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![CAP´
ITULO I
An´lisis de sistemas con m´ltiples objetivos
a u
I.1. Controladores multiobjetivo
El dise˜o de estrategias de control que aseguren un n´mero de objetivos (especificaciones) en un lazo de control
n u
ha sido objeto de intensa investigaci´n y estudio, pasando en los ultimos 50 a˜os de ser un campo intuitivo y
o ´ n
de sentido com´n (“de ingenio”) [Cor96], [AH95], a uno riguroso y formal en el que matem´ticos e ingenieros
u a
encuentran tierra f´rtil.
e
Dentro de las disciplinas que conforman los sistemas de control, el estudio de los sistemas lineales invariantes en
el tiempo ha conocido enormes avances y cambios en los paradigmas de su estudio, en parte por su simplicidad y
propiedades que permiten la aplicaci´n de poderosas herramientas matem´ticas y en parte porque esos resultados
o a
pueden ser aplicados a un importante n´mero de sistemas, incluyendo algunos muy complejos (e.g., multimodelos
u
[CGP98], no lineales [BA95], etc).
De esta manera, el dise˜o de controladores para sistemas lineales ha evolucionado desde reglas muy simples de
n
sintonizaci´n [ZN42], ajustes de margen de fase y de ganancia [Kuo95], [PH96], dise˜o basado en representaciones
o n
de estado como ubicaci´n de polos [PH96], control ´ptimo, [AM89], LQG/LTR [DS81], dise˜o basado en el margen
o o n
del m´dulo (u operador diferencia de retorno) [DFT92], basado en los valores singulares y control robusto [San89],
o
[MZ89], [DGK89], llegando hasta los paradigmas basados en la manipulaci´n de normas (de se˜ales o de sistemas)
o n
y dentro de los que podemos mencionar H∞ , H2 , L1 , 1 . Este enfoque se ve fortalecido con la posibilidad de
ubicar los modos de un sistema, no en puntos exactos del plano “s”, sino m´s bien en regiones del mismo (t´cnicas
a e
denominadas de root clustering) y a lo que tambi´n denominaremos ubicaci´n de polos [CGP96].
e o
Todo ello encuentra adem´s un medio integrado de formulaci´n en las desigualdades matriciales lineales (LMIs)
a o
[Boy94] que surgen de la f´rmula del complemento de Schur, esto es, los problemas antes mencionados pueden
o
formularse como un conjunto de esas desigualdades (LMIs).
Si, como demostraremos, los controladores H2 aseguran un buen rechazo al ruido y los controladores H∞
funcionan bien, aun en presencia de incertidumbre asociada con din´micas no modeladas y reflejadas sobre todo
a
en altas frecuencias o en presencia de perturbaciones no conocidas pero acotadas en energ´ y si el agrupamiento
ıa,
de polos permite especificar algunas caracter´ ısticas de la respuesta temporal del sistema, entonces entenderemos](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-9-320.jpg)
![Observe que Y H (jω) = Y (−jω)T . Si Y (s) ∈ Lm×n entonces
2
Y (s) ∞ = sup σ (Y (jω))
¯ (I.3)
ω
donde σ es el valor singular m´ximo, esto es:
¯ a
σ (Y (jω)) = m´x
¯ a λi (Y (jω)H Y (jω)).
i
El siguiente teorema establece que la norma infinita es la norma inducida de la norma 2.
Teorema I.1 ([MZ89] y [San89]) Sea el sistema (I.1) en el que la perturbaci´n –w(t)– es cero y sean Y (s)
o
y U (s) las transformadas de y(t) y u(t). Sabemos que Y (s) = G(s)U (s), con, G(s) = C(sI − A) −1 B y g(t) la
transformada inversa de G(s). Consideremos igualmente que deseamos conocer la cota m´ ınima superior de la
salida cuando u 2 ≤ 1. Entonces:
G(s) ∞ = sup y(t) 2 . (I.4)
u(t) 2 ≤1
G(s) 2 = sup y(t) ∞. (I.5)
u(t) 2 ≤1
La demostraci´n de este teorema puede encontrarse en las referencias mencionadas en el enunciado y se basa en
o
el hecho de que el lado izquierdo de (I.4) y (I.5) en general sobreestima las normas y(t) 2 y y(t) ∞ , pero si no
hay restricci´n en la se˜al de control u(t) salvo la de su cota en la norma 2, siempre puede construirse una se˜al
o n n
u(t) ∈ Lm (de hecho, para el caso de la norma infinito, escogiendo u(t) como una sinusoide cuyo espectro sean
2
dos pulsos centrados en −ω0 y ω0 , la frecuencia de la norma infinito, de ancho 2ε y altura π/2ε y en el caso
de la norma 2, como g(−t)/ G 2 ) tal que esa cota superior sea alcanzada.
Observaci´n I.1 Observe que (I.4) puede interpretarse como que la norma infinita y dos de la funci´n de
o o
transferencia entre “u(t)” y “y(t)” en el sistema (I.1) da la m´xima amplificaci´n de la energ´ de la se˜al de
a o ıa n
entrada u(t) medidas como energ´ y valor pico respectivamente.
ıa
Observaci´n I.2 En este libro nos concentraremos en las normas dos e infinito que son las de uso m´s com´n.
o a u
Ellas, sin embargo, son s´lo un subconjunto de restricciones que de forma gen´rica se denominan Restricciones
o e
Integrales Cuadr´ticas (ICQ por sus siglas en ingl´s) [Boy94]. Estas restricciones pueden igualmente ser descrita
a e
como LMIs.
Ejemplo normas 2 e infinito
Se desea calcular la norma infinito y 2 del siguiente sistema:
1
G(s) =
s+5
Para el c´lculo de la norma 2 se puede usar el teorema de Parseval, esto es:
a
G(s) 2 = g(t) 2
4](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-12-320.jpg)
![donde g(t) es la respuesta al impulso de G(s), esto es:
g(t) = e−5t t≥0
entonces
∞ 1/2 ∞
1 −10t 1
G(s) 2 = {e−5t e−5t }dt =− e =√ .
0 10 0 10
En el caso de la norma infinito, se sabe que:
1
G(s) ∞ = sup |G(jω)| = sup √ = 0,2.
ω ω ω 2 + 52
Ejemplo valores singulares
Considere el sistema:
1 s
G(s) =
s2 + 9 −5
y se desea dibujar la evoluci´n de sus valores singulares cuando ω toma valores en el intervalo [0, ∞). Igualmente,
o
se desean esos mismos valores para G11 (s) y G12 (s). Hay que determinar tambi´n el valor de la norma infinito.
e
Note que en el caso de las transferencias G11 (s) y G22 (s) la respuesta graficada es simplemente el diagrama de
Bode, siendo como son funciones de transferencia SISO.
Un programa en Matlab que calcula y grafica los valores singulares se lista a continuaci´n:
o
s=tf(’s’)
g11=s/(s^2+9)
g12=-5/(s^2+9)
G=[g11;g12]
sigma(G,’k’,g11,’r’,g12,’b’)
y la gr´fica de los valores singulares vs frecuencia se muestra en la figura (I.1).
a
Observe que en ω = 3 los valores singulares no est´n definidos, i.e.,
a
G(s) ∞ = G11 (s) = G12 (s) = ∞.
En realidad hemos abusado del lenguaje, porque para ese sistema la norma infinita no existe, siendo que no es
finita o, dicho de otra manera, la norma infinita no es de ninguna utilidad para este sistema.
Consideremos ahora sistemas discretos lineales invariantes en el tiempo y sea x(k) una funci´n (secuencia) de
o
II → IRn . La norma p de x se define como [DD95]:
1
∞ p
x p = |x(k)|p )
p
k=0
si esa cantidad es finita. En la ecuaci´n anterior, | · |p es la norma p del vector x(k) e II es el conjunto de los
o
n´meros enteros. De particular inter´s son las normas donde p = 1, 2, ∞ y, en el caso de que p = ∞, esa norma
u e
se define como:
x ∞ = sup m´x |xi (k)|.
a
ω i
Finalmente, enunciamos sin demostraci´n el lema sobre la descomposici´n en valores singulares tomado de
o o
[GL95]:
5](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-13-320.jpg)
![60
40
G(ω) y G (ω)
12
20
G(ω) y G (ω)
Valores singulares
11
0
−20
−40
G11(ω)
−60 G12(ω)
−80
−1 0 1 2
10 10 10 10
Frecuencia (rad/s)
Figura I.1.: Evoluci´n de los valores singulares.
o
Lema I.1 Para cualquier matriz compleja Q ∈ IRm×p , existen matrices unitarias Y y U en m × x y p × p y una
matriz real Σ tal que:
Σ 0
Q=Y UH (I.6)
0 0
en el que Σ = diag(σ1 , . . . , σr ) con σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σr ≥ 0 y m´ ın(m, p) ≥ r. Adem´s σi son los valores
a
singulares de Q. Cuando Q es real, el par (Y, U ) pueden escogerse ortonormales. La expresi´n (I.6) es com´nmente
o u
denominada descomposici´n en valores singulares de Q.
o
I.3. Evaluaci´n de las normas 2 e infinito de un sistema
o
En la secci´n previa hemos introducido brevemente las definiciones de normas 2 e infinito de se˜ales y sistemas.
o n
Salvo en muy pocos casos, estas definiciones no nos proporcionan un medio eficaz para el c´lculo de tales normas.
a
En esta secci´n presentamos un conjunto de medios que nos permiten el c´lculo de esas normas, en sistemas
o a
lineales con representaci´n de estados.
o
Con este prop´sito, consideremos una representaci´n simplificada del sistema (I.1) y tengamos al sistema lineal
o o
invariante en el tiempo (LTI):
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
˙
(I.7)
y(t) = Cx(t)
donde x(t) ∈ IRn es el vector de estados, u(t) ∈ IRm es el vector de entradas (control) y y(t) ∈ IRp es el vector de
salidas medibles del sistema. A, B, C son matrices constantes de dimensiones apropiadas.
Es f´cil demostrar que la funci´n de transferencia del sistema [PH96] es:
a o
Y (s)
G(s) = = C(sI − A)−1 B. (I.8)
U (s)
Los siguientes teoremas nos dan las herramienta de c´lculo de esas normas que buscamos.
a
6](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-14-320.jpg)
![Teorema I.2 ([ZK88]) Para el sistema (I.7), las siguientes proposiciones son equivalentes:
1. A es una matriz estable y G(s) ∞ ≤γ
2. Existe una matriz P definida positiva tal que
AT P + P A + γ −2 P BB T P + C T C < 0. (I.9)
Demostraci´n: Una comprobaci´n muy sencilla de que (2) ⇒ (1) est´ inspirada en las propiedades del operador
o o a
diferencia de retorno (return difference operator) que se hace en [AM89] y es como sigue: cambiando el signo de
la desigualdad (I.9) y sumando y restando sP con s = jω y ω la frecuencia en la que ocurre la norma infinito de
G, tenemos que:
(−sI − A)T P + P (sI − A) − γ −2 P BB T P − C T C > 0, (I.10)
multiplicando la derecha de (I.10) por (sI − A)−1 B y a la izquierda por su transpuesto complejo conjugado
(hermitiano) resulta en:
B T P (sI − A)−1 B + B T (−sI − AT )−1 P B
−γ −2 B T (−sI − AT )−1 P BB T P (sI − A)−1 B ≥ (I.11)
B T (−sI − AT )−1 C T C(sI − A)−1 B
2
a la derecha de la desigualdad (I.11) reconocemos G(s) ∞ y recordando que:
[γI − γ −1 B T P (sI − A)−1 B]H [γI − γ −1 B T P (sI − A)−1 B] ≥ 0,
la proposici´n (1) sigue. La demostraci´n de que (1) ⇒ (2) puede encontrarse en la cita antes enunciada.
o o
Teorema I.3 ([San89] [PSG92]) Consideremos al sistema (I.7) y sea A una matriz hurwitz (estable), entonces
2
G(s) 2 = T r(CLc C T ) = T r(B T Lo B) (I.12)
donde Lc es el gramiano de controlabilidad y Lo es el gramiano de observabilidad y satisfacen:
ALc + Lc AT + BB T = 0
(I.13)
A T Lo + L o A + C T C = 0.
Demostraci´n: Sin p´rdida de generalidad, nos limitaremos a los sistemas de una entrada y una salida (SISO).
o e
Igualmente, como ambas demostraciones son similares nos limitaremos a la asociada al gramiano de controlabi-
lidad. En tal sentido, recordemos que:
∞
T
Lc = eAt BB T eA t dt
0
donde
A n tn
eAt = I + At + . . . + + ...
n!
luego se cumple que:
d(eAt )
= AeAt = eAt A
dt
ahora bien,
∞
T
CLc C T = CeAt BB T eA t C T dt
0
pero recordemos que la transformada inversa de G(s) es
L−1 (G(s)) = g(t) = CeAt B
y entonces
∞
CLc C T = g(t)g(t)T dt = g(t) 2
2
0
7](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-15-320.jpg)
![y por el teorema de Parseval
2 2
G(s) 2 = g(t) 2 = CLc C T
por otra parte
ALc + Lc AT + BB T =
∞ T ∞ At T
0
AeAt BB T eA t dt + 0
e BB T eA t AT dt + BB T =
∞ d T T
0 dt
eAt BB T eA t dt + BB T = eAt BB T eA t |∞
0 + BB T
T T
−BB + BB = 0.
Ejemplo
En el sistema que se describe a continuaci´n, se desea calcular las normas 2 e infinito de:
o
s
G(s) =
s2 + s + 1
el listado de un programa de MATLAB que las calcula se muestra a continuaci´n
o
s=tf(’s’)
G_tf=s/(s^2+s+1)
G=ss(G_tf)
Lc=gram(G,’c’)
[a,b,c]=ssdata(G)
Norma2=c*Lc*c’
Lo=gram(G,’o’)
OtraN2=b’*Lo*b
Respuesta=bode(G);
NormaInf=max(Respuesta)
obteni´ndose:
e
G(s) 2 = 0,5 y G(s) ∞ = 1.
I.4. Desigualdades matriciales lineales
Una desigualdad matricial lineal (LMI por sus siglas en ingl´s, Linear Matrix Inequality) tiene la forma [Boy94]:
e
m
F (x) = F0 + x i Fi > 0 (I.14)
i=1
donde x ∈ IRm es la variable y las matrices sim´tricas Fi (=FiT ∈ IRn×n ), i = 0, . . . , m son dadas. La desigualdad
e
en (I.14), entendi´ndose como que F (x) es una matriz definida positiva, i.e., u T F (x)u > 0 para todo u ∈ IRn
e
diferente de cero.
Observaci´n I.3 Hay que se˜alar que pueden tenerse desigualdades matriciales lineales no estrictas si la des-
o n
igualdad es del tipo ≥.
Una caracter´ıstica interesante es que desigualdades matriciales (convexas) no lineales pueden ser convertidas
a LMIs a trav´s de la f´rmula del complemento de Schur y que detallamos a continuaci´n.
e o o
Lema I.2 ([Boy94]) Las siguientes proposiciones son equivalentes:
8](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-16-320.jpg)
![1.
P Q
S1 = >0 (I.15)
QT R
2. P > 0 y R − QT P −1 Q > 0 o
´
3. R > 0 y P − QR−1 QT > 0.
Demostraci´n: Surge del hecho de que siendo (I.15) definida positiva (> 0), entonces P y R tambi´n lo son.
o e
Construyendo la matriz de transformaci´n T1 regular (con autovalores todos diferentes de cero, de hecho todos
o
iguales a uno):
I −P −1 Q
T1 = (I.16)
0 I
entonces
P 0 T
S2 = = T 1 S1 T1 . (I.17)
0 R − QT P −1 Q
siendo que S1 es definida positiva y T1 regular (de hecho tambi´n definida positiva), entonces S2 > 0. Por otro
e
lado, si S2 > 0 entonces P y R son definidas positivas, siendo que T1 es regular, entonces:
−1
S1 = (T1 )−1 S2 T1
T
(I.18)
de donde surge que S1 > 0 y la primera proposici´n del lema (I.15) queda demostrada.
o
Podemos proceder de manera similar con la proposici´n 2 del Lemma (I.15) si definimos la matriz de transfor-
o
maci´n:
o
I 0
T2 = . (I.19)
−R−1 QT I
Dejamos al lector tal demostraci´n
o
Es interesante describir al lema (I.15) en su forma dual.
Lema I.3 Las siguientes proposiciones son equivalentes:
1.
−P Q
<0 (I.20)
QT −R
2. P > 0 y QT P −1 Q − R < 0 o
´
3. R > 0 y QR−1 QT − P < 0.
En conclusi´n, las LMI (I.15) y (I.20) son equivalentes a sus contrapartes no lineales.
o
Observaci´n I.4 Hacemos notar que en una LMI las variables son matrices que aparecen en forma lineal en la
o
desigualdad. Una vez escrita como una LMI, podemos invocar con certeza la convexidad de la desigualdad, lo que
muchas veces no es aparente de las desigualdades no lineales.
Observaci´n I.5 Una vez escrita una desigualdad matricial como una LMI, existen herramientas poderosas
o
para la resoluci´n de tales problemas, como por ejemplo el “Toolbox de LMIs de Matlab”, [GNL95], que utiliza
o
m´todos (e.g., del elipsoide [Win94]) que aprovechan la estructura particular de las LMI para su resoluci´n.
e o
9](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-17-320.jpg)
![En un sentido m´s amplio, los problemas formulados en t´rminos de desigualdades matriciales lineales no son
a e
m´s que problemas de programaci´n semidefinida, los que a su vez son una generalizaci´n de los muy conocidos
a o o
problemas de programaci´n lineal en las que las restricciones de desigualdad son reemplazadas por desigualdades
o
generalizadas, correspondientes al cono de matrices semidefinidas [PL03].
En su forma primal pura, un problema de programaci´n semidefinida se define como el problema de optimiza-
o
ci´n:
o
m´ın traza(CX)
sujeto a traza(Ai X) = bi ∀i = 1, . . . , m, (I.21)
X≥0
donde X ∈ Sn , el espacio de matrices reales y sim´tricas en n × n, b ∈ IRm y C, A1 , . . . , Am ∈ Sn , son matrices
e
sim´tricas dadas.
e
En este libro presentaremos una serie de resultados sobre el an´lisis y s´
a ıntesis de controladores H ∞ , H2 y de
ubicaci´n de polos en regiones que encuentran un marco com´n en su formulaci´n a trav´s de LMIs, esto es,
o u o e
como un problema de programaci´n semidefinida. As´ por ejemplo, la desigualdad (I.9) puede escribirse como la
o ı,
siguiente LMI en P > 0:
AT P + P A + C T C P B
<0 (I.22)
BT P −γ 2 I
o en su forma dual si definimos S = P −1 ,
AS + SAT + γ −2 BB T SC T
< 0.
CS −I
La demostraci´n sigue de una aplicaci´n directa del complemento de Schur.
o o
De la misma forma, el problema de costo garantizado [CP72] y [PSG92] que brevemente significa que:
2
G(s) 2 <γ
puede escribirse como un problema de factibilidad, esto es, encontrar P > 0 tal que:
1.
γI CP
>0 (I.23)
P CT P
2.
AP + P AT + BB T < 0 (I.24)
Demostraci´n: En efecto, si la segunda condici´n (I.24) es satisfecha, se cumple que P > L c , por lo que
o o
2
G 2 = CLc C T ≤ CP C T
pero la LMI de la condici´n (I.23) implica que CP C T < γI.
o
Observaci´n I.6 Cuando no hay incertidumbre en el modelo se puede, con la introducci´n de una variable
o o
matricial adicional W , conseguir el m´ınimo de esa norma [GPS92] y que por supuesto coincide con el que arroja
el enfoque, digamos cl´sico, del control optimo [AM89].
a ´
En lo sucesivo nos referiremos a un controlador H2 (o H∞ ) como aquel que hace que la norma 2 (o infinito) de la
funci´n de transferencia del sistema a lazo cerrado cumpla con alguna especificaci´n (usualmente cota superior)
o o
dada. Ambas normas no son m´s que un subconjunto de una clase m´s amplia de restricciones denominadas
a a
Restricciones integrales cuadr´ticas (o IQC por sus siglas en ingl´s) que pueden igualmente representarse por
a e
conjuntos de LMIs.
Podemos notar que el problema de dise˜o de un controlador que satisfaga criterios en ambas normas (H 2 y
n
H∞ ) puede formularse como una colecci´n de LMIs.
o
10](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-18-320.jpg)
![Ejemplo
Consideremos una vez m´s el sistema del ejemplo de la secci´n (I.3) y calculemos cotas para sus normas 2 e
a o
infinito.
El listado MATLAB, destinado al c´lculo de una matriz P para una cota superior —digamos 1.01— de la
a
norma infinito, se muestra a continuaci´n. Se hace uso del toolbox de desigualdades matriciales lineales.
o
num=[1 0];
den=[1 1 1];
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);
gamma=1.01;
setlmis([]);
p=lmivar(1,[2 1]);
lmiterm([1 1 1 p],a’,1,’s’); % LMI #1: a’*p+p*a
lmiterm([1 1 1 0],c’*c); % LMI #1: c’*c
lmiterm([1 2 1 p],b’,1); % LMI #1: b’*p
lmiterm([1 2 2 0],-gamma^2); % LMI #1: -gamma
lmiterm([-2 1 1 p],1,1); % LMI #2: p
eje14=getlmis;
[tmin,popt]=feasp(eje14);
p=dec2mat(eje14,popt,1)
y una matriz P que verifica la condici´n (I.22) esta dada por
o
1,0047 0,0037
P = .
0,0037 1,0054
√
Por otra parte, el listado MATLAB del c´lculo de una matriz P > 0, para una cota superior de 0,501 de la
a
norma 2, se muestra a continuaci´n. De nuevo se utiliza el toolbox de desigualdades matriciales lineales.
o
num=[1 0];
den=[1 1 1];
[a,b,c,d]=tf2ss(num,den);
gamma=0.501;
setlmis([]);
p=lmivar(1,[2 1]);
lmiterm([-1 1 1 0],gamma); % LMI #1: gamma^2
lmiterm([-1 2 1 p],1,c’); % LMI #1: p*c’
lmiterm([-1 2 2 p],1,1); % LMI #1: p
lmiterm([2 1 1 p],a,1,’s’); % LMI #2: a*p+p*a’
lmiterm([2 1 1 0],b*b’); % LMI #2: b*b’
lmiterm([-3 1 1 p],1,1); % LMI #3: p
eje142=getlmis;
[tmin,popt]=feasp(eje142);
p=dec2mat(eje142,popt,1)
siendo una matriz P > 0 que verifica (I.23) y (I.24):
0,5006 −0,0003
P = .
−0,0003 0,5008
11](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-19-320.jpg)
![Consideremos ahora cualquier realizaci´n m´
o ınima de T (s) de la forma:
x
˙ = Acl x + Bcl r
y = Ccl x + Dcl r
Lema I.4 ([San89]) El sistema de la figura (I.2) es internamente estable si y s´lo si los autovalores de la matriz
o
Acl est´n en el semiplano izquierdo abierto. Esto es, que la matriz Acl es hurwitz.
a
Siendo Acl la matriz de estados (o din´mica) de cualquier funci´n de transferencia del lazo de la figura (I.2),
a o
la ubicaci´n de sus autovalores determina la de los polos de cualquier funci´n de transferencia.
o o
Si entendemos por robustez la capacidad de un sistema a lazo cerrado para responder adecuadamente ante
perturbaciones externas y/o variaciones en el modelo de la planta, tradicionalmente dicha robustez se asegura
ante incertidumbre en el modelo dise˜ando sistemas con amplios m´rgenes de fase (φ m ) y de ganancia (gm )
n a
[PH96].
En la figura (I.3) se muestran sobre un diagrama de Nyquist, en forma gr´fica, tales m´rgenes.
a a
Figura I.3.: Margen de fase φm y de ganancia gm de un sistema SISO.
El margen de ganancia (gm ) permite afrontar incertidumbre en la ganancia del proceso a controlar. En relaci´n
o
con la figura (I.4), esto significa alg´n escalar β del que s´lo se conocen sus cotas m´ximas. El margen de fase
u o a
(φm ) permite hacer frente a cambios —incertidumbre— en la fase. En relaci´n con la figura (I.4), alg´n escalar φ
o u
del que s´lo se conocen sus valores extremos. De modo que la planta real es la suma de la planta nominal (p(s))
o
y la incertidumbre (βe−φs ).
sistema real
r(t) y(t)
+ c(s) βe−φs p(s)
u(t)
(-)
Figura I.4.: Representaci´n cl´sica de lazo incierto.
o a
Hay que hacer notar que los enfoques de margen de fase o de ganancia presuponen que s´lo hay desconocimiento
o
en uno de los dos par´metros, i.e., la magnitud (β) o la fase (φ), no en ambos. En general se presenta incertidumbre
a
en los dos y es f´cil generar casos en los que, aun teniendo excelentes m´rgenes de fase y ganancia, una peque˜a
a a n
variaci´n simult´nea en ambos —magnitud y fase– sobre los valores nominales, genera plantas inestables.
o a
13](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-21-320.jpg)
![descripci´n m´s com´n de la incertidumbre y equivale a suponer que se conocen los l´
o a u ımites m´ximos de desviaci´n
a o
de la magnitud sobre un valor nominal, pero se desconoce totalmente la fase.
En relaci´n con el diagrama de la figura (I.2) supondremos que la planta real es descrita por:
o
p(s) = pn (s) + la (s) (I.27)
y entonces,
|p(jω) − pn (jω)| ≤ l¯ (ω).
a (I.28)
Esquem´ticamente podemos llevar esta incertidumbre al diagrama de Nyquist del sistema, tal como se muestra
a
en (I.6).
Figura I.6.: Modelo de la incertidumbre.
Se desprende de la descripci´n de la incertidumbre que, para una frecuencia ω dada, ¯a (ω) es la cota m´xima
o l a
de la magnitud de la incertidumbre y que no hay informaci´n sobre la fase (incertidumbre total en la fase).
o
A t´
ıtulo de ejemplo, consideremos un sistema de control de temperatura de un tanque de agua, que tenga
circulaci´n de agua permanente y nivel constante. El agua es calentada a trav´s de unas resistencias el´ctricas.
o e e
El ejemplo lo tomamos de [Qui04]. La funci´n de transferencia entre la potencia suministrada y la temperatura
o
del agua se determinan de manera experimental, dando escalones de potencia en la entrada y observando la
respuesta en la salida. Se realizan 4 pruebas, dos escalones positivos y dos negativos, resultando las 4 funciones
de transferencia que describimos a continuaci´n:
o
0,6125 −32s
G1 (s) = 254s+1 e
0,75 −25s
G2 (s) = 215s+1 e
0,7 −20s
G3 (s) = 100s+1 e
0,6 −34s
G4 (s) = 200s+1 e .
Promediando las ganancias, las constantes de tiempo y los retrasos obtenemos como sistema nominal:
0, 6656 −28s
Gn (s) = e
192s + 1
de donde es muy f´cil generar una funci´n m´xima de desviaci´n —en magnitud— para cada frecuencia.
a o a o
En la figura (I.7) hemos incluido la respuesta en frecuencia de magnitud de los sistemas encontrados con
ensayos y la respuesta del sistema nominal obtenido promediando los par´metros.
a
En la figura (I.8) se muestra, para el ejemplo anterior, la diferencia entre la magnitud de la respuesta en
frecuencia de los sistemas obtenidos en las pruebas menos la del sistema nominal. Ello para determinar una cota
superior al error en todo el rango de frecuencias.
15](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-23-320.jpg)
![0
−10
−20
|G (jω)|
n
Magnitud (dB)
−30
−40
−50
−60
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0
10 10 10 10 10 10 10
Frecuencia (rad/s)
Figura I.7.: Diagramas de Bode de sistema de calentamiento.
En forma normalizada, com´nmente denominada descripci´n multiplicativa de la incertidumbre, la expresi´n
u o o
(I.27) puede escribirse como:
p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s)) (I.29)
donde |δ(s)| < 1 es una funci´n de transferencia que representa la incertidumbre, de la que s´lo se conoce que su
o o
magnitud es menor que uno y W (s) es la funci´n de peso que recoge, para cada frecuencia y de forma normalizada,
o
la cota m´xima de la magnitud de la incertidumbre. Observe que cuando δ(s) es cero, no hay incertidumbre y la
a
planta p(s) es precisamente la nominal —pn (s).
De (I.29) es claro que:
¯a (ω)
l p(jω)
|W (jω)| = ≥ −1 .
|pn (jω)| pn (jω)
En la figura (I.9) hemos colocado los valores normalizados del error, esto es: (l a (w)/|Gn (jω)|).
Observamos que, bajo esta descripci´n de incertidumbre, ya no tenemos un solo modelo del sistema (digamos
o
el nominal) sino, m´s bien, una familia (infinita) de ellos.
a
La condici´n de estabilidad para toda la familia de sistemas, estabilidad robusta, viene dada por el siguiente
o
resultado:
Teorema I.4 ([San89] y [MZ89]) Consideremos al sistema de la figura (I.2) en el que la planta p(s) es descrita
por la familia de modelos (I.29) y los cuales tienen el mismo n´mero de polos en el semiplano derecho. Adem´s, sea
u a
c(s) un controlador que estabiliza la planta nominal pn (s). Entonces toda la familia de modelos ser´ estabilizado
a
por el controlador c(s) si y s´lo si
o
W (s)T (s) ∞ = sup |W (jω)T (jω)| ≤ 1 (I.30)
ω
donde T (s) es la funci´n complementaria definida en (I.25).
o
Demostraci´n: Es conveniente considerar que la familia de modelos del sistema de la figura (I.2), que satisfacen
o
(I.29), forman un conjunto representado por P. El sistema de la figura (I.2) es estable si y s´lo si para todo
o
16](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-24-320.jpg)
![0.2
0.18
0.16 |G (jω)−G (jω)|
3 n
Magnitud del error. la(ω)=|Gi(jω)−Gnjω)|
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0
10 10 10 10 10 10 10
Frecuencia (rad/s)
Figura I.8.: Magnitud de la incertidumbre para cada frecuencia.
miembro p(s) ∈ P se cumple que la ecuaci´n 1 + p(s)c(s) = 0 no tiene ra´
o ıces en el semiplano derecho cerrado
(que denominaremos C+ ). Luego ello es equivalente a:
1 + pn (s)c(s)[1 + W (s)δ(s)] = 0 ∀|δ| < 1 y s ∈ C+
⇐⇒ 1 + pn (s)c(s) = δ(s)W (s)pn (s)c(s) ∀|δ| < 1 y s ∈ C+
⇐⇒ |1 + pn (s)c(s)| ≥ |W (s)pn (s)c(s)| s = jω; ω ∈ [0, ∞) (I.31)
⇐⇒ |T (s)W (s)| ≤ 1 s = jω; ω ∈ [0, ∞)
⇐⇒ W (s)T (s) ∞ ≤ 1
Este resultado, fundamental para la teor´ de control robusto, tiene una interpretaci´n gr´fica en el diagrama
ıa o a
de Nyquist (ver figura (I.10)). En efecto, en (I.31) el t´rmino |W (s)pn (s)c(s)| = ¯a (ω)|c(s)| no es m´s que el radio
e l a
de la circunferencia que determina el tama˜o de la incertidumbre (para cada frecuencia) y entonces se infiere que
n
una condici´n necesaria y suficiente para estabilidad robusta es que, para cualquier frecuencia, la distancia del
o
−1 al diagrama nominal de Nyquist, i.e. la magnitud del Operador diferencia de retorno, sea mayor que ese radio
(que acota la incertidumbre en esa frecuencia). En otros t´rminos y visto que toda la familia de sistemas tiene el
e
mismo n´mero de polos en el semiplano derecho, la condici´n de estabilidad robusta implica que la “banda” de
u o
Nyquist, determinada por la familia de sistemas, no encierra al −1.
En (I.31) se us´ el hecho derivado del teorema del m´ximo m´dulo que se˜ala que:
o a o n
F (s) ∞ = sup |F (s)| = sup |F (jω)|,
Re{s}>0 ω
es decir, que el m´ximo de una funci´n continua en un conjunto cerrado y acotado ocurre en su frontera.
a o
Podemos incluir esquem´ticamente la representaci´n de la incertidumbre multiplicativa en la descripci´n cl´sica
a o o a
del lazo realimentado. Ello se muestra en la figura (I.11).
En relaci´n con la misma figura (I.11), observe que el resultado para la estabilidad robusta es equivalente a
o
“abrir” el lazo en los dos extremos del bloque de la incertidumbre (δ(s)) y verificar que la funci´n de transferencia
o
W (s)T (s) entre d(t) y z(t), nuevas entrada y salida al abrir el lazo, est´ acotada en magnitud.
a
La incertidumbre multiplicativa, representada por W (s), es s´lo una forma entre muchas para describir lo que
o
desconocemos en un lazo. Las funciones W (s) tienen normalmente la forma mostrada en la figura (I.12). La
incertidumbre es m´s peque˜a en bajas frecuencias y crece a medida que la frecuencia aumenta. Es importante
a n
17](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-25-320.jpg)
![3.5
Magnitud del error normalizada. W(ω)=|Gi(jω)−Gn(jω)|/|Gn(jω)|
3
|G3(jω)/Gn(jω)−1|
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0
10 10 10 10 10 10 10
Frecuencia (rad/s)
Figura I.9.: Magnitud de la incertidumbre para cada frecuencia, normalizada.
Figura I.10.: Condici´n de an´lisis de estabilidad robusta.
o a
mencionar que de la funci´n de incertidumbre W (s) lo unico importante es su magnitud. La consideramos como
o ´
una funci´n de transferencia s´lo por tener una representaci´n consistente de un lazo de control (figura I.11).
o o o
La condici´n de estabilidad robusta impone que la funci´n complementaria T (s) satisfaga:
o o
|T (jω)| < |W (jω)|−1 ∀ω.
Luego, un modelo poco ajustado de la incertidumbre puede imponer cotas extremadamente restrictivas (muy
peque˜as) en la funci´n complementaria y, por ende, en el controlador.
n o
De la misma forma que la magnitud de la incertidumbre debe ser lo m´s entallada posible, a fin de evitar ser
a
excesivamente conservadores en el dise˜o del control, el mismo razonamiento se extiende a la “topolog´ del
n ıa”
modelo de la incertidumbre.
Hasta ahora hemos mencionado dos tipos, a saber:
Aditiva: p(s) = pn (s) + δ(s)W (s) |δ(s)| < 1
Multiplicativa: p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s)) |δ(s)| < 1.
Adem´s, entre otras, tambi´n podemos representar la incertidumbre como [San89], [DFT92]:
a e
18](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-26-320.jpg)
![z(t) d(t)
δ(s) W (s)
e(t)
r(t) u(t) y(t)
+ c(s) pn (s) +
(-)
Figura I.11.: Representaci´n del lazo con incertidumbre multiplicativa.
o
Figura I.12.: Modelo de variaci´n de la incertidumbre.
o
p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s))−1
p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s)pn (s))−1 ;
algunas son equivalentes y, en cualquiera que sea la representaci´n, la estabilidad robusta viene determinada
o
por la norma infinita de alguna funci´n de transferencia. En la tabla (I.1) se recogen las equivalencias [San89],
o
[DFT92].
Tabla I.1.: Equivalencias entre medidas de incertidumbre
p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s)) W (s)T (s) ∞ ≤ 1
p(s) = pn (s) + δ(s)W (s) W (s)p−1 (s)T (s) ∞ ≤ 1
n
−1
p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s)) W (s)S(s) ∞ ≤ 1
p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s)pn (s))−1 W (s)pn (s)S(s) ∞ ≤ 1
Cualquiera que sea su representaci´n, la incertidumbre que afecta al sistema siempre lo hace de manera global
o
y de all´ que reciba com´nmente en la literatura ese nombre, i.e., incertidumbre global o no estructurada. Si, por
ı u
el contrario, podemos identificar c´mo las diferentes fuentes de incertidumbre afectan elementos particulares del
o
sistema, entonces estar´ıamos frente a una incertidumbre estructurada.
Como ejemplo podemos mencionar modelos de incertidumbre de baja y alta frecuencia y que se traducen en
una representaci´n de la forma:
o
1 + δ1 (s)W1 (s)
p(s) = pn (s)
1 + δ2 (s)W2 (s)
|δ1 (s)|, |δ2 (s)| < 1.
19](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-27-320.jpg)
![10
5
W(ω)
0
−5
Magnitud del error normalizada
−10
|e−j0,2ω−1|
−15
−20
−25
−30
−35
−40
−1 0 1 2 3
10 10 10 10 10
Frecuencia (rad/s)
Figura I.13.: Respuesta frecuencial de la incertidumbre y su umbral.
y
z(t) 0 1 x1 (t) 0
= + d(t).
e(t) 2 −1 x2 (t) −2
El control sugerido —que calculamos con una de las t´cnicas que desarrollaremos en cap´
e ıtulos posteriores—
es:
−5,012 × 10−8 s2 + 0,03328s − 0,003325
C(s) = .
s2 + 3,333 × 106 s + 65,84
El diagrama de bloques para efectos de la atenuaci´n de perturbaci´n queda como se muestra en la figura
o o
(I.14).
z(t) d(t)
W (s)
e(t)
r(t) u(t) y(t)
+ c(s) Gn (s) +
(-)
Figura I.14.: Atenuaci´n de perturbaciones.
o
La funci´n de transferencia entre d(s) y z(s) con el controlador propuesto es:
o
−W (s)C(s)Gn (s)
Tdz =
1 + C(s)Gn (s)
y la respuesta frecuencial de esa funci´n de transferencia se muestra en la figura (I.15).
o
Ejemplo caso calentador
Retomamos el ejemplo de [Qui04], s´lo en lo que respecta al c´lculo de la funci´n W (s).
o a o
21](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-29-320.jpg)
![referencia determinada r(t) o de rechazar una perturbaci´n de forma conocida d(t) en la salida del sistema y(t).
o
En el primer caso el desempe˜o podemos medirlo a trav´s de la se˜al de error:
n e n
r(s)
e(s) = = S(s)r(s)
1 + p(s)c(s)
y en el segundo a trav´s de la salida:
e
y(s) = S(s)d(s);
en ambos casos se desea hacer “peque˜a” la funci´n de sensibilidad a fin de tener el desempe˜o deseado.
n o n
En el marco del control cl´sico, la se˜al a seguir (o rechazar) es conocida —un escal´n, una rampa, una
a n o
par´bola, un impulso— y lo que es verdaderamente desconocido es el momento en el que la se˜al (de perturbaci´n)
a n o
ser´ aplicada al sistema. Recordemos, por ejemplo, la clasificaci´n en tipos de sistemas (0, 1, 2, . . .) para fines
a o
de eliminaci´n de las desviaciones en estado estacionario —tambi´n conocido como offset— [Kuo95] o el bien
o e
conocido hecho de que el modelo de la se˜al de referencia o perturbaci´n, seg´n sea el caso, debe estar incluido
n o u
en el controlador [AM89].
La suposici´n de que la se˜al externa (perturbaci´n o referencia) es conocida a priori es poco realista y, en
o n o
general, hay m´s conocimiento sobre la familia a la que pertenece la se˜al; v´ase por ejemplo [MZ89], p. 21.
a n e
Bajo esta perspectiva, en la que s´lo se conoce el conjunto al que pertenece la se˜al, el paradigma de control
o n
robusto plantea el rechazo de perturbaciones como la garant´ de atenuaci´n de esa caracter´
ıa o ıstica com´n del
u
conjunto de se˜ales (e.g., energ´ cota m´xima, etc.) En el marco del control robusto, la bien conocida teor´ de
n ıa, a ıa
H∞ , por ejemplo, eval´a el desempe˜o nominal en t´rminos de las energ´ de las se˜ales de perturbaci´n y de
u n e ıas n o
salida controlada. Es as´ que:
ı
Definici´n I.2 ([San89]) Sea γ un escalar mayor que cero, dado. El desempe˜o nominal del sistema de la figura
o n
(I.2) se eval´a como la capacidad del controlador c(s) de acotar la energ´ de la se˜al de salida del sistema a
u ıa n
lazo cerrado ( y(t) 2 < γ) para toda posible perturbaci´n con energ´ acotada d(t) 2 < β.
o ıa
La condici´n de existencia de un controlador que satisface la especificaci´n de desempe˜o nominal viene dada
o o n
por el siguiente teorema. Sin p´rdida de generalidad supondremos que γ y β son iguales a uno.
e
Teorema I.5 ([DD95]) El sistema de control de la figura (I.2) satisface la condici´n de desempe˜o nominal si
o n
y s´lo si
o
S(s) ∞ ≤ 1.
Demostraci´n: Surge de manera inmediata del hecho que la norma infinita es la norma inducida de la norma
o
2 (ver teorema (I.4)) y entonces
y(t) 2 = S(s) ∞ d(t) 2 .
En este punto se imponen algunas observaciones.
Observaci´n I.7 Resultar´ un problema “mal condicionado” en la mayor´ de los casos si dejamos el problema
o ıa ıa
de desempe˜o nominal tal y como fue formulado, esto es:
n
1
S(s) ∞ = ≤1 ∀ω
1 + p(s)c(s)
ya que en general el producto p(s)c(s) es estrictamente propio para sistemas f´
ısicos reales, i.e.,
l´ p(s)c(s) = 0
ım
s→∞
23](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-31-320.jpg)
![y entonces a muy altas frecuencias el problema de encontrar un controlador c(s) que haga el trabajo en toda la
gama de frecuencias puede resultar imposible. Por otra parte, en general s´lo interesa satisfacer el criterio de
o
desempe˜o en la gama de frecuencias asociadas al ancho de banda del sistema p(s) —siendo ´stas las se˜ales que
n e n
verdaderamente lo afectan— dejando “libre” al resto.
Adicionalmente, aunque s´lo hemos supuesto conocida la energ´ m´xima de las entradas (perturbaci´n o
o ıa a o
referencia) es posible que adem´s exista alg´n tipo de conocimiento del ancho de banda de ellas y que pudiera
a u
reflejarse como una funci´n de peso o filtro en la entrada de esas se˜ales.
o n
Esquem´ticamente, ambos pesos se pueden representar como lo ilustra la figura (I.17), lo que se traduce en el
a
nuevo criterio de desempe˜o nominal:
n
W1 (s)S(s)W2 (s) ∞ ≤1 o W (s)S(s) ∞ ≤ 1;
en W (s) se recogen lo que denominaremos las bandas de insensibilidad del dise˜o. Una buena selecci´n de los
n o
pesos puede resultar en un compensador m´s “suave” con ganancias m´s peque˜as.
a a n
d(t)
W1 (s)
r(t) u(t) y(t) y (s)
ˆ
+ c(s) p(s) + W2 (s)
(-)
Figura I.17.: Sistema con pesos (filtros) en entradas y salidas.
Observaci´n I.8 El criterio de desempe˜o nominal desarrollado no es gen´rico y est´ asociado con las se˜ales
o n e a n
de entrada y salida seleccionadas. Si hubi´semos escogido otras entradas y/o salidas, hubi´ramos obtenido la
e e
cota superior de la norma infinita de otra funci´n de transferencia. Esto ultimo s´ es un hecho general, es decir,
o ´ ı
al igual que la estabilidad robusta de un sistema, el desempe˜o nominal se eval´a —o analiza— calculando la
n u
norma infinita de alguna funci´n de transferencia asociada al lazo, siempre que los par´metros de medici´n
o a o
sean las energ´ de la se˜al de perturbaci´n y la se˜al de salida. Si los par´metros fuesen otros —diferentes de
ıas n o n a
energ´ıa— otra ser´ la norma (v´ase por ejemplo [SGC97]).
ıa e
Observaci´n I.9 En el caso de estabilidad robusta, si no se satisface el criterio (I.30) entonces existe un sub-
o
conjunto de modelos del sistema que no podr´n ser estabilizados por el compensador propuesto, i.e. el lazo cerrado
a
ser´ inestable para algunos modelos. En el caso del desempe˜o nominal, si no se satisface
a n
W (s)S(s) ∞ ≤γ
para un γ dado, s´lo implica que el criterio es muy restrictivo y no puede alcanzar ese nivel de desempe˜o. No
o n
obstante y asumiendo que el lazo puede estabilizarse, siempre existir´ alg´n γ s > γ a partir del cual s´ podr´ ob-
a u ı a
tenerse un controlador.
Ejemplo an´lisis de desempe˜ o
a n
Consideremos el sistema:
5e−3s
Gn (s) = .
10s + 1
Utilizando el criterio de sintonizaci´n de Ziegler y Nichols [Kuo95] se obtiene un controlador PI con K c = 0,6 y
o
Ti = 10. Se desea evaluar la atenuaci´n que presenta este controlador a perturbaciones d(t) que entran al sistema
o
tal como se muestra en la figura (I.18).
24](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-32-320.jpg)
![d(t)
r(t) y(t)
1
+ Kc (1 + Ti s ) + Gn (s)
(-)
Figura I.18.: Evaluaci´n de entonaci´n cl´sica.
o o a
La funci´n de transferencia entre d y y resulta:
o
Gn (s)
Tdy (s) =
1 + GP I (s)Gn (s)
donde
1
GP I (s) = Kc (1 + ).
Ti s
Aproximando el retardo por un Pade de primer orden ([Kuo95]) y dibujando el bode del sistema simplificado,
se obtiene la gr´fica de la figura (I.19), de donde es f´cil determinar que:
a a
2.5
|T (jω)|=|G (jω)|/|1+G (jω)PI(jω)|
dy n n
2
dy
1.5
Magnitud de T
1
0.5
0
−2 −1 0 1
10 10 10 10
Frecuencia (rad/sec)
Figura I.19.: Atenuaci´n con un PI.
o
Tdy (s) ∞ = 2,4657
Aunque en el caso de desempe˜o nominal no puede generalizarse sobre un resultado en particular, a simple
n
vista pareciera que el controlador propuesto no presentar´ un buen rechazo a perturbaciones para frecuencias
a
entre 0,1 y 1.
Un programa de Matlab para el c´lculo de esta norma infinito del sistema aproximado se muestra a continuaci´n:
a o
K=5;T=10;Td=3;
25](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-33-320.jpg)
![nn=K;dn=[T 1];
[nr,dr]=pade(Td,1);
ns=conv(nn,nr);ds=conv(dn,dr);
Kc=0.9*T/Td/K;Ti=Td/.3;
nc=Kc*[Ti 1];dc=[Ti 0];
[n,d]=feedback(ns,ds,nc,dc,-1);
[mag,pha,w]=bode(n,d);
Amplifica=max(mag)
semilogx(w,mag)
El paradigma de control robusto
En el caso de estabilidad robusta con incertidumbre multiplicativa a la salida del sistema a controlar, ubicaci´n
o
que no tiene ninguna importancia en sistemas SISO pero s´ la tiene en los MIMO, podemos representar al sistema
ı
como en la figura (I.11), con |δ(s)| < 1 y W (s) el modelo de la cota superior de la incertidumbre.
Para fines de an´lisis, sabemos que hay estabilidad robusta si y s´lo si
a o
W (jω)p(jω)c(jω)
W (s)T (s) ∞ = ≤1 ∀ω
1 + p(jω)c(jω)
lo que es equivalente a analizar el desempe˜o nominal entre d(t) y z(t) del sistema de la figura (I.14) y, entonces,
n
el problema de la estabilidad robusta (I.11) o el de desempe˜o nominal (I.17) pueden representarse esquem´ti-
n a
camente, como en la figura (I.20) donde p(s) es el sistema (multivariable) generalizado, e(t) es la salida medible
˜
d(t) z(t)
u(t) ˜
p(s) e(t)
c(s)
Figura I.20.: Paradigma de dise˜o de control robusto.
n
del sistema, y se desea determinar un compensador c(s) tal que:
Tdz (s) ∞ ≤1
siendo Tdz (s) la funci´n de transferencia entre d(t) (la perturbaci´n) y z(t). Observe que hemos preferido, como
o o
es usual en control robusto, usar la se˜al e(t) como salida medible, en lugar de y(t), por ser la primera la que
n
est´ directamente actuando sobre el controlador.
a
El esquema que se muestra en la figura (I.20) representa el paradigma cl´sico de dise˜o de control robusto,
a n
siendo adem´s el m´s usado.
a a
Si se dispone (o se ha calculado) un controlador y lo que se desea es analizar su desempe˜o, entonces el
n
paradigma pasa a ser el de la figura (I.21), donde, de nuevo, p(s) es la planta generalizada y |δ(s)| < 1 representa
˜
la incertidumbre. Es f´cil transformar el esquema de las figuras (I.11) y (I.14) a aquellos de las figuras (I.20) y
a
(I.21).
26](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-34-320.jpg)
![r(t) e(t)
d(t) ˜
p(s) z(t)
δ(s)
Figura I.21.: Paradigma de an´lisis de control robusto.
a
Sistemas con m´ ltiples entradas y m´ ltiples salidas
u u
Para el caso de los sistemas multivariables, nos serviremos del paradigma de control representado en (I.21).
Las relaciones entre la salida y la entrada del sistema son dadas por:
z(s) G11 (s) G12 (s) r(s)
= (I.34)
e(s) G21 (s) G22 (s) d(s)
˜
P
˜
siendo P la planta generalizada.
Para el caso multivariable, las salidas y/o las entradas pueden o no ser vectores. As´ por ejemplo, para el
ı,
sistema de la figura (I.22), si definimos a la dupla (r(t) y d(t)) como las entradas y a (z(t) y e(t)) como las
salidas, tendremos que:
z(s) T −T W1 r(s)
= (I.35)
e(s) W2 S −W2 SW1 d(s)
donde
S(s) = [I + p(s)c(s)]−1
T (s) = p(s)c(s)[I + p(s)c(s)]−1
con las correspondientes equivalencias en las ecuaciones (I.34) y (I.35).
e(t) z(t) d(t)
W2 (s) W1 (s)
r(t) u(t) y(t)
+ c(s) p(s) +
(-)
Figura I.22.: Sistema multivariables.
Desempe˜o nominal
n
Revisemos ahora los conceptos de estabilidad robusta y desempe˜o nominal a la luz del paradigma de control
n
y para sistemas multivariables, y para ello consideremos al sistema de la figura (I.21). En ese caso el desempe˜o
n
27](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-35-320.jpg)
![nominal est´ determinado por un controlador c(s) que asegura que:
a
e 2 <1 ∀r(t) : r 2 ≤1
cuando δ = 0.
Teorema I.6 ([San89]) La condici´n necesaria y suficiente para desempe˜o nominal es:
o n
G21 (s) ∞ <1
Demostraci´n: Cuando la incertidumbre es nula (δ = 0) tenemos que:
o
2 2
e 2 = G21 (s)r(s) 2 (I.36)
∞
= rH (jω)GH (jω)G21 (jω)r(jω)dω
21 (I.37)
−∞
∞
≤ σ 2 (G21 (jω ∗ ))
¯ rH (jω)r(jω)dω (I.38)
−∞
= σ 2 (G21 (jω ∗ ))
¯ (I.39)
con r H (jω) = r T (−jω) y σ (G21 (jω)) ocurre en w = w ∗ .
¯
Finalmente, la cota superior es alcanzada exactamente si escogemos, por ejemplo r(t) = e −εt cos w∗ t con ε > 0
para que r(t) ∈ L2 .
Estabilidad robusta
Para verificar la condici´n de estabilidad robusta, supondremos que el sistema es estable internamente y que
o
σ (δ) ≤ 1
¯ (I.40)
la condici´n de estabilidad robusta multivariable viene dada por:
o
Teorema I.7 ([San89]) El sistema de la figura (I.21) es estable para toda perturbaci´n δ que satisface (I.40) si
o
y s´lo si
o
G12 ∞ < 1.
Demostraci´n: La funci´n de transferencia entre r e y es (operando en (I.34)):
o o
Tre = G22 (I − G12 δ)−1 G11 + G21
y entonces, para un δ dado, la estabilidad del sistema es determinada por:
(I − G12 δ)−1
ya que, por hip´tesis, el sistema (I.34) es internamente estable.
o
Ahora bien, la estabilidad de (I − G12 δ)−1 es equivalente a:
det(I − G12 δ)) = 0 ∀s ∈ C+ . (I.41)
Supongamos que σ (G12 ) < 1. Recordando algunas propiedades de los valores singulares de una matriz, sabemos
¯
que:
σ(I − G12 δ) ≥ 1 − σ (G12 δ) > 1 − σ (G12 ),
¯ ¯
28](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-36-320.jpg)
![luego si
σ (G12 ) < 1
¯ ∀s ∈ C+
entonces
det(I − G12 δ) = 0 ∀s ∈ C+ .
Supongamos ahora que σ (G12 ) ≥ 1 para alguna s∗ y hagamos una descomposici´n en valores singulares
¯ o
G12 = U ΣV ∗ ,
1
tomemos δ = αV U ∗ y α = σ (G12 ) ,
¯ entonces
det(I − G12 (s∗ )δ = det[V (I − αΣ)U ∗ ] = 0
para el primer autovalor (recordando que los valores singulares est´n ordenados en Σ).
a
Finalmente, por el teorema del m´ximo m´dulo
a o
sup σ (G12 (s)) = sup σ (G(jω)) = G12
¯ ¯ ∞.
s∈C+ ω
Los sistemas multivariables, al igual que los SISO, pueden ser evaluados en su desempe˜o y estabilidad en el
n
marco de la norma infinita. Otras medidas de desempe˜o pueden igualmente imponerse al sistema. Algunas como
n
la norma 2 permiten evaluar el impacto de condiciones iniciales, al reflejar esas condiciones en el sistema como
una funci´n impulso δ(t) de magnitud adecuada [PH96]. Tambi´n la misma norma permite evaluar el efecto del
o e
ruido blanco, tambi´n cuantificable como una funci´n impulso con varianza conocida [San89].
e o
Las medidas de rechazo de perturbaciones presentadas, en modo alguno, no agotan las formas de evaluaci´n del
o
desempe˜o. Cl´sicamente, el desempe˜o se eval´a en t´rminos de los tiempos de establecimiento, de crecimiento,
n a n u e
m´ximo sobrepico, comportamientos sobre o subamortiguados, etc. [Kuo95], estando estas cualidades del sistema
a
´
ıntimamente relacionadas con la ubicaci´n de los polos del sistema de lazo cerrado.
o
La ubicaci´n de polos en regiones convexas ha recibido tambi´n la atenci´n de un n´mero de investigadores
o e o u
[GJ81] [ChG96] y ese problema tambi´n puede formularse como uno de desigualdades matriciales lineales (LMIs)
e
en la matriz de Lyapunov P , siempre que la regi´n pueda describirse como una regi´n LMI y que formalmente
o o
definimos de la forma:
Definici´n I.3 ([ChG96]) Una regi´n LMI es cualquier regi´n convexa R que pueda describirse de la forma:
o o o
R = {z ∈ C : L + zM + z M T < 0}
¯
donde L = LT y M son matrices constantes reales de las mismas dimensiones.
Ejemplos importantes de tales regiones LMI son:
1. Semiplano a la izquierda de x0 (figura (I.23)).
R = {z ∈ C : z + z + 2x0 < 0}.
¯
Cuando x0 = 0 da el semiplano izquierdo abierto.
2. Semiplano a la derecha de x0 (figura (I.24))
R = {z ∈ C : z + z + 2x0 > 0}.
¯
3. Cono con v´rtice en 0 (figura (I.25)).
e
sin θ(z + z )
¯ cos θ(z − z )
¯
R= z∈C: <0 .
cos θ(¯ − z)
z sin θ(z + z )
¯
29](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-37-320.jpg)
![Im(s)
Re(s)
xo
Figura I.23.: Semiplano a la izquierda.
Im(s)
Re(s)
xo
Figura I.24.: Semiplano a la derecha.
4. Regi´n circular centrada en −α y de radio r (figura (I.26)).
o
−r z+α
¯
R= z∈C: <0
z+α −r
El siguiente teorema establece la relaci´n entre la ubicaci´n de polos —autovalores de una matriz A— en una
o o
regi´n LMI y esa regi´n.
o o
Teorema I.8 Una matriz A tiene todos sus autovalores en una regi´n LMI de la forma:
o
R = {z ∈ C : L + zM + z M T < 0}
¯
si y s´lo si existe una matriz X > 0 tal que:
o
L ⊗ X + M ⊗ (AX) + M T ⊗ (AX)T < 0. (I.42)
La expresi´n (I.42) tambi´n puede escribirse de la forma
o e
(lkl X + Mkl AX + Mlk XAT )1≤k,l≤m
donde lkl (Mkl ) es el elemento kl de la matriz L (M ) y 1 ≤ k, l ≤ m indica los valores de k y l entre 1 y m.
La demostraci´n puede encontrarse en [ChG96] y no ser´ repetida aqu´
o a ı.
