Este documento presenta notas de clase para el curso "Procesamiento Digital de Señales" impartido en la Escuela de Ingeniería Eléctrica del Tecnológico de Costa Rica. El documento incluye un prefacio, índice general y varios capítulos que cubren temas como señales y sistemas de variable discreta, análisis de sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo, y sistemas discretos descritos mediante ecuaciones de diferencias. El objetivo es ofrecer al estudiante una guía para el
Este documento presenta apuntes sobre física para las unidades I y II. La unidad I cubre conceptos básicos de vectores como magnitudes escalares y vectoriales, definiciones elementales de vectores, propiedades de vectores, componentes de vectores, vectores unitarios, producto escalar y vectorial. La unidad II trata sobre cinemática y presenta fórmulas para desplazamiento, velocidad, aceleración y rapidez.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones del contenido de un libro de preparación para la Prueba de Selección Universitaria de Matemáticas. El libro cubre temas como números, proporcionalidad e introducción al álgebra. Incluye ejemplos, actividades y un índice general de los contenidos tratados en cada capítulo. Fue escrito por dos estudiantes de la Universidad de Chile como material de apoyo para futuros postulantes a la educación superior.
Este documento presenta la cuarta edición del libro "Teoría básica de probabilidad" de Martha Gaitán Garavito. El libro contiene cinco capítulos que introducen los conceptos fundamentales de la teoría de probabilidad a través de ejemplos y problemas resueltos. El libro define probabilidad y variables aleatorias, y explica distribuciones de probabilidad discretas y continuas comúnmente usadas. Además, incluye apéndices sobre el uso de funciones estadísticas en Excel y métodos de enumeración. El objetivo del
1) El autor agradece a su esposa Julia por su continuo apoyo y paciencia durante las muchas horas que dedicó a preparar este manuscrito.
2) El documento presenta un índice analítico detallado de los principios de la estática dividido en 7 capítulos principales.
3) El texto introduce conceptos fundamentales de la mecánica como fuerza, momento, par y condiciones de equilibrio aplicados a estructuras, cuerpos rígidos y sistemas de fuerzas.
El documento describe la simulación numérica del problema de Brinkman utilizando el método de elementos finitos. Se considera un cojinete deslizante cilíndrico con lubricante incompresible e isoviscoso, y se modela el fenómeno de cavitación mediante la ecuación variacional de Reynolds. La resolución numérica del sistema de ecuaciones resultante constituye el principal aporte del trabajo.
Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
Este documento presenta un índice general de apuntes de preparación para la Prueba de Selección Universitaria de Matemática (PSU) para el año 2009. El índice incluye secciones sobre números, proporcionalidad y una introducción al álgebra, con subtemas como conjuntos numéricos, operaciones con números reales, razones, proporciones y porcentajes. El documento fue editado por dos estudiantes de la Universidad de Chile para ayudar a otros estudiantes a prepararse para la PSU de Matemática de ese año.
Este documento presenta apuntes sobre física para las unidades I y II. La unidad I cubre conceptos básicos de vectores como magnitudes escalares y vectoriales, definiciones elementales de vectores, propiedades de vectores, componentes de vectores, vectores unitarios, producto escalar y vectorial. La unidad II trata sobre cinemática y presenta fórmulas para desplazamiento, velocidad, aceleración y rapidez.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones del contenido de un libro de preparación para la Prueba de Selección Universitaria de Matemáticas. El libro cubre temas como números, proporcionalidad e introducción al álgebra. Incluye ejemplos, actividades y un índice general de los contenidos tratados en cada capítulo. Fue escrito por dos estudiantes de la Universidad de Chile como material de apoyo para futuros postulantes a la educación superior.
Este documento presenta la cuarta edición del libro "Teoría básica de probabilidad" de Martha Gaitán Garavito. El libro contiene cinco capítulos que introducen los conceptos fundamentales de la teoría de probabilidad a través de ejemplos y problemas resueltos. El libro define probabilidad y variables aleatorias, y explica distribuciones de probabilidad discretas y continuas comúnmente usadas. Además, incluye apéndices sobre el uso de funciones estadísticas en Excel y métodos de enumeración. El objetivo del
1) El autor agradece a su esposa Julia por su continuo apoyo y paciencia durante las muchas horas que dedicó a preparar este manuscrito.
2) El documento presenta un índice analítico detallado de los principios de la estática dividido en 7 capítulos principales.
3) El texto introduce conceptos fundamentales de la mecánica como fuerza, momento, par y condiciones de equilibrio aplicados a estructuras, cuerpos rígidos y sistemas de fuerzas.
El documento describe la simulación numérica del problema de Brinkman utilizando el método de elementos finitos. Se considera un cojinete deslizante cilíndrico con lubricante incompresible e isoviscoso, y se modela el fenómeno de cavitación mediante la ecuación variacional de Reynolds. La resolución numérica del sistema de ecuaciones resultante constituye el principal aporte del trabajo.
Este documento presenta un índice de contenidos de un libro de texto sobre álgebra. El índice incluye 8 capítulos que cubren temas como lógica y teoría de conjuntos, sumatorias y recurrencia, binomio de Newton, relaciones binarias, funciones, estructuras algebraicas, números complejos y polinomios. El libro proporciona definiciones, teoremas y ejemplos para cada uno de estos tópicos fundamentales de álgebra.
Este documento presenta un índice general de apuntes de preparación para la Prueba de Selección Universitaria de Matemática (PSU) para el año 2009. El índice incluye secciones sobre números, proporcionalidad y una introducción al álgebra, con subtemas como conjuntos numéricos, operaciones con números reales, razones, proporciones y porcentajes. El documento fue editado por dos estudiantes de la Universidad de Chile para ayudar a otros estudiantes a prepararse para la PSU de Matemática de ese año.
Este documento describe los materiales reciclables más comunes y cómo organizar una planta de reciclaje. Explica que el papel, cartón, plásticos, vidrio y metales son los materiales principales que se pueden reciclar de manera rentable. Luego detalla los pasos para diseñar una planta de reciclaje manual o mecanizada, incluyendo las unidades necesarias para la recepción, clasificación, procesamiento y almacenamiento de los materiales, así como consideraciones sobre la operación económica y reducción de desechos. El
Metaheurísticas e ingenieria del softwareElsannin17
Trata de la Metaheuristica y la Ingenieria del Software, pero utilizando organismos o colonias de organismos vivos, para la creacion, uso, implementacion y aplicacion de algoritmos basados en los mismos
Libro ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple - 383pÁLVARO REYES
Este documento presenta un resumen de varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo: 1) métodos de separación de variables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones lineales de primer orden, ecuaciones exactas y factores de integración; 2) aplicaciones geométricas, de crecimiento y descomposición, dilución y vaciado de tanques; y 3) teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, soluciones por series y transformada de Laplace. El documento también incluye anexos con el paquete Maple
Este documento presenta apuntes para el curso de Cálculo Avanzado y Aplicaciones dictado en la Universidad de Chile. Los apuntes cubren temas de cálculo vectorial como divergencia, rotor, integral de flujo y teorema de Gauss, así como funciones de variable compleja, series de potencias y ecuaciones en derivadas parciales. El documento está dirigido a estudiantes de ingeniería civil y fue escrito por profesores del Departamento de Ingeniería Matemática de la Universidad de Chile.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de diseño de experimentos. Explica los diseños factoriales 2k, sus ventajas y cómo permiten estudiar el efecto de múltiples factores. Incluye un ejemplo con un diseño factorial 22 para evaluar el efecto del tamaño de broca y la velocidad sobre la vibración producida por un barrenador. Calcula los efectos de cada factor a través de la notación de Yates y determina que el tamaño de broca tiene la mayor influencia sobre la vibración.
El documento presenta el módulo formativo "Mecanizado básico" para el Certificado de Profesionalidad de Operaciones Auxiliares de Mantenimiento de Electromecánica de Vehículos. Describe 7 capacidades y sus criterios de evaluación asociados, así como los contenidos teóricos y prácticos de cada capacidad. El resumen incluye técnicas de mecanizado manual, uniones entre piezas, herramientas eléctricas y neumáticas, interpretación de planos, mediciones, soldadura y normas de seguridad.
Causalidad y Responsabilidad, Michael S. Moore - ISBN 9788497688727Marcial Pons Argentina
Este documento presenta un índice de un libro sobre la causalidad y la responsabilidad en derecho y ética. El libro explora el papel de la causalidad en la responsabilidad moral y jurídica, y examina cómo los conceptos de intención, omisión, defensa y causalidad son tratados en la ética y el derecho. El índice indica que el libro contiene dos partes principales, la primera sobre la relación entre causalidad y responsabilidad moral y jurídica, y la segunda sobre los presupuestos de la teoría jurídica
Este documento presenta un apunte sobre electrónica industrial que incluye 9 capítulos. Introduce conceptos básicos como los diferentes tipos de convertidores estáticos, el interruptor semiconductor ideal y características de operación. También describe dispositivos semiconductores de potencia como diodos, tiristores, transistores y circuitos de disparo. Finalmente, cubre aplicaciones y control de convertidores estáticos.
