1) El autor agradece a su esposa Julia por su continuo apoyo y paciencia durante las muchas horas que dedicó a preparar este manuscrito. 2) El documento presenta un índice analítico detallado de los principios de la estática dividido en 7 capítulos principales. 3) El texto introduce conceptos fundamentales de la mecánica como fuerza, momento, par y condiciones de equilibrio aplicados a estructuras, cuerpos rígidos y sistemas de fuerzas.

1. x Pr61ogo -- -?'-. ~ I'f- ~
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"Jor ultimo, quiero agradecer el continuo aliento, paciencia y ayuda de mi
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'8pOsa Julia, durante las muchisimas horas empleadas en La preparacion de
ste manuscrito.
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Indice analitico
Durham, North Carolina
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1. PRINCIPIOS DE ESTAncA
I Mecanica............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I
2 Conceptos fundamentales .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I
3 Escalares y vectores 3
4 Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5 Ley de la gravitaci6n 9
6 Precision, limites y aproximaciones .. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
7 Descripcion de los problemas de estatica II
2. SISTEMAS DE FUERZA
8 Introduccion IS
9 Fuerza 15
10 Monknto............................................................... 28
11 Par 38
12 Resultantes de sistemas de fuerzas 49
3. EQUILIBRIO
13 Introduccion 63
14
15
16
Aislamiento de un sistema mecanico
Condiciones de equilibrio .*
Adecuacion de las ligaduras js • . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
74
109
4. ESTRUCTURAS
17 Estructuras 119
18 Armaduras planas. .. . . . 119
19 Arrnadurae espaciales • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
20 Entramados y maquinas 148
21 Vigas con cargas concentradas " . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . 168
5. FUERZAS D1STRIBUIDAS
22 Introduccion 181
23 Centro de gravedad; Centro de masa.. . .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. .. 181
24 Centroides de llneas, superficies y volumenes 185
25 Figuras y cuerpos compuestos; aproximaciones . .. 198
26 Teorema de Pappus-Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 206
27 Cables flexibles " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 211
28 Vigas con cargas distribuidas 223
29 Estatica de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232
30 Empuje................................................................. 251
* El simbolo • indica que el apartado contiene conceptos un poco avanzados 0 especializados.
XI

2. r
XII
.
Iodice
1
31 Equilibrio de esfuerzos interiores • 258
CUla para la utilizaci6n de estatica
6. ROZAMIENTO
1 Las ecuaciones principales se identifican mediante un triangulo rojo si­
32 Introducci6n . 269
tuado a la izquierda y un mimero de ecuacion rojo situado a la derecha, tales
33 Fen6menos de rozamiento . 270
como
34 Rozamiento seco . 273
35 Rozamiento en las maquinas . 295
~ ~F ::: 0 ~M::: 0 (13)
7. TRABAJO VIRTUAL
36 Introducci6n . 319
2 Los te11Ul8 superiores y especiaiizados que se incluyen en el texto como
37 Trabajo . 319
optativos estan precedidos por una fila de triangulos
38 Equilibrio de un cuerpo rigido . 322
39 Sistemas de cuerpos rigidos . 324
40
41
Sistemas con miembros elasticos
Sistemas con rozamiento; rendimiento mecanico
.
.
344
356
... ,. T ,. ,.
42 Criterio energetico para el equilibrio •.................................... 359
43 Estabilidad del equilibrio • . . 364
y se Identiflean mediante una banda gris a 10 largo del margen exterior de
la pagma.
8. MOMENTOS DE INERCIA DE UNA SUPERFICIE
44 Definiciones . 379
3 Problemas tipo
45 Superficies compuestas . 393
46 Productos de inercia y rotaci6n de los ejes . 398
APENDICE A
Se destacan del resto del texto identificandolos facilmente mediante rayas rojas
Problemas de repaso . 409
horizontales y una raya roja vertical a 10 largo del margen exterior de la pagina.
Apendice B Analisis vectorial
4 Los problemas de los conjuntos de problemas estan
B 1 Notaci6n . 425
B 2 Adici6n . 426
numerados consecutivamente en cada capitulo,
B 3 Producto escalar . 427
ordenados generalmente por orden creciente de dificultad,
B 4 Producto vectorial . 429
identificados mediante un triangulo negro y un numero rojo (~ 2/43
B 5 Otras relaciones . 431
por ejemplo) cuando entrafien una dificultad 0 interes especiales.
B 6 Derivadas de vectores . 432
B 7 Integraci6n de vectores . 434
B 8 Gradiente . 434
5 Los vectores [uerza se representan en los diagramas por medio de flechas
B 9 Divergencia . 435
rojas de trazo grueso con el fin de distinguirlos de otros vectores 0 rectas.
B 10 Rotacional . 435
B 11 Otras operaciones . 435
APENDICE C. T ABLAS UTIUS
Tabla Cl. Propiedades . 437
Tabla C2. Constantes del sistema solar . 438
Tabla C3. Relaciones matematicas . 438
Tabla C4. Propiedades de las figuras planas . 442
Tabla C5. Propiedades de solidos homogeneos . 443
fndice alfabetico . 447
Tambien se utiliza selectivamente el color para aclarar 0 res altar otros ele­
Dlentos geometricos de las figuras.
XIII

3. 1 Principios de la estatica
'. 1. Mecanica. La Mecanica es la ciencia Iisica que estudia el estado de re­
o movimiento de los cuerpos bajo la accion de las fuerzas. En los estudios
ingenierfa no existe ninguna materia que juegue un papel mas importante que
'<mecanica. Puede decirse que los primeros estudios de esta materia constitu ­
los primeros trabajos de ingenieria. La investigacion y desarrollo modernos
,I campo de las vibraciones, de la estabilidad, de la resistencia de estructuras
t,Ulllquinas de los cohetes y naves espaciales, control automatico, fabricacion de
"',tores, circulacion de fluidos, de los aparatos y maquinaria electrica, y del
. . lportamiento molecular, atomico y subatomico, dependen en gran parte de los
!Jrincipios fundamentales de la Mecanica, EI conocimiento completo de estes
:i:.;flrequisito previo absoluto para trabajar en estos y otros muchos campos.
}lt~" La Mecanica es la mas antigua de las ciencias fisicas. Los escritos mas anti ­
~uos que se registran acerca de esta materia son los de ARQUIMEDES (287-212
l:" J. C.) referentes al principio de la palanca y al principio del empuje. A la for­
, lacion de las leyes de Ia combinacion vectorial de fuerzas dada por ?TEVINUS
}548-1620), aguardaba un progreso sustancial, y el mismo autor enunci6 la ,ma~
'oria de los principios de la Estatica, El primer estudio de un problema dinami­
.:~ s~ debe a GALILEO (1564-1642) Y se refiere a sus experimentos sobre la caida
,"Ge los cuerpos. La formulacion exacta de las leyes del movimiento, induyendo la
HflY de la gravitacion, fue realizada por NEWTON (1642-1727), quien tambien con­
~~io la idea de 10 mfinito en analisis matematico. Tambien DA VINCI, VARIG­
", 'N, D'ALE.fBERT, LAGRANGE, LAPLACE y otros, han contribuido de manera sus­
cial al desarrollo de la Mecanica,
La Mecanica se divide logicamente en dos partes: la ~, que trata del
uilibrio de los cuerpos bajo la accion de fuerzas, y la dintimica, que trata
movimiento de los cuerpos. La dinamica incluye, a su vez, la cinemdtica, que
dia el movimiento de los cuerpos independientemente de las fuerzas que 10
inan, y la cinetica, que relaciona las fuerzas con los movimientos resultantes.
