Umbral Finito

´
Introduccion Req Matriz Rep Rec Bibliograf´a
ı

Un Esquema de Umbral en un Espacio Vectorial
Finito

Mar´a del Pilar Astudillo1 , Freddy William Bustos1
ı

1 Departamento ´ ´
de Matematicas, Universidad del Cauca, Popayan (Colombia)

Altencoa-5
´
Universidad Distrital, Bogota,6 de Diciembre de 2012

Astudillo & Bustos Un Esquema de Umbral en un Espacio Vectorial Finito

´
ı

Estructura de la charla

1 ´
Introduccion

2 Requisitos

3 La Matriz

4 ´
La Reparticion

5 ´
La Recuperacion

6 Bibliograf´a
ı


´
ı

Esquema para Compartir un Secreto (ECS)


´
ı

Esquema para Compartir un Secreto (ECS)
´
Es un arreglo en el cual una informacion se divide y se reparte con la
´
garant´a de que al reunir de nuevo las partes la informacion se
ı
recupera ´ntegramente.
ı


´
ı

Esquema de Umbral para Compartir un Secreto


´
ı

´
Es un ECS en el cual la informacion dividida se puede recuperar
usando solo algunas de las partes y no con menos.


´
ı

´
Es un ECS en el cual la informacion dividida se puede recuperar
usando solo algunas de las partes y no con menos.

EUCS (n,k )


´
ı

Ejemplo


´
ı

Ejemplo
´
La boveda de un banco se puede proteger de manera que de un
´
grupo de 5 personas, cualquier grupo de 3 o mas puedan abrirla pero
ningun grupo con menos de 3 tengan esa posibilidad.
´

Para esto se puede adecuar a la boveda con 10 [ 5 ] cerraduras cada
´ 3
´
una de las cuales requiere de 3 llaves para abrirse, ademas a cada
persona se le entregan 6 [ 4 ] llaves para que pueda intervenir en los
2
diferentes grupos de 3 en que podr´a estar.
ı


´
ı

Personas Umbral Cerraduras Llaves–persona
5 3 10 6
n n−1
n k k k−1


´
ı

Adi Shamir, 1979.


´
ı

Adi Shamir, 1979.
´
Interpolacion de polinomios.


´
ı

Adi Shamir, 1979.
´

George Robert Blakley Jr., 1979.


´
ı

Adi Shamir, 1979.
´

´
Hiperplanos geometricos.


´
ı

Adi Shamir, 1979.
´

´

Asmuth y Bloom, 1982.


´
ı

Adi Shamir, 1979.
´

´

Teorema Chino de los Residuos.


´
ı

Adi Shamir, 1979.
´

´


Maurice Mignotte, 1983.


´
ı

EUCS (3,2) en R3


´
ı

EUCS (3,2) en R3
´
El secreto esta en un punto sobre la recta que pasa por el origen y el
punto P(1,2,3)


´
ı

EUCS (3,2) en R3
´
El secreto esta en un punto sobre la recta que pasa por el origen y el
punto P(1,2,3)
 
1 2 3
 a b1 c1 
M= 1  a2 b2 c2 


a3 b3 c3


´
ı

EUCS (3,2) en R3
 
1 2 3
det  ai bi ci  = 0
x y z


´
ı

EUCS (3,2) en R3
 
1 2 3
det  ai bi ci  = 0
x y z

Ai x + Bi y + Ci z = 0


´
ı

EUCS (3,2) en R3 (Recuperacion)
´


´
ı

´

(1)
Aj x + Bj y + Cj z = 0


´
ı

´

(1)
Aj x + Bj y + Cj z = 0

Solucion: t (1, 2, 3), t ∈ R
´


´
ı

EUCS (3,2) en R3
Deseamos


´
ı

EUCS (3,2) en R3
Deseamos
ai = 0 bi = 0 ci = 0


´
ı

EUCS (3,2) en R3
Deseamos
ai = 0 bi = 0 ci = 0
(ai , bi , ci ) = (1, 2, 3)