30](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-38-320.jpg)
![Im(s)
θ Re(s)
Figura I.25.: Cono centrado en cero.
Im(s)
r
Re(s)
-α
Figura I.26.: Circunferencia.
Como se ha visto, una cantidad de problemas cl´sicos y modernos pueden ser formulados en el marco com´n
a u
de las desigualdades matriciales. Hasta ahora hemos mencionado la estabilidad robusta, el desempe˜o nominal
n
y la ubicaci´n de polos en regiones. Todo esto tanto para sistemas SISO como MIMO, estos ultimos a trav´s de
o ´ e
los valores singulares.
La lista antes mencionada no es en modo alguno agotadora, y otros problemas tambi´n pueden o bien formularse
e
bajo el mismo marco o encontrar cotas superiores —l´ ımites seguros o conservadores— a esos problemas con las
mismas herramientas aportadas por las desigualdades matriciales. Mencionamos por ejemplo 1 , pasividad, etc.
V´ase [SGC97] para un recuento de otras formulaciones.
e
En este trabajo nos limitaremos a los tres primeros —H∞ , H2 y ubicaci´n de polos en regiones— m´s por una
o a
cuesti´n de no ser repetitivos. La extensi´n a esos otros problemas es, relativamente, sin dificultad.
o o
Resumen del cap´
ıtulo
En este cap´ ıtulo hemos presentado las definiciones, los t´rminos y resultados fundamentales de la teor´ de
e ıa
control robusto, de modo de sentar una base com´n e ilustrar la presentaci´n de los resultados que presentaremos
u o
en cap´
ıtulos subsiguientes. De igual forma hemos introducido las desigualdades matriciales lineales, la herramienta
que nos permitir´ desarrollar el marco com´n de las condiciones de s´
a u ıntesis de controladores multiobjetivo, nuestra
meta propuesta.
B´sicamente, hemos presentado condiciones de an´lisis de la estabilidad y desempe˜o bajo un n´mero de
a a n u
condiciones.
31](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-39-320.jpg)
![Esta breve revisi´n no pretende ser agotadora, f´
o ısicamente ser´ imposible incluirlos todos dada la enorme
ıa
cantidad de resultados que aparecen diariamente, pero s´ pretende ser lo suficiente como para sentar las bases
ı
del estudio de la formulaci´n multiobjetivo.
o
Finalmente, en este cap´ıtulo se ha fijado precisamente el alcance del trabajo, incluyendo otros paradigmas de la
teor´ de control robusto como los de factorizaci´n coprima [McF90] y L1 , 1 [DD95]. Todos ellos los revisaremos
ıa o
con m´s detalle en los cap´
a ıtulo siguientes. Enfoques no lineales quedan fuera del alcance de este trabajo.
32](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-40-320.jpg)
![CAP´
ITULO II
An´lisis y s´
a ıntesis de controladores para sistemas con saturaciones
II.1. Introducci´n
o
Frecuentemente, los sistemas a controlar con los que nos encontramos en la pr´ctica presentan alg´n tipo
a u
de restricciones sobre su comportamiento que lo limitan severamente. El caso m´s frecuente es la presencia
a
de saturaciones sobre la se˜al de control (pues los actuadores tienen un rango estrecho de actuaci´n), pero
n o
tambi´n pueden aparecer limitaciones sobre su velocidad o aceleraci´n m´ximas, efecto de las inercias de los
e o a
actuadores, as´ como limitaciones en variables secundarias. Para resolver estas dificultades en la etapa de dise˜o
ı n
del controlador se han propuesto varias soluciones, como los m´todos basados en la resoluci´n de problemas de
e o
programaci´n lineal, que tratan de optimizar la norma 1 , en vez de las normas H∞ o H2 que hemos presentado
o
en el cap´
ıtulo anterior [DD95].
En esta secci´n comprobaremos c´mo, utilizando una descripci´n adecuada del conjunto de se˜ales de entrada
o o o n
esperables, se puede, de forma natural, considerar problemas de control ´ptimo y control robusto, con el objetivo
o
ultimo de calcular controladores para m´ltiples tipos de restricciones (saturaciones, limitaciones en velocidad,
´ u
sobrepico, etc.) Como tal, esta soluci´n est´ basada en la evitaci´n de restricciones (“Constraint Avoidance”
o a o
[HTK01]): evitando las limitaciones, el sistema en lazo cerrado permanece en la regi´n de comportamiento lineal.
o
Aunque la soluci´n puede plantearse en el campo continuo utilizando la norma L 1 [DD87], los m´todos de
o e
dise˜o que resultan en el caso continuo no son adecuados para casos pr´cticos, pues es f´cil comprobar c´mo la
n a a o
soluci´n ´ptima de control ser´ una combinaci´n de impulsos. Por ello, en el resto del cap´
o o a o ıtulo trabajaremos con
sistemas discretos, en los que se utiliza la norma 1 y se dan soluciones que pueden aplicarse en sistemas reales.
Desde el punto de vista te´rico, una de las razones por las que se ha desarrollado una teor´ de control robusto
o ıa
basado en la norma 1 viene dada por el hecho de que en muchas aplicaciones pr´cticas tanto las perturbaciones
a
como el ruido de medida act´an de forma continua sobre el sistema, por lo que no es adecuado describirlas como
u
se˜ales acotadas en energ´ como se hace con los m´todos basados en la norma H ∞ . Por fortuna, normalmente
n ıa, e
se conoce la m´xima amplitud esperable de estas se˜ales, por lo que es posible describirlas como se˜ales acotadas
a n n
en magnitud: d ∞ , donde la norma es la denominada normal ∞ o norma pico-a-pico, que corresponde a la
m´xima amplitud de la se˜al: d ∞ = m´x(|u[i]|).
a n a](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-41-320.jpg)
![Otra raz´n m´s para desarrollar esta teor´ en vez de proseguir con la teor´ m´s popular de H ∞ , es el
o a ıa, ıa a
conocimiento que normalmente se tiene de las consignas que se aplican a cada sistema, que generalmente consisten
en una serie de saltos o rampas cuya magnitud o pendiente puede acotarse f´cilmente. Por ejemplo, si la entrada
a
es un salto siempre tiene una magnitud m´xima esperable: r ∞ ≤ rmax ; o si la consigna es una rampa, su
a
pendiente puede acotarse:
1 − z −1 r ∞ ≤ smax
donde z −1 es la funci´n retardo unitario: z −1 {u[i]} = {u[i − 1]}.
o
Para concluir con las ventajas de esta t´cnica, debemos mencionar su facilidad de c´lculo. As´ para un sistema
e a ı,
SISO, la norma 1 viene dada por la suma en valor absoluto de los t´rminos de la respuesta impulsional:
e
∞
Φ 1 = |Φ[i]|.
i=1
Si la norma es finita (esto es, el sistema estrictamente estable), basta con calcular la suma para un ´
ındice
suficientemente grande, para obtener una aproximaci´n con la precisi´n deseada.
o o
Antes de presentar el m´todo en detalle debemos puntualizar que, si las limitaciones sobre las se˜ales no fuesen
e n
sim´tricas en la mayor parte de los casos, basta con redefinir el punto de trabajo para que sean sim´tricas y
e e
la utilizaci´n de la norma sim´trica usual ( u ∞ ≤ umax ) no introduzca conservadurismo. Por ejemplo, si la
o e
´
unica limitaci´n es una saturaci´n no sim´trica sobre las se˜ales de control, basta redefinir el punto de trabajo
o o e n
en el punto medio de las restricciones: (xmean = xmax − xmin ; x(k) ∞ = m´xt (|x(k)|) = xmax +xmin ). Si esta
a 2
redefinici´n del punto de trabajo no resultase adecuada (por ejemplo, por cambiar las restricciones con el tiempo,
o
por haber m´ltiples restricciones o por modificarse el comportamiento nominal con el punto de trabajo), es posible
u
reformular todo el desarrollo presentado en esta secci´n para el caso no-sim´trico. Sin embargo, la notaci´n y la
o e o
soluci´n pasan a ser m´s engorrosas [NBT03].
o a
Esta teor´ fue planteada por primera vez por Vidyasagar [VI86], siendo resuelto el problema en un caso
ıa
bastante general por [DD88], que demostr´ c´mo pod´ convertirse dicho problema en uno de programaci´n
o o ıa o
lineal, f´cilmente resoluble. Comparado con otras t´cnicas propuestas de control con restricciones, hay resultados
a e
publicados sobre aplicaciones a sistemas reales (v´ase por ejemplo: [MK00], [TG02], [THV88]).
e
II.2. Especificaciones de funcionamiento
En la siguiente secci´n examinaremos tambi´n c´mo ciertas especificaciones de dise˜o pueden ponerse f´cil-
o e o n a
mente como l´ ımites sobre la amplitud m´xima de determinadas se˜ales, por lo que ser´ natural el describirlas
a n a
utilizando la norma pico-a-pico.
Saturaci´n
o
Supongamos que se desea comprobar si un determinado controlador K(z) satura el actuador del sistema de
control en la figura II.1. Como es bien sabido, este efecto se presenta frecuentemente en la pr´ctica: las v´lvulas
a a
tienen unos valores m´ximos y m´
a ınimos de apertura, los amplificadores electr´nicos se saturan, los alerones tienen
o
un ´ngulo m´ximo y una velocidad m´xima de giro, etc. Si la se˜al de control se satura pueden generarse ciclos
a a a n
l´
ımites o inestabilidades.
Vamos a ver c´mo tratar este problema dentro de una formulaci´n 1 . Supongamos que la saturaci´n del
o o o
controlador puede describirse matem´ticamente como:
a
−umax si u [i] < −umax
u[i] = u [i] si |u [i]| < −umax
umax si u [i] > umax .
34](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-42-320.jpg)
![Limitaci´n en la se˜al de
o n
control
r(z) e(z) u (z) u(z) y(z)
+ K(z) G(z)
(−)
Figura II.1.: Sistema de control con saturaci´n en la se˜al de control.
o n
Matem´ticamente se tratar´ de comprobar si la amplitud m´xima de la se˜al de control u[i] es menor que
a ıa a n
el valor de saturaci´n umax . Expres´ndolo en funci´n de normas, ser´ equivalente a comprobar que la norma
o a o ıa
pico-a-pico de la se˜al de control sea menor que el valor de saturaci´n, para el conjunto de consignas esperables:
n o
m´x
a u ∞ ≤ umax .
r posibles
Si la variaci´n m´xima de las referencias es rmax , por definici´n de la norma
o a o 1 esta comprobaci´n puede
o
expresarse como:
Tru 1 rmax ≤ umax .
Donde Tru denota la funci´n de transferencia de r a u , que en el caso del sistema realimentado de la figura II.1
o
es simplemente K(1 + KG)−1 , o sea, el sistema no se satura siempre que
umax
K(1 + KG)−1 1
≤ .
rmax
Resulta entonces que, dados una planta y un controlador, puede comprobarse de forma sencilla si el actuador
pudiera saturarse para un conjunto de consignas esperables. Para ello basta calcular la norma 1 de la funci´no
de transferencia K(1 + KG)−1 . Si esta norma es menor que el valor de saturaci´n no se alcanzar´ la saturaci´n.
o ıa o
Limitaciones de velocidad y aceleraci´n en actuadores
o
Adem´s de saturaci´n, muchos actuadores reales presentan adem´s (por razones f´
a o a ısicas o de seguridad) limita-
ciones en la velocidad y/o aceleraci´n m´xima que pueden alcanzar. En muchos casos resulta, entonces, necesario
o a
limitar el esfuerzo de control, entendiendo ´ste como la variaci´n de la se˜al de control. Estas limitaciones pueden
e o n
expresarse tambi´n en relaci´n con la norma 1 de determinadas funciones de transferencia:
e o
Limitaciones de velocidad
Si la variaci´n m´xima permitida de la se˜al de control recibida por el actuador es V max , en cada per´
o a n ıodo de
muestreo, el sistema no sobrepasar´ este l´
a ımite en la variaci´n de la se˜al de control si se cumple que:
o n
m´x
a u[i] − u[i − 1] ≤ Vmax .
r posibles
O lo que es lo mismo:
m´x
a (1 − z −1 )u ∞
≤ Vmax ,
r posibles
que puede convertirse a una condici´n sobre la norma
o 1 de la funci´n de transferencia de r a u = u[i] − u[i − 1]
o
(Tru = (1 − z −1 )K(1 + KG)−1 ) :
(1 − z −1 )K(1 + KG)−1 1
≤ Vmax .
35](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-43-320.jpg)
![Limitaciones de aceleraci´n
o
De forma an´loga al caso de la velocidad, si la variaci´n m´xima permitida de la variaci´n de la se˜al de control
a o a o n
recibida por el actuador es Amax en cada per´ ıodo de muestreo, no se superar´ este l´
a ımite siempre que:
m´x
a u[i] − 2u[i − 1] + u[i − 2] ≤ Amax .
r posibles
O lo que es lo mismo:
m´x
a (1 − z −1 )2 u ∞
≤ Amax ,
r posibles
que puede convertirse a una condici´n sobre la norma
o 1 de Tru = (1 − z −1 )2 K(1 + KG)−1 (funci´n de transfe-
o
rencia de r a u = u[i] − 2u[i − 1] + u[i − 2]):
(1 − z −1 )2 K(1 + KG)−1 1
≤ Amax .
Puede aplicarse un argumento similar a cualquier otra limitaci´n en la se˜al de control, que en general se
o n
expresar´ como:
a
H(z −1 )K(1 + KG)−1 1 ≤ Amax .
Rechazo de perturbaciones
Si en vez de un problema de seguimiento de una consigna variable, lo que tratamos de resolver es un problema
de regulaci´n en presencia de perturbaciones, puede plantearse matem´ticamente c´mo calcular la desviaci´n
o a o o
m´xima de la salida regulada para cualquier perturbaci´n posible (que supondremos acotada en magnitud).
a o
Si el sistema de control corresponde al de la figura II.2, el error de seguimiento m´ximo (e max ) ser´ el m´ximo
a a a
valor del error e[i] para el conjunto de perturbaciones posibles n[i]. Siguiendo el mismo razonamiento, puede
expresarse matem´ticamente este problema como calcular γ que cumple:
a
emax = m´x u
a ∞
que por definici´n de la norma
o 1 ser´
a
emax = Tne 1 n ∞ = Wd K(1 + KG)−1 1
nmax .
Es decir, el error de seguimiento m´ximo viene dado por el producto del tama˜o de la perturbaci´n m´xima, por
a n o a
la norma 1 de Wd K(1 + KG)−1 .
n(z)
Wd (z)
Limitaci´n en la
o
se˜al de control
n
y(z)
e(z) u (z) u(z)
K(z) G(z) +
(−)
Figura II.2.: Sistema de control con perturbaci´n a la salida y saturaci´n en la se˜al de control.
o o n
36](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-44-320.jpg)
![estos problemas de optimizaci´n, para dise˜adores no familiarizados con parametrizaciones de Youla. Sin embargo,
o n
debemos hacer constar que, al tener generalmente las respuestas impulsionales ´ptimas un n´mero infinito de
o u
t´rminos, nunca obtendremos el regulador ´ptimo, s´lo una aproximaci´n a ´l (por otra parte suficiente en la
e o o o e
mayor parte de los casos pr´cticos).
a
Conversi´n a un problema de programaci´n lineal
o o
Por simplicidad, comenzamos la presentaci´n para el caso de optimizaci´n de una unica funci´n de transfe-
o o ´ o
rencia SISO. La idea principal del m´todo se basa en trabajar directamente con los coeficientes de la respuesta
e
impulsional de la funci´n de transferencia a minimizar Φ = {Φ[i]}. Efectivamente, hemos visto c´mo los pro-
o o
blemas con restricciones se pueden expresar en funci´n de la suma (en valor absoluto) de los coeficientes de la
o
respuesta impulsional (que no es otra cosa que la norma 1 ).
El problema de optimizaci´n puede expresarse entonces como:
o
∞
m´
ın Φ 1 = m´
ın |Φ[i]|
K estabilizantes K estabilizantes
i=1
donde Φ[i] son los coeficientes de la respuesta impulsional que tratamos de optimizar, con la restricci´n adicional
o
de que el controlador K no puede cancelar ning´n cero inestable de la planta G (lo que har´ K inestable, que
u ıa
siempre es indeseable). Tampoco K deber´ cancelar ning´n polo inestable de la planta (pues la cancelaci´n no
ıa u o
ser´ efectiva en cuanto la planta sufriera una peque˜a variaci´n, haciendo el sistema en lazo cerrado inestable;
ıa n o
esto es, el sistema no tendr´ estabilidad interna). Esto lo representaremos matem´ticamente como la restricci´n
ıa a o
de que KG debe valer 0 en los ceros inestables de la planta e ∞ en los polos inestables de la planta.
Por ejemplo, en el caso de que quisi´ramos minimizar el error de seguimiento en presencia de perturbaciones,
e
el objetivo ser´ minimizar la sensibilidad S = 1/(1 + KG). Denotando los ceros inestables de la planta G como
ıa
{zk } y los polos inestables como {pk }, las restricciones de interpolaci´n ser´
o ıan:
S(zk ) = 1/(1 + 0) = 1 ∀k
S(pk ) = 1/(1 + ∞) = 0 ∀k.
(z−3)
Por ejemplo, si la planta fuese G = (z−2)(z−0,5) , entonces z1 = 3, p1 = 2 con lo que las restricciones de
interpolaci´n ser´
o ıan:
S(3) = 1
S(2) = 0.
En cambio, si la funci´n a optimizar resultase ser la sensibilidad complementaria T = KG/(1 + KG), las
o
restricciones de interpolaci´n ser´
o ıan:
T (zk ) = 0 ∀k
T (pk ) = 1 ∀k
que para nuestro ejemplo ser´
ıan
T (3) = 0
S(2) = 1.
En general, para asegurar la estabilidad interna del sistema de control a dise˜ar se deber´n cumplir las siguientes
n a
restricciones de interpolaci´n:
o
M (zk ) = αk ∀k
M (pk ) = βk ∀k
39](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-47-320.jpg)
![donde αk y βk corresponden a los valores (constantes) resultantes de sustituir los ceros o polos en la funci´n de
o
transferencia.
Como se ha mencionado antes, si expresamos esta funci´n de transferencia gen´rica Φ en t´rminos de su
o e e
∞
respuesta impulsional Φ = {Φ[i]}, por definici´n de la transformada z de un sistema (Φ(z) = i=0 Φ[i]z −i ) y
o
seg´n la f´rmula de c´lculo de una norma 1 como la suma en valor absoluto de los t´rminos de una respuesta
u o a e
impulsional, la norma ell1 resulta ser:
∞
m´
ın |Φ[i]|.
Φ[i]
i=0
Para tener en cuenta las restricciones de interpolaci´n, basta utilizar el hecho de que el valor de una funci´n
o o
de transferencia Φ en un punto ak , dada su respuesta impulsional {Φ[i]}, es:
∞
Φ[i]
Φ(ak ) = .
i=0
ai
k
Resulta entonces que el problema de optimizaci´n puede expresarse como:
o
∞
m´
ın |Φ[i]|
i=0
sujeto a
∞
Φ[i]
i
= αk ∀k
i=0
zk
∞
Φ[i]
= βk ∀k.
i=0
pi
k
Este problema de minimizaci´n puede transformarse a un problema de programaci´n lineal est´ndar haciendo
o o a
el cambio de variable Φ[i] = Φ[i]+ − Φ[i]− , donde aseguraremos que las nuevas variables sean siempre positivas:
Φ[i]− ≥ 0 y Φ[i]+ ≥ 0 y una de ellas siempre 0 (esto se conseguir´ normalmente pesando de alguna forma el valor
a
de estos nuevos coeficientes).
Resulta entonces el nuevo problema de optimizaci´n:
o
∞
m´
ın Φ[i]+ + Φ[i]−
i=0
sujeto a
∞ ∞
Φ[i]+ Φ[i]−
i
− i
= αk ∀k
i=0
zk i=0
zk
∞ ∞
Φ[i]+ Φ[i]−
i
− = βk ∀k.
i=0
pk i=0
pi
k
En principio ´ste es un problema de programaci´n lineal con infinitas variables, pero normalmente puede
e o
truncarse, suponiendo que la respuesta impulsional es finita. Para ello basta reemplazar el ∞ en la expresi´n o
anterior por un valor finito N (que puede aumentarse hasta obtener buena convergencia). Resulta entonces un
problema de programaci´n lineal de dimensi´n finita, que puede resolverse utilizando software de programaci´n
o o o
lineal (por ejemplo la funci´n lp o linprog en Matlab), como mostraremos posteriormente en el ejemplo detallado
o
del reformador de hidr´geno (II.6).
o
40](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-48-320.jpg)
![Una vez resuelto el problema de optimizaci´n lineal, basta deshacer los cambios de variables realizados para
o
obtener el controlador:
Primero los coeficientes de la respuesta impulsional ´ptima se obtendr´ a partir de la soluci´n ´ptima del
o ıan o o
problema de programaci´n lineal:
o
Φ[i] = Φ[i]+ − Φ[i]−
y el controlador ´ptimo se calcula despejando K de la f´rmula de la funci´n de transferencia caracter´
o o o ıstica
utilizada. As´ si la funci´n a optimizar es la sensibilidad S = 1/(1 + KG), el controlador ser´
ı, o ıa:
1−Φ
K= .
GΦ
Teniendo en cuenta que la funci´n de transferencia en z correspondiente a la respuesta impulsional es Φ[z] =
o
n
0 Φ[i]z
−k
, si la planta expresada como cociente de polinomios en z es G = nG [z] , resulta el controlador ´ptimo:
d
G [z]
o
dG (1 − Φ[i]z −k )
K= .
nG ( Φ[i]z −k )
Para obtener el controlador definitivo basta cancelar ceros y polos (si se ha realizado correctamente siempre
se cancelar´n los que hayamos introducido en las restricciones de interpolaci´n, con lo que desaparecen del
a o
controlador), y realizar la reducci´n de orden correspondiente, si fuese necesario.
o
Problema multibloque
Hemos visto c´mo es posible resolver el problema de dise˜o de controladores en presencia de restricciones, en
o n
el caso de que el objetivo sea minimizar una unica funci´n de transferencia. Sin embargo, en problemas pr´cticos
´ o a
el objetivo puede ser minimizar varias matrices de transferencia de forma simult´nea.
a
Presentaremos la t´cnica multibloque mediante un ejemplo num´rico basado en resolver un problema de sen-
e e
sibilidad mixta, donde el dise˜ador debe considerar situaciones de compromiso entre requerimientos a baja y
n
altas frecuencias, que se pueden transformar como un problema de optimizaci´n en paralelo de dos funciones de
o
transferencia caracter´ısticas, como pueden ser la sensibilidad, la sensibilidad al control o la sensibilidad comple-
mentaria. Por ejemplo, un problema de sensibilidad mixta que trate de minimizar la sensibilidad y la sensibilidad
al control puede expresarse como:
(I + KG)−1
m´ ın .
K K(I + KG)−1 1
Este problema de sensibilidad mixta presenta la ventaja frente a otros en que evita que el controlador cancele
los ceros y polos estables de la planta, como luego comprobaremos en un ejemplo.
Pues bien, la soluci´n se obtiene de forma an´loga al caso de un bloque, definiendo Φ 1 = (I + KG)−1 y
o a
Φ2 = K(I + KG)−1 :
Φ1
m´ın .
Φ2 1
La principal diferencia en este caso es que ser´ necesario a˜adir restricciones de factibilidad que aseguren que
a n
al optimizar se tenga en cuenta que el controlador K es el mismo para las dos funciones de transferencia. En el
ejemplo que estamos desarrollando esto significa que:
Φ1 + GΦ2 = 1.
pues (I + KG)−1 + GK(I + KG)−1 = 1.
41](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-49-320.jpg)
![Al sustituir Φ1 y Φ2 por sus respuestas impulsionales Φ1 [i] = Φ+ [i] − Φ− [i] y Φ2 [i] = Φ+ [i] − Φ− [i], estas
1 1 2 2
restricciones de factibilidad dan lugar a un n´mero infinito de restricciones. En efecto, si la planta expresada
u
como cociente de polinomios en z es G = nG [z] , resulta la siguiente relaci´n:
d
G [z]
o
dG ∗ (Φ+ + Φ− ) + nG ∗ (Φ+ + Φ− ) = dG
1 1 2 2
donde ∗ significa convoluci´n (producto de polinomios en z −1 ). Al desarrollar la convoluci´n se obtiene un con-
o o
junto infinito de restricciones, f´cilmente desarrollable en t´rmino de los coeficientes de numerador y denominador
a e
de la planta.
Ejemplo
En el caso de que nG = n0 z + n1 y dG = z + d1 , con p1 = d1 > 1, z1 = n1 /n0 > 1, en t´rminos de los
e
elementos de las respuestas impulsionales, esta relaci´n se transformar´ en el siguiente conjunto de restricciones
o ıa
de factibilidad:
(Φ+ [0] + Φ− [0]) + n0 (Φ+ [1] + Φ− [1]) = d0
2 2
d1 (Φ+ [0] + Φ1 [0]) + (Φ+ [1] + Φ− [1]) + n1 (Φ2 [0] + Φ− [0]) + n0 (Φ+ [1] + Φ− [1]) = d1
1
−
1 1
+
2 2 2
d1 (Φ+ [1] + Φ− [1]) + (Φ+ [2] + Φ− [2]) + n1 (Φ+ [1] + Φ− [1]) + n0 (Φ+ [2] + Φ− [2]) = 0
1 1 1 1 2 2 2 2
d1 (Φ+ [i] + Φ− [i]) + d1 (Φ+ [i + 1] + Φ− [i + 1]) + n1 (Φ+ [i] + Φ− [i]) + n0 (Φ+ [i + 1] + Φ− [i + 1]) = 0 ∀i > 1
1 1 1 1 2 2 2 2
En cuanto a las condiciones de interpolaci´n, en este caso inicialmente ser´ las siguientes:
o ıan
Φ1 (zk ) = 1 ∀k
Φ1 (pj ) = 0 ∀j
Φ2 (pj ) = 0 ∀j.
Sin embargo, en este caso las restricciones de interpolaci´n (Φ1 (zk ) y Φ2 (pj )) resultan ser redundantes, pues
o
las restricciones de factibilidad crean relaciones entre las restricciones de interpolaci´n. As´ en nuestro ejemplo,
o ı
al tener como restricci´n de factibilidad Φ1 + GΦ2 = 1, si la evaluamos en los ceros de la planta resulta autom´ti-
o a
camente que Φ1 (zk ) = 1, y si la evaluamos en los polos Φ2 (pj ) = 0, con lo que se comprueba que no hace falta
incluir estas restricciones de interpolaci´n, pues ya est´n incluidas autom´ticamente en las de factibilidad.
o a a
Esta redundancia hace que sea siempre recomendable comprobar si es posible eliminar algunas de las restric-
ciones (de hecho en la mayor parte de los problemas multibloque correctamente formulados las restricciones de
interpolaci´n resultan redundantes).
o
En definitiva, el problema de optimizaci´n resultante para este ejemplo, suponiendo que las respuestas impul-
o
sionales son finitas de longitud N , ser´
ıa
N
ın
m´ m´x
a Φ1 [i] + Φ− [i] + Φ+ [i] + Φ− [i]
+
1 2 2
Φ+ [i],Φ− [i],Φ+ [i],Φ− [i]
1 1 2 2 i=0
sujeto a
N N
Φ+ [i]
1 Φ− [i]
1
− = γj
i=0
pi1 i=0
pi1
(Φ [0] + Φ [0]) + n0 (Φ+ [1] + Φ− [1]) = d0
+ −
2 2
d1 (Φ+ [0] + Φ− [0]) + (Φ+ [1] + Φ− [1]) + n1 (Φ+ [0] + Φ− [0]) + n0 (Φ+ [1] + Φ− [1]) = d1
1 1 1 1 2 2 2 2
d1 (Φ1 [i] + Φ− [i]) + d1 (Φ+ [i + 1] + Φ1 [i + 1]) + n1 (Φ+ [i] + Φ− [i]) + n0 (Φ+ [i + 1] + Φ− [i + 1]) = 0 ∀i > 0.
+
1 1
−
2 2 2 2
42](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-50-320.jpg)
![II.6. Control de un reformador de hidr´geno
o
En esta secci´n presentamos el dise˜o de un controlador utilizando las t´cnicas de programaci´n lineal pre-
o n e o
sentadas en el cap´
ıtulo para un sistema industrial, lo que nos permitir´ comprobar las ventajas de utilizar estas
a
t´cnicas para resolver problemas reales.
e
Problema de control del reformador de hidr´geno
o
El problema a resolver es el control de un reformador de hidr´geno en una planta petroqu´
o ımica, cuyo esquema
se muestra en la figura II.5. El objetivo de este sistema es la producci´n de hidr´geno por cat´lisis a partir de
o o a
hidrocarburos a los que se ha eliminado previamente el azufre. Para generar el hidr´geno los hidrocarburos se
o
mezclan con vapor supercalentado justo antes de entrar en los tubos del reformador, donde un catalizador de
ıquel calentado a alta temperatura (sobre 750o C) produce el hidr´geno. La alta temperatura necesaria para
n´ o
acelerar la reacci´n se produce quemando combustible en el reformador [WV00], [AK01].
o
Figura II.5.: Esquema del reformador de hidr´geno.
o
El sistema de control trata de mantener la temperatura deseada del catalizador bas´ndose en modificar la
a
cantidad de combustible que alimenta al reformador. Para ello se dispone de medidas de temperatura del cata-
lizador y del flujo de combustible, y asimismo de una v´lvula controlada por ordenador que regula el flujo de
a
combustible. Al disponer de un unico actuador y dos medidas, la estructura de control se basa en la estructura
´
en cascada que se muestra en la figura II.6.
En el proceso real existen fuertes perturbaciones, tales como variaciones del flujo de combustible, variaciones
de su calidad, variaciones de la temperatura del vapor, etc. La perturbaci´n m´s dif´ de corregir corresponde
o a ıcil
a la temperatura del vapor, que modifica de una forma muy r´pida la temperatura del catalizador. El sistema
a
de control trata de atenuar lo m´s posible esta perturbaci´n actuando sobre la referencia del lazo de control de
a o
flujo de combustible.
En este ejemplo unicamente nos planteamos el dise˜o de un controlador para el lazo exterior que elimine
´ n
de forma adecuada las variaciones de la temperatura del catalizador, actuando sobre la referencia del lazo de
control de combustible. Este ultimo se considera adecuado, por lo que se mantendr´n sus valores y caracter´
´ a ısticas.
43](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-51-320.jpg)
![perturbaci´n
o
r(z) y(z)
control de
+ K(z) + v´lvula
a G(z) +
flujo
(−) (−)
Figura II.6.: Sistema de control en cascada del reformador de hidr´geno.
o
Debemos puntualizar que no se dispone de una medida fiable de la temperatura del vapor de entrada, lo que
hace inadecuado utilizar un compensador feedforward que elimine las perturbaciones; adem´s, la planta es de
a
fase no-m´
ınima. Esta reduci´n de las perturbaciones debe realizarse entonces por realimentaci´n.
o o
Modelo del sistema
Un modelo simplificado del sistema se obtuvo a partir de modelado e identificaci´n del sistema a partir de
o
medidas obtenidas del sistema real [Sh96]. El modelo calculado corresponde a la funci´n de transferencia entre
o
la referencia del flujo de combustible y la temperatura de salida, incluyendo las din´micas impuestas por el lazo
a
interior de control de flujo.
−0,032 [z + 0,2453] [z − 0,623257] [z + 0,999] [z − 15,4484] z 2 + 1,576432z + 3,074984
G= .
z [z + 0,58958] [z − 0,615995] [z + 0,81983] [z − 0,910085] [z 2 + 0,838534z + 0,320120]
Puede comprobarse en este modelo que la planta es estable, pero de fase no m´
ınima, con tres ceros fuera del
c´
ırculo unidad (en z = 15,45, y z = −0,79 + −1,57j).
El modelo de perturbaci´n se obtuvo por identificaci´n, resultando ser:
o o
0,03 [z + 0,1216]2 + 0,6900822 z 2
Wd = .
z 3 [z + 0,58958] [z − 0,615995] [z + 0,81983] [z − 0,910085] [z 2 + 0,838534z + 0,320120]
Sensibilidad mixta
Para resolver problemas pr´cticos basados en minimizaci´n de una norma
a o 1 el problema de sensibilidad mixta:
WS I + KG−1
ın
m´
WM KG I + KG−1 1
fue propuesto y resuelto en [DP87], luego estudiado en m´s detalle en [ST93]. En problemas reales, las principales
a
dificultades de esta soluci´n vienen dadas por la cancelaci´n de ceros y polos estables por el controlador, y el
o o
excesivo esfuerzo de control. Para resolver estos problemas hemos propuesto [TG02] la soluci´n del problema de
o
sensibilidad mixta alternativo:
WS I + GK −1
m´ın .
WM K I + GK −1 1
En efecto, con esta estrategia el controlador no cancela necesariamente los ceros y polos estables del controlador.
Adem´s, desde el punto de vista de la ingenier´ se sabe que es m´s adecuado considerar en la optimizaci´n los
a ıa a o
esfuerzos de control, que pueden reducirse directamente al a˜adir en la optimizaci´n un peso sobre la sensibilidad
n o
al control.
44](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-52-320.jpg)
![Este problema puede resolverse seg´n los m´todos vistos en la secci´n anterior, convirti´ndose a un problema
u e o e
de programaci´n lineal semi-infinita:
o
Φ1
m´
ın
Φ2 1
−1 −1
sujeto a WS Φ1 + GWM Φ2 = 1.
Dise˜ o del problema de optimizaci´n
n o
El objetivo principal del sistema de control a dise˜ar es reducir el efecto de las perturbaciones sobre la salida.
n
En t´rminos de se˜ales el objetivo puede expresarse como la minimizaci´n de la desviaci´n m´xima que alcanza
e n o o a
la salida por efecto de las perturbaciones, que es precisamente Sn ∞ . Si el efecto de la perturbaci´n sobre la
o
salida viene filtrado por la funci´n de transferencia Wd , el problema de dise˜o puede expresarse entonces como
o n
el problema de calcular un controlador que minimice SWd 1 .
Adem´s debemos asegurar que la se˜al de control sea razonable. Para ello incluimos en la minimizaci´n
a n o
el efecto de la perturbaci´n sobre la se˜al de control, que vendr´ determinada por la sensibilidad al control
o n a
M = K I + GK −1 . El controlador se calcula entonces resolviendo el problema de sensibilidad mixta:
WS I + GK −1
m´
ın .
WM K I + GK −1 1
Selecci´n de pesos
o
Observando las componentes en frecuencia del modelo de las perturbaciones se comprueba c´mo, en el sistema
o
objeto de estudio, las perturbaciones siguen siendo importantes hasta frecuencias cercanas a 0,02 rad/s, afectando
directamente a la salida. Con el fin de reducir las perturbaciones hasta una frecuencia cercana a 0,02 rad/s, ser´ ıa
necesario que la frecuencia de corte de la sensibilidad estuviera sobre esta frecuencia. Es decir, la funci´n de peso
o
a utilizar para dise˜ar S deber´ tener un cero cerca de esta frecuencia.
n a
El problema que presenta esta elecci´n es que esta frecuencia resulta ser superior al ancho de banda del sistema
o
en lazo abierto. Resulta entonces que el ancho de banda en lazo cerrado debe ser mayor que en lazo abierto, lo
que unicamente puede conseguirse haciendo la ganancia del controlador grande entre ambas frecuencias [GL95].
´
Significar´ esto que el controlador amplificar´ las frecuencias comprendidas entre las frecuencias de corte en lazo
a a
abierto y en lazo cerrado. Esto debe hacerse con precauci´n para evitar excesivos esfuerzos de control y asegurar
o
la estabilidad del sistema en lazo cerrado.
Se debe alcanzar entonces una soluci´n de compromiso entre la frecuencia de corte de S y la amplificaci´n de
o o
altas frecuencias que presentar´ M . Esta situaci´n es dif´ de conseguir por m´todos cl´sicos, por lo que un
a o ıcil e a
m´todo de dise˜o de controladores robustos mediante optimizaci´n (tal como la optimizaci´n 1 ) es ideal para
e n o o
resolver el problema. En este caso se puede conseguir estos requerimientos mediante la selecci´n adecuada de los
o
pesos sobre las funciones de transferencia a minimizar.
En este ejemplo en particular, los pesos se han elegido tal como se muestran en la figura II.7. La selecci´n
o
concreta se realiz´ de la siguiente manera:
o
Peso sobre la sensibilidad al control WM
:
45](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-53-320.jpg)
![El controlador resultante se redujo de orden hasta un controlador de orden 4, con funci´n de transferencia:
o
[z − 1,03795] [z − 0,88451] [z − 0,65138] [z + 0,20540]
K= .
[z − 1] [z − 0,390547] [z 2 − 0,097448z + 0,280517]
La respuesta en frecuencia del controlador resultante se compara con la del controlador completo en la figura
II.9. En la figura II.10 se comparan las respuestas salto en lazo cerrado. Puede comprobarse c´mo la aproximaci´n
o o
realizada es correcta, afectando s´lo a altas frecuencias y no significativamente a la respuesta salto.
o
Respuesta en frecuencia del controlador
1
10
0
10
control original
−1
10
control reducido
−2
10
−4 −3 −2 −1
10 10 10 10
Frecuencia (rad/s)
Figura II.9.: Respuesta en frecuencia del controlador.
Respuesta salto en lazo cerrado
1.2
1
controlador reducido
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0 10 20 30 40 50 60
Tiempo (muestras)
Figura II.10.: Respuesta salto en lazo cerrado.
Las funciones de transferencia caracter´ısticas del sistema en lazo cerrado se muestran en la figura II.11. Es
posible comprobar c´mo la forma de estas funciones de transferencia es adecuada: el ancho de banda del sistema
o
es ahora de 0,000218 rad/s, lo que significa que se filtrar´n las perturbaciones por debajo de esta frecuencia, como
a
48](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-56-320.jpg)
![est´bamos buscando. Adem´s, la sensibilidad complementaria no presenta sobrepico, por lo que no lo presentar´ la
a a a
respuesta salto del sistema. El sobrepico que presenta la sensibilidad al control se debe a la necesidad de aumentar
el ancho de banda del sistema en lazo cerrado respecto al de lazo abierto, para poder rechazar las perturbaciones.
Funciones de transferencia características
1
10
T=KG/(1+KG) S=1/(1+KG)
0
10
−1
10
M=K/(1+KG)
−2
10
−4 −3 −2 −1
10 10 10 10
Frecuencia (rad/s)
Figura II.11.: Funciones de transferencia caracter´
ısticas.
El c´digo en Matlab que permite calcular este controlador se muestra a continuaci´n:
o o
m=20; %Longitud de la respuesta impulsional
tol=1e-5;
% Definici´n de la planta
o
kg=-0.032
zg=[-0.2453 0.623257 -0.9999 15.4484 -0.788216+1.566429j ...
-0.788216-1.566429j]’;
pg=[-0.58958 0.615995 -0.81983 0.910085 -0.419267+0.379915j ...
-0.419267-0.379915j]’;
% Planta G=ng/dg
[ng,dg]=zp2tf(zg,pg,kg)
% Definici´n de los ceros fuera del c´rculo unidad
o ı
zi=[15.4484 -0.788216+1.566429j]’;
Ts=30; w=logspace(-4,-1,256);
% Peso de S
[nw2,dw2]=c2dm(5*[1/0.01 1],[1/10 1],Ts,’matched’)
% Peso de M
[nw1,dw1]=c2dm(0.5*[1 0.01],[1 1e-6],Ts,’matched’)
% Polinomios auxiliares para evaluar las restricciones de factibilidad
pol1=conv(conv(dw1,nw2),dg); mpol1=length(pol1);
pol2=conv(conv(nw1,dw2),ng); mpol2=length(pol2);
pol3=conv(conv(nw1,nw2),dg); mpol3=length(pol3);
% Restricciones sobre la NORMA
A=[-1 ones(1,m) ones(1,m) zeros(1,m) zeros(1,m)
-1 zeros(1,m) zeros(1,m) ones(1,m) ones(1,m)];
49](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-57-320.jpg)
![b=[0;0];
Aeq=[];beq=[];
% restricciones de FACTIBILIDAD: S+GM=I
Apol1=zeros(m+mpol1-1,m); Apol2=zeros(m+mpol2-1,m);
for i=1:m,
Apol1(i:i+mpol1-1,i)=pol1’;
Apol2(i:i+mpol2-1,i)=pol2’;
end
Aeq= [Aeq
zeros(size(Apol1,1),1) Apol1 -Apol1 Apol2 -Apol2];
beq=[beq
pol3’
zeros(size(Apol1,1)-mpol3,1)];
% funcion de coste a minimizar
f=eye(1,4*m+1);
% RESOLUCION DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL
[phiopt,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,zeros(size(f)),...
Inf*ones(size(f))’,zeros(size(f))); gamma=phiopt(1);
% C´lculo de la Sensibilidad ´ptima S=(phi(+)-phi(-))/W1
a o
phi1=phiopt(2:m+1)’-phiopt(m+2:2*m+1)’;
% Eliminaci´n de coeficientes esp´reos en phi1
o u
while (abs(phi1(length(phi1)))<=tol*max (abs(phi1)))
phi1=phi1(1:length(phi1)-1);
end
nsopt=conv(dw1,phi1);
dsopt=[nw1,zeros(1,length(nsopt)-length(nw1))];
% C´lculo de la Sensibilidad al Control ´ptima M=(phi(+)-phi(-))/W2
a o
phi2=phiopt(2*m+2:3*m+1)’-phiopt(3*m+2:4*m+1)’;
while (abs(phi2(length(phi2)))<=tol* max(abs(phi2)))
phi2=phi2(1:length(phi2)-1);
end
nmopt=conv(dw2,phi2);
dmopt=[nw2,zeros(1,length(nsopt)-length(nw1))];
% Calculo del Controlador a partir de S y el modelo de la planta G
nkopt=conv(dg,(dsopt-nsopt)); dkopt=conv(ng,nsopt);
while (abs(nkopt(1))<=tol* max(abs(nkopt)) & ...
abs(dkopt(1))<=tol*max(abs(nkopt)))
nkopt=nkopt(2:length(nkopt));
dkopt=dkopt(2:length(dkopt));
end
% cancelaci´n de los ceros/polos interpolados (los inestables)
o
[nk,dk]=minreal(nkopt,dkopt,5e-3);
% Reducci´n ad-hoc del orden del controlador:
o
%Controlador ´ptimo es K=nk/dk; Controlador Reducido es K=nkr/dkr
o
[mag,f]=freqz(nk,dk,128); nb=6; na=6; ft=1./(0.01+f);
[nkr,dkr]=invfreqz(mag,f,nb,na,ft);
50](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-58-320.jpg)
![Conclusiones del ejemplo
Como aplicaci´n pr´ctica de estas t´cnicas se ha visto que es posible solucionar el problema de control del
o a e
reformador de hidr´geno objeto de estudio mediante un controlador lineal dise˜ado utilizando el m´todo de
o n e
optimizaci´n 1 . Tal controlador fue dise˜ado solucionando un problema de minimizaci´n mixta. Se ha mostrado
o n o
c´mo pueden escogerse los pesos de las funciones caracter´
o ısticas a minimizar a partir de las especificaciones
de dise˜o. En particular se han tenido en cuenta las limitaciones sobre el tama˜o de la se˜al de control y sus
n n n
variaciones entre per´ıodos de muestreo.
El rendimiento del controlador ha sido comprobado utilizando un modelo no-lineal del sistema de control en
cascada utilizado en la planta real, comprobando c´mo se disminuye la variaci´n en la variable controlada, que
o o
es la temperatura del catalizador. El controlador dise˜ado ha sido comparado con el situado actualmente en la
n
planta, del tipo PID, comprobando que se puede obtener un control m´s preciso de la temperatura del reformador
a
(se disminuyen las variaciones de 4,4 grados hasta 3,1 grados Celsius), con una se˜al de control adecuada. Adem´s
n a
el controlador dise˜ado, al ser de par´metros fijos y de bajo orden, puede integrarse adecuadamente en el sistema
n a
de control.
II.7. M´todo de c´lculo basado en LMIs
e a
El problema de dise˜o 1 no es posible expresarlo directamente como un conjunto de LMIs. Sin embargo, s´ es
n ı
posible expresar un conjunto de LMIs que se aproximen a la soluci´n ´ptima, acotando superior e inferiormente
o o
la soluci´n. Presentamos unicamente las ideas generales; los detalles aparecen en [ED98].
o ´
Pasos preliminares
Utilizando la parametrizaci´n de Youla (ver ap´ndice A), podemos convertir el problema de optimizaci´n
o e o 1
al siguiente problema de equivalencia de modelos en el par´metro de Youla Q:
a
m´ H − U Q
ın 1 .
Q
Para poder plantearlo como un problema LMI, hacemos primero el cambio de variable Φ = H − U Q:
m´ Φ
ın 1
Q
sujeto a:
Φ = H − U Q.
Ahora descomponemos la respuesta impulsional de Φ en dos fragmentos: Φ 1 , que contendr´ los N primeros
a
t´rminos de la respuesta impulsional, y Φ2 , que contendr´ el resto de los t´rminos de la respuesta impulsional:
e a e
Φ1 = {Φ[0], Φ[1], ..., Φ[N − 1], 0, 0, ...} ;
Φ2 = {0, 0, ..., 0, Φ[N ], Φ[N + 1], ...} .
Si tenemos en cuenta que Φ = H − U Q, vamos a ver qu´ parte de las respuestas impulsionales de H, U y Q
e
afectan a Φ1 y Φ2 .
En primer lugar supongamos que las respuestas impulsionales de H y Q son:
H = {h[0], h[1], h[2], ...}
U = {u[0], u[1], u[2], ...}
Q = {q[0], q[1], q[2], ...} .
52](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-60-320.jpg)
![H puede descomponerse directamente en los mismos dos fragmentos que Φ:
H1 = {h[0], h[1], ..., h[N − 1], 0, 0, ...}
H2 = {0, 0, ..., 0, h[N ], h[N + 1], ...}
Q tambi´n puede descomponerse en los mismos fragmentos que Φ:
e
Q1 = {q[0], q[1], ..., q[N − 1], 0, 0, ...}
Q2 = {0, 0, ..., 0, q[N ], q[N + 1], ...}
Para poder multiplicar U y Q debemos convolucionarlas, lo que equivale a premultiplicar el vector de res-
puestas impulsionales de Q por la matriz de Toeplitz, formada por repeticiones desplazadas de la respuesta
impulsional:
u[0] 0 0 ...
u[1] u[0] 0 ...
U = u[2] u[1] u[0] ... (infinitas filas e infinitas columnas).
... ... ... ...
U puede descomponerse en 4 fragmentos, a saber:
u[0] 0 ... 0
u[1] u[0] ... 0
• U11 = (N filas y N columnas)
... ... ... ...
u[N − 1] u[N − 2] ... u[0]
• U12 = 0 (por ser U causal)
u[N ] u[N − 1] ... u[1]
• U21 = u[N + 1] u[N ] ... u[2] (infinitas filas y N columnas)
... ... ... ...
u[0] 0 ...
• U22 = u[1] u[0] ... (infinitas filas e infinitas columnas)
... ... ...
Puede observarse adem´s que U22 = U (que matem´ticamente viene dado por ser U una matriz de Toeplitz).
a a
Resulta entonces que
Φ1 = H1 − U1 Q1
Φ2 = H2 − U12 Q1 − U Q2 .
M´todo aproximado
e
Una vez descompuesto el problema en bloques vamos a plantear un problema de optimizaci´n que pueda
o
resolverse utilizando LMIs y que aproxime al problema 1 .
Por ejemplo, puede plantearse el correspondiente problema de optimizaci´n como la media geom´trica de:
o e
La norma 1 de los N primeros t´rminos de la respuesta impulsional de Φ (que son precisamente los que
e
est´n en Φ1 )
a
la norma H2 de los restantes t´rminos de la respuesta impulsional de Φ (que son los que hemos incluido en
e
Φ2 ).
53](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-61-320.jpg)
![2 2
Es decir, tratamos de calcular un Q que minimice Φ1 1 + Φ2 2 .
Esta funci´n a optimizar se elige porque, para un N fijo, corresponde a una norma que puede minimizarse
o
mediante LMIs, y adem´s, a medida que se aumenta N la soluci´n se aproxima a la del problema original. Para
a o
tener una estimaci´n bastar´ entonces resolver este problema de optimizaci´n modificado, aumentando N hasta
o a o
converger a una soluci´n. Como veremos en la pr´xima secci´n, dependiendo de las restricciones consideradas
o o o
nos aproximaremos al ´ptimo, bien por arriba, bien por abajo.
o
Aproximaci´n inferior por LMIs
o
Una aproximaci´n inferior puede calcularse utilizando Φ2 2 .
o
2 2
m´
ın Φ1 1 + Φ2 2
Q
sujeto a: Φ1 = H1 − U1 Q1 ; Φ2 = H2 − U12 Q1 − U Q2 .
2 2 1
Φ2 2 = H2 − U12 Q1 − U Q2 2 = Trace 1 Q1 T B T Lo B .
Q1
Los par´metros Lo y B se obtienen a partir de la representaci´n de espacios de estados de
a o
H2 − U12 Q1 − U Q2 .
Lo es el Gramiano de observabilidad, que puede calcularse resolviendo una ecuaci´n de Lyapunov (en Matlab
o
se calcula inmediatamente con el comando gram).
Aproximaci´n superior
o
Para obtener una aproximaci´n superior basta imponer una restricci´n adicional al problema utilizado para
o o
la aproximaci´n inferior, que resulte redundante cuando N sea muy grande, y que adem´s no complique el
o a
procedimiento de resoluci´n.
o
Por ejemplo, a medida que N va haci´ndose m´s grande Q2 ir´ tendiendo a 0, por lo que podemos buscar una
e a a
soluci´n imponiendo que Q2 = 0. Es decir:
o
2 2
m´
ın Φ1 1 + Φ2 2
Q
sujeto a:
Φ1 = H1 − U1 Q1 ; Φ2 = H2 − U12 Q1 − U Q2 y Q2 = 0
o lo que es lo mismo:
2 2
m´
ın Φ1 1 + Φ2 2
Q
sujeto a:
Φ1 = H1 − U1 Q1 ; Φ2 = H2 − U12 Q1 .
Al tener una restricci´n adicional este problema de optimizaci´n, su valor ´ptimo ser´ mayor. Adem´s puede
o o o a a
demostrarse [ED98] que, a medida que N va haci´ndose m´s grande, las aproximaciones, superior e inferior,
e a
convergen (de forma d´bil).
e
54](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-62-320.jpg)
![III.2. Estabilidad cuadr´tica
a
Consideremos al sistema
x = A(r)x + B(s)u
˙ (III.1)
n m n×n n×m
donde x ∈ IR es el vector de estados, u ∈ IR es el vector de control, A(r) ∈ IR y B(s) ∈ IR son las
matrices de din´mica y de entrada del sistema, funciones de r ∈ IRnr y s ∈ IRns , los cuales son vectores no
a
conocidos que representan la incertidumbre, que puede o no ser variante en el tiempo.
Nuestro objetivo, en un primer momento, ser´ el de calcular una ley de control que asegure la estabilidad del
a
sistema para toda perturbaci´n factible r ∈ R y s ∈ S.
o
Para tal fin utilizaremos el enfoque cuadr´tico, que pasamos a definir.
a
Definici´n III.1 ([Bar83], [Pet87]) El sistema III.1 es cuadr´ticamente estabilizable si existe una ley de con-
o a
trol, funci´n continua de los estados p(·) : IRn → IRm tal que p(0) = 0, una matriz P sim´trica, definida positiva,
o e
y una constante real α > 0 que verifican, para toda incertidumbre posible:
xT [AT (r)P + P A(r)]x + 2xT P B(s)p(x) ≤ −α x 2
(III.2)
para todo x ∈ IRn = 0 y para todo t.
Observaci´n III.1 Hay que se˜alar que el sistema III.1 es en realidad no un sistema sino una familia de ellos
o n
que bien puede ser infinita.
Observaci´n III.2 Si la condici´n III.2 es satisfecha, toda la familia de sistemas III.1 comparten la funci´n
o o o
—cuadr´tica— de Lyapunov:
a
V (x) = xT P x
al cerrar el lazo. En adelante denominaremos a P como matriz de Lyapunov.
Observaci´n III.3 La condici´n de que toda la familia de sistemas comparta una misma funci´n (matriz)
o o o
de Lyapunov puede hacer que el controlador sea extremadamente conservador. A cambio, ofrece gran poder de
c´lculo del mismo y, como veremos m´s adelante, la misma puede ser reformulada en t´rminos mucho menos
a a e
conservadores.
En relaci´n con el tipo de incertidumbre, ser´ imposible tratar de extraer ning´n resultado para un tipo cualquiera
o ıa u
de ella. Al igual que en el enfoque frecuencial, nos concretaremos al estudio de 2 tipos de ellas, a saber:
1. Incertidumbre acotada en norma
2. Incertidumbre poli´drica.
e
Ambos tipos de conjuntos son convexos y de su representaci´n pueden extraerse soluciones.
o
Incertidumbre acotada en norma
Sea An una matriz constante en IRn×n . D y E matrices constantes y conocidas de dimensiones n × q y q × n
respectivamente. F ∈ IRq×q es una matriz que puede variar en el tiempo y de la que s´lo se conoce que:
o
F T F ≤ I.
58](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-66-320.jpg)
![A
1 A
2 B
3
B
2
B
B
Ar 4
A A3
B
1
B
5
A A Bs
5 4
C5
C
t
C
4
C
1
C
C
3 C
2
Figura III.2.: Incertidumbre poli´drica
e
III.3. Sistemas con incertidumbre acotada en norma
Consideremos el sistema
x
˙ = (An + DF E1 )x + (Bn + DF E2 )u + B1 w
(III.3)
z = C1 x
donde x ∈ IRn es el vector de estados, u ∈ IRm es el vector de control, w ∈ IRnw es la perturbaci´n externa
o
y z ∈ IRnz es el vector de salidas a controlar —salida controlable—. An y Bn son las matrices (constantes y
conocidas) de din´mica y entrada del sistema, D, E1 y E2 son matrices constantes (y conocidas) de dimensiones
a
adecuadas, que determinan la forma como la incertidumbre afecta al sistema y F es una matriz de la que s´lo se
o
sabe que:
F T F ≤ I.
Se desea encontrar una ley de control u = Kx —realimentaci´n lineal de los estados— tal que el sistema a lazo
o
cerrado sea internamente estable y que la norma infinita de la funci´n de transferencia entre w y z sea menor
o
que un escalar positivo γ, esto es:
Twz ∞ < γ ∀A ∈ A y B ∈ B (III.4)
donde
A = {A : A = An + DF E1 ∀ F T F ≤ I}
y
B = {B : B = Bn + DF E2 ∀ F T F ≤ I}.
Si la condici´n III.4 se satisface, entonces diremos que el control u, γ-aten´a la perturbaci´n w [XFS92].
o u o
El siguiente teorema da las condiciones que deben cumplirse para la existencia de u.
Teorema III.1 ([KPZ90]) Sea γ > 0 un escalar dado. El sistema III.3 es cuadr´ticamente estabilizable por
a
una ley de control u = Kx con atenuaci´n γ de la perturbaci´n w sobre z si y s´lo si existen matrices S > 0 y
o o o
R, y un escalar ε > 0, soluciones de la LMI:
An S + SAT + Bn RT + RBn + εDDT + γ −2 B1 B1 SC1 SE1 + RE2
n
T T T T T
C1 S −I 0 <0 (III.5)
T
E2 R + E 1 S 0 −εI
60](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-68-320.jpg)
![M´s a´n, una ley de control estabilizante (cuadr´ticamente) est´ dada por:
a u a a
K = RT S −1 .
Demostraci´n: El sistema III.3 es cuadr´ticamente estabilizable con atenuaci´n γ > 0 de perturbaci´n si y s´lo
o a o o o
si existen matrices P > 0 y K tales que
(An + Bn K + DF E1 + DF E2 K)T P + P (An + Bn K + DF E1 + DF E2 K)+
γ −2 P B1 B1 P + C1 C1 < 0
T T
pero ello es equivalente, denominando a E = E1 + E2 K, [Pet87]:
1
(An + Bn K)T P + P (An + Bn K) + εP DD T P + E T E + γ −2 P B1 B1 P + C1 C1 < 0
T T
(III.6)
ε
para alg´n ε > 0. En su forma dual III.6 toma la forma (S = P −1 y R = SK T ):
u
1
An S + SAT + RBn + Bn RT + εDDT + SE T ES + γ −2 B1 B1 + SC1 C1 S < 0.
n
T T T
(III.7)
ε
III.7 puede escribirse como una LMI de la forma:
An S + SAT + RBn + Bn RT + γ −2 B1 B1 + εDDT
n
T T T T
SE1 + RE2 SC1T
T
E2 R + E 1 S −εI 0 <0 (III.8)
C1 S 0 −I
Observaci´n III.4 La desigualdad III.8 es lineal (convexa) con respecto a sus inc´gnitas S, R, ε y aun con
o o
respecto a γ −2 . Por lo tanto, puede ser resuelta con herramientas est´ndar, e.g., el LMI Toolbox de Matlab
a
[GNL95].
