Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de cálculo para la ingeniería. Cubre temas como la recta real, el plano cartesiano, funciones, límites de sucesiones y funciones, funciones hiperbólicas y funciones de varias variables. El objetivo es proporcionar las herramientas matemáticas fundamentales necesarias para comprender y aplicar el cálculo en ingeniería.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de cálculo para la ingeniería. Introduce conceptos como la recta real, el plano cartesiano, funciones, límites de sucesiones y funciones, funciones hiperbólicas, funciones de varias variables y derivadas. Explica cada uno de estos temas con definiciones, propiedades y ejemplos para proporcionar los fundamentos del cálculo necesarios para la ingeniería.
Este documento presenta un resumen de cada capítulo de un libro de análisis matemático. Incluye tópicos como topología, funciones, derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales, teoría de la medida, formas diferenciales y cohomología.
Este documento trata sobre el cálculo para la ingeniería y específicamente sobre la derivación de funciones de varias variables. Introduce el concepto de derivadas parciales para funciones de dos o más variables, y explica su definición, interpretación geométrica, relación con las derivadas direccionales y gradiente. También cubre temas como la diferenciabilidad, la regla de la cadena, funciones implícitas y la búsqueda de extremos.
2282720 Analisis De Funciones De Variable Complejavitoriobsm
Este documento presenta un análisis de las funciones de variable compleja. En la primera sección, introduce los números complejos y describe su estructura como cuerpo abeliano, espacio vectorial, espacio métrico y normado. La segunda sección cubre elementos topológicos como bolas, entornos y conjuntos abiertos/cerrados en el campo complejo. La tercera sección trata sobre la continuidad y el límite de funciones de variable compleja.
Desde la primera formulaci´on de los Problemas de Ruteo de Veh´ıculos, una gran
cantidad de m´etodos han sido propuestos para su resoluci´on. Estos m´etodos
incluyen tanto algoritmos exactos como heur´ısticas. En este trabajo se presenta
un relevamiento de algunas de las heur´ısticas que han sido m´as significativas.
Este documento presenta una introducción a la programación visual basic (VBA) para Excel y elementos de análisis numérico. Explica cómo evaluar funciones, crear gráficas, programar macros, y usar elementos de programación como flujos secuenciales, condicionales y repetitivos. También cubre temas como la solución de ecuaciones, integración, y problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias usando métodos numéricos. El objetivo es mostrar el gran potencial de Excel para ciencias e ingeniería, y su utilidad para la en
Callen thermodynamics and an introduction to thermostatistics, 2 ed.Juan Aranda
Este documento es un apunte de un curso de Física Matemática que trata temas relacionados con series infinitas, números complejos, funciones complejas y derivabilidad. Incluye conceptos como series de potencias, funciones analíticas, derivadas complejas, integrales de curvas y ecuaciones de Laplace. El documento contiene 13 capítulos que abarcan estos temas fundamentales de la física matemática.
Este documento presenta apuntes sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Incluye secciones sobre la estructura diferenciable de un espacio vectorial, campos tangentes, ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, métodos para resolver ecuaciones diferenciales como el método de Lie, estabilidad de sistemas dinámicos, y aplicaciones a problemas físicos.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de cálculo para la ingeniería. Introduce conceptos como la recta real, el plano cartesiano, funciones, límites de sucesiones y funciones, funciones hiperbólicas, funciones de varias variables y derivadas. Explica cada uno de estos temas con definiciones, propiedades y ejemplos para proporcionar los fundamentos del cálculo necesarios para la ingeniería.
Este documento presenta un resumen de cada capítulo de un libro de análisis matemático. Incluye tópicos como topología, funciones, derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales, teoría de la medida, formas diferenciales y cohomología.
Este documento trata sobre el cálculo para la ingeniería y específicamente sobre la derivación de funciones de varias variables. Introduce el concepto de derivadas parciales para funciones de dos o más variables, y explica su definición, interpretación geométrica, relación con las derivadas direccionales y gradiente. También cubre temas como la diferenciabilidad, la regla de la cadena, funciones implícitas y la búsqueda de extremos.
2282720 Analisis De Funciones De Variable Complejavitoriobsm
Este documento presenta un análisis de las funciones de variable compleja. En la primera sección, introduce los números complejos y describe su estructura como cuerpo abeliano, espacio vectorial, espacio métrico y normado. La segunda sección cubre elementos topológicos como bolas, entornos y conjuntos abiertos/cerrados en el campo complejo. La tercera sección trata sobre la continuidad y el límite de funciones de variable compleja.
Desde la primera formulaci´on de los Problemas de Ruteo de Veh´ıculos, una gran
cantidad de m´etodos han sido propuestos para su resoluci´on. Estos m´etodos
incluyen tanto algoritmos exactos como heur´ısticas. En este trabajo se presenta
un relevamiento de algunas de las heur´ısticas que han sido m´as significativas.
Este documento presenta una introducción a la programación visual basic (VBA) para Excel y elementos de análisis numérico. Explica cómo evaluar funciones, crear gráficas, programar macros, y usar elementos de programación como flujos secuenciales, condicionales y repetitivos. También cubre temas como la solución de ecuaciones, integración, y problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias usando métodos numéricos. El objetivo es mostrar el gran potencial de Excel para ciencias e ingeniería, y su utilidad para la en
Callen thermodynamics and an introduction to thermostatistics, 2 ed.Juan Aranda
Este documento es un apunte de un curso de Física Matemática que trata temas relacionados con series infinitas, números complejos, funciones complejas y derivabilidad. Incluye conceptos como series de potencias, funciones analíticas, derivadas complejas, integrales de curvas y ecuaciones de Laplace. El documento contiene 13 capítulos que abarcan estos temas fundamentales de la física matemática.
Este documento presenta apuntes sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Incluye secciones sobre la estructura diferenciable de un espacio vectorial, campos tangentes, ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, métodos para resolver ecuaciones diferenciales como el método de Lie, estabilidad de sistemas dinámicos, y aplicaciones a problemas físicos.
Este documento presenta material de apoyo para el primer curso de matemáticas computacionales. Incluye secciones sobre lógica matemática, sucesiones y sumatorias, técnicas de demostración, relaciones de recurrencia, conjuntos, funciones, relaciones y teoría de números. El documento proporciona definiciones, propiedades y ejemplos para cada uno de estos temas.
Este documento presenta una revisión teórica del control de procesos industriales continuos. Explica conceptos clave como modelos de procesos, realimentación, elementos de control, diseño de sistemas de control, clasificación de sistemas, respuesta temporal y de frecuencia, lugar de las raíces, funcionamiento y estabilidad de sistemas de control, y sistemas de tiempo discreto.
Este documento presenta un análisis introductorio de sistemas dinámicos lineales. Comienza con conceptos preliminares sobre sistemas, señales y modelos matemáticos. Luego introduce herramientas como ecuaciones diferenciales, transformadas de Laplace y representación en variables de estado. Cubre temas como funciones de transferencia, diagramas de bloques, respuesta al impulso y estabilidad. Finalmente, analiza sistemas de primer y segundo orden, realimentados simples y ofrece una introducción a sistemas no lineales.
Este documento es un índice de un libro de texto sobre física matemática. Contiene ocho capítulos que cubren temas como álgebra lineal, análisis tensorial, sistemas de coordenadas curvilíneas, introducción a tensores, teoría de grupos y series infinitas. El índice proporciona una breve descripción de cada sección dentro de cada capítulo.
Este documento presenta un manual sobre métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros. En el prefacio, el autor explica que el objetivo del libro es proporcionar una descripción sencilla y práctica de estos métodos, los cuales son útiles pero generalmente considerados no elementales. El libro contiene diez capítulos que cubren temas como el problema de Sturm-Liouville, funciones especiales como polinomios de Legendre y Hermite, y su aplicación a problemas físicos. También incluye
Este documento es un índice de un libro de texto sobre física matemática. Contiene ocho capítulos que cubren temas como álgebra lineal, análisis tensorial, sistemas de coordenadas curvilíneas, introducción a tensores, teoría de grupos y series infinitas. El índice proporciona una breve descripción de cada sección dentro de cada capítulo.
Este documento presenta apuntes sobre control robusto y multiobjetivos de sistemas. Se divide en cuatro capítulos que tratan sobre análisis de sistemas con múltiples objetivos, análisis y síntesis de controladores para sistemas con saturaciones, síntesis de controladores mediante programación semidefinida y sintonización robusta de controladores industriales. El documento proporciona una introducción a cada uno de estos temas y sus aplicaciones en el diseño de controladores.
Este documento presenta un análisis y diseño de volantes de inercia fabricados con materiales compuestos. Describe los principios básicos de los volantes de inercia y las tensiones mecánicas, térmicas y residuales que actúan sobre el rotor. Propone varios modelos para mejorar el cálculo de tensiones, incluyendo un modelo unificado y formulaciones para rotores multicapa. El objetivo final es desarrollar herramientas para el análisis y diseño estructural de volantes de inercia compuestos de bajo coste
Este documento presenta una breve introducción a C++. Explica la estructura básica de un programa en C++, incluyendo la definición de funciones, nombres de variables, tipos de variables, entrada y salida de datos, operadores aritméticos y relacionales. También cubre temas como control de flujo, funciones, matrices, clases, sobrecarga y herencia.
Este documento presenta una introducción a los fractales. Explica que los fractales se estudian en múltiples disciplinas científicas y que su origen puede encontrarse en diferentes fenómenos naturales como las costas, las redes arteriales y las plantas. También describe algunas propiedades fundamentales de los fractales como la autosimilitud y la ramificación y menciona ejemplos como la curva de Koch y el conjunto de Cantor. Finalmente, señala que los ordenadores son herramientas ideales para estudiar fractales debido a su capacidad para realizar iter
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Cubre temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El objetivo es proporcionar a los estudiantes los conceptos y herramientas matemáticas fundamentales necesarios para comprender conceptos avanzados en ingeniería.
Este documento presenta un análisis no estándar de conceptos matemáticos como cantidades infinitamente pequeñas y números imaginarios. Explica que una cantidad infinitamente pequeña es en realidad cero, y que los llamados misterios de los números imaginarios se han exagerado; estos conceptos pueden explicarse y entenderse completamente. El documento también introduce el tema de la teoría de conjuntos no estándar que se explicará en las páginas siguientes.
Este documento presenta el proyecto educativo del programa de Doctorado en Ciencias de la Educación de la Red de Universidades Estatales de Colombia (RUDECOLOMBIA) en la Universidad de Cartagena. Describe los aspectos curriculares, de investigación, proyección social e internacionalización del programa, así como su estructura académico-administrativa y condiciones de carácter institucional. El programa busca formar investigadores en educación superior, currículo y gestión educativa a través de una oferta flexible y con énfasis en la interdiscipl
Este documento presenta una guía para padres sobre el uso adecuado de las nuevas tecnologías por parte de los adolescentes. Introduce los principales temas que se abordan: Internet, videojuegos y teléfonos móviles. Explica que los adolescentes usan principalmente estas herramientas para comunicarse y entretenerse, aunque también existen riesgos si el uso no es adecuado. La guía proporciona consejos para que los padres ayuden a prevenir un uso problemático y fomenten uno seguro y responsable.
