Ecuaciones diferenciales ordinarias tejero, ruiz

libro abierto / serie matem´gicas
a ´
Alvaro Tejero Cantero
Pablo Ruiz M´zquiz
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Ecuaciones diferenciales
ordinarias
¬¬¬¬1.1.0

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-1 -0.5 0 0.5 1

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EDO

ALQ
Ecuaciones diferenciales ordinarias

† lomo para ediciones impresas

Dedicado
A Lorenzo Abellanas Rap´n, por intentarlo todo para ense˜ar a sus alumnos.
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Alvaro Tejero Cantero alvaro@alqua.org http://alqua.org/people/alvaro
Pablo Ruiz M´zquiz
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Ecuaciones diferenciales ordinarias
versi´n 1.1.0
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1 de septiembre de 2003

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Copyright (c) 2003 Alvaro Tejero Cantero and Pablo Ruiz M´zquiz.
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Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA.

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Copyright (c) 2003 Alvaro Tejero Cantero and Pablo Ruiz M´zquiz.
u
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Commons. Para ver una copia de esta licencia visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/1.0/
o escriba una carta a Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA.

Serie matem´gicas
a
´
Area matem´ticas
a

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Editores
Pablo Ruiz M´zquiz
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Notas de producci´n
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compuesto con software libre

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Indice general

Portada I

Copyleft VI

´
Indice general VII

1. Ecuaciones diferenciales de orden 1 1
1.1. Introducciń. Generalidades. Ejemplos. . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Definiciń y tipos de eds . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Existencia y unicidad. Condiciones impuestas. . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3. Notaciń diferencial . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 7
1.2. Ecuaciones ordinarias de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Factores integrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3. Ecuaciones separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4. Ejemplos varios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.5. Homogńeas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . 19
1.2.6. edos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.7. Ecuaciń de Bernoulli . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 25
1.2.8. Ecuaciń de Ricatti . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 26
1.2.9. Reducciń de orden . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . 27

2. Sistemas de edos lineales 31
2.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Relaciń entre un sistema y una ecuaciń . . . . . .
o o . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1. De ecuaciń a sistema . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2. De sistema a ecuaciń . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . 33
2.3. Existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Sistemas homogńeos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1. Exponencial de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.2. Casos sencillos de exponenciales. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.3. Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4.4. Soluciń exponencial del sistema homogńeo
o e . . . . . . . . . . . . 40
2.4.5. M´todo Jordan directo . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . 41
2.4.6. M´todo del polinomio interpolador . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . 54

vii

´
INDICE GENERAL

2.4.7. El tercer m´todo, o RFJ . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . 57
2.5. Sistemas lineales inhomogńeos . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . 60
2.5.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5.2. M´todo de variaciń de las constantes . . . . . . . .
e o . . . . . . . . 61
2.6. Ecuaciones de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6.1. Planteamiento y notaciń . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 63
2.6.2. Ecuaciones homogńeas . . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . 64
2.6.3. Coeficientes variables: m´todo de reducciń de orden
e o . . . . . . . . 65
2.6.4. Coeficientes variables: ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . 66
2.6.5. Coeficientes constantes, ecuaciń homogńea . . . .
o e . . . . . . . . 66
2.6.6. Coeficientes constantes, ecuaciń inhomogńea . . .
o e . . . . . . . . 70

3. Sistemas din´micos
a 75
3.1. Introducciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 75
3.1.1. Justificaciń y plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 75
3.1.2. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2. Espacio de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3. Sistemas din´micos 1D y 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . 80
3.3.1. Sistemas din´micos en una dimensiń . . . . . . . .
a o . . . . . . . . 80
3.3.2. Sistemas de dimensiń dos . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 80
3.4. Caracter´ısticas generales de los sistemas din´micos . . . . .
a . . . . . . . . 84
3.4.1. Definiciń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . 84
3.4.2. Dibujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.3. Propiedades de las ´rbitas y soluciones . . . . . . . .
o . . . . . . . . 86
3.5. Puntos cr´ıticos en sistemas autńomos lineales . . . . . . .
o . . . . . . . . 87
3.5.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5.2. Generalidades sobre los puntos cr´ ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5.3. Cat´logo de puntos cr´
a ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5.4. Intuiciń: clasificaciń provisional . . . . . . . . . . .
o o . . . . . . . . 90
3.5.5. Clasificaciń final para puntos cr´
o ıticos . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5.6. Ejemplos de diferentes tipos de puntos cr´ ıticos . . . . . . . . . . . 93
3.5.7. El oscilador armńico como sistema autńomo lineal
o o . . . . . . . . 97
3.6. Puntos cr´ıticos de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.6.1. Algunas definiciones y un teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.6.2. Puntos no simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.6.3. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4. Soluciones por medio de series 107
4.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.2. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3. M´todos de soluciń . . . .
e o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4. Puntos ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5. Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6. Dos ecuaciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

viii Ecuaciones diferenciales ordinarias - 1.1.0

´
INDICE GENERAL

4.6.1. La ecuaciń de Hermite . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 115
4.6.2. La ecuaciń de Legendre . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . . . . . 117
4.7. Puntos singulares regulares. Caso (r1 − r2 ) ∈ Z ∗ . . . . . . . . . . . . . . 119
4.8. Puntos singulares regulares caso (r1 − r2 ) ∈ Z ∗ . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.8.1. El teorema de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.8.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Bibliograf´
ıa 135

