Apuntes de clase matlab.abril2019

Rafael Bustamante Romaní
N° 20
Diciembre del 2018Serie Apuntes de Clase ΩΒΓ
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
https://www.financeandbusinessgroup.com/
https://twitter.com/FinanzasEmpresa
rafaelbustamante.weebly.com

La Serie Apuntes de Clase Omega Beta Gamma tiene por objetivo
difundir los materiales de enseñanza generados por los docentes que
tienen a su cargo el desarrollo de las asignaturas que forman parte de
los Planes de Estudios de las Escuelas Académico-Profesionales de la
Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional Mayor de
San Marcos. Estos documentos buscan proporcionar a los estudiantes la
explicación de algunos temas específicos que son abordados en su
formación universitaria.
Facultad de Ciencias Económicas.
Universidad Nacional Mayor de San Marcos.
Calle Germán Amézaga N° 375.
Ciudad Universitaria, Lima 1. Perú.
La Serie Apuntes de Clase ΩΒΓ es promovida y
desarrollada por un colectivo de docentes del
Departamento de Economía de la Universidad Nacional
Mayor de San Marcos.
El contenido de cada publicación es íntegramente
responsabilidad de cada autor, no representa
necesariamente los puntos de vista de los integrantes del
colectivo, ni de la Universidad.
Financeandbusinness S.A.C. Es una firma especializada
en la prestación de servicios profesionales en
capacitación y de consultoría en el diseño e
implementación de estrategias empresariales ante los
problemas financieros, de gestión y riesgos a los que se
enfrentan las empresas en su normal funcionamiento.

MATLAB APLICADO A LAS DECISIONES ECONOMICAS
Rafael Bustamante Romaní
MATLAB es una de las tantas herramientas de computacionales disponibles en el espectro científico
que es utilizado para resolver problemas de matemáticas, estadística, física, economía y demás
ciencias. MATLAB es un programa superior en los cálculos que involucran matrices más no así si el
cálculo es simbólico. El nombre mismo de MATLAB es una abreviatura de Matrix Laboratory,
laboratorio matricial. En muchos casos la realización de cálculos con un programa de computación
matemático como MATLAB sustituye la programación de computadoras más tradicionales. Esto no
significa que no se deba aprender un lenguaje de alto nivel como C++ o FORTRAN, sino que los
programas como MATLAB se han convertido en una herramienta estándar para economistas y
demás científicos debido a que su lenguaje de programación es bastante amigable con el usuario.
Estos apuntes de clases pretenden presentar los fundamentos básicos para empezar con el manejo
del programa, el cual ya es una tendencia de amplio uso entre los economistas y demás usuarios de
la comunidad científica.
Palabras claves: Software, estadística, cálculo, matrices, MATLAB.
Clasificación JEL: C00, C01.

Estudios de Doctorado en Economía, Universidad Autónoma de México. Maestría en Economía con mención
en Finanzas, Pontificia Universidad Católica del Perú. B. Sc. Economía, Universidad Nacional Mayor de San
Marcos. Profesor del Departamento de Economía de UNMSM. Investigador asociado al Instituto de
Investigaciones FCE – UNMSM. Investiga. Contacto: rafael.bustamanter@unmsm.edu.pe

Serie Apuntes de Clase ΩΒΓ N°16. Octubre de 2017. FCE / UNMSM
Matlab aplicado a las decisiones económicas: Capitulo I: Aspectos básicos.
Bustamante Romaní, Rafael. 1
Tabla de contenido
1. Introducción .................................................................................................2
CAPITULO I: Aspectos Básicos ....................................................................6
2. Experimentando el entorno de Matlab ....................................................6
2.1 Partes de la ventana principal..............................................................6
2.2 Algunos comandos de importancia ..................................................11
2.3 Asignación de variables ......................................................................13
3. Operaciones aritméticas con Matlab ......................................................15
3.1 Constantes y cadenas...........................................................................17
4. Operaciones con Matrices y Arrays........................................................18
4.1 Vectores fila...........................................................................................19
4.2 Vectores columna.................................................................................20
4.3 Acceso a los elementos de una matriz ..............................................24
4.3 El Operador de colon (:) ......................................................................25
5. Tipos de matrices predefinidas ...............................................................26
5.1 Formación de una matriz a partir de otras.......................................28
6. Operadores aritméticos, lógicos y relacionales de matrices en
MATLAB.........................................................................................................29
8. Ejercicios Resueltos ...................................................................................30
Bibliografía .....................................................................................................40