2. Conceptos fundamentales. Existen ciertas definiciones y conceptos
son fundamentales para el estudio de la Mecanica y que deben comprender.;.
desde un principio,

4. 3
Principios de esbltica
2 Principios de estatica
;1tJrl
,;
. Se llama particula a un ouerpo de dimensiones despreciables
• Espacio. EI espacio es la region geometrica en la cual tienen lugar los su­ ieula
"'Jl aspecto matematico, una partlcula es un cuerpo cuyas dimensionoes se
cesos, En este libro utilizaremos la palabra espacio para hacer referenda a una .• an a cero, par 10 que puede analizarse como una mas a puntual. Fre­
region tridimensional. Sin embargo, no es raro hacer referenda a un movimiento ente se toma una particula como elemento diferencial de un cuerpo.
a 10 largo deuna recta 0 en un plano, diciendo (lue tiene lugar en un espacio de 'ibien cuando las dimensiones de un cuerpo no mfluyen en la descripci6n
una 0 dos dimensiones, respectivamente. El concepto de espacio de n di, ~ movimiento, puede tratarse el cuerpo como si fuera una particula. En
mensiones constituye un ingenio abstracto para describir la dependencia de "casos, una particula podra considerarse como un elemento diferencial de
n cantidades.
, ~eipo· ng O. Se conoce por cuerpo ngi 0 e1 que no tiene d e f ormaClOn
~ Sistema de referencia. La posicion en el espacio se determina con relacion
a un eierto sistema geometrico de referenda mediante medidas lineales y angula­ C
uerpo iaid
t
"d . .
" -'a entre sus partes. Es esta una condici6n ideal, ya que todos los cuerpos
r
res. EI sistema de referenda basico para las leyes de la Mecanica de Newton es caxnbian de forma hasta cierto punto cuando se les somete a fuerzas.
eI sistema inercial primario 0 sistema, astronomico de rejerencia, que es un siste­ dichos cambios de forma sean despreciables frente a las dimensiones
ma imaginario de ejes reetangulares que se supone no tienen traslacion ni rota­ del cuerpo a frente a los cambios de posicion del cuerpo en su con junto,
cion en el espacio. Las mediciones ensefian que las leyes de la Mecanica de 'permis la hip6tesis de rigidez. Para un cuerpo rigido, pues, se despre ­
Newton son validas para este sistema de referenda mientras las velocidades que ible
la diferencia de configuraci6n existente entre sus estados inicial y defor­
intervengan sean despreciables frente a la de la luz." Las mediciones realizadas . Como ejemplo de la hipotesis de rigidez daremos el de un avi6n en vuelo
respecto a este sistema de referenda, reciben el nombre de absolutes y a este sis­ , (VeS de aire turbulento: La punta del ala sufre un movimiento de unos
tema de referenda se Ie considera "fijo" en el espacio. Un sistema de referencia 'etros a causa de 1a flexion. Dicho movimiento no afecta a la distribu ­
solidario a la superficie terrestre tiene un movimiento relativamente complicado media de las fuerzas aerodinamicas en sus alas ni a la especificaci6n del
en el sistema primario, y habra que apliear una correccion a las ecuaciones fun­
damentalcs de la Mecanica para las medidas realizadas respeeto al sistema de reo
~vixniento del avion en su conjunto a 10 largo de su trayeetoria de vuelo.
.,' estas consideraciones, pues, el tratamiento del avion como cuerpo rigido
ferenda de la Tierra. En el calculo de trayectorias de cohetes y astronaves, por
ejemplo, el movimiento absoluto de la Tierra eonstituye un parametro importan­ j .ofr ece complicaeion alguna.
. Cuerpo deformable. Cuando haya que examinar los efeetos de las fuerzas
teo En la mayoria de los problemas tecnicos de maquinas y estructuras que per­ s,
das exteriormente sobre las deformaciones Y esfuerzos interno habra
manecen sobre la superficie terrestre, las correcciones son pequefiisimas y pueden
considerar las caractedsticas de la deformaci6n. Para este fin se considera
despreciarse. Para estos problemas se pueden aplicar direetamente las leyes de la
. able el cuerpo. Las [nerzas internas inducidas por el movimiento de
Mecanica con las medidas realizadas relativas a la Tierra y, desde un punto de
In de las alas del avion, por ejemplo, son de importancia critica para el
vista practice, pueden eonsiderarse absolutas dichas medidas.
• Tiempo. El tiempo es una medida de la sucesion de acontecimientos y en
:ecto estructural del avion e1 eual, para este fin, no podra tratarse como
la Mecanica de Newton se considera una cantidad absoluta. La unidad de tiern­ ,Po rigido.
po es el segundo, que es una fracci6n conveniente de las 24 horas del dia, ~:''1 Escalares Y vectores. Las cantidades de las que se oeupa la Mecanica
• Euerza. La fuerza es la accion de un cuerpo sobre otro. Una fuerza tiende . ~~ dos tipos: escalares y vectoriales. Una cantidad escalar es la que tiene
a desplazar un euerpo en la direccion de su accion sobre dieho cuerpo. En el ,da solamente una mgnitud. Son eiemplos de escalares el nempo. el volu­
capitulo 2 se discutiran detalladamente las propiedades de las fuerzas. , la densidad, 1a celeridad (modulo de la velocidad), la energia y la masa.
0' Materia. La materia es la sustancia que ocupa el espacio. Un cuerpo es ma­ '~tidad vectorial es la que tiene asociada, ademas de una magnitud, una
teria limitada por una superficie cerrada. ,.Clon y un sentido, y sigue la ley del paralelogramos de la adici6n. Son
, Inercia. La inercia es una propiedad de la materia por la cual se resiste a jiplos de cantidades vectoriales el desplazamiento, la velocidad, 1a acelera­
alterar su movimiento.
~ la fuerza, el momento y la cantidad de movimiento.
D Masa. La masa es la medida cuantitativa de la inercia. La masa es, tambien, !4fs c~ntidades Hsicas vectoriales pueden representarse por uno de los tres
una propiedad de todo cuerpo que va siempre acompanada por la atraccion
mutua con los demas cuerpos.
~slgU1entes de vectores: libres, deslizantes 0 fijos.
