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Calculo integral

Este documento presenta una introducción al cálculo integral. Explica brevemente el origen histórico del cálculo diferencial e integral a partir de problemas de la mecánica y la geometría planteados por Newton y Leibniz. Luego introduce conceptos fundamentales como la integral indefinida, antiderivada y métodos de integración como la sustitución, por partes e integrales inmediatas. Finalmente, adelanta que en el segundo capítulo se abordará el tema de la integral definida.

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UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEM´ATICAS ESCUELA PROFESIONAL DE MATEM´ATICAS MATEMATICA II presentado por: Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado LAMBAYEQUE– PERU 2017
Dedicatoria Para mis padres, Martha y El´ıas; pa- ra mi adorable esposa, Flor Angela y para los m´as grandes tesoros de mi vida, mis hijas Alessandra Anghely y Stefany Grace.
Introducci´on Antes de abocarnos al estudio de la integral definida y de la integral indefinida, daremos una peque˜na semblanza hist´orica de la relaci´on entre el c´alculo diferencial y el integral. Durante la segunda mitad del siglo XV II, Newton y Leibniz dieron un paso decisivo en la matem´atica de las magnitudes variables, al sentar las bases del c´alculo diferencial e integral. “Este fue el verdadero comienzo del an´alisis, puesto que el objeto de este c´alculo son las propiedades de las funciones mismas, distinto del objeto de la geometr´ıa anal´ıtica que son las figuras geom´etricas. De hecho, lo que hicieron Newton y Leibniz fue completar esa cantidad inmensa de trabajo que hab´ıan desarrollado hasta entonces muchos matem´aticos y que se extend´ıa hasta los m´etodos de determinaci´on de ´areas y vol´umenes empleados por los antiguos griegos”. Aqu´ı solo queremos llamar la atenci´on acerca de los or´ıgenes de este c´alculo, que fueron principalmente los nuevos problemas de la mec´anica y los viejos problemas de la geometr´ıa, consistentes estos ´ultimos en la determinaci´on de tangentes a una curva dada y el c´alculo de ´areas y vol´umenes. Estos problemas geom´etricos hab´ıan sido ya estudiados por los antiguos (basta mencionar a Arqu´ımedes), y tambi´en por Kepler, Cavalieri, y otros, a principios del siglo XV II. Pero el factor decisivo fue el descubrimiento de una notable relaci´on entre estos dos tipos de problemas y la formulaci´on de un m´etodo general para resolverlos; tal fue la obra de Newton y Leibniz. Esta relaci´on, que permiti´o conectar los problemas de la mec´anica con los de la geometr´ıa, fue descubierta gracias a la posibilidad (brindada por el m´etodo de coordenadas) de hacer una representaci´on gr´afica de la dependencia de una variable respecto a la otra, o, en otras palabras, de una funci´on. Con la ayuda de esta representaci´on gr´afica es f´acil formular la relaci´on antes mencionada entre los problemas de la mec´anica y la geometr´ıa (relaci´on que fue el origen del c´alculo diferencial e integral) y describir as´ı el contenido general de estos dos tipos de c´alculo. El c´alculo diferencial es, b´asicamente, un m´etodo para encontrar la velocidad de un movi- miento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve por “derivaci´on” y es completamente equivalente al problema de dibujar una tangente a la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo. La velocidad en el instante t es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto correspondiente a t. El c´alculo integral es en esencia un m´etodo para encontrar la distancia recorrida cuando se i
ii Matem´atica II Walter Arriaga D. conoce la velocidad, y en general, de encontrar el resultado total de la acci´on de una magnitud variable. Evidentemente, este problema es rec´ıproco del problema de c´alculo diferencial (el problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por “integraci´on”. Resulta que el problema de la integraci´on es en todo equivalente al de encontrar el ´area bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia recorrida en el intervalo de tiempo t1 a t2 es igual al ´area bajo la curva entre las rectas que corresponden en la gr´afica a los valores t1 a t2. Haciendo abstracci´on de la formulaci´on mec´anica de los problemas y operando con fun- ciones en vez de dependencias de distancia o velocidad respecto al tiempo se obtienen los problemas de c´alculo diferencial e integral en forma abstracta. Fundamental para el c´alculo como para todo el desarrollo posterior del an´alisis, es el concepto de l´ımite, que fue formulado algo m´as tarde que los otros conceptos fundamentales de variable y funci´on. En los primeros d´ıas del an´alisis el papel que m´as tarde desempe˜nar´ıa el l´ımite, corri´o a cargo de ese concepto algo nebuloso que es el infinit´esimo. Los m´etodos para el c´alculo real de la velocidad, conocida la distancia recorrida (a saber, la derivaci´on), y de la distancia, conocida la velocidad (integraci´on), se basaban en la uni´on del ´algebra con el concepto de l´ımite. El an´alisis se origin´o por la aplicaci´on de estos conceptos y m´etodos a los referidos problemas de la mec´anica y la geometr´ıa (y tambi´en a otros problemas: por ejemplo, los de m´aximos y m´ınimos). El an´alisis fue a su vez absolutamente necesario para el desarrollo de la mec´anica, en la formulaci´on de cuyas leyes ya se encontraban los conceptos anal´ıticos en forma latente. Por ejemplo la segunda Ley de Newton, tal como ´el la formul´o, establece que ”la variaci´on de la cantidad de movimiento es proporcional a la fuerza actuante”(con m´as precisi´on: el ritmo de variaci´on del impulso es proporcional a la fuerza). Por consiguiente, si deseamos hacer uso de esta ley debemos estar en condiciones de definir el ritmo de variaci´on de una variable, esto es, de derivarla. (Si establecemos la ley diciendo que la aceleraci´on es proporcional a la fuerza, el problema es el mismo, porque la aceleraci´on es proporcional al ritmo de variaci´on del impulso). Tambi´en est´a perfectamente claro que, para establecer la ley que rige un movimiento cuando la fuerza es variable (en otras palabras, cuando el movimiento tiene lugar con aceleraci´on variable), es preciso resolver el problema inverso de encontrar una magnitud dado su ritmo de variaci´on; en otras palabras, es preciso integrar. As´ı, pues, se puede decir que Newton se vio simplemente obligado a inventar la derivaci´on y la integraci´on con el fin de poder desarrollar la mec´anica”. Desde los comienzos de su existencia, el hombre ha estudiado su medio ambiente con la finalidad de mejorar su situaci´on. Empez´o por observaciones, como hacemos hoy en d´ıa, y sigui´o por la reuni´on de informaci´on y su aplicaci´on a la vida cotidiana. La ciencia es hoy d´ıa algo m´as compleja. Nuestra capacidad de observaci´on ha aumentado enormemente gracias al desarrollo de los modernos instrumentos desde los que nos permiten ver diminutas part´ıculas de materia ampliadas millones de veces hasta los que nos permiten ver estrellas distantes en los l´ımites exteriores del universo tal como lo conocemos. Nuestros procesos de acopio de datos tambi´en se han vuelto muy complejos. No solo disponemos de
Walter Arriaga D. Matem´atica II iii medios muy r´apidos para registrar informaci´on sino que, mediante el uso de calculadoras y software, podemos recuperar la informaci´on en una fracci´on de segundo. Sin embargo, mu- chos de nosotros no tenemos todav´ıa la posibilidad de usar los ´ultimos inventos de la ciencia moderna. Tenemos que trabajar con las cosas existentes en nuestro medio inmediato que van a influir en nuestras vidas y en las de quienes nos rodean. Hay que tener en cuenta que los cambios r´apidos e incesantes del mundo de hoy hacen que tambi´en cambien a su comp´as los conocimientos necesarios de matem´atica Entre todas las disciplinas matem´aticas, la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales es la m´as importante. Proporciona la explicaci´on de todas esas manifestaciones elementales de la naturaleza que involucran al tiempo. Esta obra es un intento para lograr que la ense˜nanza y el aprendizaje de la ciencia sean los m´as eficaces posible. Como no hay una manera perfecta de ense˜nar la Ciencia, ´esta publicaci´on no pretende ser el non plus ultra de la ense˜nanza de la Matem´atica. Los profesores deben buscar constantemente los mejores m´etodos para ellos mismos y para sus alumnos, as´ı como leer con la mayor amplitud y profundidad posibles. Sin embargo, se espera que este trabajo sirva de documento b´asico para empezar. Se ha reunido las contribuciones de docentes que se han especializado en estos temas a fin de presentar un amplio panorama de la ense˜nanza de ´esta Ciencia. Es importante que el pensamiento creador en todos los niveles de educaci´on se centre en crear las situaciones de aprendizaje m´as eficaces para los estudiantes. En consecuencia, este texto est´a destinado tanto a estudiantes de ciencias e ingenier´ıa como a docentes en ejercicio as´ı como tambi´en a los futuros docentes de varios niveles acad´emicos para que lo utilicen en las situaciones m´as diversas. Su finalidad es mejorar la ense˜nanza cotidiana de la ciencia examinando los numerosos temas que influyen sobre el estudiante. ´Este es el compromiso que como docente de la Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo he asumido: el contribuir a la formaci´on integral de los estudiantes del presente siglo. Se tiene siempre la esperanza de que una publicaci´on sea tan buena que haya demanda de una segunda edici´on. Esto permite siempre corregir las inexactitudes y las equivocaciones, as´ı como a˜nadir material pertinente nuevo u omitido inadvertidamente antes. Se agradecer´a a los lectores que comuniquen sus propias contribuciones y sugerencias al autor.
Notaci´on Simb´olica N, conjunto de los n´umeros naturales. Z, conjunto de los n´umeros enteros. Z+, conjunto de los n´umeros enteros positivos. Z+ 0 , conjunto de los n´umeros enteros positivos incluyendo el cero. Z−, conjunto de los n´umeros enteros negativos. Z− 0 , conjunto de los n´umeros enteros negativos incluyendo el cero. Z+ i , conjunto de los n´umeros enteros impares positivos. Z+ p , conjunto de los n´umeros enteros pares positivos. Q, conjunto de los n´umeros racionales. I, conjunto de los n´umeros irracionales. R, conjunto de los n´umeros reales. v
´Indice general Prefacio I Introducci´on I 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA 1 1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. La antiderivada y la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6. M´etodos de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6.1. Integraci´on por sustituci´on o cambio de variable . . . . . . . . . . . . . 7 1.6.2. Integraci´on por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6.3. Integraci´on de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto . 10 1.6.4. Integraci´on de funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas . . . . . . . . . . 11 1.6.5. Integraci´on por sustituci´on trigonom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.6. Integraci´on de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.7. Integraci´on de funciones racionales trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . 17 1.6.8. Integraci´on de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. LA INTEGRAL DEFINIDA 69 2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3. Area de una regi´on plana por sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.4. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4.1. ´Area bajo una curva a trav´es de sumas superiores e inferiores . . . . . . 72 2.4.2. Sumas superiores y sumas inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.4.3. Integrales superiores e integrales inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.4.4. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.5. Teoremas fundamentales del c´alculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 vii
viii Matem´atica II Walter Arriaga D. 3. INTEGRALES IMPROPIAS 89 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2. Integrales impropias de primera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2.1. Criterios de comparaci´on para funciones no negativas . . . . . . . . . . 91 3.3. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3.1. Criterios de comparaci´on para funciones no negativas . . . . . . . . . . 93 4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 99 4.1. Area de una regi´on plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.1. Area de una regi´on plana en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . 99 4.1.2. Area de una regi´on plana en coordenadas polares y ecuaciones pa- ram´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2. Volumen de un s´olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.1. Volumen de un s´olido usando secciones transversales . . . . . . . . . . . 103 4.2.2. Volumen de un s´olido de revoluci´on en coordenadas cartesianas . . . . . 105 4.2.3. Volumen de un s´olido en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas 113 4.3. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3.1. Longitud de arco en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3.2. Longitud de arco en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas . . 114 4.4. Area de una superficie de revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.4.1. Area de una superficie de revoluci´on en coordenadas cartesianas . . . . 114 4.4.2. Area de una superficie de revoluci´on en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.5. Centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Bibliograf´ıa 127 Indice de Materias 129
1 LA INTEGRAL INDEFINIDA Objetivos Interpretar geom´etricamente la integral indefinida. Aplicar las propiedades de la integral indefinida de una funci´on real de variable real. Aplicar las t´ecnicas de integraci´on para la soluci´on de las integrales indefinidas. 1.1. Introducci´on En la presencia de fen´omenos de cambio o movimiento, es a veces m´as viable conocer o deducir la ley de cambio a la que obedece la variaci´on relativa de las variables involucradas, que la funci´on misma entre esas variables. Es decir, a veces se conoce la derivada de la funci´on o relaciones que satisfacen las derivadas, pero no se conoce la funci´on misma. Por ejemplo, en el caso del movimiento de un autom´ovil, es a menudo m´as f´acil estimar la velocidad o la aceleraci´on durante un cierto intervalo de tiempo, que la funci´on de posici´on del veh´ıculo en cada instante. Una idea de la velocidad se puede tener, por ejemplo, observando el veloc´ımetro desde dentro del mismo veh´ıculo. Algo similar se tiene en el caso del movimiento que muestran los cuerpos ante la presencia de una fuerza externa y que se manifiesta, seg´un las leyes del movimiento de Newton, en t´erminos de variaciones de la velocidad del cuerpo con respecto al tiempo en forma proporcional a la magnitud y direcci´on de la fuerza actuante. En este caso, el problema consiste en deducir la posici´on del cuerpo con respecto al tiempo a partir del comportamiento de su segunda derivada. Al problema de determinar la forma y los valores de una funci´on a partir del conocimiento de su derivada o de una ecuaci´on que involucra a sus derivadas se le llama problema de integraci´on y es el problema fundamental de la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales. En este sentido, el problema de integraci´on es el problema inverso al de derivaci´on o de c´alculo de derivadas. En este cap´ıtulo se inicia el estudio de los problemas de integraci´on a partir del concepto de integral indefinida y se muestra c´omo las distintas reglas 1
2 Matem´atica II Walter Arriaga D. de derivaci´on dan lugar a m´etodos de integraci´on que permiten resolver problemas como los arriba citados. 1.2. Un poco de historia El c´alculo integral tiene sus or´ıgenes en problemas de cuadraturas en los que se trataba de calcular ´areas de regiones planas limitadas por una o varias curvas. Se atribuye a Eudoxo (ca. 370 A.C.) la invenci´on del m´etodo de exhauci´on, una t´ecnica para calcular el ´area de una regi´on aproxim´andola por una sucesi´on de pol´ıgonos de forma que en cada paso se mejora la aproximaci´on anterior. Arqu´ımides (287–212 A.C.) perfeccion´o este m´etodo y, entre otros resultados, calcul´o el ´area de un segmento de par´abola y el volumen de un segmento de paraboloide, as´ı como el ´area y el volumen de una esfera. Sorprende que, siendo tan antiguos sus or´ıgenes, la primera definici´on matem´atica de in- tegral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy (1789–1857). Una posible explicaci´on es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integraci´on fue considerada como la operaci´on inversa de la derivaci´on; el c´alculo integral consist´ıa esencialmente en el c´alculo de primitivas. Naturalmente, se conoc´ıa la utilidad de las integrales para calcular ´areas y vol´umenes, pero los matem´aticos de la ´epoca consideraban estas nociones como dadas de for- ma intuitiva y no vieron la necesidad de precisar su significaci´on matem´atica. Los trabajos de Joseph Fourier (1768–1830) sobre representaci´on de funciones por series trigonom´etricas hicieron que el concepto de funci´on evolucionara, desde la idea restrictiva de funci´on como f´ormula, hasta la definici´on moderna de funci´on dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la integral de estas nuevas funciones m´as generales se vio la necesidad de precisar matem´aticamente los conceptos de ´area y de volumen. La originalidad de Cauchy es que uni´o dos ideas, la de l´ımite y la de ´area, para dar una definici´on matem´atica de integral. Poco despu´es Georg F.B. Riemann (1826–1866) generaliz´o la definici´on de integral dada por Cauchy. La teor´ıa de la integral de Riemann fue un avance importante pero, desde un punto de vista matem´atico, insuficiente. Hubo que esperar hasta el siglo XX para que Henri Lebesgue (1875–1941) estableciera en su libro Lecons sur l’int´egration et la recherch´e des fonctions primitives (1904) los fundamentos de una teor´ıa matem´aticamente satisfactoria de la integraci´on. La integraci´on es una de las herramientas m´as vers´atiles del C´alculo, sus aplicaciones no se limitan a calcular ´areas de regiones planas o vol´umenes de s´olidos, tambi´en se utiliza para calcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, ´areas de superficies, para representar magnitudes f´ısicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una presi´on, o la energ´ıa potencial en un campo de fuerzas. En este curso vamos a estudiar la integraci´on desde un punto de vista esencialmente pr´acti-
Walter Arriaga D. Matem´atica II 3 co. Nos interesa la integral como herramienta de c´alculo y para ese prop´osito es suficiente la integral de Riemann. 1.3. La antiderivada y la integral indefinida En el c´alculo diferencial, nos hemos interesado principalmente por ´este problema: dada una funci´on, hallar su derivada. No obstante, muchas aplicaciones importantes del c´alculo est´an relacionadas con el problema inverso: dada la derivada de una funci´on, hallar la funci´on original. Otro punto que merece ser aclarado es el siguiente. Cuando hablamos de resolver la integral para una funci´on f, lo que se est´a pidiendo en realidad es hallar una primitiva F para f que se exprese en t´erminos de funciones elementales (composiciones finitas de funciones aritm´eticas, trigonom´etricas, logar´ıtmicas, exponenciales, radicales y otras de igual estilo). El que esto sea posible no est´a garantizado por ning´un teorema para funciones continuas y, m´as a´un, se ha demostrado que existen funciones continuas elementales que no admiten primitivas en t´erminos elementales; por ejemplo, la funci´on f(x) = e−x2 . Estas razones establecen la filosof´ıa directriz de los m´etodos de integraci´on: se clasifican las funciones conocidas que admiten primitivas elementales en clases seg´un un patr´on general que sabemos resolver mediante una operaci´on espec´ıfica; cualquier otra funci´on que no presente las caracter´ısticas de los elementos de alguna de las clases establecidas, se intenta transformar en un elemento de alguna de estas mediante un n´umero finito de manipulaciones. Pero, por lo antes dicho, el ´exito de este procedimiento no est´a garantizado y depende en gran medida de la destreza que s´olo se adquiere con la pr´actica. En este sentido integrar es un arte. Definici´on 1.3.1. Sea I un intervalo y sea f : I −→ R una funci´on cont´ınua. Se denomina primitiva o antiderivada de f en I a la funci´on definida F : I −→ R, tal que F′(x) = f(x), para todo x ∈ I, y se denota por: F(x) = Ant(f(x)). Ejemplo 1.3.1. La funci´on F(x) = x3 es una antiderivada de la funci´on f(x) = 3x2 en R, pues: F′(x) = 3x2 = f(x), ∀x ∈ R. Se dice entonces que f es la derivada de F y que F es una antiderivada de f. Sin embargo, la funci´on G(x) = x3+2 es tambi´en una antiderivada de la funci´on f(x) = 3x2 en R, puesto que: G′(x) = d dx (3x2 + 2) = 3x2 = f(x), ∀x ∈ R En general, si F(x) es una antiderivada de f(x) en I, entonces F(x) + C tambi´en es una antiderivada de la funci´on f(x) en I, para cualquier constante C. Teorema 1.3.1. Si F y G son dos funciones tales que F′(x) = G′(x) para todos los valors de x en el intervalo I, entonces existe una copnstante K tal que F(x) = G(x) + C, para todas las x en I.
4 Matem´atica II Walter Arriaga D. Demostraci´on. Sea H la funci´on definida en I por H(x) = F(x) − G(x) de tal manera que, para todos los valores de x en I, H′(x) = F′(x) − G′(x) pero por hip´otesis, F′(x) = G′(x), por lo tanto, H′(x) = 0, ∀x ∈ I As´ı el teorema del valor medio se aplica a la funci´on H, y existe una constante C tal que H(x) = C, ∀x ∈ I Sustituyendo H(x) por F(x) − G(x) tenemos que F(x) = G(x) + C, ∀x ∈ I. Definici´on 1.3.2. Si F(x) es una antiderivada de f(x) en I, la integral indefinida de f(x) es el conjunto de antiderivadas de f(x) en dicho intervalo y se denota por: f(x)dx, es decir: f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R (1.1) donde: = signo integral. f(x) = funci´on integrando. dx = diferencial de x. F(x) = antiderivada. C = constante de integraci´on. Como consecuencia de la definici´on se tiene que: d dx f(x)dx = f(x). Notaci´on Isaac Newton usaba una peque˜na barra vertical encima de una variable para indicar inte- graci´on, o pon´ıa la variable dentro de una caja. La barra vertical se confund´ıa f´acilmente con ˙x o x′ que Newton usaba para indicar la derivaci´on, y adem´as la notaci´on “caja” era dif´ıcil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas. La notaci´on moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675. Para indicar summa (en lat´ın, “suma” o “total”), adapt´o el s´ımbolo integral, , a partir de una letra S alargada. La notaci´on moderna de la integral definida, con los l´ımites arriba y abajo del signo integral, la us´o por primera vez Joseph Fourier en M´emoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819 a 1820, reimpresa en su libro de 1822. En la notaci´on matem´atica en ´arabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido. 1.4. Propiedades de la integral indefinida Si f y g son funciones que admiten antiderivadas en I, entonces: a) [kf(x)]dx = k f(x)dx, k = constante.
Walter Arriaga D. Matem´atica II 5 b) [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx c) n i=1 kifi(x) dx = n i=1 ki fi(x)dx , m´as precisamente: [k1f1(x)+k2f2(x)+· · ·+knfn(x)]dx = k1 f1(x)dx+k2 f2(x)dx+· · ·+kn fn(x)dx Teorema 1.4.1. Si f(u)du = F(u) + C, entonces f[g(x)]g′ (x)dx = F[g(x)] + C Demostraci´on. como F′(u) = f(u), entonces: f[g(x)]g′ (x)dx = F′ [g(x)]g′ (x)dx = dF[g(x)] = F[g(x)] + C por lo tanto f[g(x)]g′ (x)dx = F[g(x)] + C Nota: Haciendo u = u(x) = g(x) se tiene que: f[u(x)]u′ (x)dx = f(u)du este es el cambio de variable en una integral indefinida. 1.5. Integrales inmediatas De la derivaci´on de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales lla- madas inmediatas. FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACION 1. du = u + c 2. du u = ln |u| + c 3. un du = un+1 n + 1 + c, n = −1 4. eu du = eu + c 5. au = au ln a + c
6 Matem´atica II Walter Arriaga D. 6. sen udu = − cos u + c 7. cos udu = sen u + c 8. tan udu = ln | sec u| + c 9. cot udu = ln | sen u| + c 10. sec udu = ln | sec u + tan u| + c 11. csc udu = ln | csc u − cot u| + c 12. sec2 udu = tan u + c 13. csc2 udu = − cot u + c 14. sec u tan udu = sec u + c 15. csc u cot udu = − csc u + c 16. senh udu = cosh u + c 17. cosh udu = senh u + c 18. tanh udu = ln | cosh u| + c 19. coth udu = ln | senh u| + c 20. sechudu = arctan(senh u) + c 21. cschudu = ln tanh x 2 + c 22. sech2 udu = tanh u + c 23. csch2 udu = − coth u + c 24. sechu tanh udu = −sechu + c
Walter Arriaga D. Matem´atica II 7 25. cschu coth udu = −cschu + c 26. du a2 + u2 = 1 a arctan u a + c, (a > 0) 27. du u2 − a2 = 1 2a ln u − a u + a + c, (a > 0) 28. du a2 − u2 = 1 2a ln u + a u − a + c, (a > 0) 29. du √ a2 − u2 = arcsen u a + c, (a > 0) 30. du √ u2 ± a2 = ln |u + u2 ± a2| + c 31. du u √ u2 − a2 = 1 a arcsec |u| a + c, (a > 0) 32. a2 − u2 = 1 2 u a2 − u2 + a2 arcsen u a + c, (a > 0) 33. u2 + a2 = 1 2 u u2 + a2 + a2 ln(u + u2 + a2 ) + c 34. u2 − a2 = 1 2 u u2 − a2 − a2 ln |u + u2 − a2 | + c 1.6. M´etodos de integraci´on Dado que los procesos de derivaci´on y de c´alculo de la integral indefinida son operaciones inversas, cada regla o f´ormula de derivaci´on da lugar a una regla o m´etodo para el c´alculo de la integral indefinida de funciones continuas. A estos m´etodos se les conoce como m´etodos de integraci´on. En matem´aticas resulta de gran importancia desarrollar m´etodos para evaluar integrales, pues, en general, no es posible aplicar uno que conduzca con seguridad a un resultado. Sin embargo, los presentados en este cap´ıtulo pueden considerarse simples mecanizaciones para hallar primitivas de funciones, mismas que permiten, a trav´es del segundo teorema fundamental del c´alculo, evaluar ciertas integrales definidas. Todos los m´etodos de integraci´on tienen por objetivo transformar una integral dada, no inmediata, en otra, suma de varias, cuyo c´alculo resulte m´as sencillo. 1.6.1. Integraci´on por sustituci´on o cambio de variable La regla de la cadena o de derivaci´on de una composici´on de funciones da lugar al m´etodo de integraci´on por sustituci´on, que a continuaci´on presentamos.
8 Matem´atica II Walter Arriaga D. Dada la funci´on f : I −→ R, queremos calcular f(x)dx. Supongamos que se hace un cambio de variable en el elemento de integraci´on, haciendo: x = ϕ(t), con ϕ : J −→ I una funci´on con derivada ϕ′(t) = 0, ∀t ∈ J. Si la funci´on g(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t), t ∈ J admite una primitiva G en J, esto es G′(t) = g(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t), ∀t ∈ J, entonces se tiene f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ′ (t)dt (1.2) Para usar ´esta t´ecnica seguiremos los siguientes pasos: Insertar la letra u que representa alguna funci´on de x, la cual se escoge apropiadamente para simplificar la integral. Expresar la integral en t´erminos de u y el dx en t´erminos del du. Calcular la integral resultante y luego reemplazar u por su expresi´on en t´erminos de x en la respuesta. En todos los ejemplos que veremos a continuaci´on, trataremos de reducir el grado de difi- cultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integral resultante sea m´as f´acil de integrar ´o que sea una integral conocida. Para que la f´ormula de cambio de variable tenga posibilidades de ´exito, debemos identificar en el integrando a una funci´on u y a u′, su derivada. 1.6.2. Integraci´on por partes La f´ormula de Leibniz para la derivaci´on de un producto de funciones da lugar al llamado m´etodo de integraci´on por partes1, que presentamos a continuaci´on. Sean u = u(x) y v = v(x) dos funciones definidas y derivables en el intervalo I. Por la regla de la derivaci´on del producto se tiene: d(uv) = udv + vdu, de donde udv = d(uv) − vdu, e integrando miembro a miembro se tiene: udv = uv − vdu (1.3) uv − vdu du u del integrando Una parte Parte restante con el diferencial dv v Derivando Integrando 1 Este m´etodo fue desarrollado por Brook Taylor.
Walter Arriaga D. Matem´atica II 9 En este m´etodo u y dv deben ser elegidos de tal forma que la nueva integral que aparezca vdu sea m´as asequible que la de partida2. Observaci´on 1.6.1. Cuando la integral del lado derecho es m´as dif´ıcil de calcular que la integral original, se debe a la elecci´on no apropiada del u y del dv. Por esta raz´on, el ´exito que se tenga en la aplicaci´on del m´etodo estriba fundamentalmente en la habilidad que se tenga para la elecci´on de los factores u y dv, habilidad que se adquiere con la pr´actica. Algunas veces, al aplicar el m´etodo para calcular la integral udv, y despu´es de algu- nas manipulaciones algebraicas, aparece en el lado derecho de la igualdad la expresi´on k udv, transform´andose la integral en una ecuaci´on de la forma: udv = H(x) + k udv Si k = 1, la ecuaci´on es una identidad (H(x) ≡ 0) y, por tanto, se debe ensayar otra elecci´on del u y del dv, ya que la elecci´on inicial no es la apropiada. Si k = 1, se tiene: udv = 1 1 − k H(x) + c lo cual proporciona la soluci´on a la integral. En algunos casos el m´etodo de integraci´on por partes es iterativo, esto es, algunas ve- ces, para calcular la segunda integral vdu, es necesario aplicar nuevamente el mismo m´etodo. Cuando se determina la funci´on v, a partir de su diferencial dv, no es necesario considerar la constante de integraci´on, pues si en lugar de v se considera v+C, C constante, entonces udv = u(v + C) − (v + C)du = uv − vdu esto significa que la constante C considerada no figura en el resultado final. Al menos inicialmente, algunas integrales no presentan muchas opciones en la elecci´on del u y del dv. Los siguientes ejemplos ilustran la elecci´on ´unica que debe hacerse en algunos casos particulares: Integral u dv ln xdx ln x dx Pn(x) ln xdx ln x Pn(x)dx Pn(x)exdx Pn(x) exdx Pn(x) sen xdx Pn(x) sen xdx Pn(x) cos xdx Pn(x) cos xdx 2 algunos estudiantes utilizan para recordar la f´ormula (1.3) la frase: “un d´ıa vi un viejo vestido de uniforme”
10 Matem´atica II Walter Arriaga D. Podr´ıa usarse la siguiente estrategia para identificar el u y del dv: I: Funci´on trigonom´etrica inversa. L: Funci´on logar´ıtmica. A: Funci´on algebraica. T: Funci´on trigonom´etrica. E: Funci´on exponencial. I L A T E 1.6.3. Integraci´on de funciones que contienen un trinomio cuadrado per- fecto En la integraci´on de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto se presentan 4 casos: I. dx px2 + qx + r II. dx px2 + qx + r III. (ax + b)dx px2 + qx + r IV. (ax + b)dx px2 + qx + r Para los casos (I) y (II), ser´a suficiente completar trinomios cuadrados perfectos y aplicar las f´ormulas correspondientes. En los casos (III) y (IV), se expresa el numerador en funci´on de la derivada del trinomio px2 + qx + r; esto es: Haciendo u = px2 + qx + r entonces du = 2px + q, luego: ax + b = a 2p [(2px + q) − q] + b ax + b = a 2p (2px + q) − aq 2p + b De esta manera se obtiene: (ax + b)dx px2 + qx + r = a 2p (2px + q)dx px2 + qx + r + b − aq 2p dx px2 + qx + r I1 = a 2p ln |px2 + qx + r| + b − aq 2p I1
Walter Arriaga D. Matem´atica II 11 tambi´en se obtiene: (ax + b)dx px2 + qx + r = a 2p (2px + q)dx px2 + qx + r + b − aq 2p dx px2 + qx + r I2 = a 2p px2 + qx + r + b − aq 2p I2 Las integrales (I1) e (I2) se resuelven aplicando los casos (I) y (II) respectivamente. 1.6.4. Integraci´on de funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas A continuaci´on veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones trigonom´etri- cas, que posteriormente se utilizar´an en el m´etodo de sustituci´on trigonom´etrica. I. Integrales de la forma: a) senm x cosn x dx b) senhm x coshn x dx Se presentan 3 casos: Caso I: Cuando m ∈ Z+ i y n ∈ R. En (a) se separa el factor sen x dx, luego se hace la sustituci´on u = cos x, y se procede a convertir los factores restantes en cosenos usando la identidad: sen2 x = 1−cos2 x. sen2k+1 x cosn x dx = (sen2 x)k cosn x sen x dx = (1 − cos2 x)k cosn x sen x dx En (b) se separa el factor senh x dx, luego se hace la sustituci´on u = cosh x, y se pro- cede a convertir los factores restantes en cosenos hiperb´olicos usando la identidad: senh2 x = cosh2 x − 1. senh2k+1 x coshn x dx = (senh2 x)k coshn x senh x dx = (cosh2 x − 1)k coshn x senh x dx Caso II: Cuando n ∈ Z+ i y m ∈ R. En (a) se separa el factor cos x dx, luego se hace la sustituci´on u = sen x, y se procede a convertir los factores restantes en senos usando la identidad: cos2 x = 1 − sen2 x. senm x cos2k+1 x dx = senm x(cos2 x)k cos x dx = senm x(1 − sen2 x)k cos x dx
12 Matem´atica II Walter Arriaga D. (b) se separa el factor cosh x dx, luego se hace la sustituci´on u = senh x, y se procede a convertir los factores restantes en senos hiperb´olicos usando la identidad: cosh2 x = 1 + senh2 x. senhm x cosh2k+1 x dx = senhm x(cosh2 x)k cos x dx = senhm x(1 + senh2 x)k cosh x dx Caso III: Cuando m y n son n´umeros enteros pares no negativos. En (a) usaremos las identidades: sen2 x = 1 − cos 2x 2 y cos2 x = 1 + cos 2x 2 En (b) usaremos las identidades: senh2 x = cosh 2x − 1 2 y cosh2 x = cosh 2x + 1 2 II. Integrales de la forma: a) tanm x secn x dx b) cotm x cscn x dx c) tanhm x sechn x dx d) cothm x cschn x dx Se presentan 2 casos: Caso I: Cuando m ∈ Z+ i y n ∈ R. En (a) se separa el factor tan x sec x dx, luego se hace la sustituci´on u = sec x, y se procede a convertir los factores restantes en secantes usando la identidad: tan2 x = sec2 x − 1. tan2k+1 x secn x dx = (tan2 x)k secn−1 x tan x sec x dx = (sec2 x − 1)k secn−1 x tan x sec x dx En (b) se separa el factor cot x csc x dx, luego se hace la sustituci´on u = csc x, y se procede a convertir los factores restantes en cosecantes usando la identidad: cot2 x = csc2 x − 1. cot2k+1 x cscn x dx = (cot2 x)k cscn−1 x cot x csc x dx = (csc2 x − 1)k cscn−1 x cot x csc x dx
Walter Arriaga D. Matem´atica II 13 En (c) se separa el factor tanh x sechx dx, luego se hace la sustituci´on u = sechx, y se procede a convertir los factores restantes en secantes hiperb´olicos usando la identidad: tanh2 x = 1 − sech2 x. tanh2k+1 x sechn x dx = (tanh2 x)k sechn−1 x tanh x sechx dx = (1 − sech2 x)k sechn−1 x tanh x sechx dx En (d) se separa el factor coth x cschx dx, luego se hace la sustituci´on u = cschx, y se procede a convertir los factores restantes en cosecantes hiperb´olicos usando la identidad: coth2 x = 1 + csch2 x. coth2k+1 x cschn x dx = (coth2 x)k cschn−1 x coth x cschx dx = (1 + csch2 x)k cschn−1 x coth x cschx dx Caso II: Cuando n ∈ Z+ p y m ∈ R. En (a) se separa el factor sec2 x dx, luego se hace la sustituci´on u = tan x, y se procede a convertir los factores restantes en tangentes usando la identidad: sec2 x = 1 + tan2 x. tanm x sec2k x dx = tanm x(sec2 x)k−1 sec2 x dx = tanm x(1 + tan2 x)k−1 sec2 x dx En (b) se separa el factor csc2 x dx, luego se hace la sustituci´on u = cot x, y se procede a convertir los factores restantes en cotangentes usando la identidad: csc2 x = 1 + cot2 x. cotm x csc2k x dx = cotm x(csc2 x)k−1 csc2 x dx = cotm x(1 + cot2 x)k−1 csc2 x dx En (c) se separa el factor sech2 x dx, luego se hace la sustituci´on u = tanh x, y se procede a convertir los factores restantes en tangentes hiperb´olicos usando la identidad: sech2 x = 1 − tanh2 x. tanhm x sech2k x dx = tanhm x( sech2 x)k−1 sech2 x dx = tanhm x(1 − tanh2 x)k−1 sech2 x dx
14 Matem´atica II Walter Arriaga D. En (d) se separa el factor csch2 x dx, luego se hace la sustituci´on u = coth x, y se procede a convertir los factores restantes en cotangentes hiperb´olicos usando la identidad: csch2 x = coth2 x − 1. cothm x csch2k x dx = cothm x( csch2 x)k−1 csch2 x dx = cothm x(coth2 x − 1)k−1 csch2 x dx Observaci´on 1.6.2. Si m ∈ Z+ p y n = 0, se convierte un factor tan2 x en secantes, luego se desarrolla y se repite el proceso si es necesario. tanm dx = tanm−2 x(tan2 x) dx = tanm−2 x(sec2 x − 1) dx = tanm−2 x(sec2 x) dx − tanm−2 x dx Si la integral es de la forma secn x dx, con n ∈ Z+ i , se debe usar la integraci´on por partes. Si no se aplica ninguno de los cuatro casos anteriores, intentar convertir a senos y cosenos. III. Integrales de la forma: a) sen(mx) cos(nx)dx b) sen(mx) sen(nx)dx c) cos(mx) cos(nx)dx d) senh(mx) cosh(nx)dx e) senh(mx) senh(nx)dx f) cosh(mx) cosh(nx)dx Para calcular ´este tipo de integrales usaremos las siguientes identidades: sen(mx) cos(nx) = 1 2 [sen(mx − nx) + sen(mx + nx)] sen(mx) sen(nx) = 1 2 [cos(mx − nx) − cos(mx + nx)]
Walter Arriaga D. Matem´atica II 15 cos(mx) cos(nx) = 1 2 [cos(mx − nx) + cos(mx + nx)] senh(mx) cosh(nx) = 1 2 [senh(mx + nx) + senh(mx − nx)] senh(mx) senh(nx) = 1 2 [cosh(mx + nx) − cosh(mx − nx)] cosh(mx) cosh(nx) = 1 2 [cosh(mx + nx) + cosh(mx − nx)] 1.6.5. Integraci´on por sustituci´on trigonom´etrica Cuando el integrando contiene alguna de las siguientes expresiones: a2 − u2, u2 + a2, u2 − a2, √ a2 − u2, √ u2 + a2, √ u2 − a2, donde u es una funci´on diferenciable y a es una constante positiva, es posible realizar la integraci´on efectuando una sustituci´on trigonom´etrica adecuada, la cual transforma la integral inicial en una integral que generalmente contiene funciones trigonom´etricas y cuya primitiva es conocida o puede encontrarse usando cualquiera de los casos de la secci´on anterior. Adem´as cualquier trinomio de la forma px2 + qx + r, completanto cuadrados, puede ser expresado como: a2 − u2, u2 + a2 o u2 − a2. Seg´un ´esto suceden 3 casos: Caso I: Si el trinomio px2 + qx + r se expresa como a2 − u2, usaremos la sus- tituci´on: u = a sen θ du = a cos θ dθ y para regresar a la variable original se usa el tri´angulo: √ a2 − u2 a u θ donde a > 0 y sen θ = u/a Caso II: Si el trinomio px2 + qx + r se expresa como u2 + a2, usaremos la sus- tituci´on: u = a tan θ du = a sec2 θ dθ y para regresar a la variable original se usa el tri´angulo: a √ u2 + a2 u θ donde a > 0 y tan θ = u/a Caso III: Si el trinomio px2 + qx + r se expresa como u2 − a2, usaremos la sus- tituci´on: u = a sec θ du = a sec θ tan θ dθ
16 Matem´atica II Walter Arriaga D. y para regresar a la variable original se usa el tri´angulo: a √ u2 − a2u θ donde a > 0 y sec θ = u/a 1.6.6. Integraci´on de funciones racionales El objetivo de esta secci´on es estudiar una importante t´ecnica de integraci´on con la cual se pueden calcular integrales de la forma f(x)dx, siendo f(x) una funci´on racional, es decir, f(x) es el cociente de dos funciones polin´omicas. Sup´ongase que se quiere calcular la integral de la forma: f(x)dx = Pn(x) Qm(x) dx = anxn + an−1xn−1 + · · · a1x + a0 bmxm + bm−1xm−1 + · · · b1x + b0 dx Se presentan entonces dos posibilidades: 1. La funci´on racional dada f(x) es propia, es decir, cuando n < m (el grado del numerador es menor que el grado del denominador de la fracci´on). Se presentan los siguientes casos: Caso I: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos lineales y ninguno se repite: Qm(x) = (a1x + b1)(a2x + b2) . . . (amx + bm), entonces: Pn(x) Qm(x) = A1 a1x + b1 + A2 a2x + b2 + · · · + Am amx + bm luego: Pn(x) Qm(x) dx = A1 a1x + b1 dx + A2 a2x + b2 dx + · · · + Am amx + bm dx Caso II: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos lineales y se repiten: Qm(x) = (ax + b)m, entonces: Pn(x) Qm(x) = A1 ax + b + A2 (ax + b)2 + · · · + Am (ax + b)m luego: Pn(x) Qm(x) dx = A1 ax + b dx + A2 (ax + b)2 dx + · · · + Am (ax + b)m dx
Walter Arriaga D. Matem´atica II 17 Caso III: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos cuadr´aticos y ninguno se repite: Qm(x) = (a1x2 + b1x + c1)(a2x2 + b2x + c2) . . ., entonces: Pn(x) Qm(x) = A1x + B1 a1x2 + b1x + c1 + A2x + B2 a2x2 + b2x + c2 + · · · luego: Pn(x) Qm(x) dx = A1x + B1 a1x2 + b1x + c1 dx + A2x + B2 a2x2 + b2x + c2 dx + · · · Caso IV: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos cuadr´aticos y se repiten: Qm(x) = (a1x2 + b1x + c1)(a1x2 + b1x + c1) . . ., entonces: Pn(x) Qm(x) = A1x + B1 a1x2 + b1x + c1 + A2x + B2 (a1x2 + b1x + c1)2 + · · · luego: Pn(x) Qm(x) dx = A1x + B1 a1x2 + b1x + c1 dx + A2x + B2 (a1x2 + b1x + c1)2 dx + · · · 2. La funci´on racional dada f(x) es impropia, es decir, cuando n ≥ m (el grado del nume- rador es mayor o igual que el grado del denominador). En ´este caso el algoritmo de la divisi´on entre polinomios permite escribir: f(x) = Pn(x) Qm(x) = Cn−m(x) + Rk(x) Qm(x) donde Cn−m(x) es un polinomio de grado n − m, y Rk(x) es un polinomio de grado k, k < m. De esta forma, la integral inicial se transforma en la suma de dos integrales: una de ellas, la de una funci´on polin´omica, y la otra, la integral de una funci´on racional propia. Por tanto, es suficiente estudiar la primera posibilidad, es decir, si se sabe c´omo se integran las funciones racionales propias, se sabr´a c´omo se integran todas las funciones racionales 1.6.7. Integraci´on de funciones racionales trigonom´etricas Definici´on 1.6.1. Una funci´on y = f(x) es par si se cumple que f(−x) = f(x). Ejemplos: 1) f(x) = 1 x2 + 5 , 2) f(x) = sen x x Una funci´on y = f(x) es impar si se cumple que f(−x) = −f(x). Ejemplos: 1) f(x) = x x2 + 5 , 2) f(x) = sen2 x x Observaci´on 1.6.3.
18 Matem´atica II Walter Arriaga D. Una funci´on racional trigonom´etrica es par en seno si al sustituir sen x por − sen x, la funci´on no var´ıa. Ejemplos: 1) f(x) = cos x + 1 sen2 x , 2) f(x) = 1 + tan2 x , 3) f(x) = cos x debemos tener en cuenta que es posible que la expresi´on sen x no aparezca expl´ıcitamente, como en el tercer ejemplo, sin embargo f(x) = cos x puede expresarse como f(x) = cos x sen0 x. Una funci´on racional trigonom´etrica es impar en seno si al sustituir sen x por − sen x, la funci´on cambia de signo. Ejemplos: 1) f(x) = sen x , 2) f(x) = sen3 x cos x + sen2 x , 3) f(x) = tan x Una funci´on racional trigonom´etrica es par en coseno si al sustituir cos x por − cos x, la funci´on no var´ıa. Ejemplos: 1) f(x) = 2 cos2 x + sen x , 2) f(x) = 5 + tan2 x , 3) f(x) = sen x Una funci´on racional trigonom´etrica es impar en coseno si al sustituir cos x por − cos x, la funci´on cambia de signo. Ejemplos: 1) f(x) = cos x , 2) f(x) = cos5 x cos4 x + sen x , 3) f(x) = tan x Una funci´on racional trigonom´etrica es par en seno y coseno (simult´aneamente) cuando al sustituir sen x y cos x por − sen x y − cos x, respectivamente, la funci´on no var´ıa. Ejemplos: 1) f(x) = 1 1 + sen x cos x , 2) f(x) = tan x Para resolver integrales de la forma R(sen x , cos x)dx, donde R(sen x , cos x) es una funcion racional de senos y cosenos, se deben tener en cuenta los siguientes casos: Caso I: Cuando R(sen x , cos x) es impar en sen x, hacemos la sustituci´on: t = cos x de donde    sen x = √ 1 − t2 dx = − dt √ 1 − t2 ´estas sustituciones convierten la integral en la de una funci´on racional de variable t. Caso II: Cuando R(sen x , cos x) es impar en cos x, hacemos la sustituci´on: t = sen x de donde    cos x = √ 1 − t2 dx = dt √ 1 − t2 ´estas sustituciones convierten la integral en la de una funci´on racional de variable t.
Walter Arriaga D. Matem´atica II 19 Caso III: Cuando R(sen x , cos x) es par en sen x y cos x simult´aneamente, hacemos la sustituci´on: t = tan x de donde    sen x = t √ 1 + t2 cos x = 1 √ 1 + t2 dx = dt 1 + t2 ´estas sustituciones convierten la integral en la de una funci´on racional de variable t. Caso IV: En cualquier otro caso, incluso en los anteriores, hacemos la sustituci´on: t = tan x 2 de donde    sen x = 2t 1 + t2 cos x = 1 − t2 1 + t2 tan x = 2t 1 − t2 dx = 2dt 1 + t2 ´estas sustituciones convierten la integral en la de una funci´on racional de variable t. Nota 1.6.1. Conviene no aplicar la sustituci´on del cuarto caso, mas que si no se pueden aplicar los anteriores ya que suelen obtenerse integrales m´as complicadas, por ejemplo, con ra´ıces complejas m´ultiples en el denominador. Dependiendo del cambio que se aplique, la soluci´on general puede adoptar distinto aspecto; recordemos que dos primitivas de una funci´on se diferencian en una constante. 1.6.8. Integraci´on de funciones irracionales CASO I: Integrales de la forma: Ax + B √ ax2 + bx + c dx La integral puede ser escrita como: Ax + B a x + b 2a 2 + 4ac − b2 4a dx luego se hace la sustituci´on z = x + b 2a , y dz = dx CASO II: Integrales de la forma: F x , n ax + x cx + d dx
20 Matem´atica II Walter Arriaga D. Para calcular este tipo de integrales, hacemos el cambio de variable ax + b cx + d = zn de donde se tiene que x = b − dzn czn − a y dx = (ad − bc)nzn−1 (czn − a)2 dz CASO III: Integrales de la forma: F x , ax + x cx + d m1/n1 , . . . , ax + x cx + d mk/nk dx Para calcular este tipo de integrales, hallamos: n = mcm(n1, n2, . . . , nk), luego se hace el cambio de variable ax + b cx + d = zn de donde se tiene que x = b − dzn czn − a y dx = (ad − bc)nzn−1 (czn − a)2 dz CASO IV: Integrales de la forma: P(x) dx px2 + qx + r Esta integral puede ser escrita como: P(x) dx px2 + qx + r = Q(x) px2 + qx + r + λ dx px2 + qx + r donde: P(x) es un polinomio de grado n Q(x) es un polinomio de grado n − 1 λ es un n´umero real. CASO V: Integrales de la forma: dx (x − a)n px2 + qx + r donde n ∈ N. Para calcular este tipo de integrales, se hace la sustituci´on: x − a = 1 z , de donde dx = − dz z2 CASO VI: M´etodo de Chevishev3 Integrales de la forma: xm (a + bxn )p 3 Pafnuti Lv´ovich Chebyshov (16 de mayo de 1821 al 8 de diciembre de 1894) fue un matem´atico ruso, tambi´en conocido como “Chebyshev” o por otras graf´ıas similares de su apellido. Su principal contribuci´on al conocimiento humano es la desigualdad que lleva su nombre.
Walter Arriaga D. Matem´atica II 21 Para calcular este tipo de integrales, se consideran las siguientes condiciones: Condiciones de Chevishev: • Si p ∈ Z, entonces hacemos la sustituci´on x = zr, donde r = mcm de los denomi- nadores de las fracciones m y n. • Si m + 1 n ∈ Z, entonces hacemos la sustituci´on a + bxn = zs, donde s es el denomi- nador de p ∈ Q. • Si m + 1 n + p ∈ Z, entonces hacemos la sustituci´on a + bxn = zsxn o tambi´en ax−n + b = zs, donde s es el denominador de p ∈ Q. Observaci´on 1.6.4. Aunque existen otros m´etodos orientados a resolver integrales de fun- ciones espec´ıficas, en numerosas ocasiones se puede lograr, gracias a un inteligente cambio de variable u operaci´on elemental que reduzca la laboriosidad que con frecuencia va impl´ıcita en los procedimientos. Por ello, debe entenderse que la b´usqueda de primitivas, cuando ´estas existen, es un arte cuyo dominio se alcanza cuando se realizan numerosos problemas.
