Cuaderno autoinstructivo-fisica

PRUEBA DE DEFINICIÓN DE
NIVELES
FÍSICA
CUADERNO
AUTOINSTRUCTIVO DE
PREPARACIÓN

Í N D I C E
1. MAGNITUDES FISICAS
1.1. LA CIENCIA Y LA FÍSICA
1.2. MAGNITUDES FÍSICAS
1.2.1. Cantidad o magnitud física
1.2.2. Medición
1.2.3. Magnitud
1.2.4. Magnitudes Fundamentales
1.2.5. Sistema Internacional de unidades
1.2.6. Conversión de unidades
1.3. DIMENSION DE UNA CANTIDAD FISICA
1.3.1. Análisis dimensional
1.3.2. Principio de homogeneidad
1.4. PROBLEMAS RESUELTOS
1.5. PROBLEMAS PROPUESTOS
1.6. AUTOEVALUACIÓN
2. VECTORES
2.1. CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES
2.2. SUMA DE VECTORES MEDIANTE METODOS GRAFICOS
2.3. COMPONENTES DE UN VECTOR
2.4. VECTORES UNITARIOS
2.5. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES
2.6. PRODUCTO ESCALAR
2.7. PRODUCTO VECTORIAL
2.8. FUERZA Y VECTORES
2.8.1. Fuerza Resultante
2.9. PROPIEDADES DE LOS VECTORES
3. CINEMÁTICA
3.1. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO
3.2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN
3.2.1. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
3.2.2. Análisis de gráficas del MRU
3.2.3. Movimiento rectilíneo uniforme variado (MRUV)
3.2.4. Análisis de gráficas del MRUV
3.2.5. Movimiento de caída libre
3.3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES O EN UN PLANO
3.3.1. Movimiento de proyectiles
3.3.2. Movimiento circular
3.3.3. Movimiento circular uniforme (MCU)
3.3.4. Movimiento circular uniformemente variado (MCUV)

Í N D I C E
4. LEYES DEL MOVIMIENTO
4.1. PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: LEY DE LA INERCIA
4.2. SEGUNDA LEY DE MOVIMIENTO DE NEWTON. CAUSA Y EFECTO
4.3. DIFERENCIA ENTRE MASA Y PESO
4.4. TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: ACCIÓN Y REACCIÓN
4.5. FUERZA DE ROZAMIENTO
4.6. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
4.7. FUERZA CENTRÍPETA
5. TRABAJO
5.1. UNIDADES DE TRABAJO
5.2. TRABAJO MOTOR Y TRABAJO RESISTENTE
5.3. DETERMINACIÓN DE TRABAJO MECÁNICO CON GRÁFICOS
5.4. POTENCIA
5.5. ENERGIA MECÁNICA
5.6. ENERGIA CINÉTICA
5.7. TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA CINÉTICA
5.8. ENERGÍA POTENCIAL
5.8.1. Energía potencial gravitatoria
5.8.2. Energía potencial elástica
5.9. ENERGÍA MECÁNICA TOTAL
5.10. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
6. CANTIDAD DE MOVIMIENTO
6.1. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL PARA UN SISTEMA DE DOS
PARTÍCULAS
6.2. COLISIONES
6.2.1. Colisiones en una dimensión
6.2.2. Colisiones elásticas en dos dimensiones entre dos partículas
6.2.3. Coeficiente de restitución
7. DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS
7.1. MOMENTO DE INERCIA
7.2. ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL
7.3. MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE
7.4. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO

Í N D I C E
7.5. MOMENTO ANGULAR
7.5.1. Conservación del momento angular
7.5.2. Momento angular de un sistema de partículas
7.5.3. Momento angular de un sólido
7.6. DINÁMICA DE UN CUERPO RÍGIDO: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN
COMBINADAS
7.7. MOVIMIENTO DE RODADURA
8. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
8.1. ECUACIONES DEL MAS
8.2. ENERGÍA EN SISTEMAS MASA-RESORTE (OSCILADOR ARMÓNICO)
9. ONDAS MECÁNICAS
9.1. ONDAS ARMÓNICAS SOBRE UNA CUERDA
9.2. DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA SENOIDAL
9.3. ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA FIJA EN SUS EXTREMOS
9.4. ONDAS SONORAS
9.4.1. Intensidad del sonido
10. FLUIDOS
10.1. DENSIDAD
10.2. PRESIÓN
10.2.1. Presión atmosférica
10.2.2. Presión dentro de un fluido en reposo
10.2.3. Vasos comunicantes
10.3. PRINCIPIO DE PASCAL
10.4. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
10.5. FLUIDOS IDEALES EN MOVIMIENTO
10.6. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
10.7. ECUACIÓN DE BERNOULLI
11. CALOR Y TEMPERATURA
11.1. DILATACIÓN TÉRMICA
11.2. CALOR
11.3. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
11.3.1. Conducción
11.3.2. Convección
11.3.3. Radiación

Í N D I C E
12. ELECTRICIDAD
12.1. CORRIENTE ELÉCTRICA
12.2. DIFERENCIA DE POTENCIAL O VOLTAJE
12.3. RESISTENCIA ELÉCTRICA
12.4. ENERGÍA Y POTENCIA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS
12.5. RESISTORES EN SERIE Y PARALELO
12.5.1. Resistores en serie
12.5.2. Resistores en paralelo
13. APÉNDICE I. CONCEPTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
13.1. DERIVADA DE FUNCIONES POLINOMIALES
13.2. DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
13.3. INTEGRALES
13.4. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
14. APÉNDICE II. CLAVES DE RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES

Cuaderno Autoinstructivo de Definición de Niveles de Física
Magnitudes físicas 1
1. MAGNITUDES FÍSICAS
1.1. LA CIENCIA Y LA FÍSICA
La alegría de ingresar a una Universidad le permite a uno, realizar una serie de
actividades, se siente triunfador, comunica este acontecimiento a todas las personas
de su entorno, hasta se siente dueño del mundo. De pronto retorna a la realidad, pues
empieza mañana sus clases en la Universidad, reflexiona y observa el mundo exterior,
como consecuencia de ello, llega a la conclusión de que se encuentra en el “espacio
exterior” rodeado de cerros, árboles, edificios, aves, ríos y automóviles en movimiento;
observa en la noche la luna brillante en movimiento fuera de todo control humano, y se
da cuenta que tampoco puede controlar el movimiento de la Tierra. Sin embargo se
entera que después de mucho el hombre ha podido comprender las reglas que rigen
estos movimientos.
El estudio de las reglas que rigen el comportamiento de los fenómenos naturales es lo
que constituye la Ciencia; estas reglas cuyo número es sorprendentemente pequeño
explican por qué la Tierra es redonda, por qué el mar y el cielo son azules, etc.
Entonces conocer el funcionamiento de las leyes de la naturaleza es fascinante y de
suma importancia, porque nos permite aplicarlas a nuestras necesidades.
La ciencia es una forma de pensar y también un cúmulo de conocimientos, es decir: la
ciencia es una forma de conocer. Y ¿la Física? La física estudia cosas tan básicas
como: el movimiento, las fuerzas, la energía, el calor, el sonido, la luz, los átomos,
etcétera, conocimientos que serán fundamentales en tu carrera.

1.2. MAGNITUDES FÍSICAS
En la naturaleza se presentan una serie de fenómenos, cuya descripción conduce a
establecer varias hipótesis, las cuales se ponen a prueba una y otra vez y si no hay
contradicciones se puede llegar a establecer una LEY o PRINCIPIO.
Cuando uno se encuentra en un taller o una planta industrial, nace la necesidad de
hacer mediciones de algún tipo, como la temperatura del ambiente, la presión del
sistema de refrigeración, el voltaje a que trabajan las maquinarias, etc. El desarrollo
de la ingeniería de la construcción de la hidráulica y la ingeniería estructural involucran
la longitud, el área, el volumen y la masa.
En la exploración de la naturaleza se ha encontrado que la longitud, el tiempo y la
masa desempeñan un papel fundamental en la medición.
1.2.1. Cantidad o magnitud física
Es una característica de un fenómeno o de un objeto susceptible a ser medido, al cual
se le asocia un número, que se obtiene por medio de la operación llamada medición.
El volumen de un objeto, la altura de una edificación, la temperatura del medio
ambiente, el periodo de rotación de la tierra, etc., son ejemplos de cantidad física.
1.2.2. Medición
Es una técnica que se utiliza para determinar el número asociado a la cantidad física
por comparación con un patrón conocido que se adopta como UNIDAD.
Por ejemplo, cuando se desea conocer la longitud de una barra metálica. Con un
instrumento apropiado se determina que es 12 m, para obtener esto, se hizo una
comparación con la longitud de un patrón conocido como "metro".

1.2.3. Magnitud
La magnitud de una cantidad física está dada por un número y una unidad de
medición.
Ejemplo: Si M es una cantidad física su magnitud puede ser M: 20º C, 60 kg, 30 s. Los
números asociados son: 20, 60 y 30 y las unidades: ºC: grado centígrado, kg.: 1
kilogramo y s: 1 segundo.
1.2.4. Magnitudes fundamentales
La experiencia demuestra que hay tres modos básicos de describir cualquier cantidad
física que son: el espacio que ocupa, la materia que contiene y el tiempo que persiste.
Todas las descripciones de la materia, relaciones y eventos son combinaciones de
éstas. Todas las medidas se reducen a la medición de la longitud, la masa y el tiempo.
De ahí, que las magnitudes fundamentales son aquellas que no se definen en
términos de otras, son independientes entre sí. La longitud, el tiempo y la masa son
magnitudes fundamentales, suficientes y necesarias para el estudio de la mecánica.
Tabla 1.1. Magnitudes fundamentales
MAGNITUDES FUNDAMENTALES DIMENSION
LONGITUD L
MASA M
TIEMPO T
La medida de toda magnitud física exige compararla con cierto valor unitario de la
misma. Así para medir la distancia entre dos puntos, se compara con una unidad
estándar de distancia, tal como el metro. Todas las magnitudes físicas pueden
expresarse en función de un pequeño número de unidades fundamentales.

1.2.5. Sistema Internacional de unidades
El sistema internacional de unidades (SI), es esencialmente el mismo que se conoce
como sistema métrico. El comité internacional de pesas y medidas ha establecido
siete cantidades fundamentales y ha asignado unidades básicas oficiales para cada
cantidad.
Su estructura está conformada por magnitudes fundamentales y derivadas.
Tabla 1.2. Magnitudes fundamentales
CANTIDAD UNIDAD SÍMBOLO
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Corriente eléctrica ampere A
Temperatura kelvin K
Intensidad luminosa candela cd
Cantidad de sustancia mol mol
Tabla 1.3. Magnitudes suplementarias
CANTIDAD UNIDAD SÍMBOLO
Ángulo plano radián rad
Ángulo sólido estereoradián sr

Tabla 1.4. Magnitudes derivadas
Cantidad Unidades derivadas Símbolo
Área
Volumen
Frecuencia
Densidad de masa
Rapidez, velocidad
Velocidad angular
Aceleración
Aceleración angular
Fuerza
Presión
Trabajo, energía, cantidad de calor
Potencia
Carga eléctrica
Diferencia de potencial, fem
Resistencia eléctrica
Conductividad térmica
metro cuadrado
metro cúbico
hertz
kilogramo por metro cúbico
metro por segundo
radian por segundo
metro por segundo cuadrado
radian por segundo cuadrado
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
ohm
watt por metro kelvin
m2
m
3
Hz
kg/m
3
m/s
rad/s
m/s
2
rad/s2
N (kg·m/s
2
)
Pa (N/m2
)
J (N·m)
W (J/s)
C
V (J/C)
Ω (V/A)
W/(m·K)
1.2.6. Conversión de Unidades
Debido a que se requieren muchas unidades en una diversidad de trabajos, con
frecuencia es necesario convertir una medición de una a otra unidad. Por ejemplo: El
diámetro de una varilla de construcción 1/2 pulgada se necesita pasar a mm. Se usa 1
pulgada = 25,4 mm. Entonces la conversión será: 0,5 pulg×(25,4 mm/1 pulg) = 12,5
mm.

Ejercicios resueltos
1. Convertir 30 m a pies.
Entonces: 1 m = 3,281 pies
30 m×(3,281 pies/1 m) = 114,3 pies
2. La velocidad de 60 mi/h a pies/s.
Entonces: 1mi = 5 280 pies, 1 hora = 3 600 s
60 mi/h = 60×(5 280 pies/1 mi) ×(1 h/3 600 s) = 88 pies/s
1.3. DIMENSION DE UNA CANTIDAD FISICA
La dimensión de una cantidad física es la combinación algebraica de [L], [T] y [M], a
partir de las cuales se forma la cantidad física.
Una velocidad es una longitud por unidad de tiempo. Por lo tanto la dimensión de la
velocidad es: [V] = L/T
La dimensión de la fuerza es: [F] = MLT−2
No se debe confundir la dimensión de una cantidad física con las unidades en las
cuales se mide.
Una velocidad se puede representar en unidades de metros por segundo, millas por
hora, kilómetros por hora, todas estas elecciones son consistentes con la dimensión
L/T.
Cualquier cantidad física tiene dimensiones que son combinaciones algebraicas de las
dimensiones fundamentales Lq
Tr
Ms
, donde q, r y s indican el orden o exponente de la
dimensión, los cuales pueden ser positivos, negativos, enteros o fraccionarios.

1.3.1. Análisis dimensional
El estudio de las dimensiones de una ecuación física se llama análisis dimensional.
Cualquier ecuación que relacione cantidades físicas debe tener dimensiones
consistentes, es decir: las dimensiones de un lado de la ecuación deben ser las
mismas que las del otro lado. Por ejemplo para la ecuación 2gh = v2
:
Su ecuación dimensional es:
[g] [h] = [v]2
donde observarás que la constante 2 tiene dimensión igual a la unidad
(LT−2
)(L) = (L/T)2
L2
T−2
= L2
T−2
1.3.2. Principio de homogeneidad
Si las dimensiones en ambos lados de una ecuación física son las mismas, se dice
que la ecuación física es dimensionalmente homogénea.
Si una ecuación física consiste de una suma algebraica de varios términos, la
dimensión de todos y cada uno de los términos debe ser la misma.
3. Hallar la ecuación dimensional del volumen de un cuerpo esférico.
Solución
El volumen es: V = 4/3π r3
entonces:
[V] = [4/3][π][ r3
]
[V] = L3
Observa que las constantes 4/3 y π su dimensión es igual a la unidad.

4. Hallar la dimensión de la energía cinética.
Solución
Ek = ½ mv
2
[Ek] = [½][m][v] 2
[Ek] = (1) M (L
2
T
-2
) = ML
2
T
-2
5. Uno de los resultados más famosos que obtuvo Albert Einstein está dado por la
ecuación: E = mc2
, en la que E es el contenido de energía de la masa m y c es
la rapidez de la luz. ¿Cuáles son las dimensiones de E?
Solución
E = mc2
, entonces [E] = [m][c] 2
= M [L/T]2
= ML2
T−2
6. En la ecuación: D = A·m + B·E +C·X, donde D es densidad, E es área, m es
masa y X es distancia. Hallar la dimensión de A, B y C.
Solución
Por el principio de la homogeneidad, cada término de la ecuación debe tener la misma
dimensión que la del primer miembro. Entonces:
[D] = [A·m] = [B·E] = [C·X]
[D] = [A] [m]
[M/L3
] = [A] M
Despejando, [A] = L−3
Análogamente:
[D] = [B·E]
[M/L3
] = [B] L2
Despejando, [B] = ML−5
Finalmente,

[D] =[C·X]
[M/L3
] = [C] L
[C] = ML−4
7. Halle la dimensión de K, dada la ecuación:
K = m·v2
/F
Donde m es masa, v es velocidad y F es fuerza.
Solución
[K] = [m][v] 2
/[F]
[K] = M×(L/T)2
/(ML/T2
] = L
8. Hallar la dimensión de R, si P·R = AB sen 60°, donde P es peso, A es
aceleración y B es volumen.
Solución
[P·R] = [P][R] = [A][B][sen 60°]
[ML/T2
][R] = [L/T2
][L3
]
[R] = M−1
L3
.
9. La velocidad v que adquiere una embarcación marina es una función de la
potencia P del motor, de la fuerza de resistencia F que ejerce el agua y está
dado por:
v = Pr
·Fs
Hallar los valores de r y s.
Solución
Usando el principio de homogeneidad:
[v] = [Pr
][Fs
]
L/T = (ML2
/T3
)r
(ML/T2
)s
.
LT−1
= M
r+s
L
2r+s
T−3r−3s

Igualando exponentes de las dimensiones correspondientes.
r + s = 0
2r + s = 1
−3r −2s = −1
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: r = 1, s = −1
10. ¿Es dimensionalmente correcta la relación x = v/3 + 8at, donde x es distancia, v
es velocidad, t es tiempo y a es aceleración?
Solución
Debe cumplirse que [x] = [v/3] = [8at] o [x] = [v] = [a][t]
Así, L = L/T y por lo tanto no se cumple el principio de homogeneidad.
La ecuación es incorrecta.

1. Convierta la densidad del agua de mar de 1,02 g/cm3
a kg/m3
.
Respuesta. 1,02×103
kg/m3
2. Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta, hallar la ecuación
dimensional de K:
D
KP
C
⋅
⋅
=
ρ
2
Donde: C = velocidad, P = presión, ρ = densidad y D = diámetro.
Respuesta. L1/2
3. El período de oscilación de un péndulo está dado por la siguiente fórmula:
yx
gLT π2=
Hallar (x/y), si L = longitud y g = 9,81 m/s
2
.
Respuesta. −1
4. Hallar x + y para que la siguiente fórmula sea dimensionalmente correcta:
θsen
c
ba
H y
x






=
2
2
2
Donde: H = altura, b = radio, a = velocidad y c = aceleración.
Respuesta. 1
5. Calcular las dimensiones de X e Y, si la ecuación dada es correcta
dimensionalmente:

2
0
2
2





 −
=++
m
dP
CYBXA
Donde: A = área, B = volumen, P = presión y m0 = masa.
Respuesta. L−4
T−4
, L−5/2
T−2

1. Si se cumple: A + B = 1/A; entonces podemos afirmar que:
I. A y B son funciones trigonométricas
II. A y B son magnitudes adimensionales
III. No se sabe qué tipo de magnitudes son A y B
a) Solo I es verdadero
b) Solo II es cierto
c) Solo III es cierto
d) I y II son verdaderos
e) II y III son ciertos
2. Hallar la ecuación dimensional de la constante G de la ley de gravitación de
Newton, sabiendo que F es fuerza, d es distancia, m1 y m2 son masas. La ley de
gravitación está expresada mediante la fórmula:
2
21
d
mm
GF =
a) M−1
L3
T−2
b) M L3
T−2
c) M−1
L
2
T
2
d) M L3
T
e) M L T
3. Si la ecuación dada es dimensionalmente correcta:
metros
yx
yBxA
3572
,=
+
+
Halle las dimensiones de B y A, sabiendo que Ny 357,= , donde N se mide
en newtons.
a) M L2
T−1
y M L2

b) M L3
T−2
y L2
c) L
3
y L
2
d) M L T−2
y L
2
e) Ninguna anterior
4. Hallar la ecuación dimensional de P, si la ecuación dada es correcta
dimensionalmente:
2
0
1 





−
=
C
R
Rm
P
m0 es masa y C es la velocidad de la luz.
a) M L T-1
b) M L T
c) M L T-2
d) M L T2
e) M L T3
5. Hallar las dimensiones de X en la ecuación dada, si ésta es correcta
dimensionalmente:
( )YKsenAcmYXK ππ 2235 =++
a) L
b) L2
c) L3
d) L−1
e) Ninguna anterior

Vectores 15
2. VECTORES
En muchas aplicaciones de la física es necesario indicar la dirección así como la
magnitud de una cantidad. La dirección en la que se mueve una banda
transportadora es a menudo tan importante como la rapidez con la que lo hace. El
efecto de un jalón de 20 N haciendo un ángulo con el piso es diferente del
correspondiente a un jalón también de 20 N pero paralelo al piso. Las cantidades
físicas como desplazamiento, velocidad y fuerza con frecuencia se encuentran en la
industria.
2.1. CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES
Algunas cantidades físicas pueden describirse por completo mediante un número y
una unidad. Sólo las magnitudes físicas son de interés al hablar de un área de 12 cm
2
,
un volumen de 15 m3
o una distancia de 15 km. Estas cantidades se denominan
escalares.
Una cantidad escalar se específica completamente por medio de su magnitud, esto
es, un número y una unidad. La rapidez (20 mi/h), la distancia (30 km) y el volumen
(200 cm3) son ejemplos de ella.
Las cantidades escalares que se miden en las mismas unidades pueden sumarse o
restarse de la manera usual. Así.
24 mm + 30 mm = 54 mm
20 pies2
– 14 pies2
= 6 pies2
Algunas cantidades físicas, como la fuerza y la velocidad, tienen dirección, así como
magnitud. En esos casos, reciben el nombre de cantidades vectoriales. La dirección
debe ser una parte de los cálculos relacionados con dichas cantidades.

Vectores 16
Una cantidad vectorial se específica completamente mediante una magnitud y una
dirección; consta de un número, una unidad y una dirección. Son ejemplos, el
desplazamiento (29 m, norte) y la velocidad (41 mi/h, 30º al noroeste).
La dirección de un vector puede establecerse haciendo referencia a las direcciones
convencionales norte, este, oeste y sur. Considere, por ejemplo, los vectores 20 m,
oeste, y 40 m, a 30º NE, como se muestra en la Figura 2.1. La expresión NE, noreste,
indica que el ángulo se forma girando una línea en la dirección norte a partir de la
dirección este.
Fig. 2.1. Indicación de la dirección de un vector con referencia al norte (N), al sur (S),
al este (E) y al oeste (O).
Otro método para especificar la dirección, que será particularmente útil más adelante,
es tomar como referencia las líneas perpendiculares denominadas ejes. Estas líneas
imaginarias suelen ser una horizontal y otra vertical, si bien pueden orientarse en
cualquier otra dirección en tanto sigan siendo perpendiculares. Una línea horizontal
imaginaria suele llamarse eje x y una línea vertical imaginaria denominarse eje y.
(Véase la Fig. 2.2). Las direcciones se determinan por medio de ángulos que se
miden en el sentido contrario de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. En la
figura se ilustran los vectores 40 m a 60°y 50 m a 210°.
En este cuaderno los vectores se representarán con los siguientes símbolos: A o A
r
Noroeste
Noreste
SuresteSuroeste
N 90o
O E
S 270
o
N
S
O
E
40 m, 30º Noreste
20 m, 0
30º

Vectores 17
mientras que su módulo se representará por: A o A
r
.
Fig. 2.2. Indicación de la dirección de un vector.
Suponga que una persona viaja en automóvil de Lima a San Juan, el desplazamiento
desde Lima puede representarse mediante un segmento de línea dibujado a escala
desde Lima hasta San Juan (Véase la Fig. 2.3). Una punta de flecha se dibuja sobre el
extremo en San Juan para denotar la dirección. Conviene notar que el
desplazamiento, representado por el vector D1 o 1D
r
, es por completo independiente de
la trayectoria real del medio de transporte.
Fig. 2.3. El desplazamiento es una cantidad vectorial. Su dirección se indica mediante
una flecha continua. El espacio recorrido es una cantidad escalar, indicada en la
figura por medio de una línea punteada.
Eje y
90º
Eje x
0º, 360º
180º
270º(50 m, 210º)
(40 m, 60º)
210º
60º
Lima
D1
S1
40º 140º
San Juan
•
•

Vectores 18
Otra diferencia importante es que el desplazamiento vectorial tiene una dirección
constante de 140º (o 40º noroeste). Sin embargo, la dirección del automóvil en
cualquier instante del viaje varía.
2.2. SUMA DE VECTORES MEDIANTE MÉTODOS GRÁFICOS
Hay dos métodos gráficos comunes para encontrar la suma geométrica de vectores.
El método del polígono es el más útil, puesto que puede aplicarse rápidamente a más
de dos vectores. El método del paralelogramo es útil para la suma de dos vectores a
la vez. En cada caso, la magnitud de un vector se indica a escala mediante, la
longitud de un segmento de recta. La dirección se denota por medio de una punta de
flecha al final del segmento.
1. Un barco recorre 100 mi en dirección norte, el primer día de un viaje; 60 mi al
noreste, el segundo día; y 120 mi rumbo este, el tercer día. Encuentre el
desplazamiento resultante mediante el método del polígono.
Solución
Una escala adecuada puede ser 29 mi = 1 cm, como en la Fig. 2.4. Usando esta
escala, se tiene:
cm6
mi20
cm1
xmi120mi120
cm3
mi20
cm1
xmi60mi60
cm5
mi20
cm1
xmi100mi100
==
==
==
Al medir con una regla, se tiene del diagrama a escala que la flecha de la resultante
tiene una longitud de 10,8 cm. Por tanto, la magnitud es:

Vectores 19
mi216
cm1
mi20
xcm10,8cm10,8 ==
La medición del ángulo θ con un transportador, muestra que la dirección es 41°. El
desplazamiento resultante es, en consecuencia,
R = (216 mi, 41°)
Fig. 2.4. Método del polígono para la suma vectorial.
Note que el orden en el que se suman los vectores no cambia la resultante de ningún
modo, por lo que se puede empezar con cualquiera de las tres distancias recorridas
por el barco.
El método del polígono puede resumirse como sigue:
• Elija una escala y determine la longitud de las flechas que correspondan a cada
vector.
• Dibuje una flecha a escala que represente la magnitud y la dirección del primer
45º
120 millas
100 millas
Desplazamiento
resultante
Punto de Inicio
θθθθ
N
E•
60 millas
1 cm
20 mi

Vectores 20
vector.
• Dibuje la flecha del segundo vector de modo que su cola coincida con la punta del
primer vector.
• Continúe el proceso de juntar cola con punta hasta que se haya representado la
magnitud y dirección de todos los vectores.
• Dibuje el vector resultante de modo que su cola se sitúe en el origen (punto de
inicio) y su punta coincida con la punta del último vector.
• Mida con una regla y un transportador para determinar la magnitud y dirección de la
resultante.
Los métodos gráficos pueden emplearse para encontrar la resultante de todos los
tipos de vectores. No se restringen a medir desplazamientos. En el siguiente ejemplo,
se determina la resultante de dos fuerzas por medio del método del paralelogramo.
En el método del paralelogramo, que es útil para sumar sólo dos vectores a la vez,
dichos vectores se dibujan a escala con sus colas en un origen común. (Véase la Fig.
2.5) En ese caso, las dos flechas forman los lados adyacentes de un paralelogramo.
Los otros dos lados se construyen dibujando líneas paralelas de igual longitud. La
resultante se representa mediante la diagonal del paralelogramo comprendida entre
las dos flechas vectoriales.
Fig. 2.5 Método del paralelogramo para la suma de vectores.
2. En un poste telefónico se enrolla una cuerda, formando un ángulo de 120°. Si
se tira de un extremo con una fuerza de 60 N, y del otro con una fuerza de 20 N,
¿cuál es la fuerza resultante sobre el poste telefónico?
1 cm
1 N
120º
θ
20 N
60 N
R

Vectores 21
Solución Empleando la escala de 1 cm = 10 N, encontramos:
cm2
N10
cm1
xN20
cm6
N10
cm1
xN60
=
=
En la Fig. 2.5, se construye un paralelogramo dibujando las dos fuerzas a escala
desde un origen común con 120° entre ellas. Completando el paralelogramo, es
posible dibujar la resultante como una diagonal desde el origen. La medición de R y θ
con una regla y un transportador produce los valores de 53 N para la magnitud y 19°
para la dirección.
En consecuencia, R = (53 N, 19°)
2.3. COMPONENTES DE UN VECTOR
Considere el vector A
r
, en un sistema de coordenadas
rectangulares como se muestra en la Fig. 2.6. El vector A
r
puede ser representado como la suma de dos vectores:
yx AAA
rrr
+=
Donde, Ax = A cos θ , Ay = A sen θ.
La magnitud y la dirección de A
r
se determinan por
22
yx AAA += 





=θ −
x
y
A
A1
tan
Fig. 2.6
A
r
xA
r
yA
r
θ
x
y

Vectores 22
2.4. VECTORES UNITARIOS
Un vector unitario es un vector adimensional con magnitud
igual a 1. Sirve para describir una dirección. En un sistema
coordenado xy se pueden definir los vectores unitarios iˆ y
jˆ como se muestra en la figura 2.7.
Dado el vector A
r
se define el vector Unitario Aµ
r
como:
A
A
A
µˆ
r
=
El vector Unitario Aµ
r
no tiene significado físico pero se usa para especificar una
dirección en el espacio.
Los vectores unitarios en el sistema cartesiano son:
iˆ : Vector unitario a lo largo del eje x.
jˆ : Vector unitario a lo largo del eje y.
kˆ : Vector unitario a lo largo del eje z.
La representación de un vector en el plano cartesiano (Fig.
2.8), en el caso de tres dimensiones es:
kˆjˆiˆA zyx AAA ++=
r
Y su módulo es 222
zyx AAAA ++=
Fig. 2.7
A
r
xA
r
yA
r
θ
x
y
jˆ
iˆ
A
r
x
y
z
Fig. 2.8

Vectores 23
2.5. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES
Para este método primero debe dibujarse un sistema de coordenadas el cual servirá
de referencia para la ubicación de los vectores.
Luego se determinan las componentes de cada uno de los vectores a sumarse,
obteniéndose finalmente las componentes del vector resultante.
Por ejemplo para la Fig. 2.9:
Suma Vectorial: jˆiˆBAR yx RR +=+=
rrr
Componente x: xxx BAR +=
Componente y: yyy BAR +=
El método de componentes puede resumirse como sigue:
• Elegir un sistema de coordenadas.
• Dibujar los vectores a sumar con un rótulo, desde el origen de coordenadas.
• Determinar las componentes x e y de todos los vectores.
• Determinar la suma algebraica de las componentes en las direcciones x e y.
• Encontrar el módulo del vector resultante utilizando el teorema de Pitágoras.
• Utilizar una relación trigonométrica idónea para encontrar el ángulo que el vector
resultante forma con el eje +x.
Fig. 2.9
A
r
B
rR
r
x
y

Vectores 24
3. En la figura se muestran tres fuerzas que
actúan sobre una partícula. Obtener: (a) las
componentes x, y de la fuerza neta sobre la
partícula, (b) la magnitud y (c) la dirección de
la fuerza resultante.
Solución
Componentes de las fuerzas
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )iˆF
jˆF
jˆjˆsenF
iˆiˆcosF
N150
N200
399053N500
301053N500
3
2
1
1
−=
−=
=°=
=°=
x
y
y
x
N,
N,
r
r
r
r
Componentes de la fuerza neta
( )
( ) jˆR
iˆR
N199
N151
=
=
y
x
r
r
Magnitud de la fuerza neta
N250N199151 2222
=+=+= RRR yx
Dirección de la fuerza neta
°=





=





= −−
852
151
19911
,tantan
x
y
R
R
θ
x
y
F1 = 500 N
F2 = 200 N
53,0°F3 = 150 N

Vectores 25
4. En la figura se muestran tres
vectores de velocidad y cuyos
módulos son: A = 5,0 m/s, B = 10,0
m/s, C = 15,0 m/s. Obtenga la
resultante de los vectores, CBA
rrr
++ ,
y determine el módulo y la dirección
de la resultante.
Solución
( )iˆ,A sm05=
r
( ) ( ) jˆ,sen,iˆ,cos,B sm060010sm060010 °+°=
r
( ) ( ) jˆ,sen,iˆ,cos,C sm030015sm030015 °+°−=
r
( ) ( ) jˆ,iˆ,R sm216sm03 +−=
r
El módulo es:
( ) ( ) sm16sm47516sm216sm03
22
==+= ,,,R
La dirección es 180°− α
°=





= −
80
03
2161
,
,
tanα
θ = 180°− 80°=100°
2.6. PRODUCTO ESCALAR
Dados los vectores BA
rr
y mostrados en la Fig.
2.10, se define el producto escalar como,
θABcosBA =⋅
rr
60,0°30,0°
A
r
B
r
C
r
x
y
α
x
y
16,2 m/s
3,0 m/s
θ
A
r
B
r
Fig. 2.10

Vectores 26
Dados los vectores A y B en el sistema de coordenadas cartesianas
kˆjîˆB
kˆjîÂ
zyx
zyx
BBB
AAA
++=
++=
r
r
Su producto escalar se representa como:
zzyyxx BABABA ++=⋅BA
rr
5. Calcule el ángulo entre los vectores A = (−1,00 i + 6,00 j) N y B = (3,00 i − 2,00
j) N.
Solución
El producto escalar es: ( ) N15,00N0012003 −=−−=++=⋅ ,,BA zzyyxx BABABA
rr
Como el módulo del vector A es ( ) ( ) N037006001
22
,,, =+−=A y del vector B es
( ) ( ) N013002003
22
,,, =−+=B , reemplazando en θcosBA AB=⋅
rr
tenemos:
θcos,,, 0130370015 =−
De donde °=






 −
= −
133
013037
00151
,,
,
cosθ

Vectores 27
2.7. PRODUCTO VECTORIAL
Dados los vectores BA
rr
y mostrados en la Fig.
2.11, se define el producto vectorial como:
BAC
rrr
×=
Siendo C un vector perpendicular a los vectores A y B cuya magnitud es
θsenABC =
Dados los vectores A y B en el sistema de coordenadas cartesianas
kˆjîˆB
kˆjîÂ
zyx
zyx
BBB
AAA
++=
++=
r
r
Su producto vectorial se determina como la determinante de la matriz:
( ) ( ) ( )kˆjîˆ
kˆjîˆ
C xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx BABABABABABA
BBB
AAA −+−+−==
r
6. Determine el producto vectorial Fr
rrr
×=ττττ , donde ( ) ( ) j,i,r m552m505 −=
r
y
( )kˆ,F N10345 5
×=
s
.
Solución
BAC
rrr
×=
θ
A
r
B
r
Fig. 2.11

Vectores 28
( ) ( )jˆ,iˆ,
,
,,
kˆjˆiˆ
Fr Nm10942Nm10361Nm
1034500
0552505 66
5
×−×−=










×
−=×=
rrr
ττττ
2.8. FUERZA Y VECTORES
Un empuje o tirón que tiende a provocar movimiento, recibe el nombre de fuerza. Un
resorte estirado ejerce fuerzas sobre los objetos a los cuales están unidos sus
extremos, el aire comprimido ejerce fuerzas sobre las paredes del recipiente que lo
contiene, y un tractor ejerce una fuerza sobre el camión que tira de él. Es probable
que la fuerza más familiar sea la fuerza de atracción gravitacional ejercida sobre todo
cuerpo por la Tierra, que se denomina peso del cuerpo. Existe una fuerza definida aun
cuando no haya contacto entre la Tierra y los cuerpos que atrae. El peso como una
cantidad vectorial está dirigida hacia el centro de la Tierra.
La unidad de fuerza del SI es el newton (N).
2.8.1. Fuerza resultante
Cuando dos o más fuerzas actúan en el mismo punto sobre un objeto, se denominan
fuerzas concurrentes. Su efecto combinado recibe el nombre de fuerza resultante.
La fuerza resultante es aquella fuerza única que producirá el mismo efecto en
magnitud y dirección que dos o más fuerzas concurrentes.
Las fuerzas resultantes pueden calcularse de manera gráfica representándose cada
fuerza concurrente como un vector. El método del polígono o el método de
componentes para la suma de vectores darán entonces la fuerza resultante.