Historia 137

Creative Commons Deed 139

Manifiesto de Alqua 141

El proyecto libros abiertos de Alqua 145

Otros documentos libres 149

http://alqua.org/libredoc/EDO ix

´
INDICE GENERAL

x Ecuaciones diferenciales ordinarias - 1.1.0

1 Ecuaciones diferenciales de orden 1
En este cap´
ıtulo se intentar´ familiarizar al lector con la nomenclatura y la notaciń
a o
de la teor´ de ecuaciones diferenciales ordinarias (edo), darle una perspectiva del vasto
ıa
campo de aplicaciones (no solo en la F´ ısica) que encuentra este tipo de ecuaciones y
comunicarle algunas tćnicas b´sicas de soluciń de las edo m´s simples, las de primer
e a o a
orden (edo1 en lo que sigue). Tambiń se dar´ una condiciń sencilla que deben cumplir
e a o
las ecuaciones de este tipo para tener soluciń y que ´sta sea unica, justificando as´ el
o e ´ ı
trabajo de hallarla en los casos en que dicha condiciń se verifique
o

1.1. Introducciń. Generalidades. Ejemplos.
o
1.1.1. Definiciń y tipos de eds
o
edo Una ecuaciń diferencial ordinaria es una funciń impl´
o o ıcita (y = y(x)).

F (x, y, y , y . . . , y ,n ) = 0

Ejemplo
y = y2 + x

Es una edo. Sin embargo
uxx + uyy = 2u − u2

es una ecuaciń diferencial en derivadas parciales —edp—, un tipo de ecuaciones que no
o
se tratar´ en este curso. Hay un abismo de dificultad entre las edps y las edos, de modo
a
que a veces se siguen estrategias como ´sta
e

uxx − uyy = 0
u(x, y) = A(x)B(y)

y se tiene dos edos en x y otras dos en y, conduciendo la soluciń de una edp a la de varias
o
edos (m´todo de separaciń de variables).
e o

Las ecuaciones diferenciales son extraordinariamente importantes para la F´
ısica.

Orden de una ed es el grado m´s alto de las derivadas presentes.
a

Soluciń es una funciń tal que al sustituirla en la ecuaciń la convierte en una identidad.
o o o

1


70

60

50

40

30

20

10

0
-1.0 -0.6 -0.2 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0

Figura 1.1: soluciones de y = y con c = 1, c = 2 y c = 3.

Notaciń
o

y + yy = 2x; y = y (x)
y + yy = 2t ; y = y (t)
x + xx = 2t ; x = x (t)
¨ ˙

La ultima notaciń es la m´s habitual en Mecńica, donde la funciń x (t) suele ser una
´ o a a o
trayectoria.

Objetivo hallar todas las soluciones o una en particular (cuando se da el valor inicial:
problema de valores inicial es).

1.1.2. Existencia y unicidad. Condiciones impuestas.
¿Hay soluciones?
No siempre. Por ejemplo, (y )2 + e2y + 1 = 0 (el miembro de la izquierda es siempre
superior a cero).

Th. de existencia y unicidad para la ecuaciń y = f (x, y)
o
∂f (x,y)
Si f (x, y) y ∂y son funciones continuas en un rectńgulo R (teorema local) por
a
cada punto P (x0 , y0 ) de R pasa una (∃) y s´lo una (∃!) curva integral (soluciń) de
o o
la edo y = f (x, y).
Ejemplo
y =y
y = cex
Esto es la soluciń general : hay una constante libre, porque ninguna condiciń ha sido
o o
impuesta.

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias - 1.1.0

1.1 Introducciń. Generalidades. Ejemplos.
o

Ejemplo
2
y = 3y 3
y = (x + c)3
No se cumple la condiciń sobre la derivada de y en el cero. No hay unicidad en el cero:
o
por ese punto pasan dos soluciones. El teorema no era aplicable. Lo que acabamos de ver
es una soluciń singular . Para una prueba del teorema, as´ como precisiones y ejemplos
o ı
adicionales, consultar [Elsgoltz].

¿Cuńtas condiciones soportan?
a
Es decir, si pedimos cosas a la soluciń, cuńtas podemos pedir. Examinemos la ecua-
o a
ciń y = 0; la soluciń general es y(x) = c. Ahora quiero la soluciń tal que y (0) = 4,
o o o
luego y(x) = 4 pero si adem´s quiero que en 1 valga 3 (y (1) = 3), estoy imponiendo un
a
n´mero de condiciones inaceptable para la ecuaciń.
u o
Desde el punto de vista geom´trico una edo es una expresiń del tipo pendiente=algo.
e o
La edo y = f (x, y) nos da un campo de pendientes en el plano. Una soluciń es una
o
curva tal que en cada punto su pendiente es lo que marca la ecuaciń. Esta curva se
o
llama curva integral. Veamos la siguiente ecuacińo
y =x+b
´
Esta es una familia uniparam´trica de curvas. Si derivamos respecto a x queda y = 1,
e
una edo de orden 1 cuya soluciń, funciń de la que hemos partido, tiene un par´metro
o o a
libre. Veamos ahora
y = ax + b
Derivamos una vez, y luego otra (para tener una ecuaciń) y obtenemos y = 0, una edo
o
de orden 2. Veamos ahora las circunferencias centradas en el origen
x2 + y 2 = r2
x
y = −
y
Pero si tomamos las de centro arbitrario, la derivada primera no es una edo, hay muchas
(una constante libre)
(x − a) + yy = 0
De modo que hay que derivar por segunda vez, y volvemos a ver la traducciń de la regla
o
de Barrow (una constante por proceso de integraciń): la soluciń general de una edo
o o
de orden n se expresa en t´rminos de n constantes arbitrarias. La respuesta a la pregunta
e
planteada es entonces que una edo de orden n soporta n condiciones.
Ejemplo (regla de Barrow)
y = f (x)
x
y(x) = f (λ)dλ + y(x0 )
x0
x
y(x) |x0=0 = f + y(0)
0

