el volumen Vdel solido formado por la region que gira alrededor del eje x acotada por
las graficas de y = IX y y = x.
Solucion Cuando el elemento rectangular horizontal en la FIGURA 6.3.12a) gira alrededor del eje
y genera una arandela de ancho LlYk. El area A(yn de la region anular en y%' es
A (yt) = area del circulo - area del orificio. - I
EI radio del circulo y el radio del hueco se obtienen al despejar, a su vez, y = x y y = IX para
x en terminos de y:
Asf, el volumen de una arandela es
Vk = A (yt) LlYk = 1T((y%'f - (yj't) LlYk.
Usualmente sumando los Vk y tomando ellfmite de la suma cuando liPll ---+ 0 llevan a la integral
definida para el volumen del solido:
V = 1Tfl(l-l) ely = 1T(..!.i - ..!.ys)] I = .1..1T.
o 3 5 0 15
y
y={U
(1, I)
+----~~x
a) Region b) Arandela y solido de revoilicion
FIGURA 6.3.12 Region y solido de revoilicion en el ejemplo 5
•

y
2
I Revolucion alrededor de una recta El siguiente ejemplo muestra c6mo encontrar el vohllnen
de un s6lido de revoluci6n cuando una regi6n se hace girar alrededor de un eje que no es un
eje de coordenadas.
'ii@JiMiQ!"ij Eje de revoluci6n que no es un eje de coordenadas
Encuentre el volumen V del s6lido que se forma al girar la regi6n alrededor de la recta x == 4 que
se muestra en el ejemplo 2.
~~______+-______~~x
Solucion EI s61ido de revoluci6n en forma de domo se muestra en la FIGURA6.3.13. Por inspec_
ci6n de la figura vemos que un elemento rectangular horizontal de ancho t:.Yk que es perpen-
dicular a la recta vertical x = 4 genera un disco s61ido cuando gira alrededor de ese eje. El radio
r de ese disco es
x = 4
FIGURA 6.3.13 Solido de r = (valor x mas a la derecha) - (valor x mas ala izquierda) = 4 - xL
revoluci6n en el ejemplo 6
y entonces su volumen es
Vk = 7T(4 - xk')2 t:.Yk'
Para expresar x en terminos de Y se usa Y = IX para obtener x%, = (yk'f En consecuencia,
Vk = 7T(4 - (A'?)2 t:.Yk'
Eso conduce a la integral
V = 7Tr(4 - /)2 dy
= 7Tr(16 - 8/ + l) dy
_ ( 8 3 I 5)]2 _256
- 7T l6y -:P + 5Y 0 - 157T· •
=Fundamentos
En los problemas 1 y 2, use el metodo de las rebanadas para
encontrar el volumen del s6lido si se proporcionan sus seccio-
nes transversales perpendiculares a un diametro de una base
circular. Suponga que el radio de la base es 4.
1.
~
y
x
FIGURA 6.3.14 Las secciones trans-
versales son triangulos equilateros
x
FIG URA 6.3.15 Las secciones
transversales son semicfrculos
3. La base de un s6lido esta acotada por las curvas x = l
y x = 4 en el plano xy. Las secciones transversales per-
pendiculares al eje x son rectangulos para los cuales la
altura es cuatro veces la base. Encuentre el volumen del
s6lido.
4. La base de un s6lido esta acotada por la curva y = 4 - x2
y el eje x. Las secciones transversales perpendicu-
lares al eje x son triangulos equilMeros. Encuentre el vo-
lumen del s61ido.
S. La base de un s6lido es un triangulo is6sceles cuya base
y altura miden, respectivamente, 4 y 5 pies. Las seccio-
nes transversales perpendiculares a la altura son semi-
cfrculos. Encuentre el volumen del s6lido.
6. Por el centro de una esfera s6lida de radio r = 2 pies se
perfora un orificio de 1 pie de radio. Encuentre el volu-
men del s61ido restante. Yea la FIGURA 6.3.1 6.
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I _---- _ I
( )
------
FIGURA 6.3.16 Oriticio a traves
de la esfera en el problema 6

7. La base de un solido es un triangulo isosceles recto for-
mado por los ejes de coordenadas y la recta x +y = 3. Las
sccciones transversales perpendiculares al eje y son cua-
drados. Encuentre el volumen del solido.
8. Suponga que la piramide que se muestra en la FIGURA 6.3.17
ticne altura h y base cuadrada de area B. Demuestre que
el vol umen de la piramide esta dado por A = *hB. [Suge-
felicia: Sea b la longitud de un lado de la base cuadrada.]
FIGURA 6.3.17 Piramide en el problema 8
En los problemas 9-14, consulte la FIGURA 6.3.18. Use el me-
todo del disco 0 arandela para encontrar el volumen del so-
lido de revolucion que se forma al girar la region dada alre-
dedor de la recta indicada.
9. RI alrededor de DC 10. RI alrededor de DA
11. Rz alrededor de DA 12. R2 alrededor de DC
13. RI alrededor de AB 14. R2 alrededor de AB
y
B ( I, I)C
Rz
-t""""""---------L~ x
o A
FIGURA 6.3.18 Regiones
para los problemas 9- 14
En los problemas 15-40, use el metodo del disco 0 de la aran-
dela para encontrar el volumen del solido de revolucion que
se forma al girar la region acotada por las graticas de las ecua-
ciones dadas alrededor de la recta 0 eje que se indica.
15. y = 9 - x2
, Y = 0; eje x
I6.y=x2
+ 1,x= 0,y= 5; ejey
1 1
17. Y = ~,x = l ,y = 2"; ejey
I 1
18. y = - x = - x = 3 y = O' eJe x.r' 2' , ,
19. y = (x - 2f, x = 0, y = 0; eje x
20. y = (x + I)2, X = 0, y = 0; eJe y
21. ' = 4 - x2
Y = 1 - lx2
. eJ'ex. , 4 ,
22. y = I - x2
, Y = x2
- 1, x = 0, primer cuadrante; eje y
6.3 Valumenes de s61idos metoda de las rebanadas 339
23. Y = x, Y = x + 1, x = 0, y = 2; eJe y
24. x + y = 2, x = 0, y = 0, y = I; eje x
25. y = v:x-=J, x = 5, y = 0; x = 5
26. x = /, x = I ; x = I
27. Y=XI/3,X= 0,y= 1; y=2
28. x = -/ + 2y, x = 0; x = 2
29. x2
- / = 16, x = 5; eje y
30. y = x2
- 6x + 9, y = 9 - !x2
; eje x
31. x = /, y = x - 6; eje y
32. y = x3
+ I, x = 0, y = 9; eje y
33. Y = x3
- x, y = 0; eje x
34. y = x3
+ 1, x = I, y = 0; eje x
35. y = e-x
, x = 1, y = 1; y = 2
36. y = eX, y = J, x = 2; eJe x
37. y = lcosxl, y = 0, 0 ~ x ~ 27T; eje x
38. y = secx, x = - 7T/ 4, x = 7T/ 4, Y = 0; eje x
39. y = tanx, y = 0, x = 7T/ 4; eje x
40. y = sen x, y = cos x, x = 0, primer cuadrante; eJe x
=Piense en ello
41. Relea los problemas 68-70 acerca del principio de
Cavalieri, en los ejercicios 6.2. A continuacion muestre
que los cilindros circulares de la FIGURA 6.3.19 tienen el
mismo volumen.
-r~
FIGURA 6.3.19 Ci lindros en el problema 41
42. Considere el cilindro circular recto de radio a que se
muestra en la FIGURA 6.3.20. Un plano inc1inado a un angu-
10 () con respecto a la base del cilindro pasa por un dia-
metro de la base. Encuentre el volumen de la cuna resul-
tante que se corta del cilindro cuando
a) () = 45°
..----.....
~=- ---
FIGURA 6.3.20 Cilinclro y cufia
en el problema 42