HERRAMIENTA CASE PARA MODELADO DE ALMACENES DE DATOS BASADA EN LENGUAJES ESPE...Enrique Catala Bañuls
Memoria de mi proyecto de fin de carrera. Herramienta CASE para modelado de almacenes de datos multidimensionales mediante la creación de un Domain Specific Language al que llamamos ObjectOrientedMultimensionalModel (OOMM)
Este documento presenta una propuesta de investigación para crear una caja solidaria llamada "Mujeres Emprendedoras" que brindaría microcréditos a las 20 participantes del Centro Ocupacional Luis A. Martínez en Riobamba, Ecuador. El objetivo es mejorar la calidad de vida y los ingresos económicos de las mujeres mediante el financiamiento de materiales y maquinaria para mejorar la producción y comercialización de sus artesanías. La investigación analizará opciones de microfinanzas y capacitará a las socias fundadoras sobre
Este documento presenta una propuesta de investigación para crear una caja solidaria llamada "Mujeres Emprendedoras" que brinde microcréditos a las participantes de un centro ocupacional en Riobamba, Ecuador. El objetivo es mejorar la calidad de vida y los ingresos económicos de las madres del centro mediante el financiamiento de sus actividades artesanales y de comercialización. La investigación analizará opciones de microfinanzas y realizará encuestas y capacitaciones para establecer formalmente la caja solidaria, la cual
Este documento presenta una propuesta de investigación para buscar un microcrédito para el financiamiento de actividades de capacitación en un centro ocupacional en Riobamba, Ecuador. Explica el contexto de pobreza en el país y cómo las microfinanzas han permitido el desarrollo económico de sectores marginados. Sin embargo, también reconoce casos negativos donde algunas organizaciones se aprovechan de personas con altas tasas de interés. La investigación busca proponer un sistema de microfinanzas que apoye a las madres del centro ocupacional
Este documento presenta un proyecto para analizar, diseñar e implementar un sitio web para la Universidad Pedagógica Nacional de Tuxtepec, Oaxaca utilizando la herramienta Kompozer. El objetivo general es promover y fortalecer la comunicación y los procesos de formación pedagógica a través de un medio virtual. Se propone realizar encuestas y investigación documental para identificar requerimientos y contenido. Luego se diseñará y desarrollará el sitio web, el cual se implementará y entregará sigui
El documento introduce el procesado digital de señales. Explica que implica la representación, transformación y manipulación de señales discretas para extraer información. Describe que una señal es una magnitud física que varía con el tiempo y que el procesado digital permite filtrar, analizar espectralmente, sintetizar y correlacionar señales. Finalmente, presenta ejemplos de sistemas de procesado digital como lectores de CD, tomografía computarizada y procesado de imágenes.
La Unión Europea ha propuesto un nuevo paquete de sanciones contra Rusia que incluye un embargo al petróleo ruso. El embargo se aplicaría gradualmente durante seis meses para el petróleo crudo y ocho meses para los productos refinados. Los líderes de la UE esperan que estas medidas adicionales aumenten la presión sobre Rusia para poner fin a su invasión de Ucrania.
Este documento describe los sistemas de procesamiento digital de señales. Explica que estos sistemas realizan operaciones matemáticas sobre señales digitalizadas mediante conversión analógico-digital. También describe los principales componentes de estos sistemas como la muestreo, cuantificación y codificación de señales, así como la arquitectura de procesadores digitales de señales. El procesamiento digital de señales ha permitido avances en aplicaciones como telecomunicaciones, medicina, radar y reproducción de audio.
Este documento presenta las prácticas de un laboratorio de procesamiento digital de señales. La Práctica 1 introduce MATLAB realizando gráficos y programas sencillos. La Práctica 2 observa el muestreo y aliasing de señales. La Práctica 3 analiza la relación entre ruido de cuantización, frecuencia de muestreo y paso de cuantización. La Práctica 4 realiza operaciones con señales digitales de audio como corrimiento, inversión e suma.
Este documento presenta una introducción al procesamiento digital de señales. Explica que el objetivo es presentar conceptos básicos para apoyar un curso sobre el tema. Detalla los contenidos principales como señales continuas y discretas, sistemas, discretización de señales, herramientas matemáticas como transformadas de Fourier y la transformada Z. También describe algunas aplicaciones importantes del procesamiento digital de señales como el reconocimiento de patrones y el control automático.
Este documento trata sobre el análisis y procesamiento de señales. Introduce conceptos clave como señales continuas y discretas, transformaciones elementales de señales, funciones elementales y sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Explica que la convolución permite calcular la salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo dado cualquier entrada mediante la respuesta al impulso del sistema.
Este documento presenta un libro introductorio sobre programación en C. El libro explica conceptos básicos como variables, constantes, operadores aritméticos y lógicos, y estructuras de control como if/else y bucles while y for. El libro está dirigido a estudiantes que deseen aprender el lenguaje de programación C.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones de un estudio analítico realizado sobre la ecuación de Darcy-Brinkman-Lapwood (DBL), la cual describe el movimiento de un fluido incompresible a través de un medio poroso. El estudio construye la solución analítica de la ecuación DBL adimensionalizada, determinando primero una condición para la vorticidad que depende de la función de corriente y la variable independiente, y luego definiendo un parámetro que relaciona la permeabilidad y el número de Reynolds. El objetivo
Este documento describe los materiales reciclables más comunes y cómo organizar una planta de reciclaje. Explica que el papel, cartón, plásticos, vidrio y metales son los materiales principales que se pueden reciclar de manera rentable. Luego detalla los pasos para diseñar una planta de reciclaje manual o mecanizada, incluyendo las unidades necesarias para la recepción, clasificación, procesamiento y almacenamiento de los materiales, así como consideraciones sobre la operación económica y reducción de desechos. El
Metaheurísticas e ingenieria del softwareElsannin17
Trata de la Metaheuristica y la Ingenieria del Software, pero utilizando organismos o colonias de organismos vivos, para la creacion, uso, implementacion y aplicacion de algoritmos basados en los mismos
Libro ecuaciones diferenciales con aplicaciones en maple - 383pÁLVARO REYES
Este documento presenta un resumen de varios métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo: 1) métodos de separación de variables, ecuaciones homogéneas, ecuaciones lineales de primer orden, ecuaciones exactas y factores de integración; 2) aplicaciones geométricas, de crecimiento y descomposición, dilución y vaciado de tanques; y 3) teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, soluciones por series y transformada de Laplace. El documento también incluye anexos con el paquete Maple
Este documento presenta apuntes para el curso de Cálculo Avanzado y Aplicaciones dictado en la Universidad de Chile. Los apuntes cubren temas de cálculo vectorial como divergencia, rotor, integral de flujo y teorema de Gauss, así como funciones de variable compleja, series de potencias y ecuaciones en derivadas parciales. El documento está dirigido a estudiantes de ingeniería civil y fue escrito por profesores del Departamento de Ingeniería Matemática de la Universidad de Chile.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos de diseño de experimentos. Explica los diseños factoriales 2k, sus ventajas y cómo permiten estudiar el efecto de múltiples factores. Incluye un ejemplo con un diseño factorial 22 para evaluar el efecto del tamaño de broca y la velocidad sobre la vibración producida por un barrenador. Calcula los efectos de cada factor a través de la notación de Yates y determina que el tamaño de broca tiene la mayor influencia sobre la vibración.
El documento presenta el módulo formativo "Mecanizado básico" para el Certificado de Profesionalidad de Operaciones Auxiliares de Mantenimiento de Electromecánica de Vehículos. Describe 7 capacidades y sus criterios de evaluación asociados, así como los contenidos teóricos y prácticos de cada capacidad. El resumen incluye técnicas de mecanizado manual, uniones entre piezas, herramientas eléctricas y neumáticas, interpretación de planos, mediciones, soldadura y normas de seguridad.
Causalidad y Responsabilidad, Michael S. Moore - ISBN 9788497688727Marcial Pons Argentina
Este documento presenta un índice de un libro sobre la causalidad y la responsabilidad en derecho y ética. El libro explora el papel de la causalidad en la responsabilidad moral y jurídica, y examina cómo los conceptos de intención, omisión, defensa y causalidad son tratados en la ética y el derecho. El índice indica que el libro contiene dos partes principales, la primera sobre la relación entre causalidad y responsabilidad moral y jurídica, y la segunda sobre los presupuestos de la teoría jurídica
Este documento presenta un apunte sobre electrónica industrial que incluye 9 capítulos. Introduce conceptos básicos como los diferentes tipos de convertidores estáticos, el interruptor semiconductor ideal y características de operación. También describe dispositivos semiconductores de potencia como diodos, tiristores, transistores y circuitos de disparo. Finalmente, cubre aplicaciones y control de convertidores estáticos.