Vectores 29
2.9. PROPIEDADES DE LOS VECTORES
Propiedad Explicación Figura Representación
Igualdad A = B si A=B y
sus direcciones
son iguales
Adición C = A + B
Propiedad Explicación Figura Representación
Negativo de A = −B si B=A y
un vector su dirección es opuesta
Sustracción C = A − B
Multiplicación B = sA si B= sA y
por un escalar la dirección de B y A
son iguales
AX = BX
AY = BY
AZ = BZ
A B
CX = AX + BX
Cy = Ay + By
Cz = Az + Bz
A
B
CX = AX − BX
Cy = Ay − By
Cz = AZ − BZ
B
A
sA
BX = sAX
BY = sAY
BZ = sAZ
A
C B
AX = −BX
AY = −BY
AZ = −BZ
A B
C
−B

Vectores 30
2.10.PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Si la figura es un cuadrado de 10 cm de lado, hallar el módulo
o magnitud de la resultante, si M y N son puntos medios.
Respuesta. cm25
2. Determine el módulo o magnitud de la
resultante de los vectores mostrados.
Respuesta. N320
3. Hallar el módulo de la resultante de los
vectores mostrados.
Respuesta. 5,0 N
4. Si la figura es un hexágono regular de 10 cm de lado, hallar
el módulo de la resultante de los vectores que se muestran.
Respuesta. 10 cm
5. Si la resultante de los vectores mostrados es un
vector vertical, hallar el módulo de C.
Respuesta. 21 N
A = 20 N
B = 20 N
60º
N
10 cm
M
B = 10 N A = 10√2 N
37º
45º
x
C = 15 N
y
10 cm
4√3 N
60º
37º
C x
25 N
y

Vectores 31
2.11.AUTOEVALUACIÓN
1. Hallar el módulo de la resultante de los vectores
graficados.
a) 8,0 cm
b) 10 cm
c) 20 cm
d) 1,0 cm
e) 15 cm
2. A partir de los vectores mostrados, determine:
DCBA
rrrr
−+− 32
Datos: A = 20 m, B = 30 m, C = 10 m y D = 50 m.
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
3. ¿Cuál es el módulo de la resultante de
los tres vectores mostrados?
a) 5 √3 cm
b) 5,0 cm
c) 10 √3 cm
d) 10 cm
e) −5,0 cm
A
r
A
B
r
C
r
D
r
16 cm
12 cm
10 cm
37º
20 cm
30 cm
10 cm
60º 120º
120º
60º

Vectores 32
4. En el cubo de lado a que se muestra, hallar el módulo del
vector DCBAR
rrrrr
−−+= .
a) a
b) 2a
c) 4a
d) 2a
e) a22
5. El gráfico que se muestra es una pirámide recta cuya
base es un cuadrado de lado a. Si su altura es igual a
2a , hallar el módulo de la resultante de los vectores
que se indican.
a) 2a
b) 22a
c) 24a
d) 26a
e) 28a
A
r
B
r C
r
D
r

Cinemática 33
3. CINEMÁTICA
Se vive en un mundo donde a simple vista, se aprecia que todo está en movimiento:
un hombre caminando, un ave volando, un pez nadando, un motor que tira, un río que
fluye, una corriente de agua, un automóvil en marcha, un avión en vuelo, el Sol y la
Luna se mueven respecto a la Tierra.
El movimiento es un fenómeno que consiste en el cambio de posición que realiza un
cuerpo, en cada instante con respecto a un sistema de referencia, el cual se considera
fijo.
3.1. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO
Los elementos del movimiento son:
• MOVIL. Es el cuerpo que realiza el movimiento.
• TRAYECTORIA. Es la línea recta o curva que describe el móvil.
• POSICION. Es un vector que indica la posición de un móvil, empieza en el origen
de coordenadas y termina en el móvil. Se representa por
( ) kˆjˆiˆr zyxt ++=
r
.
• DESPLAZAMIENTO. Se define para un intervalo de tiempo (t1, t2). Es el vector que
va desde la posición en t1 hasta la posición en t2.
( ) ( ) ( )ttt 12 rrr
rrr
−=∆

Cinemática 34
• INTERVALO DE TIEMPO (∆t). Es el tiempo transcurrido desde un instante t1 hasta
un instante t2: ∆t = t2 – t1.
• VELOCIDAD MEDIA. Es la relación entre el vector deplazamiento y el intervalo de
tiempo empleado:
( ) ( ) ( )
12
12
tt
tt
t
t
m
−
−
=
∆
∆
=
rrr
v
rrr
r
Se mide en m/s y tiene la misma dirección que el desplazamiento.
• RAPIDEZ MEDIA. La rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el
tiempo total empleado.
empleadotiempo
recorridadistancia
=mr
La rapidez media es una cantidad escalar y es diferente a la velocidad media. Por
ejemplo si partes de tu casa y después de un tiempo retornas a ella, tu
desplazamiento será nulo al igual que la velocidad media. Sin embargo si habrá
rapidez media ya que realizaste cierta distacia o espacio recorrido.
• VELOCIDAD INSTANTÁNEA. Es la derivada del vector posición respecto del
tiempo:
( ) ( )
td
td
t
r
v
r
r
=
Esta expresión podemos expresarla en función de sus componentes:
( )
td
txd
v x = ,
( )
td
tyd
vy = ,
( )
td
tzd
vz =
Revisa el Apéndice I para que revises ejercicios de derivación.
• RAPIDEZ INSTANTÁNEA. Es el módulo o valor de la velocidad instantánea.

Cinemática 35
• ACELERACION MEDIA. Se define la aceleración media como la rapidez del cambio
de la velocidad instantánea en un determinado intervalo de tiempo:
( ) ( ) ( )
12
12
tt
tt
t
t
m
−
−
=
∆
∆
=
vvv
a
rrr
r
• ACELERACIÓN INSTANTÁNEA. es igual a la derivada del vector velocidad
instantánea respecto del tiempo t:
( ) ( )
td
td
t
v
a
r
r
=
Esta expresión podemos expresarla en función de sus componentes:
( )
td
tvd
a x
x = ,
( )
td
tdv
a
y
y = ,
( )
td
tvd
a z
z =
3.2. CINEMÁTICA EN UNA DIMENSIÓN
Es el que se realiza a lo largo de una línea que puede ser horizontal, vertical o
inclinada. Estudiaremos dos clases de estos movimientos: Movimiento Rectilíneo
Uniforme (MRU) y Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV).
Trayectoria del
móvil
Vector velocidad
instantánea, v
r
Vector posición, r
r
x
y

Cinemática 36
3.2.1. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
Es el movimiento que realiza un móvil por una trayectoria recta, con velocidad
constante.
Ejemplo. El automóvil viaja por una trayectoria recta, recorriendo espacios en tiempos
iguales.
v
Ecuaciones del MRU
La velocidad es constante e independiente del tiempo transcurrido.
La distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo empleado.
Ecuaciones:
Posición : x = xo + v t
Desplazamiento : ∆x = x − xo
Siendo xo la posición inicial del móvil. Observe que no es necesario escribir las
ecuaciones en notación vectorial ya que el movimiento es en una dimensión.
Tabla 3.1. Unidades de distancia, tiempo y velocidad
UNIDADES DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD
SI m s m/s
De uso
popular
km h km/h

Cinemática 37
3.2.2. Análisis de gráficas del MRU
Gráfica posición (x) – tiempo (t)
Se va a representar gráficamente la distancia recorrida por un móvil que viaja con una
velocidad de 40 m/s con movimiento rectilíneo uniforme y que parte del origen de
coordenadas xo = 0 m.
t = 0 s x = xo
t = 1 s x1 = 0 + 40 m/s × 1 s = 40 m
t = 2 s x2 = 0 + 40 m/s × 2 s = 80 m
t = 3 s x3 = 0 + 40 m/s × 3 s = 120 m
t = 4 s x4 = 0 + 40 m/s × 4 s = 160 m
Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.
x(m) 0 40 80 120 160 200 240
t(s) 0 1 2 3 4 5 6
En la gráfica se representan los tiempos empleados en el eje de las abscisas y las
distancias recorridas en el eje de las ordenadas, obteniendo el siguiente gráfico.
m/s40
2
80
2-4
80-160
Pendiente +===
∆
∆
=
t
x
que es la velocidad media.
x (m)
t (s)
0 2 4
160
80
∆t
∆x

Cinemática 38
Análisis de la gráfica. En el MRU la gráfica de la posición x en función del tiempo es
una línea recta que pasa por el origen cuando xo = 0, por tanto es una función lineal.
Se encuentra que a intervalos de tiempos iguales (∆t), le corresponde
desplazamientos iguales (∆x). La pendiente de la recta x vs t representa la velocidad
media del móvil.
Pendiente = ∆x / ∆t
En el MRU la velocidad es constante.
Gráfica velocidad – tiempo
Se va a representar gráficamente la velocidad de un cuerpo que recorre una
trayectoria recta de 30 m en cada segundo.
t1 = 1s x1 = 30 m v = 30/1 m/s = 30 m/s
t2 = 1s x2 = 60 m v = 60/2 m/s = 30 m/s
t3 = 1s x3 = 90 m v = 90/3 m/s = 30 m/s
t4 = 1s x4 = 120 m v = 120/4 m/s = 30 m/s
Los datos obtenidos se muestran en la siguiente tabla.
v (m/s) 30 30 30 30 30 30 30
t (s) 0 1 2 3 4 5 6
Al representar los tiempos empleados en el eje de las abscisas y la velocidad en el eje
de la ordenada, se obtiene el siguiente gráfico:
v (m/s)
t (s)
0 2 4
30
∆t
Desplazamiento, ∆x
v

Cinemática 39
Análisis de la gráfica. El valor de la pendiente en la gráfica v vs t es constante e igual
a 30 m/s para todos los intervalos de la recta.
La altura en la gráfica v vs t indica la velocidad media y el eje horizontal el intervalo de
tiempo. El valor de la velocidad multiplicada por un intervalo de tiempo define el área
del rectángulo que es el desplazamiento del móvil, por tanto, en toda gráfica v - t, el
área debajo de la gráfica representa el desplazamiento efectuado por el móvil.
Las unidades de esta área no son metros cuadrados por que un lado del rectángulo
está medido en segundos y el otro lado en metros por segundo.
1. Un automóvil se mueve con velocidad constante v = 72 m/s. Se pide:
a) Una expresión para la posición x(t)
b) La posición en t = 20 s.
c) El desplazamiento entre t = 10 s hasta t = 20 s.
d) Haga una gráfica x vs. t.
Solución (a)
Considerando que el móvil parte desde un origen de coordenadas, es decir xo = 0,
escribimos:
Posición: x(t) = xo + v t = 0 + 72 t
x (t) = 72t
Solución (b)
Para t = 20 s, se tiene: x (20) = 72 (20) = 1 440 m
x (20) = 1 440 m
Solución (c)
∆x = v ∆t = 72 (20 − 10) = 720 m
∆x = 720 m

Cinemática 40
2. Un automóvil parte del kilómetro cero de una carretera, desarrollando 100 km/h
durante una hora; se detiene por completo durante 0,50 h, luego regresa a 50
km/h durante 1,0 hora, vuelve a detenerse 0,50 h y finalmente vuelve al punto de
partida a 50 km/h. Si cada tramo se realiza con un MRU, se pide:
a) Traza la gráfica de la velocidad (v) en función del tiempo (t).
b) Traza la gráfica de la posición (x) en función del tiempo (t).
Solución (a)
Solución (b)
Primer tramo: 0 ≤ t ≤ 1h x = xo+ v t = 0 + 100 t = 100 t
Segundo tramo: 1 ≤ t ≤ 1,5h x = xo+ v t = 100 +0 t = 100 km
Tercer tramo: 1,5 ≤ t ≤ 2,5h x = xo+ v t = 100 – 50 (t - 1,5)
Cuarto tramo: 2,5 ≤ t ≤ 3h x = xo+ v t = 50 + 0 t = 50 km
Quinto tramo: 3 ≤ t ≤ 4h x = xo+ v t = 50 – 50 (t - 3)
x (m)
t (s)
0 1 2
144
72
∆t
∆x
v (km/h)
100
0
-50
1 2 3 4 t(h)

Cinemática 41
3. Un tren se traslada sobre una vía rectilínea, manteniendo la velocidad constante
de 20 m/s. Sabiendo que el tren parte de un punto considerado como origen, en
el instante to = 0, en movimiento progresivo, y que en el margen de la ferrovía
existen postes espaciados a intervalos regulares de 100 m, determine:
a) La ecuación de movimiento con respecto al tiempo
b) El tiempo transcurrido durante el paso de dos postes consecutivos, para
un observador en el tren.
c) La cantidad de postes que pasan por el observador del ítem b en 1 minuto.
Solución (a)
Datos: v = 20 m/s, t0 = 0 s, x0 = 0 m
Distancia entre los postes = 100 m.
Siendo el movimiento uniforme:
x = xo + v t ⇒ x = 0 + 20 t
x = 20 t
Solución (b)
∆x = x - xo= v t
∆x = v t
100 = 20 t⇔
t = 0,5
20
100
= s
Solución (c)
Utilizando regla de tres:
x (km)
100
50
0
1 2 3 4 t(h)

Cinemática 42
5,0 s _____ 1 poste
60 s _____ n postes
5,0n = 60
n 12
0,5
60
==
n = 12 postes
4. Dos móviles A y B parten simultáneamente de
la misma posición, con velocidades constantes
y respectivamente iguales a 6,0 m/s y 8,0 m/s.
Los móviles recorren los ejes Ox y Oy,
formando un ángulo recto. Determine:
a) Las ecuaciones con respecto al tiempo
de los móviles
b) La distancia que los separa, después de 5,0 segundos de su partida
Solución (a)
Datos:
vA = 6,0 m/s
vB = 8,0 m/s
Para un móvil A, vA = 6,0 m/s y xoA = 0 m. Por tanto, su ecuación de movimiento será
xA = 0 + 6
xA = 6 t
Para móvil B, vB = 8,0 m/s y xoB = 0 m. Por tanto, su ecuación horaria será
xB = 0 + 8 t.
XB = 8 t
Solución (b)
d2
= xA
2
+ xB
2
⇒ d2
= 302
+ 402
= 900 + 1600 = 2500
d = 2500 = 50
d = 50 m.

Cinemática 43
5. Los diagramas temporales de los puntos
materiales A y B, que se desplazan sobre una
misma recta, están representados en la figura.
Determine:
a) Las ecuaciones con respecto al tiempo
b) El instante en que se produce el encuentro
de los móviles
c) La posición del punto de encuentro
d) Los desplazamientos de los móviles hasta el encuentro
e) Los instantes en que la distancia entre los móviles es 40 m.
Solución (a)
Para la obtención de sus ecuaciones horarias determinemos el inicio de sus
velocidades.
vA m/s
)(
tt
xx
t
x
oAA
oAA
A
A
5
6
30
06
300
==
−
−−
=
−
−
=
∆
∆
=
vB m/s
tt
xx
t
x
oBB
oBB
B
B
3
30
90
030
900
−=
−
=
−
−
=
−
−
=
∆
∆
=
vA > 0 ⇒ Movimiento Progresivo
vB < 0 ⇒ Movimiento Retrógrado
Ecuación horaria de A: xA = -30 + 5 t
Ecuación horaria de B: xB = 90 – 3 t
Solución (b)
-30 + 5 t = 90 – 3 t ⇒ 8 t = 120 ⇔ t = 15
8
120
=
t = tE por tanto:
tE = 15 s
Solución (c)
xE = xA = -30 + 5 · 15 = 45 o xE = xB = 90 - 3 · 15 = 45
xE = 45 m

Cinemática 44
Solución (d)
Para un móvil A:
∆xA = xE - xoA = 45 - (-30) = 75 m
Para móvil B:
∆xB = xE - xoB = 45 - 90 = - 45 m
Solución (e)
Antes de encontrar: Después de encontrar:
xB - xA = 40 m xA - xB = 40 m
90 – 3 t - (- 30 + 5 t) = 40 -30 + 5 t - (90 – 3 t) = 40
120 – 8 t = 40 -120 + 8 t =40
8 t = 80 8 t = 160
t = 10
8
80
= t = 20
8
160
=
t = 10 s t = 20 s
6. Un tren de 100 m de longitud mantiene una velocidad constante de 72 km/h.
Determine la longitud del puente por el cual pasa el tren, si el transcurso
completo dura 15 s.
Solución
vtren = 20 m/s
vtren . t1 = 20 · t1 = 100
t1 = 5 s
Tiempo Total = 15 s = t1 + t2
t2 = 10 s
vtren · t2 = Lpuente = 20 · 10 = 200 m
7. Dos móviles se trasladan por la misma carretera, la cual es rectilínea, y sus
desplazamientos obedecen a las ecuaciones horarias x = 10 + 40 t y x' = 330 –
60 t. Los espacios son medidos en kilómetros y los instantes en horas. Si ambos
parten en el mismo instante, determine:

Cinemática 45
a) El instante del encuentro.
b) La posición del encuentro.
c) Los respectivos desplazamientos hasta el encuentro.
d) La distancia que los separa, después de 3 horas de la partida
Solución (a)
x = 10 + 40 t ...(1) (km/h)
x' = 330 – 60 t ...(2) (km/h)
x = x' (encuentro)
de (1) - (2)
0 = -320 + 100 t
t = 3 h 12 min.
Solución (b)
Reemplazando t en (1):
x = 138 km
Solución (c)
∆x = 128 km
∆x' = -192 km
Solución (d)
x = 10 + 40 (3) = 130 km
x' = 330 – 60 (3) = 150 km
x' - x = 20 km
8. La figura ilustra las posiciones de los dos móviles, A y B, que parten en el mismo
instante, con velocidades constantes y respectivamente iguales a 1,2 m/s y 1,6
m/s. La distancia inicial entre los móviles es 40 m. Determine:
a) El tiempo que transcurre desde hasta el instante del encuentro.
b) Las distancias recorridas por los móviles hasta el encuentro.

Cinemática 46
Solución (a)
vA - t = dA ....(1)
vB - t = dB ....(2)
Del gráfico y por pitágoras
(vA t)2
+ (vB t)2
= dA
2
+ dB
2
t
2
(vA
2
+ vB
2
) = 40
2
t = 20 s
Solución (b)
vA(20) = 24 m
vB(20) = 32 m
9. El diagrama registra la variación de las posiciones de los dos móviles, que
caminan sobre la misma recta, en función del tiempo. Sabiéndose que la razón
entre las velocidades de los móviles A y B es 2, determine:
a) Las respectivas velocidades de los móviles.
b) La posición del punto de encuentro.

Cinemática 47
Solución (a)
2=
B
A
v
v
...(1)
xA = -50 + 20 vA
xB = 50 + 20 vB
⇒ t = 20 se cumple xA = xB y de (1):
vB = 5 m/s y vA = 10 m/s
Solución (b)
Remplazando en cualquiera de las ecuaciones de movimiento:
x = -50 + 20 (10) = 150 m
3.2.3. Movimiento rectilineo uniforme variado (MRUV)
Es aquel movimiento que realiza un móvil por una trayectoria recta, variando
progresivamente el valor de la rapidez (v), ya sea aumentando (acelerando) o
disminuyendo (desacelerando o retardado) esta variación depende de la aceleración y
esta aceleración es una magnitud constante.
Ecuaciones del MRUV
• Aceleración media o instantánea a = ∆v/∆t es constante en el tiempo.

Cinemática 48
• Velocidad instantánea v(t) = vo + a t
La gráfica velocidad en función del tiempo es una recta cuya pendiente puede ser
positiva (+) cuando la velocidad aumenta y negativa (-) cuando la velocidad
disminuye.
• La posición x(t) tiene una relación cuadrática con el tiempo.
x(t) = xo + vo t + a t2
/2
La gráfica x - t corresponde a una parábola.
• Reuniendo las ecuaciones de la velocidad y de la posición, se obtiene:
v2
= vo
2
+ 2a (x − xo)
IMPORTANTE: Recuerde que:
• Cuando el móvil parte del reposo la velocidad inicial vo es igual a 0,
• el desplazamiento recorrido por un móvil, es igual al área en una gráfica v – t y
• la aceleración es igual a la pendiente en una gráfica v – t.
v (m/s)
V0
v (m/s)
V0
t(s) t(s)
a > 0 a < 0
xo
x (m)
t (s)
a > 0
xo
x (m)
t (s)
a < 0

Cinemática 49
Tabla 3.2. Unidades de distancia, tiempo, velocidad y aceleración
UNIDADES DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD ACELERACIÓN
SI m s m/s m/s2
De uso
popular
km h km/h km/h2
3.2.4. Análisis de gráficas de MRUV
Gráfica de la velocidad (v) – tiempo (t)
Representamos la velocidad en el eje de las ordenadas, mientras que el tiempo en el
eje de la abscisa, de un cuerpo que parte del reposo (vi = 0) que se mueve con una
aceleración de 4 m/s2
.
vt = v1 + a t
vt = 0 + (4 m/s
2
) (0 s) = 0 m/s
2
vt = 0 + (4 m/s2
) (1 s) = 4 m/s2
vt = 0 + (4 m/s
2
) (2 s) = 8 m/s
2
vt = 0 + (4 m/s2
) (3 s) = 12 m/s2
Registramos los datos obtenidos en la tabla y graficando obtenemos:
v(m/s) 0 4 8 12 16 20 24
t(s) 0 1 2 3 4 5 6
v (m/s)
t (s)
0 2 4
16
8
∆t
∆v
Pendiente:
a = ∆v/∆t= 4 m/s
2

Cinemática 50
Análisis de la gráfica. La gráfica v – t es una línea recta.
La recta pasa por el origen de coordenadas, debido a que el móvil parte sin
velocidad inicial.
La pendiente de la recta es la constante, que en este caso viene a ser la
aceleración.
Aceleración = pendiente en gráfica v – t
El desplazamiento es el área debajo la gráfica.
Gráfica de la posición (x) – tiempo (t)
Representamos la posición x en el eje de la ordenada y el tiempo en la abscisa, para
un cuerpo que parte del reposo (vo = 0) y del origen de coordenadas (xo = 0),
moviéndose con una aceleración de 2 m/s2
.
Aplicando la fórmula: x(t) = xo + vot + a t2
/2
Se registra los datos obtenidos en la tabla y se grafica:
x(m) 0 1 4 9 16 25
t(s) 0 1 2 3 4 5
t2
(s2
) 0 1 4 9 16 25
Linealizamos la gráfica (x vs t
2
), con el objeto de hallar la pendiente, elevando los

Cinemática 51
datos del tiempo al cuadrado en la tabla.
Análisis de la gráfica 1. La gráfica posición (x) en función del tiempo es una
parábola.
La parábola siempre pasa por el origen, debido a que el móvil parte desde el reposo
(velocidad inicial = 0).
El movimiento tiene aceleración positiva porque la parábola es cóncava hacia arriba.
Análisis de la gráfica 2. La gráfica muestra que la distancia es directamente
proporcional al cuadrado de los tiempos.
La pendiente de la gráfica es igual a la mitad de la aceleración (a/2) cuando el móvil
parte del reposo.
10. Un vehículo que se desplaza a 10 m/s, debe parar después de 10 s que el
conductor frena. Se pide:
a) Representar las gráficas v - t y x - t
b) ¿Cuál es el valor de la aceleración, en el MRUV, que los frenos deben
imprimir al vehículo?
c) Escriba las ecuaciones v(t) y x(t).
d) ¿Cuál es la distancia que recorre el vehículo en esta frenada?
Solución (a)
Solución (b)
Aceleración, a = ∆v/∆t = (0 – 10) / (10 – 0) = –1m/s2

Cinemática 52
Solución (c)
Ecuación para la velocidad: v= vo + a t = 10 + (-1) t = 10 – t
Ecuación para la posición: x(t) = xo + vo t + a t
2
/2 = 0 + (10) t + (-1) t
2
/2
= 10 t – t2
/2
Solución (d)
De la ecuación v
2
= vo
2
+ 2a (x - xo), obtenemos
0 = (10)2
+ 2 (-1)(x-0)
x = 50 m
11. Un auto se mueve con una velocidad de 5 m/s cuando el conductor pise el
acelerador, el movimiento pasa a ser uniformemente acelerado, alcanzando una
velocidad de 35 m/s en 3 s. Se pide:
a) Trazar las gráficas v - t y x - t.
b) Calcular la aceleración del auto.
c) Escribir las ecuaciones v(t) y x(t).
d) Hallar la distancia alcanzada.
Solución (a)
v (m/s) x(m)
35
5
t(s) t(s)
Solución (b)
Aceleración a = ∆v/∆t = (35-5) / (3-0) = 10 m/s
2
Solución (c)
Ecuación para la velocidad. v(t) = vo + a t = 5 + 10 t
2

Cinemática 53
Ecuación para la posición. x(t) = xo + vo t + a t
2
/2 = 0 + 5 t + 10(t
2
)/2
= 5 t + 5 t2
Solución (d)
La distancia corresponde al valor de x cuando t = 3 s
x = 5 (3) +5 (3)2
= 60 m
12. En el instante en que una señal de tránsito cambia a verde, un automóvil se
pone en movimiento con la aceleración de 1,8 m/s2
. En el mismo instante pasa
un tranvía con velocidad uniforme de 9,0 m/s, en la misma dirección del
automóvil. Se pide:
a) Graficar v - t y x – t.
b) Escriba las ecuaciones x(t) y v(t) para el automóvil y el tren.
c) ¿Qué velocidad tendrá cuando alcanza el auto al tranvía?
d) ¿A qué distancia lo alcanza?
Solución (a)
Solución (b)
Para el automóvil
Posición: x(t) = x o + vo t + a t
2
/2 = 0 + 0(t) + 1,8(t
2
)/2 = 0,9 t
2
Velocidad: v(t) = vo + a t = 0 + 1,8 t = 1,8 t
Para el tren
Posición: x (t) = x o + vot + a t2
/2 = 0 + 9(t) + 0(t2
)/2 = 9 t
Velocidad: v(t) = vo + a t = 9 + 0 t = 9 m/s = constante (MRU)
Solución (c)

Cinemática 54
En el punto de encuentro las posiciones x son iguales, por tanto:
0,9 t
2
= 9 t 1ra solución: t = 0
2da solución: t = 10 s
La velocidad del automóvil cuando lo alcanza es: v = 1,8(10) = 18 m/s
Solución (d)
Lo alcanza en x = 9(10) = 90 m
13. Un punto material recorre el eje Ox con las velocidades indicadas en el
diagrama. En el instante inicial to = 0, el móvil pasa por el origen de las abscisas
x o = 0. Determine:
a) La aceleración
b) La ecuación de la velocidad
c) La ecuación con respecto al tiempo
d) La posición del móvil en el instante t = 5 s.
e) El desplazamiento en los 10 s iniciales.
Solución
a) Sabemos que a =
∆x
∆v
y que:
∆t = 5 - 0 = 5 s

Cinemática 55
∆v = 0 - 20 = -20 m/s
La aceleración será: a =
5
20−
= -4 m/s2
b) v = vo + a t ∴ v = 20 – 4 t
c) x = 0 + 20 t +
2
4−
t2
d) Para t = 5 s, la posición del móvil será:
x = 50 m
e) Observando el gráfico v - t, verificamos que:
Área del triángulo superior = 50 (entre 0 s y 5 s)
Área del triángulo inferior = -50 (entre 5 s y 10 s)
Por tanto, el desplazamiento entre 0 s y 10 s será:
∆x = 0 m
14. Un punto material recorre
el eje x con velocidad que
varia en el tiempo, según
el diagrama, determine:
a) La aceleración.
b) La ecuación de la
velocidad.
c) El desplazamiento en
los 25 s iniciales.
Solución
a) a = =
∆t
∆v
1 m/s
2
b) De: v = vo + a t
Siendo para t = 0 ⇒ vo = 10 m/s
v = -10 + t
c) Del diagrama:
A1 + A2 = 62,5 m

Cinemática 56
15. Una partícula recorre una
recta con velocidad que
varia según el diagrama.
Determine:
d) Las aceleraciones
en los trechos AB y
BC.
e) El instante en que el
desplazamiento es
máximo.
f) El desplazamiento en el instante t = 30 s.
Solución
a) Tramo AB ⇒ a = =
∆
∆
t
v
0,8 m/s2
Tramo BC ⇒ a = -0,8 m/s
2
b) 20 s
c) A1 + A2 = 40 m
16. Dos móviles A y B parten
simultáneamente de la misma posición y
recorren el eje Ox. El diagrama representa
las velocidades de los móviles en función
del tiempo. Determine:
a) El instante del encuentro
b) El instante en que la razón entre las
velocidades de B y de A es igual a
3.
Solución
a) vA = 4 t
vB = 10 + 2 t
xA = xoA + 2 t2
...(1)
xB = xoB + 10 t + t2
...(2)
v (m/s)
t (s)
10
20
0 5
A
B

Cinemática 57
En el encuentro xA = xB y como parten de la misma posición xoA = xoB, así:
Restando (1) - (2):
t = 10 s
b) =
A
B
v
v
3 =
4t
2t10 +
t = 1 s
17. La posición x de un cuerpo, que se mueve a lo largo de una recta, en función
del tiempo t, es mostrada en el gráfico. Para cada uno de los cuatro intervalos
señalados en el gráfico, indique:
a) Si la velocidad es positiva, negativa o nula.
b) Si la aceleración es positiva, negativa o nula.
Solución (a)
Se observa que en todo momento el movimiento se realiza en la dirección positiva del
eje x, por lo tanto en los intervalos I, II y III la velocidad es positiva y en el intervalo IV
la velocidad es nula.
Solución (b)
Analicemos la concavidad de la gráfica en:
Intervalo I : Hacia arriba : a > 0
Intervalo II : Recta : a = 0
Intervalo III : Hacia abajo : a < 0
Intervalo IV : Recta : a = 0

Cinemática 58
18. Una partícula recorre el eje x. En el instante to = 0
el espacio inicial es xo = 0. En el diagrama se
representa la velocidad de la partícula en función
del tiempo. Determine:
a) La aceleración de la partícula.
b) Los tipos de movimiento entre los instantes 0
y 15 s y 15 s y 30 s.
c) El desplazamiento en los 15 s iniciales y entre 15 s y 30 s.
d) La posición del móvil en el instante 15 s y en el instante 30 s.
Solución
a) vf = vo + a t entonces a = 2 m/s2
b) De 0 s - 15 s
a es positivo y v negativo
El movimiento es uniformemente acelerado.
De 15 s – 30 s
a es positivo y v positivo
El movimiento es uniformemente acelerado.
c) De 0 - 15 s
d = vo t +
2
1
a t
2
= -225 m
De 15 s – 30 s
d = 225 m
d) En el instante
t = 15 s ⇒ x = -225 m
t = 30 s ⇒ x = 0 m
Luego en t = 30 s el móvil regresa a su posición inicial.