, !n vector libre es aquel cuya acci6n no est:l confinada a una recta {mica.
ernplo, si un cuerpo se mueve sin rotaci6n, el movimiento 0 desplazamien­
" Para velocidades del orden de la luz, 300 000 km/s, hay que aplicar la teoria un punto cualquiera del cuerpo puede representarse como un vector Y
de la Relatividad.

5. 5
4 Principios de estatica Principios de estitica
este describira igualmente bien el movimiento de todo punto del cuerpo. Por es de los dos vectores se escribe de la manera usual V I V ~ Y de la
+
tanto, el desplazamiento de dicho cuerpo podra representarse con un vector tria del paralelogramo resulta inmediato que V #- V I V 2. +
libre. :JJ,.OS dos vectores V I Y V 2, tratados de nuevo como vectores libres, pueden
Vector deslizante es aquel para el cual hay que conservar una sola recta en . se tambien colocando el origen de uno en el extremo del otro por la ley
el espacio, a 10 largo de la cual actua la cantidad vectorial. Al considerar la ac­ ,.triangulo, como se indica en la figura 2c, obtenit'mdose la misma suma
cion exterior de una fuerza sobre un cuerpo rigido, la fuerza puede aplicarse en Drial V. En el diagrama se ve que el orden de adicion de los vectores no
un punto cualquiera a 10 largo de su linea de accion sin que se altere el efecto
que produce sobre el cuerpo y, por 10 tanto, puede considerarse como vector
(>
+ = +
ill la suma, por 10 que VI V2 V2 VI.
lLa diferencia V I - V 2 entre los dos vectores se obtiene hlcilmente suman­
deslizante. :~V 2 a VI como se indica en la ligura 3, pudiendose utilizar indistinta
Vector fiio es aquel para el cual se especifica un punto unico de aplicacion e el merodc del paralelogramo 0 el del trhingulo. La diferencia V' entr
y, por 10 tanto, el vector ocupa una posicion fija en el espacio. La accion de una vectores se expresa mediante la ecuadon vectorial
fuerza sobre un cuerpo no rigido debe especificarse con un vector fijo situado
enel punto de aplicaci6n de la fuerza. En este caso, las fuerzas y movimientos V'=V I - V 2
internos del cuerpo seran una fun cion del punto de aplicaci6n de la fuerza, asi
menos denota sustracci6n vectorial.
como de su linea de aceion e intensidad.
Una cantidad vectorial V se representa por un segmento rectilineo, figura 1,
Iv' tzj 4'
que tenga la direcci6n y sentido de la cantidad vectorial, sefialando este ultimo
con una punta de flecha. La longitud del segmento orientado representa, a una
escala conveniente, la magnitud IVI del vector y se escribe en letra curs iva V.
Las letras negritas se emplean para representar las cantidades vectoriales cuando
el aspecto direccional del vector sea una parte de su representacion. Al escribir ",'"
~ VI
~
- "VI
(c)
ecuaciones vectoriales es importante conservar la distincion matematica entre -Jt'''",
. v. (a) (b)
vectores y escalares. Se recomienda que en todo el trabajo manuscrito se emplee Figura 1 Figura 2
una marca distintiva para cada cantidad vectorial, por ejemplo, subrayando con
una linea ondulada la letra representativa del vector, con el fin de que en ~ !.~
:;" Dos 0 mas vectores cualesquiera cuya suma sea igual a un cierto vector
,Jlke que son los componentes de dicho vector. Luego los vectores V 1 Y V 2 d
imprenta utilicen el tipo de letra negrita 0 con una flecha sobre el simoblo V
19ura 4a son los componentes de V en las direcciones 1 Y 2, respectivament
para que haga las veces del tipo de letra negrita. La direccion del vector V
'~entemente es preferible tratar con componentes que sean mutuamente pe
puede medirse por un angulo () tornado a partir de una direccion conocida de iculares, a los que se da e1 nombre de componentes rectangulares. Los ve
referenda. EI opuesto de V es un vector - V dirigido en sentido opuesto al
V., Y V11 de la figura 4b son, respectivamente, los componentes x e y de
de V segun se indica.
. ente, en la figura 40, V:c' y V11' son los componentes x', y' de V.
Ademas de poseer las propiedades de magnitud, direccion y sentido, los
vectores deben obedecer tambien a la ley de combinaeion del paralelogramo.
,~plear componentes rectangulares, la direccion del vector respecto al eje
Dicha ley exige que dos vectores VI y V2, tratados como vectores libres (fig. 2a), '- ejemplo, esta especificada c1aramente por
pueden sustituirse por su equivalente V que es la diagonal del paralelogramo J
V
(} = tan- 1 _ Y •
que tiene por lados VI Y V2, tal como se indica en la figura 2b. Esta com bi­ , Vc
nacion 0 suma vectorial se representa por la ecuacion vectorial 'En algunos problemas, especialmente en los tridimensionales, es convenie
i.;
lIxoresar las componentes rectangulares de V en funci6n de los vectores ur
V=VI+V2 i, j, k, segun las direcciones x, y, z, respectivamente los cuales ben
donde el signo mas, utilizado con las cantidades vectoriales (letras negritas), ".tud unidad. La suma vectorial de los componentes se escribe de la m
(>
significa adici6n vectorial y no escalar. La suma escalar de los modules 0 mag­ siguiente:
.. Este es el Hamada principia de tra118misibilidad que se estudia en el apartado
v = iV:c + jVy + kVz '
9 del capitulo 2. Vease la figura Bl, Apendice B.

6. Principios de estatica 7
6 Principios de estatica
de los analisis de la Dinamica. Aplicandola a una particula de masa m pue ­
~ VI
v~-v2-viS7
ibirse en la forma
(I)
V' F=ma,
Figura 3
'ide F es la fuerza resultante que actua sobre la particula y a es la aceleracion
y' ~tante. Esta ecuaci6n es vectorial, ya que la direcci6n y sentido de F son los
2 y '*nos que los de a, ademas de ser iguales los modulos de F y rna. La primera
'de Newton eontiene el principio del equilibrio de las fuerzas, que es la cues ­
izt t2i
v V
primordial de la Estatica. En realidad, esta ley es consecuencia de la se­
/ Vyl
!.__ da, ya que no habra ace1eraci6n cuando la fuerza sea nula, y la particula de ­
----
VI 1
I __
v,
x
°
estar en reposo moverse con velocidad constante. La primera Icy no aporta
nuevo a la descripcion del movimiento, si bien se incluye debido a que
x'
aba parte de los enunciados clasicos de Newton.
