2Sec_ÁLGEBRA (2).pdf

Secundaria
Álgebra
Álgebra
2
2

Álgebra - 2.o
grado de secundaria.

resentación
l colegio Bertolt Brecht saluda a los padres de familia y estudiantes por la
confianza depositada en nuestra institución, la cual tiene por misión brindar
una educación integral en sus múltiples dimensiones, a través de la enseñanza de
la ciencia, el arte y el deporte, para la formación de ciudadanos conscientes y
comprometidos que aporten al engrandecimiento de nuestra sociedad.
Es así que, en esta oportunidad, se pone a disposición de los estudiantes este
cuaderno de trabajo, que será una herramienta de apoyo en el proceso de
enseñanza-aprendizaje y que contribuirá al logro de los objetivos curriculares. Este
material educativo permitirá al estudiante consolidar su aprendizaje en las
diferentes materias del grado.
La comunidad educativa saluda y reconoce el trabajo de todos los profesores
que participaron en la elaboración del presente texto, donde se plasman sus
conocimientos y experiencias adquiridas en esta labor tan importante como es la
de educar.
Finalmente, deseamos saludar al personal técnico-administrativo que participó
en la elaboración de este importante libro en beneficio del alumno y, asimismo, de
la sociedad.
resentación

ndice
Índice
Índice
Í
Í
Í
Í
Í
Í
ÍÁlgebra
Tema 1. Potenciación y sus propiedade 7
Tema 2. Radicación 12
Tema 3. Expresiones algebraicas 18
Tema 4. Polinomios 21
Tema 5. Polinomios especiales 26
Tema 6. Valor numérico 29
Tema 7. Operaciones con polinomios 34
Tema 8. Productos notables 36
Tema 9. Productos notables: diferencia de cuadrados 42
Tema 10. Productos notables: producto de binomios con un término común 46
Tema 11. Productos notables: desarrollo de un binomio al cubo 50
Tema 12. División de polinomios 53
Tema 13. División de polinomios: método de Horner 57
Tema 14. División de polinomios: regla de Ruffini 62
Tema 15. Teorema del resto 65
Tema 16. Ángulos 70

2.o
de secundaria 7
Colegio Bertolt Brecht
Álgebra
2. De acuerdo con las definiciones, escribe dos ejemplos de cada una de ellas.
Exponente positivo ...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
...........................................
a° = 1
Exponente cero
Exponente negativo
D
E
F
I
N
I
C
I
O
N
E
S
veces
...
n
n
a a a a
 × × ×




1
n
n
a
a
−

1
TEMA Potenciación y sus propiedades
Objetivos
 Identificar los conceptos de exponentes positivo, cero y negativo, y aplicarlos en la resolución
de ejercicios.
 Aplicar las propiedades de potenciación en la resolución de ejercicios y problemas.
Una profesora comunica a sus dos delegados los acuerdos para una activi-
dad de integración. Cada uno de los delegados comunicará a dos compañeros
más, y cada uno de ellos deberá comunicar a otras dos compañeras y así
sucesivamente.
q Representa esta situación mediante un diagrama.
q Solo en el quinto proceso, ¿cuántas personas sabrán luego de ocho proce-
sos similares?
q ¿Cuántas personas sabían de los acuerdos luego de ocho procesos similares?
q En forma abreviada, ¿cómo podrías expresar cada multiplicación?
q ¿Qué nombre recibe esta nueva operación?
q ¿Cuántos elementos intervienen en la potenciación?, ¿cuáles son?
Actividad en el aula N.o 1
1. Indica la base (B), el exponente (E) y la respectiva potencia (P) de cada uno de los ejemplos.
a. 53
=125: B: .......... E: .......... P: ..........
b. (–3)4
=81: B: .......... E: .......... P: ..........
c. 6
1
216
3
−
= : B: .......... E: .......... P: ..........
d.
1
3
9
2





 =
−
: B: .......... E: .......... P: ..........
e.
2
3
16
3
4
= B: .......... E: .......... P: ..........
f. –42
=–16: B: .......... E: .......... P: ..........

Álgebra
Compendio escolar
8
3. Lee con atención las indicaciones.
a. Del punto de partida y utilizando los movimientos del caballo como en el juego del ajedrez,
llega a la meta.
b. En cada movimiento debes efectuar una potenciación, donde la posición inicial será la base y la
posición final será el exponente. Para el siguiente movimiento, la nueva posición será la nueva
base.
c. Todos los resultados que obtengas regístralos en el tablero. Gana el que obtenga la menor
suma.

N.o
de movim. Resultados
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Suma total
Partida
2 64 3 77 102 –12 301 1
0 31 10 13 21 7 4 –1
20 3 7 1 28 4 60 78
7 50 71 8 40 89 2 51
19 – 2 102 19 3 5 47 79
9 1 18 6 120 1 73 2
13 19 –3 9 43 2 0 89
4 29 30 17 4 301 56 5
Meta
4. Calcula las siguientes potencias.
a. (–2)4
e. 50
b. –22
f.
2
7
2






−
c.
4
3
1






−
g. –24
d. 03
h. (–3)–4
5. Efectúa
2
–1
+2 – 2
+2 – 3
+2– 4
.
6. Reduce la expresión

1
9
1
3
1
2
1
1
3
1












−






−
−






−
.
7. Efectúa

1
2
4 0 2
2
9
1
3
3
3
2
3





 + ( ) +












−
−
−
,
.
 exponente natural. Es el que nos indica el número de veces que se repite la base como factor.
 potenciación. Es una operación matemática que consiste en hallar la potencia, a partir de dos expresiones
llamadas base y exponente.
Glosario

2.o
de secundaria 9
Álgebra
1. Desarrolla las operaciones utilizando las
propiedades de potenciación.
a. 59
· 57
b. 24
· 29
c. 24
· 29
d. (– 5)9
· (– 5)11
e.
1
4
1
4
6 4





 ⋅






−
f.
3
7
3
7
9 5





 ⋅






−
g. 8
– 9
· 8 – 6
h. 2
–11
· 2 –13
i. 53
· 57
· 5 – 6
j. 2
· 22
· 23
· 24
· 25
2. Expresa como una multiplicación de bases
iguales.
a. 5x+2
d. 8a+5
b. 7m+3
e. 11a – 2
c. (– 2)x+6
3. Aplica la propiedad de división de bases
iguales.
a.
2
2
7
3
d.
5
5
1
6
−
−
b.
5
5
9
4
e.
8
8
4
5
−
c.
−
( )
−
( )
2
2
3
9
4. Expresa como una división indicada de ba-
ses iguales.
a. 2x – 3
d. 13x –1
b. 5m – 6
e. 9m – 7
c. 8a – 5
1. ¿Qué número continúa en las siguientes su-
cesiones?
a. 1; 4; 9; 16; 25; ...
b. 2; 9; 28; 65; ...
c. 4; 9; 25; 49; 121; ...
2. Calcula el valor de
A =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ + + +
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
10
1024
...
...
veces
veces

.
3. Si 3x+1
=81 y 2y+2
=8, calcula el valor de x+y.
4. Una partícula colisiona con otra, desinte-
grándola en dos partículas. Estas últimas
también colisionan con otras dos partículas
desintegrándolas en dos, respectivamente.
Se origina una reacción en cadena, como se
muestra en el gráfico.

¿Cuántas partículas se habrán desintegrado
luego de 13 procesos similares?

Álgebra
Compendio escolar
10
5. Reduce

5 3 3 3 3 3 3
9 9
30 27
+ + +
( ) + + +
( )
+ +
... ...
...
veces veces

+
+
( ) + + +
( )
9 9 9 9
5 5
veces veces

...
e indica el exponente final de 3.
6. Reduce las siguientes expresiones.
a.
8 4
16
10 8
11
⋅
b.
7
7 7
4
5
3
72 10
( )
( )
⋅
c.
6 6
6
1
n n
n
+
+
d.
2 2 2
2
1 2 3
x x x
x
+ + +
+ +
e.
5 5 5
5 5 5
2
3
230
4
2
3
24 3
2
32
( ) ⋅ ⋅ ( )
( )
⋅( ) ⋅
f.
12 15 10
8 27 625
6 8 2
5 4 2
⋅ ⋅
⋅ ⋅
7. A partir de la condición 5–x
=3, calcula el va-
lor de 25x
.
8. Reduce

5 5 5
5 5 5 5
12 13 2
52
⋅ ⋅
⋅ ⋅
+
n
n
...
veces

.
9. A partir de la igualdad 32
x+1
=94
, calcula x2
.
10.
Indica la verdad (V) o falsedad (F) según co-
rresponda.
a. 24
=42
(
)
b. an
=na
(
)
c. (2008)0
=12008
(
)
d. (5+1)2
=52
+12
(
)
e. (a+b)2
=a2
+b2
(
)
11.
Se sabe que a a a a a
n
⋅ ⋅ =
...
3
33330
veces

.
Calcula
n − 7
5
.
12.
¿Cuánto gastó después de siete semanas
aquel que gasta siete soles por día?
13.
¿De cuántas formas diferentes se puede leer
la palabra BERTOLT?

B
B E B
B E R E B
B E R T R E B
B E R T O T R E B
B E R T O L O T R E B
B E R T O L T L O T R E B
14.
Si 3x+2
=45, calcula el valor de 3x
.
15.
¿Cuál es el exponente final de 3 en
322
×(34
)2
×922
?
16.
Reduce la siguiente expresión.
a.
42
49 6
10
5 8
( )
⋅
b.
3 3
3
3 2
1
n n
n
+ +
+
+
1. Si se cumple la igualdad
2×4×8×16×32×64=2m
,
¿cuál es el valor de m?
2. Luego de reducir la expresión

3
3
2
2
5
5
30
28
30
26
25
23
+ − , ¿qué se obtiene?
3. Al efectuar (274
)5
– (96
)5
,
¿cuál es el valor que resulta?
4. Reduce la siguiente expresión.

6 10
30 4
6 8
6 4
⋅
⋅
5. Se divide una región triangular en cuatro
partes iguales, luego se vuelve a dividir cada
parte en otras cuatro, y así sucesivamente,
seis veces. ¿En cuántas regiones triangula-
res se ha dividido la región inicial? Represen-
ta gráficamente.
Actividad domiciliaria

2.o
de secundaria 11
Álgebra
6. Al reducir la expresión
x x
x x
15 22
5
23 2
3
4
⋅( )
⋅ ( )




, ¿qué se obtiene?
7. Halla el equivalente de
1
2
1
2
2






−






−
.
a.
2
2
3
3
5
4
2
3
−
−
−
−
+
x
x
x
x
b.
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
22 24 26 28 30
17 19 21 23 25
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
9. Si ab
=2, reduce
a a
a
a
b b
+ +
+
−
3 2
2
2
2 .
10.
Calcula el resultado de las siguientes expre-
siones.
a. [–9+6 – 3 – 2 – 9+1]2
b. [+24 –18+9+6]3
11.
Indica el opuesto del resultado de (– 2)5
.
12.
Completa el valor que falta en el casillero co-
rrespondiente.
a. (–3)4
=
b. 3
= –125
c. (– 2) = – 32
Da como respuesta la suma de dichos valores.
13.
Escribe un número en el casillero para que
se verifique la igualdad.
−
( ) −
( ) −
( )
−
( ) −
( )
= −
( )
5 5 5
5 5
5
21 4
29 2
2
14.
Simplifica
a
a
a
a
a
a
7
2
17
12
8
3
+ + .
15.
Reduce
2 2 2
2
1 2 3
1
x x x
x
+ + +
+
+ +
.
16.
Si a=162
y b=216
, reduce
a b
b a
ab
( ) ( )
16 20
2
.
17.
Halla x si 23x+5
=((16)2
)4
.
18.
Indica verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda.
a. [[(– 3)2
]0
]31
=–1 ( )
b. – 34
=+81 ( )
c.
+
( )
−
( )
= −
9
3
3
2
3
( )
19.
Indica verdadero (V) o falso (F) según co-
rresponda.
a. (– 5)2
=+25 ( )
b. (– 3)3
=– 27 ( )
c. (– 7)3
=– 243 ( )
d. (+2)3
= – 8 ( )
20.
Indica el resultado de
− + − + −
( ) +
5 27 9 3 14
3
4
.
21.
Calcula el valor de
7
5
3
5
7
0
1 1
+





 +






− −
.
22.
Reduce la expresión
T = + −
5
5
2
2
3
3
25
23
6
5
12
10
.
 colisión. Choque, encuentro violento de dos o más cuerpos.
 propiedad. Regla operativa que permite establecer por deducción una teoría.
Glosario

Álgebra
Compendio escolar
12
2
TEMA Radicación
Objetivos
 Identificar los conceptos de radicación y exponente fraccionario.
 Aplicar las propiedades de radicación en la resolución de ejercicios.
Las primeras grandes civilizaciones de la humanidad se asentaron en
los fértiles valles de los ríos Nilo (Egipto), Éufrates y Tigris (Mesopota-
mia), Indo (India) y Yangtsé (China). Estas civilizaciones desarrollaron
conocimientos matemáticos que se reducían fundamentalmente a una
colección de consejos y recetas. La matemática surgía entonces como
solución a los problemas cotidianos.
A partir del siglo vi a.n.e., la actividad intelectual se trasladó, desde
los grandes valles al Mediterráneo. Thales de Mileto (624-548 a. n. e.) y
Pitágoras de Samos (580-500 a.n.e.) son las dos figuras más represen-
tativas de aquella época en la que se supo recoger el saber matemático
de las antiguas civilizaciones e iniciar el cambio de la matemática prac-
ticada en forma de recetas a la ciencia axiomática deductiva que hoy
conocemos.
Teorema de Pitágoras
En cualquier triángulo rectángulo, el área del
cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a
la suma de las áreas de los cuadrados construidos
sobre los catetos.
Si se conocen las longitudes de dos lados de un
triángulo rectángulo, aplicando el teorema de Pitá-
goras se puede calcular la longitud del otro lado.
Inténtalo.
Las antiguas civilizaciones y la
matemática
c2
= a2
+ b2
a = ..............................
b = ..............................
c = ..............................
a2
c2
c
b
a
b2
Investiga y luego redacta.
¿Cuál es el pensamiento de los pitagóricos respecto a los números en relación con la naturaleza y la
forma de comprender y explicar el mundo? y ¿Qué opinas al respecto?
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................