1. Introducción
MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”. MATLAB es un
programa para realizar cálculos numéricos con vectores, matrices y arrays. Puede
también trabajar con números escalares ya sean reales o complejos, con cadenas de
caracteres y con otras estructuras de información más complejas. Una de las
capacidades más atractivas es la de realizar una amplia variedad de gráficos en dos
y tres dimensiones. Asimismo, tiene un lenguaje de programación propio ( García,
Rodríguez, & Vidal, 2005).
MATLAB es un gran programa de cálculo técnico y científico. Para ciertas
operaciones es muy rápido, cuando puede ejecutar sus funciones en código nativo1
con los tamaños más adecuados para aprovechar sus capacidades de vectorización.
Es a partir de la versión 6.5, MATLAB incorporó un acelerador JIT (Just In Time),
que mejoraba significativamente la velocidad de ejecución de los ficheros *.m en
ciertas circunstancias, por ejemplo, cuando no se hacen llamadas a otros ficheros
*.m, no se utilizan estructuras y clases, etc. Aunque limitado en ese momento,
cuando era aplicable mejoraba sensiblemente la velocidad, haciendo innecesarias
ciertas técnicas utilizadas en versiones anteriores como la vectorización de los
algoritmos. En cualquier caso, el lenguaje de programación de MATLAB es una muy
buena herramienta de alto nivel para desarrollar aplicaciones técnicas, fácil de
utilizar y que, como ya se ha dicho, aumenta significativamente la productividad de
los programadores respecto a otros entornos de desarrollo ( García de Jalón,
Rodríguez, & Vidal, 2005).
1
En el contexto informático, código nativo se usa como seudónimo de lenguaje de máquina. Este puede ser creado directamente para
microcontroladores extremadamente sencillos o código fuente ya compilado, que puede ser interpretado por la máquina. El código nativo es
una forma de código de la programación de computadora que se configura para funcionar con el uso de un procesador especificado. La
estructura exacta del código nativo se usa para responder a las instrucciones que son publicadas por el procesador. Todos los tipos de función
del software con código nativo, y se escriben a la función en la eficacia óptima con un tipo seleccionado de procesador o con los procesadores
que se fabrican para reflejar la configuración del procesador especificado.

MATLAB dispone de un código básico y de varias librerías especializadas
(Toolboxes) para poder realizar tareas en diferentes campos de la ciencia. Al
arrancar MATLAB se abre una ventana similar a la mostrada en la Figura Nº1. Ésta
es la vista que se obtiene eligiendo la opción Desktop Layout/Default, en el menú
View. Sin embargo, esta configuración puede ser cambiada fácilmente por el
usuario. En cualquier caso, una vista similar se puede conseguir con el comando
View/Desktop Layout/ Default. Esta ventana inicial requiere unas primeras
explicaciones.
Figura N.º 2
En líneas generales, MATLAB es un sistema interactivo basado en matrices para
cálculos científicos. Desde el punto de vista del control, MATLAB se puede
considerar un entorno matemático de simulación que puede utilizarse para modelar
y analizar diversos sistemas. Sirve para estudiar sistemas continuos, discretos,
lineales y no lineales. MATLAB constituye un entorno abierto, para lo cual
numerosos paquetes específicos adicionales (Toolboxes) han sido desarrollados.
MATLAB es un lenguaje de alto rendimiento para la informática técnica, integrando
el cómputo, la visualización y la programación de una en un ambiente fácil de usar

en el que los problemas y las soluciones se expresan en notación matemática.
(MathWorks, 2017), sus usos comunes incluyen:
 Matemáticas y computación
 Desarrollo de algoritmos
 Adquisición de datos
 Modelado, simulación y creación de prototipos
 Análisis de datos, exploración y visualización
 Gráficos científicos y de ingeniería
 Desarrollo de aplicaciones, incluyendo creación de interfaz gráfica de usuario
MATLAB es un sistema interactivo cuyo elemento de datos básico es un array2 que
no requiere dimensionamiento. Esto le permite resolver muchos problemas de
computación, especialmente aquellos con formulaciones de matriz y vector, en una
fracción del tiempo que tomaría escribir un programa en un lenguaje escalar no
interactivo como C o Fortran.
El nombre MATLAB significa laboratorio matricial. MATLAB fue originalmente
escrito para proporcionar un fácil acceso al software matricial desarrollado por
LINPACK y proyectos EISPACK. Hoy en día, los motores MATLAB incorporan el
LAPACK y las bibliotecas BLAS, incorporando el estado de la técnica en software
para matriz cálculo.
MATLAB ha evolucionado durante un período de años con la entrada de muchos
usuarios. En entornos universitarios, es la herramienta de instrucción estándar para
los cursos avanzados de matemáticas, ingeniería y ciencias. En la industria,
MATLAB es la herramienta de elección para la investigación, el desarrollo y el
análisis de alta productividad (MathWorks, 2017).
MATLAB cuenta con una familia de soluciones específicas para aplicaciones
específicas denominadas cajas de herramientas o Toolboxes. Muy importante para
la mayoría de los usuarios de MATLAB, los Toolboxes le permiten aprender y
aplicar tecnología especializada. Las cajas de herramientas son completas
colecciones de funciones MATLAB (M-files) que amplían el entorno MATLAB para
resolver clases particulares de problemas. Las áreas en las que hay cajas de
herramientas disponibles son procesamiento de señales, sistemas de control, redes
neuronales, lógica difusa, wavelets, simulación y muchos otros. Inicio de MATLAB
En plataformas Windows, inicie MATLAB haciendo doble clic en el icono de acceso
directo de MATLAB en el escritorio de Windows. En las plataformas UNIX, inicie
2
Un array es un medio de guardar un conjunto de objetos de la misma clase. Se accede a cada elemento
individual del array mediante un número entero denominado índice. 0 es el índice del primer elemento y n-1 es
el índice del último elemento, siendo n, la dimensión del array. Los arrays son objetos en Java y como tales vamos
a ver los pasos que hemos de seguir para usarlos convenientemente

MATLAB escribiendo MATLAB en el sistema operativo. Puede personalizar el inicio
de MATLAB. Por ejemplo, puede cambiar el directorio en el que MATLAB inicia o
ejecuta automáticamente los estados de MATLAB en un archivo de script
denominado startup.m (MathWorks, 2017).
Matlab es un paquete de software que te permite hacer matemáticas y computación,
analizar datos, desarrollar algoritmos, hacer simulaciones y modelado, y producir
pantallas gráficas e interfaces gráficas de usuario. Puedes obtener Matlab para hacer
las cosas por ti escribiendo comandos. Matlab te muestra dos signos mayores que
(>>) cuando esté listo para aceptar un comando del usuario. Para finalizar un tipo de
sesión de Matlab, salga o salga en el indicador Matlab. Puede escribir ayuda en el
indicador Matlab, o desplegar el menú Ayuda en un PC.