340 CAPiTULO 6 Apl icaciones de la integral
=Proyectos
43. Para las aves Un modelo matematico para la farma de
un huevo puede obtenerse al girar la region acotada por
las graficas de y = 0 y la funcion f(x) = P(x)~,
donde P(x) = ax3
+ bx2
+ ex + d es un polinomio cLi-
bico, alrededor del eje x. Por ejemplo, un huevo de arao
comLin corresponde a P(x) = -0.07x3 - 0.02X2 + 0.2x +
0.56. En la FIGURA 6.3.21 se muestra la grafica def obtenida
con ayuda de un SAC.
a) Encuentre una formula general para el volumen V de
un huevo con base en el modelo matematico
f(x) = P(x)~, dondeP(x)=ax3+bx2+ex+d.
[Sugereneia: Este problema puede resolverse con
calculos manuales, aunque es lento y "confuso". Use
un SAC para realizar la integracion.]
b) Use la formula obtenida en el inciso a) para estimar el
volumen de un huevo de arao comLin.
c) Un huevo de somorgujo petirrojo corresponde a
P(x) = - 0.06X 3 + 0.04X2 + O.Ix + 0.54. Use un
SAC para obtener la grafica def
d) Use el inciso a) para estimar el volumen de un huevo
del somorgujo petirrojo.
•
"
• •• . I'~ • •~. .;' . • '
r ' if.t .. ' • J ...., .
.~ ';""'- , .-::~,:"
:.," i . " .. '"
Huevos de arao comun
FIGURA 6,3.21 Modelo de la forma del
huevo de arao comun en el problema 43
44. Ese sentimiento de hundirse Una bola esferica de
madera de radio I' flota en un estanque de agua tranquila,
45.
Sea h la profundidad a que se hundira la bola. Yea la FIGU.
RA 6,3.22.
a) Demuestre que el volumen de la porcion sumergida de
la bola esta dado por V = 7Tr2h - ~7Th3.
b) Suponga que el peso especffico de la bola se denota
par Pbola Y que el peso especffico del agua es Pau""
(l11edida en Ib/pies
3
). Si r = 3 pulg Y Pbola = 0.4 p"geU
'"
use el principio de Arqufmedes -el peso de la bola es
igual al peso del agua desplazada- para determinar
la profundidad aproximada h que se hundira la bola,
Necesita una calculadora 0 un SAC para resolver una
ecuacion de un polinomio cLibico.
h
~
FIGURA 6,3,22 Bola de madera
f10tante en el problema 44
S6lidos de Steinmetz El solido farmado par dos cilin-
dros circulares de radio r cuyos ejes se cOltan formando
un angulo recto se denomina bicilindro y es un caso
especial de los solidos de Steinmetz. Por razones de cla-
ridad se muestra la octava parte del solido en la FIGURA
6,3.23.
a) Encuentre el volul11en total del bicilindro ilustrado en
la figura.
b) Escriba un breve reporte sobre los solidos de Stein-
metz.
y x
FIGURA 6.3,23 Cilindros circulares
rectos que se cortan en el problema 45
6.4 Volumenes de s6lidos: metodo de los cascarones
I Introduccion En esta seccion continuamos el analisis de como encontrar volumenes de soli-
dos de revolucion. Pero en lugar de usar pIanos perpendiculares al eje de revolucion para reba-
nar el solido en rodajas cuyo volumen puede aproximarse por cilindros circulares rectos regula-
res (discos 0 arandelas), desarrollamos un nuevo metodo para encontrar vohimenes de solidos de
revolucion que utiliza cascarones cilfndricos circulares. Antes de construir un integral que repre-
sente el metodo de los cascarones es necesario encontrar el volumen del cascaron cilfndrico
general que se muestra en la FIGURA 6.4,1. Si, como se observa en la figura, rl Y 1'2 denotan respec-
- - - - - - - tivamente los radios interior y exterior del cascaron, y h es su altura, entonces su volumen est<l
FIGURA 6.4,1 Cascar6n cilfndrico dado por la diferencia
volumen del cilindro exterior - volul11en del cilindro interior
= 7Tdh - 7Tdh = 7T(d - d)h = 7T(r2 + 1'1)(r2 - rl)h.
(I)

6.4 Volumenes de solidos: metoda de los cascarones 341
I Constrllccion de una integral En la secci6n 6.3 vimos que un elemento rectangular de area
que es perpendicular a un eje de revolucion genera, al girar, ya sea un disco circular 0 una aran-
dela circular. No obstante, si hacemos girar el elemento rectangular mostrado en la FIGURA 6.4.2a)
alrededor del eje y, generamos un cascaron hueco como se muestra en la figura 6.4.2b). Para
cncantrar el volumen que se observa en la fig ura 6.4.2c), sea Puna particion arbitraria del inter-
vala 1(/· b]:
a == Xo < X I < X2 < . . . < X,, _ I < X" == b.
La partlcIOn P divide el intervalo en n subintervalos [Xk- I, xd, k == 1, 2, .. ., n, de ancho
~x, = Xk - Xk - I' Si identificamos el radio exterior como r2 == Xk Y el radio interior como
1"1 = XH Y definimos x t' == ~(Xk + Xk- I), entonces xi' es el punto medio del subintervalo
Ix,- I' "k ]' Con la identificacion adicional h == f(xk') por (1) se concluye que el volumen repre-
sentativo del cascaron en la figura 6.4.2b) puede escribirse como
Vk == 7T(Xk + Xk- I)(Xk - Xk_l)h
Xk + Xk- I
== 27T 2 h(Xk - Xk- I)
o bien, Vk == 27TXU(xD ~Xk'
Una aproximacion al volumen del solido esta dada par la suma de Riemann
1/ Il
L Vk == L 27TXU(Xn ~Xk' (2)
k = I k = I
Cuando la norma IIPIIde la particion tiende a cera, el ifmite de (2) es una integral definida que
se usa como la definicion del volumen Vdel solido:
("
V == 27T Lxf(x) dx.
a
(3)
y
r y
x
x x
('Uk = xk
- xk
_ I
a) Region b) Arandela c) Solido de revolucion
FIGURA 6.4.2 Cuando el elemento rectangular roja en a) gira alrededor del eje y se genera el cascaron roja en b)
Como se menciono en las Notas desde el aula al final de la seccion 6.2, no es posible obte-
ner una integral, que en este caso representa el volumen de un solido de revolucion, que "fun-
eione" en todos los casos posibles. De nuevo se apremia allector a que no memorice una fonnu-
la particular como (3). Intente comprender 1a interpretacion geometrica de las componentes del
integrando. Por ejemplo,f(x), que representa la altura del rectangulo en la figura 6.4.2, puede ser
la diferencia f(x) - g(x) si el elemento rectangular esta entre las graficas de dos funciones
y == f(x) y y == g (x),f(x) 2: g (x). Para establecer una integral para un problema dado sin aden-
(rarse en un tedioso analisis, considere que un cascaron es una delgada lata de aluminio a la que
se han quitado las partes superior e inferior. Para encontrar el volumen de la concha (es decir, el
volumen del metal en la analogfa de la lata de aluminio), imagine que la lata se corta en forma
recta a 10 largo de su lado y que se aplana como se ilustra en la FIGURA 6.4.3a) y b). Como se mues-
Ira en la figura 6.4.3c), entonces el volumen de la concha es el volumen de este solido regular:
volumen == (longitud) . (ancho) . (grosor)
== (circunferencia del cilindro)· (altura) . (grosor)
== 27T rht. (4)

Vuelva a leer el ejemplo 5 en la
seccion 6.3 antes de abordar estc
ejcmplo.
._ 27Tr _,-
'~ ~I
0) La arandela se corta por su lado b) Se aplan;) c) EI resultado es un solido rectangular
FIGURA 6.4.3 Determinacion del volumen de un cascaron
U!!3M4!.I' Usa del metoda de los cascarones
~ Use el metodo de los cascarones para encontrar el volumen V del solido que se forma al girar
alrededor del eje y la region acotada por las graficas de y = Vx y y = x.
Solucion Este problema se resolvio en el ejemplo S de la seccion 6.3. En ese ejemplo vimos
que usar un elemento rectangular horizontal perpendicular al eje y de ancho D..Yk generaba una
arandela al girarlo alrededor del eje y. En contraste, cuando un elemento rectangular vertical de
ancho D..Xk gira alrededor del eje y genera un cascaron. Con ayuda de la FIGURA 6.4.4a) en (4) se
hace la identificacion r = xl,
h = gnifica superior - grafica inferior = v4 - x%"
y t = D..Xk' A partir del volumen del cascaron,
Vk = 27TXt (v4 - xi') D..Xk = 27T((xn3/2 - (x2')2) D..Xb
obtenemos la integral definida al determinar el volumen del solido:
V = 27Tr(X3/2 - X2) dx
= 27T(~XS/2 - tx3)t= 1
2
S7T·
y
x
0) Region b) Cascar6n y s6lido de revoluci6n
FIGURA 6.4.4 Regi6n y s6lido de revoluci6n en el ejemplo I
•
No siempre es conveniente 0 incluso posible usar los metodos del disco 0 de la arandela ana-
lizados en la ultima seccion para encontrar el volumen de un solido de revolucion.
li!i@4!.Wj Usa del metoda de los cascarones
7
Encuentre el volumen V del solido que se forma al girar alrededor del eje y la gnifica de Y = sen .r-
y y = 0, °:S X :S V7T.
Solucion La gnifica de Y = sen X2 sobre el intervalo indicado en la FIGURA 6.4.5 se obtuvo con
ayuda de un SAC.
Si elegimos usar un elemento rectangular horizontal para girarlo alrededor del eje y, se gene-
raria una arandela. Para determinar los radios interior y exterior de la arandela seria necesario
despejar x en Y = sen X2 en terminos de y. Aunque esto simplemente !leva a X2 como un seno
inverso, plantea un problema practico: por ahora no es posible integrar una funcion trigonome-

