Este documento presenta una introducción a la teoría de control. Explica los diferentes tipos de sistemas de control, incluyendo naturales, artificiales y mixtos. También describe los sistemas de control con y sin retroalimentación, como los sistemas de lazo abierto y lazo cerrado. Además, introduce la diferencia entre control manual y automático. Finalmente, proporciona ejemplos de sistemas de control como el control de temperatura corporal y el control de velocidad de un motor.

1. NOTAS DEL CURSO
TEORIA DE CONTROL
Primera parte
Universidad Tecnológica de la Mixteca
Ingeniería en electrónica
Profesor: MC Jacob J. Vásquez Sanjuán
Agosto del 2007.
MC Jacob J. Vásquez Sanjuan
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2. Contenido
Indice
Introducción........................................................................................................................... 4
Sistemas de control........................................................................................................... 4
Tipos de control......................................................................................................................... 4
Naturales o biológicos .............................................................................................. 4
Artificiales.................................................................................................................. 5
Mixtos........................................................................................................................ 5
Sistemas de control con y sin retroalimentación........................................................................ 6
Sistemas de control de lazo abierto.......................................................................... 6
Sistemas de control de lazo cerrado......................................................................... 7
Control manual y control automático................................................................................. 8
Sistemas de control combinados............................................................................................... 9
Clasificación de sistemas de control............................................................................... 10
Ejemplos de sistemas de control.....................................................................................12
Sistema de control (lazo abierto) de una rueda de impresión –margarita- de una máquina de
escribir electrónica. ................................................................................................................. 12
Sistema de control (lazo cerrado) de la velocidad de un motor. ............................................. 13
Sistema de control (lazo cerrado) de nivel de agua................................................................. 15
Sistema de control de temperatura y presión. ......................................................................... 17
Sistema de levitación magnética.............................................................................................. 18
Sistema de viga y bola............................................................................................................. 18
Sistema de tres tanques.......................................................................................................... 19
Proceso del diseño de un sistema de control................................................................. 20
Transformada de Laplace.................................................................................................. 21
Solución en el dominio tiempo........................................................................................ 21
Definición de la transformada de Laplace....................................................................... 21
Definición de la transformada inversa de Laplace.......................................................... 22
Propiedades de la transformada de Laplace.................................................................. 22
Linealidad................................................................................................................................. 22
Transformada de Laplace de las derivadas de una función. ................................................... 22
Transformada de Laplace de integrales................................................................................... 22
Traslación en el tiempo. .......................................................................................................... 23
Teorema del valor inicial ......................................................................................................... 23
Teorema del valor final ........................................................................................................... 23
Traslación compleja. ............................................................................................................... 23
Integral de convolución. .......................................................................................................... 23
Transformada inversa de Laplace mediante la expansión en fracciones parciales........ 24
Expansión en fracciones parciales........................................................................................... 25
F(s) tiene polos simples (reales y distintos)............................................................ 25
Polos de orden múltiple........................................................................................... 26
Polos complejos conjugados simples...................................................................... 27
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3. Introducción
La importancia de los sistemas de control en nuestra vida diaria es tan crítica que
sin ellos la vida sería complicada. Sistemas de control automático simples pueden
encontrarse en cada rincón de una casa, el control de flujo automático de agua en la
cisterna y el sistema automático de llenado en la taza de baño, por citar algunos. A
medida que los sistemas tienen más ingeniería son sorprendentes. En el hogar podemos
tener un sistema automático que encienda de manera automática la bomba para llenar el
tinaco; en los coches tenemos controles en la velocidad de crucero, es decir, se mantiene
una velocidad fija en el auto de manera automática sin importarle la pendiente de la
carretera, existe un sistema de control en los frenos conocido como ABS (Antilock Brake
System), otro para el control de temperatura y demás; en los aviones existen
controladores para mantener un determinado ángulo de subida o bajada del avión; y
aplicaciones de control las podemos encontrar en naves espaciales, robots, fábricas y en
prácticamente cualquier sistema.
Sistemas de control
El control puede ser definido como el conjunto de métodos o técnicas aplicadas a
un proceso, cuya función es mantener variables involucradas dentro de él, dentro de
límites normales de operación.
