Calculo Diferencial

1. HISTORIA DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
Introducción
El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez
construido, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometría, el álgebra y la aritmética, la
trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento,
descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible su
nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se acumula,
desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en particular y a
través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una nueva teoría, que
seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual de la ciencia
y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la
humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga lista de personas
trabajaron con los métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el siglo XVII para tener
la madurez social, científica y matemática que permitiría construir el Cálculo que utilizamos en
nuestros días.
Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar porque toda la matemática moderna, de una u otra
forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje matemático interactúan
constantemente con las ciencias naturales y la tecnología moderna.
Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón en una
larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimie ntos
infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la
precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo
posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como Torricelli,
Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones iniciales con
infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de las contribuciones
de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos estuvo inspirado por
problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón y
Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de
las contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independienteme nte
por Descartes y Fermat.
Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo
de Newton y Leibniz seguramente no existiría. Su construcción fue parte importante de la
revolución científica que vivió la Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron la
experiencia empírica y la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La
revolución científica supuso una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la
naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y
salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones
que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El
Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad
de la que, esencialmente, somos parte.

2. El extraordinario avance registrado por la matemática, la física y la técnica durante los siglos
XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar como una
de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.
Civilizaciones Antiguas
Los avances obtenidos desde que cada cultura implemento su sistema numérico, aún son
utilizados actualmente. El avance algebraico de los egipcios, dio como resultado la resolución
a ecuaciones de tipo. La correcta implementación de la regla aritmética de cálculo, por parte de
los Indios, aumento el conocimiento matemático, y la creación de los números irracionales,
además que ayudó a la resolución de sistemas de ecuaciones.
Después de esta época, Grecia deja de ser el centro evolutivo de las
matemáticas, conflictos sociales y políticos que se vivían en esa época alejan a Grecia de
esta ciencia. Por esta situación otro imperio toma las riendas de los avances matemáticos.
El Cálculo Diferencial se origina en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es
decir, al estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya que cambia de un momento a
otro; la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo en cuenta la distancia que recorre en
un tiempo infinitesimalmente pequeño.
En 1666 Sir Isaac Newton (1642-1727), fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para
resolver problemas de esta índole. Inventó su propia versión del cálculo para explicar el
movimiento de los planetas alrededor del Sol. Newton concibió el llamado Método de las
Fluxiones, considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye; denomina
"momentum" de la cantidad de fluente al arco mucho muy corto, recorrido en un tiempo
excesivamente pequeño, llamando la "razón del momentum" al tiempo correspondiente es decir,
la velocidad
Casi al mismo tiempo, el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-
1716), realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta
nuestros días. La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su
inverso, basándose en el Triángulo Característico de Barrow, observando que dicho triángulo al
que se forma con la tangente, la Subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es
igual al triángulo formado por la Normal, la Subnormal y la ordenada del mismo punto. Los

3. símbolos, la palabra "derivada" y el nombre de "ecuaciones diferenciales" se deben a Leibniz. dx
dy dx.
Después de Newton y Leibniz, el desarrollo del cálculo fue continuado por Jacobo Bernoulli y
Johann Bernoulli. Sin embargo, cuando Berkeley publicó su Analyst en 1734 atacando la falta
de rigor en el cálculo y disputando la lógica sobre la que se basaba, entonces se hicieron grandes
esfuerzos para amarrar el razonamiento. Maclaurin intentó poner el cálculo sobre una base
geométrica rigurosa pero sus fundamentos realmente satisfactorios tendrían que esperar
al trabajo de Cauchy en el siglo XIX.
Destacan otros matemáticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el Cálculo
Diferencial, sobresaliendo entre otros, los siguientes:
 Pierre Fermat (1601-1665), matemático francés, quien en su obra habla de los métodos diseñados
para determinar los máximos y mínimos, acercándose casi al descubrimiento del Cálculo
Diferencial, mucho antes que Newton y Leibniz. Dicha obra influenció en Leibniz en la
invención del Cálculo Diferencial.
 Johannes Kepler, tiempo después, coincide con lo establecido por Oresme, conceptos que
permitieron a Fermat en su estudio de máximos y mínimos, las tangentes y las cuadraturas,
igualar a cero la derivada de la función, debido a que la tangente a la curva en los puntos en que
la función tiene su máximo o mínimo, es decir, la función es paralela al eje donde la pendiente de
la tangente es nula. X
 Isaac Barrow (Londres, 1630 - id., 4 de mayo, 1677), maestro de Newton, construyó el "triángulo
característico", en donde la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y sus catetos son
incrementos infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los extremos del arco.
 Joseph-Louis LaGrange (1736-1813), quien demostró por primera vez el Teorema
del Valor Medio.
 Augustin-Louis Cauchy (París, 21 de agosto de 1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857), matemático
francés, impulsor del Cálculo Diferencial e Integral, autor de La Teoría de las Funciones de
las Variables Complejas, se basó en el método de los límites; las definiciones de "función de
función" y la de "función compuesta" se deben a él. El concepto de función continua fue
introducido por primera vez por él en 1821.
 Leonhard Euler (1707-1783). La simbología se debe a él, quien además de hacer importantes
contribuciones a casi todas las ramas de las matemáticas, fue uno de los primeros en aplicar el
cálculo a problemas de la vida real en la Física. Sus extensos escritos publicados incluyen temas
como construcción de barcos, acústica, óptica, astronomía, mecánica y magnetismo.
 John Wallis (Ashford, 23 de noviembre de 1616 – Oxford, 28 de octubre de 1703), enuncia el
concepto de "límite".
La representación simbólica "lím" se debe a Simón Lhuilier (n. Ginebra, Suiza el 24 de abril de
1750, f. en Ginebra el 28 de marzo de 1840). El símbolo "tiende a" lo propuso J. G. Leathem.
En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y
matemáticos:
 Encontrar la tangente a una curva en un punto.
 Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.
 Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.