6.4 Volumenes de s61idos metoda de los cascarones 343
triGl inversa. Por tanto, atendemos al elemento rectangular vertical mostrado en la figura 6.4.Sa).
Cu;tndo cste elemento gira alrededor del eje y, se genera un cascar6n con radio r = xi', altura
h == sen(.D2
Ygrosor t = ~Xk' Por (4), el volumen del cascar6n es
Vk = 27T xtsen (X!:')2 ~Xk'
As!. par (3) se tiene
v = 27T iv7Tx sen x2
dx.
Si II =.1'2, entonces du = 2x dx y x dx = ~ duo Los lfmites de integraci6n u se determinan a partir
del hecho de que cuando x = 0, u = 0 y x = Vii,u = 7T. En consecuencia, el volumen del s6li-
do de revoluci6n mostrado en La figura 6.4.Sb) es
V = 7T {'Tsen U du = - 7T cos U J:= 7T(J + I) = 27T.
y = senx2
y
h = fCxt)
I
--f;
+-=------'<~-------'~ x
I.
I
x*
~ r= xt ------+ k
a) Region b) Solido de revolucion
FIGURA 6.4.5 Region y solido de revolucion en el ejemplo 2
•
En el siguiente ejemplo ilustramos el metodo de los cascarones cuando una regi6n gira alre-
declor cle una recta que no es un eje de coordenadas.
',lsMA!'.' Eje de revoluci6n que no es un eje de coordenadas
Encuentre el volumen V del s61ido que se forma al girar la regi6n acotada por las gnificas de
x = .,2 - 2y Yx = 3 alrededor de la recta y = 1.
Solucion En este caso, un elemento rectangular de area perpendicular a una recta horizontal que
gire alrededor de la recta y = 1 generarfa un disco. Puesto que el radio del disco no se mide desde
el eje x sino desde la recta y = 1, serfa necesario resolver x = l - 2y para yen terminos de X.
Este inconveniente puede evitarse si se usa un elemento horizontal de area, que entonces genera
un cascar6n como el que se muestra en la FIGURA 6.4.6b). Observe que cuando x = 3, la ecuaci6n
3 = i - 2y, 0 en forma equivalente (y + 1)(y - 3) = 0, tiene las soluciones - 1 y 3. Por tanto,
s610 es necesario pattir el intervalo [1, 3] sobre el eje y. Despues de hacer las identificaciones
r= y1' - 1, h = 3 - xt y t = ~Yk> pOl' (4) se concluye que el volumen de un cascar6n es
y
Vk = 27T(Yk' - 1)(3 - X!:')~Yk
= 27T(Yk' - 1)(3 - (y%')2 + 2Yk')~Yk
= 27T( _(yt)3 + 3(y2')2 + y1' - 3)~Yk-
y - k - k
J ___ -----.l-1,"'< -- 'r
~'=Yk'-l
I I,
I "
t
I-~-
"
:;--~-v
x
-I l-h=
a) Region b) Cascaron
FIG URA 6.4.6 Region, cascaron y solido de revolucion en el ejemplo 3
x
c) Solido de revolucion

A partir de la ultima lInea se observa que el volumen del solido es la integral definida
•
,
=Fundamentos
En los problemas 1-6, consulte la FIGURA 6.4.7. Use el metodo
de los cascarones para encontrar el volumen del solido de
revolucion que se forma al girar la region dada alrededor de la
recta indicada.
1. RI alrededor de OC
3. R2 alrededor de BC
5. R I alrededor de AB
2. RI alrededor de OA
4. R2 alrededor de OA
6. R2 alrededor de AB
y
C >----___""" B ( I , I)
y =..JX
~~------------~~x
o
FIGURA 6.4.7 Regiones
para los problemas 1-6
A
En los problemas 7-30, use el metodo de los cascarones para
encontrar el volumen del solido de revolucion que se forma al
girar la region acotada por las gnificas de las ecuaciones da-
das alrededor de la recta 0 eje que se indica.
7. y = x, x = 0, y = 5; eje x
8. y = I - x, x = 0, y = 0; y = - 2
9. Y = x2
, X = 0, y = 3, primer cuadrante; eJe x
10. y = x2
, X = 2, Y = 0; eje y
11. Y = x2
, X = I, y = 0; x = 3
12. Y = x2
, y = 9; eje x
13. y = x2
+ 4, x = 0, x = 2, Y = 2; eje y
14. Y = x2
- 5x + 4, y = 0; eje y
15. y = (x - 1)2,y = 1; ejex
16. y = (x - 2)2, Y = 4; x = 4
17. Y = X
1/ 3
, X = 1, y = 0; y = - I
18. y = X
l/ 3
+ I, y = - x + ],x = 1; x = I
19. y = x2
, Y = x; eje y
20. y = x
2
, Y = x; x = 2
21. y = - x3
+ 3x2
, y = 0, primer cuadrante; eje y
22. Y = x3
- x, Y = 0, segundo cuadrante; eje y
23. y = x2
- 2, y = -Xl + 2, x = 0, segundo y tercer ClIa-
drantes; eje y
24. Y = x2
- 4x, y = - x2
+ 4x; x = - I
25. x = l - 5y, x = 0; eje x
26. x = l + 2, y = x - 4, y = l ; eje x
27. y = x3
, Y = x + 6, x = 0; eje y
28. y = IX,y = vr-=-x, y = 0; eje x
29. y = sen x2
, x = 0, y = I ; eje y
30. y = eX', y = 0, x = 0, x = I ; eje y
En los problemas 31-36, la region en el inciso a) gira alrede-
dol' del eje indicado, generando el solido que vemos en el
inciso b). Escoja entre los metodos del disco, de la arandela 0
de los cascarones para encontrar el volumen del solido de
revolucion.
31. y
0) b) Cono
FIGURA 6.4.8 Region y solido para el problema 3 1
32.
0) b) Trollco
FIGURA 6.4.9 Region y solido para el problema 32
33. y
.x2 + y2 = ,.2.
x~O
-+--~x
~
V0) b) Esfera

6.5 Longitud de una grilfica 345
34. =Aplicaciones
0) b) Sector esferico
37. Un cuba cilfndrico de radio r que contiene un Hquido gira
alrededor del eje y con velocidad angular constante w . Es
posible mostrar que la secci6n transversal dellfquido esta
dada por y = w2
X2/ (2g), - r ::; x ::; r, clonde g es la ace-
leraci6n debida a la gravedad. Use el metoda de los cas-
cat·ones para encontrar el volumen V del Ifquido en el
Ifquido giratorio dado que la altura del cuba es h. Yea la
FIGURA 6.4.14.
35. y '2 »
.c la + y-Ib- = I ,
)'''':0
..L-------'-c-_t_ x
I '
J
I
I
J
38. En el problema 37, determine la velocidad angular w para
la cual el fluiclo entra en contacto con el fondo del cubo.
LCua! es el volumen V correspondiente dellfquido?
)'
a) b) Esferoide aJargado
36. r
x"lo2
+ /lb2
= I ,
x"': 0
x
- 1----+.... x
0) b) Esferoide achatado
FIGURA 6.4.14 Cubo en los problemas 37 y 38
6.5 Longitud de una grafica
I Introduccion Si una funci6n y =f(x) tiene una primera derivada continua sobre un intervalo
ra, bl, entonces se dice que la grafica es suave y fse denomina funcion suave. Como el nombre
10 implica, una grafica suave carece de picos. En el analisis que sigue se establece una f6rmula
formal de la longitud L, 0 longitud de arco, de una grafica suave sobre un intervalo [a, b]. Yea
la FI GURA 6.5.1.
I Construccion de una integral
ci6n arbitraria del intervalo:
Sean f que tiene una grafica suave sobre [a, b] y Puna patti-
a = Xo < XI < X2 < ... < X,, _ I < X" = b.
Como de costumbre, sean b.Xk el ancho del k-esimo subintervalo y IIPII el ancho del subinterva-
10 mas grande. Como se muestra en la FIGURA 6.5.2a), es posible aproximar la longitud de la gnifi-
ca sobre cada subintervalo [Xk - J, xd al encontrar la longitud Lk de la cuerda entre los puntos
(Xk- I,f(Xk- I)) y (Xk,f(Xk)) para k = 1,2, .. . , n. Por la figura 6.5.2b), la longitud Lk se obtiene a
partir del teorema de Pitagoras:
(1)
Por el teorema del valor medio (secci6n 4.4) sabemos que en cada subintervalo abierto x%' exis-
te un numero (Xk - !, Xk) tal que
o bien,
AI usar la ultima ecuaci6n,f(xk) - f(Xk - l) sustituimos en (1) y simplificamos:
Lk = V(Xk - Xk_J 2 + [f'(xDf(Xk - XH)2
V(Xk - XH )2(1 + [f'(Xt)] 2)
VI + [f'(x%') feXk - Xk-!)
VI + [f'exD]2 b.Xk.
y
y = f(x)
L
---~--------~~X
a b
FIGURA 6.5.1 Determinacion de
la longitlld L de la grafica de f
sobre la, h]
a = xOx]x2
a) 11 clIerdas
--.,f'v--+---------.-.x
XI. - I xk
b) Acercamiento a la cllerda
sobre el k-esimo subintervalo
FIGURA 6.5.2 Aproximacion de
la longitud de una gnlfica al
sumar las longitudes de cllerdas

