Este documento presenta apuntes sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Incluye secciones sobre la estructura diferenciable de un espacio vectorial, campos tangentes, ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, métodos para resolver ecuaciones diferenciales como el método de Lie, estabilidad de sistemas dinámicos, y aplicaciones a problemas físicos.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica conceptos clave como la definición de ecuación diferencial, el orden de una ecuación diferencial, las soluciones de ecuaciones diferenciales y los problemas de condiciones iniciales. Luego, cubre temas como ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones lineales, aplicaciones a problemas geométricos, físicos y de ingeniería, sistemas de ecuaciones diferenciales, teoría cualitativa y estabilidad de sistemas. El documento proporciona una
Este documento presenta un resumen de cada capítulo de un libro de análisis matemático. Incluye tópicos como topología, funciones, derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales, teoría de la medida, formas diferenciales y cohomología.
Este documento presenta notas sobre álgebra lineal. Introduce conceptos fundamentales como estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos), espacios vectoriales, aplicaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. Explica propiedades de estas ideas y su relación, con ejemplos. El objetivo es proporcionar una introducción general a los temas básicos del álgebra lineal.
Este documento presenta notas preliminares sobre números complejos y cálculo de variables complejas para un curso universitario. Incluye definiciones básicas de números complejos, operaciones algebraicas, representación geométrica, coordenadas polares, funciones de variable compleja, series de potencias, integración compleja y singularidades aisladas. El autor advierte que las notas pueden contener errores y están incompletas.
Este documento presenta un resumen de la teoría de las variables complejas. Introduce los números complejos y define el plano complejo C. Explica conceptos como funciones complejas, funciones diferenciables y holomorfas, funciones conformes, integración compleja, series enteradas y residuos. El documento contiene 11 secciones que desarrollan estos temas de manera progresiva, estableciendo las bases teóricas y mostrando aplicaciones de la teoría de variables complejas.
Este documento presenta una introducción al uso del programa de cálculo simbólico Maxima. Explica que Maxima es un sucesor del programa Macsyma desarrollado originalmente en el MIT en los años 1970. Además, proporciona instrucciones básicas sobre la instalación de Maxima en Windows, Mac y Linux, y ofrece una primera sesión de ejemplo para familiarizarse con el programa. El documento también incluye un índice general de los diferentes temas que serán cubiertos.
Este documento contiene apuntes sobre ecuaciones diferenciales. Explica conceptos básicos como espacios tangentes, campos tangentes y tensoriales. Incluye secciones sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales lineales y no lineales, así como temas como estabilidad, sistemas de Pfaff y aplicaciones a problemas físicos y biológicos.
Callen thermodynamics and an introduction to thermostatistics, 2 ed.Juan Aranda
Este documento es un apunte de un curso de Física Matemática que trata temas relacionados con series infinitas, números complejos, funciones complejas y derivabilidad. Incluye conceptos como series de potencias, funciones analíticas, derivadas complejas, integrales de curvas y ecuaciones de Laplace. El documento contiene 13 capítulos que abarcan estos temas fundamentales de la física matemática.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica conceptos clave como la definición de ecuación diferencial, el orden de una ecuación diferencial, las soluciones de ecuaciones diferenciales y los problemas de condiciones iniciales. Luego, cubre temas como ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones lineales, aplicaciones a problemas geométricos, físicos y de ingeniería, sistemas de ecuaciones diferenciales, teoría cualitativa y estabilidad de sistemas. El documento proporciona una
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Este documento presenta una introducción a la termodinámica. Explica que el objetivo es realizar una revisión de la termodinámica del equilibrio de manera general, huyendo de los sistemas simples como los gases perfectos. También indica que se basará en textos prestigiosos pero que buscará un nivel adecuado para la materia tratada de forma rigurosa pero accesible. Finalmente, introduce algunas definiciones básicas como la de sistema termodinámico.
Este documento presenta un análisis no estándar de conceptos matemáticos como cantidades infinitamente pequeñas y números imaginarios. Explica que una cantidad infinitamente pequeña es en realidad cero, y que los llamados misterios de los números imaginarios se han exagerado; estos conceptos pueden explicarse y entenderse completamente. El documento también introduce el tema de la teoría de conjuntos no estándar que se explicará en las páginas siguientes.
Este documento presenta un resumen de los temas centrales de la matemática discreta para ingeniería informática. Incluye capítulos sobre aritmética entera y modular, técnicas de contar, y recursión. Define los números enteros de forma axiomática y explica conceptos como divisores, máximo común divisor, y primos. También cubre aritmética modular, congruencias, y aplicaciones criptográficas.
Este documento presenta un análisis introductorio de sistemas dinámicos lineales. Comienza con conceptos preliminares sobre sistemas, señales y modelos matemáticos. Luego introduce herramientas como ecuaciones diferenciales, transformadas de Laplace y representación en variables de estado. Cubre temas como funciones de transferencia, diagramas de bloques, respuesta al impulso y estabilidad. Finalmente, analiza sistemas de primer y segundo orden, realimentados simples y ofrece una introducción a sistemas no lineales.
Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
Este documento presenta una revisión teórica del control de procesos industriales continuos. Explica conceptos clave como modelos de procesos, realimentación, elementos de control, diseño de sistemas de control, clasificación de sistemas, respuesta temporal y de frecuencia, lugar de las raíces, funcionamiento y estabilidad de sistemas de control, y sistemas de tiempo discreto.
Este documento presenta un libro de texto sobre cálculo 1. Contiene capítulos sobre números reales, funciones, límites y continuidad, cálculo diferencial y aplicaciones de la derivada. El libro cubre temas fundamentales del cálculo como funciones elementales, operaciones con funciones, límites, derivadas y aplicaciones como máximos y mínimos. El objetivo es proporcionar los conceptos y herramientas básicas del cálculo necesarias para cursos posteriores de matemáticas y ciencias.
Este documento es un libro de texto sobre álgebra que contiene 13 capítulos. Cubre temas como números enteros y racionales, anillos de polinomios, ideales, congruencias, extensiones de cuerpos, grupos, matrices y determinantes, enteros algebraicos, factorización ideal y la ley de reciprocidad cuadrática. Cada capítulo explora estos temas fundamentales del álgebra de manera más profunda.
Este documento presenta el índice general de un libro de álgebra. El índice contiene 16 capítulos que cubren temas como números enteros y racionales, anillos de polinomios, ideales, divisibilidad, congruencias, grupos, matrices, enteros algebraicos, teoría de Galois y más. Cada capítulo explora estos temas fundamentales de forma más detallada.
Aplicacion de ecuasiones de primer ordenwhitecrow2013
Este documento presenta un resumen de tres capítulos sobre ecuaciones diferenciales. Introduce conceptos básicos de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo definiciones, resolución de diferentes tipos de ecuaciones y aplicaciones. Luego cubre ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, con énfasis en las lineales con coeficientes constantes. Finalmente, analiza sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales.
Este documento presenta un curso de mecánica cuántica impartido por cuatro profesores de la Universidad de Chile. El curso consta de tres secciones principales: 1) una introducción histórica a la mecánica cuántica y sus principios fundamentales, 2) una introducción matemática a conceptos como espacios vectoriales y operadores lineales, y 3) las ecuaciones básicas de la mecánica cuántica como los postulados y las relaciones de incertidumbre.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de cálculo para la ingeniería. Cubre temas como la recta real, el plano cartesiano, funciones, límites de sucesiones y funciones, funciones hiperbólicas y funciones de varias variables. El objetivo es proporcionar las herramientas matemáticas fundamentales necesarias para comprender y aplicar el cálculo en ingeniería.
