Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de cálculo para la ingeniería. Cubre temas como la recta real, el plano cartesiano, funciones, límites de sucesiones y funciones, funciones hiperbólicas y funciones de varias variables. El objetivo es proporcionar las herramientas matemáticas fundamentales necesarias para comprender y aplicar el cálculo en ingeniería.

1. C´lculo para la ingenier´
a ıa
Salvador Vera
9 de enero de 2005

2. ii
Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

3. ´
Indice general
1. Conceptos b´sicos
a 1
1.1. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Valor absoluto y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. El plano y el espacio cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas . . . . . . . . 15
1.2.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3. El c´ ırculo y la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2. Representaci´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 26
1.3.3. Dominio impl´ ıcito de una funci´n . . . . . . . . . . . .
o . . . . 30
1.3.4. Restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . . . . . 32
1.3.5. Composici´n de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 32
1.3.6. Funciones inyectivas e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3.7. Funciones suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.8. Im´genes directa e inversa de un conjunto . . . . . . .
a . . . . 43
1.3.9. Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.10. La funci´n valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 45
1.4. L´
ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4.1. C´lculo de l´
a ımites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.4.2. Sucesiones mon´tonas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 54
1.5. L´
ımite y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.5.1. Definici´n de l´
o ımite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.5.2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.5.3. Propiedades de los l´ ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.5.4. Continuidad de una funci´n en un punto . . . . . . . .
o . . . . 66
1.5.5. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . 68
1.5.6. L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.5.7. L´ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5.8. T´cnicas elementales para el c´lculo de l´
e a ımites . . . . . . . . 78
1.5.9. Infinit´simos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . 82
1.5.10. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 . . . . . . . . .
e a . . . . 83
1.6. Funciones hiperb´licas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 85
1.6.1. Coseno y seno hiperb´lico . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 85
1.6.2. F´rmula fundamental de la Trigonometr´ hiperb´lica
o ıa o . . . . 86
1.6.3. Significado del t´rmino “hiperb´licas”. . . . . . . . . .
e o . . . . 86
iii

4. iv ´
INDICE GENERAL
1.6.4. Otras razones hiperb´licas . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 87
1.6.5. F´rmulas del ´ngulo doble . . . . . .
o a . . . . . . . . . . . . . . 87
1.6.6. El cuadrado del senh y del cosh . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.6.7. Gr´fica de las funciones hiperb´licas
a o . . . . . . . . . . . . . . 88
1.6.8. Funciones hiperb´licas inversas . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 89
1.6.9. Identidad hiperb´lica . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 90
1.6.10. F´rmula logar´
o ıtmica de las funciones hiperb´licas
o inversas . . 90
1.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2. Funciones de varias variables: L´ ımites 93
2.1. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.1.2. Dominio de una funci´n de varias variables . . . . . . . .
o . . 97
2.1.3. Operaciones con funciones de varias variables. . . . . . . . . . 102
2.1.4. Composici´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . 104
2.1.5. Gr´fica de una funci´n de dos variables . . . . . . . . . .
a o . . 110
2.1.6. Otras representaciones de las funciones de varias variables . . 118
2.2. L´
ımite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . 119
2.2.2. Entorno de un punto en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.3. L´ımite y continuidad en dos variables . . . . . . . . . . . . . 121
2.2.4. L´ımite de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.2.5. Comprobando l´ ımites aplicando la definici´n . . . . . . .
o . . 126
2.2.6. C´lculo de l´
a ımites mediante operaciones algebraicas . . . . . 130
2.2.7. Teorema del encaje y de la acotaci´n . . . . . . . . . . . .
o . . 132
2.2.8. Infinit´simos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . 133
2.2.9. Inexistencia de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.2.10. L´
ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.3. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3. Derivada de Funciones de una variable 149
3.1. Derivada y continuidad. Tangente y normal . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.1. Idea intuitiva de recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.2. Rectas tangentes no intuitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.1.3. La pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.1.4. Definici´n de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 152
3.1.5. Otra forma de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.1.6. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.1.7. Derivada y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.1.8. Significado gr´fico de la derivada: Suavidad. . . . . . . . . .
a . 156
3.1.9. La ecuaci´n de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . .
o . 156
3.1.10. La ecuaci´n de la recta normal . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 158
3.1.11. Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical . 158
3.2. Funci´n derivada. reglas de derivaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . .
o o . 159
3.2.1. Funci´n derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 159
3.2.2. Reglas de derivaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 160
3.2.3. Derivadas de funciones con un punto aparte . . . . . . . . . . 162
3.2.4. Derivada de funciones definidas a trozos . . . . . . . . . . . . 164
3.2.5. Derivaci´n de funciones impl´
o ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.2.6. Derivaci´n logar´
o ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5. ´
INDICE GENERAL v
3.2.7. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.2.8. Aproximaci´n lineal y notaci´n diferencial . . . . . . . . . . .
o o 170
3.3. L´
ımite de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.3.1. Infinit´simos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 172
3.3.2. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . . . . .
e a 172
3.3.3. Formas indeterminadas. Reglas de L’Hˆpital. . . . . . . . . .
o 173
3.4. L´
ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.5. Estudio local de funciones. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . 183
3.5.1. Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 183
3.5.2. Algunas propiedades de los polinomios . . . . . . . . . . . . . 184
3.5.3. Polinomio de Taylor de una funci´n no polin´mica . . . . . .
o o 187
3.5.4. Polinomio de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . 189
3.5.5. Resto de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.5.6. Aplicaciones de la f´rmula de Taylor a c´lculos aproximados .
o a 193
3.5.7. Aplicaciones de la F´rmula de Taylor al c´lculo de l´
o a ımites . . 195
3.6. Extremos de funciones de una sola variable . . . . . . . . . . . . . . 196
3.6.1. M´ximos y m´
a ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.6.2. M´ximos y m´
a ınimos relativos o locales . . . . . . . . . . . . . 200
3.6.3. Determinaci´n de funciones conocidos sus puntos cr´
o ıticos . . 203
3.6.4. Problemas de aplicaci´n de m´ximos y m´
o a ınimos . . . . . . . . 204
3.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4. Derivaci´n de funciones multivariables
o 211
4.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 211
4.1.2. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 212
4.1.3. La funci´n derivada parcial . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 214
4.1.4. Funciones de m´s de dos variables . . . . . . . . . .
a . . . . . 216
4.1.5. Raz´n de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 218
4.1.6. Interpretaci´n geom´trica de las derivadas parciales
o e . . . . . 219
4.1.7. Continuidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.2. Derivadas parciales de ´rdenes superiores . . . . . . . . . .
o . . . . . 222
4.3. Derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.3.1. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.3.2. Derivada direccional y derivadas parciales . . . . . . . . . . . 231
4.4. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.4.1. Generalizaci´n del concepto de diferenciabilidad . .
o . . . . . 233
4.4.2. Diferenciabilidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . 237
4.4.3. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.4.4. Diferenciabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.4.5. Diferenciabilidad de funciones de n variables . . . . . . . . . 243
4.4.6. Condici´n suficiente para la diferenciabilidad . . . .
o . . . . . 244
4.4.7. Caracterizaci´n de las funciones diferenciables . . . .
o . . . . . 246
4.4.8. Diferenciabilidad y derivadas direccionales . . . . . . . . . . . 248
4.4.9. La derivada seg´n una direcci´n curva . . . . . . . .
u o . . . . . 249
4.5. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.5.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 249
4.5.2. Vector gradiente y derivada direccional . . . . . . . . . . . . . 251
4.5.3. Gradiente y curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

6. vi ´
INDICE GENERAL
4.6. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
4.6.1. Vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
4.6.2. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
4.6.3. Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio . . . 261
4.6.4. La diferencial como aproximaci´n del incremento . . . . . .
o . 263
4.7. Funciones vectoriales y matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4.7.1. Funciones vectoriales de variable vectorial . . . . . . . . . . . 268
4.7.2. Continuidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . 269
4.7.3. Derivadas parciales de funciones vectoriales . . . . . . . . . . 271
4.7.4. Funciones vectoriales diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.8. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4.8.1. Funciones compuestas, inversas e impl´ ıcitas de una variable . 276
4.8.2. Composici´n de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . .
o . 277
4.8.3. Regla de la cadena. Perspectiva te´rica: Diferencial . . . . .
o . 280
4.8.4. Regla de la cadena. Perspectiva pr´ctica: Parciales . . . . .
a . 282
4.8.5. Regla de la cadena. Perspectiva general: Matriz jacobiana . . 290
4.9. Funciones impl´ ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.9.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.9.2. Funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
4.10. Extremos de las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . 305
4.10.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 305
4.10.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
4.10.3. Estudio de la naturaleza de los puntos cr´ ıticos . . . . . . . . 307
4.10.4. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange . 315
4.10.5. M´ximos y m´
a ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
4.11. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
5. Integral definida. C´lculo de primitivas
a 329
5.1. La estimaci´n de un area. Sumas de Riemann. . . . . . . . .
o ´ . . . . 329
5.1.1. Significado geom´trico de la integral . . . . . . . . . .
e . . . . 329
5.1.2. C´lculo de l´
a ımites utilizando el concepto de integral . . . . . 334
5.1.3. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 340
5.2. El teorema fundamental del C´lculo . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . 343
5.2.1. Regla de Barrow: La integral como una primitiva . . . . . . . 347
5.3. Integraci´n inmediata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 350
5.3.1. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . 350
5.3.2. Tabla de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.4. Integraci´n mediante cambio de variable . . . . . . . . . . . .
o . . . . 352
5.5. Integraci´n por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 356
5.6. Integraci´n de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 359
5.6.1. Integraci´n de fracciones elementales . . . . . . . . . .
o . . . . 359
5.6.2. Integraci´n mediante desarrollo en fracciones simples .
o . . . . 360
5.7. Integraci´n de expresiones trigonom´tricas . . . . . . . . . . .
o e . . . . 367
5.7.1. Integraci´n de potencias de funciones trigonom´tricas
o e . . . . 367
5.7.2. Integraci´n de funciones racionales del sen y del cos .
o . . . . 369
5.8. Integraci´n de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 371
5.8.1. Radicales semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
5.8.2. La sustituci´n trigonom´trica . . . . . . . . . . . . . .
o e . . . . 372
5.9. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

7. ´
INDICE GENERAL vii
6. Aplicaciones de la integral. 377
6.1. C´lculo del area de una figura plana. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a ´ . 377
6.2. C´lculo del volumen de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . 380
6.2.1. Volumen de un cuerpo cualquiera: M´todo de secciones . .
e . 380
6.2.2. Volumen de un s´lido de revoluci´n: M´todo de discos . . .
o o e . 381
6.2.3. Volumen de un s´lido de revoluci´n: M´todo de los cilindros
o o e . 381
6.3. L´
ımite de sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
6.4. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos 389
Bibliograf´
ıa 393
´
Indice alfab´tico
e 394
Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

9. Cap´
ıtulo 1
Conceptos b´sicos
a
1.1. La recta real
Suponemos conocidos los n´meros reales, as´ como su representaci´n en la
u ı o
recta real.
Los n´meros reales se pueden representar mediante expresiones deci-
u
males finitas o infinitas. Si la expresi´n decimal es finita o peri´dica infinita,
o o
entonces el n´mero real se puede expresar como el cociente de dos n´ meros
u u
enteros y se dice que el n´mero real es racional. Rec´
u ıprocamente cualquier
n´mero racional (cociente de dos enteros) se puede expresar mediante una
u
expresi´n decimal finita o infinita peri´dica. Cuando la expresi´n decimal
o o o
tiene infinitas cifras que no se repiten de manera peri´dica se dice que el
o
n´mero real es irracional.
u
Los n´meros reales admiten una representaci´n geom´trica en una recta.
u o e
En dicha representaci´n cada n´mero real se representa por un solo punto
o u
de la recta y cada punto de la recta representa un solo n´mero real. En con-
u
secuencia, hablaremos indistintamente de n´mero o de punto. Por convenio,
u
los n´meros positivos se representan a la derecha del cero y los negativos a
u
la izquierda. Se llama recta real a una recta en la que se han representado
los n´meros reales.
u
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
√ π
2 2
Figura 1.1: La recta real
1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos
Definici´n 1.1 (N´ meros positivos y n´ meros negativos).
o u u
1) Para cada n´mero real, a, est´ definida una y s´lo una de las siguientes
u a o
relaciones:
1

10. 2 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
a) a es mayor que cero (es positivo), a > 0;
b) a es igual a cero, a = 0;
c) a es menor que cero (es negativo), a < 0.
2) Si a y b son n´meros positivos, entonces:
u
a) Su suma es positiva, a + b > 0.
b) Su producto es tambi´n positivo, ab > 0.
e
Definici´n 1.2 (Orden en la recta real). Dados dos n´meros reales a y
o u
b. Se dice que a es menor que b y se denota a < b, si b − a es positivo.
a<b ⇔ b−a>0
Si a es menor que b, tambi´n se dice que b es mayor que a y se escribe b > a
e
ımbolo a ≤ b significa que a es menor o igual que b.
El s´
Si a < b, entonces a se representa en la recta a la izquierda de b.
Proposici´n 1.1 (Propiedades de las desigualdades). Si a, b, c y d
o
son n´meros reales, se tiene:
u
1. Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c
2. Aditiva: Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d
a+c<b+c
3. Si a < b, entonces, para cualquier n´mero real c
u
a−c<b−c
4. Si a < b y p > 0, entonces ap < bp
5. Si a < b y n < 0, entonces an > bn
Nota: En consecuencia, podemos decir que con las desigualdades se pueden realizar las
mismas transformaciones que con las igualdades, salvo que al multiplicar o dividir, ambos
miembros, por un n´ mero negativo hay que invertir el sentido de la desigualdad. As´
u ı,
−2x < 6 ↔ x > −3
Una desigualdad en la que aparecen una o varias variables tambi´n se llama inecuaci´n.
e o
Definici´n 1.3 (Intervalos). Sean a y b dos n´meros reales tales que
o u
a ≤ b. Se llama intervalo abierto de extremos a y b, al conjunto de puntos
comprendidos entre a y b, excluidos dichos puntos
(a, b) = {x ∈ R/ a < x < b}
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, al conjunto de puntos com-
prendidos entre a y b, incluidos dichos puntos
[a, b] = {x ∈ R/ a ≤ x ≤ b}

11. 1.1. LA RECTA REAL 3
Nota: Usamos par´ntesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como
e
para indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determi-
nar´ en cada caso a qu´ nos estamos refiriendo.
a e
Tambi´n se definen los siguientes tipos de intervalos:
e
Intervalos semiabiertos
[a, b) = {x ∈ R/ a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R/ a < x ≤ b}
Intervalos infinitos
(−∞, b] = {x ∈ R/ x ≤ b}
(−∞, b) = {x ∈ R/ x < b}
(a, +∞) = {x ∈ R/ a < x}
[a, +∞) = {x ∈ R/ a ≤ x}
(−∞, +∞) = R
Ejemplo 1.1 (Resolviendo inecuaciones). Hallar el conjunto soluci´n de las
o
siguientes desigualdades
a) 2x − 3 < 5 b) 3 − 2x < 5
Soluci´n. a) Operando, como si se tratara de una ecuaci´n, resulta:
o o
8
2x − 3 < 5 ⇔ 2x < 5 + 3 ⇔ x<⇔ x<2
2
Por tanto, el conjunto soluci´n es el intervalo (−∞, 2).
o
b) En este caso operamos de la misma manera, pero al dividir por -2 inver-
timos el sentido de la desigualdad. As´ı,
2
3 − 2x < 5 ⇔ −2x < 5 − 3 ⇔ x> ⇔ x > −1
−2
Luego el conjunto soluci´n es el intervalo (−1, +∞).
o
Ejemplo 1.2 (Resolviendo sistemas de inecuaciones). Hallar el conjunto
soluci´n del siguiente sistema de desigualdades
o
2x + 1 ≥ −1
3x − 7 ≤ 2
Soluci´n. Se trata de hallar la intersecci´n de los conjuntos soluci´n de
o o o
cada una de las desigualdades. Para ello, resolvemos ambas inecuaciones
por separado y luego hallamos la intersecci´n
o
2x + 1 ≥ −1 2x ≥ −1 − 1 2x ≥ −2 x ≥ −1
3x − 7 ≤ 2 3x ≤ 2 + 7 3x ≤ 9 x≤3
Luego el intervalo soluci´n es [−1, 3]
o

12. 4 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Ejemplo 1.3 (Resolviendo inecuaciones dobles). Hallar el conjunto soluci´n
o
del siguiente sistema de desigualdades
2 − 3x ≥ −1
2 − 3x ≤ 11
Soluci´n. Podemos resolver cada inecuaci´n por separado, o bien, utilizar el
o o
hecho de que la expresi´n 2 − 3x aparece en ambas inecuaciones y trabajar
o
conjuntamente. As´ı,
2 − 3x ≥ −1
− 1 ≤ 2 − 3x ≤ 11
2 − 3x ≤ 11
restando 2 en los tres miembros, resulta
−3 ≤ −3x ≤ 9
y dividiendo por -3
1 ≥ x ≥ −3
Luego el conjunto soluci´n es el intervalo [−3, 1].
o
Ejemplo 1.4 (Resolviendo inecuaciones cuadr´ticas). Hallar el conjunto
a
soluci´n de la inecuaci´n x
o o 2 < 6x − 8
Soluci´n. El camino m´s f´cil para resolver estas inecuaciones es dejar sola-
o a a
mente cero en el segundo miembro. As´ ı,
x2 − 6x + 8 < 0
ıces del polinomio p(x) = x2 − 6x + 8,
hallamos las ra´
√
6 ± 36 − 32 6±2 4
x − 6x + 8 = 0 ⇔ x =
2
= =
2 2 2
Teniendo en cuenta que un polinomio cambia de signo s´lo en sus ceros1 ,
o
podemos resolver la desigualdad probando el signo del polinomio en cada
uno de los intervalos
x < 2, 2 < x < 4, x>4
que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos
y viendo el valor del polinomio en ese punto (puesto que en todo el intervalo
el polinomio conserva el signo). As´ı,
p(0) = +8 > 0, p(3) = 9 − 18 + 8 = −1 < 0, p(5) = 25 − 30 + 8 = +3 > 0
Como la desigualdad se cumple s´lo en el intervalo central, se concluye que
o
el conjunto soluci´n es
o
2 < x < 4 es decir, el intervalo (2, 4)
1
ver Corolario 1.3 en la p´gina 69
a

13. 1.1. LA RECTA REAL 5
Ejemplo 1.5 (Resolviendo inecuaciones racionales). Hallar el conjunto solu-
ci´n de la desigualdad
o
x−2
<2
x−4
Soluci´n. Dejamos cero en el segundo miembro, y operamos
o
x−2 x−2 x − 2 − 2x + 8 6−x
<2 ⇔ −2<0 ⇔ <0 ⇔ <0
x−4 x−4 x−4 x−4
Consideramos la funci´n racional
o
6−x
r(x) =
x−4
Y teniendo en cuenta que una funci´n racional puede cambiar de signo tanto
o
en los ceros del numerador como en los ceros del denominador, resulta que la
funci´n puede cambiar de signo en los puntos: x = 4 y x = 6. Luego podemos
o
resolver la desigualdad comprobando el signo de la funci´n racional en cada
o
uno de los intervalos
x < 4, 4 < x < 6, x>6
que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos
y viendo el valor de la funci´n en ese punto. As´
o ı,
6 1 −1
r(0) = < 0, r(5) = > 0, r(7) = <0
−4 1 3
Como la desigualdad se cumple s´lo en los dos intervalos de los extremos,
o
se concluye que el conjunto soluci´n es
o
x < 4 ´ x > 6, es decir, la uni´n de los intervalos (−∞, 4) ∪ (6, +∞)
o o
Ejemplo 1.6 (Resolviendo inecuaciones racionales mediante la consideraci´n o
sucesiva de distintos casos). Hallar el conjunto soluci´n de la desigualdad
o
2x − 3 1
< (x = −3)
x+3 2
Soluci´n. Puesto que no sabemos de antemano si x+3 es positivo o negativo,
o
no podemos multiplicar, ambos miembros de la desigualdad, por x + 3, ya
que no sabemos si ha de mantenerse el sentido de la desigualdad o si ha de
cambiarse. Para ello, consideramos sucesivamente los dos casos siguientes:
a) x + 3 > 0
b) x + 3 < 0

14. 6 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
a) Consideremos el caso x + 3 > 0. Al ser x + 3 positivo podemos multiplicar
ambos miembros de la desigualdad por x + 3, manteniendo el sentido de la
misma. Co lo que resulta,
x+3>0 x > −3
2x − 3 1 −3<x<3
< 4x − 6 < x + 3 ⇔ 3x < 9 ⇔ x < 3
x+3 2
b) Consideremos ahora el caso x+3 < 0. Al ser x+3 negativo para multiplicar
ambos miembros de la desigualdad por x + 3, tenemos que invertir el sentido
de la misma. Co lo que resulta,
x+3<0 x < −3
2x − 3 1
< 4x − 6 > x + 3 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3
x+3 2
que no tiene soluci´n, puesto que ning´n n´mero x es, a la vez, x < −3 y
o u u
x > 3.
En consecuencia se concluye que el conjunto soluci´n es:
o
−3 < x < 3, es decir, el intervalo (−3, 3).
Resoluci´n de desigualdades por factorizaci´n
o o
Las desigualdades polin´micas y las racionales tambi´n pueden resolverse
o e
por factorizaci´n, como se describe en los siguientes ejemplos.
o
Ejemplo 1.7 (Resolviendo desigualdades por factorizaci´n). Resolver
o
(x + 2)(x − 1)(x − 3) > 0
Soluci´n. Hallamos los ceros de cada uno de los factores:
o
x = −2, x = 1, x=3
y consideramos los intervalos determinados por dichos ceros,
(−∞, −2), (−2, 1), (1, 3), (3, +∞)
Como el producto (x + 2)(x − 1)(x − 3) conserva el signo dentro de cada
intervalo, se trata de estudiar el signo del mismo en cada uno de ellos. Sin
embargo, en vez de elegir un n´mero en cada intervalo y ver el signo del
u
producto para dicho valor, lo que hacemos es recorrer la recta de derecha
a izquierda y tener en cuenta que cada factor cambia de signo al pasar por
su ra´ correspondiente. En consecuencia tenemos la siguiente relaci´n de
ız o
signos,
− − − − − + − + + + + +
−2 1 3

15. 1.1. LA RECTA REAL 7
Multiplicando los signos en cada intervalo, resulta que el producto es positivo
para los intervalos (−2, 1) y (3, +∞), luego el conjunto soluci´n es
o
(−2, 1) ∪ (3, +∞).
Las desigualdades racionales se resuelven igual que las polin´micas. En
o
efecto, teniendo en cuenta que el signo del cociente de dos n´meros es el mis-
u
mo que el signo de su producto, resulta que el conjunto soluci´n del cociente
o
P (x)/Q(x) > 0 es el mismo que el del producto P (x) · Q(x) > 0. En conse-
cuencia, consideramos los ceros, tanto del numerador como del denominador,
y repetimos el proceso del ejemplo anterior.
1.1.2. Valor absoluto y distancia
El valor absoluto de un n´mero real x se designa por |x| y se define del modo
u
siguiente:
|x| = x si x > 0,
|x| = −x si x < 0,
|0| = 0.
Ahora bien, teniendo en cuenta que para x = 0 es v´lida la igualdad |x| = x,
a
podemos escribir m´s brevemente
a
x si x ≥ 0
|x| =
−x si x < 0
En consecuencia, podemos dar la siguiente
Definici´n 1.4 (Valor absoluto). Se llama valor absoluto de un n´mero
o u
ımbolo |x|, a dicho n´mero si es positivo o cero,
real x, y se denota por el s´ u
y a su opuesto si es negativo.
x si x ≥ 0
| x |=
−x si x < 0
Es decir, |x| representa la distancia desde el origen al punto x.
Ejemplo, |3| = 3, |0| = 0, | − 3| = 3.
Nota: El valor absoluto de un n´ mero nunca es negativo. Puede sorprender que −x sea
u
positivo, sin embargo, esto no es nada sorprendente, ya que podemos pensar en −(−3) =
+3 que tambi´n es positivo, a pesar del signo menos inicial, ya que los dos signos menos
e
se compensan. Igual ocurre con −x donde el signo menos que aparece de manera expl´ ıcita
se compensa con el signo menos que x tiene impl´ıcitamente, ya que hemos supuesto, en el
segundo apartado, que x es negativo.
El valor absoluto tambi´n se puede definir de la siguiente forma.
e
|x| = m´x{x, −x}
a
Al valor absoluto de un n´mero tambi´n se le llama su m´dulo.
u e o

16. 8 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Ejemplo 1.8. Eliminar el valor absoluto en las siguientes expresiones:
√ √ √ √
(a) |1 + 2 − 3| (b) |1 + 2 − 10|
Soluci´n. Tenemos que comprobar si la expresi´n que hay dentro del valor
o o
absoluto da como resultado un n´mero positivo o negativo, si es positivo la
u
dejamos igual, y si es negativo la cambiamos de signo para convertirlo en
positivo. En consecuencia:
√ √ √ √
(a) |1 + √2 − √3| = 1 + 2 − 3 √
√ √ √
(b) |1 + 2 − 10| = −(1 + 2 − 10) = −1 − 2 + 10
Propiedades del valor absoluto
1. |x| ≥ 0 El valor absoluto nunca es negativo.
2. |x| = 0 ⇔ x = 0 El valor absoluto igualado a cero se puede suprimir.
3. |x|2 = |x2 | = x2 El valor absoluto elevado al cuadrado se puede suprimir.
4. |x| = | − x| Dentro del valor absoluto se puede cambiar de signo.
√
5. x2 = |x|
6. −|x| ≤ x ≤ |x|
7. |x + y| ≤ |x| + |y|
8. |xy| = |x| · |y|
9. |x| = |y| ⇔ x = ±y
Si p es positivo, se tiene: |x| < p
10. |x| ≤ p ⇔ −p ≤ x ≤ p −p 0 p
k
 Q
x≥p ' |x| = p E
11. |x| ≥ p ⇔ o k
 Q
x ≤ −p  |x| p
Aunque formalmente no es correcto, esta propiedad puede expresarse
de la forma:
|x| ≥ p ⇔ −p ≥ x ≥ p
Habr´ que tener en cuenta que cada desigualdad va por separado.
a
Nota: (Aclaraciones sobre la ra´ cuadrada). Veamos algunas aclaraciones acerca de
ız
la ra´ cuadrada. En Matem´ticas, la ra´ cuadrada de un n´mero se define de la siguiente
ız a ız u
forma
Definici´n 1.5. El n´mero b se llama ra´ cuadrada del n´mero a si b2 = a.
o u ız u
√
b = a ⇔ b2 = a

17. 1.1. LA RECTA REAL 9
Esta definici´n significa lo siguiente:
o
1. Si el n´ mero a es positivo, existen exactamente dos ra´
u ıces cuadradas de a, una
positiva y la otra negativa.
2. Si a = 0, existe una sola ra´ cuadrada de a, la que es igual a cero.
ız
3. Si el n´ mero a es negativo, no existe ninguna ra´ cuadrada de a.
u ız
En C´lculo, esta definici´n de ra´ cuadrada, si la aceptamos tal cual, presenta varias
a o ız
dificultades:
√
1. La ecuaci´n y = x no representar´ una funci´n ya que, dicha relaci´n, asignar´
o ıa o o ıa
dos valores a un mismo n´ mero, por ejemplo, f (4) = ±2, lo que no est´ permitido
u a
para las funciones como veremos en la Secci´n 1.3.
√ o
2. Seg´n esta definici´n 4 no ser´ un n´mero, sino un conjunto de n´meros, ya que
√ u o ıa u √ u
4 = {−2, 2}, y no tendr´ sentido hablar de la suma 3 + 4, ya que no sabr´
ıa ıamos
si dicha suma es 1 o 5.
Para resolver estos problemas, en C´lculo, lo que se hace es diferenciar ambas ra´
a ıces,
introduciendo el concepto de ra´ aritm´tica.
ız e
Definici´n 1.6 (Ra´ cuadrada aritm´tica). Se llama ra´ cuadrada aritm´tica de un
o ız e ız e
n´mero positivo, a, a la ra´ cuadrada positiva de este n´mero.
u ız u
√
b = a ⇔ b2 = a y b ≥ 0
En consecuencia, la afirmaci´n de que b es la ra´ cuadrada aritm´tica de a es equi-
o ız e
valente a un conjunto de dos afirmaciones: b2 = a y b ≥ 0; con esto se supone que a es un
n´mero positivo o cero.
u
En C´lculo, cuando hablamos de ra´ cuadrada nos referimos, siempre, a la ra´ cuadra-
a ız ız
da √aritm´tica. As´ por ejemplo, aunque 4 tenga dos ra´ cuadradas, 2 y -2, con el s´
e ı, ıces √ ımbo-
lo 4 solamente nos referimos a la ra´ cuadrada positiva 4 = +2. Para indicar la ra´
ız √ ız
cuadrada negativa tendremos que explicitarlo con un signo menos − 4 = −2. Es de-
√
ımbolo x denota exclusivamente la ra´
cir, en C´lculo, para evitar la ambivalencia, el s´
a ız
no-negativa de x.
Tenemos que tanto x como −x son ra´ 2 2
√ ıces cuadradas de x , ya que (+x) = x y
2
2 2
(−x) = x . Sin embargo, en C´lculo, x2 no es simplemente un n´ mero cualquiera que
a u
elevado al cuadrado da x2 , sino que es indispensablemente un n´ mero positivo o cero. En
u
consecuencia, √
x2 = |x|
Lo que significa que, en general, no se va a poder compensar el cuadrado con la ra´
ız
cuadrada, salvo que el radicando sea positivo.
√
x2 = x
Por otro lado, la soluci´n de la ecuaci´n x2 = p no se puede expresar simplemente
o o
√
con x = p, ya que con este s´ ımbolo nos vamos a referir, exclusivamente, a una de las dos
posible soluciones. En consecuencia tendremos que indicar
√
x2 = p ⇒ x = ± x
Ejemplo 1.9 (Ecuaciones con valor absoluto). Resolver las siguientes ecua-
ciones:
1. |x − 5| = 4, 2. |x − 5| = −4, 3. |x − 5| = 0, 4. |x + 1| = 3x − 9
Soluci´n.
o

18. 10 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
x−5=4 x=9
1. |x − 5| = 4 ⇒ o
´
x − 5 = −4 x=1
2. |x − 5| = −4 No tiene soluci´n.
o
3. |x − 5| = 0 ⇒ x−5=0 ⇒ x=5
x+1≥0 x ≥ −1
x=5
x + 1 = 3x − 9 10 = 2x
4. |x + 1| = 3x − 9 ⇒ ´
o ⇒x=5
x+1≤0 x ≤ −1
No
−x − 1 = 3x − 9 8 = 4x
En general, el m´todo m´s directo de atacar un problema referente a
e a
valores absolutos requiere la consideraci´n por separado de distintos casos,
o
con objeto de eliminar el valor absoluto. En particular, siempre habr´ que a
considerar si lo que hay dentro del valor absoluto es positivo o es negativo.
Esto hace que cuando aparecen varios valores absolutos, la casu´ ıstica se
complique, ya que hay que considerar, por separado, todas las posibilidades,
en cuanto al signo, de las expresiones que hay dentro de cada uno de los
valores absolutos.
Sin embargo, en ocasiones pueden emplearse otros m´todos m´s sencillo
e a
que eliminen el valor absoluto, sin tener que acudir a la casu´
ıstica de los sig-
nos. Bien, acudiendo a las propiedades del valor absoluto, o bien, utilizando
la representaci´n gr´fica. Por ejemplo, la ecuaci´n |x + 1| = 3x − 9 tambi´n
o a o e
puede resolverse gr´ficamente, estudiando los puntos de corte de las gr´ficas
a a
de las funciones f (x) = |x + 1| y g(x) = 3x − 9. Otra manera de abordar
esta ecuaci´n es resolviendo la ecuaci´n irracional: (x + 1)2 = 3x − 9
o o
Nota: Al resolver una ecuaci´n con valores absolutos, cada caso supone resolver un sistema
o
formado por una inecuaci´n y una ecuaci´n. Evidentemente, la inecuaci´n no es necesario
o o o
resolverla, ya que podemos resolver la ecuaci´n y comprobar si las soluciones de la misma
o
cumplen o no la inecuaci´n. Si la cumplen la aceptamos como soluci´n y si no la cumplen
o o
la rechazamos.
Puede ocurrir que una soluci´n rechazada en un caso, aparezca como soluci´n valida
o o
en otro de los casos. En tal caso se acepta la soluci´n (siempre est´ la posibilidad de
o a
comprobar las soluciones en la ecuaci´n inicial).
o
Cuando se trata de resolver una inecuaci´n con valores absolutos, entonces s´ que hay
o ı
que resolver todas las desigualdades, ya que se trata de encontrar la intersecci´n de los
o
conjuntos soluci´n.
o
Si aparecen varios valores absolutos cada sistema tendr´ varias inecuaciones que corre-
ıa
r´ la misma suerte de lo dicho anteriormente.
ıan
Ejemplo 1.10. Resolver la ecuaci´n |x2 − 2x − 8| = x + 2
o
Soluci´n. Consideramos sucesivamente los dos casos:
o
a) x2 − 2x − 8 ≥ 0,
b) x2 − 2x − 8 0.

19. 1.1. LA RECTA REAL 11
a) x2 − 2x − 8 ≥ 0. En este caso resulta la ecuaci´n: x2 − 2x − 8 = x + 2.
o
En consecuencia tenemos que resolver el sistema
x2 − 2x − 8 ≥ 0
x2 − 3x − 10 = 0
Para ello resolvemos la ecuaci´n y comprobamos las soluciones en la in-
o
ecuaci´n. As´
o ı,
√
3 ± 9 + 40 3±7 5
x − 3x − 10 = 0 → x =
2
= =
2 2 −2
de donde,
x = 5 ⇒ 52 − 2 · 5 − 8 = 25 − 10 − 8 = 7 0,
x = −2 ⇒ (−2)2 − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0.
Luego las dos soluciones son v´lidas.
a
b) x2 − 2x − 8 0. En este caso resulta la ecuaci´n: −x2 + 2x + 8 = x + 2.
o
En consecuencia tenemos que resolver el sistema
x2 − 2x − 8 0
x2 − x − 6 = 0
Para ello resolvemos la ecuaci´n y comprobamos las soluciones en la in-
o
ecuaci´n. As´
o ı,
√
1 ± 1 + 24 1±5 3
x −x−6=0 → x=
2
= =
2 2 −2
de donde,
x = 3 ⇒ 32 − 2 · 3 − 8 = 9 − 6 − 8 = −5 0,
x = −2 ⇒ (−2)2 − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0.
En este caso la primera soluci´n es valida y la segunda no. No obstante,
o
x = −2 es valida, por el caso anterior.
En consecuencia las soluciones de la ecuaci´n inicial son x = −2, x = 3
o
y x = 5.
Ejemplo 1.11. Resolver la ecuaci´n x2 − 4|x| − 5 = 0
o
Soluci´n. En este ejemplo, para liberarnos del m´dulo podemos considerar
o o
sucesivamente los dos casos x ≥ 0 y x 0; o bien, teniendo en cuenta que
x2 = |x|2 , transformar la ecuaci´n inicial en |x|2 −4|x|−5 = 0 que se resuelve
o
con un cambio de variable, o bien, directamente:
√
4 ± 16 + 20 4±6 5⇒x=5 o −5 ´
|x| − 4|x| − 5 = 0 ⇒ |x| =
2
= =
2 2 −1 no es soluci´n
o
Luego la ecuaci´n inicial tiene dos soluciones x = 5 y x = −5.
o

20. 12 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Ejemplo 1.12 (Desigualdades con valor absoluto). Resolver las siguientes
desigualdades:
1. |x − 1| ≤ 3, 2. |2 − 4x| ≤ 6, 3. |x| ≥ 2
4. |x − 1| ≥ 2 5. |2x − 3| ≤ −2, 6. |2x − 3| ≥ −2
Soluci´n.
o
ä ç
1. |x − 1| ≤ 3 ⇒ −3 ≤ x − 1 ≤ 3 ⇒ −2 ≤ x ≤ 4 ⇒ x ∈ − 2, 4
2. |2 − 4x| ≤ 6 ⇒ −6 ≤ 2 − 4x ≤ 6 ⇒ −8 ≤ −4x ≤ 4 ⇒ 2 ≥ x ≥ −1 ⇒
ä ç
⇒ −1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x ∈ − 1, 2
x≥2 ç ä
3. |x| ≥ 2 ⇒ ⇒ x ∈ − ∞, −2 ∪ 2, +∞
x ≤ −2
x≥3
4. |x − 1| ≥ 2 ⇒ −2 ≥ x − 1 ≥ 2 ⇒ −1 ≥ x ≥ 3 ⇒ ⇒
x ≤ −1
ç ä
⇒ x ∈ ∞, −1 ∪ 3, +∞
5. |2x − 3| ≤ −2 ⇒ No tiene soluci´n.
o
6. |2x − 3| ≥ −2 ⇒ Se cumple siempre, luego x ∈ (−∞, +∞)
Ejemplo 1.13 (Sistemas de desigualdades). Resolver el sistema de desigual-
dades:
|2x − 2| ≤ 4
|2x − 3| ≥ 1
Soluci´n. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego hallamos la
o
intersecci´n de los conjuntos soluci´n.
o o
|2x − 2| ≤ 4 −4 ≤ 2x − 2 ≤ 4 ⇒ −2 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ −1 ≤ x ≤ 3
x≥2 ⇒
|2x − 3| ≥ 1 −1 ≥ 2x − 3 ≥ 1 ⇒ 2 ≥ 2x ≥ 4 ⇒ 1 ≥ x ≥ 2 ⇒
x≤1
ä ç ä ç
⇒ x ∈ − 1, 1 ∪ 2, 3
Expresi´n de intervalos mediante valor absoluto
o
Cualquier intervalo se puede expresar en t´rminos de valor absoluto de la
e
siguiente forma:
ä ç a+b b−a
a, b = x ∈ R/ |x − |≤
2 2
Si m es el punto medio del intervalo [a, b], y r el radio, entonces:
|x − m| ≤ r

21. 1.1. LA RECTA REAL 13
Nota: Para hallar el punto medio de un intervalo basta con hallar la media aritm´tica de
e
sus extremos. Es decir, el punto medio del intervalo (a, b) es
a+b
m=
2
Ejemplo 1.14 (Expresi´n de intervalos mediante valor absoluto). Expresar
o
mediante valor absoluto los siguientes intervalos:
ä ç ä ç ç ä ç ä
1. − 2, 2 , 2. − 1, 3 , 3. − ∞, −2 ∪ 2, +∞ , 4. − ∞, 1 ∪ 5, +∞ .
Soluci´n.
o
ä ç
1. − 2, 2 = {x ∈ R/ |x| ≤ 2}
ä ç
2. − 1, 3 = {x ∈ R/ |x − 1| ≤ 2}
ç ä
3. − ∞, −2 ∪ 2, +∞) = {x ∈ R/ |x| ≥ 2}
ç ä
4. − ∞, 1 ∪ 5, +∞) = {x ∈ R/ |x − 3| ≥ 2}
Definici´n 1.7 (Intervalo reducido de un punto). Se llama entorno
o
reducido de un punto a un entorno en el que se ha suprimido el punto.
Ejemplo 1.15 (Expresi´n mediante valor absoluto de un entorno reducido).
o
Expresar mediante valor absoluto un entorno reducido de 4 de radio 2.
Soluci´n.
o
(2, 4) ∪ (4, 6) = {x ∈ R/ 0 |x − 4| 2}
La manera de expresar que x = 4 es mediante la desigualdad 0 |x − 4|
Distancia entre dos puntos de la recta real
Definici´n 1.8 (Distancia entre dos puntos de la recta real). La
o
distancia entre dos puntos x1 y x2 de la recta real, viene definida por el
valor absoluto de su diferencia
d = |x2 − x1 | = (x2 − x1 )2
Nota: El orden en que se restan los puntos x1 y x2 no importa, ya que |x2 −x1 | = |x1 −x2 |
A la diferencia de los n´ meros (sin el valor absoluto) se le llama distancia dirigida.
u
As´
ı,
a) la distancia dirigida de x1 a x2 es x2 − x1 ; y,
b) la distancia dirigida de x2 a x1 es x1 − x2 .
En consecuencia, la distancia dirigida es positiva cuando se mide hacia la derecha
(orden creciente de los n´ meros) y negativa cuando se mide hacia la izquierda (orden
u
decreciente de los n´meros).
u
Ejemplo 1.16 (Distancia en la recta). Hallar la distancia entre -2 y 5

22. 14 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Soluci´n. a) La distancia entre -2 y 5 viene dada por:
o
d = |5 − (−2)| = |7| = 7
b) La distancia dirigida desde -2 a 5 es 5-(-2)=7
c) La distancia dirigida desde 5 a -2 es -2-5=-7
Distancia = 7
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
Figura 1.2: Distancia en la recta real
Ejercicios propuestos de la secci´n 1.1. La recta real
o
Soluciones en la p´gina 389
a
1.1.1. Resolver las inecuaciones:
a) 3x − 4 ≤ −1 b) 2 − 3x ≥ 11
1.1.2. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones
3x − 2 ≥ 7 4x − 1 ≥ −5 3 − 2x ≥ −1
a) b) c)
5x − 7 ≤ 3 7x − 1 ≤ 13 3 − 2x ≤ 7
1.1.3. Resolver las desigualdades:
2x − 3
a) x2 + 5 ≤ 6x b) 1
x−5
1.1.4. Resolver las desigualdades:
1
a) x b) 3 ≤ x2 − 6x + 8 ≤ 8
x
1.1.5. Resolver las ecuaciones:
¬
¬ ¬
¬ ¬
¬ ¬
¬ ¬
¬ ¬
¬
a) |x + 1| + 2 = 2 b) |x + 1| + 2 = 1 c) |x + 1| + 2 = 3
1.1.6. Resolver las ecuaciones:
¬x − 2¬
¬
a) |3x − 6| = x + 2 b) ¬x − 1¬ = 3
¬
c) |x2 − 6x + 8| = x − 2 d) x2 + |x| − 2 = 0
1.1.7. Resolver las desigualdades
¬x − 2¬
¬
a) |3x − 6| x + 2 b) ¬x − 1¬ 3
¬
1.1.8. Expresar mediante valor absoluto las siguientes desigualdades:
x0 − δ x x0 + δ
a) b) − ε f (x) + ε
x = x0

23. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 15
1.2. El plano y el espacio cartesiano
1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas
a) Plano cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o carte-
siano, en el plano, se construye mediante dos rectas perpendiculares, lla-
madas ejes de coordenadas. La recta real horizontal se llama tradicional-
mente eje x y la vertical eje y. Su punto de intersecci´n se llama origen de
o
coordenadas.
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamadas cua-
drantes.
Cada punto del plano se identifica por un par ordenado (x, y) de n´meros
u
reales, llamados coordenadas del punto. El n´mero x se llama coordenada x
u
o abscisa y representa la distancia dirigida desde el eje y al punto. El n´mero
u
y se llama coordenada y u ordenada y representa la distancia dirigida desde
el eje x al punto.
y
Cuadrante II 3 Cuadrante I
2 x (x, y)
y
1 y
x
−3 −2 −1 1 2x3
−1
−2 Origen
Cuadrante III −3 Cuadrante IV
Figura 1.3: El plano cartesiano
Nota: Usamos par´ntesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como
e
para indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determi-
nar´ en cada caso a qu´ nos estamos refiriendo.
a e
b) Espacio cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o carte-
siano, en el espacio, se construye mediante tres rectas perpendiculares, lla-
madas ejes de coordenadas. El primer eje se llama tradicionalmente eje x,
el segundo eje y, y el tercero eje z. Su punto de intersecci´n se llama origen
o
de coordenadas.
Un sistema de referencia tridimensional puede tener orientaci´n positiva
o
u orientaci´n negativa. Tiene orientaci´n positiva si un “tornillo” situado
o o
en el eje z que gire desde el eje x hacia el eje y, avanza hacia la direcci´n
o
positiva del eje z; y orientaci´n negativa si avanza en direcci´n contraria.
o o
Los ejes de coordenadas, tomados de dos en dos, determinan tres planos
coordenados, denominados por plano xy, plano xz y plano yz. Estos planos

24. 16 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
z z
T T
y x
E E
x
©
y
©
Orientaci´n positiva
o Orientaci´n negativa
o
Figura 1.4: Las dos orientaciones del espacio.
coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas octantes. El primer
octante es aquel en que las tres coordenadas son positivas.
Cada punto del espacio se identifica por una terna ordenada (x, y, z) de
n´meros reales, llamados coordenadas del punto. El n´mero x se llama co-
u u
ordenada x o abscisa y representa la distancia dirigida desde el plano yx al
punto. El n´mero y se llama coordenada y u ordenada y representa la dis-
u
tancia dirigida desde el plano xz al punto. El n´mero z se llama coordenada
u
z o cota y representa la distancia dirigida desde el plano xy al punto.
P (x, y, z)
z
y x
y
z
x
Figura 1.5: El espacio cartesiano
1.2.2. Distancia entre dos puntos
a) En el plano. Para hallar la distancia entre dos puntos del plano (x1 , y1 )
y (x2 , y2 ). Formamos con ellos un tri´ngulo rect´ngulo, con lados paralelos
a a
a los ejes de coordenadas, y aplicamos el teorema de Pit´goras.
a
y
y1 (x1 , y1 )
|y2 − y1 | d
y2 (x2 , y2 )
|x2 − x1 |
x1 x2 x
Figura 1.6: Distancia entre dos puntos
En su virtud, resulta
d2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

25. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 17
de donde, tomando la ra´ cuadrada positiva, ya que la distancia entre dos
ız
puntos es un n´mero positivo, resulta
u
d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Proposici´n 1.2 (Distancia entre dos puntos del plano). La distancia
o
d entre los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) viene dada por
d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
b) En el espacio. Para hallar la distancia entre dos puntos del espacio,
(x1 , y1 , z1 ) y (x2 , y2 , z2 ), se aplica el teorema de Pit´goras dos veces y se
a
obtiene la siguiente f´rmula o
d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
c) En el espacio n-dimensional. Se llama punto x de un espacio n-
dimensional al conjunto ordenado (n-upla) de n´meros reales (x1 , x2 , · · · , xn )
u
El n´mero xi se llama coordenada i-´sima del punto x; i = 1, 2, . . . , n.
u e
Definici´n 1.9 (Distancia entre dos puntos de Rn ). La distancia
o
entre dos puntos x = (x1 , · · · , xn ) e y = (y1 , · · · , yn ) se define por la
f´rmula
o
d(x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 (1.1)
Ejemplo 1.17 (Distancia entre dos puntos). Hallar la distancia:
a) Entre los puntos (−2, 4) y (2, 1).
b) Entre los puntos (2, 2, 3) y (3, 4, 5).
Soluci´n. Aplicando, en cada caso, la f´rmula (1.1), resulta
o o
√ √
a) d = [2 − (−2)]2 + (1 − 4)2 = 16 + 9 = 25 = 5
√ √
b) d = (3 − 2)2 + (4 − 2)2 + (5 − 3)2 = 1 + 4 + 4 = 9 = 3
1.2.3. El c´
ırculo y la esfera
a) La circunferencia en el plano. Teniendo en cuenta que la circunferen-
cia de centro (x0 , y0 ) y radio r est´ formada por los puntos del plano cuya
a
distancia al centro (x0 , y0 ) es el radio r, resulta
Proposici´n 1.3 (Ecuaci´n de la circunferencia). El punto (x, y)
o o
est´ en la circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´lo si
a o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 (1.2)

26. 18 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Demostraci´n. En efecto, si (x, y) es un punto de la circunferencia, su dis-
o
tancia al centro (x0 , y0 ), ser´ r, en consecuencia
a
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r
y elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaci´n
o
de la circunferencia
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
Si la circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0) y
radio r, su ecuaci´n ser´
o a
x2 + y 2 = r2
Se llama c´
ırculo o disco al interior de una circunferencia. En consecuencia
Proposici´n 1.4 (Ecuaci´n de un c´
o o ırculo o disco). El punto (x, y)
ırculo de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´lo si
est´ en el c´
a o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 r2 (1.3)
Si consideramos que el c´
ırculo incluye la circunferencia, su ecuaci´n es
o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2
y y
(x0 , y0 ) (x0 , y0 )
r r
(x, y) (x, y)
x x
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2
Figura 1.7: Circunferencia y c´
ırculo
Ejemplo 1.18 (Hallando la ecuaci´n de una circunferencia). Una circunfe-
o
rencia tiene su centro en el punto (−2, 1) y contiene al punto (1, 3)
a) Halla la ecuaci´n de la circunferencia
o
b) Halla la ecuaci´n del c´
o ırculo delimitado por la circunferencia
Soluci´n. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1) y el punto (1, 3). En
o
consecuencia,
√ √
r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 = 9 + 4 = 13
Por lo tanto, se tiene: a) Ecuaci´n de la circunferencia.
o
√
[x − (−2)]2 + (y − 1)2 = ( 13)2

27. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 19
de donde,
(x + 2)2 + (y − 1)2 = 13
b) Ecuaci´n del c´
o ırculo.
(x + 2)2 + (y − 1)2 13
y
(1, 3)
(−2, 1)r
x
Figura 1.8: (x + 2)2 + (y − 1)2 ≤ 13
Ecuaci´n general de la circunferencia. Si en la ecuaci´n can´nica de la
o o o
circunferencia
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
eliminamos los par´ntesis y simplificamos, resulta una ecuaci´n del tipo
e o
Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0, A=0 (1.4)
que es la forma general de la ecuaci´n de la circunferencia.
o
Nota: Obs´rvese que los coeficientes de x2 y de y 2 han de ser iguales para que se trate
e
de una circunferencia.
Ejemplo 1.19 (Completando cuadrados). Hallar el centro y el radio de la
circunferencia cuya ecuaci´n en forma general es
o
4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0
Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando
o o
cuadrados. Para ello; en primer lugar, dividimos por 4 para que los coefi-
cientes de x2 e y 2 sean 1.
13
4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0 → x2 + y 2 + x − 4y + =0
4
y, en segundo lugar, agrupamos los t´rminos semejantes.
e
13
(x2 + x+ ) + (y 2 − 4y+ )=−
4
Completamos los cuadrados
1 13 1
x2 + 1x + + (y 2 − 4y + 4) = − + + 4
4 4 4

28. 20 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
de donde resulta
1 2
x+ + (y − 2)2 = 1
2
y por tanto, la circunferencia tiene centro en el punto ( −1 , 2) y radio 1.
2
Ejemplo 1.20 (Conjunto soluci´n con un unico punto). Discutir la gr´fica
o ´ a
de la ecuaci´n
o
3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0
Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando
o o
cuadrados. Para ello, en primer lugar dividimos por 3 para que los coefi-
cientes de x2 e y 2 sean 1.
3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0 → x2 + y 2 − 6x − 4y + 13 = 0
en segundo lugar agrupamos los t´rminos semejantes
e
(x2 − 6x+ ) + (y 2 − 4y+ ) = −13
completamos los cuadrados, con lo que resulta
(x2 − 6x + 9) + (y 2 − 4y + 4) = −13 + 9 + 4
de donde
(x − 3)2 + (y − 2)2 = 0
y esta ecuaci´n s´lo se cumple cuando x = 3 e y = 2. Es decir, la gr´fica de
o o a
la ecuaci´n se reduce al punto (3, 2)
o
Ejemplo 1.21 (Ecuaci´n sin conjunto soluci´n). Discutir la gr´fica de la
o o a
ecuaci´n
o
x2 + y 2 + 2x − 4y + 9 = 0
Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando
o o
cuadrados. Agrupamos los t´rminos semejantes, tenemos
e
(x2 + 2x+ ) + (y 2 − 4y+ )+9=0
completando cuadrados
(x + 1)2 − 1 + (y − 2)2 − 4 + 9 = 0
de donde resulta
(x + 1)2 + (y − 2)2 = −4
que no tiene soluci´n ya que la suma de dos cuadrados no puede dar un
o
resultado negativo.

29. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 21
Nota: La ecuaci´n general Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 no siempre representa una
o
circunferencia, sino que, en algunas ocasiones se reduce a un punto, y en otras no tiene
soluci´n
o
b) La esfera en el espacio. Teniendo en cuenta que la superficie esf´rica e
de centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r est´ formada por los puntos del espacio cuya
a
distancia al centro (x0 , y0 , z0 ) es el radio r, resulta la siguiente
Proposici´n 1.5 (Ecuaci´n de la superficie esf´rica). El punto
o o e
(x, y, z) est´ en la superficie esf´rica de centro (x0 , y0 , x0 ) y radio r si
a e
y s´lo si
o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 (1.5)
Demostraci´n. En efecto, si (x, y, z) es un punto de la superficie esf´rica, su
o e
distancia al centro (x0 , y0 , z0 ), ser´ r. En consecuencia
a
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r
y elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaci´n
o
de la superficie esf´rica
e
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2
Si la esfera tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0, 0) y radio
r, la ecuaci´n de la superficie esf´rica ser´
o e a
x2 + y 2 + z 2 = r2
Se llama esfera o bola al interior de una superficie esf´rica. En conse-
e
cuencia
Proposici´n 1.6 (Ecuaci´n de una esfera o bola). El punto (x, y, z)
o o
est´ en la esfera de centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r si y s´lo si
a o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 r2 (1.6)
Si consideramos que la esfera incluye la superficie esf´rica, su ecuaci´n es
e o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ≤ r2
Ejemplo 1.22 (Hallando la ecuaci´n de una esfera). Una superficie esf´rica
o e
tiene su centro en el punto (−2, 1, 3) y contiene al punto (1, 3, 2)
a) Halla la ecuaci´n de la superficie esf´rica
o e
b) Halla la ecuaci´n de la esfera delimitada por la superficie esf´rica
o e
Soluci´n. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1, 3) y el punto (1, 3, 2).
o
En consecuencia,
√ √
r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 + (2 − 3)2 = 9 + 4 + 1 = 14

30. 22 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Por lo tanto, se tiene: a) Ecuaci´n de la superficie esf´rica.
o e
√ 2
[x − (−2)]2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = ( 14)
de donde,
(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 14
b) Ecuaci´n de la esfera.
o
(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 ≤ 14
Ejercicios propuestos de la secci´n 1.2. El plano y el espacio
o
cartesiano
Soluciones en la p´gina 389
a
1.2.1. Hallar la distancia entre las siguientes parejas de punto:
a) (−1, −1) y (−2, −2) b) (2, 1, 3) y (4, 2, 1)
1.2.2. Hallar x tal que la distancia del origen al punto (x, 4) sea 5.
1.2.3. Hallar y de modo que la distancia de (−1, 2) a (2, y) sea 5.
1.2.4. Hallar la ecuaci´n de una circunferencia:
o
a) Que tiene su centro en el punto (1, 1) y pasa por el origen de coordenadas.
b) Que pasa por los puntos (1, 1), (3, 1) y (3, 3).
1.2.5. Discutir las gr´ficas de las ecuaciones:
a
a) x2 + y 2 + 6x − 4y + 12 b) x2 + y 2 − 2x + 4y + 5 = 0 c) x2 + y 2 − 4x − 6y + 14 = 0
1.2.6. Hallar, en cada caso, el conjunto de todos los puntos que verifican la desigualdad
a) x2 +y 2 −6x−4y +9 ≤ 0 b) x2 +y 2 −4x−2y +1 0 c) x2 +y 2 +2x−4y +6 0
1.2.7. Determinar la gr´fica de la ecuaci´n: 2(x + y) − (x + y)2 = (x − y)2
a o
1.2.8. Hallar la ecuaci´n de una superficie esf´rica que tiene a los puntos (3, 2, 3) y
o e
(−1, −2, 1) como extremos de un di´metro.
a
1.3. Funciones
1.3.1. Definiciones
En la vida real nos encontramos con magnitudes que est´n relacionadas entre
a
s´ bien, porque existe una relaci´n num´rica entre ella, de manera que el
ı, o e
valor de una de ellas depende del valor de la otra. Por ejemplo la distancia
recorrida por un autom´vil depende del tiempo que lleva circulando. La
o
demanda de un determinado producto depende de su precio; o bien, porque
existe entre ellas una relaci´n no num´rica, de cualquier naturaleza. Por
o e
ejemplo los ciudadanos y los pa´ ıses del mundo est´n relacionados por la
a
nacionalidad.

31. 1.3. FUNCIONES 23
De las causas de estas relaciones se ocupan las distintas ramas del saber
(F´ısica, Econom´ Derecho, etc.). En C´lculo nos ocupamos del estudio de
ıa, a
estas relaciones vistas en s´ mismas, desposey´ndolas del significado material
ı e
de las magnitudes que intervienen. Adem´s, nos limitamos, en gran medida,
a
a un tipo particular de relaciones denominadas funciones.
Una funci´n es una correspondencia entre dos magnitudes (num´ricas
o e
o no num´ricas). Ahora bien, cuando nos referimos a funciones, la corres-
e
pondencia siempre hay que entenderla en una direcci´n determinada, por
o
ejemplo, el espacio funci´n del tiempo (el espacio ser´ la imagen y el tiem-
o ıa
po el origen). No obstante, hay que advertir que no se considera funci´n a o
cualquier correspondencia, sino que para que una correspondencia sea fun-
ci´n, la imagen de cada elemento tiene que ser unica y estar bien determi-
o ´
nada. Por ejemplo, la relaci´n entre los ciudadanos y los pa´ del mundo
o ıses
mediante la nacionalidad no es una funci´n, porque existen ciudadanos con
o
doble nacionalidad. Es decir, para que una correspondencia sea funci´n, los
o
originales no pueden tener m´s de una imagen, si bien, varios originales
a
distintos s´ que pueden tener la misma imagen. En consecuencia una corres-
ı
pondencia puede ser funci´n en un sentido y no serlo en el sentido contrario.
o
Nota: Aunque el concepto de funci´n nace del estudio de la relaci´n existente entre
o o
dos magnitudes que est´n vinculadas por una relaci´n de causalidad (causa-efecto), y se
a o
establece la causa como variable independiente y el efecto como variable dependiente. Sin
embargo, en Matem´ticas se pueden establecer funciones entre dos magnitudes, aunque
a
no exista ning´n tipo de causalidad entre ellas. Es decir, se pueden establecer relaciones
u
de manera artificial.
La idea de ((funci´n)) que se adquiere en los primeros contactos con el
o
C´lculo, tanto en la Ense˜anza Secundaria como en el Bachillerato, por
a n
lo com´n, suele identificar el concepto de funci´n con una ((f´rmula)), por
u o o
ejemplo
f (x) = x2 − 5x + 6,
y se entiende que esta f´rmula asocia a cada n´mero real x otro n´mero real
o u u
f (x). Basta sustituir x por un n´mero concreto y hacer las operaciones indi-
u
cadas, para obtener su imagen. Tambi´n se comprende que ciertas f´rmulas,
e o
tales como √
g(x) = x − 4,
no est´n definidas para todos los n´meros reales, y por tanto, que haya
e u
n´meros reales que no tengan imagen mediante dichas funciones, de ah´ el
u ı
estudio de los dominios. Sin embargo, el alumno de Secundaria, e incluso el
de Bachillerato, se suele resistir a comprender que haya funciones definidas
((a trozos)), ((en partes)), o ((seg´n los casos)). Es decir, funciones en las que
u
no todos los n´meros tienen el mismo tratamiento, sino que seg´n sea el
u u
n´mero se le aplica una f´rmula u otra para calcular su imagen. El ejemplo
u o

32. 24 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
m´s caracter´
a ıstico de este tipo de funciones es la funci´n valor absoluto
o
h(x) = |x|
que se define ((a trozos)) de la siguiente forma
x si x ≥ 0
h(x) =
−x si x 0
M´s incomprensible suelen se las funciones que se definen ((con un punto
a
aparte)) como la funci´n
o
sen x
x si x = 0
k(x) =
1 si x = 0
o las funciones definidas ((seg´n la naturaleza)) del punto, como por ejemplo
u
x si x ∈ Q
l(x) =
−x si x ∈ R − Q
en donde a los n´meros racionales se les aplica una f´rmula y a los irra-
u o
cionales otra.
Dentro de esta asociaci´n de ideas, funci´n versus f´rmula, todav´ es
o o o ıa
mucho m´s incomprensible el hecho de que haya funciones para las que no
a
exista una ((f´rmula)) que las represente.
o
Otra asociaci´n de ideas que tambi´n suele resultar perniciosa a la ho-
o e
ra de generalizar el concepto de funci´n es el identificar la funci´n con su
o o
((gr´fica)). Tanto la ((f´rmula)) como la ((gr´fica)) son dos instrumentos que
a o a
nos ayudan, enormemente, a comprender el concepto de ((funci´n)), pero no
o
debemos identificar los instrumentos con el concepto mismo, ni sentirnos
“atrapados” por los instrumentos a la hora de generalizar los conceptos.
Estas identificaciones de ideas que realizan los alumnos de Secundaria y
Bachillerato no nos deben de preocupar en demas´ ya que responden a las
ıa
mismas identificaciones de ideas que han realizado los matem´ticos a lo largo
a
de la historia de las Matem´ticas, pero es bueno explicitarlas y ponerlas de
a
manifiesto con objeto de superarlas.
Estas observaciones ponen de manifiesto que el requisito de que una fun-
ci´n sea una f´rmula es indebidamente restrictivo, y m´s a´n, el identificar
o o a u
las funciones con sus gr´ficas. Por otro lado, tambi´n resulta importante
a e
hacer una clara distinci´n entre la funci´n misma y los valores de la funci´n.
o o o
Es decir, una cosa es la funci´n f y otra el valor f (x).
o
Una primera aproximaci´n al concepto de funci´n podr´ ser la siguiente
o o ıa
definici´n:
o
Una funci´n f de un conjunto A a un conjunto B (A y B no necesaria-
o
mente distintos) es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento
x de un cierto subconjunto D de A, un elemento (y s´lo uno) bien determi-
o
nado y de B (adem´s, ni A ni B pueden ser el conjunto vac´
a ıo).

33. 1.3. FUNCIONES 25
Esto lo indicaremos de la siguiente forma,
f
D ⊆ A − B o bien f : D ⊆ A → B
→
f : x → y, o bien y = f (x)
Esta definici´n admite la posibilidad de que la funci´n pueda no estar
o o
definida para ciertos elementos de A, as´ como que haya elementos de B que
ı
no sean im´genes de elementos de A. Es decir, que tanto en A como en B
a
puede haber elementos no relacionados mediante la funci´n f . Y adem´s,
o a
admite la consideraci´n de funciones para las cuales los conjuntos A y B no
o
son necesariamente de n´meros reales. Sin embargo, la definici´n presenta
u o
un inconveniente y es que no es totalmente clara, ya que no se define lo que
deba interpretarse por ((regla de correspondencia)).
Una forma m´s precisa de definir el concepto de funci´n consiste en
a o
imaginarla como el conjunto formado por las parejas de elementos que est´n
a
relacionados entre s´ La funci´n, as´ concebida, ser´ un conjunto de pares
ı. o ı ıa
ordenados f ⊆ A×B. Evidentemente cualquier conjunto de pares ordenados
no define una funci´n, ya que el primer elemento de las parejas no se puede
o
repetir dentro del conjunto. La funci´n, as´ concebida, ser´ un conjunto, y
o ı ıa
la podemos pensar como el conjunto de puntos que integran la gr´fica de la
a
funci´n. La definici´n, en estos t´rminos, es la siguiente:
o o e
Definici´n 1.10 (Funci´n). Sean A y B conjuntos (no vac´ y no nece-
o o ıos
sariamente distintos). Una funci´n de A a B es un conjunto f de pares
o
ordenados de A × B con la propiedad de que si (a, b) y (a, b ) son elementos
de f , entonces b = b .
f = {(a, b) ∈ A × B / (a, b) ∈ f y (a, b ) ∈ f ⇒ b = b }
Resulta conveniente tener siempre presente esta doble concepci´n de las
o
funciones: una est´tica, como un conjunto de pares ordenados (a, b); y otra
a
din´mica, como una transformaci´n del primer elemento de cada par en el
a o
segundo b = f (a).
Si (a, b) es un elemento de una funci´n f , entonces, en vez de escribir
o
(a, b) ∈ f , se escribe:
b = f (a) o
´ f : a→b
es decir, por lo general, se hace referencia al elemento b como el valor de f
en el punto a, o la imagen de a bajo f .
Al exigir que la imagen ha de estar bien determinada lo que estamos
haciendo es eliminar la posibilidad de definir una funci´n mediante la que
o
se estableciera, por ejemplo, que la imagen de 4 ser´ 2 o −2, seg´n nos
a u
convenga en cada caso.
Dominio y recorrido de una funci´n
o

34. 26 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Dominio. Al conjunto de todos los elementos de A que pueden aparecer
como primeros miembros de elementos de f se le llama dominio de f , y
se denota por Df , o simplemente D. Es decir, el dominio est´ formado
a
por todos los elementos de A que tienen imagen.
Recorrido. Al conjunto de todos los elementos de B que puedan aparecer
como segundos miembros de elementos de f se le llama rango, recor-
rido, imagen o conjunto de valores de f y se denota por Rf , o simple-
mente R. Es decir, el recorrido est´ formado por todos los elementos
a
de B que son imagen.
En el caso de que Df = A, la funci´n se llama ((aplicaci´n)), y se dice que
o o
f mapea o proyecta A en B (o que es un mapeo o proyecci´n de A en B) y
o
se escribe f : A → B.
Nota: No obstante, hay que advertir que algunos autores exigen en la definici´n de funci´n
o o
que el dominio coincida con el conjunto inicial, Df = A, e identifican ((funci´n)) con
o
((aplicaci´n)).
o
Sin embargo, nosotros entendemos que no es necesario incluir dicha restricci´n en la
o
definici´n de funci´n, y preferimos considerar las ((aplicaciones)) como un caso particular
o o
de las ((funciones)).
Nosotros hablaremos indistintamente de la funci´n f : A → B con dominio D ⊆ A, y
o
de la aplicaci´n f : D → B, salvo que, por cualquier motivo, tengamos que diferenciarlas.
o
Y, en general, escribiremos f : D ⊆ A → B para hacer referencia a cualquiera de las dos
funciones.
En las funciones que se estudian en C´lculo los conjuntos A y B son
a
subconjuntos de R o de Rn , y escribiremos:
f : D ⊆ R −→ R
f : x −→ y o bien, y = f (x)
En esta notaci´n se enfatiza el dominio D de la funci´n, sin embargo, el
o o
rango no queda expl´ ıcito. En C´lculo nos ocupamos mucho m´s del dominio
a a
que del rango. Las funciones de este tipo se llaman funciones reales de una
variable real (funciones reales porque las im´genes, f (x), son n´meros reales;
a u
de una variable real porque x ∈ R).
1.3.2. Representaci´n de funciones
o
Existen diversas maneras de visualizar una funci´n, las m´s usuales son
o a
mediante las cuatro representaciones siguientes:
1. Verbal – mediante una descripci´n con palabras.
o
2. Num´rica – mediante una tabla de valores.
e
3. Algebraica – mediante una ecuaci´n.
o
4. Visual – mediante – una gr´fica,
a
– un diagrama de flechas,
– una m´quina.
a

35. 1.3. FUNCIONES 27
Unas representaciones responden mejor a la concepci´n est´tica de la
o a
funci´n, como conjunto de pares ordenados; y otras a la concepci´n din´mi-
o o a
ca, como proyecci´n o transformaci´n.
o o
Nota: Si bien, una misma funci´n puede representarse mediante todas las maneras posi-
o
bles, incluso, a veces, es conveniente utilizar varias representaciones de una misma funci´n
o
para tener un conocimiento m´s completo de la misma. Hay que tener en cuenta que
a
ciertas funciones se describen de manera m´s natural con uno de los m´todos que con
a e
otro.
a) Descripci´n verbal. Una funci´n puede venir definida mediante una
o o
descripci´n verbal. Por ejemplo, la funci´n que indica la relaci´n existente
o o o
entre el peso de las manzanas y el precio que hay que pagar por ellas,
suponiendo que el kilo de manzanas cuesta 1.5 euros.
b) Representaci´n tabular. Una manera importante de representar una
o
funci´n es mediante una tabla. Es lo que hacemos, normalmente, cuando
o
vamos a representar gr´ficamente una funci´n: darle valores y formar una
a o
tabla con ellos. La tabla puede construirse de manera horizontal o vertical.
x y
x0 y0 x x0 x1 · · ·
x1 y1 y y0 y 1 · · ·
.
. .
.
. .
Este procedimiento es especialmente util cuando se trata de representar
´
funciones no num´ricas. Por ejemplo, si queremos asociar una serie de pa´
e ıses
con sus capitales, podemos tener la siguiente funci´n:
o
Pa´ıs Capital
Argentina Buenos Aires
Chile Santiago
Espa˜a
n Madrid
M´xico
e M´xico
e
Per´u Lima
c) Expresi´n algebraica. En C´lculo la principal manera de representar
o a
una funci´n es mediante una ecuaci´n que liga a las variables (dependiente e
o o
independiente). Para evaluar la funci´n se a´ la variable dependiente en la
o ısla
parte izquierda de la ecuaci´n, con objeto de obtener la relaci´n funcional.
o o
As´ si escribimos la ecuaci´n 3x + 2y = 1 de la forma
ı, o
1 − 3x
y=
2
tenemos descrita y como funci´n de x y podemos denotar la relaci´n fun-
o o
cional mediante la expresi´n
o
1 − 3x
f (x) =
2

36. 28 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Lo que nos permite evaluar la funci´n f en cualquier punto de su dominio,
o
sin m´s que sustituir x por el valor concreto. As´
a ı,
1 − 3(5) −14
f (5) = = = −7
2 2
Esta manera de expresar las funciones permite definir funciones por sec-
ciones, es decir, mediante varias f´rmulas, de tal manera que seg´n los casos
o u
se aplica una u otra.
Ejemplo 1.23 (Evaluando una funci´n definida por varias f´rmulas). Dada
o o
la funci´n definida por
o
´
x2 + 3 si x ≥ 1
f (x) =
2x + 5 si x 1
Evaluar f (0), f (1) y f (2).
Soluci´n. Lo que significa la expresi´n de f (x) es que antes de decidirnos por
o o
la f´rmula a aplicar hay que ver de qu´ n´mero se trata. As´ para evaluar los
o e u ı,
n´meros mayores o iguales que 1 se aplica la expresi´n x2 + 3, y para evaluar
u o
los n´meros menores que 1 se aplica la expresi´n 2x + 5. En consecuencia,
u o
f (0) = 2 · 0 + 5 = 0 + 5 = 5
f (1) = 12 + 3 = 1 + 3 = 4
f (2) = 22 + 3 = 4 + 3 = 7
d) Gr´fica. Una manera de visualizar una funci´n es por medio de una
a o
gr´fica. La gr´fica de una funci´n de una variable, por lo general, es una
a a o
curva en el plano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representaci´n
o
de una funci´n. Para que una curva represente una funci´n no puede tener
o o
dos puntos en la misma vertical, ya que para que una correspondencia entre
dos magnitudes sea funci´n, la imagen tiene que ser unica. Por lo tanto, una
o ´
recta vertical puede cortar a la gr´fica de una funci´n a los sumo una vez
a o
(test de la recta vertical ).
y
T y
T • y2
y = f (x)
•y
x
E • y1
x x
E
x
Figura 1.9: Gr´fica de una funci´n de una variable. La circunferencia no es la gr´fica de
a o a
una funci´n (test de la recta vertical).
o

37. 1.3. FUNCIONES 29
Nota: Aunque la gr´fica de una funci´n y la propia funci´n son dos conceptos totalmente
a o o
diferentes (la gr´fica no es m´s que uno de los multiples instrumentos que podemos utilizar
a a
para visualizar la funci´n), es usual identificar una funci´n con su gr´fica. As´ por ejem-
o o a ı,
plo, es costumbre referirse a la par´bola y = x2 , como si ambos conceptos fueran lo mismo.
a
(Nosotros, para evitar sutilezas, por lo general, diremos la par´bola de ecuaci´n y = x2 ).
a o
De lo dicho se desprende que existe una gran cantidad de ((curvas)) que
quedan excluidas del concepto de funci´n, entre ellas, la circunferencia y la
o
elipse. Sin embargo, no por ello quedan excluidas de nuestro estudio. Sino
que aplicaremos las propiedades de las funciones a las correspondencias que
no lo son descomponi´ndolas en funciones. Por ejemplo, la ecuaci´n de una
e o
circunferencia x 2 + y 2 = 1 no representa (globalmente) una funci´n, ya que
o
para cada valor de una de las variables hay dos valores de la otra, con lo
cual se viola el concepto de funci´n. En consecuencia, la descomponemos en
o
dos funciones: una que toma el valor positivo (semicircunferencia superior),
y otra el valor negativo (semicircunferencia inferior). En efecto, tenemos:
√
y1 = +√1 − x2
x +y =1 ⇒ y =1−x ⇒ y =± 1−x
2 2 2 2 2 ⇒
y2 = − 1 − x2
y y √ y
T x2 + y 2 = 1 T y = + 1 − x2 T
Ex Ex Ex
√
y = − 1 − x2
Figura 1.10: La circunferencia no es una funci´n, pero podemos descomponerla en dos
o
funciones.
e) Diagrama de flechas. Existe otra manera de visualizar una funci´n, o
sobre todo a nivel te´rico, como una proyecci´n de una parte del conjunto
o o
A hacia una parte del conjunto B. Para visualizarla se utiliza un diagrama
de flechas.
f
ar ‚r b
Df Rf
A B
Figura 1.11: Funci´n vista como proyecci´n
o o
Cuando (a, b) ∈ f , nos imaginamos que f toma el elemento a del subcon-
junto Df de A y lo proyecta o mapea en el elemento b = f (a) del subconjunto
Rf de B.

38. 30 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
f ) La funci´n como una m´quina. Existe otra manera de visualizar una
o a
funci´n, concebida como una transformaci´n, especialmente util para com-
o o ´
prender algunas propiedades te´ricas, y que consiste en imaginar la funci´n
o o
como una ((m´quina)) que acepta elementos de Df como materia prima pro-
a
duciendo elementos correspondientes de Rf como producto final.
x → f → f (x)
Figura 1.12: La funci´n como una m´quina de transformaci´n.
o a o
Esta representaci´n aclara la diferencia entre f y f (x); lo primero es la
o
m´quina y lo segundo el producto de la m´quina al ser alimentada por x.
a a
1.3.3. Dominio impl´
ıcito de una funci´n
o
El dominio de una funci´n puede venir expresado expl´
o ıcitamente junto con
la ecuaci´n que define la funci´n (dominio expl´
o o ıcito), o bien, no se expresa
porque se entiende que viene determinado impl´ ıcitamente en la ecuaci´n que
o
define la funci´n (dominio impl´
o ıcito). El dominio impl´ ıcito es el conjunto de
todos los n´meros para los que est´ definida la ecuaci´n que define la funci´n.
u a o o
Por ejemplo, la funci´n
o
√
f (x) = x + 3 x ∈ {1, 6, 13}
ıcito solamente Df = {1, 6, 13}, y por tanto s´lo se
tiene como dominio expl´ o
debe aplica a los n´mero indicados, mientras que la funci´n
u o
√
f (x) = x + 3
tiene como dominio impl´ ıcito Df = {x / x ≥ −3} que son todos los n´meros
u
para los que tiene sentido la ecuaci´n que define la funci´n.
o o
En las aplicaciones pr´cticas del C´lculo, cuando se conoce el significado
a a
de las magnitudes que intervienen, el dominio de la funci´n, por lo general,
o
queda determinado por el contexto del problema (dominio contextual).
Ejemplo 1.24 (Hallando el dominio de una funci´n). Encontrar el dominio
o
de las funciones
x √ x−2
a) f (x) = 2−1
b) g(x) = x−1 c) h(x) = √ d) k(x) = ln x
x x−1
Soluci´n. a) Se trata de encontrar aquellos n´meros, x, para los cuales tiene
o u
sentido la f´rmula dada para f (x). Es decir ¿qu´ valores pueden darse a
o e
x, de manera que al realizar las operaciones indicadas en la expresi´n que
o
define f (x) se obtenga un valor num´rico y no tropecemos con una operaci´n
e o
imposible?

