Este documento presenta conceptos clave sobre el diseño de controladores digitales, incluyendo lugar geométrico de las raíces, transformada z, análisis de dominio discreto, funciones de transferencia discretas y de lazo abierto. También resume la solución a un ejercicio que involucra determinar si un sistema dado produce una respuesta plana a una entrada escalón o rampa unitaria utilizando herramientas como Matlab.

1. CONTROL DIGITAL
Unidad 2. Diseño de Controladores Digitales
Presentado por:
Grupo:
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
OCTUBRE 2016
Temas propuestos para la solución de ejercicios propuestos

2. Lugar geométrico de las raíces:
El lugar geométrico de las raíces es la trayectoria formada por las raíces de una
ecuación polinómica cuando un parámetro de ésta varía. En el caso de Sistemas
de Control, la ecuación polinómica resultante es la ecuación característica, y el
LGR es la trayectoria en el plano S (complejo) de las raíces de ésta ecuación
cuando algún parámetro está cambiando:
es una gráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición
de ángulo. Las raíces de la ecuación característica (los polos en lazo cerrado) que
corresponden a un valor específico de la ganancia se determinan a partir de la
condición de magnitud.
Transformada z
La transformada Z se introduce para evitar las dificultades que presentan los
sistemas discretos por la posición de los polos y ceros de su función de
transferencia discreta. La variable compleja z es una transformación no lineal de la
variable s de La place. Entonces veremos más adelante que la función de
transferencia discreta obtenida como resultado de esta transformaciones racional,
presentando únicamente los polos de un periodo de la función de transferencia en
s. Otra de las características importantes es que los funciones de transferencia
que resultan de usar la transformada z son mucho más simples, lo que con lleva a
una mayor facilidad de traducción sobre programas de simulación y otros

3. parecidos, por ejemplo Matlab. La transformada Z es la contraparte en tiempo
discreto de la transformada de Laplace en tiempo continuo. La transformada Z
hace posible el análisis de ciertas señales discretas que no tienen transformada
Interesante perfil, me dices más?. de Fourier en tiempo discreto; pudiéndose
demostrar que la transformada Z se reduce, a la transformada de Fourier de
tiempo discreto cuando la variable de transformación es unitaria ósea cuando |Z
|=1 .La transformada Z de una secuencia en tiempo discreto X(t)se define como:
donde Z es una variable compleja. Otra notación para la sumatoria es Z(X [t ]). Si
la secuencia es causal, la transformada Z se convierte en :
Análisis de dominio discreto
Un sistema discreto en el tiempo se define matemáticamente como la
transformación o el operador que traza una secuencia de entrada con valores x[n],
en una secuencia de salida con valores y[n] denotado:
y[n]=T{x[n]}
Enfatizando que el valor de la secuencia de salida en cualquier punto del índice

4. n debe ser una función de y[n]para toda n
.Un sistema en tiempo discreto viene caracterizado por magnitudes que varían
solo en instantes específicos de tiempo.
Estas magnitudes o señales en tiempo discreto r(k) toman valores r(t1), r(t2),…,
r(tn).
Además de los sistemas inherentemente discretos, se incluyen también en esta
categoríalos sistemas continuos muestreados con r(k) formada
r(T), r(2T),…, r(nT).

5. Funciones de trasferencia discretas
El análisis de los sistemas lineales discretos se ve facilitado por el uso de una
herramienta matemática denominada transformada Z, la cual se define a partir de
una secuencia de números x(k) del modo siguiente:
Teniendo en cuenta esta correspondencia entre sistemas continuos y discretos, se
pueden volver a plantear para éstos las mismas metodologías que se aplicaron a
los sistemas en tiempo continuo. En concreto: 1) el concepto de función de
transferencia discreta por analogía con la función de transferencia continua; 2) la
solución de ecuaciones en diferencias por analogía con la solución de ecuaciones
diferenciales, y 3) la obtención de la función de transferencia discreta a partir del
modelo de estado discreto sin más que cambiar s por z.
En virtud de lo anterior, la función de transferencia de un sistema lineal e
invariante en tiempo discreto se define como la relación entre la transformada Z de
la variable de salida y la transformada Z de la variable de entrada, suponiendo que
todas las condiciones iniciales se hacen iguales a cero.
Función de transferencia en lazo abierto

6. Al representar un sistema de control mediante un diagrama de bloques, se debe colocar
en cada bloque la función de transferencia correspondiente al elemento del sistema. Así
para el sistema de control de lazo cerrado mostrado en la Fig. 2.3
Fig. 6.27 Diagrama de bloques de un sistema de control de lazo cerrado
Como se vera más adelante, el diagrama de la Fig. 6.27 se puede reducir a la forma
dada en la Fig. 6.28a y 6.28b.
(a)
(b)
Fig. 6.28 Sistema de lazo cerrado
a) H(s) ≠ 1
b) H(s) = 1
La salida Y(s) es alimentada nuevamente al punto de suma, donde se compara con la
entrada de referencia R(s). La salida Y(s), se obtiene en este caso, multiplicando la función
de transferencia G(s) por la entrada al bloque E(s).
Al inyectar nuevamente la salida al punto de suma para compararla con la entrada, es
necesario convertir la forma de la señal de salida a la forma de la señal de entrada.