Este documento presenta los apuntes para el curso de Álgebra Lineal impartido por Juan González-Meneses López en la Universidad de Sevilla durante el curso 2008/2009. Incluye definiciones de conceptos básicos como matrices, vectores, operaciones con matrices y vectores, y anuncia los temas que se abordarán como espacios vectoriales, aplicaciones lineales, endomorfismos y sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica conceptos clave como soluciones generales, soluciones particulares, ecuaciones de primer orden y de orden superior. También cubre métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales como ecuaciones lineales, homogéneas, de variables separables, y sistemas de ecuaciones diferenciales. Finalmente, incluye aplicaciones de ecuaciones diferenciales y métodos avanzados como series y la transformada de Laplace.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Explica conceptos clave como la definición de ecuación diferencial, el orden de una ecuación diferencial, las soluciones de ecuaciones diferenciales y los problemas de condiciones iniciales. Luego, cubre temas como ecuaciones diferenciales de primer orden, ecuaciones lineales, aplicaciones a problemas geométricos, físicos y de ingeniería, sistemas de ecuaciones diferenciales, teoría cualitativa y estabilidad de sistemas. El documento proporciona una
Este documento presenta un índice general de los temas cubiertos en el curso de Métodos Matemáticos de la Física. El índice incluye 16 capítulos que cubren conceptos de topología, álgebra lineal, geometría, ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, análisis funcional, distribuciones, transformadas de Fourier y grupos. Cada capítulo contiene una breve introducción al tema y subtemas específicos a tratar. El documento proporciona una visión de alto nivel de
Este documento presenta un resumen de tres capítulos sobre ecuaciones diferenciales. Introduce conceptos básicos de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo definiciones, resolución de diferentes tipos de ecuaciones y aplicaciones. Luego cubre ecuaciones diferenciales lineales de orden superior, con énfasis en las lineales con coeficientes constantes. Finalmente, analiza sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineales.
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Este documento presenta el índice y contenido de un curso de Mecánica Cuántica I. Incluye una introducción a la crisis de la física clásica y los principios fundamentales de la mecánica cuántica. También presenta conceptos matemáticos básicos como espacios vectoriales y operadores lineales. Luego, describe las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica como los operadores posición y momento, y ecuaciones como la ecuación de Schrödinger. Finalmente, analiza soluciones para algun
Este documento trata sobre el cálculo para la ingeniería y específicamente sobre la derivación de funciones de varias variables. Introduce el concepto de derivadas parciales para funciones de dos o más variables, y explica su definición, interpretación geométrica, relación con las derivadas direccionales y gradiente. También cubre temas como la diferenciabilidad, la regla de la cadena, funciones implícitas y la búsqueda de extremos.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Explica conceptos básicos como orden, linealidad y soluciones. Luego, describe varios modelos matemáticos que se pueden representar mediante ecuaciones diferenciales, como la desintegración radiactiva, el movimiento pendular y las oscilaciones en resortes. Finalmente, adelanta que en capítulos posteriores se analizarán en detalle diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y de orden superior, así como sistemas de ecuaciones diferencial
Este documento presenta un libro titulado "Fundamentos del Cálculo" escrito por Rubén Flores Espinoza, Marco Antonio Valencia Arvizu, Guillermo Dávila Rascón, Martín Gildardo García Alvarado. El libro fue publicado en 2008 por Editorial Garabatos con el apoyo de CONACYT y el Gobierno del Estado. El libro contiene 8 capítulos que cubren temas como los números reales, funciones, sucesiones, derivadas, integrales indefinidas y sus aplicaciones.
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Este documento presenta un libro titulado "Cálculo Vectorial: grad, div, rot ... y algo más" escrito por Baltasar Mena Iniesta. El libro introduce conceptos básicos de cálculo vectorial como funciones escalares y vectoriales, derivadas parciales, integrales múltiples y campos vectoriales. Incluye capítulos sobre valores extremos, funciones vectoriales, geometría diferencial y aplicaciones a mecánica. El libro proporciona una guía completa para comprender los fundamentos del cálculo vectorial.
Matemáticas Avanzadas_ Variable Compleja, Series y Ecuaciones Diferenciales O...RosaLuciaBazanCandue
Este documento trata sobre matemáticas avanzadas incluyendo variable compleja, series y ecuaciones diferenciales ordinarias. Se divide en dos secciones principales: variable compleja y series. La sección de variable compleja cubre temas como números complejos, funciones complejas, puntos y líneas de corte, transformaciones conformes e integrales complejas. La sección de series cubre temas como criterios de convergencia, series de potencias, serie de Taylor y polinomios ortogonales.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Explica definiciones clave como soluciones generales y particulares de EDP. Además, cubre temas como EDP lineales, ecuaciones de ondas, conducción de calor y potencial eléctrico. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar los conceptos introducidos.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Explica definiciones clave como soluciones generales y particulares de EDP. Además, incluye capítulos sobre los diferentes tipos de EDP (hiperbólicas, parabólicas y elípticas) y métodos para resolver problemas de valor de frontera asociados a cada tipo. Finalmente, contiene ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar los conceptos introducidos.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP). Explica definiciones clave como soluciones generales y particulares de EDP. Además, cubre temas como EDP lineales, ecuaciones de ondas, conducción de calor y potencial eléctrico. Finalmente, incluye ejemplos y ejercicios resueltos para reforzar los conceptos presentados.
Este documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP). Incluye definiciones básicas de EDP, clasificación de EDP de segundo orden, y métodos para resolver EDP como separación de variables y método de Fourier. También cubre EDP de tipo hiperbólico, parabólico y elíptico, con ejemplos de vibraciones, conducción de calor y potenciales.
Este documento presenta apuntes sobre álgebra lineal. Introduce las definiciones básicas de matrices, incluyendo sus operaciones y propiedades. Explica conceptos como transformaciones elementales de filas y columnas, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, aplicaciones lineales y endomorfismos. El documento contiene 6 temas y varias secciones en cada tema para explicar estos conceptos fundamentales de álgebra lineal.
Este documento presenta apuntes sobre álgebra lineal. Introduce las definiciones básicas de matrices, incluyendo sus operaciones y propiedades. Explica conceptos como transformaciones elementales de filas y columnas, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, aplicaciones lineales y endomorfismos. El documento contiene 6 temas y varias secciones en cada tema para explicar estos conceptos fundamentales de álgebra lineal.
Este documento presenta los apuntes para el curso de Álgebra Lineal impartido por Juan González-Meneses López en la Universidad de Sevilla durante el curso 2008/2009. Incluye definiciones de conceptos básicos como matrices, vectores, operaciones con matrices y vectores, y anuncia los temas que se abordarán como espacios vectoriales, aplicaciones lineales, endomorfismos y sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta apuntes sobre álgebra lineal. Introduce las definiciones básicas de matrices, incluyendo sus operaciones fundamentales como suma, multiplicación por escalares, y multiplicación. También define vectores como una clase especial de matrices, y discute su uso para representar puntos en espacios geométricos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral de Lebesgue. Comienza discutiendo las deficiencias de la integral de Riemann y la necesidad de una nueva definición de integral. Luego introduce los principios de Littlewood y la definición formal de la integral de Lebesgue, incluyendo teoremas de convergencia. Finalmente, analiza la derivación e integración de funciones medibles y el cálculo de integrales de funciones integrables.
Similar a Apuntes de ecuaciones diferenciales (20)
17. Tema 1
La estructura
diferenciable de un
espacio vectorial
1.1 Conceptos b´sicos
a
Por E entenderemos un espacio vectorial real de dimensi´n n, dotado
o
de la estructura topol´gica usual. A veces tambi´n consideraremos en
o e
E una norma, siendo indiferente en la mayor´ de los resultados cual es
ıa
la que elegimos, pues todas las normas son equivalentes en E. Por Rn
n
entenderemos el espacio vectorial real R × · · · × R.
Dados dos espacios vectoriales E1 y E2 denotaremos con L(E1 , E2 )
el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de E1 en E2 . Con E ∗
denotaremos el espacio vectorial dual de E, es decir L(E, R).
Con C(E) denotaremos la R–´lgebra de las funciones continuas en E
a
y con C(U ) las continuas en el abierto U de E. Con P(E) denotaremos
la R–´lgebra de los polinomios en E, es decir la sub–R–´lgebra de C(E)
a a
generada por E ∗ .
1
18. 2 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Elegir una base ei en E equivale a elegir una base xi ∈ E ∗ . En cuyo
caso tenemos la identificaci´n
o
n
E −−→ Rn , ai ei −→ (a1 , . . . , an ),
i=1
y las xi forman un sistema de coordenadas lineales asociado a las ei de
la forma
xi : E −−→ R , xi aj ej = ai .
