Este documento presenta una introducción a la transformada de Laplace. Explica que la transformada de Laplace es una herramienta matemática que permite resolver ecuaciones diferenciales lineales transformando una función del tiempo en otra función compleja. Incluye definiciones matemáticas clave como la función de Heaviside y condiciones de existencia. También describe cómo se pueden usar transformadas de Laplace para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integro-diferenciales.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de cálculo para la ingeniería. Cubre temas como la recta real, el plano cartesiano, funciones, límites de sucesiones y funciones, funciones hiperbólicas y funciones de varias variables. El objetivo es proporcionar las herramientas matemáticas fundamentales necesarias para comprender y aplicar el cálculo en ingeniería.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de cálculo para la ingeniería. Introduce conceptos como la recta real, el plano cartesiano, funciones, límites de sucesiones y funciones, funciones hiperbólicas, funciones de varias variables y derivadas. Explica cada uno de estos temas con definiciones, propiedades y ejemplos para proporcionar los fundamentos del cálculo necesarios para la ingeniería.
Este documento presenta un análisis no estándar de conceptos matemáticos como cantidades infinitamente pequeñas y números imaginarios. Explica que una cantidad infinitamente pequeña es en realidad cero, y que los llamados misterios de los números imaginarios se han exagerado; estos conceptos pueden explicarse y entenderse completamente. El documento también introduce el tema de la teoría de conjuntos no estándar que se explicará en las páginas siguientes.
1) El autor agradece a su esposa Julia por su continuo apoyo y paciencia durante las muchas horas que dedicó a preparar este manuscrito.
2) El documento presenta un índice analítico detallado de los principios de la estática dividido en 7 capítulos principales.
3) El texto introduce conceptos fundamentales de la mecánica como fuerza, momento, par y condiciones de equilibrio aplicados a estructuras, cuerpos rígidos y sistemas de fuerzas.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones del contenido de un libro de preparación para la Prueba de Selección Universitaria de Matemáticas. El libro cubre temas como números, proporcionalidad e introducción al álgebra. Incluye ejemplos, actividades y un índice general de los contenidos tratados en cada capítulo. Fue escrito por dos estudiantes de la Universidad de Chile como material de apoyo para futuros postulantes a la educación superior.
Este documento presenta un proyecto de simulación de un péndulo invertido. El objetivo principal es diseñar un controlador óptimo para estabilizar el péndulo, incluso cuando está inicialmente en la posición vertical inestable. El proyecto incluye el modelado matemático del sistema, el diseño e implementación de controladores PID y LQR, y el desarrollo de una aplicación en Java para simular el péndulo invertido de forma interactiva.
Este documento presenta una guía sobre las combinaciones de acciones a considerar en el cálculo estructural de acuerdo con diferentes normativas. Explica conceptos como el método de los estados límite, las acciones, la vida útil, el nivel de riesgo y de control. Además, clasifica las acciones, establece sus valores característicos y de cálculo, y describe las combinaciones a tener en cuenta para los estados límite últimos y de servicio según situaciones persistentes, transitorias o sísmicas.
Este documento presenta un resumen de cálculo financiero. Explica conceptos básicos como capital, monto, tasa de interés y período de operación. Luego describe operaciones financieras simples como descuento, depósitos indexados y capitalización continua. Finalmente, cubre operaciones más complejas como rentas, análisis financiero y sistemas de préstamos. El objetivo es proporcionar una introducción completa al cálculo financiero.
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Este documento presenta apuntes sobre teoría y análisis de señales. Explica los fundamentos del muestreo de señales continuas, incluyendo muestreo periódico y multiperiódico. Detalla cómo se realiza el muestreo de señales continuas por tramos, con un ejemplo numérico. También introduce la transformada Z como herramienta para el análisis de sistemas de tiempo discreto.
Este documento presenta una breve introducción a C++. Explica la estructura básica de un programa en C++, incluyendo la definición de funciones, nombres de variables, tipos de variables, entrada y salida de datos, operadores aritméticos y relacionales. También cubre temas como control de flujo, funciones, matrices, clases, sobrecarga y herencia.
Este documento presenta la idea intuitiva de límite de una función. Explica que un límite describe cómo se comporta una función cuando su variable se acerca a un valor particular, sin alcanzarlo. Utiliza ejemplos como funciones y áreas de regiones para ilustrar cómo los valores de una función pueden aproximarse a un número límite. Finalmente, introduce la notación formal de límites para expresar estas ideas de forma concisa.
Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
Este documento resume varios métodos de factorización prima como el método de Fermat y el método de Euler. Explica brevemente las vidas y contribuciones de Fermat y Euler a la teoría de números, especialmente en lo que respecta a la factorización. Luego, introduce conceptos básicos de teoría de números y clasifica diferentes métodos de factorización prima, describiendo algoritmos como el método de Fermat y el método de Euler.
Este documento describe los criterios para clasificar secciones de acero según su comportamiento frente a tensiones normales. Existen cuatro clases que van de más plástico a más esbelto, dependiendo de su sensibilidad al pandeo local. También presenta un algoritmo para asignar una clase a una sección a partir de un modelo de fibras, considerando factores como la esbeltez y relación de tensiones de sus componentes.
Este documento presenta una introducción a la programación visual basic (VBA) para Excel y elementos de análisis numérico. Explica cómo evaluar funciones, crear gráficas, programar macros, y usar elementos de programación como flujos secuenciales, condicionales y repetitivos. También cubre temas como la solución de ecuaciones, integración, y problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias usando métodos numéricos. El objetivo es mostrar el gran potencial de Excel para ciencias e ingeniería, y su utilidad para la en
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1) El documento presenta información sobre movimiento en una dimensión, incluyendo desplazamiento, velocidad y rapidez. Proporciona ejemplos y cálculos de estos conceptos.
2) Explica cómo calcular la velocidad promedio en diferentes intervalos de tiempo a partir de datos de posición-tiempo.