CAPITULO I: Aspectos Básicos
2. Experimentando el entorno de Matlab
2.1 Partes de la ventana principal
Para iniciar MATLAB 2018, vamos al botón inicio y seleccionamos el programa
Matlab. Aparece la ventana escritorio (desktop o ventana principal) dividida en
cinco partes:
 Barra de menús y herramientas
 Ventana del directorio actual (Hacer click en la ficha Current Folder)
 Navegador del Workspace (Hacer click en la ficha Workspace)
 Ventana del Historial de Comandos (Command History)
 Ventana de comandos: Sobre la cual empezamos a digitar las órdenes
después del signo >>.
Figura N. ª 2

Para empezar con algunos ejemplos que provee Matlab, escriba uno de estos
comandos: helpwin, Helpdesk o demo, Helpwin abre una GUI de ayuda Matlab y
Helpdesk abre un navegador de ayuda de hipertexto3.
Figura N. ª 3
3
El hipertexto es una herramienta con estructura no secuencial que permite crear, agregar, enlazar y compartir información de diversas
fuentes por medio de enlaces asociativos. La forma más habitual de hipertexto en informática es la de hipervínculos o referencias
cruzadas automáticas que van a otros documentos. Si el usuario selecciona un hipervínculo, el programa muestra el documento enlazado.
Otra forma de hipertexto es el stretchtext que consiste en dos indicadores o aceleradores y una pantalla. El primer indicador permite que
lo escrito pueda moverse de arriba hacia abajo en la pantalla. Es importante mencionar que el hipertexto no está limitado a datos
textuales, podemos encontrar dibujos del elemento especificado o especializado, sonido o vídeo referido al tema.

Figura N. ª 5

Figura N. ª 6
Al escribir Demo se inicia la demostración de lo que puede hacer Matlab, mostrando
en videos un conjunto de ejemplos introductorios al programa, tal como se muestra

en la figura Nº7.
Figura N. ª 7
La documentación completa para Matlab se puede acceder desde el Helpdesk de
hipertexto, Por ejemplo, haciendo clic en el enlace documentación completa o
digitando (help) en la ventana de comandos.

Figura Nº 8
2.2 Algunos comandos de importancia
Matlab acceder a la lista de variables generadas durante la ejecución de nuestro
trabajo. Para ello basta digitar los comandos who, whos en el espacio de trabajo,
donde whos nos ofrece la información más al detalle.
>> who
Your variables are:
A ans

>> whos
Name Size Bytes Class Attributes
A 4x4 128 double
ans 1x1 8 double
Para evitar que MATLAB diferencie entre mayúsculas y minúsculas teclearemos >>
casesen off. Obviamente, el comando contrario será casesen on.
Otro comando útil es lookfor tema de búsqueda. Así, por ejemplo, si queremos
averiguar los comandos relacionados con la función seno, teclearemos >> lookfor
sine y a continuación se nos presenta el siguiente cuadro:
Figura Nº 9
Uno de los mandatos más útiles de MATLAB es diary, que permite guardar en un
fichero todo el texto que aparece en la ventana de comandos4. Si se tiene un diskette
en la unidad a: se puede escribir
>> diary C: taller.txt
4 Este procedimiento es similar a las bitácoras que aparecen en el programa Stata

Y todo lo que salga en pantalla se grabará en un fichero taller.txt justo cuando se
vuelva a introducir el mandato diary. Para agregar más texto en una misma
sesión al archivo creado se usa diary on al principio de lo que se quiera grabar
y diary off al final (en este momento se graba realmente).
El mandato % convierte en comentario lo que se escriba a continuación. Es
decir, MATLAB ignora lo que viene a continuación del comando %.
>> % Esto es un comentario
Con las teclas del cursor [↑] y [↓] se recuperan los mandatos antes escritos, evitando
así tener que reescribir ´´ordenes iguales o parecidas. También se puede “copiar”
con el ratón el texto de cualquier sitio y “pegar” en la (única) línea de mandatos
activa, eligiendo estas opciones en el menú´ de edición. Vale usar [Ctrl]+C y
[Ctrl]+V con el mismo fin (Benitez & Hueso, 2000).
2.3 Asignación de variables
MATLAB puede usarse como calculadora, aunque eso no es realmente su uso y para
el cual fue diseñado. Los signos +, -, *, / y ^ denotan las operaciones aritméticas de
suma, resta, multiplicación, división y elevación a una potencia. Si el resultado de
una operación no es asignado a ninguna variable, MATLAB lo asigna a la variable
del sistema a través de la palabra ans. Así mismo se pueden usar los paréntesis ()
para concatenar expresiones, no así los corchetes [] que están reservados para
introducir vectores y matrices(Benitez & Hueso, 2000).. Así, por ejemplo:
>> 3*((1+3) ^(1/20))