A menudo consideraremos sistemas de coordenadas lineales xi y so-
brentenderemos su base dual ei correspondiente.
Si en E tenemos un producto interior < , > consideraremos la norma
√
x 2 = < x, x >,
y eligiendo una base ei ortonormal, es decir tal que < ei , ej >= δij ,
y su sistema xi de coordenadas lineales asociado, tendremos que dados
a, b ∈ E tales que xi (a) = ai y xi (b) = bi
< a, b >= a1 b1 + · · · + an bn .
Definici´n. Sean E1 y E2 espacios vectoriales reales, U un abierto de E1
o
y V uno de E2 . Diremos que F : U −→ V es diferenciable en x ∈ U si
existe una aplicaci´n lineal Fx ∈ L(E1 , E2 ), tal que
o
F (x + h) − F (x) − Fx (h)
lim = 0.
h →0 h
Diremos que F es diferenciable si lo es en todo punto; que F es de
clase 1 si es diferenciable y la aplicaci´n
o
F : U −−→ L(E1 , E2 ) , x Fx ,
es continua ; que es de clase k si existen F , F = (F ) ,. . .,F (k , y son
continuas. Diremos que es de clase infinita si es de clase k para toda k.
A partir de ahora siempre que hablemos de clase k, entenderemos
que k es indistintamente, a menos que se especifique lo contrario, un
n´mero natural 0, 1, . . . ´ bien ∞, donde para k = 0 entenderemos que
u o
las aplicaciones son continuas.
Definici´n. Dada f : U ⊂ R −→ R diferenciable en x, llamamos deri-
o
vada de f en x al n´mero real
u
f (x + t) − f (x)
f (x) = lim .
t→0 t
19. 1.1. Conceptos b´sicos
a 3
Observemos que este n´mero est´ relacionado con la aplicaci´n lineal
u a o
fx ∈ L(R, R) por la igualdad
fx (h) = f (x) · h.
Regla de la cadena 1.1 a) Sean
F : U ⊂ E1 −−→ V ⊂ E2 , G : V −−→ W ⊂ E3 ,
diferenciables en x ∈ U y F (x) = y, respectivamente. Entonces H =
G ◦ F es diferenciable en x y se tiene que
H x = G y ◦ Fx .
b) La composici´n de aplicaciones de clase k es de clase k.
o
Definici´n. Para cada abierto U del espacio vectorial E, denotaremos
o
C k (U ) = {f : U −−→ R, de clase k},
los cuales tienen una estructura natural de R–´lgebra y como veremos
a
en (1.11), tambi´n de espacio topol´gico.
e o
Proposici´n 1.2 Sea F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2 una aplicaci´n. Entonces
o o
son equivalentes:
a) F es de clase k.
b) Para un sistema de coordenadas lineales yi en E2 , fi = yi ◦ F ∈
C k (U ).
c) Para cada f ∈ C k (V ), f ◦F ∈ C k (U ), es decir tenemos el morfismo
de R-´lgebras.
a
F ∗ : C k (V ) −−→ C k (U ), F ∗ (f ) = f ◦ F.
Definici´n. Dada una funci´n f ∈ C 1 (U ), un v ∈ E y p ∈ U , llamaremos
o o
derivada direccional de f relativa a v en p al valor
f (p + tv) − f (p)
vp (f ) = lim .
t→0 t
20. 4 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
En particular si en E hemos elegido un sistema de coordenadas linea-
les xi con base dual ei , llamaremos derivada parcial i–´sima de f , a la
e
derivada direccional de f relativa a ei y escribiremos
∂f f (p + tei ) − f (p)
(p) = lim .
∂xi t→0 t
Si E es de dimensi´n 1, y x es la coordenada lineal correspondiente al
o
vector no nulo e ∈ E escribiremos
df ∂f
= .
dx ∂x
Proposici´n 1.3 f ∈ C k (U ) si y s´lo si para alg´n sistema de coordena-
o o u
das lineales xi —y por tanto para cualquiera—, existen y son continuas
en todo U las funciones Da f , para a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn , y
∂ |a|
Da = , |a| = a1 + · · · + an ≤ k.
∂ a1 x1 · · · ∂ an xn
Nota 1.4 Si E1 es de dimensi´n n y E2 de m y U y V son sendos abiertos
o
de E1 y E2 , entonces si F : U −→ V es diferenciable, biyectiva y F −1 es
diferenciable, tendremos que n = m.
Esto se sigue f´cilmente de la regla de la cadena, pues si A es la
a
matriz jacobiana de F , en un punto x, y B la de F −1 , en el punto
y = F (x), entonces A · B es la identidad en Rm y B · A la identidad
en Rn , de donde se sigue que A y B son cuadradas —e inversas— por
tanto n = m.
Definici´n. Diremos que F : U ⊂ E1 −→ V ⊂ E2 es un difeomorfismo de
o
clase k , si F es biyectiva, de clase k y su inversa es de clase k. Diremos
que n funciones ui : U −→ R son un sistema de coordenadas de clase k
en U si para
F = (ui ) : U −−→ Rn ,
se tiene que F (U ) = V es un abierto de Rn y F : U −→ V es un difeo-
morfismo de clase k. Por difeomorfismo a secas entenderemos de clase
∞. Diremos que F : U ⊂ E1 −→ E2 es un difeomorfismo local de clase k
en x ∈ U si existe un entorno abierto Ux de x en U tal que F (Ux ) = V
es abierto y F : Ux −→ V es un difeomorfismo de clase k. Diremos que
n funciones ui : U −→ R son un sistema de coordenadas locales de clase
k en x ∈ U si F = (ui ) : U −→ Rn es un difeomorfismo local de clase k
en x.
21. 1.1. Conceptos b´sicos
a 5
Nota 1.5 Observemos que si u1 , . . . , un ∈ C k (U ) son un sistema de coor-
denadas, entonces para F = (ui ) : U −→ Rn y F (U ) = V abierto de Rn
tenemos que, para cada g ∈ C k (V ),
g ◦ F = g(u1 , . . . , un ) = f ∈ C k (U ),
ıprocamente toda funci´n f ∈ C k (U ) es de esta forma.
y rec´ o
Si E es de dimensi´n 1, x es la coordenada lineal correspondiente
o
al vector e ∈ E y escribimos f en t´rminos de la coordenada lineal x,
e
f = g(x), entonces
df f (p + te) − f (p) g[x(p) + t] − g[x(p)]
(p) = lim = lim = g [x(p)],
dx t→0 t t→0 t
es decir que si f = g(x) entonces df /dx = g (x).
Teorema de la funci´n inversa 1.6 Sea F : U ⊂ E1 −→ E2 de clase k
o
en U . Entonces F es un difeomorfismo local de clase k en x ∈ U si y
s´lo si existen sistemas de coordenadas lineales xi en E1 e yi en E2 , tales
o
que para Fi = yi ◦ F
∂Fi
det (x) = 0.
∂xj
Teorema de la funci´n impl´
o ıcita 1.7 Sean F : U ⊂ E1 × E2 −→ E1 de
clase k, (x0 , t0 ) ∈ U tal que F (x0 , t0 ) = 0 y para un sistema de coorde-
nadas lineales xi en E1 , el determinante de orden n
∂Fi
det (x0 , t0 ) = 0,
∂xj
entonces existe un entorno V de t0 en E2 y una unica funci´n g : V −→
´ o
E1 de clase k, tal que g(t0 ) = x0 y para todo t ∈ V
F [g(t), t] = 0.
22. 6 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
1.2 El haz de funciones diferenciables
Hemos dicho que los C k (U ) tiene una estructura natural de R-´lgebra, es
a
decir tienen suma, producto, y contienen a R en la forma de las funciones
constantes. Pero adem´s, si consideramos la familia de todos los C k (U )
a
cuando U recorre todos los abiertos de E, se tiene que la aplicaci´n
o
U (abierto) −−→ C k (U ) (anillo),
es un haz de anillos, es decir satisface las propiedades:
a) Si U ⊂ V son abiertos de E, entonces
f ∈ C k (V ) ⇒ f (= f|U ) ∈ C k (U ).
b) Dado un abierto U de E y un recubrimiento suyo por abiertos Ui ,
se tiene que si f : U −→ R es tal que f ∈ C k (Ui ) para cada i, entonces
f ∈ C k (U ).