y
4
3
2
·t'----+... x
1
FIGURA 6.5.3 Gnifica de
la funci6n en el ejemplo 1
La suma de Riemann
iLk = i VI + [f'(xm z D..Xk
k= I k = I
representa la longitud de la curva poligonal que nne (a,j(a» y (b,j(a», y proporciona una apro-
ximaci6n a la longitud total de la gnifica de [a, b] . Cuando IIPII ~O, obtenemos
Ifm i VI + [f'(xD f D..Xk = f bV1 + [f'(x) f dx.
IIPII.....O k = I a
(2)
EI amllisis anterior sugiere usar (2) como la definici6n de la longitud de la grafica sobre el inter-
valo.
Definicion 6.5.1 Lonaitud de area
Seafuna funei6n para la eualf' es continua sobre un intervalo [a, b]. Entonees la longitud L
de la gnifiea de y = f(x) sobre el intervalo esta dada por
L = rVI + [f'(x»)" dx.
a
(3)
La f6rmula para la longitud de area (3) tambien se eseribe como
(4)
Se dice que una grafiea que tiene longitud de area es rectificable.
U!!3M4!.I' Longitud de una curva
Eneuentre la longitud de la grafiea y = 4x3
/
Zdel origen (0, 0) al punto (I, 4).
Solucion La grafiea de la funei6n sobre el intervalo [0, I] se muestra en la FIGURA 6.5.3. Luego,
dy
- = 6x '/Z
dx
es continua sobre el intervalo. En eonsecueneia, par (4) se eoncluye que
L = LVI + [6X '/
2
fdx
r(1 + 36x)'/Zdx
= ....!... (1(1 + 36x)'/Z(36 dx)
36 Jo
= 5~ (1 + 36x?/zt= 5~[373
/
Z
- I] = 4.1493. •
I Diferencial de longitud de arco Si C es una curva suave definida por y = f(x) , entonees la
longitud de area entre un punto inicial (a,f(a» y un punto variable (x,f(x» , donde a :::; x :::; b,
esta dada por
s(x) = fVI + [f'(t)fdt,
"
(5)
donde t representa una variable de integraei6n fieticia. Resulta evidente que el valor de la inte-
gral en (5) depende de x, por 10 que se denomina funcion de longitud de arco. Luego, por (10)
de la secci6n 5.5, ds/dx = VI + [f'(x)] z y, en consecuencia,
ds = VI + [f'(x) f dx. (6)

6.5 Longitud de una grilfica 347
La ultima fu nci6n se denomina diferencial de la longitud de arco y puede usarse para aproxi-
mar longitudes de curvas. Con ely = f'ex) dx , (6) puede escribirse como
y / ------ ------
d. : t
ds = V(dX)2 + (dvf 0 bien, (ds)" = (dx)2 + (dvl (7) - / I -- --- r~y dv
I ---~-- - --j----!-
En In FI GURA 6.5.4 se muestra que la diferencial ds puede interpretarse como la hipotenusa de un
tri ~ingLilo rectangulo con catetos dx y dy .
I 6.s
I~
6.x = dx
Si (3) se escribe L = f ds para abreviar y la curva C se define por x = g(y), C :S Y :S d,
entonces la ultima expresi6n en (7) puede usarse para resolver ds/ dy:
-+-_L-_--'---_ _~ X
x x+ 6.x
o
por tanto, la integraci6n con respecto a y analoga de (4) es
Yea los problemas 17 y 18 en los ejercicios 6.5.
NOTAS DESDE EL AULA
(8)
FIG URA 6.5.4 Interpretaci6n
geametriea de la diferencial de la
langitud de area
A l11enudo, la integral en (3) lleva a problemas en los cuales se requieren tecnicas espe-
ciales de integraci6n. Yea el capitulo 7. Pero aun con estos procedimientos ulteriores, no
siempre es posible evaluar la integral indefinida f VI + [f'ex) F dx en terminos de las
conocidas funciones e1ementales, incluso para algunas de las funciones mas simples
C0l110 y = x 2
. Yea el problema 45 en los ejercicios 7.8.
=Fundamentos
En los problemas 1-12, encuentre la longitud de la grafica
de la funci6n dada sobre el intervalo indicado. Use una ca1cu-
ladora 0 un SAC para obtener la grafica.
l. y =x; [ - 1, 1] 2.y=2x+l; [0,3]
3. y = X
3
/
2
+ 4; [0,1] 4. Y = 3x2
/
3
; [1 , 8]
5. y = ~(X2 + 1)3/2; [1,4]
6. (y + Ii = 4(x + 1)3; [-1,0]
1 I
8. Y = .~?3 + 2x; [2, 4]
[2, 3] 10. y = l.x5 + _1_. [1 2]
5 12x3
"
[1, 8]
2 :s x < 3
3 :s x < 10; [2,15]
10 :S x :S IS
En los problemas 13-16 establezca, pero no evalue, una inte-
gral para la longitud de la funci6n dada sobre el intervalo indi-
cado.
13. y = x2
; [ - I, 3 ]
15. y = sen x; [O, 1T]
14. Y = 2v'.X+l; [-1,3]
16. y = tan x; [-1T/ 4, 1T/4]
En los problemas 17 y 18, use (8) para encontrar la longitud
de la grafica de la ecuaci6n dada sobre el intervalo indicado.
17. x = 4 - i /3; [0, 8]
18. Sx = i /2 + Sy- I/2; [4, 9]
19. Considere la longitud de la grafica de X2/3 + i /3 = 1 en
el primer cuadrante.
a) Muestre que el uso de (3) conduce a un integrando
discontinuo.
b) Suponga que el teorema fundamental del calculo
puede usarse para evaluar la integral obtenida en el
inciso a) y encuentre la longitud total de la grafica.
20. Establezca, pero no intente evaluar, una integral que pro-
porcione la longitud total de la elipse x 2
/ a2
+ i/b2
= I,
a > b > O.
21. Dado que la circunferencia de un cfrculo de radio r es
21Tr, encuentre el valor de la integral
J
I I
,~dx.
o vi - x 2
22. Use la diferencial de la longitud de arco (6) para aproxi-
mar la longitud de la grafica de y = iX4 desde (2, 4) hasta
(2. 1, 4.862025). [Sugerencia: Revise (13) de la secci6n
4.9.]

348 CAPiTULO6 Aplicaciones de la integra l
FIGURA 6.6.2 Tronco de un cono
6.6 Area de una superficie de revolucion
I Introducci6n Como se ha visto en las secciones 6.3 y 6.4, cuando una grafica de una funci6n
continua y = f (x) sobre un intervalo [a, b] gira alrededor del eje x, genera un solido de rcvolu_
cion. En esta seccion tenemos interes en encontrar el area S de la superficie correspondiente; es
decir, una superficie de revolucion sobre [a, b] como se muestra en la FIGURA 6.6.1bl.
y
yt (b,f( b»
(a. j(a))
~--~-----r~ X I-+-~x
a
a) Grafica
b) Superficie
FIGURA 6.6.1 Superficie de revolucion
I Construcci6n de una integral Antes de construir una integral definida para la definicion del
area de una superficie de revolucion, se requiere L1na formula para el area lateral (excluyendo las par-
tes superior e infelior) de un lronco de un cono circular recto. Yea la FIGURA 6.6.2. Si r l Y r2 son los
radios de las partes superior e inferior y L es la altura oblicua, entonces el area lateral esta dada par
(I)
Yea el problema 17 en los ejercicios 6.6. Ahora suponga que y =f(x) es una funcion suave y que
f(x) 2:: 0 sobre el intervalo [a, b]. Sea Puna particion del intervalo:
a = Xo < XI < X2 < . . . < XII _ 1 < XII = b.
Luego, si unimos con una cuerda los puntos (Xk- I,f(Xk- I» y (Xk,f(Xk» mostrados en la FIGURA
6.6.3a), formamos un trapezoide. Cuando el trapezoide gira alrededor del eje x , genera un tronco de
un cono con radios f(xk- I) y f(Xk)' Yea la figura 6.6.3b). Como se muestra en la seccion transver-
sal en la figura 6.6.3c), la altura oblicua puede obtenerse a partir del teorema de Pitagoras:
V(Xk - Xk- ,i + U(Xk) - f(xk-I )l
y
y = .f(x)
I I
1 _ I X
I
I
--f----7-.L.....J'-++~--__1~ x
a) Trapezoide b) Tronco c) Vista lateral del tronco
FIGURA 6.6.3 Aproximacion del area de la slIperficie de revoillcion al sumar areas de troncos
As!, pOI' (1) el area superficial de este elemento es
Sk = 7T [f(Xk) + f(xk-I)] V~(X-k ---X-k-_I--::)2:-+- (j-'(-Xk-')---f-(X-k-- -I))--=2