HERRAMIENTA CASE PARA MODELADO DE ALMACENES DE DATOS BASADA EN LENGUAJES ESPE...Enrique Catala Bañuls
Memoria de mi proyecto de fin de carrera. Herramienta CASE para modelado de almacenes de datos multidimensionales mediante la creación de un Domain Specific Language al que llamamos ObjectOrientedMultimensionalModel (OOMM)
Este documento presenta una propuesta de investigación para crear una caja solidaria llamada "Mujeres Emprendedoras" que brindaría microcréditos a las 20 participantes del Centro Ocupacional Luis A. Martínez en Riobamba, Ecuador. El objetivo es mejorar la calidad de vida y los ingresos económicos de las mujeres mediante el financiamiento de materiales y maquinaria para mejorar la producción y comercialización de sus artesanías. La investigación analizará opciones de microfinanzas y capacitará a las socias fundadoras sobre
Este documento presenta una propuesta de investigación para crear una caja solidaria llamada "Mujeres Emprendedoras" que brinde microcréditos a las participantes de un centro ocupacional en Riobamba, Ecuador. El objetivo es mejorar la calidad de vida y los ingresos económicos de las madres del centro mediante el financiamiento de sus actividades artesanales y de comercialización. La investigación analizará opciones de microfinanzas y realizará encuestas y capacitaciones para establecer formalmente la caja solidaria, la cual
Este documento presenta una propuesta de investigación para buscar un microcrédito para el financiamiento de actividades de capacitación en un centro ocupacional en Riobamba, Ecuador. Explica el contexto de pobreza en el país y cómo las microfinanzas han permitido el desarrollo económico de sectores marginados. Sin embargo, también reconoce casos negativos donde algunas organizaciones se aprovechan de personas con altas tasas de interés. La investigación busca proponer un sistema de microfinanzas que apoye a las madres del centro ocupacional
Este documento presenta un proyecto para analizar, diseñar e implementar un sitio web para la Universidad Pedagógica Nacional de Tuxtepec, Oaxaca utilizando la herramienta Kompozer. El objetivo general es promover y fortalecer la comunicación y los procesos de formación pedagógica a través de un medio virtual. Se propone realizar encuestas y investigación documental para identificar requerimientos y contenido. Luego se diseñará y desarrollará el sitio web, el cual se implementará y entregará sigui
El documento introduce el procesado digital de señales. Explica que implica la representación, transformación y manipulación de señales discretas para extraer información. Describe que una señal es una magnitud física que varía con el tiempo y que el procesado digital permite filtrar, analizar espectralmente, sintetizar y correlacionar señales. Finalmente, presenta ejemplos de sistemas de procesado digital como lectores de CD, tomografía computarizada y procesado de imágenes.
La Unión Europea ha propuesto un nuevo paquete de sanciones contra Rusia que incluye un embargo al petróleo ruso. El embargo se aplicaría gradualmente durante seis meses para el petróleo crudo y ocho meses para los productos refinados. Los líderes de la UE esperan que estas medidas adicionales aumenten la presión sobre Rusia para poner fin a su invasión de Ucrania.
Este documento describe los sistemas de procesamiento digital de señales. Explica que estos sistemas realizan operaciones matemáticas sobre señales digitalizadas mediante conversión analógico-digital. También describe los principales componentes de estos sistemas como la muestreo, cuantificación y codificación de señales, así como la arquitectura de procesadores digitales de señales. El procesamiento digital de señales ha permitido avances en aplicaciones como telecomunicaciones, medicina, radar y reproducción de audio.
Este documento presenta las prácticas de un laboratorio de procesamiento digital de señales. La Práctica 1 introduce MATLAB realizando gráficos y programas sencillos. La Práctica 2 observa el muestreo y aliasing de señales. La Práctica 3 analiza la relación entre ruido de cuantización, frecuencia de muestreo y paso de cuantización. La Práctica 4 realiza operaciones con señales digitales de audio como corrimiento, inversión e suma.
Este documento presenta una introducción al procesamiento digital de señales. Explica que el objetivo es presentar conceptos básicos para apoyar un curso sobre el tema. Detalla los contenidos principales como señales continuas y discretas, sistemas, discretización de señales, herramientas matemáticas como transformadas de Fourier y la transformada Z. También describe algunas aplicaciones importantes del procesamiento digital de señales como el reconocimiento de patrones y el control automático.
Este documento trata sobre el análisis y procesamiento de señales. Introduce conceptos clave como señales continuas y discretas, transformaciones elementales de señales, funciones elementales y sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Explica que la convolución permite calcular la salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo dado cualquier entrada mediante la respuesta al impulso del sistema.
Este documento presenta un libro introductorio sobre programación en C. El libro explica conceptos básicos como variables, constantes, operadores aritméticos y lógicos, y estructuras de control como if/else y bucles while y for. El libro está dirigido a estudiantes que deseen aprender el lenguaje de programación C.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones de un estudio analítico realizado sobre la ecuación de Darcy-Brinkman-Lapwood (DBL), la cual describe el movimiento de un fluido incompresible a través de un medio poroso. El estudio construye la solución analítica de la ecuación DBL adimensionalizada, determinando primero una condición para la vorticidad que depende de la función de corriente y la variable independiente, y luego definiendo un parámetro que relaciona la permeabilidad y el número de Reynolds. El objetivo
Este libro presenta los conceptos básicos de la econometría aplicada utilizando el software libre Gretl. Explica los modelos de regresión lineal simple y múltiple, contrastes de hipótesis, intervalos de confianza y predicción. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos para que los lectores practiquen los métodos econometricos con datos reales.
Este documento presenta un libro de texto sobre cálculo diferencial para ingeniería. El libro contiene cuatro capítulos que cubren temas como funciones, límites, derivadas y sus aplicaciones. El autor es Juan R. Mayorga Z. del Instituto de Matemática y Física de la Universidad de Talca en Chile.
Este documento presenta una introducción al entorno estadístico R. Explica cómo usar R de forma interactiva, proporciona ejemplos básicos de cálculos numéricos y de vectores, y describe objetos como matrices y listas. También cubre temas como la lectura de datos, distribuciones probabilísticas y bucles. El objetivo es servir como una guía para nuevos usuarios de R.
Este documento presenta una introducción a los modelos de referencia para redes y sistemas de comunicación. Define conceptos clave como redes de computadoras y sistemas distribuidos. Además, clasifica las redes según la tecnología de transmisión usada, como redes de difusión y redes punto a punto, y según la escala, como redes de área local y redes de área extensa. Finalmente, introduce los conceptos de topología de red, velocidad de transmisión y modelos de transmisión.
Este documento presenta un libro titulado "Cálculo Vectorial: grad, div, rot ... y algo más" escrito por Baltasar Mena Iniesta. El libro introduce conceptos básicos de cálculo vectorial como funciones escalares y vectoriales, derivadas parciales, integrales múltiples y campos vectoriales. Incluye capítulos sobre valores extremos, funciones vectoriales, geometría diferencial y aplicaciones a mecánica. El libro proporciona una guía completa para comprender los fundamentos del cálculo vectorial.
Este documento presenta un análisis de dos algoritmos para medir la similitud entre secuencias mitocondriales: el algoritmo de Needleman-Wunsch y el algoritmo de Weiner. El autor implementa estos algoritmos en MATLAB y los evalúa en términos de eficiencia espacial y de tiempo, usando una base de datos de ADN mitocondrial. El objetivo es determinar cuál algoritmo es más adecuado para este tipo de análisis genético.
Este documento presenta una introducción al uso de programación visual basic (VBA) en Excel para propósitos de análisis numérico. Explica cómo evaluar funciones definidas por el usuario, incluyendo funciones predeterminadas de Excel. También describe elementos básicos de programación en VBA como flujos secuenciales, condicionales y repetitivos, y el manejo de rangos y matrices dinámicas. Finalmente, muestra ejemplos de cómo evaluar expresiones matemáticas escritas en lenguaje común y aplicar métodos numéricos como solución
Este documento presenta una introducción a la programación visual basic (VBA) para Excel y elementos de análisis numérico. Explica cómo evaluar funciones, crear gráficas, programar macros, y usar elementos de programación como flujos secuenciales, condicionales y repetitivos. También cubre temas como la solución de ecuaciones, integración, y problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias usando métodos numéricos. El objetivo es mostrar el gran potencial de Excel para análisis científico y enseñanza de
Este documento presenta una introducción a la programación visual basic (VBA) para Excel y elementos de análisis numérico. Explica cómo evaluar funciones, crear gráficas, programar macros, y usar elementos de programación como flujos secuenciales, condicionales y repetitivos. También cubre temas como la solución de ecuaciones, integración, y problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales ordinarias usando métodos numéricos. El objetivo es mostrar el gran potencial de Excel para ciencias e ingeniería, y su utilidad para la en
Este documento presenta un libro sobre métodos operativos de cálculo diferencial para ingeniería. El libro contiene 13 capítulos que cubren temas como funciones, límites, derivadas y aplicaciones del cálculo diferencial. El autor, Fausto Cervantes Ortiz, escribió el libro para apoyar los cursos de matemáticas de la Universidad Autónoma de la Ciudad de México.
Este documento presenta un manual de uso de MATLAB. Explica conceptos básicos como variables, vectores, matrices, operaciones matemáticas, bucles y condicionales. También cubre cálculo simbólico, gráficos, ecuaciones diferenciales y funciones numéricas. El manual proporciona instrucciones detalladas sobre cómo utilizar estas herramientas en MATLAB.