2.o
de secundaria 13
Álgebra
Ahora realiza las actividades
1. Encuentra el nombre de cada elemento de la
radicación en el pupiletras.
N E L A B E R T N I N D
J A R N C I Z A R D U A
N N D I N D I A N A M I
D O D N A C I D A R I N
I N D I R C U A D R O Z
I A R A E Z O I D A R A
2. Analiza la siguiente igualdad intercambiando
ideas con tus compañeros.
a b a b
n n n
⋅ = ⋅
Observación
• En los números reales, la raíz es única.
• En adelante x x
2
= , y se lee “raíz cua-
drada de x”.
¿Sabías que...?
El símbolo de la raíz cuadrada fue utili-
zado por primera vez por Leonardo de
Pisa en 1220. Este signo proviene de la
palabra latina radix, de la que deriva
el término español raíz.
3. A continuación, completa la regla de signos,
la cual determina la existencia de la raíz en
los números reales R.
−
( ) =
par
.....
−
( ) =
impar
.....
+
( ) =
par
.....
+
( ) =
impar
.....
4. Ahora completa la siguiente tabla.
Radicación Índice Radicando Raíz
16 2
4
=
9 3
=
64 4
3
=
− =
125 5
3
−4
Recuerda que...
Exponente fraccionario
donde
m
n
fracción irreductible
Ejemplos
1. 6 6 6
3
4 3
4 3
4
= =
2. 8 8 8 2 4
2
3 2
3 2
3 2
= = = =
Consecuencia
a a a
n n n
1
= ; si existe
Ejemplos
1. 5 5 5
1
2 2
= =
2. 2 2
1
3 3
=

Álgebra
Compendio escolar
14
1. Calcula la raíz si existe.
a. −216
3
b. 625
4
c. 169
d. 0
6
e. −9
4
f. ¿Existe ?
27
g. ¿Existe ?
16
4
−
h. ¿Existe ?
9
1
2
2. Escribe el equivalente de las siguientes
expresiones.
a. 5
1
2
b. 1440,5
c. 60,2
d. 9
2
e. 13
f. a
1
2
g. x
1
5
h. b
5
3. Escribe el equivalente y reduce.
a. 5
3
2
b. 27
2
3
c. 64
5
d. 81
3
e. 128
5
f. 3
1
5
g. x5
5
h. xn
n
4. Encuentra el número que falta.
1 2 3 5 8 13 21
; ; ; ; ; ; ;...
5. Relaciona correctamente con una flecha.
a. 8
3
q q 62
b. 243
5
q q a
c. 216
3
q q 2
d. x7
3
q q No definido
e. a0 5
,
q q x2 3
,

f. a0 25
,
q q 9
g. 27
3
−
q q a
4
6. Indica cuáles de los siguientes enunciados
son correctos.
a. 25 5
= ± : ...........................
b. − = −
64 4
3
: .........................
c. − = −
32 32
5 5
: .....................
d. − = −
9 9
3
2 3
: .......................
7. Compara las siguientes expresiones.

16 256
25 4
10000
2
2
3
3
5
+ +






.
8. Reduce 8 16
4
3
3
4
+ e indica la suma de cifras
del resultado.
9. Calcula el valor de R si
R =
+ +
−
8 50 18
32 8
.
10.
Si xy–1
=8, calcula
2
2
x
y
x
y
+ .
11.
Simplifica
A =
+
20
4 2
6
7 12
5 .

2.o
de secundaria 15
Álgebra
12.
Al reducir la expresión

75
3
54
2
48
3
3
3
4
4
+ + ,
¿qué se obtiene?
13.
Reduce

x y y x
xy
3 3
3
.
.
14.
Si se sabe que ab=25 y {a,b} ⊂ R+
, calcula el
valor de a b b a
 .
15.
9 3
90
2 2 2
1
n n
n
n
+ +
+
+ .
16.
Simplifica
2
2
4
3
2
3
( )
.
¿Sabías que...?
Leonardo de Pisa (hacia
1180
-1250) es también
conocido con el nom-
bre de Fibonacci (hijo
de Bonaccio). Acompa-
ñando a su padre, un
comerciante de la ciu-
dad de Pisa, viajó por
el norte de África y el Próximo Oriente,
donde aprendió las matemáticas indias y,
en especial, el uso de la numeración ará-
biga. En 1202, de vuelta a Pisa, escribió
Liber Abaci, en el que introdujo las cifras
arábigas, el cero y el sistema posicional
de numeración. Sin embargo, su contri-
bución al desarrollo de las matemáticas
no tuvo el eco merecido hasta que fue
inventada la imprenta y su obra pudo ser
ampliamente divulgada.
Actividad domiciliaria N.o 1
1. Efectúa
16 27 81
1
4
2
3 0 25
+ − ,
.
2. Reduce
8
8
16
16
4
3
4
3
3
4
+ + .
27 36 25 2
3 1 2 1 2 1
1
2
− − −
−
+ + +





 .
4. Efectúa

32 125
49
81 25
4
5 3
+
+
−
.
5. Si M = 3 3 3... y N = 64 64 64...,
calcula el valor de M+N.
2 32
1
4
3
30
5
2
2 5 5
+ − −





 +
−
−
[ ] .
7. Reduce

1
2
2
1
3
1
3
2 2 3
0 5





 +





 +














− − −
,
.
2 16
1
3
3
30
4
2
2 5 5
− −





 +
−
−
[ ] .

3
3
2
2 2
10
9
8
4 3
−
− −
x
.
10.

2
2
4
4
1
15
13
315
314
1
+ + −
.
11.
Efectúa
y y y y
7
6 5
6 4
6 2
6
. . . .
12.
La expresión

1
16
8
4
5
3
se reduce a...

Álgebra
Compendio escolar
16
13.
Indica la verdad (V) o falsedad (F) de las si-
guientes proposiciones.
a. 2 5 7 2 5
7 7 7
⋅ ⋅ = ⋅ ( )
b.
13
17
13
17
13
13
13
= ( )
c. 22 22
5
3 3
5
= ( )
d. 9 4 9 4
+ = + ( )
e. 89 89
16
2008 2
251
= ( )
14.
Calcula

1
4
1
16
1
8
1
2
1
6
1
12
1
9
1
3





 +





 +












.
15.
Efectúa
25 64 81
2 1 3 1 4 1
− − −
+ + .
16.
Compara ambas expresiones

5 5 3
9 9 9
3
3 3
3 9 6 4 3
2
.
. .
17.
Halla la raíz cúbica de
8 8 8 8
2 3 2 2
5
4
3
( ) .
18.
Efectúa
5 5 5
5
3 6
. .
.
19.
Si el exponente final de x en x x
n
. es 7/4,
calcula n.
20.
Calcula 5 5 3
2
3 9
. . .
21.
Halla el valor de E a b b a
= .
si se sabe que ab =
−
2
4
3 .
 enunciado. Conjunto de datos con los que se expone un problema matemático.
 proposición. Enunciado susceptible de ser demostrado.
Glosario
1. ¿Cuál es la longitud del lado de un terreno de
forma cuadrada cuya área es 1369 m2
?
2. Calcula la raíz cuadrada de 8
8
16
16
4
3
4
3
3
4
+ + .
3. La expresión

1
16
8
32
5
3
¿a qué se reduce?
4. Simplifica la expresión

x x x x x
x x x x x
. . . . ... .
. . . . ... .
2 3 4 20
3 2
3 3
3 4
3 20
3
.
5. Halla
A B
AB
+
si se tiene que
A B
= =
5 5 5 81 81 81
5
5
5
... ...
y
6. Compara las siguientes expresiones.

4
81
7 7
9
1
2
8 2
16
1 4
4
+
−
.
.
.
7. Halle el valor de x si

8
27
27
3
2
2
2
2
2 2
x = . .

2.o
de secundaria 17
Álgebra
8. Simplifica

9 9
90
2 1
1
n n
n
n
+ +
+
+
.
9. Calcula x+y.
x y
= = + + +
7 7 7 6 6 6
... ...
10.
Halla n
si x x x
n
3
3
4
8
8
0





 =
; .
11.
Si ab= 81,
calcula ab a b
. .
Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios y/o problemas de potenciación y radicación.
1. Calcula
L = +
16 46
3
2. Si se sabe que
J = +
16
3
3
4
27
12
15 , halla J −1.
3. Halla la raíz cuadrada de
251/2
+360,5
+161/4
+811/4
.
4. Reduce

2
2
4
4
1
15
13
315
314
1
+ + −
.
5. Efectúa
y y y y
7
6 5
6 4
6 2
6
⋅ ⋅ ⋅ .
6. Reduce

2
2
5
5
715
713
315
314
+ .
7. Reduce
T = + −
5
5
2
2
3
3
26
23
16
15
5
.
8. Reduce
2 16 2
5 25
4 4 1
4 8
3
+ − .
9. Al reducir la expresión

75
3
54
2
48
3
3
3
4
4
+ + ,
¿qué se obtiene?
10.

x y y x
xy
⋅ ⋅
3
.
11.
F = + − −






−
2 32
1
4
30
5
2
.
12.
Efectúa

1
3
1
4
2
2





 +






−
−
.
13.
−
( )

 
 + −
( )
2 8
3
2
3
5
.
14.
Efectúa la operación
27 36 25 2
3 1 2 1 2 1
1
2
− − −
−
+ + +



 .
15.
El piso de una habitación de forma cuadran-
gular tiene 400 baldosas. ¿Cuántas baldosas
cuadrangulares tiene por lado?

16.
Comenta sobre el significado de “La raíz de
los problemas sociales es la desigualdad
social”.

Álgebra
Compendio escolar
18
3
TEMA Expresiones algebraicas
Objetivos
 Reconocer y reducir términos semejantes.
 Resolver diferentes ejercicios con expresiones algebraicas.
eXPresión algebraica
La expresión que enlaza variables y/o cons-
tantes mediante un número finito de adiciones,
sustracciones, multiplicaciones, divisiones, po-
tenciaciones, y/o radicaciones, y donde los
exponentes e índices son constantes; se llama
expresión algebraica. La representación simbó-
lica, que nos permite reconocer quienes son las
variables y constantes de una expresión alge-
braica se llama notación matemática.
Ejemplos
1. En la expresión
F x x x
x
( ) = − +
2 3 5
3 2
Variables:
Constantes:
2. En la expresión
F x y xy xy
x y
;
( )
−
= − +
5 3 2
2 5 3
Variables:
Constantes:
3. En la expresión
F x xy z
x y z
; ;
/
( )
−
= + −
4 3
2 1 3 2
Variables:
Constantes:
4. Escribe dos ejemplos de expresiones alge-
braicas.
....................................................................
....................................................................
Actividad en el aula
1. Indica las variables y constantes de las si-
guientes expresiones algebraicas.
a. F x x x
x
( ) = − +
2 3 5
5 2
Variable: ................................................
Constante: .............................................
b. G x y y x y
x y
;
( ) = − +
7 3 2
2
Variable: ................................................
Constante: .............................................
c. H x y xy
x y z
; ;
/ /
( ) = +
π 1 3 1 2
7
Variable: ................................................
Constante: .............................................
d. R x y x x
x y
;
/ /
( )
−
= + +
2
3
4
5
3
1 1 5 1 3 2
Variable: ................................................
Constante: .............................................
2. Las siguientes expresiones ¿son algebrai-
cas? ¿Por qué?
a. A(x)=1+x+x2
+x3
+x4
+...
..............................................................
..............................................................
b. B(x; y)=2y+xy+3x
..............................................................
..............................................................
c. C y x y y
x y
x
;
( ) = + +
2 3
..............................................................
..............................................................
3. Reduce
Q(x; y)=10x2
y–4xy2
–5x2
y+8xy2
.
Q(x; y)=..........................................................
Q(x; y)=..........................................................

