sobre un tema muy importante en estadistica

1. Estadística Inferencial
MSc. Gelner Archenti
Sesión 5 – Unidad II

2. Coeficiente de correlación, regresión
lineal simple y diagrama de dispersión

3. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL SIMPLE (ASOCIACIÓN ENTRE DOS VARIABLES)
Frecuentemente se desea verificar la existencia de la asociación entre dos o más
variables. Por ejemplo:
 El peso puede estar asociado con la altura de las personas.
 Los gastos médicos de las familias pueden estar relacionados con su ingreso.
 La presión sanguínea de una persona y su edad pueden estar relacionadas.
 La concentración de un medicamento suministrado y la frecuencia cardiaca, etc.
La naturaleza e intensidad de relaciones entre variables como las mencionadas son
examinadas por medio del análisis de regresión y correlación.

4. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN LINEAL SIMPLE (ASOCIACIÓN ENTRE DOS VARIABLES)
 La verificación de la intensidad de la relación entre variables, si existe relación, es
el objetivo de la correlación.
 Una vez caracterizada la correlación se busca descubrir una función matemática
que pueda representar la relación.La estimación de los parámetros de esta
función es el objetivo de la regresión.
 Con el análisis de regresión es posible hacer previsiones o estimaciones de una
variable a partir del conocimiento de los valores de la otra variable.

5. CORRELACIÓN LINEAL SIMPLE
 El estudio de la correlación lineal simple tiene por objetivo medir y evaluar el
grado de asociación lineal entre dos variables numéricas (por ejemplo,
podemos medir sí la relación entre el nivel de consumo de algunos
nutrientes y la ganancia de peso es fuerte, débil o nula).
 Una manera de visualizar la (posible) correlación entre las observaciones de
dos variables X e Y, es a través del diagrama de dispersión, en el cual los
valores de estas variables son representados por puntos, en un sistema
cartesiano.

6. Los diagramas (a) y (b) muestran dos situaciones donde los puntos están en torno de una recta
imaginaria ascendente. Valores pequeños de X están asociados a valores pequeños de Y, ocurriendo lo
mismo para valores grandes. Estos dos casos indican una correlación lineal positiva entre X e Y.
En (b) los datos están más próximos de la recta imaginaria caracterizando una correlación más fuerte
de la que se da en (a).

7. La figura (c) muestra que los puntos de
X e Y están en torno de una recta
imaginaria descendente que indica una
correlación lineal negativa.
Los puntos en (d) se aproximan más
a una parábola que a una recta,
ilustrando un caso de correlación no
lineal.

8. Los valores de X e Y en (e) no sugieren una asociación entre estas dos variables puesto
que valores pequeños (o grandes) de X están asociados tanto a valores pequeños como
a valores grandes de Y. Los puntos del diagrama no se ubican en torno de una línea
ascendente o descendente.

9. LA MEDIDA DE CORRELACIÓN LINEAL
Una manera de medir la correlación lineal (si es fuerte o débil) es a través del
coeficiente de correlación lineal de Pearson (r). Este coeficiente, puede tomar
cualquier valor en el intervalo [– 1 ,1].
 Si r =1 indica una correlación lineal directa perfecta entre las dos variables.
 Si r = – 1 indica una correlación lineal inversa perfecta.
 Si r =0, las dos variables no están correlacionadas.
±0.00 ±0.09 Correlación nula
±0.10 ±0.19 Correlación muy débil
±0.20 ±0.49 Correlación débil
±0.50 ±0.69 Correlación moderada
±0.70 ±0.84 Correlación significativa
±0.85 ±0.95 Correlación fuerte
±0.96 ±1.0 Correlación perfecta

10. El coeficiente de correlación de la muestra, denotado por r, describe la relación entre las
observaciones de la muestra, fórmulas para su cálculo son:
donde Xi e Yi son los valores observados de X e Y respectivamente; i = 1, 2 ,..., n
y n es el número de observaciones en cada variable.

11. EJEMPLO:
Los datos de la siguiente tabla representan las estaturas (X, cm.) y los pesos (Y,
Kg.) de una muestra de 12 hombres adultos.
X Y
152 50
155 61.5
152 54.5
155 57.5
157 63.5
152 59
157 61
165 72
162 66
178 72
183 84
178 82
Determinar el coeficiente de correlación:

12. 50
55
60
65
70
75
80
85
90
150 155 160 165 170 175 180 185
Peso
(kg)
Estatura (cm)
Figura 1. Diagrama de dispersión de Estatura y Peso

13. X Y Xi*Yi X2
Y2
152 50 7600 23104 2500
155 61.5 9532.5 24025 3782.3
152 54.5 8284 23104 2970.3
155 57.5 8912.5 24025 3306.3
157 63.5 9969.5 24649 4032.3
152 59 8968 23104 3481
157 61 9577 24649 3721
165 72 11880 27225 5184
162 66 10692 26244 4356
178 72 12816 31684 5184
183 84 15372 33489 7056
178 82 14596 31684 6724
162.17 65.25 128199.5 316986 52297
128199.5 − 12(162.17 (65.25
316986 − 12(162.17 2 ∗ 52297 − 12(65.25 2
128199.5 − 126979.11
1396.6932 ∗ 1206.25
1220.39
37.37 ∗ 34.73
1220.39
1297.8601
𝟎. 𝟗𝟒
Promedio
∑ sumatoria
Solución
Es posible concluir que existe fuerte correlación lineal (positiva)
entre las variables estatura y peso en hombres adultos.