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y

x

Figura 1.2: Isoclinas: lugar geom´trico de los puntos del campo de pendientes con la misma pen-
e
diente.
x x

a a

t
f(x)

Figura 1.3: Independencia con respecto del tiempo de los campos de pendientes en ecuaciones au-
tńomas. Caso de dimensiń 1.
o o

Probarlo con y = 2x. Dibujar e imponer la condiciń inicial y (1) = 3. La soluciń
o o
particular que buscaba es
y(x) = x2 + 2
Esta “orden de pendientes” y = 2x dice que en x = 0 la pendiente es 0, que en x = 1 2
la pendiente es 1, etc. Las isoclinas (v. figura 1.2) son en esta ecuaciń rectas verticales
o
porque el campo de pendientes no depende de la altura y, sino s´lo de x, de modo que es
o
´
invariante frente a desplazamientos verticales. Este es el puente entre el C´lculo en una
a
variable y la teor´ de ecuaciones diferenciales ordinarias.
ıa

Ejemplo (ecuaciones autńomas)
o
y = f (y)
esta familia de ecuaciones ser´ explicada en el tercer cap´
a ıtulo (sistemas autńomos) y con
o
el lenguaje de la Mecńica de x (t)
a
x = f (x)
˙
La interpretaciń es que el campo de pendientes no depende del tiempo. Esto equivale a
o
recorrer una carretera a la velocidad prescrita en cada punto. Para visualizar esto dibujemos
la funciń f : f (x) vs. x. Pero eso no es lo m´s conveniente, por lo que, siguiendo a [Arnold]
o a
disponemos x en ordenadas, en analog´ al modo como ubicar´
ıa ıamos esta variable en una
gr´fica x (t) (ver figura 1.3). Si f (a) = 0, x(t0 ) = a es soluciń, porque estamos en a, a
a o


o

30
x=exp(t)
x x=-exp(t)
x=2exp(t)
20 x=-2exp(t)
x=-4exp(t)
x=4exp(t)
10

x 0
x’
-10

-20

-30
0 0.5 1 1.5 2
t

Figura 1.4: Sistema autńomo x = x. A la izquierda plano de fases. A la derecha, espacio de
o ˙
soluciones x(t) = cet
4
x x=exp(-t)
x=-exp(-t)
3 x=2exp(-t)
x=-2exp(-t)
x=-4exp(-t)
2 x=4exp(-t)

1

x 0

x’ -1

-2

-3

-4
0 0.5 1 1.5 2
t

Figura 1.5: x(t) = ce−t

velocidad 0 cumpliendo la prescripciń.o
Estas ecuaciones se denominan autńomas porque las velocidades estń fijadas para todo
o a
valor de la variable independiente (t en la Mecńica).
a
Como se ver´ en el tercer cap´
a ıtulo, si x (t) es soluciń, x (t + c) tambiń lo es. Uno que se
o e
meta en el coche a las 5 de la tarde har´ lo mismo que uno que lo haga a las 8 de la tarde,
a
porque el problema es invariante frente al tiempo (traslaciń temporal derecha–izquierda).
o
Adem´s, toda soluciń es constante o mon´tona, porque para cambiar de crecimiento, la
a o o
velocidad debe anularse (por el teorema de existencia y unicidad f (x) es continua), pero
si la velocidad se anula, entonces se verifica de nuevo la soluciń del coche parado (como
o
la velocidad es nula, no puede cambiar de posiciń, y puesto que la velocidad s´lo depende
o o
de la posiciń la velocidad nunca deja de ser nula. . . ).
o

Ejemplo (tres sistemas autńomos en una dimensiń)
o o

x=x
˙

encontrar x (t) y dibujarla.
La soluciń es muy sencilla de obtener (figura 1.4) Para el caso de x = −x, v. figura 1.5.
o ˙
Estudiar x = x(x − 1) Dibujar la gr´fica x (f ) y x (t) (ver figura 1.6). Donde x (f ) =
˙ a
0, soluciones constantes. ¡cambio de concavidad !. Si la soluciń no es constante pero se
o
mantiene acotada entonces tiende asint´ticamente a una soluciń constante.
o o

Ejemplos (modelos demogr´ficos)
a
x = −kx
˙



x x

1

x 1
0
t
x’

Solución
acotada en
el tiempo

Figura 1.6: Ecuaciń log´
o ıstica, acotaciń de la soluciones
o

La desintegraciń radiactiva (x ≡ masa restante . . . ): perdemos m´s cuanto m´s tenemos
o a a
—con el signo positivo representar´ el modelo malthusiano para los primeros 80 en M´xico
ıa e
(x ≡ poblaciń) o el cultivo de bacterias en una placa Petri con recursos ilimitados—. La
o
soluciń particular para x(t0 ) = x0 es
o
x(t) = x0 e−k(t−t0 )
Semivida: tiempo que hay que dejar transcurrir para que quede la mitad del material que
hab´ al inicio. Hallar k para el C 14 si tsv = 5.560 aõs. Obtener la edad de la presunta
ıa n
pieza de la Tabla Redonda si x0 = 6.68 y x(t) = 6.08 actualmente.
Otro modelo poblacional es
x = x2
˙
1
x =
c−t
Este modelo tiene la peculiaridad de ser explosivo. Para t finito la poblaciń se va al infinito.
o
El th. de existencia y unicidad es local, no significa que la soluciń se pueda extender para
o
todo t (para todo valor de la variable independiente). Tanto el modelo explosivo como
el puramente exponencial presentan serias deficiencias. En el caso del segundo hay que
tener en cuenta la limitaciń de recursos. El exponencial es solamente bueno localmente,
o
de modo que podemos adoptar el modelo log´ ıstico
x = x(1 − x)
˙