2.o
de secundaria 19
Álgebra
4. Reduce
R(a; b; c)=5ab – 8bc+7ba+10bc
R(a; b; c)=........................................................
5. Reduce
P(x; y; z)=xyz+3x2
yz – 4xy2
+5I+5xy2
z –10xy2
P(x; y; z)=........................................................
P(x; y; z)=........................................................
6. Halla a+b si los siguientes términos
A(x; y)=5x a+1
y12
; B(x; y)=8x4
yb+5
son semejantes.
7. Si los términos A(x; y)=(m – 2)x 3
yn
;
B(x; y)=(n+3)x m
y 2
son semejantes, calcula la
suma de los términos.
8. Halla a+b si los siguientes términos son se-
mejantes.
P(x; y)=2x 2a –1
y5
; Q(x; y)=8x5
y3b –1
9. Si los siguientes términos
A(x; y)=5x 3a+2
y7
; B(x; y)=3x11
y2b – 5
son semejantes, calcula (b – 2a)99
.
10.
Si los siguientes términos P(x; y)=3x 2a+b
y8
;
Q(x; y)=2x7
ya+2b
son semejantes, calcula a+b.
11.
Reduce los términos semejantes consideran-
do los símbolos de agrupación.
a. P(x)=–(2x – x2
)+[2x 2
+3x]
P(x)=.......................................................
P(x)=.......................................................
P(x)=.......................................................
12.
Reduce las siguientes expresiones.
a. H(x)=4x – x – 2x
b. P(a)=5a – 8a+3a
c. R(y)=– 6y4
– y4
+10y4
13.
Reduce las siguientes expresiones.
a. M z z z z
z
( ) = − − −
1
2
1
3
3
2
4
3
5 6 5 6
b. N b b b b
b
( ) = − − −
1
5
3
4
4
5
2
5
4 2 4 2
c. H(a; b)=– 9b+3ab2
– 7b – ab2
d. T(a; b; c)=2a+4b – 5c – 4a+b+c
e. R(x; y; z)=xyz – 3xz+8xyz+xz
f. P(x)=ax+bx+cx
14.
Reduce los siguientes términos semejantes.
M(x; y)=2x3
y5
+9x3
y5
+8x3
y5
– 20x3
y5
N(x; y)=2x2
y – 3x3
y2
+5x2
y+8x3
y2
– 4x2
y+6x3
y2
P(x; y)=3xy2
+(b+2)xy2
+(3 – b)xy2
15.
P(x)=ax a –2
+bx b – 3
+5x5
se tiene P(x)=20x5
. Calcula (b – a)3
.
16.
Q(x; y)=2ax2a+b
y2
+3bx8
y2
,
se tiene Q(x; y)=12x8
y2
. Calcula (a – b)2004
.
1. Identifica y escribe los elementos de cada
uno de los términos algebraicos.
a. 52 6 4
x y b. −
2
5
4 6
m np
2. Si16 9 2 11
x y z
m
y a x y z
n
p
2 2 5
3
4 son términos se-
mejantes, calcula el valor de a+m+n+p.
3. Si 4 5
5 3 2 3 5 2 9
ax y ay x
n m m n
− − + +
= ,
calcula el mayor valor de a+m+n.
4. Si la expresión algebraica
5
3
4
2
3
4 5 1
x x ax
n
m
k
+ − −
se reduce a 4x 9
,
calcula el valor de
8
7
a m n k
+ + + .

Álgebra
Compendio escolar
20
5. Simplifica

7
30
7
30
7
30
1
75
1
75
1
25
x x x x x
+ + +





− + + +
... ...
veces

7
75
25
x






veces

.
6. Si los términos
A(x; y)=(m – n)xm y
B(x; y)=(m+n)x2
· y6 – n
son semejantes,
calcula
m n
n m
m
+
−





 .
7. Reduce
x x x x
+ + +
( ) + +
( ) − ( )
1 2 4 3 9 3 2 .
8. La figura que se muestra es un rectángulo.
3x
2x+5
a. ¿Cuál es el menor valor natural de x para
que la figura mostrada exista? Funda-
menta tu respuesta.
b. Determina la expresión algebraica que
represente al perímetro.
c. Determina la expresión algebraica que
represente el área de dicha figura geomé-
trica.
9. Se tiene un terreno de forma rectangular
cuyo largo es dos veces más que su ancho.
En una de sus esquinas se desea construir
un ambiente cuyas dimensiones son la sexta
parte del largo y la cuarta parte del ancho del
terreno total. Calcula el perímetro de dicho
ambiente.
10.
Averigua y crea un problema sobre expre-
siones algebraicas que tenga que ver con las
actividades comerciales.
11.
Reduce las expresiones algebraicas.
a. 3x2
– 5(x – 2x2
) – 11x2
+x
b. 9a+2a(a3
– 5b) – 8ba+18ab+5
c.
3
4
1
4
1
4
3
4
3
n m m n m
+ + + +
12.
Si A=4x6
– 2x3
+4x+5y
B=–3x3
– 4x6
+4x+3+x2
,
calcula A+B y A – B.

2.o
de secundaria 21
Álgebra
4
TEMA Polinomios
Objetivos
 Conocer los polinomios de una o varias variables y sus elementos.
 Conocer las diversas propiedades de los polinomios.
 Conocer algunos polinomios especiales.
Las tablas de arcilla babilónica que fueron halladas en la Mesopotamia mostraron que ya entonces
se conocía el álgebra, es decir, el arte de contar empleando números, letras y signos, en el que cada
letra o signo representa simbólicamente un número u otra entidad matemática. El gran impulso
tomado por el álgebra vino de la mano de los matemáticos árabes que comenzaron a interesarse
por las operaciones y las propiedades que se podían aplicar a cualquier número. En un principio se
describían estas operaciones mediante frases muy extensas; las variables comenzaron a utilizarse
en el siglo xvi por lo que las cifras se simplificaron, ya que fueron sustituidas por expresiones
algebraicas. Durante ese siglo hubo tres hitos importantes en el desarrollo del álgebra. Cerca de
1515, el italiano Scipione del Ferro descubrió un método algebraico para resolver las ecuaciones
de tercer grado y Girolamo Cardano, en su obra Ars Magna, consolidó el concepto de los números
negativos ya elaborado por matemáticos anteriores, y explicó las leyes por las que se rigen. Un
tema muy importante dentro del álgebra es el que relaciona los números, letras y operaciones
básicas, conociendo esta expresión como algebraica.
¡Atención!
Los polinomios aparecen en los lugares más inesperados, una molécula de ADN humano puede
medir hasta un metro y, sin embargo, debe estar comprimida en una célula cuyo tamaño es de
una 5 millonésimas de metro. A pesar de estas apreturas, cuando debe autoduplicarse, lo hace
perfectamente sin ningún problema aparente. Para estudiar el modo como el ADN entrecruza
y forma esos nudos tan particulares que le permiten mantener la estructura se utilizan diversos
métodos matemáticos, entre ellos los llamados polinomios de Jones.
¿En qué otras cosas se pueden en-
contrar y/o utilizar los polinomios?
Origen y desarrollo del álgebra

Álgebra
Compendio escolar
22
Propiedades
El término independiente (TI) se calcula reem-
plazando la variable por el número 0.
En el polinomio
P(x)=3x2
– 5
TI=P(0)=3(0)2
– 5= – 5
1. Identifica los elementos en cada polinomio.
a. P(x)=5 – 2x
variable ....................
coeficientes ....................
número de términos ....................
grado ....................
término independiente ....................
b. R(y)=2y3
+ 7y2
– 3
variable ....................
coeficientes ....................
grado ....................
c. R(x)=3x3
+2x – 6x5
+7x4
– 2
variable ....................
coeficientes ....................
grado ....................
d. L(z)=4z5
+6z – 3z 2
+7z3
+1
variable ....................
coeficientes ....................
grado ....................
2. En tu cuaderno, indica cuáles de las siguien-
tes expresiones no son polinomios. Justifica
tu respuesta.
 N y
y
( ) = −
4
1
3
2 ( )
 R(x)=5x3
– 2x+6x –1
( )
 U(z)=1+z+z2
+z3
+... ( )
 M(y)=5+3y2
+8y1/3
( )
3. En el polinomio
R(x)=6x5
– 10x4
+13,
calcula grado+coeficiente principal+término
independiente.
4. En P(x)=2x5–3n
+5x3n+2
– 6x3
+1 si 0  n  3,
n ∈ Z, calcula n2
+1.
¿Sabías que...?
• Los polinomios están presentes en la
física para calcular la velocidad.
V=e/t donde
e: espacio
t: tiempo
v: velocidad
• En la geometría, para calcular el área
de una superficie cuadrada.
Área=x2
x: longitud del lado en metros
La suma de coeficientes (SC) se calcula reem-
plazando la variable por el número 1.
En el polinomio
P(x)=3x2
– 5
(SC)=P(1)=3(1)2–5=–2

2.o
de secundaria 23
Álgebra
6. Dado el polinomio Q(x; y; z)=5x2
yz,
halla
GR(x)=............... GR(y)=...............
GR(z)=............... GR(Q)=...............
7. Dado el polinomio
P(a; b)=a4
b3
– 2a2
b7
+5a3
b2
,
halla
GR(b)=............... GA(P )=...............
8. Dado el polinomio F(x; y)=1024xn+1
ym+4
.
Si GRx(F )=6 y GRy(F )=9, calcula mn.
9. Calcula el valor de a si
P(x; y)=24
x a
ya+2
+12y a+5
x a – 2
+3x 3a
+ya+7
,
tiene GA(P )=15.
10.
Calcula el grado del polinomio de
P(x)=2x n – 5
+3x n – 3
– 7x7 – n
.
11.
Dados los monomios semejantes
B(x, y)=(n+4)xm
y3
C(x, y)=(m – 3)x4
yn
Calcula la suma de sus coeficientes.
12.
Si la expresión P(x )=axa – 2
+bx b – 3
+5x5
resulta
ser un monomio equivalente a 20x5
, calcula
(b – a)3
.
13.
El monomio M(x, y) = 5x4a
y3
es de grado 15.
Calcula el valor de a.
14.
Halla n en el siguiente monomio si es de 8°
grado con respecto a x; y su grado absoluto
es 15.
M(x, y)= 2xn+p
y2p –n
15.
En el monomio M(x; y)=5xa+2b
ya – 3
, se sabe
que GRx=13 y GRy=2. Calcula a – b.
16.
Si P(x, y)=3x4
y7
– 6x5
y2
+x2
y2
,
calcula GA – GRx – GRy.
17.
Si el GA del polinomio es de 9° grado, halla n.
P(x )=2+x n
+2xn+3
– 5x n+7
18.
Del polinomio
P(x, y)=2x m+2
– 6xm
yn
+7x m+1
yn+3
se conoce GRx=3 y GRy=7
Calcula el GA de P(x, y).
5. Halla el grado de las siguientes expresiones algebraicas como se indica en la tabla.
Monomio GA GRx GRy GRz Polinomio GA GRx GRy GRz
3x7
y2
z5
P(x; y; z)=3xy+8x3
y2
–9x2
y4
3xyz P(x; y; z) =2x3
–6xy5
+ 4x2
y3
1
2
2 3
x yz P(x; y)=x3
+2x3
y2
– 6x4
y3
M(x; y) = 8y2
x4 A(x; y; z) = –7xy3
+ 4x2
y3
–
5x3
y
M(x; y) = –3x3
z6 Q(x; y; z) = 2x3
yz4
+3x5
y –
7x2
z5
M(x; y) = 2x5
y4
z P(x; y; z) = 3x4
y2
z+2x3
z4
– 5z3
M(x; y) = –5x3
y7
B(x; y; z) = 6y3
z3
+5y2
– 6x3
y4
z

Álgebra
Compendio escolar
24
1. Si en R(a; b)=3 · a3n –1
· bn – 2
, se sabe que GA=13,
calcula GRa.
2. Si el siguiente monomio
M(x; y; z)=– 4x a+1
yb+2
z4
es de GA=14 y GR(y)=GR(z),
calcula a · b.
3. Dado el polinomio
P(x; y)=xa
yb
+x a+1
yb+2
+xa+3
yb – 3
si GA=7,
además a – b=2, calcula A=ab
.
4. Si de P=3xn
w3+n
+2xn
w2+n
,
se sabe que GA(P )=7, halla GR(w).
5. Calcula a si en el polinomio
P(x; y)=5x3
y4
– 7xa+3
y8
+2xa+1
y11
,
se cumple que GR(x )=8.
6. Halla a en P(x; y)=– 2x a+2
y+5xa
si GA=8.
7. Halla a+a2
– 20 en
P(x; y)=5x2a+1
y2
– 3xa+2
ya+2
si GA=11.
8. Halla la suma de coeficientes si
P(x; y)=– a2
y4
– 3xa+3
y8
+2xa+1
y11
,
sabiendo que GRx – GRy=1.
9. Si P(x; y)=3x2a – 6
yb
+ax2a – 2
yb+2
+by7
es de GR(x)=14 y GR(y)=6,
calcula a+b.
10.
Si
P(x; y)=axa+b
yc+2
+bxa+b+1
yc+3
+cxa+b+3
yc
+(a+b+c)
es de GR(x )=14; GR(y)=6,
calcula la suma de coeficientes.
1. Halla la suma de coeficientes en
P(x )=axb – 2
+6x+a+1
si el término independiente es 10.
2. Halla el grado de
P x x x x n
x
n n n n
( ) = + − − +
+ +
3 4
2 2 2 2
si el término independiente es 12.
3. Calcula el grado del polinomio
P x
n
x
x
n
( ) = + +
3
2
2
2
si la SC es 9.
4. Sea el monomio S(x; y; z)=abcxa
yb
zc
.
Además, se sabe que el GA(S )=18
GA(S ) – GRx(S )=10
GA(S ) – GRy(S )=12
GA(S ) – GRz(S )=14
Calcula el grado relativo respecto a cada
variable.
5. En el monomio M(x; y)=3(m –1)x n –3
y3n
,
el GA(M )=21 y el GR solo es GA(M ) es igual
al coeficiente. Halla mn.
6. Calcula mn si el polinomio
T(x; y)=4xm+1
yn – 2
+6xm+2
yn
–1
+6xm+3
yn –2
.
tiene GA(T )=20 y GR(x )=8
7. Si el polinomio R(x )=5x2n – 6
– 3x3
+nx+n2
+1 es
de grado 4, calcula la suma de coeficientes.
8. El propietario de una finca quiere plantar
una huerta de 500 m2
de forma rectangular
y pegada al río. Para evitar destrozos de las
vacas, decide cerrarla, salvo el lado colin-
dante al río, utilizando 70 m de tela metálica.
a. ¿Cuánto deben medir los lados?
b. ¿Cuánto mide el lado que da al río?
Traduce al lenguaje algebraico los siguientes
enunciados.
Longitud de cada uno de los la-
dos iguales
Longitud del tercer lado
Área de la huerta (largo o ancho)
Ecuación (área=500 m2
)