22 Matem´atica II Walter Arriaga D. ✍ EJERCICIOS RESUELTOS 1. I. Integraci´on por sustituci´on o cambio de variable: 1. (3x5 − 4x3 + 8x2 − 3)dx Soluci´on (3x5 − 4x3 + 8x2 − 3)dx = 3x5 dx − 4x3 dx + 8x2 dx − 3dx = 3 x5 dx − 4 x3 dx + 8 x2 dx − 3 dx = 3 x6 6 − 4 x4 4 + 8 x3 3 − 3x + C = x6 2 − x4 + 8x3 3 − 3x + C ∴ (3x5 − 4x3 + 8x2 − 3)dx = x6 2 − x4 + 8x3 3 − 3x + C 2. 6x5 − 3x2 + √ x x3 dx Soluci´on 6x5 − 3x2 + √ x x3 dx = 6 x2 dx − 3 dx x dx + x−5/2 dx = 2x3 − 3 ln |x| − 2 3 x−3/2 + C ∴ 6x5 − 3x2 + √ x x3 dx = 2x3 − 3 ln |x| − 2 3 x−3/2 + C 3. x2 + 2 x2(x2 + 4) dx Soluci´on Observamos que: x2 + 2 = x2 + 2 4 (x2 + 4 − x2) = 1 2 [(x2 + 4) + x2] x2 + 2 x2(x2 + 4) dx = 1 2 x2 + (x2 + 4) x2(x2 + 4) dx = 1 2 dx x2 + 4 + 1 2 dx x2 = 1 2 1 2 arctan x 2 + 1 2 x−1 −1 + C = 1 4 arctan x 2 − 1 2x + C ∴ x2 + 2 x2(x2 + 4) dx = 1 4 arctan x 2 − 1 2x + C
Walter Arriaga D. Matem´atica II 23 4. x2 − 3 x2(x2 − 5) dx Soluci´on Observamos que: x2 − 3 = x2 + 3 5 (x2 − 5 − x2) = 3 5 (x2 − 5) + 2 5 x2 x2 − 3 x2(x2 − 5) dx = 3(x2 − 5) + 2x2 5x2(x2 − 5) dx = 3 5 dx x2 + 2 5 dx x2 − √ 5 2 = −3 5x + 1 5 √ 5 ln x − √ 5 x + √ 5 + C ∴ x2 − 3 x2(x2 − 5) dx = −3 5x + 1 5 √ 5 ln x − √ 5 x + √ 5 + C 5. cos(3x + 2)dx Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = 3x + 2 =⇒ du = 3dx podemos escribir: cos(3x + 2)dx = 1 3 cos(3x + 2)3dx = 1 3 cos u du = 1 3 sen u + C = 1 3 sen(3x + 2) + C ∴ cos(3x + 2)dx = 1 3 sen(3x + 2) + C 6. (x + 1) sen(x2 + 2x − 3)dx Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = x2 + 2x − 3 =⇒ du = (2x + 2)dx
24 Matem´atica II Walter Arriaga D. podemos escribir: (x + 1) sen(x2 + 2x − 3)dx = 1 2 sen udu = − cos u 2 + C = − cos(x2 + 2x − 3) 2 + C ∴ (x + 1) sen(x2 + 2x − 3)dx = − cos(x2 + 2x − 3) 2 + C 7. (2 ln x + 1)xex2 ln x dx Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = x2 ln x =⇒ du = (2 ln x + 1)x dx podemos escribir: (2 ln x + 1)xex2 ln x dx = eu du = eu + C = ex2 ln x + C = eln x x2 + C = xx2 + C ∴ (2 ln x + 1)xex2 ln x dx = xx2 + C 8. (x sen(2x) + sen2 x)ex sen2 x dx Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = x sen2 x =⇒ du = (2x sen x cos x + sen2 x) dx =⇒ du = (x sen(2x) + sen2 x) dx podemos escribir: (x sen(2x) + sen2 x)ex sen2 x dx = eu du = eu + C = ex sen2 x + C ∴ (x sen(2x) + sen2 x)ex sen2 x dx = ex sen2 x + C
Walter Arriaga D. Matem´atica II 25 9. dx x ln2 (5x) Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = ln(5x) =⇒ du = dx x podemos escribir: dx x ln2 (5x) = du u2 = − 1 u + C = − 1 ln(5x) + C ∴ dx x ln2 (5x) = − 1 ln(5x) + C 10. e √ ln x · 5e √ ln x dx x √ ln x Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = e √ ln x =⇒ du = e √ ln x dx 2x √ ln x podemos escribir: e √ ln x · 5e √ ln x dx x √ ln x = 2 e √ ln x · 5e √ ln x dx 2x √ ln x = 2 5u du = 2 × 5u ln 5 + C ∴ e √ ln x · 5e √ ln x dx x √ ln x = 2 × 5e √ ln x ln 5 + C 11. sen(2x) dx 16 + sen4 x Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = sen2 x =⇒ du = 2 sen x cos x dx =⇒ du = sen(2x) dx podemos escribir: sen(2x) dx 16 + sen4 x = du 42 + u2 = 1 4 arctan u 4 + C = 1 4 arctan sen2 x 4 + C ∴ sen(2x) dx 16 + sen4 x = 1 4 arctan sen2 x 4 + C
26 Matem´atica II Walter Arriaga D. 12. arcsen √ x dx √ x − x2 Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = arcsen √ x =⇒ du = dx 2 √ x √ 1 − x =⇒ du = dx 2 √ x − x2 podemos escribir: arcsen √ x dx √ x − x2 = 2 arcsen √ x dx 2 √ x − x2 = 2 udu = u2 + C = arcsen2 √ x + C ∴ arcsen √ x dx √ x − x2 = arcsen2 √ x + C II. Integraci´on por partes: 1. ln xdx Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = ln x dv = dx du = dx x v = x podemos escribir ln xdx = x ln x − x dx x = x ln x − dx = x ln x − x + C ∴ ln xdx = x ln x − x + C 2. (3x2 + 4x − 8) ln xdx Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = ln x dv = (3x2 + 4x − 8)dx du = dx x v = x3 + 2x2 − 8x
Walter Arriaga D. Matem´atica II 27 podemos escribir (3x2 + 4x − 8) ln xdx = (x3 + 2x2 − 8x) ln x − (x3 + 2x2 − 8x)dx x = (x3 + 2x2 − 8x) ln x − (x2 + 2x − 8)dx = (x3 + 2x2 − 8x) ln x − x3 3 − x2 + 8x + C ∴ (3x2 + 4x − 8) ln xdx = (x3 + 2x2 − 8x) ln x − x3 3 − x2 + 8x + C 3. (4x2 − 8x + 4)e−2x dx Soluci´on: Sea I1 = (4x2 − 8x + 4)e−2x dx, integrando por partes: u = 4x2 − 8x + 4 dv = e−2x dx du = (8x − 8)dx v = − e−2x 2 podemos escribir I1 = (4x2 − 8x + 4)e−2x dx = −(2x2 − 4x + 2)e−2x + (4x − 4)e−2x dx I2 ahora integraremos I2 = (4x − 4)e−2x dx por partes: u = 4x − 4 dv = e−2x dx du = 4dx v = − e−2x 2 I2 = (4x − 4)e−2x dx = −(2x − 2)e−2x + 2 e−2x dx = −(2x − 2)e−2x − e−2x + C reemplazando: I1 = (4x2 − 8x + 4)e−2x dx = −(2x2 − 4x + 2)e−2x + I2 = −(2x2 − 4x + 2)e−2x − (2x − 2)e−2x − e−2x + C = −(1 − 2x + 2x2 )e−2x + c ∴ (4x2 − 8x + 4)e−2x dx = −(1 − 2x + 2x2 )e−2x + C 4. (3x + 2) sec2 5x dx
28 Matem´atica II Walter Arriaga D. Soluci´on: Sea I = (3x + 2) sec2 5x dx, integrando por partes: u = 3x + 2 dv = sec2 5xdx du = 3dx v = tan 5x 5 podemos escribir I = (3x + 2) sec2 5x dx = 3x + 2 5 tan 5x + 3 5 tan 5x dx I = (3x + 2) sec2 5x dx = 3x + 2 5 tan 5x + 3 25 ln | sec 5x| + C ∴ (3x + 2) sec2 5x dx = 3x + 2 5 tan 5x + 3 25 ln | sec 5x| + C 5. arcsen(3x)dx 6. ln(7x) x7 dx 7. ln(x + 4 + x2)dx 8. cos(ln x)dx 9. x arctan2 (6x)dx 10. arcsen2 x 2 dx 11. ln(ln(ax)) bx dx 12. e2ax cos(eax )dx III. Integraci´on de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto: 1. x2 + 2x + 10 dx Soluci´on: Completando trinomio cuadrado perfecto se tiene: x2 + 2x + 10 dx = x2 + 2x + 1 + 9 dx = (x + 1)2 + 32 dx = ln |x + 1 + x2 + 2x + 10| + C ∴ x2 + 2x + 10 dx = ln |x + 1 + x2 + 2x + 10| + C
Walter Arriaga D. Matem´atica II 29 2. 12 − 4x − x2 dx 3. 2 4x2 − 12x + 13 dx 4. 7 9x2 + 12x − 5 dx 5. 3 √ 25x2 + 30x − 7 dx 6. 1 √ 9x2 + 42x + 53 dx 7. 7 √ −4x2 + 28x − 24 dx 8. 3x − 2 4x2 − 4x + 50 dx 9. 5x + 7 9x2 − 12x − 60 dx 10. 7x − 2 √ −4x2 + 20x − 9 dx 11. 3x − 2 √ 4x2 − 20x + 41 dx 12. 7x + 1 √ 25x2 − 20x − 12 dx IV. Integraci´on de funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas: 1. sen3 x cos2 x dx Soluci´on: sen3 x cos2 x dx = sen2 x cos2 x sen x dx = (1 − cos2 x) cos2 x sen x dx luego hacemos la sustituci´on u = cos x, de donde du = − sen xdx sen3 x cos2 x dx = − (1 − u2 )u2 du = − u2 du + u4 du = − u3 3 + u5 5 + C = − cos3 x 3 + cos5 x 5 + C ∴ sen3 x cos2 x dx = − cos3 x 3 + cos5 x 5 + C
30 Matem´atica II Walter Arriaga D. 2. sen2 x cos3 x dx 3. sen2 x cos2 x dx 4. tan3 x sec3 x dx 5. tan2 x sec4 x dx 6. sen(3x) cos(2x) dx 7. sen(7x) sen(5x) dx 8. cos(6x) cos(4x) dx V. Integraci´on por sustituci´on trigonom´etrica: 1. dx x2 √ 9 − x2 2. √ 16 − x2 x2 dx 3. x2dx √ 25 − x2 3 4. dx (4x − x2)3/2 5. 4x2 + 3 (1 + x2)2 dx VI. Integraci´on de funciones racionales: 1. 2x dx x2 − 1 Soluci´on: El integrando 2x x2 − 1 es una fracci´on propia, luego descomponemos en fracciones parciales: 2x x2 − 1 = 2x (x + 1)(x − 1) = A x + 1 + B x − 1 2x = A(x − 1) + B(x + 1) Para x = −1, se tiene A = 1 y para x = 1, se tiene B = 1 2x x2 − 1 = 1 x + 1 + 1 x − 1 luego 2x dx x2 − 1 = dx x + 1 + dx x − 1 = ln |x + 1| + ln |x − 1| + c = ln |x2 − 1| + c
Walter Arriaga D. Matem´atica II 31 ∴ 2x dx x2 − 1 = ln |x2 − 1| + c 2. 2(x4 − 3x3 + 5x2 − 5x + 1) x3 − 3x2 + 2x dx 3. x2 + 1 x4 + 1 dx Soluci´on: El integrando x2 + 1 x4 + 1 es una fracci´on propia, luego: x2 + 1 x4 + 1 = x2 + 1 x4 + 2x2 + 1 − 2x2 = x2 + 1 (x2 + 1)2 − 2x2 = x2 + 1 (x2 + √ 2x + 1)(x2 − √ 2x + 1) ahora por fracciones parciales tenemos que: x2 + 1 (x2 + √ 2x + 1)(x2 − √ 2x + 1) = Ax + B x2 + √ 2x + 1 + Cx + D x2 − √ 2x + 1 x2 + 1 = (Ax + B)(x2 − √ 2x + 1) + (Cx + D)(x2 + √ 2x + 1) x2 +1 = (A+C)x3 +(B +D − √ 2A+ √ 2C)x2 +(A+C − √ 2B + √ 2D)x+(B +D) obteni´endose el siguiente sistema de ecuaciones: A + C = 0 B + D − √ 2A + √ 2C = 1 A + C − √ 2B + √ 2D = 0 B + D = 1 resolviendo se tiene que A = 0, B = 1/2, C = 0, D = 1/2, luego x2 + 1 x4 + 1 dx = 1 2 dx x2 + √ 2x + 1 + 1 2 dx x2 − √ 2x + 1 = 1 2 dx x2 + √ 2x + 1 2 + 1 2 + 1 2 dx x2 − √ 2x + 1 2 + 1 2 = 1 2 dx x + √ 2 2 2 + √ 2 2 2 + 1 2 dx x − √ 2 2 2 + √ 2 2 2 = 1 2 2 √ 2 arctan     x + √ 2 2√ 2 2     + 1 2 2 √ 2 arctan     x − √ 2 2√ 2 2     + c = √ 2 2 arctan( √ 2x + 1) + √ 2 2 arctan( √ 2x − 1) + c
32 Matem´atica II Walter Arriaga D. ∴ x2 + 1 x4 + 1 dx = √ 2 2 arctan( √ 2x + 1) + √ 2 2 arctan( √ 2x − 1) + c VII. Integraci´on de funciones racionales trigonom´etricas: 1. dx sen x cos2 x Soluci´on: La funci´on 1 sen x cos2 x es impar en sen x, entonces hacemos la sustituci´on t = cos x, luego: dx sen x cos2 x = 1 √ 1 − t2 t2 −dt √ 1 − t2 = dt t2(t2 − 1) ahora por fracciones parciales tenemos que: 1 t2(t2 − 1) = A t + B t2 + C t + 1 + D t − 1 resolviendo se tiene que A = 0, B = −1, C = −1/2, D = 1/2, luego dt t2(t2 − 1) = − dt t2 − 1 2 dt t + 1 + 1 2 dt t − 1 = 1 t − 1 2 ln |t + 1| + 1 2 ln |t − 1| + c = 1 t + ln t − 1 t + 1 + c = sec x + ln 1 − cos x 1 + cos x + c ∴ dx sen x cos2 x = sec x + ln 1 − cos x 1 + cos x + c 2. cos3 x dx 4 sen2 x − 1 Soluci´on: La funci´on cos3 x dx 4 sen2 x − 1 es impar en cos x, entonces hacemos la sustituci´on t = sen x, luego: cos3 x dx 4 sen2 x − 1 = (1 − t2) √ 1 − t2 4t2 − 1 dt √ 1 − t2 = (1 − t2)dt 4t2 − 1 ahora por fracciones parciales tenemos que: 1 − t2 4t2 − 1 = −1 4 + 3 4(2t + 1)(2t − 1) = −1 4 + A 2t + 1 + B 2t − 1
Walter Arriaga D. Matem´atica II 33 resolviendo se tiene que A = −3/8, B = 3/8, luego (1 − t2)dt 4t2 − 1 = − 1 4 dt − 3 8 dt 2t + 1 + 3 8 dt 2t − 1 = − t 4 − 3 16 ln |2t + 1| + 3 16 ln |2t − 1| + c = − t 4 + 3 16 ln 2t − 1 2t + 1 + c = − sen x 4 + 3 16 ln 2 sen x − 1 2 sen x + 1 + c ∴ cos3 x dx 4 sen2 x − 1 = − sen x 4 + 3 16 ln 2 sen x − 1 2 sen x + 1 + c 3. dx sen2 x − 4 sen x cos x + 5 cos2 x Soluci´on: La funci´on 1 sen2 x − 4 sen x cos x + 5 cos2 x es par en sen x y cos x, entonces hacemos la sustituci´on t = tan x, luego: dx sen2 x − 4 sen x cos x + 5 cos2 x = 1 t2 1 + t2 − 4t 1 + t2 + 5 1 + t2 dt 1 + t2 = dt t2 − 4t + 5 = dt (t − 2)2 + 1 = arctan(t − 2) + c = arctan(tan x − 2) + c ∴ dx sen2 x − 4 sen x cos x + 5 cos2 x = arctan(tan x − 2) + c 4. dx 1 + sen x Soluci´on: En ´esta integral usaremos la sustituci´on t = tan x 2 , luego: dx 1 + sen x = 1 1 + 2t 1 + t2 2dt 1 + t2 = 2dt t2 + 2t + 1 = 2dt (t + 1)2 = −2 t + 1 + c ∴ dx 1 + sen x = −2 1 + tan(x/2) + c VIII. Integraci´on de funciones irracionales:
34 Matem´atica II Walter Arriaga D. 1. x + 2 √ 4 − 2x − x2 dx 2. 1 + x 1 − x dx 3. x2 + √ 1 + x 3 √ 1 + x dx 4. 3x2 − 5x √ 3 − 2x − x2 dx 5. dx (x2 + 2x + 1) √ x2 + 2x − 8 6. x3 (1 + 2x2 )−3/2 dx
Walter Arriaga D. Matem´atica II 35 ✍ EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular las siguientes integrales: I. Integraci´on por sustituci´on o cambio de variable: 1. (3x2 − 2x + 3)dx R. x3 − x2 + 3x + C 2. (x √ 2 + 5x − 3 + √ x)dx R. ( √ 2 − 1)x √ 2+1 + 5x2 2 − 3x + 2 √ x3 3 + C 3. x2 + 3x − 2 x + 5x2 − 2x + 7 √ x dx R. x2 2 + 3x − 2 ln x + 2x5/2 − 4 3 x3/2 + 14x1/2 + C 4. 2x (1 − x)2/3 + 1 x(x2 − 10) dx R. 3 2 (1 − x)4/3 − 6(1 − x)1/3 + 1 20 ln x2 − 10 x2 + C 5. x2 + 2 x2(x2 + 4) dx R. −1 2x + 1 4 arctan x 2 + C 6. x2 − 1 x2(x2 − 4) dx R. −1 4x + 3 16 ln x − 2 x + 2 + C 7. 7x2 + 16 x4 + 4x2 dx R. −4 x + 3 2 arctan x 2 + C 8. 18dx 9x2 − x4 9. dx √ 16 − x2 R. arcsen x 4 + C 10. 9dx x2 + 4x − 5 R. 3 2 ln x − 1 x + 5 + C
36 Matem´atica II Walter Arriaga D. 11. 2dx x2 + 4x + 4 R. −2 x + 2 + C 12. 2dx √ −4x2 − 20x − 9 R. arcsen 2x + 5 4 + C 13. −4x2 − 12x − 5 dx 14. 2x−13x 5x+17x+2 dx R. 6x 490(35)x(ln 6 − ln 35) + C 15. sen x (1 + cos x)2 dx R. 1 1 + cos x + C 16. sec2 x dx (2 + tan x)3 R. −1 2(2 + tan x)2 + C 17. dx cos2(3 − 2x) R. −1 2 tan(3 − 2x) + C 18. csc2 5x dx (5 + cot 5x)5 R. 1 20(5 + cot 5x)4 + C 19. sen(7x + 5) dx 20. e3x−2 dx 21. √ 5x − 2 dx 22. 7 √ 2x + 3 dx 23. x 5x2 + 6 dx R. 1 15 (5x2 + 6)3 + C 24. (20x − 3) 10x2 − 3x + 2 dx 25. 2xe3x2+8 dx
Walter Arriaga D. Matem´atica II 37 26. 7(x − 1)2 3 √ x + 1 dx 27. x2 3 √ x + 2dx R. 3 10 (x + 2)10/3 − 12 7 (x + 2)7/3 + 3(x + 2)4/3 + C 28. x + 1 4x 5 (2x + 1)(2x − 1) + 1 x2 dx R. 8 7 x + 1 4x 7/2 + C 29. 3 e4 √ x+5 2 √ x dx R. 3 4 e4 √ x+5 + C 30. (8 √ x 3 + 3)e(2x2+3 √ x−7) 2 √ x dx 31. (6x2 + 8x) sen(x3 + 2x2 − 3) dx 32. (35x6 − 2) cos(5x7 − 2x + 8) dx R. sen(5x7 − 2x + 8) + C 33. (ln x + 1)ex ln x dx R. xx + C 34. (2x ln x + ex + x)ex2 ln x+ex dx R. xx2 eex + C 35. (cos x)esen x dx 36. (3 sec2 x)e(3 tan x+2) dx R. e3 tan x+2 + C 37. sen(2 ln x) x dx 38. dx x ln2 x R. − 1 ln x + C 39. dx x ln x 40. 3 ln2 x x dx R. ln3 x + C
38 Matem´atica II Walter Arriaga D. 41. (x cos x + sen x)ex sen x dx R. ex sen x + C 42. 2 dx sen2 x 3 √ cot x − 1 R. −3(cot x − 1)2/3 + C 43. sen x etan2 x cos3 x dx R. etan2 x 2 + C 44. sen x cos3 x 5 sec2 x + 2 dx R. 5 12 5 (sec2 x + 2)6 + C 45. e √ xae √ x √ x dx R. 2ae √ x ln a + C 46. sen(tan x) cos(tan x) sec2 x dx 47. dx (1 + x2) ln(x + √ 1 + x2) 48. 2earctan x + 4x ln(x2 + 1) + 3 1 + x2 dx R. 2earctan x + ln2 (x2 + 1) + 3 arctan x + C 49. cos3 x 1 − sen x dx R. (1 + sen x)2 2 + C 50. 2ex cos3 ex 1 − sen ex dx R. (1 + sen ex)2 + C 51. 4 sen3 ln x x(1 − cos ln x) dx 52. dx 1 + cos x 53. dx 1 + sen x R. tan x − sec x + C 54. dx 1 + cos ax 55. dx 1 + sen ax R. 1 a tan ax − 1 a sec ax + C
Walter Arriaga D. Matem´atica II 39 56. 3 dx √ x + 1 − √ x − 1 R. (x + 1)3/2 + (x − 1)3/2 + C 57. dx √ 2x + 1 − √ x R. 2 √ 2x + 1 − 2 arctan √ 2x + 1 + 2 √ x − 2 arctan √ x + C 58. (x2 − 2x + 1)1/5 1 − x dx R. −5 2 (x − 1)2/5 + C 59. 2x2x (ln x + 1) dx R. x2x + C 60. dx x(1 + ln2 7x) R. arctan ln 7x + C 61. 8x − 4 arctan 2x 1 + 4x2 dx R. ln(1 + 4x2) − arctan2 2x + C 62. ln(ln x) x ln x dx R. 1 2 ln2 (ln x) + ln(ln x) + C 63. x3 dx (x2 + 8)3/2 R. √ x2 + 8 + 8 √ x2 + 8 + C 64. x5 1 − x3 dx R. −2 9 (1 − x3)3/2 + 2 15 (1 − x3)5/2 + C 65. √ 2 + x + 1 3 + √ 2 + x dx R. 2 + x − 4 √ 2 + x + 12 ln(3 + √ 2 + x) + C 66. ( √ ax + b)3/2 √ x dx R. 4 5 √ a ( √ ax + b)5/2 + C 67. √ x − 1(x + 3)2 dx 68. 5x + 2 √ 3x √ 1 − 3x dx R. −5 3 √ 1 − 3x − ln √ 1 − 3x + 1 √ 1 − 3x − 1 + C
40 Matem´atica II Walter Arriaga D. 69. e2x + 3 e2x − 3 dx R. ln |ex − 3e−x| + C 70. ln(ax) dx eln x ln(bx) R. ln x + ln a b ln[ln(b + ln x)] + C 71. dx xn + x , n ∈ Z+ R. 1 1 − n ln |1 + x1−n| + C 72. x dx e2 ln x + ln e1/2 + (x2 + 1)3/2 + eln(1/2) R. 2 1 + √ x2 + 1 + C 73. 3 sen2 x cos4 x etan3 x dx R. etan3 x + C 74. x(2 ln x + 1)ex2 ln x dx R. xx2 + C 75. √ 2x 6x + √ 2x dx 76. dx x 3 √ ln x 77. ln x dx x 5 ln2 x + 3 R. 5 8 (ln2 x + 3)4/5 + C 78. xnx (ln x + 1)dx 79. x2x2 (2x ln x + x)dx R. x2x2 2 + C 80. xcos x−1 (cos x − x sen x ln x)dx R. xcos x + C 81. (xex cos x + xex sen x + ex sen x)exex sen x dx R. exex sen x + C 82. √ ln x x x2 √ ln x dx R. x2 √ ln x 3 + C
Walter Arriaga D. Matem´atica II 41 83. 2(x ln2 x + x ln x + 1)x2xx+x−1 dx R. x2xx + C 84. 2sen2 ex ex sen(2ex )dx R. 2sen2 ex ln 2 + C 85. x + 2 2x + 3 dx 3x2 + 11x + 10 86. dx √ 2x − √ x + 4 R. 2 √ 2x + 2 √ x + 4 + √ 8 ln √ 2x − √ 8 √ 2x + √ 8 + √ 8 ln √ x + 4 − √ 8 √ x + 4 + √ 8 + C 87. 4x7 (1 − x4)2 dx R. ln |x4 − 1| − 1 x4 − 1 + C 88. 6e4x 1 − ex dx R. −2e3x − 3e2x − 6ex − 6 ln |ex − 1| + C 89. 2xx+eln x (1 + ln x) dx R. x2x + C 90. √ 4 + ex dx R. 2 √ 4 + ex + 2 ln √ 4 + ex − 2 √ 4 + ex + 2 + C 91. 5 9 + √ x dx R. 4 9 + √ x 5 − 60 9 + √ x 3 + C 92. 2 + 3x x − 3 dx R. √ 3x2 − 7x − 6 + 11 2 √ 3 ln 6x − 7 6 + 3x2 − 7x − 6 3 + C 93. (x + 1)dx (2x + x2) √ 2x + x2 R. − 1 √ 2x + x2 + C 94. 2x 1 − 4x dx R. 1 ln 4 ln 1 + 2x 1 − 2x + C
42 Matem´atica II Walter Arriaga D. 95. 2 dx e−2x + e2x R. arctan e2x + C 96. e2x + e−2x e2x − e−2x dx R. 1 2 ln(e2x − e−2x) + C 97. dx √ 1 + cos x R. √ 2 ln sec x 2 + tan x 2 + C 98. dx √ 1 − cos x R. √ 2 ln csc x 2 − cot x 2 + C 99. 4x + 1 2x + 1 dx R. 1 ln 2 [2x − 2 ln(2x + 1)] + x + C 100. sen2 x a + b cos2 x dx 101. x2 − x √ x + 1 − √ x2 + 1 dx 102. x2 − 1 x √ 1 + 3x2 + x4 dx 103. ex (1 + ex) √ ex − 1 dx R. √ 2 arctan ex − 1 2 + C, sug. u2 = ex − 1 104. sec x √ sec 2x arcsen tan x dx 105. 1 − cos x cos a − cos x dx 106. x2 + x + 2 + 2 x3 + x2 + x + 1 dx 107. √ x √ a3 − x3 dx 108. 10e2x 3 √ 1 + ex dx R. 6(1 + ex)5/3 − 15(1 + ex)2/3 + C 109. tanh(ln x) dx 110. √ 1 − cos x dx
Walter Arriaga D. Matem´atica II 43 111. ea 1 + x2 da R. ea 1 + x2 + C 112. xeax (1 + ax)2 dx 113. (x + x2 + 1)10 dx 114. cos x − sen x 5 + sen 2x dx 115. (tan x + sec x)10 sec x dx R. (tan x + sec x)10 10 + C 116. (tan x + sec x)20 sec2 x dx R. (tan x + sec x)21 42 + (tan x + sec x)19 38 + C 117. dx 4 (x − 1)3(x + 2)5 118. (cos 2x − 3) dx cos4 x √ 4 − cot2 x 119. 1 + sen2 x 2 cos2 x √ sen x dx R. √ sen x cos x + C, sug. z = √ sen x cos x 120. (cos x) ln(cos x) − tan x sen x (cos x)sen x dx R. (cos x)sen x + C 121. cot x cos2 x − (sen 2x) ln(sen x) (sen x)cos2 x dx R. (sen x)cos2 x + C II. Integraci´on por partes: 1. x ln xdx R. x2 ln x 2 − x2 4 + C 2. x sen(3x)dx R. sen 3x 9 − x cos 3x 3 + C 3. xe−3x dx R. (−3x − 1)e−3x 9 + C
44 Matem´atica II Walter Arriaga D. 4. 3x · 72x dx R. 3(2x ln 7 − 1)72x 4 ln2 7 + C 5. (x3 + 5x − 2) ln xdx R. x4 4 + 5x2 2 − 2x ln x − x4 16 − 5x2 4 + 2x + C 6. (x2 + 1)e−x dx R. −(x2 + 2x + 3)e−x + C 7. 4(3x2 + 1)e2x dx R. (6x2 − 6x + 5)e2x + C 8. (5 − 3x − 4x2 )e−3x dx R. e−3x 27 (36x2 + 51x − 28) + C 9. (x2 − x + 1) sen x dx R. −(x2 − x + 1) cos x + (2x − 1) sen x + 2 cos x + C 10. (2x2 − 4x − 1) cos 2x dx R. (x2 − 2x − 1) sen 2x + (x − 1) cos 2x + C 11. arcsen x √ x + 1 dx R. 2 √ x + 1 arcsen x + 4 √ 1 − x + C 12. arcsen √ x √ 1 − x dx R. −2 √ 1 − x arcsen √ x + 2 √ x + C 13. x arctan x √ 1 + x2 dx R. √ 1 + x2 arctan x − ln |x + √ 1 + x2| + C 14. 8x cos3 x 1 − sen x dx R. 4x(1 + sen x)2 + 8 cos x + sen 2x − 6x + C 15. ln2 x dx R. x ln2 x − 2x ln x + 2x + C 16. arcsen2 x dx R. x arcsen2 x + 2 √ 1 − x2 arcsen x − 2x + C 17. cos(ln x)dx R. x 2 (sen(ln x) + cos(ln x)) + C
Walter Arriaga D. Matem´atica II 45 18. sen(ln x)dx R. x 2 (sen(ln x) − cos(ln x)) + C 19. 2ex cos xdx R. ex(sen x + cos x) + C 20. 5ex sen2 x dx R. ex(sen2 x − 2 sen x cos x) + 2ex + C 21. e2x cos(ex )dx R. cos(ex) + ex sen(ex) + C 22. e2x sen(ex )dx R. −ex cos(ex) + sen(ex) + C 23. e3x sen(ex )dx R. −e2x cos(ex) + 2ex sen(ex) + 2 cos(ex) + C 24. 2e6x cos(e2x )dx R. e4x sen(e2x) + 2e2x cos(e2x) − 2 sen(e2x) + C 25. 2 cos(ln x) ln x dx R. x(sen(ln x) + cos(ln x)) ln x − x sen(ln x) + C 26. 2 sen(ln x) ln x dx R. x(sen(ln x) − cos(ln x)) ln x + x cos(ln x) + C 27. 5x cos(ln x) dx R. x2[sen(ln x) + 2 cos(ln x)] + C 28. 5x sen(ln x) dx R. x2[2 sen(ln x) − cos(ln x)] + C 29. 10x2 cos(ln x) dx R. x3[3 cos(ln x) + sen(ln x)] + C 30. x2 sen(ln x) dx 31. x2 ex sen x dx 32. ln x − 1 ln2 x dx R. x ln x + C 33. x ln x − (1 + x2) arctan x x(1 + x2) ln2 x dx
46 Matem´atica II Walter Arriaga D. R. arctan x ln x + C 34. sen 3 √ x dx 35. cos 3 √ x dx 36. eax cos(bx)dx R. eax a2 + b2 (b sen bx + a cos ax) + C 37. eax sen(bx)dx R. eax a2 + b2 (a sen bx − b cos ax) + C 38. cos2 (ln x)dx 39. sen2 (ln x)dx 40. cos( √ x)dx 41. ln(ln x) x dx R. ln(ln x) ln x − ln x + C 42. x ln x − 1 x + 1 dx R. x2 − 1 2 ln x − 1 x + 1 − x + C 43. x2 (x cos x − sen x)2 dx 44. e1/x x3 dx 45. e1/x2 x5 dx 46. 5e2x+ln sen x dx R. e2x(2 sen x − cos x) + C 47. (1 + sen x)e5x+2 ln cos x cos2 x dx R. e5x 5 + (5 sen x − cos x)e5x 26 + C 48. tan x 1 + ln2 (2 cos x) e5 arctan(ln(2 cos x)) dx 49. x 1 + √ 1 − x2 2n n dx x √ 1 − x2
Walter Arriaga D. Matem´atica II 47 50. (ln x)mx 1 ln x + ln(ln x) dx 51. x arctan x2 + 1dx 52. e1/x e3 ln x + 2ex+ln x cos x dx R. e1/x − e1/x x + xex cos x + (x − 1)ex sen x + C 53. arcsen x + x √ 1 − x2 dx R. x arcsen x + C 54. ex (cot x + ln(sen x))dx 55. e 4√ x dx 56. 1 x3 sen 1 x dx R. 1 x cos 1 x − sen 1 x + C 57. 1 x4 cos 1 x dx R. − 1 x2 sen 1 x + 1 x cos 1 x + 2 sen 1 x + C 58. x cos √ x dx 59. 1 √ x 5 sen 1 √ x dx 60. arcsen √ 2x √ 1 − 2x dx 61. x17 ln(x2 ) dx 62. senh−1 x a dx 63. tanh−1 x a dx 64. x2 arc cos x a dx 65. x2 arctan x a dx 66. coth−1 x a dx 67. ex(x2 − 8) (x − 2)2 dx
48 Matem´atica II Walter Arriaga D. 68. esen x (sec2 x − csc2 x + csc x) dx 69. esenh−1 x(x √ 1 + x2 + 1) (1 + x2)3/2 dx 70. e2x sec2 ex dx 71. x3 ln 1 x dx 72. x2 ln 1 x2 dx 73. xn ln 1 xn dx 74. ex arcsen ex dx 75. xex (ex + xex )exex dx 76. x4 ln(xex ) dx 77. x + 1 x (x + ln x) cos(x + ln x) dx III. Integraci´on de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto: 1. 4 x2 − 2x − 3 dx R. ln(x − 3) − ln(x + 1) + C 2. 1 √ x2 − 2x − 3 dx R. ln(x − 1 + √ x2 − 2x − 3) + C 3. x − 9 x2 + 2x − 3 dx R. 3 ln(x + 3) − 2 ln(x − 1) + C 4. x − 9 √ x2 + 2x − 3 dx R. √ x2 + 2x − 3 − 10 ln(x + 1 + √ x2 + 2x − 3) + C 5. 7x + 3 4x2 + 4x + 10 dx R. 7 8 ln(2x2 + 2x + 5) − 1 12 arctan 2x + 1 3 + C 6. 8 √ 4x2 − 4x + 10 dx R. 4 ln |2x − 1 + √ 4x2 − 4x + 10| + C 7. 7x + 3 √ 4x2 + 4x + 10 dx R. 7 4 √ 4x2 + 4x + 10 − 1 4 ln |2x + 1 + √ 4x2 + 4x + 10| + C
Walter Arriaga D. Matem´atica II 49 8. 2x − 1 √ x2 + 2x − 3 dx R. 2 √ x2 + 2x − 3 − 3 ln |x + 1 + √ x2 + 2x − 3| + C 9. 3x + 5 √ 9x2 + 12x − 21 dx R. 1 3 √ 9x2 + 12x − 21 + ln |3x + 2 + √ 9x2 + 12x − 21| + C 10. 4x + 8 3 + 2x − x2 dx R. −2 ln |3 + 2x − x2| − 3 ln | x − 3 x + 1 | + C 11. x + 2 √ 3 + 2x − x2 dx 12. 2x + 1 √ −7 + 8x − x2 dx 13. 12x + 8 √ 15 + 4x − 4x2 dx R. 7 arcsen 2x − 1 4 − 3 √ 15 + 4x − 4x2 + C 14. 6x − 4 4x2 − 4x + 1 dx R. 1 2(2x − 1) + 3 2 ln(2x − 1) + C 15. 3x + 6 √ 2x2 + 8x + 3 dx R. 3 2 √ 2x2 + 8x + 3 + √ 2 ln √ 2(x + 2) + √ 2x2 + 8x + 3 + C 16. 9x − 2 √ −4x2 + 12x + 16 dx 17. 2 sec2 x tan2 x + 6 tan x + 8 dx R. ln | tan x + 2| − ln | tan x + 4| + C 18. sec x tan x √ sec2 x + 6 sec x + 8 dx R. ln | sec x + 3 + √ sec2 x + 6 sec x + 8| + C 19. 10x3 − 5x √ x4 − x2 + 6 dx R. 5 √ x4 − x2 + 6 + C 20. 5ex 9e2x + 30ex + 29 dx 21. 3 cos x 31 − 24 sen x − 4 cos2 x dx 22. 2 ln x + 3 x 15 + 6 ln x − 9 ln2 x dx R. − 2 9 15 + 6 ln x − 9 ln2 x + 11 9 arcsen 3 ln x − 1 4 + C
50 Matem´atica II Walter Arriaga D. 23. (3x ln x − 2)(ln x + 1) 35 − 12x ln x − 36x2 ln2 x dx R. −1 144 ln |6x ln x − 5| − 11 144 ln |6x ln x + 7| + C 24. √ x + 2 2 √ x 3 + 2 √ x − x dx 25. (4x sen x + 8)(x cos x + sen x) 3 + 2x sen x − x2 sen2 x dx 26. (4ex sen x + 3)(cos x + sen x)ex 4e2x sen2 x + 4ex sen x − 15 dx 27. (xex − 9)(xex + ex) x2e2x + 2xex − 3 dx 28. x x − a dx 29. √ 1 − x √ 2 − x dx 30. a + x x dx 31. 4 − x 2 + x dx IV. Integraci´on de funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas: 1. sen2 2x dx 2. cos2 3x dx 3. senh2 4x dx 4. cosh2 5x dx 5. sen3 6x dx 6. cos3 7x dx 7. sen4 x dx R. 3x 8 − sen 2x 4 + sen 4x 32 + C 8. sen5 x dx R. − cos x − 2 cos3 x 3 − cos5 x 3 + C 9. sen6 x dx R. 5x 16 − sen 2x 4 + sen3 2x 48 + C
Walter Arriaga D. Matem´atica II 51 10. cos4 x dx R. 3x 8 + sen 2x 4 + sen 4x 32 + C 11. cos5 x dx 12. cos6 x dx 13. sen x cos2 x dx 14. sen2 x cos2 x dx 15. sen3 x cos2 x dx 16. sen3 x cos x dx 17. sen3 5x cos3 5x dx R. − cos4 5x 20 + cos6 5x 30 + C 18. sen4 2x cos2 2x dx R. x 16 − sen8 x 128 − sen3 4x 96 + C 19. sen2 3x cos4 3x dx 20. sen3 x cos3 x dx R. sen4 x 4 − sen6 x 6 + C 21. sen4 x cos2 x dx R. x 16 − sen 4x 64 − sen3 2x 48 + C 22. sen4 x cos4 x dx R. 3x 128 − sen 4x 128 + sen 8x 1024 + C 23. sen4 x cos3 x dx R. sen5 x 5 − sen7 x 7 + C 24. sen3 x cos5 x dx R. − cos6 x 6 + cos8 x 8 + C
52 Matem´atica II Walter Arriaga D. 25. sen3 x 3 cos4 x 3 dx 26. sen5 x cos2 x dx R. − cos3 x 3 + 2 cos5 x 5 − cos7 x 7 + C 27. sen2 x 2 cos5 x 2 dx 28. sen4 x cos5 x dx R. sen5 x 5 − 2 sen7 x 7 + sen9 x 9 + C 29. sen5 x cos4 x dx R. − cos5 x 5 + 2 cos7 x 7 − cos9 x 9 + C 30. sen5 x cos5 x dx 31. sen6 x cos6 x dx 32. 4 tan3 2x dx R. sec2(2x) − 2 ln(sec 2x) + C 33. tan4 x dx R. tan3 x 3 − tan x + x + C 34. tan4 x 2 dx 35. tan5 x dx R. sec4 x 4 − sec2 x + ln | sec x| + C 36. tan6 x dx R. tan5 x 5 − tan3 x 3 + tan x − x + C 37. sec3 2x dx 38. sec4 x 2 dx R. 2 tan x 2 + 2 3 tan3 x 2 + C 39. sec5 x dx 40. sech5 x dx
Walter Arriaga D. Matem´atica II 53 41. tan2 x sec x dx 42. sec6 x dx R. tan5 x 5 + 2 tan3 x 3 + tan x + C 43. tan3 x sec2 x dx R. tan4 x 4 + C 44. tan3 x sec3 x dx R. sec5 x 5 − sec3 x 3 + C 45. tan2 x sec4 x dx R. tan5 x 5 + tan3 x 3 + C 46. tan4 x sec2 x dx 47. tan4 x sec4 x dx 48. tan3 x sec4 x dx 49. tan5 x sec4 x dx R. tan6 x 6 + tan8 x 8 + C 50. tan5/2 x sec4 x dx R. 2 7 tan7/2 x + 2 11 tan11/2 x + C 51. 3 sen2 x cos14 x dx 52. dx cos3 x √ sen 2x 53. √ sen3 2x sen5 x dx 54. sen 2x sen 3x dx R. sen x 2 − sen 5x 10 + C 55. sen 3x cos 2x dx R. − cos 5x 10 − cos x 2 + C
54 Matem´atica II Walter Arriaga D. 56. cos 5x cos 3x dx R. sen 2x 4 + sen 8x 16 + C 57. sen x 5 sen x 2 dx R. 5 3 sen 3x 10 − 5 7 sen 7x 10 + C 58. sen x 2 cos x 3 dx R. −3 cos x 6 − 3 5 cos 5x 6 + C 59. cos x 4 cos x 2 dx R. 2 sen x 4 + 2 3 cos 3x 4 + C 60. sen x sen 2x sen 3x dx R. − cos 2x 8 − cos 4x 16 + cos 6x 24 + C 61. cos x cos 3x cos 4x dx R. sen 2x 8 + sen 6x 24 + sen 8x 32 + x 4 + C 62. x sen2 (x2 ) cos3 (x2 ) dx 63. sen3 (ex ) cos2 (ex ) ex dx R. − cos3 ex 3 + cos5 ex 5 + C 64. sen(3ex ) cos(2ex ) ex dx R. − cos(ex) 2 − cos(5ex) 10 + C 65. sen2(ln x) cos2(ln x) x dx R. − ln x 8 − sen(4 ln x) 32 + C 66. sen x + sen 2x + · · · + sen nx cos x + cos 2x + · · · + cos nx dx V. Integraci´on por sustituci´on trigonom´etrica: 1. x2 − 4 dx R. x √ x2 − 4 2 − 2 ln |x + √ x2 − 4| + C
Walter Arriaga D. Matem´atica II 55 2. dx x √ x2 − 1 R. arcsec x + C 3. 16 dx x2 √ 16 − x2 R. − √ 16 − x2 x + C 4. x2 dx √ x2 − 16 R. x √ x2 − 16 2 + 8 ln |x + √ x2 − 16| + C 5. √ 9 − x2 x2 dx R. − √ 9 − x2 x − arcsen x 3 + C 6. x2 √ 9 − x2 dx R. 9 2 arcsen x 3 − x √ 9 − x2 2 + C 7. √ x2 − 9 x dx R. √ x2 − 9 + 3 arctan 3 √ x2 − 9 + C 8. 2 dx x3 √ x2 − 1 R. √ x2 − 1 x2 + arcsecx + C 9. dx (4 − x2)3 R. x 4 √ 4 − x2 + C 10. dx (4x − x2)3/2 R. x − 2 4 √ 4x − x2 + C 11. 2x − 5 √ 4x − x2 dx R. −2 √ 4x − x2 − arcsen x − 2 2 + C 12. 2x − 3 (x2 + 2x − 3)3/2 dx R. − 2 √ x2 + 2x − 3 + 5 4 x + 1 √ x2 + 2x − 3 + C 13. 4x2 + 3 (1 + x2)2 dx
56 Matem´atica II Walter Arriaga D. R. 7 2 arctan x − x 2(x2 + 1) + C 14. 3x3 √ 9 − x2 dx R. −(x2 + 18) √ 9 − x2 + C 15. 2x2 √ 4 − x2 dx R. 4 arcsen x 2 − x √ 4 − x2 + C 16. 4x4 √ 4 − x2 dx R. 24 arcsen x 2 − (x3 + 6x) √ 4 − x2 + C 17. √ x2 − 25 x4 dx R. (x2 − 25)3 75x3 + C 18. √ 25 − x2 x dx R. 5 ln 5 − √ 25 − x2 x + √ 25 − x2 + C 19. x2dx (36 − x2)3 R. x √ 36 − x2 − arcsen x 6 + C 20. x2 16 − x2 dx R. 32 arcsen x 4 + x(x2 − 8) 4 √ 16 − x2 + C 21. 4dx x2 √ 4 + x2 R. − √ 4 + x2 x + C 22. 20x4dx ( √ 4 − x2)7 R. x5 ( √ 4 − x2)5 + C 23. √ 2 dx (x2 + 1) √ 1 − x2 R. arctan √ 2 x √ 1 − x2 + C 24. 6x3 dx √ 2x2 + 7
Walter Arriaga D. Matem´atica II 57 R. (x2 − 7) √ 2x2 + 7 + C 25. 3 dx x4 √ x2 + 5 R. (2x2 − 5) √ x2 + 5 25x3 + C 26. 3 √ x2 − 2x x3 dx R. √ x2 − 2x x 3 + C 27. x4 dx (16 − x2)7/2 R. x5 80(16 − x2)5/2 + C 28. 9 dx (4x2 − 24x + 27)3 R. 3 − x √ 4x2 − 24x + 27 + C 29. 2ex(cos x + sen x) dx e3x sen3 x √ e2x sen2 x − 1 R. √ e2x sen2 x − 1 e2x sen2 x + C 30. dx sen2 x √ 16 + 9 tan2 x R. − √ 16 + 9 tan2 x 16 tan x + C 31. sec x tan x dx (sec2 x − 2 sec x + 5)3/2 R. − 1 − sec x 4 √ sec2 x − 2 sec x + 5 + C 32. dx x ln x ln2 x − 1 R. arcsen(ln x) + C 33. √ 9 − x2e2x x2ex (x + 1)dx R. − √ 9 − x2e2x xex − arcsen xex 3 + C 34. 5 √ x2 + 2x − 24 (x + 1)4 dx R. (x2 + 2x − 24)3 15(x + 1)3 + C 35. 6 sen3 x cos x dx √ 2 sen2 x + 7 R. (sen2 x − 7) √ 2 sen2 x + 7 + C
58 Matem´atica II Walter Arriaga D. 36. √ a − x √ a − √ x R. a arcsen(x/a) − 2 √ a2 − ax − a − x √ x + C 37. dx √ tan2 x + 5 38. √ 1 − x2 x4 arcsen x dx R. − (1 − x2)3 3x3 arcsen x − 1 6x2 − ln x 3 + C 39. 2a + x a + x a − x a + x dx R. √ a2 − x2 − 2a a − x a + x + C 40. arctan x a x2 dx R. − 1 x arctan x a + 1 2a ln a2 + x2 x2 + C 41. arc cos x a x2 dx R. − 1 x arc cos x a + 1 a ln a + √ a2 − x2 x + C 42. dx (x2 cos2 a + x sen 2a + 1)3/2 R. 1 cos3 a x cos a + sen a √ x2 cos2 a + x sen 2a + 1 + C 43. e2x − 25dx 44. 9 cos x dx sen2 x √ 9 + sen2 x R. − √ 9 + sen2 x sen2 x + C 45. 4 dx x (4 − ln2 x)3 46. 25 sec2 x dx tan2 x √ 25 − tan2 x R. − √ 25 − tan2 x tan x + C 47. 8 dx x ln x ln2 x − 4 R. 4 arcsec ln x 2 + C 48. (xex + ex) dx xex √ 1 + x2e2x
Walter Arriaga D. Matem´atica II 59 49. ex dx (e2x − 1) √ e2x − 2 50. dx √ tan2 x + 5 VI. Integraci´on de funciones racionales: 1. 2 x2 − 4 dx R. 1 2 ln |x − 2| − 1 2 ln |x + 2| + C 2. 1 x2 − x − 6 dx R. 1 5 ln |x − 3| − 1 5 ln |x + 2| + C 3. 5 x2 − 2x − 24 dx R. 1 2 ln |x − 6| − 1 2 ln |x + 4| + C 4. 2x + 1 x3 + 2x2 − x − 2 dx R. 1 2 ln |x + 1| − ln |x + 2| + 1 2 ln |x − 1| + C 5. x + 3 x3 − 6x2 + 11x − 6 dx R. 3 ln |x − 3| − 5 ln |x − 2| + 2 ln |x − 1| + C 6. 8x + 25 2x2 − 7x − 15 dx R. 5 ln |x − 5| − ln |2x + 3| + C 7. 11x − 6 2x2 + x − 6 dx 8. 6x − 110 2x2 − 11x − 21 dx R. 7 ln |2x + 3| − 4 ln |x − 7| + C 9. x2 − 6x − 1 x3 − 1 dx R. −2 ln |x − 1| + 3 2 ln |x2 + x + 1| − 5 √ 3 arctan 2x + 1 √ 3 + C 10. x3 − 5x2 + 15x − 24 x2 − 5x + 6 dx R. x2 2 + 6 ln |x − 2| + 3 ln |x − 3| + C 11. x4 + 3x2 − 11x + 6 x3 − 8 dx R. x2 2 + ln |x − 2| + ln |x2 + 2x + 4| − √ 3 arctan x + 1 √ 3 + C
60 Matem´atica II Walter Arriaga D. 12. x2 − 8x + 18 x3 − 3x2 + 4 dx R. 3 ln |x + 1| − 2 ln |x − 2| − 2 x − 2 + C 13. 7x2 − 14x + 5 x3 − 2x2 + x dx R. 5 ln |x| + 2 ln |x − 1| + 2 x − 1 + C 14. x5 + x4 − 3x3 − 3x2 + 3x + 7 x3 + 2x2 − x − 2 dx R. x3 3 − x3 2 − 2 ln |x + 1| − ln |x + 2| + ln |x − 1| + C 15. x4 − 7x3 + 9x2 + 3x + 24 x3 − 7x2 + 12x dx R. x2 2 + 2 ln |x| − 3 ln |x − 4| − 2 ln |x − 3| + C 16. x2 − 13x + 13 x3 − 3x2 + 4 dx R. −2 ln |x − 2| + 3 ln |x + 1| + 3 x − 2 + C 17. 3x − 11 x3 − x2 + 3x − 3 dx R. −2 ln |x − 1| + ln |x2 + 3| + 5 √ 3 arctan x √ 3 + C 18. x4 − 4x3 + 4x2 − 16x + 59 x3 − 4x2 + x + 6 dx R. x2 2 + 5 ln |x − 3| + 7 ln |x + 1| − 9 ln |x − 2| + C 19. x2 + 3x + 3 x3 + 3x2 + 3x + 1 dx R. −1 2(x + 1)2 − 1 x + 1 + ln |x + 1| + C 20. 4x3 − 2x2 + 4x − 2 x4 + x2 + 1 dx R. ln(x4 + x2 + 1) − 4 √ 3 arctan 2x + 1 √ 3 + C 21. 2x + 3 x4 − 4 dx R. 1 4 ln x2 − 2 x2 + 2 + 3 8 √ 2 ln x − √ 2 x + √ 2 − 3 √ 2 8 arctan x √ 2 + C 22. 8 x4 + 1 dx R. √ 2 ln x2 + √ 2 x + 1 x2 − √ 2 x + 1 + 2 √ 2 arctan( √ 2 x + 1) − 2 √ 2 arctan( √ 2 x − 1) + C
Walter Arriaga D. Matem´atica II 61 23. 16 x4 + 4 dx R. ln x2 + 2x + 2 x2 − 2x + 2 + 2 arctan(x + 1) + 2 arctan(x − 1) + C 24. x2 − x + 3 x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 4 dx R. 13 ln x + 2 x + 1 − 5 x + 1 − 9 x + 2 + C 25. x3 − x x4 + 2x3 − 4x2 + 8x − 32 dx R. 1 8 ln |x − 2| + 1 2 ln |x + 4| + 3 16 ln(x2 + 4) − 1 8 arctan x 2 + C 26. 6x 40 + (x − 1)(x − 3)(x + 4)(x + 6) dx R. 1 2 ln x2 + 3x − 14 x2 + 3x − 8 + 3 2 √ 65 ln 2x + 3 − √ 65 2x + 3 + √ 65 − 3 2 √ 41 ln 2x + 3 − √ 41 2x + 3 + √ 41 + C 27. 19(x2 + 2x − 3) 2x3 − x2 − x − 3 dx R. 5 2 ln(x2 + x + 1) + 9 2 ln |2x − 3| + 13 √ 3 arctan 2x + 1 √ 3 + C 28. x4 + 12x3 + 40x2 + 48x + 8 x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 12 dx 29. 5x3 − 16x2 + 24 − 24x x4 − x3 − 6x2 + 4x + 8 dx R. 4 x − 2 + 2 ln |x + 2| + 3 ln |x + 1| + C 30. 4(3x − 1)(3x2 + x − 2) (3x + 4)(3x − 1)(x − 1)(3x + 2) + 7 dx 31. 2x7 − 4x6 − 5x5 − 23x4 − 17x3 + 19x2 + 20x + 68 x8 − 17x4 + 16 dx 32. 2x2 + 4x − 1 x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 dx R. − 1 3 8x + 7 x2 + x + 1 − 4 √ 3 9 arctan 2x + 1 √ 3 + C 33. 24(x2 + 3) (2x2 − 3x − 5)2 − (x2 − 3x − 4)2 dx R. − 4 x + 1 + ln |x + 1| − 4 ln |x − 1| + 3 ln |x − 3| + C 34. x2 + x + 1 x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1 dx 35. 7x2 + 15 + x3 − 3x x4 − 9 dx 36. 5 (x + 1)5 − x5 − 1 dx
62 Matem´atica II Walter Arriaga D. 37. 4x4 + 6x3 + 4x2 + 2x − 1 x5 + x4 + x3 dx 38. 9x4 − 39x3 − 48x2 − 47x − 3 27x5 − 27x4 − 18x3 + 10x2 + 7x + 1 dx 39. 3x4 + 2 √ 2x3 − 3x2 − 2 √ 2x2 + 4 √ 2x − 6 − 4 √ 2 x5 − x4 − 4x + 4 dx 40. 6x2 + 4x + 6 x5 + x4 − 2x3 − 2x2 + x + 1 dx 41. 2x5 − 3x4 + 3x3 − 6x2 + x − 1 x6 − 2x5 + 3x4 − 4x3 + 3x2 − 2x + 1 dx 42. 2x7 + 12x6 − 5x5 + 21x4 − 13x3 − 73x2 + 30x − 114 x8 − 13x4 + 36 dx 43. dx x6 + 1 44. 1 x x − 1 x + 1 dx 45. sec x sec 2x dx 46. dx (cos2 x + 4 sen x − 5) cos x 47. tan x dx (sec999 x + 1)2 48. dx cos x √ 2 + sen x 49. dx x4 + a2x2 + a2 50. Determinar un polinomio cuadr´atico p(x) tal que p(0) = 1, p′(0) = 0, de modo que p(x) dx x3(1 − x)2 es una funci´on racional. VII. Integraci´on de funciones racionales trigonom´etricas: 1. dx 4 + 3 cos x R. 2 √ 7 arctan tan(x/2) √ 7 + C 2. dx 4 + 3 sen x R. 2 √ 7 arctan 4 tan(x/2) + 3 √ 7 + C 3. dx 2 + 3 cos x R. 1 √ 5 ln tan(x/2) + √ 5 tan(x/2) − √ 5 + C
Walter Arriaga D. Matem´atica II 63 4. dx 2 + 3 sen x R. 1 √ 5 ln 2 tan(x/2) + 3 − √ 5 2 tan(x/2) + 3 + √ 5 + C 5. dx sen x + cos x R. − 1 √ 2 ln tan(x/2) − 1 − √ 2 tan(x/2) − 1 + √ 2 + C 6. dx sen x − cos x R. 1 √ 2 ln tan(x/2) + 1 − √ 2 tan(x/2) + 1 + √ 2 + C 7. dx a sen x + b cos x 8. dx 1 + sen x + cos x 9. dx 1 + sen x − cos x 10. dx 1 + 2 sen x + 3 cos x 11. dx 3 + 2 sen x + cos x 12. sen x dx 1 + sen x R. 2 tan(x/2) + 1 + x + C 13. cos x dx 1 + cos x R. x − tan(x/2) + C 14. sen x dx 1 + sen2 x 15. sen x dx 1 + cos2 x 16. sen x dx 2 − sen x 17. 1 − sen x 1 + sen x dx R. −x − 4 tan(x/2) + 1 + C 18. 1 − cos x 1 + cos x dx 19. 1 − cos x 1 + sen x dx