Proporciona, obviamente, ans = 3.2153.
En MATLAB las variables se asignan de modo natural. Basta escribir un nombre de
variable, a continuación, el signo = y luego el valor que toma esa variable. Para
aceptar, como siempre, hay que pulsar [Intro]. Escribiendo solo el nombre de una
variable previamente asignada, MATLAB muestra el resultado final . Por ejemplo,
se puede escribir
>> a = 3, b = 4
y a continuación
>> a+b
Para conservar este resultado se hace >> c = ans o mejor aún >> c = a+b
directamente. Si se pone un “punto y coma”, tras la asignación no se muestra el
resultado por pantalla. Naturalmente, la asignación no resulta afectada. Esta forma
de proceder resulta útil en la elaboración de resultados que requieran cálculos
intermedios. Por ejemplo, la orden
>> d=(a+b)^2;
Calcula el valor de d; pero no lo muestra en pantalla. La orden who lista las variables
definidas y con la orden whos obtenemos además el tipo de variable y su tamaño.
Se puede acceder a través del menú e incluso modificar los valores existentes: File y
a continuación Show Workspace. Para modificar las variables una vez abierto el
workspace browser, no tenemos más que pinchar en cada variable.

Con el comando clear sin argumentos elimina todas las variables y clear c elimina la
variable c.
Las variables de una sesión se pueden grabar con el comando >> save c: taller el
cual guarda los nombres y los valores de las variables actualmente definidas en un
fichero en a: llamado taller.mat. MATLAB añade automáticamente la extensión mat
y así identifica el formato de estos ficheros. Si se borran las variables:
>> clear, who
Se pueden recuperar ahora o en otra sesión con la orden >> load c: taller. De
nuevo mediante el menú File también se pueden ejecutar los comandos load y save.
En Matlab la asignación de variables es bastante sencilla. Sin embargo debemos
tener en cuenta que cada variable que definimos debe comenzar con una letra del
alfabeto.
Ejemplos:
>> a= cos(30)
a =
0.1543
>> b=sin(30)
b =
-0.9880
3. Operaciones aritméticas con Matlab
Para arrancar Matlab, se procede como con cualquier programa Windows, o sea,
Inicio, Programas, Matlab o Student Matlab caso de que utilicemos la versión
educacional. Una vez arrancado aparece el cursor con el símbolo (>>) o (EDU >>),
indicando que puedes introducir órdenes. La utilización más básica de Matlab es
como calculadora. Así, por ejemplo, puedes calcular cos (5)* 2 7.3, para lo cual debes
introducir:

>> cos(5)*2^7.3
ans =
44.7013
Matlab mantiene en su memoria resultado del último cálculo realizado. En caso de
que ese cálculo no se asigne a ninguna variable, lo hace a una variable por defecto
de nombre ans. Si quieres referirte a ese resultado, hazlo a través de la variable ans,
y si no asignas ese nuevo cálculo a ninguna variable, volvería a ser asignado a ans.
log(ans)
ans = 3.8000
A continuación, presentamos los operadores aritméticos usados por Matlab
Operadores Aritméticos Significado
+ Adición
- Resta
* Multiplicación
/ División
^ Potencia
Estos operadores se aplican también a las variables o valores escalares, aunque con
algunas diferencias5. Todos estos operadores son coherentes con las
correspondientes operaciones matriciales: no se puede por ejemplo sumar matrices
que no sean del mismo tamaño. Si los operadores no se usan de modo correcto se
obtiene un mensaje de error ( De Jalón, Goñi, Sarriegui, & Girón, 1997).
Los operadores anteriores se pueden aplicar también de modo mixto, es decir con
un operando escalar y otro matricial. En este caso la operación con el escalar se aplica
5
En términos de C++ podríamos decir que son operadores sobrecargados, es decir, con varios significados
distintos dependiendo del contexto)

a cada uno de los elementos de la matriz. Considérese el siguiente ejemplo:
>> A= [1 2; 3 4]
A =
1 2
3 4
>> A*2
ans =
2 4
6 8
>> A-4
ans =
-3 -2
-1 0
MATLAB utiliza el operador de división / para dividir por un escalar todos los
elementos de una matriz o un vector. Sin embargo, el uso que se describe a
continuación sí requiere más atención.
3.1 Constantes y cadenas
MATLAB utiliza ciertos nombres de variable para fines especiales, como i o j, que
designan ambas a la unidad imaginaria o pi, para el número π. El número e, base de
los logaritmos neperianos, no está pre asignado, pero se obtiene fácilmente como
exp(1)6.
La precisión relativa en operaciones de coma flotante se llama eps. En realidad, eps
es el mayor positivo que cumple 1+eps = 1. El resultado de 1/0 en MATLAB es Inf y
el de 0/0, NaN7.
6 El uso de la función exp (exponencial) será explicado posteriormente.
7 Del inglés Not a Number.