2.o
de secundaria 25
Álgebra
 grado de un polinomio. Es una característica propia de la(s) variable(s) de los polinomios, la cual relaciona a
los exponentes.
 notación polinómica. Es la representación de la(s) variable(s) del polinomio.
Glosario
1. En una granja, hay x patos, y conejos y z
pavos. Expresa el número total de patas que
hay en la granja.
2. El lunes, la temperatura fue de 3x2
 o
C; el
martes, – 5x o
C, y el día miércoles, 20 
o
C.
Calcula la suma de las temperaturas.
3. En el polinomio P x x x
x
( ) = + − +
6 2 3 1
4 5 2
,
calcula SC+TI.
4. En el polinomio
P x x x x
x
( ) = + − + +
5 2 3 2 3
4 8 6
,
calcula grado+SC+TI.
5. Si el grado de M(x)=5x2n+1
+3nn
– 2x+1 es 7,
calcula el valor de n2
.
6. Si el TI=10 del polinomio
R x x n
x
n n
( ) = + + +
+ +
4 3 3 1
2 4 1 ,
calcula su grado.
7. Dado al polinomio
P x x x n
x
n
( ) = + − +
+
2 3 2
4 5 3
, cuya SC=6
halla el grado.
8. Representa los siguientes enunciados alge-
braicamente.
a. La tercera parte de la edad de Antonio.
b. El perímetro de un rectángulo de lados a
y b.
c. El volumen de un cubo de 1 m de arista.
d. La mitad de un número disminuido en 3.
e. El cuadrado de tu edad aumentado en 8.
9. Un confeccionista produce (3x+1) pantalo-
nes, (5x – 2) camisas y (x+2) polos, los cua-
les se venden a S/.25, S/.18 y S/.10, respec-
tivamente.
a. ¿Cuántas prendas confecciona en total?
b. ¿Cuánto dinero se obtiene por la venta
total?
c. Si el costo de inversión es 8x2
+ 29x – 15,
¿cuánto gana?
10.
Si el polinomio P(x ) es de grado 10, halla m.
P x x x
x
m m m
( )
+ + +
= + +
7 6 5
1 2 3
11.
Del siguiente monomio
Q(x; y)= – 5x7a+1
· y 3a+5
calcula el GA sabiendo que GRx=22.
12.
Si en R(a; b)=3a3n –1
· bn – 2
,
se sabe que GA=13, calcula GRa.
13.
Halla la suma de coeficientes de P(x) si el po-
linomio es de grado 7.
P(x )=3mxm
+xm+2
– xm+4
14.
En el siguiente monomio
P(x; y)=(3a – 5)xa+7
· ya+4
,
se cumple que GA=15. Indica su coeficiente.
15.
Halla el coeficiente del monomio
M(x; y)=(a+b)x2a+1
· y3b – 5
si se sabe que GR(x )=7; GR(y)=13.
16.
Halla el grado del siguiente polinomio
P(x; y)=23
x9
y2
– 37
x4
y5
.

Álgebra
Compendio escolar
26
5
TEMA Polinomios especiales
Objetivos
 Identificar los casos de polinomios especiales.
 Resolver diferentes ejercicios sobre polinomios especiales
Polinomio ordenado
Se dice ordenado respecto a alguna de sus va-
riables cuando sus exponentes solo aumentan o
disminuyen ordenadamente.
Ejemplos
1. P(x)=x 4
+x20
+x35
es ordenado en forma ascendente.
2. Q(x; y)=5x3
y5
+4x4
y2
+x5
y
Respecto a x, es ordenado y ascendente.
Respecto a y, es ordenado y descendente.
Polinomio comPleto
Se dice completo respecto a alguna de sus va-
riables si existen términos de todos los grados
incluyendo el término independiente hasta un
grado determinado.
Ejemplos
1. P(x)=2x3
–5+x–3x2
es completo respecto a x.
2. Q(x; y)=3x5
y2
+2x4
y+3
es completo respecto a y.
no es completo respecto a x.
Polinomio HomogÉneo
Un polinomio de al menos dos variables es ho-
mogéneo si sus términos son semejantes y tie-
nen igual grado.
Ejemplo
P x y x y xy
x y
;
( ) = + +
3 2 5
4 3
7
5 2
7
6
7

GA:
Polinomios idÉnticos
Dado los polinomios
P(x)=ax2
+bx+c
Q(x)=mx2
+nx+c
Si P(x) y Q(x) son idénticos (P(x)≡ Q(x)),
se cumple que a=m; b=n; c=r.
Polinomio idÉnticamente nulo
Un polinomio P(x) es idénticamente nulo si para
todo valor de x el valor numérico es cero, es de-
cir, sus coeficientes son nulos.
I. Responde las siguientes preguntas.
1. ¿Toda expresión algebraica es un poli-
nomio?
..............................................................
..............................................................
..............................................................
2. Un polinomio homogéneo, ¿puede ser
de solo una variable?
..............................................................
..............................................................
..............................................................
3. Encierra en un círculo la afirmación falsa.
I. Un polinomio completo siempre está
ordenado.
II. Un polinomio completo de grado 6
siempre tiene 7 términos.
III. Si el grado de P(x) es mayor que el
grado de Q(x), entonces el que tiene
más términos es P(x).
Da un ejemplo para cada caso.
I. .........................................................
II. .........................................................
III. .........................................................

2.o
de secundaria 27
Álgebra
II. Resuelve los siguientes ejercicios.
1. El polinomio P(x; y)=x5
+xn
y2
+xm
y4
+yr –1
es homogéneo. Calcula m+n+r.
2. Calcula la suma de coeficientes del polinomio Q(x; y)=nxn+5
+3xn
ym
+mxm+3
si Q(x; y) es homogéneo.
3. Establece la verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes enunciados.
a. El polinomio P x y x y x y
x y
;
( ) = + −
2 4
1
2
6 3 4 5 2
es homogéneo. ( )
b. El polinomio M(x )=4x6
+2x4
– 3x2
+1 es ordenado en forma ascendente. ( )
c. Si n=2, el polinomio P(x; y)=2x 6
y2n
+3x4
y3n
– x8
y2
es homogéneo. ( )
d. El polinomio P(x )=4x 5
+2x4
– x3
+2x+5 es completo y ordenado. ( )
4. Si el polinomio H(x; y)=3x3n
y8
+x12
yn
es homogéneo. Halla n2
.
5. Sea el polinomio completo y ordenado
P(x)=2x4
+3xa
+2xb
– 5xc
+abc.
Calcula el TI.
6. Calcula la suma de coeficientes del polinomio completo y ordenado
P(x)=axa
+bxb
+cxc
+dxd
+abcd; (a ≠ 0).
7. Dado el polinomio homogéneo
M(x; y)=4xa+5
y2a+7
+3x5 – a
y17 – a
,
calcula a+GR(y).
8. Calcula a · b si
T(m; n)=ma
nb+2
+mb
· nb+5
+n9
es un polinomio homogéneo.
1. Escribe en tu cuaderno tres ejemplos de
cada polinomio especial.
R(x; y)=1
4
1
3
6 2 11 4 3 10
x y x y
n n
+ −
− ,
halla n2
+GR(x).
H(x; y)=2xa+3
y2
+3x10
y5
,
halla a+GR(x).
4. Sea el polinomio
P(x)=a+2xb
+3xc–2
+5x3
+2xd–3
completo y orde-
nado. Calcula a+b+c+d.
5. Si el polinomio
P(x)=4x5
+2xa –1
+3xb – 2
+ x2c
– 6x + 2
es completo y ordenado, halla a+b+c.
6. Si el polinomio
P(x) = (2a – 6)x4
+ (5 – b)x 2
– (c+1)x+d
es idénticamente nulo, halla a+b+c+d.
7. Si R(x;y)=5x3
y5
+2x10
y3
+4x6
y,
halla GR(y) + GA(R).
8. Si el polinomio
H(x )=(4a – 8)x3
+(b+3)x2
– (2c – 6)x+(2 – d)
es idénticamente nulo, halla a+b+c+d.

Álgebra
Compendio escolar
28
1. Si el polinomio
Q x y x y x y
x y
m n
( , ) = − +
5
3
2
3 9 4 8
es homogéneo, halla
m
n
.
2. Calcula el valor de m+n si R(x ) es ordenado y
completo respecto a x.
R(x )=3x4
– 7xm+2
+9xn –7
+8x+7
3. Calcula a+b si el polinomio
S(x,y)=5xa
yb
– (n+1)x2n
yn+1
+(ab)x3n
yn – 8
es homogéneo.
4. Si el polinomio es idénticamente nulo
P(x )=(a2
+b2
– 2ab)x3
+(b2
+c2
–2bc)x2
+
(a – c)x+d – 3,
halla E
a b c
bd
=
+ +
.
5. Calcula a+b si
P(x;y)=xa+1
y2a – 5
+x9 – n
yn+5
+xb – 3
y8
es homogéneo.
6. Se dan los polinomios idénticos
P(x )=(a – 3)x2
+(b2
– 2)x+1
Q(x )=5x2
+2x+c,
donde P(x ) Q(x ). Halla E=a+b – c.
7. Dados los polinomios idénticos
P(x )=x3
+4xa
Q(x )=xa+2
+(b – 2a)x, calcula a+b.
8. Si el polinomio es idénticamente nulo
P(x )=(m – 3)x4
+(n2
–4)x3
+(n–2)+px+c – 4,
halla M m n p c
= + + + .
9. Dados los polinomios
P(x )=(a – 3)x2
+(b2
– 2)x+1
Q(x )=5x2
+2x+c
donde P(x ) ≡ Q(x ). Halla E=a+b – c.
10.
Si P(x )=7xb+1
– 4xa – 2
+2xc – 3
– 1 es completo y or-
denado en forma descendente, calcula a · b · c.
11.
Dado el polinomio completo y ordenado,
F(x )=8xn –1
+x3
+9xn – 3
+x+xm –10
, halla m+n.

2.o
de secundaria 29
Álgebra
6
TEMA Valor numérico
Objetivo
 Calcular el valor numérico de un polinomio o expresión algebraica.
definición
El valor numérico de un polinomio se calcula
reemplazando la variable por una determinada
constante.
Ejemplos
1. Sea el polinomio P(x)=5x+x2
–2, halla el valor
numérico del polinomio si x=2.
Luego P(2)=5(2)+(2)2
–2=12.
2. Calcula el valor numérico de las siguientes
expresiones algebraicas.
a. F
x y
x y
;
( ) =
+ 2
2
cuando x=2 e y=4 es de-
cir, se va evaluar la expresión F cuando
la variable x toma el valor de 2 e y toma
el valor de 4.
F 2 4
2 2 4
2
;
( ) =
+ ( )
F 2 4
10
2
5
;
( ) = =
∴ F(2; 5)=5
b. F
x y
x
x y
;
( ) =
+ 2
2
para x=–1; y=2
A( ; )=.................................................
..............................................................
..............................................................
c. B(x)=x2
–2xy+4y+1 para x=2
B( ; )=.................................................
..............................................................
..............................................................
Al realizar una encuesta para conocer la preferencia en equipos de fútbol en un colegio, se obtienen
los siguientes datos.
Preferencia de equipos de fútbol
cantidad
equipos
14x2
– 3
10x2
+ 2
5x2
– 1
3x2
+ 2
otros
AL
SC
U
De la gráfica anterior,
a. determina la cantidad de hinchas de cada equipo de fútbol si se sabe que x=7;
b. calcula la cantidad de estudiantes encuestados.

