Este documento presenta notas sobre álgebra lineal. Introduce conceptos fundamentales como estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos), espacios vectoriales, aplicaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes. Explica propiedades de estas ideas y su relación, con ejemplos. El objetivo es proporcionar una introducción general a los temas básicos del álgebra lineal.

1. ´
NOTAS DE ALGEBRA LINEAL
A. Ibort y M.A. Rodr´ ıguez
Departamento de Matem´ticas, Universidad Carlos III de Madrid
a
Departamento de F´
ısica Te´rica II, Universidad Complutense de Madrid
o
30 de marzo de 2001

2. ´
INDICE
Pr´logo
o v
1 Estructuras algebraicas 1
1.1 Notaci´n y teor´ de conjuntos . . . . . . . . . . . . . .
o ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Operaciones binarias internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Permutaciones y grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 M´s sobre el grupo de permutaciones . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Los n´meros enteros . . . . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Divisibilidad y factorizaci´n de n´meros enteros
o u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Congruencias de n´meros enteros . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 El cuerpo de los n´meros racionales . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 El cuerpo de los n´meros reales . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 N´meros Gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.4 El cuerpo de los n´meros complejos . . . . . . .
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.5 Ra´ ıces n-´simas de la unidad . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1 El anillo de los polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.2 Divisibilidad en el anillo de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.3 Ra´ ıces de polinomios y completitud algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Espacios vectoriales 19
2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Operaciones con subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Sistemas de generadores, rango y bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Cambios de base. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.2 Operaciones elementales con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.3 La matriz del cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Ecuaciones de subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Aplicaciones lineales 49
3.1 Generalidades sobre aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.2 Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.3 Algunas propiedades de las aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Teoremas de isomorf´ de espacios vectoriales . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1 Primer teorema de isomorf´ de espacios vectoriales
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2 Otros teoremas de isomorf´ . . . . . . . . . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
i

3. ii ´
INDICE
3.3 Representaci´n matricial y cambios de base . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 Representaci´n matricial de una aplicaci´n lineal . . . . . .
o o . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2 Representaci´n matricial de la composici´n de aplicaciones
o o . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.3 Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.4 Representaci´n matricial en bases diferentes . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 Espacios de aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.1 El espacio dual de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.2 Endomorfismos de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.3 Otros espacios de aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Rango de una aplicaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7.1 Aplicaciones multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7.2 Determinante de una aplicaci´n lineal . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . 65
3.7.3 Determinantes de matrices y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Formas can´nicas de endomorfismos
o 71
4.1 Diagonalizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.1 Matrices diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Subespacios invariantes y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3.1 Diagonalizaci´n de endomorfismos y matrices .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4 La ecuaci´n caracter´
o ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4.1 C´lculo de autovalores y autovectores . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4.2 El polinomio caracter´ ıstico de un endomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Formas can´nicas de endomorfismos nilpotentes . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Formas can´nicas de endomorfismos . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7 El teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.8 Polinomio m´ ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5 Espacios con producto escalar 89
5.1 El espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.2 El espacio bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.3 Anulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.4 La aplicaci´n transpuesta . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.5 La matriz de la aplicaci´n transpuesta . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2 Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.1 Aplicaciones multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.2 Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.3 Matriz de una forma bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.4 Formas bilineales sim´tricas y antisim´tricas .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.5 Formas bilineales sim´tricas regulares . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.6 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.7 Diagonalizaci´n de formas bilineales sim´tricas
o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.8 Ortonormalizaci´n de Gram-Schmidt . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 Formas Cuadr´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3.1 Diagonalizaci´n de formas cuadr´ticas . . . . .
o a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.3.2 Formas cuadr´ticas definidas . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4 Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.4.1 Producto escalar en un espacio real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4.2 Formas sesquilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.4.3 Producto escalar complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4.4 Norma en un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4.5 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4. ´
INDICE iii
5.4.6 Proyecci´n ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
o
5.4.7 La propiedad del paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.8 El teorema de Riesz-Fr´chet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
e
6 Operadores en espacios con producto escalar 113
6.1 Operadores en espacios complejos con producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.1 El operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.1.2 Representaci´n matricial del operador adjunto . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.1.3 Operadores normales, autoadjuntos y unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1.4 Teorema espectral para operadores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.1.5 Teorema espectral para operadores autoadjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.1.6 Teorema espectral para operadores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2 Proyectores ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.2.1 C´lculo de proyectores ortogonales . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3 Operadores en espacios vectoriales reales con producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3.1 El operador transpuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3.2 Representaci´n matricial del operador transpuesto . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3.3 Operadores normales, sim´tricos y ortogonales . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.3.4 Teorema espectral para operadores sim´tricos . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.3.5 Descomposici´n espectral de operadores sim´tricos . .
o e . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4 Operadores ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4.1 Operadores ortogonales en un espacio de dimensi´n 2 o . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4.2 Subespacios invariantes de un operador ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4.3 Forma can´nica de un operador ortogonal . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7 Tensores 131
7.1 Una justificaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2 Aplicaciones multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.3 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3.1 Coordenadas contravariantes y covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3.2 Coordenadas en relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.4 Espacios vectoriales y sus duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.5 Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.5.1 Definici´n de producto tensorial . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.5.2 Construcci´n del producto tensorial . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.5.3 Propiedades del producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.6 Tensores y aplicaciones multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.7 Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.8 Definici´n de tensores bajo transformaciones . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.9 Propiedades de los tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.9.1 Tensores sim´tricos y antisim´tricos . . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.9.2 Contracci´n de ´
o ındices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.9.3 Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.10 Tensores covariantes antisim´tricos: formas . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.11 Tensores y grupos de transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.12 Espacios con producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.13 Aplicaciones entre espacios producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8 El espacio af´
ın 159
8.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.2 Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.3 Transformaciones afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.4 Espacios euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.4.1 Isometr´ en espacios euclidianos
ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.5 El plano euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5. iv ´
INDICE
8.5.1 Rectas en IR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.5.2 Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.5.3 Isometr´ en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.5.4 Transformaciones de puntos y rectas bajo isometr´ ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.6 El espacio euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.6.1 Rectas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.6.2 Planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.6.3 Posiciones relativas de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.6.4 Posiciones relativas de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.6.5 Distancia de un punto a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.6.6 Isometr´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.7 Clasificaci´ n de c´nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o o . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.7.1 Formas can´nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Problemas 174
Soluciones 206