Observaci´n III.5 Si s´lo se impone estabilidad cuadr´tica, la LMI se reduce a las 2 primeras filas y columnas
o o a
de III.8.
Observaci´n III.6 Si se trata de sistemas ciertos, la LMI se reduce a la 1ra y 3ra filas y columnas de III.8 con
o
D = 0.
A continuaci´n, presentamos la extensi´n del teorema III.1 a los casos de costo garantizado (H 2 ) y de ubicaci´n
o o o
de polos.
Corolario III.1 Definamos el siguiente problema convexo:
m´ Tr W
ın
sujeto a
W C1 S
T >0 (III.9)
SC1 S
An S + SAT + εDDT + Bn RT + RBn + B1 B1
n
T T T T
SE1 + RE2
T <0 (III.10)
E2 R + E 1 S −εI
Sea W ∗ la soluci´n —si existe una— del problema convexo definido. Existe una ley de control u = Kx tal que
o
Twz 2 < γ 1/2 = Tr W ∗
para toda la familia de sistemas III.3 si y s´lo si existen matrices W y S definidas positivas, una matriz R y un
o
escalar ε > 0 tales que el problema de optimizaci´n tiene soluci´n. M´s a´n, la ley de control viene dada por
o o a u
u = Kx con K = RT S −1 .
61](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-69-320.jpg)
![III.5. Condiciones menos conservadoras
Trat´ndose de sistemas con incertidumbre, la condici´n cuadr´tica de existencia de una matriz de Lyapunov
a o a
P , com´n a todo miembro de la familia incierta, introduce cierto conservadurismo que se ve contrastado con el
u
hecho de poder calcular un controlador unico para todos los sistemas. Sin embargo, la condici´n de existencia de
´ o
una matrix de Lyapunov com´n puede ser relajada y por ende obtener mejores controladores. En lo que sigue
u
damos condiciones de estabilidad para sistemas con incertidumbre poli´drica (continuos y discretos), y dejamos
e
para el lector las extensiones a los casos de ubicaci´n de polos, H∞ y H2 y los casos con incertidumbre acotada
o
en norma.
Teorema III.3 [SS01], [Sh01]. Con relaci´n al sistema (III.13), existe una ley de control u(t) = Kx(t) que
o
estabiliza al sistema en cualquiera de sus representaciones, i.e., ∀A ∈ A y ∀B ∈ B, si existen matrices definidas
positivas Sq , q = 1, . . . , r × s y G, todas en IRn×n tales que:
Ai G + G T AT + B j R + R T Bj
i
T
Ai G + B j R − G T + S q
T T < 0. (III.20)
G Ai − G + S q −G − GT
i = 1, . . . , r, y j = 1, . . . , s. M´s a´n, K = RG−1 .
a u
Demostraci´n-necesidad: ([DB01]) El sistema (III.13) es estabilizable por una ley de control u(t) = Kx(t) si
o
existen matrices definidas positivas SA , posiblemente dependientes de A y una ganancia K tales que:
(A + BK)SA + SA (A + BK)T < 0 ∀A ∈ A y B ∈ B
0 SA I
= ( I (A + BK) ) < 0 ∀A ∈ A y B ∈ B
SA 0 (A + BK)T
0 SA A + BK
= ( I (A + BK) ) + ( F G )+
SA 0 −I
(III.21)
FT I
((A + BK)T − I) <0
GT (A + BK)T
∀A ∈ A, ∀B ∈ B y cualesquiera F, G
(A + BK)F + F T (A + BK)T (A + BK)G − F T + SA
=⇒ < 0.
GT (A + BK)T − F + SA −G − GT
Haciendo F = G, ya que no existe ninguna restricci´n en F , definiendo R = KG y observando que las matrices
o
A y B aparecen linealmente en (III.21), es decir, que la satisfacci´n en los v´rtices garantiza la satisfacci´n en
o e o
cualquiera de sus combinaciones convexas, queda demostrada la necesidad.
Suficiencia: Si la condici´n (III.20) es satisfecha, entonces tambi´n se cumple para toda A ∈ A y B ∈ B, de
o e
hecho la matriz (SA ) de Lyapunov asociada a cada a cada par (A, B) no es m´s que la combinaci´n convexa de
a o
las matrices Sq asociadas a los v´rtices. En consecuencia, si definimos la matriz regular:
e
I (A + BK)
Γ=
0 I
se cumple que:
(A + BK)G + GT (A + BK)T (A + BK)G − GT + SA
Γ ΓT < 0, (III.22)
GT (A + BK)T − G + SA −G − GT
pero (III.22) es igual a:
(A + BK)SA + SA (A + BK)T SA − AGT − GT
< 0, (III.23)
SA − GAT − G −G − GT
y el t´rmino (1,1) de (III.23) asegura que K es una ganancia estabilizante y S A la matriz de Lyapunov, i.e., que
e
la primera de las condiciones de (III.21) es satisfecha
65](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-73-320.jpg)
![Para el caso de sistemas discretos, consideraremos el sistema:
xk+1 = Axk + Buk (III.24)
con las matrices A, B en A, B respectivamente.
Recordemos ahora la condici´n de estabilidad para sistemas discretos, equivalente a que los polos del sistema
o
(III.24) est´n dentro del c´
e ırculo unitario.
Definici´n III.2 El sistema (III.24) es estabilizable por una ley de control de la forma u k = Kxk , si existen
o
matrices definidas positivas SA y una ganancia K tales que:
(A + BK)T SA (A + BK) − SA < 0, ∀A ∈ A y B ∈ B. (III.25)
La demostraci´n es muy similar a la de los sistemas discretos ya que (III.25) es equivalente a:
o
−SA 0 I
(I (A + BK) ) <0
0 SA (A + BK)T
y dejamos para el lector tal demostraci´n.
o
III.6. Dise˜ o por realimentaci´n de la salida
n o
En las secciones anteriores se presentaron resultados para sistemas inciertos —incertidumbre acotada en norma
y poli´drica—, basados en la realimentaci´n lineal de todos los estados del sistema.
e o
Muchas veces esos estados no est´n f´
a ısicamente disponibles para su medici´n porque no son medibles o porque
o
no pueden serlo de manera confiable, y s´lo una parte de entre ellos puede usarse para control. A estos ultimos
o ´
los llamaremos “salida medible” del sistema.
Lo que resta de este cap´ıtulo ser´ consagrado a la s´
a ıntesis de controladores que satisfacen cierto criterio de
desempe˜o —H∞ , H2 , etc.— y que usan solamente la salida medible. Las implicaciones pr´cticas de tal objetivo
n a
son obvias. No tan obvio, sin embargo, es el grado de dificultad que implica la tarea de estimaci´n de estados
o
para sistemas con incertidumbre.
De igual manera, trataremos primero sistemas lineales invariantes en el tiempo sin incertidumbre para los
que demostraremos que podemos alcanzar el objetivo propuesto. Para los sistemas con incertidumbre acotada
en norma tambi´n encontraremos la soluci´n a trav´s de la extensi´n del resultado de [Pet87] a sistemas con
e o e o
realimentaci´n de la salida pero, desafortunadamente, s´lo para el caso de estabilidad —cuadr´tica—, no pudiendo
o o a
extender esos resultados al caso H∞ o H2 . Los sistemas con incertidumbre poli´drica, por el contrario, no conocen
e
de soluci´n total ni siquiera en el caso de estabilidad y para ellos s´lo presentaremos soluciones parciales.
o o
Como en los cap´ ıtulos anteriores, toda la formulaci´n est´ basada en una representaci´n del sistema en variables
o a o
de estado y las soluciones ser´n formuladas como desigualdades matriciales lineales.
a
III.7. Sistemas ciertos
Consideremos al sistema
x
˙ = Ax + Bu + B1 w
y = Cx + Dw (III.26)
z = C1 x + D 1 u
66](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-74-320.jpg)
![donde x ∈ IRn es el vector de estados, u ∈ IRm es el vector de controles, w ∈ IRnw es el vector de perturbaciones
externas que afectan al sistema, z ∈ IRnz es el vector de salidas controlables, y ∈ IRp es el vector de salidas
medibles.
A, B, B1 , C, C1 y D1 son matrices constantes de dimensiones apropiadas.
Se desea dise˜ar un compensador din´mico de la forma:
n a
xc
˙ = A c xc + B c y
(III.27)
u = C c xc
que asegure que el sistema a lazo cerrado cumpla con ciertas condiciones de desempe˜o medidas como una norma
n
2, infinita, ubicaci´n de polos.
o
El controlador escogido es uno estrictamente propio, lo que, sin p´rdida de generalidad, simplifica considera-
e
blemente las demostraciones. La extensi´n al caso propio es s´lo m´s agotadora desde el punto de desarrollo y
o o a
demostraci´n.
o
En principio, nos planteamos unicamente la b´squeda de controladores estabilizantes para luego extender esos
´ u
resultados a los otros casos que hemos venido estudiando, incluyendo a los sistemas discretos.
El siguiente teorema caracteriza los controladores buscados.
Teorema III.4 ([SGC97]) El sistema III.26 puede ser estabilizado por un controlador din´mico de la forma
a
III.27 si y s´lo si existen matrices sim´tricas X, Y > 0 y matrices U y V en IR n×n soluciones del conjunto de
o e
desigualdades matriciales
AY + Y AT + BCc V T + V Cc B T
T
Φ
T <0
Φ AT X + XA + U Bc C + C T Bc U T
T
(III.28)
Y I
>0
I X
donde Φ = V AT U T + A + Y AT X + V Cc B T X + Y C T Bc U T .
c
T T
Demostraci´n: El sistema a lazo cerrado —aut´nomo— resultante de aplicar el compensador din´mico III.27
o o a
es:
x˙ A BCc x B1
= + w
xe
˙ Bc C A c xc Bc D
˜
A ˜
B (III.29)
x
z = (C1 D1 Cc )
xc
˜
C
o o ˜
y el sistema es asint´ticamente estable si y s´lo si existe una matriz P > 0 tal que
˜ ˜ ˜˜
AT P + P A < 0. (III.30)
˜
Particionemos ahora la matriz P de la forma:
˜ X U ˜ Y V
P = ˆ P −1 = ˆ .
UT X VT Y
˜ ˜
Con relaci´n a los elementos de la matriz P y P −1 se cumple que:
o
XY + U V T = I
XV + U Yˆ = 0
T ˆ T (III.31)
U Y + XV = 0
Y ˆ
= (X − U XU T )−1 > X −1 .
67](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-75-320.jpg)
![Definamos T de la forma:
Y V
T = .
I 0
Sin p´rdida de generalidad, podemos asumir que V = 0 ya que, de tener V autovalores iguales a cero, siempre
e
podr´ hacerse una descomposici´n en valores singulares de V :
ıa o
V = Mv ΣMu
reemplazando Σ por Σ∗ donde se han reemplazado los autovalores en cero por ε > 0 suficientemente peque˜os,
n
de modo que
V ∗ = Mv Σ∗ Mu
˜
y la nueva matriz P ∗ tambi´n cumplir´ con la desigualdad III.30 para alg´n ε suficientemente peque˜o [IS94].
e a u n
Si V = 0 entonces T es una matriz regular, i.e., tiene inversa. Si multiplicamos a la derecha de III.30 por T T
y a la izquierda por T , lo cual preserva la desigualdad, obtenemos:
T
Y V A BCc X U Y I
+ΥT
ˆ <0
VT
I 0 Bc C Ac UT X 0
Υ
y que resulta en:
Y V XA + AT X + U BCc + Cc Bc U
T T
∆ Y I
T <0 (III.32)
I 0 ∆ Ω VT 0
ˆ ˆ T ˆ
donde ∆ = XBCc + U Ac + AT U + Cc B T X y Ω = XAc + Ac X + U T BCc + Cc B T U y de donde se obtiene, a
T T
trav´s de las relaciones III.31, la desigualdad matricial III.28.
e
Definamos ahora las variables intermedias,
L = Cc V T ; F = U B c y M = V A T U T
c
(III.33)
Z = A + Y AT X + Y C T F T + LT B T X,
entonces tenemos que:
Corolario III.5 El sistema (III.26) es estabilizable por un compensador din´mico de la forma (III.27) si y s´lo
a o
si existen matrices X, Y > 0 y Φ ∈ IRn×n , L ∈ IRm×n y F ∈ IRn×r tales que
AY + Y AT + BL + LT B T Φ
< 0. (III.34)
ΦT AT X + XA + F C + C T F T
Observaci´n III.21 La desigualdad matricial es lineal —convexa— con respecto a sus variables X, Y, L, F, Φ y,
o
de nuevo, herramientas de programaci´n lineal pueden utilizarse para la b´squeda de su soluci´n.
o u o
Observaci´n III.22 Una vez que X, Y, L, F y Φ son calculadas, es f´cil calcular A c , Bc , Cc de la siguiente
o a
forma:
1. Tomemos cualquier matriz regular V
2. Hagamos Cc = L(V T )−1 y
3. U = (I − XY )(V T )−1
4. Bc = U −1 F
68](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-76-320.jpg)
![5. M =Φ−Z
6. Ac = U −1 M T (V T )−1 ,
si V = 0 entonces U = 0.
Aunque parece que los controladores estabilizantes est´n parametrizados por V , ello no es cierto. Si calculamos
a
la funci´n de transferencia del compensador tenemos que:
o
Tc (s) = Cc (sI − Ac )−1 Bc
= L(V T )−1 [sI − U −1 M T (V T )−1 ]−1 U F =
= L[s(U V T ) − M T ]−1 F =
= L[s(I − XY ) − M T ]−1 F
con lo que queda demostrado que la soluci´n de III.34 determina totalmente al controlador estabilizante, y la
o
verdadera parametrizaci´n est´ determinada por la tripleta (Φ, F, L). De hecho, si no existe ninguna restricci´n
o a o
sobre la estructura de la din´mica del compensador Ac , podemos tomar Φ = 0 recobrando los resultados de
a
[DGK89] y [GA94].
Pasemos ahora a la aplicaci´n de los resultados a H2 y sistemas discretos, que surgen de peque˜as extensiones
o n
del resultado previo.
Corolario III.6 ([GPS92], [PSG92]) Consideremos el sistema III.26 para el que deseamos conseguir un con-
trolador de la forma III.27 que asegure:
m´ Twz 2 .
ın
Tal problema tiene soluci´n, si y s´lo si el siguiente problema de optimizaci´n la tiene:
o o o
m´ Tr W
ın
sujeto a
Y I B1
I X XB1 + F D > 0 (III.35)
T
B1 B1 X + D T F T
T
W
y
AY + Y AT + BL + LT B T Φ Y C 1 + L T D1
T T
ΦT AT X + XA + F C + C T F T T
C1 <0 (III.36)
C1 Y + D 1 L C1 −I
con L, Φ, Z, F tal como se definieron anteriormente.
o o ˆ
Para la obtenci´n del resultado anterior se us´ el hecho de que (sea P una matriz definida positiva):
m´ Twz
ın 2 = m´ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜
ın{Tr[B T P B] : AT P + P A + C T C = 0} (III.37)
˜ ˜ ˜
con A, B, C definidos en III.29. Adem´s, la restricci´n de igualdad puede reemplazarse por una de desigualdad
a o
usando la propiedad de no decrecimiento de la soluci´n de la ecuaci´n de Lyapunov.
o o
De esta manera la ecuaci´n III.37 puede escribirse de la forma:
o
m´ Tr W
ın
sujeto a:
˜
P ˜˜
PB
>0 (III.38)
B ˜
˜T P W
69](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-77-320.jpg)
![La demostraci´n est´ basada en que el sistema a lazo cerrado debe cumplir que:
o a
˜
−P ˜ ˜
AT P
˜˜ ˜ <0
PA −P
˜ ˜ ˜
con A, P tal como fueron descritas en III.29 y III.30, utilizando la partici´n descrita de P y multiplicando por la
o
matriz Γ antes definida.
Observaci´n III.23 Como en los casos anteriores, la soluci´n del problema de factibilidad conlleva la determi-
o o
naci´n de los par´metros del compensador estabilizante Ac , Bc , Cc . Igualmente, la extensi´n del resultado a otras
o a o
circunferencias con radio r y centrada en −α es inmediata.
III.8. Sistemas con incertidumbre acotada en norma
Pasemos ahora al estudio de los sistemas con incertidumbre acotada en norma, para los que, en una primera
instancia y para simplificar las demostraciones, s´lo consideraremos incertidumbre en la matriz de din´mica del
o a
sistema. Igualmente, buscaremos un controlador estabilizante que adem´s asegure atenuaci´n de una perturbaci´n
a o o
externa w en la salida medible del sistema z, medida la atenuaci´n como la ganancia en la energ´
o ıa.
Sistemas continuos. Controladores H∞
Formalmente, consideremos al sistema incierto definido por:
x
˙ = (A + DF E)x + B1 w + Bu
z = C1 x (III.43)
y = Cx
donde x ∈ IRn es el vector de estados, u ∈ IRm es el vector de comandos o controles, w ∈ IRnw es la perturbaci´n,
o
y ∈ IRp es la salida medible y z ∈ IRnz es la salida a controlar. A, B1 , B y C son matrices constantes reales de
dimensiones apropiadas. D, F, E caracterizan la incertidumbre que puede o no ser variante en el tiempo. Adem´s:
a
F T F ≤ I.
El problema planteado es aquel de la determinaci´n de un compensador din´mico de la forma:
o a
xc
˙ = A c xc + B c y
(III.44)
u = −Cc xc
que estabiliza cuadr´ticamente el sistema incierto (III.43) con atenuaci´n γ > 0 de perturbaci´n, esto ultimo
a o o ´
siendo:
Twz ∞ < γ.
El teorema siguiente propone las condiciones necesarias y suficientes de la existencia de un tal compensador
din´mico del tipo (III.44).
a
Teorema III.5 ([CGP97]) Sea γ > 0 un escalar dado. El sistema (III.43) es cuadr´ticamente estabilizable con
a
atenuaci´n γ por un compensador de la forma (III.44) si y s´lo si existen R 1 , R2 definidas positivas, un escalar
o o
ε > 0 y matrices P y W definidas positivas tales que las expresiones siguientes se verifican
−1
1) AT P + P A − P BR1 B T P + εP DD T P + 1 E T E + γ −2 P B1 B1 P + C1 C1 < 0
ε
T T
T T −1 1 T T −2 T T (III.45)
2) AW + W A − W C R2 CW + ε W E EW + εDD + γ B1 B1 + W C1 C1 W < 0
−1
3) S = W − P > 0.
71](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-79-320.jpg)
![recordando que
Q1 = −{AT P + P A − P BR1 −1 B T P + εP DD T P + 1 E T E + γ −2 P B1 B1 P + C1 C1 }
ε
T T
y si definimos:
H = {W −1 A + AT W −1 − C T Bc S − SBc C + 1 E T E + εW −1 DDT W −1 +
T
ε
γ W B1 B1 W −1 + C1 C1 }
−2 −1 T T
entonces
(A − Bc C)T S + S(A − Bc C) + Cc B T P + P BCc + εSDD T P + εP DD T S+
T
T −2 T
εSDD S − 2Q1 + γ SB1 B1 P + γ −2 P B1 B1 SP + γ −2 SB1 B1 S = H − Q1
T T
y podemos escribir III.48 bajo la forma:
−Q1 Q1
.
Q1 H − Q1
Esta matriz es definida negativa si Q1 > 0 y H < 0. En consecuencia, la desigualdad III.47 se satisface si
(A − BCc )T P + P (A − BCc ) + εP DD T P + 1 E T E + γ −2 P B1 B1 P + C1 C1 < 0
ε
T T
(III.49)
AT W −1 + W −1 A − C T Bc S − SBc C + εW −1 DDT W −1 +
T
1 T −2 (III.50)
εE E + γ W B1 B1 W −1 + C1 C1 < 0.
−1 T T
Utilizando argumentos sacados del teorema de Finsler [Pet87], III.49 y III.50 son, respectivamente, equivalentes
a las condiciones 1 y 2 del teorema III.5 con Bc y Cc , las expresiones “cl´sicas” de las ganancias de control y de
a
filtraje.
Necesidad: Sea
T T
˜ A −BCc ˜ B1 B1 0 ˜ C1 C1 0
A= B1 = C1 = .
Bc C Ac 0 0 0 0
El sistema en lazo cerrado III.43 y III.44 resulta
x˙ ˜ DF E 0 x B1
= A+ + w
xc
˙ 0 0 xc 0 (III.51)
y= (C1 0)
y en consecuencia III.43 es cuadr´ticamente estable con atenuaci´n γ > 0 de perturbaci´n si y solamente si
a o o
existen matrices
−1
˜ W1 W2 ˜ P1 P2
W = T = P −1 = T >0
W2 W3 P2 P3
tales que
˜ ˜ ˜˜ ˜ DF E 0 E T F T DT 0 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
AT P + P A + P + P + γ −2 P B1 P + C1 < 0. (III.52)
0 0 0 0
Si III.52 es satisfecha, entonces [Pet87]
˜ ˜ ˜˜ ˜ D ˜ 1 ET ˜ ˜ ˜ ˜
AT P + P A + ε P (DT 0)P + (E 0) + γ −2 P B1 P + C1 < 0, (III.53)
0 ε 0
˜ ˜
si multiplicamos III.53 a ambos lados por W = P −1 ,
˜ ˜ ˜˜ 1 ˜ ET ˜ D ˜ ˜ ˜ ˜
W AT + A W + W (E 0)W + ε (DT 0) + γ −2 B1 + W C1 W < 0. (III.54)
ε 0 0
ˆ
Extrayendo los t´rminos superior izquierdo de las matrices III.53 y III.54, colocando P = W1 −1 > 0 y W =
e ˆ
ˆ
P1 −1 > 0 y utilizando el teorema de Finsler, recobramos la primera y segunda condici´n del teorema III.5 en P
o
ˆ
y W . Ahora bien, seg´n el lema de inversi´n de matrices [AM89], tenemos que:
u o
P1 − W1 −1 = P2 P3 −1 P2 T ≥ 0
ˆ ˆ
y por lo tanto W −1 − P ≥ 0. Esta ultima desigualdad puede ser satisfecha estrictamente. De hecho, seg´n el lema
´ u
ˆ ˆ
2 de [SMN90], si las condiciones (1) y (2) del teorema III.5 son satisfechas en P y W , ellas lo ser´n igualmente
a
ˆ
para las matrices W < W y P < P . ˆ
73](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-81-320.jpg)
![Observaci´n III.24 Las condiciones enunciadas en el teorema III.5 no nos proveen de un medio de c´lculo
o a
para la determinaci´n del compensador dado en III.46. Sin embargo, podemos notar que la primera condici´n es
o o
−1 −1
convexa con respecto a (P −1 , R1 , ε) o, igualmente, con respecto a (ε−1 P −1 , R1 , ε−1 ). La segunda es convexa
−1 −1
con respecto a (W −1 , R2 , ε−1 ) o con respecto a (εW −1 , R2 , ε). La ultima es convexa con respecto a (W −1 ,
´
−1
P ). Desgraciadamente, el conjunto de las 3 desigualdades no forma una “representaci´n” convexa y otros
o
m´todos, como por ejemplo [Gar93] [GSK94] o [IS95], que toman en cuenta la naturaleza particular (convexidad
e
con respecto a ε y ε−1 ) de este problema, deben ser utilizados.
Observaci´n III.25 Una condici´n necesaria y suficiente puede encontrase tambi´n en el trabajo [XFS92], pero
o o e
bajo la hip´tesis de que el compensador din´mico es dado.
o a
Observaci´n III.26 Para la demostraci´n del teorema III.5, nos hemos alejado un poco de las LMIs, y hemos
o o
seguido un enfoque m´s bien constructivo, siguiendo la demostraci´n original de [CGP97]. Igual comentario se
a o
aplica a la forma del compensador III.44 en el que se introdujo un signo (-).
Las condiciones III.45 del teorema III.5 tambi´n pueden escribirse bajo la forma de LMIs, las cuales recogemos
e
en el siguiente corolario (con X = P −1 y Y = W −1 ):
Corolario III.8 Sea γ > 0 un escalar dado. El sistema III.43 es cuadr´ticamente estabilizable con atenuaci´n
a o
−1 −1
γ de perturbaci´n, si y solamente si existen matrices X, Y, R1 , R2 definidas positivas y un escalar ε > 0 tales
o
que el siguiente conjunto de LMIs es satisfecho:
−1
AX + XAT − BR1 + εDDT + γ −2 B1 B1 XE T XC1
T T
1) EX −εI 0 <0
T C1 X 0 −I
−1
A Y + Y A + C T R2 C + ε−1 E T E + C1 C1
T
YD Y B1
(III.55)
2) DT −ε−1 I 0 <0
T 2
B1 Y 0 −γ I
Y I
3) > 0.
I X
Observamos que la convexidad del conjunto de matrices se pierde a causa del escalar ε.
Finalmente, en el caso de que solamente se desee asegurar la estabilidad —cuadr´tica— del sistema, las dos
a
primeras condiciones de III.55 se reducen a las dos primeras filas y columnas de las LMIs respectivas. Hay que
se˜alar que en este caso es f´cil eliminar ε de las variables multiplicando la primera LMI por
n a
ε−1/2 I 0
0 I
a ambos lados del lado izquierdo de la desigualdad y luego por
I 0
0 ε−1/2
y la segunda por
ε1/2 I 0
0 I
y luego por
I 0
0 ε1/2
74](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-82-320.jpg)
![para finalmente hacer un cambio de variable
X
X= y Y = εY
ε
que no afecta la tercera LMI.
Al eliminar ε recuperamos la convexidad del problema y, por ende, su soluci´n total.
o
Ejemplo
En esta secci´n presentamos un ejemplo tomado de [HF93] ligeramente modificado para incluir los requisitos
o
H∞ que impondremos al problema.
El sistema considerado es:
−1 −1 2
x=
˙ + k(4 − 1) x+
0 2 −2
1 0
u+
−3 1
y = (−3 1)x
z = (1 0)x;
k es la incertidumbre con rango −1 ≤ k ≤ 1.
El compensador obtenido usando el LMI Toolbox de Matlab con γ = 1 y ε = 0,1 fue:
−169,9767 43,4919
Ac =
598,2483 −161,0055
−7,8010
Bc = Cc = (148,9342 − 37,3479).
51,6630
La respuesta al escal´n unitario en la perturbaci´n w se muestra en la figura III.4 para valores de k =
o o
1, −1, 0, 0,5, −0,5. En la figura III.5 se muestra una ubicaci´n de los polos del sistema para una discretizaci´n
o o
uniforme del intervalo de la incertidumbre.
Los resultados obtenidos son equivalentes a aquellos para sistemas con incertidumbre estructurada en 2 bloques.
Otros resultados para un n´mero mayor de bloques pueden encontrarse en [CH95].
u
La extensi´n a incertidumbre en otras matrices del sistema podemos encontrarla en [GCG97].
o
Sistemas discretos
En esta secci´n derivaremos condiciones para la existencia de controladores H 2 en sistemas lineales discretos,
o
con incertidumbre acotada en norma. El problema ser´ formulado como una colecci´n de desigualdades matriciales
a o
lineales donde, de nuevo, encontraremos la similitud con problemas con incertidumbre estructurada en 2 bloques.
Los resultados estar´n basados en el resultado [SGC97], en el que se introduce un elegante cambio en las variables
a
del controlador —de hecho un cambio matricial de variables.
Consideraremos los sistemas lineales discretos:
xt+1 = (A + DF E1 )xt + (B + DF E2 )ut + B1 wt
yt = Cxt (III.56)
zt = C1 xt + D12 ut
75](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-83-320.jpg)
![0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Figura III.4.: Desempe˜o ante la perturbaci´n.
n o
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−2.8 −2.6 −2.4 −2.2 −2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8
Figura III.5.: Ubicaci´n de polos.
o
donde xt ∈ IRn , ut ∈ IRm y yt ∈ IRp son respectivamente los vectores de estado, el control y la salida “medible”.
wt ∈ IRnw es la perturbaci´n externa y zt ∈ IRnz es la salida “controlable”. Todas las matrices tienen dimensiones
o
apropiadas. F ∈ IRnD ×nE representa la incertidumbre —acotada en norma [Pet87]— y que pertenece a:
F = {F ∈ IRnD ×nE : FT F ≤ I}.
Buscamos un controlador (del tipo observador) de la forma:
xt+1
ˆ = A c x t + B c yt
ˆ
(III.57)
ut = Cc xt
ˆ
de manera que, cuando el lazo es cerrado –con (III.57)–, la norma H2 de la funci´n de transferencia desde w a z
o
√
sea menor o igual que alg´n valor γ > 0 dado, para todo posible F ∈ F, i.e.,
u
2
Twz 2 ≤γ ∀F ∈ F
lo que normalmente conocemos como costo garantizado [EP98].
76](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-84-320.jpg)
![Todos los resultados que presentaremos pueden ser extendidos a la ubicaci´n de polos en discos centrados en
o
alg´n escalar real α con radios r. Adem´s, todas las matrices asociadas con la salida medible y t pueden incluir
u a
incertidumbre (con algunas condiciones sobre la forma como afectan al sistema –matrices D y F –). Igualmente
pueden ser considerados controladores no estrictamente propios. Hemos escogido la estructura del sistema y la
del controlador como en (III.56) y (III.57) para mantener las demostraciones mucho m´s simples.
a
Cuando aplicamos el control (III.57) para cerrar el lazo, obtenemos:
xt+1 A BCc D xt B1
= + F (E1 E2 Cc ) + wt
xt+1
ˆ Bc C A c
0
xt
ˆ 0
˜
˜ ˜
E
x
˜ ˜
(III.58)
A D B1
xt
zt = (C1 D12 Cc )
xt
ˆ
˜
C1
o agrupando t´rminos:
e
xt+1
˜ = ˜ ˜ ˜ x ˜
(A + DF E)˜t + B1 wt
˜ ˜ (III.59)
zt = C1 x t
Nuestra soluci´n del problema est´ basada en el concepto de disco-estabilidad cuadr´tica, cuya definici´n es:
o a a o
Definici´n III.3 ([GB95]) El sistema (III.59) es cuadr´ticamente disco estabilizable (d − estabilizable), si
o a
existe una matriz sim´trica definida negativa P > 0 tal que:
e
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
(A + DF E)T P (A + DF E) − P < 0
∀F ∈ F.
El costo H2 garantizado viene dado por:
Definici´n III.4 ([GGB94]) Sea {Ac , Bc , Cc } un controlador dado que d−estabiliza cuadr´ticamente a (III.59).
o a
Entonces, el sistema (III.59) tiene un costo γ > 0, H2 garantizado si:
2
Twz 2 ≤γ ∀F ∈ F
donde Twz es la funci´n de transferencia entre w - z en (III.59), dada por:
o
˜ ˜ ˜ ˜ ˜
Twz = C1 (δI − A − DF E)−1 B1 , δ = el operador de retardo.
Recordemos ahora que:
Twz 2 ˜T ˜
= Traza(B1 Lo (F )B1 )
2
donde Lo (F ) satisface:
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜T ˜
(A + DF E)T Lo (F )(A + DF E) − Lo (F ) + C1 C1 = 0. (III.60)
El siguiente teorema nos aporta condiciones equivalentes “ciertas” de la existencia de l´
ımites superiores de la
norma H2 de sistema (III.59).
Teorema III.6 ([GB95]) El sistema(III.59) es cuadr´ticamente d−estable si existe una matriz sim´trica P > 0
a e
y un escalar ε > 0 tal que
˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜ ˜T ˜
AT (P −1 − εDDT )−1 A − P + ε−1 E T E + C1 C1 . < 0 (III.61)
˜
Q
77](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-85-320.jpg)
![Observaci´n III.27 En [GB95] el resultado es formulado en t´rminos de una matriz Q que puede ser escogida
o e
o o ˜
arbitrariamente y de una ecuaci´n discreta de Riccati. Con una selecci´n apropiada de Q (e.g., = Q + cualquier
matriz definida positiva “peque˜a”) se obtiene (III.61).
n
El l´
ımite superior de la norma H2 es funci´n de la soluci´n P de la desigualdad de Riccati (III.61).
o o
De hecho, la satisfacci´n de (III.61) es equivalente a [GB95]:
o
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜T ˜
(A + DF E)T P (A + DF E) − P + C1 C1 < 0 (III.62)
al comparar (III.60) y (III.62) P > Lo , y por lo tanto:
T T
Traza(B1 Lo (F )B1 ) ≤ Traza(B1 P B1 )
En t´rminos de desigualdades matriciales, la existencia de una matriz P > 0 y un escalar ε > 0 tal que:
e
P −1 ˜
B1
˜T >0 y (III.63)
B1 γI
˜˜
−P −1 + εDDT ˜
A
˜T <0 (III.64)
A −P + ε −1
E ˜
˜ T E + C T C1
˜ ˜
1
implica que:
2
Twz 2 ≤γ ∀F ∈ F.
Con estos resultados previos, podemos presentar el resultado principal de esta secci´n.
o
A continuaci´n presentaremos condiciones –necesarias y suficientes– de existencia de un controlador cuadr´tico
o a
d − estabilizante con costo H2 garantizado.
Para facilitar la presentaci´n del resultado principal, introduciremos manipulaciones elementales de los resul-
o
tados previos.
Lema III.1 La desigualdad (III.64) es satisfecha si y s´lo si existe una matriz sim´trica, definida positiva S tal
o e
que:
˜˜
−S + DDT ˜
AS
˜T ˜ T ˜ ˜ ˜ .<0 (III.65)
SA −S + S E ES + εS C T C1 S 1
Demostraci´n: Pre y post multiplicando el lado izquierdo de la desigualdad (III.64) por la matriz regular
o
sim´trica:
e
I 0
0 P −1
y definiendo S = ε−1 P −1 , obtenemos (III.65).
Observe que, con este cambio de variable, la desigualdad (III.63) resulta:
S ˜
B1
˜T > 0. (III.66)
B1 εγI
Lema III.2 Sea T cualquier matriz regular de dimensiones apropiadas, entonces la desigualdad (III.65) se sa-
tisface si y s´lo si existe una matriz sim´trica, positiva definida S tal que:
o e
˜
−I 0 EST T 0 0
0 ˜
−ε−1 I C1 ST T 0 0
T SE ˜ T ˜ ˜
T S C1 −T ST T T S AT T T
T
0 < 0. (III.67)
0 0 ˜
T AST T −T ST T T D ˜
0 0 0 ˜
DT T T −I
78](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-86-320.jpg)
![Demostraci´n: (III.67) se obtiene pre y post multiplicando el lado izquierdo de la desigualdad (III.65) por la
o
matriz regular:
T 0
0 T
y su transpuesta respectivamente, y luego aplicando el teorema del complemento de Schur para expandir las
dimensiones de la matriz.
Lema III.3 Sea T una matriz regular cualquiera de dimensiones apropiadas, entonces la desigualdad (III.66) se
satisface si y s´lo si existe una matriz definida positiva S tal que:
o
T ST T T B1
< 0. (III.68)
B1 T T
T
εγI
Demostraci´n: (III.68) se obtiene al pre y post multiplicar el lado izquierdo de (III.66) por la matriz regular:
o
T 0
0 I
y su transpuesta respectivamente.
Presentamos ahora el resultado principal de esta secci´n:
o
Teorema III.7 ([CP99]) El sistema(III.59) es cuadr´ticamente d − estable con costo H 2 γ > 0 garantizado,
a
si y s´lo si existen matrices X y Y sim´tricas, definidas positivas y matrices H, L, Z y un escalar ε > 0 tal que
o e
el siguiente conjunto de desigualdades matriciales lineales tiene soluci´n:
o
Y I Y B1
I X B1 > 0 y (III.69)
T T
B1 Y B 1 εγI
−I 0 E 1 E1 X + E 2 L 0 0 0
−ε−1 I C1 C1 X + D12 L 0 0 0
T T T T
−Y −I A Y +C H A 0
−X Z XAT + LT B T 0 < 0.
(III.70)
−Y −I YD
−X D
−I
M´s a´n, un controlador de costo H2 garantizado viene dado por:
a u
Bc = V −1 H
Cc = L(U T )−1
Ac = V −1 (Z T − Y AX − HCX − Y BL)(U T )−1
en el que V es cualquier matriz regular (escogida arbitrariamente por el dise˜ador) y U satisface XY + U V T = I.
n
Observe que siendo el lado izquierdo de (III.70) una matriz sim´trica, hemos introducido una “ ” para evitar
e
una descripci´n m´s complicada de la matriz.
o a
Demostraci´n: Para obtener (III.70) particionamos S en (III.67) de la forma:
o
X U Y V
S= ˆ S −1 = P = ˆ
UT X VT Y
y definimos a la matriz:
Y V
T =
I 0
79](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-87-320.jpg)
![donde podemos suponer, sin p´rdida de generalidad, que la matriz V es una matriz regular [SGC97].
e
Obtenemos los resultados de (III.69) y (III.70) con esta selecci´n de la matriz T en (III.67) y definiendo:
o
H = V Bc ; L = Cc U T ; Z = (Y AX + HCX + Y BL + V Ac U T )T
el conjunto de desigualdades matriciales lineales (III.69) y (III.70) aseguran d − estabilidad con desempe˜o del
n
sistema asegurado a trav´s del costo H2 garantizado del sistema (III.59).
e
Ejemplo
En esta secci´n presentamos un ejemplo num´rico tomado de Huei & Fong [HF93], ligeramente modificado.
o e
El sistema que consideramos es:
−1,00 −1,20 0,1 1 0
xt+1 = + F 1 0 xt + ut + wt
0,10 −0,15 0,2 0 0,1
(III.71)
yt = 1,2 −1,5 xt
zt = 0 1 xt + u t .
Colocando ε = γ = 1, la soluci´n al conjunto de desigualdades matriciales (III.69) y (III.70) viene dada por:
o
0,8229 −0,2671 3,5096 −1,5866
X= ; Y = ; y
−0,2671 0,3179 −1,5866 23,9678
−0,0765 0,0598 2,4053
L= 0,3194 0,0178 ; Z= ; H= .
−0,3870 0,1364 −2,9949
Con este conjunto de valores y simplemente escogiendo V como la matriz identidad, obtenemos para el con-
trolador:
0,9017 −0,0642 2,4053
xt+1
ˆ = xt +
ˆ yt
−0,4275 0,0008 −2,9949
ut = −0,4616 −0,0970 xt .
ˆ
Resulta sencillo construir una matriz de Lyapunov P para el sistema de lazo cerrado, como una funci´n de
o
X, Y y V o U .
III.9. Sistemas con incertidumbre poli´drica
e
En esta secci´n nos interesaremos particularmente en los sistemas con incertidumbre poli´drica. Buscamos
o e
soluciones que se basen en la realimentaci´n de la salida del sistema. En un primer momento, buscamos un
o
controlador que asegure la estabilidad del sistema, para luego avanzar en las especificaciones del controlador.
El problema de los sistemas con incertidumbre poli´drica es la ausencia de un sistema nominal, lo que lo
e
diferencia del caso con incertidumbre acotada en norma en el que el enfoque de generar un controlador din´mico,
a
basado en un observador del sistema con los elementos nominales “ligeramente” compensados en funci´n de la
o
incertidumbre, es inmediato y a de partir dichos elementos se construye una condici´n suficiente.
o
80](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-88-320.jpg)
![Para solventar este problema, proponemos en esta secci´n un enfoque iterativo para determinar un dominio
o
de incertidumbre polit´pico “lo m´s grande posible” alrededor de un sistema inicial fijo, proporcion´ndonos de
o a a
esta manera con una especie de sistema nominal de arranque. En cierta forma estamos evaluando un margen de
robustez en el sentido definido en [Bar94] y [MZ89].
La estrategia que utilizaremos se basa en una condici´n necesaria, a saber: si un sistema es cuadr´ticamente
o a
estabilizable y detectable —esta ultima noci´n dual del concepto de estabilidad cuadr´tica— siempre existe una
´ o a
cierta vecindad alrededor de no importa qu´ punto (modelo) dentro del dominio incierto que podr´ estabilizarse
e a
con un compensador din´mico del tipo “observador de Luenberger” [ORe83].
a
Esta vecindad puede ser —y lo ser´ en nuestro enfoque— definida a trav´s de una matriz de Lyapunov del tipo
a e
diagonal, la cual servir´, de manera cl´sica en el enfoque cuadr´tico, igualmente para la s´
a a a ıntesis del controlador
y viceversa.
El algoritmo que desarrollaremos se basa en la t´cnica de iteraciones “D-K” [MZ89], en el que explotaremos
e
la naturaleza biconvexa con respecto a la matriz de Lyapunov y con respecto al controlador.
En el enfoque que vamos a presentar se puede incluir incertidumbre en todas las matrices del sistema, esto es,
las matrices de din´mica, entrada y salida.
a
Estabilidad local de sistemas inciertos
En vista de que el algoritmo que propondremos se basa en la propiedad de estabilidad local de sistemas
inciertos, perm´
ıtasenos pasar a demostrar tal propiedad y para ello consideremos el sistema:
x = Ax + Bu
˙
(III.72)
y = Cx
donde x, u, y son respectivamente los vectores de estado, de control y de salida medible del sistema perteneciendo
a IRn , IRm y IRp respectivamente. Las matrices A, B, C son matrices no conocidas que pertenecen a los conjuntos:
A ∈ A = {An + ∆A : ∆A ≤ ρ1 }
B ∈ B = {Bn + ∆B : ∆B ≤ ρ2 } (III.73)
C ∈ C = {Cn + ∆C : ∆C ≤ ρ3 }
donde · es una norma matricial cualquiera. Para la demostraci´n de la estabilizabilidad local supondremos que
o
el sistema (III.72) es estabilizable y detectable. La definici´n de detectabilidad cuadr´tica es dual de la estabilidad
o a
cuadr´tica y concierne al par (C T , AT ). As´ la detectabilidad cuadr´tica del par (C T , AT ) est´ definida por la
a ı, a a
existencia de una matriz de Lyapunov unica W = W T > 0 y de una ganancia L, de manera que:
´
(A − LC)T W + W (A − LC) < 0.
Recordemos que la estabilidad cuadr´tica est´ determinada por la existencia de P = P T > 0 y K tales que
a a
(A − BK)P + P (A − BK)T < 0
para todo el dominio de la incertidumbre.
Consideremos ahora un observador de Luenberger [ORe83] para el sistema III.72 “nominal”
z
˙ = An z + Bn u + L(y − Cn z)
(III.74)
u = −Kz
donde z ∈ IRn . Definiendo e = x − z, tenemos
e = (An − LCn + ∆B K)e + (∆A − ∆B K − L∆C )x.
˙ (III.75)
81](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-89-320.jpg)
![Sea ∆ = ∆A − ∆B K − L∆C , el sistema a lazo cerrado puede escribirse como:
x
˙ A − BK BK x
= (III.76)
e
˙ ∆ An − LCn + ∆B K e
donde, de acuerdo con nuestra hip´tesis de estabilidad y detectabilidad, las ganancias L y K son tales que existen
o
matrices P > 0 y W > 0 tales que
FS (P, A, B) = (A − BK)T P + P (A − BK) < 0; ∀A, B ∈ A, B
(III.77)
FO (W, A, C, ) = (A − LC)T W + W (A − LC) < 0; ∀A, C ∈ A, C.
Notamos que ∀α > 1,
FS (αP, A, B) < FS (P, A, B) y
(III.78)
FO (αW, A, C) < FO (W, A, C).
Podemos ahora caracterizar la estabilidad local del sistema (III.72).
Teorema III.8 ([CPM94]) Si el par incierto (A, B) es cuadr´ticamente estabilizable y el par incierto (C T , AT )
a
es cuadr´ticamente detectable, entonces siempre existe una vecindad alrededor de la tripleta (A n , Bn , Cn ) tal que
a
el sistema (III.72) es cuadr´ticamente estabilizable por un compensador de la forma (III.74).
a
Demostraci´n:
o
Supongamos que existe una matriz de Lyapunov del sistema (III.76) de la forma
˜
P 0
Pg = ˜ (III.79)
0 W
por lo tanto
T
A − BK BK
(xT eT ) Pg
∆ An − LCn − ∆B K
(III.80)
A − BK BK x
+Pg < 0,
∆ An − LCn − ∆B K e
lo que podemos escribir como
˜ ˜
xT {(A − BK)T P + P (A − BK)}x + eT {(An − LCn − ∆B K)T W ˜
˜ (An − LCn + ∆B K)}e + 2eT {K T B T P + W ∆}x < 0.
˜ (III.81)
+W
Sin embargo,
˜ ˜
(P BKe + x)T (P BKe + x) ≥ 0
y entonces
˜ ˜˜
2eT {K T B T P }x ≤ xT x + eT K T B T P P BKe (III.82)
teniendo adem´s que:
a
˜ ˜ ˜
2eT {W ∆}x ≤ xT x + eT W ∆∆T W e (III.83)
y de all´ que la desigualdad (III.80) se satisface si
ı
1) ˜ ˜
(A − BK)T P + P (A − BK) + 2I < 0 y
2) ˜ ˜ ˜˜
(An − LCn )T W + W (An − LCn ) + K T B T P P BK (III.84)
+W˜ ∆∆W + W ∆B K + K T ∆B W < 0.
˜ ˜ ˜
Pero dado que el sistema es estabilizable y detectable cuadr´ticamente, siempre existen β > 0, γ > 0 y ρ m > 0
a
tales que
(A − BK)T βP + βP (A − BK) + 2I < 0 y
(An − LCn )T γW + γW (An − LCn ) + β 2 K T B T P P BK+ (III.85)
ρm (γ 2 W ∆∆W + γW ∆B K + K T ∆B T γW ) < 0.
82](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-90-320.jpg)
![donde x ∈ IRn , u ∈ IRm e y ∈ IRp representan, respectivamente, los vectores de estado, control y salida medible.
A ∈ A, B ∈ B y C ∈ C donde A, B, C son subconjuntos poli´dricos no vac´ de IR n×n , IRn×m y IRp×n respectiva-
e ıos
mente. Los v´rtices de esos poliedros son {A1 , A2 , . . . , Ar }, {B 1 , B 2 , . . . , B s } y {C 1 , C 2 , . . . , C t }. D est´ definido
e a
como el poliedro en el que los v´rtices son todas las combinaciones posibles de la tripleta (A j , B k , C l ) con
e
j = 1, . . . , r, k = 1, . . . , s, l = 1, . . . , t. Para simplificar la notaci´n, indexaremos los v´rtices con i = 1, . . . , q,
o e
q = rst y en consecuencia D es el envoltorio convexo (Convex Hull Co) de las tripletas (A i , Bi , Ci ), es decir
D = Co{(Ai , Bi , Ci ), i = 1, . . . , q}.
Sea (Ac , Bc , Cc ) un punto cualquiera en D y finalmente definimos al subconjunto θ(·, ·) de D como
θ(D, ε) = Co {((1 − ε)(Ac , Bc , Cc ) + ε(Ai , Bi , Ci )) i = 1, . . . , q} 0 ≤ ε ≤ 1. (III.87)
Claramente, tenemos
θ(D, 0) = (Ac , Bc , Cc ) y
θ(D, 1) = D.
El problema que abordamos es el siguiente:
m´x ε
a
tal que el sistema
x = Ax + Bu
˙
y = Cx
(III.88)
z = F z + Gy
˙
u = −Kz
es cuadr´ticamente estable para todo (A, B, C) ∈ θ(D, ε), esto es, encontraremos matrices F ∈ IR n×n , G ∈ IRn×p
a
y K ∈ IRm×n que estabilizan el subconjunto “m´ximo” de D (y que medimos en este caso con la ayuda de ε).
a
El sistema III.88 puede ser escrito en funci´n de las variables
o
x
x=
˜ (III.89)
e
donde e = x − z, de la forma
˙ ˜ ˜˜˜
x = (A + B F C)
˜ (III.90)
donde
˜ A 0 ˜ 0 −B ˜ I −I ˜ F G
A= B= C= F = . (III.91)
A 0 −I −B C 0 K 0
˜
Por lo tanto el sistema es cuadr´ticamente estabilizable si y solamente si existen matrices W > 0 y F tales que
a
˜ ˜ ˜˜˜ ˜ ˜˜˜
H(F , W ) = (A + B F C)T W + W (A + B F C) < 0 (III.92)
˜ ˜ ˜ ˜ ˜
∀˜ ∈ IR2n y ∀(A, B, C) ∈ θ(D, ε). D definido como el poliedro
x
˜ ˜ ˜ ˜
D = Co {(Ai , Bi , Ci ), i = 1, . . . , q}
Ai 0 0 −Bi I −I (III.93)
˜
Ai = ˜
Bi = ˜
Ci = .
Ai 0 −I −Bi Ci 0
˜ ˜
Resaltamos que la funci´n H(F , W ) es biconvexa en F y W —es decir, convexa con respecto a una de las dos
o
˜ ˜ ˜ ˜
matrices una vez que la otra es fijada—. Adem´s, notamos que ∀(A, B, C) ∈ θ(D, ε),
a
q
˜ ˜˜˜ ˜ ˜˜˜
(A + B F C)T W + W (A + B F C) = ˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜˜
αi [(Ai + Bi F Ci )T W + W (Ai + Bi F Ci )] (III.94)
i=1
q
donde αi ≥ 0 y αi = 1. Es, por lo tanto, suficiente (y necesario) que la condici´n (III.92) sea satisfecha en los
o
i=1
˜ ˜ ˜
v´rtices (Ai , Bi , Ci ), i = 1, . . . , q.
e
84](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-92-320.jpg)
![˜
Dada la convexidad del problema respecto a una de las variables (W o F ) cuando la otra se fija, el enfoque que
utilizaremos para determinar el domino m´ximo ser´ escoger un ε y una de las variables (por ejemplo W ) y luego
a a
˜
calcular la otra (F ) si es que ella existe y verifica (III.92). Al obtener una soluci´n, aumentamos ε y repetimos
o
˜
el procedimiento, e.g. fijamos F y calculamos una nueva matriz W . El proceso continua hasta el momento en
el que cualquier incremento de ε no permite calcular la variable que no hemos fijado, esto es, que el problema
convexo resultante al fijar una de las variables no tiene soluci´n. En ese momento tendremos un m´ximo local y
o a
˜
un controlador que estabiliza F ese m´ximo de incertidumbre [CGP96], [CGH95].
a
En este momento ya podemos exponer el algoritmo de c´lculo del controlador y el margen de robustez. Como se
a
ha dicho, la estrategia calcula un compensador o una matriz de Lyapunov usando los algoritmos a continuaci´n.
o
C´lculo de la din´mica del compensador
a a
e o ˜ ˜ ˜
Paso 0: Consideremos que los v´rtices de la regi´n incierta (Ai , Bi , Ci ), i = 1, . . . , q y que una matriz de
Lyapunov W son dados y sea
˜ ˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜˜
Hi (F ) = (Ai + Bi F Ci )T W + W (Ai + Bi F Ci ). (III.95)
a u e ˜
M´s a´n, sea fij el elemento ij i-´simo de la matriz F que puede efectivamente ser diferente de cero.
˜0 una matriz inicial —por ejemplo, nula— y ζ 0 un subconjunto de IR(n+m)×(n+p)
Finalmente, sea k = 0, F
˜
compacto y “suficientemente grande” (de tal manera que F0 ∈ ζ 0 ).
Paso 1: Calcular el autovalor m´ximo
a
a a
˜
λk ax = m´x {λm´x (Hi (Fk )), i = 1, . . . , q}. (III.96)
m´
˜
Si λk ax < 0, pare: F es un compensador din´mico estabilizante —cuadr´ticamente— al sistema extendido,
a a
m´
si no vaya al paso 2.
˜
Paso 2: Sea vk el autovector asociado a λk ax y H k (F ) la funci´n Hi asociada al v´rtice correspondiente a
o e
m´
k ˜k+1 a trav´s del problema
λm´x . Calcular F e
a
m´ ρ
ın
tal que
−ρ ≤ fij ≤ ρ
˜ ˜
Fk+1 ∈ ζ k+1 = ζ k ∩ {vk T H k (F )vk < 0}.
Paso 3 : Hacer k = k + 1 y volver al paso 1.
C´lculo de la matriz de Lyapunov
a
e o ˜ ˜ ˜
Paso 0: Consideremos que los v´rtices de la regi´n incierta (Ai , Bi , Ci ), i = 1, . . . , q y un controlador
˜
din´mico F son dados y sea
a
˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜˜
Hi (W ) = (Ai + Bi F Ci )T W + W (Ai + Bi F Ci ), i = 1, . . . , q
(III.97)
Hq+1 (W ) = −W.
M´s a´n, sea k = 0, W0 la matriz identidad y ζ 0 un subconjunto compacto de IR2n×2n “suficientemente
a u
grande”, tal que W0 ∈ ζ 0 .
Paso 1: Calcular el autovalor m´ximo
a
λk ax = m´x {λm´x (Hi (W )), i = 1, . . . , q + 1}.
m´ a a (III.98)
Si λk ax < 0 pare: W es un matriz de Lyapunov, si no vaya al paso 2.
m´
85](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-93-320.jpg)
![Paso 2: Sea vk el autovector asociado a λm´x y H k (W ) la funci´n Hi (W ) asociada al v´rtice correspondiente
k
a o e
k
a λm´x . Calcular Wk+1 a trav´s de
a e
m´ Tr(W )
ın
tal que
Wk+1 ∈ ζ k+1 = ζ k ∩ {vk T H k (W )vk < 0}.
Paso 3: Haga k = k + 1 y vuelva al paso 1.
Algunas observaciones a prop´sito de los algoritmos propuestos
o
Observemos que en los dos algoritmos propuestos los v´rtices de la regi´n de incertidumbre son calculados a
e o
partir de (III.87) para valores crecientes de ε.
Los dos algoritmos explotan igualmente la naturaleza convexa del problema que queda cuando una de las
variables se fija en un valor. En ambos casos generamos hiperplanos de corte que excluyen el punto no factible
˜
(Fk o Wk ), obteniendo de esta manera un subconjunto reducido.
En todos los casos podemos asegurar convergencia hacia una soluci´n si el paso 2 es reemplazado por:
o
ζ k+1 = ζ k ∩ {vk T H k (.)vk ≤ −γ} (III.99)
con γ > 0 “suficientemente peque˜a”. La escogencia de una regi´n inicial ζ “suficientemente grande” no presenta
n o
ninguna dificultad pr´ctica. En general podemos escoger todo el espacio (abierto) y luego de un n´mero peque˜o
a u n
de iteraciones se generar´ una regi´n ζ compacta, siendo ´sta lo que necesitamos para asegurar la convergencia
a o e
que demostraremos un poco m´s adelante.
a
˜
A fin de asegurar el ´xito, los dos algoritmos deben disponer de una de las dos variables (W o F ) y de la
e
certidumbre que esa variable funcionar´ para un dominio de incertidumbre ligeramente m´s grande que aquel
a a
para el que ella fue calculada (teorema III.8), en tanto que ´l sea un subconjunto de D.
e
Para iniciar el algoritmo debemos, sin embargo, tener un compensador o una matriz de Lyapunov. Si el
sistema es cuadr´ticamente estabilizable y detectable siempre podemos construir un compensador estabilizante
a
del sistema cierto, de la forma expuesta en (III.74) y con las ganancias L y K calculadas del problema convexo
asociado. Por otra parte, es f´cil demostrar con las mismas hip´tesis —detectabilidad y estabilizabilidad— que
a o
bajo la representaci´n (xT eT )T siempre existe una matriz de Lyapunov de la forma
o
P 0
(III.100)
0 αW −1 − P
para todo α ≥ k para una cierta k > 0.
En ambos casos disponemos de valores que nos permiten inicializar los procedimientos de c´lculo.
a
La estrategia propuesta en III.9 puede igualmente utilizarse para determinar el margen de robustez de un
controlador dado de un sistema. Este t´pico ha sido tambi´n estudiado por un n´mero de autores —[Yed86],
o e u
[YL86], [Soh94], [HL93]— siendo las cotas superiores de la incertidumbre dada. La estrategia presentada en III.9
calcula el l´
ımite de robustez (cuadr´tica) de tal compensador.
a
Hay que se˜alar que el enfoque num´rico precedente no impone de ninguna manera la restricci´n de diagonali-
n e o
dad en bloques de la matriz de Lyapunov, y esta forma se utiliza unicamente para demostrar que la estabilidad en
´
una cierta vecindad es verificada. Por otra parte, esta forma diagonal es util para la inicializaci´n del algoritmo.