Álgebra
Compendio escolar
30
1. Halla el V. N. (valor numérico) de las siguien-
tes expresiones.
a. C
x y
x y
x y
;
( ) =
+
−
3
para x=9; y=1
C( ; )=.................................................
C( ; )=.................................................
b. 1
2
1
2
2






−






−
para x=y=2
F( ; )=.................................................
F( ; )=.................................................
c.
2
2
3
3
5
4
2
3
−
−
−
−
+
x
x
x
x
para x=27; y=4
H( ; )=.................................................
H( ; )=.................................................
H( ; )=.................................................
d.
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
22 24 26 28 30
17 19 21 23 25
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
para x=1; y=1
G( ; )=.................................................
G( ; )=.................................................
G( ; )=.................................................
2. Si P(x )=2x2
+5x+1; calcula P(– 3).
3. Sea el polinomio P(x )=x2
+5x – 6.
Halla el valor de
a. P(1)
b. P(2)+P(3)
c. P(1)+P(2)+P(3)
4. Sea P(x; y)=2x 2
– 3y2
. Halla el valor de P(1; 0).
5. Si R
y
y
y
( ) =
−
−
5 4
3 2
,
halla
a. R(1)+R(2)
b. R(–1)+R(–2)
6. Dada la expresión

a
a
a
a
a
a
7
2
17
12
8
3
+ + calcula P(3) · P(2).
7. Si M(x)=3x – 1,
N(x)=x+2,
calcula el valor de M M
N
( ) ( )
( )
1 2
3
+ .
8. Si P x x
x
( ) = + +
2
1, calcula P(3).
9. SiP x x
x
( ) = + +
2
3
5
1
3
2
,calcula el valor deP
−






1
2
.
10.
Se define f x x
x
( )
− = + +
2
2
3 1.
Calcula el valor de f(3).
11.
Si P x
x+






= +
1
3
5 12, calcula el valor de P(–1).
12.
Si P x
x
2
3
2
4 4
−






= + , calcula el valor de P( ).
0
13.
Si P x x
x
( ) = + −
5 7 12
2
,
calcula el valor de P
P
( )
( )
−

 

1
1
.
14.
Si P(x )=x2
– 3x+1,
calcula el valor de E
P P
P P
=
+
−
− −
( ) ( )
( ) ( )
.
2 1
4 3
15.
Si se conoce el polinomio
P(x )=3x2
+x – 3,
calcula el valor de E P
P
P
=
( )
( )








1
.
16.
Si P m x x
x
( ) ( )
= − + −
2 8 5
2
, además
P(–1)=10, calcula el valor de m.
17.
Si P ax ax n
x
( ) = + + −
2
2 3 1, además
P(–2)=5, calcula el valor de n.
18.
Calcula el valor numérico de E para x =
2
5
si E x x
= − + − −
( ) ( )
5 1 5 1 1
3 2
.

2.o
de secundaria 31
Álgebra
19.
Un vendedor de golosinas vende (8x2
+7x+3)
paquetes de galletas y (5+2x+6x3
) bolsas de
caramelos por semana y los vende a un sol y
tres soles, respectivamente.
a. ¿Cuál fue la venta total?
b. ¿A cuánto vendió toda su mercadería?
20.
Si P(x )=x2
+2x+1; Q(x )=x2
– 2x+1, calcula

P a P
Q Q a
( ) + −
( ) − −
( )
( )
1
1
siendo a entero positivo.
21.
Dada la expresión
P(a )=– 5a(a+2) – 6a(a – 3)+3a(a – 2)+8a2
.
Calcula P(1/2).
22.
Sea H(y)=y+2, halla H [H(0)].
23.
Calcula el valor de P(– 2; 3) si se sabe que
P x xy x
x y
( ; ) = + −
7 3 7
2 2
.
24.
Resuelve los siguientes problemas aplicando
valor numérico.
a. Si P(x)=5x2
–18. Calcula P(P(2)).
b. Si P(x )=3x – 1, calcula A=P(P(P(2))).
c. Si P(x )=5x5
– 3x2
+7x+15, halla P(–1).
d. Calcula A si M(x )=2x4
si A
M M
M
=
+
( ) ( )
( )
0 2
1
.
e. Calcula P(7) si P(x )=– x5
+7x4
+2x –10.
f. Si P(x )=x4
– 2x2
+1, halla P [P [P [P [P (0)]]]].
g. Si se sabe que Q x
x
x
( ) =
+
−
1
1
,
calcula Q [Q (Q (3)))].
h. Si P(x )=7x4
– x2
– 3x+6, halla P(1).
i. Si F(x+2)=8x, halla F(3).
1. Si P(x)=3x+7, calcula P(–1).
2. Si P x
x
( ) = +
( ) +
2 1 10
2
, calcula P(0).
3. Si P x x
x
( ) = + +
3
2 4, calcula P( ).
2
4. Si N x x x
x
x
( ) ( ) ,
= + − + +






3 2
2
1
2
5 4 3
calcula N(–1).
5. Si R mx m x
x
( ) ( )
= + − +
2
5 1 1 , además
R(–2) =17, halla el valor de m.
6. Si P x
x
3
1
2 3
−






= + , calcula P(2).
7. Calcula f
f
f 1
( )
( )










si f(x )=x+3.
8. Si P x x
x
( ) = + −
2 4
2
, calcula E
P P
P P
=
+
−
− −
( ) ( )
( ) ( )
0 2
1 2
.
9. Si F(x )=ax+b y F(1)=4 y F(–1)=3,
halla F(12).
10.
Una fábrica que produce tres calidades de
pantalones fijó los precios de venta en
(x+10), (3x+6) y (2x+1) nuevos soles.
Si además mantuvo una producción cons-
tante de 5x2
unidades por cada tipo de
pantalón, determina el polinomio que re-
presenta en los siguientes casos.
a. El ingreso total por cada tipo de pantalón
y el ingreso total de la fábrica.
b. El valor monetario de dichos ingresos
si x=10 y representa el costo promedio
de dichos pantalones.
11.
Dados los términos semejantes, calcula a · b.
P(x; y)=4xa+2
y5
; Q(x; y)=x4
yb
12.
Halla la suma de los términos semejantes.
F1(x; y)=(a+b)xb –1
yc – 3
F2(x; y)=(c – a)x 5 – b
y7 – c

Álgebra
Compendio escolar
32
Resuelve los siguientes ejercicios sobre valor numérico.
a. Si P(x )=3x+2, halla P(5x) – 5P(x ).
b. Dada la expresión
F
x x
x
( ) =
+
1
2
, calcula F(2)+F(3)+F(4)+F(5).
c. Si P(x )=5x+n y P(n )=3, calcula 2n.
d. Si se sabe que f
a
a
a
( ) =
+
−
2
1
,
halla F [F [F [F (2)]]].
e. Si P(x )=mx+n, además P(12)=1, P(6)=0,
calcula P(18).
f. La gráfica muestra las velocidades y tiempos
utilizados por dos autos que partieron del
mismo punto.
V(m/s)
V2=5x+15
t(s)
t1=x+5
t1= x+1
V1=20x+10
q Halla el polinomio de las distancias reco-
rridas por los dos autos.
q Para x=1, ¿cuántos metros recorrió el
primer auto?
1. Suprima los símbolos de agrupación y re-
duzca los términos semejantes.
R(x )=2x+(3x – x2
) – (– x2
+4x)
S(y)=3y – (5y2
+4)+(– 4y+9y2
)+7
T(x; y)= – (x2
+2y)+[– 3x2
– y]+3y
U(y)=7y2
+y3
– [– 8y3
+3y2
– 2y3
]+(5 – y2
)
V(x )=–{4xm
– (2xm
+4)+[(– xm
+2) – 2]}
2. Dado P(x )=x2
– 4x+3,
calcula P(–1)+P(– 3).
3. De la expresión F
x
x
x
( ) =
+
−
1
1
,
calcula F(3) · F(5) · F(7) · F(9).
4. Si P(x)=(x –1)3
+(x+2)2
+10,
calcula
P P
P P
2 1
1 2
( ) ( )
−
( ) −
( )
−
−
.
5. Si P(x )=x2
– 3x+1,
calcula
P P
P P
−
( ) −
( )
( ) ( )
+
−
2 1
4 3
.
6. Si los términos
A(x; y)=5xa+1
y12
y
B(x; y)=8x4
yb+5
son semejantes, halla la suma
de términos.
7. Si los términos
P(x; y)=(m – 2)x8
yn
y
Q(x; y)=(n+4)x m
y5
son semejantes, halla la
suma de términos.
8. Reduzca
a. P(x; y)=5x3
y – 3x 3
y+x 3
y – 2x 3
y
b. Q(x; y)=13xy2
+xy2
– 12xy2
+5y2
c. R(x; y)=5xy2
– 3x2
y+3xy2
+5x2
y
d. T(x; y)=6xy2
– 3x3
y – 5xy2
+4x3
y
e. S(x; y)=13x5
y6
+(6 – b)x 5
y6
– (b+10)x 5
y6

2.o
de secundaria 33
Álgebra
9. Si los términos
A(x; y)=2bxb+1
y5
y B(x; y)=3ax4
y2a+1
son semejantes, calcula
A x y B x y
A x y B x y
; ;
; ;
( )− ( )
( )+ ( )
.
10.
Si la expresión P(x; y)=bxa+1
y8
+ax4
yb+6
se re-
duce a un solo término, calcula (a – b)2
.
11.
Reduzca los siguientes polinomios.
a. N(x; y)=–{–(2x – y)+x}+5y – (x – 2y)
b. H(x )=– 2x 2
– (x+2x2
) – (x – 2x)2
+5x
c. A(x; y)=5x
– (x+2) – {2x+9y
– [5x
– (3y
–
x+2)]}
12.
Sea la expresión matemática T(x )=2x
– 2x –1
,
calcula T(1)+T(2)+T(3)+T(4)+T(5).
 polinomio. Expresión algebraica que contiene variables y operaciones de adición, sustracción, multiplicación
y potenciación.
 valor numérico. Resultado numérico que se obtiene al reemplazar la variable del polinomio y al efectuar
operaciones.
Glosario

Álgebra
Compendio escolar
34
7
TEMA Operaciones con polinomios
Objetivo
 Resolver ejercicios con adición y sustracción de polinomios.
adición de Polinomios
Para sumar dos o más polinomios, debemos te-
ner en cuenta el siguiente esquema.
P(x)=ax2
+bx+c
Q(x)=mx2
nx+r
P(x)+Q(x)=(a+m)x2
+(b+n)x+(c+r)
+
Si no encuentras términos semejantes, deja es-
pacios en blanco y completa con cero.
Ejemplo
Si P(x)=5x2
+3
Q(x)=3x2
+8x+2,
calcula P(x)+Q(x).
Resolución
∴
P(x)=5x2
+0x+3
Q(x)=3x2
+7x+5
P(x)+Q(x)=(5+3)x2
+7x+(3+5)
P(x)+Q(x)=8x2
+7x+8
+
sustracción de Polinomios
En la sustracción de polinomios podemos tomar
la siguiente equivalencia.
P(x) –Q(x)=P(x )+[–Q(x)]
donde
–Q(x) es el opuesto de Q(x) y se obtiene cam-
biando de signo todos sus coeficientes.
Ejemplo
Si P(x)=7x2
+3x–4
Q(x)=3x2
–2x+3
calcula P(x) –Q(x).
Resolución
P(x)=7x2
+3x–4
–Q(x)=–3x2
+2x–3
P(x) –Q(x )=(7–3)x2
+(3+2)x+(–4–3)
P(x) –Q(x )=4x2
+5x–7
+
1. El señor Mauro tiene un terreno de forma
rectangular, cuyas medidas se muestran en
el gráfico.
x2
+5
2x +6
2. A partir del gráfico, responde.
a. ¿Qué polinomio representa el perímetro
de dicho terreno?
q Primera forma
.........................................................
q Segunda forma
.........................................................
b. ¿Qué operación realizaste para calcular
el perímetro?
..............................................................
..............................................................
3. ¿Qué polinomio representa la diferencia en-
tre el largo y ancho de dicho terreno?
....................................................................
....................................................................
¿Qué operación realizaste?
....................................................................
4. ¿Qué polinomio representa el área de dicho
terreno?
....................................................................
....................................................................

2.o
de secundaria 35
Álgebra
5. ¿Cuál es el mínimo valor de x para que exis-
ta la figura que representa el terreno del Sr.
Mauro?
....................................................................
....................................................................
A(x)=1– x – x2
B(x; y)=x3
– y –1
C(x; y)=2x3
– y4
– xy
D(x; y)=x2
+2xy+y4
E(x)=x+1
F(x; y)=2x – 3x4
– y
G(x; )=5x4
– 7x2
–1
H(x; y)=– 6x+y2
– xy2
realiza las operaciones que se indican
a. A(x)+E(x)
b. E(x) – A(x)
c. A(x)+E(x)+G(x)
d. B(x) – C(x)
e. E x A x E x A x
( ) ( ) ( ) ( )
+ − −

 


1. Dados los polinomios,
si P(x)=3x5
+2x3
–5x3
–5x2
+6 y
Q(x)=8x3
+3x2
– x –
4, calcula el polinomio
suma.
2. Si
P(x)=2x3
+5x – 3 y además Q(x)=4x – 3x2
+2x3
,
calcula el polinomio diferencia.
P(x)=4x2
–1
Q(x)=x3
– 3x2
+6x – 2
R(x)=6x2
+x+1
S(x)=x2
+4
T(x)=3x2
+5
U(x)=x2
+2
halla
a. P(x)+Q(x)
b. P(x) – U(x)
c. P(x)+R(x)
d. 2P(x) – R(x)
e. S(x)+T(x)+U(x)
P(x)=x4
– 2x2
– 6x –1
Q(x)=x3
– 6x2
+4
R(x)=2x4
– 2x – 2
calcula
a. P(x)+Q(x) – R(x)
b. P(x)+2Q(x) – R(x)
c. Q(x)+R(x) – P(x)
5. Dados los monomios
A=5x4
; B=20x4
; C=2x, realiza las siguientes
operaciones.
a. A + B
b. A – B
c. 3A+2B
d. A3
e. C2
f. A2
+C8
g. A · B
h. A · C
i. B · C
j. B – A
k. A(B – C)
 constante. Son aquellas expresiones que tienen un valor fijo para todo problema.
 variables. Magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto. Se les repre-
senta mediante las últimas letras: x, y, z.
Glosario

Álgebra
Compendio escolar
36
8
TEMA Productos notables
Objetivos
 Realizar multiplicaciones en forma rápida y precisa.
 Reconocer, aplicar e interpretar geométricamente el desarrollo de un binomio elevado al
cuadrado.
¡Es momento de recordar!
Escribe el nombre de tres personajes im-
portantes
a. De la Historia del Perú:
........................ ........................
........................
b. De los noticieros
........................ ........................
........................
c. De tu familia
........................ ........................
........................
Estos nombres los recordaste con facilidad
porque son .................. o .................. en
tu vida y tu educación.
saberes PreVios
multiPlicación Y Producto
Recuerda que la multiplicación no es lo mismo
que el producto, ya que la multiplicación de al
menos dos números genera el producto.
Ejemplos
1. 79 1000 79000
× =
multiplicación
indicada
producto

2. 55 100 2 11 000
× ×
( ) =
multiplicación
indicada
producto

3. x x x x
+
( ) +
( ) = + +
3 4 7 12
2
multiplicación
indicada
producto

Importante
Decir: “El producto 3 por 2” es incorrec-
to; lo correcto es decir: “La multiplica-
ción de 3 por 2 da como producto 6”.
leYes imPortantes Para la multiPlicación
con nÚmeros reales
a. ley conmutativa
q 3×7=7×3=21
q 25×4=4×25=100
En general, si a y b son números reales, se
cumple que a×b=b×a .
b. ley asociativa
q (5×4)×6=5×(4×6)=120
q 3
2
4 5
3
2
4 5 30
×





× = × ×
( ) =
En general, si a, b y c son números reales, se
cumple que (a×b)×c=a×(b×c) .
c. ley distributiva
q 4×(m+5)=4×m+4×5
=4m+20
q (b+7)×10=b×10+7×10
=10b+70
En general, si a, b y c son números reales, se
cumple que
c×(a+b)=c×a+c×b (a+b)×c=a×c+b×c
distributiva por derecha distributiva por izquierda
Importante
Mediante estas leyes podemos realizar
la multiplicación de dos o más números
o expresiones matemáticas para obtener
su producto.