La producción es la actividad fundamental de las empresas y consiste en la transformación de factores productivos e insumos intermedios en bienes y servicios finales. En el corto plazo, las empresas pueden ajustar la producción variando los factores variables como el trabajo, mientras los factores fijos como edificios y maquinaria permanecen constantes. La cantidad adicional producida al aumentar una unidad del factor variable disminuye debido a la ley de rendimientos decrecientes, lo que se refleja en una curva de producto marginal inicialmente creciente y luego
¿Cuáles son nuestros obstáculos? ¿Por qué nuestra sociedad está cada vez peor? ¿Algún día podremos cambiar nuestros hábitos?; Estas son la principales preguntas que deberíamos empezar a contestarnos, ya que día a día nuestra sociedad va perdiendo el valor de las buenas costumbres y la falta de lectura es una de las principales.
Este documento presenta un modelo de gestión para la supervisión escolar con el objetivo de orientar una nueva gestión supervisora que apoye la mejora de la calidad educativa. Describe el panorama actual de la supervisión en México, el papel de la gestión educativa en la calidad de la educación, y presenta un modelo de gestión para la supervisión que incluye dimensiones, apoyos y un esquema integrador. Finalmente, señala factores clave como el apoyo institucional y la profesionalización de la función supervisora para una innov
Este Marco Conceptual fue emitido por el IASB en septiembre 2010 y deroga el Marco Conceptual para la Preparación y Presentación de Estados Financieros.
Actualmente esta en proceso de actualización y a medida que se finalice un capítulo se sustituirán los párrafos correspondientes.
Este documento presenta los fundamentos de la mecánica cuántica. Introduce conceptos clave como el principio de incertidumbre de Heisenberg y explica cómo la mecánica cuántica surgió para describir fenómenos a escalas micro y macro que no podían ser explicados por la mecánica clásica, como la estructura atómica estable y la difracción de electrones. También discute cómo, a diferencia de la mecánica clásica, la mecánica cuántica no permite la existencia de trayector
Introducción a las Ciencias de la EducaciónEloy Choque
Este documento analiza los modelos pedagógicos y la reforma educativa en Bolivia. Discute cuatro ejes principales: el educador, la pedagogía centrada en el alumno, la escuela desgraduada y los modelos pedagógicos. También analiza las corrientes pedagógicas como idealistas, reproductoras y transformadoras, así como modelos pedagógicos tradicionales, conductistas y problematizadores. Finalmente, discute la taxonomía de las corrientes y modelos pedagógicos.
Este documento presenta una introducción a la lingüística. Define la lingüística como la ciencia que estudia el lenguaje humano articulado en general y en las formas específicas en que se realiza, es decir, en los actos lingüísticos y en los sistemas de lenguas. Distingue la lingüística del conocimiento práctico de los idiomas y explica las similitudes y diferencias entre la lingüística y la filología.
Este documento presenta información sobre la lectura comprensiva y factores que la dificultan. Explica conceptos como lectura oral, silenciosa y sus niveles. También describe técnicas para mejorar la comprensión lectora como toma de notas, subrayado y lectura veloz. El objetivo es identificar los principales factores que dificultan la lectura comprensiva en estudiantes de secundaria de un colegio en El Alto, Bolivia.
Este documento presenta material de apoyo para el primer curso de matemáticas computacionales. Incluye secciones sobre lógica matemática, sucesiones y sumatorias, técnicas de demostración, relaciones de recurrencia, conjuntos, funciones, relaciones y teoría de números. El documento proporciona definiciones, propiedades y ejemplos para cada uno de estos temas.
Este documento presenta una revisión teórica del control de procesos industriales continuos. Explica conceptos clave como modelos de procesos, realimentación, elementos de control, diseño de sistemas de control, clasificación de sistemas, respuesta temporal y de frecuencia, lugar de las raíces, funcionamiento y estabilidad de sistemas de control, y sistemas de tiempo discreto.
Este documento presenta un análisis introductorio de sistemas dinámicos lineales. Comienza con conceptos preliminares sobre sistemas, señales y modelos matemáticos. Luego introduce herramientas como ecuaciones diferenciales, transformadas de Laplace y representación en variables de estado. Cubre temas como funciones de transferencia, diagramas de bloques, respuesta al impulso y estabilidad. Finalmente, analiza sistemas de primer y segundo orden, realimentados simples y ofrece una introducción a sistemas no lineales.
Este documento es un índice de un libro de texto sobre física matemática. Contiene ocho capítulos que cubren temas como álgebra lineal, análisis tensorial, sistemas de coordenadas curvilíneas, introducción a tensores, teoría de grupos y series infinitas. El índice proporciona una breve descripción de cada sección dentro de cada capítulo.
Este documento presenta un manual sobre métodos matemáticos avanzados para científicos e ingenieros. En el prefacio, el autor explica que el objetivo del libro es proporcionar una descripción sencilla y práctica de estos métodos, los cuales son útiles pero generalmente considerados no elementales. El libro contiene diez capítulos que cubren temas como el problema de Sturm-Liouville, funciones especiales como polinomios de Legendre y Hermite, y su aplicación a problemas físicos. También incluye
Este documento es un índice de un libro de texto sobre física matemática. Contiene ocho capítulos que cubren temas como álgebra lineal, análisis tensorial, sistemas de coordenadas curvilíneas, introducción a tensores, teoría de grupos y series infinitas. El índice proporciona una breve descripción de cada sección dentro de cada capítulo.
Este documento presenta apuntes sobre control robusto y multiobjetivos de sistemas. Se divide en cuatro capítulos que tratan sobre análisis de sistemas con múltiples objetivos, análisis y síntesis de controladores para sistemas con saturaciones, síntesis de controladores mediante programación semidefinida y sintonización robusta de controladores industriales. El documento proporciona una introducción a cada uno de estos temas y sus aplicaciones en el diseño de controladores.
Este documento presenta un análisis y diseño de volantes de inercia fabricados con materiales compuestos. Describe los principios básicos de los volantes de inercia y las tensiones mecánicas, térmicas y residuales que actúan sobre el rotor. Propone varios modelos para mejorar el cálculo de tensiones, incluyendo un modelo unificado y formulaciones para rotores multicapa. El objetivo final es desarrollar herramientas para el análisis y diseño estructural de volantes de inercia compuestos de bajo coste
Este documento presenta una breve introducción a C++. Explica la estructura básica de un programa en C++, incluyendo la definición de funciones, nombres de variables, tipos de variables, entrada y salida de datos, operadores aritméticos y relacionales. También cubre temas como control de flujo, funciones, matrices, clases, sobrecarga y herencia.
Este documento presenta una introducción a los fractales. Explica que los fractales se estudian en múltiples disciplinas científicas y que su origen puede encontrarse en diferentes fenómenos naturales como las costas, las redes arteriales y las plantas. También describe algunas propiedades fundamentales de los fractales como la autosimilitud y la ramificación y menciona ejemplos como la curva de Koch y el conjunto de Cantor. Finalmente, señala que los ordenadores son herramientas ideales para estudiar fractales debido a su capacidad para realizar iter
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Cubre temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El objetivo es proporcionar a los estudiantes los conceptos y herramientas matemáticas fundamentales necesarios para comprender conceptos avanzados en ingeniería.
Este documento presenta un análisis no estándar de conceptos matemáticos como cantidades infinitamente pequeñas y números imaginarios. Explica que una cantidad infinitamente pequeña es en realidad cero, y que los llamados misterios de los números imaginarios se han exagerado; estos conceptos pueden explicarse y entenderse completamente. El documento también introduce el tema de la teoría de conjuntos no estándar que se explicará en las páginas siguientes.
Este documento presenta el proyecto educativo del programa de Doctorado en Ciencias de la Educación de la Red de Universidades Estatales de Colombia (RUDECOLOMBIA) en la Universidad de Cartagena. Describe los aspectos curriculares, de investigación, proyección social e internacionalización del programa, así como su estructura académico-administrativa y condiciones de carácter institucional. El programa busca formar investigadores en educación superior, currículo y gestión educativa a través de una oferta flexible y con énfasis en la interdiscipl
Este documento presenta una guía para padres sobre el uso adecuado de las nuevas tecnologías por parte de los adolescentes. Introduce los principales temas que se abordan: Internet, videojuegos y teléfonos móviles. Explica que los adolescentes usan principalmente estas herramientas para comunicarse y entretenerse, aunque también existen riesgos si el uso no es adecuado. La guía proporciona consejos para que los padres ayuden a prevenir un uso problemático y fomenten uno seguro y responsable.
La producción es la actividad fundamental de las empresas y consiste en la transformación de factores productivos e insumos intermedios en bienes y servicios finales. En el corto plazo, las empresas pueden ajustar la producción variando los factores variables como el trabajo, mientras los factores fijos como edificios y maquinaria permanecen constantes. La cantidad adicional producida al aumentar una unidad del factor variable disminuye debido a la ley de rendimientos decrecientes, lo que se refleja en una curva de producto marginal inicialmente creciente y luego
¿Cuáles son nuestros obstáculos? ¿Por qué nuestra sociedad está cada vez peor? ¿Algún día podremos cambiar nuestros hábitos?; Estas son la principales preguntas que deberíamos empezar a contestarnos, ya que día a día nuestra sociedad va perdiendo el valor de las buenas costumbres y la falta de lectura es una de las principales.
Este documento presenta un modelo de gestión para la supervisión escolar con el objetivo de orientar una nueva gestión supervisora que apoye la mejora de la calidad educativa. Describe el panorama actual de la supervisión en México, el papel de la gestión educativa en la calidad de la educación, y presenta un modelo de gestión para la supervisión que incluye dimensiones, apoyos y un esquema integrador. Finalmente, señala factores clave como el apoyo institucional y la profesionalización de la función supervisora para una innov
Este Marco Conceptual fue emitido por el IASB en septiembre 2010 y deroga el Marco Conceptual para la Preparación y Presentación de Estados Financieros.
Actualmente esta en proceso de actualización y a medida que se finalice un capítulo se sustituirán los párrafos correspondientes.
Este documento presenta los fundamentos de la mecánica cuántica. Introduce conceptos clave como el principio de incertidumbre de Heisenberg y explica cómo la mecánica cuántica surgió para describir fenómenos a escalas micro y macro que no podían ser explicados por la mecánica clásica, como la estructura atómica estable y la difracción de electrones. También discute cómo, a diferencia de la mecánica clásica, la mecánica cuántica no permite la existencia de trayector
Introducción a las Ciencias de la EducaciónEloy Choque
Este documento analiza los modelos pedagógicos y la reforma educativa en Bolivia. Discute cuatro ejes principales: el educador, la pedagogía centrada en el alumno, la escuela desgraduada y los modelos pedagógicos. También analiza las corrientes pedagógicas como idealistas, reproductoras y transformadoras, así como modelos pedagógicos tradicionales, conductistas y problematizadores. Finalmente, discute la taxonomía de las corrientes y modelos pedagógicos.
Este documento presenta una introducción a la lingüística. Define la lingüística como la ciencia que estudia el lenguaje humano articulado en general y en las formas específicas en que se realiza, es decir, en los actos lingüísticos y en los sistemas de lenguas. Distingue la lingüística del conocimiento práctico de los idiomas y explica las similitudes y diferencias entre la lingüística y la filología.
Este documento presenta información sobre la lectura comprensiva y factores que la dificultan. Explica conceptos como lectura oral, silenciosa y sus niveles. También describe técnicas para mejorar la comprensión lectora como toma de notas, subrayado y lectura veloz. El objetivo es identificar los principales factores que dificultan la lectura comprensiva en estudiantes de secundaria de un colegio en El Alto, Bolivia.