7. Por ejemplo, en un sistema de control de temperatura, la señal de salida es
generalmente la temperatura controlada. La señal de salida, que tiene la dimensión de una
temperatura, debe convertirse a una fuerza, posición o voltaje antes de compararla con la
señal de entrada. Esta conversión lo realiza el elemento de retroalimentación (medidor),
cuya función de transferencia es H(s).
La función del elemento de retroalimentación es modificar la salida antes de
compararla con la entrada. En la mayoría de los casos el elemento de retroalimentación es
un sensor que mide la salida del proceso. La salida del sensor se compara con la entrada
(valor de referencia) y así se genera la señal de error. En este ejemplo la señal de
retroalimentación que se envía de vuelta al punto de suma para su comparación con la
entrada es Ym(s) = H(s) Y(s).
Con referencia a la Fig. 6.28, la relación entre la señal de retroalimentación Ym(s) y la
señal de error actuante E(s), se denomina función de transferencia de lazo abierto.
Es decir:
Función de transferencia de Lazo Abierto
La relación entre la salida Y(s) y la señal de error actuante E(s) se denomina función de
transferencia directa, de modo que:
Función de transferencia Directa
Si la función de transferencia de retroalimentación H(s) es la unidad, la función de
transferencia de lazo abierto y la función de transferencia directa son lo mismo
Solución ejercicio # 3

8. 3. Considere el siguiente sistema:
La función de Transferencia G(z) de la planta es:
𝐺( 𝑧) = 𝑧[
1 − 𝑒−𝑡𝑠
𝑠
1
𝑠2
] = (1 − 𝑧−1) 𝑧[
1
𝑠3
] =
(1 + 𝑧−1
)𝑧−1
2(1 − 𝑧−1)2
Empleando un método de diseño analítico, la función de transferencia discreta del
controlador es:
𝐺 𝐷( 𝑧) =
2.5(1− 0.6𝑧−1
)
1 + 0.75𝑧−1
Determinar si para una entrada escalón unitario o rampa unitaria se obtiene una
respuesta plana.
Se reescriben las funciones en términos de z positivos:
𝐺( 𝑧) =
𝑧 + 1
2𝑧2 − 4𝑧 + 2
𝐺 𝐷( 𝑧) =
2.5𝑧 − 1.5
𝑧 + 0.75

9. Resultados
Función de transferencia controlador y planta en serie
Función de transferencia del sistema en lazo cerrado
Determinamos los polos, las magnitudes y los ángulos, los cuales son muy
importante a la hora de determinar la estabilidad del sistema.
clc
clear all
close all
z=tf('z');
G=(z+1)/(2*z^2-4*z+2)
Gd=(2.5*z-1.5)/(z+0.75)
Gs=series(G,Gd)
y=feedback(Gs,1);
X2=(z)/((z-1)^2)
H2=y*X2
step(H2)
polos=pole(y)
ceros=zero(y)
magnitud=abs(polos)
angulos=angle(polos)
figure (1)
step(y)
figure(2)
rlocus(y)

10. Polos y ceros
Magnitud y ángulo
Gráfica del lugar de las raíces, la cual se genera de la siguiente forma:

11. Para este sistema el polo del sistema se encuentra en z=0, en consecuencia, el
sistema es críticamente estable.
Respuesta al Escalón
Para una entrada rampa

12. 𝑋( 𝑠) =
1
𝑠
𝑟𝑎𝑚𝑝𝑎
𝑋( 𝑧) =
𝑧𝑇
( 𝑧 − 1)2
𝑟𝑎𝑚𝑝𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑎
Realizamos diagramas de bode pare observar el comportamiento de las dos
entradas clc
clear all
close all
s=tf('s')
z=tf('z')
T=1
Gz=(z+1)/(2*z^2-4*z+2)
Gd=(2.5*(1-0.6*z^-1))/(1+0.75*z^-1)
Gt=series(Gz,Gd)
H=feedback(Gt,1)
X1=(z)/((z-1)) %entrada escalón
X2=(z*T)/((z-1)^2) %entrada rampa
H1=H*X1
H2=H*X2
bode(H1)%entrada escalón unitario
hold
bode(H2)%entrada rampa

13. Se obtiene entonces
Se observa que la mejor respuesta plana corresponde a la entrada escalón
podemos comprobar si el sistema es estable en base a la frecuencia por medio de
la función de bode, entonces la estabilidad se encuentra en la sección que va
desde los 0db en magnitud, y los -180° en la fase, aquí apreciamos los puntos de
márgenes de ganancia por fuera de la zona estable, lo cual nos indica que este
sistema podríamos determinarlo como inestable.

14. CONCLUSIÓN
Solucionar los ejercicios teóricos propuestos utilizando herramientas como la
investigación en medios tecnológicos y la conceptualización del módulo del curso,
apoyados de la herramienta matemática Matlab, desarrollando y graficando las
respuestas.