Otra importante propiedad, que veremos en esta lecci´n, nos dice que
o
cada funci´n de C k (U ) coincide, en un entorno de cada uno de los puntos
o
de U , con una funci´n de clase k en todo E, que adem´s se anula fuera
o a
de U si queremos. De esto se sigue que para conocer las funciones de
clase k en un abierto de E, nos basta con conocer las funciones de clase
k en E. Esto podr´ parecer obvio en una ingenua primera observaci´n,
ıa o
pues cabr´ pensar que las funciones de clase k en un abierto U son
ıa
simplemente las restricciones a ese abierto de las de clase k en E. Pero
esto no es cierto —consid´rese la funci´n 1/x en el abierto (0, ∞) ⊂ R—.
e o
Por tanto hay mas funciones de clase k en ese abierto U que las obtenidas
por restricci´n, y hay un medio muy simple de obtenerlas todas. Veremos
o
que son los cocientes de funciones de clase k de E, cuyos denominadores
no se anulen en U . Observemos que el ejemplo anterior es de esta forma.
Veamos antes la existencia de funciones “bad´n”en Rn .
e
Proposici´n 1.8 Sean C un cerrado y K un compacto de E disjuntos.
o
Entonces existe h ∈ C ∞ (E) tal que Im(h) = [0, 1], h(K) = 1 y h(C) = 0.
Demostraci´n. Eligiendo un sistema de coordenadas xi en E, basta
o
hacer la demostraci´n en Rn , donde consideraremos la norma inducida
o
por el producto escalar < a, b >= ai bi , para a = (ai ) y b = (bi ).
23. 1.2. El haz de funciones diferenciables 7
Consideremos la funci´n de C ∞ (R)
o
e−1/t si t ≥ 0,
e(t) =
0 si t < 0.
Veremos en primer lugar que da-
do r > 0 y a ∈ Rn se puede cons-
truir una g ∈ C ∞ (Rn ), positiva en Figura 1.1. Gr´fica de e
a
B(a, r) = {x : x − a < r}, que val-
ga 1 en B[a, r/2] = {x : x − a ≤
r/2}, y 0 fuera de B(a, r). Sea
e(r2 − x − a 2 )
g(x) = ,
e(r2 − x − a 2 ) + e( x − a 2 −(r/2)2 )
y tomemos
r = d(C, K) = inf{ x − y : x ∈ C, y ∈ K},
entonces existen, por la compacidad de K, a1 , . . . , ak ∈ K tales que
k
n
B(ai , r) ⊂ R − C , K⊂ B(ai , r/2).
i=1
Ahora para cada ai , construimos las funciones gi del principio, y
definimos
k
h(x) = 1 − [1 − gi (x)],
i=1
tal funci´n es la buscada.
o
Corolario 1.9 Sea f ∈ C k (U ), con U abierto de E y sea a ∈ U . Entonces
existe un abierto V , con a ∈ V ⊂ U y F ∈ C k (E), tales que F = f en V
y
sop(F ) = Adh{F = 0} ⊂ U.
Demostraci´n. Elijamos V y W abiertos tales que
o
a ∈ V ⊂ Adh(V ) ⊂ W ⊂ Adh(W ) ⊂ U,
con Adh(V ) = K compacto. Apliquemos ahora (1.8) a K y C = E − W
y definamos F = f h.
24. 8 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Es f´cil ver que para todo abierto U de E existe una colecci´n nume-
a o
rable de compactos Kn cuyos interiores son no vac´ y recubren U . Si
ıos
E = Rn basta considerar para cada punto x ∈ U de coordenadas racio-
nales, la bola abierta m´xima centrada en x dentro de U y elegir la bola
a
cerrada de radio la mitad si es finita —si el radio es infinito entonces
U = E, en cuyo caso basta considerar Kn = B[0, n]—. Adem´s estos a
compactos podemos considerarlos encajados, es decir tales que
Kn ⊂ Kn+1 ,
sin mas que considerar
K 1 , K1 ∪ K 2 , K1 ∪ K 2 ∪ K 3 , . . .
Para E espacio vectorial finito dimensional, basta elegir una base y
repetir el argumento de la forma obvia.
En estos t´rminos damos las siguientes definiciones.
e
Definici´n. Para cada m ∈ N definimos la seminorma pm en C ∞ (U ) de
o
la forma,
pm (f ) = sup{| Da f (x) |: x ∈ Km , | a |≤ m},
y en C r (U ), para r ≥ 0,
pm (f ) = sup{| Da f (x) |: x ∈ Km , | a |≤ r}.
Decimos que una sucesi´n fn ∈ C k (U ), donde k = 0, 1, . . . , ∞, es de
o
Cauchy respecto de pm si para cada > 0 existe N ∈ N tal que
pm (fN +n − fN ) < ,
para todo n ∈ N.
Decimos que una sucesi´n fn ∈ C k (U ) tiene l´
o ımite si existe f ∈ C k (U )
tal que para toda m ∈ N
lim pm (fn − f ) = 0.
n→∞
Obviamente si el l´ımite existe es unico, pues para m = 0 vemos que
´
tiene que ser el l´
ımite puntual de las fn .
Observemos que las pm est´n ordenadas,
a
pm ≤ pm+1 ,
25. 1.2. El haz de funciones diferenciables 9
y que podemos definir el sistema fundamental de entornos convexos del
0 ∈ C k (U )
Bm = {f ∈ C k (U ) : pm (f ) ≤ 1/m}
y que estos definen una topolog´ en C k (U ) ¡independiente de los Kn
ıa
elegidos!.
Teorema 1.10 Si la sucesi´n fn ∈ C k (U ) es de Cauchy para toda pm ,
o
ımite, f = lim fn ∈ C k (U ), que para cualquier base {ei }
entonces tiene l´
de E y cada a ∈ Nn , con | a |≤ k, verifica
Da (lim fn ) = lim(Da fn ).
Adem´s dada f ∈ C k (U ) existe una sucesi´n de polinomios gn de E
a o
tales que restringidos a U, lim gn = f .
Demostraci´n. Veremos el caso k = ∞ para E = Rn , los dem´s se
o a
siguen haciendo las oportunas modificaciones.
En primer lugar veamos que para todo a ∈ Nn , existe el l´
ımite puntual
ga (x) = lim(Da fk (x)),
y que ga es una funci´n continua en Rn .
o
Sea m ≥ |a|, entonces en el compacto Km se tiene
(1.1) | Da fN +k − Da fN |≤ pm [fN +k − fN ]
de donde se sigue que Da fk converge uniformemente en cada compacto
Km , para m ≥ |a|, a una funci´n continua ga . En particular para a =
o
(0, . . . , 0), tendremos que
f (x) = lim fk (x),
es una funci´n continua.
o
Veamos por inducci´n en |a|, que Da f = ga .
o
Para |a| = 0 es obvio. Supongamos entonces que |a| ≥ 1 y que
a1 ≥ 1, donde a = (a1 , . . . , an ). Entonces, por la hip´tesis de inducci´n,
o o
tendremos que Db f = gb para b = (a1 − 1, a2 , . . . , an ). Y como
∂
Da = ◦ Db ,
∂x1
bastar´ demostrar que
a
∂gb
= ga .
∂x1
26. 10 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Sean (t1 , . . . , tn ) ∈ U , t ∈ R y m ∈ N, tal que para λ ∈ [0, 1] se tenga
(λt1 + (1 − λ)t, t2 , . . . , tn ) ∈ Km ,
entonces
t t
Da fk (x, t2 , . . . , tn )dx → ga (x, t2 , . . . , tn )dx.
t1 t1
Ahora bien
t
Da fk (x, t2 , . . . , tn )dx = Db fk (t, t2 , . . . , tn ) − Db fk (t1 , . . . , tn ),
t1
por tanto haciendo k → ∞, tendremos que
t
ga (x, t2 , . . . , tn )dx = gb (t, t2 , . . . , tn ) − gb (t1 , . . . , tn ),
t1
lo cual implica que ∂gb /∂x1 = ga .
