Cap Clase Sig Uba

Cartografía, Sistemas de Información Geográficos y Teledetección
Mayo 2007 – LART – FAUBA – José M. Paruelo

Borrador - Versión preliminar

Sistemas de Información Geográficos (SIG)

Un SIG es un sistema capaz de integrar, crear, almacenar, editar y manejar datos
espaciales y atributos asociados. Esto puede realizarse de diversas maneras pero en la
actualidad se recurre a programas de computación que incorporan algoritmos capaces de
realizar las tareas asociadas a un SIG. El usuario de un SIG puede hacerle preguntas a
las base de datos e indagar cuestiones que solo pueden ser resueltas al integrar
información proveniente de distintas fuentes. Los SIG son un valioso auxiliar en una
enorme cantidad de disciplinas, tanto básicas como aplicadas. Su papel en el manejo y
la organización del territorio ha adquirido una importancia creciente y hoy en día los
SIG son una herramienta indispensable en múltiples organizaciones públicas y privadas.
El primer sistema denominado como de información geográfica fue el desarrollado en
1962 en Canadá para Canada Land Inventory. Este sistema fue diseñado para almacenar
mapas digitalizados y atributos de la superficie georeferenciados con el objetivo de
determinar el potencial de uso de los suelos de Canadá. El sistema incluía información
sobre suelos, agricultura, recreación, vida silvestre, bosques y usos del suelo a una
escala 1:250,000. El responsable de la creación de este sistema fue Roger Tomlinson
Los SIG resultan de la convergencia de varias disciplinas y campos tecnológicos: la
geografía, la cartografía, la geodesia, la teledetección, la matemática, la computación, la
estadística, entre las más destacadas. La difusión que han tenido los SIG se asocia en
buena medida a su capacidad de asimilar datos de fuentes muy diversas y abrir la puerta
a una enorme cantidad de posibilidades de análisis. En si mismo un SIG no resuelve un
problema, sin embargo crea un entorno de análisis muy poderoso. Obviamente la
capacidad de extraer información y conocimiento de un SIG dependerá de la claridad de
las preguntas formuladas y de los marcos conceptuales de quien opera el sistema. Si
bien los SIG brinda una valiosa ayuda en la producción de mapas, su finalidad es otra:
el análisis.
Una manera alternativa de definir un SIG es a partir de las preguntas que este
tipo de sistemas puede (o debería poder) contestar. Las preguntas que se le formulan a
un SIG pueden ser espaciales (¿Cuál es la mínima distancia entre dos localidades?) o
no-espaciales (¿Cuánta gente trabaja en una dada ciudad?) Hay 5 tipos de preguntas
generales que pueden contestarse con un SIG, estas se refieren a:
- Localización: en este caso se busca responder a la pregunta de qué hay en determinado
lugar. La respuesta incluye no sólo el nombre de atributo sino sus coordenadas
geográficas
- Condición: se trata de la pregunta complementaria a la anterior, es decir buscar lugares
en donde se verifica determinada condición (áreas con humedales mayores a 100 ha,
bosques nativos a más de 100 m de una ruta)
- Tendencias: la tercera pregunta involucra a las anteriores y, además, busca diferencias
en el tiempo (por ej. en el uso del suelo)
- Patrones: esta pregunta es más sofisticada que las anteriores y no involucra sólo a un
atributo sino a varios y a sus relaciones espaciales, por ejemplo uno puede preguntarse
si una unidad aparece asociada a otra con más frecuencia que a una tercera.
- Modelado: en este caso la pregunta es del tipo “¿Qué pasa si…?” La respuesta a este
tipo de preguntas implican proyectar el comportamiento del sistema en el tiempo o el
espacio y para ello es necesario no sólo información geográfica sino también modelos
conceptuales y condiciones de contornos que permitan realizar las proyecciones.

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Los SIG están integrados por cinco componentes fundamentales: la computadora
o sistema de cómputo (“hardware”), el sistema de procesamiento (“software”), los
datos, el personal y los métodos de análisis, procesamiento y despliegue de los datos. El
sistema de procesamiento de un SIG proporciona las funciones y herramientas
necesarias para almacenar, analizar y desplegar información geográfica. Los
componentes incluyen: a) un sistema de manejo de base de datos (SMBD), b) las
herramientas para la entrada y manipulación de información geográfica; c) las
herramientas de soporte para consultas, análisis y visualización geográfica, y d) una
interfase gráfica de usuario (GUI, por sus siglas en inglés) para un fácil acceso a las
herramientas.
Obviamente el corazón de un SIG son los datos que incluye. Un SIG está
pensado para transformar datos en información, es decir para darle sentido a los datos.
El dato indicará el valor de una variable en una dada locación mientras que la
información asociada a ese dato permitirá identificar ese dato con un tipo particular de
suelos o de vegetación. Para ingresar en un SIG los datos y/o la información deben ser
transformados a un formato susceptible de ser almacenado en una computadora y ser
georeferenciado. Las estructuras de datos digitales en las que puede almacenarse
información acerca de un atributo geográfico son básicamente de dos tipos: raster o
matricial, y vectorial.
Un SIG es fundamentalmente una herramienta de análisis. Esta, cómo una
balanza o un destornillador, nos permite realizar una serie de operaciones destinadas a
obtener un dado resultado. Como en el caso de una motosierra o una grúa mecánica,
conocer su funcionamiento, estructura, alcance y limitaciones es necesario para sacarle
el máximo provecho. Por otro lado, y al igual que con cualquier herramienta, para usarla
eficientemente debemos tener en claro el objetivo. A diferencia de herramientas que
compramos en una ferretería en muchos casos estamos directamente involucrados en el
diseño o la construcción del SIG. Para ello nos ayudamos de una variedad de sistemas
(software) especialmente diseñados para asistirnos en estas tareas.
Las personas pueden relacionarse con un SIG de manera diversa. Por un lado
está quienes participan en el diseño del SIG, definiendo los objetivos del sistema, el
tipo de preguntas a contestar, el grano y la extensión espacial y temporal, el tipo de
datos a cargar, los usuarios a los que está destinado, el sistema de procesamiento a
utilizar, los planes para su uso, mantenimiento, crecimiento futuro y para su
financiación. Si bien el conocimiento de las herramientas computacionales es de gran
ayuda, está etapa del desarrollo de un SIG puede ser realizada por personas que carecen
de destreza en el uso de los programas específicos. En la etapa de diseño es central la
definición de los objetivos y la visión de cómo operará y para quienes.
La construcción del SIG requiere de técnicos/as especializados y entrenados en
el uso de los sistemas de procesamiento a utilizar. En esta etapa deben recopilarse los
datos a ingresar (mapas analógicos, imágenes de satélite, clasificaciones digitales,
fotogramas aéreos, datos de campo, estadísticas de distinto tipo, etc.), evaluar su
calidad, unificar las proyecciones, proveer coordenadas geográficas a aquellos datos que
no las tengan, etc y finalmente ingresarlos al sistema. Todas estas etapas requieren de
una cuidadosa documentación a fin de asegurar la repetibilidad de los procesos llevados
a cabo. El mantenimiento de una bitácora es de gran importancia en el proceso de
desarrollo de un SIG. La operación de un SIG incluye todas aquellas tareas
relacionadas con la respuesta a las consultas que realizan los usuarios. El grado de
control de los procesos variará por parte del usuario. De hecho en muchos casos quien
diseña, construye y usa el SIG es la misma persona. En otros casos los usuarios acceden
solo a una versión ejecutable del sistema. Ejemplos de estos casos son el mapa de calles

