Este documento presenta el diseño de un controlador PID digital para controlar un sistema de transferencia dada. Se analiza la estabilidad del sistema aplicando un filtro digital y hallando las raíces y polos. Luego se diseña el controlador PID usando el método de Ziegler-Nichols y se implementa en Simulink, ajustando los parámetros para lograr un buen seguimiento de la señal de entrada. Finalmente, se demuestra que el controlador PID ajustado mejora el comportamiento del sistema.

1. CONTROL DIGITAL 203041
MOMENTO 6 EVALUACIÓN FINAL
UNIDAD 1,2 Y 3. EVALUACIÓN FINAL.
JHON EDILBERTO RODRÍGUEZ BALANTA
CÓDIGO. 86049480
FRANCISCO JAVIER BERRIO HERNÁNDEZ
BERLEY BENITEZ
JAVIER ALEXIS ARIAS
GRUPO 15
TUTOR
ING. JOAN SEBASTIAN BUSTOS
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
DICIEMBRE DE 2017

2. Tabla de contenido
Introducción.................................................................................................................................... 3
Objetivos......................................................................................................................................... 4
Problema final................................................................................................................................. 5
Link del vídeo con el desarrollo de la actividad........................................................................ 22
Conclusiones................................................................................................................................. 23
Referencias.................................................................................................................................... 24
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3. Introducción.
El diseño de un sistema de control implica el cambio de parámetros del sistema y/o la adición de
subsistemas (llamados compensadores) para alcanzar ciertas características deseadas del sistema.
Las características deseadas, o especificaciones de prestaciones, generalmente relacionan la
precisión estacionaria, la respuesta transitoria, la estabilidad relativa, la sensibilidad a cambios en
parámetros del sistema, y el rechazo de perturbaciones. La precisión estática se incrementa si los
polos en z = 1 se añaden a la función de transferencia en bucle abierto y/o si la ganancia en bucle
abierto se incrementa. Sin embargo, la adición de polos en z = 1 en la función de transferencia en
bucle abierto introduce un retardo de fase en la respuesta frecuencial en bucle abierto,
obteniéndose una reducción en los márgenes de estabilidad. Así pues, pueden surgir problemas
de estabilidad. Adicionalmente, un incremento en la ganancia en bucle abierto generalmente
genera problemas de estabilidad.
En el presente documento se presenta el diseño de un control digital PID como trabajo final del
curso de control digital, en él se parte de una función de transferencia escogida de forma
arbitraria y a ella se le analiza su estabilidad, aplicando un filtro digital, también se hallan las
raíces, los polos y se estudia su respuesta tanto en lazo abierto como el lazo cerrado o el sistema
realimentado; todo este proceso se hace con la ayuda del programa Matlab. Finalmente se
demuestra el diseño del controlador PID aplicando el método de Ziegler-Nichols y luego en el
simulink se hace el montaje mediante diagramas de bloque y gracias al uso del bloque PID y su
herramienta de sintonización se configura el controlador para que cumpla con la función de darle
la estabilidad necesaria al sistema.
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4. Objetivos.
Analizar la estabilidad de un sistema digital, teniendo en cuenta el lugar geométrico de las raíces
y la ubicación de los polos.
Identificar las características de estado transitorio y estado estable, en una función de
transferencia ante una señal de entrada específica.
Reconocer las bases fundamentales que se requieren en el análisis y desarrollo matemático para
la comprensión e implementación de los sistemas de control digital.
Diseñar controladores digitales PID para que el sistema o la planta cumplan con unas
condiciones específicas.
Manejar software especializado que permita modelar, analizar y acondicionar un sistema de
control en tiempo discreto.
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5. Problema final.
Diseñar un circuito de control digital PID que controle un sistema de libre elección (Puede
utilizar cualquier sistema de los que se ha trabajado en los diferentes momentos del curso)
aplicando cualquier técnica o filtro digital para analizar y determinar la estabilidad del sistema.
Hallando sus raíces, polos y respuesta en lazo abierto y lazo cerrado. Además, se debe evidenciar
el funcionamiento utilizando Matlab.
El sistema que se selecciona para realizar la actividad es el siguiente:
Figura 1. Sistema propuesto para la evaluación final
Una vez seleccionado el sistema se procede a analizar su estabilidad mediante la aplicación del
siguiente filtro digital en el programa Matlab.
Se crea un archivo .m en donde se implementa el siguiente código:
% respuesta a una entrada dada
num=[0.3297] % escribimos el numerador de la FT
den=[1 -0.6703] %escribimos el denominador de la FT
f1=tf(num,den,0.10) %se muestra la FT con un periodo de muestreo de 0.10
k=0:25; %se establecen los valores de K de 0 a 25 muestras
u=[0,0,0 ones(1,23)];%Se determina el vector de entrada
y=filter(num,den,u); % Crea la función de transferencia en tiempo discreto en
% convención DSP con numerador y denominador dados
% y muestra de tiempo (u)
plot(k,y,'o',k,y,'-',k,u,'--') %grafica la entrada con líneas '--'
% su respuesta con 'o' y '-'
grid, title('Respuesta del sistema una entrada específica')% se Muestra la
cuadrícula
% y se escribe el título
xlabel('k') %se escribe etiqueta sobre el eje X
ylabel('y(k)') %se escribe etiqueta sobre el eje y
5