64 Matem´atica II Walter Arriaga D. 20. dx (5 + cos x)(4 + cos x) R. 2 √ 15 arctan √ 15 tan(x/2) 5 − 1 √ 6 arctan √ 6 tan(x/2) 3 + C 21. 4 dx (1 + sen x)(2 + cos x) R. 2 tan(x/2) − ln | tan2(x/2) + tan(x/2) + 1| + 2 √ 3 arctan 2 tan(x/2) + 1 √ 3 + C 22. dx (5 + cos x)(4 + cos x) 23. dx cos x + 2 sen x + 3 24. dx 8 − 4 sen x + 7 cos x 25. 3 sen x − 2 cos x 2 sen x − 3 cos x dx 26. 1 − cos x (2 + cos x)(3 + cos x) dx 27. 1 − sen x (2 + sen x)(3 + sen x) dx 28. 1 + tan x 1 − tan x dx 29. dx sen2 x − 3 sen x cos x + 2 cos2 x R. ln tan x − 2 tan x − 1 + C 30. dx sen2 x − 3 sen x cos x + 3 cos2 x 31. sen2 x 1 + cos2 x dx R. √ 2 arctan tan x √ 2 − x + C 32. 1 − sen2 x 1 + cos2 x dx 33. dx sen2 x + tan2 x R. − 1 2 tan x − 1 2 √ 2 arctan tan x √ 2 + C 34. dx 2 + sen2 x − cos2 x 35. dx 3 + 2 sen2 x + cos2 x 36. 2 + tan2 x 2 − tan2 x dx
Walter Arriaga D. Matem´atica II 65 37. cos2 x − tan2 x sen2 x + tan2 x dx 38. 2 + sen2 x − cos2 x 2 − sen2 x + cos2 x dx 39. sen4 x + cos4 x sen2 x − cos2 x dx 40. sen4 x + tan4 x sen4 x − tan4 x dx 41. sec x dx sec x + 2 tan x − 1 42. sec x dx 2 sec x + 1 R. 2 √ 3 arctan tan(x/2) √ 3 + C 43. csc x dx 2 csc x + 1 R. 2 √ 3 arctan 2 tan(x/2) + 1 √ 3 + C VIII. Integraci´on de funciones irracionales: 1. x + 2 √ 4 − 2x − x2 dx R. − √ 4 − 2x − x2 + arcsen x + 1 √ 5 + C 2. dx x √ 3x2 + 2x − 1 R. − arcsen 1 − x 2x + C 3. dx (x + 4) √ x2 + 3x − 9 dx 4. dx (x + 1) 3 √ 1 + 3x + 3x2 5. 1 + x 1 − x dx R. 2 arctan 1 + x 1 − x − 2 1 + x 1 − x + C 6. 3 1 − x 1 + x dx x R. ln |z2 − 1| − 1 2 ln |z4 + z2 + 1| − √ 3 arctan 2z + 1 √ 3 + √ 3 arctan 2z − 1 √ 3 + C, donde z = 3 1 − x 1 + x 7. √ 4 + x2 5 + √ 4 + x2 dx
66 Matem´atica II Walter Arriaga D. 8. x2 + √ 1 + x 3 √ 1 + x dx R. 6 6 √ 1 + x 16 16 − 6 √ 1 + x 10 5 + 6 √ 1 + x 4 4 + 6 √ 1 + x 7 7 + C 9. 1 + 2 6 √ x − 2 3 (x − 2)2 − √ x − 2 dx R. 4 √ x − 2 + 9 3 √ x − 2 + 18 6 √ x − 2 + 3 ln | 6 √ x − 2 − 1| + C 10. dx √ x + 2 + 3 √ x + 2 dx 11. x − 3 √ x − 2 x2 − 3 (x − 2)2 dx 12. √ x − 1 + 3 √ x − 1 x − 2 dx 13. 3x2 − 5x √ 3 − 2x − x2 dx R. 19 − 3x 2 √ 3 − 2x − x2 + 14 arcsen x + 1 2 + C 14. 8x2 √ x2 − x + 1 dx R. (4x + 3) √ x2 − x + 1 − ln |2x − 1 + 2 √ x2 − x + 1| + C 15. dx (x2 + 2x + 1) √ x2 + 2x − 8 R. 1 9 √ x2 + 2x − 8 x + 1 + C 16. 16 dx (x3 + 3x2 + 3x + 1) √ x2 + 2x − 3 R. 2 √ x2 + 2x − 3 (x + 1)2 − arcsen 2 x + 1 + C 17. dx (x − 1)2 √ 4x2 + x + 4 dx 18. 9 + √ x dx R. 4 5 9 + √ x 5 − 12 9 + √ x 3 + C 19. dx √ x3 3 1 + 4 √ x3 R. 2 3 x−3/4 + 1 2 + C 20. x3 (1 + 2x2 )−3/2 dx R. x2 + 1 2 √ 1 + 2x2 + C 21. x1/2 (1 + x1/3 )−1 dx
Walter Arriaga D. Matem´atica II 67 22. √ x (1 + 3 √ x)2 dx 23. dx √ x 3 √ x(1 + 3 √ x)2 24. 3 √ x dx ( 3 √ x + 1)2 R. 3 2 3 √ x2 − 6 3 √ x + 9 ln( 3 √ x + 1) + 3 3 √ x + 1 + C 25. 3 √ x + 1 dx 3 √ x R. 6 5 ( 3 √ x + 1)5/2 − 2( 3 √ x + 1)3/2 + C 26. dx (1 + x2)3 R. x √ 1 + x2 + C 27. dx 3 √ x2(1 + 3 √ x2) R. 3 arctan( 3 √ x) + C 28. dx x2(1 + x2)3/2 R. − 1 + 2x2 x √ 1 + x2 + C 29. 1 + 3 √ x 3 √ x2 dx R. 2(1 + 3 √ x)3/2 + C 30. 50 − 25 3 √ x 3 √ x dx R. −2(4 + 3 3 √ x)(2 − 3 √ x)3/2 + C 31. 40x5 (1 + x3 )2/3 dx R. (5x3 − 3)(1 + x3)5/3 + C 32. 15 3 √ x 4 2 + 3 √ x2 dx R. 4 (2 + 3 √ x2)5(10 3 √ x2 − 16) + C 33. dx x3 3 √ 1 + x3 R. − 3 (1 + x3)2 2x2 + C 34. 100 dx x5 5 √ 25 − x5 R. − 5 25 − x5 x5 4 + C
68 Matem´atica II Walter Arriaga D. 35. x2 dx 1 + x3 + (1 + x3)3 36. 3x2 + 4 2 √ x(4 − 3x2) √ 3x2 + x − 4 dx 37. (1 + x2)3 x6 dx R. − (1 + x2)5 5x5 + C 38. √ 1 + x8 x13 dx R. − (1 + x8)3 12x12 + C
2 LA INTEGRAL DEFINIDA Objetivos Definir la partici´on de un intervalo cerrado y en particular conocer la llamada partici´on regular. Aplicar las sumas de Riemann en el c´alculo de ´areas de regiones planas. Interpretar geom´etricamente la integral definida. Utilizar la integral en las aplicaciones geom´etricas elementales de c´alculo de ´areas y volu- menes. 2.1. Introducci´on El c´alculo integral tiene sus or´ıgenes en los llamados problemas de cuadraturas. Inicialmen- te, en la antigua Grecia, dichos problemas eran geom´etricos y consist´ıan en construir, siguiendo reglas precisas, un cuadrado con ´area igual a la de una figura plana dada. En el siglo XVII, con el descubrimiento de nuevas curvas, los aspectos geom´etricos de estos problemas pasaron a un segundo plano y las t´ecnicas de c´alculo ocuparon su lugar, los problemas de cuadraturas pasaron a ser simplemente problemas de c´alculo de ´areas y de vol´umenes. Se atribuye a Eu- doxo la invenci´on del m´etodo de exhausci´on, una t´ecnica para calcular el ´area de una regi´on aproxim´andola por una sucesi´on de pol´ıgonos. Arqu´ımedes perfeccion´o este m´etodo y, entre otros resultados, calcul´o el ´area de un segmento de par´abola y el volumen de un segmento de paraboloide, as´ı como el ´area y el volumen de una esfera. Sorprende que, siendo tan antiguos sus or´ıgenes, la primera definici´on matem´atica de in- tegral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy. Una posible explicaci´on es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integraci´on fue considerada como la operaci´on inversa de la derivaci´on; el c´alculo integral consist´ıa esencialmente en el c´alculo de primitivas. Naturalmente, se conoc´ıa la utilidad de las integrales para calcular ´areas y vol´umenes, pero 69
70 Matem´atica II Walter Arriaga D. los matem´aticos de la ´epoca consideraban estas nociones como dadas de forma intuitiva y no vieron la necesidad de precisar su significaci´on matem´atica. Los trabajos de Joseph Fou- rier (1768–1830) sobre representaci´on de funciones por series trigonom´etricas, hicieron que el concepto de funci´on evolucionara, desde la idea restrictiva de funci´on como f´ormula, hasta la definici´on moderna de funci´on dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la integral de estas nuevas funciones m´as generales se vio la necesidad de precisar matem´atica- mente los conceptos de ´area y de volumen. La definici´on de la integral de Cauchy segu´ıa la tradicional aproximaci´on del ´area por rect´angulos, en este sentido no era nada original; la novedad estaba en el hecho de considerar a la integral como un objeto matem´atico merecedor de estudio por s´ı mismo, y en el prop´osito de atribuirle un significado independiente de las t´ecnicas que pudieran utilizarse en los c´alculos. Este significado propio de la integral remite de forma inevitable a la idea de ´area. Ning´un matem´atico anterior al siglo XIX hab´ıa considerado necesario elaborar una teor´ıa matem´atica del concepto de ´area; es en dicho siglo cuando el concepto de ´area adquiere un significado matem´atico preciso o, mejor dicho, varios significados matem´aticos, porque dicho concepto evolucion´o hasta que, en la primera d´ecada del siglo XX, adquiri´o esencialmente su forma actual. 2.2. Sumatorias En geometr´ıa elemental se deducen f´ormulas para las ´areas de muchas figuras planas, pero escasamente se da una definici´on precisa de lo que significa ´area. En muchas ocasiones se define el ´area de una region como el numero de cuadrados de lado unidad que caben en la region. Sin embargo, dicha definici´on solo es aceptable para algunas regiones simples del plano. Se conocen fundamentalmente tres formas de acercarse a la definici´on de integral: a trav´es de funciones escalonadas, a trav´es de las sumas superiores e inferiores (sumas de Darboux) y a traves de las llamadas sumas de Riemann. En este texto lo hacemos siguiendo la tercera forma, por ser la manera cl´asica en los textos de c´alculo y la que menos exigencias tiene del an´alisis real para su comprensi´on. Definici´on 2.2.1. Sean m y n dos n´umeros enteros tales que m ≤ n y f una funci´on definida para cada i ∈ Z, con m ≤ i ≤ n, entonces la sumatoria de los t´erminos f(i) desde k = m hasta k = n se define como: n i=m f(i) = f(m) + f(m + 1) + f(m + 2) + · · · + f(n − 1) + f(n) (2.1) donde: es la letra griega sigma que simboliza la sumatoria.
Walter Arriaga D. Matem´atica II 71 i es el ´ındice de la sumatoria. m es el l´ımite inferior. n es el l´ımite superior. Propiedades: n i=m c = (n − m + 1)c, c es constante. n i=m [f(i) ± g(i)] = n i=m f(i) ± n i=m g(i) n i=m [kf(i)] = k n i=m f(i) n i=m [f(i) − f(i − 1)] = f(n) − f(m − 1) n i=m [f(i + 1) − f(i − 1)] = f(n + 1) + f(n) − f(m) − f(m − 1) 2.3. Area de una regi´on plana por sumatorias Partici´on de un intervalo cerrado: Definici´on 2.3.1. Una partici´on P del intervalo [a, b], con a < b, es un conjunto finito de puntos P = {x0, x1, x2, . . . , xn} tales que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b Observaci´on 2.3.1. Dos particiones P y Q de un mismo intervalo [a, b] son diferentes si difieren por lo menos en un punto. Toda partici´on de [a, b] contiene por definici´on al menos los puntos a y b; por tanto, siempre es un conjunto no vac´ıo. Toda partici´on P = {x0, x1, x2, . . . , xn} de [a, b] divide a dicho intervalo en n subinter- valos cerrados: I1 = [x0, x1], I2 = [x1, x2], . . ., Ii = [xi−1, xi], . . ., In = [xn−1, xn]. La longitud de cada subintervalo Ii = [xi−1, xi], para i = 1, 2, . . . , n denotada por ∆xi, se define como ∆xi = xi − xi−1
72 Matem´atica II Walter Arriaga D. n i=1 ∆xi = n i=1 (xi − xi−1) = b − a La norma o di´ametro de la partici´on P es el n´umero: P = m´ax{∆xi / i = 1, 2, . . . , n} Cuando el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos que tienen la misma longitud, es decir ∆x1 = ∆x2 = · · · = ∆xn = ∆x, entonces la longitud de cada subintervalo es ∆x = b − a n , a este tipo de partici´on se le denomina partici´on regular y se cumple que: x0 = a x1 = a + ∆x x2 = a + 2∆x ... xi = a + i∆x ... xn = b Si P y Q son dos particiones de [a, b], diremos que P es m´as fina que Q si Q ⊆ P ∆xi > 0 para todo i = 1, 2, . . . , n, puesto que xk > xk−1. En consecuencia P ≥ 0 ∆xi ≤ P para todo i = 1, 2, . . . , n Si P y Q son dos particiones de [a, b], y si Q es una partici´on mas refinada que P, entonces Q ≤ P Decir que P −→ 0 es equivalente a decir que n −→ ∞. 2.4. La integral de Riemann Se parte de un problema particular, como es el problema del ´area de una regi´on plana, el cual dio origen al c´alculo integral. El m´etodo expuesto, conocido como ✭✭m´etodo de los recu- brimientos✮✮, se debe a Arqu´ımedes, el m´as grande de los matem´aticos griegos y uno de los mayores de toda la historia de la humanidad, quien determin´o el ´area de un segmento parab´oli- co por este m´etodo, que a´un hoy, despu´es de conocer los modernos m´etodos infinitesimales, resulta laborioso. 2.4.1. ´Area bajo una curva a trav´es de sumas superiores e inferiores Partiremos de una idea intuitiva de lo que entendemos por area y profundizaremos luego para llegar a una definicion apropiada de la integral (segun Riemann).
Walter Arriaga D. Matem´atica II 73 Supongamos que f es una funcion continua en [a, b] y tal que f(x) ≥ 0 para todo x perteneciente al intervalo [a, b]. Deseamos determinar, en una forma razonable, la manera de asignar un valor al ´area de la region Ω limitada por las rectas x = a, x = b, el eje X y la curva y = f(x) X Y Ω y = f(x) a 0 b Sea A el ´area de la regi´on Ω. Lo que hacemos es aproximarnos a este valor mediante rect´angulos cuyas ´areas se calculan f´acilmente. Sea P = {x0, x1, x2, . . . , xn} una particion cualquiera de [a, b]. En cada uno de los subin- tervalos [xi−1, xi], levantamos un rectangulo Ωi cuya base es ∆xi = xi − xi−1 y su altura el valor m´ınimo de la funci´on en [xi−1, xi], el cual existe ya que f es continua en [a, b]. X Y y = f(x) a 0 b Si mi es el valor m´ınimo de la funci´on f en [xi−1, xi] entonces el ´area de Ωi es mi∆xi para todo i = 1, 2, . . . , n. Estos n rect´angulos considerados forman en conjunto un pol´ıgono llamado pol´ıgono regular inscrito en Ω, luego el ´area de este pol´ıgono est´a dado por: n i=1 mi∆xi = m1∆x1 + m2∆x2 + · · · + mn∆xn En este caso, la suma de las ´areas de los rect´angulos es menor o igual al ´area de la regi´on Ω, es decir: n i=1 mi∆xi ≤ A(Ω)
74 Matem´atica II Walter Arriaga D. Siguiendo un procedimiento similar al anterior, pero tomando como altura de cada rect´angu- lo el valor m´aximo de la funci´on en [xi−1, xi] obtenemos que la suma de las ´areas de los rect´angulos es mayor o igual que el ´area de la regi´on Ω. Es decir, A(Ω) ≤ n i=1 Mi∆xi, donde Mi es el m´aximo de f en [xi−1, xi] X Y y = f(x) a 0 b De lo anterior podemos concluir entonces que: n i=1 mi∆xi ≤ A(Ω) ≤ n i=1 Mi∆xi Observaci´on 2.4.1. Geom´etricamente la suma de Riemann es la suma de las ´areas de los rect´angulos cuyas bases son los subintervalos ∆xi y cuyas alturas corresponden a los valores f(xi). Definici´on 2.4.1. Sea f una funci´on continua y no negativa en el intervalo [a; b]. El ´area de la regi´on limitada por la gr´afica de f, el eje X y las rectas verticales x = a y x = b es: A = l´ım P →0 ∆xi n i=1 f(ti) A = l´ım n→∞ ∆x n i=1 f(ti) u2 donde ∆x = b − a n , ti = a + i∆x 2.4.2. Sumas superiores y sumas inferiores Sea f : I −→ R una funci´on acotada sobre I = [a, b] y P = {x0, x1, x2, . . . , xn} una partici´on de I. Denotamos con Ij al j−´esimo subintervalo de I, es decir Ij = [xj−1, xj], j = 1, 2, . . . , n. Como f es acotada en I existen mj y Mj tales que mj = ´ınf{f(x) / x ∈ Ij}
Walter Arriaga D. Matem´atica II 75 Mj = sup{f(x) / x ∈ Ij} donde se cumple que: mj ≤ f(x) ≤ Mj , ∀x ∈ Ij, j = 1, 2, . . . , n entonces: Definici´on 2.4.2. La suma inferior de f para P, que se denota por S(f, P), se define como: S(f, P) = n j=1 mj∆xj = n j=1 mj(xj − xj−1) Geom´etricamente la suma inferior nos brinda una aproximaci´on por defecto del ´area que buscamos. Definici´on 2.4.3. La suma superior de f para P, que se denota por S(f, P), se define como: S(f, P) = n j=1 Mj∆xj = n j=1 Mj(xj − xj−1) Geom´etricamente la suma superior nos brinda una aproximaci´on por exceso del ´area que buscamos. Propiedades: 1. Sea f es una funci´on acotada sobre I = [a, b] y P = {x0, x1, x2, . . . , xn} una partici´on de I, entonces: m(b − a) ≤ S(f, P) ≤ S(f, P) ≤ M(b − a) 2. Si f es una funci´on acotada en I = [a, b] y P1, P2 son dos particiones de I tal que P2 es un refinamiento de P1, (P1 ⊂ P2), entonces: S(f, P1) ≤ S(f, P2) y S(f, P1) ≥ S(f, P2) 3. Sea f una funci´on acotada en I y P1, P2 dos particiones arbitrarias de I, entonces: S(f, P1) ≤ S(f, P2) 2.4.3. Integrales superiores e integrales inferiores Denotemos con D el conjunto de todas las particiones posibles de I y sea f una funci´on acotada en I, entonces:
76 Matem´atica II Walter Arriaga D. Definici´on 2.4.4. La integral inferior de f en I est´a dada por: J = b a f(x)dx = sup{S(f, P) / P ∈ D} Definici´on 2.4.5. La integral superior de f en I est´a dada por: J = b a f(x)dx = ´ınf{S(f, P) / P ∈ D} Propiedades: Sea f es una funci´on acotada sobre I = [a, b], entonces: 1) b a f(x)dx ≤ b a f(x)dx, es decir J ≤ J 2) m(b − a) ≤ J ≤ J ≤ M(b − a), donde: m = ´ınf{f(x) / x ∈ I} y M = sup{f(x) / x ∈ I} 3) Para todo c ∈ a, b , se tiene: b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx 2.4.4. Integral de Riemann Definici´on 2.4.6. Se dice que una funci´on f : I −→ R es integral de Riemann1 en I = [a, b] cuando f es acotada y se cumple b a f(x)dx = b a f(x)dx = b a f(x)dx Teorema 2.4.1. Sea f una funci´on acotada en I = [a, b], se dice que f es integrable en I si y solo si para todo ε > 0 existe una partici´on P de I tal que S(f, P) − S(f, P) < ε Teorema 2.4.2. (Convergencia de las sumas integrales). Sea f : [a, b] −→ R una funci´on integrable, P una partici´on de [a, b] tal que |P| → 0, se verifica entonces que: l´ım n→∞ S(f, P) = l´ım n→∞ S(f, P) = b a f(x)dx 1 Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Alemania, 17 de septiembre de 1826 - Verbania, Italia, 20 de julio de 1866) fue un matem´atico alem´an que realiz´o contribuciones muy importantes al an´alisis y la geometr´ıa diferencial, algunas de las cuales allanaron el camino para el desarrollo m´as avanzado de la relatividad general. Su nombre est´a conectado con la funci´on zeta, la hip´otesis de Riemann, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometr´ıa de Riemann.
Walter Arriaga D. Matem´atica II 77 Corolario 2.4.1. Para toda funci´on f integrable en [0, 1] se verifica que: l´ım n→∞ 1 n n i=1 f i n = 1 0 f(x)dx Observaci´on 2.4.2. Para interpretar geom´etricamente el significado de la integral de Rie- mann. Supongamos que f : I −→ R es una funci´on integrable en I y f(x) ≥ 0, para todo x ∈ I, entonces A(Ω) = b a f(x)dx es el ´area de la regi´on bajo la curva y = f(x). Propiedades: Sean f, g : I −→ R funciones integrables en I = [a, b], entonces se cumple que: 1) f es integrable en cualquier subintervalo [c, d] ⊂ I 2) kf es integrable en I b a kf(x)dx = k b a f(x)dx 3) f ± g es integrable en I b a [f(x) ± g(x)]dx = b a f(x)dx ± b a g(x)dx 4) Para todo c ∈ [a, b], se tiene: b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx 5) Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ I entonces b a f(x)dx ≥ 0 6) Si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ I entonces b a f(x)dx ≤ b a g(x)dx 7) Si m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ I entonces m(b − a) ≤ b a f(x)dx ≤ M(b − a) 8) Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ I entonces A(Ω) = b a f(x)dx 9) Si f(x) ≤ 0 para todo x ∈ I entonces A(Ω) = − b a f(x)dx 10) Si a < b entonces a b f(x)dx = − b a f(x)dx Teorema 2.4.3. Teorema del valor medio: Si f una funci´on continua en I = [a, b], entonces existe un n´umero c ∈ I, tal que: b a f(x)dx = f(c)(b − a)
78 Matem´atica II Walter Arriaga D. 2.5. Teoremas fundamentales del c´alculo integral Teorema 2.5.1. (Primer teorema fundamental del c´alculo integral) Si f es una funci´on continua en I = [a, b] y F es una funci´on definida por F(x) = x a f(t)dt para todo x ∈ I, entonces: F′ (x) = d dx x a f(t)dt = f(x) para todo x ∈ I. Este teorema conocido tambi´en como el teorema de Barrow, es un importante resultado que relaciona el c´alculo diferencial con el c´alculo integral. Nota 2.5.1. Generalizaci´on del teorema de Barrow: Sea f : I −→ R una funci´on continua y dadas las funciones u1(x) y u2(x) derivables, entonces: Si F(x) = u2(x) a f(t)dt, entonces F′(x) = [f(u2(x))]u′ 2(x) Si F(x) = a u1(x) f(t)dt, entonces F′(x) = −[f(u1(x))]u′ 1(x) Si F(x) = u2(x) u1(x) f(t)dt = a u1(x) f(t)dt + u2(x) a f(t)dt, entonces F′(x) = −[f(u1(x))]u′ 1(x) + [f(u2(x))]u′ 2(x) Teorema 2.5.2. (Segundo teorema fundamental del c´alculo integral) Sea f integrable en I = [a, b]. Si existe una funci´on F continua en I = [a, b] y derivable en (a, b) tal que F′(x) = f(x) en (a, b), entonces: b a f(x)dx = F(x) b a = F(b) − F(a) (2.2) Este teorema es conocido tambi´en como el teorema de Newton – Leibnitz.
Walter Arriaga D. Matem´atica II 79 ✍ EJERCICIOS RESUELTOS 2. I. Sumatorias: 1. Calcular el valor de 0,6666 . . . Soluci´on: 0,6666 . . . = 6 10 + 6 100 + 6 1000 + 6 10000 + · · · n i=1 6 10i = 6 10 + 6 102 + 6 103 + 6 104 + · · · + 6 10n con n → ∞ n i=1 6 10i − n i=1 6 10i+1 = 6 10 + 6 102 + 6 103 +· · ·+ 6 10n − 6 102 + 6 103 + 6 104 + · · · + 6 10n+1 n i=1 6 10i 1 − 1 10 = 6 10 − 6 10n+1 ∴ 0,6666 . . . = n i=1 6 10i = 2 3 2. Determinar una f´ormula para n k=1 sen(kx) Soluci´on: n k=1 sen(kx) = sen x + sen 2x + sen 3x + · · · + sen nx usando la f´ormula cos A − cos B = −2 sen A + B 2 sen A − B 2 y haciendo A = (k + 1)x y B = (k − 1)x, se tiene: cos(k + 1)x − cos(k − 1)x = −2 sen kx sen x n k=1 −2 sen(kx) sen x = n k=1 [cos(k + 1)x − cos(k − 1)x] ahora hacemos f(k + 1) = cos(k + 1)x, entonces f(k) = cos kx, adem´as f(k − 1) = cos(k − 1)x, y la f´ormula telesc´opica: n i=1 [f(k + 1) − f(k − 1)] = f(n + 1) + f(n) − f(1) − f(0) n k=1 [cos(k + 1)x − cos(k − 1)x] = cos(n + 1)x + cos nx − cos x − 1 ∴ n k=1 sen(kx) = cos x + 1 − cos(n + 1)x − cos nx 2 sen x
80 Matem´atica II Walter Arriaga D. II. La integral de Riemann: 1. Representar el l´ımite de la siguiente suma como una integral definida: l´ım n→∞ n i=1 1 √ n2 + i2 , con P : [0, √ 3] Soluci´on: De P : [0, √ 3] se tiene que a = 0, b = √ 3, luego ∆x = √ 3 n y como xi = i∆x, entonces xi = √ 3i n l´ım n→∞ n i=1 1 √ n2 + i2 = l´ım n→∞ n i=1 1 √ n2 + i2 1 n 1 n = l´ım n→∞ 1 √ 3 n i=1 √ 3 n 1 + i2 n2 = l´ım n→∞ 1 √ 3 n i=1 √ 3 n 1 + 3i2 3n2 = l´ım n→∞ 1 √ 3 n i=1 1 1 + 1 3 √ 3i n 2 √ 3 n = 1 √ 3 √ 3 0 1 1 + x2 3 dx = √ 3 0 dx √ 3 + x2 ∴ l´ım n→∞ n i=1 1 √ n2 + i2 = √ 3 0 dx √ 3 + x2
Walter Arriaga D. Matem´atica II 81 ✍ EJERCICIOS PROPUESTOS 2. I. Sumatorias: Determinar una f´ormula para cada una de las siguientes sumatorias: 1) n k=1 ln(k) R. ln(n!) 2) n k=1 k · k! R. (n + 1)! − 1 3) n k=1 1 (k + 1)(k − 1)! R. (n + 1)! − 1 (k + 1)! 4) n k=1 5k 5) n−1 k=1 ln k k + 2 R. ln 2 n2 + n 6) n k=1 ( √ 2k + 1 − √ 2k − 1) R. √ 2n + 1 − 1 7) n+1 k=m 1 2k − 1 − 1 2k + 1 R. 2(n + 2 − m) (2n + 3)(2m − 1) 8) n k=1 1 k2 + 3k + 2 R. n 2n + 4 9) n k=1 4 4k2 − 8k − 3 R. 4n 4n + 1 10) n k=1 sen(kx) R. cos x + 1 − cos(n + 1)x − cos nx 2 sen x Calcular: 1) 100 k=1 ln k k + 2 R. ln(5151) 2) 40 k=5 ( √ 2k + 1 − √ 2k − 1) R. 6 3) 50 k=1 2 4k − k2 − 3 R. 3625 2352 4) 400 k=21 k3 − k2 − 1 k2 − k R. 151981 400
82 Matem´atica II Walter Arriaga D. 5) 0,6666 . . . R. 2/3 II. Area de una regi´on plana por sumatorias: En cada uno de los siguientes ejercicios, encontrar el ´area de la regi´on dada, que est´a li- mitada por las gr´aficas de: 1) y = 2x + 1, x = 1, x = 3 y el eje X R. 10 u2 2) y = 3x2, x = 2 y el eje X R. 8 u2 3) y = 3 + 2x − x2, x = 5 y el eje X R. 32/3 u2 4) y = 3(4 − x2) y el eje X R. 32 u2 5) y = 36 − x2, x = 2, x = 6 y el eje X R. 224/3 u2 6) y = 4x − x2 y el eje X R. 32/3 u2 7) y = (x − 1)2 + 2, x = 1, x = 2 y el eje X R. 9 u2 8) y = 4(x − 1)3, x = 3, x = 6 y el eje X R. 609 u2 9) y = 2(x + 2)3, x = −2, x = 0 y el eje X R. 8 u2 10) y = 4 − |x|, x = −4, x = 4 y el eje X R. 8 u2 11) y = √ x, x = 0, x = 4 y el eje X R. 16/3 u2 12) y = cos x, x = −π/2, x = π/2 y el eje X R. 2 u2 13) y =    x2 , x ≤ 3 6x − x2 , x > 3 , x = 1, x = 8 y el eje X III. La integral de Riemann: a) Aproximar usando sumas superiores y sumas inferiores la siguiente integral: 1 −2 x 1 + |x| dx, y dar una cota superior para el error cuando P = {−2, −3/2, −1, −1/2, 1/2, 1} R. S = 22 15 , S = 53 60 , e = 7 24 b) Mediante sumas superiores y sumas inferiores, hallar el valor aproximado de 2 −3 x 1 + x2 dx, usando la la siguiente partici´on: P = {−3, −2, −1, 0, 1, 2} R. S = 12 5 , S = 15 10 , e = 9 20 c) Si P es una partici´on del intervalo I, expresar como una integral definida los siguientes l´ımites: 1) l´ım |P |→0 n i=1 (sen(xi + xi−1)) xi − xi−1 xi + xi−1 , I = [2, 5] R. 5 2 sen 2x dx 2x
Walter Arriaga D. Matem´atica II 83 2) l´ım n→∞ n i=1 i n2 + i2 R. 1 0 x dx 1 + x2 3) l´ım n→∞ n i=1 n n2 + i2 R. 1 0 dx 1 + x2 4) l´ım |P |→0 n i=1 1 √ n2 + i2 , I = [0, √ 3] R. √ 3 0 dx √ 3 + x2 5) l´ım n→∞ n i=1 n n2 + ni R. 1 0 dx 1 + x 6) l´ım |P |→0 n i=1 n √ ei n , I = [0, 2] R. 1 0 ex dx 7) l´ım n→∞ 1 n8 n i=1 i7 R. 1 0 x7 dx 8) l´ım |P |→0 π n n i=1 sen iπ n , I = [0, π] R. π 0 sen x dx IV. Teoremas fundamentales del c´alculo integral Primer Teorema del C´alculo Integral. En los siguientes ejercicios calcular: 1) F′(x), si: F(x) = 2x 1 cosh(2t2 + 1)dt 2) F′(π/2), si: F(x) = ln x a sen(et ) dt 3) F′(0), si: F(x) = sen x b 1 1 + arcsen t dt R. F′(0) = 1 4) F′(1), si: F(x) = x 0 1 − t + t2 1 + t + t2 dt 5) F′(x), si: F(x) = x3 0 1 1 + sen2 t dt a cos2 (y2 + 4) dy R. F′(x) = cos2   x3 0 1 1 + sen2 t dt 2 + 4   3x2 1 + sen2(x3) 6) F′(1), si: F(x) = x2 x3 t6 1 + t4 dt 7) F′(1), si: F(x) = x+x2 x2+1 2−t2 dt 8) F′(0), si: F(x) = ex x2 x(t2 + 1) dt 9) F′(x), si: F(x) = sen x 0 sen y 0 sen3 t dt dy
84 Matem´atica II Walter Arriaga D. 10) F′′(x), si: F(x) = x 2 y 5 1 1 + t2 + sen2 t dt dy 11) F′′′(0), si: F(x) = x 1   y 2   z 3 et + sen t et + cos t dt   dz   dy R. F′′′(0) = 1/2 12) En cada caso calcular f(x0) si f es continua: x0 = 2; x 0 f(t) dt = x2 (1 + x) R. 16 x0 = 1; x2 0 f(t) dt = x2 (1 + x) R. 5/2 x0 = 2; f(x) 0 t2 dt = x2 (1 + x) R. 3 √ 36 x0 = 2; x2(1+x) 0 f(t) dt = x R. 1/5 13) Hallar H′(x), si: F(x) = arcsen(cos x) √ 3 f(sen t)dt = 1 − sen x 1 + sen x ; G(x) = sen x √ 2 g(t)dt = √ 1 − cos x ; H(x) = f(1) (1− √ 1−x2)g(x) dt t2 R. −8 x3 14) Si 1 3x+1 0 f(t) dt = 2 ax + ax. Determinar los valores de a de modo que f(1/4) = 16/3. 15) Sea G(x) = ϕ2(x) ϕ1(x) f(t) dt, donde f : I −→ R es una funci´on continua y ϕ1, ϕ2 : J −→ I son funciones derivables. Probar que: G′(x) = f(ϕ2(x))ϕ′ 2(x) − f(ϕ1(x))ϕ′ 1(x) 16) Una funci´on f es continua para todo x y satisface la ecuaci´on: x 0 f(t)dt = − 1 2 +x2 + 1 2 x sen x + 1 2 cos x. Calcular: a) f π 4 R. π 2 + √ 2π 16 b) f′ π 4 R. 2 + √ 2 4 − √ 2π 16 17) Hallar una funci´on f(x), sabiendo que es continua ∀x ∈ R y x2−1 0 f(t)dt = x6 +x4 + 3x2 R. f(x) = 3x2 + 8x + 8 18) Hallar una funci´on f(x), tal que: x c tf(t)dt = sen x − x cos x − 1 2 x2 , x = 0 19) Dada la funci´on f(x) definida por: f(x) = 3 + x 0 1 + sen t 2 + t2 dt, ∀x ∈ R. Hallar las constantes a, b y c del polinomio cuadr´atico P(x) = a + bx + cx2, sabiendo que P(0) = f(0), P′(0) = f′(0), P′′(0) = f′′(0).
Walter Arriaga D. Matem´atica II 85 20) Si f(t) = t + t 0 1 − u2 du, se define: H(x) = x −x f(t)dt; hallar la segunda derivada de H(x). 21) Si f(t) = √ 4 + t2 + t −2 dw (4 + w2)1/2 , se define: H(x) = x −x f(t)dt; calcular D2H(x) para x = 1 22) Hallar el valor m´ınimo de la funci´on H(x) = b a (f(u) − x)2 du 1/2 23) Sea f una funci´on continua que satisface la siguiente ecuaci´on: x 0 f(t) dt = 1 x t2 f(t)dt + x16 8 + x18 9 + C para todo n´umero real x, donde C es constante. Encontrar una forma expl´ıcita para f(x) y hallar el valor de la constante C 24) Una part´ıcula se desplaza a lo largo de una recta. Su posici´on en el instante t es f(t). Cuando 0 ≤ t ≤ 1, la posici´on viene dada por la integral f(t) = t 0 1 + 2 sen πx cos πx 1 + x2 dx; para t ≥ 1 la part´ıcula se mueve con aceleraci´on constante (la aceleraci´on adquirida en el instante t = 1). Calcular: a) Su aceleraci´on en el instante t = 2. R. π − 1 2 b) Su velocidad cuando t = 1. R. 1 2 c) Su velocidad cuando t > 1. R. 1 2 + π − 1 2 (t − 1) d) La diferencia f(t) − f(1) cuando t > 1. R. 1 2 (t − 1) + π − 1 2 (t − 1)2 2 Segundo Teorema del C´alculo Integral. Calcular: 1) 1 0 √ x √ 2 − x dx R. π/4 2) 0 −1 x2 e−x dx R. e − 2 3) 1 0 xex (1 + x)2 dx R. e − 2 2 4) 1 1/2 1 + x2 x2(1 + x)2 dx R. 4 3 + ln 4 9 5) π/2 0 x3 sen x dx R. 3π2 4 − 6 6) 1 0 x2 ex sen x dx R. 1/2 7) ln 4 ln 2 dx √ ex − 1 R. π/6
86 Matem´atica II Walter Arriaga D. 8) √ 2 0 x2 + 5 x2 + 2 dx R. 3 √ 2π 8 + √ 2 9) e−1 0 x2 x3 + 5x2 + 8x + 4 dx R. − e − 3 e + 1 10) 1 0 2x (1 + x)(1 + x2)2 dx R. 1 2 − ln 4 √ 2 11) 0 −1 x5 3 (1 + x3)2 dx R. −3/40 12) 2 0 x5 dx (1 + x3)3/2 R. 8/9 13) 2 1 dx x4(17 − x4)1/4 R. 21/136 14) 3 1 arctan √ x dx √ x + 2x2 + x3 R. 7π2 144 15) π/2 0 dx 5 − 4 sen x + 3 cos x R. 1/2 16) 1 0 xe 3 √ x dx R. 360 − 132e 17) 1 0 x8 e−x3 dx R. 2 3 − 5 3e 18) π 0 senh x sen x dx R. senh π 2 19) π 0 | cos x| dx R. 2 20) 2 −2 |x2 − 1| dx R. 4 21) 4 −3 |x2 − x − 6| dx R. 53 2 22) 8 −4 |x2 − 4x − 12| dx R. 368 3 23) 5 −1 |x3 − 4x| dx R. 116 24) 2 −3 |x3 + x2 − 4x − 4| dx R. 63 4 25) 3 −3 |x4 − 5x2 + 4| dx R. 556 15 26) 4 −2 x dx R. 3 27) 2 −1 x + x dx R. 9 2
Walter Arriaga D. Matem´atica II 87 28) 4 2 dx 1 + x2 4 R. 1 6 (2 √ 2 + √ 3) 29) 3 −3 x dx 1 + |x + 1| R. 2 − ln 25 30) 3 −3 |4 − x2 | dx R. 46/3 31) 2 −2 4 − x2 dx R. 2 + 2 √ 2 + 2 √ 3 32) 1 0 ln √ 2 − x dx R. ln 2 − 1 2 33) 1/2 −1/2 1 + x 1 − x dx R. π 3 34) π/3 π/6 √ tan x dx √ tan x + √ cot x R. π 12 35) π/3 π/6 √ sec x dx √ sec x + √ csc x R. π 12 36) π/4 −π/4 | tan5 x| dx R. − 1 2 + ln 2 37) 2π −2π | sen x − cos x| dx R. 8 √ 2 38) π 0 x sen x 1 + cos2 x dx R. π2 4 39) 1 −1 4x + 1 2x + 1 dx R. 3 2 ln 2 40) 3 −2 x + 1 x + 3 dx R. 3 − 2 ln(2/3) 41) 1/2 −1/2 cos(sen x) ln 1 + x 1 − x + 3x + 4 dx R. 4 42) π/2 −π/2 x81 cos(x9 ) − 2 sen3 x + 6 cos3 x dx R. 8 43) π/4 −π/4 x14 sen(x7 ) + 2x sen(2x) + 3x cos(3x) dx R. 1 44) 1/ √ 2 0 dx (2x2 + 1) √ x2 + 1 R. π/6 45) 6 −2 f(x) dx , donde: f(x) =    |x − 2| para − 2 ≤ x < 0 x − x para 0 ≤ x < 4 |x − 6| para 4 ≤ x ≤ 6
88 Matem´atica II Walter Arriaga D. 46) Si f(x) es continua en 0, 2 y f(1) = 1, calcule: l´ım h→0 1 h 2 2−h 2 2+h f(x) dx 47) Calcular l´ım h→0 1 h 7π 4 +6h 7π 4 −2h sen t dt 48) Calcular l´ım h→0 1 h x 0 sec2 t dt + 0 x+h tan2 t dt − x 49) Si f(x) es continua en [0, 2], calcular l´ım h→0 1 h 1 1+h 1 f(x) dx 50) Calcular l´ım h→0 1 h π/4 π/4−h π/4 π/4+h √ tan t dt + −8h 6h sec t2 dt
3 INTEGRALES IMPROPIAS Objetivos Definir los tipos de integrales impropias. Determinar la convergencia o divergencia de una integral impropia. Interpretar geom´etricamente la integral impropia. 3.1. Introducci´on En el estudio del C´alculo, dos aspectos de fundamental importancia son la derivada y la integral, que han ocupado el pensamiento de innumerables seres humanos a lo largo de la historia de la humanidad. De ellos, la integral, entendida como la “antidiferencial”, o bien, como el “´area bajo la curva”, ha constituido el cimiento donde se apoya un gran n´umero de conocimientos y aplicaciones. Dentro del campo de la integraci´on, ocupan un lugar especial las integrales impropias, las que representan una valiosa herramienta cuando se tienen integrales definidas para las cuales no se cumplen las condiciones dadas anteriormente. En la definici´on de la integral de Riemann se impusieron dos condiciones fundamentales que son: Funciones definidas en el intervalo cerrado y acotado [a, b], con a < b Funciones continuas en [a, b] El prop´osito de ´este cap´ıtulo, es extender la noci´on de integral de Riemann a: Funciones definidas en intervalos no acotados, es decir uno o ambos l´ımites de integraci´on son infinitos: Integrales impropias de primera especie. 89
90 Matem´atica II Walter Arriaga D. Funciones que presenta un n´umero finito de discontinuidades en el intervalo de integra- ci´on: Integrales impropias de segunda especie. 3.2. Integrales impropias de primera especie Definici´on 3.2.1. Llamaremos integral impropia de primera especie o integral impropia con l´ımites infinitos a aquella cuyo intervalo de integraci´on es infinito o no acotado, ya sea de la forma [a, ∞ , −∞, b] o bien −∞, ∞ . Para cada uno de los casos indicados se define: Sea f : [a, ∞ −→ R una funci´on integrable en [a, t] para todo t ∈ [a, ∞ , entonces ∞ a f(x) dx = l´ım t→∞ t a f(x) dx Sea f : −∞, b] −→ R una funci´on integrable en [a, t] para todo t ∈ −∞, b], entonces b −∞ f(x) dx = l´ım t→−∞ b t f(x) dx Sea f : R −→ R una funci´on integrable en todo intervalo cerrado de R, entonces ∞ −∞ f(x) dx = 0 −∞ f(x) dx + ∞ 0 f(x) dx = l´ım t→−∞ 0 t f(x) dx + l´ım r→∞ r 0 f(x) dx y se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el l´ımite existe y es finito y divergente en caso contrario. Propiedades: Sean f, g : [a, ∞ −→ R funciones integrables en [a, t], entonces: ∞ a [f(x) + g(x)] dx = ∞ a f(x) dx + ∞ a g(x) dx Sea f : [a, ∞ −→ R una funci´on integrable en [a, t], entonces: ∞ a λf(x) dx = λ ∞ a f(x) dx Observaci´on 3.2.1. Sea f : R −→ R integrable en todo intervalo cerrado de R. El car´acter de ∞ −∞ f(x) dx no depende del punto a dado en la definici´on. En el caso de que la integral sea convergente su valor no depende tampoco del punto elegido ya que, para cualquier b ∈ R a −∞ f(x)dx + ∞ a f(x)dx = b −∞ f(x)dx + a b f(x)dx + b a f(x)dx + ∞ b f(x)dx = b −∞ f(x)dx + ∞ b f(x)dx
Walter Arriaga D. Matem´atica II 91 Proposici´on 3.2.1. Sea f : [a, ∞ −→ R integrable en [a, t] para todo t ∈ [a, ∞ . Si l´ım x→∞ f(x) = L = 0 entonces ∞ a f(x) dx diverge. Proposici´on 3.2.2. Sea f : [a, ∞ −→ R integrable y no negativa en [a, t] para todo t ∈ [a, ∞ , entonces la funci´on F(t) = t a f(x) dx es creciente en [a, ∞ . Proposici´on 3.2.3. Sea f : [a, ∞ −→ R integrable y no negativa en [a, t] para todo t ∈ [a, ∞ , ∞ a f(x) dx es convergente si y solo si F(t) = t a f(x) dx est´a acotada superiormente. 3.2.1. Criterios de comparaci´on para funciones no negativas Primer criterio de comparaci´on: Sean f, g : [a, ∞ −→ R integrables en [a, t] para todo t ≥ a y supongamos que existe b > a tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ≥ b. Entonces: • Si ∞ a g(x) dx converge, entonces ∞ a f(x) dx tambi´en converge. • Si ∞ a f(x) dx diverge, entonces ∞ a g(x) dx tambi´en diverge. Segundo criterio de comparaci´on: Sean f, g : [a, ∞ −→ R integrables en [a, t] para todo t ≥ a y no negativas. Supongamos que existe l´ımx→∞ f(x) g(x) = L. Entonces: • Si 0 < L < ∞ entonces ∞ a f(x) dx ∼ ∞ a g(x) dx, es decir ambas son convergentes o ambas son divergentes. • Si L = 0, entonces: ◦ Si ∞ a g(x) dx converge, entonces ∞ a f(x) dx converge. ◦ Si ∞ a f(x) dx diverge, entonces ∞ a g(x) dx diverge. • Si L = ∞, entonces: ◦ Si ∞ a f(x) dx converge, entonces ∞ a g(x) dx converge. ◦ Si ∞ a g(x) dx diverge, entonces ∞ a f(x) dx diverge. Definici´on 3.2.2. Convergencia absoluta: Sea f : [a, ∞ −→ R integrable en [a, t] para todo t ≥ a, diremos que ∞ a f(x) dx es absolutamente convergente si ∞ a |f(x)| dx converge. Proposici´on 3.2.4. Sea f : [a, ∞ −→ R integrable en [a, t] para todo t ≥ a, si ∞ a |f(x)| dx converge, entonces ∞ a f(x) dx converge.