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de la Ciudad de Buenos Aires (http://mapa.buenosaires.gov.ar/sig/index.phtml) o
Google Earth.

Estructura de un SIG

Un SIG almacena datos e información como una colección de capas temáticas
relacionadas espacialmente (Figura 1). La definición de capas permite ordenar y
jerarquizar los atributos a incluir en un SIG. Las capas constituyen entonces piezas
importantes del SIG y su definición conceptual es un aspecto central en su diseño. Los
SIG incluyen información gráfica y geográfica de los atributos.
La información geográfica contiene una referencia geográfica explícita (latitud y
longitud o una coordenada de otro sistema, Gauss Krüger por ejemplo) o una referencia
implícita (la dirección postal). Las referencias implícitas pueden derivarse de
referencias explícitas mediante el proceso de "geocodificación". Las referencias
geográficas son importantes para dar respuesta a preguntas acerca de localización o
condición.
Cómo indicábamos antes los sistemas de información geográfica funcionan con
dos tipos fundamentales de información espacial: vectorial y raster (Figura 2). En el
formato raster los mapas están representados por una matriz en donde cada elemento es
denominado “píxel” o."celda" Cada píxel queda determinado por sus coordenadas de
archivo y de mapa y por valor de la variable o el atributo que representa. En este
formato un punto quedará representado como una celda completa, una línea por un
conjunto de celdas contiguas de sólo un píxel de ancho y un polígono por un conjunto
contiguo de celdas de una o más celdas de ancho. La representación de elementos tales
como caminos o cursos de agua es posible (desde un punto de vista estético) solo para
resoluciones finas. Las dimensiones del píxel se corresponden con la resolución y por lo
tanto con la escala de la representación. Esta resolución deberá entonces guardar
relación con aquellos elementos, procesos o estructuras que se busca representar. Las
imágenes de satélite que se incorporan a un SIG se almacenan en formato raster. La
resolución de la imagen en estos casos varía desde cm a decenas de km de acuerdo al
sensor y de la plataforma usada. Los datos en formato raster podrán ser continuos o
cuantitativos, como en el caso de imagen de satélite, o cualitativos o discretos, como en
el caso de mapas temáticos. En este último caso y a diferencia de los datos continuos los
valores del píxel no representan cantidades y por lo tanto no pueden tratarse
estadísticamente. El valor de un píxel en los casos de archivos raster discretos
representan categorías nominales (por ejemplo provincias), ordinales (por ej. pobre,
bien o excesivamente drenado en un mapa de suelos) o intervalos de clases (áreas con
menos o más de 1 habitante por km2 ). El formato raster es, en realidad, una forma de
partir el espacio en porciones regulares mutuamente excluyentes y que incluyen la
totalidad del área de estudio. Una superficie puede dividirse en teselas, mosaicos o
celdas regulares usando otras formas geométricas además el cuadrado: el hexágono o el
triangulo (Figura 3). En el caso del hexágono se minimizará el efecto borde al ser la
relación área/perímetro máxima. Lo contrario ocurrirá con el triángulo. Existe por
supuesto la posibilidad de un taselado irregular de la superficie.
Los datos vectoriales están representados por uno o más puntos ordenados a los
cuales se asocia una coordenada de referencia ( x,y en dos dimensiones o x,y,z en 3-D ).
Cada elemento en el mapa de papel asume una de las tres formas en el archivo vectorial:
punto, línea o polígono. Un punto está representado por un solo par de coordenadas.
Una línea está compuesta de un grupo de coordenadas (puntos) agregadas para formar el
elemento que en un mapa pareciera no tener medidas de ancho (por ejemplo, rutas o