Ecuaciones de segundo orden
Ecuaciń de Newton1
o
˙
m¨ = F(x, x)
x
En el caso de la ca´ libre en un campo de gravedad estacionario y homogńeo de valor
ıda e
g, el segundo miembro es mg. Si la ca´ es con rozamiento,
ıda
m¨ = mg − k x
x ˙
la constante k se llama constante de frenado. Se puede dividir por m y hacer
x = g − cx
¨ ˙
v = g − cv
˙
1
Posiciń x(t), velocidad x(t), aceleraciń x(t)
o ˙ o ¨


o

(usando una tćnica de reducciń de orden). Resolviendo
e o

d −cv˙
log(g − cv) = = −c
dt g − cv

la soluciń general es
o
g − cv = ae−ct
Imponiendo las condiciones iniciales de v0 = 0 y t0 = 0 obtenemos g = a. Adem´s
a
g
mdv(t) = (1 − e−ct )
c
y cuando t → ∞
g gm
= = vl´
imite
c k

1.1.3. Notaciń diferencial
o
Examinemos una ecuaciń simple
o

y = 2x

Escribiendo en notaciń de Leibniz la derivada tenemos
o
dy
= 2x
dx
Si separamos los diferenciales y reordenamos, llegamos a la forma diferencial

dy − 2xdx = 0

Lo cual se puede escribir tambiń como
e

d y − x2 = 0

que implica
y − x2 = cte
(la familia de curvas uniparam´trica que enhebra el campo de vectores dado por la
e
ecuaciń, que la resuelve. El conjunto de las curvas soluciń). Si elegimos una soluciń
o o o
particular, tenemos la par´bola con v´rtice en el (0, 0), y = x2 . En la figura 1.7 se puede
a e
apreciar que dx constituye la primera componente del vector A y dy la segunda. Entonces
el cociente de estas dos componentes es

dy
= tgφ = y
dx
donde φ es el ńgulo que forma la tangente con el eje x. El paso de una notaciń a otra
a o
es l´
ıcito.



7
Curva solución
Tangente en (1,1)
6

5

4

3
A

2 dy

1
φ
dx
0
-3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 1.7: Los diferenciales tienen una traducciń geom´trica
o e

1.2. Ecuaciones ordinarias de primer orden
Las ecuaciones diferenciales de primer orden (edo1) pueden verse expresadas de las
maneras siguientes

y = f (x, y)
dy
= f (x, y)
dx
dy − f (x, y)dx = 0
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

La forma diferencial de escritura, que es la ultima de las presentadas, es la m´s general.
´ a
La ec se puede escribir de infinitos modos en forma diferencial, pej multiplicando por2
x, por cos(x + y), por ex . . .

Ejemplo
y
y =
x
ydx − xdy = 0

1.2.1. Diferenciales exactas
Si M = Fx y N = Fy se dice que M dx + N dy es exacta. La razń del apelativo forma
o
diferencial es que la expresiń deriva de construir la diferencial total de una funciń F
o o
∂F ∂F
dx + dy = dF
∂x ∂y
dF = 0
F (x, y) = cte

2
en cuyo caso habr´ que insertar manualmente la soluciń x = 0.
ıa o


1.2 Ecuaciones ordinarias de primer orden

Ejercicio
ydx + 2dy = 0
Probar que no es exacta.

En general, las ecuaciones diferenciales con las que trabajamos no son exactas. Necesi-
tamos un

Criterio de exactitud

M dx + N dy = 0 es exacta ⇔ My = Nx
Si F es C 2 entonces se cumple la igualdad de las parciales mixtas: Fxy = Fyx . En este
caso, demostrar ⇒ y ⇐.

1. (⇒) Si la ecuaciń es exacta, existir´ una funciń que satisface Fx = M y Fy =
o a o
N . Usando Fxy = Fyx se concluye que My = Nx es condiciń necesaria para la
o
exactitud de la ecuaciń.
o
2. (⇐) My = Nx nos permite construir una funciń F que cumple M = Fx y N = Fy .
o
En efecto:
x
F = M (u, y) du + h(y)
o
x
N = 0 M (u, y) du + h (y)
y
N (0, y) = h (y) ⇒ h(y) = N (0, v)dv
0
x
F (x, y) = M (u, y) du + h(y)
o
x y
F = M (u, y) du + N (0, v)dv = cte
o 0

La demostraciń es constructiva: nos da la F cuya diferencial exacta ten´
o ıamos
(soluciń general). La pen´ltima f´rmula se llamar´ en adelante f´rmula de re-
o u o a o
construcciń.
o
Ejemplo
y 2 dx + 2xydy = 0
F (x, y) = xy 2
xy 2 = 0
La astucia es que d(y 2 x) da la diferencial. Se puede ver sin necesidad de utilizar la f´rmula
o
de reconstrucciń.
o
Ejemplo
ydx + xdy = 0
d(xy) = 0



Ejemplo

(12x + 5y − 9)dx + (5x + 2y − 3)dy = 0
d(6x2 − 9x + y 2 − 3y + 5xy) = 0
6x2 − 9x + y 2 − 3y + 5xy = c
F = c

Se ha seguido la tćnica de ingenier´ inversa consistente en preguntarse ¿qu´ funciń
e ıa e o
derivada respecto a x me dar´ M ? y ¿qu´ funciń derivada respecto a y me dar´ N ?.
ıa e o ıa
Hay que tener cuidado con las superposiciones. Ve´moslo en detalle:
a

Fx F
12x → 6x2
5y → 5xy
−9 → −9x

Fy → F
5x → 5xy
2y → y2
−3 → −3y

Como se puede ver fćilmente, si formamos una funciń F que s´lo contenga uno de los
a o o
dos t´rminos 5xy es suficiente, porque la parcial respecto a x produce el 5y y la parcial
e
respecto a y el 5x.