6. Con el código anterior se realiza el análisis para una entrada escalón, al correr el programa se
obtienen los siguientes resultados.
Figura 2. Función de transferencia escrita en el command Windows de matlab.
De otra parte, se puede visualizar la siguiente gráfica.
Figura 3. Respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario.
Como se puede evidenciar el sistema es estable, pues se tiene un periodo transitorio entre 2 y 14s
y a partir de allí se estabiliza en 1.
6

7. Otra forma de obtener la respuesta al sistema es usando el comando step, al correr el programa se
obtiene la siguiente gráfica.
Figura 4. Respuesta del sistema ante una entrada escalón unitario usando el comando step.
7

8. Ahora se procede a hallar las raíces, polos y respuesta en lazo abierto y lazo cerrado del sistema
seleccionado.
Para este análisis se implementa el siguiente código en un archivo .m de Matlab.
Gz=tf([0.3297],[1 -0.6703],0.1) %se establece la FT del bloque directo
rlocus (Gz) % se obtiene el lugar geométrico de las raíces
xlabel ('eje real') % se ubica la etiqueta del eje x
ylabel ('eje imaginario') % se ubica la etiqueta del eje y
title ('lugar geométrico de las raíces') %se establece el título del gráfico
axis ([-1.5 1.5 -1.5 1.5 ]) % se hace un escalado del eje.
Mz=feedback(Gz,1) % se crea el sistema realimentado
polos= pole(Mz)% se comprueba la establidad hallando los polos
abs(polos) %se halla el valor absoluto de los polos
figure % se crea una nueva figura
pzmap(Mz)% se obtiene el plano de los ceros y los polos
xlabel ('eje real') % se ubica la etiqueta del eje x
ylabel ('eje imaginario') % se ubica la etiqueta del eje y
title ('Plano de polos y ceros del sistema') %se establece el título del
gráfico
axis ([-1.5 1.5 -1.5 1.5 ]) % se hace un escalado del eje.
% respuesta escalón
figure % se crea una nueva figura
step(Mz)% se obtiene la respuesta al escalón unitario
xlabel ('k*T') % se ubica la etiqueta del eje x
ylabel ('Amplitud') % se ubica la etiqueta del eje y
title ('Respuesta al escalón unitario') %se establece el título del gráfico
Al correr el archivo en Matlab, se obtienen los siguientes resultados:
Figura 5. Función de transferencia en lazo abierto, lazo cerrado y valor de los polos.
8

9. Como se puede apreciar en la imagen anterior en el command Windows de se muestra la función
de transferencia del sistema en lazo abierto, la función de transferencia del sistema realimentado
y el valor de los polos.
Ahora se hace el análisis del lugar geométrico de las raíces.
Figura 6. Lugar geométrico de las raíces del sistema propuesto.
De la imagen anterior se puede concluir que el sistema se hace estable para valores de ganancia
que estén entre 0 y 5. Para valores de ganancia mayores los polos se ubican por fuera del círculo
unitario lo que hace que el sistema sea inestable.
Con respecto a la ubicación de los polos se obtiene la siguiente gráfica.
Figura 7. Ubicación de ceros y polos del sistema propuesto.
9

10. Del gráfico anterior se puede establecer que el sistema es estable pues el único polo que tiene se
encuentra en el círculo unitario, de otra parte, se aprecia que la función de transferencia no tiene
ceros y que el valor del polo es el mismo que se obtuvo en la figura 4.
Finalmente se analiza la respuesta del sistema ante una entrada escalón, de acuerdo a la siguiente
imagen.
Figura 8. Respuesta al escalón unitario del sistema propuesto.
De esta gráfica se deduce que el tiempo de rizado es de 0.206 s, el tiempo de establecimiento es a
los 0.375 s y el valor final del sistema es de 0.5.
También es posible verificar este análisis mediante le simulink de matlab, para ello se
implementa el siguiente diagrama de bloques.
10

