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![Prefacio
Estas notas de clase pretenden ofrecer al estudiante una gu´ para el curso “EL-5805 Pro-
ıa
cesamiento Digital de Se˜ales”. No deben considerarse bajo ninguna circunstancia como
n
fuente de informaci´n unica. En cada cap´
o ´ ıtulo se hace referencia a fuentes bibliogr´ficas
a
adicionales que el estudiante debe revisar por su cuenta, con ejercicios adicionales y mayor
detalle en su presentaci´n.
o
El concepto del curso se ha orientado en las sugerencias de los autores John G. Proakis y
Dimitris G. Manolakis [15] para un programa semestral de curso de pregrado, con algunas
adiciones y principalmente res´menes de la materia considerados necesarios. M´s detalles
u a
de los temas tratados aqu´ se podr´n entonces encontrar del cap´
ı a ıtulo 1 al cap´
ıtulo 8 del
mencionado libro de texto.
Las presentes notas de clase se han adaptado espec´ ıficamente al curso “Procesamiento
Digital de Se˜ales” de la Escuela de Ingenier´ Electr´nica del Tecnol´gico de Costa Rica,
n ıa o o
pero se ponen a disposici´n libre para que sean de provecho a quien las necesite.
o
Dr. Jos´ Pablo Alvarado Moya
e
Cartago, 28 de julio de 2011
Este trabajo se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribuci´n- o
NoComercial-LicenciarIgual 3.0 Unported. Para ver una copia de esta Licencia, visite
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ o env´ una carta a Creati-
ıe
ve Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.
c 2005-2011 Pablo Alvarado Escuela de Electr´nica
o Tecnol´gico de Costa Rica
o](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-3-320.jpg)
![Lista de s´
ımbolos y abreviaciones
Notaci´n general
o
A Matriz.
a11 a12 · · · a1m
a21 a22 · · · a2m
A= . . .. .
. . .
. . .
.
an1 an2 · · · anm
+ ∗
IN , IN Conjunto de los n´meros naturales sin cero IN+ = IN{0}.
u
IN, IN0 Conjunto de los n´meros naturales IN = {0, 1, 2, . . .}.
u
Z Conjunto de los n´meros enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
u
Q Conjunto de los n´meros racionales Q = {q | q = n ; n, d ∈ Z}.
u d
IR Conjunto de los n´meros reales.
u
C Conjunto de los n´meros complejos.
u
∆ Cuanto. Distancia entre dos niveles de cuantificaci´n.o
eq (t) o eq (n) Error de cuantificaci´n.
o
F Frecuencia en ciclos por unidad de tiempo para se˜ales de variable continua.
n
f Frecuencia en ciclos por muestra para se˜ales de variable discreta.
n
Fs Frecuencia de muestreo de una se˜al anal´gica. Fs = 1/T
n o
h(n) Respuesta al impulso
H(ω) Respuesta en frecuencia
∠H(ω) Respuesta en fase
| H(ω) | Respuesta en magnitud
H(z) Funci´n de transferencia
o
Im(z) o zIm Parte imaginaria del n´mero complejo z
u
√
j
¡
j = −1
Mapeo de un dominio temporal al dominio frecuencial o z
Mapeo de un dominio frecuencial al dominio temporal o z
Re(z) o zRe Parte real del n´mero complejo z
u
T [·] Transformaci´n realizada por un sistema
o
T Intervalo de muestreo. T = 1/Fs
Tp Periodo fundamental Tp = 1/F para se˜ales de variable continua.
n
x(n) Se˜al de variable discreta.
n
ix](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-13-320.jpg)
![x Lista de s´
ımbolos y abreviaciones
x Vector.
x1
x2
T
x = [x1 x2 . . . xn ] = .
..
xn
y Escalar.
z∗ Complejo conjugado de z
Ω Frecuencia angular en radianes por unidad de tiempo para se˜ales de variable
n
continua.
ω Frecuencia angular en radianes por muestra para se˜ales de variable discreta.
n
Abreviaciones
BIBO Entrada acotada – Salida acotada (bounded input – bounded output)
DSP Digital Signal Processing (o Processor ).
FIR Respuesta finita al impulso (Finite Impulse Response)
IIR Respuesta infinita al impulso (Infinite Impulse Response)
LTI Sistema lineal e invariante en el tiempo (Linear and Time Invariant)
PDS Procesamiento Digital de Se˜ales.
n
SQNR Relaci´n se˜al a ruido de cuantificaci´n (signal to quantization noise ratio).
o n o
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-14-320.jpg)
![4 1.3 Elementos de un sistema PDS
Por ejemplo, un m´dulo de un reconocedor de habla puede extraer de una se˜al de voz
o n
informaci´n sobre la presencia de la vocal ‘a’ en ella. Usualmente el an´lisis de una se˜al
o a n
se realiza a trav´s de diversos pasos de procesamiento de la se˜al, junto con tareas de
e n
reconocimiento o codificaci´n de patrones.
o
En resumen, el procesamiento digital de se˜ales1 , abreviado PDS o DSP por sus siglas en
n
ingl´s (Digital Signal Processing) se refiere al proceso de modificaci´n de una se˜al digital
e o n
en un sistema, realizado para destacar o suprimir diferentes caracter´
ısticas de la se˜al que
n
tienen alg´n significado especial para una aplicaci´n en particular.
u o
1.3 Elementos de un sistema PDS
La mayor´ de las se˜ales en ciencia e ingenier´ tienen una naturaleza anal´gica, es decir,
ıa n ıa o
tanto las variables independientes de las funciones que las representan como sus valores
son continuos. Matem´ticamente estas se˜ales se representan como funciones f (t)
a n
f : IR → IR
es decir, relaciones matem´ticas que mapean valores reales en valores reales. Este tipo
a
de se˜ales pueden ser tratadas directamente utilizando sistemas anal´gicos, como por
n o
ejemplo filtros pasivos o analizadores de frecuencia (figura 1.1).
Se˜al de
n Procesador Se˜al de
n
Entrada Anal´gico
o Salida
Anal´gica
o de Se˜al
n Anal´gica
o
Figura 1.1: Procesamiento anal´gico de una se˜al [15].
o n
El procesamiento digital (figura 1.2) requiere transformar las se˜ales de entrada a un
n
formato digital, es decir, a funciones f (n)
f : Z → Z.
Esto ocurre en una etapa llamada conversi´n anal´gica-digital (A/D).
o o
La se˜al digitalizada es tratada luego en el procesador digital de se˜ales, que puede ser
n n
desde un computador de prop´sito general, pasando por sistemas empotrados basados en
o
microcontroladores, hasta circuitos digitales espec´
ıficamente dise˜ados para realizar las
n
tareas de procesamiento deseadas; sin embargo, las configuraciones programables tanto
en software como en hardware reconfigurable son las que han brindado al procesamiento
1
En la literatura en castellano se encuentran los t´rminos tratamiento o procesamiento de se˜ales
e n
como sin´nimos. La preferencia de autores y traductores espa˜oles por el primero radica en la acepci´n
o n o
principal de proceso en la variante dialectal ib´rica como “causa civil o criminal”, que no se aplica tanto
e
en Latino Am´rica.
e
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![1 Introducci´n
o 5
Se˜al de
n Procesador Se˜al de
n
Convertidor Convertidor
Entrada Digital de Salida
A/D D/A
Anal´gica
o Se˜al
n Anal´gica
o
Figura 1.2: Procesamiento digital de una se˜al anal´gica [15].
n o
digital una flexibilidad inalcanzable con sistemas anal´gicos equivalentes. El vertiginoso
o
avance en la electr´nica digital ha permitido el uso cada vez m´s generalizado de las
o a
t´cnicas digitales de procesamiento. En la actualidad hasta los m´s peque˜os tel´fonos
e a n e
celulares utilizan algoritmos de alta complejidad que hace tan solo 15 a˜os hubieran
n
requerido computadores de gran tama˜o y costo.
n
El ultimo paso del procesamiento digital consiste en convertir la salida del bloque procesa-
´
dor a una se˜al anal´gica, lo que ocurre en el llamado convertidor digital-anal´gico (D/A).
n o o
En aplicaciones de an´lisis de se˜al, la ultima etapa puede no ser necesaria, cuando la
a n ´
informaci´n a extraer se obtiene directamente de las representaciones digitales.
o
1.4 Ventajas del procesamiento digital
Para poder representar una se˜al anal´gica por medio de una se˜al digital sin que sufra
n o n
p´rdidas de informaci´n considerables, la se˜al anal´gica debe ser digitalizada con una
e o n o
tasa de muestreo suficientemente alta (esto se analizar´ con suficiente detalle en cap´
a ıtulos
posteriores). La tecnolog´ digital impone l´
ıa ımites de velocidad de procesamiento, que,
aunque cada vez menos restrictivos, determinan los anchos de banda de se˜ales que pue-
n
den ser tratadas digitalmente. Es por esto que los sistemas anal´gicos siguen siendo
o
irreemplazables en aplicaciones con se˜ales de anchos de banda en el orden de los gi-
n
gaherz. Otro ambito de dominio anal´gico son sistemas de bajo consumo de potencia (en
´ o
el orden de los microwatts). Tanto los m´dulos de conversi´n ADC como DAC, as´ como
o o ı
los microcontroladores o microprocesadores digitales tendr´n siempre un mayor consumo
a
de potencia en la implementaci´n de filtros digitales que filtros hom´logos anal´gicos, o
o o o
de capacitores conmutados, implementados en tecnolog´ integradas.
ıas
En casos donde las se˜ales pueden ser digitalizadas sin perder informaci´n de forma
n o
considerable y se cuenta con suficiente tiempo y potencia para realizar las conversiones
y los c´lculos necesarios, es preferible utilizar un sistema digital sobre su equivalente
a
anal´gico. Esto por varias razones:
o
Los sistemas digitales son usualmente m´s baratos y confiables para el procesamiento de
a
se˜ales. Como ya se mencion´, pueden utilizarse sistemas programables, por lo que a
n o
trav´s de cambios en el software pueden modificarse o adaptarse sus caracter´
e ısticas, pro-
veyendo as´ un alto grado de flexibilidad en el dise˜o. Adem´s, las precisiones alcanzables
ı n a
con sistemas digitales son usualmente mucho mayores que los circuitos anal´gicos, en los
o
que el error acumulado en forma de ruido aumenta con cada etapa de procesamiento.
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![14 2.1 Se˜ales de variable discreta
n
2. Tabular
n . . . -1 0 1 2 3 4 5 . . .
x(n) . . . 0 0 1 3 2 1 0 . . .
En programas computacionales como MatLab[12] u Octave[5] las se˜ales se repre-
n
sentan con esta notaci´n, donde las dos filas de la tabla se interpretan como dos
o
arreglos de datos independientes.
3. Como secuencia.
Una secuencia de duraci´n infinita con el origen en n = 0 (indicado con “↑”) se
o
representa como
x(n) = {. . . , 0, 0, 1, 3, 2, 1, 0, . . .}
↑
Si la secuencia es 0 para n < 0 se suele representar como
x(n) = {0, 1, 3, 2, 1, 0, . . .}
↑
y si es finita
x(n) = {0, 1, 3, 2, 1}
↑
Si la secuencia inicia en cero, entonces usualmente se omite la flecha:
x(n) = {0, 1, 3, 2, 1}
Por su brevedad y simpleza notacional, ´sta ser´ la representaci´n de se˜ales de
e a o n
preferencia en el presente texto.
2.1.1 Manipulaciones elementales de se˜ ales de variable discreta
n
Se describen a continuaci´n algunas transformaciones elementales para se˜ales de variable
o n
independiente discreta (o tiempo discreto). Estas transformaciones son la base de opera-
ciones m´s complejas en el procesamiento digital de se˜ales y se utilizar´n a menudo en
a n a
´ste y los siguientes cap´
e ıtulos.
Desplazamiento
La se˜al x(n) se desplaza k muestras sustituyendo la variable n por n − k. Si k > 0 la
n
se˜al se retarda k muestras y si k < 0 la se˜al se adelanta k muestras.
n n
En la manipulaci´n fuera de l´
o ınea (off-line) ambos tipos de desplazamiento son posibles;
sin embargo, en sistemas de tiempo real o en l´
ınea (on-line), solo el retraso de la funci´n
o
es realizable.
Ejemplo 2.1 Utilizando desplazamientos exprese el escal´n unitario u(n) en t´rminos
o e
de una suma de impulsos δ(n) desplazados.
Soluci´n:
o
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-28-320.jpg)
![22 2.2 Se˜ales sinusoidales y el concepto de frecuencia
n
2.2.1 Se˜ al sinusoidal continua
n
Una oscilaci´n arm´nica simple se describe matem´ticamente a trav´s de la se˜al continua
o o a e n
[15]:
xa (t) = A cos(Ωt + θ), −∞ < t < ∞ (2.12)
donde el sub´ındice a indica que es una se˜al anal´gica. A representa la amplitud de
n o
la se˜al, Ω es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s) y θ es la fase en
n
radianes. Es tambi´n com´n utilizar la frecuencia F en ciclos por segundo o Hertz (Hz)
e u
con
Ω = 2πF
con lo que (2.12) se puede expresar como
xa (t) = A cos(2πF t + θ), −∞ < t < ∞ .
Si F es constante, entonces xa es peri´dica
o
xa (t + Tp ) = xa (t)
con per´
ıodo fundamental Tp = 1/F (figura 2.3).
x(t)
A
A cos θ
0 t
Tp = 1/F
Figura 2.3: Ejemplo de una se˜al anal´gica sinusoidal.
n o
2.2.2 Se˜ al sinusoidal discreta
n
La se˜al sinusoidal en tiempo discreto se expresa como
n
x(n) = A cos(ωn + θ), −∞ < n < ∞ (2.13)
con la variable entera n ∈ Z (tambi´n denominada n´mero de muestra), A la magnitud,
e u
ω es la frecuencia en radiantes por muestra y θ la fase en radianes. De forma similar al
caso continuo, puede utilizarse ω = 2πf para reescribir (2.13) como
x(n) = A cos(2π f n + θ), −∞ < n < ∞ . (2.14)
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-36-320.jpg)
![2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta
n 23
En este caso las dimensiones de la frecuencia son ciclos por muestra, y tal como estas
unidades lo indican, usualmente tiene valores menores que la unidad. La figura 2.4 muestra
un ejemplo con f = 1/12 y θ = π/3.
x(n)
n
Figura 2.4: Ejemplo de una se˜al sinusoidal discreta (ω = π/6 y θ = π/3) [15].
n
Periodicidad de un sinusoide discreto
Por definici´n una se˜al de variable discreta x(n) es peri´dica con periodo N (N > 0) si
o n o
y solo si
x(n + N ) = x(n) para todo n (2.15)
El menor valor de N para el que se cumple (2.15) se denomina periodo fundamental . Una
se˜al sinusoidal de frecuencia f0 es peri´dica si
n o
cos (2π f0 (N + n) + θ) = cos (2π f0 n + θ)
lo que se cumple solo si existe un entero k tal que
2π f0 N = 2kπ
o, en otros t´rminos
e
k
f0 = (2.16)
N
que es siempre un n´mero racional. Esto quiere decir, que una se˜al sinusoidal discreta
u n
con un valor irracional de frecuencia no es peri´dica.
o
Para determinar el periodo fundamental de una se˜al sinusoidal se expresa su frecuencia
n
como en (2.16) y se simplifican los factores comunes de tal forma que k y N formen
n´meros primos relativos. Por ejemplo si f1 = 5/32 = 0,15625 el periodo fundamental
u
es N = 32, pero si la frecuencia es f2 = 4/32 = 0,125 el periodo fundamental es N = 8
(figura 2.5). Esto quiere decir que a´n cuando los valores de frecuencia se encuentren
u
relativamente cerca, sus periodos pueden cambiar radicalmente.
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-37-320.jpg)
![2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta
n 25
y definiendo la frecuencia de muestreo Fs = 1/Ts entonces
F
f=
Fs
de donde se deriva el nombre de frecuencia normalizada para f .
De modo similar se deriva para las frecuencias angulares con Ωs = 2πFs que
Ω
ω = 2π
Ωs
Tasa m´xima de oscilaci´n
a o
Consid´rese ahora la secuencia sinusoidal x0 (n) = cos(ω0 n) para el rango de frecuencias
e
ω0 ∈ [0, π]. La figura 2.6 muestra algunos casos particulares como ejemplo. Se puede
apreciar que la tasa de oscilaci´n aumenta conforme la frecuencia aumenta.
o
x(n) x(n) x(n)
n n n
ω0 = 0 (f = 0) ω0 = π/6 (f = 1/12) ω0 = π/3 (f = 1/6)
x(n) x(n)
n n
ω0 = π/2 (f = 1/4) ω0 = π (f = 1/2)
Figura 2.6: Secuencia sinusoidal con diferentes frecuencias.
Ahora, para analizar el caso de frecuencias angulares mayores que π consid´rese el caso
e
especial de ω1 = 2π − ω0 . Si ω0 ∈ [0, π] entonces ω1 ∈ [π, 2π] de tal forma que si ω0
aumenta ω1 disminuye.
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-39-320.jpg)
![26 2.2 Se˜ales sinusoidales y el concepto de frecuencia
n
Debido a que
x1 (n) = A cos(ω1 n) = A cos((2π − ω0 )n) = A cos(−ω0 n) = x0 (n)
la frecuencia angular ω1 es un alias de ω0 . De aqu´ se concluye que si la frecuencia angular
ı
aumenta de π hacia 2π la tasa de oscilaci´n se reduce, al representar estos alias frecuencias
o
que bajan de π a 0.
De forma similar al caso de senoides de variable continua puede utilizarse la identidad de
Euler en el caso discreto para introducir el concepto de frecuencia negativa:
A j(ωn+θ) A −j(ωn+θ)
x(n) = A cos(ωn + θ) = e + e
2 2
Debido a que las se˜ales sinusoidales de variable discreta con frecuencias separadas por
n
un entero m´ltiplo de 2π son id´nticas, entonces todas las frecuencias en un intervalo
u e
[ω0 , ω0 + 2π] representan todas las frecuencias existentes para estas se˜ales. En otras
n
palabras, el rango de frecuencias distinguibles para sinusoides de variable discreta es
finito con un ancho de banda de 2π. Usualmente se utilizan los rangos de frecuencias
1
angulares ω ∈ [−π, π] (f ∈ [− 2 , 1 ]) o ω ∈ [0, 2π] (f ∈ [0, 1]) y reciben el nombre de rango
2
fundamental .
2.2.3 Exponenciales complejos relacionados arm´nicamente
o
Las se˜ales de variable continua
n
sk (t) = ejkΩ0 t = ej2πkF0 t k = 0, ±1, ±2, . . .
se denominan se˜ales exponenciales relacionadas arm´nicamente. El periodo fundamen-
n o
tal de la se˜al sk (t) es 1/(kF0 ) = Tp /k, lo que equivale a una frecuencia fundamental de
n
kF0 . Puesto que una se˜al peri´dica con periodo Tp /k es tambi´n peri´dica con periodo
n o e o
k(Tp /k) = Tp con k ∈ Z entonces todas las se˜ales sk (t) tienen como periodo com´n Tp . El
n u
nombre proviene de la relaci´n de estas funciones con las oscilaciones de una cuerda, que
o
tienen relaciones “arm´nicas” (mantienen los nodos externos fijos) cuando las frecuencias
o
son m´ltiplos enteros de una frecuencia fundamental.
u
En este caso de variable continua, para k1 = k2 se cumple siempre que sk1 (t) = sk2 (t), o en
otros t´rminos, existe un n´mero infinito de se˜ales complejas relacionadas arm´nicamente
e u n o
j2πF0 t
con e .
Para el caso de se˜ales exponenciales complejas de variable discreta, puesto que son se˜ales
n n
peri´dicas solo si su frecuencia es racional, se escoge f0 = 1/N y se define el conjunto de
o
se˜ales relacionadas arm´nicamente como
n o
sk (n) = ejkω0 n = ej2πkf0 n k = 0, ±1, ±2, . . . (2.17)
A diferencia del caso continuo se tiene para k1 = k + N
(k+N ) kn kn
sk+N (n) = ej2π N
n
= ej2π N ej2πn = ej2π N = sk (n)
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-40-320.jpg)
![2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta
n 27
Esto significa que en el caso discreto solo existen N se˜ales complejas relacionadas arm´ni-
n o
camente, donde todos los miembros del conjunto descrito en (2.17) tienen como periodo
com´n N muestras.
u
2.3 Sistemas en tiempo discreto
A los dispositivos que operan sobre se˜ales de variable discreta (o tiempo discreto) se les
n
denomina sistemas discretos. En general, reciben una se˜al de entrada x(n) para producir
n
una se˜al de salida y(n). Se dice que el sistema transforma x(n) en y(n), lo que se expresa
n
como
y(n) = T [x(n)]
donde T [·] representa al operador de transformaci´n o procesamiento realizado por el
o
sistema sobre x(n) para producir y(n).
2.3.1 Descripci´n entrada-salida de sistemas
o
La descripci´n de entrada-salida define la relaci´n entre x(n) y y(n). La estructura interna
o o
del sistema es desconocida o ignorada, es decir, el sistema se considera como una caja
negra cuyo funcionamiento interno no interesa, sino el comportamiento espec´ ıfico ante
cierta entrada (figura 2.7).
Sistema
x(n) y(n)
Discreto
Figura 2.7: Entrada-salida de un sistema discreto
Ejemplo 2.5 Determine la salida de los siguientes sistemas para la entrada
3 − |n| para − 2 ≤ n ≤ 2
x(n) =
0 en el resto
1. y(n) = x(n)
2. y(n) = x(n − 2)
3. y(n) = x(n + 1)
4. y(n) = 1 [x(n + 1) + x(n) + x(n − 1)]
3
5. y(n) = max {x(n + 1), x(n), x(n − 1)}
6. y(n) = n k=−∞ x(k)
Soluci´n:
o
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-41-320.jpg)
![28 2.3 Sistemas en tiempo discreto
1. Al sistema y(n) = x(n) se le denomina identidad , pues su salida es id´ntica a la
e
entrada: y(n) = {1, 2, 3, 2, 1}
↑
2. El sistema y(n) = x(n − 2) retarda la entrada dos muestras: y(n) = {1, 2, 3, 2, 1}.
↑
3. El sistema y(n) = x(n + 1) adelanta la se˜al una unidad y solo puede ser realizado
n
fuera de l´
ınea, por ser imposible en un sistema de tiempo real determinar el valor
de una muestra en el futuro: y(n) = {1, 2, 3, 2, 1}.
↑
4. El filtro de media mobil y(n) = 1 [x(n + 1) + x(n) + x(n − 1)] calcula el promedio
3
de tres muestras: y(n) = {1/3, 1, 2, 7/3, 2, 1, 1/3}.
↑
5. El filtro de rango y(n) = max {x(n + 1), x(n), x(n − 1)} entrega el valor m´ximo a
de la muestra actual, la anterior y la futura: y(n) = {1, 2, 3, 3, 3, 2, 1}. Este filtro
↑
puede considerarse como filtro paso bajos.
6. El acumulador y(n) = n k=−∞ x(k) realiza la “integraci´n” discreta de la entrada:
o
y(n) = {1, 3, 6, 8, 9, 9, . . .}. N´te que el acumulador puede reescribirse como
o
↑
n n−1
y(n) = x(k) = x(k) + x(n) = y(n − 1) + x(n)
k=−∞ k=−∞
y(n−1)
2.5
En general, la salida y(n) en el instante n puede depender no solo de la muestra actual
x(n), sino tambi´n de la se˜al en instantes anteriores y posteriores a n. Adem´s, la
e n a
salida de un sistema puede depender de un estado interno. Por ejemplo, en el acumulador
y(n) = y(n − 1) + x(n) si una secuencia de entrada se aplica en dos instantes de tiempo
distintos, las dos reacciones del sistema difieren, dependiendo de la historia anterior del
sistema “y(n−1)”. Para determinar la salida del acumulador en un instante n0 es necesario
conocer y(n0 − 1). El c´lculo de la secuencia de salida y(n) para todo instante n > n0
a
tiene como condici´n inicial al valor y(n0 − 1), que en cierta forma resume todo el pasado
o
del sistema.
Si todas las condici´nes iniciales son cero se dice que el sistema estaba en reposo. Siempre
o
se asume que en n = −∞ todo sistema estuvo en reposo. La salida de un sistema en
reposo puede expresarse entonces utilizando unicamente la se˜al de entrada, puesto que
´ n
por definici´n todas las salidas anteriores son cero.
o
En la literatura se encuentra el t´rmino condiciones de reposo iniciales (IRC, Initial Rest
e
Conditions) para indicar que se asume y(n) = 0 para n < n0 donde la entrada deja de ser
cero justo en n0 y x(n) = 0 para n < n0 . Adem´s, se utiliza el concepto de condiciones
a
de reposo finales (FRC, Final Rest Conditions) para indicar el caso contrario, es decir, se
asume que y(n) = 0 para n > n0 , y la entrada se hace cero justo despu´s de n0 , es decir,
e
x(n) = 0 para n > n0 .
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![2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta
n 33
Sistemas lineales y no lineales
Un sistema es lineal si satisface el teorema de superposici´n, es decir, para cualesquiera
o
dos constantes a1 , a2 y para toda se˜al x1 (n) y x2 (n) se cumple
n
T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1 T [x1 (n)] + a2 T [x2 (n)] . (2.19)
La figura 2.15 ilustra un esquema de verificaci´n de linealidad, donde el sistema es lineal
o
si y solo si para todo par de entradas x1 (n) y x2 (n) y para cualesquiera dos constantes
a1 , a2 siempre la salidad d(n) es cero.
a1
x1 (n)
T
a2
x2 (n)
d(n)
a1
T
a2
T
Figura 2.15: Verificaci´n de linealidad.
o
Como consecuencia de (2.19) todo sistema lineal cumple la propiedad multiplicativa o de
escalado
T [a1 x1 (n)] = a1 T [x1 (n)] (2.20)
y la propiedad aditiva
T [x1 (n) + x2 (n)] = T [x1 (n)] + T [x2 (n)] .
El principio de superposici´n puede generalizarse para M se˜ales como
o n
M M
T
x(n) = ak xk (n) → y(n) = ak T [xk (n)]
k=1 k=1
De la propiedad de escalado se deduce adem´s que un sistema lineal en reposo con entrada
a
cero (x(n) = 0, n ∈ Z) debe tener como salida una se˜al nula y(n) = 0.
n
Si para un sistema la propiedad de superposici´n no se cumple, entonces el sistema se
o
dice ser no lineal.
Ejemplo 2.9 Compruebe si los siguientes sistemas son lineales.
1. y(n) = nx(n)
2. y(n) = x(n2 )
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![2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta
n 35
acotada:
T
|x(n)| ≤ Mx < ∞ −→ |y(n)| ≤ My < ∞, ∀n ∈ Z
Basta con que alguna entrada acotada produzca una salida no acotada (es infinita), para
que el sistema sea inestable.
2.3.4 Interconexi´n de sistemas discretos
o
Hay dos maneras fundamentales de interconectar sistemas discretos: interconexi´n en
o
cascada (o serie) e interconexi´n paralela (figura 2.16). La interconexi´n en cascada se
o o
describe con sistemas de la forma:
y(n) = T2 [T1 [x(n)]] = Tc [x(n)]
En general, el orden de los bloques para la conexi´n en cascada es relevante. Sin embargo,
o
si los sistemas son lineales e invariantes en el tiempo entonces Tc es a su vez lineal e
invariante en el tiempo, y T1 [T2 [·]] = T2 [T1 [·]]. La interconexi´n en paralelo se describe
o
por
y(n) = T1 [x(n)] + T2 [x(n)] = Tp [x(n)] .
y1 (n)
T1
T1 T2
x(n) y1 (n) y (n) x(n) y (n)
T2
y2 (n)
(a) (b)
Figura 2.16: Interconexi´n de sistemas discretos. (a) Cascada. (b) Paralelo
o
2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invarian-
a
tes en el tiempo
El an´lisis de sistemas se simplifica enormemente si estos son lineales e invariantes en el
a
tiempo (LTI: Linear and Time Invariant).
2.4.1 T´cnicas de an´lisis
e a
Existen dos m´todos b´sicos para el an´lisis del comportamiento de un sistema:
e a a
1. Descomposici´n de la se˜al de entrada en se˜ales elementales, cuya respuesta es
o n n
conocida.
2. Soluci´n de la ecuaci´n de diferencias.
o o
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![36 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo
a
La soluci´n de la ecuaci´n de diferencias se revisar´ en la secci´n 2.5.
o o a o
El concepto fundamental del an´lisis de sistemas lineales por descomposici´n es el si-
a o
guiente: sup´ngase que la entrada x(n) puede expresarse como una suma ponderada de
o
funciones elementales {xk (n)}
x(n) = ck xk (n)
k
donde ck son los coeficientes de ponderaci´n o pesos de la descomposici´n de la se˜al x(n).
o o n
Si la respuesta del sistema en reposo a xk (n) es yk (n), es decir
yk (n) = T [xk (n)]
entonces con la propiedad de linealidad se obtiene
y(n) = T [x(n)] = T ck xk (n) = ck T [xk (n)] = ck yk (n)
k k k
En otras palabras, si el sistema es lineal, la respuesta y(n) del sistema a una entrada x(n)
es igual a la suma ponderada de las repuestas yk (n) a cada una de las componentes xk (n)
en que se puede descomponer x(n), donde adem´s los coeficientes ck de ponderaci´n de
a o
las salidas corresponden a los coeficientes de ponderaci´n de la entrada.
o
En esta descomposici´n, la elecci´n de las funciones elementales depender´ de las carac-
o o a
ter´
ısticas de las se˜ales a evaluar. Dos clases de funciones son usuales: impulsos (δ(n−k))
n
y funciones exponenciales complejas ejωk n , esta ultima utiliz´ndose frecuentemente en el
´ a
llamado an´lisis frecuencial (ver cap´
a ıtulo 4). En los ultimos a˜os ha cobrado fuerza el uso
´ n
de otras familias de funciones elementales caracterizadas a partir de la teor´ de wavelets,
ıa
tema que sin embargo excede el marco de este curso.
2.4.2 Descomposici´n de una se˜ al en impulsos
o n
Utilizando impulsos desplazados como funciones elementales puede expresarse cualquier
se˜al x(n) como:
n
∞
x(n) = x(k)δ(n − k)
k=−∞
Ejemplo 2.10 Descomponga la se˜al
n
x(n) = {0, 1, 2, −1, −1/2, 1}
↑
en sus impulsos.
Soluci´n:
o
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![2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta
n 37
Esta se˜al puede expresarse como
n
1
x(n) = 1 · δ(n − 1) + 2 · δ(n − 2) − 1 · δ(n − 3) − · δ(n − 4) + 1 · δ(n − 5)
2
2.10
2.4.3 Convoluci´n
o
Si se denota con h (n, k) la respuesta del sistema a un impulso desplazado k unidades
δ(n − k)
h (n, k) = T [δ(n − k)]
entonces la salida de un sistema lineal puede calcularse con las repuestas elementales a
dichos impulsos desplazados:
y(n) = ck yk (n) = x(k)h (n, k)
k k
donde se han utilizado xk (n) = δ(n − k) como entradas elementales y por lo tanto los
coeficientes ck = x(k).
Si el sistema es adem´s invariante en el tiempo, entonces con h(n) = T [δ(n)] se tiene que
a
h (n, k) = h(n − k) y por lo tanto
∞
y(n) = x(k)h(n − k) = x(n) ∗ h(n)
k=−∞
que se denomina sumatoria de convoluci´n. Se dice entonces que la respuesta del sistema
o
LTI y(n) a una entrada x(n) es igual a la convoluci´n de x(n) con la respuesta al impulso
o
h(n).
Esto quiere decir que en un sistema LTI en reposo su respuesta a cualquier entrada puede
determinarse con solo conocer dicha entrada y la respuesta al impulso h(n).
El c´lculo de la convoluci´n involucra cuatro pasos:
a o
1. Reflexi´n de h(k) con respecto a k = 0 para producir h(−k).
o
2. Desplazamiento del origen de h(−k) hacia el punto n que se desea calcular.
3. Multiplicaci´n de x(k) y h(n − k) para obtener la secuencia producto vn (k) =
o
x(k)h(n − k).
4. Suma de todos los valores de vn (k) para obtener y(n).
Los pasos del 2 al 4 deben realizarse para todo instante n que se dese´ calcular.
e
Ejemplo 2.11 Determine la respuesta a la se˜al de entrada
n
x(n) = {1, 2, 3, 1}
↑
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![42 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo
a
x(n)
10
1
1−a
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 n
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
Figura 2.21: Respuesta al sistema exponencial con a = 0,9.
2.4.4 Propiedades de la convoluci´n
o
Conmutatividad
y(n) = x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n)
x(n) y (n) h(n) y (n)
h(n) x(n)
Figura 2.22: Representaci´n de la propiedad de la convoluci´n de conmutatividad.
o o
Asociatividad
[x(n) ∗ h1 (n)] ∗ h2 (n) = x(n) ∗ [h1 (n) ∗ h2 (n)]
x(n) x(n)
h1 (n) h2 (n) h1 (n) ∗ h2 (n)
Figura 2.23: Representaci´n de la propiedad de la convoluci´n de asociatividad.
o o
Distributividad
x(n) ∗ [h1 (n) + h2 (n)] = x(n) ∗ h1 (n) + x(n) ∗ h2 (n)
Las tres propiedades pueden generalizarse para m´s de dos subsistemas.
a
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![46 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias
la implementaci´n de los primeros se puede realizar directamente, mientras que algunos
o
de los segundos pueden realizarse por medio de ecuaciones de diferencias.
Para los sistemas causales FIR la convoluci´n se reduce a
o
M −1
y(n) = h(k)x(n − k), h(k) = 0, k < 0 ∧ k ≥ M (2.22)
k=0
El sistema se comporta como una “ventana” que solo permite ver M muestras para
calcular la salida. Se dice que el sistema FIR tiene memoria finita de M muestras.
2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones
de diferencias
El c´lculo de la convoluci´n:
a o
∞
y(n) = h(k)x(n − k)
k=−∞
s´lo es posible para sistemas FIR, puesto que en el caso de sistemas IIR se requerir´ de
o ıa
una memoria infinita para almacenar h(n), y un n´mero infinito de multiplicaciones y
u
adiciones para calcular una sola muestra de la salida.
Las llamadas ecuaciones de diferencias permiten trabajar con sistemas IIR.
2.5.1 Sistemas discretos recursivos y no recursivos
Un sistema es recursivo si su salida en el instante n depende de valores anteriores de la
salida, y(n − 1), y(n − 2), . . .:
y(n) = F [y(n − 1), y(n − 2), . . . , y(n − N ), x(n), x(n − 1), . . . , x(n − M )]
donde F [·] denota una funci´n cualquiera, y sus argumentos son las entradas y salidas
o
presentes y pasadas.
El sistema es no recursivo si solo depende de las entradas presentes y pasadas, mas no de
salidas pasadas:
y(n) = F [x(n), x(n − 1), . . . , x(n − M )]
N´tese que los sistemas LTI FIR causales, cuya salida se expresa como la suma finita de
o
convoluci´n (2.22) no son recursivos.
o
El lazo de realimentaci´n da origen a una diferencia fundamental en el c´lculo de la salida:
o a
La salida recursiva debe determinarse en orden, pues para calcular y(n0 ) se necesitan todos
los N valores anteriores, mientras que en un sistema no recursivo las salidas anteriores no
son necesarias y se puede calcular un valor directamente para cualquier n.
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![2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta
n 47
x(n) y (n)
F [x(n), x(n − 1), x(n − 2), ... , x(n − M)] Sistema no recursivo
x(n) F [y (n − 1), ... , y (n − N) y (n)
x(n), ..., x(n − M)]
Sistema recursivo
z −1
Figura 2.25: Diagrama de bloques de sistemas recursivos y no recursivos.
Ejemplo 2.16 Determine una expresi´n recursiva para el sistema de media acumulativa.
o
Soluci´n:
o
El sistema de media acumulativa
n
1
y(n) = x(k)
n+1 k=0
es recursivo pues
n
(n + 1)y(n) = x(k)
k=0
n−1
⇒ ny(n − 1) = x(k)
k=0
n−1
⇒ (n + 1)y(n) = x(k) + x(n) = ny(n − 1) + x(n)
k=0
n 1
y(n) = y(n − 1) + x(n)
n+1 n+1
1
= (ny(n − 1) + x(n)) (2.23)
n+1
N´tense los coeficientes no constantes para la salida anterior y(n − 1) y la entrada actual
o
n 1
x(n), que son n+1 y n+1 respectivamente; estos implican que el sistema es variante en el
tiempo. La figura 2.26 muestra el diagrama de bloques correspondiente.
2.16
2.5.2 Sistemas LTI caracterizados por ecuaciones de diferencias
con coeficientes constantes
Los sistemas descritos por ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes son una
subclase de los sistemas recursivos y no recursivos.
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![54 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias
por lo que la soluci´n general es
o
yh (n) = C1 λn + C2 nλn ,
1 1 λ1 = 2
Se deja como ejercicio al lector demostrar que
yzi (n) = [y(−1) − y(−2)]2n+2 + [y(−1) − 2y(−2)]n2n+1
2.20
La soluci´n particular de la ecuaci´n de diferencias
o o
La soluci´n particular yp (n) debe satisfacer:
o
N M
ak yp (n − k) = bk x(n − k), a0 = 1
k=0 k=0
lo que generalmente depende de la forma de x(n).
Ejemplo 2.21 Determine la soluci´n particular de
o
y(n) + a1 y(n − 1) = x(n), |a1 | < 1 (2.30)
para x(n) = u(n)
Soluci´n:
o
Como x(n) es constante para n ≥ 0, se asume que la soluci´n tambi´n es constante para
o e
n ≥ 0. La soluci´n particular es entonces:
o
yp (n) = Ku(n)
Sustituyendo esto en (2.30) se obtiene:
Ku(n) + a1 Ku(n − 1) = u(n) (2.31)
y para n ≥ 1 esto equivale a:
K + a1 K = 1
K(1 + a1 ) = 1
1
K=
1 + a1
lo que implica que la soluci´n particular es:
o
1
yp (n) = · u(n)
1 + a1
2.21
En el ejemplo anterior se asumi´ yp (n) como un escal´n porque la entrada ten´ esta
o o ıa
forma. Si x(n) fuera exponencial, yp (n) tambi´n lo ser´ Si x(n) fuera senoidal, entonces
e ıa.
yp (n) tambi´n lo ser´ La tabla 2.4 muestra algunas formas de soluci´n particular para
e ıa. o
entradas particulares.
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![2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta
n 59
2.6.2 Propiedades de la correlaci´n
o
Sean x(n) y y(n) dos se˜ales de energ´ finita. La energ´ de la se˜al:
n ıa ıa n
w(k) = ax(k) + by(k − n)
es:
∞ ∞ ∞ ∞
2 2 2 2 2
[ax(k) + by(k − n)] = a x (k) + b y (k − n) + 2ab x(k)y(k − n)
k=−∞ k=−∞ k=−∞ k=−∞
2 2
= a rxx (0) + b ryy (0) + 2abrxy (n)
N´tese que rxx (0) = Ex es la energ´ de la se˜al x(n) y ryy (0) = Ey la energ´ de y(n).
o ıa n ıa
Puesto que la energ´ es una suma de valores positivos debe cumplirse que:
ıa
a2 rxx (0) + b2 ryy (0) + 2abrxy (n) ≥ 0
y suponiendo que b = 0, se obtiene dividiendo por b2 :
a 2 a
rxx (0) + 2rxy (n) + ryy (0) ≥ 0
b b
que se puede considerar como ecuaci´n cuadr´tica de variable (a/b) con coeficientes rxx (0),
o a
2rxy (n) y ryy (0), que para ser no negativa requiere que el discriminante sea no positivo:
2
4[rxy − rxx (0)ryy (0)] ≤ 0 ⇒ |rxy (n)| ≤ rxx (0)ryy (0) = Ex Ey
y para y(n) = x(n):
|rxx (n)| ≤ rxx (0) = Ex
es decir, la autocorrelaci´n alcanza su valor m´ximo para el retardo cero, cuando por
o a
decirlo as´ la se˜al es id´ntica a s´ misma.
ı n e ı
Un escalado de la se˜al por un escalar, escala la correlaci´n de la misma manera, y por
n o
tanto carece en el an´lisis de importancia por ser m´s relevante la forma de la correlaci´n.
a a o
Por ello en la pr´ctica se normaliza la correlaci´n para producir as´ valores entre -1 y 1.
a o ı
La autocorrelaci´n normalizada se define como:
o
rxx (n)
ρxx (n) =
rxx (0)
y la correlaci´n cruzada como:
o
rxy (n)
ρxy (n) =
rxx (0)ryy (0)
Como rxy (n) = ryx (−n), se cumple para la autocorrelaci´n rxx (n) = rxx (−n), es decir, es
o
una funci´n par.
o
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![2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta
n 61
Si las se˜ales son peri´dicas con periodo N , entonces este promedio puede calcularse en
n o
un solo periodo:
N −1
1
rxy (n) = x(k)y(k − n)
N k=0
En la pr´ctica se utiliza la correlaci´n para encontrar periodicidades en se˜ales f´
a o n ısicas
alteradas por interferencias aleatorias.
Si por ejemplo y(n) = x(n) + ω(n), donde x(n) es peri´dica y ω(n) es una se˜al aleatoria,
o n
entonces la correlaci´n es:
o
M −1
1
ryy (n) = y(k)y(k − n)
M k=0
M −1
1
= [x(k) + ω(k)][x(k − n) + ω(k − n)]
M k=0
M −1
1
= [x(k)x(k − n)] + [x(k)ω(k − n)] + [ω(k)x(k − n)] + [ω(k)ω(k − n)]
M k=0
= rxx (n) + rxω (n) + rωx (n) + rωω (n)
considerando s´lo M muestras y asumiendo y(n) = 0 para n < 0, n ≥ M .
o
La periodicidad de x(n) permite asumir que rxx (n) tambi´n es peri´dica y presenta picos
e o
en n = 0, N, 2N, etc.. Por la consideraci´n de tan solo M muestras, conforme N tiende a
o
M la magnitud de estos picos tiende a cero, por lo que debe escogerse M N y n no
debe evaluarse, como regla emp´ ırica, para n > M/2.
Si ω(n) es aleatoria puede asumirse que rxω (n) y rωx (n) son muy peque˜as, por no estar
n
relacionada con x(n). Por la naturaleza aleatoria de ω(n) puede asumirse adem´s quea
rωω (n) tiende r´pidamente a cero, por lo que en rωω (n) dominar´ rxx (n), lo que permite
a a
detectar el periodo.
La figura 2.28 muestra un segmento de 701 muestras de una se˜al ac´stica representando
n u
la vocal “a”. La se˜al original tiene una longitud de 57000 muestras. La figura 2.29
n
muestra el resultado de la autocorrelaci´n, donde se aprecia claramente un periodo de
o
aproximadamente 100 muestras, lo que se puede corroborar con la se˜al original en la
n
figura 2.28.
2.6.4 Secuencias de correlaci´n de entrada-salida
o
Si se aplica la se˜al x(n) con autocorrelaci´n rxx (n) a un sistema con respuesta al impulso
n o
h(n), entonces:
∞
y(n) = h(n) ∗ x(n) = h(k)x(n − k)
k=−∞
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![62 2.6 Correlaci´n
o
0.65
Senal
0.6
0.55
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
700 800 900 1000 1100 1200 1300
1.2
Senal y ruido
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
700 800 900 1000 1100 1200 1300
Figura 2.28: Se˜al ac´stica representando la vocal “a”, en la parte superior pura, y en la parte
n u
inferior con ruido.
5800
Autocorrelacion
5600
5400
5200
5000
4800
4600
4400
4200
4000
-300 -200 -100 0 100 200 300
Figura 2.29: Autocorrelaci´n de la se˜al con ruido en la figura 2.28.
o n
La correlaci´n entre la salida y la entrada es
o
ryx (n) = y(n) ∗ x(−n)
= [h(n) ∗ x(n)] ∗ x(−n)
= h(n) ∗ rxx (n)
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![2 Se˜ales y Sistemas de Variable Discreta
n 63
que depende solo de la respuesta impulsional h(n) y la autocorrelaci´n de la entrada
o
rxx (n).
La autocorrelaci´n de la salida es
o
ryy (n) = y(n) ∗ y(−n)
= [h(n) ∗ x(n)] ∗ [h(−n) ∗ x(−n)]
= [h(n) ∗ h(−n)] ∗ [x(n) ∗ x(−n)]
= rhh (n) ∗ rxx (n)
que equivale a la convoluci´n de la autocorrelaci´n de la respuesta impulsional rhh (n) con
o o
la autocorrelaci´n de la entrada rxx (n).
o
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![a
Tabla 3.1: Propiedades de la transformada z bilateral.
Propiedad Dominio n Dominio z ROC
Notaci´n
o x(n) X(z) R = {z | r2 < |z| < r1 }
x1 (n) X1 (z) R1
x2 (n) X2 (z) R2
Linealidad a1 x1 (n) + a2 x2 (n) a1 X1 (z) + a2 X2 (z) por lo menos R1 ∩ R2
Desplazamiento en n x(n − k) z −k X(z) R {0} si k > 0 y R {∞} si k < 0
Escalado en z an x(n) X(a−1 z) |a|r2 < |z| < |a|r1
1 1
Reflexi´n en n
o x(−n) X(z −1 ) r1
< |z| <
r2
R
c 2005-2011 — P. Alvarado
Conjugaci´n
o x∗ (n) X ∗ (z ∗ )
3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z
1 Incluye R
Parte real Re{x(n)} [X(z) + X ∗ (z ∗ )]
2
1 Incluye R
Parte imaginaria Im{x(n)}
2
[X(z) − X ∗ (z ∗ )]
dX(z)
Derivaci´n en z
o nx(n) r2 < |z| < r1
dz
−z
Convoluci´n
o x1 (n) ∗ x2 (n) X1 (z)X2 (z) Por lo menos R1 ∩ R2
Teorema del valor inicial Si x(n) es causal x(0) = lim X(z)
z→∞
69](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-83-320.jpg)
![3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z
a 71
Funciones de duraci´n finita
o
Causal
z {0}
n
Anticausal
z {∞}
n
Bilateral
z {0, ∞}
n
Funciones de duraci´n infinita
o
Causal
r2 < |z|
n
Anticausal
|z| < r1
n
Bilateral
r2 < |z| < r1
n
Figura 3.4: Familia de Se˜ales y sus ROC[15].
n
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-85-320.jpg)
![3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z
a 77
de las se˜ales senoidales, s´lo afectan la fase.
n o
3.2.3 La funci´n de transferencia de un sistema LTI
o
En el cap´
ıtulo 2 se encontr´ que la salida y(n) de un sistema LTI con respuesta impulsional
o
h(n) y entrada x(n) est´ dada por la convoluci´n y(n) = h(n) ∗ x(n), que ya se demostr´
y h(n)
a o
en el dominio z ser equivalente a Y (z) = H(z)X(z), con y(n) Y (z), x(n) X(z)
H(z). A H(z), la transformada z de la respuesta impulsional, se le denomina
o
funci´n de transferencia del sistema. N´tese que conociendo H(z) y la transformada z de
o o
la entrada X(z) es posible calcular f´cilmente la transformada z de la salida del sistema,
a
por medio de su producto. Sin embargo, es tambi´n posible, conociendo Y (z) y X(z),
e
obtener la funci´n de transferencia con:
o
Y (z)
H(z) =
X(z)
a partir de la cual se puede determinar la respuesta impulsional por medio de la transfor-
mada z inversa.
Con la ecuaci´n de diferencias del sistema
o
N M
y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k)
k=1 k=0
se obtiene transformando al dominio z ambos lados:
N M
−k
Y (z) = − ak Y (z)z + bk X(z)z −k
k=1 k=0
N M
= −Y (z) ak z −k + X(z) bk z −k
k=1 k=0
N M
Y (z) 1 + ak z −k = X(z) bk z −k
k=1 k=0
M
bk z −k
Y (z) k=0
H(z) = = N
X(z)
1+ ak z −k
k=1
Lo que implica que un sistema lineal descrito por una ecuaci´n de diferencias lineal con
o
coeficientes constantes tiene una funci´n de transferencia racional.
o
Si ak = 0 para k ∈ [1, N ] (sistema no recursivo), entonces
M M
−k 1
H(z) = bk z = M bk z M −k
k=0
z k=0
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-91-320.jpg)
![78 3.2 Transformadas z racionales
es decir, el sistema tiene un polo en el origen de multiplicidad M y M ceros determinados
por los par´metros {bk }. Dado que el sistema contiene M polos triviales en z = 0 y M
a
ceros no triviales, se le denomina sistema de todos ceros. Un sistema as´ es evidentemente
ı
FIR y se le denomina sistema de media ponderada m´vil. o
Si bk = 0 para k ∈ [1, M ] el sistema es recursivo y:
b0 b0 z N !
H(z) = N
= N
, a0 = 1
1+ ak z −k ak z N −k
k=1 k=0
que tiene un cero trivial en z = 0 de orden N y N polos determinados por los coeficientes
{ak }. A este sistema se le denomina sistema de todos polos, que siempre corresponde a
un sistema IIR.
La forma general se denomina sistema de polos y ceros, con N polos y M ceros. Los
polos y ceros en z = 0 y z = ∞, usualmente no se consideran de forma expl´
ıcita. Por la
presencia de polos, este sistema es tambi´n IIR.
e
Ejemplo 3.4 Determine la funci´n de transferencia y la respuesta impulsional del sis-
o
tema descrito por:
1
y(n) = y(n − 1) + 2x(n)
2
Soluci´n:
o
1
Y (z) = Y (z)z −1 + 2X(z)
2
1
Y (z) 1 − z −1 = 2X(z)
2
Y (z) 2 2z
H(z) = = 1 −1 =
X(z) 1 − 2z z−1 2
1
que tiene un polo en z = 2
y un cero en z = 0. Utilizando la tabla de transformadas se
¡
obtiene: n
1
H(z) h(n) = 2 u(n)
2
3.4
Ejemplo 3.5 As´mase que un sistema se rige por el diagrama de polos y ceros mostrado
u
en la figura 3.7. Encuentre la ecuaci´n de diferencias que lo realiza.
o
Soluci´n:
o
En el diagrama se observa una regi´n de convergencia externa al c´
o ırculo de radio r, lo que
implica que el sistema es causal.
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![86 3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z
a
y por tanto, para que |p1,2 | < 1, entonces 0 < a2 < 1, lo que confirma la anterior condici´n
o
|a2 | < 1.
Los pares (a1 , a2 ) en la parte superior a la par´bola conducen entonces a polos complejos
a
conjugados, y bajo la par´bola a polos reales y distintos. Los pares (a1 , a2 ) en la par´bola
a a
a1 2
2
= a2 conducen a un polo de orden 2.
Las funciones de transferencia y sus equivalentes en el dominio del tiempo se resumen en
la tabla 3.3, con p = rejω0 , por lo que a1 = −2r cos ω0 , a2 = r2 .
Tabla 3.3: Funciones de transferencia de segundo orden y equivalentes temporales
Polos Condici´n
o H(z) h(n)
p1 p2
Reales y distintos a2 > 4a2
1
b0
p1 −p2 1−p1 z −1 − 1−p2 z −1
b0
p1 −p2 pn+1 − pn+1 u(n)
1 2
b0
Reales e iguales a2 = 4a2
1 (1−pz −1 )2 b0 (n + 1)pn u(n)
b0 e jω0
e−jω0 n
b0 r
Complejos conjugados a2 < 4a2
1 j2 sen ω0 1−rejω0 z −1
− 1+re−jω0 z−1 sen ω0 sen[(n + 1)ω0 ]u(n)
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![94 4.1 Espectro de se˜ales continuas
n
Tabla 4.1: Propiedades de la Serie de Fourier
Propiedad Se˜al en el tiempo
n Coeficientes
x(t) ck
x1 (t) c1k
x2 (t) c2k
Linealidad α1 x1 (t) + α2 x2 (t) α1 c1k + α2 c2k
Tp
2 2
Simetr´ par
ıa x(t) = x(−t) ck = x(t) cos(ω0 kt) dt
Tp 0
ck ∈ IR
Tp
2j 2
Simetr´ impar
ıa x(t) = −x(−t) ck = − x(t) sen(ω0 kt) dt
Tp 0
ck ∈ jIR
Funci´n real
o x(t) ∈ IR ck = c∗ −k
Desplazamiento temporal x(t − τ ) e−jω0 kτ ck
Conjugaci´n
o x∗ (t) c∗ −k
Inversi´n en el tiempo
o x(−t) c−k
Escalamiento en el tiempo x(αt), α > 0 ck
Convoluci´n peri´dica
o o x1 (τ )x2 (t − τ ) dτ Tp c1k c2k
Tp
∞
Multiplicaci´n
o x1 (t)x2 (t) c1l c2k−l
l=−∞
dx(t)
Diferenciaci´n
o jkω0 ck
dt
t
ck
Integraci´n
o x(t) dt, c0 = 0
−∞ jkω0
t0 +Tp ∞
1 2
Relaci´n de Parseval
o |x(t)| dt = |ck |2
Tp t0 k=−∞
1
el factor Tp
y haciendo Tp → ∞:
∞
X(F ) = x(t)e−j2πF t dt (4.2)
−∞
y est´ relacionada directamente por lo tanto con los coeficientes de la serie a trav´s de
a e
X(F ) = lim Tp ck
Tp →∞
En t´rminos de la frecuencia angular Ω = 2πF esta transformaci´n equivale a
e o
∞
X(Ω) = x(t)e−jΩt dt
−∞
Puede demostrarse adem´s [1] que la transformada inversa de Fourier est´ dada por:
a a
∞
x(t) = X(F )ej2πF t dF
−∞
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![96 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto
n
Ejemplo 4.2 Calcule la transformada de Fourier de (figura 4.3a)
A |t| ≤ τ /2
x(t) =
0 |t| > τ /2
Utilizando la ecuaci´n (4.2) se obtiene (figura 4.3b):
o
τ /2
Aτ sen πF τ
X(F ) = Ae−j2πF t dt =
−τ /2 πF τ
x(t) X(F )
A
−τ
2
τ
2
t 3
−τ 2
−τ 1
−τ 0 1
τ
2
τ
3
τ
F
(a) (b)
Figura 4.3: Pulso de ancho temporal τ (a) y su transformada de Fourier (b).
4.2
N´tese que mientras x(t) sea m´s localizada en el tiempo, es decir, mientras m´s peque˜o
o a a n
sea τ , mucho m´s amplio es su espectro puesto que 1/τ crece. Este llamado principio
a
de incertidumbre es general para todas la se˜ales, e indica que algo muy localizado en el
n
tiempo no puede ser localizado con precisi´n en el dominio de la frecuencia, y algo con
o
frecuencias muy puntuales no tiene una ubicaci´n espec´
o ıfica en el tiempo.
La tabla 4.2 resume algunas propiedades de la Transformada de Fourier.
4.2 Espectro de se˜ ales en tiempo discreto
n
En la secci´n anterior se present´ que el espectro de se˜ales continuas abarca frecuencias de
o o n
−∞ a ∞, donde en el caso de se˜ales peri´dicas solo se encontrar´n frecuencias “discretas”
n o a
m´ltiplos de F0 = 1/Tp , donde Tp es el periodo fundamental de la se˜al. En cap´
u n ıtulos
anteriores se demostr´ que, sin embargo, para se˜ales de naturaleza discreta solo existe
o n
unicidad para frecuencias normalizadas en el intervalo ] − 1/2; 1/2], ´ [0; 1[.
o
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![4 An´lisis frecuencial
a 99
4.2.2 Espectro de se˜ ales discretas aperi´dicas
n o
La transformada de Fourier de una se˜al de energ´ finita en tiempo discreto x(n) se
n ıa
define como:
∞
X(ω) = x(n)e−jωn
n=−∞
N´tese que X(ω) = X(ω + 2πk), lo que implica que el rango de frecuencias unicas se
o ´
limita a [0, 2π[, o de forma equivalente a ] − π, π], que contrasta con el rango [−∞, ∞] de
las se˜ales continuas.
n
Como la se˜al x(n) es discreta, una sumatoria reemplaza la integral del caso continuo.
n
Puede demostrarse adem´s que
a
π
1
x(n) = X(ω)ejωn dω .
2π −π
La transformada de Fourier converge si
∞ ∞
−jωn
|X(ω)| = x(n)e ≤ |x(n)| < ∞
n=−∞ n=−∞
es decir, si la se˜al es absolutamente sumable.
n
La relaci´n de Parseval en este caso es:
o
∞ π
1
Ex = |x(n)|2 = |X(ω)|2 dt
n=−∞
2π −π
Para se˜ales reales, el espectro X(ω) tiene magnitud par y fase impar, es decir, se cumple
n
que X(ω) = X ∗ (−ω), por lo que usualmente basta determinar el espectro para ω ∈ [0, π],
pues la contraparte puede generarse por simetr´ıa.
Debe notarse en los cuatro casos anteriores la correspondencia entre periodicidad en un
dominio y la naturaleza discreta de la representaci´n en el dominio complementario. Es
o
decir, si la se˜al es peri´dica, su espectro ser´ discreto y si el espectro es peri´dico, es
n o a o
porque la se˜al es discreta. Si la distancia entre las muestras o la l´
n ıneas espectrales es α
entonces la periodicidad en el otro dominio ser´ 1/α.
a
peri´dico ←→ discreto
o
aperi´dico ←→ continuo
o
Por ejemplo, una se˜al continua peri´dica tendr´ un espectro aperi´dico discreto; una
n o a o
se˜al discreta aperi´dica tendr´ un espectro peri´dico continuo.
n o a o
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![4 An´lisis frecuencial
a 105
Se puede demostrar que si no hay traslape entonces es posible rescatar a partir de la se˜al
n
muestreada xs (t) la se˜al original xa (t) utilizando un filtro paso-bajos que permita pasar
n
unicamente el rango de frecuencias angulares desde −2πB hasta 2πB.
´
Estos principios se resumen en el llamado teorema del muestreo que establece que para
muestrear una se˜al anal´gica sin p´rdidas de informaci´n se requiere una tasa de muestreo
n o e o
de al menos el doble del ancho de banda del espectro de la se˜al.
n
En los ultimos a˜os han tomado fuerza nuevas propuestas2 para requerir a´n menos mues-
´ n u
tras que las establecidas por este teorema, aunque su funcionamiento parte de requisitos
adicionales impuestos a la funci´n xa (t), donde la posici´n de las muestras deja de ser
o o
regular, y el comportamiento matem´tico pasa a ser m´s basado en procesos estoc´sticos
a a a
que deterministas.
Derivaci´n algebraica
o
En la secci´n 2.2.2 se revis´ el hecho de que la m´xima frecuencia normalizada repre-
o o a
Fmax 1
sentable en una se˜al muestreada es fmax = Fs = 2 . Puesto que la representaci´n de
n o
Fourier de la se˜al discreta es
n
x(n) X(ω) =
∞
n=−∞
x(n)e−jωn , ω ∈] − π, π]
y X(ω) es peri´dico con periodo fundamental 2π, se obtiene que la frecuencia m´
o ınima
de muestreo Fs debe ser elegida de tal modo que sea al menos el doble de la frecuencia
m´xima de la se˜al(figura 4.11).
a n
X (ω)
ω
−2π −π π 2π
f
−1 −1
2 0 1
2 1
F
−Fs − Fs −B
2 0 B Fs
2 Fs
Figura 4.11: Espectro de se˜al discreta con banda limitada sin aliasing.
n
De otro modo existir´ entre las repeticiones peri´dicas del espectro de la se˜al anal´gica
a o n o
un traslape, denominado aliasing. Sea xa (t) la se˜al anal´gica muestreada peri´dicamente
n o o
cada T segundos para producir la se˜al en tiempo discreto x(n):
n
x(n) = xa (nT ), −∞ < n < ∞ .
2
El lector interesado puede buscar entre otros los temas de compressive sampling y el finite rate of
innovation.
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![106 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto
n
Si xa (t) es aperi´dica de energ´ finita, entonces se cumple para su espectro:
o ıa
Xa (F ) =
−∞
∞
xa (t)e−j2πF t dt ¡ xa (t) =
∞
−∞
Xa (F )ej2πF t dF
En el dominio discreto se tiene:
X(f ) =
∞
n=−∞
x(n)e −j2πf n
¡ x(n) =
1
2
−1
2
X(f )ej2πf n df
Puesto que para la se˜al muestreada se tiene
n
n
t = nT =
Fs
entonces se cumple que
∞ 1/2
!
x(n) = xa (nT ) = Xa (F )ej2πnF/Fs dF = X(f )ej2πf n df
−∞ −1/2
Considerando que f = F/Fs y df = dF/Fs se obtiene entonces
Fs /2 ∞
1 j2πnF/Fs
X(F/Fs )e dF = Xa (F )ej2πnF/Fs dF
Fs −Fs /2 −∞
El lado derecho se puede segmentar en bloques de ancho Fs de la siguiente manera:
∞ ∞ (k+1/2)Fs
j2πnF/Fs
Xa (F )e dF = Xa (F )ej2πnF/Fs dF
−∞ k=−∞ (k−1/2)Fs
Con un cambio de variable en la integral F = F − kFs , dF = dF , se obtiene un
desplazamiento del k-´simo bloque al intervalo [−Fs /2, Fs /2]:
e
(k+1/2)Fs Fs /2
F +kFs
Xa (F )ej2πnF/Fs dF = Xa (F + kFs )ej2πn Fs dF
(k−1/2)Fs −Fs /2
Fs /2
= Xa (F + kFs )ej2πnF/Fs dF
−Fs /2
por lo que
Fs /2 ∞ Fs /2
1 F j2πnF/Fs
X e dF = Xa (F + kFs )ej2πnF/Fs dF
Fs −Fs /2 Fs k=−∞ −Fs /2
Fs /2 ∞
= Xa (F + kFs ) ej2πnF/Fs dF
−Fs /2 k=−∞
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![108 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto
n
y adem´s
a
Fs /2
xa (t) = Xa (F )ej2πF t dF
−Fs /2
se tiene que
Fs /2 ∞
1
xa (t) = x(n)e−j2πF n/Fs ej2πF t dF
Fs −Fs /2 n=−∞
∞ Fs /2
1 n
= x(n) ej2πF (t− Fs ) dF
Fs n=−∞ −Fs /2
Para t = n/Fs se cumple
Fs /2 Fs /2
n
ej2πF (t− Fs ) dF = dF = Fs
−Fs /2 −Fs /2
y puesto que para t = n/Fs se tiene
Fs /2
n n n
Fs /2
j2πF ( n
t− F ) dF = ej2πF (t− Fs ) ejπFs (t− Fs ) − e−jπFs (t− Fs )
e s =
n n
−Fs /2 j2π t − Fs
j2π t − Fs
−Fs /2
n n
sen πFs t − Fs
Fs sen πFs t − Fs
= =
n n
π t− Fs
πFs t − Fs
con lo que se cumple para todo t
Fs /2
n n
ej2πF (t− Fs ) dF = Fs sa πFs t −
−Fs /2 Fs
entonces ∞
n
xa (t) = x(n) sa πFs t −
n=−∞
Fs
∞
= xa (nT ) sa (πFs [t − nT ])
n=−∞
que es la interpolaci´n de las muestras utilizando el interpolador ideal
o
t
sen π T t
g(t) = t = sa π . (4.5)
πT T
N´tese que g(t) es cero para t = kT , k ∈ Z 0. En otras palabras, si xa (t) es de
o
banda limitada B y x(n) = xa (nT ) es muestreada con Fs ≥ 2B entonces xa (t) puede ser
reconstruida completamente y de forma unica utilizando el interpolador g(t) dado en (4.5).
´
Debe advertirse, sin embargo, que g(t) tiene extensi´n infinita y no es causal, por lo que en
o
aplicaciones pr´cticas suele aproximarse con interpoladores finitos. La figura 4.13 muestra
a
un ejemplo de interpolaci´n de una secuencia finita de muestras x(n) = {0, 3, 2, −1, 1, 0}.
o
Se aprecia que la funci´n interpolada atraviesa todas las muestras, mientras que para
o
valores de t no enteros todas las muestras contribuyen al valor interpolado.
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![4 An´lisis frecuencial
a 109
x(n), xa (t)
4
3
2
1
0 n, t
-1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
Figura 4.13: Ejemplo de iterpolaci´n ideal para una secuencia de muestras finita.
o
4.3 Propiedades de la transformada de Fourier de
se˜ ales discretas
n
Simetr´ ıa: Anteriormente se discuti´ el hecho de que cualquier se˜al puede representarse
o n
como la suma de una componente par y otra impar. Esto se puede aplicar tanto a la parte
real como a la imaginaria del espectro y de su se˜al. Se puede demostrar que la relaci´n
n o
entre estas componentes es la siguiente:
x(n) = [xe (n) +
R jxe (n)]
I + [xo (n)
R + jxo (n)]
I
¡
¡
¡
¡
¡
e e o o
X(ω) = [XR (ω) + jXI (ω)] + [jXI (ω) + XR (ω)]
Si x(n) es real, entonces X(−ω) = X ∗ (ω)
Linealidad: Si x1 (n) X1 (ω) y x2 (n) X2 (ω), entonces:
a1 x1 (n) + a2 x2 (n) a1 X1 (ω) + a2 X2 (ω)
Desplazamiento temporal:
x(n) X(ω) ⇒ x(n − k) e−jωk X(ω)
Reflexi´n temporal:
o
x(n) X(ω) ⇒ x(−n) X(−ω)
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![112 4.4 Sistemas LTI en el dominio de la frecuencia
A H(ω) se le denomina respuesta en frecuencia del sistema. Esta funci´n determina la
o
amplitud y fase para cada se˜al exponencial compleja de entrada. Adem´s, puesto que
n a
ejωn +e−jωn
cos(ωn) = 2
, entonces la respuesta del sistema LTI con respuesta impulsional
h(n) ante la entrada x(n) = A cos(ωn), ser´: a
A
y(n) = H(ω)ejωn + H(−ω)e−jωn
2
A
= |H(ω)| ej(ωn+∠H(ω)) + |H(−ω)| e−j(ωn−∠H(−ω))
2
A
= |H(ω)| ej(ωn+∠H(ω)) + e−j(ωn+∠H(ω))
2
= A|H(ω)| cos(ωn + ∠H(ω))
Es decir, |H(ω)| determina la atenuaci´n o amplificaci´n de la componente frecuencial de
o o
la entrada con frecuencia angular ω, y por ende se le denomina respuesta en magnitud ,
mientras que ∠H(ω) determina la fase a la salida de la misma componente (respuesta en
fase).