Tenemos entonces que para cada a ∈ Nn ,
Da fk → Da f,
uniformemente en cada compacto Km , para m ≥| a |. De aqu´ se sigue
ı
que
pm (fk − f ) → 0,
y f = lim fk . Pero adem´s pm (Da fk − Da f ) → 0 por tanto
a
Da f = lim(Da fk ).
Veamos ahora que los polinomios son densos.
Dada f ∈ C ∞ (U ) y N ∈ N tendremos, por el Teorema de Weierstrass,
que para a = (N, . . . , N ) ∈ Nn existe una sucesi´n de polinomios que
o
convergen uniformemente a Da f en KN . Integrando —y aplicando de
nuevo Weierstrass para elegir convenientemente la primitiva— tendremos
que existe una sucesi´n de polinomios rN,n tales que para toda b = (bi ) ∈
o
Nn , con bi ≤ N , las sucesiones Db rN,n convergen uniformemente en KN
a Db f . Ahora elegimos gN como cualquier polinomio rN,n , tal que para
toda b, con bi ≤ N
1
| Db rN,n − Db f |≤ ,
N
27. 1.2. El haz de funciones diferenciables 11
en KN . Esta sucesi´n de polinomios gN satisface lim gN = f , pues para
o
j ≤ N , Kj ⊂ KN y como bi ≤ Σbi =| b |, se tiene
(1.2) pj (gN − f ) ≤ sup{| Db gN − Db f |: x ∈ Kj , | b |≤ j}
1
≤ sup{| Db gN − Db f |: x ∈ KN , bi ≤ N } ≤ .
N
Ejercicio 1.2.1 Demostrar que con esta topolog´ la suma y el producto de
ıa
C k (U ) son operaciones continuas.
El teorema anterior se expresa diciendo:
Teorema 1.11 Las pm definen en C k (U ) una topolog´ localmente con-
ıa
vexa, respecto de la que dicho espacio es completo y los polinomios son
densos.
Teorema 1.12 Para cada abierto U de E y para k = 0, 1, . . . , ∞, se tiene
que
g
C k (U ) = { : g, h ∈ C k (E), h = 0 en U }.
h |U
Demostraci´n. Sea {Bn : n ∈ N} un recubrimiento de U formado
o
por bolas abiertas cuyas adherencias est´n en U . Y consideremos para
e
cada n ∈ N una funci´n gn ∈ C ∞ (E) —como la definida en (1.8)—,
o
positiva en Bn y nula en su complementario.
Sea f ∈ C k (U ) y definamos las funciones de E en R
f gn gn
g= 2−n , h= 2−n ,
1 + rn + sn 1 + rn + sn
donde rn = pn (f gn ) y sn = pn (gn ). Basta demostrar entonces que
g, h ∈ C k (E), lo cual es evidente por el teorema anterior, dado que ambas
series son de Cauchy para toda pm . Por ultimo es obvio que h = 0 en U
´
y que para cada x ∈ U , g(x) = h(x)f (x), es decir que g = hf .
Nota 1.13 Observemos que en el resultado anterior hemos probado que
todo cerrado de E es de la forma
{x ∈ E : h(x) = 0},
para una h ∈ C ∞ (E).
28. 12 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Definici´n. Podemos decir en base a estos resultados que la estructura
o
C k –diferenciable de E, que est´ definida por todas las R–´lgebras C k (U ),
a a
cuando U recorre los abiertos de E, queda determinada exclusivamente
por C k (E) y los abiertos de E. Y podemos entender la variedad C k –
diferenciable E, como el par formado por el espacio topol´gico E y por
o
C k (E).
1.3 Espacio Tangente. Fibrado Tangente
A lo largo de la lecci´n E ´ E1 ser´n espacios vectoriales reales de dimen-
o o a
si´n n y E2 de dimensi´n m.
o o
En la lecci´n 1 hemos visto que cada vector v ∈ E define en cada
o
punto p ∈ E una derivada direccional vp de la forma siguiente
f (p + tv) − f (p)
vp : C ∞ (E) −−→ R, vp (f ) = lim ,
t→0 t
Es f´cil demostrar que vp es lineal, se anula en las constantes y satis-
a
face la regla de Leibnitz del producto. Esto nos induce a dar la siguiente
definici´n.
o
Definici´n. Llamaremos vector tangente en un punto p ∈ E, a toda
o
derivaci´n
o
Dp : C ∞ (E) −−→ R,
es decir a toda funci´n que verifique las siguientes propiedades:
o
a) Linealidad.- Dp (tf + sg) = tDp f + sDp g.
b) Anulaci´n constantes.- Dp t = 0.
o
c) Regla de Leibnitz en p.- Dp (f g) = f (p)Dp g + g(p)Dp f ,
para cualesquiera t, s ∈ R y f, g ∈ C ∞ (E).
Este concepto nos permite definir, en cada punto p ∈ E, un espacio
vectorial real, utilizando para ello exclusivamente la estructura diferen-
ciable de E.
29. 1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente 13
Definici´n. Llamaremos espacio tangente a E en p, al espacio vectorial
o
real Tp (E) de las derivaciones en p, con las operaciones
(Dp + Ep )f = Dp f + Ep f
(tDp )f = t(Dp f ),
para Dp , Ep ∈ Tp (E), f ∈ C ∞ (E) y t ∈ R.
Definici´n. Dado un sistema de coordenadas lineales xi , correspondiente
o
a una base {ei } en E, consideramos para cada p ∈ E e i = 1, . . . , n, los
elementos de Tp (E)
∂ ∂ f (p + tei ) − f (p)
: C ∞ (E) −−→ R, f = lim .
∂xi p ∂xi p
t→0 t
Si no hay confusi´n usaremos la notaci´n ∂ip = (∂/∂xi )p .
o o
F´rmula de Taylor 1.14 Sea U ⊂ E un abierto convexo, a ∈ U y xi ∈
o
C ∞ (U ) un sistema de coordenadas lineales. Entonces:
a) ma = {f ∈ C ∞ (U ) : f (a) = 0} es un ideal maximal real generado
por x1 − a1 , . . . , xn − an , donde ai = xi (a).
b) Dada f ∈ C ∞ (U ), existen h1 , . . . , hn ∈ C ∞ (U ) tales que
n
f = f (a) + hi (xi − ai ).
i=1
Demostraci´n. (a) Consideremos el morfismo de R–´lgebras
o a
H : C ∞ (U ) −−→ R , H(f ) = f (a),
para el que ker H = ma e Im H = R, por tanto C ∞ (U )/ma R.
Dadas f1 , . . . , fn ∈ C ∞ (U ) es obvio que fi (xi −ai ) ∈ ma y tenemos
una inclusi´n, veamos la otra, que ma ⊂ (x1 − a1 , . . . , xn − an ). Para
o
ello sea f (x1 , . . . , xn ) ∈ ma , x ∈ U y definamos la funci´n diferenciable
o
g : [0, 1] −−→ R , g(t) = f [tx + (1 − t)a].
30. 14 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Ahora por la regla de la cadena
1
f (x) = g(1) − g(0) = g (t)dt
0
1 n
∂f
= [tx + (1 − t)a] (xi − ai ) dt
0 i=1
∂xi
n
= hi (x)(xi − ai ),
i=1
donde
1
∂f
hi (x) = [tx + (1 − t)a] dt ∈ C ∞ (U ).
0 ∂xi
Proposici´n 1.15 Las derivaciones (∂/∂xi )a definidas anteriormente son
o
base de Ta (E).
Demostraci´n. Que son independientes es una simple consecuencia
o
de que ∂xi /∂xj = δij . Veamos que son generadores, para ello sea Da ∈
Ta (E) y f ∈ C ∞ (E), entonces f − f (a) ∈ ma y por (1.14)
n
f = f (a) + hi (xi − ai ),
i=1
donde a = (ai ). Se sigue que
n
∂ ∂xi
f = hi (a) (a) = hj (a),
∂xj a
i=1
∂xj
n n
Da f = hi (a)Da xi = [Da xi ]∂ia f,
i=1 i=1
es decir Da = [Da xi ]∂ia .