11. Figura 9. Diagrama de bloques en simulink con el sistema propuesto.
Al correr la simulación se obtiene la siguiente respuesta:
Figura 10. Diagrama de bloques en simulink con el sistema propuesto corrida la simulación.
Como se puede apreciar en la imagen anterior en el display aparece el valor de 0.5, eso quiere
decir que concuerda con el obtenido en la figura 7. Ahora al hacer doble clic sobre el
osciloscopio se obtiene la siguiente gráfica.
11

12. Figura 11. Respuesta al escalón unitario del sistema propuesto en simulink.
Se puede observar que se obtiene la misma respuesta que se obtuvo mediante el código
implementado en el command Windows de Matlab.
12

13. Para determinar el controlador PID, se analiza la respuesta del sistema en lazo abierto para una
entrada escalón, esta respuesta se obtuvo en el procedimiento anterior, el cual se puede verificar
en la figura 3. Para aplicar el método de Ziegler-Nichols se procede a realizar la conversión del
sistema discreto a continuo y obtener una gráfica continua, en donde se traza la recta tangente al
punto de inflexión de la curva ascendente y se determinan los tiempos tal como se puede apreciar
en la siguiente imagen.
Figura 12. Código para hacer la conversión del sistema discreto a continuo.
Al correr el código en el Matlab se obtiene la siguiente gráfica.
Figura 13. Respuesta al escalón del sistema, en tiempo continuo.
Como se puede apreciar en la imagen el tiempo de rizado es de 0.549 s, el tiempo de
establecimiento es de 0.978 s y el valor final es de 1, lo que nos confirma nuevamente que el
sistema es estable y los valores son semejantes a los obtenidos en la figura 4. Ahora con esta
gráfica se procede a realizar el análisis según el método Ziegler-Nichols
13

14. = = =
Figura 14. Respuesta de salida ante una entrada escalón. Recta de máxima pendiente.
Con estos datos se proceden a establecer los siguientes valores:
= − = 0.
0291− 0 = 0.
0291
= − = 0.
36 − 0.
0291 = 0.
3309
− 10− 1
− 10− 1
Con esto quedaría definido el modelo del sistema de calefacción así:
.
( ) =
1 +
= 1
1 + 0.
3309
Ahora se procede a calcular los parámetros Kp, Ti y Td según la Regla de Sintonización de
Ziegler-Nichols basada en la respuesta al escalón así:
14

15. 0.
330
9
. 58
.
= 1.
2 = 1.
2
1 ∗ 0.
0291
= 13.
64
= 2 = 2 ∗ 0.
0291 = 0.
0582
= 0.
5 = 0.
5 ∗ 0.
0291 = 0.
01455
Reemplazando los valores de Kp, Ti y Td en las siguientes ecuaciones, y estableciendo un
periodo de muestreo T=0.001s según criterio T < τ0/4, los parámetros del controlador discreto
son:
= = 13.
64
= =
13.
64 ∗ 0.
001
= 0.
234
= =
13.
64 ∗ 0.
01455
= 198.
462
Ahora abrimos el simulink y se crea el siguiente diagrama de bloques en donde se hace la
implementación del bloque controlador PID.
Figura 15. Diagrama de bloques con el controlador PID y la función de transferencia de la planta.
Damos doble clic sobre el bloque PID e incorporamos los datos que se obtuvieron anteriormente,
tal como se puede apreciar en la siguiente imagen:15

16. Figura 16. Parámetros del controlador PID.
Luego se procede a correr la simulación para observar la respuesta del sistema y analizar si el
controlador está cumpliendo su función, al correr el programa se obtiene la siguiente gráfica:
Figura 17. Respuesta del sistema con el controlador implementado.
16

17. Como se puede apreciar el controlador no está funcionando como se esperaba, la línea amarilla
nos indica la entrada y la línea fucsia la señal de salida y no hay un seguimiento de la señal de
salida con respecto a la señal de entrada, de otra parte, se observa que el error en estado estable
tiende a aumentar hacia infinito en la salida.
Ahora bien, para corregir este error utilizamos el bloque de PID del simulink de la siguiente
forma, damos doble clic sobre el mismo y oprimimos en botón “Tune” tal como se indica en la
figura.
Figura 18. Configuración del bloque PID.
Una vez se oprime este botón se abre la siguiente ventana en donde utilizando los controles
deslizables es posible ajustar la curva a los parámetros deseados.
Figura 19. Programa de sintonización de PID en simulink.
17