Cinemática 59
19. Un punto material describe un movimiento rectilíneo, partiendo de un punto
donde se encontraba en reposo. Se observa que su velocidad varía con el
tiempo, indicado por un reloj, de acuerdo con los valores medidos y tabulados a
continuación.
a) Construya, en papel milimetrado, el gráfico de v en función de t.
b) A partir de la curva ajustada en el gráfico del ítem anterior, calcule la
distancia recorrida por el punto material entre t1 = 1,5 s y t2 = 4,5 s.
Solución (a)
Solución (b)
Sabiendo las velocidades en los puntos t1 = 1,5 s y t2 = 4,5 s, usamos:
v2
2
= v1
2
+ 2 a·∆x ...(1)
(6,77)2
= (2,25)2
+ 2a·∆x ...(2)
De la parte primera se sabe que la aceleración es 1,5 m/s2
Luego remplazando en (2): ∆x = 13,5 m

Cinemática 60
20. A partir del gráfico construido para resolver la pregunta anterior. Determine:
a) La velocidad media del punto material entre los instantes t1 = 1,0 s y t2 =
6,0 s.
b) La aceleración del punto material.
Solución (a)
La velocidad media es:
vm =
2
vv t2t1 +
...(1)
Necesitamos vi para t1 = 1 s, luego:
∆x· t1 = vo t1 +
2
1
a t1
2
= 0,75 m (con a = 1,5 m/s2
)
y su velocidad será vt1 = 1,5 m/s ...(2)
Remplazando (2) en (1):
vm = 1,5 +
2
978,
= 5,24 m/s
Solución (b)
a = tg α =
10
8714,
= 1,49 m/s
2
3.2.5. Movimiento de caída libre
La caída libre es un caso particular del MRUV siendo la aceleración la gravedad (g =
9,8 m/s2
) un vector vertical hacia abajo. El movimiento descrito es acelerado con
trayectoria rectilínea vertical; no se tiene en cuenta la resistencia del aire.
La aceleración de la gravedad no es una constante en la superficie de la tierra, esto se
debe a que la tierra noes perfectamente esférica y además posee superficies
accidentadas. Los valores de la gravedad son:
En los polos g = 9,83 m/s2
En el ecuador g = 9,79 m/s
2

Cinemática 61
Observe que:
• El movimiento de subida es desacelerado o retardado
alcanzando el móvil una altura máxima en cuyo instante
su velocidad es cero.
• El movimiento de caída libre es rectilíneo y
uniformemente acelerado.
• En el vacío todos los cuerpos caen con la misma
aceleración.
• A una misma altura, el tiempo de subida y el tiempo de
bajada son iguales.
• A una misma altura, el módulo de la velocidad de subida y de bajada son iguales.
Ecuaciones de caída libre
Como el movimiento de caída libre es un caso particular del MRUV, las fórmulas son
las mismas, siendo la aceleración ya conocida (g) y la posición la identificamos por la
coordenada “y”. Así tenemos:
v = vo − g t
v2
= vo
2
− 2 g (y − yo)
y = yo + vo t − g t2
/2

Cinemática 62
21. Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de 20 m/s.
Se pide:
a) Graficar v - t, y – t.
b) Escriba las ecuaciones y(t) y v(t).
c) ¿En qué tiempo alcanza su altura máxima?
d) ¿Cuál es la altura máxima?
e) ¿En qué tiempo regresa al punto de lanzamiento?
Solución (a)
Solución (b)
Posición: y = yo + vo t - g t2
/2 = 0 + 20(t) – 9,8(t2
)/2 = 20 t – 4,9 t2
Velocidad: v = vo – g t = 20 – 9,8 t
Solución (c)
El tiempo de subida se obtiene cuando v = 20 – 9,8 t = 0, es decir
t = 20/9,8 = 2,02 s
Solución (d)
La altura máxima se alcanza cuando v2
= vo
2
- 2 g h = 0, es decir
h = vo
2
/2g = (20)2
/(2·9,8) = 20,4 m
Solución (e)
Regresa al punto de lanzamiento cuando y = 20 t – 4,9 t2
= 0, es decir
t = 20/4,9 = 4,08 s
hmax
y (m)
t (s)
v = 0
v (m/s)
t (s)
20
hmax

Cinemática 63
22. Desde lo alto de un edificio se lanza una pelota, verticalmente hacia abajo, con
una velocidad inicial de 14 m/s y tarda 2,0 s en llegar al piso. Se pide:
a) Graficar y - t y v – t.
b) La altura de donde fue lanzada la pelota.
c) Escribir las ecuaciones y(t) y v(t)
d) La velocidad con que la pelota llega al piso.
Solución (a)
Solución (b)
La altura desde donde se lanzo debe cumplir:
y = yo + vo t - g t
2
/2 = H – 14(2) – 4,9(2)
2
= 0, resultando H = 47,6 m
Solución (c)
Posición. y = yo + vo t - g t
2
/2 = -14 t – 4,9 t
2
Velocidad v = vo – g t = -14 – 9,8 t
Solución (d)
La velocidad de llegada, se obtiene de: v = -14 – 9,8(2) = -33,6 m/s
hmax
y (m)
t (s)
0 2,0
v (m/s)
t (s)
−14
0 2,0

Cinemática 64
23. Un observador ve desde su ventana, un cuerpo caer con velocidad de 10 m/s.
Otro observador, situado a 75 m debajo del primero, observa el mismo objeto
pasar en caída libre y alcanzar el suelo en 1,0 s, considerando la aceleración de
la gravedad local igual a 10 m/s2
, determine:
a) La velocidad del móvil al pasar por el segundo observador
b) El tiempo que le toma al cuerpo para ir del primero al segundo observador.
c) La altura relativa del segundo observador al suelo.
d) La altura de caída del cuerpo relativa al suelo, desde el instante en que es
abandonado.
Solución
a) En el tramo entre el 1o
y el 2o
observador:
vo = v1 = 10 m/s
v = v2 = ?
h = ∆h2 = 75 m
g = 10 m/s
2
Sustituyendo estos datos en:
v
2
= vo
2
+ 2gh
v2 = 40 m/s
b) En el tramo entre el 1o
y el 2o
observador:
vo = v1 = 10 m/s t = t2 = ?
v = v2 = 40 m/s g = 10 m/s2
Sustituyendo:
t2 = 3,0 s
c) En el tramo entre el 2
o
observador:
h = ∆h3 = ?
vo = v2 = 40 m/s
Sustituyendo ⇒ ∆h3 = 45 m
d) La caída es de una altura total de : ∆h1 + ∆h2 + ∆h3
Desde el punto inicial hasta el punto en que se localiza el 1er
observador, se
tiene:
vo= 0 , v = v1 = 10 m/s y ∆h1 = ?

Cinemática 65
Sustituyendo en
v
2
= vo
2
+ 2gh ⇒ ∆h1 = 5,0 m
Siendo ∆h2 = 75 m y ∆h3 = 45 m, tenemos:
h = 125 m.
24. Dos esferitas son lanzadas verticalmente de abajo hacia arriba, a partir de la
misma altura, con la misma velocidad inicial de 15 m/s, pero con intervalo de
tiempo de 0,5 s entre los lanzamientos. Despreciando la resistencia del aire,
realice en el mismo sistema de ejes, los gráficos de velocidad en función del
tiempo para las dos esferitas. Indique en los ejes las unidades de medida.
Determine también el instante en que las alturas de las dos esferitas coinciden y
justifique sus respuestas.
Solución
La altura máxima alcanzada es igual para las dos esferas, pues la resistencia del aire
fue despreciada.
El tiempo de ascenso de la esfera A es:
ta = 1,5
g
vo
−=− s
Como t'a = ta + t'o ⇒ t'a = 2,0 s
Las esferas A y B tendrán la misma altura, en el instante en que la primera estuviera
en caída y la segunda estuviera ascendiendo, cuando el tiempo transcurrido para A
fuera t, para la esfera B será (t - 0,5), pues hay un desfase de 0,5 s entre ambas.

Cinemática 66
Las observaciones correspondientes serán:
A ⇒ hA = 15 t + 2
t
2
10−
B ⇒ hB = 15(t-0,5) + 2
0,5)(t
2
10
−
−
Igualando hA = hB ⇒ t = 1,75 s
Podemos llegar a la observación de t = 1,75 s a través de la observación del gráfico
anterior.
• El área A representa la altura de caída de la esfera A.
• El área B representa la altura que le falta a la esfera B para alcanzar la altura
máxima.
Para que el área A sea igual al área B, el instante t deberá ser el punto medio entre
1,5 s y 2,0 s. Así las esferas A y B estarán en la misma altura en el instante t = 1,75 s.

Cinemática 67
25. La figura representa la velocidad en función del tiempo, de un cuerpo que fue
lanzado de abajo para arriba (t = 0 representa el instante del lanzamiento).
¿Cual es la mayor altura que él alcanza en relación al punto de lanzamiento?
Justifique su respuesta.
Solución
Calculemos el tiempo que toma el alcanzar su máxima altura (vf = 0):
vf = vo – g t
0 = 10 – 10 t ⇒ t = 1s
con t = 1 s calculamos la altura correspondiente:
h = 10(1) - 5 = 5 m.
26. Un proyectil es lanzado desde el suelo, en dirección vertical, con una velocidad
inicial de 400 m/s. Considerando la aceleración de la gravedad igual a 10 m/s2
y
despreciando la resistencia del aire, determine:
a) La altura máxima alcanzada.
b) El tiempo empleado por el proyectil hasta regresar a la posición inicial.
c) La altura, desde el suelo, en que ocurre el encuentro con un segundo
proyectil, soltado en el instante del lanzamiento del primer proyectil y
desde el punto de altura máxima por este alcanzado.
Solución
a) Hallando el tiempo empleado en alcanzar la altura máxima:
vf = vo – g t ⇒ t = 40 s
Entonces hmax = 400(t) - 5(t2
) = 8 000 m

Cinemática 68
b) Para subir emplea 40 s y despreciando la resistencia del aire, se cumple:
tsalida = tbajada ⇒ ttotal = 80 s
c) Para el proyectil (1):
vf1 = 400 – 10 t
Para el proyectil (2):
vf2 = -10 t
Pero vf1 = vf2 ⇒ t = 20 s
Ahora:
h = 400(20) - 5(20)2
= 6000 m, que es la altura del punto de encuentro.
27. Un cuerpo abandonado cae, en caída libre, de una altura de 125 m del suelo, en
un local donde la aceleración de la gravedad es 10 m/s2
. Determine:
a) El tiempo de recorrido.
b) La velocidad con que llega al suelo.
c) La altura del punto donde el cuerpo pasa con velocidad igual a la quinta
parte de la velocidad máxima.
Solución
h = 125 m
a) ⇒ 125 = 5 t2
⇒ t = 5s
b) La velocidad con que llega al suelo es:
vf = vo + g t = 50 m/s
c) La vmax = 50 m/s, entonces:
La altura para v = 10 m/s:
vf
2
= vo
2
+ 2gh ⇒ h = 5 m
Es decir que el punto esta a 5 m de nuestro nivel de referencia, entonces la
altura de este punto es 120 m.

Cinemática 69
28. Un cuerpo A es abandonado, en caída libre, de una altura de 120 m sobre el
suelo. En el mismo instante se lanza un cuerpo B, de abajo para arriba, en la
misma dirección, con velocidad voB. Demuestre que la aceleración de la
gravedad local es de 10 m/s2
y que los y que los cuerpos chocan 3,0 s después
de iniciado los movimientos. Determine:
a) La velocidad voB.
b) Las velocidades de los cuerpos A y B en el instante del choque.
c) La altura donde ocurre el encuentro.
Solución
Tiempo de choque = 3,0 s.
a) hA= 120 -
2
1
(10)(3,0)2
= 75 m
hB = 75 m = voBt -
2
1
(10)(3,0) ⇒ voB = 40 m/s
b) vfA = -30 m
vfB = 10 m/s
c) a 75 m del suelo
29. A 180 m del suelo se abandona un cuerpo, en caída libre. La altura es dividida
en tres trechos tales que los tiempos utilizados en los diversos trechos son
iguales. Suponiendo la aceleración de la gravedad local igual a 10 m/s2
.
Determine:
a) La altura de cada trecho
b) La velocidad media en cada trecho.

Cinemática 70
Solución (a)
Calcularemos las alturas correspondientes a cada tramo del movimiento:
hA = 180 -
2
1
(10)t2
hB = 180 -
2
1
(10)(2t)
2
hC = 180 -
2
1
(10)(3t)2
Pero hC = 0 (al nivel del suelo), luego t = 2 s.
∴ hA = 160 m y hB = 100 m
Con lo que tenemos en el primer tramo una separación de 20 m, en el segundo tramo
60 m y en el tercer tramo 100 m.
Solución (b)
vfA = vo - g(2) = - 20 m/s ⇒ vmA = - 10 m/s
vfB = - 40 m/s ⇒ vmB = - 30 m/s
vfC = -60 m/s ⇒ vmC = - 50 m/s
30. Del alto de un muro, de altura 40 m, se lanza una piedra, de abajo para arriba,
con velocidad de 10 m/s. Sabiendo que la aceleración de la gravedad local es de
10 m/s2
y suponiendo despreciable la resistencia del aire. Determine:
a) El tiempo empleado por la piedra hasta alcanzar el suelo.
b) La velocidad con que la piedra llega al suelo.
c) La altura máxima alcanzada por la piedra con respecto al suelo.
d) El gráfico de velocidad en función del tiempo, suponiendo un eje orientado
de abajo para arriba.

Cinemática 71
Solución
vo = 10 m/s y considerando el nivel de referencia desde la posición inicial y con la
coordenada positiva dirigida hacia abajo. La coordenada positiva dirigida hacia abajo.
a) vf = -vo + (10) t ⇒ t = 1 s (con vf = 0 m/s)
El cuerpo toma 2 segundos en pasar por la posición de lanzamiento
(considerando la subida y la bajada), y desde aquí al suelo le toma:
h = 40 = 10(t) + 5 t2
⇒ t = 2 s
El tiempo total que toma hasta llegar al suelo es: t = 4 s.
b) vf = v0 + g(2) ⇒ vf = 30 m/s
c) Se necesita calcular la altura que alcanza en el primer segundo de ser
lanzado:
h = - 5 m
Altura máxima es de 45 m del suelo.
d)
3.3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES O EN UN PLANO
Hay muchos casos importantes de movimientos dentro de un plano. Estudiaremos dos
de ellos: el movimiento de proyectiles y el movimiento circular.

Cinemática 72
3.3.1. Movimiento de proyectiles
Se refiere al movimiento de un objeto que ha sido lanzado horizontalmente o en forma
inclinada. La trayectoria que describe, es un movimiento curvilíneo que resulta de la
combinación de dos movimientos: una horizontal uniforme y otra vertical
uniformemente variada.
Ejemplo: Una pelota de glof lanzada como se muestra en la figura.
El movimiento de proyectiles podemos estudiarlos en dos perspectivas: Movimiento
Horizontal y Movimiento Vertical.
Al lanzarse el objeto con una rapidez inicial vo formando un ángulo θ con la horizontal,
la velocidad inicial tiene dos componentes:
Componente horizontal: vox = vo cos θ
Componente vertical: voy = vo sen θ
Ángulos
sen θ
cos θ
15°
0,2588
0,9659
30°
0,5
0,8660
37°
0,6018
0,7986
45°
0,7071
0,7071
53°
0,7986
0,6018
60°
0,8660
0,5
90°
-1
0
x
v0x = v0 cos θ
y
v0
v0y = v0 sen θ
θ

Cinemática 73
Movimiento Horizontal
Cuando se lanza un objeto con cierta inclinación, este adquiere una velocidad inicial
horizontal. Después de ser arrojado, no existe aceleración en la dirección horizontal y
por lo mismo el proyectil se desplaza en la dirección horizontal con una velocidad
constante (MRU).
La posición del proyectil en la dirección horizontal en función del tiempo es:
x = xo + vo cosθ t
Movimiento Vertical
Luego de lanzar el objeto, esta tiene una aceleración hacia abajo debido a la
gravedad.
La posición del proyectil en la dirección vertical en función del tiempo es:
y = yo + vo senθ t – g t2
/2
Combinando estas dos ecuaciones para la posición horizontal y vertical, se encuentra
que la trayectoria descrita corresponde a una parábola.

Cinemática 74
31. Un avión vuela horizontalmente (θ = 0) a 500 m de altura con velocidad
constante de 600 m/s y deja caer víveres. Se pide:
a) Escribir las ecuaciones de posición horizontal x(t) y vertical y(t).
b) La velocidad vertical con que los víveres llegan a la Tierra.
c) ¿Qué tiempo tarda en caer?
d) ¿La distancia recorrida por el avión desde que suelta los víveres hasta que
esta llega a Tierra?
Solución
a) Posición Horizontal : x = xo + v t = 0 + 600 t
Posición Vertical : y = yo + vo t – g t2
/2 = 500 + 0 – 4,9 t2
= 500 – 4,9 t2
b) Velocidad vertical final de caída
vf
2
= vi
2
- 2g(y - yo) = 0 – 2·9,8·(0-500) = 9 800
Resultando vf,y = 98,99m/s
c) Decimos que llega al piso cuando y = 0 m
y = 500 + 0 – 4,9 t
2
= 0, resultando t = 10,1s
32. Jesús es futbolista, patea la pelota con una velocidad inicial de 18 m/s con un
ángulo de elevación de 15°. Se pide:
a) La ecuación de las posiciones horizontal x(t) y vertical y(t)
b) ¿Qué altura máxima alcanzó el balón?
c) ¿Qué tiempo tarda la subida?
d) ¿Qué tiempo demora el balón en todo el movimiento?
e) ¿Qué alcance tuvo el balón?

Cinemática 75
Solución (a)
Posición horizontal: x = xo +v t = 0 + 18·cos(15°)t = 17,38 t
Posición vertical : y = yo + vosen(15°)t – gt2
/2
= 0 + 18·sen(15°)t – 4,9t
2
= 4,65t – 4,9t
2
Solución (b)
De la expresión para la velocidad : vy
2
= [vosen(15°)]2
– 2g(y-yo), tenemos: 0 = (4,65)2
–2·9,8·(h - 0), resultando : h = 1,1m
Solución (c)
De la expresión para la velocidad: vy = vosen(15°) – gt = 4,65 – 9,8t =0. Resulta t =
0,47 s.
Solución (d)
Tiempo total de recorrido hasta que retorna al piso : tT = 2 t = 2·0,47 = 0,98 s
Solución (e)
El alcance horizontal que tiene el balón es: d = vocos(15°)tT = 17,38·0,98 = 17 m
33. Un proyectil fue lanzado con velocidad vo, formando un ángulo α con la
horizontal. Suponiendo despreciable la resistencia del aire y sabiendo que la
aceleración de la gravedad local vale g, determine:
a) La altura máxima alcanzada.
b) El alcance horizontal.
c) El ángulo de lanzamiento para que el alcance sea máximo.
Solución
a) En la vertical, tenemos: voy = vo · sen α.
Un punto de altura máxima (∆Y = H), la velocidad es: vy = 0.
Substituyendo los valores de voy y vy en la siguiente ecuación:

Cinemática 76
( ) αα 22
0
22
0 22 senvgHHgsenv02gHvv 22
0y
2
y ⋅=⇒−+⋅=⇒+=
g
senv
H
2
22
0 α⋅
=
b) En la horizontal, el movimiento es uniforme y vx = vo · cos α
Sustituyendo esos resultados en la ecuación horaria, vemos:
x = vx · t x = vo · cos α · t (I)
Cuando regresa a la posición del lanzamiento, la velocidad del cuerpo:
vy = - vo. sen α
Substituyendo tenemos:
vy = voy + h t
- vo. sen α = vo . sen α - g t
g t = 2 vo ·sen α
g
senv
t
α⋅
= 02
(II)
Sustituyendo (II) en (I), vemos:
x = v0 · cos α
g
senv α⋅2
0
x =
g
cossenvo αα ⋅⋅ 22
Por trigonometría sabemos que:
2 sen α . cos α = sen 2α. Por tanto:
x =
g
senvo α22
⋅
c) Para que x (alcance horizontal) sea máximo, sen α deberá ser máximo, será
igual a 1. Como sen 90o
= 1, tenemos:
2α = 90o
α = 45o
Esto es, el alcance será máximo cuando el ángulo de lanzamiento sea igual a
45O

Cinemática 77
34. Una bomba es abandonada de un avión con velocidad de 720 km/h, en vuelo
horizontal a 1 125 m de altura. Despreciando la resistencia del aire y suponiendo
la aceleración de la gravedad igual a 10 m/s2
, determine:
a) El tiempo empleado por la bomba hasta alcanzar el suelo.
b) El alcance horizontal.
Solución
vbomba = 720 km/h
a) 0 = 1 125 -
2
1
(10)t
2
⇒ t = 15 s
b) El alcance horizontal será:
vbomba·15 = 15·720 km/h = 3 · 103
m
35. Un cañón dispara un proyectil con velocidad de 100 m/s, según una inclinación
de 30o
con respecto a la horizontal. Despreciando la resistencia del aire y
suponiendo la aceleración de la gravedad igual a 10 m/s2
, determine:
a) El tiempo empleado hasta que el proyectil vuelva a la misma horizontal de
su lanzamiento.
b) La altura máxima alcanzada.
c) El alcance horizontal.
d) El instante en que el proyectil alcanza la altura de 80 m.
e) Las posiciones del proyectil en los instantes de ocurrido el ítem (d).
Solución
a) La velocidad en la dirección vertical es:
voy = 50 m/s
el tiempo que toma para alcanzar su máxima altura es cuando vf = 0
∴ vfy = 50 - 10t ⇒ t = 5 s.
Luego el tiempo usado es : 10 segundos.
b) La altura máxima es alcanzada en t = 5 s :

Cinemática 78
hmax = 50(5) - 5(5)
2
= 125 m.
c) La velocidad horizontal es:
vx = 100cos30°= 50 3 m/s
Entonces el alcance horizontal es:
vx·(10) = 500 3 m
d) 80 = 50t -
2
1
(10)t2
⇒ t = 8 s y t = 2 s
e) Las posiciones son:
t = 2 s ⇒ (100 3 ;80 m)
t = 8 s ⇒ (400 3 ;80 m)
3.3.2. Movimiento circular
Es el movimiento que recorre un móvil y cuya trayectoria corresponde a una
circunferencia.
Ejemplo: La trayectoria descrita por una piedra que gira atada al extremo de una
cuerda como el de la figura.
3.3.3. Movimiento circular uniforme (MCU)
Es aquel movimiento que tiene la trayectoria
circular y recorre longitudes iguales en
tiempo iguales. En el movimiento circular
uniforme, la rapidez (magnitud de la
velocidad v) no cambia, pero la dirección de
la velocidad cambia permanentemente por
influencia de la aceleración centrípeta ac.
La velocidad es un vector tangente a la
trayectoria y, por tanto perpendicular al
ac
ac ac
ac
v
v
v
v
R

Cinemática 79
radio.
Elementos del MCU
• Longitud Recorrida. Es la longitud de arco de circunferencia recorrido por un cuerpo
con movimiento circular.
• Desplazamiento Angular (∆θ). Es el ángulo que se describe el vector posición
durante el movimiento. Se expresa en radianes.
• Período (T). Es el tiempo que demora un cuerpo con movimiento circular para dar
una vuelta completa.
• Frecuencia (f). Es el número de vueltas dado por un cuerpo con movimiento circular
en cada unidad de tiempo.
T
f
1
=
Se mide en hertz (Hz) o 1/s.
• Velocidad Lineal o Tangencial (v). Es el vector velocidad del móvil y que tiene la
dirección tangente a la circunferencia.
• Rapidez Angular (ω). Es aquella cantidad escalar que nos indica el ángulo que
recorre un cuerpo en cada unidad de tiempo.
t∆
∆
=
θ
ω
Se mide en rad/s.
También es frecuente medir la rapidez angular en revoluciones por minuto o rpm:
s
rad
60
2
min
rev
1rpm1
π
==
• Revolución. Es una vuelta completa que da el móvil.

Cinemática 80
Ecuaciones del MCU
Rapidez angular:
T
f
π
πω
2
2 ==
Rapidez tangencial o lineal:
R
T
R
v ω
π
==
2
Aceleración centrípeta
Es la cantidad vectorial que representa el cambio de dirección de la velocidad; su
dirección es hacia el centro de giro.
Por definición la aceleración es una magnitud que representa el cambio de la
velocidad; en el caso de la aceleración centrípeta, solo cambia la dirección, más no la
magnitud. Por este motivo este movimiento sigue siendo uniforme (MCU) a pesar que
interviene la aceleración centrípeta.
La aceleración centrípeta se calcula por la expresión:
R
R
v
ac
2
2
ω==
Ejemplos resueltos
36. Una partícula con movimiento circular uniforme, describe un ángulo de φ = 3,2
radianes en 2,0 segundos, si el radio de la circunferencia descrita es de 0,30 m.
Se pide:

Cinemática 81
a) La rapidez angular
b) La rapidez lineal
c) El período
d) La frecuencia
e) La aceleración centrípeta
Solución
a) Velocidad angular. ω = ∆φ/∆t = 3,2/2 = 1,6 rad/s
b) La velocidad lineal. v = ωR = 1,6 rad/s × 0,3m = 0,48 m/s
c) Período. ω =2π/T, luego T = 2π/w = 2π/1,6 = 3,9 s
d) Frecuencia. f = 1/T = 1/3,9 = 0,96/s = 1,96 Hz
e) Aceleración centrípeta.
ac = ω
2
R = ( 1,6 rad/s)
2
× 0,3 m = 0,77 m/s
2
Aceleración tangencial y angular
La aceleración angular at cambia el
módulo de la velocidad tangencial pero no
la dirección de la velocidad.
Se define la aceleración angular
instantánea α como la derivada de la
velocidad angular con respecto del tiempo.
dt
dω
α =
La aceleración angular se mide en rad/s2
.
ac
ac
at
ac
v
v
v
R
at
at

Cinemática 82
La aceleración tangencial y angular se relacionan por:
Rat α=
3.3.4. Movimiento circular uniformemente variado (MCUV)
Es aquel movimiento efectuado por un móvil durante el cual la aceleración angular y la
aceleración tangencial permanecen constantes.
Ecuaciones del MCUV
Posición angular:
2
t
αtωθθ(t)
2
oo ++=
Velocidad angular:
αtωω(t) o +=
Además,
∆θ2αωω 2
o
2
(t) +=
Que son idénticas a las obtenidas para el movimiento rectilíneo uniforme variado si
hacemos los cambios θr → , ωv → y αa → . Obsérvese también, que la
aceleración centrípeta ahora ya no es constante, mientras que la aceleración
tangencial no cambia su magnitud.
Ejemplos resueltos
37. La posición angular de un punto sobre la orilla de una rueda giratoria está dada
por 2 3
4,00 3,00t t tθ = − + , donde θ se mide en radianes y t en segundos. ¿Cuál

Cinemática 83
es la aceleración angular a los 4,00 s?
Solución
Para revisar el tema de derivadas consulta el Apéndice I
2
003006004 tt
dt
d
,,, +−==
θ
ω
t
dt
d
006006 ,, +−==
ω
α
( )
s
rad
t 018004 ,, ==α

Cinemática 84
1. Si la posición del cuerpo en función del tiempo es 0152 ,, += tx m. Determine
la posición en t = 2,0 s.
Respuesta. x = 6,0 m
2. Determine el espacio total recorrido por un móvil cuya gráfica velocidad vs
tiempo es la que se muestra:
Respuesta. 200 m
3. Una partícula se encuentra en el punto x = 4,0 m en el momento de empezar a
contar el tiempo (t = 0,0 s) y se mueve con una velocidad constante de 8,0 m/s.
a) Escriba la ecuación de la posición en función del tiempo.
b) ¿En qué posición se encontrará al cabo de 10,0 s?
Respuesta. a) x = 4,0 m + 8,0 m/s t ; b) 84 m
4. La ecuación que nos da la posición de un móvil viene dada por
CBtAtx +−= 2
, donde A = 8 m/s2
, B = 6 m/s y C = 4 m.
a) ¿Es un movimiento uniformemente acelerado?
b) ¿Cuál es la velocidad al cabo de 1 s?
Respuesta. a) Sí; b) 10 m/s
v(m/s)
20,0
-20,0
0 5,00 10,0 t(s)

Cinemática 85
5. Cuando un proyectil lanzado con un cañón alcanza la altura máxima, el módulo
de su velocidad se reduce a la mitad. Determine el ángulo que el cañón forma
con la horizontal.
Respuesta. 60°

Cinemática 86
1. La distancia media de la Tierra al Sol es de 1,5·1011
m y el módulo de la
velocidad de la luz es 3,0·108
m/s. ¿Cuánto tiempo tarda la luz del Sol en llegar a
la Tierra?
a) 5,0×102
s
b) 4,0×10
2
s
c) 3,5×102
s
d) 8,5×10
2
s
e) 9,3×102
s
2. ¿Cuál es la velocidad en t = 8,00 s de la gráfica mostrada?
a) 5,00 m/s
b) 0 m/s
c) −5,00 m/s
d) 8,00 m/s
e) 7,5 m/s
x(m)
10
-15
0 5,00 10,0 t(s)

Cinemática 87
3. La gráfica que representa el movimiento de un móvil que marcha con una
rapidez v = 20 m/s, con movimiento rectilíneo uniforme, es:
a)
b)
c)
d) a y b
e) Ninguna
v(m/s)
20,0
-20,0
0 5,00 10,0 t(s)
x(m)
100
0 5,00 10,0 t(s)
x(m)
20,0
-20,0
0 5,00 10,0 t(s)

Cinemática 88
4. La ecuación de posición de una partícula en función del tiempo es x = (2,0 m/s)t
+ 1,0. ¿Cuál será su desplazamiento entre t = 0,0 s y t = 2,0 s?
a) 5,0 m
b) 4,0 m
c) 1,0 m
d) 2,0 m
e) −4,0 m
5. Un disco de 1,00 m de diámetro que se encuentra en reposo acelera
uniformemente durante 20,0 s y alcanza una velocidad de 2 000 rpm. La
aceleración angular y las vueltas que ha dado hasta alcanzar dicha velocidad,
son respectivamente:
a) 20,0 rad/s2
; 200 vueltas
b) 20,0 rad/s2
; 330 vueltas
c) 55,0 rad/s2
; 130 vueltas
d) 10,0 rad/s2
; 330 vueltas
e) 5,00 rad/s2
; 400 vueltas

Leyes del movimiento 89
4. LEYES DEL MOVIMIENTO
La descripción del movimiento que hemos realizado hasta el momento, se hizo
prescindiendo de sus causas, vamos a estudiar las causas del movimiento, es decir,
las fuerzas. Acostumbramos a decir que se necesita una fuerza para producir
movimiento o un cambio en él. Eso es cierto pero un elemento fundamental de la
descripción del movimiento, es como una fuerza se relaciona con el movimiento
resultante.
Una aceleración es la evidencia de la acción que llamamos fuerza.
Uno de los muchos logros del gran científico Isaac Newton fue resumir las relaciones
entre fuerza y movimiento en tres enunciados generales que se conocen con el
nombre de las Leyes del Movimiento.
4.1. PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: LEY DE LA INERCIA
“Un objeto permanece en reposo o en movimiento con velocidad constante a menos
que sobre él actúe una fuerza no equilibrada”.
Ejemplo: Cuando un vehículo que se mueve a gran velocidad, se detiene
bruscamente, y cesa por tanto la acción impulsora que ejerce sobre los pasajeros,
éstos se sienten lanzados hacia delante a causa de su propia inercia.
Esta experiencia nos permite afirmar que toda partícula libre se encuentra en reposo o
en movimiento rectilíneo uniforme.

4.2. SEGUNDA LEY DE MOVIMIENTO DE NEWTON. CAUSA Y EFECTO
“La fuerza que actúa sobre un cuerpo, le produce aceleración, y es igual al producto
de la masa del cuerpo por aceleración que le imprime”. La Segunda ley del
movimiento de Newton se expresa comúnmente en forma de ecuación como sigue:
maF =
Donde la masa m representa la respuesta del cuerpo (Inercia) ante
la acción de la fuerza F. Un sistema puede contener más de un
objeto, y m es la masa total del sistema en movimiento. Conviene
puntualizar que, si más de una fuerza está actuando sobre un
objeto o sistema, entonces F es la fuerza neta o no equilibrada (resultante):
aF
rr
m=∑
Unidades en el SI: 1 = kg· m/s
2
= 1 newton = 1 N
El newton es la fuerza que produce una aceleración de 1 m/s
2
cuando actúa sobre una
masa de 1 kg.
4.3. DIFERENCIA ENTRE MASA Y PESO
La masa (m) de un cuerpo es una cantidad escalar que representa a la inercia del
cuerpo al aplicársele una fuerza.
El peso (W) de un cuerpo es una cantidad vectorial y es la fuerza gravitacional con
que la Tierra lo atrae:
W = mg
Donde g es la aceleración de la gravedad y cerca de la superficie tiene un valor
relativo medio constante de 9,8 m/s2
.
∑ F
r
a
r

1. Se tiene una masa de 0,5 kg en reposo y se desea ponerla en movimiento. Se
pide:
a) La fuerza necesaria para que adquiera una aceleración de 0,3 m/s
2
.
b) Si se le aplica una fuerza vertical hacia arriba de 10 N, ¿cuál será su
aceleración?
Solución
Fuerza. F = ma = 0,5 × 0,3 = 0,15 N
∑F = F – mg = ma, reemplazando datos: 10 – 0,5 × 9,8 = 0,5 × a, resultando
a = 10,2m/s2
2. Una fuerza de 75 N actúa sobre un cuerpo que la imprime una aceleración de
5,0 m/s
2
. Calcular el valor de la masa en los siguientes casos:
a) Si la fuerza es horizontal.
b) Si la fuerza es vertical hacia arriba.
Solución
a) Fuerza horizontal. F = ma, reemplazando datos: 75 = m(5), resultando: m
= 15kg
b) Fuerza vertical hacia arriba. ∑F = F – mg = ma, reemplazando datos:
75 – m(9,8) = m(5), resolviendo, se obtiene: m = 5,06kg

4.4. TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON: ACCIÓN Y
REACCIÓN
“Para cada fuerza actuante sobre un cuerpo (acción), siempre existe otra fuerza
actuante sobre un segundo cuerpo (reacción) de igual magnitud y sentido opuesto”.
Esto indica:
Facción = − Freacción
Donde el signo negativo indica la dirección opuesta.
Ejemplo: La fuerza que se ejerce para iniciar el movimiento de un cohete es la fuerza
de reacción proveniente de los gases al ser expulsados.
4.5. FUERZA DE ROZAMIENTO
Hasta este momento hemos estudiado un movimiento prescindiendo casi por completo
de la fricción, habiendo asumido por razones de comodidad superficies ideales sin
fricción, sin embargo, no existe ninguna superficie perfectamente lisa.
http://blog-comunidad.ebay.es/images/2006/11/ronaldinho1.jpg
acciónF
r
reacciónF
r

Fuerza de rozamiento
Es aquella fuerza que surge entre dos superficies cuando una
trata de desplazarse con respecto a la otra. Esta fuerza siempre
se opone al deslizamiento. La fuerza de rozamiento se presenta
de diferentes formas:
• Rozamiento entre superficies
• Rozamiento en fluidos
Nos limitaremos a estudiar solamente el rozamiento entre superficies que se clasifica
en:
• Rozamiento estático
• Rozamiento cinético
Rozamiento Estático
Es el que se presenta entre superficies que se encuentran en reposo.
El valor de la fuerza de rozamiento estática varía desde 0 hasta un valor máximo. Este
valor máximo de la fuerza de rozamiento estático equivale a la fuerza mínima
necesaria para iniciar el movimiento, el cual puede calcularse mediante la siguiente
fórmula:
Nf ss µ≤
Siendo: fs = fuerza de rozamiento estático
µs = coeficiente rozamiento estático
N = reacción normal
Rozamiento cinético
Es aquella que se presenta cuando hay deslizamiento entre dos superficies.
Cuando el cuerpo pasa del movimiento inminente al movimiento propiamente dicho, el
Fricción

valor de la fuerza de rozamiento disminuye y permanece constante.
Nf kk µ≤
Siendo: fk = fuerza de rozamiento cinético
µk = coeficiente de rozamiento cinético
N = reacción normal
1. Una caja de cedro cuya masa es 20 kg descansa sobre una mesa también de
cedro. µs = 0,40 y µk = 0,30. Se pide:
a) La fuerza mínima que es preciso ejercer para ponerla en movimiento.
b) Si se aplica una fuerza de 80 N, qué aceleración tendrá.
c) La fuerza necesaria aplicar a la caja para que se mueva con aceleración
de 0,50 m/s2
.
F
Solución
a. En este caso la fuerza normal es igual al peso del cuerpo.
N = W = mg = 20 kg x 9,8 m/s2
= 196 N
Fuerza mínima para iniciar el movimiento = µsN = 0,4 x 196 = 78,4 N
b. Debe cumplirse la segunda ley de Newton: ∑F = F - fk = ma
Reemplazando datos se obtiene:
80 – 0,3 x 196 = 20(a), resultando: a = 1,06 m/s2

c. Debe cumplirse la segunda ley de Newton: ∑F = F - fk = ma.
Reemplazando datos se obtiene:
F – 0,3 x 196 = 20 x 0,5, resultando: F = 68,8N
Ventajas del rozamiento
Gracias al rozamiento:
• Podemos caminar o correr, impulsándonos con nuestros pies sin resbalar.
• Las ruedas pueden rodar.
• Podemos efectuar movimientos curvilíneos sobre la superficie.
• Los clavos pueden quedar incrustados en las paredes.
Desventajas del rozamiento
• Debido del rozamiento los cuerpos en roce se desgastan, motivo por el cual se
utiliza los lubricantes.
• Para vencer la fuerza del rozamiento hay que realizar trabajos, el cual se pierde
parte en calor
Tabla 4.1. Coeficientes de fricción o de rozamiento
SUPERFICIES EN CONTACTO µs µk
Acero sobre Acero
Cobre sobre Acero
Vidrio sobre Vidrio
Teflón sobre Acero
Madera sobre Madera
Piedra sobre Piedra
0,74
0,53
0,94
0,04
0,50
0,70
0,74
0,53
0,94
0,04
0,50
0,70