Ejemplo 4.4 Para el sistema descrito por la ecuaci´n:
o
y(n) = ay(n − 1) + bx(n), 0<a<1 ∧ a, b ∈ IR
1. Determine H(ω)
2. Elija b de tal modo que |H(ω)| sea a lo sumo 1 y grafique |H(ω)| y ∠H(ω) para
a = 0,9
3. Determine la salida para x(n) = 5 + 12 sen( π n) − 20 cos πn + π
¡
2 4
Y (z)
1. Puesto que Y (z) = aY (z)z −1 + bX(z) ⇒ X(z)
= b
1−az −1
= H(z) h(n) = ban u(n)
b
H(ω) =
1 − ae−jω
|b| |b|
|H(ω)| = −jω |
=
|1 − ae |1 − a(cos ω − j sen ω)|
|b|
=
(1 − a cos ω)2 + (a sen ω)2
|b| |b|
=√ =√
1 − 2a cos ω + a 2 cos2 ω + a2 sen2 ω 1 − 2a cos ω + a2
a sen ω
∠H(ω) = ∠b − arctan
1 − a cos ω
2. |H(ω)| es m´ximo si el denominador es m´
a ınimo, y esto ocurre, puesto que a ∈ [0, 1]
cuando cos ω es m´ximo, es decir, cuando ω = 0:
a
|b| |b|
|H(0)| = √ = ⇒ |b| = 1 − a
1 − 2a + a2 1−a
Eligiendo b = 1 − a se obtienen las gr´ficas en la figura 4.14.
a
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![4 An´lisis frecuencial
a 117
y con ejω − zk = Vk (ω)ejθk (ω) , ejω − pk = Uk (ω)ejφk (ω) , Vk (ω) = |ejω − zk |, θk (ω) =
∠ (ejω − zk ), Uk (ω) = |ejω − pk |, φk (ω) = ∠ (ejω − pk ), se obtiene:
V1 (ω) . . . VM (ω)
|H(ω)| = |b0 |
U1 (ω) . . . UM (ω)
∠H(ω) = ∠b0 + ω(N − M ) + θ1 (ω) + . . . + θM (ω) − [φ1 (ω) + . . . + φN (ω)]
N´tese que (ejω − pk ) puede interpretarse geom´tricamente como el fasor que va del polo
o e
jω
pk al punto e que se encuentra en la circunferencia unitaria con el angulo ω. El mismo
´
concepto se aplica a los ceros.
Im{z}
e jω − pk
e jω
pk ω
1 Re{z}
Figura 4.15: Interpretaci´n geom´trica del factor ejω − pk .
o e
La respuesta en frecuencia H(ω) se har´ muy peque˜a si z = ejω pasa cerca de un cero,
a n
o se har´ muy grande si pasa cerca de un polo.
a
N´tese que si la magnitud de H(ω) se expresa en decibelios, entonces:
o
M N
|H(ω)|dB = 20 log10 |b0 | + 20 log10 Vk (ω) − 20 log10 Uk (ω)
k=1 k=1
4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia
Filtro es un caso particular de sistema que discrimina alg´n atributo de los objetos o
u
se˜ales aplicados a su entrada, y permite o suprime el paso de dichos objetos o se˜ales
n n
si y solo si estos presentan ese atributo. As´ filtros de aire y aceite permiten que estas
ı,
sustancias los atraviesen, evitando que otras impurezas como polvo alcancen su salida;
filtros de luz (por ejemplo, luz infraroja) permiten el paso de s´lo una parte del espectro
o
electromagn´tico. En las secciones anteriores se present´ la propiedad de los sistemas
e o
LTI de filtrar diferentes componentes en frecuencia de su se˜al de entrada, caracterizada
n
por la respuesta en frecuencia H(ω). Es por ello que los t´rminos sistema LTI y filtro se
e
utilizan con frecuencia como sin´nimos.
o
Eligiendo la posici´n de los polos y ceros en la funci´n de transferencia se eligen los
o o
coeficientes ak y bk para obtener una determinada forma de la respuesta en frecuencia
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![118 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia
H(ω), que puede considerarse como funci´n de ponderaci´n o conformaci´n espectral,
o o o
pues la salida del sistema es Y (ω) = H(ω)X(ω).
Los sistemas LTI en estas funciones de filtrado selectivo de frecuencias o conformaci´n o
espectral se utilizan de varias maneras: como eliminadores de ruido, conformaci´n espec-
o
tral para igualaci´n de canales de comunicaci´n, detecci´n de se˜ales en radar y sonar,
o o o n
an´lisis espectral, etc. En esta secci´n se revisaran algunos conceptos b´sicos, que ser´n
a o a a
retomados en el cap´ ıtulo 7 con mayor detalle.
4.5.1 Filtros ideales
Como filtro ideal se conoce un sistema LTI con respuesta en frecuencia
Ce−jωn0 ω1 < ω < ω2
H(ω) =
0 en caso contrario
es decir, una ganacia constante C en la banda de paso, y cero en la banda eliminada.
Algunos filtros selectivos se muestran en la figura 4.16.
|H(ω)| |H(ω)| |H(ω)|
B
−π B B π ω −π −ωc ωc π ω −π −ω0 ω0 π ω
Paso Bajo Paso Alto Paso Banda
|H(ω)| |H(ω)|
−π −ω0 ω0 π ω ω
Supresor de Banda Paso Todo
Figura 4.16: Respuesta en magnitud de algunos filtros ideales selectivos en frecuencia.
La respuesta de fase lineal permite que se˜ales de entrada con componentes frecuenciales
n
confinadas en el intervalo ω ∈ [ω1 , ω2 ] sean simplemente escaladas y trasladadas en el
tiempo, pues:
Y (ω) = H(ω)X(ω)
¡
= Ce−jωn0 X(ω)
= CX(ω)e−jωn0 y(n) = Cx(n − n0 )
El retardo no es considerado como una distorsi´n grave de la se˜al y es usualmente
o n
tolerado, tal y como el escalado en amplitud. En estos filtros la derivada de la fase tiene
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-132-320.jpg)
![120 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia
2. En este caso
b0 (1 − z1 z −1 ) 1 + z −1 1 + e−jω
H2 (ω) = = b0 ⇒ H2 (ω) = b0
1 − p1 z −1 1 − 0,9z −1 1 − 0,9e−jω
y H2 (0) = b0 1+1 = 20b0 ⇒ b0 =
0,1
1
20
, H2 (π) =0
1.2
|H1 (ω)|
|H2 (ω)|
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159
-0.2
Figura 4.17: Respuesta en magnitud de (1) filtro paso bajo de un polo, (2) filtro paso bajo de
un polo y un cero; H1 (z) = (1 − a)/(1 − az −1 ), H2 (z) = [(1 − a)/2][(1 + z −1 )/(1 −
az −1 )] y a = 0,9.
4.6
Reflejando los polos y ceros con respecto al eje imaginario, se obtienen filtros paso alto:
b0 b0 (1 − e−jω )
H1 (ω) = , H2 (ω) =
1 + 0,9e−jω 1 + 0,9e−jω
Para filtros paso banda, se debe escoger un par de polos complejos conjugados cerca de
la circunferencia unidad en la vecindad de la banda de paso.
Ejemplo 4.7 Dise˜e un filtro paso banda de segundo orden con banda de paso en ω = π ,
n 2
con |H(0)| = |H(π)| = 0, H( 4π ) = √2 , H( π ) = 1.
9
1
2
π
Soluci´n: Los polos deben estar en p1,2 = re±j 2 = ±rj, 0 < r < 1, y los ceros en z1 = 1
o
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![4 An´lisis frecuencial
a 121
1.2
|H1 (ω)|
|H2 (ω)|
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159
-0.2
Figura 4.18: Respuesta en magnitud de un filtro paso alto H1 (z) = (1−a)/(1+az −1 ), H2 (z) =
[(1 − a)/2][(1 − z −1 )/(1 + az −1 )] y a = 0,9.
y z2 = −1, por lo que:
(z − 1)(z + 1) z2 − 1 e2jω − 1
H(z) = b0 = b0 2 ⇒ H(ω) = b0 2jω
(z − jr)(z + jr) z + r2 e + r2
π −2 ! 2 1 − r2
H = b0 = 1 ⇒ b0 = 1 ⇒ b0 =
2 1 − r2 1 − r2 2
2 2 2 2 − 2 cos 98π
4π 1−r ! 1
H = 8π
=
9 2 1 + r4 + 2r2 cos 9 2
La soluci´n resulta en r2 = 0,7 (figura 4.19).
o
4.7
Otra manera de convertir un filtro paso bajos en uno paso altos es aplicar el desplaza-
miento en frecuencia la respuesta H(ω) π radianes:
Hhp = Hlp (ω − π)
con Hhp (ω) la respuesta del filtro paso alto (hp: high pass) y Hlp (ω) la respuesta del filtro
paso bajo (lp: low pass). N´tese que la respuesta impulsional ser´
o ıa
n
hhp (n) = ejπ hlp (n) = (−1)n hlp (n)
Ahora interesa observar qu´ le ocurre a los coeficientes de la ecuaci´n de diferencias con
e o
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![122 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia
1.2
|H(ω)|
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159
-0.2
Figura 4.19: Respuesta en magnitud de filtro paso banda; 0,15[(1 − z −2 )/(1 + 0,7z −2 )].
este desplazamiento en frecuencia. Puesto que:
N M
y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k)
k=1 k=0
M −jωk
k=0 bk e
Hlp (ω) =
1 + N ak e−jωk
k=1
Sustituyendo ω por ω + π se obtiene:
M k −jωk
k=0 (−1) bk e
Hhp (ω) = N
1+ k −jωk
k=1 (−1) ak e
que equivale a:
N M
y(n) = − (−1)k ak y(n − k) + (−1)k bk x(n − k)
k=1 k=0
y por lo tanto el unico cambio debe hacerse a los coeficientes ak y bk con k impar, quienes
´
cambian su signo.
4.5.3 Resonadores digitales
Un resonador digital es un filtro paso banda con un par de polos complejos conjugados,
que determinan con su posici´n angular la frecuencia de resonancia del filtro y con un
o
m´ximo de dos ceros que se sit´an en el origen o en z = ±1 (figura 4.20).
a u
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![4 An´lisis frecuencial
a 131
La determinaci´n del sistema inverso requiere conocimiento sobre la respuesta impulsional
o
h(n) o la respuesta en frecuencia H(ω), que se obtienen en un proceso llamado “identifi-
caci´n del sistema”. Para esto se alimenta al sistema desconocido con se˜ales de entrada
o n
conocidas (por ejemplo, senoidales de frecuencia y amplitud conocidas) y se revisan las
salidas.
4.6.1 Invertibilidad de sistemas LTI
Un sistema es invertible si existe una correspondencia biun´ ıvoca entre sus se˜ales de
n
entrada y de salida. Esto quiere decir que si se conoce la salida y(n) para todo n, entonces
se puede inferir la entrada x(n). El sistema inverso se denota con T −1 y se cumple que:
y(n) = T [x(n)], x(n) = T −1 [y(n)] = T −1 [T [x(n)]]
Para sistemas LTI, as´mase que el sistema T tiene una respuesta impulsional h(n), y
u
hI (n) es la respuesta del sistema inverso T −1 . Se debe cumplir entonces que:
h(n) ∗ hI (n) = δ(n) H(z)HI (z) = 1
de donde se obtiene
1
HI (z) =
H(z)
Para un sistema con H(z) racional, si:
B(z)
H(z) =
A(z)
entonces
A(z)
HI (z) =
B(z)
lo que quiere decir que los ceros de H(z) se convierten en los polos de HI (z) y viceversa.
Esto a su vez implica que si H(z) es todo ceros (FIR), entonces HI (z) es todo polos (IIR)
y viceversa.
Ejemplo 4.9 Determine el sistema inverso de h(n) = u(n).
H(z) =
1
1 − z −1
⇒ HI (z) = 1 − z −1 ¡ hI (n) = δ(n) − δ(n − 1)
4.9
Ejemplo 4.10 Determine el sistema inverso del sistema con respuesta impulsional
h(n) = δ(n) − δ(n − 1). Con
1
H(z) = 1 − z −1 ⇒ HI (z) =
1 − z −1
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![144 4.7 Transformada Discreta de Fourier
xp (n)
es equivalente a
3
2
4
0 1 2 3 4 0 1
Figura 4.38: Secuencia circular equivalente a xp (n − 2).
-2 5
-1 4
0 3
1 2
Figura 4.39: Simetr´ circular par
ıa
La reflexi´n temporal circular se obtiene con
o
x((−n))N = x(N − n), 0≤n≤N −1
Utilizando xp (n) en vez de x(n) se tiene
par: xp (n) = xp (−n) = xp (N − n)
impar: xp (n) = −xp (−n) = −xp (N − n)
herm´
ıtica: xp (n) = x∗ p (N − n) (conjugada par)
anti-herm´
ıtica: xp (n) = −x∗ p (N − n) (conjugada impar)
La secuencia se puede descomponer en
xp (n) = xpe (n) + xpo (n)
1
xpe (n) = [xp (n) + x∗ p (N − n)]
2
1
xpo (n) = [xp (n) − x∗ p (N − n)]
2
-2 5
-1 4
0 3
1 2
Figura 4.40: Simetr´ circular impar
ıa
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![150 4.7 Transformada Discreta de Fourier
por aliasing, por lo que se descartan (figura 4.41). La salida para el m-´simo bloque se
e
obtiene con
ym (n)
ˆ
ˆ
Ym (k) = H(k)Xm (k), k = 0, 1, . . . , N − 1
N
M −1 L L L L
x(n) 0
M −1
x1 (n)
M −1
x2 (n)
M −1
x3 (n)
y (n) y1 (n)
M −1
M −1
x4 (n)
y2 (n)
M −1
y3 (n)
M −1
y4 (n)
Figura 4.41: M´todo de solapamiento y almacenamiento.
e
La salida total se obtiene concatenando las ultimas L muestras de cada bloque de salida.
´
M´todo de solapamiento y suma
e
En este m´todo la DFT se aplica a L muestras de la entrada, a las que se concatenan
e
M − 1 ceros. Los bloques de salida deben entonces traslaparse y sumarse para obtener el
resultado final (figura 4.42).
4.7.7 An´lisis espectral de se˜ ales usando la DFT
a n
Para calcular el espectro exacto de una se˜al, indiferentemente si esta es continua o
n
discreta, es necesario contar con informaci´n de todo instante de tiempo, en el intervalo
o
t ∈ ]−∞, ∞[. En aplicaciones reales esto es imposible y se debe utilizar un intervalo finito
de muestras que tendr´ repercusiones en la medici´n espectral.
a o
El procedimiento para el an´lisis espectral de una se˜al anal´gica xa (t) involucra primero
a n o
limitar el ancho de banda B con un filtro antialias seguido por el muestreo a una tasa
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![4 An´lisis frecuencial
a 151
L L L L
x(n)
M −1
x1 (n) 0
M −1
x2 (n) 0
M −1
x3 (n) 0
y (n) y1 (n)
M −1
+
x4 (n) 0
y2 (n)
+
y3 (n)
+
y4 (n)
Figura 4.42: M´todo de solapamiento y suma.
e
Fs ≥ 2B, que asegura que la mayor frecuencia ser´ Fs /2, equivalente a la frecuencia
a
normalizada f = 1/2. Adem´s, es necesario limitar la longitud temporal de la se˜al a L
a n
muestras, lo que implica que T0 = LT es la duraci´n del bloque de se˜al analizado. No
o n
se estudia entonces la se˜al x(n) sino otra obtenida por enventanado
n
x(n) = x(n)w(n)
ˆ
con la ventana de longitud L
1 0≤n≤L−1
w(n) =
0 en el resto
Para el caso particular de una componente espectral x(n) = cos(ω0 n) con espectro X(ω) =
1
2
[δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )] la se˜al enventanada tendr´ espectro:
n a
x(n)
ˆ ˆ 1
X(ω) = [W (ω − ω0 ) + W (ω + ω0 )]
2
donde W (ω) es el espectro de la ventana que para el caso de la ventana rectangular es
(figura 4.43)
sen ω L −jω(L−1)/2
2
W (ω) = e
sen ω
2
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![5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica
o o o 155
o lo que es equivalente
F
f= (5.1)
Fs
por lo que a f se le denomina tambi´n frecuencia normalizada. Con esto queda claro que
e
la frecuencia f puede corresponder con las unidades de frecuencia de F (por ejemplo, en
Hertz) si y solo si se conoce la frecuencia de muestreo Fs .
En las secciones anteriores se obtuvo adem´s que el rango para la frecuencia F es pr´cticamente
a a
1 1
infinito, mientras que el rango de la frecuencia f es finito ([− 2 , 2 ]). Utilizando (5.1) se
obtiene
1 1
− <f ≤
2 2
1 F 1
− < ≤
2 Fs 2
Fs Fs
− <F ≤
2 2
El muestreo peri´dico de la se˜al de variable continua representa entonces un mapeo del
o n
rango infinito de frecuencias F a un rango finito de frecuencias f . Puesto que la mayor
1
frecuencia de f es f = 2 puede concluirse que con la tasa de muestreo Fs como m´ximo
a
se podr´ representar
a
Fs 1
Fmax = =
2 2T
π
Ωmax = πFs =
T
En cap´ıtulos anteriores se demostr´ que las frecuencias f son unicas dentro de un rango
o ´
finito: el rango fundamental, y que todas las frecuencias fuera de ese rango son alias de
alguna frecuencia fundamental. Se demostr´ adem´s que para una se˜al sinusoidal la
o a n
frecuencia angular ω y ω + 2kπ son equivalentes para todo k ∈ Z, lo que implica que f + k
es un alias de f . Con (5.1) se tiene que
F
f +k = ⇒ f Fs + kFs ≡ F
Fs
o en otras palabras f Fs + kFs es un alias de F = f Fs . Con esto, la relaci´n entre las
o
frecuencias de las se˜ales de variable continua y discreta puede graficarse como lo muestra
n
la figura 5.3.
La figura 5.4 muestra un ejemplo con las frecuencias F1 = 2/7 Hz y su alias F2 = −5/7 Hz
para una tasa de muestreo de Fs = 1 Hz. Aqu´ se aprecia con claridad que las muestras
ı
tomadas para las dos se˜ales coinciden, por lo que estas muestras por si solas no pueden
n
determinar de cu´l de las dos se˜ales fue muestreada.
a n
La frecuencia Fs /2 corresponde entonces a la frecuencia m´xima representable en forma
a
1
discreta con una tasa de muestreo Fs , que corresponde entonces a f = 2 . La frecuencia
fundamental correspondiente a un alias de frecuencia mayor a Fs /2 se puede terminar
utilizando Fs /2 como pivote para reflejar el alias dentro del rango fundamental. A Fs /2
(o ω = π) se le denomina entonces frecuencia de plegado,o en ingl´s folding frequency.
e
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-169-320.jpg)
![156 5.1 Muestreo de se˜ales anal´gicas
n o
f ω
1
2 π
F
−Fs − Fs
2
Fs
2 Fs
1
− 2 −π
Figura 5.3: Relaci´n entre las frecuencias de se˜ales de variable discreta y continua para el
o n
caso de muestreo uniforme.
x(n)
F2 = − 5 Hz
7
t[s]
2
F1 = 7 Hz
Figura 5.4: Muestreo de una se˜al sinusoidal y de un alias.
n
5.1.1 Muestreo de se˜ ales pasa-bajos
n
Como se˜al pasabajos se considera aquella cuyo espectro tiene componentes de frecuencia
n
diferentes de cero para un valor dado de frecuencia F < B. La figura 4.11 ilustra un
espectro de se˜al pasabajos.
n
Tal y como se ha demostrado en la secci´n 4.2.4, no hay p´rdida de informaci´n si una
o e o
se˜al se muestrea con Fs > 2B, pues las r´plicas del espectro original inducidas por el
n e
muestreo, y ubicadas cada Fs , no se traslapan y permiten la recuperaci´n del espectro
o
original por medio de un interpolador ideal aplicado a las muestras.
5.1.2 Muestreo de se˜ ales pasa-banda
n
Una se˜al pasa-banda es aquella cuyo espectro es cero para |F | < Fc − B/2 y para
n
|F | > Fc + B/2. A Fc se le conoce como frecuencia central de la banda o frecuencia
portadora y a B como ancho de la banda. La figura 5.5 ilustra un ejemplo de espectro paso-
banda de una se˜al real. Seg´n el teorema de muestreo es posible reconstruir la se˜al si se
n u n
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-170-320.jpg)
![160 5.2 Cuantificaci´n de se˜ales de amplitud continua
o n
5.2 Cuantificaci´n de se˜ ales de amplitud continua
o n
La cuantificaci´n de una se˜al de amplitud continua consiste en asignar a cada valor con-
o n
tinuo otro valor tomado de un conjunto finito. El reemplazar los valores continuos por
los valores cuantificados introduce el llamado error de cuantificaci´n o ruido de cuan-
o
tificaci´n. Si x(n) es la secuencia de valores continuos entonces la secuencia de valores
o
cuantificados ser´ xq (n) = Q[x(n)] donde Q representa un operador de cuantificaci´n. La
a o
secuencia de errores de cuantificaci´n est´ dada entonces por
o a
eq (n) = xq (n) − x(n)
Para analizar el error de cuantificaci´n consid´rese la se˜al sinusoidal de variable continua
o e n
mostrada en la figura 5.9. Es posible apreciar que alrededor de cada nivel de cuantificaci´no
x(t)
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
t
Figura 5.9: Se˜al sinusoidal de variable continua cuantificada.
n
la se˜al anal´gica se puede aproximar de forma lineal. En t´rminos estad´
n o e ısticos este hecho
se describe diciendo que el ruido de cuantificaci´n sigue una distribuci´n uniforme, donde
o o
los valores de error estar´n distribuidos con las mismas probabilidades entre −∆/2 y ∆/2,
a
donde ∆ es igual al cuanto, es decir la distancia entre dos niveles de cuantificaci´n.
o
Esta aproximaci´n lineal se esquematiza en la figura 5.10, donde se ha asumido que los
o
“saltos” hacia los otros cuantos de esta se˜al ocurren en −τ y τ .
n
La potencia media del error cuadr´tico Pq es
a
τ τ
1 1
Pq = e2 (t) dt =
q e2 (t) dt
q
2τ −τ τ 0
que considerando la aproximaci´n lineal del error eq (t) ≈ (∆/2τ )t para t ∈ [−τ, τ ] resulta
o
en
2
1 τ ∆ ∆2
Pq = t2 dt = (5.5)
τ 0 2τ 12
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![5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica
o o o 173
utilizada (figura 5.19), de modo que
Fsn /2 Fso /2
Pqn (F ) dF = Pqo (F ) dF = Pq
−Fsn /2 −Fso /2
de donde se deriva
Pq Pq
Pqn (F ) = =
Fsn 2B
Pq
Pqo (F ) =
Fso
Por lo anterior, solo una fracci´n de la potencia total del error de cuantificaci´n coincide
o o
con la banda de frecuencia de la se˜al de entrada [−B, B]. La potencia fuera de ese rango
n
puede ser atenuada utilizando un filtro paso-bajos, dise˜ado para dejar pasar unicamente
n ´
la se˜al de entrada. Siguiendo a este filtro, y debido a que su salida est´ limitada en
n a
banda, es posible sub-muestrear o diezmar la se˜al. La figura 5.20 ilustra el concepto de
n
sobremuestreo, donde Fso = 1/Tso = L · 2B.
La potencia del ruido de cuantificaci´n Pqo correpondiente al intervalo de frecuencias
o
[−B, B] de la se˜al sobremuestreada se obtiene con
n
B
2B Pq
Pqo = Pqo (F ) dF = Pq =
−B Fso L
donde L = Fso /Fsn y B = Fsn /2.
2
Si se asume que la se˜al de entrada tiene potencia Px = σx y pasa por el filtro pasa-bajos
n
inalterada, entonces su potencia seguir´ siendo Px a la salida del filtro y la relaci´n se˜al
a o n
a ruido de la se˜al sobremuestreada y filtrada es
n
Px Px Fso
SN RQ = 10 log10 = 10 log10 + 10 log10 (5.8)
Pqo Pq 2B
Pq (F )
Fsn Fso
F
2 2
Figura 5.19: Densidad espectral de potencia del ruido de cuantificaci´n para la tasa Nyquist
o
Fsn y una tasa de sobremuestreo Fso = 3Fsn .
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![198 7.1 Causalidad y sus implicaciones
dise˜o y mayor la flexibilidad, aunque el tiempo de ejecuci´n es menos controlable. En
n o
el mercado laboral de PDS, es usual encontrar compa˜´ que elaboran las secciones
nıas
cr´
ıticas del procesamiento digital en lenguaje ensamblador, o que utilizan FPGA para
dicho procesamiento. Esto requiere mayores tiempos en su desarrollo (lo que hace al
proceso m´s caro), y usualmente la flexibilidad de cambios es menor comparada a las
a
herramientas de prototipado r´pido, o lenguajes de programaci´n gen´ricos.
a o e
En general, el dise˜o de filtros digital se concentra en el dise˜o de un sistema que cumpla
n n
ciertos requisitos para su respuesta en magnitud. La fase queda determinada por las
consideraciones de estabilidad (particularmente en filtros IIR) o consideraciones de fase
lineal (en filtros FIR).
7.1 Causalidad y sus implicaciones
Sea h(n) la respuesta impulsional de un filtro paso bajo ideal con respuesta en frecuencia
1 |ω| ≤ ωC
H(ω) =
0 ωC < ω < π
ωC
n=0
π
h(n) = ωC sen(ωC n)
en otro caso
π ωC n
que obviamente no es causal y por tanto no realizable. Pero ¿c´mo debe ser H(ω) para
o
que h(n) sea causal? Esta pregunta la responde el Teorema de Paley-Wiener que afirma:
si h(n) tiene energ´ finita y es causal (h(n) = 0, n < 0) entonces
ıa
π
| ln |H(ω)| | dω < ∞
−π
Si esta ecuaci´n se cumple para |H(ω)| entonces puede buscarse una respuesta de fase
o
asociada Θ(ω) tal que H(ω) = |H(ω)|ejΘ(ω) represente una se˜al causal.
n
N´tese que de acuerdo a este teorema la funci´n |H(ω)| puede ser cero en frecuencias
o o
puntuales aisladas, pero no en una banda finita, puesto que la integral se har´ infinita.
ıa
Por lo tanto, ning´n filtro ideal es causal.
u
Puesto que h(n) se puede separar en componentes par e impar:
h(n) = he (n) + ho (n)
1
he (n) = [h(n) + h(−n)]
2
1
ho (n) = [h(n) − h(−n)]
2
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-212-320.jpg)
![7 Introducci´n al dise˜o de filtros digitales
o n 199
si h(n) es causal entonces se tiene adem´s
a
h(n) =2he (n)u(n) − he (0)δ(n) = 2ho (n)u(n) + h(0)δ(n)
he (n) =ho (n), n>0
y si h(n) es absolutamente sumable (estable BIBO) entonces
H(ω) = HR (ω) + jHI (ω)
y puesto que h(n) es causal y real entonces
he (n) HR (ω)
ho (n) HI (ω)
con lo que se deduce que HR (ω) es suficiente para establecer H(ω). En otras palabras
HR (ω) y HI (ω) son interdependientes y no se pueden especificar libremente para sistemas
causales.
Para establecer la relaci´n entre las partes real e imaginaria de la respuesta en frecuencia
o
se plantea utilizando el teorema del enventanado
H(ω) = HR (ω) + jHI (ω) = F {2he (n)u(n) − he (0)δ(n)}
= 2 [HR (ω) ∗ U (ω)] − he (0)
1 π
= HR (λ)U (ω − λ) dλ − he (0)
π −π
que con
u(n) U (ω) = πδ(ω) +
1
1 − e−jω
1 1 ω
= πδ(ω) + − j cot , −π < ω < π
2 2 2
es equivalente a
π π
1 1 1
H(ω) = HR (λ)πδ(ω − λ) dλ + HR (λ) dλ
π −π π −π 2
HR (ω) he (0)
π
1 j ω−λ
+ HR (λ) cot dλ − he (0)
π −π 2 2
y puesto que
π
j ω−λ
HR (ω) + jHI (ω) = HR (ω) − HR (λ) cot dλ
2π −π 2
π
1 ω−λ
HI (ω) = − HR (λ) cot dλ
2π −π 2
denominada Transformada de Hilbert discreta de HR (ω).
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-213-320.jpg)
![200 7.1 Causalidad y sus implicaciones
|H(ω)|
Rizado de Banda de Paso
1 + δ1
1
1 − δ1
Rizado de Banda de Rechazo
δ2
ω
ωP ωS π
Banda de Paso Banda Banda de Rechazo
de
Transici´n
o
Figura 7.1: Respuesta real de filtro pasa bajas.
La causalidad adem´s tiene otras consecuencias aqu´ no demostradas, como por ejemplo
a ı
que |H(ω)| no puede ser constante en ning´n rango finito de frecuencias y la transici´n
u o
de la banda de paso a la banda de rechazo no puede ser infinitamente abrupta. Por estas
razones, las respuestas en magnitud de filtros reales solo pueden ser aproximaciones de
las versiones ideales, tal y como lo muestra la figura 7.1. La frecuencia angular ωP define
el l´
ımite superior de la banda de paso y as´ el ancho de banda del filtro. La frecuencia
ı
angular ωS indica el inicio de la banda de rechazo. El ancho de banda de transici´n es
o
entonces ωS −ωP . Los rizados de las bandas de paso y rechazo son δ1 y δ2 respectivamente.
En aplicaciones reales se debe especificar entonces antes de dise˜ar el filtro
n
1. M´ximo rizado permitido en la banda de paso δ1
a
2. M´ximo rizado permitido en la banda de rechazo δ2
a
3. Frecuencia de corte de la banda de paso ωP
4. Frecuencia de corte de la banda de rechazo ωS .
donde las dos ultimas se escogen usualmente en t´rminos de potencia mitad.
´ e
El grado en que H(ω) acata las especificaciones depende en parte de los criterios utilizados
para seleccionar {ak } y {bk }, as´ como del n´mero de polos y ceros utilizados.
ı u
Generalmente el dise˜o de filtros se concentra en el tipo pasa bajos, para lo que existen
n
gran variedad de t´cnicas. Algunas de ellas se muestran en la figura 7.2 y se ilustran con
e
m´s detalle en [15]. Existen m´todos para transformar los filtros pasa bajos a otros tipos
a e
como paso altos o paso banda.
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-214-320.jpg)
![204 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita
En el dominio de la frecuencia H(ω) = Hd (ω) ∗ W (ω), donde
M −1
W (ω) = w(n)ejωn
n=0
Puesto que W (ω) tiene generalmente un l´bulo central y l´bulos laterales, el efecto de la
o o
convoluci´n es suavizar la respuesta Hd (ω).
o
Para reducir el efecto de los l´bulos laterales se utilizan ventanas diferentes a la rectan-
o
gular, caracterizadas por no tener cambios abruptos en el dominio del tiempo, lo que
conduce a l´bulos menores en el dominio de la frecuencia. Algunas ventanas t´
o ıpicas y sus
caracter´
ısticas se presentan en la tabla 7.2.
Tabla 7.2: Funciones utilizadas como ventanas.
Ventana h(n), 0 ≤ n ≤ M − 1 Ancho Pico l´bulo
o
lobular lateral [dB]
Rectangular 1 4π/M −13
−1
2 n − M2
Bartlett (triangular) 1− 8π/M −27
M −1
2πn
Hamming 0,54 − 0,46 cos 8π/M −32
M −1
1 2πn
Hanning 1 − cos 8π/M −43
2 M −1
Las ventanas se ilustran en el dominio temporal en la figura 7.4, y en el dominio de la
frecuencia, con su magnitud espectral en las figuras 7.5 y 7.6.
Ejemplo 7.1 Dise˜e un filtro pasa bajos de longitud M que aproxime
n
ejω(M −1)/2 0 ≤ |ω| ≤ ωC
Hd (ω) =
0 en el resto
Se obtiene con la transformada inversa de Fourier
ωC M −1
hd (n) =
1
ejω(n−
M −1
2 ) dω = sen ωC n − 2
−1
2π −ωC π n − M2
Para el filtro FIR se toman solo M muestras:
−1
sen ωC n − M2
h(n) = −1
, 0≤n≤M −1
π n − M2
7.1
El truncamiento de hd (n) conduce a un comportamiento oscilatorio cerca del l´ımite de
la banda de paso denominado fen´meno de Gibbs. N´tese que este m´todo no permite
o o e
mayor control sobre el valor de los par´metros δ1 , δ2 , ωS y ωP resultantes.
a
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-218-320.jpg)
![7 Introducci´n al dise˜o de filtros digitales
o n 207
entonces
H(k + α) = H ∗ (M − k − α)
M
lo que justifica la utilizaci´n de
o 2
muestras en vez de M . Utilizando la simetr´ se
ıa
obtiene
2π
H(k + α) = Hr (k + α) ej[βπ/2−2π(k+α)(M +1)/2M ]
M
donde β = 0 si h(n) es sim´trica y β = 1 si h(n) es antisim´trica. Con
e e
2π
G(k + α) = (−1)k Hr (k + α) k = 0, 1, . . . , M − 1
M
se obtiene
H(k + α) = G(k + α)ejπk ej[βπ/2−2π(k+α)(M +1)/2M ]
Respuesta impulsional h(n) = ±h(M − 1 − n)
Simetr´ circular par
ıa
H(k) = G(k)ejπk/M k = 0, 1, . . . , M − 1
G(k) = (−1)k Hr 2πk
G(k) = −G(M − k)
M
a = 0:
M −1
2
h(n) = 1 G(0) + 2
G(k) cos
2πk
n+
1
M M 2
k=1
H k + 1 = G k + 1 e−j π ejπ(2k+1)/2M
2
2 2
1 1
1 G k+ =G M −k−
a= : 2 2
2
M −1
2
2
1 2π 1 1
h(n) = G k+ sen k+ n+
M k=0 2 M 2 2
Simetr´ circular impar
ıa
H(k) = G(k)ejπ/2 ejπk/M k = 0, 1, . . . , M − 1
G(k) = (−1)k H 2πk
G(k) = G(M − k)
r
M
M −1
a = 0: 2 2 2πk 1
h(n) = − M
G(k) sen
M
n+
2
M impar
k=1
M
2
−1
h(n) = 1 (−1)n+1 G(M/2) − 2
G(k) sen
2πk
n+
1
M par
M k=1
M 2
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-221-320.jpg)
![7 Introducci´n al dise˜o de filtros digitales
o n 209
Utilizando los filtros sim´tricos y antisim´tricos de fase lineal puede demostrarse que
e e
Hr (ω) = Q(ω)P (ω)
con Q(ω) y P (ω) dados en la tabla 7.3.
El error de aproximaci´n se define entonces como
o
E(ω) = W (ω)[Hdr (ω) − Hr (ω)]
= W (ω)[Hdr (ω) − Q(ω)P (ω)]
Hdr (ω)
= W (ω)Q(ω) − P (ω)
Q(ω)
donde W (ω) es una funci´n de ponderaci´n de error que usualmente se define como
o o
δ1
δ2
ω en la banda de paso
W (ω) =
1 ω en la banda de rechazo
y Hdr (ω) la respuesta ideal del filtro deseada que es 1 en la banda de paso y cero en la de
rechazo. Con
ˆ
W (ω) = W (ω)Q(ω)
ˆ Hdr (ω)
Hdr (ω) =
Q(ω)
el error se puede reescribir como
ˆ ˆ
E(ω) = W (ω) Hdr (ω) − P (ω) .
El dise˜o del filtro consiste entonces en buscar los par´metros {α(k)} = {a(k)}, {b(k)}, {c(k)}
n a
o {d(k)} que conducen al menor valor m´ximo de |E(ω)|.
´ a
L
ˆ ˆ
arg min max |E(ω)| = arg min max W (ω) Hdr − α(k) cos ωk
{α(k)} ω∈S {α(k)} ω∈S
k=0
donde S representa el conjunto (disjunto) de bandas sobre las que se realiza la optimiza-
ci´n. Este problema de optimizaci´n requiere tambi´n m´todos num´ricos de optimizaci´n
o o e e e o
(por ejemplo el algoritmo de intercambio de Remez) basados en el teorema de la alterter-
nancia, que establece que la funci´n de error E(ω) debe exhibir al menos L + 2 frecuencias
o
extremas en S, es decir, deben existir al menos L + 2 frecuencias {ωi } en S tales que
ω1 < ω2 < . . . < ωL+2 , E(ωi ) = −E(ωi−1 ) y |E(ωi )| = max |E(ω)|, i = 1, 2, . . . , L + 2 para
ω∈S
L ˆ
que P (ω) = k=0 α(k) cos ωk sea la mejor y unica aproximaci´n ponderada de Hdr (ω).
´ o
El nombre del teorema se debe a la alternancia de signo entre dos extremos consecutivos.
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-223-320.jpg)
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edition, 1998.
219](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-233-320.jpg)
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[22] U. Z¨lzer. Digital Audio Signal Processing. John Wiley and Sons, 2008.
o
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-234-320.jpg)
![Ap´ndice A
e
Octave y Matlab
MatLab[12] y Octave[5] son programas utilizados en procesamiento num´rico de datos,
e
dentro de lo cual figura el ´rea de procesamiento digital de se˜ales. Este ap´ndice es
a n e
una brev´ısima introducci´n a la utilizaci´n del int´rprete de ambos sistemas. Muchas de
o o e
las funciones disponibles para MatLab deben ser instaladas por aparte para el Octave, y
pueden ser encontradas en la base de datos del grupo que lo desarrolla [6].
La representaci´n gr´fica de se˜ales de variable discreta en MatLab se realiza con la
o a n
funci´n stem. Por ejemplo:
o
nn = 0:30; % genere un vector de 31 elementos: 0, 1, 2 .. 30
sinus = sin(nn/2+1); % para cada x en nn genere sin(x/2+1)
stem(nn,sinus); % muestre valores en ’sinus’ para las muestras ’nn’
El punto y coma ’;’ le indica al MatLab que no debe mostrar el resultado de la operaci´n.
o
Si es omitido, el resultado se mostrar´ directamente.
a
Con los comandos hold y hold off se puede controlar si se debe graficar sobre la misma
imagen o no.
La funci´n zeros(m,n) genera una matriz de m filas por n columnas. As´ que para generar
o ı
un impulso puede utilizarse
imp=zeros(20,1);
imp(5)=1;
Depender´ de los ´
a ındices generados para esta secuencia el n´mero de muestra para el
u
impulso. Por ejemplo, con nn=-5:14 el retardo del impulso es -1 pero con nn=0:19 el
retardo ser´ 4.
ıa
Para generar se˜ales peri´dicas puede utilizarse el siguiente concepto:
n o
x = [0;1;1;0;0;0] * ones(1,8);
x = x(:);
221](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-235-320.jpg)
![222
Lo que ocurre en la primera l´ınea es generar una matriz con ocho filas todas id´nticas
e
al vector dado antes del s´
ımbolo ’∗’. La segunda l´ınea convierte la matriz a un vector
concatenando todas las filas, lo que equivale una se˜al peri´dica con N = 6 periodos.
n o
Especial cuidado debe tenerse con la programaci´n eficiente en Octave. El uso de ciclos
o
debe ser evitado al m´ximo, y en vez de ello deben utilizarse las operaciones vectoriales
a
en tanto se pueda.
Por ejemplo, sup´ngase que necesita generar una secuencia x(n) con n desde −10 hasta
o
40, que contenga un escal´n unitario. Una implementaci´n ingenua e ineficiente es:
o o
n=[-10:40];
x=n;
for i=1:length(n)
if n(i)<0
x(i)=0;
else
x(i)=1;
end
end
La versi´n anterior funciona, pero requiere mucho m´s tiempo que la versi´n utilizando
o a o
los conceptos del lenguaje en cuesti´n:
o
n=[-10:40];
x=(n>=0);
Lo anterior genera un vector con 0 si el elemento correspondiente en n es menor que cero
y 1 en caso contrario.
Un concepto fundamental para la programaci´n eficiente es conocer la diferencia de sin-
o
taxis entre los operadores (por ejemplo “∗”), y los operadores precedidos por un punto
(por ejemplo “.∗”). El primero representa una operaci´n matricial, y requiere que las
o
dimensiones de los operandos a la izquierda y derecha sean compatibles con la operaci´n.
o
El segundo caso aplica el operador elemento por elemento a las dos matrices, que deben
para ello tener exactamente las mismas dimensiones.
Ejemplos:
[1 2 3]*[1 -1 -2] % Retorna un error, porque el primero o el segundo vector
% deber´an ser un vector columna.
ı
[1 2 3]*[1 -1 -2]’ % El ap´strofe en el segundo vector indica que este debe
o ´
% transponerse y por tanto es equivalente a un producto
% interno que devuelve el valor escalar -7
[1 2 3]’*[1 -1 -2] % Ahora esto equivale al producto externo y retorna una
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-236-320.jpg)
![A Octave y Matlab 223
% matriz 3x3.
[1 2 3].*[1 -1 -2] % Multiplique elemento por elemento para retornar [1 -2 -6]
c 2005-2011 — P. Alvarado](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-237-320.jpg)
![Ap´ndice B
e
Respuestas a Problemas
A continuaci´n se presentan los esbozos de las soluciones a los problemas planteados en
o
los diferentes cap´
ıtulos. Estos problemas tienen como objetivo ayudar en preparaci´n o
del estudiante para las pruebas parciales y final del curso. El estudiante debe solucionar
los problemas por su cuenta antes de comparar sus respuestas con las versiones aqu´ ı
presentadas. De otra forma no se asegurar´ el aprendizaje.
a
Problemas adicionales encontrar´ el estudiante en abundancia en [19, 15].
a
Problema 1.1. El estudiante debe buscar ejemplos que ´l conoce: se˜ales de voz, se˜ales
e n n
de video, sismos, se˜ales utilizadas en medicina, etc.
n
Problema 1.2.
Se˜al
n Caracter´
ıstica
N´m. Variables (U/M)
ıstica (D/A)
Dimensi´n (E/V)
Variables (D/C)
Valores (D/C)
o
Estad´
u
Imagen tomada por una c´mara digital a color
a M V D D D
Registro mensual de la posici´n de
o
una bandada de aves migratorias U V D C A
Se˜ales de salida de un micr´fono est´reo
n o e U V C C ∗
Se˜al digital
n ∗ ∗ D D ∗
Se˜al anal´gica
n o ∗ ∗ C C ∗
Problema 2.1.
1. x1 (n) = x(n − 2)
225](https://image.slidesharecdn.com/dsp4-121110080307-phpapp01/85/Dsp4-239-320.jpg)
Subido porJose Saenz
Dsp4
Este documento presenta notas de clase para el curso "Procesamiento Digital de Señales" impartido en la Escuela de Ingeniería Eléctrica del Tecnológico de Costa Rica. El documento incluye un prefacio, índice general y varios capítulos que cubren temas como señales y sistemas de variable discreta, análisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo, y sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias. El objetivo es ofrecer al estudiante una guía para el
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- 1. Tecnol´gico de CostaRica o Escuela de Ingenier´ Electr´nica ıa o Notas de Clase Procesamiento Digital de Se˜ ales n EL-5805 Dr. Jos´ Pablo Alvarado Moya e Versi´n de 28 de julio de 2011 o
- 3. Prefacio Estas notas declase pretenden ofrecer al estudiante una gu´ para el curso “EL-5805 Pro- ıa cesamiento Digital de Se˜ales”. No deben considerarse bajo ninguna circunstancia como n fuente de informaci´n unica. En cada cap´ o ´ ıtulo se hace referencia a fuentes bibliogr´ficas a adicionales que el estudiante debe revisar por su cuenta, con ejercicios adicionales y mayor detalle en su presentaci´n. o El concepto del curso se ha orientado en las sugerencias de los autores John G. Proakis y Dimitris G. Manolakis [15] para un programa semestral de curso de pregrado, con algunas adiciones y principalmente res´menes de la materia considerados necesarios. M´s detalles u a de los temas tratados aqu´ se podr´n entonces encontrar del cap´ ı a ıtulo 1 al cap´ ıtulo 8 del mencionado libro de texto. Las presentes notas de clase se han adaptado espec´ ıficamente al curso “Procesamiento Digital de Se˜ales” de la Escuela de Ingenier´ Electr´nica del Tecnol´gico de Costa Rica, n ıa o o pero se ponen a disposici´n libre para que sean de provecho a quien las necesite. o Dr. Jos´ Pablo Alvarado Moya e Cartago, 28 de julio de 2011 Este trabajo se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribuci´n- o NoComercial-LicenciarIgual 3.0 Unported. Para ver una copia de esta Licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ o env´ una carta a Creati- ıe ve Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. c 2005-2011 Pablo Alvarado Escuela de Electr´nica o Tecnol´gico de Costa Rica o
- 5. ´ Indice general ´ Indice detablas v ´ Indice de ejemplos vii Lista de s´ ımbolos y abreviaciones ix 1 Introducci´n o 1 1.1 Se˜ales . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Elementos de un sistema PDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Ventajas del procesamiento digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 ´ 1.5.1 Areas de aplicaci´n . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.2 Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.3 Implementaci´n . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.4 Casos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Se˜ ales y Sistemas de Variable Discreta n 13 2.1 Se˜ales de variable discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . . 13 2.1.1 Manipulaciones elementales de se˜ales de variable discreta n . . . . . 14 2.1.2 Clasificaci´n de se˜ales de variable discreta . . . . . . . . . o n . . . . . 16 2.2 Se˜ales sinusoidales y el concepto de frecuencia . . . . . . . . . . n . . . . . 21 2.2.1 Se˜al sinusoidal continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . . 22 2.2.2 Se˜al sinusoidal discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . . 22 2.2.3 Exponenciales complejos relacionados arm´nicamente . . . o . . . . . 26 2.3 Sistemas en tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1 Descripci´n entrada-salida de sistemas . . . . . . . . . . . o . . . . . 27 2.3.2 Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3 Clasificaci´n de los sistemas discretos . . . . . . . . . . . . o . . . . . 31 2.3.4 Interconexi´n de sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . o . . . . . 35 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo . a . . . . . 35 2.4.1 T´cnicas de an´lisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a . . . . . 35 2.4.2 Descomposici´n de una se˜al en impulsos . . . . . . . . . . o n . . . . . 36 i
- 6. ii ´ Indice general 2.4.3 Convoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 37 2.4.4 Propiedades de la convoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 42 2.4.5 Sistemas LTI causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4.6 Estabilidad de sistemas lineales e invariantes en el tiempo . . . . . . 43 2.4.7 Sistemas de respuesta finita e infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias . . . . . . . 46 2.5.1 Sistemas discretos recursivos y no recursivos . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.2 Sistemas LTI caracterizados por ecuaciones de diferencias con coe- ficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5.3 Soluci´n de ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes . o . 51 2.5.4 Respuesta impulsional de un sistema recursivo LTI . . . . . . . . . 56 2.6 Correlaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 58 2.6.1 Autocorrelaci´n y correlaci´n cruzada . . . . . . . . . . . . . . . . o o . 58 2.6.2 Propiedades de la correlaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . 59 2.6.3 Correlaci´n de secuencias peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . o o . 60 2.6.4 Secuencias de correlaci´n de entrada-salida . . . . . . . . . . . . . o . 61 2.7 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z a 67 3.1 La transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 La transformada z directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2 Transformadas z racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.1 Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.2.2 Localizaci´n de los polos y el comportamiento en el dominio o de n para se˜ales causales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n . . . . 75 3.2.3 La funci´n de transferencia de un sistema LTI . . . . . . . . o . . . . 77 3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . 79 3.3.1 Respuesta de sistemas con funci´n de transferencia racional . o . . . . 79 3.3.2 Condiciones iniciales no nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.3 Respuesta transitoria y en r´gimen permanente . . . . . . . e . . . . 82 3.3.4 Causalidad y Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3.5 Cancelaci´n polo-cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . 83 3.3.6 Polos de orden m´ltiple y estabilidad . . . . . . . . . . . . . u . . . . 83 3.3.7 Estabilidad de sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4 An´lisis frecuencial a 91 4.1 Espectro de se˜ales continuas . . . . . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.1 Espectro de se˜ales continuas peri´dicas n o . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.1.2 Espectro de se˜ales continuas aperi´dicas n o . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.1 Espectro de se˜ales discretas peri´dicas . n o . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.2 Espectro de se˜ales discretas aperi´dicas n o . . . . . . . . . . . . . . . 99 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 7. ´ Indice general iii 4.2.3 Relaci´n entre las transformadas de Fourier y z . . . . . . . . . . . 100 o 4.2.4 El teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3 Propiedades de la transformada de Fourier de se˜ales discretas . . . . . . . 109 n 4.4 Sistemas LTI en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.4.1 La funci´n de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 o 4.4.2 Respuesta transitoria y en r´gimen permanente a entradas sinusoidales113 e 4.4.3 Respuesta en r´gimen permanente a se˜ales de entrada peri´dicas . 114 e n o 4.4.4 Respuesta a se˜ales de entrada aperi´dicas . . . . . . . . . . . . . . 115 n o 4.4.5 Relaciones entre la funci´n de transferencia y la respuesta en fre- o cuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4.6 C´lculo de la respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 a 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . 117 4.5.1 Filtros ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.5.2 Filtros paso alto, paso bajo y paso banda . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.5.3 Resonadores digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.5.4 Filtros ranura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.5.5 Filtros peine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.5.6 Filtros paso todo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5.7 Osciladores digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.6 Sistemas inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.6.1 Invertibilidad de sistemas LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.6.2 Sistemas de fase m´ ınima, fase m´xima y fase mixta . . . . . . . . . 132 a 4.6.3 Identificaci´n de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 o 4.7 Transformada Discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.7.1 Muestreo en el dominio de la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.7.2 La transformada discreta de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.7.3 Relaci´n de la DFT con otras transformadas . . . . . . . . . . . . . 141 o 4.7.4 Propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.7.5 Filtrado lineal basado en la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.7.6 Filtrado de secuencias de larga duraci´n . . . . . . . . . . . . . . . 149 o 4.7.7 An´lisis espectral de se˜ales usando la DFT . . . . . . . . . . . . . 150 a n 5 Conversi´n anal´gica/digital y digital/anal´gica o o o 153 5.1 Muestreo de se˜ales anal´gicas . . . . . . . . . . . n o . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1.1 Muestreo de se˜ales pasa-bajos . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . 156 5.1.2 Muestreo de se˜ales pasa-banda . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . 156 5.2 Cuantificaci´n de se˜ales de amplitud continua . . o n . . . . . . . . . . . . . . 160 5.3 Codificaci´n de los valores cuantificados . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3.1 N´meros codificados con coma fija . . . . u . . . . . . . . . . . . . . 162 5.3.2 N´meros codificados con coma flotante . . u . . . . . . . . . . . . . . 164 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital . . . . . o o . . . . . . . . . . . . . . 167 5.4.1 Circuito de muestreo y retenci´n . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 167 5.4.2 Contador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 8. iv ´ Indice general 5.4.3 Aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.4.4 Convertidor paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.4.5 Convertidor en subrangos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.4.6 Convertidor delta-sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.5 Conversi´n Digital/Anal´gica . . . . . o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.5.1 Fuentes de tensi´n conmutadas o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.5.2 Resistencias conmutadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.5.3 Condensadores conmutados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.5.4 Redes resistivas R − 2R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.5.5 Conversi´n DAC delta-sigma . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6 Implementaci´n de sistemas discretos o 183 6.1 N´mero de Condici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u o . . . . . . . . . . . 183 6.2 Estructuras directas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.2.1 Estructuras directas para filtros FIR sim´tricos e . . . . . . . . . . . 188 6.3 Grafos de flujo de se˜al y estructuras transpuestas . . . n . . . . . . . . . . . 188 6.4 Muestreo en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.5 Sistemas en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.6 Sistemas paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7 Introducci´n al dise˜ o de filtros digitales o n 197 7.1 Causalidad y sus implicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.2.1 Dise˜o de filtros FIR por el m´todo de ventanas . . . . . . . . . . . 203 n e 7.2.2 Dise˜o de filtros optimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 n ´ 7.3 Dise˜o de filtros de respuesta impulsional infinita a partir de filtros anal´gicos211 n o 7.3.1 Dise˜o por aproximaci´n de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . 212 n o 7.3.2 Dise˜o por invarianza impulsional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 n 7.3.3 La transformada z adaptada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7.3.4 Dise˜o por transformaci´n bilineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 n o 7.3.5 Filtros Anal´gicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 o 7.4 Transformaci´n de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 o Bibliograf´ ıa 219 A Octave y Matlab 221 B Respuestas a Problemas 225 ´ Indice alfab´tico e 231 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 9. ´ Indice de tablas 1.1 Caracter´ ısticas de las se˜ales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 2 2.1 Propiedades de se˜ales de variable discreta. . . . . . . . n . . . . . . . . . . . 16 2.2 Propiedades de sistemas discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Ejemplo de convoluci´n de dos secuencias finitas. . . . o . . . . . . . . . . . 38 2.4 Forma general de la soluci´n particular para diversos o tipos de se˜al de n entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1 Propiedades de la transformada z bilateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 Transformada z de algunas funciones comunes . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.3 Funciones de transferencia de segundo orden y equivalentes temporales . . 86 4.1 Propiedades de la Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2 Propiedades de la Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 Propiedades de la DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.1 Est´ndar de coma flotante IEEE 754-2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 a 5.2 Algunos n´meros especiales en precisi´n simple . . . . . . . . . . . . . . . 166 u o 5.3 Algunos n´meros especiales en precisi´n doble . . . . . . . . . . . . . . . . 167 u o −1 −2 6.1 M´dulos de segundo orden con funci´n de transferencia H(z) = b0 +b11zz−1 +a2 z−2 o o 1+a +b2 z para sistemas en tiempo discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 7.1 Simetr´ en filtros FIR de fase lineal . . . . . . . . . . ıas . . . . . . . . . . . 203 7.2 Funciones utilizadas como ventanas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7.3 Descomposici´n de filtros FIR en P (ω) y Q(ω). . . . . o . . . . . . . . . . . 210 7.4 Caracter´ ısticas de Filtros Paso Bajo Anal´gicos . . . . o . . . . . . . . . . . 215 7.5 Transformaciones de frecuencia para filtros anal´gicos. o . . . . . . . . . . . 216 7.6 Transformaciones de frecuencia para filtros digitales. . . . . . . . . . . . . . 217 v
- 10. vi ´ Indice de tablas c 2005-2011 — P. Alvarado
- 11. ´ Indice de ejemplos 2.1 Escal´n unitario como suma de impulsos desplazados . . o . . . . . . . . . . . 14 2.2 Operaciones b´sicas con se˜ales . . . . . . . . . . . . . . a n . . . . . . . . . . . 15 2.3 Se˜ales de energ´ y potencia . . . . . . . . . . . . . . . . n ıa . . . . . . . . . . . 18 2.4 Simetr´ de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . . . . . . . . . . . 20 2.5 Descripci´n entrada-salida . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 27 2.6 Salida de sistema acumulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.7 Diagrama de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.8 Invarianza en el tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.9 Sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.10 Descomposici´n en impulsos . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 36 2.11 Convoluci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 37 2.12 Longitud de la convoluci´n de dos se˜ales finitas . . . . . o n . . . . . . . . . . . 38 2.13 Reacci´n de sistemas con respuesta exponencial . . . . . . o . . . . . . . . . . . 40 2.14 Estabilidad y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.15 Estabilidad y convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.16 Sistemas discretos recursivos y no recursivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.17 Linealidad de sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.18 Soluci´n homog´nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . 52 2.19 Respuesta de entrada nula para sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . 52 2.20 Respuesta de entrada nula con ra´ de multiplicidad 2 . . ız . . . . . . . . . . . 53 2.21 Soluci´n particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 54 2.22 Soluci´n total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . 55 2.23 Respuesta impulsional de un sistema recursivo LTI . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1 Serie de Fourier de pulso rectangular continuo peri´dico . o . . . . . . . . . . . 92 4.2 Serie de Fourier de pulso rectangular continuo aperi´dicoo . . . . . . . . . . . 96 vii
- 12. viii ´ Indice de ejemplos c 2005-2011 — P. Alvarado
- 13. Lista de s´ ımbolos y abreviaciones Notaci´n general o A Matriz. a11 a12 · · · a1m a21 a22 · · · a2m A= . . .. . . . . . . . . an1 an2 · · · anm + ∗ IN , IN Conjunto de los n´meros naturales sin cero IN+ = IN{0}. u IN, IN0 Conjunto de los n´meros naturales IN = {0, 1, 2, . . .}. u Z Conjunto de los n´meros enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. u Q Conjunto de los n´meros racionales Q = {q | q = n ; n, d ∈ Z}. u d IR Conjunto de los n´meros reales. u C Conjunto de los n´meros complejos. u ∆ Cuanto. Distancia entre dos niveles de cuantificaci´n.o eq (t) o eq (n) Error de cuantificaci´n. o F Frecuencia en ciclos por unidad de tiempo para se˜ales de variable continua. n f Frecuencia en ciclos por muestra para se˜ales de variable discreta. n Fs Frecuencia de muestreo de una se˜al anal´gica. Fs = 1/T n o h(n) Respuesta al impulso H(ω) Respuesta en frecuencia ∠H(ω) Respuesta en fase | H(ω) | Respuesta en magnitud H(z) Funci´n de transferencia o Im(z) o zIm Parte imaginaria del n´mero complejo z u √ j ¡ j = −1 Mapeo de un dominio temporal al dominio frecuencial o z Mapeo de un dominio frecuencial al dominio temporal o z Re(z) o zRe Parte real del n´mero complejo z u T [·] Transformaci´n realizada por un sistema o T Intervalo de muestreo. T = 1/Fs Tp Periodo fundamental Tp = 1/F para se˜ales de variable continua. n x(n) Se˜al de variable discreta. n ix
- 14. x Lista de s´ ımbolos y abreviaciones x Vector. x1 x2 T x = [x1 x2 . . . xn ] = . .. xn y Escalar. z∗ Complejo conjugado de z Ω Frecuencia angular en radianes por unidad de tiempo para se˜ales de variable n continua. ω Frecuencia angular en radianes por muestra para se˜ales de variable discreta. n Abreviaciones BIBO Entrada acotada – Salida acotada (bounded input – bounded output) DSP Digital Signal Processing (o Processor ). FIR Respuesta finita al impulso (Finite Impulse Response) IIR Respuesta infinita al impulso (Infinite Impulse Response) LTI Sistema lineal e invariante en el tiempo (Linear and Time Invariant) PDS Procesamiento Digital de Se˜ales. n SQNR Relaci´n se˜al a ruido de cuantificaci´n (signal to quantization noise ratio). o n o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 15. Cap´ ıtulo 1 Introducci´n o El Procesamiento Digital de Se˜ales (PDS) es un area de la ciencia y la ingenier´ que n ´ ıa se ha desarrollado r´pidamente desde la segunda mitad del siglo XX. Tanto los aportes a te´ricos como de aplicaci´n contin´an extendi´ndose desde y hacia varias areas del saber. o o u e ´ Los avances en el procesamiento y compresi´n de audio y video, as´ como las nuevas o ı tecnolog´ en comunicaciones digitales (telefon´ celular, modems ADSL, etc.) son quiz´ ıas ıa a los ejemplos de aplicaci´n m´s representativos del PDS. o a 1.1 Se˜ ales n Para definir las tareas del PDS se requiere primero precisar el concepto de se˜al , con- n siderada aqu´ como aquella observaci´n de una magnitud f´ ı o ısica en funci´n de variables o independientes de tiempo y espacio, realizada de tal modo que la se˜al contenga informa- n ci´n de los procesos observados. o En general, toda se˜al contiene informaci´n que se desea extraer o modificar de acuerdo n o a los requisitos de cada aplicaci´n particular. Sism´grafos, por ejemplo, registran se˜ales o o n s´ ısmicas que contienen informaci´n sobre intensidad y caracter´ o ısticas espectrales de los sismos, con ayuda de las cuales pueden determinarse entre otras cosas la ubicaci´n de o epicentros y la naturaleza de los s´ ısmos. Las se˜ales electrocardiogr´ficas permiten al n a m´dico determinar el estado del coraz´n de sus pacientes. e o La tabla 1.1 resume las caracter´ısticas utilizadas para clasificar las se˜ales. Las se˜ales son n n representadas por funciones matem´ticas de una o m´s variables. Una se˜al de voz, por a a n ejemplo, puede representarse como una funci´n de una variable temporal f (t), im´genes o a se pueden considerar como funciones de dos variables espaciales f (x, y), y v´ ıdeo como una se˜al espacio-temporal f (x, y, t). n Las funciones pueden ser adem´s escalares o vectoriales. Si la voz se captura con un a micr´fono monof´nico, la se˜al el´ctrica de salida tendr´ por ejemplo un solo valor de o o n e a tensi´n el´ctrica en cada instante de tiempo. Por otro lado, un electroencefalograma o e 1
