Apuntes ic4

Depto. de Ingenier´ıa de Sistemas y Automática
APUNTES DE INGENIERÍA DE CONTROL
ANÁLISIS Y CONTROL DE SISTEMAS EN ESPACIO DE ESTADO
IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS
CONTROL ADAPTATIVO
CONTROL PREDICTIVO
Daniel Rodr´ıguez Ram´ırez
Carlos Bordóns Alba
Rev. 5/05/2005

Índice general
Lista de figuras IX
1. Control de sistemas discretos en el espacio de estados 1
1.1. Representación de sistemas discretos en el espacio de estados . . . . . . 1
1.2. Obtención de la representación de en espacio de estados de sistemas
discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. Método de programación directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Método de programación anidada . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. La representación en espacio de estados de un sistema no es única . . . 6
1.4. Resolución de las ecuaciones del espacio de estados . . . . . . . . . . . 7
1.4.1. Procedimiento recursivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2. Matriz de transición de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.3. Método basado en la transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.3.1. Procedimiento alternativo para calcular (zI − G)−1
. . 10
1.5. Discretización de las ecuaciones de estado continuas . . . . . . . . . . . 12
1.6. Controlabilidad y Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
i

ii ÍNDICE GENERAL
1.6.1. Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.2. Controlabilidad de la salida completa . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.3. Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.4. Principio de Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. Transformación de un sistema en formas canónicas . . . . . . . . . . . 19
1.7.1. Obtención de la forma canónica controlable . . . . . . . . . . . 20
1.7.2. Obtención de la forma canónica observable . . . . . . . . . . . . 20
1.8. Colocación de polos mediante realimentación del vector de estados . . . 21
1.8.1. Condición necesaria y suficiente para la colocación arbitraria de
polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8.2. Procedimientos para calcular K . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.2.1. Procedimiento alternativo: la fórmula de Ackermann . 24
1.8.3. Control Dead-Beat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9. Observadores del estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.9.1. Procedimiento iterativo para la estimación del estado . . . . . . 28
1.9.2. Observador del estado completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.9.2.1. Cálculo de Ke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.9.2.2. Comentarios acerca del papel de Ke . . . . . . . . . . 34
1.9.2.3. Efectos de la adición del observador . . . . . . . . . . . 35
1.9.3. Observador de orden m´ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.10. Control óptimo LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

ÍNDICE GENERAL iii
1.10.1. Solución de la ecuación de Riccatti . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.11. Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2. Modelos de procesos y perturbaciones 45
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2. Perturbaciones deterministas a trozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3. Procesos estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4. Modelos de procesos con ruidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3. Introducción a la identificación de sistemas 51
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2. Ideas básicas sobre identificación de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.1. Planificación de los experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.2. Selección del tipo de modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.3. Elección de un criterio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.4. Estimación de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.4.1. Identificación en l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.4.2. Identificación fuera de l´ınea . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.5. Validación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.6. Resumen del proceso de identificación . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

iv ÍNDICE GENERAL
3.3.1. Excitación persistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.2. Convergencia e identificabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.2.1. Identificación en bucle cerrado . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.3. Niveles de supervisión y acondicionamiento . . . . . . . . . . . . 62
4. Identificación por m´ınimos cuadrados 63
4.1. El método de los m´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2. Algoritmo recursivo para identificación en linea . . . . . . . . . . . . . 65
4.3. Interpretación estad´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4. M´ınimos cuadrados ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.5. M´ınimos cuadrados extendidos y generalizados . . . . . . . . . . . . . . 71
4.6. Estimación de los valores de continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.6.1. Utilización de los incrementos de las variables . . . . . . . . . . 73
4.6.2. Cálculo de los valores medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6.3. Estimación de una constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.7. Importancia del orden del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.8. Identificación de sistemas con retardo o no lineales . . . . . . . . . . . . 77
4.9. Consideraciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5. Introducción al control adaptativo 81
5.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

ÍNDICE GENERAL v
5.1.1. Clasificación grosso modo de los sistemas de control adaptativo . 82
5.2. Justificación del uso de control adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3. Control adaptativo por modelo de referencia (MRAC) . . . . . . . . . . 87
5.3.1. La regla del MIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6. Reguladores Autoajustables (STR) 93
6.1. Introducción. Estructura general de los STR . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.1.1. Algoritmos con estructura impl´ıcita y expl´ıcita . . . . . . . . . . 95
6.2. Control por M´ınima Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2.1. El regulador de m´ınima varianza generalizado . . . . . . . . . . 99
6.3. Asignación de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3.1. Algoritmo con estructura impl´ıcita. . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3.2. Algoritmo con estructura expl´ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7. Controladores PID con autoajuste y Ajuste por tabla 105
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2. Función de autoajuste (autotuning) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3. Funciones de autoajuste para PIDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3.1. Técnicas de ajuste basadas en la respuesta transitoria . . . . . . 108
7.3.2. Métodos basados en las oscilaciones producidas al realimentar
con un relé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.4. La técnica de ajuste por tabla o gain scheduling . . . . . . . . . . . . . 110

vi ÍNDICE GENERAL
7.5. Controladores adaptativos industriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.5.1. SattControl ECA40 y Fisher-Rosemount DPR900 . . . . . . . . 115
7.5.2. Foxboro EXACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.5.3. ABB Novatune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8. Control Predictivo Basado en Modelo (MPC) 117
8.1. Perspectiva histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.2. Conceptos básicos de control predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.3. Estrategia de los controladores predictivos . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4. Elementos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.4.1. Modelo de predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.4.1.1. Respuestas libre y forzada . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.4.2. Función objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.4.3. Obtención de la ley de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.5. Revisión de los principales algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.5.0.1. Dynamic Matrix Control . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.5.0.2. Model Algorithmic Control . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.5.0.3. Predictive Functional Control . . . . . . . . . . . . . . 131
8.5.0.4. Extended Prediction Self Adaptive Control . . . . . . 132
8.5.0.5. Extended Horizon Adaptive Control . . . . . . . . . . 133
8.5.0.6. Generalized Predictive Control . . . . . . . . . . . . . 134

ÍNDICE GENERAL vii
9. Controladores predictivos 135
9.1. Dynamic Matrix Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.1.1. Predicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.1.2. Perturbaciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.1.3. Algoritmo de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.1.3.1. El caso con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.1.3.2. Extensión al caso multivariable . . . . . . . . . . . . . 141
9.2. Control Predictivo Generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2.1. Formulación del Control Predictivo Generalizado . . . . . . . . 142
9.2.1.1. Predicción óptima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.2.1.2. Obtención de la ley de control . . . . . . . . . . . . . . 146
9.2.2. Ejemplo de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2.3. Caso multivariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.Otros aspectos del Control Predictivo 151
10.1. Restricciones en Control Predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.1.1. Tratamiento convencional de restricciones . . . . . . . . . . . . 151
10.1.2. Restricciones en Control Predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.1.3. Resolución del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.1.4. Gestión de restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.1.4.1. Técnicas de búsqueda de soluciones factibles . . . . . . 157

Índice de figuras
1.1. Diagrama de bloques de la representación en espacio de estados de un
sistema LTI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Diagrama de bloques de un sistema controlado por una realimentación
del vector de estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3. Diagrama de bloques de un sistema LTI controlado mediante una reali-
mentación del vector de estados que estima el estado con un observador. 31
1.4. Diagrama de bloques de un observador de orden completo. . . . . . . . 31
2.1. Procesos estocásticos: realizaciones y variables aleatorias. . . . . . . . 47
2.2. Modelo de Box-Jenkins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1. Esquema de la identificación en l´ınea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2. Diagrama de flujo del proceso de identificación. . . . . . . . . . . . . . 57
3.3. Ejemplo de señal de entrada del tipo PRBSS. . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1. Diagrama de flujo del proceso de identificación mediante m´ınimos cuadra-
dos recursivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2. Diagrama de Bode de un sistema de segundo orden (linea continua) y
de un modelo de primer orden estimado para una entrada senoidal de
frecuencia ω = 0,2 rad × s−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
ix

x ÍNDICE DE FIGURAS
4.3. Misma situación que en la figura 4.2 pero con una señal de entrada
senoidal de frecuencia ω = 1 rad × s−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4. Evolución de los parámetros identificados en un caso de sobreparametrización.
76
4.5. Evolución de unos parámetros frente a otros para el modelo sobreparametriza-
do. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1. Configuración genérica de un controlador adaptativo. . . . . . . . . . . 82
5.2. Sistema realimentado con actuador con caracter´ıstica v = f(u). . . . . 84
5.3. Sistema realimentado con actuador con caracter´ıstica v = f(u). . . . . 85
5.4. Respuestas en bucle abierto (izquierda) y cerrado (derecha) del sistema
dado en (5.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5. Respuestas en bucle abierto (izquierda) y cerrado (derecha) del sistema
dado en (5.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.6. Configuración genérica de un controlador adaptativo por modelo de re-
ferencia (MRAC). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.1. Configuración genérica de un regulador o controlador autoajustable. . 94
6.2. Configuración genérica de un regulador o controlador autoajustable. . 95
6.3. División de polinomios para el ejemplo 6.2. . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4. Estructura para la asignación de polos y ceros. . . . . . . . . . . . . . 101
7.1. PID industrial moderno con función de autoajuste (ABB modelo ECA). 107
7.2. Determinación de T y L por áreas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3. Estructura usada en el método basado en oscilaciones de relé. . . . . . 110

ÍNDICE DE FIGURAS xi
7.4. Configuración genérica de un controlador adaptativo con adaptación en
bucle abierto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.5. Curva de pH para una solución de HCl 0.001 M y NaOH 0.001 M. . . 112
7.6. Caracter´ıstica aproximada de una sonda lambda . . . . . . . . . . . . 113
7.7. La herramienta Novatune se comercializa actualmente con el sistema
Advant 410 de ABB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.1. Estrategia del Control Predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.2. Estructura básica del MPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.3. Respuesta impulsional y ante escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.4. Respuestas libre y forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.5. Trayectoria de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.6. Puntos de coincidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.1. Ley de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.2. Punto de operación óptimo de un proceso t´ıpico . . . . . . . . . . . . . 140
10.1. Restricciones y punto de operación óptimo . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.2. Restricciones en la señal de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.3. Gestión de restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Cap´ıtulo 1
Control de sistemas discretos en el
espacio de estados
1.1. Representación de sistemas discretos en el es-
pacio de estados
El método de espacio de estados está basado en la descripción del sistema mediante
n ecuaciones en diferencias, que se agrupan en una ecuación vectorial matricial en
diferencias.
Definición 1.1 Concepto de estado: El estado de un sistema dinámico es el con-
junto más pequeño de variables (llamadas variables de estado) tal que, el conocimiento
de esas variables en un determinado instante t0 junto con el conocimiento de los valores
de la señal de entrada para los instantes t ≥ t0, permite determinar el comportamiento
y evolución del sistema para cualquier instante de tiempo t ≥ t0.
Las variables de estado se agrupan en el llamado vector de estado y el espacio n-
dimensional que determinan los posibles valores de esas variables, se denomina espacio
de estados.
La dinámica de un sistema se puede describir en función del valor del vector de
estados y de la señal de entrada (asumiendo que el sistema es no autónomo mediante
1

2OBTENCI ÓN DE LA REPRESENTACI ÓN DE EN ESPACIO DE ESTADOS DE SISTEMAS DISCRETOS
unas ecuaciones que tendrán la forma:
x(k + 1) = f(x(k), u(k), k)
y(k) = g(x(k), u(k), k)
donde la notación ξ(k) indica el valor tomado por ξ en el instante de tiempo tk y f y g
pueden ser cualquier tipo de función. No obstante en esta asignatura nos centraremos
en los Sistemas Lineales e Invariantes en el tiempo (LTI). Este tipo de sistemas son
descritos mediante las siguientes ecuaciones:
x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k) (1.1)
y(k) = Cx(k) + Du(k)
que corresponder´ıan al diagrama de bloques:
x(k+1) +
+
D
H
u(k)
z-1 C
G
+
+
x(k)
Figura 1.1: Diagrama de bloques de la representación en espacio de estados de un sistema LTI.
1.2. Obtención de la representación de en espacio
de estados de sistemas discretos
Partiremos de un sistema discreto descrito por:
y(k)+a1y(k−1)+a2y(k−2)+· · ·+any(k−n) = b0u(k)+b1u(k−1)+· · ·+bnu(k−n) (1.2)
Es bien conocido de anteriores temas de la asignatura que este sistema puede ser
descrito por la siguiente función de transferencia:
G(z) =
Y (z)
U(z)
=
b0 + b1z−1
+ b2z−2
+ · · · + bnz−n
1 + a1z−1 + a2z−2 + · · · + anz−n
(1.3)
A continuación se expondrán dos de los métodos disponibles para obtener la repre-
sentación en espacio de estados del sistema descrito por (1.3).