Este documento presenta un proyecto de simulación de un péndulo invertido. El objetivo principal es diseñar un controlador óptimo para estabilizar el péndulo, incluso cuando está inicialmente en la posición vertical inestable. El proyecto incluye el modelado matemático del sistema, el diseño e implementación de controladores PID y LQR, y el desarrollo de una aplicación en Java para simular el péndulo invertido de forma interactiva.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de cálculo diferencial e integral. El libro contiene seis capítulos que cubren los siguientes temas: números reales y sucesiones, funciones reales de variable real, cálculo diferencial en una variable, funciones de varias variables, cálculo integral en una variable y cálculo integral con varias variables. Cada capítulo incluye un breve resumen de la teoría relevante, una colección de ejercicios resueltos y una colección de ejercicios propuestos extraídos
Este documento presenta el libro "Cálculo diferencial e integral I. Problemas resueltos" que contiene la solución detallada de los ejercicios presentados en el libro de teoría "Cálculo diferencial e integral I". El libro fue diseñado para estudiantes de ingeniería y presenta los ejercicios resueltos de una manera accesible y didáctica para reforzar los conceptos matemáticos aprendidos.
Este documento presenta la idea intuitiva de límite de una función. Explica que un límite describe cómo se comporta una función cuando su variable se acerca a un valor particular, sin alcanzarlo. Utiliza ejemplos como funciones y áreas de regiones para ilustrar cómo los valores de una función pueden aproximarse a un número límite. Finalmente, introduce la notación formal de límites para expresar estas ideas de forma concisa.
Este documento presenta el índice general de un texto de enseñanza para el curso prefacultativo de pensamiento lógico matemático de la Facultad de Ciencias Sociales de la Universidad Mayor de San Andrés. El texto abarca temas como sistemas numéricos, exponentes, operaciones algebraicas, ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones lineales, y reglas de contar. El objetivo es preparar a los estudiantes para afrontar las asignaturas propias de la carrera de Ciencias Sociales desde una
Este documento presenta apuntes sobre teoría y análisis de señales. Explica los fundamentos del muestreo de señales continuas, incluyendo muestreo periódico y multiperiódico. Detalla cómo se realiza el muestreo de señales continuas por tramos, con un ejemplo numérico. También introduce la transformada Z como herramienta para el análisis de sistemas de tiempo discreto.
Este documento trata sobre el libro "Tratamiento digital de señales" de la cuarta edición. El libro cubre los fundamentos del procesamiento digital de señales discretas en el tiempo, y es adecuado para estudiantes de ingeniería eléctrica, informática y ciencias de la computación. El libro incluye tanto temas básicos como avanzados sobre procesamiento digital de señales.
Tratamiento Digital de Señales__EMERSON EDUARDO RODRIGUES.pdf
Dsp4
1. Tecnol´gico de Costa Rica
o
Escuela de Ingenier´ Electr´nica
ıa o
Notas de Clase
Procesamiento Digital de Se˜ ales
n
EL-5805
Dr. Jos´ Pablo Alvarado Moya
e
Versi´n de 28 de julio de 2011
o
2.
3. Prefacio
Estas notas de clase pretenden ofrecer al estudiante una gu´ para el curso “EL-5805 Pro-
ıa
cesamiento Digital de Se˜ales”. No deben considerarse bajo ninguna circunstancia como
n
fuente de informaci´n unica. En cada cap´
o ´ ıtulo se hace referencia a fuentes bibliogr´ficas
a
adicionales que el estudiante debe revisar por su cuenta, con ejercicios adicionales y mayor
detalle en su presentaci´n.
o
El concepto del curso se ha orientado en las sugerencias de los autores John G. Proakis y
Dimitris G. Manolakis [15] para un programa semestral de curso de pregrado, con algunas
adiciones y principalmente res´menes de la materia considerados necesarios. M´s detalles
u a
de los temas tratados aqu´ se podr´n entonces encontrar del cap´
ı a ıtulo 1 al cap´
ıtulo 8 del
mencionado libro de texto.
Las presentes notas de clase se han adaptado espec´ ıficamente al curso “Procesamiento
Digital de Se˜ales” de la Escuela de Ingenier´ Electr´nica del Tecnol´gico de Costa Rica,
n ıa o o
pero se ponen a disposici´n libre para que sean de provecho a quien las necesite.
o
Dr. Jos´ Pablo Alvarado Moya
e
Cartago, 28 de julio de 2011
Este trabajo se encuentra bajo una Licencia Creative Commons Atribuci´n- o
NoComercial-LicenciarIgual 3.0 Unported. Para ver una copia de esta Licencia, visite
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ o env´ una carta a Creati-
ıe
ve Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA.
c 2005-2011 Pablo Alvarado Escuela de Electr´nica
o Tecnol´gico de Costa Rica
o
12. viii ´
Indice de ejemplos
c 2005-2011 — P. Alvarado
13. Lista de s´
ımbolos y abreviaciones
Notaci´n general
o
A Matriz.
a11 a12 · · · a1m
a21 a22 · · · a2m
A= . . .. .
. . .
. . .
.
an1 an2 · · · anm
+ ∗
IN , IN Conjunto de los n´meros naturales sin cero IN+ = IN{0}.
u
IN, IN0 Conjunto de los n´meros naturales IN = {0, 1, 2, . . .}.
u
Z Conjunto de los n´meros enteros Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
u
Q Conjunto de los n´meros racionales Q = {q | q = n ; n, d ∈ Z}.
u d
IR Conjunto de los n´meros reales.
u
C Conjunto de los n´meros complejos.
u
∆ Cuanto. Distancia entre dos niveles de cuantificaci´n.o
eq (t) o eq (n) Error de cuantificaci´n.
o
F Frecuencia en ciclos por unidad de tiempo para se˜ales de variable continua.
n
f Frecuencia en ciclos por muestra para se˜ales de variable discreta.
n
Fs Frecuencia de muestreo de una se˜al anal´gica. Fs = 1/T
n o
h(n) Respuesta al impulso
H(ω) Respuesta en frecuencia
∠H(ω) Respuesta en fase
| H(ω) | Respuesta en magnitud
H(z) Funci´n de transferencia
o
Im(z) o zIm Parte imaginaria del n´mero complejo z
u
√
j
¡
j = −1
Mapeo de un dominio temporal al dominio frecuencial o z
Mapeo de un dominio frecuencial al dominio temporal o z
Re(z) o zRe Parte real del n´mero complejo z
u
T [·] Transformaci´n realizada por un sistema
o
T Intervalo de muestreo. T = 1/Fs
Tp Periodo fundamental Tp = 1/F para se˜ales de variable continua.
n
x(n) Se˜al de variable discreta.
n
ix
14. x Lista de s´
ımbolos y abreviaciones
x Vector.
x1
x2
T
x = [x1 x2 . . . xn ] = .
..
xn
y Escalar.
z∗ Complejo conjugado de z
Ω Frecuencia angular en radianes por unidad de tiempo para se˜ales de variable
n
continua.
ω Frecuencia angular en radianes por muestra para se˜ales de variable discreta.
n
Abreviaciones
BIBO Entrada acotada – Salida acotada (bounded input – bounded output)
DSP Digital Signal Processing (o Processor ).
FIR Respuesta finita al impulso (Finite Impulse Response)
IIR Respuesta infinita al impulso (Infinite Impulse Response)
LTI Sistema lineal e invariante en el tiempo (Linear and Time Invariant)
PDS Procesamiento Digital de Se˜ales.
n
SQNR Relaci´n se˜al a ruido de cuantificaci´n (signal to quantization noise ratio).
o n o
c 2005-2011 — P. Alvarado
15. Cap´
ıtulo 1
Introducci´n
o
El Procesamiento Digital de Se˜ales (PDS) es un area de la ciencia y la ingenier´ que
n ´ ıa
se ha desarrollado r´pidamente desde la segunda mitad del siglo XX. Tanto los aportes
a
te´ricos como de aplicaci´n contin´an extendi´ndose desde y hacia varias areas del saber.
o o u e ´
Los avances en el procesamiento y compresi´n de audio y video, as´ como las nuevas
o ı
tecnolog´ en comunicaciones digitales (telefon´ celular, modems ADSL, etc.) son quiz´
ıas ıa a
los ejemplos de aplicaci´n m´s representativos del PDS.
o a
1.1 Se˜ ales
n
Para definir las tareas del PDS se requiere primero precisar el concepto de se˜al , con-
n
siderada aqu´ como aquella observaci´n de una magnitud f´
ı o ısica en funci´n de variables
o
independientes de tiempo y espacio, realizada de tal modo que la se˜al contenga informa-
n
ci´n de los procesos observados.
o
En general, toda se˜al contiene informaci´n que se desea extraer o modificar de acuerdo
n o
a los requisitos de cada aplicaci´n particular. Sism´grafos, por ejemplo, registran se˜ales
o o n
s´
ısmicas que contienen informaci´n sobre intensidad y caracter´
o ısticas espectrales de los
sismos, con ayuda de las cuales pueden determinarse entre otras cosas la ubicaci´n de o
epicentros y la naturaleza de los s´ ısmos. Las se˜ales electrocardiogr´ficas permiten al
n a
m´dico determinar el estado del coraz´n de sus pacientes.
e o
La tabla 1.1 resume las caracter´ısticas utilizadas para clasificar las se˜ales. Las se˜ales son
n n
representadas por funciones matem´ticas de una o m´s variables. Una se˜al de voz, por
a a n
ejemplo, puede representarse como una funci´n de una variable temporal f (t), im´genes
o a
se pueden considerar como funciones de dos variables espaciales f (x, y), y v´ ıdeo como una
se˜al espacio-temporal f (x, y, t).
n
Las funciones pueden ser adem´s escalares o vectoriales. Si la voz se captura con un
a
micr´fono monof´nico, la se˜al el´ctrica de salida tendr´ por ejemplo un solo valor de
o o n e a
tensi´n el´ctrica en cada instante de tiempo. Por otro lado, un electroencefalograma
o e
1
16. 2 1.1 Se˜ales
n
provee un conjunto o vector de se˜ales el´ctricas provenientes de los diferentes electrodos
n e
para cada instante t:
T
f (t) = f1 (t) f2 (t) . . . fn (t)
Otro ejemplo de se˜ales vectoriales utilizadas frecuentemente en ingenier´ son las im´genes
n ıa a
en color, en las que cada elemento de la imagen o pixel se representa como un vector en
un espacio de color, donde las componentes del vector pueden, por ejemplo, representar
los valores de los colores primarios rojo, verde y azul. A cada una de las componentes de
las se˜ales vectoriales se les denomina usualmente canales y por lo tanto a la se˜al se le
n n
denota como multicanal .