4.6. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Un diagrama de cuerpo libre (DCL) es un diagrama que muestra el cuerpo escogido
solo, libre de su entorno, con vectores que muestran los módulos y direcciones de
todas las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo por todos los cuerpos que interactúan
con él.
En un DCL no se deben incluir las fuerzas que el cuerpo escogido ejerce sobre otro
cuerpo.
Si en un problema intervienen dos o más cuerpos, hay que descomponer el problema
y dibujar un DCL para cada cuerpo.
3. Los dos bloques de la figura se mueven juntos
hacia la derecha. Dibuje el DCL de cada bloque.
Respuesta
4. Dos cajas de madera se encuentran
en contacto como se muestra en la
figura. Si se aplica una fuerza F a la
primera caja (de masa m1), dibuje el
DCL de cada caja. Considere que no hay fricción entre las cajas y el suelo.
m1
F
m2
W1
N1
f1 F
W2
N1f1
f2
m2
F
r
m1

Respuesta
4.7. FUERZA CENTRÍPETA
Es la fuerza perpendicular a la dirección de la velocidad y que produce el efecto de
giro o curvatura en el movimiento de los cuerpos.
La fuerza centrípeta tiene la misma dirección y el mismo sentido que la aceleración
centrípeta o sea apuntará hacia el centro de la curva.
La expresión para la fuerza centrípeta es:
∑ === 2
2
ωm
R
v
mmaF cscentrípeta
Siendo m la masa del cuerpo en movimiento.
La fuerza centrípeta hace que la velocidad del cuerpo cambia constantemente en
dirección y produce la aceleración centrípeta.
Ejemplo: Cuando un automóvil da vuelta en una pista, la fuerza de fricción estática
actúa como fuerza centrípeta.
F
r Fc Fc
W1
W2
N1 N2

5. Una pequeña esfera de masa m se sujeta
al extremo de una cuerda de longitud R y
se hace girar en una circunferencia vertical
alrededor de un punto fijo O, como se ve
en la figura. ¿En qué posición (A, B ó C) la
cuerda podría romperse si la velocidad
tangencial aumenta (vC > vB > vA )?
Solución
La cuerda se romperá en el punto donde la tensión sea mayor.
El DCL de la masa m en los tres puntos se muestra en la siguiente figura.
Las ecuaciones de movimiento de m en dirección radial son:
En el punto A:
2
A
A
mv
mg+T =
R
ó
2
A
A
v
T =m -g
R
 
 
 
En el punto B:
2
B
B
mv
T =
R
En el punto C:
2
C
C
mv
T -mg=
R
ó
2
C
C
v
T =m +g
R
 
 
 
Analizando estas ecuaciones se observa que la tensión TC es la mayor de todas.
Entonces en C podría romperse la cuerda.
R
O
A
B
C
vA
vC
vB
mg
mg
mg TA
TB
TC
R
O
A
B
C
vA
vC
vB

1. Un automóvil, de masa 900 kg, va a describir una curva, cuyo radio es 30 m, en
una carretera plana y horizontal. Se pide:
a) La fuerza centrípeta necesaria para que consiga dar la curva a la velocidad
de 10 m/s.
b) ¿Si la fuerza de fricción estática máxima con la pista es de 4 000 N, cual
será la velocidad máxima con la que puede girar sin resbalar?
Solución
Fuerza centrípeta. Fc = mv2
/R = 900 x (10)2
/30 = 3 000 N
La fuerza de fricción es la fuerza centrípeta
f = mv
2
/R, resultando v = (fR/m)
1/2
= (4 000 x 30 / 900)
1/2
= 12 m/s
2. En una superficie horizontal, reposan los cuerpos A y B, cuyas masas son
respectivamente iguales a 30 kg y 20 kg. En un instante dado, pasa a ejercer
sobre ellos una fuerza F
r
de intensidad 200 N.
a) La aceleración del sistema.
b) La fuerza que ejerce el cuerpo A sobre el cuerpo B.
c) La fuerza que el cuerpo B ejercería sobre el cuerpo A si la fuerza -F
r
actuase sobre B en vez de F
r
.
Solución
La aceleración del sistema es:
ba
s
mm
F
a
+
= entonces
2030
200
as
+
= 2s
s
m
4a =
De la figura se observa que, R es la reacción que ejerce el cuerpo A sobre el cuerpo
B. Además el cuerpo B se mueve con la aceleración del sistema entones:

sBamR = N420R ⋅= N80R =
La aceleración del sistema es:
ba
s
mm
F
a
+
= entonces
2030
200
as
+
= 2s
s
m
4a =
La fuerza que el cuerpo B ejerce sobre el cuerpo A es R
sA amR = N430R ⋅= N120R =
3. Tres cuerpos A, B y C de masas 10 kg, 20 kg y 30 kg respectivamente, están
ligados a través de cuerdas inextensibles, cuyas masas son despreciables.
Suponiendo el rozamiento despreciable y el modulo de la fuerza F
r
igual a 300
N. Determine:
a) La aceleración del sistema.
b) Las tensiones en las cuerdas.
c) El modulo de la aceleración y el modulo de la fuerzas de tensión, si la
fuerza F-
r
actuase sobre el cuerpo C sustituyendo a la fuerza F
r
.
Solución
a) La aceleración del sistema es:
CBA
s
mmm
F
a
++
=
302010
300
as
++
= 2s
s
m
5a =
b) Todos los cuerpos se mueven con la misma aceleración del sistema, de la figura
se observa que la tensión el cuerpo C es:
scBC amT = N530TBC ⋅= N150TBC =
Del cuerpo B se observa que:
sBBCAB amTT =− entonces 150520TAB +⋅= N250TAB =

c) El módulo de la aceleración es:
CBA
s
mmm
F
a
++
=
302010
300
as
++
= 2s
s
m
5a =
De la figura se observa que la tensión T3 del cuerpo A es:
sABA amT = N510TBA ⋅= N50TBA =
Del cuerpo B tenemos que:
sBBACB amTT =− entonces 50520TCB +⋅= N150TCB =
4. La figura muestra el cuerpo A, de masa 20 kg, que reposa sobre el cuerpo B, de
masa 30 kg. El cuerpo B se apoya en una superficie horizontal cuyo coeficiente
de rozamiento es 0,40. Suponiendo que: a) La aceleración de la gravedad local
sea 10 m/s2
, b) El cuerpo A permanece en reposo con respecto al cuerpo B; c)
El modulo de la fuerza F
r
sea igual a 600 N. Determine:
a) La fuerza de rozamiento
b) La aceleración del sistema
Solución
a) La fuerza de fricción se define como:
µ= Nfr
De la figura se observa que la fuerza normal es:
( )gmmN BA += ( ) N103020N ⋅+= N500N =
Reemplazando en la fuerza de fricción tenemos que:
N4,0500fr ⋅= N200fr =

b) La aceleración del sistema es:
( ) sBAr ammfF +=− entonces
BA
r
s
mm
fF
a
+
−
=
Remplazando los valores numéricos tenemos:
3020
200600
as
+
−
= 2s
s
m
8a =
5. Un bloque de peso 300 N es colocado sobre un plano liso, inclinado 30
o
en
relación a la horizontal. Tome g = 10 m/s2
y determine la intensidad de la:
a) Fuerza resultante
b) Aceleración del bloque
Solución
a) De la figura se observa que en el eje Y no hay movimiento entonces:
)30cos(mgN =
En el eje X hay movimiento debido a una fuerza resultante en la dirección del
Movimiento que es:
)30(mgsenFR = N5,0300FR ⋅= N150FR =
b) La aceleración del sistema es:
sR ma)30(mgsenF == entonces )30(gsenas =
Luego 5,010as ⋅= 2s
s
m
5a = .

6. Los bloques A y B de la figura tienen masas 70 kg y 30 kg respectivamente. Los
rozamientos y las masas de la cuerda se consideran despreciables. Suponiendo
que g = 10 m/s
2
. Determine :
a) La aceleración del bloque B.
b) La intensidad de la fuerza de tensión.
Solución
a) Ambos cuerpos (A, B) tienen la misma aceleración. De la figura se observa
que en el cuerpo B se tiene:
amTm BB =− (1)
Del cuerpo A se tiene que:
amT A= (2)
Remplazando (2) en (1) y despejando "a" tenemos:
g
mm
m
a
BA
B






+
= , 10
3070
30
a ⋅





+
= , 2
s
m
3a =
b) La tensión de la cuerda es:
amT A= N3070T ⋅= N210T = .
7. Un bloque de masa 10 kg es levantado verticalmente por intermedio de una
cuerda, con aceleración de 2,0 m/s2
. ¿Cuál es el módulo de la fuerza que la
cuerda ejerce sobre el bloque? Use g = 10 m/s2
.
Solución

De la figura se observa que la fuerza (F) ejercida por la cuerda es:
F - mg = ma F = (a + g)m
Entonces
F = (10+2)·10 N F = 120 N.
8. En la figura vemos los cuerpos 1 y 2, de masas m1 = 2,0 kg y m2 = 4,0 kg
respectivamente, ligados por una cuerda que pasa por una polea. El bloque 2
esta apoyado en el suelo. Suponiéndose la inexistencia de rozamientos y de
otras masas, se pregunta cuales son los módulos de las siguientes fuerzas. g =
10 m/s
2
):
a) Fuerza de tensión en la cuerda f
b) Fuerza ejercida por el suelo sobre el bloque 2.
Solución
a) De la figura se observa que en el cuerpo 1.
gmT 1= N102T ⋅= T = 20 N
b) En el cuerpo 2 tenemos:
gmRT 2=+ TgmR 2 −=
Evaluando tenemos, R = 20 N

9. La figura representa un cuerpo de masa
igual a 60 kg sobre un plano inclinado de
30o
en relación a la horizontal. Considere (g
= 10 m/s2
) y desprecie el rozamiento. Cuál
es la fuerza necesaria para que:
a) El cuerpo suba el plano con
aceleración de 0,80 m/s2
.
b) El cuerpo se mueva con velocidad
constante.
Solución
a) De la figura se observa que la fuerza (F) necesaria es:
ma)30(mgsenF =− )30(mgsenmaF +=
Evaluando
5,010608,060F ⋅⋅+⋅= F = 348 N
b) Cuando el cuerpo se mueve con velocidad constante, no hay aceleración por tanto
la fuerza necesaria es:
)30(mgsenF = F = 60 · 10 · 0,5 F = 300 N
10. Admita que su masa sea de 60 kg y que se encuentra sobre una balanza, la cual
se encuentra dentro de un elevador, como se ilustra en la figura. Siendo g = 10
m/s
2
y estando la balanza calibrada en newtons, ¿cuánto indica la balanza,
cuando el elevador desciende con aceleración constante de 3,0 m/s2
?

Solución
De la figura se observa que la fuerza que el hombre sobre la balance es R donde:
mamgR −=− R = (g – a) m
Evaluando tenemos:
R = (10 - 3)⋅60 N R = 420 N
11. El bloque de masa m de la figura está unido con un cordón
a una varilla vertical. Cuando el sistema gira en torno al eje
de la varilla, el cordón se extiende como se indica en el
diagrama, siendo la tensión en el cordón de 80,0 N.
Calcule:
a) El valor de la masa m del bloque, el cual tiene
movimiento circular uniforme.
b) La rapidez angular del bloque.
Solución
Hay equilibrio vertical: °= 153080 ,sen,mg
Entonces m = 6,52 kg
En dirección horizontal: Rm 2
153080 ω=°,cos,
Entonces,
( )( ) s
rad
133
s
rad
7500526
153080153080
,
,,
,cos,,cos,
=
°
=
°
=
mR
ω
12. Un carrito de control remoto con masa de 1,60 kg se
mueve a una rapidez constante de 12,0 m/s, en un
círculo vertical dentro de un cilindro hueco metálico
de 5,00 m de radio (ver figura). Calcule el valor de la
fuerza normal en los puntos A y B.
53,1°
0,750 m
53,1°
80,0 N
mg

Solución
En A
R
v
mmgNA
2
=−
N861819
005
012
601
22
,,
,
,
, =





+=





+= g
R
v
mNA
En B
R
v
mmgNB
2
=+
N430819
005
012
601
22
,,
,
,
, =





−=





−= g
R
v
mNB (0,5 puntos)
NA
W
NB W

1. Hallar la aceleración de un cuerpo que desciende por un plano inclinado sin
rozamiento.
Respuesta. g sen θ
2. Hallar la aceleración de los bloques 1 y 2, si m2
= 2 m1. No hay rozamiento.
Respuesta. (2/3)g
3. Hallar la aceleración de los bloques 1 y 2,
de masas m1 y m2, respectivamente.
Asuma que no hay rozamiento, que las
poleas son de peso despreciable y que m2
= 4 m1.
Respuesta. a1 = g, a2 = g/2
4. Hallar la aceleración del conjunto, si m1 =
200 kg, m2 = 180 kg y α = 30°.
Respuesta. 4g/19
5. En la figura mostrada se tiene un
carrito en cuyo interior está
suspendido un péndulo. Si el hilo del
péndulo forma con la vertical un
ángulo θ = 37°, hallar la aceleración
del carrito en m/s
2
.
1
2
1
2
α
m2
m1
α

Respuesta. 24 m/s
2

1. Si el coeficiente de rozamiento entre A y
B es 0,300, ¿cuánto debe valer F para
que B no deslice?
a) 49,0 N
b) 147 N
c) 490 N
d) 980 N
e) 98,0 N
2. ¿Desde qué distancia mínima se debe lanzar un
bloque con una velocidad inicial de 36 km/h para
que no se caiga? El coeficiente de rozamiento
cinético de la superficie es µk = 0,5. Considere g
= 10 m/s2
.
a) 1,0 m ≤ d ≤ 4,0 m
b) 4,0 m ≤ d ≤ 6,0 m
c) 6,0 m ≤ d ≤ 9,0 m
d) 9,0 m ≤ d ≤ 10 m
e) d ≥ 10 m
3. El sistema que se muestra está en equilibrio. A = B = 4,0 kg. Si
se añade 2,0 kg a la masa B, ¿cuánto tiempo invertirá la masa
A en subir 3,92 m?
a) 1,0 s
b) 2,0 s
c) 3,0 s
d) 4,0 s
e) 5,0 s
A
BF
m
d
A B

4. Halle el coeficiente de rozamiento µ entre
A y B sabiendo que A no resbala
verticalmente. Considere g = 10 m/s2
. MA
= 3,0 kg y MB = 7,0 kg.
a) 2/5
b) 1/5
c) 1/3
d) 1/2
e) 2/3
5. Un bloque de 3,0 kg está colocado sobre
otro de 5,0 kg. Los coeficientes de fricción
estático y cinético entre los bloques son
0,20 y 0,10 respectivamente. ¿Cuál es la
fuerza máxima F para que los bloques se
muevan juntos? Considere g = 10 m/s2
.
a) 16 N
b) 1,6 N
c) 8,0 N
d) 160 N
e) Ninguna de las anteriores
B
A150 N
M = 5,0 kg
m = 3,0 kg
F
Liso

Trabajo 112
5. TRABAJO
El trabajo de una fuerza es el producto escalar del vector de fuerza paralela por e
vector desplazamiento:
dF
rr
⋅=W
Cuando la dirección de la fuerza forma un ángulo θ con la dirección del
desplazamiento, como se aprecia en la figura, hay que multiplicar la componente de la
fuerza F, esto es F cos θ, por el desplazamiento d.
θcosFdW =
Si tenemos una fuerza F horizontal actuando sobre un cuerpo A que se desplaza
sobre el plano, como se muestra en la figura, el trabajo realizado por la fuerza, al
desplazar el cuerpo la distancia d, será:
FdW =
Cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo, porque en
este caso la componente de la fuerza en la dirección del movimiento es igual a cero.
d
v
θ
F
r

Trabajo 113
F
peso
desplazamiento
peso
desplazamiento
El peso es perpendicular al desplazamiento, según se muestra en la figura, por lo que
el trabajo realizado por el peso es cero.
5.1. UNIDADES DE TRABAJO
La unidad de trabajo es el joule (J), que es el trabajo efectuado por una fuerza de 1
newton de magnitud al mover su punto de aplicación la distancia de 1 metro en la
dirección de su aplicación. Es decir:
1 joule = 1 newton × 1 metro
5.2. TRABAJO MOTOR Y TRABAJO RESISTENTE
Si un cuerpo se mueve en el mismo sentido en que actúa la fuerza, el trabajo se
denomina motor; pero si el cuerpo se mueve en sentido contrario a la fuerza, el trabajo
se denomina resistente.
5.3. DETERMINACIÓN DE TRABAJO MECÁNICO CON GRÁFICOS
El trabajo realizado por una fuerza constante o variable es igual al área debajo de la
curva:

Trabajo 114
1. Si la fuerza que se aplica a un cuerpo es de 25 N y forma un ángulo de 45°con
la horizontal, ¿cuál será el trabajo realizado por la fuerza al mover dicho cuerpo
12 m por una superficie rugosa de coeficiente cinético de rozamiento igual a
0,20?
Solución
El trabajo puede calcularse a partir de la fórmula:
W = F⋅ d ⋅ cos θ
Reemplazando tenemos:
W = 25 N (12 m) cos 45o
W = 212 J
2. Se quiere subir a un camión una caja de 40 N, para ello se usa un plano
inclinado de 20 m de largo y cuyo ángulo de inclinación es de 37°y una fuerza
de 50 N que forma un ángulo de 37°con al dirección de desplazamiento sobre el
plano inclinado.
a) Hallar el trabajo realizado por cada una de las fuerzas aplicadas a la caja.
b) Hallar el trabajo total sobre la caja.
Solución (a)
El diagrama de cuerpo libre (DCL) nos muestra: Eje X: F cos 37
o
; P cos 53
o
x
W = Área
x1 x2
Fx
x
Fx
0 x
F
W = Área

Trabajo 115
Eje Y: N, P sen 53
o
; F sen 37
o
.
37o
F
37o
P
37o
A
A´
AA´=20m
37o
F
37o
P
37o
A
A´
AA´=20m
Las fuerzas en el eje vertical no realizan trabajo, porque no tienen componentes en la
dirección de desplazamiento.
Para F: W = 50 × 20 × cos 37o
= 800 J
37o
F
P
37o
N 37o
F
P
37o
N
Solución (b)
Finalmente, el trabajo total se obtiene sumando los trabajos parciales: W = 800 - 480 =
320 J

Trabajo 116
5.4. POTENCIA
La potencia es el trabajo realizado por una fuerza en la unidad de tiempo, es decir:
t
W
P =
Donde W es el trabajo realizado y t es el tiempo transcurrido.
La potencia es un concepto muy importante, pues en un motor lo que interesa no es
tanto la cantidad total de trabajo que puede hacer hasta que se descomponga, sino la
rapidez con que puede entregar el trabajo, o sea, el trabajo que puede hacer en cada
unidad de tiempo: la potencia.
Unidades de potencia
En el sistema internacional la unidad de potencia es el watt (W) que representa la
potencia de una máquina que realiza un trabajo de un joule en un segundo. Es decir:
1W = 1J/1s
3. ¿Cuánto trabajo realiza una fuerza de 10 N que empuja un objeto una distancia
de 10m en la misma dirección?
Solución
W = F ⋅ d = 10 ⋅ 10 = 100 N
4. Cierto auto es capaz de aumentar su rapidez de 0 km/h a 100 km/h en 10 s. Si
se duplica la potencia del motor, ¿cuántos segundos tomará para efectuar este
cambio de rapidez?

Trabajo 117
Solución
Si desarrolla el doble de potencia entonces desarrollará el doble de fuerza y por lo
tanto el mismo cambio de velocidad lo hará en la mitad de tiempo
5. ¿Qué requiere más trabajo, levantar una masa de 10 kg una altura de 2 m o una
masa de 5 kg una altura de 4 m?
Solución
El mismo trabajo, porque el trabajo requerido es el producto del peso por la altura.
6. ¿En qué condiciones el trabajo realizado por una fuerza es cero?
Solución
Cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento.
5.5. ENERGÍA MECÁNICA
Es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo. Por consiguiente, la
energía es igual al trabajo que puede realizar el cuerpo. Pero si sobre el cuerpo se
realiza un trabajo, su energía aumenta en una cantidad igual al trabajo recibido:
Cambio de energía = Trabajo realizado
El concepto de energía es muy importante en Física. Muchos procesos que ocurren en
la naturaleza son mediante los cambios de energía que se producen.
Conviene ahora distinguir dos clases de energía: Energía cinética y Energía potencial.

Trabajo 118
5.6. ENERGÍA CINÉTICA
Es la aptitud que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de su velocidad.
Luego, un cuerpo posee energía cinética cuando se encuentra en movimiento, como
un automóvil en una carretera o una molécula en un gas.
La energía cinética está dada por la expresión:
2
2
1
mvEk =
Donde m es la masa y v es la rapidez del cuerpo.
La energía se mide en las mismas unidades que el trabajo, porque es una magnitud
del mismo tipo. Luego, se expresa en joules si la masa está en kg y la velocidad en
m/s.
7. Supón que un auto tiene una energía cinética de 2 000 J. ¿Cuál será el valor de
su energía cinética si se duplica su velocidad?
Solución
J'
k
E
JJ)('kE
kEv)m('kE
JmvkE
0008
000800024
422
2
1
20002
2
1
=
==
=⋅=
==

Trabajo 119
5.7. TEOREMA TRABAJO-ENERGÍA CINÉTICA
El trabajo realizado por la fuerza neta sobre un cuerpo es igual al cambio en la energía
cinética del cuerpo:
KIkFkneto EEEW −=∆=
8. (a) Si se duplica la rapidez de una partícula, ¿cuánto cambia su energía
cinética? (b) Si el trabajo neto realizado sobre una partícula es cero, ¿qué se
puede afirmar acerca de su rapidez?
Respuesta
(a) Aumenta a 4K. (b) Es constante.
9. Una partícula de 0,600 kg tiene una rapidez de 2,00 m/s en el punto A y una
energía cinética de 7,50 J en el punto B. Determine: (a) La energía cinética en A,
(b) la rapidez en B y (c) el trabajo total realizado sobre la partícula al desplazarse
de A hacia B.
Solución
(a) EKA = (0,600)(2,00)2/2 J = 1,20 J
(b) ( )mKv BB /2= = 5,00 m/s
(c) Wneto= EKB − EKA = 6,30 J

Trabajo 120
5.8. ENERGÍA POTENCIAL
La energía potencial es la aptitud que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud
de su posición o configuración, a causa de las fuerzas que actúan sobre él.
5.8.1. Energía potencial gravitatoria
La energía potencial gravitatoria de un objeto de masa m que se encuentra a una
distancia h por encima de un nivel de referencia está dada por:
mghEp =
La energía potencial puede tomar valores positivos (por encima del nivel de
referencia) o valores negativos (por debajo).
5.8.2. Energía potencial elástica
Un resorte ideal estirado o comprimido ejerce una fuerza elástica F = −kx sobre un
cuerpo, donde x es la distancia de estiramiento o compresión.
La energía potencial elástica almacenada en un resorte está dada por:
2
2
1
kxEp =
Donde k es la constante de fuerza del resorte y x es la distancia de compresión o
extensión del resorte respecto a su posición no alargada (de equilibrio).
La energía potencial total U es la suma de las energías potenciales gravitacional y
elástica.

Trabajo 121
10. ¿Cuál es el trabajo realizado por el peso al caer desde la altura h? ¿Qué
relación existe entre la expresión encontrada y la variación de la energía
potencial?
Solución
El trabajo es igual a la fuerza por la distancia.
Trabajo = m g h
m
h
m
h
W = mg⋅h
W = EP1 – EP2
Ya que EP1 = m g h, y la EP2 = 0 (suelo).
11. Una bala 200 g que se desplaza a 50 m/s impacta en un bloque de madera, se
introduce y se detiene luego de penetrar cierta distancia. Si se sabe que la
profundidad alcanzada fue de 4,0 cm, (a) ¿cuál fue el trabajo realizado por las
fuerzas de rozamiento para frenar la bala? (b) ¿Cuál fue la fuerza de rozamiento
promedio que actuó sobre la bala?
Solución (a)
Cambio de energía cinética = trabajo realizado.
Entonces 2
2
1
0 ifricción mvW −=
W = 0,200× 502
/ 2 = −250 J

Trabajo 122
Solución (b)
Por otro lado para hallar la fuerza:
fdWfricción −=
−250 = −f (0,040)
f = 6 250 N
12. Una bala de 5,0 kg abandona un cañón de 2,0 m de largo con una velocidad de
800 m/s. ¿Cuál es la fuerza propulsara de los gases de la pólvora y la energía
cinética de la bala en la embocadura del cañón?
Solución
F = m × a = 5 a; pero 8002
= 2a × 2 = 4a, entonces a = 1,6×105
m/ s2
Entonces F = 800 000 N.
La energía cinética de salida será: (½ )×5,0x 800
2
= 1,6×10
6
J
5.9. ENERGÍA MECÁNICA TOTAL
Un cuerpo puede poseer, a la vez, energía cinética y energía potencial. Por ejemplo,
un avión que se mueve a cierta altura posee energía cinética y energía potencial
gravitatoria. La energía total es la suma de todas las formas de energía que posee un
cuerpo.
En el caso de un cuerpo de masa m que se mueve con rapidez v a la altura h, como
un avión, su energía total es:
mghmv
p
E
k
E
T
E +=+= 2
2
1
En el dibujo que se muestra a continuación, ¿cómo se transforma la energía cinética
en energía potencia, y viceversa?

Trabajo 123
h
3
h
A
B
C
h
3
h
A
B
C
5.10.CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA
En el universo, como consecuencia de los innumerables fenómenos que en él ocurren
continuamente, se está produciendo sin cesar una transformación o un intercambio de
energía entre los cuerpos.
Veamos algunos ejemplos:
• En los molinos de viento, la energía cinética de las moléculas de aire se transforma
en energía cinética de las aspas del molino; y esta, a su vez, en energía potencial
del agua que el molino eleva.
• En un cuerpo que cae hay transformación de energía potencial gravitatoria en
energía cinética, porque pierde altura y gana velocidad.
• En una represa, la energía potencial del agua, que se encuentra en un embalse a
gran altura, se transforma en energía cinética al caer al fondo de la represa. En
este proceso, gran parte de la energía cinética del agua se transforma en energía
cinética de las turbinas que esta mueve. Esta energía cinética, a su vez, se
transforma en energía eléctrica en los generadores conectados a las turbinas. La
energía eléctrica se distribuye, mediante alambres conductores, a las ciudades
vecinas. Durante este proceso de distribución, parte de la energía eléctrica se
transforma en energía calorífica que se manifiesta en el calentamiento de los
alambres. Ya en la ciudad, el resto de la energía eléctrica continúa
transformándose en más energía calorífica: en planchas, cocinas eléctricas, etc.;

Trabajo 124
en energía radiante: en las lámparas eléctricas y en los hornos microondas; en
energía cinética: en los motores. Así podríamos seguir, indefinidamente, la historia
y evolución de cada una de estas formas de energía a través del espacio y del
tiempo.
Si en cualquier transformación de energía se miden las cantidades de energía de cada
forma que intervienen en el proceso, se comprueba que siempre que desaparece
cierta cantidad de energía de una forma determinada, aparece una cantidad
equivalente de otra o de varias formas de energía.
Este resultado nos conduce a un enunciado muy importante:
Principio de conservación de la energía
La cantidad total de energía del Universo es constante; ni se crea ni se destruye,
únicamente se transforma.
En el caso concreto de la energía mecánica, la ley de conservación se enuncia de la
siguiente forma:
En ausencia de rozamiento, la suma de la energía cinética y energía potencial de un
sistema se conserva.
Y matemáticamente, se expresaría así:
pf
E
kf
E
pi
E
ki
E +=+
Donde los índices i y f expresan los estados iniciales o finales del análisis, aunque
realmente pueden ser dos estados cualesquiera.

Trabajo 125
Trabajo hecho por la fricción
En ausencia de rozamiento, la energía mecánica se conserva. En caso exista una
fuerza de fricción se verifica que el trabajo hecho por la fricción es igual al cambio de
la energía mecánica total:
( ) ( )pikipFkFTfricción EEEEEW +−+=∆=
El rozamiento es un fenómeno que no puede desdeñarse, ya que siempre lo
encontraremos en cualquier sistema que se caracterice por el contacto entre sus
partes componentes.
13. ¿Para cuál de los casos mostrados a continuación, el trabajo es mayor?
Solución
Para el gráfico de la izquierda W = (30,0 + 6,00*45,0/2) = 165 J
Para el gráfico de la derecha W = (4,00*75,00) = 300 J
El gráfico de la derecha representa un trabajo mayor.
F (N)
4,00
75,00
x (m)
F (N)
6,00
5,00
50,00
x (m)

Trabajo 126
14. Una bola de 2,0 kg se desliza por una superficie sin fricción (ABC) como se
muestra en la figura. En A, la energía cinética de la bola es de 10 J y la
potencial, 54 J. Calcula:
a) La altura de la bola en el punto A, y
b) La velocidad de la bola en el punto B.
c) La velocidad en el punto C.
h
3
h
A
B
C
h
3
h
A
B
C
Solución (a)
En A: Ek = 10 J, Ep = 54 J
Energía total Et = 64 J
La altura en A es:
Ep = mgh
54 J = 2(10)h
h = 2,7 m
Solución (b)
En B la energía potencial es:
EPB = EPA/3
EPB = 18 J
Como la energía total es 64 J
EkB = 46J
Por lo que
m/s,v
Jvm
B
B
86
46
2
1 2
=
=

Trabajo 127
Solución (c)
En C:
m/sv
E
E
c
k
p
08
0
0
,=
=
=
15. La pista representada en la figura consta de un cuarto de circunferencia lisa y de
un tramo recto rugoso, unidos como se indica en la figura. El radio de la
circunferencia es de 1,20 m y la inclinación del plano es de 37o
. Un bloque de
10 kg, que parte del reposo, se abandona en el punto más alto de la pista
circular. Esta última carece de rozamiento, mientras que el coeficiente de
rozamiento entre el bloque y el plano inclinado es de 0,30. ¿Qué parte de la
energía cinética del bloque se disipa por rozamiento cuando está en el punto
más alto de la trayectoria en el plano?
37o
1,2m
37o
1,2m
Solución
Como hay fricción en el plano inclinado entonces perderá energía. Si el plano es
suficientemente largo, la máxima altura se alcanzará cuando adquiera el bloque el
reposo. Entonces en esa situación habrá perdido toda su energía cinética.
16. Halla la velocidad de la masa de 3,0 kg cuando la
masa de 2,0 kg haya bajado 3,0 m. Las masas
parten desde el reposo y considere g = 10 m/s2
.
3 kg
2 kg
3 kg
2 kg

Trabajo 128
Solución
Por conservación de la energía, tomando como referencia el nivel H = 3,0 m debajo
del bloque de 2 kg: 2 × 10 × 3 = (½ ) × 2 × v2
+ (½) × 3 × V2
, ya que ambos bloques
tendrán energía potencial cero al bajar 3 m el bloque de 2 kg.
La aceleración de ambos bloque es la misma y es a = 4 m/s2
(calcúlalo usando la
segunda ley de Newton).
Con esta aceleración podemos hallar la velocidad v, usando: v2
= 2 × a × 3 = 24.
Entonces v2
= (60 – 24) 2/3 = 24 ⇒ v = √24 m/s.
17. Un gimnasta eleva lentamente 100 kg a 15 m de altura en 20 s, siendo la
aceleración de la gravedad local igual a 10 m/s
2
. Determine:
a) El trabajo realizado por el gimnasta sobre el peso.
b) La potencia desarrollada por el gimnasta
Solución
a) El trabajo realizado es:
yy dFW .= J000151510100mghW =⋅⋅== kJ15W =
b) La potencia desarrollada es:
kW750
20
15
t
W
P ,=== kW750P ,=
18. Un niño resbala en un plano inclinado
partiendo del reposo, en el punto A y
alcanzando el punto B a una velocidad de 10
m/s. La aceleración de la gravedad local es
de 10 m/s2
, la masa del niño es de 30 kg y el
punto A se localiza a 20 m del suelo.
Determine:
a) La energía mecánica disipada.
b) La velocidad del niño al alcanzar el punto B, suponiendo que no hay

Trabajo 129
disipación de energía.
Solución
La energía mecánica disipada es la diferencia entre las energías mecánicas en el
Punto (B) y el punto (A) es decir MBMAd EEE −=
Calculemos las energías mecánicas en los puntos (A) y (B) entonces:
J201030mghEE pMA ⋅⋅=== kJ6EMA =
J
2
1030
2
mv
EE
22
B
cMB
⋅
=== kJ51EMB ,=
Entonces la energía disipada es:
kJ54516Ed ,, =−= kJ54Ed ,=
19. Un bloque de masa 1,00 kg se desliza hacia la derecha sobre una superficie
que tiene un coeficiente de fricción de 0,250. La masa es impulsada con una
rapidez de 3,00 m/s . Cuando ha recorrido 0,200 m se topa con un resorte que
tiene un coeficiente de elasticidad de 50,0 N/m. ¿Cuál es la distancia
comprimida del resorte?
Solución
Sabemos que el trabajo realizado por la fuerza de fricción es igual al cambio de la
energía mecánica total entre A (cuando la rapidez es de 3,00 m/s) y B (cuando el
bloque se detiene y el resorte se comprime al máximo una distancia x). Entonces
22
2
1
2
1
AABf mvkxEEW −=−=
( ) 22
2
1
2
1
Akf mvkxxdmgW −=+−= µ
m = 1,00 kg
K = 50,0 N/m
d = 0,200 m x
vA = 3,00 m/s vB = 0

Trabajo 130
Reemplazando los datos numéricos, obtenemos una ecuación cuadrática
25,0 x2
+ 2,45 x − 4,01 = 0
Resolviendo se obtiene la distancia comprimida del resorte x = 0,354 m.