- 16. 2 1.1 Se˜ales n provee un conjunto o vector de se˜ales el´ctricas provenientes de los diferentes electrodos n e para cada instante t: T f (t) = f1 (t) f2 (t) . . . fn (t) Otro ejemplo de se˜ales vectoriales utilizadas frecuentemente en ingenier´ son las im´genes n ıa a en color, en las que cada elemento de la imagen o pixel se representa como un vector en un espacio de color, donde las componentes del vector pueden, por ejemplo, representar los valores de los colores primarios rojo, verde y azul. A cada una de las componentes de las se˜ales vectoriales se les denomina usualmente canales y por lo tanto a la se˜al se le n n denota como multicanal . Las variables de las que depende la se˜al pueden ser discretas o continuas. La salida de n un foto-transistor puede, por ejemplo, ser obtenida en todo instante de tiempo t (variable continua), mientras que el n´mero de llamadas realizado por hora es una se˜al que el ICE u n puede generar para instantes discretos de tiempo nT distanciados por un intervalo de T = 1 h (variable discreta). Los puntos donde la variable independiente de una se˜al discreta n est´ definida no deben ser necesariamente equidistantes; sin embargo, usualmente este tipo a de distribuci´n homog´nea de las muestras se utiliza por su conveniencia computacional o e y manejabilidad matem´tica. a Los valores que puede tomar una se˜al pueden ser tambi´n discretos o continuos. As´ el n e ı, voltaje del fototransistor puede tomar cualquier valor real en un intervalo, mientras que el n´mero de llamadas es siempre un valor entero. Tambi´n los valores de una funci´n u e o discreta pueden ser equidistantes o seguir otros patrones m´s complejos (como el lo- a gar´ıtmico). El t´rmino digital se utiliza para se˜ales de variables independientes discretas e n y de valores discretos, mientras que anal´gica es una se˜al con variables independientes o n continuas y valores continuos. El an´lisis matem´tico involucrado en el tratamiento de a a se˜ales digitales pueden simplificarse si se realiza a trav´s de funciones de valor continuo n e y variable discreta, llamadas usualmente se˜ales en tiempo discreto, por representar la n variable independiente generalmente instantes de tiempo definidos. Este ser´ el enfoque a utilizado en este documento. Un ultimo criterio de car´cter matem´tico para clasificar las se˜ales es su naturaleza ´ a a n estad´ ıstica: las se˜ales pueden ser deterministas si puede especificarse con precisi´n la n o forma de la funci´n. Por ejemplo, para se˜ales determin´ o n ısticas definidas en el tiempo, sus valores en el pasado, presente y futuro son siempre conocidos (por ejemplo, una Tabla 1.1: Caracter´ ısticas de las se˜ales n Caracter´ ıstica Valores N´mero de variables u una variable multiples variables Dimensionalidad escalar vectorial (multicanal) Variables independientes discretas continuas Valores de la se˜al n discretos continuos Naturaleza estad´ ıstica deterministas aleatorias c 2005-2011 — P. Alvarado
- 17. 1 Introducci´n o 3 se˜al senoidal). Por otro lado, las se˜ales aleatorias o estoc´sticas solo permiten una n n a descripcion aproximada de la forma de su funci´n, por tener asociado un comportamiento o impredecible (por ejemplo, un generador de ruido, una se˜al s´ n ısmica, una se˜al ac´stica n u de voz). Asociado a la naturaleza estad´ ıstica de la se˜al se distingue adem´s entre se˜ales es- n a n tacionarias y no estacionarias. Las se˜ales estacionarias son aquelas cuyos par´metros n a estad´ısticos no var´ en el tiempo, lo que de ninguna manera implica que el valor de ıan la se˜al se constante. Por otro lado, la se˜ales no estacionarias tienen par´metros es- n n a tad´ısticos que var´ en el tiempo. ıan En el presente texto se estudiar´n se˜ales de una variable, de valor escalar, digitales y a n de naturaleza determinista. En cursos de procesamiento de im´genes se extienden los a conceptos a se˜ales vectoriales (usualmente tres dimensiones) de dos variables discretas n espaciales (x, y). El an´lisis de se˜ales estoc´sticas es tema usual para cursos de posgrado; a n a sin embargo, es en este curso introductorio donde se presentan todas las bases necesarias para comprender los conceptos avanzados. En principio las se˜ales pueden corresponder a cualquier tipo de magnitud f´ n ısica observa- da; sin embargo, por medios electr´nicos solo se˜ales el´ctricas pueden ser procesadas, por o n e lo que usualmente se requieren transductores o sensores que realicen la correspondiente conversi´n. o 1.2 Sistemas El t´rmino sistema denota a una colecci´n o conjunto de elementos interrelacionados que e o conforman un todo unificado. Su ra´ etimol´gica es el t´rmino latino syst¯ma, que a su ız o e e vez proviene del griego σ υ στ ηµα relacionado con los conceptos combinar e instalar. ´ Un sistema puede formar parte de otro sistema de mayor nivel, en cuyo caso al primero se le denomina subsistema del segundo. Los diferentes subsistemas intercambian por lo general informaci´n, materia o energ´ para lograr alg´n objetivo. Los t´rminos se˜ales o ıa u e n de entrada o de salida se utilizan entonces para abstraer ese flujo de informaci´n, materia o o energ´ en el concepto matem´tico de funciones. ıa a El sistema entonces puede interpretarse como un conjunto de subsistemas que logran transformar una se˜al en otra. Estos dispositivos pueden ser entes f´ n ısicos, como un circuito electr´nico, o virtuales, como algoritmos implementados en software. o En la literatura actual se tiende a diferenciar entre dos tipos de tareas de los sistemas: procesamiento y an´lisis. Se dice que un sistema procesa una se˜al si la se˜al de salida a n n tiene las mismas caracter´ ısticas sem´nticas de la entrada: por ejemplo, si la entrada a representa una se˜al de voz, la salida de un sistema procesador ser´ tambi´n voz aunque n a e quiz´ modificada para cumplir ciertos requisitos de la aplicaci´n. Se dice que un sistema a o realiza an´lisis de la se˜al, si la salida tiene otra naturaleza sem´ntica a la entrada. a n a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 18. 4 1.3 Elementos de un sistema PDS Por ejemplo, un m´dulo de un reconocedor de habla puede extraer de una se˜al de voz o n informaci´n sobre la presencia de la vocal ‘a’ en ella. Usualmente el an´lisis de una se˜al o a n se realiza a trav´s de diversos pasos de procesamiento de la se˜al, junto con tareas de e n reconocimiento o codificaci´n de patrones. o En resumen, el procesamiento digital de se˜ales1 , abreviado PDS o DSP por sus siglas en n ingl´s (Digital Signal Processing) se refiere al proceso de modificaci´n de una se˜al digital e o n en un sistema, realizado para destacar o suprimir diferentes caracter´ ısticas de la se˜al que n tienen alg´n significado especial para una aplicaci´n en particular. u o 1.3 Elementos de un sistema PDS La mayor´ de las se˜ales en ciencia e ingenier´ tienen una naturaleza anal´gica, es decir, ıa n ıa o tanto las variables independientes de las funciones que las representan como sus valores son continuos. Matem´ticamente estas se˜ales se representan como funciones f (t) a n f : IR → IR es decir, relaciones matem´ticas que mapean valores reales en valores reales. Este tipo a de se˜ales pueden ser tratadas directamente utilizando sistemas anal´gicos, como por n o ejemplo filtros pasivos o analizadores de frecuencia (figura 1.1). Se˜al de n Procesador Se˜al de n Entrada Anal´gico o Salida Anal´gica o de Se˜al n Anal´gica o Figura 1.1: Procesamiento anal´gico de una se˜al [15]. o n El procesamiento digital (figura 1.2) requiere transformar las se˜ales de entrada a un n formato digital, es decir, a funciones f (n) f : Z → Z. Esto ocurre en una etapa llamada conversi´n anal´gica-digital (A/D). o o La se˜al digitalizada es tratada luego en el procesador digital de se˜ales, que puede ser n n desde un computador de prop´sito general, pasando por sistemas empotrados basados en o microcontroladores, hasta circuitos digitales espec´ ıficamente dise˜ados para realizar las n tareas de procesamiento deseadas; sin embargo, las configuraciones programables tanto en software como en hardware reconfigurable son las que han brindado al procesamiento 1 En la literatura en castellano se encuentran los t´rminos tratamiento o procesamiento de se˜ales e n como sin´nimos. La preferencia de autores y traductores espa˜oles por el primero radica en la acepci´n o n o principal de proceso en la variante dialectal ib´rica como “causa civil o criminal”, que no se aplica tanto e en Latino Am´rica. e c 2005-2011 — P. Alvarado
- 19. 1 Introducci´n o 5 Se˜al de n Procesador Se˜al de n Convertidor Convertidor Entrada Digital de Salida A/D D/A Anal´gica o Se˜al n Anal´gica o Figura 1.2: Procesamiento digital de una se˜al anal´gica [15]. n o digital una flexibilidad inalcanzable con sistemas anal´gicos equivalentes. El vertiginoso o avance en la electr´nica digital ha permitido el uso cada vez m´s generalizado de las o a t´cnicas digitales de procesamiento. En la actualidad hasta los m´s peque˜os tel´fonos e a n e celulares utilizan algoritmos de alta complejidad que hace tan solo 15 a˜os hubieran n requerido computadores de gran tama˜o y costo. n El ultimo paso del procesamiento digital consiste en convertir la salida del bloque procesa- ´ dor a una se˜al anal´gica, lo que ocurre en el llamado convertidor digital-anal´gico (D/A). n o o En aplicaciones de an´lisis de se˜al, la ultima etapa puede no ser necesaria, cuando la a n ´ informaci´n a extraer se obtiene directamente de las representaciones digitales. o 1.4 Ventajas del procesamiento digital Para poder representar una se˜al anal´gica por medio de una se˜al digital sin que sufra n o n p´rdidas de informaci´n considerables, la se˜al anal´gica debe ser digitalizada con una e o n o tasa de muestreo suficientemente alta (esto se analizar´ con suficiente detalle en cap´ a ıtulos posteriores). La tecnolog´ digital impone l´ ıa ımites de velocidad de procesamiento, que, aunque cada vez menos restrictivos, determinan los anchos de banda de se˜ales que pue- n den ser tratadas digitalmente. Es por esto que los sistemas anal´gicos siguen siendo o irreemplazables en aplicaciones con se˜ales de anchos de banda en el orden de los gi- n gaherz. Otro ambito de dominio anal´gico son sistemas de bajo consumo de potencia (en ´ o el orden de los microwatts). Tanto los m´dulos de conversi´n ADC como DAC, as´ como o o ı los microcontroladores o microprocesadores digitales tendr´n siempre un mayor consumo a de potencia en la implementaci´n de filtros digitales que filtros hom´logos anal´gicos, o o o o de capacitores conmutados, implementados en tecnolog´ integradas. ıas En casos donde las se˜ales pueden ser digitalizadas sin perder informaci´n de forma n o considerable y se cuenta con suficiente tiempo y potencia para realizar las conversiones y los c´lculos necesarios, es preferible utilizar un sistema digital sobre su equivalente a anal´gico. Esto por varias razones: o Los sistemas digitales son usualmente m´s baratos y confiables para el procesamiento de a se˜ales. Como ya se mencion´, pueden utilizarse sistemas programables, por lo que a n o trav´s de cambios en el software pueden modificarse o adaptarse sus caracter´ e ısticas, pro- veyendo as´ un alto grado de flexibilidad en el dise˜o. Adem´s, las precisiones alcanzables ı n a con sistemas digitales son usualmente mucho mayores que los circuitos anal´gicos, en los o que el error acumulado en forma de ruido aumenta con cada etapa de procesamiento. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 20. 6 1.4 Ventajas del procesamiento digital Un sistema digital funciona en toda su vida util exactamente de la misma manera, y ´ la fabricaci´n de dispositivos asegurar´ en todos ellos un comportamiento id´ntico. Esto o a e contrasta con los dise˜os anal´gicos, donde las caracter´ n o ısticas de los componentes, pasivos y activos, var´ con el tiempo y donde la tolerancia de cada componente alterar´ en ıan a alguna medida el funcionamiento del sistema total. Adem´s del envejecimiento de los a circuitos, el funcionamiento de los sistemas anal´gicos tiende a ser m´s sensible a cambios o a en la temperatura y a fuentes externas de interferencia que los sistemas digitales. En este sentido se dice que los sistemas digitales son m´s robustos que los sistemas anal´gicos. a o Otra ventaja de los sistemas de procesamiento digital tiene que ver con las posibilidades de almacenamiento. Los niveles de ruido introducidos en sistemas de almacenamiento anal´gicos (como cintas magn´ticas) son extremadamente altos comparados con el alma- o e cenamiento pr´cticamente sin p´rdidas (excepto las introducidas por la propia digitaliza- a e ci´n) de se˜ales digitales. Por este motivo, con se˜ales digitales es m´s factible realizar o n n a los llamados procesamientos “fuera de l´ ınea” (off-line), donde el tratamiento de la se˜al n se realiza en otro tiempo al de la captura de la se˜al. Esto es muy util por ejemplo en as- n ´ tronom´ donde las altas cantidades de informaci´n capturadas por los radio-telescopios ıa, o pueden ser entonces analizadas mucho despu´s de la adquisici´n de datos, sin riesgos de e o producir conclusiones incorrectas producto de imprecisiones del almacenaje. Otro ejemplo es el an´lisis de im´genes m´dicas, donde altos vol´menes de informaci´n son analizados a a e u o en procesos autom´ticos o semi-autom´ticos a posteriori en la detecci´n de enfermedades a a o y el planeamiento de operaciones quir´rgicas. u Pero quiz´ una de las ventajas fundamentales del procesamiento digital es la complejidad a alcanzable por medio de algoritmos de software, para los cuales pueden incluso no existir equivalentes anal´gicos. Debido a las consiguientes simplificaciones en los procesos de o dise˜o de sistemas digitales y considerando la predictibilidad en el incremento de las n capacidades de procesamiento y memoria (por ejemplo, por medio de la Ley de Moore), se acostumbra desarrollar los modernos y complejos algoritmos para el tratamiento digital de se˜ales utilizando equipos de alto costo y tal vez de dimensiones volum´tricas que n e exceden las limitaciones espaciales, puesto que se asume que en los pr´ximos a˜os se podr´ o n a integrar y mejorar el hardware utilizado hasta satisfacer las expectativas de aparatos dom´sticos. Como ejemplo, los nuevos est´ndares de codificaci´n de video del grupo e a o MPEG necesitan varios microprocesadores de ultima generaci´n para funcionar, y a´n ´ o u as´ no alcanzan las velocidades necesarias para desplegar los videos con la naturalidad ı deseada. Se parte del hecho que en un corto plazo los prototipos actuales podr´n sera integrados y comercializados hasta en sistemas port´tiles. a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 21. 1 Introducci´n o 7 1.5 Aplicaciones 1.5.1 ´ Areas de aplicaci´n o Las aplicaciones del procesamiento digital de se˜al son hoy en d´ incontables. Las m´s n ıa a conocidas, pero no las unicas, se resumen a continuaci´n: ´ o • Aplicaciones automotrices Control del motor, sistemas antibloqueo (ABS), sistemas de navegaci´n, analisis de o vibraci´n, etc. o • Electr´nica de consumo o Radio y televisi´n digital, sistemas de video (DVD, Blue-Ray, etc.), juguetes educa- o tivos, instrumentos musicales, sistemas de impresi´n y despliegue, como monitores o de plasma, LED, LCD, etc. • Industria Control num´rico, monitorizaci´n de l´ e o ıneas de potencia, rob´tica, sistemas de segu- o ridad. • Instrumentaci´no Generaci´n de funciones, emparejamiento de patrones, procesamiento s´ o ısmico, an´lisis a espectral, an´lisis de transcientes. a • Medicina Equipo de diagn´stico, monitorizaci´n de pacientes, pr´tesis auditivas, visuales y o o o mec´nicas, equipos de ultrasonido, tomograf´ MRI, etc. a ıa, • Telecomunicaciones Modems, ecualizadores de se˜al, codificadores y decodificadores, telefon´ celular, n ıa multiplexaci´n, cancelaci´n de eco, repetidores de se˜al, compensaci´n de canal, o o n o modulaciones de espectro ensanchado, video-conferencia, cifrado de datos • Voz/Habla Verificaci´n de locutor, mejoramiento de se˜al, reconocimiento de habla, s´ o n ıntesis de habla El tratamiento de se˜ales ac´sticas es utilizado entre otros en el almacenamiento y trans- n u misi´n eficientes de sonido digital (MP3, OggVorbis, etc.), el procesamiento profesional o de sonido en industria musical y cinematogr´fica, el manejo de se˜ales de ultrasonido a n para elaboraci´n de im´genes m´dicas, o el procesamiento de voz humana, necesario para o a e codificar, encriptar, reconocer o sintetizar el habla. El procesamiento de im´genes bidimensionales permite analizar las se˜ales obtenidas por a n medio de c´maras industriales, hoy en d´ frecuentemente encontradas en las l´ a ıa ıneas de pro- ducci´n; adem´s, el procesamiento de im´genes tomadas por sat´lite permiten identificar o a a e entre otras cosas el tipo de uso del suelo, facilitan la construcci´n de mapas actualizados, o etc. Esta area es central en la codificaci´n y compresi´n de se˜ales de video, tal y como ´ o o n los establecen los est´ndares MPEG (Motion Picture Expert Group). a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 22. 8 1.5 Aplicaciones El procesamiento de im´genes tridimensionales se utiliza por ejemplo en el an´lisis y a a generaci´n de im´genes de resonancia magn´tica (MRI), utilizadas en medicina como o a e instrumento de observaci´n de tejidos internos de un paciente, sin tener la necesidad de o utilizar procedimientos quir´rgicos. u Las t´cnicas modernas de an´lisis permiten obtener mejores resoluciones y aumentar la e a confiabilidad de la informaci´n producida por sonares y radares. Por otro lado, el estu- o dio digital de se˜ales s´ n ısmicas y volc´nicas permite incorporar t´cnicas de simulaci´n y a e o reconocimiento de patrones que mejoran la predicci´n de zonas y periodos de riesgo. o En los procesos de automatizaci´n industrial el procesamiento digital es en la actualidad o omnipresente, pues a pesar de que la mayor´ de los sensores producen salidas anal´gicas, ıa o estas son transformadas casi inmediatamente a se˜ales digitales para permitir una trans- n misi´n m´s confiable y sin mayores p´rdidas a las unidades de procesamiento, para facilitar o a e la aplicaci´n de algoritmos de extracci´n de la informaci´n de inter´s, y para hacer posible o o o e la utilizaci´n de t´cnicas confiables de almacenamiento de la informaci´n, que puede ser o e o la base luego para el mejoramiento de los procesos productivos, en el c´lculo de costos, a etc. En la preparaci´n de se˜ales para su transmisi´n y en su decodificaci´n y mejoramiento del o n o o lado de los receptores, el procesamiento digital juega un papel cada vez m´s importante. a Un ejemplo lo representan los m´dems utilizados actualmente para permitir enlaces de o alta velocidad a trav´s de las l´ e ıneas telef´nicas de cobre, denominado ADSL (Asymmetric o Digital Subscriber Line), donde el procesamiento digital es utilizado para codificar y decodificar las tramas y las se˜ales de acuerdo a los est´ndares de modulaci´n digitales. n a o 1.5.2 Algoritmos Conceptos algor´ıtmicos cl´sicos del procesamiento digital, encontrados en las areas de apli- a ´ caci´n anteriores son: compresi´n, cifrado, reconocimiento, identificaci´n, sintetizaci´n, o o o o eliminaci´n de ruido, estimaci´n espectral y filtrado, solo por mencionar algunos. o o La compresi´n consiste en la reducci´n de capacidad necesaria para almacenar o transmitir o o una se˜al. En telefon´ celular se˜al de la voz es comprimida para poder transmitirla en n ıa n anchos de banda relativamente peque˜os, comparados con los utilizados en telefon´ fija. n ıa Los est´ndares MPEG contienen sofisticados algoritmos de compresi´n de im´genes que a o a permiten reducir en factores de 8 a 12 veces las se˜ales de video. n El cifrado es necesario cuando la confidencialidad de la informaci´n en las se˜ales debe o n ser asegurada. Algoritmos complejos codifican la informaci´n de forma tal que solo el o destinatario pueda decodificarla. Tareas de reconocimiento intentan inferir de patrones en la se˜al, informaci´n contenida n o de forma impl´ıcita. Por ejemplo, de una se˜al de voz puede reconocerse tanto el mensaje n hablado, como el hablante (reconocimiento de habla y de voz, respectivamente). En im´genes m´dicas pueden utilizarse algoritmos para reconocer tejidos malignos y benignos, a e c 2005-2011 — P. Alvarado
- 23. 1 Introducci´n o 9 o en im´genes industriales pueden ser reconocidos caracteres, formas de productos, el a ensamblaje correcto de partes, etc. La identificaci´n est´ relacionada con el reconocimiento. Aqu´ no se intenta descubrir una o a ı identificaci´n para el contenido de una se˜al, sino verificar que una identidad previamente o n dada es compatible con la se˜al. M´todos de identificaci´n se utilizan, junto con la n e o encriptaci´n, en aplicaciones de alta seguridad. o La sintetizaci´n permite producir se˜ales artificiales similares a aquellas generadas a o n trav´s de fen´menos f´ e o ısicos. Es utilizada por ejemplo en la elaboraci´n de efectos ac´sticos o u e imitaci´n de instrumentos musicales en sintetizadores de sonido. Otro ejemplo es la o sintetizaci´n de voz humana, utilizada en interfaces avanzadas hombre-m´quina. o a Las se˜ales transmitidas por canales anal´gicos usualmente son perturbadas con ruido, es n o decir, con alteraciones indeseables que no contienen ninguna informaci´n relevante para o la aplicaci´n. Por medio del procesamiento digital es posible aplicar diversos algoritmos o que permiten reducir el efecto de dichas distorsiones. El filtrado es un concepto b´sico del procesamiento digital que forma parte de pr´cticamente a a cualquier otro algoritmo. El sistema que realiza esta tarea se denomina filtro, y permite el paso de solo ciertas “componentes” de su se˜al de entrada, y bloqueando el paso de n otras. Algunos detalles ser´n presentados en los cap´ a ıtulos 4.5 y 7. La estimaci´n espectral es utilizada en varias areas de las comunicaciones para encontrar o ´ los rangos de frecuencias en que se concentra la energ´ de una se˜al (como en el caso del ıa n arriba mencionado ADSL). 1.5.3 Implementaci´n o El dise˜o de algoritmos para resolver las tareas mencionadas anteriormente se fundamenta n en teor´ matem´ticas que aseguran su funcionamiento bajo limitaciones pre-establecidas. ıas a Para cada algoritmo se puede elegir aquella estrategia de implementaci´n que mejor sa- o tisfaga los requisitos de una aplicaci´n particular. Esto puede involucrar o • plataformas de prop´sito general, como un computador personal; o • plataformas empotradas, incluyendo tel´fonos celulares, PDA, controles en m´quinas, e a etc. Seg´n sea la demanda computacional requerida, ´stas plataformas se pueden u e basar en – microprocesadores de prop´sito general, o o – microcontroladores especializados en el tratamiento de se˜ales digitales (PDS, n Procesadores Digitales de Se˜ales) n • hardware reconfigurable, que se emplea en aplicaciones de alto desempe˜o, para el n cual los PDS no tienen suficientes prestaciones, • circuitos integrados de aplicaci´n espec´ o ıfica (ASIC), utilizados si se espera una pro- ducci´n en masa (como decodificadores del formato de audio Mp3) o • implementaci´n de circuitos de procesamiento en tiempo discreto. o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 24. 10 1.5 Aplicaciones En la ultima estrategia la se˜al nunca es convertida a un formato digital, pero se incluye ´ n aqu´ por basarse su dise˜o en las teor´ de an´lisis de se˜ales en tiempo discreto, a tratar ı n ıas a n en este documento. El desarrollo de tecnolog´ de implementaci´n de algoritmos ha tendido en los ultimos ıas o ´ a˜os a simplificar los procesos, de modo que utilizando lenguajes de alto nivel (como n por ejemplo el lenguaje C, o MatLab) sea posible obtener con los compiladores adecua- dos el c´digo optimizado para el procesador particular utilizado o incluso la descripci´n o o en VHDL o Verilog del circuito que realiza la tarea descrita en C. Esto reduce costos al acelerar los procesos de implementaci´n y evita el entrenamiento de los ingenieros en o tecnolog´ cuya vigencia se restringe a unos pocos a˜os. Sin embargo, en casos con restric- ıas n ciones cr´ ıticas es inevitable recurrir ya sea a la optimizaci´n de algoritmos en ensamblador o del PDS empleado o la optimizaci´n manual de los circuitos. o 1.5.4 Casos Los codificadores de voz (o codecs) utilizados en telefon´ celular son un ejemplo de ıa algoritmos complejos imposibles de realizar con circuitos anal´gicos, al menos en el tama˜o o n de un tel´fono celular actual. En GSM, por ejemplo, la se˜al anal´gica adquirida por el e n o micr´fono es muestreada a 8 kHz, con 13 bits por muestra, lo que equivale a 104 000 bit/s. o Seg´n la calidad deseada o disponible, la salida de los codecs reducen el ancho de banda u a un rango entre 4,75 kbit/s y 13 kbit/s, es decir, permiten factores de compresi´n de 21 o a 8 veces. Otro caso impresionante es el de los diversos algoritmos para compresi´n de video. Consi- o derando que una imagen de televisi´n tiene 320×200 pixels aproximadamente y cada pixel o necesita 24 bits para ser representado digitalmente con suficiente precisi´n, entonces una o sola imagen necesita, sin compresi´n alguna, 187,5 kB para ser almacenada. Un segundo o de video, asumiendo una frecuencia de 30 im´genes por segundo, necesitar´ 5,6 MB. Una a ıa pel´ ıcula que tarde 90 minutos requerir´ entonces m´s de 30 GB, lo que ser´ imposible ıa a ıa de almacenar en las tecnolog´ actuales de DVD. Solo con los sofisticados algoritmos de ıas codificaci´n de video y sonido pueden almacenarse no solo la se˜al de video, sino varias o n versiones ac´sticas en diferentes idiomas, y materiales adicionales con video y audio, en u poco m´s de 4 GB de espacio, con factores de compresi´n m´s de 10 veces. La implemen- a o a taci´n de los codificadores y decodificadores se realiza en circuitos integrados de aplicaci´n o o espec´ıfica tanto en las c´maras comerciales, como en las unidades de DVD y Blue-ray. a Incluso los sistemas de transmisi´n de radio y televisi´n modernos est´n cambiando de o o a ser completamente anal´gicos a conceptos digitales. Los nuevos formatos de televisi´n o o de alta definici´n (HDTV) son completamente digitales, que no ser´ pr´cticos sin la o ıan a presencia de los algoritmos para el procesamiento y compresi´n adecuadas de las se˜ales o n en cuesti´n. o Los discos Blue-Ray se utilizan para almacenar v´ıdeo apto para HDTV. Soportan el formato 1080p24, lo que implica una resoluci´n de 1920×1080 p´ o ıxeles con exploraci´n o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 25. 1 Introducci´n o 11 progresiva2 , as´ como una tasa de 24 cuadros por segundo. Una imagen tiene as´ casi 2,1 ı ı millones de p´ ıxeles que requieren un espacio de 5,93 MB de almacenamiento sin compre- si´n. Esto implica que para la tasa de 24 im´genes por segundo se requiere almacenar o a 142,4 MB por cada segundo de v´ ıdeo sin comprimir. La tasa de transmisi´n de datos o estandarizada para este formato de HDTV es de 4,5MB/s, que es un factor aproximada- mente 32 veces menor al de la se˜al cruda (sin compresi´n). Las t´cnicas de compresi´n n o e o del v´ ıdeo utilizan algoritmos de PDS m´s avanzados que sus equivalentes en un DVD, a para lograr alcanzar dicha tasa y as´ poder almacenar todos los datos (v´ ı ıdeo, texto, audio) en un disco con 25 GB de capacidad. Medicina es quiz´ una de las ´reas que m´s ventajas ha tomado del procesamiento digital a a a de se˜ales. Las nuevas tecnolog´ de visualizaci´n de ultrasonido permiten por ejemplo la n ıas o reconstrucci´n de una imagen tridimensional del feto en el vientre de la madre, ayudando o as´ al ginec´logo a tomar las precauciones del caso cuando algo no est´ en orden. El ı o e manejo digital de tomograf´ computarizadas y de im´genes de resonancia magn´tica ıas a e permite la visualizaci´n de tejidos internos en formatos legibles para los m´dicos. Los o e equipos m´s modernos permiten incluso hacer uso de la llamada realidad aumentada, a donde im´genes reconstruidas a partir de las mediciones se superponen a las reales para a guiar a los cirujanos en operaciones delicadas. La creaci´n de pr´tesis cada vez m´s complejas es tambi´n posible gracias a las t´cnicas o o a e e de procesamiento digital. El implante de c´clea, por ejemplo, permite a personas sordas o volver a escuchar utilizando el an´lisis digital de las se˜ales ac´sticas obtenidas con un a n u micr´fono. Similar a este ultimo se trabaja en la actualidad en los implantes de retina, o ´ donde complejos algoritmos de PDS intentan transformar la se˜al capturada por una n c´mara en impulsos el´ctricos que pueden ser acoplados al nervio optico en el ojo de a e ´ personas ciegas. 2 la exploraci´n progresiva implica que la imagen se genera progresivamente l´ o ınea por l´ ınea en un solo cuadro, y es lo opuesto a la exploraci´n entrelazada, donde la imagen se genera a trav´s de dos cuadros, o e uno que contiene las l´ ıneas pares y otro con las impares. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 26. 12 1.6 Problemas 1.6 Problemas Problema 1.1. Busque un ejemplo de se˜al para cada una de las 32 posibles n combinaciones de las caracter´ ısticas de las se˜ales indicadas en la Tabla 1.1. n Problema 1.2. Una se˜al puede clasificarse seg´n cinco criterios: n u N´mero de variables u (Una variable o Multiples variables) Dimensi´n del valor o (Escalar o Vectorial ) Variables independientes (Discretas o Continuas ) Valores de la se˜al n (Discretas o Continuas ) Naturaleza estad´ ıstica (Determinista o Aleatoria ) Utilice las letras may´sculas indicadas en negrita para identificar las caracter´ u ısticas de las se˜ales a continuaci´n. Si alguna caracter´ n o ıstica no se aplica o puede interpretarse con ıquelo con ∗. cualquier valor de la propiedad, ind´ Se˜al n Caracter´ ıstica N´m. Variables (U/M/∗) ıstica (D/A/∗) Dimensi´n (E/V/∗) Variables (D/C/∗) Valores (D/C/∗) o Estad´ u Imagen tomada por una c´mara digital a color a Registro mensual de la posici´n de o una bandada de aves migratorias Se˜ales de salida de un micr´fono est´reo n o e Se˜al digital n Se˜al anal´gica n o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 27. Cap´ ıtulo 2 Se˜ ales y Sistemas de n Variable Discreta 2.1 Se˜ ales de variable discreta n Sea x(n) una se˜al de variable discreta, es decir, una funci´n definida para n entero. La n o figura 2.1 muestra una t´ıpica representaci´n gr´fica de una se˜al de este tipo. A n se le o a n denomina n´mero de muestra y a x(n) la n-´sima muestra de la se˜al. u e n x(n) n −1 0 1 2 3 4 5 6 Figura 2.1: Representaci´n gr´fica de una funci´n real de variable discreta x(n). o a o N´tese que x(n) no est´ definida para n no entero. Un error com´n es considerar que la o a u se˜al es cero “entre” las muestras, cuando en realidad all´ simplemente la funci´n no est´ n ı o a definida. La suposici´n de que la se˜al es cero entre muestras es v´lido solo para una o n a se˜al de variable real x(t), que es otro concepto diferente. n Adem´s de la representaci´n gr´fica se utilizan aqu´ otras tres notaciones: a o a ı 1. Funcional: 1 para n = 1 x(n) = 5−n para 2 ≤ n ≤ 4 0 el resto Esta representaci´n es la forma m´s compacta de representar se˜ales cuyo compor- o a n tamiento puede ser expresado directamente por expresiones algebraicas cerradas. 13
- 28. 14 2.1 Se˜ales de variable discreta n 2. Tabular n . . . -1 0 1 2 3 4 5 . . . x(n) . . . 0 0 1 3 2 1 0 . . . En programas computacionales como MatLab[12] u Octave[5] las se˜ales se repre- n sentan con esta notaci´n, donde las dos filas de la tabla se interpretan como dos o arreglos de datos independientes. 3. Como secuencia. Una secuencia de duraci´n infinita con el origen en n = 0 (indicado con “↑”) se o representa como x(n) = {. . . , 0, 0, 1, 3, 2, 1, 0, . . .} ↑ Si la secuencia es 0 para n < 0 se suele representar como x(n) = {0, 1, 3, 2, 1, 0, . . .} ↑ y si es finita x(n) = {0, 1, 3, 2, 1} ↑ Si la secuencia inicia en cero, entonces usualmente se omite la flecha: x(n) = {0, 1, 3, 2, 1} Por su brevedad y simpleza notacional, ´sta ser´ la representaci´n de se˜ales de e a o n preferencia en el presente texto. 2.1.1 Manipulaciones elementales de se˜ ales de variable discreta n Se describen a continuaci´n algunas transformaciones elementales para se˜ales de variable o n independiente discreta (o tiempo discreto). Estas transformaciones son la base de opera- ciones m´s complejas en el procesamiento digital de se˜ales y se utilizar´n a menudo en a n a ´ste y los siguientes cap´ e ıtulos. Desplazamiento La se˜al x(n) se desplaza k muestras sustituyendo la variable n por n − k. Si k > 0 la n se˜al se retarda k muestras y si k < 0 la se˜al se adelanta k muestras. n n En la manipulaci´n fuera de l´ o ınea (off-line) ambos tipos de desplazamiento son posibles; sin embargo, en sistemas de tiempo real o en l´ ınea (on-line), solo el retraso de la funci´n o es realizable. Ejemplo 2.1 Utilizando desplazamientos exprese el escal´n unitario u(n) en t´rminos o e de una suma de impulsos δ(n) desplazados. Soluci´n: o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 29. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 15 ∞ u(n) = δ(n) + δ(n − 1) + δ(n − 2) + . . . = δ(n − i) i=0 2.1 Reflexi´n o Consiste en “plegar” la se˜al x(n) en el instante n = 0, sustituyendo la variable n por su n inverso aditivo −n. N´tese que las operaciones de reflexi´n y desplazamiento no son conmutativas, es decir, o o no es lo mismo reflejar una se˜al y luego retardarla k unidades que retardar la se˜al y n n luego reflejarla, puesto que: x((−n) − k) = x(−n − k) = x(−(n − k)) = x(−n + k) Desplazamiento, Reflexi´n, o Reflexi´n o Desplazamiento Escalado de variable o submuestreo En el escalado de variable o submuestreo (en ingl´s downsampling) se sustituye la variable e + discreta n por κn con κ ∈ IN . Si la se˜al anal´gica original xa (t) fue muestreada de forma homog´nea con el intervalo n o e de muestreo T entonces x(n) = xa (nT ), de donde se deriva que x(κn) = xa (n(κT )). Esto implica que el submuestreo equivale a utilizar un intervalo de muestreo de mayor duraci´n, igual a κT . o Suma, multiplicaci´n y escalado de secuencias o Todas estas operaciones afectan la amplitud de las muestras de una secuencia. • Escalado de amplitud: y(n) = Ax(n) • Suma de secuencias: y(n) = x1 (n) + x2 (n) • Producto: y(n) = x1 (n)x2 (n) Ejemplo 2.2 Dadas las secuencias x1 (n) = ur (n) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .} x2 (n) = (−1)n ur (n) = {0, −1, 2, −3, 4, −5, 6, . . .} x3 (n) = {0, 0, 1} c 2005-2011 — P. Alvarado
- 30. 16 2.1 Se˜ales de variable discreta n Calcule la secuencia x4 (n) = 2x3 (2 − n) − x1 (2n − 1) + x2 (4 − n)u(n) Soluci´n: El primer t´rmino 2x3 (2−n) corresponde a una reflexi´n seguida por un atraso o e o (de la reflexi´n), escalado por un factor 2. Esto resulta en o 2x3 (2 − n) = {2} ↑ El segundo t´rmino representa un submuestreo retrasado: e x1 (2n − 1) = {0, 1, 3, 5, 7 . . .} ↑ El primer factor del tercer t´rmino contiene una inversi´n atrasada: e o x2 (4 − n) = {. . . , 6, −5, 4, −3, 2, −1, 0} ↑ y al multiplicarlo por el escal´n unitario u(n) se eliminan todas las muestras anteriores a o n = 0: x2 (4 − n)u(n) = {4, −3, 2, −1, 0} ↑ Finalmente, se deben combinar estos tres resultados parciales aditivamente: x4 (n) = {6, −4, −1, −6, −7, −9, −11, −13 . . .} ↑ 2.2 2.1.2 Clasificaci´n de se˜ ales de variable discreta o n La tabla 2.1 presenta cinco propiedades que caracterizan a las se˜ales de variable discreta. n Tabla 2.1: Propiedades de se˜ales de variable discreta. n Propiedad Clasificaci´n o Energ´ ıa Se˜al de energ´ n ıa Se˜al n de potencia Periodicidad Se˜al peri´dica n o Se˜al n aperi´dica o Simetr´ ıa Se˜al sim´trica n e Se˜al n asim´trica e Acotaci´n o Se˜al acotada n Se˜al n no acotada Longitud Se˜al finita n Se˜al n infinita c 2005-2011 — P. Alvarado
- 31. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 17 v(t)v ∗ (t) |v(t)|2 p(t) = = p(t) = i(t)i∗ (t)R = |i(t)|2 R i(t) R R t t v (t) R e(t) = p(τ ) dτ e(t) = p(τ ) dτ −∞ −∞ t t 1 2 =R |i(τ )|2 dτ = |v(τ )| dτ −∞ R −∞ Figura 2.2: Potencia instant´nea p(t) y energ´ e(t) de una se˜al anal´gica. a ıa n o Se˜ ales de energ´ y potencia n ıa La figura 2.2 muestra el c´lculo de potencia instant´nea p(t) y de energ´ disipada e(t) a a ıa en un circuito el´ctrico simple. El valor de resistencia R representa una constante que e unicamente repercutir´ en factores de escala de las funciones p(t) y e(t), es decir, el valor ´ a de R no altera la forma de p(t) o e(t). Usualmente, a las funciones de forma |f (t)|2 se les denomina entonces funciones de poten- t cia de f (t) y a su integral hasta el instante t, −∞ |f (t)|2 dt, funci´n de energ´a de f (t), o ı por la similitud con las funciones de energ´ y potencia en el circuito mostrado (asuma ıa por ejemplo R = 1 Ω). De forma an´loga, para una se˜al de variable discreta x(n) se define su energ´a total como a n ı ∞ ∞ ∗ E= x(n)x (n) = |x(n)|2 n=−∞ n=−∞ donde el uso de la magnitud de la se˜al permite aplicar la definici´n a se˜ales de valor n o n complejo. Si E es finita entonces a x(n) se le denomina se˜al de energ´a. Muchas se˜ales de energ´ n ı n ıa infinita poseen potencia promedio finita: N 1 P = lim |x(n)|2 N →∞ 2N + 1 n=−N En caso de que P sea finita, se dice que x(n) es una se˜al de potencia. n Si se define la energ´ EN de x(n) en un intervalo finito como ıa N EN = |x(n)|2 n=−N entonces E = lim EN N →∞ y la potencia promedio puede entonces tambi´n expresarse como e 1 P = lim EN N →∞ 2N + 1 con lo que se deriva que si E es finita entonces P = 0 y a su vez que si P > 0 entonces E → ∞, o en otras palabras, toda se˜al de potencia tiene energ´ infinita. n ıa c 2005-2011 — P. Alvarado
- 32. 18 2.1 Se˜ales de variable discreta n Ejemplo 2.3 Especifique si el escal´n unitario u(n), la rampa ur (n) y la se˜al expo- o n jω0 n nencial x(n) = Ae son se˜ales de energ´ o potencia. n ıa Soluci´n: o 1. Si x(n) = u(n) entonces N 1 P = lim |u(n)|2 N →∞ 2N + 1 n=−N N 1 = lim 1 N →∞ 2N + 1 n=0 N +1 1 = lim = N →∞ 2N + 1 2 lo que implica que u(n) es una se˜al de potencia. n 2. Para la se˜al rampa unitaria ur (n) se tiene que n N 1 P = lim |ur (n)|2 N →∞ 2N + 1 n=−N N 1 = lim n2 N →∞ 2N + 1 n=0 1 N (N + 1)(2N + 1) = lim =∞ N →∞ 2N +1 6 por lo que no es ni se˜al de energ´ ni se˜al de potencia al ser tanto E como P n ıa n infinitas. 3. La se˜al x(n) = Aejω0 n , A ∈ IR, tiene una potencia media n N 1 P = lim |u(n)|2 N →∞ 2N + 1 n=−N N 1 = lim |A|2 N →∞ 2N + 1 n=0 1 |A|2 = lim (N + 1)|A|2 = N →∞ 2N + 1 2 y es por lo tanto una se˜al de potencia. n 2.3 Se˜ ales acotadas y no acotadas n Una se˜al x(n) se dice ser acotada (en ingl´s bounded signal ) si existe un n´mero real n e u positivo finito M tal que |x(n)| < M para todo n. Por el contrario, si la magnitud de cualquier muestra es infinita, entonces la se˜al no es acotada. Esta propiedad es n fundamental para el concepto de estabilidad de sistemas, que se revisar´ con detalle a posteriormente. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 33. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 19 Se˜ ales peri´dicas y aperi´dicas n o o Una se˜al es peri´dica con periodo N (N > 0) si y solo si n o x(n + N ) = x(n), para todo n (2.1) El valor m´s peque˜o de N para el que se cumple lo anterior se denomina periodo funda- a n mental . Si no existe ning´n N que satisfaga (2.1) la se˜al es entonces aperi´dica. u n o Se demostrar´ en la siguiente secci´n como ejemplo particular que la se˜al x(n) = a o n k cos(2πf0 n) es peri´dica si y solo si f0 es un n´mero racional f0 = N , donde si k y N o u son primos relativos entonces el periodo es exactamente N . Si una se˜al peri´dica no toma valores infinitos (es decir, es una se˜al acotada) entonces n o n es a su vez una se˜al de potencia, por ser su potencia promedio finita e igual al promedio n en un periodo: N −1 1 P = |x(n)|2 N n=0 Se˜ ales pares e impares n Una se˜al es sim´trica o par si n e x(n) = x(−n) (2.2) Se dice ser asim´trica o impar si e x(−n) = −x(n) (2.3) en cuyo caso siempre debe cumplirse que x(0) = 0. As´mase que toda se˜al x(n) se puede expresar como la suma de una se˜al par xp (n) y u n n otra se˜al impar xi (n), de forma que n x(n) = xp (n) + xi (n) (2.4) Considerando la naturaleza par e impar de las componentes se debe cumplir x(−n) = xp (−n) + xi (−n) = xp (n) − xi (n) (2.5) Sumando y restando (2.4) y (2.5) se despeja x(n) + x(−n) x(n) − x(−n) xp (n) = xi (n) = (2.6) 2 2 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 34. 20 2.1 Se˜ales de variable discreta n Ejemplo 2.4 Dada una se˜al x(n) = {0, 1, 2} encuentre sus componentes par e impar. n ↑ Soluci´n: o Para calcular la componente par se realiza la suma de la se˜al con su reflexi´n, y luego n o se divide por dos: x(n) = { 0, 0, 0, 1, 2 } ↑ x(−n) = { 2, 1, 0, 0, 0 } ↑ x(n) + x(−n) = { 2, 1, 0, 1, 2 } ↑ x(n)+x(−n) xp (n) = 2 = { 1, 1/2, 0, 1/2, 1 } ↑ Para calcular la componente impar se le substrae la reflexi´n a la se˜al, y luego se divide o n por dos: x(n) = { 0, 0, 0, 1, 2 } ↑ x(−n) = { 2, 1, 0, 0, 0 } ↑ x(n) − x(−n) = { −2, −1, 0, 1, 2 } ↑ x(n)−x(−n) xi (n) = 2 = { −1, −1/2, 0, 1/2, 1 } ↑ Se comprueba directamente que se cumple x(n) = xp (n) + xi (n). 2.4 Se˜ ales herm´ n ıticas y anti-herm´ ıticas Una se˜al de valor complejo se denomina herm´ n ıtica (sim´trica conjugada o par conjugada) e si cumple x(n) = x∗ (−n) (2.7) de lo que se deduce que |x(n)| = |x(−n)| Re{x(n)} = Re{x(−n)} es decir, tanto la magnitud como la parte real de una se˜al herm´ n ıtica tienen simetr´ par. ıa Por otro lado arg x(n) = − arg x(−n) Im{x(n)} = − Im{x(−n)} lo que indica que el argumento (´ngulo o fase) y la parte imaginaria de una se˜al herm´ a n ıtica son se˜ales impares. n La se˜al es anti-herm´ n ıtica (asim´trica conjugada o impar conjugada) si cumple e x(n) = −x∗ (−n) (2.8) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 35. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 21 de lo que se deduce que |x(n)| = |x(−n)| Im{x(n)} = Im{x(−n)} es decir, tanto la magnitud como la parte imaginaria de una se˜al anti-herm´ n ıtica tienen simetr´ par. Por otro lado ıa arg x(n) = π − arg x(−n) que no tiene exhibe ninguna simetr´ aunque si se multiplica ambos lados de la ecuaci´n ıa, o por dos se obtiene 2 arg x(n) = 2π − 2 arg x(−n) 2 arg x(n) = −2 arg x(−n) es decir, el doble del angulo tiene simetr´ impar. ´ ıa Para la parte real de la funci´n anti-herm´ o ıtica se cumple Re{x(n)} = − Re{x(−n)} es decir, tiene simetr´ impar. As´mase ahora que es posible realizar una descomposici´n ıa u o lineal de cualquier funci´n x(n) de valor complejo en una componente herm´ o ıtica xh (n) y otra anti-herm´ ıtica x (n), de forma que x(n) = xh (n) + x (n) (2.9) Considerando la naturaleza herm´ ıtica y anti-herm´ ıtica de las componentes se debe cumplir x∗ (−n) = x∗ h (−n) + x∗ (−n) = xh (n) − x (n) (2.10) Sumando y restando (2.9) y (2.10) se despeja x(n) + x∗ (−n) x(n) − x∗ (−n) xh (n) = x (n) = (2.11) 2 2 2.2 Se˜ ales sinusoidales y el concepto de frecuencia n El estudio cl´sico de se˜ales se basa en su representaci´n como combinaci´n de una serie a n o o de se˜ales elementales con un comportamiento conocido o predecible en los sistemas con n que se trabaja. En cursos anteriores se han introducido conceptos del an´lisis de Fourier, a transformada de Laplace, donde las se˜ales elementales se caracterizan por su frecuencia n y fase respecto a alguna referencia com´n. El concepto de frecuencia ser´ revisado en u a las siguientes secciones, donde se apreciar´n las diferencias que existen entre los dominios a discreto y continuo. El punto de partida para el an´lisis ser´n la funciones sinusoidales, a a como representantes espectrales “puras”. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 36. 22 2.2 Se˜ales sinusoidales y el concepto de frecuencia n 2.2.1 Se˜ al sinusoidal continua n Una oscilaci´n arm´nica simple se describe matem´ticamente a trav´s de la se˜al continua o o a e n [15]: xa (t) = A cos(Ωt + θ), −∞ < t < ∞ (2.12) donde el sub´ındice a indica que es una se˜al anal´gica. A representa la amplitud de n o la se˜al, Ω es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s) y θ es la fase en n radianes. Es tambi´n com´n utilizar la frecuencia F en ciclos por segundo o Hertz (Hz) e u con Ω = 2πF con lo que (2.12) se puede expresar como xa (t) = A cos(2πF t + θ), −∞ < t < ∞ . Si F es constante, entonces xa es peri´dica o xa (t + Tp ) = xa (t) con per´ ıodo fundamental Tp = 1/F (figura 2.3). x(t) A A cos θ 0 t Tp = 1/F Figura 2.3: Ejemplo de una se˜al anal´gica sinusoidal. n o 2.2.2 Se˜ al sinusoidal discreta n La se˜al sinusoidal en tiempo discreto se expresa como n x(n) = A cos(ωn + θ), −∞ < n < ∞ (2.13) con la variable entera n ∈ Z (tambi´n denominada n´mero de muestra), A la magnitud, e u ω es la frecuencia en radiantes por muestra y θ la fase en radianes. De forma similar al caso continuo, puede utilizarse ω = 2πf para reescribir (2.13) como x(n) = A cos(2π f n + θ), −∞ < n < ∞ . (2.14) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 37. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 23 En este caso las dimensiones de la frecuencia son ciclos por muestra, y tal como estas unidades lo indican, usualmente tiene valores menores que la unidad. La figura 2.4 muestra un ejemplo con f = 1/12 y θ = π/3. x(n) n Figura 2.4: Ejemplo de una se˜al sinusoidal discreta (ω = π/6 y θ = π/3) [15]. n Periodicidad de un sinusoide discreto Por definici´n una se˜al de variable discreta x(n) es peri´dica con periodo N (N > 0) si o n o y solo si x(n + N ) = x(n) para todo n (2.15) El menor valor de N para el que se cumple (2.15) se denomina periodo fundamental . Una se˜al sinusoidal de frecuencia f0 es peri´dica si n o cos (2π f0 (N + n) + θ) = cos (2π f0 n + θ) lo que se cumple solo si existe un entero k tal que 2π f0 N = 2kπ o, en otros t´rminos e k f0 = (2.16) N que es siempre un n´mero racional. Esto quiere decir, que una se˜al sinusoidal discreta u n con un valor irracional de frecuencia no es peri´dica. o Para determinar el periodo fundamental de una se˜al sinusoidal se expresa su frecuencia n como en (2.16) y se simplifican los factores comunes de tal forma que k y N formen n´meros primos relativos. Por ejemplo si f1 = 5/32 = 0,15625 el periodo fundamental u es N = 32, pero si la frecuencia es f2 = 4/32 = 0,125 el periodo fundamental es N = 8 (figura 2.5). Esto quiere decir que a´n cuando los valores de frecuencia se encuentren u relativamente cerca, sus periodos pueden cambiar radicalmente. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 38. 24 2.2 Se˜ales sinusoidales y el concepto de frecuencia n x(n) x(n) n n (a) (b) Figura 2.5: Comparaci´n de dos frecuencias cercanas en se˜ales de variable discreta. (a) Fre- o n cuencia f = 5/32, periodo N = 32. (b) Frecuencia f = 4/32, periodo N = 8. La l´ ınea punteada denota una se˜al continua con frecuencia equivalente para simpli- n ficar la comparaci´n. o Equivalencia de frecuencias en sinusoides discretos Consid´rese de nuevo la se˜al sinusoidal cos(ω0 n + θ). Es f´cil de obtener que: e n a cos ((ω0 + 2π)n + θ) = cos(ω0 n + 2πn + θ) = cos(ω0 n + θ) por lo que todas las secuencias sinusoidales xk (n) = A cos(ωk n + θ), k = 0, 1, 2, . . . con ωk = ω0 + 2kπ son id´nticas. Por otro lado, las secuencias de cualesquiera dos se˜ales sinusoidales discre- e n 1 1 tas con frecuencias en el rango −π ≤ ω ≤ π (´ − 2 ≤ f ≤ 2 ) son diferentes. Combinando o los resultados anteriores se obtiene que cualquier secuencia sinusoidal de frecuencia |ω| > π 1 1 (´ |f | > 2 ) tiene una se˜al equivalente con |ω| ≤ π (´ |f | ≤ 2 ). A las frecuencias |ω| ≤ π o n o 1 (´ |f | ≤ 2 ) se les considera frecuencias fundamentales y a las frecuencias |ω| > π (´ o o 1 |f | > 2 ) se les denomina alias. Equivalencia de frecuencias entre sinusoides continuos y discretos Para analizar la relaci´n entre frecuencias continuas y discretas as´mase que una se˜al o u n anal´gica xa (t) = cos(2πF t) se muestrea cada Ts unidades de tiempo para dar origen a la o se˜al en tiempo discreto x(n) = xa (nTs ) = cos(2πf n). La igualdad es posible solo si los n argumentos de las se˜ales cosenoidales son iguales, por lo que n ! 2πf n = 2πF nTs c 2005-2011 — P. Alvarado
- 39. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 25 y definiendo la frecuencia de muestreo Fs = 1/Ts entonces F f= Fs de donde se deriva el nombre de frecuencia normalizada para f . De modo similar se deriva para las frecuencias angulares con Ωs = 2πFs que Ω ω = 2π Ωs Tasa m´xima de oscilaci´n a o Consid´rese ahora la secuencia sinusoidal x0 (n) = cos(ω0 n) para el rango de frecuencias e ω0 ∈ [0, π]. La figura 2.6 muestra algunos casos particulares como ejemplo. Se puede apreciar que la tasa de oscilaci´n aumenta conforme la frecuencia aumenta. o x(n) x(n) x(n) n n n ω0 = 0 (f = 0) ω0 = π/6 (f = 1/12) ω0 = π/3 (f = 1/6) x(n) x(n) n n ω0 = π/2 (f = 1/4) ω0 = π (f = 1/2) Figura 2.6: Secuencia sinusoidal con diferentes frecuencias. Ahora, para analizar el caso de frecuencias angulares mayores que π consid´rese el caso e especial de ω1 = 2π − ω0 . Si ω0 ∈ [0, π] entonces ω1 ∈ [π, 2π] de tal forma que si ω0 aumenta ω1 disminuye. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 40. 26 2.2 Se˜ales sinusoidales y el concepto de frecuencia n Debido a que x1 (n) = A cos(ω1 n) = A cos((2π − ω0 )n) = A cos(−ω0 n) = x0 (n) la frecuencia angular ω1 es un alias de ω0 . De aqu´ se concluye que si la frecuencia angular ı aumenta de π hacia 2π la tasa de oscilaci´n se reduce, al representar estos alias frecuencias o que bajan de π a 0. De forma similar al caso de senoides de variable continua puede utilizarse la identidad de Euler en el caso discreto para introducir el concepto de frecuencia negativa: A j(ωn+θ) A −j(ωn+θ) x(n) = A cos(ωn + θ) = e + e 2 2 Debido a que las se˜ales sinusoidales de variable discreta con frecuencias separadas por n un entero m´ltiplo de 2π son id´nticas, entonces todas las frecuencias en un intervalo u e [ω0 , ω0 + 2π] representan todas las frecuencias existentes para estas se˜ales. En otras n palabras, el rango de frecuencias distinguibles para sinusoides de variable discreta es finito con un ancho de banda de 2π. Usualmente se utilizan los rangos de frecuencias 1 angulares ω ∈ [−π, π] (f ∈ [− 2 , 1 ]) o ω ∈ [0, 2π] (f ∈ [0, 1]) y reciben el nombre de rango 2 fundamental . 2.2.3 Exponenciales complejos relacionados arm´nicamente o Las se˜ales de variable continua n sk (t) = ejkΩ0 t = ej2πkF0 t k = 0, ±1, ±2, . . . se denominan se˜ales exponenciales relacionadas arm´nicamente. El periodo fundamen- n o tal de la se˜al sk (t) es 1/(kF0 ) = Tp /k, lo que equivale a una frecuencia fundamental de n kF0 . Puesto que una se˜al peri´dica con periodo Tp /k es tambi´n peri´dica con periodo n o e o k(Tp /k) = Tp con k ∈ Z entonces todas las se˜ales sk (t) tienen como periodo com´n Tp . El n u nombre proviene de la relaci´n de estas funciones con las oscilaciones de una cuerda, que o tienen relaciones “arm´nicas” (mantienen los nodos externos fijos) cuando las frecuencias o son m´ltiplos enteros de una frecuencia fundamental. u En este caso de variable continua, para k1 = k2 se cumple siempre que sk1 (t) = sk2 (t), o en otros t´rminos, existe un n´mero infinito de se˜ales complejas relacionadas arm´nicamente e u n o j2πF0 t con e . Para el caso de se˜ales exponenciales complejas de variable discreta, puesto que son se˜ales n n peri´dicas solo si su frecuencia es racional, se escoge f0 = 1/N y se define el conjunto de o se˜ales relacionadas arm´nicamente como n o sk (n) = ejkω0 n = ej2πkf0 n k = 0, ±1, ±2, . . . (2.17) A diferencia del caso continuo se tiene para k1 = k + N (k+N ) kn kn sk+N (n) = ej2π N n = ej2π N ej2πn = ej2π N = sk (n) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 41. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 27 Esto significa que en el caso discreto solo existen N se˜ales complejas relacionadas arm´ni- n o camente, donde todos los miembros del conjunto descrito en (2.17) tienen como periodo com´n N muestras. u 2.3 Sistemas en tiempo discreto A los dispositivos que operan sobre se˜ales de variable discreta (o tiempo discreto) se les n denomina sistemas discretos. En general, reciben una se˜al de entrada x(n) para producir n una se˜al de salida y(n). Se dice que el sistema transforma x(n) en y(n), lo que se expresa n como y(n) = T [x(n)] donde T [·] representa al operador de transformaci´n o procesamiento realizado por el o sistema sobre x(n) para producir y(n). 2.3.1 Descripci´n entrada-salida de sistemas o La descripci´n de entrada-salida define la relaci´n entre x(n) y y(n). La estructura interna o o del sistema es desconocida o ignorada, es decir, el sistema se considera como una caja negra cuyo funcionamiento interno no interesa, sino el comportamiento espec´ ıfico ante cierta entrada (figura 2.7). Sistema x(n) y(n) Discreto Figura 2.7: Entrada-salida de un sistema discreto Ejemplo 2.5 Determine la salida de los siguientes sistemas para la entrada 3 − |n| para − 2 ≤ n ≤ 2 x(n) = 0 en el resto 1. y(n) = x(n) 2. y(n) = x(n − 2) 3. y(n) = x(n + 1) 4. y(n) = 1 [x(n + 1) + x(n) + x(n − 1)] 3 5. y(n) = max {x(n + 1), x(n), x(n − 1)} 6. y(n) = n k=−∞ x(k) Soluci´n: o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 42. 28 2.3 Sistemas en tiempo discreto 1. Al sistema y(n) = x(n) se le denomina identidad , pues su salida es id´ntica a la e entrada: y(n) = {1, 2, 3, 2, 1} ↑ 2. El sistema y(n) = x(n − 2) retarda la entrada dos muestras: y(n) = {1, 2, 3, 2, 1}. ↑ 3. El sistema y(n) = x(n + 1) adelanta la se˜al una unidad y solo puede ser realizado n fuera de l´ ınea, por ser imposible en un sistema de tiempo real determinar el valor de una muestra en el futuro: y(n) = {1, 2, 3, 2, 1}. ↑ 4. El filtro de media mobil y(n) = 1 [x(n + 1) + x(n) + x(n − 1)] calcula el promedio 3 de tres muestras: y(n) = {1/3, 1, 2, 7/3, 2, 1, 1/3}. ↑ 5. El filtro de rango y(n) = max {x(n + 1), x(n), x(n − 1)} entrega el valor m´ximo a de la muestra actual, la anterior y la futura: y(n) = {1, 2, 3, 3, 3, 2, 1}. Este filtro ↑ puede considerarse como filtro paso bajos. 6. El acumulador y(n) = n k=−∞ x(k) realiza la “integraci´n” discreta de la entrada: o y(n) = {1, 3, 6, 8, 9, 9, . . .}. N´te que el acumulador puede reescribirse como o ↑ n n−1 y(n) = x(k) = x(k) + x(n) = y(n − 1) + x(n) k=−∞ k=−∞ y(n−1) 2.5 En general, la salida y(n) en el instante n puede depender no solo de la muestra actual x(n), sino tambi´n de la se˜al en instantes anteriores y posteriores a n. Adem´s, la e n a salida de un sistema puede depender de un estado interno. Por ejemplo, en el acumulador y(n) = y(n − 1) + x(n) si una secuencia de entrada se aplica en dos instantes de tiempo distintos, las dos reacciones del sistema difieren, dependiendo de la historia anterior del sistema “y(n−1)”. Para determinar la salida del acumulador en un instante n0 es necesario conocer y(n0 − 1). El c´lculo de la secuencia de salida y(n) para todo instante n > n0 a tiene como condici´n inicial al valor y(n0 − 1), que en cierta forma resume todo el pasado o del sistema. Si todas las condici´nes iniciales son cero se dice que el sistema estaba en reposo. Siempre o se asume que en n = −∞ todo sistema estuvo en reposo. La salida de un sistema en reposo puede expresarse entonces utilizando unicamente la se˜al de entrada, puesto que ´ n por definici´n todas las salidas anteriores son cero. o En la literatura se encuentra el t´rmino condiciones de reposo iniciales (IRC, Initial Rest e Conditions) para indicar que se asume y(n) = 0 para n < n0 donde la entrada deja de ser cero justo en n0 y x(n) = 0 para n < n0 . Adem´s, se utiliza el concepto de condiciones a de reposo finales (FRC, Final Rest Conditions) para indicar el caso contrario, es decir, se asume que y(n) = 0 para n > n0 , y la entrada se hace cero justo despu´s de n0 , es decir, e x(n) = 0 para n > n0 . c 2005-2011 — P. Alvarado