CAPÍTULO 1. CONTROL DE SISTEMAS DISCRETOS EN EL ESPACIO DE ESTADOS 3
1.2.1. Método de programación directa
Parte de la premisa que la función de transferencia (1.3) puede reescribirse como:
G(z) = b0 +
(b1 − a1b0)z−1
+ (b2 − a2b0)z−2
+ · · · + (bn − anb0)z−n
1 + a1z−1 + a2z−2 + · · · + anz−n
(1.4)
teniendo en cuenta que G(z) = Y (z)
U(z)
se obtiene:
Y (z) = b0U(z) +
(b1 − a1b0)z−1
+ (b2 − a2b0)z−2
+ · · · + (bn − anb0)z−n
1 + a1z−1 + a2z−2 + · · · + anz−n
U(z) (1.5)
que a su vez se puede expresar como:
Y (z) = b0U(z) + ˜Y (z)U(z) (1.6)
con:
˜Y (z) =
(b1 − a1b0)z−1
+ (b2 − a2b0)z−2
+ · · · + (bn − anb0)z−n
1 + a1z−1 + a2z−2 + · · · + anz−n
(1.7)
Por otra parte, teniendo en cuenta la expresión de ˜Y (z) se puede definir un Q(z) que
cumple que:
Q(z) =
˜Y (z)
(b1 − a1b0)z−1 + · · · + (bn − anb0)z−n
=
U(z)
1 + a1z−1 + · · · + anz−n
(1.8)
De ah´ı se obtiene que:
Q(z) = −a1z−1
Q(z) − a2z−2
Q(z) − · · · − anz−n
Q(z) + U(z) (1.9)
˜Y (z) = (b1 − a1b0)z−1
Q(z) + (b2 − a2b0)z−2
Q(z) + · · · + (bn − anb0)z−n
Q(z) (1.10)
A continuación se eligen las variables de estado como:
X1(z) = z−n
Q(z) (1.11)
X2(z) = z−(n−1)
Q(z)
· · ·
Xn(z) = z−1
Q(z)
lo que teniendo en cuenta las propiedades de la transformada Z, implica que:
zX1(z) = X2(z)
zX2(z) = X3(z)
· · ·
zXn−1(z) = Xn(z)

4OBTENCI ÓN DE LA REPRESENTACI ÓN DE EN ESPACIO DE ESTADOS DE SISTEMAS DISCRETOS
lo que a su vez equivale a:
x1(k + 1) = x2(k) (1.12)
x2(k + 1) = x3(k)
· · ·
xn−1(k + 1) = xn(k)
Nótese que según la última igualdad de (1.11) se tiene que Q(z) = zXn(z), luego
teniendo en cuenta esto y el resto de las igualdades de (1.11) podemos reescribir la
expresión de Q(z) en (1.9) como:
zXn(z) = −a1Xn(z) − a2Xn−1(z) − · · · − anX1(z) + U(z) (1.13)
o lo que es lo mismo:
xn(k + 1) = −anx1(k) − an−1x2(k) − · · · − a1xn(k) + u(k) (1.14)
De esta manera y si tenemos en cuenta (1.12) obtenemos la siguiente expresión de la
ecuación de estado:







x1(k + 1)
x2(k + 1)
...
xn−1(k + 1)
xn(k + 1)







=







0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
...
...
0 0 0 · · · 1
−an −an−1 −an−2 · · · −a1














x1(k)
x2(k)
...
xn−1(k)
xn(k)







+







0
0
...
0
1







u(k)
(1.15)
Por otra parte, podemos reescribir también (1.10) teniendo en cuenta las igualdades
de (1.11) de manera que:
˜Y (z) = (b1 − a1b0)Xn(z) + (b2 − a2b0)Xn−1(z) + · · · + (bn − anb0)X1(z) (1.16)
Esto se puede llevar a la ecuación (1.6) de manera que antitransformando se obtiene:
y(k) = (bn −anb0)x1(k)+(bn−1 −an−1b0)x2(k)+· · ·+(b1 −a1b0)xn(k)+b0u(k) (1.17)
lo cual se puede escribir como:
y(k) = bn − anb0 bn−1 − an−1b0 · · · b1 − a1b0







x1(k)
x2(k)
...
xn−1(k)
xn(k)







+ b0u(k) (1.18)
Las ecuaciones (1.15) y (1.18) forman una representación en espacio de estados del
sistema descrito por la función de transferencia (1.3) que se denomina forma canónica
controlable.

1.2.2. Método de programación anidada
En este caso se parte de que de la función de transferencia (1.3) se obtiene la
siguiente ecuación:
Y (z) − b0U(z) + z−1
(a1Y (z) − b1U(z)) + · · · + z−n
(anY (z) − bnU(z)) = 0 (1.19)
que a su vez se puede reescribir como:
Y (z) = b0U(z) + z−1
b1U(z) − a1Y (z) + z−1
(b2U(z) − a2Y (z) (1.20)
+z−1
(b3U(z) − a3Y (z) + · · ·)
Teniendo en cuenta esto se definen las siguientes variables de estado:
Xn(z) = z−1
(b1U(z) − a1Y (z) + Xn−1(z)) (1.21)
Xn−1(z) = z−1
(b2U(z) − a2Y (z) + Xn−2(z))
...
X2(z) = z−1
(bn−1U(z) − an−1Y (z) + X1(z))
X1(z) = z−1
(bnU(z) − anY (z))
Nótese que según esta definición de las variables de estado la expresión (1.20) se puede
reescribir en forma condensada como:
Y (z) = b0U(z) + Xn(z) (1.22)
Sustituyendo esta expresión en la definición de las variables de estado (1.21) y multi-
plicando por z en ambos lados de cada igualdad se obtiene:
zXn(z) = Xn−1(z) − a1Xn(z) + (b1 − a1b0)U(z)
zXn−1(z) = Xn−2(z) − a2Xn(z) + (b2 − a2b0)U(z)
...
zX2(z) = X1(z) − an−1Xn(z) + (bn−1 − an−1b0)U(z)
zX1(z) = −anXn(z) + (bn − anb0)U(z)
Antitransformando lo anterior:
x1(k + 1) = −anxn(k) + (bn − anb0)u(k) (1.23)
x2(k + 1) = x1(k) − an−1xn(k) + (bn−1 − an−1b0)u(k)
...
xn−1(k + 1) = xn−2(k) − a2xn(k) + (b2 − a2b0)u(k)
xn(k + 1) = xn−1(k) − a1xn(k) + (b1 − a1b0)u(k)

6 LA REPRESENTACI ÓN EN ESPACIO DE ESTADOS DE UN SISTEMA NO ES ÚNICA
Antitransformando también la expresión (1.22) se obtiene:
y(k) = xn(k) + b0u(k) (1.24)
Finalmente, agrupando las dos expresiones anteriores se obtiene:







x1(k + 1)
x2(k + 1)
...
xn−1(k + 1)
xn(k + 1)







=







0 0 · · · 0 0 −an
1 0 · · · 0 0 −an−1
...
...
...
...
...
0 0 · · · 1 0 −a2
0 0 · · · 0 1 −a1














x1(k)
x2(k)
...
xn−1(k)
xn(k)







+







bn − anb0
bn−1 − an−1b0
...
b2 − a2b0
b1 − a1b0







u(k)
y(k) = 0 0 · · · 0 1







x1(k)
x2(k)
...
xn−1(k)
xn(k)







+ b0u(k) (1.25)
A esta representación en espacio de estados del sistema descrito por la función de
transferencia (1.3) se la denomina forma canónica observable.
1.3. La representación en espacio de estados de un
sistema no es única
Se ha comprobado que a un mismo sistema descrito por su función de transferencia
le corresponden, al menos, dos representaciones en espacio de estado distintas. De
hecho, la representación en espacio de estados de un sistema no es única. Por ejemplo,
podemos tomar otras variables de estado que describan la dinámica del sistema que
sean a su vez combinaciones lineales de las variables de estado originales, o considerar
que éstas son a su vez combinaciones lineales de otras. Dicho de otro modo, dado un
sistema LTI como el descrito en (1.1) podemos considerar que el vector de estado x(k)
está relacionado con otro vector ˜x(k) con variables de estado distintas mediante una
transformación:
x(k) = P ˜x(k) (1.26)
donde P es una matriz invertible. Esto se puede llevar a la ecuación de estado del
sistema de manera que obtendr´ıamos:
P ˜x(k + 1) = GP ˜x(k) + Hu(k)
Premultiplicando por P−1
:
˜x(k + 1) = P−1
GP ˜x(k) + P−1
Hu(k)

por lo que la ecuación de estado se puede expresar como:
˜x(k + 1) = ˜G˜x(k) + ˜Hu(k) (1.27)
con ˜G = P−1
GP y ˜H = P−1
H. De la misma manera la ecuación, de la salida del
sistema se puede expresar como:
y(k) = ˜C˜x(k) + ˜Du(k) (1.28)
con ˜C = CP y ˜D = D. As´ı pues, las ecuaciones (1.27) y (1.28) describen una repre-
sentación del sistema en espacio de estados que es diferente de la original pero equiva-
lente a ella1
.
1.4. Resolución de las ecuaciones del espacio de es-
tados
En esta sección se trata el tema de la resolución de las ecuaciones de estado. Es
decir, se presentarán procedimientos para obtener el valor del vector de estado para
un determinado instante de tiempo k > 0 a partir del valor de x(0), es decir, del valor
inicial del vector de estados.
1.4.1. Procedimiento recursivo
Iterando las ecuaciones del estado para un sistema LTI como (1.1) a partir de k = 0:
x(1) = Gx(0) + Hu(0)
x(2) = Gx(1) + Hu(1) = G2
x(0) + GHu(0) + Hu(1)
x(3) = Gx(2) + Hu(2) = G3
x(0) + G2
Hu(0) + GHu(1) + Hu(2)
...
generalizando para cualquier k > 0:
x(k) = Gk
x(0) +
k−1
j=0
Gk−j−1
Hu(j) (1.29)
1
Obsérvese que en la ecuación (1.28) el estado aparece con ˜, indicando que el vector de estados
es diferente al original. La salida sin embargo si coincide con la del sistema original pues ambas
representaciones son equivalentes.

8 RESOLUCI ÓN DE LAS ECUACIONES DEL ESPACIO DE ESTADOS
Obsérvese que x(k) depende del estado inicial y de los valores de la entrada. Por otra
parte, la salida se puede expresar como:
y(k) = CGk
x(0) + C
k−1
j=0
Gk−j−1
Hu(j) + Du(k) (1.30)
1.4.2. Matriz de transición de estados
Considérese la ecuación:
x(k + 1) = Gx(k) (1.31)
En este caso, al no tener señal de entrada la solución de la ecuación viene dada por:
x(k) = Ψ(k)x(0)
con:
Ψ(k + 1) = GΨ(k) Ψ(0) = I
es decir:
Ψ(k) = Gk
A Ψ(k) se le llama la matriz de transición de estados y contiene toda la información
sobre los movimientos libres del sistema descrito por (1.31). Estos movimientos libres
se refieren a los cambios de estado o evolución del estado del sistema en ausencia de
entrada.
En términos de Ψ(k) la solución de la ecuación de estados para el sistema (1.1)
viene dada por:
x(k) = Ψ(k)x(0) +
k−1
j=0
Ψ(k − j − 1)Hu(j) (1.32)
= Ψ(k)x(0) +
k−1
j=0
Ψ(j)Hu(k − j − 1)
lo que lleva a:
y(k) = CΨ(k)x(0) + C
k−1
j=0
Ψ(j)Hu(k − j − 1) + Du(k) (1.33)

1.4.3. Método basado en la transformada Z
Aplicando la transformada Z a ambos lados de la ecuación de estados del sistema
(1.1) se obtiene:
zX(z) − zx(0) = GX(z) + HU(z)
y de ah´ı:
(zI − G)X(z) = zx(0) + HU(Z)
Premultiplicando por (zI − G)−1
:
X(z) = (zI − G)−1
zx(0) + (zI − G)−1
HU(Z)
y antitransformando:
x(k) = Z−1
(zI − G)−1
z x(0) + Z−1
(zI − G)−1
HU(z)
Esta ecuación la podemos comparar con la solución mediante el procedimiento recursivo
indicado en la ecuación (1.29), e identificando términos tenemos que:
Gk
= Z−1
(zI − G)−1
z y
k−1
j=0
Gk−j−1
Hu(j) = Z−1
(zI − G)−1
HU(z) (1.34)
La dificultad de este método consiste en realizar la transformada Z de las expresiones
anteriores. Para ilustrar el procedimiento considérese el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.1
Dado un sistema LTI como (1.1) con:
G =
0 1
−0,16 −1
H =
1
1
C = 1 0
Se pide calcular Ψ(k) = GK
= Z−1
{(zI − G)−1
z}. En primer lugar calculamos:
(zI − G)−1
=
z −1
0,16 z + 1
=
z+1
(z+0,2)(z+0,8)
1
(z+0,2)(z+0,8)
−0,16
(z+0,2)(z+0,8)
z
(z+0,2)(z+0,8)
=
4
3
1
z+0,2
− 1
3
1
z+0,8
5
3
1
z+0,2
− 5
3
1
z+0,8
−0,8
3
1
z+0,2
+ 0,8
3
1
z+0,8
−1
3
1
z+0,2
+ 4
3
1
z+0,8
(1.35)