Trabajo 131
1. Un bloque parte del reposo de A, si la
superficie es lisa desde A hasta B, calcular
la distancia BC necesaria para detener al
bloque, si BC es rugosa con coeficiente µk.
Respuesta. h/µk
2. Calcular el trabajo que realiza el
muchacho, si el carrito de 25 N avanza
10 m a velocidad constante (no hay
fricción).
Respuesta. 125 J
3. El cuerpo m de la figura, empieza a deslizar desde el punto A llegando a
detenerse en el punto C. ¿Cuál es el trabajo en joules desarrollado por las
fuerzas de rozamiento de A hasta C?
Respuesta. 20 000 J
h
A
B C
m
h
h/3
A
B
C
30°
53°
30°

Trabajo 132
4. Se tiene un cuerpo deslizándose por una superficie sin rozamiento. Al pasar por
A tiene una velocidad de módulo 10 m/s. ¿Cuánto subirá en forma vertical
medido a partir del nivel de referencia? Considere g = 10 m/s
2
.
Respuesta. 7,0 m
5. Una bala de masa m con velocidad 100 m/s, penetra en un bloque de madera
fijo y se detiene a una profundidad de 10 cm. Si la fuerza retardadora es
constante, ¿cuánto demoró en detenerse?
Respuesta. 2,0×10−3
s
2,0 m
h = ?
A

Trabajo 133
1. Hallar el trabajo total efectuado sobre
una masa de 30,0 kg para desplazarla
desde A hasta B (distantes 10 m). La
fuerza F actuante es de 200 2 N y µk
= 0,200. Considere g = 10 m/s
2
.
a) 900 J
b) 1 200 J
c) 700 J
d) 1 100 J
e) 1 800 J
2. Se empuja el bloque de 40 kg mediante una
fuerza F paralela al plano inclinado del
punto A al punto B. Luego en B se retira la
fuerza y se le permite deslizar hasta la
mitad de la distancia entre A y B. Encontrar
el trabajo hecho por la fuerza de fricción. µk
= 0,30 y g = 10 m/s2
.
a) -72 J
b) -240 J
c) -24 J
d) -720 J
e) Ninguna de las anteriores
A B
45°
F
F
3,0 mA
B
37°

Trabajo 134
3. Un cuerpo de 1,00 kg inicialmente en reposo, se encuentra sobre una superficie
horizontal sin rozamiento. Sobre el cuerpo actúa una fuerza horizontal cuya
magnitud varía con el tiempo de la siguiente manera:
¿Cuál es el trabajo hecho por la fuerza durante el 2°segundo?
a) 0,500 J
b) 0,125 J
c) 0,375 J
d) 0,250 J
e) 0,650 J
4. Sobre un bloque de masa M que desciende a velocidad constante por un plano
inclinado un ángulo θ con la horizontal, actúa una fuerza F paralela al plano
inclinado. Si µk es el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y el plano,
calcular el trabajo realizado por F al recorrer el bloque una distancia d.
a) µk⋅M⋅g⋅d⋅cosθ
b) M⋅g⋅d⋅(senθ – µk ⋅ cosθ)
c) µk⋅M⋅g⋅d⋅senθ
d) M⋅g⋅d⋅( µk ⋅ cosθ - senθ)
e) M⋅g⋅d⋅µk ⋅(senθ – cosθ)
F (N)
t (s)
1,0
0 1,0 2,0

Trabajo 135
5. El trabajo realizado por F(x) al trasladar un
cuerpo desde x = 0 a x = 10 m es de 96 J.
Determine el valor de F para x = 14 m.
a) 24 N
b) 12 N
c) 15 N
d) 17 N
e) 20 N
F (x)
x (m)
12
0 6,0 10,0

Cantidad de movimiento 136
6. CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Se define la cantidad de movimiento p
r
o momento lineal como:
vp
rr
m=
Por ser una cantidad vectorial, podemos
expresarla en sus componentes rectangulares:
xx mvp = ymvpy = zz mvp =
La cantidad de movimiento se mide en kg·m/s.
6.1. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL PARA UN SISTEMA DE
DOS PARTÍCULAS
Sean dos partículas aisladas, pero que
pueden interactuar entre si tal como se
indica en la figura y donde solo están
presentes las fuerzas F12 y F21 que
corresponden al par acción y reacción,
es decir si la suma de fuerzas externas
al sistema es igual a cero, entonces la
cantidad de movimiento p
r
del sistema
se mantiene constante.
constante21 =+= ppp
rrr
Para dos partículas,
( ) ( )después2211antes2211 vvvv
rrrr
mmmm +=+
m1
p1 = m1v1
v1
m1
m2
F12
F21
p1 = m1v1
p2 = m2v2

6.2. COLISIONES
Durante cualquier tipo de colisión o choque, la cantidad de movimiento se mantiene
constante instantes antes e instantes después de la colisión.
Existen los siguientes tipos de colisiones:
• Una colisión es elástica si la energía cinética se mantiene constante.
• Una colisión es inelástica si la energía cinética no se mantiene constante.
• Una colisión es perfectamente inelástica si la energía cinética no se mantiene
constante y además las partículas permanecen unidas después de la colisión.
6.2.1. Colisiones en una dimensión
Colisión elástica en una dimensión
Se conserva el momento lineal:
( ) ( )22112211 ´´ vvvv
rrrr
mmmm +=+
Podemos suprimir el vector unitario iˆ para escribir:
( ) ( )22112211 v´m´vmvmvm +=+
Además, se conserva la energía cinética:
2
22
2
11
2
22
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
v´mv´mvmvm +=+
Colisión inelástica en una dimensión
( ) ( )22112211 ´´ vvvv
rrrr
mmmm +=+
La energía cinética instantes antes e instantes después de la colisión no se mantiene
constante:
2
22
2
11
2
22
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
v´mv´mvmvm +≠+

Colisión perfectamente inelástica en una dimensión
( ) ( ) después21antes2211 mmmm vvv
rrr
+=+
La energía cinética instantes antes e instantes después de la colisión no se mantiene
constante.
6.2.2. Colisiones elásticas en dos dimensiones entre dos partículas
En la figura observará que dos esferas que no están alineadas van a colisionar. Aquí
también se conserva la cantidad de movimiento de las esferas instantes antes de la
colisión e instantes después de la colisión. También observará que después de la
colisión las esferas se mueven en dos dimensiones. Así, debe analizar la conservación
de la cantidad de movimiento en las direcciones x e y.
En el eje x:
φcoscos ´´
vmθvmvm 221111 +=
En el eje y:
φsensen ´´
vmθvm 22110 −=
Además se conserva la energía cinética antes y después de la colisión:
m1
m2

2
21
2
11
2
11
2
1
2
1
2
1
v´mv´mvm +=
6.2.3. Coeficiente de restitución
Se define el coeficiente de restitución como
12
21
vv
v'v'
e
−
−
=
Donde v1 y v2 son las velocidades de las
partículas instantes antes de la colisión; v´1 y v´2
son las velocidades inmediatamente después de
la colisión.
Observe que:
• Para colisiones elásticas e = 1.
• Para colisiones inelásticas 0 < e < 1.
• Para colisiones completamente inelásticas e = 0.
1. Un buen tirador dispara un rifle sosteniendo la culata del mismo contra su
hombro. Si la magnitud de la cantidad de movimiento de avance de una bala es
igual a la cantidad de movimiento de retroceso del rifle, ¿por qué no es tan
peligroso el golpe del rifle como el de la bala?
Solución
Por conservación de la cantidad de movimiento: rrbb vmvm −=0
Entonces la rapidez del rifle es b
r
b
r v
m
m
v = , y como br mm >> entonces su rapidez
será menor (y por lo tanto su energía cinética).

2. Una astronauta de masa 60,00 kg
da un paseo espacial para reparar
un satélite de comunicaciones. Un
compañero de equipo le lanza el
repuesto del satélite a 4,00 m/s
relativa al vehículo espacial. Ella
se encuentra en reposo relativo respecto al vehículo espacial justo antes de
atrapar el repuesto de 3,00 kg, como se muestra en la figura.
a. Determina la rapidez del astronauta justo después de atrapar el repuesto.
b. La variación de la energía mecánica del sistema repuesto – astronauta.
Solución
No existen fuerzas externas al sistema, entonces P
r
se conserva.
vmmvm )( 2111 += , smv
mm
m
v /,),(
,
,
1900004
0063
003
1
21
1
=





=
+
=
JvmvmmKKK if 922
2
1
2
1 2
11
2
21 ,)( −=−+=−=∆
Hay pérdida de energía debido a la colisión completamente inelástica.
3. Un auto de 1 200 kg que viaja inicialmente con rapidez de 25,0 m/s con rumbo al
este choca contra la parte trasera de una camioneta de 9 000 kg que se mueve
en la misma dirección a 20,0 m/s, como se muestra en la figura. La rapidez del
auto justo después del choque es de 18,0 m/s en dirección este.
¿Cuál es la rapidez de la camioneta justo después del choque?
¿Cuánta energía mecánica se pierde en el choque?
4,00 m/s
3,00 kg
60,00 kg 63,00 kg
25,0 m/s 20,0 m/s
Antes
18,0 m/s v
Después

Solución
Como p
r
se conserva: vmvmvmvm 2112211 +=+ ´
0009
018120002010000251200
2
112211
,
),(),(),(´ −+
=
−+
=
m
vmvmvm
v
smv /,920=
JvmvmvmvmKKK if
42
22
2
11
2
22
2
11 10501
2
1
2
1
2
1
2
1
×−=





+−+=−=∆ ,)´´(
4. En la figura se muestran las velocidades de
dos masas de m1 = 0,200 kg y m2 = 0,300
kg, instantes antes e instantes después de
una colisión inelástica con e = 0,800.
Determine:
a. Las velocidades (módulo y dirección) de
la masa m2 antes y después de la
colisión.
b. El cambio de energía cinética del sistema.
Solución (a)
Conservación de la cantidad de movimiento:
Coeficiente de restitución:
Resolviendo:
Solución (b)
Cambio de energía cinética:
Antes de la colisión
m1 m2
( )iˆ,v sm0041 =
r
2v
r
Después de la
colisión
( )iˆ,v sm7251 −=′
r
2v ′
r
m1 m2

5. En un campo de fútbol americano muy lodoso (sin fricción), el jugador A de 110
kg choca con un jugador rival B de 85 kg. Justo antes del choque, el jugador A
resbala con una velocidad de 8,8 m/s hacia el norte, y el jugador B lo hace con
una velocidad de 7,2 m/s hacia el este. Determine la velocidad (módulo y
dirección) con la cual se mueven juntos los dos jugadores inmediatamente
después de la colisión. (Para su respuesta debe presentar un dibujo adecuado
antes y después de la colisión, indicando las magnitudes pedidas)
Solución
Se conserva la cantidad de movimiento durante el
choque:
En x:
( ) θcosvmmvm BABB +=
( ) ( ) θcos, v851102785 +=
En y:
( ) θsenvmmvm BAAA +=
( ) ( ) θsen, v8511088110 +=
Resolviendo: θ = 57,7°= 58°
v = 5,87 m/s = 5,9 m/s
vA
vB
v
θ

6. Un automóvil A de 1500 kg viaja al sur y una camioneta B de 2000 kg viaja al
oeste. Si ambos colisionan y se mueven juntos con un momento lineal total (de
los dos vehículos) de 8000 kg⋅m/s dirigida a 45,0°al oeste del sur, determine la
rapidez inicial de cada vehículo instantes antes de la colisión.
Solución
Se conserva la cantidad de movimiento durante el
choque:
En x:
°−=− 045,senPvm BB
°= 04580002000 ,senBv
En y:
°−=− 045,cosPvm AA
°= 04580001500 ,cosAv
Resolviendo: vB = 2,83 m/s
vA = 3,77 m/s
7. Una bala de 5,00g viaja horizontalmente con velocidad de 500 m/s y choca con
un bloque de madera de 0,400 kg de masa que estaba en reposo sobre una
superficie plana. La bala atraviesa el bloque y sale con una rapidez reducida a
130 m/s. El bloque se desliza una distancia de 5,00 m sobre la superficie con
respecto a su posición inicial.
a. ¿Qué coeficiente de fricción cinética hay entre el bloque y la superficie?
b. ¿Qué cantidad de energía mecánica se pierde durante la colisión?
vA
vB
P
45,0°

Solución (a)
Velocidad del bloque inmediatamente después de la colisión
VMvmvm bloquebbalabbala += '
( ) smsmvv
M
m
V bb
bloque
bala
/,/,'
6346254 ==−=
Cálculo del coeficiente de fricción usando energía solo para el bloque:
MgdMV kµ−=− 2
2
1
2180
2
2
,==
gd
V
kµ
Solución (b)
La energía que se pierde durante la colisión:
( )( ) ( )( ) ( )( ) 





+−= −− 22323
62548000
2
1
13010005
2
1
50010005
2
1
,,,, xxQ
Q = 574,19 J = 574 J

1. Un objeto de 0,10 kg que se desplaza inicialmente con una velocidad de 0,20
m/s hacia el este sufre un choque frontal elástico con un objeto de 0,15 kg que
en un principio está en reposo. ¿Cuál es la velocidad final del objeto de 0,10 kg
después del choque?
Respuesta. 0,04 m/s hacia el oeste
2. Si la bala de masa m que tiene una velocidad v se incrusta en el bloque de masa
M, de tal manera que el conjunto recorre una distancia d sobre el plano
horizontal, antes de detenerse, el coeficiente de rozamiento cinético entre el
bloque y el plano horizontal es:
Respuesta.
dg
v
Mm
m
⋅⋅
⋅





+ 2
22
3. Sobre la carretilla B se coloca un carrito A
y se le comunica al sistema una velocidad
v = 3,0 m/s. En cierto punto de la
trayectoria hay un obstáculo que impide
que A se siga moviendo. ¿Qué sucede
con B, luego del choque del carrito A con el obstáculo?
a) Se sigue moviendo con la misma velocidad
b) Se detiene
c) Aumenta su velocidad
d) Disminuye su velocidad
e) Faltan datos. No se puede determinar
M
d
v
A
B
v

Respuesta. c)
4. Un hombre que se encuentra sobre un carro, viaja en línea recta con una
velocidad de 2,0 m/s. La masa del carro y del hombre es 190 kg y llevan una
piedra de 10 kg que es arrojada hacia adelante con velocidad de 11,5 m/s
respecto de Tierra. El porcentaje de variación de la velocidad que tienen el carro
y el hombre, después de arrojar la piedra disminuye en:
Respuesta. Disminuye 25%
5. Si después del choque la velocidad de A es 1,0 m/s, ¿cuál será la velocidad de
B?
Respuesta. 1,5 m/s (derecha)
A B
vA = 2,0 m/s vB = 1,0 m/s
Superficie lisa
Antes del choque

1. ¿Cuánto vale BA mm , si la velocidad
del bloque A después del choque es
vA/3? El choque es perfectamente
elástico.
a) 2
b) 5
c) 1/5
d) 1/2
e) 2/3
2. Un cañón cuya masa es 5,0 × 103
kg, dispara un proyectil que pesa 100 kg. La
energía cinética del proyectil al salir del cañón es 7,5 × 106
J. ¿Qué energía
cinética adquirirá el cañón a causa del retroceso?
a) 7,5 × 104
J
b) 7,5 × 10
6
J
c) 15 × 104
J
d) 1,5 × 104
J
e) 2,5 × 103
J
3. Una masa m = 20 kg que traía una
velocidad de 15 m/s choca contra otra
masa M = 40 kg que estaba en reposo.
¿Cuál será la velocidad de la masa de
40 kg si el choque ha sido
perfectamente elástico?
a) 5,0 m/s
b) 20 m/s
A B
vA
vB = 0 m/s
Superficie lisa
15 m/s
Superficie lisa
m
M

c) 15 m/s
d) 7,0 m/s
e) 10 m/s
4. Una masa explosiva depositada en el suelo, explota fragmentándose en dos
partes, una de 0,40 kg que sale impulsada hacia el norte con una velocidad de
12,6 m/s y la otra de 0,18 kg que sale con una velocidad v de dirección
desconocida. Determinar v.
a) 30 m/s
b) 15 m/s
c) 28 m/s
d) 14 m/s
e) 18 m/s
5. Determine la altura H en cm que
alcanzarán las 2 bolas
mostradas, si la masa m es
puesta en libertad desde la
posición señalada (1).
a) 30 cm
b) 10 cm
c) 20 cm
d) 45 cm
e) 60 cm
(1)
m
m 2m
2mm
h = 90 cm H = ?

Dinámica de cuerpos rígidos 149
m
R
Eje de giro
7. DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS
7.1. MOMENTO DE INERCIA
El momento de inercia es la resistencia que presentan los cuerpos a cambiar su
estado de rotación.
El momento de inercia de un cuerpo rígido depende de la distribución de masa del
mismo alrededor del eje de rotación y se mide en kg·m2
.
Tabla 7.1 Momentos de inercia de diversos cuerpos
Cuerpo Momento de Inercia (kg·m2
)
Masa puntual
2
mRI =
Varilla delgada eje por el centro
2
12
1
MLI =
Cilindro hueco
( )2
2
2
12
1
RRMI +=
Cilindro relleno
2
2
1
MRI =
L
R1
R2
R

Cilindro hueco de pared delgada
2
MRI =
Esfera rellena
2
5
2
MRI =
Esfera hueca de pared delgada
2
3
2
MRI =
1. Si tuviera dos lapiceros de la misma marca y en el
extremo de uno de ellos colocara un borrador grande,
como se muestra en la figura, ¿cuál de los dos lapiceros
caería primero si estuvieran en posición vertical? ¿Por
qué?
Solución
Caería primero el lapicero que no tiene el borrador pegado porque tendría menor
momento de inercia y por lo tanto menor oposición al giro del lapicero.
R
R
R

ω
Eje de giro
7.2. ENERGÍA CINÉTICA ROTACIONAL
En la figura se muestra un cilindro con momento de inercia I
que gira alrededor de su eje principal con rapidez angular ω. La
energía cinética rotacional de este cuerpo rígido es:
2
I
2
1
K ω=
2. En la figura se muestra una masa m = 12,0 kg
suspendida de dos cuerdas, una enrollada alrededor de
un cilindro de radio r1 = 0,100 m y momento de inercia I1
= 0,0500 kg⋅m2
, y la otra enrollada alrededor de un
cilindro de radio r2 = 0,150 m y momento de inercia I2 =
0,120 kg⋅m2
. La masa se suelta desde el reposo y
desciende una altura h = 6,00 m.
a. Determine la rapidez de la masa m cuando desciende
6,00 m.
b. La aceleración angular en ambos cilindros.
Solución (a)
Por conservación de la energía mecánica (tomando el nivel en el suelo),
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
mv
r
v
I
r
v
Imgh +





+





=
De donde =
++
=
m
r
I
r
I
mgh
v
2
2
2
2
1
1
2
7,95 m/s
Solución (b)
h
m
I2
I1

La aceleración tangencial es
h
v
a
2
2
= = 5,27 m/s2
Entonces
1
1
r
a
=α = 52,7 rad / s
2
y
2
2
r
a
=α = 35,1 rad / s
2
3. Un cilindro de masa M y radio RC =
2R, con momento de inercia
2
C C
MR
7
5
I = se ata a un hilo mediante
un yugo a un eje sin fricción que pasa
por el centro del cilindro de modo que
éste puede girar. El hilo pasa por una
polea con forma de disco de masa M
y radio R montada en el eje sin
fricción que pasa por su centro. Un
bloque de masa M se suspende del extremo libre. El hilo no resbala en la polea
y el cilindro rueda sin resbalar sobre la mesa, liberándose el sistema desde el
reposo. Usando sólo el método de energía, calcule:
a. La rapidez del bloque al descender una altura d = 4,00 m.
b. La aceleración del bloque.
Solución (a)
Energía mecánica inicial = energía mecánica final, con el nivel de referencia en la
posición inicial del bloque de masa M.
0MgdMv
2
1
ωI
2
1
Mv
2
1
ωI
2
1 22
PP
22
CC =−+





+





+
0MgdMv
2
1
ωMR
2
1
2
1
Mv
2
1
ωMR
7
5
2
1 22222
C
2
PC =−+





++





0MgdMv
2
1
ωMR
4
1
Mv
2
1
ωMR
14
5 22
P
2222
CC =−+++
0MgdMv
2
1
Mv
4
1
Mv
2
1
MV
14
5 2222
=−+++
d

Finalmente, d2,47gd
45
28
v == = 4,94 m
Solución (b)
Como gdadv
45
28
22
== , entonces 2
m/s3,05g
45
14
==a
7.3. MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE
Se define el momento de una fuerza o torque ττττ de una fuerza F respecto del punto de
giro O como,
Fr
rrr
×=ττττ
Por definición de producto vectorial su
magnitud es:
φτ Fsenr= .
En el Si el torque se mide en N·m.
Podemos expresar el torque de una manera
más familiar, si observamos en la figura que
φrsend = . Entonces podemos expresar el
torque como:
Fd=τ
Donde d es el brazo de palanca.
Observe ahora a la barra de longitud L que puede girar alrededor de unos de sus
φ
Punto de giro
O r
r
F
r
Fr
rrr
×=τ

extremos. Apliquemos ahora una fuerza de valor F
r
y veamos qué es lo que sucede:
• La fuerza F
r
le produce un giro antihorario a
la barra. En este caso el torque es
( )kFd ˆ=τ
r
.
• La fuerza F
r
le produce un giro horario a la
barra y en este caso el torque será:
( )kFd ˆ−=τ
r
.
• La fuerza F
r
no produce ningún giro
a la barra y en este caso el torque
es cero.
Observaciones:
• El torque está relacionado con los giros que realizan los cuerpos.
• Mientras más grande sea el brazo de palanca, mayor es el torque y mayor es la
tendencia del cuerpo a girar.
• Es importante notar que si la fuerza y el brazo de palanca son paralelos (la fuerza
está en la dirección radial) el torque resulta ser cero.
4. Se aplican tres fuerzas de igual magnitud a una placa cuadrada
como se muestra en la figura. Indique en que sentido (horario o
antihorario visto de planta) gira la placa. Fundamente su respuesta. O •
F F
F
θ

Solución
Los torques debido a las fuerzas verticales se anulan.
Entonces el torque neto es debido a la fuerza inferior, el cual produce un giro
antihorario.
5. Las tres barras representadas en la figura son uniformes e idénticas. Sobre cada
barra actúan dos o más fuerzas, todas de igual magnitud y perpendiculares a las
barras, como se muestra en la figura. Sustentando su respuesta, señale la barra
que se encuentra en equilibrio. Despreciar el peso de las barras.
Solución
Alternativa 3. Ya que la suma de fuerzas es cero y la suma de torques es cero.
7.4. EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO
Supongamos que dos fuerzas iguales y opuestas actúan
sobre un cuerpo rígido tal como se muestra en la figura.
¿Se encuentra el sólido en equilibrio?
Aunque en este caso la suma de fuerzas sobre el cuerpo
es nula, el cuerpo no está en equilibrio, pues las fuerzas lo harán girar.
Vemos pues que para el caso de un cuerpo rígido, la condición
∑ = 0F
rr
no es suficiente para mantener el equilibrio, necesitamos otra condición que nos
garantice que el cuerpo no gire. Esta condición nos la da el torque. Asi:
1°CONDICION DE EQUILIBRIO: Condición de equilibrio de traslación: ∑ = 0F
rr

2°CONDICION DE EQUILIBRIO: Condición de equilibrio rotacional: ∑ = 0
rr
τ
6. Un hombre lleva una tabla de 3,20 metros (ver figura). Con una mano empuja
hacia abajo sobre uno de los extremos con una fuerza F1 y con la otra mano,
que está a 40,0 cm de este extremo, empuja hacia arriba con una fuerza F2. La
tabla pesa 12,0 N y esta fuerza se aplica en su centro. (a) Dibuje el DCL de la
Tabla y (b) determine el módulo de F1 y F2 para que el sistema se encuentre en
equilibrio.
Solución (a)
El DCL se muestra en la figura.
Solución (b)
Aplicamos la segunda condición de equilibrio (momentos alrededor de extremo
izquierdo)
(F2)(0,400) = 12,0(1,60)
F2 = 48,0 N
0,400 m
F1
F2
1,60 m
0,400 m
12,0 N

Además por la primera condición)
F1 = F2 − 12,0 = 36,0 N
7. Se aplica una fuerza de 400 N sobre la barra que se muestra en la figura. El
punto de aplicación de esta fuerza está a 28,0 cm del punto O. Además sobre
la barra se aplican las fuerzas FB a 5,00 cm del punto O y FH como se muestra
en la figura. Si la barra pesa 30,0 N, determine:
a. El módulo de la fuerza ejercida FB.
b. El módulo y la dirección de la fuerza FH.
Solución
Aplicando la segunda condición de equilibrio y tomando
momentos alrededor de O:
( ) ( )( )cmNcmFB 028400005 ,, =
NFB
3
10242 ×= ,
Aplicando la primera condición de equilibrio:
NFH 030,sen =θ
400−= BH FF θcos
Dividiendo las ecuaciones anteriores obtenemos la dirección de FH
40010242
030
3
−×
=
,
,
tanθ , °= 9340875540,θ , °= 9340,θ
400 N
28,0 cm
5,00 cm
FB
FH cosθ
30,0 N
FH senθ
O
400 N
28,0 cm
5,00 cm
FB
FH
30,0 N
O

Entonces,
( )
N
N
FH
3
10841
9340875540
030
×=
°
= ,
,sen
,
8. El hombre de la figura sostiene una escalera de 5,400 m de longitud y 373 N
de peso, el cual está aplicado en el punto medio de la escalera. Determine el
módulo de la fuerza F1 que aplica el hombre a la escalera
Solución
Debido a que no se puede usar la primera
condición de equilibrio, al desconocer el módulo
de la fuerza en el punto de apoyo, debemos
aplicar la segunda condición de equilibrio,
considerando el punto de giro al extremo inferior
de la escalera.
Entonces, 211 dFwd =
( )( ) ( ) °=° 030600310307002 ,cos,,cos, mFmN373
F1 = 279,75 N = 280 N
373 N
30,0°
F1
2,700 m
0,900 m
2,700 m
w
30,0°
F1
O
d1
d2

7.5. MOMENTO ANGULAR
Se define el momento angular de una partícula como:
prL
rrr
×=
Cuya magnitud es φsenprL = .
Observa que:
• Si p
r
es paralelo a r
r
, entonces 0L
rr
= .
• Si p
r
es perpendicular a r
r
, entonces L
r
toma su máximo valor, rpLmax = .
El momento de una fuerza que actúa sobre una partícula es igual a la rapidez de
cambio del momento angular de la partícula:
τ
rrr
r
=×= Fr
dt
Ld
Esta expresión es válida si los orígenes de L y τ son comunes.
7.5.1. Conservación del momento angular
Al igual que la conservación del momento lineal, el principio de conservación del
momento angular es una ley de conservación universal.
φ
m
O r
r
prL
rrr
×=
p
r

Sí 0τ
rr
= , entonces. 0
dt
Ld r
r
= y por lo tanto, L
r
es constante.
“Si el torque neto sobre una partícula es cero, entonces su momento angular se
mantiene constante”.
Observe además que Si ryF
rr
son paralelos, entonces 0Fr
rrr
=× y por lo tanto el
momento angular se mantiene constante.
7.5.2. Momento angular de un sistema de partículas
Supóngase que se tiene un sistema de varias
partículas, entonces el momento angular del
sistema está dado por:
∑=++= i21 L....LLL
rrrr
Observaciones
• Si el sistema de partículas se encuentra aislado (no hay fuerzas externas actuando
sobre el sistema), el momento angular del sistema se mantiene constante.
• Las fuerzas internas (fuerzas de interacción entre las partículas) no alteran el
momento angular del sistema.
• Si sobre el sistema actúan varias fuerzas externas, el torque resultante es igual a la
suma de los torques externos ∑=++= i21 τ....τττ
rrrr
(la sumatoria no incluye los
torques producidos por las fuerzas internas).
7.5.3. Momento angular de un sólido
Supóngase un sólido rígido que gira alrededor de uno
de sus ejes de simetría, su momento angular L y su
rapidez angular ω están relacionados según:

ω
rr
IL =
Donde I es el momento de inercia del sólido respecto al eje de giro (eje de simetría).
Cuando un sólido gira alrededor de uno de sus ejes de simetría su momento angular y
su velocidad angular son vectores paralelos.
Si el torque de las fuerzas que actúan sobre el sólido es cero, entonces su momento
angular se mantiene constante, por lo tanto,
constanteI =ω
“Un cuerpo rígido que rota alrededor de un eje principal (de simetría) se mueve con
rapidez angular constante si el torque externo resulta ser cero”.
9. En el principio del Universo, las estrellas (como el Sol) son grandes cuerpos
gaseosos de forma esférica que giran lentamente. Debido a la gravedad, estos
cuerpos de gas disminuyen poco a poco su volumen. ¿Qué le ocurre a la rapidez
angular de una estrella a medida que ésta se recoge?
Solución
Como no hay torques externos L
r
se conserva.
Así: 2211 ωω II = , entonces 1
2
1
2 ωω
I
I
=
Al reducirse el volumen, 2I es menor que 1I , por lo cual 12 ωω >
10. Si se produce un calentamiento global a lo largo de este siglo, es probable que
los casquetes polares de la Tierra se fundan y el agua se distribuya más cerca
del ecuador. (a) ¿Cómo cambiaría esto el momento de inercia de la Tierra? (b)
¿Aumentaría o disminuiría la duración del día?

Solución (a)
Al fundirse el hielo, la masa se alejaría más del eje de rotación y el momento de
inercia aumentaría. Como cteI =ω , un aumento de I ocasiona una reducción en la
rapidez angular.
Solución (b)
Al disminuir ω , se retarda la rotación (aumenta el periodo) y por consiguiente, la
duración del día aumentaría.
11. Albert se para en el centro de una mesita giratoria
con los brazo extendidos horizontalmente y una
pesa en cada mano, como se muestra en la figura.
Luego se le pone a girar sobre un eje vertical y la
mesita no presenta fricción. Si él lleva las pesas a
su abdomen explique si la rapidez angular en este
segundo caso aumenta, disminuye o permanece constante con respecto al caso
inicial. Fundamente su respuesta.
Solución
Como no hay torques externos la cantidad de movimiento angular respecto al eje de
giro permanece constante.
Entonces, i
f
i
f
I
I
ωω = Como el momento de inercia final If disminuye (al acercar la
masa al eje de giro), entonces la rapidez angular ωf aumenta.

12. La figura muestra un tubo cilíndrico
hueco de masa M, longitud L y momento
de inercia ML
2
/10, con tapas en los
extremos. Dentro del cilindro se
encuentran dos masas m separadas
una distancia d y atadas a un vástago
central por una cuerda delgada. El sistema puede girar alrededor de un eje
vertical (muy ligero) a través del cilindro. Cuando el sistema gira con rapidez
angular ω, las cuerdas que mantienen las masas se rompen súbitamente,
llegando las masas a ubicarse en los extremos del tubo. Calcula la expresión
correspondiente a la rapidez angular final del sistema. Considera que las
paredes interiores del cilindro carecen de rozamiento.
Solución
Como no hay torques externos: 221 ωω II = , de donde
ωω
2
1
2
I
I
=
Los momentos de inercia inicial y final son:
masastubo III +=1
210
22
mdML
+=
22
2
2
2
10






+=
L
m
ML
I
22
210
mLML
+=
Entonces, ωω
210
210
22
22
2
mLML
mdML
+
+
=
13. Una mujer de 60,0 kg está parada en el borde de una mesa giratoria horizontal
en forma de disco sólido. La mesa tiene un momento de inercia de 500 kg⋅m
2
y
un radio de 2,00 m y al principio está en reposo y tiene libertad de girar
alrededor de un eje vertical sin fricción que pasa por su centro. La mujer
empieza a caminar alrededor de la orilla en dirección de las manecillas del reloj
(visto desde arriba del sistema) a una rapidez constante de 1,50 m/s en relación
L
m m
d

con la Tierra.
a. ¿En qué dirección y con qué rapidez angular gira la mesa giratoria?
b. ¿Cuánto trabajo realiza la mujer para poner en movimiento la mesa giratoria?
Solución (a)
El momento angular del sistema se conserva, entonces 22110 ωω II −= donde I1 es el
momento de inercia de la mujer (tratada como una partícula) e I2 es el momento de
inercia de la mesa.
Entonces,
( )( ) rad/s
R
v
I
mR
I
I
3600501
500
00260
2
2
1
2
1
2 ,,
,
==





== ωω , en dirección
contraria a la de la mujer.
Solución (b)
if KKKW −=∆=
2
212
2
22
22
2
2
1
2
1
2
1
2
1
ωω I
R
v
mRI
R
v
IW m +





=





−−





=
JW 9993600500
2
1
501060
2
1 22
,),)((),)(,( =+=
7.6. DINÁMICA DE UN CUERPO RÍGIDO: TRASLACIÓN Y ROTACIÓN
COMBINADAS
Si un cuerpo rota alrededor de un eje de giro, el torque neto generado por la fuerza
externa será:
ατ
rr
I=
Donde α es la aceleración angular del cuerpo rígido alrededor del eje de giro.
Además, si el cuerpo se traslada se puede aplicar la segunda ley de Newton
maF =∑

14. Un cilindro uniforme de masa m1 y
radio R, gira sobre un eje sin
rozamiento. Se enrolla una cuerda
muy ligera alrededor del mismo,
que se une a una masa m2, la cual
está apoyada en un plano inclinado
sin rozamiento, el cual forma un
ángulo θ con la horizontal, como se
muestra en la figura. El sistema se deja en libertad desde el reposo con m2 a
una altura h sobre la base del plano inclinado.
a. Determina la aceleración de la masa m2.
b. Halla la tensión en la cuerda.
Solución (a)
Aplicaremos dinámica del cuerpo rígido.
El DCL se muestra en la figura.