Las variables de las que depende la se˜al pueden ser discretas o continuas. La salida de
n
un foto-transistor puede, por ejemplo, ser obtenida en todo instante de tiempo t (variable
continua), mientras que el n´mero de llamadas realizado por hora es una se˜al que el ICE
u n
puede generar para instantes discretos de tiempo nT distanciados por un intervalo de T =
1 h (variable discreta). Los puntos donde la variable independiente de una se˜al discreta
n
est´ definida no deben ser necesariamente equidistantes; sin embargo, usualmente este tipo
a
de distribuci´n homog´nea de las muestras se utiliza por su conveniencia computacional
o e
y manejabilidad matem´tica.
a
Los valores que puede tomar una se˜al pueden ser tambi´n discretos o continuos. As´ el
n e ı,
voltaje del fototransistor puede tomar cualquier valor real en un intervalo, mientras que
el n´mero de llamadas es siempre un valor entero. Tambi´n los valores de una funci´n
u e o
discreta pueden ser equidistantes o seguir otros patrones m´s complejos (como el lo-
a
gar´ıtmico). El t´rmino digital se utiliza para se˜ales de variables independientes discretas
e n
y de valores discretos, mientras que anal´gica es una se˜al con variables independientes
o n
continuas y valores continuos. El an´lisis matem´tico involucrado en el tratamiento de
a a
se˜ales digitales pueden simplificarse si se realiza a trav´s de funciones de valor continuo
n e
y variable discreta, llamadas usualmente se˜ales en tiempo discreto, por representar la
n
variable independiente generalmente instantes de tiempo definidos. Este ser´ el enfoque
a
utilizado en este documento.
Un ultimo criterio de car´cter matem´tico para clasificar las se˜ales es su naturaleza
´ a a n
estad´
ıstica: las se˜ales pueden ser deterministas si puede especificarse con precisi´n la
n o
forma de la funci´n. Por ejemplo, para se˜ales determin´
o n ısticas definidas en el tiempo,
sus valores en el pasado, presente y futuro son siempre conocidos (por ejemplo, una
Tabla 1.1: Caracter´
ısticas de las se˜ales
n
Caracter´
ıstica Valores
N´mero de variables
u una variable multiples variables
Dimensionalidad escalar vectorial (multicanal)
Variables independientes discretas continuas
Valores de la se˜al
n discretos continuos
Naturaleza estad´ ıstica deterministas aleatorias
c 2005-2011 — P. Alvarado
17. 1 Introducci´n
o 3
se˜al senoidal). Por otro lado, las se˜ales aleatorias o estoc´sticas solo permiten una
n n a
descripcion aproximada de la forma de su funci´n, por tener asociado un comportamiento
o
impredecible (por ejemplo, un generador de ruido, una se˜al s´
n ısmica, una se˜al ac´stica
n u
de voz).
Asociado a la naturaleza estad´ ıstica de la se˜al se distingue adem´s entre se˜ales es-
n a n
tacionarias y no estacionarias. Las se˜ales estacionarias son aquelas cuyos par´metros
n a
estad´ısticos no var´ en el tiempo, lo que de ninguna manera implica que el valor de
ıan
la se˜al se constante. Por otro lado, la se˜ales no estacionarias tienen par´metros es-
n n a
tad´ısticos que var´ en el tiempo.
ıan
En el presente texto se estudiar´n se˜ales de una variable, de valor escalar, digitales y
a n
de naturaleza determinista. En cursos de procesamiento de im´genes se extienden los
a
conceptos a se˜ales vectoriales (usualmente tres dimensiones) de dos variables discretas
n
espaciales (x, y). El an´lisis de se˜ales estoc´sticas es tema usual para cursos de posgrado;
a n a
sin embargo, es en este curso introductorio donde se presentan todas las bases necesarias
para comprender los conceptos avanzados.
En principio las se˜ales pueden corresponder a cualquier tipo de magnitud f´
n ısica observa-
da; sin embargo, por medios electr´nicos solo se˜ales el´ctricas pueden ser procesadas, por
o n e
lo que usualmente se requieren transductores o sensores que realicen la correspondiente
conversi´n.
o
1.2 Sistemas
El t´rmino sistema denota a una colecci´n o conjunto de elementos interrelacionados que
e o
conforman un todo unificado. Su ra´ etimol´gica es el t´rmino latino syst¯ma, que a su
ız o e e
vez proviene del griego σ υ στ ηµα relacionado con los conceptos combinar e instalar.
´
Un sistema puede formar parte de otro sistema de mayor nivel, en cuyo caso al primero
se le denomina subsistema del segundo. Los diferentes subsistemas intercambian por lo
general informaci´n, materia o energ´ para lograr alg´n objetivo. Los t´rminos se˜ales
o ıa u e n
de entrada o de salida se utilizan entonces para abstraer ese flujo de informaci´n, materia
o
o energ´ en el concepto matem´tico de funciones.
ıa a
El sistema entonces puede interpretarse como un conjunto de subsistemas que logran
transformar una se˜al en otra. Estos dispositivos pueden ser entes f´
n ısicos, como un circuito
electr´nico, o virtuales, como algoritmos implementados en software.
o
En la literatura actual se tiende a diferenciar entre dos tipos de tareas de los sistemas:
procesamiento y an´lisis. Se dice que un sistema procesa una se˜al si la se˜al de salida
a n n
tiene las mismas caracter´ ısticas sem´nticas de la entrada: por ejemplo, si la entrada
a
representa una se˜al de voz, la salida de un sistema procesador ser´ tambi´n voz aunque
n a e
quiz´ modificada para cumplir ciertos requisitos de la aplicaci´n. Se dice que un sistema
a o
realiza an´lisis de la se˜al, si la salida tiene otra naturaleza sem´ntica a la entrada.
a n a
c 2005-2011 — P. Alvarado
18. 4 1.3 Elementos de un sistema PDS
Por ejemplo, un m´dulo de un reconocedor de habla puede extraer de una se˜al de voz
o n
informaci´n sobre la presencia de la vocal ‘a’ en ella. Usualmente el an´lisis de una se˜al
o a n
se realiza a trav´s de diversos pasos de procesamiento de la se˜al, junto con tareas de
e n
reconocimiento o codificaci´n de patrones.
o
En resumen, el procesamiento digital de se˜ales1 , abreviado PDS o DSP por sus siglas en
n
ingl´s (Digital Signal Processing) se refiere al proceso de modificaci´n de una se˜al digital
e o n
en un sistema, realizado para destacar o suprimir diferentes caracter´
ısticas de la se˜al que
n
tienen alg´n significado especial para una aplicaci´n en particular.
u o
1.3 Elementos de un sistema PDS
La mayor´ de las se˜ales en ciencia e ingenier´ tienen una naturaleza anal´gica, es decir,
ıa n ıa o
tanto las variables independientes de las funciones que las representan como sus valores
son continuos. Matem´ticamente estas se˜ales se representan como funciones f (t)
a n
f : IR → IR
es decir, relaciones matem´ticas que mapean valores reales en valores reales. Este tipo
a
de se˜ales pueden ser tratadas directamente utilizando sistemas anal´gicos, como por
n o
ejemplo filtros pasivos o analizadores de frecuencia (figura 1.1).
Se˜al de
n Procesador Se˜al de
n
Entrada Anal´gico
o Salida
Anal´gica
o de Se˜al
n Anal´gica
o
Figura 1.1: Procesamiento anal´gico de una se˜al [15].
o n
El procesamiento digital (figura 1.2) requiere transformar las se˜ales de entrada a un
n
formato digital, es decir, a funciones f (n)
f : Z → Z.