Este documento presenta problemas de cálculo diferencial e integral resueltos por profesores de la Universidad Autónoma Metropolitana. Está dividido en dos partes, la primera parte contiene problemas de cálculo diferencial e integral I y evaluaciones resueltas por los profesores Cutberto Romero y José Becerril. La segunda parte contiene problemas de cálculo diferencial e integral II y evaluaciones resueltas por los profesores Judith Omaña y Cutberto Romero. Finalmente, incluye una miscelánea de problemas de aplicación presentada por el profes
Este documento describe los conceptos básicos de una empresa y su organización. Explica que una empresa es un sistema social que integra personas y recursos para lograr objetivos comunes. También describe los elementos clave de una empresa como capital, tierra, trabajo, clientes y proveedores. Además, explica que la organización es fundamental para coordinar los recursos de una empresa y lograr sus objetivos de manera eficiente.
La pedagogía y las ciencias de la educación exposicion upana grupo 1dalydaly201201
La pedagogía es una ciencia que estudia las leyes de la educación del hombre en la sociedad. Las ciencias de la educación incluyen disciplinas como la sociología, psicología, historia, economía y antropología de la educación, que estudian diferentes aspectos de la educación en determinadas sociedades y culturas. Estas ciencias comparten el objetivo de comprender y mejorar los procesos educativos a través del estudio de temas como el desarrollo humano, el aprendizaje, la motivación y las interacciones entre educación y sociedad
Este documento presenta un curso de inglés para la administración de empresas. El curso tiene como objetivos enseñar el lenguaje comercial utilizado en las empresas, capacitar a los participantes para enfrentar nuevos desafíos comunicativos, y entablar conversaciones telefónicas y responder correspondencia en inglés. El curso está dirigido a empleados, estudiantes, operadores de comercio exterior y otras personas con conocimientos intermedios de inglés. Los temas del curso incluyen administración de empresas, banca, contabilidad, dere
Este documento presenta el rediseño de la Licenciatura en Educación, mención Educación Inicial de la Universidad Nacional Experimental Simón Rodríguez. Describe el perfil del egresado, los objetivos y estructura del plan de estudios basado en un modelo curricular centrado en el aprendizaje, que busca formar profesionales comprometidos con la educación de niños de 0 a 6 años. También incluye los programas sinópticos de las asignaturas y los criterios para la administración y evaluación del currículo.
Clasificación de las ciencias de la educaciónNayeli Rosete
El documento clasifica las ciencias de la educación en 3 categorías: 1) ciencias que estudian las condiciones generales y locales de la institución escolar como la historia y sociología de la educación, 2) ciencias que estudian la relación pedagógica y el acto educativo como la filosofía, psicología y ciencias de la comunicación de la educación, y 3) ciencias de la reflexión y evolución como la filosofía y planificación de la educación.
Las ciencias de la educación estudian los fenómenos educativos desde diferentes disciplinas como la historia, sociología y psicología. Se clasifican en aquellas que estudian las condiciones de la educación, la situación educativa y los métodos, y las de reflexión y futuro. Existen tradiciones alemana, francesa y anglosajona en su estudio, y la pedagogía es la ciencia que tiene como objeto de estudio a la educación.
Este documento presenta una introducción a las lecciones de un curso de inglés para administración de empresas de nivel I. La primera lección introduce vocabulario esencial de inglés de negocios con palabras comúnmente usadas traducidas al español y su pronunciación en inglés. La segunda lección explica el uso del artículo definido "the" en inglés. La tercera lección explica el uso del artículo indefinido "a/an" en singular y "some" en plural.
Este documento presenta las normas de seguridad que deben seguirse en el laboratorio de ciencias experimentales. Describe los accidentes más comunes como quemaduras, cortaduras y accidentes oculares, e indica el tratamiento inmediato para cada uno. También menciona cómo tratar desmayos e intoxicaciones por diferentes sustancias como ácidos, álcalis y éter.
El documento presenta una introducción a las ciencias de la educación. Explica conceptos clave como educación, pedagogía e instrucción. Describe la evolución histórica de la educación desde la sociedad primitiva hasta la pedagogía moderna. También cubre temas como los tipos de enseñanza, las instituciones educativas y los actores del proceso educativo como el educador y el educando.
Este documento trata sobre la geometría del espacio euclidiano. Introduce el concepto de Rn como el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas de números reales, que representa el espacio vectorial euclidiano de n dimensiones. Explica que Rn puede verse como el producto cartesiano de n copias de R, y describe cómo R, R2 y R3 tienen interpretaciones geométricas como puntos en una recta, un plano y el espacio tridimensional respectivamente, identificados por coordenadas cartesianas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la integral de Lebesgue. Comienza discutiendo las deficiencias de la integral de Riemann y la necesidad de una nueva definición de integral. Luego introduce los principios de Littlewood y la definición formal de la integral de Lebesgue, incluyendo teoremas de convergencia. Finalmente, analiza la derivación e integración de funciones medibles y el cálculo de integrales de funciones integrables.
Este documento presenta un libro titulado "Fundamentos del Cálculo" escrito por Rubén Flores Espinoza, Marco Antonio Valencia Arvizu, Guillermo Dávila Rascón, Martín Gildardo García Alvarado. El libro fue publicado en 2008 por Editorial Garabatos con el apoyo de CONACYT y el Gobierno del Estado. El libro contiene 8 capítulos que cubren temas como los números reales, funciones, sucesiones, derivadas, integrales indefinidas y sus aplicaciones.
Este documento presenta apuntes sobre álgebra lineal. Introduce las definiciones básicas de matrices, incluyendo sus operaciones y propiedades. Explica conceptos como transformaciones elementales de filas y columnas, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, aplicaciones lineales y endomorfismos. El documento contiene 6 temas y varias secciones en cada tema para explicar estos conceptos fundamentales de álgebra lineal.
Este documento presenta apuntes sobre álgebra lineal. Introduce las definiciones básicas de matrices, incluyendo sus operaciones y propiedades. Explica conceptos como transformaciones elementales de filas y columnas, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, aplicaciones lineales y endomorfismos. El documento contiene 6 temas y varias secciones en cada tema para explicar estos conceptos fundamentales de álgebra lineal.
Este documento presenta los apuntes para el curso de Álgebra Lineal impartido por Juan González-Meneses López en la Universidad de Sevilla durante el curso 2008/2009. Incluye definiciones de conceptos básicos como matrices, vectores, operaciones con matrices y vectores, y anuncia los temas que se abordarán como espacios vectoriales, aplicaciones lineales, endomorfismos y sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta los apuntes para el curso de Álgebra Lineal impartido por Juan González-Meneses López en la Universidad de Sevilla durante el curso 2008/2009. Incluye definiciones de conceptos básicos como matrices, vectores, operaciones con matrices y vectores, y anuncia los temas que se abordarán como espacios vectoriales, aplicaciones lineales, endomorfismos y sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta apuntes sobre álgebra lineal. Introduce las definiciones básicas de matrices, incluyendo sus operaciones fundamentales como suma, multiplicación por escalares, y multiplicación. También define vectores como una clase especial de matrices, y discute su uso para representar puntos en espacios geométricos.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Cubre temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El profesor Javier Pérez González del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada impartirá la asignatura con el objetivo de proporcionar las herramientas matemáticas fundamentales para la ingeniería.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Incluye temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El objetivo es introducir los conceptos y herramientas matemáticas fundamentales necesarias para el análisis y modelado de sistemas físicos.
Este documento presenta un curso de cálculo diferencial e integral para estudiantes de primer año de ingeniería de telecomunicaciones. Incluye temas como números reales y complejos, funciones, límites, derivadas, integrales, series y cálculo vectorial. El objetivo es introducir los conceptos y herramientas matemáticas fundamentales necesarias para el análisis y modelado de sistemas físicos.
Este documento presenta apuntes sobre la teoría de la medida y la integración. Se divide en cinco capítulos principales que cubren temas como σ-álgebras de conjuntos, medidas, integración, espacios de medida producto y diferenciación. Cada capítulo contiene secciones detalladas sobre definiciones, teoremas y propiedades relacionadas con los diferentes conceptos de la teoría de la medida.
Este documento presenta un resumen de los primeros cuatro capítulos de un libro sobre geometría. Introduce conceptos básicos de geometría absoluta como axiomas de incidencia, ordenación, ángulos y triángulos. Luego cubre medición de segmentos, ángulos y arcos, propiedades de la geometría euclidiana como el teorema de las paralelas y semejanza de triángulos, y conceptos de geometría analítica como vectores y coordenadas cartesianas. Finalmente, anticipa que los capítu
Este documento presenta un resumen de los principales temas de la geometría. Explica que la geometría ilumina el intelecto y templa la mente, y que sus pruebas son claras y ordenadas, lo que reduce los errores en el razonamiento geométrico. Además, indica que quien estudia geometría con regularidad adquiere inteligencia. El documento procede a enumerar los diferentes capítulos que componen el libro sobre geometría.
Este documento presenta notas sobre álgebra lineal. Contiene secciones sobre estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos. También cubre temas de espacios vectoriales como subespacios, sistemas de generadores, bases y cambios de base. Otras secciones tratan aplicaciones lineales, representación matricial, determinantes y formas canónicas de endomorfismos. El documento provee una introducción completa a conceptos fundamentales de álgebra lineal.
Este documento presenta notas sobre álgebra lineal. Contiene secciones sobre estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos. También cubre temas de espacios vectoriales como subespacios, sistemas de generadores, bases y cambios de base. Otras secciones tratan aplicaciones lineales, representación matricial, determinantes y formas canónicas de endomorfismos. El documento provee una introducción completa a conceptos fundamentales de álgebra lineal.
Este documento es un manual introductorio sobre matemáticas básicas que incluye temas como conjuntos numéricos, ecuaciones de primer y segundo grado, polinomios, funciones trigonométricas y resolución de triángulos rectángulos. El manual presenta definiciones, propiedades y ejercicios para cada tema, con el objetivo de reforzar los conocimientos matemáticos básicos de los estudiantes de nuevo ingreso a la universidad.
Este documento presenta un curso introductorio de matemáticas básicas. Explica los conjuntos numéricos reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con diferentes tipos de números, y el orden para realizar operaciones cuando hay signos de agrupación.
Este documento presenta un curso introductorio de matemáticas básicas. Explica los conjuntos numéricos reales, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con diferentes tipos de números, y el orden para realizar operaciones cuando hay signos de agrupación.