Se pueden utilizar estos nombres de variables pre asignadas para almacenar
otros valores, prevaleciendo esta última asignación sobre el valor por defecto de
MATLAB. Por ejemplo, si no se utilizan números complejos, no hay inconveniente
en representar por i y j los índices de fila y columna de una matriz. Igualmente se
podríamos llamar eps a una cantidad utilizada como criterio de convergencia, pero
en general conviene evitar equívocos empleando otros nombres de variable.
Internamente MATLAB trabaja con mucha precisión, aunque por defecto muestra
los resultados con cuatro decimales. La apariencia de los resultados se modifica por
medio del menú o con el comando format: Por ejemplo, format long aumenta el
número de decimales visibles.
>> format long, pi
format short vuelve al estado inicial, format rat aproxima el resultado por un
cociente de enteros pequeños. Se pueden explorar otras opciones con help format.
Podemos usar también cadenas de caracteres para manejar texto en funciones de
MATLAB . Para introducir una cadena, basta escribir el texto entre comillas.
>> ’Esto es una cadena’
Un texto sin comillas produce error porque MATLAB lo interpreta como un
nombre de variable o función.
>> Hola
Produce el error
??? Undefined function or variable Hola.
4. Operaciones con Matrices y Arrays
La mejor manera de empezar con MATLAB es aprender a manejar Matrices
iniciamow MATLAB y siga con cada ejemplo. Puede introducir matrices en
MATLAB de varias maneras diferentes:
 Introduzca una lista explícita de elementos.

 Cargar matrices de archivos de datos externos.
 Generar matrices usando funciones incorporadas.
 Crear matrices con sus propias funciones en M-files.
Comienza introduciendo la matriz de Dürer como una lista de sus elementos. Solo
tienes que seguir algunas convenciones básicas:
 Separar los elementos de una fila con espacios en blanco o comas.
 Utilice un punto y coma “;” Para indicar el final de cada fila.
 Envuelva la lista completa de elementos con corchetes, [].
4.1 Vectores fila
Existen diversas formas de declarar vectores fila en Matlab por ejemplo
introduciendo elemento por elemento:
Sintaxis:
vectorfila = [elemento1 elemento2 ... elementoN]
(Clave: dentro de una misma fila las separaciones son con espacios en blanco o el
uso de coma)
Ejemplo 1: ingresar el vector fila =  1 3 4 10
:
>> fila = [1 3 4 10]
fila =
1 3 4 10
Ejemplo 2: ingresar el vector alpha =
 0.25 3.14 2.71 5.31 0.01
:

>> alpha = [-0.25 3.14 2.71 5.31 0.01]
alpha =
-0.2500 3.1400 2.7100 5.3100 0.0100
Creación de un vector a través de extremos y extensión de separación:
Sintaxis:
vector inicial:salto:final
(Es decir: vector = [inicial inicial+salto inicial+2*salto ... final])
Un requisito es hacer que uno de los saltos coincida con el final, en caso contrario
tomará el máximo anterior. Ejemplo 1
>> A1=1:1:9
A1 =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
>> A2=0:5:19
A2 =
0 5 10 15
A3=1:5
A3 =
1 2 3 4 5
4.2 Vectores columna
Casi todos los comandos básicos en MATLAB implican el uso de vectores. Para
simplificar la creación de vectores, podemos definir un vector especificando: una

primera entrada, un incremento y una ´ultima entrada. Existen diferentes formas de
generarlas:
Sintaxis
A= [elemento1; elemento2;...; elementoN].
(Clave: cada “;” representa el fin de una línea, en este caso el fin de la línea indica el
fin de la fila)
Ejemplos:
>> B = [30 ; 40 ; 60 ; 70 ; 20 ; 50 ; 30 ; 40 ; 45 ; 40 ; -28.9]
B =
30.0000
40.0000
60.0000
70.0000
20.0000
50.0000
30.0000
40.0000
45.0000
40.0000
-28.9000
Por hallar la transpuesta de un vector fila:
Sintaxis:

A= A'
': operador transposición
>> B'
ans =
30.0000 40.0000 60.0000 70.0000 20.0000 50.0000 30.0000 40.0000
45.0000 40.0000 -28.9000
Para ingresar a la matriz de Dürer8, simplemente ingrese la Ventana de Comandos
A = [16 3 2 13; 5 10 11 8; 9 6 7 12; 4 15 14 1]
MATLAB muestra la matriz que acaba de ingresar:
A =
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Una vez que haya ingresado la matriz, se muestra automáticamente en el espacio de
trabajo MATLAB. Se puede invocar a la matriz simplemente como A.
Las propiedades especiales de un cuadrado mágico tienen que ver con las diversas
formas de sumar sus elementos. Si usted toma la suma a lo largo de cualquier fila o
columna, o a lo largo de cualquiera de las dos diagonales principales, siempre
obtendrá el mismo número. Vamos a verificar que con MATLAB. La primera
declaración que debemos intentar es sum(A). MATLAB Nos muestra:
>> sum(A)
ans =
8
Un cuadrado mágico es una tabla de grado primario donde se dispone de una serie de números enteros en un
cuadrado o matriz de forma tal que la suma de los números por columnas, filas y diagonales principales sea la
misma. Usualmente los números empleados para rellenar las casillas son consecutivos, de 1 a n², siendo n el
número de columnas y filas del cuadrado mágico.
Los cuadrados mágicos actualmente no tienen ninguna aplicación técnica conocida que se beneficien de estas
características, por lo que sigue recluido al divertimento, curiosidad y al pensamiento matemático. Aparte de
esto, en las llamadas seudo ciencias ocultas y más concretamente en la magia tienen un lugar destacado.