3) Resuelve problemas que involucran el cálculo de velocidad promedio y rapidez a partir de información de desplazamiento y tiempo.
Este documento presenta un trabajo de investigación sobre los fundamentos matemáticos de la visión por computador. En la introducción, describe brevemente el campo de la visión por computador y el objetivo del trabajo, que es estudiar los algoritmos para reconstruir objetos a partir de dos imágenes calibradas utilizando un enfoque matemático riguroso. A continuación, se divide en cinco capítulos donde se modela geométricamente el proceso de formación de imágenes, se explica la geometría epipolar para el emparejamiento de puntos entre imá
Este documento presenta apuntes sobre física para las unidades I y II. La unidad I cubre conceptos básicos de vectores como magnitudes escalares y vectoriales, definiciones elementales de vectores, propiedades de vectores, componentes de vectores, vectores unitarios, producto escalar y vectorial. La unidad II trata sobre cinemática y presenta fórmulas para desplazamiento, velocidad, aceleración y rapidez.
Este documento presenta una introducción al concepto de derivada de una función. Explica que el problema de trazar una recta tangente a una curva fue un problema importante en los inicios del cálculo. La solución a este problema condujo al desarrollo de las técnicas del cálculo diferencial, las cuales son fundamentales en ciencias y tecnología modernas. Define una recta secante como una recta que pasa por dos puntos de una curva, y explica que el problema de la tangente involucra determinar la pendiente de la recta tangente a partir de
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Este documento proporciona una guía sobre comandos CISCO CCNA Exploration. Cubre temas como administración de dispositivos, seguridad, routing, switching, VLAN, protocolos de enrutamiento como RIP, EIGRP y OSPF, así como servicios de red como DHCP, DNS, NAT y protocolos WAN como PPP y Frame Relay. El documento está organizado en secciones con subtemas para cada área funcional de la red.
Este documento proporciona una guía sobre comandos CISCO CCNA Exploration. Cubre temas como administración de dispositivos, rutas, conmutación, VLAN, protocolos de red y seguridad. Se divide en secciones de generalidades, administración/seguridad, rutas, conmutación y explica conceptos clave con detalles sobre protocolos y configuraciones comunes.
1. Transformada de Laplace
Ing. Juan Sacerdoti
Facultad de Ingenier´
ıa
Departamento de Matem´tica
a
Universidad de Buenos Aires
2005
V 1.001
1
Agradecemos al Sr. Alejandro Quadrini por la transcripci´n de este documento.
o
4. 1. Introducci´n
o
1.1. ¿Qu´ es una transformada?
e
Dados dos espacios E y E ½ con sendas leyes de composici´n interna T y T ½ , de manera que confor-
o
men dos estructuras ÔE T Õ y ÔE ½ T ½ Õ, se llama transformada a una aplicaci´n biyectiva f : E
o E½
que establezca un isomorfismo entre las estructuras ÔE T Õ y ÔE ½ T ½Õ
Es decir:
a½
T½
a
T f
c c½
b b½
E E½
Figura 1: Isomorfismo f entre las estructuras E T y E ½ T ½ . Ô Õ Ô Õ
T : E ¢E E T ½ : E½ ¢ E½ E½
Ôa, bÕ c Ôa½ , b½ Õ c½
f: E E½ f È biyectiva
a a½
b b½
aT b a½ T ½ b ½
Por medio de la transformada se establece, entonces, un comportamiento isomorfo entre las
estructuras ÔE T Õ y ÔE ½ T ½ Õ; que permite obtener, usando la transformada f como puente, el resul-
tado de la composici´n interna T conociendo el de T ½ , o viceversa.
o
Por ejemplo, el resultado de T en E es puede obtener:
f: a a½
1o
b½
Transformando
b
2o Componiendo T ½ : Ôa½ , b½ Õ c½ a½ T ½ b ½
3o Antitransformando f ¡1 : c½ c aT b
Por supuesto que el uso de la transformada, ques se basa en la analog´ de las estructuras
ıa
isomorfas, se puede justificar solamente si el camino indirecto de: transformaci´n, composici´n y
o o
antitransformaci´n es m´s sencillo que el camino directo de la composici´n T .
o a o
Un ejemplo simple de la idea de transformada es el c´lculo logar´
a ıtmico para el producto de dos
n´ mero reales positivos.
u
1
5. a L aü
L
ab La Lb
b Lb
E R E½ R
T ¤R T½ R
Figura 2: Isomorfismo, mediante L, entre las estructuras R Ô ¤Õ y ÔR Õ.
L : R R½ L È biyectiva
a La
b Lb
a¤b La Lb
1.2. La aplicaci´n de la Transformada de Laplace
o
La transformada de Laplace (T.L.) es una aplicaci´n entre espacios de funciones.
o
Su aplicaci´n principal es que reduce las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes cons-
o
tantes, en ecuaciones algebraicas lineales.
TL Y
y
ÔÕ
EDL y EAL Y Ô Õ
E E½
Ecuaciones diferenciales TL Ecuaciones algebraicas
lineales con coeficientes lineales
constantes
Figura 3: Transformada de Laplace entre el conjunto de EDL y el de EAL.
Con lo cual se obtiene un m´todo poderoso, por r´pido y eficaz, para resolver ecuaciones
e a
diferenciales lineales de coeficientes constantes.
Adem´s, con la T.L. se resuelven con facilidad ecuaciones diferenciales de coeficientes no cons-
a
tantes en derivadas parciales y ecuaciones integrales.
Por todo esto, la T.L. es de gran aplicaci´n en los modelos de la t´cnica.
o e
2. Transformada de Fourier. Sus limitaciones
La transformada de Laplace tiene su origen en las limitaciones de la transformada de Fourier
(T.F.), de la cual es un caso particular.