10 RESOLUCI ÓN DE LAS ECUACIONES DEL ESPACIO DE ESTADOS
Multiplicando lo anterior por z y antitransformando se obtiene:
Ψ(k) = Gk
= Z−1
(zI − G)−1
z =
4
3
(−0,2)k
− 1
3
(−0,8)k 5
3
(−0,2)k
− 5
3
(−0,8)k
−0,8
3
(−0,2)k
+ 0,8
3
(−0,8)k
−1
3
(−0,2)k
+ 4
3
(−0,8)k
(1.36)
El ejemplo se puede completar resolviendo completamente la ecuación de estado y la
de la salida para una señal de entrada dada por:
u(k) = 1 k = 0, 1, 2, · · · x(0) =
1
−1
Teniendo en cuenta la transformada Z de la entrada (escalón unitario) y que se sabe
que:
X(z) = (zI − G)−1
[zx(0) + HU(z)]
se calcula:
zx(0) + HU(z) =
z
−z
+
z
z−1
z
z−1
=
z2
z−1
−z2+2z
z−1
que premultiplicado por el resultado de la ecuación (1.35) lleva a:
X(z) =
− 17
6
z
z+0,2
+
22
9
z
z+0,8
+
25
18
z
z−1
3,4
6
z
z+0,2
+
− 17,6
9
z
z+0,8
+
7
18
z
z−1
y de ahi, antitransformando:
x(k) =
−17
6
(−0,2)k
+ 22
9
(−0,8)k
+ 25
18
3,4
6
(−0,2)k
− 17,6
9
(−0,8)k
+ 7
18
Finalmente la ecuación de salida será:
y(k) = 1 0 x(k)
= −
17
6
(−0,2)k
+
22
9
(−0,8)k
+
25
18
1.4.3.1. Procedimiento alternativo para calcular (zI − G)−1
Se observa en el ejemplo 1.1 que gran parte del cálculo se emplea en calcular (zI −
G)−1
. Esto puede ser muy engorroso cuando el orden de las matrices involucradas es
superior a 3. A continuación se detalla un procedimiento alternativo para esos casos.
En primer lugar es conocido que, por definición de matriz inversa:
(zI − G)−1
=
Adj(zI − G)
|zI − G|

donde ((Adj)) indica la matriz adjunta. El determinante |zI − G| se puede expresar
como:
|zI − G| = zn
+ a1zn−1
+ a2zn−2
+ · · · + an
Por otra parte se puede demostrar que:
Adj(zI − G) = Izn−1
+ H1zn−2
+ H2zn−3
+ · · · + Hn−1
donde las matrices Hi se calculan mediante:
H1 = G + a1I
H2 = GH1 + a2I
...
Hn−1 = GHn−1 + an−1I
Hn = GHn−1 + anI = 0
y los ai se calculan a su vez como:
a1 = −traza(G)
a2 = −
1
2
traza(GH1)
a3 = −
1
3
traza(GH2)
...
an = −
1
n
traza(GHn−1)
Ejemplo 1.2
A continuaci´on se calcular´a la inversa de (zI − G) para el ejemplo 1.1 mediante este
procedimiento alternativo. Dado que el orden de la matriz es n = 2, se tiene que:
|zI − G| = z2
+ a1z + a2
Adj(zI − G) = Iz + H1
donde:
a1 = −traza(G)
a2 = −1
2
traza(GH1)
H1 = G + a1I
La traza de G es igual a 1, luego a1 = 1 y de ah´ı se obtiene que H1 = G + I, con lo
que se puede calcular:
a2 = −
1
2
traza
0 1
−0,16 −1
1 1
−0,16 0
= 0,16

12 DISCRETIZACI ÓN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO CONTINUAS
con lo que se obtiene:
Adj(zI − G) = Iz +
1 1
−0,16 0
=
z + 1 1
−0,16 z
|zI −G| = z2
+z+0,16 = (z+0,2)(z+0,8)
Finalmente:
(zI − G)−1
=
z + 1 1
−0,16 z
(z + 0,2)(z + 0,8)
que evidentemente es el mismo resultado obtenido en el ejemplo 1.1.
1.5. Discretización de las ecuaciones de estado con-
tinuas
En esta sección veremos cómo se puede pasar de un modelo en espacio de estado
continuo a discreto. Se partirá de un sistema lineal e invariante en el tiempo continuo:
˙x = Ax + Bu
y = Cx + Du
(1.37)
Supondremos que la entrada sólo cambia en ciertos instantes igualmente espaciados en
el tiempo, es decir, sólo puede cambiar en t = kT, para k = 0, 1, 2, · · ·. Al discretizar
la ecuación de estado ésta tomará la forma:
x((k + 1)T) = G(T)x(kT) + H(T)u(kT) (1.38)
donde puede observarse que las matrices G y H dependen del tiempo de muestreo T.
Para determinar el valor de G(T) y H(T) usaremos la solución de la ecuación de estado
en tiempo continuo:
x(t) = eAt
x(0) + eAt
t
0
e−Aτ
Bu(τ)dτ (1.39)
Supondremos que la entrada u(t) es muestreada mediante un mantenedor de orden
cero, por lo que se cumple que:
u(t) = u(kT) para kT ≤ t ≤ kT + T (1.40)

Se tiene que:
x((k + 1)T) = eA(k+1)T
x(0) + eA(k+1)T
(k+1)T
0
e−Aτ
Bu(τ)dτ (1.41)
x(kT) = eAkT
x(0) + eAkT
kT
0
e−Aτ
Bu(τ)dτ (1.42)
Mutiplicando la ecuación (1.42) por eAT
y restándola de la ecuación (1.41) se obtiene:
x((k + 1)T) = eAT
x(kT) + eA(k+1)T
(k+1)T
kT
e−Aτ
Bu(τ)dτ (1.43)
Teniendo en cuenta la suposición de que u(t) es constante en el intervalo de integración
(ver (1.40)) se puede sustituir u(τ) por u(kT). Aplicando esto y operando se llega a:
x((k + 1)T) = eAT
x(kT) + eAT
T
0
e−Aτ
Bu(kT)dτ
= eAT
x(kT) +
T
0
e−Aλ
Bu(kT)dλ (1.44)
donde λ = T − τ. Sea:
G(T) = eAT
H(T) =
T
0
eAλ
dλ B
(1.45)
entonces la ecuación (1.44) queda:
x((k + 1)T) = G(T)x(kT) + H(T)u(kT) (1.46)
que es la ecuación a la que ten´ıamos que llegar y por tanto se ha obtenido la ecuación
de estado continuo discretizada.
En el caso particular (aunque muy común, y por tanto interesante) de que A sea
una matriz invertible se tiene que:
H(T) = eAT
− I A−1
B
Por otra parte, la ecuación de la salida al ser discretizada queda:
y(kT) = Cx(kT) + Du(kT) (1.47)
con C, D matrices constantes e iguales a la de la ecuación en tiempo continuo.
Existen diferentes métodos para calcular eAT
. Quizás el más sencillo de aplicar
cuando se trata de calcular la exponencial con papel y lápiz sea utilizar la equivalencia:
eAt
= L−1
(sI − A)−1
(1.48)

14 DISCRETIZACI ÓN DE LAS ECUACIONES DE ESTADO CONTINUAS
donde L−1
indica la transformada de Laplace inversa. Desde el punto de vista práctico
el método consistir´ıa en calcular (sI−A)−1
(nótese que puede emplearse el método para
calcular (zI − G)−1
dado en la sección 1.4.3.1) y aplicar a posteriori la transformada
de Laplace inversa a cada elemento de la matriz.
Ejemplo 1.3
Se ilustrará en este ejemplo el cálculo de eAt
siendo:
A =
0 1
0 −2
Para ello se calcula:
(sI − A) =
s 0
0 s
−
0 1
0 −2
=
s −1
0 s + 2
y aplicando los métodos vistos en la sección 1.5 y subsiguientes se calcula la inversa:
(sI − A)−1
=
1
s
1
s(s+2)
0 1
(s+2)
Finalmente se aplica la transformada inversa de Laplace a cada elemento de la matriz
anterior de manera que se obtiene:
eAt
= L−1
(sI − A)−1
=
1 1
2
(1 − e−2t
)
0 e−2t
Ejemplo 1.4
Como ejemplo de discretización de las ecuaciones de estado en tiempo continuo, con-
sidérese el siguiente sistema:
˙x = −ax + u
y = x
Usando las expresiones de (1.45) se obtiene:
G(T) = eAT
= e−aT
y
H(T) =
T
0
eAλ
dλ B
=
T
0
e−aλ
dλ
= 1−e−aT
a

Luego:
x(k + 1) = e−aT
x(k) + 1−e−aT
a
u(k)
y(k) = x(k)
1.6. Controlabilidad y Observabilidad
En esta sección se pasan a tratar dos conceptos clave en el estudio de sistemas
dinámicos, la controlabilidad y la observabilidad. El primero se refiere a la existencia
de una secuencia de actuaciones para llevar el sistema a un estado arbitrario. Por
otro lado, la observabilidad tiene que ver con la posibilidad de determinar el valor del
vector de estados de un sistema a partir de observaciones de las salidas y la entradas
de dicho sistema. Ambos conceptos se deben a Kalman y son claves en estrategias de
control como la colocación de polos por realimentación del vector de estados o el control
óptimo.
1.6.1. Controlabilidad
Definición 1.2 Un sistema de control es completamente controlable o de estado com-
pletamente controlable, si es posible transferir al sistema desde un estado inicial ar-
bitrario a cualquier estado deseado en un tiempo finito. También puede decirse que
será completamente controlable, si cada variable de estado se puede controlar en un
tiempo finito por una señal de control que no esté sujeta a ningún tipo de restricción.
Como es habitual nos centraremos en el estudio de la controlabilidad de sistemas
LTI:
x((k + 1)T) = Gx(kT) + Hu(kT) (1.49)
siendo la señal u(kT) constante en el intervalo de tiempo kT ≤ t ≤ (k + 1)T. En este
caso, la controlabilidad de estado completo implica que existe una señal de control
constante entre cada tiempo de muestreo que transfiere al sistema, desde un estado
x(kT) cualquiera a un estado deseado xf en como mucho n periodos de muestreo,
donde n es el tamaño del vector de estados.
Recordemos que la solución de la ecuación de estados es:
x(nT) = Gn
x(0) +
n−1
j=0
Gn−j−1
Hu(jT)

16 CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
= Gn
x(0) + Gn−1
Hu(0) + Gn−2
Hu(T) + · · · + Hu((n − 1)T)
de ah´ı se obtiene:
x(nT) − Gn
x(0) = H
... GH
... · · ·
... Gn−1
H





u((n − 1)T)
u((n − 2)T)
...
u(0)





(1.50)
donde la matriz
Mc = H
... GH
... · · ·
... Gn−1
H (1.51)
es la llamada matriz de controlabilidad.
Supóngase un estado final arbitrario x(nT) = xf . Si el sistema fuera controlable
deber´ıa existir un vector de actuaciones que al multiplicarlo por la matriz de controla-
bilidad (1.51) diese como resultado xf − Gn
x(0). Como xf y x(0) pueden ser cualquier
par de valores del vector de estado, es fácil entender que xf −Gn
x(0) puede ser cualquier
vector de Rn
. De esto se desprende que para que el sistema sea controlable, el espa-
cio de vectores generado por los vectores que forman la matriz de controlabilidad (es
decir, sus columnas) debe ser todo Rn
. La condición necesaria y suficiente para que
se cumpla esto es que el rango de la matriz de controlabilidad sea n. Este resultado
permite enunciar el siguiente lema.
Lema 1.1 Dado un sistema LTI de orden n representado por (1.49), es condición
necesaria y suficiente para que el sistema sea completamente controlable que el rango
de la matriz de controlabilidad (1.51) sea igual a n.
Comentario 1.1 El sistema que cumpla la condición establecida en el lema 1.1 po-
drá alcanzar cualquier estado como máximo en n periodos de muestreo, pero sólo si no
existen restricciones sobre la señal de control. En caso contrario, se tardar´ıa más.
Si el sistema es controlable, se podrá determinar la secuencia de valores de la entrada
necesaria para llevar al sistema a xf resolviendo el sistema de ecuaciones (1.50).
Por otra parte, la controlabilidad se puede comprobar a partir de la función de
transferencia de un sistema observando si hay cancelaciones de polos y ceros. En el
caso de que las hubiese, el sistema no ser´ıa controlable. Por tanto, el sistema
Y (z)
U(z)
=
z + 0,2
(z + 0,8)(z + 0,2)
no ser´ıa controlable pues existe una cancelación de un polo con un cero.