Nota 1.16 Observemos que al ser E un espacio vectorial tenemos una
identificaci´n can´nica entre todos los espacios tangentes, pues todos son
o o
isomorfos a E de la siguiente forma, para cada a ∈ E
E −−→ Ta (E) , v va ,
siendo va f la derivada direccional de f relativa a v en a.
31. 1.3. Espacio Tangente. Fibrado Tangente 15
Adem´s si elegimos un sistema de coordenadas lineales xi en E,
a
correspondientes a la base ei , tendremos que en t´rminos de las bases ei
e
y ∂ia la aplicaci´n anterior se representa por la matriz identidad, pues
o
para cada i,
E −−→ Ta (E) , ei ∂ia .
Nota 1.17 El espacio vectorial Ta (E) pod´
ıamos haberlo definido como
el espacio vectorial de las derivaciones
(1.3) Da : C ∞ (U ) −−→ R,
con la regla de Leibnitz en a, siendo U un abierto entorno de a. Pues
dada una derivaci´n del tipo (1.3), tendremos por restricci´n a U una
o o
derivaci´n de Ta (E). Y rec´
o ıprocamente dada una derivaci´n de Ta (E),
o
como es de la forma ti ∂ia —fijado un sistema de coordenadas lineales
xi —, define una unica derivaci´n del tipo (1.3).
´ o
Es f´cil probar que ambas transformaciones son lineales e inversas,
a
es decir que es un isomorfismo. Para verlo basta usar (1.9) y que Da f
no cambia si cambiamos F fuera de un entorno de a.
Por otra parte, para r ≥ 1, toda derivaci´n con la regla de Leibnitz
o
en a
(1.4) Da : C r (U ) −−→ R,
define una derivaci´n de Ta (E), pues C ∞ (U ) ⊂ C r (U ). Y rec´
o ıprocamente,
toda derivaci´n (1.3) puede extenderse a una (1.4), y esto puede hacerse
o
pues seg´n vimos antes, toda derivaci´n (1.3) es de la forma
u o ti ∂ia que
est´ definido en las funciones de clase 1.
a
Sin embargo estas dos transformaciones no son inversas, pues en el se-
gundo caso no extendemos de modo unico. Es decir que las derivaciones
´
de C r (U ) en el punto a forman un espacio vectorial con demasiados ele-
mentos. Pero si s´lo consideramos las continuas respecto de la topolog´
o ıa
definida en (1.10), tendremos un espacio isomorfo a Ta (E).
Para r = ∞ tenemos la suerte de que toda derivaci´n es autom´ti-
o a
camente continua respecto de la topolog´ de (1.10), pues es de la forma
ıa
ti ∂ia y estas se extienden a una derivaci´n Da en C r (E) de forma
o
continua de un unico modo, a saber
´ ti ∂ia , pues los polinomios son
densos y sobre ellos Da = ti ∂ia .
Finalicemos analizando si existir´n derivaciones en a ∈ E sobre las
a
funciones continuas
Da : C(E) −−→ R.
32. 16 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
La contestaci´n es que no, pues si f ∈ C(E) y f (a) = 0 —en ca-
o
ıamos f − f (a)—, tendremos que existen funciones
so contrario pondr´
continuas
g= max(f, 0), h= max(−f, 0) ∈ C(E),
tales que f = g 2 − h2 y g(a) = h(a) = 0. Por tanto
Da f = 2[g(a)Da g − h(a)Da h] = 0.
Definici´n. Sean U ⊂ E1 , V ⊂ E2 abiertos y F : U −→ V de clase 1.
o
Llamaremos aplicaci´n lineal tangente de F en x ∈ U a la aplicaci´n
o o
F∗ : Tx (E1 ) −−→ TF (x) (E2 ),
tal que para cada Dx ∈ Tx (E1 ), F∗ (Dx ) = Dx ◦ F ∗ , es decir que para
cada f ∈ C ∞ (V ) se satisface
[F∗ Dx ]f = Dx (f ◦ F ).
Ejercicio 1.3.1 Demostrar las siguientes propiedades de la aplicaci´n lineal
o
tangente:
a) Si V = U y F = id, entonces para cada x ∈ E, F∗ = id.
b) Regla de la cadena.- Si F : U −→ V y G : V −→ W son diferenciables,
siendoU ⊂ E1 , V ⊂ E2 y W ⊂ E3 abiertos, entonces
(G ◦ F )∗ = G∗ ◦ F∗ .
c) Elegir sistemas de coordenadas lineales en cada espacio vectorial Ei y
escribir la igualdad anterior en la forma matricial asociada.
Teorema de la funci´n inversa 1.18 Una aplicaci´n F : U ⊂ E1 −→ E2 ,
o o
de clase k es un difeomorfismo local de clase k en un punto x ∈ U si y
s´lo si F∗ : Tx (E1 ) −→ TF (x) (E2 ) es un isomorfismo en x.
o
Demostraci´n. Es consecuencia de (1.6) y de la expresi´n matricial
o o
de F∗ .
Definici´n. Llamaremos fibrado tangente del abierto U de E, a la uni´n
o o
T (U ) de todos los espacios Ta (E), para a ∈ U , con la estructura to-
pol´gica y diferenciable definida por la siguiente biyecci´n can´nica
o o o
T (U ) −−→ U × E, va (a, v),
33. 1.4. Campos tangentes 17
donde va ∈ Ta (E) es la derivada direccional en a relativa al vector v ∈ E.
Llamaremos aplicaci´n proyecci´n can´nica en U a la aplicaci´n
o o o o
π : T (U ) −−→ U , π(vp ) = p,
si vp ∈ Tp (E).
1.4 Campos tangentes
1.4.1 Campos tangentes
Definici´n. Por un campo de vectores en un abierto U de un espacio
o
vectorial E entenderemos una aplicaci´n
o
F : U −−→ E.
Diremos que el campo es de clase k si F es de clase k.
La interpretaci´n de una aplica-
o
ci´n F como un campo de vecto-
o
res queda patente en la figura (1.2),
donde hemos representado en cada
punto (x, y) del plano real el vector
F (x, y) = (cos xy, sen (x − y)). Aun-
que esta definici´n es muy visual y
o
sugerente, tiene el problema de no
ser muy manejable y la desventaja de
Figura 1.2. Campo de vectores
necesitar la estructura vectorial de E
para que tenga sentido. Por ello recordando que un vector v = F (p) ∈ E
en un punto p ∈ U define una derivaci´n vp ∈ Tp (E), damos la siguiente
o
definici´n equivalente, aunque s´lo como justificaci´n para una posterior
o o o
definici´n mejor.
o
Definici´n. Llamaremos campo de vectores tangentes , de clase k, en
o
U , a un conjunto de vectores
{Dp ∈ Tp (E) : p ∈ U },
34. 18 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
que satisfacen la siguiente condici´n:
o
Para cada f ∈ C ∞ (U ), la funci´n
o
p ∈ U −−→ Dp f ∈ R,
est´ en C k (U ).
a
Observemos que dar un campo de vectores tangentes {Dp }p∈U es
equivalente a dar una secci´n de π : T (U ) −→ U
o
σ : U −−→ T (U ), σ(p) = Dp .
Ejercicio 1.4.1 a) Demostrar que existe una biyecci´n entre campos de vec-
o
tores F : U −→ E de clase k y campos de vectores tangentes {Dp ∈ Tp (E) :
p ∈ U } de clase k, que verifica:
i) Si a F le corresponde {Dp } y a G {Ep }, entonces a F + G le corresponde
{Dp + Ep }.
ii) Si a F le corresponde {Dp } y f ∈ C k (U ), entonces a f F le corresponde
{f (p)Dp }.
b) Demostrar que {Dp ∈ Tp (E) : p ∈ U } es un campo de vectores tangentes
de clase k si y s´lo si la aplicaci´n σ : U −→ T (U ), σ(p) = Dp es una secci´n
o o o
de π, de clase k.