34 34 34 34
Cuando no se especifica una variable de salida, MATLAB utiliza la variable ans,
Abreviatura de respuesta, para almacenar los resultados de un cálculo. Lo que hace
es calcular que contiene las sumas de las columnas de A. Por supuesto, cada uno de
las columnas tiene la misma suma, la suma mágica, 34.
Una forma de obtener las sumas de fila es Matriz, calcular las sumas de columna de
la matriz transpuesta, y luego transponer el resultado. Para una forma adicional que
evita la transposición doble, use la Argumento de dimensión para la función de
suma.
MATLAB tiene dos operadores de transposición. El operador de apóstrofe (por
ejemplo, (A') realiza una transposición conjugada compleja. Vuelve una matriz sobre
su principal
Diagonal, y también cambia el signo del componente imaginario de cualquier
elementos complejos de la matriz. El operador de apóstrofo de puntos (por ejemplo,
A. '),
Transpone sin afectar el signo de elementos complejos. Para matrices que contiene
todos los elementos reales, los dos operadores devuelven el mismo resultado. Así
que
A'
Ans
16 5 9 4
3 10 6 15
2 11 7 14
13 8 12 1
y
sum(A')'
Produce un vector de columna que contiene las sumas de fila de A
Ans
34
34
34
34

La suma de los elementos en la diagonal principal se obtiene con la suma y las
funciones diag:
diag (A)
Ans
16
10
7
1
sum (diag (A))
Ans
34
La otra diagonal, la llamada anti diagonal, no es tan importante. Matemáticamente,
por lo que MATLAB no tiene una función lista para ello. Pero una función
originalmente destinada para su uso en gráficos, fliplr, invierte una matriz de
izquierda a derecha:
sum (diag (fliplr (A)))
Ans
34
Se ha verificado que la matriz en el grabado de Dürer es de hecho un cuadrado
mágico y, en el proceso, han mostrado algunas operaciones de matrices con
MATLAB.
4.3 Acceso a los elementos de una matriz
El elemento en la fila i y la columna j de A se denotan por A (i, j). Por ejemplo, A
(4,2) es el número en la cuarta fila y segunda columna. Para nuestra magia
Cuadrado, A (4,2) es 15. Así, para calcular la suma de los elementos en el cuarto
Columna del tipo A
A (1,4) + A (2,4) + A (3,4) + A (4,4)
Ans
34
Pero no es la manera más elegante de sumar una sola columna. También es posible
hacer referencia a los elementos de una matriz con un solo subíndice. Esta es la forma
usual de hacer referencia a los vectores de fila y columna. Pero. También puede

aplicarse a una matriz completamente bidimensional. Se puede modificar alguno de
los elementos de la matriz A, accediendo a cualquiera de sus posiciones, por
ejemplo:
9 10
A =
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
>> A (4,2)=9
A =
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 9 14 1
>> A (4,2)=15
A =
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
4.3 El Operador de colon (:)
El operador de colon: es uno de los operadores más importantes en el manejo de
matrices de MATLAB. Ocurre en varias formas diferentes. La expresión
1:10
ans =

1 2 3 4 5 6 7 8
5. Tipos de matrices predefinidas
MATLAB dispone de varias formas de definir matrices. El introducirlas por teclado
sólo es práctico en casos de cuando el tamaño es pequeño y cuando no hay que
repetir esa operación muchas veces. Recuerde en que en MATLAB no hace falta
definir el tamaño de una matriz. Las matrices toman tamaño al ser definidas y este
tamaño puede ser modificado por el usuario mediante adición y/o borrado de filas
y columnas. A continuación se van a ver otras formas más potentes y generales de
definir y/o modificar matrices.
Existen en MATLAB varias funciones orientadas a definir con gran facilidad
matrices de tipos particulares. Algunas de estas funciones son las siguientes: eye (4)
forma la matriz unidad de tamaño (4×4).
>> Z =eye (5)
Z =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
zeros(3,5) forma una matriz de ceros de tamaño (3×5)
zeros(4) ídem de tamaño (4×4)
ones(3) forma una matriz de unos de tamaño (3×3)
ones(2,4) idem de tamaño (2×4)
linspace(x1,x2,n) genera un vector con n valores igualmente espaciados entre x1 y x2
logspace(d1,d2,n) genera un vector con n valores espaciados logarítmicamente entre

10^d1 y 10^d2. Si d2 es pi9, los puntos se generan entre 10^d1 y pi.
rand(3) forma una matriz de números aleatorios entre 0 y 1, con distribución
uniforme, de tamaño (3×3)
rand(2,5) idem de tamaño (2×5)
randn(4) forma una matriz de números aleatorios de tamaño (4×4), con
distribución normal, de valor medio 0 y varianza 1.
magic(4) crea una matriz (4×4) con los números 1, 2, ... 4*4, con la propiedad
de que todas las filas y columnas suman lo mismo.
hilb(5) Crea una matriz de Hilbert de tamaño (5×5). La matriz de Hilbert es
una matriz cuyos elementos (i,j) responden a la expresión (1/(i+j-1)).
Esta es una matriz especialmente difícil de manejar por los grandes
errores numéricos a los que conduce
invhilb(5) Crea directamente la inversa de la matriz de Hilbert.
kron(x,y) produce una matriz con todos los productos de los elementos del
vector x por los elementos del vector y. Equivalente a x'*y, donde x e
y son vectores fila
compan(pol) Construye una matriz cuyo polinomio característico tiene como
coeficientes los elementos del vector pol (ordenados de mayor grado
a menor).
vander(v) Construye la matriz de Vandermonde a partir del vector v (las
columnas son las potencias de los elementos de dicho vector).
Existen otras funciones para crear matrices de tipos particulares. Con Help/Matlab
Help se puede obtener información sobre todas las funciones disponibles en
MATLAB, que aparecen agrupadas por categorías o por orden alfabético. En la
categoría Mathematics aparecen la mayor parte de las funciones estudiadas en este
documento.