6.6 Area de una superficie de revolucion 349
d I, ' r, = Xk - Xk- I ' Esta ultima cantidad es una aproxi macion al area verdadera de la super-ollt t: J.. ,
- 'ie de rcvolucion sobre el subintervalo [Xk- I, xd .
!Ie Lucgo. asf como en el analisis de la longitud de arco, se invoca el teorema del valor medio
"1 derivadas a fin de afirmar que en el intervalo abierto xi' hay un (Xk- I, Xk) tal quepal,
La SUIl1<l de Riemann
f
.,( *) = f(Xk) - f(Xk-l)
Xk .
Xk - Xk-I
±Sk = 7T ±[f(Xk) + f(Xk - I) ]VI + [f'(x%')]2 t::.Xk
k ~ 1 k ~ 1
CS Ulla aproximacion al area S sobre [a, b]. Esto sugiere que el area superficial S esta dada por
eliflllitc de la suma de Riemann:
"
S = Ifm 7T 2, [f(Xk) + f(Xk - I)] VI + [f'(Xk') ]2 t::.Xk'
IIPII-+O k ~ I
(2)
Puesto que tambien se espera que f(Xk - l) y f(Xk) tiendan allimite comun f(x) cuando IIPII ~ 0,
tencmosf(xk) + f(Xk-l) ~2f(x).
EI analisis anterior sugiere usar (2) como la definicion del area de la superficie de revolu-
cion sobre el intervalo.
Definicion6.6.1 Area de una superficie de revolucion
Sean/una fu ncion para la cual f' es continua y f(x) 2: 0 para toda x en el intervalo [a, b]. EI
area S de la superficie que se obtiene al girar la grrifica def sobre el intervalo alrededor del eje
x esta dada por
S = 27T f(x)V! + [f'(x)] 2dx.
J
"
u
III# IQ!.I' Area de una superficie
Encuentre el area S de la superficie que se forma al girar la grafica de y =
10 [J , 4] alrededor del eje x.
Soluci6n Se tiene f(x) = XI/2,f'(X) = ~X- I/2 = 1/(2VX), Ypar (3)
= 27T fvx)1 + ;X dx
= 27TJ4VX ~ dx
I ) 4;-
= 7T J/4X + 1 dx
= ±7T f (4X + 1)1/2(4 dx) = i7T(4X+ l)3/2r
= i7T [173
/
2
- 53
/
2
] = 30.85.
(3)
VX sabre el interva-
y
( I. I )
r ---- --
I
I
(2,4)
x
FIGURA 6.6.4 Superficie de
revoluci6n alrededor del eje x
Yea la FIGURA 6.6.4. • en el ej emplo I

I Revolucion alrededor del eje y Es posible mostrar que si la grafica de una funci6n continua
y =f(x) sobre [a, b], 0 :S a < b, gira alrededor del eje y, entonces el area S de la superficie de
revoluci6n resultante esta dada por
I
"s = 27T x,i] + [f'(x) J2 dx.
(/
(4)
Asf como en (3), en (4) se supone que f'(x) es continua sobre el intervalo [a, b].
U!I3M4"WJ Area de una superficie
Encuentre el area S de la superficie que se forma cuando la grafica de y = x l
/
3
sobre el interva-
10 [0, 8] gira alrededor del eje y.
Solucion Se tienef'(x) = tx-2
/
3
, de modo que por (4) se concluye que
S = 27T fx) 1 + iX- 4/3 dx
Is 9X4/3 + 1 dx
= 27T X 4/3
o 9x
2 (8
= 3'7T J
o
X
I
/
3
Y9x4
/
3
+ L dx.
t (8, 2)
I
I
I
I
La uLtima integral se evaLuara al revisar eL metodo de sustituci6n u. Si hacemos u = 9x4
/
3
+ 1,
entonces du = 12x'/3
dx, dx = YzX -
I
/
3
du, x = 0 implica u = 1, Yx = 8 proporciona u = 145. En
consecuencia,
- ---t--- -- ---j-+x
8
FIGURA 6.6.5 Sliperticie de
revoillci6n alrededor del eje y
en el ejemplo 2
1 I145 1]145 IS = -7T u l
/
2
du = -mt3
/
2
= -7T(1453
/
2
- 13
/
2
) = 203.04.
18 I 27 I 27
Yea la FIGURA 6.6.5.
•
=Fundamentos
En los problemas 1-10, encuentre el area de la superficie que
se forma al girar cada grafica sobre el intervalo dado alrede-
dol' del eje indicado.
1. y = 2Vx, [0, 8]; eje x
2. y = VX'+T, [1 , 5]; eje x
3. y = x3
, [0, I]; ejex
4. y = XI /3, [1, 8]; eje y
5. y = x2
+ I, [0, 3]; ejey
6. y = 4 - x2
, [0,2]; ejey
7. Y = 2x + I, [2, 7]; eje x
8. y = Y16 - x2
, [0, 0]; ejey
_ 1 4 I .
9. y - -4x + - 0' [1,2], eje y
8x-
1 , 1
10. y = 3'XO + 4x' [1 , 2]; eje x
11. a) La forma de una antena de disco es una parabola que
gira alrededor de un eje de simetrfa, denominada pa-
raboLoide de revolucion. Encuentre el area superfi-
cial de una antena de radio r y profundidad h que
obtenemos al girar la grafica de f(x) = rVI - xl ll
alrededor del eje x. Yea la FIGURA 6.6.6.
b) La profundidad de una antena de disco varia de lOa
20% de su radio. Si La profundidad h de la antena del
inciso a) es 10% del radio, muestre que el area super-
ficial de la antena es aproximadamente la misma que
el area de un drculo de radio r . ~eual es el error por-
centual en este caso?
Las antenas de disco son paraboloides de
revoluci6n
y
-+--+.,.-~ x
I
I
I
I
FIGURA 6.6.6 Gnilica
de f en el problema I I

2 L;t superficie formada por dos pIanos paralelos que cor-1 .
tan L1na esfera de radio r se denomina zona esferica.
EnclIentre el area de la zona esferica que se muestra en la
FIGURA 6.6.7.
FIGURA 6.6.7 Zona esferica en el problema 12
13. La grafica de y = Ix + 21 sobre [-4, 2], mostrada en la
FI GURA 6.6.8, gira alrededor del eje x. Encuentre el area S de
la superficie de revoluci6n.
y
FIGURA 6.6.8 Gnifica de la fllnci6n en el problema 13
14. Encuentre el area de superficie que se forma al girar
x2(} + i /3 = a2/3, [-a, a] , alrededor del eje x.
=Piense en ello
15. Demuestre que el area superficial lateral de un cono circu-
lar recto de radio r y altura oblicua L es 7TrL. [Sugeren-
cia: Cuando un cono se corta pOl' el lado y se aplana
forma un sector circular con area ~L28. ]
16. Use el problema 15 para mostrar que el area superficial
lateral de un cono circular recto de radio r y altura h esta
dada por 7TrVr2 + h2. Obtenga el rnismo resultado usan-
do (3) 0 (4).
17. Use el problema 15 para obtener la f6rmula (1). [Suge-
rencia: Considere un cono completo de radio r2 Yaltura
oblicua Lz. Corte la parte c6nica superior. Puede ser de
ayuda considerar triangulos semejantes.]
18. Muestre que el area superficial del tronco de un cono circu-
lar recto de radios r] Y r2 Y altura h esta dada por
7T(rt + r2)'Vh2
+ (r2 - rtf
6.7 Valor promedio de una funci6n
6.7 Valor promedio de una funci6n 351
19. Sea y =f(x) una funci6n no negativa continua sobre [a, b]
cuya primera derivada es continua sobre el intervalo.
Demuestre que si la grafica de f gira alrededor de una
recta horizontal y = L, entonces el area S de la superficie
de revoluci6n resultante esta dada por
S = 27T f lf(X) - LIVI + [f'(x)] 2dx.
(/
20. Use el resultado del problema 19 para encontrar una inte-
gral definida que proporcione el area de la superficie que
se forma al girar y = x2
/3, [1 , 8], alrededor de la recta
y = 4. No evalue.
=Proyectos
21. Una vista desde el espacio
a) Desde una nave espaciaI en 6rbita alrededor de Ia
Tierra a una distancia h de la superficie terrestre, un
astronauta puede observar s610 una porci6n As del
area total del area superficial de Ia Tierra, Ae. Yea la
FIGURA 6.6.9a). Encuentre una f6rmula para la expresi6n
fraccionaria As!Ae como una funci6n de h. En la figu-
ra 6.6.9b) se muestra Ia Tierra en secci6n transversal
como un cfrculo con centro C y radio R. Sean los ejes
x y y como se muestra y sean Ys YYE = R las cOOl'de-
nadas Y de los puntos ByE, respectivamente.
b) LQue porcentaje de Ia sllperficie de la Tierra ve un
astronauta desde una altura de 2000 km? Considere
que el radio terrestre es R = 6 380 km.
c) LA que altura h el astronauta ve un cuarto de la super-
ficie de la Tierra?
d) LCual es ellfmite de As!Aecuando la altura h crece sin
cota (h ---+ oo)? LPor que la respuesta tiene sentido
intuitivo?
e) LQue porcentaje de la superficie terrestre ve un astro-
nauta desde la Luna si h = 3.76 X 105
km?
Yts
h
a) b)
FIGURA 6.6.9 Porci6n de la slIperficie terrestre en el problema 21
I Introduccion Todos los estudiantes saben que es un promedio. Si un estudiante presenta cua-
Iro examenes en un semestre y sus calificaciones porcentuales son 80, 75, 85 y 92%, entonces
su promedio puntaje es
80 + 75 + 85 + 92
4