92 Matem´atica II Walter Arriaga D. En otras palabras, si una integral impropia converge absolutamente entonces converge. Observaci´on 3.2.2. Los criterios establecidos para integrales impropias de primera especie en [a, ∞ as´ı como la convergencia absoluta admiten versiones an´alogas para integrales impropias de primera especie en −∞, b]. 3.3. Integrales impropias de segunda especie Definici´on 3.3.1. Llamaremos integral impropia de segunda especie o integral impropia de una funci´on no acotada en un intervalo [a, b] a aquella donde la funci´on presenta una dis- continuidad en a, o en b o en un punto c ∈ [a, b]. Para cada uno de los casos indicados se define: Sea f : [a, b −→ R una funci´on integrable en [a, t] para todo t ∈ [a, b y l´ım x→b− f(x) = ±∞, entonces b a f(x) dx = l´ım t→b− t a f(x) dx = l´ım ε→0+ b−ε a f(x) dx Sea f : a, b] −→ R una funci´on integrable en [t, b] para todo t ∈ a, b] y l´ım x→a+ f(x) = ±∞, entonces b a f(x) dx = l´ım t→a+ b t f(x) dx = l´ım ε→0+ b a+ε f(x) dx Sea f : [a, b] −→ R una funci´on que no est´a definida en c ∈ [a, b], es decir l´ım x→c f(x) = ±∞, entonces b a f(x) dx = c a f(x) dx + a c f(x) dx = l´ım ε→0+ c−ε a f(x) dx + l´ım ε→0+ b c+ε f(x) dx y se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el l´ımite existe y es finito y divergente en caso contrario. Observaci´on 3.3.1. Sea f : R −→ R una funci´on que no est´a definida en c ∈ R, entonces: ∞ −∞ f(x) dx = c −∞ f(x) dx + ∞ c f(x) dx = a −∞ f(x) dx + c a f(x) dx + b c f(x) dx + ∞ b f(x) dx Proposici´on 3.3.1. Sea f : a, b] −→ R integrable en [t, b] para todo t ∈ a, b], no negativa y no acotada, entonces la funci´on F(t) = b t f(x) dx es decreciente. Proposici´on 3.3.2. Sea f : a, b] −→ R integrable en [t, b] para todo t ∈ a, b], no negativa y no acotada, entonces b a+ f(x) dx es convergente si y solo si F(t) = b t f(x) dx est´a acotada superiormente.
Walter Arriaga D. Matem´atica II 93 3.3.1. Criterios de comparaci´on para funciones no negativas Primer criterio de comparaci´on: Sean f, g : a, b] −→ R integrables en [t, b] para todo t ∈ a, b] y no acotadas, supongamos que existe c ∈ a, b] tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ a, c]. Entonces: • Si b a+ g(x) dx converge, entonces b a+ f(x) dx tambi´en converge. • Si b a+ f(x) dx diverge, entonces b a+ g(x) dx tambi´en diverge. Segundo criterio de comparaci´on: Sean f, g : a, b] −→ R integrables en [t, b] para todo t ∈ a, b] y no acotadas, supongamos que existe y es finito el l´ımx→a+ f(x) g(x) = L. Entonces: • Si L = 0 entonces b a+ f(x) dx ∼ b a+ g(x) dx, es decir ambas son convergentes o ambas son divergentes. • Si L = 0, entonces: ◦ Si b a+ g(x) dx converge, entonces b a+ f(x) dx converge. ◦ Si b a+ f(x) dx diverge, entonces b a+ g(x) dx diverge. Proposici´on 3.3.3. Sea f : a, b] −→ R integrable en [t, b] para todo t ∈ a, b], si b a+ |f(x)| dx converge, entonces b a+ f(x) dx converge. Observaci´on 3.3.2. Tambi´en pueden darse enunciados an´alogos para integrales impropias de segunda especie en [a, b Cualquier integral impropia de segunda especie puede transformarse mediante un cambio de variable adecuado en una integral impropia de primera especie: Segunda especie Cambio de variable Primera especie b a+ f(x) dx t = 1 x − a ∞ 1 b−a f(1 t + a) t2 dt b− a f(x) dx t = 1 b − x ∞ 1 b−a f(b − 1 t ) t2 dt Por consiguiente, como ya anunci´abamos, los teoremas y criterios de comparaci´on estu- diados para las integrales impropias de primera especie admiten enunciados an´alogos para las integrales impropias de segunda especie. Las demostraciones pueden hacerse utilizando los cambios de variable arriba indicados y los resultados ya conocidos referentes a las integrales impropias de primera especie.
94 Matem´atica II Walter Arriaga D. ✍ EJERCICIOS PROPUESTOS 3. I) Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales, si es convergente, calcular su valor: 1. ∞ 1 4 x3 dx R. 2 2. ∞ 1 dx x1,01 R. 100 3. ∞ 0 e−x dx R. 1 4. ∞ 0 dx √ ex R. 2 5. ∞ −∞ |x|e−x2 dx R. 1 6. ∞ −∞ e−4|x| dx R. 1/2 7. ∞ 0 xe−x dx R. 1 8. ∞ −∞ x2 e−x3 dx R. Divergente 9. ∞ 0 xn e−x dx R. n! 10. ∞ −∞ dx ex + e−x R. π/2 11. ∞ −∞ ex−ex dx R. 1 12. ∞ 0 e−x sen x dx R. 1/2 13. ∞ 2 dx x ln8 x R. 1 ln7 2 14. ∞ 0 dx x2 + 4 R. π/4 15. ∞ −∞ x dx 1 + x4 R. 0 16. ∞ −∞ dx 4x2 + 1 R. π/2 17. ∞ 0 18x dx (x2 + 9)2 R. 1 18. ∞ −∞ dx x2 + 2x + 2 R. π
Walter Arriaga D. Matem´atica II 95 19. ∞ −∞ x2 − x + 2 x4 + 10x2 + 9 dx R. 5π 12 20. ∞ 0 dx (1 + x2)2 R. π/4 21. ∞ 0 dx x3 + 1 R. 2π 3 √ 3 22. ∞ 0 8 arctan x dx 1 + x2 R. π2 23. ∞ 0 sen x dx R. Divergente. 24. ∞ 0 e−ax sen bx dx, a > 0 R. b a2 + b2 25. ∞ 0 e−ax cos bx dx, a > 0 R. a a2 + b2 26. ∞ 1 x5 dx 4 (1 + x3)7 R. Divergente. 27. ∞ 1 √ x2 − 1 x4 dx R. 1/3 28. ∞ 2/π 1 x3 sen 1 x dx R. 1 29. ∞ 2 6x2 dx 1 − x6 R. ln 7 − 2 ln 3 30. ∞ −∞ 2 dx 1 + x4 R. √ 2 π 31. ∞ 0 140 dx (x2 + 4)(x2 + 25) R. π 32. 2 0 2 dx 5 (x − 2)3 R. −5 5 √ 4 33. 0 −2 dx 3 √ x + 1 R. 0 34. 3 0 dx √ 9 − x2 R. π 2 35. 1 −1 1 + x−2/3 dx R. 2(2 √ 2 − 1) 36. 1 −1 3 √ 1 − x3 x5 dx R. Divergente 37. 1 0 dx (1 − x)(2 + x) R. 2 38. 4 0 dx (x − 1)2 R. ∞ 39. 4 0 dx 3 √ x − 1 R. 2 3 ( 3 √ 9 − 1)
96 Matem´atica II Walter Arriaga D. 40. 4 0 dx √ 4x − x2 R. π 41. 4 0 x dx √ 16 − x2 R. 4 42. 1 0 dx √ x − x2 R. π 43. 0 −1 x5 dx √ 1 + x3 R. −4/9 44. π/2 0 cos x dx √ 1 − sen x R. 2 45. 1 0 ln x dx √ x R. −4 46. 1 0 8 arcsen x dx √ 1 − x2 R. π2 47. 0 −1 e1/x dx x3 R. 0 48. 1 0 e1/x dx x3 R. Divergente. 49. π 0 dx 1 + cos x R. Divergente. 50. π 0 sen x dx √ 1 + cos x R. 2 √ 2 51. π/2 0 dx 1 − sen x R. Divergente. 52. 2 0 x3 dx √ 4 − x2 R. 16/3 53. 1 0 x2 dx √ 1 − x2 R. π 4 54. −1 −2 dx x3(1 + x3)4/3 R. Divergente 55. ∞ 0 e− √ x dx √ x R. 2 56. ∞ 1 dx x √ x2 − 1 R. π/2 II) Determinar el valor de a para que la integral impropia sea convergente. Hallar el valor de dicha integral: 1. ∞ 1 x 2x2 + 2a − k x + 1 dx 2. ∞ 1 2x2 + x + a x(2x + a) − 1 dx
Walter Arriaga D. Matem´atica II 97 III) Analizar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias: 1. ∞ 1 ln x x2 dx R. C. 2. ∞ 2 dx x2 + 2x − 3 R. C. 3. −1 −∞ dx x2 + 3x + 4 R. C. 4. ∞ 1 x + 1 x3 − 1 dx R. C. 5. ∞ 1 x + 3 x4 + 1 dx R. C. 6. ∞ 1 x2 + 3x + 1 x4 + x3 + √ x dx R. C. 7. ∞ 1 dx 2x + 3 √ x + 1 + 5 R. D. 8. ∞ 0 x dx √ x4 + 1 R. D. 9. ∞ 1 dx √ x3 + 1 R. C. 10. ∞ 0 x2 dx (a2 + x2)3/2 R. D. 11. ∞ 3 x dx √ x6 + 1 R. C. 12. ∞ −∞ ex2 dx R. C. 13. ∞ 0 x3 2x dx R. C. 14. ∞ 1 √ x 3x dx R. C. 15. ∞ 0 x ex − 1 dx R. C. 16. ∞ 0 4x3 + 2x + 1 ex dx R. C. 17. ∞ 0 ln(1 + x) ex dx R. C. 18. ∞ 0 x dx 1 + x2 sen2 x R. D. 19. ∞ 0 sen kx ex2 dx R. C. 20. ∞ 1 sen x xα dx R. C. 21. ∞ 1 cos x x2 dx R. C.
98 Matem´atica II Walter Arriaga D. 22. 1 0 dx √ 1 − x4 R. C. 23. 2 0 dx (1 + x2) √ 4 − x2 R. C. 24. 1 0 ln x dx 1 − x R. C. 25. 1 0 x3 e1/x dx R. D. 26. ∞ 0 dx √ x + x4 R. C.
4 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Objetivos Determinar el ´area de una regi´on plana. Determinar el volumen de un s´olido con secciones tranversales conocidas. Determinar el volumen de s´olido por revoluci´on. Determinar la longitud de arco de una curva. Hasta ahora “´unicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la uti- lidad que ´estas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un m´etodo r´apido para calcular ´areas, vol´umenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que em- pleaban los griegos. En f´ısica, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad. Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el c´alculo integral. 4.1. Area de una regi´on plana 4.1.1. Area de una regi´on plana en coordenadas cartesianas Tal c´omo hemos visto antes, la integral definida es una generalizaci´on del proceso del c´alculo de ´areas. Ahora bien, el ´area de una regi´on o recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o nula. Por tanto, en la aplicaci´on de la integral al c´alculo de ´areas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el eje OX, y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el ´area. 99
100 Matem´atica II Walter Arriaga D. Se presentan los siguientes casos: CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funci´on continua y f(x) ≥ 0, para todo x ∈ I, el ´area de la regi´on Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), el eje X, las rectas x = a y x = b est´a dado por: X Y Ω y = f(x) a 0 b A(Ω) = b a f(x)dx u2 (4.1) CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funci´on continua y g(y) ≥ 0, para todo y ∈ I, el ´area de la regi´on Ω limitada por la gr´afica de x = g(y), el eje Y , las rectas y = c y y = d est´a dado por: X Y Ω x = g(y) c 0 d A(Ω) = d c g(y)dy u2 (4.2) CASO III: Si f y g son dos funciones cont´ınuas en I = [a, b] y g(x) ≤ f(x), para todo x ∈ I, el ´area de la regi´on Ω limitada por las rectas x = a ∧ x = b y las gr´aficas de f y g, est´a dada por:
Walter Arriaga D. Matem´atica II 101 X Y Ω y = f(x) y = g(x) a 0 b A(Ω) = b a [f(x) − g(x)]dx u2 (4.3) CASO VI: Si f y g son dos funciones cont´ınuas en I = [c, d] y g(y) ≤ f(y), para todo y ∈ I, el ´area de la regi´on Ω limitada por las rectas y = c ∧ y = d y las gr´aficas de f y g, est´a dada por: X Y Ω x = g(y) x = f(y) c 0 d A(Ω) = d c [f(y) − g(y)]dy u2 (4.4) 4.1.2. Area de una regi´on plana en coordenadas polares y ecuaciones pa- ram´etricas Vamos a considerar el problema de hallar el ´area de una regi´on plana encerrada por la gr´afica de una ecuaci´on polar y por dos rayos que parten desde el origen. Vamos a utilizar para ello sumas de Riemann para aproximar el valor exacto del ´area, sin embargo, esta vez, en lugar de considerar rect´angulos emplearemos sectores circulares. Recordemos que en un c´ırculo de radio r un sector circular de ´angulo central θ (medido en radianes) tiene un ´area de A = 1 2 r2θ
102 Matem´atica II Walter Arriaga D. r θ Dada una ecuaci´on polar r = f(θ) donde f denota una funci´on continua y positiva definida sobre α ≤ θ ≤ β y la regi´on R de ´area A encerrada por la gr´afica de la ecuaci´on r = f(θ) y por los rayos θ = α y θ = β con α < β que parten desde el origen. Consideramos una particion P = {α = θ0 < θ1 < . . . < θn = β} la que determina n subintervalos [θk−1, θk] para k = 1, 2, . . . , n. En cada uno de esos intervalos seleccionamos un angulo θ∗ k arbitrario entonces el area encerrada por la gr´afica entre los rayos θ = θk−1 y θ = θk es aproximadamente igual a 1 2 [f(θ∗ k)]2∆θk; de esta forma el ´area total encerrada es aproximadamente A ≈ n k=0 1 2 [f(θ∗ k)]2 ∆θk. Si f es continua entonces A = l´ım P →0 n k=0 1 2 [f(θ∗ k)]2 ∆θk = β α 1 2 [f(θ)]2 dθ CASO I: Sea f : [α, β] −→ R una funci´on continua. El ´area de la regi´on Ω limitada por la gr´afica de la curva r = f(θ) y las rectas θ = α y θ = β est´a dado por A(Ω) = β α 1 2 f2 (θ)dθ u2 Ω r = f(θ) α β A(Ω) = β α 1 2 f2 (θ)dθ u2 (4.5)
Walter Arriaga D. Matem´atica II 103 CASO II: Sean f, g : [α, β] −→ R funciones continuas. El ´area de la regi´on Ω limitada por las gr´aficas de las curvas r = f(θ) y r = g(θ) y por las rectas θ = α y θ = β donde α < β y g(θ) ≤ f(θ) est´a dado por A(Ω) = β α 1 2 [f2 (θ) − g2 (θ)]dθ u2 Ω r = f(θ) r = g(θ) α β A(Ω) = β α 1 2 [f2 (θ) − g2 (θ)]dθ u2 (4.6) Nota 4.1.1. α y β son los ´angulos que se forman con el eje positivo de las abcisas. 4.2. Volumen de un s´olido Al introducir la integraci´on, vimos que el ´area es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicaci´on importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un s´olido tridimensional. Si una regi´on de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una regi´on tridimensional llamada s´olido de revoluci´on generado por la regi´on plana alrededor de lo que se conoce como eje de revoluci´on. Este tipo de s´olidos suele aparecer frecuentemente en ingenier´ıa y en procesos de producci´on. Son ejemplos de s´olidos de revoluci´on: ejes, embudos, pilares, botellas y ´embolos. Existen distintas f´ormulas para el volumen de revoluci´on, seg´un se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revoluci´on. 4.2.1. Volumen de un s´olido usando secciones transversales Una secci´on de un s´olido S es la regi´on plana que se obtiene cortando el s´olido S con un plano.
104 Matem´atica II Walter Arriaga D. Y Z X a 0 bx0 Queremos calcular el volumen de un s´olido como el de esta figura. Para ello, suponemos que conocemos el ´area de cada una de las secciones paralelas que producimos en el s´olido S. Denotaremos por A(x) al ´area de la secci´on correspondiente al punto x0 y consideramos una partici´on del intervalo [a, b], P = {a = x0, x1, . . . , xn = b}. Cortamos el s´olido S en rodajas por planos paralelos Pk perpendiculares al eje X en los puntos xk−1 y xk de la partici´on. Aproximaremos la rodaja entre los planos correspondientes a los puntos xk−1 y xk por un cilindro con ´area de la base A(xk). El volumen de la rodaja ser´a aproximadamente igual al volumen del cilindro que es Vk = A(xk)(xk − xk−1). Entonces tenemos que Volumen de la k − ´esima rodaja ≈ A(xk)(xk − xk−1) El volumen V del s´olido S se puede aproximar por la suma de los vol´umenes de los cilindros y obtenemos entonces la aproximaci´on V ≈ n k=1 Vk = n k=1 A(xk)(xk − xk−1) Esta aproximaci´on es una suma de Riemann de la funcion A : x ∈ [a, b] −→ A(x) ∈ R que determina el ´area de cada una de las secciones perpendiculares. Puesto que la aproximaci´on del volumen mejorar´a cuando la norma de la partici´on que elegimos tienda a cero, definimos el volumen del solido S como la integral de la funcion A en el intervalo [a, b]. Definici´on 4.2.1. El volumen de un solido S con secciones paralelas de ´area conocida, dada por la funci´on continua A : x ∈ [a, b] −→ A(x) ∈ R, est´a dado por: V (S) = b a A(x)dx u3 (4.7)
Walter Arriaga D. Matem´atica II 105 4.2.2. Volumen de un s´olido de revoluci´on en coordenadas cartesianas Al introducir la integraci´on, vimos que el ´area es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicaci´on importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un s´olido tridimensional. El volumen de un objeto desempe˜na un papel importante en muchos problemas de las ciencias f´ısicas, como las de determinar centros de masa y momentos de inercia. Determinar el volumen de un objeto que tiene forma regular es relativamente sencillo, pero, ¿C´omo determinar el volumen de objetos que tienen forma irregular? Definici´on 4.2.2. Un s´olido de revoluci´on es un s´olido que se obtiene mediante una operaci´on geom´etrica de rotaci´on de una superficie plana alrededor de una recta fija contenida en el mismo plano de la superficie. ´Esta recta recibe el nombre de eje de revoluci´on o eje de giro. Este tipo de s´olidos suele aparecer frecuentemente en ingenier´ıa y en procesos de pro- ducci´on. Son ejemplos de s´olidos de revoluci´on: ejes, embudos, pilares, botellas, cilindros y ´embolos. Por ejemplo: el cono es un s´olido que resulta al girar un tri´angulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rect´angulo alrededor de uno de sus lados. Para determinar el volumen de este tipo de s´olidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el ´area de una regi´on, aproximando el “volumen” de un s´olido de revoluci´on por medio de una suma de vol´umenes de s´olidos m´as elementales, en los que el volumen ya ha sido definido. Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los s´olidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definici´on, el producto del ´area A de la base por el espesor d (o altura). Existen distintas f´ormulas para el volumen de revoluci´on, seg´un se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . M´etodo del disco o anillo Este m´etodo nos proporciona una alternativa de calcular vol´umenes de s´olidos de revolu- ci´on. En ciertos casos el m´etodo es m´as viable ya que el de las secciones transversales puede resultar a veces dif´ıcil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto. Se presentan los siguientes casos: CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funci´on continua, el volumen del s´olido de
106 Matem´atica II Walter Arriaga D. revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje X de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), el eje X y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por: X Y Ω y = f(x) a 0 b V (S) = π b a [f(x)]2 dx u3 (4.8) CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funci´on continua, el volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje Y de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = g(y), el eje Y y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por: X Y Ω x = g(y) c 0 d V (S) = π d c [g(y)]2 dy u3 (4.9) El m´etodo de los anillos es similar al m´etodo de los discos, pero en este caso se utilizan dos discos. El disco m´as peque˜no es vac´ıo por la tanto se le da el nombre de arandela por formar una especie de solido hueco. En t´erminos generales este m´etodo se utiliza cuando el eje de rotaci´on se encuentra a una distancia de la funci´on que forma el s´olido. CASO III: Sean f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas cuyas gr´aficas se encuentran a un mismo lado del eje X, adem´as |g(x)| ≤ |f(x)|, para todo x ∈ I. El
Walter Arriaga D. Matem´atica II 107 volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje X de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por: V (S) = π b a (R2 − r2 )dx u3 X Y Ω y = f(x) y = g(x) a 0 b V (S) = π b a [f(x)]2 − [g(x)]2 dx u3 (4.10) CASO VI: Sean f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas cuyas gr´aficas se encuentran a un mismo lado del eje Y , adem´as |g(y)| ≤ |f(y)|, para todo y ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje Y de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = f(y), x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por: V (S) = π d c (R2 − r2 )dy u3 X Y Ω x = g(y) x = f(y) c 0 d V (S) = π d c [f(y)]2 − [g(y)]2 dy u3 (4.11) CASO V: Sean f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas cuyas gr´aficas se encuentran a un mismo lado de la recta y = k, adem´as |g(x)−k| ≤ |f(x)−k|, para todo
108 Matem´atica II Walter Arriaga D. x ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno a la recta y = k de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por: V (S) = π b a (R2 − r2 )dx u3 X Y Ω y = f(x) y = g(x) a 0 b y = kk V (S) = π b a [f(x) − k]2 − [g(x) − k]2 dx u3 (4.12) CASO VI: Sean f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas cuyas gr´aficas se encuentran a un mismo lado de la recta x = k, adem´as |g(y)−k| ≤ |f(y)−k|, para todo y ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno a la recta x = k de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = f(y), x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por: V (S) = π d c (R2 − r2 )dy u3 X Y Ω x = g(y) x = f(y) c 0 d k x=k V (S) = π d c [f(y) − k]2 − [g(y) − k]2 dy u3 (4.13)
Walter Arriaga D. Matem´atica II 109 M´etodo de las cortezas cil´ındricas Este m´etodo nos proporciona otra alternativa de calcular vol´umenes de s´olidos de revolu- ci´on. A primera vista puede parecer que el hacer repetidas secciones transversales horizontales del s´olido sea el m´etodo m´as adecuado para este c´alculo “tajarlo por decirlo as´ı” y en integrar luego los vol´umenes de todos los trozos. Sin embargo, se presentan varias dificultades. La primera est´a en que las secciones transversales son, en unas zonas del s´olido, discos completos y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco. Esto conduce a tener que dividir la regi´on de integraci´on en varias subregiones, lo que resulta algo engorroso. Pero por otra parte, para plantear la integral es necesario expresar tanto el radio de los discos como el radio interior y exterior de las arandelas en funci´on de la variable y, lo que no es f´acil de lograr en este caso. En cambio, el m´etodo de los casquetes cil´ındricos funciona muy bien en esta situaci´on. B´asicamente consiste en dividir el s´olido de revoluci´on en una serie de casquetes cil´ındricos que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los vol´umenes de estos casquetes para obtener el volumen total. A ´este m´etodo se le conoce tambi´en como el m´etodo de las “capas”, las “envolturas”, las “envolventes” o los “cascarones cil´ındricos”. CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], a ≥ 0, una funci´on continua y no negativa. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje Y de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), el eje X y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por: X Y Ω y = f(x) a0 b V (S) = 2π b a xf(x)dx u3 (4.14) CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], c ≥ 0, una funci´on continua y no negativa. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje X de
110 Matem´atica II Walter Arriaga D. la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = g(y), el eje Y y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por: X Y Ω x = g(y) c 0 d V (S) = 2π d c yg(y)dy u3 (4.15) CASO III: Sea f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas tales que g(x) ≤ f(x), para todo x ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje Y , a ≥ 0, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por: X Y Ω y = f(x) y = g(x) a0 b V (S) = 2π b a x[f(x) − g(x)]dx u3 (4.16) CASO IV: Sea f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas tales que g(y) ≤ f(y), para todo y ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje X, c ≥ 0, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = f(y), x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por:
Walter Arriaga D. Matem´atica II 111 X Y Ω x = g(y) x = f(y) c 0 d V (S) = 2π d c y[f(y) − g(y)]dy u3 (4.17) CASO V: Sea f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas tales que g(x) ≤ f(x), para todo x ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno a la recta x = k, k ≤ a, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por: X Y Ω y = f(x) y = g(x) a 0 bk x=k V (S) = 2π b a (x − k)[f(x) − g(x)]dx u3 (4.18) CASO VI: Sea f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas tales que g(x) ≤ f(x), para todo x ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno a la recta x = k, b ≤ k, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por:
112 Matem´atica II Walter Arriaga D. X Y Ω y = f(x) y = g(x) a 0 b k x=k V (S) = 2π b a (k − x)[f(x) − g(x)]dx u3 (4.19) CASO VII: Sea f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas tales que g(y) ≤ f(y), para todo y ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno a la recta y = k, k ≤ c, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = f(y), x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por: X Y Ω x = g(y) x = f(y) c 0 d k y = k V (S) = 2π d c (y − k)[f(y) − g(y)]dy u3 (4.20) CASO VIII: Sea f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas tales que g(y) ≤ f(y), para todo y ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno a la recta y = k, d ≤ k, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = f(y), x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por:
Walter Arriaga D. Matem´atica II 113 X Y Ω x = g(y) x = f(y)c 0 d k y = k V (S) = 2π d c (k − y)[f(y) − g(y)]dy u3 (4.21) 4.2.3. Volumen de un s´olido en coordenadas polares y ecuaciones param´etri- cas Sea f : [α, β] −→ R una funci´on continua. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje polar, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de r = f(θ) y las rectas θ = α y θ = β est´a dado por: Ω r = f(θ) α β V (S) = 2π 3 β α f3 (θ) sen θ dθ u3 (4.22)
114 Matem´atica II Walter Arriaga D. 4.3. Longitud de arco 4.3.1. Longitud de arco en coordenadas cartesianas CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funci´on definida por y = f(x) y con derivada continua. La longitud de arco de f desde x = a hasta x = b est´a dado por: L = b a 1 + [f′(x)]2dx = b a 1 + dy dx 2 dx u (4.23) CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funci´on definida por x = g(y) y con derivada continua. La longitud de arco de g desde y = c hasta y = d est´a dado por: L = d c 1 + [g′(y)]2dy = b a 1 + dx dy 2 dy u (4.24) 4.3.2. Longitud de arco en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas Sea f : [α, β] −→ R una funci´on con derivada continua. La longitud de arco de la curva r = f(θ) desde θ = α hasta θ = β est´a dada por: L = β α [f(θ)]2 + [f′(θ)]2dθ u (4.25) 4.4. Area de una superficie de revoluci´on 4.4.1. Area de una superficie de revoluci´on en coordenadas cartesianas CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funci´on definida por y = f(x) y con derivada continua. Haciendo girar la gr´afica de f desde x = a hasta x = b, alrededor del eje X, se obtiene una superficie de revoluci´on, cuya ´area de superficie est´a dado por: A(S) = 2π b a f(x) 1 + [f′(x)]2dx u2 (4.26) CASO II: Sea f : I −→ R, I = [c, d], una funci´on definida por x = g(y) y con derivada continua. Haciendo girar la gr´afica de g desde y = c hasta y = d, alrededor del eje Y , se obtiene una superficie de revoluci´on, cuya ´area de superficie est´a dado por: A(S) = 2π d c g(y) 1 + [g′(y)]2dy u2 (4.27)
Walter Arriaga D. Matem´atica II 115 CASO III: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funci´on definida por y = f(x) y con derivada continua tal que su gr´afica est´a a un mismo lado de la recta y = k. Haciendo girar la gr´afica de f desde x = a hasta x = b, alrededor de la recta y = k, se obtiene una superficie de revoluci´on, cuya ´area de superficie est´a dado por: A(S) = 2π b a |f(x) − k| 1 + [f′(x)]2dx u2 (4.28) CASO IV: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funci´on definida por x = g(y) y con derivada continua tal que su gr´afica est´a a un mismo lado de la recta x = k. Haciendo girar la gr´afica de g desde y = c hasta y = d, alrededor de la recta x = k, se obtiene una superficie de revoluci´on, cuya ´area de superficie est´a dado por: A(S) = 2π d c |g(y) − k| 1 + [g′(y)]2dy u2 (4.29) 4.4.2. Area de una superficie de revoluci´on en coordenadas polares y ecua- ciones param´etricas Sea C una curva suave definida param´etricamente por C :    x = x(t) y = y(t) , y C no se intersecta a s´ı misma en el intervalo [α, β], donde las funciones x = x(t) y y = y(t) son funciones con derivada continua en [α, β]. Haciendo girar la gr´afica de la curva C desde α hasta β, alrededor del eje X, se obtiene una superficie de revoluci´on, cuya ´area de superficie est´a dado por: A(S) = 2π β α y(t) [x′(t)]2 + [y′(t)]2dt u2 (4.30) 4.5. Centro de gravedad
116 Matem´atica II Walter Arriaga D. ✍ EJERCICIOS RESUELTOS 3. I. Area de una regi´on plana: En cada uno de los siguientes ejercicios, graficar la regi´on Ω y hallar su ´area. Ω est´a li- mitada por las gr´aficas de: 1. y = cos x, x = −π/6, x = π/2, y = 0 Soluci´on La gr´afica de la regi´on Ω se muestra en la figura X Y Ω y = cos x 1 −1 −π 6 0 π 2 A(Ω) = π/2 −π/6 cos x dx = sen x π/2 −π/6 = 1 + 1 2 u2 ∴ A(Ω) = 3 2 u2 2. y = x2 + 2x − 3, x = −2, x = 0, y = 0 Soluci´on La gr´afica de la regi´on Ω se muestra en la figura 4.1 A(Ω) = 0 −2 −(x2 + 2x − 3) dx = − x3 3 + x2 − 3x 0 −2 = − 8 3 + 4 + 6 u2 ∴ A(Ω) = 22 3 u2 3. y = 9 − x2, y = x2 + 1 Soluci´on Hallamos los puntos de intersecci´on de y = 9 − x2 y y = x2 + 1, para ello, 9 − x2 = x2 + 1 de donde x = ±2. La grafica de la regi´on se muestra en la figura 4.2 A(Ω) = 2 −2 (9 − x2 ) − (x2 + 1) dx = − 8x − 2 3 x3 2 −2
Walter Arriaga D. Matem´atica II 117 –4 –3 –2 –1 0 1 2 –3 –2 –1 1 x Figura 4.1: 0 2 4 6 8 10 –3 –2 –1 1 2 3 x Figura 4.2: ∴ A(Ω) = 64 3 u2 4. y = x2 − x 1 + x2 y = 0, x = −1, x = 2 Soluci´on Para graficar la funci´on y = x2 − x 1 + x2 haremos uso de las aplicaciones de la derivada. Para ello hacemos y′ = 0 de donde x = −1 ± √ 2 son los puntos cr´ıticos. −1 − √ 2 −1 + √ 2 + − + Se puede observar que en: −∞, −1 − √ 2 la funci´on es creciente −1 − √ 2, −1 + √ 2 la funci´on es decreciente −1 + √ 2, ∞ la funci´on es creciente La funci´on alcanza su punto m´aximo en −1 − √ 2 y f(−1 − √ 2) = −0,2071 es el punto m´aximo.
118 Matem´atica II Walter Arriaga D. La funci´on alcanza su punto m´ınimo en −1 + √ 2 y f(−1 + √ 2) = 0,2071 es el punto m´ınimo. ahora hallamos los puntos de intersecci´on de y = x2 − x 1 + x2 con el eje X para ello hacemos y = 0 ⇒ x = 0 ∧ x = 1. La gr´afica de la regi´on Ω se muestra en la figura 4.3 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 –1 1 2 x Figura 4.3: A(Ω) = 0 −1 x2 − x x2 + 1 dx + 1 0 − x2 − x x2 + 1 dx + 2 1 x2 − x x2 + 1 dx A(Ω) = x − arctan x − 1 2 ln(x2 + 1) 0 −1 − x − arctan x − 1 2 ln(x2 + 1) 1 0 + x − arctan x − 1 2 ln(x2 + 1) 2 1 A(Ω) = 1 − π 4 + 1 2 ln 2 − 1 + π 4 + 1 2 ln 2 + 2 − arctan 2 − 1 2 ln 5 − 1 + π 4 + 1 2 ln 2 ∴ A(Ω) = 1 + π 4 − arctan 2 + 1 2 ln 8 5 u2
Walter Arriaga D. Matem´atica II 119 ✍ EJERCICIOS PROPUESTOS 4. I. Area de una regi´on plana Area de una regi´on plana en coordenadas cartesianas: En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el ´area de la regi´on Ω limitada por las gr´aficas de: 1) Ω : y = x, y = 2x, x = −4, x = 4 R. 16 u2 2) Ω : y − 3x = 0, x − 3y = 0, x + y = 4 R. 4 u2 3) Ω : y = 2x, y = x2 R. 4/3 u2 4) Ω : y = x, y2 = 4x R. 8/3 u2 5) Ω : y = 9 − x2, y = 0 R. 36 u2 6) Ω : y = 4x − x2, y = 0 R. 32/3 u2 7) Ω : y = 4x + x2, y = 0, x = −2, x = 2 R. 16/3 u2 8) Ω : y = x2, y = 8 − x2 R. 64 3 u2 9) Ω : y = x2 − 9, y = 9 − x2 R. 72 u2 10) Ω : x = 4y − y2, x + 2y = 5 R. 32/3 u2 11) Ω : y = x2 + 2x − 3, y = x − 1 R. 9/2 u2 12) Ω : y = x2, y = 2x2, y = 1 − x2 R. 2 3 √ 2 − 4 9 √ 3 u2 13) Ω : y = x3, y = x2 R. 1 12 u2 14) Ω : y = x3 − 2x, y = 6x − x3 15) Ω : y2 = 2x, x2 + y2 − 4y = 0 R. 3π − 4 3 u2 16) Ω : y = x2 + 2x − 3, x = −2, x = 0, y = 0 17) Ω : x = 3y − y2, x = y2 − y R. 8/3 u2 18) Ω : y = 2x − x2, y = x2 − 4x R. 9 u2 19) Ω : x = y2 − 6, y = −x R. 125/6 u2 20) Ω : y3 = x, y = 1, x = 8 R. 17/4 u2 21) Ω : y = x3, y = 8, x = 0 R. 12 u2 22) Ω : x = y2, x − y = 2 R. 9/2 u2 23) Ω : y = (x − 1)3, x = 3, x = 8, y = 0 R. 2385/4 u2
120 Matem´atica II Walter Arriaga D. 24) Ω : y = 6 + 2x − x2 4 , y = 5 2 x − 14 25) Ω : 4y = (x − 4)2, 4y = (x + 4)2, 4y = −(x − 4)2, 4y = −(4 + x)2 26) Ω : x = y2, y = x3, x + y = 2 27) Ω : y = x2, y = 8 − x2, y = 4x + 12 28) Ω : y2 + 8x = 16, y2 − 24x = 48 R. 32 √ 6 3 u2 29) Ω : b2x2 + a2y2 = a2b2 30) Ω : x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4 R. 3π u2 31) Ω : y = x3 − 3x2 − x + 3, y = 0 R. 8 u2 32) Ω : y = x3 − 3x2 + 2x + 2, y = 2x2 − 4x + 2 33) Ω : y = x2 − 2, y = |x| R. 20/3 u2 34) Ω : y = 4 − |x|, x = −4, x = 4, y = 0 R. 16 u2 35) Ω : y = 2 − |x|, y = x2 R. 7/3 u2 36) Ω : y = |x|, y = 2 − x2 37) Ω : y = |x − 1|, y = x2 − 2x, x = 0, x = 2 38) Ω : y = 1 x , y = 0, x = 1, x = 4 39) Ω : y = 1 x2 , y = 0, x = 1, x = 4 40) Ω : y = √ 3x − x2, y = 0, x = 0, x = 3 R. 9π 8 u2 41) Ω : y = √ x, y = x2 42) Ω : y = √ x − 1 √ x , x = 1, x = 4, y = 0 43) Ω : y = √ x2 + 16, x = 3, x = 4, y = 0 R. 8 √ 2 − 15 2 − 8 ln(2 √ 2 − 2) u2 44) Ω : x = y2 + 4, y = 0, y = 2, x = 0 R. 2 √ 2 + 2 ln( √ 2 + 1) u2 45) Ω : y = √ x2 − 3, y = x − 1, y = 0 46) Ω : xy = 9, √ x + √ y = 4 R. 88 3 − 18 ln 3 u2 47) Ω : y = ex, y = e−x, x = 1 R. e + e−1 − 2 u2 48) Ω : y = ex, y = e−x, y = 0 R. 2 u2 49) Ω : y = ex, y = e−x, |x| = 1, y = 0 R. 2 − 2e−1 u2 50) Ω : y = ln x, y = 0, x = 0, y = 2 R. e2 − 1 u2 51) Ω : y = 4 − ln(x + 1), y = ln(x + 1), x = 0
Walter Arriaga D. Matem´atica II 121 52) Ω : y = cos x, x = −π 6 , x = π 2 , y = 0 R. 3/2 u2 53) Ω : y = sen x, x = −π 2 , x = −π 3 , y = 0 54) Ω : y = sen x, x = −π 3 , x = π 2 , y = 0 R. 3/2 u2 55) Ω : y = sen x, y = cos x, x = −3π 4 , x = 5π 4 56) Ω : y = 2 3 cos x, y = tan x, x = 0 57) Ω : y = arcsen x, y = arc cos x, x = 1 R. π 2 − 1 u2 58) Ω : y = arc cos 3x 2 , y = arctan x, y = 0 59) Ω : y = |x|, y = 2 − x2 60) Ω : y = |x2 − 2x − 3|, y = −1, x = 2, x = 4 R. 6 u2 61) Ω : y = |x + 2| − |x − 2|, y = x R. 8 u2 62) Ω : y = |x + 2| + |x − 2|, y = 10 − |x| R. 76/3 u2 63) Ω : y = |x + 2| + |x − 2|, y = −|x + 2| − |x − 2|, x = −5, x = 5 R. 116 u2 64) Ω : y = | sen x|, y = −π − x, y = −π + x R. 4 − 3π2 u2 65) Ω : y(1 + x2)=2, y = x2 R. π − 2 3 u2 66) Ω : y = x2 − x 1 + x2 , y = 0, x = −1, x = 2 R. 2 ln 5 u2 67) Ω : y = 4 x2 + 2 , y = 4 3 |x| R. 4 √ 2 arctan √ 2 2 − 4 3 u2 68) Ω : x2/3 + y2/3 = 1 R. 3π 8 u2 69) Ω : y = 64 x2 + 16 y su as´ıntota 70) Ω : y = xe− x2 2 y su as´ıntota R. 2 u2 71) Ω : y = 2|x| 1 + x4 , y = −2|x| 1 + x4 72) Ω : y = |x| + |x − 1|, |x| = 3 73) Ω : y = |x2 − 9|, |x| = 5, y = 0 74) Ω : y = |x|, |x| = 2 75) Ω : y = 1 − (|x| − 1)2, y = arc cos(1 − |x|) − π R. 3π u2 76) Ω : y =    4 − x2, x ≤ 1 x2 + 2, x > 1 , x = −1, x = 2
122 Matem´atica II Walter Arriaga D. 77) Ω : y =    |x|, |x| ≤ 1 x2, |x| > 1 , |x| = 2, y = 0 78) Ω : y =    |x|, |x| ≥ 1 2 − x2, |x| < 1 , |x| = 2, y = 0 R. 19/3 u2 79) Ω : y = 6 + 2x − x2 4 ; y =    5 2 x − 14, x ≤ 6 13 − 2x, x > 6 80) Ω es la regi´on encerrada por la gr´afica de la par´abola y = −x2 +4x−3 y las tangentes a ´esta en los puntos (0, −3) y (3, 0) R. 9/4 u2 81) Ω es la regi´on de mayor ´area encerrada por las curvas x2 − 2y3 = 0, x2 − 8y = 0, y = 3 82) Ω es la regi´on de menor ´area encerrada por las curvas x2 + y2 = 20, y2 = 2x3 83) Ω es la regi´on de mayor ´area encerrada por las gr´aficas de 5x2 − 4y = 0 y la elipse cuyos focos son los puntos (0 , ±6) y cuya longitud de su eje menor es 6. 84) Sean los puntos A = (−2, 4), B = (1, 1) sobre la par´abola y = x2, y los puntos C = (1, s) y D = (−2, r) tales que el segmento de recta CD es tangente a la par´abola y esparalelo al segmento de recta AB. Hallar el ´area de la regi´on encerrada por la par´abola y por los segmentos AD, DC y CB. 85) A un ingeniero civil se le encarga construir en un terreno que tiene la forma de una regi´on plana, el cual est´a limitada por las curvas y = 3 − x2 e y = −x + 1, medido en dec´ametros. ¿Cu´al ser´a el ´area techada en el primer piso si se quiere dejar un tercio del total del terreno para jardines?. R. 300 m2 Area de una regi´on plana en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas: En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el ´area de la regi´on Ω limitada por las gr´aficas de: 1) Ω : r = 1 + cos θ R. π u2 2) Ω : r = 4 sen 3θ R. 4π u2 3) Ω : r = 2 − 4 cos θ R. 4π − 7 √ 3 u2 4) Ω : Regi´on interior a r = 3 + cos 4θ y r = 2 − cos 4θ R. 37π/6 u2 II. Volumen de un s´olido Volumen de un s´olido usando secciones transversales:
Walter Arriaga D. Matem´atica II 123 Volumen de un s´olido de revoluci´on en coordenadas cartesianas: En cada uno de los siguientes ejercicios, calcular el volumen del s´olido generado por la rotaci´on de la regi´on Ω alrededor de la recta L, donde: 1) L : y = 0; Ω : y = x2, y = 0, x = 0, x = 1 R. π 5 u3 2) L : x = 0; Ω : y = x2, y = 0, x = 0, x = 1 3) L : y = −1; Ω : y = x2, y = 0, x = 0, x = 1 4) L : x = −1; Ω : y = x2, y = 0, x = 0, x = 1 R. 7π 6 u3 5) L : x = 0; Ω : y = 6x − x2 − 8, y = 0 R. 8π u3 6) L : y = 0; Ω : y = x2, y = 8 − x2 R. 512π 3 u3 7) L : y = 6; Ω : y = x2, y = 4x − x2 R. 64π 3 u3 8) L : x = 3; Ω : y = x2, y = 4x − x2 R. 32π 3 u3 9) L : y = 3; Ω : y = 6 − 2x − x2, y = x + 6 R. 108π 5 u3 10) L : x = 0; Ω : y = 6 − 2x − x2, y = x + 6 R. 27π 2 u3 11) L : x = 6; Ω : x = y2, x = 4 12) L : y = 0; Ω : y = 4x − x2, y = 0 R. 512π 15 u3 13) L : y = 0; Ω : y = 4x + x2, y = 0, x = −2, x = 2 14) L : x = −2; Ω : y = 4x + x2, y = 0, x = −2, x = 2 15) L : y = 1; Ω : y = 2 − x2, y = 1 R. 16π 15 u3 16) L : x = 0; Ω : y = x2 + 1, y = 0 x = 0 x = 1 R. 3π 2 u3 17) L : y = 0; Ω : y = x2, y = 4x 18) L : x = −2; Ω : y2 = x, y = x2 19) L : y = 1; Ω : y = 2x − x2, y = x3 R. 1439π 70 u3 20) L : x = 1; Ω : y = x3, x = 0, x = 1, y = 0 R. π 10 u3 21) L : x = −2; Ω : y = x3, y = x R. 2π u3 22) L : x = 6; Ω : xy2 = 12, y = 2, y = 6, x = 6 23) L : y = 0; Ω : x2 + y2 = r2 24) L : x = 4; Ω : x2 + y2 = 1 R. 8π2 u3 25) L : y = 0; Ω : b2x2 + a2y2 = a2b2
124 Matem´atica II Walter Arriaga D. 26) L : x = 0; Ω : b2x2 + a2y2 = a2b2 27) L : y = 1; Ω : x2 + 4y2 = 4 R. 4π2 u3 28) L : y = 0; Ω : x2 + y2 ≤ 20, y2 ≤ 8x 29) L : y = 0; Ω : y = 1 x , y = 0, x = 1, x = 4 R. 3π 4 u3 30) L : y = 4; Ω : y = 1 x2 , y = 0, x = 1, x = 4 31) L : y = 0; Ω : y = √ 3x − x2, y = 0, x = 0, x = 3 R. 9π 2 u3 32) L : y = 0; Ω : y = √ x, y = x2 R. 3π 10 u3 33) L : y = −1; Ω : y = √ x, y = x2 R. 29π 30 u3 34) L : y = 0; Ω : y = √ x − 1 √ x , x = 1, x = 4, y = 0 35) L : y = 0; Ω : x = y2 + 4, y = 0, y = 2, x = 0 R. 16π 3 (2 √ 2 − 1) u3 36) L : y = −1; Ω : y = √ x2 − 3, y = x − 1, y = 0 37) L : y = 0; Ω : y = ex, y = e−x, |x| = 1, y = 0 R. π − π e2 u3 38) L : y = 0; Ω : y = ex, y = e−x, y = 0 R. π u3 39) L : x = 0; Ω : y = e−x2 , y = 0 R. π u3 40) L : x = 0; Ω : y = cos x, y = 0, x = 0, x = π 2 R. (π2 − 2π) u3 41) L : x = 0; Ω : y = sen x, y = 0, x = 0, x = π R. 2π2 u3 42) L : x = π/2; Ω : y = sen x, y = cos x, x = 0, x = π/4 R. 2π − π2 1 − 1 √ 2 u3 43) L : x = −1; Ω : y = arc cos x, y = arcsen x, x = 1 44) L : y = −1; Ω : y = arcsen x, y = 0, x = π 2 45) L : y = 0; Ω : y = 64 x2 + 16 y su as´ıntota 46) L : y = 1; Ω : y = x2 − 1 x2 + 1 y su as´ıntota R. 2π2 u3 47) L : y = 0; Ω : y = 2|x| 1 + x4 , y = −2|x| 1 + x4 48) L : y = 0; Ω : y = |x|, y = 2 − x2 R. 76π 15 u3 49) L : y = 0; Ω : y = |x + 2| − |x − 2|, y = x 50) L : y = −1; Ω : y = |x| + |x − 1|, |x| = 3 51) L : y = 0; Ω : y = |x2 − 9|, |x| = 5 52) L : y = 3; Ω : y = |x + 2| + |x − 2|, y = 10 − |x|
Walter Arriaga D. Matem´atica II 125 53) L : y = 0; Ω : y = |x + 2| + |x − 2|, y = −|x + 2| − |x − 2|, x = −5, x = 5 54) L : y = −1; Ω : y = |x|, |x| = 2 55) L : x = 0; Ω : y = | sen x|, y = −x, y = −π + x 56) L : y = 1; Ω : y =    4 − x2, x ≤ 1 x2 + 2, x > 1 , x = −1, x = 2, y = 1 R. 394π 15 u3 57) L : y = 0; Ω : y =    |x|, |x| ≤ 1 x2, |x| > 1 , |x| = 2, y = 0 58) L : y = 0; Ω : y =    |x|, |x| ≥ 1 2 − x2, |x| < 1 , |x| = 2, y = 0 R. 52π 5 u3 59) L : x = 0; Ω : y =    |x|, |x| ≥ 1 2 − x2, |x| < 1 , |x| = 2, y = 0 60) L : y = 0; Ω : y = x2 y la cuerda que une los puntos (−1, 1) y (2, 4) R. 75π 5 u3 61) Un mec´anico perfora un agujero a trav´es del centro de una esfera de metal de 5 cm de radio. El agujero tiene un radio de 3 cm. ¿Cu´al es el volumen del anillo resultante? R. 256π 3 cm3 Volumen de un s´olido en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas: III. Longitud de arco Longitud de arco en coordenadas cartesianas: En cada uno de los siguientes ejercicios, calcular la longitud de arco de la curva C descrita por: 1) C : y = 2 3 x3/2 + 1, x = [0, 1] 2) C : y = x4 8 + 1 4x2 , x = [1, 2] 3) C : y = x5 10 + 1 6x3 , x = [1, 2] 4) C : y = 1 2 (ex + e−x), x = [0, 2] Longitud de arco en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas:
126 Matem´atica II Walter Arriaga D. IV. Area de una superficie de revoluci´on Area de una superficie de revoluci´on en coordenadas cartesianas: En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el ´area de la superficie de revoluci´on que se obtiene al girar alrededor de la recta L, la curva C descrita por: a) L : y = 0; C : y = x3 9 , x ∈ [0, 2] Area de una superficie de revoluci´on en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas: V. Centro de gravedad
Bibliograf´ıa [1] Apostol, Tom. Calculus, volume 1 y 2. Revert´e. Barcelona, 1975. [2] Ayres, Frank. C´alculo diferencial e integral. McGraw-Hill. Espa˜na, 1991. [3] Edwards y Penney. C´alculo, con geometr´ıa anal´ıtica. Prentice Hall, Pearson Educaci´on. M´exico, 4° edition, 2001. [4] Larson, Roland. Hostetler, Robert. Edwards, Bruce. C´alculo y Geometr´ıa Anal´ıtica. Mc Graw Hill, Madrid, octava edition, 2002. [5] Leithold, Louis. El c´alculo con geometr´ıa anal´ıtica. Harla. M´exico, 1982. [6] Pita Ruiz, Claudio. C´alculo Vectorial. Prentice Hall, 1995. [7] Purcell, Varberg y Rigdon. C´alculo. Prentice Hall, Pearson Educaci´on. M´exico, 8° edition, 2001. [8] Simmons, George F. C´alculo con geometr´ıa anal´ıtica. MacGraw Hill. Espa˜na, 2° edition, 2002. [9] Spivak, Michael. C´alculo Infinitesimal, volume 1 y 2. Revert´e. Barcelona, 1970. [10] Stewart, James. C´alculo de una variable. Transcendentes tempranas. Thomson, 4° edition, 2001. [11] Thomas, George; Finney, Ross L. C´alculo con geometr´ıa anal´ıtica, volume 1 y 2. Addison Wesley, 9° edition, 1999. 127
128 Matem´atica II Walter Arriaga D.
´Indice alfab´etico antiderivada, 3 centro de gravedad, 115 integraci´on por partes, 8 por sustituci´on, 7 integral de Riemann, 76 inferior, 76 superior, 76 longitud de arco, 114 partici´on regular, 72 primitiva, 3 s´olido de revoluci´on, 105 suma inferior, 75 superior, 75 superficie de revoluci´on, 114 129

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Calculo integral

  • 1.