Esto ocurre en una etapa llamada conversi´n anal´gica-digital (A/D).
o o
La se˜al digitalizada es tratada luego en el procesador digital de se˜ales, que puede ser
n n
desde un computador de prop´sito general, pasando por sistemas empotrados basados en
o
microcontroladores, hasta circuitos digitales espec´
ıficamente dise˜ados para realizar las
n
tareas de procesamiento deseadas; sin embargo, las configuraciones programables tanto
en software como en hardware reconfigurable son las que han brindado al procesamiento
1
En la literatura en castellano se encuentran los t´rminos tratamiento o procesamiento de se˜ales
e n
como sin´nimos. La preferencia de autores y traductores espa˜oles por el primero radica en la acepci´n
o n o
principal de proceso en la variante dialectal ib´rica como “causa civil o criminal”, que no se aplica tanto
e
en Latino Am´rica.
e
c 2005-2011 — P. Alvarado
19. 1 Introducci´n
o 5
Se˜al de
n Procesador Se˜al de
n
Convertidor Convertidor
Entrada Digital de Salida
A/D D/A
Anal´gica
o Se˜al
n Anal´gica
o
Figura 1.2: Procesamiento digital de una se˜al anal´gica [15].
n o
digital una flexibilidad inalcanzable con sistemas anal´gicos equivalentes. El vertiginoso
o
avance en la electr´nica digital ha permitido el uso cada vez m´s generalizado de las
o a
t´cnicas digitales de procesamiento. En la actualidad hasta los m´s peque˜os tel´fonos
e a n e
celulares utilizan algoritmos de alta complejidad que hace tan solo 15 a˜os hubieran
n
requerido computadores de gran tama˜o y costo.
n
El ultimo paso del procesamiento digital consiste en convertir la salida del bloque procesa-
´
dor a una se˜al anal´gica, lo que ocurre en el llamado convertidor digital-anal´gico (D/A).
n o o
En aplicaciones de an´lisis de se˜al, la ultima etapa puede no ser necesaria, cuando la
a n ´
informaci´n a extraer se obtiene directamente de las representaciones digitales.
o
1.4 Ventajas del procesamiento digital
Para poder representar una se˜al anal´gica por medio de una se˜al digital sin que sufra
n o n
p´rdidas de informaci´n considerables, la se˜al anal´gica debe ser digitalizada con una
e o n o
tasa de muestreo suficientemente alta (esto se analizar´ con suficiente detalle en cap´
a ıtulos
posteriores). La tecnolog´ digital impone l´
ıa ımites de velocidad de procesamiento, que,
aunque cada vez menos restrictivos, determinan los anchos de banda de se˜ales que pue-
n
den ser tratadas digitalmente. Es por esto que los sistemas anal´gicos siguen siendo
o
irreemplazables en aplicaciones con se˜ales de anchos de banda en el orden de los gi-
n
gaherz. Otro ambito de dominio anal´gico son sistemas de bajo consumo de potencia (en
´ o
el orden de los microwatts). Tanto los m´dulos de conversi´n ADC como DAC, as´ como
o o ı
los microcontroladores o microprocesadores digitales tendr´n siempre un mayor consumo
a
de potencia en la implementaci´n de filtros digitales que filtros hom´logos anal´gicos, o
o o o
de capacitores conmutados, implementados en tecnolog´ integradas.
ıas
En casos donde las se˜ales pueden ser digitalizadas sin perder informaci´n de forma
n o
considerable y se cuenta con suficiente tiempo y potencia para realizar las conversiones
y los c´lculos necesarios, es preferible utilizar un sistema digital sobre su equivalente
a
anal´gico. Esto por varias razones:
o
Los sistemas digitales son usualmente m´s baratos y confiables para el procesamiento de
a
se˜ales. Como ya se mencion´, pueden utilizarse sistemas programables, por lo que a
n o
trav´s de cambios en el software pueden modificarse o adaptarse sus caracter´
e ısticas, pro-
veyendo as´ un alto grado de flexibilidad en el dise˜o. Adem´s, las precisiones alcanzables
ı n a
con sistemas digitales son usualmente mucho mayores que los circuitos anal´gicos, en los
o
que el error acumulado en forma de ruido aumenta con cada etapa de procesamiento.
c 2005-2011 — P. Alvarado
20. 6 1.4 Ventajas del procesamiento digital
Un sistema digital funciona en toda su vida util exactamente de la misma manera, y
´
la fabricaci´n de dispositivos asegurar´ en todos ellos un comportamiento id´ntico. Esto
o a e
contrasta con los dise˜os anal´gicos, donde las caracter´
n o ısticas de los componentes, pasivos
y activos, var´ con el tiempo y donde la tolerancia de cada componente alterar´ en
ıan a
alguna medida el funcionamiento del sistema total. Adem´s del envejecimiento de los
a
circuitos, el funcionamiento de los sistemas anal´gicos tiende a ser m´s sensible a cambios
o a
en la temperatura y a fuentes externas de interferencia que los sistemas digitales. En este
sentido se dice que los sistemas digitales son m´s robustos que los sistemas anal´gicos.
a o
Otra ventaja de los sistemas de procesamiento digital tiene que ver con las posibilidades
de almacenamiento. Los niveles de ruido introducidos en sistemas de almacenamiento
anal´gicos (como cintas magn´ticas) son extremadamente altos comparados con el alma-
o e
cenamiento pr´cticamente sin p´rdidas (excepto las introducidas por la propia digitaliza-
a e
ci´n) de se˜ales digitales. Por este motivo, con se˜ales digitales es m´s factible realizar
o n n a
los llamados procesamientos “fuera de l´ ınea” (off-line), donde el tratamiento de la se˜al
n
se realiza en otro tiempo al de la captura de la se˜al. Esto es muy util por ejemplo en as-
n ´
tronom´ donde las altas cantidades de informaci´n capturadas por los radio-telescopios
ıa, o
pueden ser entonces analizadas mucho despu´s de la adquisici´n de datos, sin riesgos de
e o
producir conclusiones incorrectas producto de imprecisiones del almacenaje. Otro ejemplo
es el an´lisis de im´genes m´dicas, donde altos vol´menes de informaci´n son analizados
a a e u o
en procesos autom´ticos o semi-autom´ticos a posteriori en la detecci´n de enfermedades
a a o
y el planeamiento de operaciones quir´rgicas.
u
Pero quiz´ una de las ventajas fundamentales del procesamiento digital es la complejidad
a
alcanzable por medio de algoritmos de software, para los cuales pueden incluso no existir
equivalentes anal´gicos. Debido a las consiguientes simplificaciones en los procesos de
o
dise˜o de sistemas digitales y considerando la predictibilidad en el incremento de las
n
capacidades de procesamiento y memoria (por ejemplo, por medio de la Ley de Moore), se
acostumbra desarrollar los modernos y complejos algoritmos para el tratamiento digital
de se˜ales utilizando equipos de alto costo y tal vez de dimensiones volum´tricas que
n e
exceden las limitaciones espaciales, puesto que se asume que en los pr´ximos a˜os se podr´
o n a
integrar y mejorar el hardware utilizado hasta satisfacer las expectativas de aparatos
dom´sticos. Como ejemplo, los nuevos est´ndares de codificaci´n de video del grupo
e a o
MPEG necesitan varios microprocesadores de ultima generaci´n para funcionar, y a´n
´ o u
as´ no alcanzan las velocidades necesarias para desplegar los videos con la naturalidad
ı
deseada. Se parte del hecho que en un corto plazo los prototipos actuales podr´n sera
integrados y comercializados hasta en sistemas port´tiles.
a
c 2005-2011 — P. Alvarado
21. 1 Introducci´n
o 7
1.5 Aplicaciones
1.5.1 ´
Areas de aplicaci´n
o
Las aplicaciones del procesamiento digital de se˜al son hoy en d´ incontables. Las m´s
n ıa a
conocidas, pero no las unicas, se resumen a continuaci´n:
´ o
• Aplicaciones automotrices
Control del motor, sistemas antibloqueo (ABS), sistemas de navegaci´n, analisis de
o
vibraci´n, etc.
o
• Electr´nica de consumo
o
Radio y televisi´n digital, sistemas de video (DVD, Blue-Ray, etc.), juguetes educa-
o
tivos, instrumentos musicales, sistemas de impresi´n y despliegue, como monitores
o
de plasma, LED, LCD, etc.
• Industria
Control num´rico, monitorizaci´n de l´
e o ıneas de potencia, rob´tica, sistemas de segu-
o
ridad.
• Instrumentaci´no
Generaci´n de funciones, emparejamiento de patrones, procesamiento s´
o ısmico, an´lisis
a
espectral, an´lisis de transcientes.
a
• Medicina
Equipo de diagn´stico, monitorizaci´n de pacientes, pr´tesis auditivas, visuales y
o o o
mec´nicas, equipos de ultrasonido, tomograf´ MRI, etc.
a ıa,
• Telecomunicaciones
Modems, ecualizadores de se˜al, codificadores y decodificadores, telefon´ celular,
n ıa
multiplexaci´n, cancelaci´n de eco, repetidores de se˜al, compensaci´n de canal,
o o n o
modulaciones de espectro ensanchado, video-conferencia, cifrado de datos
• Voz/Habla
Verificaci´n de locutor, mejoramiento de se˜al, reconocimiento de habla, s´
o n ıntesis de
habla
El tratamiento de se˜ales ac´sticas es utilizado entre otros en el almacenamiento y trans-
n u
misi´n eficientes de sonido digital (MP3, OggVorbis, etc.), el procesamiento profesional
o
de sonido en industria musical y cinematogr´fica, el manejo de se˜ales de ultrasonido
a n
para elaboraci´n de im´genes m´dicas, o el procesamiento de voz humana, necesario para
o a e
codificar, encriptar, reconocer o sintetizar el habla.