1.6.2. Controlabilidad de la salida completa
En control automático el objetivo más común es controlar la evolución de la salida
del sistema. Se puede demostrar que la controlabilidad del estado no implica la contro-
labilidad de la salida. Sin embargo, podemos comprobar dicha controlabilidad de una
manera análoga a la de la controlabilidad del estado completo. Sea un sistema cuya
ecuación de estado es (1.49) y la ecuación de la salida es:
y(kT) = Cx(kT) (1.52)
La condición para comprobar la controlabilidad de la salida completa ser´ıa que
Rango CH
... CGH
... · · ·
... CGn−1
H = m (1.53)
donde m es el número de salidas. Por otra parte, si la ecuación de la salida es:
y(kT) = Cx(kT) + Du(kT) (1.54)
la condición a comprobar ser´ıa:
Rango D
... CH
... CGH
... · · ·
... CGn−1
H = m (1.55)
Nótese que en esta segunda forma de la ecuación de salida, la presencia del término
Du(kT) no empeora la controlabidad del sistema, sino justo lo contrario. De hecho, al
introducirse una columna extra en la matriz de controlabilidad (la correspondiente a
D), se puede dar el caso que se pase de tener m−1 columnas linealmente independientes
a tener m, por lo que se lograr´ıa la controlabilidad de la salida. Dicho de otra manera,
encontrar m vectores linealmente independientes siempre será igual o más fácil entre
n + 1 vectores que entre sólo n de esos vectores.
1.6.3. Observabilidad
Considérese un sistema autónomo:
x((k + 1)T) = Gx(kT)
y(kT) = Cx(kT)
(1.56)
Definición 1.3 El sistema autónomo (1.56) es completamente observable si todo es-
tado inicial x(0) se puede determinar de la observación de y(kT) durante un número
finito de intervalos de muestreo. Para que ello ocurra, cada transición del estado debe
afectar a todos los elementos del vector de salida.

18 CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
La observabilidad juega un papel esencial en el control de aquellos sistemas en los
que algunas de las variables de estado no son accesibles, es decir, no son medibles
directamente. Nótese que se ha considerado un sistema autónomo. La razón de esto es
que la observabilidad de un sistema no autónomo se reduce a la del sistema autónomo
equivalente.
Se sabe que la solución de la ecuación de estado para el sistema autónomo (1.56)
es:
x(kT) = Gk
x(0)
y de ah´ı
y(kT) = CGk
x(0)
La observabilidad completa implica que usando
y(0), y(T), y(2T), · · · , y((n − 1)T)
se pueden determinar
x1(0), x2(0), · · · , xn(0)
donde xi(0) indica la iésima componente de x(0). Es decir el sistema es completamente
observable si las ecuaciones:
y(0) = Cx(0)
y(T) = CGx(0)
...
y((n − 1)T) = CGn−1
x(0)
permiten determinar x1(0), x2(0), · · · , xn(0). Como y(kT) es un m-vector (asumiendo
que el sistema tiene m salidas) el sistema de ecuaciones anterior es en realidad un
sistema de n × m ecuaciones, en las que las incógnitas son las n componentes de x(0).
Para que la solución de este sistema sea única debe haber entre ellas n ecuaciones
linealmente independientes. Esto se traduce en la siguiente condición de observabilidad
completa:
Rango C∗ ... G∗
C∗ ... · · ·
... (G∗
)n−1
C∗ = n (1.57)
donde ∗
indica la conjugada traspuesta de una matriz y a la matriz que aparece en la
condición se la llama matriz de observabilidad.
Por otra parte, de una manera análoga a la de la controlabilidad, la observabilidad
de un sistema a partir de su función de transferencia se puede asegurar si ésta no
presenta cancelaciones de polos y ceros.

Finalmente, se enuncia a continuación una propiedad que será útil para poder obte–
ner la representación de un sistema en forma canónica, sin que por ello pueda argu-
mentarse que existe la posibilidad de variar la controlabilidad u observabilidad del
mismo.
Propiedad 1.1 Sea un sistema LTI dado en la forma usual (1.1), cuya matriz de
controlabilidad es M y la de observabilidad es N. Si se define una transformación
como (1.26) con:
ˆG = P−1
GP
ˆH = P−1
H
ˆC = CP
siendo P una matriz invertible, entonces las matrices de controlabilidad y observabilidad
del sistema equivalente tienen el mismo rango que M y N.
1.6.4. Principio de Dualidad
Este principio, que es debido a Kalman, relaciona la controlabilidad y observabilidad
de un sistema con la de otro sistema llamado dual del primero. Sea un sistema S1:
S1 :
x((k + 1)T) = Gx(kT) + Hu(kT)
y(kT) = Cx(kT)
(1.58)
Sea S2 el sistema dual de S1:
S2 :
ˆx((k + 1)T) = G∗
ˆx(kT) + C∗
û(kT)
ˆy(kT) = H∗
ˆx(kT)
(1.59)
Entonces se puede afirmar que2
:
SI S1
CONTROLABLE
OBSERVABLE
ENTONCES S2
OBSERVABLE
CONTROLABLE
1.7. Transformación de un sistema en formas canónicas
Sea un sistema controlable y observable:
x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k)
(1.60)
2
Nótese que los sistemas S1 y S2 son diferentes, es decir, S2 no es una representación alternativa
de S1.

20 TRANSFORMACI ÓN DE UN SISTEMA EN FORMAS CAN ÓNICAS
A continuación, se verá el procedimiento para obtener las formas canónicas a partir de
ese sistema.
1.7.1. Obtención de la forma canónica controlable
Sea una matriz de transformación T = MW con:
M = H
... GH
... · · ·
... Gn−1
H W =







an−1 an−2 · · · a1 1
an−2 an−3 · · · 1 0
...
...
...
...
a1 1 · · · 0 0
1 0 · · · 0 0







donde los coeficientes ai son los coeficientes de la ecuación caracter´ıstica del sistema,
es decir:
|zI − G| = zn
+ a1zn−1
+ · · · + an−1z + an = 0
Se define el estado x(k) en función de la transformación de otro vector de estados ˆx(k):
x(k) = T ˆx(k)
Entonces el sistema:
ˆx(k + 1) = ˆGˆx(k) + ˆHu(k)
y(k) = ˆCx(k) + ˆDu(k)
(1.61)
con ˆG = T−1
GT, ˆH = T−1
H, ˆC = CT, ˆD = D está en forma canónica controlable.
1.7.2. Obtención de la forma canónica observable
En este caso la matriz de transformación es:
Q = (WN∗
)−1
con
N = C∗ ... G∗
C∗ ... · · ·
... (G∗
)n−1
C∗
Sea ˆG = Q−1
GQ, ˆH = Q−1
H, ˆC = CQ, ˆD = D y def´ınase el estado x(k) como
x(k) = Qˆx(k). Entonces el sistema (1.61) está en forma canónica observable.

1.8. Colocación de polos mediante realimentación
del vector de estados
En esta sección se presentará una estrategia de control que permite elegir la situación
de los polos de bucle cerrado del sistema, mediante la realimentación lineal del vector
de estados. Se verá que la condición necesaria para que esto se pueda conseguir es que
el sistema sea controlable. Por otra parte, se asumirá que todas las variables de estados
son accesibles, es decir, podemos medirlas directamente sin tener que estimarlas por
otros procedimientos.
1.8.1. Condición necesaria y suficiente para la colocación ar-
bitraria de polos
Sea un sistema LTI:
x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)
Se escoge una ley de control que tiene la forma:
u(k) = −Kx(k)
es decir, la señal de control se obtiene de la realimentación negativa del vector de
estados multiplicado por una cierta matriz de ganancias K. Este tipo de ley de control
se la denomina usualmente realimentación del vector de estados. Con esta ley de control
el sistema en bucle cerrado quedar´ıa:
x(k+1)
H z-1¡
G
+
+
x(k)
-K
u(k)
Figura 1.2: Diagrama de bloques de un sistema controlado por una realimentación del vector de
estados.
y la ecuación de estado del sistema en bucle cerrado resultar´ıa ser:
x(k + 1) = (G − HK)x(k)

22 COLOCACI ÓN DE POLOS MEDIANTE REALIMENTACI ÓN DEL VECTOR DE ESTADOS
De manera análoga a lo que se da en sistemas continuos, los autovalores de (G − HK)
son (o coinciden con) los polos de bucle cerrado del sistema. Por tanto, lo que buscamos
es ver que condición es necesario cumplir para que exista una matriz de ganancias K
determinada, que nos permita colocar los autovalores de (G − HK) en unos valores
elegidos a voluntad.
Lema 1.2 Se demuestra que la condición necesaria y suficiente para que por medio de
una realimentación del vector de estados puedan escogerse los polos de bucle cerrado
(es decir, los autovalores de (G−HK)) es que el sistema en bucle abierto sea de estado
completamente controlable. Si esta condición no se cumple, no se podrán elegir todos
los polos de bucle cerrado.
1.8.2. Procedimientos para calcular K
Sean µ1,µ2,· · ·,µn los valores deseados para los polos de bucle cerrado, es decir,
para los autovalores de (G−HK). Aquellos que sean complejos siempre irán por pares
conjugados. La ecuación caracter´ıstica del sistema en bucle abierto es:
|zI − G| = zn
+ a1zn−1
+ · · · + an = 0
Se define una matriz de transformación T = MW exactamente igual que la matriz
de transformación necesaria para obtener la forma canónica controlable descrita en la
sección 1.7.1. Se obtiene:
T−1
GT = ˆG =







0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
...
...
0 0 0 · · · 1
−an −an−1 −an−2 · · · −a1







T−1
H = ˆH =







0
0
...
0
1







Se define a continuación:
ˆK = KT = δn δn−1 · · · δ1
Entonces:
ˆH ˆK =





0
0
...
1





δn δn−1 · · · δ1 =







0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
0 0 · · · 0
δn δn−1 · · · δ1








Por otra parte, la ecuación caracter´ıstica del sistema en B.C. es:
|zI − G − HK| = |zI − ˆG + ˆHK|
= z







1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
...
...
...
0 0 · · · 0
0 0 · · · 1







−







0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
...
...
0 0 0 · · · 1
−an −an−1 −an−2 · · · −a1







+







0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
0 0 · · · 0
δn δn−1 · · · δ1







=
z −1 · · · 0
0 z · · · 0
...
...
...
0 0 · · · −1
an + δn an−1 + δn−1 · · · z + a1 + δ1
= zn
+ (a1 + δ1)zn−1
+ · · · + (an−1 + δn−1)z + (an + δn) = 0
A su vez, la ecuación caracter´ıstica correspondiente a los autovalores deseados será:
(z − µ1)(z − µ2) · · · (z − µn) = zn
+ α1zn−1
+ α2zn−2
+ · · · + αn−1 + αn = 0
Igualando los coeficientes de ambas ecuaciones caracter´ısticas:
α1 = a1 + δ1
α2 = a2 + δ2
...
αn = an + δn
se obtiene la siguiente expresión para K:
K = ˆKT−1
= δn δn−1 · · · δ1 T−1
= αn − an
...αn−1 − an−1
... · · ·
...α1 − a1
T−1
(1.62)
que coloca los polos de bucle cerrado del sistema en los valores deseados. Nótese
que si el sistema en bucle abierto viene dado en forma canónica controlable, se verifica
que T = I = T−1
.

1.8.2.1. Procedimiento alternativo: la fórmula de Ackermann
Existen otros procedimientos alternativos para el cálculo de la matriz K. Aqu´ı men-
cionaremos uno muy conocido, el que emplea la fórmula de Ackermann. Según esto, la
expresión para K tomar´ıa la forma:
K = 0 0 · · · 0 1 H
... GH
... · · ·
... Gn−1
H
−1
φ(G)
donde:
φ(G) = Gn
+ α1Gn−1
+ · · · + αn−1G + αnI
Los coeficientes αi se calcularán como en el apartado anterior.
Finalmente, otro procedimiento que puede ser útil para sistemas de bajo orden
consiste en tomar
K = k1 k2 · · · kn
plantear la ecuación caracter´ıstica en función de los ki:
|zI − G + HK| = 0
e igualar a los coeficientes de
zn
+ α1zn−1
+ α2zn−2
+ · · · + αn−1 + αn = 0
1.8.3. Control Dead-Beat
Este es un tipo de control que resulta ser un caso particular del control por colo-
cación de polos.
Definición 1.4 Dado un sistema LTI, entenderemos como control dead-beat aquel que
consigue llevar el estado a cero en como máximo n intervalos de muestreo, donde n es
el orden del sistema.
Para obtener este tipo de control se deben especificar los polos de bucle cerrado con-
forme a lo que se establece en el siguiente lema.
Lema 1.3 Se demuestra que si se escogen los polos de bucle cerrado de manera que
estén todos en el origen (es decir, todos los autovalores de (G − HK) igual a cero) se
consigue un control dead-beat.