    UNIVERSIDAD PEDRO RUIZGALLO FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEM´ATICAS ESCUELA PROFESIONAL DE MATEM´ATICAS MATEMATICA II presentado por: Lic. Mat. Walter Arriaga Delgado LAMBAYEQUE– PERU 2017
  • 2.
    Dedicatoria Para mis padres,Martha y El´ıas; pa- ra mi adorable esposa, Flor Angela y para los m´as grandes tesoros de mi vida, mis hijas Alessandra Anghely y Stefany Grace.
  • 3.
    Introducci´on Antes de abocarnosal estudio de la integral definida y de la integral indefinida, daremos una peque˜na semblanza hist´orica de la relaci´on entre el c´alculo diferencial y el integral. Durante la segunda mitad del siglo XV II, Newton y Leibniz dieron un paso decisivo en la matem´atica de las magnitudes variables, al sentar las bases del c´alculo diferencial e integral. “Este fue el verdadero comienzo del an´alisis, puesto que el objeto de este c´alculo son las propiedades de las funciones mismas, distinto del objeto de la geometr´ıa anal´ıtica que son las figuras geom´etricas. De hecho, lo que hicieron Newton y Leibniz fue completar esa cantidad inmensa de trabajo que hab´ıan desarrollado hasta entonces muchos matem´aticos y que se extend´ıa hasta los m´etodos de determinaci´on de ´areas y vol´umenes empleados por los antiguos griegos”. Aqu´ı solo queremos llamar la atenci´on acerca de los or´ıgenes de este c´alculo, que fueron principalmente los nuevos problemas de la mec´anica y los viejos problemas de la geometr´ıa, consistentes estos ´ultimos en la determinaci´on de tangentes a una curva dada y el c´alculo de ´areas y vol´umenes. Estos problemas geom´etricos hab´ıan sido ya estudiados por los antiguos (basta mencionar a Arqu´ımedes), y tambi´en por Kepler, Cavalieri, y otros, a principios del siglo XV II. Pero el factor decisivo fue el descubrimiento de una notable relaci´on entre estos dos tipos de problemas y la formulaci´on de un m´etodo general para resolverlos; tal fue la obra de Newton y Leibniz. Esta relaci´on, que permiti´o conectar los problemas de la mec´anica con los de la geometr´ıa, fue descubierta gracias a la posibilidad (brindada por el m´etodo de coordenadas) de hacer una representaci´on gr´afica de la dependencia de una variable respecto a la otra, o, en otras palabras, de una funci´on. Con la ayuda de esta representaci´on gr´afica es f´acil formular la relaci´on antes mencionada entre los problemas de la mec´anica y la geometr´ıa (relaci´on que fue el origen del c´alculo diferencial e integral) y describir as´ı el contenido general de estos dos tipos de c´alculo. El c´alculo diferencial es, b´asicamente, un m´etodo para encontrar la velocidad de un movi- miento cuando se conoce la distancia recorrida en un tiempo dado. Este problema se resuelve por “derivaci´on” y es completamente equivalente al problema de dibujar una tangente a la curva que representa la dependencia de la distancia respecto del tiempo. La velocidad en el instante t es igual a la pendiente de la tangente a la curva en el punto correspondiente a t. El c´alculo integral es en esencia un m´etodo para encontrar la distancia recorrida cuando se i
  • 4.
    ii Matem´atica IIWalter Arriaga D. conoce la velocidad, y en general, de encontrar el resultado total de la acci´on de una magnitud variable. Evidentemente, este problema es rec´ıproco del problema de c´alculo diferencial (el problema de encontrar la velocidad), y se resuelve por “integraci´on”. Resulta que el problema de la integraci´on es en todo equivalente al de encontrar el ´area bajo la curva que representa la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia recorrida en el intervalo de tiempo t1 a t2 es igual al ´area bajo la curva entre las rectas que corresponden en la gr´afica a los valores t1 a t2. Haciendo abstracci´on de la formulaci´on mec´anica de los problemas y operando con fun- ciones en vez de dependencias de distancia o velocidad respecto al tiempo se obtienen los problemas de c´alculo diferencial e integral en forma abstracta. Fundamental para el c´alculo como para todo el desarrollo posterior del an´alisis, es el concepto de l´ımite, que fue formulado algo m´as tarde que los otros conceptos fundamentales de variable y funci´on. En los primeros d´ıas del an´alisis el papel que m´as tarde desempe˜nar´ıa el l´ımite, corri´o a cargo de ese concepto algo nebuloso que es el infinit´esimo. Los m´etodos para el c´alculo real de la velocidad, conocida la distancia recorrida (a saber, la derivaci´on), y de la distancia, conocida la velocidad (integraci´on), se basaban en la uni´on del ´algebra con el concepto de l´ımite. El an´alisis se origin´o por la aplicaci´on de estos conceptos y m´etodos a los referidos problemas de la mec´anica y la geometr´ıa (y tambi´en a otros problemas: por ejemplo, los de m´aximos y m´ınimos). El an´alisis fue a su vez absolutamente necesario para el desarrollo de la mec´anica, en la formulaci´on de cuyas leyes ya se encontraban los conceptos anal´ıticos en forma latente. Por ejemplo la segunda Ley de Newton, tal como ´el la formul´o, establece que ”la variaci´on de la cantidad de movimiento es proporcional a la fuerza actuante”(con m´as precisi´on: el ritmo de variaci´on del impulso es proporcional a la fuerza). Por consiguiente, si deseamos hacer uso de esta ley debemos estar en condiciones de definir el ritmo de variaci´on de una variable, esto es, de derivarla. (Si establecemos la ley diciendo que la aceleraci´on es proporcional a la fuerza, el problema es el mismo, porque la aceleraci´on es proporcional al ritmo de variaci´on del impulso). Tambi´en est´a perfectamente claro que, para establecer la ley que rige un movimiento cuando la fuerza es variable (en otras palabras, cuando el movimiento tiene lugar con aceleraci´on variable), es preciso resolver el problema inverso de encontrar una magnitud dado su ritmo de variaci´on; en otras palabras, es preciso integrar. As´ı, pues, se puede decir que Newton se vio simplemente obligado a inventar la derivaci´on y la integraci´on con el fin de poder desarrollar la mec´anica”. Desde los comienzos de su existencia, el hombre ha estudiado su medio ambiente con la finalidad de mejorar su situaci´on. Empez´o por observaciones, como hacemos hoy en d´ıa, y sigui´o por la reuni´on de informaci´on y su aplicaci´on a la vida cotidiana. La ciencia es hoy d´ıa algo m´as compleja. Nuestra capacidad de observaci´on ha aumentado enormemente gracias al desarrollo de los modernos instrumentos desde los que nos permiten ver diminutas part´ıculas de materia ampliadas millones de veces hasta los que nos permiten ver estrellas distantes en los l´ımites exteriores del universo tal como lo conocemos. Nuestros procesos de acopio de datos tambi´en se han vuelto muy complejos. No solo disponemos de
  • 5.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II iii medios muy r´apidos para registrar informaci´on sino que, mediante el uso de calculadoras y software, podemos recuperar la informaci´on en una fracci´on de segundo. Sin embargo, mu- chos de nosotros no tenemos todav´ıa la posibilidad de usar los ´ultimos inventos de la ciencia moderna. Tenemos que trabajar con las cosas existentes en nuestro medio inmediato que van a influir en nuestras vidas y en las de quienes nos rodean. Hay que tener en cuenta que los cambios r´apidos e incesantes del mundo de hoy hacen que tambi´en cambien a su comp´as los conocimientos necesarios de matem´atica Entre todas las disciplinas matem´aticas, la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales es la m´as importante. Proporciona la explicaci´on de todas esas manifestaciones elementales de la naturaleza que involucran al tiempo. Esta obra es un intento para lograr que la ense˜nanza y el aprendizaje de la ciencia sean los m´as eficaces posible. Como no hay una manera perfecta de ense˜nar la Ciencia, ´esta publicaci´on no pretende ser el non plus ultra de la ense˜nanza de la Matem´atica. Los profesores deben buscar constantemente los mejores m´etodos para ellos mismos y para sus alumnos, as´ı como leer con la mayor amplitud y profundidad posibles. Sin embargo, se espera que este trabajo sirva de documento b´asico para empezar. Se ha reunido las contribuciones de docentes que se han especializado en estos temas a fin de presentar un amplio panorama de la ense˜nanza de ´esta Ciencia. Es importante que el pensamiento creador en todos los niveles de educaci´on se centre en crear las situaciones de aprendizaje m´as eficaces para los estudiantes. En consecuencia, este texto est´a destinado tanto a estudiantes de ciencias e ingenier´ıa como a docentes en ejercicio as´ı como tambi´en a los futuros docentes de varios niveles acad´emicos para que lo utilicen en las situaciones m´as diversas. Su finalidad es mejorar la ense˜nanza cotidiana de la ciencia examinando los numerosos temas que influyen sobre el estudiante. ´Este es el compromiso que como docente de la Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas de la Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo he asumido: el contribuir a la formaci´on integral de los estudiantes del presente siglo. Se tiene siempre la esperanza de que una publicaci´on sea tan buena que haya demanda de una segunda edici´on. Esto permite siempre corregir las inexactitudes y las equivocaciones, as´ı como a˜nadir material pertinente nuevo u omitido inadvertidamente antes. Se agradecer´a a los lectores que comuniquen sus propias contribuciones y sugerencias al autor.
  • 7.
    Notaci´on Simb´olica N, conjuntode los n´umeros naturales. Z, conjunto de los n´umeros enteros. Z+, conjunto de los n´umeros enteros positivos. Z+ 0 , conjunto de los n´umeros enteros positivos incluyendo el cero. Z−, conjunto de los n´umeros enteros negativos. Z− 0 , conjunto de los n´umeros enteros negativos incluyendo el cero. Z+ i , conjunto de los n´umeros enteros impares positivos. Z+ p , conjunto de los n´umeros enteros pares positivos. Q, conjunto de los n´umeros racionales. I, conjunto de los n´umeros irracionales. R, conjunto de los n´umeros reales. v
  • 9.
    ´Indice general Prefacio I Introducci´onI 1. LA INTEGRAL INDEFINIDA 1 1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Un poco de historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3. La antiderivada y la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4. Propiedades de la integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5. Integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6. M´etodos de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6.1. Integraci´on por sustituci´on o cambio de variable . . . . . . . . . . . . . 7 1.6.2. Integraci´on por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6.3. Integraci´on de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto . 10 1.6.4. Integraci´on de funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas . . . . . . . . . . 11 1.6.5. Integraci´on por sustituci´on trigonom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6.6. Integraci´on de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.7. Integraci´on de funciones racionales trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . 17 1.6.8. Integraci´on de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. LA INTEGRAL DEFINIDA 69 2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2. Sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3. Area de una regi´on plana por sumatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.4. La integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4.1. ´Area bajo una curva a trav´es de sumas superiores e inferiores . . . . . . 72 2.4.2. Sumas superiores y sumas inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.4.3. Integrales superiores e integrales inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.4.4. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.5. Teoremas fundamentales del c´alculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 vii
  • 10.
    viii Matem´atica IIWalter Arriaga D. 3. INTEGRALES IMPROPIAS 89 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.2. Integrales impropias de primera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.2.1. Criterios de comparaci´on para funciones no negativas . . . . . . . . . . 91 3.3. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3.1. Criterios de comparaci´on para funciones no negativas . . . . . . . . . . 93 4. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 99 4.1. Area de una regi´on plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.1. Area de una regi´on plana en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . 99 4.1.2. Area de una regi´on plana en coordenadas polares y ecuaciones pa- ram´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2. Volumen de un s´olido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.1. Volumen de un s´olido usando secciones transversales . . . . . . . . . . . 103 4.2.2. Volumen de un s´olido de revoluci´on en coordenadas cartesianas . . . . . 105 4.2.3. Volumen de un s´olido en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas 113 4.3. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3.1. Longitud de arco en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3.2. Longitud de arco en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas . . 114 4.4. Area de una superficie de revoluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.4.1. Area de una superficie de revoluci´on en coordenadas cartesianas . . . . 114 4.4.2. Area de una superficie de revoluci´on en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.5. Centro de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Bibliograf´ıa 127 Indice de Materias 129
  • 11.
    1 LA INTEGRAL INDEFINIDA Objetivos Interpretargeom´etricamente la integral indefinida. Aplicar las propiedades de la integral indefinida de una funci´on real de variable real. Aplicar las t´ecnicas de integraci´on para la soluci´on de las integrales indefinidas. 1.1. Introducci´on En la presencia de fen´omenos de cambio o movimiento, es a veces m´as viable conocer o deducir la ley de cambio a la que obedece la variaci´on relativa de las variables involucradas, que la funci´on misma entre esas variables. Es decir, a veces se conoce la derivada de la funci´on o relaciones que satisfacen las derivadas, pero no se conoce la funci´on misma. Por ejemplo, en el caso del movimiento de un autom´ovil, es a menudo m´as f´acil estimar la velocidad o la aceleraci´on durante un cierto intervalo de tiempo, que la funci´on de posici´on del veh´ıculo en cada instante. Una idea de la velocidad se puede tener, por ejemplo, observando el veloc´ımetro desde dentro del mismo veh´ıculo. Algo similar se tiene en el caso del movimiento que muestran los cuerpos ante la presencia de una fuerza externa y que se manifiesta, seg´un las leyes del movimiento de Newton, en t´erminos de variaciones de la velocidad del cuerpo con respecto al tiempo en forma proporcional a la magnitud y direcci´on de la fuerza actuante. En este caso, el problema consiste en deducir la posici´on del cuerpo con respecto al tiempo a partir del comportamiento de su segunda derivada. Al problema de determinar la forma y los valores de una funci´on a partir del conocimiento de su derivada o de una ecuaci´on que involucra a sus derivadas se le llama problema de integraci´on y es el problema fundamental de la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales. En este sentido, el problema de integraci´on es el problema inverso al de derivaci´on o de c´alculo de derivadas. En este cap´ıtulo se inicia el estudio de los problemas de integraci´on a partir del concepto de integral indefinida y se muestra c´omo las distintas reglas 1
  • 12.
    2 Matem´atica IIWalter Arriaga D. de derivaci´on dan lugar a m´etodos de integraci´on que permiten resolver problemas como los arriba citados. 1.2. Un poco de historia El c´alculo integral tiene sus or´ıgenes en problemas de cuadraturas en los que se trataba de calcular ´areas de regiones planas limitadas por una o varias curvas. Se atribuye a Eudoxo (ca. 370 A.C.) la invenci´on del m´etodo de exhauci´on, una t´ecnica para calcular el ´area de una regi´on aproxim´andola por una sucesi´on de pol´ıgonos de forma que en cada paso se mejora la aproximaci´on anterior. Arqu´ımides (287–212 A.C.) perfeccion´o este m´etodo y, entre otros resultados, calcul´o el ´area de un segmento de par´abola y el volumen de un segmento de paraboloide, as´ı como el ´area y el volumen de una esfera. Sorprende que, siendo tan antiguos sus or´ıgenes, la primera definici´on matem´atica de in- tegral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy (1789–1857). Una posible explicaci´on es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integraci´on fue considerada como la operaci´on inversa de la derivaci´on; el c´alculo integral consist´ıa esencialmente en el c´alculo de primitivas. Naturalmente, se conoc´ıa la utilidad de las integrales para calcular ´areas y vol´umenes, pero los matem´aticos de la ´epoca consideraban estas nociones como dadas de for- ma intuitiva y no vieron la necesidad de precisar su significaci´on matem´atica. Los trabajos de Joseph Fourier (1768–1830) sobre representaci´on de funciones por series trigonom´etricas hicieron que el concepto de funci´on evolucionara, desde la idea restrictiva de funci´on como f´ormula, hasta la definici´on moderna de funci´on dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la integral de estas nuevas funciones m´as generales se vio la necesidad de precisar matem´aticamente los conceptos de ´area y de volumen. La originalidad de Cauchy es que uni´o dos ideas, la de l´ımite y la de ´area, para dar una definici´on matem´atica de integral. Poco despu´es Georg F.B. Riemann (1826–1866) generaliz´o la definici´on de integral dada por Cauchy. La teor´ıa de la integral de Riemann fue un avance importante pero, desde un punto de vista matem´atico, insuficiente. Hubo que esperar hasta el siglo XX para que Henri Lebesgue (1875–1941) estableciera en su libro Lecons sur l’int´egration et la recherch´e des fonctions primitives (1904) los fundamentos de una teor´ıa matem´aticamente satisfactoria de la integraci´on. La integraci´on es una de las herramientas m´as vers´atiles del C´alculo, sus aplicaciones no se limitan a calcular ´areas de regiones planas o vol´umenes de s´olidos, tambi´en se utiliza para calcular longitudes de curvas, centros de masas, momentos de inercia, ´areas de superficies, para representar magnitudes f´ısicas como el trabajo, la fuerza ejercida por una presi´on, o la energ´ıa potencial en un campo de fuerzas. En este curso vamos a estudiar la integraci´on desde un punto de vista esencialmente pr´acti-
  • 13.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 3 co. Nos interesa la integral como herramienta de c´alculo y para ese prop´osito es suficiente la integral de Riemann. 1.3. La antiderivada y la integral indefinida En el c´alculo diferencial, nos hemos interesado principalmente por ´este problema: dada una funci´on, hallar su derivada. No obstante, muchas aplicaciones importantes del c´alculo est´an relacionadas con el problema inverso: dada la derivada de una funci´on, hallar la funci´on original. Otro punto que merece ser aclarado es el siguiente. Cuando hablamos de resolver la integral para una funci´on f, lo que se est´a pidiendo en realidad es hallar una primitiva F para f que se exprese en t´erminos de funciones elementales (composiciones finitas de funciones aritm´eticas, trigonom´etricas, logar´ıtmicas, exponenciales, radicales y otras de igual estilo). El que esto sea posible no est´a garantizado por ning´un teorema para funciones continuas y, m´as a´un, se ha demostrado que existen funciones continuas elementales que no admiten primitivas en t´erminos elementales; por ejemplo, la funci´on f(x) = e−x2 . Estas razones establecen la filosof´ıa directriz de los m´etodos de integraci´on: se clasifican las funciones conocidas que admiten primitivas elementales en clases seg´un un patr´on general que sabemos resolver mediante una operaci´on espec´ıfica; cualquier otra funci´on que no presente las caracter´ısticas de los elementos de alguna de las clases establecidas, se intenta transformar en un elemento de alguna de estas mediante un n´umero finito de manipulaciones. Pero, por lo antes dicho, el ´exito de este procedimiento no est´a garantizado y depende en gran medida de la destreza que s´olo se adquiere con la pr´actica. En este sentido integrar es un arte. Definici´on 1.3.1. Sea I un intervalo y sea f : I −→ R una funci´on cont´ınua. Se denomina primitiva o antiderivada de f en I a la funci´on definida F : I −→ R, tal que F′(x) = f(x), para todo x ∈ I, y se denota por: F(x) = Ant(f(x)). Ejemplo 1.3.1. La funci´on F(x) = x3 es una antiderivada de la funci´on f(x) = 3x2 en R, pues: F′(x) = 3x2 = f(x), ∀x ∈ R. Se dice entonces que f es la derivada de F y que F es una antiderivada de f. Sin embargo, la funci´on G(x) = x3+2 es tambi´en una antiderivada de la funci´on f(x) = 3x2 en R, puesto que: G′(x) = d dx (3x2 + 2) = 3x2 = f(x), ∀x ∈ R En general, si F(x) es una antiderivada de f(x) en I, entonces F(x) + C tambi´en es una antiderivada de la funci´on f(x) en I, para cualquier constante C. Teorema 1.3.1. Si F y G son dos funciones tales que F′(x) = G′(x) para todos los valors de x en el intervalo I, entonces existe una copnstante K tal que F(x) = G(x) + C, para todas las x en I.
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    4 Matem´atica IIWalter Arriaga D. Demostraci´on. Sea H la funci´on definida en I por H(x) = F(x) − G(x) de tal manera que, para todos los valores de x en I, H′(x) = F′(x) − G′(x) pero por hip´otesis, F′(x) = G′(x), por lo tanto, H′(x) = 0, ∀x ∈ I As´ı el teorema del valor medio se aplica a la funci´on H, y existe una constante C tal que H(x) = C, ∀x ∈ I Sustituyendo H(x) por F(x) − G(x) tenemos que F(x) = G(x) + C, ∀x ∈ I. Definici´on 1.3.2. Si F(x) es una antiderivada de f(x) en I, la integral indefinida de f(x) es el conjunto de antiderivadas de f(x) en dicho intervalo y se denota por: f(x)dx, es decir: f(x)dx = F(x) + C, C ∈ R (1.1) donde: = signo integral. f(x) = funci´on integrando. dx = diferencial de x. F(x) = antiderivada. C = constante de integraci´on. Como consecuencia de la definici´on se tiene que: d dx f(x)dx = f(x). Notaci´on Isaac Newton usaba una peque˜na barra vertical encima de una variable para indicar inte- graci´on, o pon´ıa la variable dentro de una caja. La barra vertical se confund´ıa f´acilmente con ˙x o x′ que Newton usaba para indicar la derivaci´on, y adem´as la notaci´on “caja” era dif´ıcil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas. La notaci´on moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675. Para indicar summa (en lat´ın, “suma” o “total”), adapt´o el s´ımbolo integral, , a partir de una letra S alargada. La notaci´on moderna de la integral definida, con los l´ımites arriba y abajo del signo integral, la us´o por primera vez Joseph Fourier en M´emoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819 a 1820, reimpresa en su libro de 1822. En la notaci´on matem´atica en ´arabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido. 1.4. Propiedades de la integral indefinida Si f y g son funciones que admiten antiderivadas en I, entonces: a) [kf(x)]dx = k f(x)dx, k = constante.
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 5 b) [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx c) n i=1 kifi(x) dx = n i=1 ki fi(x)dx , m´as precisamente: [k1f1(x)+k2f2(x)+· · ·+knfn(x)]dx = k1 f1(x)dx+k2 f2(x)dx+· · ·+kn fn(x)dx Teorema 1.4.1. Si f(u)du = F(u) + C, entonces f[g(x)]g′ (x)dx = F[g(x)] + C Demostraci´on. como F′(u) = f(u), entonces: f[g(x)]g′ (x)dx = F′ [g(x)]g′ (x)dx = dF[g(x)] = F[g(x)] + C por lo tanto f[g(x)]g′ (x)dx = F[g(x)] + C Nota: Haciendo u = u(x) = g(x) se tiene que: f[u(x)]u′ (x)dx = f(u)du este es el cambio de variable en una integral indefinida. 1.5. Integrales inmediatas De la derivaci´on de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales lla- madas inmediatas. FORMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACION 1. du = u + c 2. du u = ln |u| + c 3. un du = un+1 n + 1 + c, n = −1 4. eu du = eu + c 5. au = au ln a + c
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    6 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 6. sen udu = − cos u + c 7. cos udu = sen u + c 8. tan udu = ln | sec u| + c 9. cot udu = ln | sen u| + c 10. sec udu = ln | sec u + tan u| + c 11. csc udu = ln | csc u − cot u| + c 12. sec2 udu = tan u + c 13. csc2 udu = − cot u + c 14. sec u tan udu = sec u + c 15. csc u cot udu = − csc u + c 16. senh udu = cosh u + c 17. cosh udu = senh u + c 18. tanh udu = ln | cosh u| + c 19. coth udu = ln | senh u| + c 20. sechudu = arctan(senh u) + c 21. cschudu = ln tanh x 2 + c 22. sech2 udu = tanh u + c 23. csch2 udu = − coth u + c 24. sechu tanh udu = −sechu + c
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 7 25. cschu coth udu = −cschu + c 26. du a2 + u2 = 1 a arctan u a + c, (a > 0) 27. du u2 − a2 = 1 2a ln u − a u + a + c, (a > 0) 28. du a2 − u2 = 1 2a ln u + a u − a + c, (a > 0) 29. du √ a2 − u2 = arcsen u a + c, (a > 0) 30. du √ u2 ± a2 = ln |u + u2 ± a2| + c 31. du u √ u2 − a2 = 1 a arcsec |u| a + c, (a > 0) 32. a2 − u2 = 1 2 u a2 − u2 + a2 arcsen u a + c, (a > 0) 33. u2 + a2 = 1 2 u u2 + a2 + a2 ln(u + u2 + a2 ) + c 34. u2 − a2 = 1 2 u u2 − a2 − a2 ln |u + u2 − a2 | + c 1.6. M´etodos de integraci´on Dado que los procesos de derivaci´on y de c´alculo de la integral indefinida son operaciones inversas, cada regla o f´ormula de derivaci´on da lugar a una regla o m´etodo para el c´alculo de la integral indefinida de funciones continuas. A estos m´etodos se les conoce como m´etodos de integraci´on. En matem´aticas resulta de gran importancia desarrollar m´etodos para evaluar integrales, pues, en general, no es posible aplicar uno que conduzca con seguridad a un resultado. Sin embargo, los presentados en este cap´ıtulo pueden considerarse simples mecanizaciones para hallar primitivas de funciones, mismas que permiten, a trav´es del segundo teorema fundamental del c´alculo, evaluar ciertas integrales definidas. Todos los m´etodos de integraci´on tienen por objetivo transformar una integral dada, no inmediata, en otra, suma de varias, cuyo c´alculo resulte m´as sencillo. 1.6.1. Integraci´on por sustituci´on o cambio de variable La regla de la cadena o de derivaci´on de una composici´on de funciones da lugar al m´etodo de integraci´on por sustituci´on, que a continuaci´on presentamos.
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    8 Matem´atica IIWalter Arriaga D. Dada la funci´on f : I −→ R, queremos calcular f(x)dx. Supongamos que se hace un cambio de variable en el elemento de integraci´on, haciendo: x = ϕ(t), con ϕ : J −→ I una funci´on con derivada ϕ′(t) = 0, ∀t ∈ J. Si la funci´on g(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t), t ∈ J admite una primitiva G en J, esto es G′(t) = g(t) = f(ϕ(t))ϕ′(t), ∀t ∈ J, entonces se tiene f(x)dx = f(ϕ(t))ϕ′ (t)dt (1.2) Para usar ´esta t´ecnica seguiremos los siguientes pasos: Insertar la letra u que representa alguna funci´on de x, la cual se escoge apropiadamente para simplificar la integral. Expresar la integral en t´erminos de u y el dx en t´erminos del du. Calcular la integral resultante y luego reemplazar u por su expresi´on en t´erminos de x en la respuesta. En todos los ejemplos que veremos a continuaci´on, trataremos de reducir el grado de difi- cultad de la integral mediante un cambio de variable, de tal manera que la integral resultante sea m´as f´acil de integrar ´o que sea una integral conocida. Para que la f´ormula de cambio de variable tenga posibilidades de ´exito, debemos identificar en el integrando a una funci´on u y a u′, su derivada. 1.6.2. Integraci´on por partes La f´ormula de Leibniz para la derivaci´on de un producto de funciones da lugar al llamado m´etodo de integraci´on por partes1, que presentamos a continuaci´on. Sean u = u(x) y v = v(x) dos funciones definidas y derivables en el intervalo I. Por la regla de la derivaci´on del producto se tiene: d(uv) = udv + vdu, de donde udv = d(uv) − vdu, e integrando miembro a miembro se tiene: udv = uv − vdu (1.3) uv − vdu du u del integrando Una parte Parte restante con el diferencial dv v Derivando Integrando 1 Este m´etodo fue desarrollado por Brook Taylor.
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 9 En este m´etodo u y dv deben ser elegidos de tal forma que la nueva integral que aparezca vdu sea m´as asequible que la de partida2. Observaci´on 1.6.1. Cuando la integral del lado derecho es m´as dif´ıcil de calcular que la integral original, se debe a la elecci´on no apropiada del u y del dv. Por esta raz´on, el ´exito que se tenga en la aplicaci´on del m´etodo estriba fundamentalmente en la habilidad que se tenga para la elecci´on de los factores u y dv, habilidad que se adquiere con la pr´actica. Algunas veces, al aplicar el m´etodo para calcular la integral udv, y despu´es de algu- nas manipulaciones algebraicas, aparece en el lado derecho de la igualdad la expresi´on k udv, transform´andose la integral en una ecuaci´on de la forma: udv = H(x) + k udv Si k = 1, la ecuaci´on es una identidad (H(x) ≡ 0) y, por tanto, se debe ensayar otra elecci´on del u y del dv, ya que la elecci´on inicial no es la apropiada. Si k = 1, se tiene: udv = 1 1 − k H(x) + c lo cual proporciona la soluci´on a la integral. En algunos casos el m´etodo de integraci´on por partes es iterativo, esto es, algunas ve- ces, para calcular la segunda integral vdu, es necesario aplicar nuevamente el mismo m´etodo. Cuando se determina la funci´on v, a partir de su diferencial dv, no es necesario considerar la constante de integraci´on, pues si en lugar de v se considera v+C, C constante, entonces udv = u(v + C) − (v + C)du = uv − vdu esto significa que la constante C considerada no figura en el resultado final. Al menos inicialmente, algunas integrales no presentan muchas opciones en la elecci´on del u y del dv. Los siguientes ejemplos ilustran la elecci´on ´unica que debe hacerse en algunos casos particulares: Integral u dv ln xdx ln x dx Pn(x) ln xdx ln x Pn(x)dx Pn(x)exdx Pn(x) exdx Pn(x) sen xdx Pn(x) sen xdx Pn(x) cos xdx Pn(x) cos xdx 2 algunos estudiantes utilizan para recordar la f´ormula (1.3) la frase: “un d´ıa vi un viejo vestido de uniforme”
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    10 Matem´atica IIWalter Arriaga D. Podr´ıa usarse la siguiente estrategia para identificar el u y del dv: I: Funci´on trigonom´etrica inversa. L: Funci´on logar´ıtmica. A: Funci´on algebraica. T: Funci´on trigonom´etrica. E: Funci´on exponencial. I L A T E 1.6.3. Integraci´on de funciones que contienen un trinomio cuadrado per- fecto En la integraci´on de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto se presentan 4 casos: I. dx px2 + qx + r II. dx px2 + qx + r III. (ax + b)dx px2 + qx + r IV. (ax + b)dx px2 + qx + r Para los casos (I) y (II), ser´a suficiente completar trinomios cuadrados perfectos y aplicar las f´ormulas correspondientes. En los casos (III) y (IV), se expresa el numerador en funci´on de la derivada del trinomio px2 + qx + r; esto es: Haciendo u = px2 + qx + r entonces du = 2px + q, luego: ax + b = a 2p [(2px + q) − q] + b ax + b = a 2p (2px + q) − aq 2p + b De esta manera se obtiene: (ax + b)dx px2 + qx + r = a 2p (2px + q)dx px2 + qx + r + b − aq 2p dx px2 + qx + r I1 = a 2p ln |px2 + qx + r| + b − aq 2p I1
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 11 tambi´en se obtiene: (ax + b)dx px2 + qx + r = a 2p (2px + q)dx px2 + qx + r + b − aq 2p dx px2 + qx + r I2 = a 2p px2 + qx + r + b − aq 2p I2 Las integrales (I1) e (I2) se resuelven aplicando los casos (I) y (II) respectivamente. 1.6.4. Integraci´on de funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas A continuaci´on veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones trigonom´etri- cas, que posteriormente se utilizar´an en el m´etodo de sustituci´on trigonom´etrica. I. Integrales de la forma: a) senm x cosn x dx b) senhm x coshn x dx Se presentan 3 casos: Caso I: Cuando m ∈ Z+ i y n ∈ R. En (a) se separa el factor sen x dx, luego se hace la sustituci´on u = cos x, y se procede a convertir los factores restantes en cosenos usando la identidad: sen2 x = 1−cos2 x. sen2k+1 x cosn x dx = (sen2 x)k cosn x sen x dx = (1 − cos2 x)k cosn x sen x dx En (b) se separa el factor senh x dx, luego se hace la sustituci´on u = cosh x, y se pro- cede a convertir los factores restantes en cosenos hiperb´olicos usando la identidad: senh2 x = cosh2 x − 1. senh2k+1 x coshn x dx = (senh2 x)k coshn x senh x dx = (cosh2 x − 1)k coshn x senh x dx Caso II: Cuando n ∈ Z+ i y m ∈ R. En (a) se separa el factor cos x dx, luego se hace la sustituci´on u = sen x, y se procede a convertir los factores restantes en senos usando la identidad: cos2 x = 1 − sen2 x. senm x cos2k+1 x dx = senm x(cos2 x)k cos x dx = senm x(1 − sen2 x)k cos x dx
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    12 Matem´atica IIWalter Arriaga D. (b) se separa el factor cosh x dx, luego se hace la sustituci´on u = senh x, y se procede a convertir los factores restantes en senos hiperb´olicos usando la identidad: cosh2 x = 1 + senh2 x. senhm x cosh2k+1 x dx = senhm x(cosh2 x)k cos x dx = senhm x(1 + senh2 x)k cosh x dx Caso III: Cuando m y n son n´umeros enteros pares no negativos. En (a) usaremos las identidades: sen2 x = 1 − cos 2x 2 y cos2 x = 1 + cos 2x 2 En (b) usaremos las identidades: senh2 x = cosh 2x − 1 2 y cosh2 x = cosh 2x + 1 2 II. Integrales de la forma: a) tanm x secn x dx b) cotm x cscn x dx c) tanhm x sechn x dx d) cothm x cschn x dx Se presentan 2 casos: Caso I: Cuando m ∈ Z+ i y n ∈ R. En (a) se separa el factor tan x sec x dx, luego se hace la sustituci´on u = sec x, y se procede a convertir los factores restantes en secantes usando la identidad: tan2 x = sec2 x − 1. tan2k+1 x secn x dx = (tan2 x)k secn−1 x tan x sec x dx = (sec2 x − 1)k secn−1 x tan x sec x dx En (b) se separa el factor cot x csc x dx, luego se hace la sustituci´on u = csc x, y se procede a convertir los factores restantes en cosecantes usando la identidad: cot2 x = csc2 x − 1. cot2k+1 x cscn x dx = (cot2 x)k cscn−1 x cot x csc x dx = (csc2 x − 1)k cscn−1 x cot x csc x dx
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 13 En (c) se separa el factor tanh x sechx dx, luego se hace la sustituci´on u = sechx, y se procede a convertir los factores restantes en secantes hiperb´olicos usando la identidad: tanh2 x = 1 − sech2 x. tanh2k+1 x sechn x dx = (tanh2 x)k sechn−1 x tanh x sechx dx = (1 − sech2 x)k sechn−1 x tanh x sechx dx En (d) se separa el factor coth x cschx dx, luego se hace la sustituci´on u = cschx, y se procede a convertir los factores restantes en cosecantes hiperb´olicos usando la identidad: coth2 x = 1 + csch2 x. coth2k+1 x cschn x dx = (coth2 x)k cschn−1 x coth x cschx dx = (1 + csch2 x)k cschn−1 x coth x cschx dx Caso II: Cuando n ∈ Z+ p y m ∈ R. En (a) se separa el factor sec2 x dx, luego se hace la sustituci´on u = tan x, y se procede a convertir los factores restantes en tangentes usando la identidad: sec2 x = 1 + tan2 x. tanm x sec2k x dx = tanm x(sec2 x)k−1 sec2 x dx = tanm x(1 + tan2 x)k−1 sec2 x dx En (b) se separa el factor csc2 x dx, luego se hace la sustituci´on u = cot x, y se procede a convertir los factores restantes en cotangentes usando la identidad: csc2 x = 1 + cot2 x. cotm x csc2k x dx = cotm x(csc2 x)k−1 csc2 x dx = cotm x(1 + cot2 x)k−1 csc2 x dx En (c) se separa el factor sech2 x dx, luego se hace la sustituci´on u = tanh x, y se procede a convertir los factores restantes en tangentes hiperb´olicos usando la identidad: sech2 x = 1 − tanh2 x. tanhm x sech2k x dx = tanhm x( sech2 x)k−1 sech2 x dx = tanhm x(1 − tanh2 x)k−1 sech2 x dx
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    14 Matem´atica IIWalter Arriaga D. En (d) se separa el factor csch2 x dx, luego se hace la sustituci´on u = coth x, y se procede a convertir los factores restantes en cotangentes hiperb´olicos usando la identidad: csch2 x = coth2 x − 1. cothm x csch2k x dx = cothm x( csch2 x)k−1 csch2 x dx = cothm x(coth2 x − 1)k−1 csch2 x dx Observaci´on 1.6.2. Si m ∈ Z+ p y n = 0, se convierte un factor tan2 x en secantes, luego se desarrolla y se repite el proceso si es necesario. tanm dx = tanm−2 x(tan2 x) dx = tanm−2 x(sec2 x − 1) dx = tanm−2 x(sec2 x) dx − tanm−2 x dx Si la integral es de la forma secn x dx, con n ∈ Z+ i , se debe usar la integraci´on por partes. Si no se aplica ninguno de los cuatro casos anteriores, intentar convertir a senos y cosenos. III. Integrales de la forma: a) sen(mx) cos(nx)dx b) sen(mx) sen(nx)dx c) cos(mx) cos(nx)dx d) senh(mx) cosh(nx)dx e) senh(mx) senh(nx)dx f) cosh(mx) cosh(nx)dx Para calcular ´este tipo de integrales usaremos las siguientes identidades: sen(mx) cos(nx) = 1 2 [sen(mx − nx) + sen(mx + nx)] sen(mx) sen(nx) = 1 2 [cos(mx − nx) − cos(mx + nx)]
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 15 cos(mx) cos(nx) = 1 2 [cos(mx − nx) + cos(mx + nx)] senh(mx) cosh(nx) = 1 2 [senh(mx + nx) + senh(mx − nx)] senh(mx) senh(nx) = 1 2 [cosh(mx + nx) − cosh(mx − nx)] cosh(mx) cosh(nx) = 1 2 [cosh(mx + nx) + cosh(mx − nx)] 1.6.5. Integraci´on por sustituci´on trigonom´etrica Cuando el integrando contiene alguna de las siguientes expresiones: a2 − u2, u2 + a2, u2 − a2, √ a2 − u2, √ u2 + a2, √ u2 − a2, donde u es una funci´on diferenciable y a es una constante positiva, es posible realizar la integraci´on efectuando una sustituci´on trigonom´etrica adecuada, la cual transforma la integral inicial en una integral que generalmente contiene funciones trigonom´etricas y cuya primitiva es conocida o puede encontrarse usando cualquiera de los casos de la secci´on anterior. Adem´as cualquier trinomio de la forma px2 + qx + r, completanto cuadrados, puede ser expresado como: a2 − u2, u2 + a2 o u2 − a2. Seg´un ´esto suceden 3 casos: Caso I: Si el trinomio px2 + qx + r se expresa como a2 − u2, usaremos la sus- tituci´on: u = a sen θ du = a cos θ dθ y para regresar a la variable original se usa el tri´angulo: √ a2 − u2 a u θ donde a > 0 y sen θ = u/a Caso II: Si el trinomio px2 + qx + r se expresa como u2 + a2, usaremos la sus- tituci´on: u = a tan θ du = a sec2 θ dθ y para regresar a la variable original se usa el tri´angulo: a √ u2 + a2 u θ donde a > 0 y tan θ = u/a Caso III: Si el trinomio px2 + qx + r se expresa como u2 − a2, usaremos la sus- tituci´on: u = a sec θ du = a sec θ tan θ dθ
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    16 Matem´atica IIWalter Arriaga D. y para regresar a la variable original se usa el tri´angulo: a √ u2 − a2u θ donde a > 0 y sec θ = u/a 1.6.6. Integraci´on de funciones racionales El objetivo de esta secci´on es estudiar una importante t´ecnica de integraci´on con la cual se pueden calcular integrales de la forma f(x)dx, siendo f(x) una funci´on racional, es decir, f(x) es el cociente de dos funciones polin´omicas. Sup´ongase que se quiere calcular la integral de la forma: f(x)dx = Pn(x) Qm(x) dx = anxn + an−1xn−1 + · · · a1x + a0 bmxm + bm−1xm−1 + · · · b1x + b0 dx Se presentan entonces dos posibilidades: 1. La funci´on racional dada f(x) es propia, es decir, cuando n < m (el grado del numerador es menor que el grado del denominador de la fracci´on). Se presentan los siguientes casos: Caso I: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos lineales y ninguno se repite: Qm(x) = (a1x + b1)(a2x + b2) . . . (amx + bm), entonces: Pn(x) Qm(x) = A1 a1x + b1 + A2 a2x + b2 + · · · + Am amx + bm luego: Pn(x) Qm(x) dx = A1 a1x + b1 dx + A2 a2x + b2 dx + · · · + Am amx + bm dx Caso II: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos lineales y se repiten: Qm(x) = (ax + b)m, entonces: Pn(x) Qm(x) = A1 ax + b + A2 (ax + b)2 + · · · + Am (ax + b)m luego: Pn(x) Qm(x) dx = A1 ax + b dx + A2 (ax + b)2 dx + · · · + Am (ax + b)m dx
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 17 Caso III: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos cuadr´aticos y ninguno se repite: Qm(x) = (a1x2 + b1x + c1)(a2x2 + b2x + c2) . . ., entonces: Pn(x) Qm(x) = A1x + B1 a1x2 + b1x + c1 + A2x + B2 a2x2 + b2x + c2 + · · · luego: Pn(x) Qm(x) dx = A1x + B1 a1x2 + b1x + c1 dx + A2x + B2 a2x2 + b2x + c2 dx + · · · Caso IV: Cuando los factores primos de Qm(x) son todos cuadr´aticos y se repiten: Qm(x) = (a1x2 + b1x + c1)(a1x2 + b1x + c1) . . ., entonces: Pn(x) Qm(x) = A1x + B1 a1x2 + b1x + c1 + A2x + B2 (a1x2 + b1x + c1)2 + · · · luego: Pn(x) Qm(x) dx = A1x + B1 a1x2 + b1x + c1 dx + A2x + B2 (a1x2 + b1x + c1)2 dx + · · · 2. La funci´on racional dada f(x) es impropia, es decir, cuando n ≥ m (el grado del nume- rador es mayor o igual que el grado del denominador). En ´este caso el algoritmo de la divisi´on entre polinomios permite escribir: f(x) = Pn(x) Qm(x) = Cn−m(x) + Rk(x) Qm(x) donde Cn−m(x) es un polinomio de grado n − m, y Rk(x) es un polinomio de grado k, k < m. De esta forma, la integral inicial se transforma en la suma de dos integrales: una de ellas, la de una funci´on polin´omica, y la otra, la integral de una funci´on racional propia. Por tanto, es suficiente estudiar la primera posibilidad, es decir, si se sabe c´omo se integran las funciones racionales propias, se sabr´a c´omo se integran todas las funciones racionales 1.6.7. Integraci´on de funciones racionales trigonom´etricas Definici´on 1.6.1. Una funci´on y = f(x) es par si se cumple que f(−x) = f(x). Ejemplos: 1) f(x) = 1 x2 + 5 , 2) f(x) = sen x x Una funci´on y = f(x) es impar si se cumple que f(−x) = −f(x). Ejemplos: 1) f(x) = x x2 + 5 , 2) f(x) = sen2 x x Observaci´on 1.6.3.
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    18 Matem´atica IIWalter Arriaga D. Una funci´on racional trigonom´etrica es par en seno si al sustituir sen x por − sen x, la funci´on no var´ıa. Ejemplos: 1) f(x) = cos x + 1 sen2 x , 2) f(x) = 1 + tan2 x , 3) f(x) = cos x debemos tener en cuenta que es posible que la expresi´on sen x no aparezca expl´ıcitamente, como en el tercer ejemplo, sin embargo f(x) = cos x puede expresarse como f(x) = cos x sen0 x. Una funci´on racional trigonom´etrica es impar en seno si al sustituir sen x por − sen x, la funci´on cambia de signo. Ejemplos: 1) f(x) = sen x , 2) f(x) = sen3 x cos x + sen2 x , 3) f(x) = tan x Una funci´on racional trigonom´etrica es par en coseno si al sustituir cos x por − cos x, la funci´on no var´ıa. Ejemplos: 1) f(x) = 2 cos2 x + sen x , 2) f(x) = 5 + tan2 x , 3) f(x) = sen x Una funci´on racional trigonom´etrica es impar en coseno si al sustituir cos x por − cos x, la funci´on cambia de signo. Ejemplos: 1) f(x) = cos x , 2) f(x) = cos5 x cos4 x + sen x , 3) f(x) = tan x Una funci´on racional trigonom´etrica es par en seno y coseno (simult´aneamente) cuando al sustituir sen x y cos x por − sen x y − cos x, respectivamente, la funci´on no var´ıa. Ejemplos: 1) f(x) = 1 1 + sen x cos x , 2) f(x) = tan x Para resolver integrales de la forma R(sen x , cos x)dx, donde R(sen x , cos x) es una funcion racional de senos y cosenos, se deben tener en cuenta los siguientes casos: Caso I: Cuando R(sen x , cos x) es impar en sen x, hacemos la sustituci´on: t = cos x de donde    sen x = √ 1 − t2 dx = − dt √ 1 − t2 ´estas sustituciones convierten la integral en la de una funci´on racional de variable t. Caso II: Cuando R(sen x , cos x) es impar en cos x, hacemos la sustituci´on: t = sen x de donde    cos x = √ 1 − t2 dx = dt √ 1 − t2 ´estas sustituciones convierten la integral en la de una funci´on racional de variable t.
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 19 Caso III: Cuando R(sen x , cos x) es par en sen x y cos x simult´aneamente, hacemos la sustituci´on: t = tan x de donde    sen x = t √ 1 + t2 cos x = 1 √ 1 + t2 dx = dt 1 + t2 ´estas sustituciones convierten la integral en la de una funci´on racional de variable t. Caso IV: En cualquier otro caso, incluso en los anteriores, hacemos la sustituci´on: t = tan x 2 de donde    sen x = 2t 1 + t2 cos x = 1 − t2 1 + t2 tan x = 2t 1 − t2 dx = 2dt 1 + t2 ´estas sustituciones convierten la integral en la de una funci´on racional de variable t. Nota 1.6.1. Conviene no aplicar la sustituci´on del cuarto caso, mas que si no se pueden aplicar los anteriores ya que suelen obtenerse integrales m´as complicadas, por ejemplo, con ra´ıces complejas m´ultiples en el denominador. Dependiendo del cambio que se aplique, la soluci´on general puede adoptar distinto aspecto; recordemos que dos primitivas de una funci´on se diferencian en una constante. 1.6.8. Integraci´on de funciones irracionales CASO I: Integrales de la forma: Ax + B √ ax2 + bx + c dx La integral puede ser escrita como: Ax + B a x + b 2a 2 + 4ac − b2 4a dx luego se hace la sustituci´on z = x + b 2a , y dz = dx CASO II: Integrales de la forma: F x , n ax + x cx + d dx
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    20 Matem´atica IIWalter Arriaga D. Para calcular este tipo de integrales, hacemos el cambio de variable ax + b cx + d = zn de donde se tiene que x = b − dzn czn − a y dx = (ad − bc)nzn−1 (czn − a)2 dz CASO III: Integrales de la forma: F x , ax + x cx + d m1/n1 , . . . , ax + x cx + d mk/nk dx Para calcular este tipo de integrales, hallamos: n = mcm(n1, n2, . . . , nk), luego se hace el cambio de variable ax + b cx + d = zn de donde se tiene que x = b − dzn czn − a y dx = (ad − bc)nzn−1 (czn − a)2 dz CASO IV: Integrales de la forma: P(x) dx px2 + qx + r Esta integral puede ser escrita como: P(x) dx px2 + qx + r = Q(x) px2 + qx + r + λ dx px2 + qx + r donde: P(x) es un polinomio de grado n Q(x) es un polinomio de grado n − 1 λ es un n´umero real. CASO V: Integrales de la forma: dx (x − a)n px2 + qx + r donde n ∈ N. Para calcular este tipo de integrales, se hace la sustituci´on: x − a = 1 z , de donde dx = − dz z2 CASO VI: M´etodo de Chevishev3 Integrales de la forma: xm (a + bxn )p 3 Pafnuti Lv´ovich Chebyshov (16 de mayo de 1821 al 8 de diciembre de 1894) fue un matem´atico ruso, tambi´en conocido como “Chebyshev” o por otras graf´ıas similares de su apellido. Su principal contribuci´on al conocimiento humano es la desigualdad que lleva su nombre.
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 21 Para calcular este tipo de integrales, se consideran las siguientes condiciones: Condiciones de Chevishev: • Si p ∈ Z, entonces hacemos la sustituci´on x = zr, donde r = mcm de los denomi- nadores de las fracciones m y n. • Si m + 1 n ∈ Z, entonces hacemos la sustituci´on a + bxn = zs, donde s es el denomi- nador de p ∈ Q. • Si m + 1 n + p ∈ Z, entonces hacemos la sustituci´on a + bxn = zsxn o tambi´en ax−n + b = zs, donde s es el denominador de p ∈ Q. Observaci´on 1.6.4. Aunque existen otros m´etodos orientados a resolver integrales de fun- ciones espec´ıficas, en numerosas ocasiones se puede lograr, gracias a un inteligente cambio de variable u operaci´on elemental que reduzca la laboriosidad que con frecuencia va impl´ıcita en los procedimientos. Por ello, debe entenderse que la b´usqueda de primitivas, cuando ´estas existen, es un arte cuyo dominio se alcanza cuando se realizan numerosos problemas.