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arroyos). La representación de elementos lineales curvos requiere de su discretización.
Esto transforma una curva en una serie de segmentos (una línea quebrada o arco)
definidos por nodos. Un polígono es un conjunto de coordenadas unidas por líneas, en
el cual el primero y el último punto son iguales. El polígono siempre representa un área
cerrada, como por ejemplo unidades de suelos o catastrales. La mayor parte de los SIG
usan estructuras (puntos, líneas y polígonos) con una topología asociada, es decir con
información acerca de conexión o contigüidad de elementos geográficos. Las
propiedades topológicas de un mapa permiten que aún transformando el mapa (por ej.
cambiando la proyección o deformándolo) se mantengan las relaciones de inclusión y
vecindad. Aun cuando la forma y el tamaño de dos polígonos se modifiquen, no
cambiará quien contiene a quién ni quien limita con quién. El proyecto Worldmapper
(www.worldmapper.org) presenta buenos ejemplos de mapeo topológico. El mapa de la
figura 4 a corresponde a una representación plana del planeta en donde el tamaño que
corresponde a cada país es proporcional a su superficie (note la diferencia con un mapa
con proyección geográfica, comparé en ambos Noruega e India y preste atención al
tamaño de África). En la figura 4b el área (tamaño) del polígono es proporcional a la
población. En la c el tamaño lo es a la riqueza y en la d a los servicios de la deuda
externa (2001). Los mapas muestran diferencias muy llamativas entre sí, sin embargo
conservan sus propiedades topológicas: Nepal sigue estando incluido en el
subcontinente indio y limitando al N con China. Para lograr dicha consistencia
topológica los objetos espaciales deben satisfacer una serie de reglas: a. cada arco debe
estar definido por dos nodos, b. un arco delimita dos polígonos (derecho e izquierdo), c.
cada polígono tiene un límite cerrado definido por un número finito de secuencias
cíclica y alternada de nodos y segmentos, d. en torno a cada nodo existe una secuencia
alternada y cíclica de arcos y polígonos y e. un arco sólo intersecta a sus nodos (Figura
5). Las propiedades topológicas de interior y límite ayudan a definir relaciones entre
elementos espaciales (Figura 6).
En años recientes se ha realizado un esfuerzo para estandarizar la terminología asociada
a los objetos espaciales representados en un SIG. En los EEUU se adoptó en 1992 el
Spatial Data Transfer Standard (SDTS). Este protocolo define 13 objetos básicos
adimensionales, de una o dos dimensiones. Dos de ellos son estructuras raster (píxel y
celda) y el resto vectores. Las estructuras vectoriales pueden ser de dos tipos: objetos
espaciales solamente geométricos o geométricos y topológicos. Así un punto puede ser
un objeto exclusivamente geométrico cuando representa una localidad o un objeto con
topología cuando es un nodo que conecta dos líneas. La topología de ese nodo identifica
el segmento del cual el punto es un extremo. En una línea la topología identifica el nodo
inicial y el final. Los polígonos podrían concebirse, extendiendo los razonamientos
anteriores, como líneas quebradas en las cuales el nodo inicial y final son el mismo.
Esta visión es un poco ingenua y plantea problemas para resolver situaciones frecuentes.
Por ejemplo en la figura 7a se observa que una secuencia de nodos conectados por
segmentos cuyo nodo inicial y final son los mismos puede definir más de un polígono.
Por otro lado cuando se busca representar polígonos continuos (figura 7b) muchos de
los nodos son compartidos generándose una redundancia en los datos almacenados ya
que un mismo nodo forma parte de la definición de más de un polígono. Por otro lado
almacenar polígonos como una secuencia de nodos torna muy complicados los análisis
espaciales del tipo “¿Qué polígono está debajo de polígono A?. El modelo de fronteras
indicado en la Figura 7c soluciona buena parte de estos problemas al almacenar líneas
fragmentadas no cerradas (arcos) indicando que polígono se encuentra a la izquierda y a
la derecha de cada arco. La Tabla 1 y la figura 8 definen y presentan los objetos
incluidos en la SDTS

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Ambos modelos de representación de datos geográficos (raster y vectorial) tienen
ventajas y desventajas para almacenar datos geográficos, y los modernos SIG pueden
manejar ambos modelos. El uso de uno u otro formato debería basarse en que
estructuras quieren representarse y en los objetivos del trabajo. Cada formato presenta
ventajas e inconvenientes (Figura 9)
La información acerca de los atributos describe diferentes aspectos de los mapas pero
no de manera gráfica. A una línea que representa una ruta se le puede asociar un nombre
o a un polígono un tipo de suelo. La descripción de los atributos pueden ser
multidimensional, así el polígono de un dado tipo de suelo puede contener también
información sobre la textura, profundidad, salinidad, capacidad de uso, etc. La
información acerca de los atributos se almacena en bases de datos separadas de los
componentes geográficos o gráficos, pero relacionadas mediante un identificador del
atributo particular (un punto, una línea o un polígono). Cada línea de la base de datos
tiene una relación unívoca con un atributo geográfico. Los atributos se asocian sólo a
representaciones vectoriales. La información gráfica de un mapa digital brinda
elementos acerca de cómo se representa la información. Esta incluye los colores,
símbolos, tipos de líneas, etc., con que se desplegarán en una pantalla o el papel los
distintos atributos.

La escala y la precisión en mapas digitales

En el capítulo de cartografía discutimos los conceptos asociados a la idea de
escala. En los mapas digitales el concepto de escala cartográfica presenta problemas ya
que no mantienen un tamaño fijo: pueden magnificarse o reducirse tanto como se desee.
En un SIG de todas maneras el concepto de escala cartográfica sigue siendo
fundamental y hace referencia a la escala de los mapas integrados en él. La escala de los
mapas que se incluyen en el SIG fija los límites de la representación de los productos
que de él se deriven.
No sólo la resolución sino diferentes aspectos que definen la calidad de los
mapas incluidos afectan la precisión de los productos generados por un SIG. Por otro
lado la precisión es función del objetivo: un mismo SIG puede ser muy preciso
describiendo la distribución de la vegetación pero poco preciso para representar límites
catastrales. La precisión absoluta de un mapa hace referencia a la relación entre la
posición geográfica de un atributo en el mapa y su verdadera ubicación en el terreno. La
precisión relativa describe la diferencia en la ubicación de dos puntos en el terreno
(distancia y ángulo) y esa misma diferencia en el terreno. La importancia relativa de
ambos tipos de precisión dependerá de los objetivos del proyecto. En general el
conocimiento de la precisión relativa es suficiente.
La precisión de los atributos indica en que medida la base de datos representa
adecuadamente el atributo al cual se asocia. Una falta de precisión de este tipo llevaría a
asignar una unidad de suelos incorrecta a un polígono o un nombre equivocado a una
línea que representa un curso de agua
En la evaluación de la precisión de un mapa es necesario evaluar la relación costo-
beneficio en términos de esfuerzo, tiempo y dinero. Un aumento en la precisión implica
un aumento en el tiempo, esfuerzo y dinero invertido en el proyecto. En que medida esa
inversión se justifica dependerá nuevamente de los objetivos perseguidos por el
proyecto. En muchas ocasiones una precisión muy alta puede resultar contraproducente
en la medida que su logro demora la posibilidad de dar respuesta a un dado problema.
Como con cualquier modelo que pretende representar una realidad compleja conviene

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comenzar su construcción con los datos disponibles y evaluar la sensibilidad de los
resultados a la calidad de los distintos componentes para dirigir más adecuadamente el
esfuerzo de mejora. Por ejemplo puede evaluarse cuanto mejora la estimación de la
superficie afectada por un dado fenómeno al cambiar la resolución espacial de una dada
capa o la equidistancia de las curvas de nivel en una carta topográfica. El esfuerzo para
aumentar la precisión debería estar orientado a la capa de información a la que el
resultado es más sensible (varía más ante un cambio en la calidad de la capa).
Las fuentes de error en los mapas tienen distinto origen y son acumulativas. Incluyen:
- errores al pasar de una geometría esférica a una planar.
- la medición de la ubicación en el terreno (por ej. información correcta del datum)
- una incorrecta interpretación cartográfica.
- problemas de digitalización.

Funcionamiento de un SIG

El funcionamiento de un SIG involucra las tareas de captura e ingreso de datos que
conformaran la base de datos, las consultas a la base de datos, los análisis espaciales y la
visualización de los productos generados.