6. Pr´logo
o
´
Estas notas de Algebra Lineal responden a cursos desarrollados en la Facultad de Ciencias F´ ısicas de la
Universidad Complutense durante varios periodos. A trav´s de ellos, el plan de estudios ha cambiado y,
e
como consecuencia, la duraci´n de los cursos y su contenido. Hemos procurado que este texto comprenda
o
el actual temario de la asignatura, aunque ello depender´ en ultima instancia del enfoque particular
a ´
que cada profesor d´ al tema. Pero adem´s aparecen en ´l otras cuestiones que complementan o aclaran
e a e
algunos aspectos de la asignatura y que, aunque pueden ser evitados en una primera lectura, contribuyen,
desde nuestro punto de vista, a una mejor comprensi´n del tema tratado.
o
El contenido se divide en cuatro grandes temas dedicados al estudio de los espacios vectoriales, las
aplicaciones lineales y la teor´ de matrices, los espacios con producto escalar y los operadores en estos
ıa
ultimos espacios. Estos temas van precedidos por una introducci´n con conceptos elementales sobre
´ o
estructuras algebraicas. El curso se completa con un cap´ ıtulo sobre tensores y algunos conceptos de
geometr´ af´ con una aplicaci´n a la clasificaci´n de c´nicas Tambi´n se incluye una colecci´n de
ıa ın o o o e o
problemas planteados en clase o problemas de tipo cl´sico similares a los que pueden encontrarse en otros
a
textos, as´ como problemas propuestos en ex´menes de la asignatura.
ı a
En cuanto al tema primero de estructuras algebraicas, no todas las nociones expuestas son necesarias
para el curso. En particular, la teor´ de grupos podr´ parecer excesiva y no es nuestro objetivo insistir
ıa ıa
en ella. Sin embargo, el conocimiento de algunas nociones del grupo de permutaciones es esencial para
una mejor comprensi´n de la teor´ de determinantes y por eso se ha desarrollado con un cierto detalle.
o ıa
Asimismo, aunque desde luego no se entra en la construcci´n de los n´meros reales (un tema que no es
o u
propio del ´lgebra) s´ se desarrolla la de los n´meros complejos, pues resulta fundamental en el curso.
a ı u
Algunas ideas sobre anillos y cuerpos completan este cap´ ıtulo que se cierra con la primeras nociones sobre
polinomios.
Los cap´ ıtulos dedicados a la teor´ de espacios vectoriales, aplicaciones lineales y matrices son funda-
ıa
mentales y forman parte de cualquiera curso b´sico de ´lgebra lineal. En el enfoque que aqu´ se ha dado,
a a ı
los sistemas lineales aparecen como asociados de forma natural a la teor´ de aplicaciones lineales. Pen-
ıa
samos que, como el planteamiento de forma independiente ya se ha estudiado en cursos anteriores, merece
la pena enfocarlo desde la perspectiva mencionada. Asimismo, los espacios de aplicaciones lineales, en
especial el espacio dual, permiten la introducci´n de nuevos ejemplos de espacios lineales que resultar´n
o a
de gran utilidad en el resto del curso.
El cap´ıtulo dedicado al estudio de las formas can´nicas de endomorfismos puede simplificarse en gran
o
manera. En particular la falta de tiempo aconseja muchas veces prescindir del estudio de formas can´nicaso
de Jordan para endomorfismos que no son diagonalizables y limitarse a un estudio de los diagonalizables.
Pero no cabe duda de que, aun sin entrar en el detalle de la construcci´n de estas formas de Jordan, s´
o ı
merece la pena hacer alg´n comentario sobre su existencia y estructura.
u
los temas dedicado a espacios con productos escalares son b´sicos en las aplicaciones, en particular
a
en F´ısica que es el objeto final de los estudiantes a los que van dirigidas estas notas. Algunas cuestiones
como la definici´n de formas sesquilineales pueden ser evitados pasando directamente a las cuestiones
o
relacionadas con el producto escalar. Pero las formas can´nicas de operadores sim´tricos, unitarios y
o e
ortogonales deber´ figurar en el contenido del curso.
ıan
El cap´ ıtulo sobre tensores es un tanto singular en la estructura del curso. Parte de su contenido
sobrepasa ciertamente el nivel general de estas notas. Pero no es dif´ extraer de ´l las ideas m´s
ıcil e a
elementales de lo que es un tensor bajo transformaciones. Adem´s dado su car´cter aislado su supresi´n
a a o
no afectar´ a un curso basado en este texto.
ıa
v

7. vi ´
INDICE
Finalmente se presenta un cap´ ıtulo con cuestiones m´s geom´tricas como los movimientos en los
a e
espacios eucl´ıdeos y como aplicaci´n la clasificaci´n de c´nicas, sobre el que, sin embargo, no se ha
o o o
incluido ning´ n problema en esta versi´n.
u o
Muchas cuestiones que aparecen en esta notas no pueden ser expuesta en el desarrollo del curso, pero
esperamos que su lectura ayude, como hemos dicho al principio, a la comprensi´n de todo el temario.
o
Muchas han sido los fuentes de las que han surgido estas notas. Aparte de la experiencia de los autores
(y de los numerosos libros consultados) citaremos la contribuci´n de los profesores del Departamento de
o
F´ısica Te´rica II de la Facultad de Ciencias F´
o ısicas de la Universidad Complutense que han ense˜ado n
esta materia durante diversos cursos. Aunque, como es habitual, los errores y faltas nos correspondan
exclusivamente, los aciertos y utilidad de estas notas deben adjudicarse a todos ellos (en particular
tambi´n a nosotros).
e
Alberto Ibort
Miguel A. Rodr´
ıguez
Bibliograf´ ıa
La lista siguiente incluye algunos libros que, bien por su accesibilidad o por su inter´s general nos ha
e
parecido oportuno incluir, entre ellos, una colecci´n de problemas. Por supuesto, el nivel que presentan
o
es muy variado y las preferencias de los autores de estas notas solo aparecen reflejadas en algunos de
ellos.
Burgos, J. de, Algebra Lineal, McGraw Hill, Madrid, 1993.
Gantmacher, F.R., Th´orie des matrices, Dunod, Paris, 1966.
e
Gel’fand, I.M., Lectures on Linear Algebra, Dover, N.Y. 1989.
Hungerford, T.W., Algebra, Holt, Rinehart and Winston, Inc. 1973.
o ´
Kostrikhin, A.I., Introducci´n al Algebra, McGraw Hill, 2a. edici´n, Madrid, 1993.
o
Nomizu, K., Fundamentals of Linear Algebra, Academic Press, New York, 1974.
Rojo, J., Mart´ I., Ejercicios y problemas de ´lgebra lineal, McGraw Hill, Madrid, 1994.
ın, a
Souriau, J.M., Calcul Lin´aire, Editions Jacques Gabay, 2 ´dition 1992.
e e

8. Tema 1
Estructuras algebraicas
Grupos. Anillos. N´meros enteros. Cuerpos. N´meros racionales. N´ meros reales.
u u u
N´ meros complejos. Polinomios.
u
1.1 Notaci´n y teor´ de conjuntos
o ıa
Se supone que los alumnos se hallan familiarizados con la teor´ elemental de conjuntos. A lo largo de
ıa
este texto los conjuntos ser´n denotados habitualmente por letras latinas may´sculas A, B, C, . . . , X, Y, Z.
a u
Los elementos de un conjunto A se denotar´n por letras latinas min´sculas a, b, c, . . . , x, y, z. El s´
a u ımbolo
a ∈ A significa que el elemento a pertenece al conjunto A, as´ A = {a ∈ A}. Existe un conjunto que no
ı
posee ning´n elemento, tal conjunto se llama vac´ y se denota por ∅.
u ıo
Nota. Aunque no ser´ necesario en este curso, nos gustar´ hacer notar que no todas las cons-
a ıa
trucciones que pueden hacerse en ´lgebra (incluso a este nivel elemental) conducen a conjuntos.
a
Por ejemplo la familia formada por todos los conjuntos no es un conjunto (¿Por qu´?). En
e
este sentido es conveniente tener cuidado al definir conjuntos y utilizarlos. Por ejemplo, si
“definimos” el conjunto de los n´meros racionales cuya primera cifra decimal es cero nos
u
encontramos que no sabemos si el n´mero 1/10 pertenece o no, ya que su expresi´n decimal
u o
es 0.1 = 0.0¯ por tanto no hemos definido un conjunto. Un ejemplo mucho menos evidente
9,
es el siguiente: consideremos el conjunto de los n´meros naturales “interesantes”. Podemos
u
probar inmediatamente que todo n´mero natural es “interesante”. En efecto, tomemos el
u
complementario C de este subconjunto. Ciertamente el n´mero 1 es interesante luego no
u
pertenece a C. Probemos que C = ∅. Si C = ∅ existe un elemento m m´ ınimo en dicho
conjunto, luego m es el n´mero natural m´s peque˜o que no es interesante, pero ´sta es desde
u a n e
luego una propiedad interesante, por tanto m es interesante y C debe ser vac´ ıo. QED
f
El s´
ımbolo f: A → B (o tambi´n A → B) denotar´ a lo largo del texto una aplicaci´n f del conjunto
e a o
A, llamado dominio de f , en B, llamado rango de f . Si f : A → B, g: B → C son dos aplicaciones g ◦ f
denotar´ su composici´n. La imagen de a ∈ A por f se denotar´ f (a). Con esta notaci´n definimos la
a o a o
composici´n de aplicaciones como (g ◦ f)(a) = g(f (a)).
o
El producto cartesiano de dos conjuntos A, B se denotar´ por A × B y se define como A × B = {(a, b) |
a
a ∈ A, b ∈ B}. La uni´n de dos conjuntos se denotar´ por A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}, y la intersecci´n
o a o
por A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}. Denotaremos por A B = {a ∈ A | a ∈ B}. As´ A A = ∅.
/ ı,
El cuantificador l´gico ∀ significa “para todo” y ∃ significa “existe”. Tambi´n utilizaremos ∃! que
o e
significa “existe un unico”.
´
1