39. 1.3. FUNCIONES 31
Es evidente que, en este caso, el dominio de la funci´n es todo el con-
o
junto R excepto los n´meros 1 y -1, es decir, Df = R − {−1, 1}, pues la
u
expresi´n puede ser calculada para cualquier n´mero real, excepto para esos
o u
dos n´meros. En efecto,
u
2 2
f (2) = =
22 − 1 3
0 0
f (0) = 2 = =0
0 −1 −1
Sin embargo, al sustituir cualquiera de los n´meros 1 o -1 tropezamos con
u
una operaci´n imposible, como es dividir por cero.
o
1 1
f (1) = =
−1
12 0
−1 −1
f (−1) = 2−1
=
(−1) 0
La determinaci´n de los n´meros 1 y -1 se realiza resolviendo la ecuaci´n
o u o
x2 − 1 = 0 → x2 = 1 → x = ±1
T´ngase en cuenta que en una fracci´n la unica limitaci´n que existe es que
e o ´ o
el denominador no puede tomar el valor cero, mientras que el numerador
puede tomar cualquier valor.
b) Se trata de una ra´ cuadrada, luego el radicando no puede ser negativo.
ız
En consecuencia
x−1≥0 → x≥1 ⇒ Dg = [1, +∞)
c) En esta caso, al estar la ra´ cuadrada en el denominador no puede tomar
ız
el valor cero, luego el radicando ha de ser estrictamente positivo, En conse-
cuencia
x − 1 0 → x 1 ⇒ Dh = (1, +∞)
d) El logaritmo s´lo est´ definida para los n´meros positivos. En consecuen-
o a u
cia
Dk = (0, +∞)
Nota: Al calcular el dominio de una funci´n deben tenerse en cuenta, entre otras, las
o
siguientes circunstancias:
1. Que no se puede dividir por cero.
2. Que las ra´ıces de ´
ındice par s´lo est´n definidas para los n´meros positivos y el
o a u
cero.
3. Que los logaritmos s´lo est´n definidos para los n´meros positivos.
o a u

40. 32 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
1.3.4. Restricciones y extensiones de funciones
Restricci´n Si f es una funci´n con dominio Df y D1 es un subconjunto
o o
de Df , D1 ⊆ Df , se puede definir una nueva funci´n f1 con dominio
o
D1 por medio de f1 (x) = f (x) para cada x ∈ D1 . Esta funci´n se llama
o
restricci´n de f al conjunto D1 . Es decir,
o
f1 = {(a, b) ∈ f / a ∈ D1 }
y se escribe f1 = f |D1 para denotar la restricci´n de la funci´n f al
o o
conjunto D1 .
Extensi´n Si g es una funci´n con dominio Dg y D2 ⊇ Dg , entonces
o o
cualquier funci´n g2 con dominio D2 tal que g2 (x) = g(x) para to-
o
do x ∈ Dg se llama una extensi´n de g al conjunto D2 .
o
Nota: Usualmente no nos referiremos expl´
ıcitamente a las restricciones de una funci´n,
o
ıcita utilizando el siguiente lenguaje: Sea f una funci´n
sino que lo haremos de manera impl´ o
definida en un entorno de x0 , entonces ... o bien, sea f una funci´n definida y que cumple
o
tal condici´n en un conjunto D1 , entonces ... u otras expresiones similares. Entendemos
o
que, en dichos casos, la funci´n puede tener un dominio superior, pero que el entorno o el
o
conjunto D1 , respectivamente, est´n contenidos en ese dominio. Sin hacer disquisiciones
a
exquisitas sobre si nos estamos refiriendo a la funci´n o a una restricci´n de la misma.
o o
1.3.5. Composici´n de funciones.
o
Composici´n de funciones, en general. Componer dos funciones con-
o
siste en aplicar la segunda funci´n al resultado de la primera. Es decir, para
o
((componer)) dos funciones se aplica primero f a cada x en Df y despu´s see
aplica g a f (x), siempre que sea posible (es decir, cuando f (x) pertenezca a
Dg ).
f g
x −→ y −→ z
x −→f (x)−→ g f (x)
Por ejemplo, si f est´ definida en todo R por f (x) = x3 y g est´ definida s´lo para
a a o
√
x ≥ 0 por g(x) = x, entonces, la composici´n g ◦ f s´lo se puede definir para x ≥ 0, y
o o
√
para estos n´meros reales deber´ tener el valor x3 .
u a
En consecuencia, para poder componer dos funciones el conjunto final
de la primera funci´n tiene que coincidir, de alguna manera, con el conjunto
o
inicial de la segunda.
f g
A −→ B −→ C
Definici´n 1.11 (Composici´n como aplicaci´n sucesiva de fun-
o o o
ciones). Sea f una funci´n con dominio Df en A y rango Rf en B y
o
sea g una funci´n con dominio Dg en B y rango Rg en C. La composici´n
o o
g ◦ f (observe el orden) es la funci´n desde A a C dada por
o
g◦f = {(a, c) ∈ A×C / existe un elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ f y (b, c) ∈ g}

41. 1.3. FUNCIONES 33
De la propia definici´n se desprende inmediatamente que si f y g son fun-
o
ciones, entonces la composici´n g ◦ f es una funci´n con
o o
Dg◦f = {x ∈ Df / f (x) ∈ Dg }
Rg◦f = {g f (x) / x ∈ Dg◦f }
La composici´n de funciones tambi´n se puede interpretar como una susti-
o e
tuci´n de una funci´n en la otra. En este sentido, la composici´n tambi´n
o o o e
se puede definir de la siguiente forma
Definici´n 1.12 (Composici´n como sustituci´n de la variable).
o o o
Sean f y g dos funciones cualesquiera. Se llama composici´n de f con g, y
o
se representa por g ◦ f , a la funci´n definida del siguiente modo:
o
ä ç
g ◦ f (x) = g f (x)
El dominio de g ◦ f es el conjunto de todas las x del dominio de f tales que
f (x) est´ en el dominio de g
e
Dg◦f = {x ∈ Df / f (x) ∈ Dg }
Obs´rvese que el orden en que se escribe la composici´n g ◦f es el inverso
e o
al orden en que act´an las funciones (primero f , despu´s g).
u e
La composici´n de funciones se puede visualizar mediante un diagrama
o
de m´quinas (Fig. 1.13) o un diagrama de flechas (Fig. 1.14)
a
ä ç
x → f → f (x) → g → g f (x)
Figura 1.13: La m´quina g ◦ f est´ compuesta por las dos m´quinas.
a a a
f g
‚ ‚
x
• • ä ç
•
f (x) g f (x)
B
g◦f
Figura 1.14: Composici´n de funciones
o
De la definici´n se deduce que la composici´n de funciones no siempre
o o
est´ definida, siendo necesario y suficiente para ello que el recorrido de la
a
primera tenga puntos comunes con en el dominio de la segunda. Es decir,
Rf ∩ Dg = ∅

42. 34 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
con objeto de que se pueda establecer la conexi´n
o
x −→ f (x) −→ g f (x)
para alg´n elemento x ∈ Df .
u
Nota: No obstante, en ocasiones, y sobre todo a nivel te´rico, nos va a interesar que
o
el dominio de la funci´n compuesta no se reduzca a un conjunto de ((puntos aislados)),
o
sino que se trate de un ((conjunto abierto)), con objeto de poder asegurar determinados
teoremas, por ejemplo, de derivaci´n. En el caso particular de que el recorrido de la primera
o
funci´n est´ totalmente contenido en el dominio de la segunda, resultar´ que el dominio
o e a
de la composici´n coincidir´ con el dominio de la primera funci´n.
o a o
f g
‚ ‚
Df Dg
B
A B C
g◦f
¡
Figura 1.15: f D ⊆ D ⇔ Dg◦f = Df
f g
Si no se da esta situaci´n, entonces exigiremos la posibilidad de poder restringir la
o
¡
∗
funci´n f a un nuevo dominio Df , que cumpla las condiciones exigidas en el teorema
o
∗ ∗
correpondiente, y para el que se cumpla f Df ⊆ Dg , con objeto de que Dg◦f = Df .
Ahora bien, en la pr´ctica, cuando vamos a resolver un problema de composici´n de
a o
funciones, para ver si es posible la composici´n, simplemente nos fijaremos en los conjun-
o
tos inicial y final de cada funci´n, sin hacer referencia a los dominios. En consecuencia,
o
bastar´ observar si el conjunto final de la primera funci´n coincide (o se puede hacer coin-
a o
cidir, de alguna manera) con el conjunto inicial de la segunda, y posteriormente haremos
referencia al dominio de la composici´n obtenida. Es decir, para componer buscaremos la
o
posibilidad de la situaci´n:
o
f g
A −→ B B −→ C
para poder establecer:
g◦f
A −→ C
Para representar la composici´n de funciones, algunas veces, son c´modos
o o
los siguientes diagramas conmutativos:
f
A −−→ B
−−
h g
C
Decir que el esquema es conmutativo significa que da lo mismo pasar de A a
C por la derecha que por la izquierda. Lo que equivale a escribir: h = g ◦ f .
Tambi´n es costumbre representar el diagrama anterior con un aspecto
e
m´s lineal
a
f g
A− B− C
→ →

43. 1.3. FUNCIONES 35
Hay que advertir que, en general, la composici´n de funciones no es
o
conmutativa, es decir, en la generalidad de los casos ser´ f ◦g = g◦f , incluso,
a
puede suceder que est´ definida la composici´n en un orden y no en el otro.
e o
Sin embargo, s´ se cumple la propiedad asociativa f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.
ı
Composici´n de funciones reales de una variable real. Componer dos
o
funciones consiste en aplicar la segunda funci´n al resultado de la primera.
o
Ahora bien, desde el punto de vista anal´ ıtico, este concepto puede tener
una segunda lectura. Anal´ ıticamente, la composici´n de funciones, tambi´n
o e
significa sustituir una funci´n en la otra. Es decir, si tenemos la funci´n
o o
y = f (x) que establece la dependencia entre y y x, y la funci´n x = g(t),
o
que establece la dependencia entre x y t, podemos sustituir esta ultima en
´
la primera y obtener y = f g(t) . A la funci´n as´ obtenida (que env´ t a
o ı ıa
y) se le llama composici´n de f con g y se denota por f ◦ g. Obs´rvese que
o e
el orden en que se escribe la composici´n f ◦ g es el inverso al orden en que
o
act´an las funciones (primero g, despu´s f ).
u e
Conviene tener siempre presente esta doble visualizaci´n de la composi-
o
ci´n de funciones: como aplicaci´n sucesiva de dos funciones, y como susti-
o o
tuci´n de la variable por una funci´n de otra variable. En esquema ser´ lo
o o ıa
siguiente:
(a) Como aplicaci´n sucesiva de funciones:
o
g f
t• ‚ ‚
x• •y
B
f ◦g
Figura 1.16: Composici´n de funciones
o
(b) Como sustituci´n de la variable:
o
y = f (x)
y = f g(t)
x = g(t)
Es evidente, como ya se ha dicho, que para poder componer dos fun-
ciones, en su totalidad, el rango de la primera ha de estar contenido en el
dominio de la segunda g(Dg ) ⊆ Df , en caso contrario, despu´s de aplicar g
e
no podr´ıamos aplicar f . Sin embargo, esta restricci´n no es necesaria para
o
poder realizar, parcialmente, la composici´n de las funciones, s´lo que, en
o o
este caso, habr´ que reducir el dominio de la composici´n a los puntos del
a o
dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio de la segunda.
Desde el punto de vista formal la composici´n, de funciones reales de una
o
variable real, puede enunciarse de la siguiente forma: Dadas las funciones

44. 36 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
g : I ⊆ R → R, f : J ⊆ R → R (tales que g(I) ⊆ J), se llama composici´n o
de f con g y se denota f ◦ g : I ⊆ R → R, a la funci´n (f ◦ g)(x) = f g(x) .
o
g f
µ
g:I⊆R→R I→J − R
− → (f ◦ g)(x) = f g(x)
f :J ⊆R→R f ◦g :I ⊆R→R
En el caso de que no se cumpla la condici´n g(I) ⊆ J, la composici´n tambi´n
o o e
es posible, siempre que g(I) ∩ J = ∅. En tal caso habr´ que restringir las
a
funciones a aquellos puntos en los que la composici´n sea posible. Es decir,
o
a los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio
de la segunda.
Ejemplo 1.25 (Componiendo funciones). Dada las funciones
f (x) = 3x − 1 y g(x) = x2 + 2
Hallar f ◦ g(x) y g ◦ f (x)
Soluci´n. Tenemos que f ◦ g(x) = f g(x) , luego, bastar´ con sustituir en
o a
f (x) el valor de x por g(x). As´
ı,
f ◦ g(x) = f g(x) = 3g(x) − 1 = 3(x2 + 2) − 1 = 3x2 + 6 − 1 = 3x2 + 5
Mientras que g ◦f (x) = g f (x) , luego, bastar´ con sustituir en g(x) el valor
a
de x por f (x). As´
ı,
2
g◦f (x) = g f (x) = f (x) +2 = (3x−1)2 +2 = 9x2 −6x+1+2 = 9x2 −6x+3
Nota: Como se observa en este ejemplo, en general, la composici´n de funciones no cumple
o
la propiedad conmutativa. Es decir, f ◦ g = g ◦ f .
1.3.6. Funciones inyectivas e inversas
Funci´n inyectiva. Una funci´n se dice que es inyectiva cuando elementos
o o
distintos tienen im´genes distintas, es decir, cuando no existen dos elementos
a
distintos con la misma imagen. Por tanto, f es inyectiva si y s´lo si:
o
f (a) = f (a ) ⇒ a = a
O bien, alternativamente, f es inyectiva si y s´lo si, para a y a en Df , se
o
tiene
a = a ⇒ f (a) = f (a )
Formalmente se puede establecer la siguiente definici´n:
o
Definici´n 1.13 (Funci´n inyectiva). Sea f una funci´n con dominio
o o o
Df en A y rango Rf en B. Se dice que f es inyectiva o uno a uno si, cada
vez que (a, b) y (a , b) son elementos de f , entonces a = a

45. 1.3. FUNCIONES 37
Si f es inyectiva se dice que f es una inyecci´n.
o
Funci´n inversa. Se llama rec´
o ıproca de una funci´n a la correspondencia
o
que se obtiene al intercambiar las im´genes por los correspondientes origi-
a
nales de dicha funci´n. Evidentemente la rec´
o ıproca de una funci´n no tiene
o
por qu´ ser otra funci´n. En efecto, basta que dos elementos diferentes ten-
e o
gan la misma imagen, para que la rec´ ıproca asigne a esa imagen los dos
originales, lo que contradice la definici´n de funci´n. Sin embargo, si la fun-
o o
ci´n es inyectiva, entonces la rec´
o ıproca es una funci´n y, adem´s, es inyectiva.
o a
Es decir, si f es inyectiva desde A a B, entonces el conjunto de pares orde-
nados en B × A que se obtienen al intercambiar las componentes de cada
uno de los pares ordenados de f da una funci´n g que tambi´n es inyectiva.
o e
Teorema 1.1 (Existencia de funci´n la inversa). Una funci´n posee
o o
funci´n inversa si y s´lo si es inyectiva
o o
Las relaciones entre una funci´n f y su inversa g son las siguientes:
o
f
´
Dg = Rf , Rg = Df
A −−→ B
−−
−
←g −
(a, b) ∈ f ⇔ (b, a) ∈ g o bien b = f (a) ⇔ a = g(b)
o o ıproca de f y se denota por f −1 .
La funci´n g se llama funci´n inversa o rec´
En consecuencia:
f ´
Df −1 = Rf , Rf −1 = Df
A ←−− B
−−→
−−
f −1 (a, b) ∈ f ⇔ (b, a) ∈ f −1 o bien b = f (a) ⇔ a = f −1 (b)
En consecuencia, se puede establecer la siguiente
Definici´n 1.14 (Funci´n rec´
o o ıproca o inversa). Sea f una inyecci´n o
con dominio Df en A y rango Rf en B. Si g = {(b, a) ∈ B × A / (a, b) ∈ f },
entonces g es una inyecci´n con dominio Dg = Rf en B y con rango Rg =
o
Df en A. La funci´n g se llama funci´n inversa de f y se denota por f −1
o o
Desde el punto de vista del mapeo, la funci´n inversa se puede interpretar
o
de la siguiente forma: Si f es inyectiva mapea elementos distintos de Df hacia
elementos distintos de Rf . De tal manera que cada elemento b de Rf es la
imagen bajo f de un unico elemento a de Df . La funci´n inversa f −1 mapea
´ o
el elemento b hacia este elemento unico a.
´
Proposici´n 1.7 (Composici´n de funciones rec´
o o ıprocas). Dos fun-
ciones son rec´ıprocas si y solamente si, al componerlas se obtiene la identi-
dad. Es decir,
f f −1 (x) = x para todo x del dominio de f −1
y
f −1 f (x) = x para todo x del dominio de f

46. 38 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
f
ar rb
Df Rf
f −1
A B
Figura 1.17: Funci´n inversa
o
Nota: En consecuencia, para que dos funciones reales de variable real, f y g, sean inversas
la una de la otra se ha de cumplir:
1. Dg = Rf , y Rg = Df .
2. Que ambas sean inyectivas:
3.
¡
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 y g(x1 ) = g(x2 ) ⇒ x1 = x2
Que su composici´n sea la identidad f g(x) = g f (x) = x
o
¡
Ejemplo 1.26 (Componiendo funciones rec´
ıprocas). Comprobar que las si-
guientes funciones son rec´
ıprocas
√
f (x) = x3 + 1 y g(x) = 3
x−1
Soluci´n. Se tiene:
o
a) Los dominios y recorridos de ambas funciones coinciden con el conjunto
de los n´meros reales. En consecuencia Dg = Rf , y Rg = Df
u
b) Ambas funciones son inyectivas. En efecto.
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x3 + 1 = x3 + 1 ⇒ x3 = x3 ⇒ x1 = x2
1 2 1 2
√ √
g(x1 ) = g(x2 ) ⇒ 3
x1 − 1 = 3
x2 − 1 ⇒ x1 − 1 = x2 − 1 ⇒ x1 = x2
c) La composici´n de f con g viene dada por
o
√ 3
f g(x) = 3
x−1 +1=x−1+1=x
y la composici´n de g con f viene dada por
o
Õ √
3
x3 + 1 − 1 = x3 + 1 − 1 =
3 3
g f (x) = x3 = x
Luego se tiene que f g(x) = g f (x) = x y, en consecuencia, podemos
concluir que f y g son inversas una de otra.
En la Figura 1.18 aparecen las gr´fica de las funciones f y g. Como puede
a
verse, son sim´tricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante,
e
y = x. Es decir, la gr´fica de f −1 es una reflexi´n de la gr´fica de f en la
a o a
l´
ınea y = x.

47. 1.3. FUNCIONES 39
3 y=x
y
2
1 f (x) = x3 + 1
0 x
-1
√
g(x) = 3
x−1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3
Figura 1.18:
Proposici´n 1.8 (Rec´
o ıproca de la rec´ ıproca). Si g es la inversa de f ,
entonces tambi´n f es la inversa de g. Es decir, la rec´
e ıproca de la rec´
ıproca
es la propia funci´n.
o
−1
f −1 =f
Nota: Hay que advertir que aunque para denotar a la funci´n inversa se utiliza el expo-
o
nente −1, no por eso se trata de una potencia. La utilizaci´n de esta notaci´n es c´moda
o o o
cias, como es que la rec´ ıproca coincide con la propia funci´n f −1
ıproca de la rec´ o
porque algunas propiedades de la funci´n inversa recuerdan las propiedades de las poten-
o
−1 ¡
= f.
Sin embargo, hay que advertir que esta notaci´n puede inducir a enga˜o, ya que, en general
o n
1
f −1 (x) =
f (x)
C´lculo de la correspondencia rec´
a ıproca. Para calcular la rec´
ıproca de
una funci´n se pueden seguir dos procedimientos:
o
a) Deshaciendo operaciones. Consiste en deshacer las operaciones en el
orden inverso al que est´n realizadas en la funci´n dada. Este m´todo so-
a o e
lamente es aplicable a funciones que vienen definidas mediante ecuaciones
sencillas, en las que aparece una sola vez la variable independiente x. Par-
tiendo de x vemos qu´ operaciones hay que realizar para construir la funci´n
e o
f (x). La inversa se obtiene deshaciendo las operaciones en el orden inverso
al que est´n realizadas en la funci´n dada.
a o
b) Despejando la variable independiente. Consiste en despejar la vari-
able independiente, x, en la ecuaci´n y = f (x), con objeto de obtener la
o
rec´
ıproca, x = g(y) (que puede expresarse en t´rminos de x intercambiando
e
x por y para obtener y = g(x)).
Nota: Los pasos a seguir para calcular la funci´n inversa son:
o
1. Comprobar que la funci´n es inyectiva y, en consecuencia, tiene funci´n inversa
o o
(Teorema 1.1 p´g. 37).
a
2. Despejar x en funci´n de y: x = g(y) = f −1 (y).
o
3. Intercambiar x por y, con objeto de tener la funci´n inversa en t´rminos de x:
o e
y = g(x) = f −1 (x).

48. 40 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
4. Definir el dominio de f −1 como el recorrido de f .
Ejemplo 1.27 (Deshaciendo operaciones). Calcular la rec´proca de las si-
ı
guientes funciones
a) f (x) = x + 3 b) f (x) = 3x b) f (x) = 5x3 + 2
Soluci´n. Las tres funciones son inyectivas y est´n definidas para todos los
o a
n´meros reales, en consecuencia, sus correspondencias rec´
u ıprocas son fun-
ciones. Para calcularlas, partimos de x y deshacemos las operaciones, en el
orden inverso al que est´n dadas. As´
a ı,
a) La funci´n f supone sumar 3. En consecuencia, su rec´
o ıproca consistir´ en
a
restar 3.
f (x) = x + 3 ⇒ f −1 (x) = x − 3
b) La funci´n f supone multiplicar por 3. En consecuencia, su rec´
o ıproca
consistir´ en dividir por 3.
a
f (x) = 3x ⇒ f −1 (x) = x/3
c)La funci´n f supone:
o
1o ) Elevar al cubo 2o ) Multiplicar por 5 3o ) Sumar 2
En consecuencia, su rec´
ıproca consistir´ en:
a
Ö
1o ) Restar 2 2o ) Dividir por 5 3o ) Extraer la ra´ c´bica.
ız u
x−2
Luego, f −1 (x) = 3
5
Ejemplo 1.28 (Hallando la funci´n rec´
o ıproca). Hallar, si existen, las fun-
ciones inversas de:
a) f (x) = x2
b) f (x) = x2 con Df = {x ∈ R/ x ≥ 0}
c) f (x) = x2 con Df = {x ∈ R/ x ≤ 0}
Soluci´n. a) La funci´n f (x) = x2 con dominio Df = R no es inyectiva y
o o
en consecuencia la correspondencia inversa no es una funci´n. En efecto, la
o
funci´n f es la funci´n f = {(x, x2 ); x ∈ R}, y f´cilmente se ve que no es
o o a
uno a uno. En efecto, f (2) = f (−2) = 4, y en consecuencia los dos pares
ordenados (2, 4) y (−2, 4) pertenecen a f . En general, se tiene
x1 = x2
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x2 = x2 ⇒
1 2
x1 = −x2
b) En este caso, al haberse restringido el dominio de la funci´n, exclusiva-
o
mente, a los n´meros no negativos, la funci´n resulta inyectiva. En efecto,
u o
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x2 = x2 ⇒ x1 = x2
1 2

49. 1.3. FUNCIONES 41
En consecuencia, la funci´n tiene inversa. El procedimiento para calcular la
o
funci´n inversa consiste en expresar x en funci´n de y.
o o
√
y = x2 ⇒ x = y y ∈ Rf = {y ∈ R; y ≥ 0}
√
O bien, expresado en t´rminos de x, f −1 (x) =
e x
c) Este caso es similar al caso anterior. La funci´n tambi´n es inyectiva y,
o e
en consecuencia, tiene inversa.
√
f −1 (x) = − x
Ejemplo 1.29 (Hallando la funci´n rec´
o ıproca). Hallar, si existe, la funci´n
o
rec´
ıproca de:
3x + 5
f (x) =
x−2
Soluci´n. –La funci´n es inyectiva. En efecto, sea f (x1 ) = f (x2 ), ser´;
o o a
3x1 + 5 3x2 + 5
=
x1 − 2 x2 − 2
de donde, quitando denominadores y operando, resulta
(3x1 + 5)(x2 − 2) = (3x2 + 5)(x1 − 2)
3x1 x2 − 6x1 + 5x2 − 10 = 3x1 x2 − 6x2 + 5x1 − 10
y simplificando, resulta x1 = x2
–Despejando la variable x resulta,
3x − 5
y= ⇒ y(x − 2) = 3y + 5 ⇒ yx − 2y = 3y + 5 ⇒ x(y − 3) = 2y + 5
x−2
2y + 5
⇒x=
y−3
De donde, intercambiando la variables, se tiene
2x + 5 2x + 5
y= ⇒ f −1 (x) =
x−3 x−3
–En lo que respecta al dominio y recorrido, se tiene:
Df = Rf −1 = R − {2}
Rf = Df −1 = R − {3}
Nota: El proceso para obtener la ecuaci´n correspondiente a la rec´
o ıproca de una funci´n,
o
suele ser complicado y en muchos casos imposible. As´
ı,

50. 42 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
1. Mediante el procedimiento de deshacer operaciones solamente es posible hallar la
ecuaci´n de la rec´
o ıproca de funciones sencillas, tales que en su f´rmula s´lo aparezca
o o
una vez la variable x. De manera que sea posible establecer una cadena lineal que
vaya desde x hasta y. Con objeto de poder invertir el proceso.
2. Mediante el despeje de la variable independiente es posible hallar la ecuaci´n corres-
o
pondiente a la funci´n inversa de funci´n con ecuaciones algo m´s complejas que el
o o a
caso anterior. Sin embargo, no siempre es posible despejar la variable independiente
en una ecuaci´n.
o
3. Existen muchas ecuaciones para las que no es posible encontrar la ecuaci´n que o
corresponde a la funci´n inversa, a pesar de que dicha funci´n existe. Por ejemplo,
o o
la funci´n f (x) = ex + x es inyectiva y, en consecuencia, tiene funci´n inversa, sin
o o
embargo, no sabemos encontrar su ecuaci´n. o
Proposici´n 1.9 (Simetr´ de las correspondencias inversas). La
o ıa
gr´fica de una correspondencia f y la de su rec´
a ıproca f −1 son sim´tricas
e
respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, y = x
Demostraci´n. En efecto, por definici´n de la inversa, se tiene
o o
(a, b) ∈ f ⇔ (b, a) ∈ f −1
y f y=x
(b, a)
f −1
(a, b)
x
Figura 1.19: Simetr´ de las correspondencias inversas
ıa
Para que la correspondencia rec´ ıproca f −1 de una funci´n f sea otra
o
funci´n, la funci´n f ha de ser inyectiva. Gr´ficamente puede determinarse
o o a
si una funci´n es inyectiva o no mediante el criterio de la recta horizontal.
o
Una funci´n es inyectiva si y s´lo si su gr´fica no tiene nunca dos puntos
o o a
en la misma horizontal. Por tanto, una funci´n f tiene funci´n inversa si y
o o
s´lo si cada recta horizontal corta a la gr´fica de f a lo sumo una vez.
o a
Nota: En consecuencia se tienen los dos criterios:
a) Criterio de la recta vertical. Para que una curva represente una funci´n, no puede
o
tener dos puntos en la misma vertical.
b) Criterio de la recta horizontal. Para que una funci´n sea inyectiva y, en consecuen-
o
cia, tenga funci´n inversa, su gr´fica no puede tener dos puntos en la misma horizontal.
o a
Proposici´n 1.10 (Las funciones estrictamente mon´tonas son in-
o o
yectivas). Si una funci´n f es estrictamente mon´tona en un intervalo,
o o
entonces es inyectiva en ese intervalo.

51. 1.3. FUNCIONES 43
Demostraci´n. Una funci´n es estrictamente mon´tona en un intervalo si
o o o
es: o bien estrictamente creciente, en dicho intervalo; o bien estrictamente
decreciente.
Por otro lado, una funci´n es inyectiva si puntos distintos tienen im´genes
o a
distintas. Es decir,
x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 )
Elijamos x1 y x2 en el intervalo dado. Si x1 = x2 ser´: o bien x1 x2 ; o
a
bien x1 x2 . Y al ser f estrictamente mon´tona ser´ f (x1 ) f (x2 ); o bien
o a
f (x1 ) f (x2 ). En ambos casos f (x1 ) = f (x2 ). Por tanto f es inyectiva en
el intervalo.
x1 x2 f (x1 ) f (x2 )
x1 = x2 ⇒ o
´ ⇒ o
´ ⇒ f (x1 ) = f (x2 )
x1 x2 f (x1 ) f (x2 )
Nota: El rec´
ıproco de esta proposici´n no es cierto. Es decir, una funci´n inyectiva no
o o
tiene porqu´ ser estrictamente mon´tona. Es m´s, puede ser estrictamente creciente en un
e o a
intervalo y estrictamente decreciente en otro intervalo, con tal de que no haya dos puntos
en la misma horizontal
Corolario 1.1. Si una funci´n es estrictamente mon´tona, entonces tiene
o o
funci´n inversa.
o
Demostraci´n. En efecto, si la funci´n es estrictamente mon´tona, entonces
o o o
ser´ inyectiva y, en consecuencia, tendr´ inversa.
a a
1.3.7. Funciones suprayectivas y biyectivas
Definici´n 1.15 (Funci´n suprayectiva). Sea f una funci´n con Df ⊆ A
o o o
y rango Rf ⊆ B. Se dice que f es suprayectiva o sobreyectiva cuando el
rango coincide con el conjunto final Rf = B
Definici´n 1.16 (Funci´n biyectiva). Sea f una funci´n con Df ⊆ A y
o o o
rango Rf ⊆ B. Se dice que f es biyectiva si es, simult´neamente, inyectiva
a
y suprayectiva.
Si una funci´n es biyectiva, se dice que es una biyecci´n.
o o
1.3.8. Im´genes directa e inversa de un conjunto
a
Sea f una funci´n arbitraria con dominio Df en A y rango Rf en B. Se
o
define2 ,
Definici´n 1.17 (Imagen directa de un conjunto). Si E es un subcon-
o
junto de A, entonces la imagen directa de E bajo f es el subconjunto de Rf
dado por
f (E) = {f (x); x ∈ E ∩ Df }
2
Para m´s detalles sobre estos temas v´ase [3, Bartle], citado en la bibliograf´
a e ıa.

52. 44 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Si E ∩ Df = ∅, entonces f (E) = ∅. Si E contiene un unico elemento p
´
de Df , entonces el conjunto f (E) contiene un unico punto f (p)
´
Definici´n 1.18 (Imagen inversa de un conjunto). Si H es un sub-
o
conjunto de B, entonces, la imagen inversa de H bajo f es el subconjunto
de Df dado por:
f −1 (H) = {x; f (x) ∈ H}
1.3.9. Funciones pares e impares
Definici´n 1.19 (Funciones pares e impares). Una funci´n y = f (x)
o o
se dice que es par si
f (−x) = f (x)
Una funci´n y = f (x) se dice que es impar si
o
f (−x) = −f (x)
Nota: En las funciones pares al cambiar x por −x se obtiene la misma expresi´n total.
o
En las funciones impares al cambiar x por −x la expresi´n total cambia de signo.
o
Ejemplo 1.30. Determinar si las siguientes funciones son pares o impares
a) f (x) = x2 − 1 b) g(x) = x3 + x c) h(x) = x2 + x
Soluci´n. a) Esta funci´n es par ya que
o o
f (−x) = (−x)2 − 1 = x2 − 1 = f (x)
b) Esta funci´n es impar ya que
o
g(−x) = (−x)3 + (−x) = −x3 − x = −(x3 + x) = −g(x)
c) Esta funci´n no es ni par ni impar. En efecto,
o
= h(x)
h(−x) = (−x)2 + (−x) = x2 − x
= −h(x)
Proposici´n 1.11 (Simetr´ de las funciones pares e impares). La
o ıa
gr´fica de una funci´n par es sim´trica respecto del eje vertical y la gr´fica
a o e a
de una funci´n impar es sim´trica respecto del origen de coordenadas.
o e

53. 1.3. FUNCIONES 45
y y
(x, y)
(−x, y) (x, y)
x x
(−x, −y)
Funci´n par: f (−x) = f (x)
o Funci´n impar: f (−x) = −f (x)
o
Figura 1.20: Simetr´ de las funciones pares e impares
ıa
d yT
d
d
d x
E
Figura 1.21: Gr´fica de la funci´n valor absoluto f (x) = |x|
a o
1.3.10. La funci´n valor absoluto
o
Ejemplo 1.31. Representar la funci´n f (x) = |x|
o
Soluci´n. Expresando la funci´n “por casos”, se tiene:
o o
´
x si x ≥ 0
f (x) =
−x si x 0
Luego, se trata de dos semirrectas con un origen com´ n (las bisectrices del
u
primer y segundo cuadrante que confluyen en el origen de coordenadas).
Ejemplo 1.32. Representar la funci´n f (x) = |x2 − 6x + 5|
o
Soluci´n. La gr´fica de la funci´n g(x) = x2 − 6x + 5, es una par´bola. El
o a o a
valor absoluto convierte la parte negativa de esa par´bola en positiva. En
a
consecuencia, lo que en la par´bola est´ por debajo del eje horizontal se
a a
refleja por encima de dicho eje.
y
T
5
4
3
2
1
x
E
0 1 2 3 4 5 6
Figura 1.22: Gr´fica de la funci´n f (x) = |x2 − 6x + 5|
a o

54. 46 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Ejercicios propuestos de la secci´n 1.3. Funciones
o
Soluciones en la p´gina 389
a
√
1.3.1. Dada la funci´n f (x) =
o x + 1, hallar
a) f (−2) b) f (−1) c) f (3) d) f (x + ∆x)
1.3.2. Hallar el dominio de las funciones
Ô
a) f (x) = x2 − 1 b) g(x) = ln(x − 3) c) h(x) = arc sen(x − 1)
√
1.3.3. Dadas las funciones f (x) = x y g(x) = x − 1, Hallar
¡
a) f g(1)
¡
b) f g(0)
c) f g(x)
¡
d) g f (1)
¡
e) g f (0)
¡ ¡
f) g f (x)
1.3.4. Dadas las funciones:
x−4
f (x) = g(x) = 2x + 3
x2 + 1
¡
hallar a) g f (x) b) f g(x)
¡
1.3.5. Comprobar, mediante su composici´n, que las siguientes funciones son rec´
o ıprocas:
√
f (x) = 3 x + 1, g(x) = (x − 1)3
1.3.6. Hallar la rec´
ıproca de las funciones:
1 2x + 1
a) f (x) = b) g(x) =
x x−1
1.3.7. Eliminar el valor absoluto de las siguientes ecuaciones, expresando las funciones
“por casos”.
a) f (x) = x2 − 3|x| + 2 b) g(x) = |x − 2| + |x| + 3
1.4. L´
ımite de sucesiones
Sucesi´n
o
Una sucesi´n es un conjunto de infinitos n´meros ordenados seg´n alg´n
o u u u
criterio. Ejemplo,
1 1 1 1 1
{1, , , , , · · · , , · · · }
2 3 4 5 n
1 2 3 4 5 n
{ , , , , ,··· , ,···}
2 3 4 5 6 n+1
π
{1, 0, −1, 0, 1, · · · , sen n , · · · }
2
Las sucesiones se pueden considerar como funciones, donde el primer con-
junto es el de los n´meros naturales.
u
1 2 3 ··· n ··· N
↓ ↓ ↓ ··· ↓ ··· ↓
{ a1 a2 a3 · · · an · · · } R

55. 1.4. L´
IMITE DE SUCESIONES 47
Aunque las sucesiones son funciones, es costumbre representarlas mediante
sub´ ındices en lugar de la notaci´n funcional. As´ en vez de a(n) se escribe
o ı,
an .
Nota: El motivo de esta notaci´n es que con an queremos enfatizar, m´s que la imagen
o a
del n´mero n, el t´rmino que ocupa en lugar n en la sucesi´n.
u e o
A los n´meros que componen la sucesi´n a1 , a2 , a3 , . . . , se les llama
u o
t´rminos de la sucesi´n y a an se le llama “t´rmino general” o “n-simo
e o e
t´rmino” de la sucesi´n y denotaremos la sucesi´n por {an }.
e o o
Definici´n 1.20 (Sucesi´n). Una sucesi´n an es una funci´n cuyo do-
o o o o
minio es el conjunto de los n´meros naturales, a : N → R. A los valores de
u
la funci´n a1 , a2 , a3 , . . . , se les llama t´rminos de la sucesi´n y al t´rmi-
o e o e
no an se le llama “t´rmino general” o “n-simo t´rmino” de la sucesi´n y
e e o
denotaremos la sucesi´n por {an }.
o
La gr´fica de una sucesi´n es un conjunto de infinitos puntos separados
a o
(aislados) unos de otros.
1 n
an an = n an an = n+1 an an = sen n π
T r T T r r
2
1 r r r r n 1 r r r r r n 1
n
0 E 0 E 0 r r E
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
r
-1 -1 -1
Figura 1.23:
L´
ımite de una sucesi´n
o
Centraremos nuestra atenci´n en ver si los t´rminos de una sucesi´n se van
o e o
aproximando cada vez m´s a alg´n valor. A ese valor se le llama l´
a u ımite de
la sucesi´n. Las sucesiones que tienen l´
o ımite se llaman convergentes.
1 1 1 1 1
{1, , , , , · · · , , · · · } → 0
2 3 4 5 n
1 2 3 4 5 n
{ , , , , ,··· , ,···} → 1
2 3 4 5 6 n+1
π
{1, 0, −1, 0, 1, · · · , sen n , · · · } → Sin l´
ımite
2
Definici´n 1.21 (L´
o ımite de una sucesi´n). Se dice que el l´
o ımite de la
sucesi´n {an } es y escribimos
o
l´ an =
ım
n→∞
Si para cada ε 0 existe k 0 tal que |an − | ε siempre que n k.

56. 48 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
l´ an =
ım ⇔ ∀ε 0 ∃k 0 ∀n ∈ N n k ⇒ |an − | ε
n→∞
Las sucesiones que tienen l´
ımite finito se llaman convergentes y las dem´s
a
divergentes
Gr´ficamente, la definici´n dice que desde un lugar en adelante (n k),
a o
todos los t´rminos de la sucesi´n tienen que estar comprendidos dentro de
e o
la franja limitada por las rectas y = − ε e y = + ε
an
Para n k los t´rminos de la sucesi´n
e o
est´n todos entre − ε y + ε
a
+ε
−ε
n
1 2 3 ... k
Figura 1.24: l´ an =
ım
n→∞
ımite, , por muy estrecha que sea la franja ( − ε, + ε), siempre
Nota: Para que exista el l´
se ha de poder encontrar un t´rmino a partir del cual todos los que le siguen est´n dentro
e a
de la franja.
Ejemplo 1.33 (Determinando la convergencia o divergencia de una sucesi´n).
o
Determinar la convergencia o divergencia de las sucesiones
nπ
a) an = 2 + (−1)n b) bn = sen
2
Soluci´n. a) Los t´rminos de la sucesi´n an = 2 + (−1)n son
o e o
1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, · · ·
Como la sucesi´n siempre tiene t´rminos que oscilan entre 1 y 3, resulta que
o e
no tiene l´
ımite y en consecuencia diverge (por oscilaci´n).
o
nπ
b)Los t´rminos de la sucesi´n bn = sen
e o son
2
1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, · · ·
Como la sucesi´n siempre tiene t´rminos que oscilan entre -1 y 1, resulta
o e
que no tiene l´
ımite y en consecuencia diverge (por oscilaci´n).
o

57. 1.4. L´
IMITE DE SUCESIONES 49
1.4.1. C´lculo de l´
a ımites de sucesiones
Proposici´n 1.12 (Propiedades algebraicas de los l´
o ımites de suce-
siones). Si
l´ an = 1 y l´ bn = 2
ım ım
n→∞ n→∞
entonces se cumplen las siguientes propiedades
1. l´ (an ± bn ) =
ım 1 ± 2 2. l´ ran = r 1 , r ∈ R
ım
n→∞ n→∞
an 1
3. l´ an bn =
ım 1 2 4. l´
ım = , bn = 0 y 2 =0
n→∞ n→∞ bn 2
5. l´ (an )bn = ( 1 ) 2 , si
ım 1 0
n→∞
Reglas elementales para el c´lculo de l´
a ımites. Las reglas m´s fre-
a
cuentes para eliminar la indeterminaci´n del l´
o ımite de una sucesi´n son las
o
siguientes:
1. Indeterminaci´n del tipo ∞ . Se suele eliminar dividiendo numerador y
o ∞
denominador por un t´rmino que elimine uno de los dos infinitos (por
e
ejemplo, m´xima potencia de n).
a
2. Cociente de dos polinomios. Es un caso particular de la anterior. Este
caso se reduce al cociente de los t´rminos de mayor grado, y se simpli-
e
fica la n.
ap np + ap−1 np−1 + · · · + a0 ap np
l´
ım = l´
ım
n→∞ bq nq + bq−1 nq−1 + · · · + b0 n→∞ bq nq
3. Indeterminaci´n del tipo ∞ − ∞. En el caso de que se trate de ra´
o ıces
cuadradas la indeterminaci´n se suele eliminar multiplicando y divi-
o
diendo por el conjugado, con objeto de tener suma por diferencia, de
manera que al aplicar la diferencia de cuadrados se elimine la ra´ ız
cuadrada.
4. Indeterminaci´n del tipo 1∞ . Se aplica el n´mero e.
o u
1 n
l´
ım 1+ = e = 2,718
n→∞ n
que se generaliza para los l´
ımites del tipo:
1 an
l´
ım 1+ = e = 2,718
n→∞ an
siempre que l´ an = +∞ ´ l´ an = −∞
ım o ım
n→∞ n→∞
Ejemplo 1.34. Calcular los siguientes l´mites:
ı
n+3 n
1. l´
ım = l´
ım =0
n→∞ n3 + 4 n→∞ n3

58. 50 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
−1
3n 2n
1 2n −1 −1
3n
−2 1
2. l´
ım 1− = l´
ım 1+ =e 3 = √
3 2
n→∞ 3n n→∞ 3n e
√ 1
3. l´
ım n
a = l´ a n = a0 = 1
ım
n→∞ n→∞
ln n ln n 1 1
4. l´
ım = l´
ım = l´
ım = =1
n→∞ ln 5n n→∞ ln 5 + ln n n→∞ ln 5 0+1
+1
ln n
3
ä ç 3
ln(n + 3) ln n(1 + n ) ln n + ln(1 + n )
5. l´
ım = l´
ım = l´
ım =
n→∞ ln n n→∞ ln n n→∞ ln n
3
ln(1 + n )
= l´ ım 1 + =1+0=1
n→∞ ln
n2 − n2 + (a + b)n + ab
6. l´
ım n− (n + a)(n + b) = l´
ım =
n→∞ n→∞ n+ (n + a)(n + b)
−(a + b)n − ab −(a + b) − ab
= l´
ım
n→∞
= l´
ım
n→∞
Õ n
=
n+ n2 + (a + b)n + ab 1+ 1+ (a+b)
+ ab
n n2
a+b
=−
2
Criterio de Stoltz.
Es un criterio relacionado con las Reglas de L’Hˆpital que s´lo se puede
o o
aplicar a las sucesiones. Y del que, sin ´nimo de demostrar nada, podemos
a
dar la siguiente justificaci´n:
o
an an+1 an an+1 an an+1 − an
l´
ım = l´
ım ⇒ ≈ ⇒ ≈
n→∞ bn n→∞ bn+1 bn bn+1 bn bn+1 − bn
Nota: T´ngase en cuenta que si dos fracciones son equivalente, entonces, al restar los
e
numeradores y los denominadores, tambi´n se obtiene otra fracci´n equivalente.
e o
a c a c−a
= ⇒ =
b d b d−b
El Criterio de Stoltz se puede resumir en el siguiente esquema:
an ä 0 ∞ ç an+1 − an
l´
ım = o
´ = l´
ım
n→∞ bn 0 ∞ n→∞ bn+1 − bn
Formalmente el Criterio de Stoltz puede enunciarse de la siguiente manera
Teorema 1.2 (Criterio de Stolz). Sean {an } y {bn } dos sucesiones.

59. 1.4. L´
IMITE DE SUCESIONES 51
an+1 − an an an+1 − an
Si existe l´
ım , entonces l´
ım = l´
ım
n→∞ bn+1 − bn n→∞ bn n→∞ bn+1 − bn
siempre que:
1. {bn } es una sucesi´n mon´tona divergente, o bien,
o o
2. an → 0, bn → 0 y bn es mon´tona.
o
Ejemplo 1.35 (Aplicando el criterio de Stolz). Calcular los siguientes l´mites:
ı
2 + 4 + · · · + 2n ä ∞ ç
1. l´
ım = =
n→∞ 3 + 9 + · · · + 3n ∞
(2 + 4 + · · · + 2n + 2n+1 ) − (2 + 4 + · · · + 2n ) 2n+1
= l´
ım = l´
ım n+1 =
n→∞ (3 + 9 + · · · + 3n + 3n+1 ) − (3 + 9 + · · · + 3n ) n→∞ 3
2 n+1 2 +∞
= l´
ım = =0
n→∞ 3 3
ln n ä ∞ ç ln(n + 1) − ln n n+1
2. l´
ım = = l´
ım = l´ ln
ım =0
n→∞ n ∞ n→∞ n+1−n n→∞ n
√
√
n
l´ ln
ım n
n
ln n
l´
ım ä ∞ç
3. l´
ım n= en→∞ = en→∞n = e∞ =
n→∞
ln(n + 1) − ln n n+1
l´
ım l´ ln
ım
=en→∞ n+1−n = en→∞ n = eln 1 = e0 = 1
ln(n2 + n)
n l´
ım
4. l´
ım n2 + n = en→∞ n =
n→∞
ä ç
ln (n + 1)2 + n + 1 − ln(n2 + n)
l´
ım
= en→∞ n+1−n =
n2 + 2n + 1 + n + 1
l´ ln
ım
= en→∞ n2 + n = eln 1 = e0 = 1
Nota: Hay que advertir que el Criterio de Stoltz, en general, no se puede aplicar de
manera parcial dentro de un l´
ımite. Por ejemplo, el siguiente l´
ımite existe y vale 1.
n2
l´
ım =1
n→∞ n2
Sin embargo, una aplicaci´n incorrecta del Criterio de Stoltz puede producir un resultado
o
err´neo. As´
o ı,
n2 1 n2
l´
ım 2
= l´
ım =
n→∞ n n→∞ n n
1 (n + 1)2 − n2 1 n2 + 2n + 1 − n2 2n + 1
l´
ım = l´
ım = l´
ım =2
n→∞ n n+1−n n→∞ n 1 n→∞ n

60. 52 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Por eso en el Teorema 1.2, en la p´gina 50, se exige que el l´
a ımite del cociente de las
diferencias de los t´rminos consecutivos exista. As´ ser´ correcta la siguiente aplicaci´n
e ı, ıa o
del Criterio de Stoltz
an an an+1 − an
l´ cn
ım = l´ cn l´
ım ım = l´ cn l´
ım ım = 1· 2=
n→∞ bn n→∞ n→∞ bn n→∞ n→∞ bn+1 − bn
Ahora bien, si 1 o 2 no existen o son infinito, no est´ permitido continuar con el l´
a ımite
unificando nuevamente ambos factores.
Teorema 1.3 (Criterio de la Ra´ n-sima). Sea {an } una sucesi´n es-
ız o
trictamente creciente tal que l´ an = +∞, entonces:
ım
n→∞
√
n
an+1
l´
ım an = l´
ım
n→∞ ann→∞
Demostraci´n: En efecto, aplicando el Criterio de Stolz a la ra´ resulta:
o ız
√ ln an ln an+1 − ln n
√ l´ ln n an
ım l´
ım l´
ım
n
ım an = e
l´ n→∞ =e n→∞ n =e n→∞ n+1−n =
n→∞
an+1
l´ ln
ım
=e n→∞ an = l´ an+1
ım
n→∞ an
Nota: En el criterio de la ra´ hay que hacer la misma advertencia que en el criterio de
ız
Stotlz. No se puede hacer una aplicaci´n parcial. En este caso,
o
1. La ra´ tiene que ser n-sima.
ız
√ an+1
ım 2n an = l´
l´ ım
n→∞ n→∞ an
2. La ra´ ha de estar sola
ız
√ an+1
l´ bn n an = l´ bn
ım ım
n→∞ n→∞ an
Ejemplo 1.36 (Aplicando el criterio de la ra´ . Calcula los siguientes
ız)
l´
ımites:
n
1. l´
ım (n + 1)(n + 2) · · · (n + n) =
n→∞
(n + 2)(n + 3) · · · (n + n + 2) (2n + 1)(2n + 2)
= l´
ım = l´
ım = +∞
n→∞ (n + 1)(n + 2) · · · (n + n) n→∞ (n + 1)
1 n
2. l´
ım (3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n) =
n→∞ n
(3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n)
n
= l´
ım =
n→∞ nn
(3n + 4)(3n + 5) · · · (3n + n + 4) (3n + 1) · · · (3n + n)
= l´
ım : =
n→∞ (n + 1)n+1 nn
(3n + 4)(3n + 5) · · · (3n + n + 4)nn
= l´
ım =
n→∞ (3n + 1)(3n + 2) · · · (3n + n)(n + 1)n+1
(3n + n + 1)(3n + n + 2)(3n + n + 3)(3n + n + 4)nn
= l´
ım =
n→∞ (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)(n + 1)(n + 1)n
(4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)(4n + 4) 444 1 43
= l´
ım n = 4 = 3
n→∞ (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)(n + 1) n+1 333 e 3 e
n

61. 1.4. L´
IMITE DE SUCESIONES 53
Simplificaci´n de sumas.
o
Algunas sumas se pueden simplificar expresando sus t´rminos de forma
e
telesc´pica, es decir, como la diferencia de dos t´rminos consecutivos, de
o e
manera que al sumar se eliminan los t´rminos intermedios.
e
Ejemplo 1.37 (Simplificando sumas). Calcula el siguiente l´mite.
ı
1 1 1
l´
ım + + ··· + =
n→∞ 1·2 2·3 n(n + 1)
1 1 1 1 1
= l´
ım 1− + − + ··· + − =1
n→∞ 2 2 3 n n+1
C´lculo de l´
a ımites por acotaci´n.
o
Teorema 1.4 (Teorema del encaje para sucesiones). Si
l´ an = = l´ bn
ım ım
n→∞ n→∞
y existe un entero k tal que an ≤ cn ≤ bn para todo n k, entonces
l´ cn =
ım
n→∞
Esquem´ticamente podemos escribir,
a
← an ≤ cn ≤ bn → ⇒ cn →
Ejemplo 1.38 (Encajando sucesiones). Calcular el siguiente l´mite.
ı
(n − 1)!
l´
ım √ √ √
n→∞ (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n)
Soluci´n. Teniendo en cuenta las siguientes desigualdades,
o
√ √ √
(n − 1)! 1 2··· n − 1
0≤ √ √ √ = √ √ √ ≤
(1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n) (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n)
√ √ √
(1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n − 1) 1
≤ √ √ √ = √ →0
(1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n) 1+ n
Resulta:
(n − 1)!
l´
ım √ √ √ =0
n→∞ (1 + 1)(1 + 2) · · · (1 + n)

62. 54 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
La constante de Euler.
Para resolver algunos l´
ımites puede tenerse en cuenta la siguiente igualdad:
1 1
1+ + · · · + = ln n + γ + n
2 n
donde:
1. n → 0
2. γ = Constante de Euler ≈ 0 5
Ejemplo 1.39 (Aplicando la constante de Euler). Calcular los siguientes
l´
ımites:
1++ ··· + n
1
2
1
ln n + γ + n
1. l´
ım = l´ım =1+0+0=1
n→∞ ln n n→∞ ln n
√ √ √ 1 1
e e 3 e··· n e e1 e1/2 · · · e1/n e1+ 2 +···+ n
2. l´
ım = l´
ım = l´ım =
n→∞ n n→∞ n n→∞ n
eln n+γ+ n n · eγ e n
= l´ım = l´
ım = eγ e0 = eγ
n→∞ n n→∞ n
ln(1 + 1 + · · · + n )
2
1
ln(ln n + γ + n)
3. l´
ım = l´
ım =
ln(ln n) ln(ln n)
ä ç
n→∞ n→∞
γ+ n γ+ n
ln ln n · 1 + ln n ln(ln n) + ln 1 + ln n
= l´
ım = l´
ım =1
n→∞ ln(ln n) n→∞ ln(ln n)
1.4.2. Sucesiones mon´tonas
o
Definici´n 1.22 (Sucesi´n mon´tona). Una sucesi´n {an } se dice que
o o o o
es mon´tona si sus t´rminos son crecientes
o e
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ · · · ≤ an ≤ · · ·
o decrecientes
a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ · · · ≥ an ≥ · · ·
Ejemplo 1.40 (Determinando la monoton´ de una sucesi´n). Determinar
ıa o
la monoton´ de la sucesi´n
ıa o
3n
an =
n+2
Soluci´n. Determinar que una sucesi´n no es mon´tona puede hacerse, de
o o o
una manera f´cil, comparando tres t´rminos de la misma. Sin embargo, de-
a e
terminar que es mon´tona es algo m´s complicado, ya que hay que determi-
o a
nar que sus t´rminos crecen o decrecen siempre, para todo valor de n. Para
e
determinar la monoton´ de una sucesi´n pueden seguirse varios m´todos.
ıa o e

63. 1.4. L´
IMITE DE SUCESIONES 55
Veamos aqu´ varios de ellos. En primer lugar hallamos an y an+1 . En este
ı
caso,
3n 3(n + 1)
an = an+1 =
n+2 (n + 1) + 2
a) Construyendo comparativamente an y an+1 .
1 1
(n + 1) + 2 n + 2 ⇒ ⇒
n+2 (n + 1) + 2
3n 3n 3(n + 1)
⇒ ⇒ an an+1
n+2 (n + 1) + 2 (n + 1) + 2
luego la sucesi´n es mon´tona (estrictamente creciente).
o o
b) Deshaciendo comparativamente an y an+1 . Partimos del supuesto de que
an an+1 y deshacemos las operaciones. As´
ı,
3n 3(n + 1)
an = ? = an+1
n+2 (n + 1) + 2
ä ç
3n (n + 1) + 2 ? 3(n + 1)(n + 2)
3n(n + 3) ? 3(n2 + 3n + 2)
3n2 + 9n ? 3n2 + 9n + 6
06
Como hemos llegado a una desigualdad final v´lida, podemos invertir los
a
pasos para concluir que la desigualdad original tambi´n es v´lida, y por
e a
tanto la sucesi´n es mon´tona.
o o
c) Usando derivadas. Consideramos que n es una variable continua. Es decir
consideramos la funci´n f (n) = an . O bien en t´rminos de x.
o e
3x
f (x) =
x+2
Hallamos su derivada
3(x + 2) − 3x 3x + 6 − 3x 6
f (x) = = =
(x + 2)2 (x + 2)2 (x + 2)2
que es positiva para todo x, luego podemos concluir que la funci´n f es
o
creciente en todo R. En consecuencia la sucesi´n an es creciente.
o
Definici´n 1.23 (Sucesi´n acotada). Una sucesi´n {an } se dice que es
o o o
acotada si existe un n´mero real positivo M tal que |an | ≤ M para todo n.
u
{an } acotada ⇔ ∃M ∈ R+ ∀n ∈ N |an | ≤ M

64. 56 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Teorema 1.5 (Sucesiones mon´tonas y acotadas). Si una sucesi´n
o o
{an }es mon´tona y acotada, entonces es convergente.
o
Nota: Adem´s de los m´todos aqu´ expuestos para el c´lculo de l´
a e ı a ımite de sucesiones
veremos otros m´todos basados en los criterios para el c´lculo de l´
e a ımite de funciones,
as´ como un caso particular para comprobar que el l´
ı ımite de una sucesi´n es cero, basado
o
en la convergencia de las series.
Ejercicios propuestos de la secci´n 1.4. L´
o ımite de sucesiones
Soluciones en la p´gina 390
a
1.4.1. Escribir los cinco primeros t´rminos de las sucesiones
e
n(n+1) n! sen(nπ/2)
a) an = (−1)n+1 n b) bn = (−1) 2 c) cn = d) dn =
(n − 1)! n
1.4.2. Escribir una expresi´n del t´rmino general de las sucesiones
o e
1 2 3 4 1 1 2 4 8
a) 2, −4, 6, −8, 10, . . . b) , , , ,... c) , , , , ,...
2·3 3·4 4·5 5·6 2 3 9 27 81
1.4.3. Calcular los siguientes l´
ımites:
n
(n − 1)! n+2
a) l´
ım b) l´
ım
n→∞
Ô
(n + 1)! n→∞
Ô
2n + 3
Ô
c) l´
ım n2 + 3n − n d) l´
ım 2n2 + 3 − n2 + 5
n→∞ n→∞
1.4.4. Calcular los siguientes l´
ımites:
n n (n2 +2)
k 2n2 + 3n n 2n + 3
a) l´
ım 1+ b) l´
ım c) l´
ım
n→∞ n n→∞ 2n2 + 4 n→∞ 2n + 5
1.4.5. Calcular los siguientes l´
ımites:
1p + 2p + · · · + np ln(1 · 2 · · · n)
a) l´
ım , p ∈ N, b) l´
ım ,
n→∞ np+1 n→∞ n ln n
1 32
(n + 1)n
ım 2 2 +
c) l´ + ··· .
n→∞ n 2 nn−1
1.4.6. Determinar si son convergentes las siguientes sucesiones y en caso afirmativo cal-
cular su l´
ımite.
n!
a) cn = n
n
1.4.7. Determinar la monoton´ de las siguientes sucesiones
ıa
n n
sen n 2 3
a) an = b) bn = b) bn =
n 3 2
1.5. L´
ımite y continuidad de funciones
1.5.1. Definici´n de l´
o ımite
Nota: El concepto de l´ ımite es fundamental en el C´lculo, de manera que para poder
a
profundizar en el conocimiento de la materia es impresindible, tanto el manejo pr´ctico de
a
las reglas para el c´lculo de l´
a ımites, como la comprensi´n te´rica del concepto de l´
o o ımite.
Suponemos conocida la idea intuitiva de l´ ımite y las reglas b´sicas para el c´lculo de
a a
l´
ımites. No obstante, profundizaremos en ambos puntos.
En este curso centraremos la atenci´n en los potentes instrumentos para el c´lculo de
o a
l´
ımites de funciones de una variable, como son

65. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 57
1. Los infinit´simos (apartado 1.5.9, en la p´gina 82).
e a
2. Las reglas de L´Hˆpital (apartado 3.3.3, en la p´gina 173).
o a
3. El desarrollo de Taylor (apartado 3.5.7, en la p´gina 195).
a
4. El concepto de integral (apartado 5.1.2, en la p´gina 334).
a
As´ mismo estudiaremos los l´
ı ımites para funciones de varias variables en el cap´
ıtulo 2.
Idea intuitiva. En el lenguaje ordinario la palabra l´ ımite tiene un car´cter
a
est´tico y significa t´rmino, conf´ o lindero. Sin embargo, en C´lculo, el
a e ın a
concepto de l´ ımite es un concepto din´mico y tiene que ver con la idea
a
de acercarse los m´s posible a un punto o un valor (x → x0 ). En otras
a
ocasiones tiene que ver con la idea de alejarse lo m´s posible del origen, o
a
hacer lo mas grande posible un n´mero (x → ∞). Y, en otras ocasiones, el
u
concepto de l´ımite tiene que ver con traspasar una frontera, aparentemente
infranqueable, como es el caso de la suma de infinitos n´meros. Veamos la
u
noci´n de l´
o ımite a partir de un ejemplo.
x2 − 1
Ejemplo 1.41. Dada la funci´n f (x) =
o ,x=1
x−1
a) Estudiar su comportamiento en los alrededores del punto x = 1
b) Esbozar su gr´fica.
a
Soluci´n. a) Para estudiar el comportamiento de la funci´n en los alrededores
o o
del punto x = 1 damos a x valores cada vez m´s pr´ximos a 1. Aproxi-
a o
m´ndonos tanto por la izquierda como por la derecha. Los correspondientes
a
valores de f (x) se muestran en la siguiente tabla
x se acerca a 1 por la izquierda x se acerca a 1 por la derecha
x 0.5 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25 1.5
f (x) 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 ? 2.001 2.01 2.1 2.25 2.5
f (x) se acerca a 2 f (x) se acerca a 2
b) Al representar estos puntos, se ve que la gr´fica de f es una recta con un
a
hueco en el punto (1, 2) (v´ase Figura 1.25).
e
Aunque x no puede ser igual a 1, podemos acercarnos a 1 cuanto que-
ramos y como resultado f (x) se aproxima cuanto queramos al valor 2. Por
eso decimos que el l´
ımite de f (x) cuando x tiende a 1 es 2, y lo denotamos
como
x2 − 1
l´ f (x) = 2 o bien, l´
ım ım =2
x→1 x→1 x − 1
En consecuencia podemos dar la siguiente descripci´n intuitiva del con-
o
cepto de l´
ımite. Decimos que el l´
ımite de f (x) cuando x tiende a x0 es , si

66. 58 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
y
3
2
1
x
−3 −2 −1 1 2 3
−1
−2
x2 − 1
Figura 1.25: l´
ım =2
x→1 x−1
f (x) se aproxima, tanto como se quiera, a un unico n´mero
´ u cuando x se
aproxima a x0 por ambos lados, y escribimos
l´ f (x) =
ım
x→x0
Nota: Al calcular el l´ımite de la funci´n f en el punto x0 , el valor de la funci´n en dicho
o o
punto, f (x0 ), no afecta al l´
ımite. Es m´s no importa que la funci´n no est´ definida en
a o e
dicho punto.
ımite en x0 , o bien, l´
Hablaremos indistintamente de l´ ımite cuando x tiende o se apro-
xima a x0 .
Para muchas funciones se puede intuir el valor del l´ ımite usando una
calculadora y evaluando los valores de la funci´n en varios puntos pr´ximos
o o
a x0 .
o ımite con calculadora). Dada la funci´n
Ejemplo 1.42 (Estimaci´n del l´ o
x−2
f (x) = √ , x=2
x−1−1
a) Estudiar su comportamiento en los alrededores del punto x = 2
b) Esbozar su gr´fica.
a
Soluci´n. a) Para estudiar el comportamiento de la funci´n en los alrededores
o o
del punto x = 2 damos a x valores cada vez m´s pr´ximos a 2. Aproxi-
a o
m´ndonos tanto por la izquierda como por la derecha. Los correspondientes
a
valores de f (x) se muestran en la siguiente tabla
x se acerca a 2 por la izquierda x se acerca a 2 por la derecha
x 1.5 1.75 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.25 2.5
f (x) 1.707 1.866 1.949 1.99 1.999 ? 2.0005 2.005 2.49 2.12 2.22
f (x) se acerca a 2 f (x) se acerca a 2

67. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 59
y
3
2
1
x
−3 −2 −1 1 2 3
−1
−2
x−2
Figura 1.26: l´ √
ım =2
x→2 x−1−1
b) Al representar estos puntos, se ve que la gr´fica de f es una curva con
a
un hueco en el punto (2, 2) (v´ase Figura 1.26
e
Aunque x no puede ser igual a 2, podemos acercarnos a 2 cuanto que-
ramos y como resultado f (x) se aproxima cuanto queramos al valor 2. Por
eso decimos que el l´
ımite de f (x) cuando x tiende a 2 es 2, y lo denotamos
como
x−2
l´ f (x) = 2 o bien, l´ √
ım ım =2
x→2 x→2 x−1−1
Inexistencia de l´ ımite. En los ejemplos anteriores cuando x se acerca a
x0 , tanto por la derecha como por la izquierda, f (x) se acerca, en ambos
casos, a un mismo valor , que llam´bamos l´
a ımite de la funci´n. En ocasiones
o
esto no ocurre y entonces decimos que la funci´n f no tiene l´
o ımite en el punto
x0 . Las situaciones m´s frecuentes que conducen a la inexistencia del l´
a ımite
de la funci´n f en el punto x0 son las siguientes:
o
1. L´
ımites laterales diferentes. f (x) se aproxima por la derecha de x0 a
un valor y por la izquierda a otro valor diferente.
2. El l´
ımite se hace infinito. f (x) crece o decrece sin tope cuando x se
acerca a x0 , por la derecha o por la izquierda.
3. Inexistencia del l´mite por oscilaci´n. Las valores de f (x) oscilan, in-
ı o
definidamente, entre dos valores fijos cuando x se acerca a x0 .
Ejemplo 1.43 (L´ ımites laterales diferentes). Probar que el siguiente l´mite
ı
no existe
|x|
l´
ım
x→0 x
Soluci´n. Consideremos la funci´n
o o
|x|
f (x) =
x
Para comprender su significado, demos varios valores a x. As´
ı,
|3| 3 0 | − 3| +3
f (3) = = = 1, f (0) = = no definido, f (−3) = = = −1
3 3 0 −3 −3

68. 60 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
En general, f (x) para valores positivos de x toma el valor 1, y para valores
negativos de x toma el valor -1. En efecto
|x| x
x0 ⇒ |x| = x ⇒ f (x) = = =1
x x
|x| −x
x0 ⇒ |x| = −x ⇒ f (x) = = = −1
x x
En consecuencia, la funci´n f puede definirse por casos de la siguiente forma
o
|x| 1 si x 0
f (x) = =
x −1 si x 0
Y su gr´fica viene reflejada en la figura 1.27
a
y
1Tb'
Ex
E b−1
|x|
Figura 1.27: f (x) =
z
En consecuencia el l´
ımite no existe, ya que se tiene
l´ = 1
ım = l´ = −1
ım
x→0+ x→0−
Ejemplo 1.44 (Comportamiento no acotado). Discutir la existencia del si-
guiente l´
ımite
1
l´
ım 2
x→0 x
Soluci´n. Consideremos la funci´n
o o
1
f (x) =
x2
Demos valores a x cada vez m´s cercanos al origen
a
x se acerca a 0 por la izquierda x se acerca a 0 por la derecha
x -0.5 -0.25 -0.1 -0.01 -0.001 0 0.001 0.01 0.1 0.25 0.5
f (x) 4 16 100 10000 1000000 ? 1000000 10000 100 16 4
f (x) crece sin tope f (x) crece sin tope

69. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 61
De la tabla se desprende que cuando x se acerca a 0, tanto por la derecha
como por la izquierda, f (x) crece sin l´
ımite. Es m´s, podemos hacer que
a
f (x) crezca cuanto queramos sin m´s que acercarnos suficientemente al ori-
a
gen. As´ por ejemplo, si queremos que f (x) sea mayor que 100 000 000,
ı,
bastar´ tomar un valor de x menor que 1/10 000. En efecto,
a
1 1
0 |x| ⇒ f (x) = 100 000 000
10 000 x2
Como f (x) no se aproxima a ning´n n´mero real cuando x se acerca a 0,
u u
decimos que el l´
ımite no existe. La gr´fica de la funci´n f viene reflejada en
a o
la figura 1.28
y
6
4
2
x
−6 −4 −2 2 4 6
1
Figura 1.28: l´
ım = No existe
x→0 x2
Nota: Aunque el l´ ımite no existe, como n´ mero real, la situaci´n reflejada en este ejemplo
u o
es lo suficientemente importante y lo suficientemente frecuente en C´lculo, como para
a
tenerla en especial consideraci´n. As´ en las situaciones del ejemplo anterior se dice que
o ı,
el l´
ımite de la funci´n cuando x tiende a cero, es infinito, y se expresa
o
1
l´
ım = +∞
x→0 x2
No obstante hay que decir que +∞ no es ning´n n´mero real, sino que es un s´
u u ımbolo que
se utiliza para reflejar el comportamiento no acotado de la funci´n.
o
Ejemplo 1.45 (Comportamiento oscilante). Discutir la existencia del si-
guiente l´
ımite
1
l´ sen
ım
x→0 x
Soluci´n. Consideremos la funci´n
o o
1
f (x) = sen
x
Su gr´fica viene representada en la figura 1.29.
a
El l´
ımite no existe, puesto que siempre es posible coger una sucesi´n de
o
puntos, con l´
ımite cero; y sin embargo, la sucesi´n formada con sus im´genes
o a
no tiene l´
ımite.
{xn } → 0 y sin embargo {f (xn )} no tiene l´
ımite
como puede verse en la siguiente tabla

70. 62 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
y
1
x
−1 1
−1
1
Figura 1.29: l´ sen
ım = No existe
x→0 x
2 2 2 2 2 2
x x→0
π 3π 5π 7π 9π 11π
f (x) 1 -1 1 -1 1 -1 No tiene l´
ımite
Para probar que el l´ ımite no existe, tambi´n podemos encontrar dos suce-
e
siones diferentes con l´
ımite cero tales que sus im´genes tengan l´
a ımites difer-
entes.
{xn } → 0 {f (xn )} → 1
mientras que
{xn } → 0 {f (xn )} → 2 = 1
Por ejemplo, para la sucesi´n
o
1 1 1 1
{xn } = { } = { , , , · · · } → 0 se tiene
nπ π 2π 3π
1 1
{f (xn )} = {f } = {sen } = {sen (nπ)} = {0, 0, 0, · · · } → 0
nπ 1/nπ
mientras que para la sucesi´n
o
2 2 2 2
{xn } = { } = { , , , · · · } → 0 se tiene
(2n − 1)π π 3π 5π
2 2
{f (xn )} = {f } = {sen }=
(2n − 1)π 1/(2n − 1)π
(2n − 1)π
= {sen } = {1, 1, 1, · · · } → 1 = 0
2
Definici´n 1.24 (La definici´n ε − δ de l´
o o ımite). Se dice que el l´
ımite de
la funci´n f en el punto x0 es , y se denota por
o
l´ f (x) =
ım
x→x0
si para cada ε 0 existe un δ 0 tal que
|f (x) − | ε siempre que 0 |x − x0 | δ
l´ f (x) = ⇔ ∀ε 0, ∃δ 0 : ∀x ∈ R, 0 |x − x0 | δ ⇒ |f (x) − | ε
ım (1.7)
x→x0

71. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 63
Nota: La definici´n refleja la siguiente idea:
o
El hecho de que f (x) est´ tan cerca de como queramos, quiere decir que para
a
cualquier ε, todo lo peque˜o que queramos, estar´ f (x) entre − ε y + ε, es decir,
n a
− ε f (x) + ε
que en valor absoluto se expresa como
|f (x) − | ε
y esta situaci´n tiene que darse cuando x se acerca suficientemente a x0 . Este acercamiento
o
se mide encontrando alg´ n δ para el cual x est´ entre x0 − δ y x0 + δ, es decir,
u e
x0 − δ x x0 + δ
que en valor absoluto se expresa como
|x − x0 | δ
El hecho de que el punto x0 no interviene en la definici´n de l´
o ımite se indica con la
expresi´n
o
0 |x − x0 | δ
A pesar de la importancia de la definici´n ε − δ, a nivel te´rico, especialmente en la
o o
a a ımites, la definici´n ε − δ no
demostraci´n de teoremas; a nivel pr´ctico, en el c´lculo de l´
o o
es util. La definici´n ε − δ solamente nos permite comprobar si un l´
´ o ımite dado es correcto
o no, pero no nos permite calcular l´
ımites, el posible l´
ımite tendremos que intuirlo por
otro m´todo. Adem´s, su aplicaci´n para comprobar l´
e a o ımites suele ser artificial y dif´
ıcil.
La definici´n de l´
o ımite se refleja en el gr´fico de la figura 1.30
a
y
Para x entre x0 − δ y x0 + δ los valores de la
funci´n f (x) est´n todos entre − ε y + ε
o a
y = f (x)
+ε
−ε
x
x0 − δ x0 x0 + δ
Figura 1.30: l´ an =
ım
n→∞
Ejemplo 1.46 (Hallando δ para un ε dado). Sabiendo que
l´ (2x + 1) = 7
ım
x→3
hallar δ tal que |(2x + 1) − 7| 0,01 siempre que 0 |x − 3| δ.
Soluci´n. Dado ε = 0,01 queremos encontrar el δ apropiado. Para ello in-
o
tentamos establecer una relaci´n entre los dos valores absolutos
o
|(2x + 1) − 7| 0,01 y |x − 3| ε

72. 64 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
de manera que desde el segundo se pueda llegar hasta el primero. La ma-
nera de hacerlo consiste en expresar el primer valor absoluto en funci´n del
o
segundo. As´
ı,
|(2x + 1) − 7| = |2x − 6| = 2|x − 3| 0,01
En consecuencia se tiene que
0,01
|x − 3| = 0,005
2
Por tanto, eligiendo δ = 0,005, se tiene que
0 |x − 3| 0,005 ⇒ |(2x + 1) − 7| = 2|x − 3| 2(0,005) = 0,01
Luego hemos encontrado un δ para el ε dado. Esto no demuestra la existencia
del l´
ımite dado. Para demostrar que el l´
ımite existe tenemos que encontrar
un δ para cada ε.
Ejemplo 1.47 (Usando la definici´n ε − δ). Usando la definici´n ε − δ probar
o o
que
l´ (5x − 2) = 3
ım
x→1
Soluci´n. Tenemos que probar que para cada ε 0, existe un δ 0, que
o
depender´ del ε correspondiente, tal que
a
0 |x − 1| δ ⇒ |(5x − 2) − 3| ε
Para ello intentamos establecer una conexi´n entre ambos valores absolutos,
o
expresando el segundo en funci´n del primero
o
|(5x − 2) − 3| = |5x − 5| = 5|x − 1| ε
Luego, para que se cumpla la desigualdad |(5x − 2) − 3| ε se ha de cumplir
que 5|x − 1| ε y, en consecuencia
ε
|x − 1|
5
ε
Luego eligiendo δ = , se tiene que la desigualdad
5
ε
0 |x − 1| δ =
5
implica que
ε
|(5x − 2) − 3| = |5x − 5| = 5|x − 1| 5 =ε
5
y la veracidad del l´
ımite queda probada.
Proposici´n 1.13 (Unicidad del l´
o ımite). El l´
ımite de una funci´n en
o
un punto, si existe es unico.
´

73. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 65
1.5.2. L´
ımites laterales
Al calcular el l´
ımite de una funci´n f en un punto x0 , nos acercamos al
o
punto x0 tanto por la derecha como por la izquierda. Si limitamos nuestro
estudio, exclusivamente, a los puntos que est´n a la derecha de x0 , o bien a la
a
izquierda, respectivamente, obtenemos lo que se llaman los l´ ımites laterales.
Definici´n 1.25 (L´
o ımites laterales). Se dice que el l´ımite de la funci´n
o
f cuando x tiende a x0 , por la derecha, es , y se denota por
l´
ım f (x) =
x→x0 +
si para cada ε 0 existe un δ 0 tal que
|f (x) − | ε siempre que 0 x − x0 δ
ım f (x) = ⇔ ∀ε 0, ∃δ 0 : ∀x ∈ R, 0 x − x0 δ ⇒ |f (x) − | ε
l´ (1.8)
x→x0 +
Se dice que el l´
ımite de la funci´n f cuando x tiende a x0 , por la izquierda,
o
es , y se denota por
ım f (x) =
l´
x→x0 −
si para cada ε 0 existe un δ 0 tal que
|f (x) − | ε siempre que 0 x0 − x δ
ım f (x) = ⇔ ∀ε 0, ∃δ 0 : ∀x ∈ R, 0 x0 − x δ ⇒ |f (x) − | ε
l´ (1.9)
x→x0 −
Nota: Para simplificar la escritura, en ocasiones escribiremos
f (x0 +) = l´
ım f (x) f (x0 −) = l´
ım f (x)
x→x0 + x→x0 −
Ejemplo 1.48 (Calculando un l´ımite lateral). Hallar el l´
ımite de la funci´n
o
√
f definida por f (x) = x en el punto x = 0
Soluci´n. La funci´n solamente est´ definida a la derecha del origen, por lo
o o a
tanto no podemos hablar de l´ımite por la izquierda, pero si de l´
ımite por la
derecha. Si observamos la gr´fica se tiene
a
√
l´
ım x = 0
x→0+
Teorema 1.6 (Unicidad de los l´ ımites laterales). El l´
ımite de la fun-
ci´n f en el punto x0 existe y es igual a si y solamente si, los dos l´mites
o ı
laterales existen y son iguales a .
l´ f (x) =
ım ⇔ l´
ım f (x) = l´
ım f (x) =
x→x0 x→x0 − x→x0 +

74. 66 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
y
2
1
x
−3 −2 −1 0 1 2 3
√
Figura 1.31: f (x) = x
1.5.3. Propiedades de los l´
ımites
Proposici´n 1.14 (Propiedades algebraicas de los l´
o ımites). Son cier-
tas las siguientes propiedades:
ä ç ä ç
1. M´ltiplo escalar: l´
u ım r f (x) = r l´ f (x) ,
ım r∈R
x→x0 x→x0
ä ç
2. ım f (x) ± g(x) = l´ f (x) ± l´ g(x)
Suma o diferencia: l´ ım ım
x→x0 x→x0 x→x0
ä ç
3. ım f (x) · g(x) = l´ f (x) · l´ g(x)
Producto: l´ ım ım
x→x0 x→x0 x→x0
f (x) l´ f (x)
ım
x→x0
4. Cociente: l´
ım = , si l´ g(x) = 0
ım
x→x0 g(x) l´ g(x)
ım x→x0
x→x0
å èr
5. Potencia: l´ [f (x)]r =
ım l´ f (x)
ım
x→x0 x→x0
1.5.4. Continuidad de una funci´n en un punto
o
En el lenguaje cotidiano la palabra continuo se utiliza para indicar que algo
dura sin interrupci´n, o bien que las cosas tienen uni´n entre s´ En C´lculo
o o ı. a
el significado es similar. Decir que una funci´n f es continua en un punto x0
o
significa que no sufre interrupci´n en x0 , que no se rompe ni tiene huecos,
o
que su gr´fica “atraviesa” el punto (x0 , y0 ).
a
Definici´n 1.26 (Continuidad en un punto). Una funci´n f se dice
o o
que es continua en el punto x0 si se verifican las tres relaciones siguientes:
1. f (x0 ) est´ definido
a 2. l´ f (x) existe
ım 3. l´ f (x) = f (x0 )
ım
x→x0 x→x0
lo que se puede resumir escribiendo
f es continua en x0 ⇔ l´ f (x) = f (x0 )
ım (1.10)
x→x0
Nota: Las situaciones por las que una funci´n no es continua en un punto son las siguien-
o
tes:
1. La funci´n no est´ definida en el punto.
o a
2. El l´
ımite de la funci´n en el punto no existe.
o

75. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 67
3. El l´
ımite de la funci´n en el punto existe pero no coincide con el valor de la funci´n
o o
en dicho punto.
Definici´n 1.27 (Discontinuidad en un punto). Se dice que la funci´n
o o
f es discontinua en un punto x0 si la funci´n est´ definida en un entorno
o a
de dicho punto (excepto quiz´s en x0 ) y no es continua en dicho punto.
a
Una discontinuidad se dice evitable si la funci´n puede hacerse continua
o
redefiniendola en dicho punto; y se llama inevitable si esto no es posible.
Nota: Para hablar de discontinuidad se exige que la funci´n est´ definida en los alrededores
√ o e
del punto. No tiene sentido decir que f (x) = x es discontinua en x = −3, ya que en los
alrededores de -3 la funci´n no est´ definida.
o a
Para que la discontinuidad de una funci´n f en un punto x0 sea evitable el l´
o ımite de
la funci´n en dicho punto tiene que existir, con objeto de hacerla continua redefiniendo
o
f (x0 ) con el valor del l´
ımite
f (x0 ) = l´ f (x)
ım
x→x0
Es evidente que la nueva funci´n que se obtiene con esta redefinici´n de f (x0 ), es continua
o o
en x0
La gr´fica de una funci´n de una variable es una curva en el plano. Esta
a o
y
T
y = f (x)
x
E
Figura 1.32: Gr´fica de una funci´n de una variable.
a o
curva puede presentar las situaciones de discontinuidad que se muestran en
la figura 1.33.
Definici´n 1.28 (Continuidad en un intervalo). Una funci´n f se dice
o o
que es continua en un intervalo abierto (a, b) si lo es en todos los puntos del
intervalo.
Una funci´n es continua en un intervalo cerrado [a, b] si lo es en el
o
intervalo abierto (a, b) y adem´s:
a
l´ f (x) = f (a)
ım y l´ f (x) = f (b)
ım
x→a+ x→b−
Nota: Una funci´n se dice que es continua por la derecha en x0 cuando
o
l´
ım f (x) = f (x0 )
x→x0 +
y se dice que es continua por la izquierda cuando
l´
ım f (x) = f (x0 )
x→x0 −

76. 68 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Figura 1.33: Situaciones de discontinuidad en funciones de una variable
1.5.5. Propiedades de las funciones continuas
Proposici´n 1.15 (Propiedades algebraicas). Si f y g son continuas
o
en x0 , entonces tambi´n son continuas:
e
1. M´ltiplo escalar: rf
u 2. Suma y diferencia: f ± g
f
3. Producto: f g 4. Cociente: , si g(x0 ) = 0
g
Proposici´n 1.16 (Continuidad de las funciones elementales). Las
o
siguientes funciones son continuas en todos los puntos de su dominio
1. Polin´micas
o
2. Racionales
3. Radicales
4. Trigonom´tricas
e
5. Exponenciales
En general, cualquier funci´n elemental es continua en todos los puntos en
o
los que est´n definidas.
a
Teorema 1.7 (Continuidad de la funci´n compuesta). Si g es continua
o
en x0 y f lo es en g(x0 ), entonces la funci´n compuesta dada por f ◦ g(x) =
o
f g(x) es continua en x0 .
Nota: La importancia de este teorema la podemos ver con un simple ejemplo. Si la funci´n
o
y = f (x) es continua en un punto, entonces tambi´n son continuas en ese punto ef (x) ,
¡
sen f (x) , etc.
e

77. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 69
Teorema 1.8 (Teorema del valor intermedio). Si f es continua en
[a, b] y C es cualquier n´mero entre f (a) y f (b), entonces existe al menos
u
un n´mero c entre a y b tal que f (c) = C.
u
El teorema afirma que si x toma todos los valores entre a y b, entonces
la funci´n continua f debe tomar todos los valores entre f (a) y f (b).
o
Corolario 1.2 (Teorema de los ceros de Bolzano). Si f es continua
en [a, b] y Sig f (a) = Sig f (b), entonces existe al menos un n´mero c entre
u
a y b tal que f (c) = 0.
Nota: Con Sig f (a) = Sig f (b), queremos indicar que f (a) y f (b) tienen signos distintos.
Es decir; o bien, f (a) 0 y f (b) 0; o bien, f (a) 0 y f (b) 0.
Corolario 1.3 (Intervalos de signo constante). Una funci´n solamente
o
puede cambiar de signo al pasar por por puntos en los que sea nula o puntos
en los que sea discontinua
ıces). Probar que
Ejemplo 1.49 (Probando la existencia de ra´
1. La ecuaci´n x3 + 2x − 1 = 0 tiene, al menos, una ra´ real en el
o ız
intervalo (0, 1)
2. La ecuaci´n x3 − 3x + 1 = 0 tiene, al menos, una ra´ real
o ız
Soluci´n. a) Consideramos la funci´n f (x) = x3 +2x−1, que al ser polin´mi-
o o o
ca es continua en todo R, y en consecuencia en [0, 1], adem´s, se tiene
a
f (0) = −1 0 y f (1) = 2 0
luego, aplicando el Teorema 1.2 de los ceros de Bolzano, podemos concluir
que existe al menos un c en (0, 1) en el cual f (c) = 0.
b) Consideramos la funci´n f (x) = x3 − 3x + 1, que al ser polin´mica es
o o
continua en todo R. En esta ocasi´n no se nos da el intervalo, en consecuencia
o
lo determinamos nosotros. Buscamos, para ello, un punto donde la funci´n o
sea negativa y otro donde sea positiva. As´ı,
f (0) = +1 0 y f (−2) = −8 + 6 + 1 = −1 0
En consecuencia la ecuaci´n tiene, al menos, una ra´ en el intervalo (−2, 0).
o ız
1.5.6. L´
ımites infinitos
Comencemos realizando nuevamente el ejemplo 1.44. All´ se dijo que el l´
ı ımite
no exist´ como n´mero real, pero que la situaci´n planteada merec´ un
ıa u o ıa
tratamiento particular. Ve´moslo.
a

78. 70 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Ejemplo 1.50 (Comportamiento no acotado). Discutir la existencia del si-
guiente l´
ımite
1
l´
ım
x→0 x2
Soluci´n. Consideremos la funci´n
o o
1
f (x) =
x2
Demos valores a x cada vez m´s cercanos al origen
a
x se acerca a 0 por la izquierda x se acerca a 0 por la derecha
x -0.25 -0.1 -0.01 -0.001 0 0.001 0.01 0.1 0.25
f (x) 16 100 10000 1000000 ? 1000000 10000 100 16
f (x) crece sin tope f (x) crece sin tope
De la tabla se desprende que cuando x se acerca a 0, tanto por la derecha
como por la izquierda, f (x) crece sin l´
ımite. Es m´s, podemos hacer que
a
f (x) crezca cuanto queramos sin m´s que acercarnos suficientemente al ori-
a
gen. As´ por ejemplo, si queremos que f (x) sea mayor que 100 000 000,
ı,
bastar´ tomar un valor de x menor que 1/10 000. En efecto,
a
1 1
0 |x| ⇒ f (x) = 100 000 000
10 000 x2
Como f (x) no se aproxima a ning´n n´mero real cuando x se acerca a
u u
0, decimos que el l´
ımite no existe. Ahora bien, aunque el l´ ımite no existe,
como n´mero real, la situaci´n reflejada en este ejemplo es lo suficientemente
u o
importante y lo suficientemente frecuente en C´lculo, como para tenerla en
a
especial consideraci´n. As´ en estas situaciones, se dice que el l´
o ı, ımite de la
funci´n cuando x tiende a cero, es infinito, y se expresa
o
1
l´
ım = +∞
x→0 x2
No obstante hay que decir que +∞ no es ning´n n´mero real, sino el reflejo
u u
de una situaci´n concreta.
o
Ahora bien, para que quede probado que el l´ımite es infinito, no basta con
probar que la funci´n toma valores superiores a 100 000 000 en los alrededores
o
del origen, sino que hemos de probar que la funci´n, en los alrededores del
o
origen, toma valores superiores a cualquier n´mero real M , por muy grande
u
que sea. En efecto. Sea M 0 un n´mero positivo cualquiera, ser´
u a
1 1
0 |x| √ ⇒ f (x) = M
M x2

79. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 71
Lo que prueba que f (x) toma valores arbitrariamente grandes en los alre-
dedores del origen. Es decir, para cualquier numero positivo M , se tiene
que
1
f (x) M cuando 0 |x| √
M
Lo que prueba que el l´ımite es infinito.
La gr´fica de la funci´n f viene reflejada en la figura 1.34
a o
y
6
4
2
x
−6 −4 −2 2 4 6
1
Figura 1.34: l´
ım = +∞
x→0 x2
Veamos otra situaci´n parecida.
o
Ejemplo 1.51 (L´ ımites + y - infinito). Estudiar el comportamiento de la
siguiente funci´n en los alrededores del punto x = 2
o
1
f (x) =
x−2
Soluci´n. Demos valores a x cada vez m´s cercanos a 2
o a
x se acerca a 2 por la izquierda x se acerca a 2 por la derecha
x 1.75 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.25
f (x) -4 -10 -100 -1000 ? 1000 100 10 4
f (x) decrece sin tope f (x) crece sin tope
De la tabla se desprende que cuando x se acerca a 2, por la derecha, f (x)
crece sin l´
ımite, mientras que cuando x se acerca a 2, por la izquierda, f (x)
decrece sin l´
ımite. Es m´s, podemos hacer que f (x) crezca cuanto queramos
a
sin m´s que acercarnos suficientemente al origen, por la derecha; y que f (x)
a
decrezca cuanto queramos sin m´s que acercarnos suficientemente al origen,
a
por la izquierda. As´ por ejemplo, si queremos que f (x) sea mayor que
ı,
100 000 000, bastar´ tomar un valor de x 2 y menor que 2 + 1/100 000 000.
a
En efecto,
1 1
2x2+ ⇒ f (x) = 100 000 000
100 000 000 x−2
Por otro lado, si, por ejemplo, queremos que f (x) sea menor que -100 000 000,
bastar´ tomar un valor de x 2 mayor que 2 − 1/100 000 000. En efecto,
a
1 1
2x2− ⇒ f (x) = 100 000 000
100 000 000 x−2

80. 72 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
En estas situaciones, se dice que el l´
ımite de la funci´n cuando x tiende a 2,
o
por la derecha, es m´s infinito, y el l´
a ımite de la funci´n cuando x tiende a
o
2, por la izquierda, es menos infinito, y se expresa
1 1
l´
ım = +∞ y l´
ım = −∞
x→2+ x−2 x→2− x−2
No obstante, igual que en ejemplo anterior, hay que decir que +∞ y −∞ no
son ning´n n´mero real, sino el reflejo de una situaci´n concreta.
u u o
Ahora bien, para que quede probado que el l´ ımite es m´s infinito o
a
menos infinito, no basta con probar que la funci´n toma valores superio-
o
res a 100 000 000 o menores a -100 000 000 en los alrededores de x = 2, sino
que hemos de probar que la funci´n, en los alrededores de x = 2, toma
o
valores superiores a cualquier n´mero real M , por muy grande que sea, o
u
menores a cualquier n´mero real negativo N (por muy grande que sea, en
u
valor absoluto). En efecto. Sea M 0 un n´mero positivo cualquiera, ser´
u a
1 1
2x2+ ⇒ f (x) = M
M x−2
Lo que prueba que f (x) toma valores arbitrariamente grandes a la derecha
del 2. Es decir, para cualquier numero positivo M , se tiene que
1
f (x) M cuando 2x2+
M
Y, por otro lado, sea N = −M 0 un n´mero negativo cualquiera. Ser´
u a
1 1
2x2− ⇒ f (x) = −M
M x−2
Lo que prueba que f (x) toma valores negativos (arbitrariamente grandes en
valor absoluto) a la izquierda del 2. Es decir, para cualquier numero negativo
N = −M , se tiene que
1
f (x) −M cuando 2x2−
M
Lo que prueba que el l´
ımite es menos infinito.
La gr´fica de la funci´n f viene reflejada en la figura 1.35
a o
Definici´n 1.29 (L´
o ımites infinitos). Se dice que el l´
ımite de la funci´n
o
f en el punto x0 es m´s infinito, y se denota
a
l´ f (x) = +∞
ım
x→x0
si para cada M 0 existe un δ 0 tal que
f (x) M siempre que 0 |x − x0 | δ.

81. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 73
y
6
4
2
x
−4 −2 2 4 6 8
−2
−4
−6
1 1
Figura 1.35: l´
ım = −∞, l´
ım = +∞
x→2− x−2 x→2+ x−2
l´ f (x) = +∞ ⇔ ∀M 0, ∃δ 0 : ∀x ∈ R, 0 |x − x0 | δ ⇒ f (x) M
ım (1.11)
x→x0
Se dice que el l´
ımite de la funci´n f en el punto x0 es menos infinito, y se
o
denota
l´ f (x) = −∞
ım
x→x0
si para cada N 0 existe un δ 0 tal que
f (x) N siempre que 0 |x − x0 | δ.
l´ f (x) = −∞ ⇔ ∀N 0, ∃δ 0 : ∀x ∈ R, 0 |x − x0 | δ ⇒ f (x) N
ım (1.12)
x→x0
Las definiciones se ilustran en la Figura 1.36
Para todo x = x0
y ßÞ
que est´ aqu´
e ı
f (x) est´ aqu´
ı
x0 x
δ δ
a
M N
f (x) est´ aqu´
a ı
δ δ x
x0
Þ ß y
Para todo x = x0
que est´ aqu´
e ı
Figura 1.36: l´ f (x) = +∞,
ım l´ f (x) = −∞
ım
x→x0 x→x0

82. 74 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Para definir el l´
ımite infinito por la izquierda, basta con sustituir
0 |x − x0 | δ por x0 − δ x x0
y para definir el l´
ımite infinito por la derecha, basta con sustituir
0 |x − x0 | δ por x0 x x0 + δ
ımite de la funci´n f en el punto x0 es m´s o menos infinito, o bien
Si el l´ o a
alguno de los l´
ımites laterales es m´s o menos infinito, entonces decimos que
a
la funci´n f presenta en x = x0 una discontinuidad infinita o asint´tica.
o o
Proposici´n 1.17 (Propiedades de los l´
o ımites infinitos). Si f y g son
funciones tales que
l´ f (x) = +∞
ım y l´ g(x) =
ım
x→x0 x→x0
entonces son v´lidas las siguientes propiedades:
a
ä ç
1. ım f (x) ± g(x) = +∞
Suma o diferencia: l´
x→x0
ä ç
2. Producto: ım f (x)g(x) = +∞
l´ si 0
x→x0 ä ç
ım f (x)g(x) = −∞
l´ si 0
x→x0
g(x)
3. l´
ım =0
x→x0 f (x)
Propiedades similares son v´lidas si l´ f (x) = +∞
a ım
x→x0
Las propiedades anteriores pueden recordarse de la siguiente forma:
+∞ ± = +∞ −∞ ± = −∞
p (+∞) = +∞ p (−∞) = −∞
−p (+∞) = −∞ −p (−∞) = +∞
=0 =0
+∞ −∞
No est´ permitido dividir por cero. Sin embargo, Cuando el l´
a ımite del
denominador es cero, el cociente puede tener l´ımite infinito, si bien, hay
que determinar el signo del denominador para poder determinar el signo del
infinito. As´
ı,
p −p
p = +∞ −p = −∞
=? 0+ =? 0+
0 p 0 −p
= −∞ = +∞
0− 0−

83. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 75
Definici´n 1.30 (As´
o ıntotas verticales). Diremos que la recta x = x0
es una as´
ıntota vertical de la gr´fica de la funci´n f , si el l´
a o ımite de f (x),
cuando x tiende a x0 por la derecha o por la izquierda, es +∞ (o −∞).
Nota: Cuando la funci´n f venga definida por un cociente
o
g(x)
f (x) =
h(x)
las as´
ıntotas verticales habr´ que buscarlas en los ceros del denominador h(x) = 0.
a
1.5.7. L´
ımites en el infinito
Con concepto de l´ ımite de una funci´n cuando x tiende a +∞ o −∞ se
o
pretende estudiar el comportamiento de la funci´n cuando x crece (o decrece)
o
sin l´
ımite. Es decir, x toma valores extremadamente grandes, positivos (o
negativos). El concepto es an´logo al de l´
a ımite de una sucesi´n. Ve´moslo
o a
con un ejemplo,
Ejemplo 1.52. Estudiar el comportamiento de la funci´n
o
3x
f (x) =
|x| + 1
cuando x crece o decrece sin l´
ımite.
Soluci´n. Los valores de f (x), cuando a x crece o decrece sin l´
o ımite, vienen
recogidos en la siguiente tabla.
x decrece sin l´
ımite x crece sin l´
ımite
x −∞ ← -1000 -100 -10 0 10 100 1000 → +∞
f (x) −3 ← -2.997 -2.97 -2.73 0 2.73 2.97 2.997 →3
f (x) se acerca a −3 f (x) se acerca a 3
De la tabla se desprende que los valores de f (x) tienden a 3 cuando x
ımite y a −3 cuando x decrece sin l´
crece sin l´ ımite. En consecuencia diremos
que
3x 3x
l´ f (x) = l´
ım ım = −3, y l´ f (x) = l´
ım ım =3
x→−∞ x→−∞ |x| + 1 x→+∞ x→+∞ |x| + 1
La gr´fica de la funci´n f es una curva con dos as´
a o ıntotas horizontales: la
recta x = 3, por la derecha; y la recta x = −3, por la izquierda. (v´asee
Figura 1.37).
En consecuencia podemos decir que:
El l´
ımite de la funci´n f , cuando x tiende a +∞ es , si f (x) est´ tan
o a
pr´ximo a como queramos, siempre que x sea los suficientemente grande,
o
y se escribe:
l´ f (x) =
ım
x→+∞

84. 76 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
y
3
2
1
x
−30 −20 −10 10 20 30
−1
−2
−3
3x
Figura 1.37: f (x) =
|x| + 1
De manera an´loga, se dice que el l´
a ımite de la funci´n f , cuando x tiende
o
a −∞ es , si f (x) est´ tan pr´ximo a como queramos, siempre que x tome
a o
valores negativos, suficientemente grande en valor absoluto, y se escribe:
l´ f (x) =
ım
x→−∞
Formalmente se puede dar la siguiente definici´n:
o
Definici´n 1.31 (L´
o ımites en el infinito). El l´
ımite de la funci´n f ,
o
cuando x tiende a +∞ es , y se denota
l´ f (x) =
ım
x→+∞
si para cada ε 0 existe un M 0 tal que
|f (x) − | ε siempre que xM
ım f (x) = ⇔ ∀ε 0, ∃M 0 : ∀x ∈ R, x M ⇒ |f (x) − | ε
l´ (1.13)
x→+∞
ımite de la funci´n f , cuando x tiende a −∞ es , y se denota
El l´ o
l´ f (x) =
ım
x→−∞
si para cada ε 0 existe un N 0 tal que
|f (x) − | ε siempre que xN
ım f (x) = ⇔ ∀ε 0, ∃N 0 : ∀x ∈ R, x N ⇒ |f (x) − | ε
l´ (1.14)
x→−∞
Las definiciones se ilustran en la Figura 1.38

85. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 77
y y
f f
f (x) est´
a ε ε f (x) est´
a
aqu´ı ε ε aqu´ı
x x
N M
Para todo x aqu´
ı Para todo x aqu´
ı
Figura 1.38: l´ f (x) = ,
ım l´
ım f (x) =
x→−∞ x→+∞
Definici´n 1.32 (As´
o ıntotas horizontales). Si
l´ f (x) =
ım o l´ f (x) =
ım
x→−∞ x→+∞
entonces la recta y = se llama as´
ıntota horizontal de la gr´fica de f .
a
Nota: La as´
ıntota por la derecha y la as´
ıntota por la izquierda pueden coincidir o no.
Ahora bien, la gr´fica de una funci´n puede tener a lo sumo dos as´
a o ıntotas horizontales,
una por la derecha y otra por la izquierda.
Los l´
ımites en el infinito comparten muchas propiedades con los l´
ımites
de funciones en un punto x0 y con los l´
ımites de sucesiones.
Proposici´n 1.18 (Propiedades algebraicas de los l´
o ımites en el in-
finito). Son ciertas las siguientes propiedades:
1. Constante: l´ c = c
ım
x→+∞
ä ç ä ç
2. M´ltiplo escalar: l´
u ım r f (x) = r l´ f (x) ,
ım r∈R
x→+∞ x→+∞
ä ç
3. Suma o diferencia: l´
ım f (x) ± g(x) = l´ f (x) ± l´ g(x)
ım ım
x→+∞ x→+∞ x→+∞
ä ç
4. Producto: l´
ım f (x) · g(x) = l´ f (x) · l´ g(x)
ım ım
x→+∞ x→+∞ x→+∞
f (x) l´ f (x)
ım
x→+∞
5. Cociente: l´
ım = , si l´ g(x) = 0
ım
x→+∞ g(x) l´ g(x)
ım x→+∞
x→+∞
å èr
6. Potencia: l´ [f (x)]r =
ım l´ f (x)
ım
x→+∞ x→+∞
n
7. Ra´
ıces: l´
ım f (x) = n l´ f (x)
ım
x→+∞ x→+∞
Las mismas propiedades se dan cuando x → −∞

86. 78 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
1.5.8. T´cnicas elementales para el c´lculo de l´
e a ımites
Todas las funciones elementales son continuas en todos los puntos en los
que est´n definidas. En consecuencia para calcular el l´
a ımite de una funci´no
elemental en un punto de su dominio bastar´ con hacer la sustituci´n directa.
a o
Es decir
l´ f (x) = f (x0 )
ım
x→x0
El problema est´ en calcular el l´
a ımite de una funci´n elemental en un punto
o
en el que no est´ definida. Es decir, en un punto tal que al hacer la susti-
a
tuci´n directa nos encontramos con una indeterminaci´n. Habr´ que hacer
o o a
las operaciones necesarias para romper la indeterminaci´n.
o
Teorema 1.9 (Funciones que coinciden en todos sus puntos excepto
en uno). Sea x0 un n´mero real y sean f y g dos funciones que coinciden
u
en todos los puntos de un entorno de x0 , salvo quiz´s en x0 . Entonces, si
a
ımite de una de ellas en x0 , tambi´n existe el l´
existe el l´ e ımite de la otra y
adem´s son iguales.
a
f (x) = g(x) para x = x0 ⇒ l´ f (x) = l´ g(x)
ım ım
x→x0 x→x0
Demostraci´n. Supongamos que existe el l´
o ımite de g(x) cuando x → x0 y
que dicho l´
ımite es . Entonces, por definici´n, se tiene que para cada ε 0
o
existe un δ 0 tal que
|g(x) − | ε siempre que 0 |x − x0 | δ
Ahora bien, teniendo en cuenta que f (x) = g(x) para todo x del entorno de
x0 , salvo quiz´s para x0 y teniendo en cuenta que x0 no se contempla en la
a
definici´n de l´
o ımite (ya que 0 |x − x0 |), resulta que
|f (x) − | ε siempre que 0 |x − x0 | δ
ımite de f (x) cuando x → x0 tambi´n es .
luego el l´ e
a) T´cnicas de cancelaci´n. Se aplica en las funciones racionales cuando
e o
nos encontramos con una indeterminaci´n del tipo 0/0. Sea
o
p(x)
r(x) =
q(x)
y supongamos que nos encontramos con la situaci´n
o
p(x) ä p(x0 ) 0ç
l´
ım = =
x→x0 q(x) q(x0 ) 0

87. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 79
Al ser p(x0 ) = 0 quiere decir que p(x) es m´ltiplo de (x − x0 ). Del mismo
u
modo, al ser q(x0 ) = 0 quiere decir que q(x) es m´ltiplo de (x − x0 ). En
u
consecuencia, en virtud del Teorema 1.9, cancelando el factor (x − x0 ) en el
numerados y denominador podemos eliminar la indeterminaci´n y aplicar la
o
sustituci´n directa.
o
p(x) ä p(x0 ) 0ç (x − x0 )p1 (x) p1 (x) p1 (x0 )
l´
ım = = = l´
ım = l´
ım =
x→x0 q(x) q(x0 ) 0 x→x0 (x − x0 )q1 (x) x→x0 q1 (x) q1 (x0 )
Ejemplo 1.53 (C´lculo de l´
a ımites mediante cancelaci´n de factores). Calcu-
o
lar
x2 − 5x + 6
l´
ım 2
x→2 x + 2x − 8
Soluci´n. Al probar la sustituci´n directa nos encontramos con una indeter-
o o
minaci´n del tipo 0/0. En consecuencia factorizamos numerador y denomi-
o
nador y cancelamos los factores comunes, con lo cual se tiene,
x2 − 5x + 6 ä 0 ç (x − 2)(x − 3) x−3 2−3 −1
l´
ım 2 + 2x − 8
= = l´
ım = l´
ım = =
x→2 x 0 x→2 (x − 2)(x + 4) x→2 x + 4 2+4 6
b) T´cnicas de racionalizaci´n. Se aplica en las funciones irracionales
e o
cuando nos encontramos con indeterminaciones del tipo 0/0 o bien ∞ − ∞.
En el caso de que se trate de ra´
ıces cuadradas la indeterminaci´n se suele
o
eliminar multiplicando y dividiendo por el conjugado, con objeto de tener
suma por diferencia, de manera que al aplicar la diferencia de cuadrados se
elimine la ra´ cuadrada.
ız
a ımites mediante racionalizaci´n). Calcular
Ejemplo 1.54 (C´lculo de l´ o
√
x−1
l´
ım
x→1 x − 1
Soluci´n. Al aplicar la sustituci´n directa nos encontramos con una indeter-
o o
minaci´n del tipo 0/0. En consecuencia racionalizamos el numerador, mul-
o
tiplicando y dividiendo por el conjugado, del numerador, de manera que al
aplicar la diferencia de cuadrados se elimine la ra´ cuadrada. En efecto,
ız
√ √ √ √
x−1 0 x−1 x+1 ( x)2 − 12
l´
ım = = l´ım √ = l´
ım √ =
x→1 x − 1 0 x→1 (x − 1) x+1 x→1 (x − 1) x+1
x−1 1 1 1
= l´
ım √ = l´ √
ım =√ =
x→1 (x − 1) x+1 x→1 x+1 1+1 2
c) C´lculo de l´
a ımites mediante el n´ mero e. Las indeterminaciones
u
del tipo 1∞ se pueden resolver haciendo transformaciones para expresar el
l´
ımite de cualquiera de las formas siguientes:
1 x
l´ (1 + x)1/x = e
ım l´
ım 1+ =e
x→0 x→∞ x

88. 80 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
o bien, de manera general
1/h(x)
l´
ım 1 + h(x) = e, si l´ h(x) = 0
ım
x→x0 x→x0
Nota: Estos l´
ımites se resuelven en la secci´n 3.3.3 (p´g. 177) mediante las reglas de
o a
L’Hˆpital.
o
2
ım x − 3 x − 4
Ejemplo 1.55. Calcular: l´
x→4
Soluci´n. Si hacemos la sustituci´n directa nos encontramos con una inde-
o o
terminaci´n del tipo 1
o ∞ . El l´
ımite se resuelve mediante el n´mero e de la
u
siguiente forma
2
¾ 1
¿2
ım x − 3
l´ x − 4 = l´
ım 1 + (x − 4) x−4 = e2
x→4 x→4
d) Teorema del encaje y de la acotaci´n. Si una funci´n est´ compren-
o o a
dida, en los alrededores de un punto, entre dos que tienen el mismo l´
ımite,
en dicho punto, entonces dicha funci´n tambi´n tiene el mismo l´
o e ımite en
dicho punto.
µ
f (x) ≤ h(x) ≤ g(x)
l´ f (x) = l´ g(x)
ım ım ⇒ l´ h(x) = l´ f (x) = l´ g(x)
ım ım ım
x→x0 x→x0 x→x0
x→x0 x→x0
Teorema 1.10 (Teorema del encaje). Si f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo
x en un entorno de x0 , excepto quiz´s en el propio x0 , y si
a
l´ f (x) = = l´ g(x)
ım ım
x→x0 x→x0
entonces
l´ h(x) =
ım
x→x0
Demostraci´n. Dado ε 0 existen δ1 y δ2 tales que
o
|f (x) − | ε siempre que 0 |x − x0 | δ1
y
|g(x) − | ε siempre que 0 |x − x0 | δ2
Sea δ el menor de δ1 y δ2 . Entonces si 0 |x − x0 | δ, se siguen las dos
relaciones
|f (x) − | ε y |g(x) − | ε
lo cual, expresado mediante desigualdades, significa que
−ε f (x) − ε y − ε g(x) − ε

89. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 81
de donde, sumando
− ε f (x) y g(x) + ε
y teniendo en cuenta que f (x) ≤ h(x) ≤ g(x), se tiene
− ε f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) + ε
de donde,
− ε h(x) + ε
que en valor absoluto, se expresa
|h(x) − | ε
lo que significa que l´ h(x) =
ım
x→x0
Si una funci´n tiene l´
o ımite cero, en un punto, y otra est´ acotada en
a
los alrededores del punto, entonces su producto tambi´n tiene l´
e ımite cero en
dicho punto.
µ
g(x) acotada
l´ f (x) = 0
ım ⇒ −k ≤ g(x) ≤ k ⇒ −kf (x) ≤ f (x)g(x) ≤ kf (x) ⇒
x→x0
ä ç ä ç
ım f (x)g(x) ≤ 0 ⇒ l´
0 ≤ l´ ım f (x)g(x) = 0 ⇒ 0 · Acot = 0
x→x0 x→x0
Nota: Si f (x) 0, cambiar´ el sentido de la desigualdad, pero el resultado final ser´ el
ıa ıa
mismo.
ımite en el punto x0 . De ah´ la
El teorema se cumple aunque la funci´n g(x) no tenga l´
o ı
importancia del teorema.
Ejemplo 1.56 (Cero por acotado). Calcular el siguiente l´mite
ı
1
ım x sen
l´
x→0 x
Soluci´n. Dado que la funci´n seno est´ acotada
o o a
1
−1 ≤ sen ≤1
x
resulta
1
ım x sen
l´ = 0 · Acot = 0
x→0 x
1
Nota: El resultado es correcto, a pesar de que l´ sen
ım no existe.
x→0 x

90. 82 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
1.5.9. Infinit´simos equivalentes
e
Definici´n 1.33 (Infinit´simos). Una funci´n, f , se dice que es un in-
o e o
finit´simo en un punto x0 , si su l´
e ımite en dicho punto es cero.
f infinit´simo en x0 ⇔ l´ f (x) = 0
e ım
x→x0
Definici´n 1.34 (Infinit´simos equivalentes). Dos infinit´simos, en un
o e e
mismo punto, se dice que son equivalentes, cuando el l´mite de su cociente
ı
es la unidad.
f (x) ä 0 ç
l´
ım = = 1 ⇔ f (x) ∼ g(x)
x→x0 g(x) 0
Teorema 1.11 (Sustituci´n de infinit´simos). Cuando, en un l´
o e ımite,
un infinit´simo est´ multiplicando o dividiendo se le puede sustituir por otro
e e
equivalente.
f (x)
Demostraci´n. Supongamos que, en x0 , es f (x) ∼ g(x), ser´ l´
o a ım = 1.
g(x)
x→x0
Y supongamos que nos encontramos con un l´
ımite en el que aparece f (x)
multiplicando o dividiendo:
f (x)
l´ f (x)h(x) = l´
ım ım g(x)h(x) = l´ 1 · g(x)h(x) = l´ g(x)h(x)
ım ım
x→x0 x→x0 g(x) x→x0 x→x0
Es decir, hemos sustituido f (x) por g(x) y el nuevo l´
ımite puede resultar
m´s f´cil que el anterior.
a a
Proposici´n 1.19. Si un infinit´simo est´ sumando o restando, en general,
o e a
no se le puede sustituir por otro equivalente.
ım f (x) ± h(x) = l´
l´ ım g(x) ± h(x)
x→x0 x→x0
Existen casos muy concretos en los que se pueden aplicar infinit´simos
e
al caso de sumas, como es el siguiente
Proposici´n 1.20. La suma de varios infinit´simos de distinto orden se
o e
puede reducir al de menor orden.
(x2 + x3 + x6 )f (x) (x2 )f (x)
l´
ım = l´
ım
x→0 g(x) x→0 g(x)

91. 1.5. L´
IMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 83
1.5.10. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0
e a
Trigonom´tricos
e
sen z ∼ z arc sen z ∼ z
tg z ∼ z arc tg z ∼ z
z2
1 − cos z ∼
2
Exponenciales, logar´
ıtmicos, potencias y ra´
ıces
z ∼ ln(1 + z)
ez − 1 ∼ z
ln(1 + z) ∼ z az − 1 ∼ z · ln a
(1 + z)r − 1 ∼ r z
√ z
n
1+z−1∼
n
Ejemplo 1.57. Calcular los siguientes l´mites:
ı
2 sen2 x ex − 1 ln x
1. l´
ım 2. l´
ım 3. l´
ım
x→0 x2 (1 + cos x) x→0 sen 2x x→1 1−x
å 1 x1è
√n
x−1 sen2 x + x3
4. l´ x 1 −
ım 5. ım √
l´ m 6. l´
ım
x→∞ 5 x→1 x−1 x→0 1 − cos x
Soluci´n.
o
2 sen2 x ä0ç 2x2 2 2
1. l´
ım = = l´
ım 2 = l´
ım = =1
x→0 x2 (1 + cos x) 0 x→0 x (1 + cos x) x→0 1 + cos x 2
ex − 1 ä 0 ç x 1
2. l´
ım = = l´
ım =
x→0 sen 2x 0 x→0 2x 2
ln x ä0ç ln(1 + x − 1) x−1 1−x
3. l´
ım = = l´ım = l´
ım = l´ −
ım = −1
x→1 1 − x 0 x→1 1−x x→1 1 − x x→1 1 − x
å 1 x1è ä ç å 1 1 è
4. l´ x 1 −
ım = ∞ · 0 = l´ −x ım x
−1 =
x→∞ 5 x→∞ 5
1 1 1
= l´ −x ln
ım = − ln = −(ln 1 − ln 5) = −(0 − ln 5) = ln 5
x 5 5
ä ç
x→∞
√ √ √
n
x−1 ä0ç ln 1 + ( n x − 1) ln n x
ım √
5. l´ m = = l´ ım ä √ ç = l´
ım √ =
x→1 x−1 0 x→1 ln 1 + ( m x − 1) x→1 ln m x
1
n ln x m
= l´
ım =
x→1 1 ln x n
m
sen2 x + x3 ä 0 ç sen2 x x2
6. l´
ım = = l´
ım = l´
ım 2 = 2
x→0 1 − cos x 0 x→0 1 − cos x x→0 x /2

92. 84 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
L´
ımite de sucesiones consider´ndolas como funciones
a
Si unimos los puntos que representan una sucesi´n obtenemos la gr´fica de
o a
una funci´n. Sin embargo, podemos obtener infinitas funciones que contienen
o
los puntos de una misma sucesi´n. Lo normal es coger la funci´n que tiene
o o
la misma f´rmula que la sucesi´n, es decir considerar que la variable n es
o o
continua y no discreta.
Si la funci´n que representa a la sucesi´n tiene l´
o o ımite, ese es el l´
ımite de
la sucesi´n, pero si la funci´n no tiene l´
o o ımite, entonces la sucesi´n si puede
o
tenerlo.
Por tanto, se pueden aplicar los infinit´simos y las reglas de L’Hˆpital
e o
a las sucesiones, el l´ımite que encontremos ser´ el l´
a ımite de la sucesi´n y
o
si la sucesi´n considerada como funci´n no tiene l´
o o ımite entonces habr´ que
a
aplicar otro criterio.
Ejemplo 1.58. Calcular los siguientes l´mites:
ı
√
Ö
√ √ n−1
n− n − 1 = l´ n 1−
3 3 3 3
1. l´
ım ım =
n→∞ n→∞ n
Ö
√ −1 √ −1
= l´ − n −1 = l´ − 3 n
3 3
ım 1+ ım =0
n→∞ n n→∞ 3n
a −a a
2. l´ n 1 −
ım 3
1− = l´ −n
ım =
n→∞ n n→∞ 3n 3
1
√ √ √ a n−1
3. l´ n
ım n
a− n−1
a = l´ n a
ım n
1− 1 =
n→∞ n→∞
an
√ √ n−n+1
= l´ n n a 1 − a n−1 − n = l´ n n a 1 − a n(n−1)
1 1
ım ım =
n→∞ n→∞
√ ln a
= l´ n n a −
ım =0
n→∞ n(n − 1)
1p + 2p + · · · + np ä ∞ ç (n + 1)p
4. l´
ım = = l´
ım =
n→∞ np+1 ∞ n→∞ (n + 1)p+1 − np+1
(n + 1)p
= l´
ım p+1 =
n→∞ n
(n + 1)p+1 1 −
n+1
= l´
ım æ 1
p+1
é = n→∞
l´
ım
1
p+1
=
1
n→∞ 1 p+1
(n + 1) 1 − 1 − (n + 1)
n+1 n+1

93. ´
1.6. FUNCIONES HIPERBOLICAS. 85
Ejercicios propuestos de la secci´n 1.5. L´
o ımite de funciones
Soluciones en la p´gina 390
a
1.5.1. Hallar, si existen, los siguientes l´
ımites
√
x−4 x−3 1
a) l´
ım 2 b) l´ ım c) l´ (x2 + x) sen
ım
x→4 x − 16 x→9 x − 9 x→0 x
1.5.2. Determinar los valores de a y b que hacen continua la funci´n
o
´ 1 si x ≤ 1
f (x) = ax + b si 1 x 3
5 si x ≥ 1
1.5.3. Hallar, si existen, los siguientes l´
ımites
x x x
a) l´ım b) l´ım c) l´
ım
x→2− x − 2 x→2+ x − 2 x→2 x−2
1.5.4. Hallar, si existen, los siguientes l´
ımites
x x x2 − 4
a) l´
ım b) l´
ım c) l´
ım
x→2 (x − 2)2 x→−2 (x + 2)2 x→2 (x − 2)3
1.6. Funciones hiperb´licas.
o
Las dos funciones siguientes, a primera vista, no presentan ninguna parti-
cularidad, incluso pueden parecer dos funciones “ingenuas”:
ex + e−x
f (x) =
2
ex − e−x
g(x) =
2
Sin embargo, el comportamiento de estas dos funciones es bastante curioso
ya que nos recuerdan las funciones circulares de la trigonometr´ por eso
ıa,
reciben unos nombres especiales: coseno hiperb´lico y seno hiperb´lico.
o o
1.6.1. Coseno y seno hiperb´lico
o
Definici´n 1.35. Se llaman funciones hiperb´licas a las siguientes:
o o
ex + e−x
cosh(x) =
2
ex − e−x
senh(x) =
2
Con las funciones hiperb´licas se puede construir una trigonometr´ muy
o ıa
parecida a la ordinaria.
Una primera analog´ la podemos ver en el 0 donde toman los mismos valores
ıa
que el coseno y el seno de la trigonometr´ ordinaria. En efecto:
ıa
e0 + e−0 1+1 2
cosh(0) = = = =1 cosh 0 = 1
2 2 2
e0 − e−0 1−1 0 senh 0 = 0
senh(0) = = = =0
2 2 2

94. 86 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Sin embargo, una diferencia fundamental est´ en que estas funciones no son
a
peri´dicas, ni van oscilando en torno al cero. En efecto.
o
ex + e−x Siempre es positivo (y adem´s siempre es ≥ 1)
a
cosh x =
2 x 0 ⇒ senh x 0
ex − e−x Puede ser positivo o negativo
senh x = x 0 ⇒ senh x 0
2
1.6.2. F´rmula fundamental de la Trigonometr´ hiperb´lica
o ıa o
Si en vez de hacer la suma de los cuadrados hacemos la diferencia, tenemos:
ex + e−x ex − e−x
2 2
cosh2 x − senh2 x = − =
2 2
e2x + 2ex e−x + e−2x e2x − 2ex e−x + e−2x 2+2 4
= − = = =1
4 4 4 4
Que nos da la f´rmula fundamental de la trigonometr´ hiperb´lica:
o ıa o
cosh2 x − senh2 x = 1
Que tambi´n puede expresarse de la forma:
e
cosh2 x = 1 + senh2 x
Lo que permite expresar cada una de las funciones hiperb´licas en t´rminos
o e
de la otra.
cosh x = + 1 + senh2 x
senh x = ± cosh2 x − 1
Esto no quiere decir que el senh tome dos valores simult´neamente, sino que
a
en cada caso, habr´ que elegir como signo de la ra´ el del propio x.
a ız
1.6.3. Significado del t´rmino “hiperb´licas”.
e o
Estas funciones se llaman hiperb´licas porque la trigonometr´ que se con-
o ıa
struye con ellas viene definida sobre una hip´rbola, de manera an´loga a
e a
c´mo la trigonometr´ ordinaria se construye sobre una circunferencia.
o ıa
Trigonometr´ circular:
ıa
Trigonometr´ hiperb´lica: punto (x, y) de la circunferencia cumple:
ıa o Un
Nota: En la trigonometr´ hiperb´lica nos limitamos a la rama derecha de
ıa o
x2 + y 2 = 1
la hip´rbola.
e
x = cos t se tiene :
Y llamando:
y = sen t cos2 t + sen2 t = 1

95. ´
1.6. FUNCIONES HIPERBOLICAS. 87
T
y
'$ (x, y)
Ex
%
Figura 1.39: x2 + y2 = 1
yT Un punto (x, y) de la hip´rbola cumple:
e
(x, y) •
x x2 − y 2 = 1
1 E
0 x = cosh t se tiene :
Y llamando:
y = senh t cosh2 t − senh2 t = 1
Figura 1.40: x2 − y2 = 1
1.6.4. Otras razones hiperb´licas
o
Las dem´s razones hiperb´licas se definen igual que en la trigonometr´
a o ıa
circular:
senh x ex − e−x cosh x ex + e−x
tgh x = = x coth x = = x
cosh x e + e−x senh x e − e−x
1.6.5. F´rmulas del ´ngulo doble
o a
2
e2x − e−2x (ex )2 − e−x (ex − e−x )(ex + e−x )
senh 2x = = = =
2 2 2
ex − e−x ex + e−x
=2 = 2 · senh x · cosh x
2 2
senh 2x = 2 senh x cosh x
2 2
e2x + e−2x (ex )2 + e−x (ex )2 + 2 + e−x −2
cosh 2x = = = =
2 2 2
2 2
(ex )2 + 2ex e−x + e−x −2 ex + e−x ex + e−x
2
= = −1=2 −1=
2 2 2
= 2 cosh2 x − 1 = 2 cosh2 x − (cosh2 x − senh2 x) =

96. 88 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
= 2 cosh2 x − cosh2 x + senh2 x = cosh2 x + senh2 x
cosh 2x = 2 cosh2 x − 1 = cosh2 x + senh2 x
1.6.6. El cuadrado del senh y del cosh
Las siguientes f´rmulas se emplean en el c´lculo de integrales.
o a
cosh 2x + 1
cosh 2x = 2 cosh2 x − 1 ⇒ 2 cosh2 x = 1 + cosh 2x ⇒ cosh2 x =
2
cosh 2x = cosh2 x + senh2 x = (1 + senh2 x) + senh2 x = 1 + 2 senh2 x ⇒
cosh 2x − 1
⇒ 2 senh2 x = cosh 2x − 1 ⇒ senh2 x =
2
1.6.7. Gr´fica de las funciones hiperb´licas
a o
Gr´fica de la funci´n f (x) = senh x
a o
ex − e−x
senh x = = 1/2ex − 1/2e−x
2
y
T ex
1/2
senh x
1/2 e−x
Ex
−1/2 e−x
Figura 1.41: f (x) = senh x
Gr´fica de la funci´n f (x) = cosh x
a o
ex + e−x
cosh x = = 1/2ex + 1/2e−x
2
Gr´fica de la funci´n f (x) = tgh x
a o
senh x ex − e−x
tgh x = = x
cosh x e + e−x

97. ´
1.6. FUNCIONES HIPERBOLICAS. 89
y
T x
cosh
1/2 ex
1/2 e−x
Ex
Figura 1.42: f (x) = cosh x
tgh 0 = 0
e−x
ex −e−x
å∞è 1− 1 − e−2x 1−0
l´
ım = = l´
ım ex = l´
ım = =1
−x
x→+∞ ex + e−x ∞ x→+∞ e x→+∞ 1 + e−2x 1+0
1+ x
e
ex
ex − e−x
å∞è −x
−1 e2x − 1 0−1
l´
ım = = l´ım e x = l´ım 2x = = −1
x→−∞ ex + e−x ∞ x→−∞ e x→−∞ e + 1 0+1
+1
e−x
y
T1
tgh x
Ex
−1
Figura 1.43: f (x) = tgh x
1.6.8. Funciones hiperb´licas inversas
o
Para las funciones hiperb´licas inversas en vez de la palabra arco se utiliza
o
la palabra argumento.
y = arg cosh x ⇐⇒ x = cosh y ← Siempre positivo
y = arg senh x ⇐⇒ x = senh y
Dado que la funci´n cosh no es inyectiva, ya que existen dos argumentos
o
con el mismo coseno hiperb´lico: cosh y = cosh (−y), su correspondencia
o
rec´
ıproca no es funci´n, ya que para cada valor de x tendr´
o ıamos dos posibles
valores para su imagen: y y −y. Para salvar esta circunstancia elegiremos
siempre el valor positivo del argumento.

98. 90 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
y
T cosh x
arg cosh x
Ex
Figura 1.44: f (x) = arg cosh x
1.6.9. Identidad hiperb´lica
o
ex + e−x
cosh x =
2 ex + e−x ex − e−x 2ex
cosh x + senh x = + = = ex
ex − e−x 2 2 2
senh x =
2
ä ç
ex = cosh x + senh x ⇒ x = ln cosh x + senh x
1.6.10. F´rmula logar´
o ıtmica de las funciones hiperb´licas in-
o
versas
Sea y = arg cosh x, a partir de ah´ los valores del cosh y y senh y son los
ı,
siguientes:
a) Por la propia definici´n del arg cosh, ser´: cosh y = x.
o a
b) A partir de la f´rmula fundamental podemos expresar el senh en fun-
o
ci´n del cosh, y a partir de ah´ expresarlo en funci´n de x.
o ı, o
cosh2 y − senh2 y = 1 ⇒ senh2 y = cosh2 y − 1 ⇒
⇒ senh y = + cosh2 y − 1 ⇒ senh y = x2 − 1
Y sustituyendo ambas expresiones en la identidad logar´
ıtmica resulta:
ä ç
y = ln cosh y + senh y = ln x + x2 − 1
de donde:
arg cosh x = ln x + x2 − 1
De la misma forma se obtiene la expresi´n para el arg senh:
o
Sea y = arg senh x, a partir de ah´ los valores del cosh y y sen y son los
ı,
siguientes:

99. 1.7. PROBLEMAS PROPUESTOS DEL CAP´
ITULO 1 91
a) Por la propia definici´n del arg senh, ser´: senh y = x.
o a
b) A partir de la f´rmula fundamental podemos expresar el cosh en fun-
o
ci´n del senh, y a partir de ah´ expresarlo en funci´n de x.
o ı, o
cosh2 y − senh2 y = 1 ⇒ cosh2 y = senh2 y + 1 ⇒
⇒ cosh y = + senh2 y + 1 ⇒ cosh y = x2 + 1
Y sustituyendo ambas expresiones en la identidad logar´
ıtmica resulta:
ä ç
y = ln cosh y + senh y = ln x + x2 + 1
de donde:
arg senh x = ln x + x2 + 1
ey + e−y
Tambi´n puede hacerse despejando y en las ecuaci´n x =
e o para el
2
ey − e−y
arg cosh, o bien en x = para el arg senh
2
1.7. Problemas propuestos del Cap´
ıtulo 1
Ejercicios propuestos del Cap´
ıtulo 1
Soluciones en la p´gina 390
a
1.1. Hallar los intervalos definidos por las siguientes desigualdades:
x−2
a) x2 − 2x 3, b) 2, c) |2x − 6| ≤ 4, d) |7 − 3x| ≥ 2,
x−4
1.2. Dada la circunferencia de ecuaci´n x2 + y 2 + 4x − 2y + 1 = 0
o
a) Hallar el centro y el radio
b) Determinar si los puntos (0, 0), (−2, −1) y (−2, 1) est´n dentro, fuera o en ella.
a
1.3. Hallar el dominio de las siguientes funciones:
1 √ 1 √
a) f (x) = + x−1 b) f (x) = √ + x+1
x−3 3−x
1.4. Hallar, si existen, los siguientes l´
ımites de sucesiones
a) l´
ım
3n2 − 2n + 5
, b) l´
ım
Ô9n 2 +n+1−
Ô ¡
9n2 − 2n ,
n→∞ 6n2 + 5n − 1 n→∞
c) l´
ım
Ô4n 2
¡
+ n − 2n , d) l´
ım
n2 + 5n + 1
n
n→∞ n→∞ n2 + 2n + 5
1.5. Hallar, si existen, los siguientes l´
ımites de funciones
√ 1
x2 − 4 x−1−1 x+1 x−2
a) l´
ım 2 , b) l´
ım , c) l´
ım
x→2 x + 3x − 10 x→2 x−2 x→2 3

100. 92 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Problemas resueltos del Cap´
ıtulo 1
1.1 (Aplicando el criterio de Stolz). Calcular el siguiente l´
ımite:
¢ £
l´
ım
n→∞
¢
ln (n + 1)!
ln (n + 1)
£ n
Soluci´n. Aplicando el criterio de Stolz, resulta
o
¢ £ ¢ £
ln (n + 2)! − ln (n + 1)!
¢ £
(n + 2)!
ln
l´
ım
n→∞
¢
ln (n + 1)!
n
ln (n + 1)
£= l´
ım ¢
n→∞ ln (n + 2)n+1 − ln (n + 1)n
£ ¢
= l´
ım
n→∞
£
(n + 1)!
(n + 2)n+1
=
ln
(n + 1)n
ln(n + 2) ln(n + 2)
= l´
ım = l´
ım =
n→∞ n+2 n n→∞ n+2 n
ln (n + 2) ln(n + 2) + ln
n+1 n+1
1 1 1
= l´ ım = = =1
n→∞ n+2 n 1 + 1/∞ 1+0
1 + ln / ln(n + 2)
n+1
Donde se ha tenido en cuenta que
n+2 n
1 n
å 1 n+1
è n
n+1
l´ ln
ım = l´ ln 1 +
ım = ln l´
ım 1+ = ln e1 = 1
n→∞ n+1 n→∞ n+1 n→∞ n+1
Problemas propuestos del Cap´
ıtulo 1
Soluciones en la p´gina 390
a
1.1. Hallar, si existen, los siguientes l´
ımites de sucesiones
(n2 +3)
n 3n + 2
a) l´
ım
n→∞ 3n − 5

101. Cap´
ıtulo 2
Funciones de varias variables:
L´
ımites
2.1. Funciones de varias variables
2.1.1. Definiciones
Funci´n de una variable Una funci´n de una variable es una corres-
o o
pondencia entre dos magnitudes. Por ejemplo, el espacio y el tiempo. No
obstante, hay que advertir que no se considera funci´n a cualquier corres-
o
pondencia, sino que para que una correspondencia sea funci´n, la imagen de
o
cada elemento tiene que ser unica y estar bien determinada.
´
Una manera de visualizar una funci´n es por medio de una gr´fica. La
o a
gr´fica de una funci´n de una variable, por lo general, es una curva en el
a o
plano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representaci´n de una
o
funci´n. Para que una curva represente una funci´n no puede tener dos
o o
puntos en la misma vertical (criterio de la recta vertical), ya que para que
una correspondencia entre dos magnitudes sea funci´n, la imagen tiene que
o
ser unica.
´
y
yT T • y2
y = f (x)
•y • y1
x
E x
E
x x
Figura 2.1: Gr´fica de una funci´n de una variable. La circunferencia no es la gr´fica de
a o a
una funci´n.
o
Para poder aplicar las propiedades de las funciones a las correspondencia
que no lo son hay que descomponerlas en funciones. Por ejemplo, la ecuaci´n
o
93

102. 94 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
de una circunferencia x2 +y 2 = 1 no representa (globalmente) una funci´n, ya
o
que para cada valor de una de las variables hay dos valores de la otra, con lo
cual se viola el concepto de funci´n. En consecuencia, la descomponemos en
o
dos funciones: una que toma el valor positivo (semicircunferencia superior),
y otra el valor negativo (semicircunferencia inferior). En efecto, tenemos:
√
y1 = +√1 − x2
x +y =1 ⇒ y =1−x ⇒ y =± 1−x
2 2 2 2 2 ⇒
y2 = − 1 − x2
y y √ y
T x2 + y 2 = 1 T y = + 1 − x2 T
Ex Ex Ex
√
y = − 1 − x2
Figura 2.2: La circunferencia no es una funci´n, pero podemos descomponerla en dos
o
funciones.
Funci´n de varias variables. Una funci´n de varias variables es una
o o
correspondencia entre m´s de dos magnitudes. En este caso, las im´genes
a a
tambi´n ser´n n´meros reales, pero los originales no ser´n n´meros indivi-
e a u a u
duales, sino parejas o ternas de n´meros reales. Es decir, para poder dar
u
el resultado de la funci´n necesitamos tener varios datos. En consecuencia,
o
los valores de la funci´n (las im´genes), que ser´n n´meros reales, dependen
o a a u
(son funci´n) de m´s de una variable.
o a
Ejemplo: Si expresamos el ´rea de un tri´ngulo en funci´n de la base y de
a a o
la altura, tendremos una funci´n de dos variables.
o
¡f
¡ f
¡h f
¡ f 1
¡ f a = bh ⇒ a = f (b, h) b 0, h0
2
b
Figura 2.3:
En general, ser´:
a
f : D ⊆ R2 −→ R
f : (x, y) −→ z z = f (x, y)
Ejemplo: Si expresamos el volumen de un paralelep´ ıpedo rectangular (caja
de zapatos) en funci´n de sus aristas, tendremos una funci´n de tres varia-
o o
bles.

103. 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 95
z
y v = xyz ⇒ v = f (x, y, z), x 0, y 0, z 0
x
Figura 2.4:
En general ser´,
a
f : D ⊆ R3 −→ R
f : (x, y, z) −→ v v = f (x, y, z)
Denotamos una funci´n de dos o m´s variables por una notaci´n similar
o a o
a la utilizada con las funciones de una sola variable. As´ en los ejemplos
ı,
anteriores, tenemos:
1
z = f (x, y) = xy y v = f (x, y, z) = xyz
ßÞ 2 ßÞ
2 variables 3 variables
Definici´n 2.1 (Funci´n de dos variables). Sea D un conjunto de pares
o o
ordenados de n´meros reales. Si a cada par ordenado (x, y) de D le corres-
u
ponde un n´mero real f (x, y), entonces se dice que f es funci´n de x e y.
u o
El conjunto D es el dominio de f y el correspondiente conjunto de valores
de f (x, y) es el recorrido de f .
Para la funci´n dada por z = f (x, y), a x e y se les llaman variables
o
independientes, y a z variable dependiente.
Nota: N´tese el doble papel que juega la letra z en la notaci´n: En funciones de dos
o o
variables se le suele usar para denotar los valores de la funci´n, escribiendo z = f (x, y)
o
(aqu´ la z es la “funci´n”, la variable dependiente), mientras que en funciones de tres o
ı, o
m´s variables suele aparecer denotando a una de las variables de la funci´n, por ejemplo,
a o
en v = f (x, y, z) (aqu´ la z es una variable independiente).
ı
El par ordenado (x, y) puede tener una doble interpretaci´n: por un lado,
o
lo podemos considerar como una pareja de n´meros reales (es decir, vemos
u
dos n´meros, dos variables); y por otro, lo podemos considerar como una
u
unidad, como las componentes de un vector, v = (x, y) (y, en este sentido,
s´lo veremos una variable, un vector). En consecuencia las funciones de
o
varias variables, tambi´n, pueden considerarse como funciones de una sola
e
variable vectorial.
f : D ⊆ R2 −→ R
f : (x, y) −→ z z = f (x, y)
f : v −→ z z = f (v) con v = (x, y)

104. 96 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
En general, tendremos funciones del tipo:
f : D ⊆ Rn −→ R
f : (x1 , . . . , xn ) −→ y y = f (x1 , . . . , xn )
f : x −→ y y = f (x)
que llamaremos funciones reales de n variables reales, si consideramos a los
puntos de Rn como n-adas de n´meros reales (es decir, veremos n variable),
u
o bien, funciones reales de variable vectorial, si consideramos a los elementos
de Rn como vectores (es decir, s´lo veremos una variable: un vector).
o
Es decir, una funci´n f : D ⊆ Rn −→ R es una regla que asocia a cada
o
n-ada ordenada de n´meros reales (x1 , . . . , xn ) de D, o bien, a cada vector
u
x de D, un n´mero real (y s´lo uno) bien determinado f (x1 , . . . , xn ).
u o
En consecuencia, una funci´n de varias variables est´ constituida por:
o a
a) Su dominio D ⊆ Rn ,
b) su codominio R,
c) la regla, z = f (x), que asocia a cada elemento del dominio x ∈ D,
su imagen z ∈ R.
A la magnitud que se despeja (la imagen) se le llama variable dependiente
y a las otras variables independientes.
A las funciones de varias variables tambi´n se les llama campos escalares.
e
Igual que en una variable, para que la correspondencia sea funci´n la ima-
o
gen tiene que ser unica. Para poder aplicar las propiedades de las funciones
´
a las correspondencias que no lo son, hay que descomponerlas en funciones.
Ejemplo. La ecuaci´n de la esfera x2 +y 2 +z 2 = 1 no representa (globalmente)
o
una funci´n, ya que si le damos valores a dos de las variables obtenemos dos
o
valores de la tercera, lo que viola el concepto de funci´n.
o
z
T x2 + y 2 + z 2 = 1 ⇒ z 2 = 1 − x2 − y 2 ⇒
y
E ⇒ z = ± 1 − x2 − y 2 (no es funci´n) ⇒
o
´
z1 = + 1 − x2 − y 2 (si es funci´n)
o
x
© ⇒
z2 = − 1 − x2 − y 2 (si es funci´n)
o
Figura 2.5:
Funciones vectoriales. Una funci´n se dice que es vectorial cuando el
o
resultado no es un n´mero, sino un vector, es decir, una pareja de n´meros
u u
o una terna de n´meros.
u
Ejemplo. Si las ecuaciones param´tricas de una recta son las siguientes:
e
x=1−t
y = 2 + 3t
z =1+t

105. 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 97
para cada valor del par´metro tiempo, t, obtenemos las tres coordenadas del
a
punto de situaci´n, (x, y, z).
o
En general, tendremos,
f : D ⊆ R −→ R3
x = x(t)
f: t −→ (x, y, z) y = y(t)
z = z(t)
Tambi´n se pueden definir funciones vectoriales que dependan de varias
e
variables. Por ejemplo:
f : D ⊆ R2 −→ R3
f: (x, y) −→ (xy, x2 y, lnx)
En general, podemos establecer la siguiente clasificaci´n:
o
n = m = 1 funci´n de una variable
o
n1
funci´n de varias variables
o
f : D ⊆ Rn −→ Rm m=1
n cualquiera
funci´n vectorial
o
m1
Campos vectoriales. Se llaman campos vectoriales a las funciones vecto-
riales de Rn en s´ mismo. Es decir, se llama campo vectorial a las funciones
ı
del tipo f : D ⊆ Rn → Rn . Una pr´ctica para visualizar los campos vec-
a
toriales consiste en jugar con la naturaleza “dual”de los elementos de Rn ;
los elementos del dominio x ∈ D se ven como puntos y los de la imagen
f (x) como vectores. El vector f (x) se representa mediante una flecha que se
puede colocar en cualquier punto del espacio, sin embargo, para tener una
visualizaci´n del campo, la flecha se colocar´ de manera que su punto inicial
o a
sea el punto x.
Ejemplo. El campo F : R2 → R2 de ecuaci´n, F(x, y) = (x, y), que asocia
o
al punto (x, y) ∈ R2 el vector (x, y) ∈ R2 , se llama campo radial en R2 , y se
puede representar gr´ficamente como un conjunto de flechas en direcci´n ra-
a o
dial, cuya longitud crece al alejarnos del origen de coordenadas y disminuye
al acercarnos a ´l.
e
2.1.2. Dominio de una funci´n de varias variables
o
El dominio de una funci´n se define como el conjunto de puntos que tienen
o
imagen.
En la pr´ctica el dominio de una funci´n de varias variables, normal-
a o
mente, viene determinado por el contexto del problema (por ejemplo area ´
de un tri´ngulo). Por eso, para definir las funciones es usual dar simplemente
a
la f´rmula z = f (x), sin especificar el dominio D.
o
Dominio impl´ ıcito en la f´rmula. Cuando no se dispone de un contexto
o

106. 98 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
y
u
e T ¡
!
e ¡
‰
rr e ¡ B
¨
rdsd ¨
¨
x
E
¨ d rr
¨¨
% ©
‚
d j
r
¡ e
¡ e
¡
…
e
Figura 2.6: Campo radial en R2
de aplicaci´n, tambi´n es usual definir las funciones dando simplemente la
o e
regla z = f (x), sin especificar el dominio D. En tal caso se entiende que
el dominio viene impl´ ıcito en la propia f´rmula, y queda determinado por
o
todos aquellos valores para los cuales tiene sentido aplicar la f´rmula que
o
define la funci´n. O sea, el dominio est´ formado por todos aquellos valores
o a
tales que al sustituirlos en la f´rmula y realizadas las operaciones indicadas
o
se obtiene un valor num´rico y no una operaci´n imposible. Es decir, se
e o
entiende que el dominio de la funci´n f es el mayor subconjunto D de Rn
o
para el cual la regla f (x) tiene sentido (si el dominio es m´s peque˜o hay
a n
1
que indicarlo). Por ejemplo, si definimos la funci´n a = 2 xy el dominio ser´
o ıa
cualquier pareja de n´meros reales (x,y). Ahora bien, si queremos que esa
u
funci´n represente el ´rea de un tri´ngulo, los valores x e y tienen que ser
o a a
positivos. Por lo tanto dicha restricci´n habr´ que indicarla junto con la
o a
f´rmula a = 1 xy x 0, y 0. Si no se indica ninguna restricci´n esta-
o 2 o
mos suponiendo que el dominio es el m´ximo “permitido”por la f´rmula. El
a o
conocimiento del dominio nos permite saber qu´ valores pueden sustituirse
e
en la f´rmula y cuales no.
o
El dominio de una funci´n de dos variables f (x, y) ser´ una regi´n del
o a o
plano, y el dominio de una funci´n de tres variables f (x, y, z) una regi´n del
o o
espacio. Y vendr´ determinado por la propia f´rmula (dominio impl´
a o ıcito), o
bien, por una restricci´n arbitraria que nosotros impongamos.
o
Se llama Rango o Recorrido de una funci´n al conjunto de elementos
o
que son imagen. En general, nos ocuparemos del Dominio y s´lo en casos
o
particulares nos ocuparemos del Recorrido.
Ejemplo 2.1 (Encontrando un dominio). Encontrar el dominio de definici´n
o
de funci´n
o
xy
f (x, y) = 2 .
x + y2
Soluci´n. Se trata de encontrar aquellas parejas de n´meros (x, y), para
o u
las cuales tiene sentido la f´rmula dada para f (x, y). Es decir, ¿qu´ valores
o e
pueden darse a x e y, de manera que al realizar las operaciones indicadas en

107. 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 99
la f´rmula se obtenga un valor num´rico y no tropecemos con una operaci´n
o e o
imposible?
Es evidente que, en este caso, el dominio de la funci´n es todo el espacio
o
R 2 excepto el origen de coordenadas, es decir, D = R2 − {(0, 0)}, pues la
f
f´rmula puede ser calculada para cualquier pareja de n´meros reales, salvo
o u
para la pareja (0, 0). En efecto,
1·1 1
f (1, 1) = =
12
+1 2 2
−2 · 3 −6
f (−2, 3) = =
(−2)2 + (3)2 13
0·3 0
f (0, 3) = 2 2
= =0
0 + (3) 9
Sin embargo, al sustituir la pareja (x, y) por (0, 0) tropezamos con una ope-
raci´n imposible, como es dividir por cero.
o
0·0 0
f (0, 0) = =
02 +0 2 0
Ejemplo 2.2. Encontrar el dominio de la funci´n
o
x+y+z
f (x, y, z) =
x2 + y 2 + z 2
Soluci´n. El mismo razonamiento del ejemplo anterior nos conduce a
o
Df = R3 − {(0, 0, 0)}
Nota: Recordemos que al calcular el dominio de una funci´n deben tenerse en cuenta,
o
entre otras, las siguientes circunstancias:
1. Que no se puede dividir por cero.
2. Que las ra´ıces de ´
ındice par s´lo est´n definidas para los n´meros positivos y el
o a u
cero.
3. Que los logaritmos s´lo est´n definidos para los n´meros positivos.
o a u
Ejemplo 2.3 (Representando un dominio). Encontrar el dominio de defini-
ci´n de las siguientes funciones, indicando su significado gr´fico.
o a
y x
1. f (x, y) = 2. f (x, y) =
x− y2 x2 + y2 − 9
x2 + y 2 − 9 sen (yz)
3. f (x, y) = 4. f (x, y, z) =
x 4 − x2 − y 2 − z 2
1
5. f (x, y) = ln xy 6. f (x, y) =
xy
7. f (x, y) = arc sen(x + y)
Soluci´n.
o

108. 100 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
y
1. f (x, y) =
x − y2
Para que la ra´ cuadrada x − y 2 est´ definida, el radicando no puede
ız e
ser negativo, luego x − y 2 ≥ 0, pero, al estar en el denominador, ha de
ser distinto de cero, x − y 2 = 0. En consecuencia,
x − y2 ≥ 0
x − y 2 0 ⇒ x y 2 ⇒ Df = {(x, y) ∈ R2 /x y 2 }
x − y2 = 0
Para representar la inecuaci´n x y 2 representamos la ecuaci´n x = y 2 ,
o o
y obtenemos una par´bola. En los puntos de la par´bola se tiene
a a
la igualdad x = y 2 . En consecuencia, a la derecha de la par´bola a
ser´ x y
a 2 . Luego el dominio de la funci´n coincide con el interior de
o
la par´bola, excluido el contorno.
a
y
T =y
x 2
x y2
Ex
sin el contorno
Figura 2.7: Dominio de la funci´n: f (x, y) =
o Ô y
x − y2
x
2. f (x, y) =
+ y2 − 9
x2
Para que la ra´ cuadrada est´ definida, el radicando no puede ser
ız e
negativo, luego x 2 + y 2 − 9 ≥ 0, pero al estar en el denominador, no
puede ser cero, x2 + y 2 − 9 = 0. En consecuencia
y
T
x2 + y 2 − 9 0 ⇒ x2 + y 2 9 ⇒
E x
Df = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 9}
Exterior del c´ırculo de centro el Origen y radio
3, excluido el contorno
Figura 2.8:
x2 + y 2 − 9
3. f (x, y) =
x
Igual que en el caso anterior, para que la ra´ cuadrada est´ definida,
ız e
el radicando no puede ser negativo, luego x2 + y 2 − 9 ≥ 0. Ahora bien,

109. 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 101
en este caso, al estar en el numerador, no se le exige que sea distinto
de cero. No obstante, al estar x en el denominador, no puede ser cero,
x = 0. En consecuencia
y
x2 + y 2 − 9 ≥ 0 ⇒ x2 + y 2 ≥ 9
T
x=0 ⇒
E x Df = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≥ 9, x = 0}
Exterior del c´ırculo de centro el Origen y radio
3, incluido el contorno y excluido el eje OY. Los
puntos (0, 3) y (0, −3) quedan excluidos.
Figura 2.9:
sen (yz)
4. f (x, y, z) =
4 − x2 − y 2 − z 2
En numerador no tiene ning´n problema, est´ definidos para cualquier
u a
valor de x e y. Luego,
z
T
4 − x2 − y 2 − z 2 0 ⇒ x2 + y 2 + z 2 4 ⇒
y
E Df = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 + z 2 4}
x El dominio es el interior de la esfera de centro
©
el Origen y radio 2, excluido el contorno.
Figura 2.10:
5. f (x, y) = ln xy
x0
y0 D = {(x, y) ∈ R2 /[x 0, y 0]
xy 0 ⇒ ⇒ f
x0 o
´ [x 0, y 0]}
y0
Es decir, el dominio est´ formado por el primer y el tercer cuadrante,
a
excluidos los ejes de coordenadas.
1
6. f (x, y) =
xy
xy = 0 ⇒ x = 0 e y = 0 ⇒ Df = {(x, y) ∈ R2 /xy = 0}
El dominio comprende todo el plano menos los dos ejes de coordenadas
7. f (x, y) = arc sen (x + y)
Que f (x, y) sea el arc sen de x + y, significa que x + y es el seno de
un angulo. Para que x + y pueda ser el seno de un angulo ha de estar
´ ´
comprendido entre 1 y -1, −1 ≤ x + y ≤ 1. En consecuencia

110. 102 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
x+y ≤1⇒y ≤1−x
y −1 ≤ x + y ≤ 1 ⇒
d T −1 ≤ x + y ⇒ y ≥ −1 − x
d y =1−x
d d E x
d d
⇒ Df = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ x + y ≤ 1}
d
y = −1 − x dd
d El dominio es la franja comprendida entre las rec-
d
d tas y = 1 − x e y = −1 − x, incluidas ambas rectas.
Figura 2.11:
2.1.3. Operaciones con funciones de varias variables.
Las funciones de varias variables se pueden combinar de la misma forma
que las funciones de una sola variable. Por tanto se pueden sumar, restar,
multiplicar, dividir, etc.
f (x, y)
f (x, y) ± g(x, y) , f (x, y) · g(x, y) , , ···
g(x, y)
As´ las operaciones entre funciones de varias variables se definen de manera
ı,
an´loga a como se definen en el caso de una sola variable:
a
(f + g)(x, y) = f (x, y) + g(x, y)
(f g)(x, y) = f (x, y)g(x, y)
f f (x, y)
(x, y) =
g g(x, y)
No obstante, hay que hacer notar que operar con funciones significa operar
con las im´genes de un mismo punto.
a
f (x, y)
(x, y) f (x, y) + g(x, y)
g(x, y)
En consecuencia, para que la operaci´n con las im´genes se pueda considerar
o a
como una operaci´n de funciones, las dos funciones tienen que estar definidas
o
sobre ese mismo punto. Por tanto, para operar, todas las funciones tienen
que ser del mismo n´mero de variables (aunque en la f´rmula no tienen por
u o
que aparecer todas).
Ejemplo, se pueden sumar las funciones:
f (x, y) = x
2x + y = f (x, y) + g(x, y) = (f + g)(x, y)
g(x, y) = x + y
Sin embargo, no se puede expresar como suma de funciones la siguiente
suma:
f (x) = x
2x + y = f (x) + g(x, y) = (f + g)( ? )
g(x, y) = x + y

111. 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 103
Considerando los dominios, se tiene,
µ
f : D f ⊆ Rn → R f + g : D f ∩ D g ⊆ Rn → R
g : D g ⊆ Rn → R (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Es decir, el dominio de la funci´n suma es la intersecci´n de los dominios
o o
de las funciones sumandos. Igual ocurre con la diferencia y el producto. Sin
embargo, en el cociente hay que hacer una restricci´n adicional y eliminar
o
aquellos puntos que anulan el denominador, ya que no est´ permitido dividir
a
por cero. As´ı,
Df /g = Df ∩ Dg − {x ∈ Dg / g(x) = 0}
Ejemplo 2.4 (Hallando el dominio de una suma de funciones). Encontrar el
dominio de la funci´n:
o
x2 y x−1
f (x, y) = +
y − x2 1 − x2 − y 2
Soluci´n. Hallamos el dominio de cada uno de los sumandos, por separado.
o
Y luego hallamos la intersecci´n de los dominios obtenidos.
o
y − x2 0 ⇒ y x2 ⇒ D1 = {(x, y) ∈ R2 / y x2 }
1 − x2 − y 2 0 ⇒ x2 + y 2 1 ⇒ D2 = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 1}
La intersecci´n de estos dominios est´ constituida por los puntos interiores
o a
al c´
ırculo unitario x2 + y 2 = 1 (excluyendo su frontera) que est´n en el
a
interior de la par´bola de ecuaci´n y = x2 (excluyendo su frontera).
a o
y
1
x
-1 1
-1
Ôx y Ô x−1
2
Figura 2.12: Dominio de la funci´n f (x, y) =
o +
y − x2 1 − x2 − y 2
Funciones polin´micas.
o
En varias variables se suele utilizar una terminolog´ similar a la utilizada
ıa
en una variable. As´ una funci´n que se puede expresar como suma de
ı, o
funciones de la forma c xm y n (donde c es un n´mero real y m y n son
u
enteros no negativos) se conoce como funci´n polin´mica de dos variables.
o o
Por ejemplo, son funciones polin´micas de dos variables, las siguientes:
o
f (x, y) = x2 + y 2 − 3xy + x + 2 y g(x, y) = 2xy 2 − y + 3

112. 104 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
la primera de segundo grado y la segunda de tercero. Al cociente de dos
funciones polin´micas se le llama funci´n racional.
o o
2.1.4. Composici´n de funciones
o
Composici´n de funciones, en general. Componer dos funciones con-
o
siste en aplicar la segunda funci´n al resultado de la primera. Es decir, para
o
((componer)) dos funciones se aplica primero f a cada x en Df y despu´s se e
aplica g a f (x), siempre que sea posible (es decir, cuando f (x) pertenezca a
Dg ).
Hay que advertir que, en general, la composici´n de funciones no es
o
conmutativa, es decir, en la generalidad de los casos ser´ f ◦g = g◦f , incluso,
a
puede suceder que est´ definida la composici´n en un orden y no en el otro.
e o
Sin embargo, s´ se cumple la propiedad asociativa f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.
ı
Composici´n de funciones reales de una variable real. Componer dos
o
funciones consiste en aplicar la segunda funci´n al resultado de la primera.
o
Ahora bien, desde el punto de vista anal´ ıtico, este concepto puede tener
una segunda lectura. Anal´ ıticamente, la composici´n de funciones, tambi´n
o e
significa sustituir una funci´n en la otra. Es decir, si tenemos la funci´n
o o
y = f (x) que establece la dependencia entre y y x, y la funci´n x = g(t),
o
que establece la dependencia entre x y t, podemos sustituir esta ultima en la
´
primera y obtener y = f g(t) . A la funci´n as´ obtenida (que env´ t a y) se
o ı ıa
le llama composici´n de f con g y se denota por f ◦g. Obs´rvese que el orden
o e
en que se escribe la composici´n f ◦ g es el inverso al orden en que act´an
o u
las funciones (primero g, despu´s f ). Conviene tener siempre presente esta
e
doble visualizaci´n de la composici´n de funciones: como aplicaci´n sucesiva
o o o
de dos funciones, y como sustituci´n de la variable por una funci´n de otra
o o
variable. En esquema ser´ lo siguiente:
ıa
(a) Como aplicaci´n sucesiva de funciones:
o
g f
t• ‚ ‚
x• •y
B
f ◦g
Figura 2.13: Composici´n de funciones
o
(b) Como sustituci´n de la variable:
o
y = f (x)
y = f g(t)
x = g(t)
Es evidente, como ya se ha dicho, que para poder componer dos fun-
ciones, en su totalidad, el rango de la primera ha de estar contenido en el

113. 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 105
dominio de la segunda g(Dg ) ⊆ Df , en caso contrario, despu´s de aplicar g
e
no podr´ıamos aplicar f . Sin embargo, esta restricci´n no es necesaria para
o
poder realizar, parcialmente, la composici´n de las funciones, s´lo que, en
o o
este caso, habr´ que reducir el dominio de la composici´n a los puntos del
a o
dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio de la segunda.
Desde el punto de vista formal la composici´n, de funciones reales de una
o
variable real, puede enunciarse de la siguiente forma: Dadas las funciones
g : I ⊆ R → R, f : J ⊆ R → R (tales que g(I) ⊆ J), se llama composici´n o
de f con g y se denota f ◦ g : I ⊆ R → R, a la funci´n (f ◦ g)(x) = f g(x) .
o
g f
µ
g:I⊆R→R I→J − R
− → (f ◦ g)(x) = f g(x)
f :J ⊆R→R f ◦g :I ⊆R→R
En el caso de que no se cumpla la condici´n g(I) ⊆ J, la composici´n tambi´n
o o e
es posible, siempre que g(I) ∩ J = ∅. En tal caso habr´ que restringir las
a
funciones a aquellos puntos en los que la composici´n sea posible. Es decir,
o
a los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio
de la segunda.
Composici´n de funciones vectoriales. Para funciones de varias varia-
o
bles la situaci´n es, en principio, algo m´s complicada. T´ngase en cuenta
o a e
que dos campos escalares f, g : D ⊆ R n → R no se pueden componer, pues
la operaci´n de composici´n entre funciones solamente se puede realizar
o o
cuando el rango de una de ellas est´ contenido (o al menos tiene alguna
a
conexi´n) en el dominio de la otra, y los campos escalares tienen rango en
o
R y dominio en Rn . Por lo tanto, los campos escalares solamente se podr´na
componer con funciones de una sola variable, por la derecha; o con funciones
vectoriales, por la izquierda. Es decir,
f g f g g f
Rn − R → R
→ − Rn − R − Rm
→ → Rm − Rn − R
→ →
Pensando en la composici´n como la sustituci´n de las variables (se tratar´
o o ıa
de la composici´n por la izquierda), para componer la funci´n z = f (x, y)
o o
tendremos que sustituir las dos variables x e y, respectivamente, por dos
funciones g1 y g2 que las conecten con otras variables, donde g1 y g2 pueden
ser funciones de una o varias variables (ambas de las mismas). As´ si con-
ı,
sideramos las funciones
x = g1 (u, v), y = g2 (u, v)
podemos sustituir en la funci´n z = f (x, y) y obtener la funci´n compuesta:
o o
z = f g1 (u, v), g2 (u, v)
que en esquema ser´
ıa:
x = g1 (u, v)
z = f (x, y) z = f g1 (u, v), g2 (u, v)
y = g2 (u, v)

114. 106 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
Ahora bien, la pareja de funciones x = g1 (u, v), y = g2 (u, v) que sustitui-
mos, tambi´n puede considerarse como las componentes de una sola funci´n
e o
vectorial g : D ⊆ R2 → R2 , de tal manera que a cada punto (u, v) ∈ D
la funci´n vectorial g le asocia el punto g(u, v) ∈ R2 , cuyas coordenadas
o
son (x, y) = g1 (u, v), g2 (u, v) . O sea, g(u, v) = g1 (u, v), g2 (u, v) . Y esto
permite interpretar la sustituci´n de las variables como la aplicaci´n sucesiva
o o
de dos funciones: una vectorial y la otra real. En esquema ser´ ıa:
g f
R2 − R2 − R
→ →
(u, v) → (x, y) → z
de donde,
f ◦ g(u, v) = f g(u, v) = f g1 (u, v), g2 (u, v)
Ejemplo 2.5 (Componiendo funciones). Hallar la funci´n compuesta de la
o
funci´n f (x, y) = xy
o 2 + xy con las funciones
x = g1 (u, v) = u + v e y = g2 (u, v) = uv
Soluci´n. Si queremos interpretar la composici´n como la aplicaci´n sucesiva
o o o
de dos funciones, consideramos la funci´n vectorial
o
g(u, v) = g1 (u, v), g2 (u, v) = (u + v, uv)
y, en esquema, resulta
f
µ g f
f (x, y) = xy 2 + xy R2 − R
→ R2 − R2 − R
→ →
g
g(u, v) = (u + v, uv) R →
2 − R2 (u, v) → (x, y) → z
de donde, la composici´n buscada, ser´:
o a
h(u, v) = (f ◦ g)(u, v) = f g(u, v) = f g1 (u, v), g2 (u, v) = f (u + v, uv) =
= (u + v)(uv)2 + (u + v)uv = u3 v 2 + u2 v 3 + u2 v + uv 2
N´tese que la funci´n resultante de la composici´n, h = f ◦ g, es una funci´n
o o o o
distinta de f , g, g1 y g2 , es decir, se trata de una nueva funci´n h, tal que
o
f (x, y) = h(u, v) = f (u, v)
En la pr´ctica se pueden simplificar los c´lculos, sustituyendo directamente:
a a
f (x, y) = f (u+v, uv) = (u+v)(uv)2 +(u+v)uv = u3 v 2 +u2 v 3 +u2 v +uv 2 = h(u, v)
Ejemplo 2.6. Hallar la funci´n compuesta de la funci´n
o o
f (x, y, z) = xy 2 z 3 − xyz
con las funciones x = g1 (t) = et , y = g2 (t) = sen t y z = g3 (t) = t2

115. 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 107
Soluci´n. Consideramos la funci´n vectorial
o o
g(t) = g1 (t), g2 (t), g3 (t) = (et , sen t, t2 )
y, en esquema, resulta
f
µ g f
f (x, y, z) = xy 2 z 3 − xyz R3 − R
→ R − R3 − R
→ →
g(t) = (et , sen t, t2 ) g
R − R3
→ t → (x, y, z) → w
de donde, la composici´n buscada, ser´:
o a
h(t) = (f ◦ g)(t) = f g(t) = f g1 (t), g2 (t), g3 (t) = f (et , sen t, t2 ) =
= et sen2 t (t2 )3 − et sen t t2 = t6 et sen2 t − t2 et sen t
En la pr´ctica se pueden simplificar los c´lculos, sustituyendo directamente:
a a
f (x, y, z) = f (et , sen t, t2 ) = et sen2 t (t2 )3 −et sen t t2 = t6 et sen2 t−t2 et sen t = h(t)
En este caso, tambi´n es posible la composici´n en el orden inverso. En
e o
efecto, tenemos
f
µ f g
f (x, y, z) = xy 2 z 3 − xyz R3 − R
→ R3 − R − R3
→ →
g(t) = (et , sen t, t2 ) g
R − R3
→ (x, y, z) → t → w
de donde, la composici´n buscada, ser´:
o a
h(x, y, z) = (g ◦ f )(x, y, z) = g f (x, y, z) = g xy 2 z 3 − xyz =
2 z 3 −xyz 2
= exy , sen (xy 2 z 3 − xyz), (xy 2 z 3 − xyz)
Ejemplo 2.7. Hallar la funci´n compuesta de la funci´n f (x, y) = xy 2 − xy
√ o o
con las funciones g(t) = t
Soluci´n. Este caso es distinto de los dos anteriores, ya que aqu´ para poder
o ı,
componer, la funci´n f tiene que actuar primero, y despu´s la g. En efecto,
o e
en esquema, resulta
f
µ
f (x, y) √ xy 2 − xy
= R2 − R
→
f
R2 − R → R
→ −
g
g
g(t) = t R→R
− (x, y) → t → z
de donde, la composici´n buscada, ser´:
o a
h(t) = (g ◦ f )(x, y) = g f (x, y) = f (x, y) = xy 2 − xy
N´tese que la funci´n resultante de la composici´n solamente estar´ definida
o o o a
para aquellos puntos (x, y) en los cuales se cumpla que xy 2 −xy ≥ 0, es decir,
Dh = {(x, y) ∈ R2 / xy 2 − xy ≥ 0}

116. 108 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
En la pr´ctica, tambi´n se pueden simplificar los c´lculos sustituyendo di-
a e a
rectamente, pero en este caso, sustituimos en la funci´n g:
o
g(t) = g f (x, y) = f (x, y) = xy 2 − xy = h(x, y)
En estos casos, la sustituci´n puede hacerse, indistintamente, “de fuera a
o
dentro” o “de dentro a fuera”, en efecto,
g(t) = g f (x, y) = g(xy 2 − xy) = xy 2 − xy = h(x, y)
Ejemplo 2.8. Componer las funciones, en el orden en que pueda hacerse:
√
1. f (x, y) = 16 − 4x2 − y 2 y g(z) = z
Soluci´n.
o
f
µ
f (x, y) = 16 − 4x2 − y 2 R2 −→ R f g
√ g R2 −→ R −→ R
g(z) = z R −→ R
ä ç
g f (x, y) = h(x, y) = 16 − 4x2 − y 2
2. f (x, y, z) = (2x, x+y, x+z) , g(x, y, z) = (x+y, y+z) y h(x, y) = x+y
Soluci´n.
o
f
f (x, y, z) = (2x, x + y, x + z) R3 −→ R3
f g
R3 −→ R3 −→ R2 −→ R
g h
g(x, y, z) = (x + y, y + z) R3 −→ R2
h(x, y) = x + y h
R2 −→ R
ä ç ä ç
h g f (x, y) = h g(2x, x+y, x+z) = h(3x+y, 2x+y+z) = 5x+2y+z
La funci´n g debe interpretarse como: (1a componente +2a , 2a + 3a )
o
Caso general. En general, interpretando la composici´n de funciones como
o
sustituci´n de las variables, para componer la funci´n z = f (x1 , x2 , · · · , xn )
o o
tendremos que sustituir las n variables x1 , x2 , · · · , xn , respectivamente, por
las funciones g1 , g2 , · · · gn que las conecten con otras variables u1 , u2 , · · · , um ,
donde g1 , g2 , · · · gn pueden ser funciones de una o varias variables (todas de
las mismas). As´ si consideramos las n funciones
ı,
x1 = g1 (u1 , u2 , · · · , um )
x2 = g2 (u1 , u2 , · · · , um )
.
.
.
xn = gn (u1 , u2 , · · · , um )
podemos sustituirlas en la funci´n z = f (x1 , x2 , · · · , xn ) y obtener la funci´n
o o
compuesta:
z = f g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )

117. 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 109
Ahora bien, las n funciones
x1 = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), x2 = g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , xn = gn (u1 , u2 , · · · , um )
pueden considerarse como las componentes de una sola funci´n vectorial
o
g : D ⊆ Rm → Rn ,
de tal manera que a cada punto (u1 , u2 , · · · , um ) ∈ D ⊆ Rm la funci´n g o
le asocia el punto g(u1 , u2 , · · · , um ) = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn , cuyas coorde-
nadas son
(x1 , x2 , . . . , xn ) = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )
O sea,
g(u1 , u2 , . . ., um ) = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )
que en esquema ser´
ıa:
g f
Rm − − − → Rn − − −→ R
(u1 , u2 , · · · , um ) → (x1 , x2 , · · · , xn ) → z
De esta manera se ve el proceso de composici´n de funciones de varias varia-
o
bles como un proceso entre dos funciones, que se puede enunciar formalmente
de la siguiente forma:
Definici´n 2.2 (Composici´n de funciones). Dada la funci´n f : Df ⊆
o o o
Rn → R definida en el conjunto Df de Rn y la funci´n g : Dg ⊆ Rm → Rn
o
definida en el conjunto Dg de Rm , cuyo rango est´ contenido en Df (es
a
decir, g(Dg ) ⊆ Df ), entonces se puede formar la composici´n de ambas
o
funciones f ◦ g : Dg ⊆ R m → R, definida como:
(f ◦ g)(u) = f g(u)), u ∈ Dg
Esquem´ticamente ser´
a ıa.
g f
µ
g : Dg ⊆ Rm → Rn Dg − Df − R
→ → (f ◦ g)(u) = f g(u)
f : D f ⊆ Rn → R f ◦ g : D g ⊆ Rm → R
y mediante diagramas,
O bien, teniendo en consideraci´n los dominios,
o
En el caso de que no se cumpla la condici´n g(I) ⊆ J, la composici´n
o o
tambi´n es posible, siempre que g(I)∩J = ∅. En tal caso habr´ que restringir
e a
las funciones a aquellos puntos en los que la composici´n sea posible. Es
o
decir, a los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el
dominio de la segunda.
Igual que en una variable, en general, la composici´n de funciones no
o
cumple la propiedad conmutativa, y s´ la asociativa.
ı

118. 110 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
g f
‚ ‚
u
• • •z
x
B
Rm Rn R
f ◦g
Figura 2.14: Composici´n de funciones
o
g f
‚ ‚
Dg Df
B
Rm Rn R
f ◦g
Figura 2.15: Composici´n de funciones
o
2.1.5. Gr´fica de una funci´n de dos variables
a o
Igual que ocurre con las funciones de una variable, el dibujo de la gr´fica
a
de una funci´n de dos variables puede resultar muy esclarecedor para el
o
conocimiento del comportamiento de la funci´n, ya que nos permite visu-
o
alizar, mediante im´genes gr´ficas, sus propiedades abstractas, con objeto
a a
de comprenderlas y recordarlas mejor.
Funciones de una variable. La gr´fica de una funci´n de una variable,
a o
por lo general, es una curva en el plano.
y
T
• (x, y) y = f (x)
x
E
Figura 2.16: Gr´fica de una funci´n de una variable.
a o
Un punto (x, y) del plano para estar situado en la gr´fica ha de cumplir
a
dos condiciones: en primer lugar, que su primera coordenada, x, est´ en e
el dominio de la funci´n, x ∈ Df ; y en segundo lugar, que su segunda
o
coordenada, y, sea la imagen, mediante la funci´n de la primera, es decir,
o
y = f (x). En base a esto, los puntos (x, y) de la gr´fica se pueden expresar
a

119. 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 111
de la forma x, f (x) . Es decir,
gr´f f = { (x, y) ∈ R2 / x ∈ Df , y = f (x) }
a
o bien, de manera esquem´tica,
a
x ∈ Df
(x, y) ∈ gr´f f ⇔
a ⇔ (x, y) = x, f (x)
y = f (x)
Funciones de dos variable. La gr´fica de una funci´n de dos variables
a o
f (x, y) es el conjunto de puntos del espacio (x, y, z) para los cuales se tiene
que z = f (x, y) y (x, y) ∈ Df .
gr´f f = { (x, y, z) ∈ R3 / (x, y) ∈ Df , z = f (x, y) }
a
Es decir,
´ µ
(x, y) ∈ Df
(x, y, z) ∈ gr´f f ⇔
a ⇔ (x, y, z) = x, y, f (x, y)
z = f (x, y)
zT
La gr´fica de una funci´n de dos variables ser´ una
a o a
z y y superficie en el espacio. La proyecci´n de la gr´fica
o a
E sobre el plano horizontal coincide con el dominio de
x
la funci´n.
o
x
© Df Los puntos de la gr´fica se representan por
a
Figura 2.17: (x, y, f (x, y))
En consecuencia, a cada punto (x, y) del dominio D le corresponde un
unico punto (x, y, z) en la superficie y, a la inversa, a cada punto (x, y, z) de
´
la superficie le corresponde un punto (x, y) del dominio.
Ejemplo 2.9. Representar la funci´n: f (x, y) = 2x + y − 4
o
Soluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . Para representar la funci´n
o o o
ponemos z en lugar de f (x, y), para ver si se trata de una ecuaci´n conocida,
o
zT con lo que tenemos: z = 2x + y − 4, de donde resulta
4 y 2x + y − z = 4 que es la ecuaci´n de un plano en
o
E
2 el espacio. Para tener una visualizaci´n del plano en
o
el espacio representamos el tri´ngulo formado por los
a
x
© −4
tres puntos en los que el plano corta a los ejes de
Figura 2.18: coordenadas.