´ o
En fin, con respecto a la implementaci´n num´rica del algoritmo, el enfoque general propuesto ha sido ilus-
o e
trado usando t´cnicas de hiperplanos de corte y programaci´n lineal, y debe remarcarse que tal enfoque puede
e o
igualmente ser realizado utilizando LMIs y t´cnicas de punto interior.
e
86](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-94-320.jpg)
![Convergencia del esquema iterativo
Sea ζ el conjunto factible; la convergencia de los algoritmos propuestos est´ asegurada por los hechos siguientes:
a
El conjunto —compacto— de b´squeda ζ k se reduce de iteraci´n a iteraci´n. En efecto,
u o o
ζ ⊂ . . . ⊂ ζ k+1 ⊂ ζ k . (III.101)
El algoritmo genera un problema de optimizaci´n (minimizaci´n) en conjuntos en los que la talla se reduce
o o
y que son todos incluidos en el precedente; por ejemplo, lo que implica la existencia de un punto l´
ımite si
el conjunto inicial ζ no est´ vac´ [Hof81].
a ıo
En la iteraci´n k se a˜ade la restricci´n
o n o
vk T H k (.)vk ≤ −γ (III.102)
para γ > 0 dada “suficientemente peque˜a”. Esta restricci´n ser´, de seguro, satisfecha para cualquier
n o a
soluci´n obtenida por los algoritmos en la iteraci´n l > k, es decir
o o
vk T H k (Sl )vk ≤ −γ (III.103)
donde Sl = Wl o Fl en funci´n del problema que estemos resolviendo en la iteraci´n l. (III.103) se puede
o o
escribir
λm´x (Sk ) − vk T H k (Sl − Sk )vk ≤ −γ.
k
a (III.104)
Dada la existencia de un punto l´
ımite,
l´ vk T H k (Sl − Sk )vk = 0
ım (III.105)
l,k→∞
y, por lo tanto, si S = l´ k→∞ Sk ,
ım
λk ax (S) ≤ −γ.
m´ (III.106)
Si el conjunto factible ζ(= l´ k→∞ ζ k ) no est´ vac´ tenemos que S ∈ ζ.
ım a ıo,
Si el conjunto factible es vac´ existir´ una iteraci´n l para la que ζ l ser´ vac´
ıo a o a ıo.
Sobre las condiciones de estabilizabilidad y detectabilidad cuadr´tica
a
En la secci´n precedente hemos propuesto algoritmos que requieren de un punto inicial de partida, por ejemplo,
o
un compensador estabilizante del sistema nominal. Ahora bien, un punto inicial se puede calcular a partir de
(III.77) si el sistema es cuadr´ticamente estabilizable y detectable. Recordamos ahora que las condiciones de
a
estabilizabilidad y detectabilidad son necesarias para la existencia de un controlador din´mico del sistema III.72
a
a lazo cerrado.
En efecto, el sistema (III.88) es cuadr´ticamente estabilizable si existe una matriz:
a
P1 P2
P = > 0,
P2 T P3
tal que:
T
A −BK P1 P2 P1 P2 A −BK
+ <0 (III.107)
GC F P2 T P3 P2 T P3 GC F
∀(A, B, C) ∈ D. En consecuencia, el bloque (1,1) de la desigualdad (III.107) debe igualmente ser definido negativo,
i.e.,
AT P1 + P1 A + P2 GC + C T GT P2 T < 0,
87](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-95-320.jpg)
![lo que es equivalente a la detectabilidad cuadr´tica del sistema III.72.
a
Para demostrar la necesidad de la estabilizabilidad procedemos de manera similar sobre el sistema dual, ya
que:
˜ ˜˜˜ ˜ ˜˜˜ ˜ ˜˜˜ ˜ ˜˜˜
(A + B F C)W + W (A + B F C)T < 0 ⇐⇒ (A + B F C)T P + P (A + B F C) < 0
donde P = W −1 . Por lo que tambi´n se debe cumplir que:
e
T
A −BK W1 W2 W1 W2 A −BK
T + T <0
GC F W2 W3 W2 W3 GC F
∀(A, B, C) ∈ D. El bloque (1, 1):
AW1 + W1 AT − BKW2 − W2 K T B T < 0
T
traduce la condici´n de estabilizabilidad.
o
Ejemplos num´ricos
e
En los ejemplos que siguen consideraremos sistemas de la forma:
x = Ax + Bu
˙
(III.108)
y = Cx.
En todos los casos iniciamos el proceso iterativo con un compensador din´mico que estabiliza el sistema sin
a
incertidumbre.
Primer ejemplo
Consideremos al sistema tomado de [CPM94] con 4 par´metros inciertos, a saber q 1 , q2 , q3 y q4 .
a
−1 + q1 + 0,3q4 0,1q4 0,1q4 −q3 + 0,01q4
A= 1 − q1 1 1 B= 1 + q3
4 − q 1 + q2 2 + q2 1 1 + q3
T
2 + 0,003q4
C = 1 + 0,001q4 .
1 + 0,001q4
Para −0,3 ≤ q1 , q2 ≤ 0,3, −0,66 ≤ q3 , q4 ≤ 0,66. El algoritmo converge en las matrices siguientes:
−9,4837 −17,6611 −8,2820 −5,4260
F = −17,6611 −14,3579 −17,2162 G = 17,2915
−10,5445 −7,8590 −11,1210 9,6483
T
10,0238
K = 14,0324
9,8226
y el autovalor m´ximo sobre el conjunto de todos los v´rtices es: −0,0014. El lugar de las ra´
a e ıces para una
discretizaci´n de la incertidumbre se muestra en la figura III.6:
o
88](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-96-320.jpg)
![10
8
6
4
2
0
−2
−4
−6
−8
−10
−18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0
Figura III.6.: Lugar de los polos para −0,3 ≤ q1 , q2 ≤ 0,3 y −0,66 ≤ q3 , q4 ≤ 0,66.
Segundo ejemplo
Se trata de un sistema presentado en [HF93] con un solo par´metro incierto k, constituido por las matrices
a
T
−1 + 5k −1 − 2k 1+k −3k
A= B= C= .
−8k 2 + 3k −3 1+k
Con |k| ≤ 1,145, el algoritmo converge a las matrices
T
−5,4819 5,0269 −5,4708 2,0472
F = G= F =
5,2405 −5,4819 5,4819 −1,0203
y el autovalor m´ximo sobre el conjunto de v´rtices es −0,0104. El lugar de las ra´
a e ıces del sistema a lazo cerrado
para una discretizaci´n del rango de la incertidumbre se muestra en la figura III.7.
o
15
10
5
0
−5
−10
−15
−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0
Figura III.7.: Lugar de las ra´
ıces de una discretizaci´n del rango de incertidumbre.
o
Aplicaciones pr´cticas del esquema presentado, espec´
a ıficamente al control del pH y de procesos de neutraliza-
ci´n, pueden encontrarse en [CGP98] y [PCG97].
o
89](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-97-320.jpg)
![CAP´
ITULO IV
Sintonizaci´n robusta de controladores industriales
o
IV.1. Introducci´n
o
En la ultima d´cada la teor´ de control robusto ha experimentado avances considerables, alcanzando un
´ e ıa
elevado grado de madurez [MZ89], [Bar94]. La teor´ es particularmente atractiva, ya que, como hemos mostrado
ıa
en cap´ıtulos anteriores, permite considerar de manera expl´
ıcita los elementos desconocidos que afectan al lazo
de control, esto es, perturbaciones externas y/o imperfecciones de modelado, que en adelante denominaremos
incertidumbre.
Sin embargo, y a pesar de lo poderosa que puede resultar esta teor´ para la s´
ıa ıntesis de controladores, son muy
pocas las aplicaciones industriales que funcionan actualmente. La raz´n es que, en la mayor´ de los casos, los
o ıa
controladores robustos calculados son de orden elevado y poseen estructuras dif´ ıciles de implementar o manipular
por el operador. En contraste, el muy conocido controlador proporcional, integral, derivativo (PID), se ha con-
vertido en el est´ndar de facto para el control de lazos de una entrada y una salida (SISO), siendo sumamente
a
familiar su manipulaci´n (entonamiento) para los t´cnicos de control y operadores del sistema [Ast02]. Aparte
o e
de su versatilidad y amplio espectro de uso que va desde aplicaciones en procesos qu´ ımicos hasta la avi´nica y
o
aeron´utica [GCS01], este controlador incorpora elementos atractivos en el lazo de control como son: robustez,
a
eliminaci´n de error y perturbaci´n estacionaria. El ajuste de sus tres par´metros, sin embargo, no es transparente
o o a
y ha sido objeto numerosos estudios ([ZN42],[AH95], [RMS86], [Sko03], [HHC95]).
En este cap´ ıtulo se proponen dos metodolog´ para la sintonizaci´n (entonaci´n) de controladores PID. La
ıas o o
primera se basa en un peque˜o cambio en las variables de estado, incorporando la integral de la salida como una
n
de ellas, y en un esquema iterativo, denominado ILMI que explota la naturaleza bilineal del problema resultante.
Una segunda se basa en el controlador multiobjetivo (robusto) obtenido para el mismo lazo. Notablemente, el
controlador PID tratar´ de aproximar las caracter´
a ısticas frecuenciales del controlador robusto, y en este ultimo
´
caso las prestaciones del lazo s´lo pueden verificarse a posteriori.
o
En el enfoque frecuencial, como en la mayor´ de los controladores PID comerciales, se cuenta tambi´n con un
ıa e
filtro a la salida del PID, y para mejorar la aproximaci´n del PID al controlador robusto nuestro dise˜o incorpora
o n
el filtro al PID en serie.](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-99-320.jpg)
![Para facilitar la comprensi´n de las ideas que se proponen, se ha escogido aplicar esta metodolog´ a varios
o ıa
casos de estudio, en el caso de las ILMI compar´ndola con los resultados presentados en [Sko03] y en el caso
a
frecuencial a un esquema de control de presi´n de una tuber´ de gas, siendo la variable manipulada el flujo de
o ıa
gas que se alivia a un mechurrio para lograr el objetivo de control. Para todos los sistemas en estudio se dispone
de un buen modelo, aunque el enfoque ILMI puede igualmente aceptar incertidumbre en la matriz de din´mica a
del sistema [GCB03].
En este cap´ıtulo consideraremos un lazo de control de una entrada y una salida como el que se muestra en la
figura (IV.1).
Figura IV.1.: Lazo cerrado de control.
IV.2. Los algoritmos PID
En general hablamos de controladores PID, porque cada controlador tiene una componente proporcional, una
integral y una derivativa, pero su estructura puede variar. Las expresiones m´s comunes son:
a
PID paralelo. En t´rminos de la expresi´n temporal.
e o
1 de(t)
u(t) = Kp (e(t) + e(t)dt + Td ) (IV.1)
Ti dt
donde e(t) es la se˜al de error (ver figura IV.1) y
n
PID interactivo. En t´rminos de la funci´n de transferencia.
e o
1
U (s) = Kp (1 + )(1 + Td s)E(s) (IV.2)
Ti s
Es posible pasar de una forma a la otra, siempre que el polinomio: Ti Td s2 + Ti s + 1, tenga ra´ reales [DM95].
ıces
De igual forma, pueden encontrase ligeras variaciones sobre las estructuras antes mencionadas para resolver pro-
blemas espec´ ıficos como saturaci´n y evitar que cambios en la consigna afecten sensiblemente al controlador,
o
entre otros [Ast02].
Para el c´lculo de los par´metros del PID mediante LMIs, hemos considerado la forma paralela o ideal (IV.1),
a a
en el entendido de que la mayor´ de los controladores industriales aceptan esta estructura y que si no fuese el
ıa
caso, en general se puede pasar de una forma a la otra.
IV.3. PID v´ LMIs iterativas
ıa
En esta secci´n desarrollaremos una estrategia de c´lculo de los par´metros (K p , Ti , Td ) basada en LMIs,
o a a
siguiendo la estrategia propuesta en [CLS98]. Para ello consideremos el sistema:
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
˙
(IV.3)
y(t) = Cx(t)
92](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-100-320.jpg)
![Paso 1: Dado Pi , determine Ki y α∗ de la forma:
α∗ = m´ α
ın (IV.9)
sujeto a:
(A + BKi C)Pi + Pi (A + BKi C)T − αPi < 0; Pi > 0. (IV.10)
Si α ≤ 0 habremos encontrado una ganancia Ki que estabiliza al sistema, si no, vaya al paso 2.
Paso 2: Dado Ki y un borde superior α∗ que es el valor de α obtenido en el paso 1, calcule Pi+1 y un nuevo
α ´ptimo (ˆ ), partir de:
o α
α = m´ α
ˆ ın (IV.11)
sujeto a:
(A + BKi C)Pi+1 + Pi+1 (A + BKi C)T − αPi+1 < 0; Pi+1 > 0. (IV.12)
Si α ≤ 0, entonces Ki es una ganancia estabilizante y si no haga i = i + 1 y vaya al paso 1.
ˆ
Debemos ahora realizar algunos comentarios a prop´sito del algoritmo.
o
Observaci´n IV.1 El algoritmo propuesto est´ basado en el hecho de que la condici´n de Lyapunov, que asegura
o a o
la estabilidad para el sistema con realimentaci´n est´tica de la salida (IV.7), es bilineal en las inc´gnitas K y P ,
o a o
y por ende, cuando una se fija, lo que resulta es una desigualdad matricial lineal (LMI) en la otra variable y, en
consecuencia, un problema convexo.
Observaci´n IV.2 En el paso 0, lo que hacemos es suministrar al algoritmo un punto de arranque, a partir
o
de la condici´n de estabilidad con realimentaci´n de los estados, que es una LMI en P y R(= K −1 P ). Si no
o o
existe tal matriz P que asegure estabilidad con realimentaci´n de estados, tampoco existir´ un PID que haga el
o a
trabajo. Observe que en el paso 0 simplemente damos un punto de inicio a partir de una condici´n necesaria, pero
o
hubi´ramos podido arrancar desde otro punto, e.g., desde la matriz P asociada a un PID ajustado por Ziegler y
e
Nichols, que sabemos estabiliza al sistema original.
Observaci´n IV.3 En el paso 1, conocida una matriz Pi , se inicia la b´squeda de una ganancia Ki que pudiera
o u
estabilizar al sistema. Ella (Ki ) ser´ una ganancia estabilizante, si la soluci´n del problema (convexo) de opti-
a o
mizaci´n que se formula en el paso 1 termina con un valor de α ∗ ≤ 0. Observe que el problema en el paso 1 es
o
una LMI en las inc´gnitas (Ki , α).
o
Observaci´n IV.4 En el paso 2, conocida una ganancia Ki , lo que se busca es verificar si ella es, en efecto, una
o
ganancia estabilizante, lo que se certifica si la condici´n (IV.12) es satisfecha o, lo que es lo mismo, se obtiene
o
una matriz Pi+1 . Observe igualmente que la condici´n (IV.12) es biconvexa en α y P i+1 ; sin embargo, siendo α
o
un escalar y conociendo un l´ ımite superior (α∗ ) es f´cil obtener ese m´
a ınimo de α porque (siendo escalar) s´lo
o
tiene una forma de descenso. Luego, en el paso 2 lo que se hace es fijar el α en un valor, resolver la LMI para
Pi+1 y si tiene soluci´n se hace α m´s peque˜o y, si no, se vuelve al paso 1.
o a n
Observaci´n IV.5 La satisfacci´n de la condici´n (IV.10) o la (IV.12) no s´lo asegura una ganancia estabili-
o o o o
zante sino que adem´s da una medida de calidad del controlador obtenido, ya que su satisfacci´n garantiza que
a o
los polos del sistema a lazo cerrado est´n ubicados a la izquierda de α/2 [SGC97].
e
Observaci´n IV.6 En el paso 2, no se requiere calcular el m´
o ınimo de α; bastar´ verificar que con α = 0 se
ıa
satisface (IV.12), lo que certificar´ la estabilidad. Se ha incluido el m´
ıa ınimo, s´lo para determinar la bondad
o
del controlador medido como lo descrito en el comentario anterior (IV.5). De hecho, en algunas circunstancias
y para ubicar un mejor PID y evitar los problemas num´ricos, no se vuelve al paso 1 con la P i+1 asociada al
e
m´ınimo sino m´s bien con una menos extrema.
a
94](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-102-320.jpg)
![Observaci´n IV.7 La variable escalar α asegura que los problemas formulados en los pasos 1 y 2 siempre
o
tendr´n soluci´n. Ello no asegura, sin embargo, que siempre se encontrar´ un PID estabilizante. El algoritmo
a o a
falla en encontrar un PID si α∗ , α ≥ 0 y |α∗ − α| ≤ ε, con ε un valor predeterminado de convergencia.
ˆ ˆ
Observaci´n IV.8 Por ultimo, este algoritmo puede igualmente ser aplicado para el c´lculo de controladores
o ´ a
PI de sistemas continuos y discretos, para sistemas multivariables y para sistemas con incertidumbre poli´drica
e
o acotada en norma en las matrices A y C del sistema original (v´ase [Pet87] y [BGP89] para la definici´n de la
e o
incertidumbre y [GCB03] para las extensiones referidas).
IV.5. Comparaci´n de t´cnicas de entonaci´n
o e o
En esta secci´n, hacemos una comparaci´n de la estrategia de entonaci´n ILMI presentada en la secci´n anterior
o o o o
(secci´n (IV.4)) con otras t´cnicas ampliamente conocidas.
o e
Hemos escogido dos casos tomados de [Sko03]. Ellos son: uno de fase no m´
ınima y otro con retardo. En [CMR05]
pueden encontrarse comparaciones m´s detalladas del enfoque propuesto con otros y en [GCB03] la extensi´n a
a o
sistemas multivariables.
Debemos se˜alar que en el caso de los m´todos de IMC y de Ziegler y Nichols, al igual que para la mayor´ de
n e ıa
los m´todos de ajuste de PIDs, aunque se da una funci´n de transferencia del sistema para los ejemplos num´ricos,
e o e
la misma es ajustada, sea a una de primer orden m´s retardo o a una de segundo orden m´s retardo. En el caso
a a
de ajuste con LMIs que hemos propuesto, la unica simplificaci´n realizada es la aproximaci´n del retardo a una
´ o o
de Pade de primer orden. Ello porque el m´todo se basa en una representaci´n en variables de estado.
e o
A continuaci´n presentamos los resultados para cada caso.
o
Fase no m´
ınima
La funci´n de transferencia del sistema es:
o
(1 − 0, 3s)(1 + 0, 08)
G2 (s) = (IV.13)
(2s + 1)(s + 1)(0, 4s + 1)(0, 2s + 1)(0, 05s + 1)3
El ajuste de los par´metros por los diferentes m´todos se muestra en la tabla (IV.1).
a e
M´todo
e Kp Ki Kd
LMI1 2,092 0,5543 2,0673
IMC2 1,3 0,65 1,56
Z & N2 2,56 0,966 1,6896
Tabla IV.1.: Par´metros de los PID de la fase no m´
a ınima.
(1 ) PID paralelo y (2 ) PID interactivo.
En la figura (IV.2) se muestran los resultados del sistema para una perturbaci´n tipo escal´n unitario, aplicada
o o
a los 30 segundos.
Los m´rgenes de fase y de ganancia comparados se muestran en la tabla (IV.2).
a
95](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-103-320.jpg)
![LMI
1.25 SIMC−PI
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0.9
0.85
0.8
15 20 25 30 35 40 45
Figura IV.3.: Respuesta temporal del sistema con retardo.
M´todo
e Fase Ganancia
LMI1 78,47 1,58
IMC-PI 51,67 3,05
Tabla IV.4.: Comparaci´n de indicadores de calidad. Caso retardo.
o
IV.6. Enfoque frecuencial
En esta secci´n presentamos el enfoque frecuencial al c´lculo de PIDs, y ello lo haremos con un caso de estudio.
o a
Primero presentamos el modelo del sistema a considerar, en la secci´n siguiente se calcula el controlador y el PID
o
aproximado y finalmente en la ultima secci´n, para fines de comparaci´n, el PID calculado se compara con uno
´ o o
entonado por Ziegler-Nichols [ZN42].
El sistema que consideraremos tiene la siguiente funci´n de transferencia:
o
−0,7136 −s
G(s) = e (IV.15)
s+1
sobre este sistema se desea que no tenga offset a cambios en la entrada tipo escal´n (salto) y que sea r´pido en su
o a
respuesta (que se medir´ como un tiempo de respuesta inferior a 10 seg.). Todas las especificaciones impuestas son
a
muy comunes para lazos de control. Una especificaci´n adicional fue que el sistema se vea poco afectado (rechace)
o
por perturbaciones que entran al sistema de la misma forma que el control. Esta ultima especificaci´n, de tipo
´ o
robusto, toma en cuenta cambios en la presi´n del sistema producto de agentes externos, como movimientos en
o
la demanda, etc.
Para eliminar el offset “a priori” se incluye un integrador 1 en la trayectoria directa del lazo, de esta manera
s
se dise˜ar´ un compensador para el sistema (G(s)) que ha incorporado de manera directa el integrador. Una
n a
vez calculado el control robusto, el compensador final ser´ el control robusto m´s el integrador. El problema se
a a
muestra esquem´ticamente en la figura IV.4.
a
Todo el dise˜o de controladores robustos se realiza en el ´mbito de los sistemas lineales y en representaci´n
n a o
de variables de estado, por lo tanto, el retardo del sistema —e−s — es modelado como un sistema lineal con una
aproximaci´n de Pade de 1er orden [Kuo95]:
o
1 − 0,5s
e−s = .
1 + 0, 5s
97](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-105-320.jpg)
![w
∧
r(s) u -0.7136 e -s y(s)
Control 1/s
s+1
(-)
Figura IV.4.: Esquema con integrador.
Con esta representaci´n del retardo, el sistema lineal resulta:
o
−3 −2 0 0
x =
˙ x+ u+ w
1 0 1 1
y = [0,7136 − 1,4271]
al incluir el integrador el sistema “aumentado” resulta:
−3 −2 0 0 0
xa = 1
˙ 0 1 xa + 0 u + 1 w
ˆ
0 0 0 1 0
(IV.16)
Aa Ba Bp
y = [0,7136 − 1,4272 0] xa con
Ca
x
xa =
u
y u como en la figura IV.4.
ˆ
El objetivo de rapidez de respuesta puede traducirse en que todos los polos del sistema compensado est´n a
e
la izquierda de un cierto valor, en este caso se impuso a la izquierda de −1. De igual manera, el objetivo de
atenuaci´n a las perturbaciones w puede ser descrito como:
o
Twz ∞ <1
esto es, que la norma infinita de la funci´n de transferencia entre w y y sea menor que 1. M´s adelante formali-
o a
zaremos las condiciones que deben cumplirse, pero antes debemos describir el tipo de control que ser´ utilizado,
a
a saber:
x c = A c xc + B c y
˙
(IV.17)
u = Cc xc + Dc u.
ˆ
El sistema a lazo cerrado resulta:
xa
˙ A a + B a Dc Ca B a Cc xa Bp
= + w
xc
˙ B c Ca Ac xc 0
A B (IV.18)
xa
y = [Ca 0] .
xc
C
Para satisfacer las condiciones de dise˜o se debe cumplir que exista una matriz X definida positiva tal que:
n
AX + XAT + 2 · 1 · X < 0 Condici´n de rapidez
o
AX + X T + BB T XC T
<0 Condici´n de atenuaci´n
o o
CX −I
98](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-106-320.jpg)
![Evidentemente, las ecuaciones no son lineales en ambos, la matriz de Lyapunov X y los par´metros del
a
compensador IV.17. Con una transformaci´n de variable apropiada, que describimos en el cap´
o ıtulo 2 (ver tambi´n
e
[SGC97]), pueden determinarse —con operaciones lineales y a trav´s de variables intermedias— A c , Bc , Cc y
e
Dc . El “LMI Tooolbox” de Matlab [GNL95] puede de manera est´ndar calcular esas matrices para el sistema
a
mencionado —funci´n hinfmix— en vista de que no hay incertidumbre en el sistema.
o
Al aplicar ese toolbox el resultado obtenido es:
−21,4544 −0,6575 59,2912
Ac = −26,1471 −30,3823 −166,9874
95,9493 32,5594 −84,0687
11,5249
Bc = 15,41,42 Cc = [0,3007 38,3535 357,8518]
−56,3364
y Dc = −0,1882. La funci´n de transferencia del controlador resulta:
o
0,188s3 + 19,519 × 103 s2 + 59,589 × 103 s + 40,704 × 103
Gc (s) = .
s3 + 136s2 + 4,741 × 103 s + 37,101 × 103
Incorporando el integrador al controlador y cambiando el signo del numerador —por la tradici´n hist´rica de que
o o
la realimentaci´n sea negativa— resulta, en el compensador multiobjetivo:
o
0,188s3 + 19,519 × 103 s2 + 59,589 × 103 s + 40,704 × 103
Gc (s) = −
s4 + 136s3 + 4,741 × 103 s2 + 37,101 × 103 s
La respuesta ante una entrada escal´n de este sistema se muestra en la figura IV.5:
o
1.4
1.2
1
Salida del lazo (y(t))
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo (s)
Figura IV.5.: Respuesta con control robusto.
El diagrama de Bode de magnitud se muestra en la figura IV.6.
En la representaci´n de magnitud, se puede observar el efecto del integrador en las bajas frecuencias y que
o
(aproximadamente) las frecuencias de w = 1 y w = 100 son puntos significativos en los que obviamente existen
un cero y un polo, respectivamente, en la descripci´n del sistema. Teniendo en cuenta que un controlador (PI +
o
F) posee una funci´n de transferencia de la forma:
o
s+z
GP I+F = Kc
s(s + p)
99](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-107-320.jpg)
![20
0
Magnitud (dB) a lazo abierto. |Gn(jω)Gc(jω)|
−20
−40
−60
−80
−100
−1 0 1 2 3
10 10 10 10 10
Frecuencia (rad/s)
Figura IV.6.: Respuesta frecuencial del lazo.
se escogieron z = 1 y p = 100 para la aproximaci´n. La ganancia Kc del compensador se calcul´ de tal manera
o o
que el diagrama de magnitud coincida en bajas frecuencias. Ello se logra haciendo K c = 100.
El controlador obtenido resulta:
s+1
GP I+F = −100
s(s + 100)
y la respuesta que se obtiene del sistema se puede observar en la figura IV.7.
1.4
1.2
Salida del lazo (y(t)) con controlador PI
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo (s)
Figura IV.7.: Respuesta con PI+F robusto.
A fin de evaluar el desempe˜o de controlador calculado GP I+F contra uno de selecci´n est´ndar, se sintoniz´ por
n o a o
Ziegler-Nichols [ZN42] un PID para el sistema en cuesti´n, obteni´ndose:
o e
s + 0,3
GZN = −1,26
s
y cuyo desempe˜o se muestra en la figura IV.8.
n
100](https://image.slidesharecdn.com/multiobjetivos-120416173122-phpapp02/85/Diseno-Robusto-y-Multiobjetivos-de-Sistemas-108-320.jpg)
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Subido porWilliam Colmenares
Diseño Robusto y Multiobjetivos de Sistemas
Este documento presenta apuntes sobre control robusto y multiobjetivos de sistemas. Se divide en cuatro capítulos que tratan sobre análisis de sistemas con múltiples objetivos, análisis y síntesis de controladores para sistemas con saturaciones, síntesis de controladores mediante programación semidefinida y sintonización robusta de controladores industriales. El documento proporciona una introducción a cada uno de estos temas y sus aplicaciones en el diseño de controladores.
Diseño Robusto y Multiobjetivos de Sistemas
- 1. Apuntes sobre controlrobusto y multiobjetivos de sistemas Williams Colmenares M. Universidad Sim´n Bol´ o ıvar Departamento de Procesos y Sistemas Fernando Tadeo R. Universidad de Valladolid Departamento de Ingenier´ de Sistemas y Autom´tica ıa a
- 3. A Teresa yHugo A Luisa Elena, Luis Carlos, Bruno, Daniel e Isabella
- 5. ´ Indice general I. An´lisis de sistemas con m´ltiples objetivos a u 1 I.1. Controladores multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2. Sobre la norma de se˜ales y sistemas . . . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3. Evaluaci´n de las normas 2 e infinito de un sistema o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 I.4. Desigualdades matriciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.5. Estabilidad robusta y desempe˜o nominal . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II. An´lisis y s´ a ıntesis de controladores para sistemas con saturaciones 33 II.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 II.2. Especificaciones de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 II.3. An´lisis 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 II.4. Estabilidad robusta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 II.5. Soluci´n mediante programaci´n lineal . . . . o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 II.6. Control de un reformador de hidr´geno . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 II.7. M´todo de c´lculo basado en LMIs . . . . . . e a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 II.8. Resumen del cap´ ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 III. S´ıntesis de controladores mediante programaci´n semidefinida o 57 III.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 III.2. Estabilidad cuadr´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 III.3. Sistemas con incertidumbre acotada en norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 III.4. Sistemas poli´dricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 III.5. Condiciones menos conservadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 III.6. Dise˜o por realimentaci´n de la salida . . . . . . . . . . . . n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 III.7. Sistemas ciertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 III.8. Sistemas con incertidumbre acotada en norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 III.9. Sistemas con incertidumbre poli´drica . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 IV. Sintonizaci´n robusta de controladores industriales o 91 IV.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 IV.2. Los algoritmos PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 IV.3. PID v´ LMIs iterativas . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 IV.4. El algoritmo ILMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 IV.5. Comparaci´n de t´cnicas de entonaci´n . . . . o e o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 IV.6. Enfoque frecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 i
- 6. A. Factorizaci´n coprima o 103 A.1. Factorizaci´n coprima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 o A.2. Parametrizaci´n de Youla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 o ii
- 7. Presentaci´n o Este libro trata sobre programaci´n convexa aplicada al control. En particular, de la programaci´n lineal y o o la semidefinida. Recientes desarrollos han despertado mucho inter´s en este campo, y entre ellos mencionamos e los asociados con la teor´ de control robusto y los m´todos num´ricos de puntos interiores. La primera permite ıa e e estudiar en un marco unificado la incertidumbre sobre el sistema y sobre las perturbaciones externas. Los segundos permiten resolver de manera muy eficiente problemas convexos. Adem´s, y esperamos convencer de ello al lector a que con paciencia avance por el libro, es muy grande el campo de las aplicaciones de la programaci´n convexa o en el control. En estos apuntes nos concentramos en el dise˜o de sistemas de control para sistemas lineales invariantes en el n tiempo, a los que imponemos m´ltiples objetivos en el desempe˜o del lazo –cerrado– de control (e.g., estabilidad, u n rapidez, atenuaci´n, sensibilidad). De particular inter´s son aquellos sistemas en los que la incertidumbre en el o e modelo o las perturbaciones externas son de tal magnitud que deben tenerse en consideraci´n expl´ o ıcitamente. As´ en este trabajo analizamos sistemas con incertidumbre surgida de imperfecciones del modelo, t´ ı, ıpicamente representada por una funci´n de transferencia que afecta globalmente al sistema en estudio. Adem´s, analizamos o a incertidumbre asociada con los par´metros y de muy alta estructura. En cuanto a las perturbaciones, al contrario a del enfoque tradicional que presupone la forma y s´lo desconoce el momento en la que afectar´ al sistema, o a unicamente asumiremos conocida alguna cota superior (e inferior si es el caso) de ella (e.g., energ´ amplitud, ´ ıa, ruido blanco). En el caso de sistemas inciertos, estudiamos sistemas con incertidumbre acotada en norma y con incertidumbre poli´drica. Ambos tipos con implicaciones pr´cticas importantes. El enfoque de partida es el cuadr´tico, esto es, e a a siempre buscamos una funci´n de Lyapunov com´n a todos los modelos que pueda tener un sistema. Desde el o u enfoque cuadr´tico, se derivan condiciones mucho menos conservadoras al encontrar ya no una sino diferentes a funciones de Lyapunov. Ambos enfoques se basan en una representaci´n del sistema en variables de estado. Esto o pone al alcance del dise˜ador herramientas sumamente poderosas de an´lisis y s´ n a ıntesis de compensadores. Ventaja adicional de este marco (variables de estado) es que no se hace ninguna distinci´n en el tratamiento de sistemas o MIMO o SISO. En esa parte del trabajo (sistemas con incertidumbre) revisamos una serie de resultados de la ahora muy conocida teor´ del control robusto y ponemos ´nfasis en un enfoque integrador de la misma. Uno de los aportes ıa e de este trabajo es sin duda la soluci´n ofrecida al dise˜o con objetivos m´ltiples cuando no todos los estados o n u est´n disponibles y solamente una parte de ellos puede retroalimentarse, us´ndose para control. Todos nuestros a a aportes est´n basados en el dise˜o de un controlador din´mico. a n a Tanto en el tratamiento de la incertidumbre como en el caso de las perturbaciones, el logro de los objetivos de
- 8. control se eval´aa trav´s de la “norma” de una funci´n de transferencia. Observe que hasta ac´ no hemos hecho u e o a ninguna distinci´n entre sistemas continuos y discretos; la raz´n es que, en general, se desarrollar´n resultados o o a para ambos tipos de sistemas con el enfoque propuesto (normas). Notable excepci´n es la norma 1 cuyo ´mbito o a b´sicamente son los sistemas discretos y a cuyo estudio dedicamos un cap´ a ıtulo entero. A trav´s de esta norma, e se resuelve el problema de control robusto en el que la incertidumbre se describe en t´rminos de magnitud. e Las herramientas fundamentales de desarrollo son las desigualdades matriciales lineales, que se obtienen de una aplicaci´n de la f´rmula del complemento de Schur. Con ellas se puede formular una serie importante de o o problemas como uno de programaci´n convexa. De esta manera, problemas del ´mbito de H ∞ , H2 , 1 , ubicaci´n o a o de polos en regiones, pasividad y otro buen n´mero, encuentran un marco com´n de planteamiento. De all´ que, u u ı en ocasiones, hablemos de “dise˜o multiobjetivos de sistemas”, ya que especificar condiciones de desempe˜o del n n tipo antes mencionado significa sumar (en realidad intersectar) colecciones de desigualdades matriciales lineales en b´squeda de un punto factible: el controlador. u Tambi´n importante, en este trabajo proponemos un par de enfoques para entonar controladores industriales e con estructura est´ndar, siempre en el ´mbito de la programaci´n convexa. a a o El objetivo del libro es poner al alcance del lector conocimiento y t´cnicas de la programaci´n lineal y semidefi- e o nida que se aplican al an´lisis y dise˜o de sistemas de control. Como la lista de aplicaciones es extensa, en muchos a n casos hacemos demostraci´n rigurosa de algunos resultados y dejamos al lector el desarrollo de la extensi´n a o o otros casos; por ejemplo, se demuestra estabilidad y se deja para el lector las demostraciones de ubicaci´n de o polos, H2 , etc. El libro est´ originalmente pensado para cursos electivos de pre y postgrado en sistemas de control, espec´ a ıfica- mente sobre aplicaciones de la programaci´n convexa o de m´todos num´ricos en control. Tambi´n puede usarse o e e e en cursos b´sicos de sistemas de control, como complemento a las muy conocidas t´cnicas anal´ a e ıticas de dise˜o de n controladores, en cursos de sistemas multivariables y de control robusto. En el cap´ıtulo I se sientan las bases te´ricas que justifican los resultados presentados en los cap´ o ıtulos subsi- guientes. En el cap´ ıtulo II se presentan aplicaciones de la programaci´n lineal al c´lculo de controladores con o a restricciones de saturaci´n, basadas en la norma 1 . En el cap´ o ıtulo III se presentan algunas aplicaciones de la programaci´n semidefinida al c´lculo de controladores H∞ , H2 y ubicaci´n de polos. En el cap´ o a o ıtulo IV se presen- tan algunas aplicaciones espec´ ıficas al c´lculo de controladores tipo proporcional, integral y derivativo, ello por a lo extendido del uso de este tipo de controladores. Los cap´ ıtulos II, III y IV son independientes y, completado el estudio del cap´ıtulo I, el lector interesado puede ir directamente a cualquiera de ellos. Este libro es fruto de la intensa cooperaci´n cient´ o ıfica que hemos sostenido entre la Universidad Sim´n Bol´ o ıvar en Caracas, la Universidad de Valladolid en Valladolid y el Laboratoire d’Analyses et Architecture des System`s e (LAAS) en Toulouse. En particular, los autores desean expresar su agradecimiento a los colegas Ernesto Granado, Omar P´rez, Jacques Bernussou, C´sar de Prada, Francisco del Valle, Maite Ur´ y Rosalba Lamanna. A la jefa e e ıa de Producci´n de la Editorial Equinoccio, Margarita Oviedo, por su desprendido apoyo y a Jos´ Manuel Guilarte o e por su paciente correcci´n del estilo del libro. Igualmente, agradecemos a las instituciones que hicieron posible esa o cooperaci´n, a saber, los programas CYTED-RIII, PCP Automatique, PCP Optimizaci´n de Sistemas y FEDER. o o A las instituciones CICYT y al FONACIT. Finalmente, agradecemos el financiamiento de la publicaci´n que o realiza el Ministerio de Educaci´n y Ciencia Espa˜ol, a trav´s del proyecto CICYT DPI2004-07444-C04-02, y a o n e la Universidad Sim´n Bol´ o ıvar, a trav´s de la Editorial Equinoccio y de la Direcci´n de Cultura. e o Williams Colmenares, en Caracas, y Fernando Tadeo, en Valladolid iv
- 9. CAP´ ITULO I An´lisis de sistemas con m´ltiples objetivos a u I.1. Controladores multiobjetivo El dise˜o de estrategias de control que aseguren un n´mero de objetivos (especificaciones) en un lazo de control n u ha sido objeto de intensa investigaci´n y estudio, pasando en los ultimos 50 a˜os de ser un campo intuitivo y o ´ n de sentido com´n (“de ingenio”) [Cor96], [AH95], a uno riguroso y formal en el que matem´ticos e ingenieros u a encuentran tierra f´rtil. e Dentro de las disciplinas que conforman los sistemas de control, el estudio de los sistemas lineales invariantes en el tiempo ha conocido enormes avances y cambios en los paradigmas de su estudio, en parte por su simplicidad y propiedades que permiten la aplicaci´n de poderosas herramientas matem´ticas y en parte porque esos resultados o a pueden ser aplicados a un importante n´mero de sistemas, incluyendo algunos muy complejos (e.g., multimodelos u [CGP98], no lineales [BA95], etc). De esta manera, el dise˜o de controladores para sistemas lineales ha evolucionado desde reglas muy simples de n sintonizaci´n [ZN42], ajustes de margen de fase y de ganancia [Kuo95], [PH96], dise˜o basado en representaciones o n de estado como ubicaci´n de polos [PH96], control ´ptimo, [AM89], LQG/LTR [DS81], dise˜o basado en el margen o o n del m´dulo (u operador diferencia de retorno) [DFT92], basado en los valores singulares y control robusto [San89], o [MZ89], [DGK89], llegando hasta los paradigmas basados en la manipulaci´n de normas (de se˜ales o de sistemas) o n y dentro de los que podemos mencionar H∞ , H2 , L1 , 1 . Este enfoque se ve fortalecido con la posibilidad de ubicar los modos de un sistema, no en puntos exactos del plano “s”, sino m´s bien en regiones del mismo (t´cnicas a e denominadas de root clustering) y a lo que tambi´n denominaremos ubicaci´n de polos [CGP96]. e o Todo ello encuentra adem´s un medio integrado de formulaci´n en las desigualdades matriciales lineales (LMIs) a o [Boy94] que surgen de la f´rmula del complemento de Schur, esto es, los problemas antes mencionados pueden o formularse como un conjunto de esas desigualdades (LMIs). Si, como demostraremos, los controladores H2 aseguran un buen rechazo al ruido y los controladores H∞ funcionan bien, aun en presencia de incertidumbre asociada con din´micas no modeladas y reflejadas sobre todo a en altas frecuencias o en presencia de perturbaciones no conocidas pero acotadas en energ´ y si el agrupamiento ıa, de polos permite especificar algunas caracter´ ısticas de la respuesta temporal del sistema, entonces entenderemos
- 10. c´mo “el dise˜ode controladores multiobjetivos” se refiere a una estrategia de control que permite, de manera o n expl´ ıcita, establecer todas (o algunas) de esas especificaciones —antes mencionadas— en el c´lculo del contro- a lador. Observe que la lista de especificaciones no es agotadora y que, adicionalmente, pueden incluirse otras especificaciones como cero error en estado estacionario (offset), estructura del controlador, etc., aunque ya no como LMIs y de all´ que su inclusi´n conlleve un tratamiento especial en cada caso. ı o Adicionalmente, bajo el mismo enfoque puede considerarse incertidumbre param´trica en el modelo, esto es, e incertidumbre en bajas frecuencias normalmente asociada con variaci´n —o desconocimiento— en los par´metros o a del modelo. En este texto nos proponemos presentar una visi´n integrada del dise˜o de controladores multiobjetivo, con o n particular ´nfasis en los casos en los que aparece incertidumbre param´trica en los sistemas. Aunque la aplicaci´n e e o a sistemas perfectamente conocidos tiene no poca importancia, la extensi´n a ese tipo de sistemas ciertos, en o la mayor´ de los casos, es inmediata y hace del enfoque una herramienta aun m´s poderosa para el dise˜o de ıa a n controladores. En este trabajo entenderemos como controlador multiobjetivos a aquel que satisface simult´neamente ciertos a criterios de desempe˜o (performance/prestaci´n) medidos a trav´s de: n o e la norma H2 la norma H∞ la ubicaci´n de polos o la norma 1. Sin embargo, a´n no hemos definido formalmente tales elementos de medida, de all´ que este primer cap´ u ı ıtulo lo consagremos a sentar las bases de tal meta, es decir, las definiciones y demostraciones que luego ser´n usadas a en todo el resto del trabajo. Cuando nos referimos a una representaci´n de estados, lo hacemos con respecto a un sistema como el descrito o en (I.1), basado en una representaci´n en variables de estado de un sistema (LTI), que en su forma gen´rica es: o e x(t) = Ax(t) + Bu(t) + B1 w(t) ˙ y(t) = Cx(t) + Dw(t) (I.1) z(t) = C1 x(t) + D1 u(t) donde x(t) ∈ IRn es el vector de estados, u(t) ∈ IRm es el vector de control, w(t) ∈ IRnw es el vector de perturbaciones externas, y(t) ∈ IRp es el vector de salidas medibles y z(t) ∈ IRnz es el vector de salidas a controlar. Las matrices A, B, B1 , C, C1 , D, D1 son matrices reales de dimensiones apropiadas que pueden o no ser matrices constantes. I.2. Sobre la norma de se˜ ales y sistemas n Las normas son operaciones matem´ticas (funciones) realizadas sobre un operando (un vector, una matriz, una a se˜al, un sistema, etc.) que nos permiten compararla con sus similares (otro vector, matriz, etc.). En ese sentido, n son m´tricas (medidas) que dan informaci´n sobre el tama˜o del elemento al cual se le aplica la norma. e o n De particular inter´s para este texto son las normas de se˜ales y sistemas. Para facilitar la presentaci´n de las e n o normas que usaremos de se˜ales y sistemas, comenzamos con las de vectores y matrices. n 2
- 11. Normas de vectoresy matrices Sea Cn el espacio lineal de los n´meros complejos de dimensi´n n. Diremos x ∈ C n implicando: u o x = (x1 , x2 , . . . , xn ) con xi ∈ C. Las normas m´s comunes en Cn est´n dadas por: a a x p = (|x1 |p + |x2 |p + . . . + |xn |p )1/p p = 1, 2, ∞ donde |xi | es la magnitud de xi y x ∞ se interpreta como: m´x |xi |. a i La norma x 2 , cuando x ∈ IRn , es simplemente la longitud euclideana del vector x. Sea ahora Cn×n , el espacio de matrices en n × n con elementos en C. Normas comunes de A ∈ C n×n son (i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n): n A 1 = m´x a |aij | j i=1 n A ∞ = m´x a |aij | i j=1 y la norma espectral A 2 = m´x σi (A) = σ (A) a ¯ i donde σi (A) es el valor singular i-´simo de A, que se calcula de la forma: e σi (A) = λi (AH A) y AH es el conjugado hermitiano de A –transpuesto m´s complejo conjugado de la matriz–. Podemos observar a que, de acuerdo con la definici´n, todos los valores singulares son n´meros reales. o u Normas de se˜ ales y sistemas n Sea Y (s) una funci´n de C → Cn y sea Ln el conjunto de todas las funciones de dimensi´n n para las que la o 2 o siguiente cantidad es finita: ∞ 1/2 1 Y (s) 2 = Y (jω)H Y (jω)dω . (I.2) 2π −∞ (I.2) define la norma-2 de la funci´n Y (s). Para el caso en el que Y (s) no tenga polos en el semiplano derecho o (cerrado), el teorema de Parseval nos da el equivalente en el dominio del tiempo de esa norma. Para ello, sea Y (s) la transformada de Laplace de y(t). Entonces se cumple que: ∞ 1/2 Y (s) 2 = y(t) 2 = y(t)T y(t)dt . 0 En el caso de que el sistema Y (s) sea una matriz de sistemas (funciones) de dimensiones m × n se tiene que: ∞ 1/2 1 Y (s) 2 = T r Y (jω)H Y (jω) dω . 2π −∞ 3
- 12. Observe que YH (jω) = Y (−jω)T . Si Y (s) ∈ Lm×n entonces 2 Y (s) ∞ = sup σ (Y (jω)) ¯ (I.3) ω donde σ es el valor singular m´ximo, esto es: ¯ a σ (Y (jω)) = m´x ¯ a λi (Y (jω)H Y (jω)). i El siguiente teorema establece que la norma infinita es la norma inducida de la norma 2. Teorema I.1 ([MZ89] y [San89]) Sea el sistema (I.1) en el que la perturbaci´n –w(t)– es cero y sean Y (s) o y U (s) las transformadas de y(t) y u(t). Sabemos que Y (s) = G(s)U (s), con, G(s) = C(sI − A) −1 B y g(t) la transformada inversa de G(s). Consideremos igualmente que deseamos conocer la cota m´ ınima superior de la salida cuando u 2 ≤ 1. Entonces: G(s) ∞ = sup y(t) 2 . (I.4) u(t) 2 ≤1 G(s) 2 = sup y(t) ∞. (I.5) u(t) 2 ≤1 La demostraci´n de este teorema puede encontrarse en las referencias mencionadas en el enunciado y se basa en o el hecho de que el lado izquierdo de (I.4) y (I.5) en general sobreestima las normas y(t) 2 y y(t) ∞ , pero si no hay restricci´n en la se˜al de control u(t) salvo la de su cota en la norma 2, siempre puede construirse una se˜al o n n u(t) ∈ Lm (de hecho, para el caso de la norma infinito, escogiendo u(t) como una sinusoide cuyo espectro sean 2 dos pulsos centrados en −ω0 y ω0 , la frecuencia de la norma infinito, de ancho 2ε y altura π/2ε y en el caso de la norma 2, como g(−t)/ G 2 ) tal que esa cota superior sea alcanzada. Observaci´n I.1 Observe que (I.4) puede interpretarse como que la norma infinita y dos de la funci´n de o o transferencia entre “u(t)” y “y(t)” en el sistema (I.1) da la m´xima amplificaci´n de la energ´ de la se˜al de a o ıa n entrada u(t) medidas como energ´ y valor pico respectivamente. ıa Observaci´n I.2 En este libro nos concentraremos en las normas dos e infinito que son las de uso m´s com´n. o a u Ellas, sin embargo, son s´lo un subconjunto de restricciones que de forma gen´rica se denominan Restricciones o e Integrales Cuadr´ticas (ICQ por sus siglas en ingl´s) [Boy94]. Estas restricciones pueden igualmente ser descrita a e como LMIs. Ejemplo normas 2 e infinito Se desea calcular la norma infinito y 2 del siguiente sistema: 1 G(s) = s+5 Para el c´lculo de la norma 2 se puede usar el teorema de Parseval, esto es: a G(s) 2 = g(t) 2 4
- 13. donde g(t) esla respuesta al impulso de G(s), esto es: g(t) = e−5t t≥0 entonces ∞ 1/2 ∞ 1 −10t 1 G(s) 2 = {e−5t e−5t }dt =− e =√ . 0 10 0 10 En el caso de la norma infinito, se sabe que: 1 G(s) ∞ = sup |G(jω)| = sup √ = 0,2. ω ω ω 2 + 52 Ejemplo valores singulares Considere el sistema: 1 s G(s) = s2 + 9 −5 y se desea dibujar la evoluci´n de sus valores singulares cuando ω toma valores en el intervalo [0, ∞). Igualmente, o se desean esos mismos valores para G11 (s) y G12 (s). Hay que determinar tambi´n el valor de la norma infinito. e Note que en el caso de las transferencias G11 (s) y G22 (s) la respuesta graficada es simplemente el diagrama de Bode, siendo como son funciones de transferencia SISO. Un programa en Matlab que calcula y grafica los valores singulares se lista a continuaci´n: o s=tf(’s’) g11=s/(s^2+9) g12=-5/(s^2+9) G=[g11;g12] sigma(G,’k’,g11,’r’,g12,’b’) y la gr´fica de los valores singulares vs frecuencia se muestra en la figura (I.1). a Observe que en ω = 3 los valores singulares no est´n definidos, i.e., a G(s) ∞ = G11 (s) = G12 (s) = ∞. En realidad hemos abusado del lenguaje, porque para ese sistema la norma infinita no existe, siendo que no es finita o, dicho de otra manera, la norma infinita no es de ninguna utilidad para este sistema. Consideremos ahora sistemas discretos lineales invariantes en el tiempo y sea x(k) una funci´n (secuencia) de o II → IRn . La norma p de x se define como [DD95]: 1 ∞ p x p = |x(k)|p ) p k=0 si esa cantidad es finita. En la ecuaci´n anterior, | · |p es la norma p del vector x(k) e II es el conjunto de los o n´meros enteros. De particular inter´s son las normas donde p = 1, 2, ∞ y, en el caso de que p = ∞, esa norma u e se define como: x ∞ = sup m´x |xi (k)|. a ω i Finalmente, enunciamos sin demostraci´n el lema sobre la descomposici´n en valores singulares tomado de o o [GL95]: 5
- 14. 60 40 G(ω) y G (ω) 12 20 G(ω) y G (ω) Valores singulares 11 0 −20 −40 G11(ω) −60 G12(ω) −80 −1 0 1 2 10 10 10 10 Frecuencia (rad/s) Figura I.1.: Evoluci´n de los valores singulares. o Lema I.1 Para cualquier matriz compleja Q ∈ IRm×p , existen matrices unitarias Y y U en m × x y p × p y una matriz real Σ tal que: Σ 0 Q=Y UH (I.6) 0 0 en el que Σ = diag(σ1 , . . . , σr ) con σ1 ≥ σ2 ≥ . . . ≥ σr ≥ 0 y m´ ın(m, p) ≥ r. Adem´s σi son los valores a singulares de Q. Cuando Q es real, el par (Y, U ) pueden escogerse ortonormales. La expresi´n (I.6) es com´nmente o u denominada descomposici´n en valores singulares de Q. o I.3. Evaluaci´n de las normas 2 e infinito de un sistema o En la secci´n previa hemos introducido brevemente las definiciones de normas 2 e infinito de se˜ales y sistemas. o n Salvo en muy pocos casos, estas definiciones no nos proporcionan un medio eficaz para el c´lculo de tales normas. a En esta secci´n presentamos un conjunto de medios que nos permiten el c´lculo de esas normas, en sistemas o a lineales con representaci´n de estados. o Con este prop´sito, consideremos una representaci´n simplificada del sistema (I.1) y tengamos al sistema lineal o o invariante en el tiempo (LTI): x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ (I.7) y(t) = Cx(t) donde x(t) ∈ IRn es el vector de estados, u(t) ∈ IRm es el vector de entradas (control) y y(t) ∈ IRp es el vector de salidas medibles del sistema. A, B, C son matrices constantes de dimensiones apropiadas. Es f´cil demostrar que la funci´n de transferencia del sistema [PH96] es: a o Y (s) G(s) = = C(sI − A)−1 B. (I.8) U (s) Los siguientes teoremas nos dan las herramienta de c´lculo de esas normas que buscamos. a 6
- 15. Teorema I.2 ([ZK88])Para el sistema (I.7), las siguientes proposiciones son equivalentes: 1. A es una matriz estable y G(s) ∞ ≤γ 2. Existe una matriz P definida positiva tal que AT P + P A + γ −2 P BB T P + C T C < 0. (I.9) Demostraci´n: Una comprobaci´n muy sencilla de que (2) ⇒ (1) est´ inspirada en las propiedades del operador o o a diferencia de retorno (return difference operator) que se hace en [AM89] y es como sigue: cambiando el signo de la desigualdad (I.9) y sumando y restando sP con s = jω y ω la frecuencia en la que ocurre la norma infinito de G, tenemos que: (−sI − A)T P + P (sI − A) − γ −2 P BB T P − C T C > 0, (I.10) multiplicando la derecha de (I.10) por (sI − A)−1 B y a la izquierda por su transpuesto complejo conjugado (hermitiano) resulta en: B T P (sI − A)−1 B + B T (−sI − AT )−1 P B −γ −2 B T (−sI − AT )−1 P BB T P (sI − A)−1 B ≥ (I.11) B T (−sI − AT )−1 C T C(sI − A)−1 B 2 a la derecha de la desigualdad (I.11) reconocemos G(s) ∞ y recordando que: [γI − γ −1 B T P (sI − A)−1 B]H [γI − γ −1 B T P (sI − A)−1 B] ≥ 0, la proposici´n (1) sigue. La demostraci´n de que (1) ⇒ (2) puede encontrarse en la cita antes enunciada. o o Teorema I.3 ([San89] [PSG92]) Consideremos al sistema (I.7) y sea A una matriz hurwitz (estable), entonces 2 G(s) 2 = T r(CLc C T ) = T r(B T Lo B) (I.12) donde Lc es el gramiano de controlabilidad y Lo es el gramiano de observabilidad y satisfacen: ALc + Lc AT + BB T = 0 (I.13) A T Lo + L o A + C T C = 0. Demostraci´n: Sin p´rdida de generalidad, nos limitaremos a los sistemas de una entrada y una salida (SISO). o e Igualmente, como ambas demostraciones son similares nos limitaremos a la asociada al gramiano de controlabi- lidad. En tal sentido, recordemos que: ∞ T Lc = eAt BB T eA t dt 0 donde A n tn eAt = I + At + . . . + + ... n! luego se cumple que: d(eAt ) = AeAt = eAt A dt ahora bien, ∞ T CLc C T = CeAt BB T eA t C T dt 0 pero recordemos que la transformada inversa de G(s) es L−1 (G(s)) = g(t) = CeAt B y entonces ∞ CLc C T = g(t)g(t)T dt = g(t) 2 2 0 7