(a) (b) (c) ~; La tercera ley es fundamental para nuestro conocimiento de las Iuerzas. Es ­
Figura 4 :.Ieee que las fuerzas aparecen siempre por parejas de fuerzas iguales y opues ­
,;So Asi, la fuerza ejercida hacia abajo por el lapiz sobre la mesa, esta acompafia­
Si son t. m, n, los cosenos directores de V respecto a los ejes x, y, z, se ve (jue ~ de otra fuerza igual y hacia arriba, ejercida por la mesa sobre el lapiz. Este
los componentes tienen las magnitudes '. ICipio es valido para todas las fuerzas, constantes 0 variables, independiente ­
ate del sistema que la ejerza, y se cumple en todo instante durante el tiempo
v'" = IV, V y = m V, Vz = n V .> que esten aplicadas las fuerzas. La Ialta de cuidado en la aplicacion de esta
con ( origina frecuentes errores al principiante. Al estudiar cuerpos sometidos a
V2 = V",2 + Vl + Vz2.
s es absolutamente necesario ver daramente cual de las dos fuerzas de la
.:ja se esta considerando. Antes que nada es necesario aislar el cuerpo en
Observese tambien que [2 + m~ + n 2
= 1.
._. tion y luego considerar solamente la fuerza de la pareja que actua sabre el
4. Leyes de Newton. SIR ISAAC NEWTON fue cI primero en enunciar >'Ilerpo considerado.
correctamente los principios fundamentales que rigen el movimiento de una par ­ t., A traves de los afios se han venido empleando distintos sistemas de unida­
tieula y en dcmostrar su validez." Modiflcando ligeramente su enunciado origi­ para expresar los valores de ciertas cantidades que intervienen en mecanica
nal, dichas leyes dicen: l otros campos. Desde hace poco se ha adoptado pnicticamente en todo el
Primera. Una particula sobre la cual no actue ninguna fuerza que no este ,ldo el Sistema Internacional de unidades, abreviadamente SI, para todos
equilibrada, 0 permanece en reposo 0 sigue un movimiento rectilineo uniforme. : .trabajos cientifieos y de ingenieria; prineipalmente Inglaterra Y aquellos
Segunda. La aceleracion de una particula es proporcional a la fuerza resul ­ ,s paises que no seguian el sistema metrico.
tante que actua sobre ella y tiene la direcci6n y sentido de dicha fuerza." 0 En la tabla siguiente se resumen las unidades SI que forman la base para
Tercero. Cuando un cuerpo ejerce una fuerza, Hamada accum, sobre otro, lI,caIculos de mecanica.
este a su vez, ejerce sobre el primero otra fuerza Hamada reaccion, de igual
modulo y direccion, pero de sentido contrario. Sistema Internacional de Unidades
La validez de estas leyes se ha comprobado experimentalmente de muchas Modulo SI Y simbolo
Cantidad
Simbolo dimensional
y muy precisas maneras. La segunda ley de Newton constituye la base de la ma-
L metro (m)
Longitud
o Los enunciados originales de NEWTON pueden verse en la traduccion de sus T segundo (s)
Tiempo
Principia (1687), revisados par F. CAJORl, University of California Press, 1934. M kilograrno (kg)
Masa
00 Algunos prefieren interpretar la segunda ley de Newton como significando newton (N)
Fuerza F
que la fuerza resultante que actua sobre una particula es proporcional a la variacion
en unidad de tiempo de su cantidad de movimiento, y esta variacion tiene la direccion
de la fuerza. Ambos enunciados son correctos,

7. Principios de estatica 9
8 Principios de estatica
CF es la fuerza mutua ?e atraccion entre las dos particulas,.
Se toma el kilogramo (1000 g) y no el gramo (g) como unidad de masa,
Las primeras tres cantidades son las unidades basicas del SI. y la cuarta, 0 sea
i" es una constante umversal llamada constante de la gravltacion,
,fn2 son las masas de las dos particulas,
la fuerza, es unidad deducida de las anteriores aplicando la segund ley de 0:' r es la distancia entre los centros de las particulas.
Newton. Por definicion, un newton es la fuerza que imprime a una masa de un s mutuas F cumplen con la ley de la accion y la reaccion, ya que son
kilogramo una aceleracion de un metro por segundo cuadrado. Asi pues, de y opuestas, y estan dirigidas a 10 largo de la recta que une los centros de
F = ma, la equivalencia entre unidades es: .culas. Experimentalmente se ha obtenido para K el valor K = 6,673 X
(1 N) = (1 kg) (1 m/s 2 ) 0 N =
kg· m/s2 l m 3/(kg' s 2). Entre todo par de cuerpos se ejercen fuerzas gravitatorias.
(a) Prefijos de las unidades, Los valores numericos deben conservarse IUperficie terrestre la unica fuerza gravitatoria de magnitud apreciable es la
entre 0,1 y 1000. Los prefijos mas usados son: ,'debida a la atraccion de la Tierra. Asi, por ejemplo, dos esferas de hierro
Cantidad Multiple Prefijo Simbolo . mm de diametro son atraidos por la Tierra con una fuerza de 37,9 N
1000000000 1()9 giga G 'luna. La fuerza de atraccion mutua entre ellas cuando esten tangentes es
1000000 1()6 mega M '000099. EVidentemente, esta fuerza es completamente despreciable frente
1000 1()3 kilo k ,ltraccion terrestre y, por tanto, la atraccion terrestre sera la unica fuerza
0,001 10-3 mili m . toria de cierta magnitud que habra que considerar en los experimentos
0,000 001 10-6 micro p. dos en la superficie terrestre.
0,000 000 001 10- 9 nano n ",1 peso de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra atrae al cuerpo y de-
ode la posicion de este respecto a la Tierra. Si la Tierra se considera como
Por ejemplo, una longitud de 4245 m se expresa por 4,245 km, una masa 'era perfecta de igual volumen, un cuerpo con una masa de 1 kg exacta­
de 0,0326 kg, por 32,6 g y una fuerza de 0,0068 N por 6,8 mN. seria atraido por la Tierra con una fuerza de 9,824 N en la superficie,
(b) Denominaci6n de las unidades. Para evitar confusiones, las unidades a una altura de 1 km, 9,523 a una altura de 100 km, 7,340 a 1000 km y
que S6 multiplican se enlazan por el punto de la multiplicacion 0 por un guion. r: • N a una altura igual al radio medio de la Tierra, de 6371 km. Se ve,
Por ejemplo, la unidad del momento de una fuerza, metro-newton, se indica .~~ en seguida, que habra que tener en cuenta la variacion de peso de los
por m N para distinguir de mN que significa milinewton. Igualmente, cuando y de las naves espaciales para grandes altitudes.
se forman unidades por eociente, como por ejemplo la aceleracion, se expresara <A la atraccion gravitatoria de la Tierra sobre un cuerpo se Ie llama "peso"
por m/s2 0 por m : S-2 y no por la forma ambigua m/s/s. tmerpo. Esta fuerza existe tanto si el cuerpo esta en reposo como si esta en
(c) Grupos de mimeros. En lugar de la puntuaeion para marcar las uni­ :1. iento. Puesto que en sentido estricto esa atraccion es una fuerza, el peso
dades de millar, de millon, etc., se emplea ahora el espaciado. Por ejemplo, el .~ cuerpo deberia expresarse en newtons (N) segun el SI de unidades.