2.o
de secundaria 37
Álgebra
Definición
Los productos notables son los resultados de
ciertas multiplicaciones indicadas, que se obtie-
nen siempre en forma directa, sin necesidad de
aplicar las leyes de la multiplicación.
Principales productos notables
Desarrollo de un binomio al cuadrado
(trinomio cuadrado perfecto)

(a+b)2
=a2
+2ab+b2
producto o trinomio
cuadrado perfecto
1
donde
- a: primer término
- b: segundo término
- a2
: primer término al cuadrado
- 2ab: el doble del primer término por el se-
gundo
- b2
: segundo término al cuadrado
también

(a – b)2
=a2
– 2ab+b2
producto
2
Luego tenemos que el producto en 2 será
leído: “El primer término al cuadrado menos
el doble del primer término por el segundo,
más el segundo término al cuadrado”.
Escribe cómo debe leerse el producto en 1 .
....................................................................
....................................................................
Representación geométrica de 1 me-
diante el cálculo de las áreas de las re-
giones sombreadas
a
a b
a+b
a +b
b
1. Completa los siguientes espacios dentro del paréntesis y da el resultado reducido.
a. (x+3)2
=x 2
+2( )( )+( )2
= ..................................................................................................
b. (2x+3)2
=( )2
+2( )( )+3( )
= ..............................................................................................
c. (5x – 3y2
)2
=( )2
– 2( )( )+( )2
= .......................................................................................
d. (8x3
– y4
)2
=( )2
– 2( )( )+( )2
= ........................................................................................
e. 2 5
2 3
2
x y
−
( ) =( )2
– 2( )( )+( )2
= ................................................................................
2. Halla el desarrollo de cada binomio al cuadrado.
a. (x+5)2
= ...................................................................................................................................
b. (6m – 5n)2
= .............................................................................................................................

Álgebra
Compendio escolar
38
c. (x – 8)2
= ..................................................................................................................................
d. (2p2
+5k3
)2
= ............................................................................................................................
e. (2x+3)2
= .................................................................................................................................
f. (5t+4u6
)2
= ..............................................................................................................................
g. (3x – 7)2
= ................................................................................................................................
h. (3z2
+5y)2
= .............................................................................................................................
i. (2w+7)2
= ................................................................................................................................
j. (6m4
+k8
)2
= .............................................................................................................................
3. Pinta del mismo color las expresiones que sean equivalentes y luego escríbelas en las líneas pun-
teadas.
(x + 5)2
49a2
+14ab+b2
(x – 6)2
4x2
+28+49
(7a + b)2 x
x
2
2
2
1
+ +
(x –16)2
x8
+ 2x4
y2
+ y4
(x + 8)2
x2
– 32x + 256
(x4
+ y2
)2
x2
+ 10x + 25
(2x + 7)2
x2
– 12x + 36
x
x
+






1
2
x2
+ 16x + 64
a. (x + 5)2
=x2
+ 10x + 25 e. .............................................................
b. ............................................................. f. .............................................................
c. ............................................................. g. .............................................................
d. ............................................................. h. .............................................................
4. En tu cuaderno, escribe el desarrollo de cada binomio al cuadrado.
a. (x + 3)2
d. (7x – 11)2
g. (5z2
+ k)2
b. (8m + 3k)2
e. (7x2
– t)2
h. (2x + 5)2
c. (9y2
+ 3w)2
f. (4x2
+ 7)2
i. (5z2
+ k2
)2

2.o
de secundaria 39
Álgebra
5. Utilizando el desarrollo del binomio al cuadra-
do, resuelve cada una de las siguientes ex-
presiones.
a. ¿A qué es igual x y xy
+
( ) +
2
4 ?
Rpta.: ....................................................
b. Si a
a
− =
1
1 halla el valor de a
a
2
2
1
+ .
Rpta.: ....................................................
c. Si x
x
+ =
1
7 , halla el valor de x
x
2
2
1
+ .
Rpta.: ....................................................
d. Si a + b = 12 y ab = 5, halla el valor de
E a b
= + −
2 2
34.
Rpta.: ....................................................
e. Si a + b = 6 y ab = 8,
halla el valor de a2
+ b2
.
Rpta.: ....................................................
f. Si x
x
+ =
1
4, halla el valor de E x
x
= +
2
2
1
.
Rpta.: ....................................................
g. Si x2
+ y2
= 36, xy = 18, calcula x – y.
Rpta.: ....................................................
h. Se sabe que m2
+ n2
= 5mn.
Simplifica
m n
mn
+
( )2
.
Rpta.: ....................................................
6. Utiliza la identidad de Legendre para reducir
las siguientes expresiones.
a.
a a
a
+
( ) − −
( )
2 2
2
2 2
b.
m m
m
+
( ) − −
( )
8 8
4
2 2
c.
a a
a
p p
p
+
( ) − −
( ) +
+
( ) − −
( )
4 4
2
5 5
2
2 2 2 2
d. x
x
x
x
+





 − −






2 2
2 2
e. (a+b)2
+(a – b)2
7. Utilizando la identidad de Legendre, reduce
cada una de las expresiones.
a.
2 25 2 25
8
2 2
a a
a
+
( ) − −
( )
b.
2 5 2 5
4 25
2 2
2
a a
a
+
( ) + −
( )
+
c. Si 16m2
+ 25n2
= 32mn,
reduce
4 5 4 5
8
2 2
m n m n
mn
+
( ) + −
( ) .
8. Efectúa ( ) ( )
5 5 5 3
2 2
+ + − .
9. Simplifica N x y x y
= + − −
( ) ( )
2 2
.
Identidades de Legendre
Se aplica la identidad de Legendre cuando los binomios tienen la siguiente forma.
(a+b)2
– (a – b)2
=4ab (a+b)2
+(a – b)2
=2(a2
+b2
)

Álgebra
Compendio escolar
40
1. Resuelve aplicando productos notables.
a. Si a+b=10 y ab=8, halla a2
+b2
.
b. Si x
x
+ =
1
8,
halla el valor de E x
x
= + +
2
2
1
8.
c. Si se sabe que m2
+ n2
= 6mn,
simplifica
m n mn
mn
+
( ) +
2
19
7
.
d. Si se sabe que m2
+ n2
= 6m,
simplifica
m n mn
mn
−
( ) +
2
12
6
.
e. Si a + b = ab = 6, entonces determina el
valor de a2
+ b2
.
f. Simplifica la expresión
M
a a
a
a a
a
=
+
( ) − −
( ) +
+
( ) + −
( ) −
3 3
6
1 1 2
2 2 2 2
2
.
g. Si x+y = 5 y xy = 5, entonces determi-
na el valor de x2
+ y2
.
h. Si a = 4+ 7 y b = 4 7
− ,
calcula el valor de
a b
ab
+ +1
.
2. Calcula el producto de cada expresión.
a. (2x+y)2
..............................................................
b. (4x+2y)2
..............................................................
c. (2x+5y)2
..............................................................
d. x +






1
2
2
..............................................................
e. 2
1
6
2
n +






..............................................................
3. Reduce
L=(a+1)2
– a(a+1).
4. Si m
m
+ =
1
2,
halla m
m
2
2
1
+ .
5. En cada caso, encuentra el trinomio cuadra-
do perfecto.
a. (2x – 5y)2
..............................................................
b. (y – 2x)2
..............................................................
c. (a – 2b)2
..............................................................
d. 2
1
4
2
n −






..............................................................
e. m −






1
2
2
..............................................................
6. Si x – y=3 y x2
+y2
=17, calcula xy.
7. Si x2
– x – 2
=2, calcula W=x 4
+x – 4
.
8. Si x
x
+ =
1
3, determina x
x
2
2
1
+ .

2.o
de secundaria 41
Álgebra
1. Desarrolla las siguientes expresiones.
a. (x + 5)2
b. (4x + 7y)2
c. (7a + b)2
d. (8 – a)2
e. (2x + 3yz)2
f. (4ab2
+ 6xy3
)2
g. (2x + 5)2
h. (3x4
– 5y2
)2
i. (2x4
– y2
)2
2. Reduce J = (2x+3y)2
– (4x2
+ 9y2
).
3. Calcula ( ) ( )
x x x
+ − + −
10 6 8
2 2
.
4. Sea a + b = 8, a . b = 15, halla a2
+ b2
.
5. Efectúa (x+4)2
– (x–4)2
– 16x.
6. Sea x
x
+ =
1
4, halla x
x
2
2
1
+ .
7. Si a + b = 7 y a2
+ b2
= 37, halla (a – b).
8. Sea x
x
− =
1
3, halla x
x
2
2
1
+ .
9. Reduce ( ) ( )
x x x
+ − + −
6 3 6
2 2
2
.
10.
Simplifica N
x x
x
=
+ + −
+
( ) ( )
5 1 5 1
5 1
2 2
2
.
11.
Indica verdadero (V) o falso (F), según co-
rresponda.
I. (x–3)2
= x2
+ 6x – 9 ( )
II. (x+y)(y–x) = x2
– y2
( )
III. (x+1)2
– (x–1)2
= 4x ( )
12.
Si se sabe que
A = (x + 4)(x – 6) y B = (x – 7)2
,
halla E = A – B + 73.
Bibliografía
 Academia César Vallejo. Ciclo escolar. Lima: Lumbreras Editores, 2009.
 Academia César Vallejo. Compendio Académico de álgebra. Lima: Lumbreras Editores, 2007.
 Academia César Vallejo. Álgebra y principios del análisis, Tomo I. Lima: Lumbreras Editores, 2000.
 PISCOYA HERMOZA, Luis. Retos de la matemática, el impacto del CONAMAT. Lima: Fondo Editorial UCH, 2009.

Álgebra
Compendio escolar
42
9
TEMA Productos notables: diferencia de cuadrados
Objetivos
 Identificar el desarrollo de una diferencia de cuadrados y realizar aplicaciones diversas.
 Comprender la utilidad de esta identidad para utilizarla en temas posteriores.
Para la diferencia de cuadrados, debemos tener
en cuenta que
(a+b)×c=a×c+b×c.
Si hacemos que c=a–b, reemplazando tenemos
(a+b)(a–b)=a×(a–b)+b×(a–b)
=a2
–ab+ba–b2
=a2
–ab+ab–b2
∴ (a+b)(a–b)=a2
–b2
Representación geométrica
ab
a b
(a–b)
(a–b)
a
a
a a
b
b
b
a b
b
a2
–b2
=(a+b)(a–b)
∴ (a+b)(a–b)=a2
–b2
Luego el producto es leído como sigue: “El
cuadrado de la primera base menos el cuadrado
de la segunda base”.
Ejemplos
q (a+5)(a–5)=a2
–52
=a2
–25
q (m–6)(m+6)=m2
–62
=m2
–36
q (102)(98)=(100+2)(100–2)
=1002
–22
=10 000–4
=9996
¿Sabías que...?
Galileo Galilei planteó la siguiente ley:
“Todos los cuerpos caen a la misma ve-
locidad en el vacío”.
Cuentan que, para demostrarlo, arroja-
ba objetos de distintos tamaños desde
lo alto de la torre de Pisa.
Para relacionar la distancia que recorre
un cuerpo en caída libre en relación con
el tiempo que transcurre y la aceleración
de la gravedad, se puede emplear la
siguiente expresión:
d gt
=
1
2
2

2.o
de secundaria 43
Álgebra
1. Completa los siguientes espacios que corres-
pondendentrodelparéntesisyluegoescribeel
resultado reducido.
a. (a + 2)(a – 2)=( )2
– ( )2
=
..............................................................
b. (a + 5)(a – 5) = ( )2
– ( )2
=
..............................................................
c. (3m + 5)(3m – 5) = ( )2
– ( )2
=
..............................................................
d. (2x3
+ 1)(2x3
– 1) = ( )2
– ( )2
=
..............................................................
e. (5t2
+ 2h)(5t2
– 2h) = ( )2
– ( )2
=
..............................................................
f. (5t2
+ 6h4
)(5t2
– 6h4
) = ( )2
– ( )2
=
..............................................................
2. Pinta del mismo color las expresiones que
sean equivalentes.
(x + 5)(x – 5) x
x
2
2
1
−
(x + 6)(x – 6) 4a2
– b2
(2a + b)(2a – b) 4x2
– 49y2
(3x + 5y)(3x – 5y) x2
– 64
(x + 8)(x – 8) x2
– 25
(x4
+ y2
)(x4
+ y2
) x2
– 36
(2x + 7y)(2x – 7y) 9 2
– 25y2
x
x
x
x
+





 −






1 1
x8
– y4
3. Halla el producto de cada multiplicación.
a. (x – 8)(x + 8) = .........................................
b. (2a + 5)(2a – 5) = .....................................
c. (5m – 2)(5m + 2) = ...................................
4. ¿De qué multiplicaciones provienen los
siguientes productos?
a. x2
– 25 = ..................................................
b. x4
– 1 = ....................................................
c. x8
– 1 = ....................................................
d. 25x2
– 36
= ..............................................
5. Reduce a a
a
+
( ) −
( ) +
2 2 4
2 2
.