Tipos de control
Existen diversas clasificaciones para los sistemas de control, está es una de ellas:
1. Naturales o biológicos.
2. Artificiales
3. Mixtos (Mezcla de los anteriores)
Naturales o biológicos
Son aquellos en los que las variables de un proceso natural se mantienen bajo
condiciones normales por acciones de control del medio natural mismo. Como ejemplo de
este tipo de sistemas de control podemos citar uno, de los muchos que tiene el cuerpo
humano, el de control de temperatura corporal. Cuando la temperatura del cuerpo se
incrementa, debido a algún factor externo o interno, como pueden ser, aumentando la
temperatura ambiente, o por productos químicos de células o microorganismos
lesionados, respectivamente, provoca un aumento en la temperatura corporal y, en
consecuencia, en la temperatura sanguínea, rebasando ésta el valor en el cual el
“termostato” en el hipotálamo está ajustado, siendo de 37°C aproximadamente en estado
normal. Los cambios pueden ser notados desde 0.1°C, estimulando los receptores
térmicos que actuarán sobre diversos órganos del cuerpo: glándulas sudoríparas, vasos
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4. sanguíneos cutáneos, y músculos intercostales y del diafragma, entre otros. Al actuar
sobre las glándulas sudoríparas aumenta la producción de sudor, lo cual hará que haya
mayor disipación de calor por difusión o evaporación, debido a la circulación de aire no
saturado del medio ambiente, haciendo que la piel se enfríe.
Por otro lado al dilatarse los vasos sanguíneos cutáneos aumenta el área de transferencia
de calor del sistema circulatorio, lo que incrementa la pérdida de calor por radiación.
Fig 1. Sistema natural de control de temperatura.
Así mismo, al aumentar la respiración (jadeo) se expulsa también calor con el aire
expirado. Estos factores, entre otros, hacen que la temperatura corporal y sanguínea
disminuya hasta su temperatura normal.
Por el contrario, una disminución de la temperatura corporal, provocará los efectos
contrarios, es decir, disminución o cese completo de producción de sudor y de jadeo, así
como la contracción de los vasos sanguíneos cutáneos y erección de los pelos (este
último efecto realmente ha perdido importancia en el ser humano, dada la pobreza de
pelo, respecto a los animales inferiores).
Si los efectos mencionados no son suficientes para mantener o incrementar la
temperatura corporal, entra en acción otro mecanismo de control del mismo hipotálamo
denominado centro motor primario para escalofríos, que es estimulado por señales
provenientes de receptores térmicos localizados en la piel, quedando inactivo el
mecanismo de control anterior. En respuesta al frío, dicho centro motor es activado y
transmite impulsos que aumentan progresivamente el tono de los músculos estriados de
todo el cuerpo, aumentando el metabolismo muscular y, por ende, la producción de calor
por medio de escalofríos, lo que hará que la temperatura corporal se eleve a su valor
normal.
Artificiales
Son ideados y hechos por el hombre, siendo el estudio de éstos el objetivo
principal de la teoría de control.
Mixtos
Finalmente, el último tipo de sistemas de control lo constituyen, como ya lo
habíamos señalado, aquellos que utilizan tanto componentes artificiales como biológicos,
o sea, mixtos. Un ejemplo de éstos; podemos considerar el de un automóvil guiado por
un hombre. El conductor debe mantener el automóvil sobre la pista apropiada de la
carretera; él lleva a cabo esta operación mirando constantemente la dirección del
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5. automóvil con respecto a la de la carretera si existe alguna desviación, su cerebro enviará
una señal a sus manos para enmendar dicho error, actuando sobre el volante. Los
componentes principales de este sistema de control son las manos del conductor, sus
ojos y su cerebro, como componentes biológicos, y el sistema de dirección del vehículo la
parte artificial.
De estos diversas tipos podemos hacer una subdivisión en sistemas de control a
lazo abierto y a lazo cerrado (retroalimentación).
Sistemas de control con y sin retroalimentación
Sistemas de control de lazo abierto.