Este documento presenta una introducción al uso del programa de cálculo simbólico Maxima. Explica que Maxima es un sucesor del programa Macsyma desarrollado originalmente en el MIT en los años 1970. Además, proporciona instrucciones básicas sobre la instalación de Maxima en Windows, Mac y Linux, y ofrece una primera sesión de ejemplo para familiarizarse con el programa. El documento también incluye un índice general de los diferentes temas que serán cubiertos.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
4. iv ´
INDICE GENERAL
1.6.4. Otras razones hiperb´licas . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 87
1.6.5. F´rmulas del ´ngulo doble . . . . . .
o a . . . . . . . . . . . . . . 87
1.6.6. El cuadrado del senh y del cosh . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.6.7. Gr´fica de las funciones hiperb´licas
a o . . . . . . . . . . . . . . 88
1.6.8. Funciones hiperb´licas inversas . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 89
1.6.9. Identidad hiperb´lica . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 90
1.6.10. F´rmula logar´
o ıtmica de las funciones hiperb´licas
o inversas . . 90
1.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2. Funciones de varias variables: L´ ımites 93
2.1. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.1.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.1.2. Dominio de una funci´n de varias variables . . . . . . . .
o . . 97
2.1.3. Operaciones con funciones de varias variables. . . . . . . . . . 102
2.1.4. Composici´n de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . 104
2.1.5. Gr´fica de una funci´n de dos variables . . . . . . . . . .
a o . . 110
2.1.6. Otras representaciones de las funciones de varias variables . . 118
2.2. L´
ımite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . 119
2.2.2. Entorno de un punto en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.3. L´ımite y continuidad en dos variables . . . . . . . . . . . . . 121
2.2.4. L´ımite de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.2.5. Comprobando l´ ımites aplicando la definici´n . . . . . . .
o . . 126
2.2.6. C´lculo de l´
a ımites mediante operaciones algebraicas . . . . . 130
2.2.7. Teorema del encaje y de la acotaci´n . . . . . . . . . . . .
o . . 132
2.2.8. Infinit´simos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . 133
2.2.9. Inexistencia de l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
2.2.10. L´
ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.3. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3. Derivada de Funciones de una variable 149
3.1. Derivada y continuidad. Tangente y normal . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.1. Idea intuitiva de recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.1.2. Rectas tangentes no intuitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.1.3. La pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.1.4. Definici´n de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 152
3.1.5. Otra forma de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.1.6. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.1.7. Derivada y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.1.8. Significado gr´fico de la derivada: Suavidad. . . . . . . . . .
a . 156
3.1.9. La ecuaci´n de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . .
o . 156
3.1.10. La ecuaci´n de la recta normal . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 158
3.1.11. Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical . 158
3.2. Funci´n derivada. reglas de derivaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . .
o o . 159
3.2.1. Funci´n derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 159
3.2.2. Reglas de derivaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 160
3.2.3. Derivadas de funciones con un punto aparte . . . . . . . . . . 162
3.2.4. Derivada de funciones definidas a trozos . . . . . . . . . . . . 164
3.2.5. Derivaci´n de funciones impl´
o ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.2.6. Derivaci´n logar´
o ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5. ´
INDICE GENERAL v
3.2.7. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.2.8. Aproximaci´n lineal y notaci´n diferencial . . . . . . . . . . .
o o 170
3.3. L´
ımite de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.3.1. Infinit´simos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e 172
3.3.2. Infinit´simos m´s frecuentes en z → 0 . . . . . . . . . . . . .
e a 172
3.3.3. Formas indeterminadas. Reglas de L’Hˆpital. . . . . . . . . .
o 173
3.4. L´
ımite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
3.5. Estudio local de funciones. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . 183
3.5.1. Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o 183
3.5.2. Algunas propiedades de los polinomios . . . . . . . . . . . . . 184
3.5.3. Polinomio de Taylor de una funci´n no polin´mica . . . . . .
o o 187
3.5.4. Polinomio de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . 189
3.5.5. Resto de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.5.6. Aplicaciones de la f´rmula de Taylor a c´lculos aproximados .
o a 193
3.5.7. Aplicaciones de la F´rmula de Taylor al c´lculo de l´
o a ımites . . 195
3.6. Extremos de funciones de una sola variable . . . . . . . . . . . . . . 196
3.6.1. M´ximos y m´
a ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.6.2. M´ximos y m´
a ınimos relativos o locales . . . . . . . . . . . . . 200
3.6.3. Determinaci´n de funciones conocidos sus puntos cr´
o ıticos . . 203
3.6.4. Problemas de aplicaci´n de m´ximos y m´
o a ınimos . . . . . . . . 204
3.7. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4. Derivaci´n de funciones multivariables
o 211
4.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.1.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 211
4.1.2. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 212
4.1.3. La funci´n derivada parcial . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 214
4.1.4. Funciones de m´s de dos variables . . . . . . . . . .
a . . . . . 216
4.1.5. Raz´n de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 218
4.1.6. Interpretaci´n geom´trica de las derivadas parciales
o e . . . . . 219
4.1.7. Continuidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.2. Derivadas parciales de ´rdenes superiores . . . . . . . . . .
o . . . . . 222
4.3. Derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.3.1. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.3.2. Derivada direccional y derivadas parciales . . . . . . . . . . . 231
4.4. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.4.1. Generalizaci´n del concepto de diferenciabilidad . .
o . . . . . 233
4.4.2. Diferenciabilidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . 237
4.4.3. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.4.4. Diferenciabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.4.5. Diferenciabilidad de funciones de n variables . . . . . . . . . 243
4.4.6. Condici´n suficiente para la diferenciabilidad . . . .
o . . . . . 244
4.4.7. Caracterizaci´n de las funciones diferenciables . . . .
o . . . . . 246
4.4.8. Diferenciabilidad y derivadas direccionales . . . . . . . . . . . 248
4.4.9. La derivada seg´n una direcci´n curva . . . . . . . .
u o . . . . . 249
4.5. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.5.1. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . 249
4.5.2. Vector gradiente y derivada direccional . . . . . . . . . . . . . 251
4.5.3. Gradiente y curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6. vi ´
INDICE GENERAL
4.6. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
4.6.1. Vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
4.6.2. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
4.6.3. Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio . . . 261
4.6.4. La diferencial como aproximaci´n del incremento . . . . . .
o . 263
4.7. Funciones vectoriales y matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4.7.1. Funciones vectoriales de variable vectorial . . . . . . . . . . . 268
4.7.2. Continuidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . 269
4.7.3. Derivadas parciales de funciones vectoriales . . . . . . . . . . 271
4.7.4. Funciones vectoriales diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.8. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
4.8.1. Funciones compuestas, inversas e impl´ ıcitas de una variable . 276
4.8.2. Composici´n de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . .
o . 277
4.8.3. Regla de la cadena. Perspectiva te´rica: Diferencial . . . . .
o . 280
4.8.4. Regla de la cadena. Perspectiva pr´ctica: Parciales . . . . .
a . 282
4.8.5. Regla de la cadena. Perspectiva general: Matriz jacobiana . . 290
4.9. Funciones impl´ ıcitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.9.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
4.9.2. Funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
4.10. Extremos de las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . 305
4.10.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . 305
4.10.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
4.10.3. Estudio de la naturaleza de los puntos cr´ ıticos . . . . . . . . 307
4.10.4. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange . 315
4.10.5. M´ximos y m´
a ınimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
4.11. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
5. Integral definida. C´lculo de primitivas
a 329
5.1. La estimaci´n de un area. Sumas de Riemann. . . . . . . . .
o ´ . . . . 329
5.1.1. Significado geom´trico de la integral . . . . . . . . . .
e . . . . 329
5.1.2. C´lculo de l´
a ımites utilizando el concepto de integral . . . . . 334
5.1.3. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 340
5.2. El teorema fundamental del C´lculo . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . 343
5.2.1. Regla de Barrow: La integral como una primitiva . . . . . . . 347
5.3. Integraci´n inmediata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 350
5.3.1. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . 350
5.3.2. Tabla de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
5.4. Integraci´n mediante cambio de variable . . . . . . . . . . . .
o . . . . 352
5.5. Integraci´n por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 356
5.6. Integraci´n de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 359
5.6.1. Integraci´n de fracciones elementales . . . . . . . . . .
o . . . . 359
5.6.2. Integraci´n mediante desarrollo en fracciones simples .
o . . . . 360
5.7. Integraci´n de expresiones trigonom´tricas . . . . . . . . . . .
o e . . . . 367
5.7.1. Integraci´n de potencias de funciones trigonom´tricas
o e . . . . 367
5.7.2. Integraci´n de funciones racionales del sen y del cos .
o . . . . 369
5.8. Integraci´n de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . 371
5.8.1. Radicales semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
5.8.2. La sustituci´n trigonom´trica . . . . . . . . . . . . . .
o e . . . . 372
5.9. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
7. ´
INDICE GENERAL vii
6. Aplicaciones de la integral. 377
6.1. C´lculo del area de una figura plana. . . . . . . . . . . . . . . . . .
a ´ . 377
6.2. C´lculo del volumen de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . 380
6.2.1. Volumen de un cuerpo cualquiera: M´todo de secciones . .
e . 380
6.2.2. Volumen de un s´lido de revoluci´n: M´todo de discos . . .
o o e . 381
6.2.3. Volumen de un s´lido de revoluci´n: M´todo de los cilindros
o o e . 381
6.3. L´
ımite de sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
6.4. Problemas propuestos del Cap´ ıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos 389
Bibliograf´
ıa 393
´
Indice alfab´tico
e 394
Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.
8.
9. Cap´
ıtulo 1
Conceptos b´sicos
a
1.1. La recta real
Suponemos conocidos los n´meros reales, as´ como su representaci´n en la
u ı o
recta real.
Los n´meros reales se pueden representar mediante expresiones deci-
u
males finitas o infinitas. Si la expresi´n decimal es finita o peri´dica infinita,
o o
entonces el n´mero real se puede expresar como el cociente de dos n´ meros
u u
enteros y se dice que el n´mero real es racional. Rec´
u ıprocamente cualquier
n´mero racional (cociente de dos enteros) se puede expresar mediante una
u
expresi´n decimal finita o infinita peri´dica. Cuando la expresi´n decimal
o o o
tiene infinitas cifras que no se repiten de manera peri´dica se dice que el
o
n´mero real es irracional.
u
Los n´meros reales admiten una representaci´n geom´trica en una recta.
u o e
En dicha representaci´n cada n´mero real se representa por un solo punto
o u
de la recta y cada punto de la recta representa un solo n´mero real. En con-
u
secuencia, hablaremos indistintamente de n´mero o de punto. Por convenio,
u
los n´meros positivos se representan a la derecha del cero y los negativos a
u
la izquierda. Se llama recta real a una recta en la que se han representado
los n´meros reales.
u
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
√ π
2 2
Figura 1.1: La recta real
1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos
Definici´n 1.1 (N´ meros positivos y n´ meros negativos).
o u u
1) Para cada n´mero real, a, est´ definida una y s´lo una de las siguientes
u a o
relaciones:
1
10. 2 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
a) a es mayor que cero (es positivo), a > 0;
b) a es igual a cero, a = 0;
c) a es menor que cero (es negativo), a < 0.
2) Si a y b son n´meros positivos, entonces:
u
a) Su suma es positiva, a + b > 0.
b) Su producto es tambi´n positivo, ab > 0.
e
Definici´n 1.2 (Orden en la recta real). Dados dos n´meros reales a y
o u
b. Se dice que a es menor que b y se denota a < b, si b − a es positivo.
a<b ⇔ b−a>0
Si a es menor que b, tambi´n se dice que b es mayor que a y se escribe b > a
e
ımbolo a ≤ b significa que a es menor o igual que b.
El s´
Si a < b, entonces a se representa en la recta a la izquierda de b.