y
I(3) = 9
I(3) = 0 ~--+--+---+- x
3
FIGURA 6.7.1 Determinaci6n del
promedio de todos los numeros
indicados en rojo sobre el eje y
o bien, 83%. En general, dados n numeros ai, ab .. . ,a,,, se dice que su media aritmetica 0 pro.
medio, es
aI + a2 + ... + a" _ I ~
- LJak'
11 n k = I
(I)
En esta secci6n se extiende el concepto de un promedio discreto como (1) al promedio de tUdos
los valores de una funci6n continua definida sobre un intervalo [a, b J.
I Promedio de valores funcionales Ahora suponga que tenemos una funci6n continuaf deti-
nida sobre un intervalo [a, b J. Para los numeros X;, i == 1,2, ... , n escogidos de manera arbitra_
ria de modo que a < XI < X2 < ... < x" < b, entonces por (1) el promedio del conjunto de
valores funcionales es
f_C_xl_) _+_f_{X_2)_+_ ' ._. _+-'..f_(x_,.) _ l ~
- LJf(Xk)'
n I1 k=1
(2)
Si ahora se considera el conjunto de valores funcionalesf(x) que corresponde a todos los nUllle-
ros x en un intervalo, debe resultar evidente que no es posible usar una suma discreta como en
(l), puesto que este conjunto de valores funcionales suele ser un conjunto no numerable. POl'
ejemplo, paraf(x) == x2
sobre [0, 3J, los valores de la funci6n varian desde un minimo def(O) == 0
hasta un maximo def(3) == 9. Como se indica en la FIGURA 6.7.1 , de manera intuitiva es de esperar
que exista un valor entero promediof~ro tal que f(O) :S fpro :S f(3).
I Construccion de una integral Volviendo al caso general de una funci6n continua definida
sobre un intervalo cerrado [a, b], sea Puna partici6n regular del intervalo en 11 subintervalos de
ancho I1x == (b - a)/ n. Si xi' es un numero escogido en cada subintervalo, entonces el promedio
puede escribirse como
f(x2') + f(xi') + '" + f(x~)
n
f(x2') + f(xD + ... + f(x~)
b-a
I1x
puesto que n == (b - a)/l1x. Al volver a escribir (3) como
I ~f( *) A
-b- - LJ Xk uX
- ak = 1
y tomar el lfmite de esa expresi6n como II PII = I1x ---+ 0, obtenemos la integral definida
I fbb - a f(x) dx.
a
(3)
(4)
Debido a que se ha supuesto que f es continua sobre [a, bJ, su minimo absoluto y su maxi-
mo absoluto sobre el intervalo se denotaran por 111 y M, respectivamente. Si la desigualdad
111 :Sf(x2') :S M
se multiplica por I1x > 0 Yse suma, obtenemos
" 11 Jl
L 111 I1x:S Lf(xi') I1x :s L M I1x.
k=1 k = 1 k= 1
Debido a que L~= I I1x = b - a, la desigualdad precedente equivale a
"
(b - a)111:S Lf(xi') I1x :S (b - a)M.
k = 1
Y as! cuando I1x ---+ 0, se concluye que
(b - a)111:S ff(X) dx :S (b - a)M.
"

6.7 Valor promedio de una funci6n 353
'1'11' de la ultima desigualdad concluimos que el numero obtenido a partir de (4) satisface
A pal
I f"m ::; -b- - f(x)::; M.
-a (/
por el leorema del valor intermedio,f asume todos los valores entre m y M . Por tanto, el nume-
() oblenido a partir de (4) en realidad correspollde a un valor de la fUllci6n sobre el intervalo.
~S(l sugiere plantear la siguiente definici6n.
Definicion 6.7.1 Valor promedio de una funci6n
-
Sea r = f(x) continua sobre [a, b]. EI valor promedio de f sobre el intervalo es el numero
. I f"fpro = b _ a fex) dx.
"
(5)
AlInqlle principalmente se tiene interes en funciones continuas, la definici6n 6.7.1 es valida
para clialquier funci6n integrable sobre el intervalo.
DI#I4<.I' Determinaci6n de un valor promedio
Enclientre el valor promedio de f(x) = x2
sobre [0, 3].
Soluci6n Por (5) de la definici6n 6.7.1, obtenemos
1 r3 1(1 )]3fpro = 3 - 0 J
o
x
2
dx = '3 '3X 3
0 = 3. •
Algunas veces es posible determinar el valor de x en el intervalo que corresponde al valor
promedio de una funci6n.
I!IMIQ!'*' Determinaci6n de x correspondiente a fpro
Encuentre el valor de x en el intervalo [0, 3] que corresponde al valor promedio fpro de la fun-
cion f(x) = x2
.
Soluci6n Puesto que la funci6n f(x) = x2
es continua sobre el intervalo cerrado [0, 3], por el
teorema del valor intermedio sabemos que entre 0 y 3 existe un numero c tal que
f(c) = c
2
= f pro·
Pero, por el ejemplo 1, sabemos que fpro = 3. Por tanto, la ecuaci6n c2
= 3 tiene las soluciones
(' = :±: 13. Como se muestra en la FIGURA 6.7.2, la unica soluci6n de esta ecuacion en [0, 3]
es c = 13 •
I Teorema del valor medio para integrales definidas A continuacion se presenta una conse-
cuencia inmediata del analisis anterior. EI resultado se denomina teorema del valor medio para
integrales.
Teorema 6.7.1 Teorema del valor medio para integrales
Sea y =f(x) continua sobre [a, b]. Entonces en el intervalo abierto (a, b) existe un numero c
tal que
f
b
f(c)(b - a) = f(x) dx.
a
(6)
En el caso en que f(x) :::::: 0 para toda x en [a, b], el teorema 6.7.1 se interpreta facilmente en
terminos de area. EI resultado en (6) simplemente establece que en (a, b) existe un numero c para
el cual el area A de un rectanguLo de alturaf(c) y ancho b - a mostrado en la FIGURA 6.7.3al es la
misma que el area A bajo La grafica indicada en la figura 6.7.3b).
y
i pro = 3 - - --
+"---t---'-f---t-~ x
c = {3 3
FIGURA 6.7.2 Ir.-o es el valor
flincional/(V3) en el ejel1lplo I
y
A
-+--------~-------L~ x
a c b
I~b - a----l
a)
y
y = f (x )
A
-+---'--------------'-~ x
a b
b)
FIGURA 6.7.3 EI area A del rec-
tanglilo es la l1lisl1la que el area
bajo la grafica sobre [a, bl