Son sistemas de control en los que la salida o resultado del proceso no tiene
ningún efecto sobre la acción de control, es decir, en un sistema de control de lazo abierto
la salida no se mide (no se retroalimenta) para comparar con lo que deseamos obtener y
así verificar qué tanto nos estamos desviando de ello.
Fig 2. Equipos con sistemas de control de lazo abierto
Un ejemplo práctico lo constituye la lavadora. El remojo, lavado y enjuague se
cumplen sobre una base de tiempos; la máquina no mide la señal de salida que, en este
caso, es la limpieza de la ropa; es decir, que si la ropa después de un tiempo de lavado ya
se encuentra limpia, la máquina no parará; e igualmente si, terminando el tiempo de
limpieza de la ropa, ésta continua sucia, la máquina no continuará funcionando. Otros
ejemplos de este tipo de sistemas lo son un tostador de pan, un semáforo de control de
tráfico, etc.
Fig 3. Diagrama a bloques de un sistema a lazo abierto.
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6. En general, aquellos sistemas que funcionan sobre una base de tiempo son de
lazo abierto, aunque esto no quiere decir que todos los controles de lazo abierto son en
base a tiempo, como puede ser un tostador de pan, cuyo control puede basarse en
alcanzar cierta temperatura para calentar o expulsar el pan, pero la variable a controlar
que sería la calidad de tostado, no Interviene en el control.
Las ventajas de los sistemas de control de lazo abierto son:
• Montaje simple y facilidad de mantenimiento.
• Más económico que un sistema de lazo cerrado equivalente.
• No hay problemas de estabilidad.
• Es conveniente cuando es difícil económicamente medir la salida. Por ejemplo,
sería muy costoso agregar un dispositivo para determinar la calidad de la salida
de los dispositivos mencionados anteriormente, como el tostador de pan o la
lavadora.
Las desventajas que tienen dichos sistemas son:
• Las perturbaciones y las modificaciones en la calibración introducen errores, y la
salida puede diferir de la deseada.
• Para mantener la calidad necesaria a la salida, puede ser necesario efectuar
periódicamente una recalibración.
Ejemplos de este tipo de sistemas en una central térmica lo son: el control de barrido
de gases explosivos de un generador de vapor, el control de limpieza con vapor de un
quemador de combustóleo, la limpieza exterior de tubos del generador de vapor por
medio de sopladores de hollín, etc.
Sistemas de control de lazo cerrado.
Son aquellos en los que la señal de salida tiene efecto directo sobre la acción de
control (fig. 1.3.3), esto es, los sistemas de control de lazo cerrado son sistemas de
control retroalimentados.
Fig 4. Diagrama a bloques de un sistema a lazo cerrado.
A diferencia del control de lazo abierto, en el de lazo cerrado sí se mide la salida
del proceso para verificar si está dentro del valor deseado al compararlo con éste. Un
ejemplo lo constituye el control del sistema térmico.
Aquí actúa un ser humano como controlador; su intención es mantener la
temperatura del agua caliente a un valor determinado. El termómetro instalado a la salida
del agua caliente mide la temperatura (esta temperatura es la salida del sistema). Si el
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7. operador observa el termómetro y descubre que la temperatura es superior a la deseada,
reduce la entrada de vapor. Es posible que la acción correctivo no sea la requerida y
ahora la temperatura quede abajo del valor deseado por lo que tendrá que hacer la
operación contraria, y así sucesivamente, con correcciones cada vez más pequeñas,
hasta obtener el valor deseado de temperatura.
La acción de control descrita está basada en la operación de lazo cerrado, sólo
que manual, ya que el operador es el que realiza las acciones: a) de retroalimentación de
la salida (temperatura del agua), por medio de la vista, b) de comparación con la
referencia (temperatura deseada), por medio del cerebro, y c) de corrección de la posición
de la válvula de admisión de vapor, por la acción de sus manos.