120. 112 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
Para hallar las coordenadas de un punto de un plano
x y z se dan valores arbitrarios a dos de las variables y se
2 0 0 calcula el tercer valor a partir de la ecuaci´n del plano.
o
0 4 0 En nuestro caso, se da el valor cero a dos de las va-
0 0 -4 riables y se calcula el valor correspondiente de la otra
variable.
Observaci´n. La ecuaci´n del plano se generaliza al espacio de n dimen-
o o
siones mediante lo que se denomina hiperplano. As´ tenemos las siguientes
ı,
representaciones:
f (x) = ax + b Recta en el plano
f (x, y) = ax + by + c Plano en el espacio
f (x1 , . . . , xx ) = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn + b Hiperplano en Rn+1
Ejemplo 2.10. Representa la funci´n: f (x, y) =
o 9 − x2 − y 2
Soluci´n. El dominio de la funci´n viene determinado por 9 − x2 − y 2 ≥ 0
o o
de donde x2 + y 2 ≤ 9 que es el c´ ırculo con centro
zT el origen de coordenadas y radio 3 (incluido su con-
3
torno).
y Para representar la funci´n sustituimos f (x, y) por
o
E
3 z, con lo que resulta: z = 9 − x2 − y 2 de donde
x 3
© z 2 = 9 − x2 − y 2 o bien x2 + y 2 + x2 = 9 que es
la ecuaci´n de la esfera de centro el origen de coorde-
o
Figura 2.19: nadas y radio 3. Y al limitarnos a valores de z positi-
vos, se reduce a la semiesfera superior.
Ejemplo 2.11. Representa la funci´n: f (x, y) =
o 16 − 4x2 − y 2
Soluci´n. El dominio de la funci´n vendr´ determinado por 16−4x2 −y 2 ≥ 0
o o a
de donde 4x2 + y 2 ≤ 16, o lo que es lo mismo,
x2 y2
z T 4 + 16 ≤ 1 que es la elipse con centro el origen
4 de coordenadas y semiejes 2 y 4 respectivamente
(incluido su contorno).
Para representar la funci´n sustituimos f (x, y)
o
y por z, con lo que resulta: z = 16 − 4x2 − y 2
E
4 de donde z 2 = 16 − 4x2 − y 2 con lo cual
2
2 2 z2
4x2 + y 2 + z 2 = 16 o bien, x + y + 16 = 1 que
4 16
x
© es la ecuaci´n del elipsoide de centro el origen
o
de coordenadas y semiejes 2, 4 y 4 respectiva-
Figura 2.20:
mente. Y al limitarnos a valores de z positivos,
se reduce al semielipsoide superior.

121. 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 113
z T
Para representar le funci´n ponemos z en lugar de
o
Ey
f (x, y), con lo que tenemos: z = 3 que es la ecuaci´n
o
x
© del plano horizontal de altura 3.
Figura 2.21: z = 3
Ejemplo 2.12. Representa la funci´n: f (x, y) = 3
o
Soluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 .
o o
Cortes con los planos coordenados. Para ayudarnos en la representaci´n o
gr´fica de las superficies, estudiaremos la curva en que la superficie corta a
a
los planos coordenados.
z T z T
=0
x y y
E E
x
© x
©
Figura 2.22: Planos coordenados x = 0 e y = 0.
Ejemplo 2.13. Representa la funci´n: f (x, y) = x2 + y 2
o
Soluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . Para representar la funci´n
o o o
ponemos z en lugar de f (x, y), con lo que tenemos: z = x2 + y 2
zT que, en principio, no sabemos de qu´ superficie se trata.
e
Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coor-
denados:
Ey
- corte con el plano x = 0 z = y 2 que es una par´bola
a
x © - corte con el plano y = 0 z = x2 que es otra par´bola.
a
Si supi´ramos los cortes que se producen en la gr´fica me-
e a
Figura 2.23: diante planos horizontales la tendr´
ıamos perfectamente de-
terminada. Estos cortes son las curvas de nivel.
Curvas de nivel. La intersecci´n del plano horizontal, de altura k, z = k
o
con la superficie z = f (x, y) se llama curva de contorno de altura k.
f (x, y) = z
curva de contorno de altura k
z=k
La proyecci´n de esta curva de contorno sobre el plano horizontal de coor-
o
denadas OXY , se llama curva de nivel de altura k de la funci´n f .
o
f (x, y) = k curva de nivel k

122. 114 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
z
T
curva de
contorno
y
E
curva de
nivel
x
©
Figura 2.24: Curva de contorno y curva de nivel.
Las curvas de nivel son el conjunto de puntos del dominio donde la funci´n o
es constante, es decir, los puntos donde la funci´n toma el mismo valor, o
o
sea, las curvas de altura constante sobre la gr´fica de la funci´n. Las curvas
a o
de nivel permiten representar superficies tridimensionales mediante un mapa
plano. Es importante elegir los valores de z adecuadamente para que el mapa
traslade una clara visualizaci´n de la superficie. El espaciado entre las curvas
o
de nivel nos da una idea del crecimiento de la funci´n. As´ mucho espacio
o ı,
entre dos curvas de nivel significa que la superficie crece lentamente. Dos
curvas de nivel muy pr´ximas significa que la superficie crece r´pidamente.
o a
Dos curvas de nivel diferentes de un mismo campo escalar no se pueden
cortar, puesto que la funci´n f asocia un unico n´mero z = f (x, y) a un
o ´ u
punto cualquiera (x, y)
Figura 2.25: La distancia entre las curvas de nivel muestra el crecimiento de la superficie
Ejemplo:Representar la funci´n: f (x, y) = x2 + y 2
o
Soluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . Para representar la funci´n
o o o
sustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: z = x2 + y 2 .
Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coordenados:
- corte con el plano x = 0 z = y 2 que es una par´bola
a
- corte con el plano y = 0 z = x2 que es otra par´bola.
a
Para hallar las curvas de nivel suponemos que z es una constante con lo que

123. 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 115
resulta la ecuaci´n x2 + y 2 = z, en donde, para cada valor de z tenemos una
o
√
circunferencia de radio z. Podemos dar varios valores a z para ir viendo
las curvas de contorno a distintas alturas:
- nivel z =0 −→ x2 + y 2 =0 −→ se reduce al punto (0, 0)
- nivel z =1 −→ x2 + y 2 =1 −→ circunferencia de radio 1
- nivel z =4 −→ x2 + y 2 =4 −→ circunferencia de radio 2
- nivel z =9 −→ x2 + y 2 =9 −→ circunferencia de radio 3
Figura 2.26: Gr´fica y curvas de nivel de la funci´n f (x, y) = x2 + y2
a o
Ejemplo 2.14. Representa la funci´n: f (x, y) =
o x2 + y 2
Soluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . Para representar la funci´n
o o o
sustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: z = x 2 + y2.
Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coordenados:
- corte con el plano x = 0 z = √ y 2 =| y | que es una recta quebrada
- corte con el plano y = 0 z = x2 =| x | que es otra recta quebrada.
Para hallar las curvas de nivel suponemos que z es una constante con lo que
resulta la ecuaci´n x2 + y 2 = z 2 , en donde, para cada valor de z tenemos
o
una circunferencia de radio z Damos varios valores a z para ver las curvas
de contorno a distintas alturas:
- nivel z =0 −→ x2 + y 2 =0 −→ se reduce al punto(0, 0)
- nivel z =1 −→ x2 + y 2 =1 −→ circunferencia de radio 1
- nivel z =2 −→ x2 + y 2 =4 −→ circunferencia de radio 2
- nivel z =3 −→ x2 + y 2 =9 −→ circunferencia de radio 3
Las curvas de nivel son circunferencias como en el caso anterior, pero los
cortes con los planos coordenados son rectas y no par´bolas. La gr´fica
a a
resultante es un cono.
Ejemplo 2.15. Representa la funci´n: f (x, y) = 25 − x2 − y 2
o

124. 116 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
Ô
Figura 2.27: Gr´fica y curvas de nivel de la funci´n f (x, y) =
a o x2 + y 2
Soluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . Para representar la funci´n
o o o
sustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: z = 25 − x2 − y2.
Hallamos los cortes de la superficie con los planos coordenados:
- corte con el plano x = 0 z = 25 − y 2 que es una par´bola hacia abajo
a
- corte con el plano y = 0 z = 25 − x2 que es una par´bola hacia abajo.
a
Para hallar las curvas de nivel suponemos z constante, con lo que resulta la
ecuaci´n x2 + y 2 = 25 −√ en donde, para cada valor de z 25 tenemos una
o z,
circunferencia de radio 25 − z
Damos varios valores a z para ver las curvas de contorno a distintas alturas:
- nivel z = 0 −→ x2 + y 2 = 25 −→ circunferencia de radio 5
- nivel z = 9 −→ x2 + y 2 = 16 −→ circunferencia de radio 4
- nivel z = 16 −→ x2 + y 2 = 9 −→ circunferencia de radio 3
- nivel z = 21 −→ x2 + y 2 = 4 −→ circunferencia de radio 2
- nivel z = 24 −→ x2 + y 2 = 4 −→ circunferencia de radio 1
- nivel z = 25 −→ x2 + y 2 = 0 −→ se reduce al punto(0, 0)
La gr´fica ser´ un paraboloide invertido.
a ıa
Ejemplo 2.16. Representa la funci´n: f (x, y) = y 2 − x2
o
Soluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 . Para representar la funci´n
o o o
sustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos: z = y 2 − x2 .
Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coordenados:
- corte con el plano x = 0 z = y 2 que es una par´bola hacia arriba
a
- corte con el plano y = 0 z = −x2 que es una par´bola hacia abajo.
a
Para hallar las curvas de nivel suponemos que z es una constante con lo que
resulta la ecuaci´n y 2 − x2 = z, en donde, para cada valor de z tenemos una
o
hip´rbola
e
Damos varios valores a z para ver las curvas de contorno a distintas alturas:

125. 2.1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 117
Figura 2.28: Gr´fica y curvas de nivel de la funci´n: f (x, y) = 25 − x2 − y2
a o
para valores positivos de z
- nivel z = 0 −→ y 2 = x2 −→ {y = x o y = −x} dos rectas
- nivel z = 1 −→ y 2 − x2 = 1 −→ hip´rbola centrada en eje OY
e
- nivel z = 4 −→ y 2 − x2 = 4 −→ hip´rbola centrada en eje OY
e
para valores negativos de z
- nivel z = −1 −→ x2 − y 2 = 1 −→ hip´rbola centrada en eje OX
e
- nivel z = −2 −→ x2 − y 2 = 4 −→ hip´rbola centrada en eje OX
e
La gr´fica es la silla de montar
a
Figura 2.29: Gr´fica y curvas de nivel de la funci´n f (x, y) = y2 − x2
a o
Resumen de algunas gr´ficas
a
f (x, y) = k plano horizontal de altura k
f (x, y) = ax + by + c plano
f (x, y) = x2 + y 2 paraboloide
f (x, y) = x2 + y 2 cono
f (x, y) = r2 − x2 − y 2 semiesfera superior
f (x, y) = r2 − ax2 − by 2 elipsoide superior
f (x, y) = y 2 − x2 silla de montar.

126. 118 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
Funciones de tres o m´s variable. La gr´fica de funciones de tres o
a a
m´s variables se define de forma an´loga al caso de una y dos variables. As´
a a ı,
en general, la gr´fica de una funci´n de n variables f : Df ⊆ Rn → R, se
a o
define como el conjunto
gr´f f = { (x1 , x2 , . . . , xn , y) ∈ Rn+1 / (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Df , y = f (x1 , x2 , . . . , xn ) }
a
Ahora bien, podemos visualizar la gr´fica de una funci´n de una y de dos
a o
variables, sin embargo, para n ≥ 3 la gr´fica de la funci´n ya no puede
a o
ser visualizada, pues se encuentra en el espacio (n + 1)-dimensional (≥ 4-
dimensional)
Superficies de nivel. El concepto de curva de nivel, definido para funciones
de dos variables, se puede extender a funciones de tres variables y definir
las superficies de nivel. Si f es una funci´n de tres variables y c es una
o
constante, entonces a la gr´fica de la ecuaci´n f (x, y, z) = c se le llama
a o
superficie de nivel de la funci´n f . En cada punto de una superficie de nivel
o
dada, la funci´n f toma un valor constante, f (x, y, z) = c. Este concepto se
o
puede generalizar a cualquier dimensi´n, aunque, para n ≥ 3 no tenga un
o
significado gr´fico.
a
Ejemplo 2.17. Describir las superficies de nivel de la funci´n
o
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
Soluci´n. Cada superficie de nivel satisface una ecuaci´n de la forma
o o
x2 + y 2 + z 2 = c.
Luego las superficies de nivel son esferas de centro el origen de coordenadas
y radio la ra´ cuadrada de c. Si damos varios valores a c obtendremos varias
ız
esferas conc´ntricas.
e
2.1.6. Otras representaciones de las funciones de varias va-
riables
En Matem´ticas a los conceptos te´ricos se les buscan representaciones que
a o
nos permitan visualizar, mediante im´genes gr´ficas, sus propiedades abs-
a a
tractas, con objeto de comprenderlas y recordarlas mejor. As´ para tener una
ı,
visualizaci´n gr´fica de las propiedades de las funciones, hemos imaginado
o a
que las funciones de una variable representan curvas en el plano y las de dos
variables superficies en el espacio. Sin embargo, este sistema no nos permite
visualizar las funciones de tres o m´s variables y tenemos que conformarnos
a
con imaginar una generalizaci´n de los conceptos aprehendidos en dos o tres
o
dimensiones.
En realidad una funci´n no es ni una curva ni una superficie, sino una
o
correspondencia entre magnitudes, y seg´n sea el significado f´
u ısico que le
demos a esas magnitudes (espacio, tiempo, temperatura, etc.) la funci´n o

127. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 119
tendr´ un significado f´
a ısico u otro. Por eso, aunque la representaci´n gr´fica
o a
haya pasado a formar parte integrante del contenido te´rico de las fun-
o
ciones, no debemos olvidar que es simplemente un instrumento de ayuda,
y, por lo tanto, no nos debemos sentir atrapados por ese instrumento. Para
comprender algunos conceptos, como por ejemplo las curvas de nivel, son
tambi´n apropiadas otras representaciones de las funciones distintas de la
e
representaci´n gr´fica.
o a
As´ las funciones de dos variables se pueden interpretar como la tempe-
ı,
ratura en cada punto de una placa horizontal, siendo esta placa el dominio de
la funci´n. Las de tres variables se pueden interpretar como la temperatura
o
en cada punto de una regi´n del espacio. Las curvas de nivel ser´ las curvas
o ıan
de igual temperatura, es decir, las isotermas. En el caso de tres variables las
superficies de nivel ser´ las superficies de igual temperatura (superficies
ıan
isotermas).
A las funciones de varias variables tambi´n se les puede dar otras in-
e
terpretaciones, por ejemplo, en un mapa del tiempo las curvas de nivel de
igual presi´n se llaman isobaras. En las representaciones de los campos de
o
potencial electrico, las curvas de nivel se llaman l´
ıneas equipotenciales.
2.2. L´
ımite y continuidad
2.2.1. Introducci´n
o
La gr´fica de una funci´n de una variable es una curva en el plano.
a o
y
T
y = f (x)
x
E
Figura 2.30: Gr´fica de una funci´n de una variable.
a o
Esta curva puede presentar las siguientes situaciones de discontinuidad.
En dos variables pueden darse situaciones de discontinuidad de todo tipo.
2.2.2. Entorno de un punto en el plano
De manera an´loga a como se definen los entornos en la recta real mediante
a
intervalos, se definen los entornos en el plano mediante discos. As´ un δ- ı,
entorno alrededor de (x0 , y0 ) va a ser un disco centrado en (x0 , y0 ) con radio
δ. Es decir, se define el δ-entorno alrededor de (x0 , y0 ) como el conjunto de
puntos (x, y) del plano que distan de (x0 , y0 ) menos que δ.
{(x, y) ∈ R2 ; (x − x0 )2 + (y − y0 )2 δ}

128. 120 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
Figura 2.31: Situaciones de discontinuidad en funciones de una variable
que tambi´n se puede expresar sin la ra´ cuadrada de la siguiente forma:
e ız
{(x, y) ∈ R2 ; (x − x0 )2 + (y − y0 )2 δ 2 }
y
δ
(x0 , y0 )
x
Figura 2.32: Entorno de un punto
Cuando en la definici´n ponemos el signo se dice que el disco es abierto
o
y cuando ponemos el signo ≤ decimos que el disco es cerrado. En el primer
caso no est´ incluido el contorno y en el segundo s´
a ı.
Regiones abiertas y regiones cerradas
Un punto (x0 , y0 ) de una regi´n R del plano se dice que es un punto
o
interior de R si existe un δ-entorno alrededor de (x0 , y0 ) que pertenece
totalmente a R. Si todos los puntos de una regi´n R son interiores entonces
o
decimos que R es una regi´n abierta.
o
Un punto (x0 , y0 ) se dice que es un punto frontera de R si cada disco
abierto centrado en (x0 , y0 ) contiene puntos del interior de R y puntos del
exterior de R. Por definici´n, una regi´n debe contener todos sus puntos
o o

129. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 121
interiores, pero no tiene por qu´ contener a sus puntos fronteras. Si una
e
regi´n contiene todos sus puntos fronteras, entonces se dice que es una regi´n
o o
cerrada. Una regi´n que contiene a algunos pero no a todos sus puntos
o
fronteras no es ni abierta ni cerrada.
y
Punto
frontera
Punto
interior Frontera de R
x
Figura 2.33: Punto interior y punto frontera
2.2.3. L´
ımite y continuidad en dos variables
Al calcular el l´ımite de una funci´n en un punto nos interesamos por los
o
valores que toma la funci´n en los alrededores del punto. El l´
o ımite de la
funci´n en un punto va a ser el valor que deber´ tomar la funci´n en dicho
o ıa o
punto, de acuerdo con los valores que toma en los alrededores del mismo.
Este valor puede coincidir o no con el valor que realmente toma la funci´no
en el punto en cuesti´n. Es decir, el l´
o ımite de una funci´n en un punto P es
o
si los valores que toma la funci´n en los alrededores de P est´n tan cerca
o a
de como queramos (el valor que la funci´n tome en P no interesa a la hora
o
de calcular el l´
ımite)
Figura 2.34: L´
ımite de una funci´n de dos variables.
o
Para poder hablar de l´ımite de una funci´n en un punto, la funci´n tiene
o o
que estar definida en los alrededores del punto. Formalmente la definici´n o
de l´
ımite es la siguiente:

130. 122 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
Definici´n 2.3 (L´
o ımite de una funci´n en un punto). Sea f una
o
funci´n de dos variables definida en un disco abierto centrado en (x0 , y0 ),
o
excepto quiz´s en el punto (x0 , y0 ). Entonces,
a
l´
ım f (x, y) =
(x,y)→(x0 ,y0 )
si y s´lo si para cada ε 0 existe un correspondiente δ 0 tal que
o
|f (x, y) − | ε, siempre que 0 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 δ
Que podemos esquematizar de la siguiente forma
l´
ım f (x, y) = ⇔
(x,y)→(x0 ,y0 )
⇔ (∀ε 0)(∃δ 0) 0 (x−x0 )2 +(y −y0 )2 δ 2 ⇒| f (x, y)− |
Gr´ficamente, esta definici´n de l´
a o ımite significa que para un punto cual-
quiera (x, y) situado en el disco de radio δ, el valor f (x, y) est´ comprendido
a
entre − ε y + ε.
Hay que tener en cuenta que para que exista el l´ ımite todos los puntos
del entorno tiene que tener su imagen aproximadamente a la misma altura
(entre − ε y + ε). Si unos puntos del entorno se aproximan a un valor y
otros a otros, entonces el l´ ımite no existe.
En la definici´n de l´
o ımite, el punto en cuesti´n no cuenta. Es decir, da
o
igual cu´l sea el valor de f (x0 , y0 ), incluso da igual que no exista dicho valor.
a
Al poner 0 nos estamos ocupando de todos los puntos del δ-entorno, salvo
del centro. No obstante, hay que advertir que en el c´lculo de l´
a ımites de
funciones continuas dicho valor s´ que adquiere gran importancia.
ı
Definici´n 2.4 (Continuidad). Una funci´n se dice que es continua en
o o
un punto, si el valor que toma la funci´n en el punto coincide con el l´
o ımite
en dicho punto.
f (x, y) continua en (x0 , y0 ) ⇐⇒ l´
ım f (x, y) = f (x0 , y0 )
(x,y)→(x0 ,y0 )
Una funci´n se dice que es continua en una regi´n R si es continua en cada
o o
punto de R
1 si x2 + y 2 ≤ 1
Ejemplo 2.18. Dada la funci´n f (x, y) =
o
0 si x2 + y 2 1
hallar gr´ficamente:
a
l´
ım f (x, y) y l´
ım f (x, y)
(x,y)→(0,0) (x,y)→(1,0)
Soluci´n. Para hallar el l´
o ımite de la funci´n en cada uno de los puntos
o
especificados, hallamos las im´genes de los puntos de un entorno de cada
a
uno de los puntos.

131. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 123
En un entorno del punto (0, 0) todos los puntos tienen como imagen
f (x, y) = 1, luego el l´
ımite en dicho punto tambi´n es 1.
e
En un entorno del punto (1, 0) una parte de los puntos tienen como
imagen f (x, y) = 1, y otra parte de los puntos tiene como imagen f (x, y) = 0,
luego el l´ımite en dicho punto no existe, ya que todos los puntos del entorno
deber´ orientar su imagen hacia el mismo sitio.
ıan
Figura 2.35: l´
ım f (x, y) = 1 y l´
ım f (x, y) no definido
(x,y)→(0,0) (x,y)→(1,0)
2.2.4. L´
ımite de las funciones elementales
De forma an´loga a una variable, en varias variables se cumplen las siguientes
a
propiedades:
Teorema 2.1 (Propiedades de las funciones continuas). Si k es un
n´mero real y f y g son funciones continuas en (x0 , y0 ), entonces las fun-
u
ciones siguientes tambi´n son continuas en (x0 , y0 ):
e
1. M´ltiplo escalar: kf
u
2. Suma y diferencia: f ± g
3. Producto: f g
4. Cociente: f /g, si g(x0 , y0 ) = 0
Del teorema 2.1 se desprende la continuidad de las funciones polin´micas
o
y racionales en cada punto de sus dominios.
Teorema 2.2 (Continuidad de una funci´n compuesta). Si h es con-
o
tinua en (x0 , y0 ) y g es continua en h(x0 , y0 ), entonces la funci´n compuesta
o
dada por (g ◦ h)(x0 , y0 ) = g[h(x, y)] es continua en (x0 , y0 ). Es decir,
l´
ım g[h(x, y)] = g[h(x0 , y0 )]
(x,y)→(x0 ,y0 )
Nota. Obs´rvese que, en el teorema 2.2, h es una funci´n de dos variables,
e o
mientras que g es una funci´n de una sola variable.
o
De los teoremas 2.1 y 2.2 se desprende la continuidad las funciones
2 +y 2
f (x, y) = sen x2 y y g(x, y) = ex

132. 124 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
y, en general, de todas las funciones elementales en todos los puntos en los
que est´n definidas.
a
Es decir, todas las funciones elementales son continuas en todos los pun-
tos en los que est´n definidas, luego para calcular el l´
a ımite de una funci´n
o
elemental en un punto (x0 , y0 ) en el que est´ definida bastar´ sustituir x e y
e a
por x0 e y0 , respectivamente. El problema estar´ en los puntos en los que la
a
funci´n no est´ definida. Por lo tanto, al calcular un l´
o e ımite lo primero que
intentaremos es la sustituci´n directa, y s´lo en el caso de que nos encon-
o o
tremos con una indeterminaci´n intentaremos romperla por alg´n m´todo.
o u e
En dos variables no tienen sentido las reglas de L´Hopital
Ejemplo 2.19 (Calculando l´
ımites por sustituci´n directa). Calcular los si-
o
guientes l´
ımites:
1. l´
ım xy = 6
(x,y)→(2,3)
xy −6 −6
2. l´
ım = =
(x,y)→(2,−3) x2 +y 2 4+9 13
arc sen x
y arc sen 0 0
3. l´
ım = = =0
(x,y)→(0,1) 1 + xy 1+0 1
π π
4. l´
ım y sen xy = 2 sen 2 = 2 sen = 2 · 1 = 2
(x,y)→(π/4,2) 4 2
Ejemplo 2.20 (Hallando la discontinuidad). Hallar los puntos de discon-
tinuidad de la funci´n:
o
xy + 1
f (x, y) = 2
x −y
Soluci´n. Al tratarse de una funci´n racional ser´ continua en todos los pun-
o o a
tos en los que est´ definida. Es decir, la continuidad coincide con el dominio
a
de la funci´n. En consecuencia, al ser un cociente, ser´ discontinua en aque-
o a
llos puntos que hacen cero el denominador. x2 − y = 0 ⇒ y = x2 luego, la
funci´n es discontinua a lo largo de la par´bola y = x2
o a
Ejemplo 2.21. H´llense los puntos de discontinuidad de la funci´n:
a o
1
f (x, y) = cos
xy
Soluci´n. El unico problema que presenta la funci´n es en el cociente, donde
o ´ o
el denominador debe ser distinto de 0. Teniendo en cuenta que xy = 0 cuando
x = 0 (eje OY) o cuando y = 0 (eje OX). La funci´n ser´ discontinua en los
o a
dos ejes de coordenadas.

133. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 125
xy+1
Figura 2.36: f (x, y) = x2 −y
Ejemplo 2.22 (Extendiendo una funci´n por continuidad). Calcular el valor
o
de c para que la siguiente funci´n sea continua en todo el plano
o
1 − x2 − 4y 2 si x2 + 4y 2 ≤ 1
f (x, y) =
c si x2 + 4y 2 1
Soluci´n. La gr´fica de la funci´n 1 − x2 − 4y 2 es una especie de semielip-
o a o
soide superior, con contorno sobre la elipse x2 + 4y 2 = 1. En el contorno
toma el valor 0, en efecto, 1 − x2 − 4y 2 = 1 − (x2 + 4y 2 ) que vale 0 para
x2 + 4y 2 = 1. Fuera del contorno ha de ser constante (= c). Luego, para que
se mantenga continua sobre el contorno, fuera del contorno ha de valer cero,
por lo tanto c = 0.
Ô
Figura 2.37: f (x, y) = 1 − x2 − 4y 2

134. 126 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
Ejemplo 2.23 (L´
ımite infinito). Calcula los siguientes l´mites:
ı
ä cos(x2 + y 2 ) ç 1
1. l´
ım 1− 2 + y2
= 1 − + = 1 − ∞ = −∞
(x,y)→(0,0) x 0
2. l´
ım ln(x2 + y 2 ) = ln 0+ = −∞
(x,y)→(0,0)
2.2.5. Comprobando l´
ımites aplicando la definici´n
o
Mediante la definici´n de l´
o ımite se puede comprobar si un l´
ımite dado
es correcto o no, pero no se pueden calcular l´ımites. La comprobaci´n suele
o
ser complicada y artificial. (Tenemos que imaginar que alguien nos va a dar
el valor de ε y nosotros tenemos que encontrar el correspondiente valor de δ
que hace que sea cierta la implicaci´n. En general, nuestro δ depender´ del
o a
ε que nos den: δ = δ(ε)).
En cada caso necesitaremos probar que, para cada ε 0, existe un δ-
entorno alrededor de (x0 , y0 ) tal que
|f (x, y) − | ε
siempre que (x, y) = (x0 , y0 ) est´ en el entorno. Es decir, necesitamos probar
e
que cualquiera que sea ε 0, existe, para ese ε, un δ 0 que hace cierta la
implicaci´n:
o
0 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 δ 2 =⇒ |f (x, y) − | ε
o bien, lo que es lo mismo,
0 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 δ =⇒ |f (x, y) − | ε
Sin embargo, en la generalidad de los casos, no es posible la demostraci´n
o
lineal de esta implicaci´n. Es decir, en la generalidad de los casos, no nos
o
va a ser posible partir directamente del primer t´rmino de la implicaci´n
e o
para llegar al segundo; sino que vamos a necesitar un razonamiento de “ida
y vuelta”. Es decir, partiremos del segundo t´rmino y desde ah´ veremos
e ı
qu´ valor debe tomar δ, para que del primer t´rmino de la implicaci´n se
e e o
siga el segundo. El valor de δ lo determinaremos expresando |f (x, y) − | en
funci´n de δ, relacion´ndolo, para ello, con (x − x0 )2 + (y − y0 )2 . Es decir,
o a
obtendremos |f (x, y) − | g(δ) de manera que, para el valor de δ que se
obtiene de g(δ) = ε, resulta que de
0 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 δ 2
se sigue que
|f (x, y) − | ε

135. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 127
Nota: La dificultad para entender la comprobaci´n de la implicaci´n,
o o
0 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 δ 2 ⇒ |f (x, y) − | ε
est´, como ya se ha dicho, en que, en la generalidad de los casos, no es posible la de-
a
mostraci´n lineal de la implicaci´n. As´ como, en el hecho de que el valor de δ no est´ dado,
o o ı a
desde un principio, sino que lo debemos encontrar durante el proceso. En consecuencia, el
tipo de razonamiento que se hace es el siguiente: Intentamos demostrar que |f (x, y)− | ε
¿bajo qu´ condiciones se cumple esto? En un momento de la demostraci´n necesitamos
e o
utilizar que 0 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 δ 2 . Esa necesidad es lo que hace que sea cierta la
implicaci´n.
o
Por otro lado, hay que decir que la unica restricci´n que tenemos que poner a δ = δ(ε)
´ o
para poder concluir que |f (x, y) − | ε es que δ sea positivo cuando ε tambi´n lo sean
e
(δ y ε son distancias).
El hecho de tratarse de desigualdades es lo que complica la demostraci´n, aunque al
o
mismo tiempo la enriquece.
Ejemplo 2.24 (Comprobando un l´ ımite mediante la definici´n). Comprobar
o
aplicando la definici´n que el siguiente l´
o ımite es correcto.
1
l´
ım x2 + y 2 sen =0
(x,y)→(0,0) x2 + y2
Soluci´n. Necesitamos probar que, para cada ε 0, existe un δ-entorno
o
alrededor de (0, 0) tal que
|f (x, y) − 0| ε
siempre que (x, y) = (0, 0) est´ en el entorno. Es decir, necesitamos encontrar
e
un valor de δ, tal que de
0 (x − 0)2 + (y − 0)2 δ
se siga que
|f (x, y) − 0| ε
Es decir, tenemos que demostrar la siguiente implicaci´n.
o
x2 + y 2 δ 2 =⇒ |f (x, y)| ε
Para ello, tenemos que encontrar un valor positivo para δ tal que cuando
x2 + y 2 δ 2 , se tenga que |f (x, y)| ε (el valor de δ depender´ del que
a
tenga ε).
El proceso es el siguiente: partimos de la expresi´n |f (x, y)|, la rela-
o
cionamos con x2 + y 2 , con objeto de expresarla en funci´n de δ y vemos
o
cu´nto tiene que valer δ para que esa expresi´n sea menor que ε; teniendo
a o
en cuenta que al estar en un entorno del origen es x2 + y 2 δ 2 , o bien
x2 + y 2 δ

136. 128 CAP´ Para poder
L´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES:concluir que
IMITES
|f (x,y)|ε,
ßÞ
ha de ser δ=ε
Ô 1 Ô Ô
|f (x, y)| = | |≤| x2 + y 2 | =
x2 + y 2 sen
x2 + y 2 ßÞ
x2 + y 2 δ = ε
Por estar (x, y) en
el entorno de (0, 0)
luego hemos encontrado un valor para δ, el propio ε, que es positivo cuando ε
tambi´n lo es, y con el que se concluye que |f (x, y)| ε, cuando x2 + y 2
e
δ. En consecuencia el l´ımite es correcto.
Nota: Para conseguir relacionar la expresi´n |f (x, y)|, con x2 + y 2 y obtener una desigual-
o
dad del tipo
|f (x, y)| ≤ g(x2 + y 2 )
utilizamos las acotaciones que sean necesarias. En este ejemplo se ha utilizado el hecho de
que | sen α| ≤ 1
Observaci´n. La funci´n f , del ejemplo anterior, definida por
o o
1
f (x, y) = x2 + y 2 sen
x2 + y2
es discontinua en (0, 0), ya que no est´ definida en dicho punto. Sin embar-
a
go, el l´
ımite es ese punto existe. En consecuencia podemos evitar la discon-
tinuidad redefiniendo la funci´n f en (0, 0), de manera que su valor sea igual
o
a su l´
ımite en ese punto. Es decir,
´ 1
x2 + y 2 sen x2 +y2 si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) =
0 si (x, y) = (0, 0)
En consecuencia a este tipo de discontinuidades se les conoce como evitables.
Ejemplo 2.25. Comprobar aplicando la definici´n que el siguiente l´
o ımite
es correcto.
1
ım (x2 + y 2 ) sen
l´ =0
(x,y)→(0,0) xy
Soluci´n. Igual que antes, tenemos que demostrar la siguiente implicaci´n.
o o
(x − 0)2 + (y − 0)2 δ 2 =⇒ |f (x, y) − 0| ε
Es decir, tenemos que encontrar un valor positivo para δ tal que cuando
x2 + y 2 δ 2 , se tenga que |f (x, y)| ε. Para ello partimos de la expresi´no
|f (x, y)|, la relacionamos con x 2 + y 2 , con objeto de expresarla en funci´n de
o
δ y vemos cuanto tiene que valer δ para que esa expresi´n sea menor que ε;
o
teniendo en cuenta que al estar en un entorno del origen ser´ x2 + y 2 δ 2 ,
a
o bien x2 + y 2 δ
1
|f (x, y)| = |(x2 + y 2 ) sen | ≤ |x2 + y 2 | = x2 + y 2 δ 2 = ε
xy ßÞ
Por estar (x, y) en
el entorno de (0,0)

137. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 129
√
luego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε, que es positivo cuando ε
los es, y con el que se concluye que |f (x, y)| ε, cuando x2 + y 2 δ. En
consecuencia el l´ımite es correcto.
Ejemplo 2.26. Comprobar aplicando la definici´n que el siguiente l´
o ımite
es correcto.
ım y = b
l´
(x,y)→(a,b)
Soluci´n. Necesitamos probar que, para cada ε 0, existe un δ-entorno
o
alrededor de (a, b) tal que
|f (x, y) − b| ε
siempre que (x, y) = (a, b) est´ en el entorno. Es decir, necesitamos encontrar
e
un valor de δ, tal que de
0 (x − a)2 + (y − b)2 δ
se siga que
|f (x, y) − b| ε
Para ello partimos de la expresi´n |f (x, y) − b| y tratamos de relacionarla
o
con (x − a)2 + (y − b)2 , con objeto de expresarla en funci´n de δ y vemos
o
cuanto tiene que valer δ para que esa expresi´n sea menor que ε
o
|f (x, y) − b| = |y − b| = (y − b)2 ≤ (x − a)2 + (y − b)2 δ = ε
luego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε, que hace cierta la relaci´n;
o
y en consecuencia el l´
ımite es correcto. (En la demostraci´n hemos tenido
o
en cuenta que: | y − b |= (y − b)2 ≤ (x − a)2 + (y − b)2 . Este tipo de
recursos son muy usuales en las comprobaciones de l´ımites).
Acotaciones usuales en el c´lculo de l´
a ımites: En el c´lculo de l´
a ımites,
adem´s de las acotaciones | sen x| ≤ 1 y | cos x| ≤ 1, se utilizan las siguientes:
a
√ |x| x
0 ≤ |x| = x2 ≤ x2 + y 2 ⇒ ≤ 1 ⇒ −1 ≤ ≤1
x2 + y2 x2 + y2
x2
0 ≤ x2 ≤ x2 + y 2 ⇒ 0 ≤ ≤1
x2 + y 2
Ejemplo 2.27. Comprobar aplicando la definici´n que el siguiente l´
o ımite
es correcto.
5x2 y
l´
ım =0
(x,y)→(0,0) x2 + y 2

138. 130 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
Soluci´n. Igual que antes, tenemos que demostrar la siguiente implicaci´n.
o o
(x − 0)2 + (y − 0)2 δ 2 =⇒ |f (x, y) − 0| ε
Es decir, tenemos que encontrar un valor para δ tal que cuando x2 +y 2 δ 2 ,
se tenga que |f (x, y)| ε. Para ello partimos de la expresi´n |f (x, y)|, la
o
relacionamos con x2 + y 2 , con objeto de expresarla en funci´n de δ y vemos
o
cuanto tiene que valer δ para que esa expresi´n sea menor que ε; teniendo
o
en cuenta que al estar en un entorno del origen ser´ x2 + y 2 δ 2 , o bien
a
x 2 + y2 δ
5x2 y x2
|f (x, y)| =| 2 |= 5|y| | 2 |≤ 5|y| ≤ 5 x2 + y 2 5δ = ε
x + y2 x + y2
luego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε/5
2
(En la demostraci´n hemos utilizado la acotaci´n | x2x 2 |≤ 1, y por otro
o o +y
lado hemos tenido en cuenta que: | y |= y2 ≤ x2 + y 2 ).
Ejemplo 2.28. Comprobar aplicando la definici´n que el siguiente l´
o ımite
es correcto.
xy
l´
ım =0
(x,y)→(0,0) x2 + y2
Soluci´n.
o
xy y √
|f (x, y)| =| |= |x| · | |≤ |x| = x2 ≤ x2 + y 2 δ = ε
x2 + y 2 x2 + y 2
luego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε
Ejemplo 2.29. Comprobar aplicando la definici´n que el siguiente l´
o ımite
es correcto.
x4 y
l´
ım 4 + y4
=0
(x,y)→(0,0) x
Soluci´n.
o
x4 y x4
|f (x, y)| =| |= | 4 ||y| ≤ |y| ≤ y2 ≤ x2 + y 2 δ = ε
x4 + y 4 x + y4
luego hemos encontrado un valor para δ, δ = ε
2.2.6. C´lculo de l´
a ımites mediante operaciones algebraicas
Los l´ımites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedades
respecto de las operaciones (suma, diferencia, producto, cociente, potencia,
etc.) que las funciones de una sola variable. No obstante hay que advertir
que con las funciones de varias variables no se pueden aplicar las Reglas de
L´H¨pital.
o

139. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 131
Ejemplo 2.30. Calcular los siguientes l´mites:
ı
æ é
6x − 2y x2 − 1 y−1
1. l´
ım 2. l´
ım + 2
(x,y)→(1,3) 9x2 − y 2 (x,y)→(1,1) x−1 y −1
(x3 − 1)(y 4 − 1) x2 + y2
3. l´
ım 4. l´
ım
(x,y)→(1,1) (x − 1)(y 2 − 1) (x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 1 − 1
1
5. l´
ım 1 + x2 y x2
(x,y)→(0,3)
Soluci´n.
o
6x − 2y 0 2(3x − y)
1. l´
ım 2 − y2
=[ ]= l´
ım =
(x,y)→(1,3) 9x 0 (x,y)→(1,3) (3x)2 − y 2
2(3x − y) 2 2 1
= l´
ım = l´
ım = =
(x,y)→(1,3) (3x + y)(3x − y) (x,y)→(1,3) (3x + y) 6 3
æ é
x2 − 1 y−1 0 0
2. l´
ım + 2 =[ + ]=
(x,y)→(1,1) x−1 y −1 0 0
(x + 1)(x − 1) y−1 0 0
= l´
ım + =[ + ]=
(x,y)→(1,1) x−1 (y + 1)(y − 1) 0 0
1 1 5
= l´
ım x+1+ =2+ =
(x,y)→(1,1) y+1 2 2
(x3 − 1)(y 4 − 1) 0
3. l´
ım =[ ]=
(x,y)→(1,1) (x − 1)(y 2 − 1) 0
(x − 1)(x2 + x + 1)(y 2 + 1)(y 2 − 1)
= l´
ım =
(x,y)→(1,1) (x − 1)(y 2 − 1)
= l´
ım (x2 + x + 1)(y 2 + 1) = 3 · 2 = 6
(x,y)→(1,1)
x2 + y 2 0
4. l´
ım =[ ]=
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 1 − 1 0
(x2 + y 2 )( x2 + y 2 + 1 + 1)
= l´
ım =
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 1 − 1
(x2 + y 2 )( x2 + y 2 + 1 + 1)
= l´
ım =
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
= l´
ım x2 + y 2 + 1 + 1 = 2
(x,y)→(0,0)
1 å 1
è x2 y
x2
2 ∞ 2
5. l´
ım 1+x y x2 = [1 ] = l´
ım (1 + x y) x2 y = e3
(x,y)→(0,3) (x,y)→(0,3)
Aqu´ se ha tenido en cuenta la definici´n del n´mero e,
ı o u
1
l´ (1 + z) z = e
ım
z→0

140. 132 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
2.2.7. Teorema del encaje y de la acotaci´n
o
Si una funci´n est´ comprendida, en los alrededores de un punto, entre dos
o a
que tienen el mismo l´
ımite, en dicho punto, entonces dicha funci´n tambi´n
o e
tiene el mismo l´
ımite en dicho punto.
µ
f (x) ≤ h(x) ≤ g(x)
l´ f (x) = l´ g(x)
ım ım =⇒ l´ h(x) = l´ f (x) = l´ g(x)
ım ım ım
x→x0 x→x0 x→x0
x→x0 x→x0
Si una funci´n tiene l´
o ımite cero, en un punto, y otra est´ acotada en los
a
alrededores del punto, entonces su producto tambi´n tiene l´
e ımite cero en
dicho punto.
µ
g(x)acotada
l´ f (x) = 0
ım ⇒ −k ≤ g(x) ≤ k ⇒ −kf (x) ≤ f (x)g(x) ≤ kf (x) ⇒
x→x0
0 ≤ l´ f (x)g(x) ≤ 0 ⇒ l´ f (x) = 0 ⇒ 0 · Acot = 0
ım ım
x→x0 x→x0
Nota: Si f (x) 0, cambiar´ el sentido de la desigualdad, pero el resultado final ser´ el
ıa ıa
mismo.
Ejemplo 2.31 (Calculando l´ ımites por acotaci´n). Calcula los siguientes
o
l´
ımites.
1 x3
1. ım (x2 + y 2 ) sen
l´ 2. l´
ım
(x,y)→(0,0) xy (x,y)→(0,0) x2 + y 2
1 1 y(x − 1)3
3. ım (x sen + y sen )
l´ 4. l´
ım
(x,y)→(0,0) y x (x,y)→(1,−2) (x − 1)2 + (y + 2)2
Soluci´n.
o
1
1. l´
ım (x2 + y 2 ) sen = 0 · Acot = 0
(x,y)→(0,0) xy
x3 x2
2. l´
ım = l´
ım x 2 = 0 · Acot = 0
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x + y 2
1 1
3. l´
ım (x sen + y sen ) = 0 · Acot + 0 · Acot = 0
(x,y)→(0,0) y x
y(x − 1)3
4. l´
ım =
(x,y)→(1,−2) (x − 1)2 + (y + 2)2
(x − 1)2
= l´
ım (x − 1)y = 0 · Acot = 0
(x,y)→(1,−2) (x − 1)2 + (y + 2)2
Este l´
ımite tambi´n puede hacerse mediante el cambio de variables
e
u = x − 1, v = y + 2 , en efecto,
y(x − 1)3 (v − 2)u3
l´
ım = l´
ım =
(x,y)→(1,−2) (x − 1)2 + (y + 2)2 (u,v)→(0,0) u2 + v 2
u2
= ım (v − 2)u 2
l´ = (−2) · 0 · Acot = 0
(u,v)→(0,0) u + v2

141. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 133
2.2.8. Infinit´simos equivalentes.
e
Igual que en una variable, los infinit´simos se aplican en los l´
e ımites de
funciones de varias variables.
Definici´n 2.5 (Infinit´simo en un punto). Se llama infinit´simo en
o e e
un punto X0 a una funci´n cuyo l´
o ımite en dicho punto sea cero.
l´ f (X) = 0
ım
X→X0
Definici´n 2.6 (Infinit´simos equivalentes). Dos infinit´simos en un
o e e
mismo punto se dice que son equivalentes, cuando el l´mite de su cociente
ı
es 1.
f (X) ä 0 ç
l´
ım = = 1 =⇒ f (X) ≈ g(X) (en X = X0 )
X→X0 g(X) 0
Sustituci´n de infinit´simos. Si un infinit´simo est´ multiplicando o divi-
o e e a
diendo se le puede sustituir por otro equivalente para simplificar los c´lculos.
a
f (X)
Supongamos que f (X) ≈ g(X), entonces ser´ l´ a ım = 1. Y suponga-
X→X0 g(X)
mos que f (X) aparece multiplicando dentro de un l´ ımite.
f (X)
l´ f (X) · h(X) = l´
ım ım g(X)h(X) = l´ g(X) · h(X)
ım
X→X0 X→X0 g(X) X→X0
Con lo cual hemos sustituido f (X) por g(X) y el l´ımite puede resultar m´s
a
f´cil.
a
Sumas de infinit´simos. Cuando un infinit´simo est´ sumando o restando,
e e a
en general, no se puede sustituir por otro equivalente.
ä ç ä ç
l´
ım f (X) + h(X) = l´
ım g(X) + h(X)
X→X0 X→X0
No obstante, existen casos muy concretos en los que se pueden aplicar in-
finit´simos al caso de sumas. Sin embargo, hay que advertir que en varias
e
variables esta sustituci´n es mucho m´s restrictiva que en una variable. En
o a
una variable dijimos que la suma de varios infinit´simos de distinto orden
e
se puede reducir al de menor orden. Por ejemplo,
(x2 + 3x3 − 5x4 )f (x) (x2 )f (x)
l´
ım = l´
ım
x→0 g(x) x→0 g(x)
Sin embargo, en varias variables esto no es cierto de manera general. En
una variable la regla se basa en el hecho de que al aplicar las reglas de
L´Hˆpital el primer t´rmino que dejar´ de ser cero es el de menor grado,
o e a
y, en consecuencia, se puede establecer la equivalencia. Sin embargo, en dos
variables no son aplicables las reglas de L´Hˆpital. En consecuencia, resulta
o
que no podemos hacer el cambio
(x − y 2 )f (x, y) (x)f (x, y)
l´
ım = l´
ım
(x,y)→(0,0) g(x, y) (x,y)→(0,0) g(x, y)

142. 134 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
puesto que si hacemos l´ımites direccionales a trav´s de la curva x = y 3 , el
e
t´rmino que, en principio, es de menor grado, se transforma en un t´rmino
e e
de mayor grado.
(x − y 2 )f (x, y) (y 3 − y 2 )f (x, y) (x)f (x, y)
l´
ım = l´ ım = l´ ım
(x,y)→(0,0) g(x, y) (x,y)→(0,0) g(x, y) (x,y)→(0,0) g(x, y)
x=y 3
En consecuencia, en varias variables la suma de infinit´simos solamente se
e
puede reducir al de menor grado cuando los infinit´simos sean homog´neos.
e e
Es decir, que contengan las mismas variables. As´
ı,
(x2 + 3x3 − 5x4 )f (x) (x2 )f (x)
l´
ım = l´
ım
x→0 g(x) x→0 g(x)
o bien,
(y 2 + 3y 3 − 5y 4 )f (x, y) (y 2 )f (x, y)
l´
ım = l´
ım
(x,y)→(0,0) g(x, y) (x,y)→(0,0) g(x, y)
e incluso,
(x2 y)2 + 3(x2 y)3 − 5(x2 y)4 f (x, y) (x2 y)2 f (x, y)
l´
ım = l´
ım
(x,y)→(0,0) g(x, y) (x,y)→(0,0) g(x, y)
Sin embargo
(x2 y + x3 y 2 + x6 )f (x, y) (x2 y)f (x, y)
l´
ım = l´
ım
(x,y)→(0,0) g(x, y) x→0 g(x, y)
Evidentemente la suma que se sustituye no puede ser una suma parcial, sino
que la suma que se sustituye ha de ser total, es decir, considerada como una
unidad, ha de estar multiplicando o dividiendo.
Algunos infinit´simos en el Origen (z → 0).
e
Los infinit´simos m´s usuales, en el origen son:
e a
Trigonom´tricos:
e
sen z ≈ z arc sen z ≈ z
tg z ≈ z arctan z ≈ z
z2
1 − cos z ≈
2
Logar´
ıtmicos:
z ≈ ln(1 + z)
ez − 1 ≈ z
ln(1 + z) ≈ z ⇒ a z − 1 ≈ z ln a
(1 + z)n ≈ 1 + nz
√n
1+z ≈1+ n z

143. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 135
La z puede ser cualquier funci´n. Lo importante es que toda la funci´n
o o
tienda a cero, aunque (x, y) tienda a un valor distinto de (0, 0). As´ por
ı,
ejemplo,
si l´
ım f (x, y) = 0 ⇒
(x,y)→(x0 ,y0 )
sen f (x, y) g(x, y) f (x, y)g(x, y)
⇒ l´
ım = l´
ım
(x,y)→(x0 ,y0 ) h(x, y) (x,y)→(x0 ,y0 ) h(x, y)
Ejemplo 2.32 (Calculando l´
ımites mediante infinit´simos). Calcula los si-
e
guientes l´
ımites.
sen(xy) xy
1. l´
ım = l´
ım = l´
ım y = 2
(x,y)→(0,2) x (x,y)→(0,2) x (x,y)→(0,2)
2
etg(x y) − 1 tg(x2 y) x2 y 1
2. l´
ım 2 y)
= l´
ım 2y
= l´
ım 2y
=
(x,y)→(0,0) 2 sen(x (x,y)→(0,0) 2x (x,y)→(0,0) 2x 2
1 − cos(x2 − y) (x2 − y)2
3. l´
ım √ 2 = l´
ım √ =
(x,y)→(1,1) (x − y) (x,y)→(1,1) 2(x − y)2
√ √
(x2 − y)2 (x + y)2 (x + y)2 4
= l´
ım 2 − y)
= l´
ım = =2
(x,y)→(1,1) 2(x (x,y)→(1,1) 2 2
exy − 1 xy
4. l´
ım = l´
ım = l´
ım 1 = 1
(x,y)→(0,0) sen x ln(1 + y) (x,y)→(0,0) xy (x,y)→(0,0)
sen x sen(3y) x3y 3
5. l´
ım = l´
ım =
(x,y)→(0,0) 2xy (x,y)→(0,0) 2xy 2
(y 2 + 2y − 3)(1 − cos x) (y − 1)(y + 3)x2 /2
6. l´
ım = l´
ım =
(x,y)→(0,1) x2 (y − 1) (x,y)→(0,1) x2 (y − 1)
y+3 4
= l´
ım = =2
(x,y)→(0,1) 2 2
4x2 9y 2
(1 − cos 2x)(cos 3y − 1) 2 (− 2 )
7. l´
ım = l´
ım =
(x,y)→(0,0) 5x2 y (x,y)→(0,0) 5x2 y
−9y
= l´
ım =0
(x,y)→(0,0) 5
(ex − 1)(e2y − 1) x2y
8. l´
ım = l´
ım =2
(x,y)→(0,0) xy (x,y)→(0,0) xy
ln x tg(y − 1)
Ejemplo 2.33. Calcular el siguiente l´mite:
ı l´
ım
(x,y)→(1,1) xy − x − y + 1

144. 136 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
Soluci´n. Aplicando infinit´simos en el numerador,
o e
ln x = ln(1 + x − 1) ∼ x − 1 , tg(y − 1) ∼ y − 1
y agrupando t´rminos en el denominador, resulta:
e
ln x tg(y − 1) (x − 1)(y − 1)
l´
ım = l´
ım =
(x,y)→(1,1) xy − x − y + 1 (x,y)→(1,1) x(y − 1) − (y − 1)
(x − 1)(y − 1)
= l´
ım =1
(x,y)→(1,1) (x − 1)(y − 1)
2.2.9. Inexistencia de l´
ımites
Cuando no sepamos calcular un l´ ımite, intentaremos demostrar que dicho
l´
ımite no existe. Esto lo podemos hacer por dos m´todos:
e
-Mediante los l´ımites direccionales.
-Mediante los l´ımites reiterados.
L´ımites direccionales
Aunque la definici´n de l´
o ımite de funciones de dos variables va en total
paralelismo con la definici´n de l´
o ımite de funciones de una sola variable,
existe una diferencia fundamental a la hora de determinar la existencia de
un l´
ımite. En una variable, la existencia del l´ımite, es equivalente a la coin-
cidencia de los l´
ımites laterales. Es decir, para determinar si una funci´n de
o
una variable tiene l´ımite en un punto determinado, solamente necesitamos
comprobar qu´ ocurre al aproximarnos por dos direcciones –por la izquierda
e
y por la derecha–. Si la funci´n tiene el mismo l´
o ımite por la izquierda y por la
derecha podemos concluir que el l´ ımite existe. Si embargo, en dos variables
esto no es as´
ı.
−→←−
©
r ‚
dr I•i
s
d
En dos variables, en principio, no tiene sentido hablar de l´
ımites laterales
¿qu´ significan derecha e izquierda en el plano?, por eso hablamos de l´
e ımites
direccionales, ya que, en dos variables existen infinitos caminos para acer-
carnos al punto, es m´s, podemos acercarnos siguiendo un camino recto o
a
un camino curvo. Es decir, al escribir
(x, y) → (x0 , y0 )
entendemos que el punto (x, y) se aproxima al punto (x0 , y0 ) en cualquier
direcci´n. Y, para que exista el l´
o ımite, los l´
ımites siguiendo todas las di-
recciones o trayectorias tienen que coincidir. La exigencia de la definici´n a
o

145. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 137
todos los puntos del entorno significa todas las posibles formas de aproxi-
marse. En consecuencia, para ver que una funci´n no tiene l´
o ımite en un
punto se siguen varios caminos de aproximaci´n al punto y si la funci´n
o o
tiene un l´ ımite ((doble)) no exis-
ımite distinto por cada camino, entonces el l´
te. El problema ser´ determinar si existe un camino que conduce a otra
a
parte. En la pr´ctica los caminos que se suelen seguir son rectas y par´bo-
a a
las. (El camino por rectas se sigue cuando las potencias del denominador son
del mismo grado, y el camino por par´bolas cuando son de distinto grado,
a
intentando igualar los grados). No debe olvidarse que la recta ha de pasar
por el punto en cuesti´n, es decir su ecuaci´n ha de ser y − y0 = m(x − x0 ).
o o
Hay que advertir que este m´todo s´lo es refutativo, es decir, nos per-
e o
mite negar la existencia del l´ ımite pero no afirmarla. As´ si encontramos
ı,
dos l´ımites direccionales diferentes, entonces podemos afirmar que el l´ ımite
((doble)) no existe. Pero si todos los l´
ımites direccionales que tomamos nos
dan el mismo l´ ımite, no por eso podemos afirmar la existencia del l´ ımite. Lo
m´s que podemos decir es que, de existir el l´
a ımite doble, su valor ser´ el de
a
los direccionales, pero nadie asegura que siguiendo otra direcci´n, diferente
o
a las tomadas hasta ese momento, obtengamos un resultado diferente.
ımites direccionales). Probar que el siguiente
Ejemplo 2.34 (Calculando l´
l´
ımite no existe.
xy
l´
ım 2 + y2
(x,y)→(0,0) x
Soluci´n. Si nos acercamos al origen a trav´s de la recta y = x, se tiene
o e
xy xx x2 1
l´
ım 2 + y2
= l´ ım 2 + x2
= l´
ım 2 =
(x,y)→(0,0) x (x,y)→(0,0) x x→0 2x 2
y=x
x→0
luego, de existir el l´
ımite, deber´ ser 1/2. Mientras que si nos acercamos al
ıa
origen a trav´s de la recta y = −x, se tiene
e
xy x(−x) −x2 −1
l´
ım 2 + y2
= l´ ım 2 + (−x)2
= l´
ım 2
=
(x,y)→(0,0) x (x,y)→(0,0) x x→0 2x 2
y=−x
x→0
luego, de existir el l´ımite, deber´ ser −1/2. Lo que contradice el resultado
ıa
anterior, y en consecuencia el l´ ımite doble no puede existir.
En general, los l´ımites direccionales los haremos contemplando todas las
rectas a la vez, y no una a una, como se ha hecho aqu´ As´ si nos acercamos
ı. ı,
al origen a trav´s de la recta y = mx se tiene
e
xy xy xmx
l´
ım = l´ ım = l´ ım =
(x,y)→(0,0) x2 +y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y2 (x,y)→(0,0) x
2 + m2 x2
y=mx y=mx
x→0
m m
= l´
ım 2
= = f (m)
x→0 1 + m 1 + m2

146. 138 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
El l´ımite no existe ya que depende del valor de m. Es decir, seg´n la recta
u
por la que nos aproximemos al punto tendr´ ıamos un valor del l´
ımite u otro.
As´ si consideramos dos trayectorias diferentes de acercamiento, tenemos:
ı,
Para m = 1, nos estar´ ıamos moviendo por la recta y = x, y ser´ l = 1/2,
ıa
mientras que para m = −1, estar´ ıamos movi´ndonos por la recta y = −x, y
e
ser´ l = −1/2. y al haber encontrado dos caminos que conducen a l´
ıa ımites
diferentes podemos afirmar que el l´ ımite no existe. En efecto, esto quiere
decir que en cualquier disco abierto centrado en (0, 0) hay puntos (x, y) en
los cuales f toma los valores 1/2 y −1/2. Luego f no puede tener l´ ımite
cuando (x, y) → (0, 0).
En este ejemplo podemos visualizar lo que ocurre en el origen de una manera muy
gr´fica. Imaginemos una alfombra de goma, con un agujero en el centro, y la atravesamos
a
con dos listones, uno por debajo y el otro por encima, de manera que se crucen en el
agujero (el de abajo de la alfombra pasar´ por encima del otro). El que est´ por encima
ıa a
de la alfombra lo fijamos al suelo y el que est´ por debajo lo levantamos hasta una altura
a
de un metro, sin que se rompa la alfombra. Es evidente que el agujero se estira todo el
metro.
xy
Figura 2.38: f (x, y) = x2 +y 2
Observaci´n. Podemos observar que aunque la funci´n f , del ejemplo an-
o o
terior, definida por
xy
f (x, y) = 2
x + y2
s´lo es discontinua en el punto (0, 0), sin embargo, dicha discontinuidad es
o
inevitable, ya que no es posible redefinir la funci´n en (0, 0), de manera que
o
sea continua en dicho punto, puesto que el l´ ımite en (0, 0) no existe.
Ejemplo 2.35. Demostrar que el siguiente l´mite no existe.
ı
y2
l´
ım
(x,y)→(0,0) x + y 2
Soluci´n. Nos acercamos al origen a trav´s de la recta y = mx.
o e
y2 y2 m2 x2 m2 x
l´
ım = l´ ım = l´
ım = l´
ım =0
(x,y)→(0,0) x + y 2 (x,y)→(0,0) x + y 2 x→0 x + m2 x2 x→0 1 + m2 x
y=mx

147. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 139
para todo camino recto de la forma y = mx el l´ ımite vale 0, sin embargo, no
podemos afirmar que el l´ ımite valga cero, ya que en otras direcciones puede
tener otro valor. En efecto, si nos acercamos al origen por el camino curvo
x = y 2 , resulta:
y2 y2 1
l´
ım 2
= l´ ım 2 + y2
=
(x,y)→(0,0) x + y (x,y)→(0,0) y 2
x=y 2 x=y 2
y→0
Luego el l´ımite no existe ya que al movernos por una par´bola obtenemos
a
distinto valor que al movernos por una recta.
Observaci´n. Cuando nos acercamos al origen a trav´s de las rectas y =
o e
mx, estamos contemplando todas las trayectorias rectil´ ıneas menos una. En
efecto, la recta x = 0 no est´ contemplada en la ecuaci´n y = mx. En
a o
determinadas ocasiones esta recta conduce a otro l´ ımite y no es necesario
acudir a otro tipo de trayectorias. As´ en el ejemplo anterior no hubiera sido
ı,
necesario acudir a las trayectorias parab´licas. En efecto,
o
y2 y2
l´
ım = l´ ım =1
(x,y)→(0,0) x + y 2 (x,y)→(0,0) 0 + y
2
x=0 x=0
y→0
Ejemplo 2.36. Demostrar que el siguiente l´mite no existe.
ı
2x2 y
l´
ım
(x,y)→(0,0) x4 + y 2
Soluci´n. Nos acercamos al origen a trav´s de la recta y = mx.
o e
2x2 y 2x2 y 2x2 mx 2mx
l´
ım = l´ ım = l´
ım 4 = l´
ım = 0
(x,y)→(0,0) x4 + y 2 (x,y)→(0,0) x4 + y 2 x→0 x + m2 x2 x→0 x2 + m2
y=mx y=mx
para todo camino recto de la forma y = mx el l´ ımite vale 0, sin embargo, no
podemos afirmar que el l´ ımite valga cero, ya que en otras direcciones puede
tener otro valor. En efecto, si nos acercamos al origen por el camino curvo
y = x2 , resulta:
2x2 y 2x2 x2 2
l´
ım = l´ ım = =1
(x,y)→(0,0) x4 + y 2 (x,y)→(0,0) x4 + x4 1+1
y=x2 y=x2
x→0
Luego el l´ımite no existe ya que al movernos por una par´bola obtenemos
a
distinto valor que al movernos por una recta.
Tambi´n pod´
e ıamos haber acudido directamente a las trayectorias para-
b´licas sin pasar previamente por las rectil´
o ıneas. As´
ı,
2x2 y 2x2 (ax)2 2x2 a2 x2 2a2
l´
ım = l´
ım 4 = l´
ım 4 = = f (a)
(x,y)→(0,0) x4+y 2 x→0 x + (ax 2 )2 x→0 x + a 2 x4 1 + a2
y=ax2
luego el l´
ımite no existe, por depender de a.

148. 140 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
7x(x − 5)
Ejemplo 2.37. Calcular el siguiente l´mite:
ı l´
ım
(x,y)→(5,−2) y+2
Soluci´n. Nos aproximamos al punto (5, −2) mediante rectas que pasen por
o
dicho punto y + 2 = m(x − 5), de donde,
7x(x − 5) ä 0 ç 7x(x − 5) 7x 35
l´
ım = = l´
ım = l´
ım = = f (m)
(x,y)→(5,−2) y+2 0 x→5 m(x − 5) x→5 m m
luego el l´
ımite dado no existe, por depender de m.
xy − x − y + 1
Ejemplo 2.38. Calcular, si existe, l´
ım
(x,y)→(1,1) x2 + y 2 − 2x − 2y + 2
Soluci´n. Agrupando t´rminos en el numerador y denominador y haciendo
o e
ımite resultante por rectas y − 1 = m(x − 1), resulta:
el l´
xy − x − y + 1
l´
ım =
(x,y)→(1,1) x2 + y 2 − 2x − 2y + 2
x(y − 1) − (y − 1)
= l´
ım =
(x,y)→(1,1) (x − 1)2 − 1 + (y − 1)2 − 1 + 2
(x − 1)(y − 1) (x − 1)m(x − 1)
= l´
ım = l´
ım =
(x,y)→(1,1) (x − 1) 2 + (y − 1)2 x→1 (x − 1)2 + m2 (x − 1)2
y−1=m(x−1)
m
= = f (m)
1 + m2
Luego, al depender de m, el l´
ımite no existe.
Determinaci´n de la trayectoria d´
o ıscola
Cuando tengamos la sospecha de que un l´ ımite no existe, y sin embargo,
las trayectorias habituales (rectas y par´bolas) conducen al mismo resultado,
a
podemos intentar buscar una trayectoria d´ ıscola por dos procedimientos:
1. Mediante la sustituci´n impl´
o ıcita
2. Mediante la aplicaci´n sucesiva de la regla de L´H¨pital
o o
a) Mediante la sustituci´n impl´
o ıcita
En lugar de trayectorias del tipo y = f (x), se pueden utilizar trayectorias
definidas impl´ ıcitamente F (x, y) = 0. As´ en el caso de fracciones, susti-
ı,
tuiremos todo el numerador o el denominador por lo que nos interese para
conseguir el l´
ımite deseado, siempre que la sustituci´n que hacemos se cor-
o
responda realmente con una trayectoria que pasa por el punto objeto de
l´
ımite.
Nota. Para ver si una ecuaci´n del tipo F (x, y) = 0 se corresponde con una trayectoria
o
v´lida de aproximaci´n al punto en cuesti´n, hay que comprobar que se cumplen las
a o o
condiciones exigidas en el teorema 4.14 de la funci´n impl´
o ıcita (p´g. 298).
a
Mientras el alumno no conozca dicho teorema, adem´s de comprobar que la trayectoria
a
pasa por el punto en cuesti´n, debe que comprobar que alguna de las variables es funci´n
o o
de la otra en un entorno de dicho punto, para ello puede limitarse a ecuaciones en las que

149. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 141
es posible despejar una de las inc´gnitas en funci´n de la otra y obtener una funci´n, o
o o o
bien a ecuaciones de curvas conocidas.
Ejemplo 2.39. Demostrar que el siguiente l´mite no existe
ı
x
l´
ım
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
Soluci´n. Si nos acercamos al origen a trav´s de la familia de curvas definidas
o e
por la ecuaci´n
o
x2 + y 2 = λx
resulta
x x 1
l´
ım = l´
ım =
(x,y)→(0,0) x2 +y 2 x→0 λx λ
x2 +y 2 =λx
x→0
luego el l´
ımite no existe, por depender de λ
Nos queda comprobar que las trayectorias utilizadas son v´lidas. En
a
efecto, la ecuaci´n que hemos utilizado en la sustituci´n se puede expresar
o o
de la siguiente forma,
λ λ2 λ λ2
x2 − λx + y 2 = 0 → (x − )2 − + y2 = 0 → (x − )2 + y 2 =
2 4 2 4
luego se trata de circunferencias con centro en el punto (λ/2, 0) y radio
r = λ/2 que pasan por el origen de coordenadas.
Nota: Hay que hacer notar la importancia de comprobar que la trayectoria utilizada es
una trayectoria id´nea. Es decir, una trayectoria que no s´lo contenga al punto en cuesti´n,
o o o
sino que lo atraviese. Veamos un ejemplo en el que se obtiene un resultado incorrecto por
seguir una trayectoria no id´nea.
o
Ejemplo 2.40 (Trayectorias no id´neas conducen a resultados incorrectos).
o
Explicar porqu´ no es posible utilizar la trayectoria x2 + y 2 = x3 para probar
e
que el siguiente l´mite no existe
ı
x3
l´
ım
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
Soluci´n. Es evidente que el l´
o ımite dado existe y vale cero. En efecto,
x3 x2
l´
ım = l´
ım x 2 = 0 · Acot. = 0
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x + y 2
Ahora bien, si sigui´ramos la trayectoria x2 + y 2 = x3 resultar´ lo siguiente
e ıa
x3 x3
l´
ım = l´
ım 3 = 1
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 x→0 x

150. 142 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
Lo que contradice el resultado anterior.
Este hecho se debe a que la trayectoria utilizada no es una trayectoria
id´nea. En efecto, trayectoria x2 + y 2 = x3 contiene al (0, 0) –ya que dicho
o
punto cumple la ecuaci´n–. Sin embargo la trayectoria no pasa por el origen.
o
Se trata de una curva que no pasa por el origen de coordenadas, pero que
tiene un punto exterior aislado –precisamente el origen de coordenadas– y
da la apariencia de pasar por ´l, cuando no es cierto. En efecto, la gr´fica
e a
de la curva x2 + y 2 = x3 viene representada en la Figura 2.39
y
x
Figura 2.39: Gr´fica de x2 + y2 = x3
a
La determinaci´n del dominio de las funciones impl´
o ıcitas en la trayectoria
nos dice que la funci´n s´lo est´ definida para x ≥ 1 y para el (0, 0). En
o o a
efecto, despejando y resulta,
x2 + y 2 = x3 ⇒ y 2 = x3 − x2 ⇒ y = ± x3 − x2
y para que la ra´ cuadrada est´ definida, ha de ser
ız e
x≥1
x3 − x2 ≥ 0 ⇒ x3 ≥ x2 ⇒
x=0
b) Mediante la aplicaci´n sucesiva de la regla de L´Hˆpital
o o
Hacemos el l´ımite mediante trayectorias rectil´
ıneas (o l´
ımites reiterados) y
obtenemos un valor concreto. Suponemos, entonces, que la trayectoria d´ ısco-
la viene definida mediante una funci´n polin´mica y = p(x). Sustituimos en
o o
el l´
ımite y aplicamos sucesivamente la regla de L´Hˆpital hasta obtener
o
un valor distinto al obtenido anteriormente. Posteriormente calculamos el
polinomio que cumple las condiciones exigidas a p(x).
Nota: La determinaci´n del polinomio p(x) que cumple las condiciones dadas, es inmedi-
o
ata a partir del polinomio de Taylor –o de Mac Laurin– (Teorema 3.7 de la p´g 186)
a
p (0) 2 p (0) 3
p(x) = p(0) + p (0)x + x + x ···
2 3!
y + ex − 1
Ejemplo 2.41. ¿Es cierto que l´
ım = 1 ?. Responde justi-
(x,y)→(0,0) y+x
ficando la respuesta
Soluci´n. Si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante rectas y = mx obte-
o
nemos que el l´
ımite, de existir, deber´ de valer 1. Pero esto no nos permite
ıa

151. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 143
afirmar que dicho l´ ımite exista.
y + ex − 1 0 mx + ex − 1 0
l´
ım = [ ] = l´ım =[ ]=
(x,y)→(0,0) y+x 0 x→0 mx + x 0
y al ser de una variable podemos aplicar L’Hˆpital, con lo cual
o
m + ex m+1
= l´
ım = = 1 para m = −1
x→0 m + 1 m+1
Sin embargo, si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante la par´bolaa
y = x2 − x resulta que el l´ımite, de existir, deber´ de valer 3/2, en efecto
ıa
y + ex − 1 x2 − x + ex − 1 x2 − x + ex − 1 0
l´
ım = l´
ım 2−x+x
= l´ım 2
=[ ]=
(x,y)→(0,0) y+x x→0 x x→0 x 0
y al ser de una variable podemos aplicar L’Hˆpital, de donde
o
2x − 1 + ex 0 2 + ex 3
= l´
ım = [ ] = l´
ım =
x→0 2x 0 x→0 2 2
Con lo cual podemos afirmar que el l´
ımite propuesto no existe.
Hemos utilizado la par´bola y = x2 − x y no otra, por la siguiente raz´n.
a o
Supongamos que nos acercamos al punto (0, 0) mediante la curva y = g(x),
y que aplicamos sucesivamente L’Hˆpital, y queremos que resulte
o
g(x) + ex − 1 0 g (x) + ex 0 g (x) + ex
= l´
ım = [ ] = l´
ım = [ ] = l´
ım =1
x→0 g(x) + x 0 x→0 g (x) + 1 0 x→0 g (x)
Para ello tendr´ que ser
a
g(0) = 0, g (0) = −1, g (0) = 0
que se consigue con
g (x) = 2 → g (x) = 2x − 1 → g(x) = x2 − x
Nota: La determinaci´n del polinomio p(x) que cumple las condiciones dadas, es inmedi-
o
ata a partir del polinomio de Taylor en el origen (Teorema 3.6 de la p´g 185)
a
p (0) 2
p(x) = p(0) + p (0)x + x
2
de donde, para p (0) = 2 resulta
p(x) = 0 − x + x2 = x2 − x
Ejemplo 2.42. Calcular, si existe, el valor del siguiente l´mite:
ı
y + sen x
l´
ım
(x,y)→(0,0) y + x
Soluci´n. Si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante rectas y = mx obte-
o
nemos que el l´
ımite, de existir, deber´ de valer 1. Pero esto no nos permite
ıa
afirmar que dicho l´ımite exista.

152. 144 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
y + sen x ä 0 ç mx + sen x ä 0 ç
l´
ım = = l´
ım = =
(x,y)→(0,0) y + x 0 x→0 mx + x 0
y al ser de una variable podemos aplicar L’Hˆpital, con lo cual
o
m + cos x m+1
= l´
ım = = 1 para m = −1
x→0 m + 1 m+1
sin embargo, si nos aproximamos al punto (0, 0) mediante la c´bica y = x3 −x
u
resulta que el l´
ımite, de existir, deber´ de valer 5/6
ıa
y + sen x x3 − x + sen x x3 − x + sen x ä 0 ç
l´
ım = l´ım = l´ım = =
(x,y)→(0,0) y + x x→0 x3 − x + x x→0 x3 0
y al ser de una variable podemos aplicar L’Hˆpital, con lo cual
o
3x2 − 1 + cos x ä 0 ç 6x − sen x ä 0 ç 6 − cos x 5
= l´
ım 2
= = l´
ım = = l´
ım = =1
x→0 3x 0 x→0 6x 0 x→0 6 6
Con lo cual podemos afirmar que el l´
ımite propuesto no existe.
Hemos utilizado la c´bica y = x3 − x y no otra funci´n, por la siguiente
u o
raz´n. Supongamos que nos acercamos al punto (0, 0) mediante la curva
o
y = p(x), y que aplicamos sucesivamente L’Hˆpital, y queremos que resulte
o
y + sen x p(x) + sen x ä 0 ç p (x) + cos x ä 0 ç
l´
ım = l´ım = = l´
ım = =
(x,y)→(0,0) y + x x→0 p(x) + x 0 x→0 p (x) + 1 0
p (x) − sen x ä 0 ç p (x) − cos x
= l´
ım = = l´
ım =1
x→0 p (x) 0 x→0 p (x)
Para ello tendr´ que ser
a
p (0) = 0, p (0) = 0, p (0) = −1, p(0) = 0
que se consigue con
a 2 a
p (x) = a → p (x) = ax → p (x) =x − 1 → p(x) = x3 − x
2 6
L´
ımites parciales iterados (o reiterados).
Se pueden calcular los siguientes l´
ımites:
ä ç
l´
ım l´ f (x, y)
ım
y→y
x→x0 0
x=x0
ä ç
l´
ım l´ f (x, y)
ım
x→x0
y→y0
y=y0
Figura 2.40: L´
ımites iterados
Si estos dos l´
ımites son distintos, entonces la funci´n no tiene l´
o ımite, pero si
son iguales o alguno de ellos no existe, entonces no se puede asegurar nada
sobre el l´
ımite doble.