´
ı

EUCS (3,2) en R3
Deseamos
ai = 0 bi = 0 ci = 0
(ai , bi , ci ) = (1, 2, 3)
Si i = j : (ai , bi , ci ) = aj , bj , cj


´
ı

EUCS (3,2) en R3
Deseamos
ai = 0 bi = 0 ci = 0
(ai , bi , ci ) = (1, 2, 3)
Si i = j : (ai , bi , ci ) = aj , bj , cj
Si Mi = Mj son submatrices 2 × 2 de M
det Mi = 0, det Mj = 0, det Mi = det Mj


´
ı

George Robert (Bob) Blakley Jr.


´
ı

George Robert (Bob) Blakley Jr.
´
Criptografo americano, Licenciado en F´sica de la Universidad de
ı
Georgetown.
Profesor de la Universidad de Illinois y la Universidad Estatal de New
York, fue cofundador de la revista internacional de la Seguridad de la
´
Informacion publicada por Spring-Verlag en 2000 y es miembro de su
consejo asesor actualmente.


´
ı

´
Hiperplano geometrico


´
ı

´
Hiperplano geometrico
Es un subespacio de dimension n − 1 en un espacio de dimension n.
´ ´
´ 1.
Si H es un hiperplano de V se dice que H tiene codimension


´
ı


´
ı

2≤k <n


´
ı

2≤k <n
1
0<Q< 4


´
ı

2≤k <n
1
0<Q< 4
p primo.


´
ı

2≤k <n
1
0<Q< 4
p primo.
((n + 1) k − 1)2 < pQ


´
ı

2≤k <n
1
0<Q< 4
p primo.
((n + 1) k − 1)2 < pQ
Espacio Vectorial ﬁnito Zk+1
p


´
ı

2≤k <n
1
0<Q< 4
p primo.
((n + 1) k − 1)2 < pQ
Espacio Vectorial ﬁnito Zk+1
p
Matriz M(n+1)×(k+1)


´
ı

Construyendo la Matriz


´
ı

n = 5, k = 3


´
ı

n = 5, k = 3
1
Q= 20 , entonces p = 5783


´
ı

n = 5, k = 3
1
M6×4


´
ı

n = 5, k = 3
1
M6×4
Aleatoriamente ubicamos un 1 en cada ﬁla.


´
ı

n = 5, k = 3
1
M6×4
Aleatoriamente ubicamos S de Zp en la primera ﬁla.


´
ı

n = 5, k = 3
1
M6×4
Aleatoriamente ubicamos S de Zp en la primera ﬁla.

 
1 S

 1 

 1 
M= 

 1 

 1 
1


´
ı

Para las siguientes 17 posiciones ((n + 1) k − 1) escogemos
aleatoriamente entradas de Zp


´
ı

Para las siguientes 17 posiciones ((n + 1) k − 1) escogemos
aleatoriamente entradas de Zp
 
3 1 S 30
 61 7 35 1 
 
 1 37 11 73 
 
 40 1 57 12 
 
 23 42 17 1 
88 20 1 51


´
ı

La forma en la que se escoge p garantiza que:


´
ı

1 La probabilidad de que en las ultimas (n + 1)k − 1 entradas haya
´
´ ´
algun termino congruente con 1 o 0, o que dos entradas sean
congruentes mod(p) es menor a 2Q.


´
ı

´
´ ´
2 La probabilidad de que entre las submatrices kxk de M haya
alguna con determinante 0 o dos con determinante igual es
menor a 2Q.


´
ı

´
´ ´
menor a 2Q.
3 La probabilidad de que no ocurra lo descrito en 1 y 2 es mayor a
1 − 4Q.


´
ı

´
´ ´
menor a 2Q.
3 La probabilidad de que no ocurra lo descrito en 1 y 2 es mayor a
1 − 4Q.
4 ´
Existen mas de n conjuntos de k ﬁlas de M que incluyen la
primera.