Si regresamos a los ejemplos de sistemas de control de lazo abierto (fig. 1.3.2)
podemos ver que se pueden convertir a sistemas de control de lazo cerrado. En el caso
de la lavadora, si se verifica visualmente, durante el lavado, el grado de limpieza que tiene
la ropa, se puede aumentar el tiempo del mismo, si aun está sucia, o disminuirlo si ya está
limpia. En el caso del semáforo para control de tráfico, si continuamente se mide la
cantidad de automóviles en espera de cada señal del semáforo en un área congestionada
y esa información se lleva a un agente de tránsito o a una computadora central que
controle las señales, el sistema de lazo abierto se convierte en uno de lazo cerrado. En
este último caso pudimos ver que el sistema se puede controlar manualmente (Agente) o
automáticamente (computadora).
De aquí en adelante todos los tipos de control que se estudian serán de lazo
cerrado, a menos que se especifique lo contrario, por lo que sé omitirá dicho término.
Control manual y control automático
Cuando en un sistema de control tanto la retroalimentación de la salida como la acción de
control son llevadas a cabo por el hombre, se dice que el control es manual. Un ejemplo
de esto lo constituye el control de sistema térmico de la figura 5.
Fig. 5. Sistema de control manual.
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8. Sistemas de control combinados
Se pueden obtener resultados satisfactorios y más económicos en los procesos si
se utiliza una combinación adecuada de controles de lazo abierto y cerrado.
Si a ese mismo sistema térmico le agregamos un detector transmisor de
temperatura y un controlador artificial en sustitución del operador, el sistema de control se
vuelve automático (figura 6).
Fig 6. Sistema de control automático.
La salida (temperatura de agua caliente), detectada por el dispositivo de medición
de temperatura, es comparada con la deseada (fijada en el controlador), para generar una
señal de error. Esta señal de error da origen a otra de corrección, la cual se amplifica y se
envía a la válvula de control para modificar su apertura que, a su vez, modifica el flujo de
vapor para meter dentro del rango permitido a la temperatura del agua.
Los sistemas de control automático y manual, citados anteriormente, operan en forma
similar. Los ojos del operador constituyen el análogo del dispositivo de medición de error;
su mente la del controlador automático y sus manos el análogo del elemento actuante. En
la fig. 1.4.2 se muestra un sistema de control automático de tipo neumático, para el mismo
sistema térmico. El control de un sistema complejo, por un operador humano, no es
eficaz. Nótese que aún en un sistema simple, un control automático elimina cualquier
error humano (fig. 1.4.1). Si se necesita control de alta precisión, el control debe ser
automático.
Las principales ventajas del control automático sobre el control manual son las siguientes:
a) Eficiencia.- Mantiene una vigilancia continua y con eficiencia constante
sobre el proceso controlado. Ningún ser humano es capaz de ejercer una
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9. vigilancia similar sobre un proceso, es decir, segundo, sin manifestar, en
poco tiempo, cansancio físico y mental, que lo puede llevar,
indudablemente, a cometer errores.
b) Economía.- Requiere un costo menor de operación que el control manual.
Una desventaja es que requiere mayor inversión inicial.
Clasificación de sistemas de control
Sistemas de control lineales.
Estrictamente en su mayoría los sistemas físicos no son lineales en varios
sentidos. Sin embargo, si la extensión de variaciones de las variables del sistema no es
amplia, el sistema puede linealizarse dentro de un rango relativamente estrecho de
valores de las variables.
Sistemas de control invariante en el tiempo.
Es un sistema de control, con una ecuación diferencial con coeficientes
constantes, con parámetros que no varían en el tiempo.
Sistemas de control variable en el tiempo.
Es el sistema en el cual los parámetros varían con el tiempo.
Sistemas de control de tiempo continuo.
En estos sistemas las variables son función de un tiempo continuo.
Sistema de control de tiempo discreto.
Algunas variables para este sistema, son conocidas en instantes discretos de
tiempo.
Sistemas de control con parámetros concentrados y con parámetros distribuidos.
Los sistemas de control que pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales
ordinarias, son sistemas de control con parámetros concentrados, mientras que los
sistemas de control con parámetros distribuidos son aquellos que pueden describirse
mediante ecuaciones diferenciales parciales.
Sistemas de control determinísticos y estocásticos.