Proposici´n 1.1 (Propiedades de las desigualdades). Si a, b, c y d
o
son n´meros reales, se tiene:
u
1. Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c
2. Aditiva: Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d
a+c<b+c
3. Si a < b, entonces, para cualquier n´mero real c
u
a−c<b−c
4. Si a < b y p > 0, entonces ap < bp
5. Si a < b y n < 0, entonces an > bn
Nota: En consecuencia, podemos decir que con las desigualdades se pueden realizar las
mismas transformaciones que con las igualdades, salvo que al multiplicar o dividir, ambos
miembros, por un n´ mero negativo hay que invertir el sentido de la desigualdad. As´
u ı,
−2x < 6 ↔ x > −3
Una desigualdad en la que aparecen una o varias variables tambi´n se llama inecuaci´n.
e o
Definici´n 1.3 (Intervalos). Sean a y b dos n´meros reales tales que
o u
a ≤ b. Se llama intervalo abierto de extremos a y b, al conjunto de puntos
comprendidos entre a y b, excluidos dichos puntos
(a, b) = {x ∈ R/ a < x < b}
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, al conjunto de puntos com-
prendidos entre a y b, incluidos dichos puntos
[a, b] = {x ∈ R/ a ≤ x ≤ b}
11. 1.1. LA RECTA REAL 3
Nota: Usamos par´ntesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como
e
para indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determi-
nar´ en cada caso a qu´ nos estamos refiriendo.
a e
Tambi´n se definen los siguientes tipos de intervalos:
e
Intervalos semiabiertos
[a, b) = {x ∈ R/ a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R/ a < x ≤ b}
Intervalos infinitos
(−∞, b] = {x ∈ R/ x ≤ b}
(−∞, b) = {x ∈ R/ x < b}
(a, +∞) = {x ∈ R/ a < x}
[a, +∞) = {x ∈ R/ a ≤ x}
(−∞, +∞) = R
Ejemplo 1.1 (Resolviendo inecuaciones). Hallar el conjunto soluci´n de las
o
siguientes desigualdades
a) 2x − 3 < 5 b) 3 − 2x < 5
Soluci´n. a) Operando, como si se tratara de una ecuaci´n, resulta:
o o
8
2x − 3 < 5 ⇔ 2x < 5 + 3 ⇔ x<⇔ x<2
2
Por tanto, el conjunto soluci´n es el intervalo (−∞, 2).
o
b) En este caso operamos de la misma manera, pero al dividir por -2 inver-
timos el sentido de la desigualdad. As´ı,
2
3 − 2x < 5 ⇔ −2x < 5 − 3 ⇔ x> ⇔ x > −1
−2
Luego el conjunto soluci´n es el intervalo (−1, +∞).
o
Ejemplo 1.2 (Resolviendo sistemas de inecuaciones). Hallar el conjunto
soluci´n del siguiente sistema de desigualdades
o
2x + 1 ≥ −1
3x − 7 ≤ 2
Soluci´n. Se trata de hallar la intersecci´n de los conjuntos soluci´n de
o o o
cada una de las desigualdades. Para ello, resolvemos ambas inecuaciones
por separado y luego hallamos la intersecci´n
o
2x + 1 ≥ −1 2x ≥ −1 − 1 2x ≥ −2 x ≥ −1
3x − 7 ≤ 2 3x ≤ 2 + 7 3x ≤ 9 x≤3
Luego el intervalo soluci´n es [−1, 3]
o
12. 4 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Ejemplo 1.3 (Resolviendo inecuaciones dobles). Hallar el conjunto soluci´n
o
del siguiente sistema de desigualdades
2 − 3x ≥ −1
2 − 3x ≤ 11
Soluci´n. Podemos resolver cada inecuaci´n por separado, o bien, utilizar el
o o
hecho de que la expresi´n 2 − 3x aparece en ambas inecuaciones y trabajar
o
conjuntamente. As´ı,
2 − 3x ≥ −1
− 1 ≤ 2 − 3x ≤ 11
2 − 3x ≤ 11
restando 2 en los tres miembros, resulta
−3 ≤ −3x ≤ 9
y dividiendo por -3
1 ≥ x ≥ −3
Luego el conjunto soluci´n es el intervalo [−3, 1].
o
Ejemplo 1.4 (Resolviendo inecuaciones cuadr´ticas). Hallar el conjunto
a
soluci´n de la inecuaci´n x
o o 2 < 6x − 8
Soluci´n. El camino m´s f´cil para resolver estas inecuaciones es dejar sola-
o a a
mente cero en el segundo miembro. As´ ı,
x2 − 6x + 8 < 0
ıces del polinomio p(x) = x2 − 6x + 8,
hallamos las ra´
√
6 ± 36 − 32 6±2 4
x − 6x + 8 = 0 ⇔ x =
2
= =
2 2 2
Teniendo en cuenta que un polinomio cambia de signo s´lo en sus ceros1 ,
o
podemos resolver la desigualdad probando el signo del polinomio en cada
uno de los intervalos
x < 2, 2 < x < 4, x>4
que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos
y viendo el valor del polinomio en ese punto (puesto que en todo el intervalo
el polinomio conserva el signo). As´ı,
p(0) = +8 > 0, p(3) = 9 − 18 + 8 = −1 < 0, p(5) = 25 − 30 + 8 = +3 > 0
Como la desigualdad se cumple s´lo en el intervalo central, se concluye que
o
el conjunto soluci´n es
o
2 < x < 4 es decir, el intervalo (2, 4)
1
ver Corolario 1.3 en la p´gina 69
a
13. 1.1. LA RECTA REAL 5
Ejemplo 1.5 (Resolviendo inecuaciones racionales). Hallar el conjunto solu-
ci´n de la desigualdad
o
x−2
<2
x−4
Soluci´n. Dejamos cero en el segundo miembro, y operamos
o
x−2 x−2 x − 2 − 2x + 8 6−x
<2 ⇔ −2<0 ⇔ <0 ⇔ <0
x−4 x−4 x−4 x−4
Consideramos la funci´n racional
o
6−x
r(x) =
x−4
Y teniendo en cuenta que una funci´n racional puede cambiar de signo tanto
o
en los ceros del numerador como en los ceros del denominador, resulta que la
funci´n puede cambiar de signo en los puntos: x = 4 y x = 6. Luego podemos
o
resolver la desigualdad comprobando el signo de la funci´n racional en cada
o
uno de los intervalos
x < 4, 4 < x < 6, x>6
que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos
y viendo el valor de la funci´n en ese punto. As´
o ı,
6 1 −1
r(0) = < 0, r(5) = > 0, r(7) = <0
−4 1 3
Como la desigualdad se cumple s´lo en los dos intervalos de los extremos,
o
se concluye que el conjunto soluci´n es
o
x < 4 ´ x > 6, es decir, la uni´n de los intervalos (−∞, 4) ∪ (6, +∞)
o o
Ejemplo 1.6 (Resolviendo inecuaciones racionales mediante la consideraci´n o
sucesiva de distintos casos). Hallar el conjunto soluci´n de la desigualdad
o
2x − 3 1
< (x = −3)
x+3 2
Soluci´n. Puesto que no sabemos de antemano si x+3 es positivo o negativo,
o
no podemos multiplicar, ambos miembros de la desigualdad, por x + 3, ya
que no sabemos si ha de mantenerse el sentido de la desigualdad o si ha de
cambiarse. Para ello, consideramos sucesivamente los dos casos siguientes:
a) x + 3 > 0
b) x + 3 < 0
14. 6 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
a) Consideremos el caso x + 3 > 0. Al ser x + 3 positivo podemos multiplicar
ambos miembros de la desigualdad por x + 3, manteniendo el sentido de la
misma. Co lo que resulta,
x+3>0 x > −3
2x − 3 1 −3<x<3
< 4x − 6 < x + 3 ⇔ 3x < 9 ⇔ x < 3
x+3 2
b) Consideremos ahora el caso x+3 < 0. Al ser x+3 negativo para multiplicar
ambos miembros de la desigualdad por x + 3, tenemos que invertir el sentido
de la misma. Co lo que resulta,
x+3<0 x < −3
2x − 3 1
< 4x − 6 > x + 3 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3
x+3 2
que no tiene soluci´n, puesto que ning´n n´mero x es, a la vez, x < −3 y
o u u
x > 3.
En consecuencia se concluye que el conjunto soluci´n es:
o
−3 < x < 3, es decir, el intervalo (−3, 3).
Resoluci´n de desigualdades por factorizaci´n
o o
Las desigualdades polin´micas y las racionales tambi´n pueden resolverse
o e
por factorizaci´n, como se describe en los siguientes ejemplos.
o
Ejemplo 1.7 (Resolviendo desigualdades por factorizaci´n). Resolver
o
(x + 2)(x − 1)(x − 3) > 0
Soluci´n. Hallamos los ceros de cada uno de los factores:
o
x = −2, x = 1, x=3
y consideramos los intervalos determinados por dichos ceros,
(−∞, −2), (−2, 1), (1, 3), (3, +∞)
Como el producto (x + 2)(x − 1)(x − 3) conserva el signo dentro de cada
intervalo, se trata de estudiar el signo del mismo en cada uno de ellos. Sin
embargo, en vez de elegir un n´mero en cada intervalo y ver el signo del
u
producto para dicho valor, lo que hacemos es recorrer la recta de derecha
a izquierda y tener en cuenta que cada factor cambia de signo al pasar por
su ra´ correspondiente. En consecuencia tenemos la siguiente relaci´n de
ız o
signos,
− − − − − + − + + + + +
−2 1 3
15. 1.1. LA RECTA REAL 7
Multiplicando los signos en cada intervalo, resulta que el producto es positivo
para los intervalos (−2, 1) y (3, +∞), luego el conjunto soluci´n es
o
(−2, 1) ∪ (3, +∞).
Las desigualdades racionales se resuelven igual que las polin´micas. En
o
efecto, teniendo en cuenta que el signo del cociente de dos n´meros es el mis-
u
mo que el signo de su producto, resulta que el conjunto soluci´n del cociente
o
P (x)/Q(x) > 0 es el mismo que el del producto P (x) · Q(x) > 0. En conse-
cuencia, consideramos los ceros, tanto del numerador como del denominador,
y repetimos el proceso del ejemplo anterior.
1.1.2. Valor absoluto y distancia
El valor absoluto de un n´mero real x se designa por |x| y se define del modo
u
siguiente:
|x| = x si x > 0,
|x| = −x si x < 0,
|0| = 0.
Ahora bien, teniendo en cuenta que para x = 0 es v´lida la igualdad |x| = x,
a
podemos escribir m´s brevemente
a
x si x ≥ 0
|x| =
−x si x < 0
En consecuencia, podemos dar la siguiente
Definici´n 1.4 (Valor absoluto). Se llama valor absoluto de un n´mero
o u
ımbolo |x|, a dicho n´mero si es positivo o cero,
real x, y se denota por el s´ u
y a su opuesto si es negativo.
x si x ≥ 0
| x |=
−x si x < 0
Es decir, |x| representa la distancia desde el origen al punto x.
Ejemplo, |3| = 3, |0| = 0, | − 3| = 3.
Nota: El valor absoluto de un n´ mero nunca es negativo. Puede sorprender que −x sea
u
positivo, sin embargo, esto no es nada sorprendente, ya que podemos pensar en −(−3) =
+3 que tambi´n es positivo, a pesar del signo menos inicial, ya que los dos signos menos
e
se compensan. Igual ocurre con −x donde el signo menos que aparece de manera expl´ ıcita
se compensa con el signo menos que x tiene impl´ıcitamente, ya que hemos supuesto, en el
segundo apartado, que x es negativo.
El valor absoluto tambi´n se puede definir de la siguiente forma.
e
|x| = m´x{x, −x}
a
Al valor absoluto de un n´mero tambi´n se le llama su m´dulo.
u e o
16. 8 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Ejemplo 1.8. Eliminar el valor absoluto en las siguientes expresiones:
√ √ √ √
(a) |1 + 2 − 3| (b) |1 + 2 − 10|
Soluci´n. Tenemos que comprobar si la expresi´n que hay dentro del valor
o o
absoluto da como resultado un n´mero positivo o negativo, si es positivo la
u
dejamos igual, y si es negativo la cambiamos de signo para convertirlo en
positivo. En consecuencia:
√ √ √ √
(a) |1 + √2 − √3| = 1 + 2 − 3 √
√ √ √
(b) |1 + 2 − 10| = −(1 + 2 − 10) = −1 − 2 + 10
Propiedades del valor absoluto
1. |x| ≥ 0 El valor absoluto nunca es negativo.