EJEMPLO 3 Determinaci6n de x correspondiente a f. ro
Encuentre la alturaf(c) de un rectangulo de modo que el area A bajo la grcifica de y = XC + I
sobre [- 2, 2] sea la mismaquef(c)[2 - (- 2)] = 4f(c).
Solucion Basicamente, este es el mismo tipo de problema ilustrado en el ejemplo 2. Asf, el
area bajo la grcifica mostrada en la FIGURA 6.7.4a) es
f2 (1 )]? 28A = (x2
+ I) dx = - x3
+ X = -.
- 2 3 - 2 3
Tambien, 4f(c) = 4(c2
+ I), de modo que 4(c2
+ 1) = ~ implica c2
= 1.Las dos soluciones
CI = 2/ V3 YC2 = -2/ V3 estan en el intervalo (-2, 2). Para cualquier numero, observamos que
la altura del rectangulo es f(c l) = f(C2) = (±2/ V3)2 + I =~. EI area del rectangulo mostrado
enla figura 6.7.4b) esf(c)[2 - (-2)] = ~ . 4 =~.
y y = x2
+ l
I 7
:/ fCc) ="3
I
I
-+-+--+-+--+~ x
-2 2 2
c =.J3
a) Area bajo la gnfica b) Area del rectangulo
FIGURA 6.7.4 EI area en a) es la misma que el area en b) en el ejemplo 3
•
=Fundamentos
En los problemas 1-20, encuentre el valor promedio fpro de la
funcion dada sobre el intervalo indicado.
1. f(x) = 4x; [-3, 1] 2. f(x) = 2x + 3; [-2,5]
3. f(x) = x2
+ lO; [0, 2]
4. f(x) = 2x3
- 3x2
+ 4x - I; [ - I, 1]
5. f(x) = 3x2
- 4x; [-1 ,3 ] 6.f(x) = (x + 1)2; [0, 2]
7. f(x) = x3
; [-2,2] 8. f(x) = x(3x - 1)2; [0,1]
9. f(x) = vX; [0, 9] 10. f(x) = v'5X+1; [0, 3]
( )
1/ 3 I
11. f(x) = xVx2
+ 16; [0,3] 12. f(x) = 1 +! 7; [t 1]
x x-
13. f(x) =~; [~, ~]
x
2
15. f(x) = (x + Ii [3, 5]
17. f(x) = sen x; [-17, 17]
14. f(x) = x2/3 - x-2/3 ; [1,4]
(vX - 1)3
16. f(x) = , r: , [4, 9]
YX
18. f(x) = cos 2x; [0, 17/ 4]
2 sen 17X [ I I]
19. f(x) = csc x; [17/ 6, 17/ 2] 20. f(x) = ? ; - },}
cos- 17X
En los problemas 21 y 22, encuentre un valor c en el interva-
10 dado para el cualf(c) = fpro.
21. f(x) = x2
+ 2x; [-1, 1] 22. f(x) = v'X+3; [1,6]
23. EI valor promedio de una funcion no negativa continua
y = f(x) sobre el intervalo [I, 5] es fpro = 3. LCual es el
area bajo la grafica sobre el intervalo?
24. Para f(x) = 1 - vX, encuentre un valor de b tal que
fpro = °sobre [0, b]. Interprete geometricamente.
=Aplicaciones
25. La funcion T(t) = 100 + 3t - ~t2 aproxima la tempera-
tura a las t horas despues de mediodfa en un dia tfpico de
agosto en Las Vegas. Encuentre la temperatura media
entre el mediodia y las 6 p.m.
26. Una empresa determina que las ganancias obtenidas des-
pues de la venta de x unidades de un producto estan dadas
por R(x) = 50 + 4x + 3x2
. Encuentre el promedio de
las ganancias para ventas de x = 1 a x = 5. Compare el
resultado con el promedio ~ L~= I R (k).
27. Sea set) la posicion de una partfcula sobre un eje horizon-
tal como una funcion del tiempo t. La velocidad media v
durante el intervalo de tiempo [t l' t2] es v = [S(t2) -
s(tl)]j(t2 - tl). Use (5) para demostrar que v pro == v.
[Sugerencia: Recuerde que ds/dt = v.]
28. Cuando no hay amortiguamiento, la posicion de una
masa m sobre un resorte que vibra libremente esta dada
por la funcion x(t) = A cos(wt + cp),donde A, w y cp son

con,tantes. EI periodo de oscilaci6n es 27T/ w. La energfa
potencial del sistema es Vex) = ~kx2, donde k es la cons-
wnte del resorte. La energfa cinetica del sistema es
K == ~ mv2, donde v =dx/dt. Si w2
= ki m, muestre que la
cncrgfa potencial media y la energfa cinetica media sobre
un periodo son las mismas y que cada una es igual a ~kA2.
29. En ffsica, el teorema impu}so-cantidad de movimiento
eslablece que el cambio del impulso de un cuerpo sob~
un intervalo de tiempo [to, tl] es mVI - mvo = (tl - to)F,
doncle mvo es la canticlacl de i!npulso inicial, mVI es la
cantidad de impulso final y F es la fuerza media que
ac!ua sobre el cuerpo durante el intervalo. Encuentre el
cambio en el impulso de un martinete que se deja caer
sobre un apilamiento entre los instantes t = 0 Y t = tl si
F(t) = k[ I - (~~ - I Yl
donde k es una constante.
30. En una arteria pequefia, la velocidad del torrente sanguf-
neo (en crn/s) esta dada por vCr) = (P/ 4vl))(R
2
- r
2
),
o:::; r :::; R, donde P es la presi6n sangufnea, v es la vis-
cosidad de la sangre, l es la longitud de la arteria y R es
el radio de la arteria. Encuentre el promedio de vCr)
sobre el intervalo [0, R].
=Piense en ella
31. Si r = f(x) es una funci6n impar continua, entonces, Lcual
es/;"o sobre cualquier intervalo [- a, a]?
32. Para una funci6n lineal f(x) = ax + b, a > 0, b > 0, el
valor promedio de la funci6n sobre [XI, X2] es 1;'1'0 =
aX + b, donde X es algun numero en el intervalo.
Conjeture el valor de X. Demuestre su afirmaci6n.
33. Si y = f(x) es una funci6n diferenciable, encuentre el
valor promedio del' sobre el intervalo [x, x + h], donde
11 > 0.
34. Dado que n es un entero positivo y a > 1, muestre que el
valor promedio de f(x) = (n + l)x" sobre el intervalo
[ I , a] es fpro = a" + a"- I + . . .+ a + 1.
35. Suponga que y = f(x) es una funci6n continua y que 1;"'0
es su valor promedio sobre [a, b]. Explique: I::[f(x) -
1;"0]dx = O.
36. Sea f(x) = lx J la funci6n entero mayor 0 funci6n piso.
Sin integraci6n, Lcual es el promedio de f sobre [0, 1]7
6.8 Trabajo
6.8 Trabajo 355
LY sobre [0, 2]7 LY sobre [0, 3]? LY sobre [0, 4]7
Conjeture el valor promedio defsobre el intervalo [0, n],
donde n es un entero positivo. Demuestre su afirmaci6n.
37. Como se muestra en la FIGURA 6.7.5, una cuerda se traza
aleatoriamente entre dos puntos del cfrculo de radio
r = I . Analice: Lcual es la longitud media de las cuerdas?
clierda
FIGURA 6.7.5 Cfrculo en el problema 37
=Proyectas
38. Miembros humanos La siguiente f6rmula se usa a
menudo para aproximar el area superficial S de un miem-
bro humano:
S = circunferencia media X longitud del miembro.
a) Como se muestra en la FIGURA 6.7.6, un miembro puede
considerarse como un s6lido de revoluci6n. Para mu-
chos miembros,j'(x) es pequefia. Si If'(x) 1 :::; e para
a :::; x :::; b, muestre que
27Tf(x) dx :::; s:::; ~ 27Tf(x) dx.
I
b
I"a a
b) Muestre que CL :::; S :::; ~ CL, donde Ces la
circunferencia media del miembro sobre eJ intervalo
[a, b]. Asf, la f6rmula de aproximaci6n planteada antes
siempre subestima a Spero funciona bien cuando e es
pequefio (como para el antebrazo a la mufieca).
fex)
/'
f I
f I
.~ _____LL~ _ _ __ _
a ) x f
/ /
1-,- - - L - - - . 1
FIGURA 6.7.6 Modelo de un miembro
en el problema 38
x
I Introduccion En ffsica, cuando una fuerza constante F mueve un objeto a una distancia d en
la misma direcci6n de la fuerza, el trabajo realizado se define como el producto
W= Fd. (1)
Par ejemplo, si una fuerza de 10 lb mueve un objeto 7 pies en la misma direcci6n de la fuerza,
entonces el trabajo realizado es 70 pies-lb. En esta secci6n veremos c6mo encontrar el trabajo
realizado por una fuerza variable.
Antes de examinar el trabajo como integral definida, revisaremos algunas unidades impor-
tantes.