Ejemplo

(x + 3y) + (y + 3x)y = 0
(x + 3y)dx + (y + 3x)dy = 0

x2 y2
d + + 3xy = 0
2 2
x2 y2
+ + 3xy = c
2 2

Resuelto sin la f´rmula de reconstrucciń. Por supuesto,
o o

x2 y2
+ + 3xy = c
2 2

es equivalente a
x2 + y 2 + 6xy = c

ya que la constante c es arbitraria.



Como hemos visto, es util tener una intuiciń para evitarse el engorroso empleo de la
´ o
f´rmula de reconstrucciń. Para ayudar en esa intuiciń sirve la siguiente lista:
o o o

d(xy) = xdy + ydx
x ydx − xdy
d =
y y2
d x2 + y 2 = 2 (xdx + ydy)
x ydx − xdy
d tan−1 =
y x2 + y 2
x ydx − xdy
d log =
y xy

1.2.2. Factores integrantes
Este tema se trata extensamente en [Simmons, sec 9].
Se puede multiplicar una ecuaciń diferencial no exacta por un factor astuto tal que
o
se convierta en exacta. Este factor se llama integrante.

ydx + (x2 y − x)dy = 0
1
µ =
x2
antes de la multiplicaciń de toda la ecuaciń por µ, My = 1 y Nx = 2x − 1. Despu´s
o o e
1
de usar el factor integrante My = Nx = x2 .
Intentemos sistematizar la b´squeda del factor integrante, para que no parezca idea
u
feliz su introducciń. La pregunta es: ¿∃µ(x, y) tal que µM dx + µN dy = 0 sea exacta?.
o
Para que exista se debe verificar

(µM )y = (µN )x
µMy + µy M = µNx + µx N
1
My − N x = (N µx − M µy )
µ
y se demuestra que siempre existe un µ.
De todas formas, nos vale con un factor integrante, no necesitamos las infinitas so-
luciones de la edp del factor integrante (que para un µ cualquiera es muy dif´
ıcil). Si el
factor fuese sencillo, por ejemplo µ (x) o µ (y) podr´
ıamos simplificar la edp del factor
integrante y calcularlo. Por ejemplo, si consideramos µ = µ (x):
µx My − N x
=
µ N
µ My − N x
=
µ N
(log µ) = g(x)
R
g(x)
µ = e



Es decir, construyamos
My − N x
g≡
N
¿S´lo depende de x?. Si es as´ entonces es
o ı,
R R My −Nx
g(x)
µ=e ≡e N

An´logamente con la µy
a
µy My − N x
=− ≡ h(y)
µ M
R R My −Nx
h(y) −
µ = e ≡e M

Para deteminar el factor integrante de forma r´pida, uno construye el cociente corres-
a
pondiente, y si s´lo es funciń de x o de y el m´todo de resoluciń es directo:
o o e o
R
g(x)
µ = e
R
h(y)
µ = e

Tńgase en cuenta que si g = 7 tambiń es una funciń de x (depende de x0 ), del mismo
e e o
modo que h = 3 es funciń de y (ver los ejemplos para una ilustraciń de la utilidad de
o o
esta advertencia).

Ejemplo

ydx + (x2 y − x)dy = 0
M = y
N = x2 y − x
My = 1
Nx = 2xy − 1
My − N x 2
= −
N x
usamos la formula
1
µ(x) = e (− x )dx = e−2 log x = (elog x )−2 = x−2 = 2
2
R

x

Ejemplo Integrar hallando un factor integrante la ec
y + 2x − 1
y =y
x+y
Escrita en forma diferencial

y(1 − 2x − y)dx + (x + y)dy = 0

no es exacta. Necesitamos un factor integrante
My − N x −2x − 2y −2(x + y)
= = = −2 = −2x0 = g (x))
N x+y x+y



usamos de nuevo la f´rmula
o R
−2
µ=e = e−2x
e−2x (y − y 2 − 2xy)dx + e−2x (x + y)dy = 0
Ahora s´ es exacta. Resoluciń a ojo
ı o

e−2x (y − y 2 − 2xy)dx + e−2x (x + y)dy = 0

agrupamos como B a los t´rminos e−2x (−y 2 )dx, e−2x (y)dy y como A a los t´rminos
e e
e−2x (y − 2xy)dx, e−2x (x)dy.
De B viene
y 2 −2x
d e
2
y de A viene
d e−2x xy
con lo que la soluciń queda
o
y2
e−2x (xy + )=c
2
¿Cuńtas soluciones verifican y(0) = 0?. Respuesta: y = 0 y y = −2x . Luego en el origen
a
y = no lo s´ , de modo que no se puede garantizar el cumplimiento del th de existencia y
e
unicidad.