2. |x| = 0 ⇔ x = 0 El valor absoluto igualado a cero se puede suprimir.
3. |x|2 = |x2 | = x2 El valor absoluto elevado al cuadrado se puede suprimir.
4. |x| = | − x| Dentro del valor absoluto se puede cambiar de signo.
√
5. x2 = |x|
6. −|x| ≤ x ≤ |x|
7. |x + y| ≤ |x| + |y|
8. |xy| = |x| · |y|
9. |x| = |y| ⇔ x = ±y
Si p es positivo, se tiene: |x| < p
10. |x| ≤ p ⇔ −p ≤ x ≤ p −p 0 p
k
Q
x≥p ' |x| = p E
11. |x| ≥ p ⇔ o k
Q
x ≤ −p |x| p
Aunque formalmente no es correcto, esta propiedad puede expresarse
de la forma:
|x| ≥ p ⇔ −p ≥ x ≥ p
Habr´ que tener en cuenta que cada desigualdad va por separado.
a
Nota: (Aclaraciones sobre la ra´ cuadrada). Veamos algunas aclaraciones acerca de
ız
la ra´ cuadrada. En Matem´ticas, la ra´ cuadrada de un n´mero se define de la siguiente
ız a ız u
forma
Definici´n 1.5. El n´mero b se llama ra´ cuadrada del n´mero a si b2 = a.
o u ız u
√
b = a ⇔ b2 = a
17. 1.1. LA RECTA REAL 9
Esta definici´n significa lo siguiente:
o
1. Si el n´ mero a es positivo, existen exactamente dos ra´
u ıces cuadradas de a, una
positiva y la otra negativa.
2. Si a = 0, existe una sola ra´ cuadrada de a, la que es igual a cero.
ız
3. Si el n´ mero a es negativo, no existe ninguna ra´ cuadrada de a.
u ız
En C´lculo, esta definici´n de ra´ cuadrada, si la aceptamos tal cual, presenta varias
a o ız
dificultades:
√
1. La ecuaci´n y = x no representar´ una funci´n ya que, dicha relaci´n, asignar´
o ıa o o ıa
dos valores a un mismo n´ mero, por ejemplo, f (4) = ±2, lo que no est´ permitido
u a
para las funciones como veremos en la Secci´n 1.3.
√ o
2. Seg´n esta definici´n 4 no ser´ un n´mero, sino un conjunto de n´meros, ya que
√ u o ıa u √ u
4 = {−2, 2}, y no tendr´ sentido hablar de la suma 3 + 4, ya que no sabr´
ıa ıamos
si dicha suma es 1 o 5.
Para resolver estos problemas, en C´lculo, lo que se hace es diferenciar ambas ra´
a ıces,
introduciendo el concepto de ra´ aritm´tica.
ız e
Definici´n 1.6 (Ra´ cuadrada aritm´tica). Se llama ra´ cuadrada aritm´tica de un
o ız e ız e
n´mero positivo, a, a la ra´ cuadrada positiva de este n´mero.
u ız u
√
b = a ⇔ b2 = a y b ≥ 0
En consecuencia, la afirmaci´n de que b es la ra´ cuadrada aritm´tica de a es equi-
o ız e
valente a un conjunto de dos afirmaciones: b2 = a y b ≥ 0; con esto se supone que a es un
n´mero positivo o cero.
u
En C´lculo, cuando hablamos de ra´ cuadrada nos referimos, siempre, a la ra´ cuadra-
a ız ız
da √aritm´tica. As´ por ejemplo, aunque 4 tenga dos ra´ cuadradas, 2 y -2, con el s´
e ı, ıces √ ımbo-
lo 4 solamente nos referimos a la ra´ cuadrada positiva 4 = +2. Para indicar la ra´
ız √ ız
cuadrada negativa tendremos que explicitarlo con un signo menos − 4 = −2. Es de-
√
ımbolo x denota exclusivamente la ra´
cir, en C´lculo, para evitar la ambivalencia, el s´
a ız
no-negativa de x.
Tenemos que tanto x como −x son ra´ 2 2
√ ıces cuadradas de x , ya que (+x) = x y
2
2 2
(−x) = x . Sin embargo, en C´lculo, x2 no es simplemente un n´ mero cualquiera que
a u
elevado al cuadrado da x2 , sino que es indispensablemente un n´ mero positivo o cero. En
u
consecuencia, √
x2 = |x|
Lo que significa que, en general, no se va a poder compensar el cuadrado con la ra´
ız
cuadrada, salvo que el radicando sea positivo.
√
x2 = x
Por otro lado, la soluci´n de la ecuaci´n x2 = p no se puede expresar simplemente
o o
√
con x = p, ya que con este s´ ımbolo nos vamos a referir, exclusivamente, a una de las dos
posible soluciones. En consecuencia tendremos que indicar
√
x2 = p ⇒ x = ± x
Ejemplo 1.9 (Ecuaciones con valor absoluto). Resolver las siguientes ecua-
ciones:
1. |x − 5| = 4, 2. |x − 5| = −4, 3. |x − 5| = 0, 4. |x + 1| = 3x − 9
Soluci´n.
o
18. 10 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
x−5=4 x=9
1. |x − 5| = 4 ⇒ o
´
x − 5 = −4 x=1
2. |x − 5| = −4 No tiene soluci´n.
o
3. |x − 5| = 0 ⇒ x−5=0 ⇒ x=5
x+1≥0 x ≥ −1
x=5
x + 1 = 3x − 9 10 = 2x
4. |x + 1| = 3x − 9 ⇒ ´
o ⇒x=5
x+1≤0 x ≤ −1
No
−x − 1 = 3x − 9 8 = 4x
En general, el m´todo m´s directo de atacar un problema referente a
e a
valores absolutos requiere la consideraci´n por separado de distintos casos,
o
con objeto de eliminar el valor absoluto. En particular, siempre habr´ que a
considerar si lo que hay dentro del valor absoluto es positivo o es negativo.
Esto hace que cuando aparecen varios valores absolutos, la casu´ ıstica se
complique, ya que hay que considerar, por separado, todas las posibilidades,
en cuanto al signo, de las expresiones que hay dentro de cada uno de los
valores absolutos.
Sin embargo, en ocasiones pueden emplearse otros m´todos m´s sencillo
e a
que eliminen el valor absoluto, sin tener que acudir a la casu´
ıstica de los sig-
nos. Bien, acudiendo a las propiedades del valor absoluto, o bien, utilizando
la representaci´n gr´fica. Por ejemplo, la ecuaci´n |x + 1| = 3x − 9 tambi´n
o a o e
puede resolverse gr´ficamente, estudiando los puntos de corte de las gr´ficas
a a
de las funciones f (x) = |x + 1| y g(x) = 3x − 9. Otra manera de abordar
esta ecuaci´n es resolviendo la ecuaci´n irracional: (x + 1)2 = 3x − 9
o o
Nota: Al resolver una ecuaci´n con valores absolutos, cada caso supone resolver un sistema
o
formado por una inecuaci´n y una ecuaci´n. Evidentemente, la inecuaci´n no es necesario
o o o
resolverla, ya que podemos resolver la ecuaci´n y comprobar si las soluciones de la misma
o
cumplen o no la inecuaci´n. Si la cumplen la aceptamos como soluci´n y si no la cumplen
o o
la rechazamos.
Puede ocurrir que una soluci´n rechazada en un caso, aparezca como soluci´n valida
o o
en otro de los casos. En tal caso se acepta la soluci´n (siempre est´ la posibilidad de
o a
comprobar las soluciones en la ecuaci´n inicial).
o
Cuando se trata de resolver una inecuaci´n con valores absolutos, entonces s´ que hay
o ı
que resolver todas las desigualdades, ya que se trata de encontrar la intersecci´n de los
o
conjuntos soluci´n.
o
Si aparecen varios valores absolutos cada sistema tendr´ varias inecuaciones que corre-
ıa
r´ la misma suerte de lo dicho anteriormente.
ıan
Ejemplo 1.10. Resolver la ecuaci´n |x2 − 2x − 8| = x + 2
o
Soluci´n. Consideramos sucesivamente los dos casos:
o
a) x2 − 2x − 8 ≥ 0,
b) x2 − 2x − 8 0.
19. 1.1. LA RECTA REAL 11
a) x2 − 2x − 8 ≥ 0. En este caso resulta la ecuaci´n: x2 − 2x − 8 = x + 2.
o
En consecuencia tenemos que resolver el sistema
x2 − 2x − 8 ≥ 0
x2 − 3x − 10 = 0
Para ello resolvemos la ecuaci´n y comprobamos las soluciones en la in-
o
ecuaci´n. As´
o ı,
√
3 ± 9 + 40 3±7 5
x − 3x − 10 = 0 → x =
2
= =
2 2 −2
de donde,
x = 5 ⇒ 52 − 2 · 5 − 8 = 25 − 10 − 8 = 7 0,
x = −2 ⇒ (−2)2 − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0.
Luego las dos soluciones son v´lidas.
a
b) x2 − 2x − 8 0. En este caso resulta la ecuaci´n: −x2 + 2x + 8 = x + 2.
o
En consecuencia tenemos que resolver el sistema
x2 − 2x − 8 0
x2 − x − 6 = 0
Para ello resolvemos la ecuaci´n y comprobamos las soluciones en la in-
o
ecuaci´n. As´
o ı,
√
1 ± 1 + 24 1±5 3
x −x−6=0 → x=
2
= =
2 2 −2
de donde,
x = 3 ⇒ 32 − 2 · 3 − 8 = 9 − 6 − 8 = −5 0,
x = −2 ⇒ (−2)2 − 2 · (−2) − 8 = 4 + 4 − 8 = 0.
En este caso la primera soluci´n es valida y la segunda no. No obstante,
o
x = −2 es valida, por el caso anterior.
En consecuencia las soluciones de la ecuaci´n inicial son x = −2, x = 3
o
y x = 5.