- 43. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 29 Ejemplo 2.6 Determine la salida del sistema acumulador para la entrada x(n) = nu(n) con condici´n inicial y(−1) = α. o Soluci´n: o n −1 n n(n + 1) y(n) = x(k) = x(k) + k =α+ k=−∞ k=−∞ k=0 2 y(−1)=α n(n+1) 2 Recuerde que n k=0 k = 1 + 2 + 3 + ... + n n k=0 k = n + n − 1 + n − 2 + ... + 1 n 2 k=0 k = n+1 + n + 1 + n + 1 + ... + n + 1 n 2 k=0 k = n(n + 1) n n(n+1) k=0 k = 2 2.6 2.3.2 Diagramas de bloques En el cap´ ıtulo anterior se indic´ que un sistema est´ conformado por subsistemas, es decir, o a bloques de procesamiento de se˜al con tareas espec´ n ıficas dentro del sistema total. Este concepto se aplica recursivamente, de tal modo que un subsistema se descompone a su vez en otros subsistemas m´s sencillos, que a su vez pueden estar constituidos por otros a subsistemas, y as´ sucesivamente, hasta llegar a ciertos componentes elementales descritos ı a continuaci´n. o Sumador El sumador es un bloque sin memoria, que se representa como lo indica la figura 2.8. Tal x1 (n) y (n) = x1 (n) + x2 (n) x2 (n) Figura 2.8: Diagrama de un sumador. y como lo indica su nombre, su tarea es sumar dos se˜ales o m´s se˜ales muestra por n a n muestra. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 44. 30 2.3 Sistemas en tiempo discreto Multiplicador por constante El multiplicador por constante es un bloque sin memoria, que se representa como lo indica la figura 2.9. Se utiliza para escalar toda una secuencia por un mismo factor. x(n) a y (n) = ax(n) Figura 2.9: Diagrama de un multiplicador por constante. Multiplicador de se˜ al n El multiplicador de se˜al es un bloque sin memoria, que se representa como lo indica la n figura 2.10, y que genera una nueva secuencia a partir de los productos entre muestras de x1 (n) y (n) = x1 (n)x2 (n) x2 (n) Figura 2.10: Diagrama de un multiplicador de se˜ales. n las se˜ales de entrada correspondientes a un mismo instante n. n Retardador de un elemento El retardador es un bloque con memoria de longitud 1, representado como lo indica la figura 2.11. Es uno de los elementos de procesamiento digital m´s utilizados. Su a x(n) y (n) = x(n − 1) z −1 Figura 2.11: Diagrama de elemento retardador. s´ ımbolo est´ muy relacionado con las propiedades de la transformada z que se analizar´n a a posteriormente. Adelantador de un elemento El adelantador no es realizable f´ısicamente y solo existe en sistemas de tratamiento de se˜ales fuera de l´ n ınea. Se representa como lo indica la figura 2.12. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 45. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 31 x(n) y (n) = x(n + 1) z Figura 2.12: Diagrama de elemento adelantador. Ejemplo 2.7 Realice el diagrama de bloques para 1 1 1 y(n) = y(n − 1) + x(n) + x(n − 1) 4 2 2 Soluci´n: o N´tese primero que esta expresi´n puede reescribirse de la siguiente forma: o o 1 1 y(n) = y(n − 1) + (x(n) + x(n − 1)) (2.18) 4 2 con lo que se deriva f´cilmente el diagrama mostrado en la figura 2.13. a 1 y (n) 2 x(n) z −1 1 z −1 4 Figura 2.13: Diagrama de bloques de la ecuaci´n 2.18. o 2.7 2.3.3 Clasificaci´n de los sistemas discretos o Un sistema se dice tener una determinada propiedad, si dicha propiedad se cumple para todas las se˜ales de entrada posibles. Un contraejemplo basta para descartar que un sis- n tema posea una determinada propiedad. La tabla 2.2 resume las propiedades de sistemas discretos, que se detallan a continuaci´n. o Tabla 2.2: Propiedades de sistemas discretos. Propiedad Clasificaci´n o Memoria Sistema est´tico a Sistema din´mico a Varianza Sistema variante en el tiempo Sistema invariante en el tiempo Linealidad Sistema lineal Sistema no lineal Causalidad Sistema causal Sistema no causal Estabilidad Sistema estable Sistema inestable c 2005-2011 — P. Alvarado
- 46. 32 2.3 Sistemas en tiempo discreto Sistemas est´ticos y din´micos a a En un sistema est´tico, o sin memoria, la salida y(n) depende solo de la entrada x(n) en a el mismo instante n, y no de las entradas pasadas o futuras. Todos los otros casos son sistemas din´micos. a Si la salida y(n) depende de las entradas de x(n − N ) a x(n) se dice que el sistema tiene memoria de duraci´n N , donde N puede ser finita o infinita. o Por ejemplo, y(n) = ax(n) + nx2 (n) + bx3 (n) representa un sistema est´tico, mientras que a n y(n) = k=0 ak x(n − k) es un sistema din´mico. a Sistemas variantes e invariantes en el tiempo Un sistema T en reposo es invariante en el tiempo o invariante al desplazamiento si y solo si T T x(n) → y(n) ⇒ x(n − k) → y(n − k) En el diagrama de bloques de la figura 2.14 el sistema T es invariante en el tiempo si y solo si la salida d(n) es cero para todas las entradas x(n) y para todos los valores de retardo k. T z −k x(n) d(n) −k T z Figura 2.14: Verificaci´n de la invarianza en el tiempo. o Ejemplo 2.8 Determine si los siguientes sistemas son o no invariantes en el tiempo: 1. y(n) = x(n) − x(n − 1) 2. y(n) = x(n) cos(ω0 n) Soluci´n: o El sistema y(n) = x(n) − x(n − 1) es invariante en el tiempo. Para demostrarlo se calcula la respuesta del sistema en reposo a la entrada desplazada x(n − k), que resulta en yk (n) = x(n − k) − x(n − k − 1). La respuesta a x(n), retrasada k muestras es y(n − k) = x(n − k) − x(n − k − 1). Como y(n − k) = yk (n) el sistema es invariante en el tiempo. El sistema modulador y(n) = x(n) cos(ω0 n) es variante en el tiempo, puesto que su respuesta yk (n) a x(n − k) es yk (n) = x(n − k) cos(ω0 n), y la repuesta a x(n), retardada k muestras es y(n − k) = x(n − k) cos(ω0 (n − k)) que es diferente a yk (n). 2.8 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 47. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 33 Sistemas lineales y no lineales Un sistema es lineal si satisface el teorema de superposici´n, es decir, para cualesquiera o dos constantes a1 , a2 y para toda se˜al x1 (n) y x2 (n) se cumple n T [a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1 T [x1 (n)] + a2 T [x2 (n)] . (2.19) La figura 2.15 ilustra un esquema de verificaci´n de linealidad, donde el sistema es lineal o si y solo si para todo par de entradas x1 (n) y x2 (n) y para cualesquiera dos constantes a1 , a2 siempre la salidad d(n) es cero. a1 x1 (n) T a2 x2 (n) d(n) a1 T a2 T Figura 2.15: Verificaci´n de linealidad. o Como consecuencia de (2.19) todo sistema lineal cumple la propiedad multiplicativa o de escalado T [a1 x1 (n)] = a1 T [x1 (n)] (2.20) y la propiedad aditiva T [x1 (n) + x2 (n)] = T [x1 (n)] + T [x2 (n)] . El principio de superposici´n puede generalizarse para M se˜ales como o n M M T x(n) = ak xk (n) → y(n) = ak T [xk (n)] k=1 k=1 De la propiedad de escalado se deduce adem´s que un sistema lineal en reposo con entrada a cero (x(n) = 0, n ∈ Z) debe tener como salida una se˜al nula y(n) = 0. n Si para un sistema la propiedad de superposici´n no se cumple, entonces el sistema se o dice ser no lineal. Ejemplo 2.9 Compruebe si los siguientes sistemas son lineales. 1. y(n) = nx(n) 2. y(n) = x(n2 ) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 48. 34 2.3 Sistemas en tiempo discreto 3. y(n) = x2 (n) 4. y(n) = Ax(n) + B 5. y(n) = ex(n) Soluci´n: o 1. Para el sistema 1 se obtiene primero la respuesta del sistema a una entrada igual a la suma ponderada de dos se˜ales x1 (n) y x2 (n), es decir, para una entrada total x(n) = n a1 x1 (n) + a2 x2 (n) y se obtiene yT (n) = n(a1 x1 (n) + a2 x2 (n)) = a1 nx1 (n) + a2 nx2 (n). Ahora, la suma ponderada de las salidas del sistema para x1 (n) y x2 (n) por separado es yS (n) = a1 y1 (n) + a2 y2 (n), con y1 (n) = nx1 (n) y y2 (n) = nx2 (n), lo que es igual a yS (n) = a1 nx1 (n) + a2 nx2 (n). Como yT (n) = yS (n) se puede afirmar que el sistema y(n) = nx(n) es lineal. 2. Para y(n) = x(n2 ) las salidas yT (n) = a1 x1 (n2 )+a2 x2 (n2 ) y yS = a1 x1 (n2 )+a2 x2 (n2 ) son id´nticas y por tanto el sistema es lineal. e 3. Para y(n) = x2 (n) la salida yT (n) = (a1 x1 (n) + a2 x2 (n))2 = a2 x2 (n) + a2 x2 (n) + 1 1 2 2 2 2 2 2 2a1 a2 x1 (n)x2 (n) y la salida yS (n) = a1 x1 (n) + a2 x2 (n) evidentemente son diferentes y por tanto el sistema no es lineal. 4. Para y(n) = Ax(n) + B la salida yT (n) = A(a1 x1 (n) + a2 x2 (n)) + B y la salida yS (n) = Aa1 x1 (n) + B + Ax2 (n) + B = Aa1 x1 (n) + Ax2 (n) + 2B difieren para todo B = 0 y por tanto el sistema, a pesar de su apariencia, no es lineal. 5. Para y(n) = ex(n) la salida yT = ea1 x1 (n)+a2 x2 (n) = ea1 x1 (n) ea2 x2 (n) y la salida yS = ea1 x1 (n) + ea2 x2 (n) son diferentes y por tanto el sistema tampoco es lineal. 2.9 Sistemas causales y no causales Un sistema es causal si y(n) depende unicamente de las entradas presentes y pasadas ´ (x(n), x(n − 1), x(n − 2), . . .), y salidas pasadas (y(n − 1), y(n − 2), . . .), pero no de las entradas o salidas futuras (x(n+1), x(n+2), . . .; y(n+1), y(n+2), . . .). En caso contrario, el sistema es no causal. Sistemas que funcionan “en l´ ınea” deben ser causales por la imposibilidad de determinar el valor de la entrada o la salida en el futuro. A una se˜al x(n) que es cero para n ≥ 0 y diferente de cero para n < 0 se le denomina n se˜al anticausal . Las implicaciones de la causalidad junto con la linealidad e invarianza n en el tiempo no son triviales, y se profundizar´ en ellas en los pr´ximos cap´ a o ıtulos. Sistemas estables e inestables Un sistema arbitrario en reposo se denomina estable de entrada acotada - salida acotada (BIBO: bounded input – bounded output) si toda entrada acotada produce una salida c 2005-2011 — P. Alvarado
- 49. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 35 acotada: T |x(n)| ≤ Mx < ∞ −→ |y(n)| ≤ My < ∞, ∀n ∈ Z Basta con que alguna entrada acotada produzca una salida no acotada (es infinita), para que el sistema sea inestable. 2.3.4 Interconexi´n de sistemas discretos o Hay dos maneras fundamentales de interconectar sistemas discretos: interconexi´n en o cascada (o serie) e interconexi´n paralela (figura 2.16). La interconexi´n en cascada se o o describe con sistemas de la forma: y(n) = T2 [T1 [x(n)]] = Tc [x(n)] En general, el orden de los bloques para la conexi´n en cascada es relevante. Sin embargo, o si los sistemas son lineales e invariantes en el tiempo entonces Tc es a su vez lineal e invariante en el tiempo, y T1 [T2 [·]] = T2 [T1 [·]]. La interconexi´n en paralelo se describe o por y(n) = T1 [x(n)] + T2 [x(n)] = Tp [x(n)] . y1 (n) T1 T1 T2 x(n) y1 (n) y (n) x(n) y (n) T2 y2 (n) (a) (b) Figura 2.16: Interconexi´n de sistemas discretos. (a) Cascada. (b) Paralelo o 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invarian- a tes en el tiempo El an´lisis de sistemas se simplifica enormemente si estos son lineales e invariantes en el a tiempo (LTI: Linear and Time Invariant). 2.4.1 T´cnicas de an´lisis e a Existen dos m´todos b´sicos para el an´lisis del comportamiento de un sistema: e a a 1. Descomposici´n de la se˜al de entrada en se˜ales elementales, cuya respuesta es o n n conocida. 2. Soluci´n de la ecuaci´n de diferencias. o o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 50. 36 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo a La soluci´n de la ecuaci´n de diferencias se revisar´ en la secci´n 2.5. o o a o El concepto fundamental del an´lisis de sistemas lineales por descomposici´n es el si- a o guiente: sup´ngase que la entrada x(n) puede expresarse como una suma ponderada de o funciones elementales {xk (n)} x(n) = ck xk (n) k donde ck son los coeficientes de ponderaci´n o pesos de la descomposici´n de la se˜al x(n). o o n Si la respuesta del sistema en reposo a xk (n) es yk (n), es decir yk (n) = T [xk (n)] entonces con la propiedad de linealidad se obtiene y(n) = T [x(n)] = T ck xk (n) = ck T [xk (n)] = ck yk (n) k k k En otras palabras, si el sistema es lineal, la respuesta y(n) del sistema a una entrada x(n) es igual a la suma ponderada de las repuestas yk (n) a cada una de las componentes xk (n) en que se puede descomponer x(n), donde adem´s los coeficientes ck de ponderaci´n de a o las salidas corresponden a los coeficientes de ponderaci´n de la entrada. o En esta descomposici´n, la elecci´n de las funciones elementales depender´ de las carac- o o a ter´ ısticas de las se˜ales a evaluar. Dos clases de funciones son usuales: impulsos (δ(n−k)) n y funciones exponenciales complejas ejωk n , esta ultima utiliz´ndose frecuentemente en el ´ a llamado an´lisis frecuencial (ver cap´ a ıtulo 4). En los ultimos a˜os ha cobrado fuerza el uso ´ n de otras familias de funciones elementales caracterizadas a partir de la teor´ de wavelets, ıa tema que sin embargo excede el marco de este curso. 2.4.2 Descomposici´n de una se˜ al en impulsos o n Utilizando impulsos desplazados como funciones elementales puede expresarse cualquier se˜al x(n) como: n ∞ x(n) = x(k)δ(n − k) k=−∞ Ejemplo 2.10 Descomponga la se˜al n x(n) = {0, 1, 2, −1, −1/2, 1} ↑ en sus impulsos. Soluci´n: o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 51. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 37 Esta se˜al puede expresarse como n 1 x(n) = 1 · δ(n − 1) + 2 · δ(n − 2) − 1 · δ(n − 3) − · δ(n − 4) + 1 · δ(n − 5) 2 2.10 2.4.3 Convoluci´n o Si se denota con h (n, k) la respuesta del sistema a un impulso desplazado k unidades δ(n − k) h (n, k) = T [δ(n − k)] entonces la salida de un sistema lineal puede calcularse con las repuestas elementales a dichos impulsos desplazados: y(n) = ck yk (n) = x(k)h (n, k) k k donde se han utilizado xk (n) = δ(n − k) como entradas elementales y por lo tanto los coeficientes ck = x(k). Si el sistema es adem´s invariante en el tiempo, entonces con h(n) = T [δ(n)] se tiene que a h (n, k) = h(n − k) y por lo tanto ∞ y(n) = x(k)h(n − k) = x(n) ∗ h(n) k=−∞ que se denomina sumatoria de convoluci´n. Se dice entonces que la respuesta del sistema o LTI y(n) a una entrada x(n) es igual a la convoluci´n de x(n) con la respuesta al impulso o h(n). Esto quiere decir que en un sistema LTI en reposo su respuesta a cualquier entrada puede determinarse con solo conocer dicha entrada y la respuesta al impulso h(n). El c´lculo de la convoluci´n involucra cuatro pasos: a o 1. Reflexi´n de h(k) con respecto a k = 0 para producir h(−k). o 2. Desplazamiento del origen de h(−k) hacia el punto n que se desea calcular. 3. Multiplicaci´n de x(k) y h(n − k) para obtener la secuencia producto vn (k) = o x(k)h(n − k). 4. Suma de todos los valores de vn (k) para obtener y(n). Los pasos del 2 al 4 deben realizarse para todo instante n que se dese´ calcular. e Ejemplo 2.11 Determine la respuesta a la se˜al de entrada n x(n) = {1, 2, 3, 1} ↑ c 2005-2011 — P. Alvarado
- 52. 38 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo a de un sistema LTI con respuesta al impulso h(n) = {1, 2, 1, −1} ↑ Soluci´n: o Siguiendo el procedimiento indicado, primero se calcula la reflexi´n de la respuesta al o impulso h(−k) = {−1, 1, 2, 1} . ↑ Los pasos siguientes se resumen en la tabla 2.3. Tabla 2.3: Ejemplo de convoluci´n de dos secuencias finitas. o 2. Desplazamiento 3. Multiplicaci´n o 4. Suma por x(k) = {1, 2, 3, 1} ↑ h(−1 − k)={−1, 1, 2, 1} v−1 ={0, 0, 0, 1, 0, 0, 0} y−1 =1 ↑ ↑ h(0 − k)={−1, 1, 2, 1} v0 ={0, 0, 2, 2, 0, 0} y0 =4 ↑ ↑ h(1 − k)={−1, 1, 2, 1} v1 ={0, 1, 4, 3, 0} y1 =8 ↑ ↑ h(2 − k)={−1, 1, 2, 1} v2 ={−1, 2, 6, 1} y2 =8 ↑ ↑ h(3 − k)={0, −1, 1, 2, 1} v3 ={0, −2, 3, 2} y3 =3 ↑ ↑ h(4 − k)={0, 0, −1, 1, 2, 1} v4 ={0, 0, −3, 1} y4 =-2 ↑ ↑ h(5 − k)={0, 0, 0, −1, 1, 2, 1} v5 ={0, 0, 0, −1} y5 =-1 ↑ ↑ Con lo que resulta la se˜al de salida en n y(n) = {1, 4, 8, 8, 3, −2, −1} ↑ 2.11 Ejemplo 2.12 Para el caso en que la entrada x(n) y la respuesta impulsional h(n) sean de longitud finita, calcule la longitud de la salida en t´rminos de las longitudes de x(n) y e h(n). Soluci´n: o Una se˜al finita tiene longitud N si el intervalo m´s peque˜o con muestras diferentes de n a n cero tiene N muestras. Asuma que los ´ ındices menor y mayor de la entrada x(n) son ki y kf respectivamente, y los de la respuesta impulsional h(n) son li y lf (figura 2.17). La longitud de x(n) es entonces Nx = kf − ki + 1, y la longitud de la respuesta impulsional es Nh = lf − li + 1. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 53. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 39 x(n) h(n) ki kf li lf Figura 2.17: ´ Indices de las se˜ales de entrada y repuesta impulsional. n El desplazamiento menor nmin para el que puede haber salida es (figura 2.18): nmin = ki + li x(k) ki kf k h(n − k) −lf −li k nmin = ki + li Figura 2.18: Menor desplazamiento para el que puede haber salida. El desplazamiento mayor nmax para el que puede haber salida es (figura 2.19): nmax = kf + lf La longitud de la se˜al de salida es entonces n Ny = nmax − nmin + 1 = (kf + lf ) − (ki + li ) + 1 + (1 − 1) = (kf − ki + 1) + (lf − li + 1) − 1 = Nx + Nh − 1 es decir, el resultado de la convoluci´n tiene una longitud que es tan solo una muestra o menor que la suma de las longitudes de las dos se˜ales sobre las que ella opera. n 2.12 En el ejemplo anterior se observa que para los valores nmin y nmax , es decir, los l´ ımites del intervalo de muestras donde existe salida no nula, es irrelevante qu´ funci´n representa la e o entrada y qu´ funci´n representa la respuesta al impulso del sistema. Esto indica cierta e o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 54. 40 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo a x(k) ki kf k h(n − k) −lf −li k nmax = kf + lf Figura 2.19: Mayor desplazamiento para el que puede haber salida. simetr´ en la convoluci´n. Con un simple cambio de variables es posible demostrar que ıa o la convoluci´n es de hecho totalmente conmutativa, y no solo el valor de sus ´ o ındices: ∞ ∞ y(n) = x(n) ∗ h(n) = x(k)h(n − k) = x(n − m)h(m) ↑ k=−∞ m=n−k m=−∞ ∞ = h(k)x(n − k) k=−∞ = h(n) ∗ x(n) Ejemplo 2.13 Encuentre a trav´s de la convoluci´n la respuesta de un sistema con e o respuesta exponencial al impulso: h(n) = an u(n), |a| < 1 . ante el escal´n unitario u(n). o Soluci´n: o Obs´rvese que an = en ln a , con lo que se establece la relaci´n con los sistemas anal´gicos e o o de respuesta exponencial ha (t) = e−t/τ (figura 2.20). Para encontrar m´s detalles de esta a relaci´n as´mase que la se˜al ha (t) se discretiza en el tiempo con un intervalo de muestreo o u n T: ! T ha (nT ) = e−nT /τ = en ln a ⇒ ln a = − ⇒ a = e−T /τ τ Puede observarse que este tipo de sistemas anal´gicos solo permiten a ≥ 0, mientras que o los sistemas discretos permiten adem´s a < 0 sin ninguna complejidad computacional a adicional. Para determinar la salida y(n) del sistema con la entrada escal´n unitario u(n) se utiliza o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 55. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 41 R vent (t) = δ(t) vsal (t) vsal = τ e−t/τ , 1 τ = RC C Figura 2.20: Circuito anal´gico con respuesta exponencial al impulso. o la sumatoria de convoluci´n: o ∞ ∞ y(n) = x(n − k)h(k) = u(n − k)h(k) (2.21) k=−∞ k=−∞ Puesto que las secuencias producto son 0 para n < 0 entonces y(n) = 0 para n < 0. Evaluando entonces (2.21) para varios n se obtiene: y(0) = h(0) = 1 y(1) = h(0) + h(1) = 1 + a y(2) = h(0) + h(1) + h(2) = 1 + a + a2 . . . n n y(n) = h(k) = ak k=0 k=0 Recordando n k k=0 a = 1 +a +a2 + . . . +an n k a k=0 a = a +a2 + . . . +an +an+1 (1 − a) n k=0 ak = 1 −an+1 con lo que se deriva n 1 − an+1 ak = k=0 1−a 1 Si |a| < 1 entonces lim an+1 = 0 lo que implica que y(∞) = 1−a . La figura 2.21 muestra n→∞ un ejemplo de la respuesta para a = 0,9. N´tese la similitud con la respuesta del sistema anal´gico al escal´n continuo de la forma o o o −t/τ k(1 − e ). M´s tarde en el curso se retomar´n estas similitudes. a a 2.13 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 56. 42 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo a x(n) 10 1 1−a 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 n 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Figura 2.21: Respuesta al sistema exponencial con a = 0,9. 2.4.4 Propiedades de la convoluci´n o Conmutatividad y(n) = x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n) x(n) y (n) h(n) y (n) h(n) x(n) Figura 2.22: Representaci´n de la propiedad de la convoluci´n de conmutatividad. o o Asociatividad [x(n) ∗ h1 (n)] ∗ h2 (n) = x(n) ∗ [h1 (n) ∗ h2 (n)] x(n) x(n) h1 (n) h2 (n) h1 (n) ∗ h2 (n) Figura 2.23: Representaci´n de la propiedad de la convoluci´n de asociatividad. o o Distributividad x(n) ∗ [h1 (n) + h2 (n)] = x(n) ∗ h1 (n) + x(n) ∗ h2 (n) Las tres propiedades pueden generalizarse para m´s de dos subsistemas. a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 57. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 43 h1 (n) x(n) y (n) x(n) y (n) h1 (n) + h2 (n) h2 (n) Figura 2.24: Representaci´n de la propiedad de la convoluci´n de distributividad. o o 2.4.5 Sistemas LTI causales En un sistema causal la salida en n = n0 depende solo de valores de entrada x(n) para n ≤ n0 , es decir, de valores pasados. Como ∞ ∞ −1 y(n0 ) = h(k)x(n0 − k) = h(k)x(n0 − k) + h(k)x(n0 − k) k=−∞ k=0 k=−∞ Muestras Muestras pasadas y futuras actual se deriva que h(k) = 0 para todo k ≤ −1, pues solo as´ la salida podr´ ser independiente ı a de entradas futuras. Dado que h(n) es la respuesta impulsional de un sistema LTI en reposo, h(n) = 0 para n < 0 es condici´n necesaria y suficiente para la causalidad. Un o sistema es causal entonces si y solo si h(n) = 0, ∀n < 0. Si un sistema es causal entonces la convoluci´n puede simplificarse en o ∞ n y(n) = h(k)x(n − k) = x(k)h(n − k) k=0 k=−∞ Generalizando, a una secuencia x(n) con x(n) = 0 para alg´n n < 0 se le denomina u secuencia no causal, y de lo contrario, secuencia causal. A secuencias con x(n) = 0 para n ≥ 0 y con x(n) = 0 para alguna muestra con n < 0 se les denomina secuencias anticausales. Si tanto la entrada x(n) como la respuesta impulsional son causales, entonces la convolu- ci´n se simplifica en: o n n y(n) = h(k)x(n − k) = x(k)h(n − k) k=0 k=0 N´tese que esta respuesta es a su vez causal, es decir, y(n) = 0 para todo n < 0. o 2.4.6 Estabilidad de sistemas lineales e invariantes en el tiempo Un sistema se dice estable si para toda entrada acotada su salida es tambi´n acotada: e |x(n)| ≤ Mx < ∞ → |y(n)| ≤ My < ∞ ∀n c 2005-2011 — P. Alvarado
- 58. 44 2.4 An´lisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo a Dada la convoluci´n o ∞ y(n) = h(k)x(n − k) k=−∞ y su valor absoluto ∞ ∞ ∞ |y(n)| = h(k)x(n − k) ≤ |h(k)||x(n − k)| ≤ |h(k)|Mx k=−∞ k=−∞ k=−∞ ∞ |y(n)| ≤ Mx |h(k)| k=−∞ lo que implica que |y(n)| es acotada solo si ∞ Sh = |h(k)| ≤ ∞ k=−∞ En consecuencia un sistema LTI es estable si su respuesta impulsional es absolutamente sumable. Esta condici´n es necesaria y suficiente. o Si h(n) no es absolutamente sumable entonces, derivado de lo anterior, deber´ existir al ıa menos una entrada que produce una salida no acotada y por tanto el sistema es inestable. Si para un sistema con respuesta al impulso h(n) se elige como entrada la se˜al n h∗ (−n) |h(−n)| para h(−n) = 0 x(n) = 0 para h(−n) = 0 basta entonces con demostrar que existe alg´n valor de n para el que y(n) no est´ acotada u a para concluir inestabilidad. Por ejemplo, calc´lese y(0) u ∞ ∞ ∞ |h(k)|2 y(0) = x(−k)h(k) = = |h(k)| = Sh k=−∞ k=−∞ |h(k)| k=−∞ Quiere decir que si h(n) no es absolutamente sumable (Sh → ∞) entonces la salida no es acotada y el sistema es inestable. La condici´n ∞ o k=−∞ |h(k)| < ∞ implica que h(n) tiende a cero cuando n → ∞, lo que a su vez implica que si la entrada x(n) es cero para todo n > n0 entonces la salida tiende a cero para n → ∞: N −1 ∞ y(n0 + N ) = h(k)x(n0 + N − k) + h(k)x(n + N − k) k=−∞ k=N =0 (x(n)=0,n>n0 ) ∞ ∞ ∞ ⇒ |y(n0 + N )| = h(k)x(n + N − k) ≤ |h(k)||x(n + N − k)| ≤ Mx |h(k)| k=N k=N ≤Mx k=N c 2005-2011 — P. Alvarado
- 59. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 45 ∞ Si N → ∞ entonces limN →∞ k=N |h(k)| = 0 y de ah´ que lim y(n0 + N ) = 0. ı N →∞ Esto implica que en un sistema estable cualquier excitaci´n de duraci´n finita a la entrada o o produce una respuesta transitoria, es decir, una respuesta cuya amplitud decrece y se anula con el tiempo. Ejemplo 2.14 Determine el rango del par´metro a para el que el sistema LTI de res- a n puesta al impulso h(n) = a u(n) es estable. Soluci´n: o El sistema es estable si ∞ ∞ |ak | = |a|k = 1 + |a| + |a|2 + . . . k=0 k=0 converge. Esto ocurre si y solo si |a| < 1 y esta suma converge a ∞ 1 |ak | = k=0 1 − |a| 2.14 Ejemplo 2.15 Determine el rango de valores de a y b para los cuales el sistema LTI de respuesta an n ≥ 0 h(n) = bn n < 0 es estable. Soluci´n: o La condici´n de estabilidad es o ∞ −1 ∞ ∞ n ∞ n n 1 |b| 1 |h(n)| = |b| + |a| = + |a|n = + n=−∞ n=−∞ n=0 n=1 b n=0 |b| − 1 1 − |a| Converge Converge si |b| > 1 si |a| < 1 El sistema es estable si |a| < 1 y si |b| > 1. 2.15 2.4.7 Sistemas de respuesta finita e infinita Es util distinguir los sistemas entre aquellos con una respuesta finita al impulso (FIR: ´ Finite Impulse Response) y aquellos con respuesta infinita al impulso (IIR: Infinite Im- pulse Response) por las consideraciones pr´cticas que los distintos conceptos conllevan: a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 60. 46 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias la implementaci´n de los primeros se puede realizar directamente, mientras que algunos o de los segundos pueden realizarse por medio de ecuaciones de diferencias. Para los sistemas causales FIR la convoluci´n se reduce a o M −1 y(n) = h(k)x(n − k), h(k) = 0, k < 0 ∧ k ≥ M (2.22) k=0 El sistema se comporta como una “ventana” que solo permite ver M muestras para calcular la salida. Se dice que el sistema FIR tiene memoria finita de M muestras. 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias El c´lculo de la convoluci´n: a o ∞ y(n) = h(k)x(n − k) k=−∞ s´lo es posible para sistemas FIR, puesto que en el caso de sistemas IIR se requerir´ de o ıa una memoria infinita para almacenar h(n), y un n´mero infinito de multiplicaciones y u adiciones para calcular una sola muestra de la salida. Las llamadas ecuaciones de diferencias permiten trabajar con sistemas IIR. 2.5.1 Sistemas discretos recursivos y no recursivos Un sistema es recursivo si su salida en el instante n depende de valores anteriores de la salida, y(n − 1), y(n − 2), . . .: y(n) = F [y(n − 1), y(n − 2), . . . , y(n − N ), x(n), x(n − 1), . . . , x(n − M )] donde F [·] denota una funci´n cualquiera, y sus argumentos son las entradas y salidas o presentes y pasadas. El sistema es no recursivo si solo depende de las entradas presentes y pasadas, mas no de salidas pasadas: y(n) = F [x(n), x(n − 1), . . . , x(n − M )] N´tese que los sistemas LTI FIR causales, cuya salida se expresa como la suma finita de o convoluci´n (2.22) no son recursivos. o El lazo de realimentaci´n da origen a una diferencia fundamental en el c´lculo de la salida: o a La salida recursiva debe determinarse en orden, pues para calcular y(n0 ) se necesitan todos los N valores anteriores, mientras que en un sistema no recursivo las salidas anteriores no son necesarias y se puede calcular un valor directamente para cualquier n. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 61. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 47 x(n) y (n) F [x(n), x(n − 1), x(n − 2), ... , x(n − M)] Sistema no recursivo x(n) F [y (n − 1), ... , y (n − N) y (n) x(n), ..., x(n − M)] Sistema recursivo z −1 Figura 2.25: Diagrama de bloques de sistemas recursivos y no recursivos. Ejemplo 2.16 Determine una expresi´n recursiva para el sistema de media acumulativa. o Soluci´n: o El sistema de media acumulativa n 1 y(n) = x(k) n+1 k=0 es recursivo pues n (n + 1)y(n) = x(k) k=0 n−1 ⇒ ny(n − 1) = x(k) k=0 n−1 ⇒ (n + 1)y(n) = x(k) + x(n) = ny(n − 1) + x(n) k=0 n 1 y(n) = y(n − 1) + x(n) n+1 n+1 1 = (ny(n − 1) + x(n)) (2.23) n+1 N´tense los coeficientes no constantes para la salida anterior y(n − 1) y la entrada actual o n 1 x(n), que son n+1 y n+1 respectivamente; estos implican que el sistema es variante en el tiempo. La figura 2.26 muestra el diagrama de bloques correspondiente. 2.16 2.5.2 Sistemas LTI caracterizados por ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes Los sistemas descritos por ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes son una subclase de los sistemas recursivos y no recursivos. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 62. 48 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias 1 n+1 x(n) y (n) z −1 n Figura 2.26: Diagrama de bloques del sistema de media acumulativa. Consid´rese un sistema causal representado por (ver adem´s la figura 2.27) e a y(n) = ay(n − 1) + x(n) x(n) y (n) a z −1 Figura 2.27: Diagrama de bloques de un sistema LTI. que a pesar de su similitud con (2.23), difiere por la naturaleza de los coeficientes, lo que tiene implicaciones sobre la invarianza en el tiempo. En este ultimo caso, el coeficiente ´ a es constante y el sistema es invariante en el tiempo. Para la media acumulativa, el coeficiente es dependiente del tiempo y el sistema es entonces variante en el tiempo. Eval´ese ahora la respuesta de este sistema ante una entrada x(n) con x(n) = 0, n < 0, u y con una condici´n inicial y(−1): o y(0) = ay(−1) + x(0) y(1) = ay(0) + x(1) = a2 y(−1) + ax(0) + x(1) y(2) = ay(1) + x(2) = a3 y(−1) + a2 x(0) + ax(1) + x(2) . . . y(n) = an+1 y(−1) + an x(0) + an−1 x(1) + . . . + a0 x(n) n n+1 =a y(−1) + ak x(n − k), n ≥ 0 k=0 yzi (n) yzs (n) El t´rmino yzi (n) depende de las condiciones iniciales y se obtendr´ si la entrada fuese cero e ıa (zero input), como producto del estado inicial del sistema y de sus caracter´ ısticas propias. A yzi (n) se le denomina respuesta natural o libre del sistema, o tambi´n, respuesta a e entrada nula. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 63. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 49 El t´rmino yzs (n) se obtiene cuando el estado del sistema es cero (zero state), es decir, con e una entrada x(n) cuando el sistema est´ en reposo, y se le denomina respuesta en estado a nulo o respuesta forzada. N´tese que en el ejemplo yzs (n) puede interpretarse como la o convoluci´n de x(n) con la respuesta impulsional: o h(n) = an u(n) donde los ´ ındices son finitos por la causalidad de ambas se˜ales x(n) y h(n). n Este ejemplo corresponde a una ecuaci´n de diferencias de primer orden, y es un caso o particular de la ecuaci´n de diferencias: o N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) k=1 k=0 o con a0 = 1: N M ak y(n − k) = bk x(n − k) k=0 k=0 donde el entero N recibe el nombre de orden de la ecuaci´n de diferencias u orden del o sistema. Las condiciones iniciales y(−1), . . . , y(−N ) resumen toda la historia pasada del sistema, y son necesarias para efectuar el c´lculo de las salidas presentes y futuras. a N´tese que la ecuaci´n de diferencias por s´ sola no describe un sistema, en el sentido de o o ı que una entrada x(n) no produce una unica salida: para cada conjunto de condiciones ´ iniciales se obtiene una salida particular. De este modo, un sistema es caracterizado tanto por la ecuaci´n de diferencias como por las condiciones iniciales. o Anteriormente se introdujo la propiedad de escalado (2.20) de un sistema lineal, de la que se deduce que un sistema lineal con entrada cero debe tener una entrada nula, puesto que de otro modo aparece una inconsistencia de escalado: multiplicando cualquier entrada con cero, debe producir una salida multiplicada tambi´n por cero, que debe ser nula. Con e el esquema anterior compuesto de respuestas forzada y natural se nota que la respuesta natural de un sistema descrito con una ecuaci´n de diferencias produce una salida a pesar o de que la entrada es nula, y por tanto viola la propiedad de escalado lo que indica que la ecuaci´n en el caso general representa a un sistema no lineal. o El concepto de linealidad debe entonces replantearse como la satisfacci´n de tres requisi- o tos: 1. La respuesta total es igual a la suma de las respuestas de entrada nula y en estado nulo (y(n) = yzi (n) + yzs (n)). 2. El principio de superposici´n se aplica a la respuesta en estado nulo (lineal en estado o nulo). c 2005-2011 — P. Alvarado
- 64. 50 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias 3. El principio de superposici´n se aplica a la respuesta a la entrada nula (lineal a o entrada nula). La redefinici´n del concepto para cada una de las componentes de la respuesta permite o resolver las inconsistencias introducidas por las condiciones iniciales. Ejemplo 2.17 Determine que un sistema descrito por la ecuaci´n de diferencias de o primer orden es lineal. Soluci´n: o 1. n n+1 y(n) = ay(n − 1) + x(n) = a y(−1) + ak x(n − k) k=0 Con la entrada cero se obtiene: yzi (n) = an+1 y(−1) Con estado inicial cero se obtiene: n yzs (n) = ak x(n − k) ⇒ y(n) = yzi (n) + yzs (n) k=0 2. Para x1 (n), n yzs1 (n) = ak x1 (n − k) k=0 Para x2 (n), n yzs2 (n) = ak x2 (n − k) k=0 n n k yzs1 (n) + yzs2 (n) = a x1 (n − k) + ak x2 (n − k) k=0 k=0 n = ak (x1 (n − k) + x2 (n − k)) k=0 que equivale a la respuesta del sistema a x1 (n) + x2 (n) y, por lo tanto, el sistema es lineal en estado nulo. 3. Con yzi1 (n) = an+1 y1 (−1) y yzi2 (n) = an+1 y2 (−1), se obtiene yzi1 + yzi2 = an+1 y1 (−1) + an+1 y2 (−1) = an+1 (y1 (−1) + y2 (−1)) que equivale a la respuesta de entrada cero del sistema con condiciones iniciales y(−1) = y1 (−1) + y2 (−1), por lo que el sistema es lineal a entrada nula. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 65. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 51 De forma similar, es posible demostrar que todo sistema descrito por una ecuaci´n de o diferencias con coeficientes constantes es lineal. Estos sistemas son a su vez invariantes en el tiempo, al ser sus coeficientes constantes. El estudio de estabilidad en sistemas de orden mayor a 1, requiere de otras t´cnicas que e ser´n estudiadas posteriormente. a 2.17 2.5.3 Soluci´n de ecuaciones de diferencias con coeficientes cons- o tantes El objetivo de solucionar la ecuaci´n de diferencias o N M ak y(n − k) = bk x(n − k) (2.24) k=0 k=0 es encontrar la salida y(n) de un sistema para una determinada entrada x(n) dado un conjunto de condiciones iniciales (o finales). Se puede asumir que la ecuaci´n de diferencias o corresponde a un sistema causal, o anticausal, para lo cual usualmente se plantea la ecuaci´n de y(n) en t´rminos de salidas anteriores o futuras, respectivamente. En el o e presente documento se tratar´ el caso causal, que es el m´s usual. a a Si se tiene la ecuaci´n de diferencias m´s condiciones de reposo iniciales y(−1) = . . . = o a y(−N ) = 0, se asume que se tiene un sistema causal. Por otro lado, la misma ecuaci´n o de diferencias junto a condiciones de reposo finales y(0) = y(1) = . . . = y(N − 1) = 0 caracterizan a un sistema anticausal. Utilizando el llamado m´todo directo, se asume que la soluci´n se compone de dos partes: e o y(n) = yh (n) + yp (n) (2.25) donde yh (n) es la soluci´n homog´nea o complementaria, y yp (n) es la soluci´n particular . o e o La soluci´n homog´nea de una ecuaci´n de diferencias o e o Para solucionar la ecuaci´n (2.24) se asume primero una entrada nula x(n) = 0, para as´ o ı resolver: N ak y(n − k) = 0 (2.26) k=0 De forma an´loga a la soluci´n de ecuaciones diferenciales, se asume que la soluci´n es de a o o forma exponencial: yh (n) = λn (2.27) Sustituyendo (2.27) como soluci´n tentativa en (2.26), se obtiene: o N ak λn−k = 0 k=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 66. 52 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias que se puede reescribir como: λn−N (λN + a1 λN −1 + a2 λN −2 + . . . + aN −1 λ + aN ) = 0 polinomio caracter´ ıstico El t´rmino entre par´ntesis es llamado polinomio caracter´stico y tiene en general N e e ı ra´ ıces, denotadas λ1 , λ2 , . . . , λN , que pueden ser reales o complejas, apareciendo en el ultimo caso como pares complejos conjugados, siempre y cuando los coeficientes {ak } ´ sean reales. Algunas de las ra´ pueden ser id´nticas (de orden m´ltiple). ıces e u Asumiendo que las ra´ son distintas, la soluci´n m´s general a la ecuaci´n de diferencias ıces o a o homog´nea es: e yh (n) = C1 λn + C2 λn + . . . + CN λn 1 2 N con los coeficientes de ponderaci´n Ck , que se calculan a partir de las condiciones iniciales o especificadas para el sistema. Ejemplo 2.18 Determine la soluci´n homog´nea para la ecuaci´n de diferencias de o e o primer orden: y(n) + a1 y(n − 1) = x(n) (2.28) Soluci´n: o Con x(n) = 0 y yh (n) = λn se obtiene: λn + a1 λn−1 = 0 λn−1 (λ + a1 ) = 0 ⇒ λ = −a1 y la soluci´n ser´ o ıa: yh (n) = Cλn = C(−a1 )n Sustituyendo en (2.28) para n = 0, junto con x(n) = 0, se obtiene: y(0) + a1 y(−1) = 0 ⇒ y(0) = −a1 y(−1) y con yh (0) = C = −a1 y(−1) yh (n) = −a1 y(−1)(−a1 )n = y(−1)(−a1 )n+1 = yzi (n), n ≥ 0 que corresponde adem´s con la respuesta de entrada nula. a 2.18 Ejemplo 2.19 Determine la respuesta a entrada nula del sistema descrito por la ecua- ci´n de diferencias homog´nea de segundo orden o e y(n) − 3y(n − 1) − 4y(n − 2) = 0 . Soluci´n: o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 67. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 53 Suponiendo yh (n) = λn , se obtiene: λn − 3λn−1 − 4λn−2 = λn−2 (λ2 − 3λ − 4) = λn−2 (λ − 4)(λ + 1) Por lo que la forma general de la soluci´n homog´nea es: o e yh (n) = C1 λn + C2 λn = C1 (−1)n + C2 (4)n 1 2 Para la respuesta a entrada nula se plantea: y(0) = 3y(−1) + 4y(−2) = C1 + C2 (2.29) y(1) = 3y(0) + 4y(−1) = 3(3y(−1) + 4y(−2)) + 4y(−1) = 13y(−1) + 12y(−2) = −C1 + 4C2 Sumando y(0) y y(1) resulta en 16y(−1) + 16y(−2) C2 = 5 y considerando (2.29) se deriva adem´s a 3y(−1) + 4y(−2) − C2 = C1 16y(−1) + 16y(−2) 3y(−1) + 4y(−2) − = C1 5 4y(−2) − y(−1) ⇒ C1 = 5 Finalmente 4y(−2) − y(−1) 16y(−1) + 16y(−2) n yzi (n) = (−1)n + 4 . 5 5 2.19 Si λ1 es una ra´ de multiplicidad m, entonces: ız yh (n) = C1 λn + C2 nλn + C3 n2 λn + . . . + Cm nm−1 λn 1 1 1 1 + Cm+1 λn + . . . 2 Ejemplo 2.20 Repita el ejemplo anterior para: y(n) − 4y(n − 1) + 4y(n − 2) = 0 Soluci´n: o Suponiendo yh (n) = λn , resulta en el polinomio caracter´ ıstico λn−2 (λ2 − 4λ + 4) = λn−2 (λ − 2)2 = 0 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 68. 54 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias por lo que la soluci´n general es o yh (n) = C1 λn + C2 nλn , 1 1 λ1 = 2 Se deja como ejercicio al lector demostrar que yzi (n) = [y(−1) − y(−2)]2n+2 + [y(−1) − 2y(−2)]n2n+1 2.20 La soluci´n particular de la ecuaci´n de diferencias o o La soluci´n particular yp (n) debe satisfacer: o N M ak yp (n − k) = bk x(n − k), a0 = 1 k=0 k=0 lo que generalmente depende de la forma de x(n). Ejemplo 2.21 Determine la soluci´n particular de o y(n) + a1 y(n − 1) = x(n), |a1 | < 1 (2.30) para x(n) = u(n) Soluci´n: o Como x(n) es constante para n ≥ 0, se asume que la soluci´n tambi´n es constante para o e n ≥ 0. La soluci´n particular es entonces: o yp (n) = Ku(n) Sustituyendo esto en (2.30) se obtiene: Ku(n) + a1 Ku(n − 1) = u(n) (2.31) y para n ≥ 1 esto equivale a: K + a1 K = 1 K(1 + a1 ) = 1 1 K= 1 + a1 lo que implica que la soluci´n particular es: o 1 yp (n) = · u(n) 1 + a1 2.21 En el ejemplo anterior se asumi´ yp (n) como un escal´n porque la entrada ten´ esta o o ıa forma. Si x(n) fuera exponencial, yp (n) tambi´n lo ser´ Si x(n) fuera senoidal, entonces e ıa. yp (n) tambi´n lo ser´ La tabla 2.4 muestra algunas formas de soluci´n particular para e ıa. o entradas particulares. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 69. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 55 Tabla 2.4: Forma general de la soluci´n particular para diversos tipos de se˜al de entrada o n Se˜al de entrada n Solucion particular x(n) yp (n) δ(n) 0 A(cte) K AM n KM n AnM K0 nM + K1 nM −1 + . . . + KM A n nM An (K0 nM + K1 nM −1 + . . . + KM ) A cos ω0 n K1 cos ω0 n + K2 sin ω0 n A sin ω0 n Soluci´n total a la ecuaci´n de diferencias o o Por la linealidad de los sistemas descritos por ecuaciones de diferencias con coeficientes constantes, la soluci´n total se calcula como la suma de las soluciones homog´nea y o e particular (2.25). Las constantes {Ck }, de la soluci´n homog´nea, sin embargo, deben recalcularse para o e poder satisfacer las condiciones iniciales. Ejemplo 2.22 Determine la soluci´n total y(n), n ≥ 0 de la ecuaci´n de diferencias o o y(n) + a1 y(n − 1) = x(n), con x(n) = u(n) y condici´n inicial y(−1). o Soluci´n: o De los ejemplos anteriores se tiene: 1 yh (n) = C(−a1 )n , yp (n) = 1 + a1 1 y(n) = C(−a1 )n + 1 + a1 Con n = −1 se obtiene: C 1 a1 y(−1) = − + ⇒ −a1 y(−1) + =C a1 1 + a1 1 + a1 y por lo tanto: 1 − (−a1 )n+1 y(n) = (−a1 )n+1 y(−1) + 1 + a1 N´tese que el valor de C depende no s´lo de las condiciones iniciales, sino tambi´n de la o o e entrada. 2.22 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 70. 56 2.5 Sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias 2.5.4 Respuesta impulsional de un sistema recursivo LTI En general, las condiciones iniciales de una ecuaci´n de diferencias adem´s de obligar a la o a revisi´n del concepto de linealidad, tienen efecto sobre la invarianza temporal del sistema. o Esto obliga entonces a redefinir el concepto de respuesta impulsional. La respuesta impulsional h(n) en sistemas recursivos es igual a la respuesta de estado cero del sistema cuando la entrada x(n) = δ(n), es decir, para la respuesta impulsional siempre se considera que el sistema est´ inicialmente en reposo. a Por ejemplo, en el sistema recursivo de primer orden tratado anteriormente, la respuesta de estado cero es: n yzs (n) = ak x(n − k) k=0 y con x(n) = δ(n), se obtiene: n yzs (n) = ak δ(n − k) k=0 n =a , n≥0 As´ su respuesta impulsional es h(n) = an u(n), que coincide con lo calculado previamente. ı, En el caso general de sistemas recursivos LTI (considerados causales), la respuesta de estado cero en t´rminos de convoluci´n con una entrada causal se expresa como e o n yzs (n) = h(k)x(n − k) = h(n) ∗ x(n), n≥0 k=0 Si la entrada es un impulso, lo anterior se reduce a: yzs (n) = h(n) ∗ δ(n) = h(n) Con la entrada δ(n), la soluci´n particular es cero, puesto que x(n) = 0 para n > 0. o Consecuentemente, la respuesta de un sistema a un impulso consiste en la soluci´n a la o ecuaci´n homog´nea con los coeficientes Ck determinados para satisfacer las condiciones o e iniciales. Ejemplo 2.23 Determine la respuesta impulsional h(n) del sistema y(n) − 3y(n − 1) − 4y(n − 2) = x(n) + 2x(n − 1) (2.32) Soluci´n: o En el ejemplo 2.19 se obtuvo: yh (n) = C1 (−1)n + C2 (4)n , n≥0 (2.33) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 71. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 57 que corresponde tambi´n a la respuesta impulsional h(n), debido a que para x(n) = e δ(n), yp (n) = 0. Sustituyendo (2.33) en (2.32), y considerando que el sistema est´ en a reposo (y(−1) = y(−2) = 0): ! y(0) = 1 = C1 + C2 ! y(1) − 3y(0) = 2 ⇒ y(1) = 5 = −C1 + 4C2 6 1 ⇒ 5C2 = 6 ⇒ C2 = , C1 = − 5 5 y finalmente 1 6 h(n) = − (−1)n + (4)n u(n) 5 5 2.23 Cualquier sistema recursivo descrito por una ecuaci´n de diferencias lineal con coeficientes o constantes es un sistema IIR, pero no todo sistema IIR LTI puede ser descrito con estas ecuaciones. La respuesta impulsional de un sistema de orden N , descrito por una ecuaci´n de dife- o rencias lineal de orden N : N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) k=1 k=0 se obtiene a trav´s de la soluci´n homog´nea: e o e N yh (n) = Ck λn = h(n) k k=1 cuando las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico son distintas, donde los coeficientes {Ck } se obtienen con las condiciones iniciales y(−1) = y(−2) = . . . = y(−N ) = 0 Considerando que ∞ ∞ N N ∞ |h(n)| = Ck λn k ≤ |Ck | |λk |n n=0 n=0 k=1 k=1 n=0 si |λk | < 1 para todo k, entonces ∞ |λk |n < ∞, y por lo tanto ∞ |h(n)| < ∞. Si uno n n=0 o m´s de los |λk | > 1, entonces h(n) no es absolutamente sumable y en consecuencia el a sistema es inestable. Por lo tanto, un sistema IIR causal descrito por una ecuaci´n de diferencias con coeficien- o tes constantes, es estable si todas las ra´ del polinomio son menores que uno en valor ıces absoluto. Esto es as´ a´n con ra´ de multiplicidad m. ı u ıces c 2005-2011 — P. Alvarado
- 72. 58 2.6 Correlaci´n o 2.6 Correlaci´n o La correlaci´n es una operaci´n similar a la convoluci´n que se utiliza para medir la o o o similitud entre dos secuencias. Se aplica en diversas areas de la ingenier´ como radar, ´ ıa sonar, comunicaciones digitales, geolog´ etc. ıa, 2.6.1 Autocorrelaci´n y correlaci´n cruzada o o La correlaci´n cruzada de las secuencias x(n) e y(n), ambas reales y de energ´ finita, se o ıa define como: ∞ rxy (n) = x(k)y(k − n), n = 0, ±1, ±2, . . . k=−∞ o lo que es equivalente: ∞ rxy (n) = x(k + n)y(k), n = 0, ±1, ±2, . . . k=−∞ El ´ ındice n es el par´metro de desplazamiento o retardo en el tiempo, y los sub´ a ındices xy indican cu´les se˜ales han sido correlacionadas. De esta forma se tiene entonces que: a n ∞ ∞ ryx (n) = y(k)x(k − n) = y(k + n)x(k) = rxy (−n) k=−∞ k=−∞ Por lo tanto, ryx (n) es la correlaci´n rxy (n) reflejada con respecto a n = 0. o N´tese que exceptuando el paso de reflexi´n de una de las se˜ales, la correlaci´n es id´ntica o o n o e con la convoluci´n: se desplaza la segunda se˜al, se calcula la secuencia producto, y se o n determina su suma. El lector puede demostrar que: rxy (n) = x(n) ∗ y(−n) Si y(n) = x(n), entonces se obtiene la autocorrelaci´n de x(n), que se define como la o secuencia: ∞ ∞ rxx (n) = x(k)x(k − n) = x(k + n)x(k) k=−∞ k=−∞ Si x(n) e y(n) son se˜ales causales finitas de longitud N (esto es, x(n) = y(n) = 0, ∀n < n 0, n ≥ N ) la correlaci´n puede expresarse como: o N +min{0,n}−1 rxy (n) = x(k)y(k − n) k=max{n,0} c 2005-2011 — P. Alvarado
- 73. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 59 2.6.2 Propiedades de la correlaci´n o Sean x(n) y y(n) dos se˜ales de energ´ finita. La energ´ de la se˜al: n ıa ıa n w(k) = ax(k) + by(k − n) es: ∞ ∞ ∞ ∞ 2 2 2 2 2 [ax(k) + by(k − n)] = a x (k) + b y (k − n) + 2ab x(k)y(k − n) k=−∞ k=−∞ k=−∞ k=−∞ 2 2 = a rxx (0) + b ryy (0) + 2abrxy (n) N´tese que rxx (0) = Ex es la energ´ de la se˜al x(n) y ryy (0) = Ey la energ´ de y(n). o ıa n ıa Puesto que la energ´ es una suma de valores positivos debe cumplirse que: ıa a2 rxx (0) + b2 ryy (0) + 2abrxy (n) ≥ 0 y suponiendo que b = 0, se obtiene dividiendo por b2 : a 2 a rxx (0) + 2rxy (n) + ryy (0) ≥ 0 b b que se puede considerar como ecuaci´n cuadr´tica de variable (a/b) con coeficientes rxx (0), o a 2rxy (n) y ryy (0), que para ser no negativa requiere que el discriminante sea no positivo: 2 4[rxy − rxx (0)ryy (0)] ≤ 0 ⇒ |rxy (n)| ≤ rxx (0)ryy (0) = Ex Ey y para y(n) = x(n): |rxx (n)| ≤ rxx (0) = Ex es decir, la autocorrelaci´n alcanza su valor m´ximo para el retardo cero, cuando por o a decirlo as´ la se˜al es id´ntica a s´ misma. ı n e ı Un escalado de la se˜al por un escalar, escala la correlaci´n de la misma manera, y por n o tanto carece en el an´lisis de importancia por ser m´s relevante la forma de la correlaci´n. a a o Por ello en la pr´ctica se normaliza la correlaci´n para producir as´ valores entre -1 y 1. a o ı La autocorrelaci´n normalizada se define como: o rxx (n) ρxx (n) = rxx (0) y la correlaci´n cruzada como: o rxy (n) ρxy (n) = rxx (0)ryy (0) Como rxy (n) = ryx (−n), se cumple para la autocorrelaci´n rxx (n) = rxx (−n), es decir, es o una funci´n par. o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 74. 60 2.6 Correlaci´n o Ejemplo 2.24 Calcule la autocorrelaci´n de la se˜al: o n x(n) = an u(n), 0<a<1 Soluci´n: o Para n ≥ 0: ∞ ∞ ∞ k k−n −n k rxx (n) = x(k)x(k − n) = a a =a a2 k=n k=n k=n y puesto que lim αN +1 = 0 si α < 1 entonces N →∞ ∞ αn − αN +1 αn αk = lim = k=n N →∞ 1−α 1−α a2n an rxx (n) = a−n = 1 − a2 1 − a2 para n < 0: ∞ ∞ ∞ k rxx (n) = x(k)x(k − n) = ak ak−n = a−n a2 k=0 k=0 k=0 −n |n| a a = = 1−a 2 1 − a2 y combinando ambas partes se obtiene: a|n| rxx (n) = 1 − a2 1 que es, como se predijo, una funci´n par rxx (n) = rxx (−n). Con rxx (0) = o 1−a2 se obtiene la autocorrelaci´n normalizada: o rxx (n) ρxx (n) = = a|n| rxx (0) 2.24 2.6.3 Correlaci´n de secuencias peri´dicas o o La correlaci´n anterior fue definida para se˜ales de energ´ Si las se˜ales x(n) e y(n) son o n ıa. n se˜ales de potencia, su correlaci´n cruzada se define como: n o M 1 rxy (n) = l´ ım x(k)y(k − n) M →∞ 2M + 1 k=−M y la autocorrelaci´n de una se˜al de potencia como: o n M 1 rxx (n) = l´ ım x(k)x(k − n) M →∞ 2M + 1 k=−M c 2005-2011 — P. Alvarado
- 75. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 61 Si las se˜ales son peri´dicas con periodo N , entonces este promedio puede calcularse en n o un solo periodo: N −1 1 rxy (n) = x(k)y(k − n) N k=0 En la pr´ctica se utiliza la correlaci´n para encontrar periodicidades en se˜ales f´ a o n ısicas alteradas por interferencias aleatorias. Si por ejemplo y(n) = x(n) + ω(n), donde x(n) es peri´dica y ω(n) es una se˜al aleatoria, o n entonces la correlaci´n es: o M −1 1 ryy (n) = y(k)y(k − n) M k=0 M −1 1 = [x(k) + ω(k)][x(k − n) + ω(k − n)] M k=0 M −1 1 = [x(k)x(k − n)] + [x(k)ω(k − n)] + [ω(k)x(k − n)] + [ω(k)ω(k − n)] M k=0 = rxx (n) + rxω (n) + rωx (n) + rωω (n) considerando s´lo M muestras y asumiendo y(n) = 0 para n < 0, n ≥ M . o La periodicidad de x(n) permite asumir que rxx (n) tambi´n es peri´dica y presenta picos e o en n = 0, N, 2N, etc.. Por la consideraci´n de tan solo M muestras, conforme N tiende a o M la magnitud de estos picos tiende a cero, por lo que debe escogerse M N y n no debe evaluarse, como regla emp´ ırica, para n > M/2. Si ω(n) es aleatoria puede asumirse que rxω (n) y rωx (n) son muy peque˜as, por no estar n relacionada con x(n). Por la naturaleza aleatoria de ω(n) puede asumirse adem´s quea rωω (n) tiende r´pidamente a cero, por lo que en rωω (n) dominar´ rxx (n), lo que permite a a detectar el periodo. La figura 2.28 muestra un segmento de 701 muestras de una se˜al ac´stica representando n u la vocal “a”. La se˜al original tiene una longitud de 57000 muestras. La figura 2.29 n muestra el resultado de la autocorrelaci´n, donde se aprecia claramente un periodo de o aproximadamente 100 muestras, lo que se puede corroborar con la se˜al original en la n figura 2.28. 2.6.4 Secuencias de correlaci´n de entrada-salida o Si se aplica la se˜al x(n) con autocorrelaci´n rxx (n) a un sistema con respuesta al impulso n o h(n), entonces: ∞ y(n) = h(n) ∗ x(n) = h(k)x(n − k) k=−∞ c 2005-2011 — P. Alvarado
- 76. 62 2.6 Correlaci´n o 0.65 Senal 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1.2 Senal y ruido 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 700 800 900 1000 1100 1200 1300 Figura 2.28: Se˜al ac´stica representando la vocal “a”, en la parte superior pura, y en la parte n u inferior con ruido. 5800 Autocorrelacion 5600 5400 5200 5000 4800 4600 4400 4200 4000 -300 -200 -100 0 100 200 300 Figura 2.29: Autocorrelaci´n de la se˜al con ruido en la figura 2.28. o n La correlaci´n entre la salida y la entrada es o ryx (n) = y(n) ∗ x(−n) = [h(n) ∗ x(n)] ∗ x(−n) = h(n) ∗ rxx (n) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 77. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 63 que depende solo de la respuesta impulsional h(n) y la autocorrelaci´n de la entrada o rxx (n). La autocorrelaci´n de la salida es o ryy (n) = y(n) ∗ y(−n) = [h(n) ∗ x(n)] ∗ [h(−n) ∗ x(−n)] = [h(n) ∗ h(−n)] ∗ [x(n) ∗ x(−n)] = rhh (n) ∗ rxx (n) que equivale a la convoluci´n de la autocorrelaci´n de la respuesta impulsional rhh (n) con o o la autocorrelaci´n de la entrada rxx (n). o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 78. 64 2.7 Problemas 2.7 Problemas Problema 2.1. Encuentre expresiones algebraicas que permitan generar a partir de la se˜al x(n) las siguientes secuencias, utilizando para ello las operaciones fundamentales de n reflexi´n y desplazamiento. o x(n) = {. . . , a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 , a3 , . . .} ↑ 1. x1 (n) = {. . . , a−4 , a−3 , a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 . . .} ↑ 2. x2 (n) = {. . . , a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 . . .} ↑ 3. x3 (n) = {. . . , a4 , a3 , a2 , a1 , a0 , a−1 , a−2 . . .} ↑ 4. x4 (n) = {. . . , a−1 , a−2 , a−3 , a−4 , a−5 , a−6 , a−7 . . .} ↑ Problema 2.2. Si x1 (n) = {4, 2, −1, 5, 1, 3} y x2 (n) = {1, −2, 3, −4, 5}, calcule ↑ 1. x3 (n) = x1 (n) + x2 (n) 2. x4 (n) = x1 (n)x2 (n) 3. x5 (n) = 3x1 (n)x2 (n) Problema 2.3. Sea f = k/N la frecuencia normalizada de una se˜al x(n) periodica n en tiempo discreto con periodo N muestras. Si se asume que k y N son n´meros primos u relativos, y se sabe que x(n) = xa (nT ) donde xa (t) es una se˜al anal´gica peri´dica de n o o periodo Ta que es muestreada entonces con un intervalo de muestreo T , encuentre el n´mero de veces que cabe el periodo de la se˜al anal´gica dentro del periodo de la se˜al u n o n muestreada. Problema 2.4. Determine si cada una de las se˜ales siguientes es peri´dica, y de ser n o as´ determine su periodo fundamental. Asuma t ∈ IR y n ∈ Z. ı √ 1. xa (t) = 5 sen(4t + π/3) √ 2. x(n) = 5 sen(4n + π/3) 3. x(n) = 2ej(nπ/6−π) 4. x(n) = cos(n/8) cos(nπ/8) 5. x(n) = sen(πn/4) + sen(πn/8) + 3 cos(πn/2 + π/6) Problema 2.5. En la secci´n 2.2.3 se demostr´ que una se˜al exponencial compleja o o n jkω0 n discreta sk (n) = e solo tiene N − 1 se˜ales arm´nicamente relacionadas, cuando se n o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 79. 2 Se˜ales ySistemas de Variable Discreta n 65 cumple ω0 = 2π/N . Demuestre que si la frecuencia es ω0 = 2πM/N con M < N , M y N n´meros primos relativos, el n´mero de frecuencias arm´nicamente relacionadas sigue u u o siendo N . Problema 2.6. Genere y muestre las siguientes secuencias en GNU/Octave: 1. x1 (n) = 0,75 δ(n − 5) para 0 ≤ n ≤ 10 2. x2 (n) = 0,9 δ(n) para −7 ≤ n ≤ 7 3. x3 (n) = 1,5δ(n − 250) para −300 ≤ n ≤ 350 4. x4 (n) = 4,5δ(n + 7) para −10 ≤ n ≤ 0 5. x5 (n) = . . . , 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1 . . . para −5 ≤ n ≤ 9 ↑ π 6. x6 (n) = sen 17 n para 0 ≤ n ≤ 25 π 7. x7 (n) = sen 17 n para −15 ≤ n ≤ 25 8. x8 (n) = sen(3πn + π ) para −10 ≤ n ≤ 10 2 9. x9 (n) = cos( √π n) para 0 ≤ n ≤ 50 23 Problema 2.7. Dada una se˜al x(n) = {−2, 3, 4, −1, 0, 2, 3, 2}. n ↑ Represente esta se˜al en GNU/Octave y mu´strela gr´ficamente. n e a Calcule las componentes par e impar de esta se˜al xp (n) e xi (n). n Verfique que la suma de ambas componentes generan la se˜al de entrada original. n Problema 2.8. Genere y visualice en GNU/Octave una representaci´n para la se˜al o n h(n) = {2/7, 2/7, 3/14, 1/7, 1/14, 0}, y otra para la se˜al x(n) = {1, 0, 0, 0, 0, 1}. n ↑ ↑ Calcule y visualice la convoluci´n de las se˜ales h(n) y x(n) utilizando el operador conv. o n Para una se˜al constante, ¿qu´ salida tiene un sistema con respuesta impulsional h(n)? n e ¿Qu´ tipo de filtro es h(n)? e Problema 2.9. Genere y visualice en GNU/Octave una representaci´n para la se˜al o n h(n) = {1, −1}, y otra para la se˜al x(n) = {1, 0, 0, 0, 0, 1}. n ↑ ↑ Calcule y visualice la convoluci´n de ambas se˜ales o n Para una se˜al constante, ¿qu´ salida tiene un sistema con respuesta impulsional h(n)? n e ¿Qu´ tipo de filtro es h(n)? e Problema 2.10. Programe una funci´n de GNU/Octave que reciba dos se˜ales finitas o n y retorna su convoluci´n. o Verifique el funcionamiento de su funci´n compar´ndola con el operator conv. o a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 80. 66 2.7 Problemas Problema 2.11. Genere una funci´n de GNU/Octave que reciba un vector con los o coeficientes ak y otro vector con los coeficientes bk , adem´s de la se˜al de entrada, y que a n utilizando la expresi´n del sistema como ecuaci´n de diferencias genere la se˜al de salida o o n para un n´mero dado de muestras. Las condiciones iniciales deben poder darse en forma u opcional, asumiendo un valor de cero en todas ellas si se omiten. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 81. Cap´ ıtulo 3 An´lisis de sistemas LTI discretos a con la transformada z La transformada z es a los sistemas discretos lo que la transformada de Laplace es a los sistemas continuos. Ambas representan herramientas para el an´lisis de ciertas propieda- a des de las se˜ales, que en el dominio del tiempo s´lo pueden ser evaluadas con un mayor n o n´mero de pasos. u 3.1 La transformada z 3.1.1 La transformada z directa La transformada z directa de una se˜al x(n) se define como la serie de potencias: n ∞ X(z) ≡ x(n)z −n (3.1) n=−∞ que mapea la se˜al x(n) en el dominio del tiempo discreto a la funci´n X(z) en el dominio n o z, lo que se denota como: X(z) ≡ Z {x(n)} La relaci´n entre ambos dominios se indica como: o x(n) X(z) o ´ z x(n) ←→ X(z) Como la transformada z es una serie infinita de potencias, ´sta existe solo para los valores e de z para los que la serie converge. La regi´n de convergencia (ROC, region of convergence) o de X(z) es entonces el conjunto de valores de z para los que X(z) es finita. N´tese que siempre que se hable de la transformada z de una se˜al x(n), debe incluirse o n la ROC. 67