Esto se lleva a la práctica con una matriz de realimentación del vector de estados
calculada mediante:
K = −an −an−1 · · · −a1 T−1
Este tipo de control no goza de una reputación excesivamente favorable porque habit-
ualmente se precisa de una señal de control de amplitud muy grande para obtener la
respuesta dead-beat. De hecho en este tipo de control, el único parámetro de diseño
que se ha de elegir es el tiempo de muestreo. Si éste es muy pequeño, los n intervalos
de muestreo supondrán un tiempo total muy corto, de manera que para llevar el estado
a cero partiendo de un estado inicial arbitrario se precisará un valor muy alto de la
señal.
Ejemplo 1.5
Sea un sistema
x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)
con
G =
0 1
−0,16 −1
0
1
Se desea determinar una matriz K, tal que los polos de bucle cerrado sean el par
complejo conjugado z = 0,5 ± j0,5.
En primer lugar hay que determinar la controlabilidad del sistema. Para ello, se
forma la matriz de controlabilidad:
H
... GH =
0 1
1 −1
cuyo rango es igual a dos (basta comprobar que su determinante es distinto de cero),
por lo que el sistema es controlable y se puede proceder a calcular K. La ecuación
caracter´ıstica de bucle cerrado deseada es:
|zI − G + HK| = (z − 0,5 − j0,5)(z − 0,5 + j0,5) = z2
− z + 0,5 = 0 (1.63)
por tanto, los coeficientes αi son en este caso α1 = −1 y α2 = 0,5. Por otra parte, la
ecuación caracter´ıstica de bucle abierto del sistema es:
|zI − G| =
z −1
0,16 z + 1
por lo que los coeficientes ai son a1 = 1 y a2 = 0,16. A partir de aqu´ı se puede aplicar
cualquiera de los métodos explicados anteriormente.

Método 1
K = α2 − a2
... α1 − a1
T−1
Obsérvese que el sistema viene dado en forma canónica controlable, por lo que T = I
y por tanto:
K = 0,34 −2
Método 2 (fórmula de Ackermann)
En este caso la fórmula de Ackermann ser´ıa:
K = 0 1 H
... GH
−1
φ(G)
donde φ(G) es
φ(G) = G2
− G + 0,5I
=
−0,16 −1
0,16 0,84
−
0 1
−0,16 −1
+
0,5 0
0 0,5
=
0,34 −2
0,32 2,34
por lo que
K = 0 1
0 1
1 −1
−1
0,34 −2
0,32 2,34
= 0,34 −2
Método 3
Este procedimiento es apropiado para sistemas de bajo orden como el que nos ocupa.
En primer lugar, se toma K = [k1 k2] y se formula la ecuación caracter´ıstica de bucle
cerrado en función de K:
|zI − G + HK| =
z 0
0 z
−
0 1
−0,16 −1
+
0
1
k1 k2
=
z −1
0,16 + k1 z + 1 + k2
= z2
+ (1 + k2)z + k1 + 0,16 = 0
la comparamos con la ecuación caracter´ıstica deseada (1.63) e identificamos coeficientes:
1 + k2 = −1
k1 + 0,16 = 0,5

de donde se obtiene que k1 = 0,34 y k2 = −2, por lo que se tiene ya el valor de K, que
evidentemente coincide con el obtenido mediante los dos métodos anteriores.
Ejemplo 1.6
Calcular para el mismo sistema del ejemplo anterior la matriz K que conlleva un
control dead-beat, y comprobarlo calculando la evolución del sistema a partir de un
estado inicial arbitrario.
En este caso:
K = −a2 −a1 T−1
= −0,16 −1
Vamos a verificar que el control es dead-beat. Para ello, obtenemos la ecuación de
estado del sistema en bucle cerrado:
x1(k + 1)
x2(k + 1)
=
0 1
−0,16 − 1
x1(k)
x2(k)
+
0
1
0,16 1
x1(k)
x2(k)
=
0 1
0 0
x1(k)
x2(k)
Supongamos ahora que el estado inicial es
x1(0)
x2(0)
=
a
b
entonces se tiene que:
x1(1)
x2(1)
=
0 1
0 0
a
b
=
b
0
e iterando una vez más:
x1(2)
x2(2)
=
0 1
0 0
b
0
=
0
0
luego este control lleva al estado a cero en 2 pasos y es efectivamente un control dead-
beat.
1.9. Observadores del estado
En el control por colocación de polos se asume que el estado se puede medir direc-
tamente. En ocasiones, sin embargo, puede que esta suposición no se cumpla y todas

28 OBSERVADORES DEL ESTADO
o algunas de las variables de estado no puedan ser medidas. Es decir, puede que haya
variables de estado no accesibles. En cualquier caso, para poder controlar el sistema se
deberán estimar los valores de esas variables de estado no accesibles. Este proceso de
estimación es lo que se conoce como observación.
Un observador del estado es un subsistema del sistema de control, que realiza la
estimación de las variables de estado basándose en los valores medidos (observados) de
las salidas y la señal de control. Se distinguen tres tipos de observadores, en función
de las variables de estado que se estimen:
1. Observador del estado completo. Es aquél que estima todas las variables de esta-
do.
2. Observador de orden m´ınimo. En este caso sólo se estiman aquellas variables de
estado que no son accesibles.
3. Observador de orden reducido. Este tipo de observador estima todas las variables
no accesibles y algunas de las accesibles.
En esta asignatura nos centraremos en los dos primeros tipos de observadores. Como
en el caso de la colocación de polos, formularemos en primer lugar las condiciones para
que se pueda llevar a cabo la observación.
Lema 1.4 Condición necesaria y suficiente para la observación del estado. Dado un
sistema LTI, se puede determinar x(k + 1) a partir de y(k), y(k − 1),· · ·,y(k − n + 1) y
u(k),u(k − 1),· · ·,u(k − n + 1), donde n es el orden del sistema, s´ı y sólo s´ı, el sistema
es completamente observable.
Por tanto x(k + 1) se puede determinar, si el sistema es observable, en n pasos. Sin
embargo, no debe olvidarse que sobre el sistema actúan ruidos y perturbaciones. Por
esta razón no es posible utilizar un procedimiento algebraico para determinar el estado,
sino que se ha de acudir a un procedimiento iterativo para estimarlo.
1.9.1. Procedimiento iterativo para la estimación del estado
Sea un sistema LTI
x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)
y(k) = Cx(k)
(1.64)

Si se dispone de una aproximación del estado en k, que denotaremos ˆx(k), ésta evolu-
cionará según la dinámica del sistema
ˆx(k + 1) = Gˆx(k) + Hu(k)
ˆy(k) = Cˆx(k)
(1.65)
Si las condiciones iniciales son las mismas, es decir, si x(0) = ˆx(0) entonces se verifica
que x(k) = ˆx(k). Sin embargo, si las condiciones iniciales son diferentes entonces, de
manera general, x(k) = ˆx(k). Podemos pues, definir el error de estimación en k como:
e(k) = x(k) − ˆx(k)
Restando la ecuación de estado aproximada (1.65) de la real (1.64):
x(k + 1) − ˆx(k + 1) = G (x(k) − ˆx(k))
que teniendo en cuenta la definición del error de aproximación es equivalente a:
e(k + 1) = Ge(k)
que se puede considerar como un sistema dinámico autónomo. Si G es una matriz
estable (es decir, si sus autovalores están dentro del c´ırculo unidad) el ((estado)) de este
sistema tiende a cero, es decir:
e(k) → 0 ⇒ ˆx(k) → x(k)
Por tanto, si el sistema es estable, la propia dinámica del sistema hace que la aproxi-
mación del estado tienda al valor real del mismo. Esto quiere decir que podr´ıamos usar
la propia ecuación del sistema para obtener en cualquier instante k una aproximación
del estado, cuyo error ir´ıa decayendo a lo largo del tiempo. Esta convergencia al valor
real, sin embargo, puede ser muy lenta, y por otra parte no siempre se tratará con
sistemas estables. Por tanto, esta estrategia no es muy aconsejable.
Nótese que en el esquema que se ha presentado, no se hace uso de la salida del sis-
tema, que siempre será accesible. Esto puede ser aprovechado para mejorar el rendimien-
to del observador introduciéndose un término corrector, de manera que la ecuación para
obtener la aproximación del estado para el instante k + 1 ser´ıa:
ˆx(k + 1) = Gˆx(k) + Hu(k) + Ke (y(k) − Cˆx(k))
donde Ke es una matriz de ponderación o ganancia. Este término se puede elegir de
manera que se mejore el rendimiento, incluso si existen discrepancias entre las matrices
del sistema y las del proceso real al que dicho sistema representa.

1.9.2. Observador del estado completo
Sea un sistema LTI observable (1.64) con una ley de control por realimentación
negativa del vector de estados,
u(k) = −Kx(k)
siendo el estado del sistema x(k) no accesible pero s´ı observable. Por tanto, podemos
sustituir el valor del estado por una aproximación de manera que
u(k) = −Kˆx(k)
y de ah´ı, aplicando las consideraciones de la sección 1.9.1 se obtiene
ˆx(k + 1) = Gˆx(k) + Hu(k) + Ke (y(k) − ˆy(k))
= (G − KeC)ˆx(k) + Hu(k) + Key(k)
= (G − KeC − HK)ˆx(k) + Key(k)
(1.66)
Ésta es la llamada ecuación del observador predictivo. La palabra predictivo se utiliza
para indicar que la estimación del valor futuro del estado en k +1, se realiza utilizando
información disponible en el instante k. A los autovalores de la matriz (G − KeC)
se les suele denominar polos del observador, y como se hizo en la sección 1.9.1, se
verá a continuación que marcan la dinámica de la evolución del error de observación.
En efecto, si se resta la ecuación del observador de la del sistema real (1.64) se llega a
que
e(k + 1) = (G − KeC)e(k)
de lo que puede observarse que los polos del observador determinan la dinámica del
error. Si G − KeC es estable, el error convergerá a cero independientemente de la
estimación del estado inicial ˆx(0).
La ecuación del observador y del propio sistema en espacio de estados controlado
por la realimentación lineal del vector de estados, pueden representarse mediante un
diagrama de bloques que se ilustra en las figuras 1.3 y 1.4.
Finalmente, es evidente que interesa que la estimación del estado converja rápida-
mente al valor real de dicho estado. Una manera evidente de lograr esto es colocar todos
los polos del observador en cero, de manera que se consiga que el error de aproximación
muestre una respuesta dead-beat. Esto se consigue eligiendo de manera apropiada Ke.

x(k+1)
+
H
u(k)
z-1¢ C
G
+
+
x(k)
OBSERVADOR
y(k)
y(k)
-K
u(k)
(k)x£
u(k)
Figura 1.3: Diagrama de bloques de un sistema LTI controlado mediante una realimentaci´on del vector
de estados que estima el estado con un observador.
x(k+1) +
Hu(k)
z-1¤ C
G
+
+
Ke
(k)x¥
(k)y¦
y(k)-+
+
(k)x§
Figura 1.4: Diagrama de bloques de un observador de orden completo.

1.9.2.1. Cálculo de Ke
El procedimiento para elegir Ke de manera que se coloquen los polos del observador
en unos valores especificados es análogo al de la colocación de polos vista en la sección
1.8. Si la ecuación caracter´ıstica deseada del observador es:
zn
+ α1zn−1
+ · · · + αn−1z + αn = 0
y la del sistema es
zn
+ +a1zn−1
+ · · · + an−1z + an = 0
entonces
Ke = (WN∗
)−1





αn − an
αn−1 − an−1
...
α1 − a1





(1.67)
donde
W =







an−1 an−2 · · · a1 1
an−2 an−3 · · · 1 0
...
...
...
...
a1 1 · · · 0 0
1 0 · · · 0 0







N = C∗ ... G∗
C∗ ... · · ·
... (G∗
)n−1
C∗
es decir, la misma matriz W empleada en la colocación de polos y la matriz de ob-
servabilidad3
. Nótese que si el sistema viene indicado en forma canónica observable
(WN∗
)−1
= I. También puede emplearse la fórmula de Ackermann, que para este caso
es:
Ke = φ(G)





C
CG
...
CGn−1





−1 




0
0
...
1





donde
φ(G) = Gn
+ α1Gn−1
+ · · · + αn−1G + αnI = 0
Ejemplo 1.7
Considérese un sistema como (1.64) con
G =
1 1
0 1
H =
0,5
1
C = 1 0
3
A fin de obtener un texto más legible se evita en lo posible hacer referencias a material anterior,
aún a pesar de que esto pueda alargar la exposición del tema al repetirse ecuaciones y expresiones.

diseñaremos un observador del estado. En primer lugar, se ha de comprobar que el
sistema es observable. Para ello se comprueba que
rango C∗ ... G∗
C∗ = rango
1 1
0 1
= 2
luego el sistema es completamente observable. El siguiente paso es hallar la ecuación
caracter´ıstica del sistema en bucle abierto:
|zI − G| =
z 0
0 z
−
1 1
0 1
= z2
− 2z + 1 = 0
luego a1 = −2 y a2 = 1. Deseamos que el observador tenga una respuesta dead-beat,
luego la ecuación caracter´ıstica deseada del observador será:
z2
= 0 ⇒ α1 = α2 = 0
A continuación se calculará Ke:
Ke = (WN∗
)−1 −1
2
con
N =
1 1
0 1
W =
a1 1
1 0
=
−2 1
1 0
resultando
Ke =
2
1
Cálculo de Ke mediante la fórmula de Ackermann
En este caso la fórmula de Ackermann es:
Ke = φ(G)
C
CG
−1
0
1
con
φ(G) = G2
+ α1G + α2I = G2
resultando
Ke =
1 1
0 1
2
1 0
1 1
−1
0
1
=
2
1
que evidentemente es el mismo resultado que el obtenido con el procedimiento anterior.