9. 2 TEMA 1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
1.2 Grupos
1.2.1 Operaciones binarias internas
Una operaci´n binaria interna en un conjunto X es una aplicaci´n : X × X → X. Habitualmente la
o o
imagen por la aplicaci´n de dos elementos x, y ∈ X se denotar´ por (x, y) = x y, y se leer´ “x
o a a
multiplicado por y” o “x por y”. Escribimos (X, ) para denotar el conjunto X junto con la ley . Si
X es un conjunto finito, una operaci´n binaria se puede describir dando su tabla de multiplicar: se
o
colocar´ sobre el eje OX los elementos de X y sobre el eje OY de nuevo los elementos de X. En los nodos
a
o puntos de intersecci´n en el ret´
o ıculo definido por estos puntos, colocaremos los resultados de multiplicar
los correspondientes elementos. Esto es, si X = {x1 , x2 , . . . , xn }, tendremos,
x1 x2 ··· xn−1 xn
x1 x1 x1 x1 x2 ··· x1 xn−1 x1 xn
x2 x2 x1 x2 x2 ··· x2 xn−1 x2 xn
.
. .
. .
. .. .
. .
.
. . . . . .
xn xn x1 xn x2 ··· xn xn−1 xn xn
N´tese que es una aplicaci´n si y s´lo si la tabla queda completamente llena y en cada nodo hay un
o o o
unico elemento.
´
Ejemplo 1.2.1 Sea X = {a, b} y la operaci´n binaria interna con tabla de multiplicar
o
a b
a a b
b b a
La tabla anterior es equivalente a la definici´n de la aplicaci´n , a a = a, a b = b, b a = b, b b = a.
o o
Ejemplo 1.2.2 X = {a, b}. Definiremos la operaci´n binaria interna ⊥ a trav´s de su tabla de multi-
o e
plicar,
⊥ a b
a a a
b b b
o equivalentemente a ⊥ a = a, a ⊥ b = a, b ⊥ a = b, b ⊥ b = b.
Un elemento e ∈ X se dir´ que es neutro por la derecha respecto a si x e = x, ∀x ∈ X. An´logamente
a a
se dir´ que es neutro por la izquierda si e x = x, ∀x ∈ X . Diremos que e es simplemente neutro si es
a
neutro por la derecha y por la izquierda. En otros t´rminos un elemento es neutro si su columna y fila en
e
la tabla de multiplicar es simplemente una copia de X. En el ejemplo 1.2.1 a es neutro. En el ejemplo
1.2.2 no hay elemento neutro.
Ejercicio 1.2.1 Probar que si (X, ) tiene elemento neutro e, ´ste es unico.
e ´
Sea (X, ) un conjunto con producto y elemento neutro e. Diremos que y es un inverso a derecha
(izquierda) de x si x y = e (y x = e). Diremos que y es un inverso de x si es inverso a derecha e
izquierda.
Ejemplo 1.2.3 Sea X = {a, b, c} con la operaci´n binaria interna,
o
a b c
a a b c
b b a a
c c a b

10. 1.2. GRUPOS 3
Observamos que a es el elemento neutro. b b = a implica que b es un elemento inverso de b.
b c = a = c b implica que c es un elemento inverso de b.
Diremos que una operaci´n interna es asociativa si (x y) z = x (y z), ∀x, y, z ∈ X. En tal caso
o
se llamar´ usualmente “producto” en X.
a
Ejercicio 1.2.2 Probar que si es asociativa y x ∈ X tiene inverso, ´ste es unico. Tal elemento se
e ´
denotar´ habitualmente por x−1 .
a
Las operaciones de los ejemplos 1.2.1 y 1.2.2 son asociativas, no as´ la del 1.2.3.
ı
Un conjunto X con una operaci´n asociativa se denomina semigrupo.
o
Ejemplo 1.2.4 IN = {1, 2, 3, . . .} denota el conjunto de los n´meros naturales. Denotaremos por + la
u
operaci´n binaria interna definida por la adici´n ordinaria de n´meros naturales. (IN, +) es un semigrupo
o o u
que no posee elemento neutro. Denotaremos por · la multiplicaci´n ordinaria de n´meros naturales. (IN, ·)
o u
es un semigrupo con elemento neutro 1.
As´ como la tabla de sumar no se obliga a “memorizar” a los ni˜os, la tabla de multiplicar de los
ı n
n´ meros naturales se hace memorizar a todos los ni˜os del mundo. Es la primera operaci´n interna no
u n o
trivial que pertenece al acervo cultural de la humanidad.
Una operaci´n binaria se dir´ conmutativa si x y = y x, ∀x, y ∈ X. Las operaciones +, · en el
o a
ejemplo 1.2.4 son conmutativas. Las operaciones de los ejemplos 1.2.1 y 1.2.3 son conmutativas pero la
del ejemplo 1.2.2 no lo es. Si es conmutativa su tabla de multiplicar es sim´trica respecto a la diagonal.
e
Si X posee dos operaciones internas , ⊥, diremos que ⊥ es distributiva respecto de si x (y ⊥ z) =
(x z) ⊥ (x z), ∀x, y, z ∈ X. En (IN, +, ·), la suma + es distributiva respecto de ·.
1.2.2 Permutaciones y grupos
Por muy variadas razones la familia de las permutaciones de una colecci´n finita de elementos forman un
o
conjunto muy importante. Lo vamos a discutir detalladamente. Consideremos por ejemplo el conjunto
X = {1, 2, . . . , n} de los n primeros n´ meros naturales. Una permutaci´n de 1, 2, . . . , n es una biyecci´n
u o o
α: X → X. N´tese que α(1) ser´ por tanto un n´mero natural entre 1 y n que podemos denotar por α1 ,
o a u
α(2) ser´ otro denotado por α2 , etc., hasta α(n) = αn . Diremos que la lista de n´meros α1 α2 · · · αn se
a u
obtiene de la 123 · · · n por una “permutaci´n”, la permutaci´n α. Es convencional escribir la permutaci´n
o o o
α como una matriz
1 2 ··· n
α=
α1 α2 · · · αn
que es autoexplicativa, esto es, 1 → α1 , 2 → α2 , ... , n → αn .
El conjunto de todas las permutaciones del conjunto {1, 2, . . . , n} se denotar´ por Sn . En Sn definimos
a
una operaci´n binaria interna · como la composici´n de aplicaciones, esto es:
o o
α · β = α ◦ β, ∀α, β ∈ Sn ,
esto es, (α · β)(i) = α(β(i)), i = 1, 2, . . . , n.
La operaci´n · es asociativa ya que la composici´n de aplicaciones lo es (¡probadlo!).
o o
Denotaremos por e la permutaci´n correspondiente a la aplicaci´n identidad, esto es, e(i) = i, i =
o o
1, 2, . . . , n, o en la notaci´n anterior
o
1 2 ··· n
e= .
1 2 ··· n
Claramente α · e = e · α = α, ∀α ∈ Sn , por tanto e es el elemento neutro de (Sn , ·). Toda permutaci´no
α tiene elemento inverso (¡´nico!). En efecto, si α ∈ Sn como α es biyectiva existe la aplicaci´n inversa
u o
α−1 : X → X, tal que α−1 (i) = j si α(j) = i. Es evidente que α · α−1 = α−1 · α = e.