´
ı

En nuestra M6×4 tenemos 1 − 4Q = 4 y existen mas de 5 conjuntos de
5 ´
3 ﬁlas de M que incluyen la primera. Por ejemplo:


´
ı

5 ´
1 = {M1 , M2 , M3 }


´
ı

5 ´
1 = {M1 , M2 , M3 }
2 = {M1 , M2 , M4 }


´
ı

5 ´
1 = {M1 , M2 , M3 }
2 = {M1 , M2 , M4 }
3 = {M1 , M3 , M5 }


´
ı

5 ´
1 = {M1 , M2 , M3 }
2 = {M1 , M2 , M4 }
3 = {M1 , M3 , M5 }
4 = {M1 , M3 , M6 }


´
ı

5 ´
1 = {M1 , M2 , M3 }
2 = {M1 , M2 , M4 }
3 = {M1 , M3 , M5 }
4 = {M1 , M3 , M6 }
5 = {M1 , M4 , M6 }


´
ı

´
Ecuacion del Hiperplano que contiene a los vectores M1 , M2 , M3


´
ı

´
 
3 1 6 30
 31 7 35 1 
 1 37 11 73  = 0
det  

x1 x2 x3 x4


´
ı

´
 
3 1 6 30
 31 7 35 1 
 1 37 11 73  = 0
det  

x1 x2 x3 x4
A1 x1 + B1 x2 + C1 x3 + D1 x4 = 0


´
ı

´
Se reparten los 5 (n) subespacios de dimension 3 (k ) :


´
ı

´
Se reparten los 5 (n) subespacios de dimension 3 (k ) :
I1 : A 1 x1 + B 1 x2 + C 1 x3 + D 1 x4 =0
I2 : A2 x1 + B2 x2 + C2 x3 + D2 x4 =0
I3 : A3 x1 + B3 x2 + C3 x3 + D3 x4 =0
I4 : A4 x1 + B4 x2 + C4 x3 + D4 x4 =0
I5 : A5 x1 + B5 x2 + C5 x3 + D5 x4 =0


´
ı

Si se intersectan dos(k-1) de los anteriores subespacios se tiene
´ ´
como solucion un subespacio vectorial V de dimension 2.


´
ı

´ ´
Sea U el conjunto de vectores en V con exactamente una entrada
1, ninguna entrada 0 y todas sus entradas distintas entre s´.
ı


´
ı

´ ´
Sea U el conjunto de vectores en V con exactamente una entrada
1, ninguna entrada 0 y todas sus entradas distintas entre s´.
ı
Para dos elementos de Zp − {0, 1} la probabilidad de que
aparezcan como entradas de los vectores de U es
aproximadamente igual.


´
ı

Cuando se intersectan tres (k) subespacios se halla el subespacio de
´
dimension 1 que contiene el vector M1 .


´
ı

´
dimension 1 que contiene el vector M1 . Una base para el espacio
´
solucion es: g = (g1 , g2 , g3 , g4 ) el cual es un multiplo de M1 .
´


´
ı

´
´
´

Existen cuatro (k + 1) vectores multiplos de g que pueden tener una
´
entrada 1.


´
ı

´
´
´

´
entrada 1. Entonces la clave S es una de las 12 entradas de la lista de
los 4 vectores hallados (sin tomar en cuenta las entradas 1).


´
ı

´
´
´

´
entrada 1. Entonces la clave S es una de las 12 entradas de la lista de
los 4 vectores hallados (sin tomar en cuenta las entradas 1).

En general tenemos: k × (k + 1) candidatos a ensayar, uno de ellos
´
sera S.


´
ı

G.R. Blakley; Safeguarding cryptographic keys, In National
Computer Conference, 1979.
D. Donovan;Some interesting constructions for secret sharing
schemes, Australasian Journal of Combinatorics 9, 1994.
I. N. Bozkurt, K. Kaya and A. M. Guloglu; Threshold Cryptography
Based on Blakley Secret Sharing, Available:
http://www.es.bilkent.edu.tr/selcuk/publications/BSS ISC08.pdf.


´
ı

¡GRACIAS!


Umbral Finito

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Destacado

Destacado (20)

Umbral Finito