1.2.3. Ecuaciones separables
Son ecuaciones que pueden escribirse en la forma

a (x) dx + b (y) dy = 0

con N = a (x) y M = b (y). Son autom´ticamente exactas:
a
x y
F = M (u, y)du + N (0, v)dv
0 0

pero esto es equivalente a decir
x y
F = a(u)du + b(v)dv
0 0

Ejemplo
1 + y2
y =
1 + x2
Separando variables
dx dy
= −
1 + x2 1 + y2
arctan y = − arctan x + arctan c
x−c
y =
1 + cx
Las de variables separables son muy interesantes porque aparecen con gran frecuencia.



1
1-exp(-x)

exp(-x)
O
x

x(t)
Figura 1.8: asint´ticamente
o V ρ

Ejemplo
(x2 + 1)(1 − y 2 )
y =
xy
Probar que es separable y resolverla
2
2 ce−x
y =1+
x2

Ejercicio: escribir el desarrollo hasta llegar a la forma expuesta3 .

A veces es m´s fćil incluir una condiciń impuesta en una de las escrituras que en otra.
a a o

Ejemplo En un dep´sito de agua que contiene V litros entran L litros y salen L litros por minuto.
o
A partir de t = 0 se contamina el agua con una sustancia de concentraciń ρ mg ¿Cuńta
o l a
sustancia t´xica se encuentra en lo sucesivo?.
o
x
Entra ρL de substancia t´xica y sale V L de substancia t´xica
o o

dx x
= ρL − L
dt V
dx L
= − dt
x − ρV V

Para t = 0 no hab´ substancia t´xica en el agua del dep´sito: x (0) = 0. Vamos a encontrar
ıa o o
la ecuaciń que cumpla con esta condiciń. Es lo que se llama resolver un problema de
o o
valores iniciales
L
x = ρV (1 − e− V t )
x(t) |t→∞ ρV

Se puede ver gr´ficamente en la figura 1.8
a

¿Con qu´ velocidad inicial v0 ha de lanzarse un objeto de masa m desde la Tierra (R =
e
6.371Km) para que no regrese bajo el influjo de la fuerza gravitacional?.

3
Se resuelve m´s adelante aunque llegamos a una expresiń distinta (equivalente en cualquier caso).
a o



x

R

R

Ejemplo

Figura 1.9: Objeto lanzado desde la Tierra

Sabemos que

mgR2
F = −
(R + x)2
dv dx dv
F = ma = m ≡m
dt dt dx
dv
= mv
dx
−gR2
vdv = dx
(R + x)2

que es una ecuaciń de variables separadas. Integrando
o

2gR2
v2 = +c
R+x
Como x (0) = 0
2
v0 = 2gR + c
2
c = v0 − 2gR

Luego la soluciń particular con v = v0 para x = 0 es
o

2gR2
v2 = 2
+ v0 − 2gR
R+x
¿C´mo asegurar que v siempre es positiva? Es decir, que realmente logra escapar.
o
2
v0 − 2gR

ha de ser siempre ≥ 0
v0 ≥ 2gR 11.18 km/s
Se ha de hacer en v (y no en la posiciń) porque es lo que se pide, y se pide esto porque
o
estamos en primer orden.

Ejemplo (de gran envergadura hist´rica: la braquistocrona –tiempo m´
o ınimo–). Váse la figura
e
1.10. El problema consiste en hallar la curva que da un tiempo m´ ınimo de recorrido para
una part´ıcula que se mueve sobre ella sin rozamiento desde un punto A a un punto B en un
campo de gravedad estacionario y homogńeo. Mientras que a primera vista pudiera parecer
e
que la recta, por ser la curva de longitud m´ınima (en un espacio eucl´ıdeo. . . ) es la soluciń,
o
ya Galilei propuso un arco de circuferencia en la idea de tener una aceleraciń m´s alta
o a



A

g
B

Figura 1.10: ¿Por dńde se tarda menos?
o

al inicio. El problema m´s general se lo plante´ Juan Bernoulli, aunque restringido a
a o
un plano vertical. En suma: se trata de ajustar longitud y aceleraciń en los momentos
o
iniciales para optimizar el tiempo de recorrido. Este ejemplo est´ tratado extensamente en
a
[Simmons]. Utilizando el razonamiento de la ´ptica en refracciń.
o o
dT
=0
dx
principio de Fermat que conduce con dos medios a la Ley de Snell4 . Bernoulli pens´
o
en introducir infinitos medios
sin α
= cte
v
v = 2gy
1
sin α = cos β =
1 + (y )2
Y de esta forma obtenemos una ecuaciń diferencial
o
1
y 2
dx = dy
c−y
1
y 2
= tan φ
c−y

y = c sin2 φ
dy = 2c sin φ cos φdθ
dx = tan φdy
= 2c sin2 φdφ
= c(1 − cos 2φ)dφ
4
La Ley generalizada de snell tiene la expresiń
o
n(x) sin θ = b
c
En un medio homogńeo la ecuaciń toma la forma v sin(x) = b
e o
Luego
sin(x)
= cte
v



Ecuaciń separable y fćil
o a
c
x= (2φ − sin 2φ) + c1
2
De nuevo imponemos una condiciń inicial: la curva debe pasar por el origen de modo que
o
x = y = 0 cuando φ = 0, por lo que c1 = 0. La soluciń particular es
o
c
x = (2φ − sin 2φ)
2
c
y = 1 − cos2 φ
2
La soluciń es la cicloide. Este tipo de problemas, al que pertenece tambiń la tautocrona
o e
de Huygens (de utilidad para asegurar el isocronismo del pńdulo) se resuelven moder-
e
namente utilizando el formalismo del c´lculo variacional (el principio de tiempo m´
a ınimo es
o ´
un resultado directo de la formulaciń de la Optica en t´rminos de camino ´ptico, o de la
e o
Mecńica en t´rminos de acciń estacionaria). Para algunos comentarios sobre el problema
a e o
de la braquistocrona con rozamiento, v. [Weisstein, brachistocrone].