18. Aquí es posible ajustar el tiempo de respuesta para que sea más rápido, también para que error de
salida sea cero y la salida se comporte igual que la entrada. obteniendo finalmente los nuevos
parámetros.
Figura 20. Nuevos parámetros del controlador PID.
Ahora estos parámetros se incorporan de forma automática al controlador y procedemos a
realizar nuevamente la simulación para ver la respuesta del sistema.
Figura 21. Parámetros ajustados al controlador PID.
18

19. Se hace la simulación según el siguiente diagrama de bloques, inicialmente observaremos la
respuesta ante los cambios que ofrecen los dos primeros escalones y luego se analizará con los
cuatro.
Figura 22. Análisis de funcionamiento de PID ajustado.
Se puede apreciar en el display que el valor es 1, lo que a primera vista nos está indicando que se
redujo el error y el controlador está haciendo su trabajo, ahora se observa la gráfica que se
obtiene en el osciloscopio.
Figura 23. Respuesta gráfica del sistema con las dos señales de escalón unitario.
19

20. Se observa como la señal de salida (fucsia) sigue la señal de entrada (amarilla) y en este caso el
controlador si está funcionando como se esperaba.
A continuación, se muestra el funcionamiento del sistema para una sola entrada, para tres y para
las cuatro.
Figura 24. Respuesta gráfica del sistema con una señal de escalón unitario.
Figura 25. Respuesta gráfica del sistema con tres señales escalón unitario.
20

21. .
36
4
Figura 26. Respuesta gráfica del sistema con las cuatro señales escalón unitario.
De lo anterior se puede concluir que con los nuevos valores del controlador PID el sistema
trabaja de forma eficiente.
Entonces los parámetros finales serían:
= 0.
182, = 0.
364 = 0
Lo que nos lleva replantear las ecuaciones así:
= = 0.
182
= → = =
0.
182 ∗ 0.
001
= 0.
0005
= 0.
0005
= → = = 0
= 0
21

22. Link del vídeo con el desarrollo de la actividad.
En el siguiente enlace se encuentra el vídeo donde se explica el desarrollo de la actividad.
https://www.youtube.com/watch?v=0UbGPWnezM0
22

23. Conclusiones.
La estabilidad del sistema discreto definido por una ecuación específica se puede determinar
mediante la ubicación de los polos de lazo cerrado en el plano z es decir, por las raíces de la
ecuación característica.
Un sistema discreto es estable si todos sus polos de lazo cerrado o todas las raíces de su ecuación
característica están ubicados dentro del círculo unitario del plano z. Cualquier polo de lazo
cerrado localizado fuera del círculo unitario genera un sistema inestable.
Un polo simple localizado sobre el círculo unitario, hace que el sistema sea críticamente estable,
igual cosa sucede si existe un solo par de polos complejos conjugados ubicados sobre el círculo
unitario. Cualquier polo múltiple ubicado sobre el círculo unitario hace que el sistema sea
inestable.
La ubicación de las raíces de la ecuación característica en el plano z incide directamente en la
respuesta transitoria de los sistemas discretos. En general, algunas de las raíces, dada su
ubicación en el plano z, afectan más la respuesta transitoria del sistema que otras. Estas raíces
son llamadas “Raíces dominantes”.
La aplicación del método del lugar geométrico de las raíces en el diseño de sistemas de control
es muy útil, ya que indica la forma en que se debe modificar la posición de los ceros y de los
polos de lazo abierto para que la respuesta de lazo cerrado cumpla con las especificaciones de
comportamiento establecidas para el sistema.

24. Referencias
Pérez López, C. (2002). MATLAB y sus aplicaciones en las ciencias y la ingenierí a. Madrid:
PEARSON EDUCACIÓN, S.A.
Etter, D. (1998). Solución de problemas de ingeniería con MATLAB. México: PRENTICE
HALL.
G. Proakis, J., & G. Manolakis, D. (2007). TRATAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES. Madrid:
PEARSON EDUCACIÓN S.A.
Garcia Jaimes, L. E. (2009). Control digital teoría y práctica. Medellín: Politécnico colombiano
jaime Isaza Cadavid.
Ingenierías, E. d. (01 de Septiembre de 2017). Curso: Control Digital. Obtenido de Guía
Integrada de Actividades: http://campus07.unad.edu.co/ecbti25/course/view.php?id=169
Ogata, K. (1996). Sistemas de control en tiempo discreto. México: PRENTICE HALL
HISPANOAMERICANA S.A.
Rodríguez Ramírez, D., & Alamo Cantarero, T. (20 de 09 de 2017). Campus virtual de la
UNAD. Obtenido de Curso de Control Digital 203041A_363:
http://campus07.unad.edu.co/ecbti25/pluginfile.php/3504/mod_forum/attachment/28660/
ejer%203.pdf
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