11. 4 TEMA 1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
Ejemplo 1.2.5 Sea α = , con α−1 = . Sea β = ,
2 4 1 3 3 1 4 2 1 3 4 2
entonces,
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
α·β = · = ,
2 4 1 3 1 3 4 2 2 1 3 4
y
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
β·α= · = ,
1 3 4 2 2 4 1 3 3 2 1 4
luego α · β = β · α y la operaci´n · no es conmutativa.
o
Ejemplo 1.2.6 Tablas de multiplicar de (S2 , ·) y (S3 , ·). Vemos que S2 es conmutativo y S3 no lo es.
1 2
S2 = e, τ = .
2 1
· e τ
e e τ
τ τ e
(N´tese que esta tabla de multiplicar coincide, salvo notaci´n, con la tabla del ejemplo 1.2.1).
o o
Consideremos a continuaci´n el conjunto S3
o
1 2 3 1 2 3 1 2 3
e, τ1 = , τ2 = , τ3 = ,
2 1 3 3 2 1 1 3 2
1 2 3 1 2 3
σ1 = , σ2 = .
2 3 1 3 1 2
· e τ1 τ2 τ3 σ1 σ2
e e τ1 τ2 τ3 σ1 σ2
τ1 τ1 e σ2 σ1 τ3 τ2
τ2 τ2 σ1 e σ2 τ1 τ3
τ3 τ3 σ2 σ1 e τ2 τ1
σ1 σ1 τ2 τ3 τ1 σ2 e
σ2 σ2 τ3 τ1 τ2 e σ1
Se observa f´cilmente que τi−1 = τi , i = 1, 2, 3 y σ1 = σ2 , σ2 = σ1 .
a −1 −1
Ejercicio 1.2.3 Escribid la tabla de multiplicar de S4 y S5 .
Ejercicio 1.2.4 Probad que el producto en (Sn , ·), n ≥ 3 no es conmutativo.
Definici´n 1.2.1 Un conjunto G con una operaci´n binaria interna
o o se dir´ que es un grupo si,
a
i. Posee elemento neutro e ∈ G.
ii. La operaci´n es asociativa, y
o
iii. Todo elemento posee inverso, esto es, ∀x ∈ G, ∃x−1 ∈ G.
De todo lo anterior se desprende que (Sn , ·) es un grupo. Dicho grupo se llama el grupo de permuta-
ciones de n elementos. Cuando nos refiramos a un grupo (G, ) habitualmente omitiremos la operaci´n y o
si no hay riesgo de confusi´n tambi´n omitiremos el s´
o e ımbolo al escribir el producto, esto es, escribiremos
xy en lugar de x y.
Si el grupo G es finito, llamaremos orden del grupo G al n´mero de sus elementos y se denotar´ por
u a
| G |. Si G no es finito diremos que | G |= ∞. Por ejemplo | S2 |= 2, | S3 |= 6.
Ejercicio 1.2.5 | Sn |= n!.

12. 1.2. GRUPOS 5
Definici´n 1.2.2 Un subconjunto H ⊂ G del grupo (G, ·) se dir´ que es un subgrupo si
o a
i. ∀x, y ∈ H, x · y ∈ H,
ii. ∀x ∈ H, x−1 ∈ H.
Un subgrupo H de G es a su vez un grupo con la operaci´n inducida de la del grupo G. Sea H = {e},
o
H es un subgrupo llamado el subgrupo trivial. ∅ ⊂ G no es un subgrupo. Si H = G, H es un subgrupo.
G y {e} se llaman subgrupos impropios (o triviales). Un subgrupo H diferente de {e} y G se dir´ propio.
a
Ejemplo 1.2.7 A3 = {e, σ1 , σ2} ⊂ S3 . A3 es un subgrupo de S3 . En efecto del ejemplo 1.2.6 obtenemos
que
A3 e σ1 σ2
e e σ1 σ2
σ1 σ1 σ2 e
σ2 σ2 e σ1
El subconjunto {e, τ1} ⊂ S3 es un subgrupo. Lo mismo ocurre con {e, τ2 }, {e, τ3 }. Ning´ n otro
u
subconjunto de S3 es un subgrupo.
1.2.3 M´s sobre el grupo de permutaciones
a
Un ciclo es una permutaci´n α en Sn de la forma
o
α(k1 ) = k2 , α(k2) = k3 , . . . , α(kr−1 ) = kr , α(kr ) = k1 ,
donde {k1 , k2 , . . . , kr } ⊂ {1, 2, . . . , n} y los dem´s elementos no cambian. Tal permutaci´n se denotar´
a o a
por α = (k1 k2 · · · kr ) y habitualmente se indica el n´mero de elementos que se permutan c´
u ıclicamente,
esto es, se dice que (k1 k2 · · · kr ) es un r–ciclo.
Ejemplo 1.2.8 En S3 todo elemento es un ciclo. En S4 no todo elemento es un ciclo. Por ejemplo, la
1 2 3 4
permutaci´n α =
o es el producto de dos 2–ciclos, α = (12)(34).
2 1 4 3
Llamaremos transposiciones a los 2–ciclos, esto es a los elementos de Sn de la forma (k1 k2). Por
ejemplo en S3 los elementos τ1 , τ2 y τ3 son transposiciones.
Los resultados m´s importantes sobre la aritm´tica de ciclos son:
a e
Proposici´n 1.2.1 Toda permutaci´n admite una descomposici´n ´nica salvo orden en producto de
o o o u
ciclos disjuntos que conmutan entre si.
1 2 3 4 5 6
Ejemplo 1.2.9 σ ∈ S6 . σ = = (1)(243)(56).
1 4 2 3 6 5
Proposici´n 1.2.2 Toda permutaci´n admite una descomposici´n en producto de transposiciones (que
o o o
no conmutan en general y que no es ´nica).
u
Ejemplo 1.2.10 σ ∈ S3. σ = (123) = (12)(23) = (23)(13).
Proposici´n 1.2.3 La paridad del n´mero de transposiciones en las que se puede descomponer toda
o u
permutaci´n no depende de la descomposici´n sino s´lo de la permutaci´n.
o o o o
Se llama paridad o signatura de una permutaci´n al n´mero (σ) = (−1)k , donde k es el n´mero de
o u u
transposiciones de una descomposici´n de σ ∈ Sn .
o
Proposici´n 1.2.4 La paridad de un producto es el producto de las paridades.
o
(αβ) = (α) (β).
Ejemplo 1.2.11 Todas las transposiciones tienen paridad impar. Un k-ciclo tiene paridad (−1)k−1 .
El conjunto de las permutaciones de paridad par forman un subgrupo de Sn llamado el grupo de las
alternaciones o grupo alternado. Se denota habitualmente por An y su orden es n!/2.