6. Efectúa (a + 1)(a – 1)(a2
+ 1)(a4
+ 1) – a8
.
7. Reduce 3 5 17 257 1
4
⋅ ⋅ ⋅ + .
Recuerda que...
Gauss sugirió, en el
siglo xix, preparar en
Siberia una gigantesca
figura con el diagrama
de la demostración
euclídea del teorema
de Pitágoras para que
los alienígenas habi-
tantes de la Luna o de
Marte lo pudieran ver
con sus telescopios y dedujesen por él la exis-
tencia de seres inteligentes aquí en la Tierra. Este
proyecto fue citado por Julio Verne en De la Tie-
rra a la Luna.
Un siglo después, el escritor Pierre Boulle uti-
lizaría esta idea de manera similar: el diagra-
ma de la derecha es el medio que elige Ulises
Mérou, el protagonista humano de El planeta
de los simios, para mostrar su inteligencia a la
chimpancé Zira.

Álgebra
Compendio escolar
44
En cada caso, aplica la propiedad de binomio
al cuadrado y halla el valor de las expresiones.
8 8 6 6 3
+
( ) −
( ) + +
( ) −
( ) −
x x x x .
2. Halla el valor de E.
E x x x x
= +
( ) −
( ) + +
( ) −
( )
13 13 12 12
3. Efectúa
(x – 2)(x + 2) + (x + 3)(3 – x).
4. Calcula
M = [(x + 13)(13 – x) + (x + 12)(x – 12)]0,5
.
5. Reduce
(x + 4)(x – 4) – x2
.
6. Reduce
K = +
( ) −
( )
4 3 1 3 1
3
.
7. Encuentra la regla de correspondencia y
halla la expresión
a a a
+
( ) −
( ) +
( )+
2 2 2 16
2 2
.
8. Efectúa
(4x + 5)(4x – 5) + 25.
9. Halla el valor de x en
(x – 1)2
– (x – 3)(x – 3) = 0.
10.
La suma de dos números es 21 y la diferen-
cia de los mismos es 3. Calcula la diferencia
de los cuadrados de dichos números. ¿Cuá-
les son los números?
11.
Realiza las siguientes multiplicaciones.
a. (x + 8)(x – 8)
b. (2x + 3)(2x – 3)
c. (7m + 5)(7m – 5)
d. (3m2
+ 8p3
)(3m2
– 8p3
)
e. (x +3)(x – 3)
f. (5x +y)(5x – y)
g. (7m2
+ 3p3
)(7m2
– 3p3
)
h. (a4
b2
+ 2p3
q5
)(a4
b2
– 2p3
q5
)
12.
Reduce

2 3 2 3 9
2 2
a a
a
+
( ) −
( ) +
.
13.
Si x – y = 1, reduce
(x + y)(x2
+ y2
)(x4
+ y4
)(x8
+ y8
) + y16
.
14.
Reduce

5 5 2
2
m p m p p
m
+
( ) −
( )+
.
15.
Efectúa
2 4 10 82 1
4
⋅ ⋅ ⋅ + .

2.o
de secundaria 45
Álgebra
1. Halla el resultado de las siguientes multipli-
caciones.
a. (x + 10)(x – 10)
b. (x + 11)(x – 11)
c. (2x + 9)(2x – 9)
d. (x + 8)(x – 8)
e. (5k + 2t)(5k – 2t)
f. (3k2
+ t 3
)(3k2
– t 3
)
g. (7m + 3p)(7m – 3p)
h. (6m2
p4
+ t 3
)(6m2
p4
– t 3
)
i. (3x + 4y)(3x – 4y)
2. Reduce
2 7 2 7 49
2 2
a a
a
+
( ) −
( ) +
.
3. Reduce

3 8 3 8 9
32
2 2 4
x x x
+
( ) −
( )−
.
4. Simplifica
a b a b a b b
−
( ) +
( ) +
( )+
2 2 4
.
5. Calcula el valor numérico de

1
1 1 1
2
a a a
−
( ) +
( ) +
( )
para a = 2
4
.
6. Simplifica

a b
a b
a b
a b
a b
a b
+
−
+
−
+






−
+






2 2
2 2
.
7. Efectúa
(x + y)(x – y)(x2
+ y2
).
8. Reduce

x x x
x
−
( ) +
( ) +
( )+
1 1 1 1
2
2
4
.
9. Efectúa
3 5 17 257 4 1 1
8
4
⋅ ⋅ ⋅ +
( )− .
10.
Efectúa
4 6 26 626 5 1 1
8
23
⋅ ⋅ ⋅ +
( )− .
11.
Efectúa
4 15 4 15
+
( ) −
( ).
12.
Calcula
20082
– 2009 · 2007.

Álgebra
Compendio escolar
46
TEMA
Productos notables:
producto de binomios con un término común
Objetivos
 Reconocer y aplicar el producto de binomios con un término común.
 Comprender la utilidad de la identidad para utilizarla en temas posteriores.
Producto de binomios con un tÉrmino comÚn
Este producto notable corresponde a la multiplicación de binomios de la forma x+a por x+b. Al de-
sarrollar el producto, se observa que la estructura es la siguiente:
( + )( + )=( )2
+( + )· + ·
La fórmula para el producto de binomios con un término común se enuncia como sigue: Cuadrado
del primer término, más la suma de los términos distintos multiplicada por el término común y más
el producto de los términos distintos. Es decir
(x+a)(x+b)=x2
+(a+b)x+ab
Nota
términos no comunes
(x+a) (x+b)= x2
+ (a+b)x +ab
término cuadrado suma de producto
común del no de no
común comunes comunes
Ahora veamos su representación geométrica
b
x
x a

b
x
a
a
ab
ax
b
x
x
x
bx
x2
(x+a)(x+b) = x2
+bx+ax+ab
= x2
+(a+b)x+ab
∴ (x+a)(x+b)=x2
+(a+b)x+ab
A este producto notable se le conoce también como identidad de Steven.

2.o
de secundaria 47
Álgebra
Ejemplos
1. (x + 3) · (x + 2) = x 2
+ (3 + 2)x + 3 · 2 = x 2
+ 5x + 6; observa que 3 + 2 = 5
3 · 2 = 6
2. (a + 8) · (a – 7) = a 2
+ (8 – 7)a + 8 · (– 7) = a 2
+ a – 56; observa que
8 + (–7) = 1
8 · (–7) = – 56
3. (p – 9) · (p – 12) = p 2
+ (–
9 + –
12) · p + ( –
9) ·( –
12) = p 2
+ –
21p + 108; observa que
( ) + ( ) = – 21
( )( ) = 108
4. (x +1)(x – 2) = x 2
+ (1 – 2)x + (1)(– 2) = x 2
– x – 2; observa que
5. (x – 4)(x + 1) = x 2
+ (– 4 + 1)x + (– 4)(1) = x 2
– 3x – 4; observa que
6. s(x – 3)(x – 4) = x 2
+ (– 3 – 4)x + (– 3)(– 4) = x2
– 7x + 12; observa que
7. Completa los siguientes espacios dentro del paréntesis y luego escribe el resultado reducido.
a. (x + 1)(x + 2) = ( )2
+ (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................
b. (x + 2)(x + 6) = ( )2
+ (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................
c. (x + 9)(x + 5) = ( )2
+ (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................
d. (x + 3)(x + 2) = ( )2
+ (...... + ......)x + ( )( ) = ............................................................
e. (x + 6)(x – 2) = ( )2
+ (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................
f. (x + 8)(x – 5) = ( )2
+ (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................
g. (x – 5)(x + 2) = ( )2
+ (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................
h. (x – 8)(x + 6) = ( )2
+ (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................
i. (x – 1)(x – 2) = ( )2
+ (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................
j. (x – 4)(x – 3) = ( )2
+ (...... + ......) x + ( )( ) = ............................................................
8. Realiza las siguientes multiplicaciones.
a. (x + 8)(x + 8) = ............................................................................................................
b. (a + 1)(a – 3) = ............................................................................................................
c. (x + 4)(x + 5) = ............................................................................................................
d. (8h – 5)(8h – 9) = .......................................................................................................
e. (x + 6)(x – 5) = ............................................................................................................
f. (7x + 5)(7x + 9) = ........................................................................................................
g. (m + 3)(m – 2) = ..........................................................................................................
h. (2p – 1)(2p – 3) = ........................................................................................................
i. (x + 2)(x + 9) = ............................................................................................................
j. (3x – 4)(3x – 5) = ........................................................................................................
k. (3x + 5)(3x + 2) = ........................................................................................................
l. (5t – 3)(5t – 7) = ..........................................................................................................

Álgebra
Compendio escolar
48
a. (x + 4)(x + 8) – (x + 3)(x + 9)
..............................................................
b. (x + 5)(x + 2) – (x + 6)(x + 1)
..............................................................
c. (x + 8)(x + 1) – (x + 2)(x + 7)
..............................................................
d. (x + 6)(x – 4) – (x + 1)(x + 1)
..............................................................
e. (x – 4)(x – 3) – (x – 1)(x – 6)
..............................................................
f. (x – 3)(x – 10) – (x + 15)(x – 2)
..............................................................
g. (x + 5)(x + 7) + (x + 6)(x + 2) – 2(x + 4)(x + 6)
..............................................................
h. (x + 5)(x – 2) + (x – 1)(x + 7) – 2(x + 4)(x + 5)
..............................................................
i. (2x + 3)(2x + 1) – (2x + 5)(2x – 1)
..............................................................
j. (3x + 7)(3x – 2) – (3x + 4)(3x + 1)
..............................................................
10.
Utilizando las condiciones dadas, obtén los
valores señalados.
a. Si x2
+ 3x = 2, calcula
M = (x + 2)(x + 1) + 8.
b. Si x2
+ 5x = 1, calcula
N = (x + 1)(x + 4) + 5.
c. Si x2
– 2x = 3, calcula
P = (x + 6)(x – 8) + 50.
d. Si x2
+ 5x – 4 = 0, calcula
S = (x + 6)(x – 1) + (x + 2)(x + 3) + 4.
e. Si x2
+ 7x – 6 = 0, calcula
D = (x + 3)(x + 4) + (x + 4)(x + 3) – 10.
f. Si x2
– x – 3 = 0, calcula
H = (x + 5)(x + 1)(x – 2)(x – 6) – 20.
g. Si x2
+ 6x = 8, calcula
E
x x
=
+
( ) +
( ) −
2 4 1
5
h. Si x2
+ 3x = 2, calcula
F = x(x + 1)(x + 2)(x + 3).
11.
Desarrolla cada uno de los siguientes pro-
ductos notables.
a. (x + 5)(x + 3) =
b. (m + 5)(m – 5) =
c. (m – 2)(m + 2) =
d. (2x + 5)2
=
e. (3x – 2) · (3x + 1) =
f. (5x + 3y)2
=
12.
Reduce (x + 4)(x – 4) – x2
.
13.
El producto de dos números es 14 y la suma
de cuadrados es 36. ¿Cuál será la suma de
ambos números?
14.
Simplifica (x + 5)2x – (x + 6)(x + 4).
15.
Calcula (n + 2)(n + 7) – (n + 3)(n – 3) – 23.
16.
Reduce x x x
+
( ) +
( ) − +
( ) +
2 8 5 10
2
.