Estudio de la evolución del error de estimación
Vamos a comprobar que el error cae a cero según una respuesta dead-beat. Sea
x(0) =
a1
b1
ˆx(0) =
a2
b2
entonces
e(0) = x(0) − ˆx(0) =
a1 − a2
b1 − b2
=
a
b
además se tiene que
G − KeC =
−1 1
−1 1
el error evoluciona, por tanto, según
e1(k + 1)
e2(k + 1)
=
−1 1
−1 1
e1(k)
e2(k)
por lo que se calcula la evolución de este error:
e1(1)
e2(1)
=
−1 1
−1 1
a
b
=
−a + b
−a + b
e1(2)
e2(2)
=
−1 1
−1 1
−a + b
−a + b
=
0
0
luego, tal y como se pretend´ıa, la estimación del vector de estados coincide con el
valor real de dicho vector dos tiempos de muestreo después de iniciarse la estimación.
Finalmente, la ecuación del observador es:
ˆx1(k + 1)
ˆx1(k + 1)
=
−1 1
−1 1
ˆx1(k)
ˆx1(k)
+
0,5
1
u(k) +
2
1
y(k)
1.9.2.2. Comentarios acerca del papel de Ke
Se ha visto que Ke se utiliza para corregir la estimación, disminuyendo el efecto de
las incertidumbres que se tengan sobre la dinámica real de la planta. Si estas incer-
tidumbres son importantes (es decir, si se tiene poca confianza en que el modelo de la

planta coincida con la dinámica real de la misma) este término corrector deber´ıa tomar
un valor alto. Sin embargo, si la señal de salida está contaminada por perturbaciones y
ruido en general procedente, por ejemplo, de los sensores de medida, entonces la señal
de salida no es fiable en el sentido de que no proviene únicamente de la dinámica real de
la planta. Por tanto, en estas situaciones el término corrector deber´ıa ser más pequeño.
Al seleccionar Ke se debe pensar no sólo en reducir el error en base a una corrección
enérgica, sino que hay que tener en cuenta que cuando hay ruidos o perturbaciones,
una ganancia Ke alta no contribuir´ıa a reducir el error, porque las correcciones no ir´ıan
en la ((dirección)) correcta. Es decir, hay que llegar a un compromiso entre la velocidad
de respuesta y la sensibilidad a ruidos y perturbaciones.
1.9.2.3. Efectos de la adición del observador
Hemos supuesto que al no disponerse de x(k) para calcular la señal de control, se
usa el observador para producir una estimación ˆx(k), de manera que
u(k) = −Kˆx(k) (1.68)
Cabe preguntarse si al usar el observador, se colocan los polos del sistema en el sitio
que se pretende al calcularse la ganancia de realimentación del vector de estado K.
¿Que efectos tiene el observador sobre los polos de bucle cerrado? Para estudiar esto,
se analizará el efecto que tiene la adición del observador sobre la ecuación caracter´ıstica
del sistema en bucle cerrado.
Sea el sistema (1.64) controlado mediante (1.68). La ecuación de estado puede
reescribirse como:
x(k + 1) = Gx(k) − HKˆx(k)
= (G − HK)x(k) + HK(x(k) − ˆx(k))
= (G − HK)x(k) + HKe(k)
donde e(k) es el error de observación en el instante k. Recordemos que el error de
observación viene dado por:
e(k + 1) = (G − KeC)e(k)
La ecuación de estado y la del error, se pueden combinar en la ecuación de un sistema
autónomo aumentado que describe la dinámica del sistema observado (es decir, de todo
el conjunto sistema-controlador-observador):
x(k + 1)
e(k + 1)
=
G − HK HK
0 G − KeC
x(k)
e(k)

La ecuación caracter´ıstica de este sistema es
zI − G + HK −HK
0 zI − G + KeC
= 0
es decir,
|zI − G + HK||zI − G + KeC| = 0
Dado que las ra´ıces de esta ecuación son las ra´ıces de cada uno de los dos determinantes
que aparecen, esto implica que los polos del sistema completo son los polos del sistema
en bucle cerrado, tal y como se han colocado mediante el diseño de K junto con los
polos del observador. Por tanto, la colocación de polos y la observación son dos cosas
independientes, porque la adición del observador no modifica los polos de bucle cerrado
del sistema tal y como se eligieron al diseñar K. Por tanto:
Los polos del sistema se eligen para que se cumplan las especificaciones del sistema
de control.
Los polos del observador se escogen de manera que la respuesta del observador
sea más rápida que la del sistema (para que esta última resulte dominante),
t´ıpicamente 4 o 5 veces más rápida.
1.9.3. Observador de orden m´ınimo
Supóngase que x(k) es un n-vector y que y(k) es un m-vector. Como las m salidas
son combinaciones lineales del estado, hay m variables que no necesitan ser estimadas.
El observador de orden m´ınimo será el que estime las n − m restantes.
Para diseñar el observador de orden m´ınimo estableceremos una partición del vector
de estados:
x(k) =


xa(k)
· · ·
xb(k)


donde el m-vector xa(k) son las variables medibles (accesibles) y el n − m-vector xb(k)
son las variables no medibles (no accesibles). Esta partición del vector de estados

determina una partición en la ecuación de estados:


xa(k + 1)
· · ·
xb(k + 1)

 =




Gaa
... Gab
· · ·
... · · ·
Gba
... Gbb






xa(k)
· · ·
xb(k)

 +


Ha
· · ·
Hb

 u(k)
y(k) = I
... 0


xa(k)
· · ·
xb(k)


donde Gaa ∈ Rm×m
, Gab ∈ Rm×(n−m)
, Gba ∈ R(n−m)×m
, Gbb ∈ R(n−m)×(n−m)
, Ha ∈
Rm×1
, Hb ∈ R(n−m)×1
. La ecuación de la parte del estado que es accesible (medible)
ser´ıa:
xa(k + 1) = Gaaxa(k) + Gabxb(k) + Hau(k)
Nótese que en esta ecuación hay términos que no son medibles, por lo tanto la podemos
reescribir agrupando los términos medibles a la izquierda y los no medibles a la derecha:
xa(k + 1) − Gaaxa(k) − Hau(k) = Gabxb(k) (1.69)
Por otro lado, la parte del vector de estados que no se puede medir se puede escribir
como:
xb(k + 1) = Gbaxa(k) + Gbbxb(k) + Hbu(k)
Obsérvese que en esta ecuación, los términos que dependen de xa(k) y u(k) son cono-
cidos mientras que el término que depende de xb(k) es desconocido. Esta ecuación la
podemos reescribir como
xb(k + 1) = Gbbxb(k) + [Gbaxa(k) + Hbu(k)] (1.70)
El diseño del observador de orden m´ınimo se realiza tomando como referencia el del
observador de orden completo, cuya ecuación de estados es
x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)
En el caso del observador de orden m´ınimo, la ecuación (1.70), es decir, la ecuación
que describe la evolución de la parte del estado no medible, es la que hace el papel
de ecuación de estado. Por otra parte, se conoce que la ecuación de salida para el
observador de orden completo es:
y(k) = Cx(k)
donde y(k) es medible y Cx(k) es no medible (por serlo x(k)). Obsérvese que se puede
establecer un paralelismo entre los términos de esta ecuación y los de la ecuación (1.69).
En el caso del observador de orden m´ınimo, por tanto, se considera como ecuación de
salida la ecuación (1.69).

Recordemos que la ecuación del observador de orden completo es
ˆx(k + 1) = (G − KeC)ˆx(k) + Hu(k) + Key(k)
Comparando las ecuaciones de estado y salida del observador de orden completo y las
del observador de orden m´ınimo, se establecen las siguientes analog´ıas:
Observador de orden completo Observador de orden m´ınimo
ˆx(k) ˆxb(k)
G Gbb
Hu(k) Gbaxa(k) + Hbu(k)
y(k) xa(k + 1) − Gaaxa(k) − Hau(k)
C Gab
Ke ∈ Rn×m
Ke ∈ R(n−m)×m
Teniendo en cuenta esto, se obtiene
ˆxb(k+1) = (Gbb−KeGab)ˆxb(k)+Gbaxa(k)+Hbu(k)+Ke [xa(k + 1) − Gaaxa(k) − Hau(k)]
(1.71)
Además, de la ecuación del sistema sabemos que
y(k) = xa(k)
luego, aplicando esto en la ecuación (1.71) se obtiene
ˆxb(k + 1) = (Gbb − KeGab)ˆxb(k) + Key(k + 1) + (Gba − KeGaa)y(k) + (Hb − KeHa)u(k)
que ser´ıa la ecuación del observador de orden m´ınimo. Los polos del observador de
orden m´ınimo ser´ıan los autovalores de (Gbb − KeGab). Obsérvese, sin embargo, que en
esta ecuación aparece un término que multiplica a y(k + 1). Como es lógico el valor
de la salida en k + 1 no está disponible en el instante k, por lo que esta ecuación ha
de ser modificada. Se puede demostrar (no se hará aqu´ı), que esta ecuación se puede
reescribir como:
ˆxb(k) = ˆη(k) + Kexa(k)
ˆη(k + 1) = (Gbb − KeGab)ˆη(k) + [(Gbb − KeGab)Ke + Gba − KeGaa] y(k)
+(Hb − KeHa)u(k)
(1.72)
La ecuación caracter´ıstica del observador de orden m´ınimo es:
|zI − Gbb + KeGab| = 0
y como en el caso del observador de orden completo, Ke se puede elegir para colocar
los polos del observador donde se desee mediante los métodos indicados en la sección

1.9.2.1. Por ejemplo, si la salida y(k) es un escalar, es decir m = 1, se tienen que estimar
n − 1 variables. La fórmula de Ackermann, por ejemplo, quedar´ıa:
Ke = φ(Gbb)





Gab
GabGbb
...
GabGn−2
bb





−1 




0
0
...
1





donde
φ(Gbb) = Gn−1
bb + α1Gn−2
bb + · · · + αn−1I
De manera análoga a la del observador de orden completo, se comprueba que la ecuación
caracter´ıstica del conjunto formado por el observador de orden m´ınimo y el sistema
controlado por una realimentación lineal del vector de estados es:
|zI − G + HK||zI − Gbb + KeGab| = 0
por lo que, nuevamente se ve que los problemas de diseño del controlador y del obser-
vador son independientes.
Ejemplo 1.8
Sea un sistema LTI cuyas matrices son
G =
1 0,2
0 1
H =
0,02
0,2
C = 1 0
se pide
1. Diseñar un controlador que coloque los polos de bucle cerrado en z = 0,6 ± j0,4.
2. Asumiendo que y(k) = x1(k) es el único estado accesible, diseñar un observador
de orden m´ınimo con respuesta dead-beat.
En primer lugar, se ha de comprobar la controlabilidad y observabilidad del sistema:
rango H
... GH = rango
0,02 0,06
0,2 0,2
= 2
rango C∗ ... G∗
C∗ = rango
1 1
0 0,2
= 2
Luego el sistema cumple ambas condiciones. La ecuación caracter´ıstica del controlador
es:
|zI − G| =
z − 1 −0,2
0 z − 1
= z2
− 2z + 1

luego a1 = −2 y a2 = 1. La ecuación caracter´ıstica de bucle cerrado deseada es:
(z − 0,6 − j0,4)(z − 0,6 + j0,4) = z2
− 1,2z + 0,52
luego α1 = −1,2 y α2 = 0,52. Por tanto,
K = α2 − a2 α1 − a1 T−1
= −0,48 0,8 T−1
donde la matriz T se calcula como
T = H
... GH
a1 1
1 0
=
0,02 0,02
−0,2 0,2
y
T−1
=
25 −2,5
25 2,5
lo que lleva a
K = 8 3,2
la ley de control se formulará por tanto, como
u(k) = −Kˆx(k)
= − 8 3,2
x1(k)
ˆx2(k)
= − 8 3,2
y(k)
ˆx2(k)
En cuanto al observador de orden m´ınimo, éste estimará una sola variable, por lo
que es de orden 1. La partición de la ecuación de estado en este caso será:




Gaa
... Gab
· · ·
... · · ·
Gba
... Gbb



 =




1
... 0,2
· · ·
... · · ·
0
... 1






Ha
· · ·
Hb

 =


0,02
· · ·
0,2


La ecuación caracter´ıstica deseada del observador es
Φ(z) = z = 0
luego
Ke = φ(Gbb)[Gab]−1
[1] = (1)(0,2)−1
(1) = 5
Las ecuaciones del observador ser´ıan
ˆη(k + 1) = (Gbb − KeGab)ˆη(k) + [(Gbb − KeGab)Ke + Gba − KeGaa] y(k)
+(Hb − KeHa)u(k)
= (1 − 5 × 0,2)ˆη(k) + [(1 − 5 × 0,2) × 5 + 0 − 5 × 1] y(k) + (0,2 − 5 × 0,02)u(k)
= −5y(k) + 0,1u(k)
ˆx2(k) = Key(k) + ˆη(k)
= 5y(k) + ˆη(k)

y la ley de control será por tanto,
u(k) = −Kˆx(k)
= −8y(k) − 3,2ˆx2(k)
= −8y(k) − 3,2(5y(k) + ˆη(k))
= −24y(k) − 3,2ˆη(k)
1.10. Control óptimo LQR
Las técnicas de control óptimo conforman una de las ramas del control automático
más importantes en el desarrollo de las estrategias modernas de control más utilizadas
hoy en d´ıa. Se han escrito numerosas monograf´ıas dedicadas a su estudio, y se ha
publicado una ingente cantidad de art´ıculos en revistas especializadas. No obstante,
en estos apuntes sólo se dará una pincelada sobre este particular, centrándonos en el
caso particular del control LQR con horizonte infinito, también conocido como LQR
de régimen permanente.
Las estrategias de control óptimo calculan la ley de control de manera que se opti-
miza una cierta medida del rendimiento del controlador. Se parte de un sistema descrito
por
x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)
El objetivo es calcular una ley de control
u(k) = −Kx(k)
de tal manera que se minimiza el funcional (que expresa un ´ındice de funcionamiento)
J =
1
2
∞
k=0
(x∗
(k)Qx(k) + u∗
(k)Ru(k)) (1.73)
siendo Q y R matrices de ponderación que cumplen que Q∗
= Q > 0, R∗
= R > 0.
Nótese que este ´ındice de funcionamiento pondera la diferencia entre el estado y el ori-
gen el instante inicial, hasta un tiempo infinito. Por tanto, cuanto más rápido se llegue
al origen menor valor de J se tendrá. Esto implica que al minimizarse J, se encon-
trará la ley de control que lleva el estado al origen más rápidamente y manteniéndolo

42 CONTROL ÓPTIMO LQR
siempre lo más cerca posible del origen4
. Por otra parte, se observa que en el funcional
hay otro término que pondera el valor de la secuencia de señales de actuación. Este
término impide que se obtenga una ley de control que lleve el estado al origen a expen-
sas de una actuación muy grande. Al minimizarse J, por tanto, se conseguirá una ley de
control que por una parte acerque el estado al origen lo mas rápido posible, pero man-
teniendo un nivel de actuaciones moderado, encontrándose por tanto, una solución de
compromiso entre el rendimiento del controlador y su nivel de actuación. El sentido de
este compromiso puede venir dictado por diferentes razones, como por ejemplo moderar
el gasto de energ´ıa o combustible necesario para proporcionar la señal de actuación.
Existen razones más sutiles pero no por ello menos importantes para incorporar esta
ponderación del esfuerzo de control. Por ejemplo, cuando existen discrepancias entre
el modelo del sistema y su dinámica real (algo que ocurre casi siempre, pues los mode-
los matemáticos no pueden recoger todas las complejidades de los sistemas o procesos
reales) esta ponderación del esfuerzo de control resulta en un sistema más estable.
Para calcular la ley de control que minimiza el ´ındice (1.73) se define una matriz P
que satisface la siguiente ecuación de Riccatti:
P = Q + G∗
PG − G∗
PH(R + H∗
PH)−1
H∗
PG (1.74)
La solución de esta ecuación es una matriz P que es herm´ıtica y definida positiva. Se
demuestra que la matriz
K = (R + H∗
PH)−1
H∗
PG
es la que minimiza el ´ındice (1.73) mediante la ley de control
u(k) = −(R + H∗
PH)−1
H∗
PGx(k)
La ecuación de estado del sistema en bucle cerrado será por tanto:
x(k + 1) = (G − H(R + H∗
PH)−1
H∗
PG) x(k)
= (I + HR−1
H∗
P)−1
Gx(k)
Para este desarrollo se ha empleado el lema de inversión
(A + BC)−1
= A−1
− A−1
B(I + CA−1
B)−1
CA
con A = I, B = H y C = R−1
H∗
P.
4 Ésta es una interpretación que hay que tomar con cierto cuidado, pues puede que se obtenga una
ley de control que provoque que el estado no se acerque al origen todo lo posible al principio pero que
lo lleve a dicho origen muy rápidamente en los instantes siguientes, manteniendo pues el valor de J
muy bajo.

1.10.1. Solución de la ecuación de Riccatti
Para calcular la ley de control óptima LQR en régimen permanente es necesario
resolver la ecuación de Riccatti (1.74). Esto no es algo trivial en general, pero si pode-
mos resolverla fácilmente si se dispone de un computador. Para ello formularemos un
proceso iterativo en que tomando como valor inicial de P = 0 (es decir una matriz de
ceros) se calculará el valor de la matriz P en el paso i + 1 como
Pi+1 = Q + G∗
PiG − G∗
PiH (R + H∗
PiH)−1
H∗
PiG
La condición de parada del bucle o proceso iterativo será que Pi+1 − Pi ≈ 0, esto es,
que la diferencia entre Pi+1 y Pi sea una matriz cuyos elementos estén todos cerca del
cero.
1.11. Filtro de Kalman
El filtro de Kalman es un estimador del estado (en realidad también se puede
interpretar como filtro y como predictor), que tiene en cuenta la presencia de ruidos
en la ecuación de estados y la salida. En este sentido es un estimador óptimo, pues
la estimación obtenida tiene el menor error posible teniendo en cuenta que al haber
ruidos actuando, nunca se podrá obtener una estimación perfecta. Al igual que en el
caso del control LQR no se entrará en profundidad en el estudio de este estimador, sino
que sólo se presentará la formulación de un caso particular, el filtro de Kalman para
régimen permanente.
Sea un sistema:
x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k) + ω(k)
y(k) = Cx(k) + (k)
donde ω(k) y (k) son variables aleatorios que actúan como ruidos aditivos. Se de-
muestra que se puede obtener una estimación óptima del vector de estados mediante
el siguiente esquema:
ˆx(k + 1) = Gˆx(k) + Hu(k) + Ke(k) (y(k) − Cˆx(k))
Ke(k) = GPkC∗
(R + CPkC∗
)−1
Pk+1 = Q + (G − Ke(k)C) PkG∗
(1.75)
donde
R = E { (k) ∗
(k)}
Q = E {ω(k)ω∗
(k)}
P0 = E { (0) ∗
(0)}

44 FILTRO DE KALMAN
donde E {·} denota la esperanza matemática y R,Q se asumen constantes. Se demuestra
que conforme k → ∞:
Pk+1 → P
Ke(k) → Ke
donde P y Ke son matrices constantes y además P es semidefinida positiva. Usando
esto, las ecuaciones de estimación (1.75) se pueden reescribir como:
ˆx(k + 1) = Gˆx(k) + Hu(k) + Ke (y(k) − Cˆx(k))
Ke = GPC∗
(R + CPC∗
)−1
P = Q + GPG∗
− GPC∗
(R + CPC∗
)−1
CPG∗
(1.76)
que son las ecuaciones del filtro de Kalman de régimen permanente. Nótese que para
resolver la ecuación de Riccatti se puede usar el mismo método usado en el LQR.

Cap´ıtulo 2
Modelos de procesos y
perturbaciones
2.1. Introducción
En este cap´ıtulo se expondrán diversos tipos de formas de modelar perturbaciones
y procesos cuya evolución se ve afectada por perturbaciones. Es importante tener en
cuenta que los modelos de procesos con perturbaciones tienen su origen en el modelado
de perturbaciones y no al revés.
En la teor´ıa clásica del control automático siempre se ha tenido en cuenta el com-
portamiento de los sistemas frente a perturbaciones a la hora de diseñar sistemas de
control. Dichas perturbaciones se modelaban siempre de manera muy simplificada. Es
por tanto común en esta teor´ıa el considerar que las perturbaciones van a tener la
forma de
Pulsos.
Escalones.
Rampas.
Sinusoides.
Todos estos modelos tienen en común que son absolutamente predecibles en su evolu-
ción en función de las condiciones iniciales. Es decir, en cuanto la perturbación aparece
45

46 PERTURBACIONES DETERMINISTAS A TROZOS
podemos predecir su evolución futura. Es una suposición común en estos casos, consi–
derar que estas perturbaciones vienen generadas por sistemas dinámicos.
2.2. Perturbaciones deterministas a trozos
Como fuente de perturbaciones con una mayor variabilidad que los modelos clásicos
antes comentados, se pueden considerar las perturbaciones deterministas a trozos. Sur-
gen de la necesidad de estudiar el efecto de perturbaciones más realistas en sistemas
de control que se basan en algún tipo de esquema predictivo para calcular la señal
de control. En este tipo de sistemas, el considerar una perturbación absolutamente
predecible (como en el caso de los modelos clásicos) no tiene utilidad alguna, pues se
pueden considerar directamente en el cálculo de la ley de control.
Los modelos de perturbaciones deterministas a trozos parten de la suposición de
que son generados por un sistema lineal, en el que la entrada es cero excepto en ciertos
instantes de tiempo separados por más de n tiempos de muestreo, donde n es el orden
del sistema:
y(k) =
C(z−1
)
A(z−1)
w(k)
suponiéndose que el grado de C(z−1
) es igual al grado de A(z−1
). Si la entrada es
cero excepto en ciertos instantes de tiempo que están separados, quiere decir que la
señal w(k) es un tren de pulsos. La amplitud y momento de aparición de esos pulsos
son desconocidos. Esto es lo que le da variabilidad a la fuente de perturbaciones. Sin
embargo, una vez que aparecen y se conoce la amplitud del pulso, la evolución de la
salida y(k) es perfectamente predecible pues la dinámica del sistema es conocida. De
ah´ı el nombre de determinista a trozos.
2.3. Procesos estocásticos
Es natural utilizar el concepto de aleatorio o estocástico1
para describir una amplia
clase de perturbaciones, suficientemente realistas para formular problemas de predic-
ción con postulados cercanos a la realidad.
1
Estocástico: relativo a una variable aleatoria; algo que sigue una determinada distribución de
probabilidad, usualmente con varianza finita.

CAPÍTULO 2. MODELOS DE PROCESOS Y PERTURBACIONES 47
El concepto de proceso estocástico es complejo y alcanza su madurez en los trabajos
de Kolmogorov (1930). Aqu´ı presentaremos sólo algunas ideas básicas. Un proceso
estocástico puede ser considerado como una función de dos variables
X(t, w)
donde t es la variable tiempo con su significado habitual y w es una variable aleatoria.
Si consideramos un valor fijo de w, esto es w = w0 y dejamos la variable t libre, lo que
denotaremos como
X(:, w0)
estaremos hablando de una ((realización)) del proceso. Esta realización es una función
temporal común sin ningún tipo de carácter aleatorio una vez que se conoce que w =
w0. Si por otra parte se considera un instante de tiempo fijo, es decir t = t0, que
denotaremos como
X(t0, :) X(t0)
tendremos una variable aleatoria. Se puede considerar por tanto, que la evolución del
proceso está dictada por un generador de señales aleatorias. En la figura 2.1 se ilustran
estos conceptos. Puede observarse que el valor de la función en cada instante es un
valor aleatorio que en la figura se considera variable en un determinado rango. Por
otra parte, cuando se habla de una realización no es más que una función común que
depende de t.
t0
t1
t2
t3
t4
w=w0
......
Figura 2.1: Procesos estocásticos: realizaciones y variables aleatorias.
Definición 2.1 Se denomina proceso estocástico determinista, a aquél cuya evolución
puede ser predicha exactamente con un predictor lineal 2
en base a medidas pasadas.
En estos procesos, el carácter estocástico sólo se manifiesta en la aleatoriedad de las
condiciones iniciales. Para aplicaciones basadas en predicción no son muy interesantes.
2
Es decir, haciendo evolucionar hacia delante un modelo lineal.