13. 6 TEMA 1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
1.2.4 Homomorfismos de grupos
Una aplicaci´n f: G → G entre dos grupos (G, ·), (G , ), se dir´ que es un homomorfismo de grupos si
o a
f (g · h) = f (g) f (h), ∀g, h ∈ G. Si el homomorfismo f es inyectivo se dir´ que es un monomorfismo. Si
a
es suprayectivo se dir´ que es un epimorfismo y si f es biyectivo se dir´ que es un isomorfismo.
a a
Ejercicio 1.2.6 Denotemos por D3 el grupo de simetr´ de un tri´ngulo equil´tero. Probar que D3 es
ıas a a
isomorfo a S3 .
Ejemplo 1.2.12 Si denotamos por T el grupo de simetr´ de un tetraedro regular, entonces S4 es
ıas
isomorfo a T .
Si f : G → G es un homomorfismo de grupos, llamaremos n´cleo de f el subconjunto de G que se
u
aplica en el elemento neutro de G y se denota por ker f ,
ker f = {g ∈ G | f (g) = e }.
El conjunto imagen de f se denotar´ habitualmente por im f = {f (g) ∈ G | g ∈ G}.
a
Proposici´n 1.2.5 ker f , im f son subgrupos.
o
1 2 3 4
Ejemplo 1.2.13 Consid´rese la aplicaci´n i: S3 → S4 definida por i(α) =
e o . En-
α1 α2 α3 4
tonces i es un monomorfismo.
La inclusi´n natural j: An → Sn es un monomorfismo.
o
La asignaci´n a cada permutaci´n de su paridad, : Sn → Z 2 es un epimorfismo debido a la proposici´n
o o Z o
1.2.4.
Un subgrupo H de G se dice normal si gHg−1 ⊂ H, ∀g ∈ G, esto es, si para todo h ∈ H, ghg−1 ∈ H
para todo g ∈ G. ker f es un subgrupo normal de G.
Ejemplo 1.2.14 An es un subgrupo normal de Sn .
1.3 Anillos
1.3.1 Los n´ meros enteros
u
En esta secci´n revisaremos escuetamente los n´meros enteros y la noci´n de anillo.
o u o
Hemos visto que el conjunto de los n´meros naturales IN tiene una estructura de semigrupo respecto
u
a la suma (tambi´n con respecto al producto). Podemos plantearnos como extender este conjunto para
e
convertirlo en un grupo. M´s concretamente, la ecuaci´n x + n = m, n, m ∈ IN no siempre tiene soluci´n
a o o
en los n´ meros naturales. ¿Podemos extender IN para que la ecuaci´n anterior siempre se pueda resolver?
u o
Hay un procedimiento natural para hacer esto y consiste en a˜adir las ra´
n ıces de esta ecuaci´n a IN. Si
o
denotamos la ra´ de x + n = m por m − n vemos inmediatamente que m − n = (m + r) − (n + r) para
ız
todo r ∈ IN, lo que nos permite introducir una relaci´n de equivalencia en el conjunto de todas las ra´
o ıces
de todas las ecuaciones x + n = m. Denotaremos por (n − m) una de estas clases. Podemos definir la
suma de ra´ ıces como sigue:
(m − n) + (m − n ) = ((m + m ) − (n + n )).
El elemento neutro de la suma es la ra´ de la ecuaci´n x + n = n, esto es (n − n) que denotaremos por 0.
ız o
Si m > n existe un n´mero natural r tal que m = n + r y la clase (m − n) la denotaremos simplemente
u
por r. Si m < n de manera an´loga existe un n´mero natural s tal que n = m + s y la clase (m − n) se
a u
denotar´ por −s.
a
El conjunto de ra´
ıces se denotar´ Z y sus elementos se llamar´n n´meros enteros.
a Z a u
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Z

14. 1.3. ANILLOS 7
Alternativamente los n´meros enteros pueden construirse considerando una relaci´n de equivalencia
u o
en el producto cartesiano IN × IN como sigue: (n, m) ∼ (n , m ) si y s´lo si n + m = m + n . La clase de
o
equivalencia que contiene a (m, n) se denotar´ como [m, n]. Definimos la suma en el conjunto de clases
a
como [m, n] + [r, s] = [m + r, n + s].
Ejercicio 1.3.1 Probad que la operaci´n + est´ bien definida y proporciona una estructura de grupo en
o a
IN × IN/ ∼. La operaci´n es conmutativa con elemento neutro la clase [m, m].
o
Es f´cil comprobar que hay tres tipos de clases: la clase [m, m] que denotaremos por 0; las de tipo
a
[m + r, m], que denotaremos por r; y, finalmente, las de tipo [m, m + r] que denotaremos por −r. Esto
muestra de nuevo que el conjunto de ra´ de la ecuaci´n lineal de primer orden con coeficientes naturales
ıces o
est´ formado por los elementos del conjunto IN × IN/ ∼. Identificaremos a partir de este momento ambos
a
conjuntos y los llamaremos indistintamente n´meros enteros. El subconjunto de enteros 0, 1, 2, . . . , se
u
denominar´n enteros positivos y el subconjunto 0, −1, −2, . . . , se denominar´n enteros negativos. El cero
a a
es el unico entero positivo y negativo. Diremos que p es menor o igual que q si p − q es positivo y lo
´
denotaremos p ≤ q. La relaci´n ≤ es una relaci´n de orden total en Z
o o Z.
Tenemos la siguiente propiedad fundamental de los n´meros enteros (y de los naturales):
u
Teorema 1.3.1 Cualquier subconjunto no vac´ de enteros positivos posee un elemento menor o igual
ıo
que todos los dem´s que se denomina m´
a ınimo del conjunto.
Demostraci´ n. Un tal subconjunto contiene un entero positivo n ya que es no vac´ Entonces el
o ıo.
primer elemento en la lista 0, 1, 2, . . . , n − 1, n contenido en el conjunto tiene la propiedad en cuesti´n.
o
QED
Una propiedad equivalente al teorema anterior es el “principio de inducci´n completa”.
o
Teorema 1.3.2 Principio de inducci´n completa. Si una proposici´n sobre un n´mero entero positivo n
o o u
es cierta para n = 0, y su veracidad para todo 0 ≤ k < n implica su veracidad para n, entonces es cierta
para todo n.
Demostraci´ n. Llamemos F el subconjunto de n´meros enteros positivos para los cuales la propo-
o u
sici´n es falsa. Si F es no vac´ tomemos el m´
o ıo, ınimo de este conjunto, llam´mosle n0 . Pero la proposici´n
e o
es cierta para todo k < n0 y por hip´tesis la proposici´n es cierta para n0 .
o o QED
Producto de n´ meros enteros. Definimos una operaci´n · en Z como sigue: [m, n] · [r, s] = [mr +
u o Z
ns, ms + nr], o utilizando la notaci´n de ra´
o ıces,
n · m = nm; n · (−m) = −(nm); (−n) · (−m) = nm; n · 0 = (−n) · 0 = 0.
Omitiremos en lo sucesivo el punto “·” en el producto de n´meros enteros excepto por motivos de
u
claridad en la notaci´n.
o
Existe elemento neutro para el producto de enteros, el 1.
Proposici´n 1.3.1 ±1 son los ´nicos enteros que poseen inverso respecto al producto.
o u
Es inmediato verificar que el producto es asociativo,
p(qr) = (pq)r, ∀p, q, r ∈ Z
Z,
distributivo,
p(q + r) = pq + pr,
conmutativo,
pq = qp,
y adem´s
a
0 · p = p · 0 = 0.