Ambas transformaciones tienen en esencia las mismas propiedades, pero la T.F. tiene un conjun-
to muy limitado de funciones sobre las cuales puede ser aplicada directamente, pues sus condiciones
de existencia son muy restrictivas.
El teorema de la Integral de Fourier, que genera la T.F, es:
2
6. Teorema 2.1 (Integral de Fourier).
¸
H1 Õ f È CPßR »
»
»
»
»
T1 Õ f ¦ ÔtÕ f Ôτ Õ e¡iωτ dτ dω
» 1
ˆ ˆ
f ½ È CPßt¡
»
»
eiωt
»
H2 Õ
» 2π ¡ ¡
»
»
f ½ È CPßt
»
»
º °
ˆ
f Ôτ Õ e¡iωτ dτ
³
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³
² Ô Õ
È » T Õ ¡ˆ
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CV»
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2
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V¡ » ³
ÔÕ 1
F Ôω Õ eiωt dω
» ³f t
» ±
»
» ¡
È 2π
ˆ
f dt CV»
»
¹
V
Donde se pueden observar las expresiones de la transformada de Fourier y su antitransformada.
La hip´tesis H3 es la que trae las restricciones es la aplicaci´n de la T.F, pues la exigencia de
o o
la convergencia absoluta de f en un V y en un V¡ es muy restrictiva, tanto que funciones
fundamentales para el an´lisis como:
a
t, senÔtÕ, et
no las satisfacen.
Esto lleva la definici´n de la T.L.
o
3. Funci´n de Heaviside
o
La funci´n de Heaviside, necesaria para la T.L, se define como:
o
H : R ¡Ø0Ù R
1 t 0
t
0 t 0
y es llamada tambi´n funci´n escal´n o salto unitario.
e o o
f Ôt Õ
Õ
Ô0
t
Figura 4: Funci´n de Heaviside.
o
Observaci´n 1: La funci´n de Heaviside no se ha definido en t
o o 0, pues ello no tiene importancia.
1
Se puede, sin embargo, definir como algunos autores H : 0 2 . Tambi´n es de uso com´ n la
e u
funci´n escal´n desplazada HÔt ¡ aÕ.
o o
3
7. f Ôt Õ
Õ
Ô a
t
Figura 5: Funci´n de Heaviside desplazada.
o
4. Definici´n de T.L.
o
4.1. Definici´n
o
La transformada de Laplace es:
TL : E E½
f ÔtÕ F ÔsÕ HÔtÕ f ÔtÕ e¡xt e¡iyt dt
ˆ
¡
ˆ
HÔtÕ f ÔtÕ e¡s t dt : s x iy
¡
La transformada de Laplace es entonces una aplicaci´n del espacio E de funciones reales, sobre
o
el espacio E ½ de funciones complejas; donde f ÔtÕ se llama funci´n original y F ÔsÕ se llama funci´n
o o
transformada. A e¡s t se la denomina n´cleo de la transformaci´n.
u o
Observaci´n 1: La T.L. tambi´n se extiende como aplicaci´n de espacios complejos sobre espacios
o e o
complejos.
Observaci´n 2: En la mayor´ de los libros se define:
o ıa
ˆ
F ÔsÕ f ÔtÕ e¡s t dt
0
Efectivamente, si se toma la definici´n original se llega a este resultado:
o
ˆ ˆ
F ÔsÕ HÔtÕ f ÔtÕ e ¡s t dt f ÔtÕ e¡s t dt
¡ 0
´
Sin embargo, en el caso de funciones con desplazamiento, de tomarse la 2o expresi´n
o 0
f ÔtÕ e¡s t dt,
se obtienen resultados incorrectos.
CORRECTO
HÔt ¡ aÕ f Ôt ¡ aÕ HÔt ¡ aÕ f Ôt ¡ aÕ e¡s t dt f Ôt ¡ aÕ e¡s t dt
ˆ ˆ
¡ a
INCORRECTO (para a 0)
HÔt ¡ aÕ f Ôt ¡ aÕ HÔt ¡ aÕ f Ôt ¡ aÕ e¡s t dt f Ôt ¡ aÕ e¡s t dt
ˆ ˆ
a 0
0 a
f Ôt ¡ aÕ e¡s t dt
ˆ
a 0
0
4
8. 4.2. Notaci´n de la T.L.
o
Los s´
ımbolos que se emplean para representar a la T.L. son:
f ÔtÕ F ÔsÕ
donde siempre la funci´n se representa en t con min´ scula y en s con la misma letra may´ scula.
o u u
Otra notaci´n usual es tambi´n:
o e
L Øf ÔtÕÙ F ÔsÕ
que es menos pr´ctica que la anterior.
a
4.3. Relaci´n entre T.L. y T.F.
o
La T.L. de una funci´n f ÔtÕ
o
ˆ
f ÔtÕ F ÔsÕ HÔtÕ f ÔtÕ e¡xt e¡iyt dt : s x iy
¡
no es m´s que la T.F. de otra funci´n g ÔtÕ HÔtÕ f ÔtÕ e¡xt
a o
ˆ
g ÔtÕ HÔtÕ f ÔtÕ e¡xt GÔy Õ g ÔtÕ e¡iyt dt
TF
¡
es decir:
f ÔtÕ F ÔsÕ GÔy Õ HÔtÕ f ÔtÕ e¡xt
TF
Se puede observar claramente que la T.L. es una T.F. en la cual el problema de CV planteado
por la H3 del teorema 2.1:
H3 Õ g dx È CV
ˆ
V¡
g dx È CV
ˆ
V
se enfrenta en V¡ y en V de la siguiente manera:
1o En V¡ se multiplica f ÔtÕ por HÔtÕ, que en este vecinal es nula y por lo tanto asegura la
convergencia absoluta de g ÔtÕ.
HÔtÕ f ÔtÕ e¡xt e¡iyt dt g dx È CV
ˆ ˆ ˆ
0 dx 0
V¡ V¡ V¡
2o En V se multiplica f ÔtÕ por e¡xt , que no asegura la convergencia absoluta, pero que la
ayuda notablemente.
