1. Divisibilidad en N
La divisibilidad entre números aparece frecuentemente, en muchos y variados problemas de la
vida cotidiana. Algunos problemas para entrar en el tema…………………………………….
1) En un estante hay menos de 1000 libros, todos del mismo tamaño. La bibliotecaria nos
dice que se pueden empaquetar, sin que sobre ningún libro, por docenas, en paquetes de
28, o en paquetes de 49. ¿Cuántos libros hay exactamente?
2) La edad de la maestra tiene la particularidad de que, al dividirse entre 2, 3, 4, 6 y 8,
siempre da resto 1. Pero al dividirse entre 5, da resto 0. ¿Cuántos años tiene la maestra?
3) Un herrero, quiere cortar una plancha de acero, de 10 dm de largo y 6 dm de ancho, en
cuadrados lo más grandes posibles y cuyo lado sea un número natural de decímetros.
¿Cuál debe ser la longitud del lado?
4) Para pensar: LAS EDADES DE LAS HIJAS
Un encuestador llama a una casa donde es atendido por una mujer:
- ¿Cuántos hijos tiene? - Tres hijas, -dice la señora-.
- ¿De qué edades? - El producto de las edades es 36 y la suma es igual al número de esta
casa. El encuestador se va, pero al rato vuelve y le dice a la señora que necesita más
información para deducir las edades de sus hijas.
La señora piensa un momento y le dice: - Tiene razón, la mayor toca el piano.
¿Qué edades tienen las hijas?
La solución de estos problemas requiere conocimientos previos de múltiplos y divisores. En
este curso abordaremos el tema en el conjunto de los números naturales.
Divisores y múltiplos en N
Definición: Divisor de un número natural
Sean bN, aN*
. a es divisor de b  k, kN, tal que: b = k.a
Anotamos a/b
Es lo mismo decir: b es divisible por a; b es múltiplo de a ( b =a

) o a divide a b
Por ejemplo:
2/16 porque 8, 8N, tal que: 16 = 8.2
20 =5

porque 20 = 4.5
1/a porque a = a.1
m0, m/0 porque 0 = 0.m
a/a porque a = 1.a
Concluimos:
 1 divide a todo número natural.
 0 no es divisor de ningún natural.
 0 es múltiplo de todo natural.
 Todo número natural no nulo, es divisor de sí mismo.
Además se cumple la propiedad transitiva, es decir:
Con aN*
, bN*
, si a/b y b/c  a/c

2. Ejemplo:
Probar que la suma de dos números pares, es par.
Recordando que los números pares son múltiplos de 2, entonces dos números pares, b y c
pueden expresarse así:
b = 2.m ; mN
c = 2.n ; nN
Tenemos entonces que b + c = 2.m + 2.n = 2. (
N
m n

 )  b+c = 2

Algunas propiedades:
1) “Si un número es divisor de dos naturales, también es divisor de su suma”
/ /
/( )
0
d a d b
d a b
d
 
 
 
Demostración:
d/a  k, kN, tal que: a = k.d
d/b  p, pN, tal que: b = p.d
Sumando miembro a miembro: (a+b)=dk+dp
Aplicando propiedad distributiva: (a+b)=d(k+p)
Como además (k+p)N, concluimos finalmente que d/(a+b)
2)
/ /
/( )
0 ;
d a d b
d a b
d a b
 
 
  
Demostración: …………………………………………………………………..
.....................................................................................................................
....................................................................................................................
....................................................................................................................
3) “Si un número es divisor de otro número natural, también es divisor de todos
sus múltiplos”.
/
/ . ;
0
d a
d m a m N
d

  
 
Demostración:
d/a  k, kN, tal que: a = k.d
Multiplicando por m ambos miembros obtenemos: m.a=(m.k).d
Como además (m.k)N, concluimos que d/m.a.

3. Otro ejemplo:
a) Probar que el número natural N= abba es múltiplo de 11.
La notación anterior la utilizamos para indicar la posición que ocupa cada cifra en el número
N de 4 cifras. Por lo tanto se cumple: N = 1000a+100b+10b+a = 1001a+110b
Observando que: 1001 = 11.91 y 110=11.10
Podemos escribir que: N = 11.91.a + 11.10.b = 11(91.a +10.b)
Como (91a +10b)N, concluimos que 11/N lo mismo que decir: N = 11

b) Hallar el número N = abba sabiendo además que: N – 0bb =2002 y a + b = 5
Planteamos: abba – 0bb =2002  (1000a+100b+10b+a) – (100b+10b) = 2002
Efectuando operaciones: 1000a + a = 2002  1001a = 2002  a = 2
Como a + b = 5  b = 3
El número N = 2332