153. 2.2. L´
IMITE Y CONTINUIDAD 145
Ejemplo 2.43. Demostrar que el siguiente l´mite no existe.
ı
x2 − y 2
l´
ım
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
Soluci´n.
o
ä x2 − y 2 ç ä x2 − 0 ç äç
l´
ım l´
ım
y→y 2 + y2
= l´
ım 2+0
= l´
ım 1 = 1
x→x0 0 x x→x0 x x→x0
x=x0
ä x2 − y 2 ç ä 0 − y2 ç ä ç
l´
ım l´
ım = l´
ım ım − 1 = −1
= l´
y→y0 x→x 0 x2 + y 2 y→y0 0 + y 2 x→x0
y=y0
Luego el l´
ımite doble no existe.
Ejemplo 2.44. Demostrar que el siguiente l´mite existe, y sin embargo no
ı
existen ninguno de los iterados.
1 1
l´
ım (x sen + y sen )
(x,y)→(0,0) y x
Soluci´n. El l´
o ımite doble existe.
1 1
ım (x sen + y sen ) = 0 · Ac + 0 · Ac = 0 + 0 = 0
l´
(x,y)→(0,0) y x
Mientras que los iterados no existen, en efeco
ä 1 1 ç ä ç
ım y→y (x sen + y sen ) = l´
l´ l´
ım ım No definido + 0 = No definido
x→x0 0 y x x→x0
ä 1 ç ä ç
x=x0
1
l´
ım l´ (x sen
ım
x→x
+ y sen ) = l´
ım 0 + No definido = No definido
y→y0 0 y x x→x0
y=y0
2.2.10. L´
ımites en el infinito
Se trata de ver el comportamiento de la funci´n en el contorno de una
o
circunferencia de radio infinito.
Ejemplo 2.45. Calcular los siguientes l´mites.
ı
1
2. x→∞ e−(x
2 +y 2 )
1. x→∞
l´
ım l´
ım
y→∞ x2 + y2 y→∞
Soluci´n.
o
1 1
1. l´
ım = =0
y→∞
x→∞ x2 +y 2 ∞
1 1 1
l´ e−(x
2 +y 2 )
2. ım = x→∞
l´
ım = ∞
= =0
y→∞
x→∞
y→∞ e(x2 +y2 ) e ∞
Ejemplo 2.46. Representa la funci´n: f (x, y) = e−(x
2 +y 2 )
o

154. 146 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
Soluci´n. El dominio de la funci´n es todo R2 .
o o
Para representar le funci´n sustituimos f (x, y) por z, con lo que tenemos:
o
z = e−(x
2 +y 2 )
Veamos los cortes de dicha superficie con los planos coordenados:
- corte con el plano x = 0 z = e−y
2
- corte con el plano y = 0 z = e−x
2
Para hallar las curvas de nivel suponemos que z es una constante
e−(x
2 +y 2 )
=z de donde − (x2 + y 2 ) = ln z ⇒ x2 + y 2 = − ln z
Damos varios valores a z para ir viendo las curvas de contorno a distintas
alturas:
para el nivel z = 1 ⇒ x2 + y 2 = 0 ⇒ el punto (0,0)
para niveles 0 z 1 ⇒ − ln z es positivo, luego se trata de circunferen-
√
cias de radio − ln z
Y teniendo en cuenta que el l´
ımite en el infinito es cero, resulta la siguiente
gr´fica:
a
Figura 2.41: f (x, y) = e−(x
2 +y 2 )
Las definiciones de l´ımite y continuidad pueden extenderse a funciones
de tres variables considerando puntos (x, y, z) dentro de la esfera abierta
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 δ 2
de radio δ y centro (x0 , y0 , z0 ).
De la misma forma, pueden extenderse, de manera natural, a funciones
de m´s de tres variables.
a
2.3. Problemas propuestos del Cap´
ıtulo 2
Ejercicios propuestos del Cap´
ıtulo 2
Soluciones en la p´gina ??
a

155. 2.3. PROBLEMAS PROPUESTOS DEL CAP´
ITULO 2 147
2.1. Descr´
ıbase el dominio de los siguientes campos escalares:
Ô x+y
a) f (x, y) = 4 − x2 − y 2 b) f (x, y) =
x−y
y
c) f (x, y) = arc cos d) f (x, y) = ln (4 − x2 − 4y 2 )
xy x
e) f (x, y) = f) f (x, y) = ln (4 − x − y)
x−y
g) f (x, y) = x2 + y 2 h) f (x, y) = ex/y
i) f (x, y) = ln (4 − xy)
2.2. Consideremos las siguientes funciones:
f (x, y, z) = x2 + y 2 − z ψ(x) = cos x
g(x, y, z) = x2 − y 2 + z ϕ(x) = sen x
Expresa, en la forma m´s simplificada posible:
a
a) (f + g)(x, y, z) b) f (ψ(x), ϕ(x), 1)
c) g(f (x, y, z), g(x, y, z), 4x2 z) d) ψ(f (x, y, z))
f (x, y, z) + g(x, y, z)
e) g(ψ(x), ϕ(x), 0) f)
2
2.3. Descr´
ıbase la gr´fica de las siguientes funciones:
a
a) f (x, y) = kÔ Ô
b) g(x, y) = ax + by + c
Ô
c) h(x, y) = x2 + y 2 d) l(x, y) = r2 − x2 − y 2
e) m(x, y) = r2 − ax2 − by 2 f) n(x, y) = y 2 − x2
2.4. Describir las curvas f (x, y) = k o superficies de nivel f (x, y, z) = k, para los
siguientes campos f y los valores de k que se indican:
Ô
a) f (x, y) = 25 − x2 − y 2 k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
b) f (x, y) = x2 + y 2 k = 0, 2, 4, 6, 8
c) f (x, y) = xy k = ±1, ±2, · · · , ±6
d) f (x, y) = 6 − 2x − 3y k = 0, 2, 4, 6, 8, 10
e) f (x, y, z) = 4x + y + 2z k =4
f) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 k =9
g) f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 k =1
h) f (x, y, z) = 4x2 + 4y 2 − z 2 k =0

156. 148 CAP´
ITULO 2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: L´
IMITES
2.5. H´llense, si existen, los siguientes l´
a ımites:
1 1 1
a) l´
ım ln |1 + x2 y 2 | b) l´
ım + +
(x,y)→(1,1) (x,y,z)→(1,2,6) x y z
x
c) l´ım √ d) l´
ım sec x tg y
(x,y)→(0,4) y (x,y)→(0,π/2)
x2 + y 2 xy + y − 2x − 2
e) l´ım cos f) l´
ım
(x,y)→(0,0) x+y+1 (x,y)→(−2,2) x+1
x sen y cos x − 1 y−2
g) l´
ım h) l´ım
(x,y)→(1,0) x2 + 1 (x,y)→(0,2) x2 y2 − 4
x3 y 3 − 1 x−y
i) l´ım j) l´ım
(x,y)→(1,1) xy − 1 (x,y)→(0,0) x + y
k) l´
ım Ô x
l) l´ım
xy
(x,y)→(0,0) |xy|
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
xy xy 3
m) l´
ım n) l´ım
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 6
o) l´
ım Ôx3
p) l´ım Ô x2 + y 2
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 + 1 − 1
x3 sen (y 2 − 4) exy − 1
q) l´
ım r) l´ım
(x,y)→(0,0) (y + 2) sen x (x,y)→(0,0) sen x ln (1 + y)
s) l´ım
y sen (xy)
(x,y)→(0,0) 1 − ex +y
2 2 t) l´ım
(x,y)→(0,0) tg y ·
Ô
ln (1 + yx2 )
1 − cos (x2 + y 2 )
2.6. Est´diese la continuidad de las siguientes funciones, prolong´ndolas por continui-
u a
dad, si es posible, a puntos que no sean de su dominio.
1 2x + y 2 x3 + ln y
a) x sen b) c)
x2 + y 2 x2 + y 2 (y − 1)3 + x6
1 x2 + y 2 x3 + ln (y + 1)
d) sen xy e) f)
x ln (1 − x2 − y 2 ) y 3 + x6
2.7. Estudiese la continuidad de las siguientes funciones:
´ x−y
x2 + y 2 si (x, y) = (1, −3) si (x, y) = (0, 0)
a) b) x+y
10 si (x, y) = (1, −3)
´x
0 si (x, y) = (0, 0)
Ô x3 − 4y 3
3
si (x, y) = (0, 0) si (x, y) = (0, 0)
c) x2 + y 2 d) x2 − 4y 2
28 si (x, y) = (0, 0) 0 si (x, y) = (0, 0)
xy
si (x, y) = (0, 0)
e) 4x2 + 5y 2
´ 0 si (x, y) = (0, 0)
x3 sen (y 2 − 4)
si (x, y) = (0, −2)
f) (y + 2) sen x
0 si (x, y) = (0, −2)
Problemas resueltos del Cap´
ıtulo 2
2.1.
Soluci´n.
o
Problemas propuestos del Cap´
ıtulo 2
Soluciones en la p´gina 390
a
2.1.

157. Cap´
ıtulo 3
Derivada de Funciones
de una variable
3.1. Derivada y continuidad. Recta tangente y rec-
ta normal
3.1.1. Idea intuitiva de recta tangente.
Todo el mundo tiene una idea clara de lo que es la recta tangente a una
circunferencia en uno de sus puntos, pero si tratamos de generalizar esa idea
a otras curvas nos encontramos con cuestiones que esa idea no resuelve.
- ¿Puede la recta tangente cortar a la curva en m´s de un punto?.
a
- ¿Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia?.
y ¨ y y
T
'$ ¨¨ T
T
¨ ¨
¨¨¨
%
Ex Ex Ex
Figura 3.1: Idea intuitiva de recta tangente
Una primera aproximaci´n al concepto nos permite enunciar la siguiente
o
definici´n:
o
Definici´n 3.1. Se llama tangente a una curva en un punto P a la recta
o
que pasa por P con la misma direcci´n que la curva.
o
Podemos insistir un poco m´s en el concepto se˜alando que la recta
a n
tangente es una recta que toca a la curva en un punto, pero que, adem´s,
a
la curva se aplana en las proximidades del punto de tangencia, tratando de
149

158. 150 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
confundirse, por un instante, con la propia recta. Este aplanamiento en los
alrededores del punto de tangencia es lo que hace que la curva sea suave y que
se aproxime a la recta tangente en los alrededores del punto de tangencia, y
esto es lo que realmente caracteriza la recta tangente.
y T y = f (x)
Q
f (x0 + h) r(h) ¨ Recta tangente a la gr´fica
a
¨
¨ ¨ de y = f (x) en x = x0
¨¨
P ¨¨
f (x0 ) ¨¨
¨¨ x
E
x0 x0 + h
Figura 3.2: Recta tangente a una funci´n.
o
El residuo r(h) es la distancia (vertical) entre la curva y la recta tangente,
y es lo que nos va a permitir determinar si una curva tiene o no recta tangente
en uno de sus puntos. En efecto, una primera observaci´n nos hace ver que
o
el residuo r(h) tiende a cero a medida que h tiende a cero. Sin embargo, este
hecho no es importante para la existencia de la recta tangente, pues el que
l´ h→0 r(h) = 0 lo unico que nos dice es que la funci´n es continua en P ,
ım ´ o
y seguir´ siendo cero cualquiera que fuera la recta que pase por P , aunque
ıa
no fuera la recta tangente, e incluso, aunque la funci´n no tuviera tangente.
o
Lo importante, cuando se estudia la recta tangente, es que el residuo r(h)
tiende a cero m´s r´pido de lo que lo hace h. Esto significa que:
a a
r(h)
l´
ım =0
h→0 h
Gr´ficamente, este l´
a ımite viene a significar el hecho de que la curva se “em-
barra” con la recta tangente en los alrededores del punto P . En otras pal-
abras, la curva tiene que ser “suave”en P , para que “se pueda ver localmente
como una recta”(su recta tangente).
3.1.2. Rectas tangentes no intuitivas
La tangente a una recta es la propia recta.
yT ¨
¨¨
¨ ¨
¨¨ x
¨¨ E
¨
Figura 3.3: La tangente a una recta es la propia recta

159. 3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL 151
En un punto de inflexi´n la tangente atraviesa la curva. Pudi´ndose
o e
distinguir tres tipos de puntos de inflexi´n: de tangente vertical, de tangente
o
horizontal y de tangente oblicua.
y y y
T T T
Ex Ex Ex
Figura 3.4: La tangente en un punto de inflexi´n.
o
En un punto anguloso, de desv´ brusco o de retroceso, la curva o bien
ıo
no tiene tangente o la tangente es vertical. La tangente no puede ser oblicua,
ya que este caso la correspondencia no ser´ funci´n.
ıa o
y y y y
T T T T
d
d
d d
d d
d d
d Ex Ex Ex Ex
No hay tangente Tangente vertical No hay tangente No es funci´n
o
Figura 3.5: En los puntos de retroceso o no hay tangente o la tangente es vertical.
En los puntos de discontinuidad no se define la recta tangente
y y
T T r
€€
€€
b b
Ex Ex
Figura 3.6: En los puntos de discontinuidad no se define la recta tangente.

160. 152 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
3.1.3. La pendiente de la recta tangente
y T y = f (x) El valor aproximado de la pendiente
de la recta tangente ser´
ıa:
Q
f (x)
f (x) − f (x0 )
tan α
¨
¨ f (x) − f (x0 ) x − x0
¨¨
P ¨¨ α Y su valor exacto:
f (x0 )
¨¨¨ x − x0
x
E f (x) − f (x0 )
tan α = l´
ım
x0 x x→x0 x − x0
Figura 3.7: Pendiente de la recta tangente.
3.1.4. Definici´n de derivada
o
Definici´n 3.2 (Derivada en un punto). Sea x0 un punto interior de
o
Df . Se llama derivada de la funci´n f en el punto x0 al siguiente l´
o ımite si
existe y es finito.
f (x) − f (x0 )
f (x0 ) = l´
ım
x→x0 x − x0
Observaciones:
Cuando dicho l´ ımite sea infinito se dice que la funci´n no es derivable, aunque
o
tiene derivada infinita. (gr´ficamente significa que la recta tangente en ese punto
a
es vertical).
Para que la derivada exista el punto x0 tiene que ser un punto interior del dominio,
es decir, la funci´n tiene que estar definida en un entorno del punto, con objeto de
o
que cuando x → 0 el valor f (x) que aparece en el numerador est´ definido.
e
No olvidar que la derivada es un l´ımite, aunque buscaremos reglas para calcular
derivadas sin tener que hacer dicho l´
ımite.
f (x) − f (x0 )
A la expresi´n
o , se le llama cociente incremental y se expresa de la
x − x0
forma:
f y f (x) − f (x0 )
= =
x x x − x0
Con lo cual la derivada no es m´s que el l´
a ımite del cociente incremental cuando el
incremento de x tiende a cero.
f (x0 )
f (x0 ) = l´
ım
x→0 x
3.1.5. Otra forma de la derivada
Tenemos que:
f (x) − f (x0 )
f (x0 ) = l´
ım
x→x0 x − x0

161. 3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL 153
Llamando h al incremento, ser´:
a
x − x0 = h → x = x0 + h
con lo cual resulta:
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 ) = l´
ım
h→0 h
y T
f (x0 + h)
f (x0 + h) − f (x0 )
¨¨
P ¨¨ α
¨ x−x
¨¨ 0
f (x0 )
h x
E
x0 ←− x = x0 + h
Figura 3.8: Derivada de una funci´n.
o
Ejemplo 3.1. Calcular, aplicando la definici´n en las dos formas, la deriva-
o
da de la funci´n f (x) = 3x
o 2 , en el punto x = 2.
Soluci´n.
o
f (x) − f (2) 3x2 − 12 3(x2 − 4)
f (2) = l´
ım = l´
ım = l´
ım =
x→2 x−2 x→2 x − 2 x→2 x−2
3(x + 2)(x − 2)
= l´
ım = 12
x→2 x−2
f (2 + h) − f (2) 3(2 + h)2 − 12
f (2) = l´
ım = l´ım =
h→0 h h→0 h
3(4 + 4h + h2 ) − 12 12 + 12h + 3h2 − 12
= l´ım = l´ım =
h→0 h h→0 h
= l´ (12 + 12h) = 12 + 0 = 12
ım
h→0
3.1.6. Derivadas laterales
Si el l´
ımite que define la derivada lo tomamos solamente por la derecha o
por la izquierda, obtenemos las derivadas laterales.
Definici´n 3.3. Se llaman derivada por la derecha y derivada por la izquier-
o
da, respectivamente, a los siguientes l´mites, si existen y son finitos:
ı
f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 +) = l´
ım = l´
ım
x→x0 + x − x0 h→0+ h

162. 154 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 −) = l´
ım = l´
ım
x→x0 − x − x0 h→0− h
Para que se pueda definir la derivada por la derecha en el punto x0 , la
funci´n tiene que estar definida, al menos, en un intervalos del tipo [x0 , b),
o
y para que exista la derivada por la izquierda, la funci´n tiene que estar
o
definida, al menos, en un intervalo del tipo (a, x0 ].
Para que la funci´n sea derivable las dos derivadas laterales tienen que
o
coincidir.
Teorema 3.1 (Coincidencia de las derivadas laterales). Una funci´n o
es derivable en un punto sii las derivadas laterales coinciden en dicho punto.
Ejemplo 3.2. Calcular las derivadas laterales de la funci´n valor absoluto,
o
en el origen de coordenadas.
Soluci´n. La funci´n es f (x) = |x|. Luego resulta,
o o
f (x) − f (0) |x| x
f (x0 +) = l´
ım = l´
ım = l´
ım =1
x→0+ x−0 x→0+ x x→0+ x
f (x) − f (0) |x| −x
f (x0 −) = l´ım = l´
ım = l´
ım = −1
x→0− x−0 x→0− x x→0− x
Luego la funci´n no es derivable en el origen.
o
d yT
d
d
d x
E
Figura 3.9: f (x) = |x|
3.1.7. Derivada y continuidad
Teorema 3.2 (Derivabilidad implica continuidad). Si una funci´n es
o
derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.
Demostraci´n. En efecto, tenemos que:
o
f (x) − f (x0 )
f es derivable en x0 ⇐⇒ ∃ l´
ım y es finito.
x→x0 x − x0
f es continua en x0 ⇐⇒ l´ f (x) = f (x0 ) ⇐⇒ l´ f (x) − f (x0 ) = 0
ım ım
x→x0 x→x0
Con lo cual, resulta:
f derivable en x0 =⇒
f (x) − f (x0 )
l´ f (x) − f (x0 ) = l´
ım ım (x − x0 ) = f (x0 ) · 0 = 0
x→x0 x→x0 x − x0
=⇒ f es continua en x0

163. 3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL 155
Sin embargo, existen funciones que son continuas pero que no son deri-
vables.
Ejemplo 3.3. Comprobar que la funci´n f (x) = |x2 − 4| es continua en el
o
punto x = 2, pero no es derivable en dicho punto. Comprobar el resultado
gr´ficamente. ¿En qu´ otro punto tampoco ser´ derivable?.
a e a
Soluci´n.
o
a) f es continua en x = 2
l´ f (x) = l´ |x2 − 4| = |0| = 0 = f (0)
ım ım
y x→2 x→2
T
b) f no es derivable en x = 2
f (x) − f (2) |x2 − 4|
f (2) = l´
ım = l´
ım =
x→2 x−2 x→2 x − 2
Ex
−2 2 |x2 − 4| (x + 2)(x − 2)
l´
ım = l´ım =4
x→2+ x − 2 x→2+ x−2
Figura 3.10: f (x) = |x − 4|
2 =
|x2 − 4| −(x + 2)(x − 2)
l´
ım = l´
ım = −4
x→2− x − 2 x→2− x−2
Luego la funci´n no es derivable en x = 2.
o
√
Ejemplo 3.4. Comprobar que la funci´n f (x) = 3 x es continua en el
o
punto x = 0, pero no es derivable en ese punto. Comprueba el resultado
gr´ficamente.
a
Soluci´n.
o
a) f es continua en x = 0
√
l´ f (x) = l´ 3 x = 0 = f (0)
ım ım
x→0 x→0
b) f no es derivable en x = 0 √ Ö
f (x) − f (0) 3
x−0 3
x 3 1
f (0) = l´
ım = l´
ım = l´
ım = l´
ım = +∞
x→0 x−0 x→0 x x→0 x2 x→0 x2
Luego la funci´n no es derivable en x = 0.
o
y
T
Ex
√
3
Figura 3.11: Gr´fica de la funci´n f (x) =
a o x. No es derivable en el origen

164. 156 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
3.1.8. Significado gr´fico de la derivada: Suavidad.
a
Una funci´n es continua en un punto , si su gr´fica atraviesa dicho punto.
o a
Una funci´n es derivable en un punto si su gr´fica lo atraviesa con suavi-
o a
dad.
q€
€
Continuas a Una funci´n no es derivable:
o
En los puntos angulosos.
Derivables En los puntos de tangente vertical.
En los puntos de discontinuidad.
Discontinuas
Figura 3.12: Funciones
Ejemplo 3.5. Est´diese cu´l de las tres funciones siguientes atraviesa el
u a
origen con m´s suavidad.
a
1 1 1
sen si x = 0 x sen si x = 0 x2 sen si x = 0
f (x) = x g(x) = x h(x) = x
0 si x = 0 0 si x = 0 0 si x = 0
Soluci´n. La funci´n f no es continua en 0, por lo tanto no lo atraviesa.
o o
La funci´n g es continua en 0, pero no es derivable 0, luego lo atraviesa,
o
pero sin suavidad.
La funci´n h es continua y derivable en el origen, luego lo atraviesa con
o
suavidad.
Figura 3.13: La derivabilidad de la funci´n muestra la suavidad de la curva
o
3.1.9. La ecuaci´n de la recta tangente
o
La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la funci´n, con
o
lo cual:

165. 3.1. DERIVADA Y CONTINUIDAD. TANGENTE Y NORMAL 157
y T
f (x) Tenemos que:
¨
¨¨ tan α = f (x0 )
¨ y
P ¨¨ α
¨ y − f (x0 )
= f (x0 )
¨ x−x y − f (x0 ) x − x0
¨¨ 0 tan α =
f (x0 ) x − x0
x
E de donde resulta la siguiente ecuaci´n:
o
x0 x
y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 )
Figura 3.14: Recta tangente.
Luego, la ecuaci´n de la recta tangente es:
o
y = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) (3.1)
√
Ejemplo 3.6. Hallar la ecuaci´n de la recta tangente a la curva y =
o x
en el punto x = 1. Comprobar el resultado gr´ficamente.
a
Soluci´n.
o
√
Tenemos que: f (x) = x ⇒ f (1) = 1, y
y T
¨
¨¨ 1
f (x) = √ ⇒ f (1) =
1
¨¨ 2 x 2
¨ x
E
¨¨
de donde, la ecuaci´n de la recta tangente es
o
√ 1 x+1
Figura 3.15: y = x y − 1 = (x − 1) o bien, y =
2 2
Ejemplo 3.7. Demostrar que la recta y = −x es tangente a la curva dada
por la ecuaci´n:
o
y = x3 − 6x2 + 8x
Hallar el punto de tangencia.
Soluci´n. La pendiente de la recta tangente ha de ser y = −1. Como
o
y = 3x2 − 12x + 8, resulta, 3x2 − 12x + 8 = −1, de donde, 3x2 − 12x + 9 = 0,
con lo que, simplificando, resulta:
√
4 ± 16 − 12 4±2 3 ⇒ y = −3 ⇒ P (3, 3)
x − 4x + 3 = 0 ⇒ x =
2
= =
2 2 1 ⇒ y = 3 ⇒ Q(1, 3)
Comprobamos las posibles soluciones:
P (3, 3) ⇒ y + 3 = −(x − 3) ⇒ y + 3 = −x + 3 ⇒ y = −x
Q(1, 3) ⇒ y − 3 = −(x − 1) ⇒ y − 3 = −x + 1 ⇒ y = −x + 4 No
Las dos soluciones de la ecuaci´n obedecen a que la curva tiene dos rectas
o
tangentes con la misma pendiente y = −1, una en el punto P (3, 3) y otra
en el punto Q(1, 3).

166. 158 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
3.1.10. La ecuaci´n de la recta normal
o
Ejemplo 3.8. Hallar, gr´ficamente, un vector perpendicular al vector v =
a
(2, 3) e indicar la relaci´n que existe entre sus componentes y sus pendientes.
o
Soluci´n.
o
Tenemos que:
y T
0
v v = (2, 3) Las componentes se cambian de
k
 vp
 vp = (−3, 2) orden y una de ellas de signo.

 x
 E y para las pendientes:
m = 3/2 −1 La inversa
m =
Figura 3.16: m = −2/3 m cambiada de signo.
Proposici´n 3.1. Dos rectas perpendiculares tienen pendientes inversas y
o
cambiadas de signo.
Definici´n 3.4 (Recta normal). Se llama recta normal a una curva, en
o
un punto de la misma, a la perpendicular a la recta tangente en dicho punto.
La pendiente de la recta tangente coincide con la derivada de la funci´n,
o
y la de la recta normal con su inversa cambiada de signo, con lo cual resulta
lo siguiente:
y T
Ecuaci´n de la recta tangente:
o
f (x)
¨¨
e ¨¨ y y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 )
e ¨
P e¨¨ α
¨
¨¨ e x − x0 Ecuaci´n de la recta normal:
o
f (x0 ) ee
x
E
x0 x −1
y − f (x0 ) = (x − x0 )
f (x0 )
Figura 3.17: Recta normal.
3.1.11. Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente
vertical
Cuando la derivada se hace cero en un punto, entonces la tangente es
una recta horizontal y = y0 , y la recta normal es la recta vertical que pasa
por el punto x = x0 .
Cuando la derivada se hace infinita en un punto, entonces la tangente es
la recta vertical que pasa por el punto x = x0 , y la recta normal es la recta
horizontal que pasa por el punto y = y0 .

167. ´ ´
3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 159
√
3
Ejemplo 3.9. Hallar las rectas tangente y normal a la curva y = x en el
origen de coordenadas
1 1
Soluci´n. Tenemos y = x1/3 , y su derivada y = x−2/3 = √ , de donde,
o 3
3 3 x2
y
T f (0) = +∞, con lo cual:
Ex Ecuaci´n de la recta tangente: x = 0
o
Ecuaci´n de la recta normal: y = 0
o
√
3
Figura 3.18: f (x) = x.
3.2. Funci´n derivada. reglas de derivaci´n.
o o
3.2.1. Funci´n derivada
o
Dada una funci´n y = f (x), si hallamos su derivada en cada uno de los
o
puntos en los que sea derivable se obtiene una nueva funci´n llamada funci´n
o o
derivada de la anterior.
x f (x) x f (x)
x0 f (x0 ) x0 f (x0 )
x1 f (x1 ) x1 f (x1 )
.
. .
. .
. .
.
. . . .
y = f (x) y = f (x)
Para hallar la f´rmula de la funci´n derivada basta con aplicar la definici´n
o o o
de derivada en un punto gen´rico:
e
f (x + h) − f (x) f f dy
f (x) = l´
ım f (x) = l´
ım y = l´
ım =
h→0 h x→0 x x→0 x dx
Ejemplo 3.10. Hallar, aplicando la definici´n, la derivada de la funci´n:
o o
f (x) = x2
Soluci´n. Podemos aplicar la definici´n de derivada en cualquiera de sus dos
o o
formas:
f (x) − f (c) x2 − c2 (x + c)(x − c)
f (c) = l´
ım = l´
ım = l´
ım = 2c ⇒
x→c x−c x→c x − c x→c x−c
⇒ f (c) = 2c ⇒ f (x) = 2x
f (x + h) − f (x) (x + h)2 − x2
f (x) = l´
ım = l´
ım =
h→0 h h→0 h
x2 + 2hx + h2 − x2
= l´
ım = l´ (2x + h) = 2x
ım
h→0 h h→0

168. 160 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Ejemplo 3.11. Hallar, aplicando la definici´n, la derivada de la funci´n:
o o
√
f (x) = x
Soluci´n. Podemos aplicar la definici´n de derivada en cualquiera de sus dos
o o
formas:
√ √ √ √ √ √
f (x) − f (c) x− c ( x − c)( x + c)
f (c) = l´
ım = l´
ım = l´ım √ √ =
x→c x−c x→c x−c x→c (x − c)( x + c)
x−c 1 1 1
= l´
ım √ √ = l´ √
ım √ = √ ⇒ f (c) = √
x→c (x − c)( x + c) x→c x + c 2 c 2 x
√ √
f (x + h) − f (x) x+h− x
f (x) = l´
ım = l´
ım =
h→0 h h→0 h
√ √ √ √
( x + h − x)( x + h + x) x+h−x
= l´
ım √ √ = l´ım √ √ =
h→0 h( x + h + x) h→0 h( x + h + x)
1 1
= l´ √
ım √ = √
h→0 x+h+ x 2 x
3.2.2. Reglas de derivaci´n.
o
Derivada y operaciones:
funci´n
o derivada
rf rf
f +g f +g
f ·g f g + fg
1 −g
g g2
f f g − fg
g g2
Derivada de la funci´n compuesta. Regla de la cadena:
o
ä ç ä ç
h(x) = g f (x) =⇒ h (x) = g f (x) · f (x)
que se puede expresar de la forma:
dh dg df dz dz dy
= =⇒ =
dx df dx dx dy dx
Derivada de la funci´n rec´
o ıproca o inversa:
dx 1 1
y = f (x) =⇒ = =⇒ xy =
dy dy/dx yx

169. ´ ´
3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 161
Derivada de las funciones elementales:
funci´n
o derivada funci´n
o derivada
k 0 k 0
x 1 u u
xr rxr−1 ur rur−1 u
√ 1 √ u
x √ u √
2 x 2 u
√ 1 √ u
n
x √
n
n
u √
n
n xn−1 n un−1
1 u
ln x ln u
x u
1 1 u u
lgb x = lgb e lgb u = lg e
x ln b x u ln b u u b
ex ex eu e u
ax ax ln a au au u ln a
xx xx (ln x + 1) f
fg f g g ln f + g
f
sen x cos x sen u u cos u
cos x − sen x cos u −u sen u
1 u
tg x = sec2 x tg u = u sec2 u
cos2 x cos2 u
1 1
sec x = sec x tg x sec u = u sec u tg u
cos x cos u
1
csc x =
1
− csc x cot x csc u = −u csc u cot u
sen x sen u
−1 −u
cot x = − csc2 x cot u = −u csc2 u
sen2 x sen2 u
u
1 arc sen u √
arc sen x √ 1 − u2
1 − x2 −u
−1 arc cos u √
arc cos x √ 1 − u2
1 − x2 u
1 arc tg u
arc tg x 1 + u2
1 + x2 u
1 arc sec u √
arc sec x √ |u| u2 − 1
|x| x2 − 1 −u
−1 arc csc u √
arc csc x √ |u| u2 − 1
|x| x2 − 1 −u
−1 arc cotg u
1 + u2
arc cotg x
1 + x2
senh u u cosh u
senh x cosh x cosh u u senh u
cosh x senh x u
1 tgh u
tgh x cosh2 u
cosh2 x

170. 162 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Ejemplo 3.12. Derivar las siguientes funciones:
√ √ x
(a) y = x 2
(b) y = 2 (c) y = e3x (d) y = 23x+1 (e) y = x2 3−x
Soluci´n.
o
√ √
(a) y = 2 x 2−1
√ x √
(b) y = 2 ln 2
(c) y = 3e3x
(d) y = 3 · 23x+1 ln 2
(e) y = 2x3−x − x2 3−x ln 3 = (2x − x2 ln 3)3−x
Ejemplo 3.13. Derivar las siguientes funciones:
(a) y = (4x + 7x2 )10 (b) y = sen3 2x cos 3x (c) y = sen2 (x + sen x)2
Soluci´n.
o
(a) y = 10(4x3 + 7x2 )9 (12x2 + 14x)
(b) y = 3 sen2 2x · 2 cos 2x cos 3x − 3 sen3 2x sen 3x
(c) y = 2 sen(x + sen x)2 cos(x + sen x)2 · 2(x + sen x)(1 + cos x)
sen2 3x
Ejemplo 3.14. Derivar f (x) = ln
x3
Soluci´n. Aplicamos las propiedades de los logaritmos, antes de derivar, con
o
lo cual,
f (x) = 2 ln(sen3x) − 3 ln x
de donde,
3 cos 3x 3 3
f (x) = 2 − = 6 cot 3x −
sen 3x x x
3.2.3. Derivadas de funciones con un punto aparte
Supongamos una funci´n definida con un punto aparte
o
g(x) si x = a
f (x) =
k si x = a
se nos presenta la duda de cu´l ser´ el valor de f (a), es decir,
a a
g (x) si x = a
f (x) =
? si x = a

171. ´ ´
3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 163
Si la funci´n tiene, en la f´rmula, un punto aparte, la derivada en ese punto
o o
no tiene porqu´ ser cero, ya que la derivada depende de los valores que
e
tome la funci´n en los alrededores del punto. Adem´s, a cualquier funci´n
o a o
le podemos separar un punto de su f´rmula, sin que por ello se haga su
o
derivada cero en dicho punto. Por ejemplo,
x2 si x = 3 2x si x = 3
f (x) = x2 = ⇒ f (x) = 2x =
9 si x = 3 6 si x = 3
o bien,
x si x = 2 1 si x=2
f (x) = x = ⇒ f (x) = 1 =
2 si x = 2 1 si x=2
Si la funci´n tiene un punto aparte, para derivarla, podemos seguir dos
o
caminos:
1. Aplicar la definici´n de derivada.
o
2. Comprobar si es continua, si no es continua no es derivable, y si es
continua podemos calcular la derivada en ese punto mediante el l´ımite,
en ese punto, de la derivada en los dem´s, en el cado de que exista. Si
a
el l´
ımite no existe habr´ que aplicar la definici´n.
a o
f (x) = l´ g (x)
ım
x→a
Es decir,
´
g(x) si x = a g (x) si x = a
f (x) = ⇒ f (x) =
k si x = a l´ g (x)
ım si x = a
x→a
Bien entendido que si dicho l´
ımite no existe entonces hay que aplicar la
definici´n.
o
Ejemplo 3.15. Hallar la derivada de la funci´n:
o
sen x
si x=0
f (x) = x
1 si x=0
Soluci´n. La derivada para x = 0 no tiene ning´n problema,
o u
sen x x cos x − sen x
g(x) = ⇒ g (x) =
x x2
Para hallar la derivada en el origen procedemos de la siguiente forma:
(a) Estudiamos la continuidad en el origen:
sen x
l´ f (x) = l´
ım ım = 1 = f (0) ⇒ f es continua en x=0
x→0 x→0 x

172. 164 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
(b) Calculamos la derivada en x = 0, aplicando la definici´n:
o
f (x) − f (0) sen x
−1 sen x − x ä 0 ç
f (0) = l´
ım ım x
= l´ = l´
ım = =
x→0 x−0 x→0 x x→0 x2 0
aplicando L’Hˆpital, dos veces, resulta,
o
cos x − 1 ä 0 ç − sen x
= l´
ım = = l´
ım =0
x→0 2x 0 x→0 2
con lo cual la funci´n derivada es:
o
x cos x − sen x
si x=0
f (x) = x2
0 si x=0
En este caso, la derivada en el punto x = 0 tambi´n se pod´ haber
e ıa
calculado a partir de la derivada en los puntos x = 0, en efecto,
x cos x − sen x ä 0 ç cos x − x sen x − cos x ä 0 ç
f (0) = l´
ım 2
= = l´
ım = =
x→0 x 0 x→0 2x 0
−x sen x − sen x
= l´
ım = l´ım =0
x→0 2x x→0 2
El hecho de que f (0) = 0, significa que la gr´fica tiene tangente horizon-
a
tal en el punto x = 0, si hubi´ramos inclinado la curva habr´
e ıamos obtenido
otro resultado.
sen x
Figura 3.19: gr´fica de f (x) =
a
x
3.2.4. Derivada de funciones definidas a trozos
Para derivar una funci´n definida a trozos
o
f (x) si x ≤ c
h(x) =
g(x) si x c
1. Se deriva la funci´n en cada uno de los intervalos abiertos en los que
o
est´ definida.
e
2. Se estudia la derivabilidad de la funci´n en los puntos de separaci´n y
o o
en los extremos de los intervalos cerrados, si los hubiera.

173. ´ ´
3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 165
Para hallar la derivabilidad en los puntos de separaci´n se estudia primero
o
si es continua, si no es continua no es derivable, y si es continua se calcula
la derivada, bien aplicando la definici´n de derivada, o lo que es m´s f´cil,
o a a
por sustituci´n directa por la derecha y por la izquierda (si obtenemos dos
o
valores iguales, esa es la derivada, y si obtenemos valores diferentes, entonces
la funci´n no es diferenciable).
o
ä ç
f (x) si x c o bien x ≤ c
h (x) =
g (x) si x c
Observaci´n 1: Si la funci´n es derivable ponemos x ≤ c y si no es derivable
o o
x c.
Observaci´n 2: No debe olvidarse comprobar previamente la continuidad,
o
ya que el hecho de que los valores laterales de la derivada sean iguales, por
s´ solo, no significa que la funci´n sea derivable, sino que la funci´n entra y
ı o o
sale con la misma pendiente en x = c, pero pudiera ser en puntos diferentes.
Ejemplo 3.16. Derivar la siguiente funci´n:
o
2x + 3 si x≤2
f (x) =
x2 − 2x si x2
Soluci´n. Primero hallamos la derivada en los intervalos abiertos
o
2 si x2
f (x) =
2x − 2 si x2
para ver si es derivable en x = 2, estudiamos previamente la continuidad:
f (2− ) = 7
no es continua ⇒ no es derivable
f (2+ ) = 0
Al no ser derivable en x = 2 no podemos poner x ≤ 2, sino x 2.
En este caso, el hecho de que f (2− ) = f (2+ ) no tiene ning´n valor.
u
Ejemplo 3.17. Derivar f (x) = x|x − 2|
Soluci´n. Eliminamos el valor absoluto de la f´rmula expres´ndola a trozos.
o o a
x2 − 2x si x≥2
f (x) = x|x − 2| =
−x2 + 2x si x2
Con lo cual la funci´n derivada es:
o
2x − 2 si x2
f (x) =
−2x + 2 si x2
Comprobamos la derivabilidad en el punto x = 2
f (2+ ) = 0 f (2+ ) = 2
es continua no es derivable
f (2− ) = 0 f (2− ) = −2

174. 166 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Ejemplo 3.18. Determinar los coeficientes a y b para que la funci´n
o
x2 + 1 si x ≥ 1
f (x) =
ax + b si x 1
sea derivable en el punto x = 1. Comprobar el resultado gr´ficamente.
a
2x si x ≥ 1
Soluci´n. La funci´n derivada ha de ser f (x) =
o o
a si x 1
para lo cual ha de cumplir:
f (1− ) = f (1+ ) ⇒ a + b = 2 a=2
f (1− ) = f (1+ ) ⇒ a = 2 b=0
y Luego:
T
r x2 + 1 si x ≥ 1 2x si x ≥ 1
¡ f (x) = f (x) =
¡ 2x si x 1 2 si x 1
¡ Ex
¡ La continuidad significa que los dos tramos de la cur-
¡ va est´n empalmados. La derivabilidad significa que el
a
¡
empalme se ha hecho con suavidad, es decir, con una
Figura 3.20: f tangente com´n.
u
3.2.5. Derivaci´n de funciones impl´
o ıcitas
Una funci´n es una relaci´n entre dos magnitudes. Cuando en la f´rmula
o o o
que las relaciona, una de las magnitudes viene despejada en funci´n de la
o
otra, entonces se dice que la funci´n viene definida de manera expl´
o ıcita
y = f (x)
Cuando ninguna de las dos magnitudes est´ despejada en funci´n de la otra,
a o
sino que las magnitudes est´n relacionadas mediante una ecuaci´n, se dice
a o
que la funci´n est´ definida de manera impl´
o a ıcita.
F (x, y) = 0
Las funciones definidas de manera impl´ ıcita se pueden derivar directamente,
sin necesidad de despejar una de las variables. Para ello basta con tener en
cuenta que la variable y es funci´n de la x y que, por tanto, cada vez que
o
la derivemos hay que multiplicarla por su derivada (se trata de derivar una
funci´n compuesta).
o
Pueden derivarse ecuaciones que no son funciones, pero que podr´ de-
ıan
scomponerse en varias funciones, sin necesidad de descomponerlas, la deriva-
da obtenida vale para todas las funciones.

175. ´ ´
3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 167
Ejemplo 3.19. Derivar la ecuaci´n:
o
x2 + y 2 = 4
Soluci´n. Una manera de hacerlo ser´ descomponiendola en dos funciones:
o ıa
√ −x −x
y1 = + 4 − x2 → y1 = √ =
x2 + y 2 = 4 → 4−x2 y1
√ −x −x
y2 = − 4 − x2 → y = −√ =
2
4−x 2 y2
Sin embargo, no es necesario despejar la funci´n, sino que podemos derivar
o
directamente en la ecuaci´n,
o
−x
x2 + y 2 = 4 → 2x + 2yy = 0 → y =
y
Observaci´n: Hay que evitar derivar funciones que no existen. Por ejemplo
o
la ecuaci´n x2 + y 2 = −2 no representa ning´n punto del plano y por tanto
o u
no tiene ning´n significado anal´
u ıtico. No obstante, al ser una expresi´n alge-
o
braica podr´ıamos aplicarle las reglas de derivaci´n y derivarla 2x + 2yy = 0,
o
y podr´ıamos pensar que y = −x/y, sin embargo, estas operaciones no tienen
ning´n sentido.
u
Ejemplo 3.20. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunfer-
encia:
(x − 2)2 + (y − 2)2 = 2
en los puntos en que x = 3. Comprobar el resultado gr´ficamente.
a
Soluci´n. Derivamos de manera impl´
o ıcita,
x−2
2(x − 2) + 2(y − 2)y = 0 → y =−
y−2
hallamos los puntos correspondientes a x = 3
3
x = 3 → 1+(y−2)2 = 2 → (y−2)2 = 1 → y−2 = ±1 → y = 2±1 =
1
Con lo cual, para x = 3 tenemos dos puntos de la circunferencia P (3, 1) y
Q(3, 3).
Hallamos la tangente en cada uno de ellos.
−1
P (3, 1) → y − 1 = (x − 3) → y − 1 = x − 3 → y = x − 2
−1
−1
Q(3, 3) → y − 3 = (x − 3) → y − 3 = −x + 3 → y = −x + 6
1

176. 168 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
y
T d
d
'$ dq
d
d
% d
q
x
E
Figura 3.21: Tangentes a (x − 2)2 + (y − 2)2 = 2
3.2.6. Derivaci´n logar´
o ıtmica
Dada una funci´n y = f (x), la derivaci´n logar´
o o ıtmica consiste en tomar ln
en los dos miembros de la igualdad y derivar, despu´s de simplificar.
e
La derivaci´n logar´
o ıtmica se aplica:
1. Para derivar funciones exponenciales
2. Para simplificar la derivaci´n de productos y cocientes.
o
Observaci´n: La derivaci´n logar´
o o ıtmica se puede aplicar incluso si la fun-
ci´n toma valores negativos.
o
Ejemplo 3.21. Derivar y = xtg x
Soluci´n. Tomando ln y derivando en ambos miembros resulta:
o
y 1 1
ln y = ln xtg x → ln y = tg x ln x → = 2x
ln x + tg x →
y cos x
ln x tg x ln x tg x
y =y 2x
+ = xtg x 2x
+
cos x cos x
Observaci´n: La derivaci´n logar´
o o ıtmica tambi´n se puede hacer aplicando
e
la identidad logar´
ıtmica y = eln y .
As´ en el ejemplo anterior tendr´
ı, ıamos:
tg x
y = xtg x = eln x = etg x ln x →
ln x tg x ln x tg x
y = etg x ln x 2x
+ = xtg x 2x
+
cos x cos x
x3 sen2 x
Ejemplo 3.22. Derivar y =
(x + 1)(x − 2)2
Soluci´n. Tomando ln en los dos miembros de la igualdad
o
x3 sen2 x
ln y = ln
(x + 1)(x − 2)2

177. ´ ´
3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 169
Aplicando las propiedades de los logaritmos resulta,
ln y = 3 ln x + 2 ln(sen x) − ln(x + 1) − 2 ln(x − 2)
Derivando
y 3 2 cos x 1 2
= + − −
y x sen x x+1 x−2
de donde, despejando y resulta:
x3 sen2 x 3 2 cos x 1 2
y = + − −
(x + 1)(x − 2)2 x sen x x+1 x−2
3.2.7. Derivadas de orden superior
A la derivada de una funci´n se le llama derivada primera; a la derivada de
o
la derivada primera, derivada segunda; y as´ sucesivamente.
ı
d d dy d2 y
y = (y ) = (y ) = = 2
dx dx dx dx
Ejemplo 3.23. Hallar la derivada tercera de la funci´n:
o
f (x) = x cos x
Soluci´n.
o
f (x) = cos x − x sen x
f (x) = − sen x − sen x − x cos x = −x cos x − 2 sen x
f (x) = − cos x + x sen x − 2 cos x = x sen x − 3 cos x
Ejemplo 3.24. Hallar, por inducci´n, una f´rmula para la derivada n-sima
o o
de la funci´n:
o
f (x) = ln x
Soluci´n.
o
1
f (x) = = x−1
x
f (x) = −x−2
f (x) = +2x−3
f iv (x) = −3 · 2x−4
Luego, podemos suponer que,
f (n) (x) = (−1)n−1 (n − 1)! x−n
Para que quede demostrado tenemos que probar que f (n+1) (x) sigue la mis-
ma regla. En efecto,
f (n+1) (x) = f (n) (x) = (−1)n−1 (n − 1)!(−n)x−n−1 = (−1)n n! x−(n+1)
con lo que queda demostrada la proposici´n.
o

178. 170 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
3.2.8. Aproximaci´n lineal y notaci´n diferencial
o o
Aproximaci´n lineal: Consiste en aproximar una funci´n, en los alrede-
o o
dores de un punto, mediante la recta tangente a la funci´n en ese punto. Es
o
decir, para calcular los valores de la funci´n en los puntos pr´ximos a uno
o o
conocido, en vez de sustituir las coordenadas de dichos puntos en la f´rmula
o
de la funci´n las sustituimos en la ecuaci´n de la recta tangente, y tomamos
o o
el valor obtenido como una aproximaci´n del buscado.
o
Equivale a aproximar el incremento por el diferencial.
f ≈ df
Teniendo en cuenta que:
f (x0 ) = f (x0 + x) − f (x0 )
df
tg α = f (x0 ) = → df = f (x0 ) x
x
Resulta:
f (x0 + x) ≈ f (x0 ) + f (x0 ) x
O bien:
f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 ) x
y T y = f (x)
Q
f (x)
¨
¨¨ f (x) − f (x0 )
P¨ α ¨¨
f (x0 ) ¨ x−x
¨¨ 0
x
E
x0 x
Figura 3.22: f ≈ df
Teorema 3.3 (Teorema de aproximaci´n lineal). Si la funci´n es deri-
o o
vable en el punto x, entonces la diferencial es una buena aproximaci´n del
o
incremento.
Es decir, la curva y la recta tangente est´n muy pegadas en los alrededores
a
del punto, y por lo tanto, el error en la funci´n es mucho menor que el error
o
en la x.

179. ´ ´
3.2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION. 171
En efecto:
f − df f − f (x) x f
l´
ım = l´
ım = l´
ım − f (x) = f (x) − f (x) = 0
x→0 x x→0 x x→0 x
Notaci´n diferencial. Cuando hablemos del diferencial de una funci´n,
o o
en vez de x usaremos dx, con lo cual resulta
x = dx dy
⇒ f (x) =
dy = f (x) x = f (x)dx dx
Ejemplo 3.25. Calcular el valor aproximado de arc tg 1 1
Soluci´n. Consideramos la funci´n
o o
1
f (x) = arc tg x, cuya derivada es f (x) =
1 + x2
Y teniendo en cuenta que:
f ≈ df ⇒ f (x) − f (x0 ) ≈ f (x0 ) x ⇒ f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 ) x
Tomando x = 1 1, x0 = 1 y x = 0 1, resulta:
1
arc tg x ≈ arc tg x0 + x
1 + x2
0
de donde,
1 π 1
arc tg 1 1 ≈ arc tg 1 +(0 1) = + 0 1 = 0 78 + 0 05 = 0 83
1 + 12 4 2
√
Ejemplo 3.26. Dada la funci´n y = 3 x
o
1. Hallar la ecuaci´n de la recta tangente en el punto x = 1
o
√
3
2. Utilizar la recta tangente para calcular el valor aproximado de 1 03
Soluci´n. La ecuaci´n de la recta tangente en el punto x = 1 viene dada
o o
por.
y − f (1) = f (1) x − 1
Teniendo en cuenta que
√
3
f (1) = 1=1
√ 1 1 −2 1
f (x) = x = x 3 ⇒ f (x) = x 3 = √
3
3
3 3 x2
Resulta la ecuaci´n de la recta tangente,
o
1
y = 1 + (x − 1)
3
Con lo cual el valor aproximado pedido es:
√ 1 0 03
1 03 ≈ 1 + (1 03 − 1) = 1 +
3
= 1 + 0 01 = 1 01
3 3

180. 172 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
3.3. L´
ımite de funciones
3.3.1. Infinit´simos equivalentes
e
Definici´n 3.5 (Infinit´simos). Una funci´n, f , se dice que es un infinit´simo en un
o e o e
punto x0 , si su l´
ımite en dicho punto es cero.
f infinit´simo en x0 ⇔ l´ f (x) = 0
e ım
x→x0
Definici´n 3.6 (Infinit´simos equivalentes). Dos infinit´simos, en un mismo punto,
o e e
se dice que son equivalentes, cuando el l´
ımite de su cociente es la unidad.
l´
ım
f (x)
=
¢ £
0
= 1 ⇔ f (x) ∼ g(x)
x→x0 g(x) 0
Teorema 3.4 (Sustituci´n de infinit´simos). Cuando, en un l´
o e ımite, un infinit´simo
e
est´ multiplicando o dividiendo se le puede sustituir por otro equivalente.
e
f (x)
Demostraci´n. Supongamos que, en x0 , es f (x) ∼ g(x), ser´ l´
o a ım = 1. Y supongamos
g(x)
x→x0
que nos encontramos con un l´
ımite en el que aparece f (x) multiplicando o dividiendo:
f (x)
l´ f (x)h(x) = l´
ım ım g(x)h(x) = l´ 1 · g(x)h(x) = l´ g(x)h(x)
ım ım
x→x0 x→x0 g(x) x→x0 x→x0
Es decir, hemos sustituido f (x) por g(x) y el nuevo l´
ımite puede resultar m´s f´cil que el
a a
anterior.
Proposici´n 3.2. Si un infinit´simo est´ sumando o restando, en general, no se le puede
o e a
sustituir por otro equivalente.
l´
ım
f (x) ± h(x)¡ = l´
ım
g(x) ± h(x)¡
x→x0 x→x0
Existen casos muy concretos en los que se pueden aplicar infinit´simos al caso de
e
sumas, como es el siguiente
Proposici´n 3.3. La suma de varios infinit´simos de distinto orden se puede reducir al
o e
de menor orden.
l´ (x2 + x3 + x6 ) = l´ x2
ım ım
x→0 x→0
3.3.2. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0
e a
Trigonom´tricos
e
sen z ∼ z arc sen z ∼ z
tg z ∼ z arc tg z ∼ z
z2
1 − cos z ∼
2
Exponenciales, logar´
ıtmicos, potencias y ra´
ıces
z ∼ ln(1 + z)
ez − 1 ∼ z
ln(1 + z) ∼ az − 1 ∼ z · ln a
(1 + z)r − 1 ∼ r z
√ z
n
1+z−1∼
n

181. 3.3. L´
IMITE DE FUNCIONES 173
Ejemplo 3.27. Calcular los siguientes l´
ımites:
2 sen2 x ex − 1 ln x
1. l´
ım 2. l´
ım 3. l´
ım
x→0 x2 (1
+ cos x) x→0 sen 2x x→1 1−x
4. l´ x 1 −
ım
1 x1 ¡ 5. l´ m
√
n
ım √
x−1
6. l´
ım
sen2 x + x3
x→∞ 5 x→1 x−1 x→0 1 − cos x
Soluci´n.
o
1. l´
ım
2 sen2 x
=
0 ¢ £
= l´
ım 2
2x2
= l´
ım
2 2
= =1
x→0 x2 (1 + cos x) 0 x→0 x (1 + cos x) x→0 1 + cos x 2
2. l´
ım
ex − 1
=
¢ £
0
= l´
ım
x
=
1
x→0 sen 2x 0 x→0 2x 2
3. l´
ım
ln x
=
0¢ £= l´
ım
ln(1 + x − 1)
= l´
ım
x−1
= l´ −
ım
1−x
= −1
x→1 1−x 0 x→1 1−x x→1 1 − x x→1 1−x
4. l´ x 1 −
ım
¡
1 x1 ¢
= ∞ · 0 = l´ −x
ım
£ 1 x1
−1 =
¡
x→∞ 5 x→∞ 5
= l´ −x
ım
1 1
ln
1 ¡
= − ln = −(ln 1 − ln 5) = −(0 − ln 5) = ln 5
¢ £
x→∞ x 5 5
√
ım √
5. l´ m
√n
x−1
=
0 ¢ £
= l´
ım
ln 1 + ( x − 1)
n
√ ¢ = l´ım
√
£
ln n x
√ =
x→1 x−1 0 x→1 ln 1 + ( m x − 1) x→1 ln m x
1
n
ln x m
= l´
ım 1
=
x→1
m
ln x n
6. l´
ım
sen2 x + x3
=
0¢ £
= l´
ım
sen2 x
= l´
ım 2
x2
=2
x→0 1 − cos x 0 x→0 1 − cos x x→0 x /2
3.3.3. Formas indeterminadas. Reglas de L’Hˆpital.
o
Formas indeterminadas
Las reglas de L’Hˆpital pretenden resolver los siete casos de indeterminaci´n
o o
del l´
ımite:
0 ∞
, , 0 · ∞, 1∞ , 00 , ∞0
0 ∞
Hay que hacer notar que las Reglas de L’Hˆpital s´lo se pueden aplicar
o o
0 ∞
directamente a los dos casos 0 y ∞ . Para resolver los cinco casos restantes
habr´ que transformarlos en uno de los dos tipos anteriores.
a
No son indeterminaciones las siguientes expresiones:

182. 174 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Ac
=0 0 · Ac = 0
∞
1
0+∞ = 0 0−∞ = =∞
0+∞
2 +∞ 3 +∞
=0 =∞
3 2
(0 d)+∞ = 0 (1 d)+∞ = ∞
2 −∞ 3 +∞ 3 −∞ 2 +∞
= =∞ = =0
3 2 2 3
(0 d)−∞ = +∞ (1 d)−∞ = 0
3+∞ = ∞ 3−∞ = 0
10 = 1 70 = 1
Los siguientes l´
ımites no est´n definidos (por oscilaci´n):
a o
l´ sen x
ım l´ cos x
ım l´ tg x
ım
x→+∞ x→+∞ x→+∞
1 1 1
l´ sen
ım l´ cos
ım l´ tg
ım
x→0 + x x→0 + x x→0 + x
sen x
l´
ım
x→+∞ 43
Reglas de L’Hˆpital
o
Las reglas de L’Hˆpital se pueden resumir en el siguiente esquema:
o
f (x) ä 0 ∞ ç f (x)
l´
ım = o
´ = l´
ım
g(x) 0 ∞ g (x)
Observaciones:
1. La Regla s´lo es aplicable mientras se mantiene la indeterminaci´n 0 ,
o o 0
o ∞ , por lo que antes de derivar siempre hay que comprobar.
∞
2. Si la indeterminaci´n se mantiene indefinidamente, entonces la regla
o
no es aplicable.
3. En cualquier momento se pueden hacer transformaciones algebraicas
o aplicar infinit´simos con objeto de simplificar las derivadas.
e
Formalmente una Regla de L’Hˆpital puede enunciarse de la siguiente ma-
o
nera.
Teorema 3.5 (Regla de L’Hˆpital). Si f y g son funciones continuas
o
en el intervalo [a, b) y derivables en el intervalo (a, b), con l´
ımite cero por
la derecha del punto a, y adem´s la derivada de la funci´n g no se anula en
a o

183. 3.3. L´
IMITE DE FUNCIONES 175
f (x)
ning´n punto del intervalo (a, b), entonces, si existe el l´
u ım tambi´n
e
x→a+ g (x)
f (x)
existe el l´
ım y adem´s ambos coinciden
a
x→a+ g(x)
Ejemplo 3.28. Calcula los siguientes l´mites
ı
ex − 1 ä 0 ç ex 1
1. l´
ım = = l´
ım =
x→0 sen 2x 0 x→0 2 cos 2x 2
1 − x + ln x ä 0 ç −1 + x1 ä0ç −x + 1
2. l´
ım = = l´
ım = = l´
ım =
x→1 1 + cos πx 0 x→1 −π sen πx 0 x→1 −πx sen πx
ä0ç −1 −1
= = l´
ım = 2
0 x→1 −π sen πx − π 2 x cos πx π
sen x ä0ç cos x 1
3. l´
ım 2
= = l´
ım = =1
x→0 x + x 0 x→0 1 + 2x 1
ex ä∞ç ex ä∞ç ex +∞
4. l´
ım = = l´
ım = = l´
ım = = +∞
x→∞ x2+x ∞ x→∞ 2x + 1 ∞ x→∞ 2 2
x3
1
ä∞ç 1 −3
x x
2
x3
1
5. l´
ım = = l´ 3 1 = l´
ım ım 2 = l´
ım = +∞
x→∞ ln x ∞ x→∞
x
x→∞
3x 3 x→∞ 3
Simplificaci´n del l´
o ımite. Siempre que sea posible, antes de abordar la
Regla de L’Hˆpital, es conveniente intentar simplificar el l´
o ımite con objeto
de que no se complique con la derivaci´n. Para ello se sacan fuera del l´
o ımite
los factores que tengan un valor num´rico.
e
Ejemplo 3.29. Calcular el siguiente l´mite
ı
(1 + cos x)(x3 − 3) sen x
l´
ım
x→0 (x2 − x) cos x
Soluci´n.
o
(1 + cos x)(x3 − 3) sen x ä 0 ç (1 + cos x)(x3 − 3) sen x
l´
ım = = l´
ım · l´
ım =
x→0 (x2 − x) cos x 0 x→0 cos x x→0 x2 − x
2(−3) cos x 1
= l´
ım = (−6)( ) = 6
1 x→0 2x − 1 −1
El primer l´
ımite lo hemos resuelto directamente por sustituci´n, y s´lo hemos
o o
aplicado L’Hˆpital en el segundo limite, lo que ha simplificado notablemente
o
los c´lculos.
a

184. 176 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Indeterminaciones del tipo 0 · ∞
Se transforman en una indeterminaci´n del tipo 0 , o ∞ , mediante opera-
o 0 ∞
ciones algebraicas,o bien, mediante las siguientes transformaciones
f (x) g(x)
f (x) · g(x) = f (x) · g(x) =
1/g(x) 1/f (x)
x−1
Ejemplo 3.30. Calcular: l´ x ln
ım
x→+∞ x+1
Soluci´n.
o
x−1
x−1 ä ç ln
x + 1 = ä0ç =
l´ x ln
ım = ∞ · 0 = l´
ım 1
x→+∞ x+1 x→+∞
x
0
x+1x+1−x+1 2
x − 1 (x + 1)2 (x − 1)(x + 1)
= l´
ım = l´
ım =
x→+∞ − x2
1 x→+∞ − x2
1
−2x2 ä∞ç −4x −4
= l´
ım = = l´
ım = = −2
x→+∞ x2 − 1 ∞ x→+∞ 2x 2
Indeterminaciones del tipo ∞ − ∞
Se transforman en una indeterminaci´n del tipo 0 , o ∞ , mediante opera-
o 0 ∞
ciones algebraicas, como puede ser: buscando un com´n denominador, mul-
u
tiplicando y dividiendo por el conjugado; o bien, mediante las siguientes
transformaciones:
B 1− B
A−B =A 1− = 1A
A A
1 1 1
− 1
A − B = AB − = B
1
A
B A AB
Ejemplo 3.31. Calcular los siguientes l´mites:
ı
1 1
1. l´
ım − 2. l´
ım x2 + 3x − x
x→+0 x sen x x→+∞
Soluci´n.
o
1 1 ä ç sen x − x ä 0 ç
1. l´
ım − = ∞ − ∞ = l´ ım = =
x→+0 x sen x x→+0 x sen x 0
sen x − x ä 0 ç cos x − 1 ä 0 ç − sen x
= l´
ım = = l´
ım = = l´ım =0
x→+0 x2 0 x→+0 2x 0 x→+0 2

185. 3.3. L´
IMITE DE FUNCIONES 177
√
ä ç x2 + 3x
2. l´
ım x2 + 3x − x = ∞ − ∞ = l´ x
ım −1 =
x→+∞ x→+∞ x
ä ç Ö ä0ç
3 1+ 3
−1
= ∞ · 0 = l´ x
ım 1+ −1 = l´
ım 1
x
= =
x→+∞ x x→+∞
x
0
−3
x2 · 2 1 + 3
x 3x2 3
= l´
ım = l´
ım =
x→+∞ − x2
1
1+ x→+∞ 2x2 3 2
x
Este l´
ımite tambi´n pod´ haberse resuelto multiplicando por el con-
e ıa
jugado, o bien, aplicando infinit´simos.
e
Indeterminaciones del tipo 00 , ∞0 , 1∞
∞
Se transforman en una indeterminaci´n del tipo 0 , o
o 0 ∞, tomando logaritmos
neperianos.
En efecto, llamando y al l´
ımite en cuesti´n:
o
y = l´ f (x)g(x)
ım
tomando ln en ambos miembros y operando, resulta,
ln y = ln l´ f (x)g(x) = l´ ln f (x)g(x) = l´ g(x) ln f (x)
ım ım ım
ımite del tipo 0 · ∞, y una vez resuelto, resulta:
Que es un l´
y = el´ g(x) ln f (x)
ım
El l´
ımite tambi´n puede resolverse aplicando directamente la identidad log-
e
ar´
ıtmica y = eln y .
g(x) g(x)
l´ f (x)g(x) = eln l´ f (x)
ım ım
= el´ ln f (x)
ım
= el´ g(x) ln f (x)
ım
El tercer caso 1∞ admite una forma simplificada de resoluci´n que elimina el
o
ln y puede facilitar la derivaci´n, en efecto, aplicando infinit´simos, resulta,
o e
l´ f (x)g(x) = el´ g(x) ln f (x) = el´ g(x) ln(1+f (x)−1) = el´ g(x)(f (x)−1)
ım ım ım ım
o bien, teniendo en cuenta la definici´n del n´mero e
o u
1
e = l´ (1 + z) z
ım
z→0
resulta,
ä ç
l´ f (x)g(x) = 1∞ = l´
ım ım(1 + f (x) − 1)g(x) =
1
g(x)[f (x)−1]
ım(1 + f (x) − 1) f (x)−1
= l´ = el´ g(x)[f (x)−1]
ım

186. 178 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Ejemplo 3.32. Calcular, por los dos m´todos, el siguiente l´
e ımite:
1
l´ (cos x) x2
ım
x→0
Soluci´n.
o
1 ä ç
1. l´ (cos x) x2 = 1∞
ım
x→0
1
Llamamos y al l´ ımite: y = l´ (cos x) x2 , tomamos ln y operamos,
ım
x→0
con lo que resulta,
1 ln cos x ä 0 ç − sen x
ln y = ln l´ (cos x) x2 = l´
ım ım = = l´
ım =
x→0 x→0 x2 0 x→0 2x cos x
−x −1
= l´ım =
x→0 2x cos x 2
de donde, el l´
ımite pedido es:
−1 1 1
y=e 2 = 1 =√
e
2 e
2. Por el otro m´todo ser´
e ıa:
1 ä ∞ ç l´ 12 (cos x − 1) l´ − sen x −1
ım ım
l´ (cos x) x2 = 1
ım = ex→0 x = ex→0 2x = e 2
x→0
Ejemplo 3.33. Calcular: l´ xtg x
ım
x→0+
ä ç
Soluci´n. l´ xtg x = 00
o ım
x→0+
ımite: y = l´ xtg x , tomando ln y operando, resulta,
Llamando y al l´ ım
x→0+
ä ç ln x ä∞ç
ln y = ln l´ xtg x = l´ tg x ln x = 0 · ∞ = l´
ım ım ım = =
x→0+ x→0+ x→0+ cot x ∞
1
x − sen2 x −x2
= l´
ım −1 == l´
ım = l´
ım = l´ x = 0
ım
x→0+
sen2 x
x→0+ x x→0+ x x→0+
de donde,
y = e0 = 1
Ejemplo 3.34. Calcular los siguientes l´mites:
ı
1 1 1
1. l´ (1 + 2x + 3x ) x
ım 2. l´ (1 + 2x + 3x ) x
ım 3. l´ (1 + 2x + 3x ) x
ım
x→0 x→+∞ x→−∞
Soluci´n.
o

187. 3.3. L´
IMITE DE FUNCIONES 179
1
x x 1
0 0 1 1 3 0+ = 3+∞ = +∞
1. l´ (1 + 2 + 3 ) = (1 + 2 + 3 ) = 3 =
ım x 0 0 1 1
x→0 3 0− = 3−∞ = +∞ = 0
3
luego el l´
ımite no existe.
1 ä ç
2. l´ (1 + 2x + 3x ) x = (1 + 2+∞ + 3+∞ )0 = ∞0
ım →
x→+∞
1
y = l´ (1 + 2x + 3x ) x
ım
x→+∞
1 ln(1 + 2x + 3x ) ä ∞ ç
ln y = l´ ln(1 + 2x + 3x ) x = l´
ım ım = =
x→+∞ x→+∞ x ∞
2x ln 2 + 3x ln 3
1 + 2x + 3x = l´ 2x ln 2 + 3x ln 3 ä ∞ ç
= l´ım ım = =
x→+∞ 1 x→+∞ 1 + 2x + 3x ∞
2x 3x
ln 2 + x ln 3 0 + ln 3
= l´ ım 3x 3 = l´ım = ln 3
x→+∞ 1 2 x 3 x x→+∞ 0 + 0 + 1
+ +
3x 3 3
luego,
ln y = ln 3 → y = 3
En este ejemplo no ha sido posible aplicar L’Hˆpital por segunda vez,
o
ya que con dicha regla no es posible “romper”la indeterminaci´n.
o
1
3. l´ (1 + 2x + 3x ) x = (1 + 0 + 0)0 = 10 = 1
ım
x→−∞
Ejemplo 3.35. Calcular:
πx
x tg
ım 2 −
l´ 2a
x→a a
Soluci´n.
o
x
1−
l´
ım a
πx
x tg ä ∞ ç x→a tg πx 1 − x
2a = 1
l´
ım x→a
cot
πx
ım 2 −
l´ =e 2a a =e 2a =
x→a a
−1
a
l´
ım
x→a π −1 2a sen2 πx
2a
2a 2 πx l´
ım
sen 2a = ex→a 2
=e πa = eπ
Ejemplo 3.36. Estudiar el dominio y continuidad de la funci´n:
o
1
2 + cos x
1 si x=0
f (x) = 3 + ex
2
si x=0
3

188. 180 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Soluci´n.
o
1
1. Dominio. La funci´n est´ definida en todo R, ya que si 3 + e x = 0,
o a
1
resulta e x = −3 que no es posible.
2. Continuidad. La funci´n es continua en todo R, salvo quiz´s en x = 0,
o a
1
2 + cos x 2 + Ac Ac
l´ f (x) = l´
ım ım = = =0
x→0+ x→0+ 3+e
1
x ∞ ∞
1
2 + cos x 2 + Ac Sin l´
ımite
l´ f (x) = l´
ım ım 1 = = = Sin l´
ımite
x→0− x→0− 3 + ex 3+0 3
Luego la funci´n no es continua en x = 0.
o
Ejemplo 3.37. Dada la funci´n:
o
x − sen x
si x=0
x3
f (x) =
1
si x=0
6
Hallar f (0) y f (0)
Soluci´n.
o
Continuidad: La funci´n es continua en todo R, salvo quiz´s en x = 0,
o a
x − sen x ä 0 ç 1 − cos x ä 0 ç x2 1
l´
ım = = l´
ım = = l´
ım =
x→0 x 3 0 x→0 3x2 0 x→0 2 · 3x2 6
luego la funci´n es continua en todo R.
o
Derivada en x = 0: Aplicamos la definici´n.
o
x − sen x 1
f (x) − f (0) −
6 = l´ 6x − 6 sen x − x =
3
f (0) = l´
ım = l´
ım x3 ım
x→0 x x→0 x x→0 6x4
ä0ç 6 − 6 cos x − 3x 2 ä0ç 6 sen x − 6x ä 0 ç
= = l´
ım 3
= = l´
ım = =
0 x→0 24x 0 x→0 72x2 0
6 cos x − 6 ä 0 ç −6 sen x
= l´
ım = = l´ım =0
x→0 144x 0 x→0 144
Derivada segunda en x = 0: Hallamos f (x), para x = 0
(1 − cos x)x3 − (x − sen x)3x2 x − x cos x − 3x + 3 sen x
f (x) = 6
= =
x x4
−2x − x cos x + 3 sen x
=
x4
Para calcular f (0), aplicamos la definici´n de derivada:
o

189. 3.4. L´
IMITE DE SUCESIONES 181
−2x − x cos x + 3 sen x
f (x) − f (0) −0
f (0) = l´ x→0
ım = l´ x→0
ım x4 =
x x
−2x − x cos x + 3 sen x −2 − cos x + x sen x + 3 cos x
= l´
ım 5
= l´ım =
x→0 x x→0 5x4
−2 + 2 cos x + x sen x −2 sen x + sen x + x cos x
= l´
ım = l´
ım =
− sen x + x cos x ä 0 ç
x→0 5x4 x→0 20x3
− cos x + cos x − x sen x
= l´
ım 3
= = l´ ım =
20x 0 60x2
−x sen x ä 0 ç
x→0 x→0
−x 2 −1
= l´
ım 2
= = l´
ım 2
=
x→0 60x 0 x→0 60x 60
Ejemplo 3.38. Dada la funci´n:
o
´ sen x
si x=0
f (x) = x
1 si x=0
Hallar f (0) y f (0).
Soluci´n.
o
sen x
f (x) − f (0) x
−1 sen x − x ä 0 ç
f (0) = l´
ım = l´
ım = l´
ım = =
x→0 x x→0 x x→0 x2 0
cos x − 1 − sen x
= l´
ım = l´
ım =0
x→0 2x x→2 2
luego,
x cos x − sen x
si x=0
f (x) = x2
0 si x=0
de donde,
x cos x − sen x
f (x) − f (0) −0
f (0) = l´
ım = l´
ım x2 =
x→0 x x→0 x
x cos x − sen x ä 0 ç cos x − x sen x − cos x
= l´
ım 3
= = l´ım =
x→0 x 0 x→0 3x2
−x sen x −x2 −1
= l´ım 2
= l´ım 2
=
x→0 3x x→0 3x 3
3.4. L´
ımite de sucesiones
Una sucesi´n es un conjunto de infinitos n´meros ordenados seg´ n alg´n criterio. ejemplo,
o u u u
1 1 1 1 1
{1, , , , , · · · , , · · · } → 0
2 3 4 5 n
1 2 3 4 5 n
{ , , , , ,··· , ,···} → 1
2 3 4 5 6 n+1

190. 182 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
π
{1, 0, −1, 0, 1, · · · , sen n , · · · } → Sin l´
ımite
2
Las sucesiones se pueden considerar como funciones, donde el primer conjunto es el de los
n´meros naturales.
u
1 2 3 ··· n ··· N
↓ ↓ ↓ ··· ↓ ··· ↓
{ a1 a2 a3 · · · an · · · } R
La gr´fica de una sucesi´n es un conjunto de infinitos puntos separados (aislados) unos de
a o
otros.
1 n
an an = n an an = n+1 an an = sen n π
T r T T r r
2
1 r r r r n 1 r r r r r n 1
n
0 E 0 E 0 r r E
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
r
-1 -1 -1
Figura 3.23:
L´
ımite de sucesiones consider´ndolas como funciones
a
Si unimos los puntos que representan una sucesi´n obtenemos la gr´fica de
o a
una funci´n. Sin embargo, podemos obtener infinitas funciones que contienen
o
los puntos de una misma sucesi´n. Lo normal es coger la funci´n que tiene
o o
la misma f´rmula que la sucesi´n, es decir considerar que la variable n es
o o
continua y no discreta.
Si la funci´n que representa a la sucesi´n tiene l´
o o ımite, ese es el l´
ımite de
la sucesi´n, pero si la funci´n no tiene l´
o o ımite, entonces la sucesi´n si puede
o
tenerlo.
Por tanto, se pueden aplicar los infinit´simos y las reglas de L’Hˆpital
e o
a las sucesiones, el l´ımite que encontremos ser´ el l´
a ımite de la sucesi´n y
o
si la sucesi´n considerada como funci´n no tiene l´
o o ımite entonces habr´ que
a
aplicar otro criterio.
Ejemplo 3.39. Calcular los siguientes l´mites:
ı
n+3
å∞è 1 1
1. l´
ım = = l´ım = =0
n→∞ n3 + 4 ∞ n→∞ 3n2 ∞
−1
3n 2n
1 2n −1 −1
3n
−2 1
2. l´
ım 1− = l´
ım 1+ =e 3 = √
3 2
n→∞ 3n n→∞ 3n e
ln n ∞
å è 1/n 5n
3. l´
ım = = l´
ım = l´
ım = l´ 1 = 1
ım
n→∞ ln 5n ∞ n→∞ 5/5n n→∞ 5n n→∞
ln(n + 3) ∞
å è
1/(n + 3) n
4. l´
ım = = l´
ım = l´
ım =1
n→∞ ln n ∞ n→∞ 1/n n→∞ n + 3
(ln n)2 ä ∞ ç 2 ln n · 1
n 2 ln n
5. l´
ım = = l´
ım = l´
ım =0
n→∞ n ∞ n→∞ 1 n→∞ n

191. 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR183
3.5. Estudio local de una funci´n.
o
Polinomio de Taylor.
3.5.1. Introducci´n.
o
El valor de un polinomio se puede calcular en cualquier punto, sin m´s que
a
operar.
Por ejemplo, si el polinomio es p(x) = 3 + 2x + x2 , podemos calcular su valor
en el punto 0 1, sin m´s que realizar una serie de operaciones elementales,
a
en efecto:
p(0 1) = 3 + 2 · 0 1 + 0 12 = 3 + 0 2 + 0 01 = 3 21
Sin embargo, el valor de las funciones no polin´micas lo conocemos en unos
o
puntos, pero no en otros. Por ejemplo, si la funci´n es f (x) = arc tg x,
o
sabemos sus valores en algunos puntos, pero en los dem´s necesitaremos
a
una calculadora. En efecto, arc tg 1 = π , pero arc tg 1 1 =? no sabemos
4
cu´nto puede valer.
a
Esto hace que las funciones polin´micas sean m´s c´modas de manejar
o a o
que las dem´s funciones.
a
Planteamiento del problema: Con la aproximaci´n local pretendemos
o
calcular el valor aproximado de una funci´n en un punto, conocido el valor
o
exacto de la funci´n en un punto cercano.
o
y Conocemos f (x0 )
T f (x)q Queremos calcular el valor, aunque sea aproximado,
f (x )
de f (x), siendo x un punto cercano a x0 .
0
q
Ex
x0 x
Figura 3.24:
La aproximaci´n mediante la recta tangente y mediante el teorema del
o
valor medio, suelen ser malas aproximaciones, en cuanto nos alejamos un
poco del punto.
Con el polinomio de Taylor lo que buscamos es una funci´n polin´mica
o o
que coincida, lo m´s posible, con la funci´n dada, al menos en los alrededores
a o
del punto. Buscamos una funci´n polin´mica que se acerque a la curva m´s
o o a
que la recta tangente.

192. 184 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
y fp
T f (x)q p va a ser un polinomio que en el punto x0 va a coincidir
q p(x) con f y en los alrededor de x0 va a ser muy cercano a
f (x0 ) f
qp(x )
0 x
E f (x0 ) = p(x0 ) → f (x) ≈ p(x)
x0 x
Como valor aproximado de la funci´n en el punto x
o
Figura 3.25: tomaremos el valor del polinomio en dicho punto.
3.5.2. Algunas propiedades de los polinomios
Desarrollo de un polinomio en potencias de (x − x0 )
El polinomio p(x) = 4 − x − 2x2 + x3 se dice que est´ centrado en el origen.
a
El polinomio p(x) = 2 + 3(x + 1) − 2(x + 1)2 − 4(x + 1)3 que est´ centrado
a
en x0 = −1
El polinomio p(x) = 3 + 2(x − 2) + 4(x − 2)2 − 5(x − 2)3 que est´ centrado
a
en x0 = 2
Para centrar un polinomio en el origen basta con desarrollar los par´ntesis y
e
simplificar la expresi´n. Centrar un polinomio en un punto x0 es un poco m´s
o a
laborioso. No obstante, toda funci´n polin´mica se puede expresar mediante
o o
un polinomio centrado en cualquier punto mediante la sustituci´n:o
x = (x − x0 ) + x0
Ejemplo 3.40. Expresar p(x) = 4 − x + 2x2 + x3 mediante un polinomio
centrado en x0 = 2
Soluci´n. Hacemos el cambio x = (x − 2) + 2 y resulta:
o
ä ç2 ä ç3
p(x) = 4 − (x − 2) − 2 + 2 (x − 2) + 2 + (x − 2) + 2 =
ä ç ä ç
= 4−2−(x−2)+2 (x−2)2 +4(x−2)+4 + (x−2)3 +6(x−2)2 +12(x−2)+8
De donde resulta:
p(x) = 18 + 19(x − 2) + 8(x − 2)2 + (x − 2)3
El desarrollo de las potencias de estos par´ntesis puede resultar muy
e
laborioso, de ah´ que se haya buscado otro m´todo mucho m´s simple para
ı e a
centrar un polinomio en cualquier punto. Este m´todo se llama desarrollo
e
de Taylor y se basa en el conocimiento del significado de los coeficientes de
los polinomios.
Relaci´n entre los coeficientes de un polinomio y los valores de sus
o
derivadas. F´rmula de Mac Laurin.
o
Ejemplo 3.41. Hallar la relaci´n que existe entre los coeficientes de la
o
funci´n polin´mica p(x) = 2 + 3x + 5x2 y los valores de dicha funci´n y de
o o o
sus derivadas el el origen.