La existencia de la T.L. se reduce entonces al estudio de la CV en un V .
5. Condiciones de existencia
5.1. Teoremas de CV para funciones acotadas
Hay varios teoremas que estudian la existencia de la T.L:
Teorema 5.1.
¸
H1 Õ f È CP »
º T1 Õ F È CV
H2 Õ x È V f Ôt Õ
T2 Õ F È CA
M
»
H3 Õ x
¹
0
5
9. Demostraci´n.
o
§ˆ §
§ ¡st dt§ § ¡st §
f ÔtÕ e f ÔtÕ e¡xt dt
M
ˆ ˆ
x 0
§ § §e § dt M
§ § x
0
Ð Ò Ð0 Ò 0
y p
1 2
F È CV
1
M
x
F È CV F È CA
2
M
x
F È CA 0 x
El an´lisis de los valores de s para los cuales se
a
asegura como condici´n suficiente la CV y CA de
o
la T.L es, entonces, x 0.
Con una variante de la H3 del teorema anterior, haciendo x x0 0 tambi´n se asegura la
e
CU.
Teorema 5.2.
¸ °
H1 Õ f È CP »
º ³ T1
² Õ F È CV
H2 Õ x È V f Ôt Õ M T2 Õ F È CA
» ³
H3 Õ x x0 T3 Õ F È CU
¹ ±
0
Demostraci´n. An´logamente al T1 anterior
o a
§ˆ § ˆ
§ ¡st dt§ § §
f ÔtÕ e f ÔtÕ §e¡st § dt e¡xt dt
M
ˆ
x 0
§ § M
§ § x
0
Ð Ò Ð0 Ò 0
1 2
M
donde la cota x0 es independiente del x y por lo tanto asegura la CU.
y
M
È CV
s
1 F
x
2
M
F È CA F È CV
F È CA
x
1
M
F È CU F È CU
x0 0 x0 x
Es decir, si analizamos el campo de los valores de
s donde se aseguran las tesis, es el representado
en la figura.
5.2. Convergencia absoluta. Abscisa de CV
Un tercer teorema, relativo a la CA de la T.L. es:
Teorema 5.3. La CA en un valor s0 x0 iy0 es condici´n suficiente de CV, CA y CU para:
o
s : s x iy : x x0 .
°
H1 Õ F È CAßs0
· ³ T1
² Õ F È CVßs
T2 Õ F È CAßs
H2 Õ x ³
T3 Õ F È CUßs
x0 ±
6
10. Demostraci´n.
o
§ˆ §
§ §
f ÔtÕ e¡st dt§ f ÔtÕ e¡xt dt f ÔtÕ e¡x0 t dt
M
ˆ ˆ
x 0
§
§ § x
0 0 0
Ð Ò Ð Ò Ð Ò
1 2 3
y s
3 È CV por H1
F È CV
1 3 F È CUßs F È CVßs s0
F È CA
2 3 F È CAßs F È CU
0 x0 x
El campo de los valores de s donde se aseguran
las tesis, se representa en la figura.
Analizando el TCR del teorema 5.3 se tiene un resultado importante para el estudio del campo
de CA de la T.L.
Corolario 5.3.1 (TCR).
·
T2 Õ Ê CAßs0 H1 Õ Ê CAßs0
F
H2 Õ x
F
x0
Cambiando la notaci´n:
o
s s1
x x1
s0 s
x0 x
resulta la siguiente expresi´n del TCR:
o
Corolario 5.3.2 (TCR (forma alternativa)). La no convergencia absoluta en un valor s1 x1 i y1
es condici´n suficiente de no convergencia absoluta para: s : s x iy : x x1 .
o
·
T2 Õ Ê CAßs1 H1 Õ Ê CAßs
F
H2 Õ x1
F
x
y s
s1
F Ê CA
0 x1 x
Figura 6: Regi´n de no convergencia absoluta, seg´n el corolario 5.3.2.
o u
Combinando los resultados del T3 y del TCRßT3 , tenemos que existe un semiplano a la derecha
de x0 (x x0 ) donde existe la CA, y un semiplano a la izquierda de x1 (x x1 ) donde no existe
la CA.
7
11. y s
s1 s0
F Ê CA F È CA
x1 x0
x
Figura 7: Regiones de CA, no CA y franja intermedia.
Pero eligiendo un punto xint intermedio entre x1 y x0 , es decir:
xint È Ôx1 , x0 Õ
por el principio del tercero excluido, se cumple que:
1o . F È CAßxint
o
2o . F Ê CAßxint
con lo cual, en el 1o caso, por T3 :
·
F È CAßxint F È CAßs
x xint
se extiende la CA
s : x xint
s
F Ê CA F È CA F È CA
x1 xint x0
x
Figura 8: Region de CA para x xint .
Si se cumpliera el 2o caso, por TCR T3
·
F Ê CAßxint F È CAßs
x xint
se extiende la no CA
s : x xint
entonces, de una forma u otra, se reduce la franja intermedia donde est´ indefinida la CA.
a
8
12. s
F Ê CA F Ê CA F È CA
x1 xint x0
x
Figura 9: Region de no CA para x xint .
Reproduciendo este procedimiento n veces y llamando:
Con sub´
ındice par los sucesivos xint : F È CAßxint .
Con sub´
ındice impar los sucesivos xint : F Ê CAßxint .
CA CA
x1 x3 x5 x7 x4 x2 x0 x
Figura 10: Sucesi´n xn
o Ø Ùn 0 : x1 xn x0
se pueden formar dos sucesiones tal que:
x1 x0
x3 x2
x5 x4
.
. .
.
. .
x2n 1 x2n
α1 α0
1o La primera sucesi´n Øx0 , x2 , . . . , x2n , . . . Ù es mon´tona no creciente y acotada inferiormente por
o o
x1 entonces, por el teorema de Weierstrass al efecto, tiene l´ ımite para n , que coincide
con su extremo inferior α0 .