numero 4607321,048 72. Observese que el espaciado se emplea 10 mismo en ~r Todos los cuerpos que se dejen caer en el vacio desde un mismo punto situa­
Ia parte entera como en la parte decimal. En los numeros de cuatro cifras sola­ I,sobre la superficie terrestre, tendran la misma aceleracion g, segun puede
mente, no hace falta el espaciado, como por ejemplo 4296. I. combinando las ecuaciones 1 y 2 y suprimiendo el factor (comun a ambos
Nota: Ademas de las unidades del SI, por 10 mucho que se emplea en Ibros) representativo de la masa del objeto que cae. Se tiene, asi
Fisica, se dara en muchos de los problemas y ejercicios el kilopond como unidad Kmo
de fuerza en lugar del newton. Tomando como valor de la gravedad 9,81 m 'S-2, g=7'
un kilopond equivale a 9,81 newton. i fflo es la masa de la Tierra y r el radio terrestre." La masa 1110 y el radio
r de la Tierra han sido medidos experimentalmente, resultando ser 5,98 X
5. Ley de Ia gravitaeien, Ademas de formular las leyes del movimiento
,~. g y 6,37 X 1()6 m, respectivamente. Estos valores, junto con el valor
de una particula, tam bien se debe a NEWTON el enunciado de la ley que rige la
~ antes citado, dan, al sustituirlos en la expresion de g,
atraccion mutua entre cuerpos. Esta ley, conocida con el nombre de ley de la
gravitaci6n, viene expresada por la ecuacion, g = 9,824 m/s"
.. Puede demostrarse que, para estos efectos, se puede considerar 1'1 Tierra como
• F= K
m1m2
r2 '
(2) icula situada en su centro y que tenga toda la masa terrestre concentrada

8. 10 Principios de estatiea , Principios de estatica 11
,
La determinacion precisa de la aceleracion de la gravedad media respecto a ;(verse que, al pasar al limite yendo de tl V a dV y de ~x a dx, los termi­
la Tierra debe tener en cuenta el hecho de que la Tierra es un esferoide achata. los que figuran (~X)2 y (tlx):{ desaparecen, quedando simplemente
do por los polos y que gira en torno a su eje, El valor de {!, en la superficie terres­
tre ha resultado ser igual a 9,78 m/s- en el Ecuador, 9,81 m/s 2 a 45° de Ia­
titud y al nivel del mar, y 9,83 rn/s- en los poles. La proximidad de grandes dV = '1Tr22 x 2 dx '
h
mas as montaiiosas afectara tambien al valor local de g en una fraccion pequefia,
pero detectable. En casi todos los calculos tecnicos para experimentos en la una expresion exacta.
superficie terrestre 0 proximos a ella suele ser suficientemente preciso emplear 1 emplear funciones trigonometricas de cantidades infinitesimales conviene
el valor de 9,81 m/s" para g. la atencion acerca de las siguientes relaciones que son ciertas en el limite:
La masa m de un cuerpo se puede ca1cular a partir de los resultados del
simple experimento gravitatorio. Si la fuerza gravitatoria 0 peso es P, entonces, sen dO = tg dO = dO,
como el cuerpo cae con una aceleracion g, la ecuacion 1 da
(! cos dO = l.
~ P :~'igulode se supone medido en radianes. Al tratar de angulos pequefios aun­
P = mg 0 sea m=g' (3 itos suele ser conveniente sustituir el seno por la tangente 0 una de dichas
ones por el propio angulo. Estas aproximaciones, sen = y tg = equi­ e e e e,
viniendo P en newtons (N), si m = kg y g = m/s", Ii a conservar solamente el primer termino del desarrollo en serie del seno
)1a tangente. Si se desea una aproximacion mayor habra que conservar los
6. Precision, Iimites y aproximaciones. EI nurnero de cifras significa­
tivas que se consignen en un resultado no debe ser mayor que el que correspon­
pnmeros terminos, con 10 que se tendra sen e=
8 - 83/6 y tg
3
e= e+
8 / 3.
da al minimo numero de cifras significativas de los datos. Asi, el area de la sec­ ejemplo de primera aproximacion para el angulo de 1°,
cion recta de un eje cuyo diametro de 25 mm se medio con la aproximacion de
medio milimetro, debera escribirse igual a 490 mm- y no 490,87 mm" como re­ sen 1 0
= 0,0174524 y 1 0 es 0,0174533 radianes .
sultaria al multipliear los numeros, If
Cuando los calculos conduzcan a pequefias diferencias entre cantidades (lEI error al sustituir el seno por el angulo, en el caso de 1°, es solamente de
grandes, debera lograrse una precision 10 mayor posible. Asi, sera necesario co­ s, Para 5° el error es del 0,13 %, y para 10° el error es solamente del 0,51 %.
nocer los numeros 4,2503 y 4,2391 con una precision de cinco cifras significativas gamente, para angulos pequefios el coseno podra expresarse aproximada-
a fin de poder dar su diferencia 0,0112 con una precision' de tres cifras significa­ Ite pOl' los dos primeros terminos de su desarrollo en serie, 10 que da cos 9
tivas. En algunos calculos largos suele ser diHcil saber al principio el numero de -82 / 2.
cifras significativas que deben tener los datos originales para asegurar una cierta
precision en la respuesta. En la tabla C3 del apendice C pueden verse algunas relaciones matemati­
La precision de tres cifras significativas se considera satisfactoria para la titiles en Mecanica,
mayoria de los calculos tecnicos. La coma decimal debe colocarse en todas las
cifras obtenidas, 10 cual constituye una comprobaci6n del error cometido. 't~ Desc.ripci6n de los problemas de Estatica. El estudio de la Estati­
El orden de las cantidades infinitesimales suele oeasionar confusion a los .~ dirigido hacia la descripcion cuantitativa de fuerzas que se ejercen sobre
estudiantes que apliean por primera vez el calculo diferencial. Los Infinitesimos fb1ras de ingenierfa. Las matematicas estableeen las relaciones entre las
de orden superior se pueden siempre despreciar frente a los de orden inferior. ~ cantidades que intervienen y permiten predecir, a partir de estas rela­
Por ejemplo, el elemento de volumen tl V de un cono recto de revolucion de al­ t los efectos que se producen. El estudiante debe reconocer la necesidad
tura h y base de radio r puede considerarse como una rebanada circular situada _proceso dual de pensamiento. Debe pensar con arreglo a la situacion Iisi­
a una distancia x del vertice y de espesor tlx. Puede verificarse que la expresion mbien de acuerdo con la descripcion matematica correspondiente. El estu­
completa del volumen del elemento se puede escribir en la forma todo problema requerira la transicion repetida del pensamiento del punto
, fisico al punto de vista matematico. No hay duda de que las mayores
1rr 2
AV = /i2[x 2 Ax + x (Ax)2 + -t (AX)3]. . hades que encuentran los estudiantes en Mecanica, es la falta de capacidad
i,tealizar esta transicion libremente, vinculando estos dos procesos mentales.

9. 13
Principios de estatica
12 Principios de estatlea
Datos conocidos.