5.1 Formación de una matriz a partir de otras
MATLAB ofrece también la posibilidad de crear una matriz a partir de matrices
previas ya definidas, por varios posibles caminos:
 Recibiendo alguna de sus propiedades (como por ejemplo el tamaño)
 Por composición de varias submatrices más pequeñas
 Modificándolas de alguna forma.
A continuación se describen algunas de las funciones que crean una nueva matriz a
partir de otra o de otras, comenzando por dos funciones auxiliares:
[m,n]=size(A) Devuelve el número de filas y de columnas de la matriz A. Si la
matriz es cuadrada basta recoger el primer valor de retorno.
n=length(x) Calcula el número de elementos de un vector x.
zeros(size(A)) forma una matriz de ceros del mismo tamaño que una matriz A
previamente creada
ones(size(A)) ídem con unos
A=diag(x) forma una matriz diagonal A cuyos elementos diagonales son
los elementos de un vector ya existente x
x=diag(A) forma un vector x a partir de los elementos de la diagonal de
una matriz ya existente A
diag(diag(A)) crea una matriz diagonal a partir de la diagonal de la matriz A
blkdiag(A,B) Crea una matriz diagonal de submatrices a partir de las
matrices que se le pasan como argumentos
triu(A) Forma una matriz triangular superior a partir de una matriz A
(no tiene por qué ser cuadrada). Con un segundo argumento

puede controlarse que se mantengan o eliminen más
diagonales por encima o debajo de la diagonal principal.
tril(A) Ídem con una matriz triangular inferior.
rot90(A,k) Gira k*90 grados la matriz rectangular A en sentido anti
horario. k es un entero que puede ser negativo. Si se omite, se
supone k=1
flipud(A) halla la matriz simétrica de A respecto de un eje horizontal
fliplr(A) Halla la matriz simétrica de A respecto de un eje vertical
reshape(A,m,
n)
Cambia el tamaño de la matriz A devolviendo una matriz de
tamaño m×n cuyas columnas se obtienen a partir de un vector
formado por las columnas de A puestas una a continuación de
otra. Si la matriz A tiene menos de m×n elementos se produce
un error.
6. Operadores aritméticos, lógicos y relacionales de
matrices en MATLAB
MATLAB dispone de operaciones aritméticas: Las operaciones aritméticas
matriciales, que se rigen por las reglas del algebra lineal, y las operaciones
aritméticas con vectores que se realizan elemento a elemento. Los operadores
involucrados se presentan en la tabla siguiente (Cutipa Coaquira & Gutierrez
Pachas, 2009):
A+B Suma de elementos de las matrices A y B de acuerdo a su posición.

A-B Resta de elementos de las matrices A y B de acuerdo a su posición.
k*A Multiplica cada elemento de A por el escalar k.
A.*B Multiplica cada elemento de A y B de acuerdo a su posición (Producto
punto)
A*B Calcula la suma de los productos de las filas de A por las columnas
de B
A./B Realiza la división de cada elemento de A entre B de acuerdo a su
posición
B./A Realiza la división de cada elemento de B entre A de acuerdo a su
posición
A/B Equivale a A* inv(B)
BA Equivale a B* inv(A)
A.^k Eleva cada elemento de la matriz A al exponente escalar k.
A^k Equivale a A*A*A*…A tantas veces como valga el valor de k.
8. Ejercicios Resueltos
1. Crear un vector M cuyo valor inicial sea 100 y cuyo valor final sea 88. Sus valores
intermedios deben decrecer de 2 en2.

>> M = 100: -2:88
M =
100 98 96 94 92 90 88
2. Almacenar en una variable m el segundo elemento del vector M.
>> m= M (2)
m =
98
3. Mostrar los elementos situados entre la tercera y cuarta ubicación inclusive del
vector M.
>> M(3:5)
ans =
96 94 92
4. Obtener una variable de n elementos de M situados entre la séptima y tercera
ubicación inclusive pero separados de dos en dos.
M (1: -2:3)
5. Crear una matriz R de 2x3 cuyas filas, cuyas filas son los cuadrados de los 6
primeros números consecutivos
>> R = [linspace (1,3,3); linspace(4,6,3)].* [linspace(1,3,3); linspace(4,6,3)]
R =

1 4 9
16 25 36
6. Anular el elemento (2,1) de la matriz R antes creada
>> R (2,1)=0
R =
1 4 9
0 25 36
7. Obtener la matriz T transpuesta de R
>> T= R'
T =
1 0
4 25
9 36
8. Construir una matriz W, formada por la matriz T y la matriz identidad de orden
3 adosada a su izquierda.
W= [eye(3) T]
>> W= [eye(3) T]
W =
1 0 0 1 0
0 1 0 4 25
0 0 1 9 36
10. Considere la siguiente matriz:

Se pide:
a) Introducir la matriz A.
>> A= [11 12 13 14; 21 22 23 24; 31 32 33 34; 41 42 43 44]
A =
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
b) Obtener los valores de la primera columna.
>> A(:,1)
ans =
11
21
31
41
c) Obtener los valores de la segunda fila.
>> A(2,:)
ans =
21 22 23 24
d) Obtener los valores de la segunda y la tercera columna.