2o La segunda sucesi´n Øx1 , x3 , . . . , x2n 1 , . . . Ù es mon´tona no decreciente y acotada superior-
o o
mente por x0 entonces, por el mismo teorema, tiene l´ ımite para n , que coincide con su
extremo superior α1 .
Adem´s α1
a α0
3o Por otra parte, por el procedimiento de elecci´n del xint , se puede asegurar que:
o
ǫ 0 n0 : n n0 x2n ¡ x2n 1 ǫ
de donde resulta que:
α1 α0 α
9
13. que se llama abscisa de convergencia absoluta de la T.L. y que tiene la propiedad que:
x α F È CAßx
x α F Ê CAßx
s
F Ê CA F È CA
α
x
Figura 11: Abscisa de CA, x α.
Sobre la misma abscisa de CA (s α) no pueden hacerse aseveraciones generales en cuanto a
la CA.
Hay T.L. que convergen en x α y otras que no.
Resumiendo, el campo de CA de la T.L. es un semiplano a la derecha de α.
Observaci´n 1: N´tese la analog´ con los c´
o o ıa ırculos de CA de la serie de Taylor, y lo que sucede en
la frontera de los mismos.
Observaci´n 2: Pueden presentarse lo siguientes casos particulares de α:
o
1o α ¡ , entonces F È CA para todo el plano s.
2o α , entonces F Ê CA sobre ning´ n punto de
u s y la funci´n original no es transfor-
o
mable por T.L.
El siguiente teorema muestra la forma de encontrar la abscisa de CV.
Teorema 5.4.
L f ÔtÕ
λ λ α
t t
Demostraci´n. Por hip´tesis
o o
§
ǫ 0 t0 : t t0
§L f t
§ Ô Õ ¡ 맧§ ǫ
§ t §
Resulta entonces:
Ôλ ¡ ǫÕt L f ÔtÕ Ôλ ǫÕt
eÔλ¡ǫÕt f ÔtÕ eÔλ ǫÕt
´
Aplicando estas desigualdades sobre la integral que da la CA de la T.L: 0 f ÔtÕ e¡xt dt, resulta:
f ÔtÕ e¡xt dt eÔλ ǫÕt e¡xt dt
λ
ˆ ˆ
x λ ǫ
0 0 x ¡ Ôλ ǫÕ
Ð Ò
1
donde x λ ǫ es la condici´n de CV de la integral 1 .
o
10
14. Adem´s resulta:
a
ˆ ¡
f ÔtÕ e¡xt dt eÔλ¡ǫÕt e¡xt dt
ˆ
x λ ǫ
0 s
Ð0 Ò
2
F Ê CA F È CA
donde x λ ǫ es la condici´n de no CV de la
o
integral 2 . λ
λ¡ǫ λ ǫ x
Por lo tanto:
ǫ 0 x λ ǫ F ÔsÕ È CAßx
x λ¡ǫ F ÔsÕ Ê CAßx
resultando entonces por definici´n λ
o α, abscisa
de CA.
5.3. Convergencia simple. Abscisa de CV
Un cuarto teorema de convergencia, parecido al 5.3, pero que se refiere a la convergencia simple
de la T.L. es:
Teorema 5.5. La convergencia simple en un valor s0 x0 iy0 es condici´n suficiente de CV
o
para: s : s x iy : x x0 .
·
H1 Õ È CVßs0 TÕ È CVßs
F
H2 Õ
F
x x0 y s
s0
F È CV
Observaci´n: N´tese que la diferencia con el teo-
o o
rema 5.3 consiste en que en H1 se postula F È
CVßs0 y no F È CAßs0 , y que en H2 se postula 0 x0 x
x x0 y no x x0 .
Demostraci´n.
o
F ÔsÕ f ÔtÕ e¡st dt f ÔtÕ e¡s0 t e¡Ôs¡s0 Õt dt
ˆ ˆ
0 0
Llamando:
ϕ½ ÔtÕ f ÔtÕ e¡s0 t
Resulta:
t
ϕÔtÕ f Ôτ Õ e¡s0 τ dτ
ˆ
0
ϕÔtÕ F Ôs0 Õ
t
que es convergente por H1 , es decir, es finito.
11
15. Reemplazando ϕ½ ÔtÕ en la expresi´n anterior:
o
F ÔsÕ ϕ½ ÔtÕ e¡Ôs¡s0 Õt dt
ˆ
0
Integrando por partes resulta:
F ÔsÕ ϕÔtÕ e¡Ôs¡s0 Õt Ôs ¡ s0 Õ ϕÔtÕ e¡Ôs¡s0 Õt dt
ˆ
0
La parte integrada vale cero, pues:
ϕÔtÕ
F Ôs0 Õ : F Ôs0 Õ
M por H1
t
e¡Ôs¡s0 Õt e¡Ôx¡x0 Õt 0
t
Entonces:
ϕÔtÕ e¡Ôs¡s0 Õt
0
t
Adem´s:
a
0
ϕÔ0Õ f Ôτ Õ e¡s0 τ dτ
ˆ
0
0
Queda entonces:
F ÔsÕ Ôs ¡ s0 Õ ϕÔtÕ e¡Ôs¡s0 Õt dt
ˆ
0
F Ôs Õ s ¡ s0 ϕÔtÕ e¡Ôx¡x0 Õt dt s ¡ s0 M
1
ˆ
0 x ¡ x0
De donde resulta la tesis.
Si analizamos el TCR de T4 se tiene:
Corolario 5.5.1 (TCR).