==
R
a
RMITR 2
1
2
1
α (1)
amTgsenm 22 =−θ (2)
De (1):
2
1am
T = en (2):
θgsenm
a
mam 212
2
=+ ,
De donde: θgsen
m
m
m
a
2
1
2
2
+
=
Solución (b)
θgsen
m
m
mm
T












+
=
2
1
21
2
2
θ
m2
m1
R
h
θ
m2
m1
R T
T
m1g
F
m2g
N

15. En la figura se muestra una esfera hueca uniforme
de radio R y masa M la cual gira alrededor de un eje
vertical sin fricción. Una cuerda ligera está enrollada
alrededor de la línea ecuatorial de la esfera hueca y
pasa sobre una polea en forma de disco de masa
M/2 y radio 2R. Al otro extremo de la cuerda se fija
un bloque de masa 4M. Si el bloque se libera desde
el reposo, determine:
a. El DCL cada uno de los cuerpos,
b. las ecuaciones dinámicas de movimiento de la esfera hueca, la polea y el
bloque y
c. las tensiones de la cuerda y la aceleración con la cual desciende el bloque.
(Iesfera = 2mr2
/3, Idisco = mr2
/2)
Solución (a)
El DCL cada uno de los cuerpos.
Solución (b)
Las ecuaciones dinámicas de movimiento de la esfera, la polea y la masa
esf
2
esf1 Rm
3
2
RT α= o am
3
2
T esf1 =
pp12 m
2
1
RT-RT α= o am
2
1
T-T p12 =
mbg − T2 = mb a
Solución (c)
Las tensiones de la cuerda y la aceleración con la cual desciende la masa m.

Resolviendo las ecuaciones anteriores
g
59
32
T1 = g
59
44
T2 = g
59
48
a =
T1 = 5,32 N T2 = 7,32 N a = 7,98 m/s2
16. En la figura, el cilindro y la polea
giran sin fricción en torno a ejes
horizontales estacionarios que pasan
por su respectivo centro. Se enrolla
una cuerda ligera en el cilindro, la
cual pasa por la polea y tiene una
caja de 5,00 kg suspendida de su
extremo libre. No hay deslizamiento entre la cuerda y la superficie de la polea. El
cilindro uniforme tiene una masa de 6,00 kg y radio 40,0 cm. La polea es un
disco uniforme con masa 3,00 kg y radio 20,0 cm. La caja se suelta desde el
reposo y desciende mientras la cuerda se desenrolla del cilindro. 2
2
1
MRIcm =
a. Escriba las ecuaciones dinámicas que caractericen el movimiento del
sistema.
b. Calcule la magnitud de la aceleración de la caja.
Solución (a)
Cilindro:












=
C
CC
C
R
aRM
RT
2
2
1 …. (1)
Cilindro
Polea
Caja
T1
Cilindro

Polea:












=−
P
PP
PP
R
aRM
RTRT
2
2
12 …. (2)
Bloque:
maTmg =− 2 …. (3)
Solución (b)
Resolviendo:
2
165
2
2
s
m
g
MMm
m
a
PC
,=





++
=
T2
mg
Caja
T2
Polea
T1

7.7. MOVIMIENTO DE RODADURA
El movimiento en general de un cuerpo rígido en el espacio es muy complejo, sin
embargo se puede simplificar el problema si se restringe la discusión a un cuerpo
rígido con alto grado de simetría, como un cilindro, una esfera, o un aro. Además, se
supone que el cuerpo sigue un movimiento de rodadura (traslación + rotación) en un
plano. Observe que para que el cuerpo ruede tiene que haber fricción pero esta no
disipa la energía sino que permite que el cuerpo gire, por lo cual puede emplear la
conservación de energía en estos casos.
La energía cinética de un cuerpo con movimiento de rodadura se expresa como,
2
cm
2
cm Mv
2
1
I
2
1
K += ω
El primer término de esta ecuación representa la energía cinética de rotación pura
alrededor de un eje que pasa por su centro de masa (centro geométrico) y el segundo
término expresa la energía cinética de traslación del centro de masa.
17. Se hace rodar cuesta abajo dos esferas sólidas sin resbalar: una esfera grande
de masa considerable y una esfera pequeña de poca masa. ¿Cuál de ellas llega
al pie de la cuesta primero? I esfera sólida = 2
5
2
MR
Solución
Como las esferas no resbalan se conserva la energía mecánica, entonces la energía
potencial inicial es igual a la energía cinética final (de rotación y traslación). Para una
esfera de masa M y radio R,
2
22
5
2
2
1
2
1












+=
R
v
MRMvMgh

De donde, ghv
7
10
=
Entonces la rapidez al final de la cuesta no depende de la masa ni del radio. Ambas
esferas llegan iguales.
18. Un peñasco esférico, sólido y uniforme de
20,0 kg de masa, parte del reposo y baja
rodando por la ladera de una colina de
cierta altura h. La mitad superior es lo
bastante áspera como para que el
peñasco ruede sin resbalar, pero la mitad
inferior está cubierta de hielo y no hay fricción. Si el peñasco entra a la región de
la ladera que no tiene fricción con una rapidez de traslación de 10,0 m/s, calcule:
( 2
5
2
MRIcm = )
a. El valor de h.
b. La rapidez del peñasco al llegar a la base de la ladera.
Solución (a)
BA EE =
( ) ( ) ( )100
5
1
100
2
1
2
819
5
2
2
1
2
1
2
22
1
2
1
2
2
22
22
+=












+=
++=
h
R
v
mRmv
h
mg
h
mgImvmgh
B
B
BB
,
ω
h = 14,3 m
Solución (b)
CA EE =
22
2
1
2
1
CC Imvmgh ω+=
R
vB
BC == ωω (No hay rozamiento, no hay torque y rapidez angular constante).
h
A
B
C
Áspero
Liso













+= 2
2
22
5
2
2
1
2
1
R
v
mRmvmgh B
C
( )( ) ( )
s
m
v
v
C
C
515
10
5
1
2
1
314819
22
,
,,
=
+=

1. Se tiene una varilla uniforme AB de 5,00 m de
longitud y 50,0 N de peso soportada en A y
mantenida en equilibrio por una cuerda, como se
muestra en la figura. Una carga de 100,0 N
cuelga de la varilla a una distancia x de A. Si la
resistencia de ruptura de la cuerda es de 50,0 N,
encuentre el máximo valor de x.
Respuesta. 1,76 m
2. Un disco horizontal con un momento de inercia I1 gira con velocidad angular ω0
en torno a un eje mecánico vertical sin fricción. Un segundo disco horizontal,
cuyo momento de inercia es I2 y que inicialmente no está girando, cae sobre el
primero. Debido a que las superficies son rugosas, con el tiempo los dos discos
alcanzan la misma velocidad angular ω . Encuentre la razón ω/ω0.
Respuesta. I1 / (I1+I2)
3. Si el momento de torsión que se requiere para aflojar una tuerca que sostiene
un neumático desinflado en su lugar en un automóvil tiene una magnitud de 40,0
N⋅m, ¿cuál es la fuerza mínima que el mecánico debe ejercer en el extremo de
una llave de 30,0 cm de largo para aflojar la tuerca?
Respuesta. 133 N
4. Un tiovivo de 150 kg con forma de disco horizontal sólido y uniforme de 1,50 m
de radio se pone en movimiento envolviendo una cuerda alrededor del borde del
disco y tirando de la cuerda. ¿Qué fuerza constante se tendría que ejercer sobre
la cuerda para imprimir al tiovivo, que inicialmente está en reposo, una velocidad
angular de 0,500 rev/s en 2,00 s?
Tmax = 50 N
37°
37°
53°
5,0 m
A
B
50 N
100 N
x

Respuesta. 177 N
5. Una escalera uniforme de longitud L y peso W descansa contra un muro vertical.
El coeficiente de fricción estática entre la escalera y el piso es igual al que existe
entre la escalera y el muro. Si este coeficiente de fricción estática es µe = 0,500,
determine el ángulo más pequeño que la escalera puede formar con el piso sin
resbalar.
Respuesta. 36,9°

1. Un hombre de 80,0 kg ha subido la cuarta parte de una escalera de 10,0 m que
descansa contra un muro liso sin fricción. Si la escalera tiene una masa de 20,0
kg y forma un ángulo de 60,0°con el suelo, calcule la fuerza de fricción del suelo
sobre el pie de la escalera.
a) 784 N
b) 196 N
c) 50 N
d) 170 N
e) 500 N
2. ¿Cuál debe ser la velocidad angular de un cilindro sólido que rueda en el suelo
al pie de un promontorio de tal modo que puede rodar hasta la cima del mismo si
el promontorio tiene 10,0 m de largo y 3,0 m de altura? La masa del cilindro es
2,00 kg y su radio es de 0,400 m.
a) 15,7 rad/s
b) 27,1 rad/s
c) 19,2 rad/s
d) 28,6 rad/s
e) 33,2 rad/s
3. En la figura se muestra una masa m = 2,00 kg atada a una
cuerda ligera enrollada en una polea cilíndrica de 10,0 cm de
radio y momento de inercia 4,00 kg·m2
. La polea está
suspendida del techo y la masa m es liberada del reposo a una
distancia d = 1,20 m respecto al suelo. ¿Cuánto tiempo
demorará la masa en alcanzar el suelo?
a) 4,21 s
b) 7,00 s
m
d

c) 6,25 s
d) 1,44 s
e) 2,79 s
4. El radio de una rueda de masa m = 3,00 kg
es r = 6,0 cm. La rueda es liberada del
reposo en el punto A, sobre un plano
inclinado un ángulo, θ = 30,0°, como se
muestra en la figura. Si la rueda se mueve
sin deslizarse moviéndose una distancia d =
2,4 m hasta el punto B en 1,20 s, determine
la aceleración angular de la rueda. El
momento de inercia de la rueda es I = 0,005 1 kg·m
2
.
a) 48 rad/s2
b) 56 rad/s2
c) 65 rad/s2
d) 73 rad/s2
e) 82 rad/s2
5. Un disco y una esfera son soltadas simultáneamente desde lo alto de un plano
inclinado. Ambas ruedan hacia abajo sin deslizarse. ¿Cuál de ellas llegará
primero a la base del plano?
a) La que tenga menor diámetro
b) La que posea la mayor masa
c) El disco
d) La esfera
e) Ambas llegaran a la base del plano al mismo tiempo
θ
m
r
θ
A
B
d

Movimiento armónico simple 176
8. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Es un movimiento periódico y oscilatorio (alrededor de una posición de equilibrio), tal
que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es proporcional a su
desplazamiento.
Para la figura mostrada, la fuerza resultante F tiene la forma kxF −= , donde x es la
posición de la partícula de masa m.
Observe que la posición de equilibrio se da en x = 0, A es la amplitud de oscilación
(valor del desplazamiento máximo del cuerpo o partícula) y x es la elongación del
resorte (medida desde la posición de equilibrio) o la posición del cuerpo unido al
resorte.
8.1. ECUACIONES DEL MAS
Aplicando la segunda ley de Newton a la figura mostrada, maF = y por lo tanto
kxma −= y (k/m)xa −=
Si hacemos el cambio mk=2
ω , la aceleración queda expresada como x2
ω−=a .
A
k
Superficie lisa
x = 0 (punto de equilibrio)
A
F
N
mg
v
x
m

La constante ω recibe el nombre de frecuencia angular y esta relacionada con el
periodo de oscilación T según la ecuación:
f
T
π
π
ω 2
2
==
Siendo f la frecuencia de oscilación medida en el SI en hertz (1 Hz = 1/s). La
frecuencia angular se mide en rad/s.
Como
td
xd
a 2
2
= entonces, x
td
xd 2
2
2
ω−= , así
02
2
2
=+ x
td
xd
ω
La cual es la ecuación diferencial del movimiento armónico simple.
La solución de esta ecuación diferencial nos da la posición de la partícula que se
mueve con MAS, es decir:
)tAsen(x(t) θω +=
Donde A es la amplitud de oscilación, θ es el ángulo de fase y depende de las
condiciones iniciales del movimiento.
Podemos ahora encontrar la velocidad y aceleración de la partícula según,
( )θωω +== tA
dt
dx
v(t) cos
( ) ( )txtA
td
xd
a 22
2
2
ωθωω −=+−== sen
Observaciones
• La velocidad del oscilador es cero en los extremos y máxima en la posición de
equilibrio.

• La fuerza recuperadora apunta siempre hacia la posición de equilibrio.
• La aceleración es máxima en los extremos y cero en la posición de equilibrio.
Para observar los gráficos de posición, velocidad y aceleración de una partícula con
MAS, asumiremos por sencillez que el ángulo de fase es cero, de tal modo que las
ecuaciones de movimiento son,






= tx(t)
4
4 πsen






= tv(t)
4
ππ cos






−= ta(t)
44
2 ππ sen
8.2. ENERGÍA EN SISTEMAS MASA-RESORTE (oscilador armónico)
En un sistema masa-resorte, la frecuencia angular se determina por
Tm
k π
ω
2
==

Donde k, es la constante elástica del resorte (medina en N/m), m es la masa unida al
resorte y T es el periodo de oscilación.
Si no hay pérdida de energía,
constante
2
1
2
1 22
=+= kxmvE
Como la energía del oscilador es constante en todo momento entonces podemos
evaluarlo en uno de sus extremos donde su energía cinética es cero, luego,
222
2
1
2
1
2
1
kAkxmvE =+=
Podemos entonces apreciar que la amplitud de oscilación fija la energía del oscilador.
También podemos de aquí hallar una relación entre su velocidad y su posición,
22
xAv −= ω
Así la rapidez máxima del oscilador ocurre en su posición de equilibrio y su valor es
ωAv =max .
1. Un objeto se mueve con MAS de amplitud A en el extremo de un resorte. Si la
amplitud se duplica,
a. ¿Qué sucede con la distancia total que el objeto recorre en un periodo?
b. ¿Qué sucede con el periodo?
c. ¿Qué sucede con la rapidez máxima del objeto?
Solución
La distancia total se cuadruplica, el periodo no cambia y la rapidez máxima se duplica.

2. Se tienen dos osciladores armónicos
idénticos de masa m y constante elástica
k. Uno de ellos tiene amplitud de 10,0 cm
y el otro de 20,0 cm, como se muestra en
la figura. ¿Cuál de los osciladores tiene
mayor frecuencia? Justifique
adecuadamente su respuesta.
Solución
Ambos tienen la misma frecuencia
m
k
f
π2
1
= .
3. Una masa de 2,00 kg se encuentra unida a un resorte de constante elástica k =
800 N/m, recorriendo en una oscilación completa una distancia de 1,20 m . Si en
el instante t = 0,200 s la masa pasa por su posición de equilibrio moviéndose
hacia la izquierda, determine:
a. La amplitud y la frecuencia angular del movimiento.
b. El ángulo de fase y la ecuación de movimiento del oscilador armónico
( )θtAx(t) += ωsen .
Solución (a)
De la relación
m
k
=ω obtenemos rad/s20,0=ω
En una oscilación completa 4A= 1,20 de aquí A = 0,300 m.
Solución (b)
El ángulo de fase y la ecuación de movimiento del oscilador armónico
La ecuación del MAS:
( )θt,x(t) += 203000 sen ( )θtv(t) += 206 cos
De las condiciones iniciales t = 0,200 s, x(0,200) = 0
( )θ+= 40,3000 sen ( ) 0462000 <+= θ),v( cos
Solo se satisface si
θ = π − 4 = −0,858 rad o θ = 3π − 4 = 5,42 rad (cualquiera de las dos)
A = 10,0 cm
k
m
A = 20,0 cm
k
m

Ecuación del MAS
( )425203000 ,t,x(t) += sen o ( )8580203000 ,t,x(t) −= sen
4. Una masa de 1,00 kg se encuentra unida a un resorte ideal describiendo un
MAS de 0,400 m de amplitud. Si la masa, partiendo de x = 0 en dirección del eje
x positivo, alcanza el punto 0,200 m en 20,0 s, determine:
a. El periodo, la frecuencia angular y la constante elástica del resorte.
b. El ángulo de fase y la ecuación del movimiento armónico simple
( )θtAx(t) += ωsen .
Solución
La ecuación del MAS:
( )θt,x(t) += ωsen4000 ( )θt,v(t) += ωω cos4000
Para t = 0, x = 0 y v(0) >0
( )θ0,4000 sen= ( ) 0θ0,400v(0) >= cosω
Solo satisface con θ = 0
Para t = 20,0s x =0,200
( )ω20,00,4000,200 sen=
De aquí ω = π/120 rad/s, T = 240s
De la relación
m
k
=ω obtenemos N/m6,85x10 4−
=k
La ecuación del MÁS: 





= t,x(t)
120
4000
π
sen

5. Una masa de 2,00 kg se encuentra unida a un resorte de constante k = 3200
N/m, si en el instante t = 0 se encuentra en la posición x = −A/5 moviéndose
hacia la derecha con una rapidez de 31,35 m/s, determine para el oscilador
armónico:
a. El periodo T de oscilación.
b. La amplitud A.
c. La ecuación de posición ( )θtAx(t) += ωsen .
Solución (a)
rad/s,
m
k
ω 040==
El periodo T = 0,05π = 0,157 s
Solución (b)
22
xAv −= ω
Con v = 31,35 m/s y x = −A/5
A = 0,800 m
Solución (c)
)t(Ax θω += sen
x = −A/5, t = 0
θ = 348°= 6,08 rad
6. Usted observa un objeto que se mueve en MAS. Cuando dicho objeto está
desplazado 0,600 m a la derecha de su posición de equilibrio, tiene una
velocidad de 2,20 m/s a la derecha y una aceleración de 8,40 m/s
2
a la
izquierda. Determine la amplitud A del movimiento.
Solución
xa 2
ω−=
( )
s
rad
x
a
7423
6000
408
,
,
,
=
−−
=
−
=ω

22
xAv −= ω
( ) m
v
xA 8400
7423
202
6000
2
2
2
2
2
,
,
,
, =





+=+=
ω
7. La velocidad de un bloque de 0,500 kg unido a un resorte es:
( ) 





−











=
2
714603
π
t
s
rad
s
cm
tvx ,cos,
a. ¿Qué tiempo le toma al bloque completar una oscilación?
b. ¿Cuánto recorre el bloque en un tiempo igual al periodo?
c. Escriba la ecuación de posición.
Solución (a)
T = 2π/ω = 1,334 s
Solución (b)
Aω = 3,60
A = 0,764 cm
d = 4A = 3,06 cm
Solución (c)
( ) ( ) 





−





=
2
7147640
π
t
s
rad
cmtx ,sen,
8. Una bala de masa m = 0,100 kg
moviéndose con una rapidez de 120
m/s, colisiona con un bloque de masa M
= 4,00 kg en reposo y unido a un
resorte de constante K = 200 N/m. Si
debido a esta colisión completamente inelástica el sistema se pone a oscilar sin
ningún tipo de fricción, determine:
a. La frecuencia angular y el periodo de oscilación.

b. La amplitud oscilación.
c. La ecuación del MAS.
Solución (a)
Frecuencia de oscilación, rad/s6,98
4,10
200
==ω
Periodo de oscilación, T = 0,900 s
Solución (b)
Conservación de la cantidad de movimiento (revisa la unidad VI):
v0,100)(4,00120)(0,100((4,00)(0) +=−+
m/s2,9268−=v
Amplitud de oscilación: v=ωA
A = 0,419 m
Solución (c)
Ecuación de movimiento:
)t,(,x(t) π+= 9864190 sen

1. Un oscilador armónico tiene una masa de 0,200 kg y un resorte ideal con k =
140 N/m. Calcule el periodo, la frecuencia y la frecuencia angular.
Respuesta. 0,237 s; 4,21 Hz; 26,5 rad/s
2. Un objeto está en movimiento armónico simple con un período de π/2 s y
amplitud A = 0,400 m. En t = 0 s, el objeto está en x = 0. ¿A qué distancia está
de la posición de equilibrio en t = π/10 s?
Respuesta. 0,380 m
3. En un movimiento armónico simple, la aceleración:
a) Es constante
b) Crece cuando aumenta la velocidad
c) Es inversamente proporcional a la elongación
d) Es proporcional a la elongación
e) Ninguna anterior
Respuesta. d)
4. Un muelle de masa despreciable se encuentra en posición horizontal. Uno de los
extremos está fijo y el otro está unido a un bloque de masa 5,0 kg. Se separa el
bloque de la posición de equilibrio y se deja oscilar. El bloque tarda 30 s en
realizar 10 oscilaciones. Determine el valor de la constante de rigidez del
resorte.
Respuesta. 22 N/m

5. Una masa m oscila ligada a un muelle de constante recuperadora k. El período
del movimiento es T. Si se sustituye la masa m por una masa m´ = 2·m, el
período de la oscilación:
a) Queda multiplicado por un factor 2
b) Queda dividido por un factor 2
c) Queda multiplicado por un factor 2
d) Queda dividido por un factor 2
e) Ninguna anterior
Respuesta. a)

1. Un objeto realiza un movimiento armónico simple. Tarda 2,0 s en pasar de un
extremo al otro de la oscilación que distan 20 cm. La frecuencia del movimiento
es:
a) 0,50 Hz
b) 2,0 Hz
c) 0,25 Hz
d) 4,0 Hz
e) 5,0 Hz
2. Un objeto se mueve con un movimiento armónico simple de periodo T = 4,0 s y
amplitud A. Inicialmente el objeto está en x = 0 y su velocidad es positiva.
Calcular el tiempo que tarda el objeto en llegar al punto de elongación x = A/2.
a) 0,50 s
b) 0,33 s
c) 1,0 s
d) 0,66 s
e) 0,25 s
3. En un movimiento armónico simple es cierto que:
a) El periodo del movimiento es proporcional a la amplitud
b) El periodo del movimiento es inversamente proporcional a la amplitud
c) El periodo es independiente de la amplitud
d) La amplitud depende del tiempo
e) Sólo c y d son verdaderas

4. Una partícula describe un movimiento armónico simple. Su velocidad máxima es
1,0 m/s y la aceleración máxima 2,0 m/s2
. La amplitud del movimiento es:
a) No hay suficientes datos para calcularla
b) 1,0 m
c) 0,25 m
d) 0,50 m
e) 0,87 m
5. Cuando un bloque de 0,20 kg se cuelga del extremo de un muelle vertical, éste
se alarga 9,8 cm. Seguidamente se aparta el bloque 2,0 cm de la posición de
equilibrio y se hace oscilar. La constante recuperadora ó constante de rigidez
del muelle es:
a) 20 N/m
b) 17 N/m
c) 0,20 N/m
d) 9,8 N/m
e) 2,0 N/m

Ondas mecánicas 189
9. ONDAS MECÁNICAS
Una onda mecánica es una perturbación que viaja por el material o sustancia que es
el medio. Al desplazarse la perturbación, las moléculas del medio se desplazan de
varias formas alrededor de su posición de equilibrio.
Cuando las partículas se desplazan perpendicularmente a la dirección de propagación
de la perturbación, se dice que la onda es transversal. Ejemplo, la onda en la cuerda.
Cuando las partículas se desplazan en la misma dirección que la de la propagación de
la perturbación, se dice que la onda es longitudinal. Ejemplo, las ondas producidas
en fluidos.

9.1. ONDAS ARMÓNICAS SOBRE UNA CUERDA
Si al extremo de una cuerda se le imprime un movimiento oscilatorio, entonces se
genera una onda armónica.
Si la fuente de la perturbación realiza un MAS, se produce una onda viajera, de tipo
senoidal, que se mueve hacia la derecha sobre la cuerda.
Bajo estas condiciones, las magnitudes
características del movimiento ondulatorio
son:
• Periodo (T)
• Amplitud (A)
• Frecuencia (f = 1/T)
• Longitud de onda (λ), que es la mínima
distancia entre dos puntos de una onda
que se comportan de igual modo.
• La rapidez v de propagación de la onda
senoidal es igual a :
fv λ=
En la figura se muestra gráfico de una onda
transversal en una cuerda. El gráfico (a)
representa la posición vertical y de un punto de la cuerda para las diferentes
posiciones x de la cuerda en un tiempo t determinado, mientras que el gráfico (b)
representa la posición vertical y de un punto de la cuerda para diferentes tiempos t
para una posición x determinada.
(b)

Rapidez de propagación de ondas en una cuerda
La velocidad de las ondas mecánicas solo depende de las propiedades del medio por
el que se propaga la perturbación. En el caso específico de una cuerda sometida a la
tensión F, la rapidez de propagación de la onda está dada por,
µ
λ
F
fv ==
Donde µ es la densidad lineal de masa de la cuerda:






=
m
kg
cuerdaladelongitud
cuerdalademasa
µ
1. Cuando una onda en una cuerda viaja de un medio A hacia un medio B y vA > vB
(v es la rapidez del pulso), (a) ¿el medio B es mas denso que el medio A? (b)
¿la longitud de onda de las ondas en el medio A es menor que la longitud de
onda en el medio B? Justifique sus respuestas.
Solución
(a) Verdadero. Como
µ
F
v = , al ser vA > vB entonces µA < µB.
(b) Falso. Como v = λf y f no cambia entonces λA > λB.
F
v

9.2. DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE UNA ONDA SENOIDAL
Una cuerda se conecta a una hoja de
metal la cual se pone a vibrar como
se muestra en la figura. A medida que
la hoja se mueve verticalmente
siguiendo un movimiento armónico
simple se produce una onda viajera que se mueve hacia la derecha.
La función de onda de una onda senoidal que se desplaza de izquierda a derecha
tiene la siguiente expresión
( ) ( )tkxAtxy ω−= sen,
Si la onda se mueve hacia la izquierda:
( ) ( )tkxAtxy ω+= sen,
Donde:
ω = 2π/T es la frecuencia angular (rad/s).
k = 2π/λ es el número de onda (rad/m).
A partir de la ecuación de la onda se pueden obtener las expresiones de la velocidad y
aceleración de ésta,
t)(kxA
dt
dy
vy ωω −== cos
t)(kxA
dt
dv
a
y
y ωω −−== sen2
De donde:
La velocidad máxima transversal: ωA
La aceleración máxima transversal: 2
ωA

2. Una onda transversal
armónica se propaga a lo
largo de una cuerda en
dirección +x. La figura,
muestra el gráfico de la
posición transversal (y)
como una función de la
posición (x) en el tiempo t
= 0. La rapidez de
propagación de la onda
es de 12 m/s. Determine:
a. La longitud de onda.
b. La amplitud de la onda.
c. La frecuencia.
d. Escriba una ecuación que describa la onda viajera, usando los resultados
anteriores.
Solución
λ = 0,40 m
A = 0,050 m
f = v/λ = 30 Hz
( ) ( ) 











−





= txsentxy
s
rad
188
m
rad
715m0500 ,,,
3. Una onda senoidal en la cuerda tensa mostrada
en la figura, se describe mediante la función de
onda
( ) [ ]tx,y ππ 18750cm20 += sen
Donde x e y están en metros y t en segundos. La cuerda tiene una densidad de
masa lineal de 0,250 kg/m. Considerando que la tensión en la cuerda la
m
-0.060
-0.050
-0.040
-0.030
-0.020
-0.010
0.000
0.010
0.020
0.030
0.040
0.050
0.060
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80
x (m)
y(m)

M
(I)
L
M/2
(II)
L
proporciona el arreglo mostrado en la figura, determina el valor de la masa m
suspendida. Observa que el peso de la cuerda no contribuye a la tensión y la
polea tiene masa despreciable.
Solución
Como T = mg y además f
mg
v λ
µ
== , entonces
( )
g
f
m
µλ 2
=
De la ecuación identificamos λ = 2,67 m, f = 9,0 Hz, µ = 0,250 kg/m.
Así, m = 14,7 kg
4. Responda las siguientes situaciones justificando su respuesta en cada caso.
a. La figura muestra dos
sistemas I y II, con cuerdas
idénticas que se encuentran
tensionadas por bloques
suspendidos de masas M y
M/2 respectivamente. Indicar en cuál de los sistemas la rapidez de
propagación de una onda sería mayor.
b. Dos ondas transversales se propagan en dos medios diferentes con
ecuaciones de propagación:
Y1 (x, t) = 3 sen (4x + 2t) y Y2 (x, t) = 2 sen (3x – 4t)
Con Y medido en milímetros, t en segundos y x en metros.
i) ¿Cuál de las dos tiene mayor rapidez de propagación?
ii) ¿Cuál de las dos ondas comunica a las partículas del medio correspondiente
mayores rapideces transversales?
Solución (a)
La cuerda del sistema I soporta mayor tensión y por lo tanto las ondas tendrán mayor
rapidez.
Solución (b)

(i) v = ω/k entonces la onda Y2 tiene mayor velocidad que la onda Y1.
(ii) vmax = Aω entonces onda Y2 comunica mayor velocidad que la onda Y1.
5. La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda es:
1 1
0 75 0 400 250y( x,t ) ( , cm )cos ( , cm )x ( s )tπ π− −
 = + 
Calcular:
a. La amplitud, longitud de onda y frecuencia.
b. La rapidez y dirección de propagación de la onda.
Solución
(a)
2
0 75 5 00
0 400
A , cm; , cm,
,
λ= = = 125 6 25f Hz y v f , m s.= = =
(b)125 6 25f Hz y v f , m s.λ= = = Se mueve a la izquierda.
6. Se encuentra que un segmento de una cuerda de 6,00 m de longitud y 180 g de
masa contiene cuatro ondas transversales completas. La cuerda esta vibrando
senoidalmente con una frecuencia de 50,0 Hz y amplitud de 7,50 cm.
a. Determine el número de onda y la frecuencia angular.
b. Escriba la función que describe esta onda viajera en la dirección positiva y.
Las partículas de la cuerda vibran en dirección z.
c. Determine la tensión de la cuerda.
Solución (a)
m
rad
m
k 194
501
2
,
,
==
π
, Hzf 3142 == πω
Solución (b)
Debe indicar en forma correcta, la dirección de propagación de la onda y la dirección
de vibración de las partículas del medio: ( ) ( ) ( )tycmtyZ 314194507 −= ,sen,, .

Solución (c)
m
kg
m
kg
03000
006
1800
,
,
,
==µ
( ) N169
2
== µλfT
7. La ecuación de una onda mecánica es ( ) ( ) ( )tymtyz 003170500 ,,cos,, += .
Sustentando su respuesta responda:
a. ¿La onda es longitudinal o transversal?
b. ¿En qué dirección se propaga la onda?
Solución
(a) Es transversal ya que se propaga en el eje y y oscila en el eje z.
(b) La onda se propaga en la dirección negativa del eje y.
8. Si la ecuación de una onda en una cuerda esta dada por la expresión
( )





−= 8,0t)25,0x
2
(0,150m)t)y(x,
π
sen donde x e y están en metros y t en
segundos, justifique la falsedad o veracidad de las siguientes proposiciones
a. La longitud de onda de la onda es 16,0 cm.
b. La onda recorre 1,60 m en 5,00 s.
Solución
(a) Verdadero λ = 16,0 cm
(b) Verdadero v = λ/T = 0,320 m/s. En 5,00 s recorre 1,60 m
9. La ecuación de cierta onda transversal en una cuerda es:
( ) ( ) 





−=
s
tz
tzy
03600cm028
2mm6,50
,,
sen, π
Determine:
a. Amplitud, longitud de onda y la frecuencia.
b. La rapidez de propagación y la dirección de viaje de la onda.

c. La densidad lineal de la cuerda, si la tensión es de 10,0 N.
Solución (a)
A = 6,50 mm
λ = 0,280 m
f = 27,7 Hz
Solución (b)
La onda se propaga en dirección +z.
Su rapidez es v = 7,76 m/s.
Solución (c)
µ = 0,166 kg/m
9.3. ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA FIJA EN SUS EXTREMOS
Cuando una onda viajera de forma senoidal se refleja en un extremo fijo de una
cuerda tensada, las ondas incidentes y reflejadas (con la misma frecuencia y amplitud)
se combinan (superponen) para formar una onda estacionaria (que no parece
moverse) con nodos y antinodos.
Los nodos son puntos que nunca se mueven (interferencia destructiva).
Los antinodos son puntos en los cuales la amplitud de movimiento es máxima
(interferencia constructiva).
Oscilador Oscilador
Onda incidente Onda reflejada
Nodos
Antinodos

Una cuerda con extremos fijos puede tener diferente número de armónicos o formas
de vibración (modos normales de vibración) como se observa en la figura.
En general una cuerda vibra en un modo normal si la frecuencia de vibración fn es
múltiplo entero de la frecuencia fundamental de vibración f1:
L
v
nnffn
2
1 ==
Donde v es la rapidez de la onda, L es la longitud de la cuerda que vibra y n = 1, 2, 3,
4, ……………. También podrá observar a una cuerda vibrar en algún armónico si L es
múltiplo entero de λn/2.
2
λn
nL =
Si no se cumplen estas condiciones de frecuencia o longitud de onda no se formarán
ondas estacionarias en una cuerda tensa.
2
λ1
=L
L
Frecuencia fundamental, f1
Segundo armónico, f2
Tercer armónico, f3
2
λ
2 2
=L
2
λ
3 3
=L
µ
F
LL
v
f
2
1
2
1 ==
L
v
ff == 12 2
L
v
ff
2
33 13 ==

10. Explique de qué formas se aumenta la frecuencia fundamental en las cuerdas de
una guitarra.
Solución
La frecuencia fundamental es
µ
F
L
f
2
1
1 = , así se aumenta f1, disminuyendo la
longitud L de la cuerda, disminuyendo la densidad µ o aumentando la tensión F.
11. Una cuerda, fija en ambos extremos, resuena con una frecuencia fundamental
de 120 Hz. ¿Cuáles de las siguientes alternativas siguientes tendría el efecto de
reducir la frecuencia fundamental a 60 Hz?
a. Duplicar la tensión y duplicar la longitud de la cuerda.
b. Mantener fija la tensión y reducir la longitud a la mitad.
c. Reducir la tensión a la cuarta parte manteniendo fija la longitud.
Solución
Sólo C, pues
µ
F
L
f
2
1
1 = , si se reduce la tensión a la cuarta parte, este se reduce a la
mitad.
12. Determina la longitud de onda de
las ondas estacionarias formadas
en la cuerda mostrada en la figura,
si la longitud es L = 1,20 m.
Solución
Se observa que λ
2
3
=L , de donde λ = 0,800 m.
L

13. En la figura 1 se muestra a una cuerda
tensa de longitud L con extremos fijos.
Las figuras 2 y 3 representan dos
armónicos de esa cuerda. Para las figuras
2 y 3, explique en cuál de ellos:
a. La longitud de onda es mayor.
b. La frecuencia es mayor.
Solución
(a) Figura 2, ya que λ2 = L frente a λ3 = 2L/3.
(b) Figura 3, ya que f3 = 3f1 frente a f2 = 2f1.
14. ¿Se formará una onda estacionaria una cuerda estirada de 2,00 m de longitud,
que transmite ondas con una rapidez de 6,0 m/s, si se le impulsa con una
frecuencia de 18,0 Hz?
Solución
L
v
f
2
1 =
Hz
L
v
f 51
2
1 ,==
1nffn = con n = 12, por lo tanto si se formarán ondas estacionarias ya que la
frecuencia es múltiplo de la frecuencia fundamental.
15. Si la longitud de onda del quinto armónico es 6,00 cm determine la longitud de
onda del tercer armónico.
Solución
n
L
n
2
=λ
L
Figura 1
Figura 2
Figura 3

006
5
2
5 ,==
L
λ
cmL 015,=
cm0103 ,=λ
16. Una cuerda tensa tiene 4,0 metros de longitud y por ellas se transmiten ondas
con rapidez de 12 m/s y una frecuencia de 15 Hz, formándose ondas
estacionarias. Determine (a) el número n del armónico que se forma en la
cuerda y (b) la tensión que hay sobre la cuerda si la densidad de ella es µ =
0,010 kg/m.
Solución (a)
La frecuencia fundamental es
( )
Hz
L
vv
f 51
042
12
21
1 ,
,
====
λ
El número de armónico es 10
51
15
1
===
,f
f
n n
Solución (b)
( ) ( ) NvT 41010012
22
,, === µ
17. Una cuerda de guitarra vibra en su modo fundamental con nodos en sus
extremos. La longitud del segmento de cuerda que vibra libremente es de 0,386
m. La aceleración transversal máxima de un punto en el punto medio del
segmento es de 8,30×103
m/s2
y la velocidad transversal máxima es de 3,80
m/s.
a. Calcule la amplitud de esta onda estacionaria.
b. ¿Qué rapidez tienen las ondas viajeras transversales en esta cuerda?
Solución (a)
En el modo fundamental ,L2=λ además
ymaxv ωA= y 2
y maxa ω A= dividiendo tenemos

3
8 40 10
3 80
ymax 3
ymax
a ,
ω 2,21 10 rad s
v ,
×
= = = ×
Luego la amplitud , 3
3
3 80
1
2 21 10
ymaxv ,
A ,72x10 m
ω ,
−
= = =
×
Solución (b)
2
2
ω Lω
v f ( L )( )
π π
λ= = =
0 386
272
3
( , )( 2,21 10 )
v m s.
π
×
= =

9.4. ONDAS SONORAS
Las ondas sonoras son ondas longitudinales de compresión que se propagan a través
de un medio compresible.
La rapidez del sonido depende del medio de propagación.
Tabla 9.1. Rapidez del sonido en diferentes medios
Medio v (m/s) Medio v (m/s)
Aire (0 o
C) 331 Agua de mar (25 º
C) 1 533
Aire (20 º
C) 343 Aluminio 5 100
Hidrógeno (0 o
C) 1 286 Cobre 3 560
Oxígeno (0
o
C) 317 Acero 5 130
Agua (25 °C) 1 493 Plomo 1 322
9.4.1. Intensidad del sonido
Se define la intensidad I de una onda a la potencia por unidad de área y es la rapidez
a la cual fluye la energía sonora a través de una unidad de área A perpendicular a la
dirección de propagación de la onda.