4.  Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido,
encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada
una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante,
encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un período de tiempo conocido.
El Cálculo Diferencial se ha ido desarrollando a través de los años, consolidándose como una
herramienta técnico – científica que se utiliza en el análisis de procesos que contienen
magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las reacciones químicas, los
cambios atmosféricos, los desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la astronomía
para calcular las órbitas de los satélites y de las naves espaciales, en medicina para medir el flujo
cardiaco, la estadística, y en una gran diversidad de otras áreas.
Los procesos generales y las reglas prácticas sencillas del Cálculo Diferencial se deben a
Newton y Leibniz; sin embargo, por más de 150 años el Cálculo Diferencial continuó basándose
en el concepto de lo infinitesimal. A Newton y Leibniz se les llama fundadores del Cálculo, ya
que fueron los primeros en estudiar el problema geométrico fundamental del Cálculo
Diferencial denominado "Problema de las Tangentes", en el cual hay que hallarlas rectas
tangentes a una curva dada en un punto cualquiera. Sin embargo, fue Leibniz quien trató de
ampliar el cálculo al desarrollar reglas y asignarle una notación formal.
El siglo XVIII
En el siglo XVII el cálculo conoció un enorme desarrollo siendo los autores más
destacados Descartes, Pascal y, finalmente, Leibniz y Newton con el cálculo infinitesimal que en
muchas ocasiones ha recibido simplemente, por absorción, el nombre de cálculo.
El concepto de cálculo formal en el sentido de algoritmo reglado para el desarrollo de un
razonamiento y su aplicación al mundo de lo real adquiere una importancia y desarrollo enorme
respondiendo a una necesidad de establecer relaciones matemáticas entre diversas medidas,
esencial para el progreso de la ciencia física que, debido a esto, es tomada como nuevo
modelo de Ciencia frente a la especulación tradicional filosófica, por el rigor y seguridad que
ofrece el cálculo matemático. Cambia así el sentido tradicional de la Física como filosofía de la
naturaleza y toma el sentido de ciencia que estudia los cuerpos materiales, en cuanto materiales.
A partir de entonces el propio sistema de cálculo permite establecer modelos sobre la realidad
física, cuya comprobación experimental supone la confirmación de la teoría como sistema. Es el
momento de la consolidación del llamado método científico cuyo mejor exponente es en aquel
momento la Teoría de la Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de Newton.
Durante buena parte del siglo XVIII los discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus
trabajos para resolver diversos problemas de física, astronomía e ingeniería, lo que les permitió,
al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli
inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometría descriptiva.
LaGrange, también francés, dio un tratamiento completamente analítico de la mecánica, realizó
contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teoría de números, y desarrolló la
teoría de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teoría analítica de las probabilidades
(1812) y el clásico Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el sobrenombre de "el Newton
francés"

5. El siglo XIX
Un problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el
matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien
propuso su definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy,
consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de
"función continua". Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de límite.
Esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real. Aunque la
definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el matemático
alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los
matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo
tiempo.
Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las
técnicas del cálculo, se llevaron a cabo importantes avances en esta materia. Gauss, uno de los
más importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto de
número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis, desarrollado
en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro importante
avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas,
herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por Fourier.
Cantor estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor
fue considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos aquí un espíritu crítico en la
elaboración de estas nociones tan ricas. Esto constituye un punto de vista muy diferente del que
animaba a los matemáticos del siglo anterior. Ya no se trata de construir expresiones ni forjar
nuevos métodos de cálculo, sino de analizar conceptos considerados hasta entonces intuitivos.
Gauss desarrolló la geometría no euclideana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera
causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al
estudio de la estructura de sistemas algebraicos.
Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX,
sobre todo por el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del
pensamiento (1854).

6. Siglo XX y nuestros días
Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la
medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.
En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático
alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la
matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la
investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el estímulo de
una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.
El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio un
gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas
finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se
convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las
ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar la
solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente.
El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca. Teorías
que eran completamente distintas se han reunido para formar teorías más completas y abstractas.
Aunque la mayoría de los problemas más importantes han sido resueltos, otros siguen sin
solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la matemática más
abstracta encuentra aplicación.
BIBLIOGRAFIA
http://www.monografias.com/trabajos99/historia-del-calculo/historia-del-calculo.shtml#historiaa
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Historia1.htm