- 16. y por elteorema de Parseval 2 2 G(s) 2 = g(t) 2 = CLc C T por otra parte ALc + Lc AT + BB T = ∞ T ∞ At T 0 AeAt BB T eA t dt + 0 e BB T eA t AT dt + BB T = ∞ d T T 0 dt eAt BB T eA t dt + BB T = eAt BB T eA t |∞ 0 + BB T T T −BB + BB = 0. Ejemplo En el sistema que se describe a continuaci´n, se desea calcular las normas 2 e infinito de: o s G(s) = s2 + s + 1 el listado de un programa de MATLAB que las calcula se muestra a continuaci´n o s=tf(’s’) G_tf=s/(s^2+s+1) G=ss(G_tf) Lc=gram(G,’c’) [a,b,c]=ssdata(G) Norma2=c*Lc*c’ Lo=gram(G,’o’) OtraN2=b’*Lo*b Respuesta=bode(G); NormaInf=max(Respuesta) obteni´ndose: e G(s) 2 = 0,5 y G(s) ∞ = 1. I.4. Desigualdades matriciales lineales Una desigualdad matricial lineal (LMI por sus siglas en ingl´s, Linear Matrix Inequality) tiene la forma [Boy94]: e m F (x) = F0 + x i Fi > 0 (I.14) i=1 donde x ∈ IRm es la variable y las matrices sim´tricas Fi (=FiT ∈ IRn×n ), i = 0, . . . , m son dadas. La desigualdad e en (I.14), entendi´ndose como que F (x) es una matriz definida positiva, i.e., u T F (x)u > 0 para todo u ∈ IRn e diferente de cero. Observaci´n I.3 Hay que se˜alar que pueden tenerse desigualdades matriciales lineales no estrictas si la des- o n igualdad es del tipo ≥. Una caracter´ıstica interesante es que desigualdades matriciales (convexas) no lineales pueden ser convertidas a LMIs a trav´s de la f´rmula del complemento de Schur y que detallamos a continuaci´n. e o o Lema I.2 ([Boy94]) Las siguientes proposiciones son equivalentes: 8
- 17. 1. P Q S1 = >0 (I.15) QT R 2. P > 0 y R − QT P −1 Q > 0 o ´ 3. R > 0 y P − QR−1 QT > 0. Demostraci´n: Surge del hecho de que siendo (I.15) definida positiva (> 0), entonces P y R tambi´n lo son. o e Construyendo la matriz de transformaci´n T1 regular (con autovalores todos diferentes de cero, de hecho todos o iguales a uno): I −P −1 Q T1 = (I.16) 0 I entonces P 0 T S2 = = T 1 S1 T1 . (I.17) 0 R − QT P −1 Q siendo que S1 es definida positiva y T1 regular (de hecho tambi´n definida positiva), entonces S2 > 0. Por otro e lado, si S2 > 0 entonces P y R son definidas positivas, siendo que T1 es regular, entonces: −1 S1 = (T1 )−1 S2 T1 T (I.18) de donde surge que S1 > 0 y la primera proposici´n del lema (I.15) queda demostrada. o Podemos proceder de manera similar con la proposici´n 2 del Lemma (I.15) si definimos la matriz de transfor- o maci´n: o I 0 T2 = . (I.19) −R−1 QT I Dejamos al lector tal demostraci´n o Es interesante describir al lema (I.15) en su forma dual. Lema I.3 Las siguientes proposiciones son equivalentes: 1. −P Q <0 (I.20) QT −R 2. P > 0 y QT P −1 Q − R < 0 o ´ 3. R > 0 y QR−1 QT − P < 0. En conclusi´n, las LMI (I.15) y (I.20) son equivalentes a sus contrapartes no lineales. o Observaci´n I.4 Hacemos notar que en una LMI las variables son matrices que aparecen en forma lineal en la o desigualdad. Una vez escrita como una LMI, podemos invocar con certeza la convexidad de la desigualdad, lo que muchas veces no es aparente de las desigualdades no lineales. Observaci´n I.5 Una vez escrita una desigualdad matricial como una LMI, existen herramientas poderosas o para la resoluci´n de tales problemas, como por ejemplo el “Toolbox de LMIs de Matlab”, [GNL95], que utiliza o m´todos (e.g., del elipsoide [Win94]) que aprovechan la estructura particular de las LMI para su resoluci´n. e o 9
- 18. En un sentidom´s amplio, los problemas formulados en t´rminos de desigualdades matriciales lineales no son a e m´s que problemas de programaci´n semidefinida, los que a su vez son una generalizaci´n de los muy conocidos a o o problemas de programaci´n lineal en las que las restricciones de desigualdad son reemplazadas por desigualdades o generalizadas, correspondientes al cono de matrices semidefinidas [PL03]. En su forma primal pura, un problema de programaci´n semidefinida se define como el problema de optimiza- o ci´n: o m´ın traza(CX) sujeto a traza(Ai X) = bi ∀i = 1, . . . , m, (I.21) X≥0 donde X ∈ Sn , el espacio de matrices reales y sim´tricas en n × n, b ∈ IRm y C, A1 , . . . , Am ∈ Sn , son matrices e sim´tricas dadas. e En este libro presentaremos una serie de resultados sobre el an´lisis y s´ a ıntesis de controladores H ∞ , H2 y de ubicaci´n de polos en regiones que encuentran un marco com´n en su formulaci´n a trav´s de LMIs, esto es, o u o e como un problema de programaci´n semidefinida. As´ por ejemplo, la desigualdad (I.9) puede escribirse como la o ı, siguiente LMI en P > 0: AT P + P A + C T C P B <0 (I.22) BT P −γ 2 I o en su forma dual si definimos S = P −1 , AS + SAT + γ −2 BB T SC T < 0. CS −I La demostraci´n sigue de una aplicaci´n directa del complemento de Schur. o o De la misma forma, el problema de costo garantizado [CP72] y [PSG92] que brevemente significa que: 2 G(s) 2 <γ puede escribirse como un problema de factibilidad, esto es, encontrar P > 0 tal que: 1. γI CP >0 (I.23) P CT P 2. AP + P AT + BB T < 0 (I.24) Demostraci´n: En efecto, si la segunda condici´n (I.24) es satisfecha, se cumple que P > L c , por lo que o o 2 G 2 = CLc C T ≤ CP C T pero la LMI de la condici´n (I.23) implica que CP C T < γI. o Observaci´n I.6 Cuando no hay incertidumbre en el modelo se puede, con la introducci´n de una variable o o matricial adicional W , conseguir el m´ınimo de esa norma [GPS92] y que por supuesto coincide con el que arroja el enfoque, digamos cl´sico, del control optimo [AM89]. a ´ En lo sucesivo nos referiremos a un controlador H2 (o H∞ ) como aquel que hace que la norma 2 (o infinito) de la funci´n de transferencia del sistema a lazo cerrado cumpla con alguna especificaci´n (usualmente cota superior) o o dada. Ambas normas no son m´s que un subconjunto de una clase m´s amplia de restricciones denominadas a a Restricciones integrales cuadr´ticas (o IQC por sus siglas en ingl´s) que pueden igualmente representarse por a e conjuntos de LMIs. Podemos notar que el problema de dise˜o de un controlador que satisfaga criterios en ambas normas (H 2 y n H∞ ) puede formularse como una colecci´n de LMIs. o 10
- 19. Ejemplo Consideremosuna vez m´s el sistema del ejemplo de la secci´n (I.3) y calculemos cotas para sus normas 2 e a o infinito. El listado MATLAB, destinado al c´lculo de una matriz P para una cota superior —digamos 1.01— de la a norma infinito, se muestra a continuaci´n. Se hace uso del toolbox de desigualdades matriciales lineales. o num=[1 0]; den=[1 1 1]; [a,b,c,d]=tf2ss(num,den); gamma=1.01; setlmis([]); p=lmivar(1,[2 1]); lmiterm([1 1 1 p],a’,1,’s’); % LMI #1: a’*p+p*a lmiterm([1 1 1 0],c’*c); % LMI #1: c’*c lmiterm([1 2 1 p],b’,1); % LMI #1: b’*p lmiterm([1 2 2 0],-gamma^2); % LMI #1: -gamma lmiterm([-2 1 1 p],1,1); % LMI #2: p eje14=getlmis; [tmin,popt]=feasp(eje14); p=dec2mat(eje14,popt,1) y una matriz P que verifica la condici´n (I.22) esta dada por o 1,0047 0,0037 P = . 0,0037 1,0054 √ Por otra parte, el listado MATLAB del c´lculo de una matriz P > 0, para una cota superior de 0,501 de la a norma 2, se muestra a continuaci´n. De nuevo se utiliza el toolbox de desigualdades matriciales lineales. o num=[1 0]; den=[1 1 1]; [a,b,c,d]=tf2ss(num,den); gamma=0.501; setlmis([]); p=lmivar(1,[2 1]); lmiterm([-1 1 1 0],gamma); % LMI #1: gamma^2 lmiterm([-1 2 1 p],1,c’); % LMI #1: p*c’ lmiterm([-1 2 2 p],1,1); % LMI #1: p lmiterm([2 1 1 p],a,1,’s’); % LMI #2: a*p+p*a’ lmiterm([2 1 1 0],b*b’); % LMI #2: b*b’ lmiterm([-3 1 1 p],1,1); % LMI #3: p eje142=getlmis; [tmin,popt]=feasp(eje142); p=dec2mat(eje142,popt,1) siendo una matriz P > 0 que verifica (I.23) y (I.24): 0,5006 −0,0003 P = . −0,0003 0,5008 11
- 20. I.5. Estabilidad robusta y desempe˜ o nominal n El dise˜o de sistemas de control que aseguren un buen desempe˜o del lazo, en presencia de incertidumbre en n n el modelo y/o de perturbaciones persistentes de las cuales s´lo se conozca una cota en su energ´ ha sido objeto o ıa, de intensa investigaci´n desde finales de la d´cada de los 70’s. En efecto, el control robusto es una teor´ que ha o e ıa alcanzado madurez y que goza de amplia aceptaci´n, dada su caracter´ o ıstica de manejo expl´ ıcito del conocimiento de la incertidumbre y de las perturbaciones externas. En esta secci´n presentamos las bases sobre las que se fundamenta esta teor´ y que, de una manera muy o ıa simple, pueden resumirse en: bajo suposiciones adecuadas, tanto el problema de estabilidad robusta como el de desempe˜o nominal pueden formularse como uno de determinaci´n de un controlador H ∞ . n o Para facilitar la presentaci´n de los resultados de la teor´ de control robusto, primero nos limitaremos al caso o ıa de sistemas de una entrada y una salida (SISO), para luego extrapolar esos resultados al caso multivariable a trav´s de los valores singulares de matrices. e Sistemas de una entrada y una salida Consideremos al sistema de la figura (I.2), cuya funci´n de transferencia y(s)/r(s) viene definida por: o pc T (s) = , (I.25) 1 + pc que tradicionalmente se conoce como funci´n complementaria. o d(t) e(t) u(t) r(t) y(t) + c(s) p(s) + (-) Figura I.2.: Lazo cl´sico de control. a De nuevo, en relaci´n con la figura (I.2), la funci´n de transferencia e(s)/r(s) (´ y(s)/d(s)) viene dada por: o o o 1 S(s) = , (I.26) 1 + pc que tradicionalmente se denomina como funci´n de sensibilidad, ya que es la funci´n que determina (en el dominio o o de la frecuencia) la sensibilidad del lazo de la figura (I.2) a cambios en la planta p(s). Evidentemente, S(s) + T (s) = 1, y de all´ el nombre de T (s). ı Antes de entrar en el tema de estabilidad robusta, consideremos la estabilidad del lazo representado en la figura I.2 y demos algunas definiciones. Definici´n I.1 El lazo representado en la figura (I.2) es internamente estable si toda funci´n de transferencia, o o entre una entrada y una salida del sistema, es estable. 12
- 21. Consideremos ahora cualquierrealizaci´n m´ o ınima de T (s) de la forma: x ˙ = Acl x + Bcl r y = Ccl x + Dcl r Lema I.4 ([San89]) El sistema de la figura (I.2) es internamente estable si y s´lo si los autovalores de la matriz o Acl est´n en el semiplano izquierdo abierto. Esto es, que la matriz Acl es hurwitz. a Siendo Acl la matriz de estados (o din´mica) de cualquier funci´n de transferencia del lazo de la figura (I.2), a o la ubicaci´n de sus autovalores determina la de los polos de cualquier funci´n de transferencia. o o Si entendemos por robustez la capacidad de un sistema a lazo cerrado para responder adecuadamente ante perturbaciones externas y/o variaciones en el modelo de la planta, tradicionalmente dicha robustez se asegura ante incertidumbre en el modelo dise˜ando sistemas con amplios m´rgenes de fase (φ m ) y de ganancia (gm ) n a [PH96]. En la figura (I.3) se muestran sobre un diagrama de Nyquist, en forma gr´fica, tales m´rgenes. a a Figura I.3.: Margen de fase φm y de ganancia gm de un sistema SISO. El margen de ganancia (gm ) permite afrontar incertidumbre en la ganancia del proceso a controlar. En relaci´n o con la figura (I.4), esto significa alg´n escalar β del que s´lo se conocen sus cotas m´ximas. El margen de fase u o a (φm ) permite hacer frente a cambios —incertidumbre— en la fase. En relaci´n con la figura (I.4), alg´n escalar φ o u del que s´lo se conocen sus valores extremos. De modo que la planta real es la suma de la planta nominal (p(s)) o y la incertidumbre (βe−φs ). sistema real r(t) y(t) + c(s) βe−φs p(s) u(t) (-) Figura I.4.: Representaci´n cl´sica de lazo incierto. o a Hay que hacer notar que los enfoques de margen de fase o de ganancia presuponen que s´lo hay desconocimiento o en uno de los dos par´metros, i.e., la magnitud (β) o la fase (φ), no en ambos. En general se presenta incertidumbre a en los dos y es f´cil generar casos en los que, aun teniendo excelentes m´rgenes de fase y ganancia, una peque˜a a a n variaci´n simult´nea en ambos —magnitud y fase– sobre los valores nominales, genera plantas inestables. o a 13
- 22. De all´ laidea de utilizar una nueva medida que conjugue variaciones simult´neas en magnitud y fase. Surge el ı a margen del m´dulo como nueva medida de robustez, basada en el operador diferencia de retorno. En relaci´n con o o el lazo cl´sico que se muestra en la figura (I.2), definiremos al operador diferencia de retorno (O(ω)) para una a frecuencia dada (ω) como la distancia desde el punto (−1, 0) —o ejπ — en el plano “s” al diagrama de Nyquist correspondiente a esa frecuencia y que es equivalente al inverso de la magnitud de la funci´n de sensibilidad o evaluada en esa frecuencia, esto es: O(ω) = |S(jω)−1 | = |1 + p(jω)c(jω)|. El margen del m´dulo se define como: o Mm = m´ O(ω). ın ω Mm determina la distancia m´s cercana, en el diagrama de Nyquist, al punto (−1, 0) del plano “s”, esto es, a el punto m´s cercano a encerrar el (-1,0) y, por ende, a convertir al lazo en inestable. M m permite afrontar a incertidumbre en magnitud y fase simult´neamente en un lazo. En la figura (I.5) mostramos gr´ficamente un a a ejemplo del operador. Figura I.5.: Operador diferencia de retorno. A continuaci´n presentamos un resultado b´sico de la teor´ de control robusto basado en esto ultimo. o a ıa ´ Estabilidad robusta Para poder establecer qu´ condiciones se requieren para garantizar la robustez de un sistema ante incertidumbre e en el modelo de la planta, primero debemos establecer un modelo adecuado de la incertidumbre a considerar. En el caso de margen de fase y de ganancia, la robustez la establecen esos m´rgenes en la forma de l´ a ımites soportables de variaci´n. o Es relativamente sencillo, a trav´s de ensayos en el sistema, obtener cotas para la incertidumbre en la magnitud e y para la incertidumbre en la fase de un sistema dado. Sin embargo, ello conducir´ a una cantidad innumerable ıa de “formas” de la incertidumbre para las que ser´ muy dif´ desarrollar una teor´ general. ıa ıcil ıa En vista de que cualquiera que sea la forma de la incertidumbre del sistema siempre, de manera m´s o menos a conservativa, ella puede ser aproximada por una circunferencia, en el paradigma de control robusto, ´sta es la e 14
- 23. descripci´n m´s com´nde la incertidumbre y equivale a suponer que se conocen los l´ o a u ımites m´ximos de desviaci´n a o de la magnitud sobre un valor nominal, pero se desconoce totalmente la fase. En relaci´n con el diagrama de la figura (I.2) supondremos que la planta real es descrita por: o p(s) = pn (s) + la (s) (I.27) y entonces, |p(jω) − pn (jω)| ≤ l¯ (ω). a (I.28) Esquem´ticamente podemos llevar esta incertidumbre al diagrama de Nyquist del sistema, tal como se muestra a en (I.6). Figura I.6.: Modelo de la incertidumbre. Se desprende de la descripci´n de la incertidumbre que, para una frecuencia ω dada, ¯a (ω) es la cota m´xima o l a de la magnitud de la incertidumbre y que no hay informaci´n sobre la fase (incertidumbre total en la fase). o A t´ ıtulo de ejemplo, consideremos un sistema de control de temperatura de un tanque de agua, que tenga circulaci´n de agua permanente y nivel constante. El agua es calentada a trav´s de unas resistencias el´ctricas. o e e El ejemplo lo tomamos de [Qui04]. La funci´n de transferencia entre la potencia suministrada y la temperatura o del agua se determinan de manera experimental, dando escalones de potencia en la entrada y observando la respuesta en la salida. Se realizan 4 pruebas, dos escalones positivos y dos negativos, resultando las 4 funciones de transferencia que describimos a continuaci´n: o 0,6125 −32s G1 (s) = 254s+1 e 0,75 −25s G2 (s) = 215s+1 e 0,7 −20s G3 (s) = 100s+1 e 0,6 −34s G4 (s) = 200s+1 e . Promediando las ganancias, las constantes de tiempo y los retrasos obtenemos como sistema nominal: 0, 6656 −28s Gn (s) = e 192s + 1 de donde es muy f´cil generar una funci´n m´xima de desviaci´n —en magnitud— para cada frecuencia. a o a o En la figura (I.7) hemos incluido la respuesta en frecuencia de magnitud de los sistemas encontrados con ensayos y la respuesta del sistema nominal obtenido promediando los par´metros. a En la figura (I.8) se muestra, para el ejemplo anterior, la diferencia entre la magnitud de la respuesta en frecuencia de los sistemas obtenidos en las pruebas menos la del sistema nominal. Ello para determinar una cota superior al error en todo el rango de frecuencias. 15
- 24. 0 −10 −20 |G (jω)| n Magnitud (dB) −30 −40 −50 −60 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 10 10 10 10 10 10 10 Frecuencia (rad/s) Figura I.7.: Diagramas de Bode de sistema de calentamiento. En forma normalizada, com´nmente denominada descripci´n multiplicativa de la incertidumbre, la expresi´n u o o (I.27) puede escribirse como: p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s)) (I.29) donde |δ(s)| < 1 es una funci´n de transferencia que representa la incertidumbre, de la que s´lo se conoce que su o o magnitud es menor que uno y W (s) es la funci´n de peso que recoge, para cada frecuencia y de forma normalizada, o la cota m´xima de la magnitud de la incertidumbre. Observe que cuando δ(s) es cero, no hay incertidumbre y la a planta p(s) es precisamente la nominal —pn (s). De (I.29) es claro que: ¯a (ω) l p(jω) |W (jω)| = ≥ −1 . |pn (jω)| pn (jω) En la figura (I.9) hemos colocado los valores normalizados del error, esto es: (l a (w)/|Gn (jω)|). Observamos que, bajo esta descripci´n de incertidumbre, ya no tenemos un solo modelo del sistema (digamos o el nominal) sino, m´s bien, una familia (infinita) de ellos. a La condici´n de estabilidad para toda la familia de sistemas, estabilidad robusta, viene dada por el siguiente o resultado: Teorema I.4 ([San89] y [MZ89]) Consideremos al sistema de la figura (I.2) en el que la planta p(s) es descrita por la familia de modelos (I.29) y los cuales tienen el mismo n´mero de polos en el semiplano derecho. Adem´s, sea u a c(s) un controlador que estabiliza la planta nominal pn (s). Entonces toda la familia de modelos ser´ estabilizado a por el controlador c(s) si y s´lo si o W (s)T (s) ∞ = sup |W (jω)T (jω)| ≤ 1 (I.30) ω donde T (s) es la funci´n complementaria definida en (I.25). o Demostraci´n: Es conveniente considerar que la familia de modelos del sistema de la figura (I.2), que satisfacen o (I.29), forman un conjunto representado por P. El sistema de la figura (I.2) es estable si y s´lo si para todo o 16
- 25. 0.2 0.18 0.16 |G (jω)−G (jω)| 3 n Magnitud del error. la(ω)=|Gi(jω)−Gnjω)| 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 10 10 10 10 10 10 10 Frecuencia (rad/s) Figura I.8.: Magnitud de la incertidumbre para cada frecuencia. miembro p(s) ∈ P se cumple que la ecuaci´n 1 + p(s)c(s) = 0 no tiene ra´ o ıces en el semiplano derecho cerrado (que denominaremos C+ ). Luego ello es equivalente a: 1 + pn (s)c(s)[1 + W (s)δ(s)] = 0 ∀|δ| < 1 y s ∈ C+ ⇐⇒ 1 + pn (s)c(s) = δ(s)W (s)pn (s)c(s) ∀|δ| < 1 y s ∈ C+ ⇐⇒ |1 + pn (s)c(s)| ≥ |W (s)pn (s)c(s)| s = jω; ω ∈ [0, ∞) (I.31) ⇐⇒ |T (s)W (s)| ≤ 1 s = jω; ω ∈ [0, ∞) ⇐⇒ W (s)T (s) ∞ ≤ 1 Este resultado, fundamental para la teor´ de control robusto, tiene una interpretaci´n gr´fica en el diagrama ıa o a de Nyquist (ver figura (I.10)). En efecto, en (I.31) el t´rmino |W (s)pn (s)c(s)| = ¯a (ω)|c(s)| no es m´s que el radio e l a de la circunferencia que determina el tama˜o de la incertidumbre (para cada frecuencia) y entonces se infiere que n una condici´n necesaria y suficiente para estabilidad robusta es que, para cualquier frecuencia, la distancia del o −1 al diagrama nominal de Nyquist, i.e. la magnitud del Operador diferencia de retorno, sea mayor que ese radio (que acota la incertidumbre en esa frecuencia). En otros t´rminos y visto que toda la familia de sistemas tiene el e mismo n´mero de polos en el semiplano derecho, la condici´n de estabilidad robusta implica que la “banda” de u o Nyquist, determinada por la familia de sistemas, no encierra al −1. En (I.31) se us´ el hecho derivado del teorema del m´ximo m´dulo que se˜ala que: o a o n F (s) ∞ = sup |F (s)| = sup |F (jω)|, Re{s}>0 ω es decir, que el m´ximo de una funci´n continua en un conjunto cerrado y acotado ocurre en su frontera. a o Podemos incluir esquem´ticamente la representaci´n de la incertidumbre multiplicativa en la descripci´n cl´sica a o o a del lazo realimentado. Ello se muestra en la figura (I.11). En relaci´n con la misma figura (I.11), observe que el resultado para la estabilidad robusta es equivalente a o “abrir” el lazo en los dos extremos del bloque de la incertidumbre (δ(s)) y verificar que la funci´n de transferencia o W (s)T (s) entre d(t) y z(t), nuevas entrada y salida al abrir el lazo, est´ acotada en magnitud. a La incertidumbre multiplicativa, representada por W (s), es s´lo una forma entre muchas para describir lo que o desconocemos en un lazo. Las funciones W (s) tienen normalmente la forma mostrada en la figura (I.12). La incertidumbre es m´s peque˜a en bajas frecuencias y crece a medida que la frecuencia aumenta. Es importante a n 17
- 26. 3.5 Magnitud del error normalizada. W(ω)=|Gi(jω)−Gn(jω)|/|Gn(jω)| 3 |G3(jω)/Gn(jω)−1| 2.5 2 1.5 1 0.5 0 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 10 10 10 10 10 10 10 Frecuencia (rad/s) Figura I.9.: Magnitud de la incertidumbre para cada frecuencia, normalizada. Figura I.10.: Condici´n de an´lisis de estabilidad robusta. o a mencionar que de la funci´n de incertidumbre W (s) lo unico importante es su magnitud. La consideramos como o ´ una funci´n de transferencia s´lo por tener una representaci´n consistente de un lazo de control (figura I.11). o o o La condici´n de estabilidad robusta impone que la funci´n complementaria T (s) satisfaga: o o |T (jω)| < |W (jω)|−1 ∀ω. Luego, un modelo poco ajustado de la incertidumbre puede imponer cotas extremadamente restrictivas (muy peque˜as) en la funci´n complementaria y, por ende, en el controlador. n o De la misma forma que la magnitud de la incertidumbre debe ser lo m´s entallada posible, a fin de evitar ser a excesivamente conservadores en el dise˜o del control, el mismo razonamiento se extiende a la “topolog´ del n ıa” modelo de la incertidumbre. Hasta ahora hemos mencionado dos tipos, a saber: Aditiva: p(s) = pn (s) + δ(s)W (s) |δ(s)| < 1 Multiplicativa: p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s)) |δ(s)| < 1. Adem´s, entre otras, tambi´n podemos representar la incertidumbre como [San89], [DFT92]: a e 18
- 27. z(t) d(t) δ(s) W (s) e(t) r(t) u(t) y(t) + c(s) pn (s) + (-) Figura I.11.: Representaci´n del lazo con incertidumbre multiplicativa. o Figura I.12.: Modelo de variaci´n de la incertidumbre. o p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s))−1 p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s)pn (s))−1 ; algunas son equivalentes y, en cualquiera que sea la representaci´n, la estabilidad robusta viene determinada o por la norma infinita de alguna funci´n de transferencia. En la tabla (I.1) se recogen las equivalencias [San89], o [DFT92]. Tabla I.1.: Equivalencias entre medidas de incertidumbre p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s)) W (s)T (s) ∞ ≤ 1 p(s) = pn (s) + δ(s)W (s) W (s)p−1 (s)T (s) ∞ ≤ 1 n −1 p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s)) W (s)S(s) ∞ ≤ 1 p(s) = pn (s)(1 + δ(s)W (s)pn (s))−1 W (s)pn (s)S(s) ∞ ≤ 1 Cualquiera que sea su representaci´n, la incertidumbre que afecta al sistema siempre lo hace de manera global o y de all´ que reciba com´nmente en la literatura ese nombre, i.e., incertidumbre global o no estructurada. Si, por ı u el contrario, podemos identificar c´mo las diferentes fuentes de incertidumbre afectan elementos particulares del o sistema, entonces estar´ıamos frente a una incertidumbre estructurada. Como ejemplo podemos mencionar modelos de incertidumbre de baja y alta frecuencia y que se traducen en una representaci´n de la forma: o 1 + δ1 (s)W1 (s) p(s) = pn (s) 1 + δ2 (s)W2 (s) |δ1 (s)|, |δ2 (s)| < 1. 19
- 28. Menci´n particular hacemossobre aquellos casos en los que el modelo es obtenido a partir de leyes f´ o ısicas que gobiernan al sistema y en los que, por ende, se puede relacionar a los par´metros de la funci´n de transferencia a o con alg´nos elementos f´ u ısicos reales, como por ejemplo, di´metro de una tuber´ peso espec´ a ıa, ıfico de un fluido, etc. Si esos par´metros f´ a ısicos se ven afectados sensiblemente durante la operaci´n normal del sistema, ello va a o implicar no un modelo sino una familia de ellos. Este caso de incertidumbre altamente estructurada recibir´ el a nombre de incertidumbre param´trica y normalmente ocurre en bajas frecuencias. Tambi´n se le conoce como e e incertidumbre poli´drica. e A continuaci´n presentamos dos ejemplos de sistemas inciertos y la funci´n (W (s)) que acota el m´ximo de la o o a incertidumbre para cada frecuencia. Ejemplo de c´lculo de la representaci´n de la incertidumbre a o Consideremos al sistema: 1e−τ s G(s) = s+1 con una incertidumbre en el retardo del sistema 0 ≤ τ ≤ 0,2. El sistema nominal es: 1 Gn (s) = . s+1 Se debe cumplir, para acotar la incertidumbre, que: G(s) − 1 ≤ W (s) (cota m´xima de incertidumbre) a Gn (s) esto es: e−τ s − 1 ≤ W (s) (I.32) Para el peor caso τ = 0,2, con un poco de ensayo y error obtenemos que: 2s W (s) = . (I.33) s+1 Observe que con esta funci´n de transferencia (I.33), en ω = 2 ya tenemos un 20 % de desconocimiento y en o ω = 0,6 el desconocimiento es total. La gr´fica de la respuesta frecuencial de (I.32) y (I.33) se muestra en la figura (I.13). a Para el c´lculo del control H∞ la planta generalizada resulta: a z(s) 0 Gn (s) d(s) = e(s) −W (s) −Gn (s) u(s) o, expl´ ıcitamente: 1 z(s) 0 s+1 d(s) = −2s −1 . e(s) s+1 s+1 u(s) La representaci´n de estados del mismo sistema resulta: o x1 (t) ˙ −1 0 x1 (t) 1 0 = + d(t) + u(t) x2 (t) ˙ 0 −1 x2 (t) 0 1 20
- 29. 10 5 W(ω) 0 −5 Magnitud del error normalizada −10 |e−j0,2ω−1| −15 −20 −25 −30 −35 −40 −1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 Frecuencia (rad/s) Figura I.13.: Respuesta frecuencial de la incertidumbre y su umbral. y z(t) 0 1 x1 (t) 0 = + d(t). e(t) 2 −1 x2 (t) −2 El control sugerido —que calculamos con una de las t´cnicas que desarrollaremos en cap´ e ıtulos posteriores— es: −5,012 × 10−8 s2 + 0,03328s − 0,003325 C(s) = . s2 + 3,333 × 106 s + 65,84 El diagrama de bloques para efectos de la atenuaci´n de perturbaci´n queda como se muestra en la figura o o (I.14). z(t) d(t) W (s) e(t) r(t) u(t) y(t) + c(s) Gn (s) + (-) Figura I.14.: Atenuaci´n de perturbaciones. o La funci´n de transferencia entre d(s) y z(s) con el controlador propuesto es: o −W (s)C(s)Gn (s) Tdz = 1 + C(s)Gn (s) y la respuesta frecuencial de esa funci´n de transferencia se muestra en la figura (I.15). o Ejemplo caso calentador Retomamos el ejemplo de [Qui04], s´lo en lo que respecta al c´lculo de la funci´n W (s). o a o 21
- 30. −160 −180 |T (jω)| dz −200 dz Magnitud (dB) T −220 −240 −260 −280 −300 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 10 10 10 10 10 10 10 Frecuencia (rad/s) Figura I.15.: Respuesta frecuencial sistema a lazo cerrado Tdz . A partir de (I.9) es f´cil generar la funci´n: a o 0,13(s/0,001 + 1) W (s) = . (s/0,024 + 1) En (I.16) mostramos la respuesta frecuencial de W (s) —en magnitud— as´ como los errores normalizados de ı los cuatro sistemas, i.e., |Gi (s) − Gn (s)|/|Gn (s)|, i=1,2,3,4. 3.5 3 W(ω) 2.5 Magnitud del error normalizada 2 1.5 1 0.5 0 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 10 10 10 10 10 10 10 Frecuencia (rad/s) Figura I.16.: Respuesta en frecuencia de los errores y su umbral W (s). Ejemplo calentador. Desempe˜ o nominal n Consideremos el lazo de control de (I.2) en el que el sistema p(s) es perfectamente conocido y unico. El ´ desempe˜o de un sistema se mide, entre otros y en el ´mbito del control cl´sico, como la capacidad de seguir una n a a 22
- 31. referencia determinada r(t)o de rechazar una perturbaci´n de forma conocida d(t) en la salida del sistema y(t). o En el primer caso el desempe˜o podemos medirlo a trav´s de la se˜al de error: n e n r(s) e(s) = = S(s)r(s) 1 + p(s)c(s) y en el segundo a trav´s de la salida: e y(s) = S(s)d(s); en ambos casos se desea hacer “peque˜a” la funci´n de sensibilidad a fin de tener el desempe˜o deseado. n o n En el marco del control cl´sico, la se˜al a seguir (o rechazar) es conocida —un escal´n, una rampa, una a n o par´bola, un impulso— y lo que es verdaderamente desconocido es el momento en el que la se˜al (de perturbaci´n) a n o ser´ aplicada al sistema. Recordemos, por ejemplo, la clasificaci´n en tipos de sistemas (0, 1, 2, . . .) para fines a o de eliminaci´n de las desviaciones en estado estacionario —tambi´n conocido como offset— [Kuo95] o el bien o e conocido hecho de que el modelo de la se˜al de referencia o perturbaci´n, seg´n sea el caso, debe estar incluido n o u en el controlador [AM89]. La suposici´n de que la se˜al externa (perturbaci´n o referencia) es conocida a priori es poco realista y, en o n o general, hay m´s conocimiento sobre la familia a la que pertenece la se˜al; v´ase por ejemplo [MZ89], p. 21. a n e Bajo esta perspectiva, en la que s´lo se conoce el conjunto al que pertenece la se˜al, el paradigma de control o n robusto plantea el rechazo de perturbaciones como la garant´ de atenuaci´n de esa caracter´ ıa o ıstica com´n del u conjunto de se˜ales (e.g., energ´ cota m´xima, etc.) En el marco del control robusto, la bien conocida teor´ de n ıa, a ıa H∞ , por ejemplo, eval´a el desempe˜o nominal en t´rminos de las energ´ de las se˜ales de perturbaci´n y de u n e ıas n o salida controlada. Es as´ que: ı Definici´n I.2 ([San89]) Sea γ un escalar mayor que cero, dado. El desempe˜o nominal del sistema de la figura o n (I.2) se eval´a como la capacidad del controlador c(s) de acotar la energ´ de la se˜al de salida del sistema a u ıa n lazo cerrado ( y(t) 2 < γ) para toda posible perturbaci´n con energ´ acotada d(t) 2 < β. o ıa La condici´n de existencia de un controlador que satisface la especificaci´n de desempe˜o nominal viene dada o o n por el siguiente teorema. Sin p´rdida de generalidad supondremos que γ y β son iguales a uno. e Teorema I.5 ([DD95]) El sistema de control de la figura (I.2) satisface la condici´n de desempe˜o nominal si o n y s´lo si o S(s) ∞ ≤ 1. Demostraci´n: Surge de manera inmediata del hecho que la norma infinita es la norma inducida de la norma o 2 (ver teorema (I.4)) y entonces y(t) 2 = S(s) ∞ d(t) 2 . En este punto se imponen algunas observaciones. Observaci´n I.7 Resultar´ un problema “mal condicionado” en la mayor´ de los casos si dejamos el problema o ıa ıa de desempe˜o nominal tal y como fue formulado, esto es: n 1 S(s) ∞ = ≤1 ∀ω 1 + p(s)c(s) ya que en general el producto p(s)c(s) es estrictamente propio para sistemas f´ ısicos reales, i.e., l´ p(s)c(s) = 0 ım s→∞ 23
- 32. y entonces amuy altas frecuencias el problema de encontrar un controlador c(s) que haga el trabajo en toda la gama de frecuencias puede resultar imposible. Por otra parte, en general s´lo interesa satisfacer el criterio de o desempe˜o en la gama de frecuencias asociadas al ancho de banda del sistema p(s) —siendo ´stas las se˜ales que n e n verdaderamente lo afectan— dejando “libre” al resto. Adicionalmente, aunque s´lo hemos supuesto conocida la energ´ m´xima de las entradas (perturbaci´n o o ıa a o referencia) es posible que adem´s exista alg´n tipo de conocimiento del ancho de banda de ellas y que pudiera a u reflejarse como una funci´n de peso o filtro en la entrada de esas se˜ales. o n Esquem´ticamente, ambos pesos se pueden representar como lo ilustra la figura (I.17), lo que se traduce en el a nuevo criterio de desempe˜o nominal: n W1 (s)S(s)W2 (s) ∞ ≤1 o W (s)S(s) ∞ ≤ 1; en W (s) se recogen lo que denominaremos las bandas de insensibilidad del dise˜o. Una buena selecci´n de los n o pesos puede resultar en un compensador m´s “suave” con ganancias m´s peque˜as. a a n d(t) W1 (s) r(t) u(t) y(t) y (s) ˆ + c(s) p(s) + W2 (s) (-) Figura I.17.: Sistema con pesos (filtros) en entradas y salidas. Observaci´n I.8 El criterio de desempe˜o nominal desarrollado no es gen´rico y est´ asociado con las se˜ales o n e a n de entrada y salida seleccionadas. Si hubi´semos escogido otras entradas y/o salidas, hubi´ramos obtenido la e e cota superior de la norma infinita de otra funci´n de transferencia. Esto ultimo s´ es un hecho general, es decir, o ´ ı al igual que la estabilidad robusta de un sistema, el desempe˜o nominal se eval´a —o analiza— calculando la n u norma infinita de alguna funci´n de transferencia asociada al lazo, siempre que los par´metros de medici´n o a o sean las energ´ de la se˜al de perturbaci´n y la se˜al de salida. Si los par´metros fuesen otros —diferentes de ıas n o n a energ´ıa— otra ser´ la norma (v´ase por ejemplo [SGC97]). ıa e Observaci´n I.9 En el caso de estabilidad robusta, si no se satisface el criterio (I.30) entonces existe un sub- o conjunto de modelos del sistema que no podr´n ser estabilizados por el compensador propuesto, i.e. el lazo cerrado a ser´ inestable para algunos modelos. En el caso del desempe˜o nominal, si no se satisface a n W (s)S(s) ∞ ≤γ para un γ dado, s´lo implica que el criterio es muy restrictivo y no puede alcanzar ese nivel de desempe˜o. No o n obstante y asumiendo que el lazo puede estabilizarse, siempre existir´ alg´n γ s > γ a partir del cual s´ podr´ ob- a u ı a tenerse un controlador. Ejemplo an´lisis de desempe˜ o a n Consideremos el sistema: 5e−3s Gn (s) = . 10s + 1 Utilizando el criterio de sintonizaci´n de Ziegler y Nichols [Kuo95] se obtiene un controlador PI con K c = 0,6 y o Ti = 10. Se desea evaluar la atenuaci´n que presenta este controlador a perturbaciones d(t) que entran al sistema o tal como se muestra en la figura (I.18). 24
- 33. d(t) r(t) y(t) 1 + Kc (1 + Ti s ) + Gn (s) (-) Figura I.18.: Evaluaci´n de entonaci´n cl´sica. o o a La funci´n de transferencia entre d y y resulta: o Gn (s) Tdy (s) = 1 + GP I (s)Gn (s) donde 1 GP I (s) = Kc (1 + ). Ti s Aproximando el retardo por un Pade de primer orden ([Kuo95]) y dibujando el bode del sistema simplificado, se obtiene la gr´fica de la figura (I.19), de donde es f´cil determinar que: a a 2.5 |T (jω)|=|G (jω)|/|1+G (jω)PI(jω)| dy n n 2 dy 1.5 Magnitud de T 1 0.5 0 −2 −1 0 1 10 10 10 10 Frecuencia (rad/sec) Figura I.19.: Atenuaci´n con un PI. o Tdy (s) ∞ = 2,4657 Aunque en el caso de desempe˜o nominal no puede generalizarse sobre un resultado en particular, a simple n vista pareciera que el controlador propuesto no presentar´ un buen rechazo a perturbaciones para frecuencias a entre 0,1 y 1. Un programa de Matlab para el c´lculo de esta norma infinito del sistema aproximado se muestra a continuaci´n: a o K=5;T=10;Td=3; 25
- 34. nn=K;dn=[T 1]; [nr,dr]=pade(Td,1); ns=conv(nn,nr);ds=conv(dn,dr); Kc=0.9*T/Td/K;Ti=Td/.3; nc=Kc*[Ti 1];dc=[Ti0]; [n,d]=feedback(ns,ds,nc,dc,-1); [mag,pha,w]=bode(n,d); Amplifica=max(mag) semilogx(w,mag) El paradigma de control robusto En el caso de estabilidad robusta con incertidumbre multiplicativa a la salida del sistema a controlar, ubicaci´n o que no tiene ninguna importancia en sistemas SISO pero s´ la tiene en los MIMO, podemos representar al sistema ı como en la figura (I.11), con |δ(s)| < 1 y W (s) el modelo de la cota superior de la incertidumbre. Para fines de an´lisis, sabemos que hay estabilidad robusta si y s´lo si a o W (jω)p(jω)c(jω) W (s)T (s) ∞ = ≤1 ∀ω 1 + p(jω)c(jω) lo que es equivalente a analizar el desempe˜o nominal entre d(t) y z(t) del sistema de la figura (I.14) y, entonces, n el problema de la estabilidad robusta (I.11) o el de desempe˜o nominal (I.17) pueden representarse esquem´ti- n a camente, como en la figura (I.20) donde p(s) es el sistema (multivariable) generalizado, e(t) es la salida medible ˜ d(t) z(t) u(t) ˜ p(s) e(t) c(s) Figura I.20.: Paradigma de dise˜o de control robusto. n del sistema, y se desea determinar un compensador c(s) tal que: Tdz (s) ∞ ≤1 siendo Tdz (s) la funci´n de transferencia entre d(t) (la perturbaci´n) y z(t). Observe que hemos preferido, como o o es usual en control robusto, usar la se˜al e(t) como salida medible, en lugar de y(t), por ser la primera la que n est´ directamente actuando sobre el controlador. a El esquema que se muestra en la figura (I.20) representa el paradigma cl´sico de dise˜o de control robusto, a n siendo adem´s el m´s usado. a a Si se dispone (o se ha calculado) un controlador y lo que se desea es analizar su desempe˜o, entonces el n paradigma pasa a ser el de la figura (I.21), donde, de nuevo, p(s) es la planta generalizada y |δ(s)| < 1 representa ˜ la incertidumbre. Es f´cil transformar el esquema de las figuras (I.11) y (I.14) a aquellos de las figuras (I.20) y a (I.21). 26
- 35. r(t) e(t) d(t) ˜ p(s) z(t) δ(s) Figura I.21.: Paradigma de an´lisis de control robusto. a Sistemas con m´ ltiples entradas y m´ ltiples salidas u u Para el caso de los sistemas multivariables, nos serviremos del paradigma de control representado en (I.21). Las relaciones entre la salida y la entrada del sistema son dadas por: z(s) G11 (s) G12 (s) r(s) = (I.34) e(s) G21 (s) G22 (s) d(s) ˜ P ˜ siendo P la planta generalizada. Para el caso multivariable, las salidas y/o las entradas pueden o no ser vectores. As´ por ejemplo, para el ı, sistema de la figura (I.22), si definimos a la dupla (r(t) y d(t)) como las entradas y a (z(t) y e(t)) como las salidas, tendremos que: z(s) T −T W1 r(s) = (I.35) e(s) W2 S −W2 SW1 d(s) donde S(s) = [I + p(s)c(s)]−1 T (s) = p(s)c(s)[I + p(s)c(s)]−1 con las correspondientes equivalencias en las ecuaciones (I.34) y (I.35). e(t) z(t) d(t) W2 (s) W1 (s) r(t) u(t) y(t) + c(s) p(s) + (-) Figura I.22.: Sistema multivariables. Desempe˜o nominal n Revisemos ahora los conceptos de estabilidad robusta y desempe˜o nominal a la luz del paradigma de control n y para sistemas multivariables, y para ello consideremos al sistema de la figura (I.21). En ese caso el desempe˜o n 27
- 36. nominal est´ determinadopor un controlador c(s) que asegura que: a e 2 <1 ∀r(t) : r 2 ≤1 cuando δ = 0. Teorema I.6 ([San89]) La condici´n necesaria y suficiente para desempe˜o nominal es: o n G21 (s) ∞ <1 Demostraci´n: Cuando la incertidumbre es nula (δ = 0) tenemos que: o 2 2 e 2 = G21 (s)r(s) 2 (I.36) ∞ = rH (jω)GH (jω)G21 (jω)r(jω)dω 21 (I.37) −∞ ∞ ≤ σ 2 (G21 (jω ∗ )) ¯ rH (jω)r(jω)dω (I.38) −∞ = σ 2 (G21 (jω ∗ )) ¯ (I.39) con r H (jω) = r T (−jω) y σ (G21 (jω)) ocurre en w = w ∗ . ¯ Finalmente, la cota superior es alcanzada exactamente si escogemos, por ejemplo r(t) = e −εt cos w∗ t con ε > 0 para que r(t) ∈ L2 . Estabilidad robusta Para verificar la condici´n de estabilidad robusta, supondremos que el sistema es estable internamente y que o σ (δ) ≤ 1 ¯ (I.40) la condici´n de estabilidad robusta multivariable viene dada por: o Teorema I.7 ([San89]) El sistema de la figura (I.21) es estable para toda perturbaci´n δ que satisface (I.40) si o y s´lo si o G12 ∞ < 1. Demostraci´n: La funci´n de transferencia entre r e y es (operando en (I.34)): o o Tre = G22 (I − G12 δ)−1 G11 + G21 y entonces, para un δ dado, la estabilidad del sistema es determinada por: (I − G12 δ)−1 ya que, por hip´tesis, el sistema (I.34) es internamente estable. o Ahora bien, la estabilidad de (I − G12 δ)−1 es equivalente a: det(I − G12 δ)) = 0 ∀s ∈ C+ . (I.41) Supongamos que σ (G12 ) < 1. Recordando algunas propiedades de los valores singulares de una matriz, sabemos ¯ que: σ(I − G12 δ) ≥ 1 − σ (G12 δ) > 1 − σ (G12 ), ¯ ¯ 28
- 37. luego si σ (G12 ) < 1 ¯ ∀s ∈ C+ entonces det(I − G12 δ) = 0 ∀s ∈ C+ . Supongamos ahora que σ (G12 ) ≥ 1 para alguna s∗ y hagamos una descomposici´n en valores singulares ¯ o G12 = U ΣV ∗ , 1 tomemos δ = αV U ∗ y α = σ (G12 ) , ¯ entonces det(I − G12 (s∗ )δ = det[V (I − αΣ)U ∗ ] = 0 para el primer autovalor (recordando que los valores singulares est´n ordenados en Σ). a Finalmente, por el teorema del m´ximo m´dulo a o sup σ (G12 (s)) = sup σ (G(jω)) = G12 ¯ ¯ ∞. s∈C+ ω Los sistemas multivariables, al igual que los SISO, pueden ser evaluados en su desempe˜o y estabilidad en el n marco de la norma infinita. Otras medidas de desempe˜o pueden igualmente imponerse al sistema. Algunas como n la norma 2 permiten evaluar el impacto de condiciones iniciales, al reflejar esas condiciones en el sistema como una funci´n impulso δ(t) de magnitud adecuada [PH96]. Tambi´n la misma norma permite evaluar el efecto del o e ruido blanco, tambi´n cuantificable como una funci´n impulso con varianza conocida [San89]. e o Las medidas de rechazo de perturbaciones presentadas, en modo alguno, no agotan las formas de evaluaci´n del o desempe˜o. Cl´sicamente, el desempe˜o se eval´a en t´rminos de los tiempos de establecimiento, de crecimiento, n a n u e m´ximo sobrepico, comportamientos sobre o subamortiguados, etc. [Kuo95], estando estas cualidades del sistema a ´ ıntimamente relacionadas con la ubicaci´n de los polos del sistema de lazo cerrado. o La ubicaci´n de polos en regiones convexas ha recibido tambi´n la atenci´n de un n´mero de investigadores o e o u [GJ81] [ChG96] y ese problema tambi´n puede formularse como uno de desigualdades matriciales lineales (LMIs) e en la matriz de Lyapunov P , siempre que la regi´n pueda describirse como una regi´n LMI y que formalmente o o definimos de la forma: Definici´n I.3 ([ChG96]) Una regi´n LMI es cualquier regi´n convexa R que pueda describirse de la forma: o o o R = {z ∈ C : L + zM + z M T < 0} ¯ donde L = LT y M son matrices constantes reales de las mismas dimensiones. Ejemplos importantes de tales regiones LMI son: 1. Semiplano a la izquierda de x0 (figura (I.23)). R = {z ∈ C : z + z + 2x0 < 0}. ¯ Cuando x0 = 0 da el semiplano izquierdo abierto. 2. Semiplano a la derecha de x0 (figura (I.24)) R = {z ∈ C : z + z + 2x0 > 0}. ¯ 3. Cono con v´rtice en 0 (figura (I.25)). e sin θ(z + z ) ¯ cos θ(z − z ) ¯ R= z∈C: <0 . cos θ(¯ − z) z sin θ(z + z ) ¯ 29
- 38. Im(s) Re(s) xo Figura I.23.: Semiplano a la izquierda. Im(s) Re(s) xo Figura I.24.: Semiplano a la derecha. 4. Regi´n circular centrada en −α y de radio r (figura (I.26)). o −r z+α ¯ R= z∈C: <0 z+α −r El siguiente teorema establece la relaci´n entre la ubicaci´n de polos —autovalores de una matriz A— en una o o regi´n LMI y esa regi´n. o o Teorema I.8 Una matriz A tiene todos sus autovalores en una regi´n LMI de la forma: o R = {z ∈ C : L + zM + z M T < 0} ¯ si y s´lo si existe una matriz X > 0 tal que: o L ⊗ X + M ⊗ (AX) + M T ⊗ (AX)T < 0. (I.42) La expresi´n (I.42) tambi´n puede escribirse de la forma o e (lkl X + Mkl AX + Mlk XAT )1≤k,l≤m donde lkl (Mkl ) es el elemento kl de la matriz L (M ) y 1 ≤ k, l ≤ m indica los valores de k y l entre 1 y m. La demostraci´n puede encontrarse en [ChG96] y no ser´ repetida aqu´ o a ı. 30
- 39. Im(s) θ Re(s) Figura I.25.: Cono centrado en cero. Im(s) r Re(s) -α Figura I.26.: Circunferencia. Como se ha visto, una cantidad de problemas cl´sicos y modernos pueden ser formulados en el marco com´n a u de las desigualdades matriciales. Hasta ahora hemos mencionado la estabilidad robusta, el desempe˜o nominal n y la ubicaci´n de polos en regiones. Todo esto tanto para sistemas SISO como MIMO, estos ultimos a trav´s de o ´ e los valores singulares. La lista antes mencionada no es en modo alguno agotadora, y otros problemas tambi´n pueden o bien formularse e bajo el mismo marco o encontrar cotas superiores —l´ ımites seguros o conservadores— a esos problemas con las mismas herramientas aportadas por las desigualdades matriciales. Mencionamos por ejemplo 1 , pasividad, etc. V´ase [SGC97] para un recuento de otras formulaciones. e En este trabajo nos limitaremos a los tres primeros —H∞ , H2 y ubicaci´n de polos en regiones— m´s por una o a cuesti´n de no ser repetitivos. La extensi´n a esos otros problemas es, relativamente, sin dificultad. o o Resumen del cap´ ıtulo En este cap´ ıtulo hemos presentado las definiciones, los t´rminos y resultados fundamentales de la teor´ de e ıa control robusto, de modo de sentar una base com´n e ilustrar la presentaci´n de los resultados que presentaremos u o en cap´ ıtulos subsiguientes. De igual forma hemos introducido las desigualdades matriciales lineales, la herramienta que nos permitir´ desarrollar el marco com´n de las condiciones de s´ a u ıntesis de controladores multiobjetivo, nuestra meta propuesta. B´sicamente, hemos presentado condiciones de an´lisis de la estabilidad y desempe˜o bajo un n´mero de a a n u condiciones. 31
- 40. Esta breve revisi´nno pretende ser agotadora, f´ o ısicamente ser´ imposible incluirlos todos dada la enorme ıa cantidad de resultados que aparecen diariamente, pero s´ pretende ser lo suficiente como para sentar las bases ı del estudio de la formulaci´n multiobjetivo. o Finalmente, en este cap´ıtulo se ha fijado precisamente el alcance del trabajo, incluyendo otros paradigmas de la teor´ de control robusto como los de factorizaci´n coprima [McF90] y L1 , 1 [DD95]. Todos ellos los revisaremos ıa o con m´s detalle en los cap´ a ıtulo siguientes. Enfoques no lineales quedan fuera del alcance de este trabajo. 32
- 41. CAP´ ITULO II An´lisis y s´ a ıntesis de controladores para sistemas con saturaciones II.1. Introducci´n o Frecuentemente, los sistemas a controlar con los que nos encontramos en la pr´ctica presentan alg´n tipo a u de restricciones sobre su comportamiento que lo limitan severamente. El caso m´s frecuente es la presencia a de saturaciones sobre la se˜al de control (pues los actuadores tienen un rango estrecho de actuaci´n), pero n o tambi´n pueden aparecer limitaciones sobre su velocidad o aceleraci´n m´ximas, efecto de las inercias de los e o a actuadores, as´ como limitaciones en variables secundarias. Para resolver estas dificultades en la etapa de dise˜o ı n del controlador se han propuesto varias soluciones, como los m´todos basados en la resoluci´n de problemas de e o programaci´n lineal, que tratan de optimizar la norma 1 , en vez de las normas H∞ o H2 que hemos presentado o en el cap´ ıtulo anterior [DD95]. En esta secci´n comprobaremos c´mo, utilizando una descripci´n adecuada del conjunto de se˜ales de entrada o o o n esperables, se puede, de forma natural, considerar problemas de control ´ptimo y control robusto, con el objetivo o ultimo de calcular controladores para m´ltiples tipos de restricciones (saturaciones, limitaciones en velocidad, ´ u sobrepico, etc.) Como tal, esta soluci´n est´ basada en la evitaci´n de restricciones (“Constraint Avoidance” o a o [HTK01]): evitando las limitaciones, el sistema en lazo cerrado permanece en la regi´n de comportamiento lineal. o Aunque la soluci´n puede plantearse en el campo continuo utilizando la norma L 1 [DD87], los m´todos de o e dise˜o que resultan en el caso continuo no son adecuados para casos pr´cticos, pues es f´cil comprobar c´mo la n a a o soluci´n ´ptima de control ser´ una combinaci´n de impulsos. Por ello, en el resto del cap´ o o a o ıtulo trabajaremos con sistemas discretos, en los que se utiliza la norma 1 y se dan soluciones que pueden aplicarse en sistemas reales. Desde el punto de vista te´rico, una de las razones por las que se ha desarrollado una teor´ de control robusto o ıa basado en la norma 1 viene dada por el hecho de que en muchas aplicaciones pr´cticas tanto las perturbaciones a como el ruido de medida act´an de forma continua sobre el sistema, por lo que no es adecuado describirlas como u se˜ales acotadas en energ´ como se hace con los m´todos basados en la norma H ∞ . Por fortuna, normalmente n ıa, e se conoce la m´xima amplitud esperable de estas se˜ales, por lo que es posible describirlas como se˜ales acotadas a n n en magnitud: d ∞ , donde la norma es la denominada normal ∞ o norma pico-a-pico, que corresponde a la m´xima amplitud de la se˜al: d ∞ = m´x(|u[i]|). a n a