1.2.4. Ejemplos varios
Ejercicio (el factor integrante puede ser una funciń simple de x y de y)
o
y − 2x
y
˙ =
x + 2y
(2x − y)dx + (x + 2y)dy = 0

Pista
µ = µ(x2 + y 2 )
z = x2 + y 2
µx = µ 2x
µy = µ 2y
Multipliquemos nuestra ecuaciń por µ
o

M = µ(2x − y); N = µ(x + 2y)

Criterio de exactitud

µy (2x − y) + µ(−1) = µx (x + 2y) + µ(1)

2yµ (2x − y) + µ(−1) = 2xµ (x + 2y) + µ(1)
zµ + µ = 0 −→ µ + z = 0
µ
1

c
µ= efectivamente, existe un µ tal que µ = µ(z)
z
1
Como constante tomamos c = 1 =⇒ µ = z . Luego la ecuaciń queda ahora
o

2x − y x + 2y
dx + 2 dy = 0
x2 + y 2 x + y2
(exacta). Aplicamos las f´rmula de reconstrucciń
o o
x y
2u − y 2
F (x, y) = du + dv
0 u2 + y 2 0 v



Integrando tenemos que

u x
F (x, y) = log(u2 + y 2 ) − arctan |x + 2 log y = log x2 + y 2 − arctan
0 + 2 log y
y y
Finalmente, la soluciń general es
o
x
log x2 + y 2 − arctan + 2 log y = c
y

Ejercicio
(x2 + 1)(1 − y 2 )
y=
˙
xy
en forma diferencial y reagrupando t´rminos
e

x2 + 1 y
dx + 2 dy = 0
x y −1
(variables separadas). Resolviendo

x2 1
+ log x + log y 2 − 1 = c
2 2
multiplicando por 2
x2 + 2 log x + log(y 2 − 1) = c
agrupando y simplificando
2
ex x2 (y 2 − 1) = c

Ejercicio (cambios de variable).
−vdu + u(2uv + 1)dv = 0

1. Escribirla en las variables x, y definidas como
x = uv
u
y =
v
2. Resolverla en las nuevas variables
3. Reexpresar la soluciń en t´rminos de u, v (aãdido)
o e n

Hay que recordar la f´rmula de diferenciaciń total, nada m´s
o o a

dG = Gu du + Gv dv

el cambio de variable escrito a la inversa es
√
u= √xy
v= x
√
y

nos queda √ √
y x
du = √ dx + √ dy
2 x 2 √y
√ 1√ dx − x
dv = 2 x y 2y y dy
√



reescribiendo la ecuaciń
o
√ √ √ √ √
x y x √ √ x 1 x
−√ √ dx + √ dy + xy xy √ + 1 √ √ dx − √ dy =0
y 2 x 2 y y 2 x y 2y y
simplificando
x + x2
xdx = dy
y
reagrupando t´rminos resulta ser una ecuaciń de variables separadas
e o
dx dy
=
2+x y
integrando
log (2 + x) = log y + c
y = c(2 + x)
trivialmente, se sustituyen x e y por u y v.
u
= c (1 + uv)
v
Un cambio de variable puede convertir un problema dif´ en uno sencillo. Comprobaciń:
ıcil o
hay que reflexionar sobre si el resultado es razonable
dy = cdx
dx dy
=
2+x y
y
Para las soluciones de esa ec, que son rectas, 2+x es constante, y por lo tanto la soluciń
o
est´ bien.
a

1.2.5. Homogńeas
e
Existen dos usos bien diferenciados de la palabra homogńea en la teor´ de edos; el
e ıa
que se va a presentar a continuaciń y aquel que implica la inexistencia del t´rmino
o e
independiente en la ecuaciń (todos los t´rminos tienen una variable comń).
o e u
Def. una funciń h(x, y) se dice homogńea de grado n si
o e
h(λx, λy) = λn h(x, y)
Por ejemplo, una funciń homogńea de grado cero cumple
o e
h(λx, λy) = h(x, y)

Ejercicio Verificar el grado de homogeneidad de las siguientes funciones
5x − 3y
h(x, y) =
x + 2y
2x
h(x, y) = e y
h(x, y) = x3 + 2xy 2
h(x, y) = x3 + 2xy 2 + y 4
h(x, y) = xy + 1



Respuesta: 0,0,3,no homogńea, no homogńea. Las homogńeas de grado 0 son siempre
e e e
y
funciones que de un modo u otro dependen de z = x . Hacer el cambio de variable sugerido,
y
z = x conduce a reducir en una variable el problema.

Funciń homogńea Una ed y = f (x, y) se dice homogńea si f es homogńea de grado
o e e e
0.

Ecuaciń homogńea Dada la ed
o e

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

Es una ed homogńea si P y Q son funciones homogńeas del mismo orden.
e e

Paso de homogńea a variables separadas
e
y
Las ecuaciones diferenciales homogńeas se integran con el cambio
e x = z → y(x) =
xz(x)

Ejemplo ¿Es homogńea la siguiente ed? Resolverla
e

xy + y 2
y =
x2
dy y y2
= + 2
dx x x
y = xz
y = xz + z

xxz + (xz)2
xz + z =
x2
sustituyendo y resolviendo
x
y=
c − log x

Ejemplo (ilustraciń del cambio de variable en una homogńea de grado 0)
o e

(x + y)dx − (x − y)dy = 0
dy x+y
=
dx x−y
y
1+ x
= y
1− x

usamos la receta
y = xz; y = xz + z
y tenemos, despejando
1+z
xz = −z
1−z
1−z 1
dz = dx
1 + z2 x



y resolviendo
1
arctan z − log(1 + z 2 ) = log x + c
2
Deshaciendo el cambio
y
arctan = log x2 + y 2 + c
x
En este caso no se puede despejar y (soluciń impl´
o ıcita).