15. 8 TEMA 1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Definici´n 1.3.1 Un anillo es un conjunto A dotado de dos operaciones binarias internas denotadas
o
respectivamente por + y ·, tales que (A, +) es un grupo Abeliano y (A, ·) es un semigrupo, satisfaci´ndose
e
adem´s la propiedad distributiva:
a
x · (y + z) = x · y + x · z, x, y, z ∈ A.
Si la operaci´n · es conmutativa se dir´ que el anillo es conmutativo, y si posee elemento neutro respecto
o a
del producto, se dir´ que A es un anillo con identidad.
a
Ejemplo 1.3.1 (Z +, ·) es un anillo conmutativo con identidad. En Z se satisface adem´s la siguiente
Z, Z a
propiedad: si pq = 0, entonces, o bien p = 0 o q = 0. Un tal anillo se dice que es un dominio de integridad.
Ejemplo 1.3.2 . Consid´rese el conjunto IH = {(q0, q1 , q2 , q3 ) | qi ∈ Z con las operaciones:
e Z}
(q0 , q1 , q2 , q3 ) + (q0 , q1 , q2 , q3) = (q0 + q0 , q1 + q1 , q2 + q2 , q3 + q3 ),
(q0 , q1, q2 , q3 ) · (q0 , q1 , q2, q3 ) = (q0 q0 − q1 q1 − q2 q2 − q3 q3 , q2 q3 − q3 q2, q3 q1 − q1 q3 , q1 q2 − q2 q1 ).
IH es un anillo con identidad pero no es conmutativo. IH no es un dominio de integridad.
Definici´n 1.3.2 Un subconjunto B ⊂ A de un anillo (A, +, ·) se dir´ que es un subanillo si
o a
i. a − b ∈ B, ∀a, b ∈ B,
ii. a · b ∈ B, ∀a, b ∈ B.
Denotamos por −b el inverso de b respecto a la operaci´n +. Se desprende de la definici´n que todo
o o
subanillo es un anillo.
Proposici´n 1.3.2 Si B es un subanillo de Z existe un n´mero natural m ∈ IN tal que B = mZ =
o Z u Z
{mp | p ∈ Z
Z}.
Demostraci´n. Si B = {0}, sea m = 0. Si no, el conjunto de elementos mayores que cero en B no
o
puede ser vac´ Tomemos m el m´
ıo. ınimo de ellos. Por ser B subanillo mZ ⊂ B. Si p ∈ B, aplicamos el
Z
algoritmo de la divisi´n por m (ver Teorema 1.3.5) y obtenemos que existe 0 ≤ r < m tal que p = qm + r,
o
pero entonces r = p − qm ∈ B y r es positivo y menor que m. QED
Nota. Es suficiente suponer que m − n ∈ B para todo m, n ∈ B ⊂ Z Tal conjunto es
Z.
autom´ticamente un subanillo.
a
En lo que sigue discutiremos exclusivamente anillos conmutativos con identidad (aunque no exigiremos
tal propiedad a los posibles subanillos). La identidad ser´ denotada por 1 o 1A si hubiera peligro de
a
confusi´n.
o
Los elementos invertibles de un anillo A se llaman unidades. El conjunto U(A) = {x ∈ A | ∃x−1 ∈ A}
es un grupo llamado el grupo de unidades de A.
Definici´n 1.3.3 Ideales. Un ideal de un anillo A es un subanillo I que adem´s satisface xy ∈ I para
o a
todo x ∈ I, y ∈ A.
Corolario 1.3.1 Los ideales de Z son de la forma mZ para alg´n m ∈ Z
Z Z u Z.
Ejemplo 1.3.3 El anillo de los polinomios Z Z[x].
Sea x un s´ımbolo abstracto (podr´ ıamos tomar por ejemplo en su lugar un cuadro “abstracto” o el
logotipo de una compa˜´ comercial) y consid´rese el conjunto cuyos elementos son objetos de la forma
nıa e
a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn , ai ∈ Z i = 1, . . . , n, n ∈ IN. Los s´
Z, ımbolos x2 , x3 , . . . , xn representan
xx, xxx, etc. Los elementos de este conjunto se denominan polinomios, los denotaremos por P (x), Q(x),
etc. y al conjunto de todos ellos lo denotaremos por Z Z[x] y lo denominaremos el anillo de los polinomios
con coeficientes enteros. Definimos en este conjunto las operaciones + y · como sigue:

16. 1.3. ANILLOS 9
Si P (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , Q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm , y n ≥ m, entonces P (x) + Q(x) =
(a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + · · · + (am + bm )xm + am+1 xm+1 + · · · + an xn , y P (x) · Q(x) =
a0b0 + (a1 b0 + a0b1)x + (a2 b0 + a1 b1 + a0 b2 )x2 + · · · + an bm xn+m . Utilizando una notaci´n m´s compacta
o a
n m
podemos escribir P (x) = i=0 ai xi , Q(x) = j=0 bj xj , y
 