EI estudiante debera realizar un gran esfuerzo para vincular cada concepto fisi­ Resultados buscados.
co con su correspondiente expresi6n matematica. Debera reconocer. que la for, Diagramas necesarios.
mulacion matematica de un problema fisico representa un modelo 0 descripci6n Calculos.
limite ideal que se aproxima, pero nunea alcanza por completo, a la situaeion Respuestas Y conclusiones.
fisica real.
Al construir el modelo matematico idealizado para un problema tecnico .emas oonvendra incorporar una serie de comprobaciones de los calculos
dado, siempre se haran ciertas aproxirnaciones, Algunas de estas seran de indole s intermedios del proceso de soluci6n. Debe observarse si son 0 no razo ­
matematica y otras de indole fisica. Por ejemplo, suele ser preciso despreciar dis­ .Ias magnitudes numericas y comprobar frecuentemente la precisi6n y
tancias, angulos 0 fuerzas que sean pequefias, frente a otras distancias, angulos eidad dimensional de los terminos. Tambien es importante que la dis-
o fuerzas mucho mayores. Una fuerza que, en realidad, se halle distribuida sobre n del trabajo sea limpia y ordenada. Las soluciones descuidadas que no
una pequeiia superficie del cuerpo sobre el que actua puede considerarse como ser leidas facilmente por los demas, carecen de valor 0 tienen muy poco.
Iuerza concentrada si las dimensiones de la superficie en cuestion son pequeiias iplina inherente a una buena presentaci6n sera en si misma una ayuda
frente a otras dimensiones pertinentes. EI peso de un cable de acero por metro .able para el desarrollo de las eapacidades para formular y analizar. Mu­
de longitud puede despreciarse si la tension del cable es varias veces mayor que . ,blemas que en un principio parecen dificiles y complicados se hacen
su peso total, mientras que el peso del cable no podra despreciarse si el problema y faciles una vez se han abordado con un metodo 16gico y disciplinado.
pide la determinacion de la flecha del cable suspendido, debida a su peso. Asi Estatice se basa en un numero sorprendentemente reducido de concep ­
pues, las hipotesis que se hagan dependen de que informacion se desee y de la damentales e implica, principalmente, la aplicaci6n de estas relaciones
precision exigida. EI estudiante debera estar constantemente atento a las diversas entales a una diversidad de situaciones. En esta aplicaci6n, e1 metoda de
hipotesis que se hagan para la formulacion de los problemas reales, segun un es de importancia primordial. Al resolver un problema es esencial que
modelo rnatematico. La habilidad de comprender y utilizar las hipotesis apro ­ es que se apliquen se retengan bien en la mente y que esos principios se
piadas en la formulacion y solucion de problemas tecnicos es, ciertamente, una en literal y exactamente. Al aplicar los principios que definen los requisitos
de las caracteristicas mas importantes de un buen ingeniero. Uno de los princi ­ erzas que actuan sobre un cuerpo, es esencial que el cuerpo en cuesti6n
pales fines de este libro es proporcionar un maximo de oportunidades para de­ lado de los demas cuerpos, con 10 que se podra hacer una relacion corn­
sarrollar esta habilidad mediante la presentaci6n de muchos problemas practices. y precisa de todas las fuerzas que actuan sobre el cuerpo. Este aislamiento
Las grMicas constituyen tambien un medio importante de descripcion en a en nuestra mente Y sobre el papel, EI dibujo de dicho cuerpo aislado con
Mecanica y son utiles en tres aspectos. Primero, permiten la representacion de un .resentaci6n de todas las fuerzas exteriores que actuan sobre el recibe el
sistema fisico sobre un papel mediante un esquema 0 diagrama. La representa­ e de diagrama del cuerpo libre. Desde hace tiempo se ha establecido que
cion geometrica es vital para la interpretacion fisica y ayuda en gran manera a odo del diagrarna del cuerpo libre es la clave de la comprensi6n de la
visualizar los aspectos tridimensionales de muchos problemas. Segundo, las gra­ ica. Asi ocurre debido a que el aislamiento de un cuerpo es la herramien­
ficas ofrecen a menudo un medio para resolver relaciones fisicas sin recurrir a ~ la que se separa claramente la causa del efecto Y con la que se fija, en
una solucion algebraica. Las solueiones grMieas no solamente proporeionan me­ precisa, la atenci6n sobre la aplicaci6n literal de un principio. En el ca­
dios practices para obtener los resultados, sino que tambien ayudan mucho a 3 se tratara de la tecnica de dibujar diagramas para solidos libres.
realizar la transicion del pensamiento entre la situacion fisiea y la expresion ma­ ,AI aplicar leyes de la Estatica a la resoluci6n de un problema, se pueden
tematica, pues ambas estan representadas simultaneamente, Un tercer empleo ;lear directamente valores numericos de las cantidades al ir en busca de la
de las graficas es la representacion de resultados sobre diagramas 0 curvas que i ion. Por otra parte, pueden utilizarse simbolos algebraicos para represen­
constituyen una ayuda de valor incalculable para la interpretacion. :las cantidades que intervienen Y dejar la respuesta en forma de f6rmula. En
Como ocurre con todos los problemas tecnicos, es esencial un metodo de .er procedimiento, en cada etapa del calculo queda en evidencia la mag ­
ataque eficaz para los problemas de Estatica, El desarrollo de la habilidad para de todas las cantidades expresadas en sus unidades particulares. Esto suele
formular problemas y representar sus solueiones constituira un haber valiosisimo. ventaja cuando se valore el significado practico de la magnitud de los
Cada solucion debera seguir un orden logico de pasos que llevaran de la hipote ­ 'so El segundo metodo, 0 soluci6n simb6lica, tiene varias ventajas sobre la
sis a la conclusion y su representacion debeni incluir una exposicion clara de ,n numerica. En primer lugar, Ia abreviatura lograda con la utilizaci6n de
las partes siguientes, identificando cada una de elIas de manera que no deje iIos ayuda a concentrar la atenci6n sobre la interconexi6n entre la situaci6n
lugar a dudas: 'f la descripci6n matematica a ella relacionada. En segundo lugar, una

10. 14 Principios de estatica
solucion simbolica permite una comprobacion dimensional que puede realizarse
a cada paso, mientras que cuando se utilizan valores numerioos no puede COm­
probarse la homogeneidad dimensional. Tercero, una solucion simbolica puede
ser usada repetidamente para obtener respuestas al mismo problema cuando
diferentes juegos y tamafios de unidades son usados. Facilidad en ambas formas
de solucion es esencial, y mucha practiea con cada una de elIas debera ser
conseguida en el trabajo de problemas.