- 82. 68 3.1 La transformada z Si se expresa z en su forma polar z = rejϕ , con r = |z| y ϕ = ∠z, entonces ∞ X(z) = x(n)r−n e−jϕn . n=−∞ Puesto que dentro de la ROC de X(z) se debe cumplir |X(z)| < ∞, entonces: ∞ ∞ |X(z)| = x(n)r−n e−jϕn ≤ x(n)r−n (3.2) n=−∞ n=−∞ es decir, |X(z)| es finita si y s´lo si x(n)r−n es absolutamente sumable. o Para encontrar la ROC se debe entonces encontrar el rango de valores de r para los que la secuencia x(n)r−n es absolutamente sumable. Ahora bien, la ecuaci´n (3.2) puede reescribirse como: o −1 ∞ ∞ ∞ −n −n |X(z)| = x(n)r + x(n)r = |x(−n)r | + n x(n)r−n n=−∞ n=0 n=1 n=0 y ambas sumatorias deben converger si |X(z)| ha de ser finito. Para la primera suma, que corresponde a los elementos anticausales, deben existir valores de r suficientemente peque˜os para que x(−n)rn sea absolutamente sumable (r < r1 ) (figura 3.1). n Im{z} Plano z r1 ∞ ROC de |x(−n)r n | n=1 Re{z} Figura 3.1: Representaci´n gr´fica de la ROC para r suficientemente peque˜os. o a n Para la segunda suma, correspondiente a los elementos causales de x(n), se necesitan valores de r suficientemente grandes para que x(n)r−n sea absolutamente sumable y por tanto converja. Por ello, la ROC ser´n los puntos fuera de una circunferencia r > r2 a (figura 3.2). Como ambas sumas deben converger, la ROC de X(z) es la regi´n anular del plano z, o r2 < r < r1 (figura 3.3). La figura 3.4 muestra un resumen de lo discutido hasta el momento en cuanto a la relaci´n o de la causalidad de una se˜al con respecto a la ROC de su transformada z. n Las propiedades de la transformada z se resumen en la tabla 3.1. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 83. a Tabla 3.1: Propiedades de la transformada z bilateral. Propiedad Dominio n Dominio z ROC Notaci´n o x(n) X(z) R = {z | r2 < |z| < r1 } x1 (n) X1 (z) R1 x2 (n) X2 (z) R2 Linealidad a1 x1 (n) + a2 x2 (n) a1 X1 (z) + a2 X2 (z) por lo menos R1 ∩ R2 Desplazamiento en n x(n − k) z −k X(z) R {0} si k > 0 y R {∞} si k < 0 Escalado en z an x(n) X(a−1 z) |a|r2 < |z| < |a|r1 1 1 Reflexi´n en n o x(−n) X(z −1 ) r1 < |z| < r2 R c 2005-2011 — P. Alvarado Conjugaci´n o x∗ (n) X ∗ (z ∗ ) 3 An´lisis de sistemas LTI discretos con la transformada z 1 Incluye R Parte real Re{x(n)} [X(z) + X ∗ (z ∗ )] 2 1 Incluye R Parte imaginaria Im{x(n)} 2 [X(z) − X ∗ (z ∗ )] dX(z) Derivaci´n en z o nx(n) r2 < |z| < r1 dz −z Convoluci´n o x1 (n) ∗ x2 (n) X1 (z)X2 (z) Por lo menos R1 ∩ R2 Teorema del valor inicial Si x(n) es causal x(0) = lim X(z) z→∞ 69
- 84. 70 3.2 Transformadas z racionales Im{z} Plano z r2 Re{z} Figura 3.2: Representaci´n gr´fica de la ROC para r suficientemente grandes. o a Im{z} Plano z r1 r2 Re{z} Figura 3.3: Representaci´n gr´fica completa de la ROC. o a 3.2 Transformadas z racionales Una clase de transformadas z encontradas con frecuencia en sistemas digitales presentan una forma racional, es decir, un cociente de polinomios en z −1 o z. La tabla 3.2 resume ´ la transformada z de algunas funciones comunes con transformadas de este tipo. 3.2.1 Polos y ceros Los ceros de la transformada z racional X(z) son aquellos valores de z para los que X(z) = 0, y los polos, aquellos z para los que X(z) = ∞ y la serie de Laurent centrada en z contiene un n´mero finito de t´rminos en su parte principal. Como X(z) es racional, u e entonces: M −k N (z) b0 + b1 z −1 + . . . + bM z −M k=0 bk z X(z) = = = N D(z) a0 + a1 z −1 + . . . + aN z −N k=0 ak z −k Asumiendo a0 = 0 y b0 = 0 y factorizando b0 z −M y a0 z −N para eliminar las potencias c 2005-2011 — P. Alvarado
- 85. 3 An´lisis desistemas LTI discretos con la transformada z a 71 Funciones de duraci´n finita o Causal z {0} n Anticausal z {∞} n Bilateral z {0, ∞} n Funciones de duraci´n infinita o Causal r2 < |z| n Anticausal |z| < r1 n Bilateral r2 < |z| < r1 n Figura 3.4: Familia de Se˜ales y sus ROC[15]. n c 2005-2011 — P. Alvarado
- 86. 72 3.2 Transformadas z racionales Tabla 3.2: Transformada z de algunas funciones comunes Se˜al x(n) n Transformada z, X(z) ROC δ(n) 1 Plano z 1 u(n) |z| > 1 1 − z −1 1 an u(n) |z| > |a| 1 − az −1 az −1 nan u(n) |z| > |a| (1 − az −1 )2 1 −(an )u(−n − 1) |z| < |a| 1 − az −1 az −1 −n(an )u(−n − 1) |z| < |a| (1 − az −1 )2 1 − z −1 cos ω0 cos(ω0 n)u(n) |z| > 1 1 − 2z −1 cos ω0 + z −2 z −1 sen ω0 sen(ω0 n)u(n) |z| > 1 1 − 2z −1 cos ω0 + z −2 1 − az −1 cos ω0 an cos(ω0 n)u(n) |z| > 1 1 − 2az −1 cos ω0 + a2 z −2 az −1 sen ω0 an sen(ω0 n)u(n) |z| > 1 1 − 2az −1 cos ω0 + a2 z −2 negativas se obtiene: N (z) M b M −1 b0 z −M z + b1 z + . . . + bbM X(z) = = · 0 0 D(z) a0 z −N z N + a1 z N −1 + . . . + aN a0 a0 Puesto que N (z) y D(z) son polinomios en z, y debido al teorema fundamental del ´lgebra, a X(z) se puede expresar como: M N (z) b0 (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zM ) k=1 (z − zk ) X(z) = = z N −M = Gz N −M N D(z) a0 (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pN ) k=1 (z − pk ) b donde la constante G es igual a a0 ; los ceros {zk } y los polos {pk } corresponden a las 0 ra´ıces de los polinomios N (z) y D(z) respectivamente, y hay N − M ceros en el origen si N > M , o M − N polos en el origen si M > N . Tambi´n se dice que hay un cero en e infinito si X(∞) = 0, o un polo si X(∞) = ∞. Si se cuentan estos ultimos, el n´mero de ´ u polos y ceros es siempre id´ntico. e X(z) puede representarse mediante un diagrama de polos y ceros en el plano complejo z, donde los ceros se denotan con “◦” y los polos con “×”. La multiplicidad se denota con un ´ ımbolo (por ejemplo, un polo de tercer orden se denota con ×3 ). ındice al lado del s´ c 2005-2011 — P. Alvarado
- 87. 3 An´lisis desistemas LTI discretos con la transformada z a 73 Evidentemente la ROC no puede contener ning´n polo, puesto que en ´l la funci´n no u e o converge. Si los coeficientes de los polinomios son reales, entonces sus ra´ ser´n o reales, o apa- ıces a recer´n en pares complejos conjugados. De lo anterior se deriva que si un polinomio es a de orden impar, deber´ entonces tener al menos una ra´ real. Por otro lado, para la a ız factorizaci´n de dicho polinomio se pueden agrupar las ra´ complejas conjugadas para o ıces conformar t´rminos de segundo orden con coeficientes reales. e Ejemplo 3.1 Determine el diagrama de polos y ceros de la se˜al x(n) = an u(n), para n a real positivo. Soluci´n: o 1 z Con X(z) = 1−az−1 = z−a , ROC : |z| > |a|, se obtiene un cero en z = 0 y un polo en z = a (figura 3.5). Im{z} Plano z a Re{z} Figura 3.5: Diagrama de polos y ceros del ejemplo 3.1. 3.1 Ejemplo 3.2 Determine la transformada z de an , 0 ≤ n ≤ M − 1 x(n) = 0 en el resto con a real positivo. Soluci´n: o ∞ M −1 M −1 −n n −n X(z) = x(n)z = a z = (az −1 )n n=−∞ n=0 n=0 M −1 1−αM Puesto que n=0 αn = 1−α , entonces: M z M −aM 1 − (az −1 )M 1− a z zM z M − aM X(z) = = = = 1 − (az −1 ) 1− az z−a z z M −1 (z − a) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 88. 74 3.2 Transformadas z racionales con a = a · 1 = a · ej2kπ , z M − aM = 0 ⇒ z M = aM = aM ej2kπ de donde se deduce que z = aej2πk/M . Es decir, z M − aM tiene M ra´ aej2kπ/M , k = 0, . . . , M − 1. En resumen, ıces X(z) tiene un polo en z = 0 con multiplicidad M − 1 y otro polo en z = a, que se cancela con el cero en a, y M − 1 ceros distribuidos en un c´ ırculo de radio |a| (figura 3.6). Im{z} Plano z M−1 a Re{z} Figura 3.6: Diagrama de polos y ceros del ejemplo 3.2 con M = 4. 3.2 Ejemplo 3.3 Determine la transformada z y la se˜al correspondiente al diagrama de n polos y ceros de la figura 3.7. Im{z} ROC p1 z1 ω0 z2 ω0 Re{z} r p2 Figura 3.7: Diagrama de polos y ceros para el ejemplo (3.3). Soluci´n: o La transformada tiene dos ceros y dos polos: z1 = 0, z2 = r cos ω0 , p1 = r(cos ω0 + j sen ω0 ) = rejω0 , p2 = r(cos ω0 − j sen ω0 ) = re−jω0 . (z − z1 )(z − z2 ) z(z − r cos ω0 ) X(z) = G =G (z − p1 )(z − p2 ) (z − rejω0 )(z − re−jω0 ) −1 1 − rz cos ω0 =G , ROC: |z| > r 1 − 2rz −1 cos ω0 + r2 z −2 De la tabla 3.2 se obtiene x(n) = G(rn cos ω0 n)u(n) 3.3 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 89. 3 An´lisis desistemas LTI discretos con la transformada z a 75 3.2.2 Localizaci´n de los polos y el comportamiento en el domi- o nio de n para se˜ ales causales n Si una se˜al real tiene una transformada z con un solo polo, este tiene que ser real, y la n se˜al correspondiente es entonces la exponencial real: n X(z) = 1 1 − az −1 = z z−a , ROC : |z| > |a| ¡ x(n) = an u(n) ¡ que tiene adem´s un cero en z = 0. N´tese que X2 (z) = z−a , corresponde a X(z)z −1 y 1 a o por tanto la se˜al correspondiente a X2 (z) n x2 (n) = x(n − 1) que sigue siendo una exponencial real. x(n) x(n) Plano z Plano z 1 1 n n -1 1 -1 1 -1 -1 x(n) x(n) Plano z Plano z 1 1 n n -1 1 -1 1 -1 -1 10 x(n) 10 x(n) Plano z Plano z 5 5 n n -1 1 -1 1 -5 -5 -10 -10 Figura 3.8: Comportamiento de la se˜al en relaci´n con la posici´n de un polo real. n o o La figura 3.8 muestra el comportamiento de la se˜al en relaci´n con la posici´n del polo n o o real, incluyendo su magnitud y signo. De la tabla 3.2, se obtiene que: X(z) = az −1 (1 − az −1 )2 = −2 az −1 z (z − a) 2 = az (z − a)2 , ROC: |z| > |a| ¡ x(n) = nan u(n) es una funci´n con un polo en z = a de multiplicidad dos y un cero en z = 0. Su o comportamiento se muestra en la figura 3.9. N´tese que si |a| = 1 y el polo es simple, la se˜al correponde a la respuesta al impulso de o n un sistema, ´ste es entonces condicionalmente estable, pero no as´ si el polo es de mayor e ı multiplicidad. Un par de polos complejos conjugados simples conducen a una se˜al discreta sinusoidal, n multiplicada por una envolvente exponencial discreta cuya forma est´ determinada por la a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 90. 76 3.2 Transformadas z racionales x(n) x(n) Plano z Plano z 1 1 2 2 n n -1 1 -1 1 -1 -1 10 x(n) 10 x(n) Plano z Plano z 5 5 2 2 n n -1 1 -1 1 -5 -5 -10 -10 100 x(n) 100 x(n) Plano z Plano z 50 50 2 2 n n -1 1 -1 1 -50 -50 -100 -100 Figura 3.9: Comportamiento de la se˜al esi su transformada tiene un polo doble real, de n acuerdo con la posici´n del polo. o x(n) Plano z 1 2 n -1 1 -1 x(n) Plano z 2 1 2 n -1 1 -1 -2 70 x(n) Plano z 35 2 n -1 1 -35 -70 Figura 3.10: Se˜ales en relaci´n con la ubicaci´n de un par de polos simples conjugados en su n o o transformada z. magnitud de los polos (figura 3.10). Las se˜ales reales causales con polos reales simples o n pares de polos simples complejos conjugados que est´n dentro de la circunferencia unitaria a son acotadas en magnitud. Una se˜al con polos cerca del origen decrece m´s r´pidamente n a a que otra con polos m´s cercanos a la circunferencia unitaria. El efecto de la posici´n de a o los ceros no es tan determinante como la posici´n de los polos. Por ejemplo, en el caso o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 91. 3 An´lisis desistemas LTI discretos con la transformada z a 77 de las se˜ales senoidales, s´lo afectan la fase. n o 3.2.3 La funci´n de transferencia de un sistema LTI o En el cap´ ıtulo 2 se encontr´ que la salida y(n) de un sistema LTI con respuesta impulsional o h(n) y entrada x(n) est´ dada por la convoluci´n y(n) = h(n) ∗ x(n), que ya se demostr´ y h(n) a o en el dominio z ser equivalente a Y (z) = H(z)X(z), con y(n) Y (z), x(n) X(z) H(z). A H(z), la transformada z de la respuesta impulsional, se le denomina o funci´n de transferencia del sistema. N´tese que conociendo H(z) y la transformada z de o o la entrada X(z) es posible calcular f´cilmente la transformada z de la salida del sistema, a por medio de su producto. Sin embargo, es tambi´n posible, conociendo Y (z) y X(z), e obtener la funci´n de transferencia con: o Y (z) H(z) = X(z) a partir de la cual se puede determinar la respuesta impulsional por medio de la transfor- mada z inversa. Con la ecuaci´n de diferencias del sistema o N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) k=1 k=0 se obtiene transformando al dominio z ambos lados: N M −k Y (z) = − ak Y (z)z + bk X(z)z −k k=1 k=0 N M = −Y (z) ak z −k + X(z) bk z −k k=1 k=0 N M Y (z) 1 + ak z −k = X(z) bk z −k k=1 k=0 M bk z −k Y (z) k=0 H(z) = = N X(z) 1+ ak z −k k=1 Lo que implica que un sistema lineal descrito por una ecuaci´n de diferencias lineal con o coeficientes constantes tiene una funci´n de transferencia racional. o Si ak = 0 para k ∈ [1, N ] (sistema no recursivo), entonces M M −k 1 H(z) = bk z = M bk z M −k k=0 z k=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 92. 78 3.2 Transformadas z racionales es decir, el sistema tiene un polo en el origen de multiplicidad M y M ceros determinados por los par´metros {bk }. Dado que el sistema contiene M polos triviales en z = 0 y M a ceros no triviales, se le denomina sistema de todos ceros. Un sistema as´ es evidentemente ı FIR y se le denomina sistema de media ponderada m´vil. o Si bk = 0 para k ∈ [1, M ] el sistema es recursivo y: b0 b0 z N ! H(z) = N = N , a0 = 1 1+ ak z −k ak z N −k k=1 k=0 que tiene un cero trivial en z = 0 de orden N y N polos determinados por los coeficientes {ak }. A este sistema se le denomina sistema de todos polos, que siempre corresponde a un sistema IIR. La forma general se denomina sistema de polos y ceros, con N polos y M ceros. Los polos y ceros en z = 0 y z = ∞, usualmente no se consideran de forma expl´ ıcita. Por la presencia de polos, este sistema es tambi´n IIR. e Ejemplo 3.4 Determine la funci´n de transferencia y la respuesta impulsional del sis- o tema descrito por: 1 y(n) = y(n − 1) + 2x(n) 2 Soluci´n: o 1 Y (z) = Y (z)z −1 + 2X(z) 2 1 Y (z) 1 − z −1 = 2X(z) 2 Y (z) 2 2z H(z) = = 1 −1 = X(z) 1 − 2z z−1 2 1 que tiene un polo en z = 2 y un cero en z = 0. Utilizando la tabla de transformadas se ¡ obtiene: n 1 H(z) h(n) = 2 u(n) 2 3.4 Ejemplo 3.5 As´mase que un sistema se rige por el diagrama de polos y ceros mostrado u en la figura 3.7. Encuentre la ecuaci´n de diferencias que lo realiza. o Soluci´n: o En el diagrama se observa una regi´n de convergencia externa al c´ o ırculo de radio r, lo que implica que el sistema es causal. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 93. 3 An´lisis desistemas LTI discretos con la transformada z a 79 Utilizando los resultados del ejemplo 3.3 se obtiene que la funci´n de transferencia equi- o valente al diagrama de polos y ceros corresponde a: Y (z) (z − z1 )(z − z2 ) H(z) = =G X(z) (z − p1 )(z − p2 ) 1 − r cos ω0 z −1 =G , ROC: |z| > r 1 − 2r cos ω0 z −1 + r2 z −2 y por tanto Y (z) 1 − 2r cos ω0 z −1 + r2 z −2 = X(z)G 1 − r cos ω0 z −1 Y (z) − 2r cos ω0 Y (z)z −1 + r2 Y (z)z −2 = GX(z) − Gr cos ω0 X(z)z −1 y(n) − 2r cos ω0 y(n − 1) + r2 y(n − 2) = Gx(n) − Gr cos ω0 x(n − 1) y finalmente y(n) = 2r cos ω0 y(n − 1) − r2 y(n − 2) + Gx(n) − Gr cos ω0 x(n − 1) 3.5 3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z a 3.3.1 Respuesta de sistemas con funci´n de transferencia racio- o nal Sea un sistema dado por la ecuaci´n de diferencias: o N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) k=1 k=0 B(z) Su funci´n de transferencia H(z) es racional de la forma H(z) = o A(z) , donde el polinomio B(z) determina los ceros y A(z) los polos de H(z). Si se asume adem´s que el sistema est´ en reposo, esto es, y(−1) = y(−2) = . . . = a a y(−N ) = 0, y que la entrada X(z) tambi´n puede representarse en forma racional como e N (z) X(z) = Q(z) , entonces se tiene que la transformada de la funci´n de salida es de la forma: o B(z)N (z) Y (z) = A(z)Q(z) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 94. 80 3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z a Sup´ngase ahora que A(z) = N (1 − pk z −1 ), Q(z) = L (1 − qk z −1 ) y pk = qm , ∀k, m, o k=1 k=1 y que ning´n cero coincide con los polos, entonces se cumple que: u N L Ak Qk Y (z) = −1 + k=1 1 − pk z k=1 1 − qk z −1 y por lo tanto su transformada inversa ser´: a N L y(n) = Ak pn u(n) k + n Qk qk u(n) k=1 k=1 respuesta natural respuesta forzada Esta secuencia se compone de dos partes: las respuestas natural y forzada. La respuesta natural depende de los polos {pk } del sistema y es influenciada por la entrada x(n) a trav´s de los coeficientes {Ak }. La respuesta forzada depende de los polos de la entrada e {qk } y es influenciada por el sistema a trav´s de los coeficientes {Qk }. e Si X(z) o H(z) tienen polos m´ltiples o polos en com´n, entonces la respuesta Y (z) tendr´ ´ u u a m 1 t´rminos de la forma l=1 (1−pk z−1 )l , donde m es el orden del polo, lo que conducir´ a e a l−1 n t´rminos en y(n) de la forma n pk u(n). e 3.3.2 Condiciones iniciales no nulas Para calcular la respuesta de un sistema a una entrada causal x(n) con condiciones iniciales no nulas, se utiliza la transformada z unilateral: N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) k=1 k=1 ¡ N k M k Y + (z) = − ak z −k Y + (z) + y(−n)z n + bk z −k X + (z) + x(−n)z n k=1 n=1 k=1 n=1 =0 por causalidad Puesto que x(n) es causal, entonces X + (z) = X(z) y se tiene: N M N k + −k + −k −k Y (z) 1 + ak z = X (z) bk z − ak z y(−n)z n , k=1 k=0 k=1 n=1 de donde se despeja: M −k N k k=0 bk z ak z −k y(−n)z n Y + (z) = N X(z) − k=1 N n=1 1+ −k ak z −k k=1 ak z 1+ k=1 N0 (z) = H(z)X(z) + A(z) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 95. 3 An´lisis desistemas LTI discretos con la transformada z a 81 La salida del sistema consta entonces de dos partes, la respuesta de estado nulo Yzs (z) = H(z)X(z) y la respuesta de entrada nula que depende de las condiciones iniciales + N0 (z) Yzi (z) = A(z) + + puesto que Y + (z) = Yzs (z)+Yzi (z) ¡zu y(n) = yzs (n)+yzi (n). Al ser A(z) el denominador de Yzi (z) sus polos ser´n {pk }, y la respuesta a entrada nula tendr´ la forma: a a N yzi = Dk pn u(n) k k=1 lo que puede a˜adirse a la respuesta natural y combinarse para dar: n N L y(n) = Ak pn u(n) + k n Qk qk u(n), con Ak = Ak + Dk k=1 k=1 En resumen, las condiciones iniciales alteran la respuesta natural del sistema modificando los factores de escala {Ak }. No se introducen nuevos polos ni se modifica la respuesta forzada. Ejemplo 3.6 Determine la respuesta al escal´n u(n) del sistema dado por o y(n) = 0,9y(n − 1) − 0,81y(n − 2) + x(n) para las condiciones iniciales: 1. y(−1) = y(−2) = 0 2. y(−1) = y(−2) = 1 Soluci´n: La funci´n de transferencia est´ dada por: o o a 1 H(z) = 1 − 0,9z −1 + 0,81z −2 π cuyos polos son complejos conjugados: p1,2 = 0,9e±j 3 x(n) = u(n) 1 1 − z −1 Con lo que se obtiene directamente: 1 Yzs (z) = π π (1 − − 0,9e−j 3 z −1 )(1 − z −1 ) 0,9ej 3 z −1 )(1 0,542 − j0,049 0,542 + j0,049 1,099 = j π −1 + −j π −1 + 1 − 0,9e 3 z 1 − 0,9e 3 z 1 − z −1 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 96. 82 3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z a Por lo que: π yzs (n) = 1,099 + 1,088(0,9)n cos n − 5.2◦ u(n) 3 Para 1. y(n) = yzs (n) Para 2., con las condiciones iniciales se obtiene: N k −k N0 = − ak z y(−n)z n k=1 n=1 = −(a1 z {y(−1)z} + a2 z −2 {y(−1)z + y(−2)z 2 }) −1 = −(a1 y(−1) + a2 y(−1)z −1 + a2 y(−2)) = −(−0,9 + 0,81 + 0,81z −1 ) = 0,09 − 0,81z −1 N0 (z) 0,09 − 0,81z −1 Yzi (z) = = A(z) 1 − 0,9z −1 + 0,81z −2 0,026 + j0,4936 0,026 − j0,4936 = j π −1 + π 1 − 0,9ze 3 z 1 − 0,9ze−j 3 z −1 y por tanto: π yzi (n) = 0,988(0,9)n cos n + 87◦ u(n) 3 y Y (z) = Yzs (z) + Yzi (z) 1,099 0,568 + j0,445 0,568 − j0,442 Y (z) = + j π −1 + π 1−z −1 1 − 0,9ze 3z 1 − 0,9ze−j 3 z −1 que equivale a: π y(n) = 1,099u(n) + 1,44(0,9)n cos n + 38◦ u(n) 3 3.6 3.3.3 Respuesta transitoria y en r´gimen permanente e Si para todos los polos del sistema {pk } se cumple que |pk | < 1, entonces la respuesta natural del sistema: N ynr (n) = Ak pn u(n) k k=1 decae si n tiende a infinito, y se le denomina respuesta transitoria. Su tasa de decaimiento depender´ de qu´ tan cerca est´n los polos de la circunferencia unidad. Si los polos {qk } a e e de la respuesta forzada tienen magnitudes |qk | < 1, la respuesta a la entrada tambi´n e decae. Si la entrada es sinusoidal implica que hay polos en la circunferencia unitaria, y la respuesta forzada tambi´n tendr´ esos polos y ser´ sinusoidal, y la respuesta se denomina e a a de estado permanente. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 97. 3 An´lisis desistemas LTI discretos con la transformada z a 83 3.3.4 Causalidad y Estabilidad Un sistema es causal si h(n) = 0 para n < 0, lo que implica que su ROC es el exterior de una circunferencia. El sistema es estable si: ∞ |h(n)| < ∞ n=−∞ lo que ocurre s´lo si |z| = 1 est´ dentro de la ROC, o de otro modo, si los polos se o a encuentran dentro de la circunferencia unitaria, puesto que ∞ H(z) = h(n)z −n n=−∞ ∞ |H(z)| ≤ |h(n)||z −n | n=−∞ y evaluando en |z| = 1 ∞ |H(z)||z|=1 ≤ |h(n)| n=−∞ Un sistema LTI ser´ entonces estable s´lo si |z| = 1 est´ en la ROC de H(z). Esta a o a condici´n tambi´n se cumple para sistemas anticausales, es decir, la ROC deber´ ser el o e a interior de una circunferencia que contenga |z| = 1. 3.3.5 Cancelaci´n polo-cero o Los efectos de un polo del sistema pueden cancelarse o reducirse con un cero ya sea del mismo sistema o de la entrada. Sin embargo, posibles efectos como la estabilizaci´n de un o sistema inestable por medio de ceros en la entrada deben evitarse, porque la posici´n de o los polos y ceros no puede alcanzarse con precisi´n arbitraria en sistemas digitales reales. o 3.3.6 Polos de orden m´ ltiple y estabilidad u Un sistema con polos en la circunferencia unitaria es inestable pues basta encontrar una entrada con un polo en el mismo sitio para producir una salida no acotada. Ejemplo 3.7 Determine la respuesta al escal´n de: o y(n) = y(n − 1) + x(n) Soluci´n: o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 98. 84 3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z a 1 1 Con H(z) = 1−z −1 y X(z) = 1−z −1 se obtiene: Y (z) = H(z)X(z) = 1 (1 − z −1 )2 ¡ y(n) = (n + 1)u(n + 1) que contiene un polo doble en z = 1, y equivale a una rampa no acotada. Esto se explica por el hecho de que si Y (z) contiene polos m´ltiples, entonces y(n) tendr´ u a t´rminos de la forma: e Ak nb (pk )n u(n) que son acotados s´lo si |pk | < 1. o 3.7 3.3.7 Estabilidad de sistemas de segundo orden Los sistemas de segundo orden (con dos polos) se utilizan como bloque b´sico para la a construcci´n de sistemas de mayor orden, y por ello requieren de un poco de atenci´n. o o Consid´rese entonces el sistema: e y(n) = −a1 y(n − 1) − a2 y(n − 2) + b0 x(n) con a1 , a2 ∈ IR. Su funci´n de transferencia es o Y (z) b0 b0 z 2 H(z) = = = 2 X(z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 z + a1 z + a2 2 b0 z b0 z 2 = = 2 (z − p1 )(z − p2 ) z − (p1 + p2 )z + p1 p2 Este sistema tiene dos ceros en el origen y dos polos en a1 a2 − 4a2 1 p1,2 = − ± 2 4 El sistema es estable BIBO si |p1,2 | < 1. Puesto que se cumple que a1 = −(p1 + p2 ) y a2 = p1 p2 , se debe cumplir que |a2 | = |p1 p2 | = |p1 ||p2 | < 1 y |a1 | < 1 + a2 ⇒ a2 > |a1 | − 1 En el plano a1 , a2 estas inecuaciones delimitan una regi´n triangular (figura 3.11). o Para obtener estas ecuaciones se sabe que |p1,2 | < 1. Primero as´mase que los polos son u a1 2 2 reales, es decir, 2 ≥ a2 , que equivale a la parte inferior de la par´bola a2 = a21 . En a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 99. 3 An´lisis desistemas LTI discretos con la transformada z a 85 2 a2 a2 a2 = 4 1 1 Polos complejos a1 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 Polos reales -1 a2 = a1 − 1 a2 = −a1 − 1 Figura 3.11: Tri´ngulo de estabilidad en el plano de coeficientes (a1 , a2 ) para un sistema de a segundo orden. a1 2 a1 2 2 − a2 2 − a2 − a1 2 Figura 3.12: Desplazamiento de los polos a la izquierda y a la derecha. esta regi´n, los polos est´n centrados en − a21 , con un desplazamiento hacia la izquierda y o a a1 2 derecha de 2 − a2 (figura 3.12). Por lo tanto, debe cumplirse que: |a1 | a1 2 1− > − a2 2 2 Elevando al cuadrado ambos lados y considerando que a1 ∈ IR se obtiene: 2 |a1 | a1 2 1 − |a1 | + > − a2 ⇒ 1 + a2 > |a1 | 2 2 En caso de que p1,2 sean complejos (n´tese que a2 es positivo puesto que debe ser mayor o 2 que (a1 /2) ), entonces: 2 a1 a1 2 a1 2 a1 2 |p1,2 |2 = − ± j a2 − = + a2 − = a2 2 2 2 2 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 100. 86 3.3 An´lisis de sistemas LTI en el dominio z a y por tanto, para que |p1,2 | < 1, entonces 0 < a2 < 1, lo que confirma la anterior condici´n o |a2 | < 1. Los pares (a1 , a2 ) en la parte superior a la par´bola conducen entonces a polos complejos a conjugados, y bajo la par´bola a polos reales y distintos. Los pares (a1 , a2 ) en la par´bola a a a1 2 2 = a2 conducen a un polo de orden 2. Las funciones de transferencia y sus equivalentes en el dominio del tiempo se resumen en la tabla 3.3, con p = rejω0 , por lo que a1 = −2r cos ω0 , a2 = r2 . Tabla 3.3: Funciones de transferencia de segundo orden y equivalentes temporales Polos Condici´n o H(z) h(n) p1 p2 Reales y distintos a2 > 4a2 1 b0 p1 −p2 1−p1 z −1 − 1−p2 z −1 b0 p1 −p2 pn+1 − pn+1 u(n) 1 2 b0 Reales e iguales a2 = 4a2 1 (1−pz −1 )2 b0 (n + 1)pn u(n) b0 e jω0 e−jω0 n b0 r Complejos conjugados a2 < 4a2 1 j2 sen ω0 1−rejω0 z −1 − 1+re−jω0 z−1 sen ω0 sen[(n + 1)ω0 ]u(n) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 101. 3 An´lisis desistemas LTI discretos con la transformada z a 87 3.4 Problemas Problema 3.1. Grafique las siguientes funciones e indique cualitativamente qu´ regiones e de convergencia (ROC) tiene su transformada z: 1. x(n) = sen(ωn)u(n) 4. x(n) = ur (n) − 2ur (n − 5) + ur (n − 10) 1 −|n| 2. x(n) = u(n + 4) − u(n − 2) 5. x(n) = − 2 3. x(n) = u(−n − 2) 6. x(n) = ur (n + 5)u(−n − 5) Problema 3.2. Encuentre las regiones del plano z donde las siguientes series convergen: ∞ n+2 ∞ −n+2 1 −n 1 1. z 3. zn n=−2 3 n=2 3 ∞ ∞ |n| 1 + (−1)n −n 1 π 2. z 4. cos n zn 2 n=−∞ 3 4 n=0 Problema 3.3. Encuentre la transformada z de u(n − 2) x(n) = 4n con su correspondiente ROC. Problema 3.4. Sea x(n) = (−1)n u(n) + αn u(−n − n0 ) Encuentre para qu´ valores de α y n0 es la ROC de la transformada z de x(n) e 1 < |z| < 2 Problema 3.5. Encuentre la transformada z de 1 n π 2 cos 4 n n≤0 x(n) = 0 n>0 Indique los polos, ceros y ROC. Problema 3.6. Para las siguientes expresiones identifique los ceros y polos finitos e infinitos. z −1 1 − 1 z −1 2 z −2 (1 − z −1 ) 1. 3. 1 − 3 z −1 1 − 1 z −1 1 4 1 − 1 z −1 1 + 4 z −1 4 1 (1 − z −1 ) (1 − 2z −1 ) 2. (1 − 3z −1 ) (1 − 4z −1 ) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 102. 88 3.4 Problemas Problema 3.7. Si x(n) es absolutamente sumable y tiene transformada z racional, con un polo en 1/2, entonces ¿podr´ x(n) ser ıa 1. una se˜al finita? n 3. una se˜al derecha? n 2. una se˜al izquierda? n 4. una se˜al bilateral? n Problema 3.8. Sea 1 − 1 z −2 4 X(z) = 1 + 1 z −2 4 1 + 4 z −1 + 3 z −2 5 8 Indique cu´ntas y cu´les regiones de convergencia son posibles para X(z). a a Problema 3.9. Encuentre para todas las se˜ales discretas x(n) mostradas en la tabla 3.2 n la transformada z correspondiente utilizando la definici´n. o Problema 3.10. Sea x(n) una se˜al con transformada z racional X(z), que tiene un n polo en z = 1/2. Se sabe adem´s que a n 1 x1 (n) = x(n) 4 es absolutamente sumable, pero n 1 x2 (n) = x(n) 8 no es absolutamente sumable. Con esta informaci´n indique si x(n) es izquierda, derecha, o bilateral o finita. Problema 3.11. Encuentre las funciones en tiempo discreto equivalentes a las trans- formadas z indicadas en la tabla 3.2 utilizando la definici´n integral de la transformada o z inversa. Problema 3.12. Utilizando la definici´n de la transformada z inversa, encuentre la o secuencia en el tiempo discreto equivalente a 1 − 3 z −1 1 X(z) = , ROC: |z| > 2 (1 − z −1 )(1 + 2z −1 ) Problema 3.13. Encuentre por divisi´n polinomial la transformada z inversa de o 1 + z −1 X(z) = 1 + 1 z −1 3 para ROC: |z| > 1/3 y para ROC: |z| < 1/3. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 103. 3 An´lisis desistemas LTI discretos con la transformada z a 89 Problema 3.14. Encuentre la transformada inversa de 1 − 1 z −1 3 X(z) = −1 )(1 + 2z −1 ) (1 − z para todas las posibles regiones de convergencia por medio de descomposici´n en fracciones o parciales. Problema 3.15. Encuentre la transformada z inversa de 1 256 − z −8 X(z) = 1 , ROC: |z| > 0 256 1 − 2 z −1 Problema 3.16. Para la ventana rectangular 1 0≤n≤k x(n) = 0 en el resto sea g(n) = x(n) − x(n − 1) 1. Encuentre una expresi´n para g(n) y su transformada z. o 2. Encuentre la transformada z de x(n) considerando que n x(n) = g(k) k=−∞ Problema 3.17. Para las siguientes funciones de transferencia de sistemas discretos, si se sabe que estos son estables indique si adem´s son causales: a 1 − 3 z −1 + 2 z −2 4 1 1. z −1 1 − 1 z −1 1 − 3 z −1 2 1 1 z−2 2. z2 + 1 z − 2 3 16 z+1 3. z + − 2 z −2 − 2 z −3 14 3 3 Problema 3.18. Un sistema LTI tiene funci´n de transferencia H(z) y respuesta al o impulso h(n). Se sabe 1. h(n) es real 2. h(n) es derecha c 2005-2011 — P. Alvarado
- 104. 90 3.4 Problemas 3. lim H(z) = 1 z→∞ 4. H(z) tiene dos ceros ırculo |z| = 3/4 5. H(z) tiene uno de sus polos en una ubicaci´n no real en el c´ o ¿Es el sistema causal? ¿Es estable? Problema 3.19. Encuentre la transformada z unilateral de las siguientes se˜ales. n n 1 1. x1 (n) = u(n + 5) 4 2. x2 (n) = δ(n + 3) + δ(n) + 2n u(−n) |n| 1 3. x3 (n) = 2 Problema 3.20. Un sistema de entrada x(n) y salida y(n) se rige por la ecuaci´n de o diferencias: y(n − 1) + 2y(n) = x(n) 1. Determine la respuesta de entrada cero al sistema si su condici´n inicial es y(−1) = o 2. 2. Encuentra la respuesta de estado cero si su entrada es x(n) = (1/4)n u(n). 3. Determine la salida del sistema para n ≥ 0 si y(−1) = 2 y x(n) = (1/4)n u(n) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 105. Cap´ ıtulo 4 An´lisis frecuencial a El cursos anteriores se deriv´ la descomposici´n de una funci´n peri´dica en componentes o o o o sinusoidales (o exponenciales complejos). La importancia de esta descomposici´n es que o en sistemas LTI unicamente las se˜ales sinusoidales y exponenciales complejas conservan ´ n su forma y su frecuencia (son funciones propias). Tan solo magnitud y fase de cada componente son alteradas por estos sistemas. El an´lisis frecuencial proporciona entonces mecanismos para la extracci´n de esas com- a o ponentes. El t´rmino espectro se utiliza para referirse al contenido de frecuencias de una e se˜al. En la pr´ctica, puesto que no se conoce toda la se˜al en su extensi´n infinita, pa- n a n o sada y futura, debe utilizarse la estimaci´n espectral , para la que se utilizan instrumentos o y algoritmos denominados analizadores espectrales. 4.1 Espectro de se˜ ales continuas n 4.1.1 Espectro de se˜ ales continuas peri´dicas n o Las se˜ales continuas peri´dicas se analizan por medio de la serie de Fourier. Para la n o s´ ıntesis de la se˜al se utiliza n ∞ x(t) = ck ejΩ0 kt k=−∞ y para el an´lisis: a t0 +Tp 1 ck = x(t)e−jΩ0 kt dt Tp t0 Si la se˜al peri´dica tiene potencia media finita Px entonces n o t0 +Tp 1 Px = |x(t)|2 dt Tp t0 91
- 106. 92 4.1 Espectro de se˜ales continuas n y puesto que |x(t)|2 = x(t)x∗ (t) se cumple que t0 +Tp t0 +Tp 1 1 Px = |x(t)|2 dt = x(t)x∗ (t) dt Tp t0 Tp t0 t0 +Tp ∞ 1 = x(t) ck ∗ e−jΩ0 kt dt Tp t0 k=−∞ ∞ t0 +Tp 1 = ck ∗ x(t)e−jΩ0 kt dt k=−∞ Tp t0 ∞ ∞ ∗ = ck ck = |ck |2 k=−∞ k=−∞ que se conoce como la relaci´n de Parseval, e implica que la potencia media de la se˜al o n equivale a la suma de las potencias medias de cada uno de sus componentes frecuenciales, tambi´n llamados arm´nicos. A la gr´fica de |ck |2 para cada frecuencia kF0 (con la e o a frecuencia fundamental F0 = Ω0 /2π) se le denomina densidad espectral de potencia, espectro de la densidad de potencia o simplemente espectro de potencia. Si x(t) es real, puesto que |c−k | = |ck ∗ | = |ck | entonces la densidad espectral de potencia es una funci´n o de simetr´ par. ıa Al par de gr´ficas de |ck | vs. kF0 y θk = ∠ck vs. kF0 se le denomina espectro de tensi´n. a o Puesto que para funciones reales θ−k = ∠ck ∗ = −∠ck = −θk , la fase es impar. Ejemplo 4.1 La serie de Fourier de un tren peri´dico de pulsos rectangulares de ancho o τ en tiempo continuo (figura 4.1a) tiene como coeficientes Aτ sen(πkF0 τ ) ck = . Tp πkF0 τ Analice el efecto del periodo Tp y el ancho del pulso τ en el espectro de la se˜al. n Soluci´n: La distancia entre dos l´ o ıneas espectrales correspondientes a ck y ck+1 es F0 = 1/Tp y el t´rmino τ , adem´s de determinar el ancho del pulso temporal, indica qu´ tan e a e extensa resulta la funci´n sen(x)/x. Las figuras 4.1(b) y (c) permiten comparar que si o se modifica el ancho del pulso temporal manteniendo el periodo, la distancia entre cada l´ ınea espectral se mantiene, mientras que el espectro se contrae (si τ aumenta). Por otro lado, si Tp aumenta (o lo que es equivalente, la frecuencia fundamental F0 baja), pero se mantiene el ancho del pulso τ , la misma funci´n en la frecuencia sen(πkF0 τ )/(πkF0 τ ) es o muestreada m´s a menudo (la densidad de l´ a ıneas espectrales aumenta). 4.1 La tabla 4.1 resume algunas propiedades de la serie de Fourier. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 107. 4 An´lisis frecuencial a 93 x(t) ck 1 t k −Tp −τ 2 τ 2 Tp -15 -10 -5 0 5 10 15 (a) (b) ck ck k k -15 -10 -5 0 5 10 15 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 (c) (d) Figura 4.1: Secuencia peri´dica de pulsos rectangulares en tiempo continuo. (a) Represen- o taci´n temporal. (b) L´ o ıneas espectro de (a) con τ = 1 y Tp = 5. (c) L´ ıneas espectrales de (a) con τ = 2 y Tp = 5. (d) L´ ıneas espectrales de (a) con τ = 1 y Tp = 10. 4.1.2 Espectro de se˜ ales continuas aperi´dicas n o La distancia entre dos l´ ıneas espectrales en el caso de se˜ales peri´dicas es F0 = 1/Tp , lo n o que implica que a mayor periodo, las l´ıneas espectrales se acercan (compare por ejemplo la figura 4.1b con 4.1d). Retomando el c´lculo de los coeficientes de la serie de Fourier a utilizando como t0 = Tp /2 se tiene que Tp /2 1 ck = x(t)e−j2πF0 kt dt . (4.1) Tp −Tp /2 Dejando crecer el periodo Tp se puede alcanzar una frecuencia F0 arbitrariamente peque˜a, n que puede entonces reemplazarse por ∆F0 de tal forma que si Tp → ∞ (se˜al aperi´dica) n o entonces ∆F0 se transforma en un diferencial dF y k∆F0 se convierte en una variable de valor continuo F . La transformada de Fourier se obtiene con estos conceptos eliminando c 2005-2011 — P. Alvarado
- 108. 94 4.1 Espectro de se˜ales continuas n Tabla 4.1: Propiedades de la Serie de Fourier Propiedad Se˜al en el tiempo n Coeficientes x(t) ck x1 (t) c1k x2 (t) c2k Linealidad α1 x1 (t) + α2 x2 (t) α1 c1k + α2 c2k Tp 2 2 Simetr´ par ıa x(t) = x(−t) ck = x(t) cos(ω0 kt) dt Tp 0 ck ∈ IR Tp 2j 2 Simetr´ impar ıa x(t) = −x(−t) ck = − x(t) sen(ω0 kt) dt Tp 0 ck ∈ jIR Funci´n real o x(t) ∈ IR ck = c∗ −k Desplazamiento temporal x(t − τ ) e−jω0 kτ ck Conjugaci´n o x∗ (t) c∗ −k Inversi´n en el tiempo o x(−t) c−k Escalamiento en el tiempo x(αt), α > 0 ck Convoluci´n peri´dica o o x1 (τ )x2 (t − τ ) dτ Tp c1k c2k Tp ∞ Multiplicaci´n o x1 (t)x2 (t) c1l c2k−l l=−∞ dx(t) Diferenciaci´n o jkω0 ck dt t ck Integraci´n o x(t) dt, c0 = 0 −∞ jkω0 t0 +Tp ∞ 1 2 Relaci´n de Parseval o |x(t)| dt = |ck |2 Tp t0 k=−∞ 1 el factor Tp y haciendo Tp → ∞: ∞ X(F ) = x(t)e−j2πF t dt (4.2) −∞ y est´ relacionada directamente por lo tanto con los coeficientes de la serie a trav´s de a e X(F ) = lim Tp ck Tp →∞ En t´rminos de la frecuencia angular Ω = 2πF esta transformaci´n equivale a e o ∞ X(Ω) = x(t)e−jΩt dt −∞ Puede demostrarse adem´s [1] que la transformada inversa de Fourier est´ dada por: a a ∞ x(t) = X(F )ej2πF t dF −∞ c 2005-2011 — P. Alvarado
- 109. 4 An´lisis frecuencial a 95 x(t) t (a) xp (t) t −Tp Tp (b) Figura 4.2: Una funci´n finita x(t) y su extensi´n peri´dica xp (t) o o o o con dΩ = 2πdF ∞ 1 x(t) = X(Ω)ejΩt dΩ . 2π −∞ Si x(t) es una se˜al de extensi´n finita entonces existe una extensi´n peri´dica xp (t) de n o o o periodo Tp mayor a la extensi´n de x(t), como lo muestra la figura 4.2. En este caso se o pueden comparar las ecuaciones (4.1) y (4.2) y se obtiene que 1 ck = X(kF0 ) Tp es decir, la extensi´n peri´dica de una se˜al aperi´dica conduce al muestreo del espectro o o n o de la transformada de Fourier con una tasa F0 . Las condiciones de Dirichlet para la existencia de la transformada de Fourier son equi- valentes a las ya mencionadas en las series de Fourier de se˜ales peri´dicas continuas, n o excepto que la se˜al debe ser ahora absolutamente integrable en todo t y no solo en un n periodo: ∞ |x(t)|dt < ∞ −∞ lo que se deduce del hecho que ∞ ∞ ∞ |X(F )| = x(t)e−j2πF t dt ≤ |x(t)| e−j2πF t dt = |x(t)| dt < ∞ −∞ −∞ −∞ De forma similar a las se˜ales peri´dicas puede demostrarse que n o ∞ ∞ 2 Ex = |x(t)| dt = |X(F )|2 dF −∞ −∞ que es la relaci´n de Parseval para se˜ales aperi´dicas de energ´ finita. La cantidad o n o ıa 2 Sxx (F ) = |X(F )| representa la distribuci´n de energ´ de la se˜al en funci´n de la o ıa n o frecuencia, por lo que a Sxx se le denomina densidad espectral de energ´a. ı Para se˜ales reales se tiene que |X(−F )| = |X(F )| y ∠X(−F ) = −∠X(F ) por lo que n Sxx (−F ) = Sxx (F ). c 2005-2011 — P. Alvarado
- 110. 96 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto n Ejemplo 4.2 Calcule la transformada de Fourier de (figura 4.3a) A |t| ≤ τ /2 x(t) = 0 |t| > τ /2 Utilizando la ecuaci´n (4.2) se obtiene (figura 4.3b): o τ /2 Aτ sen πF τ X(F ) = Ae−j2πF t dt = −τ /2 πF τ x(t) X(F ) A −τ 2 τ 2 t 3 −τ 2 −τ 1 −τ 0 1 τ 2 τ 3 τ F (a) (b) Figura 4.3: Pulso de ancho temporal τ (a) y su transformada de Fourier (b). 4.2 N´tese que mientras x(t) sea m´s localizada en el tiempo, es decir, mientras m´s peque˜o o a a n sea τ , mucho m´s amplio es su espectro puesto que 1/τ crece. Este llamado principio a de incertidumbre es general para todas la se˜ales, e indica que algo muy localizado en el n tiempo no puede ser localizado con precisi´n en el dominio de la frecuencia, y algo con o frecuencias muy puntuales no tiene una ubicaci´n espec´ o ıfica en el tiempo. La tabla 4.2 resume algunas propiedades de la Transformada de Fourier. 4.2 Espectro de se˜ ales en tiempo discreto n En la secci´n anterior se present´ que el espectro de se˜ales continuas abarca frecuencias de o o n −∞ a ∞, donde en el caso de se˜ales peri´dicas solo se encontrar´n frecuencias “discretas” n o a m´ltiplos de F0 = 1/Tp , donde Tp es el periodo fundamental de la se˜al. En cap´ u n ıtulos anteriores se demostr´ que, sin embargo, para se˜ales de naturaleza discreta solo existe o n unicidad para frecuencias normalizadas en el intervalo ] − 1/2; 1/2], ´ [0; 1[. o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 111. 4 An´lisis frecuencial a 97 Tabla 4.2: Propiedades de la Transformada de Fourier Propiedad Se˜al en el tiempo Transformada n x(t) X(jω) x1 (t) X1 (jω) x2 (t) X2 (jω) Linealidad α1 x1 (t) + α2 x2 (t) α1 X1 (jω) + α2 X2 (jω) ∞ Simetr´ par ıa x(t) = x(−t) 2 x(t) cos(ωt) dt 0 X(jω) ∈ IR ∞ Simetr´ impar ıa x(t) = −x(−t) −2j x(t) sen(ωt) dt 0 X(jω) ∈ jIR Funci´n real o x(t) ∈ IR X(jω) = X ∗ (−jω) Dualidad X(jt) 2πx(−ω) Desplazamiento temporal x(t − τ ) e−jωτ X(jω) Desplazamiento en frecuencia ejω0 t x(t) X(jω − jω0 ) 1 1 Modulaci´n o cos(ω0 t)x(t) 2 X(jω − jω0 ) + 2 X(jω + jω0 ) Conjugaci´no x∗ (t) X ∗ (−jω) Inversi´n en el tiempo o x(−t) X(−jω) 1 jω Escalamiento en el tiempo x(at) X |a| a Convoluci´n o x1 (t) ∗ x2 (t) X1 (jω)X2 (jω) 1 Multiplicaci´n o x1 (t)x2 (t) X1 (jω) ∗ X2 (jω) 2π dx(t) Diferenciaci´n o jωX(jω) dt d tx(t) j X(jω) dω t 1 Integraci´n o x(t) dt X(jω) + πX(0)δ(ω) −∞ jω ∞ ∞ 1 Relaci´n de Parseval o |x(t)|2 dt = |X(jω)|2 dω −∞ 2π −∞ 4.2.1 Espectro de se˜ ales discretas peri´dicas n o Una se˜al discreta peri´dica con periodo fundamental N puede tener componentes fre- n o cuenciales separadas por ω = 2π/N radianes o f = 1/N ciclos, que se representan por los exponenciales complejos arm´nicamente relacionados: o sk (n) = ej2πkn/N , k = 0...N − 1 Utilizando la serie generalizada de Fourier con estas se˜ales como base se obtiene para la n c 2005-2011 — P. Alvarado
- 112. 98 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto n s´ ıntesis de una se˜al: n N −1 x(n) = ck ej2πkn/N (4.3) k=0 y considerando que N N −1 a=1 an = 1 − aN n=0 a=1 1−a se puede afirmar para las exponenciales complejas N −1 N k = 0, ±N, ±2N, . . . ej2πkn/N = n=0 0 en el resto tomando a = ej2πk/N por lo que aN = 1. Multiplicando (4.3) por e−j2πln/N y sumando de 0 a N − 1. N −1 N −1 N −1 −j2πln/N x(n)e = ck ej2πkn/N e−j2πln/N n=0 n=0 k=0 N −1 N −1 = ck ej2π(k−l)n/N k=0 n=0 = N cl y finalmente N −1 1 cl = x(n)e−j2πln/N , l = 0, 1, . . . , N − 1 N n=0 N´tese que en esta serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS, discrete time Fourier o series) el coeficiente ck representa la amplitud y fase de la componente frecuencial sk (n) = ej2πkn/N = ejωk n con frecuencia angular normalizada ωk = 2πk/N (o lo que es equivalente fk = k/N ). Puesto que sk (n) es peri´dica al ser fk un n´mero racional (sk (n) = sk (n+N )), o u entonces los coeficientes ck tambi´n son peri´dicos con periodo fundamental N : e o N −1 N −1 1 −j2π(k+N )n/N 1 ck+N = x(n)e = x(n)e−j2πkn/N e−j2πn = ck N n=0 N n=0 Por conveniencia se utiliza para ck normalmente el intervalo k = 0 . . . N − 1. La relaci´n de Parseval es en este caso o N −1 N −1 1 2 |x(n)| = |ck |2 N n=0 k=0 es decir, la potencia media de la se˜al es igual a la suma de las potencias medias de cada n componente en el dominio de la frecuencia. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 113. 4 An´lisis frecuencial a 99 4.2.2 Espectro de se˜ ales discretas aperi´dicas n o La transformada de Fourier de una se˜al de energ´ finita en tiempo discreto x(n) se n ıa define como: ∞ X(ω) = x(n)e−jωn n=−∞ N´tese que X(ω) = X(ω + 2πk), lo que implica que el rango de frecuencias unicas se o ´ limita a [0, 2π[, o de forma equivalente a ] − π, π], que contrasta con el rango [−∞, ∞] de las se˜ales continuas. n Como la se˜al x(n) es discreta, una sumatoria reemplaza la integral del caso continuo. n Puede demostrarse adem´s que a π 1 x(n) = X(ω)ejωn dω . 2π −π La transformada de Fourier converge si ∞ ∞ −jωn |X(ω)| = x(n)e ≤ |x(n)| < ∞ n=−∞ n=−∞ es decir, si la se˜al es absolutamente sumable. n La relaci´n de Parseval en este caso es: o ∞ π 1 Ex = |x(n)|2 = |X(ω)|2 dt n=−∞ 2π −π Para se˜ales reales, el espectro X(ω) tiene magnitud par y fase impar, es decir, se cumple n que X(ω) = X ∗ (−ω), por lo que usualmente basta determinar el espectro para ω ∈ [0, π], pues la contraparte puede generarse por simetr´ıa. Debe notarse en los cuatro casos anteriores la correspondencia entre periodicidad en un dominio y la naturaleza discreta de la representaci´n en el dominio complementario. Es o decir, si la se˜al es peri´dica, su espectro ser´ discreto y si el espectro es peri´dico, es n o a o porque la se˜al es discreta. Si la distancia entre las muestras o la l´ n ıneas espectrales es α entonces la periodicidad en el otro dominio ser´ 1/α. a peri´dico ←→ discreto o aperi´dico ←→ continuo o Por ejemplo, una se˜al continua peri´dica tendr´ un espectro aperi´dico discreto; una n o a o se˜al discreta aperi´dica tendr´ un espectro peri´dico continuo. n o a o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 114. 100 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto n 4.2.3 Relaci´n entre las transformadas de Fourier y z o La transformada z de la secuencia x(n) se ha definido como ∞ X(z) = x(n)z −n , ROC : r2 < |z| < r1 (4.4) n=−∞ Expresando z como z = rejω (r = |z|, ω = ∠z), entonces (4.4) se puede reescribir como ∞ X(z)|z=rejω = x(n)r−n e−jωn n=−∞ que equivale a la transformada de Fourier de la secuencia x(n)r−n . Para el caso especial de r = 1 se obtiene ∞ X(z)|z=ejω = X(ω) = x(n)e−jωn n=−∞ es decir, la transformada de Fourier de x(n) equivale a su transformada z evaluada en la circunferencia unitaria z = ejω . La figura 4.4 muestra como ejemplo la magnitud de la transformada z de una secuencia x(n) y a la derecha la misma funci´n “recortada” en o |z| = 1. La silueta formada en |z| = 1 corresponde entonces a X(ω). 7 7 6 6 5 5 4 4 |X(z)| |X(z)| 3 3 2 2 1 1 1 1 0 Im{z} 0 Im{z} 1 1 0.5 0.5 0 0 –1 –0.5 –1 –0.5 –1 Re{z} –1 Re{z} (a) (b) Figura 4.4: Correspondencia entre X(ω) y X(z) para una funci´n con un par de polos com- o ◦ plejos conjugados en z = 0,95e±j30 y un cero en z = 0. (a) |X(z)|. (b) |X(z)| para |z| < 1. Si X(z) no converge en |z| = 1 entonces la transformada de Fourier no existe. Por otro lado, existen funciones con transformada de Fourier, que no tienen transformada z. Por c 2005-2011 — P. Alvarado
- 115. 4 An´lisis frecuencial a 101 sen ωc n ejemplo, x(n) = πn tiene transformada de Fourier 1 |ω| ≤ ωc X(ω) = 0 ωc < |ω| < π ∞ sen ωc n −n mas no posee transformada z, puesto que para la serie n=−∞ πn z no existe ninguna regi´n de convergencia. o Algunas secuencias con polos en |z| = 1 en su transformada z pueden tener una trans- formada de Fourier si se extiende la definici´n de transformada para utilizar impulsos de o Dirac ∞ ∞ ω=0 δ(ω) = δ(ω) dω = 1 0 ω=0 −∞ Ejemplo 4.3 Determine la transformada de Fourier de las se˜ales n 1. x1 (n) = u(n) 2. x2 (n) = (−1)n u(n) 3. x3 (n) = cos(ω0 n)u(n) 1 z 1. La transformada de x1 (n) es X1 (z) = −1 = con una ROC |z| > 1, pues 1−z z−1 tiene un polo en z = 1. Con z = ejω se obtiene ejω ejω/2 1 ω−π X1 (ω) = = jω/2 = ej 2 ; ω = 2πk, k ∈ Z ejω − 1 e − e−jω/2 2 sen(ω/2) cuya magnitud y fase se muestran en la figura 4.5. |X1 (ω)| 3.5 X1 (ω) π 3 2 2.5 2 ω 1.5 −π 0 π 1 0.5 0 ω −π 2 −π 0 π (a) (b) Figura 4.5: Espectros de magnitud y fase para la funci´n escal´n u(n). (a) Espectro de mag- o o nitud. (b) Espectro de fase. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 116. 102 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto n Puesto que solo en ω = 2kπ X1 (ω) est´ indefinido, se sustituye all´ la transformada a ı por πδ(ω), donde la constante π se obtiene de un desarrollo matem´tico riguroso a 1 que excede el contexto de estas notas. 1 z 2. X2 (z) = = con un polo en z = −1 = ejπ . La transformada de Fourier 1 + z −1 z+1 ejω/2 es entonces X2 (ω) = , con ω = 2πk + π, k ∈ Z. Donde se agregan los 2 cos(ω/2) impulsos en las frecuencias ω = −π y ω = π (figura 4.6). |X2 (ω)| 3.5 X2 (ω) π 3 2 2.5 2 ω 1.5 −π 0 π 1 0.5 0 ω −π 2 −π 0 π (a) (b) Figura 4.6: Espectros de magnitud y fase para la funci´n (−1)n u(n). (a) Espectro de magni- o tud. (b) Espectro de fase. 1 − z −1 cos ω0 3. X3 (z) = , ROC |z| > 1 puesto que tiene dos polos complejos 1 − 2z −1 cos ω0 + z −2 conjugados en e±jω0 . Por lo tanto, la transformada de Fourier es 1 − e−jω cos ω0 X3 (ω) = (1 − e−j(ω−ω0 ) )(1 − e−j(ω+ω0 ) ) con ω = ±ω0 + 2πk (figura 4.7). 4.3 4.2.4 El teorema del muestreo Derivaci´n conceptual por an´lisis de Fourier o a La funci´n puente pT (t) mostrada en la figura 4.8 se utiliza para modelar la toma de o muestras con el intervalo T de la se˜al anal´gica xa (t). La se˜al muestreada xs (t) se n o n modela a trav´s del producto de la se˜al xa (t) y pT (t) (figura 4.9): e n xs (t) = xa (t)pT (t) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 117. 4 An´lisis frecuencial a 103 |X3 (ω)| 3.5 X3 (ω) π 3 2.5 π 2 2 ω 1.5 −π 0 π 1 −π 2 0.5 0 ω −π −π 0 π (a) (b) Figura 4.7: Espectros de magnitud y fase para la funci´n cos(πn/3). (a) Espectro de magnitud. o (b) Espectro de fase. pT (t) t −T T 2T 3T Figura 4.8: Funci´n puente utilizada para tomar muestras peri´dicas en el tiempo de se˜ales o o n continuas. Puesto que la funci´n puente pT (t) es peri´dica, se puede expresar por medio de una serie o o de Fourier con coeficientes Pn : ∞ 2π pT (t) = Pn ejnΩ0 t ; Ω0 = = 2πF n=−∞ T 1 ∞ El desarrollo parte del hecho que −∞ ejωt dω = 2πδ(t), o haciendo un cambio de variable ∞ −∞ ejωt dt = 2πδ(ω). xa (t) t −T T 2T 3T xs (t) t −T T 2T 3T Figura 4.9: Muestreo de se˜al utilizando la funci´n puente. n o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 118. 104 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto n de modo que se cumple ∞ xs (t) = xa (t) Pn ejnΩ0 t n=−∞ Aplicando la transformada de Fourier a ambos lados de la ecuaci´n y utilizando la pro- o piedad de linealidad se obtiene ∞ ∞ Xs (jΩ) = F {xs (t)} = F xa (t) Pn ejnΩ0 t = Pn F xa (t)ejnΩ0 t n=−∞ n=−∞ y considerando la propiedad de desplazamiento en frecuencia, lo anterior equivale a ∞ Xs (jΩ) = Pn Xa (jΩ − jnΩ0 ) n=−∞ ∞ = P0 Xa (jω) + Pn Xa (jΩ − jnΩ0 ) n=−∞ n=0 de donde se deduce que con el muestreo se producen r´plicas del espectro original de e la se˜al Xa (jΩ), separadas en el dominio de la frecuencia por Ω0 = 2π/T y pondera- n das por los coeficientes de la representaci´n de la funci´n puente como serie de Fourier o o (figura 4.10). x(t) X (jΩ) t Ω −2πB 2πB (a) xs (t) Xs (jΩ) t Ω T −2πFs −2πB 2πB Ω0 (b) Figura 4.10: Replicaci´n del espectro por medio del muestreo. o Si el espectro original Xa (jΩ) es de banda limitada, es decir, si a partir de cierta frecuencia 2πB (donde B es el llamado ancho de banda) se cumple Xa (jω) = 0, entonces eligiendo el periodo de muestreo suficientemente alto es posible evitar que las r´plicas se traslapen e con el espectro original. Si xa (t) es real, entonces la magnitud de su espectro es par, y por tanto para evitar el traslape la siguiente r´plica se deber´ posicionar al menos en e a Ω0 > 4πB lo que es equivalente a afirmar que la frecuencia de muestreo fs debe ser al menos el doble del ancho de banda B del espectro Xa (jΩ) para evitar que las replicas se traslapen. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 119. 4 An´lisis frecuencial a 105 Se puede demostrar que si no hay traslape entonces es posible rescatar a partir de la se˜al n muestreada xs (t) la se˜al original xa (t) utilizando un filtro paso-bajos que permita pasar n unicamente el rango de frecuencias angulares desde −2πB hasta 2πB. ´ Estos principios se resumen en el llamado teorema del muestreo que establece que para muestrear una se˜al anal´gica sin p´rdidas de informaci´n se requiere una tasa de muestreo n o e o de al menos el doble del ancho de banda del espectro de la se˜al. n En los ultimos a˜os han tomado fuerza nuevas propuestas2 para requerir a´n menos mues- ´ n u tras que las establecidas por este teorema, aunque su funcionamiento parte de requisitos adicionales impuestos a la funci´n xa (t), donde la posici´n de las muestras deja de ser o o regular, y el comportamiento matem´tico pasa a ser m´s basado en procesos estoc´sticos a a a que deterministas. Derivaci´n algebraica o En la secci´n 2.2.2 se revis´ el hecho de que la m´xima frecuencia normalizada repre- o o a Fmax 1 sentable en una se˜al muestreada es fmax = Fs = 2 . Puesto que la representaci´n de n o Fourier de la se˜al discreta es n x(n) X(ω) = ∞ n=−∞ x(n)e−jωn , ω ∈] − π, π] y X(ω) es peri´dico con periodo fundamental 2π, se obtiene que la frecuencia m´ o ınima de muestreo Fs debe ser elegida de tal modo que sea al menos el doble de la frecuencia m´xima de la se˜al(figura 4.11). a n X (ω) ω −2π −π π 2π f −1 −1 2 0 1 2 1 F −Fs − Fs −B 2 0 B Fs 2 Fs Figura 4.11: Espectro de se˜al discreta con banda limitada sin aliasing. n De otro modo existir´ entre las repeticiones peri´dicas del espectro de la se˜al anal´gica a o n o un traslape, denominado aliasing. Sea xa (t) la se˜al anal´gica muestreada peri´dicamente n o o cada T segundos para producir la se˜al en tiempo discreto x(n): n x(n) = xa (nT ), −∞ < n < ∞ . 2 El lector interesado puede buscar entre otros los temas de compressive sampling y el finite rate of innovation. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 120. 106 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto n Si xa (t) es aperi´dica de energ´ finita, entonces se cumple para su espectro: o ıa Xa (F ) = −∞ ∞ xa (t)e−j2πF t dt ¡ xa (t) = ∞ −∞ Xa (F )ej2πF t dF En el dominio discreto se tiene: X(f ) = ∞ n=−∞ x(n)e −j2πf n ¡ x(n) = 1 2 −1 2 X(f )ej2πf n df Puesto que para la se˜al muestreada se tiene n n t = nT = Fs entonces se cumple que ∞ 1/2 ! x(n) = xa (nT ) = Xa (F )ej2πnF/Fs dF = X(f )ej2πf n df −∞ −1/2 Considerando que f = F/Fs y df = dF/Fs se obtiene entonces Fs /2 ∞ 1 j2πnF/Fs X(F/Fs )e dF = Xa (F )ej2πnF/Fs dF Fs −Fs /2 −∞ El lado derecho se puede segmentar en bloques de ancho Fs de la siguiente manera: ∞ ∞ (k+1/2)Fs j2πnF/Fs Xa (F )e dF = Xa (F )ej2πnF/Fs dF −∞ k=−∞ (k−1/2)Fs Con un cambio de variable en la integral F = F − kFs , dF = dF , se obtiene un desplazamiento del k-´simo bloque al intervalo [−Fs /2, Fs /2]: e (k+1/2)Fs Fs /2 F +kFs Xa (F )ej2πnF/Fs dF = Xa (F + kFs )ej2πn Fs dF (k−1/2)Fs −Fs /2 Fs /2 = Xa (F + kFs )ej2πnF/Fs dF −Fs /2 por lo que Fs /2 ∞ Fs /2 1 F j2πnF/Fs X e dF = Xa (F + kFs )ej2πnF/Fs dF Fs −Fs /2 Fs k=−∞ −Fs /2 Fs /2 ∞ = Xa (F + kFs ) ej2πnF/Fs dF −Fs /2 k=−∞ c 2005-2011 — P. Alvarado
- 121. 4 An´lisis frecuencial a 107 es decir ∞ F X = X(f ) = Fs Xa ((f − k)Fs ) Fs k=−∞ N´tese que el espectro de la se˜al discreta X(f ) es igual a la repetici´n peri´dica con o n o o periodo Fs del espectro escalado Fs Xa (F ). Si el espectro de la se˜al anal´gica es de banda limitada, es decir, Xa (F ) = 0 si |F | ≥ B, n o entonces si se elige Fs mayor a 2B se cumple para el rango de frecuencias unicas |F | ≤ ´ Fs /2: F X = Fs Xa (F ), |F | ≤ Fs /2 . Fs En este caso no existe aliasing y los espectros de las se˜ales continua y discreta son n id´nticos en el intervalo de frecuencias |F | ≤ Fs /2, exceptuando el factor de escala Fs e (figura 4.12). xa (t) Xa (F ) t ω −B B (a) F x(n) X Fs n 1 F T −Fs −B B Fs = T (b) F x(n) X Fs n F T −Fs Fs (c) Figura 4.12: Se˜al anal´gica de espectro finito y los efectos de diferentes frecuencias de mues- n o treo. (a) Se˜al anal´gica xa (t) y su espectro. (b) Muestreo con Fs > 2B. n o (c) Muestreo con Fs < 2B. Si Fs < 2B entonces el solapamiento espectral impide que la se˜al original pueda ser n recuperada a partir de las muestras. Si no hay solapamiento, entonces 1X F |F | ≤ Fs /2 Xa (F ) = Fs Fs 0 |F | > Fs /2 y puesto que ∞ F X = x(n)e−j2πF n/Fs Fs n=−∞ c 2005-2011 — P. Alvarado