Un sistema de control es determinístico si la respuesta a la entrada es predecible y
repetible. De no serlo, el sistema de control es estocástico.
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10. Aun cuando existen esta gran variedad de sistemas de control, el curso de teoría
de control solo esta enfocado hacia sistemas lineales e invariantes en el tiempo.
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11. Ejemplos de sistemas de control
Sistema de control (lazo abierto) de una rueda de impresión –margarita- de
una máquina de escribir electrónica.
La margarita de la máquina de escribir se mueve a la posición donde se encuentra
el carácter deseado para colocarlo frente al martillo de impresión. El carácter se
selecciona desde el teclado. Esto debe realizarse de la forma más rápida posible y
exacta. Para este tipo de aplicación un microprocesador (o microcontrolador) puede ser
utilizado para este fin. La figura 7 es una representación del diagrama a bloques del
sistema de control.
Fig. 7. Diagrama a bloques del sistema de control de la margarita de impresión.
Cada vez que una tecla se presiona, el microprocesador controla la dirección y
calcula la distancia a recorrer y envía una señal de control al amplificador de potencia que
maneja al motor que mueve a la margarita.
En la figura 8 se muestra la respuesta de la entrada y salida de este sistema.
Cuando se proporciona la entrada esta se representa como un escalón, debido a las
componentes inductivas, la inercia y cargas mecánicas del sistema la respuesta no es
instantánea y presentará un transitorio. La impresión debe realizarse hasta que la señal
de salida alcance la de entrada (en otras palabras que la margarita encuentre totalmente
en reposo), para que el carácter no salga embarrado.
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12. Figura 8. Señal de entrada y de salida para el sistema de control para la rueda de impresión.
El tiempo de posicionamiento y de impresión es el tiempo que tarda el sistema en
imprimir una tecla en la hoja. Después de este tiempo total el sistema debe quedar
disponible para otra tecla. Si pensamos que aproximadamente una buena secretaria
presionan 300 teclas por minuto, o sea, 5 teclas por segundo, entonces el sistema debe
ser capaz de responder a una velocidad mayor 1/5 de segundo por tecla.
Sistema de control (lazo cerrado) de la velocidad de un motor.
Este sistema controla la velocidad del motor, manteniéndola fija aún con
variaciones de carga. Este principio se aplica en una escalera eléctrica, la velocidad debe
permanecer uniforme independientemente de la cantidad de personas que se encuentren
en ella.
En la figura 9 se muestra el sistema de control de velocidad del laboratorio de
control. Para aumentar la torca al motor se aplica un voltaje de CD que controla a un freno
eléctrico que va conectado mediante un eje al motor.
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13. Fig 9. Sistema de control de velocidad, la carga se aplica mediante un voltaje al sistema.
En la figura 10 se muestra un diagrama a bloques del sistema de control de velocidad de
un motor de CD.
Fig. 10. Diagrama a bloques de un sistema de control de velocidad.
Si se modifica la velocidad del motor al colocar una carga, el sistema
automáticamente mantendrá la velocidad establecida en el voltaje de entrada (señal de
referencia).
Para convertir la velocidad angular del motor a un voltaje que pueda ser
comparado con la entrada existen diversas opciones; una de ellas consiste en utilizar un
par emisor-detector para convertir la velocidad a frecuencia y posteriormente usar un
circuito integrado para convertir la frecuencia a voltaje; también es posible conectar
mediante poleas o bandas un motor como generador, el cual entregará un voltaje
proporcional a la velocidad; otra opción es utilizar un codificador incremental para realizar
un procesamiento digital de la velocidad angular.
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14. Sistema de control (lazo cerrado) de nivel de agua.
Fig. 11. Sistema de control automático de nivel de liquido.
Este sistema es utilizado en aplicaciones donde es necesario mantener un nivel de
líquido constante en un recipiente. La salida de líquido puede ser variable. En la siguiente
figura se muestra un diagrama a bloques del sistema.
Figura 12. Diagrama a bloques del sistema de control de nivel de líquido.