14. REGRESIÓN LINEAL SIMPLE
Es el estudio de la relación funcional entre dos variables. Una variable X, llamada
independiente, explicativa o de predicción y una variable Y, llamada dependiente o
variable respuesta. La función entre las variables es una línea recta, dada por la
ecuación:
b0 es el valor estimado de la variable Y cuando la variable X=0
b1 es el coeficiente de regresión, está expresado en las mismas unidades de Y por
cada unidad de X. Indica el número de unidades en que varía Y cuando se
produce un cambio en una unidad en X (pendiente de la recta de regresión).

15. Ejemplo.
Los datos de la siguiente tabla representan las estaturas (X) y los pesos (Y) de una
muestra de 12 hombres adultos. Para cada estatura fijada previamente se observó el
peso de una persona seleccionada de entre el grupo con dicha estatura. Efectúe un
análisis de regresión.
X Y
152 50
155 61.5
152 54.5
155 57.5
157 63.5
152 59
157 61
165 72
162 66
178 72
183 84
178 82

16. FÓRMULAS
b1
b0

17. Solución
128199.5 −
1946 ∗ 783
12
316986 −
19462
12
X Y Xi*Yi X2
Y2
152 50 7600 23104 2500
155 61.5 9532.5 24025 3782.3
152 54.5 8284 23104 2970.3
155 57.5 8912.5 24025 3306.3
157 63.5 9969.5 24649 4032.3
152 59 8968 23104 3481
157 61 9577 24649 3721
165 72 11880 27225 5184
162 66 10692 26244 4356
178 72 12816 31684 5184
183 84 15372 33489 7056
178 82 14596 31684 6724
1946 783 128199.5 316986 52297
162.17 65.25
Promedio
∑ sumatoria
b1=
128199.5 − 126976.5
316986 − 315576.33
b1=
1223
1409.67
b1=
b1= 0.8676
Encontremos b1

18. Solución Encontremos b0
X Y Xi*Yi X2
Y2
152 50 7600 23104 2500
155 61.5 9532.5 24025 3782.3
152 54.5 8284 23104 2970.3
155 57.5 8912.5 24025 3306.3
157 63.5 9969.5 24649 4032.3
152 59 8968 23104 3481
157 61 9577 24649 3721
165 72 11880 27225 5184
162 66 10692 26244 4356
178 72 12816 31684 5184
183 84 15372 33489 7056
178 82 14596 31684 6724
1946 783 128199.5 316986 52297
162.17 65.25
Promedio
∑ sumatoria
65.25 – (0.8676)(162.17)
b0=
65.25 – 140.698
- 75.45
b0=
b0=

19. Luego, la ecuación de regresión estimada será:
Ŷ = - 75.45 + 0.8676 X
 El valor de b1 = 0.8676 indica el incremento en Kg., en promedio, por cada
centímetro de aumento en la altura de los hombres adultos.
 Un valor negativo de b1 sería interpretado como la magnitud del decremento en
Y por cada unidad de aumento en X.
 El valor de b0 en este ejemplo no tiene sentido, se interpretaría como el valor
obtenido, en promedio, para el peso Y, cuando la estatura es 0.

20.  Utilizando la ecuación de regresión para estimar o predecir valores de la variable
Y es posible responder la interrogante:
 ¿Cuánto se espera que pese (en promedio) un hombre adulto que mide 1.60 m.?
Sustituyendo el valor de interés en la ecuación estimada, se obtiene:
Ŷ160 = – 75.446 + 0.8676 (160) = 63.37 Kg

21. y = 0.8676x - 75.443
50
55
60
65
70
75
80
85
90
150 155 160 165 170 175 180 185
Peso
(kg)
Estatura (cm)
Estatura vs Peso

22. Ejemplo
 Calificaciones de un grupo de alumnos, con respecto al curso de Estadística y
Matemática.
Estadística (Xi) Matemática (Yi)
12 13
15 14
16 15
14 16
18 16
a) Determinar el coeficiente de
correlación
b) Efectúe un análisis de regresión y
responda la pregunta: ¿Cuánto se
esperaría que obtenga en su
examen de matemática, un
estudiante que obtuvo una nota de
20 en su examen de estadística?

23. Solución
Columna 1 Columna 2
Columna 1 1
Columna 2 0.68599434 1
Correlación moderada
Y = 8.8 + 0.4 X Respuesta/ = 16.8 en matemática
a)
b)