- 122. 108 4.2 Espectro de se˜ales en tiempo discreto n y adem´s a Fs /2 xa (t) = Xa (F )ej2πF t dF −Fs /2 se tiene que Fs /2 ∞ 1 xa (t) = x(n)e−j2πF n/Fs ej2πF t dF Fs −Fs /2 n=−∞ ∞ Fs /2 1 n = x(n) ej2πF (t− Fs ) dF Fs n=−∞ −Fs /2 Para t = n/Fs se cumple Fs /2 Fs /2 n ej2πF (t− Fs ) dF = dF = Fs −Fs /2 −Fs /2 y puesto que para t = n/Fs se tiene Fs /2 n n n Fs /2 j2πF ( n t− F ) dF = ej2πF (t− Fs ) ejπFs (t− Fs ) − e−jπFs (t− Fs ) e s = n n −Fs /2 j2π t − Fs j2π t − Fs −Fs /2 n n sen πFs t − Fs Fs sen πFs t − Fs = = n n π t− Fs πFs t − Fs con lo que se cumple para todo t Fs /2 n n ej2πF (t− Fs ) dF = Fs sa πFs t − −Fs /2 Fs entonces ∞ n xa (t) = x(n) sa πFs t − n=−∞ Fs ∞ = xa (nT ) sa (πFs [t − nT ]) n=−∞ que es la interpolaci´n de las muestras utilizando el interpolador ideal o t sen π T t g(t) = t = sa π . (4.5) πT T N´tese que g(t) es cero para t = kT , k ∈ Z 0. En otras palabras, si xa (t) es de o banda limitada B y x(n) = xa (nT ) es muestreada con Fs ≥ 2B entonces xa (t) puede ser reconstruida completamente y de forma unica utilizando el interpolador g(t) dado en (4.5). ´ Debe advertirse, sin embargo, que g(t) tiene extensi´n infinita y no es causal, por lo que en o aplicaciones pr´cticas suele aproximarse con interpoladores finitos. La figura 4.13 muestra a un ejemplo de interpolaci´n de una secuencia finita de muestras x(n) = {0, 3, 2, −1, 1, 0}. o Se aprecia que la funci´n interpolada atraviesa todas las muestras, mientras que para o valores de t no enteros todas las muestras contribuyen al valor interpolado. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 123. 4 An´lisis frecuencial a 109 x(n), xa (t) 4 3 2 1 0 n, t -1 0 1 2 3 4 5 6 -1 -2 Figura 4.13: Ejemplo de iterpolaci´n ideal para una secuencia de muestras finita. o 4.3 Propiedades de la transformada de Fourier de se˜ ales discretas n Simetr´ ıa: Anteriormente se discuti´ el hecho de que cualquier se˜al puede representarse o n como la suma de una componente par y otra impar. Esto se puede aplicar tanto a la parte real como a la imaginaria del espectro y de su se˜al. Se puede demostrar que la relaci´n n o entre estas componentes es la siguiente: x(n) = [xe (n) + R jxe (n)] I + [xo (n) R + jxo (n)] I ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ e e o o X(ω) = [XR (ω) + jXI (ω)] + [jXI (ω) + XR (ω)] Si x(n) es real, entonces X(−ω) = X ∗ (ω) Linealidad: Si x1 (n) X1 (ω) y x2 (n) X2 (ω), entonces: a1 x1 (n) + a2 x2 (n) a1 X1 (ω) + a2 X2 (ω) Desplazamiento temporal: x(n) X(ω) ⇒ x(n − k) e−jωk X(ω) Reflexi´n temporal: o x(n) X(ω) ⇒ x(−n) X(−ω) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 124. 110 4.3 Propiedades de la transformada de Fourier de se˜ales discretas n Teorema de la Convoluci´n: o x1 (n) X1 (ω), x2 (n) X2 (ω) x1 (n) ∗ x2 (n) X1 (ω)X2 (ω) Teorema de la Correlaci´n: o x1 (n) X1 (ω), x2 (n) X2 (ω) rx1 x2 (n) Sx1 x2 (ω) = X1 (ω)X2 (−ω) Si la se˜al es real, puesto que X(−ω) = X ∗ (ω) entonces: n rxx (n) X(ω)X(−ω) = X(ω)X ∗ (ω) = |X(ω)|2 = Sxx (ω) que se conoce como el teorema de Wiener-Khinchin. Desplazamiento frecuencial: x(n) X(ω) ⇒ ejω0 n x(n) X(ω − ω0 ) Teorema de modulaci´n: o x(n) X(ω) ⇒ x(n) cos(ω0 n) 1 2 {X(ω + ω0 ) + X(ω − ω0 )} Teorema de Parseval: x1 (n) X1 (ω), x2 (n) X2 (ω) ∞ π 1 ⇒ x1 (n)x2 ∗ (n) = X1 (ω)X2 ∗ (ω)dω n=−∞ 2π −π Demostraci´n: o π π ∞ 1 ∗ 1 X1 (ω)X2 (ω)dω = x1 (n)e−jωn X2 ∗ (ω)dω 2π −π 2π −π n=−∞ ∞ π 1 = x1 (n) X2 ∗ (ω)e−jωn dω n=−∞ 2π −π ∞ = x1 (n)x2 ∗ (n) Para el caso x1 (n) = x2 (n) = x(n) n=−∞ X(ω): ∞ π π 1 1 Ex = |x(n)|2 = |X(ω)|2 dω = Sxx (ω)dω n=−∞ 2π −π 2π −π c 2005-2011 — P. Alvarado
- 125. 4 An´lisis frecuencial a 111 Teorema del enventanado (multiplicaci´n de secuencias): o x1 (n) X1 (ω), x2 (n) X2 (ω) π 1 ⇒ x3 (n) = x1 (n)x2 (n) X3 (ω) = X1 (λ)X2 (ω − λ)dλ = X1 (ω) ∗ X2 (ω) 2π −π donde el s´ ımbolo ∗ a la derecha, denota la convoluci´n peri´dica en el dominio de la o o frecuencia. Diferenciaci´n en el dominio de la frecuencia: o x(n) X(ω) ⇒ nx(n) j dX(ω) dω 4.4 Sistemas LTI en el dominio de la frecuencia 4.4.1 La funci´n de respuesta en frecuencia o En el cap´ıtulo 2 se demostr´ que la respuesta de cualquier sistema LTI en reposo a una o se˜al de entrada x(n), est´ determinada por la convoluci´n con la respuesta impulsional n a o h(n): ∞ y(n) = h(k)x(n − k) k=−∞ Para analizar este sistema en el dominio de la frecuencia se analiza su respuesta a una se˜al exponencial compleja x(n) = Aejωn . Se obtiene como salida: n ∞ ∞ y(n) = h(k)Ae jω(n−k) = Ae jωn h(k)e−jωk = AH(ω)ejωn k=−∞ k=−∞ ∞ N´tese que H(ω) existe si el sistema es estable, puesto que o n=−∞ |h(n)| < ∞. La respuesta del sistema LTI a una entrada exponencial compleja es entonces otra se˜al n exponencial compleja de la misma frecuencia, pero con una nueva amplitud y fase deter- minadas por H(ω). Puesto que H(ω) = |H(ω)|ej∠H(ω) entonces es claro que la magnitud ¡ cambia de acuerdo a |H(ω)| y la fase de acuerdo a ∠H(ω). Puesto que h(n) es discreta, entonces H(ω) h(n) es peri´dica y se cumple entonces: o π 1 h(n) = H(ω)ejωn dω 2π −π Adem´s, por las propiedades de simetr´ si h(n) es real, entonces H(ω) tiene simetr´ a ıa, ıa ∗ herm´ıtica, es decir H(−ω) = H (ω), lo que implica que |H(ω)| = |H(−ω)| (simetr´ ıa par), ∠H(ω) = −∠H(−ω) (impar), Re{H(ω)} = Re{H(−ω)} (par), Im{H(ω)} = − Im{H(−ω)} (simetr´ impar). ıa c 2005-2011 — P. Alvarado
- 126. 112 4.4 Sistemas LTI en el dominio de la frecuencia A H(ω) se le denomina respuesta en frecuencia del sistema. Esta funci´n determina la o amplitud y fase para cada se˜al exponencial compleja de entrada. Adem´s, puesto que n a ejωn +e−jωn cos(ωn) = 2 , entonces la respuesta del sistema LTI con respuesta impulsional h(n) ante la entrada x(n) = A cos(ωn), ser´: a A y(n) = H(ω)ejωn + H(−ω)e−jωn 2 A = |H(ω)| ej(ωn+∠H(ω)) + |H(−ω)| e−j(ωn−∠H(−ω)) 2 A = |H(ω)| ej(ωn+∠H(ω)) + e−j(ωn+∠H(ω)) 2 = A|H(ω)| cos(ωn + ∠H(ω)) Es decir, |H(ω)| determina la atenuaci´n o amplificaci´n de la componente frecuencial de o o la entrada con frecuencia angular ω, y por ende se le denomina respuesta en magnitud , mientras que ∠H(ω) determina la fase a la salida de la misma componente (respuesta en fase). Ejemplo 4.4 Para el sistema descrito por la ecuaci´n: o y(n) = ay(n − 1) + bx(n), 0<a<1 ∧ a, b ∈ IR 1. Determine H(ω) 2. Elija b de tal modo que |H(ω)| sea a lo sumo 1 y grafique |H(ω)| y ∠H(ω) para a = 0,9 3. Determine la salida para x(n) = 5 + 12 sen( π n) − 20 cos πn + π ¡ 2 4 Y (z) 1. Puesto que Y (z) = aY (z)z −1 + bX(z) ⇒ X(z) = b 1−az −1 = H(z) h(n) = ban u(n) b H(ω) = 1 − ae−jω |b| |b| |H(ω)| = −jω | = |1 − ae |1 − a(cos ω − j sen ω)| |b| = (1 − a cos ω)2 + (a sen ω)2 |b| |b| =√ =√ 1 − 2a cos ω + a 2 cos2 ω + a2 sen2 ω 1 − 2a cos ω + a2 a sen ω ∠H(ω) = ∠b − arctan 1 − a cos ω 2. |H(ω)| es m´ximo si el denominador es m´ a ınimo, y esto ocurre, puesto que a ∈ [0, 1] cuando cos ω es m´ximo, es decir, cuando ω = 0: a |b| |b| |H(0)| = √ = ⇒ |b| = 1 − a 1 − 2a + a2 1−a Eligiendo b = 1 − a se obtienen las gr´ficas en la figura 4.14. a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 127. 4 An´lisis frecuencial a 113 1.2 |H(ω)| 3.14159 θ(ω) 1 0.8 1.5708 0.6 0 ω 0.4 0 0.785398 1.5708 2.35619 3.14159 0.2 -1.5708 0 ω 0 1.5708 3.14159 -3.14159 -0.2 (a) (b) Figura 4.14: Respuestas de magnitud y fase para el sistema en el ejemplo (4.4). 3. Asumiendo a = 0,9, se requiere H(0), H( π ), H(π) 2 H(0) = 1∠0◦ π 1−a 0,1 H =√ =√ = 0,074 2 1 + a2 1,81 π ∠H = − arctan a = −42◦ 2 1−a 0,1 |H(π)| = = = 0,053 ∠H(π) = 0 1+a 0,9 entonces π π π y(n) = 5 + 12 H sen n + ∠H 2 2 2 π − 20|H(π)| cos πn + + ∠H(π) 4 π π = 5 + 0,888 sen n − 42◦ − 1,06 cos πn + 2 4 4.4 4.4.2 Respuesta transitoria y en r´gimen permanente a entradas e sinusoidales La secci´n anterior analiz´ la respuesta de sistemas LTI a una entrada cosenoidal o ex- o o ponencial compleja “eterna”, es decir, aplicadas al sistema en n = −∞. La respuesta observada es entonces en r´gimen permanente, y no hay respuesta transitoria. e Todo sistema LTI estable BIBO excitado por una se˜al exponencial compleja en n = 0 n u otro tiempo finito, tendr´ una respuesta transitoria que tiende a cero a medida que n a tiende a infinito. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 128. 114 4.4 Sistemas LTI en el dominio de la frecuencia Ejemplo 4.5 Determine las respuestas transitoria y de estado permanente para: x(n) = Aejωn u(n) del sistema y(n) = ay(n − 1) + x(n) En la secci´n 2.5.2 se demostr´ que la respuesta de este sistema con condiciones iniciales o o no nulas es: n y(n) = an+1 y(−1) + ak x(n − k), n ≥ 0 k=0 jωn Sustituyendo x(n) = Ae u(n) se obtiene: n n+1 y(n) = a y(−1) + A ak ejω(n−k) k=0 n = an+1 y(−1) + A ak e−jωk ejωn k=0 1 − an+1 e−jω(n+1) jωn = an+1 y(−1) + A e 1 − ae−jω an+1 e−jω(n+1) jωn ejωn = an+1 y(−1) − A e +A 1 − ae−jω 1 − ae−jω El sistema es estable si a < 1, con lo que se obtiene para n → ∞ la respuesta de estado permanente (steady state): A yss (n) = lim y(n) = ejωn n→∞ 1 − ae−jω La respuesta transitoria est´ dada por los otros t´rminos: a e Ae−jω(n+1) jωn ytr (n) = an+1 y(−1) − e 1 − ae−jω Ae−jω = an+1 y(−1) − 1 − ae−jω y tiende a cero para n → ∞. 4.5 4.4.3 Respuesta en r´gimen permanente a se˜ ales de entrada e n peri´dicas o Sea x(n) una se˜al peri´dica, con periodo fundamental N , definida en el rango −∞ < n o n < ∞, por lo que la respuesta de un sistema LTI estable ser´ la respuesta en r´gimen a e permanente. La se˜al x(n) puede entonces expresarse por medio de una serie de Fourier: n N −1 n x(n) = ck ej2πk N k=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 129. 4 An´lisis frecuencial a 115 n Puesto que la respuesta a xk (n) = ck ej2πk N es: 2π n yk (n) = ck H k ej2πk N N entonces, utilizando la linealidad del sistema se obtiene: N −1 N −1 2π n n y(n) = ck H k ej2πk N = dk ej2πk N k=0 N k=0 con dk = ck H( 2π k). La respuesta tiene entonces el mismo periodo de la entrada, pero N otra forma de se˜al debido a los cambios de amplitud y fase aportados por los coeficientes n dk . 4.4.4 Respuesta a se˜ ales de entrada aperi´dicas n o Puesto que la salida de un sistema LTI en tiempo discreto es: y(n) = h(n) ∗ x(n) se obtiene en el dominio de la frecuencia: Y (ω) = H(ω)X(ω) donde se deriva: |Y (ω)| = |H(ω)||X(ω)| ∠Y (ω) = ∠H(ω) + ∠X(ω) La respuesta en magnitud |H(ω)| indica cu´les frecuencias se amplifican y cu´les se a a aten´an. N´tese adem´s que la salida de un sistema LTI no puede tener frecuencias u o a que no est´n presentes en la entrada y en la respuesta en frecuencia; s´lo sistemas no e o lineales o variantes en el tiempo pueden generar nuevas frecuencias. A pesar de que la salida y(n) se puede obtener de la respuesta en frecuencia: π 1 y(n) = Y (ω)ejωn dω 2π −π no es usual emplear la transformada inversa de Fourier por ser relativamente m´s simple a el tratamiento con la transformada z. La relaci´n entre las densidades espectrales de la o entrada Sxx (ω) y de la salida Syy (ω) se obtiene f´cilmente con: a Syy (ω) = |Y (ω)|2 = |H(ω)|2 |X(ω)|2 = |H(ω)|2 Sxx (ω) La energ´ de la salida es entonces: ıa π π 1 1 Ey = Syy (ω)dω = |H(ω)|2 Sxx (ω)dω 2π −π 2π −π c 2005-2011 — P. Alvarado
- 130. 116 4.4 Sistemas LTI en el dominio de la frecuencia 4.4.5 Relaciones entre la funci´n de transferencia y la respuesta o en frecuencia Si la ROC de la funci´n de transferencia contiene a la circunferencia unitaria, entonces: o ∞ H(ω) = H(z)|z=ejω = h(n)e−jωn n=−∞ B(z) Si H(z) es racional, H(z) = A(z) y asumiendo que h(n) es real, entonces: M −jωk M B(ω) k=0 bk e k=1 (1 − zk e−jω ) H(ω) = = N = b0 N A(ω) 1+ k=1 ak e −jωk k=1 (1 − pk e−jω ) con los coeficientes reales {ak } y {bk }, y los ceros {zk } y polos {pk } que pueden ser complejos. Si h(n) es real, entonces H(−ω) = H ∗ (ω) y as´ ı: |H(ω)|2 = H(ω)H ∗ (ω) = H(ω)H(−ω) = H(z)H(z −1 ) z=ejω (4.6) = Z {rhh (n)} |z=ejω ¡ (4.7) ¡ ¡ lo que confirma el teorema de Wiener-Khinchin |H(ω)|2 rhh (n). Sea D(z) = B(z)B(z −1 ) b(n) ∗ b(−n) y C(z) = A(z)A(z −1 ) a(n) ∗ a(−n). Puede demostrarse que: N −|n| c(n) = a(k)a(k + n), −N ≤ n ≤ N, a(k) = ak k=0 M −|n| d(n) = b(k)b(k + n), −M ≤ n ≤ M, b(k) = bk k=0 que corresponden a la autocorrelaci´n de a(n) y b(n), los coeficientes de denominador y o numerador de la funci´n de transferencia. Puesto que A(ω) = N a(k)e−jωk y B(ω) = o k=0 N −jωk k=0 b(k)e , ck = c−k y dk = d−k : M d0 + 2 k=1 dk cos kω |H(ω)|2 = N c0 + 2 k=1 ck cos kω donde con cos kω = k βm (cos ω)m , entonces |H(ω)|2 es una funci´n racional de poli- m=0 o nomios de cos ω. Esto implica que la densidad espectral de energ´ es continua, suave y ıa si se indefine, o se hace cero, lo hace en puntos finitos aislados. 4.4.6 C´lculo de la respuesta en frecuencia a Para evaluar el efecto de los polos y ceros de la funci´n de transferencia en la respuesta o en frecuencia, eval´ese entonces: u M M k=1 (1 − zk e−jω ) k=1 (e jω − zk ) H(ω) = b0 N = b0 ejω(N −M ) N k=1 (1 − pk e−jω ) k=1 (e jω − pk ) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 131. 4 An´lisis frecuencial a 117 y con ejω − zk = Vk (ω)ejθk (ω) , ejω − pk = Uk (ω)ejφk (ω) , Vk (ω) = |ejω − zk |, θk (ω) = ∠ (ejω − zk ), Uk (ω) = |ejω − pk |, φk (ω) = ∠ (ejω − pk ), se obtiene: V1 (ω) . . . VM (ω) |H(ω)| = |b0 | U1 (ω) . . . UM (ω) ∠H(ω) = ∠b0 + ω(N − M ) + θ1 (ω) + . . . + θM (ω) − [φ1 (ω) + . . . + φN (ω)] N´tese que (ejω − pk ) puede interpretarse geom´tricamente como el fasor que va del polo o e jω pk al punto e que se encuentra en la circunferencia unitaria con el angulo ω. El mismo ´ concepto se aplica a los ceros. Im{z} e jω − pk e jω pk ω 1 Re{z} Figura 4.15: Interpretaci´n geom´trica del factor ejω − pk . o e La respuesta en frecuencia H(ω) se har´ muy peque˜a si z = ejω pasa cerca de un cero, a n o se har´ muy grande si pasa cerca de un polo. a N´tese que si la magnitud de H(ω) se expresa en decibelios, entonces: o M N |H(ω)|dB = 20 log10 |b0 | + 20 log10 Vk (ω) − 20 log10 Uk (ω) k=1 k=1 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia Filtro es un caso particular de sistema que discrimina alg´n atributo de los objetos o u se˜ales aplicados a su entrada, y permite o suprime el paso de dichos objetos o se˜ales n n si y solo si estos presentan ese atributo. As´ filtros de aire y aceite permiten que estas ı, sustancias los atraviesen, evitando que otras impurezas como polvo alcancen su salida; filtros de luz (por ejemplo, luz infraroja) permiten el paso de s´lo una parte del espectro o electromagn´tico. En las secciones anteriores se present´ la propiedad de los sistemas e o LTI de filtrar diferentes componentes en frecuencia de su se˜al de entrada, caracterizada n por la respuesta en frecuencia H(ω). Es por ello que los t´rminos sistema LTI y filtro se e utilizan con frecuencia como sin´nimos. o Eligiendo la posici´n de los polos y ceros en la funci´n de transferencia se eligen los o o coeficientes ak y bk para obtener una determinada forma de la respuesta en frecuencia c 2005-2011 — P. Alvarado
- 132. 118 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia H(ω), que puede considerarse como funci´n de ponderaci´n o conformaci´n espectral, o o o pues la salida del sistema es Y (ω) = H(ω)X(ω). Los sistemas LTI en estas funciones de filtrado selectivo de frecuencias o conformaci´n o espectral se utilizan de varias maneras: como eliminadores de ruido, conformaci´n espec- o tral para igualaci´n de canales de comunicaci´n, detecci´n de se˜ales en radar y sonar, o o o n an´lisis espectral, etc. En esta secci´n se revisaran algunos conceptos b´sicos, que ser´n a o a a retomados en el cap´ ıtulo 7 con mayor detalle. 4.5.1 Filtros ideales Como filtro ideal se conoce un sistema LTI con respuesta en frecuencia Ce−jωn0 ω1 < ω < ω2 H(ω) = 0 en caso contrario es decir, una ganacia constante C en la banda de paso, y cero en la banda eliminada. Algunos filtros selectivos se muestran en la figura 4.16. |H(ω)| |H(ω)| |H(ω)| B −π B B π ω −π −ωc ωc π ω −π −ω0 ω0 π ω Paso Bajo Paso Alto Paso Banda |H(ω)| |H(ω)| −π −ω0 ω0 π ω ω Supresor de Banda Paso Todo Figura 4.16: Respuesta en magnitud de algunos filtros ideales selectivos en frecuencia. La respuesta de fase lineal permite que se˜ales de entrada con componentes frecuenciales n confinadas en el intervalo ω ∈ [ω1 , ω2 ] sean simplemente escaladas y trasladadas en el tiempo, pues: Y (ω) = H(ω)X(ω) ¡ = Ce−jωn0 X(ω) = CX(ω)e−jωn0 y(n) = Cx(n − n0 ) El retardo no es considerado como una distorsi´n grave de la se˜al y es usualmente o n tolerado, tal y como el escalado en amplitud. En estos filtros la derivada de la fase tiene c 2005-2011 — P. Alvarado
- 133. 4 An´lisis frecuencial a 119 unidades de retardo, y a la magnitud dθ(ω) τg (ω) = − , θ(ω) = ∠H(ω) dω se le denomina retardo de envolvente o retardo de grupo del filtro. En el caso de los filtros ideales, puesto que θ(ω) = −ωn0 , entonces τg (ω) = n0 y es constante. En general, τg (ω) indica el retardo temporal que experimenta la componente de frecuencia ω cuando pasa a trav´s del sistema. Entonces, en los filtros ideales todas las componentes se retrasan. e Los filtros ideales no son realizables. Por ejemplo, la respuesta impulsional del filtro paso bajo es: sen(ωc πn) hlp (n) = , −∞ < n < ∞ πn que es anticausal, infinita y no es absolutamente sumable, por lo que el sistema es ines- table. Algunos filtros digitales b´sicos pueden dise˜arse colocando polos y ceros en el plano z, a n cerca de la circunferencia unitaria, de tal forma que se obtenga la forma de la respuesta en magnitud deseada, donde los polos deben estar en el interior de la circunferencia unidad, y si hay polos o ceros complejos, deben presentarse entonces en pares conjugados. 4.5.2 Filtros paso alto, paso bajo y paso banda En el dise˜o de filtros paso bajo, los polos deben situarse cerca de los puntos de la n circunferencia unidad correspondientes a las bajas frecuencias (cerca de ω = 0) y los ceros cerca de los puntos de la circunferencia unidad correspondientes a las altas frecuencias (cerca de ω = π). El caso contrario es para filtros paso alto. Ejemplo 4.6 Dise˜e un filtro paso bajo con |H(0)| = 1 y n 1. un solo polo en p1 = 0,9 2. un polo y un cero en p1 = 0,9 y z1 = −1 1. En general, un sistema LTI tiene la forma: M −k M k=0 bk z k=1 (1 − zk z −1 ) H(z) = N = b0 N 1+ −k − pk z −1 ) k=0 ak z k=1 (1 Un filtro de primer orden sin ceros tendr´ la funci´n de transferencia a o b0 b0 b0 H1 (z) = = ⇒ H1 (ω) = 1 − p1 z −1 1 − 0,9z −1 1 − 0,9e−jω b0 0,1 Puesto que |H1 (0)| = 1 = 0,1 ⇒ b0 = 0,1; H(π) = 1,9 = 0,0526. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 134. 120 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia 2. En este caso b0 (1 − z1 z −1 ) 1 + z −1 1 + e−jω H2 (ω) = = b0 ⇒ H2 (ω) = b0 1 − p1 z −1 1 − 0,9z −1 1 − 0,9e−jω y H2 (0) = b0 1+1 = 20b0 ⇒ b0 = 0,1 1 20 , H2 (π) =0 1.2 |H1 (ω)| |H2 (ω)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 -0.2 Figura 4.17: Respuesta en magnitud de (1) filtro paso bajo de un polo, (2) filtro paso bajo de un polo y un cero; H1 (z) = (1 − a)/(1 − az −1 ), H2 (z) = [(1 − a)/2][(1 + z −1 )/(1 − az −1 )] y a = 0,9. 4.6 Reflejando los polos y ceros con respecto al eje imaginario, se obtienen filtros paso alto: b0 b0 (1 − e−jω ) H1 (ω) = , H2 (ω) = 1 + 0,9e−jω 1 + 0,9e−jω Para filtros paso banda, se debe escoger un par de polos complejos conjugados cerca de la circunferencia unidad en la vecindad de la banda de paso. Ejemplo 4.7 Dise˜e un filtro paso banda de segundo orden con banda de paso en ω = π , n 2 con |H(0)| = |H(π)| = 0, H( 4π ) = √2 , H( π ) = 1. 9 1 2 π Soluci´n: Los polos deben estar en p1,2 = re±j 2 = ±rj, 0 < r < 1, y los ceros en z1 = 1 o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 135. 4 An´lisis frecuencial a 121 1.2 |H1 (ω)| |H2 (ω)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 -0.2 Figura 4.18: Respuesta en magnitud de un filtro paso alto H1 (z) = (1−a)/(1+az −1 ), H2 (z) = [(1 − a)/2][(1 − z −1 )/(1 + az −1 )] y a = 0,9. y z2 = −1, por lo que: (z − 1)(z + 1) z2 − 1 e2jω − 1 H(z) = b0 = b0 2 ⇒ H(ω) = b0 2jω (z − jr)(z + jr) z + r2 e + r2 π −2 ! 2 1 − r2 H = b0 = 1 ⇒ b0 = 1 ⇒ b0 = 2 1 − r2 1 − r2 2 2 2 2 2 − 2 cos 98π 4π 1−r ! 1 H = 8π = 9 2 1 + r4 + 2r2 cos 9 2 La soluci´n resulta en r2 = 0,7 (figura 4.19). o 4.7 Otra manera de convertir un filtro paso bajos en uno paso altos es aplicar el desplaza- miento en frecuencia la respuesta H(ω) π radianes: Hhp = Hlp (ω − π) con Hhp (ω) la respuesta del filtro paso alto (hp: high pass) y Hlp (ω) la respuesta del filtro paso bajo (lp: low pass). N´tese que la respuesta impulsional ser´ o ıa n hhp (n) = ejπ hlp (n) = (−1)n hlp (n) Ahora interesa observar qu´ le ocurre a los coeficientes de la ecuaci´n de diferencias con e o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 136. 122 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia 1.2 |H(ω)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 -0.2 Figura 4.19: Respuesta en magnitud de filtro paso banda; 0,15[(1 − z −2 )/(1 + 0,7z −2 )]. este desplazamiento en frecuencia. Puesto que: N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) k=1 k=0 M −jωk k=0 bk e Hlp (ω) = 1 + N ak e−jωk k=1 Sustituyendo ω por ω + π se obtiene: M k −jωk k=0 (−1) bk e Hhp (ω) = N 1+ k −jωk k=1 (−1) ak e que equivale a: N M y(n) = − (−1)k ak y(n − k) + (−1)k bk x(n − k) k=1 k=0 y por lo tanto el unico cambio debe hacerse a los coeficientes ak y bk con k impar, quienes ´ cambian su signo. 4.5.3 Resonadores digitales Un resonador digital es un filtro paso banda con un par de polos complejos conjugados, que determinan con su posici´n angular la frecuencia de resonancia del filtro y con un o m´ximo de dos ceros que se sit´an en el origen o en z = ±1 (figura 4.20). a u c 2005-2011 — P. Alvarado
- 137. 4 An´lisis frecuencial a 123 |H(ω)| H(ω) r = 0,8 r = 0,8 1 r = 0,95 π r = 0,95 2 0.8 π 4 0.6 r 0 ω ω0 −π −π 2 0 π 2 π 0.4 −ω0 r −π 4 0.2 0 ω −π 2 −π −π 2 0 π 2 π Figura 4.20: Resonadores digitales todo-polos. Para el caso con los ceros en el origen, se obtiene como funci´n de transferencia: o b0 b0 H(z) = jω0 z −1 )(1 = (1 − re − re−jω0 z −1 ) 1 − (2r cos ω0 )z −1 + r2 z −2 Dado que las bandas de paso se encuentran centradas en ω0 o cerca de ω0 , b0 se elige de tal modo que |H(ω0 )| = 1 b0 b0 H(ω0 ) = = (1 − rejω0 e−jω0 )(1 − re−jω0 e−jω0 ) (1 − r)(1 − re−j2ω0 ) b0 |H(ω0 )| = √ =1 (1 − r) 1 + r2 − 2r cos 2ω0 ⇒ b0 = (1 − r) 1 + r2 − 2r cos 2ω0 b0 Si se expresa |H(ω)| como U1 (ω)U2 (ω) y θ(ω) como 2ω − φ1 (ω) − φ2 (ω), donde (1 − p1 z −1 ) = (1 − rejω0 z −1 ) = U1 (ω)ejφ1 (ω) , (1 − p2 z −1 ) = (1 − re−jω0 z −1 ) = U2 (ω)ejφ2 (ω) entonces U1 (ω) = 1 + r2 − 2r cos(ω − ω0 ), U2 (ω) = 1 + r2 − 2r cos(ω + ω0 ) ınimo en ω = ω0 (U1 (ω0 ) = 1 − r) y U2 en ω = −ω0 (U2 (−ω0 ) = 1 − r). U1 alcanza su m´ Sin embargo, su producto U1 (ω)U2 (ω) alcanza su m´ ınimo en (figura 4.21): 1 + r2 ωr = cos−1 cos ω0 , lim ωr = ω0 2r r→1 Puede demostrarse que el ancho de banda de −3 dB es aproximadamente ∆ω = 2(1 − r) para r → 1. Si los ceros se sit´an en ω = 0 y ω = π, la funci´n de transferencia es: u o (1 − z −1 )(1 + z −1 ) (1 − z −2 ) H(z) = G =G (1 − rejω0 z −1 )(1 − re−jω0 z −1 ) 1 − (2r cos ω0 )z −1 + r2 z −2 La presencia de ceros cambia la posici´n de la frecuencia de resonancia (figura 4.22): es o ahora m´s cercana a ω0 . Adem´s, su ancho de banda es usualmente menor. a a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 138. 124 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia 3 2.5 2 ωr 1.5 1 0.5 0 1 0.8 3 0.6 2.5 r 0.4 1.5 2 0.2 1 ω0 0.5 0 0 Figura 4.21: Posici´n de la frecuencia de resonancia con respecto al radio y al ´ngulo de los o a polos. |H(ω)| H(ω) r = 0,8 r = 0,8 1 r = 0,95 π r = 0,95 2 0.8 π 4 0.6 0 ω −π −π 2 0 π 2 π 0.4 −π 4 0.2 0 ω −π 2 −π −π 2 0 π 2 π Figura 4.22: Resonadores digitales con ceros en ω = 0 y ω = π. 4.5.4 Filtros ranura Un filtro ranura o muesca, es un filtro con uno o m´s cortes profundos, idealmente ceros a perfectos en su respuesta en frecuencia. Para crear ´stos en la frecuencia ω0 , se introduce e un par de ceros complejos conjugados en la circunferencia unitaria con angulo ω0 . Es ´ ±jω0 decir, z1,2 = e , lo que resulta en: H(z) = b0 (1 − ejω0 z −1 )(1 − e−jω0 z −1 ) = b0 (1 − 2 cos ω0 z −1 + z −2 ) El problema de esta configuraci´n es que el corte tiene un ancho de banda relativamente o grande. Esto puede ser atenuado situando polos complejos conjugados en p1,2 = re±jω0 , que introducen resonancia en la vecindad del cero, y por tanto reducen el ancho de banda de la banda suprimida. La funci´n de transferencia resultante ser´: o a 1 − 2 cos ω0 z −1 + z −2 H(z) = b0 1 − 2r cos ω0 z −1 + r2 z −2 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 139. 4 An´lisis frecuencial a 125 |H(ω)| 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 ω -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 -0.2 Figura 4.23: Caracter´ ıstica de respuesta en frecuencia de un filtro ranura. 1.2 |H1 (ω)| |H2 (ω)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -3.14159 -1.5708 0 1.5708 3.14159 -0.2 Figura 4.24: Caracter´ıstica de respuesta en frecuencia de un filtro ranura con un cero en ω = π ; 4 1−2 cos ω z −1 +z −2 Hi (z) = Gi 1−2r cos ω 0z −1 +r2 z −2 , para r1 = 0,85 y r2 = 0,95 i 0 i 4.5.5 Filtros peine Un filtro peine puede verse como un filtro ranura en el que los ceros aparecen peri´dicamente o en toda la banda de frecuencias. Se utilizan por ejemplo en el rechazo de arm´nicos en o l´ ıneas de potencia y en la separaci´n de componentes solares y lunares de las medidas o ionosf´ricas de la concentraci´n de electrones. e o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 140. 126 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia La forma m´s sencilla de filtro peine es el filtro de media m´vil (FIR): a o M 1 y(n) = x(n − k) M +1 k=0 con funci´n de transferencia o M 1 1 − z −(M +1) H(z) = z −k = M +1 k=0 1 − z −1 y respuesta de frecuencia M e−jω 2 sen ω M2 +1 H(ω) = M + 1 sen ω 2 2kπ De H(z) se deduce con 1 − z −(M +1) = 0 ⇒ 1 = e2kπ = z M +1 ⇒ z = e M +1 , k = 1, 2, . . . , M . N´tese que el polo en z = 1 se cancela con el cero en z = 1 (k = 0), por lo que el unico o ´ polo est´ en z = 0. a |H(ω)| 1 0 ω -3 -2 -1 0 1 2 3 Figura 4.25: Ejemplo de filtro peine FIR con M = 6. Otra manera de generar filtros peine es a partir de cualquier filtro FIR con al menos un cero en cierta frecuencia ω0 . Si este filtro tiene funci´n de transferencia H(z) = M h(k)z −k o k=0 y se reemplaza z por z L , con L ∈ Z, L > 0, entonces el nuevo filtro FIR tiene funci´n de o transferencia M HL (z) = h(k)z −kL k=0 Si la respuesta en frecuencia correspondiante a H(z) es H(ω), entonces: M HL (ω) = h(k)e−jkLω = H(Lω) k=0 es decir, una repetici´n de orden L de H(ω) en el rango 0 ≤ ω ≤ π, donde H(ω) se o comprime para que todas las repeticiones ocupen dicho intervalo. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 141. 4 An´lisis frecuencial a 127 Ejemplo 4.8 Dise˜e un filtro peine a partir del filtro FIR n 1 y(n) = (x(n) + x(n − 1)) 2 π tal que suprima las frecuencias ω = 4 + k π . 2 1 2 x(n) z −1 y (n) Figura 4.26: Diagrama de bloques del ejemplo (4.8). La funci´n de transferencia es: o 1 + z −1 H(z) = 2 y por lo tanto (figura 4.27) ω ω ω 1 + e−jω e−j 2 (e+j 2 + e−j 2 ) ω ω H(ω) = = = e−j 2 cos 2 2 2 replacemen |H(ω)| π H(ω) 1 2 0.8 0.6 0 ω 0.4 −π −π 2 0 π 2 π 0.2 0 ω −π −π 2 0 π 2 π −π 2 Figura 4.27: Respuesta en frecuencia de y(n) = (x(n) + x(n − 1))/2. 1+z −4 Utilizando L = 4 se obtiene HL (ω) = e−j2ω cos(2ω), proveniente de H(z) = 2 (figu- ra 4.28). |H(ω)| π H(ω) 2 1 0.8 0.6 0 ω −π −π 2 0 π 2 π 0.4 0.2 0 ω −π −π 2 0 π 2 π −π 2 Figura 4.28: Respuesta en frecuencia de y(n) = (x(n) + x(n − 1))/2. 4.8 ω0 +2πk N´tese entonces que si H(ω) tiene un cero en ω0 , HL (ω) tendr´ ceros en o a L , k = 0, 1, 2, . . . , L − 1. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 142. 128 4.5 Sistemas LTI como filtros selectivos en frecuencia 4.5.6 Filtros paso todo Un filtro paso todo tiene una respuesta en magnitud constante para todas las frecuencias: |H(ω)| = 1, 0≤ω≤π El ejemplo m´s simple es el registro de desplazamiento: a |H(ω)| = 1 H(z) = z −k ⇒ H(ω) = e−jkω ⇒ ∠H(ω) = −kω Otro caso est´ dado por filtros con funciones de transferencia: a N −N A(z −1 ) H(z) = z , con el polinomio A(z) = ak z −k , a0 = 1 , A(z) k=0 es decir, aN + aN −1 z −1 + . . . + a1 z −N +1 + z −N H(z) = 1 + a1 z −1 + . . . + aN z −N con el resultado de (4.6) en la p´gina 116, a A(z −1 ) A(z) |H(ω)|2 = H(z)H(z −1 ) z=ejω = z −N +N = 1. A(z) A(z −1 ) z=ejω j 1 p3 1 p3 p1 p1 −1 p2 1 1 p2 p1 p3 1 p1 1 −j p3 Figura 4.29: Correspondencia entre polos y ceros de un filtro pasa-todo N´tese que si z0 es un cero, entonces z10 es un polo, lo que quiere decir que si alg´n polo o u o cero est´ dentro del c´ a ırculo unitario, la contraparte estar´ fuera (figura 4.29). a Si este filtro paso todo tiene polos reales αk y polos complejos βk entonces puede expresarse como: NR N z −1 − αk C (z −1 − βk )(z −1 − βk ∗ ) Hap (z) = k=1 1 − αk z −1 k=1 (1 − βk z −1 )(1 − βk ∗ z −1 ) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 143. 4 An´lisis frecuencial a 129 donde hay NR polos y ceros reales, y NC pares de polos y ceros complejos conjugados. Si el sistema es causal y estable, entonces |αk | < 1 y |βk | < 1. Para analizar el comportamiento de la fase y retardo de grupo puede tomarse uno de los t´rminos anteriores y con αk = rejθ : e z −1 − αk ∗ Hapk (z) = ⇒ 1 − αk z −1 e−jω − re−jθ 1 − rej(ω−θ) Hapk (ω) = = e−jω 1 − rejθ e−jω 1 − rej(θ−ω) 1 − r cos(ω − θ) − jr sen(ω − θ) = e−jω 1 − r cos(ω − θ) + jr sen(ω − θ) r sen(ω − θ) θap (ω) = ∠(Hapk (z)) = −ω − 2 arctan 1 − r cos(ω − θ) ∂ 1 y con ∂x arctan(x) = 1+x2 se obtiene para el retardo de grupo: ∂θap (ω) τ (ω) = − ∂ω 1 r cos(ω − θ)(1 − r cos(ω − θ)) − r sen(ω − θ)r sen(ω − θ) = +1 + 2 r2 sen2 (ω−θ) 1+ (1 − r cos(ω − θ))2 (1−r cos(ω−θ))2 (r cos(ω − θ) − r2 cos2 (ω − θ) − r2 sen2 (ω − θ)) = +1 + 2 1 − 2r cos(ω − θ) + r2 cos2 (ω − θ) + r2 sen2 (ω − θ) (r cos(ω − θ) − r2 ) = +1 + 2 1 − 2r cos(ω − θ) + r2 1 + r2 − 2r cos(ω − θ) + 2r cos(ω − θ) − 2r2 = 1 + r2 − 2r cos(ω − θ) 1 − r2 = > 0, ∀r < 1, r > 0 1 + r2 − 2r cos(ω − θ) Un sistema pasotodo con varios polos y ceros tendr´ siempre un retardo de grupo positivo, a por estar conformado el retardo total por la suma de t´rminos como el anterior, que ser´n e a siempre positivos. Este tipo de filtros se utilizan como “igualadores de fase”, coloc´ndolos en cascada con a un sistema de respuesta en fase no deseada, de tal modo que se compensa la fase total del sistema para obtener un comportamiento lineal. 4.5.7 Osciladores digitales Los osciladores son el caso extremo de un resonador digital, donde los polos complejos conjugados se encuentran sobre la circunferencia unidad. El sistema de segundo orden: b0 H(z) = −1 + 1 + a1 z a2 z −2 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 144. 130 4.6 Sistemas inversos con a1 = −2r cos ω0 , a2 = r2 , tiene polos complejos conjugados en p = re±jω0 y respuesta impulsional: b0 r n h(n) = sen((n + 1)ω0 )u(n) sen ω0 Para el caso r = 1 entonces: b0 r n h(n) = sen((n + 1)ω0 )u(n) = A sen((n + 1)ω0 )u(n) sen ω0 b con A = sen0ω0 . Es decir, cuando el sistema se alimenta con δ(n), oscila indefinidamente. La ecuaci´n de diferencias: o y(n) = −a1 y(n − 1) − y(n − 2) + b0 δ(n) = 2 cos ω0 y(n − 1) − y(n − 2) + A sen ω0 δ(n) se puede realizar con el sistema mostrado en la figura 4.30. (A sen ω0 )δ(n) y (n) = A sen(n + 1)ω0 z −1 −a1 a1 = −2 cos ω0 z −1 a2 = 1 −a2 Figura 4.30: Generador digital de sinusoides. N´tese que el mismo resultado puede obtenerse con entrada cero, pero con y(n − 1) = 0 o y y(n − 2) = −A sen ω0 . 4.6 Sistemas inversos Por medio de la convoluci´n, los sistemas LTI transforman una se˜al x(n) en la salida o n y(n). En ciertos casos se desconocen exactamente las caracter´ ısticas del sistema y se desea, teniendo y(n), determinar x(n). Esto ocurre por ejemplo cuando se desea contrarrestar los efectos de distorsi´n que produce un canal de transmisi´n de datos. Se desea entonces o o dise˜ar un sistema que en cascada con el sistema original, produzca la se˜al de entrada. n n x(n) y (n) x(n) T T −1 Figura 4.31: Sistema T en cascada con su inverso T −1 . A este segundo sistema se le denomina sistema inverso y a la operaci´n que toma y(n) y o produce x(n) se le denomina deconvoluci´n. o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 145. 4 An´lisis frecuencial a 131 La determinaci´n del sistema inverso requiere conocimiento sobre la respuesta impulsional o h(n) o la respuesta en frecuencia H(ω), que se obtienen en un proceso llamado “identifi- caci´n del sistema”. Para esto se alimenta al sistema desconocido con se˜ales de entrada o n conocidas (por ejemplo, senoidales de frecuencia y amplitud conocidas) y se revisan las salidas. 4.6.1 Invertibilidad de sistemas LTI Un sistema es invertible si existe una correspondencia biun´ ıvoca entre sus se˜ales de n entrada y de salida. Esto quiere decir que si se conoce la salida y(n) para todo n, entonces se puede inferir la entrada x(n). El sistema inverso se denota con T −1 y se cumple que: y(n) = T [x(n)], x(n) = T −1 [y(n)] = T −1 [T [x(n)]] Para sistemas LTI, as´mase que el sistema T tiene una respuesta impulsional h(n), y u hI (n) es la respuesta del sistema inverso T −1 . Se debe cumplir entonces que: h(n) ∗ hI (n) = δ(n) H(z)HI (z) = 1 de donde se obtiene 1 HI (z) = H(z) Para un sistema con H(z) racional, si: B(z) H(z) = A(z) entonces A(z) HI (z) = B(z) lo que quiere decir que los ceros de H(z) se convierten en los polos de HI (z) y viceversa. Esto a su vez implica que si H(z) es todo ceros (FIR), entonces HI (z) es todo polos (IIR) y viceversa. Ejemplo 4.9 Determine el sistema inverso de h(n) = u(n). H(z) = 1 1 − z −1 ⇒ HI (z) = 1 − z −1 ¡ hI (n) = δ(n) − δ(n − 1) 4.9 Ejemplo 4.10 Determine el sistema inverso del sistema con respuesta impulsional h(n) = δ(n) − δ(n − 1). Con 1 H(z) = 1 − z −1 ⇒ HI (z) = 1 − z −1 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 146. 132 4.6 Sistemas inversos que tiene dos posibles soluciones hI (n) = u(n) o ´ hI (n) = −u(−n − 1) 4.10 Otra manera m´s “algor´ a ıtmica” de obtener la respuesta impulsional hI (n) se basa en la convoluci´n. Si se asume que h(n) y su inverso son causales, entonces: o n h(n) ∗ hI (n) = h(k)hI (n − k) = δ(n) (4.8) k=0 1 Para n = 0 se cumple h(0)hI (0) = 1 ⇒ hI (0) = h(0) , y puesto que para n > 0: n n h(k)hI (n − k) = h(0)hI (n) + h(k)hI (n − k) = 0 k=0 k=1 n h(k)hI (n − k) k=1 ⇒ hI (n) = − h(0) lo que se puede programar directamente. Si h(0) es cero, entonces debe introducirse un retardo en (4.8) sustituyendo δ(n) por δ(n − m), donde para n = m, h(n) = 0 y h(n) = 0 si n < m. Este m´todo tiene, sin embargo, el problema de que conforme n crece, el error e num´rico acumulado crece. e Ejemplo 4.11 Determine el inverso causal del sistema de respuesta impulsional h(n) = δ(n) − αδ(n − 1). Con h(0) = 1, h(1) = −α y h(n) = 0 para n ≥ 2, entonces: 1 hI (0) = =1 h(0) h(1)h(0) hI (1) = − =α h(0) hI (2) = −(h(1)hI (1) + h(2)hI (0)) = −(−αα) = α2 hI (3) = −(h(1)hI (2) + h(2)hI (1) + h(3)hI (0)) = α3 . . . hI (n) = αn 4.11 4.6.2 Sistemas de fase m´ ınima, fase m´xima y fase mixta a Sean los sistemas H1 (z) = 1 + α1 z −1 y H2 (z) = α2 + z −1 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 147. 4 An´lisis frecuencial a 133 1 H1 (z) tiene un cero en z = −α1 y H2 (z) en z = − α2 . Puede demostrarse que si α1 = α2 = α, entonces las respuestas en magnitud |H1 (ω)| = |H2 (ω)| son ambas id´nticas a e √ 1+α 2 + 2α cos ω. Para la fase de H (ω) se tiene que: 1 H1 (z) = 1 + α1 z −1 = z −1 (z + α1 ) ⇒ ∠H1 (ω) = arg(e−jω (ejω + α1 )) sen(ω) ∠H1 (ω) = −ω + arctan α1 + cos ω y para ∠H2 (ω) se tiene que: H2 (z) = α2 + z −1 = z −1 (α2 z + 1) ⇒ ∠H2 (ω) = arg(e−jω (α2 ejω + 1)) α2 sen(ω) sen ω ∠H2 (ω) = −ω + arctan = −ω + arctan 1 1 + α2 cos ω α2 + cos ω sen(ω) El t´rmino arctan e α+cos ω se comporta de la siguiente manera: ω, si α → 0 sen ω ω arctan ≈ , si α → 1 α + cos ω sen ω 2 α , si α 1 La figura 4.32 muestra este ultimo componente en funci´n de α y ω. El lado derecho de ´ o la misma figura presenta la fase ∠Hi (z), que es igual al lado izquierdo menos el aporte igual a ω del factor exponencial. 3 3 2 2 1 1 sen ω arctan α+cos ω 0 Hi (z) 0 –1 –1 –2 –2 –3 –3 3 3 2 3 2 3 1 2.5 1 2.5 2 2 ω 0 1.5 ω 0 1.5 –1 –2 1 α –1 –2 1 α 0.5 0.5 –3 0 –3 0 (a) (b) Figura 4.32: Comportamiento de la fase de Hi (z) = 1 + αz −1 . (a) Componente sen ω sen ω arctan α+cos ω . (b) Fase ∠H(ω) = −ω + arctan α+cos ω En las expresiones anteriores el denominador α + cos ω corresponde a la parte real del segundo factor de la fase (α1 + ejω o 1 + α2 ejω ). Si se asumen ahora frecuencias cercanas pero menores a ω = π entonces sen ω/(α + cos ω) tiende a cero y puesto que para x ≈ 0 se cumple arctan x ≈ x entonces para α > 1 se cumple que el aporte en fase de este t´rmino e aproximadamente cero. Si la parte real es negativa, es decir, si α < 1, entonces el t´rmino e aportar´ una fase cercana a π. a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 148. 134 4.6 Sistemas inversos Para un valor constante de α con α < 1, se observa entonces que la fase inicia con cero en ω = −π, luego oscila cruzando una sola vez cero, para nuevamente alcanzarlo en ω = π. Por otro lado, si α > 1 entonces la fase inicia con un valor de π en ω = −π y baja monot´nicamente hasta alcanzar −π en ω = π. Esto quiere decir que el cambio neto de o fase θ1 (π) − θ1 (0) para un α particular es cero si α1 < 1, mientras que es π si α1 > 1. El primer caso se conoce entonces como sistema de fase m´nima y el segundo como sistema ı de fase m´xima. a Un sistema FIR de longitud M + 1 tiene M ceros y su respuesta en frecuencia se puede expresar como: H(ω) = b0 (1 − z1 e−jω )(1 − z2 e−jω ) . . . (1 − zM e−jω ) Si todos los ceros se encuentran dentro de la circunferencia unitaria, el cambio de fase neto ser´ entonces tambi´n de cero entre ω = 0 y ω = π, por lo que al sistema se le a e denomina de fase m´ ınima. Si todos los ceros se encuentran fuera de la circunferencia unidad, el cambio neto de fase ser´ ∠H(π) − ∠H(0) = M π, y el sistema se denomina de a fase m´xima. a Un sistema es entonces de fase mixta si algunos de los ceros est´n dentro de la circun- a ferencia unitaria y otros fuera, y si el sistema tiene en total M ceros se cumple que el cambio de fase neto ser´ menor a M π radianes, entre ω = 0 y ω = π. a Puesto que la derivada de la funci´n de fase representa en cierta medida el retraso de o cada componente frecuencial, un sistema de fase m´ınima implica una funci´n de retardo o m´ınima, mientras que un sistema de fase m´xima implica un retardo m´ximo. a a Un sistema IIR descrito por la funci´n de transferencia racional: o B(z) H(z) = A(z) se denomina de fase m´ ınima si todos sus polos y ceros se encuentran dentro de la cir- cunferencia unitaria, lo que implica adem´s que el sistema es estable y causal. Si en un a sistema causal y estable todos los ceros est´n fuera de |z| = 1, entonces el sistema es de a fase m´xima, y si s´lo algunos de sus ceros est´n fuera de |z| = 1, entonces el sistema es a o a de fase mixta. A(z) Puesto que el inverso de H(z) es H −1 (z) = B(z) , entonces se deduce de lo anterior que el inverso de un sistema de fase m´ınima estable es tambi´n un sistema de fase m´ e ınima estable. En general, la fase m´ ınima de H(z) asegura la estabilidad de su sistema inverso −1 H (z), y la estabilidad de H(z) asegura la fase m´ ınima de H −1 (z). Los sistemas de fase mixta o m´xima tienen entonces sistemas inversos inestables. a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 149. 4 An´lisis frecuencial a 135 Descomposici´n de sistemas de polos y ceros de fase no m´ o ınima Cualquier sistema de funci´n de transferencia racional y de fase no m´ o ınima puede des- componerse en la cascada de un sistema de fase m´ınima y un filtro pasa todos. H(z) = Hmin (z)Hap (z) Sea H(z) = B(z) . El numerador B(z) se puede factorizar como B(z) = B1 (z)B2 (z), donde A(z) ıces dentro de |z| = 1 y B2 (z) todas sus ra´ B1 (z) tiene todas sus ra´ ıces fuera. Esto a su −1 vez implica que B2 (z ) tiene todas sus ra´ dentro de |z| = 1. De esta forma: ıces B1 (z)B2 (z −1 ) B2 (z) Hmin (z) = , Hap (z) = A(z) B2 (z −1 ) N´tese que Hap (z) es estable puesto que todos los polos de B2 (z −1 ) se encuentran dentro de o la circunferencia unitaria. Adem´s, es un filtro paso todo como los descritos anteriormente, a y es de fase m´xima al estar todos sus ceros fuera de la circunferencia unitaria. a Este sistema H(z) de fase no m´ ınima tiene el retardo de grupo min ap τg (ω) = τg (ω) + τg (ω) ap Puesto que τg (ω) ≥ 0 para 0 ≤ ω ≤ π, entonces se puede concluir que entre todos los sistemas con igual respuesta en magnitud, el menor retardo de grupo lo tiene el sistema de fase m´ ınima. 4.6.3 Identificaci´n de sistemas o Sup´ngase que se observa una secuencia de salida y(n) cuando se excita a un sistema o de respuesta desconocida con la entrada x(n). Se desea ahora determinar la respuesta impulsional del sistema. Si existen formas cerradas en el dominio z para x(n) y y(n), entonces h(n) se obtiene f´cilmente con a Y (z) h(n) H(z) = X(z) Otro m´todo trata directamente la convoluci´n en el dominio del tiempo, asumiendo que e o h(n) es causal: n y(n) = h(k)x(n − k), n ≥ 0 k=0 y(0) ⇒ y(0) = h(0)x(0) ⇒ h(0) = x(0) n−1 y(n) = h(k)x(n − k) + h(n)x(0) k=0 n−1 y(n) − k=0h(k)x(n − k) ⇒ h(n) = ,n ≥ 1 (4.9) x(0) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 150. 136 4.7 Transformada Discreta de Fourier Aqu´ se ha asumido que x(0) = 0. El problema se torna num´ricamente inestable para ı e n 1. Un tercer m´todo utiliza la correlaci´n cruzada entrada-salida: e o ryx (n) = y(n) ∗ x(−n) = h(n) ∗ x(n) ∗ x(−n) = h(n) ∗ rxx (n) ∞ = h(k)rxx (n − k) ¡ k=0 Syx (ω) = H(ω)Sxx (ω) = H(ω)|X(ω)|2 Syx (ω) Syx (ω) ⇒ H(ω) = = Sxx (ω) |X(ω)|2 Se puede aplicar entonces la f´rmula de deconvoluci´n (4.9) para determinar h(n) o la o o transformada inversa de Fourier de H(ω). Este m´todo tiene la ventaja de que el uso de e las correlaciones puede eliminar t´rminos de ruido en la identificaci´n, que podr´ alterar e o ıan los resultados de los otros m´todos. e 4.7 Transformada Discreta de Fourier En las secciones anteriores se observ´ que se˜ales discretas aperi´dicas, como se˜ales o n o n digitales de audio, se˜ales digitales s´ n ısmicas, se˜ales m´dicas, etc., tienen un espectro n e peri´dico pero cont´ o ınuo, que no tiene una representaci´n directa para ser manejado por o medios digitales. En esta secci´n se estudia la transformada discreta de Fourier (DFT, o Discrete Fourier Transform) que representa un mecanismo para el estudio frecuencial por medios digitales para las mencionadas se˜ales. n 4.7.1 Muestreo en el dominio de la frecuencia Toda se˜al aperi´dica x(n) de energ´ finita tiene un espectro cont´ n o ıa ınuo ∞ X(ω) = x(n)e−jωn . n=−∞ Si X(ω) se muestrea peri´dicamente (figura 4.33) con un espaciado frecuencial δω = 2π o N solo se necesitar´n N muestras puesto que el espectro, por corresponder a una se˜al a n discreta, es a su vez peri´dico con periodo 2π. Las muestras en ω = k δω = 2π k son o N entonces ∞ 2π X k = x(n)e−j2πkn/N k = 0, 1, . . . , N − 1 N n=−∞ c 2005-2011 — P. Alvarado
- 151. 4 An´lisis frecuencial a 137 x(n) |X(ωk )| |X(ωk )| 1 1 1 0 n 0 ωk 0 ωk -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 (a) (b) (c) Figura 4.33: Se˜al discreta aperi´dica, su espectro cont´ n o ınuo, y su espectro muestreado. donde descomponiendo la sumatoria en subintervalos de N elementos y haciendo un cam- bio de variable para trasladar cada subintervalo al origen se modifica en ∞ lN +N −1 N −1 ∞ 2π −j2πkn/N X k = x(n)e = x(n − lN ) e−j2πkn/N N l=−∞ n=lN n=0 l=−∞ xp (n) con k = 0, 1, . . . , N − 1. La se˜al n ∞ xp (n) = x(n − lN ) l=−∞ se obtiene repitiendo peri´dicamente x(n) cada N muestras, y por ser peri´dica puede o o calcularse su serie de Fourier como N −1 xp (n) = ck ej2πkn/N , n = 0, 1, . . . , N − 1 k=0 con los coeficientes N −1 1 1 2π ck = xp (n) e−j2πkn/N = X k N n=0 N N Con esta serie, xp (n) puede ser reconstruido del espectro muestreado con N −1 1 2π xp (n) = X k ej2πkn/N , n = 0, 1, . . . , N − 1 N k=0 N La se˜al x(n) puede recuperarse de xp (n) si y solo si no hay aliasing en el dominio del n tiempo, es decir, si la longitud L de x(n) es menor que el periodo N de xp (n) (figura 4.34): xp (n), 0 ≤ n ≤ N − 1 x(n) = 0, en el resto c 2005-2011 — P. Alvarado
- 152. 138 4.7 Transformada Discreta de Fourier x(n) n xp (n), L < N n xp (n), L > N n Figura 4.34: Extensi´n peri´dica por muestreo del espectro. a) Se˜al original, b) Extensi´n o o n o con L < N , c) Extensi´n con L > N . o Si no hay aliasing en el tiempo (L < N ) entonces N −1 1 2π x(n) = xp (n) = X k ej2πkn/N , 0≤n≤N −1 N k=0 N con espectro N −1 N −1 N −1 −jωn 1 2π X(ω) = x(n)e = X k ej2πkn/N e−jωn n=0 n=0 N k=0 N N −1 N −1 2π 1 2πk = X k e−j (ω− N )n k=0 N N n=0 N −1 2π 2πk = X k P ω− k=0 N N donde N −1 1 1 1 − e−jωN P (ω) = e−jωn = N n=0 N 1 − e−jω 1 sen(ωN/2) −jω(N −1)/2 = e (4.10) N sen(ω/2) c 2005-2011 — P. Alvarado
- 153. 4 An´lisis frecuencial a 139 es la funci´n de interpolaci´n que sustituye en este caso a sen(θ)/θ con una versi´n de o o o propiedades similares pero peri´dica (figura 4.35): o 2π 1 k=0 P k = N 0 k = 1, 2, . . . , N − 1 P (ω) 1 0 ω −2π −π 0 π 2π Figura 4.35: Interpolador ideal P (ω) para espectro muestreado con N = 5. Ejemplo 4.12 Determine el aliasing de la secuencia x(n) = an u(n), |a| < 1, si el espectro se muestrea a las frecuencias ωk = 2πk/N . El espectro es ∞ 1 X(ω) = an e−jωn = n=0 1 − ae−jω 2π 1 Las muestras est´n dadas por X(ωk ) = X a N k = 1−ae−j2πk/N La secuencia peri´dica xp (n) representada por este espectro discreto es o ∞ 0 ∞ n−lN n 1 xp (n) = x(n − lN ) = a =a alN = an , 0≤n≤N −1 l=−∞ l=−∞ l=0 1 − aN 1 donde la constante 1−aN representa el aliasing y tiende a uno si N → ∞, como es de esperar. 4.12 4.7.2 La transformada discreta de Fourier En la secci´n anterior se demostr´ que el espectro muestreado de una se˜al x(n) de o o n longitud finita L no representa a x(n) directamente sino a su extensi´n peri´dica xp (n) o o obtenida de ∞ xp (n) = x(n − lN ) l=−∞ c 2005-2011 — P. Alvarado
- 154. 140 4.7 Transformada Discreta de Fourier Si no hay aliasing temporal, entonces xp (n) es simplemente la concatenaci´n peri´dica de o o x(n) de longitud L , que se expande con ceros para alcanzar la longitud N > L: x(n) 0 ≤ n ≤ L − 1 xp (n − lN ) = 0 L≤n≤N −1 N´tese que el efecto de rellenar con ceros x(n) produce un muestreo m´s detallado de su o a espectro X(ω) que tendr´ N y no L muestras. Para todo N > L las muestras no proveen a mayor informaci´n que el caso N = L, solo una “mejor” representaci´n (figura 4.36). o o |X(ω)| 1 x(n) -3 -2 -1 |X(ω)| 0 0 1 2 3 ω ¡ N n 1 xp (n) -3 -2 -1 |X(ω)| 0 0 1 2 3 ω ¡ N n 1 xp (n) -3 -2 -1 0 0 1 2 3 ω ¡ N n Figura 4.36: Efecto de extensi´n de se˜al con ceros y la DFT resultante. o n La transformaci´n de x(n) hacia su espectro muestreado o L−1 2π X(k) = X k = x(n)e−j2πkn/N N n=0 N −1 = x(n)e−j2πkn/N , k = 0, 1, . . . , N − 1 n=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 155. 4 An´lisis frecuencial a 141 se conoce como transformada discreta de Fourier DFT y a la reconstrucci´n de x(n) de o las muestras espectrales N −1 1 x(n) = X(k)ej2πkn/N , n = 0, 1, . . . , N − 1 N k=0 se le conoce como transformada discreta de Fourier inversa (IDFT). Estas transformaciones se expresan a menudo como N −1 kn DFT: X(k) = x(n)WN k = 0, 1, . . . , N − 1 n=0 N −1 1 −kn IDFT: x(n) = X(k)WN n = 0, 1, . . . , N − 1 N k=0 donde WN = e−j2π/N es una ra´ N -´sima de la unidad. N´tese que para cada k, X(k) ız e o se puede expresar como el producto punto de la entrada x(n) y un vector que consiste en k 2k (N −1)k 1, WN , WN , . . . , WN , o, si se interpreta X(k) tambi´n como vector, entonces e X(0) 1 1 ··· 1 x(0) X(1) 1 WN ··· WN −1 N x(1) X(k) ≡ XN = . = . . .. . . . . . . . . . . . . . (N −1)(N −1) X(N − 1) 1 WN −1 · · · WN N x(N − 1) o en forma compacta XN = WN xN de donde se deduce −1 1 ∗ xN = WN XN = W N XN N 4.7.3 Relaci´n de la DFT con otras transformadas o Series de Fourier La secuencia xp (n) por ser peri´dica con periodo N tiene una representaci´n en series de o o Fourier N −1 xp (n) = ck ej2πnk/N , −∞ < n < ∞ k=0 N −1 1 ck = xp (n)e−j2πnk/N k = 0, 1, . . . , N − 1 N n=0 Esto es X(k) = N ck . c 2005-2011 — P. Alvarado
- 156. 142 4.7 Transformada Discreta de Fourier Transformada de Fourier de secuencias aperi´dicas o Ya se verific´ la relaci´n entre la DFT X(k) como muestras del espectro continuo X(ω) o o X(k) = X(ω)|ω= 2π k N que a su vez corresponden con los coeficientes de la DFT de xp (n), la extensi´n peri´dica o o de x(n). Ambas secuencias son id´nticas para n = 0, 1, . . . , L − 1 si no hay aliasing e temporal, es decir, si x(n) es finita de longitud L y N > L. Transformada z Si la regi´n de convergencia de la transformada z de x(n) incluye la circunferencia unitaria, o entonces ∞ X(k) = X(z)|z=ej2πk/N = x(n)e−j2πnk/N , k = 0, 1, . . . , N − 1 n=−∞ que representa al muestreo de la transformada z sobre el c´ ırculo unitario con angulos ´ distribuidos homog´neamente. Sin aliasing temporal se cumple entonces, con x(n) de e longitud finita N N −1 N −1 N −1 −n 1 X(z) = x(n)z = X(k)ej2πkn/N z −n n=0 n=0 N k=0 N −1 N −1 1 n = X(k) ej2πk/N z −1 N k=0 n=0 −N N −1 1−z X(k) X(z) = N k=0 1 − ej2πk/N z −1 que es la reconstrucci´n de X(z) a partir de la muestras X(k) de la DFT. Evaluando en o la circunferencia unitaria se obtiene para la transformada de Fourier N −1 1 − e−jωN X(k) X(ω) = 2πk N k=0 1 − e−j (ω− N ) que es otra forma de interpolaci´n de las muestras X(k) equivalente a la expresada ante- o riormente con P (ω) (ver ecuaci´n 4.10 en la p´gina 138). o a 4.7.4 Propiedades de la DFT Sea x(n) una secuencia de longitud L < N y X(k) su correspondiente DFT de longitud N . Se cumple que N −1 kn DFT: X(k) = n=0 x(n)WN k = 0, 1, . . . , N − 1 1 N −1 −kn IDFT: x(n) = k=0 X(k)WN n = 0, 1, . . . , N − 1 N c 2005-2011 — P. Alvarado
- 157. 4 An´lisis frecuencial a 143 con WN = e−j2π/N . La relaci´n entre x(n) y su DFT X(k) se denota con o DF T x(n) ←→ X(k) N ´ o x(n) N X(k) Linealidad Si x1 (n) X1 (k) y x2 (n) X2 (k) entonces N N a1 x1 (n) + a2 x2 (n) a1 X1 (n) + a2 X2 (n) N Simetr´ circular ıa Puesto que la DFT de N puntos de una secuencia finita x(n) de longitud L ≤ N es equivalente a la DFT de N puntos de una secuencia peri´dica xp (n) de periodo N obtenida o como (figura 4.37) ∞ xp (n) = x(n − lN ) l=−∞ x(n) es equivalente a 3 2 4 0 1 2 3 4 0 1 Figura 4.37: Secuencia circular equivalente a x(n). entonces un desplazamiento de xp (n) k unidades hacia la derecha equivale a un desplaza- miento circular (figura 4.38). xp (n − k) ¡ N · N x(n − k mod N ) ≡ x((n − k))N Una secuencia es circularmente par si es sim´trica con respecto al punto cero de la cir- e cunferencia (figura 4.39): x(N − n) = x(n), 1≤n≤N −1 La secuencia es circularmente impar si es antisim´trica con respecto al punto cero (figu- e ra 4.40): x(N − n) = −x(n), 1≤n≤N −1 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 158. 144 4.7 Transformada Discreta de Fourier xp (n) es equivalente a 3 2 4 0 1 2 3 4 0 1 Figura 4.38: Secuencia circular equivalente a xp (n − 2). -2 5 -1 4 0 3 1 2 Figura 4.39: Simetr´ circular par ıa La reflexi´n temporal circular se obtiene con o x((−n))N = x(N − n), 0≤n≤N −1 Utilizando xp (n) en vez de x(n) se tiene par: xp (n) = xp (−n) = xp (N − n) impar: xp (n) = −xp (−n) = −xp (N − n) herm´ ıtica: xp (n) = x∗ p (N − n) (conjugada par) anti-herm´ ıtica: xp (n) = −x∗ p (N − n) (conjugada impar) La secuencia se puede descomponer en xp (n) = xpe (n) + xpo (n) 1 xpe (n) = [xp (n) + x∗ p (N − n)] 2 1 xpo (n) = [xp (n) − x∗ p (N − n)] 2 -2 5 -1 4 0 3 1 2 Figura 4.40: Simetr´ circular impar ıa c 2005-2011 — P. Alvarado
- 159. 4 An´lisis frecuencial a 145 Si x(n) = xR (n) + jxI (n), 0 ≤ n ≤ N − 1, y X(k) = XR (k) + jXI (k) entonces se obtiene con la definici´n de la DFT. o N −1 2πkn 2πkn XR (k) = xR (n) cos + xI (n) sen n=0 N N N −1 2πkn 2πkn XI (k) = − xR (n) sen − xI (n) cos n=0 N N N −1 1 2πkn 2πkn xR (n) = XR (k) cos − XI (k) sen N k=0 N N N −1 1 2πkn 2πkn xI (n) = XR (k) sen + XI (k) cos N k=0 N N Si x(n) es real, entonces X(N − k) = X ∗ (k) = X(−k) ⇒ |X(N − k)| = |X(k)|, ∠X(N − k) = −∠X(k) Si x(n) es real y par entonces x(n) = x(N − n), para 0 ≤ n ≤ N − 1, y la DFT se torna N −1 2πk X(k) = x(n) cos n ,0 ≤ k ≤ N − 1 n=0 N que tambi´n es real y par. Puesto que XI (k) = 0 entonces e N −1 1 2πkn x(n) = X(k) cos , 0≤n≤N −1 N k=0 N Si x(n) es real e impar entonces x(n) = −x(N − n), 0≤n≤N −1 N −1 2πkn X(k) = −j x(n) sen , 0≤k ≤N −1 n=0 N y puesto que XR (k) = 0 entonces N −1 j 2πkn x(n) = X(k) sen , 0≤n≤N −1 N k=0 N c 2005-2011 — P. Alvarado
- 160. 146 4.7 Transformada Discreta de Fourier Convoluci´n circular o Sean x1 (n) y x2 (n) dos secuencias de duraci´n finita, ambas de longitud N , y sus respec- o tivas DFT de N puntos N −1 X1 (k) = x1 (n)e−j2πnk/N , k = 0, 1, . . . , N − 1 n=0 N −1 X2 (k) = x2 (n)e−j2πnk/N , k = 0, 1, . . . , N − 1 n=0 Si X3 = X1 (k)X2 (k), k = 0, 1, . . . , N − 1 entonces N −1 1 x3 (m) = X3 (k)ej2πkm/N N k=0 N −1 1 = X1 (k)X2 (k)ej2πkm/N N k=0 N −1 N −1 N −1 1 −j2πkn/N = x1 (n)e x2 (l)e−j2πkl/N ej2πkm/N N k=0 n=0 l=0 N −1 N −1 N −1 1 = x1 (n) x2 (l) ej2πk(m−n−l)/N N n=0 l=0 k=0 y con a = ej2π(m−n−l)/N en N −1 N si a = 1 ⇔ m − n − l = pN ⇒ l = ((m − n))N ak = 1−aN k=0 1−a = 0 si a = 1, puesto que aN = 1 por lo que N −1 x3 (m) = x1 (n)x2 ((m − n))N , m = 0, 1, . . . , N − 1 = x1 (m) N x2 (m) n=0 operaci´n denominada convoluci´n circular. N´tese que esta funci´n es para los elementos o o o o x3 (m) con m = 0, 1, . . . , N − 1 equivalente a la convoluci´n de x1 (n) con la extensi´n o o peri´dica con periodo N de x2 (n). o Otras propiedades se resumen en la tabla 4.3. 4.7.5 Filtrado lineal basado en la DFT La existencia de algoritmos eficientes para extraer la DFT (llamados FFT del ingl´s Fast e Fourier Transform) hace posible que sea en ocasiones m´s eficiente calcular el efecto de a un filtro en el dominio de la frecuencia que directamente en el dominio del tiempo. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 161. 4 An´lisis frecuencial a 147 Tabla 4.3: Propiedades de la DFT Propiedad Dominio temporal Dominio frecuencial Notaci´n o x(n), y(n) X(k), Y (k) Periodicidad x(n) = x(n + N ) X(k) = X(k + N ) Linealidad a1 x1 (n) + a2 x2 (n) a1 X1 (k) + a2 X2 (k) Reflexi´n temporal o x(N − n) X(N − k) Desplazamiento temporal circular x((n − l))N X(k) e−j2πkl/N Desplazamiento frecuencial circular x(n)ej2πln/N X((k − l))N Conjugaci´n compleja o x∗ (n) X ∗ (N − k) Convoluci´n circular o x1 (n) N x2 (n) X1 (k)X2 (k) Correlaci´n circular o x(n) N y ∗ (−n) X(k)Y ∗ (k) 1 Multiplicaci´n de dos secuencias o x1 (n)x2 (n) X (k) N X2 (k) N 1 N −1 N −1 ∗ 1 Teorema de Parseval x(n)y (n) X(k)Y ∗ (k) n=0 N k=0 Sea la entrada x(n) de longitud L y un filtro FIR con respuesta impulsional h(n) de longitud M . As´mase adem´s que ambas secuencias son causales, es decir u a x(n) = 0, n < 0, n ≥ L h(n) = 0, n < 0, n ≥ M La salida del filtro puede calcularse en el dominio del tiempo con la convoluci´n o M −1 y(n) = h(k)x(n − k) = h(n) ∗ x(n) k=0 que por la naturaleza finita de x(n) y h(n) tambi´n es finita. En el ejemplo 2.12 (p´g. 38) e a se determin´ que la salida tendr´ longitud M + L − 1. o a En el dominio de la frecuencia la salida es Y (ω) = X(ω)H(ω) Si se desea representar y(n) a trav´s de muestras de Y (ω) se necesitan entonces al menos e N ≥ M + L − 1 muestras para evitar as´ el aliasing temporal y se obtiene con la DFT: ı Y (k) = Y (ω)|ω=2πk/N = X(ω)H(ω)|ω=2πk/N = X(k)H(k) donde X(k) y H(k) representan entonces la DFT de las secuencias x(n) y h(n) que han sido extendidas con ceros para alcanzar la longitud N . N´tese que la compensaci´n de longitud de x(n) y y(n) logra que la convoluci´n circular o o o sea equivalente a la convoluci´n lineal. o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 162. 148 4.7 Transformada Discreta de Fourier 1 1 1 Ejemplo 4.13 Calcule la respuesta del filtro con respuesta impulsional h(n) = , , 4 2 4 ante la entrada x(n) = {4, 2, 2, 4}. La longitud de x(n) es L = 4 y la de h(n) es M = 3, por lo que la salida necesita al menos L + M − 1 = 6 muestras. Se utilizar´ N = 8 por simplicidad y porque los algoritmos de a k FFT usualmente requieren N = 2 muestras, con k ∈ IN. As´ ı 7 X(k) = x(n)ej2πkn/8 n=0 π π 3π = x(0) + x(1)e−j 4 k + x(2)e−j 2 k + x(3)e−j 4 k 3π π π = 4(1 + e−j 4 k ) + 2(e−j 4 k + e−j 2 k ) con lo que se obtiene X(0) = 12 √ √ X(1) = 4 − 2 − j(2 + 3 2) X(2) = 2 + j2 √ √ X(3) = 4 + 2 + j(2 − 3 2) X(4) = 0 √ √ X(5) = 4 + 2 − j(2 − 3 2) = X ∗ (3) X(6) = 2 − j2 = X ∗ (2) √ √ X(7) = 4 − 2 + j(2 + 3 2) = X ∗ (1) De forma similar 7 H(k) = h(n)e−j2πkn/8 n=0 π π = h(0) + h(1)e−j 4 k + h(2)e−j 2 k 1 π 1 π = 1 + e−j 2 k + e−j 4 k 4 2 con lo que se obtiene H(0) = 1 √ √ 1+ 2 1+ 2 H(1) = −j = H ∗ (7) 4 4 −j ∗ H(2) = − = H (6) 2√ √ 1− 2 1− 2 H(3) = +j = H ∗ (5) 4 4 H(4) = 0 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 163. 4 An´lisis frecuencial a 149 El producto de ambas secuencias es Y (0) = 12 √ √ 3+ 2 5+2 2 Y (1) = − −j = Y ∗ (7) 2 2 Y (2) = 1 − j = Y ∗ (6) √ √ 2−3 5−2 2 Y (3) = +j = Y ∗ (5) 2 2 Y (4) = 0 Y con la IDFT se obtiene finalmente 7 y(n) = Y (k)ej2πkn/8 , n = 0, 1, . . . , 7 k=0 5 5 5 5 = 1, , , , , 1, 0, 0 2 2 2 2 4.13 4.7.6 Filtrado de secuencias de larga duraci´n o En aplicaciones reales, la secuencia de entrada puede ser muy larga o incluso de longitud impredecible, por lo que el tratamiento, tanto por limitantes de espacio de memoria como por limitaciones en el retardo de la respuesta, debe realizarse separando en bloques esa se˜al de entrada. n Aqu´ se analizar´n dos m´todos que dividen la se˜al de entrada en bloques de longitud L ı a e n y aplican por medio de la DFT el filtro h(n) de longitud M en el dominio de la frecuencia. La salida, de forma equivalente a la aplicaci´n del filtro al bloque completo de la entrada, o se obtiene por medio de la concatenaci´n adecuada de cada bloque obtenido para cada o bloque de entrada. Sin p´rdida de generalidad se asume la longitud de la entrada mucho e mayor que la del filtro (L M ). M´todo de solapamiento y almacenamiento e En el m´todo de solapamiento y almacenamiento (overlap-save) la entrada se separa en e bloques de N = L + M − 1 muestras donde cada bloque contiene M − 1 muestras del bloque de entrada anterior seguidas por L muestras nuevas. La respuesta impulsional del filtro se aumenta con L − 1 ceros para alcanzar as´ la longitud N . La longitud de las DFT ı e IDFT es entonces N , y la salida para cada bloque se calcula a trav´s de su producto. e Puesto que el bloque de entrada tiene longitud N y el filtro longitud M , en el tiempo discreto la salida de la convoluci´n deber´ tener N + M − 1 muestras (ver ejemplo 2.12), o ıa por lo que es de esperar que las primeras M − 1 muestras de la salida est´n distorsionadas e c 2005-2011 — P. Alvarado