EI alumno encontrara que las soluciones de los problemas de Estatica pue­
den hallarse de una de las tres maneras siguientes. Primera, puede utilizarse una
2 Sistemas de fuerza
solucion matematiea directa pOl' calculo a mana en la que los resultados apare­
ceran 0 como simbolos algebraicos 0 como resultados nurnericos. La mayoria
de los problemas caen en esta categoria. Segunda, ciertos problemas se tratan
facilmente mediante soluciones graficas. Tercera, la moderna calculadora digital .Intreduecion. En este capitulo y en los siguientes exam ina rem os los
es de utilidad especial cuando intervienen en forma numerica un gran nurnero . y propiedades de diversos tipos de fuerzas al ejercerse sobre estructuras
de ecuaciones 0 de datos repetidos. EI alumno que tenga acceso a una calcula­ nismos de ingenieria. La experiencia adquirida mediante este examen
dora digital puede intentar resolver algunos de sus problemas por este metoda. ser de utilizacion fundamental en el estudio de la Mecanica y en el
No obstante, con el fin de reducir el tiempo de calculo en la elaboracion del "s temas tales como el analisis de los esfuerzos, disefio de elementos de
problema, los datos de la mayoria de los problemas se dan pOl' numeros sencillos. as y movimiento de fluidos. Dentro del tema de la Estatica en si, en este
La eleceion del metodo de solucion mas expeditivo constituye un aspecto im­ echamos los cimientos para el conocimiento basico del tern a y se esti­
portante de la experiencia a ganar con la resolucion de problemas. I alumno para que domine pOl' completo dicha materia.
,'Fuerza. Antes de enfrentarnos con un grupo 0 sistema de fuerzas con­
examinar las propiedades de una sola fuerza can cierto detalle. Se ha
la fuerza como la accion que ejerce un cuerpo sabre otro. Es evidente
. fuerza es una cantidad vectorial, ya que su efecto depende de la direccion
!o de la accion tanto como de su magnitud. Ademas, es necesario saber
'actua, La accion de la tension P del cable sobre el soporte de la figura 5a,
)epresentado en la figura 5b mediante el vector fuerza P. El efecto de esta
a
rsobre el soporte dependera de la magnitud de P, del angulo y de la si­
.del punto de aplicacion A. Variando cualquiera de estos tres elementos
(a) (b)
Tension del cable
p
Figura 5
15

11. Sistemas de fuerza 17
16 Sistemas de fuerza
p
se alterara el efecto sobre el soporte, cosa que podria percibirse, por ejemplo
mediante la fuerza que se ejerce sobre uno de los roblones que fijan el soport~
a la base 0 mediante la deformacion del material del soporte en un punto cua],
quiera. Se ve, por tanto, que la especificacion completa de una fuerza exige el
conocimiento de su 1J!agnitud, direccion y punto de aplicacion. Figura 6
La fuerza se aplica por contacto mecanico .directo 0 por accion a distanc:ia.
Las fuerzas electricas y gravitatorias son dos ejemplos de fuerzas aplicadas p;r ad puede determinarse, en ocasiones mediante consideraciones acerca
accion a distancia. Las demas fuerzas se aplican por contacto Hsico directo. etria del cuerpo. Si la posicion no queda clara, sera preciso realizar
La accion de una fuerza sobre un cuerpo puede descomponerse en dos efec. • que se explicara en el capitulo 5, para localizar el centro de gravedad.
tos, exterior e interior. Para el soporte de la figura 5, los efectos exteriores de P al fuerza se puede medir por comparaci6n con otras fuerzas conocidas,
soporte son las reacciones 0 fuerzas ejercidas (no representadas) sobre el soporte el equilibrio mecanico, 0 por deformacioo calibrada de un resorte
por los oimientos y los pemos a consecuencia de la accion de P. Las fuerzas Todas estas comparaciones 0 calibraciones tienen como base un patron
e_x!e!i2r~s,il un cuerpo son, pues, de dos clases: las fuerzas aplicadas 0 activa! . La unidad patron de fuerza es el newton (N), definida ya en el apar­
y las fuerzas reactivas. Los efectos interiores de P al soporte son los movirnien, . Por la ecuaci6n 3 se ve que una mas a de 1 kg suspendida de un resorte
tos intemos resultantes y las fuerzas distribuidas por todo el material del so­ en reposo, ejerciendo en dicho resorte una tension de 1 (g). EI alar ­
porte. La relacion entre las fuerzas intemas y los movimientos intemos exige ~ del resorte es, por tanto, una medida de g newtons de fuerza. Se
tener en cuenta las propiedades materiales del cuerpo y se estudia en los e, pues, que un newton viene dado por una deformacion 8/g. Por
tratados de resistencia de materiales, elasticidad y plasticidad. " si un muelle se alarga 123 mm al estar en reposo una mas a de 3 kg
Al estudiar la mecanica de los cuerpos rigidos, en donde solamente se tienen . haya suspendido de el, en un lugar en el que el valor de g es de 9,81 m/s",
en cuenta los efectos exteriores de las fuerzas, la experiencia nos indica que no la deformacion del resorte correspondiente a 1 N de fuerza resulta ser
es necesario restringir a un punto dado la accion de una fuerza aplicada. Asi, la
,..9.81 = 4,18 mm por newton. Por tanto, esta medicion permitiria cali­
fuerza P que actua sobre el soporte rigido de la figura 6 puede considerarse apli­
resorte para tener un instrumento que midiera la fuerza en newtons.
cada en A 0 en B 0 en cualquier punto de su linea de accion, con 10 que no be tenerse cuidado al observar la caracteristica de la fuerza que expresa
cambiara el efecto exterior total de P sobre el soporte. Los efectos exteriores 'a ley de Newton. La accion de una fuerza va siempre acompafiada de
son la fuerza ejercida sobre el soporte por el punto de sujecion 0 y la fuerza ., _non igual y opuesta. Es esencial ver claramente que fuerza de esta pa ­
ejercida sobre el soporte por el rodillo de apoyo en C. Esta situaeion viene des­ .que se considera. La respuesta queda siempre clara si se aisla el cuerpo
crita por el T!.rincipio de la transmisibilidad, que se enuncia diciendo que una n y se representa la fuerza ejercida sabre el cuerpo (no la ejercida por
fuerza puede considerarse aplicada a un punto cualquiera de su linea de aeci6n muy facil equivocarse y considerar la fuerza de la pareja que no se debe
sin que se alteren los efectos-erzeriores al cuerpo rigido de la fuerza que sobre •• menos que se establezca una distincion precisa entre toda accion y su
el actua, Cuando se eonsideran solamente los efectos externos resultantes de
una fuerza, esta se puede considerar como vector deslizante y es entonees ne­ .. fuerzas coneurrentes FlY F 2 que actuan sobre un mismo plano se
cesario y sufieiente especificar el modulo, el sentido y la linea de accion de la .~ .sumar mediante la regIa del paralelogramo para obtener su suma 0
fuerza. Como en este libro se estudia eseneialmente la mecanica de los cuerpoS
te R segun se indica en la figura 7a. Si las dos fuerzas son coplanarias,
rigidos, casi todas las fuerzas se consideraran vectores deslizantes respecto al
.~ aplicadas ados puntos diferentes, como en la figura 7b, por el prin­
cuerpo rigido sobre el cual actuan,
,~misibilidad se pueden deslizar a 10 largo de sus lineas de accion
Las fuerzas pueden estar concentradas 0 distribuidas. En realidad, toda fuer­
rsu suma R en el punto de concurso. La resultante R podra sustituir
za de contacto se halla aplicada a una superficie de area finita y, por tanto, esta
I sin alterar los efectos exteriores ejercidos sobre el cuerpo. Tambien
distribuida. Cuando las dimensiones del area sean despreciables frente a las
otras dimensiones del cuerpo, se podra considerar la fuerza como concentrada izarse la regia del triangulo para obtener R, pero ello exige el des­
en un punto. La fuerza puede estar distribuida sobre una superficie, como en el de la linea de acci6n de una de las fuerzas en la forma indioada
caso del contacto mecanico, 0 puede estar distribuida por un volumen, comO . 7c. En la figura 7d se han sumado las mismas fuerzas, y aun cuando
cuando actua una fuerza gravitatoria 0 magnetica, El "peso" de un cuerpo es [a '.el modulo y direccion correctos de R, se ha perdido su linea de
fuerza de la gravedad distribuida por su volumen y se puede tambien considerar ;to que R no pasa ya por A. Por tanto, se debe evitar este tipo de
como fuerza concentrada aplicada al centro de gravedad. La posicion del centr?