Para convertir el nivel de líquido a voltaje se utiliza un flotador con resistencia
variable (los autos utilizan uno de estos para indicar en el panel el nivel de gasolina) y de
esta manera sea posible comparar el voltaje de referencia (entrada) con el voltaje de
retroalimentación; otra opción es un detector de presión para determinar que cantidad de
agua existe en el tanque.
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15. En el sistema de control se puede utilizar un controlador PID (proporcional integral
derivativo) para compensar las diferencias entre la señal de entrada y salida se realice la
compensación.
El sistema de control manipula la llave de agua de entrada tratando de mantener el
nivel de líquido a un valor constante (seleccionado previamente).|
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16. Sistema de control de temperatura y presión.
Este sistema (figura 13) permite realizar controladores para temperatura, presión y
flujo de aire.
Figura 13. Sistema de control de temperatura y presión, LTR701, de la firma Amira.
En la figura 14 se muestra un controlador de temperatura para el sistema LTR701,
realizado en LabView.
Fig. 14. Programa de control de temperatura en LabView.
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17. Sistema de levitación magnética.
En la figura 15 se muestra el sistema de levitación magnética. En la parte derecha
de la figura se muestra los elementos que lo forman: Electroimán, péndulo y sensor de
posición. El objetivo es hacer que el péndulo se mantenga flotando a una distancia del
electroimán.
Figura 15. Sistema de levitación magnética.
Sistema de viga y bola.
El sistema controla la posición de una pelota que se encuentra sobre la barra
metálica “viga”, para lograrlo emplea una cámara digital que permite al sistema, conocer
la posición de la pelota en la viga. Un motor mueve la viga para posicionar la pelota en la
posición deseada. En la figura 16 se muestra el sistema.
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18. Figura 16. Sistema de viga y bola.
Sistema de tres tanques.
En la figura 17 se muestra el sistema que tiene como finalidad mantener el nivel de
líquido en cada uno de los tanques a un nivel determinado por el usuario.
Figura 17. Sistema de tres tanques.
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19. Proceso del diseño de un sistema de control
Para realizar un sistema de control, es necesario determinar cuál es la función de
transferencia de la planta (motor, nivel de líquido, horno, etc.) y de cada uno de los
elementos que formarán parte del sistema (amplificadores, sensores de velocidad, etc.),
para hacer esto, encontramos las representaciones matemáticas de cada uno de los
elementos que forman parte del sistema, estas representaciones están expresadas como
ecuaciones diferenciales, así que utilizamos la transformada de Laplace como
herramienta matemática. Posteriormente, representamos a todo el sistema utilizando
teoría de grafos (o representación en bloques) y encontramos la función de transferencia
del mismo. En este momento tenemos una ecuación que podemos evaluar para
determinar el comportamiento del sistema en el tiempo.
La respuesta de este sistema se puede mejorar de tal manera que se diseña un
controlador para el sistema: proporcional (K), proporcional integral (PI), proporcional
derivativo (PD), proporcional integral y derivativo (PID), adelanto de fase, atraso de fase o
adelanto-atraso de fase. Se selecciona la mejor respuesta y se implementa el controlador.
Durante todo este largo proceso es posible utilizar herramientas computacionales
especiales para control, la que se empleará en el curso será MATLAB.
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20. Transformada de Laplace
La transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para
resolver ecuaciones diferenciales lineales. Este método presenta las siguientes ventajas
frente al método clásico para la resolución de ecuaciones diferenciales:
• La transformada de Laplace permite convertir una ecuación integro-diferencial en
una ecuación algebraica. Esta ecuación algebraica se manipula para obtener la
solución en el dominio s.
• La respuesta transitoria y en estado estable, se obtienen al obtener la solución
final, que se encuentra tomando la transformada inversa de Laplace (esta es
obtenida por tablas o utilizando el método de expansión por fracciones parciales).
• Permite utilizar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento del sistema sin
obtener la solución del mismo.
Solución en el dominio tiempo
La solución para la respuesta en el tiempo se obtiene mediante las siguientes
operaciones:
a) Obtenga las ecuaciones diferenciales,
b) Obtenga la transformada de Laplace de las ecuaciones diferenciales
c) Resuelva la transformada algebraica resultante para la variable de interés.