- 164. 150 4.7 Transformada Discreta de Fourier por aliasing, por lo que se descartan (figura 4.41). La salida para el m-´simo bloque se e obtiene con ym (n) ˆ ˆ Ym (k) = H(k)Xm (k), k = 0, 1, . . . , N − 1 N M −1 L L L L x(n) 0 M −1 x1 (n) M −1 x2 (n) M −1 x3 (n) y (n) y1 (n) M −1 M −1 x4 (n) y2 (n) M −1 y3 (n) M −1 y4 (n) Figura 4.41: M´todo de solapamiento y almacenamiento. e La salida total se obtiene concatenando las ultimas L muestras de cada bloque de salida. ´ M´todo de solapamiento y suma e En este m´todo la DFT se aplica a L muestras de la entrada, a las que se concatenan e M − 1 ceros. Los bloques de salida deben entonces traslaparse y sumarse para obtener el resultado final (figura 4.42). 4.7.7 An´lisis espectral de se˜ ales usando la DFT a n Para calcular el espectro exacto de una se˜al, indiferentemente si esta es continua o n discreta, es necesario contar con informaci´n de todo instante de tiempo, en el intervalo o t ∈ ]−∞, ∞[. En aplicaciones reales esto es imposible y se debe utilizar un intervalo finito de muestras que tendr´ repercusiones en la medici´n espectral. a o El procedimiento para el an´lisis espectral de una se˜al anal´gica xa (t) involucra primero a n o limitar el ancho de banda B con un filtro antialias seguido por el muestreo a una tasa c 2005-2011 — P. Alvarado
- 165. 4 An´lisis frecuencial a 151 L L L L x(n) M −1 x1 (n) 0 M −1 x2 (n) 0 M −1 x3 (n) 0 y (n) y1 (n) M −1 + x4 (n) 0 y2 (n) + y3 (n) + y4 (n) Figura 4.42: M´todo de solapamiento y suma. e Fs ≥ 2B, que asegura que la mayor frecuencia ser´ Fs /2, equivalente a la frecuencia a normalizada f = 1/2. Adem´s, es necesario limitar la longitud temporal de la se˜al a L a n muestras, lo que implica que T0 = LT es la duraci´n del bloque de se˜al analizado. No o n se estudia entonces la se˜al x(n) sino otra obtenida por enventanado n x(n) = x(n)w(n) ˆ con la ventana de longitud L 1 0≤n≤L−1 w(n) = 0 en el resto Para el caso particular de una componente espectral x(n) = cos(ω0 n) con espectro X(ω) = 1 2 [δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )] la se˜al enventanada tendr´ espectro: n a x(n) ˆ ˆ 1 X(ω) = [W (ω − ω0 ) + W (ω + ω0 )] 2 donde W (ω) es el espectro de la ventana que para el caso de la ventana rectangular es (figura 4.43) sen ω L −jω(L−1)/2 2 W (ω) = e sen ω 2 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 166. 152 4.7 Transformada Discreta de Fourier ˆ X(ω) ω −π −π 2 0 π 2 π Figura 4.43: Espectro del producto de una se˜al cosenoidal de frecuencia ω = π/2 con una n ventana rectangular de longitud L = 25. N´tese que el espectro no se concentra en ±ω0 , como la se˜al original, sino que ha ocurrido o n un derrame o fuga de la potencia de la se˜al a todo el intervalo de frecuencias (en ingl´s n e leakage). Este derrame impide adem´s distinguir l´ a ıneas espectrales que se encuentren muy cerca. Por ejemplo, con x(n) = cos(ω0 n) + cos(ω1 n) + cos(ω2 n) y ω0 = 0,2π, ω1 = 0,22π y ω2 = 0,6π se obtienen las respuestas en magnitud de la figura 4.44. ˆ |X(ω)| ˆ |X(ω)| ˆ |X(ω)| ω ω ω −π −π 2 0 π 2 π −π −π 2 0 π 2 π −π −π 2 0 π 2 π (a) (b) (c) Figura 4.44: Respuestas en magnitud para una superposici´n de tres se˜ales cosenoidales con o n (a) L = 25, (b) L = 50 y (c) L = 100. Los l´bulos laterales pueden reducirse utilizando otras ventanas diferentes a las rectangu- o lares, como la de Hanning: 1 2π 2 1 − cos L−1 n 0≤n≤L−1 w(n) = 0 en el resto a costa del mayor ancho del l´bulo central. o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 167. Cap´ ıtulo 5 Conversi´n anal´gica/digital y o o digital/anal´gica o Tal y como se describi´ en la figura 1.2, para tratar se˜ales anal´gicas por medios digitales o n o es necesario poder convertir entre representaciones anal´gicas y digitales. o Conceptualmente en la conversi´n de una se˜al anal´gica a una representaci´n digital o n o o intervienen tres pasos (figura 5.1): 1. Muestreo es la conversi´n de una se˜al de variable continua a otra de variable o n discreta que es el resultado de tomar “muestras” de la se˜al de variable continua en n ciertos instantes. Si xa (t) es la entrada al bloque de muestreo, entonces la salida es xa (nT ), donde a T se le denomina el intervalo de muestreo. 2. Cuantificaci´n es la conversi´n de la se˜al de variable discreta y valores continuos a o o n otra se˜al de variable discreta pero con valores discretos. El valor de cada muestra n es aproximado entonces con un valor de un conjunto finito de posibles valores. A la diferencia entre el valor continuo y su aproximaci´n se le denomina error de o cuantificaci´n. o 3. Codificaci´n consiste en la asignaci´n de una representaci´n usualmente binaria para o o o los valores cuantificados. Convertidor A/D xa (t) x(n) xq (n) c(n) Muestreo Cuantificaci´n o Codificaci´n o Se˜al n Se˜al de n Se˜al n Se˜al n Anal´gica o Variable Discreta Cuantificada Digital Figura 5.1: Pasos b´sicos en la conversi´n anal´gica/digital. a o o 153
- 168. 154 5.1 Muestreo de se˜ales anal´gicas n o Estos pasos en la pr´ctica se realizan en un solo bloque operacional. a La conversi´n digital/anal´gica es necesaria en todos aquellos casos en los que la represen- o o taci´n propiamente digital no tiene significado para el usuario final. Por ejemplo, la salida o digital de un decodificador de voz debe ser convertida a una se˜al anal´gica ac´stica para n o u poder ser comprendida por los usuarios. Este proceso de conversi´n debe interpolar la o se˜al discreta. n 5.1 Muestreo de se˜ ales anal´gicas n o Existen diversas posibilidades de seleccionar las muestras de una se˜al anal´gica en la fase n o de muestreo. En el an´lisis cl´sico se utiliza el llamado muestreo peri´dico o uniforme por a a o las facilidades que este brinda al an´lisis matem´tico, lo cual ha hecho que sea el tipo de a a muestreo m´s utilizado en aplicaciones reales. En el muestreo peri´dico la relaci´n entre a o o la se˜al anal´gica y la se˜al de variable discreta est´ dada por n o n a x(n) = xa (nT ) −∞<n<∞ donde la secuencia x(n) contiene entonces muestras de la se˜al anal´gica xa (t) separadas n o por un intervalo T (figura 5.2). Se˜al n xa (t) x(n) = xa (nT ) Se˜al n Anal´gica o de variable Fs = 1/T discreta Muestreo xa (t) x(n) xa (t) x(n) = xa (nT ) t n Figura 5.2: Muestreo peri´dico de una se˜al anal´gica. o n o Las variables t y n de las se˜ales de variable continua y discreta respectivamente est´n n a relacionadas a trav´s del intervalo de muestreo T e t = nT = n/Fs donde a Fs se le denomina tasa de muestreo. En la secci´n 2.2.2 se demostr´ que la relaci´n entre las frecuencias de las se˜ales en los o o o n dominios continuo y discreto est´ dada por a ω = ΩT c 2005-2011 — P. Alvarado
- 169. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 155 o lo que es equivalente F f= (5.1) Fs por lo que a f se le denomina tambi´n frecuencia normalizada. Con esto queda claro que e la frecuencia f puede corresponder con las unidades de frecuencia de F (por ejemplo, en Hertz) si y solo si se conoce la frecuencia de muestreo Fs . En las secciones anteriores se obtuvo adem´s que el rango para la frecuencia F es pr´cticamente a a 1 1 infinito, mientras que el rango de la frecuencia f es finito ([− 2 , 2 ]). Utilizando (5.1) se obtiene 1 1 − <f ≤ 2 2 1 F 1 − < ≤ 2 Fs 2 Fs Fs − <F ≤ 2 2 El muestreo peri´dico de la se˜al de variable continua representa entonces un mapeo del o n rango infinito de frecuencias F a un rango finito de frecuencias f . Puesto que la mayor 1 frecuencia de f es f = 2 puede concluirse que con la tasa de muestreo Fs como m´ximo a se podr´ representar a Fs 1 Fmax = = 2 2T π Ωmax = πFs = T En cap´ıtulos anteriores se demostr´ que las frecuencias f son unicas dentro de un rango o ´ finito: el rango fundamental, y que todas las frecuencias fuera de ese rango son alias de alguna frecuencia fundamental. Se demostr´ adem´s que para una se˜al sinusoidal la o a n frecuencia angular ω y ω + 2kπ son equivalentes para todo k ∈ Z, lo que implica que f + k es un alias de f . Con (5.1) se tiene que F f +k = ⇒ f Fs + kFs ≡ F Fs o en otras palabras f Fs + kFs es un alias de F = f Fs . Con esto, la relaci´n entre las o frecuencias de las se˜ales de variable continua y discreta puede graficarse como lo muestra n la figura 5.3. La figura 5.4 muestra un ejemplo con las frecuencias F1 = 2/7 Hz y su alias F2 = −5/7 Hz para una tasa de muestreo de Fs = 1 Hz. Aqu´ se aprecia con claridad que las muestras ı tomadas para las dos se˜ales coinciden, por lo que estas muestras por si solas no pueden n determinar de cu´l de las dos se˜ales fue muestreada. a n La frecuencia Fs /2 corresponde entonces a la frecuencia m´xima representable en forma a 1 discreta con una tasa de muestreo Fs , que corresponde entonces a f = 2 . La frecuencia fundamental correspondiente a un alias de frecuencia mayor a Fs /2 se puede terminar utilizando Fs /2 como pivote para reflejar el alias dentro del rango fundamental. A Fs /2 (o ω = π) se le denomina entonces frecuencia de plegado,o en ingl´s folding frequency. e c 2005-2011 — P. Alvarado
- 170. 156 5.1 Muestreo de se˜ales anal´gicas n o f ω 1 2 π F −Fs − Fs 2 Fs 2 Fs 1 − 2 −π Figura 5.3: Relaci´n entre las frecuencias de se˜ales de variable discreta y continua para el o n caso de muestreo uniforme. x(n) F2 = − 5 Hz 7 t[s] 2 F1 = 7 Hz Figura 5.4: Muestreo de una se˜al sinusoidal y de un alias. n 5.1.1 Muestreo de se˜ ales pasa-bajos n Como se˜al pasabajos se considera aquella cuyo espectro tiene componentes de frecuencia n diferentes de cero para un valor dado de frecuencia F < B. La figura 4.11 ilustra un espectro de se˜al pasabajos. n Tal y como se ha demostrado en la secci´n 4.2.4, no hay p´rdida de informaci´n si una o e o se˜al se muestrea con Fs > 2B, pues las r´plicas del espectro original inducidas por el n e muestreo, y ubicadas cada Fs , no se traslapan y permiten la recuperaci´n del espectro o original por medio de un interpolador ideal aplicado a las muestras. 5.1.2 Muestreo de se˜ ales pasa-banda n Una se˜al pasa-banda es aquella cuyo espectro es cero para |F | < Fc − B/2 y para n |F | > Fc + B/2. A Fc se le conoce como frecuencia central de la banda o frecuencia portadora y a B como ancho de la banda. La figura 5.5 ilustra un ejemplo de espectro paso- banda de una se˜al real. Seg´n el teorema de muestreo es posible reconstruir la se˜al si se n u n c 2005-2011 — P. Alvarado
- 171. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 157 |H(Ω)| −Fc Fc F B Figura 5.5: Se˜al pasa-banda n utiliza como frecuencia de muestreo al menos el doble de la frecuencia m´xima encontrada a en la se˜al, es decir, Fs > 2Fc + B. En aplicaciones donde la frecuencia portadora es n superior a la disponibilidad de muestreo de convertidores anal´gico digital comerciales, o o la capacidad de procesamiento requerida no da abasto con el n´mero de muestras u capturado por intervalo de tiempo, es posible re-interpretar el teorema de muestreo para utilizar r´plicas espectrales en secciones de menor frecuencia y as´ utilizar submuestreo, o e ı muestreo sub-Nyquist. La figura 5.6 ilustra un caso de muestreo de la se˜al con ancho de banda B montada sobre n una portadora en Fc utilizando como frecuencia de muestreo Fs = Fc − B/2. |H(Ω)| −Fc Fc F Fs Fs Fs Fs Fs Fs Fs Fs Figura 5.6: Muestreo de se˜al pasa-banda sin aliasing n Respetando el teorema del muestreo, enunciado ahora como Fs > 2B, es posible elegir la frecuencia de muestreo de tal modo que las r´plicas de las bandas no se traslapen, e evitando as´ que ocurran efectos de aliasing. ı La figura 5.7 ilustra un caso particular en el que se logran situar seis r´plicas entre las e bandas de una se˜al anal´gica. n o Obs´rvese que en el rango 2Fc − B, existente entre las dos bandas de la se˜al, deben caber e n exactamente m r´plicas, por lo que se debe cumplir e mFs = 2Fc − B c 2005-2011 — P. Alvarado
- 172. 158 5.1 Muestreo de se˜ales anal´gicas n o 2Fc − B |H(Ω)| −Fc −2Fs −Fs Fs 2Fs Fc F 2Fc − B |H(Ω)| −Fc Fc F 2Fc + B |H(Ω)| −Fc −2Fs −Fs Fs 2Fs Fc F Figura 5.7: Muestreo de se˜al pasa-banda sin aliasing. Arriba se utiliza Fs = (2Fc /B)/6; al n medio se muestrea con Fs < Fs ; abajo se utiliza la menor frecuencia posible. y por tanto 2Fc − B Fs = (5.2) m donde el n´mero natural m estar´ limitado adem´s por la restricci´n Fs > 2B. u a a o Si la frecuencia de muestreo Fs se incrementa, las r´plicas se separar´n entre s´ causando e a ı, un traslape y por tanto aliasing en la se˜al muestreada. Si Fs se reduce, las r´plicas se n e acercar´n entre s´ y Fs puede reducirse hasta que ahora en el rango extendido que cubre a ı, a las dos bandas originales (2Fc +B) quepan entonces m+1 r´plicas distribuidas de forma e homog´nea: e (m + 1)Fs = 2Fc + B y por tanto 2Fc + B Fs = (5.3) m+1 Si se reduce Fs aun m´s, de nuevo ocurrir´ un traslape entre las bandas. a a Resumiendo lo anterior, se debe cumplir para la frecuencia de muestreo Fs 2Fc + B 2Fc − B ≤ Fs ≤ (5.4) m+1 m donde, de nuevo, m es un n´mero natural que debe adem´s asegurar que Fs > 2B. u a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 173. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 159 Def´ ınase r como la raz´n entre la mayor componente de frecuencia Fc + B/2 y el ancho o de banda B de la se˜al a muestrear. Reescribiendo (5.4) se obtiene n 2Fc + B 2Fc − B ≤ Fs ≤ m+1 m Fc + B2 2Fc − B + B − B 2 ≤ Fs ≤ m+1 m Fc + B B 2 B Fc + B − B 2 2 ≤ Fs ≤ 2 m+1 m 2Br Br − B ≤ Fs ≤ 2 m+1 m 2r Fs 2(r − 1) ≤ ≤ m+1 B m La figura 5.8 ilustra la frecuencia de muestreo normalizada con el ancho de banda B en funci´n del radio r. La zona sombreada representa configuraciones inv´lidas. o a 10 8 6 m=1 m=2 Fs m=3 B 4 2 0 r 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 5.8: Rangos v´lidos de frecuencias de sub-muestreo, en funci´n del radio entre la fre- a o cuencia espectral m´xima y el ancho de banda. a Debe notarse que si m es impar, la r´plicas cercanas a cero se invertir´n, en el sentido que la e a r´plica de la banda original en frecuencias positivas se encontrar´ en frecuencias negativas e a y la r´plica de la banda original en frecuencias negativas se encontrar´ en frecuencias e a positivas. Si la aplicaci´n requiere contar con el espectro sin invertir, es necesario utilizar o m par. Al igual que en el caso de se˜ales pasa-bajo, para aplicaciones reales es necesario dejar n un margen entre las bandas con el fin de poder utilizar un filtros que rescaten las r´plicas e inferiores, con las cuales usualmente se desea trabajar. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 174. 160 5.2 Cuantificaci´n de se˜ales de amplitud continua o n 5.2 Cuantificaci´n de se˜ ales de amplitud continua o n La cuantificaci´n de una se˜al de amplitud continua consiste en asignar a cada valor con- o n tinuo otro valor tomado de un conjunto finito. El reemplazar los valores continuos por los valores cuantificados introduce el llamado error de cuantificaci´n o ruido de cuan- o tificaci´n. Si x(n) es la secuencia de valores continuos entonces la secuencia de valores o cuantificados ser´ xq (n) = Q[x(n)] donde Q representa un operador de cuantificaci´n. La a o secuencia de errores de cuantificaci´n est´ dada entonces por o a eq (n) = xq (n) − x(n) Para analizar el error de cuantificaci´n consid´rese la se˜al sinusoidal de variable continua o e n mostrada en la figura 5.9. Es posible apreciar que alrededor de cada nivel de cuantificaci´no x(t) -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t Figura 5.9: Se˜al sinusoidal de variable continua cuantificada. n la se˜al anal´gica se puede aproximar de forma lineal. En t´rminos estad´ n o e ısticos este hecho se describe diciendo que el ruido de cuantificaci´n sigue una distribuci´n uniforme, donde o o los valores de error estar´n distribuidos con las mismas probabilidades entre −∆/2 y ∆/2, a donde ∆ es igual al cuanto, es decir la distancia entre dos niveles de cuantificaci´n. o Esta aproximaci´n lineal se esquematiza en la figura 5.10, donde se ha asumido que los o “saltos” hacia los otros cuantos de esta se˜al ocurren en −τ y τ . n La potencia media del error cuadr´tico Pq es a τ τ 1 1 Pq = e2 (t) dt = q e2 (t) dt q 2τ −τ τ 0 que considerando la aproximaci´n lineal del error eq (t) ≈ (∆/2τ )t para t ∈ [−τ, τ ] resulta o en 2 1 τ ∆ ∆2 Pq = t2 dt = (5.5) τ 0 2τ 12 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 175. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 161 eq (t) ∆/2 ∆ ∆/2 τ −τ 0 t −∆/2 −τ 0 τ t Figura 5.10: Error de cuantificaci´n eq (t) = xa (t) − xq (t). o Si el cuantificador utiliza b bits de precisi´n y todo el rango posible con ellos para repre- o sentar la amplitud de 2A, entonces se puede calcular el cuanto como ∆ = 2A/2b , lo que implica que A2 /3 Pq = 2b (5.6) 2 La potencia media de la se˜al xa (t) se calcula como n Tp 1 A2 Px = (A cos(Ω0 t))2 dt = . Tp 0 2 Con estos dos t´rminos es posible entonces aproximar la relaci´n se˜al a ruido de cuanti- e o n ficaci´n (SQNR signal to quantization noise ratio) como: o Px 3 SQNR = = · 22b Pq 2 y expresada en decibels (dB) SQNR(dB) = 10 log10 SQNR = (1,76 + 6,02b) dB lo que implica que por cada bit a˜adido a la palabra, y si se utiliza todo el rango, es decir, n si se duplica la cantidad de cuantos utilizados, la calidad de la se˜al mejora en 6 dB. El n factor 3/2 en la raz´n de potencias es espec´ o ıfico para se˜ales sinusoidales. En un caso n m´s general, si se asume que la se˜al de entrada es generada por un proceso aleatorio de a n 2 media cero y con potencia Px = σx , entonces la raz´n SQNR es o Px σ2 σ2 SQNR = = A2x = x 3 · 22b Pq /3 2b A2 2 y en decibels 2 σx SQNR(dB) = 10 log10 + 10 log10 3 + 2b log10 2 A2 2 σx = 10 log10 + 4, 77 dB + 6, 02b dB (5.7) A2 de donde se observa que el t´rmino (6,02b) dB se mantiene. e c 2005-2011 — P. Alvarado
- 176. 162 5.3 Codificaci´n de los valores cuantificados o Ejemplo 5.1 El sistema de audio digital utilizado en CD comerciales utiliza una fre- cuencia de muestreo de 44,1 kHz con 24 bits por muestra. Determine la frecuencia m´xima a representable por este sistema y el valor m´ximo de la relaci´n de se˜al a ruido de cuan- a o n tificaci´n SQNR alcanzable para un tono puro. o ¿Cu´ntos bits son estrictamente necesarios por muestra si la aplicaci´n require para un a o tono puro una SQNR de al menos 100 dB? Soluci´n: o Con 44,1 kHz de frecuencia de muestreo es posible representar a lo sumo frecuencias de 22,05 kHz. Los 24 bits por muestra permiten, si el convertidor A/D cubre exactamente el rango din´mico de la se˜al, un SQNR=(1,76+6,02×24)=146,24 dB, asumiendo un tono sinusoi- a n dal. Si se requirieran 100 dB entonces bastar´ para reproducir un tono puro (se˜al sinusoidal) ıan n 17 bits por muestra. 5.1 5.3 Codificaci´n de los valores cuantificados o El proceso de codificaci´n asigna un n´mero binario unico a cada nivel de cuantificaci´n. o u ´ o Si se disponen de L niveles entonces ser´n necesarios al menos b = log2 (L) bits. Los a convertidores A/D disponibles comercialmente usualmente utilizan precisiones de 8 a 16 bits. Dos familas de codificaci´n se utilizan con frecuencia: coma fija y coma flotante. o 5.3.1 N´ meros codificados con coma fija u En las representaciones con coma fija el peso de cada bit en la representaci´n es cons- o tante. Dos codificaciones frecuentemente utilizadas consisten en los enteros sin signo y el complemento a dos. Enteros sin signo Sea x un n´mero entero sin signo de N -bits u N −1 x= bn 2n n=0 donde bn ∈ {0, 1} es el n-´simo d´ e ıgito de x. El rango representable es entonces desde 0 N hasta 2 − 1. El d´ ıgito b0 es el menos significativo (LSB, least significant bit) y su peso relativo es igual a uno. El d´ıgito bN −1 es el m´s significativo (MSB, most significant bit) a N −1 y tiene un peso relativo de 2 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 177. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 163 Coma fija sin signo Sea x un n´mero sin signo de N -bits u N −1 1 x= bn 2n M n=0 donde bn ∈ {0, 1} es el n-´simo d´ e ıgito de x y M es una constante de normalizaci´n elegida o m N usualmente como 2 . El rango representable es entonces desde 0 hasta (2 − 1)/M . El d´ ıgito b0 es el menos significativo (LSB, least significant bit) y su peso relativo es igual a 1/M . El d´ ıgito bN −1 es el m´s significativo (MSB, most significant bit) y tiene un peso a N −1 relativo de 2 /M . Complemento a dos La representaci´n de N bits de un n´mero entero con signo en complemento a dos est´ o u a dada por N −2 N x = −bN −1 2 + bn 2n n=0 lo que permite representar n´meros en el rango desde −2N −1 hasta 2N −1 − 1. El d´ u ıgito b0 es el menos significativo (LSB, least significant bit) y su peso relativo es igual a uno. El d´ıgito bN −2 es el m´s significativo (MSB, most significant bit) y tiene un peso relativo a N −2 de 2 . El ultimo bit bN −1 codifica al signo. ´ El uso del complemento a dos es quiz´ el m´s difundido de todas las representaciones a a de n´meros con signo. Esto se debe a que es posible sumar varios n´meros con signo, y u u siempre que el resultado final se encuentre en el rango de representaci´n, es irrelevante o si resultados intermedios producen desbordamiento. Por ejemplo, sup´ngase que se debe o hacer la secuencia de operaciones 2 + 3 − 2 con n´meros de 3 bits. La secuencia de u adiciones es entonces (xi )10 (xi )2 ( xi )2 ( xi )10 210 010 010 210 310 011 101 −310 −210 110 011 310 donde el resultado intermedio 5 fue representado por el n´mero −3, sin afectar el resultado u final. Otra ventaja de esta representaci´n es que permite encontrar el m´dulo con respecto o o L a un n´mero 2 utilizando unicamente los L bits menos significativos, lo que simplifica la u ´ implementaci´n de b´feres anulares. Por ejemplo, para el caso N = 4 y L = 2 se obtiene o u c 2005-2011 — P. Alvarado
- 178. 164 5.3 Codificaci´n de los valores cuantificados o (xi )10 (xi )2 (xi mod 4)2 (xi mod 4)10 −810 1000 00 010 −710 1001 01 110 −610 1010 10 210 −510 1011 11 310 −410 1100 00 010 −310 1101 01 110 −210 1110 10 210 −110 1111 11 310 010 0000 00 010 110 0001 01 110 210 0010 10 210 310 0011 11 310 410 0100 00 010 510 0101 01 110 610 0110 10 210 710 0111 11 310 Coma fija con signo La representaci´n de N bits de un n´mero con signo en complemento a dos est´ dada por o u a N −2 1 N x= −bN −1 2 + bn 2n M n=0 con la constante de normalizaci´n M elegida usualmente como 2m . El rango representable o N −1 ser´ entonces desde −2 a /M hasta (2N −1 − 1)/M . Un caso frecuentemente utilizado permite representar n´meros de valor absoluto igual o u inferior a uno empleando M = 2N −1 con lo que se obtiene N −2 x = −2bN −1 + bn 2n−N +1 n=0 5.3.2 N´ meros codificados con coma flotante u La representaci´n en coma flotante permite ampliar el rango de representaci´n num´rica. o o e Las representaciones de 32 y 64 bits m´s frecuentemente utilizadas han sido estandarizadas a por la IEEE (est´ndar 754 en su versi´n original de 1985 y su m´s reciente versi´n de a o a o 2008). Las unidades de manejo de coma flotante integradas en algunos procesadores Digitales de Se˜al avanzados (por ejemplo, la familia C674x de Texas Instruments) as´ n ı como algunos m´dulos disponibles gratuita y/o comercialmente en HDL (Verilog o VHDL) o dan soporte a dicho est´ndar. La flexibilidad del hardware reconfigurable permite sin a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 179. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 165 embargo utilizar formatos de coma flotante adecuados para cada aplicaci´n espec´ o ıfica sin afectar el desempe˜o. n Un n´mero codificado con el est´ndar consiste en un bit de signo s, el exponente e con u a E bits y la mantisa m normalizada (fraccionaria) de M bits, y se codifica como s Exponente e Mantisa m De forma algebraica, el n´mero representado es u x = (−1)s × 1, m × 2e−bias con bias = 2E−1 − 1 N´tese que la mantisa se completa con un 1 oculto (en el sentido de que no se indica o expl´ ıcitamente en la representaci´n), mientras que los bits especificados en la mantisa o representan solo la parte fraccionaria. Ejemplo 5.2 Indique cu´l es la representaci´n en coma flotante del n´mero 10, 12510 a o u en un formato de 14 bits que utiliza E = 6 bits y M = 7 bits. Soluci´n: o Primero, el bias est´ dado por a bias = 2E−1 − 1 = 25 − 1 = 31 y para la mantisa 10, 12510 = 1010, 00102 = 1, 01000102 × 23 El exponente corregido se obtiene con e = 3 + bias = 3410 = 1000102 Finalmente, la representaci´n del n´mero es: o u s Exponente e Mantisa m 0 1000102 01000102 5.2 Ejemplo 5.3 Encuentre qu´ n´mero decimal es representado por el c´digo de coma e u o flotante con E = 6 bits y M = 7 bits: s Exponente e Mantisa m 1 0111102 10000002 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 180. 166 5.3 Codificaci´n de los valores cuantificados o Soluci´n: o El n´mero representado est´ dado por u a −1 × 1, 10000002 × 230−bias = −1, 12 × 2−1 = −0, 112 = −0, 7510 5.3 La tabla 5.1 muestra las especificaciones del est´ndar IEEE 754. Adem´s de la estructura a a Tabla 5.1: Est´ndar de coma flotante IEEE 754-2008 a Simple Doble Ancho de palabra 32 64 Mantisa 23 52 Exponente 8 11 Bias 127 1023 Rango 2128 ≈ 3, 4 × 1038 21024 ≈ 1, 8 × 10308 de representaci´n de los n´meros reales, el est´ndar especifica adem´s detalles como modos o u a a de redondeo, denormalizaciones, y representaciones de n´meros inv´lidos o infinitos (ver u a tablas 5.2 y 5.3). Tabla 5.2: Algunos n´meros especiales en precisi´n simple u o Nombre s e m Hex 11 . . . 11 FFFFFFFFH -NaN (Quiet) 1 11 . . . 11 . . . . . . 10 . . . 01 FFC00001H 01 . . . 11 FFBFFFFFH -NaN (Signal) 1 11 . . . 11 . . . . . . 00 . . . 01 FF800001H −∞ 1 11 . . . 11 00 . . . 00 FF800000H −0 1 00 . . . 00 00 . . . 00 80000000H +0 0 00 . . . 00 00 . . . 00 00000000H +∞ 0 11 . . . 11 00 . . . 00 7F800000H 00 . . . 01 7F800001H +NaN (Signal) 0 11 . . . 11 . . . . . . 01 . . . 11 7FBFFFFFH 10 . . . 01 7FC00000H +NaN (Quiet) 0 11 . . . 11 . . . . . . 11 . . . 11 7FFFFFFFH c 2005-2011 — P. Alvarado
- 181. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 167 Tabla 5.3: Algunos n´meros especiales en precisi´n doble u o Nombre s e m Hex 11 . . . 11 FFFFFFFFFFFFFFFFH -NaN (Quiet) 1 11 . . . 11 . . . . . . 10 . . . 01 FFC0000000000001H 01 . . . 11 FFF7FFFFFFFFFFFFH -NaN (Signal) 1 11 . . . 11 . . . . . . 00 . . . 01 FFF8000000000001H −∞ 1 11 . . . 11 00 . . . 00 FFF0000000000000H −0 1 00 . . . 00 00 . . . 00 8000000000000000H +0 0 00 . . . 00 00 . . . 00 0000000000000000H +∞ 0 11 . . . 11 00 . . . 00 7FF0000000000000H 00 . . . 01 7FF0000000000001H +NaN (Signal) 0 11 . . . 11 . . . . . . 01 . . . 11 7FF7FFFFFFFFFFFFH 10 . . . 01 7FF8000000000000H +NaN (Quiet) 0 11 . . . 11 . . . . . . 11 . . . 11 7FFFFFFFFFFFFFFFH 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital o o Diferentes estrategias para la conversi´n anal´gica a digital se han propuesto, cada una o o de ellas adecuada a factores como potencia, velocidad o precisi´n, que caracterizar´n a o a cada aplicaci´n en particular. La selecci´n del convertidor anal´gico digital es parte del o o o dise˜o de un sistema de procesamiento digital. n 5.4.1 Circuito de muestreo y retenci´n o El circuito de muestreo y retenci´n (o sample and hold ) es utilizado como etapa previa o al circuito convertidor propiamente dicho para estabilizar el valor a ser muestreado. El periodo total de muestreo Ts = 1/Fs se divide en el tiempo de muestreo ts en el que la salida de tensi´n U2 del retenedor se estabiliza siguiendo a la tensi´n de entrada U1 o o (figura 5.11), y el tiempo de retenci´n tH donde se mantiene el ultimo valor de tensi´n de o ´ o la entrada del tiempo ts . Durante el tiempo de retenci´n la salida U2 es constante y es o convertida a una palabra digital en el proceso de cuantificaci´n. o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 182. 168 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital o o S/H Entrada U1 U1 U2 Salida U2 tS tH Figura 5.11: Muestreo y retenci´n o 5.4.2 Contador Una primera estrategia de conversi´n anal´gica a digital utiliza el esquema ilustrado en la o o figura 5.12. Durante cada fase de retenci´n del circuito S/H, una se˜al con forma diente o n Fs Contador Registro w bits w bits S/H xa (t) Figura 5.12: Conversi´n con contador o de sierra s(t) recorre todo el rango de valores anal´gicos representables y en paralelo un o contador digital es reinicializado e inicia una cuenta ascendente sincronizada con la se˜al n s(t). En el instante en que s(t) supere a la salida del retenedor, el valor del contador es almacenado en un registro y utilizado como representaci´n digital de la se˜al. o n Esta t´cnica es utilizada para bajas frecuencias de muestreo (menores a 50 kHz) debido e a la cantidad de ciclos de reloj requeridos por el contador para recorrer todo el rango de valores. Por las mismas razones, tampoco es posible utilizar un n´mero elevado de bits. u La precisi´n de este m´todo est´ limitada por la precisi´n de generaci´n de la se˜al s(t), o e a o o n c 2005-2011 — P. Alvarado
- 183. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 169 as´ como la precisi´n de la sincronizaci´n de esta se˜al con los contadores. ı o o n 5.4.3 Aproximaciones sucesivas En la conversi´n por aproximaciones sucesivas se sigue la estrategia ilustrada en la figu- o ra 5.13. El registro de aproximaci´n sucesiva (RAS) consiste en un sistema que verifica o Fs S/H Registro w bits w bits RAS xa (t) DAC Figura 5.13: Conversi´n por aproximaciones sucesivas o e inicializa los bits del c´digo digital del m´s significativo al menos significativo. En un o a primer paso, a dicho bit se le asigna el valor de 1, y esa representaci´n se convierte a un o valor anal´gico con el DAC. Si la tensi´n a la salida del DAC es menor que la salida del o o retenedor, eso indica que el bit m´s significativo debe ser uno, o de otra manera debe ser a cero. El valor de dicho bit se almacena y se procede de igual forma con el siguiente bit de menor peso relativo. De esta manera, en un n´mero de pasos w igual al n´mero de bits u u de la representaci´n digital se realiza la conversi´n. Este proceso comparativo se ilustra o o en la figura 5.14. Uref /2 Uref MSB < ≥ < ≥ ≥ < < ≥ < ≥ < ≥ < ≥ LSB < ≥ < ≥ < ≥ < ≥ < ≥ < ≥ < ≥ < ≥ Figura 5.14: Registro de aproximaciones sucesivas Con una resoluci´n de 12 bits se alcanzan frecuencias de muestreo de hasta 1 MHz. Ma- o yores resoluciones de hasta 16 bits se encuentran disponibles pero a menores frecuencias de muestreo. Obs´rvese que la precisi´n de este m´todo depende de qu´ tan exacto sea el convertidor e o e e digital anal´gico (DAC). o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 184. 170 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital o o 5.4.4 Convertidor paralelo La figura 5.15 muestra un m´todo directo de conversi´n denominado convertidor flash o e o convertidor paralelo. En este m´todo, la salida del retenedor es comparada con 2w − 1 e tensiones de referencia obtenidas por una red resistiva. La salida de los comparadores se interpreta como una secuencia de 2w − 1 bits que pueden ser codificados para obtener un c´digo de w bits. o Fs S/H xa (t) R/2 D Q Uref 2w − 1 R D Q w bits 2w − 2 R Codec D Q 2 R D Q 1 R/2 Comparadores Figura 5.15: Convertidor paralelo Las tasas de muestreo obtenibles con estos convertidores oscilan entre 1 y 500 MHz para resoluciones de hasta 10 bits. Sin embargo, las tolerancias alcanzables en la fabricaci´n o de la red resistiva (por ejemplo 1023 resistencias en un convertidor de 10 bits) afectar´ a directamente la linealidad del convertidor, o en otras palabras, la homogeneidad del ancho anal´gico de tensi´n asignado al bit menos significativo en todo el rango de conversi´n es o o o dif´ de alcanzar con convertidores de este tipo. ıcil c 2005-2011 — P. Alvarado
- 185. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 171 5.4.5 Convertidor en subrangos Una manera de reducir el n´mero de resistencias requeridas en el convertidor anterior u consiste en partir el problema en dos subproblemas con la mitad del n´mero de bits, tal u y como lo ilustra la figura 5.16. En un primer paso un convertidor flash se utiliza para Fs m bits S/H m bit ADC xa (t) w bits L´gica m bit o DAC m bits m bit ADC 2m Figura 5.16: Convertidor half-flash obtener los m bits m´s significativos de la tensi´n a la salida del retenedor. A partir de a o ellos se obtiene una tensi´n que aproxima a la entrada redondeada a solo m bits. La salida o de convertidor DAC utilizado para generar dicha aproximaci´n se substrae de la salida o del retenedor para obtener la fracci´n faltante, la cual es amplificada por un factor 2m y o transformada con otro convertidor flash para obtener los m bits menos significativos. El esquema anterior (denominado half-flash) puede ser simplificado en una estructura de conversi´n en subrangos como se ilustra en la figura 5.17. Con este esquema, solo se o utiliza un convertidor flash. Las tasas de conversi´n alcanzan entre 100 kHz y 40 MHz con o Fs m bits S/H m bit ADC xa (t) 2m w bits L´gica o m bit DAC Figura 5.17: Convertidor en subrangos resoluciones de hasta 16 bits. 5.4.6 Convertidor delta-sigma El convertidor delta-sigma (∆Σ) utiliza una estrategia completamente diferente a todos los circuitos ilustrados anteriormente. Los sistemas anteriores trabajan en frecuencias cercanas al l´ımite de Nyquist (Fs > 2B) y por eso se les denomina convertidores ADC c 2005-2011 — P. Alvarado
- 186. 172 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital o o ´ en tasa de Nyquist. Estos requieren estructuras electr´nicas complejas que determinan la o linealidad de la conversi´n, y su resoluci´n est´ determinada por el n´mero de niveles en o o a u el cuantificador. Los sistemas ∆Σ operan por el contrario con sobre-muestreo (Fs 2B) utilizando una resoluci´n baja, t´ o ıpicamente de un unico bit, por lo que se les denomina ´ “convertidores de un bit”. Para reducir el error de cuantificaci´n se utilizan t´cnicas del o e procesamiento digital de se˜ales. n La figura 5.18 ilustra cualitativamente el compromiso entre ancho de banda y resoluci´n o de los diferentes tipos de conversi´n, donde se aprecia que a pesar de utilizar un unico bit o ´ ∆Σ Aprox. Sucesivas Resoluci´n o Subrango Flash Ancho de banda de se˜al n Figura 5.18: Compromiso entre ancho de banda y resoluci´n. o para la conversi´n, esta estrategia es la que brinda mayor resoluci´n. Los convertidores o o ∆Σ son utilizados por tanto en aplicaciones de voz (B =4 kHz) y audio (B = 20 − 24 kHz) con resoluciones de hasta 18 bits. En v´ ıdeo se encuentran con m´s frecuencia convertidores a flash para B = 5 MHz y resoluciones de 8 bits. Sobremuestreo Se demostr´ anteriormente que un cuantificador de b bits introduce un ruido de cuantifi- o caci´n uniformemente distribuido con potencia o ∆ A2 /3 Pq = = 2b 12 2 Es evidente que dicha potencia no cambia si b se mantiene constante, aunque la frecuencia de muestreo Fs aumente considerable sobre el l´ ımite de Nyquist Fsn = 2B. Sin embargo, al ser el ruido de cuantificaci´n blanco, su energ´ se distribuye en todo el rango v´lido de o ıa a frecuencias. Por otro lado, la relaci´n de Parseval indica que la potencia en el tiempo y o en la frecuencia son equivalentes, por lo que el area bajo la curva de la densidad espectral ´ de potencia debe mantenerse constante independientemente de la frecuencia de muestreo c 2005-2011 — P. Alvarado
- 187. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 173 utilizada (figura 5.19), de modo que Fsn /2 Fso /2 Pqn (F ) dF = Pqo (F ) dF = Pq −Fsn /2 −Fso /2 de donde se deriva Pq Pq Pqn (F ) = = Fsn 2B Pq Pqo (F ) = Fso Por lo anterior, solo una fracci´n de la potencia total del error de cuantificaci´n coincide o o con la banda de frecuencia de la se˜al de entrada [−B, B]. La potencia fuera de ese rango n puede ser atenuada utilizando un filtro paso-bajos, dise˜ado para dejar pasar unicamente n ´ la se˜al de entrada. Siguiendo a este filtro, y debido a que su salida est´ limitada en n a banda, es posible sub-muestrear o diezmar la se˜al. La figura 5.20 ilustra el concepto de n sobremuestreo, donde Fso = 1/Tso = L · 2B. La potencia del ruido de cuantificaci´n Pqo correpondiente al intervalo de frecuencias o [−B, B] de la se˜al sobremuestreada se obtiene con n B 2B Pq Pqo = Pqo (F ) dF = Pq = −B Fso L donde L = Fso /Fsn y B = Fsn /2. 2 Si se asume que la se˜al de entrada tiene potencia Px = σx y pasa por el filtro pasa-bajos n inalterada, entonces su potencia seguir´ siendo Px a la salida del filtro y la relaci´n se˜al a o n a ruido de la se˜al sobremuestreada y filtrada es n Px Px Fso SN RQ = 10 log10 = 10 log10 + 10 log10 (5.8) Pqo Pq 2B Pq (F ) Fsn Fso F 2 2 Figura 5.19: Densidad espectral de potencia del ruido de cuantificaci´n para la tasa Nyquist o Fsn y una tasa de sobremuestreo Fso = 3Fsn . c 2005-2011 — P. Alvarado
- 188. 174 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital o o Procesamiento Procesamiento anal´gico o digital e(n) Tso L x(t) x(n) y (n) Anti Filtro Diezmado Aliasing Cuantificador pasabajas Figura 5.20: Sistema de conversion con sobremuestreo. donde el primer t´rmino ya fue analizado en (5.7) y el segundo t´rmino otorga mayor e e calidad de se˜al conforme mayor sea la frecuencia de sobremuestreo con respecto al ancho n de banda B de la se˜al. Si se elige por ejemplo el muestreo de Nyquist con Fso = 2B n entonces (5.8) se reduce a (5.7). Si se elige L = 2r entonces (5.8) se puede expresar como Px SN RQ = 10 log10 + 3, 01r dB (5.9) Pq de donde se observa que cada duplicaci´n de la frecuencia de muestreo equivale a una o mejora de medio bit. Si bien es cierto este esquema de sobre-muestreo permite obtener m´s resoluci´n aumen- a o tando la frecuencia de muestreo, la tasa requerida para alcanzar resoluciones altas es muy elevada para las aplicaciones pr´cticas. a Modulaci´n delta-sigma o El modelo del cuantificador como combinaci´n lineal del ruido de cuantificaci´n e(n) con o o la se˜al de entrada (figura 5.20) se ha expresado matem´ticamente en el dominio del n a tiempo discreto como y(n) = x(n) + e(n) que transformado al dominio z equivale a Y (z) = X(z) + E(z) (5.10) Dicho modelo puede generalizarse utilizando subsistemas para modificar la entrada y el ruido de cuantificaci´n de la siguiente forma: o Y (z) = Hx (z)X(z) + He (z)E(z) (5.11) donde Hx (z) es la funci´n de transferencia de la se˜al y He (z) es la funci´n de transferencia o n o del ruido de cuantificaci´n. En la secci´n anterior se utiliz´ Hx (z) = He (z) = 1, pero o o o eligiendo otras configuraciones es posible manipular el ruido de cuantificaci´n tal que se o puedan alcanzar mejores resoluciones que con el simple sobremuestreo. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 189. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 175 La estrategia a utilizar ser´ entonces modificar el espectro del ruido de cuantificaci´n de a o tal modo que la mayor parte de la energ´ se coloque fuera del ancho de banda de la se˜al ıa n y sea eliminado al aplicar el filtro pasobajas. La figura 5.21 muestra un convertidor ADC delta-sigma de primer orden, que consiste en un modulador delta-sigma seguido por una etapa de filtrado y diezmado. Procesamiento Procesamiento anal´gico o digital e(n) Integrador discreto Tso v (n) y (n) z −1 L x(t) x(n) Anti ya (n) Filtro Diezmado Aliasing Cuantificador pasabajas DAC Modulador delta-sigma Figura 5.21: Conversion delta-sigma de primer orden. La se˜al a cuantificar no es la entrada x(n) sino la salida de un integrador discreto cuya n entrada es la diferencia entre x(n) y una representaci´n anal´gica ya (n) de la salida. La o o integraci´n se realiza con la funci´n de transferencia z /(1 − z −1 ). Dicho integrador o o −1 se realiza en circuitos reales con tecnolog´ de capacitores conmutados, que permiten ıa implementar sistemas anal´gicos en tiempo discreto. o A la salida del cuantificador, usualmente de 1 bit, se cuenta con las representaciones digitales de m´ximo y m´ a ınimo valor representables. Asumiendo que el convertidor DAC es ideal, su funci´n de transferencia es unitaria, y se o cumple para la salida Y (z) del modulador Y (z) = X(z)z −1 + E(z)(1 − z −1 ) de modo que Hx (z) = z −1 y He (z) = 1−z −1 . La salida del modulador equivale a la entrada retrasada una muestra m´s el ruido modificado con un filtro pasa altos (o diferenciador a discreto). La respuesta en frecuencia de He (f ) se obtiene con z = ejω = ej2πf y se ilustra en la figura 5.22. Se observa que el ruido de cuantificaci´n para el nivel CC es incluso o cero. Para que el sistema anterior trabaje correctamente el DAC debe ser tan lineal como sea posible. Puesto que convertidores de 1 bit son perfectamente lineales, son los utilizados preferentemente en este tipo de circuitos, con la ventaja adicional que su implementa- ci´n consiste en un comparador, que se acopla directamente a la cuantificaci´n de 1 bit o o generalmente utilizada. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 190. 176 5.4 Circuitos de conversi´n anal´gica digital o o 2 |H(f )| 20 |H(f )| (dB) 1.8 1.6 Primer orden Sobremuestreo 0 f 1.4 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.2 1 -20 0.8 0.6 0.4 -40 Primer orden Sobremuestreo 0.2 0 f 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -60 Figura 5.22: Respuesta en frecuencia de la funci´n de transferencia de ruido He (z) en funci´n o o de la frecuencia normalizada f = F/Fso . Utilizando la relaci´n de Parseval se obtiene que la potencia del ruido de cuantificaci´n o o luego de pasar por el filtro He (z) y por el filtro pasabajas estar´ dada por a B Pe = Pqo (F )|He (F )|2 dF −B B B Pq Pq = |He (F )|2 dF = 2 |He (F )|2 dF Fso −B Fso 0 B Pq =2 |1 − ej2πF/Fso |2 dF Fso 0 B Pq πF =2 4 sen2 dF Fso 0 Fso y asumiendo que Fso B y que sen(x) ≈ x para x ≈ 0 se tiene B 2 3 Pq πF π2 2B Pe = 8 dF = Pq Fso 0 Fso 3 Fso En decibelios π2 Fso SN RQ(dB) = 10 log10 Px − 10 log10 Pq − 10 log10 + 30 log10 3 2B = 10 log10 Px − 10 log10 Pq − 5, 17 dB + 30 log10 L y si L = 2r entonces SN RQ(dB) = 10 log10 Px − 10 log10 Pq − 5, 17 dB + 9, 03r dB lo que equivale a 1,5 bits por cada duplicaci´n de la frecuencia de sobremuestreo. o A pesar de que ha mejorado con este modulador la ganancia obtenida por cada dupli- caci´n de frecuencia, no es a´n suficiente para aplicaciones reales. Por ello, se utilizan o u moduladores de mayor orden, como el ilustrado en la figura 5.23. El lector puede de- c 2005-2011 — P. Alvarado
- 191. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 177 e(n) Integrador discreto Integrador discreto z −1 x(n) y (n) −1 z Cuantificador DAC Figura 5.23: Modulador delta-sigma de segundo orden. mostrar que la funci´n de transferencia para el ruido es en este caso He (z) = (1 − z −1 )2 . o Siguiendo un desarrollo similar al anterior se obtiene que π4 Fso SN RQ(dB) = 10 log10 Px − 10 log10 Pq − 10 log10 + 50 log10 5 2B = 10 log10 Px − 10 log10 Pq − 12, 89 dB + 50 log10 L y con L = 2r SN RQ(dB) = 10 log10 Px − 10 log10 Pq − 12, 89 dB + 15, 05r dB lo que implica que con este modulador se obtienen 2,5 bits por cada duplicaci´n de la o frecuencia de muestreo. La figura 5.24 presenta la respuesta en frencuencia de la funci´n de transferencia del error o de cuantificaci´n para el sistema de sobremuestreo, y los sistemas de primer, segundo o y tercer orden de modulaci´n delta-sigma. Se aprecia como la atenuaci´n energ´tica en o o e bajas frecuencias es compensada con una amplificaci´n a altas frecuencias. o 8 |H(f )| 20 |H(f )| (dB) 7 6 0 f Primer orden Segundo orden 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Tercer orden 5 Sobremuestreo 4 -20 3 2 -40 Primer orden Segundo orden 1 Tercer orden Sobremuestreo 0 f 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -60 Figura 5.24: Respuesta en frecuencia de la funci´n de transferencia de ruido He (z) en funci´n o o de la frecuencia normalizada f = F/Fso para tres ´rdenes de modulaci´n delta- o o sigma. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 192. 178 5.5 Conversi´n Digital/Anal´gica o o 5.5 Conversi´n Digital/Anal´gica o o Los principios utilizados para la conversi´n de una representaci´n digital a una se˜al o o n anal´gica se basan en t´cnicas de conversi´n directas, lo que permite altas velocidades de o e o conversi´n. o En secciones anteriores se determin´ que en la conversi´n ideal de una se˜al digital a o o n una anal´gica interviene el interpolador ideal sa(t) = sen(πt)/πt. Este interpolador tiene o la propiedad de reconstruir a la perfecci´n se˜ales con un espectro limitado en banda o n muestreadas con una tasa superior a dos veces dicho ancho de banda; sin embargo, la no causalidad y la infinita extensi´n de dicho interpolador obliga a utilizar simplificaciones, o como el retenedor de orden cero presentado anteriormente (circuito S/H). 5.5.1 Fuentes de tensi´n conmutadas o o o ´ La conversi´n con fuentes de tensi´n conmutadas se ilustra en la figura 5.25. Esta se realiza Fs Decodificador Usal S/H MSB 1 0 1 0 1 0 LSB 1 0 1 0 1 0 1 0 Uref R R R R R R R R 2w −1 ... 6 5 4 3 2 1 2w Uref 2w Uref 2w Uref 2w Uref 2w Uref 2w Uref 2w Uref Figura 5.25: Fuentes de tensi´n conmutadas o utilizando una tensi´n de referencia Uref conectada a una red resistiva de 2w resistencias o de igual valor y conmutada por etapas a trav´s de un decodificador que logra llevar a la e salida del retenedor la tensi´n equivalente. o Una obvia desventaja de esta estrategia est´ en el tama˜o de la red resistiva, y del a n decodificador, que crecen exponencialmente con el n´mero de bits a convertir. u 5.5.2 Resistencias conmutadas La figura 5.26 ilustra otra estrategia de conversi´n basada en la conmutaci´n de corrientes, o o donde se observa que la corriente correspondiente al bit bi es siembre el doble de la corriente c 2005-2011 — P. Alvarado
- 193. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 179 o ´ del bit bi−1 . Sea U1 la tensi´n a la salida del amplificador operacional. Esta tensi´n se o MSB LSB Uref R 2R 22 R 23 R 24 R ... 2w R S/N Usal Figura 5.26: Conversi´n digital-anal´gica con resistores ponderados o o obtiene con b0 b1 bw−1 U1 = RI = R wR + w−1 R + ... Uref 2 2 2R = b0 2−w + b1 2−w+1 + . . . + bw−1 2−1 Uref Si bien es cierto esta estrategia utiliza menos resistencias que las fuentes de tensi´n conmu- o tadas, su exacta calibraci´n en un reto en el dise˜o del circuito integrado. Otra desventaja o n es claramente el consumo de potencia presente en todas las resistencias. Si bien es cierto ´ste puede reducirse utilizando valores mayores de R, usualmente esto ir´ acompa˜ado de e a n una reducci´n en la raz´n se˜al a ruido. o o n 5.5.3 Condensadores conmutados La conversi´n digital anal´gica con condensadores conmutados se muestra en la figu- o o ra 5.27. En este caso la conversi´n requiere varios pasos. En el primer paso (denotado o Uref 1 C C C C C C 2 4 8 2w −1 2w −1 S/N 1 U1 Usal Figura 5.27: Conversi´n digital-anal´gica con condensadores ponderados o o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 194. 180 5.5 Conversi´n Digital/Anal´gica o o con 1 en la figura), todos los condensadores se descargan conectando los bornes de todos ellos a referencia. En el segundo paso, el terminal positivo del seguidor de tensi´n se des- o conecta de tierra y cada uno de los bits con valor 1 se conectan a la tensi´n de referencia o Uref , mientras que los bits 0 permanecen conectados a la tierra. La carga acumulada es entonces C C Uref Q = bw−1 C + bw−2 + . . . + b0 w−1 2 2 En el ultimo paso de la conversi´n, la carga Q acumulada en los condensadores corres- ´ o pondientes a bits 1 es repartida entre la capacitancia total del circuito conmutando los interruptores a la referencia, como se ilustra en la figura 5.27. Dicha capacitancia es 2C gracias al condensador terminal de valor C/2w−1 , por lo que Q = 2CU1 con U1 la tensi´n a la salida del seguidor de tensi´n. Combinando las dos ecuaciones o o anteriores se deriva U1 = bw−1 2−1 + bw−2 2−2 + . . . b1 2−w+1 + b0 2−w Uref 5.5.4 Redes resistivas R − 2R Otra manera de lograr conmutaci´n de corrientes es a trav´s de redes resistivas R − o e 2R como la ilustrada en la figura 5.28. A diferencia de la estructura de resistencias conmutadas, solo se requieren aqu´ dos valores de resistencias con una raz´n de valor 2:1. ı o Obs´rvese que en cada nodo la corriente que entra divide en dos tantos iguales, de modo e R R R 2R 2R 2R 2R 2R Uref R MSB LSB S/N Usal Figura 5.28: Conversi´n digital-anal´gica con redes R-2R o o que la tensi´n U1 a la salida del amplificador operacional es o bw−1 bw−2 b1 b0 U1 = −RI = −R + + . . . w−1 + w Uref 2R 4R 2 2 = −Uref bw−1 2−1 + bw−2 2−2 + . . . + b1 2−w+1 + b0 2−w c 2005-2011 — P. Alvarado
- 195. 5 Conversi´n anal´gica/digitaly digital/anal´gica o o o 181 5.5.5 Conversi´n DAC delta-sigma o Los principios de modulaci´n y conversi´n delta sigma se pueden aplicar en sentido inverso, o o como lo muestra la figura 5.29. En este caso se traslada la se˜al digital con c´digos de n o w bits a una secuencia con LFs de sobremuestreo de bits simples. Un filtro pasabajos anal´gico recupera la se˜al anal´gica. o n o Procesamiento Procesamiento Digital Anal´gico o L H(z) DAC Digital Anal´gico o Figura 5.29: Conversi´n DAC delta-sigma. o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 196. 182 5.6 Problemas 5.6 Problemas Problema 5.1. Investigue qu´ circuitos se utilizan para realizar la conversi´n de una e o se˜al digital a una anal´gica. n o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 197. Cap´ ıtulo 6 Implementaci´n de sistemas o discretos Hasta ahora se ha visto el an´lisis de sistemas LTI descritos mediante ecuaciones de a diferencias lineales de coeficientes constantes y el an´lisis por convoluci´n, en el dominio a o del tiempo (o de variable) discreto y en el dominio de la frecuencia. En la pr´ctica, el dise˜o y la implementaci´n de sistemas digitales se tratan conjuntamen- a n o te, y se deben considerar aspectos de costo, tama˜o, hardware, potencia, etc. Algunos n esquemas b´sicos de implementaci´n se revisar´n aqu´ a o a ı. 6.1 N´ mero de Condici´n u o Los sistemas de procesamiento digital son implementados en computadores digitales que utilizan representaciones num´ricas de precisi´n limitada. Estas limitaciones afectan el e o desempe˜o de los sistemas y obliga a revisar con detalle su comportamiento num´rico. n e En el ´rea de an´lisis num´rico, el n´mero de condici´n de una funci´n con respecto a un a a e u o o argumento indica, para el peor caso posible, cu´nto puede cambiar el valor de la funci´n a o con respecto a un cambio dado del argumento. Se dice entonces que un problema es mal condicionado (en ingl´s ill-conditioned ) si el n´mero de condici´n es alto, es decir, e u o si una peque˜a perturbaci´n del argumento produce cambios grandes en la salida. Si el n o n´mero de condici´n es peque˜o (cercano a uno) entonces se habla de un problema bien u o n condicionado (en ingl´s, well-conditioned ). e El n´mero de condici´n es una propiedad de cada problema particular, y por tanto un u o problema puede ser inherentemente bien condicionado o mal condicionado. Por ejemplo, el pron´stico del tiempo es un problema inherentemente mal condicionado al depender o no solo de un elevado n´mero de variables en tiempo y espacio (presi´n atmosf´rica, u o e humedad relativa, temperatura, velocidades de viento, etc.), sino que el resultado es sensible a cambios leves en los valores de dichas variables. 183
- 198. 184 6.2 Estructuras directas La soluci´n de un sistema de ecuaciones lineales expresado como el sistema matricial o Ax = b (6.1) donde A es una matriz cuadrada de N × N y x y b son vectores N -dimensionales, tendr´ a un n´mero de condici´n dependiente totalmente de la matriz A que determina cu´nto u o a afecta un error en los valores b los valores encontrados para x. Si la determinante de A es un n´mero peque˜o, entonces el problema es mal condicionado. u n No solo el problema es bien o mal condicionado, sino tambi´n el algoritmo particular e desarrollado para dar soluci´n al problema. Si un problema es mal condicionado, ning´n o u algoritmo podr´ cambiar esa condici´n. El cuidado debe tenerse en que un algoritmo mal a o condicionado puede producir errores considerables en la soluci´n de problemas inherente- o mente bien condicionados. Para el caso de algoritmos, el n´mero de condici´n se redefine u o entonces como la raz´n de salida/entrada pero utilizando el algoritmo concreto. Por ejem- o plo, en la soluci´n del sistema lineal de ecuaciones (6.1) pueden utilizarse algoritmos como o la eliminaci´n gaussiana (mal condicionado), la eliminaci´n de Gauss-Jordan, descompo- o o sici´n de valores singulares (SVD), o la descomposici´n QR (bien condicionados), entre o o otros. El problema que compete directamente en ´ste cap´ e ıtulo es encontrar las ra´ ıces zi de un polinomio expresado a trav´s de sus coeficientes ci : e N P (z) = ci z i = c0 + c1 z + c2 z 2 + . . . + cN z N (6.2) i=0 es decir, encontrar los valores zi para los que se cumple P (zi ) = 0, para poder expresar al polinomio de la forma N P (z) = (z − zi ) = (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zN ) (6.3) i=1 Este problema es en general mal condicionado, en el sentido de que peque˜os cambios n en los valores de ci pueden producir grandes cambios en la posici´n de las ra´ o ıces zi , hecho que empeora conforme aumenta el orden del polinomio. Las consecuencias del mal condicionamiento de ´ste problema en el procesamiento digital tienen que ver con el e posicionamiento de polos y ceros en la implementaci´n de un sistema utilizando ecuaciones o de diferencias que tratan ya sea (6.2) o (6.3). 6.2 Estructuras directas Consid´rese el sistema de primer orden: e y(n) = −a1 y(n − 1) + b0 x(n) + b1 x(n − 1) y su “realizaci´n directa” (figura 6.1). o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 199. 6 Implementaci´n desistemas discretos o 185 x(n) v (n) y (n) b0 b1 −a1 −1 z z −1 Figura 6.1: Realizaci´n directa del sistema de primer orden y(n) = −a1 y(n − 1) + b0 x(n) + o b1 x(n − 1). que se puede interpretar como la serie de dos sistemas LTI: v(n) = b0 x(n) + b1 x(n − 1) y y(n) = −a1 y(n − 1) + v(n) . Como la conexi´n en serie de sistemas LTI es conmutativa, se puede reemplazar el sistema o anterior por el indicado en la figura 6.2, donde se cumplen las ecuaciones: ω(n) = x(n) − a1 ω(n − 1) y(n) = b0 ω(n) + b1 ω(n − 1) x(n) y (n) ω(n) b0 −a1 b1 −1 −1 z z Figura 6.2: Reemplazo del sistema de la figura 6.1. Adicionalmente, se observa que los dos retardadores tienen la misma entrada ω(n) y por lo tanto la misma salida ω(n − 1), y se pueden agrupar en uno solo seg´n se muestra en u la figura 6.3. x(n) y (n) b0 z −1 −a1 b1 Figura 6.3: Simplificaci´n del sistema de la figura 6.2. o A esta estructura se le denomina forma directa II y utiliza s´lo un elemento retardador, o en lugar de los dos utilizados en la forma directa I (figura 6.1). c 2005-2011 — P. Alvarado