193. 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR185
Soluci´n. Teniendo en cuenta que:
o
p(x) = 2 + 3x + 5x2 p(0) = 2
p (x) = 3 + 10x p (0) = 3
p (x) = 10 p (0) = 10
Resulta que la funci´n polin´mica se puede expresar de la siguiente forma:
o o
p (0) 2
p(x) = 2 + 3x + 5x2 = p(0) + p (0)x + x
2
A esta expresi´n se le llama F´rmula de Taylor en el origen o f´rmula de
o o o
Mac Laurin, y se puede generalizar para cualquier polinomio.
Teorema 3.6. Toda funci´n polin´mica
o o
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
se puede expresar de la siguiente forma:
p (0) 2 p(n) (0) n
p(x) = p(0) + p (0)x + x + ··· + x
2! n!
Demostraci´n. Teniendo en cuenta que:
o
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn p(0) = a0
p (x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + · · · + nan xn−1 p (0) = a1
p (x) = 2a2 + 3 · 2a3 x + · · · + n(n − 1)an xn−2 p (0) = 2a2
··· ···
p(n) (x) = n!an p(n) (0) = n!an
Resulta,
p (0) p (0) p(n) (0)
a0 = p(0), a1 = p (0), a2 = , a3 = , an =
2 3! n!
Con lo cual la funci´n polin´mica se puede expresar de la siguiente forma:
o o
p (0) 2 p(n) (0) n
p(x) = a0 +a1 x+a2 x2 +· · ·+an xn = p(0)+p (0)x+ x +· · ·+ x
2! n!
Es decir,
n
p(k) (0) k
p(x) = x
k=0
k!
Ejemplo 3.42. Halla un polinomio de 4o grado que cumpla:
p(0) = 1, p (0) = 0, p (0) = 0, p (0) = 6, piv (0) = 48
Soluci´n. Teniendo en cuenta que:
o
p (0) 2 p (0) 3 piv (0) 4
p(x) = p(0) + p (0)x + x + x + x
2 6 24
resulta:
p(x) = 1 + x3 + 2x4

194. 186 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Relaci´n entre los coeficientes de un polinomio, centrado en el
o
punto x0 y los valores de sus derivadas en dicho punto.
F´rmula de Taylor
o
Ejemplo 3.43. Dado la funci´n polin´mica p(x) = 2 + 3x + 5x2
o o
1. Expresarla en potencias de x − 1.
2. Hallar la relaci´n que existe entre los nuevos coeficiente y los valores
o
de la funci´n y de sus derivadas en el punto x = 1.
o
Soluci´n. Haciendo el cambio x = (x − 1) + 1 resulta:
o
ä ç2
p(x) = 2 + 3x + 5x2 = 2 + 3(x − 1) + 3 + 5 (x − 1) + 1 =
ä ç
= 2 + 3(x − 1) + 3 + 5 (x − 1)2 + 2(x − 1) + 1 = 10 + 13(x − 1) + 5(x − 1)2
Y por otro lado tenemos:
p(x) = 2 + 3x + 5x2 p(1) = 10
p (x) = 3 + 10x p (1) = 13
p (x) = 10 p (1) = 10
De donde resulta que la funci´n polin´mica se puede expresar de la siguiente
o o
forma:
p (1)
p(x) = 2 + 3x + 5x2 = 10 + 13(x − 1) + 5(x − 1)2 = p(1) + p (1)(x − 1) + (x − 1)2
2
A esta expresi´n se le llama F´rmula de Taylor en el punto x = 1, y se
o o
puede generalizar para cualquier polinomio y cualquier punto.
Teorema 3.7. Toda funci´n polin´mica
o o
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
se puede expresar de la siguiente forma:
p (x0 ) p(n) (x0 )
p(x) = p(x0 ) + p (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n
2! n!
Demostraci´n. Haciendo el cambio x = (x − x0 ) + x0 podemos expresar el
o
polinomio en potencias de x − x0 y resulta:
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn =
= b0 + b1 (x − x0 ) + b2 (x − x0 )2 + · · · + bn (x − x0 )n
Con lo cual,
p(x) = b0 + b1 (x − x0 ) + b2 (x − x0 )2 + · · · + bn (x − x0 )n p(x0 ) = b0
p (x) = b1 + 2b2 (x − x0 ) + 3b3 (x − x0 )2 + · · · + nbn (x − x0 )n−1 p (x0 ) = b1
p (x) = 2b2 + 3 · 2b3 (x − x0 ) + · · · + n(n − 1)bn (x − x0 )n−2 p (x0 ) = 2b2
··· ···
p(n) (x) = n!bn p(n) (x0 ) = n!bn

195. 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR187
de donde resulta,
p (x0 ) p (x0 ) p(n) (x0 )
b0 = p(x0 ), b1 = p (x0 ), b2 = , b3 = , bn =
2 3! n!
Con lo cual la funci´n polin´mica se puede expresar de la siguiente forma:
o o
p (x0 ) p(n) (x0 )
p(x) = p(x0 ) + p (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n
2! n!
Es decir,
n
p(k) (x0 )
p(x) = (x − x0 )k
k=0
k!
Ejemplo 3.44. Utilizar la f´rmula de Taylor para expresar en potencias de
o
x − 2 el polinomio:
p(x) = 5 − x + 2x2 − x3 + x4
Soluci´n. Teniendo en cuenta que:
o
p(x) = 5 − x + 2x2 − x3 + x4 p(2) = 19
p (x) = −1 + 4x − 3x2 + 4x3 p (2) = 27
p (x) = 4 − 6x + 12x2 p (2) = 40
p (x) = −6 + 24x p (2) = 42
piv (x) = 24 piv (2) = 24
Resulta el siguiente polinomio de Taylor,
p (2) p (2) piv (2)
p(x) = p(2) + p (2)(x − 2) + (x − 2)2 + (x − 2)3 + (x − 2)4 =
2 6 24
40 42 24
= 19 + 27(x − 2) + (x − 2)2 + (x − 2)3 + (x − 2)4 =
2 6 24
= 19 + 27(x − 2) + 20(x − 2) 2 + 7(x − 2)3 + (x − 2)4
3.5.3. Polinomio de Taylor de una funci´n no polin´mica
o o
Dada una funci´n f se trata de encontrar un polinomio de grado n que tome
o
aproximadamente los mismos valores que f en los alrededores de un punto
x0 .
y = f (x)
f (x) ≈ pn (x) x ∈ (x0 − δ, x0 + δ)
pn (x)
Suponemos conocido el valor de la funci´n y el de sus derivadas en el punto x0
o
y queremos calcular el valor aproximado de la funci´n en un punto cercano x,
o
utilizando para ello una funci´n polin´mica de aproximaci´n. Como funci´n
o o o o
polin´mica de aproximaci´n, lo l´gico es buscar una funci´n polin´mica que
o o o o o

196. 188 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
pase por el punto x0 , f (x0 ) , que pase con la misma pendiente que la funci´n
o
f , que pase con la misma concavidad, etc... Es evidente que en cuanto en
m´s condiciones coincidan la funci´n f y la funci´n polin´mica pn a su paso
a o o o
por el punto (x0 , y0 ), en m´s se aproximar´n al alejarnos del punto.
a a
Por eso, la funci´n polin´mica de aproximaci´n deber´ cumplir:
o o o a
pn (x) ≈ f (x) ⇐⇒
pn (x0 ) = f (x0 ) Las dos pasan por el punto (x0 , y0 )
pn (x0 ) = f (x0 ) Las dos pasan por (x0 , y0 ) con la misma pendiente
pn (x0 ) = f (x0 ) Las dos pasan por (x0 , y0 ) con la misma concavidad
···
(n)
pn (x0 ) = f (n) (x0 ) Las dos pasan por (x0 , y0 ) con otras coincidencias
Un polinomio que cumpla estas condiciones es f´cil encontrar mediante la
a
f´rmula de Taylor, en efecto:
o
(n)
pn (x0 ) pn (x0 )
pn (x) = pn (x0 ) + pn (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n
2! n!
Y teniendo en cuenta los valores asignados al polinomio resulta:
f (x0 ) f (n) (x0 )
pn (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n
2! n!
Un polinomio, as´ construido, es de esperar que se aproxime suficientemente
ı
a la funci´n f , al menos en los alrededores del punto x0 , y tambi´n cabe
o e
esperar que cuanto mayor sea el grado n del polinomio mayor ser´ la aprox-
a
imaci´n. Por lo que podemos asegurar que:
o
f (x0 ) f (n) (x0 )
f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n
2! n!
Que se puede expresar de la forma:
n
f (k) (x0 )
f (x) ≈ pn (x) = (x − x0 )k
k=0
k!
y es el polinomio de Taylor para una funci´n no polin´mica.
o o
Observaciones:
1. El n-simo polinomio ser´ de grado ≤ n, ya que el ultimo coeficiente
a ´
puede ser cero, al haberlo definido como f (n) (x0 ), y la funci´n f no es
o
polin´mica, por lo que su derivada puede tomar cualquier valor.
o
2. El primer polinomio de Taylor siempre coincide con la recta tangente
a la curva dada en el punto x0 . En efecto, y = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 )
es la ecuaci´n de la recta tangente.
o

197. 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR189
3.5.4. Polinomio de Taylor de las funciones elementales
Ejemplo 3.45. Hallar el 5o polinomio de MacLaurin de las siguientes fun-
ciones y generalizarlo para el n-simo polinomio.
1. f (x) = ex 2. f (x) = sen x 3. f (x) = cos x
Soluci´n. El 5o polinomio de Taylor en el origen para una funci´n f viene
o o
definido por:
f (0) 2 f (0) 3 f iv (0) 4 f v (0) 5
f (x) = f (0) + f (0)x + x + x + x + x
2 6 24 120
Por consiguiente:
1. f (x) = ex
f (x) = ex f (0) = 1 Resulta el siguiente polinomio de Taylor,
f (x) = ex f (0) = 1 x2 x3 x4 x5
ex ≈ 1 + x + + + +
f (x) = ex f (0) = 1 2! 3! 4! 5!
f (x) = ex f (0) = 1 y de manera general
n
f iv (x) = ex f iv (0) = 1 xk
ex ≈
f v (x) = ex f v (0) = 1 k=0
k!
2. f (x) = sen x
f (x) = sen x f (0) = 0 Resulta el siguiente polinomio,
f (x) = cos x f (0) = 1 x3 x5
sen x ≈ x − +
f (x) = − sen x f (0) = 0 3! 5!
f (x) = − cos x f (0) = −1 y de manera general
n
f iv (x) = sen x f iv (0) = 0 x2k+1
sen x ≈ (−1)k
f v (x) = cos x f v (0) = 1 k=0
(2k + 1)!
3. f (x) = cos x
f (x) = cos x f (0) = 1 Resulta el siguiente polinomio,
f (x) = − sen x f (0) = 0 x2 x4
cos x ≈ 1 − +
f (x) = − cos x f (0) = −1 2! 4!
f (x) = sen x f (0) = 0 y de manera general
n
f iv (x) = cos x f iv (0) = 1 x2k
cos x ≈ (−1)k
f v (x) = − sen x f v (0) = 0 k=0
(2k)!
Ejemplo 3.46. Hallar el 4o polinomio de MacLaurin de la funci´n:
o
f (x) = (1 + x)r
Generalizarlo para el n-simo polinomio, y aplicarlo para calcular:
√
2 1 √
(1 + x) , , 1 + x, (1 + x)3
1+x

198. 190 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Soluci´n.
o
f (x) = (1 + x)r f (0) = 1
f (x) = r(1 + x)r−1 f (0) = r
f (x) = r(r − 1)(1 + x)r−2 f (0) = r(r − 1)
f (x) = r(r − 1)(r − 2)(1 + x)r−3 f (0) = r(r − 1)(r − 2)
f iv (x) = r(r − 1)(r − 2)(r − 3)(1 + x)r−4 f iv (0) = r(r − 1)(r − 2)(r − 3)
Resulta el siguiente polinomio de Taylor,
r(r − 1) 2 r(r − 1)(r − 2) 3 r(r − 1)(r − 2)(r − 3) 4
(1+x)r ≈ 1+r x+ x + x + x
2! 3! 4!
y de manera general el n-simo polinomio ser´:
a
n
r(r − 1)(r − 2) · · · (r − k + 1) k
(1 + x)r ≈ 1 + x
k=1
k!
de donde resulta: √ √ √ √ √
√ √
2 ≈ 1 + 2x + 2( 2 − 1) 2 2( 2 − 1)( 2 − 2) 3
(1 + x) x + x +
2! √ √ 3! √ √
2( 2 − 1)( 2 − 2)( 2 − 3) 4
+ x
4!
1 −1(−2) 2 −1(−2)(−3) 3 −1(−2)(−3)(−4) 4
= (1+x)−1 ≈ 1+ x + x + x =
1+x 2! 3! 4!
= 1 − x + x2 − x3 + x4
√ 1 −1 1 −1 −3 1 −1 −3 −5
1 + x = (1 + x)1/2 ≈ 1 + 2 2
x2 + 2 2 2
x3 + 2 2 2 2
x4 =
2! 3! 4!
1 1 2 1·3 3 1·3·5 4
=1+ x− x + x − x
2 2·4 2·4·6 2·4·6·8
3·2 2 3·2·1 3 3·2·1·0 4
(1 + x)3 = 1 + 3x + x + x − x = 1 + 3x + 3x2 + x3 + 0
2! 3! 4!
Si n es un entero y positivo el desarrollo se interrumpe, ya que siempre
llegar´ un momento en que n − k + 1 = 0, precisamente para k = n + 1. Es
a
decir, el desarrollo de (1 + x)n s´lo llegar´ hasta el t´rmino xn , ya que los
o a e
restantes se anulan. Se obtiene as´ el Binomio de Newton.
ı,
n
n k
(1 + x)n = x
k=0
k
El polinomio de Taylor del cociente de dos polinomios
Existen funciones para las que el polinomio de Taylor se puede obtener de
una manera artificial, sin necesidad de tener que hacer las derivadas de la
funci´n, es el caso del cociente de dos polinomios, cuyo polinomio de Taylor
o

199. 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR191
se puede obtener haciendo la divisi´n de los polinomios, pero ordenados de
o
menor a mayor.
Ejemplo 3.47. Hallar el 3o polinomio de Taylor de la funci´n:
o
2x + 3
f (x) =
x−1
Soluci´n. Hacemos la divisi´n ordenando los polinomios de menor a mayor
o o
grado.
3 + 2x −1 + x
−3 + 3x −3 − 5x − 5x2 − 5x3
5x
−5x + 5x2
5x2
−5x2 + 5x3
5x3
−5x3 + 5x4
5x4
Con lo cual resulta el siguiente polinomio de Taylor:
2x + 3
≈ −3 − 5x − 5x2 − 5x3
x−1
Polinomio de Taylor de funciones compuestas
Para calcular el polinomio de Taylor de las funciones compuestas, en
vez de derivar directamente dichas funciones, en la generalidad de los ca-
sos, resulta mucho m´s f´cil de calcular dicho polinomio transformando el
a a
polinomio de Taylor de las funciones elementales que la componen
Ejemplo 3.48. Hallar el 4o polinomio de Taylor de la funci´n:
o
f (x) = e−x
2
Soluci´n. En vez de derivar directamente la funci´n f (x), resulta m´s conve-
o o a
niente transformar el polinomio de Taylor de las funci´n y = e
o x . En efecto,
tenemos que,
x2
ex ≈ 1 + x + + ···
2
de donde, sustituyendo x por −x2 , resulta
(−x2 )2 x4
f (x) = e−x ≈ 1 + (−x2 ) +
2
+ · · · 1 − x2 + + ···
2 2

200. 192 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Ejemplo 3.49. Hallar el 3o polinomio de Taylor de la funci´n:
o
f (x) = sen(sen x)
Soluci´n. En vez de derivar directamente la funci´n f (x), resulta m´s con-
o o a
veniente transformar el polinomio de Taylor de las funci´n y = sen x. En
o
efecto, tenemos que,
x3
sen x ≈ x − + ···
3!
de donde, sustituyendo x por el propio desarrollo de sen x, es decir, por
x3
x− + · · · , resulta
3!
x3
x3 + · · · ]3
[x −
f (x) = sen(sen x) ≈ [x − + ···] − 3! + ··· ≈
3! 3!
x3 x3 2x3 x3
≈x− − + ··· ≈ x − + ··· = x − + ···
3! 3! 3! 3
3.5.5. Resto de Taylor
Con el t´rmino Resto de Taylor nos referimos al error que se comete al
e
aproximar una funci´n no polin´mica mediante su polinomio de Taylor.
o o
Si aproximamos la funci´n f mediante el n-simo polinomio de Taylor, el
o
error vendr´ dado por la diferencia de los valores que toman la funci´n y el
a o
polinomio.
y = f (x)
f (x) ≈ pn (x) ⇒ |Rn (x)| = |f (x) − pn (x)|
pn (x)
Teorema 3.8 (Teorema del Resto). Sea f una funci´n definida en el
o
intervalo cerrado [a, b] tal que f (n) es continua en [a, b] y f (n+1) existe en
(a, b). Sean x y x0 puntos de [a, b], siendo x = x0 . Y sea
f (x0 ) f (n) (x0 )
pn (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n
2! n!
Entonces existe un punto c entre x y x0 tal que el error que se comete
al aproximar la funci´n f mediante el n-simo polinomio de Taylor en un
o
entorno del punto x0 viene definido por la f´rmula:
o
f (n+1) (c)
Rn (x) = (x − x0 )n+1 (3.2)
(n + 1)!
A esta expresi´n del Resto de Taylor se le llama expresi´n de Lagrange.
o o
Existen otras expresiones para calcular el error, sin embargo, ´sta es la m´s
e a
f´cil de recordar puesto que se trata del t´rmino siguiente del desarrollo,
a e
salvo que la derivada se toma en un punto intermedio c.

201. 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR193
3.5.6. Aplicaciones de la f´rmula de Taylor a c´lculos aproxi-
o a
mados
Para hallar el valor de una funci´n en un punto x1 se desarrolla la funci´n
o o
en un punto cercano x0 y se toma, como valor aproximado de la funci´n, el
o
que tome el polinomio.
f (x1 )
f (x1 ) ≈ pn (x1 )
pn (x) en x0 cercano a x1
El error cometido en la aproximaci´n, seg´n (3.2), vendr´ dado por:
o u a
f (n+1) (c)
Rn (x1 ) = (x1 − x0 )n+1
(n + 1)!
Como el punto c no est´ determinado, el error no se conoce con exactitud,
a
pero s´ se puede conocer una acotaci´n del error teniendo en cuenta que c
ı o
est´ entre x0 y x1 .
a
Ejemplo 3.50. Utilizar el 2o polinomio de Taylor para calcular aproxima-
damente e0 2 . Indicar el error cometido.
Soluci´n.
o
f (x) = ex f (0) = 1
x2
f (x) = ex f (0) = 1 ex ≈ 1 + x +
2
f (x) = ex f (0) = 1
− − −− 0 04
e0 2 ≈ 1 + 0 2 + = 1 22
f (x) = ex f (c) = ec 2
Para calcular el error cometido tenemos en cuenta que:
0 c 0 2 → 0 c 1 ⇒ e0 ec e 3 → ec 3
con lo cual,
ec 3 · 0 008
|Rn (0 2)| = | 0 23 | = 0 004
6 6
√
Ejemplo 3.51. Aproximar 3 e con un error menor que 0 01
Soluci´n. Necesitamos una funci´n para hacer su desarrollo de Taylor, y un
o o
punto donde hacerlo. De las distintas opciones que podemos pensar para
calcular la ra´ dada, elegimos la m´s f´cil.
ız a a
√ 1
3
e = e1/3 → f (x) = ex x0 = 0, x1 =
3
f (x) = ex f (0) = 1
f (x) = ex f (0) = 1 x2 xn
. . ex ≈ 1 + x + + ··· +
.
. .
. 2 n!
f (n) (x) = ex f (n) (0) = 1 f (n+1) (c)xn+1 ec xn+1
Rn (x) = =
− − −− (n + 1)! (n + 1)!
f (n+1) (x) = ex f (n+1) (c) = ec

202. 194 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Teniendo en cuenta que c est´ situado entre x0 y x1 , resulta,
a
1
0c 1 → e0 ec e 3 ⇒ ec 3
3
Luego, tendr´ que ser:
a
¬ 1 ¬ ¬ ec ( 1 )n+1 ¬ 3( 1 )n+1
¬ ¬ ¬
¬Rn ( )¬ = ¬ 3
¬ ¬ ¬ 1 1
¬ 3 ¬ ¬ (n + 1)! ¬ (n3+ 1)! = 3n (n + 1)! 0 01 = 100
¬
Es decir hay que encontrar el valor de n que cumple,
3n (n + 1)! 100
Esto se hace probando, es decir dando valores a n.
n = 1 → 3 · 2 = 6 100
n = 2 → 32 · 3! = 9 · 6 = 54 100
n = 3 → 33 · 4! = 27 · 24 = 648 100 ⇒ n = 3
Luego el polinomio de Taylor buscado es el tercero,
x2 x3
ex = 1 + x + +
2! 3!
Con lo cual resulta
√ 1 ( 1 )2 ( 1 )3 1 1 1
3
e = e1/3 ≈ 1 ++ 3 + 3 =1+ + + = 1 39
3 2! 3! 3 18 162
Ejemplo 3.52. Estimar sen 10o usando el tercer polinomio de Taylor en
x0 = 0. Hallar una cota del error cometido.
Soluci´n.
o
f (x) = sen x f (0) = 0
f (x) = cos x f (0) = 1 x3
sen x ≈ x −
f (x) = − sen x f (0) = 0 6
f (x) = − cos x f (0) = −1 sen c 4
− − −− R3 (x) = x
24
f iv (x) = sen x f iv (c) = sen c
Ahora bien, el valor de x que aparece en las operaciones no puede venir
medido en grados, sino que, para operar, el angulo ha de expresarse en
´
radianes.
π
Teniendo en cuenta que 10o = rad. resulta:
18
π π π3
sen 10o = sen rad. ≈ − 3 = 0 1736468
18 18 18 · 6
Y el error cometido en la aproximaci´n viene acotado de la siguiente forma:
o
¬ π ¬ ¬ sen c
¬ ¬ 1
¬R3 ( )¬ = ¬
¬ 18 ¬ ¬ 24
¬
²
π 4 π 4
¬ ¬ 18 ¬ 24 18
= 0 00004

203. 3.5. ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES. POLINOMIO DE TAYLOR195
3.5.7. Aplicaciones de la F´rmula de Taylor al c´lculo de
o a
l´
ımites
Consiste en sustituir las funciones que intervienen en el l´
ımite por sus de-
sarrollos de Taylor. En la pr´ctica, para simplificar los c´lculos, solamente
a a
se sustituyen por la parte del desarrollo de Taylor que realmente influye en
el l´
ımite. El problema ser´ determinar cu´ntos t´rminos del desarrollo se
a a e
deben utilizar.
sen x − x
Ejemplo 3.53. Calcular l´ ım
x→0 x3
Soluci´n.
o
x3
sen x − x ä0ç (x −
6
+ ···) − x −x3 −1
l´
ım = = l´
ım = l´
ım =
x→0 x3 0 x→0 x3 x→0 6x3 6
ex − e−x − 2x
Ejemplo 3.54. Calcular l´
ım
x→0 x − sen x
Soluci´n. Teniendo en cuenta los desarrollos de las funciones que intervienen:
o
x2 x3 x2 x3 x3
ex = 1+x+ + +· · · e−x = 1−x+ − +· · · sen x = x− +· · ·
2 6 2 6 6
resulta,
ex − e−x − 2x ä 0 ç
l´
ım = =
x→0 x − sen x 0
x2 x3 x2 x3
1+x+ + + ··· − 1 − x + − + · · · − 2x
= l´
ım 2 6 2 6 =
x→0 x 3
x− x− + ···
6
3
2x
6
= l´
ım 3 =2
x→0 x
6
1 − cos(x2 )
Ejemplo 3.55. Calcular, si existe, el valor de l´
ım
x→0 x · sen x + 2 · cos x − 2
utilizando polinomios de Taylor.
Soluci´n. Teniendo en cuenta el desarrollo en series de potencias de las
o
funciones sen x y cos x,
x3 x5 x2 x4
sen x = x − + − ··· cos x = 1 − + − ···
6 120 2 24
tenemos.
x4 x8
cos x2 = 1 − + − ···
2 24

204. 196 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
de donde, sustituyendo las funciones por sus desarrollos en series, resulta:
1 − cos(x2 )
l´
ım =
x→0 x · sen x + 2 · cos x − 2
x4
1− 1− + ···
= l´
ım 2 =
x→0 x3 x2 x4
x x− + · · · + 2(1 − + − ··· − 2
6 2 24
x4 x4 x4
= l´
ım 2 = l´
ım 2 ım 2 = −6
= l´
x→0 −x4 x4 x→0 −2x4 x4 x→0 −x4
+ +
6 12 12 12 12
3.6. Extremos de funciones de una sola variable
3.6.1. M´ximos y m´
a ınimos absolutos
a) En Intervalos cerrados
Supongamos que la funci´n f es continua en un intervalo cerrado [a, b],
o
entonces alcanza un m´ximo y un m´
a ınimo en dicho intervalo.
Figura 3.26: Puntos cr´
ıticos
El m´ximo y el m´
a ınimo absoluto solamente pueden estar situados:
1. En puntos donde f (x) = 0
2. En puntos donde f (x) no est´ definida
a
3. En los extremos del intervalo.
Puntos cr´ ıticos de una funci´n: Se llaman puntos cr´
o ıticos de una funci´n
o
a los puntos en los que la derivada sea nula o no est´ definida.
e
C´lculo del m´ximo y del m´
a a ınimo absoluto. Para hallar el m´ximo y
a
el m´
ınimo absoluto de una funci´n continua en un intervalo cerrado,
o
1. Se hallan los puntos cr´
ıticos,

205. 3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 197
2. Se hallan los valores de la funci´n en los puntos cr´
o ıticos y en los ex-
tremos del intervalo. El mayor valor obtenido es el m´ximo absoluto
a
y el menor el m´ınimo.
Observaci´n: Si la funci´n no es continua el m´todo anterior no es v´lido,
o o e a
ya que los valores de la funci´n en los puntos cr´
o ıticos no determinan nada.
Figura 3.27: Funci´n no continua
o
Ejemplo 3.56. Hallar los extremos absolutos de la funci´n:
o
f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 15
en el intervalo [0, 3].
Soluci´n.
o
1. Hallamos los puntos cr´
ıticos:
a) Puntos en los que la derivada no est´ definida: No existen ya que
a
f (x) = 6x2 − 6x − 12 est´ definida en todo R
a
b) Puntos en los que la derivada vale cero:
6x2 − 6x − 12 = 0 → x2 − x − 2 = 0
de donde, √
1± 1+8 1+3 2
x= = =
2 2 −1
2. Comparamos los valores de la funci´n en los puntos cr´
o ıticos y en los
extremos del intervalo:
f (0) = 15 M´ximo
a
f (2) = 16 − 12 − 24 + 15 = −5 m´
ınimo
f (3) = 54 − 27 − 36 + 15 = 6
Ejemplo 3.57. Hallar los extremos absolutos de la funci´n:
o
f (x) = x5 − x
en el intervalo [2, 4].

206. 198 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Soluci´n.
o
1. Hallamos los puntos cr´
ıticos:
a) Puntos en los que la derivada no est´ definida: No existen ya que
a
f (x) = 5x4 − 1 est´ definida en todo R
a
Ö
b) Puntos en los que la derivada vale cero:
5x4 − 1 = 0 → x4 = 1 → x = ± 4 1 ∈ [2, 4]
5 5
Luego no existe ning´n punto cr´
u ıtico dentro del intervalo, por tanto:
2. Comparamos los valores de la funci´n en los extremos del intervalo:
o
f (2) = 30 m´ ınimo
f (4) = 1020 M´ximo
a
Ejemplo 3.58. Hallar los extremos absolutos de la funci´n:
o
f (x) = 3 − |x − 2|
en el intervalo [1, 4].
Soluci´n. Para hallar la derivada de la funci´n eliminamos el valor absoluto,
o o
3 − (x − 2) si x ≥ 2 5 − x si x≥2
f (x) = 3 − |x − 2| = =
3 − (−x + 2) si x 2 1 + x si x2
Con lo cual, la funci´n derivada es:
o
−1 si x 2
f (x) =
1 si x 2
1. Hallamos los puntos cr´
ıticos:
a) Puntos en los que la derivada no est´ definida: x = 2
a
b) Puntos en los que la derivada vale cero: No existen.
2. Comparamos los valores de la funci´n en los puntos cr´
o ıticos y en los
extremos del intervalo:
f (1) = 2
f (2) = 3 M´ximo
a
f (4) = 1 m´
ınimo

207. 3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 199
b) M´ximos y m´
a ınimos absolutos en intervalos abiertos
Para hallar el m´ximo y el m´
a ınimo de una funci´n continua en un interva-
o
lo abierto se “cierra” el intervalo hallando los l´
ımites de la funci´n en los
o
extremos del mismo.
x2
Ejemplo 3.59. Hallar los extremos absolutos de la funci´n: f (x) =
o
x2 + 1
en todo R.
Soluci´n. Hallamos la derivada de la funci´n,
o o
2x(x2 + 1) − x2 · 2x 2x3 + 2x − 2x3 2x
f (x) = 2 + 1)2
= 2 + 1)2
= 2
(x (x (x + 1)2
1. Hallamos los puntos cr´
ıticos:
a) Puntos en los que la derivada no est´ definida: No existen.
a
b) Puntos en los que la derivada vale cero: 2x = 0 → x = 0
2. Comparamos los valores de la funci´n en los puntos cr´
o ıticos y en los
“extremos” del intervalo:

208. 200 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
x2
f (−∞) = l´
ım =1
x→−∞ x2 + 1
f (0) = 0 → m´ ınimo
x2
f (+∞) = l´ ım 2 =1
x→+∞ x + 1
Luego la funci´n no tiene m´ximo.
o a
x2
Figura 3.28: y =
x2 +1
3.6.2. M´ximos y m´
a ınimos relativos o locales
Crecimiento y decrecimiento. Una funci´n es creciente all´ donde su
o ı
derivada es positiva y decreciente donde es negativa.
∀x ∈ (a, b) f (x) ≥ 0 ⇒ f es creciente en (a, b)
∀x ∈ (a, b) f (x) ≤ 0 ⇒ f es decreciente en (a, b)
Estudios de los m´ximos y m´
a ınimos locales a partir del signo de
la primera derivada.
Si la funci´n es continua, los m´ximos locales se presentan donde la funci´n
o a o
cambia de creciente a decreciente, y los m´ ınimos locales donde cambia de
decreciente a creciente. Si la funci´n es continua, los m´ximos y m´
o a ınimos
relativos solamente se pueden presentar en los puntos cr´ ıticos.
Figura 3.29: En un m´ximo la funci´n cambia de creciente a decreciente
a o
Ejemplo 3.60. Estudiar los extremos relativos y absolutos de la funci´n
o
−x
f (x) = en todo R
1 + x2
Soluci´n. f es continua en todo R, ya que 1 + x2 no se anula nunca.
o
Puntos cr´ıticos:
−(1 + x2 ) + x(2x) −1 − x2 + 2x2 x2 − 1
f (x) = = =
(1 + x2 )2 (1 + x2 )2 (1 + x2 )2

209. 3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 201
de donde:
f (x) = 0 → x2 − 1 = 0 → x = ±1
a) Extremos relativos: Estudiamos el signo de la derivada.
4−1 3
f (−2) = 2
= =+
(1 + 4) 25
−1
f (0) = = −1 = −
1
4−1 3
f (2) = = =+
(1 + 4)2 25
Con lo cual hay un m´ximo en x = −1 y un m´
a ınimo en x = 1
b) Extremos absolutos: Hallamos los valores de la funci´n en los puntos
o
cr´
ıticos y en los extremos del intervalo.
−x
f (−∞) = l´ ım =0
x→−∞ 1 + x2
f (−1) = 1/2 ← M´ximo absoluto
a
f (1) = −1/2 ←m´ınimo absoluto
−x
f (+∞) = l´
ım =0
−x x→+∞ 1 + x2
Figura 3.30: y =
1 + x2
4
Ejemplo 3.61. Encontrar los extremos relativos de la funci´n f (x) = x+
o
x
en R
Soluci´n. La funci´n es continua en R − {0}
o o
Puntos cr´
ıticos. Hallamos la derivada de la funci´n:
o
4
f (x) = 1 −
x2
a) Puntos donde la derivada no esta
definida. x = 0
b) Puntos donde la derivada vale cero:
f (x) = 0 → x = ±2
Intervalos de crecimiento:
f (−3) = 1 − 4/9 = + → creciente
f (−1) = 1 − 4 = − → decreciente
f (1) = 1 − 4 = − → decreciente
4 f (3) = 1 − 4/9 = + → creciente
Figura 3.31: y = x +
x

210. 202 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Concavidad. Puntos de inflexi´n.
o
Una funci´n, derivable en un intervalo, se dice que es c´ncava hacia arriba
o o
sobre dicho intervalo si su derivada es creciente y c´ncava hacia abajo si su
o
derivada es decreciente.
Los puntos en los que la concavidad cambia de sentido se llaman puntos de
inflexi´n.
o
f ↑⇒ f
f ↓⇒ f
Criterio de la derivada segunda.
Ë
f =+ ⇒f ↑⇒f
Ì
f =− ⇒f ↓⇒f
f = 0 ⇒ ¿?
f (x0 ) = 0
x0 , f (x0 ) punto de inflexi´n ⇒
o o
´
f (x0 ) no definido
Aplicaciones de la f´rmula de Taylor para el estudio de m´ximos
o a
y m´
ınimos.
Desarrollemos, mediante el n-simo polinomio de Taylor, la funci´n f en el
o
punto x0
f (x0 ) f (n−1) (x0 ) f (n) (c)
f (x) = f (x0 )+ f (x0 )(x−x0 )+ (x−x0 )2 + · · ·+ (x−x0 )n−1 + (x−x0 )n
2! (n − 1)! n!
supongamos que la primera derivada de la funci´n f que no se anula en el
o
punto x0 es de orden n. Ser´:
a
f (x0 ) = 0
. f (n) (c)
.
. f (x) = f (x0 ) + (x − x0 )n
n!
f (n−1) (x0 ) = 0
de donde,
f (n) (c)
f (x) − f (x0 ) = (x − x0 )n
n!
Como c est´ entre x0 y x, tomando x suficientemente pr´ximo a x0 podemos
a o
suponer que el signo de f (n) (c) coincide con el signo de f (n) (x ), de donde:
0
n par f (n) (x0 ) = + ⇒ f (x) − f (x0 ) 0 → m´
ınimo
(x − x0 )n = + f (n) (x ) = − ⇒ f (x) − f (x ) 0 → M´ximo
0 0 a
n impar f (n) (x0 ) = +
⇒ f (x) − f (x0 ) = ± → inflexi´n
o
(x − x0 )n = ± f (n) (x0 ) = −

211. 3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 203
Con lo cual podemos afirmar lo siguiente: Si la primera derivada que no se
anula en un punto cr´
ıtico es par, entonces hay un m´ximo si dicha derivada
a
es negativa y un m´ınimo si es positiva. Si la primera derivada que no se
anule es de orden impar, entonces existe un punto de inflexi´n.
o
Ejemplo 3.62. Estudiar la naturaleza del origen en las siguientes fun-
ciones:
(a) f (x) = x4 (b) f (x) = x3 (c) f (x) = −x4
Soluci´n.
o
1. f (x) = x4
f (x) = 4x3 → f (0) = 0
f (x) = 12x2 → f (0) = 0
f (x) = 24x → f (0) = 0
f (IV ) (x) = 24 → f (IV ) (0) = 24 0 par y positivo → m´
ınimo
2. f (x) = x3
f (x) = 3x2 → f (0) = 0
f (x) = 6x → f (0) = 0
f (x) = 6 → f (0) = 6 = 0 impar → punto de inflexi´n
o
3. f (x) = −x4
f (x) = −4x3 → f (0) = 0
f (x) = −12x2 → f (0) = 0
f (x) = −24x → f (0) = 0
f (IV ) (x) = −24 → f (IV ) (0) = 24 0 par y negativo → M´ximo.
a
Ejemplo 3.63. Estudiar la naturaleza de los puntos cr´ticos de la funci´n:
ı o
f (x) = x3 − 3x2 + 2
Soluci´n. Hallamos la derivada para buscar los puntos cr´
o ıticos.
f (x) = 3x2 −6x → 3x2 −6x = 0 → x2 −2x = 0 → x(x−2) = 0
luego los puntos cr´
ıticos son x = 0 y x = 2.
Calculamos el valor de la derivada segunda en cada uno de los puntos cr´
ıticos.
´
f (0) = −6 → f (0) m´ximo relativo
a
f (x) = 6x − 6
f (2) = 6 0 → f (2) m´
ınimo relativo
3.6.3. Determinaci´n de funciones conocidos sus puntos cr´
o ıticos
La dificultad de este tipo de ejercicios est´ en saber aprovechar toda la
a
informaci´n que nos da el enunciado.
o

212. 204 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Ejemplo 3.64. Hallar a, b, c y d para que la funci´n f (x) = ax3 + bx2 +
o
cx + d tenga un m´ınimo relativo de valor −3 en x = 0 y un m´ximo relativo
a
de valor 4 en x = 1.
Soluci´n.
o
f (0) = −3
ınimo relativo de valor −3 en x = 0 →
M´
f (0) = 0
f (1) = 4
M´ximo relativo de valor 4 en x = 1 →
a
f (1) = 0
Hallando la derivada f (x) = 3ax2 + 2bx + c, y sustituyendo, resulta el
sistema de ecuaciones:
d = −3 d = −3 d = −3 d = −3
c=0 c=0 c=0 c=0
a+b+c+d=4 a+b=7 a+b=7 b = 21
3a + 2b + c = 0 3a + 2b = 0 a = −14 a = −14
luego la funci´n buscada es: f (x) = −14x3 + 21x2 − 3.
o
Ejemplo 3.65. Hallar a, b y c tales que la gr´fica de la funci´n f (x) =
a o
ax3 + bx2 + cx tenga una tangente horizontal en el punto de inflexi´n (1, 1).
o
Soluci´n.
o
Pasa por el punto (1, 1) → f (1) = 1
Tangente horizontal en (1, 1) → f (1) = 0
Punto de inflexi´n en (1, 1) → f (1) = 0
o
Hallando la primera y segunda derivada f (x) = 3ax2 + 2bx + c, f (x) =
6ax + 2b y sustituyendo, resulta el sistema de ecuaciones:
a+b+c=1 c=1−a−b c=1−a−b c=3
3a + 2b + c = 0 2a + b = −1 b = −1 − 2a b = −3
6a + 2b = 0 3a + b = 0 a=1 a=1
luego la funci´n buscada es: f (x) = x3 − 3x2 + 3x.
o
3.6.4. Problemas de aplicaci´n de m´ximos y m´
o a ınimos
Para resolver problemas de m´ximos y m´
a ınimos con enunciado es conve-
niente seguir los siguientes pasos:
1. Asignar letras a todas las magnitudes que intervienen e intentar rela-
cionarlas entre s´ (Seg´n se asignen las letras, la resoluci´n del pro-
ı. u o
blema puede resultar m´s f´cil o m´s dif´
a a a ıcil. A veces conviene contar
con los ´ngulos).
a
2. Preguntarse ¿qu´ es lo que hay que hacer m´ximo o m´
e a ınimo?. Esa
magnitud es la que hay que derivar.

213. 3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 205
3. Encontrar una f´rmula para la magnitud que hay que derivar y expre-
o
sarla en funci´n de una sola variable y entonces derivar.
o
Naturaleza de los puntos cr´ ıticos. La naturaleza de los puntos cr´
ıticos
puede determinarse por cualquiera de los siguientes criterios.
1. Por la propia naturaleza del problema.
2. Comparando el valor de la funci´n en los puntos cr´
o ıticos y en los ex-
tremos del dominio.
3. Estudiando el signo de la primera derivada a ambos lados de cada
punto cr´
ıtico.
4. Estudiando el signo de la segunda derivada en los puntos cr´
ıticos.
Observaci´n: Si el problema pide un m´ximo y encontramos un m´
o a ınimo,
el m´ximo habr´ que buscarlo en los extremos del dominio.
a a
Ejemplo 3.66. Un granjero tiene 200 m de tela met´lica que va a utilizar
a
para construir tres lados de un corral rectangular; se va a usar un muro recto
que ya existe como cuarto lado del corral. ¿Qu´ dimensiones maximizar´n
e a
el area del corral?.
´
Soluci´n. La magnitud a maximizar es el area.
o ´
a=x·y
x a = x(200 − 2x) = 200x − 2x2
2x + y = 200 → y = 200 − 2x
y
de donde,
x
a (x) = 200 − 4x → 200 − 4x = 0 → x = 50
Comprobamos que realmente se trata de un m´ximo, a partir de la segunda
a
derivada:
a (x) = −4 ⇒ a (50) = −4 → m´ximoa
Luego la soluci´n es x = 50 e y = 100.
o
Ejemplo 3.67. Una l´mina met´lica rectangular mide 5 m. de ancho y 8 m.
a a
de largo. Se van a cortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas para doblar
la pieza met´lica resultante y soldarla para formar una caja sin tapa. ¿C´mo
a o
debe hacerse para obtener una caja del m´ximo volumen posible?
a
Soluci´n. la magnitud a maximizar es el volumen.
o
v = x(8 − 2x)(5 − 2x) = 4x3 − 26x2 + 40x
de donde

214. 206 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
v (x) = 12x2 − 52x + 40 ⇒ 12x2 − 52x + 40 = 0 → 3x2 − 13x + 10 = 0
luego:
√ √
13 ± 169 − 120 13 ± 49 13 ± 7 x = 3 3 no v´lida
a
x= = = =
6 6 6 x=1
Comprobamos que realmente se trata de un m´ximo, a partir de la segunda
a
derivada:
v (x) = 24x − 52 ⇒ a (1) = −28 → m´ximo a
Ejemplo 3.68. Deseamos construir una lata cil´ndrica con 40 cm3 de ca-
ı
pacidad. El material del fondo y de la tapa es dos veces m´s caro que el del
a
lateral. Hallar el radio y la altura de la lata m´s econ´mica.
a o
Soluci´n. La magnitud a minimizar es el coste. Suponiendo que el precio
o
por unidad de superficie del lateral es p el de las bases ser´ 2p, con lo que
a
resulta:
Sb = πr2 + πr2 = 2πr2 2p coste Sb = 4πr2 p
c = 4πr2 p + 2πrhp
Sl = 2πrh p coste Sl = 2πrhp
40
y teniendo en cuenta que v = 40 resulta πr2 h = 40 → h = de donde,
πr2
40 80
c = 4πr2 p + 2πrhp = 4πr2 p + 2πr 2
p = 4πr2 p + p
πr r
80
luego, c (r) = 8πrp − p, con lo que resulta,
r2
Ö
80 80 80 80 10 10
8πrp − 2 p = 0 → 8πr − 2 = 0 → 8πr = 2 → r3 = →r=
3
=
r r r 8π π π
Comprobamos que realmente se trata de un m´
ınimo, a partir de la segunda
derivada:
160
c (r) = 8π + 3 ⇒ c (r) 0 → m´ ınimo
r
la altura correspondiente a este radio ser´:
a
Ö Ö
40 40 40 3 1000 3 10
h= Ö = = √
3
=4 =4 = 4r
3 100 3 100π 3 100π 100π π
π
π2 π2
Ejemplo 3.69. Hallar el punto m´s cercano y m´s alejado de la par´bola
a a a
y = 4 − x2 al punto (0, 1)

215. 3.6. EXTREMOS DE FUNCIONES DE UNA SOLA VARIABLE 207
Soluci´n. Consideremos un punto gen´rico X(x, y) de la par´bola y = 4−x2 .
o e a
Su distancia al punto P (0, 1) vendr´ definida por la expresi´n:
a o
4
d= (x − 0)2 + (y − 1)2
(x, y) cuyo valor ha de ser m´ximo o m´
a ınimo. Aho-
3
ra bien, para facilitar la resoluci´n del proble-
o
2
ma, eliminamos la ra´ cuadrada elevando al
ız
1
cuadrado.
−2 −1
−1
1 2 d2 = x2 + (y − 1)2
−2 y teniendo en cuenta el valor de y = 4 − x2
resulta:
Figura 3.32: y = 4 − x2
d2 = x2 + (4 − x2 − 1)2 = x2 + (3 − x2 )2 = x2 + 9 − 6x2 + x4 = x4 − 5x2 + 9
Y dado que, al ser d positivo, el valor m´ximo o m´
a ınimo de d se corresponde
con el de d2 , podemos optimizar la expresi´n:
o
g(x) = d2 = x4 − 5x2 + 9
Hallamos los puntos cr´
ıticos
Ö
5
g (x) = 4x − 10x
3
→ x(4x − 10) = 0
2
→ x = 0, x = ±
2
Para estudiar la naturaleza de los puntos cr´
ıticos podemos acudir al signo
de la segunda derivada:
g (x) = 12x2 − 10
g (0) = −10 → M´ximo relativo
a
g (+ 5
2) = 12 5
2 − 10 = 30 − 10 = 20 → m´
ınimo relativo
g (− 5
2) = 12 5
2 − 10 = 30 − 10 = 20 → m´
ınimo relativo
El m´ximo relativo no es el m´ximo absoluto, ya que la funci´n no tiene
a a o
m´ximo absoluto por alejarse hacia el infinito.
a
El m´
ınimo absoluto estar´ en uno de los dos m´
a ınimos relativos, para deter-
minarlo hallamos el valor de la funci´n g en cada uno de ellos.
o
Ö Ö
5 25 25 25 − 50 + 36 11 5
g(+ )= − +9= = = g(− )
2 4 2 4 4 2
Luego los puntos de la par´bola y = 4 − x2 que se encuentran m´s cercano
a a
al punto (0, 1) son:
Ö Ö
5 5 3 5 3
f (+ )=4− = → P1 (+ , )
2 2 2 2 2

216. 208 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Ö Ö
5 5 3 5 3
f (− )=4− = → P2 (− , )
2 2 2 2 2
mientras que el punto m´s alejado no existe.
a
3.7. Problemas propuestos del Cap´
ıtulo 3
Ejercicios propuestos del Cap´
ıtulo 3
Soluciones en la p´gina ??
a
3.1.
Problemas resueltos del Cap´
ıtulo 3
ıproca). Hallar, si existe, la funci´n rec´
3.1 (Hallando la funci´n rec´
o o ıproca de:
x
f (x) =
1 + |x|
estudiar la continuidad de ambas funciones y esbozar sus gr´ficas.
a
Soluci´n. –Continuidad de la funci´n f . Al no anularse el denominador para ning´ n valor
o o u
de x, el domino es todo R
Df = R
La funci´n es continua en todo el dominio por tratarse de un cociente de funciones conti-
o
nuas y no anularse el denominador.
–La funci´n es inyectiva. En efecto, eliminando el valor absoluto y expresando la funci´n
o o
por casos, se tiene,
x 1
si x ≥ 0 si x ≥ 0
1+x (1 + x)2
f (x) = x ⇒ f (x) = 1
si x 0 si x 0
1−x (1 − x)2
(la funci´n es continua y derivable en x = 0).
o
Al ser f (x) 0 para todo valor de x, la funci´n es estrictamente creciente en todo su
o
dominio, y por tanto inyectiva. Al ser inyectiva tiene funci´n rec´
o ıproca.
–Ecuaci´n de la rec´
o ıproca. De la ecuaci´n que define la funci´n
o o
x
y=
1 + |x|
se desprende que sig x = sig y. En consecuencia:
x y
Si y ≥ 0 ⇒ y = ⇒ y + yx = x ⇒ y = x − yx = x(1 − y) ⇒ x =
1+x 1−y
de donde, intercambiando la variables, se tiene
x x
y= ⇒ f −1 (x) = para x ≥ 0
1−x 1−x
x y
Si y 0 ⇒ y = ⇒ y − yx = x ⇒ y = x − yx = x(1 + y) ⇒ x =
1−x 1+y
de donde, intercambiando la variables, se tiene
x x
y= ⇒ f −1 (x) = para x 0
1+x 1+x

217. 3.7. PROBLEMAS PROPUESTOS DEL CAP´
ITULO 3 209
Uniendo ambos resultados, resulta:
x
para x ≥ 0
f −1
(x) = 1−x ⇒ f −1 (x) =
x
x 1 − |x|
para x 0
1+x
–Dominio y recorrido de la rec´
ıproca. Se tiene:
Rf −1 = Df = R
Df −1 = Rf
Para determinar Rf , tenemos en cuenta que Df = R y que f es estrictamente creciente.
Y al ser,
x x
l´
ım =1 y l´
ım = −1
x→∞ 1 + |x| x→−∞ 1 + |x|
resulta que
Df −1 = Rf = (−1, 1)
Es decir, se tiene:
f : R → (−1, 1), f −1 : (−1, 1) → R
–Continuidad de la funci´n rec´
o ıproca. Tenemos que
x
f −1 (x) = Df −1 = (−1, 1)
1 − |x|
luego se trata del cociente de funciones continuas y no se anula el denominador –dentro
del dominio–. Luego la rec´ıproca es continua en todo su dominio.
Gr´fica.
a
y f −1
y=x
1
f
x
-1
Figura 3.33: Simetr´ de las correspondencias inversas
ıa
3.2 (C´lculo de l´
a ımites mediante polinomios de Taylor). Utilizando el polinomio
de Taylor de orden 3 centrado en el origen de la funci´n ln(1 + ln(1 + x)), y el de orden
o
cuatro centrado en el origen de 1 − cos(1 − cos x), calcula
l´
ım
x→0
¡
3 sen(x3 ) + 1 − cos(1 − cos x)
2 ln 1 + ln(1 + x) + e−2x − 1
Soluci´n. Los desarrollos de Taylor de las funciones que intervienen en el l´
o ımite los obte-
nemos a partir de los desarrollos de Taylor de las funciones elementales. En efecto,
x ¡
3 3
x3 x9
sen x ≈ x− +· · · ⇒ sen x3 ≈ x3 − +· · · = x3 − +· · · ⇒ sen x3 ≈ x3 −· · ·
3! 3! 3!

218. 210 CAP´
ITULO 3. DERIVADA DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
x2 x4 x2 x4
cos x ≈ 1 − + · · · ⇒ 1 − cos x ≈ − + ···
2! 4! 2! 4!
de donde,
2 4
x2 x4 x2 x4
− + ··· − + ···
2! 4! 2! 4! x4
1 − cos(1 − cos x) ≈ − + ··· ≈ + ···
2! 4! 8
Por otro lado,
x x x
dt 1 x2 x3
ln(1 + x) = = dt = [1 − t + t2 − · · · ] dt = x − + − ···
0 1+t 0 1 − (−t) 0 2 3
de donde,
x2 x3 x2 x3
¡
ln 1 + ln(1 + x) ≈ (x −
x
+
2
x3
− ···) −
(x −
2
+
3
· · · )2
+
(x −
2
+
3
· · · )3
···
2 3 2 3
2 3 2 3 3
x x x x x
≈ (x − + − ···) − ( − + ···) + ( − ···)
2 3 2 2 3
3
7x
≈ x − x2 + − ···
6
Y, finalmente, tenemos
x2 x3 x2 x3
ex ≈ 1 + x + + + ··· ⇒ ex − 1 ≈ x + + + ···
2 3! 2 3!
de donde,
(−2x)2 (−2x)3 8x3
e−2x − 1 ≈ −2x + + + · · · ≈ −2x + 2x2 − + ···
2 3! 6
de donde, sustituyendo, resulta:
l´
ım
x→0
¡
3 sen(x3 ) + 1 − cos(1 − cos x)
2 ln 1 + ln(1 + x) + e−2x − 1
=
4
3[x3 − · · · ] + [ x − · · · ]
8
= l´
ım =
x→0 7x3 8x3
2[x − x2 +− · · · ] + [−2x + 2x2 − + ···]
6 3
3[x3 − · · · ] 3[x3 − · · · ]
= l´
ım 3 3
= l´
ım =3
x→0 14x 8x x→0 6x3
[2x − 2x2 + − · · · ] + [−2x + 2x2 − + ···]
6 6 6
Problemas propuestos del Cap´
ıtulo 3
Soluciones en la p´gina 391
a
3.1.

219. Cap´
ıtulo 4
Derivaci´n de funciones de
o
varias variables
4.1. Derivadas parciales
4.1.1. Introducci´n
o
Funciones de una variable. Recordemos que para una funci´n de una
o
variable f : D ⊆ R → R definida en el intervalo abierto D de R, se define la
derivada de f en x0 ∈ D, denotada por f (x0 ), como el valor del siguiente
l´
ımite, si existe y es finito.
dy f (x0 + h) − f (x0 ) f (x) − f (x0 )
f (x0 ) = (x0 ) = l´
ım = l´
ım
dx h→0 h x→x0 x − x0
Si f (x0 ) existe, su valor nos da la pendiente de la recta tangente a la gr´fica
a
de la funci´n y = f (x) en el punto x0 , f (x0 ) . El valor de f (x0 ) tambi´n
o e
representa la raz´n de cambio instant´neo de y respecto de x.
o a
Nota: La raz´n de definir la derivada en un punto perteneciente a un con-
o
junto abierto D (dominio de la funci´n), es para poder asegurar que para
o
h ∈ R peque˜o, se tenga (x0 + h) ∈ D y que as´ tenga sentido la expresi´n
n ı o
f (x0 + h) que aparece en la definici´n de derivada.
o
La importancia de estudiar el concepto de derivada radica en que a partir
de la derivada de una funci´n en un punto se puede obtener informaci´n so-
o o
bre el comportamiento de la propia funci´n, aunque esta informaci´n es s´lo
o o o
local , es decir, a partir de f (x0 ) obtenemos informaci´n sobre el compor-
o
tamiento de f , pero s´lo alrededor de x0 . As´ por ejemplo, el simple hecho
o ı,
de la existencia de f (x0 ) se˜ala un comportamiento suave de la gr´fica de
n a
la funci´n en los alrededores del punto x0 , f (x0 ) ; el signo de f (x0 ) se˜ala
o n
el crecimiento o decrecimiento de la funci´n alrededor del punto, etc. Esta
o
informaci´n, aunque s´lo es local, es muy importante. No obstante, a partir
o o
de la funci´n derivada f (x) podemos obtener una informaci´n m´s global
o o a
del comportamiento de la funci´n. o
211

220. 212 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Funciones de dos variables. El concepto de derivada se puede generalizar
a funciones de dos variables z = f (x, y). La idea intuitiva responde a la
siguiente cuesti´n: ¿C´mo se va a ver afectada una funci´n de dos variables
o o o
por una variaci´n de una de sus variables, mientras que la otra variable
o
permanece fija? Podemos responder a esta cuesti´n considerando cada vez
o
s´lo una de las variables. Esto es, hacemos la derivada de la funci´n cada vez
o o
con respecto a una variable, manteniendo constante la otra. Este proceso se
conoce como derivaci´n parcial, y su resultado se llama derivada parcial de la
o
funci´n respecto a la variable independiente elegida. Para ello partimos de la
o
idea del concepto de derivada de funciones de una variable “el l´ımite, cuando
el incremento de la variable tiende a cero, del cociente del incremento de la
funci´n dividido entre el incremento de la variable”. Suponemos que una de
o
las variables es constante e incrementamos s´lo la otra, es decir, hacemos
o
la derivada suponiendo que la funci´n depende s´lo de una de las variables.
o o
Con ello se reduce la discusi´n al caso uni-dimensional considerando una
o
funci´n de varias variables como una funci´n de una sola variable (cada
o o
variable separadamente), manteniendo fijas las dem´s. a
4.1.2. Definici´n
o
Supongamos que en cierto entorno del punto (x0 , y0 ) est´ dada la funci´n
a o
z = f (x, y). Si fijamos la variable y: y = y0 , obtenemos una funci´n de una
o
sola variable x: z = f (x, y0 ). La derivada “habitual”de esta funci´n en el
o
punto x = x0 se llama derivada parcial de la funci´n f en el punto (x0 , y0 ),
o
respecto de x, y se denota por
∂f (x0 , y0 ) ∂f
, o bien (x0 , y0 )
∂x ∂x
De esta forma,
∂f (x0 , y0 ) def df (x, y0 )
=
∂x dx x=x0
Nota: Se˜alemos que la designaci´n de la derivada parcial de la funci´n
n o o
∂f (x0 , y0 )
f , respecto de la variable x, por es tradicional. Aunque es m´s
a
∂x
∂f ∂f
correcto escribir (x0 , y0 ), ya que la expresi´n o es un s´
ımbolo unico,
´
∂x ∂x
que designa la nueva funci´n, cuyo valor se analiza en el punto (x0 , y0 ).
o
Teniendo en cuenta la definici´n de derivada de una funci´n de una sola
o o
variable, resulta la siguiente definici´n de derivada parcial para funciones de
o
dos variable.
Definici´n 4.1. Dada una funci´n de dos variables f : D ⊆ R2 → R
o o
definida en el abierto D de R2 , se define la derivada parcial de f con respecto

221. 4.1. DERIVADAS PARCIALES 213
a x en el punto p = (x0 , y0 ) de D como el valor del siguiente l´mite, si existe
ı
y es finito.
∂f f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = l´
ım
∂x h→0 h
Del mismo modo, se define la derivada parcial de f con respecto a y en p,
como el siguiente l´
ımite, si existe y es finito.
∂f f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = l´
ım
∂y k→0 k
N´tese que en cada caso aplicamos la definici´n de derivada incremen-
o o
tando solamente una de las variables, mientras que la otra permanece fija.
M´s expl´
a ıcitamente podemos escribir:
∂f f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = l´
ım
∂x ∆x→0 ∆x
∂f f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = l´
ım
∂y ∆y→0 ∆y
C´lculo de derivadas parciales aplicando la definici´n.
a o
Ejemplo 4.1. Calcular, aplicando la definici´n, las dos derivadas parciales
o
de la funci´n f (x, y) = xy + x − y, en el punto p(0, 0).
o
Soluci´n.
o
∂f f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = l´
ım = l´
ım =
∂x h→0 h h→0 h
h·0+h−0−0 h
= l´ ım = l´ım = l´ 1 = 1
ım
h→0 h h→0 h h→0
∂f f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − f (0, 0)
(0, 0) = l´
ım = l´
ım =
∂y k→0 k k→0 k
0·k+0−k−0 −k
= l´
ım = l´ım = l´ −1 = −1
ım
k→0 k k→0 k k→0
Ejemplo 4.2. Calcular las dos derivadas parciales en el punto p(0, 0) de la
funci´n:
o
xy 2
si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2
0 si (x, y) = (0, 0)
Soluci´n.
o
∂f f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = l´
ım = l´
ım =
∂x h→0 h h→0 h
h · 02
2 2
−0 0
= l´ h + 0
ım = l´ım = l´ 0 = 0
ım
h→0 h h→0 h h→0

222. 214 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
∂f f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − f (0, 0)
(0, 0) = l´
ım = l´
ım =
∂y k→0 k k→0 k
0 · k2
2 2
−0 0
= l´ 0 + k
ım = l´ım = l´ 0 = 0
ım
k→0 k k→0 k k→0
Ejemplo 4.3. Calcular, aplicando la definici´n, las dos derivadas parciales
o
de la funci´n f (x, y) = 2x
o 2 − xy + y 2 , en el punto p(1, 0).
Soluci´n.
o
∂f f (1 + h, 0) − f (0, 0)
(1, 0) = l´ h→0
ım =
∂x h
2(1 + h)2 − (1 + h) · 0 + 02 − (2 − 0 + 0)
= l´
ım =
h→0 h
2(1 + 2h + h 2) − 2 2 + 4h + 2h 2−2
= l´
ım = l´ım =
h→0 h h→0 h
4h + 2h2
= l´
ım = l´ (4 + 2h) = 4
ım
h→0 h h→0
∂f f (1, 0 + k) − f (1, 0) f (1, k) − f (1, 0)
(1, 0) = l´ k→0
ım = l´ k→0
ım =
∂y k k
2 · 12 − 1 · k + k 2 − (2) 2 − k + k2 − 2
= l´
ım = l´
ım =
k→0 k 0→0 k
−k + k 2
= l´
ım = l´ (−1 + k) = −1
ım
k→0 k k→0
4.1.3. La funci´n derivada parcial
o
Si hallamos las derivadas parciales de una funci´n de dos variables z =
o
f (x, y) en un punto gen´rico (x, y) de su dominio, obtenemos, a su vez,
e
funciones de dos variables, llamadas funciones derivadas parciales. As´
ı:
∂f f (x + h, y) − f (x, y) ∂f f (x, y + k) − f (x, y)
(x, y) = l´
ım , (x, y) = l´
ım
∂x h→0 h ∂y k→0 k
Ejemplo 4.4. Hallar, aplicando la definici´n, las derivadas parciales de la
o
funci´n:
o
f (x, y) = x2 y 3 + 5
Soluci´n.
o
∂f f (x + h, y) − f (x, y) (x + h)2 y 3 + 5 − (x2 y 3 + 5)
(x, y) = l´
ım = l´
ım =
∂x h→0 h h→0 h
x2 y 3 + 2hxy 3 + h2 y 3 + 5 − x2 y 3 − 5 2hxy 3 + h2 y 3
= l´
ım = l´
ım =
h→0 h h→0 h
= 2x y 3

223. 4.1. DERIVADAS PARCIALES 215
∂f f (x, y + k) − f (x, y) x2 (y + k)3 + 5 − (x2 y 3 + 5)
(x, y) = l´
ım = l´ım =
∂y k→0 k k→0 k
x2 y 3 + 3x2 y 2 k + 3x2 yk 2 + x2 k 3 + 5 − x2 y 3 − 5
= l´
ım =
k→0 k
3x2 y 2 k + 3x2 yk 2 + x2 k 3
= l´
ım = l´ 3x2 y 2 + 3x2 yk + x2 k 2 =
ım
k→0 k k→0
= 3x2 y 2
C´lculo de derivadas parciales mediante las reglas de derivaci´n.
a o
Si observamos los resultados del ejemplo anterior, podemos concluir que no
es necesario aplicar la definici´n para calcular las derivadas parciales, sino
o
que se pueden calcular aplicando las reglas ordinarias de derivaci´n. Esto
o
se deduce de la propia definici´n, ya que de la definici´n de las derivadas
o o
parciales, como derivadas ordinarias con la condici´n de que se han fijado
o
todas las variables excepto una, respecto de la cual se toma la derivada, se
deduce que al calcular las derivadas parciales se pueden utilizar las reglas
del c´lculo de las derivadas ordinarias. Es decir,
a
∂f
(x, y) Se puede calcular mediante las reglas de derivaci´n, es decir, como
o
∂x
una derivada ordinaria, de la funci´n f respecto de la variable x,
o
suponiendo y constante (es decir, como si la funci´n f dependiera
o
s´lo de x, porque y es un n´mero). En consecuencia, consideramos
o u
que y es constante y derivamos con respecto a x.
∂f
(x, y) Se puede calcular mediante las reglas de derivaci´n, es decir, como
o
∂y
una derivada ordinaria, de la funci´n f respecto de la variable y,
o
suponiendo x constante (es decir, como si la funci´n f dependiera
o
s´lo de y, porque x es un n´mero). En consecuencia, consideramos
o u
que x es constante y derivamos con respecto a y.
Ejemplo 4.5. Calcular las dos derivadas parciales de las siguientes fun-
ciones:
1. f (x, y) = x2 + 2xy 2 − y 3
a) Fijemos en la f´rmula la variable y, es decir, supongamos que y
o
es un n´mero, con lo cual obtenemos una funci´n de una sola
u o
variable x; y calculando su derivada tendremos:
∂f
= 2x + 2y 2
∂x
b) De la misma forma, fijemos ahora la variable x es decir, supon-
gamos que x es un n´mero, con lo cual obtenemos una funci´n
u o
de una sola variable y; y calculando su derivada tendremos:
∂f
= 4xy − 3y 2
∂y

224. 216 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
2. z = (x2 + y 2 )e−xy
∂z
= 2xe−xy + (x2 + y 2 )(−ye−xy ) = (2x − x2 y − y 3 )e−xy
∂x
∂z
= 2ye−xy + (x2 + y 2 )(−xe−xy ) = (2y − x3 − xy 2 )e−xy
∂y
3. z = xyex/y
∂z 1
= yex/y + xy( ex/y ) = (y + x)ex/y
∂x y
∂z −x x2 x(y − x)ex/y
= xex/y + xy( 2 ex/y ) = (x − )ex/y =
∂y y y y
Ejemplo 4.6. Dada la funci´n: f (x, y) = 4x3 y 2 − 4x2 + y 6 + 1. Hallar las
o
dos derivadas parciales en el punto (1, 1)
Soluci´n. Calculamos las derivadas parciales mediante las reglas de deriva-
o
ci´n y luego sustituimos las coordenadas del punto.
o
∂f ∂f
(x, y) = 12x2 y 2 − 8x → (1, 1) = 12 − 8 = 4
∂x ∂x
∂f ∂f
(x, y) = 8x3 y + 6y 5 → (1, 1) = 8 + 6 = 14
∂y ∂y
Notaci´n: Se utilizan las siguientes notaciones:
o
∂z ∂f ∂f
zx = = = (x, y) = fx = fx = fx (x, y) = Dx f (x, y) = D1 f (x, y)
∂x ∂x ∂x
∂z ∂f ∂f
zy = = = (x, y) = fy = fy = fy (x, y) = Dy f (x, y) = D2 f (x, y)
∂y ∂y ∂y
Cuando se trate de un punto gen´rico (x, y), normalmente no indicaremos las
e
coordenadas, simplemente pondremos fx . Sin embargo, cuando se trate de un
punto concreto (x0 , y0 ), siempre las indicaremos, para saber de qu´ punto se
e
trata. En este caso, en algunas ocasiones utilizaremos la siguiente notaci´n:
o
∂f ∂f
(x0 , y0 ) =
∂x ∂x
(x0 ,y0 )
4.1.4. Funciones de m´s de dos variables
a
El concepto de derivada parcial se puede generalizar a funciones de cualquier
n´mero de variables. Bastar´ con derivar la funci´n suponiendo que depende,
u a o
en cada caso, de una sola variable, con las dem´s fijas. As´ si w = f (x, y, z),
a ı,
entonces hay tres derivadas parciales, las cuales se obtienen considerando
cada vez dos de las variables constantes y derivando respecto de la otra. Es

225. 4.1. DERIVADAS PARCIALES 217
decir, para definir la derivada parcial de w con respecto a x, consideramos
que y y z son constantes y escribimos
∂w f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z)
= l´
ım
∂x ∆x→0 ∆x
Para definir la derivada parcial w con respecto a y, consideramos que x y z
son constante y escribimos
∂w f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z)
= l´
ım
∂y ∆y→0 ∆y
Para definir la derivada parcial w con respecto a z, consideramos que x y y
son constante y escribimos
∂w f (x, y, z + ∆z) − f (x, y, z)
= l´
ım
∂z ∆z→0 ∆z
Ejemplo 4.7. Hallar las derivadas parciales de la funci´n:
o
f (x, y, z) = e−5z cos πx sen 4y
Soluci´n. En cada caso, suponemos constante dos de las variables, con lo cual
o
se obtiene una funci´n de una sola variable, respecto de la cual se deriva.
o
∂f
= −πe−5z sen πx sen 4y
∂x
∂f
= 4e−5z cos πx cos 4y
∂y
∂f
= −5e−5z cos πx sen 4y
∂z
Notaci´n vectorial para definir las derivadas parciales. Como acabamos de ver,
o
el concepto de derivada parcial se extiende a funciones de tres variables f (x, y, z) de la
siguiente forma:
∂f f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z) f (x, y + t, z) − f (x, y, z)
= l´
ım = l´
ım
∂y ∆y→0 ∆y t→0 t
An´logamente se calculan las dem´s derivadas parciales.
a a
Para los incremento, ∆x, ∆y, etc., en vez de usar las letras h, k, etc., se pueden usar
h1 , h2 , etc., o bien, podemos usar siempre la letra t.
Del mismo modo se extiende a funciones de cuatro variables f (x, y, z, u)
∂f f (x, y + t, z, u) − f (x, y, z, u)
= l´
ım
∂y t→0 t
Desde el punto de vista te´rico, para definir las derivadas parciales en el caso general
o
de funciones de n variables f : D ⊆ Rn → R, conviene usar notaci´n vectorial. Para
o
ello consideramos los vectores e1 , e2 , · · · , en ∈ Rn de la base can´nica de Rn , cuyas
o
componentes son:
e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, · · · , 0), · · · , en = (0, 0, · · · , 1)

226. 218 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
con lo cual, para cualquier n´mero t ∈ R, resulta:
u
te1 = (t, 0, · · · , 0), te2 = (0, t, · · · , 0), · · · , ten = (0, 0, · · · , t)
de donde, para cualquier punto p ∈ Rn , de coordenadas p = (x1 , x2 , · · · , xn ), se tiene:
p + tei = (x1 , x2 , · · · , xn ) + (0, · · · , t, · · · , 0) = (x1 , x2 , · · · , xi + t, · · · , xn )
Es decir, p + tei tiene las mismas coordenadas que p, salvo la i-´sima coordenada que se
e
ha incrementado en t. En consecuencia, podemos enunciar la siguiente definici´n:
o
Definici´n 4.2 (Derivadas parciales). Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´n definida en
o o
el conjunto abierto1 D de Rn , y sea p ∈ D. Se define la derivada parcial de f con respecto
a su i-´sima variable en el punto p, como el siguiente l´
e ımite, si existe y es finito:
∂f f (p + tei ) − f (p)
(p) = l´
ım
∂xi t→0 t
Del mismo modo puede definirse la derivada parcial en un punto gen´rico x ∈ D,
e
como
∂f f (x + tei ) − f (x)
(x) = l´
ım
∂xi t→0 t
4.1.5. Raz´n de cambio
o
Las derivadas parciales tambi´n pueden interpretarse como la raz´n de cam-
e o
bio instant´neo de la funci´n respecto de una variable, mientras la otra
a o
permanece fija. As´ı,
∂f
(x0 , y0 ) Se puede interpretar como la raz´n de cambio instant´neo de la
o a
∂x
funci´n f cuando se conserva
o fija la variable y y var´ la x.
ıa
∂f
(x0 , y0 ) Se puede interpretar como la raz´n de cambio instant´neo de la
o a
∂y
funci´n f cuando se conserva
o fija la variable x y var´ la y.
ıa
Es decir, las derivadas parciales miden la velocidad de variaci´n parcial de
o
la funci´n con respecto a cada variable, cuando las dem´s se mantienen fijas.
o a
Ejemplo 4.8. Un cilindro recto tiene 4 cm. de radio y 20 cm. de altura. Ha-
llar la raz´n de cambio del volumen del cilindro respecto del radio y respecto
o
de la altura.
Soluci´n. Tenemos que V = πr2 h, luego:
o
Para hallar la raz´n de cambio del volumen respecto del radio, r, fijamos
o
1
La raz´n de definir las derivadas parciales en un punto perteneciente a un conjunto
o
abierto D (dominio de la funci´n), es para poder asegurar que para t ∈ R peque˜o, se tenga
o n
p + tei ∈ D y que as´ tenga sentido la expresi´n f (p + tei ) que aparece en la definici´n de
ı o o
derivada parcial. No obstante, este requisito puede reemplazarse por la exigencia de que
p sea un punto interior del dominio. Es decir, para poder hablar de la derivada de una
funci´n en un punto, la funci´n tiene que estar definida en cierto entorno del punto.
o o

227. 4.1. DERIVADAS PARCIALES 219
la altura, h, y derivamos con respecto a r. A continuaci´n evaluamos la
o
derivada parcial para r = 4 y h = 20.
∂V ∂V
= 2πrh → (r = 4, h = 20) = 2π · 4 · 20 = 160π cm3 /cm de r
∂r ∂r
Para hallar la raz´n de cambio del volumen respecto de la altura, h, fijamos el
o
radio, r, y derivamos con respecto a h. A continuaci´n evaluamos la derivada
o
parcial para r = 4 y h = 20.
∂V ∂V
= πr2 → (r = 4, h = 20) = 16π cm3 /cm de h
∂h ∂h
En el primer caso, si mantenemos fija la altura e incrementamos el radio, se
produce un incremento del volumen de 160π cm3 /cm de r. Mientras que
en el segundo caso, si mantenemos fijo el radio e incrementamos la altura,
se produce un incremento del volumen de 16π cm3 /cm de h
4.1.6. Interpretaci´n geom´trica de las derivadas parciales
o e
Recta tangente Recta
d © = f (x, y0 )
‚
d z z = f (x, y) tangente
z z ©
T
P• T •
z = f (x, y) P k


z = f (x0 , y)
y0 y
E y0 y
E
x0 • p(x0 , y0 )
x0 •
x x p(x0 , y0 )
©
©
Figura 4.1: Curvas z = f (x, y0 ) y z = f (x0 , y).
Si en la ecuaci´n z = f (x, y) fijamos la variable y, y = y0 , resulta una
o
funci´n de una sola variable, z = f (x, y0 ) = g(x). Desde el punto de vista
o
geom´trico, la funci´n g(x) = f (x, y0 ) representa la curva que se obtiene de
e o
la intersecci´n de la superficie z = f (x, y) con el plano y = y0
o
z = f (x, y)
z = f (x, y0 ) = g(x)
y = y0
En consecuencia, la derivada parcial de la funci´n f , respecto de la variable
o
x, en el punto p representa la pendiente de la tangente a la curva g(x) =
f (x, y0 ) en el punto P correspondiente de la gr´fica, es decir, la inclinaci´n
a o
de la superficie en la direcci´n del eje x.
o

228. 220 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
An´logamente, la funci´n g(y) = f (x0 , y) representa la curva que se
a o
obtiene de la intersecci´n de la superficie z = f (x, y) con el plano x = x0
o
z = f (x, y)
z = f (x0 , y) = g(y)
x = x0
La derivada parcial de la funci´n f , respecto de la variable y, en el punto p
o
representa la pendiente de la tangente a la curva g(y) = f (x0 , y) en el punto
P correspondiente de la gr´fica, es decir, la inclinaci´n de la superficie en la
a o
direcci´n del eje y.
o
En un lenguaje m´s informal, diremos que los valores de ∂f /∂x y ∂f /∂y
a
en el punto (x0 , y0 ) representan la pendiente de la superficie en el punto
(x0 , y0 , z0 ) en las direcciones de los ejes x e y, respectivamente.
Ejemplo 4.9. Hallar la pendiente a la superficie f (x, y) = 16 − x2 − 4y 2 en
el punto P (3, −1, 3), en las direcciones de los ejes x e y.
Soluci´n. En la direcci´n del eje Ox, la pendiente viene dada por
o o
∂f ∂f
= −2x → (3, −1) = −6 → tan α = −6
∂x ∂x
En la direcci´n del eje Oy, la pendiente viene dada por
o
∂f ∂f
= −8y → (3, −1) = 8 → tan β = 8
∂y ∂y
El que la derivada parcial en una direcci´n sea positiva y en otra negativa
o
significa que, desde el punto p, en la direcci´n del eje Ox la funci´n decrece,
o o
mientras que en la direcci´n del eje Oy crece.
o
4.1.7. Continuidad y derivadas parciales
Recordemos que para n = 1, es decir, para las funciones de una variable, de
la existencia de la derivada en un punto se deriva tambi´n que la funci´n
e o
es continua en ese punto. Sin embargo, para funciones de varias variables,
la existencia de las derivadas parciales no garantiza la continuidad de una
funci´n.
o
En efecto, la existencia de fx depende del comportamiento de la funci´n o
s´lo en la direcci´n del eje x, y la existencia de fy del comportamiento de la
o o
funci´n s´lo en la direcci´n del eje y, mientras que la continuidad depende del
o o o
comportamiento de la funci´n en todos los puntos del entorno. Esto significa
o
que una funci´n puede tener derivadas parciales en un punto aunque no sea
o
continua en dicho punto.
Tenemos pues, que cuando n ≥ 2, incluso de la existencia de todas las
derivadas parciales en cierto punto, no se deduce la continuidad en ese punto.

229. 4.1. DERIVADAS PARCIALES 221
Por otro lado, igual que ocurre para funciones de una variable, resulta
evidente que de la continuidad de las funciones de n variables en un punto
dado, no se deriva la existencia de sus derivadas parciales en ese punto.
En consecuencia, para funciones de n variables, n ≥ 2, ni de la conti-
nuidad de esa funci´n en un punto se deduce la existencia de las derivadas
o
parciales, ni de la existencia de las derivadas parciales se deduce la conti-
nuidad en el punto.
Ejemplo 4.10. Estudiar la continuidad y calcular las dos derivadas par-
ciales en el punto p(0, 0) de la funci´n f : R2 → R definida por:
o
xy
si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x2 + y2
0 si (x, y) = (0, 0)
Soluci´n.
o
1. Continuidad: La funci´n no es continua en el punto p(0, 0), ya que no
o
existe el l´
ımite en dicho punto. En efecto, si nos acercamos al punto
mediante las rectas y = mx resulta:
xy xy xmx
l´
ım = l´ ım = l´ ım =
(x,y)→(0,0) x2 +y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y2 (x,y)→(0,0) x
2 + m2 x2
y=mx y=mx
x→0
m m
= l´
ım =
x→0 1 + m2 1 + m2
luego el l´
ımite no existe ya que depende del valor de m. Es decir, seg´n
u
la recta por la que nos aproximemos al punto tendr´ ıamos un valor del
l´
ımite u otro.
2. Existencia de las derivadas parciales. A pesar de que la funci´n no es
o
continua en el punto p(0, 0), las derivadas parciales en dicho punto
existen. En efecto:
∂f f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = l´
ım = l´
ım =
∂x h→0 h h→0 h
h·0
2 + 02
−0
= l´ h
ım =0
h→0 h
∂f f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − f (0, 0)
(0, 0) = l´
ım = l´
ım =
∂y k→0 k k→0 k
0 · k2
2 2
−0
= l´ 0 + k
ım =0
k→0 k

230. 222 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Ejemplo 4.11. Estudiar la continuidad y calcular las dos derivadas par-
ciales en el punto p(0, 0) de la funci´n f : R2 → R definida por:
o
1 si xy = 0
f (x, y) =
0 si xy = 0
Soluci´n. Entendamos primero el significado de la expresi´n que define la
o o
funci´n. Tenemos que la imagen de un punto (x, y) es 1 si las dos compo-
o
nentes son distintas de cero, y 0 si alguna de las componentes es cero. Es
decir, para x = 0 e y = 0, se tiene:
f (x, y) = 1, f (x, 0) = 0, f (0, y) = 0, f (0, 0) = 0.
En consecuencia,
1. Continuidad: La funci´n no es continua en el punto p(0, 0), ya que no
o
existe el l´
ımite en dicho punto. En efecto, si nos acercamos al punto
mediante la recta y = x resulta:
l´
ım f (x, y) = l´
ım 1 = 1 = f (0, 0) = 0
(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)
y=x
mientras que si nos acercamos al punto mediante la recta x = 0 resulta:
l´
ım f (x, y) = l´
ım 0 =0=1
(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0)
y=0
2. Existencia de las derivadas parciales. A pesar de que la funci´n no es
o
continua en el punto p(0, 0), las derivadas parciales en dicho punto
existen. En efecto:
∂f d d
(0, 0) = f (x, 0) = 0 =0
∂x dx x=0 dx x=0
∂f d d
(0, 0) = f (0, y) = 0 =0
∂y dy y=0 dy y=0
4.2. Derivadas parciales de ordenes superiores
´
Derivadas parciales de segundo orden
Las derivadas parciales de una funci´n de dos variables f (x, y), son, a su vez,
o
funciones de dos variables, fx (x, y), fy (x, y) y, por lo tanto, podemos obtener
de ellas, nuevamente, sus derivadas parciales. Llamadas derivadas parciales
de segundo orden. As´ resultan las siguientes cuatro derivadas parciales de
ı,
segundo orden:
∂ ∂f ∂ ∂f ∂ ∂f ∂ ∂f
, , ,
∂x ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y

231. ´
4.2. DERIVADAS PARCIALES DE ORDENES SUPERIORES 223
Notaci´n: Para simplificar los par´ntesis usaremos la siguiente notaci´n:
o e o
∂ ∂f ∂2f
(fx )x = fxx = = = D1 (D1 f ) = D11 f
∂x ∂x ∂x2
∂ ∂f ∂2f
(fx )y = fxy = = = D2 (D1 f ) = D21 f
∂y ∂x ∂y∂x
∂ ∂f ∂2f
(fy )x = fyx = = = D1 (D2 f ) = D12 f
∂x ∂y ∂x∂y
∂ ∂f ∂2f
(fy )y = fyy = = = D2 (D2 f ) = D22 f
∂y ∂y ∂y∂y
Para evitar confusi´n con el orden de derivaci´n (fxy = D21 f ), utilizare-
o o
mos el siguiente criterio: se empieza derivando por la variable “m´s cercana”
a
a la funci´n. As´ derivar primero con respecto a x y a continuaci´n con res-
o ı, o
pecto a y, se escribir´ con cualquiera de las expresiones:
a
∂2f
= fxy = Dyx f
∂y∂x
mientras que derivar primero con respecto a y y a continuaci´n con respecto
o
a x, se escribir´ con cualquiera de las expresiones:
a
∂2f
= fyx = Dxy f
∂x∂y
Nota. El criterio utilizado aqu´ unas veces va de izquierda a derecha fxy y
ı,
otras de derecha a izquierda Dyx f , por eso algunos autores utilizan criterios
diferentes. Sin embargo el utilizado aqu´ es el m´s aceptado.
ı a
Ejemplo 4.12. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la fun-
ci´n
o
f (x, y) = sen(x2 y)
Soluci´n.
o
fx = 2xy cos(x2 y)
fxx = fx x
= 2y cos(x2 y) + 2xy − 2xy sen(x2 y) =
= 2y cos(x2 y) − 4x2 y 2 sen(x2 y)
fxy = fx y
= 2x cos(x2 y) + 2xy − x2 sen(x2 y) =
= 2x cos(x2 y) − 2x3 y sen(x2 y)
fy = x2 cos(x2 y)
fyx = fy x
= 2x cos(x2 y) + x2 − 2xy sen(x2 y) =
= 2x cos(x2 y) − 2x3 y sen(x2 y)
fyy = fy y
= x2 − x2 sen(x2 y) = −x4 sen(x2 y)
Derivadas parciales cruzadas. Las derivadas parciales fxy y fyx , se lla-
man derivadas parciales cruzadas y cuando son continuas coinciden.