Definici´n. Llamaremos campo tangente de clase k en el abierto U de
o
E a toda derivaci´n
o
D : C ∞ (U ) −−→ C k (U ),
es decir toda aplicaci´n que verifique las siguientes condiciones:
o
1.- D(tf + rg) = tDf + rDg,
2.- Dt = 0,
3.- Regla de Leibnitz: D(f g) = f (Dg) + g(Df ),
para f, g ∈ C ∞ (U ) y t, r ∈ R.
Definici´n. Dado un campo tangente D de clase k, llamaremos integral
o
primera de D a toda funci´n f ∈ C k+1 (U ) tal que
o
Df = 0.
Nota 1.19 Denotaremos con Dk (U ) el conjunto de los campos tangentes
a U de clase k, y por comodidad para k = ∞ escribiremos D(U ) =
D∞ (U ). Observemos que tenemos las inclusiones
D(U ) ⊂ Dk (U ) ⊂ D0 (U ),
35. 1.4. Campos tangentes 19
por lo que a menudo hablaremos de los campos continuos, por ser los mas
generales. No obstante en el siguiente tema introduciremos los campos
localmente lipchicianos, que denotaremos con DL (U ) y que est´n entre
a
los de clase 1 y los continuos y que ser´n los que consideremos para
a
estudiar el problema de unicidad de soluci´n de una ecuaci´n diferencial.
o o
En Dk (U ) definimos la suma de dos campos D, E ∈ Dk (U ) y el
producto de una funci´n g ∈ C k (U ) por un campo D, de la forma,
o
(D + E)f = Df + Ef,
(gD)f = g(Df ),
para toda f ∈ C ∞ (U ). Tales operaciones dotan a Dk (U ) de una estruc-
tura de m´dulo y sobre la R–´lgebra C k (U ), pues se tienen las siguientes
o a
propiedades,
f (D + E) = f D + f E,
(f + g)D = f D + gD,
(f g)D = f (gD),
1D = D.
y para cada k, Dk (U ) forman un haz de m´dulos.
o
A continuaci´n veremos que dar un campo tangente de clase k en U
o
consiste en elegir de forma diferenciable (de clase k), un vector tangente
en cada punto de U .
Proposici´n 1.20 Existe una biyecci´n entre campos tangentes de clase
o o
k y campos de vectores tangentes de clase k, para la que se tiene:
a) Si D, E ∈ Dk (U ) y p ∈ U , entonces (D + E)p = Dp + Ep .
b) Si f ∈ C k (U ), entonces (f D)p = f (p)Dp .
Demostraci´n. Dada la D definimos los Dp de la forma.
o
Dp f = Df (p).
Rec´ ıprocamente dado un vector Dp ∈ Tp (E), en cada p ∈ U , defini-
mos el campo tangente D ∈ Dk (U ) de la forma
Df (p) = Dp f.
36. 20 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E, es f´cil demostrar
a
que los operadores diferenciales
∂
: C ∞ (U ) −−→ C ∞ (U ),
∂xi
∂f f (p + tei ) − f (p)
(p) = lim ,
∂xi t→0 t
para cada p ∈ U y cada f ∈ C ∞ (U ), son derivaciones ∂/∂xi ∈ D(U ).
Si no hay confusi´n usaremos la notaci´n ∂i = ∂/∂xi .
o o
A continuaci´n veremos que Dk (U ) es un m´dulo libre sobre C k (U )
o o
con base las ∂i .
Teorema 1.21 Dado un sistema de coordenadas lineales xi en E y D ∈
Dk (U ), existen unicas funciones fi ∈ C k (U ) tales que
´
n
∂
D= fi ,
i=1
∂xi
Demostraci´n.- Que la expresi´n es unica es inmediato aplic´n-
o o ´ a
dosela a las xi . Para ver que existe basta demostrar que D = (Dxi )∂i ,
pues Dxi ∈ C k (U ). Lo cual es una consecuencia inmediata de (1.15) y
(1.20).
Definici´n. Dados U ⊂ W abiertos de E y D ∈ Dk (W ), definimos la
o
restricci´n del campo D a U como el campo de D(U ), correspondiente
o
por (1.20) a
{Dp ∈ Tp (E) : p ∈ U },
o equivalentemente por el ejercicio (1.2.1), a la restricci´n a U de la
o
aplicaci´n de clase k, F : W → E, correspondiente a D.
o
Es f´cil demostrar que si xi es un sistema de coordenadas lineales en
a
E, entonces la restricci´n del campo
o
n
∂
D= Dxi ,
i=1
∂xi
a U es la derivaci´n
o
n
∂
fi ,
i=1
∂xi
para fi = Dxi|U , la restricci´n a U de Dxi .
o
37. 1.4. Campos tangentes 21
Nota 1.22 Obs´rvese que toda derivaci´n de Dk (U ) es autom´ticamente
e o a
continua, por (1.21), respecto de la topolog´ definida en (1.10).
ıa
Obs´rvese tambi´n que toda derivaci´n
e e o
D : C k+1 (U ) −−→ C k (U ),
define una derivaci´n de Dk (U ), pues C ∞ (U ) ⊂ C k+1 (U ), es decir del
o
tipo fi ∂i —dado un sistema de coordenadas lineales xi —, con las fi
de clase k. Rec´ ıprocamente toda derivaci´no fi ∂i ∈ Dk (U ), con las
fi ∈ C ∞ (U ), se extiende —no de un unico modo—, a una derivaci´n
´ o
del tipo (1.22). Ahora bien si exigimos que la extensi´n sea continua —
o
respecto de la topolog´ definida en (1.10)—, tendremos que s´ es unica
ıa ı ´
y es fi ∂i . Demu´strese eso como ejercicio.
e
Definici´n. Dada F : V ⊂ E2 → U ⊂ E1 de clase k + 1, y dos campos
o
tangentes D ∈ Dk (V ) y E ∈ Dk (U ) diremos que F lleva D a E, si para
cada x ∈ V
F∗ Dx = EF (x) .
Figura 1.3. F lleva el campo D al campo E
Si E1 = E2 , U ∪ V ⊂ W abierto y D ∈ Dk (W ) diremos que F deja
invariante a D si F lleva D en D, es decir si para cada x ∈ V
F∗ Dx = DF (x) .
Proposici´n 1.23 Sea F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2 , de clase k + 1, D ∈ Dk (U )
o
y E ∈ Dk (V ). Entonces son equivalentes:
i) F lleva D en E.
ii) F∗ D = F ∗ E.
iii) D ◦ F ∗ = F ∗ ◦ E.
Demostraci´n. H´gase como ejercicio.
o a
38. 22 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
1.4.2 Campo tangente a soporte.
Consideremos una aplicaci´n de clase infinito
o
F : V ⊂ E2 −−→ U ⊂ E1 .
Definici´n. Llamaremos campo tangente a U con soporte en V relativo
o
a F , de clase k, a las derivaciones
DF : C ∞ (U ) −−→ C k (V ),
con la regla de Leibnitz
DF (f g) = DF f · F ∗ g + F ∗ f · DF g.
Denotaremos con Dk (U ) el C k (V )–m´dulo de estos campos con las
F
o
operaciones
(DF + E F )f = DF f + E F f, (g · DF )f = g · DF f.
Nota 1.24 Si F es de clase r, podemos definir los campos a soporte de
clase k ≤ r como las derivaciones
DF : C ∞ (U ) → C k (V ).
Definici´n. Dada la aplicaci´n F de clase ∞, definimos los morfismos
o o
de m´dulos
o
F∗ : D(V ) −−→ DF (U ) , (F∗ D)f = D(F ∗ f ),
F ∗ : D(U ) −−→ DF (U ) , (F ∗ D)f = F ∗ (Df ),
Nota 1.25 Lo mismo si F es de clase k+1 considerando todos los campos
de clase r ≤ k.
Ejercicio 1.4.2 Demostrar que entre los conjuntos de vectores
F
{Dp ∈ TF (p) (E1 ) : p ∈ V },
con la propiedad de que para cada f ∈ C ∞ (U ), la funci´n
o
F
p ∈ V −−→ Dp f ∈ R,
est´ en C ∞ (V ) y el espacio DF (U ), existe una biyecci´n verificando las siguien-
a o
tes condiciones:
39. 1.4. Campos tangentes 23
i) Si DF , E F ∈ DF (U ), entonces para cada p ∈ V
(DF + E F )p = Dp + Ep .