- 42. Otra raz´n m´spara desarrollar esta teor´ en vez de proseguir con la teor´ m´s popular de H ∞ , es el o a ıa, ıa a conocimiento que normalmente se tiene de las consignas que se aplican a cada sistema, que generalmente consisten en una serie de saltos o rampas cuya magnitud o pendiente puede acotarse f´cilmente. Por ejemplo, si la entrada a es un salto siempre tiene una magnitud m´xima esperable: r ∞ ≤ rmax ; o si la consigna es una rampa, su a pendiente puede acotarse: 1 − z −1 r ∞ ≤ smax donde z −1 es la funci´n retardo unitario: z −1 {u[i]} = {u[i − 1]}. o Para concluir con las ventajas de esta t´cnica, debemos mencionar su facilidad de c´lculo. As´ para un sistema e a ı, SISO, la norma 1 viene dada por la suma en valor absoluto de los t´rminos de la respuesta impulsional: e ∞ Φ 1 = |Φ[i]|. i=1 Si la norma es finita (esto es, el sistema estrictamente estable), basta con calcular la suma para un ´ ındice suficientemente grande, para obtener una aproximaci´n con la precisi´n deseada. o o Antes de presentar el m´todo en detalle debemos puntualizar que, si las limitaciones sobre las se˜ales no fuesen e n sim´tricas en la mayor parte de los casos, basta con redefinir el punto de trabajo para que sean sim´tricas y e e la utilizaci´n de la norma sim´trica usual ( u ∞ ≤ umax ) no introduzca conservadurismo. Por ejemplo, si la o e ´ unica limitaci´n es una saturaci´n no sim´trica sobre las se˜ales de control, basta redefinir el punto de trabajo o o e n en el punto medio de las restricciones: (xmean = xmax − xmin ; x(k) ∞ = m´xt (|x(k)|) = xmax +xmin ). Si esta a 2 redefinici´n del punto de trabajo no resultase adecuada (por ejemplo, por cambiar las restricciones con el tiempo, o por haber m´ltiples restricciones o por modificarse el comportamiento nominal con el punto de trabajo), es posible u reformular todo el desarrollo presentado en esta secci´n para el caso no-sim´trico. Sin embargo, la notaci´n y la o e o soluci´n pasan a ser m´s engorrosas [NBT03]. o a Esta teor´ fue planteada por primera vez por Vidyasagar [VI86], siendo resuelto el problema en un caso ıa bastante general por [DD88], que demostr´ c´mo pod´ convertirse dicho problema en uno de programaci´n o o ıa o lineal, f´cilmente resoluble. Comparado con otras t´cnicas propuestas de control con restricciones, hay resultados a e publicados sobre aplicaciones a sistemas reales (v´ase por ejemplo: [MK00], [TG02], [THV88]). e II.2. Especificaciones de funcionamiento En la siguiente secci´n examinaremos tambi´n c´mo ciertas especificaciones de dise˜o pueden ponerse f´cil- o e o n a mente como l´ ımites sobre la amplitud m´xima de determinadas se˜ales, por lo que ser´ natural el describirlas a n a utilizando la norma pico-a-pico. Saturaci´n o Supongamos que se desea comprobar si un determinado controlador K(z) satura el actuador del sistema de control en la figura II.1. Como es bien sabido, este efecto se presenta frecuentemente en la pr´ctica: las v´lvulas a a tienen unos valores m´ximos y m´ a ınimos de apertura, los amplificadores electr´nicos se saturan, los alerones tienen o un ´ngulo m´ximo y una velocidad m´xima de giro, etc. Si la se˜al de control se satura pueden generarse ciclos a a a n l´ ımites o inestabilidades. Vamos a ver c´mo tratar este problema dentro de una formulaci´n 1 . Supongamos que la saturaci´n del o o o controlador puede describirse matem´ticamente como: a −umax si u [i] < −umax u[i] = u [i] si |u [i]| < −umax umax si u [i] > umax . 34
- 43. Limitaci´n en lase˜al de o n control r(z) e(z) u (z) u(z) y(z) + K(z) G(z) (−) Figura II.1.: Sistema de control con saturaci´n en la se˜al de control. o n Matem´ticamente se tratar´ de comprobar si la amplitud m´xima de la se˜al de control u[i] es menor que a ıa a n el valor de saturaci´n umax . Expres´ndolo en funci´n de normas, ser´ equivalente a comprobar que la norma o a o ıa pico-a-pico de la se˜al de control sea menor que el valor de saturaci´n, para el conjunto de consignas esperables: n o m´x a u ∞ ≤ umax . r posibles Si la variaci´n m´xima de las referencias es rmax , por definici´n de la norma o a o 1 esta comprobaci´n puede o expresarse como: Tru 1 rmax ≤ umax . Donde Tru denota la funci´n de transferencia de r a u , que en el caso del sistema realimentado de la figura II.1 o es simplemente K(1 + KG)−1 , o sea, el sistema no se satura siempre que umax K(1 + KG)−1 1 ≤ . rmax Resulta entonces que, dados una planta y un controlador, puede comprobarse de forma sencilla si el actuador pudiera saturarse para un conjunto de consignas esperables. Para ello basta calcular la norma 1 de la funci´no de transferencia K(1 + KG)−1 . Si esta norma es menor que el valor de saturaci´n no se alcanzar´ la saturaci´n. o ıa o Limitaciones de velocidad y aceleraci´n en actuadores o Adem´s de saturaci´n, muchos actuadores reales presentan adem´s (por razones f´ a o a ısicas o de seguridad) limita- ciones en la velocidad y/o aceleraci´n m´xima que pueden alcanzar. En muchos casos resulta, entonces, necesario o a limitar el esfuerzo de control, entendiendo ´ste como la variaci´n de la se˜al de control. Estas limitaciones pueden e o n expresarse tambi´n en relaci´n con la norma 1 de determinadas funciones de transferencia: e o Limitaciones de velocidad Si la variaci´n m´xima permitida de la se˜al de control recibida por el actuador es V max , en cada per´ o a n ıodo de muestreo, el sistema no sobrepasar´ este l´ a ımite en la variaci´n de la se˜al de control si se cumple que: o n m´x a u[i] − u[i − 1] ≤ Vmax . r posibles O lo que es lo mismo: m´x a (1 − z −1 )u ∞ ≤ Vmax , r posibles que puede convertirse a una condici´n sobre la norma o 1 de la funci´n de transferencia de r a u = u[i] − u[i − 1] o (Tru = (1 − z −1 )K(1 + KG)−1 ) : (1 − z −1 )K(1 + KG)−1 1 ≤ Vmax . 35
- 44. Limitaciones de aceleraci´n o De forma an´loga al caso de la velocidad, si la variaci´n m´xima permitida de la variaci´n de la se˜al de control a o a o n recibida por el actuador es Amax en cada per´ ıodo de muestreo, no se superar´ este l´ a ımite siempre que: m´x a u[i] − 2u[i − 1] + u[i − 2] ≤ Amax . r posibles O lo que es lo mismo: m´x a (1 − z −1 )2 u ∞ ≤ Amax , r posibles que puede convertirse a una condici´n sobre la norma o 1 de Tru = (1 − z −1 )2 K(1 + KG)−1 (funci´n de transfe- o rencia de r a u = u[i] − 2u[i − 1] + u[i − 2]): (1 − z −1 )2 K(1 + KG)−1 1 ≤ Amax . Puede aplicarse un argumento similar a cualquier otra limitaci´n en la se˜al de control, que en general se o n expresar´ como: a H(z −1 )K(1 + KG)−1 1 ≤ Amax . Rechazo de perturbaciones Si en vez de un problema de seguimiento de una consigna variable, lo que tratamos de resolver es un problema de regulaci´n en presencia de perturbaciones, puede plantearse matem´ticamente c´mo calcular la desviaci´n o a o o m´xima de la salida regulada para cualquier perturbaci´n posible (que supondremos acotada en magnitud). a o Si el sistema de control corresponde al de la figura II.2, el error de seguimiento m´ximo (e max ) ser´ el m´ximo a a a valor del error e[i] para el conjunto de perturbaciones posibles n[i]. Siguiendo el mismo razonamiento, puede expresarse matem´ticamente este problema como calcular γ que cumple: a emax = m´x u a ∞ que por definici´n de la norma o 1 ser´ a emax = Tne 1 n ∞ = Wd K(1 + KG)−1 1 nmax . Es decir, el error de seguimiento m´ximo viene dado por el producto del tama˜o de la perturbaci´n m´xima, por a n o a la norma 1 de Wd K(1 + KG)−1 . n(z) Wd (z) Limitaci´n en la o se˜al de control n y(z) e(z) u (z) u(z) K(z) G(z) + (−) Figura II.2.: Sistema de control con perturbaci´n a la salida y saturaci´n en la se˜al de control. o o n 36
- 45. II.3. An´lisis a 1 Hemos visto hasta ahora c´mo ciertas especificaciones de funcionamiento pueden expresarse en t´rminos de o e la m´xima variaci´n de ciertas se˜ales (salidas medibles, se˜ales de control, se˜ales de error), por efecto de a o n n n ciertas se˜ales aplicadas al sistema (consignas, perturbaciones y ruidos de medida), cuya amplitud m´xima n a puede conocerse. De esta forma se ha visto como consecuencia l´gica el c´lculo de la norma 1 para comprobar o a estas especificaciones de funcionamiento. Hemos mostrado tambi´n c´mo el problema de an´lisis de robustez e o a puede expresarse en la norma 1 de determinadas funciones de transferencia. Ejemplo de an´lisis a 1 En este ejemplo num´rico se desea comprobar si el sistema de la figura II.1 pudiera alcanzar saturaci´n al e o 2z−1 3z−1 aplicar una consigna de amplitud m´xima 2, siendo el controlador K = 3z−1 y la planta G = (2z−1)(4z−1) . a Tal como se ha mencionado anteriormente, este requerimiento equivale a comprobar la siguiente condici´n o sobre la norma 1 : umax 3 K(1 + KG)−1 1 ≤ = rmax 2 en este caso, sustituyendo K y G por su expresi´n en z −1 , resulta: o (2z − 1)(4z − 1) = 0,9583. 4z(3z − 1) 1 3 Como 0,9583 < 2 , significa eso que podemos asegurar que el actuador no se saturar´. De hecho, la consigna a podr´ tener de amplitud m´xima 2 ∗ 1,5/0,9583 ≈ 3,13 y podr´ ıa a ıamos seguir asegurando que el actuador no se satura. II.4. Estabilidad robusta El objetivo es mostrar c´mo la norma 1 puede utilizarse tambi´n para resolver problemas de estabilidad o e robusta: en su formulaci´n general se trata de comprobar si el sistema en lazo cerrado de la figura II.3 es estable, o aun en presencia de la incertidumbre en el sistema ∆, que se supone acotada en la norma 1 (|∆|1 ≤ 1), pudiendo ser variante en el tiempo. A partir del teorema de peque˜a ganancia es posible demostrar que el sistema en lazo n cerrado es estable si y s´lo si M 1 < 1, donde M es la funci´n de transferencia entre la salida de la incertidumbre o o y su entrada. Figura II.3.: Problema de estabilidad robusta para incertidumbres no-estructuradas. 37
- 46. Ejemplo de an´lisisde estabilidad robusta a Se trata de comprobar si el sistema en lazo cerrado de la figura II.4 es estable, aun en presencia de una incertidumbre multiplicativa directa en la entrada del 100 %. La condici´n obtenida a partir del teorema de o peque˜a ganancia es: n KG(I + KG)−1 1 ≤ 1. 3z−1 2z−1 Si G = (2z−1)(4z−1) yK= 3z−1 , entonces KG(I + KG)−1 1 = 0,25 < 1. Esto significa que puede asegurarse la estabilidad robusta del sistema realimentado, aun en presencia de esta incertidumbre en el sistema. ∆ r(z) e(z) u(z) y(z) + K(z) + G(z) (−) Figura II.4.: Problema de estabilidad robusta para incertidumbre multiplicativa directa. II.5. Soluci´n mediante programaci´n lineal o o Planteamiento del problema de optimizaci´n o Hemos visto hasta ahora c´mo, para comprobar si un sistema de control cumple unas determinadas condiciones o de funcionamiento, basta con comprobar una condici´n sobre una norma. Por ello, el dise˜o de controladores ´pti- o n o mos para sistemas con se˜ales limitadas en amplitud se expresar´ como el problema de encontrar un controlador n ıa que minimize la norma de la funci´n de transferencia entre las correspondientes entradas y salidas: o m´ ın HT (K) 1 ≤1 K estabilizantes donde M (K) es una determinada funci´n de transferencia que relaciona determinadas entradas y salidas, depende o del controlador a dise˜ar (K) y H es una funci´n de transferencia constante (una funci´n de peso). n o o Por ejemplo, si tratamos de minimizar las variaciones de la se˜al de control se tratar´ de calcular el controlador n a que minimice: m´ (1 − z −1 )K(1 + KG)−1 1 ın es decir: H(z) = (1 − z −1 ), M (K) = K(1 + KG)−1 . La formulaci´n tradicional se basa en aplicar la parametrizaci´n de Youla, expresando el controlador K como o o K = X−QN , donde Q es cualquier funci´n de transferencia estable. La optimizaci´n se realiza entonces en funci´n Y +QD o o o del par´metro Q, lo que tiene la ventaja de que las funciones de transferencia caracter´ a ıstica resultan ser afines en Q y, por lo tanto, f´ciles de optimizar (para detalles, consultar el ap´ndice A). a e Aqu´ en cambio presentamos una formulaci´n alternativa, basada en optimizar directamente las respuestas ı o impulsionales de las funciones de transferencia caracter´ ısticas. Esta variaci´n da una soluci´n m´s natural de o o a 38
- 47. estos problemas deoptimizaci´n, para dise˜adores no familiarizados con parametrizaciones de Youla. Sin embargo, o n debemos hacer constar que, al tener generalmente las respuestas impulsionales ´ptimas un n´mero infinito de o u t´rminos, nunca obtendremos el regulador ´ptimo, s´lo una aproximaci´n a ´l (por otra parte suficiente en la e o o o e mayor parte de los casos pr´cticos). a Conversi´n a un problema de programaci´n lineal o o Por simplicidad, comenzamos la presentaci´n para el caso de optimizaci´n de una unica funci´n de transfe- o o ´ o rencia SISO. La idea principal del m´todo se basa en trabajar directamente con los coeficientes de la respuesta e impulsional de la funci´n de transferencia a minimizar Φ = {Φ[i]}. Efectivamente, hemos visto c´mo los pro- o o blemas con restricciones se pueden expresar en funci´n de la suma (en valor absoluto) de los coeficientes de la o respuesta impulsional (que no es otra cosa que la norma 1 ). El problema de optimizaci´n puede expresarse entonces como: o ∞ m´ ın Φ 1 = m´ ın |Φ[i]| K estabilizantes K estabilizantes i=1 donde Φ[i] son los coeficientes de la respuesta impulsional que tratamos de optimizar, con la restricci´n adicional o de que el controlador K no puede cancelar ning´n cero inestable de la planta G (lo que har´ K inestable, que u ıa siempre es indeseable). Tampoco K deber´ cancelar ning´n polo inestable de la planta (pues la cancelaci´n no ıa u o ser´ efectiva en cuanto la planta sufriera una peque˜a variaci´n, haciendo el sistema en lazo cerrado inestable; ıa n o esto es, el sistema no tendr´ estabilidad interna). Esto lo representaremos matem´ticamente como la restricci´n ıa a o de que KG debe valer 0 en los ceros inestables de la planta e ∞ en los polos inestables de la planta. Por ejemplo, en el caso de que quisi´ramos minimizar el error de seguimiento en presencia de perturbaciones, e el objetivo ser´ minimizar la sensibilidad S = 1/(1 + KG). Denotando los ceros inestables de la planta G como ıa {zk } y los polos inestables como {pk }, las restricciones de interpolaci´n ser´ o ıan: S(zk ) = 1/(1 + 0) = 1 ∀k S(pk ) = 1/(1 + ∞) = 0 ∀k. (z−3) Por ejemplo, si la planta fuese G = (z−2)(z−0,5) , entonces z1 = 3, p1 = 2 con lo que las restricciones de interpolaci´n ser´ o ıan: S(3) = 1 S(2) = 0. En cambio, si la funci´n a optimizar resultase ser la sensibilidad complementaria T = KG/(1 + KG), las o restricciones de interpolaci´n ser´ o ıan: T (zk ) = 0 ∀k T (pk ) = 1 ∀k que para nuestro ejemplo ser´ ıan T (3) = 0 S(2) = 1. En general, para asegurar la estabilidad interna del sistema de control a dise˜ar se deber´n cumplir las siguientes n a restricciones de interpolaci´n: o M (zk ) = αk ∀k M (pk ) = βk ∀k 39
- 48. donde αk yβk corresponden a los valores (constantes) resultantes de sustituir los ceros o polos en la funci´n de o transferencia. Como se ha mencionado antes, si expresamos esta funci´n de transferencia gen´rica Φ en t´rminos de su o e e ∞ respuesta impulsional Φ = {Φ[i]}, por definici´n de la transformada z de un sistema (Φ(z) = i=0 Φ[i]z −i ) y o seg´n la f´rmula de c´lculo de una norma 1 como la suma en valor absoluto de los t´rminos de una respuesta u o a e impulsional, la norma ell1 resulta ser: ∞ m´ ın |Φ[i]|. Φ[i] i=0 Para tener en cuenta las restricciones de interpolaci´n, basta utilizar el hecho de que el valor de una funci´n o o de transferencia Φ en un punto ak , dada su respuesta impulsional {Φ[i]}, es: ∞ Φ[i] Φ(ak ) = . i=0 ai k Resulta entonces que el problema de optimizaci´n puede expresarse como: o ∞ m´ ın |Φ[i]| i=0 sujeto a ∞ Φ[i] i = αk ∀k i=0 zk ∞ Φ[i] = βk ∀k. i=0 pi k Este problema de minimizaci´n puede transformarse a un problema de programaci´n lineal est´ndar haciendo o o a el cambio de variable Φ[i] = Φ[i]+ − Φ[i]− , donde aseguraremos que las nuevas variables sean siempre positivas: Φ[i]− ≥ 0 y Φ[i]+ ≥ 0 y una de ellas siempre 0 (esto se conseguir´ normalmente pesando de alguna forma el valor a de estos nuevos coeficientes). Resulta entonces el nuevo problema de optimizaci´n: o ∞ m´ ın Φ[i]+ + Φ[i]− i=0 sujeto a ∞ ∞ Φ[i]+ Φ[i]− i − i = αk ∀k i=0 zk i=0 zk ∞ ∞ Φ[i]+ Φ[i]− i − = βk ∀k. i=0 pk i=0 pi k En principio ´ste es un problema de programaci´n lineal con infinitas variables, pero normalmente puede e o truncarse, suponiendo que la respuesta impulsional es finita. Para ello basta reemplazar el ∞ en la expresi´n o anterior por un valor finito N (que puede aumentarse hasta obtener buena convergencia). Resulta entonces un problema de programaci´n lineal de dimensi´n finita, que puede resolverse utilizando software de programaci´n o o o lineal (por ejemplo la funci´n lp o linprog en Matlab), como mostraremos posteriormente en el ejemplo detallado o del reformador de hidr´geno (II.6). o 40
- 49. Una vez resueltoel problema de optimizaci´n lineal, basta deshacer los cambios de variables realizados para o obtener el controlador: Primero los coeficientes de la respuesta impulsional ´ptima se obtendr´ a partir de la soluci´n ´ptima del o ıan o o problema de programaci´n lineal: o Φ[i] = Φ[i]+ − Φ[i]− y el controlador ´ptimo se calcula despejando K de la f´rmula de la funci´n de transferencia caracter´ o o o ıstica utilizada. As´ si la funci´n a optimizar es la sensibilidad S = 1/(1 + KG), el controlador ser´ ı, o ıa: 1−Φ K= . GΦ Teniendo en cuenta que la funci´n de transferencia en z correspondiente a la respuesta impulsional es Φ[z] = o n 0 Φ[i]z −k , si la planta expresada como cociente de polinomios en z es G = nG [z] , resulta el controlador ´ptimo: d G [z] o dG (1 − Φ[i]z −k ) K= . nG ( Φ[i]z −k ) Para obtener el controlador definitivo basta cancelar ceros y polos (si se ha realizado correctamente siempre se cancelar´n los que hayamos introducido en las restricciones de interpolaci´n, con lo que desaparecen del a o controlador), y realizar la reducci´n de orden correspondiente, si fuese necesario. o Problema multibloque Hemos visto c´mo es posible resolver el problema de dise˜o de controladores en presencia de restricciones, en o n el caso de que el objetivo sea minimizar una unica funci´n de transferencia. Sin embargo, en problemas pr´cticos ´ o a el objetivo puede ser minimizar varias matrices de transferencia de forma simult´nea. a Presentaremos la t´cnica multibloque mediante un ejemplo num´rico basado en resolver un problema de sen- e e sibilidad mixta, donde el dise˜ador debe considerar situaciones de compromiso entre requerimientos a baja y n altas frecuencias, que se pueden transformar como un problema de optimizaci´n en paralelo de dos funciones de o transferencia caracter´ısticas, como pueden ser la sensibilidad, la sensibilidad al control o la sensibilidad comple- mentaria. Por ejemplo, un problema de sensibilidad mixta que trate de minimizar la sensibilidad y la sensibilidad al control puede expresarse como: (I + KG)−1 m´ ın . K K(I + KG)−1 1 Este problema de sensibilidad mixta presenta la ventaja frente a otros en que evita que el controlador cancele los ceros y polos estables de la planta, como luego comprobaremos en un ejemplo. Pues bien, la soluci´n se obtiene de forma an´loga al caso de un bloque, definiendo Φ 1 = (I + KG)−1 y o a Φ2 = K(I + KG)−1 : Φ1 m´ın . Φ2 1 La principal diferencia en este caso es que ser´ necesario a˜adir restricciones de factibilidad que aseguren que a n al optimizar se tenga en cuenta que el controlador K es el mismo para las dos funciones de transferencia. En el ejemplo que estamos desarrollando esto significa que: Φ1 + GΦ2 = 1. pues (I + KG)−1 + GK(I + KG)−1 = 1. 41
- 50. Al sustituir Φ1y Φ2 por sus respuestas impulsionales Φ1 [i] = Φ+ [i] − Φ− [i] y Φ2 [i] = Φ+ [i] − Φ− [i], estas 1 1 2 2 restricciones de factibilidad dan lugar a un n´mero infinito de restricciones. En efecto, si la planta expresada u como cociente de polinomios en z es G = nG [z] , resulta la siguiente relaci´n: d G [z] o dG ∗ (Φ+ + Φ− ) + nG ∗ (Φ+ + Φ− ) = dG 1 1 2 2 donde ∗ significa convoluci´n (producto de polinomios en z −1 ). Al desarrollar la convoluci´n se obtiene un con- o o junto infinito de restricciones, f´cilmente desarrollable en t´rmino de los coeficientes de numerador y denominador a e de la planta. Ejemplo En el caso de que nG = n0 z + n1 y dG = z + d1 , con p1 = d1 > 1, z1 = n1 /n0 > 1, en t´rminos de los e elementos de las respuestas impulsionales, esta relaci´n se transformar´ en el siguiente conjunto de restricciones o ıa de factibilidad: (Φ+ [0] + Φ− [0]) + n0 (Φ+ [1] + Φ− [1]) = d0 2 2 d1 (Φ+ [0] + Φ1 [0]) + (Φ+ [1] + Φ− [1]) + n1 (Φ2 [0] + Φ− [0]) + n0 (Φ+ [1] + Φ− [1]) = d1 1 − 1 1 + 2 2 2 d1 (Φ+ [1] + Φ− [1]) + (Φ+ [2] + Φ− [2]) + n1 (Φ+ [1] + Φ− [1]) + n0 (Φ+ [2] + Φ− [2]) = 0 1 1 1 1 2 2 2 2 d1 (Φ+ [i] + Φ− [i]) + d1 (Φ+ [i + 1] + Φ− [i + 1]) + n1 (Φ+ [i] + Φ− [i]) + n0 (Φ+ [i + 1] + Φ− [i + 1]) = 0 ∀i > 1 1 1 1 1 2 2 2 2 En cuanto a las condiciones de interpolaci´n, en este caso inicialmente ser´ las siguientes: o ıan Φ1 (zk ) = 1 ∀k Φ1 (pj ) = 0 ∀j Φ2 (pj ) = 0 ∀j. Sin embargo, en este caso las restricciones de interpolaci´n (Φ1 (zk ) y Φ2 (pj )) resultan ser redundantes, pues o las restricciones de factibilidad crean relaciones entre las restricciones de interpolaci´n. As´ en nuestro ejemplo, o ı al tener como restricci´n de factibilidad Φ1 + GΦ2 = 1, si la evaluamos en los ceros de la planta resulta autom´ti- o a camente que Φ1 (zk ) = 1, y si la evaluamos en los polos Φ2 (pj ) = 0, con lo que se comprueba que no hace falta incluir estas restricciones de interpolaci´n, pues ya est´n incluidas autom´ticamente en las de factibilidad. o a a Esta redundancia hace que sea siempre recomendable comprobar si es posible eliminar algunas de las restric- ciones (de hecho en la mayor parte de los problemas multibloque correctamente formulados las restricciones de interpolaci´n resultan redundantes). o En definitiva, el problema de optimizaci´n resultante para este ejemplo, suponiendo que las respuestas impul- o sionales son finitas de longitud N , ser´ ıa N ın m´ m´x a Φ1 [i] + Φ− [i] + Φ+ [i] + Φ− [i] + 1 2 2 Φ+ [i],Φ− [i],Φ+ [i],Φ− [i] 1 1 2 2 i=0 sujeto a N N Φ+ [i] 1 Φ− [i] 1 − = γj i=0 pi1 i=0 pi1 (Φ [0] + Φ [0]) + n0 (Φ+ [1] + Φ− [1]) = d0 + − 2 2 d1 (Φ+ [0] + Φ− [0]) + (Φ+ [1] + Φ− [1]) + n1 (Φ+ [0] + Φ− [0]) + n0 (Φ+ [1] + Φ− [1]) = d1 1 1 1 1 2 2 2 2 d1 (Φ1 [i] + Φ− [i]) + d1 (Φ+ [i + 1] + Φ1 [i + 1]) + n1 (Φ+ [i] + Φ− [i]) + n0 (Φ+ [i + 1] + Φ− [i + 1]) = 0 ∀i > 0. + 1 1 − 2 2 2 2 42
- 51. II.6. Control de un reformador de hidr´geno o En esta secci´n presentamos el dise˜o de un controlador utilizando las t´cnicas de programaci´n lineal pre- o n e o sentadas en el cap´ ıtulo para un sistema industrial, lo que nos permitir´ comprobar las ventajas de utilizar estas a t´cnicas para resolver problemas reales. e Problema de control del reformador de hidr´geno o El problema a resolver es el control de un reformador de hidr´geno en una planta petroqu´ o ımica, cuyo esquema se muestra en la figura II.5. El objetivo de este sistema es la producci´n de hidr´geno por cat´lisis a partir de o o a hidrocarburos a los que se ha eliminado previamente el azufre. Para generar el hidr´geno los hidrocarburos se o mezclan con vapor supercalentado justo antes de entrar en los tubos del reformador, donde un catalizador de ıquel calentado a alta temperatura (sobre 750o C) produce el hidr´geno. La alta temperatura necesaria para n´ o acelerar la reacci´n se produce quemando combustible en el reformador [WV00], [AK01]. o Figura II.5.: Esquema del reformador de hidr´geno. o El sistema de control trata de mantener la temperatura deseada del catalizador bas´ndose en modificar la a cantidad de combustible que alimenta al reformador. Para ello se dispone de medidas de temperatura del cata- lizador y del flujo de combustible, y asimismo de una v´lvula controlada por ordenador que regula el flujo de a combustible. Al disponer de un unico actuador y dos medidas, la estructura de control se basa en la estructura ´ en cascada que se muestra en la figura II.6. En el proceso real existen fuertes perturbaciones, tales como variaciones del flujo de combustible, variaciones de su calidad, variaciones de la temperatura del vapor, etc. La perturbaci´n m´s dif´ de corregir corresponde o a ıcil a la temperatura del vapor, que modifica de una forma muy r´pida la temperatura del catalizador. El sistema a de control trata de atenuar lo m´s posible esta perturbaci´n actuando sobre la referencia del lazo de control de a o flujo de combustible. En este ejemplo unicamente nos planteamos el dise˜o de un controlador para el lazo exterior que elimine ´ n de forma adecuada las variaciones de la temperatura del catalizador, actuando sobre la referencia del lazo de control de combustible. Este ultimo se considera adecuado, por lo que se mantendr´n sus valores y caracter´ ´ a ısticas. 43
- 52. perturbaci´n o r(z) y(z) control de + K(z) + v´lvula a G(z) + flujo (−) (−) Figura II.6.: Sistema de control en cascada del reformador de hidr´geno. o Debemos puntualizar que no se dispone de una medida fiable de la temperatura del vapor de entrada, lo que hace inadecuado utilizar un compensador feedforward que elimine las perturbaciones; adem´s, la planta es de a fase no-m´ ınima. Esta reduci´n de las perturbaciones debe realizarse entonces por realimentaci´n. o o Modelo del sistema Un modelo simplificado del sistema se obtuvo a partir de modelado e identificaci´n del sistema a partir de o medidas obtenidas del sistema real [Sh96]. El modelo calculado corresponde a la funci´n de transferencia entre o la referencia del flujo de combustible y la temperatura de salida, incluyendo las din´micas impuestas por el lazo a interior de control de flujo. −0,032 [z + 0,2453] [z − 0,623257] [z + 0,999] [z − 15,4484] z 2 + 1,576432z + 3,074984 G= . z [z + 0,58958] [z − 0,615995] [z + 0,81983] [z − 0,910085] [z 2 + 0,838534z + 0,320120] Puede comprobarse en este modelo que la planta es estable, pero de fase no m´ ınima, con tres ceros fuera del c´ ırculo unidad (en z = 15,45, y z = −0,79 + −1,57j). El modelo de perturbaci´n se obtuvo por identificaci´n, resultando ser: o o 0,03 [z + 0,1216]2 + 0,6900822 z 2 Wd = . z 3 [z + 0,58958] [z − 0,615995] [z + 0,81983] [z − 0,910085] [z 2 + 0,838534z + 0,320120] Sensibilidad mixta Para resolver problemas pr´cticos basados en minimizaci´n de una norma a o 1 el problema de sensibilidad mixta: WS I + KG−1 ın m´ WM KG I + KG−1 1 fue propuesto y resuelto en [DP87], luego estudiado en m´s detalle en [ST93]. En problemas reales, las principales a dificultades de esta soluci´n vienen dadas por la cancelaci´n de ceros y polos estables por el controlador, y el o o excesivo esfuerzo de control. Para resolver estos problemas hemos propuesto [TG02] la soluci´n del problema de o sensibilidad mixta alternativo: WS I + GK −1 m´ın . WM K I + GK −1 1 En efecto, con esta estrategia el controlador no cancela necesariamente los ceros y polos estables del controlador. Adem´s, desde el punto de vista de la ingenier´ se sabe que es m´s adecuado considerar en la optimizaci´n los a ıa a o esfuerzos de control, que pueden reducirse directamente al a˜adir en la optimizaci´n un peso sobre la sensibilidad n o al control. 44
- 53. Este problema puederesolverse seg´n los m´todos vistos en la secci´n anterior, convirti´ndose a un problema u e o e de programaci´n lineal semi-infinita: o Φ1 m´ ın Φ2 1 −1 −1 sujeto a WS Φ1 + GWM Φ2 = 1. Dise˜ o del problema de optimizaci´n n o El objetivo principal del sistema de control a dise˜ar es reducir el efecto de las perturbaciones sobre la salida. n En t´rminos de se˜ales el objetivo puede expresarse como la minimizaci´n de la desviaci´n m´xima que alcanza e n o o a la salida por efecto de las perturbaciones, que es precisamente Sn ∞ . Si el efecto de la perturbaci´n sobre la o salida viene filtrado por la funci´n de transferencia Wd , el problema de dise˜o puede expresarse entonces como o n el problema de calcular un controlador que minimice SWd 1 . Adem´s debemos asegurar que la se˜al de control sea razonable. Para ello incluimos en la minimizaci´n a n o el efecto de la perturbaci´n sobre la se˜al de control, que vendr´ determinada por la sensibilidad al control o n a M = K I + GK −1 . El controlador se calcula entonces resolviendo el problema de sensibilidad mixta: WS I + GK −1 m´ ın . WM K I + GK −1 1 Selecci´n de pesos o Observando las componentes en frecuencia del modelo de las perturbaciones se comprueba c´mo, en el sistema o objeto de estudio, las perturbaciones siguen siendo importantes hasta frecuencias cercanas a 0,02 rad/s, afectando directamente a la salida. Con el fin de reducir las perturbaciones hasta una frecuencia cercana a 0,02 rad/s, ser´ ıa necesario que la frecuencia de corte de la sensibilidad estuviera sobre esta frecuencia. Es decir, la funci´n de peso o a utilizar para dise˜ar S deber´ tener un cero cerca de esta frecuencia. n a El problema que presenta esta elecci´n es que esta frecuencia resulta ser superior al ancho de banda del sistema o en lazo abierto. Resulta entonces que el ancho de banda en lazo cerrado debe ser mayor que en lazo abierto, lo que unicamente puede conseguirse haciendo la ganancia del controlador grande entre ambas frecuencias [GL95]. ´ Significar´ esto que el controlador amplificar´ las frecuencias comprendidas entre las frecuencias de corte en lazo a a abierto y en lazo cerrado. Esto debe hacerse con precauci´n para evitar excesivos esfuerzos de control y asegurar o la estabilidad del sistema en lazo cerrado. Se debe alcanzar entonces una soluci´n de compromiso entre la frecuencia de corte de S y la amplificaci´n de o o altas frecuencias que presentar´ M . Esta situaci´n es dif´ de conseguir por m´todos cl´sicos, por lo que un a o ıcil e a m´todo de dise˜o de controladores robustos mediante optimizaci´n (tal como la optimizaci´n 1 ) es ideal para e n o o resolver el problema. En este caso se puede conseguir estos requerimientos mediante la selecci´n adecuada de los o pesos sobre las funciones de transferencia a minimizar. En este ejemplo en particular, los pesos se han elegido tal como se muestran en la figura II.7. La selecci´n o concreta se realiz´ de la siguiente manera: o Peso sobre la sensibilidad al control WM : 45
- 54. Pesos seleccionados 1 10 W−1 S 0 10 −1 10 −1 WM −2 10 −4 −3 −2 −1 10 10 10 10 Frecuencia (rad/s) Figura II.7.: Pesos seleccionados para el dise˜o n 1. Saturaci´n-l´ o ımite en amplitud del actuador En el sistema de control en cascada que controla el reformador de hidr´geno, se sabe que el flujo de combustible o puede variar respecto al valor nominal como mucho entre −6,89 y +1,51. Significa esto que en condiciones normales de funcionamiento el sistema de control debe ser capaz de rechazar las perturbaciones sin llegar a saturarse. Es decir, u ∞ ≤ 1,51, para el conjunto de perturbaciones posibles. Debemos ahora describir estas posibles perturbaciones. En este caso las perturbaciones se encuentran normalizadas: d ∞ ≤ 1. En definitiva, se deber´ cumplir que: a m´x a u ∞ ≤ 1,51. d ∞ ≤1 Se ha visto previamente c´mo este problema puede formularse como una condici´n sobre la norma 1 de la o o funci´n de transferencia entre d y u. En este caso la funci´n de transferencia de d a u es M G d (con M la o o sensibilidad al control): Gd M ≤ 1. 1,51 1 L´ ımite en la velocidad del actuador En este problema se impone una variaci´n m´xima de la se˜al de control entre instantes de muestreo del 2 % o a n de su valor pico-a-pico, esto es, 0,168 unidades. Teniendo en cuenta que la funci´n de transferencia desde d hasta o u es M Gd , tal como se ha mostrado anteriormente esta condici´n puede expresarse en la norma 1 seg´n: o u Gd (1 − z −1 ) M ≤ 1. 0,168 1 Finalmente, se escoge una funci´n de peso sobre la sensibilidad al control W M tal que a cada frecuencia acote o los dos factores multiplicativos de M en las condiciones obtenidas por saturaci´n y limitaci´n en la variaci´n del o o o actuador. Es decir: 46
- 55. Gd |WM |z=ejω ≥ 1,51 z=ejω Gd 1 − z −1 |WM |z=ejω ≥ . 0,168 z=ejω Adem´s, esta funci´n de peso se elige de forma que su valor absoluto en el rango de frecuencias bajas y medias a o sea lo m´s peque˜o posible compatible con las restricciones anteriores. A altas frecuencias se disminuye el peso a n para permitir aumentar M entre el ancho de banda del sistema en lazo abierto y el ancho de banda del sistema en lazo cerrado. La amplitud del peso elegido se muestra en la figura II.8, donde el peso elegido corresponde a la transformada bilineal de: 0,5 WM (s) = . (s + 0,01)(s + 0,0001) Seleccion del peso sobre la sensibilidad al control 2 10 WM 1 10 Magnitud 0 10 Amplitud −1 10 Velocidad −2 10 −4 −3 −2 −1 10 10 10 10 Frecuencia (rad/s) Figura II.8.: Selecci´n del peso sobre la sensibilidad al control. o Peso sobre la sensibilidad al control WS Para elegir este peso se parte de las especificaciones de dise˜o: la frecuencia de corte de S(z = e jw ) debe n estar alrededor de 0,01 rad/seg. Como S debe reducir las perturbaciones de baja frecuencia tanto como sea posible, debe adem´s incluir un integrador. Para evitar sobrepicos de alta frecuencia en S, se debe pesar a altas a frecuencias. C´lculo del controlador a Una vez seleccionado el problema (sensibilidad mixta alternativo) y los pesos a utilizar, se puede resolver el correspondiente problema de programaci´n lineal, correspondiente al ejemplo de la secci´n (II.5), incluyendo los o o pesos. En nuestro caso utilizamos la toolbox de optimizaci´n en Matlab para el c´lculo del controlador. o a 47
- 56. El controlador resultantese redujo de orden hasta un controlador de orden 4, con funci´n de transferencia: o [z − 1,03795] [z − 0,88451] [z − 0,65138] [z + 0,20540] K= . [z − 1] [z − 0,390547] [z 2 − 0,097448z + 0,280517] La respuesta en frecuencia del controlador resultante se compara con la del controlador completo en la figura II.9. En la figura II.10 se comparan las respuestas salto en lazo cerrado. Puede comprobarse c´mo la aproximaci´n o o realizada es correcta, afectando s´lo a altas frecuencias y no significativamente a la respuesta salto. o Respuesta en frecuencia del controlador 1 10 0 10 control original −1 10 control reducido −2 10 −4 −3 −2 −1 10 10 10 10 Frecuencia (rad/s) Figura II.9.: Respuesta en frecuencia del controlador. Respuesta salto en lazo cerrado 1.2 1 controlador reducido 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 0 10 20 30 40 50 60 Tiempo (muestras) Figura II.10.: Respuesta salto en lazo cerrado. Las funciones de transferencia caracter´ısticas del sistema en lazo cerrado se muestran en la figura II.11. Es posible comprobar c´mo la forma de estas funciones de transferencia es adecuada: el ancho de banda del sistema o es ahora de 0,000218 rad/s, lo que significa que se filtrar´n las perturbaciones por debajo de esta frecuencia, como a 48
- 57. est´bamos buscando. Adem´s,la sensibilidad complementaria no presenta sobrepico, por lo que no lo presentar´ la a a a respuesta salto del sistema. El sobrepico que presenta la sensibilidad al control se debe a la necesidad de aumentar el ancho de banda del sistema en lazo cerrado respecto al de lazo abierto, para poder rechazar las perturbaciones. Funciones de transferencia características 1 10 T=KG/(1+KG) S=1/(1+KG) 0 10 −1 10 M=K/(1+KG) −2 10 −4 −3 −2 −1 10 10 10 10 Frecuencia (rad/s) Figura II.11.: Funciones de transferencia caracter´ ısticas. El c´digo en Matlab que permite calcular este controlador se muestra a continuaci´n: o o m=20; %Longitud de la respuesta impulsional tol=1e-5; % Definici´n de la planta o kg=-0.032 zg=[-0.2453 0.623257 -0.9999 15.4484 -0.788216+1.566429j ... -0.788216-1.566429j]’; pg=[-0.58958 0.615995 -0.81983 0.910085 -0.419267+0.379915j ... -0.419267-0.379915j]’; % Planta G=ng/dg [ng,dg]=zp2tf(zg,pg,kg) % Definici´n de los ceros fuera del c´rculo unidad o ı zi=[15.4484 -0.788216+1.566429j]’; Ts=30; w=logspace(-4,-1,256); % Peso de S [nw2,dw2]=c2dm(5*[1/0.01 1],[1/10 1],Ts,’matched’) % Peso de M [nw1,dw1]=c2dm(0.5*[1 0.01],[1 1e-6],Ts,’matched’) % Polinomios auxiliares para evaluar las restricciones de factibilidad pol1=conv(conv(dw1,nw2),dg); mpol1=length(pol1); pol2=conv(conv(nw1,dw2),ng); mpol2=length(pol2); pol3=conv(conv(nw1,nw2),dg); mpol3=length(pol3); % Restricciones sobre la NORMA A=[-1 ones(1,m) ones(1,m) zeros(1,m) zeros(1,m) -1 zeros(1,m) zeros(1,m) ones(1,m) ones(1,m)]; 49
- 58. b=[0;0]; Aeq=[];beq=[]; % restricciones deFACTIBILIDAD: S+GM=I Apol1=zeros(m+mpol1-1,m); Apol2=zeros(m+mpol2-1,m); for i=1:m, Apol1(i:i+mpol1-1,i)=pol1’; Apol2(i:i+mpol2-1,i)=pol2’; end Aeq= [Aeq zeros(size(Apol1,1),1) Apol1 -Apol1 Apol2 -Apol2]; beq=[beq pol3’ zeros(size(Apol1,1)-mpol3,1)]; % funcion de coste a minimizar f=eye(1,4*m+1); % RESOLUCION DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL [phiopt,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,zeros(size(f)),... Inf*ones(size(f))’,zeros(size(f))); gamma=phiopt(1); % C´lculo de la Sensibilidad ´ptima S=(phi(+)-phi(-))/W1 a o phi1=phiopt(2:m+1)’-phiopt(m+2:2*m+1)’; % Eliminaci´n de coeficientes esp´reos en phi1 o u while (abs(phi1(length(phi1)))<=tol*max (abs(phi1))) phi1=phi1(1:length(phi1)-1); end nsopt=conv(dw1,phi1); dsopt=[nw1,zeros(1,length(nsopt)-length(nw1))]; % C´lculo de la Sensibilidad al Control ´ptima M=(phi(+)-phi(-))/W2 a o phi2=phiopt(2*m+2:3*m+1)’-phiopt(3*m+2:4*m+1)’; while (abs(phi2(length(phi2)))<=tol* max(abs(phi2))) phi2=phi2(1:length(phi2)-1); end nmopt=conv(dw2,phi2); dmopt=[nw2,zeros(1,length(nsopt)-length(nw1))]; % Calculo del Controlador a partir de S y el modelo de la planta G nkopt=conv(dg,(dsopt-nsopt)); dkopt=conv(ng,nsopt); while (abs(nkopt(1))<=tol* max(abs(nkopt)) & ... abs(dkopt(1))<=tol*max(abs(nkopt))) nkopt=nkopt(2:length(nkopt)); dkopt=dkopt(2:length(dkopt)); end % cancelaci´n de los ceros/polos interpolados (los inestables) o [nk,dk]=minreal(nkopt,dkopt,5e-3); % Reducci´n ad-hoc del orden del controlador: o %Controlador ´ptimo es K=nk/dk; Controlador Reducido es K=nkr/dkr o [mag,f]=freqz(nk,dk,128); nb=6; na=6; ft=1./(0.01+f); [nkr,dkr]=invfreqz(mag,f,nb,na,ft); 50
- 59. Simulaci´n del sistemacontrolado o Con el fin de comprobar el comportamiento del controlador, se ha programado en Simulink un modelo bastante realista del proceso. En las simulaciones realizadas se ha comparado el comportamiento que presenta el controlador dise˜ado con el presentado por el sistema real ante las mismas perturbaciones. Para ello, se han le´ los valores n ıdo y estructura del PID instalado en la planta y simulado en Simulink. Las perturbaciones se generaron tratando de representar el espectro de frecuencias encontrado en las perturbaciones reales. En la figura II.12 se comparan las desviaciones respecto al valor de consigna del sistema controlado por el PID y del sistema con el controlador dise˜ado. Puede comprobarse c´mo las perturbaciones de baja frecuencia n o son eficientemente filtradas por el controlador 1 , dando menores desviaciones respecto al valor de consigna. En efecto, el error m´ximo de seguimiento se disminuye de 4,4 grados Celsius con el PID hasta 3,1 grados con el a controlador 1 . Figura II.12.: Seguimiento de la referencia en presencia de perturbaciones. Para conseguir esta reducci´n, la se˜al de control generada por el controlador 1 es m´s activa (ver figura II.13), o n a pero su desviaci´n m´xima aumenta (de 0,41 Km3 /h a 0,54 Km3 /h) siempre dentro de valores aceptables. El o a que estos valores sean aceptables se ha conseguido al haber introducido en el dise˜o un peso sobre la sensibilidad n al control, que tiene en cuenta tanto la magnitud de la se˜al de control como su variaci´n. n o Figura II.13.: Se˜al de control del lazo exterior. n 51
- 60. Conclusiones del ejemplo Como aplicaci´n pr´ctica de estas t´cnicas se ha visto que es posible solucionar el problema de control del o a e reformador de hidr´geno objeto de estudio mediante un controlador lineal dise˜ado utilizando el m´todo de o n e optimizaci´n 1 . Tal controlador fue dise˜ado solucionando un problema de minimizaci´n mixta. Se ha mostrado o n o c´mo pueden escogerse los pesos de las funciones caracter´ o ısticas a minimizar a partir de las especificaciones de dise˜o. En particular se han tenido en cuenta las limitaciones sobre el tama˜o de la se˜al de control y sus n n n variaciones entre per´ıodos de muestreo. El rendimiento del controlador ha sido comprobado utilizando un modelo no-lineal del sistema de control en cascada utilizado en la planta real, comprobando c´mo se disminuye la variaci´n en la variable controlada, que o o es la temperatura del catalizador. El controlador dise˜ado ha sido comparado con el situado actualmente en la n planta, del tipo PID, comprobando que se puede obtener un control m´s preciso de la temperatura del reformador a (se disminuyen las variaciones de 4,4 grados hasta 3,1 grados Celsius), con una se˜al de control adecuada. Adem´s n a el controlador dise˜ado, al ser de par´metros fijos y de bajo orden, puede integrarse adecuadamente en el sistema n a de control. II.7. M´todo de c´lculo basado en LMIs e a El problema de dise˜o 1 no es posible expresarlo directamente como un conjunto de LMIs. Sin embargo, s´ es n ı posible expresar un conjunto de LMIs que se aproximen a la soluci´n ´ptima, acotando superior e inferiormente o o la soluci´n. Presentamos unicamente las ideas generales; los detalles aparecen en [ED98]. o ´ Pasos preliminares Utilizando la parametrizaci´n de Youla (ver ap´ndice A), podemos convertir el problema de optimizaci´n o e o 1 al siguiente problema de equivalencia de modelos en el par´metro de Youla Q: a m´ H − U Q ın 1 . Q Para poder plantearlo como un problema LMI, hacemos primero el cambio de variable Φ = H − U Q: m´ Φ ın 1 Q sujeto a: Φ = H − U Q. Ahora descomponemos la respuesta impulsional de Φ en dos fragmentos: Φ 1 , que contendr´ los N primeros a t´rminos de la respuesta impulsional, y Φ2 , que contendr´ el resto de los t´rminos de la respuesta impulsional: e a e Φ1 = {Φ[0], Φ[1], ..., Φ[N − 1], 0, 0, ...} ; Φ2 = {0, 0, ..., 0, Φ[N ], Φ[N + 1], ...} . Si tenemos en cuenta que Φ = H − U Q, vamos a ver qu´ parte de las respuestas impulsionales de H, U y Q e afectan a Φ1 y Φ2 . En primer lugar supongamos que las respuestas impulsionales de H y Q son: H = {h[0], h[1], h[2], ...} U = {u[0], u[1], u[2], ...} Q = {q[0], q[1], q[2], ...} . 52
- 61. H puede descomponersedirectamente en los mismos dos fragmentos que Φ: H1 = {h[0], h[1], ..., h[N − 1], 0, 0, ...} H2 = {0, 0, ..., 0, h[N ], h[N + 1], ...} Q tambi´n puede descomponerse en los mismos fragmentos que Φ: e Q1 = {q[0], q[1], ..., q[N − 1], 0, 0, ...} Q2 = {0, 0, ..., 0, q[N ], q[N + 1], ...} Para poder multiplicar U y Q debemos convolucionarlas, lo que equivale a premultiplicar el vector de res- puestas impulsionales de Q por la matriz de Toeplitz, formada por repeticiones desplazadas de la respuesta impulsional: u[0] 0 0 ... u[1] u[0] 0 ... U = u[2] u[1] u[0] ... (infinitas filas e infinitas columnas). ... ... ... ... U puede descomponerse en 4 fragmentos, a saber: u[0] 0 ... 0 u[1] u[0] ... 0 • U11 = (N filas y N columnas) ... ... ... ... u[N − 1] u[N − 2] ... u[0] • U12 = 0 (por ser U causal) u[N ] u[N − 1] ... u[1] • U21 = u[N + 1] u[N ] ... u[2] (infinitas filas y N columnas) ... ... ... ... u[0] 0 ... • U22 = u[1] u[0] ... (infinitas filas e infinitas columnas) ... ... ... Puede observarse adem´s que U22 = U (que matem´ticamente viene dado por ser U una matriz de Toeplitz). a a Resulta entonces que Φ1 = H1 − U1 Q1 Φ2 = H2 − U12 Q1 − U Q2 . M´todo aproximado e Una vez descompuesto el problema en bloques vamos a plantear un problema de optimizaci´n que pueda o resolverse utilizando LMIs y que aproxime al problema 1 . Por ejemplo, puede plantearse el correspondiente problema de optimizaci´n como la media geom´trica de: o e La norma 1 de los N primeros t´rminos de la respuesta impulsional de Φ (que son precisamente los que e est´n en Φ1 ) a la norma H2 de los restantes t´rminos de la respuesta impulsional de Φ (que son los que hemos incluido en e Φ2 ). 53
- 62. 2 2 Es decir, tratamos de calcular un Q que minimice Φ1 1 + Φ2 2 . Esta funci´n a optimizar se elige porque, para un N fijo, corresponde a una norma que puede minimizarse o mediante LMIs, y adem´s, a medida que se aumenta N la soluci´n se aproxima a la del problema original. Para a o tener una estimaci´n bastar´ entonces resolver este problema de optimizaci´n modificado, aumentando N hasta o a o converger a una soluci´n. Como veremos en la pr´xima secci´n, dependiendo de las restricciones consideradas o o o nos aproximaremos al ´ptimo, bien por arriba, bien por abajo. o Aproximaci´n inferior por LMIs o Una aproximaci´n inferior puede calcularse utilizando Φ2 2 . o 2 2 m´ ın Φ1 1 + Φ2 2 Q sujeto a: Φ1 = H1 − U1 Q1 ; Φ2 = H2 − U12 Q1 − U Q2 . 2 2 1 Φ2 2 = H2 − U12 Q1 − U Q2 2 = Trace 1 Q1 T B T Lo B . Q1 Los par´metros Lo y B se obtienen a partir de la representaci´n de espacios de estados de a o H2 − U12 Q1 − U Q2 . Lo es el Gramiano de observabilidad, que puede calcularse resolviendo una ecuaci´n de Lyapunov (en Matlab o se calcula inmediatamente con el comando gram). Aproximaci´n superior o Para obtener una aproximaci´n superior basta imponer una restricci´n adicional al problema utilizado para o o la aproximaci´n inferior, que resulte redundante cuando N sea muy grande, y que adem´s no complique el o a procedimiento de resoluci´n. o Por ejemplo, a medida que N va haci´ndose m´s grande Q2 ir´ tendiendo a 0, por lo que podemos buscar una e a a soluci´n imponiendo que Q2 = 0. Es decir: o 2 2 m´ ın Φ1 1 + Φ2 2 Q sujeto a: Φ1 = H1 − U1 Q1 ; Φ2 = H2 − U12 Q1 − U Q2 y Q2 = 0 o lo que es lo mismo: 2 2 m´ ın Φ1 1 + Φ2 2 Q sujeto a: Φ1 = H1 − U1 Q1 ; Φ2 = H2 − U12 Q1 . Al tener una restricci´n adicional este problema de optimizaci´n, su valor ´ptimo ser´ mayor. Adem´s puede o o o a a demostrarse [ED98] que, a medida que N va haci´ndose m´s grande, las aproximaciones, superior e inferior, e a convergen (de forma d´bil). e 54
- 63. II.8. Resumen del cap´ ıtulo En este cap´ ıtulo se han presentado las ideas b´sicas de la utilizaci´n de la norma 1 como m´todo para tratar a o e sistemas con restricciones sobre la magnitud de se˜ales del lazo de control, en particular de la se˜al de control. n n En primer lugar se ha mostrado c´mo es posible asegurar la estabilidad de sistemas de control existentes, en o presencia de limitaciones sobre la magnitud de se˜ales (asegurando que estas restricciones nunca se alcanzan) o n incertidumbres variantes en el tiempo. Posteriormente, se ha mostrado un m´todo de dise˜o de controladores ´ptimos, los cuales aseguran que no e n o se alcanzan las restricciones impuestas. Las t´cnicas presentadas se basan en convertir el problema de dise˜o e n a un problema de programaci´n lineal, f´cilmente resoluble con software comercial. En particular, la t´cnica o a e presentada no utiliza la transformaci´n intermedia a parametrizaci´n de Youla, utilizada tradicionalmente para o o resolver este tipo de problemas, lo que facilita su resoluci´n y comprensi´n. Este procedimiento de dise˜o se ha o o n demostrado mediante un ejemplo pr´ctico: el control de un reformador de hidr´geno. a o Finalmente se ha presentado brevemente c´mo el problema de optimizaci´n o o 1 puede resolverse tambi´n de e forma aproximada utilizando las desigualdades matriciales lineales. 55
- 64.
- 65. CAP´ ITULO III S´ ıntesis de controladores mediante programaci´n semidefinida o III.1. Introducci´n o En el primer cap´ıtulo se dan las herramientas b´sicas para el an´lisis de sistemas de control bajo el paradigma a a robusto. Dado un controlador es f´cil evaluar, con las condiciones descritas en ese cap´ a ıtulo, si el sistema satisface condiciones de estabilidad (robusta), desempe˜o, etc. n Aunque esas condiciones per se son importantes, lo ser´n a´n m´s si de ellas podemos extraer un controlador, a u a esto es, si se puede convertirlas en condiciones de s´ ıntesis. El objetivo de este cap´ ıtulo es, precisamente, formular las condiciones de s´ ıntesis que nos permitir´n extraer a un controlador. La formulaci´n basada en programaci´n semidefinida (desigualdades matriciales lineales), presentada en es- o o te libro, se realiza para sistemas con representaci´n de estados, de all´ que la primera parte de este cap´ o ı ıtulo ser´ consagrada a la s´ a ıntesis de controladores que sean una realimentaci´n lineal de todos los estados del sistema, o suponiendo entonces que ellos est´n disponibles para su realimentaci´n. a o Cuando esto sucede (todos los estados est´n disponibles para su realimentaci´n) todos los problemas antes a o mencionados conocen una soluci´n conservadora total para sistemas ciertos y con incertidumbre (inciertos). En o la segunda parte de este cap´ıtulo, se hace la extensi´n de los resultados al caso en el que no todos los estados o est´n disponibles para realimentaci´n. Como veremos, en este caso los resultados tienen un alcance m´s limitado. e o a A continuaci´n, presentamos los diferentes tipos de estructura de la incertidumbre que consideraremos y el o enfoque bajo el cual se desarrollar´n las condiciones de s´ a ıntesis.