La transformada de Laplace esta definida para ecuaciones diferenciales lineales.
Definición de la transformada de Laplace
La transformada de Laplace para una función del tiempo, f(t) es:
∞
F( s ) =
∫
f ( t )e − st dt = L{ f ( t )}
0
Ejercicio.
 1→ t > 0
0→ t < 0
Obtenga la trasnformada de Laplace de f (t ) = 
y
de f (t ) = e − at para t>0.
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21. Definición de la transformada inversa de Laplace.
La transformada de Laplace inversa se escribe como:
f (t ) = L-1 { F (s )}
la integral de la transformada inversa de Laplace se representa como:
1 υ + j∞
F ( s )e st ds = L-1 { F (s)}
2π j ∫υ − j∞
f (t ) =
Propiedades de la transformada de Laplace
Linealidad.
Si c1 y c2 son constantes y f1(t) y f2(t) son funciones cuyas transformadas de
Laplace son, respectivamente F1(s) y F2(s) entonces
L{c1 f 1 (t ) ± c 2 f 2 (t )} = c1 F1 ( s ) ± c 2 F2 ( s ).
Transformada de Laplace de las derivadas de una función.
La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por
L{ f ' (t )} = sF ( s ) − f (0)
l transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por
L{ f ' ' (t )} = s 2 F ( s ) − sf (0) − f ' (0)
en forma similar
L{ f ( n ) (t )} = s n F ( s) − s n− 1 f (0) − s n− 2 f ' (0) −  − f ( n− 1) (0)
Transformada de Laplace de integrales
{
}
t
L ∫ f (u )du =
0
para la integración de n-ésimo orden :
{
L∫
t1
0
t2
tn
0
0
∫ ...∫
F ( s)
s
}
f (τ )dτ dt1dt 2 ...dt n − 1 =
F ( s)
sn
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22. Traslación en el tiempo.
L{ f (t − T )us (t − T )} = e − Ts F ( s)
Teorema del valor inicial
El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s), es
f (0) = lim t → 0+ f (t ) = lim s→ ∞ sF ( s )
Teorema del valor final
Si la transformada de Laplace de f (t ) es F (s ) , y si sF (s ) es analítica sobre el eje
imaginario y en el semiplano derecho del plano s, es decir, si no contiene un polo cuya
parte real sea cero o positiva, entonces:
limt → ∞ f (t ) = lim s→ 0 sF ( s )
Ejercicio: Encuentre el valor final de F ( s ) =
5
s( s + s + 2)
2
y
F ( s) =
ω
s +ω
2
2
.
Traslación compleja.
[
]
L e α t f (t ) = F ( s ± a )
Integral de convolución.
La operación
∫
t
0
f 1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ
se conoce como la convolución de f 1 (t ) y
f 2 (t ) , y se denota como f 1 (t ) * f 2 (t ). La transformada de Laplace de ésta operación
está dada por
L{ f1 (t ) * f 2 (t )} = F1 ( s ) F2 ( s )
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23. Tabla1. Funciones comunes y su transformada de Laplace.
F(t)
F(s)
u t 
1
s
1
sa

2
2
s 
s
2
2
s 
F  sa 
e−a t
sen t
cos t
e−a t f t 
t n n=1,2,3
d n f t
n
dt
0
t
∫
sn F  s−sn−1
n!
1
n
s
f 0−s n−2 f 1 0−...− f n−1 0
f t  dt
−∞
t 
∫ f t  dt
F  s −∞

s
s
1
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24. Transformada inversa de Laplace mediante la expansión en
fracciones parciales.
En forma alterna la variable s de Laplace puede considerarse como el operador
diferencia, de modo que:
d
dt
s=
entonces tenemos también el operador integral:
1
=
s
∫
t
0+
dt
La transformación inversa de Laplace generalmente se obtiene usando el
desarrollo por fracciones parciales de Heaviside. Este método es particularmente útil para
el análisis y diseño de sistemas, ya que puede observarse claramente el efecto de cada
raíz característica.