Captura de datos
Los datos a integrar en un SIG pueden provenir de múltiples fuentes. Una primera
fuente de datos es la observación directa de los fenómenos geográficos relevantes en el
contexto del proyecto en desarrollo. Estas observaciones pueden involucrar tanto la
adquisición de datos a campo a partir de la observación directa de entidades como
fenómenos. Por ejemplo, pueden registrarse a campo la presencia de una dada especie,
la altura del terreno, el trazado de un camino o la forma de un establecimiento
agropecuario o de un área protegida. En este caso registramos en el terreno entidades
tangibles. A cada una de estas entidades deberá asociárseles una coordenada geográfica.
El uso de un GPS resulta particularmente útil en este caso. Las entidades se
transformarán en un atributo (un punto, una línea o un polígono) de un archivo vectorial
al cual se le asigna una identificación única. No solamente registramos en el terreno
entidades sino también fenómenos. Un caso típico es el de los registros pluviométricos.
La observación directa incluye también la que podemos realizar mediante sensores
remotos. En este caso incorporaremos tanto la información efectivamente registrada
(reflectancia o emisión de energía electromagnética en distintas porciones del espectro)
como los resultados del procesamiento de esos datos. Esto se traduce en índices
espectrales, bandas sintéticas o mapas temáticos.
A un sistema de información geográfico puede incorporarsele datos e información
provenientes de otras fue ntes digitales: datos raster en formato continuo (imágenes de
satélite, fotos aéreas, modelos digitales de elevación del terreno, etc.), datos raster
categóricos o mapas temáticos (vegetación, suelos, usos del suelo, etc.), estadísticas
varias (censos de población, agropecuarios, etc.), datos o información acerca de
atributos vectoriales (nombre de calles, características de un curso de agua, etc.).
Una vez incorporados al SIG denominaremos a cada uno de esos conjuntos de datos
capas. Una capa raster no solamente incluye los datos correspondientes a cada píxel
sino también información adicional, por ejemplo el esquema de colores para desplegar
esa imagen en la pantalla o su leyenda.
Los mapas analógicos construidos con otros fines suelen ser particularmente valiosos
cuando se los incorpora a un SIG y se los combina con otras fuentes de información. Su

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incorporación requiere su digitalización (manual o a través de su escaneado),
rectificación y georeferenciación.
La figura 10 muestra un SIG para un área del NW de la Patagonia (ver Paruelo
et al. 2004). El SIG incluye datos básicos en formato raster (imágenes de los satélite
LANDSAT TM, un modelo digital de elevación del terreno, mapas temáticos de
cobertura del suelo), y en formato vectorial (carreteras (líneas), catastro (polígonos),
pueblos y agudas (puntos)). A cada uno de los archivos vectoriales se asocia una base de
datos que presenta distintos atributos. La Tabla 2 resume las características de las capas
incluidas en el SIG. A manera de ejemplo la tabla 3 muestra la base de datos asociada a
polígonos de cada una de las unidades catastrales.

Operaciones básicas de un SIG

En términos generales con un SIG pueden realizarse operaciones típicas de
cualquier base de datos, incluyendo o no la dimensión espacial, operaciones que
involucran a una sola capa de información y operaciones multicapa. Por otra parte la
mayor parte de los SIG ofrecen amplias posibilidades de cambio de formato de los
datos, así capas raster pueden ser transformadas a formato vectorial o viceversa. Una
mirada no exhaustiva a las operaciones que puede realizar un SIG muestra las siguientes
posibilidades:

Selección de datos y búsquedas (Querries). Cómo en cualquier base de datos en un SIG
pueden seleccionarse datos que satisfagan determinados criterios. Esta selección puede
hacerse interactivamente. Por ejemplo se seleccionan todas las clases correspondientes a
la estepa graminosa (Figura 11a). La selección cuando se trata de variables continuas
puede hacerse fijando límites numéricos. Así por ejemplo pueden visualizarse las áreas
cuya productividad primaria neta aérea sea mayor a 2000 Kg/Ha/año (Figura 11b). Una
búsqueda más compleja puede encarase utilizando operadores lógicos: Y (AND) para
indicar intersección, O (OR) para indicar unión, NO (NOT) para negación y XO (XOR)
para indicar exclusión. Los operadores permiten seleccionar registros en una base de
datos usando uno o más atributos. En la figura 11c se muestran los polígonos que
corresponden a tenencia Empresarial ubicados en el partido de Alberdi y cuya superficie
es mayor a las 2000 has.

Cálculos y recodificación. Los cálculos que pueden realizarse en un SIG incluyen la
medición de superficies y distancias de distintos elementos y la operación sobre los
valores de los atributos. En los ejemplos anteriores se recuperan valores de las bases de
datos pero los valores no se modificaban. En muchos casos interesa modificar los
valores de un dado atributo, por ej. para calcular una variable con significado biofísico o
para simplificar la descripción de un atributo. En el SIG de la figura 10 por ejemplo
puede transformarse el atributo Indice de Vegetación Normalizado (IVN) en la fracción
de la radiación fotosintéticamente fotosinteticamente activa absorbida por la vegetación
(fPAR) (ver cálculo de índices espectrales y variables biofísicas) aplicando una
transformación lineal de los datos originales de la forma:
fPAR = a + b . IVN
Alternativamente se puede simplificar el mapa de vegetación asignando todas las clases
de vegetación xerofítica a la nueva clase “Estepas”, manteniendo las clases “Bosques”,
“Matorrales” y “Praderas” (Figura 12)
Sobre cada una de las capas pueden realizar cálculos más o menos complejos para
describir la heterogeneidad espacial de distintos atributos en distintas porciones del área

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total. La figura 13 muestra la altura promedio, máxima y mínima y la desviación
estándar de los valores de esa variable de cada uno de los predios. La mayor parte de los
SIG incluyen la posibilidad de realizar cálculos más complejos. Por ejemplo es posible
calcular distintos índices de paisaje: superficie de cada parche de vegetación, relación
área/perímetro del parche, número de parches en cada predio, etc. Todas estas métricas
permiten una detallada descripción de la estructura del paisaje.

Análisis de proximidad: Una pregunta frecuente en el manejo de datos espaciales es
¿Cuál es el área ubicada a menos de una dada distancia de un elemento espacial? En el
SIG de la figura 10 esté tipo de pregunta puede formularse en relación a la distancia a
las aguadas. La figura 14 muestra las áreas ubicadas a menos de 3 km de las aguadas
naturales. Este nuevo mapa surge de generar áreas tampón (o buffer) en torno a los
puntos y las líneas que representan aguadas en el SIG. Los análisis de proximidad
pueden realizarse sobre elementos en formato raster o vectorial (polígonos, líneas o
puntos).