= 2
m
W
área
potencia
I
El sonido más débil que puede detectar el oído humano a una frecuencia de 1 000 Hz
corresponde a una intensidad aproximada de 10−12
W/m2
(llamado el umbral auditivo).
El sonido más fuerte que puede soportar el oído corresponde a una intensidad
aproximada de 1 W/m
2
(llamado el umbral del dolor).
Las ondas sonoras transportan energías en tres dimensiones como ondas esféricas.
Si la potencia de la fuente es P, la intensidad media I1 sobre una superficie esférica de
radio r1 es:
2
1
1
4 r
P
I
π
=

La intensidad media I2 sobre una superficie esférica de radio mayor r2 debe ser menor.
Si no se absorbe energía entre las dos esferas, la potencia es la misma en cada
superficie:
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
4
4
r
r
rP
rP
I
I
==
π
π
2
1
2
2
2
1
r
r
I
I
=
Nivel de sonido
Debido al amplio rango de intensidades que puede detectar el oído humano, es más
conveniente usar una escala logarítmica de intensidades, en donde el nivel de sonido
β se define por la ecuación:
( ) 





=
0
dB10,0β
I
I
log o 010
0 10 ,
β
×= II
Intensidad I1
r1
Fuente de las ondas
I2 < I1: misma
potencia distribuida
en un área mayor
r2

Donde I0 es la intensidad de referencia, tomada como el umbral de audición e igual a
10−12
W/m
2
e I es la intensidad (W/m
2
) en el nivel β. Los niveles de intensidad de
sonido se expresan en decibeles (abreviado dB).
Tabla 9.2. Niveles de sonido de diversas fuentes
Fuente de sonido I (W/m2
) ββββ (dB)
Umbral de audición 10
-12
0
Crujido de hojas 10-11
10
Susurro 10-9
30
Zumbido de un mosco 10-8
40
Conversación normal 10
-7
50
Aspiradora 10-5
70
Trafico congestionado 10-4
80
Tren subterráneo; podadora 10-2
100
Sirena, concierto de rock 1 120
Perforadora, ametralladora 10 130
Avión de turbinas cercano 103
150
Según la Organización Mundial de la Salud (OMS), vivir con un tiempo de la
exposición continua, a un nivel de ruido ambiental promedio de 70 dB no causará
discapacidad auditiva. Una persona adulta puede tolerar ruidos, de vez en cuando, de
hasta 140 dB, mientras que en los niños, el ruido nunca debe exceder de 120 dB.

18. Si una onda sonora pasa del aire (vaire = 340 m/s) al agua (vagua = 1493 m/s)
entonces:
a. ¿La frecuencia de la onda aumenta disminuye o permanece igual?
b. ¿La longitud de onda aumenta, disminuye o permanece igual?
Solución
(a) La frecuencia de la onda no cambia al pasar de un medio a otro.
(b) Como
agua
agua
aire
aire
vv
λλ
= y vaire < vagua entonces la longitud de onda en el agua
aumenta.
19. Una granada explota de manera que se comporta como una fuente puntual de
8,00 W de potencia. Determine (a) la intensidad y (b) el nivel de sonido a 15,0 m
de la fuente.
Solución
2
4 r
P
I
π
= , 2
3
10832
m
W
I −
×= ,
( ) 





= −12
10
dB010
I
log,β , dB594,=β
20. Durante una fiesta, un cohetecillo
explota generando ondas sonoras
como se ve en la figura 5. Un
muchacho ubicado en el punto A,
escucha un sonido de intensidad
4,00×10−6
W/m2
. Determine (a) la
intensidad y (b) el nivel de sonido que percibe un muchacho ubicado en el punto
B.

Solución a
( ) 2
6
2
6
22
m
W
10252
m
W
10004
200
150 −−
×=×





=





= ,,A
B
A
B I
r
r
I
Solución b
( ) dB276
10
10252
dB012 12
6
,
,
log, =
×
= −
−
β
21. El sonido de una trompeta se transporta uniformemente en todas direcciones de
modo tal que a 5,00 m de distancia, el nivel de intensidad es 50,0 dB. ¿A qué
distancia el nivel de intensidad será de 70,0 dB?
Solución
Como 010
01
1
10 ,
β
II = , ( ) 2
7010
050
12
1 100011010001
m
W
I −−
×=×= ,, ,
,
Igualmente 2
5
2 10001
m
W
I −
×= ,
Entonces ==
2
1
12
I
I
rr 0,500 m
22. Si a un punto situado a 3,00 m de distancia de la fuente A y a 4,00 m de
distancia de la fuente B llegan sonidos con niveles de intensidad de 30,0 dB y
50,0 dB respectivamente, ¿cuál es el nivel de intensidad total del sonido que
llega al punto?
Solución
Como 010
01
1
10 ,
β
II = , ( ) 2
9010
030
12
1 100011010001
m
W
I −−
×=×= ,, ,
,
Igualmente 2
7
2 10001
m
W
I −
×= ,
Entonces IT = I1 + I2 =1,01×10−7
W/m2
, entonces

( ) 





×
×
= 12-
-7
101,00
101,01
og10,0dBβ l = 50,0 dB
23. Se ha determinado que el nivel sonoro de una fuente puntual a distancias rA y rB
son βA y βB respectivamente. Si se sabe que βA – βB = 10,0 dB, determine la
relación rB/rA.
Solución
( ) ( ) ( ) 





=





−





=− −−
B
A
12
B
12
A
BA dB10,0
10
dB10,0
10
dB10,0ββ
I
III
logloglog
( ) 





=
B
A
dB10,0dB10,0
I
I
log
2
B
A
10,0 





==
A
B
r
r
I
I
Entonces, 10,0=
A
B
r
r
24. Dos altavoces, S1 y S2, emiten sonidos uniformemente en todas direcciones de
frecuencia de 200 Hz. S1 tiene una potencia acústica de 1,200×10−3
W y S2 tiene
una de 1,800×10−3
W. Los altavoces están separados una distancia de 7,00 m y
pueden considerarse como fuentes puntuales. Considere un punto P que esta a
4,00 m frente de S1 y a 3,00 m de S2 y calcule el nivel de intensidad de sonido
que se registra en el punto P.

Solución
Intensidad de la fuente S1 en P:
26
6
2
3
1 W/m105,97
1018,75
4,00)(4
101,200 −
−−
×=
×
=
×
=
ππ
I
26
6
2
3
2 W/m1015,9
1050,0
(3,00)4
101,800 −
−−
×=
×
=
×
=
ππ
I
La intensidad resultante en P será:
26
6
21 W/m1021,8
1068,75 −
−
×=
×
=+=
π
III
El nivel sonoro registrado en P:
( ) dB73,4
10
1021,8
dB10,0β 12
6
=




 ×
= −
−
log
25. Un parlante y dos observadores se encuentran en línea recta. El parlante es
colocado entre los dos observadores, los cuales están separados una distancia
de 110 m. Si uno de ellos registra un nivel sonoro de 60,0 dB y el otro registra
80,0 dB, determine cuán lejos está el parlante de cada observador.
Solución
Con el esquema mostrado en la figura,
( ) 





=
0
1
1 dB010
I
I
log,β
( ) 





=
0
2
2 dB010
I
I
log,β
Entonces ( ) 





=−
2
1
12 dB010
I
I
log,ββ
r1 r2
I1,β1 I2,β2

Además tenemos que 2
1
1
4 r
P
I
π
= , 2
2
2
4 r
P
I
π
= , de donde
2
1
2
1
1






=
r
r
I
I
Entonces ( ) 





=−=−
1
2
12 dB20060080
r
r
log,,ββ , así 12 10rr =
Finalmente como 11012 =+rr
r1 = 10,0 m, r2 = 100 m

1. El sonido más tenue que una persona con oído normal puede oír a una
frecuencia de 400 Hz tiene una amplitud de presión de cerca de 6,0 × 10
-5
Pa.
Calcule la intensidad correspondiente en W/m2
.
Respuesta. 4,4 × 10-12
W/m2
2. Una onda sonora en el aire tiene f = 300 Hz y A = 6,00 × 10-3
mm. Para esta
onda, calcule la intensidad en W/m2
y el nivel de intensidad de sonido en dB.
Respuesta. 2,64 × 10
-2
W/m
2
; 104 dB
3. Casi toda la gente interpreta un aumento de 9,0 dB en el nivel de intensidad de
sonido como una duplicación del volumen. ¿En qué factor debe aumentarse la
intensidad para duplicar el volumen.
Respuesta. 7,9
4. La boca de un bebé está a 30 cm de la oreja de su padre y a 3,00 m de la de su
madre. ¿Qué diferencia hay entre los niveles de intensidad de sonido que
escuchan ambos padres?
Respuesta. 20 dB
5. Calcule el nivel sonoro en dB de una onda sonora que tiene una intensidad de
4,0 µW/m2
.
Respuesta. 66 dB

1. Un altavoz se coloca entre dos observadores separados por una distancia de
110 m, a lo largo de la línea que los une. Si un observador registra un nivel de
intensidad de 60 dB y el otro registra un nivel de intensidad de 80 dB, ¿a qué
distancia está el altavoz de cada observador?
a) 100,0 m y 10,0 m
b) 150,0 m y 50,0 m
c) 10,0 m y 8,0 m
d) 50,0 m y 5,0 m
e) 15,0 m y 10,0 m
2. Un experimento requiere una intensidad sonora de 1,2 W/m2
a una distancia de
4,0 m de un altavoz. ¿Qué salida de potencia se requiere?
a) 350 W
b) 241 W
c) 66 W
d) 295 W
e) 330 W
3. El nivel sonoro a una distancia de 3,0 m de una fuente es 120 dB. ¿A qué
distancia el nivel sonoro será 10 dB?
a) 7,59 × 105
m
b) 5,45 × 102
m
c) 9,49 × 105
m
d) 6,39 × 104
m
e) 7,49 × 103
m

4. Cuantos decibeles aumenta el nivel de intensidad de un sonido cuando se
duplica su intensidad.
a) 4,0 dB
b) 5,0 dB
c) 3,0 dB
d) 6,0 dB
e) 2,0 N/m
5. En un concierto de rock un alumno se sitúa a unos 15,0 m de los amplificadores
y percibe un nivel de intensidad sonora de 100 dB. Suponiendo que la potencia
sonora que emite un amplificador se propaga en el hemisferio que se encuentra
por delante del mismo, la intensidad sonora que percibe el alumno es:
a) 10 mW/m2
b) 15 mW/m2
c) 20 mW/m2
d) 40 mW/m2
e) 25 mW/m2

Fluidos 214
10. FLUIDOS
Un fluido es cualquier sustancia que puede fluir ya sea líquidos como gases. En un
líquido las moléculas no permanecen en posiciones fijas, aunque la interacción entre
ellas sigue siendo suficientemente grande para que el líquido pueda cambiar de forma
sin cambiar apreciablemente de volumen, adaptándose al recipiente que lo contiene.
En un gas, las moléculas están en continuo movimiento y la interacción entre ellas es
muy débil. Las interacciones tienen lugar, cuando las moléculas chocan entre sí. Un
gas se adapta al recipiente que lo contiene pero trata de ocupar todo el espacio
disponible. Revisaremos los denominados fluidos ideales o perfectos, aquellos que se
pueden desplazar sin que presenten resistencia alguna (no son viscosos).
10.1.DENSIDAD
Aun cuando para cualquier sustancia la masa y el volumen son directamente
proporcionales, la relación de proporcionalidad es diferente para cada sustancia. Es
precisamente la constante de proporcionalidad de esa relación la que se conoce por
densidad,
volumen
masa
=ρ
La densidad se mide en el SI en kg/m
3
aunque también se utiliza frecuentemente la
unidad g/cm3
.

Fluidos 215
Tabla 10.1. Densidades de diversas sustancias a 20 °C
Sustancia Densidad (kg/m3
)
Aceite 800 - 900
Gasolina 670 - 720
Agua 1 000
Glicerina 1 260
Agua de mar 1 010 - 1 030
Mercurio 1 355
Alcohol etílico 790
Acero 7 700 - 7900
Oro 19 300
Aluminio 2 700
Plata 10 500
Plomo 11 300
Hierro 7 880
Titanio 4 500
1. En un trabajo de medio tiempo, un supervisor le pide traer del almacén una
varilla cilíndrica de acero de 85,78 cm de longitud y 2,85 cm de diámetro.
¿Necesitará usted un carrito para transportar la varilla debido al peso que ella
tiene? Densidad del acero = 7,8×103
kg/m3
.
Solución
No necesita un carrito ya que el peso de la varilla es:
( )
( ) ( )
N941
N81988570
4
02850
107,8
2
3
,
,,
,
=






×××=
==
W
W
gVmgW
π
ρ

Fluidos 216
2. Imagine que compra una pieza rectangular de metal de 5,0 mm × 15,0 mm ×
30,0 mm y masa de 0,0158 kg. El vendedor le dice que es de oro. Para
verificarlo, usted calcula la densidad de la pieza. ¿Qué valor obtiene? ¿Fue una
estafa?
Solución
( )
3
36
0227
1025201580
kg/mρ
kg/m,/,m/Vρ
=
×== −
Comparando con la tabla de densidades, no es oro.
10.2.PRESIÓN
Un individuo situado de puntillas sobre una capa de
nieve blanda se hunde, en tanto que otro de igual
peso que calce raquetas, al repartir la fuerza sobre
una mayor superficie, puede caminar sin dificultad.
La fuerza ejercida por unidad de superficie es la
presión. La presión es una cantidad escalar que
cuantifica la fuerza perpendicular a una superficie
Si una fuerza perpendicular F actúa sobre una superficie A, la presión en esa zona es:
A
F
p =
La unidad en el SI de la presión es el pascal (Pa), donde:
1 Pa =1 N/m
2
Otras unidades de presión:
1 atm = 1,013×105
Pa
1 atm = 760 torr
1 mm de Hg = 1 torr
1 lb/in2
(psi) = 6,90×103
Pa
1 bar = 10
5
Pa
F
A

Fluidos 217
Cuando un fluido está contenido en un recipiente, ejerce una fuerza sobre sus
paredes y, por tanto, puede hablarse también de presión. Si el fluido está en equilibrio
las fuerzas sobre las paredes son perpendiculares a cada porción de superficie del
recipiente, ya que de no serlo existirían componentes paralelas que provocarían el
desplazamiento de la masa de fluido en contra de la hipótesis de equilibrio. La presión
siempre es perpendicular a la superficie:
10.2.1. Presión atmosférica
La presión atmosférica es la presión ejercida por la masa de aire que se encuentra
directamente encima del área en consideración. La presión atmosférica al nivel de mar
es:
p0 = 1,013×105
Pa = 1 atm = 17,7 psi
La presión atmosférica varía con el clima y con la altura.
10.2.2. Presión dentro de un fluido en reposo
La presión p en el interior de un líquido, a
una profundidad h con respecto a la
superficie libre del líquido es:
ghpp ρ+= 0
Donde p0 es la presión atmosférica en el
borde libre del líquido, ρ es la densidad del
fluido y g es la aceleración de la gravedad.
h
p
p0
Densidad, ρ

Fluidos 218
La diferencia p − p0 = ρgh se denomina presión manométrica y representa la presión
que excede a la presión atmosférica.
La presión que se mide con relación con el vacío perfecto se conoce con el nombre de
presión absoluta:
p absoluta = p atmosférica + p manométrica
10.2.3. Vasos comunicantes
La presión en la parte superior de cada
columna de fluido es igual a p0 (presión
atmosférica). La presión sólo depende de
la profundidad, pero no de la forma del
recipiente.
Todos los puntos a una misma
profundidad y mismo líquido se
encuentran a la misma presión, sin
importar la forma del recipiente.
3. Un tubo de manómetro se llena
parcialmente con agua. Después se vierte
aceite (que no se mezcla con el agua y
tiene menor densidad que el agua) en el
brazo izquierdo del tubo hasta que al
interfaz aceite-agua está en el punto medio
del tubo (ver figura). Ambos brazos están
abiertos al aire. Determine la relación entre
las alturas haceite y hagua. ρaceite = 800 kg/m
3
y
ρagua = 1 000 kg/m3
.
1 2 3 4
p1= p2 = p3 = p4
hagua
haceite

Fluidos 219
Solución
En la base del tubo,
aceiteaceiteaguaagua ghpghp ρρ +=+ 00
De donde, 251
800
1000
,===
aceite
agua
agua
aceite
h
h
ρ
ρ
4. Un barril contiene una capa de aceite (densidad de 600 kg/m3) de 0,120 m
sobre 0,250 m de agua. a) ¿Qué presión manométrica hay en la interfaz aceite-
agua? b) ¿Qué presión manométrica hay en el fondo del barril?
Solución (a)
( )( )( ) Pa706Pa120081960001
01
==−
=−
,,pp
ghpp aceiteaceiteρ
Solución (a)
( )( )( )
kPa163
Pa25008191000Pa706
02
02
02
,
,,
=−
+=−
+=−
pp
pp
ghghpp aguaaguaaceiteaceite ρρ
5. Un corto circuito deja sin electricidad a un submarino que está 30,0 m bajo la
superficie del mar. Para escapar, la tripulación debe empujar hacia fuera una
escotilla en el fondo que tiene un área de 0,750 m2
y pesa 300 N. Si la presión
interior es de 1,00 atm, ¿qué fuerza hacia abajo se debe ejercer sobre la
escotilla para abrirla? Densidad del agua de mar = 1 030 kg/m3
.
p0
p1
haceite
hagua
p2
h = 30,0 m
Superficie del mar
Escotilla

Fluidos 220
Solución
( )
kN272
00
0
,=−=
−−+=
−−=
WghAF
WApghpF
WApApF
agua
agua
agua
ρ
ρ
10.3.PRINCIPIO DE PASCAL
Todo cambio de presión en un punto de un fluido incompresible dentro de un
recipiente se transmite íntegramente a todos los puntos del fluido y a las paredes del
recipiente que lo contiene.
Prensa hidráulica
En el pistón pequeño se aplica una fuerza F1, la presión producida se transmite a
todos los puntos del líquido, por lo que en el pistón grande la fuerza que se ejerce
hacia arriba es F2.
1
1
2
2 F
A
A
F = Se aplica una pequeña
fuerza en este lado.
Presión p debida a F1 es
transmitida por todo el fluido.
La presión en este lado actúa sobre un
área mayor y produce mayor fuerza.
W
F
p0 A
pagua A
h
p0
Superficie del mar

Fluidos 221
6. El pistón de un elevador hidráulico para autos tiene 0,30 m de diámetro. ¿Qué
presión manométrica, en pascales y atmósferas, se requiere para levantar un
auto de 1 200 kg? (1 atm = 1,013×10
5
Pa). g = 9,81 m/s
2
.
Solución
( )
( )
atmPa
s
m
kg
d
mg
A
F
p
64110661
150
8191200
2
5
2
2
2
,,
,
,
=×=






=






==
π
π
10.4.PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido parcial o totalmente en
un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido
desalojado.
Experimentalmente el empuje E es igual a la densidad del fluido ρf multiplicado por el
volumen del cuerpo sumergido Vs por la aceleración de la gravedad g.
sf gVE ρ=
Si un cuerpo flota,
cuerpodelcuerposumergidofluido gVgV
WE
ρρ =
=
W
E

Fluidos 222
7. Se sumerge dos bloques de tamaño idéntico en agua. Uno es plomo y el otro es
de aluminio. ¿Sobre cual actúa una mayor fuerza de flotación?
Respuesta
La fuerza de flotación es igual en ambos ya que los volúmenes sumergidos son
iguales.
8. Un cilindro de madera de densidad igual a 0,75 g/cm3
flota en agua con su eje
perpendicular a la superficie. El radio es de 10 cm y la altura es 15 cm. (a) ¿Qué
fracción del cilindro está sumergida? (b) ¿Cuánto vale la altura de la fracción
sumergida? ρagua = 1,0 g/cm3
.
Solución (a)
En equilibrio, E = W
cuerpodelcuerposumergidofluido gVgV ρρ =
%,
,
,
750
001
750
===
fluido
cuerpo
cuerpodel
sumergido
V
V
ρ
ρ
cuerpodelsumergido VV ⋅= 750,
Solución (b)
cuerpodelsumergido hRhR 22
750 ππ ⋅= ,
hsumergido = 11,3 m = 11 m
9. Una estatua de oro sólido de 15,0 kg de peso está siendo
levantada de un barco hundido. ¿Qué tensión hay en el
cable cuando la estatua está en reposo: (a) totalmente
sumergida y (b) fuera del agua? Desprecie el empuje del
aire. ρAu = 1,93×104
kg/m3
, ρ agua de mar = 1,03 ×103
kg/m3
. g
= 9,81 m/s2
.

Fluidos 223
Solución (a)
Totalmente sumergida
34
m10777 −
×=
==
,f
oro
oro
orof
V
m
VV
ρ
N139=−=
−=
gVgmT
EgmT
luidoffluidooro
oro
ρ
Solución (b)
Fuera del agua,
N147== gmT oro
10. Una plancha de hielo flota en el lago de agua dulce. ¿Qué volumen mínimo debe
tener el hielo para que una mujer de 45,0 kg pueda pararse en ella sin mojarse
los pies? ρhielo = 920 kg/m
3
y ρagua = 1 000 kg/m
3
. Considere que prácticamente la
plancha de hielo está completamente sumergida.
Solución
Hay equilibrio y por lo tanto:
hieloaguamujerhielohielo
mujerhielo
gVgmgV
EWW
ρρ =+
=+
De donde,
3
m5630,=
−
=
hieloagua
mujer
hielo
m
V
ρρ
W
E
T
Hielo
Whielo
Wmujer
E

Fluidos 224
11. Un chaleco salvavidas con un volumen de 0,0400 m
3
sostiene a una persona de
75,0 kg (densidad de la persona = 980 kg/m3
) en agua de mar (densidad del
agua de mar = 1,03×10
3
kg/m
3
) con el 20,0 % de volumen de la persona arriba
del agua cuando el chaleco salvavidas se sumerge por completo. ¿Qué
densidad tiene el chaleco salvavidas?
Solución
Como hay equilibrio, W persona + chaleco = E persona + chaleco
ρpersona g Vpersona + ρchaleco g Vchaleco = ρagua g(0,800 V persona ) + ρagua g V chaleco
Ordenando,
( )
agua
chaleco
personapersonaagua
chaleco
V
V
ρ
ρρ
ρ +
−
=
8000,
( )
3
3
3
10031
04000
980
075
980100318000
m
kg
chaleco












×+






−××
= ,
,
,
,,
ρ
10.5.FLUIDOS IDEALES EN MOVIMIENTO
El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción
consideraremos el comportamiento de un fluido ideal.
Un fluido ideal se caracteriza por ser incompresible si su densidad no cambia y por no
tener fricción interna (viscosidad).
El camino de una partícula individual en un fluido en movimiento se llama línea de
flujo. Si el patrón del flujo no cambia con el tiempo, se considera que el flujo es
estable.
Línea de flujo
Tubo de flujo

Fluidos 225
El flujo puede ser:
• Laminar, en el que las capas adyacentes de fluido se deslizan suavemente unas
sobre otras.
• Turbulento, donde el flujo es irregular y caótico.
Flujo laminar
Flujo turbulento
10.6.ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD
Para fluidos ideales, el producto de la rapidez del fluido ideal por el área que atraviesa
es constante en todos los puntos.
2211 vAvA =
v1
v2
A1
A2

Fluidos 226
• El producto Av es la razón del flujo de volumen o la rapidez con que el volumen
V cruza una sección del tubo,
Av
dt
dV
Q ==
• También el producto Av se conoce como gasto o caudal y se mide en el SI en
m3
/s.
10.7.ECUACIÓN DE BERNOULLI
Según la ecuación de continuidad, la rapidez de flujo puede variar a lo largo de la
trayectoria del fluido. La presión también puede variar ya que depende de la altura al
igual que en la situación estática. Una relación importante llamada la ecuación de
Bernoulli relaciona la presión p, la rapidez de flujo v y la altura y de dos puntos 1 y 2
cualesquiera, suponiendo un flujo estable en un fluido ideal de densidad ρ. Así,
2
222
2
111
2
1
2
1
vygpvygp ρρρρ ++=++
O en forma general,
v1
v2
A1
A2
y1
y2
p1A1
p2A2

Fluidos 227
constante
2
1 2
=++ vygp ρρ
Si el tubo conductor es recto y está en posición horizontal:
2
22
2
11
2
1
2
1
vpvp ρρ +=+
12. En la figura se muestra parte de
una tubería la cual se ensancha
(caso A) y se angosta (caso B).
Para ambos casos, analice solo
el punto 2 y explique en cuál de
ellos es mayor: (a) la rapidez y
(b) la presión del fluido.
Considere que el caudal se
mantiene constante.
Solución
(a) En el caso B. Como el caudal se mantiene constante, a menor área mayor rapidez.
(b) En el caso A. Como el caudal se mantiene constante, a mayor área menor rapidez
y considerando la ecuación de Bernoulli: P + (ρv
2
)/2 = constante, si la rapidez v
disminuye, la presión P debe aumentar.
13. Los tornados y los huracanes suelen levantar el techo de las casas. Explique por
que sucede esto analizando la ecuación de Bernoulli.
Respuesta
Por encima del techo el viento tiene mayor velocidad y por lo tanto menor presión que
por el interior de la casa y por lo tanto hay una fuerza neta hacia arriba.
Área A
5 m/s
Caso A
Caso B
21
21
5 m/s
Área A
Área 2A
Área A/2

Fluidos 228
14. A menudo se dice a los niños que eviten parase
muy cerca de un tren que se mueve a alta
velocidad porque pueden ser succionados por el
tren. ¿Esto es posible? Explique su respuesta
analizando la ecuación de Bernoulli en la figura
mostrada. El punto A representa la zona más
cercana al tren y el punto B la zona más alejada.
Respuesta
Debido al movimiento del tren, la velocidad del aire es mayor en A que en B, vA > vB
entonces usando la ecuación de Bernoulli, PA < PB y la niña es empujada por el aire
hacia el tren.
15. Una corriente de agua fluye con rapidez de 3,77 m/s por una tubería horizontal
de 2,50×10−4
m2
de sección transversal a una presión de 1,20×105
pascal. Si la
tubería tiene en cierto punto una ampliación en su diámetro, aumentando su
sección transversal a 7,00×10−4
m2
, determine (a) la rapidez y (b) la presión del
fluido es esta zona ampliada. ρagua = 1000 kg/m3
.
Solución (a)
Por la ecuación de continuidad,
( )( )
( ) s
m
351
10007
77310502
4
4
2
11
2 ,
,
,,
=
×
×
== −
−
A
vA
v
Solución (b)
Por la ecuación de Bernoulli,
2
22
2
11
2
1
2
1
vPvP ρρ +=+
( ) ( )( ) Pa102613517731000
2
1
10201
2
1 52252
2
2
112 ×=−+×=−+= ,,,,vvPP ρ
A B

Fluidos 229
16. Un aneurisma es una dilatación anormal de un vaso sanguíneo como la aorta.
Suponga que, debido a un aneurisma, la sección transversal A1, de la aorta
aumenta a un valor A2 = 1,71 A1. La rapidez de la sangre a lo largo de una
porción normal de la aorta es v1 = 0,40 m/s, estando la persona en posición
horizontal (la persona está acostada). Determine por cuánto supera la presión
en la región dilatada a la presión en la región normal. Densidad de la sangre:
1 056 kg/m3
.
Solución
Usando la ecuación de continuidad,
s
m
230
s
m
400
711 1
1
1
2
1
2 ,,
,
===
A
A
v
A
A
v
Considerando que ambos puntos están a la misma altura,
2
22
2
11
2
1
2
1
vpvp ρρ +=+
( )2
2
2
112
2
1
vvpp −=− ρ
Pa5712 =− pp
17. Fluye agua (densidad 1,00 g/cm3
)
continuamente de un tanque abierto como
en la figura. El área transversal en el
punto 2 es de 0,0480 m
2
y en el punto 3
es de 0,0160 m2
. El área del tanque es
muy grande en comparación con el área
transversal del tubo y por lo tanto v1 = 0.
Suponiendo que puede aplicarse la
ecuación de Bernoulli, calcule:
a. La rapidez del agua en los puntos 3 y 2.
b. La presión manométrica en el punto 2.
v1
A1
A2 = 1,71A1
v2
p2
p1

Fluidos 230
Solución (a)
Entre los puntos 1 y 3 podemos aplicar la ecuación de Bernoulli tomando como
referencia el piso:
2
3
2
1
vPghp atmatm ρρ +=+
s
m
ghv 51223 ,==
Además, se puede aplicar la ecuación de
continuidad entre los puntos 2 y 3:
3
2
3
2 v
A
A
v =
s
m
v 1742 ,=
Solución (b)
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3:
2
3
2
22
2
1
2
1
vpvp atm ρρ +=+
De donde la presión manométrica es, ( )2
2
2
32
2
1
vvpp atm −=− ρ
Papp atm
4
2 10946 ×=− ,
h
Nivel

Fluidos 231
1. Calcule la presión manométrica sobre el buzo cuando está a 6,1
m de profundidad en el mar (ρ = 1,02 g/cm3
). Use g = 9,81 m/s2
.
Respuesta. 6,10×10
4
Pa
2. Un tubo en forma de U abierto por
ambos extremos contiene algo de
mercurio. Se vierte con cuidado un poco
de agua en el brazo izquierdo del tubo
hasta que la altura de la columna de
agua es de 15,0 cm. (a) Calcule la
presión manométrica en la interfaz
agua-mercurio (b) Calcule la distancia vertical h desde la superficie del mercurio
en el brazo derecho del tubo hasta la superficie del agua en el brazo izquierdo.
ρHg = 1,36×10
4
kg/m
3
, ρagua = 1,00×10
3
kg/m
3
, g = 9,80 m/s
2
.
Respuesta. (a) 1,47×103
Pa, (b) 13,9 cm
3. Un cubo de madera de densidad 0,900 × 103
kg/m3
flota en un vaso lleno de
agua. ¿Qué fracción del volumen total del cubo sobresale sobre del nivel del
agua? ρagua = 1,00×10
3
kg/m
3
.
Respuesta. 10 %
4. Un líquido (ρ = 1,65 g/cm3
) fluye a través de dos secciones horizontales de
tubería unidas extremo con extremo. En la primera sección el área de sección
transversal es de 10,0 cm2
, la rapidez del flujo es de 275 cm/s y la presión es de
1,20 × 105
Pa. En la segunda sección el área de sección transversal es de 2,50
cm2
. Determine la rapidez del flujo y la presión en la sección más pequeña.
15,0 cmAgua
Mercurio
h

Fluidos 232
Respuesta. 11,0 m/s, 2,64×10
4
Pa
5. Se muestra un cilindro con un agujero lateral a y1 = 45,0 cm por donde sale el
agua. El nivel del agua se mantiene a una altura y2 = 60,0 cm mediante una
tubería interna. Determine la rapidez de salida del chorro de agua. ρagua =
1,00×10
3
kg/m
3
, g = 9,80 m/s
2
.
Respuesta. 1,72 m/s
y2
h
y1

Fluidos 233
1. Un recipiente de un litro esta completamente lleno de plomo cuya masa es de
11,3 kg. Si el recipiente se sumerge completamente en agua (ρ = 1,0 g/cm3
),
entonces la fuerza de flotación sobre él es: (g = 10 m/s2
)
a) 10 N
b) 113 N
c) 1000 N
d) 11,3 N
e) 1,13 N
2. Dos bloques cúbicos idénticos en tamaño y forma se cuelgan de hilos y se
sumergen totalmente en una alberca. El bloque A es de aluminio; su cara
superior está a 0,50 m bajo la superficie del agua. El bloque B es de latón; su
cara superior está a 1,50 m bajo la superficie del agua. Si la densidad del latón
es mayor que la del aluminio, indique las alternativas correctas:
I. La presión del agua es mayor sobre la cara superior del bloque B que
sobre la cara superior del bloque A.
II. La fuerza de flotación ejercida por el agua sobre el bloque A es mayor que
la ejercida sobre el bloque B.
III. La tensión en el hilo del que cuelga el bloque B es mayor que la tensión
del hilo sobre el bloque A.
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d) I y III
e) II y III
3. Una roca sólida, suspendida en el aire por medio de una báscula de resorte,
tiene una masa medida de 0,80 kg. Cuando la roca se sumerge en agua, la
lectura de la balanza es de 0,70 kg. ¿Cuál es la densidad de la roca?