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    22 Matem´atica IIWalter Arriaga D. ✍ EJERCICIOS RESUELTOS 1. I. Integraci´on por sustituci´on o cambio de variable: 1. (3x5 − 4x3 + 8x2 − 3)dx Soluci´on (3x5 − 4x3 + 8x2 − 3)dx = 3x5 dx − 4x3 dx + 8x2 dx − 3dx = 3 x5 dx − 4 x3 dx + 8 x2 dx − 3 dx = 3 x6 6 − 4 x4 4 + 8 x3 3 − 3x + C = x6 2 − x4 + 8x3 3 − 3x + C ∴ (3x5 − 4x3 + 8x2 − 3)dx = x6 2 − x4 + 8x3 3 − 3x + C 2. 6x5 − 3x2 + √ x x3 dx Soluci´on 6x5 − 3x2 + √ x x3 dx = 6 x2 dx − 3 dx x dx + x−5/2 dx = 2x3 − 3 ln |x| − 2 3 x−3/2 + C ∴ 6x5 − 3x2 + √ x x3 dx = 2x3 − 3 ln |x| − 2 3 x−3/2 + C 3. x2 + 2 x2(x2 + 4) dx Soluci´on Observamos que: x2 + 2 = x2 + 2 4 (x2 + 4 − x2) = 1 2 [(x2 + 4) + x2] x2 + 2 x2(x2 + 4) dx = 1 2 x2 + (x2 + 4) x2(x2 + 4) dx = 1 2 dx x2 + 4 + 1 2 dx x2 = 1 2 1 2 arctan x 2 + 1 2 x−1 −1 + C = 1 4 arctan x 2 − 1 2x + C ∴ x2 + 2 x2(x2 + 4) dx = 1 4 arctan x 2 − 1 2x + C
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 23 4. x2 − 3 x2(x2 − 5) dx Soluci´on Observamos que: x2 − 3 = x2 + 3 5 (x2 − 5 − x2) = 3 5 (x2 − 5) + 2 5 x2 x2 − 3 x2(x2 − 5) dx = 3(x2 − 5) + 2x2 5x2(x2 − 5) dx = 3 5 dx x2 + 2 5 dx x2 − √ 5 2 = −3 5x + 1 5 √ 5 ln x − √ 5 x + √ 5 + C ∴ x2 − 3 x2(x2 − 5) dx = −3 5x + 1 5 √ 5 ln x − √ 5 x + √ 5 + C 5. cos(3x + 2)dx Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = 3x + 2 =⇒ du = 3dx podemos escribir: cos(3x + 2)dx = 1 3 cos(3x + 2)3dx = 1 3 cos u du = 1 3 sen u + C = 1 3 sen(3x + 2) + C ∴ cos(3x + 2)dx = 1 3 sen(3x + 2) + C 6. (x + 1) sen(x2 + 2x − 3)dx Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = x2 + 2x − 3 =⇒ du = (2x + 2)dx
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    24 Matem´atica IIWalter Arriaga D. podemos escribir: (x + 1) sen(x2 + 2x − 3)dx = 1 2 sen udu = − cos u 2 + C = − cos(x2 + 2x − 3) 2 + C ∴ (x + 1) sen(x2 + 2x − 3)dx = − cos(x2 + 2x − 3) 2 + C 7. (2 ln x + 1)xex2 ln x dx Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = x2 ln x =⇒ du = (2 ln x + 1)x dx podemos escribir: (2 ln x + 1)xex2 ln x dx = eu du = eu + C = ex2 ln x + C = eln x x2 + C = xx2 + C ∴ (2 ln x + 1)xex2 ln x dx = xx2 + C 8. (x sen(2x) + sen2 x)ex sen2 x dx Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = x sen2 x =⇒ du = (2x sen x cos x + sen2 x) dx =⇒ du = (x sen(2x) + sen2 x) dx podemos escribir: (x sen(2x) + sen2 x)ex sen2 x dx = eu du = eu + C = ex sen2 x + C ∴ (x sen(2x) + sen2 x)ex sen2 x dx = ex sen2 x + C
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 25 9. dx x ln2 (5x) Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = ln(5x) =⇒ du = dx x podemos escribir: dx x ln2 (5x) = du u2 = − 1 u + C = − 1 ln(5x) + C ∴ dx x ln2 (5x) = − 1 ln(5x) + C 10. e √ ln x · 5e √ ln x dx x √ ln x Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = e √ ln x =⇒ du = e √ ln x dx 2x √ ln x podemos escribir: e √ ln x · 5e √ ln x dx x √ ln x = 2 e √ ln x · 5e √ ln x dx 2x √ ln x = 2 5u du = 2 × 5u ln 5 + C ∴ e √ ln x · 5e √ ln x dx x √ ln x = 2 × 5e √ ln x ln 5 + C 11. sen(2x) dx 16 + sen4 x Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = sen2 x =⇒ du = 2 sen x cos x dx =⇒ du = sen(2x) dx podemos escribir: sen(2x) dx 16 + sen4 x = du 42 + u2 = 1 4 arctan u 4 + C = 1 4 arctan sen2 x 4 + C ∴ sen(2x) dx 16 + sen4 x = 1 4 arctan sen2 x 4 + C
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    26 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 12. arcsen √ x dx √ x − x2 Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = arcsen √ x =⇒ du = dx 2 √ x √ 1 − x =⇒ du = dx 2 √ x − x2 podemos escribir: arcsen √ x dx √ x − x2 = 2 arcsen √ x dx 2 √ x − x2 = 2 udu = u2 + C = arcsen2 √ x + C ∴ arcsen √ x dx √ x − x2 = arcsen2 √ x + C II. Integraci´on por partes: 1. ln xdx Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = ln x dv = dx du = dx x v = x podemos escribir ln xdx = x ln x − x dx x = x ln x − dx = x ln x − x + C ∴ ln xdx = x ln x − x + C 2. (3x2 + 4x − 8) ln xdx Soluci´on: Haciendo la sustituci´on u = ln x dv = (3x2 + 4x − 8)dx du = dx x v = x3 + 2x2 − 8x
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 27 podemos escribir (3x2 + 4x − 8) ln xdx = (x3 + 2x2 − 8x) ln x − (x3 + 2x2 − 8x)dx x = (x3 + 2x2 − 8x) ln x − (x2 + 2x − 8)dx = (x3 + 2x2 − 8x) ln x − x3 3 − x2 + 8x + C ∴ (3x2 + 4x − 8) ln xdx = (x3 + 2x2 − 8x) ln x − x3 3 − x2 + 8x + C 3. (4x2 − 8x + 4)e−2x dx Soluci´on: Sea I1 = (4x2 − 8x + 4)e−2x dx, integrando por partes: u = 4x2 − 8x + 4 dv = e−2x dx du = (8x − 8)dx v = − e−2x 2 podemos escribir I1 = (4x2 − 8x + 4)e−2x dx = −(2x2 − 4x + 2)e−2x + (4x − 4)e−2x dx I2 ahora integraremos I2 = (4x − 4)e−2x dx por partes: u = 4x − 4 dv = e−2x dx du = 4dx v = − e−2x 2 I2 = (4x − 4)e−2x dx = −(2x − 2)e−2x + 2 e−2x dx = −(2x − 2)e−2x − e−2x + C reemplazando: I1 = (4x2 − 8x + 4)e−2x dx = −(2x2 − 4x + 2)e−2x + I2 = −(2x2 − 4x + 2)e−2x − (2x − 2)e−2x − e−2x + C = −(1 − 2x + 2x2 )e−2x + c ∴ (4x2 − 8x + 4)e−2x dx = −(1 − 2x + 2x2 )e−2x + C 4. (3x + 2) sec2 5x dx
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    28 Matem´atica IIWalter Arriaga D. Soluci´on: Sea I = (3x + 2) sec2 5x dx, integrando por partes: u = 3x + 2 dv = sec2 5xdx du = 3dx v = tan 5x 5 podemos escribir I = (3x + 2) sec2 5x dx = 3x + 2 5 tan 5x + 3 5 tan 5x dx I = (3x + 2) sec2 5x dx = 3x + 2 5 tan 5x + 3 25 ln | sec 5x| + C ∴ (3x + 2) sec2 5x dx = 3x + 2 5 tan 5x + 3 25 ln | sec 5x| + C 5. arcsen(3x)dx 6. ln(7x) x7 dx 7. ln(x + 4 + x2)dx 8. cos(ln x)dx 9. x arctan2 (6x)dx 10. arcsen2 x 2 dx 11. ln(ln(ax)) bx dx 12. e2ax cos(eax )dx III. Integraci´on de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto: 1. x2 + 2x + 10 dx Soluci´on: Completando trinomio cuadrado perfecto se tiene: x2 + 2x + 10 dx = x2 + 2x + 1 + 9 dx = (x + 1)2 + 32 dx = ln |x + 1 + x2 + 2x + 10| + C ∴ x2 + 2x + 10 dx = ln |x + 1 + x2 + 2x + 10| + C
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 29 2. 12 − 4x − x2 dx 3. 2 4x2 − 12x + 13 dx 4. 7 9x2 + 12x − 5 dx 5. 3 √ 25x2 + 30x − 7 dx 6. 1 √ 9x2 + 42x + 53 dx 7. 7 √ −4x2 + 28x − 24 dx 8. 3x − 2 4x2 − 4x + 50 dx 9. 5x + 7 9x2 − 12x − 60 dx 10. 7x − 2 √ −4x2 + 20x − 9 dx 11. 3x − 2 √ 4x2 − 20x + 41 dx 12. 7x + 1 √ 25x2 − 20x − 12 dx IV. Integraci´on de funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas: 1. sen3 x cos2 x dx Soluci´on: sen3 x cos2 x dx = sen2 x cos2 x sen x dx = (1 − cos2 x) cos2 x sen x dx luego hacemos la sustituci´on u = cos x, de donde du = − sen xdx sen3 x cos2 x dx = − (1 − u2 )u2 du = − u2 du + u4 du = − u3 3 + u5 5 + C = − cos3 x 3 + cos5 x 5 + C ∴ sen3 x cos2 x dx = − cos3 x 3 + cos5 x 5 + C
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    30 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 2. sen2 x cos3 x dx 3. sen2 x cos2 x dx 4. tan3 x sec3 x dx 5. tan2 x sec4 x dx 6. sen(3x) cos(2x) dx 7. sen(7x) sen(5x) dx 8. cos(6x) cos(4x) dx V. Integraci´on por sustituci´on trigonom´etrica: 1. dx x2 √ 9 − x2 2. √ 16 − x2 x2 dx 3. x2dx √ 25 − x2 3 4. dx (4x − x2)3/2 5. 4x2 + 3 (1 + x2)2 dx VI. Integraci´on de funciones racionales: 1. 2x dx x2 − 1 Soluci´on: El integrando 2x x2 − 1 es una fracci´on propia, luego descomponemos en fracciones parciales: 2x x2 − 1 = 2x (x + 1)(x − 1) = A x + 1 + B x − 1 2x = A(x − 1) + B(x + 1) Para x = −1, se tiene A = 1 y para x = 1, se tiene B = 1 2x x2 − 1 = 1 x + 1 + 1 x − 1 luego 2x dx x2 − 1 = dx x + 1 + dx x − 1 = ln |x + 1| + ln |x − 1| + c = ln |x2 − 1| + c
  • 41.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 31 ∴ 2x dx x2 − 1 = ln |x2 − 1| + c 2. 2(x4 − 3x3 + 5x2 − 5x + 1) x3 − 3x2 + 2x dx 3. x2 + 1 x4 + 1 dx Soluci´on: El integrando x2 + 1 x4 + 1 es una fracci´on propia, luego: x2 + 1 x4 + 1 = x2 + 1 x4 + 2x2 + 1 − 2x2 = x2 + 1 (x2 + 1)2 − 2x2 = x2 + 1 (x2 + √ 2x + 1)(x2 − √ 2x + 1) ahora por fracciones parciales tenemos que: x2 + 1 (x2 + √ 2x + 1)(x2 − √ 2x + 1) = Ax + B x2 + √ 2x + 1 + Cx + D x2 − √ 2x + 1 x2 + 1 = (Ax + B)(x2 − √ 2x + 1) + (Cx + D)(x2 + √ 2x + 1) x2 +1 = (A+C)x3 +(B +D − √ 2A+ √ 2C)x2 +(A+C − √ 2B + √ 2D)x+(B +D) obteni´endose el siguiente sistema de ecuaciones: A + C = 0 B + D − √ 2A + √ 2C = 1 A + C − √ 2B + √ 2D = 0 B + D = 1 resolviendo se tiene que A = 0, B = 1/2, C = 0, D = 1/2, luego x2 + 1 x4 + 1 dx = 1 2 dx x2 + √ 2x + 1 + 1 2 dx x2 − √ 2x + 1 = 1 2 dx x2 + √ 2x + 1 2 + 1 2 + 1 2 dx x2 − √ 2x + 1 2 + 1 2 = 1 2 dx x + √ 2 2 2 + √ 2 2 2 + 1 2 dx x − √ 2 2 2 + √ 2 2 2 = 1 2 2 √ 2 arctan     x + √ 2 2√ 2 2     + 1 2 2 √ 2 arctan     x − √ 2 2√ 2 2     + c = √ 2 2 arctan( √ 2x + 1) + √ 2 2 arctan( √ 2x − 1) + c
  • 42.
    32 Matem´atica IIWalter Arriaga D. ∴ x2 + 1 x4 + 1 dx = √ 2 2 arctan( √ 2x + 1) + √ 2 2 arctan( √ 2x − 1) + c VII. Integraci´on de funciones racionales trigonom´etricas: 1. dx sen x cos2 x Soluci´on: La funci´on 1 sen x cos2 x es impar en sen x, entonces hacemos la sustituci´on t = cos x, luego: dx sen x cos2 x = 1 √ 1 − t2 t2 −dt √ 1 − t2 = dt t2(t2 − 1) ahora por fracciones parciales tenemos que: 1 t2(t2 − 1) = A t + B t2 + C t + 1 + D t − 1 resolviendo se tiene que A = 0, B = −1, C = −1/2, D = 1/2, luego dt t2(t2 − 1) = − dt t2 − 1 2 dt t + 1 + 1 2 dt t − 1 = 1 t − 1 2 ln |t + 1| + 1 2 ln |t − 1| + c = 1 t + ln t − 1 t + 1 + c = sec x + ln 1 − cos x 1 + cos x + c ∴ dx sen x cos2 x = sec x + ln 1 − cos x 1 + cos x + c 2. cos3 x dx 4 sen2 x − 1 Soluci´on: La funci´on cos3 x dx 4 sen2 x − 1 es impar en cos x, entonces hacemos la sustituci´on t = sen x, luego: cos3 x dx 4 sen2 x − 1 = (1 − t2) √ 1 − t2 4t2 − 1 dt √ 1 − t2 = (1 − t2)dt 4t2 − 1 ahora por fracciones parciales tenemos que: 1 − t2 4t2 − 1 = −1 4 + 3 4(2t + 1)(2t − 1) = −1 4 + A 2t + 1 + B 2t − 1
  • 43.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 33 resolviendo se tiene que A = −3/8, B = 3/8, luego (1 − t2)dt 4t2 − 1 = − 1 4 dt − 3 8 dt 2t + 1 + 3 8 dt 2t − 1 = − t 4 − 3 16 ln |2t + 1| + 3 16 ln |2t − 1| + c = − t 4 + 3 16 ln 2t − 1 2t + 1 + c = − sen x 4 + 3 16 ln 2 sen x − 1 2 sen x + 1 + c ∴ cos3 x dx 4 sen2 x − 1 = − sen x 4 + 3 16 ln 2 sen x − 1 2 sen x + 1 + c 3. dx sen2 x − 4 sen x cos x + 5 cos2 x Soluci´on: La funci´on 1 sen2 x − 4 sen x cos x + 5 cos2 x es par en sen x y cos x, entonces hacemos la sustituci´on t = tan x, luego: dx sen2 x − 4 sen x cos x + 5 cos2 x = 1 t2 1 + t2 − 4t 1 + t2 + 5 1 + t2 dt 1 + t2 = dt t2 − 4t + 5 = dt (t − 2)2 + 1 = arctan(t − 2) + c = arctan(tan x − 2) + c ∴ dx sen2 x − 4 sen x cos x + 5 cos2 x = arctan(tan x − 2) + c 4. dx 1 + sen x Soluci´on: En ´esta integral usaremos la sustituci´on t = tan x 2 , luego: dx 1 + sen x = 1 1 + 2t 1 + t2 2dt 1 + t2 = 2dt t2 + 2t + 1 = 2dt (t + 1)2 = −2 t + 1 + c ∴ dx 1 + sen x = −2 1 + tan(x/2) + c VIII. Integraci´on de funciones irracionales:
  • 44.
    34 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 1. x + 2 √ 4 − 2x − x2 dx 2. 1 + x 1 − x dx 3. x2 + √ 1 + x 3 √ 1 + x dx 4. 3x2 − 5x √ 3 − 2x − x2 dx 5. dx (x2 + 2x + 1) √ x2 + 2x − 8 6. x3 (1 + 2x2 )−3/2 dx
  • 45.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 35 ✍ EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcular las siguientes integrales: I. Integraci´on por sustituci´on o cambio de variable: 1. (3x2 − 2x + 3)dx R. x3 − x2 + 3x + C 2. (x √ 2 + 5x − 3 + √ x)dx R. ( √ 2 − 1)x √ 2+1 + 5x2 2 − 3x + 2 √ x3 3 + C 3. x2 + 3x − 2 x + 5x2 − 2x + 7 √ x dx R. x2 2 + 3x − 2 ln x + 2x5/2 − 4 3 x3/2 + 14x1/2 + C 4. 2x (1 − x)2/3 + 1 x(x2 − 10) dx R. 3 2 (1 − x)4/3 − 6(1 − x)1/3 + 1 20 ln x2 − 10 x2 + C 5. x2 + 2 x2(x2 + 4) dx R. −1 2x + 1 4 arctan x 2 + C 6. x2 − 1 x2(x2 − 4) dx R. −1 4x + 3 16 ln x − 2 x + 2 + C 7. 7x2 + 16 x4 + 4x2 dx R. −4 x + 3 2 arctan x 2 + C 8. 18dx 9x2 − x4 9. dx √ 16 − x2 R. arcsen x 4 + C 10. 9dx x2 + 4x − 5 R. 3 2 ln x − 1 x + 5 + C
  • 46.
    36 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 11. 2dx x2 + 4x + 4 R. −2 x + 2 + C 12. 2dx √ −4x2 − 20x − 9 R. arcsen 2x + 5 4 + C 13. −4x2 − 12x − 5 dx 14. 2x−13x 5x+17x+2 dx R. 6x 490(35)x(ln 6 − ln 35) + C 15. sen x (1 + cos x)2 dx R. 1 1 + cos x + C 16. sec2 x dx (2 + tan x)3 R. −1 2(2 + tan x)2 + C 17. dx cos2(3 − 2x) R. −1 2 tan(3 − 2x) + C 18. csc2 5x dx (5 + cot 5x)5 R. 1 20(5 + cot 5x)4 + C 19. sen(7x + 5) dx 20. e3x−2 dx 21. √ 5x − 2 dx 22. 7 √ 2x + 3 dx 23. x 5x2 + 6 dx R. 1 15 (5x2 + 6)3 + C 24. (20x − 3) 10x2 − 3x + 2 dx 25. 2xe3x2+8 dx
  • 47.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 37 26. 7(x − 1)2 3 √ x + 1 dx 27. x2 3 √ x + 2dx R. 3 10 (x + 2)10/3 − 12 7 (x + 2)7/3 + 3(x + 2)4/3 + C 28. x + 1 4x 5 (2x + 1)(2x − 1) + 1 x2 dx R. 8 7 x + 1 4x 7/2 + C 29. 3 e4 √ x+5 2 √ x dx R. 3 4 e4 √ x+5 + C 30. (8 √ x 3 + 3)e(2x2+3 √ x−7) 2 √ x dx 31. (6x2 + 8x) sen(x3 + 2x2 − 3) dx 32. (35x6 − 2) cos(5x7 − 2x + 8) dx R. sen(5x7 − 2x + 8) + C 33. (ln x + 1)ex ln x dx R. xx + C 34. (2x ln x + ex + x)ex2 ln x+ex dx R. xx2 eex + C 35. (cos x)esen x dx 36. (3 sec2 x)e(3 tan x+2) dx R. e3 tan x+2 + C 37. sen(2 ln x) x dx 38. dx x ln2 x R. − 1 ln x + C 39. dx x ln x 40. 3 ln2 x x dx R. ln3 x + C
  • 48.
    38 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 41. (x cos x + sen x)ex sen x dx R. ex sen x + C 42. 2 dx sen2 x 3 √ cot x − 1 R. −3(cot x − 1)2/3 + C 43. sen x etan2 x cos3 x dx R. etan2 x 2 + C 44. sen x cos3 x 5 sec2 x + 2 dx R. 5 12 5 (sec2 x + 2)6 + C 45. e √ xae √ x √ x dx R. 2ae √ x ln a + C 46. sen(tan x) cos(tan x) sec2 x dx 47. dx (1 + x2) ln(x + √ 1 + x2) 48. 2earctan x + 4x ln(x2 + 1) + 3 1 + x2 dx R. 2earctan x + ln2 (x2 + 1) + 3 arctan x + C 49. cos3 x 1 − sen x dx R. (1 + sen x)2 2 + C 50. 2ex cos3 ex 1 − sen ex dx R. (1 + sen ex)2 + C 51. 4 sen3 ln x x(1 − cos ln x) dx 52. dx 1 + cos x 53. dx 1 + sen x R. tan x − sec x + C 54. dx 1 + cos ax 55. dx 1 + sen ax R. 1 a tan ax − 1 a sec ax + C
  • 49.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 39 56. 3 dx √ x + 1 − √ x − 1 R. (x + 1)3/2 + (x − 1)3/2 + C 57. dx √ 2x + 1 − √ x R. 2 √ 2x + 1 − 2 arctan √ 2x + 1 + 2 √ x − 2 arctan √ x + C 58. (x2 − 2x + 1)1/5 1 − x dx R. −5 2 (x − 1)2/5 + C 59. 2x2x (ln x + 1) dx R. x2x + C 60. dx x(1 + ln2 7x) R. arctan ln 7x + C 61. 8x − 4 arctan 2x 1 + 4x2 dx R. ln(1 + 4x2) − arctan2 2x + C 62. ln(ln x) x ln x dx R. 1 2 ln2 (ln x) + ln(ln x) + C 63. x3 dx (x2 + 8)3/2 R. √ x2 + 8 + 8 √ x2 + 8 + C 64. x5 1 − x3 dx R. −2 9 (1 − x3)3/2 + 2 15 (1 − x3)5/2 + C 65. √ 2 + x + 1 3 + √ 2 + x dx R. 2 + x − 4 √ 2 + x + 12 ln(3 + √ 2 + x) + C 66. ( √ ax + b)3/2 √ x dx R. 4 5 √ a ( √ ax + b)5/2 + C 67. √ x − 1(x + 3)2 dx 68. 5x + 2 √ 3x √ 1 − 3x dx R. −5 3 √ 1 − 3x − ln √ 1 − 3x + 1 √ 1 − 3x − 1 + C
  • 50.
    40 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 69. e2x + 3 e2x − 3 dx R. ln |ex − 3e−x| + C 70. ln(ax) dx eln x ln(bx) R. ln x + ln a b ln[ln(b + ln x)] + C 71. dx xn + x , n ∈ Z+ R. 1 1 − n ln |1 + x1−n| + C 72. x dx e2 ln x + ln e1/2 + (x2 + 1)3/2 + eln(1/2) R. 2 1 + √ x2 + 1 + C 73. 3 sen2 x cos4 x etan3 x dx R. etan3 x + C 74. x(2 ln x + 1)ex2 ln x dx R. xx2 + C 75. √ 2x 6x + √ 2x dx 76. dx x 3 √ ln x 77. ln x dx x 5 ln2 x + 3 R. 5 8 (ln2 x + 3)4/5 + C 78. xnx (ln x + 1)dx 79. x2x2 (2x ln x + x)dx R. x2x2 2 + C 80. xcos x−1 (cos x − x sen x ln x)dx R. xcos x + C 81. (xex cos x + xex sen x + ex sen x)exex sen x dx R. exex sen x + C 82. √ ln x x x2 √ ln x dx R. x2 √ ln x 3 + C
  • 51.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 41 83. 2(x ln2 x + x ln x + 1)x2xx+x−1 dx R. x2xx + C 84. 2sen2 ex ex sen(2ex )dx R. 2sen2 ex ln 2 + C 85. x + 2 2x + 3 dx 3x2 + 11x + 10 86. dx √ 2x − √ x + 4 R. 2 √ 2x + 2 √ x + 4 + √ 8 ln √ 2x − √ 8 √ 2x + √ 8 + √ 8 ln √ x + 4 − √ 8 √ x + 4 + √ 8 + C 87. 4x7 (1 − x4)2 dx R. ln |x4 − 1| − 1 x4 − 1 + C 88. 6e4x 1 − ex dx R. −2e3x − 3e2x − 6ex − 6 ln |ex − 1| + C 89. 2xx+eln x (1 + ln x) dx R. x2x + C 90. √ 4 + ex dx R. 2 √ 4 + ex + 2 ln √ 4 + ex − 2 √ 4 + ex + 2 + C 91. 5 9 + √ x dx R. 4 9 + √ x 5 − 60 9 + √ x 3 + C 92. 2 + 3x x − 3 dx R. √ 3x2 − 7x − 6 + 11 2 √ 3 ln 6x − 7 6 + 3x2 − 7x − 6 3 + C 93. (x + 1)dx (2x + x2) √ 2x + x2 R. − 1 √ 2x + x2 + C 94. 2x 1 − 4x dx R. 1 ln 4 ln 1 + 2x 1 − 2x + C
  • 52.
    42 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 95. 2 dx e−2x + e2x R. arctan e2x + C 96. e2x + e−2x e2x − e−2x dx R. 1 2 ln(e2x − e−2x) + C 97. dx √ 1 + cos x R. √ 2 ln sec x 2 + tan x 2 + C 98. dx √ 1 − cos x R. √ 2 ln csc x 2 − cot x 2 + C 99. 4x + 1 2x + 1 dx R. 1 ln 2 [2x − 2 ln(2x + 1)] + x + C 100. sen2 x a + b cos2 x dx 101. x2 − x √ x + 1 − √ x2 + 1 dx 102. x2 − 1 x √ 1 + 3x2 + x4 dx 103. ex (1 + ex) √ ex − 1 dx R. √ 2 arctan ex − 1 2 + C, sug. u2 = ex − 1 104. sec x √ sec 2x arcsen tan x dx 105. 1 − cos x cos a − cos x dx 106. x2 + x + 2 + 2 x3 + x2 + x + 1 dx 107. √ x √ a3 − x3 dx 108. 10e2x 3 √ 1 + ex dx R. 6(1 + ex)5/3 − 15(1 + ex)2/3 + C 109. tanh(ln x) dx 110. √ 1 − cos x dx
  • 53.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 43 111. ea 1 + x2 da R. ea 1 + x2 + C 112. xeax (1 + ax)2 dx 113. (x + x2 + 1)10 dx 114. cos x − sen x 5 + sen 2x dx 115. (tan x + sec x)10 sec x dx R. (tan x + sec x)10 10 + C 116. (tan x + sec x)20 sec2 x dx R. (tan x + sec x)21 42 + (tan x + sec x)19 38 + C 117. dx 4 (x − 1)3(x + 2)5 118. (cos 2x − 3) dx cos4 x √ 4 − cot2 x 119. 1 + sen2 x 2 cos2 x √ sen x dx R. √ sen x cos x + C, sug. z = √ sen x cos x 120. (cos x) ln(cos x) − tan x sen x (cos x)sen x dx R. (cos x)sen x + C 121. cot x cos2 x − (sen 2x) ln(sen x) (sen x)cos2 x dx R. (sen x)cos2 x + C II. Integraci´on por partes: 1. x ln xdx R. x2 ln x 2 − x2 4 + C 2. x sen(3x)dx R. sen 3x 9 − x cos 3x 3 + C 3. xe−3x dx R. (−3x − 1)e−3x 9 + C
  • 54.
    44 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 4. 3x · 72x dx R. 3(2x ln 7 − 1)72x 4 ln2 7 + C 5. (x3 + 5x − 2) ln xdx R. x4 4 + 5x2 2 − 2x ln x − x4 16 − 5x2 4 + 2x + C 6. (x2 + 1)e−x dx R. −(x2 + 2x + 3)e−x + C 7. 4(3x2 + 1)e2x dx R. (6x2 − 6x + 5)e2x + C 8. (5 − 3x − 4x2 )e−3x dx R. e−3x 27 (36x2 + 51x − 28) + C 9. (x2 − x + 1) sen x dx R. −(x2 − x + 1) cos x + (2x − 1) sen x + 2 cos x + C 10. (2x2 − 4x − 1) cos 2x dx R. (x2 − 2x − 1) sen 2x + (x − 1) cos 2x + C 11. arcsen x √ x + 1 dx R. 2 √ x + 1 arcsen x + 4 √ 1 − x + C 12. arcsen √ x √ 1 − x dx R. −2 √ 1 − x arcsen √ x + 2 √ x + C 13. x arctan x √ 1 + x2 dx R. √ 1 + x2 arctan x − ln |x + √ 1 + x2| + C 14. 8x cos3 x 1 − sen x dx R. 4x(1 + sen x)2 + 8 cos x + sen 2x − 6x + C 15. ln2 x dx R. x ln2 x − 2x ln x + 2x + C 16. arcsen2 x dx R. x arcsen2 x + 2 √ 1 − x2 arcsen x − 2x + C 17. cos(ln x)dx R. x 2 (sen(ln x) + cos(ln x)) + C
  • 55.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 45 18. sen(ln x)dx R. x 2 (sen(ln x) − cos(ln x)) + C 19. 2ex cos xdx R. ex(sen x + cos x) + C 20. 5ex sen2 x dx R. ex(sen2 x − 2 sen x cos x) + 2ex + C 21. e2x cos(ex )dx R. cos(ex) + ex sen(ex) + C 22. e2x sen(ex )dx R. −ex cos(ex) + sen(ex) + C 23. e3x sen(ex )dx R. −e2x cos(ex) + 2ex sen(ex) + 2 cos(ex) + C 24. 2e6x cos(e2x )dx R. e4x sen(e2x) + 2e2x cos(e2x) − 2 sen(e2x) + C 25. 2 cos(ln x) ln x dx R. x(sen(ln x) + cos(ln x)) ln x − x sen(ln x) + C 26. 2 sen(ln x) ln x dx R. x(sen(ln x) − cos(ln x)) ln x + x cos(ln x) + C 27. 5x cos(ln x) dx R. x2[sen(ln x) + 2 cos(ln x)] + C 28. 5x sen(ln x) dx R. x2[2 sen(ln x) − cos(ln x)] + C 29. 10x2 cos(ln x) dx R. x3[3 cos(ln x) + sen(ln x)] + C 30. x2 sen(ln x) dx 31. x2 ex sen x dx 32. ln x − 1 ln2 x dx R. x ln x + C 33. x ln x − (1 + x2) arctan x x(1 + x2) ln2 x dx
  • 56.
    46 Matem´atica IIWalter Arriaga D. R. arctan x ln x + C 34. sen 3 √ x dx 35. cos 3 √ x dx 36. eax cos(bx)dx R. eax a2 + b2 (b sen bx + a cos ax) + C 37. eax sen(bx)dx R. eax a2 + b2 (a sen bx − b cos ax) + C 38. cos2 (ln x)dx 39. sen2 (ln x)dx 40. cos( √ x)dx 41. ln(ln x) x dx R. ln(ln x) ln x − ln x + C 42. x ln x − 1 x + 1 dx R. x2 − 1 2 ln x − 1 x + 1 − x + C 43. x2 (x cos x − sen x)2 dx 44. e1/x x3 dx 45. e1/x2 x5 dx 46. 5e2x+ln sen x dx R. e2x(2 sen x − cos x) + C 47. (1 + sen x)e5x+2 ln cos x cos2 x dx R. e5x 5 + (5 sen x − cos x)e5x 26 + C 48. tan x 1 + ln2 (2 cos x) e5 arctan(ln(2 cos x)) dx 49. x 1 + √ 1 − x2 2n n dx x √ 1 − x2
  • 57.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 47 50. (ln x)mx 1 ln x + ln(ln x) dx 51. x arctan x2 + 1dx 52. e1/x e3 ln x + 2ex+ln x cos x dx R. e1/x − e1/x x + xex cos x + (x − 1)ex sen x + C 53. arcsen x + x √ 1 − x2 dx R. x arcsen x + C 54. ex (cot x + ln(sen x))dx 55. e 4√ x dx 56. 1 x3 sen 1 x dx R. 1 x cos 1 x − sen 1 x + C 57. 1 x4 cos 1 x dx R. − 1 x2 sen 1 x + 1 x cos 1 x + 2 sen 1 x + C 58. x cos √ x dx 59. 1 √ x 5 sen 1 √ x dx 60. arcsen √ 2x √ 1 − 2x dx 61. x17 ln(x2 ) dx 62. senh−1 x a dx 63. tanh−1 x a dx 64. x2 arc cos x a dx 65. x2 arctan x a dx 66. coth−1 x a dx 67. ex(x2 − 8) (x − 2)2 dx
  • 58.
    48 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 68. esen x (sec2 x − csc2 x + csc x) dx 69. esenh−1 x(x √ 1 + x2 + 1) (1 + x2)3/2 dx 70. e2x sec2 ex dx 71. x3 ln 1 x dx 72. x2 ln 1 x2 dx 73. xn ln 1 xn dx 74. ex arcsen ex dx 75. xex (ex + xex )exex dx 76. x4 ln(xex ) dx 77. x + 1 x (x + ln x) cos(x + ln x) dx III. Integraci´on de funciones que contienen un trinomio cuadrado perfecto: 1. 4 x2 − 2x − 3 dx R. ln(x − 3) − ln(x + 1) + C 2. 1 √ x2 − 2x − 3 dx R. ln(x − 1 + √ x2 − 2x − 3) + C 3. x − 9 x2 + 2x − 3 dx R. 3 ln(x + 3) − 2 ln(x − 1) + C 4. x − 9 √ x2 + 2x − 3 dx R. √ x2 + 2x − 3 − 10 ln(x + 1 + √ x2 + 2x − 3) + C 5. 7x + 3 4x2 + 4x + 10 dx R. 7 8 ln(2x2 + 2x + 5) − 1 12 arctan 2x + 1 3 + C 6. 8 √ 4x2 − 4x + 10 dx R. 4 ln |2x − 1 + √ 4x2 − 4x + 10| + C 7. 7x + 3 √ 4x2 + 4x + 10 dx R. 7 4 √ 4x2 + 4x + 10 − 1 4 ln |2x + 1 + √ 4x2 + 4x + 10| + C
  • 59.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 49 8. 2x − 1 √ x2 + 2x − 3 dx R. 2 √ x2 + 2x − 3 − 3 ln |x + 1 + √ x2 + 2x − 3| + C 9. 3x + 5 √ 9x2 + 12x − 21 dx R. 1 3 √ 9x2 + 12x − 21 + ln |3x + 2 + √ 9x2 + 12x − 21| + C 10. 4x + 8 3 + 2x − x2 dx R. −2 ln |3 + 2x − x2| − 3 ln | x − 3 x + 1 | + C 11. x + 2 √ 3 + 2x − x2 dx 12. 2x + 1 √ −7 + 8x − x2 dx 13. 12x + 8 √ 15 + 4x − 4x2 dx R. 7 arcsen 2x − 1 4 − 3 √ 15 + 4x − 4x2 + C 14. 6x − 4 4x2 − 4x + 1 dx R. 1 2(2x − 1) + 3 2 ln(2x − 1) + C 15. 3x + 6 √ 2x2 + 8x + 3 dx R. 3 2 √ 2x2 + 8x + 3 + √ 2 ln √ 2(x + 2) + √ 2x2 + 8x + 3 + C 16. 9x − 2 √ −4x2 + 12x + 16 dx 17. 2 sec2 x tan2 x + 6 tan x + 8 dx R. ln | tan x + 2| − ln | tan x + 4| + C 18. sec x tan x √ sec2 x + 6 sec x + 8 dx R. ln | sec x + 3 + √ sec2 x + 6 sec x + 8| + C 19. 10x3 − 5x √ x4 − x2 + 6 dx R. 5 √ x4 − x2 + 6 + C 20. 5ex 9e2x + 30ex + 29 dx 21. 3 cos x 31 − 24 sen x − 4 cos2 x dx 22. 2 ln x + 3 x 15 + 6 ln x − 9 ln2 x dx R. − 2 9 15 + 6 ln x − 9 ln2 x + 11 9 arcsen 3 ln x − 1 4 + C
  • 60.
    50 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 23. (3x ln x − 2)(ln x + 1) 35 − 12x ln x − 36x2 ln2 x dx R. −1 144 ln |6x ln x − 5| − 11 144 ln |6x ln x + 7| + C 24. √ x + 2 2 √ x 3 + 2 √ x − x dx 25. (4x sen x + 8)(x cos x + sen x) 3 + 2x sen x − x2 sen2 x dx 26. (4ex sen x + 3)(cos x + sen x)ex 4e2x sen2 x + 4ex sen x − 15 dx 27. (xex − 9)(xex + ex) x2e2x + 2xex − 3 dx 28. x x − a dx 29. √ 1 − x √ 2 − x dx 30. a + x x dx 31. 4 − x 2 + x dx IV. Integraci´on de funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas: 1. sen2 2x dx 2. cos2 3x dx 3. senh2 4x dx 4. cosh2 5x dx 5. sen3 6x dx 6. cos3 7x dx 7. sen4 x dx R. 3x 8 − sen 2x 4 + sen 4x 32 + C 8. sen5 x dx R. − cos x − 2 cos3 x 3 − cos5 x 3 + C 9. sen6 x dx R. 5x 16 − sen 2x 4 + sen3 2x 48 + C
  • 61.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 51 10. cos4 x dx R. 3x 8 + sen 2x 4 + sen 4x 32 + C 11. cos5 x dx 12. cos6 x dx 13. sen x cos2 x dx 14. sen2 x cos2 x dx 15. sen3 x cos2 x dx 16. sen3 x cos x dx 17. sen3 5x cos3 5x dx R. − cos4 5x 20 + cos6 5x 30 + C 18. sen4 2x cos2 2x dx R. x 16 − sen8 x 128 − sen3 4x 96 + C 19. sen2 3x cos4 3x dx 20. sen3 x cos3 x dx R. sen4 x 4 − sen6 x 6 + C 21. sen4 x cos2 x dx R. x 16 − sen 4x 64 − sen3 2x 48 + C 22. sen4 x cos4 x dx R. 3x 128 − sen 4x 128 + sen 8x 1024 + C 23. sen4 x cos3 x dx R. sen5 x 5 − sen7 x 7 + C 24. sen3 x cos5 x dx R. − cos6 x 6 + cos8 x 8 + C
  • 62.
    52 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 25. sen3 x 3 cos4 x 3 dx 26. sen5 x cos2 x dx R. − cos3 x 3 + 2 cos5 x 5 − cos7 x 7 + C 27. sen2 x 2 cos5 x 2 dx 28. sen4 x cos5 x dx R. sen5 x 5 − 2 sen7 x 7 + sen9 x 9 + C 29. sen5 x cos4 x dx R. − cos5 x 5 + 2 cos7 x 7 − cos9 x 9 + C 30. sen5 x cos5 x dx 31. sen6 x cos6 x dx 32. 4 tan3 2x dx R. sec2(2x) − 2 ln(sec 2x) + C 33. tan4 x dx R. tan3 x 3 − tan x + x + C 34. tan4 x 2 dx 35. tan5 x dx R. sec4 x 4 − sec2 x + ln | sec x| + C 36. tan6 x dx R. tan5 x 5 − tan3 x 3 + tan x − x + C 37. sec3 2x dx 38. sec4 x 2 dx R. 2 tan x 2 + 2 3 tan3 x 2 + C 39. sec5 x dx 40. sech5 x dx
  • 63.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 53 41. tan2 x sec x dx 42. sec6 x dx R. tan5 x 5 + 2 tan3 x 3 + tan x + C 43. tan3 x sec2 x dx R. tan4 x 4 + C 44. tan3 x sec3 x dx R. sec5 x 5 − sec3 x 3 + C 45. tan2 x sec4 x dx R. tan5 x 5 + tan3 x 3 + C 46. tan4 x sec2 x dx 47. tan4 x sec4 x dx 48. tan3 x sec4 x dx 49. tan5 x sec4 x dx R. tan6 x 6 + tan8 x 8 + C 50. tan5/2 x sec4 x dx R. 2 7 tan7/2 x + 2 11 tan11/2 x + C 51. 3 sen2 x cos14 x dx 52. dx cos3 x √ sen 2x 53. √ sen3 2x sen5 x dx 54. sen 2x sen 3x dx R. sen x 2 − sen 5x 10 + C 55. sen 3x cos 2x dx R. − cos 5x 10 − cos x 2 + C
  • 64.
    54 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 56. cos 5x cos 3x dx R. sen 2x 4 + sen 8x 16 + C 57. sen x 5 sen x 2 dx R. 5 3 sen 3x 10 − 5 7 sen 7x 10 + C 58. sen x 2 cos x 3 dx R. −3 cos x 6 − 3 5 cos 5x 6 + C 59. cos x 4 cos x 2 dx R. 2 sen x 4 + 2 3 cos 3x 4 + C 60. sen x sen 2x sen 3x dx R. − cos 2x 8 − cos 4x 16 + cos 6x 24 + C 61. cos x cos 3x cos 4x dx R. sen 2x 8 + sen 6x 24 + sen 8x 32 + x 4 + C 62. x sen2 (x2 ) cos3 (x2 ) dx 63. sen3 (ex ) cos2 (ex ) ex dx R. − cos3 ex 3 + cos5 ex 5 + C 64. sen(3ex ) cos(2ex ) ex dx R. − cos(ex) 2 − cos(5ex) 10 + C 65. sen2(ln x) cos2(ln x) x dx R. − ln x 8 − sen(4 ln x) 32 + C 66. sen x + sen 2x + · · · + sen nx cos x + cos 2x + · · · + cos nx dx V. Integraci´on por sustituci´on trigonom´etrica: 1. x2 − 4 dx R. x √ x2 − 4 2 − 2 ln |x + √ x2 − 4| + C
  • 65.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 55 2. dx x √ x2 − 1 R. arcsec x + C 3. 16 dx x2 √ 16 − x2 R. − √ 16 − x2 x + C 4. x2 dx √ x2 − 16 R. x √ x2 − 16 2 + 8 ln |x + √ x2 − 16| + C 5. √ 9 − x2 x2 dx R. − √ 9 − x2 x − arcsen x 3 + C 6. x2 √ 9 − x2 dx R. 9 2 arcsen x 3 − x √ 9 − x2 2 + C 7. √ x2 − 9 x dx R. √ x2 − 9 + 3 arctan 3 √ x2 − 9 + C 8. 2 dx x3 √ x2 − 1 R. √ x2 − 1 x2 + arcsecx + C 9. dx (4 − x2)3 R. x 4 √ 4 − x2 + C 10. dx (4x − x2)3/2 R. x − 2 4 √ 4x − x2 + C 11. 2x − 5 √ 4x − x2 dx R. −2 √ 4x − x2 − arcsen x − 2 2 + C 12. 2x − 3 (x2 + 2x − 3)3/2 dx R. − 2 √ x2 + 2x − 3 + 5 4 x + 1 √ x2 + 2x − 3 + C 13. 4x2 + 3 (1 + x2)2 dx
  • 66.
    56 Matem´atica IIWalter Arriaga D. R. 7 2 arctan x − x 2(x2 + 1) + C 14. 3x3 √ 9 − x2 dx R. −(x2 + 18) √ 9 − x2 + C 15. 2x2 √ 4 − x2 dx R. 4 arcsen x 2 − x √ 4 − x2 + C 16. 4x4 √ 4 − x2 dx R. 24 arcsen x 2 − (x3 + 6x) √ 4 − x2 + C 17. √ x2 − 25 x4 dx R. (x2 − 25)3 75x3 + C 18. √ 25 − x2 x dx R. 5 ln 5 − √ 25 − x2 x + √ 25 − x2 + C 19. x2dx (36 − x2)3 R. x √ 36 − x2 − arcsen x 6 + C 20. x2 16 − x2 dx R. 32 arcsen x 4 + x(x2 − 8) 4 √ 16 − x2 + C 21. 4dx x2 √ 4 + x2 R. − √ 4 + x2 x + C 22. 20x4dx ( √ 4 − x2)7 R. x5 ( √ 4 − x2)5 + C 23. √ 2 dx (x2 + 1) √ 1 − x2 R. arctan √ 2 x √ 1 − x2 + C 24. 6x3 dx √ 2x2 + 7
  • 67.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 57 R. (x2 − 7) √ 2x2 + 7 + C 25. 3 dx x4 √ x2 + 5 R. (2x2 − 5) √ x2 + 5 25x3 + C 26. 3 √ x2 − 2x x3 dx R. √ x2 − 2x x 3 + C 27. x4 dx (16 − x2)7/2 R. x5 80(16 − x2)5/2 + C 28. 9 dx (4x2 − 24x + 27)3 R. 3 − x √ 4x2 − 24x + 27 + C 29. 2ex(cos x + sen x) dx e3x sen3 x √ e2x sen2 x − 1 R. √ e2x sen2 x − 1 e2x sen2 x + C 30. dx sen2 x √ 16 + 9 tan2 x R. − √ 16 + 9 tan2 x 16 tan x + C 31. sec x tan x dx (sec2 x − 2 sec x + 5)3/2 R. − 1 − sec x 4 √ sec2 x − 2 sec x + 5 + C 32. dx x ln x ln2 x − 1 R. arcsen(ln x) + C 33. √ 9 − x2e2x x2ex (x + 1)dx R. − √ 9 − x2e2x xex − arcsen xex 3 + C 34. 5 √ x2 + 2x − 24 (x + 1)4 dx R. (x2 + 2x − 24)3 15(x + 1)3 + C 35. 6 sen3 x cos x dx √ 2 sen2 x + 7 R. (sen2 x − 7) √ 2 sen2 x + 7 + C
  • 68.
    58 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 36. √ a − x √ a − √ x R. a arcsen(x/a) − 2 √ a2 − ax − a − x √ x + C 37. dx √ tan2 x + 5 38. √ 1 − x2 x4 arcsen x dx R. − (1 − x2)3 3x3 arcsen x − 1 6x2 − ln x 3 + C 39. 2a + x a + x a − x a + x dx R. √ a2 − x2 − 2a a − x a + x + C 40. arctan x a x2 dx R. − 1 x arctan x a + 1 2a ln a2 + x2 x2 + C 41. arc cos x a x2 dx R. − 1 x arc cos x a + 1 a ln a + √ a2 − x2 x + C 42. dx (x2 cos2 a + x sen 2a + 1)3/2 R. 1 cos3 a x cos a + sen a √ x2 cos2 a + x sen 2a + 1 + C 43. e2x − 25dx 44. 9 cos x dx sen2 x √ 9 + sen2 x R. − √ 9 + sen2 x sen2 x + C 45. 4 dx x (4 − ln2 x)3 46. 25 sec2 x dx tan2 x √ 25 − tan2 x R. − √ 25 − tan2 x tan x + C 47. 8 dx x ln x ln2 x − 4 R. 4 arcsec ln x 2 + C 48. (xex + ex) dx xex √ 1 + x2e2x
  • 69.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 59 49. ex dx (e2x − 1) √ e2x − 2 50. dx √ tan2 x + 5 VI. Integraci´on de funciones racionales: 1. 2 x2 − 4 dx R. 1 2 ln |x − 2| − 1 2 ln |x + 2| + C 2. 1 x2 − x − 6 dx R. 1 5 ln |x − 3| − 1 5 ln |x + 2| + C 3. 5 x2 − 2x − 24 dx R. 1 2 ln |x − 6| − 1 2 ln |x + 4| + C 4. 2x + 1 x3 + 2x2 − x − 2 dx R. 1 2 ln |x + 1| − ln |x + 2| + 1 2 ln |x − 1| + C 5. x + 3 x3 − 6x2 + 11x − 6 dx R. 3 ln |x − 3| − 5 ln |x − 2| + 2 ln |x − 1| + C 6. 8x + 25 2x2 − 7x − 15 dx R. 5 ln |x − 5| − ln |2x + 3| + C 7. 11x − 6 2x2 + x − 6 dx 8. 6x − 110 2x2 − 11x − 21 dx R. 7 ln |2x + 3| − 4 ln |x − 7| + C 9. x2 − 6x − 1 x3 − 1 dx R. −2 ln |x − 1| + 3 2 ln |x2 + x + 1| − 5 √ 3 arctan 2x + 1 √ 3 + C 10. x3 − 5x2 + 15x − 24 x2 − 5x + 6 dx R. x2 2 + 6 ln |x − 2| + 3 ln |x − 3| + C 11. x4 + 3x2 − 11x + 6 x3 − 8 dx R. x2 2 + ln |x − 2| + ln |x2 + 2x + 4| − √ 3 arctan x + 1 √ 3 + C
  • 70.
    60 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 12. x2 − 8x + 18 x3 − 3x2 + 4 dx R. 3 ln |x + 1| − 2 ln |x − 2| − 2 x − 2 + C 13. 7x2 − 14x + 5 x3 − 2x2 + x dx R. 5 ln |x| + 2 ln |x − 1| + 2 x − 1 + C 14. x5 + x4 − 3x3 − 3x2 + 3x + 7 x3 + 2x2 − x − 2 dx R. x3 3 − x3 2 − 2 ln |x + 1| − ln |x + 2| + ln |x − 1| + C 15. x4 − 7x3 + 9x2 + 3x + 24 x3 − 7x2 + 12x dx R. x2 2 + 2 ln |x| − 3 ln |x − 4| − 2 ln |x − 3| + C 16. x2 − 13x + 13 x3 − 3x2 + 4 dx R. −2 ln |x − 2| + 3 ln |x + 1| + 3 x − 2 + C 17. 3x − 11 x3 − x2 + 3x − 3 dx R. −2 ln |x − 1| + ln |x2 + 3| + 5 √ 3 arctan x √ 3 + C 18. x4 − 4x3 + 4x2 − 16x + 59 x3 − 4x2 + x + 6 dx R. x2 2 + 5 ln |x − 3| + 7 ln |x + 1| − 9 ln |x − 2| + C 19. x2 + 3x + 3 x3 + 3x2 + 3x + 1 dx R. −1 2(x + 1)2 − 1 x + 1 + ln |x + 1| + C 20. 4x3 − 2x2 + 4x − 2 x4 + x2 + 1 dx R. ln(x4 + x2 + 1) − 4 √ 3 arctan 2x + 1 √ 3 + C 21. 2x + 3 x4 − 4 dx R. 1 4 ln x2 − 2 x2 + 2 + 3 8 √ 2 ln x − √ 2 x + √ 2 − 3 √ 2 8 arctan x √ 2 + C 22. 8 x4 + 1 dx R. √ 2 ln x2 + √ 2 x + 1 x2 − √ 2 x + 1 + 2 √ 2 arctan( √ 2 x + 1) − 2 √ 2 arctan( √ 2 x − 1) + C
  • 71.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 61 23. 16 x4 + 4 dx R. ln x2 + 2x + 2 x2 − 2x + 2 + 2 arctan(x + 1) + 2 arctan(x − 1) + C 24. x2 − x + 3 x4 + 6x3 + 13x2 + 12x + 4 dx R. 13 ln x + 2 x + 1 − 5 x + 1 − 9 x + 2 + C 25. x3 − x x4 + 2x3 − 4x2 + 8x − 32 dx R. 1 8 ln |x − 2| + 1 2 ln |x + 4| + 3 16 ln(x2 + 4) − 1 8 arctan x 2 + C 26. 6x 40 + (x − 1)(x − 3)(x + 4)(x + 6) dx R. 1 2 ln x2 + 3x − 14 x2 + 3x − 8 + 3 2 √ 65 ln 2x + 3 − √ 65 2x + 3 + √ 65 − 3 2 √ 41 ln 2x + 3 − √ 41 2x + 3 + √ 41 + C 27. 19(x2 + 2x − 3) 2x3 − x2 − x − 3 dx R. 5 2 ln(x2 + x + 1) + 9 2 ln |2x − 3| + 13 √ 3 arctan 2x + 1 √ 3 + C 28. x4 + 12x3 + 40x2 + 48x + 8 x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 12 dx 29. 5x3 − 16x2 + 24 − 24x x4 − x3 − 6x2 + 4x + 8 dx R. 4 x − 2 + 2 ln |x + 2| + 3 ln |x + 1| + C 30. 4(3x − 1)(3x2 + x − 2) (3x + 4)(3x − 1)(x − 1)(3x + 2) + 7 dx 31. 2x7 − 4x6 − 5x5 − 23x4 − 17x3 + 19x2 + 20x + 68 x8 − 17x4 + 16 dx 32. 2x2 + 4x − 1 x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 dx R. − 1 3 8x + 7 x2 + x + 1 − 4 √ 3 9 arctan 2x + 1 √ 3 + C 33. 24(x2 + 3) (2x2 − 3x − 5)2 − (x2 − 3x − 4)2 dx R. − 4 x + 1 + ln |x + 1| − 4 ln |x − 1| + 3 ln |x − 3| + C 34. x2 + x + 1 x4 + 6x3 + 11x2 + 6x + 1 dx 35. 7x2 + 15 + x3 − 3x x4 − 9 dx 36. 5 (x + 1)5 − x5 − 1 dx
  • 72.