12. 19
18 Sistemas de fuerza Sistemas de fuerza
I
I
I
(a) (b)
R'J R
Figura 8
(c)
Figura 7 y
construcci6n. La suma de las dos fuerzas puede escribirse matematicarnente
mediante la ecuaci6n vectorial
=
R F 1 + F z.
Ademas de ser necesario combinar fuerzas para obtener su resultante,
a menudo es preciso sustituir una fuerza por sus componentes que actuen en x
dos direcciones especificadas. ASI, la fuerza R de la figura 7a puede sustituirse Figura 9
o descomponerse en dos componentes FlY F 2 que tengan diehas direcciones
especificadas sin mas que completar el paralelogramo en la forma que se in­ Fx = F cos Olll' F = yrlllZ + Fl + Fzz,
dica para obtener las magnitudes de FlY F 2. FII=FcosOIl' F=iFx+jFII+kFz, (4)
En la figura 8 se presenta el caso particular de adici6n de dos fuerzas pa­ F, = F cos Oz, F =
F(i cos Ox + j cos Oy + k cos Oz).
ralelas F 1 y F 2 • Pueden combinarse sumando primeramente dos fuerzas opues­
tas, de igual recta soporte, F y -F de magnitud conveniente (la misma para vectores unitarios i, J. k estan dirigidos segun los sentidos positivos
ambas) que tomadas juntas no ocasionaran ningim efecto exterior sobre el cuer­ x, y, Z, Y la elecci6n de la orientaci6n del sistema de coordenadas es
po. Sumando F 1 y F y combinando con la suma de F 2 y -F, se tiene la resul­ arbitraria, siendo la consideraci6n principal la de mayor convenien­
representaci6n bidimensional se considera ausente una de las compo-
tante R correcta en magnitud, direcci6n, sentido y linea de acci6n. Este proce­
dimiento tambien resulta Mil para obtener una combinaci6n grafica de dos fuer­ ejemplo, la Z, y la descomposici6n da
y.
zas que sean casi paralelas y en consecuencia tengan un punto de concurso Fx = Fcos Ox, Fy = FsenOx, tg Ox = F x
F
muy lejano.
Segun el apartado 3 del capitulo 1, un vector fuerza F que se ejerza sobre '~ eliminar la ambiguedad entre la representaci6n de una tuerza Y sus s
un punto 0, figura 9, puede descomponerse en componentes rectangulares es, conviene representar las componentes mediante rectas de trazo
Fill, r; r; donde te can trazo continuo (0 al reves). Con este convenio quedara siern-

13. 21
Sistemas de fuerza
20 Sistemas de fuerza
pre claro que se ha representado una sola fuerza y no varias
parado.
Las componentes rectangulares de una fuerza F (0 de otro vector) tambie'
pueclen escribirse con ayuda de la operaci6n vectorial Hamada producto e8~:
calar (para una introduecion al Analisis Vectorial veanse los apartados Hl , B'/
y B3 del Apendice B). Por definicion, el producto escalar de dos vcctore~
P y Q (fig. lOa) es el proclucto de sus modules multiplicado por el cosena del Fx == F cos Ox == 100 cos 20° == 94,0 N
angulo a que forman. Este produeto puede considerarse como el resultado Fy == F cos Oy == 100 cos 70° == 34,2 N Resp.
de multiplicar la proyecci6n (componente) P cos a de P en la direcci6n de.
.0 (2). Las componentes x' e y' de F son las proyecciones sobre estos ejes
Q por Q, 0 bien el producto de la proyecci6n (componente) Q cos a. de Q so..
bre P por P. En uno y otro caso, el producto escalar de los dos vectores es una ca en la parte c de la figura y son
cantidad escalar y se escrihe en la forma P . Q = PQ cos a. Asi, por ejernplo, F == Feos Ox' == 100 cos 50° = 64,3 N
r Resp.
la componente F", = F cose", de la fuerza F de la Bgura 9 podra escribirse en FlI == F cos Oy' == 100 cos 40° = 76,6 N
la forma F = F . i donde i es el vector unitario 0 versor segun la direccion r,
3J
.0 (3). Las componentes de F segun las direcciones x' e Y no son rectangu­
En terminos mas generales, si es s un vector unitario segun una direccion es­ obtienen completando el paralelogramo en la forma indicada en la parte d
pecificada, la componente de F en la direccion s (fig. lOb) tiene por magnitud • Pueden calcularse dichas componentes aplicando el teorema del seno, 10
F. = F . 8. Si se quiere escribir el vector componente segun la direccion
S en
forma de cantidad vectorial, debora multiplicarse su modulo F
. s por el ver­ 0,940
F.,. F r; = _ 1 0 0 = 108,5 N
sor s teniendose entonces F. =
(F . 8)8, que puede escribirse, simplemcnte, en
la forma F. = F . ss.
--=-­
sen 7(1' sen 60° 0,866
FII F 0,766 Resp.
Si 8 tiene por cosenos directores a, ~, y y F tiene par cosenos directo­ FlI = ­ 100 = 88,5 N
res 1, m, n respecto a los ejes de referenda x-y-z, la componente de F segun --=­
sen 50° sen 60° 0,866
la direccion de s sera
/y
I
F. = F· s = F(il + jm + kn) . (ia + jf3 + ky)
= F(la + mf3 + ny)
ya que
i·i=j·j=k·k=l y i· j = J: i = i· k = k· i = J: k = k· j = O.
,/
(a)
y
I
y'
I
)
/ FY'60°
.y
F
~
--/~
..::.-:'~---
Q---
(a)
Figura 10
-'r---_
- r--F. ­
F
If---~
F·s--l
(b)
F.=F'88
SC;:Sor)
,;.;7, ~20.
,:.,.~
,
F_
(b)
F"
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0 ;"~--'x'
(c)
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(d)
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