- 200. 186 6.2 Estructuras directas N´tese que esto puede generalizarse para la ecuaci´n de diferencias: o o N M y(n) = − ak y(n − k) + bk x(n − k) (6.4) k=1 k=0 compuesta de un sistema no recursivo: M v(n) = bk x(n − k) k=0 y un sistema recursivo: N y(n) = − ak y(n − k) + v(n) k=1 mostrados en la figura 6.4. Invirtiendo el orden y combinando los retardadores se obtiene, x(n) v (n) y (n) b0 b2 −a1 z −1 z −1 b2 −a2 z −1 z −1 . . . . . . . . . bM−1 −aN−1 z −1 z −1 bM −aN Figura 6.4: Forma directa I. con M < N , el diagrama mostrado en la figura 6.5. N´tese que esta estructura requiere o max{N, M } retardadores y M + N + 1 multiplicaciones, que contrastan con los N + M retardadores de la forma directa, aunque el n´mero de multiplicaciones es el mismo. A esta u forma II, por poseer el m´ ınimo de retardadores, se le denomina tambi´n forma can´nica. e o Al caso especial no recursivo con ak = 0, k = 1 . . . N : M y(n) = bk x(n − k) k=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 201. 6 Implementaci´n desistemas discretos o 187 x(n) ω(n) y (n) b0 z −1 −a1 ω(n − 1) b1 z −1 −a2 ω(n − 2) b2 z −1 −a3 ω(n − 3) b3 . . . . . . . . . −aN−2 ω(n − M) bM z −1 −aN−1 z −1 −aN ω(n − N) Figura 6.5: Forma directa II. se le denomina sistema de media ponderada m´vil o sistema MWA (moving weighted o average), que es un sistema FIR de respuesta impulsional: bk , 0 ≤ k ≤ M h(k) = 0, en otro caso Con M = 0, el sistema de la ecuaci´n (6.4) se torna puramente recursivo: o N y(n) = − ak y(n − k) + b0 x(n) k=1 y calcula la combinaci´n lineal de las ultimas N salidas y la entrada actual. o ´ c 2005-2011 — P. Alvarado
- 202. 188 6.3 Grafos de flujo de se˜al y estructuras transpuestas n 6.2.1 Estructuras directas para filtros FIR sim´tricos e El caso particular de filtros FIR de longitud M cuyos coeficientes presentan condiciones de simetr´ o antisimetr´ ıa ıa h(n) = ±h(M − 1 − n) tiene aplicaciones particularmente en el caso de filtros de fase lineal. Este tipo de simetr´ ıa permite reducir el n´mero de productos requeridos de una implementaci´n convencional u o de M a M/2 o a (M − 1)/2 para M par o impar respectivamente. Las figuras 6.6 y 6.7 ilustran las estructuras en forma directa para estos filtros. x(n) z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 M−3 M−1 h(0) h(1) h(2) h 2 h 2 y (n) Figura 6.6: Filtro FIR sim´trico con M impar. e x(n) z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 z −1 M M h(0) h(1) h(2) h(3) h 2 −2 h 2 −1 y (n) Figura 6.7: Filtro FIR sim´trico con M par. e 6.3 Grafos de flujo de se˜ al y estructuras transpues- n tas Una representaci´n alternativa de los diagramas de bloques utilizados hasta ahora son o los diagramas de flujo de se˜al, caracterizados por ramas con transmitancias espec´ n ıficas y nodos en donde convergen y se distribuyen las se˜ales. Los nodos suman todas las se˜ales n n que convergen en ellos y distribuyen la misma se˜al en todas las ramas que salen de ellos. n Un nodo que solo distribuye la misma se˜al (es decir, un nodo en el que no converge n ninguna se˜al) recibe el nombre de nodo fuente, y uno a donde solo convergen se˜ales (es n n c 2005-2011 — P. Alvarado
- 203. 6 Implementaci´n desistemas discretos o 189 decir, no sale ninguna se˜al) se denomina nodo sumidero. La figura 6.8 ilustra el grafo n de flujo de se˜al correspondiente al diagrama de bloques de un sistema de segundo orden n ilustrado en la parte superior, en donde se muestra que y(n) llega a un nodo sumidero y x(n) parte de un nodo fuente. x(n) b0 y (n) z −1 −a1 b1 z −1 −a2 b2 x(n) b0 y (n) z −1 −a1 b1 −1 z −a2 b2 Figura 6.8: Diagrama de bloques de sistema de segundo orden y su correspondiente grafo de flujo de se˜al. n La representaci´n de sistemas con una topolog´ de grafos permite aplicar principios como o ıa el llamado teorema de transposici´n, que especifica una forma de transformar el grafo de o modo que la relaci´n entre entrada y salida no cambie. El teorema de transposici´n o o especifica que si se invierten las direcciones de todas las transmitancias de rama y se intercambia la entrada con la salida en el grafo, la funci´n de transferencia del sistema o no cambia. La transposici´n del sistema de segundo orden de la figura 6.8 se ilustra en o la figura 6.9. Obs´rvese que en la transposici´n los nodos se convierten en sumadores y los sumadores e o en nodos. Ejemplo 6.1 Encuentre las formas directas I y II y la forma transpuesta II para el sistema b0 + b1 z −1 + b2 z −2 H(z) = 1 + a1 z −1 + a2 z −2 Soluci´n: o 6.1 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 204. 190 6.4 Muestreo en frecuencia y (n) b0 x(n) z −1 −a1 b1 z −1 −a2 b2 x(n) b0 y (n) z −1 b1 −a1 z −1 b2 −a2 Figura 6.9: Grafo de flujo de se˜al transpuesto y el diagrama de bloques derivado. n 6.4 Muestreo en frecuencia Dado un conjunto de frecuencias ωk espaciadas de forma homogenea 2π M −1 ωk = (k + α), k = 0, 1, . . . , , M impar M 2 M k = 0, 1, . . . , − 1, M par 2 1 α=0o ´ 2 Se sabe que la respuesta en frecuencia H(ω) est´ dada por la transformada de Fourier en a tiempo discreto de la respuesta al impulso h(n): M −1 H(ω) = h(n)ejωn n=0 y los valores de H(ω) en las frecuencias ωk son entonces M −1 ! 2π H(k + α) = H (k + α) = h(n)e−j2π(k+α)n/M , k = 1, 2, . . . , M − 1 M n=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 205. 6 Implementaci´n desistemas discretos o 191 x(n) b0 y (n) z −1 z −1 Forma directa I b1 −a1 y(n) = b0 x(n) + b1 x(n − 1) + b2 x(n − 2) −a1 y(n − 1) − a2 y(n − 2) z −1 z −1 b2 −a2 x(n) w (n) b0 y (n) Forma directa regular II z −1 w (n − 1) w(n) = −a1 w(n − 1) − a2 w(n − 2) + x(n) −a1 y(n) = b0 w(n) + b1 w(n − 1) + b2 w(n − 2) b1 z −1 w (n − 2) −a2 b2 x(n) b0 y (n) Forma directa transpuesta II z −1 w1 (n) b1 y(n) = b0 x(n) + w1 (n − 1) −a1 w1 (n) = b1 x(n) + a1 y(n) + w2 w(n − 1) w2 (n) = b2 x(n) − a2 y(n) z −1 w2 (n) b2 −a2 b0 +b1 z −1 +b2 z −2 Tabla 6.1: M´dulos de segundo orden con funci´n de transferencia H(z) = o o 1+a1 z −1 +a2 z −2 para sistemas en tiempo discreto. Obs´rvese que si α = 0 entonces la ecuaci´n anterior corresponde a la DFT de M puntos e o de h(n). Utilizando los mismos principios de derivaci´n de la IDFT se despeja: o M −1 1 h(n) = H(k + α)ej2π(k+α)n/M , k = 1, 2, . . . , M − 1 (6.5) M k=0 que equivale a la IDFT si α = 0. Se sabe que la funci´n de transferencia del filtro est´ dada por o a M −1 H(z) = h(n)z −n n=0 y utilizando (6.5) se obtiene M −1 M −1 1 H(z) = H(k + α)ej2π(k+α)n/M z −n n=0 M k=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 206. 192 6.5 Sistemas en cascada e intercambiando el orden de las sumatorias M −1 M −1 1 n H(z) = H(k + α) ej2π(k+α)/M z −1 k=0 M n=0 −M j2πα M −1 1−z e H(k + α) = M k=0 1 − ej2π(k+α)/M z −1 que est´ expresada enteramente por las muestras del espectro H(ω). La anterior ecua- a ci´n se interpreta como la cascada de dos sistemas: un filtro todo ceros del tipo peine o caracterizado por 1 H1 (z) = 1 − z −M ej2πα M donde los ceros se encuentran equiespaciados sobre la circunferencia unitaria en zk = ej2π(k+α)/M , k = 0, 1, . . . , M − 1 El otro elemento de la cascada es un banco de filtros de primer orden, cada uno con un solo polo en pk = ej2π(k+α)/M , k = 0, 1, . . . , M − 1 Obs´rvese que los polos coinciden en su posici´n con los ceros. e o La figura 6.10 muestra la realizaci´n de un filtro FIR por muestreo en frecuencia. o Cuando la respuesta en frecuencia deseada es de banda angosta, la mayor parte de los coeficientes H(ωk ) son cero, y la estructura se simplifica. Adem´s, si se requiere una a respuesta impulsional real, entonces debido a la simetr´ herm´ ıa ıtica de H(ω) la estructura puede simplificarse aun m´s combinando pares de filtros de primer orden en filtros de a segundo orden. 6.5 Sistemas en cascada Las formas directas I y II utilizan los coeficientes de los polinomios en el numerador y denominador de la funci´n de transferencia racional que implementan. Puesto que el o posicionamiento de las ra´ polinomiales es un problema mal condicionado, la ubicaci´n ıces o de los polos y ceros, considerando las precisiones finitas con las que los coeficientes pueden ser representados, pueden variar considerablemente, convirtiendo por ejemplo sistemas estables en inestables. Los sistemas en cascada persiguen una utilizaci´n directa de los valores de polos y ceros, o que hacen m´s predecible el efecto de cuantificaci´n en sus representaciones digitales. a o Para ello se parte de una factorizaci´n de los polinomios en el numerador y denominador o de la funci´n de transferencia del sistema o M −k M1 −1 M2 k=0 bk z k=1 (1 − fk z ) k=1 (1 − gk z −1 )(1 − g ∗ k z −1 ) H(z) = N =A N1 N2 −k −1 − dk z −1 )(1 − d∗ k z −1 ) k=0 ak z k=1 (1 − ck z ) k=1 (1 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 207. 6 Implementaci´n desistemas discretos o 193 H(α) z −1 e j2πα/M H(1 + α) z −1 j2π(1+α)/M e H(2 + α) 1 M x(n) z −1 j2π(2+α)/M e −M z −e j2πα 1 H(M − 1 + α) α=0o 2 y (n) z −1 j2π(M−1+α)/M e Figura 6.10: Realilzaci´n de filtro FIR por muestreo en frecuencia o donde M = M1 + 2M2 y N = N1 + 2N2 . Si ak y bk son reales entonces fk y ck tambi´n loe son, mientras que gk y dk son complejos y aparecen junto a sus pares complejos conjugados g ∗ k y d∗ k . Usualmente se combinan pares de factores reales o complejos cojugados en estructuras de segundo orden, de modo que Ns b0k + b1k z −1 + b2k z −2 H(z) = (6.6) k=1 1 − a1k z −1 + a2k z −2 con Ns = (N + 1)/2 . Aqu´ se ha asumido que M ≤ N . En caso de que hubiese un ı n´mero impar de de ceros (o polos) reales, entonces uno de los t´rminos b2k (o a2k ) ser´ u e a cero. Para cada uno de estos t´rminos puede utilizarse la forma directa II, aunque se e acostumbra utilizar una reducci´n en el n´mero de multiplicadores necesarios utilizando o u la factorizaci´n o Ns 1 + ˜1k z −1 + ˜2k z −2 b b H(z) = b0 −1 + a z −2 (6.7) k=1 1 − a1k z 2k La forma (6.6) tiene sin embargo la ventaja sobre la forma (6.7) de que el valor de b0 queda c 2005-2011 — P. Alvarado
- 208. 194 6.6 Sistemas paralelos distribuido en todos los t´rminos de la cascada, lo que es conveniente en implementaciones e en punto fijo. La figura 6.11 ilustra los conceptos presentados. x(n) = x1 (n) x2 (n) xK (n) y (n) H1 (z) H2 (z) HK (z) y1 (n) y2 (n) xK (n) b0 yk (n) = xk+1 (n) z −1 −a1 w (n − 1) b1 z −1 w (n − 2) −a2 b2 Figura 6.11: Estructura en cascada de sistemas de segundo orden. 6.6 Sistemas paralelos De forma alternativa a la factorizaci´n en t´rminos de segundo orden, utilizando descom- o e posici´n en fracciones parciales es posible expresar la funci´n de transferencia como o o Np N1 N −k Ak 2 Bk (1 − ek z −1 ) H(z) = Ck z + + k=0 k=1 1 − ck z −1 k=1 (1 − dk z −1 )(1 − d∗ k z −1 ) donde N = N1 + 2N2 . El primer t´rmino est´ presente solo si H(z) es una funci´n e a o racional impropia, es decir, si M ≥ N en cuyo caso Np = M − N . Si los coeficientes ak y bk son reales, tambi´n lo son Ak , Bk , ek y dk . Esta expresi´n puede interpretarse como la e o combinaci´n en paralelo de sistemas IIR de primer y segundo orden, m´s una cadena de o a Np retardadores. Agrupando tambi´n los polos reales en pares, la funci´n de transferencia e o se puede expresar como Np N2 −k e0k − e1k z −1 H(z) = Ck z + k=0 k=1 1 − a1k z −1 − a2k z −2 La figura 6.12 resume los conceptos presentados. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 209. 6 Implementaci´n desistemas discretos o 195 C x(n) bk0 yk (n) H1 (z) z −1 x(n) −ak1 bk1 H2 (z) z −1 −ak2 y (n) HK (z) Figura 6.12: Estructura en paralelo de sistemas de primer y segundo orden. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 210. 196 6.6 Sistemas paralelos c 2005-2011 — P. Alvarado
- 211. Cap´ ıtulo 7 Introducci´n al dise˜ o de filtros o n digitales Por convenci´n, cuando se utiliza el t´rmino “filtro digital” impl´ o e ıcitamente se hace refe- rencia a sistemas LTI. Cuando se trata de sistemas no lineales, o sistemas variantes en el tiempo se hace menci´n expresa de esa condici´n. o o En general, el dise˜o de filtros se compone de cuatro fases: n 1. Especificaci´n: En esta etapa se eval´a la aplicaci´n concreta y se levanta la lista o u o de requisitos que debe cumplir el filtro, como factores de ganancia, frecuencias de corte, bandas pasantes, rizado en las bandas pasantes y de rechazo, etc. 2. Dimensionamiento: De acuerdo a las especificaciones se dimensiona el filtro, se- leccionando orden y tipo de filtro, el dominio de dise˜o (anal´gico con transforma- n o ci´n o directamente digital, por optimizaci´n, etc.), decisi´n si utilizar FIR o IIR, o o o consideraciones de las implicaciones de causalidad, etc. 3. Realizaci´n: Se establece aqu´ la estructura a utilizar, forma directa I o II, estruc- o ı tura en cascada, en paralelo, as´ como optimizaciones algor´ ı ıtmicas permitidas por la aplicaci´n espec´ o ıfica. 4. Implementaci´n: Se ocupa de aspectos de lenguaje de programaci´n (C, ensam- o o blador, etc.), plataforma de prototipado (MatLab, LabVIEW), sistemas integrados de desarrollo (p. ej. Code Composer Studio), sistemas empotrados, etc. En cier- tas aplicaciones es necesario el desarrollo de circuitos para hardware reconfigurable (FPGA, CPLD, etc.) o incluso el dise˜o de ASIC, si las restricciones de velocidad n lo hacen necesario. La complejidad del dimensionamiento y realizaci´n de los filtros llega a ser de similar o complejidad que su implementaci´n. Los tiempos requeridos para la implementaci´n o o dependen del nivel de abstracci´n del dise˜o. Mientras m´s abstracto sea el nivel de o n a dise˜o (por ejemplo, con herramientas de prototipado r´pido), menor ser´ el tiempo de n a a 197
- 212. 198 7.1 Causalidad y sus implicaciones dise˜o y mayor la flexibilidad, aunque el tiempo de ejecuci´n es menos controlable. En n o el mercado laboral de PDS, es usual encontrar compa˜´ que elaboran las secciones nıas cr´ ıticas del procesamiento digital en lenguaje ensamblador, o que utilizan FPGA para dicho procesamiento. Esto requiere mayores tiempos en su desarrollo (lo que hace al proceso m´s caro), y usualmente la flexibilidad de cambios es menor comparada a las a herramientas de prototipado r´pido, o lenguajes de programaci´n gen´ricos. a o e En general, el dise˜o de filtros digital se concentra en el dise˜o de un sistema que cumpla n n ciertos requisitos para su respuesta en magnitud. La fase queda determinada por las consideraciones de estabilidad (particularmente en filtros IIR) o consideraciones de fase lineal (en filtros FIR). 7.1 Causalidad y sus implicaciones Sea h(n) la respuesta impulsional de un filtro paso bajo ideal con respuesta en frecuencia 1 |ω| ≤ ωC H(ω) = 0 ωC < ω < π ωC n=0 π h(n) = ωC sen(ωC n) en otro caso π ωC n que obviamente no es causal y por tanto no realizable. Pero ¿c´mo debe ser H(ω) para o que h(n) sea causal? Esta pregunta la responde el Teorema de Paley-Wiener que afirma: si h(n) tiene energ´ finita y es causal (h(n) = 0, n < 0) entonces ıa π | ln |H(ω)| | dω < ∞ −π Si esta ecuaci´n se cumple para |H(ω)| entonces puede buscarse una respuesta de fase o asociada Θ(ω) tal que H(ω) = |H(ω)|ejΘ(ω) represente una se˜al causal. n N´tese que de acuerdo a este teorema la funci´n |H(ω)| puede ser cero en frecuencias o o puntuales aisladas, pero no en una banda finita, puesto que la integral se har´ infinita. ıa Por lo tanto, ning´n filtro ideal es causal. u Puesto que h(n) se puede separar en componentes par e impar: h(n) = he (n) + ho (n) 1 he (n) = [h(n) + h(−n)] 2 1 ho (n) = [h(n) − h(−n)] 2 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 213. 7 Introducci´n aldise˜o de filtros digitales o n 199 si h(n) es causal entonces se tiene adem´s a h(n) =2he (n)u(n) − he (0)δ(n) = 2ho (n)u(n) + h(0)δ(n) he (n) =ho (n), n>0 y si h(n) es absolutamente sumable (estable BIBO) entonces H(ω) = HR (ω) + jHI (ω) y puesto que h(n) es causal y real entonces he (n) HR (ω) ho (n) HI (ω) con lo que se deduce que HR (ω) es suficiente para establecer H(ω). En otras palabras HR (ω) y HI (ω) son interdependientes y no se pueden especificar libremente para sistemas causales. Para establecer la relaci´n entre las partes real e imaginaria de la respuesta en frecuencia o se plantea utilizando el teorema del enventanado H(ω) = HR (ω) + jHI (ω) = F {2he (n)u(n) − he (0)δ(n)} = 2 [HR (ω) ∗ U (ω)] − he (0) 1 π = HR (λ)U (ω − λ) dλ − he (0) π −π que con u(n) U (ω) = πδ(ω) + 1 1 − e−jω 1 1 ω = πδ(ω) + − j cot , −π < ω < π 2 2 2 es equivalente a π π 1 1 1 H(ω) = HR (λ)πδ(ω − λ) dλ + HR (λ) dλ π −π π −π 2 HR (ω) he (0) π 1 j ω−λ + HR (λ) cot dλ − he (0) π −π 2 2 y puesto que π j ω−λ HR (ω) + jHI (ω) = HR (ω) − HR (λ) cot dλ 2π −π 2 π 1 ω−λ HI (ω) = − HR (λ) cot dλ 2π −π 2 denominada Transformada de Hilbert discreta de HR (ω). c 2005-2011 — P. Alvarado
- 214. 200 7.1 Causalidad y sus implicaciones |H(ω)| Rizado de Banda de Paso 1 + δ1 1 1 − δ1 Rizado de Banda de Rechazo δ2 ω ωP ωS π Banda de Paso Banda Banda de Rechazo de Transici´n o Figura 7.1: Respuesta real de filtro pasa bajas. La causalidad adem´s tiene otras consecuencias aqu´ no demostradas, como por ejemplo a ı que |H(ω)| no puede ser constante en ning´n rango finito de frecuencias y la transici´n u o de la banda de paso a la banda de rechazo no puede ser infinitamente abrupta. Por estas razones, las respuestas en magnitud de filtros reales solo pueden ser aproximaciones de las versiones ideales, tal y como lo muestra la figura 7.1. La frecuencia angular ωP define el l´ ımite superior de la banda de paso y as´ el ancho de banda del filtro. La frecuencia ı angular ωS indica el inicio de la banda de rechazo. El ancho de banda de transici´n es o entonces ωS −ωP . Los rizados de las bandas de paso y rechazo son δ1 y δ2 respectivamente. En aplicaciones reales se debe especificar entonces antes de dise˜ar el filtro n 1. M´ximo rizado permitido en la banda de paso δ1 a 2. M´ximo rizado permitido en la banda de rechazo δ2 a 3. Frecuencia de corte de la banda de paso ωP 4. Frecuencia de corte de la banda de rechazo ωS . donde las dos ultimas se escogen usualmente en t´rminos de potencia mitad. ´ e El grado en que H(ω) acata las especificaciones depende en parte de los criterios utilizados para seleccionar {ak } y {bk }, as´ como del n´mero de polos y ceros utilizados. ı u Generalmente el dise˜o de filtros se concentra en el tipo pasa bajos, para lo que existen n gran variedad de t´cnicas. Algunas de ellas se muestran en la figura 7.2 y se ilustran con e m´s detalle en [15]. Existen m´todos para transformar los filtros pasa bajos a otros tipos a e como paso altos o paso banda. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 215. 7 Introducci´n aldise˜o de filtros digitales o n 201 Dise˜o de n Filtros Digitales FIR IIR Muestreo ´ Ventanas Optimos Anal´gicos o Directos en frecuencia Aproximaci´n o Aproximaci´n o de derivadas de Pad` e Invarianza M´ ınimos impulsional cuadrados Transformaci´n o Dominio de bilineal frecuencia Transformada z adaptada Figura 7.2: Taxonom´ de m´todos para el dise˜o de filtros. ıa e n 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita Para un filtro FIR de longitud M la relaci´n de entrada salida est´ dada por la convoluci´n o a o y es M −1 M −1 y(n) = bk x(n − k) = h(k)x(n − k) = h(n) ∗ x(n) k=0 k=0 y la funci´n de transferencia es o M −1 M −1 −k 1 H(z) = h(k)z = h(k)z M −1−k k=0 z M −1 k=0 cuyas ra´ son los ceros del filtro. Este filtro tiene fase lineal si su respuesta impulsional ıces satisface las simetr´ ıas: h(n) = ±h(M − 1 − n), n = 0, 1, . . . , M − 1 que para la transformada z de h(n), H(z) implica los siguientes casos. • Para M par M 2 −1 −(M −1)/2 H(z) = z h(k) z (M −1−2k)/2 ± z −(M −1−2k)/2 k=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 216. 202 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita y con z = ejω y asumiendo simetr´ circular par h(n) = h(M − 1 − n) entonces ıa M 2 −1 −jω(M −1)/2 2 H(ω) = e h(k) ejω(M −1−2k)/2 + e−jω(M −1−2k)/2 k=0 2 M 2 −1 −jω(M −1)/2 ω =e 2 h(k) cos (M − 1 − 2k) k=0 2 −jω(M −1)/2 =e Hr (ω) donde Hr (ω) es una funci´n real por corresponder a una suma ponderada con coe- o ficientes reales h(k) y t´rminos cosenoidales con argumentos reales. De forma equi- e valente, para el caso antisim´trico circular h(n) = −h(M − 1 − n): e M 2 −1 −1 −jω M2 2j H(ω) = e h(k) ejω(M −1−2k)/2 − e−jω(M −1−2k)/2 k=0 2j M 2 −1 −1 ω M2 − π −j ( )2 ω =e 2 h(k) sen (M − 1 − 2k) k=0 2 −1 ω M2 − π = e−j ( 2 ) H (ω) r • Para M impar: M −3 M −1 2 M −1−2k M −1−2k H(z) = z −(M −1)/2 h + h(k) z 2 ± z− 2 2 k=0 Con simetr´ circular par h(n) = h(M − 1 − n) lo anterior, en el domino de la ıa frecuencia, conduce a M −3 2 M −1 M − 1 − 2k H(ω) = e−jω(M −1)/2 h +2 h(k) cos ω 2 k=0 2 = e−jω(M −1)/2 Hr (ω) M −1 y con antisimetr´ circular h(n) = −h(M − 1 − n), que adem´s implica h ıa a 2 = 0: M −3 2 −1 −j (ω M2 − π ) M − 1 − 2k H(ω) = e 2 2 h(k) sen ω k=0 2 −1 ω M2 − π = e−j ( 2 ) H (ω) r N´tese que se cumple adem´s o a z −(M −1) H(z −1 ) = ±H(z) lo que implica que si zk es un cero, entonces z ∗ k , 1/zk y 1/z ∗ k tambi´n lo son (figura 7.3). e La tabla 7.1 resume las posibilidades brindadas por las diferentes simetr´ para filtros ıas FIR de fase lineal. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 217. 7 Introducci´n aldise˜o de filtros digitales o n 203 j 1 z3 1 z3 z1 z1 −1 z2 1 1 z2 z1 z3 1 z1 1 −j z3 Figura 7.3: Posici´n de los ceros en un filtro FIR de fase lineal. o Tabla 7.1: Simetr´ en filtros FIR de fase lineal ıas Simetr´ ıa Sim´trica h(n) = h(M − 1 − n) e Antisim´trica h(n) = −h(M − 1 − n) e M 2 −1 M par Hr (0) = 2 h(k) Hr (0) = 0 k=0 no apto como filtro paso bajos M −3 2 M −1 M impar Hr (0) = h +2 h(k) Hr (0) = Hr (π) = 0 2 k=0 no apto como filtro paso bajos o altos 7.2.1 Dise˜ o de filtros FIR por el m´todo de ventanas n e Sea Hd (ω) la respuesta en frecuencia deseada, que usualmente sigue la forma de un filtro ideal. En general, la respuesta impulsional correspondiente hd (n) es infinita y dada por la transformada inversa de Fourier π 1 hd (n) = Hd (ω)ejωn dω 2π −π El filtro FIR se obtiene truncando hd (n) por medio de una ventana, como por ejemplo la ventana rectangular 1 n = 0, 1, . . . , M − 1 w(n) = 0 en otro caso es decir, hd (n) n = 0, 1, . . . , M − 1 h(n) = hd (n)w(n) = 0 en otro caso c 2005-2011 — P. Alvarado
- 218. 204 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita En el dominio de la frecuencia H(ω) = Hd (ω) ∗ W (ω), donde M −1 W (ω) = w(n)ejωn n=0 Puesto que W (ω) tiene generalmente un l´bulo central y l´bulos laterales, el efecto de la o o convoluci´n es suavizar la respuesta Hd (ω). o Para reducir el efecto de los l´bulos laterales se utilizan ventanas diferentes a la rectan- o gular, caracterizadas por no tener cambios abruptos en el dominio del tiempo, lo que conduce a l´bulos menores en el dominio de la frecuencia. Algunas ventanas t´ o ıpicas y sus caracter´ ısticas se presentan en la tabla 7.2. Tabla 7.2: Funciones utilizadas como ventanas. Ventana h(n), 0 ≤ n ≤ M − 1 Ancho Pico l´bulo o lobular lateral [dB] Rectangular 1 4π/M −13 −1 2 n − M2 Bartlett (triangular) 1− 8π/M −27 M −1 2πn Hamming 0,54 − 0,46 cos 8π/M −32 M −1 1 2πn Hanning 1 − cos 8π/M −43 2 M −1 Las ventanas se ilustran en el dominio temporal en la figura 7.4, y en el dominio de la frecuencia, con su magnitud espectral en las figuras 7.5 y 7.6. Ejemplo 7.1 Dise˜e un filtro pasa bajos de longitud M que aproxime n ejω(M −1)/2 0 ≤ |ω| ≤ ωC Hd (ω) = 0 en el resto Se obtiene con la transformada inversa de Fourier ωC M −1 hd (n) = 1 ejω(n− M −1 2 ) dω = sen ωC n − 2 −1 2π −ωC π n − M2 Para el filtro FIR se toman solo M muestras: −1 sen ωC n − M2 h(n) = −1 , 0≤n≤M −1 π n − M2 7.1 El truncamiento de hd (n) conduce a un comportamiento oscilatorio cerca del l´ımite de la banda de paso denominado fen´meno de Gibbs. N´tese que este m´todo no permite o o e mayor control sobre el valor de los par´metros δ1 , δ2 , ωS y ωP resultantes. a c 2005-2011 — P. Alvarado
- 219. 7 Introducci´n aldise˜o de filtros digitales o n 205 1 Rectangular Hanning Hamming Bartlett 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 200 400 600 800 1000 Figura 7.4: Ventanas en el dominio del tiempo. Rectangular Hanning 1 Hamming Bartlett 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Figura 7.5: Ventanas en el dominio de la frecuencia (normalizado). c 2005-2011 — P. Alvarado
- 220. 206 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita 0 Rectangular Hanning Hamming Bartlett -20 -40 -60 -80 -100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Figura 7.6: Ventanas en el dominio de la frecuencia (en dB). Dise˜ o de filtros FIR de fase lineal por el m´todo de muestreo de frecuencia n e M En este m´todo se muestrea la respuesta en frecuencia deseada en e 2 puntos equiespa- ciados 2π M −1 ωk = (k + α) k = 0, 1, . . . , M impar M 2 M k = 0, 1, . . . , − 1 M par 2 1 α=0´ o 2 y se calcula la respuesta impulsional h(n) correspondiente, donde para reducir los l´bulos o laterales se utilizan m´todos num´ricos de optimizaci´n que sit´an las muestras en la e e o u banda de transici´n. o Puesto que M −1 2π H(k + α) = H (k + α) = h(n)e−j2π(k+α)n/M , k = 0, 1, . . . , M − 1 M n=0 y haciendo uso de la ortogonalidad de la exponencial compleja se cumple adem´s a M −1 1 h(n) = H(k + α)ej2π(k+α)n/M , n = 0, 1, . . . , M − 1 M k=0 Con α = 0 estas ecuaciones equivalen a la DFT e IDFT respectivamente. Si h(n) es real, c 2005-2011 — P. Alvarado
- 221. 7 Introducci´n aldise˜o de filtros digitales o n 207 entonces H(k + α) = H ∗ (M − k − α) M lo que justifica la utilizaci´n de o 2 muestras en vez de M . Utilizando la simetr´ se ıa obtiene 2π H(k + α) = Hr (k + α) ej[βπ/2−2π(k+α)(M +1)/2M ] M donde β = 0 si h(n) es sim´trica y β = 1 si h(n) es antisim´trica. Con e e 2π G(k + α) = (−1)k Hr (k + α) k = 0, 1, . . . , M − 1 M se obtiene H(k + α) = G(k + α)ejπk ej[βπ/2−2π(k+α)(M +1)/2M ] Respuesta impulsional h(n) = ±h(M − 1 − n) Simetr´ circular par ıa H(k) = G(k)ejπk/M k = 0, 1, . . . , M − 1 G(k) = (−1)k Hr 2πk G(k) = −G(M − k) M a = 0: M −1 2 h(n) = 1 G(0) + 2 G(k) cos 2πk n+ 1 M M 2 k=1 H k + 1 = G k + 1 e−j π ejπ(2k+1)/2M 2 2 2 1 1 1 G k+ =G M −k− a= : 2 2 2 M −1 2 2 1 2π 1 1 h(n) = G k+ sen k+ n+ M k=0 2 M 2 2 Simetr´ circular impar ıa H(k) = G(k)ejπ/2 ejπk/M k = 0, 1, . . . , M − 1 G(k) = (−1)k H 2πk G(k) = G(M − k) r M M −1 a = 0: 2 2 2πk 1 h(n) = − M G(k) sen M n+ 2 M impar k=1 M 2 −1 h(n) = 1 (−1)n+1 G(M/2) − 2 G(k) sen 2πk n+ 1 M par M k=1 M 2 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 222. 208 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita H k + 1 = G k + 1 ejπ(2k+1)/2M 2 2 G k + 1 = (−1)k H 2π k + 1 r 2 M 2 1 a= : 1 1 2 G k+ = −G M − k − ; G(M/2) = 0 para M impar 2 2 M 2 −1 2 1 2π 1 1 h(n) = G k+ cos k+ n+ M k=0 2 M 2 2 Ejemplo 7.2 Dise˜e un filtro de longitud M = 15 con respuesta impulsional h(n) n sim´trica y respuesta en frecuencia condicionada a e 1 k = 0, 1, 2, 3 2πk Hr = 0,4 k = 4 15 0 k = 5, 6, 7 2πk Soluci´n: h(n) es sim´trica y en este caso α = 0. Con G(k) = (−1)k Hr o e 15 , k = 0, 1, . . . , 7 y las ecuaciones anteriores se obtiene h(0) = h(14) = −0,014112893 h(1) = h(13) = −0,001945309 h(2) = h(12) = 0,04000004 h(3) = h(11) = 0,01223454 h(4) = h(10) = −0,09138802 h(5) = h(9) = −0,1808986 h(6) = h(8) = 0,3133176 h(7) = 0,52 7.2 7.2.2 Dise˜ o de filtros ´ptimos n o El dise˜o de filtros se denomina ´ptimo si el error de aproximaci´n entre la respuesta en n o o frecuencia deseada y la actual se distribuye equitativamente a lo largo de las bandas de paso y rechazo. Dadas las frecuencias de corte para las bandas de paso y rechazo ωP y ωS respectivamente, el filtro debe satisfacer adem´s a 1 − δ1 ≤Hr (ω) ≤ 1 + δ1 |ω| ≤ ωP −δ2 ≤Hr (ω) ≤ δ2 |ω| > ωS por lo que δ1 representa el rizado de la banda de paso y δ2 la atenuaci´n o rizado en la o banda de rechazo. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 223. 7 Introducci´n aldise˜o de filtros digitales o n 209 Utilizando los filtros sim´tricos y antisim´tricos de fase lineal puede demostrarse que e e Hr (ω) = Q(ω)P (ω) con Q(ω) y P (ω) dados en la tabla 7.3. El error de aproximaci´n se define entonces como o E(ω) = W (ω)[Hdr (ω) − Hr (ω)] = W (ω)[Hdr (ω) − Q(ω)P (ω)] Hdr (ω) = W (ω)Q(ω) − P (ω) Q(ω) donde W (ω) es una funci´n de ponderaci´n de error que usualmente se define como o o δ1 δ2 ω en la banda de paso W (ω) = 1 ω en la banda de rechazo y Hdr (ω) la respuesta ideal del filtro deseada que es 1 en la banda de paso y cero en la de rechazo. Con ˆ W (ω) = W (ω)Q(ω) ˆ Hdr (ω) Hdr (ω) = Q(ω) el error se puede reescribir como ˆ ˆ E(ω) = W (ω) Hdr (ω) − P (ω) . El dise˜o del filtro consiste entonces en buscar los par´metros {α(k)} = {a(k)}, {b(k)}, {c(k)} n a o {d(k)} que conducen al menor valor m´ximo de |E(ω)|. ´ a L ˆ ˆ arg min max |E(ω)| = arg min max W (ω) Hdr − α(k) cos ωk {α(k)} ω∈S {α(k)} ω∈S k=0 donde S representa el conjunto (disjunto) de bandas sobre las que se realiza la optimiza- ci´n. Este problema de optimizaci´n requiere tambi´n m´todos num´ricos de optimizaci´n o o e e e o (por ejemplo el algoritmo de intercambio de Remez) basados en el teorema de la alterter- nancia, que establece que la funci´n de error E(ω) debe exhibir al menos L + 2 frecuencias o extremas en S, es decir, deben existir al menos L + 2 frecuencias {ωi } en S tales que ω1 < ω2 < . . . < ωL+2 , E(ωi ) = −E(ωi−1 ) y |E(ωi )| = max |E(ω)|, i = 1, 2, . . . , L + 2 para ω∈S L ˆ que P (ω) = k=0 α(k) cos ωk sea la mejor y unica aproximaci´n ponderada de Hdr (ω). ´ o El nombre del teorema se debe a la alternancia de signo entre dos extremos consecutivos. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 224. Tabla 7.3: Descomposici´nde filtros FIR en P (ω) y Q(ω). o 7.2 Filtros de respuesta de impulso finita Sim´trico e Antisim´trico e h(n) = h(M − 1 − n) h(n) = −h(M − 1 − n) M Impar Caso 1 Caso 3 Q(ω) = sen(ω) (M −3)/2 P (ω) = c(k) cos ωk ˜ Q(ω) = 1 k=0 (M −1)/2 M −3 c ˜ = 2h(0) P (ω) = a(k) cos ωk 2 k=0 M −5 c ˜ = 4h(1) c 2005-2011 — P. Alvarado M −1 h 2 k=0 2 a(k) = 2h M −1 −k −1 k = 1, 2, . . . , M2 M −1 M −5 2 c(k − 1) − c(k + 1) = 4h ˜ ˜ −k , 2≤k≤ 2 2 1 M −3 c(0) + c(2) = 2h ˜ ˜ 2 2 M Par Caso 2 Caso 4 ω ω Q(ω) = cos Q(ω) = sen 2 2 M M 2 −1 2 −1 P (ω) = ˜ cos(ωk) b(k) P (ω) = ˜ d(k) cos(ωk) k=0 k=0 ˜ =h M ˜ M − 1 = 4h(0) b(0) −1 d 2 2 ˜ M M M M b(k) = 4h − k − ˜ − 1), b(k 1≤k≤ −2 ˜ ˜ d(k − 1) − d(k) = 4h −k , 2≤k≤ −1 2 2 2 2 ˜ M −1 b = 4h(0) ˜ 1˜ d(0) − d(1) = 2h M −1 210 2 2 2
- 225. 7 Introducci´n aldise˜o de filtros digitales o n 211 7.3 Dise˜ o de filtros de respuesta impulsional infinita n a partir de filtros anal´gicos o Puesto que el dise˜o de filtros anal´gicos es un campo maduro y bien desarrollado, puede n o hacerse uso de sus resultados transformando filtros anal´gicos, descritos en el dominio de o frecuencia compleja s = σ + jΩ como M k B(s) k=0 βk s Ha (s) = = N (7.1) A(s) k=0 αk s k a filtros digitales utilizando alg´n mapeo adecuado entre las variables s y z. La fun- u ci´n de transferencia Ha (s) se relaciona con la respuesta impulsional h(t) a trav´s de la o e Transformada de Laplace ∞ Ha (s) = h(t)e−st dt −∞ que teniendo una forma racional como en (7.1) est´ relacionada con la ecuaci´n diferencial a o N M dk y(t) dk x(t) αk = βk (7.2) k=0 dtk k=0 dtk donde x(t) representa la entrada del filtro y y(t) su salida. Puesto que el sistema descrito por Ha (s) es estable si sus polos se encuentran al lado izquierdo del eje σ = 0 entonces el mapeo de s a z debe 1. Transformar s = jΩ en la circunferencia unitaria en el plano z. 2. El semiplano izquierdo (LHP) de s debe corresponder con el interior de la circunfe- rencia unitaria. En la secci´n anterior se mencion´ que un filtro tiene fase lineal si o o H(z) = ±z −N H(z −1 ) . Con filtros FIR esto se utiliza para ubicar los ceros, pero con filtros IIR esto implica que cada polo dentro de la circunferencia unitaria en z tiene otro polo correspondiente fuera de ella, lo que implica que el filtro ser´ inestable. En otras palabras, si se requiere un a filtro de fase lineal, debe utilizarse un filtro FIR como los tratados en la secci´n anterior. o Con filtros IIR usualmente se enfoca el dise˜o a la respuesta en magnitud, dejando que n las interrelaciones existentes entre fase y magnitud determinen la fase, seg´n corresponda u con la metodolog´ de dise˜o utilizada. ıa n c 2005-2011 — P. Alvarado
- 226. 212 7.3 Dise˜o de filtros de respuesta impulsional infinita a partir de filtros anal´gicos n o 7.3.1 Dise˜ o por aproximaci´n de derivadas n o Si se cuenta con la ecuaci´n diferencial del filtro (7.2), se pueden aproximar las derivadas o haciendo uso de dy(t) y(nT ) − y(nT − T ) y(n) − y(n − 1) ≈ = dt t=nT T T con el intervalo de muestreo T . Transformando al dominio s y z se tiene 1 − z −1 s= . T Puede deducirse de forma similar que la k-´sima derivada resulta en la relaci´n e o k k 1 − z −1 s = T por lo que la aproximaci´n para el filtro IIR digital es o H(z) = Ha (s)|s= 1−z−1 T La equivalencia entre s y z se puede derivar de 1 z= 1 − sT mapeo que se ilustra en la figura 7.7. Im{z} 2 jΩ 1 0 Re{z} -2 -1 0 1 2 σ -1 -2 Figura 7.7: Mapeo entre el plano s y el plano z para la aproximaci´n de derivadas. o N´tese que los polos del filtro digital solo se ubicar´n en frecuencias peque˜as, lo que o a n restringe la utilidad de este m´todo a solo filtros paso bajo y paso banda con frecuencias e resonantes relativamente bajas. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 227. 7 Introducci´n aldise˜o de filtros digitales o n 213 7.3.2 Dise˜ o por invarianza impulsional n Este m´todo consiste en buscar una respuesta impulsional del filtro digital que corresponda e a la respuesta impulsional muestreada del filtro anal´gico: o h(n) = h(t)|t=nT , n = 0, 1, . . . En cap´ıtulos anteriores se analiz´ el hecho de que el muestreo en el tiempo conduce a una o extensi´n peri´dica que consiste en la superposici´n del espectro anal´gico desplazado por o o o o m´ltiplos de la frecuencia de muestreo Fs = 1/T . u ∞ H(ω) = Fs Ha (ωFs − 2πFs k) k=−∞ El aliasing que ocurre a altas frecuencias hace este m´todo inapropiado para el dise˜o de e n filtros paso alto. En este caso puede demostrarse que la equivalencia entre los dos dominios es z = esT = eσ+jΩ T = eσT ejΩT = rejω con r = eσT y ω = ΩT , lo que implica que el semiplano izquierdo (LHP) corresponde al interior de la circunferencia unitaria (r < 1). N´tese que todos los o π π intervalos de frecuencia (2k − 1) T ≤ Ω ≤ (2k + 1) T se proyectan en la circunferencia, lo que hace de esta correspondencia una relaci´n inyectiva que proviene del efecto de aliasing o debido al muestreo (ver secci´n 2.2.2). o Im{z} 3 jΩ 2 1 0 Re{z} -3 -2 -1 0 1 2 3 σ -1 -2 -3 Figura 7.8: Mapeo entre el plano s y el plano z para la invarianza impulsional. Puede demostrarse que el filtro anal´gico o M M ck ck Ha (s) = equivale a H(z) = k=1 s − pk k=1 1 − epk T z −1 y aunque los polos siguen la relaci´n zk = epk T , esto no se satisface para los ceros. o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 228. 214 7.3 Dise˜o de filtros de respuesta impulsional infinita a partir de filtros anal´gicos n o 7.3.3 La transformada z adaptada De forma similar al dise˜o por invarianza impulsional, se utiliza aqu´ el mapeo z = esT , n ı pero tanto para polos como para ceros. As´ transformaci´n z adaptada se le denomina a ı, o aT −1 la equivalencia entre (s − a) y (1 − e z ). De esta forma M M (s − zk ) 1 − ezk T z −1 k=1 k=1 H(s) = N es equivalente a H(z) = N (s − pk ) 1 − epk T z −1 k=1 k=1 Con este m´todo debe seleccionarse T lo suficientemente peque˜o para evitar el aliasing. e n 7.3.4 Dise˜ o por transformaci´n bilineal n o En este m´todo se utiliza la relaci´n e o 2 1 − z −1 s= T 1 + z −1 denominada relaci´n bilineal y derivada de la f´rmula trapezoidal para integraci´n num´rica. o o o e Este m´todo es apto para transformar filtros paso alto y paso banda por tener una repre- e sentaci´n biyectiva entre ω y Ω. Con o Ts + 2 z=− Ts − 2 se obtiene el mapeo mostrado en la figura 7.9. Im{z} 2 jΩ 1 0 Re{z} -2 -1 0 1 2 σ -1 -2 Figura 7.9: Mapeo bilineal entre el plano s y el plano z. c 2005-2011 — P. Alvarado
- 229. 7 Introducci´n aldise˜o de filtros digitales o n 215 7.3.5 Filtros Anal´gicos o Estas transformaciones pueden aplicarse para derivar filtros digitales, por ejemplo, filtros Butterworth, filtros Chebyshev (tipos I y II), filtros el´ ıpticos y filtros Bessel (tabla 7.4). Tabla 7.4: Caracter´ ısticas de Filtros Paso Bajo Anal´gicos o Filtro Funci´n de Transferencia o Caracter´ ısticas 1 Butterworth |H(Ω)|2 = |H(Ω)| mon´tona en las bandas de paso o 1 + (Ω/ΩC )2N (todo-polos) y rechazo. ΩC : frecuencia de corte 1 |H(Ω)|2 = 2T 2 Ω 1+ N ΩP Chebyshev, Rizado constante en la banda de paso y TN : polinomio de Chebyshev Tipo I (todo- caracter´ ıstica mon´tona en la banda de o polos) T0 (x) = 1 rechazo. T1 (x) = x TN +1 (x) = 2xTN (x) − TN −1 (x) 1 Chebyshev, Ti- |H(Ω)|2 = 2 ΩS Rizado constante en la banda de recha- TN ΩP 1+ 2 po II (polos y 2 TN ΩS zo y caracter´ ıstica mon´tona en la ban- o Ω ceros) da de paso. TN : polinomio de Chebyshev 1 |H(Ω)|2 = El´ ıptico o ´ 1+ 2U Ω N ΩP Rizado constante tanto en la banda de Cauer (polos y UN : funci´n el´ o ıptica Jacobiana paso como en la de rechazo. ceros) de orden N 1 H(s) = BN (s) BN (s): funciones de Bessel Respuesta de fase lineal en la banda de Bessel (todo- paso (aunque se destruye en la conver- polos) B0 (s) = 1 si´n a digital). o B1 (s) = s + 1 BN (s) = (2N − 1)BN −1 (s) + s2 BN −2 (s) 7.4 Transformaci´n de Frecuencia o Hay dos maneras de obtener un filtro digital paso bajo, paso alto, paso banda o supresor de banda a partir de un filtro paso bajo anal´gico: o 1. Transformar en el dominio anal´gico al filtro deseado, y luego usar uno de los mapeos o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 230. 216 7.4 Transformaci´n de Frecuencia o de s a z presentados anteriormente para transformarlo al dominio digital. 2. Transformar el filtro paso bajo a un equivalente paso bajo digital, para luego hacer la transformaci´n al filtro deseado en el dominido digital. o Para el primer caso se utilizan las transformaciones mostradas en la tabla 7.5. Para el segundo se presentan las modificaciones en la tabla 7.6. Tabla 7.5: Transformaciones de frecuencia para filtros anal´gicos. o Tipo de filtro Transformaci´n o Nuevas deseado frecuencias de corte ΩP Paso bajo s→ s ΩP ΩP ΩP ΩP Paso alto s→ ΩP s 2 s + Ωl Ωu Paso banda s → ΩP Ωu , Ωl s(Ωu − Ωl ) s(Ωu − Ωl ) Supresor de banda s → ΩP 2 Ωu , Ωl s + Ω l Ωu ΩP : frecuencia de corte del prototipo Ωl : frecuencia de corte inferior Ωu : frecuencia de corte superior c 2005-2011 — P. Alvarado
- 231. 7 Introducci´n aldise˜o de filtros digitales o n 217 Tabla 7.6: Transformaciones de frecuencia para filtros digitales. Tipo de filtro Transformaci´n o Constantes Nuevas deseado frecuencias de corte ωP −ωP −1 z −1 − a sen 2 Paso bajo z → a= ωP 1 − az −1 sen ωP +ω 2 P ωP +ωP −1 z −1 + a cos 2 Paso alto z → a= ωP 1 + az −1 cos ωP −ω 2 P z −2 − a1 z −1 + a2 Paso banda z −1 → K a1 = −2α K+1 ωu , ωl a2 z −2 − a1 z −1 + 1 K−1 a2 = K+1 ω +ω cos( u 2 l ) α= ωu −ωl cos( 2 ) ωu −ωl K = cot 2 tan ω2 P z −2 − a1 z −1 + a2 Supresor z −1 → 1 a1 = −2α K+1 ωu , ωl a2 z −2 − a1 z −1 + 1 1−K de banda a2 = 1+K ω +ω cos( u 2 l ) α= ωu −ωl cos( 2 ) ωu −ωl K = tan 2 tan ω2 P ωP : frecuencia de corte normalizada del prototipo ωl : frecuencia de corte normalizada inferior ωu : frecuencia de corte normalizada superior c 2005-2011 — P. Alvarado
- 232. 218 7.4 Transformaci´n de Frecuencia o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 233. Bibliograf´ ıa [1] P. Alvarado. Modelos de sistemas. Notas de clase, 2005. URL http://www.ie.itcr. ac.cr/palvarado/Modelos/modelos.pdf. [2] P.M. Aziz, H. V. Sorensen, and J. van der Spiegel. An overview of sigma-delta converters. IEEE Signal Processing Magazine, pages 61–84, January 1996. [3] C. S. Burrus, J. H. McClellan, A. V. Oppenheim, T. W. Parks, R. W. Schafer, and H. W. Schuessler. Ejercicios de Tratamiento de la Se˜al. Un enfoque pr´ctico. n a Prentice Hall, 1998. [4] H. F. Davis. Fourier series and orthogonal functions. Dover Publications, Inc., 1963. [5] John W. Eaton. Octave [online]. 1998 [visitado el 28 de julio de 2011]. URL http: //www.octave.org. [6] John W. Eaton. Octave repository [online]. 1998 [visitado el 28 de julio de 2011]. URL http://octave.sourceforge.net/afunclist.html. [7] S. Haykin and B. van Veen. Se˜ales y sistemas. Limusa Wiley, 2001. n [8] G. James. Matem´ticas Avanzadas para Ingenier´a. Prentice Hall, 2da edition, 2002. a ı [9] E. Kreyszig. Matem´ticas Avanzadas para Ingenier´a, volume I. Limusa Wiley, 3ra a ı edition, 2000. [10] E. Kreyszig. Matem´ticas Avanzadas para Ingenier´a, volume II. Limusa Wiley, 3ra a ı edition, 2000. [11] D. Lindner. Introducci´n a las se˜ales y los sistemas. McGraw Hill, 2002. o n [12] MathWorks. Matlab [online]. 1994 [visitado el 28 de julio de 2011]. URL http: //www.matlab.com. [13] U. Meyer-Baese. Digital Signal Processing with Field Programmable Gate Arrays. Signals and Communication Technology. Springer, 3ra edici´n edition, 2007. o [14] A. Oppenheim, A. Willsky, and S. H. Nawab. Se˜ales y Sistemas. Prentice Hall, 2da n edition, 1998. 219
- 234. 220 Bibliograf´ ıa [15] J. G. Proakis and D. G. Manolakis. Tratamiento Digital de Se˜ales. Prentice Hall, n 1998. [16] J. G. Proakis and D. G. Manolakis. Tratamiento Digital de Se˜ales. Pearson Edu- n caci´n S.A., Madrid, 2007. o [17] M. J. Roberts. Se˜ales y Sistemas. An´lisis mediante m´todos de transformada y n a e MatLab. McGraw Hill, 2005. [18] G. E. Shilov. Elementary Real and Complex Analysis. Dover Publications, Inc., 1973. [19] E. Soria Olivas, M. Mart´ ınez Sober, J. V. Franc´s Villora, and G. Camps Valls. Tra- e tamiento Digital de Se˜ales. Problemas y ejercicios resueltos. Prentice Hall, Madrid, n 2003. [20] F. G. Stremler. Introducci´n a los sistemas de comunicaci´n. Addison Wesley Long- o o man, 1993. [21] Wikimedia. Wikipedia [online]. Diciembre 2005 [visitado el 28 de julio de 2011]. URL http://en.wikipedia.org/wiki. [22] U. Z¨lzer. Digital Audio Signal Processing. John Wiley and Sons, 2008. o c 2005-2011 — P. Alvarado
- 235. Ap´ndice A e Octave y Matlab MatLab[12] y Octave[5] son programas utilizados en procesamiento num´rico de datos, e dentro de lo cual figura el ´rea de procesamiento digital de se˜ales. Este ap´ndice es a n e una brev´ısima introducci´n a la utilizaci´n del int´rprete de ambos sistemas. Muchas de o o e las funciones disponibles para MatLab deben ser instaladas por aparte para el Octave, y pueden ser encontradas en la base de datos del grupo que lo desarrolla [6]. La representaci´n gr´fica de se˜ales de variable discreta en MatLab se realiza con la o a n funci´n stem. Por ejemplo: o nn = 0:30; % genere un vector de 31 elementos: 0, 1, 2 .. 30 sinus = sin(nn/2+1); % para cada x en nn genere sin(x/2+1) stem(nn,sinus); % muestre valores en ’sinus’ para las muestras ’nn’ El punto y coma ’;’ le indica al MatLab que no debe mostrar el resultado de la operaci´n. o Si es omitido, el resultado se mostrar´ directamente. a Con los comandos hold y hold off se puede controlar si se debe graficar sobre la misma imagen o no. La funci´n zeros(m,n) genera una matriz de m filas por n columnas. As´ que para generar o ı un impulso puede utilizarse imp=zeros(20,1); imp(5)=1; Depender´ de los ´ a ındices generados para esta secuencia el n´mero de muestra para el u impulso. Por ejemplo, con nn=-5:14 el retardo del impulso es -1 pero con nn=0:19 el retardo ser´ 4. ıa Para generar se˜ales peri´dicas puede utilizarse el siguiente concepto: n o x = [0;1;1;0;0;0] * ones(1,8); x = x(:); 221
- 236. 222 Lo que ocurreen la primera l´ınea es generar una matriz con ocho filas todas id´nticas e al vector dado antes del s´ ımbolo ’∗’. La segunda l´ınea convierte la matriz a un vector concatenando todas las filas, lo que equivale una se˜al peri´dica con N = 6 periodos. n o Especial cuidado debe tenerse con la programaci´n eficiente en Octave. El uso de ciclos o debe ser evitado al m´ximo, y en vez de ello deben utilizarse las operaciones vectoriales a en tanto se pueda. Por ejemplo, sup´ngase que necesita generar una secuencia x(n) con n desde −10 hasta o 40, que contenga un escal´n unitario. Una implementaci´n ingenua e ineficiente es: o o n=[-10:40]; x=n; for i=1:length(n) if n(i)<0 x(i)=0; else x(i)=1; end end La versi´n anterior funciona, pero requiere mucho m´s tiempo que la versi´n utilizando o a o los conceptos del lenguaje en cuesti´n: o n=[-10:40]; x=(n>=0); Lo anterior genera un vector con 0 si el elemento correspondiente en n es menor que cero y 1 en caso contrario. Un concepto fundamental para la programaci´n eficiente es conocer la diferencia de sin- o taxis entre los operadores (por ejemplo “∗”), y los operadores precedidos por un punto (por ejemplo “.∗”). El primero representa una operaci´n matricial, y requiere que las o dimensiones de los operandos a la izquierda y derecha sean compatibles con la operaci´n. o El segundo caso aplica el operador elemento por elemento a las dos matrices, que deben para ello tener exactamente las mismas dimensiones. Ejemplos: [1 2 3]*[1 -1 -2] % Retorna un error, porque el primero o el segundo vector % deber´an ser un vector columna. ı [1 2 3]*[1 -1 -2]’ % El ap´strofe en el segundo vector indica que este debe o ´ % transponerse y por tanto es equivalente a un producto % interno que devuelve el valor escalar -7 [1 2 3]’*[1 -1 -2] % Ahora esto equivale al producto externo y retorna una c 2005-2011 — P. Alvarado
- 237. A Octave yMatlab 223 % matriz 3x3. [1 2 3].*[1 -1 -2] % Multiplique elemento por elemento para retornar [1 -2 -6] c 2005-2011 — P. Alvarado
- 238. 224 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 239. Ap´ndice B e Respuestas a Problemas A continuaci´n se presentan los esbozos de las soluciones a los problemas planteados en o los diferentes cap´ ıtulos. Estos problemas tienen como objetivo ayudar en preparaci´n o del estudiante para las pruebas parciales y final del curso. El estudiante debe solucionar los problemas por su cuenta antes de comparar sus respuestas con las versiones aqu´ ı presentadas. De otra forma no se asegurar´ el aprendizaje. a Problemas adicionales encontrar´ el estudiante en abundancia en [19, 15]. a Problema 1.1. El estudiante debe buscar ejemplos que ´l conoce: se˜ales de voz, se˜ales e n n de video, sismos, se˜ales utilizadas en medicina, etc. n Problema 1.2. Se˜al n Caracter´ ıstica N´m. Variables (U/M) ıstica (D/A) Dimensi´n (E/V) Variables (D/C) Valores (D/C) o Estad´ u Imagen tomada por una c´mara digital a color a M V D D D Registro mensual de la posici´n de o una bandada de aves migratorias U V D C A Se˜ales de salida de un micr´fono est´reo n o e U V C C ∗ Se˜al digital n ∗ ∗ D D ∗ Se˜al anal´gica n o ∗ ∗ C C ∗ Problema 2.1. 1. x1 (n) = x(n − 2) 225
- 240. 226 2.x2 (n) = x(n + 3) 3. x3 (n) = x(−n + 2) 4. x4 (n) = x(−n − 3) Problema 2.2. 1. x3 (n) = {4, 2, 0, 3, 4, −1, 5} ↑ 2. x4 (n) = {0, 0, −1, −10, 3, −12, 0} ↑ 3. x5 (n) = {0, 0, −3, 9, 12, −3, 15} ↑ Problema 2.3. Puesto que la se˜al en tiempo discreto es peri´dica con periodo N , esta n o tarda N T , y el n´mero de veces que cabe el periodo Ta en un periodo de la se˜al discreta u n es N T /Ta . Se sabe que f = k/N = F/Fs = T /Ta y por tanto el n´mero de veces que u cabe el periodo Ta en el periodo de la se˜al muestreada es k. n Problema 2.5. N´tese primero que el valor de M no afecta el periodo fundamental de o la se˜al, puesto que M y N son n´meros primos relativos. n u Las se˜ales arm´nicamente relacionadas est´n dadas por n o a M sk (n) = ej (2π( N k)n) Determ´ ınese la se˜al arm´nicamente relacionada sk+α (n): n o M sk+α (n) = ej (2π( N (k+α))n) Mk Mα = ej (2π( N + N )n) Mk = ej (2π( N )n) ej (2π( M α )n) N El segundo t´rmino del producto es igual a 1 cuando M α/N ∈ Z, lo cual, bajo la restric- e ci´n de que M y N son primos relativos, es posible si y solo si α es un m´ltiplo de N . En o u otras palabras la frecuencia (k + iN )ω0 , con i ∈ Z es un alias de kω0 . As´ que solo valores ı de α < N generan frecuencias un´ ıvocas, pues con α ≥ N es posible encontrar siempre un α < N que da paso a una se˜al equivalente. n Problema 3.1. 1. x(n) = sen(ωn)u(n) ROC: exterior de un c´ ırculo 2. x(n) = u(n + 4) − u(n − 2) ROC: todo el plano z menos cero e infinito 3. x(n) = u(−n − 2) ROC: el interior de un c´ ırculo 4. x(n) = ur (n) − 2ur (n − 5) + ur (n − 10) ROC: todo el plano z menos cero 1 −|n| 5. x(n) = − 2 ROC: anillo 6. x(n) = ur (n + 5)u(−n) ROC: todo el plano z menos infinito c 2005-2011 — P. Alvarado
- 241. B Respuestas aProblemas 227 Problema 3.2. 1. |z| > 1/3 menos ∞ 2. |z| > 1 3. |z| < 1/3 4. 1/3 < |z| < 3 Problema 3.3. 1 z −2 X(z) = 1 , ROC: |z| > 1/4 16 1 − 4 z −1 Problema 3.4. |α| = 2, y todo n0 Problema 3.5. Polos en 1 e±jπ/4 , ROC: |z| < 1/2. 2 Problema 3.6. 1. Ceros en 1/2 e ∞, polos en 1/3 y 1/4. 2. Ceros en 1 y 2, polos en 3 y 4. 3. Ceros en 1 y en ∞ (este ultimo doble), y polos ±1/4. ´ Problema 3.7. Si x(n) es absolutamente sumable, entonces su ROC incluye al c´ ırculo unitario |z| = 1. Puesto que tiene un polo en 1/2 entonces la ROC puede ser un anillo delimitado por el c´ ırculo interno de radio 1/2 o puede ser el exterior de dicho c´ ırculo. Por tanto, x(n) puede ser bilateral o derecha. Problema 3.8. X(z) tiene polos de primer orden en z = ±j/2, −1/2 y −3/4. As´ tiene ı tres posibles regiones de convergencia: |z| < 1/2, 1/2 < |z| < 3/4 y |z| > 3/4. Problema 3.9. Algunas de las transformaciones ya han sido demostradas en el texto. Aqu´ solo se indican algunas sugerencias para la demostraci´n de las otras. ı o La transformada de nan u(n) se realiza a partir de despejar el valor para ∞ nαn n=0 De forma similar a lo hecho para otras series, esta se resuelve calculando el resultado de sumar M M M n n 2 nα − 2α nα +α nαn n=0 n=0 n=0 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 242. 228 Expandiendo cada t´rminoy realizando las sumas de cada t´rmino αk se obtiene e e M α(1 − (N + 1)αN + N αN +1 ) nαn = n=0 1 − 2α + α2 Si N → ∞ entonces lo anterior converge solo si |α| < 1 a M α α α−1 nαn = = = n=0 1 − 2α + α2 (1 − α)2 (1 − α−1 )2 Tomando esto en cuenta se puede calcular la transformada de nan u(n) con la definici´n: o ∞ ∞ n az −1 X(z) = nan u(n)z −n = n az −1 = −∞ 0 (1 − az −1 )2 donde se ha sustituido α = az −1 . Lo anterior es v´lido solo si |α| = |az −1 | < 1, es decir, a si |z| > a. La otras f´rmulas se derivan f´cilmente reemplazando las se˜ales trigonom´tricas por sus o a n e equivalentes exponenciales complejos por medio de la identidad de Euler. Problema 3.10. Puesto que X(z) es racional, con un polo en z = 1/2 se sabe que la se˜al es de duraci´n infinita (la descomposici´n en fracciones parciales tendr´ un t´rmino n o o a e con ese polo unicamente, el cual corresponde a una exponencial de duraci´n infinita). ´ o Por la propiedad de escalado en la frecuencia se sabe que la ROC de X(z) escalada por 1/4 contiene al c´ ırculo unitario, no as´ si se escala por 1/8. Esto implica que hay alg´n otro ı u polo que al multiplicarlo por 1/8 queda dentro del c´ ırculo unitario, pero si se multiplica por 1/4 queda fuera. En todo caso, la ROC de X(z) debe ser para esto un anillo y por tanto x(n) debe ser bilateral. Problema 3.11. Problema 3.12. Problema 3.13. Problema 3.14. Problema 3.15. Problema 3.16. Problema 3.17. 1. No causal 2. Causal 3. No causal c 2005-2011 — P. Alvarado
- 243. B Respuestas aProblemas 229 Problema 3.18. El sistema es causal y estable, puesto que sus polos se encuentran dentro del c´ ırculo unitario, al ser h(n) derecha entonces su ROC es externa a los polos. El t´rmino lim H(z) = 1 indica que H(z) no tiene polos en el infinito, lo que quiere decir e z→∞ que el n´mero de polos debe ser menor o igual al n´mero de ceros, que se indican ser dos. u u Puesto que h(n) es real entonces deben haber al menos dos polos, y puesto que se dice que uno no es real, entonces debe haber otro complejo conjugado de igual magnitud. Problema 3.19. Problema 3.20. 1. −(−1/2)n u(n) 1 n 1 n 2. 3 −1 2 + 1 6 4 u(n) 2 1 n 1 1 n 3. − 3 − 2 + 6 4 u(n) Problema 5.1. El estudiante debe buscar las diferentes t´cnicas utilizadas para obtener e mayores velocidades o mayores relaciones se˜al a ruido. Por lo menos debe revisar las n estructuras llamadas “flash”, el m´todo de aproximaciones sucesivas y el llamado ∆Σ e (delta-sigma). c 2005-2011 — P. Alvarado
- 244. 230 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 245. ´ Indice alfab´tico e alias, 24, 155 de energ´ 95 ıa, aliasing, 105 de potencia, 92 temporal, 137 de tensi´n, 92 o amplitud, 22 derrame, 152 an´lisis, 3 a desplazamiento, 37 anal´gica, 2 o DFT, 136 anal´gico, 4 o digital, 2 analizador espectral, 91 DTFS, 98 ancho de banda, 104 anticausalidad, 43 ecuaci´n o arm´nica o de diferencias, 46 relaci´n exponencial, 26 o energ´ 17 ıa, arm´nicos, 92 o espectro, 91 estimaci´n espectral, 91 o BIBO, 35 estructura canales, 2 forma directa I, 185 cascada, 35 forma directa II, 185 cero, 70 exponencial cifrado, 8 relacionadas arm´nicamente, 26 o codificaci´n, 153 o fase, 22 compresi´n, 8 o fen´meno de Gibbs, 204 o condici´n inicial, 28 o filtrado, 9 convoluci´n, 37 o filtro, 9, 117 correlaci´n, 58 o paso todo, 128 autocorrelaci´n, 58 o peine, 125 cruzada, 58 ranura, 124 normalizada, 59 solapamiento y almacenamiento, 149 cuantificaci´no solapamiento y suma, 150 definici´n, 153 o forma error, 153, 160 can´nica, 186 o ruido, 160 directa I, 185 cuanto, 160 directa II, 185 deconvoluci´n, 130 o frecuencia, 22 densidad espectral angular, 22 231
- 246. 232 ´ Indice alfab´tico e de plegado, 155 polo, 70 fundamental, 24 potencia promedio, 17 normalizada, 25, 155 principio de incertidumbre, 96 fuga, 152 procesamiento, 3 funci´n o de energ´ 17 ıa, rango fundamental, 26 de potencia, 17 reconocimiento, 8 de transferencia, 77 reflexi´n, 37 o funcion reposo, 28 propia, 91 resonador digital, 122 respuesta Gibbs, 204 de estado permanente, 82 en fase, 112 Hilbert, 199 en frecuencia, 112 identidad, 28 en magnitud, 112 identificaci´n, 9 o entrada cero, 48 interconexi´n o estado nulo, 49 cascada, 35 forzada, 49, 80 paralela, 35 natural, 80 interpolaci´n, 154 o transitoria, 82 retardo memoria, 32 de grupo, 119 muestra ruido, 9 n´mero, 22 u muestreo se˜al, 1 n definici´n, 153 o acotada, 18 intervalo, 153 anticausal, 34 peri´dico, 154 o asim´trica, 19 e teorema del, 105 de energ´ 17 ıa, uniforme, 154 de potencia, 17 multiplicaci´n, 37 o impar, 19 multicanal, 2 n´mero de condici´n, 183 u o par, 19 peri´dica, 19 o osciladores, 129 sim´trica, 19 e Paley-Wiener tiempo discreto, 2 Teorema, 198 simetr´ circular ıa paralelo, 35 impar, 143 Parseval par, 143 se˜ales continuas peri´dicas, 92 n o sintetizaci´n, 9 o periodo sistema, 3 fundamental, 19, 23 de fase m´ ınima, 134 polinomio de fase m´xima, 134 a caracter´ıstico, 52 de polos y ceros, 78 c 2005-2011 — P. Alvarado
- 247. ´ Indice alfab´tico e 233 de todos ceros, 78 de todos polos, 78 discreto, 27 estable, 35 inestable, 35 inverso, 130 invertible, 131 LTI, 117 MWA, 187 no recursivo, 46 recursivo, 46 soluci´n o homog´nea, 51 e particular, 51 total, 55 SQNR, 161 submuestreo, 15 suma, 37 teorema del muestreo, 105 Wiener-Khinchin, 110 transformada de Fourier, 93 transformada z, 67 directa, 67 transformada de Hilbert, 199 vector, 2 Wiener-Khinchin, 110 c 2005-2011 — P. Alvarado