    62 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 37. 4x4 + 6x3 + 4x2 + 2x − 1 x5 + x4 + x3 dx 38. 9x4 − 39x3 − 48x2 − 47x − 3 27x5 − 27x4 − 18x3 + 10x2 + 7x + 1 dx 39. 3x4 + 2 √ 2x3 − 3x2 − 2 √ 2x2 + 4 √ 2x − 6 − 4 √ 2 x5 − x4 − 4x + 4 dx 40. 6x2 + 4x + 6 x5 + x4 − 2x3 − 2x2 + x + 1 dx 41. 2x5 − 3x4 + 3x3 − 6x2 + x − 1 x6 − 2x5 + 3x4 − 4x3 + 3x2 − 2x + 1 dx 42. 2x7 + 12x6 − 5x5 + 21x4 − 13x3 − 73x2 + 30x − 114 x8 − 13x4 + 36 dx 43. dx x6 + 1 44. 1 x x − 1 x + 1 dx 45. sec x sec 2x dx 46. dx (cos2 x + 4 sen x − 5) cos x 47. tan x dx (sec999 x + 1)2 48. dx cos x √ 2 + sen x 49. dx x4 + a2x2 + a2 50. Determinar un polinomio cuadr´atico p(x) tal que p(0) = 1, p′(0) = 0, de modo que p(x) dx x3(1 − x)2 es una funci´on racional. VII. Integraci´on de funciones racionales trigonom´etricas: 1. dx 4 + 3 cos x R. 2 √ 7 arctan tan(x/2) √ 7 + C 2. dx 4 + 3 sen x R. 2 √ 7 arctan 4 tan(x/2) + 3 √ 7 + C 3. dx 2 + 3 cos x R. 1 √ 5 ln tan(x/2) + √ 5 tan(x/2) − √ 5 + C
  • 73.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 63 4. dx 2 + 3 sen x R. 1 √ 5 ln 2 tan(x/2) + 3 − √ 5 2 tan(x/2) + 3 + √ 5 + C 5. dx sen x + cos x R. − 1 √ 2 ln tan(x/2) − 1 − √ 2 tan(x/2) − 1 + √ 2 + C 6. dx sen x − cos x R. 1 √ 2 ln tan(x/2) + 1 − √ 2 tan(x/2) + 1 + √ 2 + C 7. dx a sen x + b cos x 8. dx 1 + sen x + cos x 9. dx 1 + sen x − cos x 10. dx 1 + 2 sen x + 3 cos x 11. dx 3 + 2 sen x + cos x 12. sen x dx 1 + sen x R. 2 tan(x/2) + 1 + x + C 13. cos x dx 1 + cos x R. x − tan(x/2) + C 14. sen x dx 1 + sen2 x 15. sen x dx 1 + cos2 x 16. sen x dx 2 − sen x 17. 1 − sen x 1 + sen x dx R. −x − 4 tan(x/2) + 1 + C 18. 1 − cos x 1 + cos x dx 19. 1 − cos x 1 + sen x dx
  • 74.
    64 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 20. dx (5 + cos x)(4 + cos x) R. 2 √ 15 arctan √ 15 tan(x/2) 5 − 1 √ 6 arctan √ 6 tan(x/2) 3 + C 21. 4 dx (1 + sen x)(2 + cos x) R. 2 tan(x/2) − ln | tan2(x/2) + tan(x/2) + 1| + 2 √ 3 arctan 2 tan(x/2) + 1 √ 3 + C 22. dx (5 + cos x)(4 + cos x) 23. dx cos x + 2 sen x + 3 24. dx 8 − 4 sen x + 7 cos x 25. 3 sen x − 2 cos x 2 sen x − 3 cos x dx 26. 1 − cos x (2 + cos x)(3 + cos x) dx 27. 1 − sen x (2 + sen x)(3 + sen x) dx 28. 1 + tan x 1 − tan x dx 29. dx sen2 x − 3 sen x cos x + 2 cos2 x R. ln tan x − 2 tan x − 1 + C 30. dx sen2 x − 3 sen x cos x + 3 cos2 x 31. sen2 x 1 + cos2 x dx R. √ 2 arctan tan x √ 2 − x + C 32. 1 − sen2 x 1 + cos2 x dx 33. dx sen2 x + tan2 x R. − 1 2 tan x − 1 2 √ 2 arctan tan x √ 2 + C 34. dx 2 + sen2 x − cos2 x 35. dx 3 + 2 sen2 x + cos2 x 36. 2 + tan2 x 2 − tan2 x dx
  • 75.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 65 37. cos2 x − tan2 x sen2 x + tan2 x dx 38. 2 + sen2 x − cos2 x 2 − sen2 x + cos2 x dx 39. sen4 x + cos4 x sen2 x − cos2 x dx 40. sen4 x + tan4 x sen4 x − tan4 x dx 41. sec x dx sec x + 2 tan x − 1 42. sec x dx 2 sec x + 1 R. 2 √ 3 arctan tan(x/2) √ 3 + C 43. csc x dx 2 csc x + 1 R. 2 √ 3 arctan 2 tan(x/2) + 1 √ 3 + C VIII. Integraci´on de funciones irracionales: 1. x + 2 √ 4 − 2x − x2 dx R. − √ 4 − 2x − x2 + arcsen x + 1 √ 5 + C 2. dx x √ 3x2 + 2x − 1 R. − arcsen 1 − x 2x + C 3. dx (x + 4) √ x2 + 3x − 9 dx 4. dx (x + 1) 3 √ 1 + 3x + 3x2 5. 1 + x 1 − x dx R. 2 arctan 1 + x 1 − x − 2 1 + x 1 − x + C 6. 3 1 − x 1 + x dx x R. ln |z2 − 1| − 1 2 ln |z4 + z2 + 1| − √ 3 arctan 2z + 1 √ 3 + √ 3 arctan 2z − 1 √ 3 + C, donde z = 3 1 − x 1 + x 7. √ 4 + x2 5 + √ 4 + x2 dx
  • 76.
    66 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 8. x2 + √ 1 + x 3 √ 1 + x dx R. 6 6 √ 1 + x 16 16 − 6 √ 1 + x 10 5 + 6 √ 1 + x 4 4 + 6 √ 1 + x 7 7 + C 9. 1 + 2 6 √ x − 2 3 (x − 2)2 − √ x − 2 dx R. 4 √ x − 2 + 9 3 √ x − 2 + 18 6 √ x − 2 + 3 ln | 6 √ x − 2 − 1| + C 10. dx √ x + 2 + 3 √ x + 2 dx 11. x − 3 √ x − 2 x2 − 3 (x − 2)2 dx 12. √ x − 1 + 3 √ x − 1 x − 2 dx 13. 3x2 − 5x √ 3 − 2x − x2 dx R. 19 − 3x 2 √ 3 − 2x − x2 + 14 arcsen x + 1 2 + C 14. 8x2 √ x2 − x + 1 dx R. (4x + 3) √ x2 − x + 1 − ln |2x − 1 + 2 √ x2 − x + 1| + C 15. dx (x2 + 2x + 1) √ x2 + 2x − 8 R. 1 9 √ x2 + 2x − 8 x + 1 + C 16. 16 dx (x3 + 3x2 + 3x + 1) √ x2 + 2x − 3 R. 2 √ x2 + 2x − 3 (x + 1)2 − arcsen 2 x + 1 + C 17. dx (x − 1)2 √ 4x2 + x + 4 dx 18. 9 + √ x dx R. 4 5 9 + √ x 5 − 12 9 + √ x 3 + C 19. dx √ x3 3 1 + 4 √ x3 R. 2 3 x−3/4 + 1 2 + C 20. x3 (1 + 2x2 )−3/2 dx R. x2 + 1 2 √ 1 + 2x2 + C 21. x1/2 (1 + x1/3 )−1 dx
  • 77.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 67 22. √ x (1 + 3 √ x)2 dx 23. dx √ x 3 √ x(1 + 3 √ x)2 24. 3 √ x dx ( 3 √ x + 1)2 R. 3 2 3 √ x2 − 6 3 √ x + 9 ln( 3 √ x + 1) + 3 3 √ x + 1 + C 25. 3 √ x + 1 dx 3 √ x R. 6 5 ( 3 √ x + 1)5/2 − 2( 3 √ x + 1)3/2 + C 26. dx (1 + x2)3 R. x √ 1 + x2 + C 27. dx 3 √ x2(1 + 3 √ x2) R. 3 arctan( 3 √ x) + C 28. dx x2(1 + x2)3/2 R. − 1 + 2x2 x √ 1 + x2 + C 29. 1 + 3 √ x 3 √ x2 dx R. 2(1 + 3 √ x)3/2 + C 30. 50 − 25 3 √ x 3 √ x dx R. −2(4 + 3 3 √ x)(2 − 3 √ x)3/2 + C 31. 40x5 (1 + x3 )2/3 dx R. (5x3 − 3)(1 + x3)5/3 + C 32. 15 3 √ x 4 2 + 3 √ x2 dx R. 4 (2 + 3 √ x2)5(10 3 √ x2 − 16) + C 33. dx x3 3 √ 1 + x3 R. − 3 (1 + x3)2 2x2 + C 34. 100 dx x5 5 √ 25 − x5 R. − 5 25 − x5 x5 4 + C
  • 78.
    68 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 35. x2 dx 1 + x3 + (1 + x3)3 36. 3x2 + 4 2 √ x(4 − 3x2) √ 3x2 + x − 4 dx 37. (1 + x2)3 x6 dx R. − (1 + x2)5 5x5 + C 38. √ 1 + x8 x13 dx R. − (1 + x8)3 12x12 + C
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    2 LA INTEGRAL DEFINIDA Objetivos Definirla partici´on de un intervalo cerrado y en particular conocer la llamada partici´on regular. Aplicar las sumas de Riemann en el c´alculo de ´areas de regiones planas. Interpretar geom´etricamente la integral definida. Utilizar la integral en las aplicaciones geom´etricas elementales de c´alculo de ´areas y volu- menes. 2.1. Introducci´on El c´alculo integral tiene sus or´ıgenes en los llamados problemas de cuadraturas. Inicialmen- te, en la antigua Grecia, dichos problemas eran geom´etricos y consist´ıan en construir, siguiendo reglas precisas, un cuadrado con ´area igual a la de una figura plana dada. En el siglo XVII, con el descubrimiento de nuevas curvas, los aspectos geom´etricos de estos problemas pasaron a un segundo plano y las t´ecnicas de c´alculo ocuparon su lugar, los problemas de cuadraturas pasaron a ser simplemente problemas de c´alculo de ´areas y de vol´umenes. Se atribuye a Eu- doxo la invenci´on del m´etodo de exhausci´on, una t´ecnica para calcular el ´area de una regi´on aproxim´andola por una sucesi´on de pol´ıgonos. Arqu´ımedes perfeccion´o este m´etodo y, entre otros resultados, calcul´o el ´area de un segmento de par´abola y el volumen de un segmento de paraboloide, as´ı como el ´area y el volumen de una esfera. Sorprende que, siendo tan antiguos sus or´ıgenes, la primera definici´on matem´atica de in- tegral no fuera dada hasta el siglo XIX por Augustin Louis Cauchy. Una posible explicaci´on es que, durante los siglos XVII y XVIII, la integraci´on fue considerada como la operaci´on inversa de la derivaci´on; el c´alculo integral consist´ıa esencialmente en el c´alculo de primitivas. Naturalmente, se conoc´ıa la utilidad de las integrales para calcular ´areas y vol´umenes, pero 69
  • 80.
    70 Matem´atica IIWalter Arriaga D. los matem´aticos de la ´epoca consideraban estas nociones como dadas de forma intuitiva y no vieron la necesidad de precisar su significaci´on matem´atica. Los trabajos de Joseph Fou- rier (1768–1830) sobre representaci´on de funciones por series trigonom´etricas, hicieron que el concepto de funci´on evolucionara, desde la idea restrictiva de funci´on como f´ormula, hasta la definici´on moderna de funci´on dada por Dirichlet en 1837. Para entender el significado de la integral de estas nuevas funciones m´as generales se vio la necesidad de precisar matem´atica- mente los conceptos de ´area y de volumen. La definici´on de la integral de Cauchy segu´ıa la tradicional aproximaci´on del ´area por rect´angulos, en este sentido no era nada original; la novedad estaba en el hecho de considerar a la integral como un objeto matem´atico merecedor de estudio por s´ı mismo, y en el prop´osito de atribuirle un significado independiente de las t´ecnicas que pudieran utilizarse en los c´alculos. Este significado propio de la integral remite de forma inevitable a la idea de ´area. Ning´un matem´atico anterior al siglo XIX hab´ıa considerado necesario elaborar una teor´ıa matem´atica del concepto de ´area; es en dicho siglo cuando el concepto de ´area adquiere un significado matem´atico preciso o, mejor dicho, varios significados matem´aticos, porque dicho concepto evolucion´o hasta que, en la primera d´ecada del siglo XX, adquiri´o esencialmente su forma actual. 2.2. Sumatorias En geometr´ıa elemental se deducen f´ormulas para las ´areas de muchas figuras planas, pero escasamente se da una definici´on precisa de lo que significa ´area. En muchas ocasiones se define el ´area de una region como el numero de cuadrados de lado unidad que caben en la region. Sin embargo, dicha definici´on solo es aceptable para algunas regiones simples del plano. Se conocen fundamentalmente tres formas de acercarse a la definici´on de integral: a trav´es de funciones escalonadas, a trav´es de las sumas superiores e inferiores (sumas de Darboux) y a traves de las llamadas sumas de Riemann. En este texto lo hacemos siguiendo la tercera forma, por ser la manera cl´asica en los textos de c´alculo y la que menos exigencias tiene del an´alisis real para su comprensi´on. Definici´on 2.2.1. Sean m y n dos n´umeros enteros tales que m ≤ n y f una funci´on definida para cada i ∈ Z, con m ≤ i ≤ n, entonces la sumatoria de los t´erminos f(i) desde k = m hasta k = n se define como: n i=m f(i) = f(m) + f(m + 1) + f(m + 2) + · · · + f(n − 1) + f(n) (2.1) donde: es la letra griega sigma que simboliza la sumatoria.
  • 81.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 71 i es el ´ındice de la sumatoria. m es el l´ımite inferior. n es el l´ımite superior. Propiedades: n i=m c = (n − m + 1)c, c es constante. n i=m [f(i) ± g(i)] = n i=m f(i) ± n i=m g(i) n i=m [kf(i)] = k n i=m f(i) n i=m [f(i) − f(i − 1)] = f(n) − f(m − 1) n i=m [f(i + 1) − f(i − 1)] = f(n + 1) + f(n) − f(m) − f(m − 1) 2.3. Area de una regi´on plana por sumatorias Partici´on de un intervalo cerrado: Definici´on 2.3.1. Una partici´on P del intervalo [a, b], con a < b, es un conjunto finito de puntos P = {x0, x1, x2, . . . , xn} tales que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b Observaci´on 2.3.1. Dos particiones P y Q de un mismo intervalo [a, b] son diferentes si difieren por lo menos en un punto. Toda partici´on de [a, b] contiene por definici´on al menos los puntos a y b; por tanto, siempre es un conjunto no vac´ıo. Toda partici´on P = {x0, x1, x2, . . . , xn} de [a, b] divide a dicho intervalo en n subinter- valos cerrados: I1 = [x0, x1], I2 = [x1, x2], . . ., Ii = [xi−1, xi], . . ., In = [xn−1, xn]. La longitud de cada subintervalo Ii = [xi−1, xi], para i = 1, 2, . . . , n denotada por ∆xi, se define como ∆xi = xi − xi−1
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    72 Matem´atica IIWalter Arriaga D. n i=1 ∆xi = n i=1 (xi − xi−1) = b − a La norma o di´ametro de la partici´on P es el n´umero: P = m´ax{∆xi / i = 1, 2, . . . , n} Cuando el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos que tienen la misma longitud, es decir ∆x1 = ∆x2 = · · · = ∆xn = ∆x, entonces la longitud de cada subintervalo es ∆x = b − a n , a este tipo de partici´on se le denomina partici´on regular y se cumple que: x0 = a x1 = a + ∆x x2 = a + 2∆x ... xi = a + i∆x ... xn = b Si P y Q son dos particiones de [a, b], diremos que P es m´as fina que Q si Q ⊆ P ∆xi > 0 para todo i = 1, 2, . . . , n, puesto que xk > xk−1. En consecuencia P ≥ 0 ∆xi ≤ P para todo i = 1, 2, . . . , n Si P y Q son dos particiones de [a, b], y si Q es una partici´on mas refinada que P, entonces Q ≤ P Decir que P −→ 0 es equivalente a decir que n −→ ∞. 2.4. La integral de Riemann Se parte de un problema particular, como es el problema del ´area de una regi´on plana, el cual dio origen al c´alculo integral. El m´etodo expuesto, conocido como ✭✭m´etodo de los recu- brimientos✮✮, se debe a Arqu´ımedes, el m´as grande de los matem´aticos griegos y uno de los mayores de toda la historia de la humanidad, quien determin´o el ´area de un segmento parab´oli- co por este m´etodo, que a´un hoy, despu´es de conocer los modernos m´etodos infinitesimales, resulta laborioso. 2.4.1. ´Area bajo una curva a trav´es de sumas superiores e inferiores Partiremos de una idea intuitiva de lo que entendemos por area y profundizaremos luego para llegar a una definicion apropiada de la integral (segun Riemann).
  • 83.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 73 Supongamos que f es una funcion continua en [a, b] y tal que f(x) ≥ 0 para todo x perteneciente al intervalo [a, b]. Deseamos determinar, en una forma razonable, la manera de asignar un valor al ´area de la region Ω limitada por las rectas x = a, x = b, el eje X y la curva y = f(x) X Y Ω y = f(x) a 0 b Sea A el ´area de la regi´on Ω. Lo que hacemos es aproximarnos a este valor mediante rect´angulos cuyas ´areas se calculan f´acilmente. Sea P = {x0, x1, x2, . . . , xn} una particion cualquiera de [a, b]. En cada uno de los subin- tervalos [xi−1, xi], levantamos un rectangulo Ωi cuya base es ∆xi = xi − xi−1 y su altura el valor m´ınimo de la funci´on en [xi−1, xi], el cual existe ya que f es continua en [a, b]. X Y y = f(x) a 0 b Si mi es el valor m´ınimo de la funci´on f en [xi−1, xi] entonces el ´area de Ωi es mi∆xi para todo i = 1, 2, . . . , n. Estos n rect´angulos considerados forman en conjunto un pol´ıgono llamado pol´ıgono regular inscrito en Ω, luego el ´area de este pol´ıgono est´a dado por: n i=1 mi∆xi = m1∆x1 + m2∆x2 + · · · + mn∆xn En este caso, la suma de las ´areas de los rect´angulos es menor o igual al ´area de la regi´on Ω, es decir: n i=1 mi∆xi ≤ A(Ω)
  • 84.
    74 Matem´atica IIWalter Arriaga D. Siguiendo un procedimiento similar al anterior, pero tomando como altura de cada rect´angu- lo el valor m´aximo de la funci´on en [xi−1, xi] obtenemos que la suma de las ´areas de los rect´angulos es mayor o igual que el ´area de la regi´on Ω. Es decir, A(Ω) ≤ n i=1 Mi∆xi, donde Mi es el m´aximo de f en [xi−1, xi] X Y y = f(x) a 0 b De lo anterior podemos concluir entonces que: n i=1 mi∆xi ≤ A(Ω) ≤ n i=1 Mi∆xi Observaci´on 2.4.1. Geom´etricamente la suma de Riemann es la suma de las ´areas de los rect´angulos cuyas bases son los subintervalos ∆xi y cuyas alturas corresponden a los valores f(xi). Definici´on 2.4.1. Sea f una funci´on continua y no negativa en el intervalo [a; b]. El ´area de la regi´on limitada por la gr´afica de f, el eje X y las rectas verticales x = a y x = b es: A = l´ım P →0 ∆xi n i=1 f(ti) A = l´ım n→∞ ∆x n i=1 f(ti) u2 donde ∆x = b − a n , ti = a + i∆x 2.4.2. Sumas superiores y sumas inferiores Sea f : I −→ R una funci´on acotada sobre I = [a, b] y P = {x0, x1, x2, . . . , xn} una partici´on de I. Denotamos con Ij al j−´esimo subintervalo de I, es decir Ij = [xj−1, xj], j = 1, 2, . . . , n. Como f es acotada en I existen mj y Mj tales que mj = ´ınf{f(x) / x ∈ Ij}
  • 85.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 75 Mj = sup{f(x) / x ∈ Ij} donde se cumple que: mj ≤ f(x) ≤ Mj , ∀x ∈ Ij, j = 1, 2, . . . , n entonces: Definici´on 2.4.2. La suma inferior de f para P, que se denota por S(f, P), se define como: S(f, P) = n j=1 mj∆xj = n j=1 mj(xj − xj−1) Geom´etricamente la suma inferior nos brinda una aproximaci´on por defecto del ´area que buscamos. Definici´on 2.4.3. La suma superior de f para P, que se denota por S(f, P), se define como: S(f, P) = n j=1 Mj∆xj = n j=1 Mj(xj − xj−1) Geom´etricamente la suma superior nos brinda una aproximaci´on por exceso del ´area que buscamos. Propiedades: 1. Sea f es una funci´on acotada sobre I = [a, b] y P = {x0, x1, x2, . . . , xn} una partici´on de I, entonces: m(b − a) ≤ S(f, P) ≤ S(f, P) ≤ M(b − a) 2. Si f es una funci´on acotada en I = [a, b] y P1, P2 son dos particiones de I tal que P2 es un refinamiento de P1, (P1 ⊂ P2), entonces: S(f, P1) ≤ S(f, P2) y S(f, P1) ≥ S(f, P2) 3. Sea f una funci´on acotada en I y P1, P2 dos particiones arbitrarias de I, entonces: S(f, P1) ≤ S(f, P2) 2.4.3. Integrales superiores e integrales inferiores Denotemos con D el conjunto de todas las particiones posibles de I y sea f una funci´on acotada en I, entonces:
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    76 Matem´atica IIWalter Arriaga D. Definici´on 2.4.4. La integral inferior de f en I est´a dada por: J = b a f(x)dx = sup{S(f, P) / P ∈ D} Definici´on 2.4.5. La integral superior de f en I est´a dada por: J = b a f(x)dx = ´ınf{S(f, P) / P ∈ D} Propiedades: Sea f es una funci´on acotada sobre I = [a, b], entonces: 1) b a f(x)dx ≤ b a f(x)dx, es decir J ≤ J 2) m(b − a) ≤ J ≤ J ≤ M(b − a), donde: m = ´ınf{f(x) / x ∈ I} y M = sup{f(x) / x ∈ I} 3) Para todo c ∈ a, b , se tiene: b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx 2.4.4. Integral de Riemann Definici´on 2.4.6. Se dice que una funci´on f : I −→ R es integral de Riemann1 en I = [a, b] cuando f es acotada y se cumple b a f(x)dx = b a f(x)dx = b a f(x)dx Teorema 2.4.1. Sea f una funci´on acotada en I = [a, b], se dice que f es integrable en I si y solo si para todo ε > 0 existe una partici´on P de I tal que S(f, P) − S(f, P) < ε Teorema 2.4.2. (Convergencia de las sumas integrales). Sea f : [a, b] −→ R una funci´on integrable, P una partici´on de [a, b] tal que |P| → 0, se verifica entonces que: l´ım n→∞ S(f, P) = l´ım n→∞ S(f, P) = b a f(x)dx 1 Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, Alemania, 17 de septiembre de 1826 - Verbania, Italia, 20 de julio de 1866) fue un matem´atico alem´an que realiz´o contribuciones muy importantes al an´alisis y la geometr´ıa diferencial, algunas de las cuales allanaron el camino para el desarrollo m´as avanzado de la relatividad general. Su nombre est´a conectado con la funci´on zeta, la hip´otesis de Riemann, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometr´ıa de Riemann.
  • 87.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 77 Corolario 2.4.1. Para toda funci´on f integrable en [0, 1] se verifica que: l´ım n→∞ 1 n n i=1 f i n = 1 0 f(x)dx Observaci´on 2.4.2. Para interpretar geom´etricamente el significado de la integral de Rie- mann. Supongamos que f : I −→ R es una funci´on integrable en I y f(x) ≥ 0, para todo x ∈ I, entonces A(Ω) = b a f(x)dx es el ´area de la regi´on bajo la curva y = f(x). Propiedades: Sean f, g : I −→ R funciones integrables en I = [a, b], entonces se cumple que: 1) f es integrable en cualquier subintervalo [c, d] ⊂ I 2) kf es integrable en I b a kf(x)dx = k b a f(x)dx 3) f ± g es integrable en I b a [f(x) ± g(x)]dx = b a f(x)dx ± b a g(x)dx 4) Para todo c ∈ [a, b], se tiene: b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx 5) Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ I entonces b a f(x)dx ≥ 0 6) Si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ I entonces b a f(x)dx ≤ b a g(x)dx 7) Si m ≤ f(x) ≤ M para todo x ∈ I entonces m(b − a) ≤ b a f(x)dx ≤ M(b − a) 8) Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ I entonces A(Ω) = b a f(x)dx 9) Si f(x) ≤ 0 para todo x ∈ I entonces A(Ω) = − b a f(x)dx 10) Si a < b entonces a b f(x)dx = − b a f(x)dx Teorema 2.4.3. Teorema del valor medio: Si f una funci´on continua en I = [a, b], entonces existe un n´umero c ∈ I, tal que: b a f(x)dx = f(c)(b − a)
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    78 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 2.5. Teoremas fundamentales del c´alculo integral Teorema 2.5.1. (Primer teorema fundamental del c´alculo integral) Si f es una funci´on continua en I = [a, b] y F es una funci´on definida por F(x) = x a f(t)dt para todo x ∈ I, entonces: F′ (x) = d dx x a f(t)dt = f(x) para todo x ∈ I. Este teorema conocido tambi´en como el teorema de Barrow, es un importante resultado que relaciona el c´alculo diferencial con el c´alculo integral. Nota 2.5.1. Generalizaci´on del teorema de Barrow: Sea f : I −→ R una funci´on continua y dadas las funciones u1(x) y u2(x) derivables, entonces: Si F(x) = u2(x) a f(t)dt, entonces F′(x) = [f(u2(x))]u′ 2(x) Si F(x) = a u1(x) f(t)dt, entonces F′(x) = −[f(u1(x))]u′ 1(x) Si F(x) = u2(x) u1(x) f(t)dt = a u1(x) f(t)dt + u2(x) a f(t)dt, entonces F′(x) = −[f(u1(x))]u′ 1(x) + [f(u2(x))]u′ 2(x) Teorema 2.5.2. (Segundo teorema fundamental del c´alculo integral) Sea f integrable en I = [a, b]. Si existe una funci´on F continua en I = [a, b] y derivable en (a, b) tal que F′(x) = f(x) en (a, b), entonces: b a f(x)dx = F(x) b a = F(b) − F(a) (2.2) Este teorema es conocido tambi´en como el teorema de Newton – Leibnitz.
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 79 ✍ EJERCICIOS RESUELTOS 2. I. Sumatorias: 1. Calcular el valor de 0,6666 . . . Soluci´on: 0,6666 . . . = 6 10 + 6 100 + 6 1000 + 6 10000 + · · · n i=1 6 10i = 6 10 + 6 102 + 6 103 + 6 104 + · · · + 6 10n con n → ∞ n i=1 6 10i − n i=1 6 10i+1 = 6 10 + 6 102 + 6 103 +· · ·+ 6 10n − 6 102 + 6 103 + 6 104 + · · · + 6 10n+1 n i=1 6 10i 1 − 1 10 = 6 10 − 6 10n+1 ∴ 0,6666 . . . = n i=1 6 10i = 2 3 2. Determinar una f´ormula para n k=1 sen(kx) Soluci´on: n k=1 sen(kx) = sen x + sen 2x + sen 3x + · · · + sen nx usando la f´ormula cos A − cos B = −2 sen A + B 2 sen A − B 2 y haciendo A = (k + 1)x y B = (k − 1)x, se tiene: cos(k + 1)x − cos(k − 1)x = −2 sen kx sen x n k=1 −2 sen(kx) sen x = n k=1 [cos(k + 1)x − cos(k − 1)x] ahora hacemos f(k + 1) = cos(k + 1)x, entonces f(k) = cos kx, adem´as f(k − 1) = cos(k − 1)x, y la f´ormula telesc´opica: n i=1 [f(k + 1) − f(k − 1)] = f(n + 1) + f(n) − f(1) − f(0) n k=1 [cos(k + 1)x − cos(k − 1)x] = cos(n + 1)x + cos nx − cos x − 1 ∴ n k=1 sen(kx) = cos x + 1 − cos(n + 1)x − cos nx 2 sen x
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    80 Matem´atica IIWalter Arriaga D. II. La integral de Riemann: 1. Representar el l´ımite de la siguiente suma como una integral definida: l´ım n→∞ n i=1 1 √ n2 + i2 , con P : [0, √ 3] Soluci´on: De P : [0, √ 3] se tiene que a = 0, b = √ 3, luego ∆x = √ 3 n y como xi = i∆x, entonces xi = √ 3i n l´ım n→∞ n i=1 1 √ n2 + i2 = l´ım n→∞ n i=1 1 √ n2 + i2 1 n 1 n = l´ım n→∞ 1 √ 3 n i=1 √ 3 n 1 + i2 n2 = l´ım n→∞ 1 √ 3 n i=1 √ 3 n 1 + 3i2 3n2 = l´ım n→∞ 1 √ 3 n i=1 1 1 + 1 3 √ 3i n 2 √ 3 n = 1 √ 3 √ 3 0 1 1 + x2 3 dx = √ 3 0 dx √ 3 + x2 ∴ l´ım n→∞ n i=1 1 √ n2 + i2 = √ 3 0 dx √ 3 + x2
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 81 ✍ EJERCICIOS PROPUESTOS 2. I. Sumatorias: Determinar una f´ormula para cada una de las siguientes sumatorias: 1) n k=1 ln(k) R. ln(n!) 2) n k=1 k · k! R. (n + 1)! − 1 3) n k=1 1 (k + 1)(k − 1)! R. (n + 1)! − 1 (k + 1)! 4) n k=1 5k 5) n−1 k=1 ln k k + 2 R. ln 2 n2 + n 6) n k=1 ( √ 2k + 1 − √ 2k − 1) R. √ 2n + 1 − 1 7) n+1 k=m 1 2k − 1 − 1 2k + 1 R. 2(n + 2 − m) (2n + 3)(2m − 1) 8) n k=1 1 k2 + 3k + 2 R. n 2n + 4 9) n k=1 4 4k2 − 8k − 3 R. 4n 4n + 1 10) n k=1 sen(kx) R. cos x + 1 − cos(n + 1)x − cos nx 2 sen x Calcular: 1) 100 k=1 ln k k + 2 R. ln(5151) 2) 40 k=5 ( √ 2k + 1 − √ 2k − 1) R. 6 3) 50 k=1 2 4k − k2 − 3 R. 3625 2352 4) 400 k=21 k3 − k2 − 1 k2 − k R. 151981 400
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    82 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 5) 0,6666 . . . R. 2/3 II. Area de una regi´on plana por sumatorias: En cada uno de los siguientes ejercicios, encontrar el ´area de la regi´on dada, que est´a li- mitada por las gr´aficas de: 1) y = 2x + 1, x = 1, x = 3 y el eje X R. 10 u2 2) y = 3x2, x = 2 y el eje X R. 8 u2 3) y = 3 + 2x − x2, x = 5 y el eje X R. 32/3 u2 4) y = 3(4 − x2) y el eje X R. 32 u2 5) y = 36 − x2, x = 2, x = 6 y el eje X R. 224/3 u2 6) y = 4x − x2 y el eje X R. 32/3 u2 7) y = (x − 1)2 + 2, x = 1, x = 2 y el eje X R. 9 u2 8) y = 4(x − 1)3, x = 3, x = 6 y el eje X R. 609 u2 9) y = 2(x + 2)3, x = −2, x = 0 y el eje X R. 8 u2 10) y = 4 − |x|, x = −4, x = 4 y el eje X R. 8 u2 11) y = √ x, x = 0, x = 4 y el eje X R. 16/3 u2 12) y = cos x, x = −π/2, x = π/2 y el eje X R. 2 u2 13) y =    x2 , x ≤ 3 6x − x2 , x > 3 , x = 1, x = 8 y el eje X III. La integral de Riemann: a) Aproximar usando sumas superiores y sumas inferiores la siguiente integral: 1 −2 x 1 + |x| dx, y dar una cota superior para el error cuando P = {−2, −3/2, −1, −1/2, 1/2, 1} R. S = 22 15 , S = 53 60 , e = 7 24 b) Mediante sumas superiores y sumas inferiores, hallar el valor aproximado de 2 −3 x 1 + x2 dx, usando la la siguiente partici´on: P = {−3, −2, −1, 0, 1, 2} R. S = 12 5 , S = 15 10 , e = 9 20 c) Si P es una partici´on del intervalo I, expresar como una integral definida los siguientes l´ımites: 1) l´ım |P |→0 n i=1 (sen(xi + xi−1)) xi − xi−1 xi + xi−1 , I = [2, 5] R. 5 2 sen 2x dx 2x
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 83 2) l´ım n→∞ n i=1 i n2 + i2 R. 1 0 x dx 1 + x2 3) l´ım n→∞ n i=1 n n2 + i2 R. 1 0 dx 1 + x2 4) l´ım |P |→0 n i=1 1 √ n2 + i2 , I = [0, √ 3] R. √ 3 0 dx √ 3 + x2 5) l´ım n→∞ n i=1 n n2 + ni R. 1 0 dx 1 + x 6) l´ım |P |→0 n i=1 n √ ei n , I = [0, 2] R. 1 0 ex dx 7) l´ım n→∞ 1 n8 n i=1 i7 R. 1 0 x7 dx 8) l´ım |P |→0 π n n i=1 sen iπ n , I = [0, π] R. π 0 sen x dx IV. Teoremas fundamentales del c´alculo integral Primer Teorema del C´alculo Integral. En los siguientes ejercicios calcular: 1) F′(x), si: F(x) = 2x 1 cosh(2t2 + 1)dt 2) F′(π/2), si: F(x) = ln x a sen(et ) dt 3) F′(0), si: F(x) = sen x b 1 1 + arcsen t dt R. F′(0) = 1 4) F′(1), si: F(x) = x 0 1 − t + t2 1 + t + t2 dt 5) F′(x), si: F(x) = x3 0 1 1 + sen2 t dt a cos2 (y2 + 4) dy R. F′(x) = cos2   x3 0 1 1 + sen2 t dt 2 + 4   3x2 1 + sen2(x3) 6) F′(1), si: F(x) = x2 x3 t6 1 + t4 dt 7) F′(1), si: F(x) = x+x2 x2+1 2−t2 dt 8) F′(0), si: F(x) = ex x2 x(t2 + 1) dt 9) F′(x), si: F(x) = sen x 0 sen y 0 sen3 t dt dy
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    84 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 10) F′′(x), si: F(x) = x 2 y 5 1 1 + t2 + sen2 t dt dy 11) F′′′(0), si: F(x) = x 1   y 2   z 3 et + sen t et + cos t dt   dz   dy R. F′′′(0) = 1/2 12) En cada caso calcular f(x0) si f es continua: x0 = 2; x 0 f(t) dt = x2 (1 + x) R. 16 x0 = 1; x2 0 f(t) dt = x2 (1 + x) R. 5/2 x0 = 2; f(x) 0 t2 dt = x2 (1 + x) R. 3 √ 36 x0 = 2; x2(1+x) 0 f(t) dt = x R. 1/5 13) Hallar H′(x), si: F(x) = arcsen(cos x) √ 3 f(sen t)dt = 1 − sen x 1 + sen x ; G(x) = sen x √ 2 g(t)dt = √ 1 − cos x ; H(x) = f(1) (1− √ 1−x2)g(x) dt t2 R. −8 x3 14) Si 1 3x+1 0 f(t) dt = 2 ax + ax. Determinar los valores de a de modo que f(1/4) = 16/3. 15) Sea G(x) = ϕ2(x) ϕ1(x) f(t) dt, donde f : I −→ R es una funci´on continua y ϕ1, ϕ2 : J −→ I son funciones derivables. Probar que: G′(x) = f(ϕ2(x))ϕ′ 2(x) − f(ϕ1(x))ϕ′ 1(x) 16) Una funci´on f es continua para todo x y satisface la ecuaci´on: x 0 f(t)dt = − 1 2 +x2 + 1 2 x sen x + 1 2 cos x. Calcular: a) f π 4 R. π 2 + √ 2π 16 b) f′ π 4 R. 2 + √ 2 4 − √ 2π 16 17) Hallar una funci´on f(x), sabiendo que es continua ∀x ∈ R y x2−1 0 f(t)dt = x6 +x4 + 3x2 R. f(x) = 3x2 + 8x + 8 18) Hallar una funci´on f(x), tal que: x c tf(t)dt = sen x − x cos x − 1 2 x2 , x = 0 19) Dada la funci´on f(x) definida por: f(x) = 3 + x 0 1 + sen t 2 + t2 dt, ∀x ∈ R. Hallar las constantes a, b y c del polinomio cuadr´atico P(x) = a + bx + cx2, sabiendo que P(0) = f(0), P′(0) = f′(0), P′′(0) = f′′(0).
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 85 20) Si f(t) = t + t 0 1 − u2 du, se define: H(x) = x −x f(t)dt; hallar la segunda derivada de H(x). 21) Si f(t) = √ 4 + t2 + t −2 dw (4 + w2)1/2 , se define: H(x) = x −x f(t)dt; calcular D2H(x) para x = 1 22) Hallar el valor m´ınimo de la funci´on H(x) = b a (f(u) − x)2 du 1/2 23) Sea f una funci´on continua que satisface la siguiente ecuaci´on: x 0 f(t) dt = 1 x t2 f(t)dt + x16 8 + x18 9 + C para todo n´umero real x, donde C es constante. Encontrar una forma expl´ıcita para f(x) y hallar el valor de la constante C 24) Una part´ıcula se desplaza a lo largo de una recta. Su posici´on en el instante t es f(t). Cuando 0 ≤ t ≤ 1, la posici´on viene dada por la integral f(t) = t 0 1 + 2 sen πx cos πx 1 + x2 dx; para t ≥ 1 la part´ıcula se mueve con aceleraci´on constante (la aceleraci´on adquirida en el instante t = 1). Calcular: a) Su aceleraci´on en el instante t = 2. R. π − 1 2 b) Su velocidad cuando t = 1. R. 1 2 c) Su velocidad cuando t > 1. R. 1 2 + π − 1 2 (t − 1) d) La diferencia f(t) − f(1) cuando t > 1. R. 1 2 (t − 1) + π − 1 2 (t − 1)2 2 Segundo Teorema del C´alculo Integral. Calcular: 1) 1 0 √ x √ 2 − x dx R. π/4 2) 0 −1 x2 e−x dx R. e − 2 3) 1 0 xex (1 + x)2 dx R. e − 2 2 4) 1 1/2 1 + x2 x2(1 + x)2 dx R. 4 3 + ln 4 9 5) π/2 0 x3 sen x dx R. 3π2 4 − 6 6) 1 0 x2 ex sen x dx R. 1/2 7) ln 4 ln 2 dx √ ex − 1 R. π/6
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    86 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 8) √ 2 0 x2 + 5 x2 + 2 dx R. 3 √ 2π 8 + √ 2 9) e−1 0 x2 x3 + 5x2 + 8x + 4 dx R. − e − 3 e + 1 10) 1 0 2x (1 + x)(1 + x2)2 dx R. 1 2 − ln 4 √ 2 11) 0 −1 x5 3 (1 + x3)2 dx R. −3/40 12) 2 0 x5 dx (1 + x3)3/2 R. 8/9 13) 2 1 dx x4(17 − x4)1/4 R. 21/136 14) 3 1 arctan √ x dx √ x + 2x2 + x3 R. 7π2 144 15) π/2 0 dx 5 − 4 sen x + 3 cos x R. 1/2 16) 1 0 xe 3 √ x dx R. 360 − 132e 17) 1 0 x8 e−x3 dx R. 2 3 − 5 3e 18) π 0 senh x sen x dx R. senh π 2 19) π 0 | cos x| dx R. 2 20) 2 −2 |x2 − 1| dx R. 4 21) 4 −3 |x2 − x − 6| dx R. 53 2 22) 8 −4 |x2 − 4x − 12| dx R. 368 3 23) 5 −1 |x3 − 4x| dx R. 116 24) 2 −3 |x3 + x2 − 4x − 4| dx R. 63 4 25) 3 −3 |x4 − 5x2 + 4| dx R. 556 15 26) 4 −2 x dx R. 3 27) 2 −1 x + x dx R. 9 2
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 87 28) 4 2 dx 1 + x2 4 R. 1 6 (2 √ 2 + √ 3) 29) 3 −3 x dx 1 + |x + 1| R. 2 − ln 25 30) 3 −3 |4 − x2 | dx R. 46/3 31) 2 −2 4 − x2 dx R. 2 + 2 √ 2 + 2 √ 3 32) 1 0 ln √ 2 − x dx R. ln 2 − 1 2 33) 1/2 −1/2 1 + x 1 − x dx R. π 3 34) π/3 π/6 √ tan x dx √ tan x + √ cot x R. π 12 35) π/3 π/6 √ sec x dx √ sec x + √ csc x R. π 12 36) π/4 −π/4 | tan5 x| dx R. − 1 2 + ln 2 37) 2π −2π | sen x − cos x| dx R. 8 √ 2 38) π 0 x sen x 1 + cos2 x dx R. π2 4 39) 1 −1 4x + 1 2x + 1 dx R. 3 2 ln 2 40) 3 −2 x + 1 x + 3 dx R. 3 − 2 ln(2/3) 41) 1/2 −1/2 cos(sen x) ln 1 + x 1 − x + 3x + 4 dx R. 4 42) π/2 −π/2 x81 cos(x9 ) − 2 sen3 x + 6 cos3 x dx R. 8 43) π/4 −π/4 x14 sen(x7 ) + 2x sen(2x) + 3x cos(3x) dx R. 1 44) 1/ √ 2 0 dx (2x2 + 1) √ x2 + 1 R. π/6 45) 6 −2 f(x) dx , donde: f(x) =    |x − 2| para − 2 ≤ x < 0 x − x para 0 ≤ x < 4 |x − 6| para 4 ≤ x ≤ 6
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    88 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 46) Si f(x) es continua en 0, 2 y f(1) = 1, calcule: l´ım h→0 1 h 2 2−h 2 2+h f(x) dx 47) Calcular l´ım h→0 1 h 7π 4 +6h 7π 4 −2h sen t dt 48) Calcular l´ım h→0 1 h x 0 sec2 t dt + 0 x+h tan2 t dt − x 49) Si f(x) es continua en [0, 2], calcular l´ım h→0 1 h 1 1+h 1 f(x) dx 50) Calcular l´ım h→0 1 h π/4 π/4−h π/4 π/4+h √ tan t dt + −8h 6h sec t2 dt
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    3 INTEGRALES IMPROPIAS Objetivos Definir lostipos de integrales impropias. Determinar la convergencia o divergencia de una integral impropia. Interpretar geom´etricamente la integral impropia. 3.1. Introducci´on En el estudio del C´alculo, dos aspectos de fundamental importancia son la derivada y la integral, que han ocupado el pensamiento de innumerables seres humanos a lo largo de la historia de la humanidad. De ellos, la integral, entendida como la “antidiferencial”, o bien, como el “´area bajo la curva”, ha constituido el cimiento donde se apoya un gran n´umero de conocimientos y aplicaciones. Dentro del campo de la integraci´on, ocupan un lugar especial las integrales impropias, las que representan una valiosa herramienta cuando se tienen integrales definidas para las cuales no se cumplen las condiciones dadas anteriormente. En la definici´on de la integral de Riemann se impusieron dos condiciones fundamentales que son: Funciones definidas en el intervalo cerrado y acotado [a, b], con a < b Funciones continuas en [a, b] El prop´osito de ´este cap´ıtulo, es extender la noci´on de integral de Riemann a: Funciones definidas en intervalos no acotados, es decir uno o ambos l´ımites de integraci´on son infinitos: Integrales impropias de primera especie. 89
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    90 Matem´atica IIWalter Arriaga D. Funciones que presenta un n´umero finito de discontinuidades en el intervalo de integra- ci´on: Integrales impropias de segunda especie. 3.2. Integrales impropias de primera especie Definici´on 3.2.1. Llamaremos integral impropia de primera especie o integral impropia con l´ımites infinitos a aquella cuyo intervalo de integraci´on es infinito o no acotado, ya sea de la forma [a, ∞ , −∞, b] o bien −∞, ∞ . Para cada uno de los casos indicados se define: Sea f : [a, ∞ −→ R una funci´on integrable en [a, t] para todo t ∈ [a, ∞ , entonces ∞ a f(x) dx = l´ım t→∞ t a f(x) dx Sea f : −∞, b] −→ R una funci´on integrable en [a, t] para todo t ∈ −∞, b], entonces b −∞ f(x) dx = l´ım t→−∞ b t f(x) dx Sea f : R −→ R una funci´on integrable en todo intervalo cerrado de R, entonces ∞ −∞ f(x) dx = 0 −∞ f(x) dx + ∞ 0 f(x) dx = l´ım t→−∞ 0 t f(x) dx + l´ım r→∞ r 0 f(x) dx y se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el l´ımite existe y es finito y divergente en caso contrario. Propiedades: Sean f, g : [a, ∞ −→ R funciones integrables en [a, t], entonces: ∞ a [f(x) + g(x)] dx = ∞ a f(x) dx + ∞ a g(x) dx Sea f : [a, ∞ −→ R una funci´on integrable en [a, t], entonces: ∞ a λf(x) dx = λ ∞ a f(x) dx Observaci´on 3.2.1. Sea f : R −→ R integrable en todo intervalo cerrado de R. El car´acter de ∞ −∞ f(x) dx no depende del punto a dado en la definici´on. En el caso de que la integral sea convergente su valor no depende tampoco del punto elegido ya que, para cualquier b ∈ R a −∞ f(x)dx + ∞ a f(x)dx = b −∞ f(x)dx + a b f(x)dx + b a f(x)dx + ∞ b f(x)dx = b −∞ f(x)dx + ∞ b f(x)dx
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 91 Proposici´on 3.2.1. Sea f : [a, ∞ −→ R integrable en [a, t] para todo t ∈ [a, ∞ . Si l´ım x→∞ f(x) = L = 0 entonces ∞ a f(x) dx diverge. Proposici´on 3.2.2. Sea f : [a, ∞ −→ R integrable y no negativa en [a, t] para todo t ∈ [a, ∞ , entonces la funci´on F(t) = t a f(x) dx es creciente en [a, ∞ . Proposici´on 3.2.3. Sea f : [a, ∞ −→ R integrable y no negativa en [a, t] para todo t ∈ [a, ∞ , ∞ a f(x) dx es convergente si y solo si F(t) = t a f(x) dx est´a acotada superiormente. 3.2.1. Criterios de comparaci´on para funciones no negativas Primer criterio de comparaci´on: Sean f, g : [a, ∞ −→ R integrables en [a, t] para todo t ≥ a y supongamos que existe b > a tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ≥ b. Entonces: • Si ∞ a g(x) dx converge, entonces ∞ a f(x) dx tambi´en converge. • Si ∞ a f(x) dx diverge, entonces ∞ a g(x) dx tambi´en diverge. Segundo criterio de comparaci´on: Sean f, g : [a, ∞ −→ R integrables en [a, t] para todo t ≥ a y no negativas. Supongamos que existe l´ımx→∞ f(x) g(x) = L. Entonces: • Si 0 < L < ∞ entonces ∞ a f(x) dx ∼ ∞ a g(x) dx, es decir ambas son convergentes o ambas son divergentes. • Si L = 0, entonces: ◦ Si ∞ a g(x) dx converge, entonces ∞ a f(x) dx converge. ◦ Si ∞ a f(x) dx diverge, entonces ∞ a g(x) dx diverge. • Si L = ∞, entonces: ◦ Si ∞ a f(x) dx converge, entonces ∞ a g(x) dx converge. ◦ Si ∞ a g(x) dx diverge, entonces ∞ a f(x) dx diverge. Definici´on 3.2.2. Convergencia absoluta: Sea f : [a, ∞ −→ R integrable en [a, t] para todo t ≥ a, diremos que ∞ a f(x) dx es absolutamente convergente si ∞ a |f(x)| dx converge. Proposici´on 3.2.4. Sea f : [a, ∞ −→ R integrable en [a, t] para todo t ≥ a, si ∞ a |f(x)| dx converge, entonces ∞ a f(x) dx converge.
  • 102.