Análisis de contigüidad: En este caso el interés está en identificar áreas que comparten
determinadas características (valores de un atributo) pero, a diferencia de una selección
no espacial, que además de satisfacer ese criterio sean contiguas. Nuevamente este
análisis puede llevarse a cabo sobre archivos vectoriales (en este caso sobre polígonos o
líneas) o sobre archivos raster. La figura 16 muestra los parches resultantes de ubicar
áreas que simultáneamente correspondan a la clase “Estepa graminosa” y estén ubicadas
a menos de 1000 m.

Análisis de vecindad: Este tipo de análisis se lleva a cabo en archivos raster y consiste
en la modificación del valor de una celda a partir de los valores de las celdas contiguas
en una ventana bidimensisonal. Este tipo de análisis se denomina también “filtrado” o
“ventana móvil”. Consideremos una celda focal con coordenadas, supongamos, (5,6) y
un valor de 8 (Figura 15). Un análisis de vecindad va a reemplazar el valor por otro que
surja de operar con los valores de las 8 celdas vecinas (en caso de usarse una ventana
3x3). Las operaciones incluyen el promedio, el valor máximo, el mínimo, etc. Este tipo
de análisis o filtrado es común en el procesamiento de imágenes digitales.

Agregación espacial. En archivos raster en ocasiones es útil reducir el exceso de detalle
espacial. Para ello se define una ventana de un determinado nxn celdas agregándose los
valores de las celdas incluidos en cada ventana. Esta agregación puede hacerse con
criterios variables. Se puede elegir el valor máximo, el mínimo, el más frecuente, el
promedio, etc. Este proceso da lugar a un archivo raster con una resolución espacial
(tamaño de píxel) distinta.

Operaciones de superposición. Las capas de un SIG pueden superponerse unas con otras
como si fueran hojas de papel transparente. Esto es extremadamente útil para percibir
determinadas características del sistema. Los SIG pueden ir más allá de esta
superposición visual creando un producto de enorme potencial: una capa compuesta o
sintética. La superposición de dos capas da entonces origen a una nueva capa con
valores que resultan de aplicar reglas lógicas o de realizar operaciones aritméticas entre
las capas originales. Mediante la superposición de dos capas puede realizarse una
selección espacial en una capa de información usando los límites de otras. Así por
ejemplo puede seleccionarse una porción de un archivo raster usando como “molde” un
polígono correspondiente a una capa vectorial. Esta función permite eliminar del

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análisis áreas que no son de interés. En ocasiones se denomina al polígono que
corresponde al área a excluir “máscara” ya que al eliminar esa porción de la imagen esta
resulta “enmascarada”. Por ejemplo en la figura 16 el archivo raster correspondiente a
un mapa temático de unidades de vegetación fue cortado usando un polígono que
corresponde a una dada unidad política (el departamento de XXXX). De este proceso
resulta un archivo de menor tamaño y en donde las áreas “enmascaradas” tienen valores
nulos.
En el caso de archivos vectoriales una operación muy poderosa de superposición
es la intersección. En este caso la nueva capa tendrá nuevos polígonos que resultan de la
intersección de los polígonos de una con los de la otra. (Figura 17).
Las operaciones lógicas que se utilizaban para hacer selecciones en una base de
datos o en una capa (Y, O, NO ó XO) pueden realizarse sobre dos o más capas. El
resultado será una capa sintética resultado de las anteriores. Estas operaciones pueden
aplicarse tanto sobre archivos raster como vectoriales. La siguiente sentencia ilustra la
generación de una capa de áreas con distinta aptitud pastoril en el SIG de la figura 10:
SI “Unidad fisonómica = Bosque” O (Unidad fisonómica = Estepa” Y “Productividad
Primaria < 1000), entonces “Aptitud = Baja”, sino “Aptitud = Alta” (Figura 18).
Este caso sencillo muestra la capacidad de los operadores lógicos para generar nuevas
capas a partir de “tablas de decisión”, o sea de la valoración cualitativa de combinación
de dos o más capas. La figura 19 ilustra algunas de las posibles superposiciones basadas
en operadores lógicos y un caso de tablas de decisión. La superposición entre capas
puede resultar de operaciones aritméticas entre píxeles y/o polígonos. Por ejemplo, en la
figura 20 ejemplifica algunos de los posibles cálculos que pueden realizarse mediante
una superposición algebraica de capas. Una aplicación particularmente interesante de la
superposición es la detección de cambios en el tiempo en, por ejemplo, la distribución
de un tipo de cobertura del suelo.

Operaciones lineares: Un conjunto diferente de operaciones incluye el cómputo de
redes. Una red es un conjunto de líneas conectadas que representan un dado fenómeno,
usualmente asociado al transporte de algo (personas, contaminantes, agua, etc.). El
análisis de redes generalmente se hace a partir de archivos vectoriales en donde sus
componentes son líneas y nodos que las conectan y en donde se intersectan. Las redes
pueden o no tener dirección, en las primeras el movimiento es unidireccional y en las
otras puede ocurrir en ambos sentidos. Los SIG más comunes incluyen varios tipos de
herramientas analíticas para redes. Estas incluyen la búsqueda del camino óptimo entre
dos puntos de la red y la partición de la red.
En el caso de la búsqueda del camino óptimo se evalúa el costo de distintas
secuencia de elementos contiguos (líneas y nodos) para pasar del origen al destino. El
costo puede quedar representado simplemente por la longitud de la secuencia o
involucrar otros atributos asociados a la resistencia ofrecida por cada segmento de la
red. Un ejemplo sencillo es el de una red caminera en donde cada segmento tiene
restricciones de velocidad máxima. Si el origen y el destino deben unirse en el menor
tiempo posible deberá elegirse un camino que no necesariamente es el más corto sino
aquél que combina segmentos en los que se puede circular a mayor velocidad.
La partición de la red asigna líneas y nodos en determinadas localizaciones (nodo focal)
de acuerdo a criterios definidos por el usuario. Las localizaciones (nodos) pueden ser
desde un centro de salud a una fuente de contaminación. Los criterios para la asignación
variarán en cada caso y deberán tomar en cuenta que se distribuirá desde o hacia esa
localización y la capacidad de producción o acumulación de contaminantes de la
localización. Un aspecto adicional de estos análisis involucra la evaluación de que parte

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de la red esta condicionalmente conectada al nodo focal. La evaluación incluye
considerar si existe la conexión física y si esa conexión física satisface determinados
criterios. Por ejemplo un punto de un río situado aguas abajo de otro no podrá transferir
(conectarse) con un nodo focal aguas arriba ya que la corriente establece una dirección
en los movimientos (Figura 21).