·
TÕ F Ê CVßs
H1 Õ Ê CVßs0
H2 Õ x x0
F
Cambiando la notaci´n:
o
s s1
x x1
s0 s
x0 x
resulta la siguiente expresi´n del TCR del teorema 5.5:
o
Corolario 5.5.2 (TCR (forma alternativa)). La no convergencia simple en un valor s1 x1 iy1
es condici´n suficiente de no convergencia simple s : s x iy : x x1 .
o
·
TÕ F Ê CVßs1
H1 Õ Ê CVßs
H2 Õ x1 x
F
12
16. y s
s1
F Ê CV
0 x1 x
Figura 12: Regi´n de no convergencia simple, seg´n el corolario 5.5.2.
o u
Combinando los resultados del teorema 5.5 y del corolario 5.5.2 en forma an´loga a lo realizado
a
para la CA, tenemos que existe un semiplano a la derecha de x0 (x x0 ) donde existe CV; y un
semiplano a la izquierda de x1 (x x1 ) donde no existe CV.
Queda una franja intermedia x1 x x0 donde est´ indefinida la CV.
a
y s
s1 s0
F Ê CV F È CV
x1 x0
x
Figura 13: Regiones de CV, no CV y franja intermedia.
A partir de aqu´ se puede repetir todo el razonamiento realizado en el p´rrafo anterior para
ı, a
definir la abscisa α de CA, estableci´ndose entonces la existencia de una abscisa β de convergencia
e
simple.
s
F Ê CV F È CV
β
x
Figura 14: Abscisa de CV, x β.
Adem´s, sobre la misma abscisa de CV (x β) tampoco pueden hacerse aseveraciones gene-
a
rales en cuanto a la CV; hay T.L. que convergen en la abscisa y otras que no.
Resumiendo, el campo de CV de la T.L. es un semiplano a la derecha de β.
Como la CA implica la CV, resulta:
Teorema 5.6.
·
α È ABS CA
β È ABS CV β α
13
17. s
F È CA
F È CV
β α x
Figura 15: Regiones de CV (x β) y CA (x α).
5.4. Convergencia para funciones de orden exponencial
5.4.1. Funciones de orden exponencial (FOE)
Se dice que una funci´n es de orden exponencial en un V
o cuando:
f È O. EXP. f Ôt Õ M ex 0 t t t0 ÔV Õ, M cte.
Las funciones que pueden acotarse por una exponencial en el V tienen asegurada la CV,
CA y CU de la T.L, que adem´s es holomorfa; proposiciones que se demuestran en el siguiente
a
important´
ısimo teorema.
Teorema 5.7 (CV de funciones de orden exponencial. “Teorem´n”).
o
°
³ T1
³
Õ F È CVßx x0
³
³
³
³ T2
³
³
³
Õ F È CAßx x0
³
³
¸
³T
³ 3
³
³
Õ F È CUßx x1
H1 Õ f È CP »
³
³
³
»
» ³
³
Õ f ÔtÕ e¡s t dt f ÔtÕ e¡s t dt
» ³
ˆ ˆ
º ² T4
H2 Õ f M e x0 t x 0 0 x
»
» ³
³
f ÔtÕ e¡s t dt f ÔtÕ e¡s t dt
» ³
ˆ ˆ
»
¹ ³
³
H3 Õ x0 x1 x ³
³
³ y y
³
³
0 0
³
³
³ T5
³
³
³
Õ F È Hßx x1
³
³
³
³
Õ f ÔtÕ e¡s t dt f ÔtÕ e¡s t dt
³
ˆ ˆ
± T6
s 0 0 s
Demostraci´n.
o
§ˆ §
§ §
F Ôs Õ f ÔtÕ e¡s t dt§ f ÔtÕ e¡xt dt e¡Ôx¡x0 Õt dt
M M
ˆ ˆ
§
x ¡ x0 x1 ¡ x0
§ § M
Ð0 Ò Ð0 Ò 0
1 2
T1 Õ F È CV Ôx x0 Õ
M
x ¡ x0
1
T2 Õ F È CA Ôx x0 Õ
M
x ¡ x0
2
T3 Õ F È CU Ôx x1 Õ
M
x1 ¡ x0
2
14
18. Observaci´n: Resulta entonces que si f
o M ex 0 t β α x0 x1
s
F È CV
F È CA
F È CU
β α x0 x1 x
Figura 16: Regiones y abscisas de convergencia para FOE.
Para estudiar las tesis T4 y T5 se descompone F ÔsÕ es partes real e imaginaria:
F ÔsÕ uÔx y Õ iv Ôx y Õ
ˆ
F ÔsÕ f ÔtÕ e¡Ôx iyÕt dt f ÔtÕ e¡xt Ôcos yt i sen ytÕ dt
ˆ
0 0
´
uÔx y Õ f ÔtÕ e¡xt cos yt dt
0
´
v Ôx y Õ
0 ¡f ÔtÕ e¡xt sen yt dt
La derivabilidad bajo el signo integral se implica con el siguiente teorema:g
¸
H1 Õ ϕÔt, αÕ È CPßt, α »
»
»
»
»
»
H2 Õ È CPßt, α
ϕ »
»
»
»
α »
º
ϕÔt, αÕ dt ϕÔt, αÕ dt
ˆ ˆ
H3 Õ ϕÔt, αÕ dt È CV
ˆ
»
» α α
V »
»
a a
»
»
»
»
»
H4 Õ ϕÔt, αÕ dt È
ˆ
»
CU»
¹
V α
En nuestro caso se aplicar´ este teorema sobre
a
ˆ
uÔx y Õ f ÔtÕ e¡xt cos yt dt
0
tomando x de par´metro.
a
15
19. Se deben verificar las cuatro hip´tesis
o
g Ôt, x, y Õ f È CPßt
(por hip´tesis)
o
H1 Õ f ÔtÕ e¡xt cos yt È CPßt, x, y e¡xt È Cßt, x
cos yt È Cßt, y
f È CPßt
t È Cßt
f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡xt cos yt
H2 Õ È CPßt, x, y
g
x e¡xt È Cßt, x
cos yt È Cßt, y
H3 Õ f ÔtÕ e¡xt cos yt dt È CV F ÔsÕ È CV (por tesis 1)
ˆ
0
H4 Õ f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡xt cos yt dt È CU
ˆ
0
Este resultado se demuestra porque:
§ˆ §
§ §
§
Ô Õ Ô¡tÕ e¡xt cos yt dt§§ f ÔtÕ t e¡xt dt
ˆ
§ f t
§ V § V
t e¡Ôx¡x0 Õt dt
ˆ
M
V
t e¡Ôx¡x0 Õt dt
ˆ
M
0
M M
Ôx ¡ x0 Õ2 Ôx1 ¡ x0 Õ2
Entonces, x : x x1 , se ha acotado la integral por M
Ôx1 ¡x0 Õ2 , que no depende ni de x ni de y;
por lo tanto hay CU respecto de ambas variables.