Ejemplo 1.11. Resolver la ecuaci´n x2 − 4|x| − 5 = 0
o
Soluci´n. En este ejemplo, para liberarnos del m´dulo podemos considerar
o o
sucesivamente los dos casos x ≥ 0 y x 0; o bien, teniendo en cuenta que
x2 = |x|2 , transformar la ecuaci´n inicial en |x|2 −4|x|−5 = 0 que se resuelve
o
con un cambio de variable, o bien, directamente:
√
4 ± 16 + 20 4±6 5⇒x=5 o −5 ´
|x| − 4|x| − 5 = 0 ⇒ |x| =
2
= =
2 2 −1 no es soluci´n
o
Luego la ecuaci´n inicial tiene dos soluciones x = 5 y x = −5.
o
20. 12 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Ejemplo 1.12 (Desigualdades con valor absoluto). Resolver las siguientes
desigualdades:
1. |x − 1| ≤ 3, 2. |2 − 4x| ≤ 6, 3. |x| ≥ 2
4. |x − 1| ≥ 2 5. |2x − 3| ≤ −2, 6. |2x − 3| ≥ −2
Soluci´n.
o
ä ç
1. |x − 1| ≤ 3 ⇒ −3 ≤ x − 1 ≤ 3 ⇒ −2 ≤ x ≤ 4 ⇒ x ∈ − 2, 4
2. |2 − 4x| ≤ 6 ⇒ −6 ≤ 2 − 4x ≤ 6 ⇒ −8 ≤ −4x ≤ 4 ⇒ 2 ≥ x ≥ −1 ⇒
ä ç
⇒ −1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x ∈ − 1, 2
x≥2 ç ä
3. |x| ≥ 2 ⇒ ⇒ x ∈ − ∞, −2 ∪ 2, +∞
x ≤ −2
x≥3
4. |x − 1| ≥ 2 ⇒ −2 ≥ x − 1 ≥ 2 ⇒ −1 ≥ x ≥ 3 ⇒ ⇒
x ≤ −1
ç ä
⇒ x ∈ ∞, −1 ∪ 3, +∞
5. |2x − 3| ≤ −2 ⇒ No tiene soluci´n.
o
6. |2x − 3| ≥ −2 ⇒ Se cumple siempre, luego x ∈ (−∞, +∞)
Ejemplo 1.13 (Sistemas de desigualdades). Resolver el sistema de desigual-
dades:
|2x − 2| ≤ 4
|2x − 3| ≥ 1
Soluci´n. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego hallamos la
o
intersecci´n de los conjuntos soluci´n.
o o
|2x − 2| ≤ 4 −4 ≤ 2x − 2 ≤ 4 ⇒ −2 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ −1 ≤ x ≤ 3
x≥2 ⇒
|2x − 3| ≥ 1 −1 ≥ 2x − 3 ≥ 1 ⇒ 2 ≥ 2x ≥ 4 ⇒ 1 ≥ x ≥ 2 ⇒
x≤1
ä ç ä ç
⇒ x ∈ − 1, 1 ∪ 2, 3
Expresi´n de intervalos mediante valor absoluto
o
Cualquier intervalo se puede expresar en t´rminos de valor absoluto de la
e
siguiente forma:
ä ç a+b b−a
a, b = x ∈ R/ |x − |≤
2 2
Si m es el punto medio del intervalo [a, b], y r el radio, entonces:
|x − m| ≤ r
21. 1.1. LA RECTA REAL 13
Nota: Para hallar el punto medio de un intervalo basta con hallar la media aritm´tica de
e
sus extremos. Es decir, el punto medio del intervalo (a, b) es
a+b
m=
2
Ejemplo 1.14 (Expresi´n de intervalos mediante valor absoluto). Expresar
o
mediante valor absoluto los siguientes intervalos:
ä ç ä ç ç ä ç ä
1. − 2, 2 , 2. − 1, 3 , 3. − ∞, −2 ∪ 2, +∞ , 4. − ∞, 1 ∪ 5, +∞ .
Soluci´n.
o
ä ç
1. − 2, 2 = {x ∈ R/ |x| ≤ 2}
ä ç
2. − 1, 3 = {x ∈ R/ |x − 1| ≤ 2}
ç ä
3. − ∞, −2 ∪ 2, +∞) = {x ∈ R/ |x| ≥ 2}
ç ä
4. − ∞, 1 ∪ 5, +∞) = {x ∈ R/ |x − 3| ≥ 2}
Definici´n 1.7 (Intervalo reducido de un punto). Se llama entorno
o
reducido de un punto a un entorno en el que se ha suprimido el punto.
Ejemplo 1.15 (Expresi´n mediante valor absoluto de un entorno reducido).
o
Expresar mediante valor absoluto un entorno reducido de 4 de radio 2.
Soluci´n.
o
(2, 4) ∪ (4, 6) = {x ∈ R/ 0 |x − 4| 2}
La manera de expresar que x = 4 es mediante la desigualdad 0 |x − 4|
Distancia entre dos puntos de la recta real
Definici´n 1.8 (Distancia entre dos puntos de la recta real). La
o
distancia entre dos puntos x1 y x2 de la recta real, viene definida por el
valor absoluto de su diferencia
d = |x2 − x1 | = (x2 − x1 )2
Nota: El orden en que se restan los puntos x1 y x2 no importa, ya que |x2 −x1 | = |x1 −x2 |
A la diferencia de los n´ meros (sin el valor absoluto) se le llama distancia dirigida.
u
As´
ı,
a) la distancia dirigida de x1 a x2 es x2 − x1 ; y,
b) la distancia dirigida de x2 a x1 es x1 − x2 .
En consecuencia, la distancia dirigida es positiva cuando se mide hacia la derecha
(orden creciente de los n´ meros) y negativa cuando se mide hacia la izquierda (orden
u
decreciente de los n´meros).
u
Ejemplo 1.16 (Distancia en la recta). Hallar la distancia entre -2 y 5
22. 14 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Soluci´n. a) La distancia entre -2 y 5 viene dada por:
o
d = |5 − (−2)| = |7| = 7
b) La distancia dirigida desde -2 a 5 es 5-(-2)=7
c) La distancia dirigida desde 5 a -2 es -2-5=-7
Distancia = 7
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
Figura 1.2: Distancia en la recta real
Ejercicios propuestos de la secci´n 1.1. La recta real
o
Soluciones en la p´gina 389
a
1.1.1. Resolver las inecuaciones:
a) 3x − 4 ≤ −1 b) 2 − 3x ≥ 11
1.1.2. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones
3x − 2 ≥ 7 4x − 1 ≥ −5 3 − 2x ≥ −1
a) b) c)
5x − 7 ≤ 3 7x − 1 ≤ 13 3 − 2x ≤ 7
1.1.3. Resolver las desigualdades:
2x − 3
a) x2 + 5 ≤ 6x b) 1
x−5
1.1.4. Resolver las desigualdades:
1
a) x b) 3 ≤ x2 − 6x + 8 ≤ 8
x
1.1.5. Resolver las ecuaciones:
¬
¬ ¬
¬ ¬
¬ ¬
¬ ¬
¬ ¬
¬
a) |x + 1| + 2 = 2 b) |x + 1| + 2 = 1 c) |x + 1| + 2 = 3
1.1.6. Resolver las ecuaciones:
¬x − 2¬
¬
a) |3x − 6| = x + 2 b) ¬x − 1¬ = 3
¬
c) |x2 − 6x + 8| = x − 2 d) x2 + |x| − 2 = 0
1.1.7. Resolver las desigualdades
¬x − 2¬
¬
a) |3x − 6| x + 2 b) ¬x − 1¬ 3
¬
1.1.8. Expresar mediante valor absoluto las siguientes desigualdades:
x0 − δ x x0 + δ
a) b) − ε f (x) + ε
x = x0
23. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 15
1.2. El plano y el espacio cartesiano
1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas
a) Plano cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o carte-
siano, en el plano, se construye mediante dos rectas perpendiculares, lla-
madas ejes de coordenadas. La recta real horizontal se llama tradicional-
mente eje x y la vertical eje y. Su punto de intersecci´n se llama origen de
o
coordenadas.
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamadas cua-
drantes.
Cada punto del plano se identifica por un par ordenado (x, y) de n´meros
u
reales, llamados coordenadas del punto. El n´mero x se llama coordenada x
u
o abscisa y representa la distancia dirigida desde el eje y al punto. El n´mero
u
y se llama coordenada y u ordenada y representa la distancia dirigida desde
el eje x al punto.
y
Cuadrante II 3 Cuadrante I
2 x (x, y)
y
1 y
x
−3 −2 −1 1 2x3
−1
−2 Origen
Cuadrante III −3 Cuadrante IV
Figura 1.3: El plano cartesiano
Nota: Usamos par´ntesis (a, b), tanto para representar el intervalo abierto (a, b), como
e
para indicar el punto del plano de coordenadas (a, b). No obstante, el contexto determi-
nar´ en cada caso a qu´ nos estamos refiriendo.
a e
b) Espacio cartesiano. Un sistema de coordenadas rectangulares o carte-
siano, en el espacio, se construye mediante tres rectas perpendiculares, lla-
madas ejes de coordenadas. El primer eje se llama tradicionalmente eje x,
el segundo eje y, y el tercero eje z. Su punto de intersecci´n se llama origen
o
de coordenadas.
Un sistema de referencia tridimensional puede tener orientaci´n positiva
o
u orientaci´n negativa. Tiene orientaci´n positiva si un “tornillo” situado
o o
en el eje z que gire desde el eje x hacia el eje y, avanza hacia la direcci´n
o
positiva del eje z; y orientaci´n negativa si avanza en direcci´n contraria.
o o
Los ejes de coordenadas, tomados de dos en dos, determinan tres planos
coordenados, denominados por plano xy, plano xz y plano yz. Estos planos
25. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 17
de donde, tomando la ra´ cuadrada positiva, ya que la distancia entre dos
ız
puntos es un n´mero positivo, resulta
u
d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Proposici´n 1.2 (Distancia entre dos puntos del plano). La distancia
o
d entre los puntos (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) viene dada por
d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
b) En el espacio. Para hallar la distancia entre dos puntos del espacio,
(x1 , y1 , z1 ) y (x2 , y2 , z2 ), se aplica el teorema de Pit´goras dos veces y se
a
obtiene la siguiente f´rmula o
d= (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
c) En el espacio n-dimensional. Se llama punto x de un espacio n-
dimensional al conjunto ordenado (n-upla) de n´meros reales (x1 , x2 , · · · , xn )
u
El n´mero xi se llama coordenada i-´sima del punto x; i = 1, 2, . . . , n.
u e
Definici´n 1.9 (Distancia entre dos puntos de Rn ). La distancia
o
entre dos puntos x = (x1 , · · · , xn ) e y = (y1 , · · · , yn ) se define por la
f´rmula
o
d(x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 (1.1)
Ejemplo 1.17 (Distancia entre dos puntos). Hallar la distancia:
a) Entre los puntos (−2, 4) y (2, 1).
b) Entre los puntos (2, 2, 3) y (3, 4, 5).
Soluci´n. Aplicando, en cada caso, la f´rmula (1.1), resulta
o o
√ √
a) d = [2 − (−2)]2 + (1 − 4)2 = 16 + 9 = 25 = 5
√ √
b) d = (3 − 2)2 + (4 − 2)2 + (5 − 3)2 = 1 + 4 + 4 = 9 = 3
1.2.3. El c´
ırculo y la esfera
a) La circunferencia en el plano. Teniendo en cuenta que la circunferen-
cia de centro (x0 , y0 ) y radio r est´ formada por los puntos del plano cuya
a
distancia al centro (x0 , y0 ) es el radio r, resulta
Proposici´n 1.3 (Ecuaci´n de la circunferencia). El punto (x, y)
o o
est´ en la circunferencia de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´lo si
a o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 (1.2)
26. 18 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Demostraci´n. En efecto, si (x, y) es un punto de la circunferencia, su dis-
o
tancia al centro (x0 , y0 ), ser´ r, en consecuencia
a
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r
y elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaci´n
o
de la circunferencia
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
Si la circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0) y
radio r, su ecuaci´n ser´
o a
x2 + y 2 = r2
Se llama c´
ırculo o disco al interior de una circunferencia. En consecuencia
Proposici´n 1.4 (Ecuaci´n de un c´
o o ırculo o disco). El punto (x, y)
ırculo de centro (x0 , y0 ) y radio r si y s´lo si
est´ en el c´
a o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 r2 (1.3)
Si consideramos que el c´
ırculo incluye la circunferencia, su ecuaci´n es
o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2
y y
(x0 , y0 ) (x0 , y0 )
r r
(x, y) (x, y)
x x
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2
Figura 1.7: Circunferencia y c´
ırculo
Ejemplo 1.18 (Hallando la ecuaci´n de una circunferencia). Una circunfe-
o
rencia tiene su centro en el punto (−2, 1) y contiene al punto (1, 3)
a) Halla la ecuaci´n de la circunferencia
o
b) Halla la ecuaci´n del c´
o ırculo delimitado por la circunferencia
Soluci´n. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1) y el punto (1, 3). En
o
consecuencia,
√ √
r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 = 9 + 4 = 13
Por lo tanto, se tiene: a) Ecuaci´n de la circunferencia.
o
√
[x − (−2)]2 + (y − 1)2 = ( 13)2
27. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 19
de donde,
(x + 2)2 + (y − 1)2 = 13
b) Ecuaci´n del c´
o ırculo.