232. 224 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Teorema 4.1 (Igualdad de las derivadas parciales cruzadas). Si f es
una funci´n de dos variables x e y y tal que f , fx , fy , fxy y fyx son conti-
o
nuas en una regi´n abierta R, entonces se tiene que las derivadas parciales
o
cruzadas coinciden para cada (x, y) de R,
fxy (x, y) = fyx (x, y)
Este teorema se llama Teorema de Schwartz, y puede enunciarse en t´rmi-
e
nos m´s restrictivo de la siguiente forma
a
Teorema 4.2 (Teorema de Schwartz). Sea f : D ⊆ R2 → R una funci´n o
definida en el abierto D de R2 . Si las derivadas parciales fxy : D ⊆ R2 → R
y fyx : D ⊆ R2 → R existen y son funciones continuas en D, entonces
fxy = fyx
El teorema de Schwartz tambi´n puede enunciarse en los siguientes t´rmi-
e e
nos: Si fx , fy , y fxy son continuas en un entorno del punto (x0 , y0 ), entonces
existe fyx (x0 , y0 ) y se verifica fyx (x0 , y0 ) = fxy (x0 , y0 ).
Ejemplo 4.13. Hallar las derivadas parciales de segundo orden de la fun-
ci´n
o
2 2
f (x, y) = x2 yex +y
Soluci´n.
o
2 +y 2 2 +y 2 2 +y 2
fx = 2xyex + x2 y 2xex = (2x3 y + 2xy)ex
2 +y 2 2 +y 2
fxx = (6x2 y + 2y)ex + (2x3 y + 2xy) 2xex =
2 +y 2
= (4x4 y + 10x2 y + 2y)ex
2 +y 2 2 +y 2
fxy = (2x3 + 2x)ex + (2x3 y + 2xy) 2yex =
2 +y 2
= (4x3 y 2 + 2x3 + 4xy 2 + 2x)ex
2 +y 2 2 +y 2 2 +y 2
fy = x2 ex + x2 y 2yex = (2x2 y 2 + x2 )ex
2 +y 2 2 +y 2
fyx = (4xy 2 + 2x)ex + (2x2 y 2 + x2 ) 2xex =
2 +y 2
= (4x3 y 2 + 2x3 + 4xy 2 + 2x)ex
2 +y 2 2 +y 2 2 +y 2
fyy = 4x2 yex + (2x2 y 2 + x2 ) 2yex = (4x2 y 3 + 6x2 y)ex
Ejemplo 4.14. Comprobar que las derivadas parciales cruzadas de la si-
guiente funci´n, en el punto (0, 0) no coinciden.
o
x3 y − xy 3
si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2
0 si (x, y) = (0, 0)
Soluci´n.
o

233. ´
4.2. DERIVADAS PARCIALES DE ORDENES SUPERIORES 225
Si (x, y) = (0, 0), las derivadas parciales son:
∂f ∂ x3 y − xy 3 (3x2 y − y 3 )(x2 + y 2 ) − (x3 y − xy 3 )2x
= = =
∂x ∂x x2 + y 2 (x2 + y 2 )2
3x4 y + 3x2 y 3 − x2 y 3 − y 5 − 2x4 y + 2x2 y 3 x4 y + 4x2 y 3 − y 5
= =
(x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2
∂f ∂ x3 y − xy 3 (x3 − 3xy 2 )(x2 + y 2 ) − (x3 y − xy 3 )2y
= = =
∂y ∂y x2 + y 2 (x2 + y 2 )2
x5 + x3 y 2 − 3x3 y 2 − 3xy 4 − 2x3 y 2 + 2xy 4 x5 − 4x3 y 2 − xy 4
= =
(x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2
En el punto (0, 0), las derivadas parciales son:
h3 ·0−h·03
∂f f (h, 0) − f (0, 0) h2 +02
−0
(0, 0) = l´
ım = l´
ım =0
∂x h→0 h h→0 h
0 ·k−0·k 3 3
∂f f (0, k) − f (0, 0) 2 2 −0
(0, 0) = l´
ım ım 0 +k
= l´ =0
∂y k→0 k k→0 k
De donde, aplicando directamente la definici´n de derivada parcial, resulta:
o
∂f ∂f
∂2f ∂ ∂f (0, k) − (0, 0)
(0, 0) = (0, 0) = l´
ım ∂x ∂x =
∂y∂x ∂y ∂x k→0 k
04 ·k+4·02 k3 −k5
(02 +k2 )2
−0
= l´
ım = −1
k→0 k
∂f ∂f
(h, 0) − (0, 0)
∂2f ∂ ∂f ∂y ∂y
(0, 0) = (0, 0) = l´
ım =
∂x∂y ∂x ∂y h→0 h
h5 −4h3 ·O−h·04
(h2 +02 )2
−0
= l´
ım = +1
h→0 h
El teorema 4.2, de igualdad de las derivadas parciales cruzadas, tambi´n
e
se aplica a funciones de tres o m´s variables siempre y cuando f y todas
a
sus derivadas parciales primeras y segundas sean continuas. Por ejemplo,
si f es una funci´n de tres variables, w = f (x, y, z), y f y todas sus de-
o
rivadas parciales primeras y segundas son continuas en una regi´n abierta
o
R, entonces en cada punto de R el orden en la derivaci´n de las derivadas
o
parciales segundas cruzadas es irrelevante. Esto es,
fxy (x, y, z) = fyx (x, y, z)
fxz (x, y, z) = fzx (x, y, z)
fyz (x, y, z) = fzy (x, y, z)

234. 226 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Derivadas parciales de tercer orden
Si adem´s, las derivadas parciales de tercer orden son continuas, entonces no
a
importa el orden de derivaci´n de las derivadas parciales cruzadas de tercer
o
orden. En consecuencia, si hacemos las derivadas parciales de tercer orden,
resultan 23 = 8 derivadas, pero si son continuas se reducen a 3 + 1 = 4
derivadas distintas:
Ò
´ fxx
fxxx fxxx
fxxy fxx
fx Ò
´ fxy
fxyx fx fxxy
fxyy
f Ò Si son continuas → f fxy
´ fyx
fyxx
fy fxyy
fyxy
fy Ò fyyx fyy
fyy
fyyy fyyy
Es decir, si las derivadas parciales son continuas no importa el orden
de derivaci´n, sino el n´mero de veces que se ha derivado respecto de cada
o u
variable.
Ejemplo 4.15. Hallar las derivadas parciales de tercer orden de la funci´n:
o
f (x, y) = x2 + 2xy 2 − y 3
Soluci´n.
o
fxxx = 0
fxx = 2
2 fxxy = 0
fx = 2x + 2y
2 2 3
f (x, y) = x + 2xy − y fxy = 4y
2
fy = 4xy − 3y fxyy = 4
fyy = 4x − 6y
fyyy = −6
Derivadas parciales de orden n
Si hacemos las derivadas parciales de orden n, resultan 2n derivadas, pero si
son continuas se reducen a n+1 derivadas distintas. Es decir, si las derivadas
parciales son continuas no importa el orden de derivaci´n, sino el n´mero de
o u
veces que se ha derivado respecto de cada variable. Ahora bien, aunque el
resultado final de las derivadas parciales no depende del orden de derivaci´n,
o
el proceso de derivaci´n puede resultar mucho m´s complicado en un orden
o a
que en otro.
xy
Ejemplo 4.16. Dada la funci´n f (x, y) =
o . Hallar D2311 f y D1132 f
y2 + z2

235. 4.3. DERIVADAS DIRECCIONALES. 227
Soluci´n.
o
y
D2311 f = D231 D1 f = D231 =0
y2 + z2
x(y 2 + z 2 ) − xy2y xz 2 − xy 2
D1132 f = D113 D2 f = D113 = D113 =
(y 2 + z 2 )2 (y 2 + z 2 )2
2xz(y 2 + z 2 )2 − (xz 2 − xy 2 )2(y 2 + z 2 )2z
= D11 =
(y 2 + z 2 )4
2xz(3y 2 − z 2 ) 2z(3y 2 − z 2 )
= D11 = D1 =0
(y 2 + z 2 )3 (y 2 + z 2 )3
4.3. Derivadas direccionales.
4.3.1. Derivadas direccionales
Las derivadas parciales fx (x, y) y fy (x, y), representan, respectivamente, la
pendiente de la superficie z = f (x, y) en las direcciones del eje OX y del eje
OY . Para hallar la pendiente en cualquier otra direcci´n se utilizan las deri-
o
vadas direccionales. Es decir, las derivadas parciales nos dan una medida de
la variaci´n de una funci´n solamente en la direcci´n de cada eje coordenado.
o o o
Es natural buscar un concepto m´s general de derivada a fin de que nues-
a
tras consideraciones no queden restringidas a las direcciones particulares de
los ejes coordenados y nos permita estudiar la raz´n de incrementos en una
o
direcci´n cualquiera. La derivada direccional responde a este prop´sito.
o o
Queremos estudiar la variaci´n de la funci´n f en el punto p cuando el
o o
argumento var´ en la direcci´n marcada por el vector v. Para ello partimos
ıa o
de la idea del concepto de derivada de funciones de una variable “el l´ ımite,
cuando el incremento de la variable tiende a cero, del cociente del incremen-
to de la funci´n dividido entre el incremento de la variable”.
o

236. 228 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
z Es decir, la derivada direccional
T de la funci´n f , en el punto p,
o
en la direcci´n del vector v, viene
o
definida por el l´ımite:
• f (x)
f (x) − f (p)
f (p) • Dv f (p) = l´
ım
x→p t
d
d· z = f (x, y)
d donde x es un punto pr´ximo a p
o
y adem´s situado en la direcci´n
a o
y0 y
E marcada por el vector v, y t es la
x0 p(x0 , y0 ) • longitud orientada del segmento
‚
vd t px , es decir, la longitud de este
d segmento con signo positivo, si el
x d•
© x(x, y) vector − tiene la misma direc-
→
px
ci´n que el vector v, y con signo
o
Figura 4.2: Derivada direccional. negativo en caso contrario.
Para la derivada direccional usaremos cualquiera de las notaciones:
∂f
Dv f (p) = (p)
∂v
Desde el punto de vista gr´fico, el problema se ha reducido a dos dimen-
a
siones mediante la intersecci´n de la superficie con el plano vertical que pasa
o
por el punto p y es paralelo al vector v. Este plano corta a la superficie me-
diante una curva C, y definimos la pendiente de la superficie en (x0 , y0 , z0 )
como la pendiente de la curva C en ese punto.
C´lculo de la derivada direccional conocido el vector director:
a
1. Vector director unitario u : Si el vector director es unitario resulta:
→
−
px = |t| →
−
⇒ px = t u ⇒ x − p = t u ⇒ x = p + t u
u =1
de donde,
f (p + t u ) − f (p)
Dv f (p) = l´
ım (4.1)
t→0 t
2. Vector director no unitario v : Si el vector no es unitario, resulta:
−
→ →
−
px = |t|
⇒ px = t v
v =1
luego no podemos hacer la sustituci´n anterior. Por lo tanto, si el
o
vector no es unitario, hallamos el vector unitario de la misma direcci´n
o
y sentido que el dado, y a ese nuevo vector hallado le aplicamos el
resultado anterior.
v
u=
v

237. 4.3. DERIVADAS DIRECCIONALES. 229
El concepto de derivada direccional generaliza el concepto de derivada
parcial, de manera que las derivadas parciales pueden obtenerse como casos
particulares de las derivadas direccionales. As´ fx es la derivada direccional
ı,
en la direcci´n del vector (1, 0) y fy en la direcci´n del vector (0, 1), es decir:
o o
fx (p) = Du f (p) para u = (1, 0) fy (p) = Du f (p) para u = (0, 1)
Se debe observar que puede existir la derivada direccional de una funci´n,
o
en un punto, con respecto a un vector, y sin embargo, puede suceder que no
exista la derivada direccional con respecto a otro vector.
Ejemplo 4.17. Hallar la derivada direccional de f (x, y) = x2 + 3xy 2 en
el punto p(1, 2), en la direcci´n que apunta hacia el origen.
o
Soluci´n. Hallamos el vector director y comprobamos su m´dulo.
o o
→
− √ √
v = po = o − p = (0, 0) − (1, 2) = (−1, −2) → |v | = 1 + 4 = 5 = 1
luego,
v −1 −2 −1 −2 t 2t
u= = √ ,√ → p + t u = (1, 2) + t √ , √ = 1 − √ , 2 − √
|v | 5 5 5 5 5 5
de donde,
f (p) = f (1, 2) = 12 + 3 · 1 · 22 = 1 + 12 = 13
2 2
t 2t t t 2t
f (p + tu )=f 1 − √ , 2 − √ = 1 − √ +3 1− √ 2− √ =
5 5 5 5 5
2t t2 3t 8t 4t2
=1 − √ + + 3 − √ 4− √ + =
5 5 5 5 5
2t t2 24t 12t2 12t 24t2 12t3
=1 − √ + + 12 − √ + −√ + − √ =
5 5 5 5 5 5 5 5
38t 37t2 12t3
=13 − √ + − √
5 5 5 5
con lo que resulta,
38t 37t2 12t3
13 − √ + − √ − 13
f (p + t u ) − f (p) 5 5 5 5
Dv f (1, 2) = l´
ım = l´
ım =
t→0 t t→0 t
−38 37t 12t2 −38
= l´
ım √ + − √ = √
t→0 5 5 5 5 5
El que la derivada direccional sea negativa significa que la funci´n decrece
o
en esa direcci´n.
o
C´lculo de la derivada direccional conocido el ´ngulo director.
a a

238. 230 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Conocido el ´ngulo θ que forma el vector director con la direcci´n positiva
a o
del eje OX, se tienen inmediatamente las coordenadas del vector director
unitario. En efecto,
u = (cos θ, sen θ).
El concepto de derivada direccional se puede generalizar para cualquier
n´mero de variables. As´ para el caso general podemos enunciar la siguiente
u ı,
definici´n:
o
Definici´n 4.3 (Derivada direccional). Sea f : D ⊆ Rn → R una fun-
o
ci´n definida en el conjunto abierto D de Rn y sea p ∈ D un punto dado de
o
D. Sea u un vector unitario dado. Se define la derivada de la funci´n f en
o
∂f
p, en la direcci´n del vector u , denotada
o (p), o bien Du f (p), como el
∂u
siguiente l´
ımite, si existe y es finito.
f (p + t u ) − f (p)
Du f (p) = l´
ım
t→0 t
Ejemplo 4.18. Hallar la derivada direccional de f (x, y, z) = xyz en el
punto p(1, 0, −1), seg´n la direcci´n del vector v = (1, 1, 1).
u o
Soluci´n. Hallamos el vector unitario u con la misma direcci´n y sentido
o o
que v , para ello lo dividimos por su m´dulo.
o
√ √ v 1 1 1
|v | = 1+1+1= 3=1 → u= = √ ,√ ,√
|v | 3 3 3
luego,
1 1 1 t t t
p + t u = (1, 0, −1) + t √ , √ , √ = 1 + √ , √ , −1 + √
3 3 3 3 3 3
de donde,
f (p) = f (1, 1, 1) = 1 · 0 · (−1) = 0
t t t t t t
f (p + tu ) = f 1 + √ , √ , −1 + √ = 1 + √ √ −1 + √ =
3 3 3 3 3 3
t2 t t3 t
= −1 √ = √ −√
3 3 3 3 3
con lo que resulta,
t3 t
√ − √ −0
f (p + t u ) − f (p) 3 3 3
Dv f (1, 1, 1) = l´
ım = l´
ım =
t→0 t t→0 t
t2 1 −1
= l´ım √ −√ =√
t→0 3 3 3 3

239. 4.3. DERIVADAS DIRECCIONALES. 231
4.3.2. Relaci´n entre la derivada direccional y las derivadas par-
o
ciales
Veamos a partir de un ejemplo un resultado que justificaremos m´s adelante.
a
Ejemplo 4.19. Hallar la derivada direccional de f (x, y) = x2 + y 3 en
un punto gen´rico p(x, y), seg´n la direcci´n de un vector gen´rico unitario
e u o e
u = (u1 , u2 ).
Soluci´n. Tenemos,
o
p + t u = (x, y) + t(u1 , u2 ) = (x + tu1 , x + tu2 )
de donde,
f (p) = f (x, y) = x2 + y 3
f (p + t u ) = f (x + tu1 , x + tu2 ) = (x + tu1 )2 + (x + tu2 )3 =
= x2 + 2xtu1 + t2 (u1 )2 + x3 + 3x2 tu2 + 3xt2 (u2 )2 + t3 (u2 )3
con lo que resulta,
f (p + t u ) − f (p)
Du f (x, y) = l´
ım =
t→0 t
x2 + 2xtu1 + t2 (u1 )2 + y 3 + 3y 2 tu2 + 3yt2 (u2 )2 + t3 (u2 )3 − (x2 + y 3 )
= l´
ım =
t→0 t
= l´ 2xu1 + t(u1 )2 + 3y 2 u2 + 3yt(u2 )2 + t2 (u2 )3 = 2xu1 + 3y 2 u2
ım
t→0
El c´lculo de la derivada direccional aplicando la definici´n resulta bas-
a o
tante engorroso, no obstante, el resultado de este ejemplo nos puede hacer
intuir una propiedad que demostraremos m´s adelante (ver teorema 4.5 en
a
la p´gina 248) Du f = fx · u1 + fy · u2 . Es decir, la derivada direccional se
a
puede obtener como la suma de los productos de las derivadas parciales por
las componentes del vector unitario de direcci´n. Esto nos permite obtener
o
las derivadas direccionales de una manera mucho m´s f´cil que aplicando
a a
directamente la definici´n. Sin embargo, esta f´rmula no es v´lida para todo
o o a
tipo de funciones, sino solamente para las ((diferenciables)), de ah´ que, en
ı
ocasiones, tengamos que acudir al inc´modo l´
o ımite de la definici´n.
o
Ejemplo 4.20. Comprobar que las derivadas direccionales calculadas en los
ejemplo 4.17 y 4.18 cumplen la relaci´n anterior.
o
Soluci´n.
o
1. En el ejemplo 4.17 tenemos los siguientes datos:
−1 −2
f (x, y) = x2 + 3xy 2 , p(1, 2) y u = √ ,√
5 5

240. 232 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
luego:
fx = 2x + 3y 2 fx (1, 2) = 2 + 12 = 14
fy = 6xy fy (1, 2) = 12
de donde,
∂f −14 −24 −38
(p) = fx (p) · u1 + fy (p) · u2 = √ + √ = √
∂u 5 5 5
2. En el ejemplo 4.18 tenemos los siguientes datos:
1 1 1
f (x, y) = xyz, p(1, 0, −1) y u = √ , √ , √
3 3 3
luego:
fx = yz fx (1, 0, −1) = 0
fy = xz fy (1, 0, −1) = −1
fz = xy fz (1, 0, −1) = 0
de donde,
∂f −1 −1
(p) = fx (p) · u1 + fy (p) · u2 + fz (p) · u3 = 0 + √ + 0 = √
∂u 3 3
Derivada direccional y continuidad. La existencia de todas las derivadas
direccionales de una funci´n en un punto no garantiza la continuidad de
o
la funci´n en dicho punto, ya que el c´lculo de las derivadas direccionales
o a
equivale a acercarse al punto s´lo mediante rectas.
o
Ejemplo 4.21. Estudiar la continuidad y calcular todas las derivadas di-
reccionales en el punto p(0, 0) de la funci´n f : R2 → R definida por:
o
x2 y
si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x4 + y 2
0 si (x, y) = (0, 0)
Soluci´n.
o
1. Continuidad: La funci´n no es continua en el punto p(0, 0), ya que no
o
existe el l´
ımite en dicho punto. En efecto, si nos acercamos al punto
mediante las par´bolas y = ax2 resulta:
a
x2 y x2 ax2 a a
l´
ım 4 + y2
= l´ ım 4 + a2 x4
= l´
ım =
(x,y)→(0,0) x (x,y)→(0,0) x x→0 1 + a2 1 + a2
y=ax2
x→0
luego el l´
ımite no existe ya que depende del valor de a. Es decir, seg´n
u
la par´bola por la que nos aproximemos al punto tendr´
a ıamos un valor
del l´
ımite u otro.

241. 4.4. DIFERENCIABILIDAD 233
2. Existencia de las derivadas direccionales. A pesar de que la funci´n o
no es continua en el punto p(0, 0), las derivadas direccionales en dicho
punto existen en todas direcciones. En efecto, sea u = (a, b) ∈ R2 un
vector unitario dado, ser´:
a
∂f f (0, 0) + t(a, b) − f (0, 0) f (ta, tb) − f (0, 0)
(0, 0) = l´
ım = l´
ım =
∂u t→0 t t→0 t
(ta)2 (tb)
0 si b=0
(ta)4 + (tb)2
= l´
ım = t3 a2 b a2
t→0 t l´
ım = si b=0
t→0 t3 (t2 a4 + b2 ) b
4.4. Diferenciabilidad
En esta secci´n vamos a generalizar los conceptos de incremento y dife-
o
rencial, as´ como el concepto de diferenciabilidad a funciones de dos o m´s va-
ı a
riables. Recu´rdese que para una funci´n de una variable, dada por y = f (x),
e o
se define el incremento como ∆y = f (x + ∆x) − f (x), y la diferencial como
dy = f (x) dx. Para funciones de dos variables, z = f (x, y), el incremento
de la funci´n se generaliza de manera natural. En efecto, llamando ∆x y ∆y
o
a los incrementos de x e y respectivamente, el incremento de la funci´n se
o
define por
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
Sin embargo, la generalizaci´n del diferencial no resulta tan natural. As´
o ı,
si z = f (x, y) y ∆x y ∆y son los incrementos de x y de y, entonces, las
diferenciales de las variables independientes x e y se van a definir como
dx = ∆x y dy = ∆y
mientras que la diferencial total de la variabla z se va a definir mediante la
expresi´n:
o
∂z ∂z
dz = dx + dy
∂x ∂y
El porqu´ de esta definici´n merece una extensa explicaci´n. Por otro
e o o
lado distinguiremos entre funci´n derivable y funci´n diferenciable. As´ di-
o o ı,
remos que una funci´n de varias variables es derivable si existen sus derivadas
o
parciales (en tal caso no queda asegurada la continuidad). Y diremos que es
diferenciable cuando adem´s de existir las derivadas parciales, ocurre algo
a
m´s, y ese algo m´s tiene que garantizar la continuidad.
a a
4.4.1. Generalizaci´n del concepto de diferenciabilidad
o
Al generalizar un concepto de R a Rn , tratamos de conservar las propiedades importantes
que consideremos en el caso uni-dimensional. Por ejemplo, en R la existencia de la deriva-
da en un punto x implica la continuidad en el mismo. Sin embargo, para funciones de dos

242. 234 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
variable, hemos visto que la existencia de las derivadas parciales en un punto no implica
la continuidad en ese punto, ni siquiera la existencia de todas las derivadas direccionales
implica la continuidad. Por esta raz´n las derivadas parciales, al igual que las derivadas
o
direccionales, son una extensi´n en cierto modo poco satisfactoria del concepto de deriva-
o
da uni-dimensional. Por tanto, parece natural el deseo de tener una noci´n de derivada
o
para funciones de varias variables que implique la continuidad. Introducimos ahora una
generalizaci´n m´s conveniente que implica la continuidad y, al propio tiempo, nos per-
o a
mite extender los principales teoremas de la teor´ de la derivada uni-dimensional a las
ıa
funciones de varias variables. El concepto que mejor sirve a tal prop´sito es la noci´n de
o o
diferencial.
Generalizaci´n del concepto unidimensional. Para funciones de una sola variable
o
f : D ⊆ R → R el concepto de diferenciabilidad se confunde con el concepto de derivabili-
dad, as´ una funci´n y = f (x) es diferenciable en un punto x0 ∈ D sii posee derivada en
ı, o
ese punto. Sin embargo, para varias variables estos dos conceptos no son equivalentes. As´
ı,
para funciones de dos variable, hemos visto que la existencia de las derivadas parciales
en un punto no implica la continuidad en ese punto, ni siquiera la existencia de todas
las derivadas direccionales implica la continuidad. Esto nos obliga a buscar el verdadero
significado del concepto de diferenciabilidad, separ´ndolo del concepto de derivabilidad,
a
de manera que represente la “suavidad” de la funci´n y de ´l se deduzca la continuidad,
o e
como ocurre en una variable.
Recordemos que una funci´n de una variable f : D ⊆ R → R se dice que es diferen-
o
ciable en x0 ∈ D si el siguiente l´
ımite existe y es finito:
f (x) − f (x0 )
l´
ım
x→x0 x − x0
En tal caso el valor del l´ ımite se llama “derivada de f en x0 ” y se denota por f (x0 ).
Recordemos tambi´n que dicho l´
e ımite admit´ una segunda expresi´n que era equivalente
ıa o
a la anterior:
f (x0 + h) − f (x0 )
l´
ım
h→0 h
Un primer intento para conseguir un concepto equivalente para funciones de varias
variables ser´ copiar la definici´n anterior extendi´ndola a la nueva situaci´n. Esto, sin
ıa o e o
embargo, conduce a una expresi´n que carece de sentido. En efecto, para n variables
o
tendr´ıamos:
f (x) − f (x0 )
l´
ım
x→x0 x − x0
donde aparece una divisi´n por un vector v = x − x0 , operaci´n que carece de sentido con
o o
vectores de Rn , n 1.
Un segundo intento ser´ sustituir el vector del denominador por su norma o por su
ıa
longitud orientada. Pero en este caso la expresi´n carece de inter´s, ya que dicho l´
o e ımite
s´lo existe en puntos muy concretos del dominio, con lo cual se trata de una propiedad
o
muy restrictiva de dif´ verificaci´n, y, por lo tanto, deja de representar el concepto de
ıcil o
funci´n diferenciable. En efecto, para que exista el l´
o ımite,
f (x) − f (x0 )
l´
ım
x→x0 x − x0
su valor ha de ser 0, ya que, por ejemplo, todas las derivadas direccionales en el punto x0
tienen que coincidir.
Esto hace que tengamos que replantearnos el concepto de funci´n diferenciable de
o
manera que la nueva visi´n del concepto sea extendible a n variables.
o
Replanteamiento del concepto. Partamos de la interpretaci´n geom´trica del concep-
o e
to. Una funci´n de una variable y = f (x) es diferenciable en un punto x0 de su dominio, si
o
su gr´fica tiene recta tangente en dicho punto. Pero, ¿qu´ entendemos por recta tangente
a e

243. 4.4. DIFERENCIABILIDAD 235
a una curva en uno de sus puntos?. De todas las rectas que pasan por el punto ¿cu´l es
a
la recta tangente?. La recta tangente es una recta que toca a la curva en un punto, pero
que, adem´s, la curva se aplana en las proximidades del punto de tangencia, tratando de
a
confundirse, “por un instante”, con la propia recta. Este aplanamiento en los alrededo-
res del punto de tangencia, este “tratar de confundirse” con la recta tangente, es lo que
hace que la curva sea suave y que se pueda aproximar mediante la recta tangente en los
alrededores del punto de tangencia, y esto es lo que realmente caracteriza el concepto de
funci´n diferenciable.
o
y T y = f (x)
Q
f (x0 + h) r(h) ¨ Recta tangente a la gr´fica
a
¨¨ de y = f (x) en x = x0
¨Ó ¨
¨ ¨¨ f (x0 )h
P
f (x0 ) ¨¨
¨¨ x
E
x0 x0 + h
Figura 4.3: Diferencial de una funci´n.
o
¡
La recta tangente a la gr´fica de la funci´n y = f (x) en el punto P = x0 , f (x0 ) viene
a o
definida por la ecuaci´n
o
y = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 )
Y en las proximidades del punto tenemos,
f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + r(h)
donde r(h) es la distancia (vertical) entre la curva y la recta tangente. Este residuo r(h)
es lo que nos va a permitir caracterizar el concepto de diferenciabilidad. En efecto, una
primera observaci´n nos hace ver que el residuo r(h) tiende a cero a medida que h tiende
o
a cero. Sin embargo, este hecho no es importante en la definici´n de diferenciabilidad,
o
pues el que l´ h→0 r(h) = 0 lo unico que nos dice es que la funci´n es continua en x0 , y
ım ´ o
seguir´ valiendo cero cualquiera que fuera la recta que pase por P , aunque no fuera la
ıa
recta tangente, e incluso, aunque la funci´n no tuviera tangente. Lo importante, cuando
o
se estudia la diferenciabilidad de funciones, es que el residuo r(h) tiende a cero m´s r´pido
a a
de lo que lo hace h. Esto significa que:
r(h)
l´
ım =0
h→0 h
Gr´ficamente, este l´
a ımite viene a significar el hecho de que la curva se “embarra” (“se
confunde”) con la recta tangente en los alrededores del punto P . En otras palabras, la
curva tiene que ser “suave”en P , para que “se pueda ver localmente como una recta”(su
recta tangente).
Tratemos de expresar estos conceptos de manera algebraica, desprendi´ndolos de sus
e
e ¡
significados geom´tricos, con objeto de poderlos generalizar a varias variables. Una recta
cualquiera que pase por el punto P = x0 , f (x0 ) vendr´ definida por la ecuaci´n: y =
a o
f (x0 ) + A(x − x0 ), o lo que es lo mismo y = f (x0 ) + Ah donde A es la pendiente de la
recta y h = x − x0 . Si queremos que, de todas las rectas que pasan por P , nuestra recta
sea la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P , tendr´ que cumplirse:
a
r(h)
f (x0 + h) = f (x0 ) + Ah + r(h) donde l´
ım =0
h→0 h

244. 236 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Por lo tanto, podemos establecer la siguiente definici´n de diferenciabilidad para funciones
o
de una variable:
Definici´n 4.4. Una funci´n f : D ∈ R → R es diferenciable en x0 ∈ D si existe una
o o
constante A tal que
r(h)
f (x0 + h) = f (x0 ) + Ah + r(h) con l´
ım =0
h→0 h
Esta definici´n es equivalente a la anterior, en efecto, despejando A de la expresi´n
o o
anterior resulta:
f (x0 + h) − f (x0 ) r(h)
A= −
h h
ımite cuando h → 0 se ve la equivalencia entre la definici´n de diferen-
de donde, al tomar l´ o
ciabilidad y la existencia de la derivada, resultando A = f (x0 ).
Generalizaci´n para dos variables.
o
Desde un punto de vista gr´fico, una funci´n de dos variable f : D ⊆ R2 → R
a o
es diferenciable en un punto p(x0 , y0 ) de su dominio, si su gr´fica tiene
a
plano tangente en dicho punto. Pero, ¿qu´ entendemos por plano tangente
e
a una superficie en uno de sus puntos?. De todos los planos que pasan por
el punto, ¿cu´l es el plano tangente?. El plano tangente es un plano que
a
toca a la superficie en un punto, pero que, adem´s, la superficie se aplana
a
en las proximidades del punto de tangencia, tratando de confundirse, “por
un instante”, con el propio plano. Este aplanamiento en los alrededores del
punto de tangencia, este “tratar de confundirse” con el plano tangente, es
lo que hace que la superficie sea suave y que se pueda aproximar mediante
el plano tangente en los alrededores del punto de tangencia, y esto es lo que
realmente caracteriza el concepto de funci´n diferenciable.
o
Un plano cualquiera que pase por el punto P = x0 , y0 ; f (x0 , y0 ) ven-
dr´ definida por la ecuaci´n: z = f (x0 , y0 ) + A(x − x0 ) + B(y − y0 ). Si
a o
queremos que este plano sea tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto
P , tendr´ que cumplirse:
a
r(h, k)
f (x0 , y0 )+(h, k) = f (x0 , y0 )+Ah+Bk+r(h, k) con l´
ım =0
(h,k)→(0,0) (h, k)
Por lo tanto, podemos establecer la siguiente definici´n de diferenciabi-
o
lidad para funciones de dos variables:
Definici´n 4.5 (Funci´n diferenciable). Una funci´n f : D ⊆ R2 → R
o o o
es diferenciable en el punto p(x0 , y0 ) ∈ D si existen dos constantes A y B
tales que
r(h, k)
f (x0 , y0 ) + (h, k) = f (x0 , y0 ) + Ah + Bk + r(h, k) con l´
ım =0
(h,k)→(0,0) (h, k)
f es diferenciable en la regi´n D si es diferenciable en todo punto de D
o

245. 4.4. DIFERENCIABILIDAD 237
4.4.2. Diferenciabilidad y derivadas parciales
Proposici´n 4.1 (Diferenciabilidad implica existencia de las deri-
o
vadas parciales). Si una funci´n f : D ⊆ R2 → R es diferenciable en el
o
punto p ∈ D, entonces existen sus derivadas parciales en dicho punto.
Demostraci´n. Supongamos que la funci´n f : D ⊆ R2 → R es diferenciable
o o
en el punto p(x0 , y0 ) ∈ D, entonces existen las constantes A y B tales que:
r(h, k)
f (x0 , y0 )+(h, k) = f (x0 , y0 )+Ah+Bk+r(h, k) con l´
ım =0
(h,k)→(0,0) (h, k)
Ahora bien, poniendo h = (h, 0) en la expresi´n anterior resulta:
o
r(h, 0) r(h) f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
= = −A
h h h
ımite cuando h → 0 resulta
de donde, al tomar l´
r(h) f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
l´
ım = l´
ım −A
h→0 h h→0 h
de donde obtenemos
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∂f
A = l´
ım = (x0 , y0 )
h→0 h ∂x
De manera an´loga, poniendo h = (0, k) obtenemos:
a
f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0 ) ∂f
B = l´
ım = (x0 , y0 )
k→0 k ∂y
Se tiene, entonces, que una condici´n necesaria para que una funci´n
o o
f (x, y) sea diferenciable en un punto p = (x0 , y0 ) es que existan sus deriva-
das parciales en ese punto. Sin embargo, esta condici´n no es suficiente, ya
o
que la existencia de todas las derivadas parciales no garantiza la diferencia-
bilidad. No obstante, lo interesante de esta propiedad es su negaci´n l´gica,
o o
o sea: Si una funci´n no tiene todas sus derivadas parciales, entonces no es
o
diferenciable.
Como consecuencia de este resultado, podemos establecer la siguiente
Proposici´n 4.2. La funci´n f : D ⊆ R2 → R definida en un conjunto
o o
abierto D de R2 , es diferenciable en el punto p = (x0 , y0 ) ∈ D, si:
1. Existen las derivadas parciales de f en p
∂f ∂f
A= (x0 , y0 ), B= (x0 , y0 )
∂x ∂y

246. 238 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
2. El residuo r(h, k) definido en la expresi´n:
o
f (x0 , y0 ) + (h, k) = f (x0 , y0 ) + Ah + Bk + r(h, k)
tiene la propiedad
r(h, k)
l´
ım =0
(h,k)→(0,0) (h, k)
Esta definici´n de diferenciabilidad s´ que garantiza la continuidad de la
o ı
funci´n en aquellos puntos en los que es diferenciable, como sucede con las
o
funciones de una variable.
Nota: Con objeto de recorda mejor la expresi´n, el l´
o ımite que caracteriza
la diferenciabilidad se puede expresar de la siguiente forma:
r(h, k) f (x0 , y0 ) + (h, k) − f (x0 , y0 ) − Ah − Bk
l´
ım = l´
ım √
(h,k)→(0,0) (h, k) (h,k)→(0,0) h2 + k 2
Y llamando ∆f = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) y λ(h, k) = Ah + Bk resulta
r(h, k) ∆f − λ(h, k)
l´
ım = l´
ım √ =0 (4.2)
(h,k)→(0,0) (h, k) (h,k)→(0,0) h2 + k 2
Con lo cual la proposici´n 4.2 se puede enunciar de la siguiente forma:
o
Corolario 4.1 (Caracterizaci´n de la diferenciabilidad). La funci´n
o o
f :D⊆R 2 → R definida en un conjunto abierto D de R2 , es diferenciable
en el punto p = (x0 , y0 ) ∈ D, si:
1. Existen las derivadas parciales de f en p
∂f ∂f
A= (x0 , y0 ), B= (x0 , y0 )
∂x ∂y
2. El siguiente l´
ımite vale cero:
r(h, k) ∆f − λ(h, k)
l´
ım = l´
ım √ =0
(h,k)→(0,0) (h, k) (h,k)→(0,0) h2 + k 2
donde, ∆f = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) y λ(h, k) = Ah + Bk
Proposici´n 4.3 (Segunda forma de la diferenciabilidad). Una fun-
o
ci´n f dada por z = f (x, y) es diferenciable en (x, y) si ∆z puede expresarse
o
en la forma
∆z = fx (x, y)∆x + fy (x, y)∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y
donde ambos ε1 y ε2 → 0 cuando (∆x, ∆y) → (0, 0).

247. 4.4. DIFERENCIABILIDAD 239
4.4.3. La diferencial
Si la funci´n f : D ⊆ R2 → R es diferenciable en el punto p = (x0 , y0 ) ∈ D,
o
entonces a la parte lineal en h y k (λ(h, k) = Ah + Bk) de la expresi´n del
o
residuo
r(h, k)
f (x0 , y0 )+(h, k) = f (x0 , y0 )+ Ah + Bk +r(h, k) con l´
ım =0
(h,k)→(0,0) (h, k)
se le llama diferencial de la funci´n f en (x0 , y0 ) y se denota por df (x0 , y0 ).
o
As´ı,
df (x0 , y0 ) = Ah + Bk
Y dado que, como se vio en la proposici´n 4.1, A y B representan las deri-
o
vadas parciales de la funci´n f en el punto (x0 , y0 ), resulta:
o
∂f ∂f
df (x0 , y0 ) = (x0 , y0 )h + (x0 , y0 )k
∂x ∂y
Y teniendo en cuenta que si f (x, y) = x, se tiene h = dx y si f (x, y) = y, se
tiene k = dy, podemos escribir:
∂f ∂f
df (x0 , y0 ) = (x0 , y0 )dx + (x0 , y0 )dy
∂x ∂y
O de manera m´s general:
a
Definici´n 4.6 (La diferencial). Si la funci´n f : D ⊆ R2 → R es diferen-
o o
ciable en el conjunto abierto D de R2 , entonces, para cada x = (x, y) ∈ D,
se llama diferencial de la funci´n f en x y se denota por df , a la expresi´n:
o o
∂f ∂f
df = dx + dy (4.3)
∂x ∂y
4.4.4. Diferenciabilidad y continuidad
Teorema 4.3 (Diferenciabilidad implica continuidad). Si la funci´n o
f : D ⊆ R2 → R definida en un conjunto abierto D de R2 , es diferenciable
en el punto p = (x0 , y0 ) ∈ D, entonces es continua en ese punto.
Demostraci´n. Si f es diferenciable en el punto p = (x0 , y0 ) se tiene
o
r(h, k)
f (x0 , y0 )+(h, k) = f (x0 , y0 )+Ah+Bk+r(h, k) con l´
ım =0
(h,k)→(0,0) (h, k)
ımite cuando (h, k) → (0, 0) y teniendo en cuenta que
Tomando l´
r(h, k)
l´
ım =0 ⇒ l´
ım r(h, k) = 0
(h,k)→(0,0) (h, k) (h,k)→(0,0)

248. 240 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
tenemos que
l´
ım f (x0 , y0 )+(h, k) = l´
ım f (x0 , y0 )+Ah+Bk+r(h, k) = f (x0 , y0 )
(h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0)
luego la funci´n es continua en p = (x0 , y0 ).
o
El rec´
ıproco no es cierto, ya que existen funciones continuas que no son
diferenciables.
Ejemplo 4.22. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad en el origen
de la siguiente funci´n y, en su caso, hallar su diferencial en ese punto.
o
xy
si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x2 + y 2
0 si (x, y) = (0, 0)
Soluci´n.
o
(a) Continuidad en (0, 0):
xy y
l´
ım = l´
ım x = 0 · Acot = 0 = f (0, 0)
(x,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2
luego la funci´n es continua en (0, 0)
o
(b) Diferenciabilidad en (0, 0): Calculamos las derivadas parciales aplican-
do la definici´n.
o h·0
√
∂f f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − 0 h2 + 02
(0, 0) = l´
ım = l´
ım = l´
ım =0
∂x h→0 h h→0 h h→0 h
0·k
√
∂f f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − 0 02 + k 2
(0, 0) = l´
ım = l´
ım = l´
ım =0
∂y k→0 k k→0 k k→0 k
luego, el candidato a diferencial es:
λ(h, k) = 0h + 0k = 0
Por otro lado, el incremento de la funci´n es:
o
hk
∆f (0, 0) = f (0 + h, 0 + k) − f (0, 0) = f (h, k) − 0 = √
h2 + k2
luego, resulta el siguiente l´
ımite
hk
√ −0
r(h, k) ∆f − λ(h, k) h2 + k2
l´
ım = l´ ım √ = l´ ım √ =
(h,k)→(0,0) (h, k) (h,k)→(0,0) h2 + k 2 (h,k)→(0,0) h2 + k 2
hk hmh m
= l´
ım = l´
ım =
(h,k)→(0,0) h2 + k 2 k=mh h2 + m2 h2 1 + m2
h→0
Luego el l´ımite no existe, por depender de m, y en consecuencia la
funci´n no es diferenciable en (0, 0). Al no ser diferenciable resulta
o
que df (0, 0) no existe, con lo cual λ(h, k) = 0h + 0k = 0 no tiene
ninguna significaci´n.
o

249. 4.4. DIFERENCIABILIDAD 241
Ejemplo 4.23. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad en el origen
de la siguiente funci´n y, en su caso, hallar su diferencial en ese punto.
o
xy
si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x2 + y2
0 si (x, y) = (0, 0)
Soluci´n.
o
(a) Continuidad: Nos acercamos al origen a trav´s de la recta y = mx
e
xy xmx m
l´
ım = y=mx 2
l´
ım = = f (m)
(x,y)→(0,0) x2 +y 2 x +m 2 x2 1 + m2
x→0
luego la funci´n no es continua en (0, 0)
o
(b) Diferenciabilidad: Al no ser continua la funci´n en el punto (0, 0) no
o
puede ser diferenciable en dicho punto, en consecuencia resulta que
df (0, 0) no existe.
Ejemplo 4.24. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad en el origen
de la siguiente funci´n y, en su caso, hallar su diferencial en ese punto.
o
f (x, y) = x2 + y 2
Soluci´n.
o
(a) Continuidad: La funci´n es continua en (0, 0), en efecto
o
√
l´
ım x2 + y 2 = 02 + 02 = 0+ = 0 = f (0, 0)
(x,y)→(0,0)
(b) Diferenciabilidad: Las derivadas parciales en el origen no existen, en
efecto
√ √
∂f f (h, 0) − f (0, 0) h2 + 02 − 0 h2 |h|
(0, 0) = l´
ım = l´
ım = l´
ım = l´
ım
∂x h→0 h h→0 h h→0 h h→0 h
y dicho l´
ımite no existe, puesto que
|h| |h|
l´
ım =1 y l´
ım = −1
h→0+ h h→0− h
Luego, la funci´n no es diferenciable en el origen por no existir las
o
derivadas parciales en dicho punto y ser la existencia de las derivadas
parciales en un punto p una condici´n necesaria para la diferenciabili-
o
dad de la funci´n en dicho punto. En consecuencia resulta que df (0, 0)
o
no existe.
Ejemplo 4.25. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad de la funci´n
o
f (x, y) = xy 2 en el origen y hallar su diferencial en ese punto.

250. 242 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Soluci´n. Estudiemos primero la diferenciabilidad en el origen
o
´ µ µ
fx (x, y) = y 2 fx (0, 0) = 0
f (xy) = xy 2 λ(h, k) = 0h + 0k = 0
fy (x, y) = 2xy fy (0, 0) = 0
∆f (0, 0) = f (0 + h, 0 + k) − f (0, 0) = f (h, k) − 0 = hk 2
luego,
r(h, k) ∆f − λ(h, k) hk 2 − 0
l´
ım = l´
ım √ = l´
ım √ =
(h,k)→(0,0) (h, k) (h,k)→(0,0) h2 + k 2 (h,k)→(0,0) h2 + k 2
h
= l´
ım k2 √ = 0 · Acot = 0
(h,k)→(0,0) h2 + k 2
Luego la funci´n es diferenciable en (0, 0) y en consecuencia es continua en
o
dicho punto.
Al ser diferenciable resulta, df (0, 0) = λ(h, k) = 0h + 0k = 0
Ejemplo 4.26. Dada la funci´n
o
x2 + y 2
si x · y = 0
f (x, y) = xy
x+y si x · y = 0
Calcula sus derivadas parciales en el punto (0, 0). Estudia su continuidad y
diferenciabilidad en dicho punto.
Soluci´n. Entendamos primero el significado de la expresi´n que define la
o o
funci´n. Para hallar la imagen de un punto (x, y) tenemos que determinar,
o
primero, si las dos componentes son distintas de cero, o si alguna de las
componentes es cero; y seg´ n el caso se le aplica una f´rmula o la otra. Es
u o
decir, para x = 0 e y = 0, se tiene:
x2 + y 2
f (x, y) = , f (x, 0) = x, f (0, y) = y, f (0, 0) = 0.
xy
En consecuencia,
Derivadas parciales en el punto (0, 0). Para calcular las derivadas parciales
de la funci´n en el punto (0, 0) utilizamos la definici´n de derivada parcial.
o o
f (0 + h, 0) − f (0, 0) f (h, 0) − f (0, 0)
fx (0, 0) = l´
ım = l´ım =
h→0 h h→0 h
(h + 0) − (0 + 0) h
= l´
ım = l´
ım = 1
h→0 h h→0 h
f (0, 0 + k) − f (0, 0) f (0, k) − f (0, 0)
fy (0, 0) = l´
ım = l´ım =
k→0 k k→0 k
(0 + k) − (0 + 0) k
= l´
ım = l´
ım = 1
k→0 k k→0 k

251. 4.4. DIFERENCIABILIDAD 243
Continuidad en (0, 0). La funci´n no es continua en el punto p(0, 0), ya
o
que no existe el l´
ımite en dicho punto.En efecto, si nos acercamos al punto
mediante la recta y = x resulta:
f (0, 0) = 0 + 0 = 0
x2 + y 2 2x2
l´
ım f (x, y) = l´
ım = l´
ım 2 = 2 = 0 = f (0, 0)
(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) xy x→0 x
y=x
(el l´
ımite no existe en el punto p(0, 0), ya que si nos acercamos al mismo a
trav´s de la recta x = 0 se obtendr´ 0 como l´
e ıa ımite).
Diferenciabilidad en (0, 0). Al no ser continua en el punto (0, 0), la funci´n
o
no puede ser diferenciable en dicho punto.
En consecuencia, la funci´n no es ni continua ni diferenciable en el punto
o
(0, 0) y, sin embargo, posee derivadas parciales en dicho punto.
4.4.5. Diferenciabilidad de funciones de n variables
El concepto de diferenciabilidad se puede extender a funciones de cualquier n´ mero de
u
variables, de manera an´loga a como se ha hecho al caso de dos variable.
a
Definici´n 4.7. Se dice que la funci´n f : D ⊆ Rn → R definida en un conjunto abierto
o o
D de Rn , es diferenciable en el punto x0 = (x1 , . . . , xn ) ∈ D, si existen las derivadas
parciales de f en x0
∂f
Ai = (x0 ), i = 1, 2, . . . , n
∂xi
y si el residuo r(h) definido en la expresi´n:
o
n
f (x0 + h) = f (x0 ) + Ai hi + r(h)
i=1
(donde h = (h1 , . . . , hn ) ∈ Rn es tal que x0 + h ∈ D) tiene la propiedad
r(h)
l´
ım =0
h→0 h
Esta definici´n de diferenciabilidad tambi´n garantiza la continuidad de la funci´n en
o e o
aquellos puntos en los que es diferenciable, como sucede con las funciones de una y dos
variable.
Nota: Con objeto de recorda mejor la expresi´n, el l´
o ımite que caracteriza la diferenciabi-
lidad se puede expresar de la siguiente forma:
È n
f (x0 + h) − f (x0 ) − i=1 Ai hi
l´
ım
r(h)
= l´
ım Ô
h→0 h (h,k)→(0,0) h2 + · · · + h2
n
È
1
n
Y llamando ∆f = f (x0 + h) − f (x ) y λ(h) =
0 i=1
Ai hi resulta
l´
ım
r(h)
= l´
ım Ô∆f − λ(h) =0
h→0 h h→0 h2 + · · · + h2
1 n
La Diferencial
Si la funci´n f : D ⊆ Rn → R es diferenciable en el punto x0 = (x1 , . . . , xn ) ∈ D, entonces
o

252. 244 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
a la parte lineal en hi , i = 1, 2, . . . , n (λ(h) = A1 h1 + · · · + An hn ) de la expresi´n del
o
residuo
r(h)
f (x0 + h) = f (x0 ) + A1 h1 + · · · + An hn + r(h) con l´
ım =0
h→o h
se le llama diferencial de la funci´n f en x0 y se denota por df (x0 ).
o
df (x0 ) = λ(h) = A1 h1 + · · · + An hn
Y dado que los coeficientes Ai i = 1, . . . , n representan las derivadas parciales de la funci´n
o
f en el punto x0 , resulta
∂f ∂f
df (x0 ) = (x0 )h1 + · · · + (x0 )hn
∂x ∂y
Y teniendo en cuenta que si f (x1 , . . . , xn ) = x1 , se tiene h1 = dx1 y si f (x1 , . . . , xn ) = xn ,
se tiene hn = dxn , podemos escribir:
∂f ∂f
df (x0 ) = (x0 )dx1 + · · · + (x0 )dxn
∂x ∂y
Y, en general, podemos enunciar la siguiente
Definici´n 4.8 (La diferencial). Si la funci´n f : D ⊆ Rn → R es diferenciable en el
o o
conjunto abierto D, entonces para cada x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D, se llama diferencial de la
funci´n f en x, y se denota por df , a la expresi´n
o o
∂f ∂f
df = dx1 + · · · + dxn
∂x ∂y
4.4.6. Condici´n suficiente para la diferenciabilidad
o
Hemos visto que ni la existencia de todas las derivadas parciales, ni, si
quiera, la de todas las derivadas direccionales es suficiente para establecer
la existencia de la diferencial (puesto que ni una ni otra implican la con-
tinuidad). Sin embargo, demostraremos que la existencia de las derivadas
parciales ((continuas)) implica la existencia de la diferencial.
Teorema 4.4 (Derivadas parciales continuas implican diferenciabi-
lidad). Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´n definida en el conjunto abierto D
o
de Rn . Si las funciones (derivadas parciales)
∂f ˜ ˜
: D ⊆ Rn → R, i = 1, 2, · · · , n, D⊆D
∂xi
˜
son continuas en el punto x0 ∈ D, entonces f es diferenciable en x0
Demostraci´n. (Opcional, caso n = 2) Sea la funci´n f : D ⊆ Rn → R
o o
tal que las funciones derivadas parciales sean continuas en un punto p =
(x0 , y0 ). Sea x = (x, y) un punto pr´ximo a p y sea q = (x0 , y0 + k).
o
Tenemos:
ä ç ä ç
∆f = f (x) − f (p) = f (x) − f (q) + f (q) − f (p)

253. 4.4. DIFERENCIABILIDAD 245
z
T
y0 Ey
0 , y0 )
x0 p(x
•
c2
• • q(x0 , y0 + k)
h d • c1
d
x
©
d •
k x(x, y)
Figura 4.4: valor medio.
Aplicando el teorema del valor medio en cada corchete, resulta
∆f = fx (c1 )h + fy (c2 )k
Y al ser las parciales continuas en el punto p ser´:
a
∆f = fx (p) + 1 h + fy (p) + 2 k = fx (p)h + fy (c2 )k + 1h + 2k
Luego f es diferenciable en p
El rec´ıproco de este teorema no es cierto, ya que existen funciones difer-
enciables en un punto p y sin embargo sus derivadas parciales en dicho punto
no son continuas. Por lo tanto, si las derivadas parciales no son continuas,
entonces no podemos asegurar nada. No obstante, este teorema permite com-
probar la diferenciabilidad de una funci´n de una manera f´cil, y se puede
o a
extender a un dominio D de la siguiente forma: Si las derivadas parciales
son continuas en un dominio D entonces la funci´n es diferenciable en ese
o
dominio.
Ejemplo 4.27. Estudiar la diferenciabilidad de las funciones
2 +y 2
(a) f (x, y) = xy 2 (b) g(x, y) = ex (c) h(x, y, z) = sen(x + y 2 − z 2 )
Soluci´n.
o
(a) Las derivadas parciales de la funci´n f (x, y) = xy 2 son:
o
fx (x, y) = y 2 fy (x, y) = 2xy
que, al ser polin´micas, son funciones continuas en R2 , luego la funci´n
o o
es diferenciable en R2 .
2 +y 2
(b) Las derivadas parciales de la funci´n g(x, y) = ex
o son:
x2 +y 2 x2 +y 2
gx (x, y) = 2xe gy (x, y) = 2ye
que, al ser producto de polin´mica con exponencial compuesta con
o
polin´mica, son funciones continuas en R2 , luego la funci´n es diferen-
o o
ciable en R2 .

254. 246 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
(c) Las derivadas parciales de la funci´n h(x, y, z) = sen(x + y 2 − z 2 )
o
son:
hx (x, y, z) = cos(x + y 2 − z 2 )
hy (x, y, z) = 2y cos(x + y 2 − z 2 )
hz (x, y, z) = −2z cos(x + y 2 − z 2 )
que, al ser producto y composici´n de funciones elementales, son fun-
o
ciones continuas en R3 , luego la funci´n es diferenciable en R3 .
o
4.4.7. Caracterizaci´n de las funciones diferenciables
o
Condiciones para la diferenciabilidad
Recapitulando, podemos resumir las condiciones de diferenciabilidad de la
siguiente forma:
Condiciones necesarias de diferenciabilidad:
Si la funci´n es diferenciable en un punto, entonces es continua en
o
ese punto.
Si la funci´n es diferenciable en un punto, entonces existen las
o
derivadas parciales en ese punto.
Condici´n suficiente de diferenciabilidad: Si las derivadas parciales
o
son continuas en un punto, entonces la funci´n es diferenciable en ese
o
punto.
Los rec´
ıprocos de los teoremas anteriores no son ciertos. Aunque lo que
s´ podemos utilizar son sus negaciones l´gicas.
ı o
Condiciones necesarias de diferenciabilidad:
Si la funci´n no es continua en un punto, entonces no es diferenciable
o
en ese punto.
Si no existen las derivadas parciales en un punto, entonces la funci´n
o
no es diferenciable en ese punto.
Condici´n suficiente de diferenciabilidad: Si la funci´n no es dife-
o o
renciable en un punto, entonces las derivadas parciales no son continuas
en ese punto.
Para recordarlas podemos realizar el siguientes esquema gr´fico
a
Diferenciabilidad de las funciones elementales
Con objeto de desarrollar una intuici´n que permita detectar a priori la
o
diferenciabilidad de las funciones de varias variables deben tenerse en cuenta
las siguientes proposiciones

255. 4.4. DIFERENCIABILIDAD 247
' $
' $
Continuas
' $
Existen derivadas parciales
Diferenciables ' $
#
Parciales Diferenciables
continuas
! %
%
%
%
Figura 4.5: Parciales cont⇒diferenciable ⇒continua Diferenciable ⇒existen parciales
Proposici´n 4.4. Toda funci´n polin´mica
o o o
n
f : R2 → R, f (x, y) = aij xi y j
i,j=0
es diferenciable en todo punto (x0 , y0 ) ∈ R2
Proposici´n 4.5.
o
(a) La suma y el producto de funciones diferenciables es otra funci´n dife-
o
renciable.
(b) El cociente de dos funciones diferenciables es otra funci´n diferenciable
o
en todos aquellos puntos que no anulen el denominador.
Proposici´n 4.6. La composici´n de dos funciones diferenciables es otra
o o
funci´n diferenciable.
o
Ejemplo 4.28. Estudiar la diferenciabilidad de las funciones
x2 − xy + 1 2 +y 2
(a) f (x, y) = (b) g(x, y) = ex
x2 + y 2
2 +y 2 1 − y2
(c) h(x, y) = x2 ex + sen
1 + x2
Soluci´n.
o
(a) La funci´n es diferenciable en R2 − {(0, 0)} por tratarse del cociente de
o
dos funciones polin´micas y el unico punto que anula el denominador
o ´
es el (0, 0).
(b) La funci´n es diferenciable en todo R2 por tratarse de la composici´n
o o
de dos funciones diferenciables.
(c) La funci´n es diferenciable en todo R2 por tratarse de suma de fun-
o
ciones diferenciables.

256. 248 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
4.4.8. Diferenciabilidad y derivadas direccionales
El c´lculo de la derivada direccional aplicando el l´
a ımite (4.1) que aparece en la definici´n
o
(p´g. 228) resulta un poco engorroso. No obstante, para las funciones diferenciables existe
a
la posibilidad de calcular las derivadas direccionales de una manera mucho m´s f´cil. Como
a a
la suma de los productos de las derivadas parciales por las componentes del vector unitario
de direcci´n. En efecto,
o
Teorema 4.5 (Derivada direccional y derivadas parciales). Sea f : D ⊆ Rn → R
una funci´n diferenciable en el punto x0 ∈ D, y sea u = (u1 , · · · , un ) un vector unitario.
o
Entonces
n
∂f ∂f
(x0 ) = (x0 )ui
∂u ∂xi
i=1
Demostraci´n. Al ser f diferenciable en x0 se tiene que:
o
n
∂f r(h)
f (x0 + h) − f (x0 ) = (x0 )hi + r(h) donde l´
ım =0
∂xi h→0 h
i=1
Limitemos el incremento de la funci´n f s´lo a la direcci´n marcada por el vector u. Para
o o o
ello, escribamos el vector h como h = tu, t ∈ R, luego ser´: hi = tui , con lo cual nos
a
queda
n
∂f
f (x0 + tu) − f (x0 ) = (x0 )tui + r(tu)
∂xi
i=1
de donde, dividiendo po t, resulta
n
f (x0 + tu) − f (x0 ) ∂f r(tu)
= (x0 )ui +
t ∂xi t
i=1
Y teniendo en cuenta que h = tu = |t| u = |t|, pues el vector u es unitario. Es
decir, t es la longitud orientada por u del vector h, es decir, la longitud de este vector con
signo positivo, si el vector h tiene la misma direcci´n que el vector u, y con signo negativo
o
en caso contrario. Es decir, t = ± h . Con lo cual decir que h → 0 equivale a decir que
t → 0. En consecuencia tomando l´ ımite en la expresi´n anterior cuando t → 0, (y teniendo
o
en cuenta que los primeros sumandos del 2o miembro no dependen de h ni de t) resulta
n
f (x0 + tu) − f (x0 ) ∂f r(h)
l´
ım = (x0 )ui ± l´
ım
t→0 t ∂xi h→0 h
i=1
El l´
ımite que aparece en el primer miembro es la derivada direccional de la funci´n f en
o
el punto x0 seg´n la direcci´n del vector unitario u (ver (4.1)), y el l´
u o ımite que aparece en
el segundo miembro es cero por ser la funci´n diferenciable. En consecuencia resulta:
o
n
∂f ∂f
(x0 ) = (x0 )ui
∂u ∂xi
i=1
Ejemplo 4.29. Calcular, usando las derivadas parciales, la derivada direccional de la
funci´n f (x, y) = x2 + y 2 en el punto p(1, 1) en el sentido del vector que parte de p y
o
forma un angulo de 60o con el sentido positivo del eje OX.
´
Soluci´n. Hallamos el vector unitario de direcci´n,
o o
u = (cos α, sen α) =
1 , √3 ¡
2 2

257. 4.5. GRADIENTE 249
Hallamos las derivadas parciales en el punto p(1, 1)
fx = 2x fx (1, 1) = 2
fy = 2y fy (1, 1) = 2
de donde, √
1 3 √
Du f (1, 1) = fx (1, 1)u1 + fy (1, 1)u2 = 2 +2 =1+ 3
2 2
4.4.9. La derivada seg´n una direcci´n curva
u o
La derivada direccional tambi´n se puede aplicar para direcciones curvas. En este caso se
e
entiende que el vector director es el vector tangente a la curva.
Vector tangente a una curva plana
yT
y = f (x) Como vector tangente podemos elegir cualquiera de
los vectores siguientes, todos ellos paralelos entre s´
ı:
¨¨ dy
B
v T = (dx, dy) (1,
dy ¡ x (t), y (t)¡
) = 1, y (x)
f (x0 ) P ¨¨ dx
dx
E x
x0
Figura 4.6: Vector tangente.
Ejemplo 4.30. Calcular la derivada del campo escalar z = arctan(xy) en el punto
p(1, 1), seg´n la direcci´n de la par´bola y = x2 , en el sentido del crecimiento de la
u o a
abscisa.
Soluci´n. Hallamos el vector tangente unitario a la par´bola y = x2 , en el punto p(1, 1),
o a
con la primera componente positiva.
¡
v T = 1, y (x) = (1, 2x) → v T (1, 1) = (1, 2)
√ √ 1 2
|v T (1, 1)| = 1+4= 5uT (1, 1) = ( √ , √ )
→
5 5
Hallamos las derivadas parciales de la funci´n en el punto p
o
∂z y ∂z 1 1 de donde,
= (1, 1) = =
∂x 1 + x2 y 2 ∂x 1+1 2
∂z x ∂z x 1 ∂z 1 1 1 2 3
= (1, 1) = = = √ + √ = √
∂y 1 + x2 y 2 ∂y 1+1 2 ∂uT 2 5 2 5 2 5
4.5. Gradiente
4.5.1. Definici´n
o
Si la funci´n es diferenciable, entonces la derivada direccional y el diferencial
o
recuerdan un producto escalar
−→
Du f = fx u1 + fy u2 = (fx , fy ) · (u1 , u2 ) = ∇f · u
−→
df = fx dx + fy dy = (fx , fy ) · (dx, dy) = ∇f · v T

258. 250 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Este resultado nos hace tener en consideraci´n el vector cuyas compo-
o
nentes son las derivadas parciales de una funci´n en un punto. As´ Da-
o ı,
da una funci´n diferenciable de dos variables, se llama vector gradiente de
o
dicha funci´n en un punto p, al vector cuyas componentes son las derivadas
o
parciales de la funci´n en dicho punto. Y se denota por cualquiera de los
o
−→
ımbolos gradf (p), ∇f (p) o ∇f (p).
s´
−→ ∂f ∂f
gradf (p) = ∇f (p) = ∇f (p) = (p), (p)
∂x ∂y
ımbolo ∇ se denomina ((nabla))).
(El s´
De manera an´loga se define el vector gradiente para tres o m´s variables
a a
−→ ∂f ∂f ∂f
gradf (p) = ∇f (p) = ∇f (p) = (p), (p), (p)
∂x ∂y ∂z
Formalmente la definici´n es la siguiente:
o
Definici´n 4.9. Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´n diferenciable definida en
o o
el conjunto abierto D de Rn . Se define el (vector) gradiente de la funci´n f
o
en el punto x0 ∈ D, como el vector de R n dado por
∂f ∂f ∂f
gradf (x0 ) = (x0 ), (x0 ), · · · , (x0 )
∂x1 ∂x2 ∂xn
Ejemplo 4.31. Hallar el vector gradiente de la funci´n f (x, y) = x2 y + xy 3
o
en el punto (−1, 2)
Soluci´n. Hallamos las derivadas parciales y las evaluamos en el punto
o
(−1, 2)
fx = 2xy + y 3 fx (−1, 2) = − 4 + 8 = 4
fy = x2 + 3xy 2 fy (−1, 2) = 1 − 12 = −11
de donde,
−→
∇f (−1, 2) = (4, −11)
x+y
Ejemplo 4.32. Hallar el vector gradiente de la funci´n f (x, y, z) =
o
z
en un punto gen´rico.
e
Soluci´n. Hallamos las derivadas parciales
o
1
fx =
z
1 −→ 1 1 −x − y
fy = ∇f = , ,
z z z z
x+y
fz = −
z2

259. 4.5. GRADIENTE 251
Nota. Para funciones de una variable y = f (x) ten´
ıamos que:
df = f (x)dx = f (x) · h
Para funciones de varias variables tenemos que:
dx
df = fx dx + fy dy = (fx , fy ) = ∇f · h
dy
Si se comparan ambas expresiones, se observa que el gradiente, ∇f , puede
pensarse como la generalizaci´n del concepto de derivada para funciones de
o
varias variables. Si bien, hay que advertir que mientras que la derivada de
una funci´n de una variable en un punto es un n´mero, la derivada de una
o u
funci´n de varias variables es un vector.
o
4.5.2. Vector gradiente y derivada direccional
A partir del vector gradiente, la derivada direccional de una funci´n dife-
o
renciable f en un punto p en la direcci´n del vector unitario u , se puede
o
expresar como un producto escalar
∂f −→
(p) = ∇f · u
∂u
Es decir, la derivada direccional de la funci´n f en el punto p en la di-
o
recci´n del vector unitario u es el producto escalar del vector gradiente de
o
f en el punto p por el vector u. Este hecho permite obtener las siguientes
propiedades
Propiedades: Si la funci´n f es diferenciable, se tiene:
o
(a) Si en un punto p el gradiente es cero, entonces todas las derivadas
direccionales en ese punto valen cero.
∇f (p) = 0 ⇒ Dv f (p) = 0, cualquiera que sea v
Es decir, si todas las derivadas parciales son nulas, entonces todas las
derivadas direccionales tambi´n lo son.
e
(b) La derivada direccional es m´xima en la direcci´n y sentido del gra-
a o
diente, m´ınima en sentido contrario, y nula en la direcci´n perpen-
o
dicular al gradiente, adem´s, el valor m´ximo de esta derivada es el
a a
m´dulo del gradiente.
o
En efecto, teniendo en cuenta que el producto escalar de dos vectores
es el producto de los m´dulos de los vectores por el coseno del ´ngulo
o a
− →
que forman, y llamando θ al angulo que forman el gradiente ∇f y el
´
vector de direcci´n u, resulta
o
∂f −→ −→ −→ −→
(p) = ∇f · u = ∇f · u · cos θ = ∇f · 1 · cos θ = ∇f cos θ
∂u

260. 252 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Ahora bien, −1 ≤ cos θ ≤ 1, luego el valor m´ximo del producto
a
−→
∇f cos θ se obtiene cuando cos θ = 1 y el valor m´ ınimo cuando
cos θ = −1, es decir,
−→
Cuando ∇f y u son vectores de la misma direcci´n y sentido, se tiene
o
θ = 0, y por lo tanto cos θ = 1, de donde,
∂f −→ −→ −→ −→
(p) = ∇f · u = ∇f · u · cos 0 = ∇f · 1 · 1 = ∇f
∂u
− →
Cuando ∇f y u son vectores de la misma direcci´n pero de sentidos
o
opuestos, se tiene θ = π, y por lo tanto cos θ = −1, de donde,
∂f − → −→ −→ −→
(p) = ∇f · u = ∇f · u · cos π = ∇f · 1 · (−1) = − ∇f
∂u
−→
Y cuando ∇f y u son vectores perpendiculares, se tiene θ = π/2, y
por lo tanto cos θ = 0, de donde,
∂f −→ −→ −→
(p) = ∇f · u = ∇f · u · cos π/2 = ∇f · 1 · 0 = 0
∂u
Esquem´ticamente:
a
−→ −→
∇f u ⇒ Du f (p) = ∇f (p) M´xima
a
−→ −→
∇f u ⇒ Du f (p) = − ∇f (p) m´ınima
−→
∇f ⊥ u ⇒ Du f (p) = 0
Ejemplo 4.33. La temperatura en grados Celsius, sobre la superficie de una
placa met´lica, viene dada por T (x, y) = 20 − 4x2 − y 2 , midi´ndose x e y
a e
en cent´
ımetros. Desde el punto (2, 3) ¿En qu´ direcci´n crece la temperatura
e o
m´s r´pidamente? ¿A qu´ raz´n se produce ese crecimiento?.
a a e o
Soluci´n: La direcci´n de m´ximo crecimiento es la direcci´n del gradiente, y
o o a o
la raz´n de ese crecimiento su m´dulo, en consecuencia hallamos el gradiente
o o
y lo evaluamos en el punto (2, 3)
−→ −→
∇f = (Tx , Ty ) = (−8x, −2y) → ∇f (2, 3) = (−16, −6)
luego la direcci´n de m´ximo crecimiento es la del vector
o a
−→
v = ∇f (2, 3) = (−16, −6)
y la raz´n de m´ximo crecimiento es el m´dulo de gradiente, luego,
o a o
−→ √
Dv T (2, 3) = ∇f (2, 3) = (−16, −6) = 162 + 62 = 292 = 17 09o /cm.

261. 4.5. GRADIENTE 253
Hay que hacer notar que aunque el gradiente apunta en la direcci´n o
de m´ximo crecimiento de la temperatura, no por eso apunta al lugar m´s
a a
caliente de la placa. Es decir, el gradiente proporciona una soluci´n local al
o
problema. Una vez abandonada ese posici´n, la direcci´n de m´ximo crec-
o o a
imiento puede cambiar, ya que la trayectoria de m´ximo crecimiento no tiene
a
por qu´ ser lineal.
e

262. 254 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
4.5.3. Gradiente y curvas de nivel
Las curvas de nivel de la su-
perficie de ecuaci´n z = f (x, y)
o
zT se obtienen d´ndole a z un val-
a
or num´rico concreto. En conse-
e
z = f (x, y) cuencia, caminando sobre la cur-
va de nivel, los valores de la
z=k funci´n no cambian durante el
o
recorrido. Es decir, al movernos
por la superficie siguiendo una
y
curva de nivel, los valores de la
E funci´n se mantienen constante,
o
−→
∇f ƒ @@
o y, por lo tanto, es de esperar que
ƒ @
@@
X
p vT la derivada de la funci´n en esa
o
x
©
direcci´n sea cero. Es decir,
o
Figura 4.7: Gradiente-curva de nivel. −→
DuT f (p) = ∇f · uT = 0
Esto significa que en cada punto de una curva de nivel el vector gradiente es
perpendicular al vector tangente a la curva de nivel y, en consecuencia, en
cada punto de una superficie, el vector gradiente es perpendicular a la curva
de nivel que pasa por ese punto.
Otra manera de verlo es la siguiente: En cada punto (x, y) de la curva
de nivel se tiene f (x, y) = k, de donde, df (x, y) = 0, y por lo tanto, en ese
punto, fx dx + fy dy = 0, de donde, expres´ndolo en forma vectorial resulta
a
−→ −→
(fx , fy ) · (dx, dy) = 0 ⇒ ∇f · v T = 0 ⇒ ∇f ⊥ v T
4.6. Plano tangente
4.6.1. Vectores normales
Vector tangente
(a) A una curva plana.
Como vector tangente podemos elegir cual-
yT quiera de los vectores siguientes, todos ellos
y = f (x)
paralelos entre s´
ı:
¨¨ dy
B
v T = (dx, dy) (1,
dy
) = 1, y (x)
f (x0 ) P ¨¨ dx
dx
E
x
x0

263. 4.6. PLANO TANGENTE 255
(b) A una superficie. De manera an´loga, a lo anterior
a
∂z
y = cte. → v T = (dx, 0, dz) (1, 0, )
∂x
v T = (dx, dy, dz)
∂z
x = cte. → v T = (0, dy, dz) (0, 1, )
∂y
Vector normal a una curva plana
Se llama vector normal a una curva, en un punto de la misma, al vector
perpendicular a su recta tangente en dicho punto. An´logamente, se llama
a
vector normal a una superficie, en un punto de la misma, al vector perpen-
dicular a su plano tangente en dicho punto. Es evidente que si existe un
vector normal entonces existen infinitos, ya que si v p es un vector normal,
entonces tambi´n lo es λv p , con λ ∈ R
e
(a) Curvas dadas de forma expl´ ıcitas y = f (x)
Dada una funci´n de una variable y = f (x) y un punto (x0 , y0 ) de la misma,
o
el vector tangente a su gr´fica en dicho punto vendr´ definido por (dx, dy),
a a
o bien, h, f (x0 )h , o m´s simplificado, v T = 1, f (x0 ) , y en consecuencia,
a
el vector normal a la curva en el punto (x0 , y0 ) vendr´ definido por
a
v p = −f (x0 ), 1
y T y = f (x)
Q
f (x0 + h)
¨¨
¨¨
u
e vp
¨¨BÓ
e ¨¨ dy f (x0 )h
f (x0 ) P e¨ dx
¨¨¨ h
x
E
x0 x0 + h
Figura 4.8: Vector normal a una curva.
Donde se ha tenido en cuenta que para calcular un vector perpendicular
a otro conocido del plano basta con cambiar las coordenadas de orden y una
de ellas de signo.
(b) Curvas dadas en forma impl´
ıcita F (x, y) = 0
Dada una curva plana de ecuaci´n y = f (x), igualando a cero (o a una
o
constante) la ecuaci´n, podemos considerar la curva y − f (x) = 0 como
o
una curva de nivel de una funci´n de dos variables F (x, y) = 0, siendo
o
F (x, y) = y − f (x), con lo cual el vector gradiente de esta funci´n ser´ un
o a

264. 256 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
vector normal a la curva dada.
v p = ∇F
Ejemplo 4.34. Hallar el vector normal a la par´bola de ecuaci´n y = x2
a o
en el punto (1, 1)
Soluci´n. Igualando la ecuaci´n a cero, resulta
o o
y y = x2 → y−x2 = 0 → F (x, y) = y−x2
T
4 y = x2
de donde,
3
¡
!
¡v T Fx (x, y) = −2x
‰ 2
rr v ∇F (x, y) = (−2x, 1)
¡ Fx (x, y) = 1
rp
1 r¡P
x luego,
E
−2 −1 1 2
v p = ∇F (1, 1) = (−2, 1)
2
Figura 4.9: y = x
Vector normal a una superficie
(a) Superficies dadas de forma expl´
ıcitas z = f (x, y)
El vector normal v p a una superficie S en un punto P de la misma, ser´ un a
vector perpendicular al plano tangente a la superficie en dicho punto. Ahora
bien, el vector perpendicular al plano tangente en el punto P ser´ per- a
pendicular a cualquier recta tangente a la superficie en dicho punto. Un
vector, gen´rico, tangente a la superficie viene dado por las componentes
e
(dx, dy, dz). En particular, los vectores tangentes a la superficie, en el punto
P , en las direcciones de los ejes OX y OY vienen dados respectivamente
por:
∂f ∂f
v T x = 1, 0, (x0 , y0 ) , v T y = 0, 1, (x0 , y0 )
∂x ∂y
El vector normal a la superficie ha de ser perpendicular a los dos vectores
v T x y v T y , luego se puede obtener a partir del producto vectorial de los
mismos, as´ ı
¬
¬i ¬
¬
¬
¬
j k ¬
¬
v p = v T x × v T y = ¬1 0 fx (x0 , y0 )¬ = − fx (x0 , y0 ), −fy (x0 , y0 ), 1
¬0
¬ ¬
1 fy (x0 , y0 )¬
nota: Para que la existencia del plano tangente en el punto P (x0 , y0 , z0 )
est´ garantizada, la funci´n ha de ser diferenciable en el punto p(x0 , y0 )
e o
(b) Superficies dadas de forma impl´
ıcita F (x, y, z) = 0
Dada una superficie de ecuaci´n z = f (x, y), igualando a cero (o a una
o

265. 4.6. PLANO TANGENTE 257
constante) la ecuaci´n, podemos considerar la superficie z − f (x, y) = 0
o
como una “superficie de nivel”de una funci´n de tres variables F (x, y, z) = 0
o
siendo F (x, y, z) = y −f (x, y), con lo cual el vector gradiente de esta funci´n
o
ser´ un vector normal a la superficie dada.
a
v p = ∇F
Es evidente que si la funci´n viene definida de manera expl´
o ıcita z = f (x, y),
entonces ambos procedimientos coinciden. En efecto, haciendo F (x, y, z) =
z − f (x, y), resulta
v p = ∇F = (Fx , Fy , Fz ) = (−fx , −fy , 1)
Ejemplo 4.35. Hallar un vector perpendicular al plano 3x − y + 2z = 3
Soluci´n. Consideramos la funci´n: F (x, y, z) = 3x − y + 2z, de donde
o o
Fx = 3, Fy = −1 Fz = 2
luego,
v p = ∇F = (3, −1, 2)
Ejemplo 4.36. Hallar un vector perpendicular a la superficie x2 + yz = 5
en el punto (1, 2, 2)
Soluci´n. Consideramos la funci´n: F (x, y, z) = x2 + yz, de donde
o o
Fx = 2x, Fy = z Fz = y → ∇f = (2x, z, y)
luego,
v p = ∇F (1, 2, 2) = (2, 2, 2)
4.6.2. Plano tangente
Consideraciones geom´tricas
e
Ecuaci´n de un plano
o
Para hallar la ecuaci´n de una recta, de una curva, de un plano, o de cualquier lugar
o
geom´trico, el procedimiento habitual es el denominado del “punto gen´rico”, que consiste
e e
en suponer un punto gen´rico X de la figura geom´trica correspondiente y relacionarlo con
e e
los datos que disponemos. Buscaremos una relaci´n que vincule al punto X con los datos
o
del problema y que cumplan los puntos de la figura geom´trica y s´lo ellos. La relaci´n
e o o
puede ser vectorial, trigonom´trica o de cualquier tipo.
e
(a) Ecuaci´n de un plano conocido un punto del mismo y dos vectores paralelos al plano,
o
pero no paralelos entre s´
ı. Si unimos el punto P con el punto X mediante
−→
−
el vector P X, resultar´ que los tres vectores u, v
a
−→−
y P X son coplanarios y por lo tanto ser´n lineal-
a
mente dependientes y, en consecuencia, el determi-
v Q X• X nante de la matriz de sus componentes ser´ cero.
a
P • E
−→
− ¬
¬
−→− ¬
¬
u
PX ¬
¬
PX ¬
¬
u ¬
Linealmente dependientes ⇐⇒ u = 0
¬ ¬
¬
v v

266. 258 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
(b) Ecuaci´n de un plano conocido un punto del mismo y un vector normal al plano.
o
nT Si unimos el punto P con el punto X mediante el
−→
− −→
−
vector P X, resultar´ que los vectores P X y n son
a
E• X perpendiculares y por lo tanto su producto escalar
P • ser´ cero.
a
−→
− −→
−
n ⊥ P X ⇐⇒ n · P X = 0
Plano tangente
Desde el punto de vista geom´trico se llama plano tangente a una superficie
e
en un punto al plano que contiene a todas las rectas tangentes a la superficie
en dicho punto, o mejor dicho, a las rectas tangentes de todas las curvas
trazadas sobre la superficie que pasan por el punto. Si todas las tangentes
no est´n sobre el mismo plano, entonces se dice que el plano tangente no
a
existe.
Desde el punto de vista anal´ıtico para que exista el plano tangente a una
superficie en un punto de la misma, la funci´n que define la superficie ha de
o
ser diferenciable en el punto correspondiente.
(a) Superficies dadas de forma expl´
ıcita z = f (x, y)
El plano tangente ha de contener todas las rectas tangentes a la superficie
en el punto correspondiente, luego, en particular, ha de contener las rectas
tangentes en las direcciones de los ejes OX y OY , por lo tanto, los vectores
∂f ∂f
v T x = 1, 0, (x0 , y0 ) , v T y = 0, 1, (x0 , y0 )
∂x ∂y
ser´n paralelos al plano buscado.
a
Por tanto el plano tangente buscado contiene al punto x0 , y0 ; f (x0 , y0 ) y
es paralelo a los vectores v T x = 1, 0, fx (x0 , y0 ) y v T y = 0, 1, fy (x0 , y0 ) ,
por lo que su ecuaci´n ser´:
o a
¬
¬x − x0 ¬
¬ y − y0 z − z0 ¬ ¬
¬ 1
¬ ¬
fx (x0 , y0 )¬ = 0
¬ 0
¬
0
1
¬
fy (x0 , y0 )¬
de donde resulta z − z0 − fx (x0 , y0 )(x − x0 ) − fy (x0 , y0 )(y − y0 ) = 0 que se
puede expresar de la forma:
z − z0 = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
o bien, despejando z, y poniendo z0 = f (x0 , y0 ) resulta
z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) (4.4)
NOTA: Si la funci´n no es diferenciable, entonces la ecuaci´n anterior no
o o
representa el plano tangente, ya que en este caso el plano tangente no exis-
te. Es decir, si la funci´n no es diferenciable, pero tiene derivadas parciales,
o

267. 4.6. PLANO TANGENTE 259
podemos construir la ecuaci´n anterior, pero en este caso dicha ecuaci´n
o o
no representa el plano tangente, sino simplemente un plano que pasa por el
punto (x0 , y0 ).
Al mismo resultado llegamos sabiendo que el vector v p = (−fx , −fy , 1)
→
−
es perpendicular al plano buscado. En este caso ser´ v p · px = 0, y en
a
consecuencia obtenemos el mismo resultado.
−fx (x0 , y0 ) · (x − x0 ) − fy (x0 , y0 ) · (y − y0 ) + z − z0 = 0
de donde,
z − z0 = fx (x0 , y0 ) · (x − x0 ) + fy (x0 , y0 ) · (y − y0 )
que es el mismo resultado anterior.
Ejemplo 4.37. Hallar la ecuaci´n del plano tangente al paraboloide z =
o
x2 + y 2 en el punto P (2, −1; 5)
Soluci´n. Hallamos el gradiente en el punto p(2, −1)
o
zx = 2x zx (2, −1) = 4
∇z(2, −1) = (4, −2)
zy = 2y zy (2, −1) = −2
de donde: z − 5 = 4(x − 2) − 2(y + 1) o bien, simplificando, 4x − 2y − z = 5
(b) Superficies dadas de forma impl´
ıcita F (x, y, z) = 0
Supongamos que la superficie viene definida de manera impl´ ıcita, mediante
la ecuaci´n F (x, y, z) = 0. Si la funci´n viene definida de manera expl´
o o ıcita
z = f (x, y), f´cilmente puede convertirse a la forma impl´
a ıcita. En efecto,
dada una superficie de ecuaci´n z = f (x, y), igualando a cero (o a una
o
constante) obtenemos la ecuaci´n, z − f (x, y) = 0, y la podemos considerar
o
definida de manera impl´ ıcita. Por tanto tenemos la ecuaci´n z − f (x, y) = 0
o
que puede considerarse como una “superficie de nivel ”de una funci´n de tres
o
variables F (x, y, z) = 0, siendo F (x, y, z) = y − f (x, y), con lo cual en cada
punto (x, y, z) el vector gradiente de esta funci´n ser´ un vector normal a la
o a
superficie dada.
v p = ∇F
En consecuencia, el plano tangente a la superficie en el punto P (x0 , y0 , z0 )
ser´ el plano que contiene a P y tiene por vector normal a ∇F (x0 , y0 , z0 ).
a
Para hallar su ecuaci´n, tomamos un punto gen´rico X(x, y, z) del plano, y
o e
−→
tendr´ que ser ∇F (x0 , y0 , z0 ) ⊥ P X, y en consecuencia su producto escalar
a
−→
ha de ser cero ∇F (x0 , y0 , z0 ) · P X = 0, luego su ecuaci´n ser´:
o a
∂F ∂F ∂F
(x0 , y0 , z0 )·(x−x0 )+ (x0 , y0 , z0 )·(y −y0 )+ (x0 , y0 , z0 )·(z −z0 ) = 0 (4.5)
∂x ∂y ∂z

268. 260 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Recta normal
Se llama recta normal a una superficie S en un punto P (x0 , y0 , z0 ) de la
misma, a la recta que pasa por P y tiene por vector director al vector
normal a la superficie en dicho punto. Es decir, la recta perpendicular al
plano tangente a la superficie en P . Teniendo en cuenta que el vector normal
a la superficie en el punto P (x0 , y0 , z0 ) es ∇F (x0 , y0 , z0 ), podemos concluir
que la ecuaci´n de la recta normal a la superficie en el punto P viene definida
o
por las ecuaciones:
x − x0 y − y0 z − z0
= = (4.6)
Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
Ejemplo 4.38. Hallar la ecuaci´n del plano tangente y de la recta normal
o
al paraboloide de ecuaci´n z 2 − 2x2 − 2y 2 − 12 = 0, en el punto (1, −1, 4)
o
Soluci´n: Consideramos la funci´n F (x, y, z) = z 2 −2x2 −2y 2 −12 y hallamos
o o
su gradiente en el punto (1, −1, 4)
Fx = −4x Fx (1, −1, 4) = −4
Fy = −4y Fy (1, −1, 4) = 4 ∇F (1, −1, 4) = (−4, 4, 8) (−1, 1, 2)
Fz = 2z Fz (1, −1, 4) = 8
Luego el plano tangente es: −1(x−1)+1(y +1)+2(z −4) = 0 y simplificando
resulta
x − y − 2z + 6 = 0
y la recta normal
x−1 y+1 z−4
= =
−1 1 2
Existencia del plano tangente
Para construir la ecuaci´n del plano tangente a una superficie en un punto lo unico que
o ´
necesitamos son las derivadas parciales de la funci´n en dicho punto, sin embargo, no
o
siempre dicha ecuaci´n representa al plano tangente. Para que la ecuaci´n (4.4) represente,
o o
realmente, el plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P (x0 , y0 , z0 ) es necesario
que la funci´n f sea diferenciable en el punto p(x0 , y0 ). No debe olvidarse que las derivadas
o
parciales pueden existir, incluso, en puntos donde la funci´n no es ni siquiera continua,
o
y no tiene sentido hablar de plano tangente en dichos puntos. El concepto geom´trico e
de tangencia es el mismo que el concepto anal´ ıtico de diferenciabilidad. As´ si la funci´n
ı, o
¡
f : D ⊆ R2 → R es diferenciable en p(x0 , y0 ) entonces diremos que la ecuaci´n (4.4) define
o
al plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P x0 , y0 ; f (x0 , y0 ) . Si la funci´n
o
no es diferenciable en el punto p(x0 , y0 ), entonces el plano tangente a la superficie en el
punto correspondiente no existe, con lo cual el plano obtenido con la ecuaci´n (4.4) noo
representa al plano tangente en el sentido preciso que se entiende en matem´ticas. a
Formalmente podemos enunciar la siguiente
Definici´n 4.10 (Plano tangente y recta normal). Si F es diferenciable en el punto
o
P (x0 , y0 , x0 ) de la superficie S dada por F (x, y, z) = 0 tal que ∇F (x0 , y0 , z0 ) = 0.
1. El plano que pasa por P y es normal a ∇F (x0 , y0 , z0 ) se conoce como el plano
tangente a S en P .