- 66. III.2. Estabilidad cuadr´tica a Consideremos al sistema x = A(r)x + B(s)u ˙ (III.1) n m n×n n×m donde x ∈ IR es el vector de estados, u ∈ IR es el vector de control, A(r) ∈ IR y B(s) ∈ IR son las matrices de din´mica y de entrada del sistema, funciones de r ∈ IRnr y s ∈ IRns , los cuales son vectores no a conocidos que representan la incertidumbre, que puede o no ser variante en el tiempo. Nuestro objetivo, en un primer momento, ser´ el de calcular una ley de control que asegure la estabilidad del a sistema para toda perturbaci´n factible r ∈ R y s ∈ S. o Para tal fin utilizaremos el enfoque cuadr´tico, que pasamos a definir. a Definici´n III.1 ([Bar83], [Pet87]) El sistema III.1 es cuadr´ticamente estabilizable si existe una ley de con- o a trol, funci´n continua de los estados p(·) : IRn → IRm tal que p(0) = 0, una matriz P sim´trica, definida positiva, o e y una constante real α > 0 que verifican, para toda incertidumbre posible: xT [AT (r)P + P A(r)]x + 2xT P B(s)p(x) ≤ −α x 2 (III.2) para todo x ∈ IRn = 0 y para todo t. Observaci´n III.1 Hay que se˜alar que el sistema III.1 es en realidad no un sistema sino una familia de ellos o n que bien puede ser infinita. Observaci´n III.2 Si la condici´n III.2 es satisfecha, toda la familia de sistemas III.1 comparten la funci´n o o o —cuadr´tica— de Lyapunov: a V (x) = xT P x al cerrar el lazo. En adelante denominaremos a P como matriz de Lyapunov. Observaci´n III.3 La condici´n de que toda la familia de sistemas comparta una misma funci´n (matriz) o o o de Lyapunov puede hacer que el controlador sea extremadamente conservador. A cambio, ofrece gran poder de c´lculo del mismo y, como veremos m´s adelante, la misma puede ser reformulada en t´rminos mucho menos a a e conservadores. En relaci´n con el tipo de incertidumbre, ser´ imposible tratar de extraer ning´n resultado para un tipo cualquiera o ıa u de ella. Al igual que en el enfoque frecuencial, nos concretaremos al estudio de 2 tipos de ellas, a saber: 1. Incertidumbre acotada en norma 2. Incertidumbre poli´drica. e Ambos tipos de conjuntos son convexos y de su representaci´n pueden extraerse soluciones. o Incertidumbre acotada en norma Sea An una matriz constante en IRn×n . D y E matrices constantes y conocidas de dimensiones n × q y q × n respectivamente. F ∈ IRq×q es una matriz que puede variar en el tiempo y de la que s´lo se conoce que: o F T F ≤ I. 58
- 67. Podemos describir ala incertidumbre acotada en norma de la forma A ∈ A = {A = An + DF E ∀F factible}. Observemos que A es un conjunto convexo —el´ ıptico— con An siempre en el centro del conjunto (figura III.1). An A Figura III.1.: Incertidumbre acotada en norma. Igualmente, notamos que D y E definen la estructura de la incertidumbre, i.e., la forma como ella afecta (entra) al sistema nominal An . Incertidumbre poli´drica e Sea VA = {A1 , A2 , . . . , Ar } un conjunto de matrices de dimensiones n × n. Sea A —la incertidumbre poli´drica— el conjunto definido por: e r A = {A ∈ IRn×n : A = α1 A1 + . . . + αr Ar : αi = 1, α1 ≥ 0} i=1 es decir, la combinaci´n convexa de las matrices v´rtice Ai (figura III.2). o e Podemos notar que, a diferencia de los sistemas con incertidumbre acotada en norma, en los sistemas poli´dricos e no hay una matriz nominal o preferida del sistema. En la pr´xima secci´n comenzaremos el estudio del c´lculo de controladores (s´ o o a ıntesis) para sistemas con in- certidumbre de los tipos que acabamos de presentar y en los que los sistemas ciertos —sin incertidumbre— no son m´s que un caso particular. Adicionalmente, hemos visto con anterioridad que las condiciones de estabilidad a y desempe˜o pueden evaluarse sobre la norma de una funci´n de transferencia adecuada y a su vez ´stas —al n o e igual que las condiciones de ubicaci´n de polos— pueden evaluarse sobre LMIs. As´ en lugar de escribir las o ı, condiciones y el controlador para cada caso (H∞ , H2 , ubicaci´n de polos, etc.), nos limitaremos en adelante al o caso H∞ para el que agotaremos los resultados, presentando, en algunos casos como corolario, las extensiones a otras especificaciones (H2 , . . .) ya que, como veremos, la extensi´n a esos casos no supone mayor dificultad, o pudiendo usarse los mismos procedimientos y/o resultados de base del caso H ∞ . 59
- 68. A 1 A 2 B 3 B 2 B B Ar 4 A A3 B 1 B 5 A A Bs 5 4 C5 C t C 4 C 1 C C 3 C 2 Figura III.2.: Incertidumbre poli´drica e III.3. Sistemas con incertidumbre acotada en norma Consideremos el sistema x ˙ = (An + DF E1 )x + (Bn + DF E2 )u + B1 w (III.3) z = C1 x donde x ∈ IRn es el vector de estados, u ∈ IRm es el vector de control, w ∈ IRnw es la perturbaci´n externa o y z ∈ IRnz es el vector de salidas a controlar —salida controlable—. An y Bn son las matrices (constantes y conocidas) de din´mica y entrada del sistema, D, E1 y E2 son matrices constantes (y conocidas) de dimensiones a adecuadas, que determinan la forma como la incertidumbre afecta al sistema y F es una matriz de la que s´lo se o sabe que: F T F ≤ I. Se desea encontrar una ley de control u = Kx —realimentaci´n lineal de los estados— tal que el sistema a lazo o cerrado sea internamente estable y que la norma infinita de la funci´n de transferencia entre w y z sea menor o que un escalar positivo γ, esto es: Twz ∞ < γ ∀A ∈ A y B ∈ B (III.4) donde A = {A : A = An + DF E1 ∀ F T F ≤ I} y B = {B : B = Bn + DF E2 ∀ F T F ≤ I}. Si la condici´n III.4 se satisface, entonces diremos que el control u, γ-aten´a la perturbaci´n w [XFS92]. o u o El siguiente teorema da las condiciones que deben cumplirse para la existencia de u. Teorema III.1 ([KPZ90]) Sea γ > 0 un escalar dado. El sistema III.3 es cuadr´ticamente estabilizable por a una ley de control u = Kx con atenuaci´n γ de la perturbaci´n w sobre z si y s´lo si existen matrices S > 0 y o o o R, y un escalar ε > 0, soluciones de la LMI: An S + SAT + Bn RT + RBn + εDDT + γ −2 B1 B1 SC1 SE1 + RE2 n T T T T T C1 S −I 0 <0 (III.5) T E2 R + E 1 S 0 −εI 60
- 69. M´s a´n, unaley de control estabilizante (cuadr´ticamente) est´ dada por: a u a a K = RT S −1 . Demostraci´n: El sistema III.3 es cuadr´ticamente estabilizable con atenuaci´n γ > 0 de perturbaci´n si y s´lo o a o o o si existen matrices P > 0 y K tales que (An + Bn K + DF E1 + DF E2 K)T P + P (An + Bn K + DF E1 + DF E2 K)+ γ −2 P B1 B1 P + C1 C1 < 0 T T pero ello es equivalente, denominando a E = E1 + E2 K, [Pet87]: 1 (An + Bn K)T P + P (An + Bn K) + εP DD T P + E T E + γ −2 P B1 B1 P + C1 C1 < 0 T T (III.6) ε para alg´n ε > 0. En su forma dual III.6 toma la forma (S = P −1 y R = SK T ): u 1 An S + SAT + RBn + Bn RT + εDDT + SE T ES + γ −2 B1 B1 + SC1 C1 S < 0. n T T T (III.7) ε III.7 puede escribirse como una LMI de la forma: An S + SAT + RBn + Bn RT + γ −2 B1 B1 + εDDT n T T T T SE1 + RE2 SC1T T E2 R + E 1 S −εI 0 <0 (III.8) C1 S 0 −I Observaci´n III.4 La desigualdad III.8 es lineal (convexa) con respecto a sus inc´gnitas S, R, ε y aun con o o respecto a γ −2 . Por lo tanto, puede ser resuelta con herramientas est´ndar, e.g., el LMI Toolbox de Matlab a [GNL95]. Observaci´n III.5 Si s´lo se impone estabilidad cuadr´tica, la LMI se reduce a las 2 primeras filas y columnas o o a de III.8. Observaci´n III.6 Si se trata de sistemas ciertos, la LMI se reduce a la 1ra y 3ra filas y columnas de III.8 con o D = 0. A continuaci´n, presentamos la extensi´n del teorema III.1 a los casos de costo garantizado (H 2 ) y de ubicaci´n o o o de polos. Corolario III.1 Definamos el siguiente problema convexo: m´ Tr W ın sujeto a W C1 S T >0 (III.9) SC1 S An S + SAT + εDDT + Bn RT + RBn + B1 B1 n T T T T SE1 + RE2 T <0 (III.10) E2 R + E 1 S −εI Sea W ∗ la soluci´n —si existe una— del problema convexo definido. Existe una ley de control u = Kx tal que o Twz 2 < γ 1/2 = Tr W ∗ para toda la familia de sistemas III.3 si y s´lo si existen matrices W y S definidas positivas, una matriz R y un o escalar ε > 0 tales que el problema de optimizaci´n tiene soluci´n. M´s a´n, la ley de control viene dada por o o a u u = Kx con K = RT S −1 . 61
- 70. Observaci´n III.7 Observemosque la cota superior (costo garantizado) es obtenida de un proceso de optimi- o zaci´n, por lo que el conservadurismo introducido no ser´ mayor. o a Observaci´n III.8 El bloque (1, 1) de la matriz III.10 asegura, adem´s, la estabilidad interna del sistema a lazo o a cerrado. Observaci´n III.9 Para el caso sin incertidumbre, la segunda condici´n se limitar´ al t´rmino (1, 1) del III.10. o o ıa e Pasemos ahora a escribir las condiciones para la ubicaci´n de polos del sistema en consideraci´n con un c´ o o ırculo de la forma III.3. Im(s) r Re(s) -α Figura III.3.: Circunferencia. Corolario III.2 Existe una ley de control u = Kx tal que el sistema III.3 tiene todos sus polos ubicados en la figura III.3, para todo A ∈ A y B ∈ B si y s´lo si existen matrices S > 0 y R y un escalar ε > 0 tales que: o S εD >0 εDT εI −rS + εDD T An SBn RT + αI 0 (III.11) SAT + RBn + αI n T −rS T T SE1 + RE2 < 0 T 0 E1 S + E 2 R −εI m´s a´n la ganancia viene dada por K = RT S −1 . a u Observaci´n III.10 El conjunto de desigualdades es lineal (convexo) con respecto a sus variables (S, R, ε) y o por lo tanto es un conjunto de LMIs. Observaci´n III.11 La ubicaci´n de polos en circunferencias tales como las descritas tiene sus implicaciones o o inmediatas en los sistemas discretos de la forma: xk+1 = Axk + Buk (III.12) uk = Kuk donde A = An + DF E1 , B = Bn + DF E2 y An , Bn , D, F, E como descrito anteriormente. As´ por ejemplo, con ı, α = 0 y r = 1, III.11 se convierte en la condici´n de estabilidad —cuadr´tica— de III.12. o a Observaci´n III.12 Para el caso sin incertidumbre, las condiciones se reducen a S > 0, en la primera LMI de o III.11 y las primeras dos filas y columnas de la segunda. 62
- 71. III.4. Sistemas poli´dricos e Consideremos ahora la familia poli´drica de sistemas e x(t) = Ax(t) + Bu(t) + B1 w(t) ˙ (III.13) z(t) = C1 x(t) donde x ∈ IRn es el vector de estados, u ∈ IRm es el vector de control, w ∈ IRnw es el vector de perturbaciones externas y z ∈ IRnz es el vector de salidas controladas. B1 y C1 son matrices constantes conocidas que determinan c´mo afecta la perturbaci´n al sistema y la parte de ´l que queremos controlar. Las matrices de din´mica y de o o e a entrada —A, B— son matrices reales no conocidas, que pueden o no ser constantes y de las que s´lo se conoce o que pertenecen a los conjuntos poli´dricos e A ∈ A = Co{A1 , A2 , . . . , Ar } B ∈ B = Co{B1 , B2 , . . . , Bs } donde Co = envolvente convexo (Convex hull). Evidentemente Ai , i = 1, . . . , r y Bj , j = 1, . . . , s son los v´rtices de los hiperpoliedros A, B. e Al igual que para los sistemas con incertidumbre acotada en norma, se busca una ley de control, realimentaci´n o lineal de los estados u = Kx, tal que el sistema a lazo cerrado sea internamente estable y que la norma infinita de la funci´n de transferencia entre w y z sea menor que un escalar positivo γ, esto es, o Twz ∞ <γ para todo A ∈ A y B ∈ B. De nuevo, buscamos un controlador que asegure γ-atenuaci´n de las perturbaciones. o El siguiente teorema nos da las condiciones de existencia de un tal controlador. Teorema III.2 El sistema III.13 es cuadr´ticamente estabilizable por una ley de control de realimentaci´n lineal a o de los estados (u = Kx), si y s´lo si existen matrices S > 0 y R tales que o Ai S + SAT + RBj + Bj RT + γ −2 B1 B1 i T T SC1T <0 (III.14) C1 S −I ∀i = 1, . . . , r; ∀j = 1, . . . , s. La ganancia estabilizante viene dada por K = R T S −1 . Demostraci´n: El sistema es cuadr´ticamente estabilizable por una ley de control u = Kx si y s´lo si existe o a o una matriz P > 0 tal que: T (A + BK)T P + P (A + BK) + γ −2 P B1 B1 P + C1 C1 < 0 T (III.15) ∀A ∈ A y B ∈ B. En forma dual —S = P −1 y R = SK T — la desigualdad III.15 resulta T AS + SAT + BRT + RB T + γ −2 B1 B1 + SC1 C1 S < 0 T (III.16) ∀(A, B) ∈ (A, B). Pero III.16 puede escribirse bajo la forma de LMI, esto es, AS + SAT + BRT + RB T + γ −2 B1 B1 T SC1T <0 (III.17) C1 S −I y III.17 es equivalente a III.14. Observaci´n III.13 A pesar de que III.13 es una familia infinita de sistemas, la existencia de un controlador o s´lo se verifica en los v´rtices de la regi´n incierta, i.e., en un n´mero finito de sistemas. o e o u 63
- 72. Observaci´n III.14 Elcaso sin incertidumbre —A = A1 y B = B1 — se reduce a aquel que ya obtuvimos o cuando desarrollamos los sistemas con incertidumbre acotada en norma, esto es, una sola LMI en III.17. Observaci´n III.15 La desigualdad III.17 es lineal (convexa) en S y R. o Observaci´n III.16 Si s´lo se impone estabilidad cuadr´tica, entonces la condici´n se reduce a la primera fila o o a o y columna de III.17 con B1 = 0. Hacemos notar que, adem´s, ese t´rmino asegura la estabilidad interna del a e sistema a lazo cerrado. A continuaci´n damos las condiciones de existencia de un controlador de realimentaci´n lineal de los estados o o de costo garantizado y luego las del que ubica todos los polos del sistema III.13 en una circunferencia. Corolario III.3 Definamos el siguiente problema convexo: m´ Tr W ın sujeto a: W C1 S T >0 SC1 S (III.18) T T T T Ai S + SAi + Bj R + RBj + B1 B1 < 0 ∀i = 1, . . . , r j = 1, . . . , s. Sea W ∗ la soluci´n —si existe una— del problema convexo definido. Consideremos o el sistema III.13. Existe una ley de control u = Kx que asegura √ Twz 2 < γ = Tr W ∗ si y s´lo si existen matrices W, S > 0 y R tales que el problema convexo tiene soluci´n. o o Observaci´n III.17 De nuevo, aunque la familia de sistemas es infinita, s´lo es necesario evaluar la condici´n o o o en un n´mero finito de puntos. u Observaci´n III.18 La condici´n III.18 tambi´n garantiza la estabilidad cuadr´tica del sistema III.13 y el caso o o e a sin incertidumbre es obtenido haciendo i = 1 y j = 1. Nos resta escribir las condiciones de ubicaci´n de polos, por ejemplo en c´ o ırculos como en la figura III.3. Corolario III.4 Existe una ley de control u = Kx que ubica todos los polos de cualquier miembro de la familia de sistemas III.13 en la circunferencia de la figura III.3, si y s´lo si existen matrices S > 0 y R tales que: o −rS Ai S + Bj RT + αI T T <0 (III.19) SAi + RBj + αI −rS ∀i = 1, . . . , r j = 1, . . . , s. Observaci´n III.19 Como en los casos anteriores, s´lo hace falta evaluar la condici´n III.19 en los v´rtices del o o o e sistema. Observaci´n III.20 Con r = 1 y α = 0, III.19 se convierte en la condici´n de estabilidad (cuadr´tica) del o o a sistema discreto xk+1 = Axk + Buk con A ∈ A y B ∈ B. 64
- 73. III.5. Condiciones menos conservadoras Trat´ndose de sistemas con incertidumbre, la condici´n cuadr´tica de existencia de una matriz de Lyapunov a o a P , com´n a todo miembro de la familia incierta, introduce cierto conservadurismo que se ve contrastado con el u hecho de poder calcular un controlador unico para todos los sistemas. Sin embargo, la condici´n de existencia de ´ o una matrix de Lyapunov com´n puede ser relajada y por ende obtener mejores controladores. En lo que sigue u damos condiciones de estabilidad para sistemas con incertidumbre poli´drica (continuos y discretos), y dejamos e para el lector las extensiones a los casos de ubicaci´n de polos, H∞ y H2 y los casos con incertidumbre acotada o en norma. Teorema III.3 [SS01], [Sh01]. Con relaci´n al sistema (III.13), existe una ley de control u(t) = Kx(t) que o estabiliza al sistema en cualquiera de sus representaciones, i.e., ∀A ∈ A y ∀B ∈ B, si existen matrices definidas positivas Sq , q = 1, . . . , r × s y G, todas en IRn×n tales que: Ai G + G T AT + B j R + R T Bj i T Ai G + B j R − G T + S q T T < 0. (III.20) G Ai − G + S q −G − GT i = 1, . . . , r, y j = 1, . . . , s. M´s a´n, K = RG−1 . a u Demostraci´n-necesidad: ([DB01]) El sistema (III.13) es estabilizable por una ley de control u(t) = Kx(t) si o existen matrices definidas positivas SA , posiblemente dependientes de A y una ganancia K tales que: (A + BK)SA + SA (A + BK)T < 0 ∀A ∈ A y B ∈ B 0 SA I = ( I (A + BK) ) < 0 ∀A ∈ A y B ∈ B SA 0 (A + BK)T 0 SA A + BK = ( I (A + BK) ) + ( F G )+ SA 0 −I (III.21) FT I ((A + BK)T − I) <0 GT (A + BK)T ∀A ∈ A, ∀B ∈ B y cualesquiera F, G (A + BK)F + F T (A + BK)T (A + BK)G − F T + SA =⇒ < 0. GT (A + BK)T − F + SA −G − GT Haciendo F = G, ya que no existe ninguna restricci´n en F , definiendo R = KG y observando que las matrices o A y B aparecen linealmente en (III.21), es decir, que la satisfacci´n en los v´rtices garantiza la satisfacci´n en o e o cualquiera de sus combinaciones convexas, queda demostrada la necesidad. Suficiencia: Si la condici´n (III.20) es satisfecha, entonces tambi´n se cumple para toda A ∈ A y B ∈ B, de o e hecho la matriz (SA ) de Lyapunov asociada a cada a cada par (A, B) no es m´s que la combinaci´n convexa de a o las matrices Sq asociadas a los v´rtices. En consecuencia, si definimos la matriz regular: e I (A + BK) Γ= 0 I se cumple que: (A + BK)G + GT (A + BK)T (A + BK)G − GT + SA Γ ΓT < 0, (III.22) GT (A + BK)T − G + SA −G − GT pero (III.22) es igual a: (A + BK)SA + SA (A + BK)T SA − AGT − GT < 0, (III.23) SA − GAT − G −G − GT y el t´rmino (1,1) de (III.23) asegura que K es una ganancia estabilizante y S A la matriz de Lyapunov, i.e., que e la primera de las condiciones de (III.21) es satisfecha 65
- 74. Para el casode sistemas discretos, consideraremos el sistema: xk+1 = Axk + Buk (III.24) con las matrices A, B en A, B respectivamente. Recordemos ahora la condici´n de estabilidad para sistemas discretos, equivalente a que los polos del sistema o (III.24) est´n dentro del c´ e ırculo unitario. Definici´n III.2 El sistema (III.24) es estabilizable por una ley de control de la forma u k = Kxk , si existen o matrices definidas positivas SA y una ganancia K tales que: (A + BK)T SA (A + BK) − SA < 0, ∀A ∈ A y B ∈ B. (III.25) La demostraci´n es muy similar a la de los sistemas discretos ya que (III.25) es equivalente a: o −SA 0 I (I (A + BK) ) <0 0 SA (A + BK)T y dejamos para el lector tal demostraci´n. o III.6. Dise˜ o por realimentaci´n de la salida n o En las secciones anteriores se presentaron resultados para sistemas inciertos —incertidumbre acotada en norma y poli´drica—, basados en la realimentaci´n lineal de todos los estados del sistema. e o Muchas veces esos estados no est´n f´ a ısicamente disponibles para su medici´n porque no son medibles o porque o no pueden serlo de manera confiable, y s´lo una parte de entre ellos puede usarse para control. A estos ultimos o ´ los llamaremos “salida medible” del sistema. Lo que resta de este cap´ıtulo ser´ consagrado a la s´ a ıntesis de controladores que satisfacen cierto criterio de desempe˜o —H∞ , H2 , etc.— y que usan solamente la salida medible. Las implicaciones pr´cticas de tal objetivo n a son obvias. No tan obvio, sin embargo, es el grado de dificultad que implica la tarea de estimaci´n de estados o para sistemas con incertidumbre. De igual manera, trataremos primero sistemas lineales invariantes en el tiempo sin incertidumbre para los que demostraremos que podemos alcanzar el objetivo propuesto. Para los sistemas con incertidumbre acotada en norma tambi´n encontraremos la soluci´n a trav´s de la extensi´n del resultado de [Pet87] a sistemas con e o e o realimentaci´n de la salida pero, desafortunadamente, s´lo para el caso de estabilidad —cuadr´tica—, no pudiendo o o a extender esos resultados al caso H∞ o H2 . Los sistemas con incertidumbre poli´drica, por el contrario, no conocen e de soluci´n total ni siquiera en el caso de estabilidad y para ellos s´lo presentaremos soluciones parciales. o o Como en los cap´ ıtulos anteriores, toda la formulaci´n est´ basada en una representaci´n del sistema en variables o a o de estado y las soluciones ser´n formuladas como desigualdades matriciales lineales. a III.7. Sistemas ciertos Consideremos al sistema x ˙ = Ax + Bu + B1 w y = Cx + Dw (III.26) z = C1 x + D 1 u 66
- 75. donde x ∈IRn es el vector de estados, u ∈ IRm es el vector de controles, w ∈ IRnw es el vector de perturbaciones externas que afectan al sistema, z ∈ IRnz es el vector de salidas controlables, y ∈ IRp es el vector de salidas medibles. A, B, B1 , C, C1 y D1 son matrices constantes de dimensiones apropiadas. Se desea dise˜ar un compensador din´mico de la forma: n a xc ˙ = A c xc + B c y (III.27) u = C c xc que asegure que el sistema a lazo cerrado cumpla con ciertas condiciones de desempe˜o medidas como una norma n 2, infinita, ubicaci´n de polos. o El controlador escogido es uno estrictamente propio, lo que, sin p´rdida de generalidad, simplifica considera- e blemente las demostraciones. La extensi´n al caso propio es s´lo m´s agotadora desde el punto de desarrollo y o o a demostraci´n. o En principio, nos planteamos unicamente la b´squeda de controladores estabilizantes para luego extender esos ´ u resultados a los otros casos que hemos venido estudiando, incluyendo a los sistemas discretos. El siguiente teorema caracteriza los controladores buscados. Teorema III.4 ([SGC97]) El sistema III.26 puede ser estabilizado por un controlador din´mico de la forma a III.27 si y s´lo si existen matrices sim´tricas X, Y > 0 y matrices U y V en IR n×n soluciones del conjunto de o e desigualdades matriciales AY + Y AT + BCc V T + V Cc B T T Φ T <0 Φ AT X + XA + U Bc C + C T Bc U T T (III.28) Y I >0 I X donde Φ = V AT U T + A + Y AT X + V Cc B T X + Y C T Bc U T . c T T Demostraci´n: El sistema a lazo cerrado —aut´nomo— resultante de aplicar el compensador din´mico III.27 o o a es: x˙ A BCc x B1 = + w xe ˙ Bc C A c xc Bc D ˜ A ˜ B (III.29) x z = (C1 D1 Cc ) xc ˜ C o o ˜ y el sistema es asint´ticamente estable si y s´lo si existe una matriz P > 0 tal que ˜ ˜ ˜˜ AT P + P A < 0. (III.30) ˜ Particionemos ahora la matriz P de la forma: ˜ X U ˜ Y V P = ˆ P −1 = ˆ . UT X VT Y ˜ ˜ Con relaci´n a los elementos de la matriz P y P −1 se cumple que: o XY + U V T = I XV + U Yˆ = 0 T ˆ T (III.31) U Y + XV = 0 Y ˆ = (X − U XU T )−1 > X −1 . 67
- 76. Definamos T dela forma: Y V T = . I 0 Sin p´rdida de generalidad, podemos asumir que V = 0 ya que, de tener V autovalores iguales a cero, siempre e podr´ hacerse una descomposici´n en valores singulares de V : ıa o V = Mv ΣMu reemplazando Σ por Σ∗ donde se han reemplazado los autovalores en cero por ε > 0 suficientemente peque˜os, n de modo que V ∗ = Mv Σ∗ Mu ˜ y la nueva matriz P ∗ tambi´n cumplir´ con la desigualdad III.30 para alg´n ε suficientemente peque˜o [IS94]. e a u n Si V = 0 entonces T es una matriz regular, i.e., tiene inversa. Si multiplicamos a la derecha de III.30 por T T y a la izquierda por T , lo cual preserva la desigualdad, obtenemos: T Y V A BCc X U Y I +ΥT ˆ <0 VT I 0 Bc C Ac UT X 0 Υ y que resulta en: Y V XA + AT X + U BCc + Cc Bc U T T ∆ Y I T <0 (III.32) I 0 ∆ Ω VT 0 ˆ ˆ T ˆ donde ∆ = XBCc + U Ac + AT U + Cc B T X y Ω = XAc + Ac X + U T BCc + Cc B T U y de donde se obtiene, a T T trav´s de las relaciones III.31, la desigualdad matricial III.28. e Definamos ahora las variables intermedias, L = Cc V T ; F = U B c y M = V A T U T c (III.33) Z = A + Y AT X + Y C T F T + LT B T X, entonces tenemos que: Corolario III.5 El sistema (III.26) es estabilizable por un compensador din´mico de la forma (III.27) si y s´lo a o si existen matrices X, Y > 0 y Φ ∈ IRn×n , L ∈ IRm×n y F ∈ IRn×r tales que AY + Y AT + BL + LT B T Φ < 0. (III.34) ΦT AT X + XA + F C + C T F T Observaci´n III.21 La desigualdad matricial es lineal —convexa— con respecto a sus variables X, Y, L, F, Φ y, o de nuevo, herramientas de programaci´n lineal pueden utilizarse para la b´squeda de su soluci´n. o u o Observaci´n III.22 Una vez que X, Y, L, F y Φ son calculadas, es f´cil calcular A c , Bc , Cc de la siguiente o a forma: 1. Tomemos cualquier matriz regular V 2. Hagamos Cc = L(V T )−1 y 3. U = (I − XY )(V T )−1 4. Bc = U −1 F 68
- 77. 5. M =Φ−Z 6. Ac = U −1 M T (V T )−1 , si V = 0 entonces U = 0. Aunque parece que los controladores estabilizantes est´n parametrizados por V , ello no es cierto. Si calculamos a la funci´n de transferencia del compensador tenemos que: o Tc (s) = Cc (sI − Ac )−1 Bc = L(V T )−1 [sI − U −1 M T (V T )−1 ]−1 U F = = L[s(U V T ) − M T ]−1 F = = L[s(I − XY ) − M T ]−1 F con lo que queda demostrado que la soluci´n de III.34 determina totalmente al controlador estabilizante, y la o verdadera parametrizaci´n est´ determinada por la tripleta (Φ, F, L). De hecho, si no existe ninguna restricci´n o a o sobre la estructura de la din´mica del compensador Ac , podemos tomar Φ = 0 recobrando los resultados de a [DGK89] y [GA94]. Pasemos ahora a la aplicaci´n de los resultados a H2 y sistemas discretos, que surgen de peque˜as extensiones o n del resultado previo. Corolario III.6 ([GPS92], [PSG92]) Consideremos el sistema III.26 para el que deseamos conseguir un con- trolador de la forma III.27 que asegure: m´ Twz 2 . ın Tal problema tiene soluci´n, si y s´lo si el siguiente problema de optimizaci´n la tiene: o o o m´ Tr W ın sujeto a Y I B1 I X XB1 + F D > 0 (III.35) T B1 B1 X + D T F T T W y AY + Y AT + BL + LT B T Φ Y C 1 + L T D1 T T ΦT AT X + XA + F C + C T F T T C1 <0 (III.36) C1 Y + D 1 L C1 −I con L, Φ, Z, F tal como se definieron anteriormente. o o ˆ Para la obtenci´n del resultado anterior se us´ el hecho de que (sea P una matriz definida positiva): m´ Twz ın 2 = m´ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ın{Tr[B T P B] : AT P + P A + C T C = 0} (III.37) ˜ ˜ ˜ con A, B, C definidos en III.29. Adem´s, la restricci´n de igualdad puede reemplazarse por una de desigualdad a o usando la propiedad de no decrecimiento de la soluci´n de la ecuaci´n de Lyapunov. o o De esta manera la ecuaci´n III.37 puede escribirse de la forma: o m´ Tr W ın sujeto a: ˜ P ˜˜ PB >0 (III.38) B ˜ ˜T P W 69
- 78. ˜ ˜ ˜˜ ˜ AT P + P A C T ˜ < 0. (III.39) C −I Para tener la misma parametrizaci´n del resultado anterior, debemos multiplicar a la derecha de III.38 y III.39 o por ˜ T 0 T = 0 I ˜ ˜ y a la izquierda por T T , con P particionada de la misma manera y T como definida anteriormente. Los par´metros del compensador pueden ser extra´ a ıdos de la forma descrita en la observaci´n III.22. o La extensi´n al caso H∞ es inmediata partiendo de la desigualdad que lo caracteriza o T ˜ ˜ ˜˜ ˜˜ A P + P A P B CT ˜ ˜˜ BP −γI 0 <0 C˜ 0 −γI y usando esta vez la transformaci´n o T 0 0 ˜ T = 0 I 0 0 0 I y las mismas definiciones y particiones usadas. En el caso de los sistemas discretos, consideremos el sistema: xk+1 = Axk + Buk + B1 wk zk = C 1 xk + D 1 uk (III.40) yk = Cxk + Dwk donde, igual que en los sistemas continuos, xk , uk , wk , zk , yk son los vectores de estados, controles, perturbaci´n, o salida controlable y medible respectivamente. ˜ ˜ Para los sistemas discretos usaremos la misma partici´n de la matriz P y P −1 e introduciremos las matrices: o Y V T 0 T = Γ= I 0 0 T y finalmente, re-definiremos las variables intermedias L = Cc V T , F = U Bc , M = V AT U T y c Z = Y A T X + Y C T F T + LT B T X Φ = Z + M; de nuevo, buscamos compensadores dentro de la familia de los estrictamente propios de la forma xk+1 ˆ = A c x k + B c yk ˆ (III.41) uk = Cc xk . ˆ El siguiente corolario caracteriza a tales controladores. Corolario III.7 El sistema III.40 es estabilizado por una ley de control de la forma III.41, si y s´lo si existen o matrices X, Y > 0 y L, F, Φ tales que: −X ΦT (AT X + C T F T )T −I Φ −Y −I Y A T + LT B T < 0. T A X + CT F T (III.42) −I −X AT −I AY + BL A −Y 70
- 79. La demostraci´n est´basada en que el sistema a lazo cerrado debe cumplir que: o a ˜ −P ˜ ˜ AT P ˜˜ ˜ <0 PA −P ˜ ˜ ˜ con A, P tal como fueron descritas en III.29 y III.30, utilizando la partici´n descrita de P y multiplicando por la o matriz Γ antes definida. Observaci´n III.23 Como en los casos anteriores, la soluci´n del problema de factibilidad conlleva la determi- o o naci´n de los par´metros del compensador estabilizante Ac , Bc , Cc . Igualmente, la extensi´n del resultado a otras o a o circunferencias con radio r y centrada en −α es inmediata. III.8. Sistemas con incertidumbre acotada en norma Pasemos ahora al estudio de los sistemas con incertidumbre acotada en norma, para los que, en una primera instancia y para simplificar las demostraciones, s´lo consideraremos incertidumbre en la matriz de din´mica del o a sistema. Igualmente, buscaremos un controlador estabilizante que adem´s asegure atenuaci´n de una perturbaci´n a o o externa w en la salida medible del sistema z, medida la atenuaci´n como la ganancia en la energ´ o ıa. Sistemas continuos. Controladores H∞ Formalmente, consideremos al sistema incierto definido por: x ˙ = (A + DF E)x + B1 w + Bu z = C1 x (III.43) y = Cx donde x ∈ IRn es el vector de estados, u ∈ IRm es el vector de comandos o controles, w ∈ IRnw es la perturbaci´n, o y ∈ IRp es la salida medible y z ∈ IRnz es la salida a controlar. A, B1 , B y C son matrices constantes reales de dimensiones apropiadas. D, F, E caracterizan la incertidumbre que puede o no ser variante en el tiempo. Adem´s: a F T F ≤ I. El problema planteado es aquel de la determinaci´n de un compensador din´mico de la forma: o a xc ˙ = A c xc + B c y (III.44) u = −Cc xc que estabiliza cuadr´ticamente el sistema incierto (III.43) con atenuaci´n γ > 0 de perturbaci´n, esto ultimo a o o ´ siendo: Twz ∞ < γ. El teorema siguiente propone las condiciones necesarias y suficientes de la existencia de un tal compensador din´mico del tipo (III.44). a Teorema III.5 ([CGP97]) Sea γ > 0 un escalar dado. El sistema (III.43) es cuadr´ticamente estabilizable con a atenuaci´n γ por un compensador de la forma (III.44) si y s´lo si existen R 1 , R2 definidas positivas, un escalar o o ε > 0 y matrices P y W definidas positivas tales que las expresiones siguientes se verifican −1 1) AT P + P A − P BR1 B T P + εP DD T P + 1 E T E + γ −2 P B1 B1 P + C1 C1 < 0 ε T T T T −1 1 T T −2 T T (III.45) 2) AW + W A − W C R2 CW + ε W E EW + εDD + γ B1 B1 + W C1 C1 W < 0 −1 3) S = W − P > 0. 71
- 80. M´s aun, uncompensador viene dado por: a Ac = A − Bc C − BCc + S −1 Cc B T P + DD T P − S −1 Q1 + γ −2 B1 B1 P T T 1 −1 T Cc = 2 R1 B P (III.46) −1 Bc = S −1 C T R2 donde 1 Q1 = −{AT P + P A − P BR1 −1 B T P + εP DD T P + E T E + γ −2 P B1 B1 P + C1 C1 }. T T ε Demostraci´n-suficiencia: Recordemos que o 1 εP DDT P + E T E ≥ P DF E + E T F T DT P. ε para todo ε > 0. Ahora bien, el sistema en lazo cerrado formado a partir de (III.43) y (III.44) puede escribirse como: x˙ A + DF E −BCc x = xc ˙ Bc C Ac xc haciendo e = x − xc , x ˙ A + DF E − BCc BCc x = . e ˙ A + DF E − BCc − Bc C − Ac Ac + BCc e Reemplazando Ac por su expresi´n (III.46), obtenemos o x ˙ D x = An + F (E 0) e ˙ D e donde A − BCc BCc An = −S −1 Cc B T P − DD T P + T A − Bc C + S −1 Cc B T P + T . S −1 Q1 − γ −2 B1 B1 P T DD P − S Q1 + γ −2 B1 B1 P T −1 T Pero sabemos que si existe una matriz Pg = Pg T > 0 tal que: D B1 A T Pg + P g A n + P g ε n (DT DT ) + γ −2 T (B1 T B 1 ) Pg + D B1 (III.47) 1 ET C1T ε (E 0) + (C1 0) < 0. 0 0 Entonces el sistema es cuadr´ticamente estabilizable con atenuaci´n γ de perturbaci´n. Tengamos ahora: a o o P 0 Pg = > 0, 0 W −1 − P el t´rmino a la izquierda de la desigualdad III.47 pasa a ser e Ξ Q1 (III.48) Q1 Ψ donde Ψ = (A − Bc C)T S + S(A − Bc C) + Cc B T P + P BCc + εSDD T P + εP DD T S+ T εSDD S − 2Q1 + γ SB1 B1 P + P B1 B1 S + γ −2 SB1 B1 S T −2 T T T Ξ= (A − BCc )T P + P (A − BCc ) + εP DD T P + 1 E T E + γ −2 P B1 B1 P + C1 C1 ε T T 72
- 81. recordando que Q1 = −{AT P + P A − P BR1 −1 B T P + εP DD T P + 1 E T E + γ −2 P B1 B1 P + C1 C1 } ε T T y si definimos: H = {W −1 A + AT W −1 − C T Bc S − SBc C + 1 E T E + εW −1 DDT W −1 + T ε γ W B1 B1 W −1 + C1 C1 } −2 −1 T T entonces (A − Bc C)T S + S(A − Bc C) + Cc B T P + P BCc + εSDD T P + εP DD T S+ T T −2 T εSDD S − 2Q1 + γ SB1 B1 P + γ −2 P B1 B1 SP + γ −2 SB1 B1 S = H − Q1 T T y podemos escribir III.48 bajo la forma: −Q1 Q1 . Q1 H − Q1 Esta matriz es definida negativa si Q1 > 0 y H < 0. En consecuencia, la desigualdad III.47 se satisface si (A − BCc )T P + P (A − BCc ) + εP DD T P + 1 E T E + γ −2 P B1 B1 P + C1 C1 < 0 ε T T (III.49) AT W −1 + W −1 A − C T Bc S − SBc C + εW −1 DDT W −1 + T 1 T −2 (III.50) εE E + γ W B1 B1 W −1 + C1 C1 < 0. −1 T T Utilizando argumentos sacados del teorema de Finsler [Pet87], III.49 y III.50 son, respectivamente, equivalentes a las condiciones 1 y 2 del teorema III.5 con Bc y Cc , las expresiones “cl´sicas” de las ganancias de control y de a filtraje. Necesidad: Sea T T ˜ A −BCc ˜ B1 B1 0 ˜ C1 C1 0 A= B1 = C1 = . Bc C Ac 0 0 0 0 El sistema en lazo cerrado III.43 y III.44 resulta x˙ ˜ DF E 0 x B1 = A+ + w xc ˙ 0 0 xc 0 (III.51) y= (C1 0) y en consecuencia III.43 es cuadr´ticamente estable con atenuaci´n γ > 0 de perturbaci´n si y solamente si a o o existen matrices −1 ˜ W1 W2 ˜ P1 P2 W = T = P −1 = T >0 W2 W3 P2 P3 tales que ˜ ˜ ˜˜ ˜ DF E 0 E T F T DT 0 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ AT P + P A + P + P + γ −2 P B1 P + C1 < 0. (III.52) 0 0 0 0 Si III.52 es satisfecha, entonces [Pet87] ˜ ˜ ˜˜ ˜ D ˜ 1 ET ˜ ˜ ˜ ˜ AT P + P A + ε P (DT 0)P + (E 0) + γ −2 P B1 P + C1 < 0, (III.53) 0 ε 0 ˜ ˜ si multiplicamos III.53 a ambos lados por W = P −1 , ˜ ˜ ˜˜ 1 ˜ ET ˜ D ˜ ˜ ˜ ˜ W AT + A W + W (E 0)W + ε (DT 0) + γ −2 B1 + W C1 W < 0. (III.54) ε 0 0 ˆ Extrayendo los t´rminos superior izquierdo de las matrices III.53 y III.54, colocando P = W1 −1 > 0 y W = e ˆ ˆ P1 −1 > 0 y utilizando el teorema de Finsler, recobramos la primera y segunda condici´n del teorema III.5 en P o ˆ y W . Ahora bien, seg´n el lema de inversi´n de matrices [AM89], tenemos que: u o P1 − W1 −1 = P2 P3 −1 P2 T ≥ 0 ˆ ˆ y por lo tanto W −1 − P ≥ 0. Esta ultima desigualdad puede ser satisfecha estrictamente. De hecho, seg´n el lema ´ u ˆ ˆ 2 de [SMN90], si las condiciones (1) y (2) del teorema III.5 son satisfechas en P y W , ellas lo ser´n igualmente a ˆ para las matrices W < W y P < P . ˆ 73
- 82. Observaci´n III.24 Lascondiciones enunciadas en el teorema III.5 no nos proveen de un medio de c´lculo o a para la determinaci´n del compensador dado en III.46. Sin embargo, podemos notar que la primera condici´n es o o −1 −1 convexa con respecto a (P −1 , R1 , ε) o, igualmente, con respecto a (ε−1 P −1 , R1 , ε−1 ). La segunda es convexa −1 −1 con respecto a (W −1 , R2 , ε−1 ) o con respecto a (εW −1 , R2 , ε). La ultima es convexa con respecto a (W −1 , ´ −1 P ). Desgraciadamente, el conjunto de las 3 desigualdades no forma una “representaci´n” convexa y otros o m´todos, como por ejemplo [Gar93] [GSK94] o [IS95], que toman en cuenta la naturaleza particular (convexidad e con respecto a ε y ε−1 ) de este problema, deben ser utilizados. Observaci´n III.25 Una condici´n necesaria y suficiente puede encontrase tambi´n en el trabajo [XFS92], pero o o e bajo la hip´tesis de que el compensador din´mico es dado. o a Observaci´n III.26 Para la demostraci´n del teorema III.5, nos hemos alejado un poco de las LMIs, y hemos o o seguido un enfoque m´s bien constructivo, siguiendo la demostraci´n original de [CGP97]. Igual comentario se a o aplica a la forma del compensador III.44 en el que se introdujo un signo (-). Las condiciones III.45 del teorema III.5 tambi´n pueden escribirse bajo la forma de LMIs, las cuales recogemos e en el siguiente corolario (con X = P −1 y Y = W −1 ): Corolario III.8 Sea γ > 0 un escalar dado. El sistema III.43 es cuadr´ticamente estabilizable con atenuaci´n a o −1 −1 γ de perturbaci´n, si y solamente si existen matrices X, Y, R1 , R2 definidas positivas y un escalar ε > 0 tales o que el siguiente conjunto de LMIs es satisfecho: −1 AX + XAT − BR1 + εDDT + γ −2 B1 B1 XE T XC1 T T 1) EX −εI 0 <0 T C1 X 0 −I −1 A Y + Y A + C T R2 C + ε−1 E T E + C1 C1 T YD Y B1 (III.55) 2) DT −ε−1 I 0 <0 T 2 B1 Y 0 −γ I Y I 3) > 0. I X Observamos que la convexidad del conjunto de matrices se pierde a causa del escalar ε. Finalmente, en el caso de que solamente se desee asegurar la estabilidad —cuadr´tica— del sistema, las dos a primeras condiciones de III.55 se reducen a las dos primeras filas y columnas de las LMIs respectivas. Hay que se˜alar que en este caso es f´cil eliminar ε de las variables multiplicando la primera LMI por n a ε−1/2 I 0 0 I a ambos lados del lado izquierdo de la desigualdad y luego por I 0 0 ε−1/2 y la segunda por ε1/2 I 0 0 I y luego por I 0 0 ε1/2 74
- 83. para finalmente hacerun cambio de variable X X= y Y = εY ε que no afecta la tercera LMI. Al eliminar ε recuperamos la convexidad del problema y, por ende, su soluci´n total. o Ejemplo En esta secci´n presentamos un ejemplo tomado de [HF93] ligeramente modificado para incluir los requisitos o H∞ que impondremos al problema. El sistema considerado es: −1 −1 2 x= ˙ + k(4 − 1) x+ 0 2 −2 1 0 u+ −3 1 y = (−3 1)x z = (1 0)x; k es la incertidumbre con rango −1 ≤ k ≤ 1. El compensador obtenido usando el LMI Toolbox de Matlab con γ = 1 y ε = 0,1 fue: −169,9767 43,4919 Ac = 598,2483 −161,0055 −7,8010 Bc = Cc = (148,9342 − 37,3479). 51,6630 La respuesta al escal´n unitario en la perturbaci´n w se muestra en la figura III.4 para valores de k = o o 1, −1, 0, 0,5, −0,5. En la figura III.5 se muestra una ubicaci´n de los polos del sistema para una discretizaci´n o o uniforme del intervalo de la incertidumbre. Los resultados obtenidos son equivalentes a aquellos para sistemas con incertidumbre estructurada en 2 bloques. Otros resultados para un n´mero mayor de bloques pueden encontrarse en [CH95]. u La extensi´n a incertidumbre en otras matrices del sistema podemos encontrarla en [GCG97]. o Sistemas discretos En esta secci´n derivaremos condiciones para la existencia de controladores H 2 en sistemas lineales discretos, o con incertidumbre acotada en norma. El problema ser´ formulado como una colecci´n de desigualdades matriciales a o lineales donde, de nuevo, encontraremos la similitud con problemas con incertidumbre estructurada en 2 bloques. Los resultados estar´n basados en el resultado [SGC97], en el que se introduce un elegante cambio en las variables a del controlador —de hecho un cambio matricial de variables. Consideraremos los sistemas lineales discretos: xt+1 = (A + DF E1 )xt + (B + DF E2 )ut + B1 wt yt = Cxt (III.56) zt = C1 xt + D12 ut 75
- 84. 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Figura III.4.: Desempe˜o ante la perturbaci´n. n o 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −2.8 −2.6 −2.4 −2.2 −2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 Figura III.5.: Ubicaci´n de polos. o donde xt ∈ IRn , ut ∈ IRm y yt ∈ IRp son respectivamente los vectores de estado, el control y la salida “medible”. wt ∈ IRnw es la perturbaci´n externa y zt ∈ IRnz es la salida “controlable”. Todas las matrices tienen dimensiones o apropiadas. F ∈ IRnD ×nE representa la incertidumbre —acotada en norma [Pet87]— y que pertenece a: F = {F ∈ IRnD ×nE : FT F ≤ I}. Buscamos un controlador (del tipo observador) de la forma: xt+1 ˆ = A c x t + B c yt ˆ (III.57) ut = Cc xt ˆ de manera que, cuando el lazo es cerrado –con (III.57)–, la norma H2 de la funci´n de transferencia desde w a z o √ sea menor o igual que alg´n valor γ > 0 dado, para todo posible F ∈ F, i.e., u 2 Twz 2 ≤γ ∀F ∈ F lo que normalmente conocemos como costo garantizado [EP98]. 76
- 85. Todos los resultadosque presentaremos pueden ser extendidos a la ubicaci´n de polos en discos centrados en o alg´n escalar real α con radios r. Adem´s, todas las matrices asociadas con la salida medible y t pueden incluir u a incertidumbre (con algunas condiciones sobre la forma como afectan al sistema –matrices D y F –). Igualmente pueden ser considerados controladores no estrictamente propios. Hemos escogido la estructura del sistema y la del controlador como en (III.56) y (III.57) para mantener las demostraciones mucho m´s simples. a Cuando aplicamos el control (III.57) para cerrar el lazo, obtenemos: xt+1 A BCc D xt B1 = + F (E1 E2 Cc ) + wt xt+1 ˆ Bc C A c 0 xt ˆ 0 ˜ ˜ ˜ E x ˜ ˜ (III.58) A D B1 xt zt = (C1 D12 Cc ) xt ˆ ˜ C1 o agrupando t´rminos: e xt+1 ˜ = ˜ ˜ ˜ x ˜ (A + DF E)˜t + B1 wt ˜ ˜ (III.59) zt = C1 x t Nuestra soluci´n del problema est´ basada en el concepto de disco-estabilidad cuadr´tica, cuya definici´n es: o a a o Definici´n III.3 ([GB95]) El sistema (III.59) es cuadr´ticamente disco estabilizable (d − estabilizable), si o a existe una matriz sim´trica definida negativa P > 0 tal que: e ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ (A + DF E)T P (A + DF E) − P < 0 ∀F ∈ F. El costo H2 garantizado viene dado por: Definici´n III.4 ([GGB94]) Sea {Ac , Bc , Cc } un controlador dado que d−estabiliza cuadr´ticamente a (III.59). o a Entonces, el sistema (III.59) tiene un costo γ > 0, H2 garantizado si: 2 Twz 2 ≤γ ∀F ∈ F donde Twz es la funci´n de transferencia entre w - z en (III.59), dada por: o ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ Twz = C1 (δI − A − DF E)−1 B1 , δ = el operador de retardo. Recordemos ahora que: Twz 2 ˜T ˜ = Traza(B1 Lo (F )B1 ) 2 donde Lo (F ) satisface: ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜T ˜ (A + DF E)T Lo (F )(A + DF E) − Lo (F ) + C1 C1 = 0. (III.60) El siguiente teorema nos aporta condiciones equivalentes “ciertas” de la existencia de l´ ımites superiores de la norma H2 de sistema (III.59). Teorema III.6 ([GB95]) El sistema(III.59) es cuadr´ticamente d−estable si existe una matriz sim´trica P > 0 a e y un escalar ε > 0 tal que ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜ ˜T ˜ AT (P −1 − εDDT )−1 A − P + ε−1 E T E + C1 C1 . < 0 (III.61) ˜ Q 77
- 86. Observaci´n III.27 En[GB95] el resultado es formulado en t´rminos de una matriz Q que puede ser escogida o e o o ˜ arbitrariamente y de una ecuaci´n discreta de Riccati. Con una selecci´n apropiada de Q (e.g., = Q + cualquier matriz definida positiva “peque˜a”) se obtiene (III.61). n El l´ ımite superior de la norma H2 es funci´n de la soluci´n P de la desigualdad de Riccati (III.61). o o De hecho, la satisfacci´n de (III.61) es equivalente a [GB95]: o ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜T ˜ (A + DF E)T P (A + DF E) − P + C1 C1 < 0 (III.62) al comparar (III.60) y (III.62) P > Lo , y por lo tanto: T T Traza(B1 Lo (F )B1 ) ≤ Traza(B1 P B1 ) En t´rminos de desigualdades matriciales, la existencia de una matriz P > 0 y un escalar ε > 0 tal que: e P −1 ˜ B1 ˜T >0 y (III.63) B1 γI ˜˜ −P −1 + εDDT ˜ A ˜T <0 (III.64) A −P + ε −1 E ˜ ˜ T E + C T C1 ˜ ˜ 1 implica que: 2 Twz 2 ≤γ ∀F ∈ F. Con estos resultados previos, podemos presentar el resultado principal de esta secci´n. o A continuaci´n presentaremos condiciones –necesarias y suficientes– de existencia de un controlador cuadr´tico o a d − estabilizante con costo H2 garantizado. Para facilitar la presentaci´n del resultado principal, introduciremos manipulaciones elementales de los resul- o tados previos. Lema III.1 La desigualdad (III.64) es satisfecha si y s´lo si existe una matriz sim´trica, definida positiva S tal o e que: ˜˜ −S + DDT ˜ AS ˜T ˜ T ˜ ˜ ˜ .<0 (III.65) SA −S + S E ES + εS C T C1 S 1 Demostraci´n: Pre y post multiplicando el lado izquierdo de la desigualdad (III.64) por la matriz regular o sim´trica: e I 0 0 P −1 y definiendo S = ε−1 P −1 , obtenemos (III.65). Observe que, con este cambio de variable, la desigualdad (III.63) resulta: S ˜ B1 ˜T > 0. (III.66) B1 εγI Lema III.2 Sea T cualquier matriz regular de dimensiones apropiadas, entonces la desigualdad (III.65) se sa- tisface si y s´lo si existe una matriz sim´trica, positiva definida S tal que: o e ˜ −I 0 EST T 0 0 0 ˜ −ε−1 I C1 ST T 0 0 T SE ˜ T ˜ ˜ T S C1 −T ST T T S AT T T T 0 < 0. (III.67) 0 0 ˜ T AST T −T ST T T D ˜ 0 0 0 ˜ DT T T −I 78
- 87. Demostraci´n: (III.67) seobtiene pre y post multiplicando el lado izquierdo de la desigualdad (III.65) por la o matriz regular: T 0 0 T y su transpuesta respectivamente, y luego aplicando el teorema del complemento de Schur para expandir las dimensiones de la matriz. Lema III.3 Sea T una matriz regular cualquiera de dimensiones apropiadas, entonces la desigualdad (III.66) se satisface si y s´lo si existe una matriz definida positiva S tal que: o T ST T T B1 < 0. (III.68) B1 T T T εγI Demostraci´n: (III.68) se obtiene al pre y post multiplicar el lado izquierdo de (III.66) por la matriz regular: o T 0 0 I y su transpuesta respectivamente. Presentamos ahora el resultado principal de esta secci´n: o Teorema III.7 ([CP99]) El sistema(III.59) es cuadr´ticamente d − estable con costo H 2 γ > 0 garantizado, a si y s´lo si existen matrices X y Y sim´tricas, definidas positivas y matrices H, L, Z y un escalar ε > 0 tal que o e el siguiente conjunto de desigualdades matriciales lineales tiene soluci´n: o Y I Y B1 I X B1 > 0 y (III.69) T T B1 Y B 1 εγI −I 0 E 1 E1 X + E 2 L 0 0 0 −ε−1 I C1 C1 X + D12 L 0 0 0 T T T T −Y −I A Y +C H A 0 −X Z XAT + LT B T 0 < 0. (III.70) −Y −I YD −X D −I M´s a´n, un controlador de costo H2 garantizado viene dado por: a u Bc = V −1 H Cc = L(U T )−1 Ac = V −1 (Z T − Y AX − HCX − Y BL)(U T )−1 en el que V es cualquier matriz regular (escogida arbitrariamente por el dise˜ador) y U satisface XY + U V T = I. n Observe que siendo el lado izquierdo de (III.70) una matriz sim´trica, hemos introducido una “ ” para evitar e una descripci´n m´s complicada de la matriz. o a Demostraci´n: Para obtener (III.70) particionamos S en (III.67) de la forma: o X U Y V S= ˆ S −1 = P = ˆ UT X VT Y y definimos a la matriz: Y V T = I 0 79
- 88. donde podemos suponer,sin p´rdida de generalidad, que la matriz V es una matriz regular [SGC97]. e Obtenemos los resultados de (III.69) y (III.70) con esta selecci´n de la matriz T en (III.67) y definiendo: o H = V Bc ; L = Cc U T ; Z = (Y AX + HCX + Y BL + V Ac U T )T el conjunto de desigualdades matriciales lineales (III.69) y (III.70) aseguran d − estabilidad con desempe˜o del n sistema asegurado a trav´s del costo H2 garantizado del sistema (III.59). e Ejemplo En esta secci´n presentamos un ejemplo num´rico tomado de Huei & Fong [HF93], ligeramente modificado. o e El sistema que consideramos es: −1,00 −1,20 0,1 1 0 xt+1 = + F 1 0 xt + ut + wt 0,10 −0,15 0,2 0 0,1 (III.71) yt = 1,2 −1,5 xt zt = 0 1 xt + u t . Colocando ε = γ = 1, la soluci´n al conjunto de desigualdades matriciales (III.69) y (III.70) viene dada por: o 0,8229 −0,2671 3,5096 −1,5866 X= ; Y = ; y −0,2671 0,3179 −1,5866 23,9678 −0,0765 0,0598 2,4053 L= 0,3194 0,0178 ; Z= ; H= . −0,3870 0,1364 −2,9949 Con este conjunto de valores y simplemente escogiendo V como la matriz identidad, obtenemos para el con- trolador: 0,9017 −0,0642 2,4053 xt+1 ˆ = xt + ˆ yt −0,4275 0,0008 −2,9949 ut = −0,4616 −0,0970 xt . ˆ Resulta sencillo construir una matriz de Lyapunov P para el sistema de lazo cerrado, como una funci´n de o X, Y y V o U . III.9. Sistemas con incertidumbre poli´drica e En esta secci´n nos interesaremos particularmente en los sistemas con incertidumbre poli´drica. Buscamos o e soluciones que se basen en la realimentaci´n de la salida del sistema. En un primer momento, buscamos un o controlador que asegure la estabilidad del sistema, para luego avanzar en las especificaciones del controlador. El problema de los sistemas con incertidumbre poli´drica es la ausencia de un sistema nominal, lo que lo e diferencia del caso con incertidumbre acotada en norma en el que el enfoque de generar un controlador din´mico, a basado en un observador del sistema con los elementos nominales “ligeramente” compensados en funci´n de la o incertidumbre, es inmediato y a de partir dichos elementos se construye una condici´n suficiente. o 80
- 89. Para solventar esteproblema, proponemos en esta secci´n un enfoque iterativo para determinar un dominio o de incertidumbre polit´pico “lo m´s grande posible” alrededor de un sistema inicial fijo, proporcion´ndonos de o a a esta manera con una especie de sistema nominal de arranque. En cierta forma estamos evaluando un margen de robustez en el sentido definido en [Bar94] y [MZ89]. La estrategia que utilizaremos se basa en una condici´n necesaria, a saber: si un sistema es cuadr´ticamente o a estabilizable y detectable —esta ultima noci´n dual del concepto de estabilidad cuadr´tica— siempre existe una ´ o a cierta vecindad alrededor de no importa qu´ punto (modelo) dentro del dominio incierto que podr´ estabilizarse e a con un compensador din´mico del tipo “observador de Luenberger” [ORe83]. a Esta vecindad puede ser —y lo ser´ en nuestro enfoque— definida a trav´s de una matriz de Lyapunov del tipo a e diagonal, la cual servir´, de manera cl´sica en el enfoque cuadr´tico, igualmente para la s´ a a a ıntesis del controlador y viceversa. El algoritmo que desarrollaremos se basa en la t´cnica de iteraciones “D-K” [MZ89], en el que explotaremos e la naturaleza biconvexa con respecto a la matriz de Lyapunov y con respecto al controlador. En el enfoque que vamos a presentar se puede incluir incertidumbre en todas las matrices del sistema, esto es, las matrices de din´mica, entrada y salida. a Estabilidad local de sistemas inciertos En vista de que el algoritmo que propondremos se basa en la propiedad de estabilidad local de sistemas inciertos, perm´ ıtasenos pasar a demostrar tal propiedad y para ello consideremos el sistema: x = Ax + Bu ˙ (III.72) y = Cx donde x, u, y son respectivamente los vectores de estado, de control y de salida medible del sistema perteneciendo a IRn , IRm y IRp respectivamente. Las matrices A, B, C son matrices no conocidas que pertenecen a los conjuntos: A ∈ A = {An + ∆A : ∆A ≤ ρ1 } B ∈ B = {Bn + ∆B : ∆B ≤ ρ2 } (III.73) C ∈ C = {Cn + ∆C : ∆C ≤ ρ3 } donde · es una norma matricial cualquiera. Para la demostraci´n de la estabilizabilidad local supondremos que o el sistema (III.72) es estabilizable y detectable. La definici´n de detectabilidad cuadr´tica es dual de la estabilidad o a cuadr´tica y concierne al par (C T , AT ). As´ la detectabilidad cuadr´tica del par (C T , AT ) est´ definida por la a ı, a a existencia de una matriz de Lyapunov unica W = W T > 0 y de una ganancia L, de manera que: ´ (A − LC)T W + W (A − LC) < 0. Recordemos que la estabilidad cuadr´tica est´ determinada por la existencia de P = P T > 0 y K tales que a a (A − BK)P + P (A − BK)T < 0 para todo el dominio de la incertidumbre. Consideremos ahora un observador de Luenberger [ORe83] para el sistema III.72 “nominal” z ˙ = An z + Bn u + L(y − Cn z) (III.74) u = −Kz donde z ∈ IRn . Definiendo e = x − z, tenemos e = (An − LCn + ∆B K)e + (∆A − ∆B K − L∆C )x. ˙ (III.75) 81