Ejemplo

y y2
y = + e− x2
x
2
log x = ez dz + c

La integral no es expresable en t´rminos de funciones elementales (las que se pueden
e
construir en un n´mero finito de operaciones del tipo c´lculo y composiciń de ciertas
u a o
funciones).

Truco para ecuaciones casi homogńeas
e
Consideremos el siguiente problema

(x − y − 1)dx + (x + 4y − 6)dy = 0

Hay que ensayar el cambio de variables (traslaciń del (0,0))
o

x = u + c1
y = v + c2

Sustituyendo

(u + c1 − v − c2 − 1)du + (u + c1 + 4v + 4c2 − 6)dv = 0

c1 − c2 − 1 = 0
c1 = 2; c2 = 1
c1 + 4c2 − 6 = 0
Luego
x=u+2
y =v+1
de nuevo, sustituyendo
(u − v)du + (u + 4v)dv = 0
v
resolviendo (cambio z = u )
dv v−u
=
du u + 4v



y aplicando la receta
z−1
uz = −z
4z + 1
4z + 1 du
2+1
dz + = 0
4z u
1 d(4z 2 + 1) 1 dz du
+ = −
2 4z 2 + 1 4 z2 + 14
u

Integrando

log(4z 2 + 1) + arctan(2z) + log u2 = c
log u2 (4z 2 + 1) + arctan(2z) = c
v
deshaciendo el cambio z = u

2v
log uv 2 + u2 + arctan =c
u

x=u+2
y deshaciendo el otro cambio
y =v+1
2y − 2
log x2 + 4y 2 − 4x − 8y + 8 + arctan =c
x−2
Hemos reescrito la ecuaciń con el cambio y fijado las dos constantes para que se pierda
o
el t´rmino independiente. Afortunadamente los diferenciales no cambian. Se trata de una
e
traslaciń de vector (c1 , c2 ).
o

Truco para las ecuaciones casi homogńeas de rectas paralelas
e
A veces las rectas son pararelas. Si es as´ la convertimos en una de variables separadas.
ı,
Tenemos
ax + by + c
y =f
k (ax + by) + c
u −a u −a u+c
Hacemos el cambio ax + by = u −→ a + by = u −→ y = b −→ b =f ku+c

Ejemplo
x+y+1
y =
2x + 2y + 4
x+y+1
y = 2(x+y)+4
x+y =u→1+y =u →
→y =u −1→
u+1
→ u − 1 = 2u+4
que es una ecuaciń diferencial de variables separadas.
o



1.2.6. edos lineales
Se llama edo lineal a toda aquella edo, que escrita en forma normal (es decir, con la
derivada de orden m´s alto despejada), es una combinaciń de funciones lineales de las
a o
derivadas menores. La edo1 lineal general se puede escribir as´
ı:

y + P (x)y = Q(x)
L(y) = y + P (x)y

L es un operador lineal. Es importante escribirlas as´ (el t´rmino sin y a la derecha) para
ı e
recordar la

Receta: multiplicar por R
P
e
entonces
R R R
P P P
e y + Py = e y = e Q
R R
y = e− P
e P
Q+c

Si uno no se acuerda de la f´rmula final, basta con multiplicar la ecuaciń diferencial
o o
por esa exponencial para que se resuelva.

Ejemplo

y
y + = 3x
x
1
R
e x = log x = x

La idea surge de que al multiplicar por ese factor el miembro izquierdo se hac´ exacto.
ıa
Reescribamos la ed lineal en forma diferencial

(P (x)y − Q(x)) dx + dy = 0
R R
El factor integrante es µ = e g(x) =e P .

Ejemplo

y + x3
y =
x
1 2
y −xy = x

es lineal, con
P (x) = −1
x
Q(x) = x2



Se hacen los c´lculos intermedios
a
1
P (x) = − = − log x
x
R 1
e P (x)
= e− log x =
x
y se aplica la receta
1 x2
y(x) = x Q+c=x x+c =x +c
x 2
finalmente
x3
y= + cx
2
Ejemplo (Ley de Newton del enfriamiento)

T = k(Tamb − T )

en donde T es la tasa de variaciń de la temperatura y K es una constante que depende
o
de cada caso.
Un vaso de agua a 25o C se introduce en un congelador a -20o C. En 15’ el agua est´ ya a
a
20o . ¿Cuńto tiempo tarda en helarse el agua?
a

T + kt = −20k
T = e−kt ekt (−20k) dt + c

T = −20 + Ce−kt

es la soluciń general, con dos constantes arbitrarias. Introduciendo las condiciones iniciales
o
T (0) = 25 y T (15) = 20

C = 45
k = −0.0078

La respuesta a la pregunta es

0 = −20 + 45e−0.0078t
20
−0.0078t = log
45
t 104

La C es una constante del m´todo matem´tico; la k es de origen f´
e a ısico. Podemos imponer
dos condiciones, y es lo que hace el enunciado.

Ejemplo Encontrar la sol general de la siguiente ecuaciń y, si existe, la particular que verifica
o
y (2) = −2
y3
y = 3
x + xy 2
Truco homogńeas: (probar) divisiń por la potencia m´s grande de x.
e o a

y2
log |y| + =c
2x2


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