Estirado x
lInidades
Longitud
natural
Flierza F(x) = kx
f----------+-
I
I
I
I
I.)
o x
~
Elongaci6n
FIGURA 6.8.1 Para estirar un
resorte x unidades se requiere una
fuerza F(x) = kx
• Unidades
trabajo.
En la tabla siguiente se enumeran unidades de uso comun de fuerza, distanCia y
Cantidad
Fuerza
Distancia
Trabajo
Sistema ingenieril
libra (lb)
pie (pie)
pie-libra (pie-Ib)
SI
newton (N)
metro (m)
newton-metro Uoule)
cgs
dina
centfmetro (cm)
dina-centfmetro (ergio)
Por tanto, si una fuerza de 300 N mueve 15 m un objeto, el trabajo realizado es W = 300 . 15 =:
4 500 N-m 0 4500 joules. Para efectos de comparaci6n y conversi6n de una unidad a otra, se
observa que
IN = 105dinas = 0.22471b
1 pie-Ib = 1.356 joules = 1.356 X 107
ergios.
De modo que, por ejemplo, 70 pies-Ib equivalen a 70 X 1.356 = 94.92 joules, y 4500 joules
equivalen a 4 500/ 1.356 = 3318.584 pies-lb.
• Construccion de una integral Ahara, si F(x) representa una fuerza variable continua que
actua sobre un intervalo [a, b], entonces el trabajo no es simplemente un producto como en (I).
Suponga que Pes la partici6n
a = Xo < X I < X2 < ... < XII = b
Y tlXk es el ancho del k-esimo subintervalo [Xk- I , Xk ]' Sea x%' el punto muestra escogido de mane-
ra arbitraria en cada subintervalo. Si el ancho de cada [ Xk - I, xd es muy pequeno, entonces, pues-
to que F es continua, los valores funcionales F(x) no pueden variar mucho en el subintervalo.
Por tanto, puede considerarse en forma razonable que la fuerza actua sobre [ Xk- I, xd como la
constante F(xn y que el trabajo realizado desde Xk- I hasta Xk esta dado por la aproximaci6n
Wk = F(xk'l tlXk'
Entonces, una aproximaci6n al trabajo total realizado desde a hasta b esta dada par la suma de
Riemann
11 11
.L Wk = F(xD tlXI + F(xD tlX2 + ... + F(x~') tlXII = .LF(xD tlXk'
k- I k - I
Resulta natural suponer que el trabajo realizado por F sobre el intervalo es
/I
W = Ifm .LF(xD tlXk'
111'11->0 k _ I
EI analisis anterior se resume en la siguiente definici6n.
Definicion 6.8.1 Trabaio
Sea F continua sobre el intervalo [a, b] Y sea F(x) la fuerza en un numero x en el intervalo.
Entonces el trabajo W realizado por la fuerza para mover un objeto de a a b es
I
i>
W = F(x) dx.
a
(2)
Nota: Si F es constante, F(x) = k para toda x en el intervalo, entonces (2) se vuelve
W = f" k dx = kx] ~ = k(b - a), 10 cual es consistente con (I).a
• Problemas de resortes La ley de Hooke establece que cuando un resorte se estira (0 compri-
me) mas alia de su longitud natural, la fuerza de reconstituci6n ejercida por el resarte es direc-
tamente proporcional a la cantidad de elongaci6n (0 compresi6n) x. As!, para estirar un resorte x
unidades mas alIa de su longitud natural es necesario aplicar la fuerza
F(x) = kx, (3)
donde k es una constante de proporcionalidad denominada constante del resorte. Yea la FIGURA6.8.1.

1!18MY«'JU Alargamiento de un resorte
p'lra e"tirar un resorte de 50 cm se requiere una fuerza de 130 N. Encuentre el trabajo realizado
, '1 ,'stirar el resorte 20 cm mas alia de su longitud natural (sin estirar).paJ< ~ .
Solucion Cuando una fuerza se mide en newtons, las distancias suelen expresarse en metros.
pue"lO que x = 50 cm = ~ m cuando F = 130 N, (3) se vuelve 130 = k (D, 10 que implica que
la con"tante del resorte es k = 260 N/m. Por tanto, F = 260x. Luego, 20 cm = im, de modo que
el trabajo realizado para estirar el resorte por esta cantidad es
f
ilS ll/5 26
W = 260x dx = 130x2
= 5 = 5.2 joules.
o 0 •
Nota: Suponga que la longitud natural del resorte en el ejemplo I es de 40 cm. Una forma equi-
valente de plantear el problema es: encuentre el trabajo realizado para estirar el resorte hasta una
longitud de 60 cm. Puesto que la elongaci6n es 60 - 40 = 20 cm = im, se integra F = 260x
sobre el intervalo [0, HNo obstante, si el problema fuese encontrar el trabajo realizado para esti-
rar el mismo resorte de 50 cm a 60 cm, entonces se integrarfa sobre el intervalo [10, HEn este
caso se inicia desde una posici6n en que el resorte ya esta estirado 10 cm (10 m).
I Trabajo realizado contra la gravedad A partir de la ley de gravitaci6n universal, la fuerza
entre un planeta (0 satelite) de masa m I y un cuerpo de masa m2 esta dada pOl'
(4)
donde k es una constante denominada constante gravitacional, y res la distancia desde el cen-
tro del planeta de masa m2' Vea la FIGURA 6.8.2. Para elevar la masa m2 desde la superficie de un
6.8 Trabajo 357
r
planeta de radio R hasta una altura h, el trabajo puede realizarse al usar (4) en (2): FIGURA 6.8.2 Levantamiento de
(5)
En unidades SI, k = 6.67 X 10- 11
N . m2
/ kg2
. En la tabla de la derecha se proporcionan algu-
nas masas y valores de R.
1,IMIIAk,., Trabajo realizado para subir una carga util
EI trabajo realizado para subir una carga Util de 5 000 kg desde la superficie de la Tierra hasta
llna altura de 30 000 m (0.03 X 106
m) se conc1uye por (5) y la tabla precedente:
W = (6.67 X 10- 11
)(6.0 X 1024
)(5000)( I 6 - I 6)
6.4 X 10 6.43 X 10
= 1.46 X 109
joules. •
I Problemas de bombeo Cliando un Ifquido que pesa p Ib/pie3
se bombea desde un tanque, el
trabajo realizado para mover un volumen fijo 0 una capa de Ifqllido d pies en una direcci6n ver-
tical es
o bien,
W = fuerza· distancia = (peso pOI' unidad de volumen) . (volumen) . (distancia)
W = p . (volumen) . d.
'----v------/
flier/a
(6)
En ffsica, la cantidad p se denomina peso especifico del fluido. Para agua, p = 62.4 Ib/pie3
, 0
9 800 N/m3
.
En los varios ejemplos siguientes se usara (6) para construir la integral id6nea a fin de
encontrar el trabajo realizado al bombear agua desde un tanque.
una Illasa /112 hasta una altura h
Planetas ml (en kg) R (en m)
Venus 4.9 X 1024
6.2 X 106
Tierra 6.0 X 1024
6.4 X 106
Luna
(satelite) 7.3 X 1022
1.7 X 106
Marte 6.4 X 1023
3.3 X 106

358 CAPITULO6 Aplicacionesde la integral
EJEMPLO 3 Trabajo realizado para bombear agua
Un tanque hemisferico de radio de 20 pies esta !lena de agua hasta una profundidad de 15 pies.
Encuentre el trabajo realizado para bombear toda el agua hasta la parte superior del tanque.
Solucion Como se muestra en la FIGURA 6.8.3, hacemos gue el eje x positivo este dirigido 17(/-
cia abqjo y el origen se fija en el punto medio de la parte superior del tangue. Puesto gue la
secci6n transversal del tangue es un semicfrculo, x y y estan relacionadas por x2
+ v2 :::
(20)2,0 :s: x :s: 20. Ahora suponga gue el intervalo [5, 20], gue cOlTesponde al agua sobre ~l eje
x, se parte en n subintervalos [Xk - I, Xk ] de ancho LXk' Sea x1' cualquier punto muestra en el
k-esimo subintervalo y sea Wk una aproximacion al trabajo realizado por la bomba al hacer subir
una capa circular de agua de grosor LXk hasta la parte superior del tangue. Por (6) se concluye
gue
Wk = [62.4 7T(y~')2 Lxd .xt
'-- ./ '--v-'
I'ucrza distancia
donde (Y~'f = 400 - (x~f Por tanto, el trabajo realizado por la bomba es aproximado por la
suma de Riemann
11 11
2: Wk = 2: 62.47T [400 - (x1')2]x%' LXk'
k= I k= I
E I trabajo realizado para bombear toda el agua hasta la parte superior del tangue es el lImite de
esta ultima expresi6n cuando IIpll ~ 0; es decir,
f
20 (1 )]20W = _ 62.47T(400 - x 2
)x dx = 62.47T 200x2
- 4X4 5 = 6891 869 pies-lb.
)
... 5 x2
+i =400
20~ ./ '
~-----;------'~ y
.', I 6.Xk =Xk -Xk - 1
"""'- YI:-...
x
FIGURA 6.8.3 Tanque hemisferico en el ej el11pIo 3
•
Merece la pena continuar el analisis del ejemplo 3 para el caso en gue el eje x positivo se tome
en la direcci6n hacia arriba y el origen este en el punto medio de la parte inferior del tangue.
'IlijMU!'.' Soluci6n alterna del ejemplo 3
Con los ejes como se muestra en la FIGURA 6.8.4, vemos gue una capa circular de agua debe subir-
se una distancia de 20 - x%' pies. Puesto gue el centro del semicfrculo esta en (20, 0), ahora x y
y estan relacionadas por (x - 20)2 + l = 400. Entonces,
Wk = (62.47T(vD2
LXk) . (20 - xD
~ '----v----"'
fuerza dislancia
= 62.47T [400 - (x - 20f] (20 - xD LXk
x
FIGURA 6.8.4 Tanque hemisferico en el ejemplo 4

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