269. 4.6. PLANO TANGENTE 261
2. La recta que pasa por P y que tiene la direcci´n de ∇F (x0 , y0 , z0 ) se conoce como
o
la recta normal a S en P .
Significado geom´trico de la tangencia
e
Si la funci´n f es diferenciable en el punto p(x0 , y0 ), ser´:
o a
∂f ∂f r(h, k)
f (x0 +h, y0 +k) = f (x0 , y0 )+ (x0 , y0 )h+ (x0 , y0 )k+r(h, k) con l´
ım =0
∂x ∂x (h,k)→(0,0) (h, k)
con lo cual, poniendo h = x − x0 , k = y − y0 , la expresi´n anterior se convierte en:
o
∂f ∂f
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + (x0 , y0 )(x − x0 ) + (x0 , y0 )(y − y0 ) + r(x − x0 , y − y0 )
∂x ∂x
donde r(x − x0 , y − y0 )
l´
ım =0
(x,y)→(x0 ,y0 ) (x − x0 , y − y0 )
z Ahora bien, teniendo en cuenta la ecuaci´n del
o
T plano tangente
f (x)• z = f (x0 , y0 )+fx (x0 , y0 )(x−x0 )+fy (x0 , y0 )(y−y0 )
r $
$$$
$$ •z ¢¢
$
$ (p)• $ donde z representa la altura en el punto x = (x, y)
¢ $$$$
f d
$
¢ d· hasta el plano tangente.
Resulta que el residuo r(x − x0 , y − y0 ) se puede
y0 y
E expresar como
x0 p • k
h dt r(x − x0 , y − y0 ) = f (x, y) − z
x
©
d• x
Es decir, el residuo es la diferencia entre la z de la
Figura 4.10: Plano tangente. funci´n z = f (x, y) en el punto x = (x, y) y la z
o
en el mismo punto del plano tangente a la gr´fica a
en p = (x0 , y0 )
El hecho de que f sea diferenciable en p = (x0 , y0 ) no s´lo nos dice que r es muy peque˜ o
o n
en torno al punto p, sino, adem´s, que es mucho m´s peque˜o que la distancia de p a x,
a a n
es decir r − . El hecho de que el residuo r → 0 cuando x → p s´lo nos dice que la
→
px o
funci´n es continua en p. Lo que realmente da el car´cter de tangencia es el hecho de que
o a
r
− → 0 cuando x → p. Este hecho geom´tricamente viene a significar que la superficie
→
px
e
se aplana en los alrededores del punto p tratando de confundirse, por un instante con el
plano tangente.
4.6.3. Recta tangente y plano normal a una curva en el es-
pacio
(a) Curvas dadas en forma param´trica
e
Ejemplo 4.39. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva
x=t y = t2 z = t3
en el punto t = 1
Soluci´n. Hallamos las coordenadas del punto P y del vector tangente vT correspondientes
o
al valor del par´metro t = 1
a
t = 1 → P (1, 1, 1)
x (t) = 1
µ x (1) = 1
µ
y (t) = 2t y (1) = 2 vT = (1, 2, 3)
z (t) = 3t2 z (1) = 3
de donde,

270. 262 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Las coordenadas de un punto gen´rico X(x, y, z) de la
e
zT
o¡
curva vendr´n dadas en funci´n del par´metro t, re-
a a
sultando X x(t), y(t), z(t) . En consecuencia, el vec-
vT
f (p) • E tor tangente en dicho punto gen´rico ser´
e a
z
¡
vT = x (t), y (t), z (t) ,
0
y0 y
E de donde resultan
x0 p
•
(a) Recta tangente en el punto P (x0 , y0 , z0 )
x
© x − x0 y − y0 z − z0
= =
x (t0 ) y (t0 ) z (t0 )
Figura 4.11: curva en el espacio
(b) Plano normal en el punto P (x0 , y0 , z0 )
x (t0 )(x−x0 )+y (t0 )(y−y0 )+z (t0 )(z−z0 ) = 0
(a) Recta tangente en el punto P (1, 1, 1)
x−1 y−1 z−1
= =
1 2 3
(b) Plano normal en el punto P (1, 1, 1)
1(x − 1) + 2(y − 1) + 3(z − 1) = 0
Ejemplo 4.40. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y del plano normal a la curva
x=t−2 y = 3t2 + 1 z = 2t3
en el punto donde corta al plano yz
Soluci´n. En el punto donde la curva corta al plano yz ser´ x = 0, luego t − 2 = 0, de
o a
donde t = 2. En consecuencia.
t = 2 → P (0, 13, 16)
x (t) = 1
µ x (2) = 1
µ
y (t) = 6t y (2) = 12 vT = (1, 12, 24)
z (t) = 6t2 z (2) = 24
de donde,
(a) Recta tangente en el punto P (0, 13, 16)
x y − 13 z − 16
= =
1 12 24
(b) Plano normal en el punto P (0, 13, 16)
x + 12(y − 13) + 24(z − 16) = 0 → x + 12y + 24z − 540 = 0
Curvas dadas como intersecci´n de dos superficies
o
Sean las superficies definidas por las ecuaciones F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0. Dichas
superficies se cortar´n en la curva definida por el sistema de ecuaciones:
a
x − x0 y − y0 z − z0
(a) Recta tangente en el punto P (x0 , y0 , z0 ) = =
v1 v2 v3
(b) Plano normal en el punto P (x0 , y0 , z0 ) v1 (x − x0 ) + v2 (y − y0 ) + v3 (z − z0 ) = 0

271. 4.6. PLANO TANGENTE 263
∇F F (x, y, z) = 0
T ∇G G(x, y, z) = 0
Q
F
Los vectores gradientes ∇F y ∇G en cualquier punto
• de la curva de corte ser´n normales a sus respectivas
a
superficies y por tanto ser´n normales a la curva de
a
G
vT
© corte, en consecuencia el vector perpendicular a am-
bos definido por su producto vectorial vT = ∇F ×∇G
ser´ tangente a la curva de corte, de donde, si sus com-
a
Figura 4.12: curva en el espacio ponentes son vT = (v1 , v2 , v3 ) resultan
Ejemplo 4.41. Hallar la ecuaci´n de la recta tangente y del plano normal a la curva
o
definida por la intersecci´n del elipsoide x2 +4y 2 +2z 2 = 27 y el hiperboloide x2 +y 2 −2z 2 =
o
11 en el punto P (3, −2, 1)
Soluci´n. Hallamos los vectores gradientes en el punto P (3, −2, 1)
o
´ Fx = 2x
µ Fx = 6
µ
2 2
F (x, y, z) = x + 4y + 2z 2
Fy = 8y Fy = −16 ∇F (3, −2, 1) = (6, −16, 4)
Fz = 4z Fz = 4
´ Fx = 2x
µ Fx = 6
µ
2 2
G(x, y, z) = x + y − 2z 2
Fy = 2y Fy = −4 ∇G(3, −2, 1) = (6, −4, −4)
Fz = −4z Fz = −4
luego, el vector tangente ser´:
a
¬i
¬ ¬
¬
¬
= ¬6
j
−16
k
¬
¬
vT
¬
6 −4 −4 ¬
4 = (80, 48, 72) = 8(10, 6, 9)
y en consecuencia
(a) Recta tangente en el punto P (3, −2, 1)
x−3 y+2 z−1
= =
10 6 9
(b) Plano normal en el punto P (3, −2, 1)
10(x − 3) + 6(y + 2) + 9(z − 1) = 0
4.6.4. La diferencial como aproximaci´n del incremento
o
Sea f : D ⊆ R2 → R una funci´n diferenciable en el conjunto abierto D de
o
R2 . Entonces, para cada x ∈ D tendremos
∂f ∂f r(h)
f (x + h) = f (x) + h1 + h2 + r(h) donde l´
ım =0
∂x ∂x h→0 h
Vimos en la definici´n (4.3) que a la parte lineal en h1 y h2 de esta expresi´n,
o o
λ(h1 , h2 ) = fx h1 + fy h2 , se le llama diferencial de la funci´n f en el punto
o
x = (x, y) y se denota por df (x, y), o simplemente por df . Es decir,
∂f ∂f
df = h1 + h2
∂x ∂y

272. 264 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Y teniendo en cuenta que si f (x, y) = x, se tiene h1 = dx y si f (x, y) = y,
se tiene h2 = dy, podemos escribir:
∂f ∂f
df = dx + dy
∂x ∂y
z
T
f (x + h)•
r $
$$$
$ •z ¢
$ $$• $¢
f (x) d $$
¢ $$$$ df
$
¢ d ·
y y + h2
E
x x h2
h •
1 dt
d•
x + h1
© d x+h
Figura 4.13: ∆f ≈ df
Con lo cual resulta
f (x + h) = f (x) + df (x) + r(h)
Ahora bien, dado que l´ h→0 r(h) = 0 se tiene que, para h peque˜o,
ım n
ser´ r(h) ≈ 0 y en consecuencia
a
f (x + h) ≈ f (x) + df (x)
Si observamos la gr´fica 4.13, vemos que se tiene,
a
f (x + h) ≈ z
Es decir, la z de la funci´n z = f (x + h) en el punto x + h = (x + h1 , y + h2 ),
o
coincide, de manera aproximada, con la z, en el mismo punto, del plano
tangente a la gr´fica en un punto cercano x = (x, y)
a
Lo anterior tambi´n se puede expresar de la forma
e
f (x + h) − f (x) ≈ df (x)
Es decir,
∆f ≈ df
Geom´tricamente se pueden dar las siguientes interpretaciones:
e

273. 4.6. PLANO TANGENTE 265
(a) El valor aproximado de una funci´n f (x), en un punto x, se puede
o
obtener sustituyendo el valor de x en la ecuaci´n del plano tangente,
o
en un punto cercano x0 , pr´ximo a x. Es decir, para hallar el valor
o
aproximado de una funci´n en un punto, calculamos la ecuaci´n del
o o
plano tangente, en un punto cercano, y sustituimos las coordenadas
del punto sobre la ecuaci´n de dicho plano.
o
(b) Al pasar del punto x al punto cercano x + h, el incremento que sufre
la funci´n
o
∆f = f (x + h) − f (x)
coincide, de manera aproximada, con el diferencial df . Es decir, la
diferencial de una funci´n es una buena aproximaci´n del incremento
o o
Puesto que el plano tangente, y en general cualquier plano en el espacio, se
representa por una ecuaci´n lineal en las variables x, y y z, llamamos a esta
o
aproximaci´n de la funci´n mediante su plano tangente, o lo que es lo mismo
o o
a la aproximaci´n del incremento por el diferencial, aproximaci´n lineal.
o o
C´lculo de valores aproximados
a
Los resultados anteriores nos sirven para calcular valores aproximados. En
efecto, supongamos que queremos calcular, aunque sea de manera aproxima-
da, el valor de una funci´n en un punto (x, y), pero no sabemos calcular el
o
valor de la funci´n en dicho punto, f (x, y), o dicho c´lculo resulta extremada-
o a
mente complicado; y sin embargo, supongamos que sabemos calcular el valor
de la funci´n y el de sus derivadas parciales en un punto cercano (x0 , y0 ).
o
Pues bien, podemos utilizar el valor de la funci´n y el de su derivadas par-
o
ciales en este punto (x0 , y0 ) para calcular el valor aproximado de la funci´n
o
en el punto desconocido (x, y).
Para hacer c´lculos aproximados de operaciones podemos utilizar cual-
a
quiera de las dos opciones:
(a) Para hallar el valor aproximado de una funci´n en un punto, calcula-
o
mos la ecuaci´n del plano tangente, en un punto cercano, y sustituimos
o
las coordenadas del punto sobre la ecuaci´n de dicho plano.
o
f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fx (x0 , y0 )(y − y0 )
(b) Aproximar el incremento mediante la diferencial
f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ) + df (x0 , y0 )
Hay que advertir que estas aproximaciones s´lo ser´n validas para valores
o a
muy cercanos al punto conocido y para funciones diferenciables.
Ejemplo 4.42. Comparar el incremento con el diferencial del area de un
´
rect´ngulo.
a

274. 266 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Soluci´n. Incrementemos los lados de un rect´ngulo x e y, en dx y dy,
o a
respectivamente. El area del rect´ngulo viene definida por a = x · y, de
´ a
donde:
El incremento del area ser´: ∆a = ydx + xdy + dxdy
´ a
Y el diferencial
dy xdy dxdy
∂a
=y
y ydx
∂x da = ydx + xdy
∂a
=x
∂y
x dx
En consecuencia, ∆a = da + dxdy
Figura 4.14: ∆a ≈ da Es decir ∆a = da + r(h, k)
Ejemplo 4.43. Dada la superficie de ecuaci´n z = xexy−2 se pide:
o
(a) Hallar la ecuaci´n del plano tangente a la superficie dada en el punto
o
P (2, 1, 2).
(b) Usar el plano tangente para obtener una aproximaci´n del valor de la
o
funci´n en el punto q(1 9, 1 02).
o
Soluci´n. (a) El plano tangente viene definido por la ecuaci´n:
o o
z − z0 = fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 )
para lo cual
fx = exy−2 + xyexy−2 fx (2, 1) = e0 + 2 · 1 · e0 = 1 + 2 = 3
fy = x2 exy−2 fy (2, 1) = 4e0 = 4
de donde, la ecuaci´n del plano tangente es
o
z − 2 = 3(x − 2) + 4(y − 1)
que se simplifica en z = 3x + 4y − 8
(b) El valor aproximado de la funci´n se calcula sustituyendo los valores de
o
x e y en la ecuaci´n del plano tangente, as´
o ı,
z(1 9, 1, 02) = 1 9e1 9·1 02−2 ≈ 3 · 1 9 + 4 · 1 02 − 8 = 5 7 + 4 08 − 8 = 1 78
(los c´lculos suelen resultan m´s f´ciles si se sustituye directamente sobre
a a a
la ecuaci´n del plano tangente, antes de eliminar los par´ntesis, despejando
o e
previamente z, en efecto z = 3 + 3(−0 1) + 4(0 02) = 3 − 0 3 + 0 08 = 1 78)
Ejemplo 4.44. Usar la diferencial, dz, para aproximar la variaci´n que o
experimenta la funci´n z = 6 − x
o 2 − y 2 cuando (x, y) se desplaza desde el
punto (1, 1) al punto (1,02, 0,95).

275. 4.6. PLANO TANGENTE 267
Soluci´n. Tenemos que la variaci´n de z puede aproximarse por
o o
∂z ∂z −x −y
∆z ≈ dz = dx + dy = dx + dy
∂x ∂y 6 − x2 − y 2 6 − x2 − y 2
Ahora bien, llamando (x, y) = (1, 1) y (x+∆x, y+∆y) = (1,02, 0,94) tenemos
dx = ∆x = 0,02 y dy = ∆y = −0,06
con lo cual, resulta
−1 −1 0,04
∆z ≈ (0,02) + (−0,06) = = 0,02
2 2 2
Los resultados anteriores pueden extenderse a funciones de tres o m´s
a
variables, como se hace en el siguiente ejemplo.
√
Ejemplo 4.45. Estimar 2 012 + 1 982 + 1 052
Soluci´n. Necesitamos una funci´n y un punto pr´ximo, al dado, sobre el
o o o
que sepamos hacer los c´lculos con facilidad. En este caso, la funci´n es
a o
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 y el punto p(2, 2, 1). En consecuencia,
√
f (2, 2, 1) = 22 + 22 + 11 = 9=3
∂f x
= ∂f 2 2
∂x x2 + y 2 + z 2 (2, 2, 1) = √ =
∂x 9 3
∂f y ∂f 2 2
= (2, 2, 1) = √ =
∂y x2 + y 2 + z 2 ∂y 9 3
∂f z ∂f 1 1
= (2, 2, 1) = √ =
∂z x2 + y 2 + z 2 ∂z 9 3
de donde, sustituyendo en la ecuaci´n del “plano”tangente (en este caso
o
((hiperplano))):
z = f (x0 , y0 , z0 )+fx (x0 , y0 , z0 )(x−x0 )+fy (x0 , y0 , z0 )(y −y0 )+fz (x0 , y0 , z0 )(z −z0 )
resulta,
2 2 1
2 012 + 1 982 + 1 052 ≈ 3 + (0 01) + (−0 02) + (0 05) = 3 01
3 3 3
Propagaci´n de errores.
o
Cuando se realizan mediciones f´ ısicas de una magnitud, se cometen lo que
se llaman errores de medici´n. Si posteriormente realizamos operaciones con
o
esos valores medidos, los errores de medici´n se propagan, a trav´s de los
o e
c´lculos realizados, a los nuevos resultados obtenidos. Lo que se llama error
a
propagado.

276. 268 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
As´ si x representa el valor medido de una variable y x + ∆x su valor
ı,
exacto, entonces ∆x es el error de la medida. Finalmente, si el valor x medido
se usa para calcular otro valor f (x), la diferencia entre f (x + ∆x) y f (x) se
llama el error propagado.
errorde
Þ ß
medida
f (x + ∆x ) −f (x) =
ßÞ ßÞ ∆y
ßÞ
valor valor error
exacto medido propagado
Pueden utilizarse las diferenciales para aproximar la propagaci´n del
o
error introducido por los errores de medici´n.
o
Ejemplo 4.46. El radio r y la altura h de un cilindro circular recto se
miden con un error posible del 4 % y del 2 %, respectivamente. Aproximar el
error porcentual m´ximo al medir el volumen.
a
Soluci´n. El volumen del cilindro viene definido por V = πr2 h
o
de donde,
∂V ∂V
dV = dr + dh = 2πrh dr + πr2 dh
∂r ∂h
Para los errores dados, tenemos
4r 2h
dr = , dh =
100 100
luego el error propagado es
4r 2h 8πhr2 2πr2 h 10πr2 h 10 V
dV = 2πrh + πr2 = + = =
100 100 100 100 100 100
Luego el error propagado es del 10 %.
4.7. Funciones vectoriales y matriz Jacobiana
4.7.1. Funciones vectoriales de variable vectorial
Definici´n 4.11. Se llama funci´n vectorial de variable vectorial a las funciones del tipo:
o o
f : D ⊆ Rn → R m
(x1 , x2 , · · · , xn ) → (y1 , y2 , · · · , ym )
Es decir,
y1 = f1 (x1 , x2 , · · · , xn )
y2 = f2 (x1 , x2 , · · · , xn )
f (x1 , x2 , · · · , xn ) = (y1 , y2 , · · · , ym ) donde
···
ym = fm (x1 , x2 , · · · , xn )
Tenemos pues que una funci´n f : D ⊆ Rn → Rm es una regla que asocia a cada n-ada
o
ordenada de n´meros reales (x1 , x2 , · · · , xn ) de D, una m-ada ordenada de n´meros reales
u u

277. 4.7. FUNCIONES VECTORIALES Y MATRIZ JACOBIANA 269
bien determinada (y1 , y2 , · · · , ym ) de Rm . O bien, en t´rminos vectoriales, una regla que
e
asocia a cada vector x de D, un vector bien determinado y de Rm .
En otras palabras, una funci´n vectorial es un vector cuyas componentes son funciones
o
escalares.
f = (f1 , f2 , · · · , fm )
Es decir,
n m
(x1 , x2 , · · · , xn )→
f (x , x , · · f· ,: x ), fR(x→xR, · · · , x
D⊆
¡
1 1 2 n 2 , 1 2 n ), · · · , fm (x1 , x2 , · · · , xn )
Por ejemplo, las curvas param´tricas pueden considerarse como funciones vectoriales de
e
R en R2 . As´ si las ecuaciones param´tricas de una curva vienen definidas por:
ı, e
x(t) = 2t + 3
y(t) = t − 5
las podemos interpretar como una funci´n vectorial de la siguiente forma:
o
R − − R2
−→
f
f (t) = (2t + 3, t − 5) = x(t), y(t)
¡
t → (2t + 3, t − 5)
Por ejemplo, la funci´n vectorial f (x, y) = (x + 2, x − y, y + 4) viene definida por:
o
R2 − − R3
−→
f f (x, y) = (x + 2, x − y, y + 4) =
(x, y) → (x + 2, x − y, y + 4) = f1 (x, y), f2 (x, y), f3 (x, y)
Campos vectoriales. Se llaman campos vectoriales a las funciones vectoriales de Rn en
s´ mismo. Es decir, se llama campo vectorial (en Rn ) a las funciones del tipo f : D Rn →
ı
Rn . Una pr´ctica para visualizar los campos vectoriales consiste en jugar con la naturaleza
a
“dual”de los elementos de Rn ; los elementos del dominio x ∈ D se ven como puntos y los
de la imagen f (x) como vectores. El vector f (x) se representa mediante una flecha que se
puede colocar en cualquier punto del espacio, sin embargo, para tener una visualizaci´n o
del campo, la flecha se colocar´ de manera que su punto inicial sea el punto x.
a
4.7.2. Continuidad de las funciones vectoriales
Los conceptos de l´ ımite, continuidad y diferenciabilidad pueden extenderse a funciones
vectoriales. Estos conceptos siempre tienen dos visiones; una general que es m´s bien
a
te´rica y consiste en la traslaci´n de los conceptos unidimensionales a niveles vectoriales,
o o
y otra por componentes que es m´s bien pr´ctica y que consiste en trasladar los conceptos
a a
a las funciones coordenadas.
L´
ımite de una funci´n vectorial
o
Definici´n 4.12. Sean f : D ⊆ Rn → Rm y x0 ∈ D (siendo D un abierto de Rn ); Se dice
o
ım f (x) − = 0
ımite , cuando x tiende a x0 , si l´
que f tiene por l´
x→x0
Se escribe entonces l´ f (x) = .
ım
x→x0
Merece destacar que el l´
ımite vectorial se ha definido en t´rminos num´ricos. En efecto,
e e
para cada x se tiene que f (x)− es un n´mero, m´s preciso, la aplicaci´n x → f (x)−
u a o
es una funci´n num´rica de D en R+ , y es ya familiar el l´
o e ımite para estas funciones.
ımite por medio de la noci´n de bola.
Bola. Cabe interpretar la definici´n de l´
o o
Definici´n 4.13. En Rn , se llama bola abierta, de centro x0 ∈ Rn y de radio r ∈ R∗ , al
o +
conjunto de puntos x de Rn tales que x − x0 r.

278. 270 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Se designa por B(x0 , r), o simplemente por B, cuando no haya temor de confusi´n:
o
B(x0 , r) = {x ∈ Rn / x − x0 r}
As´ por ejemplo, en la recta real R, la bola se llama entorno y est´ formado por los
ı, a
puntos del intervalo (x0 − r, x0 + r); en el plano eucl´
ıdeo R2 , la bola se denomina disco y
est´ formada por los puntos interiores al c´
a ırculo de centro x0 y radio r; en el espacio de
tres dimensiones R3 la bola B(x0 , r) est´ formada por los puntos interiores a la esfera de
a
centro x0 y radio r.
La noci´n de l´
o ımite de una funci´n puede interpretarse entonces de la siguiente manera:
o
Definici´n 4.14. Se dice que l´ f (x) =
o ım si, para toda bola B de centro y radio
x→x0
0, existe una bola B de centro x0 y radio r, incluido en D, tal que F (B) B.
Coordenadas y l´ ımite. Teniendo en cuenta que una funci´n vectorial f : D ⊆ Rn → Rm
o
es un vector cuyas coordenadas son funciones escalares f = (f1 , f2 , · · · , fm ).
Es decir,
f (x1 , x2 , · · · , xn ) = f1 (x1 , x2 , · · · , xn ), f2 (x1 , x2 , · · · , xn ), · · · , fm (x1 , x2 , · · · , xn )
¡
Se tiene que:
1. Si f , con f = (f1 , f2 , · · · , fm ), tiene por l´
ımite , con = ( 1 , 2 , · · · , m ), entonces
cada una de las funciones coordenadas de f tienen por l´ ımite, respectivamente,
1, 2, · · · , m.
2. Si las coordenadas de f tienen por l´ ımite, respectivamente, 1, 2, · · · , m, entonces
ımite = ( 1 , 2 , · · · , m ).
f tiene por l´
En consecuencia, se puede enunciar el siguiente teorema:
Teorema 4.6. Para que f tienda a un l´ ımite , es necesario y suficiente que las coorde-
nadas de f tengan por l´
ımites respectivamente las coordenadas de .
Continuidad
Definici´n 4.15. Sean f : D ⊆ Rn → Rm y x0 ∈ D (siendo D un abierto de Rn ); Se dice
o
que f es continua en x0 , si l´ f (x) = f (x0 ).
ım
x→x0
En otros t´rminos, f es continua en x0 si l´
e ım f (x)−f (x0 ) = 0, o bien, f es continua
x→x0
en x0 si, para todo 0, existe δ 0 tal que:
x − x0 δ =⇒ f (x) − f (x0 ) .
Sirvi´ndonos de la noci´n geom´trica de bola podemos dar la siguiente definici´n: f
e o e o
es continua en x0 si, para toda bola B de centro f (x0 ) existe una bola B de centro en x0 ,
incluida en D, tal que f (B ) B.
Se dice que f es continua sobre un dominio D, si f es continua en todo punto x0 de D.
Coordenadas de una funci´n continua. El concepto de continuidad se puede establecer
o
en t´rminos de las funciones coordenadas. As´
e ı,
Teorema 4.7. Para que f sea continua, en un dominio D, es necesario y suficiente que
todas las coordenadas de f lo sean.

279. 4.7. FUNCIONES VECTORIALES Y MATRIZ JACOBIANA 271
Composici´n de funciones continuas
o
Aunque la composici´n de funciones se tratar´ m´s detalladamente en el ep´
o a a ıgrafe siguiente
dedicado a la Regla de la cadena, la vemos aqu´ con objeto de demostrar que la composici´n
ı o
de dos funciones continuas es a su vez otra funci´n continua.
o
Definici´n 4.16 (Composici´n de funciones). Dadas la funci´n g : Dg ⊆ Rn → Rp
o o o
definida en el conjunto Dg de Rn y la funci´n f : Df ⊆ Rm → Rn definida en el conjunto
o
Df de Rm , cuyo rango est´ contenido en Dg (es decir, f (Df ) ⊆ Dg ), entonces se puede
a
formar la composici´n de ambas funciones g ◦ f : Df ⊆ Rm → Rp , definida como:
o
(g ◦ f )(u) = g f (u) ,
¡ u ∈ Df
Esquem´ticamente ser´
a ıa.
f : Df ⊆ Rm → Rn f
Df − Dg − Rp
→ →
g
(g ◦ f )(u) = g f (u)
¡
g : Dg ⊆ Rn → Rp g ◦ f : Df ⊆ Rm → Rp
y mediante diagramas, teniendo en consideraci´n los dominios,
o
f g
‚ ‚
Df Dg
B
Rm Rn Rp
g◦f
Figura 4.15: Composici´n de funciones
o
Igual que en una variable, en general, la composici´n de funciones no cumple la
o
propiedad conmutativa, y s´ la asociativa.
ı
Teorema 4.8 (Composici´n de funciones continuas). Dadas la funci´n g : Dg ⊆
o o
Rn → Rp definida en el conjunto Dg de Rn y la funci´n f : Df ⊆ Rm → Rn definida en
o
el conjunto Df de Rm , cuyo rango est´ contenido en Dg (es decir, f (Df ) ⊆ Dg ), Si la
a
funci´n f es continua en el punto x0 y la funci´n g es continua en el punto y0 = f (x0 )
o o
entonces la funci´n compuesta g ◦ f tambi´n es continua en x0 .
o e
Demostraci´n. Sea x0 ∈ Df e y0 = f (x0 ) ∈ Dg . Puesto que g es continua en y0 , para
o
toda bola B de centro g(y0 ) existe una bola B , de centro y0 , tal que g(B ) B.
Puesto que f es continua en x0 , para toda bola B de centro f (x0 ) = y0 , existe una bola
B de centro x0 tal que f (B ) B .
Aplicando g a los dos miembros de esta relaci´n; se obtiene:
o
g ◦ f (B ) g(B ) B
y, por consiguiente, g ◦ f es continua en el punto x0 .
4.7.3. Derivadas parciales de funciones vectoriales
Aunque a nivel te´rico las derivadas parciales de funciones vectoriales pueden definirse
o
en t´rminos vectoriales, en la pr´ctica, se establecen en t´rminos de las funciones com-
e a e
ponentes. Teniendo en cuenta que una funci´n vectorial f : D ⊆ Rn → Rm es un vector
o
cuyas coordenadas son funciones escalares f = (f1 , f2 , · · · , fm ). Es decir,
¡
f (x1 , x2 , · · · , xn ) = f1 (x1 , x2 , · · · , xn ), f2 (x1 , x2 , · · · , xn ), · · · , fm (x1 , x2 , · · · , xn )

280. 272 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Se tiene que:
∂f ∂f1 ∂f2 ∂fm
(x1 , x2 , · · · , xn ) = (x1 , x2 , · · · , xn ), (x1 , x2 , · · · , xn ), · · · , (x1 , x2 , · · · , xn )
∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂x1
···
∂f ∂f1 ∂f2 ∂fm
(x1 , x2 , · · · , xn ) = (x1 , x2 , · · · , xn ), (x1 , x2 , · · · , xn ), · · · , (x1 , x2 , · · · , xn )
∂xn ∂xn ∂xn ∂xn
Ejemplo 4.47. Hallar las derivadas parciales de la funci´n
o
f (x, y, z) = (xey cos z, xey sen z, tan z)
Soluci´n. Derivando componente a componente, se tiene,
o
fx = (ey cos z, ey sen z, 0)
fy = (xey cos z, xey sen z, 0)
fz = (−xey sen z, xey cos z, 1 + tan2 z)
4.7.4. Funciones vectoriales diferenciables
En la definici´n 4.4 de la p´gina 236 se estableci´, para funciones num´ricas de una sola
o a o e
variable, que: Una funci´n f : D ∈ R → R es diferenciable en x0 ∈ D si existe una
o
constante A tal que
r(h)
f (x0 + h) = f (x0 ) + Ah + r(h) con l´
ım =0
h→0 h
En tal caso, a la expresi´n lineal λ(h) = Ah se le llama diferencial de f , y se tiene:
o
df (x0 ) = λ(h) = Ah = f (x0 ) dx
En la definici´n 4.7 de la p´gina 243 se estableci´, para funciones num´ricas de n variables,
o a o e
que: Una funci´n f : D ⊆ Rn → R es diferenciable en el punto x0 = (x1 , · · · , xn ) ∈ D, si
o
existen n constantes Ai , i = 1, 2, · · · , n tales que
n
r(h)
f (x0 + h) = f (x0 ) + Ai hi + r(h) con l´
ım =0
h→0 h
È
i=1
n
En tal caso, a la expresi´n lineal λ(h1 , · · · , hn ) =
o i=1
Ai hi se le llama diferencial de f ,
y se tiene:
n n
∂f ∂f ∂f ∂f
df (x0 ) = λ(h) = Ai hi = (x0 )dxi = (x0 )dx1 + (x0 )dx2 +· · ·+ (x0 )dxn
∂xi ∂x1 ∂x2 ∂xn
i=1 i=1
En cada uno de los casos, la diferencial de una funci´n en un punto aparece como
o
una aplicaci´n lineal que se aproxima a la funci´n f en ese punto. Se trata de generalizar
o o
esta importante noci´n a las funciones de varias variables, ya tengan im´genes reales o
o a
vectoriales.
La generalizaci´n se va a hacer por la v´ de definir la diferencial como una aplicaci´n
o ıa o
lineal /. Recu´rdese que una aplicaci´n λ(h, k) es lineal si cumple la propiedad λ(ah, bk) =
e o
aλ(h, k)+bλ(h, k), siendo a y b n´meros. Recu´rdese tambi´n la relaci´n de las aplicaciones
u e e o
lineales con las matrices. As´ se establece la siguiente definici´n:
ı, o
Definici´n 4.17 (Funciones diferenciables). Una funci´n f : D ⊆ Rn → Rm se dice
o o
diferenciable en el punto x0 = (x1 , · · · , xn ) ∈ D, si existen una aplicaci´n lineal λ(h) tal
o
que
r(h)
f (x0 + h) = f (x0 ) + λ(h) + r(h) con l´ ım =0
h→0 h

281. 4.7. FUNCIONES VECTORIALES Y MATRIZ JACOBIANA 273
En tal caso, a la expresi´n lineal λ(h) se le llama diferencial de f , y se designa por df (x0 )
o
Nota: Es evidente que esta definici´n generaliza las dos anteriores, ya que para f : D
o
R → R tenemos la primera definici´n, y para f : D Rn → R la segunda.
o
Con objeto de eludir el cociente en el l´ ımite que aparece en la definici´n, se puede
o
modificar la definici´n de funci´n diferenciable en los siguientes t´rminos. Una funci´n
o o e o
f : D ⊆ Rn → Rm se dice diferenciable en el punto x0 = (x1 , · · · , xn ) ∈ D, si existen una
aplicaci´n lineal λ(h) tal que
o
f (x0 + h) = f (x0 ) + λ(h) + h (h) (4.7)
con:
l´
ım (h) = 0 (4.8)
h→0
Nota: Muchos autores prefieren dar la definici´n de funci´n diferenciable unificando los
o o
dos apartados 4.7 y 4.8 en un solo l´
ımite. As´ se tiene:
ı,
Definici´n 4.18. Sea f : D Rn → Rm y sea x0 un punto interior de D. Se dice que f es
o
diferenciable en x0 si existe una aplicaci´n lineal λ : Rn → Rm , dependiente, en general,
o
de x0 tal que
f (x0 + h) − f (x0 ) − λ(h)
l´
ım =0
h→0 h
Proposici´n 4.7. Si la funci´n f : D ⊆ Rn → Rm es diferenciable en el punto x0 =
o o
(x1 , · · · , xn ) ∈ D entonces existen sus derivadas parciales en dicho punto.
Demostraci´n. Supongamos, para simplificar la escritura, que n = 3. Supongamos, por
o
tanto, que la funci´n f : D ⊆ R3 → Rm es diferenciable en el punto x0 = (x0 , y0 , z0 ) ∈ D,
o
entonces existen una aplicaci´n lineal λ(h) tal que, para todo h tal que x0 + h ∈ D, se
o
tiene:
f (x0 + h) − f (x0 ) = λ(h) + h (h) con l´ ım (h) = 0
h→0
Designemos por {e1 , e2 , e3 } la base can´nica de R3 . Elijamos en primer lugar h del modo
o
siguiente:
h = (t, 0, 0) = te1 (t ∈ R).
Puesto que la diferencial es lineal, se tiene λ(h) = λ(te1 ) = tλ(e1 ), en consecuencia la
relaci´n (4.7) se escribe:
o
f (x0 + t, y0 , z0 ) − f (x0 , y0 , z0 ) = tλ(e1 ) + |t| e1 (te1 )
y, como l´ (te1 ) = 0, se obtiene:
ım
t→0
f (x0 + t, y0 , z0 ) − f (x0 , y0 , z0 )
l´
ım = λ(e1 ).
t→0 t
Resulta as´ que la funci´n f admite, en (x0 , y0 , z0 ), derivada parcial respecto de x, que
ı o
vale:
∂f
λ(e1 ) = (x0 , y0 , z0 ).
∂x
An´logamente, tomando h(0, t, 0) y despu´s h(0, 0, t) se probar´ que f admite, en el punto
a e ıa
(x0 , y0 , z0 ), derivadas parciales con relaci´n a y y z, respectivamente iguales a:
o
∂f ∂f
λ(e2 ) = (x0 , y0 , z0 ) y λ(e3 ) = (x0 , y0 , z0 ).
∂y ∂z

282. 274 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
La diferencial. Tomando h = (dx, dy, dz), y teniendo en cuenta que la diferencial es
lineal, resulta:
λ(h) = λ(e1 )dx + λ(e2 )dy + λ(e3 )dz.
Es decir,
∂f ∂f ∂f
df (x0 ) = λ(h) = dx + dy + dz
∂x ∂y ∂z
Y para el caso de n variables, resulta:
∂f ∂f ∂f
df (x0 ) = λ(h) = dx1 + dx2 + · · · + dxn
∂x1 ∂x2 ∂xn
Coordenadas y diferenciabilidad de las funciones vectoriales. Los
conceptos de continuidad y diferenciabilidad de funciones vectoriales se establecen en
t´rminos de las funciones componentes. Es decir, se dice que la funci´n f = (f1 , f2 , · · · , fm )
e o
es continua (respectivamente, diferenciable) en el punto x0 ∈ D, si y s´lo si todas y cada
o
una de las funciones componentes fi : D ⊆ Rn → R, i = 1, 2, · · · , m, lo son.
Ahora bien, teniendo en cuenta que las coordenadas de la funci´n f son f = (f1 , f2 , · · · , fm ),
o
ser´:
a
∂f
=
∂f1 ∂f2
, ,··· ,
∂fm ¡
i = 1, 2, · · · , n
∂xi ∂xi ∂xi ∂xi
de donde,
∂f ∂f
df (x0 ) = dx1 + · · · + dxn =
∂x1 ∂xn
=
∂f1 ∂f2
, ,··· ,
∂fm ¡
dx1 + · · · +
∂f1 ∂f2
, ,··· ,
∂fm
dxn =
¡
∂x1 ∂x1 ∂x1 ∂xn ∂xn ∂xn
=
∂f1
dx1 + · · · +
∂f1
dxn , · · · ,
∂fm
dx1 + · · · +
∂fm ¡
dxn = (df1 , df2 , · · · , dfm )
∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xn
Luego el diferencial de una funci´n vectorial se puede calcular por componentes:
o
df (x0 ) = (df1 , df2 , · · · , dfm ) (4.9)
Ejemplo 4.48. Estudiar la continuidad y diferenciabilidad de la funci´n f : R2 → R2 ,
o
definida por
f (x, y) = (x + y, |y|)
Soluci´n. (a) La funci´n es continua en todo R2 , pues las funciones componentes
o o
f1 , f2 : R2 → R, f1 (x, y) = x + y, f2 (x, y) = |y| lo son.
(b) La funci´n no es diferenciable en el origen, pues la funci´n f2 (x, y) = |y| no lo es.
o o
El jacobiano
Si la funci´n f : D ⊆ Rn → Rm es diferenciable en el punto x0 = (x1 , · · · , xn ) ∈ D
o
entonces, su diferencial ser´:
a
∂f ∂f ∂f
df (x0 ) = λ(h) = dx1 + dx2 + · · · + dxn
∂x1 ∂x2 ∂xn
Que se puede expresar de manera matricial, de la forma:
dx1
à
df (x0 ) =
∂f,
∂f
,··· ,
∂f ¡ dx2
= Jf (x0 )dx
.
.
∂x1 ∂x2 ∂xn .
dxn

283. 4.7. FUNCIONES VECTORIALES Y MATRIZ JACOBIANA 275
A la matriz Jf (x0 ) se le llama ((matriz Jacobiana)) de la funci´n f en el punto x0 .
o
Ahora bien, teniendo en cuenta que la funci´n f = (f1 , f2 , · · · , fm ), ser´:
o a
∂f
=
∂f1 ∂f2
, ,··· ,
∂fm ¡ i = 1, 2, · · · , n
∂xi ∂xi ∂xi ∂xi
Con lo cual resulta que la matriz jacobiana es,
ã
∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
···
∂f1
∂xn ∇f1
à
∂f2 ∂f2 ∂f2 ∇f2
Jf = ··· =
∂x1 ∂x2 ∂xn .
.
··· .
∂fm ∂fm ∂fm ∇fm
···
∂x1 ∂x2 ∂xn
Observaciones:
(a) Abreviadamente, una matriz A se escribe A = [aij ], siendo el elemento aij el ele-
mento perteneciente a la fila i y la columna j. As´ la matriz jacobiana se puede
ı,
£ å è
expresar como:
¢
Jf (x) = Dj fi (x) =
∂fi
(x)
∂xj
(b) Los elementos de la fila i de la matriz jacobiana coinciden con las componentes del
vector gradiente ∇fi (x)
(c) Para m = 1 se tiene Jf (x0 ) = ∇f (x0 ).
(d) Para n = m, el determinante de la matriz Jf (x0 ) se llama jacobiano . Para el
jacobiano tambi´n se utiliza la siguiente notaci´n:
e o
¢ £ ¬
¬
∂(f1 , . . . , fn )/∂(x1 , . . . , xn ) = det Dj fi (x) = Jf (x)
¬
¬
(e) Si comparamos la expresi´n de la diferencial de una funci´n de una variable, de
o o
una funci´n de varias variables y de una funci´n vectorial tenemos:
o o
1.- Para funciones de una variable tenemos: df = f (x) · h
2.- Para funciones de varias variables: df = ∇f · h
3.- Para funciones vectoriales: df = Jf · h
donde se ha usado, respectivamente, el producto num´rico, el producto escalar y el
e
producto matricial.
(f) Si se comparan las tres expresiones, se observa que el gradiente, ∇f , puede pensarse
como la generalizaci´n del concepto de derivada para funciones de varias variables,
o
y la matriz jacobiana, Jf , para funciones vectoriales. Si bien, hay que advertir que
mientras que la derivada de una funci´n de una variable en un punto es un n´mero,
o u
la derivada de una funci´n de varias variables es un vector, y la derivada de una
o
funci´n vectorial una matriz.
o
Ejemplo 4.49. Hallar el diferencial de la funci´n vectorial f : R2 → R2 definida por:
o
f (x, y) = (x2 + 3y 2 , 5x3 + 2y 6 )
Soluci´n. El Jacobiano de la funci´n viene definido por:
o o
∂f1 ∂f1
DZ
∂x ∂y 2x 6y
Jf = =
∂f2 ∂f2 15x2 12y 5
∂x ∂y

284. 276 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
de donde,
df =
2x 6y dx
= 2xdx + 6ydx, 15x2 dx + 12y 5 dy
¡
15x2 12y 5 dy
Al mismo resultado hubi´ramos llegado operando por componentes, en efecto,
e
df = (df1 , df2 ) = 2xdx + 6ydx, 15x2 dx + 12y 5 dy
¡
4.8. Regla de la cadena
4.8.1. Funciones compuestas, inversas e impl´
ıcitas de una variable
Composici´n de funciones. Componer dos funciones consiste en aplicar la segunda
o
funci´n al resultado de la primera. Anal´
o ıticamente tambi´n significa sustituir una funci´n
e o
en la otra. Es decir, si tenemos la funci´n y = f (x) que establece la dependencia entre y y
o
¡
x, y la funci´n x = g(t), que establece la dependencia entre x y t, podemos sustituir esta
o
ultima en la primera y obtener y = f g(t) . A la funci´n as´ obtenida (que env´ t a y)
´ o ı ıa
se le llama composici´n de f con g y se denota por f ◦ g. Obs´rvese que el orden en que
o e
se escribe la composici´n f ◦ g es el inverso al orden en que act´ an las funciones (primero
o u
g, despu´s f ). Conviene tener siempre presente esta doble visualizaci´n de la composici´n
e o o
de funciones: Como aplicaci´n sucesiva de dos funciones, y como sustituci´n de la variable
o o
por una funci´n de otra variable. En esquema ser´ lo siguiente:
o ıa
(a) Como aplicaci´n sucesiva de funciones:
o
g f
‚ ‚
t
• • •y
x
B
f ◦g
Figura 4.16: Composici´n de funciones
o
(b) Como sustituci´n de la variable:
o
y = f (x)
y = f g(t)
¡
x = g(t)
Es evidente que para poder componer dos funciones el rango de la primera tiene que estar
contenido en el dominio de la segunda g(Dg ) ⊆ Df , en caso contrario, despu´s de aplicar
e
g no podr´ ıamos aplicar f . Hay que advertir que, en general, la composici´n de funciones
o
no es conmutativa, es decir, en la generalidad de los casos ser´ f ◦ g = g ◦ f , incluso, puede
a
suceder que est´ definida la composici´n en un orden y no en el otro. Sin embargo, s´ se
e o ı
cumple la propiedad asociativa f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h. Desde el punto de vista formal la
composici´n puede enunciarse de la siguiente forma: Dadas las funciones g : I ⊆ R → R,
o
f ◦ g : I ⊆ R → R, a la funci´n (f ◦ g)(x) = f g(x) .
o
o ¡
f : J ⊆ R → R (tales que g(I) ⊆ J), se llama composici´n de f con g y se denota
g:I⊆R→R g
I− J− R
→ →
f
(f ◦ g)(x) = f g(x)
¡
f :J ⊆R→R f ◦g :I ⊆R→R

285. 4.8. REGLA DE LA CADENA 277
Regla de la cadena. La regla de la cadena nos dice que “la composici´n de dos funciones
o
diferenciables es diferenciable y su derivada es el producto de las derivadas de cada una de
las funciones que se est´n componiendo”. Es decir, la derivada de la composici´n de dos
a o
funciones es el producto de las derivadas de dichas funciones, cada una de ellas aplicada
en el punto correspondiente. Formalmente la regla de la cadena se puede enunciar de la
siguiente forma: Si g es diferenciable en un punto x0 ∈ I y f es diferenciable en g(x0 ) ∈ J,
entonces la composici´n f ◦ g es diferenciable en x0 , y su derivada es
o
¡
(f ◦ g) (x) = f g(x) g (x)
que se puede expresar con la notaci´n de Leibnitz, haciendo u = g(x) e y = f (u)
o
dy dy du
=
dx du dx
Funci´n inversa. La funci´n rec´
o o ıproca o inversa asigna a las im´genes los correspondien-
a
tes originales (consiste en invertir las flechas). Sin embargo, la rec´ıproca de una funci´n no
o
siempre es otra funci´n, basta que dos elementos distintos tengan la misma imagen para
o
que la rec´
ıproca no sea funci´n, ya que asignar´ a un elemento dos im´genes distintas, lo
o ıa a
que no est´ permitido para las funciones, aunque s´ para las correspondencias en general.
a ı
Por lo tanto, para que la rec´ ıproca de una funci´n sea otra funci´n, dicha funci´n ha de
o o o
ser inyectiva.
f
I −− J
−→
←−
−− y = f (x) ↔ x = f −1 (y)
f −1
Desde el punto de vista anal´ıtico para obtener la inversa bastar´ con despejar la variable
a
independiente y expresarla en funci´n de la variable dependiente.
o
Formalmente podemos decir que si la funci´n f : I ⊆ R → R es inyectiva, con rango
o
J ⊆ R, entonces existe la funci´n f −1 : J ⊆ R → R, llamada “inversa”de f, tal que
o
¡
f −1 f (x) = x, x∈I y
f f −1 (y) = y,
¡ y∈J
Derivada de la funci´n inversa La derivada de la funci´n inversa es la inversa de la
o o
derivada de la funci´n. Formalmente se puede enunciar diciendo que si la funci´n f es
o o
diferenciable y tal que f (x0 ) = 0, x0 ∈ I, entonces existe la funci´n inversa f −1 , al menos
o
en un entorno de f (x0 ), dicha funci´n tambi´n es diferenciable, y su derivada es:
o e
f ¡ f (x)¡ =
−1 1
f (x)
o con la notaci´n de Leibnitz
o
dy 1 1
= o bien, yx =
dx dx xy
dy
Funciones impl´ ıcitas Si consideramos una expresi´n del tipo F (x, y) = 0 nos pregunta-
o
mos ¿en que condiciones es posible despejar y en t´rminos de x y establecer una funci´n
e o
del tipo y = f (x)?. Evidentemente no siempre es posible obtener dicha funci´n. Por ejem-
o
plo de x2 + y 2 = 1 no se obtiene una funci´n y = f (x). Cuando de F (x, y) = 0 se puede
o
despejar la variable y, y escribir y = f (x), se dice que esta ultima funci´n est´ dada
´ o a
impl´ıcitamente en F (x, y) = 0.
4.8.2. Composici´n de funciones vectoriales
o
Para funciones de varias variables la situaci´n es, en principio, algo m´s complicada.
o a
T´ngase en cuenta que dos campos escalares f, g : D ⊆ Rn → R no se pueden componer,
e
pues la operaci´n de composici´n entre funciones solamente se puede realizar cuando
o o
el rango de una de ellas est´ contenido en el dominio de la otra, y los campos escalares
a

286. 278 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
tienen rango en R y dominio en Rn . Por lo tanto, los campos escalares solamente se podr´n
a
componer con funciones de una sola variable, por la derecha; o con funciones vectoriales,
por la izquierda. Es decir,
f g g f
Rn − R − R
→ → R m − Rn − R
→ →
Pensando en la sustituci´n de las variables, para componer la funci´n z = f (x, y) ten-
o o
dremos que sustituir las dos variables x e y, respectivamente, por dos funciones g1 y g2
que las conecten con otras variables, donde g1 y g2 pueden ser funciones de una o varias
variables (ambas de las mismas). As´ si consideramos las funciones
ı,
x = g1 (u, v), y = g2 (u, v)
podemos sustituir en la funci´n z = f (x, y) y obtener la funci´n compuesta:
o o
z = f g1 (u, v), g2 (u, v)
¡
que en esquema ser´
ıa:
z = f (x, y)
x = g1 (u, v)
z = f g1 (u, v), g2 (u, v)
¡
y = g2 (u, v)
Ahora bien, la pareja de funciones x = g1 (u, v), y = g2 (u, v) puede considerarse como
las componentes de una sola funci´n vectorial g : D ⊆ R2 → R2 , de tal manera que a
o
¡ o ¡
cada punto (u, v) ∈ D la funci´n g le asocia el punto g(u, v) ∈ R2 , cuyas coordenadas son
(x, y) = g1 (u, v), g2 (u, v) . O sea, g(u, v) = g1 (u, v), g2 (u, v) . Y esto permite interpretar
la sustituci´n de las variables como la aplicaci´n sucesiva de dos funciones.
o o
En esquema ser´ ıa:
g f
R 2 − R2 − R
→ →
(u, v) → (x, y) → z
de donde, ¡
f ◦ g(u, v) = f g(u, v) = f g1 (u, v), g2 (u, v)
¡
Ejemplo 4.50. Hallar la funci´n compuesta de la funci´n f (x, y) = xy 2 + xy con las
o o
funciones
x = g1 (u, v) = u + v e y = g2 (u, v) = uv
Soluci´n. Si queremos interpretar la composici´n como la aplicaci´n sucesiva de dos fun-
o o o
ciones, consideramos la funci´n vectorial
o
g(u, v) = g1 (u, v), g2 (u, v) = (u + v, uv)
¡
luego, en esquema, resulta
f g f
f (x, y) = xy 2 + xy R2 − R
→ R 2 − R2 − R
→ →
g
g(u, v) = (u + v, uv) R 2 − R2
→ (u, v) → (x, y) → z
de donde, la composici´n buscada, ser´:
o a
¡
h(u, v) = (f ◦ g)(u, v) = f g(u, v) = f g1 (u, v), g2 (u, v) = f (u + v, uv) =
¡
= (u + v)(uv)2 + (u + v)uv = u3 v 2 + u2 v 3 + u2 v + uv 2
N´tese que la funci´n resultante de la composici´n es una funci´n distinta de f , g, g1 y
o o o o
g2 , es decir, es una nueva funci´n h, tal que f (x, y) = h(u, v) = f (u, v)
o
En la pr´ctica se pueden simplificar los c´lculos, sustituyendo directamente:
a a
f (x, y) = f (u + v, uv) = (u + v)(uv) + (u + v)uv = u3 v 2 + u2 v 3 + u2 v + uv 2 = h(u, v)
2

287. 4.8. REGLA DE LA CADENA 279
Ejemplo 4.51. Hallar la funci´n compuesta de la funci´n f (x, y, z) = xy 2 z 3 − xyz con
o o
las funciones x = g1 (t) = et , y = g2 (t) = sen t y z = g3 (t) = t2
Soluci´n. Consideramos la funci´n vectorial
o o
¡
g(t) = g1 (t), g2 (t), g3 (t) = (et , sen t, t2 )
luego, en esquema, resulta
f g f
f (x, y, z) = xy 2 z 3 − xyz R3 − R
→ R − R3 − R
→ →
g(t) = (et , sen t, t2 ) g
R − R3
→ t → (x, y, z) → w
de donde, la composici´n buscada, ser´:
o a
¡ ¡
h(t) = (f ◦ g)(t) = f g(t) = f g1 (t), g2 (t), g3 (t) = f (et , sen t, t2 ) =
= et sen2 t (t2 )3 − et sen t t2 = t6 et sen2 t − t2 et sen t
En la pr´ctica se pueden simplificar los c´lculos, sustituyendo directamente:
a a
f (x, y, z) = f (et , sen t, t2 ) = et sen2 t (t2 )3 − et sen t t2 = t6 et sen2 t − t2 et sen t = h(t)
Ejemplo 4.52. √ Hallar la funci´n compuesta de la funci´n f (x, y) = xy 2 − xy con las
o o
funciones g(t) = t
Soluci´n. Este caso es distinto de los dos anteriores, ya que aqu´ para poder componer,
o ı,
la funci´n f tiene que actuar primero, y despu´s la g. En efecto, en esquema, resulta
o e
f f g
f (x, y) √ xy 2 − xy
= R2 − R
→ R2 − R − R
→ →
g
g(t) = t R− R
→ (x, y) → t → z
de donde, la composici´n buscada, ser´:
o a
¡ Ô
h(t) = (g ◦ f )(x, y) = g f (x, y) = f (x, y) = xy 2 − xy
N´tese que la funci´n resultante de la composici´n solamente estar´ definida para aquellos
o o o a
puntos (x, y) en los cuales se cumpla que xy 2 − xy ≥ 0, es decir,
Dh = {(x, y) ∈ R2 / xy 2 − xy ≥ 0}
En la pr´ctica, tambi´n se pueden simplificar los c´lculos sustituyendo directamente, pero
a e a
en este caso, sustituimos en la funci´n g:
o
¡ Ô
g(t) = g f (x, y) = f (x, y) = xy 2 − xy = h(x, y)
Caso general. En general, para componer la funci´n z = f (x1 , x2 , · · · , xn ) tendremos que
o
sustituir las n variables x1 , x2 , · · · , xn , respectivamente, por las funciones g1 , g2 , · · · gn que
las conecten con otras variables u1 , u2 , · · · , um , donde g1 , g2 , · · · gn pueden ser funciones
de una o varias variables (todas de las mismas). As´ si consideramos las n funciones
ı,
x1 = g1 (u1 , u2 , · · · , um )
x2 = g2 (u1 , u2 , · · · , um )
.
.
.
xn = gn (u1 , u2 , · · · , um )
podemos sustituirlas en la funci´n z = f (x1 , x2 , · · · , xn ) y obtener la funci´n compuesta:
o o
z = f g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )
¡

288. 280 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Ahora bien, las n funciones
x1 = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), x2 = g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , xn = gn (u1 , u2 , · · · , um )
pueden considerarse como las componentes de una sola funci´n vectorial g : D ⊆ Rm →
o
Rn , de tal manera que a cada punto (u1 , u2 , · · · , um ) ∈ D ⊆ Rm la funci´n g le asocia el
o
punto g(u1 , u2 , · · · , um ) = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn , cuyas coordenadas son
¡
(x1 , x2 , · · · , xn ) = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )
O sea,
g(u1 , u2 , · · · , um ) = g1 (u1 , u2 , · · · , um ), g2 (u1 , u2 , · · · , um ), · · · , gn (u1 , u2 , · · · , um )
¡
que en esquema ser´
ıa:
g f
Rm − − − → Rn − − −→ R
(u1 , u2 , · · · , um ) → (x1 , x2 , · · · , xn ) → z
De esta manera se ve el proceso de composici´n de funciones de varias variables como un
o
proceso entre dos funciones, que se puede enunciar formalmente de la siguiente forma:
Definici´n 4.19 (Composici´n de funciones). Dadas la funci´n f : Df ⊆ Rn → R
o o o
definida en el conjunto Df de Rn y la funci´n g : Dg ⊆ Rm → Rn definida en el conjunto
o
Dg de Rm , cuyo rango est´ contenido en Df (es decir, g(Dg ) ⊆ Df ), entonces se puede
a
formar la composici´n de ambas funciones f ◦ g : Dg ⊆ Rm → R, definida como:
o
(f ◦ g)(u) = f g(u)),
u ∈ Dg
Esquem´ticamente ser´
a ıa.
g : Dg ⊆ Rm → Rn g
Dg − Df − R
→ →
f
(f ◦ g)(u) = f g(u)
¡
f : Df ⊆ Rn → R f ◦ g : Dg ⊆ Rm → R
y mediante diagramas,
g f
‚ ‚
u
• • •z
x
B
Rm Rn R
f ◦g
Figura 4.17: Composici´n de funciones
o
O bien, teniendo en consideraci´n los dominios, Igual que en una variable, en general, la
o
composici´n de funciones no cumple la propiedad conmutativa, y s´ la asociativa.
o ı
4.8.3. Regla de la cadena. Perspectiva te´rica: Diferencial
o
Teorema 4.9 (Regla de la cadena). Sea g : Dg ⊆ Rm → Rn una funci´n definida o
en el conjunto abierto Dg de Rm , diferenciable en x0 ∈ Dg . Sea f : Df ⊆ Rn → Rp una
funci´n definida en el conjunto abierto Df de Rn , tal que g(Dg ) ⊆ Df , diferenciable en
o
y0 = g(x0 ) ∈ Df . Entonces la composici´n f ◦ g : Dg ⊆ Rm → Rp es diferenciable en x0
o
y adem´s, en dicho punto,
a
d(f ◦ g) = df ◦ dg

289. 4.8. REGLA DE LA CADENA 281
g f
‚ ‚
Dg Df
B
Rm Rn R
f ◦g
Figura 4.18: Composici´n de funciones
o
Demostraci´n. Esquem´ticamente, la situaci´n de partida es,
o a o
g f
Rm − → Rn − → Rp
− −
x0 −→ y0 −→ z0
(Si p = 1, la funci´n f ser´ num´rica, que es el objeto de estudio de este curso, sin
o ıa e
embargo estudiamos el caso general ya que el valor de p no afecta a la demostraci´n del
o
teorema).
Por ser g diferenciable en x0 , se tiene:
g(x0 + h) − g(x0 ) = dg(h) + h 1 (h) con l´
ım 1 (h) =0 (4.10)
h→0
Consideremos ahora la imagen de x0 por g: y0 = g(x0 ) ∈ g(Dg ) ⊆ Rn . Puesto que f es
diferenciable en y0 , se tiene:
f (y0 + k) − f (y0 ) = df (k) + k 2 (k) con l´
ım 2 (h) =0 (4.11)
k→0
Elijamos
k = g(x0 + h) − g(x0 ) (4.12)
entonces k es una funci´n de h que tiende a 0 cuando h tiende hacia 0. Despejando
o
g(x0 + h) en (4.12), se tiene: g(x0 + h) = g(x0 ) + k = y0 + k, y sustituyendo en (4.11),
y0 + k = g(x0 + h) y0 = g(x0 ) k = g(x0 + h) − g(x0 )
resulta: ¡ ¡
f g(x0 + h) − f g(x0 ) = df g(x0 + h) − g(x0 ) + k
¡
2 (k)
ahora bien, teniendo en cuenta que por (4.10) es g(x0 + h) − g(x0 ) = dg(h) + h 1 (h),
resulta ¡ ¡
f g(x0 + h) − f g(x0 ) = df dg(h) + h 1 (h) + k 2 (k)
¡
y al ser df una aplicaci´n lineal, ser´ df dg(h)+ h
o a
¡ = df dg(h)¡ + ¡,
1 (h) h df 1 (h)
con lo que resulta:
¡ ¡
f g(x0 + h) − f g(x0 ) = df dg(h) + h df
¡ ¡+
1 (h) k 2 (k) (4.13)
de donde, para h = 0, se tiene
f ◦ g(x0 + h) − f ◦ g(x0 ) = df ◦ dg(h) + h df
¡+ k
1 (h) 2 (k)
h
luego (4.13) se puede expresar de la forma:
f ◦ g(x0 + h) − f ◦ g(x0 ) = df ◦ dg(h) + h (h) (4.14)

290. 282 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
donde ´ ¡+ k
df 1 (h) 2 (k) si h = 0
(h) = h
0 si h = 0
(el valor (0) = 0, se deduce al sustituir h por 0 en (4.13)).
Nos queda por demostrar que (h) tiende hacia 0 cuando h tiende hacia 0. Es decir,
tenemos que demostrar que el siguiente l´
ımite es nulo:
ım (h) = l´
l´ ım df
¡+ k ¡ + l´ k
1 (h) 2 (k) = l´ df
ım 1 (h) ım 2 (k)
h→0 h→0 h h→0 h→0 h
Primer sumando; puesto que df es lineal, es continua, y se puede decir que:
l´
ım
¡=0
1 (h) =0 =⇒ l´ df
ım 1 (h)
h→0 h→0
Segundo sumando; puesto que dg es continua, existe una constante a 0 tal que, para
todo h ∈ Rm , se verifica que dg(h) ≤ a h . Por consiguiente, seg´ n (4.12) y (4.10), se
u
tiene:
k = g(x0 + h) − g(x0 ) = dg(h) + h 1 (h) ≤ dg(h) + h 1 (h)
con lo cual,
k ≤a h + h
¡
1 (h) = a+ 1 (h) h
y, por tanto:
k
l´
ım 2 (k) =0 =⇒ l´
ım 2 (k) =0
k→0 h→0 h
ım (h) = 0.
Y, en consecuencia, se concluye que l´
h→0
La relaci´n (4.14) prueba, entonces que f ◦ g es diferenciable en x0 , y tambi´n que su
o e
diferencial en ese punto es la compuesta dg ◦ df de las diferenciales de g y f .Con lo cual
el teorema 4.9 queda demostrado.
4.8.4. Regla de la cadena. Perspectiva pr´ctica: Parciales
a
En la Regla de la Cadena hay que diferenciar el aspecto te´rico del aspecto
o
pr´ctico. El aspecto te´rico presenta una gran elegancia y simplicidad, sin
a o
embargo no nos deja ver la riqueza de sus m´ltiples aplicaciones pr´cticas.
u a
As´ el teorema 4.9 puede enunciarse en t´rminos de derivadas parciales de
ı, e
la siguiente forma:
Teorema 4.10 (Regla de la cadena). Sea g : Dg ⊆ Rm → Rn una
funci´n definida en el conjunto abierto Dg de Rm , diferenciable en x0 ∈ Dg .
o
Sea f : Df ⊆ Rn → R una funci´n definida en el conjunto abierto Df de
o
Rn , tal que g(Dg ) ⊆ Df , diferenciable en y0 = g(x0 ) ∈ Df . Entonces la
composici´n f ◦ g : Dg ⊆ Rm → R es diferenciable en x0 y adem´s, en dicho
o a
punto, sus derivadas parciales son:
n
∂ ∂f ∂gi
(f ◦ g)(x0 ) = g(x0 ) (x0 ). j = 1, 2, . . . , m (4.15)
∂xj i=1
∂yi ∂xj

291. 4.8. REGLA DE LA CADENA 283
La f´rmula (4.15) se comprende mejor si la desarrollamos en sus componente.
o
En efecto, si la funci´n g depende de m variables, x1 , · · · , xm , (y1 , · · · , yn ) =
o
g(x1 , · · · , xm ), tendr´
ıamos la situaci´n siguiente:
o
g f
Rm − → Rn − → R
− −
(x1 , · · · , xm ) → (y1 , · · · , yn ) → z
donde g es una funci´n de n funciones coordenadas, cada una de ellas de-
o
pendiendo de las m variable x1 , · · · , xm . Al hacer la composici´n con f , se
o
obtiene la funci´n f ◦g que depende, tambi´n, de las m variables x1 , · · · , xm .
o e
Para estas funciones, las derivadas parciales de las f´rmulas (4.15) se puede
o
expresar de la forma:
∂z ∂f ∂g1 ∂f ∂gn
= + ··· +
∂x1 ∂y1 ∂x1 ∂yn ∂x1
.
. (4.16)
.
∂z ∂f ∂g1 ∂f ∂gn
= + ··· +
∂xm ∂y1 ∂xm ∂yn ∂xm
Es decir, de manera esquem´tica, pensando en t´rminos de sustituci´n de
a e o
las variables, y usando la misma letras para denotar a las funciones as´ como
ı
a sus im´genes, tenemos:
a
∂z ∂f ∂y1 ∂f ∂yn
= + ··· +
y1 = y1 (x1 , · · · , xm ) ∂x1 ∂y1 ∂x1 ∂yn ∂x1
z = f (y1 , · · · , yn ) .
. ⇒ .
.
. .
yn = yn (x1 , · · · , xm ) ∂z ∂f ∂y1 ∂f ∂yn
= + ··· +
∂xm ∂y1 ∂xm ∂yn ∂xm
Y forzando un poco m´s la notaci´n, resulta,
a o
∂z ∂z ∂y1 ∂z ∂yn
= + ··· +
y1 = y1 (x1 , · · · , xm ) ∂x1 ∂y1 ∂x1 ∂yn ∂x1
z = z(y1 , · · · , yn ) .
. ⇒ .
.
. .
yn = yn (x1 , · · · , xm ) ∂z ∂z ∂y1 ∂z ∂yn
= + ··· +
∂xm ∂y1 ∂xm ∂yn ∂xm
Luego, seg´n la regla de la cadena se tiene:
u
n
∂z ∂z ∂yi
= . j = 1, 2, . . . , m (4.17)
∂xj i=1
∂yi ∂xj
Es evidente la ventajosa simplicidad de la f´rmula de las derivadas parciales
o
de la funci´n compuesta con esta presentaci´n. Sin embargo, debemos hacer
o o
notar que: 1 o no se hacen expl´ıcitos los puntos donde est´n calculadas las
a
derivadas, y 2o se usan letras iguales para denotar cosas distintas, a saber:
las funciones y sus im´genes.
a

292. 284 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Aqu´ se ha seguido el orden alfab´tico de las variables x → y → z.
ı e
Sin embargo, en la pr´ctica, cuando el n´mero de variables es reducido, no
a u
se suele seguir este orden, ya que se acostumbra a utilizar letras distintas
sin sub´ındices. Para varias variables, m´s acorde con la notaci´n pr´ctica
a o a
hubiera sido seguir con el orden t → x → z, con lo que hubiera resultado:
∂z ∂f ∂x1 ∂f ∂xn
x1 = x1 (t1 , · · · , tm ) = + ··· +
∂t1 ∂x1 ∂t1 ∂xn ∂t1
z = f (x1 , · · · , xn ) .
. ⇒ .
.
. .
xn = xn (t1 , · · · , tm ) ∂z ∂f ∂x1 ∂f ∂xn
= + ··· +
∂tm ∂x1 ∂tm ∂xn ∂tm
Veamos la materializaci´n de esta f´rmula a los distintos casos concretos.
o o
Regla de la cadena con una variable independiente
Si la funci´n g depende de una sola variable, tendr´
o ıamos la situaci´n siguien-
o
te:
g f
R − → Rn − → R
− −
t → (x1 , · · · , xn ) → z
donde g es una funci´n de n funciones coordenadas, cada una de ellas de-
o
pendiendo de una sola variable t. Al hacer la composici´n con f , se obtiene
o
la funci´n f ◦ g que depende, tambi´n, s´lo de t. Para estas funciones, las
o e o
derivadas parciales de las f´rmulas (4.15) del teorema anterior son derivadas
o
totales, quedando como:
n
d ∂f dgi
(f ◦ g)(t) = (f ◦ g) (t) = g(t) (t) (4.18)
dt i=1
∂xi dt
donde gi , i = 1, 2, · · · , n, son las funciones coordenadas de g.
Que se puede expresar, de manera esquem´tica, de la forma:
a
dz ∂f dx1 ∂f dxn
= + ··· +
dt ∂x1 dt ∂xn dt
Es decir, de manera esquem´tica, pensando en t´rminos de sustituci´n de
a e o
las variables, tenemos:
x1 = x1 (t)
. dz ∂f dx1 ∂f dxn
z = f (x1 , · · · , xn ) .
. ⇒ = + ··· +
dt ∂x1 dt ∂xn dt
xn = xn (t)
La suma que aparece en la igualdad (4.18) tambi´n puede expresarse
e
como un producto interior de dos vectores, de la siguiente forma:
dx1 /dt
DZ
d ∂f ∂f .
f ◦ g (t) = g(t) , . . . , g(t) .
. = ∇f g(t) · g (t)
dt ∂x1 ∂xn
dxn /dt

293. 4.8. REGLA DE LA CADENA 285
donde, g (t) representa el vector g1 (t), . . . , gn (t) . De esta manera, la ex-
tensi´n de la regla de la cadena tiene un parecido m´s ´
o a ıntimo con el caso
unidimensional, salvo que ahora el gradiente ∇f desempe˜a el papel de la
n
derivada f .
Planteamiento pr´ctico. Con objeto de recordar con facilidad las f´rmu-
a o
las correspondientes a la regla de la cadena planteamos un segundo razon-
amiento (m´s pr´ctico) centrado en dos variables.
a a
Supongamos una funci´n de dos variables z = f (x, y), y supongamos que
o
cada una de las variables x e y depende de una tercera variable t, mediante
las funciones x = x(t), y = y(t). Podemos sustituir los valores de x e y en
la funci´n z = f (x, y), con lo cual z pasar´ a depender directamente de t y
o ıa
podr´ıamos calcular la derivada de z respecto de t.
x = x(t) dz
z = f (x, y) ⇒ z = f x(t), y(t) = h(t) ⇒ = h (t)
y = y(t) dt
Esto que puede hacerse por sustituci´n de las variables (sustituyendo primero
o
y derivando despu´s), tambi´n puede hacerse por la regla de la cadena. Para
e e
obtener la f´rmula correspondiente, partimos de dz, y a partir de ah´ obte-
o ı
nemos dz/dt, por simple divisi´n. En efecto,
o
∂f ∂f dz ∂f dx ∂f dy
dz = dx + dy ⇒ = +
∂x ∂y dt ∂x dt ∂y dt
Otra manera de obtener la f´rmula es mediante un diagrama en arbol,
o ´
donde la derivada de la funci´n z respecto de la variable t se obtiene “suman-
o
do”todos los caminos que van de t a z.
dx ∂z
dt ¨ x r ∂x
¨ ¨B rr dz ∂z dx ∂z dy
tr jz ⇒ = +
rj ¨¨
B dt ∂x dt ∂y dt
dy r y ¨ ∂z
dt ∂y
Esta regla puede enunciarse de una manera m´s formal mediante el si-
a
guiente
Teorema 4.11 (Regla de la cadena con una variable independiente).
Sea z = f (x, y), donde f es una funci´n diferenciable de x e y. Si x = g(t) e
o
y = h(t), siendo g y h funciones derivables de t, entonces z es una funci´no
derivable de t, y su derivada es
dz ∂z dx ∂z dy
= +
dt ∂x dt ∂y dt

294. 286 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
Demostraci´n. Puesto que g y h son funciones derivables respecto de t,
o
resulta que ambos ∆x y ∆y tienden a cero cuando ∆t tiende a cero. Adem´s,
a
al ser f una funci´n diferenciable de x y de y, se tiene que
o
∂z ∂z
∆z = ∆x + ∆y + ε1 ∆x + ε2 ∆y
∂x ∂y
donde ε1 y ε2 → 0 cuando (∆x, ∆y) → (0, 0). Luego para ∆t = 0, se tiene
∆z ∂z ∆x ∂z ∆y ∆x ∆y
= + + ε1 + ε2
∆t ∂x ∆t ∂y ∆t ∆t ∆t
de donde se deduce que
dz ∆z ∂z dx ∂z dy dx dy ∂z dx ∂z dy
= l´
ım = + +0 +0 = +
dt δt→0 ∆t ∂x dt ∂y dt dt dt ∂x dt ∂y dt
Ejemplo 4.53. Dada la funci´n z = x2 y − y 2 , donde x = sen t, y = et .
o
Hallar dz/dt cuando t = 0,
(a) Por sustituci´n previa
o
(b) Mediante la Regla de la Cadena.
Soluci´n. (a) Mediante la sustituci´n previa es un proceso elemental, basta
o o
con sustituir x e y por sus valores y derivar una vez hecha la sustituci´n.
o
x = sen t
z = x2 y − y 2 → z = et sen2 t − e2t
y = et
de donde,
dz
= et sen2 t + 2et sen t cos t − 2e2t
dt
y, en consecuencia, resulta
dz
= 1 · 0 + 2 · 1 · 0 · 1 − 2 · 1 = −2
dt t=0
(b) Aplicando la Regla de la Cadena, resulta
dz ∂f dx ∂f dy
= + = (2xy) cos t + (x2 − 2y)et
dt ∂x dt ∂y dt
Que podemos expresarlo en t´rminos de t, o dejarlo como est´. En conse-
e a
cuencia, dado que
x=0
t=0⇒
y=1
resulta:
dz
= 0 + (0 − 2) · 1 = −2
dt t=0
Ejemplo 4.54. La altura de un cono recto circular mide 15 cm. y aumenta
a raz´n de 0 2 cm. cada minuto. El radio de la base mide 10 cm. y au-
o
menta a raz´n de 0 3 cm. cada minuto. Hallar la variaci´n de volumen que
o o
experimenta en la unidad de tiempo.

295. 4.8. REGLA DE LA CADENA 287
1
Soluci´n. El volumen del cono viene definido por: V = πr2 h, de donde,
o
3
dV ∂V dr ∂V dh 2 dr 1 dh
h = + = πrh + πr2
dt ∂r dt ∂h dt 3 dt 3 dt
r
y, teniendo en cuenta que,
Figura 4.19: cono. h = 15 h (t) = 0 2
para se tiene
r = 10 r (t) = 0 3
resulta,
dV 2 1 −110π
= π · 10 · 15 · 0 3 + π · 100 · 0 2 = cm3 /min
dt h=15
3 3 3
r=10
Regla de la cadena para dos variables independientes
Si la funci´n g depende de dos variables, t1 y t2 , (x1 , · · · , xn ) = g(t1 , t2 ),
o
tendr´ıamos la situaci´n siguiente:
o
g f
R2 − → Rn − → R
− −
(t1 , t2 ) → (x1 , · · · , xn ) → z
donde g es una funci´n de n funciones coordenadas, cada una de ellas depen-
o
diendo de las dos variable t1 y t2 . Al hacer la composici´n con f , se obtiene
o
la funci´n f ◦ g que depende, tambi´n, de las variables t1 y t2 . Para estas
o e
funciones, las derivadas parciales de las f´rmulas (4.15) del teorema anterior
o
son las siguientes:
n
∂ ∂f ∂gi
(f ◦ g)(x0 ) = g(x0 ) (x0 ). j = 1, 2 (4.19)
∂tj i=1
∂xi ∂tj
donde gi , i = 1, 2, · · · , n, son las funciones coordenadas de g.
Que, al igual que la f´rmula (4.16), se puede expresar de la forma:
o
∂z ∂f ∂x1 ∂f ∂xn
= + ··· +
∂t1 ∂x1 ∂t1 ∂xn ∂t1
∂z ∂f ∂x1 ∂f ∂xn
= + ··· +
∂t2 ∂x1 ∂t2 ∂xn ∂t2
Es decir, de manera esquem´tica, pensando en t´rminos de sustituci´n de
a e o
las variables, tenemos:
∂z ∂f ∂x1 ∂f ∂xn
x1 = x1 (t1 , t2 ) = + ··· +
. ∂t1 ∂x1 ∂t1 ∂xn ∂t1
z = f (x1 , · · · , xn ) .
. ⇒
∂z ∂f ∂x1 ∂f ∂xn
xn = xn (t1 , t2 ) = + ··· +
∂t2 ∂x1 ∂t2 ∂xn ∂t2

296. 288 CAP´ ´
ITULO 4. DERIVACION DE FUNCIONES MULTIVARIABLES
La regla de la cadena, en este caso, consiste en un conjunto de dos f´rmulas,
o
una para cada derivada parcial D1 (f ◦ g), D2 (f ◦ g). Cada una de las cuales
es una suma que tambi´n puede expresarse como un producto interior, y la
e
f´rmula (4.19 toma otra vez una forma parecida al caso unidimensional.
o
dx1
ã
(x0 )
dtj
∂ ∂f ∂f .
f ◦g (x0 ) = g(x0 ) , . . . , g(x0 ) .
. = ∇f g(x0 ) ·Dj g(x0 )
∂tj ∂x1 ∂xn
dxn
(x0 )
dtj
para j = 1, 2.
donde Dj g(x0 ) representa el vector Dj g1 (x0 ), . . . , Dj gn (x0 ) .
Planteamiento pr´ctico. Con objeto de recordar con facilidad las f´rmu-
a o
las correspondientes a la regla de la cadena planteamos un segundo razona-
miento (m´s pr´ctico) centrado en dos variables.
a a
Supongamos una funci´n de dos variables z = f (x, y), y supongamos que
o
cada una de las variables x e y dependen de otras dos variable s y t, mediante
las funciones x = x(s, t), y = y(s, t). Podemos sustituir los valores de x e
y en la funci´n z = f (x, y), con lo cual z pasar´ a depender directamente
o ıa
de s y t y podr´ıamos calcular las derivadas parciales de z respecto de s y
respecto de t.
∂z
x = x(s, t) =?
z = f (x, y) ⇒ z = f x(s, t), y(s, t) = h(s, t) ⇒ ∂s
y = y(s, t) ∂z
=?
∂t
Esto que puede hacerse por sustituci´n de las variables (sustituyendo
o
primero y derivando despu´s), tambi´n puede hacerse por la regla de la
e e
cadena. Para obtener la f´rmula correspondiente, partimos de dz,