- 90. Sea ∆ =∆A − ∆B K − L∆C , el sistema a lazo cerrado puede escribirse como: x ˙ A − BK BK x = (III.76) e ˙ ∆ An − LCn + ∆B K e donde, de acuerdo con nuestra hip´tesis de estabilidad y detectabilidad, las ganancias L y K son tales que existen o matrices P > 0 y W > 0 tales que FS (P, A, B) = (A − BK)T P + P (A − BK) < 0; ∀A, B ∈ A, B (III.77) FO (W, A, C, ) = (A − LC)T W + W (A − LC) < 0; ∀A, C ∈ A, C. Notamos que ∀α > 1, FS (αP, A, B) < FS (P, A, B) y (III.78) FO (αW, A, C) < FO (W, A, C). Podemos ahora caracterizar la estabilidad local del sistema (III.72). Teorema III.8 ([CPM94]) Si el par incierto (A, B) es cuadr´ticamente estabilizable y el par incierto (C T , AT ) a es cuadr´ticamente detectable, entonces siempre existe una vecindad alrededor de la tripleta (A n , Bn , Cn ) tal que a el sistema (III.72) es cuadr´ticamente estabilizable por un compensador de la forma (III.74). a Demostraci´n: o Supongamos que existe una matriz de Lyapunov del sistema (III.76) de la forma ˜ P 0 Pg = ˜ (III.79) 0 W por lo tanto T A − BK BK (xT eT ) Pg ∆ An − LCn − ∆B K (III.80) A − BK BK x +Pg < 0, ∆ An − LCn − ∆B K e lo que podemos escribir como ˜ ˜ xT {(A − BK)T P + P (A − BK)}x + eT {(An − LCn − ∆B K)T W ˜ ˜ (An − LCn + ∆B K)}e + 2eT {K T B T P + W ∆}x < 0. ˜ (III.81) +W Sin embargo, ˜ ˜ (P BKe + x)T (P BKe + x) ≥ 0 y entonces ˜ ˜˜ 2eT {K T B T P }x ≤ xT x + eT K T B T P P BKe (III.82) teniendo adem´s que: a ˜ ˜ ˜ 2eT {W ∆}x ≤ xT x + eT W ∆∆T W e (III.83) y de all´ que la desigualdad (III.80) se satisface si ı 1) ˜ ˜ (A − BK)T P + P (A − BK) + 2I < 0 y 2) ˜ ˜ ˜˜ (An − LCn )T W + W (An − LCn ) + K T B T P P BK (III.84) +W˜ ∆∆W + W ∆B K + K T ∆B W < 0. ˜ ˜ ˜ Pero dado que el sistema es estabilizable y detectable cuadr´ticamente, siempre existen β > 0, γ > 0 y ρ m > 0 a tales que (A − BK)T βP + βP (A − BK) + 2I < 0 y (An − LCn )T γW + γW (An − LCn ) + β 2 K T B T P P BK+ (III.85) ρm (γ 2 W ∆∆W + γW ∆B K + K T ∆B T γW ) < 0. 82
- 91. Esta afirmaci´n sebasa en el hecho de que las incertidumbre son acotadas y, por ende, los t´rminos en el ultimo de o e ´ los par´ntesis son igualmente acotados. As´ el sistema es cuadr´ticamente estable en una vecindad de la tripleta e ı, a nominal (An , Bn , Cn ) definida por: ∆A ≤ ρm ρ1 ; ∆B ≤ ρm ρ2 ; ∆C ≤ ρm ρ3 . En el teorema (III.8) demostramos que, si el sistema es cuadr´ticamente estabilizable y detectable, siempre a podemos encontrar una vecindad de la tripleta (An , Bn , Cn ) que puede efectivamente ser estabilizada por un compensador del tipo “observador de Luenberger”. M´s a´n, en la demostraci´n no se ha impuesto ninguna a u o condici´n en la tripleta (An , Bn , Cn ) sino que se encuentre en el dominio de incertidumbre. Por lo tanto, podemos o afirmar que en la vecindad de no importa qu´ tripleta (A, B, C) del dominio, siempre podremos satisfacer (III.85) e y asegurar que el sistema a lazo cerrado es asint´ticamente estable. o Sin embargo, hay que se˜alar que es necesario conocer las matrices (A, B, C) para construir el compensador, n lo que impone problemas pr´cticos evidentes. a Un resultado adicional que se deriva del teorema (III.8) es el siguiente: Corolario III.9 Dado que en el caso de los sistemas lineales precisamente conocidos la desigualdad (III.85) siempre se satisface, para alg´n β > 0 y γ > 0, entonces esos sistemas siempre admiten como matriz de Lyapunov u una matriz de la forma βP 0 Pg = >0 (III.86) 0 γW en la representaci´n en (xT eT )T , y donde P y W son las matrices que “estabilizan y detectan” cuadr´ticamente o a al sistema. Podemos igualmente demostrar que otras matrices diagonales en bloques son tambi´n posibles matrices de e Lyapunov del sistema cierto, por ejemplo: εP 0 >0 0 W −1 − εP para ε suficientemente peque˜o. Como antes, W y P son las matrices que “estabilizan” y que “detectan” al n sistema. Hacemos ´nfasis en el hecho de que Pg es una matriz de Lyapunov en una cierta vecindad alrededor del sistema e conocido (A, B, C), y que lo ser´ para el sistema a lazo cerrado con un compensador como el de (III.74). Esto a es, el compensador no estabilizar´ unicamente al sistema conocido sino tambi´n en una vecindad alrededor de a ´ e (A, B, C). Bas´ndonos en esta constataci´n vamos a presentar, en lo que sigue, una estrategia que explota la naturaleza a o convexa del problema poli´drico cuando se fija una de las variables desconocidas. La estrategia busca un m´ximo e a local de la incertidumbre que puede efectivamente ser estabilizada. S´ ıntesis de compensadores por programaci´n lineal o Antes de presentar la estrategia, formulemos precisamente el problema a considerar a partir del sistema si- guiente: x = Ax + Bu ˙ y = Cx 83
- 92. donde x ∈IRn , u ∈ IRm e y ∈ IRp representan, respectivamente, los vectores de estado, control y salida medible. A ∈ A, B ∈ B y C ∈ C donde A, B, C son subconjuntos poli´dricos no vac´ de IR n×n , IRn×m y IRp×n respectiva- e ıos mente. Los v´rtices de esos poliedros son {A1 , A2 , . . . , Ar }, {B 1 , B 2 , . . . , B s } y {C 1 , C 2 , . . . , C t }. D est´ definido e a como el poliedro en el que los v´rtices son todas las combinaciones posibles de la tripleta (A j , B k , C l ) con e j = 1, . . . , r, k = 1, . . . , s, l = 1, . . . , t. Para simplificar la notaci´n, indexaremos los v´rtices con i = 1, . . . , q, o e q = rst y en consecuencia D es el envoltorio convexo (Convex Hull Co) de las tripletas (A i , Bi , Ci ), es decir D = Co{(Ai , Bi , Ci ), i = 1, . . . , q}. Sea (Ac , Bc , Cc ) un punto cualquiera en D y finalmente definimos al subconjunto θ(·, ·) de D como θ(D, ε) = Co {((1 − ε)(Ac , Bc , Cc ) + ε(Ai , Bi , Ci )) i = 1, . . . , q} 0 ≤ ε ≤ 1. (III.87) Claramente, tenemos θ(D, 0) = (Ac , Bc , Cc ) y θ(D, 1) = D. El problema que abordamos es el siguiente: m´x ε a tal que el sistema x = Ax + Bu ˙ y = Cx (III.88) z = F z + Gy ˙ u = −Kz es cuadr´ticamente estable para todo (A, B, C) ∈ θ(D, ε), esto es, encontraremos matrices F ∈ IR n×n , G ∈ IRn×p a y K ∈ IRm×n que estabilizan el subconjunto “m´ximo” de D (y que medimos en este caso con la ayuda de ε). a El sistema III.88 puede ser escrito en funci´n de las variables o x x= ˜ (III.89) e donde e = x − z, de la forma ˙ ˜ ˜˜˜ x = (A + B F C) ˜ (III.90) donde ˜ A 0 ˜ 0 −B ˜ I −I ˜ F G A= B= C= F = . (III.91) A 0 −I −B C 0 K 0 ˜ Por lo tanto el sistema es cuadr´ticamente estabilizable si y solamente si existen matrices W > 0 y F tales que a ˜ ˜ ˜˜˜ ˜ ˜˜˜ H(F , W ) = (A + B F C)T W + W (A + B F C) < 0 (III.92) ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ∀˜ ∈ IR2n y ∀(A, B, C) ∈ θ(D, ε). D definido como el poliedro x ˜ ˜ ˜ ˜ D = Co {(Ai , Bi , Ci ), i = 1, . . . , q} Ai 0 0 −Bi I −I (III.93) ˜ Ai = ˜ Bi = ˜ Ci = . Ai 0 −I −Bi Ci 0 ˜ ˜ Resaltamos que la funci´n H(F , W ) es biconvexa en F y W —es decir, convexa con respecto a una de las dos o ˜ ˜ ˜ ˜ matrices una vez que la otra es fijada—. Adem´s, notamos que ∀(A, B, C) ∈ θ(D, ε), a q ˜ ˜˜˜ ˜ ˜˜˜ (A + B F C)T W + W (A + B F C) = ˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜˜ αi [(Ai + Bi F Ci )T W + W (Ai + Bi F Ci )] (III.94) i=1 q donde αi ≥ 0 y αi = 1. Es, por lo tanto, suficiente (y necesario) que la condici´n (III.92) sea satisfecha en los o i=1 ˜ ˜ ˜ v´rtices (Ai , Bi , Ci ), i = 1, . . . , q. e 84
- 93. ˜ Dada la convexidad del problema respecto a una de las variables (W o F ) cuando la otra se fija, el enfoque que utilizaremos para determinar el domino m´ximo ser´ escoger un ε y una de las variables (por ejemplo W ) y luego a a ˜ calcular la otra (F ) si es que ella existe y verifica (III.92). Al obtener una soluci´n, aumentamos ε y repetimos o ˜ el procedimiento, e.g. fijamos F y calculamos una nueva matriz W . El proceso continua hasta el momento en el que cualquier incremento de ε no permite calcular la variable que no hemos fijado, esto es, que el problema convexo resultante al fijar una de las variables no tiene soluci´n. En ese momento tendremos un m´ximo local y o a ˜ un controlador que estabiliza F ese m´ximo de incertidumbre [CGP96], [CGH95]. a En este momento ya podemos exponer el algoritmo de c´lculo del controlador y el margen de robustez. Como se a ha dicho, la estrategia calcula un compensador o una matriz de Lyapunov usando los algoritmos a continuaci´n. o C´lculo de la din´mica del compensador a a e o ˜ ˜ ˜ Paso 0: Consideremos que los v´rtices de la regi´n incierta (Ai , Bi , Ci ), i = 1, . . . , q y que una matriz de Lyapunov W son dados y sea ˜ ˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜˜ Hi (F ) = (Ai + Bi F Ci )T W + W (Ai + Bi F Ci ). (III.95) a u e ˜ M´s a´n, sea fij el elemento ij i-´simo de la matriz F que puede efectivamente ser diferente de cero. ˜0 una matriz inicial —por ejemplo, nula— y ζ 0 un subconjunto de IR(n+m)×(n+p) Finalmente, sea k = 0, F ˜ compacto y “suficientemente grande” (de tal manera que F0 ∈ ζ 0 ). Paso 1: Calcular el autovalor m´ximo a a a ˜ λk ax = m´x {λm´x (Hi (Fk )), i = 1, . . . , q}. (III.96) m´ ˜ Si λk ax < 0, pare: F es un compensador din´mico estabilizante —cuadr´ticamente— al sistema extendido, a a m´ si no vaya al paso 2. ˜ Paso 2: Sea vk el autovector asociado a λk ax y H k (F ) la funci´n Hi asociada al v´rtice correspondiente a o e m´ k ˜k+1 a trav´s del problema λm´x . Calcular F e a m´ ρ ın tal que −ρ ≤ fij ≤ ρ ˜ ˜ Fk+1 ∈ ζ k+1 = ζ k ∩ {vk T H k (F )vk < 0}. Paso 3 : Hacer k = k + 1 y volver al paso 1. C´lculo de la matriz de Lyapunov a e o ˜ ˜ ˜ Paso 0: Consideremos que los v´rtices de la regi´n incierta (Ai , Bi , Ci ), i = 1, . . . , q y un controlador ˜ din´mico F son dados y sea a ˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜˜ Hi (W ) = (Ai + Bi F Ci )T W + W (Ai + Bi F Ci ), i = 1, . . . , q (III.97) Hq+1 (W ) = −W. M´s a´n, sea k = 0, W0 la matriz identidad y ζ 0 un subconjunto compacto de IR2n×2n “suficientemente a u grande”, tal que W0 ∈ ζ 0 . Paso 1: Calcular el autovalor m´ximo a λk ax = m´x {λm´x (Hi (W )), i = 1, . . . , q + 1}. m´ a a (III.98) Si λk ax < 0 pare: W es un matriz de Lyapunov, si no vaya al paso 2. m´ 85
- 94. Paso 2: Seavk el autovector asociado a λm´x y H k (W ) la funci´n Hi (W ) asociada al v´rtice correspondiente k a o e k a λm´x . Calcular Wk+1 a trav´s de a e m´ Tr(W ) ın tal que Wk+1 ∈ ζ k+1 = ζ k ∩ {vk T H k (W )vk < 0}. Paso 3: Haga k = k + 1 y vuelva al paso 1. Algunas observaciones a prop´sito de los algoritmos propuestos o Observemos que en los dos algoritmos propuestos los v´rtices de la regi´n de incertidumbre son calculados a e o partir de (III.87) para valores crecientes de ε. Los dos algoritmos explotan igualmente la naturaleza convexa del problema que queda cuando una de las variables se fija en un valor. En ambos casos generamos hiperplanos de corte que excluyen el punto no factible ˜ (Fk o Wk ), obteniendo de esta manera un subconjunto reducido. En todos los casos podemos asegurar convergencia hacia una soluci´n si el paso 2 es reemplazado por: o ζ k+1 = ζ k ∩ {vk T H k (.)vk ≤ −γ} (III.99) con γ > 0 “suficientemente peque˜a”. La escogencia de una regi´n inicial ζ “suficientemente grande” no presenta n o ninguna dificultad pr´ctica. En general podemos escoger todo el espacio (abierto) y luego de un n´mero peque˜o a u n de iteraciones se generar´ una regi´n ζ compacta, siendo ´sta lo que necesitamos para asegurar la convergencia a o e que demostraremos un poco m´s adelante. a ˜ A fin de asegurar el ´xito, los dos algoritmos deben disponer de una de las dos variables (W o F ) y de la e certidumbre que esa variable funcionar´ para un dominio de incertidumbre ligeramente m´s grande que aquel a a para el que ella fue calculada (teorema III.8), en tanto que ´l sea un subconjunto de D. e Para iniciar el algoritmo debemos, sin embargo, tener un compensador o una matriz de Lyapunov. Si el sistema es cuadr´ticamente estabilizable y detectable siempre podemos construir un compensador estabilizante a del sistema cierto, de la forma expuesta en (III.74) y con las ganancias L y K calculadas del problema convexo asociado. Por otra parte, es f´cil demostrar con las mismas hip´tesis —detectabilidad y estabilizabilidad— que a o bajo la representaci´n (xT eT )T siempre existe una matriz de Lyapunov de la forma o P 0 (III.100) 0 αW −1 − P para todo α ≥ k para una cierta k > 0. En ambos casos disponemos de valores que nos permiten inicializar los procedimientos de c´lculo. a La estrategia propuesta en III.9 puede igualmente utilizarse para determinar el margen de robustez de un controlador dado de un sistema. Este t´pico ha sido tambi´n estudiado por un n´mero de autores —[Yed86], o e u [YL86], [Soh94], [HL93]— siendo las cotas superiores de la incertidumbre dada. La estrategia presentada en III.9 calcula el l´ ımite de robustez (cuadr´tica) de tal compensador. a Hay que se˜alar que el enfoque num´rico precedente no impone de ninguna manera la restricci´n de diagonali- n e o dad en bloques de la matriz de Lyapunov, y esta forma se utiliza unicamente para demostrar que la estabilidad en ´ una cierta vecindad es verificada. Por otra parte, esta forma diagonal es util para la inicializaci´n del algoritmo. ´ o En fin, con respecto a la implementaci´n num´rica del algoritmo, el enfoque general propuesto ha sido ilus- o e trado usando t´cnicas de hiperplanos de corte y programaci´n lineal, y debe remarcarse que tal enfoque puede e o igualmente ser realizado utilizando LMIs y t´cnicas de punto interior. e 86
- 95. Convergencia del esquemaiterativo Sea ζ el conjunto factible; la convergencia de los algoritmos propuestos est´ asegurada por los hechos siguientes: a El conjunto —compacto— de b´squeda ζ k se reduce de iteraci´n a iteraci´n. En efecto, u o o ζ ⊂ . . . ⊂ ζ k+1 ⊂ ζ k . (III.101) El algoritmo genera un problema de optimizaci´n (minimizaci´n) en conjuntos en los que la talla se reduce o o y que son todos incluidos en el precedente; por ejemplo, lo que implica la existencia de un punto l´ ımite si el conjunto inicial ζ no est´ vac´ [Hof81]. a ıo En la iteraci´n k se a˜ade la restricci´n o n o vk T H k (.)vk ≤ −γ (III.102) para γ > 0 dada “suficientemente peque˜a”. Esta restricci´n ser´, de seguro, satisfecha para cualquier n o a soluci´n obtenida por los algoritmos en la iteraci´n l > k, es decir o o vk T H k (Sl )vk ≤ −γ (III.103) donde Sl = Wl o Fl en funci´n del problema que estemos resolviendo en la iteraci´n l. (III.103) se puede o o escribir λm´x (Sk ) − vk T H k (Sl − Sk )vk ≤ −γ. k a (III.104) Dada la existencia de un punto l´ ımite, l´ vk T H k (Sl − Sk )vk = 0 ım (III.105) l,k→∞ y, por lo tanto, si S = l´ k→∞ Sk , ım λk ax (S) ≤ −γ. m´ (III.106) Si el conjunto factible ζ(= l´ k→∞ ζ k ) no est´ vac´ tenemos que S ∈ ζ. ım a ıo, Si el conjunto factible es vac´ existir´ una iteraci´n l para la que ζ l ser´ vac´ ıo a o a ıo. Sobre las condiciones de estabilizabilidad y detectabilidad cuadr´tica a En la secci´n precedente hemos propuesto algoritmos que requieren de un punto inicial de partida, por ejemplo, o un compensador estabilizante del sistema nominal. Ahora bien, un punto inicial se puede calcular a partir de (III.77) si el sistema es cuadr´ticamente estabilizable y detectable. Recordamos ahora que las condiciones de a estabilizabilidad y detectabilidad son necesarias para la existencia de un controlador din´mico del sistema III.72 a a lazo cerrado. En efecto, el sistema (III.88) es cuadr´ticamente estabilizable si existe una matriz: a P1 P2 P = > 0, P2 T P3 tal que: T A −BK P1 P2 P1 P2 A −BK + <0 (III.107) GC F P2 T P3 P2 T P3 GC F ∀(A, B, C) ∈ D. En consecuencia, el bloque (1,1) de la desigualdad (III.107) debe igualmente ser definido negativo, i.e., AT P1 + P1 A + P2 GC + C T GT P2 T < 0, 87
- 96. lo que esequivalente a la detectabilidad cuadr´tica del sistema III.72. a Para demostrar la necesidad de la estabilizabilidad procedemos de manera similar sobre el sistema dual, ya que: ˜ ˜˜˜ ˜ ˜˜˜ ˜ ˜˜˜ ˜ ˜˜˜ (A + B F C)W + W (A + B F C)T < 0 ⇐⇒ (A + B F C)T P + P (A + B F C) < 0 donde P = W −1 . Por lo que tambi´n se debe cumplir que: e T A −BK W1 W2 W1 W2 A −BK T + T <0 GC F W2 W3 W2 W3 GC F ∀(A, B, C) ∈ D. El bloque (1, 1): AW1 + W1 AT − BKW2 − W2 K T B T < 0 T traduce la condici´n de estabilizabilidad. o Ejemplos num´ricos e En los ejemplos que siguen consideraremos sistemas de la forma: x = Ax + Bu ˙ (III.108) y = Cx. En todos los casos iniciamos el proceso iterativo con un compensador din´mico que estabiliza el sistema sin a incertidumbre. Primer ejemplo Consideremos al sistema tomado de [CPM94] con 4 par´metros inciertos, a saber q 1 , q2 , q3 y q4 . a −1 + q1 + 0,3q4 0,1q4 0,1q4 −q3 + 0,01q4 A= 1 − q1 1 1 B= 1 + q3 4 − q 1 + q2 2 + q2 1 1 + q3 T 2 + 0,003q4 C = 1 + 0,001q4 . 1 + 0,001q4 Para −0,3 ≤ q1 , q2 ≤ 0,3, −0,66 ≤ q3 , q4 ≤ 0,66. El algoritmo converge en las matrices siguientes: −9,4837 −17,6611 −8,2820 −5,4260 F = −17,6611 −14,3579 −17,2162 G = 17,2915 −10,5445 −7,8590 −11,1210 9,6483 T 10,0238 K = 14,0324 9,8226 y el autovalor m´ximo sobre el conjunto de todos los v´rtices es: −0,0014. El lugar de las ra´ a e ıces para una discretizaci´n de la incertidumbre se muestra en la figura III.6: o 88
- 97. 10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 Figura III.6.: Lugar de los polos para −0,3 ≤ q1 , q2 ≤ 0,3 y −0,66 ≤ q3 , q4 ≤ 0,66. Segundo ejemplo Se trata de un sistema presentado en [HF93] con un solo par´metro incierto k, constituido por las matrices a T −1 + 5k −1 − 2k 1+k −3k A= B= C= . −8k 2 + 3k −3 1+k Con |k| ≤ 1,145, el algoritmo converge a las matrices T −5,4819 5,0269 −5,4708 2,0472 F = G= F = 5,2405 −5,4819 5,4819 −1,0203 y el autovalor m´ximo sobre el conjunto de v´rtices es −0,0104. El lugar de las ra´ a e ıces del sistema a lazo cerrado para una discretizaci´n del rango de la incertidumbre se muestra en la figura III.7. o 15 10 5 0 −5 −10 −15 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 Figura III.7.: Lugar de las ra´ ıces de una discretizaci´n del rango de incertidumbre. o Aplicaciones pr´cticas del esquema presentado, espec´ a ıficamente al control del pH y de procesos de neutraliza- ci´n, pueden encontrarse en [CGP98] y [PCG97]. o 89
- 98. Resumen del cap´ ıtulo En este cap´ ıtulo hemos presentado resultados sobre la estabilidad de sistemas lineales invariantes en el tiempo a lazo cerrado y en los que s´lo los estados medibles est´n disponibles para el control. o a Hemos analizado sistemas sin incertidumbre y con incertidumbre poli´drica y acotada en norma. e Para los sistemas con incertidumbre hemos mostrado que s´lo podemos aproximarnos a la soluci´n a trav´s de o o e problemas bilineales (fijando una variable —matricial— y calculando la otra). En todos los casos hemos basado nuestros resultados en la formulaci´n de un problema de programaci´n convexa y particularmente en LMIs. o o Notable excepci´n es la estabilidad de sistemas con incertidumbre acotada en norma que s´ conoce soluci´n o ı o total. Si se desea imponer otras condiciones, fuera de la mera estabilidad, el problema pasa a ser del tipo estructurado pasando, una vez m´s, al caso bilineal. a 90
- 99. CAP´ ITULO IV Sintonizaci´n robusta de controladores industriales o IV.1. Introducci´n o En la ultima d´cada la teor´ de control robusto ha experimentado avances considerables, alcanzando un ´ e ıa elevado grado de madurez [MZ89], [Bar94]. La teor´ es particularmente atractiva, ya que, como hemos mostrado ıa en cap´ıtulos anteriores, permite considerar de manera expl´ ıcita los elementos desconocidos que afectan al lazo de control, esto es, perturbaciones externas y/o imperfecciones de modelado, que en adelante denominaremos incertidumbre. Sin embargo, y a pesar de lo poderosa que puede resultar esta teor´ para la s´ ıa ıntesis de controladores, son muy pocas las aplicaciones industriales que funcionan actualmente. La raz´n es que, en la mayor´ de los casos, los o ıa controladores robustos calculados son de orden elevado y poseen estructuras dif´ ıciles de implementar o manipular por el operador. En contraste, el muy conocido controlador proporcional, integral, derivativo (PID), se ha con- vertido en el est´ndar de facto para el control de lazos de una entrada y una salida (SISO), siendo sumamente a familiar su manipulaci´n (entonamiento) para los t´cnicos de control y operadores del sistema [Ast02]. Aparte o e de su versatilidad y amplio espectro de uso que va desde aplicaciones en procesos qu´ ımicos hasta la avi´nica y o aeron´utica [GCS01], este controlador incorpora elementos atractivos en el lazo de control como son: robustez, a eliminaci´n de error y perturbaci´n estacionaria. El ajuste de sus tres par´metros, sin embargo, no es transparente o o a y ha sido objeto numerosos estudios ([ZN42],[AH95], [RMS86], [Sko03], [HHC95]). En este cap´ ıtulo se proponen dos metodolog´ para la sintonizaci´n (entonaci´n) de controladores PID. La ıas o o primera se basa en un peque˜o cambio en las variables de estado, incorporando la integral de la salida como una n de ellas, y en un esquema iterativo, denominado ILMI que explota la naturaleza bilineal del problema resultante. Una segunda se basa en el controlador multiobjetivo (robusto) obtenido para el mismo lazo. Notablemente, el controlador PID tratar´ de aproximar las caracter´ a ısticas frecuenciales del controlador robusto, y en este ultimo ´ caso las prestaciones del lazo s´lo pueden verificarse a posteriori. o En el enfoque frecuencial, como en la mayor´ de los controladores PID comerciales, se cuenta tambi´n con un ıa e filtro a la salida del PID, y para mejorar la aproximaci´n del PID al controlador robusto nuestro dise˜o incorpora o n el filtro al PID en serie.
- 100. Para facilitar lacomprensi´n de las ideas que se proponen, se ha escogido aplicar esta metodolog´ a varios o ıa casos de estudio, en el caso de las ILMI compar´ndola con los resultados presentados en [Sko03] y en el caso a frecuencial a un esquema de control de presi´n de una tuber´ de gas, siendo la variable manipulada el flujo de o ıa gas que se alivia a un mechurrio para lograr el objetivo de control. Para todos los sistemas en estudio se dispone de un buen modelo, aunque el enfoque ILMI puede igualmente aceptar incertidumbre en la matriz de din´mica a del sistema [GCB03]. En este cap´ıtulo consideraremos un lazo de control de una entrada y una salida como el que se muestra en la figura (IV.1). Figura IV.1.: Lazo cerrado de control. IV.2. Los algoritmos PID En general hablamos de controladores PID, porque cada controlador tiene una componente proporcional, una integral y una derivativa, pero su estructura puede variar. Las expresiones m´s comunes son: a PID paralelo. En t´rminos de la expresi´n temporal. e o 1 de(t) u(t) = Kp (e(t) + e(t)dt + Td ) (IV.1) Ti dt donde e(t) es la se˜al de error (ver figura IV.1) y n PID interactivo. En t´rminos de la funci´n de transferencia. e o 1 U (s) = Kp (1 + )(1 + Td s)E(s) (IV.2) Ti s Es posible pasar de una forma a la otra, siempre que el polinomio: Ti Td s2 + Ti s + 1, tenga ra´ reales [DM95]. ıces De igual forma, pueden encontrase ligeras variaciones sobre las estructuras antes mencionadas para resolver pro- blemas espec´ ıficos como saturaci´n y evitar que cambios en la consigna afecten sensiblemente al controlador, o entre otros [Ast02]. Para el c´lculo de los par´metros del PID mediante LMIs, hemos considerado la forma paralela o ideal (IV.1), a a en el entendido de que la mayor´ de los controladores industriales aceptan esta estructura y que si no fuese el ıa caso, en general se puede pasar de una forma a la otra. IV.3. PID v´ LMIs iterativas ıa En esta secci´n desarrollaremos una estrategia de c´lculo de los par´metros (K p , Ti , Td ) basada en LMIs, o a a siguiendo la estrategia propuesta en [CLS98]. Para ello consideremos el sistema: x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ (IV.3) y(t) = Cx(t) 92
- 101. al que vamosa controlar con un PID paralelo como el descrito en (IV.1). Asumiremos que deseamos regular (mantener la salida en cero), luego e(t) = −y(t). Por simplicidad, definiremos: Kp Ki = , y K d = K p Td . Ti De (IV.3) y (IV.1) es f´cil deducir que: a u(t) = −(1 + Kd CB)−1 Kp y(t) − (1 + Kd CB)−1 Ki y(t)dt − (1 + Kd CB)−1 Kd CAx(t). (IV.4) De modo que si definimos un nuevo vector de estados de la forma: x(t) χ(t) = y(t)dt y un nuevo vector de salida: y(t) ψ(t) = y(t)dt CAx(t) entonces el problema de encontrar un controlador PID del tipo (IV.1) para el sistema (IV.3) es equivalente a encontrar una realimentaci´n est´tica de la salida para el sistema: o a χ(t) = Aχ(t) + Bu(t) ˙ ψ(t) = Cχ(t) (IV.5) u(t) = −Kψ(t) donde: C 0 A 0 B A= ; B= ; C= 0 I C 0 0 CA 0 y K = (K1 , K2 , K3 ) donde: K1 = (1 + Kd CB)−1 Kp K2 = (1 + Kd CB)−1 Ki (IV.6) K3 = (1 + Kd CB)−1 Kd El sistema (IV.5) es estable si existen una matriz P definida positiva y una ganancia K, tal que: (A + BKC)P + P (A + BKC)T < 0. (IV.7) Para poder desarrollar un algoritmo de b´squeda a partir de la condici´n (IV.7) de Lyapunov, incluimos una u o variable escalar adicional α que permite la formulaci´n de un problema convexo que siempre tiene soluci´n. o o El algoritmo es formulado en la secci´n siguiente. o IV.4. El algoritmo ILMI El algoritmo basado en desigualdades matriciales lineales es el siguiente: Paso 0: determine una matriz de Lyapunov candidato (P0 ) de la expresi´n: o (A + BK−1 )P0 + P0 (A + BK−1 )T < 0; P0 > 0. (IV.8) y haga i = 0. 93
- 102. Paso 1: DadoPi , determine Ki y α∗ de la forma: α∗ = m´ α ın (IV.9) sujeto a: (A + BKi C)Pi + Pi (A + BKi C)T − αPi < 0; Pi > 0. (IV.10) Si α ≤ 0 habremos encontrado una ganancia Ki que estabiliza al sistema, si no, vaya al paso 2. Paso 2: Dado Ki y un borde superior α∗ que es el valor de α obtenido en el paso 1, calcule Pi+1 y un nuevo α ´ptimo (ˆ ), partir de: o α α = m´ α ˆ ın (IV.11) sujeto a: (A + BKi C)Pi+1 + Pi+1 (A + BKi C)T − αPi+1 < 0; Pi+1 > 0. (IV.12) Si α ≤ 0, entonces Ki es una ganancia estabilizante y si no haga i = i + 1 y vaya al paso 1. ˆ Debemos ahora realizar algunos comentarios a prop´sito del algoritmo. o Observaci´n IV.1 El algoritmo propuesto est´ basado en el hecho de que la condici´n de Lyapunov, que asegura o a o la estabilidad para el sistema con realimentaci´n est´tica de la salida (IV.7), es bilineal en las inc´gnitas K y P , o a o y por ende, cuando una se fija, lo que resulta es una desigualdad matricial lineal (LMI) en la otra variable y, en consecuencia, un problema convexo. Observaci´n IV.2 En el paso 0, lo que hacemos es suministrar al algoritmo un punto de arranque, a partir o de la condici´n de estabilidad con realimentaci´n de los estados, que es una LMI en P y R(= K −1 P ). Si no o o existe tal matriz P que asegure estabilidad con realimentaci´n de estados, tampoco existir´ un PID que haga el o a trabajo. Observe que en el paso 0 simplemente damos un punto de inicio a partir de una condici´n necesaria, pero o hubi´ramos podido arrancar desde otro punto, e.g., desde la matriz P asociada a un PID ajustado por Ziegler y e Nichols, que sabemos estabiliza al sistema original. Observaci´n IV.3 En el paso 1, conocida una matriz Pi , se inicia la b´squeda de una ganancia Ki que pudiera o u estabilizar al sistema. Ella (Ki ) ser´ una ganancia estabilizante, si la soluci´n del problema (convexo) de opti- a o mizaci´n que se formula en el paso 1 termina con un valor de α ∗ ≤ 0. Observe que el problema en el paso 1 es o una LMI en las inc´gnitas (Ki , α). o Observaci´n IV.4 En el paso 2, conocida una ganancia Ki , lo que se busca es verificar si ella es, en efecto, una o ganancia estabilizante, lo que se certifica si la condici´n (IV.12) es satisfecha o, lo que es lo mismo, se obtiene o una matriz Pi+1 . Observe igualmente que la condici´n (IV.12) es biconvexa en α y P i+1 ; sin embargo, siendo α o un escalar y conociendo un l´ ımite superior (α∗ ) es f´cil obtener ese m´ a ınimo de α porque (siendo escalar) s´lo o tiene una forma de descenso. Luego, en el paso 2 lo que se hace es fijar el α en un valor, resolver la LMI para Pi+1 y si tiene soluci´n se hace α m´s peque˜o y, si no, se vuelve al paso 1. o a n Observaci´n IV.5 La satisfacci´n de la condici´n (IV.10) o la (IV.12) no s´lo asegura una ganancia estabili- o o o o zante sino que adem´s da una medida de calidad del controlador obtenido, ya que su satisfacci´n garantiza que a o los polos del sistema a lazo cerrado est´n ubicados a la izquierda de α/2 [SGC97]. e Observaci´n IV.6 En el paso 2, no se requiere calcular el m´ o ınimo de α; bastar´ verificar que con α = 0 se ıa satisface (IV.12), lo que certificar´ la estabilidad. Se ha incluido el m´ ıa ınimo, s´lo para determinar la bondad o del controlador medido como lo descrito en el comentario anterior (IV.5). De hecho, en algunas circunstancias y para ubicar un mejor PID y evitar los problemas num´ricos, no se vuelve al paso 1 con la P i+1 asociada al e m´ınimo sino m´s bien con una menos extrema. a 94
- 103. Observaci´n IV.7 Lavariable escalar α asegura que los problemas formulados en los pasos 1 y 2 siempre o tendr´n soluci´n. Ello no asegura, sin embargo, que siempre se encontrar´ un PID estabilizante. El algoritmo a o a falla en encontrar un PID si α∗ , α ≥ 0 y |α∗ − α| ≤ ε, con ε un valor predeterminado de convergencia. ˆ ˆ Observaci´n IV.8 Por ultimo, este algoritmo puede igualmente ser aplicado para el c´lculo de controladores o ´ a PI de sistemas continuos y discretos, para sistemas multivariables y para sistemas con incertidumbre poli´drica e o acotada en norma en las matrices A y C del sistema original (v´ase [Pet87] y [BGP89] para la definici´n de la e o incertidumbre y [GCB03] para las extensiones referidas). IV.5. Comparaci´n de t´cnicas de entonaci´n o e o En esta secci´n, hacemos una comparaci´n de la estrategia de entonaci´n ILMI presentada en la secci´n anterior o o o o (secci´n (IV.4)) con otras t´cnicas ampliamente conocidas. o e Hemos escogido dos casos tomados de [Sko03]. Ellos son: uno de fase no m´ ınima y otro con retardo. En [CMR05] pueden encontrarse comparaciones m´s detalladas del enfoque propuesto con otros y en [GCB03] la extensi´n a a o sistemas multivariables. Debemos se˜alar que en el caso de los m´todos de IMC y de Ziegler y Nichols, al igual que para la mayor´ de n e ıa los m´todos de ajuste de PIDs, aunque se da una funci´n de transferencia del sistema para los ejemplos num´ricos, e o e la misma es ajustada, sea a una de primer orden m´s retardo o a una de segundo orden m´s retardo. En el caso a a de ajuste con LMIs que hemos propuesto, la unica simplificaci´n realizada es la aproximaci´n del retardo a una ´ o o de Pade de primer orden. Ello porque el m´todo se basa en una representaci´n en variables de estado. e o A continuaci´n presentamos los resultados para cada caso. o Fase no m´ ınima La funci´n de transferencia del sistema es: o (1 − 0, 3s)(1 + 0, 08) G2 (s) = (IV.13) (2s + 1)(s + 1)(0, 4s + 1)(0, 2s + 1)(0, 05s + 1)3 El ajuste de los par´metros por los diferentes m´todos se muestra en la tabla (IV.1). a e M´todo e Kp Ki Kd LMI1 2,092 0,5543 2,0673 IMC2 1,3 0,65 1,56 Z & N2 2,56 0,966 1,6896 Tabla IV.1.: Par´metros de los PID de la fase no m´ a ınima. (1 ) PID paralelo y (2 ) PID interactivo. En la figura (IV.2) se muestran los resultados del sistema para una perturbaci´n tipo escal´n unitario, aplicada o o a los 30 segundos. Los m´rgenes de fase y de ganancia comparados se muestran en la tabla (IV.2). a 95
- 104. LMI SIMC Z&N 1.3 1.2 1.1 1 0.9 0.8 30 35 40 45 50 Figura IV.2.: Respuesta temporal del lazo de fase no m´ ınima. M´todo e Fase Ganancia LMI1 68,84 2,58 IMC2 57,95 2,89 Z & N2 31,2 1,87 Tabla IV.2.: Comparaci´n de indicadores de calidad. Caso fase no m´ o ınima. (1 ) PID paralelo y (2 ) PID interactivo. Sistema con retardo La funci´n de transferencia del sistema es: o ((6s + 1)(3s + 1)e−0,3s G3 (s) = (IV.14) (10s + 1)(8s + 1)(s + 1) El ajuste de los par´metros por los diferentes m´todos se muestra en la tabla (IV.3). a e M´todo e Kp Ki Kd LMI1 3,6898 0,7192 -2,522 IMC2 7,41 7,41 - Tabla IV.3.: Par´metros de los PID del sistema con retardo. a (1 ) PID paralelo y (2 ) PID interactivo. En la figura (IV.3) se muestran los resultados del sistema para una perturbaci´n tipo escal´n unitario, aplicado o o a los 20 segundos. Los m´rgenes de fase y de ganancia comparados se muestran en la tabla (IV.4). a 96
- 105. LMI 1.25 SIMC−PI 1.2 1.15 1.1 1.05 1 0.95 0.9 0.85 0.8 15 20 25 30 35 40 45 Figura IV.3.: Respuesta temporal del sistema con retardo. M´todo e Fase Ganancia LMI1 78,47 1,58 IMC-PI 51,67 3,05 Tabla IV.4.: Comparaci´n de indicadores de calidad. Caso retardo. o IV.6. Enfoque frecuencial En esta secci´n presentamos el enfoque frecuencial al c´lculo de PIDs, y ello lo haremos con un caso de estudio. o a Primero presentamos el modelo del sistema a considerar, en la secci´n siguiente se calcula el controlador y el PID o aproximado y finalmente en la ultima secci´n, para fines de comparaci´n, el PID calculado se compara con uno ´ o o entonado por Ziegler-Nichols [ZN42]. El sistema que consideraremos tiene la siguiente funci´n de transferencia: o −0,7136 −s G(s) = e (IV.15) s+1 sobre este sistema se desea que no tenga offset a cambios en la entrada tipo escal´n (salto) y que sea r´pido en su o a respuesta (que se medir´ como un tiempo de respuesta inferior a 10 seg.). Todas las especificaciones impuestas son a muy comunes para lazos de control. Una especificaci´n adicional fue que el sistema se vea poco afectado (rechace) o por perturbaciones que entran al sistema de la misma forma que el control. Esta ultima especificaci´n, de tipo ´ o robusto, toma en cuenta cambios en la presi´n del sistema producto de agentes externos, como movimientos en o la demanda, etc. Para eliminar el offset “a priori” se incluye un integrador 1 en la trayectoria directa del lazo, de esta manera s se dise˜ar´ un compensador para el sistema (G(s)) que ha incorporado de manera directa el integrador. Una n a vez calculado el control robusto, el compensador final ser´ el control robusto m´s el integrador. El problema se a a muestra esquem´ticamente en la figura IV.4. a Todo el dise˜o de controladores robustos se realiza en el ´mbito de los sistemas lineales y en representaci´n n a o de variables de estado, por lo tanto, el retardo del sistema —e−s — es modelado como un sistema lineal con una aproximaci´n de Pade de 1er orden [Kuo95]: o 1 − 0,5s e−s = . 1 + 0, 5s 97
- 106. w ∧ r(s) u -0.7136 e -s y(s) Control 1/s s+1 (-) Figura IV.4.: Esquema con integrador. Con esta representaci´n del retardo, el sistema lineal resulta: o −3 −2 0 0 x = ˙ x+ u+ w 1 0 1 1 y = [0,7136 − 1,4271] al incluir el integrador el sistema “aumentado” resulta: −3 −2 0 0 0 xa = 1 ˙ 0 1 xa + 0 u + 1 w ˆ 0 0 0 1 0 (IV.16) Aa Ba Bp y = [0,7136 − 1,4272 0] xa con Ca x xa = u y u como en la figura IV.4. ˆ El objetivo de rapidez de respuesta puede traducirse en que todos los polos del sistema compensado est´n a e la izquierda de un cierto valor, en este caso se impuso a la izquierda de −1. De igual manera, el objetivo de atenuaci´n a las perturbaciones w puede ser descrito como: o Twz ∞ <1 esto es, que la norma infinita de la funci´n de transferencia entre w y y sea menor que 1. M´s adelante formali- o a zaremos las condiciones que deben cumplirse, pero antes debemos describir el tipo de control que ser´ utilizado, a a saber: x c = A c xc + B c y ˙ (IV.17) u = Cc xc + Dc u. ˆ El sistema a lazo cerrado resulta: xa ˙ A a + B a Dc Ca B a Cc xa Bp = + w xc ˙ B c Ca Ac xc 0 A B (IV.18) xa y = [Ca 0] . xc C Para satisfacer las condiciones de dise˜o se debe cumplir que exista una matriz X definida positiva tal que: n AX + XAT + 2 · 1 · X < 0 Condici´n de rapidez o AX + X T + BB T XC T <0 Condici´n de atenuaci´n o o CX −I 98
- 107. Evidentemente, las ecuacionesno son lineales en ambos, la matriz de Lyapunov X y los par´metros del a compensador IV.17. Con una transformaci´n de variable apropiada, que describimos en el cap´ o ıtulo 2 (ver tambi´n e [SGC97]), pueden determinarse —con operaciones lineales y a trav´s de variables intermedias— A c , Bc , Cc y e Dc . El “LMI Tooolbox” de Matlab [GNL95] puede de manera est´ndar calcular esas matrices para el sistema a mencionado —funci´n hinfmix— en vista de que no hay incertidumbre en el sistema. o Al aplicar ese toolbox el resultado obtenido es: −21,4544 −0,6575 59,2912 Ac = −26,1471 −30,3823 −166,9874 95,9493 32,5594 −84,0687 11,5249 Bc = 15,41,42 Cc = [0,3007 38,3535 357,8518] −56,3364 y Dc = −0,1882. La funci´n de transferencia del controlador resulta: o 0,188s3 + 19,519 × 103 s2 + 59,589 × 103 s + 40,704 × 103 Gc (s) = . s3 + 136s2 + 4,741 × 103 s + 37,101 × 103 Incorporando el integrador al controlador y cambiando el signo del numerador —por la tradici´n hist´rica de que o o la realimentaci´n sea negativa— resulta, en el compensador multiobjetivo: o 0,188s3 + 19,519 × 103 s2 + 59,589 × 103 s + 40,704 × 103 Gc (s) = − s4 + 136s3 + 4,741 × 103 s2 + 37,101 × 103 s La respuesta ante una entrada escal´n de este sistema se muestra en la figura IV.5: o 1.4 1.2 1 Salida del lazo (y(t)) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (s) Figura IV.5.: Respuesta con control robusto. El diagrama de Bode de magnitud se muestra en la figura IV.6. En la representaci´n de magnitud, se puede observar el efecto del integrador en las bajas frecuencias y que o (aproximadamente) las frecuencias de w = 1 y w = 100 son puntos significativos en los que obviamente existen un cero y un polo, respectivamente, en la descripci´n del sistema. Teniendo en cuenta que un controlador (PI + o F) posee una funci´n de transferencia de la forma: o s+z GP I+F = Kc s(s + p) 99
- 108. 20 0 Magnitud (dB) a lazo abierto. |Gn(jω)Gc(jω)| −20 −40 −60 −80 −100 −1 0 1 2 3 10 10 10 10 10 Frecuencia (rad/s) Figura IV.6.: Respuesta frecuencial del lazo. se escogieron z = 1 y p = 100 para la aproximaci´n. La ganancia Kc del compensador se calcul´ de tal manera o o que el diagrama de magnitud coincida en bajas frecuencias. Ello se logra haciendo K c = 100. El controlador obtenido resulta: s+1 GP I+F = −100 s(s + 100) y la respuesta que se obtiene del sistema se puede observar en la figura IV.7. 1.4 1.2 Salida del lazo (y(t)) con controlador PI 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (s) Figura IV.7.: Respuesta con PI+F robusto. A fin de evaluar el desempe˜o de controlador calculado GP I+F contra uno de selecci´n est´ndar, se sintoniz´ por n o a o Ziegler-Nichols [ZN42] un PID para el sistema en cuesti´n, obteni´ndose: o e s + 0,3 GZN = −1,26 s y cuyo desempe˜o se muestra en la figura IV.8. n 100
- 109. 1 0.9 0.8 Salida del lazo (y(t)) con PI Ziegler y Nichols 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20 25 30 Tiempo (s) Figura IV.8.: Entonaci´n Ziegler-Nichols. o Resumen del cap´ ıtulo En este cap´ıtulo hemos presentado una estrategia de entonaci´n y ajuste de controladores industriales tipo o PID basado en un esquema iterativo de desigualdades matriciales lineales. Aunque hemos aplicado el m´todo e s´lo a sistemas de una entrada y una salida, la estrategia puede igualmente aplicarse a sistemas multivariables y o a sistemas discretos. De la misma forma, la estrategia presentada no hace ninguna reducci´n del sistema (a uno o de primer o segundo orden). Tampoco preestablece ning´n indicador del desempe˜o del lazo del que dependen u n fuertemente otras estrategias de entonaci´n, como es el caso de IMC. M´s bien, el sistema busca las mejores o a condiciones de desempe˜o del lazo, medido con la velocidad de respuesta, porque lo que se hace es una ubicaci´n n o de los polos del sistema. El algoritmo obtiene prestaciones del lazo cerrado que se comparan favorablemente con aquellas del IMP-PID y las de Ziegler y Nichols. Adicionalmente, se presenta una segunda metodolog´ basada en la teor´ de control robusto y el dise˜o ıa, ıa n multiobjetivos, para la entonaci´n de controladores PID. o La metodolog´ se basa en el c´lculo de un compensador robusto que luego servir´ para entonar un lazo PID ıa a a basado en la ubicaci´n de los polos y ceros y en la respuesta frecuencial del primero. Como adem´s, es com´n o a u contar con un filtro adicional al PID en los lazos industriales, y tal estructura facilita la labor de ajuste de control robusto a PID+Filtro, esta ultima estructura es la empleada en la metodolog´ aqu´ propuesta. ´ ıa ı Una ventaja adicional del sistema planteado es que es bien conocida la robustez de los compensadores PID a cambios en sus par´metros, al contrario de sus hom´logos robustos quienes son sumamente sensibles a tales a o cambios. Como la implementaci´n se llevar´ a cabo, en la mayor´ de los casos, en un sistema digital, el traslado o a ıa de robusto a PID asegura cierta “insensibilidad” a la aproximaci´n discreta de controlador encontrado. o La t´cnica aprovecha las correcciones que realiza el controlador robusto a las deficiencias frecuenciales del e sistema original para entonar un PID que, a “grosso modo”, mimetiza esa correcci´n frecuencial. La ganancia o del compensador es el par´metro del ajuste fino del desempe˜o (performance) del sistema. a n 101
- 110.
- 111. ´ APENDICE A Factorizaci´n coprima o A.1. Factorizaci´n coprima o Este ap´ndice presenta brevemente la factorizaci´n coprima de funciones de transferencia que permite sim- e o plificar la optimizaci´n de funciones de transferencia caracter´ o ısticas en funci´n de un par´metro Q que resulta o a ser cualquier funci´n de transferencia estable. Esta formulaci´n es la base de las soluciones originales de los o o problemas de control H∞ y 1 , adem´s de muchas demostraciones te´ricas. a o Factorizaciones coprimas estables Cualquier funci´n de transferencia racional G(z) puede expresarse como el cociente de dos funciones de trans- o ferencia racionales estables: N (z) G(z) = D(z) donde, si N (z) y D(z) se escogen de forma que sean estables, i.e., polos en el c´ ırculo unitario del plano “z” y no tengan “ceros inestables comunes”, –ceros fuera del c´ ırculo unitario–, diremos que N (z) y D(z) forman una factorizaci´n coprima estable de G(z). Por supuesto esta factorizaci´n no es unica, pero siempre tiene que cumplir o o ´ que: Los unicos ceros inestables de N (z) son los que ten´ G(z). ´ ıa Los unicos ceros inestables de D(z) son los polos inestables de G(z). ´ Ejemplo 3z−1 Si G(z) = (2z−1)(4z−1) , la factorizaci´n coprima m´s sencilla (pero no la unica) ser´ o a ´ a
- 112. 3z−1 N (z) = (2z−1)(4z−1) =G D(z) = 1. Por ejemplo, otra factorizaci´n coprima v´lida ser´ o a ıa: 1 N (z) = (2z−1)(4z−1) 1 D(z) = 3z−1 o tambi´n e 3z−1 N (z) = (2z−1)(4z−1)(5z−1) 1 D(z) = 5z−1 . Una situaci´n m´s interesante se presenta cuando el sistema es inestable, pues la elecci´n m´s sencilla (N (z)=G(z), o a o a D(z)=1) deja de ser v´lida. En este caso basta distribuir los ceros inestables en N (z) y los polos inestables como a ceros de D(z), distribuyendo el resto de ceros y polos entre N (z) y D(z), hasta conseguir que N (z) y D(z) sean propios (si es necesario a˜adiendo los mismos polos estables extras, tanto a N (z) como a D(z)). Por ejemplo, si: n z+3 G(z) = z−2 una factorizaci´n coprima estable ser´ o ıa: z+3 N (z) = 2z−1 z−2 D(z) = 2z−1 . Identidad de Bezout Una vez encontrada una factorizaci´n coprima de la planta a controlar, siempre pueden calcularse dos funciones o de transferencia estables X(z) e Y (z) que, no teniendo ning´n cero inestable com´n, cumplan la siguiente igualdad u u (denominada identidad de Bezout): N (z)X(z) + D(z)Y (z) = 1. Por ejemplo, en el caso de una planta estable ve´ıamos que se pod´ escoger N (z) = G(z) y D(z) = 1, por lo ıa que la elecci´n m´s sencilla de los par´metros de Bezout (X(z),Y (z)) para una planta estable ser´ o a a ıa: X(z) = 0 Y (z) = 1. 104
- 113. Para sistemas inestablespuede ser m´s complejo encontrar los par´metros de Bezout, pero siempre pueden a a z+3 resolverse solucionando la ecuaci´n diof´ntica correspondiente. Por ejemplo, si G = z−2 , la ecuaci´n de Bezout o a o ser´ ıa: z+3 z−2 N (z)X(z) + D(z)Y (z) = X+ Y =1 2z − 1 2z − 1 Podemos escoger X e Y constantes (X = x, Y = y), con lo que basta resolver la ecuaci´n diof´ntica: o a (z + 3)x + (z − 2)y = 2z − 1. Igualando los coeficientes de potencias en z, se comprueba que el sistema de ecuaciones correspondiente tiene como soluci´n x = 5 , y = 7 . En este caso, entonces, unos par´metros de Bezout posibles ser´ o 3 5 a ıan: 3 X= 5 Y = 7. 5 A.2. Parametrizaci´n de Youla o Muchas veces, al dise˜ar un sistema de control por ordenador, se desea expresar de una forma sencilla el n conjunto de controladores que estabilizan un determinado sistema, para seleccionar de entre ellos aquel que cumpla mejor un determinado criterio. Observamos que esto es necesario siempre, pues lo m´ ınimo que tenemos que pedir a un controlador es que estabilice el sistema realimentado. Una vez asegurado esto podremos a˜adir n m´s exigencias. a Para ver que este problema no es trivial, consideremos como ejemplo la planta: 3z − 1 G(z) = . (2z − 1)(4z − 1) Pues bien, la denominada parametrizaci´n de Youla proporciona una forma relativamente sencilla de expre- o sar el conjunto de controladores que estabilizan una planta, aunque esta sea inestable, de fase no-m´ ınima y/o multivariable. Mostramos a continuaci´n el procedimiento para el caso SISO: o Controladores estabilizantes Una vez calculadas las funciones de transferencia N , D, X y Y , puede expresarse de forma sencilla la estructura de cualquier controlador que estabilice la planta. Puede igualmente demostrarse que el conjunto de controladores lineales que estabilizan la planta viene dado por: X(z) − Q(z)N (z) K(z) = Y (z) + Q(z)D(z) donde Q(z) es cualquier funci´n de transferencia estable, que denominaremos par´metro de Youla. o a Observar que si se fija Q(z) = 0, resulta que K(z) = X(z) ser´ un controlador estabilizante, con lo que Y (z) ıa otra forma de resolver la ecuaci´n de Bezout es partir de un controlador estabilizante, expres´ndolo como una o a factorizaci´n coprima estable K(z) = X(z) . o Y (z) 105
- 114. Ejemplo z+3 Volviendo al ejemplo del sistema inestable de fase no m´ ınima G(z) = z−2 , cualquier controlador que estabilice este sistema puede expresarse como: 3 z+3 X(z) − Q(z)N (z) 5 − Q(z) 2z−1 K(z) = = 7 z−2 . Y (z) + Q(z)D(z) 5 − Q(z) 2z−1 Basta entonces cambiar Q(z) (que s´lo tiene que ser una funci´n de transferencia estable) y tendremos cualquier o o controlador lineal que estabilice el sistema. Por ejemplo si Q(z) = 0, el controlador K(z) = 3 estabiliza el sistema. 7 Funciones de transferencia caracter´ ısticas en funci´n del par´metro de Youla o a Una vez expresada la forma que tiene cualquier controlador que estabiliza una planta, podemos evaluar las funciones de transferencia caracter´ ıstica. Pues bien, resulta que estas funciones de transferencia son lineales en el par´metro Q(z); m´s concretamente se dice que son afines, por aparecer un t´rmino aditivo adicional. En efecto: a a e 1 Sensibilidad: S = 1+K(z)G(z) = X(z)N (z) − N (z)D(z)Q(z) K(z) Sensibilidad al control: R(z) = 1+K(z)G(z) = Y (z)N (z) − D(z)D(z)Q(z) K(z)G(z) Sensibilidad complementaria: T (z) = 1+K(z)G(z) = Y (z)D(z) + N (z)D(z)Q(z). Este resultado es muy importante, porque nos permite replantear el problema de dise˜ar un controlador K(z) n que optimize una determinada funci´n de transferencia caracter´ o ıstica como un problema de optimizaci´n convexa o en el par´metro Q(z), con lo que se simplifica el problema de optimizaci´n. a o Ejemplo Retomando el ejemplo de la secci´n anterior, la sensibilidad de cualquier controlador que estabilice la planta o ser´: a 3 z−2 z+3 z−2 S(z) = X(z)N (z) − Q(z)N (z)D(z) = − Q(z) . 5 2z − 1 2z − 1 2z − 1 106
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