(x + 2)2 + (y − 1)2 13
y
(1, 3)
(−2, 1)r
x
Figura 1.8: (x + 2)2 + (y − 1)2 ≤ 13
Ecuaci´n general de la circunferencia. Si en la ecuaci´n can´nica de la
o o o
circunferencia
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2
eliminamos los par´ntesis y simplificamos, resulta una ecuaci´n del tipo
e o
Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0, A=0 (1.4)
que es la forma general de la ecuaci´n de la circunferencia.
o
Nota: Obs´rvese que los coeficientes de x2 y de y 2 han de ser iguales para que se trate
e
de una circunferencia.
Ejemplo 1.19 (Completando cuadrados). Hallar el centro y el radio de la
circunferencia cuya ecuaci´n en forma general es
o
4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0
Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando
o o
cuadrados. Para ello; en primer lugar, dividimos por 4 para que los coefi-
cientes de x2 e y 2 sean 1.
13
4x2 + 4y 2 + 4x − 16y + 13 = 0 → x2 + y 2 + x − 4y + =0
4
y, en segundo lugar, agrupamos los t´rminos semejantes.
e
13
(x2 + x+ ) + (y 2 − 4y+ )=−
4
Completamos los cuadrados
1 13 1
x2 + 1x + + (y 2 − 4y + 4) = − + + 4
4 4 4
28. 20 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
de donde resulta
1 2
x+ + (y − 2)2 = 1
2
y por tanto, la circunferencia tiene centro en el punto ( −1 , 2) y radio 1.
2
Ejemplo 1.20 (Conjunto soluci´n con un unico punto). Discutir la gr´fica
o ´ a
de la ecuaci´n
o
3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0
Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando
o o
cuadrados. Para ello, en primer lugar dividimos por 3 para que los coefi-
cientes de x2 e y 2 sean 1.
3x2 + 3y 2 − 18x − 12y + 39 = 0 → x2 + y 2 − 6x − 4y + 13 = 0
en segundo lugar agrupamos los t´rminos semejantes
e
(x2 − 6x+ ) + (y 2 − 4y+ ) = −13
completamos los cuadrados, con lo que resulta
(x2 − 6x + 9) + (y 2 − 4y + 4) = −13 + 9 + 4
de donde
(x − 3)2 + (y − 2)2 = 0
y esta ecuaci´n s´lo se cumple cuando x = 3 e y = 2. Es decir, la gr´fica de
o o a
la ecuaci´n se reduce al punto (3, 2)
o
Ejemplo 1.21 (Ecuaci´n sin conjunto soluci´n). Discutir la gr´fica de la
o o a
ecuaci´n
o
x2 + y 2 + 2x − 4y + 9 = 0
Soluci´n. Pasamos de la forma general a la forma can´nica completando
o o
cuadrados. Agrupamos los t´rminos semejantes, tenemos
e
(x2 + 2x+ ) + (y 2 − 4y+ )+9=0
completando cuadrados
(x + 1)2 − 1 + (y − 2)2 − 4 + 9 = 0
de donde resulta
(x + 1)2 + (y − 2)2 = −4
que no tiene soluci´n ya que la suma de dos cuadrados no puede dar un
o
resultado negativo.
29. 1.2. EL PLANO Y EL ESPACIO CARTESIANO 21
Nota: La ecuaci´n general Ax2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 no siempre representa una
o
circunferencia, sino que, en algunas ocasiones se reduce a un punto, y en otras no tiene
soluci´n
o
b) La esfera en el espacio. Teniendo en cuenta que la superficie esf´rica e
de centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r est´ formada por los puntos del espacio cuya
a
distancia al centro (x0 , y0 , z0 ) es el radio r, resulta la siguiente
Proposici´n 1.5 (Ecuaci´n de la superficie esf´rica). El punto
o o e
(x, y, z) est´ en la superficie esf´rica de centro (x0 , y0 , x0 ) y radio r si
a e
y s´lo si
o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 (1.5)
Demostraci´n. En efecto, si (x, y, z) es un punto de la superficie esf´rica, su
o e
distancia al centro (x0 , y0 , z0 ), ser´ r. En consecuencia
a
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r
y elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad se obtiene la ecuaci´n
o
de la superficie esf´rica
e
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2
Si la esfera tiene su centro en el origen de coordenadas (0, 0, 0) y radio
r, la ecuaci´n de la superficie esf´rica ser´
o e a
x2 + y 2 + z 2 = r2
Se llama esfera o bola al interior de una superficie esf´rica. En conse-
e
cuencia
Proposici´n 1.6 (Ecuaci´n de una esfera o bola). El punto (x, y, z)
o o
est´ en la esfera de centro (x0 , y0 , z0 ) y radio r si y s´lo si
a o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 r2 (1.6)
Si consideramos que la esfera incluye la superficie esf´rica, su ecuaci´n es
e o
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ≤ r2
Ejemplo 1.22 (Hallando la ecuaci´n de una esfera). Una superficie esf´rica
o e
tiene su centro en el punto (−2, 1, 3) y contiene al punto (1, 3, 2)
a) Halla la ecuaci´n de la superficie esf´rica
o e
b) Halla la ecuaci´n de la esfera delimitada por la superficie esf´rica
o e
Soluci´n. El radio es la distancia entre el centro (−2, 1, 3) y el punto (1, 3, 2).
o
En consecuencia,
√ √
r = [1 − (−2)]2 + (3 − 1)2 + (2 − 3)2 = 9 + 4 + 1 = 14
30. 22 CAP´ ´
ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS
Por lo tanto, se tiene: a) Ecuaci´n de la superficie esf´rica.
o e
√ 2
[x − (−2)]2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = ( 14)
de donde,
(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 = 14
b) Ecuaci´n de la esfera.
o
(x + 2)2 + (y − 1)2 + (z − 3)2 ≤ 14
Ejercicios propuestos de la secci´n 1.2. El plano y el espacio
o
cartesiano
Soluciones en la p´gina 389
a
1.2.1. Hallar la distancia entre las siguientes parejas de punto:
a) (−1, −1) y (−2, −2) b) (2, 1, 3) y (4, 2, 1)
1.2.2. Hallar x tal que la distancia del origen al punto (x, 4) sea 5.
1.2.3. Hallar y de modo que la distancia de (−1, 2) a (2, y) sea 5.
1.2.4. Hallar la ecuaci´n de una circunferencia:
o
a) Que tiene su centro en el punto (1, 1) y pasa por el origen de coordenadas.
b) Que pasa por los puntos (1, 1), (3, 1) y (3, 3).
1.2.5. Discutir las gr´ficas de las ecuaciones:
a
a) x2 + y 2 + 6x − 4y + 12 b) x2 + y 2 − 2x + 4y + 5 = 0 c) x2 + y 2 − 4x − 6y + 14 = 0
1.2.6. Hallar, en cada caso, el conjunto de todos los puntos que verifican la desigualdad
a) x2 +y 2 −6x−4y +9 ≤ 0 b) x2 +y 2 −4x−2y +1 0 c) x2 +y 2 +2x−4y +6 0
1.2.7. Determinar la gr´fica de la ecuaci´n: 2(x + y) − (x + y)2 = (x − y)2
a o
1.2.8. Hallar la ecuaci´n de una superficie esf´rica que tiene a los puntos (3, 2, 3) y
o e
(−1, −2, 1) como extremos de un di´metro.
a
1.3. Funciones
1.3.1. Definiciones
En la vida real nos encontramos con magnitudes que est´n relacionadas entre
a
s´ bien, porque existe una relaci´n num´rica entre ella, de manera que el
ı, o e
valor de una de ellas depende del valor de la otra. Por ejemplo la distancia
recorrida por un autom´vil depende del tiempo que lleva circulando. La
o
demanda de un determinado producto depende de su precio; o bien, porque
existe entre ellas una relaci´n no num´rica, de cualquier naturaleza. Por
o e
ejemplo los ciudadanos y los pa´ ıses del mundo est´n relacionados por la
a
nacionalidad.
31. 1.3. FUNCIONES 23
De las causas de estas relaciones se ocupan las distintas ramas del saber
(F´ısica, Econom´ Derecho, etc.). En C´lculo nos ocupamos del estudio de
ıa, a
estas relaciones vistas en s´ mismas, desposey´ndolas del significado material
ı e
de las magnitudes que intervienen. Adem´s, nos limitamos, en gran medida,
a
a un tipo particular de relaciones denominadas funciones.
Una funci´n es una correspondencia entre dos magnitudes (num´ricas
o e
o no num´ricas). Ahora bien, cuando nos referimos a funciones, la corres-
e
pondencia siempre hay que entenderla en una direcci´n determinada, por
o
ejemplo, el espacio funci´n del tiempo (el espacio ser´ la imagen y el tiem-
o ıa
po el origen). No obstante, hay que advertir que no se considera funci´n a o
cualquier correspondencia, sino que para que una correspondencia sea fun-
ci´n, la imagen de cada elemento tiene que ser unica y estar bien determi-
o ´
nada. Por ejemplo, la relaci´n entre los ciudadanos y los pa´ del mundo
o ıses
mediante la nacionalidad no es una funci´n, porque existen ciudadanos con
o
doble nacionalidad. Es decir, para que una correspondencia sea funci´n, los
o
originales no pueden tener m´s de una imagen, si bien, varios originales
a
distintos s´ que pueden tener la misma imagen. En consecuencia una corres-
ı
pondencia puede ser funci´n en un sentido y no serlo en el sentido contrario.
o
Nota: Aunque el concepto de funci´n nace del estudio de la relaci´n existente entre
o o
dos magnitudes que est´n vinculadas por una relaci´n de causalidad (causa-efecto), y se
a o
establece la causa como variable independiente y el efecto como variable dependiente. Sin
embargo, en Matem´ticas se pueden establecer funciones entre dos magnitudes, aunque
a
no exista ning´n tipo de causalidad entre ellas. Es decir, se pueden establecer relaciones
u
de manera artificial.
La idea de ((funci´n)) que se adquiere en los primeros contactos con el
o
C´lculo, tanto en la Ense˜anza Secundaria como en el Bachillerato, por
a n
lo com´n, suele identificar el concepto de funci´n con una ((f´rmula)), por
u o o
ejemplo
f (x) = x2 − 5x + 6,
y se entiende que esta f´rmula asocia a cada n´mero real x otro n´mero real
o u u
f (x). Basta sustituir x por un n´mero concreto y hacer las operaciones indi-
u
cadas, para obtener su imagen. Tambi´n se comprende que ciertas f´rmulas,
e o
tales como √
g(x) = x − 4,
no est´n definidas para todos los n´meros reales, y por tanto, que haya
e u
n´meros reales que no tengan imagen mediante dichas funciones, de ah´ el
u ı
estudio de los dominios. Sin embargo, el alumno de Secundaria, e incluso el
de Bachillerato, se suele resistir a comprender que haya funciones definidas
((a trozos)), ((en partes)), o ((seg´n los casos)). Es decir, funciones en las que
u
no todos los n´meros tienen el mismo tratamiento, sino que seg´n sea el
u u
n´mero se le aplica una f´rmula u otra para calcular su imagen. El ejemplo
u o