El procesamiento de im´genes bidimensionales permite analizar las se˜ales obtenidas por
a n
medio de c´maras industriales, hoy en d´ frecuentemente encontradas en las l´
a ıa ıneas de pro-
ducci´n; adem´s, el procesamiento de im´genes tomadas por sat´lite permiten identificar
o a a e
entre otras cosas el tipo de uso del suelo, facilitan la construcci´n de mapas actualizados,
o
etc. Esta area es central en la codificaci´n y compresi´n de se˜ales de video, tal y como
´ o o n
los establecen los est´ndares MPEG (Motion Picture Expert Group).
a
c 2005-2011 — P. Alvarado
22. 8 1.5 Aplicaciones
El procesamiento de im´genes tridimensionales se utiliza por ejemplo en el an´lisis y
a a
generaci´n de im´genes de resonancia magn´tica (MRI), utilizadas en medicina como
o a e
instrumento de observaci´n de tejidos internos de un paciente, sin tener la necesidad de
o
utilizar procedimientos quir´rgicos.
u
Las t´cnicas modernas de an´lisis permiten obtener mejores resoluciones y aumentar la
e a
confiabilidad de la informaci´n producida por sonares y radares. Por otro lado, el estu-
o
dio digital de se˜ales s´
n ısmicas y volc´nicas permite incorporar t´cnicas de simulaci´n y
a e o
reconocimiento de patrones que mejoran la predicci´n de zonas y periodos de riesgo.
o
En los procesos de automatizaci´n industrial el procesamiento digital es en la actualidad
o
omnipresente, pues a pesar de que la mayor´ de los sensores producen salidas anal´gicas,
ıa o
estas son transformadas casi inmediatamente a se˜ales digitales para permitir una trans-
n
misi´n m´s confiable y sin mayores p´rdidas a las unidades de procesamiento, para facilitar
o a e
la aplicaci´n de algoritmos de extracci´n de la informaci´n de inter´s, y para hacer posible
o o o e
la utilizaci´n de t´cnicas confiables de almacenamiento de la informaci´n, que puede ser
o e o
la base luego para el mejoramiento de los procesos productivos, en el c´lculo de costos,
a
etc.
En la preparaci´n de se˜ales para su transmisi´n y en su decodificaci´n y mejoramiento del
o n o o
lado de los receptores, el procesamiento digital juega un papel cada vez m´s importante.
a
Un ejemplo lo representan los m´dems utilizados actualmente para permitir enlaces de
o
alta velocidad a trav´s de las l´
e ıneas telef´nicas de cobre, denominado ADSL (Asymmetric
o
Digital Subscriber Line), donde el procesamiento digital es utilizado para codificar y
decodificar las tramas y las se˜ales de acuerdo a los est´ndares de modulaci´n digitales.
n a o
1.5.2 Algoritmos
Conceptos algor´ıtmicos cl´sicos del procesamiento digital, encontrados en las areas de apli-
a ´
caci´n anteriores son: compresi´n, cifrado, reconocimiento, identificaci´n, sintetizaci´n,
o o o o
eliminaci´n de ruido, estimaci´n espectral y filtrado, solo por mencionar algunos.
o o
La compresi´n consiste en la reducci´n de capacidad necesaria para almacenar o transmitir
o o
una se˜al. En telefon´ celular se˜al de la voz es comprimida para poder transmitirla en
n ıa n
anchos de banda relativamente peque˜os, comparados con los utilizados en telefon´ fija.
n ıa
Los est´ndares MPEG contienen sofisticados algoritmos de compresi´n de im´genes que
a o a
permiten reducir en factores de 8 a 12 veces las se˜ales de video.
n
El cifrado es necesario cuando la confidencialidad de la informaci´n en las se˜ales debe
o n
ser asegurada. Algoritmos complejos codifican la informaci´n de forma tal que solo el
o
destinatario pueda decodificarla.
Tareas de reconocimiento intentan inferir de patrones en la se˜al, informaci´n contenida
n o
de forma impl´ıcita. Por ejemplo, de una se˜al de voz puede reconocerse tanto el mensaje
n
hablado, como el hablante (reconocimiento de habla y de voz, respectivamente). En
im´genes m´dicas pueden utilizarse algoritmos para reconocer tejidos malignos y benignos,
a e
c 2005-2011 — P. Alvarado
23. 1 Introducci´n
o 9
o en im´genes industriales pueden ser reconocidos caracteres, formas de productos, el
a
ensamblaje correcto de partes, etc.
La identificaci´n est´ relacionada con el reconocimiento. Aqu´ no se intenta descubrir una
o a ı
identificaci´n para el contenido de una se˜al, sino verificar que una identidad previamente
o n
dada es compatible con la se˜al. M´todos de identificaci´n se utilizan, junto con la
n e o
encriptaci´n, en aplicaciones de alta seguridad.
o
La sintetizaci´n permite producir se˜ales artificiales similares a aquellas generadas a
o n
trav´s de fen´menos f´
e o ısicos. Es utilizada por ejemplo en la elaboraci´n de efectos ac´sticos
o u
e imitaci´n de instrumentos musicales en sintetizadores de sonido. Otro ejemplo es la
o
sintetizaci´n de voz humana, utilizada en interfaces avanzadas hombre-m´quina.
o a
Las se˜ales transmitidas por canales anal´gicos usualmente son perturbadas con ruido, es
n o
decir, con alteraciones indeseables que no contienen ninguna informaci´n relevante para
o
la aplicaci´n. Por medio del procesamiento digital es posible aplicar diversos algoritmos
o
que permiten reducir el efecto de dichas distorsiones.
El filtrado es un concepto b´sico del procesamiento digital que forma parte de pr´cticamente
a a
cualquier otro algoritmo. El sistema que realiza esta tarea se denomina filtro, y permite
el paso de solo ciertas “componentes” de su se˜al de entrada, y bloqueando el paso de
n
otras. Algunos detalles ser´n presentados en los cap´
a ıtulos 4.5 y 7.
La estimaci´n espectral es utilizada en varias areas de las comunicaciones para encontrar
o ´
los rangos de frecuencias en que se concentra la energ´ de una se˜al (como en el caso del
ıa n
arriba mencionado ADSL).
1.5.3 Implementaci´n
o
El dise˜o de algoritmos para resolver las tareas mencionadas anteriormente se fundamenta
n
en teor´ matem´ticas que aseguran su funcionamiento bajo limitaciones pre-establecidas.
ıas a
Para cada algoritmo se puede elegir aquella estrategia de implementaci´n que mejor sa-
o
tisfaga los requisitos de una aplicaci´n particular. Esto puede involucrar
o
• plataformas de prop´sito general, como un computador personal;
o
• plataformas empotradas, incluyendo tel´fonos celulares, PDA, controles en m´quinas,
e a
etc. Seg´n sea la demanda computacional requerida, ´stas plataformas se pueden
u e
basar en
– microprocesadores de prop´sito general, o
o
– microcontroladores especializados en el tratamiento de se˜ales digitales (PDS,
n
Procesadores Digitales de Se˜ales)
n
• hardware reconfigurable, que se emplea en aplicaciones de alto desempe˜o, para el
n
cual los PDS no tienen suficientes prestaciones,
• circuitos integrados de aplicaci´n espec´
o ıfica (ASIC), utilizados si se espera una pro-
ducci´n en masa (como decodificadores del formato de audio Mp3)
o
• implementaci´n de circuitos de procesamiento en tiempo discreto.
o
c 2005-2011 — P. Alvarado
24. 10 1.5 Aplicaciones
En la ultima estrategia la se˜al nunca es convertida a un formato digital, pero se incluye
´ n
aqu´ por basarse su dise˜o en las teor´ de an´lisis de se˜ales en tiempo discreto, a tratar
ı n ıas a n
en este documento.
El desarrollo de tecnolog´ de implementaci´n de algoritmos ha tendido en los ultimos
ıas o ´
a˜os a simplificar los procesos, de modo que utilizando lenguajes de alto nivel (como
n
por ejemplo el lenguaje C, o MatLab) sea posible obtener con los compiladores adecua-
dos el c´digo optimizado para el procesador particular utilizado o incluso la descripci´n
o o
en VHDL o Verilog del circuito que realiza la tarea descrita en C. Esto reduce costos
al acelerar los procesos de implementaci´n y evita el entrenamiento de los ingenieros en
o
tecnolog´ cuya vigencia se restringe a unos pocos a˜os. Sin embargo, en casos con restric-
ıas n
ciones cr´
ıticas es inevitable recurrir ya sea a la optimizaci´n de algoritmos en ensamblador
o
del PDS empleado o la optimizaci´n manual de los circuitos.
o
1.5.4 Casos
Los codificadores de voz (o codecs) utilizados en telefon´ celular son un ejemplo de
ıa
algoritmos complejos imposibles de realizar con circuitos anal´gicos, al menos en el tama˜o
o n
de un tel´fono celular actual. En GSM, por ejemplo, la se˜al anal´gica adquirida por el
e n o
micr´fono es muestreada a 8 kHz, con 13 bits por muestra, lo que equivale a 104 000 bit/s.
o
Seg´n la calidad deseada o disponible, la salida de los codecs reducen el ancho de banda
u
a un rango entre 4,75 kbit/s y 13 kbit/s, es decir, permiten factores de compresi´n de 21
o
a 8 veces.