Dominio espacial de datos puntuales, identificación de límites e Interpolación de datos

Los datos colectados a campo o los registros de algunas variables son de
naturaleza puntual o cubren una superficie pequeña respecta del área total a describir.
Los registros de precipitación en estaciones meteorológicas son un caso típico de esta
situación. Si bien en muchas ocasiones queremos representar la cantidad de agua
precipitada en un área los registros que contamos corresponden a un punto. Este
problema se nos plantea tanto con variables que tienen una variación continua en el
espacio (la precipitación por ejemplo) cómo con otras de variación discreta (una unidad
de suelos). El problema surge también cuando se debe evaluar el área que influencia una
un atributo/fenómeno o estructura con una localización puntual (por ejemplo el área de
influencia de un hospital. Las alternativas para resolver este problema son variadas y
cada una de ellas tendrá ventajas o desventajas y la elección de la técnica a aplicar
dependerá de la problemática particular.
Una primera alternativa es evaluar a partir de datos con una cobertura espacial continua
(fotos aéreas, imágenes de satélite o mapas de variables asociadas) el área a la cual el
valor de una medición puntual puede extenderse. Este es caso de por ejemplo la
generalización en el espacio de una observación edáfica (la descripción de una calicata).
Mediante la interpretación de una imagen o de un fotograma se puede evaluar en base a
una serie de atributos cual sería el área a la cual podría extenderse la observación
puntual. Esto da lugar a un polígono que se define como uniforme respecto de ese
atributo. Definimos el dominio espacial de un atributo. Con técnicas más sofisticadas
una clasificación de datos espectrales producirá un mapa de clases a las que asimilarse
observaciones o descripciones puntuales. Por ejemplo el resultado de la clasificación de
una imagen Landsat TM de Patagonia puede transformarse en un mapa de vegetación
como el presentado en la figura 10 al asignar cada clase una unidad fisonómica definida
a partir de datos puntuales. La calidad de una generalización de este tipo dependerá de
la evaluación que se haga de ellas, vale decir de la constatación a partir de datos
puntuales independientes (no usados en el proceso de generación de mapa) de las
predicciones hechas por el modelo.
Otra situación se plantea cuando es necesario evaluar la zona de influencia de un
elemento puntual. En este caso se trata de particionar el espacio en porciones asociadas
a puntos distribuídos en él. Por ejemplo en un parque nacional se encuentran
distribuidos una serie de puestos de control (Figura 22a), ¿qué área debería controlar
cada guardaparques? La definición de Polígonos de Thiessen es una alternativa para
resolver este problema. Los Polígonos de Thiessen definen áreas individuales de
influencia de cada punto (en el caso de la Figura 22 los puestos de guardaparques) de
manera tal que los límites de cada polígono son equidistantes de los puntos vecinos. De
esta manera cualquier ubicación dentro del polígono estará más cerca del punto
contenido en él que del resto. Para construir los polígonos se deben unir entre sí los
puntos correspondientes a los puestos de guardaparques (Figura 22 a). Sobre las líneas
que unen los puntos se traza una línea perpendicular equidistante de ambos puntos
(bisectriz). La intersección de las bisectrices define los nodos de los polígonos (Figura
22 b). Esta interpolación espacial define unidades con límites discretos. De esta manera

10


un área ubicada entre dos puestos será asignada a uno u otro guardaparque. Sin embargo
en muchas ocasiones los límites definidos no se perciben en el campo o por cuestiones
de topografía o la presenc ia de barreras una zona está más accesibles desde el puesto
más lejano. En definitiva los límites pueden no ser tan netos como en la representación
generada en la figura 22. La teoría de conjuntos difusos (o “Fuzzy sets” en inglés)
provee una manera de representar objetos o fenómenos intrínsicamente imprecisos en
cuanto a sus límites. Así por ejemplo un área ubicada entre el puesto 4 y 5 en la figura
22 tendrá distinta probabilidad de ser visitada por los guardaparque respectivos. Una
aproximación discreta determinaría que el área puede será controlada por uno u otro
guardaparque. Una clasificación basada en conjuntos difusos definirá una probabilidad
de control por parte de cada uno de ellos.
Cómo se indicaba más arriba muchas variables tienen una variación continua en
el espacio (por ejemplo la precipitación). El problema se plantea al querer estimar el
valor que asumiría la variable en una ubicación en la cual no fue medida pero que se
encuentra entre puntos en donde si lo fue. En análisis numérico, se denomina
interpolación a la construcción de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un
conjunto de discreto de puntos. Se trata pues de encontrar una función de interpolación
a partir de n puntos distintos xk llamados nodos. La interpolación puede ser global
cuando se define una función a partir del conjunto completo de puntos y está se aplica
toda el área en la cual se quiere describir esa variable. Es el caso de la generación de
superficies de respuesta.
Otro tipo de interpolaciones son denominadas locales. En estso casos las
funciones van siendo aplicadas a un conjunto pequeño de puntos. Algunas formas de
interpolación local que se utilizan con frecuencia son la interpolación lineal, la
interpolación polinómica, de la cual la anterior es un caso partic ular, o la interpolación
por medio de “splines”. Otra alternativa de interpolación es el “Kriging”, un método
geoestadístico de estimación de puntos que utiliza un modelo de variograma para la
obtención de datos. Esta aproximación geoestadística se basa en los puntos más
próximos se parecen más que a los más lejanos. Supone que la distribución de las
diferencias entre puntos es constante en el área y que depende de la distancia y la
orientación de los puntos. En definitiva supone que las diferencias no son constantes
sino consistentes en el espacio. El variograma (o semivariograma) es una herramienta
que permite analizar el comportamiento espacial de una variable sobre un área definida
considerando la influencia de los datos a diferentes distancias. Consis te básicamente en
un gráfico de la semivariacia en función de la distancia entre pares de puntos. La
semivariancia de puntos separados por un intervalo h es una medida de la influencia de
puntos ubicados a esa distancia sobre la variable en cuestión (por ej. la precipitación). El
método Kriging calcula los pesos que se darán a cada punto observado en el cálculo de
los a estimar. Esta técnica de interpolación se basa en la premisa de que la variación
espacial continúa con el mismo patrón.