max(n,m) n+m
P (x) + Q(x) = (ak + bk )xk , P (x) · Q(x) =  ai bj  xk ,
k=0 k=0 i+j=k
y en la suma bk = 0, para todo k > m.
ZZ[x] es un anillo conmutativo con identidad. Cada n´mero entero p define un polinomio cuyo unico
u ´
t´rmino es el a0 = p. Los enteros se convierten de este modo en un subanillo de Z
e Z[x] pero no forman un
ideal.
Consid´rese por el contrario conjuntos como B = {P (x)(1 + x) | P (x) ∈ Z
e Z[x]} = (1 + x)ZZ[x] o
C = {P (x)(1 + x2) | P (x) ∈ Z
Z[x]} = (1 + x2 )Z
Z[x]. Tanto B como C son subanillos y adem´s son ideales.
a
ZZ[x] es un dominio de integridad.
1.3.2 Divisibilidad y factorizaci´n de n´ meros enteros
o u
Un n´ mero entero p se dice que divide (o que es un divisor) de otro entero q si existe un entero r tal que
u
q = pr. Tambi´n diremos que q es un m´ltiplo de p. Si p divide a q lo indicaremos por p | q. Es evidente
e u
que todos los m´ltiplos de p son los enteros de la forma rp, r ∈ Z que es un ideal de Z denotado por pZ
u Z, Z Z
y tambi´n (p). N´tese que todo n´mero entero tiene al menos cuatro divisores ±p, ±1 que llamaremos
e o u
divisores impropios.
Un n´mero entero p se dice que es primo si no posee m´s divisores que los impropios. Si p es primo
u a
−p tambi´n lo es. Por esta raz´n habitualmente se consideran unicamente los primos positivos y mayores
e o ´
que 1.
Teorema 1.3.3 Teorema fundamental de la aritm´tica. Todo n´mero entero p se puede escribir como
e u
un producto de n´meros primos. Adem´s dicha escritura es unica excepto por el orden de los factores.
u a ´
Demostraci´n. Ver al final de esta secci´n.
o o
Por esta raz´n se dice que Z es un dominio de factorizaci´n unica (y tambi´n se llama un anillo
o Z o ´ e
factorial).
Teorema 1.3.4 Teorema de Euclides. El conjunto de los primos es infinito.
Demostraci´ n. Supongamos que el conjunto P de los n´meros primos fuera finito, digamos P =
o u
{p1 , p2 , . . . , pN }. Entonces el n´mero p1p2 · · · pN + 1 no est´ en P y en consecuencia no es primo. Pero
u a
entonces por el teorema fundamental de la aritm´tica este n´mero debe ser divisible por alguno de los
e u
primos pi de P lo cual es imposible. QED
Dados dos n´meros enteros p, q, consideremos el conjunto S de todos los enteros de la forma rp + sq,
u
con r, s ∈ Z Claramente dicho conjunto es un subanillo (de hecho es un ideal). Por tanto hemos visto
Z.
que S = mZ para alg´n m ∈ Z Dicho m se llamar´ el m´ximo com´n divisor de p y q y se denotar´ o
Z u Z. a a u a
bien m.c.d. (p, q) o simplemente m = (p, q).
Ejercicio 1.3.2 Probar que si p es un n´mero primo tal que p | ab entonces p | a o p | b.
u
Ejercicio 1.3.3 Probar que si m | p y m | q, entonces m | (p, q). Probar que si p | p y q | q , entonces
(p, q) | (p , q ).
Diremos que dos n´meros enteros p y q son primos entre si (p, q) = 1. N´tese que esto es equivalente
u o
a que existan dos n´meros enteros r, s tales que rp + sq = 1.
u
Ejercicio 1.3.4 Pru´bese que la ecuaci´n px + qy = r, p, q, r ∈ Z tiene soluciones enteras si y s´lo si
e o Z, o
(p, q) | r.

17. 10 TEMA 1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Teorema 1.3.5 Algoritmo de la divisi´n. Sean p, q ∈ Z q > 0, entonces existen d, r ∈ Z tales que
o Z, Z
p = qd + r; 0 ≤ r < q,
y adem´s d, r son unicos.
a ´
Demostraci´n. Consideremos el conjunto S = {p − dq | d ∈ Z p − dq ≥ 0}. Claramente S = ∅
o Z,
(t´mese d = −p2 ). Entonces S tendr´ un m´
o a ınimo (teorema 1.3.1) que denotaremos por r. Necesariamente
0 ≤ r < q ya que si r ≥ q, entonces r = q + r , 0 ≤ r < r y r = p − (d + 1)q ∈ S lo cual es absurdo.
Unicidad. Supongamos que d , r son dos enteros tales que p = qd + r y 0 ≤ r < q. Entonces
q(d − d ) = r − r. Supongamos que r > r por tanto q(d − d ) > 0, esto es d > d y por tanto d = d + d0 ,
d0 > 0. Entonces p = dq + r = q(d + d0 ) + r y por tanto qd0 + r = r , que implica que r > q. Si
suponemos que r > r obtendremos que r > q por tanto la unica posibilidad es que r = r y por tanto
´
d=d. QED
Teorema 1.3.6 Algoritmo de Euclides. Dados dos n´meros enteros p, q ∈ Z podemos calcular su m´ximo
u Z a
com´n divisor a trav´s del siguiente algoritmo:
u e
p = qd0 + r0 , 0 ≤ r0 < q,
q = r0 d 1 + r1 , 0 ≤ r1 < r0 ,
r0 = r1 d 2 + r2 , 0 ≤ r2 < r1 ,
······
rn−2 = rn−1 dn + rn , 0 ≤ rn < rn−1,
rn−1 = rn dn+1 , rn+1 = 0.
Entonces rn = (p, q).
Demostraci´n. En efecto, si d | p y d | q, entonces d | r0 ya que r0 = p − qd0 , por tanto, (p, q) | r0 ,
o
pero d | q y d | r0 implica que d | r1 , y as´ sucesivamente, hasta que (p, q) | rn .
ı
Rec´ıprocamente, est´ claro que rn | rn−1 , pero rn−2 = rn dn+1 + rn , por tanto rn | rn−2 , etc. hasta
a
que rn | p y rn | q, por tanto rn | (p, q). Por tanto rn = (p, q). QED
1.3.3 Congruencias de n´ meros enteros
u
En el conjunto de los n´meros enteros Z introducimos una relaci´n de equivalencia como sigue: fijemos
u Z o
un n´ mero entero positivo n; diremos que p es congruente con q m´dulo n si n | p − q, esto es si ∃r ∈ Z
u o Z
tal que p − q = rn, o todav´ de otro modo, si q < n como p = rn + q, q es el resto de dividir p por n.
ıa
Si p es congruente con q m´dulo n, escribiremos p ≡ q (mod n).
o
Ejercicio 1.3.5 Probar que la relaci´n anterior es efectivamente una relaci´n de equivalencia.
o o
La clase de equivalencia que contiene a p se denotar´ por [p]. Claramente [p] = {p + nr | r ∈ Z
a Z}.
Efectivamente si p ∈ [p], entonces p ≡ p (mod n), esto es ∃s ∈ Z tal que p − p = ns. Obs´rvese
Z e
tambi´n que [p] = [p + n], por tanto las clases de equivalencia diferentes de n´meros enteros congruentes
e u
m´dulo n son:
o
[0] = {sn | s ∈ Z [1] = {1 + sn | s ∈ Z . . . , [n − 1] = {n − 1 + sn | s ∈ Z
Z}, Z}, Z},
esto es, [0] es el conjunto de m´ltiplos de n, [1] es el conjunto de m´ltiplos de n m´s 1, etc. El conjunto
u u a
de clases de congruencia m´dulo n se denotar´ por Z n , as´
o a Z ı
Z n = {[0], [1], [2], . . . , [n − 1]}.
Z
En Z n se definen dos operaciones + y · como sigue:
Z
i. [r] + [s] = [r + s],
ii. [r] · [s] = [rs], r, s = 0, 1, . . . , n − 1.