F F
ii) Si f ∈ C ∞ (V ), entonces para cada p ∈ V
(f · DF )p = f (p) · Dp .
F
Ejercicio 1.4.3 Sea F : V ⊂ E2 → U ⊂ E1 , diferenciable. Demostrar que
i) Para cada D ∈ D(V ) y p ∈ V
(F∗ D)p = F∗ Dp .
ii) Para cada campo D ∈ D(U ) y p ∈ V
[F ∗ D]p = DF (p) ,
y que DF (U ) es un m´dulo libre con base
o
∂
F∗ ,
∂xi
para cada sistema de coordenadas lineales xi en U .
F
iii) Que {Dp ∈ TF (p) (E1 ) : p ∈ V }, satisface las condiciones de (a) —y
por tanto define un campo a soporte DF ∈ DF (U )— si y s´lo si
o
F
σ : V −−→ T (U ) , σ(p) = Dp ,
es una aplicaci´n de clase ∞, tal que π ◦ σ = F .
o
1.4.3 Campo a soporte universal.
Consideremos en E un sistema de coordenadas lineales xi y en U × E las
coordenadas (xi , zi ) naturales, es decir
xi (p, v) = xi (p) , zi (p, v) = xi (v),
ahora pas´moslas a T (U ) por la biyecci´n
e o
T (U ) → U × E, xi (vp ) = xi (p),
vp → (p, v), zi (vp ) = xi (v) = vp xi ,
Es decir que vp ∈ T (U ) tiene coordenadas (p1 , . . . , pn , v1 , . . . , vn ) si
y s´lo si p = π(vp ) tiene coordenadas (p1 , . . . , pn ) y
o
n
∂
vp = vi
i=1
∂xi p
40. 24 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
Definici´n. Llamaremos campo a soporte universal en U al campo tan-
o
gente a U con soporte en T (U ), E ∈ Dπ (U ), que por el ejercicio (1.4.3)
queda determinado por la aplicaci´n identidad
o
σ : T (U ) −−→ T (U ) , σ(Dp ) = Dp ,
es decir que para cada v ∈ T (U ) verifica
Ev = v.
Adem´s en las coordenadas (xi , zi ) de T (U ), vemos por el ejercicio
a
(1.4.3), que
n
∂
E= zi · π ∗ ,
i=1
∂xi
pues para cada Dp ∈ T (U )
Exi (Dp ) = Dp (xi ) = zi (Dp ).
1.5 Espacio cotangente. La diferencial
∗
Definici´n. Para cada x ∈ E denotaremos con Tx (E) el espacio vectorial
o
dual de Tx (E), es decir el espacio vectorial real de las formas R–lineales
(´ 1–formas)
o
ωx : Tx (E) −−→ R,
al que llamaremos espacio cotangente de E en x y vectores cotangentes a
sus elementos.
Definici´n. Dada F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2 de clase 1 y dados x ∈ U e
o
y = F (x), llamaremos aplicaci´n lineal cotangente de F en x a
o
F ∗ : Ty (E2 ) −−→ Tx (E1 ),
la aplicaci´n dual de F∗ : Tx (E1 ) → Ty (E2 ). Es decir tal que
o
F ∗ (ωy ) = ωy ◦ F∗ .
41. 1.5. Espacio cotangente. La diferencial 25
Definici´n. Dado un punto x ∈ E, llamaremos diferencial en x, a la
o
aplicaci´n
o
∗
dx : C 1 (E) −−→ Tx (E),
tal que para cada f ∈ C 1 (E) y para cada Dx ∈ Tx (E)
dx f : Tx (E) −−→ R, dx f (Dx ) = Dx f.
A la 1–forma dx f la llamamos diferencial de f en x.
Ejercicio 1.5.1 Dada F : U ⊂ E1 → V ⊂ E2 , de clase 1, demostrar las siguien-
tes propiedades de F ∗ :
(a) Si U = V y F = id, entonces F ∗ = id.
(b) Si F : U → V y G : V → W , son de clase 1, con U ⊂ E1 , V ⊂ E2 y
W ⊂ E3 abiertos, entonces
(G ◦ F )∗ = F ∗ ◦ G∗ .
(c) Si F es un difeomorfismo, entonces F ∗ es un isomorfismo.
(d) Para x ∈ U e y = F (x), F ∗ ◦ dy = dx ◦ F ∗ .
Ejercicio 1.5.2 Demostrar que dx es una derivaci´n en x.
o
Hemos visto en (1.15), que para cada sistema de coordenadas li-
neales xi de E, las derivaciones (∂ix ) son base de Tx (E). Se sigue por
tanto de la definici´n de diferencial, que las dx x1 , . . . , dx xn son la base
o
∗
dual en Tx (E), puesto que
∂
dx xi = δij ,
∂xj x
adem´s el isomorfismo can´nico E −→ Tx (E), induce otro que es la
a o
restricci´n de dx a E ∗
o
E ∗ −−→ Tx (E) ,
∗
xi dx xi .
1.5.1 Interpretaci´n geom´trica de la diferencial.
o e
Veamos ahora el significado geom´trico de dx f , para cada x ∈ E y cada
e
f ∈ C 1 (E). Se tiene que
n
∂f
(1.5) dx f = (x) dx xi .
i=1
∂xi
42. 26 Tema 1. La estructura diferenciable de un espacio vectorial
la cual corresponde por el isomorfismo anterior a la funci´n lineal
o
n
∂f
(x) xi ,
i=1
∂xi
cuya gr´fica es el hiperplano tangente a la gr´fica de f en el punto x.
a a
En particular en R tenemos que para f : R → R, dx f : Tx (R) → R
Figura 1.4. Gr´ficas de f y dx f en R
a
y en R2 , f : R2 → R, dx f : Tx (R2 ) → R,
Figura 1.5. Gr´ficas de f y dx f en R2
a
Ejercicio 1.5.3 Demostrar que para p ∈ U y dp f = 0, el hiperplano (ver
Fig.1.6)
H = {Dp ∈ Tp (E) : dp f (Dp ) = 0},
es tangente a la hipersuperficie S = {x : f (x) = f (p)}, en el sentido de que
coincide con el conjunto de vectores Dp ∈ Tp (E), para los que existe una curva
X : I → U tal que
∂
X(0) = p, X(t) ∈ S, X∗ = Dp .
∂t 0
43. 1.5. Espacio cotangente. La diferencial 27
Ejercicio 1.5.4 Dar la ecuaci´n del plano tangente al elipsoide
o
4x2 + y 2 + 5z 2 = 10,
en el punto (1, 1, 1).
Figura 1.6. Plano tangente a una superficie
1.5.2 Fibrado cotangente.
Igual que todos los espacios tangentes eran can´nicamente isomorfos al
o
espacio vectorial inicial E, tambi´n todos los espacios cotangentes son
e
can´nicamente isomorfos al dual E ∗ de E. Esto nos permite definir una
o
biyecci´n can´nica
o o
T ∗ (U ) −−→ U × E ∗ , ωp (p, w),
donde T ∗ (U ) es la uni´n disjunta de los espacios cotangentes de puntos
o
de U .
Definici´n. Sea U un abierto de E. Llamaremos fibrado cotangente de
o
U , al conjunto T ∗ (U ) uni´n de todos los espacios cotangentes Tx (E), para
o ∗
x ∈ U , dotado de la estructura diferenciable natural, correspondiente
por la biyecci´n anterior, a la de U × E ∗ , que es un abierto del espacio
o
vectorial de dimensi´n 2n, E × E ∗ .
o
Para cada ω ∈ T ∗ (U ) existir´ un unico x ∈ U tal que ω ∈ Tx (E),
a ´ ∗
podemos as´ definir la aplicaci´n proyecci´n
ı o o
π : T ∗ (U ) −−→ U,
tal que π(ω) = x. De tal modo que las fibras de cada x ∈ U son
π −1 (x) = Tx (E).
∗