11

Capas de información
•Suelos
•Distritos
fitogeográficos
•Rutas
•Partidos
•Uso del suelo 04-05
•Landsat 25Sep04

Figura 1: Esquema general de un SIG indicando las capas temáticas que lo integran.

Formato Formato
RASTER VECTORIAL

Uso
del
suelo

Partidos

Figura 2: Formatos de archivos en un SIG

Triángulo Cuadrado Hexágono
Figura 3: Distintas formas de construir un mosaico (raster) usando diferentes formas
geométricas

a) Polígonos proporcionales al área b) Polígonos proporcionales a la población

c) Polígonos proporcionales a la riqueza d) Polígonos proporcionales a los
pagos de intereses por deuda en 2001

Figura 4: Distintas representaciones de los polígonos que representan países (tomados de
www.worldmapper.org). A pesar de cambiar la forma y el tamaño de los polígonos se
mantiene las relaciones de inclusión y vecindad (propiedades topológicas) que permiten
reconocer los distintos países.

1
0 0 2
1 1
1 1
2 2
0 0
1
1 1
0

Figura 5: Reglas topológicas (ver texto). 0: punto, 1: línea, 2 polígono.

… está separado de… … contiene a…

… está pegado a… … cubre a…

… es igual a… … esta cubierto por…

… esta dentro de… … se encima parcialmente a…

Figura 6: Relaciones entre elementos espaciales

a) 5

c)
3 b6

4
B 4
2 1 b2 2
b5
A b3 C
b1
b4
6 1 3

linea desde nodo hasta nodo izquierda derecha
b) b1 3 1 - A
b2 1 2 B A
b3 2 3 C A
b4 4 3 - C
b5 2 4 B C
b6 1 4 - B

Figura 7. Distintas representaciones de polígonos:

Número de Objetos espaciales Objetos espaciales
dimensiones Geométricos Geométricos y Topológicos

Cero dimensiones Punto Nodo

Una dimensión Segmento Unión

Serie Cadena

Arco Anillo-GT

Anillo-G

Dos dimensiones Área interior Polígono-GT

Polígono-G
Polígono universo
Píxel
Polígono vacío
Celda

Figura 8: Objetos espaciales en el Spatial Data Transfer Standard

Tabla 1: Terminología usada en el SDTS para objetos espaciales de una dimensión

a) Objetos espaciales geométricos.
Segmento (Line segment) : Un objeto representando una línea recta que conecta dos puntos.
Serie (String) : Una secuencia ordenada de segmentos conectados no ramificados.
(puede interceptarse a si mismo o a otras series)

Arco (Arc): Una curva definida por una función matemática
Anillo-G (G-Ring): Una secuencia de series o arcos que no se interceptan y se cierran para formar el limite de un área.
Un anillo representa un límite cerrado, pero no el área dentro del mismo.

b) Objetos espaciales geométricos y topológicos.
Unión (Link): Una conexión topológica entre dos nodos.
Cadena (Chain): Secuencia ordenada de segmentos y/o arcos, que no se interceptan ni se ramifican, y están
vinculados por nodos.

Subtipos de cadenas:
Cadena completa (Complete chain) : Una cadena que especifica los polígonos a su izquierda y derecha,
así como también los nodos de comienzo y final.

Cadena de area (Area chain): Una cadena que solo especifica los polígonos a su izquierda y derecha.
Cadena en red (Network chain) : Una cadena que solo especifica los nodos de comienzo y final.
Anillo-GT (GT-Ring): Un anillo creado a partir de cadenas completas y/o cadenas de área. Un anillo representa un
límite cerrado, pero no el área dentro del mismo.

Tabla 1 cont.: Terminología usada en el SDTS para objetos espaciales de dos dimensiones

a) Objetos espaciales geométricos.
Área interior (Interior area): Un área que no incluye sus límites.
Polígono-G (G-poligon): Un área formada por el área interna y un Anillo G externo (límites). Puede tener o no Anillos G
internos siempre que estos no compartan límites o se intercepten.

Píxel (Pixel): Elemento bidimensional de una imagen que representa la menor porción (no divisible) de la misma.
Celda de grilla (Grid cell): Un objeto bidimensional que representa la menor porción (no divisible) de una grilla.
b) Objetos espaciales geométricos y topológicos.
Polígono-GT (GT-poligon) : Un área que es un componente atómico bidimensional de su espacio topológico.
Un polígono GT puede estar asociado a sus cadenas (Anillo GT).

Subtipos de Polígonos GT:
Polígono universo (Universe polygon): La parte del universo fuera del perímetro del área cubierta
por otros polígonos GT y que completa el espacio topológico.

Poligono vacío (Void polygon): Define una parte del espacio topológico bidimensional que está rodeado
por otros polígonos GT y que de no ser así tiene las mismas características
que el polígono universo.

Formato RASTER Formato VECTORIAL
Ventajas: Ventajas:
• Estructura de datos simple • Representación eficiente de la
Implementación de superposición topología
de capas sencilla • Estructura de datos compacta
• Eficiente para procesamiento de
imágenes

Desventajas: Desventajas:
• Estructura de datos menos • Estructura de datos compleja
compacto • Ineficiente para procesamiento de
• Dificultados para representar la imágenes
topología

Figura 9. Comparación entre las representaciones raster y vectoriales

Figura 10: Sistema de Información Geográfica para un área de Patagonia en donde se
despliegan distintas capas

Tabla 2: Características de las capas incluidas en el SIG.

Imagen LANDSAT: Raster 30m x 30m Escena 231-89/90 Falso color compuesto Bandas 3, 4 y 5.
DEM: Raster 90m x 90m Obtenido de http://glcf.umiacs.umd.edu/data/srtm/
Tipos de vegatación: Raster 30m x 30m Mapa temático generado a partir de una imagen LANDSAT
Productividad primaria: Raster 30m x 30m Imágen generada a partir del IVN de una imagen LANDSAT
Carreteras: Vector de líneas. –Nombre, Dependencia, Trayecto-
Catastro: Vector de polígonos. –Partido,Estancia,Tenencia,Habita,Superficie-
Pueblos-Cascos: Vector de puntos. –Nombre,Año fundación,Habitantes-
Escuelas: Vector de puntos. –Nombre, Nivel, Maestros-
Aguadas: Vector de puntos. –Latitud, Longitud-

Tabla 3: Base de datos asociada a polígonos del vector Catastro.

a) b) c)

Selección cualitativa: Selección cuantitativa: Selección combinada:
Estepa graminosa PPNA > 2000 Kg/Ha/año tenencia Empresarial,
partido Alberdi y con
Incluye: una superficie mayor a
estepa graminosa, las 2000 has.
estepa graminosa rala y
estepa gramniosa
arbustiva

Figura 11: Selección de datos y b úsquedas (Queries). Objetos seleccionados en color
amarillo.