18. 1.4. CUERPOS 11
Ejercicio 1.3.6 Probar que las operaciones est´n bien definidas.
a
(Z n , +, ·) es un anillo conmutativo con identidad [1].
Z
Ejemplo 1.3.4 El anillo Z 2 posee dos elementos {[0], [1]}. En el anillo Z 3 = {[0], [1], [2]} todo elemento
Z Z
posee inverso ya que [2][2] = [1]. El anillo Z 4 = {[0], [1], [2], [3]} no es un dominio de integridad ya que
Z
[2][2] = [0].
Ejercicio 1.3.7 Sea p primo, probar que todo elemento no nulo en Z p tiene inverso.
Z
1.4 Cuerpos
1.4.1 El cuerpo de los n´ meros racionales
u
Los unicos n´meros enteros que poseen inverso respecto a la multiplicaci´n son ±1. Hay un procedimiento
´ u o
standard para construir a partir de un dominio de integridad un nuevo anillo donde todos sus elementos
poseen inverso. Ilustraremos esta construcci´n con el dominio de integridad de los n´meros enteros Z
o u Z.
Sea el conjunto Z × Z ∗ , donde Z ∗ = Z − {0}. Consideremos la siguiente relaci´n de equivalencia
Z Z Z Z o
(p, q) ∼ (r, s) ⇔ ps = qr. Las propiedades reflexiva y sim´trica son evidentes. Con respecto a la
e
transitiva, si (p, q) ∼ (r, s), y (r, s) ∼ (t, u), entonces ps = qr, ru = st, y por tanto psu = qru = qst, esto
es (pu − qt)s = 0. Como s = 0, pu = qt lo que quiere decir que (p, q) ∼ (t, u).
La clase de equivalencia que contiene al par (p, q) se denotar´ por p/q o pq −1 . El conjunto Z × Z ∗ / ∼
a Z Z
se denotar´ por Q y sus elementos se llamaran n´meros racionales (o fraccionarios). As´ Q = {p/q : p ∈
a u ı
Z q ∈ Z ∗ }. En Q definimos dos operaciones +, · como sigue:
Z, Z
p r ps + qr p r pr p r
i. + = , ii. · = , ∀ , ∈ Q.
q s st q s qs q s
Ejercicio 1.4.1 Probar que (Q, +, ·) es un anillo conmutativo con identidad. Adem´s es un dominio de
a
integridad, pero no es un dominio de factorizaci´n unica.
o ´
Todo elemento p/q ∈ Q con p = 0 tiene inverso. En efecto (p/q)−1 = q/p ya que p/q · q/p = pq/qp =
1/1 = 1.
En cada clase de equivalencia p/q ∈ Q hay un unico representante p /q tal que que (p , q ) = 1.
´
Notas.
1. El conjunto Q se obtiene en forma an´loga a como hicimos en la construcci´n de los n´meros
a o u
enteros resolviendo la ecuaci´n qx = p, q = 0. Las ra´
o ıces de esta ecuaci´n se pueden escribir
o
en una notaci´n obvia como pq −1 . Los detalles del an´lisis se completan de manera trivial.
o a
¿C´mo obtendr´
o ıamos la suma de n´meros racionales siguiendo esta l´
u ınea de razonamiento?
2. La misma construcci´n se puede aplicar al dominio de integridad de los polinomios con
o
coeficientes en Z El conjunto que se obtiene es el cuerpo de las funciones racionales con
Z.
coeficientes en Z
Z.
3. La construcci´n anterior se puede realizar en cualquier anillo A utilizando un sistema
o
multiplicativo S. Un sistema multiplicativo es un subconjunto tal que el producto de cua-
lesquiera par de elementos pertenece al conjunto. En el conjunto de pares A × S se introduce
una relaci´n de equivalencia como anteriormente, esto es (x, s) ∼ (y, t) ↔ xt = ys, x, y ∈ A,
o
s, t ∈ S. El conjunto cociente se denota por S −1 A y es un anillo (anillo de fracciones de A
por S).
Definici´n 1.4.1 Un conjunto IK dotado de dos operaciones binarias internas +, · se dir´ que es un
o a
cuerpo si (IK, +, ·) es un anillo con identidad y todo elemento x = 0 tiene inverso x−1 respecto del
producto.
Si (IK, ·) es un semigrupo conmutativo el cuerpo IK se dir´ conmutativo. En lo sucesivo y salvo
a
especificaci´n contraria trataremos exclusivamente con cuerpo conmutativos.
o

19. 12 TEMA 1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Definici´n 1.4.2 Un cuerpo IK se dir´ que tiene caracter´
o a ıstica n ∈ IN ∪ {0} si n · 1 = 0, donde 0 es el
elemento neutro de la suma (+) y 1 el elemento unidad del producto (·).
Ejemplo 1.4.1 (Q, +, ·) es un cuerpo conmutativo de caracter´
ıstica 0.
Ejercicio 1.4.2 Probar que si p es primo, (Z p , +, ·) es un cuerpo. ¿Cu´l es su caracter´
Z a ıstica?
1.4.2 El cuerpo de los n´meros reales
u
Un subconjunto IF ⊂ IK del cuerpo IK se dir´ que es un subcuerpo de IK, si es un subanillo y si para
a
todo elemento x ∈ IF, x = 0, entonces x−1 ∈ IF. Autom´ticamente IF es un cuerpo. Tambi´n se dir´ que
a e a
IK es una extensi´n de IF.
o
Ejercicio 1.4.3 Probar que Z p no posee ning´ n subcuerpo propio (es decir, distinto de {0}, Z p ).
Z u Z
Un cuerpo que no posee subcuerpos propios se llama primo.
Ejercicio 1.4.4 Probar que Q es un cuerpo primo.
El problema de las extensiones de Q
Sea P (x) = a0 +a1 x+· · ·+an xn ∈ Z Z[x], diremos que p/q es una ra´ de P (x) si a0 +a1 p/q+· · ·+an (p/q)n =
ız
n a + q n−1 pa + · · · + pn a = 0. Es claro que los n´ meros racionales p/q son las ra´
0, esto es si q 0 1 n u ıces
de los polinomios de primer grado −p + qx, q = 0. Es tambi´n evidente que hay ecuaciones de segundo
e
grado que no tienen ra´ ıces racionales, por ejemplo, x2 − 2 = 0, o x2 + 1 = 0. Podemos plantearnos
por tanto si existen cuerpos IK, extensiones de Q donde las ecuaciones anteriores tengan soluci´n. El o
problema es que hay much´ ısimos. Existe un cuerpo ´ptimo, extensi´n de Q en el que toda ecuaci´n
o o o
polin´mica tiene alguna ra´ el cuerpo de los n´meros complejos C. La construcci´n de C se hace en dos
o ız: u o
etapas. Una primera que no es algebraica y en la que se construye un cuerpo, llamado de los n´meros u
reales IR, caracterizado por una propiedad topol´gica (completitud) y una segunda etapa algebraica que
o
describiremos posteriormente.
La construcci´n de los n´meros reales a partir de los n´meros racionales Q se realiza utilizando concep-
o u u
tos no algebraicos como ya hemos indicado y que por tanto no reproduciremos aqu´ (consultar un curso de
√ √ √ ı √
an´lisis matem´tico elemental). Como es bien sabido, n´meros como 2, 3, 5+ 17 son n´meros reales
a a √
u u
2
al igual que n´meros como π, e, e , ... y otros n´meros no racionales como 0.01012012301234012345...,
u u
etc. Las operaciones de suma y producto de n´ meros reales se denotar´n con los signos convencionales
u a
+, ·. IR es un cuerpo de caracter´ ıstica cero. Los n´meros reales x ∈ IR que son ra´
u ıces de ecuaciones
polin´micas con coeficientes en Z se llamar´n n´meros algebraicos. Todos los racionales son algebraicos,
o Z a u √ √ √ √
pero tambi´n lo son n´meros irracionales como 2, 3, 2 + 5, etc.
e u
Teorema 1.4.1 e y π no son algebraicos.
1.4.3 N´meros Gaussianos
u
√ √ √ √
Sea d ∈ IN tal que d ∈ Q. Consideremos el conjunto Q( d) definido como Q( d) = {a + b d | a, b ∈ Q}.
/√
Es f´cil observar que Q( d) es un cuerpo con las operaciones:
a
√ √ √
(a + b d) + (a + b d) = (a + a ) + (b + b ) d,
√ √ √
(a + b d) · (a + b d) = (aa + bb d) + (ab + a b) d.
Claramente la identidad para el producto es 1 y
√ a −b √
(a + b d)−1 = + 2 d,
a2 − db2 a − db2