Con el Objeto de ilustrar la utilidad de la transformada de Laplace y los pasos
implicados en el análisis de sistemas, considere la siguiente ecuación:
d2y
dy
A 2 + B
+ Cy = r (t )
dt
dt
Se desea obtener la respuesta y como una función del tiempo. La transformada
de Laplace de la ecuación (1) es:
[
] [
]
A s 2Y ( s ) − sy ' (0 + ) − y (0) + B sY ( s ) − y (0 + ) + CY ( s ) = R ( s )
Sí
y (0 + ) = 0,
dy
dt
t= 0
= 0
se tiene que:
As 2Y ( s ) + BsY ( s ) + CY ( s ) = R ( s )
resolviendo para Y(s):
Y ( s )[ As 2 + Bs + C ] = R( s )
de donde
Y (s) =
R( S )
As + Bs + C
2
posteriormente se emplean tablas o se encuentran las fracciones parciales.
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25. Expansión en fracciones parciales
F(s) tiene polos simples (reales y distintos)
Considere que G(s) está en la forma
G( s) =
Q(s)
Q(s)
=
,
P ( s ) ( s + s1 )( s + s 2 ) ( s + s n )
n> m
donde las raíces de d(s), ( s = − s1 ,− s 2 ,,− s n ) son los polos de G(s). En este caso
podemos escribir G(s) como
G( s) =
an
a1
a2
+
+ +
s + s1 s + s 2
s + sn
donde el coeficiente constante a k es conocido como el residuo del polo en s = − s k , y se
obtiene mediante a k = [( s + s k )G ( s )]s = − sk
Ejercicio: Obtenga la transformada inversa de G(s) empleando expansión en
fracciones parciales.
G( s) =
5s + 3
−1
7
−6
+
−
=
( s + 1)( s + 2)( s + 3) s + 1 s + 2 s + 3
Polos de orden múltiple
Si r de los n polos de G(s) son idénticos, o se dice que el polo en s=-si es de
multiplicidad r, G(s) se escribe
G( s) =
Q(s)
( s + s1 )( s + s 2 )...( s + sn − r )( s + si ) r
entonces G(s) se expande como :
G( s) =
an− r
a1
a2
b1
b2
br
+
+ +
+
+
+ +
2
s + s1 s + s2
s + sn− r s + s i ( s + s i )
(s + si )r
n-r términos de polos simples
r términos de polos repetidos
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26. los (n-r) coeficientes, a1, a2, … , an-, que corresponden a los polos simples se pueden
evaluar con el método de polos simples. Los r coeficientes b1, b2,…, br se calculan así:
[
br = ( s + s i ) r G ( s )] s = − si
 d

br − 1 =  [( s + s i ) r G ( s )]
 ds
 s = − si

br − j

1 dj
=  j [( s + s i ) r G ( s )]
j!  ds
 s= − s
i

b1 =

1  d r− 1
r
 r − 1 [( s + s i ) G ( s )]
( r − 1)!  ds
 s= − s
i
Ejercicio: Realice la expansión en fracciones parciales de:
G( s) =
1
1
1
1
1
+
−
−
=
3
s( s + 1) ( s + 2) 2 s 2( s + 2) s + 1 ( s + 1) 3
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27. Polos complejos conjugados simples
Para este caso es posible aplicar el método descrito de polos simples. Considere la
siguiente función:
G( s) =
Q( s)
( s + α − jω )( s + α + jω )
la ecuación se puede expresar:
G( s) =
a1
a2
+
( s + α − jω ) ( s + α + jω )
Ejercicio: Realice la expansión en fracciones parciales de:
2
ωn
G( s) = 2
s + 2ζ ω n s + ω
2
n
para encontrar g(t). Sustituya α = ζ ω n y ω = ω
n
1− ξ
2
.
Ejercicio: Resuelva la siguiente ecuación diferencial, cuyas condiciones iniciales
'
son: y (0) = − 1 y y (0) = dy (t ) / dt 0 = 2 .
d 2 y (t )
dy
+ 3 + 2 y (t ) = 5us (t )
2
dt
dt
cuya solución es:
y (t ) =
5
3
− 5e − t + e − 2 t
2
2
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