Mapa temático original Mapa temático recodoficado

Referencias: Referencias:
Bosque Bosque
Estepa graminosa rala Matorral
Agua Pradera
Pradera Estepas
Estepa graminosa
Estepa graminosa arbustiva
Nieve Roca
Estepa arbustiva graminosa
Estepa arbustiva
Erial
Matorral

Figura 12: Recodificación del mapa temático de Unidades fisonómicas del área.
Todos los tipos de estepas fueron recodificados como estepa

Sobre cada una de las capas pueden realizar cálculos más o
menos complejos para describir la heterogeneidad espacial de
distintos atributos en distintas porciones del área total. La figura 13
muestra la altura promedio, máxima y mínima y la desviación
estándar de los valores de esa variable de cada uno de los predios.
La mayor parte de los SIG incluyen la posibilidad de realizar
cálculos más complejos. Por ejemplo es posible calcular distintos
índices de paisaje: superficie de cada parche de vegetación,
relación área/perímetro del parche, número de parches en cada
predio, etc. Todas estas métricas permiten una detallada
descripción de la estructura del paisaje. La Caja 2 presenta un
ejemplo del cálculo de estos índices para distintas áreas de la
región pampeana.

Figura 13: Cálculos de la altura mínima, máxima, rango, media y desvio estándar de la altura
sobre el nivel del mar por establecimiento

Referencias:

Aguada

Zona a menos
de 3 Kms de las
aguadas

Figura 14: Análisis de proximidad

IMAGEN ORIGINAL
4 2 6 9 9 6 5 4 8 8 0 0 3 4 5 9 0
5 8 5 2 4 0 1 4 3 6 2 8 3 0 5 4 1
Ventana móvil. Posición X-1
10 6 8 1 3 7 8 9 6 1 7 5 5 3 1 2 9
9 1 6 2 7 6 8 7 3 9 3 2 8 8 9 8 4 Ventana móvil. Posición X
8 7 5 4 1 10 1 2 7 8 1 4 1 7 6 8 8
6 3 8 4 2 1 10 8 5 6 0 5 7 7 0 1 0
2 8 6 1 1 7 6 8 7 3 4 6 9 10 3 3 4 Ventana móvil. Posición X+1
3 1 1 2 2 7 3 1 1 9 7 8 7 7 1 4 5
8 4 6 3 9 3 10 4 6 9 7 2 6 6 0 5 2
3 9 7 5 4 6 5 6 10 1 7 3 5 0 1 10 9
Celdas focales
6 2 8 7 7 8 2 10 0 6 6 3 2 1 4 3 5
4 8 7 2 5 4 0 4 10 8 8 9 6 1 6 0 2 Dirección ventana móvil.
3 1 6 2 5 4 3 2 10 6 7 6 4 4 7 7 3

Ejemplo: Operación de suma
8 5 2
Ventana móvil PX-1: 8+5+2+6+8+1+1+6+2= 39 6 39 1 IMAGEN RESULTANTE
1 6 2
5 2 4 54 47 47 41 43 44 48 49 41
8 38 3 58 39 38 32 44 50 49 48 40
Ventana móvil PX: 5+2+4+8+1+3+6+2+7= 38 60 40 37 41 51 58 51 52 45
6 2 7
53 40 39 37 46 53 51 55 42
2 4 0 53 46 32 31 39 53 54 54 41
Ventana móvil PX+1: 2+4+0+1+3+7+2+7+6= 32 1 32 7 38 34 27 27 39 49 48 42 48
2 7 6

Figura 15: Análisis de vecindad.

IMAGEN ORIGINAL IMAGEN RESULTANTE

Figura 16: Enmascarado de un archivo raster – Partido de Bragado.

Vector original A Vector original B

B1 B2
A1
B3
A2
B4

A B C
A1 B1 = C1
C1 C2 C5
A1 B2 = C2
A1 B3 = C3
A1 B4 = C4 C3 C6
A2 B2 = C5
A2 B3 = C6 C7
A2 B4 = C7 C4
Intersección Vector resultante C

Figura 17: Intersección de dos vectores.

Capas originales

Unidad fisonómica:
1 2 4 1 Bosque
1 3 4 2 Matorral
Superpocisión 3 Pradera
1 1 4 4 Estepa

900 980 987
Productividad primaria:
1212 1245 800 Valores en Kg/ha/año
1053 1390 1005 Sentencia

Capa sintética
1 2 1
Aptitud pastoril:
1 2 1 1 Baja
1 1 2 2 Alta

Figura 18: Generación de una capa sintética a partir de la siguiente sentencia: SI “Unidad
fisonómica = Bosque” O (Unidad fisonómica = Estepa” Y “Productividad Primaria < 1000),
entonces “Aptitud = Baja”, sino “Aptitud = Alta”

AyB A B
a a a a a a a 1 1 1 1 2 2 2
A AoB a a a a a b b 1 1 1 1 2 2 2
a a b b b b b 1 1 1 1 2 2 2
a a b b c b b 1 1 1 2 2 2 2
a a c c c c c 1 1 1 2 2 2 2
A xo B c c c c c c c 1 1 1 2 2 2 2

B A y no B Tabla
B
1 2
a
(AyB) o C A b
c
C A y (BoC)

Operadores lógicos Tablas de decisión

Figura 19:

A R1
2 23 3 18 22 43 23 38
8 7 5 5 28 27 25 25
5 10 6 11 + 20 = 25 30 26 31
7 2 34 40 27 22 54 60

A B R2
2 23 3 18 3 2 5 2 6 46 15 36
8 7 5 5 9 4 0 12 72 28 0 60
5 10 6 11 * 6 6 10 8 = 30 60 60 88
7 2 34 40 7 34 1 1 49 68 34 40

C D
2 8 4 0 F R3
+
-
( 7 6

E
2 4
7 3

) - 1 2
4 1 =
2 0
10 2

1 3

Figura 20:

Cuenca Arapey Grande.
SALTO - Uruguay

Dirección de la corriente a) Rastreo aguas abajo

b) Rastreo aguas arriba c) Rastreo sin condiciones de dirección

Figura 21: Funciones de rastreo en una red

Figura 22: Construcción de polígonos de Thiessen

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