Observaci´n: La convergencia uniforme de uÔx y Õ y de v Ôx y Õ tambi´n puede demostrarse por un
o e
segundo m´todo, basado en que t es de orden exponencial, y aplicando la misma tesis T3 de este
e
teorema:
§ §
§ §
δ 0 : et t 0 §§ et §§ ǫ
δt δt
t ǫ eδt
Resulta entonces:
f ÔtÕ t M ex0 t ǫ eδt M1 eÔx0 δÕt
Eligiendo δ:
x0 δ x1
El mismo teorema que se est´ demostrando en su T3 asegura que:
a
f ÔtÕ ¤ t È CP¸
»
º
f ÔtÕ ¤ t M 1 e Ô x 0 δ Õt f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡xt eiyt dt È CU
ˆ
¹ »
x0 δ
0
x1 x
cuya parte real es la proposici´n H4 buscada.
o
16
20. Se ha demostrado entonces que:
ˆ ˆ ˆ
f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡xt cos yt dt
u
x x 0 0 x 0
An´logamente se demuestra que:
a
f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡xt sen yt dt
u
ˆ ˆ ˆ
y y 0 0 y 0
f ÔtÕ Ô tÕ e¡xt sen yt dt
v
ˆ ˆ ˆ
x x 0 0 x 0
f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡xt cos yt dt
v
ˆ ˆ ˆ
y y 0 0 y 0
con lo cual queda demostrada la cuarta tesis (T4 ).
Si se analizan las cuatro integrales anteriores se observa que:
1o Cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann
2o Son funciones continuas respecto de x y de y por ser integrando continuo.
Lo cual lleva a que la T.L es holomorfa (T5 )
¸
u v
È ß C x, y »
»
º
u iv È Hßx
x y
F x1
¡ u
y
v
x
È Cßx, y»
»
¹
F F
Adem´s como
a s x es inmediata la T6 :
F ½ ÔsÕ f ÔtÕ e¡s t dt f ÔtÕ Ô¡tÕ e¡s t dt
ˆ ˆ ˆ
s 0 0 s 0
Observaci´n: N´tese que se ha demostrado la propiedad:
o o
F ½ ÔsÕ Ô¡tÕ f ÔtÕ
sobre la cual se volver´ m´s adelante.
a a
Resulta entonces que para funciones f ÔtÕ acotadas y de orden exponencial
s : s x iy x x1
se cumplen simult´neamente:
a
F È CV
F È CA
F È CU
F ÈH
siendo v´lida adem´s la derivabilidad bajo el signo integral, respecto de x, y y s.
a a
17
21. s
F È CV
F È CA
F È CU
F ÈH
β α x0 x1 x
Figura 17: Regiones de CV, CA, CU y holomorf´ para FOE.
ıa
5.4.2. Definici´n de funci´n CPOE
o o
Por ser las hip´tesis del teorema 5.7 de una aplicaci´n posterior amplia y frecuente, es conve-
o o
niente definir la siguiente proposici´n:
o
H1 Õ f È CP
f È CPOEßx0 x1 x H Õ f
M ex 0 t
2
H3 Õ x0 x1 x
que representa a las funciones continuas por partes y de orden exponencial sobre el intervalo
se˜ alado.
n
6. Propiedades b´sicas de la T.L.
a
La transformada de Laplace tiene dos propiedades que son las que permiten resolver sistemas
y ecuaciones diferenciales lineales con gran facilidad. Son la linealidad y la transformada de la
funci´n derivada.
o
6.1. Linealidad
Teorema 6.1. La T.L de una combinaci´n lineal es la combinaci´n lineal de las T.L.
o o
·
f1 ÔtÕ F1 ÔsÕ
λ1 f1 ÔtÕ λ2 f2 ÔtÕ λ1 F1 ÔsÕ λ2 F2 ÔsÕ
f2 ÔtÕ F2 ÔsÕ
Demostraci´n. La demostraci´n de este teorema es inmediata:
o o
ˆ ˆ
λ1 f1 λ2 f2 Ôλ1 f1 λ2 f2 Õ e¡s t dt λ1 f1 e¡s t dt f2 e¡s t dt
ˆ
λ2
0 0 0
λ1 F1 λ2 F2
Observaci´n: De este teorema se extrae inmediatamente que la T.L. es un vector. Mejor a´ n, si E ½
o u
es el conjunto de las T.L, es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos (o de los reales)
con las leyes de composici´n suma de funciones y producto por un complejo.
o
¸
E½ ØF Ù »
»
»
»
ÔC, C , ¤C Õ È Cuerpo complejo »
»
»
»
»
»
»
½ ¢ E½ ½ º
T : E E
ÔE ½ , C, C , ¤C , T, sÕ È EEV (Estructura de Espacio Vectorial)
ÔF1 , F2 Õ F1 ÔsÕ F2 ÔsÕ»
»
»
»
»
»
s: C¢E ½ E ½ »
»
»
»
»
¹
Ôλ, F Õ λ F ÔsÕ
18
22. 6.2. Transformada de la derivada de f ½ . Derivaci´n en t
o
Dentro de las hip´tesis del teorema de CV para funciones CPOE (teorema 5.7) es v´lido:
o a
Teorema 6.2.