Otro caso impresionante es el de los diversos algoritmos para compresi´n de video. Consi-
o
derando que una imagen de televisi´n tiene 320×200 pixels aproximadamente y cada pixel
o
necesita 24 bits para ser representado digitalmente con suficiente precisi´n, entonces una
o
sola imagen necesita, sin compresi´n alguna, 187,5 kB para ser almacenada. Un segundo
o
de video, asumiendo una frecuencia de 30 im´genes por segundo, necesitar´ 5,6 MB. Una
a ıa
pel´
ıcula que tarde 90 minutos requerir´ entonces m´s de 30 GB, lo que ser´ imposible
ıa a ıa
de almacenar en las tecnolog´ actuales de DVD. Solo con los sofisticados algoritmos de
ıas
codificaci´n de video y sonido pueden almacenarse no solo la se˜al de video, sino varias
o n
versiones ac´sticas en diferentes idiomas, y materiales adicionales con video y audio, en
u
poco m´s de 4 GB de espacio, con factores de compresi´n m´s de 10 veces. La implemen-
a o a
taci´n de los codificadores y decodificadores se realiza en circuitos integrados de aplicaci´n
o o
espec´ıfica tanto en las c´maras comerciales, como en las unidades de DVD y Blue-ray.
a
Incluso los sistemas de transmisi´n de radio y televisi´n modernos est´n cambiando de
o o a
ser completamente anal´gicos a conceptos digitales. Los nuevos formatos de televisi´n
o o
de alta definici´n (HDTV) son completamente digitales, que no ser´ pr´cticos sin la
o ıan a
presencia de los algoritmos para el procesamiento y compresi´n adecuadas de las se˜ales
o n
en cuesti´n.
o
Los discos Blue-Ray se utilizan para almacenar v´ıdeo apto para HDTV. Soportan el
formato 1080p24, lo que implica una resoluci´n de 1920×1080 p´
o ıxeles con exploraci´n
o
c 2005-2011 — P. Alvarado
25. 1 Introducci´n
o 11
progresiva2 , as´ como una tasa de 24 cuadros por segundo. Una imagen tiene as´ casi 2,1
ı ı
millones de p´ ıxeles que requieren un espacio de 5,93 MB de almacenamiento sin compre-
si´n. Esto implica que para la tasa de 24 im´genes por segundo se requiere almacenar
o a
142,4 MB por cada segundo de v´ ıdeo sin comprimir. La tasa de transmisi´n de datos
o
estandarizada para este formato de HDTV es de 4,5MB/s, que es un factor aproximada-
mente 32 veces menor al de la se˜al cruda (sin compresi´n). Las t´cnicas de compresi´n
n o e o
del v´
ıdeo utilizan algoritmos de PDS m´s avanzados que sus equivalentes en un DVD,
a
para lograr alcanzar dicha tasa y as´ poder almacenar todos los datos (v´
ı ıdeo, texto, audio)
en un disco con 25 GB de capacidad.
Medicina es quiz´ una de las ´reas que m´s ventajas ha tomado del procesamiento digital
a a a
de se˜ales. Las nuevas tecnolog´ de visualizaci´n de ultrasonido permiten por ejemplo la
n ıas o
reconstrucci´n de una imagen tridimensional del feto en el vientre de la madre, ayudando
o
as´ al ginec´logo a tomar las precauciones del caso cuando algo no est´ en orden. El
ı o e
manejo digital de tomograf´ computarizadas y de im´genes de resonancia magn´tica
ıas a e
permite la visualizaci´n de tejidos internos en formatos legibles para los m´dicos. Los
o e
equipos m´s modernos permiten incluso hacer uso de la llamada realidad aumentada,
a
donde im´genes reconstruidas a partir de las mediciones se superponen a las reales para
a
guiar a los cirujanos en operaciones delicadas.
La creaci´n de pr´tesis cada vez m´s complejas es tambi´n posible gracias a las t´cnicas
o o a e e
de procesamiento digital. El implante de c´clea, por ejemplo, permite a personas sordas
o
volver a escuchar utilizando el an´lisis digital de las se˜ales ac´sticas obtenidas con un
a n u
micr´fono. Similar a este ultimo se trabaja en la actualidad en los implantes de retina,
o ´
donde complejos algoritmos de PDS intentan transformar la se˜al capturada por una
n
c´mara en impulsos el´ctricos que pueden ser acoplados al nervio optico en el ojo de
a e ´
personas ciegas.
2
la exploraci´n progresiva implica que la imagen se genera progresivamente l´
o ınea por l´
ınea en un solo
cuadro, y es lo opuesto a la exploraci´n entrelazada, donde la imagen se genera a trav´s de dos cuadros,
o e
uno que contiene las l´
ıneas pares y otro con las impares.
c 2005-2011 — P. Alvarado
26. 12 1.6 Problemas
1.6 Problemas
Problema 1.1. Busque un ejemplo de se˜al para cada una de las 32 posibles
n
combinaciones de las caracter´
ısticas de las se˜ales indicadas en la Tabla 1.1.
n
Problema 1.2. Una se˜al puede clasificarse seg´n cinco criterios:
n u
N´mero de variables
u (Una variable o Multiples variables)
Dimensi´n del valor
o (Escalar o Vectorial )
Variables independientes (Discretas o Continuas )
Valores de la se˜al
n (Discretas o Continuas )
Naturaleza estad´ ıstica (Determinista o Aleatoria )
Utilice las letras may´sculas indicadas en negrita para identificar las caracter´
u ısticas de
las se˜ales a continuaci´n. Si alguna caracter´
n o ıstica no se aplica o puede interpretarse con
ıquelo con ∗.
cualquier valor de la propiedad, ind´
Se˜al
n Caracter´
ıstica
N´m. Variables (U/M/∗)
ıstica (D/A/∗)
Dimensi´n (E/V/∗)
Variables (D/C/∗)
Valores (D/C/∗)
o
Estad´
u
Imagen tomada por una c´mara digital a color
a
Registro mensual de la posici´n de
o
una bandada de aves migratorias
Se˜ales de salida de un micr´fono est´reo
n o e
Se˜al digital
n
Se˜al anal´gica
n o
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27. Cap´
ıtulo 2
Se˜ ales y Sistemas de
n
Variable Discreta
2.1 Se˜ ales de variable discreta
n
Sea x(n) una se˜al de variable discreta, es decir, una funci´n definida para n entero. La
n o
figura 2.1 muestra una t´ıpica representaci´n gr´fica de una se˜al de este tipo. A n se le
o a n
denomina n´mero de muestra y a x(n) la n-´sima muestra de la se˜al.
u e n
x(n)
n
−1 0 1 2 3 4 5 6
Figura 2.1: Representaci´n gr´fica de una funci´n real de variable discreta x(n).
o a o
N´tese que x(n) no est´ definida para n no entero. Un error com´n es considerar que la
o a u
se˜al es cero “entre” las muestras, cuando en realidad all´ simplemente la funci´n no est´
n ı o a
definida. La suposici´n de que la se˜al es cero entre muestras es v´lido solo para una
o n a
se˜al de variable real x(t), que es otro concepto diferente.
n
Adem´s de la representaci´n gr´fica se utilizan aqu´ otras tres notaciones:
a o a ı
1. Funcional:
1
para n = 1
x(n) = 5−n para 2 ≤ n ≤ 4
0 el resto
Esta representaci´n es la forma m´s compacta de representar se˜ales cuyo compor-
o a n
tamiento puede ser expresado directamente por expresiones algebraicas cerradas.
13
28. 14 2.1 Se˜ales de variable discreta
n
2. Tabular
n . . . -1 0 1 2 3 4 5 . . .
x(n) . . . 0 0 1 3 2 1 0 . . .
En programas computacionales como MatLab[12] u Octave[5] las se˜ales se repre-
n
sentan con esta notaci´n, donde las dos filas de la tabla se interpretan como dos
o
arreglos de datos independientes.
3. Como secuencia.
Una secuencia de duraci´n infinita con el origen en n = 0 (indicado con “↑”) se
o
representa como
x(n) = {. . . , 0, 0, 1, 3, 2, 1, 0, . . .}
↑
Si la secuencia es 0 para n < 0 se suele representar como
x(n) = {0, 1, 3, 2, 1, 0, . . .}
↑
y si es finita
x(n) = {0, 1, 3, 2, 1}
↑
Si la secuencia inicia en cero, entonces usualmente se omite la flecha:
x(n) = {0, 1, 3, 2, 1}
Por su brevedad y simpleza notacional, ´sta ser´ la representaci´n de se˜ales de
e a o n
preferencia en el presente texto.
2.1.1 Manipulaciones elementales de se˜ ales de variable discreta
n
Se describen a continuaci´n algunas transformaciones elementales para se˜ales de variable
o n
independiente discreta (o tiempo discreto). Estas transformaciones son la base de opera-
ciones m´s complejas en el procesamiento digital de se˜ales y se utilizar´n a menudo en
a n a
´ste y los siguientes cap´
e ıtulos.
Desplazamiento
La se˜al x(n) se desplaza k muestras sustituyendo la variable n por n − k. Si k > 0 la
n
se˜al se retarda k muestras y si k < 0 la se˜al se adelanta k muestras.
n n
En la manipulaci´n fuera de l´
o ınea (off-line) ambos tipos de desplazamiento son posibles;
sin embargo, en sistemas de tiempo real o en l´
ınea (on-line), solo el retraso de la funci´n
o
es realizable.
Ejemplo 2.1 Utilizando desplazamientos exprese el escal´n unitario u(n) en t´rminos
o e
de una suma de impulsos δ(n) desplazados.
Soluci´n:
o
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