    92 Matem´atica IIWalter Arriaga D. En otras palabras, si una integral impropia converge absolutamente entonces converge. Observaci´on 3.2.2. Los criterios establecidos para integrales impropias de primera especie en [a, ∞ as´ı como la convergencia absoluta admiten versiones an´alogas para integrales impropias de primera especie en −∞, b]. 3.3. Integrales impropias de segunda especie Definici´on 3.3.1. Llamaremos integral impropia de segunda especie o integral impropia de una funci´on no acotada en un intervalo [a, b] a aquella donde la funci´on presenta una dis- continuidad en a, o en b o en un punto c ∈ [a, b]. Para cada uno de los casos indicados se define: Sea f : [a, b −→ R una funci´on integrable en [a, t] para todo t ∈ [a, b y l´ım x→b− f(x) = ±∞, entonces b a f(x) dx = l´ım t→b− t a f(x) dx = l´ım ε→0+ b−ε a f(x) dx Sea f : a, b] −→ R una funci´on integrable en [t, b] para todo t ∈ a, b] y l´ım x→a+ f(x) = ±∞, entonces b a f(x) dx = l´ım t→a+ b t f(x) dx = l´ım ε→0+ b a+ε f(x) dx Sea f : [a, b] −→ R una funci´on que no est´a definida en c ∈ [a, b], es decir l´ım x→c f(x) = ±∞, entonces b a f(x) dx = c a f(x) dx + a c f(x) dx = l´ım ε→0+ c−ε a f(x) dx + l´ım ε→0+ b c+ε f(x) dx y se dice que la integral impropia correspondiente es convergente si el l´ımite existe y es finito y divergente en caso contrario. Observaci´on 3.3.1. Sea f : R −→ R una funci´on que no est´a definida en c ∈ R, entonces: ∞ −∞ f(x) dx = c −∞ f(x) dx + ∞ c f(x) dx = a −∞ f(x) dx + c a f(x) dx + b c f(x) dx + ∞ b f(x) dx Proposici´on 3.3.1. Sea f : a, b] −→ R integrable en [t, b] para todo t ∈ a, b], no negativa y no acotada, entonces la funci´on F(t) = b t f(x) dx es decreciente. Proposici´on 3.3.2. Sea f : a, b] −→ R integrable en [t, b] para todo t ∈ a, b], no negativa y no acotada, entonces b a+ f(x) dx es convergente si y solo si F(t) = b t f(x) dx est´a acotada superiormente.
  • 103.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 93 3.3.1. Criterios de comparaci´on para funciones no negativas Primer criterio de comparaci´on: Sean f, g : a, b] −→ R integrables en [t, b] para todo t ∈ a, b] y no acotadas, supongamos que existe c ∈ a, b] tal que 0 ≤ f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ a, c]. Entonces: • Si b a+ g(x) dx converge, entonces b a+ f(x) dx tambi´en converge. • Si b a+ f(x) dx diverge, entonces b a+ g(x) dx tambi´en diverge. Segundo criterio de comparaci´on: Sean f, g : a, b] −→ R integrables en [t, b] para todo t ∈ a, b] y no acotadas, supongamos que existe y es finito el l´ımx→a+ f(x) g(x) = L. Entonces: • Si L = 0 entonces b a+ f(x) dx ∼ b a+ g(x) dx, es decir ambas son convergentes o ambas son divergentes. • Si L = 0, entonces: ◦ Si b a+ g(x) dx converge, entonces b a+ f(x) dx converge. ◦ Si b a+ f(x) dx diverge, entonces b a+ g(x) dx diverge. Proposici´on 3.3.3. Sea f : a, b] −→ R integrable en [t, b] para todo t ∈ a, b], si b a+ |f(x)| dx converge, entonces b a+ f(x) dx converge. Observaci´on 3.3.2. Tambi´en pueden darse enunciados an´alogos para integrales impropias de segunda especie en [a, b Cualquier integral impropia de segunda especie puede transformarse mediante un cambio de variable adecuado en una integral impropia de primera especie: Segunda especie Cambio de variable Primera especie b a+ f(x) dx t = 1 x − a ∞ 1 b−a f(1 t + a) t2 dt b− a f(x) dx t = 1 b − x ∞ 1 b−a f(b − 1 t ) t2 dt Por consiguiente, como ya anunci´abamos, los teoremas y criterios de comparaci´on estu- diados para las integrales impropias de primera especie admiten enunciados an´alogos para las integrales impropias de segunda especie. Las demostraciones pueden hacerse utilizando los cambios de variable arriba indicados y los resultados ya conocidos referentes a las integrales impropias de primera especie.
  • 104.
    94 Matem´atica IIWalter Arriaga D. ✍ EJERCICIOS PROPUESTOS 3. I) Determinar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales, si es convergente, calcular su valor: 1. ∞ 1 4 x3 dx R. 2 2. ∞ 1 dx x1,01 R. 100 3. ∞ 0 e−x dx R. 1 4. ∞ 0 dx √ ex R. 2 5. ∞ −∞ |x|e−x2 dx R. 1 6. ∞ −∞ e−4|x| dx R. 1/2 7. ∞ 0 xe−x dx R. 1 8. ∞ −∞ x2 e−x3 dx R. Divergente 9. ∞ 0 xn e−x dx R. n! 10. ∞ −∞ dx ex + e−x R. π/2 11. ∞ −∞ ex−ex dx R. 1 12. ∞ 0 e−x sen x dx R. 1/2 13. ∞ 2 dx x ln8 x R. 1 ln7 2 14. ∞ 0 dx x2 + 4 R. π/4 15. ∞ −∞ x dx 1 + x4 R. 0 16. ∞ −∞ dx 4x2 + 1 R. π/2 17. ∞ 0 18x dx (x2 + 9)2 R. 1 18. ∞ −∞ dx x2 + 2x + 2 R. π
  • 105.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 95 19. ∞ −∞ x2 − x + 2 x4 + 10x2 + 9 dx R. 5π 12 20. ∞ 0 dx (1 + x2)2 R. π/4 21. ∞ 0 dx x3 + 1 R. 2π 3 √ 3 22. ∞ 0 8 arctan x dx 1 + x2 R. π2 23. ∞ 0 sen x dx R. Divergente. 24. ∞ 0 e−ax sen bx dx, a > 0 R. b a2 + b2 25. ∞ 0 e−ax cos bx dx, a > 0 R. a a2 + b2 26. ∞ 1 x5 dx 4 (1 + x3)7 R. Divergente. 27. ∞ 1 √ x2 − 1 x4 dx R. 1/3 28. ∞ 2/π 1 x3 sen 1 x dx R. 1 29. ∞ 2 6x2 dx 1 − x6 R. ln 7 − 2 ln 3 30. ∞ −∞ 2 dx 1 + x4 R. √ 2 π 31. ∞ 0 140 dx (x2 + 4)(x2 + 25) R. π 32. 2 0 2 dx 5 (x − 2)3 R. −5 5 √ 4 33. 0 −2 dx 3 √ x + 1 R. 0 34. 3 0 dx √ 9 − x2 R. π 2 35. 1 −1 1 + x−2/3 dx R. 2(2 √ 2 − 1) 36. 1 −1 3 √ 1 − x3 x5 dx R. Divergente 37. 1 0 dx (1 − x)(2 + x) R. 2 38. 4 0 dx (x − 1)2 R. ∞ 39. 4 0 dx 3 √ x − 1 R. 2 3 ( 3 √ 9 − 1)
  • 106.
    96 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 40. 4 0 dx √ 4x − x2 R. π 41. 4 0 x dx √ 16 − x2 R. 4 42. 1 0 dx √ x − x2 R. π 43. 0 −1 x5 dx √ 1 + x3 R. −4/9 44. π/2 0 cos x dx √ 1 − sen x R. 2 45. 1 0 ln x dx √ x R. −4 46. 1 0 8 arcsen x dx √ 1 − x2 R. π2 47. 0 −1 e1/x dx x3 R. 0 48. 1 0 e1/x dx x3 R. Divergente. 49. π 0 dx 1 + cos x R. Divergente. 50. π 0 sen x dx √ 1 + cos x R. 2 √ 2 51. π/2 0 dx 1 − sen x R. Divergente. 52. 2 0 x3 dx √ 4 − x2 R. 16/3 53. 1 0 x2 dx √ 1 − x2 R. π 4 54. −1 −2 dx x3(1 + x3)4/3 R. Divergente 55. ∞ 0 e− √ x dx √ x R. 2 56. ∞ 1 dx x √ x2 − 1 R. π/2 II) Determinar el valor de a para que la integral impropia sea convergente. Hallar el valor de dicha integral: 1. ∞ 1 x 2x2 + 2a − k x + 1 dx 2. ∞ 1 2x2 + x + a x(2x + a) − 1 dx
  • 107.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 97 III) Analizar la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias: 1. ∞ 1 ln x x2 dx R. C. 2. ∞ 2 dx x2 + 2x − 3 R. C. 3. −1 −∞ dx x2 + 3x + 4 R. C. 4. ∞ 1 x + 1 x3 − 1 dx R. C. 5. ∞ 1 x + 3 x4 + 1 dx R. C. 6. ∞ 1 x2 + 3x + 1 x4 + x3 + √ x dx R. C. 7. ∞ 1 dx 2x + 3 √ x + 1 + 5 R. D. 8. ∞ 0 x dx √ x4 + 1 R. D. 9. ∞ 1 dx √ x3 + 1 R. C. 10. ∞ 0 x2 dx (a2 + x2)3/2 R. D. 11. ∞ 3 x dx √ x6 + 1 R. C. 12. ∞ −∞ ex2 dx R. C. 13. ∞ 0 x3 2x dx R. C. 14. ∞ 1 √ x 3x dx R. C. 15. ∞ 0 x ex − 1 dx R. C. 16. ∞ 0 4x3 + 2x + 1 ex dx R. C. 17. ∞ 0 ln(1 + x) ex dx R. C. 18. ∞ 0 x dx 1 + x2 sen2 x R. D. 19. ∞ 0 sen kx ex2 dx R. C. 20. ∞ 1 sen x xα dx R. C. 21. ∞ 1 cos x x2 dx R. C.
  • 108.
    98 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 22. 1 0 dx √ 1 − x4 R. C. 23. 2 0 dx (1 + x2) √ 4 − x2 R. C. 24. 1 0 ln x dx 1 − x R. C. 25. 1 0 x3 e1/x dx R. D. 26. ∞ 0 dx √ x + x4 R. C.
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    4 APLICACIONES DE LA INTEGRALDEFINIDA Objetivos Determinar el ´area de una regi´on plana. Determinar el volumen de un s´olido con secciones tranversales conocidas. Determinar el volumen de s´olido por revoluci´on. Determinar la longitud de arco de una curva. Hasta ahora “´unicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin plantearnos la uti- lidad que ´estas pueden tener. Sin embargo, la integral definida es un m´etodo r´apido para calcular ´areas, vol´umenes, longitudes, etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que em- pleaban los griegos. En f´ısica, su empleo es constante, al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad. Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el c´alculo integral. 4.1. Area de una regi´on plana 4.1.1. Area de una regi´on plana en coordenadas cartesianas Tal c´omo hemos visto antes, la integral definida es una generalizaci´on del proceso del c´alculo de ´areas. Ahora bien, el ´area de una regi´on o recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o nula. Por tanto, en la aplicaci´on de la integral al c´alculo de ´areas, debe tenerse en cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el eje OX, y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el ´area. 99
  • 110.
    100 Matem´atica IIWalter Arriaga D. Se presentan los siguientes casos: CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funci´on continua y f(x) ≥ 0, para todo x ∈ I, el ´area de la regi´on Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), el eje X, las rectas x = a y x = b est´a dado por: X Y Ω y = f(x) a 0 b A(Ω) = b a f(x)dx u2 (4.1) CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funci´on continua y g(y) ≥ 0, para todo y ∈ I, el ´area de la regi´on Ω limitada por la gr´afica de x = g(y), el eje Y , las rectas y = c y y = d est´a dado por: X Y Ω x = g(y) c 0 d A(Ω) = d c g(y)dy u2 (4.2) CASO III: Si f y g son dos funciones cont´ınuas en I = [a, b] y g(x) ≤ f(x), para todo x ∈ I, el ´area de la regi´on Ω limitada por las rectas x = a ∧ x = b y las gr´aficas de f y g, est´a dada por:
  • 111.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 101 X Y Ω y = f(x) y = g(x) a 0 b A(Ω) = b a [f(x) − g(x)]dx u2 (4.3) CASO VI: Si f y g son dos funciones cont´ınuas en I = [c, d] y g(y) ≤ f(y), para todo y ∈ I, el ´area de la regi´on Ω limitada por las rectas y = c ∧ y = d y las gr´aficas de f y g, est´a dada por: X Y Ω x = g(y) x = f(y) c 0 d A(Ω) = d c [f(y) − g(y)]dy u2 (4.4) 4.1.2. Area de una regi´on plana en coordenadas polares y ecuaciones pa- ram´etricas Vamos a considerar el problema de hallar el ´area de una regi´on plana encerrada por la gr´afica de una ecuaci´on polar y por dos rayos que parten desde el origen. Vamos a utilizar para ello sumas de Riemann para aproximar el valor exacto del ´area, sin embargo, esta vez, en lugar de considerar rect´angulos emplearemos sectores circulares. Recordemos que en un c´ırculo de radio r un sector circular de ´angulo central θ (medido en radianes) tiene un ´area de A = 1 2 r2θ
  • 112.
    102 Matem´atica IIWalter Arriaga D. r θ Dada una ecuaci´on polar r = f(θ) donde f denota una funci´on continua y positiva definida sobre α ≤ θ ≤ β y la regi´on R de ´area A encerrada por la gr´afica de la ecuaci´on r = f(θ) y por los rayos θ = α y θ = β con α < β que parten desde el origen. Consideramos una particion P = {α = θ0 < θ1 < . . . < θn = β} la que determina n subintervalos [θk−1, θk] para k = 1, 2, . . . , n. En cada uno de esos intervalos seleccionamos un angulo θ∗ k arbitrario entonces el area encerrada por la gr´afica entre los rayos θ = θk−1 y θ = θk es aproximadamente igual a 1 2 [f(θ∗ k)]2∆θk; de esta forma el ´area total encerrada es aproximadamente A ≈ n k=0 1 2 [f(θ∗ k)]2 ∆θk. Si f es continua entonces A = l´ım P →0 n k=0 1 2 [f(θ∗ k)]2 ∆θk = β α 1 2 [f(θ)]2 dθ CASO I: Sea f : [α, β] −→ R una funci´on continua. El ´area de la regi´on Ω limitada por la gr´afica de la curva r = f(θ) y las rectas θ = α y θ = β est´a dado por A(Ω) = β α 1 2 f2 (θ)dθ u2 Ω r = f(θ) α β A(Ω) = β α 1 2 f2 (θ)dθ u2 (4.5)
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 103 CASO II: Sean f, g : [α, β] −→ R funciones continuas. El ´area de la regi´on Ω limitada por las gr´aficas de las curvas r = f(θ) y r = g(θ) y por las rectas θ = α y θ = β donde α < β y g(θ) ≤ f(θ) est´a dado por A(Ω) = β α 1 2 [f2 (θ) − g2 (θ)]dθ u2 Ω r = f(θ) r = g(θ) α β A(Ω) = β α 1 2 [f2 (θ) − g2 (θ)]dθ u2 (4.6) Nota 4.1.1. α y β son los ´angulos que se forman con el eje positivo de las abcisas. 4.2. Volumen de un s´olido Al introducir la integraci´on, vimos que el ´area es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicaci´on importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un s´olido tridimensional. Si una regi´on de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una regi´on tridimensional llamada s´olido de revoluci´on generado por la regi´on plana alrededor de lo que se conoce como eje de revoluci´on. Este tipo de s´olidos suele aparecer frecuentemente en ingenier´ıa y en procesos de producci´on. Son ejemplos de s´olidos de revoluci´on: ejes, embudos, pilares, botellas y ´embolos. Existen distintas f´ormulas para el volumen de revoluci´on, seg´un se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revoluci´on. 4.2.1. Volumen de un s´olido usando secciones transversales Una secci´on de un s´olido S es la regi´on plana que se obtiene cortando el s´olido S con un plano.
  • 114.
    104 Matem´atica IIWalter Arriaga D. Y Z X a 0 bx0 Queremos calcular el volumen de un s´olido como el de esta figura. Para ello, suponemos que conocemos el ´area de cada una de las secciones paralelas que producimos en el s´olido S. Denotaremos por A(x) al ´area de la secci´on correspondiente al punto x0 y consideramos una partici´on del intervalo [a, b], P = {a = x0, x1, . . . , xn = b}. Cortamos el s´olido S en rodajas por planos paralelos Pk perpendiculares al eje X en los puntos xk−1 y xk de la partici´on. Aproximaremos la rodaja entre los planos correspondientes a los puntos xk−1 y xk por un cilindro con ´area de la base A(xk). El volumen de la rodaja ser´a aproximadamente igual al volumen del cilindro que es Vk = A(xk)(xk − xk−1). Entonces tenemos que Volumen de la k − ´esima rodaja ≈ A(xk)(xk − xk−1) El volumen V del s´olido S se puede aproximar por la suma de los vol´umenes de los cilindros y obtenemos entonces la aproximaci´on V ≈ n k=1 Vk = n k=1 A(xk)(xk − xk−1) Esta aproximaci´on es una suma de Riemann de la funcion A : x ∈ [a, b] −→ A(x) ∈ R que determina el ´area de cada una de las secciones perpendiculares. Puesto que la aproximaci´on del volumen mejorar´a cuando la norma de la partici´on que elegimos tienda a cero, definimos el volumen del solido S como la integral de la funcion A en el intervalo [a, b]. Definici´on 4.2.1. El volumen de un solido S con secciones paralelas de ´area conocida, dada por la funci´on continua A : x ∈ [a, b] −→ A(x) ∈ R, est´a dado por: V (S) = b a A(x)dx u3 (4.7)
  • 115.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 105 4.2.2. Volumen de un s´olido de revoluci´on en coordenadas cartesianas Al introducir la integraci´on, vimos que el ´area es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicaci´on importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un s´olido tridimensional. El volumen de un objeto desempe˜na un papel importante en muchos problemas de las ciencias f´ısicas, como las de determinar centros de masa y momentos de inercia. Determinar el volumen de un objeto que tiene forma regular es relativamente sencillo, pero, ¿C´omo determinar el volumen de objetos que tienen forma irregular? Definici´on 4.2.2. Un s´olido de revoluci´on es un s´olido que se obtiene mediante una operaci´on geom´etrica de rotaci´on de una superficie plana alrededor de una recta fija contenida en el mismo plano de la superficie. ´Esta recta recibe el nombre de eje de revoluci´on o eje de giro. Este tipo de s´olidos suele aparecer frecuentemente en ingenier´ıa y en procesos de pro- ducci´on. Son ejemplos de s´olidos de revoluci´on: ejes, embudos, pilares, botellas, cilindros y ´embolos. Por ejemplo: el cono es un s´olido que resulta al girar un tri´angulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rect´angulo alrededor de uno de sus lados. Para determinar el volumen de este tipo de s´olidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el ´area de una regi´on, aproximando el “volumen” de un s´olido de revoluci´on por medio de una suma de vol´umenes de s´olidos m´as elementales, en los que el volumen ya ha sido definido. Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los s´olidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definici´on, el producto del ´area A de la base por el espesor d (o altura). Existen distintas f´ormulas para el volumen de revoluci´on, seg´un se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY . M´etodo del disco o anillo Este m´etodo nos proporciona una alternativa de calcular vol´umenes de s´olidos de revolu- ci´on. En ciertos casos el m´etodo es m´as viable ya que el de las secciones transversales puede resultar a veces dif´ıcil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto. Se presentan los siguientes casos: CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funci´on continua, el volumen del s´olido de
  • 116.
    106 Matem´atica IIWalter Arriaga D. revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje X de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), el eje X y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por: X Y Ω y = f(x) a 0 b V (S) = π b a [f(x)]2 dx u3 (4.8) CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funci´on continua, el volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje Y de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = g(y), el eje Y y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por: X Y Ω x = g(y) c 0 d V (S) = π d c [g(y)]2 dy u3 (4.9) El m´etodo de los anillos es similar al m´etodo de los discos, pero en este caso se utilizan dos discos. El disco m´as peque˜no es vac´ıo por la tanto se le da el nombre de arandela por formar una especie de solido hueco. En t´erminos generales este m´etodo se utiliza cuando el eje de rotaci´on se encuentra a una distancia de la funci´on que forma el s´olido. CASO III: Sean f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas cuyas gr´aficas se encuentran a un mismo lado del eje X, adem´as |g(x)| ≤ |f(x)|, para todo x ∈ I. El
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 107 volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje X de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por: V (S) = π b a (R2 − r2 )dx u3 X Y Ω y = f(x) y = g(x) a 0 b V (S) = π b a [f(x)]2 − [g(x)]2 dx u3 (4.10) CASO VI: Sean f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas cuyas gr´aficas se encuentran a un mismo lado del eje Y , adem´as |g(y)| ≤ |f(y)|, para todo y ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje Y de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = f(y), x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por: V (S) = π d c (R2 − r2 )dy u3 X Y Ω x = g(y) x = f(y) c 0 d V (S) = π d c [f(y)]2 − [g(y)]2 dy u3 (4.11) CASO V: Sean f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas cuyas gr´aficas se encuentran a un mismo lado de la recta y = k, adem´as |g(x)−k| ≤ |f(x)−k|, para todo
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    108 Matem´atica IIWalter Arriaga D. x ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno a la recta y = k de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por: V (S) = π b a (R2 − r2 )dx u3 X Y Ω y = f(x) y = g(x) a 0 b y = kk V (S) = π b a [f(x) − k]2 − [g(x) − k]2 dx u3 (4.12) CASO VI: Sean f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas cuyas gr´aficas se encuentran a un mismo lado de la recta x = k, adem´as |g(y)−k| ≤ |f(y)−k|, para todo y ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno a la recta x = k de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = f(y), x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por: V (S) = π d c (R2 − r2 )dy u3 X Y Ω x = g(y) x = f(y) c 0 d k x=k V (S) = π d c [f(y) − k]2 − [g(y) − k]2 dy u3 (4.13)
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 109 M´etodo de las cortezas cil´ındricas Este m´etodo nos proporciona otra alternativa de calcular vol´umenes de s´olidos de revolu- ci´on. A primera vista puede parecer que el hacer repetidas secciones transversales horizontales del s´olido sea el m´etodo m´as adecuado para este c´alculo “tajarlo por decirlo as´ı” y en integrar luego los vol´umenes de todos los trozos. Sin embargo, se presentan varias dificultades. La primera est´a en que las secciones transversales son, en unas zonas del s´olido, discos completos y, en otras, arandelas, es decir, discos con hueco. Esto conduce a tener que dividir la regi´on de integraci´on en varias subregiones, lo que resulta algo engorroso. Pero por otra parte, para plantear la integral es necesario expresar tanto el radio de los discos como el radio interior y exterior de las arandelas en funci´on de la variable y, lo que no es f´acil de lograr en este caso. En cambio, el m´etodo de los casquetes cil´ındricos funciona muy bien en esta situaci´on. B´asicamente consiste en dividir el s´olido de revoluci´on en una serie de casquetes cil´ındricos que se incrustan unos dentro de otros y en integrar luego los vol´umenes de estos casquetes para obtener el volumen total. A ´este m´etodo se le conoce tambi´en como el m´etodo de las “capas”, las “envolturas”, las “envolventes” o los “cascarones cil´ındricos”. CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], a ≥ 0, una funci´on continua y no negativa. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje Y de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), el eje X y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por: X Y Ω y = f(x) a0 b V (S) = 2π b a xf(x)dx u3 (4.14) CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], c ≥ 0, una funci´on continua y no negativa. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje X de
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    110 Matem´atica IIWalter Arriaga D. la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = g(y), el eje Y y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por: X Y Ω x = g(y) c 0 d V (S) = 2π d c yg(y)dy u3 (4.15) CASO III: Sea f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas tales que g(x) ≤ f(x), para todo x ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje Y , a ≥ 0, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por: X Y Ω y = f(x) y = g(x) a0 b V (S) = 2π b a x[f(x) − g(x)]dx u3 (4.16) CASO IV: Sea f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas tales que g(y) ≤ f(y), para todo y ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje X, c ≥ 0, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = f(y), x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por:
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 111 X Y Ω x = g(y) x = f(y) c 0 d V (S) = 2π d c y[f(y) − g(y)]dy u3 (4.17) CASO V: Sea f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas tales que g(x) ≤ f(x), para todo x ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno a la recta x = k, k ≤ a, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por: X Y Ω y = f(x) y = g(x) a 0 bk x=k V (S) = 2π b a (x − k)[f(x) − g(x)]dx u3 (4.18) CASO VI: Sea f, g : I −→ R, I = [a, b], dos funciones continuas tales que g(x) ≤ f(x), para todo x ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno a la recta x = k, b ≤ k, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de y = f(x), y = g(x) y las rectas x = a ∧ x = b est´a dado por:
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    112 Matem´atica IIWalter Arriaga D. X Y Ω y = f(x) y = g(x) a 0 b k x=k V (S) = 2π b a (k − x)[f(x) − g(x)]dx u3 (4.19) CASO VII: Sea f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas tales que g(y) ≤ f(y), para todo y ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno a la recta y = k, k ≤ c, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = f(y), x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por: X Y Ω x = g(y) x = f(y) c 0 d k y = k V (S) = 2π d c (y − k)[f(y) − g(y)]dy u3 (4.20) CASO VIII: Sea f, g : I −→ R, I = [c, d], dos funciones continuas tales que g(y) ≤ f(y), para todo y ∈ I. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno a la recta y = k, d ≤ k, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de x = f(y), x = g(y) y las rectas y = c ∧ y = d est´a dado por:
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 113 X Y Ω x = g(y) x = f(y)c 0 d k y = k V (S) = 2π d c (k − y)[f(y) − g(y)]dy u3 (4.21) 4.2.3. Volumen de un s´olido en coordenadas polares y ecuaciones param´etri- cas Sea f : [α, β] −→ R una funci´on continua. El volumen del s´olido de revoluci´on S que se obtiene por la rotaci´on en torno al eje polar, de la regi´on plana Ω limitada por la gr´afica de r = f(θ) y las rectas θ = α y θ = β est´a dado por: Ω r = f(θ) α β V (S) = 2π 3 β α f3 (θ) sen θ dθ u3 (4.22)
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    114 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 4.3. Longitud de arco 4.3.1. Longitud de arco en coordenadas cartesianas CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funci´on definida por y = f(x) y con derivada continua. La longitud de arco de f desde x = a hasta x = b est´a dado por: L = b a 1 + [f′(x)]2dx = b a 1 + dy dx 2 dx u (4.23) CASO II: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funci´on definida por x = g(y) y con derivada continua. La longitud de arco de g desde y = c hasta y = d est´a dado por: L = d c 1 + [g′(y)]2dy = b a 1 + dx dy 2 dy u (4.24) 4.3.2. Longitud de arco en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas Sea f : [α, β] −→ R una funci´on con derivada continua. La longitud de arco de la curva r = f(θ) desde θ = α hasta θ = β est´a dada por: L = β α [f(θ)]2 + [f′(θ)]2dθ u (4.25) 4.4. Area de una superficie de revoluci´on 4.4.1. Area de una superficie de revoluci´on en coordenadas cartesianas CASO I: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funci´on definida por y = f(x) y con derivada continua. Haciendo girar la gr´afica de f desde x = a hasta x = b, alrededor del eje X, se obtiene una superficie de revoluci´on, cuya ´area de superficie est´a dado por: A(S) = 2π b a f(x) 1 + [f′(x)]2dx u2 (4.26) CASO II: Sea f : I −→ R, I = [c, d], una funci´on definida por x = g(y) y con derivada continua. Haciendo girar la gr´afica de g desde y = c hasta y = d, alrededor del eje Y , se obtiene una superficie de revoluci´on, cuya ´area de superficie est´a dado por: A(S) = 2π d c g(y) 1 + [g′(y)]2dy u2 (4.27)
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 115 CASO III: Sea f : I −→ R, I = [a, b], una funci´on definida por y = f(x) y con derivada continua tal que su gr´afica est´a a un mismo lado de la recta y = k. Haciendo girar la gr´afica de f desde x = a hasta x = b, alrededor de la recta y = k, se obtiene una superficie de revoluci´on, cuya ´area de superficie est´a dado por: A(S) = 2π b a |f(x) − k| 1 + [f′(x)]2dx u2 (4.28) CASO IV: Sea g : I −→ R, I = [c, d], una funci´on definida por x = g(y) y con derivada continua tal que su gr´afica est´a a un mismo lado de la recta x = k. Haciendo girar la gr´afica de g desde y = c hasta y = d, alrededor de la recta x = k, se obtiene una superficie de revoluci´on, cuya ´area de superficie est´a dado por: A(S) = 2π d c |g(y) − k| 1 + [g′(y)]2dy u2 (4.29) 4.4.2. Area de una superficie de revoluci´on en coordenadas polares y ecua- ciones param´etricas Sea C una curva suave definida param´etricamente por C :    x = x(t) y = y(t) , y C no se intersecta a s´ı misma en el intervalo [α, β], donde las funciones x = x(t) y y = y(t) son funciones con derivada continua en [α, β]. Haciendo girar la gr´afica de la curva C desde α hasta β, alrededor del eje X, se obtiene una superficie de revoluci´on, cuya ´area de superficie est´a dado por: A(S) = 2π β α y(t) [x′(t)]2 + [y′(t)]2dt u2 (4.30) 4.5. Centro de gravedad
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    116 Matem´atica IIWalter Arriaga D. ✍ EJERCICIOS RESUELTOS 3. I. Area de una regi´on plana: En cada uno de los siguientes ejercicios, graficar la regi´on Ω y hallar su ´area. Ω est´a li- mitada por las gr´aficas de: 1. y = cos x, x = −π/6, x = π/2, y = 0 Soluci´on La gr´afica de la regi´on Ω se muestra en la figura X Y Ω y = cos x 1 −1 −π 6 0 π 2 A(Ω) = π/2 −π/6 cos x dx = sen x π/2 −π/6 = 1 + 1 2 u2 ∴ A(Ω) = 3 2 u2 2. y = x2 + 2x − 3, x = −2, x = 0, y = 0 Soluci´on La gr´afica de la regi´on Ω se muestra en la figura 4.1 A(Ω) = 0 −2 −(x2 + 2x − 3) dx = − x3 3 + x2 − 3x 0 −2 = − 8 3 + 4 + 6 u2 ∴ A(Ω) = 22 3 u2 3. y = 9 − x2, y = x2 + 1 Soluci´on Hallamos los puntos de intersecci´on de y = 9 − x2 y y = x2 + 1, para ello, 9 − x2 = x2 + 1 de donde x = ±2. La grafica de la regi´on se muestra en la figura 4.2 A(Ω) = 2 −2 (9 − x2 ) − (x2 + 1) dx = − 8x − 2 3 x3 2 −2
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 117 –4 –3 –2 –1 0 1 2 –3 –2 –1 1 x Figura 4.1: 0 2 4 6 8 10 –3 –2 –1 1 2 3 x Figura 4.2: ∴ A(Ω) = 64 3 u2 4. y = x2 − x 1 + x2 y = 0, x = −1, x = 2 Soluci´on Para graficar la funci´on y = x2 − x 1 + x2 haremos uso de las aplicaciones de la derivada. Para ello hacemos y′ = 0 de donde x = −1 ± √ 2 son los puntos cr´ıticos. −1 − √ 2 −1 + √ 2 + − + Se puede observar que en: −∞, −1 − √ 2 la funci´on es creciente −1 − √ 2, −1 + √ 2 la funci´on es decreciente −1 + √ 2, ∞ la funci´on es creciente La funci´on alcanza su punto m´aximo en −1 − √ 2 y f(−1 − √ 2) = −0,2071 es el punto m´aximo.
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    118 Matem´atica IIWalter Arriaga D. La funci´on alcanza su punto m´ınimo en −1 + √ 2 y f(−1 + √ 2) = 0,2071 es el punto m´ınimo. ahora hallamos los puntos de intersecci´on de y = x2 − x 1 + x2 con el eje X para ello hacemos y = 0 ⇒ x = 0 ∧ x = 1. La gr´afica de la regi´on Ω se muestra en la figura 4.3 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 –1 1 2 x Figura 4.3: A(Ω) = 0 −1 x2 − x x2 + 1 dx + 1 0 − x2 − x x2 + 1 dx + 2 1 x2 − x x2 + 1 dx A(Ω) = x − arctan x − 1 2 ln(x2 + 1) 0 −1 − x − arctan x − 1 2 ln(x2 + 1) 1 0 + x − arctan x − 1 2 ln(x2 + 1) 2 1 A(Ω) = 1 − π 4 + 1 2 ln 2 − 1 + π 4 + 1 2 ln 2 + 2 − arctan 2 − 1 2 ln 5 − 1 + π 4 + 1 2 ln 2 ∴ A(Ω) = 1 + π 4 − arctan 2 + 1 2 ln 8 5 u2
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 119 ✍ EJERCICIOS PROPUESTOS 4. I. Area de una regi´on plana Area de una regi´on plana en coordenadas cartesianas: En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el ´area de la regi´on Ω limitada por las gr´aficas de: 1) Ω : y = x, y = 2x, x = −4, x = 4 R. 16 u2 2) Ω : y − 3x = 0, x − 3y = 0, x + y = 4 R. 4 u2 3) Ω : y = 2x, y = x2 R. 4/3 u2 4) Ω : y = x, y2 = 4x R. 8/3 u2 5) Ω : y = 9 − x2, y = 0 R. 36 u2 6) Ω : y = 4x − x2, y = 0 R. 32/3 u2 7) Ω : y = 4x + x2, y = 0, x = −2, x = 2 R. 16/3 u2 8) Ω : y = x2, y = 8 − x2 R. 64 3 u2 9) Ω : y = x2 − 9, y = 9 − x2 R. 72 u2 10) Ω : x = 4y − y2, x + 2y = 5 R. 32/3 u2 11) Ω : y = x2 + 2x − 3, y = x − 1 R. 9/2 u2 12) Ω : y = x2, y = 2x2, y = 1 − x2 R. 2 3 √ 2 − 4 9 √ 3 u2 13) Ω : y = x3, y = x2 R. 1 12 u2 14) Ω : y = x3 − 2x, y = 6x − x3 15) Ω : y2 = 2x, x2 + y2 − 4y = 0 R. 3π − 4 3 u2 16) Ω : y = x2 + 2x − 3, x = −2, x = 0, y = 0 17) Ω : x = 3y − y2, x = y2 − y R. 8/3 u2 18) Ω : y = 2x − x2, y = x2 − 4x R. 9 u2 19) Ω : x = y2 − 6, y = −x R. 125/6 u2 20) Ω : y3 = x, y = 1, x = 8 R. 17/4 u2 21) Ω : y = x3, y = 8, x = 0 R. 12 u2 22) Ω : x = y2, x − y = 2 R. 9/2 u2 23) Ω : y = (x − 1)3, x = 3, x = 8, y = 0 R. 2385/4 u2
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    120 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 24) Ω : y = 6 + 2x − x2 4 , y = 5 2 x − 14 25) Ω : 4y = (x − 4)2, 4y = (x + 4)2, 4y = −(x − 4)2, 4y = −(4 + x)2 26) Ω : x = y2, y = x3, x + y = 2 27) Ω : y = x2, y = 8 − x2, y = 4x + 12 28) Ω : y2 + 8x = 16, y2 − 24x = 48 R. 32 √ 6 3 u2 29) Ω : b2x2 + a2y2 = a2b2 30) Ω : x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4 R. 3π u2 31) Ω : y = x3 − 3x2 − x + 3, y = 0 R. 8 u2 32) Ω : y = x3 − 3x2 + 2x + 2, y = 2x2 − 4x + 2 33) Ω : y = x2 − 2, y = |x| R. 20/3 u2 34) Ω : y = 4 − |x|, x = −4, x = 4, y = 0 R. 16 u2 35) Ω : y = 2 − |x|, y = x2 R. 7/3 u2 36) Ω : y = |x|, y = 2 − x2 37) Ω : y = |x − 1|, y = x2 − 2x, x = 0, x = 2 38) Ω : y = 1 x , y = 0, x = 1, x = 4 39) Ω : y = 1 x2 , y = 0, x = 1, x = 4 40) Ω : y = √ 3x − x2, y = 0, x = 0, x = 3 R. 9π 8 u2 41) Ω : y = √ x, y = x2 42) Ω : y = √ x − 1 √ x , x = 1, x = 4, y = 0 43) Ω : y = √ x2 + 16, x = 3, x = 4, y = 0 R. 8 √ 2 − 15 2 − 8 ln(2 √ 2 − 2) u2 44) Ω : x = y2 + 4, y = 0, y = 2, x = 0 R. 2 √ 2 + 2 ln( √ 2 + 1) u2 45) Ω : y = √ x2 − 3, y = x − 1, y = 0 46) Ω : xy = 9, √ x + √ y = 4 R. 88 3 − 18 ln 3 u2 47) Ω : y = ex, y = e−x, x = 1 R. e + e−1 − 2 u2 48) Ω : y = ex, y = e−x, y = 0 R. 2 u2 49) Ω : y = ex, y = e−x, |x| = 1, y = 0 R. 2 − 2e−1 u2 50) Ω : y = ln x, y = 0, x = 0, y = 2 R. e2 − 1 u2 51) Ω : y = 4 − ln(x + 1), y = ln(x + 1), x = 0
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    Walter Arriaga D.Matem´atica II 121 52) Ω : y = cos x, x = −π 6 , x = π 2 , y = 0 R. 3/2 u2 53) Ω : y = sen x, x = −π 2 , x = −π 3 , y = 0 54) Ω : y = sen x, x = −π 3 , x = π 2 , y = 0 R. 3/2 u2 55) Ω : y = sen x, y = cos x, x = −3π 4 , x = 5π 4 56) Ω : y = 2 3 cos x, y = tan x, x = 0 57) Ω : y = arcsen x, y = arc cos x, x = 1 R. π 2 − 1 u2 58) Ω : y = arc cos 3x 2 , y = arctan x, y = 0 59) Ω : y = |x|, y = 2 − x2 60) Ω : y = |x2 − 2x − 3|, y = −1, x = 2, x = 4 R. 6 u2 61) Ω : y = |x + 2| − |x − 2|, y = x R. 8 u2 62) Ω : y = |x + 2| + |x − 2|, y = 10 − |x| R. 76/3 u2 63) Ω : y = |x + 2| + |x − 2|, y = −|x + 2| − |x − 2|, x = −5, x = 5 R. 116 u2 64) Ω : y = | sen x|, y = −π − x, y = −π + x R. 4 − 3π2 u2 65) Ω : y(1 + x2)=2, y = x2 R. π − 2 3 u2 66) Ω : y = x2 − x 1 + x2 , y = 0, x = −1, x = 2 R. 2 ln 5 u2 67) Ω : y = 4 x2 + 2 , y = 4 3 |x| R. 4 √ 2 arctan √ 2 2 − 4 3 u2 68) Ω : x2/3 + y2/3 = 1 R. 3π 8 u2 69) Ω : y = 64 x2 + 16 y su as´ıntota 70) Ω : y = xe− x2 2 y su as´ıntota R. 2 u2 71) Ω : y = 2|x| 1 + x4 , y = −2|x| 1 + x4 72) Ω : y = |x| + |x − 1|, |x| = 3 73) Ω : y = |x2 − 9|, |x| = 5, y = 0 74) Ω : y = |x|, |x| = 2 75) Ω : y = 1 − (|x| − 1)2, y = arc cos(1 − |x|) − π R. 3π u2 76) Ω : y =    4 − x2, x ≤ 1 x2 + 2, x > 1 , x = −1, x = 2
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    122 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 77) Ω : y =    |x|, |x| ≤ 1 x2, |x| > 1 , |x| = 2, y = 0 78) Ω : y =    |x|, |x| ≥ 1 2 − x2, |x| < 1 , |x| = 2, y = 0 R. 19/3 u2 79) Ω : y = 6 + 2x − x2 4 ; y =    5 2 x − 14, x ≤ 6 13 − 2x, x > 6 80) Ω es la regi´on encerrada por la gr´afica de la par´abola y = −x2 +4x−3 y las tangentes a ´esta en los puntos (0, −3) y (3, 0) R. 9/4 u2 81) Ω es la regi´on de mayor ´area encerrada por las curvas x2 − 2y3 = 0, x2 − 8y = 0, y = 3 82) Ω es la regi´on de menor ´area encerrada por las curvas x2 + y2 = 20, y2 = 2x3 83) Ω es la regi´on de mayor ´area encerrada por las gr´aficas de 5x2 − 4y = 0 y la elipse cuyos focos son los puntos (0 , ±6) y cuya longitud de su eje menor es 6. 84) Sean los puntos A = (−2, 4), B = (1, 1) sobre la par´abola y = x2, y los puntos C = (1, s) y D = (−2, r) tales que el segmento de recta CD es tangente a la par´abola y esparalelo al segmento de recta AB. Hallar el ´area de la regi´on encerrada por la par´abola y por los segmentos AD, DC y CB. 85) A un ingeniero civil se le encarga construir en un terreno que tiene la forma de una regi´on plana, el cual est´a limitada por las curvas y = 3 − x2 e y = −x + 1, medido en dec´ametros. ¿Cu´al ser´a el ´area techada en el primer piso si se quiere dejar un tercio del total del terreno para jardines?. R. 300 m2 Area de una regi´on plana en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas: En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el ´area de la regi´on Ω limitada por las gr´aficas de: 1) Ω : r = 1 + cos θ R. π u2 2) Ω : r = 4 sen 3θ R. 4π u2 3) Ω : r = 2 − 4 cos θ R. 4π − 7 √ 3 u2 4) Ω : Regi´on interior a r = 3 + cos 4θ y r = 2 − cos 4θ R. 37π/6 u2 II. Volumen de un s´olido Volumen de un s´olido usando secciones transversales:
  • 133.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 123 Volumen de un s´olido de revoluci´on en coordenadas cartesianas: En cada uno de los siguientes ejercicios, calcular el volumen del s´olido generado por la rotaci´on de la regi´on Ω alrededor de la recta L, donde: 1) L : y = 0; Ω : y = x2, y = 0, x = 0, x = 1 R. π 5 u3 2) L : x = 0; Ω : y = x2, y = 0, x = 0, x = 1 3) L : y = −1; Ω : y = x2, y = 0, x = 0, x = 1 4) L : x = −1; Ω : y = x2, y = 0, x = 0, x = 1 R. 7π 6 u3 5) L : x = 0; Ω : y = 6x − x2 − 8, y = 0 R. 8π u3 6) L : y = 0; Ω : y = x2, y = 8 − x2 R. 512π 3 u3 7) L : y = 6; Ω : y = x2, y = 4x − x2 R. 64π 3 u3 8) L : x = 3; Ω : y = x2, y = 4x − x2 R. 32π 3 u3 9) L : y = 3; Ω : y = 6 − 2x − x2, y = x + 6 R. 108π 5 u3 10) L : x = 0; Ω : y = 6 − 2x − x2, y = x + 6 R. 27π 2 u3 11) L : x = 6; Ω : x = y2, x = 4 12) L : y = 0; Ω : y = 4x − x2, y = 0 R. 512π 15 u3 13) L : y = 0; Ω : y = 4x + x2, y = 0, x = −2, x = 2 14) L : x = −2; Ω : y = 4x + x2, y = 0, x = −2, x = 2 15) L : y = 1; Ω : y = 2 − x2, y = 1 R. 16π 15 u3 16) L : x = 0; Ω : y = x2 + 1, y = 0 x = 0 x = 1 R. 3π 2 u3 17) L : y = 0; Ω : y = x2, y = 4x 18) L : x = −2; Ω : y2 = x, y = x2 19) L : y = 1; Ω : y = 2x − x2, y = x3 R. 1439π 70 u3 20) L : x = 1; Ω : y = x3, x = 0, x = 1, y = 0 R. π 10 u3 21) L : x = −2; Ω : y = x3, y = x R. 2π u3 22) L : x = 6; Ω : xy2 = 12, y = 2, y = 6, x = 6 23) L : y = 0; Ω : x2 + y2 = r2 24) L : x = 4; Ω : x2 + y2 = 1 R. 8π2 u3 25) L : y = 0; Ω : b2x2 + a2y2 = a2b2
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    124 Matem´atica IIWalter Arriaga D. 26) L : x = 0; Ω : b2x2 + a2y2 = a2b2 27) L : y = 1; Ω : x2 + 4y2 = 4 R. 4π2 u3 28) L : y = 0; Ω : x2 + y2 ≤ 20, y2 ≤ 8x 29) L : y = 0; Ω : y = 1 x , y = 0, x = 1, x = 4 R. 3π 4 u3 30) L : y = 4; Ω : y = 1 x2 , y = 0, x = 1, x = 4 31) L : y = 0; Ω : y = √ 3x − x2, y = 0, x = 0, x = 3 R. 9π 2 u3 32) L : y = 0; Ω : y = √ x, y = x2 R. 3π 10 u3 33) L : y = −1; Ω : y = √ x, y = x2 R. 29π 30 u3 34) L : y = 0; Ω : y = √ x − 1 √ x , x = 1, x = 4, y = 0 35) L : y = 0; Ω : x = y2 + 4, y = 0, y = 2, x = 0 R. 16π 3 (2 √ 2 − 1) u3 36) L : y = −1; Ω : y = √ x2 − 3, y = x − 1, y = 0 37) L : y = 0; Ω : y = ex, y = e−x, |x| = 1, y = 0 R. π − π e2 u3 38) L : y = 0; Ω : y = ex, y = e−x, y = 0 R. π u3 39) L : x = 0; Ω : y = e−x2 , y = 0 R. π u3 40) L : x = 0; Ω : y = cos x, y = 0, x = 0, x = π 2 R. (π2 − 2π) u3 41) L : x = 0; Ω : y = sen x, y = 0, x = 0, x = π R. 2π2 u3 42) L : x = π/2; Ω : y = sen x, y = cos x, x = 0, x = π/4 R. 2π − π2 1 − 1 √ 2 u3 43) L : x = −1; Ω : y = arc cos x, y = arcsen x, x = 1 44) L : y = −1; Ω : y = arcsen x, y = 0, x = π 2 45) L : y = 0; Ω : y = 64 x2 + 16 y su as´ıntota 46) L : y = 1; Ω : y = x2 − 1 x2 + 1 y su as´ıntota R. 2π2 u3 47) L : y = 0; Ω : y = 2|x| 1 + x4 , y = −2|x| 1 + x4 48) L : y = 0; Ω : y = |x|, y = 2 − x2 R. 76π 15 u3 49) L : y = 0; Ω : y = |x + 2| − |x − 2|, y = x 50) L : y = −1; Ω : y = |x| + |x − 1|, |x| = 3 51) L : y = 0; Ω : y = |x2 − 9|, |x| = 5 52) L : y = 3; Ω : y = |x + 2| + |x − 2|, y = 10 − |x|
  • 135.
    Walter Arriaga D.Matem´atica II 125 53) L : y = 0; Ω : y = |x + 2| + |x − 2|, y = −|x + 2| − |x − 2|, x = −5, x = 5 54) L : y = −1; Ω : y = |x|, |x| = 2 55) L : x = 0; Ω : y = | sen x|, y = −x, y = −π + x 56) L : y = 1; Ω : y =    4 − x2, x ≤ 1 x2 + 2, x > 1 , x = −1, x = 2, y = 1 R. 394π 15 u3 57) L : y = 0; Ω : y =    |x|, |x| ≤ 1 x2, |x| > 1 , |x| = 2, y = 0 58) L : y = 0; Ω : y =    |x|, |x| ≥ 1 2 − x2, |x| < 1 , |x| = 2, y = 0 R. 52π 5 u3 59) L : x = 0; Ω : y =    |x|, |x| ≥ 1 2 − x2, |x| < 1 , |x| = 2, y = 0 60) L : y = 0; Ω : y = x2 y la cuerda que une los puntos (−1, 1) y (2, 4) R. 75π 5 u3 61) Un mec´anico perfora un agujero a trav´es del centro de una esfera de metal de 5 cm de radio. El agujero tiene un radio de 3 cm. ¿Cu´al es el volumen del anillo resultante? R. 256π 3 cm3 Volumen de un s´olido en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas: III. Longitud de arco Longitud de arco en coordenadas cartesianas: En cada uno de los siguientes ejercicios, calcular la longitud de arco de la curva C descrita por: 1) C : y = 2 3 x3/2 + 1, x = [0, 1] 2) C : y = x4 8 + 1 4x2 , x = [1, 2] 3) C : y = x5 10 + 1 6x3 , x = [1, 2] 4) C : y = 1 2 (ex + e−x), x = [0, 2] Longitud de arco en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas:
  • 136.
    126 Matem´atica IIWalter Arriaga D. IV. Area de una superficie de revoluci´on Area de una superficie de revoluci´on en coordenadas cartesianas: En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar el ´area de la superficie de revoluci´on que se obtiene al girar alrededor de la recta L, la curva C descrita por: a) L : y = 0; C : y = x3 9 , x ∈ [0, 2] Area de una superficie de revoluci´on en coordenadas polares y ecuaciones param´etricas: V. Centro de gravedad
  • 137.
    Bibliograf´ıa [1] Apostol, Tom.Calculus, volume 1 y 2. Revert´e. Barcelona, 1975. [2] Ayres, Frank. C´alculo diferencial e integral. McGraw-Hill. Espa˜na, 1991. [3] Edwards y Penney. C´alculo, con geometr´ıa anal´ıtica. Prentice Hall, Pearson Educaci´on. M´exico, 4° edition, 2001. [4] Larson, Roland. Hostetler, Robert. Edwards, Bruce. C´alculo y Geometr´ıa Anal´ıtica. Mc Graw Hill, Madrid, octava edition, 2002. [5] Leithold, Louis. El c´alculo con geometr´ıa anal´ıtica. Harla. M´exico, 1982. [6] Pita Ruiz, Claudio. C´alculo Vectorial. Prentice Hall, 1995. [7] Purcell, Varberg y Rigdon. C´alculo. Prentice Hall, Pearson Educaci´on. M´exico, 8° edition, 2001. [8] Simmons, George F. C´alculo con geometr´ıa anal´ıtica. MacGraw Hill. Espa˜na, 2° edition, 2002. [9] Spivak, Michael. C´alculo Infinitesimal, volume 1 y 2. Revert´e. Barcelona, 1970. [10] Stewart, James. C´alculo de una variable. Transcendentes tempranas. Thomson, 4° edition, 2001. [11] Thomas, George; Finney, Ross L. C´alculo con geometr´ıa anal´ıtica, volume 1 y 2. Addison Wesley, 9° edition, 1999. 127
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    128 Matem´atica IIWalter Arriaga D.
  • 139.
    ´Indice alfab´etico antiderivada, 3 centrode gravedad, 115 integraci´on por partes, 8 por sustituci´on, 7 integral de Riemann, 76 inferior, 76 superior, 76 longitud de arco, 114 partici´on regular, 72 primitiva, 3 s´olido de revoluci´on, 105 suma inferior, 75 superior, 75 superficie de revoluci´on, 114 129