Fluidos 234
a) 4,5×103
kg/m3
b) 3,5×10
3
kg/m
3
c) 1,2×103
kg/m3
d) 2,7×103
kg/m3
e) 8,0×103
kg/m3
4. El suministro de agua de un edificio llega a través de un tubo de entrada
principal de 6,0 cm de diámetro. Una llave con salida de 2,0 cm de diámetro,
ubicada a 2,0 m por encima del tubo principal, llena un recipiente de 25 litros en
30 s. ¿Cuál es la presión manométrica en el tubo principal? ρagua = 1,00×103
kg/m3
, g = 9,80 m/s2
.
a) 1,7×104
Pa
b) 2,3×10
4
Pa
c) 4,8×104
Pa
d) 7,3×10
4
Pa
e) 5,6×104
Pa
5. La tubería mostrada transporta un caudal de
petróleo de 1,000×10−2
m3
/s. Si la presión en
el punto 2 es 2,026×105
Pa, determine la
presión en el punto 1. Considere que los
diámetros son d1 = 16,00 cm, d2 = 6,000 cm y
ρpetróleo = 920 kg/m3
. g = 9,81 m/s2
.
a) 1,40×104
Pa
b) 3,15×105
Pa
c) 4,80×106
Pa
d) 6,60×105
Pa
e) 2,08×105
Pa
1
2

Calor y temperatura 235
11. CALOR Y TEMPERATURA
La temperatura es la sensación física que nos produce un cuerpo cuando entramos en
contacto con él. Observamos cambios en los cuerpos cuando cambian su
temperatura, por ejemplo, la dilatación que experimenta un cuerpo cuando incrementa
su temperatura. Esta propiedad se usa para medir la temperatura de un sistema,
como por ejemplo en los termómetros clínicos que consisten en un pequeño depósito
de mercurio que asciende por un capilar a medida que se incrementa la temperatura.
La escala de temperaturas adoptada por el SI es la llamada escala absoluta o Kelvin.
En ella el tamaño de los grados es el mismo que en la Celsius, pero el cero de la
escala se fija en el −273,16 °C. Este punto llamado cero absoluto de temperaturas es
tal que a dicha temperatura desaparece la agitación molecular, por lo que, según el
significado que la teoría cinética atribuye a la magnitud temperatura, no tiene sentido
hablar de valores inferiores a él. El cero absoluto constituye un límite inferior natural
de temperaturas, lo que hace que en la escala Kelvin no existan temperaturas bajo
cero (negativas).
11.1.DILATACIÓN TÉRMICA
Casi todos los materiales se expanden al aumentar su temperatura. Las cubiertas de
los puentes necesitan articulaciones y soportes especiales para permitir su expansión.
Una botella totalmente llena de agua y tapada se revienta al calentarse, pero podemos
aflojar la tapa metálica de un frasco vertiendo agua caliente sobre ella. Estos son
ejemplos de dilatación o expansión térmica.
El hecho de que las dimensiones de los cuerpos, por lo general, aumenten
regularmente con la temperatura, ha dado lugar a la utilización de tales dimensiones
como propiedades termométricas y constituyen el fundamento de la mayor parte de
los termómetros ordinarios.

Si un objeto tiene una longitud inicial L0 a una temperatura T0 y experimenta un
cambio de temperatura ∆T, esta dimensión lineal cambia en una cantidad ∆L:
TLL ∆=∆ 0α
O equivalentemente:
( )000 TTLLL −=− α
Donde L es la longitud final, T es la temperatura final y α es el coeficiente de dilatación
lineal característico para cada material.
Tabla 11.1. Coeficientes de expansión lineal
Material αααα (K−−−−1
ó °C−−−−1
)
Aluminio 2,40 × 10−5
Cobre 1,70 × 10−5
Vidrio 0,40 × 10−5
Acero 1,20 × 10−5
1. El puente Humber de Inglaterra tiene el claro individual más largo del mundo (1
410 m). Calcule el cambio de longitud de la cubierta de acero (α = 1,20 × 10−5
1/°C) del claro si la temperatura aumenta de −5,00 °C a 18,00 °C.
Solución
( )( ) ( )[ ] m0,389m0050018141010201 5
=−−×=∆ −
,,,L
T0
L0
T = T0 + ∆T
L
∆L

2. Un evaluador usa una cinta métrica de acero (α = 1,20 × 10−5
1/°C) que tiene
exactamente 50,000 m de longitud a 20,0 °C. En un caluroso día de verano la
longitud de esta cinta llega a 50,009 m. ¿Qué temperatura se tiene en este
caluroso día?
Solución
( )00 TTLL −=∆ α
( )
( )( )
C035
005010201
0005000950
020 5
0
0 °=
×
−
+=
∆
+= −
,
,,
,,
,
L
L
TT
α
11.2.CALOR
Si metemos una cuchara fría en una taza de café caliente, la cuchara se calienta y el
café se enfría para acercarse al equilibrio térmico. La interacción que causa estos
cambios de temperatura es básicamente una transferencia de energía de una
sustancia a otra. La transferencia de energía que ocurre solo por una diferencia de
temperaturas se llama flujo de calor o transferencia de calor, y la energía así
transferida se llama calor.
Se puede decir entonces que el calor es la energía que fluye de un cuerpo a otro en
virtud de una diferencia de temperaturas. El calor es energía en tránsito.
Cuando dos cuerpos A y B que tienen diferentes temperaturas se ponen en contacto
térmico, después de un cierto tiempo, alcanzan la misma temperatura se dice
entonces que los cuerpos han alcanzado la condición de equilibrio térmico.
11.3.MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Los tres mecanismos de transferencia de calor son: conducción, convección y
radiación. Ocurre conducción dentro de un cuerpo o entre dos cuerpos en contacto. La
convección depende del movimiento de una masa de una región del espacio a otra. La
radiación es transferencia de calor por radiación electromagnética, como la luz del sol,
sin que tenga que haber materia en el espacio entre los cuerpos.

11.3.1. Conducción
Si sujetamos el extremo de una varilla de cobre y colocamos el otro en una llama el
extremo que sostenemos se calienta cada vez más, aunque no esta en contacto
directo con la llama. El calor llega al extremo más frio por conducción a través del
material. A nivel atómico, los átomos de las regiones, mas calientes tienen en
promedio más energía cinética que sus vecinos más fríos, así que los empujan y les
dan algo de su energía. Los vecinos empujan a sus vecinos, continuando así a través
del material. Los átomos en si no se mueven de una región del material a otra, pero su
energía sí.
Solo fluye calor entre regiones que están a diferentes temperaturas, y la dirección de
flujo siempre es de la temperatura más alta a la más baja.
La rapidez H con la cual el calor fluye por conducción a través de una placa de área A
y espesor L es





 −
=
L
TT
kAH 21
Donde k es la conductividad térmica del material. H también es conocido como ritmo
como intensidad de corriente térmica (H = ∆Q/∆t) y se mide en J/s o W.
A
L
T1
T2
Flujo de calor para
T1 > T2

Tabla 11.2. Conductividades térmicas de diversos materiales
Sustancia k [W/(m·K)]
Aluminio 205,0
Latón 109,0
Cobre 385,0
Plomo 34,7
Mercurio 8,3
Plata 406,0
Acero 50,2
Ladrillo aislante 0,15
Ladrillo rojo 0,6
Hormigón 0,8
Corcho 0,04
vidrio 0,8
hielo 1,6
3. El edificio Cronos, como muchos otros edificios de la capital, está totalmente
vidriado hacia el exterior. Para contrarrestar el efecto invernadero, durante el
verano, los diseñadores plantean un sistema de aire acondicionado que
mantendrá la temperatura interior a 21,0 °C (podemos suponer que la cara
interna del vidrio se mantiene a esta temperatura). Si los rayos del sol mantienen
la cara externa del vidrio a 35,0 °C, determine la rapidez de la conducción del
calor a través de una ventana de 1,0 m2
. El espesor del vidrio es de 1,50 cm.
kvidrio = 0,84 W/(m·°C)
Solución
De la ecuación, 




 −
=
L
TT
kAH 21
( )( ) WWH 2
1087
01500
021035
840 ×=
−
= ,
,
,,
,

4. Una habitación tiene una ventana de 3,0 m
2
de superficie con un vidrio de 1,0
cm de espesor. La temperatura del aire exterior es de 3,0 °C. ¿A qué
temperatura podrá llegar la habitación si la calentamos con una estufa de 1 000
W? kvidrio = 0,84 W/(m·°C)
Solución
De la ecuación, 




 −
=
L
TT
kAH 21
21 T
KA
HL
T +=
( )( )
( )( )
C03C
03840
10010001 2
1 °+°
×
=
−
,
,,
,
T
C7,0C03C041 °=°+°= ,,T
11.3.2. Convección
Cuando calientas tus manos alrededor de una fogata, el aire se eleva y calienta tus
manos. En este caso, el material presenta movimiento ya sea en forma natural debido
a la diferencia de temperaturas (el aire caliente tiende a subir debido a su menor
densidad) o forzado (ventilación). Otro ejemplo es el movimiento de líquido mientras
el agua se calienta.

11.3.3. Radiación
La transferencia de calor por radiación depende de ondas electromagnéticas como luz
visible, el infrarrojo y la radiación ultravioleta.
Todo cuerpo, aun a temperaturas ordinarias, emite energía en forma de radiación
electromagnética.
A temperaturas ordinarias, digamos 20,0 °C, casi toda la energía se transporta en
ondas de infrarrojo con longitudes de onda mucho mayores que las de luz visible. A
800 °C un cuerpo emite suficiente radiación visible como para verse al rojo vivo.
En la figura se muestra la emisión de radiación electromagnética roducida por nuestro
cuerpo.

1. Una vía de acero (α = 1,20×10−5
1/°C) mide 100 m a 20 °C. ¿Qué cambio de
longitud tendrá la vía cuando su temperatura se eleva hasta 40 °C?
Respuesta. 2,4 cm
2. El aeropuerto de Beijing fue diseñado por el arquitecto Norman Foster para las
olimpiadas del 2008. Esta construcción tiene un techo abovedado hecho de
acero, compuesto por vigas independientes de 240 m de largo cada uno.
Cuando se hicieron los modelos por computadora los ingenieros estructurales se
dieron cuenta que podrían tener problemas por fuerzas causadas por la
dilatación de la estructura. Si la temperatura para la cual la viga tiene 240 m es
20,0 °C, ¿cuánto se dilatará linealmente una viga a la máxima temperatura de
45,0 °C? αacero = 1,20×10−5
1/°C.
Respuesta. 7,20 cm
3. Una viga de acero de 10,0 m de longitud se coloca en una estructura de 20,0 °C.
Determine la variación de longitud de la viga si la temperatura disminuye a −35,0
°C. αacero = 1,20×10−5
1/°C.
Respuesta. −6,60 mm
4. Una caja de espuma de poliuretano para mantener frías las bebidas tiene un
área de pared total (incluida la tapa) de 0,80 m
2
y un espesor de pared de 2,0
cm, y está llena con: hielo, agua y latas de gaseosa a 0,0 °C. Calcule la rapidez
del flujo de calor hacia el interior si la temperatura exterior es de 30,0 °C. kespuma
= 0,010 W/(m·K)
Respuesta. 12 W

5. Las ventanas de una casa son una fuente principal de pérdida de calor. Calcule
la rapidez del flujo de calor a través de una ventana de vidrio de 2,00 m × 1,50 m
de área y 3,200 mm de espesor, si las temperaturas de las superficies interna y
externa son de 15,0 °C y 14,0 °C respectivamente. Considere kvidrio = 0,84
W/(m·°C)
Respuesta. 788 W

1. Si metemos la mano en un horno caliente, el calor es incómodo pero soportable.
En cambio si tocamos la pared metálica interna del horno, nos quemaremos.
Considerando que hay equilibrio térmico, esta diferencia se debe a:
a) El aire es mejor conductor térmico que la pared del horno.
b) El metal del horno es mejor conductor térmico que el aire.
c) La temperatura de la pared del horno es mayor que la del aire.
d) La temperatura del aire es mayor que la de la pared del horno.
e) El metal es un buen aislante térmico.
2. La transmisión de calor por convección:
a) No requiere de un desplazamiento significativo de moléculas.
b) No es un mecanismo efectivo en los sólidos.
c) Es el único mecanismo de transferencia de calor en el vacío.
d) Se origina desde zonas de menor temperatura hacia zonas de temperatura
mayor.
e) Todas son válidas.
3. Normalmente calentamos un recipiente que contiene agua por la parte inferior y
conseguimos que hierva toda el agua. La energía se transfiere a las capas
superiores fundamentalmente por:
a) Conducción
b) Radiación
c) Convección
d) Cualquiera es igual
e) Faltan mayores datos

4. La estatua de la Libertad tiene 93,000 m de altura y está hecha de placas de
cobre (αcobre = 1,7×10−5
1/°C). Si ésta es su altura en un día de 20 °C, ¿cuál es
su altura cuando la temperatura es de 35 °C?
a) 92,764 m
b) 93,024 m
c) 95,46 m
d) 108 m
e) 95,370 m
5. Calcule el espesor que debe tener un muro de concreto con un área de 7,5 m2
si
la rapidez del flujo de calor que permite es de 722 W con una diferencia de
temperatura de 15 °C entre sus paredes. Considere kconcreto = 1,3 W/(m·°C).
a) 0,20 m
b) 0,45 m
c) 0,50 m
d) 1,5 m
e) 2,0 m

Electricidad 246
12. ELECTRICIDAD
En esta unidad también se aborda el análisis de algunos circuitos eléctricos simples
que constan de baterías y resistores en diversas combinaciones. La mayor parte de
los circuitos analizados se suponen que están en estado estable, lo que significa que
las corrientes son de magnitud y dirección constante.
12.1.CORRIENTE ELÉCTRICA
La corriente eléctrica I es la rapidez con la cual fluye la carga a través de la sección
transversal de un conductor.
dt
dQ
I =
La unidad de corriente en el SI es el ampere (A), donde 1 A = 1 C/s.
Las cargas que se mueven pueden ser positivas, negativas o ambas. Por convención
se adopta la dirección de la corriente a aquella que coincide con la dirección de las
cargas positivas.
En un metal las cargas que se mueven son los electrones (cargas negativas). En este
caso se dice, entonces, que la dirección de la corriente será opuesta a la dirección del
flujo de los electrones.
I
Sección recta
del alambre
Electrones

Electricidad 247
12.2.DIFERENCIA DE POTENCIAL O VOLTAJE
Para que se establezca una corriente debe existir entre los extremos de un conductor
una diferencia de potencial eléctrico o voltaje. El voltaje V se define como la energía
por unidad de carga necesaria para mover una carga eléctrica dentro de un circuito.
La diferencia de potencial se mide en volts (V).
La corriente eléctrica siempre va de zonas de mayor potencial eléctrico hacia zonas de
menor potencial.
12.3.RESISTENCIA ELÉCTRICA
La proporción entre el voltaje V y la corriente eléctrica I con respecto a un conductor
en particular se conoce como su resistencia eléctrica R,
I
V
R =
Esta ecuación se conoce como la ley de Ohm, pero no debe olvidar que la ley de Ohm
expresa la proporcionalidad directa de V con respecto a I o también que la resistencia
eléctrica se mantiene constante.
El grado de oposición que ofrece un material al paso de la corriente eléctrica por ella,
se especifica mediante la resistencia eléctrica. La unidad de la resistencia en el SI es
el ohm (Ω).
A
V
1
1
1 =Ω
La mayor parte de los circuitos eléctricos usan dispositivos llamados resistores para
controlar el nivel de corriente en las diferentes partes del circuito. El símbolo de un
resistor es:

Electricidad 248
12.4.ENERGÍA Y POTENCIA EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Toda corriente eléctrica que pasa por un conductor
transporta energía, y en consecuencia potencia, el
cual puede ser aprovechado para su utilización.
La rapidez con la cual la carga eléctrica pierde
energía potencial cuando pasa a través de la
resistencia R del circuito mostrado, está dado por
IVP =
y como V = IR, entonces
RI
R
V
P 2
2
==
12.5.RESISTORES EN SERIE Y EN PARALELO
12.5.1. Resistores en serie
Para una combinación en serie de resistores, las
corrientes en los dos resistores son iguales porque
cualquier carga que fluye por R1 también debe fluir
por R2. La corriente es constante en cada resistor.
La resistencia equivalente de dos o más resistencias en serie es:
.......321 +++= RRRReq
Esta relación indica que la resistencia equivalente de una conexión de resistores en
serie es siempre mayor que cualquier resistencia individual.
R1
V
+ −
I
R2
RV
I
+
−ε

Electricidad 249
12.5.2. Resistores en Paralelo
Cuando los resistores están conectados en paralelo,
como en la figura, la diferencia de potencial a través
de ellos es la misma y además:
21 III +=
La resistencia equivalente de dos o más
resistencias en paralelo es:
.......
1111
321
+++=
RRRReq
12.6.PROBLEMAS RESUELTOS
1. Cuando se duplica el voltaje entre los extremos de un conductor determinado, se
observa que la corriente se triplica. ¿Cumple este conductor la ley de Ohm?
Respuesta. No. La corriente sólo debió duplicarse para mantener la resistencia
constante.
2. Un cable tiene una resistencia de 11,0 Ω. (a) Si se mantiene una diferencia de
potencial de 220 V a través del cable, ¿cuál es la corriente del alambre? (b)
¿Qué cantidad de carga fluye durante un tiempo de 1,00 segundo?
Solución (a)
A020
011
220
,
,
===
R
V
I
Solución (b)
+ −
R1
V
I
R2
I1 I2

Electricidad 250
A020,=
∆
∆
=
t
Q
I
( )( ) C020s001A020 ,,, ==∆Q
3. ¿Por cuál resistor circula más corriente?
Respuesta. Como todas tienen el mismo voltaje V, circula más corriente por la menor
resistencia (R).
4. Tres focos idénticos, con resistencia R, forman los circuitos mostrados. (a) ¿Qué
circuito tiene mayor resistencia? (b) ¿Qué circuito presenta mayor corriente? (c)
¿Por cuál de los focos circula la mayor corriente? (d) ¿Cuáles de los focos
tienen mayor voltaje?
Solución
(a) En serie: 3R. En paralelo: R/3.
(b) El circuito con menor resistencia equivalente: el circuito con los focos en paralelo.
(c) En cada foco: en serie, I = V/(3R); en paralelo, I = V/(R).
(d) En paralelo el voltaje es V. En serie es V/3.
V 2R
I
R 3R
V V

Electricidad 251
5. Determine la resistencia equivalente entre los puntos a y b del circuito.
Solución
Los resistores de 8,0 Ω, 16,0 Ω y 16,0 Ω están en paralelo.
016
1
016
1
08
11
1 ,,,
++=
R
, R1 = 4,0 Ω
Los resistores de 9,0 Ω y 18,0 Ω están en paralelo.
018
1
09
11
2 ,,
+=
R
, R1 = 6,0 Ω
El circuito quedaría reducido a:
La resistencia equivalente será:
08
1
012
1
024
11
,,,
=+=
eqR
Req = 8,0 Ω
•
a
8,0 Ω
16,0 Ω
16,0 Ω
9,0 Ω
18,0 Ω 6,0 Ω
20,0 Ω
•
b
•
a
4,0 Ω
6,0 Ω 6,0 Ω
20,0 Ω
•
b

Electricidad 252
6. Para el circuito de la figura, determine las corrientes en los resistores de 25,0 Ω
y 20,0 Ω.
Solución
El voltaje en el resistor de 8,00 Ω es el mismo que en el resistor de 6,00 Ω (ambos
están en paralelo). Por lo tanto la corriente por la resistencia de 8,00 Ω es:
( )( ) A003A
008
006004
,
,
,,
==I
Entonces la corriente que pasa por a resistencia de 25,0 Ω es de (4,00 A + 3,00 A =
7,00 A).
El circuito puede verse ahora como se observa en la
figura. Finalmente, el voltaje en el resistor de 20,0 Ω es
de 199 V. Así
A959A
020
175024
,
,
,
=
+
=I
V
25,0 Ω
6,00 Ω
8,00 Ω
20,0 Ω
4,00 A
V
25,0 Ω
6,00 Ω
8,00 Ω
20,0 Ω
4,00 A
3,00 A
7,00 A
24,0 V 175 V

Electricidad 253
7. En el circuito mostrado en la figura, el voltaje entre los extremos del resistor de
2,00 Ω es de 12,0 V. ¿Cuál es la corriente a través del resistor de 6,00 Ω?
Solución
La corriente en los resistores de 2,00 Ω y 4,00 Ω es la misma (al estar en serie) y vale:
A006
002
012
1 ,
,
,
==I
Entonces el voltaje en los resistores 2,00 Ω y 4,00 Ω es:
( )( ) V036006006 ,,, === eqIRV
Finalmente, la corriente por el resistor de 6,00 Ω es:
A006
006
036
2 ,
,
,
==I
V
6,00 Ω
2,00 Ω4,00 Ω

Electricidad 254
1. Si se mantiene constante el voltaje a través de un circuito y la resistencia
eléctrica aumenta al doble, ¿qué cambio sucede con la corriente?
Respuesta. Se reduce a la mitad.
2. ¿En un circuito de dos focos en serie, si la corriente que pasa por uno de ellos
es de 1,0 A , ¿cuál es la corriente que pasa por el otro?
Respuesta. 1,0 A
3. Para el circuito mostrado en la figura, indique a
través de que resistencia eléctrica pasa: (a) la
corriente más intensa y (b) la menos intensa.
Respuesta. La corriente más intensa pasa por R. La corriente menos intensa pasa por
3R.
4. Considere el circuito de la figura. Determine la corriente
en cada resistencia y de la batería de 3,00 V.
Respuesta. En la resistencia de 25,0 Ω: I1 = 0,120 A; en las resistencias de 5,00 Ω y
15,0 Ω: I2 = 0,150 A; corriente de la batería: 0,270 A.
R
V
2R
3R
2R
a b c
3,00 V
15,0 Ω5,00 Ω
25,0 Ω

Electricidad 255
5. Determine la resistencia R del circuito de la figura, para
que la corriente I sea de 15,0 mA.
Respuesta. 500 Ω
9,00 V
R 100 Ω
I

Electricidad 256
1. Se mantiene una diferencia de potencial de 1,00 V entre los extremos de un
resistor de 10,0 Ω, durante un periodo de 20,0 s. ¿Cuál es la carga total que
pasa por el alambre en este intervalo de tiempo?
a) 200 C
b) 20,0 C
c) 2,00 C
d) 0,100 C
e) 0,500 C
2. Tres focos de luz idénticos van a ser conectados a una batería. ¿En qué caso
circulará más corriente por cada foco: cuando se conectan en serie o cuando se
conectan en paralelo a la batería?
a) Cuando se conectan en serie.
b) Cuando se conectan en paralelo.
c) En ambos casos la corriente es la misma.
d) Falta conocer la resistencia de cada foco.
e) En ningún caso circula corriente eléctrica.
3. A través de un resistor pasan 0,50 A cuando el voltaje entre los extremos del
resistor es de 120 V. ¿Qué corriente pasará por este mismo resistor si el voltaje
se reduce a 60 V?
a) 0,25 A
b) 0,50 A
c) 0,60 A
d) 1,0 A
e) 0

Electricidad 257
4. Determine la resistencia equivalente
entre los puntos x e y del circuito
mostrado en la figura.
a) 12 Ω
b) 6,0 Ω
c) 3,0 Ω
d) 10 Ω
e) 24 Ω
5. En la figura se muestran tres resistores, cuya
resistencia eléctrica es la misma (R1 = R2 = R3 =
R). Entonces:
a) La corriente que circula por el resistor R1
es mayor que la corriente que circula por el
resistor R2.
b) La corriente que circula por el resistor R2 es mayor que la corriente que
circula por el resistor R3.
c) La corriente total de la fuente es V/R.
d) La resistencia equivalente del circuito es 3R.
e) El voltaje del resistor R2 es menor que el voltaje del resistor R3.
12,0 Ω
10,0 Ω
3,0 Ω
6,0 Ω
18,0 Ω
9,0 Ω
7,0 Ω
x y
R1
V
R3
R2

Apéndice I 258
13. APÉNDICE I
APLICACIONES DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
En diversas ramas de la ingeniería y la arquitectura es necesario utilizar las
herramientas básicas de cálculo para describir los fenómenos físicos. El uso del
cálculo es fundamental en el tratamiento de distintos problemas en la mecánica, la
electricidad y el magnetismo. En esta sección revisaremos algunas propiedades
básicas y reglas prácticas que debes aplicar.
13.1.DERIVADA DE FUNCIONES POLINOMIALES
Primero se debe especificar una función que relacione una variable con otra (por
ejemplo, una coordenada como función del tiempo). Supongamos que una de las
variables se denomina y (la variable dependiente) y la otra t (la variable
independiente). Podríamos tener una relación de función polinómica como:
( ) dctbtatty +++= 23
Si a, b, c y d son constantes especificadas, entonces y puede calcularse para
cualquier valor de t.
Derivada de una función ( ) n
atty =
Si ( ) n
atty = , la derivada de y con respecto de t se encuentra así:
1−
= n
nat
dt
dy

Apéndice I 259
Derivada de una constante
Si ay = es constante, entonces 0=
dt
dy
1. Si ( ) dctbtatty +++= 23
Entonces,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 023 2
23
+++=+++= cbtat
dt
dd
dt
ctd
dt
btd
dt
atd
dt
tdy
2. La derivada de la función 74
2
5 2
+−= tty es 45 −= t
dt
dy
.
3. La derivada de la función 8423 234
++++= tttty es
42612 23
+++= ttt
dt
dy
.
13.2.DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Para funciones trigonométricas seno y coseno se tiene lo siguiente:
( ) ataat
dt
d
cossen =
( ) ataat
dt
d
sencos −=
4. Si ( )tty 235 cos+= , entonces la derivada de la función es
( ) ( )( ) ( )tt
dt
d
dt
d
dt
dy
265235 sencos −=+=

Apéndice I 260
13.3.INTEGRALES
La integración se considera como la inversa de la derivación. Como ejemplo, sea la
expresión
( ) bat
dt
dy
tf +== 2
3
que fue el resultado de derivar la función ( ) cbtatty ++= 3
donde a, b y c son
constantes.
Puede escribir la ecuación como ( ) ( )dtbatdttfdy +== 2
3 y obtener ( )ty sumando
sobre todos los valores de t. Matemáticamente esta operación inversa se escribe
( ) ( )∫ ++=+= cbtatdtbatty 32
3
donde c es una constante de integración. Este tipo de integral se le conoce como
integral indefinida debido a que su valor depende de la elección de c.
Una integral indefinida general ( )tI se define como
( ) ( )
∫= dttftI
Una integral definida para una función
continua general f(t) la integral puede
describirse como el área bajo la curva por
f(t) y el eje t, entre dos valores especificados
de t, por ejemplo, t1 y t2 en la figura. Así,
( )
∫=
2
1
t
t
dttfÁrea
f (t)
t
t1 t2

Apéndice I 261
Una integral común que surge en situaciones prácticas tiene la forma
( )1
1
1
−≠+
+
=
∫
+
nc
n
t
dtt
n
n
Si se conocen los límites de integración
( )1
1
2
1
11
12
−≠
+
−
=
∫
++
n
n
tt
dtt
t
t
n
nn
Para funciones trigonométricas:
( ) at
a
dtat cossen
1
−=
∫
( ) at
a
dtat sencos
1
=
∫
5.
∫ += 1
4
3
4
C
t
dtt
6. 2
4
2
4
3
4
4
4 CtC
t
t
∫ +=+=
7.
∫ =
−
==
3
0
333
0
3
2
9
3
03
3
t
dtt
8. ( )∫ =−==
1
0
2525
1
0
25
23
5
2
01
5
2
25
//
/
/
/
t
dtt
9.
∫ =
−
==
5
3
225
3
2
8
2
35
2
t
tdt

Apéndice I 262
13.4.VELOCIDAD Y ACELERACIÓN INSTANTÁNEA
Si x(t) es la posición de un móvil, la velocidad instantánea se define como
dt
dx
v = y la
aceleración como
dt
dv
a = .
Si se conoce la velocidad instantánea de un móvil, su posición se puede calcular como
∫= vdtx .
Si se conoce la aceleración instantánea de un móvil, su velocidad se puede calcular
como
∫= adtv .
Todas las funciones de posición, velocidad o aceleración se encuentran escritas en
unidades del SI.
10. La posición de un móvil esta descrita por la ecuación ( ) 16 2
+= ttx . Determine
la velocidad y la aceleración instantánea de este móvil como función del tiempo.
Solución
( ) t
dt
dx
tv 12==
( ) 12==
dt
dv
ta
11. La aceleración de móvil es ( ) tta 6−= . Determine la velocidad y la posición del
móvil como función del tiempo. Considere que en t =0, x = 0 y v = 0.
Solución

Apéndice I 263
( )
∫∫ +−=−== 3
2
36 Ctdttadtv
Como 00 == vt , , entonces 03 =C , así
2
3tv −=
( )∫∫ +−=−== 4
32
3 Ctdttvdtx
Como 00 == vt , , entonces 04 =C , así
3
tx −=
13.5.PROBLEMAS RESUELTOS
1. Si la posición de un objeto está dada por la ecuación 1
2
1
4 2
++= ttx metros,
determine su velocidad, sabiendo que
dt
dx
v = .
Solución
2
1
8 +== t
dt
dx
v
2. La velocidad de un móvil es 0305 ,, += tv m/s. Encuentre su aceleración en t =
2,0 s, considerando que la aceleración es
dt
dv
a = .
Solución
05,==
dt
dv
a m/s2
Como la aceleración a no depende del tiempo, su valor es constante a = 5,0 m/s
2
en
cualquier tiempo.

Apéndice I 264
3. Encuentre la ecuación de la aceleración de una partícula, si su posición está
dada por 25
4
1 2
++= tty m. Considere que 





==
dt
dy
dt
d
dt
dv
a
y
y .
Solución
5
2
1
+= tvy m/s
2
1
==
dt
dv
a
y
y m/s2
4. Determine la velocidad en t = 1,00 s, para un objeto cuya posición está dada por
( )ty π4002 sen,= metros. Considere que
dt
dy
vy = y el ángulo se encuentra
en radianes.
Solución
( )t
dt
dy
vy ππ 4008 cos,==
( ) 125001 ,, =svy m/s
5. Determine la aceleración para un sistema que se mueve según la ecuación
( ) ttvy 0305
2
1
,,cos += m/s.
Solución
( ) 030552 ,,sen, +−== t
dt
dv
a
y
y m/s2

Apéndice I 265
6. Si la velocidad de una partícula está dada por 04
2
1
,+= tv m/s, determine la
posición de la partícula en t = 2,0 s, considerando que parte del reposo en x0 =
0,0 m y la posición es ∫+=
t
t
vdtxx
0
0 .
Solución
∫=
t
t
vdtx
0
0904
4
04
2
1
02
00
2
0
,,,
,
,
=+=





+=
∫
=
=
st
st
t
t
dttx metros
7. La aceleración de un cuerpo está dada por la ecuación ta 04,= m/s
2
.
Determine su velocidad, considerando que ∫+= dtavv 0 , con v0 = 0,0 m/s.
Solución
∫= dtav
2
0204 tdttv ,, ==
∫ m/s

Apéndice II 266
14. APÉNDICE II
CLAVES DE RESPUESTAS DE LAS AUTOEVALUACIONES
CAPÍTULO 1. MAGNITUDES FÍSICAS
1. b)
2. a)
3. b)
4. a)
5. b)
CAPÍTULO 2. VECTORES
1. b)
2. e)
3. c)
4. d)
5. c)
CAPÍTULO 3. CINEMÁTICA
1. a)
2. c)
3. b)
4. b)
5. d)
CAPÍTULO 4. LEYES DEL MOVIMIENTO
1. c)
2. e)
3. b)
4. e)
5. a)

Apéndice II 267
CAPÍTULO 5. TRABAJO
1. e)
2. d)
3. c)
4. b)
5. a)
CAPÍTULO 6. CANTIDAD DE MOVIMIENTO
1. a)
2. c)
3. e)
4. c)
5. b)
CAPÍTULO 7. DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS
1. d)
2. a)
3. b)
4. b)
5. d)
CAPÍTULO 8. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
1. c)
2. d)
3. c)
4. d)
5. a)
CAPÍTULO 9. ONDAS MECÁNICAS
1. a)
2. b)
3. c)
4. c)
5. a)

Apéndice II 268
CAPÍTULO 10. FLUIDOS
1. a)
2. d)
3. e)
4. b)
5. e)
CAPÍTULO 11. CALOR Y TEMPERATURA
1. b)
2. b)
3. c)
4. b)
5. a)
CAPÍTULO 12. ELECTRICIDAD
1. c)
2. b)
3. a)
4. d)
5. a)

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