48 MODELOS DE PROCESOS CON RUIDOS
Definición 2.2 Se denomina proceso estocástico estacionario, a aquél cuya distribu-
ción estad´ıstica para X(t1), X(t2),...,X(tn) es la misma que para X(t1 + τ), X(t2 +
τ),...,X(tn + τ). Es decir, su distribución no var´ıa con el tiempo.
Definición 2.3 Se denomina ruido blanco discreto, a un proceso aleatorio que se puede
considerar como una secuencia cuyos elementos son variables aleatorias independientes
entre s´ı cuya distribución es idéntica. Se suele suponer que
E {x(k)} = 0
es decir, que el valor esperado es cero y además
E {x(i)x(j)} =
0 si i = j (por ser variables independientes)
σ2
si i = j
Al ruido blanco se le suele considerar prototipo de una señal impredecible.
2.4. Modelos de procesos con ruidos
En esta sección veremos cómo se pueden generar diversos tipos de procesos es-
tocásticos, cuando a un sistema lineal se le inyecta un ruido blanco v(k) además de
una entrada externa u(k) a través de sendas funciones de transferencia.
El caso más general es el llamado modelo de Box-Jenkins, el cual se ilustra en la
figura 2.2. Esta estructura es demasiado general, y normalmente se utilizan diversas
¨©
¨©

−
−

−
−

!

v(k)
u(k)
y(k)
Figura 2.2: Modelo de Box-Jenkins.
simplificaciones de las cuales veremos a continuación las más comunes:

CAPÍTULO 2. MODELOS DE PROCESOS Y PERTURBACIONES 49
Modelo de Media Móvil (MA : Moving Average). Es el caso más sencillo y viene
descrito por
y(k) = v(k) + c1v(k − 1) + c2v(k − 2) + · · · + cnv(k − n)
Con este modelo se pueden describir muchos tipos de perturbaciones aleato-
rias. Sin embargo, no incluye a los valores pasados de la salida por lo que no
servirá para modelar procesos que tengan dinámica.
Modelo Autoregresivo (AR). Viene descrito por
y(k) + d1y(k − 1) + d2y(k − 2) + · · · + dny(k − n) = v(k)
En este caso, la parte aleatoria correspondiente a la perturbación tiene una es-
tructura muy simple porque no depende de los valores pasados.
Modelo Autoregresivo de Media Móvil (ARMA). Es la combinación de los dos
anteriores, por lo que tomará la forma
y(k) + d1y(k − 1) + · · · + dny(k − n) = v(k) + c1v(k − 1)
+c2v(k − 2) + · · · + cnv(k − n)
Este modelo permite describir procesos más ricos que los anteriores. Sin embargo,
desde el punto de vista del control es interesante poder considerar el efecto de una
entrada externa, por lo que se considera el siguiente tipo de modelos de procesos
con ruidos.
Modelo Autoregresivo de Media Móvil con una entrada exógena (ARMAX). Tam-
bién llamado modelo CARMA (Controlled ARMA). Viene descrito por
y(k) + a1y(k − 1) + · · · + any(k − n) = b1u(k − 1) + · · · + bnu(k − n)
+v(k) + c1v(k − 1) + · · · + cnv(k − n)
Modelo Autoregresivo con entrada exógena para m´ınimos cuadrados (ARX-LS).
Este modelo surge como versión simplificada del anterior, para el caso en el que
no se necesita que la fuente de perturbaciones tenga una estructura tan compleja.
Viene descrito por
y(k) + a1y(k − 1) + · · · + any(k − n) = b1u(k − 1) + · · · + bnu(k − n) + v(k)
Como su nombre indica se utiliza en la identificación por el método de los m´ınimos
cuadrados (véase el tema 4).

50 MODELOS DE PROCESOS CON RUIDOS
Modelo Autoregresivo de Media Móvil integrada y con una entrada exógena
(ARIMAX o CARIMA). Este modelo incorpora un integrador en la fuente de
perturbaciones, por lo que viene descrito por
y(k) + a1y(k − 1) + · · · + any(k − n) = b1u(k − 1) + · · · + bnu(k − n)
+
v(k) + c1v(k − 1) + · · · + cnv(k − n)
∆
donde ∆ = 1−z−1
. Este tipo de modelos es útil en esquemas de control predictivo
para formular leyes de control que incorporen un efecto integral, de manera que
sean capaces de rechazar perturbaciones en escalón.
Los modelos anteriores pueden escribirse en forma condensada utilizando polinomios
en z−1
tal y como se muestra en la siguiente tabla resumen:
Modelo Expresión
MA y(k) = C(z−1
)v(k)
AR D(z−1
)y(k) = v(k)
ARMA D(z−1
)y(k) = C(z−1
)v(k)
ARMAX A(z−1
)y(k) = B(z−1
)u(k − 1) + C(z−1
)v(k)
ARX-LS A(z−1
)y(k) = B(z−1
)u(k − 1) + v(k)
ARIMAX A(z−1
)y(k) = B(z−1
)u(k − 1) + C(z−1)v(k)
∆
Cuando en los modelos anteriores el polinomio que convoluciona con la señal v(k) es
distinto de la unidad se habla de ruido coloreado, y en caso contrario, de ruido blanco.

Cap´ıtulo 3
Introducción a la identificación de
sistemas
3.1. Introducción
Un modelo de un proceso es una forma de resumir el conocimiento que se tiene
sobre su dinámica, y por tanto es una herramienta importante en el diseño y análisis
de sistemas de control. Sin embargo, al construir modelos estamos obteniendo repre-
sentaciones simplificadas de la dinámica real del proceso. Un solo modelo no suele ser
suficiente para describir un proceso. Por otra parte, según sea el uso destinado al mod-
elo este deberá ser mas o menos detallado. Por tanto, se establece una jerarqu´ıa de
modelos que describe al proceso con mayor o menor detalle.
Hay dos maneras de abordar la construcción de un modelo: obtenerlo mediante
principios y leyes f´ısicas que describan la dinámica del proceso, o bien obtenerlo me-
diante experimentación sobre el proceso que se quiere modelar. La primera opción
requiere un conocimiento muy preciso del proceso que se quiere modelar. Por ejemplo,
hay que elegir las variables que vayan a ser los estados del sistema, y esto puede ser un
problema. Es, en general un proceso complicado y muy arduo, excepto en casos muy
simples. Normalmente, se debe combinar con la otra estrategia que es la denominada
identificación de sistemas. Esta estrategia será el objeto de este tema.
51

52 IDEAS B ÁSICAS SOBRE IDENTIFICACI ÓN DE SISTEMAS
3.2. Ideas básicas sobre identificación de sistemas
La identificación de sistemas es la aproximación experimental al modelado de sis-
temas. Consiste en obtener un modelo a partir de observaciones obtenidas directamente
del propio sistema que se pretende modelar. La identificación de un sistema conlleva
una serie de actividades y herramientas, de las que podemos destacar:
Planificación de los experimentos.
Selección del tipo de modelo.
Elección de un criterio para expresar la bondad del modelo que se va a obtener.
Estimación de los parámetros del modelo.
Validación del modelo obtenido.
A continuación, se irán desglosando las principales ideas de cada uno de estos aspectos.
3.2.1. Planificación de los experimentos
Dado que la identificación de sistemas involucra experimentar con el proceso a mod-
elar, es necesario tener en cuenta que, en general, es muy costoso experimentar con pro-
cesos industriales. Por tanto, es necesario elegir una técnica que nos sea lo más rentable
desde el punto de vista del tipo de experimentos necesarios. Algunas técnicas son muy
sencillas, en el sentido de que una vez hecho el experimento es fácil obtener el modelo.
Estas técnicas, sin embargo, requieren que en los experimentos se utilicen señales de
entradas preestablecidas de manera muy precisa: pulsos, sinusoides, etc. . . Puede que
el proceso a modelar no pueda ser sometido a este tipo de entradas por consideraciones
de seguridad o motivos económicos. Otras técnicas de identificación pueden emplear
casi cualquier tipo de señal de entrada (es decir, son menos exigentes en el tipo de
experimentos necesarios), pero una vez realizado el experimento es más complicado
obtener el modelo. Como comentario general, es necesario que en el experimento se
utilicen señales de entrada que exciten todos los modos del sistema. Más allá de eso,
un buen método de identificación debe ser insensible a las caracter´ısticas de la entrada.
Otro aspecto es que a veces no se puede identificar en bucle abierto y hay que hacerlo
en bucle cerrado. Esto no es siempre posible, pues aunque el sistema sea identificable en

CAPÍTULO 3. INTRODUCCI ÓN A LA IDENTIFICACI ÓN DE SISTEMAS 53
bucle abierto esta propiedad puede perderse en bucle cerrado. Esto ocurre, por ejemplo,
si los perfiles de la consigna o referencia que se usan son muy simples. También, si los
lazos de control son demasiado simples. En general, cuanto más complejos sean los
lazos de control y más se mueva la consigna, más fácil será la identificación en bucle
cerrado.
3.2.2. Selección del tipo de modelo
En teor´ıa, la selección del tipo de modelo deber´ıa venir dada por un conocimiento
del proceso y de las perturbaciones que deban ser tenidas en cuenta. Dependiendo de
si conocemos mucho o poco la estructura del proceso elegiremos entre uno u otro tipo
de modelo. En general, los modelos los clasificaremos como:
Modelos de Caja Blanca. Son los obtenidos a partir de leyes f´ısicas (esto no ser´ıa
realmente identificación porque no se estar´ıan haciendo experimentos).
Modelos de Caja Negra. En estos modelos se postula una estructura matematica
con una serie de parámetros libres, a los cuales se les da valor a partir de los
datos obtenidos en los experimentos.
Modelos de Caja Gris. Corresponden a un tipo intermedio entre los dos anteriores.
Parte del modelo se obtiene mediante leyes f´ısicas y otra parte, se ajusta usando
medidas experimentales. Por ejemplo, mediante leyes f´ısicas podemos determinar
la estructura del modelo (o de parte de él) y usar experimentos para terminar de
caracterizar el modelo.
También se pueden clasificar los tipos de modelos en paramétricos y no paramétri-
cos. En los primeros se tienen una serie de parámetros que hay que ajustar. Por ejemplo,
en una función de transferencia se tendr´ıan que ajustar el orden y los coeficientes de
los polinomios. En modelos de espacio de estados tendr´ıamos la misma situación pero
con las matrices del sistema. En los modelos no paramétricos, el modelo no tiene una
serie de parámetros que definen la dinámica sino que se compone de una cantidad de
información sobre la misma, por ejemplo los modelos basados en la respuesta en fre-
cuencia de un sistema. En el caso que aqu´ı nos ocupa los modelos que emplearemos
serán de caja negra y paramétricos.

54 IDEAS B ÁSICAS SOBRE IDENTIFICACI ÓN DE SISTEMAS
3.2.3. Elección de un criterio
En el proceso de estimación del modelo y su subsiguiente validación es necesario
contar con un criterio que exprese la bondad del ajuste del modelo a los datos, es
decir, que exprese la calidad del modelo obtenido. Normalmente, se utilizan criterios
que toman la forma:
J(θ) =
N
k=1
g(e(k))
donde θ es el vector de parámetros que se trata de ajustar, e(k) es el error de estimación
para la medida k, N es el número de observaciones o medidas disponibles y g(·) es una
función usualmente cuadrática.
Usualmente, el proceso de ajuste del modelo se realiza de manera que se busca el
valor del vector de parámetros θ que hace m´ınimo al ´ındice o criterio J(θ). El método
más antiguo que emplea esta estrategia es el de los m´ınimos cuadrados, debido a Gauss.
Por otra parte, cuando los procesos se describen mediante modelos estocásticos, el
problema es de estimación estad´ıstica. Un método muy popular en este caso, es el del
estimador de máxima verosimilitud.
3.2.4. Estimación de los parámetros
Para resolver el problema de estimación de los parámetros del modelo se requiere
de los elementos comentados anteriormente: datos experimentales, un tipo de modelo
y un criterio. Estimar los parámetros es resolver un problema de optimización en el
cual, el mejor modelo es el que hace m´ınimo el criterio. Es necesario tener en cuenta
que el modelo obtenido dependerá de los elementos anteriores, como por ejemplo de la
amplitud y contenido frecuencial de la señal de entrada. Hay diversas formas de llevar
a cabo el proceso de estimación. Una distinción amplia, es aquella que distingue entre
identificación en l´ınea e identificación fuera de l´ınea.
3.2.4.1. Identificación en l´ınea
En los métodos de identificación en l´ınea la estimación se efectúa usando medidas
que se van obteniendo en tiempo real, y normalmente se usan cálculos recursivos.
El esquema de este tipo de identificación ser´ıa el mostrado en la figura 3.1. En este
esquema aparece un nivel de supervisión que es necesario para evitar, por ejemplo, que

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