·
HÕ È CPOE f ½ Ôt Õ s F ÔsÕ ¡ f Ô0 Õ
f
H1 Õ f ÔtÕ F ÔsÕ
Demostraci´n.
o
§
f ½ ÔtÕ f ½ ÔtÕ e¡s t dt f Ôt Õ e ¡ s t § 0
s f ÔtÕ e¡s t dt
ˆ ˆ
0 0
0 ¡ f Ô0 Õ s F ÔsÕ
pues:
f ÔtÕ e¡s t 0 f ÔtÕ M ex 0 t : x x0
t
f ÔtÕ e¡s t f Ô0 Õ
t 0
A su vez, si hallamos la transformada de f ¾ ÔtÕ como transformada de la derivada de f ½ ÔtÕ,
aplicando el teorema 6.2:
·
HÕ f È CPOE f ¾ ÔtÕ s GÔsÕ ¡ g Ô0 Õ
H1 Õ f ½ ÔtÕ GÔsÕ f ¾ ÔtÕ s2 F ÔsÕ ¡ s f Ô0 Õ ¡ f ½ Ô0 Õ
y esto se puede extender por inducci´n completa a f ÔnÕ ÔtÕ, por lo cual:
o
Corolario 6.2.1.
·
HÕ È CPOE
f f ÔnÕ ÔtÕ sn F ÔsÕ ¡ sn¡1 f Ô0 Õ ¡ sn¡2 f ½ Ô0 Õ ¡ . . .
H1 Õ f ÔtÕ F ÔsÕ ¤ ¤ ¤ ¡ s f Ôn¡2ÕÔ0 Õ ¡ f Ôn¡1ÕÔ0 Õ
Obs´rvese que si las condiciones iniciales son nulas:
e
f Ô0 Õ f ½ Ô0 Õ f ¾ Ô0 Õ ¤¤¤ f Ôn¡1Õ Ô0 Õ 0
Entonces:
f ÔtÕ F Ôs Õ
f ½ ÔtÕ s F ÔsÕ
f ¾ ÔtÕ s2 F ÔsÕ
.
. .
.
. .
f ÔnÕ ÔtÕ s n F Ôs Õ
es decir, derivar n veces en el campo original t significa multiplicar por s, n veces (sn ) en el campo
transformado s.
7. Aplicaci´n de la T.L. a la resoluci´n de sistemas y ecua-
o o
ciones diferenciales lineales
Los modelos usuales en la ingenier´ y en la ciencia en general son lineales.
ıa
Ello es porque existen dos razones que se influyen mutuamente
19
23. 1o Los modelos f´
ısicos se construyen con funciones o sistemas de funciones cualesquiera,
cuya primera aproximaci´n es la lineal.
o
2o La matem´tica m´s desarrollada es la lineal.
a a
La T.L. es una herramienta especialmente util en la resoluci´n y an´lisis de ecuaciones dife-
´ o a
renciales lineales con coeficientes constantes (pero no exclusivamente) que aparecen en una gran
cantidad de problemas de ingenier´ ıa.
En el cuadro siguiente se han recopilado modelos regidos por la E.D.D.T.1 lineal con coeficientes
constantes, que conforman un conjunto de sistemas an´logos entre s´
a ı.
Se observa que se han cubierto las ramas m´s variadas de la ingenier´ desde la electricidad,
a ıa,
magnetismo, mec´nica, ac´ stica hasta la qu´
a u ımica, entre otros.
1 E.D.D.T: Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Totales.
20
24. Nombre Esquema Ecuaci´n
o VAR COEF Descripci´n
o
s e a b c
s salida
Modelo eÔtÕ s Ôt Õ a s¾ b s ½ c s eÔtÕ e entrada
Sistema SISTEMA
General a coeficiente de s¾
b coeficiente de s½
c coeficiente de s
i/q corriente/carga
t
L i½ R i u Ôt Õ
1
ˆ
L R
Electricidad i dt u tensi´n
o
C 0
Circuito
i
Serie
L q¾ R q½ uÔtÕ
u C 1
q L inductancia
C
R resistencia
1ßC 1/capacidad
u tensi´n
o
t
C u½ u iÔtÕ
1 1
ˆ
Electricidad C i1 u dt i corriente
R L 0
Circuito
Paralelo
R i2 i
L i3
L inductancia
u 1ßR 1/resistencia
1ßC 1/capacidad
Magnetismo φ
x desplazamiento
Mec´nica
a c x½
m x½ c x½ k x f Ôt Õ f fuerza excitante
x
Vibraciones
Longitudinal
f
m masa
c cte. amortiguamiento
m x¾
kx
k cte. el´stica
a
ϕ desplazamiento angular
Mec´nica
a ϕ
I ϕ¾ c ϕ½ µ ϕ MÔtÕ M par excitante
Vibraciones
c ϕ½
Torsi´n
o
µϕ M
I momento de inercia
I ϕ¾ c cte. amortiguamiento
µ cte. el´stica torsional
a
x desplazamiento
Mec´nica
a I x¾ c x½ µ x f Ôt Õ f fuerza excitante
Vibraciones
Torsi´n
o l
f I momento de inercia
x
c cte. amortiguamiento
µ cte. el´stica torsional
a
V volumen de desplazamiento
M V ¾ Ra V ½ P ÔtÕ
1
MV¾
Ac´ stica
u V P presi´n exterior
o
P1 Ca
Resonador
V P
Helmholtz P3 1
V
Ca
M coef. de inercia ac´ stica
u
P2 Ra V ½ Ra resistencia ac´ stica
u
1ßCa 1/capacidad ac´ stica
u
Cuadro 1: Modelos de la f´
ısica regidos por E.D.D.T. lineales con coeficientes constantes.
21