2.o
de secundaria 49
Álgebra
1. Utiliza la identidad de Steven para reducir las
siguientes expresiones.
a. (x + 8)(x + 7) – (x + 13)(x + 2)
b. (m + 50)(m – 30) – (m + 15)(m + 5)
c. (y + 35)(y + 5) – (y + 25)(y + 15)
d. (a + 4)(a – 5) – (a + 1)(a – 2)
a. (x + 8)(x – 6) + (x + 4)(x + 1) – 2(x + 2)(x + 1)
b. (x + 4)(x – 1) + (x + 5)(x – 4) – 2(x + 3)(x – 1)
c. (x + 2)(x – 3) + (x – 10)(x + 2) – 3(x – 2)(x – 1)
3. Si x 2
– 5x = 1, reduce
x x
−
( ) −
( ) −
3 2 13
4
.
4. Si x 2
+ 2x + 5 = 0,
calcula (x + 5)(x + 7)(x – 3)(x – 5).
5. Si x 2
+ 5x – 4 = 0,
halla el valor numérico de
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 80.
6. Si (x 2
– 3)(x 2
– 1) = 5, halla
x 4
– 4x 2
.
7. Si (x2
– 5)(x2
+ 3) = 4, halla
x4
– 2x2
.
8. Si (x + a)(x + 2) = x2
+ bx + 6,
halla a + b.
9. Si (x + 3)(x + a) = x2
+ bx + 9,
halla a + b.
10.
Si se sabe que
(2x + b)(2x – 3) = ax2
+ cx – 12,
halla abc.
11.
Halla la raíz cuadrada del polinomio
P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1
sabiendo que x2
+ 5x – 2 = 0.
12.
Si x2
+ 5x = – 3, determina el valor de
(x + 3)(x + 2) + (x + 1)(x + 4).
13.
Si x2
+ 8x = 1, halla el valor de
M = (x + 5)(x + 3) + (x + 7)(x + 1).
14.
Si (x + 3)(x – 2) = 2(1 – x),
halla M = (x + 1)(x + 2) + x(x + 3).
15.
Si (x
+ 4)(x – 3) + (x
+ 5)(x – 2) ≡
ax2
+
bx
+
c,
halla el valor de a + b – c.
17.
Calcula el área del siguiente gráfico.

x –11
x7
18.
Simplifica
19 1 19 1 1 10 10 1
3
+
( ) −
( )+ +
( ) −
( ).
19.
Determina el área del siguiente rectángulo.
2x3
2x10
20.
Halla
a b ab
+
( ) −
2
4 si a b.

Álgebra
Compendio escolar
50
1
1
TEMA
Productos notables:
desarrollo de un binomio al cubo
Objetivos
 Identificar el desarrollo de un binomio al cubo.
 Comprender la utilidad de estas identidades para aplicarlas en temas posteriores.
La palabra álgebra es de origen árabe, deriva del libro escrito
por el matemático Al-Khwarizmi titulado Compendio de cálculo
por el método de completado y balanceado, el cual proporcionaba
operaciones simbólicas para la solución de ecuaciones lineales y
cuadráticas.
Sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios, que ha-
bían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fue-
ron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el
uso de este sistema, aplicaron fórmulas para calcular valores des-
conocidos. Por el contrario, los griegos y los chinos de esta época,
normalmente, resolvían tales ecuaciones por métodos geométri-
cos, tales como los descritos en la matemática del papiro de
Rhind, en los Elementos de Euclides y en los Nueve capítulos
sobre el arte de las matemáticas.
Las mentes griegas de Alejandría siguieron las tradiciones
de Egipto y Babilonia, pero el libro Aritmética de Diofanto es-
taba en un nivel mucho más alto. Más tarde, los matemáticos
árabes y musulmanes desarrollaron métodos algebraicos a
un grado mucho mayor de sofisticación.
El matemático Diofanto ha sido tradicionalmente conoci-
do como el padre del álgebra, pero, en tiempos más recien-
tes, hay mucho debate sobre si Al-Khwarizmi, que fundó la
disciplina del álgebra, merece tal título.
Diofanto y Al-Khwarizmi,
creadores del álgebra
Ahora responde.
a. ¿De qué vocablo proviene la palabra álgebra?
b. ¿De qué nacionalidad fueron Al-Khwarizmi y Diofanto?
c. ¿Conoces el nombre de otros matemáticos que aportaron en la rama del álgebra?
Recuerda que...
En Egipto ya conocían los productos notables, pero no los calculaban algebraicamente;
los calculaban usando áreas.

2.o
de secundaria 51
Álgebra
1. Une con una flecha para señalar el equivalente de cada binomio al cubo.
(x + 2)3
q
q
(3x)3
– 3(3x)2
(1) + 3(3x)(1)2
–
(1)3
(x + 4)3
q
q
(x)3
+ 3(x)2
(5) + 3(x)(5)2
+
(5)3
(x – 2)3
q
q
(4x)3
+ 3(4x)2
(5) + 3(4x)(5)2
+
(5)3
(x – 1)3
q
q
(x)3
+ 3(x)2
(2) + 3(x)(2)2
+
(2)3
(x + 5)3
q
q
(x)3
– 3(x)2
(2) + 3(x)(2)2
–
(2)3
(2x + 3)3
q
q
(x)3
+ 3(x)2
(4) + 3(x)(4)2
+
(4)3
(3x – 1)3
q
q
(x)3
– 3(x)2
(1) + 3(x)(1)2
–
(1)3
(4x + 5)3
q
q
(2x)3
+ 3(2x)2
(3) + 3(2x)(3)2
+
(3)3
Desarrollo de un binomio al cubo
Se sabe que

(a + b)3
= (a+b)(a+b)2

=(a + b)(a2
+ 2ab + b2
)
= a(a2
+ 2ab + b2
) + b(a2
+ 2ab + b2
)
= a3
+ 2a2
b + ab2
+ a2
b + 2ab2
+ b3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
∴ (a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(I)
Si reemplazamos b por – b en (I), se tiene que
(a + (– b))3
= a3
+ 3a2
(– b) + 3a(– b)2
+ (– b)3
∴
(a – b)3
= a3
– 3a2
b + 3ab2
– b3
También será de mucha utilidad expresar estos
productos de la siguiente manera:
(a + b)3
= a3
+ b3
+ 3ab(a + b)
(a – b)3
= a3
– b3
+ 3ab(a – b)
Ejemplos
1. (x + 1)3
= x3
+ 3(x)2
(1) + 3(x)(1)2
+ (1)3
= x3
+ 3x2
+ 3x + 1
2. (x + 2)3
=
3. (x – 3)3
=
4. (x – 4)3
=
5. (x + 3)3
=
6. (x2
+ 3)3
=
7. (x2
– 1)3
=
8. (x – 2m)3
=
9. (n2
– 3m)3
=

Álgebra
Compendio escolar
52
a. Luego en las líneas punteadas, escribe
cada producto notable.
q (x + 2)3
= x3
+ 6x2
+ 12x + 8
q .........................................................
q .........................................................
q .........................................................
q .........................................................
q .........................................................
q .........................................................
q .........................................................
2. Desarrolla cada binomio al cubo.
a. (x + 1)3
= .................................................
b. (t – 2)3
= ..................................................
c. p +





 =
1
2
3
..............................................
d. (a + 4)3
= .................................................
e. (4k – 6)3
= ...............................................
f. y −





 =
5
4
3
...............................................
3. Si x + y = 3 y xy = 3, halla x3
+ y3
.
4. Si a + b = 6 y ab = 8,
halla a3
+ b3
.
5. Si a – b = 4 y ab = 2,
halla a3
– b3
.
6. Si m + n = 1 y mn = 2,
halla 3(m3
+ n3
) – 2(m3
+ n3
).
7. Si x
x
+ =
1
2,
halla x
x
3
3
1
+ .
8. Si a + b = 6 y ab = 8,
halla a3
+ b3
.
9. Si tenemos que
a – b = 4 y ab = 12, calcula a3
– b3
.
10.
Si tenemos que
a – b = 5 y ab = –14, calcula a3
– b3
.
11.
De la condición
a3
– b3
= 37 y ab(a – b) = 12, calcula a – b.
12.
De la condición
a3
+ b3
= 65 y ab(a + b) = 20, calcula a + b.
1. Realiza el desarrollo de los binomios al cubo
y luego reduce su expresión.
a. (x + 3)3
=
b. (x + 2)3
=
c. (2x + 3y)3
=
d. (5m + 3p)3
=
e. (2k – 3)3
=
f. (4z – 3t)3
=
g. (2z4
+ 3y2
)3
=
h. (2x3
– 3y4
)3
=
2. Si x + y = 4 y xy = –2, halla x3
+ y3
.
3. Si x + y = –5 y xy = –3, halla x3
+ y3
.
4. Si a3
+ b3
= 34 y ab(a + b) = 30, calcula a + b.
5. Si a3
+ b3
= 28 y ab(a + b) = 12, calcula a + b.
6. Si a3
– b3
= 26 y ab(a + b) = 6, calcula a – b.
7. Si a
a
+ =
1
3, halla a
a
3
3
1
+ .
8. Si x + y = – z, halla x3
+ y3
+ z3
.

2.o
de secundaria 53
Álgebra
1
2
TEMA División de polinomios
Objetivos
 Identificar los elementos en una división de polinomios relacionándolos con la multiplicación.
 Identificar y aplicar la división entre monomios, de polinomios a monomios y entre polino-
mios mediante el método clásico.
Hemos visto que la división, en general,
es más complicada que la multiplicación
y aunque ahora podemos resolverla con
gran facilidad, no siempre fue así.
En la antigüedad se consideraba sabio
a quien hacía correctamente y con rapidez
las divisiones; cada maestro en división
(algo así como un especialista) debía co-
municar a los demás el resultado de deter-
minadas operaciones.
Pocos sospechan que los actuales mé-
todos de realización de las operaciones
aritméticas no fueron, en su origen, senci-
llos y cómodos para que en forma rápida y
directa condujeran al resultado.
Nuestros antepasados emplearon mé-
todos mucho más lentos y engorrosos, y
si un escolar del siglo xx pudiera trasladar-
se tres o cuatro siglos atrás, sorprendería
a nuestros antecesores por la rapidez y
exactitud de sus cálculos aritméticos. El
rumor acerca de él recorrería las escuelas
y monasterios de los alrededores, eclipsando de la gloria de los más hábiles contadores de esa
época, y de todos lados llegaría gente a aprender del nuevo gran maestro: el arte de calcular.
En el libro de V. Belustino: Como llegó gradualmente la gente a la aritmética actual (1911),
aparecen 27 métodos de multiplicación, y el autor advierte: “Es muy posible que existan todavía
métodos ocultos en lugares secretos como las bibliotecas, que contienen información diseminada
fundamentalmente en colecciones manuscritas”. Y todos estos métodos de multiplicación:
“ajedrecístico o por organización”, “por inclinación”, “por partes”, “por cruz pequeña”, “por red”,
“al revés”, “por rombo”, “por triángulo”, “por cubo o copa”, “por diamante”, y otros, así como
todos los métodos de división, que tenían nombres no menos ingeniosos, competían unos con
otros, tanto en volumen como en complejidad. Dichos métodos se asimilaban con gran trabajo y
solamente después de una prolongada práctica. Inclusive se consideraba que para poder dominar
la multiplicación y la división de números de varias cifras significativas con rapidez y exactitud
era necesario un talento natural especial, una capacidad excepcional: sabiduría, que para los
hombres sencillos era inaccesible.
La división no es un asunto difícil
Grabado de la Aritmética de Magnitski (editada en el año 1708). El
dibujo representa el Templo de la Sabiduría. La Sabiduría está sentada
en el trono de la aritmética y en los escalones están los nombres de
las operaciones aritméticas (división, multiplicación, sustracción,
adición, cálculo). Las columnas son las ciencias en que la aritmética
encuentra aplicación, geometría, estereometría, astronomía, óptica
(conocimientos adquiridos por “vanidad”), mercatoria (cartografía),
geografía, fortiﬁcación, arquitectura.

Álgebra
Compendio escolar
54
Aplicación
Calcula la suma de coeficientes del cociente al
dividir P (x) ÷ Q (x).
P (m) = m5
+ 3m4
+ 5m3
+ 9m2
+ 7m + 2 y
Q(m) = m2
+ 4m + 1
Recuerda que...
En la división inexacta de polinomios, se tiene

D(x) d(x)
r(x) q(x)
donde
- D(x): dividendo
- q(x): cociente
- d(x): divisor
- r(x): residuo
Además D(x) = d(x) · q(x) + r(x)
Así, en el siglo xvi se consideraba que el
método más corto y cómodo para efectuar
una división era el de “lancha o galera”, de-
nominado así en Venecia.
Esto parece muy divertido, el mate-
mático italiano Nicolás Tartaglia (siglo xvi)
recomendaba precisamente dicho método
como “elegante, fácil, exacto, usual y el
más general de los existentes, útil para la
división de todos los números posibles”;
aunque ahora parezca aburrido, este agota-
dor método fue, efectivamente, el mejor en
esa época.
Adaptado de http://www.librosmaravillosos.com/aritmeticarecreativa/capitulo03.html
099994800000019948000000199994
166666000000088660000000866666
888888000000088880000000888888
999999000000009990000000099999
9999999000000009990000000099
888
0999
1660
88876
08
199
0860
08877
88
4 6
1 3
09
19
0878
División de números a la manera antigua, por el método de “galera”
Ahora responde.
a. ¿Qué métodos de división conoces?
b. ¿Cuáles son los símbolos que representan a
la operación de la división?
c. ¿En qué consiste el método de la galera?
Recuerda que...
Si quisiéramos dividir 69 entre 9, tendría-
mos el siguiente esquema:

69 9
63 7
6
donde se cumple

69 = 9(7) + 6
D = d q + r
Elementos de la división
- (D) dividendo = 69
- (d) divisor = 9
- (q) cociente = 7
- (r) resto = 6
Se puede observar que 69 9 y 9 6. Po-
demos, entonces, afirmar que se cumple
D  d y d  r

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