>> A(:,2:3)
ans =
12 13
22 23
32 33
42 43
e) Obtener la diagonal de A.
>> diag(A)
ans =
11
22
33
44
f) Obtener una matriz de 2x2 donde todos los elementos sean 1.
>> ones (3,3)
ans =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
g) Obtener una matriz identidad de orden 2x2.
>> eye(3)
ans =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
9.
10. Construir una matriz V extrayendo las columnas pares de la matriz T, una matriz
Z formada por la intersección de las dos últimas filas de W y sus columnas primera
y quinta, y una matriz X formada por la intersección de las dos primeras filas o
columnas de la matriz W.
>> V= W(:, 2:2:5)
V =
0 1
1 4
0 9
>> Z= W([2 3 ],[1 5])
Z =
0 25
0 36
>> X= W([1 2 ],[2;5])
X =
0 0
1 25
11. Eliminar la primera y última columna de la matriz W
W(:, [1 5])=[]

>> W(:, [1 5])=[]
W =
0 0 1
1 0 4
0 1 9
11. Construir la matriz diagonal Y, tal que los elementos de su diagonal principal
son los mismos que los de la diagonal principal de W.
>> Y=diag(diag(W))
Y =
0 0 0
0 0 0
0 0 9
13. Construir una matriz Z formadas por las matrices unidad de 4x3, la matriz nula
e identidad del mismo orden acoplado horizontalmente. Luego calcular el tamaño
de Z (orden).
Z= [ones(4,3) zeros(4,3) eye(4,3)]
>> Z= [ones(4,3) zeros(4,3) eye(4,3)]
Z =
1 1 1 0 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0 0 0
>> size(Z)
ans =

4 9
14. Formar la matriz A con los elementos de la intersección de la primera y tercera
fila de Z y las columnas séptima t novena inclusive. Luego crear un vector columna
I con los elementos de la antidiagonal de Z
>> A=Z(1:3, 7:9)
A =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
15. Construir una matriz aleatoria K de orden 4x3. Luego invierta el orden de sus
filas utilizando el operador 2 puntos. Utilice algún comando de Matlab para realizar
el mismo procedimiento.
>> K = rand(4,3)
K =
0.8147 0.6324 0.9575
0.9058 0.0975 0.9649
0.1270 0.2785 0.1576
0.9134 0.5469 0.9706
>> K(4: -1:1,:)
ans =
0.9134 0.5469 0.9706
0.1270 0.2785 0.1576
0.9058 0.0975 0.9649
0.8147 0.6324 0.9575
>> flipud(K)

ans =
0.9134 0.5469 0.9706
0.1270 0.2785 0.1576
0.9058 0.0975 0.9649
0.8147 0.6324 0.9575
16. Invierta el orden de las columnas utilizando el operador 2 puntos. Utilice algún
comando de MATLAB para realizar el mismo procedimiento.
>> K(:,3:-1:1)
ans =
0.9575 0.6324 0.8147
0.9649 0.0975 0.9058
0.1576 0.2785 0.1270
0.9706 0.5469 0.9134
>> fliplr(K)
ans =
0.9575 0.6324 0.8147
0.9649 0.0975 0.9058
0.1576 0.2785 0.1270
0.9706 0.5469 0.9134
17. Halle la matriz L de orden 2x6 cuyas columnas resultan de tomar los elementos
de las columnas de K consecutivamente.
>> L = reshape(K,2,6)
L =
0.8147 0.1270 0.6324 0.2785 0.9575 0.1576
0.9058 0.9134 0.0975 0.5469 0.9649 0.9706

18. Mostrar las matrices triangulares inferior y superior de las 3 últimas filas de K.
>> tril(K(2:4,:))
ans =
0.9058 0 0
0.1270 0.2785 0
0.9134 0.5469 0.9706
>> triu(K(2:4,:))
ans =
0.9058 0.0975 0.9649
0 0.2785 0.1576
0 0 0.9706

Bibliografía
de Jalón de la Fuente, J., Goñi Lasheras, R., Sarriegui Domínguez, J., & Girón
Legorburu, I. (1997). Aprenda Matlab 4.2 como si estuviera en Primero.
Universidad de Navarra, Escuela superior de Ingenieros Industriales.
García de Jalón, J., Rodríguez, J., & Vidal, J. (2005). Aprenda Matlab 7.0 como si
estuviera en primero. Universidad Politécnica de Madrid. Madrid: Escuela
Técnica Superior de Ingenieros Industriales .
Benitez López, J., & Hueso Pagoaga, J. (2000). Introducción a MATLAB. Universidad
Politécnica de Valencia, Departamento de Matemática Aplicada, Valencia.
Cutipa Coaquira, M., & Gutierrez Pachas, D. (2009). MATLAB 7. MACRO EIRL.
Martínez del Río, F. (2015). Programación en Matlab. Universidad de Jaén,
Departamanto de Informática .
MathWorks. (2017). MATLAB® Primer.

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